Soit SABCD une pyramide de sommet S dont la base ABCD est un
losange de centre O et tel que SO est perpendiculaire au plan
ABCD.
Le plan passant par C et perpendiculaire à SA coupe SA,
SB, SC respectivement en M, N et P.
Montrer que NP est parallèle à BD.
Pour faire la démonstration avec Xcas, on peut taper en supposant que
le plan du losange est le plan Oxy et que lepoint A est sur Ox, on tape alors
puisque les diagonales d’un losange sont perpendiculaires en leur milieu :
// demo exo3 A:=point(a,0,0); B:=point(0,b,0); C:=point(-a,0,0); D:=point(0,-b,0); S:=point(0,0,c); Q:=perpendiculaire(C,droite(S,A)); M:=head(inter(Q,droite(S,A))); N:=normal(head(inter(Q,droite(S,B)))); P:=normal(head(inter(Q,droite(S,D)))); est_parallele(droite(D,B),droite(N,P));
On obtient :
1
La démonstration géométrique :
Les triangles 0BS et 0DS rectangles en 0 sont
égaux puisque OB=0D en tant que demi diagonale d’un losange.
Donc les arêtes SB et SD sont égales ainsi
les triangles SAB et SAD ont 3 cotés égaux ; ils sont donc
égaux.
Les triangles MSN et MSP rectangles en M sont égaux
(même côté MS et leurs angles S sont égaux), donc
SN=SP.
Puisque SB=SD, on a donc :
SN/SB=SP/SD
ce qui montre d’après le théorème de Thalès que
NP est parallèle à BD.