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\title{Mat 404 CC2 }
\date{26/03/2019}

\begin{document}
% \maketitle
{\Large \noindent UGA \hfill Mat404 \hfill 2021}

\begin{center}
Examen du mardi 25 mai, 13h30-15h30.\\
{\em Documents interdits \`a l'exception d'une feuille manuscrite A4
  recto-verso. Calculatrice autoris\'ee.\\ T\'el\'ephones portables, ordinateurs,
  ... interdits.\\
Ce sujet est compos\'e de 4 exercices (bar\^eme indicatif non
contractuel : 4, 6, 4, 6).}
\end{center}

%\vspace{0.5cm}

\section*{Exercice 1 (cours)}
Soient $V$ un espace vectoriel et $\mathcal F=\{e_1,\dots,e_n\}$ une famille de vecteurs non nuls. On consid\`ere une forme bilin\'eaire $\phi$ d\'efinie sur $V \times V$.
\begin{enumerate}
\item \`A quelles conditions $\phi$ est-elle un produit scalaire~? % 1
\item On suppose que $\phi$ est un produit scalaire et que la famille
  $\mathcal F$ est orthogonale. Montrer que
  $\mathrm{dim}(\mathrm{Vect}(\mathcal F))=n$. % 1
\item Dans $\mathbb R^3$ muni du produit scalaire canonique, orthonormaliser en suivant le proc\'ed\'e de Schmidt la base ci-dessous~:
$$
\left\{ \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\  1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\  1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\  0 \end{pmatrix}\right\}.
$$ %2
\end{enumerate} 

\section*{Exercice 2 }
On consid\`ere dans $\mathbb{R}^3$ muni du produit scalaire canonique
le plan vectoriel $E$  engendr\'e
par les vecteurs $v=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\  0 \end{pmatrix},  
w=\begin{pmatrix} -1 \\ 1  \\ 1 \end{pmatrix}$.
On note $ A=\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ la
matrice form\'ee par les 2 vecteurs colonnes $v$ et $w$
\begin{enumerate}
\item Donner une base orthonorm\'ee de $E$. % 1pt % 1/sqrt(5)*[1,2,0], 1/sqrt(5)*[4/3,-2/3,1/3]
\item D\'eterminer $p$, la projection orthogonale du vecteur $b=\begin{pmatrix} 1 \\ -2
    \\  -3 \end{pmatrix}$ sur $E$. % 1pt % [-11/9,-8/9,-7/9]
\item Donner une \'equation cart\'esienne de $E$. %1pt % 2x-y-2z=0
\item Montrer que le syst\`eme $Ax=b$ n'a pas de solutions $x \in
  \mathbb{R}^2$. %.1pt
\item On appelle solution de $Ax=b$ au sens des moindres carr\'es un
  vecteur $x$ tel que $\| Ax-b\|$ soit le plus petit possible.
Montrer que $Ax=p$, en d\'eduire $x$. %2pt % [-4/9,-7/9]
\end{enumerate}



\section*{Exercice 3}
Soit $q$ la forme quadratique de $\mathbb{R}^3$ dans $\mathbb{R}$ d\'efinie par la formule suivante
$$
q\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}= x^2_1+ 4x_1x_2+ 6x_1x_3+ 4x^2_2+ 16x_2x_3+ 9x^2_3.
$$
\begin{enumerate}
%\item Donner la forme billin\'eaire associ\'ee $\phi:\mathbb{R}^3\times\mathbb{R}^3\longrightarrow \mathbb{R}$. Quelle est la matrice de $\phi$ dans la base canonique ?
\item En appliquant la m\'ethode de Gauss, 
d\'ecomposer $q\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3\end{pmatrix}$ 
en sommes et diff\'erences de carr\'es.% lin\'eairement ind\'ependants. %1.5pt
\item Donner le rang et la signature de $q$. Soit $\phi$ la forme
  billin\'eaire associ\'ee \`a $q$. 
Est-ce que $\phi$ est un produit scalaire~? %1pt
\item  
Donner une base $\mathcal B$ qui soit $\phi-$orthogonale. 
Est ce que $\mathcal B$ peut \^etre choisie $\phi-$orthonormale~? %1.5pt
\end{enumerate}

% \section*{Exercice 3 bis}
% On consid\`ere l'ensemble  $\mathcal{M}_2(\mathbb{R})$ des matrice r\'elle $2\times 2$. 
% Soit $q$ l'application de  $\mathcal{M}_2(\mathbb{R})$ dans $\mathbb{R}$ d\'efinie par
% $$
% q(A)=\mathrm{tr}(A^2)+\det(A).
% $$
% (la trace $\mathrm{tr}(B)$ de la matrice $B$ est la somme des \'el\'ements diagonaux de $B$).
% \begin{enumerate}
% \item On pose $A=\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ avec $a,b,c,d\in \mathbb{R}$. Calculer $q(A)$.
% %\item Montrer que $q$ est une forme quadratique sur $\mathcal{M}_2(\mathbb{R})$.
% \item En appliquant la m\'ethode de Gauss, d\'ecomposer $q(A)$ en
%   sommes et diff\'erences de carr\'es.% lin\'eairement ind\'ependants.
% \item Donner le rang et la signature de $q$. Soit $\phi$ la forme
%   billin\'eaire associ\'ee \`a $q$. 
% Est-ce que $\phi$ est un produit scalaire~?
% \item  
% Donner une base $\mathcal B$ qui soit $\phi-$orthogonale. 
% Est ce que $\mathcal B$ peut \^etre choisie $\phi-$orthonormale~?
% \end{enumerate}


\section*{Exercice 4}
Soit $f$ la fonction d\'efinie sur $[-\pi,\pi]$ par
$$ f(x)=\left \{ \begin{array}{ccc} e^x &\mbox{ si } & x \geq 0 \\ 
e^{-x} &\mbox{ si } & x< 0 \end{array} \right.$$
\begin{enumerate}
\item D\'eterminer la parit\'e de la fonction $f$. %0.5pt
\item D\'eterminer le d\'eveloppement en s\'erie de Fourier de $f$ sur
  $[-\pi,\pi]$. On pourra utiliser sans justification~:
$$ \int e^x \cos(nx) \ dx= 
e^{x} \left(\frac{\cos \left(n x\right)}{n^{2}+1}+\frac{n \sin \left(n x\right)}{n^{2}+1}\right)$$
% 2pt
\item En quels points de $[-\pi,\pi]$ la fonction $f$ est-elle \'egale
  \`a son d\'eveloppement en s\'erie de Fourier~? Justifier. % 1pt
\item En calculant $f(0)$ de deux mani\`eres montrer que
$$ e^\pi \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{n^2+1} =
\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2+1}+\frac{1}{2}\cdot \pi -\frac{1}{2} e^{\pi }+\frac{1}{2}
$$ % 1pt
\item On admet que~:
$$ \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2+1}=\frac{\pi}{2} \frac{e^{2\pi}
  +1}{e^{2\pi}-1} - \frac{1}{2}$$
V\'erifiez l'identit\'e de la question 4 en calculant \`a la calculatrice une valeur
approch\'ee de $\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{n^2+1}$ et en
comparant avec la somme partielle 
$\sum_{n=1}^N \frac{(-1)^n}{n^2+1}$
pour $N=10$. % -0.35952049849 pour -0.363985472509
% 1.5pt
\item {\em Bonus}\\ En utilisant la question 4 et en
calculant $f(\pi)$ de deux mani\`eres
montrer que $A=\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{n^2+1}$
et $B=\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2+1}$ v\'erifient un syst\`eme
lin\'eaire de 2 \'equations \`a 2 inconnues, en d\'eduire la valeur
de $B$ admise \`a la question 5. % 1.5
\end{enumerate}








\end{document}