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\footline{\hfill}
\headline{\ifnum \pageno=1 \hfil\else
\ifodd \pageno {\sevenbf \hfil
Mesures de Monge-Ampère et caractérisation géométrique des variétés 
algébriques affines\hfil\folio}
\else {\sevenbf \folio\hfil J.-P.\ Demailly, Mémoire de la Société Mathématique de France, 
n$\scriptstyle{}^\circ$19, 1985\hfil} \fi\fi}

\def\statement{\bf}
\def\bibitem#1{\item{\rlap{[#1]}\kern1cm}}

{\sevenrm\baselineskip=8pt
Mémoire de la Société Mathématique de France, n$\scriptstyle{}^\circ$19\\
Supplément au Bulletin de la S.M.F.\\
Tome 113, 1985, fascicule 2
\vskip1.5cm}

\centerline{\hugebf Mesures de Monge-Ampère et}
\medskip
\centerline{\hugebf caractérisation géométrique des}
\medskip
\centerline{\hugebf variétés algébriques affines}
\bigskip
\centerline{par Jean-Pierre Demailly}
\medskip
\centerline{{\it Universit\'e de Grenoble I, Institut Fourier}}
\centerline{{\it 
Laboratoire de Math\'ematiques associ\'e au C.N.R.S.\ n$^\circ$188}}
\centerline{{\it BP 74, F-38402 Saint-Martin d'H\`eres, France}}
\vskip1cm

{\leftskip=9mm\rightskip=9mm

{\bf Résumé.} À toute fonction d'exhaustion plurisousharmonique
continue $\varphi$ sur un espace de Stein, nous associons une
collection de mesures positives portées par les surfaces de niveau de
$\varphi$, et définies à l'aide des opérateurs de Monge-Ampère au sens
de Bedford et Taylor. Nous montrons que ces mesures jouent un rôle
fondamental dans l'étude des propriétés de croissance et de convexité
des fonctions plurisousharmoniques ou holomorphes. Lorsque le volume
de Monge-Ampère de la variété est fini, un théorème d'algébricité de
type Siegel s'applique aux fonctions holomorphes à croissance
$\varphi$-polynomiale. Nous en déduisons que la finitude du volume de
Monge-Ampère, associée à une minoration convenable de la courbure de
Ricci, est une condition géométrique nécessaire et suffisante
caractérisant les variétés algébriques affines.  \medskip

{\bf Abstract.} To every continuous plurisubharmonic exhaustion
function $\varphi$ on a Stein space, we associate a collection of
positive measures with support in the level sets of $\varphi$, defined
by means of the Monge-Ampère operators in the sense of Bedford and
Taylor. We show that these measures play a prominent part in the study
of growth and convexity properties of plurisubharmonic or holomorphic
functions. When the variety has finite Monge-Ampère volume, an
algebraicity theorem of Siegel type holds for holomorphic functions
with $\varphi$-polynomial growth. From this result, we deduce that the
finiteness of Monge-Ampère volume, together with a suitable lower
bound of the Ricci curvature, is a necessary and sufficient geometric
condition characterizing affine algebraic varieties.\par}

\footnote{}{\sevenrm 0037-9484/85 02 1 \$ 14.50 
{\tt\copyright} Gauthier-Villars}
\bigskip\bigskip
\vfill\eject
\strut\vskip1cm
{\hugebf Table des matières}
\bigskip

{\bf 0. Introduction\dotfill~3}
\medskip

{\parindent=7.5mm\bigbf\baselineskip=15pt
\item{A.} Mesures de Monge-ampère et croissance des fonctions\\
plurisousharmoniques\dotfill~8\par}
\smallskip

1. Courants et fonctions plurisousharmoniques sur les espaces 
complexes\dotfill~8

2. Opérateurs $(dd^c)^k$ et inégalités de Chern-Levine-Nirenberg\dotfill~14

3. Mesures de Monge-Ampère et formule de Jensen\dotfill~21

4. Mesure résiduelle de $(dd^c\varphi)^n$ sur $S(-\infty)$\dotfill~26

5. Principe du maximum\dotfill~29

6. Propriétés de convexité des fonctions psh\dotfill~31

7. Croissance à l'infini des fonctions psh\dotfill~37

8. Fonctions holomorphes $\varphi$-polynomiales\dotfill~40
\bigskip

{\parindent=7.5mm\bigbf\baselineskip=15pt
\item{B.} Caractérisation géométrique des variétés\\
algébriques affines \dotfill~45\par}
\smallskip

9. ~Énoncé du critère d'algébricité\dotfill~45

10. Nécessité des conditions sur le volume et la courbure\dotfill~48

11. Existence d'un plongement sur un ouvert d'une variété 
algébrique\dotfill~51

12. Quasi-surjectivité du plongement\dotfill~57

13. Démonstration du critère d'algébricité (cas lisse)\dotfill~65

14. Algébricité des espaces complexes singuliers\dotfill~71\par

{\parindent=6.5mm
\item{15.} 
Appendice~: courants et fonctions plurisousharmoniques à\\
croissance minimale sur une variété algébrique affine\dotfill~72\par}
\bigskip
{\bigbf Bibliographie\dotfill~82}
\vfill\eject

\section{0}{Introduction.}

La présente étude se place dans le cadre général des espaces
analytiques complexes. La première section est donc consacrée à une
définition des formes différentielles, courants positifs et fonctions
plurisousharmoniques sur un espace complexe $X$ éventuellement
singulier. Étant donné un plongement local de $X$ dans un ouvert
$\Omega\subset\bC^N$, nous définissons les formes différentielles sur
$X$ comme les restrictions à $X$ des formes \lguil\?ambiantes\?\rguil\
sur~$\Omega$~; les espaces de courants s'en déduisent par dualité
comme dans le cas lisse.  \medskip

{\statement Définition 0.1.\pointir} {\it Soit une fonction $V:X\to
[-\infty,+\infty[$.
{\parindent=6.5mm
\vskip2pt
\item{\rm(a)} $V$ sera dite plurisousharmonique $($psh en abrégé\/$)$ sur $X$
si $V$ est localement restriction à $X$ de fonctions psh sur l'espace 
ambiant~$\bC^N$.
\vskip2pt
\item{\rm(b)} $V$ sera dite faiblement psh si $V$ est localement intégrable 
et majorée sur $X$, et si $dd^cV\geq 0$.\vskip2pt}
Notation~$:$ on pose ici
\vskip5pt
\centerline{$\displaystyle
d^c=i(\overline\partial-\partial),\quad\hbox{de sorte que}\quad 
dd^c=2i\,\partial\overline\partial.$}\medskip}

Toute fonction psh est alors faiblement psh, mais en général une
fonction faiblement psh ne s'identifie pas nécessairement presque
partout à une fonction psh. Nous montrons toutefois que les deux
notions coïncident lorsque l'espace $X$ est localement
irréductible. La démonstration de ce résultat fait usage de deux
ingrédients : d'une part la caractérisation des fonctions psh due à
Fornaess et Narasimhan [FN], d'autre part un théorème de prolongement
des fonctions psh bornées à travers le lieu singulier de $X$ (qui
utilise la résolution des singularités). Nous étudions également la
transformation des courants positifs fermés et des fonctions psh par
image directe propre.

Dans le \S2, nous reprenons essentiellement la méthode développée par
Bedford et Taylor [BT2] pour donner un sens au courant positif
$dd^c\varphi_1\wedge\ldots\wedge dd^c\varphi_k$ lorsque les
$\varphi_j$ sont des fonctions psh localement bornées, et nous la
généralisons au cas où l'une des fonctions (soit $\varphi_i$ par
exemple) n'est pas localement bornée. Les inégalités classiques de
Chern-Levine-Nirenberg peuvent alors s'énoncer comme suit~:
\medskip

{\statement Théorème 0.2.\pointir} {\it Pour tout ouvert $\omega\compact X$ 
et tout compact $K\subset\omega$ il existe des constantes $C_1$, $C_2$ 
ne dépendant que de $\omega$ et $K$ telles qu'on ait les majorations de 
masse suivantes~$:$
{\parindent=6.5mm
\vskip2pt
\item{\rm(a)} $\displaystyle\int_K\Vert 
dd^c\varphi_1\wedge\ldots\wedge dd^c\varphi_k\Vert\le
C_1\Vert\varphi_1\Vert_{L^1(\omega)}\Vert\varphi_2\Vert_{L^\infty(\omega)}\ldots
\Vert\varphi_k\Vert_{L^\infty(\omega)},$
\vskip2pt
\item{\rm(b)} $\displaystyle\int_K\Vert \varphi_1\,
dd^c\varphi_2\wedge\ldots\wedge dd^c\varphi_k\Vert\le
C_2\Vert\varphi_1\Vert_{L^1(\omega)}\Vert\varphi_2\Vert_{L^\infty(\omega)}\ldots
\Vert\varphi_k\Vert_{L^\infty(\omega)}.$\medskip}}

Nous montrons finalement dans cette situation la continuité
séquentielle des opérateurs de Monge-Ampère
$$
(\varphi_1,\ldots,\varphi_k)\longmapsto
dd^c\varphi_1\wedge\ldots\wedge dd^c\varphi_k\quad\hbox{et}\quad
\varphi_1\,dd^c\varphi_2\wedge\ldots\wedge dd^c\varphi_k
$$
pour des suites décroissantes $\varphi_1^\nu,\ldots,\varphi_k^\nu$ de 
fonctions psh .

On suppose maintenant que $X$ est un espace de Stein et que $X$ est
muni d'une fonction psh continue exhaustive
$\varphi:X\to[-\infty,R[$. Nous noterons alors
$$
B(r)=\big\{z\in X\,;\;\varphi(z) < r\big\},\qquad S(r) =\big\{z \in X\,;\; 
\varphi(z) = r\big\},\qquad r\in [-\infty,R[
$$
les \lguil\?pseudoboules\?\rguil\ et \lguil\?pseudosphères\?\rguil\
associées à $\varphi$. A ces données, nous montrons qu'on peut
associer de manière naturelle une collection de mesures positives
$\mu_r$, portées par les sphères~$S(r)$, que nous appelons mesures de
Monge-Ampère associées à~$\varphi$ . Celles-ci sont définies
simplement par
$$
\mu_r(h) = \int_{S(r)} h\,(dd^c\varphi)^{n-1}\wedge d^c\varphi,\qquad 
n = \dim X,
$$
lorsque $\varphi$ est de classe $\cC^2$ et lorsque $r$ est valeur régulière
de~$\varphi$. Dans le cas où $\varphi$ est seulement continue, on est amené
à utiliser la définition de Bedford-Taylor pour $(dd^c)^n$ et à poser
$$
\mu_r = \big(dd^c\max(\varphi,r)\big)^n-\bOne_{X\ssm B(r)}(dd^c\varphi)^n.
$$
On a alors une formule générale de type Jensen-Lelong, dont la démonstration 
est conséquence immédiate des théorèmes de Stokes et de Fubini (cf.~\S3).
\medskip

{\statement
Théorème 0.3.\pointir} {\it Toute fonction psh $V$ sur $X$ est 
$\mu_r$-intégrable quel que soit $r < R$, et on a la formule
$$
\int_{-\infty}^r dt\int_{B(t)}dd^cV\wedge(dd^c\varphi)^{n-1} = 
\mu_r(V) - \int_{B(r)}V(dd^c\varphi)^n.
$$}

On montre de plus que les mesures $\mu_r$ dépendent continûment de
$\varphi$ relativement aux suites décroissantes. Ceci permet de voir
comme dans le cas $\cC^\infty$ que la famille $(\mu_r)$ est la famille
de mesures faiblement continue à gauche qui désintègre le courant
positif $(dd^c\varphi)^{n-1}\wedge d\varphi\wedge d^c\varphi$ sur les
sphères~$S(r)$.

Les mesures $\mu_r$ ainsi construites jouissent d'un certain nombre de
propriétés naturelles importantes pour l'étude de la croissance et de
la convexité des fonctions psh .

Le paragraphe 4 étudie la mesure \lguil\?résiduelle\?\rguil\
$\mu_{-\infty}=\bOne_{S(-\infty)}(dd^c\varphi)^n$, portée par
l'en\-sem\-ble polaire $S(-\infty)$. D'après (0.3), la mesure
$\mu_{-\infty}$ peut aussi se définir comme la limite faible
de~$\mu_r$, quand $r$ tend vers~$-\infty$. En nous inspirant de nos
travaux antérieurs [De4,~De5] , nous montrons que la mesure
$\mu_{-\infty}$ ne dépend essentiellement que du comportement
asymptotique de $\varphi$ au voisinage de $S(-\infty)$. De ce résultat
découle l'inégalité classique
$$
(dd^\varphi)^n\geq 2^n\sum_{x\in X}\nu(\varphi,x)^n\,\delta_x,
\leqno(0.4) 
$$
où $\nu(\varphi,x)$ désigne le nombre de Lelong de $\varphi$ en tout
point~$x\in X$, et $\delta_x$ la mesure de Dirac en $x$ (en un point
singulier~$x$, cette mesure doit être comptée avec multiplicité égale
à la multiplicité de $X$ en~$x$).

Au \S5 , nous montrons que les mesures $\mu_r$ vérifient le principe
du maximum vis à vis des fonctions psh, à savoir que pour toute
fonction psh $V$ on a l'égalité :
$$
\sup_{B(r)}V = \hbox{\rm sup essentiel de $V$ relativement à $\mu_r$}.
\leqno(0.5) 
$$
Le fait remarquable est que l'égalité a lieu bien que le support de
$\mu_r$ puisse être très lacunaire dans $S(r)$, comme par exemple dans
le cas où les pseudoboules $B(r)$ sont des polyèdres analytiques.

Le paragraphe 6 généralise à la présente situation les propriétés de
convexité classiques dues à P. Lelong, relatives aux moyennes de
fonctions psh sur les boules, sphères, polydisques~$\ldots$~. Nous
montrons que l'hypothèse géométrique naturelle qui sous-tend la
validité des propriétés de convexité est le fait que la fonction
$\varphi$ soit solution de l'équation de Monge-Ampère homogène
$(dd^c\varphi)^n\equiv 0$. De façon précise~: \medskip

{\statement
Théorème 0.6.\pointir} {\it On suppose que $(dd^c\varphi)^n\equiv 0$
sur l'ouvert $\{\varphi > A\}$. Soit $V$ une fonction psh sur
$X$. Alors le sup de $V$ sur $B(r)$, les moyennes $\mu_r(V)$, et
plus généralement les moyennes en norme $L^p$,
$r\mapsto[\mu_r(V_+^p)]^{1/p}$, sont fonctions convexes croissantes
de $r\in{}]A,R]$.}
\medskip

La vérification de ce résultat s'obtient par des calculs élémentaires
de dérivées secondes, faisant intervenir la formule de Jensen 0.3 et
les théorèmes de Stokes et de Fubini. Plus généralement, nous
démontrons une version avec \lguil\?paramètre\?\rguil\ du théorème
0.6, relative aux mesures $\mu_{y,r}$ sur les fibres $\pi^{-1}(y)$
d'une fibration holomorphe $\pi:X\to Y$. La fonction psh $\varphi$
donnée sur $X$ est supposée exhaustive sur les fibres et telle que
$(dd^c\varphi)^n\equiv 0$ sur l'ouvert $\{\varphi > A\}$, où $n$ est
la dimension des fibres. Alors les moyennes $\mu_{y,r}(V)$ et les
moyennes en norme $L^p$ sont fonctions faiblement psh du couple
$(y, z)$ sur $Y\times\bC$, si l'on pose $r = \Re z$. On en tire
aisément l'extension suivante du théorème 0.6 aux espaces produits.
\medskip

{\statement
Théorème 0.7.\pointir} {\it Soient $X_1,\ldots,X_k$ des espaces de Stein,
munis de fonctions psh continues exhaustives $\varphi_j:X_j\to[-\infty,R_j[$
telles que $(dd^c\varphi_j)^{n_j}\equiv 0$ sur l'ouvert $\{\varphi_j>A_j\}$, 
$n_j = \dim X_j$. Alors, si $V$ est psh sur $X_1\times\cdots\times X_k$,
la moyenne en norme $L^p$
$$
M^p_V(r_1,\ldots,r_k) = \smash{
\Big[\mu_{r_1}\otimes\cdots\otimes\mu_{r_k}(V^p_+)\Big]^{1/p}}
$$
est convexe simultanément en les variables $(r_1,\ldots,r_k)\in
\prod_{1\leq j\leq k}{}]A_j,R_j[$.}
\medskip

Dans les paragraphes 7 et 8 , nous faisons l'hypothèse additionnelle
que le volume de $X$ est à croissance modérée à l'infini (le
\lguil\?rayon\?\rguil\ $R$ est ici supposé égal à~$+\infty$). De façon
précise, nous supposons que
$$
\lim_{r\to+\infty}{1\over r}\Vert\mu_r\Vert = 0 .
\leqno(0.8)
$$
Sous cette hypothèse, la formule de Jensen 0.3 implique l'inégalité
fondamentale suivante~:
$$
\int_Xdd^cV\wedge(dd^c\varphi)^{n-1}\leq
\liminf_{r\to+\infty}~{1\over r}\;\mu_r(V_+),
\leqno(0.9)
$$
de laquelle découle un certain nombre de résultats concernant la
croissance des fonctions psh ou la distribution des valeurs des
fonctions holomorphes (comme le suggère l'article\eject
de N.~Sibony et P.M. Wong [SW]). En particulier, toute fonction 
psh ou holomorphe bornée sur $X$ est constante.

Étant donné une fonction holomorphe $f$ sur $X$ , nous définissons
d'autre part le \lguil\?degré\?\rguil\ de $f$ relativement à $\varphi$ par
$$
\delta_\varphi(f) = \limsup_{r\to+\infty}~{1\over r}\;\mu_r(\log_+|f|),\qquad
\leqno(0.10)
$$
%
et nous disons que $f$ est $\varphi$-polynomiale si $\delta_\varphi(f)$ est
fini. L'inégalité (0.9) entraîne alors que l'ordre d'annulation de $f$
en un point régulier $a\in X$ vérifie l'estimation :
$$
\ord\nolimits_a(f) \leq C(a)\,\delta_\varphi(f).
$$
Par un raisonnement élémentaire d'algèbre linéaire dû à Siegel, il en
résulte le théorème d'algébricité suivant (on suppose $X$ irréductible).
\medskip

{\statement Théorème 0.11.\pointir} {\it Soit $K_\varphi(X)$ le corps
des fonctions méromorphes de la forme $f/g$ où $f$ et $g$ sont 
$\varphi$-polynomiales. Alors~$:$
{\parindent=6.5mm
\vskip2pt
\item{\rm(a)} $0\leq\deg\tr_\bC K_\varphi(X)\leq \dim_\bC X~;$
\vskip2pt
\item{\rm(b)} Si $\deg\tr_\bC K_\varphi(X) = \dim_\bC X$, alors le corps 
$K_\varphi(X)$ est de type fini.\medskip}}

Comme cas particulier de ce théorème, nous retrouvons le résultat de
W.~Stoll [St1] caractérisant les variétés algébriques dans $\bC^N$ par
la propriété que la croissance de l'aire est minimale.

La deuxième partie B de ce travail est consacrée à une caractérisation
des variétés algébriques affines par un critère géométrique
\lguil\?intrinsèque\rguil, faisant intervenir la finitude du volume de
Monge-Ampère et une minoration de la courbure de Ricci. De façon
précise, nous démontrons le résultat suivant :
\medskip

{\statement
Théorème 0.12.\pointir} {\it Soit $X$ une variété analytique
complexe, lisse, connexe, de dimension~$n$. Alors $X$ est
analytiquement isomorphe à une variété algébrique affine $X_\alg$ si
et seulement si $X$ vérifie la condition {\rm(c)} ci-dessous et si
$X$ possède une fonction d'exhaustion $\varphi$ strictement psh de
classe $\cC^\infty$ telle que :
{\parindent=6.5mm
\vskip2pt
\item{\rm(a)} $\displaystyle\Vol(X) = \int_X (dd^c\varphi)^n <+\infty~;$
\vskip2pt
\item{\rm(b)} La courbure de Ricci de la métrique $\beta= dd^c(e^\varphi)$ 
admet une minoration de la forme
$$
\Ricci(\beta)\geq-{1\over 2}dd^c\psi,
$$
avec $\psi\in\cC^\infty(X,\bR)$, où $\psi\leq A\varphi + B$ et $A$, $B$ sont
des constantes${}\geq 0~;$
\vskip2pt
\item{\rm(c)} Les espaces de cohomologie de degré pair $H^{2q}(X,\bR)$ 
sont de dimension finie.\vskip2pt}
L'anneau des fonctions régulières de la structure algébrique $X_\alg$ est 
alors donné par l'intersection $K_\varphi(X)\cap\cO(X)$.\medskip}

À la suite des travaux de W.~Stoll sur les variétés strictement
paraboliques (cf.\ [St2] et [Bu]), D.~Burns a posé le problème de la
caractérisation des variétés algébriques affines en termes de
fonctions d'exhaustion ayant des propriétés particulières, vérifiant
par exemple la condition d'homogénéité $(dd^c\varphi)^n\equiv 0$ en
dehors d'un compact. Le théorème 0.12 apporte une réponse partielle à
ce problème. Il s'inscrit d'autre part dans la lignée des conditions
suffisantes obtenues par Mok, Siu et Yau [SY], [MSY], [Mok1,2,3], bien
que nos hypothèses soient sensiblement différentes de celles des
travaux précédemment cités. Notre argumentation est d'ailleurs
analogue dans ses grandes lignes à la démarche suivie par [Mok1,2,3].

Le paragraphe 10 démontre la nécessité des conditions 0.12~(a,b,c)
pour tout ensemble algébrique $X\subset\bC^N$. La fonction $\varphi$
est alors donnée par $\varphi(z) = \log(1+|z|^2)$, de sorte que la
métrique $dd^c\varphi$ coïncide avec la métrique de Fubini-Study de
l'espace projectif~$\bP^N$. Grâce à un calcul explicite de la courbure
de Ricci, nous vérifions que l'inégalité de courbure (b) a lieu avec
$\psi = \log\sum_{K,L}|J_{K,L}|^2$, où les $J_{K,L}$ désignent les
déterminants jacobiens associés à un système d'équations polynomiales
de~$X$. Nous montrons de plus par un contre-exemple que la condition
de courbure (b) est bien indispensable.

La preuve de la suffisance des conditions (a,b,c) fait l'objet
des \S11,12,13 . Le schéma général de la démonstration est le suivant,
Grâce aux estimations $L^2$ de Hörmander-Nakano-Skoda pour l'opérateur 
$\overline\partial$ et grâce à l'hypothèse~(b), on construit un système 
$F =(f_1,\ldots,f_N)$ de fonctions holomorphes $\varphi$-polynomiales qui, 
en dehors d'un ensemble analytique $S\subset X$, définit un plongement 
de $X\ssm S$ dans~$\bC^N$. Sous l'hypothèse (a) de finitude du volume, 
le théorème d'algébricité 0.11 implique que le degré de transcendance 
des fonctions $f_1,\ldots,f_N$ est égal à $n = \dim X$. Le morphisme $F$
envoie par conséquent $X$ dans une variété algébrique $M\subset\bC^N$
de dimension~$n$.

La principale difficulté qui subsiste est alors de prouver que
le plongement est quasi-surjectif, c'est-à-dire que l'ouvert $\Omega= 
F(X\ssm S)$ est un ouvert de Zariski de~$M$. Nous obtenons ce résultat en 
montrant d'abord que la $(1,1)$-forme $F_*(dd^c\varphi)$ se prolonge en 
un courant positif fermé $T$ de masse finie sur~$M$, tel que $T = 0$ 
sur $M\ssm\Omega$~; compte tenu des estimations de masse qui résultent 
de la construction, ceci se fait essentiellement par la méthode d'intégration 
par parties développée par H.~Skoda [Sk5] et H.~El Mir [EM]. Afin de donner
un aperçu de la suite du raisonnement, regardons le cas déjà significatif
où $N = n$, i.e.\ le cas $M =\bC^n$. Il existe alors une fonction
psh $V$ sur $\bC^n$ à croissance minimale, i.e.\ $V(z)\leq C_1\log_+|z|+C_0$,
telle que $dd^cV = T$. Par construction, la fonction
$\tau = V - \varphi \circ F^{-1}$ est pluriharmonique sur~$\Omega$, de
plus $\tau$ tend vers $-\infty$ en tout point de~$\partial\Omega$. Il
en résulte que l'ensemble fermé $M\ssm\Omega$ est pluripolaire. Pour
montrer que $M\ssm\Omega$ est en fait un ensemble algébrique, notre
méthode consiste à vérifier, en utilisant de nouveau le théorème
d'algébricité 0.11, que la $1$-forme holomorphe $h = \partial\tau$ se
prolonge en une forme méromorphe rationnelle sur $M = \bC^n$.

Dans le cas où $M$ est une variété algébrique affine quelconque, le
lien qui existe dans $\bC^n$ entre les $(1,1)$-courants positifs
fermés $T$ de masse projective finie et les fonctions psh à croissance
minimale ne s'applique plus. On peut toutefois montrer (voir
l'appendice \S15) que l'inéquation différentielle $dd^c V\geq T$ se
résout toujours sur $M$ avec une solution psh $V$ telle que le courant
$dd^cV - T$ soit de classe $\cC^\infty$ et à croissance
polynomiale. La fin de la démonstration est alors presque
identique. L'hypothèse (c), quant à elle, sert à démontrer que la
\lguil\?topologie de Zariski\?\rguil\ sur $X$ est quasi-compacte, et
donc que $X$ peut être recouvert par un nombre fini d'ouverts de la
forme $X\ssm S$ (cf.\ \S13). Nous ne savons pas en fait si l'hypothèse
(c) est réellement indispensable.

Signalons enfin que le théorème 0.12 peut s'étendre aux espaces
complexes à singu\-larités isolées (cf.\ \S9), mais l'extension au cas
quelconque soulève des difficultés qui seront étudiées au \S14.

\vskip1.5cm
{\hugebf 
A. Mesures de Monge-Ampère et\vskip0pt
\strut\phantom{A. }croissance des fonctions plurisousharmoniques.\par}
\vskip7mm

\section{1}{Courants et fonctions plurisousharmoniques\\
sur les espaces complexes.}

Le but de ce paragraphe est de donner une définition des courants et
des fonctions psh sur un espace analytique complexe éventuellement
singulier. Le lecteur qui souhaite ne considérer dans la suite que le
cas lisse peut sauter directement au \S2.

Soit $X$ un espace complexe réduit de dimension pure~$n$, $X_\reg$ (resp.\ 
$X_\sing$) l'ensemble de ses points réguliers (resp.\ singuliers).
Comme les définitions que nous allons considérer sont locales, on peut
sans restriction supposer que $X$ s'identifie à un sous-ensemble analytique 
fermé d'un ouvert $\Omega\subset\bC^N$ au moyen d'un plongement 
$j:X\to\Omega$.

On définit alors l'espace $\cC^k_{p,q}(X)$ des $(p,q)$-formes de classe
$\cC^k$ sur $X$, $k\in\bN\cup\{\infty\}$, comme l'image du morphisme 
de restriction
$$
j* :\cC^k_{p,q}(\Omega)\to\cC^k_{p,q}(X_\reg),
$$
munie de la topologie quotient. Si $j_1:X\to\Omega_1\subset\bC^{N_1}$ 
est un autre plongement, il existe (localement) des applications 
holomorphes $f:\Omega\to\bC^{N_1}$ et $g:\Omega_1\to\bC^N$ telles que 
$j_1= f\circ j$ et $j = g\circ j_1$. Le diagramme commutatif
$$
\matrix{
X&\mathop{\longarrow{10}}\limits^{j}
&f^{-1}(\Omega_1)\subset\Omega\cr
\noalign{\vskip5pt}
j_1\bigg\downarrow&\phantom{{}\longrightarrow{}}&
\bigg\downarrow\Id\times f\cr
\Omega_1\supset g^{-1}(\Omega)&
\mathop{\longarrow{10}}\limits_{\textstyle g\times\Id}&
\Omega\times\Omega_1,\cr}\kern40pt
$$
montre alors que les morphismes $j$ et $j_1$ induisent bien le même 
espace-image $\cC^k_{p,q}(X)$, car $\Id\times f$ et $g\times\Id$ sont 
des plongements lisses fermés.
\medskip

{\statement
Définition 1.1.\pointir} {\it On désigne par $\cD_{p,q}(X)$ $($resp.\
$\cD^k_{p,q}(X))$ l'espace des $(p,q)$-formes sur $X$ de classe $\cC^\infty$
$($resp.\ $\cC^k)$ et à support compact, muni de la topologie limite induetive.
L'espace dual $\cD'_{p,q}(X)$ est par définition l'espace des courants  
de bidimension $(p,q)$ et de bidegré $(n-p,n-q)$ sur $X$. Les
courants appartenant au sous-espace $[\cD^k_{p,q}(X)]'$ seront dits 
courants d'ordre~$k$.}
\medskip

Si $T\in [\cD^k_{p,q}(X)]'$, le courant $j_*T\in[\cD^k_{p,q}(\Omega)]'$
défini par
$$
\langle j_*T,v\rangle = \langle T,j*v\rangle
$$
pour toute forme $v\in\cD^k_{p,q}(\Omega)$, est à support dans $j(\Omega)$. 
Néanmoins, pour $k\geq 1$, un courant $\theta\in\smash{[\cD^k_{p,q}(\Omega)]'}$
à support dans $j(\Omega)$ ne provient pas nécessairement d'un courant 
$T$ défini sur $X$, même si $X$ est lisse.

Les opérateurs différentiels $d$, $\partial$, $\overline\partial$
usuels et l'opérateur de multiplication extérieure par une forme
$\cC^\infty$ sont d'autre part étendus par dualité aux courants,
exactement comme dans le cas lisse. Il serait particulièrement
intéressant de savoir calculer en général les groupes de cohomologie
locale des opérateurs $d$ et $\overline\partial$~; nous ne savons même
pas en fait si ces groupes sont toujours nuls dans le cas de
singularités quelconques.
\medskip

{\statement
Définition 1.2.\pointir} {\it Un courant $T\in\cD'_{p,p}(X)$ sera dit 
$($faiblement$)$ positif si le courant de bidegré $(n,n)$
$$
T\wedge i\alpha_1\wedge\overline\alpha_1\wedge\ldots
\wedge i\alpha_p\wedge\overline\alpha_p
$$
est une mesure${}\geq 0$ pour tout système de $(1,0)$-formes 
$(\alpha_1,\ldots,\alpha_p)$ de classe $\cC^\infty$ sur~$X$.}
\medskip

Il revient au même de dire que le courant $j_*T$ est${}\geq 0$ sur~$\Omega$~; 
en particulier, un courant $T\geq 0$ sur $X$ est nécessairement d'ordre~$0$.

Soit maintenant $F : X\to Y$ un morphisme d'espaces analytiques $X$, $Y$
de dimensions respectives $n$, $m$. Pour s'assurer que le
morphisme image réciproque
$$
F^*:\cC^k_{p,q}(Y)\to \cC^k_{p,q}(X)
$$
est bien défini, il suffit de vérifier le lemme suivant~:
\medskip

{\statement
Lemme 1.3.\pointir} {\it Soit $j : Y \to\Omega\subset\bC^N$ un plongement et 
$\alpha\in\cC^k_{p,q}(\Omega)$ une forme telle que $\alpha_{|Y_\reg} = 0$. 
Alors $F^*\alpha_{|x_\reg}= 0$.}
\medskip

{\it Démonstration}. On peut supposer $X$ lisse et connexe. Si $F(X)\not
\subset Y_\sing$, alors $F^{-1}(Y_\reg)$ est dense dans $X$ et le résultat 
s'ensuit par continuité. La seule difficulté est donc le cas où 
$F(X)\subset Y_\sing$. En raisonnant par récurrence sur la dimension 
de $Y$ et en décomposant $F$ sous la forme
$$
X\mathop{\longrightarrow}\limits^{\scriptstyle F} Y_\sing\hookrightarrow Y
$$
on voit qu'il suffit de considérer au lieu de $F$ le cas du morphisme
d'inclusion $Y_\sing\hookrightarrow Y$. Le lemme 1.3 résulte alors de la
continuité de $\alpha$ et du lemme suivant~:
\medskip

{\statement
Lemme 1.4.\pointir} {\it Soit $a$ un point régulier sur $Y_\sing$. Alors il
existe une suite de points $\{a_\nu\}\subset Y_\reg$, convergeant vers~$a$, 
telle que dans la grasmannienne des $m$-plans de $\bC^N$ l'espace
tangent $T_{a_\nu}Y_\reg$ converge vers un plan contenant $T_aY_\sing$.}
\medskip

{\it Démonstration}. C'est une conséquence de l'existence de stratifications
de Whitney de~$Y$, voir [Wh1] et [Wh2].\hfil\square\medskip

Supposons que le morphisme $F:X\to Y$ soit propre. On définit alors 
l'application image directe
$$
F_*:[\cD^k_{p,q}(X)]'\lra [\cD^k_{p,q}(Y)]'
$$
par dualité, en posant pour tout courant $T\in[\cD^k_{p,q}(X)]'$ 
et toute forme $\alpha\in\cD^k_{p,q}(Y)$
$$
\langle F_*T,\alpha\rangle = \langle T,F^*\alpha\rangle.
$$
Si $T$ est${}\geq 0$, il en est clairement de même pour $F_*T$. De plus, le
morphisme image directe $F_*$ commute avec les opérateurs $d$, $d^c$, 
$\partial$, $\overline\partial$. Si $T$ est${}\geq 0$ fermé, $F_*T$ est 
donc aussi${}\geq 0$ fermé.

Venons en maintenant à la définition des fonctions psh .
\medskip

{\statement Définition 1.5.\pointir} {\it Soit $V : X\to [-\infty,+\infty[$
une fonction qui n'est identiquement $-\infty$ sur aucun ouvert de $X$. 
On dira que $V$ est plurisousharmonique sur $X$ (psh en abrégé) si, pour
tout plongement local $j : X\hookrightarrow \Omega \subset \bC^N$, $V$ est
localement restriction d'une fonction psh sur~$\Omega$.}
\medskip

J.E.~Fornaess et R.~Narasimhan ont donné la caractérisation fondamentale
suivante des fonctions psh sur un espace complexe.
\medskip

{\statement Théorème 1.6 {\rm ([FN], th.~5.3.1)}\pointir} {\it Une fonction
$V:X \to [-\infty,+\infty[$ est psh sur $X$ si et seulement si~$:$
{\parindent=6.5mm
\vskip2pt
\item{\rm(a)} $V$ est semi-continue supérieurement~$;$
\vskip2pt
\item{\rm(b)} Pour toute application holomorphe $f : \Delta \to X$ du disque
unité dans $X$, $V\circ f$ est sous-harmonique ou identiquement égale 
à~$-\infty$ sur~$\Delta$.\medskip}}

Grâce à ce résultat, on peut aisément généraliser le théorème de
prolongement de Brelot au cas des espaces complexes.
\medskip

{\statement Théorème 1.7.\pointir} {\it Soient $X$ un espace complexe
localement irréductible et $Y \subset X$ un sous-ensemble analytique
d'intérieur vide dans $X$. Soit $V$ une fonction psh sur $X\ssm Y$,
localement majorée au voisinage de~$Y$. Alors il existe une fonction
psh $V^*$ sur $X$ qui prolonge~$V$, unique, donnée par
$$
V*(y) = \limsup_{x\in X\ssm Y,\;x\to y}V(x),\qquad y\in Y.
$$}\vskip-\parskip

{\it Démonstration}.

