Transitions Landau-Zener dans l’approximation de Born-Oppenheimer dépendante du temps

George A. Hagedorn ^{1} et Alain Joye^{2}

On considère l’équation de Schrödinger dépendante du temps pour une molécule dans l’approximation de Born-Oppenheimer

iε^{2} \frac{∂}{∂t}ψ(x, t) = −\frac{ε^{4}}{2} Δψ(x, t) + h(x, ε)ψ(x, t) (1)

en limite ε → 0. Ici x ∈ IR^{n} repère la position des particules lourdes (ions) de masse M = ε^{−4}, h(x, ε) est l’hamiltonien auto-adjoint des particules légères (électrons) dépendant de facon régulière en x dans un Hilbert H et ψ(x, t) ∈ L^{2}(IR^{n}, H) pour tout t. On suppose que h(x, ε) peut s’écrire sous la forme

h(x, ε) = h_{∥}(x, ε) + h_{⊥}(x, ε) (2)

où h_{∥}(x, ε) désigne la restriction de h(x, ε) à un sous espace bi-dimensionnel spectralement isolé de son complémentaire et h_{⊥}(x, ε) la restriction de h(x, ε) à ce complémentaire. De plus, on suppose que h_{∥}(x, ε) s’écrit dans une base régulière

h_{∥}(x, ε) = r ( \begin{matrix}x^{(1)} + O(2) & ε + O(2) \\ ε + O(2) & −x^{(1)} + O(2) \end{matrix} ) + Ṽ (x, ε)I I (3)

où Ṽ (x, ε) est une fonction régulière et O(2) est un reste d’ordre 2 en ε et x. On désigne par E^{A}(x, ε) et E^{B}(x, ε) ses valeurs propres qui présentent un presque croisement d’ordre ε près de x^{(1)} = 0. Si E^{B}(x, ε) est isolé de E^{A}(x, ε), on peut construire une approximation ψ_{BO}^{E^{B}}(x, t, ε) de la solution ψ(x, t, ε) de (1) sous la forme:

ψ_{BO}^{E^{B}}(x, t, ε) = φ(a^{B}(t), η^{B}(t), ε, x)Φ^{B}(x, t, ε) (4)

où:

a^{B}(t) est solution de l’équation de Newton pour les ions dans le potentiel électronique ä^{B}(t) = −∇E^{B}(a^{B}(t), ε), η^{B}(t) = ȧ^{B}(t) avec a^{B}(0) = 0 et η^{B}(0) = η_{0},

1Department of Mathematics and Center for Transport Theory and Mathematical Physics, Virginia Polytechnic Institute and State University, Blacksburg, Virginia 24061-0123, U.S.A.

2Centre de Physique Théorique, CNRS Luminy, Case 907, 13288 Marseille Cedex 9 et PHYMAT, Département de Mathématiques, Université de Toulon et du Var, 83957 La Garde Cedex

φ(a, η, ε, x) est essentiellement une gaussienne centrée en (a, η) dans l’espace de phases de largeur O(ε),

Φ^{B}(x, t, ε) est un état propre normalisé de h_{∥}(x, ε) correspondant à E^{B}(x, ε). On montre que si ψ(x, t = −T, ε) = ψ_{BO}^{E^{B}}(x, t = −T, ε), avec η_{0}^{(1)} > 0,

alors, si ε → 0,

ψ(x, t = T, ε) =  (5)

e^{iχ(ε)}\sqrt{1 − e^{−rπ/η_{0}^{(1)}}}ψ_{BO}^{E^{B}}(x, T, ε) − e^{−rπ/2η_{0}^{(1)}}ψ_{BO}^{E^{A}}(x, T, ε) + o(1)

où χ(ε) ∈ IR, ψ_{BO}^{E^{A}} est construite de facon analogue à l’aide de la solution classique a^{A} associée à E^{A} telle que a^{A}(0) = 0 et η^{A}(0) = η_{0} − (2εr/η_{0}^{(1)}, 0, ⋯, 0)^{T}.

Remarques :

La probabilité de transition e^{−rπ/η_{0}^{(1)}} coïncide avec le résultat obtenu par une application formelle de la formule de Landau-Zener.

La modification d’impulsion initiale reflète la conservation de l’énergie.