\magnification=1200
\vsize=20cm\voffset=3mm\hsize=13.5cm\hoffset=-0.1mm
\parindent=0mm \parskip=6pt plus 2pt minus 2pt

\input macros_ocr.tex

\footline{\hfill}
\headline{\ifnum \pageno=1 \hfil\else
\ifodd \pageno {\sevenbf \hfil
Un exemple de fibré holomorphe non de Stein\hfil\folio}
\else {\sevenbf \folio\hfil Séminaire P.~Lelong, P.~Dolbeault, H.~Skoda
1983/1984\hfil} \fi\fi}

\def\statement{\bf}

{\sevenrm\baselineskip=8pt
Séminaire P.~LELONG, P.~DOLBEAULT, H.~SKODA\\
(Analyse) 24e année, 1983/84\\
Lecture Notes in Math.\ {\sevenbf 1198}, Springer, pages 98--104
\vskip1.5cm}

\centerline{\hugebf Un exemple de fibré holomorphe non de Stein}
\medskip
\centerline{\hugebf à fibre $\hbox{\hugebbb C}^{\hbox{\tenrm 2}}$ au-dessus 
du disque ou du plan}
\bigskip

\centerline{par Jean-Pierre Demailly}\vskip5pt
\centerline{\it Université de Grenoble I, Institut Fourier}
\centerline{\it Laboratoire de Mathématiques associé au C.N.R.S.\ n°188}
\centerline{\it BP 74, F-38402 Saint-Martin d'Hères, France}
\bigskip\bigskip

{\leftskip=9mm\rightskip=9mm
Nous construisons un exemple simple d'espace fibré holomorphe à
fibre $\bC^2$ au-dessus du disque ou du plan, dont les automorphismes
de transition sont de type exponentiel. Nous montrons en fait que
toutes les fonctions holomorphes ou plurisousharmoniques de ce
fibré proviennent de fonctions sur la base.
\medskip
We construct a simple example of a non-Stein holomorphic fiber bundle
over the disk or the plane, with fiber $\bC^2$ and with structural
automorphisms of exponential type. We show in fact that all
holomorphic or plurisubharmonic functions on the bundle arise
from functions on the basis.\par}
\bigskip\bigskip

{\bigbf 0. -- Introduction.}

L'objet de cette note est de donner un exemple aussi simple que
possible d'un fibré holomorphe non de Stein à fibre $\bC^2$ ayant pour base
le disque ou le plan, et dont les automorphismes de transition sont
de type exponentiel.

C'est H.~Skoda ([6], 1977) qui a donné le premier exemple d'un fibré
non de Stein à base et à fibre de Stein, répondant ainsi par la
négative à un problème soulevé par J.-P.\ Serre [5] en 1953. Nous
avons par la suite amélioré la construction de H.~Skoda pour obtenir
un contre-exemple dont la base était simplement connexe [1], [2],
mais la démonstration restait obscure du fait de la profusion
d'artifices techniques plus ou moins inutiles. Nous espérons avoir
ici beaucoup clarifié cet exemple.

Le principe de la construction repose sur une inégalité due à
P.~Lelong [4], qui impose des restrictions sévères à la croissance
des fonctions plurisousharmoniques (psh en abrégé) le long des fibres,
cf.\ lemme~1.1. Cette inégalité entraîne une forte distorsion de la
croissance suivant les différentes fibres pour un choix adéquat des
automorphismes de transition. Grâce à un calcul d'enveloppe
pseudoconvexe utilisant le principe du disque, on en déduit alors
que les fonctions psh du fibré sont constantes sur les fibres,
cf.\ théorème~4.6. Dans notre exemple le fibré est de plus topologiquement
trivial.
\bigskip


{\bigbf 1. -- Inégalité de convexité de P.\ Lelong.}

Soit $\Omega$ une variété analytique complexe complexe de dimension $p$ et 
$V$ une fonction psh sur $\Omega\times\bC^n$. Étant donné un ouvert 
$\omega\compact\Omega$ relativement compact, on pose
$$
M(V,\omega,r) = \sup_{\omega\times D(r)}V,
$$
où $D(r)$ désigne le polydisque de centre $0$ et de rayon $r$ dans $\bC^n$. 
D'après P.~Lelong~[4], $M(V,\omega,r)$ est fonction convexe croissante de 
$\log r\,$; en outre cette fonction est non cons­tante si $V$ est non 
constante sur au moins une fibre $\{x\}\times\bC^n$, $x\in\Omega$.

