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Épicycloïde

Une épicycloïde est le lieu d'un point M situé sur un cercle C, de centre A et de rayon R, qui roule sans glisser sur un cercle C0, de rayon R0, lorsque C se trouve à l'extérieur de C0.
Si le cercle C0 est de centre O, si au départ M est en I sur Ox, si P est le point de contact de C avec C0 lorsque C a tourné d'un angle u, P a tourné d'un angle t sur C0, on a :
$ \overrightarrow{IP}=R_0t=Ru$,
$ \overrightarrow{OA}=(R+R_0)(\cos(t)+i\sin(t))$, $ \overrightarrow{PA}=R(\cos(t)+i\sin(t))$,
$ \overrightarrow{AM}$=rotation( A, u,$ \overrightarrow{AP})=-R(\cos(t)+i\sin(t))(\cos(u)+i\sin(u))=$
- R(cos(u + t) + i sin(u + t)) = - R(cos((R0/R + 1)t) + i sin((R0/R + 1)t))
On a :
$ \overrightarrow{OM}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AM}=
(R+R_0)(\cos(t)+i\sin(t))-R(\cos((R_0/R+1)t)+i\sin((R_0/R+1)t))$
Si on pose R0/R + 1 = m, l'équation paramétrique d'une épicycloïde est donc :

x = R(m cos(t) - cos(mt)); y = R(m sin(t) - sin(mt))

La courbe se referme si 2k$ \pi$R0 = 2n$ \pi$R c'est à dire si le rapport R0/R est rationnel.

Cas particuliers
R = R0 on a une cardioïde,
R = R0/2 on a une néphroïde de rebroussement,
Avec Xcas
On tape :

C:=cercle(0,3);
R:=element(0.1..4);
m:=3/R+1;
plotparam(R*m*cos(t)-R*cos(m*t)+i*(R*m*sin(t)-R*sin(m*t)),
          t=-10..10,affichage=rouge);
On a choisit R0 = 3. On peut ainsi faire varier R et voir les 4 cas :
R = 1, R = 1.5, R = 3, R = 4. On peut faire une animation et voir le déplacement d'un point M d'un cercle C de centre A et de rayon R lorsque ce cercle roule à l'extérieur d'un cercle C0 de centre 0 et de rayon 3.
On tape :
C:=cercle(0,3);
R:=element(0..5);
m:=3/R+1;
plotparam(R*m*cos(t)-R*cos(m*t)+i*(R*m*sin(t)-R*sin(m*t)),
       t=-10..10,affichage=rouge);
animation(seq('cercle((3+R)*exp(i*v),R)',v,-10,10,0.5));
animation(seq('M:=point(R*m*cos(v)-R*cos(m*v)+
       i*(R*m*sin(v)-R*sin(m*v)))',v,-10,10,0.5));


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Documentation de giac écrite par Renée De Graeve