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Exercices sur des calculs de primitives

Décomposer, sur $\mathbb {R}$ , en éléments simples : $\displaystyle {\frac{t^2}{1-t^4}}$ .
Calculer $\displaystyle \int$ $\displaystyle {\frac{t^2}{1-t^4}}$ dt et $\displaystyle \int$ $\displaystyle {\frac{\sin(x)^2}{\cos(2x)}}$ dx
On tape :

$\displaystyle \tt partfrac(t^2/(1-t^4))$
On obtient :

$\displaystyle \tt -1/2/(t^2+1)+1/(4*(t+1))-1/4/(t-1)$
On tape :

$\displaystyle \tt int(t^2/(1-t^4),t)$
On obtient :

$\displaystyle \tt\frac{1}{-2*atan(t)}+\frac{1}{4*log(abs(t+1)}+\frac{1}{-4*log(abs(t-1)}$
On tape :

$\displaystyle \tt int(sin(x)^2/cos(2*x),x)$
On obtient :

$\displaystyle \tt (1/-2*(x/2+floor(x/2/pi+1/2))+1/8*log(abs((tan(x/2))^2-2*tan(x/2)-1))+$

$\displaystyle \tt 1/-8*log(abs((tan(x/2))^2+2*tan(x/2)-1)))*2$
On tape :

$\displaystyle \tt subst(int(sin(x)^2/cos(2*x),x),tan(x/2)=t)$
On obtient :

$\displaystyle \tt (\frac{(\frac{x}{2}+\mbox{floor}(\frac{x}{2\* \pi }+(2)^{-1})... ...bs}(t^{2}+2\* t-1))}{-8}+\frac{\mbox{log}(\mbox{abs}(t^{2}-(2\* t)-1))}{8})\* 2$
Calculer $\displaystyle \int$ $\displaystyle {\frac{1}{t^2}}$ dt, $\displaystyle \int$ $\displaystyle {\frac{1}{t(t^2+1)}}$ dt, et $\displaystyle \int$ $\displaystyle {\frac{t^2-t+1}{t^4+t^2}}$ dt
On tape :

$\displaystyle \tt int(1/t^2,t)$
On obtient :

$\displaystyle \tt 1/(-t)$
On tape :

$\displaystyle \tt int(1/(t*(t^2+1)),t)$
On obtient :

$\displaystyle \tt 1/-2*log(t^2+1)+1/2*log((abs(t))^2)$
On tape :

$\displaystyle \tt int((t^2-t+1)/(t^2+t^4),t)$
On obtient :

$\displaystyle \tt 1/2*log(t^2+1)-log(abs(t))+(-t+1)/(-t)$
On considère la fonction f de $\mathbb {R}$ dans $\mathbb {R}$ définie par :

f (x) = $\displaystyle {\frac{\exp(x)^2-\exp(x)+1}{\exp(x)^3+\exp(x)}}$
a) Montrer que pour tout x $\in$ $\mathbb {R}$ , P(x) = x⁴ - 2x³ + 2x² + 1 $\geq$ 1
b) Étudier les variations de f et tracer son graphe.
c) Trouver l'équation de la tangente au graphe au point d'abscisse x = 0
d) Calculer $\displaystyle \int_{0}^{x}$ f (t)dt puis, $\displaystyle \lim_{x->+\infty}^{}$ $\displaystyle \int_{0}^{x}$ f (t)dt
Réponses
a) On tape :

$\displaystyle \tt factor(x^4-2x^3+2x^2)$
On obtient :

$\displaystyle \tt (x^2+-2*x+2)*x^2$
On tape :

$\displaystyle \tt canonical\_form(x^2-2*x+2)$
On obtient :

$\displaystyle \tt (x-1)^2+1$
Donc pour tout x $\in$ $\mathbb {R}$ , x⁴ - 2x³ + 2x² $\geq$ 0
donc pour tout x $\in$ $\mathbb {R}$ , P(x) = x⁴ - 2x³ + 2x² + 1 $\geq$ 1
b) On tape :

$\displaystyle \tt normal(derive((exp(x)^2-exp(x)+1)/(exp(x)^3+exp(x)),x))$
On obtient :

$\displaystyle \tt\frac{-(exp(x))^4+2*(exp(x))^3-2*(exp(x))^2-1}{(exp(x))^5+2*(exp(x))^3+exp(x)}$
Le numérateur est négatif car il est égal à - P(exp(x)) et le dénominateur est strictement positif car il est égal à une somme de termes strictement positifs. La fonction f est donc décroissante.
Cherchons la limite de f en + $\infty$ .
On tape :

$\displaystyle \tt limit((exp(x)^2-exp(x)+1)/(exp(x)^3+exp(x)),x=+infinity)$
On obtient :

$\displaystyle \tt0$
Cherchons la limite de f en - $\infty$ .
On tape :

$\displaystyle \tt limit((exp(x)^2-exp(x)+1)/(exp(x)^3+exp(x)),x=-infinity)$
On obtient :

$\displaystyle \tt infinity$
On tape :

$\displaystyle \tt plotfunc(((exp(x))^2-exp(x)+1)/((exp(x))^3+exp(x)),x)$
On obtient le graphe de f.
c) On définit la fonction f, on tape :

$\displaystyle \tt f(x):=(exp(x)^2-exp(x)+1)/(exp(x)^3+exp(x))$
On calcule f (0), on tape :

$\displaystyle \tt f(0)$
On obtient

$\displaystyle \tt\frac{1}{2}$
On définit la fonction df comme étant la dérivée de f, on tape :

$\displaystyle \tt df(x):=normal(derive(f(x)))$
On calcule df (0), on tape :

$\displaystyle \tt df(0)$
On obtient :

$\displaystyle \tt -\frac{1}{2}$
L'équation de la tangente au point d'abscisse 0 est donc :
y = df (0)*x + f (0) c'est à dire y = - $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ x + $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ . ou encore on tape :

$\displaystyle \tt equation(tangent(plotfunc(f(x)),0),[x,y])$
On obtient :

$\displaystyle \tt (1/-2*x-y)=(1/-2)$
d) On calcule l'intégrale : $\displaystyle \int_{0}^{x}$ f (t)dt
On tape :

$\displaystyle \tt int(f(t),t,0,x)$
On obtient :

$\displaystyle \tt (log((exp(x))^2+1)*exp(x)+(-(2*x))*exp(x)+2*exp(x)-2)*$

$\displaystyle \tt 1/2/exp(x)-1/2*log(2)$
Puis on calcule : $\displaystyle \lim_{x->+\infty}^{}$ $\displaystyle \int_{0}^{x}$ f (t)dt
On tape :

$\displaystyle \tt limit((log((exp(x))^2+1)*exp(x)+(-(2*x))*exp(x)+2*exp(x)-2)*$

$\displaystyle \tt 1/2/exp(x)-1/2*log(2),x=+infinity)$
On obtient :

$\displaystyle \tt -1/2*log(2)+1$

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Documentation de giac écrite par Renée De Graeve