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Translation et composition de symétries centrales

On désigne par $ \mathcal {S}$O la symétrie de centre O et par $ \mathcal {T}$AB la translation de vecteur $ \overrightarrow{AB}$.
Théorème Soient deux points O1 et O2 et un vecteur V, on a :
  1. $ \mathcal {S}$O2o$ \mathcal {S}$O1= $ \mathcal {T}$2O1O2,
  2. $ \mathcal {T}$Vo$ \mathcal {S}$O1= $ \mathcal {S}$K avec $ \overrightarrow{O_1K}=V/2$,
  3. $ \mathcal {S}$O1o$ \mathcal {T}$V= $ \mathcal {S}$H avec $ \overrightarrow{O_1H}=-V/2$.
En effet,
  1. Soit A un point. Posons B = $ \mathcal {S}$O1(A) et C = $ \mathcal {S}$O2(B).
    On a : $ \overrightarrow{AO_1}=\overrightarrow{O_1B}$ et, $ \overrightarrow{O_2C}=\overrightarrow{BO_2}$ donc, $ \overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AO_1}+\overrightarrow{O_1O_2}+
\overrightarrow{O_2C}=$
    $ \overrightarrow{O_1B}+\overrightarrow{O_1O_2}+\overrightarrow{BO_2}=$
    2$ \overrightarrow{O_1O_2}$
    Comme A est quelconque on en déduit que :
    $ \mathcal {S}$O2o$ \mathcal {S}$O1= $ \mathcal {T}$2O1O2

  2. Soit A un point, V un vecteur et K tel que $ \overrightarrow{O_1K}=V/2$.
    Posons B = $ \mathcal {S}$O1(A) et C = $ \mathcal {T}$V(B).
    On a : $ \overrightarrow{AO_1}=\overrightarrow{O_1B}$,
    $ \overrightarrow{BC}=V$ et,
    $ \overrightarrow{O_1K}=V/2=\overrightarrow{BC}/2$.
    Donc
    $ \overrightarrow{AK}=\overrightarrow{AO_1}+\overrightarrow{O_1K}=$
    $ \overrightarrow{AO_1}+\overrightarrow{BC}/2$ et $ \overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=$
    2$ \overrightarrow{AO_1}+\overrightarrow{BC}=2\overrightarrow{AK}$ soit
    $ \overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AK}+\overrightarrow{KC}=2\overrightarrow{AK}$ c'est à dire
    $ \overrightarrow{KC}=\overrightarrow{AK}$
    donc C = $ \mathcal {S}$K(A) Comme A est quelconque on en déduit que :
    $ \mathcal {T}$Vo$ \mathcal {S}$O1= $ \mathcal {S}$K avec $ \overrightarrow{O_1K}=V/2$
  3. Soit A un point, V un vecteur et H tel que $ \overrightarrow{O_1H}=-V/2$.
    Posons B = $ \mathcal {T}$V(A) et C = $ \mathcal {S}$O1(B).
    On a : $ \overrightarrow{O_1H}=-V/2$, $ \overrightarrow{AB}=V$ et $ \overrightarrow{BO_1}=\overrightarrow{O_1C}$
    Donc
    $ \overrightarrow{AH}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BO_1}+\overrightarrow{O_1H}=$
    V + $ \overrightarrow{O_1C}-V/2=\overrightarrow{O_1C}+V/2$ et
    $ \overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=$
    V + $ \overrightarrow{BC}=V+2\overrightarrow{O_1C}$ soit
    $ \overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AH}+\overrightarrow{HC}=2\overrightarrow{AH}$ c'est à dire
    $ \overrightarrow{HC}=\overrightarrow{AH}$
    donc C = $ \mathcal {S}$H(A) Comme A est quelconque on en déduit que :
    $ \mathcal {S}$O1o$ \mathcal {T}$V= $ \mathcal {S}$H avec $ \overrightarrow{O_1H}=-V/2$

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Documentation de giac écrite par Renée De Graeve