Liste de projets, expérimentation numérique.

1 Systèmes dynamiques avec peu de degrés de liberté

1.1 L’équation du télégraphe en dimension 1.

1.2 Modèles de dynamiques prédateurs, proix et généralisation.

1.3 Application logistique, fractale de Julia et de Mandelbrot.

Voir Cours.
Zoomdans la fractale de Mandelbrot.

1.4 Le problème à trois corps restreint.

1.5 Dynamique sur une surface hyperbolique

Enoncé et solutions.

1.6 Billard polygonal

Est équivalent à

N

masses libres sur un cercle qui se collisionnent.

Question ouvert: existence d’une orbite périodique.

1.7 Application de Gauss et fractions continues en théorie des nombres.

Fractions continues,

1.8 Moulin de Lorenz et flot de Lorenz

Référence: cours. Sur wikipedia. Attracteur de Henon.

Articlede Lorenz de 1963, "Deterministic nonperiodic flow". (il a utilisé l’article de Saltzman 1962).
Articlede E. Ghys de 2010, "L’attracteur de Lorenz, paradigme du chaos".

1.9 Billard de sinai avec obstacles ronds ou obstacles rectangles

Observer la diffusion abnormal, cf results de pascal Hubert

1.10 Le double pendule

video

1.11 « Dripping faucet » , « le robinet qui goutte »

Faire expérience, et étudier le modèle. Référence: the Dripping faucet as a model chaotic system, shaw.

Modèle simple: un oscillateur vertical

z (t)

, raideur 1, masse qui augmente

m (t) = m_{0} + m' . t

et si

z (t) < z_{0}

on impose

m (t) = m_{0}

z' (t) = 0

(ou autre d’après conservation impulsion et énergie).

Réaliser une expérience avec rendu sonore (la goutte tombe sur une plaque de métal).

Articles

Voir cette serie d'articles

1.12 Anosov linkage

Référence by M. Kourganoff.

Video.

1.13 (*4)Billard dispersif de Sinaï (1970)

1.14 Théorie Astronomique du climat

A partir de données issues de carottes de glace de l’antartique, on reconstruit la teneur en CO2 de l’atmosphère sur les 400000 ans précédents, ainsi que la température moyenne de la Terre. A l’aide d’un programme, en fait une décomposition en fréquences de ces données, afin d’identifier des cycles dominants, leur amplitude et période. Par ailleurs des calculs astronomiques nous donnent les paramètres de l’orbite terrestre sur cette même durée. On déduira l’ensoleillement moyen de la Terre, et on essayera de reconnaitre les même cycles.

Informations:

article vulgarisé

Thèse de B. Levrard

Dossier assez complet

1.15 (4) Relativité générale:

Objectif:

étude du mouvement d’une planète ou d’un rayon lumineux autour d’une étoile ou d’un trou noir. Dans le cadre de la relativité générale, l’étoile déforme l’espace temps autour d’elle. Une planète ou un rayon, lumineux ne subit pas directement une force (gravitation) de la part de l’étoile, mais avance ”le plus droit possible” dans cet espace courbe. On dit que sa trajectoire est une géodésique. Dans un premier temps: étude des géodésiques sur une surface (2D) courbe; Puis étude de la trajectoire d’une planète. Observation du mouvement elliptique (Newton), mouvement du périhélie, inflexion des rayons lumineux, décalage gravitationel de la lumière vers le rouge, effet du trou noir. Pour les indications physiques, voirle cours de mécanique analytique et surtout l'exercice 2 et sa solution du TD6 de mécanique analytique (L3). Voici des notes manuscriptes qui indiquent comment programmer et tester ce projet.

Références de livres: Wald, Nakahara.

1.16 (3) Simulateur de Vol d’un planeur

Intégration numérique du vol d’un planeur en temps réel dans le plan vertical; On agit sur la position du manche à balet en temps reel. Enonce et solutions. Visualisation du paysage en trois dimensions et solutions.