(a) {\it Unicité de $V^*$}. Comme $V^*$ est semi-continue supérieurement, 
on a pour tout $y \in Y$
$$
V^*(y) = \limsup_{x\in X\ssm Y,\;x\to y}V^*(x)\geq
\limsup_{x\in X\ssm Y,\;x\to y}V(x).
$$
Inversement, choisissons une application holomorphe $f:\Delta\to X$ telle
que $f(0)=y$ et $f(\Delta)\not\subset Y$. Alors $0$ est isolé dans 
$f^{-1}(Y)$, et comme $V^*\circ f$ est psh sur~$\Delta$, il vient
$$
V^(y) = V^*(f(0)) = \limsup_{t\ne 0,\;t\to 0} V(f(t))
\leq \limsup_{x\in X\ssm Y,\;x\to y}V(x).
$$
(b) {\it Plurisousharmonicité de $V^*$}. Le résultat est local sur $X$. 
D'après le théorème de désingularisation de Hironaka [Hi], il existe
un espace lisse $X'$ et une modification propre $\sigma : X'\to X$~; 
par définition, $\sigma$ est propre et induit en dehors d'un 
ensemble analytique $Z \subset X$ un isomorphisme
$$
\sigma : X'\ssm\sigma^{-1}(Z)
\mathop{\longrightarrow}\limits^{\textstyle\sim} X\ssm Z.
$$
Pour tout $x\in X$, la fibre $\sigma^{-1}(x)$ est compacte et connexe.
En effet, si $\sigma^{-1}(x)$ était non connexe, le point $x$ aurait un 
voisinage ouvert $U$ irréductible ($X$ est supposé localement irréductible), 
tel que $\sigma^{-1}(U)$ soit non connexe~; mais alors $U\ssm Z$ serait 
connexe et $\sigma^{-1}(U)\ssm \sigma^{-1}(Z)$ non connexe, ce qui est 
absurde. La fonction $V\circ\sigma$ est psh sur \hbox{$X'\ssm \sigma^{-1}(Y)$}
et localement majorée au voisinage de~$\sigma^{-1}(Y)$. D'après le théorème
de Brelot relatif au cas lisse, $V\circ\sigma$ se prolonge en une fonction
psh $V'$ sur~$X'$. La fonction $V'$ est nécessairement constante sur les 
fibres $\sigma^{-1}(x)$, donc $V'$ induit par passage au quotient une 
fonction $V^*$ semi-continue supérieurement sur~$X$. Montrons maintenant
que $V^*$ est psh sur $X$ en utilisant le théorème~1.7. Étant donné un
germe d'application holomorphe $f:(\Delta,0) \to (X,x)$, il existe 
dans $X'$ un germe de courbe $(\Gamma',x')$ au-dessus de l'image 
$\Gamma = f(\Delta)$, donc il existe un entier $k\in\bN^*$ et un germe 
$f' : (\Delta, 0)\to (X',x')$ tels que $f(t^k) = \sigma(f'(t))$. Par
suite $V^*(f(t^k)) = V'(f'(t))$ est psh sur~$(\Delta,0)$, ce qui 
entraîne que $V^*\circ f$ est aussi psh.\hfil\square\medskip

{\statement Proposition 1.8.\pointir} {\it Toute fonction psh $V$ sur $X$ est
localement intégrable pour la mesure aire de $X$ $($relative à un 
plongement quelconque $j : X\to \Omega \subset \bC^N)$.}
\medskip

{\it Démonstration}. $V$ étant localement majorée par définition,
on peut supposer $V \leq 0$. Quitte à faire une rotation des
coordonnées, il~existe en tout point de $X$ un plongement local 
$j:X\hookrightarrow P$ sur un polydisque de $\bC^N$ tel qu'on ait 
des projections $\pi^I:X\to P^I$  propres à fibres finies
sur les $n$-plans de coordonnées $z_j$, $j\in I$,
$I\subset\{1,\ldots,N\}$, $|I| = n$. Ainsi, pour tout $I$, il existe 
un ensemble analytique $S_I\subset P^I$ tel que la restriction 
$\pi^I: X\ssm (\pi^I)^{-1}(S_I)\to P^I\ssm S_I$ soit un revêtement fini.
La fonction $\pi^I_*V$ définie par
$$
\pi^I_*V(y)(y) = \sum_{x\in(\pi^I)^{-1}(y)}V(x)
$$
est psh${}\leq 0$ sur $P^I\ssm S_I$, donc se prolonge en une fonction psh
$V_I$ sur $P^I$ tout entier. Comme la mesure aire de $X$ est donnée par
$$
d\sigma_X = \sum_{|I|=n} (\pi^I)^* d\lambda_{\bC^n}, 
$$
où $d\lambda$ est la mesure de Lebesgue, la conclusion résulte alors du 
fait que les $V_I$ sont localement intégrables sur $P^I$.\hfil\square
\medskip

La proposition 1.8 montre qu'on peut considérer toute fonction
psh sur $X$ comme un courant de bidegré~$(0,0)$. Par régularisation
d'un prolongement local de $V$ à $\bC^N$ et passage à la limite 
décroissante, on vérifie aisément que le $(1,1)$-courant $dd^cV = 
2i\partial\overline\partial V$ est positif sur $X$.
\medskip

{\statement Définition 1.9.\pointir} {\it Une fonction localement
intégrable $V$ sur $X$ sera dite faiblement psh si $V$ est
localement majorée et si $dd^cV\geq 0$ au sens des courants.}
\medskip

Contrairement au cas lisse, l'hypothèse que $V$ soit localement
majorée est fondamentale. Considérons par exemple la. courbe
paramétrée $(z_1,z_2) = (t^2,t^3)$ dans $\bC^2$~; la fonction 
$V(t) = \Re(l/t)$ n'y est pas localement majorée en~$0$, cependant on 
peut vérifier que $dd^cV=0$ au sens des courants (cf.\ définition 1.1).
Observons d'autre part qu'une fonction faiblement psh ne s'identifie 
pas nécessairement presque partout à une fonction psh, comme le montre 
l'exemple de la fonction définie sur la courbe $z_1z_2 = 0$ de $\bC^2$ 
par $V(z_1, 0) = 1$, $V(0, z_2) = 0$ si $z_2\ne 0$. On a toutefois 
le résultat suivant~:
\medskip

{\statement Théorème 1.10.\pointir} {\it Étant donné une fonction
$V:X\to[-\infty+\infty[$, il y a équivalence entre les propriétés
{\rm (a), (b), (c)} ci- dessous :
{\parindent=6.5mm
\vskip2pt
\item{\rm(a)} $V$ est faiblement psh sur $X$ .
\vskip2pt
\item{\rm(b)} $V$ coïncide presque partout avec une fonction 
$V_\reg$ psh sur $X_\reg$, localement majorée au voisinage de~$X_\sing$.
\vskip2pt
\item{\rm(c)} Il existe une fonction psh $\tilde V$ sur la normalisation 
$\tilde X$ de $X$ , telle que $\tilde V=V\circ\pi$ presque partout, où 
$\pi:\tilde X\to X$ est le morphisme naturel.
\vskip2pt}
Pour que $V$ soit égale presque partout à une fonction psh sur $X$, il faut 
et il suffit que la condition suivante soit réalisée~: pour tout $a\in X$, 
on désigne par $V^*(a)$ la limite supérieure essentielle de $V(x)$ quand 
$x\in X$ tend vers $a$ et par $(X_j,a)$ les composantes irréductibles 
du germe $(X,a)~;$ alors
$$
\mathop{\limsup\,{\rm ess}}_{x\in X_j\,;\;x\to a}~V(x) = V^*(a),\quad
\forall j.
$$
Sous cette hypothèse $V^*$ est psh sur $X$ et $V = V^*$ presque partout.}
\medskip

{\it Démonstration}. (a)${}\Rightarrow{}$(b). Cette implication 
résulte aussitôt de la définition 1.9 et du cas bien connu où $X$ est lisse.

(b)${}\Rightarrow{}$(a). Soit $h_1=\ldots=h_m= 0$ des équations locales 
de $X_\sing$ dans~$X$. Alors pour tout $\varepsilon > 0$ la fonction
$$
V_\varepsilon=\cases{
V_\reg + \varepsilon\log\big(|h_1|^2+\cdots+|h_m|^2\big)&sur $X_\reg$\cr
\noalign{\vskip5pt}
-\infty&sur $X_\sing$\cr}
$$
est psh sur $X$ d'après le théorème 1.6. On a donc $dd^cV_\varepsilon\geq 0$.
Comme $dd^cV_\varepsilon$ converge faiblement vers $dd^cV$ quand 
$\varepsilon$ tend vers~$0$, il s'ensuit que $dd^cV\geq 0$.
\medskip

(b)${}\Rightarrow{}$(c). La fonction $V_\reg\circ\pi$ est psh sur 
$\tilde X\ssm\pi^{-1}(X_\sing)= \pi^{-1}(X_\reg)$, localement majorée
au voisinage de $\pi^{-1}(X_\sing)$, et $\tilde X$ est localement
irréductible. Le théorème 1.7 montre que $V_\reg\circ\pi$ se prolonge en une
fonction psh $V$ sur $X$ .

(c)${}\Rightarrow{}$(b) résulte du fait que $\pi:\tilde X\ssm
\pi^{-1}(X_\sing)\to X_\reg$ est un isomorphisme.

En ce qui concerne la dernière affirmation, la condition que nous
avons donnée pour la plurisousharmonicité de $V^*$ est évidemment
nécessaire. Pour voir qu'elle est suffisante, on observe que
l'ensemble des composantes irréductibles $(X_j,a)$ est en
correspondance bijective avec l'ensemble des points $a_j$ de
$\tilde X$ situés au-dessus de $a$ (ceci résulte par exemple de
Narasimhan [Nar], prop.~VI.2) et que
$$
\tilde V(a_j) = \mathop{\limsup\,{\rm ess}}_{x\in X_j\,,\;x\to a}~V(x).
$$
On a donc par hypothèse $V^*\circ\pi = \tilde V$ en tout point de $X$~; 
comme toute application holomorphe $f : \Delta\to X$ se relève en une 
application $\tilde f :\Delta\to\tilde X$, la plurisousharmonicité de 
$\tilde V$ entraîne celle de $V^*$. \hfil\square
\medskip

{\statement Corollaire 1.11.\pointir} {\it Si $X$ est localement 
irréductible et si $V$ est faiblement psh sur $X$, alors la fonction 
définie par
$$
V^*(a) = \mathop{\limsup\,{\rm ess}}_{x\to a}~V(x),\qquad a \in X,
$$
est psh sur $X$ et $V = V^*$ presque partout.}
\medskip

{\statement Corollaire 1.12.\pointir} {\it Si $V:X\to[-\infty,+\infty[$ est 
continue et faiblement psh, alors $V$ est psh.}
\medskip

Pour terminer cette section, nous examinons la transformation des
fonctions psh par image directe.
\medskip

{\statement Proposition 1.13.\pointir} {\it Soit $F:X\to Y$ un morphisme 
propre surjectif à fibres finies.
{\parindent=6.5mm
\vskip2pt
\item{\rm(a)} Si $V$ est une fonction faiblement psh sur $X$, la 
fonction $F_*V$ définie par
$$
F_*V(y) = \sum_{x\in F^{-1}(y)}V(x)
$$
est faiblement psh sur $Y$ et de plus 
$$
dd^c(F_*V) = F_*(dd^cV).
$$
\item{\rm(b)} On suppose de plus que $Y$ est localement irréductible.
Si $V$ est psh et si la somme $\sum_{x\in F^{-1}(y)}V(x)$ est comptée
avec multiplicités, alors $F_*V$ est psh sur~$Y$.\medskip}}

{\it Démonstration}.

(a) On sait que $F$ est un revêtement ramifié, i.e.\ il existe un
ensemble analytique $Z\subset$ Y tel que
$$
F : X\ssm F^{-1}(Z)\to Y\ssm Z
$$
soit un revêtement de variétés lisses. On voit alors que la définition de
$F_*V$ coïncide avec celle donnée pour les images directes de courants.
Il est clair que $F_*V$ est localement majorée sur~$Y$, et la propriété
$dd^c(F_*V) = F_*dd^cV\geq 0$ résulte du fait que $F_*$ commute avec 
les opérateurs $d$ et~$d^c$.
\medskip

(b) Sous l'hypothèse $X$ localement irréductible, le cardinal de la
fibre $F^{-1}(y)$, $y\in Y\ssm Z$, est localement constant au
voisinage d'un point de~$Z$. Si de plus $V$ est continue, $F_*V$ se
prolonge par continuité sur~$Y$ à travers~$Z$, et le corollaire 1.12
montre que $F_*V$ est psh. Dans le cas général, il existe pour toute
fibre $F^{-1}(y) = \{x_1,\ldots x_m\}$ des voisinages arbitrairement 
petits $O_j$ de~$x_j$, $1\leq j\leq m$, et un voisinage $U$ de $y$ 
tels que \hbox{$F^{-1}(U) = O_1\cup\ldots\cup O_m$}. Écrivons $V$ comme 
limite décroissante de fonctions psh continues $V_k$ sur un tel
voisinage $F^{-1}(V)$. Il vient
$$
F_*V=\lim_{k\to+\infty}F_*V_k\quad\hbox{sur}~U,
$$
par suite $F_*V$ est psh.\hfil\square
\bigskip

\section{2}{Opérateurs 
$\hbox{\bigbf(}\hbox{\bigbfit dd}^{\,\hbox{\bfit c}}\,
\hbox{\bigbf)}^{\hbox{\bfit k}}$
et inégalités de Chern-Levine-Nirenberg.}

Dans cette section, nous rappelons la définition des opérateurs
de Monge-Ampère $(dd^c)^k$ introduits par Bedford et Taylor [BT1], [BT2].
Cette définition permet de donner un sens au courant 
$dd^cV_1\wedge\ldots\wedge dd^cV_k$, lorsque les $V_j$ sont des fonctions
psh bornées. Nous aurons besoin ici de considérer le cas un peu plus 
général où l'une des fonctions $V_j$ peut ne pas être bornée, et nous 
redonnerons dans ce cadre une démonstration des inégalités de 
Chern-Levine-Nirenberg [CLN]. Enfin, nous étudions comme dans [BT2] 
la continuité de l'opérateur $(dd^c)^k$ relativement aux limites
décroissantes de fonctions psh.

Soient $\varphi_1$, $\varphi_2$, $\ldots\,$, $\varphi_k$ des fonctions 
psh localement bornées sur $X$ et $V$ une fonction psh quelconque. 
D'après Bedford-Taylor [BT2] on peut définir le courant${}\geq 0$ fermé 
$dd^cV\wedge dd^c\varphi_1\wedge\ldots\wedge dd^c\varphi_k$
par récurrence sur $k$ en posant
$$
dd^cV\wedge dd^c\varphi_1\wedge\ldots\wedge dd^c\varphi_k=
dd^c\big(\varphi_k\,dd^cV\wedge dd^c\varphi_1\wedge\ldots\wedge 
dd^c\varphi_{k-1}\big).
\leqno(2.1)
$$
La positivité du second membre est évidente par hypothèse de récurrence
si $\varphi_k\in\cC^\infty(X)$~; le cas général s'en déduit par 
régularisation de $\varphi_k$ et passage à la limite faible dans 
l'espace des courants.

Soit $\Omega= \{\rho<0\}$ un ouvert relativement compact dans $X$,
défini par une fonction $\rho$ strictement psh $\cC^\infty$ dans un
voisinage $\Omega'$ de $\Omega$ et telle que $d\rho\neq 0$
sur~$\partial\Omega$. Pour tout réel $a > 0$ et tout entier $0\leq k\leq n$
on pose
$$
\beta_k=|\rho|^{k+a}(dd^c\rho)^{n-k}+(k+a) |\rho|^{k-1+a} d\rho\wedge
d^c\rho\wedge(dd^c\rho)^{n-k-1}
$$
et on désigne par $\Vert v\Vert_p$ la norme $L^p$ d'une fonction $v$ sur $\Omega$ relativement à la mesure~$\beta_0$, $p\in[1,+\infty]$. La masse du courant (2.1) admet alors les estimations suivantes (cf.\ [CLN]).
\medskip

{\statement Théorème 2.2}. {\it Soient $V$, $V_1,\ldots,V_k$ des fonctions
psh sur $X$ telles que $V\leq 0$ et \hbox{$V_1\geq 0$, $\ldots$~,
$V_k\geq 0$} sur~$\Omega$. Alors il existe des constantes $C_j=C_j(k,a)\geq 0$, 
$j=1,2,3$, telles que
{\parindent=6.5mm
\vskip0pt
\item{\rm (a)}
$\displaystyle
\int_\Omega \beta_{k+1}\wedge dd^cV\wedge dd^c\varphi_1\wedge\ldots\wedge 
dd^c\varphi_k\leq C_1\,\Vert V\Vert_1\,\Vert\varphi_1\Vert_\infty\cdots
\Vert\varphi_k\Vert_\infty.$
\vskip-1pt
\item{\rm (b)}
$\displaystyle
\int_\Omega \beta_k\wedge |V|\, dd^c\varphi_1\wedge\ldots\wedge 
dd^c\varphi_k\leq C_2\,\Vert V\Vert_1\,\Vert\varphi_1\Vert_\infty\cdots
\Vert\varphi_k\Vert_\infty.$
\vskip-1pt
\item{\rm (c)}
$\displaystyle
\int_\Omega \beta_k\wedge dd^cV_1\wedge\ldots\wedge dd^cV_k\leq 
C_3\,\Vert V_1\Vert_k\,\Vert V_2\Vert_k\cdots\Vert V_k\Vert_k.$
\medskip}}

{\it Démonstration}. Grâce au lemme d'approximation 2.4 ci-dessous, on
peut supposer que les $V_j$ et $\varphi_j$ sont de classe~$\cC^\infty$.
Un calcul immédiat donne
$$
\eqalign{
d^c\beta_k&=-2(k+a)\,|\rho|^{k-1+a}\,d^c\rho\wedge(dd^c\rho)^{n-k},\cr
dd^c\beta_k&=2(k+a)\,\Big[-|\rho|^{k-1+a}\,(dd^c\rho)^{n-k+1}+
(k-1+a)\,d\rho\wedge d^c\rho\wedge(dd^c\rho)^{n-k}\Big],\cr}
$$
d'où l'inégalité entre formes
$$
|dd^c\beta_k|\leq 2(k+a)\beta_{k-1}.
$$
Notons $I_k$, $J_k$ les intégrales (a), (b) respectivement et
$\psi_k = dd^c\varphi_1\wedge\ldots\wedge dd^c\varphi_k$. D'après 
la formule d'intégration par parties du
lemme 2.5 et compte tenu que 
$$
\beta_{k+1|\partial\Omega}=d^c\beta_{k+1|\partial\Omega}=0,
$$
il vient
$$
\eqalign{
I_k
&=\int_\Omega dd^c\beta_{k+1}\wedge\varphi_k\,dd^cV\wedge\psi_{k-1}\cr
&\leq 2(k+1+a)\,\Vert\varphi_k\Vert_\infty\int_\Omega\beta_k\wedge
dd^cV\wedge\psi_{k-1}= 2(k+1+a)\,\Vert\varphi_k\Vert_\infty I_{k-1},\cr
I_0
&=\int_\Omega V\,dd^c\beta_1\cr
&\leq 2(1+a)\int_\Omega|V|\,|\rho|^a(dd^c\rho)^n
\leq 2(1+a)\,\Vert V\Vert_1.\cr}
$$
Ceci démontre (a) par récurrence avec $C_1(k.a)=2^{k+1}(1+a)\ldots(k+1+a)$,
l'inégalité étant d'ailleurs vérifiée même si~$a=0$. D'autre part si 
$k\geq 1$ on obtient
$$
\eqalign{
J_k
&=\int_\Omega -\varphi_kdd^c(V\beta_k)\wedge\psi_{k-1}\cr
&=\int_\Omega -\varphi_k\big(V\,dd^c\beta_k+\beta_k\wedge dd^cV+
2\,dV\wedge d^c\beta_k\big)\wedge\psi_{k-1}\cr
&=\int_\Omega\varphi_k\big(V\,dd^c\beta_k-\beta_k\wedge dd^cV\big)
\wedge\psi_{k-1}+2V\,d\varphi_k\wedge d^c\beta_k\wedge\psi_{k-1}\cr}
$$
en intégrant par parties le terme $-2\varphi_k\,dV\wedge d^c\beta_k\wedge
\psi_{k-1}$ à la deuxième ligne. On suppose maintenant  $\varphi_k> 0$ et 
on applique l'inégalité de Cauchy-Schwarz à la composante de bidegré 
$(n-k+1, n-k+1)$ du courant
$$
2d\varphi_k\wedge d^c\beta_k=-4(k+a)\,|\rho|^{k-1+a}d\varphi_k\wedge d^c\rho
\wedge(dd^c\rho)^{n-k},
$$
ce qui donne le majorant
$$
\Big[4(k+a)^2\varphi_k|\rho|^{k-2+a}d\rho\wedge d^c\rho+
|\rho|^{k+a}{d\varphi_k\wedge d^c\varphi_k\over\varphi_k}\Big]\wedge
(dd^c\rho)^{n-k}.
$$
Il en résulte
$$
\eqalign{
J_k\leq\int_\Omega\varphi_k|V|\Big[&-dd^c\beta_k+
4(k+a)^2|\rho|^{k-2+a}d\rho\wedge d^c\rho\wedge(dd^c\rho)^{n-k}\Big]
\wedge\psi_{k-1}\cr
&+\int_\Omega|V|\,
|\rho|^{k+a}(dd^c\rho)^{n-k}\wedge{d\varphi_k\wedge d^c\varphi_k\over\varphi_k}
\wedge\psi_{k-1}.\cr}
$$
La forme entre crochets dans la première intégrale est égale à
$$
2(k+a)\Big[|\rho|^{k-1+a}(dd^c\rho)^{n-k+1}+
(k+1+a)|\rho|^{k-2+a}d\rho\wedge d^c\rho\wedge(dd^c\rho)^{n-k}\Big]
\leq C_4\beta_{k-1}
$$
avec $C_4=C_4(k,a)={2(k+a)(k+1+a)\over k-1+a}$. On obtient donc 
finalement
$$
J_k\leq C_4\Vert\varphi_k\Vert_\infty J_{k-1}
+\int_\Omega|V|\,\beta_k\wedge\psi_{k-1}\wedge
{d\varphi_k\wedge d^c\varphi_k\over\varphi_k}.
$$
Notons $J'_k$ l'intégrale obtenue en remplaçant $\varphi_k$ par 
$\varphi'_k= \exp(B\varphi_k)$ dans $J_k$ et posons 
$M = \Vert\varphi_k\Vert_\infty$. Il vient
$$
\eqalign{
dd^c\varphi'&=e^{B\varphi_k}\big(B\,dd^c\varphi_k + 
B^2\,d\varphi_k\wedge d^c\varphi_k\big)\geq
B\,e^{-BM}dd^c\varphi_k+{d\varphi'_k\wedge d^c\varphi'_k\over \varphi'_k},\cr
B\,e^{-BM}J_k&\leq J'_k-\int_\Omega|V|\,\beta_k\wedge\psi_{k-1}\wedge
{d\varphi'_k\wedge d^c\varphi'_k\over \varphi'_k}
\leq C_4(k,a)\,e^{BM}J_{k-1}.\cr}
$$
Comme $\inf_{B>0}{1\over B}e^{2BM}=2eM=2e\,\Vert\varphi_k\Vert_\infty$, ceci 
achève la démonstration de (b) par récurrence sur $k$, avec la constante 
$$
C_2(k,a) = (4e)^k\;{k+a\over a}\,(2+a)\cdots (k+1+a).
$$
Pour démontrer (c), supposons d'abord que $V_1=V_2=\ldots = V_k = v \geq 0$.
Comme
$$
\Big(dd^cv^{{k\over k-1}}\Big)^{k-1}\geq v\Big({k\over k-1}\,dd^cv\Big)^{k-1},
$$
une intégration par parties nous donne
$$
\int_\Omega\beta_k\wedge(dd^cv)^k=\int_\Omega dd^c\beta_k\wedge
v\,(dd^cv)^{k-1}\le
2(k+a)\Big({k-1\over k}\Big)^{k-1}
\int_\Omega\beta_{k-1}\wedge\Big(dd^cv^{{k\over k-1}}\Big)^{k-1}.
$$
Par récurrence sur $k$ cette inégalité entraîne à son tour 
$$
\int_\Omega\beta_k\wedge(dd^cv)^k\leq 2^k(1+a)...(k+a)
{(k-1)!\over k^{k-1}}\int_\Omega\beta_0v^k.
$$
Remplaçons maintenant $v$ par 
$$
v = {V_1\over\Vert V_1\Vert_k}+\cdots+{V_k\over\Vert V_k\Vert_k}.
$$
Il vient
$$
{k!\over\Vert V_1\Vert_k\cdots\Vert V_k\Vert_k}\int_\Omega
\beta_k\wedge dd^cV_1\wedge\ldots\wedge dd^cV_k\leq
2^k(1+a)...(k+a){(k-1)!\over k^{k-1}}\int_\Omega\beta_0v^k
$$
tandis que $\Vert v\Vert_k\leq k$. L'inégalité (c) s'ensuit avec
$$
C_3(k,a) = 2^k(1+a)\ldots(k+a).
\eqno\square
$$
Une conséquence immédiate du théorème 2.2~(b) est que le courant 
$V\,dd^c\varphi_1\wedge\ldots\wedge dd^c\varphi_k$ est de masse
localement finie sur $X$~; en particulier on retrouve le résultat 
suivant dû à Bedford-Taylor [BT2].
\medskip

{\statement Corollaire 2.3.\pointir} {\it Les mesures coefficients de
$dd^c\varphi_1\wedge\ldots\wedge dd^c\varphi_k$ ne chargent pas les ensembles
pluripolaires $\{V = -\infty\}$.\hfil\square}
\medskip


L'espace $X$ étant de Stein, il existe d'après J.E.~Fornaess
et R.~Narasimhan [FN] des suites décroissantes $V_m$, $\varphi_{j,m}$ de
fonctions psh $\cC^\infty$ sur $X$ telles que
$$
V_m\to V,\qquad\varphi_{j,m}\to\varphi_j\qquad\hbox{pour $1\leq j\leq k$}.
$$

{\statement Lemme 2.4.\pointir} {\it Il existe des suites strictement
croissantes d'entiers $m(\nu)$, $m_1(\nu)$, $\ldots$~, $m_k(\nu)$, 
$\nu\in\bN$, telles qu'au sens de la convergence faible des mesures on 
ait au choix l'une ou l'autre des propriétés de convergence ci-dessous~$:$
{\parindent=6.5mm
\vskip2pt
\item{\rm(a)} $\displaystyle
dd^cV_{m(\nu)}\wedge dd^c\varphi_{1,m_1(\nu)}\wedge\ldots\wedge
dd^c\varphi_{k,m_k(\nu)}
\longrightarrow dd^cV\wedge dd^c\varphi_1\wedge\ldots\wedge dd^c\varphi_k$
\vskip2pt
\item{\rm(b)} $\displaystyle
V_{m(\nu)}\wedge dd^c\varphi_{1,m_1(\nu)}\wedge\ldots\wedge
dd^c\varphi_{k,m_k(\nu)}
\longrightarrow V\wedge dd^c\varphi_1\wedge\ldots\wedge dd^c\varphi_k$.
\medskip}}

{\it Démonstration}. D'après le théorème 2.2 déjà démontré dans le
cas des fonctions psh $\cC^\infty$ les suites (a), (b) sont localement bornées
en masse, et les parties bornées de l'espace des courants d'ordre~$0$ sont
métrisables pour la topologie faible. Dans le cas (a) on observe que
$$
\varphi_{k,m}dd^cV\wedge dd^c\varphi_1\wedge\ldots\wedge dd^c\varphi_{k-1}
\longrightarrow
\varphi_kdd^cV\wedge dd^c\varphi_1\wedge\ldots\wedge dd^c\varphi_{k-1}
$$
par convergence monotone de $\varphi_{k,m}$ quand $m\to+\infty$~; 
en passant au $dd^c$ on a donc
$$
dd^cV\wedge dd^c\varphi_1\wedge\ldots\wedge dd^c\varphi_{k-1}\wedge
dd^c\varphi_{k,m} \longrightarrow
dd^cV\wedge dd^c\varphi_1\wedge\ldots\wedge dd^c\varphi_{k-1}\wedge
dd^c\varphi_k.
$$
La topologie étant métrisable, on peut choisir successivement $m_k(\nu)=\nu$
puis $m_{k-1}(\nu)$, $\ldots$~, $m_1(\nu)$, $m(\nu)$ par récurrence 
sur $\nu$ (resp.\ $m(\nu) =\nu$ puis $m_1(\nu)$, $\ldots$~, $m_1(\nu)$ dans
le cas (b)) pour obtenir la convergence souhaitée.\hfil\square
\medskip

Énonçons ici en vue de références ultérieures le lemme d'intégration par 
parties que nous avons utilisé.
\medskip

{\statement Lemme 2.5.\pointir} {\it Si $u$ et $v$ sont des formes de 
classe $\cC^2$ de bidegrés respectifs $(p,q)$ et $(n-p-1, n-q-1)$ avec 
$p+q$ pair, alors
$$
\int_\Omega u\wedge dd^cv = \int_{\partial\Omega}u\wedge d^cv - d^cu\wedge v.
$$}

Il suffit en effet d'appliquer le théorème de Stokes à la forme
$$
d\big(u\wedge d^cv - d^cu\wedge v\big)=
u\wedge dd^cv- dd^cu\wedge v+du\wedge d^cv+d^cu\wedge dv
$$
et d'observer que 
$$
du\wedge d^cv = i(\partial u\wedge\overline\partial v -
\overline\partial u\wedge\partial v) = -d^cu\wedge dv.\eqno\square
$$
En adaptant les techniques de [BT2] à la situation présente,
nous montrons maintenant la continuité de l'opérateur $(dd^c)^k$ par 
rapport aux limites décroissantes de fonctions psh.
\medskip

{\statement Théorème 2.6.\pointir} {\it Soient $\{\varphi_j^\nu\}_{\nu\in\bN}
\subset L^\infty_\loc(X)$ et $\{V^\nu\}_{\nu\in\bN}$ des suites décroissantes 
de fonctions psh telles que
$$
\varphi_j=\lim_{\nu\to+\infty}\varphi_j^\nu\in L^\infty_\loc(X),\qquad
V=\lim_{\nu\to+\infty}V^\nu\not\equiv -\infty.
$$
Au sens de la convergence faible des mesures, on a alors
{\parindent=6.5mm
\vskip2pt
\item{\rm(a)} $\displaystyle
dd^cV^\nu\wedge dd^c\varphi_1^\nu\wedge \ldots\wedge
dd^c\varphi_k^\nu\longrightarrow
dd^cV\wedge dd^c\varphi_1\wedge \ldots\wedge dd^c\varphi_k,$
\vskip2pt
\item{\rm(b)}  $\displaystyle
V^\nu\wedge dd^c\varphi_1^\nu\wedge \ldots\wedge
dd^c\varphi_k^\nu\longrightarrow
V\wedge dd^c\varphi_1\wedge \ldots\wedge dd^c\varphi_k,$
\vskip2pt
\item{\rm(c)}  $\displaystyle
\varphi_k^\nu dd^cV^\nu\wedge dd^c\varphi_1^\nu\wedge \ldots\wedge
dd^c\varphi_{k-1}^\nu\longrightarrow
\varphi_k\wedge dd^cV\wedge dd^c\varphi_1\wedge \ldots\wedge dd^c\varphi_k.$
\medskip}}

Nous prouverons le théorème~2.6 simultanément avec la propriété suivante 
qui en est un corollaire.
\medskip

{\statement Corollaire 2.7.\pointir} {\it
{\parindent=6.5mm
\vskip2pt
\item{\rm(a)} $\displaystyle
dd^c\big(V\wedge dd^c\varphi_1\wedge \ldots\wedge dd^c\varphi_k\big)=
dd^cV\wedge dd^c\varphi_1\wedge \ldots\wedge dd^c\varphi_k.$
\vskip2pt
\item{\rm(b)} Les courants $V\wedge dd^c\varphi_1\wedge \ldots\wedge 
dd^c\varphi_k$ et $dd^cV\wedge dd^c\varphi_1\wedge \ldots\wedge dd^c\varphi_k$
sont symétriques en~$\varphi_1,\ldots,\varphi_k$.\medskip}}

{\it Démonstration}. En utilisant le lemme 2.4 et un procédé évident
de suite diagonale, on se ramène au cas où $V^\nu$, $\varphi_1^\nu$,
$\ldots$~, $\varphi_k^\nu$ sont de classe $\cC^\infty$. Comme les 
propriétés 2.6~(a,b,c) sont locales, on peut sans perte de généralité
se placer dans un ouvert $\Omega = \{\rho < 0\}\compact X$. On va 
maintenant se ramener à la situation où $\varphi_j$, $\varphi_j^\nu$ 
sont de classe $\cC^\infty$ au voisinage de $\partial\Omega$ et nulles 
sur~$\partial\Omega$, de manière à pouvoir appliquer la formule de Stokes 
sans termes de bord. Soit $\bR^2\ni(u,v)\mapsto\lambda(u,v)$
une fonction $\cC^\infty$ convexe croissante en~$u$ et~$v$, qui coïncide avec
$\max(u,v)$ pour $|u-v| > 1$. Alors $\tilde\varphi_j^\nu=
\lambda\big(\varphi_j^\nu-{2\over\varepsilon},\varepsilon^{-2}\rho\big)$
est psh~$\cC^\infty$, de plus pour $\varepsilon > 0$ assez petit on a
$$
\cases{
\tilde\varphi_j^\nu= \varphi_j^\nu - {2\over\varepsilon}&
sur~ $\Omega_{3\varepsilon}=\{\rho<-3\varepsilon\}$,\cr
\noalign{\vskip5pt}
\tilde\varphi_j^\nu=\varepsilon^{-2}\rho&
sur~ $\overline\Omega\ssm \Omega_\varepsilon=\{-\varepsilon\leq
\rho\leq 0\}$.\cr}
$$
On peut donc finalement supposer que $\varphi_j^\nu=\varphi_j=\varepsilon^{-2}
\rho$ sur la \lguil\?couronne\?\rguil\ 
$\overline\Omega\ssm \Omega_\varepsilon$ (et ceci quels que soient 
$j$,~$\nu$).

{\it Preuve de} 2.6~(a). On raisonne par récurrence sur~$k$. D'après (2.1) 
il suffit de prouver que
$$
\leqalignno{
\lim_{\nu\to+\infty}\int_\Omega
\varphi_k^\nu\,dd^cV^\nu\wedge dd^c\varphi_1^\nu&\wedge \ldots\wedge
dd^c\varphi_{k-1}^\nu\wedge dd^c\psi\cr
&=\int_\Omega\varphi_k\,dd^cV\wedge dd^c\varphi_1\wedge \ldots\wedge 
dd^c\varphi_{k-1}
&(2.8)\cr}
$$
pour toute forme $\psi\in\cC^\infty_{n-k-1,n-k-1}(\overline\Omega)$ telle que 
$\psi_{|\partial\Omega}= 0$ (noter que par hypothèse
$\varphi^\nu_{k|\partial\Omega}= 0$). Quitte à remplacer $\psi$ 
successivement par $\rho(dd^c\rho)^{n-k-1}$ et
$\psi+A\rho(dd^c\rho)^{n-k-1}\kern-0.5pt,$ $A\gg 0$, on peut 
supposer $dd^c\psi\geq 0$
sur~$\overline\Omega$. L'inégalité $\leq$ dans (2.8) résulte alors 
simplement de l'hypothèse de récurrence
$$
dd^cV^\nu\wedge dd^c\varphi_1^\nu\wedge \ldots\wedge dd^c\varphi_{k-1}^\nu
\longrightarrow dd^cV\wedge dd^c\varphi_1\wedge \ldots\wedge dd^c\varphi_{k-1}
$$
et du théorème de convergence monotone. Pour prouver l'inégalité 
$\geq$ inverse, on effectue des intégrations par parties successives au 
moyen du lemme 2.5~:
$$
\eqalign{
\int_\Omega \varphi_k\,dd^cV&\wedge dd^c\varphi_1\wedge \ldots\wedge 
dd^c\varphi_{k-1}\wedge dd^c\psi\cr
&\leq\int_\Omega \varphi_k^\nu\,dd^cV\wedge dd^c\varphi_1\wedge \ldots\wedge
dd^c\varphi_{k-1}\wedge dd^c\psi\cr
&=\int_\Omega \varphi_{k-1}\,dd^cV\wedge dd^c\varphi_1\wedge \ldots\wedge
dd^c\varphi_{k-2}\wedge dd^c\varphi_k^\nu\wedge dd^c\psi\cr
&\leq\int_\Omega \varphi_{k-1}^\nu\,dd^cV\wedge dd^c\varphi_1\wedge \ldots
\wedge dd^c\varphi_{k-2}\wedge dd^c\varphi_k^\nu\wedge dd^c\psi\cr
&=\cdots\leq
\int_\Omega \varphi_1^\nu\,dd^cV\wedge dd^c\varphi_2^\nu\wedge \ldots
\wedge dd^c\varphi_k^\nu\wedge dd^c\psi\cr
&=\int_\Omega V\,dd^c\varphi_1^\nu\wedge dd^c\varphi_2^\nu\wedge\ldots
\wedge dd^c\varphi_k^\nu\wedge dd^c\psi\cr
&\kern40pt{}-
\int_{\partial\Omega} V\,d^c\varphi_1^\nu\wedge dd^c\varphi_2^\nu\wedge
\ldots\wedge dd^c\varphi_k^\nu\wedge dd^c\psi\cr
&\leq\int_\Omega V^\nu\,dd^c\varphi_1^\nu\wedge\ldots\wedge 
dd^c\varphi_k^\nu\wedge dd^c\psi
-\varepsilon^{-2k}\int_{\partial\Omega} V\,d^c\rho\wedge(dd^c\rho) ^{k-1}
\wedge dd^c\psi\cr
&=\int_\Omega \varphi_k^\nu\,dd^cV^\nu\wedge dd^c\varphi_1^\nu\wedge\ldots
\wedge dd^c\varphi_k^\nu\wedge dd^c\psi\cr
&\kern40pt{}-
+\varepsilon^{-2k}\int_{\partial\Omega} (V^\nu-V)\,
d^c\rho\wedge(dd^c\rho) ^{k-1}\wedge dd^c\psi.\cr}
$$
La dernière intégrale tend vers $0$ par convergence monotone, ce qui 
achève la preuve de 2.6~(a).
\medskip

{\it Preuve de} 2.7~(a). Conséquence immédiate de 2.4~(b) et 2.6~(a). 
\medskip

{\it Preuve de} 2.6~(b). L'inégalité 2.2~(b) entraîne que la suite
$V^\nu\,dd^c\varphi_1^\nu\wedge\ldots\wedge dd^c\varphi_k^\nu$
est de masse localement uniformément bornée sur $X$. De plus toute valeur 
d'adhérence $T$ de cette suite est telle que
$$
T\leq V\,dd^c\varphi_1\wedge\ldots\wedge dd^c\varphi_k,
$$
avec égalité sur $\Omega\ssm\Omega_\varepsilon$ (là où 
$\varphi_j^\nu = \varphi_j = \varepsilon^{-2}\rho$). D'après 2.6~(a) et 
2.7~(a) on a d'autre part
$$
dd^cT= dd^cV\wedge dd^c\varphi_1\wedge\ldots\wedge dd^c\varphi_k=
dd^c\big(V\,dd^c\varphi_1\wedge\ldots\wedge dd^c\varphi_k\big).
$$
Distinguons maintenant deux cas suivant la valeur de l'entier~$k$.
\medskip

Si $k\leq n-1$, le lemme 2.5 appliqué avec $v = \rho(dd^c\rho)^{n-k-1}$ 
entraîne que le courant positif
$$
u = V\,dd^c\varphi_1\wedge\ldots\wedge dd^c\varphi_k - T
$$
est nul sur~$\Omega$.

Si $k = n$, on peut considérer $V$, $\varphi_1$, $\ldots$~, $\varphi_k$ 
comme des fonctions sur $X\times\bC$ ne dépendant pas de la dernière 
variable, et appliquer le résultat 2.6~(b) déjà connu à 
$X\times\bC$. La démonstration de 2.6~(c) est identique.\hfil\square
\medskip

{\statement Remarque 2.9.\pointir} Si $\varphi_j$ est${}\geq 0$, on peut écrire
$$
d\varphi_j\wedge d^c\varphi_j = {1\over 2} dd^c\varphi_j^2 - 
\varphi_j\,dd^c\varphi_j~;
$$
par conséquent, le théorème de convergence faible 2.6 reste valable pour
tout produit de $V$ ou $dd^cV$ par des $(1,1)$-formes du type $dd^c\varphi_j$,
$d\varphi_j\wedge d^c\varphi_j$, ou encore (par polarisation) 
$d\varphi_i\wedge d^c\varphi_j+d\varphi_j\wedge d^c\varphi_i$.
\medskip

{\statement Remarque 2.10.\pointir} Le lecteur trouvera une
intéressante discussion sur le problème de la définition et de la
continuité de l'opérateur de Monge-Ampère dans [Ki] et [Ce]. En
particulier, il est possible d'étendre certains des résultats
précédents au cas où les fonctions $\varphi_j$ ne sont plus
nécessairement bornées, à condition de faire une hypothèse de
compacité sur les pôles des $\varphi_j$. Nous supposerons qu'il
existe un compact $K\subset X$ tel que $\varphi_1,\ldots,\varphi_k$ 
soient localement bornées sur $X\ssm K$. Alors la définition (2.1), 
le lemme 2.4~(a) et le théorème 2.6~(a) restent valables.
\medskip

Pour le voir, on observe que le problème se pose uniquement
au voisinage de~$K$. Soit $\rho$ une fonction $\cC^\infty$
strictement psh et $\omega$ un ouvert tels que 
$K\subset\omega\compact\Omega=\{\rho<0\}\compact X$.
Quitte à remplacer $\varphi_j$ par
$$
\cases{
\varphi_j-{2\over\varepsilon}&sur $\omega$,\cr
\noalign{\vskip8pt}
\varepsilon^{-2}\rho&sur $X\ssm\Omega$,\cr
\noalign{\vskip6pt}
\max\big(\varphi_j-{2\over\varepsilon},\varepsilon^{-2}\rho\big)&sur 
$\Omega\ssm\omega$,\cr}
$$
on peut supposer $\varphi_j = \varepsilon^{-2}\rho$ au voisinage 
de~$\partial\Omega$. Démontrons d'abord par récurrence que 
$\varphi_k\,dd^cV\wedge dd^c\varphi_1\wedge\ldots\wedge dd^c\varphi_{k-1}$ 
(et donc aussi $dd^cV\wedge dd^c\varphi_1\wedge\ldots\wedge dd^c\varphi_k$)
est de masse localement finie si~$k\leq n-1$. Pour tout $a < 0$ on a en 
effet, avec la notation $\varphi_{k,a}=\max(\varphi_k,a)$~:\eject
$$
\eqalign{
\int_\Omega|\varphi_{k,a}|\,dd^cV&\wedge dd^c\varphi_1\wedge\ldots\wedge 
dd^c\varphi_{k-1}\wedge (dd^c\rho)^{n-k}\cr
&=\int_\Omega|\rho|\,dd^c\big(\varphi_{k,a} dd^cV\wedge dd^c\varphi_1
\wedge\ldots\wedge dd^c\varphi_{k-1}\big)\wedge (dd^c\rho)^{n-k-1}\cr
&\le C\int_\Omega dd^c\big(\varphi_{k,a} dd^cV\wedge dd^c\varphi_1
\wedge\ldots\wedge dd^c\varphi_{k-1}\big)\wedge (dd^c\rho)^{n-k-1}\cr
&=C\varepsilon^{-2k}\int_\Omega dd^cV\wedge(dd^c\rho)^{n-1}<+\infty,\cr}
$$
la dernière égalité provenant du théorème de Stokes. La démonstration de 
2.4~(a) et 2.6~(a) se fait alors sans aucune modification.
\bigskip

\section{3}{Mesures de Monge-Ampère et formule de Jensen.}

A toute fonction $\varphi$ psh continue et exhaustive sur un espace de
Stein, nous allons associer de manière canonique une famille de
mesures positives portées par les ensembles de niveau de
$\varphi$. Ces mesures apparaissent naturellement lorsqu'on cherche à
étendre la formule de Jensen en plusieurs variables. Les principales
idées de ce paragraphe reposent sur les calculs faits par P.~Lelong
[Le1] pour montrer l'existence des nombres de Lelong d'un courant
positif fermé. Nous reprenons pour l'essentiel les notations de [De4],
[De5] (voir aussi l'article de H.~Skoda [Sk1]).

