Augmenter la phase de π/2 dans les expressions trigonométriques : shift

6.25.4 Augmenter la phase de π/2 dans les expressions trigonométriques : shift_phase

shift_phase a comme argument une expression trigonométrique.
shift_phase permet d’augmenter la phase de π/2 dans les expressions trigonométriques une fois que la simplification automatique a eu lieu. On tape :

shift_phase(x+sin(x))

On obtient :

x-cos((pi+2*x)/2)

On tape :

shift_phase(x+cos(x))

On obtient :

x-+sin((pi+2*x)/2)

On tape :

shift_phase(x+tan(x))

On obtient :

x+1/(tan((pi+2*x)/2))

Si on ne veut pas que l’expression soit évaluée (i.e. qu’il n’y ait pas de simplification automatique), il faut quoter l’argument. On tape :

shift_phase(’sin(x+pi/2)’)

On obtient :

-(cos(pi+x))

Mais si on tape sans quoter le sinus :

shift_phase(sin(x+pi/2))

On obtient :

sin((pi+2*x)/2)

car sin(x+pi/2) est évaluée (i.e. simplifiée) en cos(x) avant que la commande shift_phase ne soit appelée et ensuite shift_phase(cos(x)) renvoie sin((pi+2*x)/2). Exercice
Calcul de ∑_n=1^+∞sin(n*x)/n
On tape :
normal(sum((sin(n*x))/n,n=1..+infinity))
On obtient :
-atan((sin(x))/(cos(x)-1))
On tape :
normal(shift_phase(halftan(atan(sin(x)/(-cos(x)+1)))))
On obtient :
pi*floor(((pi+x)/2)/pi+1/2)+(-1)/2*pi+(-1)/2*x
si on tape :
tsimplify(atan((sin(x))/(-cos(x)+1)))
On obtient car tsimplify n’est pas rigoureux vis a vis des 2kπ :
-1/2*pi-1/2*x