1.17 Simulateur de Vol d’une montgolfiere

Idem pour une montgolfière. Le pilote agit sur les gaz. Un vent d’est derive l’engin vers des montagnes.

1.18 (2) Pendule chaotique

Enoncé

1.19 Dynamique du pendule pulsé

L’objet suivant (les 3 disques bleus) tourne librement autour de son axe. Mais un aimant extérieur (rouge) lui impose une force périodique. Il en résulte un comportement chaotique.

On fera des images stroboscopiques des trajectoires, afin d’observer la transition de l’ordre vers le chaos. Observation du phénomènes des résonnances, et accrochage de fréquences.

1.20 Boule du jeu Billard

étude assez complete du mouvement de la boule dans jeu de billard, soumise au chocs, aux frottements,...

1.21 Etude dynamique d’un billard parfait

On étudie les trajectoires d’une particules dans un billard au bord quelconque, sans frottement et se réfléchissant parfaitement sur les bords. Observation du chaos pour certaines formes du billard.

1.22 Modèle des anneaux de Saturne

Modèle dynamique de poussières tournant autour de Saturne, faisant apparaitre les gaps par effets de résonances.

1.23 Optique géométrique

Comportement d’un rayon lumineux à travers un système optique. Comportement à travers une interface, sur un miroir, aberration d’une lentille. Effets non linéaires et chaos.

1.24 Oscillation de deux masses couplées

Phénomène de battement. Section de Poincaré et chaos.

1.25 Bouteille magnétique

Calcul trajectoire particule dans champ magnétique donné - champ uniforme, puis dipôle (incliné ou non)
Effet "bouteille magnetique" (?), vitesse de dérive - éventuellement, calcul du champ electromagnétique rayonné par les particules.

1.26 Astronomie

Documents

Voyage d’une sonde spatiale à travers le système solaire. Observer le phénomène de ”billard planétaire”
Mouvement du soleil et des planètes dans le ciel, éphémérides.
(*) Mouvement relatif de la Terre et du Soleil puis Construction d’un cadran solaire. Equation du temps. Documents
Couplages entre les effets de marée et rotation d’une planète.
Prévision des éclipses de Lune et de Soleil.

2 Systèmes dynamiques avec un grand nombre de degrés de liberté

2.1 Dynamique de N corps

Approche libre, où le but est de voir les divers problèmes et amener les étudiants a proposer quelques solutions (application à un ensemble d’étoiles)
Approche contrainte, 2 puis 3eme corps perturbatif, place a proximite des points de Lagrange, résonances.

2.2 Jeu de la vie, automates cellulaires

Sur un réseau carré à deux dimension, des cases peuvent être dans différents états (noir/blanc). L’instant d’après leur état change en fonction de l’état des cases voisines, de façon précise (règles que l’on choisit). On se fixe une population initiale de cases noires, et l’on étudie son évolution. Des phénomènes complexes et étranges peuvent être observés: croissance, déplacement de la population, décomposation, création de colonies,...

2.3 Circulation automobile et embouteillages

modèlisation du traffic urbain sur une route droite.

2.4 (*3)Dynamique spatio-temporelle

2.5 Modèle de Kuramoto-Sivashinsky de chaos -spatio_temporel.

C’est semble t-il le modèle le plus simple, similaire à Navier-Stokes en régime turbulent.

Equation de mouvement de Kuramoto-Sivashinski (p.4). On considère une fonction $u (x, t) \in C$ avec $x \in S^{1} = R / L Z$ , $t \in R$ , et déterminée par $\begin{matrix} \frac{\partial u}{\partial t} = - u \frac{\partial u}{\partial x} - \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}} - \frac{\partial^{4} u}{\partial x^{4}} & (1) \end{matrix}$ avec une condition initiale donnée $u (x, t)$ et une longueur $L > 0$ donnée.

