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TITRES ET RESUMES

B. Adamczewski - Diagonales, congruences "à la Lucas" et indépendance algébrique.

Les diagonales de fractions rationnelles forment une classe de fonctions analytiques se situant au confluent de plusieurs grands thèmes : la combinatoire énumérative, la théorie des équations différentielles, l'arithmétique, la géométrie algébrique et l'informatique théorique. Lorsque leurs coefficients sont des nombres rationnels, ces séries ont la propriété remarquable d'être algébriques modulo presque tout nombre premier p. La façon dont leur degré d'algébricité varie en fonction de p est source de nombreuses questions. En particulier, des exemples de diagonales de fractions rationnelles ayant un "grand degré modulo p" peuvent être mis en évidence à l'aide de séries vérifiant certaines congruences introduites par Lucas. J'expliquerai comment ces congruences conduisent à des résultats d'indépendance algébrique pour certaines classes de G-fonctions. Il s'agit de travaux communs avec J. Bell et E. Delaygue.

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C. Banderier - Coefficients of algebraic functions: formulae and asymptotics.

We study the coefficients of algebraic functions sum_{n} f_n z^n. First, we recall the too-little-known fact that these coefficients f_n always admit a closed form. Then we study their asymptotics, known to be of the type f_n ~ C A^n n^\alpha. When the function is a power series associated to a context-free grammar, we solve a folklore conjecture: the critical exponents \alpha cannot be 1/3 or -5/2; they in fact belong to a proper subset of the dyadic numbers. We initiate the study of the set of possible values for A. We extend what Philippe Flajolet called the Drmota--Lalley--Woods theorem (which has \alpha=-3/2 when the dependency graph associated to the algebraic system defining the function is strongly connected). We fully characterize the possible singular behaviors in the non-strongly connected case. As a corollary, the generating functions of certain lattice paths and planar maps are not determined by a context-free grammar (i.e., their generating functions are not $\N$-algebraic). We give examples of Gaussian limit laws (beyond the case of the Drmota--Lalley--Woods theorem), and examples of non-Gaussian limit laws. We then extend our work to systems involving non-polynomial entire functions (non-strongly connected systems, fixed points of entire functions with positive coefficients). We give several closure properties for $\N$-algebraic functions. We end by discussing a few extensions of our results (infinite systems of equations, algorithmic aspects). (Joint work with Michael Drmota).

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F. Beukers - Contiguity and duality for hypergeometric functions.

In this lecture we explain how to determine simultaneous Padé approximations (of type I and II) of one variable hypergeometric functions by just using the principles of contiguity and duality for these functions.

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A. Bostan - Fast algorithms for the p-curvature of differential operators. [Slides]

The p-curvature of a differential operator in characteristic p is a matrix that measures to what extent the solution space of the operator has dimension close to its order. The p-curvature is a useful tool in concrete applications to combinatorics and statistical physics, where it serves for instance as an a posteriori certification filter for differential operators obtained by guessing techniques from power series expansions. We discuss theoretical and algorithmic questions related to the p-curvature. We show that for equations of arbitrary order, the p-curvature can be computed in subquadratic time Õ(p^1.79), and that this can be improved to O(log(p)) for first order equations and to Õ(p) for large classes of second order equations. We also address the problem of the efficient computation of the characteristic polynomial of the p-curvature. We describe a recent algorithm for computing the characteristic polynomial in time Õ(p^0.5). The new algorithm allows to test the nilpotency of the p-curvature for primes p of order 10^6, for which the p-curvature itself is impossible to compute using current algorithms. Joint work with Xavier Caruso and Éric Schost.

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G. Christol - Fonctions hypergéométriques et diagonale de fractions rationnelles. [Slides]

La question de savoir si la fonction 3F2(1/9,4/9,5/9;1/3,1;x) est, oui ou non, une diagonale de fraction rationnelle reste ouverte. Le but de l'exposé est de faire le point sur les arguments pour et contre cette affirmation.

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E. Delaygue - Propriétés arithmétiques de nombres "à la Apéry".