On considère un espace de Stein $X$ de dimension pure $n$, réduit,
muni d'une fonction psh continue $\varphi:X\to[-\infty,R[\,$, où $R\in{}
]-\infty,+\infty]$. Pour tout $r<R$ on note
$$
B(r) =\big\{z\in X\,;\;\varphi(z) < r\big\},\qquad
B(r) = \big\{z\in X\,;\;\varphi(z) \leq r\big\}
$$
les \lguil\?pseudoboules\?\rguil\ ouvertes et fermées associées à
$\varphi$ (on prendra garde au fait que $\overline B(r)$ n'est pas
nécessairement l'adhérence de $B(r)$~!) . On suppose que $\varphi$ est
{\it exhaustive}, c'est-à-dire que les pseudoboules $\overline B(r)$,
$r<R$, sont {\it compactes}. On pose enfin pour tout $r\in [-\infty,R[$
$$
\eqalign{
&S(r) = \big\{z \in X\,;\;\varphi(z) = r\big\} = \overline B(r)\ssm B(r),\cr
&\varphi_r = \max(\varphi,r),\qquad\alpha = dd^c\varphi = 2i\,\partial
\overline\partial\varphi.\cr}
$$
Le courant $(dd^c\varphi_r)^n$ est bien défini grâce à (2.1) si
$r>-\infty$, et si $r=-\infty$, $(dd^c\varphi_r)^n = (dd^c\varphi)^n$
existe d'après la remarque 2.10.
\medskip

{\statement Lemme 3.1.\pointir} {\it L'application $r\mapsto (dd^c\varphi_r)^n$
est continue de $[-\infty,R[$ dans l'espace des mesures sur $X$ muni de la 
topologie faible.}
\medskip

{\it Démonstration}. La continuité à droite résulte du théorème 2.6~(a), 
tandis que la continuité à gauche s'obtient en écrivant
$$
(dd^c\varphi_r)^n = \big(dd^c\max(\varphi-r,0)\big)^n.\eqno\square
$$
Comme $(dd^c\varphi_r)^n$ est nul sur $B(r)$ et coïncide avec $(dd^c\varphi)^n$
sur $X\ssm\overline B(r)$, la continuité à gauche entraîne
$$
(dd^c\varphi_r)^n\geq \bOne_{X\ssm B(r)}(dd^c\varphi)^n,
$$
où $\bOne_A$ désigne la fonction caractéristique d'une partie~$A\subset X$. 
Les résultats ci-dessous découlent aussitôt de ces remarques et justifient
la définition suivante.
\medskip

{\statement Théorème et définition 3.2.\pointir} {\it On appellera
mesures de Monge-Ampère associées à $\varphi$ les familles de
mesures positives $(\mu_r)$, $(\overline\mu_r)$ portées par $S(r)$, 
$r\in[-\infty,R[\,$, définies par
$$
\eqalign{
\mu_r&=(dd^c\varphi_r)^n-\bOne_{X\ssm B(r)}(dd^c\varphi)^n,\cr
\overline\mu_r&=(dd^c\varphi_r)^n-\bOne_{X\ssm\overline B(r)}(dd^c\varphi)^n.\cr}
$$
La famille $\mu_r$ $($resp.\ $\overline\mu_r)$ est faiblement continue 
à gauche $($resp.\ à droite$)$, et on a les relations
$$
\eqalign{
\overline\mu_r&=\lim_{\rho\to r+0}\mu_\rho,\qquad
\mu_r=\lim_{\rho\to r-0}\overline\mu_\rho,\cr
\overline\mu_r&=\bOne_{S(r)}(dd^c\varphi_r)^n=\mu_r+\bOne_{S(r)}
(dd^c\varphi)^n.\cr}
$$
Soit $D_\varphi\subset [-\infty,R[$ l'ensemble au plus dénombrable des réels
$r$ tels que $S(r)$ soit négli\-geable pour la mesure $(dd^c\varphi)^n$ sur~$X$.
Alors $\overline\mu_r =\mu_r$ pour tout $r\notin D_\varphi$, et les 
applications $r\mapsto\mu_r$, $r\mapsto\overline\mu_r$ sont continues
en tout point $r\notin D_\varphi$. \hfil\square}
\medskip

Nous remercions vivement E.~Bedford de nous avoir suggéré cette
définition, qui simplifie celle que nous avions utilisé dans une
version antérieure de ce travail. En tout point où $\varphi$ est
régulière, $\mu_r$ et $\overline\mu_r$ peuvent se décrire par une 
forme différentielle simple sur l'hypersurface $S(r)$.
\medskip

{\statement Proposition 3.3.\pointir} {\it Soit $x\in X$ un point régulier
au voisinage duquel $\varphi$ est de classe $\cC^2$ et tel que 
$d\varphi(x)\neq 0$. On oriente $S(r)$ comme bord de $B(r)$. Alors les 
mesures $\mu_r$ et $\overline\mu_r$ sont définies au voisinage de $x$ par 
la $(2n-1)$-forme volume $(dd^c\varphi)^{n-1}\wedge\varphi_{|S(r)}$.}
\medskip

{\it Démonstration}. Soit $\Omega$ un voisinage de $x$ sur lequel $d\varphi
\neq 0$, et $h$ une fonction $\cC^\infty$ à support compact dans~$\Omega$. 
Écrivons
$$
\max(r,t) = \lim_{\nu\to+\infty}\chi_\nu(t)
$$
où $\chi_\nu$ est une suite de régularisées par convolution de $t\mapsto
\max(r,t)$. On peut faire en sorte que $(\chi_\nu)$ soit une suite 
décroissante de fonctions convexes~$\cC^\infty$, telle que 
$0\leq\chi'_\nu\leq 1$, avec $\lim\chi'_\nu(t)$ égal à $0$ pour $t<r$ et
égal à $1$ pour $t > r$. Le théorème 2.6~(a) entraîne donc
$$
\eqalign{
\int_\Omega h\,(dd^c\varphi_r)^n
&=\lim_{\nu\to+\infty}\int_\Omega h\,(dd^c\chi_\nu\circ\varphi)^n\cr
&=\lim_{\nu\to+\infty}-\int_\Omega dh\wedge(dd^c\chi_\nu\circ\varphi)^{n-1}
\wedge d^c(\chi_\nu\circ\varphi)\cr
&=\lim_{\nu\to+\infty}-\int_\Omega \chi_\nu'(\varphi)^n\,dh\wedge
(dd^c\varphi)^{n-1}\wedge d^c\varphi\cr
&=-\int_{\Omega\ssm B(r)}dh\wedge(dd^c\varphi)^{n-1}\wedge d^c\varphi\cr
&=\int_{\Omega\cap S(r)}h\,(dd^c\varphi)^{n-1}\wedge d^c\varphi+
\int_{\Omega\ssm B(r)}h\,(dd^c\varphi)^n\cr}
$$
d'après la formule de Stokes. On en déduit donc sur $\Omega$ l'égalité 
de mesures
$$
(dd^c\varphi_r)^n=(dd^c\varphi)^{n-1}\wedge d^c\varphi_{|S(r)}+
\bOne_{\Omega\ssm B(r)}(dd^c\varphi)^n.
\eqno\square
$$
Nous pouvons maintenant démontrer la formule de Jensen-Lelong que nous 
avions en vue.
\medskip

{\statement Théorème 3.4.\pointir} {\it Soit $V$ une fonction psh sur $X$. 
Alors $V$ est $\mu_r$-intégrable pour tout $r\in{}]-\infty,R[\,$. De plus
$$
\int_{-\infty}^rdt\int_{B(t)}dd^cV\wedge\alpha^{n-1}=
\mu_r(V)-\int_{B(r)}V\,\alpha^n,
$$
où $\alpha=dd^c\varphi$. Les deux membres sont finis si $\inf_X\varphi>
-\infty$ ou si $\inf_{B(r)}V>-\infty$.}
\medskip

{\it Démonstration}. L'intégrabilité de $V$ pour $\mu_r$ 
(et pour $\overline\mu_r$) résulte du fait que $V$ est intégrable pour 
$(dd^c\varphi_r)^n$ d'après le théorème 2.2~(b). Notons aussi que les
intégrales $\int_{B(t)}dd^cV\wedge(dd^c\varphi)^{n-1}\geq 0$ et
$\int_{B(r)}V\,(dd^c\varphi)^n$ ont bien un sens en vertu de la remarque 2.10, 
la première étant d'ailleurs toujours convergente. La deuxième converge si 
\hbox{$\inf_X\varphi>-\infty$} grâce à 2.2~(b), ou si $\inf_{B(r)}V>-\infty$ 
grâce à 2.10. Pour démontrer la formule 3.4, on suppose d'abord
$$
\inf_X\varphi>-\infty\quad\hbox{et}\quad\inf_{B(r)}V>-\infty,
$$
et on se donne $c > r$. Le théorème de Fubini implique
$$
\eqalign{
\int_{-\infty}^cdt\int_{B(t)}dd^cV\wedge(dd^c\varphi)^{n-1}
&=\int_{B(c)}\bigg[\int_{\{\varphi<t<c\}}dt\bigg]\,dd^cV\wedge(dd^c\varphi)^{n-1}\cr
&=\int_{B(c)}(c-\varphi)\,dd^cV\wedge(dd^c\varphi)^{n-1}.\cr}
$$
D'après la formule de Stokes, on a l'égalité
$$
\eqalign{
\int_{B(c)}d\Big[(c-\varphi)\,&d^cV\wedge(dd^c\varphi)^{n-1}+
V\,(dd^c\varphi)^{n-1}\wedge d^c\varphi\Big]\cr
&=\int_{B(c)}d\Big[(c-\varphi_r)\,d^cV\wedge(dd^c\varphi_r)^{n-1}+
V\,(dd^c\varphi_r)^{n-1}\wedge d^c\varphi\Big]\cr}
$$
puisque les courants à intégrer coïncident sur la couronne 
$B(c)\ssm\overline B(r)$. Si on développe la première intégrale, il vient
$$
\int_{B(c)}(c-\varphi)\,dd^cV\wedge(dd^c\varphi)^{n-1}+V\,(dd^c\varphi)^n+
\int_{B(c)}(dV\wedge d^c\varphi-d\varphi\wedge d^cV)\wedge(dd^c\varphi)^{n-1}
$$
et comme la composante de type $(1,1)$ de $dV\wedge d^c\varphi-d\varphi\wedge
d^cV$ est nulle, la deuxième somme s'annule. Par suite
$$
\int_{B(c)}(c-\varphi)\,dd^cV\wedge(dd^c\varphi)^{n-1}+V\,(dd^c\varphi)^n=
\int_{B(c)}(c-\varphi_r)\,dd^cV\wedge(dd^c\varphi_r)^{n-1}+V\,(dd^c\varphi_r)^n.
$$
Faisons maintenant tendre $c$ vers $r$ à droite. Comme 
$0\leq c-\varphi_r\leq c-r$, il vient à la limite
$$
\int_{\overline B(r)}(r-\varphi)\,(dd^c\varphi)^{n-1}+V\,(dd^c\varphi)^n
=\int_{\overline B(r)}V\,(dd^c\varphi_r)^n=\overline\mu_r(V).
$$
Compte tenu de (3.5) et de l'égalité $\overline\mu_r=\mu_r+\bOne_{S(r)}
(dd^c\varphi)^n$, ceci démontre la formule 3.4 sous 
l'hypothèse restrictive que $\varphi$ et $V$ soient minorées. Dans le cas 
général, on peut écrire $V =\lim_{\nu\to+\infty}V_\nu$ où $V_\nu$ est 
une suite décroissante de fonctions psh $\cC^\infty$ sur $X$ (cf.\ [FN]). 
Soit $a<r$ fixé. D'après ce qui précède, en remplaçant $\varphi$ par
la fonction localement bornée $\varphi_a$, on obtient l'égalité
$$
\mu_r(V_\nu)=\int_a^r dt\int_{B(t)} dd^cV_\nu\wedge(dd^c\varphi_a)^{n-1}+
\int_{B(r)}V_\nu\,(dd^c\varphi_a)^n.
$$
Un passage à la limite quand $\nu$ tend vers $+\infty$ donne
$$
\mu_r(V)=\int_a^r dt\int_{B(t)} dd^cV\wedge(dd^c\varphi_a)^{n-1}+
\int_{B(r)}V\,(dd^c\varphi_a)^n~;
$$
en effet, la mesure $dd^cV_\nu\wedge(dd ^c\varphi_a)^{n-1}$ converge 
faiblement vers $dd^cV\wedge(dd ^c\varphi_a)^{n-1}$ grâce au théorème 
2.6~(a), et cette mesure est évaluée sur la fonction continue 
$\bOne_{B(r)}(r-\varphi_a)$ d'après (3.5). Le théorème de Stokes montre 
que la mesure 
$$
dd^cV\wedge\big[(dd^c\varphi_a)^{n-1}-(dd^c\varphi)^{n-1}\big]
$$
est d'intégrale nulle sur $B(t)$ pour tout~$t > a$, donc on obtient
$$
\int_a^r dt\int_{B(t)} dd^cV\wedge(dd^c\varphi)^{n-1}=\mu_r(V)-
\int_{B(r)}V\,(dd^c\varphi_a)^n.
$$
Cette formule entraîne que les fonctions continues 
$a\mapsto\int_{B(r)}V_\nu\,(dd^c\varphi_a)^n$ sont croissantes
sur $[-\infty,r[\,$. Leur limite décroissante
$a\mapsto\int_{B(r)}V\,(dd^c\varphi_a)^n$ est donc continue à droite, 
ce qui permet de passer à la limite en $a=-\infty$.\hfil\square
\medskip

De la formule 3.4 on déduit aussitôt la formule analogue pour les
mesures $\overline\mu_r$~:
$$
\int_{-\infty}^rdt\int_{B(t)}dd^cV\wedge(dd^c\varphi)^{n-1}=
\overline\mu_r(V)-\int_{\overline B(r)}V\,(dd^c\varphi)^n.
\leqno(3.6) 
$$
En particulier pour $V = 1$ il vient~:
\medskip

{\statement Corollaire 3.7.\pointir} {\it Les masses totales de $\mu_r$ et 
$\overline\mu_r$ sont données par
$$
\Vert\mu_r\Vert=\int_{B(r)}(dd^c\varphi)^n=\int_{B(r)}\alpha^n,\qquad
\Vert\overline\mu_r\Vert=\int_{\overline B(r)}(dd^c\varphi)^n
=\int_{\overline B(r)}\alpha^n.
$$}

Dans toute la suite, nous laisserons au lecteur le soin de traduire
les résultats obtenus dans le cas des mesures~$\overline\mu_r$. Nous
étudions maintenant la continuité des mesures $\mu_r$ en fonction de
l'exhaustion~$\varphi$.
\medskip

{\statement Proposition 3.8.\pointir} {\it Soit $(\varphi^\nu)_{\nu\in\bN}$ 
une  suite décroissante de fonctions psh continues convergeant vers 
$\varphi$ sur~$X$, et $\mu_r^\nu$ les mesures de Monge-Ampère associées 
à $\varphi^\nu$. Alors $\mu_r^\nu$ converge faiblement vers $\mu_r$ 
pour tout $r \in{}]-\infty,R[{}\ssm D_\varphi$.}
\medskip

{\it Démonstration}. Il suffit d'appliquer la définition 3.2, qui donne
$$
\mu_r^\nu=(dd^c\varphi_r^\nu)^n-\bOne_{X\ssm B(r)}(dd^c\varphi^\nu)^n
$$
avec 
$$
\varphi^\nu_r=\max(\varphi^\nu,r),\qquad 
B^\nu_r=\big\{|z\in X\,;\;\varphi^\nu(z)<r\big\},
$$
et d'observer que $B(r) =\bigcup B^\nu(r)$. Le théorème 2.6~(a) 
implique alors
$$
(dd^c\varphi^\nu)^n\to (dd^c\varphi)^n,\qquad
(dd^c\varphi^\nu_r)^n\to (dd^c\varphi_r)^n.\eqno\square
$$
La proposition suivante montre que les mesures $\mu_r$ sont essentiellement les mesures de désintégration du courant $(dd^c\varphi)^{n-1}\wedge d\varphi\wedge 
d^c\varphi$ sur la famille des pseudosphères~$S(r)$.
\medskip

{\statement Proposition 3.9.\pointir} {\it Soit $h$ une fonction 
borélienne bornée à support compact dans l'ouvert \hbox{$X\ssm S(-\infty)$}.
Alors 
{\parindent=6.5mm
\vskip2pt
\item{\rm(a)} $\displaystyle
\int_{-\infty}^R\mu_r(h)\,dr=\int_Xh\,\alpha^{n-1}\wedge d\varphi\wedge 
d^c\varphi$.
\vskip2pt
\item{\rm(b)} Si de plus $h$ est de classe $\cC^1$, on a\vskip5pt
$\displaystyle
\mu_r(h)\,dr=\int_{B(r)}h\,\alpha^n+ dh\wedge d^c\varphi\wedge 
\alpha^{n-1}$.\medskip}}

{\it Démonstration}. (a) Les deux membres définissent des mesures
positives opérant sur~$h$.  Il suffit donc de démontrer l'égalité
lorsque $h$ est continue à support compact. D'après la proposition 3.3
et le théorème de Fubini, la formule est vraie lorsque $\varphi$ est
de classe~$\cC^\infty$~: le théorème de Sard montre en effet que
l'ensemble des valeurs critiques de $\varphi$ est négli\-geable. Le cas
général s'obtient alors en appliquant la proposition 3.8 à une suite
$\varphi^\nu$ de régularisées de~$\varphi$ .

(b) D'après 3.3, la formule est vraie si $\varphi$ est $\cC^\infty$ et
si $r$ n'est pas valeur critique de $\varphi$. La proposition 3.8 étend
le résultat au cas où $\varphi$ est seulement continue, pourvu que 
$r\notin D_\varphi$. Il suffit alors d'observer que les deux membres
sont des fonctions continues à gauche en~$r$.\\\strut\hfil\square
\medskip

Soit $\chi:{}]-\infty,R[{}\to\bR$ une fonction convexe croissante non 
constante. Les mesures $\mu^*_r$ associées à l'exhaustion $\varphi^*
= \chi\circ\varphi$ sont alors reliées aux mesures $\mu_r$ par la 
formule de changement de variable suivante~:
\medskip

{\statement Proposition 3.10.\pointir} {\it Pour tout $r\in{}]-\infty,R[\,$, 
on a les formules
$$
\mu^*_{\chi(r)}=\chi'_-(r)^n\,\mu_r,\qquad
\overline\mu^*_{\chi(r)}=\chi'_+(r)^n\,\overline\mu_r
$$
où $\chi'_+$, $\chi'_-$ sont les dérivées à droite et à gauche de~$\chi$.}
\medskip

{\it Démonstration}. Les égalités résultent de la proposition 3.3 
lorsque $\varphi$, $\chi$ sont de classe $\cC^\infty$ et lorsque $r$ est 
valeur régulière de $\varphi$. La proposition 3.8 implique le cas général 
si $r\notin D_\varphi$, après passage à la limite décroissante sur $\varphi$
et~$\chi$. Le résultat s'en déduit par continuité pour 
$r\in D_\varphi$.\hfil\square\bigskip

\font\bigbfgreek=cmmib10 at 12pt
\font\bigbfsymb=cmbsy10 at 12pt

\section{4}{Mesure résiduelle de 
$\hbox{\bigbf(}\hbox{\bigbfit dd}^{\,\hbox{\bfit c}}
\hbox{\bigbfgreek\char'047}\hbox{\bigbf)}^{\hbox{\bfit n}}$ sur
$\hbox{\bigbfit S}\,\hbox{\bigbf(\kern1.5pt--\kern3pt}\hbox{\bigbfsymb\char'061}
\hbox{\bigbf)}$.}

Si $V$ est une fonction psh${}\geq 0$, le théorème 3.4 montre que
la fonction $r\mapsto\mu_r(V)$ est croissante${}\geq0$. De plus, comme 
l'intégrable double 
$$
\int_{-\infty}^rdt\int_{B(t)}dd^cV\wedge\alpha^{n-1}\le\mu_r(V)
$$
est convergente, il vient
$$
\lim_{\rho\to-\infty}\mu_r(V) = \lim_{\rho\to-\infty}\int_{B(r)}V\,\alpha^n
=\int_{S(-\infty)}V\,\alpha^n.
$$

{\statement Théorème et définition 4.1.\pointir} {\it La mesure 
$\overline\mu_{-\infty}=\bOne_{S(-\infty)}\alpha^n$ portée par le compact 
$S(-\infty)$ sera appelée mesure résiduelle associée à~$\varphi$. 
Pour toute fonction psh $V\geq 0$ sur~$X$ on a
$$
\overline\mu_{-\infty}(V) = \lim_{r\to-\infty}\mu_r(V),
$$
et $\mu_r$ tend faiblement vers $\overline\mu_{-\infty}$ quand 
$r\to-\infty$.}
\medskip

La dernière affirmation résulte du théorème 3.2, ou du fait qu'on peut
écrire toute fonction $h$ de classe $\cC^2$ sur l'espace de Stein $X$ sous
la forme $h = h_1-h_2$ avec $h_1,\,h_2\geq 0$ psh de classe~$\cC^2$.
\medskip

L'objet de ce paragraphe est d'énoncer quelques propriétés générales
des mesures résiduelles $\overline\mu_{-\infty}$. Pour évaluer
$\overline\mu_{-\infty}$ sur des exemples concrets, on dispose du théorème de 
comparaison suivant, inspiré des résultats de [De4], [De5] sur les 
nombres de Lelong.
\medskip

{\statement Théorème 4.2.\pointir} {\it Soient
$\varphi_j:X\to[-\infty,R_j[{},$ $j = 1,2,$ deux fonctions psh
continues exhaustives et $\mu_{r,j}$ les mesures
associées respectives sur $S_j(r)=\{\varphi_j = r\}$. On pose
$$
\ell=\liminf_{\varphi_1(z)\to-\infty}~{\varphi_2(z)\over\varphi_1(z)}.
$$
Alors pour toute fonction psh $V\geq 0$, on a l'inégalité
$$
\overline\mu_{-\infty,2}(V)\geq \ell^n\,\overline\mu_{-\infty,1}(V).
$$
En particulier, si $\varphi_2\sim\varphi_1$ quand $\varphi_1(z)\to-\infty$,
on a
$$
\overline\mu_{-\infty,2}(V)=\ell^n\,\overline\mu_{-\infty,1}(V).
$$}

{\it Démonstration}. Il suffit de montrer que 
$\overline\mu_{-\infty,2}(V)\geq \ell^n\,\overline\mu_{-\infty,1}(V)$
sous l'hypothèse\break $\liminf\varphi_2/\varphi_1 > 1$. Fixons $r < R_2$ 
et posons $\varphi=\max(\varphi_1-A,\varphi_2)$ où $A$ est choisi assez grand
pour que $\varphi$ coïncide avec $\varphi_2$ au voisinage de $S_2(r)$. Soient 
$\mu_r$ les mesures associées à~$\varphi$. L'hypothèse $\liminf 
\varphi_2/\varphi_1 > 1$ entraîne qu'il existe $t < r$ tel 
que $\varphi$ coïncide avec $\varphi_1-A$ sur $B_1(t) =\{\varphi_1 < t\}$. 
On obtient donc
$$
\overline\mu_{-\infty,1}(V)=\lim_{t\to-\infty}\overline\mu_{t,1}(V)=
\lim_{t\to-\infty}\overline\mu_{t}(V)\leq \mu_r(V)=\mu_{r,2}(V),
$$
d'où
$$
\overline\mu_{-\infty,1}(V)\leq\lim_{r\to-\infty}\overline\mu_{r,2}(V)=
\overline\mu_{-\infty,2}(V).\eqno\square
$$

Sous les hypothèses précédentes, on peut conjecturer que l'inégalité
entre mesures\break $\overline\mu_{-\infty,2}\geq\ell^n\,\overline\mu_{-\infty,1}$
a toujours lieu, mais les conclusions du théorème 4.2 ne nous ont pas
permis de le démontrer. Nous disposons toutefois du résultat
particulier suivant~:
\medskip

{\statement Corollaire 4.3.\pointir} {\it Avec les notations du
théorème~$4.2$, soit $A\subset S_1(-\infty)$ une partie borélienne qui est
réunion de composantes connexes de $S_1(-\infty)$ et $\bOne_A$ la fonction
caractéristique de~$A$. Alors pour toute fonction psh $V\geq 0$
$$
\overline\mu_{-\infty,2}(\bOne_A V)\geq \ell^n\,\overline\mu_{-\infty,1}(\bOne_A V).
$$
En particulier, si $S_1(-\infty)$ est totalement discontinu, on a 
$\overline\mu_{-\infty,2}\geq\ell^n\,\overline\mu_{-\infty,1}$.}

{\it Démonstration}. Il existe une suite croissante de compacts $K_\nu\subset A$
tels que l'on ait $\overline\mu_{-\infty,j}(A\ssm K_\nu) < 2^{-\nu}$,
$j = 1,2$. La relation d'équivalence dont les classes sont les 
composantes connexes de $S_1(-\infty)$ est de graphe fermé 
($S_1(-\infty)$ étant compact). Le saturé $\tilde K_\nu$ de $K_\nu$ 
est donc une partie compacte de~$A$~; de plus $\tilde K_\nu$ est 
intersection d'une suite décroissante de parties à la fois ouvertes
et fermées dans $S_1(-\infty)$ (cf.\ Bourbaki [Bo], chap.~II, \S4, 
n${}^\circ$4). On peut donc supposer que $A$ est ouvert et fermé 
dans $S_1(-\infty)$. Il existe alors un ouvert $U\compact X$
tel que $A = U\cap S_1(-\infty)$, $\partial U\cap S_1(-\infty) = \emptyset$.
Soit $r_0 = \inf_{\partial U}\varphi_1 > -\infty$ et
$$
\Omega = \big\{z\in U\,;\;\varphi_1(z) < r_0\big\}.
$$
L'ouvert $\Omega$ est réunion de composantes connexes de $B_1(r_0)$, donc
$\Omega$ est de Stein~; de plus $\varphi_1:\Omega\to [-\infty,r_0[$ 
est exhaustive. Posons
$$
\varphi_\nu = \max\big(\varphi_2,\nu(\varphi_1-r_0+1)\big).
$$
Pour $\nu > \sup_\Omega\varphi_2$, l'application $\varphi_\nu:\Omega\to
[-\infty,\nu[$ est exhaustive, tandis que pour $\nu\geq\ell$ on a
$$
\liminf_{\varphi_1(z)\to-\infty}{\varphi_\nu(z)\over\varphi_1(z)}
=\liminf{\varphi_2\over\varphi_1}=\ell.
$$
D'après le théorème 4.2 appliqué à $\varphi_1$ et $\varphi_\nu$ 
sur~$\Omega$, il vient
$$
\overline\mu_{-\infty,\nu}(\bOne_\Omega V)
\geq \ell^n\,\overline\mu_{-\infty,1}(\bOne_\Omega V).
$$
Si $\ell$ est${}> 0$~ (seul cas intéressant à considérer) on a 
$S_2(-\infty)\supset S_1(-\infty)$, donc\break $S_\nu(-\infty) = 
S_1(-\infty)$ et $\Omega\cap S_1(-\infty) = U\cap S_1(-\infty)= A$. 
Par conséquent
$$
(dd^c\varphi_\nu)^n(\bOne_A V) = \overline\mu_{-\infty,\nu}(\bOne_A V)
\geq \ell^n\,\overline\mu_{-\infty,1}(\bOne_A V).
$$
On observe maintenant que la suite $\varphi_\nu$ décroît vers $\varphi_2$
sur l'ouvert $B_1(r_0-1)$ quand $\nu\to+\infty$, donc 
$(dd^c\varphi_\nu)^n$ tend faiblement vers $(dd^c\varphi_2)^n$ sur 
$B_1(r_0-1)$ d'après 2.6~(a) et 2.10. Comme $A$ est compact et que 
$A\subset S_1(-\infty)\subset B_1(r_0-1)$, et comme $\bOne_A V$ est 
semi-continue supérieurement, on en déduit à la limite
$$
\overline\mu_{-\infty,2}(\bOne_A V)=
(dd^c\varphi_2)^n(\bOne_A V) \geq 
\ell^n\,\overline\mu_{-\infty,1}(\bOne_A V).\eqno\square
$$

Dans le calcul classique qui suit, nous aurons besoin d'évaluer
la masse $\Vert\mu_{-\infty}\Vert$ à partir de la fonction 
$\varphi^*=e^\varphi$. \`A cet effet, on observe d'après la
proposition~3.10 que $\mu^*_r=\mu_{\log r}$, d'où
$$
\overline\mu_{-\infty}(1) = \lim_{r\to 0}r^{-n}\mu^*_r(1) = 
\lim_{r\to 0}r^{-n}\int_{\{\varphi^*<r\}}(dd^c\varphi^*)^n.
\leqno(4.4)
$$

{\statement Proposition 4.5.\pointir} {\it Soit $\varphi = \log \varphi^*$ 
une fonction continue psh dans~$\bC^n$, où $\varphi^*$ est homogène de 
degré~$\ell > 0$ et $(\varphi^*)^{-1}(0) = 0$. Alors
$$
(dd^c\varphi)^n= (2\pi\ell)^n\delta_0
$$
où $\delta_0$ est la mesure de Dirac en~$0$.}
\medskip

{\it Démonstration}. L'homogénéité de $\varphi^*$ implique $(dd^c\varphi)^n = 
0$ sur $\bC^n\ssm\{0\}$. Dans le cas particulier $\varphi^*(z)=|z|^2$, on 
trouve $(dd^c\varphi^*)^n= 4^n\,n!\,d\lambda$ ~($d\lambda = {}$mesure de 
Lebesgue), d'où~$\overline\mu_{-\infty}(1) = (4\pi)^n$ et 
$(dd^c\varphi)^n =\overline\mu_{-\infty} = (4\pi)^n\delta_0$. 
Le cas général résulte du théo\-rème~4.2.\hfil\square
\medskip

{\statement Exemple 4.6.\pointir} A titre d'illustration de ce qui précède,
regardons le cas où $\varphi(z) = \log\max(|z_1|,\ldots,|z_n|)$ dans~$\bC^n$.
Comme $\varphi$ ne dépend que de $n-1$ variables au voisinage de tout point 
du complémentaire de la \lguil\?diagonale\?\rguil~
$\Delta = \{|z_1|= \cdots = |z_n|\}$,  on en déduit par homogénéité de 
$e^\varphi$ que $(dd^c\varphi)^{n-1} = 0$ sur $\bC^n\ssm\Delta$. La 
proposition 3.7 montre alors que la mesure $\mu_r$ est à support dans le 
bord distingué
$$
\Gamma(r) = \big\{|z_1| = \cdots = |z_n| = e^r\big\}=S(r)\cap\Delta
$$
du polydisque $B(r)$ . Comme $\mu_r$ est invariante par les rotations
préservant~$B(r)$, et comme $\Vert\mu_r\Vert = (2\pi)^n$ d'après~4.5, 
il en résulte que $\mu_r= d\theta_1\wedge\ldots\wedge d\theta_n$ 
avec $z_j=e^{r+i\theta_j}$, $1\leq j\leq n$. On obtient de plus :
$$
\eqalignno{
&(dd^c\varphi)^n = (2\pi)^n\delta_0\,,\cr
\noalign{\vskip5pt}
&(dd^c\varphi)^{n-1}\wedge d\varphi\wedge d^c\varphi = dr\wedge
d\theta_1\wedge\ldots\wedge d\theta_n\quad
\hbox{sur $\Delta\ssm\{0\}$}.&\square\cr}
$$

Revenons maintenant au cas général. Soit $x\in X$ un point quelconque et
$w ={}$\break  $(w_1, w_2,\ldots,w_N)$ les $N$ fonctions coordonnées relatives
à un plongement d'un voisinage $U\subset X$ de $x$ dans~$\bC^N$, tel que
$w(x) = 0$. Il existe un voisinage $\Omega\compact U$ de $x$ et 
$r_0 < 0$ tels que la fonction $\varphi_1(z) = \log|w(z)|^2 :\Omega\to{}
]\infty,r_0[$ soit exhaustive. La formule 4.4 donne alors (cf.\ [De5] ) :
$$
\overline\mu_{-\infty,1}(1)= (4\pi)^n\,\nu([X],x)
$$
où $\nu([X],x)$ est le nombre de Lelong en $x$ du courant d'intégration de
$X$ dans~$\bC^N$ , égal d'après P.~Thie [Th] à la multiplicité algébrique 
$m(X, x)$ de $X$ au point~$x$. On en conclut que
$$
\overline\mu_{-\infty,1} = (4\pi)^n\,m(X,x)\,\delta_x\,.
\leqno(4.7)
$$
Pour une fonction $\varphi$ quelconque, on obtient le résultat suivant, 
qui est bien connu au moins dans le cas où $X$ est lisse.
\medskip

{\statement Corollaire 4.8.\pointir} {\it Désignons par $\nu(\varphi,x)$ 
le nombre de Lelong de $\varphi$ en tout point $x\in X$. Alors
$$
(dd^c\varphi)^n\geq\overline\mu_{-\infty}\geq
(2\pi)^n\sum_{x\in X}m(X,x)\,\nu(\varphi,x)^n\,\delta_x\,.
$$}

{\it Démonstration}. Avec les notations précédentes, l'une des définitions 
équivalentes des nombres de Lelong est la suivante :
$$
\nu(\varphi,x)=\liminf_{z\to x}{\varphi(z)\over\log|w(z)|}.
$$
Posons alors $\varphi_1(z) = \chi(z)\log |w(z)|^2 + A\psi(z)$ où $\chi$ est 
$\cC^\infty$ à support compact dans~$\Omega$, $\chi\equiv 1$ au voisinage 
de~$x$, $\psi$ strictement psh de classe $\cC^2$ sur $X$ et $A > 0$ 
assez grand. D'après le corollaire 4.3 et la formule (4.7) il vient~:
$$
\liminf_{z\to x} {\varphi(z)\over\varphi_1(z)}= {1\over 2}\nu(\varphi, x),
$$
d'où
$$
\overline\mu_{-\infty}\geq
\Big({1\over 2}\nu(\varphi,x)\Big) ^n\overline\mu_{-\infty,1}\geq
(2\pi)^n\,m(X,x)\,\nu(\varphi,x)^n\,\delta_x.
\eqno\square
$$

\section{5}{Principe du maximum.}


Soit $\varphi$ une fonction d'exhaustion psh continue sur un espace 
complexe $X$. Nous allons voir que les fonctions plurisousharmoniques 
sur $X$ satisfont le principe du maximum relativement aux mesures de 
Monge-Ampère associées à $\varphi$.
\medskip

{\statement Théorème 5.1.\pointir} {\it Si $B(r) = \{\varphi < r\}\neq
\emptyset$, alors $\Vert\mu_r\Vert > 0$ et pour toute fonction $V$ psh 
sur~$X$ on a~$:$
$$
\sup_{B(r)}V = \hbox{sup essentiel de $V$ relativement à $\mu_r$.}
$$}\vskip-\parskip

L'exemple 4.6 montre que l'hypothèse de plurisousharmonicité de $V$ dans 
le théorème 5.1 est pertinente.
\medskip

{\it Démonstration}. Il n'est pas restrictif de supposer $V\leq 0$. Nous
allons alors montrer que $\sup_{B(r)}V = \Vert V\Vert_{L^\infty(\mu_r)}$  
en appliquant la formule  de Jensen à une fonction d'exhaustion 
$\varphi'$ bien choisie.