Ecriture du modèle en Fourier: on décompose $u (x, t) = \sum_{k \in Z} u_{k} (t) e^{i 2 π k x / L}$ avec des composantes de Fourier $u_{k} (t) \in C$ . Alors (1) s’écrit: $\begin{aligned} \sum_{k \in Z} \frac{\partial u_{k}}{\partial t} e^{i 2 π k x / L} & = - \sum_{k_{1}, k_{2} \in Z} (\frac{i 2 π k_{1}}{L}) u_{k_{1}} u_{k_{2}} e^{i 2 π (k_{1} + k_{2}) x / L} \\ - \sum_{k} {(\frac{i 2 π k}{L})}^{2} u_{k} e^{i 2 π k x / L} - \sum_{k} {(\frac{i 2 π k}{L})}^{4} u_{k} e^{i 2 π k x / L} \end{aligned}$ or le terme en double somme peut s’écrire $\sum_{k_{1}, k \in Z} (\frac{i 2 π k_{1}}{L}) u_{k_{1}} u_{k - k_{1}} e^{i 2 π k x / L}$ et l’unicité de la décomposition de Fourier donne: $\begin{aligned} \forall k \in Z, \frac{\partial u_{k}}{\partial t} & = - \sum_{k_{1}} (\frac{i 2 π k_{1}}{L}) u_{k_{1}} u_{k - k_{1}} - {(\frac{i 2 π k}{L})}^{2} u_{k} - {(\frac{i 2 π k}{L})}^{4} u_{k} \\ \leftrightarrow \forall k \in Z, & \frac{\partial u_{k}}{\partial t} = - i \sum_{k_{1} \in Z} (\frac{2 π k_{1}}{L}) u_{k_{1}} u_{k - k_{1}} + {(\frac{2 π k}{L})}^{2} u_{k} - {(\frac{2 π k}{L})}^{4} u_{k} \\ \leftrightarrow \forall k \in Z, & \frac{\partial u_{k}}{\partial t} = - i (\sum_{k_{1} \in Z} q_{k_{1}} u_{k_{1}} u_{k - k_{1}}) + (q_{k}^{2} - q_{k}^{4}) u_{k} \end{aligned}$ En posant $q_{k} = (\frac{2 π k}{L})$ . On pose $v_{k} = i u_{k}$ Ainsi $\leftrightarrow \frac{\partial v_{k}}{\partial t} = - (\sum_{k_{1} \in Z} q_{k_{1}} v_{k_{1}} v_{k - k_{1}}) + (q_{k}^{2} - q_{k}^{4}) v_{k}$ qui est une équation réelle.
Approximation: Modèle tronqué en Fourier. On choisit $N \in N$ et on considère seulement les composantes $v_{k} \in C$ avec $k \in [- N, \dots N]$ . Avec cette approximation on a le système dynamique $\leftrightarrow \forall k \in [- N, N], \frac{\partial v_{k}}{\partial t} = - (\sum_{k_{1} = - N}^{N} q_{k_{1}} v_{k_{1}} v_{k - k_{1}}) + (q_{k}^{2} - q_{k}^{4}) v_{k}$ Ce sont $2 N + 1$ équations couplées.
Programme en python.

2.6 Accrochage de fréquences

cf page 8 et 9 de: Calegari1 metronomes

2.7 Circulation automobile et embouteillages

modèlisation du traffic urbain sur une route droite.

2.8 Ondes solitaires à la surface de l’eau

Modele de KdV . Resolution par Runge-Kutta. cf Cours.

2.9 Avalanche de neige ou de tas de sable

modèle de Monte-Carlo; avec coef de viscosité, et température. Voir ce site.

