Soient a et b deux réels positifs,
on définit les 2 suites u et v par :
u0 = a, v0 = b, un+1 = , vn+1 =
(5.1)
Montrez que ces 2 suites sont adjacentes et convergent donc vers
une limite commune notée M(a, b) est par définition la moyenne
arithmético-géométrique de a et b
Déterminer le premier n tel que
abs(un - vn) < 10-9 lorsque a = 2 et b = 1
Calculer M(1,2) avec 9 décimales.
On a :
un+1 - vn+1 = = 0
donc pour tout entier n > 0,
unvn
un+1 - un = 0
La suite u est donc décroissante
vn+1 - vn = - vn - vn = 0
La suite v est donc croissante
Les suites u et v sont donc convergentes et puisque
un+1 = par passage à la limite on en déduit qu'elles
convergent vers la même limite notée M(a, b).
On remarque que :
M(a, b) = M(b, a) et
pour tout k > 0 on a
M(k*a, k*b) = k*M(a, b)
On peut donc supposer b = 1 et a > 1.
On a aussi pour tout entier n > 0 :
vnunun+12 - vn+12 = donc
un+1 - vn+1 = K(un - vn)2 avec
K = .
On a :
K < 9*10-2
u1 = 1.5,
v1 = donc
0 < u1 - v1 < 9*10-2
u2 - v2 < (9*10-2)3 < 8*10-4
u3 - v3 < (9*10-2)7 < 5*10-8
u4 - v4 < (9*10-2)24-1 < 3*10-16
u5 - v5 < (9*10-2)25-1 < 4*10-33
On ouvre un tableur pour calculer M(2,1) et on trouve que :
u5 = v5 = 1.456791031046906869186431
Avec Digits:=34 on a :
v5 = 1.4567910310469068691864323832650814 et
u5 = 1.4567910310469068691864323832650824 suivant:Relation entre M(a, b) monter:La moyenne arithmético-géométrique précédent:La moyenne arithmético-géométriqueTable des matières
Documentation de giac écrite par Renée De Graeve