Soit $\psi$ une fonction strictement psh de classe $\cC^2$ sur $X$, 
$z_0\in B(r)\cap X_\reg$ un point régulier et $U\compact B(r)\cap X_\reg$
un voisinage de~$z_0$. Pour $\varepsilon > 0$ assez petit, la fonction
$$
\varphi'(z) = \max\big(\varphi(z),\varphi(z_0), r-\sqrt{\varepsilon} + 
\varepsilon\psi(z)\big)
$$
est égale à $\varepsilon\psi(z) +\hbox{Cte}$ sur $U$ et coïncide avec 
$\varphi$ au voisinage de~$S(r)$. La mesure $\mu_r$ peut donc aussi bien
être définie par $\varphi'$, ce qui donne
$$
\eqalign{
\mu_r(V)&= \int_{-\infty}rdt\int_{B(r)\cap\{\varphi'<t\}}dd^cV\wedge
(dd^c\varphi')^{n-1}+\int_{B(r)}V\,(dd^c\varphi')^n\cr
&\geq\varepsilon^n\int_{U}V\,(dd^c\psi)^n.\cr}
$$
En particulier $\Vert\mu_r\Vert =\mu_r(1) > 0$. Remplaçons maintenant 
$V$ par $V^p$ et faisons tendre $p$ vers~$+\infty$. Il vient~:
$$
V(z_0)\leq \lim_{p\to+\infty}\bigg[\int_U V^p\,(dd^c\psi)^n\bigg]^{1/p}\leq
\lim_{p\to+\infty}\Big[\varepsilon^{-n}\mu_r(V^p)\Big]^{1/p}
=\Vert V\Vert_{L^\infty(\mu_r)}.
$$
On obtient par conséquent
$$
\sup_{B(r)}V = \sup_{B(r)\cap X_\reg}V \leq
\Vert V\Vert_{L^\infty(\mu_r)}.
$$
Dans l'autre sens, l'inégalité
$$
\Vert V\Vert_{L^\infty(\mu_r)}\leq \sup_{S(r)}V
$$
est évidente. Si on prouve la continuité à gauche de la fonction 
$r\mapsto \Vert V\Vert_{L^\infty(\mu_r)}$ on aura donc
$$
\Vert V\Vert_{L^\infty(\mu_r)}\leq \lim_{t<r,\,t\to r}~L <nr)
\sup_{S(t)}V
\leq \sup_{S(r)}V.
$$

{\statement Lemme 5.2.\pointir} {\it Pour toute fonction psh $V\geq 0$, 
l'application $r\mapsto\Vert V\Vert_{L^\infty(\mu_r)}$ est croissante et 
continue à gauche.}
\medskip

{\it Démonstration}. La formule 3.4 montre que la fonction
$r\mapsto\mu_r(V)$ est croissante et continue à gauche. Sur tout intervalle 
$]-\infty,r_0]$, $r_0<R$, les fonctions
$$
r\mapsto\big[\Vert\mu_{r_0}\Vert^{-1}\mu_r(V^p)\big]^{1/p}
$$
sont donc croissantes et continues à gauche, et forment une famille 
croissante par rapport à $p$ en vertu de l'inégalité de H\"older 
(la mesure $\Vert\mu_{r_0}\Vert^{-1}\mu_r$ est de masse${}\leq 1$. 
La limite quand $p\to+\infty$, à savoir $r\mapsto
\Vert V\Vert_{L^\infty(\mu_r)}$, est donc croissante et continue à 
gauche sur~$]-\infty,r_0]$.\hfil\square
\eject

\section{6}{Propriétés de convexité des fonctions psh.}

Un résultat bien connu de P~.Lelong (cf.\ [Le1]) affirme que le sup, la
moyenne et plus généralement la moyenne $L^p$ d'une fonction psh sur
la sphère euclidienne de rayon $r$ dans $\bC^n$ sont fonctions convexes de
$\log r$. Nous nous proposons d'étendre ces propriétés à une situation
beaucoup plus générale.

Soit $X$ un espace de Stein de dimension pure~$n$, $\varphi:X\to[-\infty,R[$
une fonction psh continue exhaustive. On suppose que $\varphi$ est 
Monge-Ampère homogène, i.e.\ qu'il existe $A\in{}]-\infty,R[$ tel que
$$
(dd^c\varphi)^n=0\quad\hbox{sur l'ouvert $\{\varphi>A\}$}.
\leqno(6.1)
$$
Pour toute fonction psh $V$ sur $X$ et tout $r > A$ le théorème 3.4 montre 
alors que la dérivée à gauche
$$
{d\over dr_-}\,\mu_r(V) = \int_{B(r)}dd^cV\wedge\alpha^{n-1}
\leqno(6.2)
$$
est positive croissante en $r$, d'où le
\medskip

{\statement Théorème 6.3.\pointir} {\it La fonction valeur moyenne 
$r\mapsto M_V(r) = \mu_r(V)$ est convexe croissante sur $]A, R[\,$.}
\medskip

Le cas classique évoqué au début correspond à la boule de rayon $e^R$ dans 
$\bC^n$ avec \hbox{$\varphi(z) = \log|z|$}, $A = -\infty$. Plus généralement, 
on a un résultat de convexité pour les moyennes en norme $L^p$ définies par
$$
M_V^p(r) = \Big[\mu_r(V_+^p)\Big]^{1/p},\qquad p\in[1,+\infty[\,.
$$

{\statement Théorème 6.4.\pointir} {\it La fonction $r\mapsto M_V^p(r)$
est convexe  croissante sur $]A,R[\,$.}
\medskip

{\it Démonstration}. Par régularisation on se ramène au cas où $V$ est 
psh${}> 0$ de classe~$\cC^\infty$. Étant donné $\varepsilon>0$, 
considérons la fonction
$$
h_\varepsilon(r) = \int_{r-\varepsilon}^r \mu_t(V^p)\,dt
=\int_{B(r)\ssm B(r-\varepsilon)}V^p\,\alpha^{n-1}
d\varphi\wedge d^c\varphi\,dt,\qquad r\in{}]A+\varepsilon,R[
$$
(la dernière égalité résulte de la proposition 3.9~(a)) . Comme
$\mu_r(V^p) = \lim_{\varepsilon\to 0} h_\varepsilon(r)$, il suffit de prouver 
que $h_\varepsilon^{1/p}$ est convexe pour tout~$\varepsilon > 0$. 
On doit donc vérifier l'inégalité
$$
h_\varepsilon h''_\varepsilon-\Big(1-{1\over p}\Big)h_\varepsilon^{\prime 2}\geq 0
$$
où la dérivée seconde $h''_\varepsilon$ est, disons, calculée à gauche. 
D'après la proposition 3.9~(b) et l'hypothèse (6.1) il vient
$$
\eqalign{
h'_\varepsilon(r) &= \mu_r(V^p) - \mu_{r-\varepsilon}(V^p)\cr
&=\int_{B(r)\ssm B(r-\varepsilon)}d\big[V^p\,\alpha^{n-1}\wedge d^c\varphi\big]\cr
&=\int_{B(r)\ssm B(r-\varepsilon)}p\,V^{p-1}\,dV\wedge\alpha^{n-1}
\wedge d^c\varphi.\cr}
$$
La formule (6.2) implique par ailleurs
$$
h''_\varepsilon(r) = \int_{B(r)\ssm B(r-\varepsilon)}dd^c(V^p)\wedge\alpha^{n-1}.
$$
Grace à l'inégalité de Cauchy-Schwarz on obtient
$$
h'_\varepsilon(r)^2\leq
\int_{B(r)\ssm B(r-\varepsilon)}V^p\,\alpha^{n-1}\wedge d\varphi\wedge d^c\varphi~
\cdot\int_{B(r)\ssm B(r-\varepsilon)}p^2V^{p-2}\,dV\wedge d^cV\wedge\alpha^{n-1},
$$
et la relation (6.5) cherchée découle de l'inégalité 
$$
dd^c(V^p)\geq 2 p(p-1)\,V^{p-2}dV\wedge d^cV. \eqno\square
$$

{\statement Corollaire 6.6.\pointir} {\it Les fonctions définies par
{\parindent=6.5mm
\vskip2pt
\item{\rm (a)} $M^{\exp}_V(r) = \log \mu_r(e^V)$,
\vskip2pt
\item{\rm (b)} $M^\infty_V(r) = \sup_{B(r)}V$,
\vskip2pt}
sont croissantes convexes sur $]A,R[$.}
\medskip

{\it Démonstration.} La propriété (a) résulte du théorème 6.4 et de l'égalité
$$
\log \mu_r(e^V)=\lim_{p\to+\infty}p\bigg\{\Big[\mu_r\Big(1+{V\over p}\Big)_+^p
\Big]^{1/p}-1\bigg\}.
$$
Le principe du maximum (théorème 5.1) entraîne d'autre part
$$
\sup_{B(r)}V=\lim_{\lambda\to+\infty}{1\over\lambda}\log \mu_r(e^{\lambda V})
$$
par suite (b) est conséquence de (a).\hfil\square
\medskip

En vue des applications à l'étude des espaces fibrés, nous démontrons
maintenant une version avec paramètre du théorème 6.4. On se donne un
morphisme $\pi : X\to Y$ d'espaces analytiques de dimensions pures 
$\dim X = m+n$, $\dim Y = m$ et des fonctions $\varphi : X\to[-\infty,
+\infty[$ psh continue, $R : Y\to{}]-\infty,+\infty]$) (resp.\
$ A : Y\to [-\infty,+\infty[$) semi-continue inférieurement 
(resp.\ supérieurement) vérifiant les propriétés ci-dessous.
\medskip

{\statement Hypothèses 6.7.\pointir} {\it
{\parindent=6.5mm
\vskip2pt
\item{\rm (a)} $\pi$ est surjectif, et les fibres $\pi^{-1}(y)$, $y\in Y$
sont de dimension pure~$n$.
\vskip2pt
\item{\rm (b)} $\pi$ est un morphisme de Stein, i.e.\ $Y$ possède un 
recouvrement ouvert $(\Omega_j)_{j\in J}$ tel que $\pi^{-1}(\Omega_j)$ 
soit de Stein pour tout $j\in J$.
\vskip2pt
\item{\rm (c)} $\varphi(x) < R(\pi(x))$ et $A(y) < R(y)$ quels que soient 
$x\in X$, $y\in Y$.\vskip2pt
\item{\rm (d)} Pour tout $y\in Y$ et tout $r < R(y)$, il existe un voisinage 
$U$ de $y$ dans $Y$ tel que $\pi^{-1}(U)\cap B(r)\compact X$.
\vskip2pt
\item{\rm (e)} $(dd^c\varphi)^n\equiv 0$ sur l'ouvert 
$\{x\in X\,;\;\varphi(x) > A(\pi(x))\}$.\medskip}}

On note ici encore $B(r) = \{\varphi<r\}$, $S(r) = \{\varphi = r\}$ et 
$\alpha = dd^c\varphi$. Sous les hypothèses (c) et(d), le \S3 permet 
d'associer à chaque fibre $\pi^{-1}(y)$ une famille de mesures 
$\mu_{y,r}$ portées par $\pi^{-1}(y)\cap S(r)$ pour $\in{}]-\infty,R(y)[\,$. 
\'Etant donné une fonction psh $V$ sur $X$ on introduit les valeurs moyennes
$$
\eqalign{
M_V(y,r)&=\mu_{y,r}(V),\cr
\noalign{\vskip7pt}
M^p_V(y,r)&=\big[\mu_{y,r}(V_+^p)\big]^{1/p}
\quad\hbox{si $p\in[1,+\infty[$},\cr
\noalign{\vskip7pt}
M_V^{\exp}(y,r)&=\log\mu_{y,r}(e^V),\cr
\noalign{\vskip7pt}
M_V^\infty(y,r)&=\sup_{\pi^{-1}(y)\cap B(r)}V.\cr}
$$

{\statement Proposition 6.8.\pointir} {\it Pour tout $r$ fixé, 
les applications $y\mapsto\mu_{y,r}(V)$ et $y\mapsto M^p_V(y,r)$
sont faiblement psh au sens de la définition $1.9$ sur l'ouvert 
$\{y\in Y\,;\; A(y) < r < R(y)\}$.}
\medskip

{\it Démonstration}. Comme le résultat est local sur $Y$, l'hypothèse 6.7~(b)
permet de supposer $X$, $Y$ de Stein. Un passage à la limite décroissante 
nous ramène alors au cas où $V$ est psh de classe $\cC^\infty$~; si $p > 1$ 
on peut supposer de plus $V > 0$. Soit $\varepsilon > 0$ arbitraire et 
$\chi :{}]r-\varepsilon, r[{}\to\bR$ une fonction $\cC^\infty\geq 0$ non 
nulle à support compact. Par analogie avec le théorème~6.4, introduisons
la fonction auxiliaire
$$
h(y) = \int_{r-\varepsilon}^r \mu_{y,t}(V^p)\,\chi(t)\,dt = 
\int_{\pi^{-1}(y)}V^p\,\chi(\varphi)\,\alpha^{n-1}\wedge d\varphi
\wedge d^c\varphi
$$
définie sur l'ouvert
$$
U_\varepsilon = \big\{y\in Y\,;\; A(y) + \varepsilon < r < R(y)\big\}.
$$
Pour conclure, il suffit de montrer que $h^{1/p}$ est faiblement psh 
sur~$U_\varepsilon$. Si $p > 1$, il s'agit donc de montrer que
$$
h\,dd^ch - \Big(1-{1\over p}\Big)dh\wedge d^ch\geq 0.
$$
Soient $u$, $v$, $w$ des formes réelles de classe $\cC^\infty$ sur $Y$ 
à support compact dans~$U_\varepsilon$ , de bidegrés respectifs $(m, m)$, 
$(m,m-1)\oplus (m-1,m)$ et $(m-1,m-1)$. D'après le théorème de Fubini, 
qu'on applique d'abord en supposant $\varphi$ de classe $\cC^\infty$, 
il vient
$$
\int_ Y hu = \int_X V^p\,\chi(\varphi)\,\alpha^{n-1}\wedge d\varphi
\wedge d^c\varphi\wedge \pi^* u~;
$$
le cas où $\varphi$ est seulement continue s'en déduit par limite 
décroissante (théorème~2.6). On observe maintenant que l'intégrande 
est à support dans 
$$
\pi^{-1}(\Supp u)\cap \big(B(r)\ssm B(r-\varepsilon)\big)\compact X
$$
(hypothèse 6.7~(d)) et que le courant $\chi(\varphi)\,\alpha^{n-1}\wedge 
d\varphi\wedge d^c\varphi$ est $d$-fermé (hypothèse 6.7~(e)). Au moyen 
d'une intégration par parties sur $Y$ et d'une autre inverse sur $X$ 
on obtient donc successivement
$$
\leqalignno{
\int_Y dh\wedge v&=\int_X d(V^{p})\wedge\chi(\varphi)\,\alpha^{n-1}
\wedge d\varphi\wedge d^c\varphi\wedge \pi^*v,&(6.9)\cr
\int_Y dd^ch\wedge w&=\int_X dd^c(V^{p})\wedge\chi(\varphi)\,\alpha^{n-1}
\wedge d\varphi\wedge d^c\varphi\wedge \pi^*w.&(6.10)\cr}
$$
Supposons que la $(m-1,m-1)$-forme $w$ soit${}\geq 0$. L'égalité (6.10)
ontre déjà que $\int_Y dd^ch\wedge w\geq 0$, donc $dd^ch\geq 0$ 
sur~$U_\varepsilon$, ce qui résout le cas~$p = 1$. Dans le cas général 
$p > 1$, soit $\gamma$ une $1$-forme réelle $\cC^\infty$ sur $Y$ et 
$\gamma^c = i(\gamma^{0,1}-\gamma^{1,0})$. L'égalité (6.9) combinée à
l'inégalité de Cauchy-Schwarz entraîne
$$
\eqalign{
\int_Y dh&\wedge\gamma^c\wedge w
=\int_X p\,V^{p-1}\wedge dV\wedge\pi^*\gamma^c
\wedge\chi(\varphi)\,\alpha^{n-1}\wedge d\varphi\wedge d^c\varphi
\wedge \pi^*w\cr
&\leq~{1\over 2}\int_X\big(V^{p}\,\pi^*(\gamma\wedge\gamma^c)+
p^2\,V^{p-2}dV\wedge d^cV\big)
\wedge\chi(\varphi)\,\alpha^{n-1}\wedge d\varphi\wedge d^c\varphi
\wedge \pi^*w\cr
&\leq~{1\over 2}\int_Y h\,\gamma\wedge\gamma^c+{p\over p-1}dd^ch\wedge w,\cr}
$$
compte tenu que $dd^cV^p\geq p(p-1)\,dV\wedge d^cV$. Comme ceci est vrai
pour toute forme $w\geq 0$, on en déduit au sens des courants l'inégalité
$$
dh\wedge\gamma^c + \gamma\wedge d^ch\leq h\,\gamma\wedge\gamma^c+{p\over p-1}\,
dd^ch.
$$
Observons que $h$ est partout${}> 0$ sur $U_\varepsilon$ d'après 4.1~; 
si nous faisons tendre maintenant $\gamma$ vers $dh/h$, il vient 
l'inégalité attendue
$$
{1\over h}\,dh\wedge d^ch\leq {p\over p-1}dd^ch.
$$
Pour voir que $h$ est localement majorée sur~$Y$, il suffit de regarder le 
cas où $V\equiv 1$. L'égalité (6.9) montre alors que $dh= 0$, donc $h$ 
est localement constante sur $X_\reg$. \hfil\square
\medskip

La proposition 6.8 contient en fait le résultat plus général suivant, 
qui était notre principal objectif.
\medskip

{\statement Théorème 6.11.\pointir}  {\it Les fonctions sur $Y\times\bC$ 
définies par 
$$
(y,z)\mapsto M_V(y,\Re z),\quad
M^p_V(y,\Re z), \quad
M^{\exp}_V(V,\Re z),\quad M^\infty_V(y,\Re z)
$$
sont faiblement psh sur l'ouvert 
$$
\big\{(y,z)\in Y\times\bC\,;\; A(y) < \Re z < R(y)\big\}.
$$}

{\it Démonstration}. On considère le morphisme
$$
\tilde\pi = \pi\times \Id : X \times\bC \to Y\times \bC
$$
et on munit $X\times\bC$, $Y\times\bC$ des fonctions
$$
\tilde\varphi(x, z) = \varphi(x) - \Re z,\quad 
\tilde R(y,z) = R(y) - \Re z,\quad 
\tilde A(y, z) = A(y) - \Re z,
$$
de sorte que les hypothèses 6.7~(a-e) sont vérifiées relativement à ces 
données. Si $\tilde V(x, z) = V(x)$ on a par construction
$$
\tilde\mu_{(y,z),0}(\tilde V) = \mu_{y,\Re z}(V),
$$
et le théorème 6.11 découle donc de la proposition 6.8.\hfil\square
\medskip

{\statement Corollaire 6.12.\pointir} {\it Soient $(X_j)_{1\leq j\leq k}$ 
des espaces de Stein de dimension pure $n_j$ et $\varphi_j : X_j\to 
[-\infty,R_j[$ des fonctions psh continues exhaustives telles que 
$(dd^c\varphi_j)^{n_j}\equiv 0$ sur l'ouvert
$\{x\in X_j\,;\;\varphi_j(x) > A_j\}$. Si $V$ est psh sur 
$X_1\times\cdots\times X_k$, les fonctions
$$
\eqalign{
M_V(r_1,\ldots,r_k)&=\mu_{1,r_1}\otimes\cdots\otimes\mu_{k,r_k}(V),\cr
\noalign{\vskip7pt}
M^p_V(r_1,\ldots,r_k)&=M_{V_+^p}(r_1,\ldots,r_k)^{1/p},\cr
\noalign{\vskip7pt}
M_V^{\exp}(r_1,\ldots,r_k)&=\log M_{e^V}(r_1,\ldots,r_k),\cr
\noalign{\vskip7pt}
M_V^\infty(r_1,\ldots,r_k)&=\sup_{B(r_1)\times\cdots\times B(r_k)}V\cr}
$$
sont convexes en les variables $(r_1,\ldots,r_k)\in\prod_{1\leq j\leq k}{}
]A_j,R_j[$ simultanément, et croissantes par rapport à chacune des $r_j$.
\vskip1pt{}
Plus généralement, si $X_0$ est un espace analytique de dimension pure $n$ 
et si $V$ est psh sur $X_0\times X_1\times\cdots\times X_k$, la fonction
$$
M^p_V(x_0,\Re z_1,\ldots,\Re z_k) = M^p_{V(x_0,\bullet)}(\Re z_1,\ldots,\Re z_k)
$$
$($resp.\ $p =\emptyset$, $\exp$, $\infty)$ est psh sur l'ouvert
$$
X_0\times \prod_{1\leq j\leq k}\big\{A_j<\Re z_j< R_j\big\}\subset
X_0\times\bC^k.
$$}


{\it Démonstration}. Il suffit de prouver la dernière affirmation. 
On raisonne par récurrence sur~$k$. Pour $k = 1$, le théorème 6.11 
appliqué à $\pi : X = X_0\times X_1\to X_0 = Y$ et $\varphi=\varphi_1$
montre que la fonction
$$
(x_0,z_1)\mapsto M^p_V(x_0,\Re z_1)
$$
est faiblement psh. Si de plus $V$ est continue, cette fonction est 
séparément continue en $x$ et convexe en $\Re z$, donc continue en 
$(x_0,\Re z_1)$. Grâce au corollaire 1.12, $M^p_V(x_0,\Re z)$ est donc psh.
Le cas où $V$ est quelconque s'obtient en écrivant $V$ comme limite 
décroissante de fonctions psh continues.

Pour $k > 1$, la propriété résulte à l'ordre $k$ de sa validité aux 
ordres $1$ et $k-1$ en posant
$$
W(x_0,x_1,\ldots,x_{k-1},z_k)=M^p_{V(x_0,\ldots,x_{k-1},\bullet)}(\Re z_k)
$$
et en observant que
$$
M^p_V(x_0,\Re z_1,\ldots,\Re z_k) = M^p_{W(x_0,\bullet,z_k)}(\Re z_1,\ldots,
\Re z_{k-1}).\eqno\square
$$

Nous terminons ce paragraphe en réexaminant à la lumière des résultats
précédents l'inégalité de convexité de P. Lelong, qui mesure de façon
précise les variations de croissance d'une fonction psh sur un espace
fibré le long des différentes fibres. Cette inégalité a été utilisée
par H. Skoda [Sk2] pour construire un premier contre-exemple au
problème, posé par J.-P.\ Serre en 1953, de savoir si un fibré à base
et à fibre de Stein est lui-même de Stein~; voir aussi [De1], [De2]
pour d'autres contre-exemples et [De3] pour une construction simple et
rapide.

Soit $\Omega$ un espace de Stein irréductible de dimension~$m$, qui
jouera le rôle de base du fibré, et $X$ un espace de Stein de
dimension pure~$n$, qui sera la fibre. On suppose qu'il existe des
fonctions $\psi:\Omega\to [-\infty,R[\,$, $\varphi:X\to[-\infty,+\infty[$
psh continues exhaustives telles que
$$
(dd^c\psi)^m = 0\quad\hbox{sur}\quad \{\psi> A\},\qquad
(dd^c\varphi)^n = 0\quad\hbox{sur $\{\varphi > 0\}$}.
$$
Par exemple si $X$ est une variété algébrique affine de dimension~$n$, 
il existe un morphisme fini $F :X\to\bC^n$ (théorème de normalisation 
de Noether), et il suffit de prendre $\varphi(z) = \log\Vert F(z)\Vert$ 
où $\Vert~~\Vert$ est une norme sur $\bC^n$~; le même raisonnement vaut 
localement sur $\Omega$ pour l'existence de~$\psi$.

Soient $V$ une fonction psh sur $\Omega\times X$ et des réels $a,b,c,r$ 
tels que $A<a<b<c<R$ et~$r>0$. La propriété de convexité du corollaire~6.12
montre que
$$
M_V^\infty(b,r)\leq M_V^\infty(a,\sigma r) + \Big(1-{1\over\sigma}\Big)\;
\Big[M_V^\infty(c, 0) - M_V^\infty(a,\sigma r)\Big]
$$
avec $\sigma = {c-a\over c-b}$. II résulte du théorème 7.5 démontré au 
paragraphe suivant que l'on a $M_V^\infty(a,r)\to+\infty$  quand $r\to+\infty$,  
dès que $V$ est non constante sur au moins une fibre $\{z\}\times X$, 
$z\in B(a)$. Il existe alors une constante $r_0$ dépendant de 
$a,b,c,V$ telle que
$$
M_V^\infty(b,r) < M_V^\infty(a,\sigma r)\quad\hbox{pour $r > r_0$, où}~~
\sigma={c-a\over c-b}.
\leqno(6.13)
$$
Si $\omega$ est un ouvert relativement compact dans~$\Omega$, on pose 
maintenant
$$
M_V^\infty(\omega\,;\,r)=\sup_{\omega\times B(r)}V.
$$
Grâce à un raisonnement élémentaire de compacité et de connexité (cf.\ 
[Le2], théorème 6.5.4) on déduit alors de (6.13) le résultat suivant~:
\medskip

{\statement Corollaire 6.14 {\rm(Inégalité de P. Lelong)}.\pointir} {\it 
Soient $\Omega$ un espace complexe irréductible, $\omega_1,\,\omega_2$ 
deux ouverts relativement compacts dans $\Omega$ et $V$ une fonction 
psh sur $\Omega\times X$, supposée non constante sur au moins une fibre 
$\{z\}\times X$. Alors il existe une constante $\sigma > 1$ ne dépendant 
que de $\omega_1,\omega_2,\Omega$, et une constante $r_0$ dépendant en 
outre de $V$, telles que pour tout $r > r_0$ on ait
$$
M_V^\infty(\omega_2\,;\,r) < M_V^\infty(\omega_1\,;\,\sigma r).
$$\vskip-\parskip}

Dans les applications pratiques se pose le problème du calcul
explicite de la constante~$\sigma$. L'inégalité (6.13) apporte une
réponse théorique complète à ce problème. Si 
$\omega_1,\omega_2\compact\Omega$ sont des ouverts de $\bC$, on 
cherche une fonction harmonique $\psi$ sur $\Omega\ssm\overline\omega_1$
qui tend vers $0$ sur $\partial\omega_1$ et vers $1$ sur $\partial\Omega$ 
(resp.\ vers $+\infty$ si $\partial\Omega$ est de capacité~$0$)~; 
on prolonge $\psi$ par $0$ sur $\omega_1$ et on pose $b = \sup_{\omega_2}\psi$. 
Toute constante $\sigma > {1\over 1-b}$ (resp.\ $\sigma>1$) répond alors à 
la question. Le cas où la base $\Omega$ est de dimension $m > 1$ revient 
à résoudre un problème de Dirichlet analogue pour l'équation de Monge-Ampère 
$(dd^c\psi)^m=0$ sur~$\Omega\ssm\overline\omega_1$.
Il~est facile de voir que la constante $\sigma$ ainsi obtenue est la 
meilleure possible. Un calcul élé\-mentaire montre en effet que la fonction
$$
\chi(t,r) = \exp\Big({r\over 1-t}+{1\over(1-t)^2}\Big)
$$
est croissante convexe sur $[0,1[{}\times[0,+\infty[\,$. La fonction psh 
$V =\chi(\psi_+,\varphi_+)$ contredit alors (6.13) pour tout 
$\sigma\leq{1\over 1-b}$.

\bigskip
\section{7}{Croissance à l'infini des fonctions psh.}

Soit $X$ un espace de Stein irréductible de dimension $n$ et $\varphi : X\to
[-\infty,+\infty[$ une fonction psh continue exhaustive (on a donc ici 
$R = +\infty$). On note
$$
\tau(r)=\Vert\mu_r\Vert=\int_{B(r)}\alpha^n
$$
où $\alpha = dd^c\varphi$, le volume de la pseudoboule $B(r) = \{\varphi<r\}$. 
La formule de Jensen 3.4 permet alors de relier la croissance du counant 
$dd^cV$ à la croissance de $V$. De façon précise~:
\medskip

{\statement Proposition 7.1.\pointir} {\it Soient $V$ une fonction psh
sur~$X$, $r_0\in\bR$ et $\varepsilon\in{}]0,1[\,$. Il existe une constante 
$C > 0$ dépendant de $V,\varepsilon,r_0$ telle que pour tout $r\geq r_0$
on ait
$$
(l-\varepsilon)r\int_{B(r_0)}dd^cV\wedge\alpha^{n-1}\leq\mu_r(V_+)+C\,\tau(r).
$$}

{\it Démonstration}. Posons $V_\nu =\max(V,-\nu)$, $\nu\in\bN$. Les mesures  
$dd^cV_\nu\wedge\alpha^{n-1}$ convergent faiblement vers $dd^cV\wedge
\alpha^{n-1}$ quand $\nu\to+\infty$, par suite
$$
\liminf_{\nu\to+\infty}\int_{B(r_0)}dd^cV_\nu\wedge\alpha^{n-1}
\geq \int_{B(r_0)}dd^cV\wedge\alpha^{n-1}.
$$
Il existe donc $\nu\in\bN$ (dépendant de $V,\varepsilon,r_0$) tel que
$$
\int_{B(r_0)}dd^cV_\nu\wedge\alpha^{n-1}\geq
(1-\varepsilon)\int_{B(r_0)}dd^cV\wedge\alpha^{n-1}.
$$
La formule 3.4 appliquée à $V_\nu$ donne d'autre part
$$
(r-r_0)\int_{B(r_0)}dd^cV_\nu\wedge\alpha^{n-1}\geq
\mu_r(V_\nu)-\int_{B(r)}V_\nu\,\alpha^n
\leq\mu_r(V_+)+\nu\,\tau(r).
$$
Ces deux inégalités combinées entraînent la proposition 7.1 avec
$$
C=\nu+{(1-\varepsilon)r_0\over\tau(r_0)}\int_{B(r_0)}dd^cV\wedge\alpha^{n-1}.
\eqno\square
$$

Dans toute la suite de ce paragraphe, nous ferons une hypothèse de modération sur la croissance du volume de $X$.
\medskip

{\statement Hypothèse 7.2.\pointir} {\it $\displaystyle\lim_{r\to +\infty} 
{\tau(r)\over r}= 0$.}
\medskip

Nous obtenons alors comme conséquence immédiate de la proposition 7.1 l'inégalité fondamentale suivante :
\medskip

{\statement Corollaire 7.3.\pointir} {\it Sous l'hypothèse $(7.2)$, on a pour 
toute fonction $V$ psh~$:$
$$
\int_{X}dd^cV\wedge\alpha^{n-1}\leq{\,}\liminf_{r\to+\infty}~{1\over r}\mu_r(V_+).
$$}

Cette inégalité sera exploitée principalement au moyen du lemme suivant :
\medskip

{\statement Lemme 7.4.\pointir} {\it Soient $\psi$ une fonction strictement
psh de classe $\cC^2$ sur $X$ et $r_1 < r_2$ avec $B(r_2)\neq\emptyset$. 
Alors il existe une constante $C(r_1,r_2) > 0$ telle que pour toute fonction
psh $V$ on ait$~:$
$$
\int_{B(r_1)}dd^cV\wedge(dd^c\psi)^{n-1}\leq C(r_1,r_2)
\int_{B(r_2)}dd^cV\wedge\alpha^{n-1}.
$$}

{\it Démonstration}. Posons $\varphi' = \max(\varphi, r_1 + \varepsilon\psi + 
\sqrt{\varepsilon})$ où $\varepsilon > 0$ est choisi assez petit pour que 
$\varphi'=\varphi$ au voisinage de $S(r_2)$ et $\varphi' = r_1 + 
\varepsilon\psi + \sqrt{\varepsilon}$ sur~$B(r_1)$. D'après le théorème
de Stokes il vient
$$
\int_{B(r_2)}dd^cV\wedge(dd^c\varphi)^{n-1}= 
\int_{B(r_2)}dd^cV\wedge(dd^c\varphi')^{n-1}\geq
\varepsilon^{n-1}\int_{B(r_2)}dd^cV\wedge(dd^c\psi)^{n-1}.
\eqno\square
$$

{\statement Théorème 7.5.\pointir} {\it Toute fonction psh $V$ sur $X$
vérifiant l'une des hypothèses de croissance ci-dessous est constante~$:$
{\parindent=6.5mm
\vskip2pt
\item{\rm(a)} $\displaystyle\liminf_{r\to+\infty}~{1\over r}\mu_r(V_+)=0$.

\vskip2pt
\item{\rm(b)} $\displaystyle\sup_{B(r)}V = 
o\Big({r\over \tau(r)}\Big)$ quand $r\to+\infty$.}}

{\it Démonstration}. Le théorème 5.1 donne
$$
\mu_r(V_+)\leq\Vert\mu_r~\Vert\sup_{B(r)}V_+ = \tau(r)\sup_{B(r)}V_+,
$$
donc l'hypothèse 7.5~(b) implique 7.5~(a). Sous l'hypothèse 7.5~(a),
le corollaire 7.3 et le lemme 7.4 montrent que $dd^cV = 0$, i.e.\ $V$
est pluriharmonique. Pour tout $x\in X$ la fonction $z\mapsto
\tilde V(z)=\max(V(z), V(x))$ vérifie encore 7.5~(a), elle est donc 
pluriharmonique. D'après le principe du maximum $-\tilde V$ est constante 
sur~$X$ ($X$ étant supposé irréductible), i.e.\ $V\leq V(x)$~; 
$V$~est donc constante.\hfil\square
\medskip

Dans la situation usuelle de l'espace hermitien $\bC^n$ et de la
fonction d'exhaustion $\varphi(z) = \log|z|$, le théorème 7.5 redonne
(avec une démonstration un peu plus simple) un résultat dû à N.~Sibony
et P.-M. Wong. Définissons l'ordre logarithmique $\rho(V)$ d'une fonction
psh $V$ dans $\bC^n$ (resp.\ d'une fonction entière $F$) par
$$
1 + \rho(V) = \limsup_{r\to +\infty} {\log\sup_{|z|<r} V(z)\over\log\log r},
\qquad\hbox{(resp.}~~  \rho(F) = \rho(\log|F|).
$$
En d'autres termes $V$ et $F$ sont d'ordre logarithmique${}\leq\rho$ si pour
tout $\varepsilon > 0$ on a
$$
V_+(z)\leq\varphi(z)^{1+\rho+\varepsilon},\qquad\hbox{(resp.}~~
|F(z)|\leq\exp\big(\varphi(z)^{1+\rho+\varepsilon})\big)
$$
quand $|z|$ est assez grand. En particulier, tout polynôme est d'ordre 
logarithmique nul, et toute fonction entière d'ordre logarithmique fini
est d'ordre nul au sens usuel.
\medskip

{\statement Corollaire 7.6 {\rm([SW])}.\pointir} {\it Soit $F$ une 
fonction entière non constante d'ordre logarithmique $\rho < 1$, et $X$
une composante irréductible de l'hypersurface $F^{-1}(0)$. Alors toute
fonction psh $V$ sur $X$ d'ordre logarithmique${}< 1-\rho$ est constante.
En particulier, les fonctions psh et holomorphes bornées sur $X$ sont 
constantes.}
\medskip

{\it Démonstration}. Le théorème 7.5 nous ramène à estimer le volume
de $X$ relativement à $\varphi$, ce qui est un problème classique. Le courant
d'intégration sur $X$ est en effet majoré par  ${1\over2\pi}dd^c\log|F|$ en 
vertu de l'équation de Lelong-Poincaré (cf.\ [Le1])~; on a donc
$$
\tau(r) = \int_{X\cap\{\varphi<r\}}(dd^c\varphi)^{n-1}\leq
\int_{\{\varphi<r\}}{1\over2\pi}dd^c\log|F|\wedge\alpha^{n-1}
$$
Après translation éventuelle on peut supposer $F(0)\neq 0$. La 
proposition~4.5 et la formule~3.4 appliquée à $V = {1\over 2\pi} \log|F|$
dans $\bC^n$ donnent alors
$$
\int_{-\infty}^r\tau(t)\,dt\leq \mu_r\Big({1\over 2\pi}\log|F|\Big)
-(2\pi)^n{1\over 2\pi}\log|F(0)|\leq C\,r^{1+\rho+\varepsilon}.
$$
pour $r\ge r_0(\varepsilon)$. Comme la fonction $\tau$ est croissante, on 
en déduit
$$
\tau(r)\leq{1\over r}\int_r^{2r}\tau(t)\,dt\leq C'\,r^{\rho+\varepsilon}.
$$
La conclusion résulte alors de 7.5~(b).\hfil\square
\medskip


\bigskip
\section{8}{Fonctions holomorphes \hbox{\bigbfgreek\char'047}-polynomiales.}


Nous conservons ici les notations et hypothèses du \S7~: $X$ désigne un espace de Stein irréductible de dimension $n$, muni d'une fonction d'exhaustion psh $\varphi$ vérifiant la condition (7.2) de croissance du volume.
\medskip

{\statement Définition 8.1.\pointir} {\it Si $F$ est une fonction 
holomorphe sur $X$, on appellera degré de $F$ relativement à
$\varphi$ le nombre
$$
\delta_\varphi(F) = \limsup_{r\to+\infty}~\mu_r(\log_+|F|)\in[0,+\infty].
$$}

Les inégalités évidentes $\log_+|FG|\leq\log_+|F|+\log_+|G|$ et 
$$
\log_+|\lambda F+\mu G|\leq \log_+|F| + \log_+|G| + \log_+|\lambda+\mu|,
$$
jointes à (7.2), entraînent pour tous scalaires $\lambda,\mu\in\bC$~:
$$
\delta_\varphi(FG)\leq\delta_\varphi(F) + \delta_\varphi(G),\qquad
\delta_\varphi(\lambda F+\mu G)\leq \delta_\varphi(F) + \delta_\varphi(G).
$$
L'ensemble des fonctions holomorphes de degré fini est donc une 
$\bC$-algèbre intègre.
\medskip

{\statement Notations 8.2.\pointir} {\it On note~$:$
{\parindent=6.5mm
\vskip2pt
\item{\rm(a)} $A_\varphi(X)$ l'algèbre des fonctions holomorphes de degré fini,
qui seront dites fonctions $\varphi$-polynomiales.
\vskip2pt
\item{\rm(b)} $K_\varphi(X)$ le corps des quotients $F/G$ avec $F,G\in 
A_\varphi(X)$, dit corps des fonctions $\varphi$-ra\-tion\-nelles.\medskip}}

La terminologie est justifiée par le théorème 8.5 ci-dessous. Dans tous 
les exemples que nous connaissons, l'égalité 
$A_\varphi(X) = K_\varphi(X)\cap\cO(X)$ a lieu, mais nous ne savons pas si 
cette propriété est générale. D'autre part, si $X$ est normal, 
$A_\varphi(X)$ est une sous-algèbre intégralement close de $K_\varphi(X)$ 
(vérification immédiate).