2.10 Modèles de morphogénèse

Articlede Turing de 1952. "The Chemical basis of morphogenesis".
Videosdu modèle de Gray-Scott sur la page de Karl Sims. Belles images. Videos étonantes: video,
Logiciel Ready pour la simulation.
Cet article 2005 de Rui Dilao

2.11 Des réseaux pour modéliser la diffusion des idées

Comment enrayer une épidémie de désinformation? (article dans pour la science, voir modèle de graphes page 64)(article dans pour la science, voir modèle de graphes page 64)

2.12 Routage de voilier

Faire un programme comme sur zezo.org qui permet de trouver la route optimale d’un voilier à partir de ses caractéristiques (courbes polaires), à partir des prévisions de vent et courants (fichier ). Pour cela essayer deux algorithmes:

Optimiser une courbe donnée.
construire une fonction sur l’espace à valeur temps d’arrivée.

Utiliser pour guider votre voilier virtuel dans une transaltlantique.

3 EDP et problèmes d’ondes

3.1 (5) Chaos Quantique

(Avec le modèle du Harper Pulsé, décrit ici).
La mécanique quantique stipule que les propriétés spatiales d’un objet sont décrites par une onde, appelées onde quantique. L’équation de Schrödinger gouverne l’évolution des cette onde au cours du temps.

Il y a des cas où cette onde peut être concentrée spatialement, et former un paquet d’onde. On observe alors que ce paquet d’onde se déplace au cours du temps et reste localisé pendant un certain temps. Ce paquet d’onde peut avoir une taille microscopique, et à grande échelle, il apparait comme un point, une particule. Il est donc de considérer ce paquet d’onde comme une particule dite “classique”, qui correspond au centre du paquet d’onde. Le mouvement de cette particule classique est décrite par une équation de mouvement classique de type Newton (m a=F) ou Hamilton (voir ci-dessous). C’est ainsi que l’on a une correspondance entre la mécanique quantique et la mécanique classique.

Le but de ce projet est de simuler dans un modèle simple le mouvement de ces paquets d’ondes quantiques, et simultanément d’observer le mouvement de la particule classique, afin de comprendre cette correspondance.

Il apparait que certaines équations de mouvement classiques sont simples en apparence, et déterministe, mais engendre un mouvement très complexe de la particule, imprévisible, dit chaotique. On se pose alors la question de savoir ce que devient le paquet d’onde dans ce cas? C’est le problème du chaos quantique. D’un point de vue plus mathématique, cette situation est paradoxale à priori car l’équation de Schrodinger est linéaire et ne peut donc engendrer du chaos en principe. Le modèle qui suit permettra d’observer cette situation.

La première étape sera d’observer le comportement classique de la particule, et ensuite le comportement quantique.

Enoncé:

partie 1
partie 2, manuscrite.

3.2 (*2 puis 3) Formation de nuages sur une montagne par condensation de l’humidité

Ecoulement d’une atmosphère humide sur un massif montagneux, et formation de nuages par condensation de l’humidité. Enoncé

3.3 Son: réalisation d’un accordeur pour intrument musical

On détecte une note. On mesure sa fréquence et on indique s’il est écartée de l’échelle du tempérament égal où le La (A) est à

f_{A} = 440 H z

. Enoncé.

3.4 Son: détection d’une note musicale

détection d’une note musicale Enoncé.
détection du rythme
écriture automatique de la partition avec le logiciel lilypond.

3.5 Son: détection d’une polyphonie

C’est à dire détecter la présence de plusieurs notes simultanées et identifier leur timbre.

3.6 Evolution d’une onde dans une cavité bidimensionelle (Billard).

Pour cela on calcule d’abord les modes propres de la cavité grace à la méthode de superposition d’ondes planes, et de la "décomposition QR "d’une matrice. Ref: "Betcke-Trefethen Reviving the method of particular solutions 2005". Ensuite, par surperposition d’ondes stationnaires on construit un paquet d’onde que l’on fait évoluer dans la cavité. On pourra comparer l’évolution du paquet d’onde à la dynamique d’un rayon dans la même cavité.

