On considère la fonction f de dans définie par :
f (
x) =
a) Montrer que pour tout
x ,
P(x) = x4 - 2x3 + 2x2 + 1 1
b) Étudier les variations de f et tracer son graphe.
c) Trouver l'équation de la tangente au graphe au point d'abscisse x = 0
d) Calculer
f (t)dt puis,
f (t)dt
Réponses
a)
On tape :
On obtient :
On tape :
On obtient :
Donc pour tout
x ,
x4 - 2x3 + 2x2 0
donc pour tout
x ,
P(x) = x4 - 2x3 + 2x2 + 1 1
b)
On tape :
On obtient :
Le numérateur est négatif car il est égal à
- P(exp(x)) et le
dénominateur est strictement positif car il est égal à une somme de
termes strictement positifs. La fonction f est donc décroissante.
Cherchons la limite de f en + .
On tape :
On obtient :
Cherchons la limite de f en - .
On tape :
On obtient :
On tape :
On obtient le graphe de f.
c)
On définit la fonction f, on tape :
On calcule f (0), on tape :
On obtient
On définit la fonction df comme étant la dérivée de f, on tape :
On calcule df (0), on tape :
On obtient :
L'équation de la tangente au point d'abscisse 0 est donc :
y = df (0)*x + f (0)
c'est à dire
y = - x + .
ou encore on tape :
On obtient :
d)
On calcule l'intégrale :
f (t)dt
On tape :
On obtient :
Puis on calcule :
f (t)dt
On tape :
On obtient :