Avec ces définitions, on a l'inégalité fondamentale suivante, qui découle
de la proposition 7.3 appliquée à $V = \log|F|$.
\medskip

{\statement Proposition 8.3.\pointir} {\it Soit $[Z_F] = {1\over 2\pi}
dd^c \log |F|$ le diviseur des zéros d'une fonction $F\in A_\varphi(X)$
non identiquement nulle. Alors
$$
2\pi\int_X [Z_F]\wedge\alpha^{n-1}\leq \delta_\varphi (F).\eqno\square
$$}

{\statement Corollaire 8.4.\pointir} {\it Soit $a$ un point régulier de~$X$.
On désigne par $\ord_a(F)$ l'ordre d'annulation d'une fonction holomorphe 
$F$ en~$a$. Il existe une constante $C(a) > 0$ telle que pour toute 
fonction $F\in A_\varphi(X)$ non nulle on ait~$:$
$$
\ord\nolimits_a(F)\leq C(a) \,\delta_\varphi(F).
$$}

{\it Démonstration}. Soit $(z_1,z_2,\ldots,z_n)$ un système de 
coordonnées locales sur~$X$, centré en~$a$, tel que la boule 
$|z|\leq\varepsilon$ soit relativement compacte dans~$X$. Le 
lemme 7.4 entraîne l'existence d'une constante $C_1 > 0$ telle que
$$
\int_{|z|\leq\varepsilon}[Z_F]\wedge(dd^c|z|^2)^{n-1}\leq 
C_1\int_{X}[Z_F]\wedge\alpha^{n-1}.
$$
Le corollaire 8.4 résulte alors de la proposition 8.3 et de l'inégalité
classique de P.~Lelong [Le1]~:
$$
{1\over (4\pi\varepsilon^2)^{n-1}}
\int_{|z|\leq\varepsilon}[Z_F]\wedge(dd^c|z|^2)^{n-1}\geq
\ord\nolimits_a(F).\eqno\square
$$

En utilisant un raisonnement classique remontant à Poincaré et développé 
par Siegel [Si1], [Si2], nous allons maintenant en déduire un théorème
d'algébricité très général.
\medskip

{\statement Théorème 8.5.\pointir} {\it Le degré de transcendance sur 
$\bC$ du corps $K_\varphi(X)$ des fonctions $\varphi$-ra\-tion\-nelles est 
tel que~$:$
{\parindent=6.5mm
\vskip2pt
\item{\rm(a)} $0\leq\deg \tr_\bC K_\varphi(X)\leq n = \dim X.$
\vskip2pt
\item{\rm(b)} Si $\deg\tr_\bC K_\varphi(X) = n$, alors $K_\varphi(X)$ est 
une extension de  type fini de~$\bC$.\medskip}}

{\it Démonstration}. Soient $F_1,\ldots,F_N$ des fonctions 
$\varphi$-polynomiales, $(k_1,\ldots,k_N)$ un \hbox{$N$-uplet} 
d'entiers${}\geq 0$, 
et $P\in\bC[X_1,\ldots,X_N]$ un polynôme de $N$ variables tel que 
$\deg_{X_j}P\leq k_j$ et $P(F_1,\ldots,F_N)\not\equiv 0$. On a alors
$$
\eqalign{
&\log_+|P(F_1,\ldots,F_N)|\leq \sum_{1\leq j\leq N}k_j\log_+|F_j|+\hbox{Cte},\cr
&\delta_\varphi(P(F_1,\ldots,F_N))\leq \sum_{1\leq j\leq N}
k_j\,\delta_\varphi(F_j).\cr}
$$
Le corollaire 8.4 donne donc l'inégalité
$$
\ord\nolimits_aP(F_1,\ldots,F_N)\leq C(a)
\sum_{1\leq j\leq N}k_j\,\delta_\varphi(F_j).\leqno(8.6)
$$
Supposons $F_1,\ldots,F_N$ algébriquement indépendantes. Alors la dimension
de l'espace vectoriel des polynômes $P(F_1,\ldots,F_N)$ est égale à 
$(k_1+1)\ldots (k_N+1)$. Pour tout entier $s\geq 0$ et tout point
$a\in X_\reg$ donnés, le système linéaire homogène
$$
{\partial^\nu\over \partial z^\nu}P(F_1,\ldots,F_N)_{|z=a}=0,\qquad
\nu\in\bN^n,~~|\nu|\leq s,
$$
admet une solution non nulle dès que cette dimension excède le nombre
d'équations, égal à ${n+s\choose n}\leq {1\over n!}(n+s)^n$. La 
fonction $P(F_1,\ldots,F_N)$ s'annule alors au moins à l'ordre $s+1$ 
au point~$a$, et le choix de $s$ tel que 
$s\leq C(a)\sum k_j\,\delta_\varphi(F_j)<s+1$ contredit l'inégalité~(8.6),
à moins que
$$
(k_1+1)\ldots (k_N+1)\leq{n+s\choose s}\leq{1\over n!}\bigg[
n+C(a)\sum_{1\leq j\leq N}k_j\,\delta_\varphi(F_j)\bigg]^n.
$$
Prenons alors $k_1=\cdots=k_N=k$ et faisons tendre $k$ vers~$+\infty$. 
L'inégalité précédente montre que $(k+1)^N\leq\hbox{Cte}(k+1)^n$, 
par suite $N\leq n$ et la propriété (a) est démontrée.

Supposons maintenant $\deg\tr_\bC K_\varphi(X) = n$, et soient $F_1,\ldots,F_n$
$n$ fonctions algébriquement indépendantes de $A_\varphi(X)$. Pour démontrer
(b), il suffit de majorer le degré de l'extension algébrique
$[K_\varphi(X) :\bC(F_1,\ldots,F_n)$. Si $F_{n+1}\in A_\varphi(X)$ est 
algébrique de degré $d$ sur $\bC(F_1,\ldots,F_n)$, les monômes 
$F_1^{\ell_1}\ldots F_n^{\ell_n}F_{n+1}^{\ell_{n+1}}$ sont linéairement 
indépendants dès que $\ell_{n+1} < d$. Le raisonnement précédent appliqué
avec $k_{n-1}= d-1$ donne donc
$$
(k_1+1)\ldots (k_n+1)d\leq{1\over n!}\bigg[n+C(a)
\sum_{1\leq j\leq n}k_j\,\delta_\varphi(F_j)+(d-1)\,\delta_\varphi(F_{n+1})\bigg]^n.
$$
Prenons $k_1\sim q_1k,\ldots,k_n\sim q_nk$ où $q_1,\ldots,q_n$ sont des 
réels${}>0$ et $k\to+\infty$. Il vient à la limite
$$
q_1\ldots q_nd\leq{1\over n!}\bigg[C(a)
\sum_{1\leq j\leq n}q_j\,\delta_\varphi(F_j)+(d-1)\,\delta_\varphi(F_{n+1})\bigg]^n,
$$
et le choix $q_j = 1/\delta_\varphi(F_j)$ donne la majoration explicite 
attendue du degré~:
$$
d\leq {(n C(a))^n\over n!}~\delta_\varphi(F_1)\cdots\delta_\varphi(F_n).
\eqno\square
$$

Signalons que le théorème 8.5~(b) ne dit rien en ce qui concerne l'algèbre 
$A_\varphi(X)$ elle-même~; comme nous le verrons au \S10 , il
se peut fort bien que l'algèbre $A_\varphi(X)$ {\it ne~soit~pas de type fini}.

A titre d'application, considérons le cas particulier où $X$ est
un sous-ensemble analytique (fermé) de dimension pure $n$ dans~$\bC^N$,
muni de la fonction d'exhaustion usuelle \hbox{$\varphi(z) = \log(1+|z|^2)$}.
La  métrique associée $\alpha = dd^c\varphi$ s'identifie avec la métrique
de Fubini-Study de l'espace projectif~$\bP^N$, tandis que la métrique 
$\beta = dd^ce^\varphi$ coïncide avec la métrique hermitienne plate 
de~$\bC^N$. La proposition 3.10 implique les relations
$$
\eqalign{
&\int_{X\cap\{|z|<r\}}\beta^n = (1+r^2)^n
\int_{X\cap\{\varphi<\log(1+r^2\}}\alpha^n,\cr
&\Vol_\alpha(X) = \int_X\alpha^n = 
\lim_{r\to+\infty}\int_{X\cap\{|z|<r\}}\beta^n.\cr}
$$
Le théorème 8.5 redonne alors de façon élémentaire le résultat classique
suivant dû à W.~Stoll [St1].
\medskip

{\statement Corollaire 8.7.\pointir} {\it Soit $X$ un sous-ensemble 
analytique fermé de dimension pure $n$ dans~$\bC^N$, dont le volume projectif
$\Vol_\alpha(X)$ est fini, i.e.\ le volume euclidien vérifie l'estimation
$$
\Vol_\beta(X\cap\{|z|< r\}) \leq C\cdot r^{2n},\qquad C\geq 0.
$$
Alors $X$ est algébrique.}
\medskip

{\it Démonstration}. Chaque composante irréductible de $X$ est de volume 
au moins égal au volume d'un $n$-plan (cf.\ [Le1]), donc ces composantes 
sont en nombre fini, et on peut supposer $X$ irréductible.

On observe maintenant que les polynômes $P\in\bC[z_1,\ldots,z_N]$ induisent 
sur $X$ des fonctions $\varphi$-polynomiales au sens des définitions 
8.1 et 8.2. En effet, l'estimation évidente $\log_+|P|\leq{1\over 2}
\deg(P)\,\varphi +\hbox{Cte}$ entraîne
$$
\delta_\varphi(P) = \limsup_{r\to+\infty}~{1\over r}\,\mu_r(\log_+|P|) 
\leq{1\over 2}\Vol_\alpha(X)\cdot\deg(P).
$$
Considérons alors le morphisme de restriction
$$
\bC[z_1,\ldots,z_N]\to A_\varphi(X)
$$
et l'idéal $I$, noyau de ce morphisme. Puisque $A_\varphi(X)$ est intègre, 
$I$ est un idéal premier~; de plus la variété algébrique irréductible des
zéros $V(I)$ contient $X$ par définition. Le théorème 8.5~(a) montre
que $\bC[z_1,\ldots,z_N]/I\subset A_\varphi(X)$ a un degré de transcendance
au plus égal à $n = \dim X$~; par conséquent $\dim V(I)\leq n$ 
et~$X = V(I)$.\hfil\square
\medskip

{\statement
Remarque 8.8.\pointir} Dans la situation du corollaire on a un isomorphisme 
$$
\bC[z_1,\ldots,z_N]/I\mathop{\longrightarrow}\limits^\simeq A_\varphi(X),
$$
en particulier $A_\varphi(X)$ est de type fini. Sinon, il existerait une 
algèbre $B$ de type fini telle que $\bC[z_1,\ldots,z_N]/I\subsetneq B
\subset A_\varphi(X)$. Soit $M = \mathop{\rm Spm} B$ la variété algébrique 
affine associée à $B$ (voir [Di], tome 2, chap.~I, pour le formalisme de 
base concernant les variétés algébriques)~; les inclusions précédentes 
induiraient alors respectivement un morphisme algébrique $M\to V(I)$ et
un morphisme analytique $V(I) = X\to M$, réciproques l'un de l'autre. 
Par suite le morphisme $V(I)\to M$ serait algébrique, et on aurait 
$\bC[z_1,\ldots,z_N]/I = B$ contrairement à l'hypothèse.\hfil\square
\medskip

Nous allons voir maintenant comment ces résultats se transposent au cas 
des sections \lguil\?polynomiales\?\rguil\ d'un fibré linéaire. Soit $L$ un
fibré linéaire hermitien au-dessus de $X$, $D$~la connexion hermitienne
canonique de~$L$, et $c(L) = D^2$ la $(1,1)$-forme de courbure de~$L$.

Si $\sigma$ est une section holomorphe non nulle de~$L$, on obtient pour 
tout $\varepsilon > 0$~:
$$
i\partial\overline\partial \log(\varepsilon + |\sigma|^2) 
= i\partial\bigg[{\langle\sigma,D\sigma\rangle\over\varepsilon+|\sigma|^2}
\bigg]={\varepsilon\langle D\sigma,D\sigma\rangle\over
(\varepsilon+|\sigma|^2) ^2}-{|\sigma|^2\over\varepsilon+|\sigma|^2}\,ic(L).
$$
La formule de Jensen 3.4 appliquée à la fonction $V = {1\over 2}
\log(\varepsilon+|\sigma|^2)$ donne alors, compte tenu que 
$V\geq \log \varepsilon^{1/2}$~:
$$
\eqalign{
\int_0^rdt&\int_{B(t)}{\varepsilon\langle D\sigma,D\sigma\rangle
\over(\varepsilon+|\sigma|^2) ^2}\wedge\alpha^{n-1}\cr
&\leq\int_0^rdt\int_{B(t)}{|\sigma|^2\over\varepsilon+|\sigma|^2}\,
ic(L)\wedge\alpha^{n-1}+\mu_r(V)-\mu_0(V)-
\int_{B(r)\ssm B(0)}V\,\alpha^n\cr
&\leq r\int_X\big[ic(L)\wedge\alpha^{n-1}\big]_++\mu_r(V)
+\tau(r)\,\log\varepsilon^{-{1\over 2}},\cr}
$$
où $[ic(L)\wedge\alpha^{n-1}]_+$ désigne la partie positive de la mesure 
$c(L)\wedge\alpha^{n-1}$. Divisons cette inégalité par $r$ et faisons tendre
$r$ vers~$+\infty$. Comme $V\leq\log_+|\sigma|+{1\over 2}\log(1+\varepsilon)$,
il vient
$$
\int_X{\varepsilon\langle D\sigma,D\sigma\rangle\over
(\varepsilon+|\sigma|^2)^2}\wedge\alpha^{n-1}
\leq\limsup_{r\to+\infty}~{1\over r}\,\mu_r(\log_+|\sigma|)
+\int_X\big[ic(L)\wedge\alpha^{n-1}\big]_+\,.
$$
Quand $\varepsilon$ tend vers~$0$, le terme 
${\varepsilon\langle D\sigma,D\sigma\rangle\over
(\varepsilon+|\sigma|^2)^2}$
converge faiblement vers le courant d'intégration $2\pi[Z_\sigma]$ associé 
au diviseur des zéros de~$\sigma$. On obtient donc la généralisation 
suivante de l'inégalité~8.3.
\medskip

{\statement Proposition 8.9.\pointir} {\it Pour toute section holomorphe 
$\sigma\not\equiv 0$ de~$L$, on a
$$
2\pi\int_X [Z_\sigma]\wedge\alpha^{n-1} \leq \delta_\varphi(\sigma) + 
\delta_\varphi(L)
$$
où $\delta_\varphi(\sigma)$, $\delta_\varphi(L)$ désignent les 
\lguil\?degrés\?\rguil\ respectifs de $\sigma$ et $L~:$
$$
\eqalign{
\delta_\varphi(\sigma)
&= \limsup_{r\to+\infty}~{1\over r}\mu_r(\log_+|\sigma|),\cr
\delta_\varphi(L)
&= \int_X\big[ic(L)\wedge\alpha^{n-1}\big]_+\,.\cr}
$$}

Le théorème d'algébricité s'énonce maintenant comme suit.
\medskip

{\statement Théorème 8.10.\pointir} {\it On désigne par $K_\varphi(X,L)$
le corps des fonctions méromorphes sur $X$ de la forme 
$\sigma_1/\sigma_2$ avec $\sigma_j\in H^0(X,\cO(L^m))$, $m\in\bN$, 
$\delta_\varphi(\sigma_j) < +\infty$, $j =1,2$. Si le fibré $L$ est de 
degré $\delta_\varphi(L)$ fini, alors~$:$
{\parindent=6.5mm
\vskip2pt
\item{\rm (a)}
$0\leq \deg\tr K_\varphi(X,L) \leq n = \dim X~;$
\vskip2pt
\item{\rm (b)} Si $\deg\tr K_\varphi(X,L) = n$, le corps 
$K_\varphi(X,L)$ est de type fini.\medskip}}

{\it Démonstration}. Soient $F_1 = \sigma'_1/\sigma_1,\ldots,
F_N = \sigma'_N/\sigma_N$ des éléments de $K_\varphi(X,L)$ 
avec $\sigma_j,\sigma'_j\in\cO(L^{m_j})$, et $P\in\bC[X_1,\ldots,X_N]$ 
un polynôme tel que $\deg_{X_j} P \leq k_j$. Posons
$$
\sigma=P\Big({\sigma'_1\over\sigma_1},\ldots,{\sigma'_N\over\sigma_N}\Big)
\sigma_1^{k_1}\cdots\sigma_N^{k_N}\in H^0(X,\cO(L^m)),\qquad m=\sum k_jm_j.
$$
L'inégalité (8.6) se généralise alors sous la forme suivante :
$$
\ord\nolimits_a(\sigma)\leq C(a)\sum_{1\leq j\leq N}
k_j\Big[\max(\delta_\varphi(\sigma_j),\delta_\varphi(\sigma'_j))+
m_j\delta_\varphi(L)\Big],
\leqno(8.11)
$$
et le reste de la démonstration est identique à celle de 8.5.\hfil\square
\vskip1.5cm

{\hugebf
B. Caractérisation géométrique\vskip0pt
\strut\phantom{B. }des variétés algébriques affines.\par}
\vskip7mm\rm

\section{9}{Énoncé du critère d'algébricité.}


L'objet des paragraphes qui suivent est de montrer que les variétés
algébriques affines sont caractérisées parmi les espaces de Stein par
des conditions géométriques simples, à savoir la finitude du volume de
Monge-Ampère et une minoration convenable de la courbure de Ricci.

Rappelons qu'une variété algébrique affine est par définition une
sous-variété algébrique fermée d'un espace $\bC^N$. Dans le cas d'un espace
$X$ à singularités isolées, nous obtenons la caractérisation
nécessaire et suffisante ci-dessous.
\medskip

{\statement Théorème 9.1.\pointir} {\it Soit $X$ un espace analytique
complexe de dimension $n$, ayant au plus un nombre fini de points
singuliers. Alors $X$ est analytiquement isomorphe à une variété
algébrique affine $X$ si et seulement si $X$ possède une fonction
d'exhaustion $\varphi$ de classe $\cC^\infty$ strictement psh ayant
les propriétés {\rm(a), (b), (c)} ci-dessous.
{\parindent=6.5mm
\vskip2pt
\item{\rm(a)} $\displaystyle\Vol(X) = \int_X (dd^c\varphi)^n <+\infty~;$
\vskip2pt
\item{\rm(b)} La courbure de Ricci de la métrique $\beta= dd^c(e^\varphi)$ 
admet une minoration de la forme
$$
\Ricci(\beta)\geq-{1\over 2}dd^c\psi,
$$
avec $\psi\in L^1_{\loc}(X,\bR)\cap\cC^0(X_\reg,\bR)$ et 
$\psi\leq A\varphi + B$, où $A$, $B$ sont des constantes${}\geq 0~;$
\vskip2pt
\item{\rm(c)} $\varphi$ n'a qu'un nombre fini de point critiques sur
$X_\reg$.\vskip2pt}
Si ces conditions sont vérifiées, l'anneau $R_\varphi(X)=K_\varphi(X)\cap
\cO(X)$ $($cf. définition~$8.2)$ est une $\bC$-algèbre de type fini et
de degré de transcendance~$n$. La structure algébrique $X_\alg$ est
alors définie comme l'unique structure algébrique sur $X$ dont
l'anneau des fonctions régulières est $R_\varphi(X)$.\medskip}

L'extension de cette caractérisation au cas des espaces analytiques
ayant des singularités quelconques présente des difficultés qui seront
examinées au \S14.

Le rôle des différentes hypothèses du théorème 9.1 se partage grosso
modo comme suit. L'existence d'une fonction d'exhaustion $\varphi$
strictement psh garantit que $X$ est une variété de Stein, d'après la
solution du problème de Levi donnée par H. Grauert [Gr].

Sous l'hypothèse~(a), le théorème 8.5 implique d'autre part que
le corps des fonctions $\varphi$-rationnelles est de degré de transcendance
fini. L'hypothèse~(b), quant à elle, assure l'existence d'un nombre suffisant de fonctions $\varphi$-polynomiales, grâce aux estimations $L^2$ de 
Hörmander-Nakano-Bombieri-Skoda pour l'opérateur $\overline\partial$. 
Signalons ici qu'on ne peut remplacer la condition (b) par une 
condition portant sur la courbure de la métrique $dd^c\varphi$ (cf.\ 
remarque 10.2). On obtient par contre une condition équivalente en 
remplaçant $\beta$ par une métrique $\gamma$ quelconque telle que
$$
\exp(-A_1\varphi-B_1)\leq\gamma\leq\exp(A_2\varphi+B_2,
$$
par exemple la métrique $\gamma = dd^c\log(1 + e^\varphi)$ ou 
$\gamma = dd^c(\varphi^2)$.

Enfin l'hypothèse~(c) entraîne d'après la théorie de Morse que $X$ a
même type d'homo\-topie qu'un complexe cellulaire fini, et donc que la
cohomologie de $X$ est de type fini. Nous ne savons pas en fait si
l'hypothèse~(c) est réellement indispensable, dès lors qu'on suppose
$X$ irréductible. Sans l'hypothèse~(c), on peut déjà montrer que $X$
est réunion d'une suite croissante de variétés X algébriques
quasi-affines (${}={}$ouverts de Zariski de variétés affines),
cf.~proposition 13.1. De ce résultat découle l'amélioration suivante
du théorème 9.1.
\medskip

{\statement Théorème $\bf 9.1^{\prime}$.\pointir} {\it 
Le théorème $9.1$ reste vrai si 
les hypothèses {\rm (a,b,c)} sont affaiblies comme suit~$:$
\vskip2pt
$\hbox{\rm(a')} =\hbox{\rm(a)}\;:$~ $\Vol(X) = \int_X (dd^c\varphi)^n < 
+\infty~;$
{\parindent=7.5mm
\vskip2pt
\item{\rm (b')} $\Ricci(\beta)\geq -{1\over 2}dd^c\psi$, où 
$\psi\in L^1_\loc(X,\bR) \cap Cc^0(X_\reg,\bR)$ admet une estimation de 
la forme
$$
\int_X \exp(c\psi-A\varphi)\,\beta^n < +\infty,\qquad c > 0,\quad A > 0~;
$$
\item{\rm (c')} les espaces de cohomologie de degré pair $H^{2q}(X_\reg;\bR)$
sont de dimension finie.\medskip}}

Les hypothèses (a'), (b') entraînent encore que $X = \bigcup_{k\in\bN}X_k$
avec $X_k$ quasi-affine, $X_k\subset X_{k+1}$, et l'hypothèse (c') implique que
la suite $X_k$ est nécessairement stationnaire~; par conséquent, $X$ est 
algébrique. Observons que l'hypothèse (c') est toujours vérifiée si 
$n = 1$~; lorsque $n = 2$ ou $n = 3$, elle équivaut à supposer seulement 
$\dim H^2(X;\bR) < +\infty$, car les groupes $H^q(X;\bR)$ sont toujours nuls
pour $q>n$ lorsque $X$ est de Stein.

La vraisemblance des théorèmes 9.1, 9.1' nous a été suggérée en partie
par les travaux de W.~Stoll et D.~Burns sur les variétés
paraboliques. Rappelons ici le résultat fondamental de W.~Stoll
(1980), qui caractérise les variétés strictement paraboliques de rayon
quelconque.
\medskip

{\statement Théorème 9.2 {\rm(cf.\ [St2] et [Bu])}.\pointir} {\it Soit 
$M$ une variété analytique complexe connexe de dimension~$n$. 
On suppose qu'il existe un réel $R\in{}]0, +\infty]$ et une 
fonction $\tau: M\to{}]0,R^2[$ strictement psh exhaustive de 
classe~$\cC^\infty$,  telle que $\log\tau$ soit psh et vérifie 
$(dd^c\tau)^n\equiv 0$ sur $M\ssm\tau^{-1}(0)$. 
Alors il existe une application biholomorphe $F : B(R)\to M$ de la boule
de rayon $R$ dans $M$ telle que $F^*\tau(z) = |z|^2$.}
\medskip

Si on lève l'hypothèse de stricte plurisousharmonicité de $\tau$, on
voit facilement que toute variété algébrique affine $M$ vérifie encore
la condition du théorème 9.2 (avec $R = +\infty$)~: il suffit de
choisir $\tau(z) = \log|\pi(z)|^2$ où $\pi : M \to \bC^n$ est un morphisme
propre fini. Cette remarque a conduit D.~Burns à poser le problème de la
caractérisation de telles variétés en termes de fonctions d'exhaustion
ayant des propriétés particulières. Signalons en particulier les
problèmes ouverts suivants.
\medskip

{\statement Problème 9.3.\pointir} {\it On considère une variété de Stein
$M$ de dimension~$n$, ayant une fonction d'exhaustion psh 
$\tau: M\to[0,+\infty[$ de classe $\cC^\infty$ telle que $\log\tau$ 
soit psh et vérifie $(dd^c\log\tau)^n\equiv 0$ sur $M\ssm\tau^{-1}(0)$. 
La variété $M$ est-elle algébrique affine~$?$}
\medskip

{\statement Problème 9.4.\pointir} {\it Caractériser les variétés $M$ 
admettant une fonction d'exhaustion $\tau : M\to [0,+\infty[$ strictement 
psh telle que $\log\tau$ soit psh et vérifie $(dd^c\log\tau)\equiv 0$ 
en dehors d'un compact.}
\medskip

D.~Burns a montré qu'il existe des variétés algébriques affines ne
vérifiant pas la condition 9.4~: tel est le cas de $M = (\bC^*)^n$,
$n\ge 2$. Néanmoins, la condition 9.4 est vérifiée par une variété
affine \lguil\?générique\rguil, à savoir une variété plongée dans
$\bC^N$ dont la complétion projective est lisse et transverse à 
l'hyperplan à l'infini.

Peu après avoir démontré le théorème 9.1, nous avons appris d'autre
part que N.~Mok avait obtenu antérieurement une condition géométrique
suffisante (non nécessaire en général) pour qu'une variété soit
algébrique affine.
\medskip

{\statement Théorème 9.5 {\rm([Mok 1,2,3])}.\pointir} {\it Soit $X$ une 
variété kahlérienne complète de dimension~$n$, de courbure 
bisectionnelle positive, telle que
{\parindent=6.5mm
\vskip2pt
\item{\rm(a)} volume$(B(x_0,r))\geq c\,r^{2n},$
\vskip2pt
\item{\rm(b)} $0 < \hbox{courbure scalaire} \leq C/d(x_0,x)^2,$}
\vskip2pt
où $B(x_0,r)$ et $d(x_0,x)$ désignent respectivement les boules et 
la distance géodésiques, et~$c,C > 0$.
Alors $X$ est biholomorphiquement 
isomorphe à une variété algébrique affine.}
\medskip

N. Mok a déduit de ce théorème que toute surface $X$ de courbure 
riemannienne positive vérifiant les hypothèses 9.5 (a), (b) est en
fait isomorphe à~$\bC^2$. Le résultat analogue en dimension $n > 2$
demeure une conjecture. Le théorème~9.5 repose essentiellement sur
un travail [MSY] de Mok, Siu et Yau portant sur la résolution de
l'équation de Poincaré-Lelong sur les variétés kählériennes à
courbure bisectionnelle${}> 0$. Ce résultat mis à part, la
démonstration de N.~Mok suit dans ses grandes lignes une démarche
sensiblement parallèle à la nôtre.

L'hypothèse que la courbure bisectionnelle soit positive apparaît
cependant assez restrictive, et ne permet pas de couvrir en général le
cas des variétés algébriques affines (la courbure euclidienne d'une
telle variété est toujours négative, cf.~\S10). Citons cependant
quelques résultats connus dans le cas des courbures non nécessairement
positives. Siu et Yau [SY] ont démontré qu'une variété kählérienne
complète $X$ simplement connexe dont la courbure sectionnelle vérifie
$$
- {C\over d(x_0,x)^{2+\varepsilon}}< \hbox{courbure sectionnelle} < 0
$$
est biholomorphe à~$\bC^n$. Il en est de même si la courbure vérifie
$$
\hbox{courbure sectionnelle} \leq {C_\varepsilon\over d(x_0,x)^{2+\varepsilon}}
$$
avec une constante $C_\varepsilon$ assez petite (cf.\ [MSY]).

\def\section#1#2{{\baselineskip=15pt\parindent=8.5mm\bigbf
\item{#1.} #2\vskip2pt}}

\bigskip
\section{10}{Nécessité des conditions sur le volume et la courbure.}

Nous allons démontrer ici que les conditions (a), (b), (c) du
théorème 9.1 sont vérifiées pour toute sous-variété algébrique 
irréductible $X\subset\bC^N$ de dimension~$n$.

On choisit dans ce cas $\varphi(z) = \log(1+|z|^2)$, de sorte que la
métrique $\alpha = dd^c\varphi$ coïncide avec la métrique de Fubini-Study 
de l'espace projectif~$\bP^N$. Comme l'adhérence $\overline X$ de $X$ 
dans $\bP^N$ est une sous-variété algébrique compacte, on obtient
$$
\int_X(dd^c\varphi)^n = \int_{\overline X} \alpha^n < +\infty,
$$
par conséquent la condition (a) est vérifiée.

D'après le théorème de Bertini-Sard, l'ensemble des valeurs critiques
de $\varphi$ sur $X_\reg$ est fini. Par suite l'ensemble critique de
$\varphi$ est compact. Quitte à perturber légèrement $\varphi$ dans
$\cC^\infty(X,\bR)$ au voisinage de ce compact ([Mil], cor.~6.8), 
on construit une fonction $\varphi'$ dont les
points critiques sont non dégénérés. Les points critiques de
$\varphi'$ sont alors en nombre fini [hypothèse (c)].

Il nous reste maintenant à montrer que $X$ satisfait la condition
de courbure 9.1~(b) relativement à la métrique
$$
\beta = dd^c(e^\varphi) = dd^c|z|^2 = 
2i\sum_{j=1}^N dz_j\wedge d\overline z_j\,,
$$
ce que nous allons vérifier par un calcul explicite de $\Ricci(\beta_{|X})$
et de~$\psi$.

Soit $(P_1,\ldots,P_m)$ un système de polynômes générateurs pour l'idéal
$I(X)$ de la sous-variété $X$ dans $\bC[z_1,\ldots,z_N]$, et soit 
$s = \codim X = N-n$. Pour tout couple de multi-indices
$$
K = \{k_1<\ldots<k_s\} \subset \{1,\ldots,m\},\qquad
L = \{\ell_1<\ldots<\ell_s\} \subset \{1,\ldots,N\}
$$
de longueur $s$, on considère le jacobien partiel
$$
J_{K,L}(z)=
\det\Big(\partial P_{k_i}/\partial z_{\ell_j}\Big)_{1\leq i,j\leq s}~,
$$
et on pose
$$
\psi(z) = \log\Bigg(\sum_{|K|=|L|=s}|J_{K,L}|^2\Bigg).
$$
Les fonctions $J_{K,L}$ sont polynomiales, en particulier il existe des 
constantes $A,B\geq 0$ telles que $\psi\leq A\varphi+B$. La proposition
suivante montre que $\varphi,\psi$ satisfont de plus l'inégalité de 
courbure 9.1~(b).
\medskip

{\statement Proposition 10.1.\pointir} {\it On note $U_K = U_{k_1,\ldots,k_s}$
l'ouvert de $X$ sur lequel les différentielles $dP_{k_1},\ldots,dP_{k_s}$ 
sont linéairement indépendantes. Alors~$:$
{\parindent=6.5mm
\vskip2pt
\item{\rm(a)} $\displaystyle \Ricci(\beta_{|X}) = -{1\over 2}\;dd^c\log
\Bigg(\sum_{|L|=s}|J_{K,L}|^2\Bigg)$ sur $U_K~,$
\vskip2pt
\item{\rm(a)} $\displaystyle \Ricci(\beta_{|X}) \geq -{1\over 2}\;dd^c\log
\Bigg(\sum_{|K|=|L|=s}|J_{K,L}|^2\Bigg)$ sur $X_\reg\,.$
\medskip}}

{\it Démonstration} de (a). Soit $x \subset U_K$. Supposons les coordonnées
de $\bC^N$ rangées de sorte que $(z_1,\ldots,z_n)$ soit un système de 
coordonnées locales de $X$ au point~$x$. La courbure de Ricci de $X$ est dans
le cas kählérien l'opposée de la courbure du fibré canonique 
$\Lambda^nT^*X$. On a donc au voisinage de $x$ la relation
$$
\Ricci(\beta_{|X}) = dd^c\log g^2,
$$
où $g$ est la norme relativement à $\beta$ de la $(n,0)$-forme holomorphe 
$dz_1\wedge\ldots \wedge dz_n$~; $g$ est donnée par
$$
i\,dz_1\wedge d\overline z_1\wedge\ldots \wedge i\,dz_n\wedge d\overline 
z_{n\,|X} = g^2\;{1\over n!}\;\beta^n_{|X}.
$$
Soient $L_0=\{n+1,\ldots,N\}$, $L$ un multi-indice quelconque de longueur
$s = N-n$, et ${\complement}\kern 1pt L$~son complémentaire dans 
$\{1,\ldots,N\}$. 
Si on pose
$$
dP_K=dP_{k_1}\wedge \ldots \wedge dP_{k_s},
$$
il vient par définition de $J_{K,L}$~:
$$
\eqalign{
dP_K\wedge dz_{\,\complement L}&= \pm J_{K,L}\,dz_1\wedge\ldots\wedge dz_N
,\cr
i^{n^2+s^2}dP_K\wedge d\overline P_K\wedge dz_{\,\complement L}\wedge 
d\overline z_{\,\complement L}&= |J_{K,L}|^2
i\,dz_1\wedge d\overline z_1\wedge\ldots \wedge i\,dz_N\wedge d\overline z_N\cr
i^{s^2}dP_K\wedge d\overline P_K\wedge {1\over n!}\,\beta^n
&= 2^n \sum_{|L|=s}|J_{K,L}|^2\;
i\,dz_1\wedge d\overline z_1\wedge\ldots \wedge i\,dz_N\wedge d\overline z_N\cr
&\kern-92pt{}= 2^n |J_{K,L_0}|^{-2}\sum_{|L|=s}|J_{K,L}|^2\;
i^{s^2}\,dP_K\wedge d\overline P_K\wedge
i\,dz_1\wedge d\overline z_1\wedge\ldots \wedge i\,dz_n\wedge d\overline z_n.
\cr}
$$
En \lguil\?simplifiant\?\rguil\ par $dP_K\wedge d\overline P_K$, 
on trouve donc
$$
g^2=2^{-n}\big|J_{K,L_0}\big|^2\Bigg(\sum_{|L|=s}|J_{K,L}|^2\Bigg)^{-1}
$$
et comme $J_{K,L_0}$ est une fonction holomorphe inversible en~$x$, 
la formula~(a) s'ensuit.\medskip

{\it Démonstration} de (b). Le résultat (a) montre que la fonction 
$$
\log\Bigg(\sum_{|L|=s}|J_{K,L}|^2\Bigg/\sum_{|L|=s}|J_{K_0,L}|^2\Bigg)
$$
est pluriharmonique sur l'ouvert $U_K \cap U_{K_0}$. Elle est de plus 
localement majorée, donc psh, sur $U_{K_0}$. Il en résulte que la 
fonction 
$$
\log\Bigg(\sum_{K,L}|J_{K,L}|^2\Bigg/\sum_{L}|J_{K_0,L}|^2\Bigg)
$$
est psh sur~$U_{K_0}$, et sur cet ouvert on a donc~:
$$
dd^c\psi \geq
dd^c\log\sum_{L}|J_{K_0,L}|^2 = -2\;\Ricci(\beta_{|X}).
\eqno\square
$$

{\statement Remarque 10.2.\pointir} Lorsque $X$ est une sous-variété 
analytique fermée de $\bC^N$ et que $\varphi(z) = \log(1+|z|^2)$, la 
condition 9.1~(a) de finitude du volume est à elle seule une 
condition suffisante d'algébricité de $X$ (théorème de W.~Stoll, 
cf.~corollaire~8.6). Nous allons voir néanmoins par un exemple
qu'on ne peut en général se dispenser de la condition de 
courbure 9.1~(b), même si 9.1'$\,$(c') est satisfaite.
\medskip

Choisissons $X = \bC\ssm E$ où $E = \{z_j\,;\; j\in\bN\}$ est un ensemble 
fermé dénombrable infini, et posons
$$
\varphi(z) = \log(1+|z|^2) - \sum_{j=0}^{+\infty}
\varepsilon_j\log{|z-z_j|\over 1+|z_j|}
$$
où $\sum_{j=0}^{+\infty}\varepsilon_j=1$ est une série à termes${}>0$ et 
à convergence assez rapide pour que $\varphi$ soit dans 
$\cC^\infty(\bC\ssm E)$. Comme
$$
\log{|z-z_j|\over 1+|z_j|}\leq\log(1+|z|),
$$
il vient
$$
\varphi(z)\geq\log{1+|z|^2\over 1+|z|}~;
$$
de plus $\lim_{z\to z_j}\varphi(z) = +\infty$ pour tout $z_j\in E$. 
La fonction $\varphi$ est donc exhaustive sur~$X$. Par ailleurs, 
$dd^c\varphi = dd^c\log(1+|z|^2)$, donc
$\int_X dd^c\varphi = 4\pi < +\infty$. Cependant 
$X$ n'est pas algébrique.\hfil\square
\medskip

Cet exemple montre incidemment qu'on ne peut pas non plus remplacer 
la condition 9.1~(b) par une condition portant sur la courbure
de la métrique $dd^c\varphi$.

Il est facile de voir d'autre part que les algèbres $A_\varphi(X)$ et
$R_\varphi(X) = K_\varphi(X)\cap \cO(X)$ coïncident avec l'algèbre 
$\cA_E$ des fractions $\varphi$-rationnelles de $\bC[z]$ dont les pôles 
appar\-tiennent à~$E$. En effet, tout élément $f\in\cA_E$ admet visiblement 
une majoration\break \hbox{$\log|f|\leq C_1\varphi + C_2$}, donc 
$\cA_E\subset A_\varphi(X)\subset R_\varphi(X)$~; inversement, tout élément
de $K_\varphi(X)$ est algébrique sur $\bC(z)$ par le théorème~8.5, 
donc 
$$
R_\varphi(X)\subset \bC(z)\cap\cO(X)=\cA_E.
$$
Il est clair que l'algèbre $\cA_E$ n'est pas de type fini.