3.7 (4) Etats stationnaires et effet tunnel en mécanique quantique

Etude d’un potentiel confinant (polynomial). Résolution de l’équation stationnaire dans la base de l’oscillateur

Harmonique.

Calcul et dessin des etats stationnaires. Evolution d’un paquet d’onde atomique dans une molécule; comparaison

avec la trajectoire classique; étalement du paquet, effet tunnel...

Enoncé.

Supplément

3.8 Solitons dans une chaine d’atomes

Que se passe t-il dans un système où les atomes (sur une ligne)

interagissent avec leur voisins avec des forces non harmoniques?

Force harmonique=-k.r

Force non harmonique=a*(exp(-b.r)-1)

où r est le déplacement de la position d’équilibre de la

distance entre l’atome et son voisin. On représentera la propagation

d’une déformation. Dans le cas non harmonique apparaissent des ondes

d’un caractère spécial qui se déplacent sans dispersion: des

solitons. Mots clefs: solitons, solitons de Toda, (theory of

non-linear lattices springer Verlag, 1989).

3.9 Ondes solitaires à la surface de l’eau

Modele de KdV . Resolution par Runge-Kutta.

3.10 Transformée par ondelettes d’un signal sonore

Representation du signal dans le plan temps-frequence, avec les ondelettes de Morlet.

Applications à la musique: reconnaissance des notes, du timbre

d’instruments, d’accords...

3.11 Microscope en ondelettes d’une image (méthode de Daubuchie)

on veut représenter une

image en s’affranchissant plus ou moins des détails de celle-ci. On peut

arriver à quantifier le plus ou moins grâce à une double

transformée rapide en ondelettes. Applications à la compression

d’images.

3.12 (*3) Vibration d’une membrane de tambour de forme quelconque

Calcul des fréquences et modes propres; Son du tambour: réponse à une excitation. Enoncé. Solutions des calculs. Programme en python pour l'etape 1 (rectangle).

Résultats attendus.

Référence: handbook of acoustic.

3.13 Evolution d’un paquet d’onde en milieu dispersif

On résoud l’équation dépendant du temps par différences

finies.

On observe le déplacement du paquet d’onde son étalement

(dispersion),

et les phénomènes de réflexion et transmission sur une barrière de potentiel.

3.14 Localisation des ondes dans un milieu désordonné

On prend par l’exemple d’ondes quantiques d’électrons dans un milieu désordonné (métal contenant des impuretés) se traduisant par un potentiel V(x) aléatoire. On étudie la forme des ondes stationnaires, et la propagation des paquets d’ondes. On observe le résultatremarquable (et curieux) qu’à une dimension ces ondes sont toujours localisées dans une région de l’espace : ”localisation de Anderson”.

3.15 Equation de la chaleur

jouer avec conditions initiales et aux limites, permettant d’introduire d’autres termes dans l’équation (écoulement)

3.16 Détection et reconnaissance d’une vibration

Supposons un micro posé sur la table. On tape légèrement avec le doigt à un endroit A de la table. Cela crée une vibration sonore dans la table qui est détectée par le micro. L’ordinateur enregistre ce signal noté

s_{A}

. Si on tape à un autre endroit B, l’ordinateur enregistre un autre signal

s_{B}

. Dans la suite si on tape en A ou B l’ordinateur enregistre un signal

s

et en faisant un produit scalaire

⟨ s_{A}, s ⟩

⟨ s_{B}, s ⟩

l’ordinateur pourra savoir quel pooint on a touché.

A partir de cette idée, on peut faire imaginer des lettres A,B,C.. sur la table à des endroits précis, dans un premier temps l’ordinateur enregistre le signal obtenu si on tape sur chacun de ces endroits (dans l’ordre) et dans un deuxième temps, on tape un texte avec ces lettres imaginaire et le programme reconnait les signal donc les lettres et écrit le texte sur l’écran.

