- Amphi 9: Produits scalaires et géométrie (Chapitres 4.1, 4.2, 4.3)
- Vérifier si une FBS donnée est un produit scalaire
(réduction de Gauss et calcul de signature)
- Norme et distance déduite d'un produit scalaire
- Angle entre deux vecteurs non nuls
- Théorème de Pythagore
- Exprimer les coordonnées d'un vecteur dans une base
orthonormée donnée (formule en termes de produits
scalaires)
- Amphi 10: Projection orthogonale sur un sous-espace vectoriel W (Chapitres 4.4 et 4.5)
- Etant donné un vecteur v de V, il y a un unique w dans W
tel que v-w est orthogonal à W (on suppose W de
dimension finie)
- Le vecteur ci-dessous réalise le minimum de la distance
entre v et tous les élements de W
- On obtient ainsi une application linéaire V->W, appelée
projection orthogonale
- Procédé d'orthogonalisation de Gram-Schmidt (étant donnée
une base quelconque d'un sous-espace W de V, on construit
une base orthonormée du même sous-espace W).
- Application: Droite des moindres carrés.
- Amphi 11: (Chapitre 4.5)
- Suite droite des moindres carrés.
- Projection orthogonale dans les espaces de fonctions
(sections 4.5.4 et 4.5.5)
- Amphi 12 (24/3): Diagonalisation orthogonale des matrices symétriques (Chapitre 4.6 et 4.7)
Fichiers Xcas d'un exemple par
Gauss,
Gram-Schmidt,
Diagonalisation simultanée.
Liens correspondants pour xcas firefox (pas besoin d'installer l'applications):
Gauss
Gram-Schmidt
Valeurs propres
- On a déjà vu une méthode pour diagonaliser les formes
bilinéaires (réduction de Gauss de la forme
quadratique associée)
- Pour les produits scalaires, on a une autre méthode,
donnée par l'algorithme de Gram-Schmidt
- Ce chapitre donne une troisième méthode, qui utilise les
valeurs/vecteurs propres.
- Idée clé: les formules de changement de base pour les
formes bilinéaires ou pour les applications linéaires sont
différentes, l'une fait intervenir la transposée de P,
l'autre l'inverse de P. Il existe des matrices P pour
lesquelles P^-1=transposée(P), ce sont les matrices
orthogonales.
- P est orthogonale <-> transposée(P)*P=Id
<-> transposée(P)=P^-1
<-> les colonnes de P forment une base orthonormée
<-> les lignes de P forment une base orthonormée
- Pour diagonaliser une FBS en utilisant ceci, on calcule
ses sous-espaces propres, on construit une base
orthonormée de chaque sous-espace (on prend une base
quelconque et on applique Gram-Schmidt), et on prend la
réunion des bases orthonormées de chaque sous-espaces
propres. Théorème: Ceci produit toujours une base
orthonormée (dans un espace de dimension finie).
- Amphi 13 (31/3): Séries numériques (Chapitre 5)
Fichiers Xcas Approximants de Fourier,
Exemples de séries.
Liens correspondants pour xcas firefox:
Approximants de Fourier
Exemples de séries
- Définition série numérique, terme général, somme partielle.
- Définition de la convergence d'une série, exemples.
- Définition de la somme d'une série convergente
- Attention aux notations (parenthèses pour une série pas
forcément convergente; si la série converge, la version
sans parenthèses désigne la somme de la série)
- Si la série converge, alors son terme général tend vers 0,
mais la réciproque est fausse. Contre-exemple clé pour la
réciproque: la série harmonique.
- Séries géométriques, (1+a+a^2+a^3+...) converge si et
seulement si |a|<1, et dans ce cas, la somme vaut 1/(1-a).
- Combinaisons linéaires de deux séries (Prop. 5.1.5).
- Propriétés des séries à termes positifs (Lemme 5.1.6).
- Définition séries absolument convergentes.
- Tout série absolument convergente est convergente, mais la
réciproque est fausse (contre-exemple:
1-1/2+1/3-1/4+1/5+...=sum((-1)^n/n)).
- Amphi 14 (7/4): Séries Numériques
- Critère de d'Alembert pour la convergence des séries.
- Comparaison et équivalents pour les séries _à termes positifs_.
- Définition série de Riemann de paramètre s: sum(1/n^s,n=1..+inftty), pour a un réel positif.
- Critère de Riemann: la série de Riemann de paramètre s>0 converge si et seulement si s>1.
(preuve)
- Exemples
- Amphi 15 (14/4): Séries de Fourier (Chapitre 6)
- Définition coefficients de Fourier réels (a_n, b_n) d'une fonction f (idée: on utilise le
produit scalaire donné par l'intégrale de f*g sur
[-pi,pi], et on vérifie que les fonctions f_n(x)=sin(nx),
g_n(x)=cos(nx) sont orthogonales [Lemme 6.1.3]; étant
donnée une fonction f, on calcule sa projection
orthogonale sur le sous-espace W_N engendré par
Vect{cos(x),sin(x),cos(2x),sin(2x),...,cos(Nx),sin(Nx)},
ça donne la meilleure approximation de f dans W_N).
- Exemples
- Théorème de Dirichlet (Thm 6.3.1) sur la convergence des séries de Fourier
- Théorème de Parseval (Thm 6.3.2, Corollaire 6.3.2)
analogue de Pythagore pour les séries de Fourier
- Amphi 16 (28/4):
- Exemple supplémentaire de série de Fourier et utilisation de Dirichlet.
- Utilisation de la symétrie (Section 6.2)
- Séries sin/cos sur [0,L]
- Coefficients de Fourier complexes (c_n)
- Amphi 17 (fichier mis à jour le 30/4):
- Application des séries de Fourier à la résolution de
l'équation de la chaleur et de l'équation des ondes (Section
6.4)