\bigskip
\section{11}{Existence d'un plongement sur un ouvert\\ d'une variété 
algébrique.}

Les paragraphes 11-14 qui suivent sont consacrés à la démonstration de
la suffisance du critère d'algébricité 9.1'. Nous supposerons ici que
$X$ est une variété lisse et connexe, et que les fonctions données
$(\varphi,\psi)$ vérifient les conditions 9.1'(a',b'). On fait
d'autre part l'hypothèse supplémentaire non restrictive $\varphi\geq 0$. 
Nous posons comme précédemment $\alpha = dd^c\varphi\geq 0$, 
$\beta = dd^c(e^\varphi)$~; les mesures $\mu_r$ sont définies comme au \S3.
\medskip

{\statement Définition 11.1.\pointir} {\it Soit $p\in{}]0,+\infty]$. 
On note
{\parindent=6.5mm
\vskip2pt
\item{\rm(a)} $L^p_\varphi$(X) l'espace vectoriel des applications mesurables
$f : X \to \bC$ telles qu'il existe une constante $C\geq 0$ telle 
que~$:$\vskip5pt
$\displaystyle
\eqalign{
&\int_X|f|^pe^{-C\varphi}\;\beta^n < +\infty,
\kern54.5pt\hbox{si $0<p<+\infty$}~,\cr
\noalign{\vskip4pt}
&|f|\leq e^{C(1+\varphi)}\quad\hbox{presque partout},
\qquad\hbox{si $p=+\infty$}~;\cr}$
\vskip5pt
\item{\rm(b)} $\displaystyle L^0_\varphi(X) = \bigcup_{p>0}L^p_\varphi(X)~;$
\vskip2pt
\item{\rm(c)} $A^p_\varphi(X) = L^p_\varphi(X)\cap \cO(X),\kern15pt\hbox{si
$p\in[0,+\infty]$}$~.\medskip}}

L'intérêt de cette définition apparaît dans les deux résultats techniques ci-dessous, qui seront utilisés à de nombreuses reprises dans la suite.
\medskip

{\statement Lemme 11.2.\pointir} {\it On a les propriétés suivantes~$:$
{\parindent=6.5mm
\vskip2pt
\item{\rm(a)} $1\in A^p_\varphi(X)$ pour tout $p > 0~;$
\vskip2pt
\item{\rm(b)} $L^p_\varphi(X)\subset L^q_\varphi(X)$ et 
$A^p_\varphi(X)\subset A^q_\varphi(X)$ pour tous $p\geq q > 0~;$
\vskip2pt
\item{\rm(c)} $L^0_\varphi(X)$ est une $\bC$-algèbre~$;$
\vskip2pt
\item{\rm(d)} $A^0_\varphi(X)$ est une sous-algèbre intégralement close de 
$L^0_\varphi(X)$.\medskip}}

{\statement Lemme 11.3.\pointir} {\it On a l'inclusion 
$A^0_\varphi(X) \subset A_\varphi(X)$. \'Etant donné $f\in A^0_\varphi(X)$ 
telle que 
$$
\int_X |f|^p\exp(-C\varphi)\;\beta^n<+\infty,
$$
alors~$:$
{\parindent=6.5mm
\vskip2pt
\item{\rm(a)} $\displaystyle \delta_\varphi(f) \leq {C - n\over p}\Vol(X)~;$
\vskip2pt
\item{\rm(b)} $\displaystyle 
\int_X |df|_\beta^p \exp\Big[\Big({p\over 2}-C\Big)\varphi\Big]\;\beta^n
<+\infty\quad$ si $p\in{}]0,2]~,$\vskip5pt
où la norme $|df|_\beta$ est calculée relativement à la métrique~$\beta$.
\medskip}}

{\it Démonstration} de 11.2. La proposition 3.10 entraîne successivement
$$
\eqalign{
&v(r) := \int_{\{\varphi<r\}}\beta^n
=e^{nr}\int_{\{\varphi<r\}}\alpha^n=e^{nr}\,\Vol(X),\cr
&\int_X e^{-(n+1)\varphi}\;\beta^n=\int_0^{+\infty}e^{-(n+1)r}\,dv(r)=
(n+1)\int_0^{+\infty}e^{-(n+1)r}\,v(r)\,dr<+\infty,\cr}
$$
ce qui démontre (a). La propriété (b) résulte alors de l'inégalité de 
Hölder. Cette même inégalité implique
$$
\int_X \big|fg\big|^{{pq\over p+q}}e^{-C\varphi}\,\beta^n\leq
\Bigg[\int_X |f|^p\,e^{-C\varphi}\,\beta^n\Bigg]^{{q\over p+q}}
\Bigg[\int_X |g|^q\,e^{-C\varphi}\,\beta^n\Bigg]^{{p\over p+q}}
$$
pour tous $p,q > 0$. On obtient donc 1'inclusion
$$
L^p_\varphi(X)\cdot L^q_\varphi(X) \subset L^{{pq\over p+q}}_\varphi(X),
\leqno(11.4)
$$
et la propriété (c) s'ensuit. Vérifions maintenant l'affirmation (d). Soit 
$f$ une fonction méromorphe sur $X$ vérifiant une équation entière sur
$A^0_\varphi(X)$ de la forme
$$
f^d + a_1f^{d-1}+ \cdots + a_{d-1}f + a_d = 0,\qquad  a_j\in A^0_\varphi(X).
$$
De cette équation, on déduit la majoration
$$
|f|\leq 2\,\max_{1\leq j\leq d}|a_j|^{1/j},
$$
sinon l'égalité
$$
-1 = a_1f^{-1}+ \cdots + a_df^{-d} 
$$
conduirait en valeur absolue à l'inégalité absurde
$$
1\le 2^{-1}+\cdots+2^{-d}.
$$
Par conséquent, comme $X$ est lisse, $f$ se prolonge en une fonction 
holomorphe sur $X$, et il est clair que $f\in A^0_\varphi(X)$. \hfil\square
\medskip

{\it Démonstration} de 11.3.

(a) On a $\beta^n\geq e^{n\varphi}(dd^c\varphi)^{n-1}\wedge d\varphi\wedge 
d^c\varphi$, par conséquent (proposition 3.8) l'intégrale
$$
\int_{-\infty}^{+\infty}e^{(n-C)r}\,\mu_r(|f|^p)\,dr
=\int_X|f|^pe^{(n-C)\varphi}\,(dd^c\varphi)^{n-1}\wedge d\varphi\wedge d^c\varphi
\leq\int_X|f|^pe^{-C\varphi}\,\beta^n
$$
est finie. Comme l'application $r\mapsto\mu_r(|f|^p)$ est croissante, 
on en déduit
$$
\mu_r(|f|^p)\leq \exp\big((C-n)(r+1)\big)
\int_{r}^{r+1}e^{(n-C)t}\,\mu_t(|f|^p)\,dt\leq C_1e^{(C-n)r}
$$
avec une constante $C_1\geq 0$. D'après l'inégalité de convexité de 
Jensen et l'inégalité $\Vert\mu_r\Vert\leq\Vol(X)$, il vient
$$
\eqalign{
&{\mu_r\big(\log(1+|f|^p)\big)\over\Vert\mu\Vert_r}\leq
\log\Bigg[{\mu_r\big(1+|f|^p\big)\over\Vert\mu\Vert_r}\Bigg]\leq
(C-n)r+C_2\,,\cr
&\delta_\varphi(f)= \limsup_{r\to+\infty}~{1\over r}\;
\mu_r(\log_+|f|) \leq {C-n\over p}\,\Vol(X).\cr}
$$
(b) Pour majorer $|dF|_\beta$, on observe que
$$
dd^c(|F|^p)\wedge\beta^{n-1} ={p^2\over 2n}\,|F|^{p-2}|dF|^2_\beta\;\beta^n.
$$
Grâce au théorème de Stokes, cette égalité entraîne pour tout $r > 0$~:
$$
\int_{B(r)}|F|^{p-2}|dF|^2_\beta\Big(1-{\varphi\over r}\Big)^2e^{(1-C)\varphi}
\;\beta^n\leq
{2n\over p^2}\int_{B(r)}|F|^p\,dd^c\Big[\Big(1-{\varphi\over r}\Big)^2
e^{(1-C)\varphi}\Big]\wedge\beta^{n-1}.
$$
Un calcul aisé donne d'autre part sur $B(r)=\{\varphi<r\}$ la 
majoration uniforme en $r$~:
$$
dd^c\Big[\Big(1-{\varphi\over r}\Big)^2e^{(1-C)\varphi}\Big]\leq
C_3\Big(1+{1\over r}\Big)^2e^{-C\varphi}\beta,\qquad r>0.
$$
Après passage à la limite quand $r\to+\infty$, on obtient donc
$$
\int_{X}|F|^{p-2}|dF|^2_\beta\;e^{(1-C)\varphi}
\;\beta^n\leq C_3\int_X|F|^pe^{-C\varphi}\beta^n.
$$
La propriété 11.3 (b) résulte maintenant de l'inégalité de Hölder 
appliquée à la mesure $|F|^pe^{-C\varphi}\beta^n$, au couple de fonctions
$\smash{(|F|^{-p}|dF|^p_\beta\exp({p\over 2}\varphi)~;~1)}$ et aux exposants
conju\-gués~$({2\over p},{2\over 2-p})$.\hfil\square
\medskip

L'existence de fonctions holomorphes non constantes dans 
$\smash{L^p_\varphi(X)}$ va résulter des estimations classiques de
L.~Hörmander [Hö1] pour l'opérateur~$\overline\partial$.
\medskip

{\statement Proposition 11.5.\pointir} {\it Les propriétés suivantes
sont satisfaites.
{\parindent=6.5mm
\vskip2pt
\item{\rm(a)} Soit $\tau\in L^1_\loc(X)$ une fonction telle que
$$
i\,\partial\overline\partial\tau+ \Ricci(\beta) \geq \lambda\beta
$$
où $\lambda$ est une fonction continue${}> 0$ sur $X$. Soit $u$
une $(0,1)$-forme à coefficients $L^2_\loc$ sur $X$ telle que
$\overline\partial u = 0$ et
$$
\int_X \lambda^{-1}|u|^2e^{-\tau}\,\beta^n < +\infty.
$$
Alors, il existe une fonction $g\in L^2_\loc(X)$ telle que 
$\overline\partial g = u$ et
$$
\int_X |g|^2e^{-\tau}\,\beta^n \leq
\int_X \lambda^{-1}|u|^2e^{-\tau}\,\beta^n < +\infty.
$$
\item{\rm(b)} Soient $\psi,c,A$ les données de {\rm 9.1'(b')}. Si $\rho$ 
est psh sur $X$ et si $u$ vérifie $\overline\partial u = 0$ et
$$
\int_X|u|^2\,e^{-\rho-\psi}\,\beta^n<+\infty,
$$
alors il existe $g\in L^2_\loc(X)$ telle que $\overline\partial g = u$ et
$$
\int_X |g|^2e^{-\rho-\psi-2\varphi}\,\beta^n \leq
4\int_X |u|^2e^{-\rho-\psi}\,\beta^n.
$$
\item{\rm(c)} Soit un ensemble fini $\{x_1,x_2,\ldots,x_m\}\subset X$ et 
$\rho$ une fonction psh sur $X$ telle que $e^{-\rho}$ soit sommable au
voisinage de $x_1,x_2,\ldots,x_m$. Alors il existe une fonction
holomorphe $f$ ayant un jet d'ordre $s$ donné en chaque point $x_j$ et 
telle que
$$
\int_X |f|^2e^{-\rho-\psi-C_1\varphi}\,\beta^n < +\infty,\qquad
\hbox{où $C_1\geq 0$.}
$$
En particulier, si $\rho\equiv 0$, on obtient $f\in A^b_\varphi(X)$ avec
$b = {2c\over 1+c}$ et $c$ comme dans~{\rm 9.1'(b')}.
\vskip2pt
\item{\rm(d)} $A^b_\varphi(X)$ est dense dans $\cO(X)$ pour la topologie 
de la convergence uniforme sur tout compact.\medskip}}

{\it Démonstration}.

(a) est classique, voir par exemple H.~Skoda [Sk3].
\medskip

(b) Appliquons (a) avec $\tau = \rho + \psi + 2\log(1+e^\varphi)$. Comme 
$\varphi\geq  0$ on a $\tau\leq \rho+\psi+2\varphi + \log 4$ et 
l'hypothèse 9.1'(b') entraîne
$$
i\,\partial\overline\partial\tau + \Ricci(\beta) \geq
{e^\varphi\;dd^c\varphi\over 1+e^\varphi} +
{e^\varphi\;d\varphi \wedge d^c\varphi\over (1+e^\varphi)^2} 
\geq\lambda\beta
$$
avec $\lambda =  (1+e^\varphi)^{-2}$. L'estimation (b) en résulte.
\medskip

(c) est conséquence de (b) grâce à un raisonnement classique
dû à Bombieri et Skoda~[Sk1]. Soient $U_1,\ldots,U_m$ des voisinages ouverts
deux à deux disjoints de $x_1,\ldots,x_m$ sur lesquels $e^{-\rho}$ est 
localement sommable. On suppose $U_j$ muni d'un système de coordonnées 
locales $z^{(j)} = (z^j_1,z^j_2,\ldots,z^j_n)$ centré en $x_j$ et on pose
$$
\rho_1=\rho+(n+s)\Bigg[\sum_{j=1}^m\chi_j\log|z^{(j)}|^2+C_j\varphi\Bigg]
$$
où $\chi_j$ est une fonction${}\geq 0$ de classe $\cC^\infty$ à support 
compact dans~$U_j$, égale à $1$ au voisinage de~$x_j$, et $C_j$ une 
constante${}\geq 0$ assez grande pour que $\rho_1$ soit psh sur~$X$. 
La constante $n+s$ est choisie ici de sorte que le jet d'ordre $s$
d'une fonction $g$ de classe $\cC^\infty$, localement sommable pour 
la mesure $e^{-\rho_1}\,\beta^n$, soit nécessairement nul aux 
points~$x_j$. Soit maintenant $P_j(z^{(j)})$ un polynôme de degré${}\leq s$
ayant le jet imposé en~$x_j$. On pose
$$
h = \sum_{j=1}^m\chi_j\,P_j(z^{(j)}).
$$
La $(0,1)$-forme 
$$
u:=\overline\partial h = \sum_{j=1}^m\overline\partial\chi_j\;P_j(z^{(j)}).
$$
est de classe $\cC^\infty$, nulle au voisinage de $x_1,\ldots,x_m$, et 
par construction
$$
\int_X |u|^2e^{-\rho_1-\psi}\,\beta^n <+\infty~;
$$
on a utilisé ici le fait que $\psi$ soit localement bornée. D'après (b), il 
existe $g\in\cC^\infty(X)$ telle que $\overline\partial g = u$ et 
$$
\int_X |g|^2e^{-\rho_1-\psi-2\varphi}\,\beta^n <+\infty~.
$$
La fonction $f = h-g$ répond alors à la question. Si $\rho\equiv 0$, on 
peut écrire
$$
|f| = \Big[|f|\exp\Big(-{1\over 2}\psi\Big)\Big]\;\exp\Big({1\over 2}\psi\Big)
$$
où $|f|\exp(-{1\over 2}\psi)\in L^2_\varphi(X)$ et 
$\exp({1\over 2}\psi)\in L^{2c}_\varphi(X)$. Il s'ensuit grâce à
(11.4) que $f\in L^b_\varphi(X)$.
\medskip

(d) se démontre à partir de (b) exactement comme le lemme 4.3.1 
de~[Hö2].\hfil\square
\medskip

On utilise maintenant la proposition 11.5 pour construire de nombreuses 
fonctions holomorphes sur $X$, et obtenir ainsi un plongement partiel de 
$X$ dans~$\bC^N$. Soit $x_0 \in X$ un point fixé. D'après 11.5~(c) 
appliqué avec $\rho\equiv 0$, il existe des fonctions 
$f_1,\ldots,f_n\in A^b_\varphi(X)$ telles que
$$
df_1\wedge\ldots\wedge df_n(x_0) \neq 0.
$$
En particulier, $f_1,\ldots,f_n$ sont algébriquement indépendantes 
dans~$A_\varphi(X)$. Le théorème 8.5 (b) s'applique donc, ce qui donne~:
\medskip

{\statement Proposition 11.6.\pointir} {\it Le corps $K_\varphi(X)$ des 
fonctions $\varphi$-rationnelles est une extension de type fini de~$\bC$, 
de degré de transcendance~$n$.\hfil\square}
\medskip

Comme nous allons le voir, il est facile de déduire des résultats
précédents l'existence d'un morphisme $F : X\to M$ de $X$ dans une
variété algébrique $M$ de dimension~$n$, qui est, en dehors d'une
hypersurface algébrique $S \subset X$, un isomorphisme de $X\ssm S$ sur
un ouvert de~$M$. La principale difficulté qui restera à surmonter sera
de prouver que $F$ est quasi-surjectif, i.e.\ que $F(X\ssm S)$ est 
un ouvert de Zariski de~$M$.
\medskip

{\statement Proposition 11.7.\pointir} {\it Les propriétés d'existence
suivantes sont satisfaites.
{\parindent=6.5mm
\vskip2pt
\item{\rm(a)} Il existe une fonction $f_{n+1}\in A^0_\varphi(X)$ telle que   
$$
f_{n+1}(x_0)=1\quad\hbox{et}\quad
\int_X|f_{n+1}|^2\,|df_1\wedge\ldots\wedge df_n|_\beta^{-2}\;
\exp(-2\psi-C\varphi)\;\beta^n<+\infty.
$$
En particulier $\{x\in X\,;\;df_1\wedge \ldots\wedge df_n(x) = 0\}
\subset f_{n+1}^{-1}(0)$.
\vskip2pt
\item{\rm(b)} Il existe des fonctions $f_{n+2},\ldots,f_N\in A^0_\varphi(X)$
et une sous-variété algébrique irréductible $M\subset\bC^N$ de dimension~$n$
telles que le morphisme $F = (f_1,\ldots,f_N)$ envoie $X$ dans $M$ et soit 
un isomorphisme analytique de $X\ssm f_{n+1}^{-1}(0)$ sur un ouvert lisse 
de~$M$.\medskip}}

{\it Démonstration}.

(a) Il suffit d'appliquer 11.5~(c) à la fonction psh 
$$
\rho = \psi + \log|df_1\wedge\ldots\wedge df_n|^2.
$$
Si $Z$ est le diviseur des zéros de la $n$-forme holomorphe 
$df_1\wedge\ldots\wedge df_n$ considérée comme section de 
$\bigwedge^n T^*X$, on a bien en effet d'après l'hypothèse 9.1'(b')~:
$$
dd^c\rho = dd^c\psi + 2\Ricci(\beta) + 4\pi\,[Z] \geq 0,
$$
et $\rho$ est continue au voisinage de~$x_0$. Il existe donc $f_{n+1}\in\cO(X)$
telle que $f_{n+1}(x_0) = 1$, vérifiant l'estimation $L^2$~annoncée. 
Cette estimation entraîne que $f_{n+1}$ s'annule sur le support de~$Z$, 
et d'après le lemme 11.3~(b) on a $|df_j|\in L^b_\varphi(X)$, d'où
$$
|f_0|\leq \Big(|f_0|\;|df_1\wedge\ldots\wedge df_n|^{-1}\,e^{-\psi}\Big)\;
|df_1|\cdots|df_n|\;e^\psi\in L ^0_\varphi(X).
$$

(b) On construit d'abord par récurrence sur $j$ des 
fonctions $f_1,\ldots,f_{N_j}\in A^0_\varphi(X)$ avec 
$N_0 = n + 1 < N_1 < N_2 \ldots$ (c'est fait pour $j = 0$).

D'après 11.6 l'image du morphisme 
$$
F_j=(f_1,\ldots,f_{N_j}):X\to \bC^{N_j}
$$
est contenue dans une variété algébrique irréductible 
$M_j\subset\bC^{N_j}$ de dimension~$n$. Soit $\tilde M_j$ la 
normalisation de~$M_j$. Il existe un diagramme commutatif
$$
\matrix{
~\tilde M_j&\hookrightarrow
&\bC^{\tilde N_j}\ni{}&\kern-8pt(z_1,\ldots,z_{\tilde N_j})\cr
\noalign{\vskip5pt}
\big\downarrow&\phantom{{}\longrightarrow{}}&\big\downarrow~~~~~
&\mathop{\big\downarrow}\kern-7.5pt\raise6pt\hbox{--}~~~~~\cr
\noalign{\vskip5pt}
~M_j&\hookrightarrow&\bC^{N_j}\ni{}&\kern-8pt(z_1,\ldots,z_{N_j})
\hbox{\rlap{{}$\;$.}}\cr}
$$
Comme la variété $X$ est lisse (et donc normale), le morphisme
$F_j: X \to M_j$ se relève en un morphisme
$$
\tilde F_j=(f_1,\ldots,f_{\tilde N_j}):X\to \tilde M_j.
$$
Par construction, les fonctions coordonnées $z_{N_j+1},\ldots,z_{\tilde N_j}$
(resp.\ $f_{N_j+1},\ldots,f_{\tilde N_j}$) sont des entiers algébriques sur 
l'anneau $\bC[z_1,\ldots,z_{N_j}]/I(M_j)$ (resp.\ sur
$\bC[f_1,\ldots,f_{N_j}]$), donc $f_{N_j+1},\ldots,f_{\tilde N_j}\in 
A^0_\varphi(X)$ d'après 11.2~(d). De plus, la restriction
$$
\tilde F_j : X\ssm f_{n+1}^{-1}(0)\to M_j
$$
est étale, car $df_1\wedge\ldots\wedge df_n\neq 0$ sur $X\ssm f_{n+1}^{-1}(0)$
d'après~(a). Comme $\tilde M_j$ est localement irréductible, l'image 
$\tilde F_j(X\ssm f_{n+1}^{-1}(0))$ est nécessairement contenue dans 
l'ensemble des points lisses de~$\tilde M_j$. Si $\tilde F_j$ est
injective sur $X\ssm f_{n+1}^{-1}(0)$, la construction est terminée 
avec $F = \tilde F_j$, $M = \tilde M_j$, $N = \tilde N_j$.

Sinon, soient deux points $z_1 \neq z_2$ dans $X\ssm f_{n+1}^{-1}(0)$
tels que $\tilde F_j(z_1) = \tilde F_j(z_2)$. 
La proposition 11.5~(c) montre qu'il existe
une fonction $g\in A^b_\varphi(X)$ telle que $g(z_1) \neq g(z_2)$. 
On pose $N_{j+1} = \tilde N_j+1$, $f_{\tilde N_j+1} = g$. D'après 11.6, 
$g$~est algébrique sur $\bC[f_1,\ldots,f_{\tilde N_j}]$,
$g$~vérifie donc une équation irréductible de la forme
$$
\sum_{k=0}^da_k(\tilde F_j)\,g^k = 0,\qquad
a_k \in \bC[f_1,\ldots,f_{\tilde N_j}],\quad a_d(\tilde F_j)\not\equiv 0.
\leqno(11.8)
$$
Comme $\tilde F_j$ est étale au voisinage de $z_1$ et $z_2$, il existe des 
points $w_1$ voisin de $z_1$, $w_2$ voisin de $z_2$ tels que 
$\tilde F_j(w_1) = \tilde F_j(w_2) \notin a_d^{-1}(0)$
et $g(w_1)\neq g(w_2)$. Ceci entraîne que l'équation (11.8) est de degré
$d\geq 2$. Comme $K_\varphi(X)$ est une extension de degré fini de 
$\bC(f_1,\ldots,f_n)$ le procédé s'arrête nécessairement au bout d'un 
nombre fini d'étapes.\hfil\square
\bigskip

\section{12}{Quasi-surjectivité du plongement.}

Nous reprenons les notations de la proposition 11.7. L'objectif
de ce paragraphe est de démontrer que l'image du morphisme
$F : X\ssm f_{n+1}^{-1}(0)\to M$ est un ouvert de Zariski de~$M$. 
Soit $Q\in\bC[z_1,\ldots,z_N]$ un polynôme non nul sur~$M$, divisible 
par~$z_{n+1}$, tel que l'hypersurface $Q^{-1}(0)$ contienne le lieu 
singulier~$M_\sing$. On pose
$$
\check M = M\ssm Q^{-1}(0),\qquad
\check X = X\ssm Q(F)^{-1}(0) \subset X\ssm f_{n+1}^{-1}(0),
$$
de sorte que $\check M$ est lisse et que le morphisme de restriction
$$
\check F : \check X \to \check M
$$
est un isomorphisme de $\check X$ sur l'ouvert $\Omega = \check F(\check X)$.
La variété $\check M$ peut être (et sera) identifiée à une sous-variété 
algébrique affine de $\bC^{N+1}$ via l'application $\check M\to \bC^{N+1}$
définie par
$$
(z_1,\ldots,z_N)\mapsto\big(z_1,\ldots,z_N,z_{N+1}=Q(z_1,\ldots,z_N)^{-1}\big)~;
$$
le morphisme $\check F : \check X \to \check M \subset \bC^{N+1}$ est alors
donné par $\check F = (F,Q(F)^{-1})$. Un des points cruciaux du raisonnement 
est de montrer que le courant positif fermé $\check F_*dd^c\varphi$ se 
prolonge de l'ouvert $\Omega = \check F(\check X)$ à la variété $M$ 
toute entière. On a besoin pour cela d'estimations précises de la 
masse, qui sont fournies par le lemme suivant.
\medskip

{\statement Lemme 12.1.\pointir} {\it Soit $G = (g_1,\ldots,g_m) \in 
\big[A^0_\varphi(X)\big]^m$ et $\gamma = dd^c \log(1 + |G|^2)$. Alors 
pour tout entier $k \geq 0$, on a~$:$
{\parindent=6.5mm
\vskip4pt
\item{\rm(a)} $\displaystyle
\int_X (dd^c\varphi)^{n-k}\wedge \gamma^k < +\infty,\qquad 0\leq k\leq n,$
\vskip4pt
\item{\rm(b)} $\displaystyle
\int_{B(r)}d\varphi\wedge d^c\varphi\wedge (dd^c\varphi)^{n-k-1}\wedge \gamma^k 
\leq Cr,\qquad 0\leq k\leq n-1,$\vskip4pt
où $C$ est une constante${}\geq 0$.\medskip}}

{\it Démonstration}. Appliquons le théorème 2.2 (c) avec $\rho = \varphi-r$,
$\Omega = \{\rho<0\} = B(r)$ et $V_1 = \ldots = V_k = \log(1+|G|^2) \geq 0$.
Il vient
$$
\int_{B(r)}\beta_k\wedge\gamma^k\leq C_3\int_{B(r)}\big(\log(1+|G|^2)\big)^k\;
\beta_0
$$
où, pour $a > 0$ et $k \geq 0$, il a été posé~:
$$
\beta_k=(r-\varphi)^{k+a}\,(dd^c\varphi)^{n-k}+(k+a)
(r-\varphi)^{k-1+a}\,d\varphi\wedge d^c\varphi\wedge (dd^c\varphi)^{n-k-1}.
$$
On a~:
$$
\beta_0 = 2(r-\varphi)^a\,(dd^c\varphi)^n+{1\over 2(1+a)}\,dd^c\beta_1.
$$
Le théorème de Stokes entraîne donc pour tout $r > 0$~:
$$
\int_{B(r)}\beta_0 = 2 \int_{B(r)}(r-\varphi)^a\,(dd^c\varphi)^n 
\leq 2\,r^a\,\Vol(X).
$$
D'autre part, la fonction $t\mapsto (\log (e^k+t))^k$ est concave 
sur~$[0,+\infty[\,$. On obtient donc pour tout $p > 0$ l'inégalité de 
convexité~:
$$
{\int_{B(r)}\big(\log (e^k+|G|^p)\big)^k\;\beta_0\over \int_{B(r)}\beta_0}
\leq\Bigg\{\log\Bigg[e^k+
{\int_{B(r)}|G|^p\;\beta_0\over \int_{B(r)}\beta_0}
\Bigg]\Bigg\}^k.
$$
Comme $g_j\in A^0_\varphi(X)$ [cf.\ définition 11.1], il existe $p > 0$ 
assez petit et $C_4,C_5\geq 0$ assez grands tels que
$$
\int_{B(r)}|G|^p\;\beta_0 \leq \exp(C_4r+C_5).
$$
Les inégalités précédentes entraînent alors
$$
\int_{B(r)}\beta_k\wedge\gamma^k \leq C_6
\int_{B(r)}\big(\log (e^k+|G|^p)\big)^k\;\beta_0 \leq C_7\,r^{k+a}.
$$
Compte-tenu de la définition de $\beta_k$, ceci implique le lemme 12.1
après substitution de $2r$~à~$r$.\hfil\square
\medskip

Munissons $\bC^{N+1}$ et $\check M \subset \bC^{N+1}$ de la métrique de 
Fubini-Study $\omega = dd^c\log(1+|z|^2)$. On a alors le théorème de 
prolongement suivant, dont la démonstration est inspirée de H.~Skoda [Sk5] 
et de H.~El Mir [EM]~; voir aussi l'article de synthèse de N.~Sibony [Sib].
\medskip

{\statement Proposition 12.2.\pointir} {\it Soit $T$ l'extension simple à 
$\check M$ du courant $\check F_*dd^c\varphi$, définie par
$$
T = \check F_*dd^c\varphi\quad\hbox{sur}~\check F(\check X),\qquad
T = 0\quad\hbox{sur}~ \check M\ssm \check F(\check X).
$$
Alors $T$ est un courant positif fermé sur $\check M$ de masse totale 
$\int_{\check M}T\wedge\omega^{n-1}$ finie.}
\medskip

{\it Démonstration}. Calculons d'abord la masse de~$T$~:
$$
\int_{\check M}T\wedge\omega^{n-1}=\int_{\check F(\check X)}
\check F_*dd^c\varphi\wedge\omega^{n-1}=\int_{\check X}dd^c\varphi\wedge
(\check F^*\omega)^{n-1}.
$$
La $(1,1)$-forme $\check F^*\omega$ est donnée ici par
$$
\eqalign{
\check F^*\omega
&=dd^c\log(1+|\check F|^2)=dd^c\log(1+|F|^2+|Q(F)|^{-2})\cr
&=dd^c\log(1+|Q(F)|^2+|F|^2|Q(F)|^2).\cr}
$$
La finitude de la masse résulte alors du lemme 12.1~(a). Pour toute 
$1$-forme réelle $v$ de classe $\cC^\infty$ à support compact dans $M$
et pour tous multi-indices $J,K\subset \{1,\ldots,N+1\}$ tels que 
$|J| = |K| = n-2$, on montre maintenant la nullité de l'intégrale
$$
I = \int_{\check M} dv \wedge T \wedge dz_J \wedge d\overline z_K,
$$
ce qui prouvera que $dT = 0$. Soit $\chi$ une fonction de classe 
$\cC^\infty$ sur $\bR$ telle que $0 \leq \chi \leq 1$, $\chi(t) = 1$
si $t < 0$, $\chi(t) = 0$ si $t > 1$ et $0 \leq \chi' \leq 2$. 
Par définition de $T$, il vient
$$
\eqalign{
I &= \int_{\check X} \check F^*(dv) \wedge 
dd^c\varphi \wedge d\check F_J\wedge \overline{d\check F_K}\cr
&= \lim_{r\to +\infty} \int_{\check X}\chi\Big({\varphi\over r}\Big)\;
d(\check F^*v) \wedge dd^c\varphi \wedge d\check F_J\wedge 
\overline{d\check F_K}\;.\cr}
$$
La forme $\chi({\varphi\over r})\;d(\check F^*v)$ est à support dans 
$\check F^{-1}(\Supp v)\cap\overline{B(r)}\compact \check X$.
Une intégration par parties donne donc
$$
I= \lim_{r\to +\infty} \pm\int_{\check X} \check F^*v \wedge 
\chi'\Big({\varphi\over r}\Big)\;{d\varphi\over r}\wedge
dd^c\varphi \wedge d\check F_J\wedge 
\overline{d\check F_K}\;.
$$
Grâce à l'inégalité de Cauchy-Schwarz, cette dernière intégrale est 
majorée par ${2\over r}\sqrt{I_1I_2(r)}$ avec
$$
\eqalign{
I_1&=\int_{\check X} dd^c\varphi \wedge 
\check F^*\big(v\wedge \overline v^c\wedge dz_J\wedge d\overline z_J\big)~,\cr
I_2(r)&=
\int_{\check F^{-1}(\Supp v)\cap B(r)} d\varphi\wedge d^c\varphi\wedge
dd^c\varphi \wedge d\check F_K\wedge 
\overline{d\check F_K}\;.\cr}
$$
Comme $v$ est à support compact dans~$\check M$, il existe des constantes
$C_1,C_2\geq 0$ telles que
$$
\eqalign{
&v\wedge \overline v^c\wedge dz_J\wedge d\overline z_J\leq
C_1(\check F^*\omega)^{n-1}~,\quad\cr
&d\check F_K\wedge \overline{d\check F_K}=\check F^*(dz_K\wedge d\overline z_K)
\leq C_2(\check F^*\omega)^{n-2}\quad
\hbox{sur $\check F^{-1}(\Supp v)$}.\cr}
$$
Le lemme 12.1 (a) et (b) entraîne alors
$$
\eqalign{
I_1&\leq C_1\int_X dd^c\varphi \wedge (\check F^*\omega)^{n-1} < +\infty~,\cr
I_2(r)&\leq
C_2\int_{B(r)} d\varphi\wedge d^c\varphi\wedge
dd^c\varphi \wedge (\check F^*\omega)^{n-2}\leq C\,C_2\,r~,\cr}
$$
d'où
$$
|I|\leq \lim_{r\to+\infty} {2\over r}\sqrt{I_1I_2(r)} = 0.\eqno\square
$$

D'après le théorème 15.3 de l'appendice, il existe une fonction psh $V$ 
et une $(1,0)$-forme $u$ de classe $\cC^\infty$ sur $\check M$ ayant les 
propriétés suivantes, pour des constantes $C_1,C_2,C_3\geq 0$ convenables.
\medskip

{\statement Propriétés 12.3.\pointir} {\it On a les $($in$)$égalités
{\parindent=6.5mm
\vskip2pt
\item{\rm(a)} $dd^cV \geq T~;$
\vskip2pt
\item{\rm(b)} $V(z) \leq C_1\log(1 + |z|^2)~;$
\vskip2pt
\item{\rm(c)} $dd^cV - T = \overline\partial u~;$
\vskip2pt
\item{\rm(d)} $|u|_\omega \leq C_2(1 + |z|^2)^{C_3}\;$.\medskip}}

Considérons alors la fonction $\tau = V - \check F_*\varphi$ définie sur 
l'ouvert $\Omega = \check F(\check X) \subset \check M$. D'après 12.3~(a), 
$\tau$ est psh sur~$\Omega$, et de plus $\tau \leq V$. Comme 
$\check F_*\varphi$ tend vers $+\infty$ au voisinage de~$\partial\Omega$,
$\tau$ tend vers $-\infty$ en tout point de~$\partial\Omega$. Par conséquent, 
$\tau$ se prolonge en une fonction psh sur~$\check M$, encore notée $\tau$,
telle que $\tau = -\infty$ sur $\check M\ssm\Omega$.
\medskip

{\statement Corollaire 12.4.\pointir} {\it $\check M\ssm\Omega$ est une 
partie fermée pluripolaire de~$\check M$.\hfil\square}
\medskip

la prochaine étape est de montrer que $\check M\ssm\Omega$ est en fait 
une hypersurface algébrique de~$\check M$. D'après 12.3~(c) et la 
définition de $T$ on a~:
$$
2i\,\partial\overline\partial(V-\check F_*\varphi) = \overline\partial u
\quad\hbox{sur}~\Omega,
$$
donc la $(1,0)$-forme $h$ définie par 
$$
h =\partial(V - \check F_*\varphi) + {u\over 2i} = 
\partial\tau + {u\over 2i}
\leqno(12.5)
$$
est holomorphe sur~$\Omega$~; comme $u$ est de classe $\cC^\infty$
sur~$\check M$, ceci démontre au passage que $\tau$ est de classe
$\cC^\infty$ sur~$\Omega$. Nous allons maintenant prouver que $h$ se
prolonge en une $1$-forme méromorphe rationnelle sur~$\check M$. Ceci va
résulter essentiellement des estimations 12.3 (b,d) et du théorème
d'algébricité 8.5. Par construction de $F$ et $\check X$, les formes
$(df_1,\ldots,df_n)$ définissent un repère global 
de~$T^*\check X$. Les formes $(dz_1,\ldots,dz_n)$ constituent donc aussi 
un repère de $T^*\check M$ au-dessus de l'ouvert 
$\Omega = \check F(\check X)$, et on peut écrire
$$
h = \sum_{j=1}^n h_jdz_j
$$
avec des fonctions $h_j\in\cO(\Omega)$. Le principe du raisonnement 
consiste à vérifier que les fonctions $h_j\circ\check F$ sont à 
croissance $\varphi$-polynomiale, à partir de la majoration de 
$\tau = V - \check F_*\varphi$ fournie par 12.3~(b). Le fait que
nous ne disposions pas de minoration de $\tau$ introduit une 
difficulté supplémentaire que nous allons court-circuiter en 
recherchant seulement une estimation des fonctions 
$\exp({1\over 2}\tau\circ\check F)\;|h_j(\check F)|$.
\medskip

{\statement Lemme 12.6.\pointir} {\it On considère sur $X$ la fonction 
d'exhaustion 
$$
\check\varphi = \log(1+e^\varphi) + \log(1+|\check F|^2)
$$
et la métrique associée
$$
\check\alpha = dd^c\check\varphi = \log(1+e^\varphi) + \check F^*\omega.
$$
Les propriétés suivantes sont alors vérifiées pour des constantes $p > 0$
assez petite et $C_4,C_5$ assez grandes.
{\parindent=6.5mm
\vskip2pt
\item{\rm(a)} $\displaystyle \int_{\check X}\check\alpha^n < + \infty~;$
\vskip2pt
\item{\rm(b)} $\displaystyle \int_{\check X}
e^{\tau\circ\check F-C_4\check\varphi}\;\check F^*(ih\wedge\overline h)\wedge
\check\alpha^{n-1} < + \infty~;$
\vskip2pt
\item{\rm(c)} $\displaystyle \int_{\check X}\Big[
\exp\Big({1\over 2}\tau\circ\check F\Big)\;|Q(F)|^{C_4+1}\;
|h_j(\check F)|\Big]^p\;e^{-C_5\varphi}\;\beta^n < + \infty~.$
\medskip}}


{\it Démonstration}.