Etapes du projet

Partir de l’exemple donné sur l’utilisation du micro. Observer qu’il affiche un signal bruité en permanence et que si on tape sur la table, ce signal devient plus intense. Modifier le programme pour qu’il extrait un signal sur une durée $T$ si le signal observé dépasse un certain seuil.

6 Jeux avec algorithme

6.1 Variante de Ines du Ti-Tac-Toe

Le terrain de jeu se présente ainsi: il y a 9 “macro-cases” indicées par des lettres

A, B, C

, et chaque macro-case contient 9 micro-cases indicées par des chiffres

1, 2, 3

. Chaque case est donc caractérisée par son abscisse et ordonnée par exemple

(A 2, B 1)

(là où il y a la croix rouge sur la premiere figure).

Le premier joueur rouge pose une croix dans la case de son choix. Ici en $(A 2; B 1)$ . Le code $(2, 1)$ de la micro case signifie que le deuxième joueur bleu doit jouer dans la macro-case correspondante qui est $(B, A)$ . Il est libre de choisir la micro-case. Le joueur bleu joue en $(B 3, A 3)$ un rond bleu. Cela oblige le joueur rouge à jouer dans la macro-case $(C, C)$ . Etc.

image: e_b6a2e442934f_jeu_tic_tac_toe_de_ines.png

Une macro-case est gagnée lorsque il y a troix croix (ou cercles) alignés. Par exemple dans cet exemple 2 la macro-case $(B, A)$ est gagnée par les bleus et $(C, B)$ est gagnée par les rouges. Si une macro-case est gagnée par exemple $(B, A)$ , plus personne n’a le droit d’y jouer. On peut la colorier avec la couleur du gagnant.

Le but du jeu est d’obtenir trois macro-cases alignées. Par exemple ici les bleus ont gagné:

6.2 (*3) La puissance 4

Le jeu (bien connu) occupe deux joueurs (jaune et rouge). Il y a un tableau vertical de 10 cases par 10 cases. Chacun pose à son tour un pion (jaune ou rouge) dans une colonne. Le pion va s’empiler dans la colonne sur les pions déjà présents. Le gagnant est le premier qui a formé une ligne de 4 pions consécutifs de sa couleur. Cette ligne peut être horizontale, verticale ou diagonale.
Dans un premier temps, le programme devra permettre à deux joueurs de jouer à l’écran (le programme arbitre). Dans un deuxième temps, on developpera une stratégie qui permette à l’ordinateur de jouer le mieux possible. (remarque: le plus simple est que l’ordinateur joue dans une colonne au hasard. Mais on peut faire mieux...)
On peut ensuite faire un concours entre différents programmes...

Voici une aide pour la stratégie où l’ordinateur joue.

6.3 (3) Le jeu oblique

Voici le terrain de jeu: c’est un réseau de 11 lignes et 11 colonnes penché vers la droite de 30 degrés. On rajoute ensuite des lignes en diagonales (pente à -60 degrés) de façon à ce que chaque intersection ait 6 voisins. Il y a deux joueurs (blanc-noir). Chaque joueur pose à tour de rôle un pion (blanc ou noir selon sa couleur) sur une intersection de son choix. Le but du joueur blanc est de connecter le côté supérieur et le côté inférieur par une ligne de pions blancs voisins deux à deux. Le but du joueur noir est de relier les côtés gauche et droit. Clairement, il ne peut y avoir qu’un seul gagnant. La règle est très simple, mais il y a des astuces pour bien jouer...
Le programme devra tout d’abord arbitrer, et détecter le premier gagnant. Dans un deuxième temps, on écrira un code qui permette au programme de jouer.

6.4 (4) Le jeu de Go

Pour découvrir le jeu, voir jeudego.org.
Indications de programmation: go_enonce.html

6.5 (*3) L’écureuil dans sa cage

C’est un jeu en bois: des pièces peuvent se déplacer dans un cadre. Parmi elles, un ecureuil. Il y a une sortie en bas du cadre. On doit déplacer les pièces (par translations), pour faire sortir l’écureuil de sa cage. Voici une photographie des pièces au départ du jeu:

Voici une solution (page1, page2) en 95 coups (ainsi que l’adresse de l’artisan qui construit ce bel objet).

