\documentclass[10pt, english]{article}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsthm}
\usepackage{mathrsfs}

\usepackage{manfnt}
\usepackage[usenames,dvipsnames]{pstricks}
%\usepackage{frcursive}

% Options possibles : 10pt, 11pt, 12pt (taille de la fonte)
%                     oneside, twoside (recto simple, recto-verso)
%                     draft, final (stade de d\'eveloppement)
%                     titlepage, notitlepage (\maketitle prend une page
%                                             \`a part ou non)

\usepackage[utf8]{inputenc}   % LaTeX, comprends les accents !
\usepackage[T1]{fontenc}      % Police contenant les caract\`eres fran\c{c}ais
\usepackage{geometry}         % D\'efinir les marges
\usepackage[francais]{babel}  % Placez ici une liste de langues, la
                              % derni\`ere \'etant la langue principale

%\pagestyle{headings}        % Pour mettre des ent\^etes avec les titres
%\usepackage{fourier}
%\usepackage[T1]{fontenc}                            % des sections en haut de page
\usepackage{pslatex}                          
\usepackage{graphicx}
\usepackage{color}
\usepackage[active]{srcltx}
\usepackage[all]{xy}         
\usepackage{hyperref}
\usepackage{vmargin}
\usepackage{fullpage}
\setmarginsrb{2cm}{2cm}{2cm}{2cm}{1cm}{1cm}{1cm}{1cm}
\newcommand{\norm}[1]{\left\Vert#1\right\Vert}
\newcommand{\abs}[1]{\left\vert#1\right\vert}
\newcommand{\set}[1]{\left\{#1\right\}}
\newcommand{\IR}{\mathbb R}
\newcommand{\IC}{\mathbb C}
\newcommand{\IQ}{\mathbb Q}
\newcommand{\IZ}{\mathbb Z}
\newcommand{\IN}{\mathbb N}
\newcommand{\eps}{\varepsilon}
\newcommand{\ra}{\rightarrow}
\newcommand{\To}{\longrightarrow}
\newcommand{\BX}{\mathbf{B}(X)}

\newtheorem{meg}{Mise en garde}
\newtheorem{thm}{Th\'{e}or\`{e}me}[section]
\newtheorem*{thmbis}{Th\'{e}or\`{e}me}
\newtheorem{cor}[thm]{Corollaire}
%\newtheorem{conj}[thm]{Conjecture}
\newtheorem{propr}[thm]{Propri\'{e}t\'{e}}
\newtheorem{question}[thm]{Question}
\newtheorem{questions}[thm]{Questions}
\newtheorem{philo}[thm]{Philosophie}
\newtheorem{lem}[thm]{Lemme}
\newtheorem{prop}[thm]{Proposition}
\newtheorem{propnot}[thm]{Proposition et notation}
\newtheorem{propnots}[thm]{Proposition et notations}
\theoremstyle{definition}
\newtheorem{exo}{Exercice}
\newtheorem*{sol}{Solution}
\newtheorem{rem}[thm]{Remarque}
%\newtheorem*{preuve}{Preuve}
\newtheorem*{convention}{Convention}
\newtheorem{defn}[thm]{D\'{e}finition}
\newtheorem{defns}[thm]{D\'{e}finitions}
\newtheorem{perspective}[thm]{Perspective}
\newtheorem{construction}[thm]{Construction}
\newtheorem{perspectives}[thm]{Perspectives}
\newtheorem*{hyp}{Hypoth\`ese}
\newtheorem*{hyps}{Hypoth\`eses}
\newtheorem*{but}{But}
\newtheorem{exemple}[thm]{Exemple}
\newtheorem{exemples}[thm]{Exemples}
\newtheorem{rappel}[thm]{Rappel}
\newtheorem{fact}[thm]{Fait}
\newtheorem{dfact}[thm]{Fait \`a d\'emontrer }
\newtheorem{reponse}[thm]{R\'eponse}
\newtheorem{notation}[thm]{Notation}
\newtheorem{notations}[thm]{Notations} 
\newtheorem{piste}[thm]{Piste}
\theoremstyle{remark}                           
\newcommand{\tcr}{\textcolor{red}}
\newcommand{\tcb}{\textcolor{blue}}
\newcommand{\card}{\text{card}\:}
\newcommand{\lb}{[\!}
\newcommand{\rb}{]\!}
\renewcommand{\card}{\text{Card}\:}
\renewcommand{\Im}{\text{Im}\:}
\pagestyle{plain}

\title{Mat 404 CC2 }
\date{26/03/2019}

\begin{document}
% \maketitle
{\Large \noindent UGA \hfill Mat404 \hfill 2019/20}

\begin{center}
Examen DM du 25 juin 2020, pr\'evu pour \^etre fait en 2 heures dans les
conditions d'un examen surveill\'e.\\
{\it Le sujet comporte 2 pages. Le barême est indicatif.\\
Toutes les r\'eponses doivent \^etre justifi\'ees!
Documents, calculatrices et ordinateur autoris\'es.
}