(a) est conséquence immédiate du lemme 12.1 si on observe que
$$
dd^c\log(1+e^\varphi)=
{e^\varphi\;dd^c\varphi\over 1+e^\varphi} +
{e^\varphi\;d\varphi\wedge d^c\varphi\over (1+e^\varphi)^2}
\leq dd^c\varphi+e^{-\varphi}\;d\varphi\wedge d^c\varphi.
$$
(b) L'estimation 12.3 (b) implique
$$
\tau = V - \check F^*\varphi \leq V \leq C_1 \log(1+|z|^2),
\leqno(12.7) 
$$
donc la fonction $\theta = \log(1+e^{\tau\circ\check F})$ satisfait la 
majoration
$$
\theta \leq \log\big(1 + (1+|\check F|^2)^{C_1} \big) 
\leq C_1\check\varphi+\log 2.
$$
Le corollaire 7.3 appliqué à $(\check X,\check\varphi)$ entraîne alors
$$
\int_{\check X} i\partial\overline\partial\theta \wedge \check\alpha^{n-1}
< +\infty.
$$
Un calcul immédiat donne par ailleurs
$$
i\partial\overline\partial\theta =\check F^*\bigg(
{i\partial\overline\partial\tau\over 1+e^{-\tau}}+
{ie^\tau\;\partial\tau\wedge\overline\partial\tau\over (1+e^\tau)^2}\bigg)
\geq {1\over 2}\;
\check F^*\big(ie^\tau\;\partial\tau\wedge\overline\partial\tau\big)\;
e^{-2C_1\check\varphi},
$$
et il s'ensuit
$$
\int_{\check X}e^{\tau\circ\check F-2C_1\check\varphi}\;
\check F^*(\partial\tau\wedge\overline\partial\tau)\wedge\check\alpha^{n-1}
< +\infty.
$$
Par définition de $\check\alpha$ on a d'autre part $\check\alpha\geq
\check F^*\omega$. L'estimation 12.3 (d) entraîne donc
$$
\eqalign{
&|\check F^*u|_{\check\alpha}\leq\big(|u|_\omega\big)\circ\check F\leq
C_2(1+|\check F|^2)^{C_3}\le C_2\;e^{C_3\check \varphi},\cr
\noalign{\vskip5pt}
&\int_{\check X}|\check F^*u|_{\check\alpha}^2\;
e^{\tau\circ\check F-(C_1+2C_3)\check\varphi}\;\check\alpha^n\leq
C_2^2\int_{\check X}\check\alpha^n<+\infty.\cr}
$$
La propriété (b) résulte maintenant de la définition de $h = \partial\tau +
{u\over 2i}$ et de l'égalité
$$
|\check F^*u|_{\check\alpha}^2\;\check\alpha^n=n\;
\check F^*(iu\wedge\overline u)\wedge\check\alpha^{n-1}.
$$
(c) L'inégalité triviale 
$$
dd^c\log(1+e^\varphi)
\geq {1\over 2}\,dd^c\varphi+{1\over 4}\,
e^{-\varphi}\;d\varphi\wedge d^c\varphi
$$
entraîne successivement
$$
\eqalign{
\check\alpha^{n-1}&\geq {1\over 2^{n-1}}\,(dd^c\varphi)^{n-1}+
{(n-1)\,e^{-\varphi}\over 2^n}\,(dd^c\varphi)^{n-2}\wedge d\varphi
\wedge d^c\varphi\cr
&\geq 2^{-n}e^{-n\varphi}\;(dd^ce^\varphi)^{n-1} = 2^{-n}e^{-n\varphi}\;\beta^{n-1},\cr
\noalign{\vskip7pt}
\check F^*(ih\wedge\overline h)\wedge\check\alpha^{n-1}&\geq
2^{-n}e^{-n\varphi}\;|\check F^*h|_\beta^2\;\beta^n.\cr}
$$
Par définition de $\check\varphi$, on a d'autre part
$$
\eqalign{
\check\varphi &= \log(1+e^\varphi)-2\log|Q(F)| + 
\log\big(1+|Q(F)|^2+|Q(F)|^2|F|^2\big)\cr
\noalign{\vskip5pt}
&\leq \varphi - 2\log|Q(F)| + C_6\log(1+|F|^2) + C_7 ,\cr}
$$
où $C_6 = 1 + \deg(Q)$. L'inégalité (b) nous donne donc
$$
\int_{\check X}
e^{\tau\circ\check F-C_4\varphi}\;|Q(F)|^{2C_4}\;
(1+|F|^2)^{-C_4C_6}e^{-n\varphi}\;|\check F^*h|_\beta^2\;\beta^n < + \infty
$$
et comme $|F|\in L^0_\varphi(X)$, il s'ensuit
$$
\exp\Big({1\over 2}\tau\circ\check F\Big)\;|Q(F)|^{C_4}\;
|\check F^*h|_\beta \in L^0_\varphi(X).
$$
Par ailleurs, la fonction $h_j$ peut s'écrire sous la forme
$$
h_j = (-1)^{j-1}\;
{h\wedge dz_1\wedge \ldots\wedge \widehat{dz_j}\wedge\ldots \wedge dz_n\over
dz_1\wedge\ldots\wedge dz_n}.
$$
On a donc
$$
|h_j(\check F)| \leq |\check F^*h|_\beta\;|df_1|_\beta\ldots\widehat{|df_j|_\beta}
\ldots|df_n|_\beta\;|df_1\wedge\ldots\wedge df_n|_\beta^{-1},
$$
et comme
$$
\eqalign{
&|df_n|_\beta\,,\,\ldots\,,\,|df_n|_\beta \in L^0_\varphi(X)\kern57pt
\hbox{[lemme 11.3 (b)], et}\cr
\noalign{\vskip5pt}
&|f_{n+1}|\;|df_1\wedge\ldots\wedge df_n|_\beta^{-1} \in 
L^0_\varphi(X)\kern30pt\hbox{[inégalité 11.7 (a)],}\cr}
$$
il vient
$$
\exp\Big({1\over 2}\tau\circ\check F\Big)\;|Q(F)|^{C_4}\;
|f_{n+1}|\;|h_j\circ\check F| \in L^0_\varphi(X).
$$
Par hypothèse $Q$ est divisible par~$z_{n+1}$, i.e.\ $Q  =z_{n+1}R$.
La propriété (c) s'obtient alors en multipliant la fonction ci-dessus par
$|R(F)|\in L^0_\varphi(X)$.\hfil\square
\medskip

Afin de pouvoir travailler sur $X$ plutôt que sur~$\check X$, nous aurons 
besoin du lemme élémentaire de prolongement ci-dessous.
\medskip

{\statement Lemme 12.8.\pointir} {\it Soit $S = g^{-1}(0)$ une hypersurface
de~$X$, et $\theta$ une fonction psh sur $X\ssm S$ telle que $e^\theta\in
L^1_\loc(X)$. Alors $\theta + \log|g|^2$ se prolonge en une fonction psh
sur~$X$.}
\medskip

{\it Démonstration}. Il suffit de montrer que $\theta + \log|g|^2$ est
majorée au voisinage de tout point régulier de~$S$. On peut donc
supposer que $X$ est un ouvert de $\bC^n$ contenant le polydisque unité
fermé $\overline\Delta^n$, et que $S = \{z_1 = 0\}$. L'inégalité de 
moyenne appliquée au polydisque 
$$
(z_1 + |z_1|\,\Delta) \times \Delta^{n-1} \subset X\ssm S
$$
pour tout point $z\in\Delta^n$, $0 < |z_1| < {1\over 2}$, implique
$$
e^{\theta(z)}\leq{1\over\pi^n|z_1|^2}\int_{\Delta^n}e^\theta\;d\lambda.
$$
La fonction $\theta + \log |z_1|^2$ est par suite majorée au voisinage 
de~$S$.\hfil\square
\medskip

{\statement Proposition 12.9.\pointir} {\it La $1$-forme $h = \sum_{1\leq j
\leq n} h_jdz_j$ se prolonge en une $1$-forme méromorphe rationnelle 
sur~$M$.}
\medskip

{\it Démonstration}. Comme $\check X = X\ssm Q(F)^{-1}(0)$, les lemmes 12.6~(c) et
12.8 montrent que
$$
p\;\log\Big[\exp\Big({1\over 2}\tau\circ\check F\Big)\;|Q(F)|^{C_4+1}\;
|h_j\circ\check F|\;\Big] + \log|Q(F)|^2
$$
s'étend en une fonction psh sur $X$. Il existe donc un entier $s > 0$
assez grand et $\varepsilon > 0$ assez petit tels que, si $g$ désigne 
la fonction holomorphe sur $X$ définie par
$$
g = Q(F)^sh_j(F),
$$
alors la fonction ${1\over 2}\tau\circ F + \log|g|$ est psh sur $X$, et 
$$
\int_X
\exp\Big[\varepsilon\Big({1\over 2}\tau\circ\check F+\log|g|\Big)
-C_8\varphi\Big] \;\beta^n<+\infty.
$$
En raisonnant comme dans le lemme 11.3 (a), on obtient par conséquent
$$
\limsup_{r\to+\infty}~{1\over r}\;\mu_r\Big[\Big({1\over 2}\tau\circ F + 
\log|g|\Big)_+\Big] \leq {C_8 - n \over \varepsilon}\Vol(X) < +\infty.
$$
Soit $P\in\bC[X_0,X_1,\ldots,X_n]$ un polynôme tel que $\deg_{X_\ell} P \leq 
k_\ell$ et soit $\theta$ la fonction définie par
$$
\theta=\log|P(g,f_1,\ldots,f_n)| + k_0\Big({1\over 2}\tau\circ F +
C_1\log|Q(F)|\Big).
$$
D'après l'estimation (12.7) et les résultats ci-dessus, $\theta$ est 
psh sur $X$ et vérifie une estimation
$$
\theta_+\leq \sum_{j=1}^m k_j\log_+|f_j| + k_0
\Big({1\over 2}\tau\circ F + C_9\log|Q(F)|\Big) + C_{10}.
$$
Grâce au corollaire 7.3, on obtient la majoration
$$
\int_X dd^c\theta\wedge\alpha^{n-1}\leq C_{11}k_0+\sum_{j=1}^n
k_j\delta_\varphi(f_j)
$$
avec une constante $C_{11} \geq 0$. Si $a \in X$, il en résulte l'inégalité
$$
\ord\nolimits_a P(g,f_1,\ldots,f_n) \leq
C_{12}(k_0+k_1+\cdots+k_n),\qquad C_{12}\geq 0.
$$
Le raisonnement du théorème 8.5 montre alors que $g$ est algébrique
sur $\bC(f_1,\ldots,f_n)$, et il en est donc de même pour la fonction
$h_j(\check F) = Q(F)^{-s}g$. Par suite $h_j$ est algébrique sur 
$\bC(z_1,\ldots,z_n)$, i.e.\ $h_j$ vérifie une équation
$$
\sum_{\ell=0}^d a_\ell(z_1,\ldots,z_ n)\;h_j^\ell = 0,\qquad 
a_\ell \in \bC[z_1,\ldots,z_n],\quad a_d\not\equiv 0.
$$
L'élément $a_dh_j$ est donc entier algébrique sur $\bC[z_1,\ldots,z_n]$~; 
on en déduit une majoration
$$
|a_d(z)h_j(z)| \leq C_{13}(1+|z|)^{C_{14}}.
$$
Comme $h_j$ est holomorphe sur l'ouvert $\Omega\subset \check M$ et que le 
complémentaire $\check M\ssm\Omega$ est pluripolaire, $a_dh_j$ se
prolonge en un polynôme sur~$\check M$.  Par conséquent $h = \sum h_jdz_j$ se
prolonge en une $1$-forme méromorphe rationnelle
sur~$\check M$.\hfil\square \medskip

{\statement Proposition 12.10.\pointir} {\it Soit $\Omega_1$ le plus 
grand ouvert de Zariski de $\check M$ sur lequel $h$ est holomorphe. Alors 
$\Omega = \Omega_1$.}
\medskip

{\it Démonstration}. On a évidemment $\Omega \subset \Omega_1$. 
Pour obtenir l'inclusion réciproque, montrons d'abord que $\tau$ 
est de classe $\cC^\infty$ sur~$\Omega_1$. On sait que l'équation (12.5)
$$
\partial\tau = h  - {u \over 2i}
$$
a lieu sur~$\Omega$, et que $v : = h - {u\over 2i} \in 
\cC^\infty_{1,0}(\Omega_1)$, puisque $u \in \cC^\infty_{1,0}(\check M)$. 
Il vient $v + \overline v = d\tau$ sur~$\Omega$, d'où 
$d(v+\overline v) = 0$ sur $\Omega_1$ par continuité. Soit 
$(\Omega_{1,j})_{j\in J}$ un recouvrement de $\Omega_1$ par des ouverts
simplement connexes. Il existe des fonctions $\tau_j \in 
\cC^\infty(\Omega_{1,j})$ telles que $d\tau_j = v + \overline v$ 
sur~$\Omega_{1,j}$. La fonction $\tau - \tau_j$ est alors localement
constante sur $\Omega_{1,j}\cap \Omega$, 
donc constante, car $\Omega_{1,j}\cap \Omega = \Omega_{1,j}\ssm(
\check M\ssm\Omega)$ est connexe. Par suite $\tau \in \cC^\infty(\Omega_1)$, 
et comme $\tau=-\infty$ sur $\check M\ssm\Omega$,
il s'ensuit que $\Omega_1\ssm \Omega = \emptyset$.\hfil\square
\medskip

{\statement Corollaire 12.11.\pointir} {\it $F(X\ssm f_{n+1}^{-1}(0))$ est 
un ouvert de Zariski de~$M$.}
\medskip

{\it Démonstration}. Si $x$ est un point quelconque de l'ouvert
$X\ssm f_{n+1}^{-1}(0)$,
alors $F(x)\notin M_\sing \cup \{z_{n+1} = 0\}$, donc il existe un 
polynôme $Q_x$ divisible par $z_{n+1}$ et s'annulant sur~$M_\sing$, tel 
que $Q_x(F(x)) \neq 0$. D'après le corollaire 12.10, $\Omega_x := 
F(X\ssm Q_x(F)^{-1}(0))$ est un ouvert de Zariski de~$M$, donc aussi 
la réunion
$$
\bigcup_{x\in X\ssm f_{n+1}^{-1}(0)}\Omega_x =
F(X\ssm f_{n+1}^{-1}(0)).\eqno\square
$$
Comme $X\ssm f_{n+1}^{-1}(0)$ est de Stein ainsi que son image biholomorphe
par~$F$, on voit en fait que le complémentaire $M\ssm F(X\ssm f_{n+1}^{-1}(0))$
est nécessairement une hypersurface algébrique de~$M$.
\bigskip

\section{13}{Démonstration du critère d'algébricité (cas lisse).}

D'après la proposition 11.7~(a), à tout point $x_0 \in X$ on peut
associer un morphisme 
$$
F^{(0)} = (f^{(0)}_1,\ldots,f^{(0)}_{N_0}) \in \big[A^0_\varphi(X)\big]^{N_0}
$$
et une fonction $g_0 = f_{n+1}^{(0)}$ tels que l'ouvert $X\ssm g_0^{-1}(0) \ni
x_0$ soit biholomorphe par $F^{(0)}$ à un ouvert de Zariski d'une 
variété algébrique dans $\bC^{N_0}$. 
Il existe donc un recouvrement dénombrable de $X$ par de tels ouverts 
$X\ssm g_k^{-1}(0)$, associés à des morphismes 
\hbox{$F^{(k)} : X \to \bC^{N_k}$}. Considérons le morphisme produit
$$
F_k = F^{(0)} \times F^{(1)} \times\cdots \times F^{(k)}:
X \to \bC^{N_0+\cdots+N_k}.
$$
D'après la proposition 8.5, l'image $F_k(X)$ est contenue dans une variété
algébrique ir\-ré\-duc\-tible $M_k\subset \bC^{N_0\;+\;\cdots\;+\;N_k}$ de 
dimension~$n$, et le corollaire 12.11 montre que
\hbox{$F_k(X\ssm g_j^{-1}(0))$} est un ouvert 
de Zariski de $M_k$ si~$j\leq k$. Posons
$$
Y_k = \bigcap_{j\leq k} g_j^{-1}(0),\qquad
X_k =  X\ssm Y_k = \bigcup_{j\leq k} \big(X \ssm g_j^{-1}(0)\big).
$$
Par construction $F_k:X_k\to F_k(X_k)\subset M_k$ est un isomorphisme, et 
$F_k(X_k)$ est un ouvert de Zariski de~$M_k$. On peut donc énoncer~:
\medskip

{\statement Propostion 13.1.\pointir} {\it Si $X$ vérifie les
hypothèses {\rm 9.1'(a',b')}, alors $X$ est réunion d'une suite croissante
de variétés quasi-affines $X_k$, où chaque $X_k$ s'identifie à un ouvert
de Zariski de $X_{k+1}$ avec la structure algébrique induite.\hfil\square}
\medskip

En d'autres termes, $X$ a bien une structure d'espace annelé qui est
\lguil\?localement\?\rguil\ celle d'une variété algébrique, mais la
\lguil\?topologie de Zariski\?\rguil\ peut ne pas être quasi-compacte.

Signalons qu'il existe effectivement de telles
variétés. Il suffit de prendre pour $X$ la surface (lisse) 
d'équation $\sin x = yz$ dans~$\bC^3$, et pour $Y_k$ la réunion 
dénombrable de droites 
$$
(\{j\pi\}\times\{0\}\times\bC)~ \cup ~(\{j\pi\}\times\bC\times\{0\}),
$$
$j\in\bZ$, $|j|>k$. L'ouvert $X_k= X\ssm Y_k$ s'identifie alors à la 
variété algébrique
$$
V_k=\Big\{(x,y,z)\in\bC^3\,;\;
x\Big(1-{x^2\over\pi^2}\Big)\cdots\Big(1-{x^2\over k^2\pi^2}\Big)=yz \Big\}
$$
via l'application $V_k\hookrightarrow X$ définie par
$$
(x,y,z) \mapsto (x,y,z')\quad\hbox{où}\quad
z' = z \prod_{|j|>k}\Big(1-{x^2\over j^2\pi^2}\Big),
$$
avec des inclusions $V_k\hookrightarrow V_{k+1}$ données par les morphismes
algébriques
$$
(x,y,z) \mapsto (x,y,z')\quad\hbox{où}\quad
z' = z \Big(1-{x^2\over (k+1)^2\pi^2}\Big).\eqno\square
$$
Nous allons maintenant montrer que la suite $(X_k)$ est nécessairement 
stationnaire si les espaces de cohomologie $H^{2q}(X\,;\,\bR)$ sont 
de dimension finie [hypothèse 9.1'(c')].
\medskip

{\statement Lemme 13.2.\pointir} {\it Soit $X$ une variété analytique
complexe de dimension~$n$, $Y$ un ensemble analytique de dimension${}\leq p$
dans $X$, et $d = n - p = \codim_\bC Y$. Alors l'espace de
cohomologie relative $H^q(X,X\ssm Y\,;\,\bR)$ est nul si $q < 2d$ et
$$
H^{2d}(X, X\ssm Y\,;\,\bR) \simeq \bR^J ,
$$
où $(Y_j)_{j\in J}$ est la famille des composantes irréductibles de 
dimension $p$ de~$Y$.}
\medskip

{\it Démonstration}. Nous renvoyons par exemple à E.~Spanier [Sp] pour
les arguments élémentaires de topologie algébrique qui vont être
utilisés. On raisonne par récurrence sur~$p$, le résultat étant trivial
pour~$p = 0$. Si $p \geq 1$, soit $Z$ la réunion du lieu singulier $Y_\sing$
et des composantes irréductibles de $Y$ de dimension${} < p$, de sorte que
$\dim Z \leq p-1$. La~suite exacte du triplet s'écrit
$$
H^q(X,X\ssm Z) \to H^q(X, X\ssm Y) \to H^q(X, X\ssm Y) \to H^{q+1}(X,X\ssm Z).
$$
Par hypothèse de récurrence $H^q(X,X\ssm Z) = H^{q+1}(X,X\ssm Z) = 0$ pour 
$q\leq 2d$, donc $H^q(X, X\ssm Y) \simeq H^q(X\ssm Z,X\ssm Y)$. Quitte 
à remplacer $(X, Y)$ par $(X\ssm Z,Y\ssm Z)$, on peut supposer $Y$ lisse 
de dimension~$p$.

$Y$ possède alors un voisinage tubulaire $U$ homéomorphe au fibré normal~$NY$.
Grâce au théorème d'excision, on obtient donc
$$
H^q(X,X\ssm Y) \simeq H^q(U, U\ssm Y) \simeq H^q(NY,N^\bullet Y)
$$
où $N^\bullet Y$ est le complémentaire de la section nulle de~$NY$. Comme
le fibré $NY$ est de rang réel~$2d$, le théorème d'isomorphisme de
Thom-Gysin implique
$$
H^q(NY,N^\bullet Y) \simeq H^{q-2d}(Y),
$$
et pour $q = 2d$, $H^0(Y) \simeq \bR^J$.\hfil\square
\medskip

Revenons maintenant à la situation de la proposition 13.1, où 
$X_k = X\ssm Y_k$, et posons $\dim Y_k = p_k$, $d_k = n-p_k$. 
La~suite exacte de la paire $(X, X\ssm Y_k)$ donne
$$
H^{2d_k-1}(X\ssm Y_k) \to H^{2d_k}(X,X\ssm Y_k) \to H^{2d_k}(X).
$$
Puisque $X\ssm Y_k$ est isomorphe à une variété algébrique, 
$H^{2d_k-1}(X\ssm Y_k)$
est de dimension finie, et il en est de même par hypothèse pour $H^{2d_k}(X)$. 
Le lemme 13.2 montre donc que $Y_k$ n'a qu'un nombre fini de composantes 
irréductibles de dimension maximale $p_k$. Comme $Y_k$ est une suite 
décroissante d'intersection vide, on voit qu'il existe $\ell > k$ tel que 
$\dim Y_\ell < p_k$. Au bout d'un nombre fini d'étapes on aura donc 
$Y_\ell = \emptyset$, soit $X = X_\ell$. Posons
$$
F = F_\ell = F^{(0)}\times \cdots \times F^{(\ell)},\qquad
M = M_\ell,\qquad N=  N_0 +\cdots+ N_\ell.
$$
Le morphisme $F : X \to M \subset \bC^N$ est alors un isomorphisme
analytique de $X$ sur un ouvert de Zariski $\Omega \subset M$. Quitte à
remplacer $M$ par sa normalisation comme dans la démonstration 11.7~(b),
on peut supposer $M$ normale. Puisque $\Omega$ est de Stein, le
complémentaire $H = M\ssm \Omega$ est nécessairement une hypersurface
de~$M$. Désignons par $K(\Omega)\simeq K(M)$ le corps des fonctions 
rationnelles sur~$\Omega$, et par $R(\Omega)$ l'anneau des fonctions 
algébriques régulières sur~$\Omega$. Écrivons 
$$
F = (f_1,\ldots,f_N) \in \big[A^0_\varphi(X)\big]^N. 
$$
Le co-morphisme $F^*$ envoie $K(\Omega)$ dans le corps 
$\bC(f_1,\ldots,f_N)\subset K_\varphi(X)$. La proposition ci-dessous montre 
que les structures algébriques $(X,K_\varphi(X)\cap\cO(X))$ et 
$(\Omega,R(\Omega))$ sont isomorphes.
\medskip

{\statement Proposition 13.3.\pointir} {\it On a les propriétés suivantes~$:$
{\parindent=6.5mm
\vskip2pt
\item{\rm(a)} $F^* : K(\Omega) \to K_\varphi(X)$ est un isomorphisme.
\vskip2pt
\item{\rm(b)} $F^*R(\Omega) = K_\varphi(X)\cap \cO(X)$.\medskip}}

{\it Démonstration}.

(a) Il suffit de démontrer la surjectivité de $F^*$. Or, si
$g\in K_\varphi(X)$, la fonction $g$ est algébrique sur
$\bC(f_1,\ldots,f_N)$ d'après 11.6. Par suite $g\circ F^{-1}$ est méromorphe
sur $\Omega$ et algébrique sur $K(\Omega)$. Il en résulte que 
$g\circ F^{-1}\in K(\Omega) = K(M)$, en raisonnant par exemple comme 
à la fin de la démonstration~12.9.

(b) se déduit aussitôt de (a) , à condition de vérifier l'égalité
$R(\Omega) = K(\Omega)\cap\cO_\anal(\Omega)$. L'inclusion 
$R(\Omega)\subset\ldots$ est 
claire. Inversement, étant donné $g \in K(\Omega)$ et $x \in \Omega$, soit 
$g = u/v$, où $u,v\in \cO_{x,\alg}$, une écriture irréductible de $g$ au 
point $x$ (qui est lisse par hypothèse). Cette écriture est
aussi irréductible dans $\cO_{x,\anal}$. Comme $g \in \cO_{x,\anal}$, 
on a donc $v(x)\ne 0$, par suite $g\in\cO_{x,\alg}$ et 
$g\in R(\Omega)$.\hfil\square
\medskip

Pour achever la preuve du théorème 9.1', il reste maintenant à
montrer que $\Omega$ est algébriquement isomorphe à une variété algébrique
affine, autrement dit il faut prouver l'existence d'un plongement algébrique 
propre $\Omega=M\ssm H\to\bC^{N'}$. C'est facile si $M$ est lisse, mais 
lorsque $M$ est singulière il se peut que l'hypersurface algébrique $H$ 
ne soit pas localement intersection complète, et dans cette situation 
Goodman [Go] a donné des exemples pour lesquels l'algèbre $R(M\ssm H)$
n'est pas de type fini. Je remercie N.~Mok de m'avoir signalé cette 
difficulté, qui rendait caduque ma démonstration initiale. Le 
raisonnement de [Mok2] consiste à observer que $\Omega$ est 
{\it rationnellement convexe} dans le sens suivant~: pour tout 
compact $K\subset\Omega$ l'enveloppe
$$
\hat K= \Big\{x\in\Omega\,;\;|g(x)| \leq \sup_K|g|~\hbox{pour tout 
$g\in R(\Omega)$}\Big\}
$$
est compacte. Ceci résulte en effet de 11.5~(d) et du fait que 
$\Omega\simeq X$ est de Stein. On applique alors la partie 
(b) du théorème ci-dessous.
\medskip

{\statement Théorème 13.4.\pointir} {\it Soit $M\subset\bC^N$ une 
variété algébrique affine $($éventuellement singu\-lière$)$ de dimension 
pure~$n$, et $H$ une hypersurface algébrique de~$M$. Alors 
$M\ssm H$ est isomorphe à une variété algébrique affine sous 
l'une quelconque des deux hypothèses suivantes~$:$
{\parindent=6.5mm
\vskip2pt
\item{\rm(a)} $H$ est $($comme sous-schéma réduit$)$ localement 
intersection complète dans~$M$.
\vskip2pt
\item{\rm(b)} $M\ssm H$ est rationnellement convexe {\rm([Mok2])}.
\medskip}}

{\it Démonstration} sous l'hypothèse (a). Pour tout 
$x \in H$, il existe par hypothèse un polynôme $P\in\bC[z_1,\ldots,z_n]$
et un voisinage de Zariski $V(x) \subset M$ tels que $H\cap V(x) = 
P^{-1}(0)\cap V(x)$. Soit $H'$ la réunion des composantes irréductibles 
de $P^{-1}(0)$ non contenues dans~$H$. Comme $x\notin H'$, il existe 
un polynôme $Q$ s'annulant sur~$H'$, tel que $Q(x) = 1$.
Le théorème des zéros de Hilbert entraine l'existence d'un entier 
$s\in\bN$ tel que $Q^s/P \in R(M\ssm H)$. Comme la topologie de Zariski 
est quasi-compacte, on peut extraire un recouvrement fini 
$V(x_1),\ldots, V(x_m)$ de~$H$ et une famille finie de polynômes 
$P_j$, $Q_j^{s_j}$ associés aux points~$x_j$. Notre construction montre 
alors que le morphisme
$$
\big(z_1,\ldots,z_N,Q_1^{s_1}/P_1,\ldots,Q_m^{s_m}/P_m\big) : 
M\ssm H\to\bC^{N+m}
$$
est un plongement propre.
\medskip

{\it Démonstration} sous l'hypothèse (b). On construit d'abord par
récurrence descendante sur $k$ une suite de sous-variétés algébriques 
$M_k\subset M$ fermées, de dimension pure~$k$, telles que $M_k\cap H$
soit une hypersurface de~$M_k$. On pose $M_n = M$~; si $M_k$ a été 
construite, on choisit un polynôme $P_k\in R(M)$ s'annulant sur $H$ 
mais ne s'annulant identiquement sur aucune composante irréductible 
de~$M_k$~; on note alors $M_{k-1}$ la réunion des composantes 
irréductibles de $M_k\cap P_k^{-1}(0)$ non contenues dans~$H$.

On démontre maintenant par récurrence croissante sur $k$
l'existence de fractions rationnelles $g_1,\ldots,g_{m_k}\in R(M\ssm H)$
telles que le morphisme
$$
\Phi_k:(z_1,\ldots,z_N)\mapsto
(z_1,\ldots,z_N,g_1(z),\ldots,g_{m_k}(z)) : M\ssm H\to\bC^{N+m_k}
$$
soit un plongement propre en restriction à $M_k\ssm H$ (pour $k = n$ 
le théorème sera ainsi démontré). Si $k = \dim M_k = 1$, 
cette propriété est claire, car l'hypothèse (b) et le principe du 
maximum entraînent l'existence de fractions rationnelles 
$g_1,\ldots,g_{m_1} \in R(M\ssm H)$ dont les restrictions à $M_1$
ont des pôles aux différents points $x_1,\ldots,x_{m_1}$ 
de~$M_1\cap H$. Supposons maintenant $\Phi_k$ construit. 
Soit $\pi_k : \bC^{N+m_k} \to \bC^{N}$ la projection, 
$\overline M$ l'adhérence de $\Phi_k(M\ssm H)$ dans $\bC^{N+m_k}$ et 
$\overline H = \overline M \cap \pi_k^{-1}(H)$, de sorte que
$$
\Phi_k : M\ssm H \to \overline M\ssm \overline H
$$
est un isomorphisme (d'inverse $\Phi_k^{-1} = 
\pi_{k|\overline M\ssm\overline H}$). Par hypothèse de récurrence $\overline M_k
=\Phi_k(M_k\ssm H)$ est une sous-variété algébrique fermée de 
$\overline M_{k+1} = \overline{\Phi_k(M_{k+1}\ssm H)}$. 
Comme $\overline M_{k+1} \cap (P_k\circ \pi_k)^{-1}(0)$ est la réunion 
disjointe $(\overline M_{k+1}\cap\overline H) \cup \overline M_k$,
on voit que $\overline M_{k+1}\cap \overline H$ est localement 
intersection complète
dans $\overline M_{k+1}$ (et y est localement définie par $P_k\circ\pi_k$). 
Pour tout $x \in \overline M_{k+1}\cap \overline H$, il
existe donc un polynôme $Q \in R(\overline M)$ tel que $Q(x) = 1$, 
qui s'annule sur toutes les composantes irréductibles de 
$(P_k\circ \pi_k)^{-1}(0)$ ne rencontrant 
pas~$\overline M_{k+1}\cap \overline H$. On peut donc compléter $\Phi_k$
en un morphisme $\Phi_{k+1}$ comme dans le cas~(a), en adjoignant à 
$\Phi_k$ des fonctions $g_j=(Q_j\circ\Phi_k)^{s_j}/P_k$, $m_k<j<m_{k+1}$~;
alors $\Phi_{k+1} : M_{k+1}\ssm H \to \bC^{N+m_{k+1}}$ est propre, car 
les fonctions $g_j \circ\pi_k=Q_j^{s_j}/P_k\circ\pi_k$ définissent un
morphisme propre sur $\overline M_{k+1}\ssm \overline H$.\hfil\square
\medskip

La propriété 13.3~(a) entraîne que $K_\varphi(X)$ est engendré par
$f_1,\ldots,f_N$, et donc que $K_\varphi(X)$ est aussi le corps des 
quotients de $A^0_\varphi(X)$, ce qui n'était nullement évident 
a priori. On peut en fait obtenir un résultat un peu plus précis.
\medskip

{\statement Proposition 13.5.\pointir} {\it Sous l'hypothèse
{\rm 9.1'(b')} $[\,$resp.\ {\rm 9.1~(b)$\,]$}, $K_\varphi(X)$ est engendré par 
$A^b_\varphi(X)$, où $b = {2c\over 1+c}$ $[\,$resp.\ par
$A^2_\varphi(X)\,]$.}
\medskip

{\it Démonstration}. Pour le voir, il suffit grâce au raisonnement 
précédent de construire un plongement injectif
$$
G = (g_1,\ldots,g_s) : X\to \bC^s,\qquad g_j \in A^b_\varphi(X).
$$
La proposition 11.5~(c) permet de construire pour tous points 
$x_0\in X$ et $(x_1,x_2)\in$\break $X\times X\ssm\Delta$ (où  $\Delta={}$diagonale) 
des fonctions $g_1,\ldots,g_n,g\in A^b_\varphi(X)$ telles que\break
$dg_1\wedge\ldots\wedge dg_n(x_0) \neq 0$ et $g_1(x) \neq g(x_2)$. 
Comme les ouverts 
$$
\big\{x\,;\; dg_1\wedge\ldots\wedge dg_n(x)\neq 0\big\}\quad\hbox{et}\quad
\big\{(x,y)\,;\;g(x)\neq g(y)\big\}\subset X\times X\ssm\Delta
$$
sont des ouverts de Zariski, il existe des recouvrements finis de $X$ et 
$X\times X\ssm\Delta$ respectivement, par de tels ouverts. La collection 
des fonctions $g,g_j$ ainsi obtenues donne le morphisme 
$G$~cherché.\hfil\square
\medskip

{\statement Remarque 13.6.\pointir} On a en toute généralité 
les inclusions
$$
A_\varphi^\infty(X) \subset A_\varphi^b(X) \subset A_\varphi^0(X) 
\subset A_\varphi(X),\qquad 0 < b \leq 2,
$$
mais nous ne savons pas pour les deux dernières s'il y a toujours égalité 
ou non. Le fait surprenant est que l'algèbre $A_\varphi^\infty(X)$ peut avoir
un degré de transcendance${} < n$. Choisissons par exemple $X = \bC$, 
avec la fonction strictement psh
$$
\varphi(z) = \sum_{j\in\bN} 2^{-j}\log(\varepsilon_j +|z-j|^2),\qquad
0 < \varepsilon_j \leq 1,\quad \varepsilon_0 = 1.
$$
Soit $r \geq 3$ donné. En découpant la somme pour les indices 
$j \leq \log_2 r$ d'une part, $j > \log_2 r$ d'autre part, on obtient 
aisément pour $|z| = r$ les estimations
$$
\leqalignno{
&\qquad\quad\varphi(z) = 2\log(1 + |z|^2) + O\Big({\log r\over r}\Big)\qquad
\hbox{si $\forall j$, $|z-j| > {1\over 2}$},&(13.7) \cr
&\qquad\quad\varphi(z) = 2\log(1 + |z|^2) + 2^{-j}\log(\varepsilon_j+|z-j|^2) 
+ O\Big({\log r\over r}\Big)\qquad
\hbox{si $|z-j| \leq {1\over 2}$}.&(13.8) \cr}
$$
Choisissons $\varepsilon_j$ de sorte que
$$
2\log(1+j^2) + 2^{-j}\log\varepsilon_j = \log(1 + \log j),\quad j\geq 1,\quad
\hbox{i.e.}~~\varepsilon_j=\Big[{1+\log j\over(1+j^2)^2}\Big]^{2^j}.
\leqno(13.9) 
$$
On a alors $\varphi(j) \sim \log\log j$ quand $j\to+\infty$, de sorte 
que $\varphi$ est exhaustive. Les fonctions $f\in A_\varphi^\infty(\bC)$ 
sont à croissance polynomiale et doivent vérifier de plus 
$|f(j)| \leq (\log j)^{\rm Cte}$ quand $j\to +\infty$. Par suite
$A_\varphi^\infty(\bC)$ se réduit aux constantes. Les conditions 
9.1~(a) et (b) sont néanmoins vérifiées. Un calcul immédiat donne en effet
$$
dd^c\varphi = 2i\,dz\wedge d\overline z~
\sum_{j\in\bN}{2^{-j}\varepsilon_j\over(\varepsilon_j+|z-j|^2)^2},
$$
de sorte que $\int_\bC dd^c\varphi = 8\pi$. La majoration 9.1~(b) 
a lieu avec la fonction
$$
\psi(z) = -\log\Bigg(\sum_{j\in\bN}{2^{-j}\varepsilon_j\over
(\varepsilon_j+|z-j|^2)^2}\Bigg).
$$
En considérant le seul terme $j = 0$, on obtient la majoration
$\psi(z) \leq 2\log(1 + |z|^2)$. Pour
$\varepsilon_j^{1/3}\leq |z-j| \leq {1\over 2}$, on a d'autre part grâce
à (13.8) et $(13.9)\times {2\over 3}$~:
$$
\varphi(z) \geq 2\log(1+|z|^2) + 2^{-j}{2\over 3}\log\varepsilon_j + O(1)
\geq {2\over 3}\log(1 + |z|^2) + O(1),
$$
tandis que pour $|z-j| \leq \varepsilon_j^{1/3}$ il vient
$$
{2^{-j}\varepsilon_j\over(\varepsilon_j+|z-j|^2)^2}\geq
{2^{-j}\varepsilon_j\over4\,\varepsilon_j^{4/3}}=2^{-j-2}\varepsilon_j^{-1/3},
$$
de sorte que $\psi(z)\leq 0$ si $j$ est assez grand. On voit donc qu'il 
existe une constante $B$ telle que $\psi\leq 3\varphi + B$.\hfil\square
\bigskip

\section{14}{Algébricité des espaces complexes singuliers.}


Soit $X$ un espace analytique de dimension~$n$. Si $X$ est un ensemble 
algébrique dans~$\bC^N$, les calculs du \S10 montrent que les conditions 
géométriques 9.1~(a,b,c) sont vérifiées.

Inversement, pour démontrer la suffisance des conditions géométriques,
on se heurte à deux difficultés principales. D'une part les
estimations $L^2$ de Hörmander ne sont a priori valables que sur un
ouvert de Stein lisse de la forme $X\ssm H$, où $H$ est une hypersurface
de $X$ contenant le lieu singulier $X_\sing$. Pour pouvoir appliquer
un lemme de prolongement, on doit donc supposer que $X$ est normal.
\medskip

{\statement Lemme 14.1.\pointir} {\it Soit $f$ une fonction holomorphe 
sur $X\ssm H$ telle que $f \in L^2_\loc(X_\reg)$. Alors, si $X$ est normal, 
$f$ se prolonge en une fonction holomorphe sur~$X$ .}
\medskip

{\it Démonstration.} Sous l'hypothèse $f \in L^2_\loc(X_\reg)$, il est classique
que $f$ se prolonge de $X_\reg\ssm H$ à $X_\reg$, et toute fonction
holomorphe sur $X_\reg$ se prolonge à $X$ si $X$ est normal
(cf.\ [Nar], proposition~VI.4).

Une autre difficulté vient du fait que le poids $e^{-\psi}$ peut ne pas être
localement sommable en certains points singuliers, par rapport à une métrique
ambiante lisse. Considérons par exemple le cas
de la variété conique $X$ d'équation $z_0^p+\cdots+z_n^p=0$ dans $\bC^{n+1}$,
$p\in\bN^*$. Le courbure de Ricci de $X$ est alors donnée grâce à la
proposition 10.1~(a) par la formule
$$
\Ricci(\beta_{|X})=-{1\over 2}dd^c\psi
$$
avec $\psi(z)=\log(|z_0|^{2p-2}+\cdots+|z_n|^{2p-2})$. On voit donc
que la fonction $e^{-\psi}$ n'est localement sommable en $0$ que si 
$p \leq n$. Dans le cas d'un espace $X$ pour lequel $e^{-\psi}$ est non 
sommable au voisinage de tout point d'une courbe, la proposition 11.5~(c) 
ne s'applique plus. On est donc amené à supposer que les singularités de
$X$ sont isolées.
\medskip

{\it Démonstration du théorème} 9.1' (suffisance des conditions dans le cas 
de singularités isolées). L'hypothèse (c') entraîne que les composantes 
irréductibles de $X$ sont en nombre fini. Soit
$$
\pi : \tilde X \to X
$$
la normalisation de $X$. La fonction $\varphi\circ\pi$ n'est pas en général 
strictement psh au voisinage de $\pi^{-1}(X_\sing)$, mais quitte à modifier 
$\varphi\circ\pi$ et $\psi\circ\pi$ au voisinage de l'ensemble fini 
$\pi^{-1}(X_\sing)$, on voit que les hypothèses sont satisfaites 
par $\tilde X$. En définitive, on peut supposer $X$ normal et irréductible.