La suite de nombres entiers utilisée par Apéry dans sa preuve de l'irrationalité de la fonction zêta de Riemann évaluée en 3 vérifie de nombreuses congruences classiques. En particulier, Gessel a montré qu'elle vérifie des congruences "à la Lucas" modulo tout nombre premier, ce qui caractérise simplement les diviseurs premiers du n-ième terme de cette suite. En généralisant les congruences "à la Lucas" et en utilisant la relation de récurrence satisfaite par les nombres d'Apéry, je montrerai comment obtenir la divisibilité de ces nombres par des puissances de nombres premiers en démontrant une conjecture de Beukers. J'étendrai cette étude à d'autres nombres classiques tels que les nombres de Domb, de Franel et les termes constants des puissances de certains polynômes de Laurent.

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J. Dousse - Identités de partitions du type Rogers-Ramanujan et équations aux q-différences.

Les identités de Rogers-Ramanujan, découvertes en 1894 par Rogers et redécouvertes en 1917 par Ramanujan, établissent que pour tout n, le nombre de partitions de n telles que la différence entre deux parts consécutives est au moins 2 est égal au nombre de partitions de n en parts congrues à 1 ou 4 modulo 5. Plus généralement, les identités du type Rogers-Ramanujan établissent des égalités entre certains types de partitions avec des conditions de différence et des partitions dont la série génératrice est un produit infini. Nous montrerons comment des équations aux q-différence sur les séries génératrices de certains types de partitions permettent de prouver des identités du type de Rogers-Ramanujan comme le théorème de Schur et sa généralisation aux surpartitions, le théorème d'Andrews et sa généralisation aux surpartitions ou le théorème de Siladic.

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C. Hardouin - Algebraic difference equations from a galoisian point of view.

This talk comes from a joint work with L. Di Vizio (CNRS-Versailles) and M. Wibmer (RWTH-Aachen). We present here a Galois theory, whose aim is to study the discrete algebraic relations satisfied by the solutions of differential equations. In our framework, the Galois groups are defined by non linear discrete equations and they control the algebraic relations satsified by the solutions and their successive transform under the action of of a discrete operator. We will try to go quickly through the theoretical aspects, which should allow us to focus on applications to various situations such as : contiguity relations, Frobenius structure, semi-discrete equations as well as discrete isomonodromy.

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P. Lairez - Un nouvel algorithme pour calculer les périodes des intégrales rationnelles. [Slides]

Parmi les périodes d'intégrale rationnelle -- comprendre intégrale multiple de fraction rationnelle sur un domaine sans bord -- on trouve les diagonales de fraction rationnelles, les séries génératrices de sommes de binomiaux, ou encore certains invariants associés à des variétés de Calabi-Yau. Ces périodes satisfont chacune une équation différentielle que l'on cherche à calculer, ce qui revient à étudier la cohomologie de Rham d'une certaine variété. Avec Alin Bostan et Bruno Salvy nous avons donné un algorithme montrant que le calcul des périodes d'une intégrale rationnelle peut se faire en complexité polynomiale par rapport à la taille de la sortie, dans le cas générique. Mais l'implémentation ne donne pas de résultat satisfaisant dans certains cas non génériques, lesquels sont en fait très fréquents. Je présenterai ici un nouvel algorithme qui améliore grandement le comportement du premier dans les cas singuliers. Il a permis de calculer pour la première fois une centaine de périodes issues d'une famille de variétés de Calabi-Yau exhibée par Batyrev et Kreuzer.

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B. Malgrange - Théorie de Galois différentielle et groupes quantiques d'après Heiderich et Umemura.

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B. Salvy - Sommation multiple de binomiaux par équations de Picard-Fuchs. [Slides]

De nombreuses suites combinatoires peuvent être représentées comme diagonales de fractions rationnelles, et on peut alors trouver des récurrences pour ces suites en calculant une équation différentielle pour une certaine intégrale multiple de fraction rationnelle. Nous étudions cette approche tant du point de vue de la complexité que du point de vue pratique, et la comparons aux méthodes dérivées de l'algorithme de Zeilberger.

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