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Exercices sur des calculs de primitives

  1. Décomposer, sur $ \mathbb {R}$, en éléments simples : $\displaystyle {\frac{t^2}{1-t^4}}$.
    Calculer $\displaystyle \int$$\displaystyle {\frac{t^2}{1-t^4}}$dt  et $\displaystyle \int$$\displaystyle {\frac{\sin(x)^2}{\cos(2x)}}$dx
    On tape :

    $\displaystyle \tt partfrac(t^2/(1-t^4))$

    On obtient :

    $\displaystyle \tt -1/2/(t^2+1)+1/(4*(t+1))-1/4/(t-1)$

    On tape :

    $\displaystyle \tt int(t^2/(1-t^4),t)$

    On obtient :

    $\displaystyle \tt\frac{1}{-2*atan(t)}+\frac{1}{4*log(abs(t+1)}+\frac{1}{-4*log(abs(t-1)}$

    On tape :

    $\displaystyle \tt int(sin(x)^2/cos(2*x),x)$

    On obtient :

    $\displaystyle \tt (1/-2*(x/2+floor(x/2/pi+1/2))+1/8*log(abs((tan(x/2))^2-2*tan(x/2)-1))+$

    $\displaystyle \tt 1/-8*log(abs((tan(x/2))^2+2*tan(x/2)-1)))*2$

    On tape :

    $\displaystyle \tt subst(int(sin(x)^2/cos(2*x),x),tan(x/2)=t)$

    On obtient :

    $\displaystyle \tt (\frac{(\frac{x}{2}+\mbox{floor}(\frac{x}{2\* \pi }+(2)^{-1})...
...bs}(t^{2}+2\* t-1))}{-8}+\frac{\mbox{log}(\mbox{abs}(t^{2}-(2\* t)-1))}{8})\* 2$

  2. Calculer $\displaystyle \int$$\displaystyle {\frac{1}{t^2}}$dt $\displaystyle \int$$\displaystyle {\frac{1}{t(t^2+1)}}$dt,  et $\displaystyle \int$$\displaystyle {\frac{t^2-t+1}{t^4+t^2}}$dt
    On tape :

    $\displaystyle \tt int(1/t^2,t)$

    On obtient :

    $\displaystyle \tt 1/(-t)$

    On tape :

    $\displaystyle \tt int(1/(t*(t^2+1)),t)$

    On obtient :

    $\displaystyle \tt 1/-2*log(t^2+1)+1/2*log((abs(t))^2)$

    On tape :

    $\displaystyle \tt int((t^2-t+1)/(t^2+t^4),t)$

    On obtient :

    $\displaystyle \tt 1/2*log(t^2+1)-log(abs(t))+(-t+1)/(-t)$

  3. On considère la fonction f de $ \mathbb {R}$ dans $ \mathbb {R}$ définie par :

    f (x) = $\displaystyle {\frac{\exp(x)^2-\exp(x)+1}{\exp(x)^3+\exp(x)}}$

    a) Montrer que pour tout x $ \in$ $ \mathbb {R}$, P(x) = x4 - 2x3 + 2x2 + 1 $ \geq$ 1
    b) Étudier les variations de f et tracer son graphe.
    c) Trouver l'équation de la tangente au graphe au point d'abscisse x = 0
    d) Calculer $\displaystyle \int_{0}^{x}$f (t)dt  puis, $\displaystyle \lim_{x->+\infty}^{}$$\displaystyle \int_{0}^{x}$f (t)dt

    Réponses

    a) On tape :

    $\displaystyle \tt factor(x^4-2x^3+2x^2)$

    On obtient :

    $\displaystyle \tt (x^2+-2*x+2)*x^2$

    On tape :

    $\displaystyle \tt canonical\_form(x^2-2*x+2)$

    On obtient :

    $\displaystyle \tt (x-1)^2+1$

    Donc pour tout x $ \in$ $ \mathbb {R}$, x4 - 2x3 + 2x2 $ \geq$ 0
    donc pour tout x $ \in$ $ \mathbb {R}$, P(x) = x4 - 2x3 + 2x2 + 1 $ \geq$ 1

    b) On tape :

    $\displaystyle \tt normal(derive((exp(x)^2-exp(x)+1)/(exp(x)^3+exp(x)),x))$

    On obtient :

    $\displaystyle \tt\frac{-(exp(x))^4+2*(exp(x))^3-2*(exp(x))^2-1}{(exp(x))^5+2*(exp(x))^3+exp(x)}$

    Le numérateur est négatif car il est égal à - P(exp(x)) et le dénominateur est strictement positif car il est égal à une somme de termes strictement positifs. La fonction f est donc décroissante.
    Cherchons la limite de f en + $ \infty$.
    On tape :

    $\displaystyle \tt limit((exp(x)^2-exp(x)+1)/(exp(x)^3+exp(x)),x=+infinity)$

    On obtient :

    $\displaystyle \tt0$

    Cherchons la limite de f en - $ \infty$.
    On tape :

    $\displaystyle \tt limit((exp(x)^2-exp(x)+1)/(exp(x)^3+exp(x)),x=-infinity)$

    On obtient :

    $\displaystyle \tt infinity$

    On tape :

    $\displaystyle \tt plotfunc(((exp(x))^2-exp(x)+1)/((exp(x))^3+exp(x)),x)$

    On obtient le graphe de f.

    c) On définit la fonction f, on tape :

    $\displaystyle \tt f(x):=(exp(x)^2-exp(x)+1)/(exp(x)^3+exp(x))$

    On calcule f (0), on tape :

    $\displaystyle \tt f(0)$

    On obtient

    $\displaystyle \tt\frac{1}{2}$

    On définit la fonction df comme étant la dérivée de f, on tape :

    $\displaystyle \tt df(x):=normal(derive(f(x)))$

    On calcule df (0), on tape :

    $\displaystyle \tt df(0)$

    On obtient :

    $\displaystyle \tt -\frac{1}{2}$

    L'équation de la tangente au point d'abscisse 0 est donc :
    y = df (0)*x + f (0) c'est à dire y = - $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$x + $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$. ou encore on tape :

    $\displaystyle \tt equation(tangent(plotfunc(f(x)),0),[x,y])$

    On obtient :

    $\displaystyle \tt (1/-2*x-y)=(1/-2)$

    d) On calcule l'intégrale : $\displaystyle \int_{0}^{x}$f (t)dt
    On tape :

    $\displaystyle \tt int(f(t),t,0,x)$

    On obtient :

    $\displaystyle \tt (log((exp(x))^2+1)*exp(x)+(-(2*x))*exp(x)+2*exp(x)-2)*$

    $\displaystyle \tt 1/2/exp(x)-1/2*log(2)$

    Puis on calcule : $\displaystyle \lim_{x->+\infty}^{}$$\displaystyle \int_{0}^{x}$f (t)dt
    On tape :

    $\displaystyle \tt limit((log((exp(x))^2+1)*exp(x)+(-(2*x))*exp(x)+2*exp(x)-2)*$

    $\displaystyle \tt 1/2/exp(x)-1/2*log(2),x=+infinity)$

    On obtient :

    $\displaystyle \tt -1/2*log(2)+1$


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Documentation de giac écrite par Renée De Graeve