\end{center}
% \begin{center}
% Examen du 25 juin.\\ {\em Dur\'ee: 2h.  Toute r\'eponse doit \^etre
%   soigneusement justifi\'ee. Il s'agit d'un travail individuel, la
%   communication avec toute personne au sujet de l'\'epreuve est
%   formellement interdite. Documents, calculatrices et ordinateur
%   autoris\'es}.
% \end{center}

\vspace{0.5cm}

\section*{Exercice 1 }

On consid\`ere les espaces vectoriels r\'eels
$V=C^{\infty}(\IR,\IR)$ (fonctions infiniment d\'erivables) et
$V_2=\IR_2[X]$ (polyn\^omes \`a coefficients r\'eels de degr\'e $\leq 2$).
\begin{enumerate}
\item L'application $\Phi:V_2\rightarrow\IR$ d\'efinie par
  $$
  \Phi(P)=2P'(0)+P(1)
  $$
  est-elle lin\'eaire? Si oui, d\'ecrire son noyau et son image.
\item L'application $\Psi:V_2\rightarrow V$ d\'efinie par
  $$
  \Psi(P)=\Phi(P)P
  $$
  est-elle lin\'eaire? Si oui, d\'ecrire son noyau et son image.
\item Le sous-ensemble $W=\left\{f\in V\ :\ f'(t)+f(t)=0 \textrm{ pour tout }
  t\in\IR\right\}$ de $V$ est-il un sous-espace vectoriel? Si oui,
  donner sa dimension, et une base de $W$. 
\item Le sous-ensemble $W=\left\{f\in V\ :\ f'(t)+f(t)^2=0 \textrm{
  pour tout } t\in\IR\right\}$ de $V$ est-il un sous-espace vectoriel?
  Si oui, donner sa dimension, et une base de $W$.
\end{enumerate}

\section*{Exercice 2 }

Soit $\alpha\in\IR$. On consid\`ere l'application
$
\phi:\IR^3\times\IR^3\rightarrow\IR
$
d\'efinie par
$$
\phi(\left(\begin{matrix}x\\y\\z\end{matrix}\right),\left(\begin{matrix}x'\\y'\\z'\end{matrix}\right))=2xx'+2yy'+5zz'+2xz'+2zx'+\alpha(xy'+y'x+yz'+zy').
$$

\begin{enumerate}
  \item Montrer que $\phi$ est une forme bilin\'eaire symétrique, et
    donner sa matrice dans la base canonique de $\IR^3$.
  \item Rappeler la d\'efinition d'une forme bilin\'eaire
    non-d\'eg\'en\'er\'ee, et d\'eterminer les valeurs de $\alpha$
    pour lesquelles $\phi$ est non-d\'eg\'en\'er\'ee.
  \item Rappeler la d\'efinition de la forme quadratique associ\'ee
    \`a une forme bilin\'eaire sym\'etrique, et donner l'expression de
    la forme
    quadratique $q_\phi$ associ\'ee \`a $\phi$.
  \item Pour $\alpha=3$, montrer que la forme est de signature $(2,1)$. Pour cette
    valeur de $\alpha$, existe-t-il un vecteur $v\in\IR^3$ tel que $v\neq 0$ et
    $q_\phi(v)=0$? Si oui, donner un tel vecteur.
  \item Donner la signature de $\phi$ en fonction de $\alpha$.  Pour
    quelles valeurs de $\alpha$ s'agit-il d'un produit scalaire?
  \item Donner une base $\phi$-orthogonale de $\IR^3$ (votre base
    pourra d\'ependre du param\`etre $\alpha$).    
\end{enumerate}

\section*{Exercice 3} 
Sur l'espace vectoriel des polyn\^omes \`a coefficients r\'eels $\mathbb{R}[X]$, on
consid\`ere la forme~:
$$ \phi(P,Q)=\int_{-1}^1 t^2 P(t) Q(t) \ dt $$
\begin{enumerate}
\item Montrer que $\phi$ est une forme bilin\'eaire sym\'etrique.
\item Soit $\mathbb{R}_2[X]$ le sous-espace de $\mathbb{R}[X]$
des polyn\^omes de degr\'e inf\'erieur ou \'egal \`a 2. D\'eterminer
la matrice de $\phi$ (restreinte \`a $\mathbb{R}_2[X]$) dans la base
canonique $(1,X,X^2)$ de $\mathbb{R}_2[X]$.
\item Montrer que $\phi$ restreinte \`a $\mathbb{R}_2[X]$ est un
  produit scalaire, et donner une base $\phi$-orthonorm\'ee
  $(v_0,v_1,v_2)$ de $\mathbb{R}_2[X]$.
\item Dans la suite, on fixe un polyn\^ome $P\in\IR[X]$ (de degr\'e
  quelconque). Montrer qu'il existe un unique polyn\^ome
  $Q=\lambda_0v_0+\lambda_1v_1+\lambda_2v_2$ de degr\'e $\leq 2$ tel
  que $P-Q$ est $\phi$-orthogonal \`a $v_0$, `a $v_1$ et \`a
  $v_2$. Donner une formule explicite pour $\lambda_0, \lambda_1, \lambda_2$.
\item Si $Q$ est l'unique polyn\^ome de la question pr\'ec\'edente,
  montrer que $P-Q$ est $\phi$-orthogonal \`a tout polyn\^ome
  $R\in\IR_2[X]$.
\item On garde les notations des deux questions pr\'ec\'edentes pour
  $P$ et $Q$, et on note $q_\phi$ la forme quadratique associ\'ee \`a
  $\phi$. Montrer que pour tout $R\in\IR_2[X]$,
  $q_\phi(P-R)=q_\phi(P-Q)+q_\phi(Q-R)$, et en d\'eduire la valeur de
  $$
  \min_{Q\in\IR_2[X]} q_\phi(P-R).
  $$
\item D\'eterminer le minimum de $q_\phi(X^4-R)$, pour
  $R\in\mathbb{R}_2[X]$ quelconque.
\item $\phi$ est-elle encore un produit scalaire sur $\mathbb{R}[X]$~?
  Comment pourrait-t-on d\'eterminer le minimum de $q_\phi(X^4-R)$
  pour $R \in \mathbb{R}_3[X]$~?
\end{enumerate}

