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Chapitre 23  Les complexes

23.1  Module et argument

23.1.1  L’énoncé

Soit z1=√2+i6 et z2=2+2i.
On pose Z=z1/z2.
Calculer le module et l’argument de z1,z2,Z.
En déduire cos(π/12) et sin(π/12).
Calculer Z2009

23.1.2  La correction avec Xcas

On tape :
z1:=sqrt(2)+i*sqrt(6)
z2:=2+2*i
Z:=z1/z2
On tape pour avoir les modules :
simplify(abs(z1,z2,Z))
On obtient : 2*sqrt(2),2*sqrt(2),1
On tape pour avoir les arguments :
simplify(arg(z1,z2,Z)
On obtient : [pi/3,pi/4,pi/12]
On tape :
simplify(re(Z),im(Z))
On obtient : (sqrt(2)+sqrt(6))/4,(-sqrt(2)+sqrt(6))/4
Donc

cos(
π
12
)=
2
+
6
4
sin(
π
12
)=
2
+
6
4

Puisque Z a comme module 1 et comme argument π/12,, on sait que le module de P=Z2009 est 1 et que son argument vaut 2009π/12.
On tape :
iquorem(2009,24)
On obtient : [83,17] i.e. 2009=24*83+17.
Donc puisque 2009π/12=83*2π+17π/12, l’argument de P est :
17π/12 mod2π ou encore pour être dans ]−π;π], l’argument de P est :
−7π/12=−π/2−π/12.
Pour avoir la partie réelle et la partie imaginaire de P on calcule :
cos(−π/2−π/12)=−sin(π/12)= √2−√6/4 et
sin(−π/2−π/12)=−cos(π/12)=−√2+√6/4
Ou on tape :
P:=simplify(Z^2009)
On obtient : (sqrt(2)+(-i)*sqrt(6))/(2+2*i)
On tape :
simplify(re(P),im(P))
On obtient : (sqrt(2)-sqrt(6))/4,(-sqrt(2)-sqrt(6))/4
On tape :
simplify(abs(P),arg(P))
On obtient : 1,(-7*pi)/12

23.2  Une transformation

23.2.1  L’énoncé

Soit f(z)=1/2(z+1/z).
On note M le point d’affixe z et N le point d’affixe Z=f(z).
On note A le point d’affixe −1 et B le point d’affixe 1.

23.2.2  La correction avec Xcas

On coche Complexe dans la configuration du CAS et si on coche Variables_complexes on est obligé de mettre assume Y,real) si on veut que la variable Y soit réelle.
Dans ce qui suit on suppose que l’on a coché Variables_complexes (si ce n’est pas le cas on peut enlever toutes les commandes assume).
On tape :
f(z):=1/2*(z+1/z)

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