Le but du projet est dans une première étape de faire un programme qui représente le jeu, et permette de jouer (de déplacer les pièces). Dans une deuxième étape, que l’ordinateur trouve lui même la solution. (Aide: il faut créer un graphe: les sommets sont les configurations, et les arêtes sont les déplacements possibles entre deux configurations). Vérifier si la solution proposée est optimale. Un tel programme permettra ensuite de créer d’autres jeux similaires.

Voici la solution ainsi trouvée par l’ordinateur, en 116 mouvements élémentaires.

Voici un énoncé précis pour faire ce projet.

7 Idées en vrac

Stabilité de l’axe de rotation terrestre (modèle de Lascar)
Percolation, et groupe de renormalisation
Dessin de fractales
Ondes lumineuses dans un guide à indice variable
Musique: son émit par une corde pincée.
Evolution thermodynamique d’une étoile.
Rayonnement synchrotron par résolution des équations de Maxwell.
Fluide visqueux, équation de Navier Stokes, turbulence.
Ecoulement visqueux d’un glacier.
Remontée des grosses pierres dans un tas de sable
Evolution de 3 corps en attraction gravitationnelle, puis N corps (amas d’étoiles, évolution vers l’effondrement gravitationnel).
flux de molécules à travers l’ouverture d’un récipient.
Effet de Serre: (effet d’Albedo,..)
Perturbation de la position d’un satellite (developpt multipolaire du chaps de la Lune et Soleil)
Coef de pénétration d’un profil (aile) dans un fluide parfait: résoudre Df = 0 , et calculer la force appliquée.
Phénomène des marées dans un estuaire.
Avalanche de neige ou de tas de sable: modèle de Monte-Carlo; avec coef de viscosité, et température. Voir ce site.
Algoritmes de recuit
- Empilement de sphères
- Le problème du voyageur de commerce avec des contraintes
Algoritmes de croissance
- Croissance à partir d’un germe et mesure de porosité
- Croissance par déposition d’atomes et croissance de défauts
  
  pyramidaux
- Croissance d’amats ioniques par minimisation de l’énergie électrostatique
Crytographie
- On utilise un mot appelé “clef” ex. (EXCEPTIONNEL) pour coder un message ex: “MESSAGE SECRET”. Pour cela on convertit la clef en nombres ex: (5,24,3,...) $= (c_{1}, c_{2} \dots c_{N})$ et aussi le message: $(m_{1}, m_{2}, \dots m_{M})$ et on obtient un nouveau message codé en remplaçant $m_{j}$ par $m'_{j} = m_{j} + c_{j}$ modulo 27. Pour décoder il suffit de faire $m_{j} = m_{j}' - c_{j}$ . Ensuite on peut chercher à craquer un message coder de cette façon: il faut trouver la clef et pour cela on utilise les statistiques usuelles des lettres en langue française.
- Codage plus compliqué qui consiste à “partager une clef”: on considère un nombre premier p (grand) et g un générateur du groupe multiplicatif ( Z / p Z ) * .
  - Deux personnes Alice et Bob connaissent secrètement ces nombres $p$ et $g$ . Alice choisit secrètement un entier $a$ et Bob choisit secrètement un entier $b$ .
  - Alice calcule $c_{a} : = g^{a} mod p$ et l’envoie publiquement à Bob. De même Bob calcule $c_{b} : = g^{b} mod p$ et l’envoie publiquement à Alice.
  - Alice calcule $c_{b}^{a} = g^{a b}$ et Bob calcule $c_{a}^{b} = g^{a b}$ . Ainsi Alice et Bob connaissent tous les deux le même entier $g^{a b}$ appelé “clef” qui peut leur servir ensuite à coder un message.