\end{document}

{\it Avertissement~: les questions pr\'ec\'ed\'ees de (*) sont
un peu plus difficiles}\\
Sur l'espace vectoriel des polyn\^omes \`a coefficients r\'eels $\mathbb{R}[X]$, on
consid\`ere la forme~:
$$ \phi(P,Q)=\int_{-1}^1 P(t) Q(t) \ dt $$
\begin{enumerate}
\item Montrer que $\phi$ est un produit scalaire.
\item Soit $\mathbb{R}_2[X]$ le sous-espace de $\mathbb{R}[X]$
des polyn\^omes de degr\'e inf\'erieur ou \'egal \`a 2.
D\'eterminer une base orthonormale $\{ P_0,P_1,P_2\}$ de $\mathbb{R}_2[X]$
telle que le degr\'e de $P_i$ soit $i$ pour $i=0,1,2$ et le
coefficient de plus grand degr\'e de $P_i$ soit positif.
\item (*) Montrer que pour tout $n>0$, il existe une unique base
orthonorm\'ee de l'ensemble des polyn\^omes de degr\'e 
inf\'erieur ou \'egal \`a $n$ constitu\'ee de polyn\^omes
$(P_0,...,P_n)$ avec degr\'e$(P_i)=i$ et coefficient dominant de $P_i$
strictement positif pour $0\leq i \leq n$. 
\item Calculer les racines r\'eelles de $P_i$ pour $i=0,1,2$.
\item Dans la suite de l'exercice, $n$ est fix\'e une fois pour toutes.\\
(*) On admet que les racines de $P_n$ sont de multiplicit\'e 1 (bonus,
le montrer!).
Montrer que $P_n$ poss\`ede $n$ racines r\'eelles $x_1,...,x_n$
dans l'intervalle $[-1,1]$, c'est-\`a-dire que~: 
$$ P_n=p_n\prod_{i=1}^n(x-x_i), \quad \mbox{avec } p_n >0, x_i\in [-1,1] $$
Indication~: on pourra raisonner par l'absurde,
on suppose que $P_n$ poss\`ede $k<n$ racines $x_1,..,x_k$ dans
$[-1,1]$, on pose $Q=\prod_{i=1}^k(x-x_i)$, on d\'etermine le signe
de $P_nQ$, le degr\'e de $Q$ et la valeur de $\phi(P_n,Q)$.
\item On consid\`ere les polyn\^omes 
$$Q_0=1, Q_1=(x-x_1), Q_2=(x-x_1)(x-x_2),
... ,Q_{n-1}=(x-x_1)...(x-x_{n-1})$$
Quel est le degr\'e de $Q_i$~?
Montrer que $(Q_0,...,Q_{n-1})$ est une base du sous-espace
vectoriel $\mathbb{R}_{n-1}[X]$ form\'e par les polyn\^omes
\`a coefficients r\'eels de degr\'e inf\'erieur ou \'egal \`a $n-1$
\item (*) Montrer qu'il existe des r\'eels $c_k$ tels que pour tout
polyn\^ome $P$ de degr\'e au plus $n-1$
$$ \int_{-1}^1 P(t) \ dt = \sum_{k=1}^n c_k P(x_k) \quad (*)$$
Indication~: on pourra montrer qu'il faut et il suffit que (*)
soit v\'erifi\'ee pour les \'el\'ements d'une base de $\mathbb{R}_{n-1}[X]$
\item (*) (bonus)
Montrer que la relation (*) est encore vraie si le degr\'e de
$P$ est au plus $2n-1$.\\
Indication~: on pourra utiliser la relation
$$ P=P_nQ+R, \quad \mbox{degr\'e}(R)<n, \mbox{degr\'e}(Q)<n$$
o\`u $Q$ et $R$ sont le quotient et le reste de la division euclidienne
de $P$ par $P_n$.
\end{enumerate}