La démonstration est maintenant tout à fait semblable à celle
qui a été donnée au cours des \S11, 12, 13, aussi nous contenterons-nous
d'indiquer les grandes lignes et les changements à apporter. Les lemmes
11.2 et 11.3 sont vrais sans aucune modification, ainsi que les propriétés
11.5~(a,b,d). L'énoncé 11.5~(c) reste valable si 
$\{x_1,\ldots,x_m\}\subset X_\reg$, et si certains des points $x_j$ sont 
singuliers, on a le résultat partiel suivant (qui correspond au 
cas~$\rho = 0$).
\medskip

{\statement Lemme 14.2.\pointir} {\it Soit un ensemble fini 
$\{x_1,\ldots,x_m\}\subset X$. Alors il existe une fonction 
$f \in A_\varphi^b(X)$, $b = {2c\over 1+c}$, ayant un jet
d'ordre $s$ donné en chaque point $x_1,x_2,\ldots,x_m$.}
\medskip

{\it Démonstration}. On reprend les mêmes arguments que dans 11.5~(c), 
en remplaçant le système de coordonnées locales $z^{(j)}$ par un système 
générateur $(z_1^{(j)},\ldots,z_{N_j}^{(j)})$ de l'idéal maximal $\gm_{X,x_j}$
de $\cO_{X,x_j}$ et $\rho_1$ par
$$
\rho_1 = s(n+2)\Bigg[\sum_{j=1}^m \chi_j \log|z^{(j)}|^2 +  C_1\varphi\Bigg].
$$
Au voisinage de $x_j$, la construction donne alors $f = P_j(z^{(j)}) - g$
avec $g$ holomorphe telle que
$$
|g|^2\;|z^{(j)}|^{-2s(n+2)}\;e^{-\psi}\in L^2_\loc(X).
$$
D'après les estimations $L^2$ de H.~Skoda [Sk4], ceci entraîne que
$g \in \gm_{X,x_j}^s$.\hfil\square
\medskip

La proposition 11.7 reste donc applicable si $x_0\in X_\reg\;$, et en
reprenant les argu\-ments des \S12, 13, on construit une variété
algébrique normale $M$ et un morphisme $F = (f_1,\ldots,f_N) : X \to M$ 
dont la restriction à $X_\reg$ est un isomorphisme de $X_\reg$ sur un ouvert 
de Zariski de~$M$. Grâce au lemme 14.2, on peut (quitte à compléter 
$F$ par un nombre fini de fonctions $f_j$) supposer que $F$ définit 
un plongement de $X$ au voisinage de chaque point singulier. Le 
morphisme $F$ est alors un isomorphisme de $X$ sur l'ouvert de Zariski 
$F(X) \subset M$. La fin de la preuve est identique à celle donnée 
au~\S13.\hfil\square
\medskip

Le raisonnement qui vient d'être esquissé donne d'autre part le
résultat intéressant ci-dessous.
\medskip

{\statement Théorème 14.3.\pointir} {\it Soit $X$ un espace analytique 
normal de dimension~$n$, vérifiant les hypothèses {\rm 9.1'(a',b',c')}. 
Alors $X_\reg$ est analytiquement isomorphe à une variété algébrique
quasi-affine, l'isomorphisme étant donné par un morphisme
$\varphi$-polynomial $F$ de $X$ dans une variété algébrique affine
normale $M \subset \bC^N$ de dimension~$n$.\hfil\square}
\bigskip

\section{15}{Appendice : courants et fonctions plurisousharmoniques\\
à croissance minimale sur une variété algébrique affine.}

Soit $M$ une sous-variété algébrique affine lisse de dimension~$n$. 
On munit $M$ des métriques kählériennes
$$
\beta = dd^c|z|^2,\qquad \omega = dd^c\log(1+|z|^2)
$$
induites respectivement par la métrique plate de $\bC^N$ et par la métrique
de Fubini-Study de l'espace projectif~$\bP^N$.
\medskip

{\statement Définition 15.1.\pointir} {\it Fonctions psh et courants à
  croissance minimale~$:$
{\parindent=6.5mm
\vskip2pt
\item{\rm(a)} Une fonction psh $V$ sur $M$ est dite à croissance minimale 
s'il existe des constantes $C_0,C_1\geq 0$ telles que 
$$
V(z) \leq C_1\log_+|z| + C_0.
$$
\item{\rm(b)} Un courant positif fermé $T$ de bidegré $(1,1)$ sur $M$
est dit à croissance minimale si
$$
\int_M T\wedge\omega^{n-1} < +\infty.
$$\vskip-\parskip}}

Du corollaire 7.3 résulte aussitôt la
\medskip

{\statement Proposition 15.2.\pointir} {\it Si $V$ est psh de 
croissance minimale sur~$M$, alors $T = dd^cV$ est à croissance minimale.
\hfil\square}
\medskip

Réciproquement, étant donné un courant $T \geq 0$ fermé à croissance 
minimale, on ne pourra trouver de solution à l'équation $dd^cV = T$ 
que si la classe de cohomologie de $T$ est nulle. L'objectif de ce 
paragraphe est de démontrer le résultat général suivant, qui est une 
réciproque partielle de la proposition~15.2.
\medskip

{\statement Théorème 15.3.\pointir} {\it Soit $T$ un $(1,1)$-courant 
positif fermé sur $M$ tel que
$$
\int_M T\wedge\omega^{n-1} < +\infty.
$$
Alors il existe une fonction psh $V$ et une $(1,0)$-forme $u$ de 
classe $\cC^\infty$ sur $M$ ayant les propriétés ci-dessous, où 
$C_1,C_2,C_3$  sont des constantes${}\geq 0$.
{\parindent=6.5mm
\vskip2pt
\item{\rm(a)} $dd^cV \geq T~;$
\vskip2pt
\item{\rm(b)} $V(z)\leq C_1\log_+|z|~;$
\vskip2pt
\item{\rm(c)} $dd^cV - T = \overline\partial u~;$
\vskip2pt
\item{\rm(d)} $|u|_\omega\leq C_2(1+|z|)^{C_3}\;$.\medskip}}

La démonstration se fera en plusieurs étapes. Observons d'abord que 
la condition 15.1~(b) est équivalente à la suivante :
$$
\sigma(r) = \int_{|\zeta|<r}T(\zeta)\wedge\beta^{n-1}\leq C\;r^{2n-2}.
\leqno(15.4)
$$
Il n'est pas restrictif d'autre part de supposer $n\geq 2$. Dans le cas
contraire, on peut appliquer le théorème 15.3 à la variété $M' = M\times\bC$
et au courant image réciproque $T' = \pi_M^*T$. La fonction 
$V(z) = V'(z,0)$ et la forme $u = u'_{|M\times\{0\}}$ répondent 
alors à la question.

Étant donné un courant $T \geq 0$ de bidegré $(1,1)$ sur $M$ vérifiant~(15.4),
on peut lui associer un potentiel $V_T$ par les mêmes formules que celles 
utilisées par P.~Lelong [Le3] dans~$\bC^n$~:
$$
V_T(z) = \int_M T(\zeta)\wedge \beta^{n-1}\;L_n(z,\zeta)
\leqno(15.5)
$$
avec
$$
L_n(z,\zeta) = {1\over(n-1)(4\pi)^n}\;\bigg[{1\over(1+|\zeta|^2)^{n-1}} -
{1\over|z-\zeta|^{2n-2}}\bigg].
$$

{\statement Lemme 15.6.\pointir} {\it La formule $(15.5)$ définit une
fonction $V_T \in L^1_\loc(M)$ semi-continue supérieurement, et il existe des
constantes $C_0,C_1$ telles que
$$
V_T(z) \leq C_1\log_+|z| +C_0.
$$\vskip-\parskip}

{\it Démonstration}. Le noyau $L_n$ vérifie clairement les estimations 
suivantes~:
$$
\eqalign{
|L_n(z,\zeta)| &\leq C_2|z|\;|\zeta|^{1-2n}\qquad\hbox{si $|\zeta|\geq 
2|z|\geq 1$},\cr
\noalign{\vskip6pt}
L_n(z,\zeta) &\leq C_3|\zeta|^{2-2n}\kern33.5pt
\hbox{si $1\leq |\zeta| \leq 2|z|$}.\cr}
$$
Pour $|z| = r \geq 1$, on en déduit
$$
V_T(z)\leq C_4\Bigg[1+\int_1^{2r} {1\over t^{2n-2}}\;d\sigma(t)+
\int_{2r}^{+\infty} {r\over t^{2n-1}}\;d\sigma(t)\Bigg]
$$
Après intégration par parties, il vient, compte-tenu de (15.4) :
$$
\eqalign{
V_T(z) &\leq C_4\Bigg[1+{\sigma(2r)\over (2r)^{2n-2}}+(2n-2)\int_1^{2r}
{\sigma(t)\;dt\over t^{2n-1}}+
(2n-1)r\int_{2r}^{+\infty} {\sigma(t)\;dt\over t^{2n}}\Bigg]\cr
&\leq C_5(1+\log r).\cr}
$$
Les estimations précédentes montrent de plus que l'intégrale (15.5)
converge absolument sur l'ensemble $\{\zeta\in M\,;\;|\zeta|>2|z|\}$,
de manière uniforme lorsque $z$ décrit un compact de~$M$. La propriété 
$V_T\in L^1_\loc(M)$ résulte alors par le théorème de Fubini du fait que 
$|L_n(z,\zeta)|$ est, localement sur $M\times M$, intégrable en $z$ 
uniformément par rapport à~$\zeta$.\hfil\square
\medskip

{\statement Lemme 15.7.\pointir} {\it Pour tout point $z\in M$, il existe 
des boules $B'_z\subset T_zM$, $B''_z\subset (T_zM)^\perp$ de centre $0$
et de rayon $r(z)=C_6(1+z|)^{-C_7}$ où $C_6,C_7 > 0$, et une application 
holomorphe $g_z : B'_z\to B''_z$ telles que $M\cap (z+B'_z+B''_z)$ soit le
graphe de~$g$, i.e.\ si $\zeta-z = \zeta'+\zeta''$ est l'écriture d'un
point $\zeta\in M$ suivant la décomposition $\bC^N = (T_zM) \oplus 
(T_zM)^\perp$, alors
$$
M\cap (z+B'_z+B''_z) = \big\{ \zeta\in\bC^N\,;\;\zeta''=g_z(\zeta'),\;
\zeta'\in B'_z\big\}.
$$\vskip-\parskip}

{\it Démonstration}. Soit $(P_1,\ldots,P_m)$ un système de polynômes
générateurs pour l'idéal de la variété $M$ dans $\bC[X_1,\ldots,X_N]$.
Puisque $M$ est lisse, les jacobiens partiels $J_{K,L}$ d'ordre $N-n$
(cf.\ \S10) ne s'annulent pas tous simultanément sur~$M$. D'après le
théorème des zéros de Hilbert, les polynômes $J_{K,L}$  engendrent
l'idéal unité sur~$M$~; il existe donc des constantes $C_8,C_9 > 0$ 
telles que
$$
\max_{K,L}|J_{K,L}(z)| \geq C_8(1+|z|)^{-C_9},\qquad z\in M.
$$
Le lemme résulte alors du théorème des fonctions implicites (dans sa
version quanti\-tative).\hfil\square
\medskip . 

On observe maintenant que la formule (15.5) peut se récrire sous la forme
$$
V_T(z)=\int_M T(\zeta)\wedge\big[K_n(z,\zeta)-H_n(\zeta)\big]
\leqno(15.8)
$$
avec
$$
\eqalign{
K_n(z,\zeta) & = -{1\over(n-1)(4\pi)^n}\;
\bigg[{dd^c|z-\zeta|^2\over|z-\zeta|^2}\bigg]^{n-1},\cr
\noalign{\vskip4pt}
H_n(\zeta)
&= -{1\over(n-1)(4\pi)^n}\;{\beta(\zeta)^{n-1}\over(1+|\zeta|^2)^{n-1}}.\cr}
$$
Les propriétés du noyau $K_n$ vont nous permettre de calculer aisément 
$dd^cV_T$ en fonction de~$T$.
\medskip

{\statement Lemme 15.9.\pointir} {\it $dd^c K_n = [\Delta] + R_n$, où
$[\Delta]$ est le courant d'intégration sur la diagonale de
$M \times M$ et où $R_n$ est un $(n,n)$-courant${}\geq 0$ à 
coefficients localement intégrables sur $M\times M$, vérifiant l'estimation
$$
\Vert R_n(z,\zeta)\Vert_{\beta\oplus\beta}\leq C_{10}\min\bigg[
{1\over|z-\zeta|^{2n}}\;,\;{(1+|z|)^{C_{11}}\over|z-\zeta|^{2n-1}}\bigg].
$$\vskip-\parskip}
\medskip

{\it Démonstration}. En dehors de la diagonale $\Delta$, un calcul 
classique (dont la vérification est laissée au lecteur) donne
$$
\leqalignno{
dd^cK_n&={(dd^c|z-\zeta|^2)^n-n\;|z-\zeta|^{-2}\;d|z-\zeta|^2\wedge
d^c|z-\zeta|^2\wedge (dd^c|z-\zeta|^2)^{n-1}\over (4\pi)^n\;|z-\zeta|^{2n}}\cr
&=\Big({1\over 4\pi}\;dd^c\log|z-\zeta|^2\Big)^n,&(15.10)\cr}
$$
en on verra plus loin que $\bOne_{\Delta}\;dd^cK_n=[\Delta]$. En 
particulier, on a 
$$
R_n = \bOne_{M\times M\ssm\Delta}\;dd^cK_n \geq 0\quad\hbox{et}\quad
\Vert R_n(z,\zeta)\Vert \leq C|z-\zeta|^{-2n}.
$$
Pour obtenir la deuxième partie de la majoration, plaçons-nous en un point 
$z \in M$ et utilisons le lemme~15.7. En restriction à~$M$, on a au 
point~$z$
$$
dz = dz' = \hbox{composante de $dz$ sur $T_zM$},
$$
tandis qu'en un point voisin $\zeta\in z + (B'_z + B''_z)$ on a~:
$$
d\zeta = d\zeta' +d(g_z(\zeta')).
$$
D'après (15.10) il vient donc :
$$
\eqalign{
R_n(z,\zeta)&=\Bigg[{dd^c\big(|z'-\zeta'|^2+|g_z(\zeta')|^2\big) \over
(4\pi)\;(|\zeta'|^2+|g_z(\zeta')|^2)}\cr
&\kern50.5pt{}-{d\big(|z'-\zeta'|^2 +|g_z(\zeta')|^2\big)\wedge
d^c\big(|z'-\zeta'|^2 +|g_z(\zeta')|^2\big) \over
(4\pi)\;(|\zeta'|^2+|g_z(\zeta')|^2)^2}\Bigg]^n,\cr}
$$
où la différentiation de $g_z(\zeta')$ porte uniquement sur $\zeta'$. 
Le lemme ~15.7 donne par cons\-truc\-tion $g_z(0) = D_0g_z = 0$~; le lemme 
de Schwarz implique alors les inégalités
$$
\eqalign{
&|g_z(\zeta')| \leq |\zeta'|,\kern67.5pt\zeta'\in B'_z~;\cr
\noalign{\vskip5pt}
&\Vert D_{\zeta'}g_z(\zeta')\Vert \leq C(\lambda){|\zeta'|\over r(z)},\qquad
\zeta'\in\lambda B'_z,\quad 0<\lambda<1.\cr}
$$ 
On observe maintenant que $R_n(z,\zeta) \equiv 0$ si $g_z \equiv 0$.
Il s'ensuit pour $\zeta'\in {1\over 2}B'_z$ l'inégalité
$$
\Vert R_n(z,\zeta)\Vert\leq
{C_{12}\;|\zeta'|\;r(z)^{-1}\over\big(|\zeta'|^2 +|g_z(\zeta')|^2\big)^n}
\leq {C_{12}\;r(z)^{-1}\over |z-\zeta|^{2n-1}},
$$
qui complète l'estimation du lemme 15.9. La formule classique de 
Bochner-Martinelli dans $\bC^n$ donne d'autre part
$$
dd^cK_n(z',\zeta') = [\Delta].
$$
Par un calcul analogue à celui ci-dessus, on obtient l'inégalité
$$
\Vert K_n(z,\zeta)-K_n(z',\zeta')\Vert\leq
{C_{13}\;r(z)^{-1}\over |z-\zeta|^{2n-3}},
$$
et pour chaque différentiation de $K_n$ l'exposant de $|z-\zeta|$ s'accroît 
d'une unité. On voit donc que $dd^cK_n-[\Delta]$ est à coefficients 
$L^1_\loc$ sur $M\times M$, et en conséquence il ne porte pas de 
masse sur $\Delta$. La~preuve est achevée.\hfil\square
\medskip

{\statement Proposition 15.11.\pointir} {\it Si $T$ est fermé, alors
$$
dd^cV_T = T + \Theta_T\qquad\hbox{où}\quad
\Theta_T(z) = \int_M R_n(z,\zeta)\wedge T(\zeta) \geq 0.
$$
En particulier, $V_T$ est psh.}
\medskip

{\it Démonstration}. Soit $\chi:\bR\to[0,1]$ une fonction de classe
$\cC^\infty$ telle que $\chi(t) = 1$ pour $t<1$, $\chi(t) = 0$ pour $t > 2$, 
et soit $w$ une $(n-1,n-1)$ forme $\cC^\infty$ à support compact sur~$M$.
L'écriture (15.8) nous donne
$$
\eqalign{
&\int_MV_T\;dd^cw = \lim_{r\to+\infty}~I(r),\cr
\noalign{\vskip5pt}
&I(r)=\int_{M\times M}\chi\Big({|\zeta|\over r}\Big)\;T(\zeta)\wedge
\big(K_n(z,\zeta)-H_n(\zeta)\big)\wedge dd^cw(z).\cr}
$$
Le théorème de Stokes et le lemme 15.9 impliquent
$$
\eqalign{I(r)
&= \int_{M\times M}dd^c\Big[\chi\Big({|\zeta|\over r}\Big)\;T(\zeta)\wedge
K_n(z,\zeta)\Big]\wedge w(z)\cr
&= \int_{M\times M}\chi\Big({|\zeta|\over r}\Big)\;T(\zeta)\wedge
\big([\Delta]+R_n(z,\zeta)\big)\wedge w(z)\cr
&\qquad{}+ \int_{M\times M}d\Big[\chi\Big({|\zeta|\over r}\Big)\Big]\wedge
T(\zeta)\wedge d^c K_n(z,\zeta)\wedge w(z)\cr
&\qquad{}- \int_{M\times M}d^c\Big[\chi\Big({|\zeta|\over r}\Big)\Big]\wedge
T(\zeta)\wedge dK_n(z,\zeta)\wedge w(z)\cr
&\qquad{}+ \int_{M\times M}dd^c\Big[\chi\Big({|\zeta|\over r}\Big)\Big]\wedge
T(\zeta)\wedge K_n(z,\zeta)\wedge w(z)\cr}
$$
car $dT = d^cT = 0$. Pour justifier ce calcul, on peut d'abord supposer que
$T$ est de classe~$\cC^\infty$, quitte à régulariser ensuite $T$ au
voisinage du support de $\chi\big({|\zeta|\over r}\big)\subset
\{|\zeta|\leq 2r\}$. On utilise maintenant (15.4) et les majorations évidentes
$$
\eqalign{
&\Big\Vert d\chi\Big({|\zeta|\over r}\Big)\Big\Vert = O\Big({1\over r}\Big),
\kern70.5pt
\Big\Vert dd^c\chi\Big({|\zeta|\over r}\Big)\Big\Vert = O\Big({1\over r^2}\Big),
\cr
&\Vert d^cK_n(z,\zeta)\Vert = O\Big({1\over |z-\zeta|^{2n-1}}\Big),
\qquad
\Vert dd^cK_n(z,\zeta)\Vert = O\Big({1\over |z-\zeta|^{2n-2}}\Big),\quad
n\neq 1\cr}
$$
pour voir que les deux dernières intégrales dans le calcul de $I(r)$ admettent
une majoration de la forme $O(r^{-2})$. On a donc la formule attendue
$$
\lim_{r\to+\infty} I(r) = \int_M T(\zeta)\wedge w(\zeta) + 
\int_{M\times M} T(\zeta)\wedge R_n(z,\zeta)\wedge w(z).\eqno\square
$$

{\it Démonstration} du théorème 15.3. D'après la proposition 15.2 et
le lemme 15.6, le courant $\Theta_T$ est positif fermé à croissance
minimale. On peut donc construire par récurrence sur $k$ des fonctions
psh $V_k$ et des courants $T_k$ positifs fermés à croissance minimale
tels que
$$
\eqalign{
&T_0=T,\qquad V_k = V_{T_{k-1}},\qquad T_k = \Theta_{T_{k-1}},\cr
\noalign{\vskip6pt}
& dd^cV_k = T_{k-1}+T_k.\cr}
$$
Effectuons la somme alternée de ces identités. Pour les indices impairs 
il vient~:
$$
dd^c\big(V_1-V_2+\cdots-V_{2k}+V_{2k+1}\big) = T+T_{2k+1} \geq 0,
$$
et le lemme 15.15 ci-dessous implique que la fonction psh 
$V = V_1 - V_2 +\cdots+ V_{2k+1}$ est à croissance minimale.
D'après la proposition 15.11, on a la relation de récurrence
$$
T_{k+1}(z)=\int_M R_n(z,\zeta)\wedge T_k(\zeta).
$$
On exploite maintenant le fait que $R_n$ est un noyau régularisant de
type convolution.
\medskip

{\statement Lemme 15.12.\pointir} {\it On a les propriétés suivantes.
{\parindent=6.5mm
\vskip2pt
\item{\rm(a)} Pour tout entier $k$, $1\leq k<2n$, il existe des 
constantes $A_k,B_k\geq 0$ telles que pour tout $\varepsilon\in{}]0,1[$ on ait
$$
\Vert T_k(z)\Vert\leq A_k(1+|z|)^{B_k}\bigg[\varepsilon^{-2}+
\int_{|\zeta-z|<\varepsilon\,r(z)} {T(\zeta)\wedge\beta(\zeta)^{n-1}
\over|\zeta-z|^{2n-k}}\bigg]. 
$$
où $r(z) = C_6(1 +|z|)^{-C_7}$ $[\,$cf.\ lemme {\rm 15.7}$\,]$.
\vskip2pt
\item{\rm(b)} Pour $k \geq 3$ le courant $T_k$ est à coefficients continus et 
$$
\Vert T_k(z)\Vert = O\big((1+|z|)^{B_k}\big).
$$\vskip-\parskip}}

{\it Démonstration}.

(a) On raisonne par récurrence sur~$k$. Posons
$$
\sigma_k(z,r) = \int_{|\zeta-z|<r}T_k(\zeta) \wedge \beta(\zeta)^{n-1}.
$$
On sait que la fonction $r\mapsto r^{2-2n}\sigma_k(z,r)$ est croissante
et qu'elle admet pour limite $\int_M T_k\wedge\omega^{n-1} < +\infty$ quand 
$k\to +\infty$. Écrivons $T_{k+1}(z) = I_1(z) + I_2(z)$ où
$$
\eqalign{
I_1(z)
&= \int_{|\zeta-z|\geq \varepsilon\,r(z)} R_n(z,\zeta)\wedge T_k(\zeta),\cr
I_2(z)
&= \int_{|\zeta-z|<\varepsilon\,r(z)} R_n(z,\zeta)\wedge T_k(\zeta).\cr}
$$
On utilise maintenant le lemme 15.9 pour estimer $I_1(z)$ et $I_2(z)$. 
La norme $\Vert I_1(z)\Vert$ est majorée à une constante près par
$$
\eqalign{
\int_{\varepsilon\,r(z)}^{+\infty}{d\sigma_k(z,r)\over r^{2n}}
&\leq 2n\int_{\varepsilon\,r(z)}^{+\infty}{\sigma_k(z,r)\over r^{2n+1}}\;dr\cr
&\leq {n\over\varepsilon^2r(z)^2}\int_M T_k\wedge\omega^{n-1} 
= O\big(\varepsilon^{-2}(1+|z|)^{2C_7}\big),\cr}
$$
tandis que
$$
\Vert I_2(z)\Vert\leq C_{10}(1+|z|)^{C_{11}}\int_{|\zeta-z|<\varepsilon\,r(z)} 
{\Vert T_k(\zeta)\Vert\;\beta(\zeta)^n\over |\zeta-z|^{2n-1}}.
\leqno(15.13)
$$
Lorsque $k = 0$, ceci démontre l'estimation (a) pour $\Vert T_1(z)\Vert$.
Dans le cas général, l'estimation à l'ordre $k$ combinée à (15.13) entraîne
$$
\Vert I_2(z)\Vert \leq C_{14}(1+|z|)^{B_k+C_{11}}
\big(\varepsilon^{-2}I_3(z)+I_4(z)\big)
$$
avec
$$
\eqalign{
I_3(z)
&= \int_{|\zeta-z|<\varepsilon\,r(z)} {\beta(\zeta)^n\over|\zeta-z|^{2n-1}},\cr
I_4(z)
&= \int_{|\zeta-z|<\varepsilon\,r(z)} {\beta(\zeta)^n\over|\zeta-z|^{2n-1}}
\int_{|w-\zeta|<\varepsilon\,r(\zeta)} {T(w)\wedge\beta(w)^{n-1}\over|w-\zeta|^{2n-k}}.
\cr}
$$
Pour $\varepsilon$ assez petit, les inégalités $|\zeta-z| < \varepsilon\,r(z)$
et $|w-\zeta| < \varepsilon\,r(\zeta)$ impliquent $|w-z| < 3\varepsilon\,r(z)$.
Avec les notations du lemme 15.7, les intégrales $I_3(z)$ et $I_4(z)$ 
admettent donc les majorations
$$
\eqalign{
I_3(z)
&\leq C_{15}\int_{|\zeta'|<\varepsilon\,r(z)} {\beta(\zeta')^n\over|\zeta'|^{2n-1}}
\leq C_{16}\;\varepsilon\,r(z),\cr
I_4(z)
&\leq C_{17}\int_{|w-z|<3\varepsilon\,r(z)}T(w)\wedge\beta(w)^{n-1}
\int_{\zeta'\in\bC^n} {\beta(\zeta')^n\over|\zeta'|^{2n-1}|w'-\zeta'|^{2n-k}}.
\cr}
$$
Par homogénéité, on obtient
$$
\int_{\zeta'\in\bC^n} {\beta(\zeta')^n\over|\zeta'|^{2n-1}|w'-\zeta'|^{2n-k}}
={C_{18}\over |w'|^{2n-k-1}}\leq{C_{19}\over |w-z|^{2n-k-1}},
$$
et l'estimation (a) s'en déduit à l'ordre~$k+1$.
\medskip

(b) Utilisons l'inégalité (a) pour $k\geq 3$. Il vient
$$
\eqalign{
\int_{|\zeta-z|<\varepsilon\,r(z)} {\beta(\zeta)^n\over|\zeta-z|^{2n-1}}
\int_{|w-\zeta|<\varepsilon\,r(\zeta)} {T(w)\wedge\beta(w)^{n-1}\over|w-\zeta|^{2n-k}}.
\cr
}
$$
L'estimation (b) en résulte. On observe de plus que l'intégrale
précédente converge uniformément vers $0$ quand $\varepsilon\to 0$. 
Cette intégrale correspond dans l'estimation (a) à l'itération du noyau
$R_n$ sur les boules $|\zeta-z | < \varepsilon\,r(z)$. Tous les autres
termes apportant une contribution dans $T_k$ font intervenir au moins
une intégration sur le complémentaire $\{|\zeta-z|\geq\varepsilon\,r(z)\}$, 
et sont par suite continus en~$z$. Donc  $T$ est continu dès 
que~$k\geq 3$. \hfil\square
\medskip

{\it Démonstration} du théorème 15.3 (suite). À ce point, on a donc
construit une fonction psh $V$ de croissance minimale et un courant $\Theta$
positif fermé à coefficients continus tels que
$$
dd^cV = T + \Theta,\qquad \Vert\Theta(z)\Vert = O\big((1 + |z|)^{C_{20}}\big).
$$
On va commencer par montrer qu'on peut supposer $\Theta$ de 
classe~$\cC^\infty$. Soit $(\Omega_j,g_j)_{j\in\bN}$ un atlas 
localement fini de $M$, où $\Omega_j \compact M$, où 
$g_j : \Omega_j\to\bC^n$ est une application biholomorphe de 
$\Omega_j$ sur la boule unité de $\bC^n$, et soit 
$(\psi_j)_{j\in\bN}$ une partition $\cC^\infty$ de l'unité 
subordonnée à~$M$. Il existe des fonctions psh $\tau_j$ sur $\Omega_j$
telles que $dd^c\tau_j = \Theta$. Désignons par $\tau_j^\varepsilon = \tau_j * 
\rho_\varepsilon$ une famille de régularisées $\cC^\infty$ de 
$\tau_j$ relativement à la carte~$g_j$, et posons
$$
W = \sum_{j\in\bN} \psi_j(\tau_j-\tau_j^{\varepsilon_j}),\qquad
\varepsilon_j>0,
$$
Sur l'ouvert $\Omega_k$ il vient
$$
dd^cW - \Theta = dd^c(W - \tau_k) = dd^c \Bigg[ 
\sum_{j\in\bN} \psi_j(\tau_j-\tau_k-\tau_j^{\varepsilon_j})\Bigg],
$$
et puisque $\tau_j-\tau_k \in \cC^\infty(\Omega_j\cap\Omega_k)$, on voit 
que $dd^cW-\Theta \in \cC^\infty_{1,1}(M)$. Comme le courant $\Theta$ est 
à coefficients continus, $\tau_j$ et les $1$-formes $d\tau_j$, $d^c\tau_j$
sont continues. Lorsque les $\varepsilon_j$ sont choisis assez petits,
on obtient donc $|W|\leq 1$ et $-\omega \leq dd^cW \leq \omega$, avec 
$\omega = dd^c\log(1+|z|^2)$.
La fonction $V' = V - W + \log(1+|z|^2)$ est alors psh à 
croissance minimale, et vérifie $dd^cV' = T+\Theta'$ où
$$
\Theta' = \Theta - dd^cW + \omega
$$
est un courant positif fermé de classe $\cC^\infty$, tel que 
$\Vert\Theta'(z)\Vert = O\big((1 + |z|)^{C_{20}}\big)$.

On suppose donc désormais que $\Theta$ est de classe $\cC^\infty$. On 
applique alors les estimations $L^2$ de Hörmander-Nakano-Skoda [Nak], [Sk4] 
au courant $\Theta$, considéré comme une $(n,1)$-forme fermée à valeurs dans 
le fibré holomorphe $E = T^*M \otimes \bigwedge^n TM$. Le fibré 
cotangent $T^*M$ est semi-positif au sens de Griffiths pour la métrique 
$\beta$ (c'est un quotient du fibré plat $T^*\bC^N_{|M}$), donc d'après 
[DS] le fibré $T^*M\otimes\bigwedge^n T^*M$ est semi-positif au sens 
de Nakano. La proposition 10.1~(b) montre que le fibré $E$ est lui-même 
semi-positif au sens de Nakano pour la métrique $\beta\,e^{-2\psi}$, où 
$\psi = \log\big(\sum_{K,L}|J_{K,L}|^2\big)$. D'après les estimations
de [Sk4] appliquées au fibré hermitien 
$$
\Big(E, \beta\,\exp\big(-2\psi-C_{21}\log(1+|z|^2)\big)\Big),
$$
on obtient l'existence d'une forme $u\in\cC^\infty_{1,0}(M)$ telle que 
$\overline\partial u = \Theta$ et
$$
\int_M|u|_\beta^2\;(1+|z|^2)^{-C_{22}}\;\beta^n<+\infty.
$$
Pour achever la preuve du théorème 15.3 et en particulier de 15.3~(d),
il suffit de convertir cette estimation $L^2$ en une estimation $L^\infty$
$$
|u|_\beta^2\leq C_{23}(1+|z|)^{-C_{24}}.
$$
Compte-tenu que $\overline\partial u = \Theta$ admet une majoration en 
norme $L^\infty$, il suffit d'utiliser l'inéga\-lité ci-dessous, en se 
plaçant dans les boules $|\zeta-z| < {1\over 2}\,r(z)$ du 
lemme~15.7.\hfil\square
\medskip

{\statement Lemme 15.14.\pointir} {\it Soit $v$ une fonction de classe 
$\cC^1$ dans la boule $B(r)\subset\bC^n$. Alors
$$
|v(0)| \leq \bigg[{n!\over \pi^nr^{2n}}\int_{B(r)}|v(z)|^2\;d\lambda(z)
\bigg]^{1/2}+{4n\over 2n+1}\;r\cdot\sup_{B(r)}|\overline\partial v|.
$$\vskip-\parskip}

{\it Démonstration}. Appliquons la formule de Cauchy avec reste à la 
fonction $t\mapsto v(tz)$, $z \in B(r)$, $t\in\bC$, $|t| < 1$. Il vient
$$
\eqalign{
v(0) 
&= {1\over 2\pi} \int_0^{2\pi}v(e^{i\theta}z)\,d\theta-{1\over\pi}
\int_{|t|<1}{\overline\partial v(tz)\cdot z \over t}\;d\lambda(t),\cr
|v(0)|
&\leq {1\over 2\pi} \int_0^{2\pi}|v(e^{i\theta}z)|\,d\theta +2|z|\;
\sup_{B(r)}|\overline\partial v|.\cr}
$$
Après calcul de la valeur moyenne (VM) pour $z \in B(r)$, on obtient
$$
|v(0)|\leq \VM\big[\,|v|\;;\;B(r)\big] + {4n\over 2n+1}\;r\cdot
\sup_{B(r)}|\overline\partial v|,
$$
et
$$
\VM\big[\,|v|\;;\;B(r)\big] \leq \VM\big[\,|v|^2\;;\;B(r)\big]^{1/2}
$$
grâce à l'inégalité de Cauchy-Schwarz.\hfil\square
\medskip

Il ne nous reste plus qu'à vérifier le résultat élémentaire suivant,
qui a été utilisé au cours de la démonstration.
\medskip

{\statement Lemme 15.15.\pointir} {\it Soient $V_1,V_2$ deux fonctions psh à
croissance minimale sur~$M$. On suppose que $V = V_1 - V_2$ est psh. 
Alors $V$ est à croissance minimale.}
\medskip

{\it Démonstration}. D'après le théorème de normalisation de Noether,
il existe des fonctions polynomiales $f_1,\ldots,f_n$ sur $M$ telles que
$R(M)=\bC[z_1,\ldots,z_N]/I(M)$ soit une algèbre entière sur 
$\bC[f_1,\ldots,f_n]$. Le morphisme $F=(f_1,\ldots,f_n) : M \to \bC^n$ 
est donc propre et fini, et on a un encadrement
$$
C_{25}(1+|z|)^{C_{26}}\leq |F(z)| \leq C_{27}(1+|z|)^{C_{28}}
$$
avec $C_{25},\ldots,C_{28} > 0$. Grâce à l'inégalité évidente
$$
V \leq V_+ \leq F^*(F_*V_+)
$$
il suffit de montrer que $F_*V_+$ est à croissance minimale dans~$\bC^n$. 
Comme 
$$
V_+ \leq (V_1)_+ + (V_2)_+ - V_2,
$$
on en déduit pour la valeur moyenne de $F_*V_+$ sur la boule 
$B(r)\subset\bC^n$ de centre $0$ la majoration
$$
\VM\big[F_*V_+\,;\,B(r)\big] \leq
\VM\big[F_*(V_1)_++F_*(V_2)_+\,;\,B(r)\big] -
\VM\big[F_*V_2\,;\,B(r)\big].
$$
Les fonctions $F_*(V_1)_+$,  $F_*(V_2)_+$ sont psh à croissance minimale, 
tandis que la fonction $r \mapsto \VM[F_*V_2\,;\,;B(r)]$ est croissante.
On obtient par conséquent une majoration
$$
\VM\big[F_*V_+\,;\,B(r)\big] \leq C_{29}\,\log_+r + C_{30},
$$
et le lemme se déduit des inégalités de moyenne
$$
F_*V_+(z)\leq VM\big[F_*V_+\,;\,B(z,r)\big] \leq 2^{2n}\;
\VM\big[F_*V_+\,;\,B(0,2r)\big] \leq C_{31}\log_+ r +C_{32}
$$
avec $r:=|z|$.\hfil\square
\vfill\eject

\strut\vskip1cm

{\bigbf Bibliographie}
\medskip
{\parindent=1.2cm

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Jean-Pierre Demailly\\
Université de Grenoble I, Institut Fourier\\
Laboratoire de Mathématiques associé au C.N.R.S.\\
BP 74\\
38402 St Martin d'Hères Cedex

\vfill\eject
\strut\vskip1cm

\centerline{\bigbf Mémoires de la Société Mathématique de France}
\medskip
\centerline{\bigbf Nouvelle série}
\bigskip

{\parindent=5mm

\noindent{\bf 1980}

\item{1.} J.~Briançon, A.~Galligo, M.~Granger -- Déformations équisingulières des germes de courbes

\item{2.} D.~Bertrand, M.~Waldschmidt -- Fonctions abéliennes et nombres
transcendants

\item{3.} Y.~Félix -- Dénombrement des types de $K$-homotopie

\item{4.} L.~Bégueri -- Dualité sur un corps local
\medskip

\noindent{\bf 1981}

\item{5.} S.~Ochanine -- Signature modulo-16, invariants de Kervaire généralisés

\item{6.} Nguyen Tien Dai, Nguyen Huu Duc, F.~Pham -- Singularités non dégénérées des systèmes de Gauss-Manin réticulés
\medskip

\noindent{\bf 1982}

\item{7.} P.~Ellia -- Sur les fibrés uniformes de rang $(n + 1)$ sur $\bP^n$
\medskip

\noindent{\bf 1983}

\item{8.} M.~Granger -- Géométrie des schémas de Hilbert ponctuels

{\parindent=11.5mm
\item{9/10.~} S.~Halperin -- Lectures on Minimal Models

\item{11/12.} G.~Henniart -- La conjecture de Langlands locale pour GL(3)
\medskip}

\noindent{\bf 1984}

{\parindent=6.3mm
\item{13.} D.~Bertrand, M.~Emsalem, F.~Gramain, M.~Huttner, M.~Langevin, M.~Laurent, M.~Mignotte, J.-C.~Moreau, P.~Philippon, E.~Reyssat, M.~Waldschmidt -- Les nombres transcendants

\item{14.} G.~Dloussky -- Structure des surfaces de Kato

\item{15.} M.~Duflo, P.~Eymard, G.~Schiffmann -- Analyse harmonique sur les groupes de Lie et les espaces symétriques

\item{16.} F.~Delon, D.~Lascar, M.~Parigot, G.~Sabbagh (Editeurs), Logique, octobre 1983, Paris

\item{17.} Bernadette Perrin-Riou -- Arithmétique des courbes elliptiques et théorie d'Iwasawa
\medskip

\noindent{\bf 1985}

\item{18.} Corinne Blondel -- Les représentations supercuspidales des groupes métaplectiques sur GL(2) et leurs caractères

\item{19.} J.-P.~Demailly -- Mesures de Monge-Ampère et caractérisation géométrique des\break variétés algébriques affines\par}}

\end

% Local Variables:
% TeX-command-default: "TeX"
% End:
