\documentclass{article}% \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage{lmodern} \usepackage{textcomp} \usepackage{geometry} \usepackage{lastpage} \usepackage{theorem} \usepackage{mathrsfs, amsfonts,amsmath,amssymb} \renewcommand{\geq}{\geqslant} \renewcommand{\leq}{\leqslant} \usepackage{fancyhdr} \usepackage{afterpage} \usepackage{graphicx} \usepackage{ifthen} \usepackage{calc} \usepackage{tabularx} \usepackage{units} % \units[1]{cm} \usepackage[french]{babel} \frenchbsetup{ReduceListSpacing=false,CompactItemize=false} \usepackage[autolanguage]{numprint} \renewcommand{\FrenchLabelItem}{\textbullet} \renewcommand{\FrenchLabelItem}{\textbullet} \usepackage{icomma} \AtBeginDocument{ \renewcommand{\labelitemii}{$\circ$}% \renewcommand{\labelitemiii}{$\diamon$}% \renewcommand{\labelitemiv}{$\triangleright$}% } \geometry{ a4paper,% left=2cm,right=2cm,% marginparwidth=0.5cm,% top=1.5cm,bottom=2.5cm,% headsep=1em %-1em } \setlength{\theorempostskipamount}{1\baselineskip} \newcounter{Cexe} \renewcommand{\theCexe}{\Roman{Cexe}} {% \theorembodyfont{\mdseries}% \theoremstyle{break}% \newtheorem{exercise}[Cexe]{Exercice}% } \newcounter{Ccorr}[section] \renewcommand{\theCcorr}{\Roman{Ccorr}} { \theorembodyfont{\upshape} \theoremstyle{break} \newtheorem{claim}[Ccorr]{Correction de l'exercice} } \renewcommand{\theenumi}{\arabic{enumi}} \renewcommand{\theenumii}{\alph{enumii}} \renewcommand{\theenumiii}{\roman{enumiii}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi)}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii)}} \renewcommand{\labelenumiii}{\textbf{\theenumiii.}} \renewcommand{\thesection}{\Roman{section}} \renewcommand{\thesubsection}{\thesection-\alpha{subsection}} \renewcommand{\thesubsubsection}{\thesubsection.\arabic{subsubsection}} \setlength{\parindent}{0pt} \renewcommand{\vec}[1]{\ensuremath{\overrightarrow{#1\;}}} \newcommand{\Euro}[1]{\text{\euros{\ensuremath{#1}}}} \newboolean{affduree} \newboolean{bcalculatrice} \newboolean{nominatif} % commande Théo \usepackage{mathtools} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} % \DeclareMathOperator{\ker}{Ker} \DeclareMathOperator{\image}{Im} \DeclareMathOperator{\Vect}{Vect} % \DeclareMathOperator{\dim}{dim} % \setboolean{nominatif}{true} % Décommenter pour mettre un champs Nom:....... \newcommand{\titre}{Contrôle Continu 1} \newcommand{\classe}{} \setboolean{bcalculatrice}{true} % Décommenter si la calculatrice est autorisée. \newcommand{\calculatricetrue}{Calculatrice et feuille recto-verso manuscrite A4 autorisées} \newcommand{\calculatricefalse}{\textbf{Calculatrice non autorisée}} \newcommand{\Date}{11 mars 2021} \setboolean{affduree}{true} \newcommand{\duree}{Durée: $2$ heures} %\newcommand{\pourle}{à rendre le 07 janvier 2008} \newcommand{\etablissement}{Université Grenoble Alpes} \newcommand{\discipline}{MAT404} \fancypagestyle{firstpage}{ \fancyhead{} \lhead{\etablissement} \rhead{\discipline} %\lfoot{\scriptsize{Imprimé avec \LaTeXe}} \cfoot{} \rfoot{\thepage$/$\pageref{LastPage}} \renewcommand{\footrulewidth}{0.4pt} \renewcommand{\headrulewidth}{0.4pt} } \fancypagestyle{otherpage}{ \renewcommand{\headrulewidth}{0pt} \renewcommand{\footrulewidth}{0.4pt} \fancyhead{} \lfoot{\scriptsize{\classe}} \cfoot{\scriptsize{\titre}} \rfoot{\thepage$/$\pageref{LastPage}} } \pagestyle{otherpage}% \thispagestyle{firstpage} \begin{document} \noindent\begin{tabularx}{\textwidth}[t]{X>{\centering\arraybackslash}c>{\raggedleft\arraybackslash}X} \classe&{\large\titre}&\Date \\ &&\\ \ifthenelse{\boolean{nominatif}}{Nom: \makebox[0mm][l]{\makebox[50mm][l]{\dotfill}\;&}}{}% \ifthenelse{\boolean{affduree}}{\duree}{\pourle}&% \ifthenelse{\boolean{bcalculatrice}}{\calculatricetrue}{\calculatricefalse} \end{tabularx} \begin{center} \vspace{0.5cm} \emph{Le bar\^eme est donn\'e \`a titre indicatif, il est susceptible d'\^etre modifi\'e.\\ La précision, la concision et la clarté des raisonnements seront pris en compte dans l'évaluation} \vspace{0.5cm} % \emph{Toute ébauche de raisonnement, même inachevée, sera valorisée, n'hésitez donc pas à faire figurer vos idées.}\\ \end{center} \begin{exercise}[Noyaux et images, 3 points] Soit $A\in M_n(\mathbb{R})$ une matrice $n\times n$ à coefficients réels. On notera $X=\begin{pmatrix} x_1\\\vdots\\x_n\end{pmatrix}\in \mathbb{R}^n$ les vecteurs de $\R^n$. \begin{enumerate} \item Montrer que l'application $f:X\in \mathbb{R}^n\longmapsto AX\in\R^n$ est linéaire. \`A quelle condition est elle inversible ? \item Déterminer le noyau et l'image de $f$ dans le cas où $n=3$ et $A=\begin{pmatrix} -2 & 1 & 1 \\ 1 & -2 & 1 \\ 1 & 1 & -2 \end{pmatrix}$ \item Déterminer le noyau et l'image de $f$ dans le cas où $n=3$ et $A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ \end{enumerate} \end{exercise} \begin{exercise}[Forme bilinéaire, 7 points] Soit $\R_1[X]$ l'ensemble des polynômes à coefficients réels de degrée au plus 1. Soient~$a,b$ deux réels, et~$\phi:\R_1[X]\times\R_1[X]\to\R$ définie par~$\phi(P,Q)=P'(a)Q(b)+P(b)Q(a)$ pour~$P,Q\in\R_1[X]$. \begin{enumerate} \item Montrer que~$\phi$ est bilinéaire. \item On fixe les bases~$\mathcal{B}_1=\{1,X\}$,~$\mathcal{B}_2=\{X-1,X+1\}$ de~$\R_1(X)$. Déterminer la matrice~$M_1=Mat_{\mathcal{B}_1}(\phi)$. \item Pour cette question, on fixe~$a=0$ et~$b=1$. Déterminer la matrice~$M_2=Mat_{\mathcal{B}_2}(\phi)$ et~$P$ la matrice de passage de~$\mathcal{B}_1$ vers~$\mathcal{B}_2$. Quelle formule permet de passer de~$M_1$ à $M_2$ ? \item Pour quelle valeur de~$a$ et $b$, l'application~$\phi$ est-elle symétrique ? \item On fixe $a=1$ et $b=0$. Déterminer~$\ker(\phi)$ et déterminer~$\Vect(X)^\bot$ l'orthogonal pour~$\phi$ de $\Vect(X)$. \end{enumerate} \end{exercise} \begin{exercise}[Forme quadratique, 3 points] Soit $q:\R^4\to\R$ la forme quadratique définie par $$q(x,y,z,t)=x^2-3y^2-t^2+3z^2+2xy-4yt$$. \begin{enumerate} \item Déterminer l'unique application bilinéaire symétrique $\phi:\R^4\times\R^4\to\R$ telle que pour tout $u\in\R^4$ on ait $q(u)=\phi(u,u)$. \item D\'eterminer le rang de $q$ par la m\'ethode de votre choix. %\item En utilisant la méthode de Gauss, écrire $q$ comme somme et différence de carrés. %\item En déduire la signature et le rang de $q$. \end{enumerate} \end{exercise} \begin{exercise}[Algèbre linéaire et Mécanique quantique, 9 points] Soient $U$ et $V$ deux $\C$-espaces vectoriels, $f:U\longmapsto V$ une application linéaire. \begin{enumerate} \item \textit{Question de cours:} Rappeler les crit\`eres permettant de prouver qu'un ensemble est un sous-espace vectoriel de $U$. Montrer que le noyau de $f$ est un sous espace vectoriel de $U$. \item Soit $U=\mathcal{C}^\infty(\R^2,\C)$ l'espace vectoriel des fonctions $f$ indéfiniment dérivables de deux variables à valeurs dans $\mathbb{C}$ : $$f: \quad (x,t) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R} \rightarrow f(x,t) \in \mathbb{C}$$ Montrer que l'application de dérivée partielle suivante est linéaire : $\frac{\partial}{\partial x}: f\in U \rightarrow \frac{\partial f}{\partial x}\in U$ \item En déduire que le Laplacien spatial $\Delta : f\in U \rightarrow \Delta f=\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}\in U$ est linéaire sur $U$. \item On se donne $h,m$ deux réels positifs. D\'eduire de ce qui pr\'ec\`ede que l'opérateur de Schrödinger $S$ d\'efini ci-dessous est linéaire sur $U$~: \[S=ih\frac{\partial}{\partial t}+\frac{h^2}{2m}\Delta\] \item Que peut-on dire de l'ensemble des solutions de $S(f)=0$ ? \footnote{En mécanique quantique, cette propriété est connue sous le nom de \textit{principe de superposition}. } \item On cherche ces solutions sous la forme d'ondes planes. Pour l'opérateur de Schrödinger, les ondes planes représentent des particules libres, de quantité de mouvement $p\in\R$ et d'energie $E\in\R$, \[f(x,t)=e^{\frac{i}{h}(Et-px)}\] Quelle relation doivent satisfaire $E, p$ et $m$ pour que $f$ donnée par la formule ci-dessus soit solution de \[-ih\frac{\partial}{\partial t}f=\frac{h^2}{2m}\Delta f\] Commenter. \item %\textit{La suite de l'exercice est en bonus.} Soient $E_1, E_2, E_3\in\R$ et $p_1, p_2, p_3\in\R$ des réels 2 à 2 distincts. On veut montrer que la famille d'ondes planes $((x,t)\mapsto e^{\frac{i}{h}(E_kt-p_kx)})_{k\in\{1,2,3\}}$ est libre dans $C^\infty(\mathbb{R}^2,\mathbb{C})$. Pour ce faire, on considère une combinaison linéaire d'ondes planes \[\sum_{i=1}^3\lambda_i e^{\frac{i}{h}(E_kt-p_kx)}=0\] nulle en tout temps $t\in \mathbb{R}$ et en tout point $x\in \mathbb{R}$.\\ Montrer que les coefficients $\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3$ satisfont le système: \[\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\ E_1 & E_2 & E_3\\ E_1^{2} & E_2^2 & E_3^2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \lambda_1\\ \lambda_2\\ \lambda_3 \end{pmatrix}=0\] \textit{Indice: On pourra dériver successivement et évaluer en une paire $(x,t)$ bien choisie. } \item Notons $M(E_1,E_2,E_3)$ la matrice $3\times 3$ ci-dessus, elle est connue sous le nom de \textit{matrice de Vandermonde} de paramètres $E_1,E_2,E_3$. On veut montrer que celle ci est inversible, dès que les $E_i$ sont deux à deux distincts. Comment justifier qu'une matrice carrée est inversible à l'aide du déterminant ? % \item Nous allons calculer ce déterminant en formant une relation de récurrence entre $\det( M(E_1,\cdots,E_n))$ et $\det(M(E_1,\cdots E_{n-1}))$ en développant selon une colonne. Pour ce faire, effectuer l'opération suivante sur les lignes du système: \[\forall i\in\{1,\cdots,n\},\hspace{0,5cm}L_i\leftarrow L_i-E_iL_{i-1}\] % Quelle matrice obtenez vous ? % \item A l'aide d'un développement, en déduire que \[\det(M(E_1,\cdots,E_n))=\det(M(E_1,\cdots,E_n))\prod_{i=2}^n(E_i-E_1)\] % \textit{Indice: On rappelle que le déterminant $\det(M)$ est linéaire par rapport à chaque colonne de la matrice $M$, c'est-à-dire que $\det(C_1\vert\cdots \vert \alpha C_i\vert \cdots \vert C_n)=\alpha \det(C_1\vert\cdots \vert C_n)$} \item Montrer que \[\det M(E_1,E_2,E_3)=\prod_{1\leq i