Nous redémontrons ici l'inégalité de P.~Lelong dans le cas particulier où 
les ouverts considérés dans la base sont des polydisques concentriques 
de $\bC^n$ (l'inégalité générale se déduit d'ailleurs facilement de ce 
cas particulier).
\medskip

{\statement Lemme 1.1.} -- {\it Soit $V$ une fonction psh${}\ge 0$ sur
$\Omega\times\bC^n$, où $\Omega$ est un ouvert de $\bC^p$, et
$D(\alpha)\compact D(\beta)\compact D(\gamma)\compact\Omega$. Alors
pour tout $r>0$ on a l'inégalité
$$
M(v,D(\alpha),r) \le M(V,D(\beta),r^\sigma) + M(V,D(\gamma),1)
$$
où $\sigma=\log(\gamma/\alpha)/\log(\gamma/\beta)>1$.}
\medskip

{\it Démonstration}. En effet, d'après P.~Lelong [4], la fonction 
$M(V,D(\rho),r)$ est fonction convexe du couple $(\log\rho, \log r)$. On a 
donc
$$
\eqalign{
M(V,D(\beta),r)&\le
{1\over\sigma} M(V,D(\alpha),r^\sigma)+
\Big(1-{1\over\sigma}\Big)M(V,D(\gamma),1)\cr
&\le M(V,D(\alpha),r^\sigma)+M(V,D(\gamma),1)\cr}
$$
si l'on choisit $\sigma$ tel que
$$
\log\beta={1\over\sigma}\log\alpha+\Big(1-{1\over\sigma}\Big)\log\gamma.
\eqno\square
$$
\bigskip

{\bigbf 2. -- Construction du fibré $X$.}

La base du fibré sera un ouvert $\Omega\subset\bC$ contenant le disque 
$D(0,3)$. On pose alors
$$
\eqalign{
&\Omega_1=\Omega\ssm\{-1\},\qquad \Omega_2=\Omega\ssm\{1\},\cr
&\Omega_0=\Omega_1\cap\Omega_2=\Omega\ssm\{-1,1\},\cr}
$$
On définit un fibré $X$ à fibre $\bC^2$ au-dessus de $\Omega$ en recollant 
les deux cartes trivialisantes $\Omega_1\times\bC^2$ et
$\Omega_2\times\bC^2$ au moyen de l'automorphisme de transition
$$
\tau_{12}:\Omega_0\times\bC^2\lra \Omega_0\times\bC^2
$$
défini par la formule $\tau_{12}=\tau_{01}^{-1}\circ\tau_{02}$ avec
$$
\cases{
\tau_{01}(x\,;\,z_1,z_2)=\big(x\,;\,z_1\,,\,z_2\,\exp(z_1u(x))\big)
\phantom{\Big|}\cr
\tau_{02}(x\,;\,z_1,z_2)=\big(x\,;\,z_1\,\exp(z_2u(x))\,,\,z_2\big)
\phantom{\Big|}
\cr}
\leqno(2.1)
$$
où $x\in\Omega_0$, $(z_1,z_2)\in\bC^2$ et $u(x)=\exp(1/(x^2-1))$.
La carte $\Omega_0\times\bC^2$ et les automorphismes $\tau_{01}$,
$\tau_{02}$ correspondants ont été introduits ici à seule fin de 
simplifier l'écriture de $\tau_{12}$, bien qu'ils soient en principe 
superflus pour définir le fibré~$X$.

Une fonction psh $V$ sur $X$ est donc représentée par un triplet 
$(V_j)_{j=0,1,2}$ de fonctions psh sur $\Omega_j\times \bC^2$
liées par les relatlons de transition
$$
V_k = V_j\circ\tau_{jk},\qquad 0\le j,k\le 2.
\leqno(2.2) 
$$

{\statement Remarque 2.3.}
Il est aisé de voir que le fibré $X$ est trivial au sens 
$C^\infty$-différentiable, relativement au groupe structural des 
automorphismes analytiques de la fibre. Soit en effet $f_1$, $f_2$,
des fonctions $C^\infty$ à support compact dans des voisinages 
disjoints de $1$ et $-1$ respectivement, égales à $1$ sur des voisinages 
plus petits. On obtient alors une trivialisation globale 
$\gamma : X\to\Omega\times\bC^2$ en recollant les morphismes 
$\gamma_j:\Omega_j\times\bC^2\to\Omega_j\times\bC^2$ de classe $C^\infty$
définis par
$$
\cases{
\gamma_0(x\,;\,z_1,z_2)=\big(x\,;\,z_1\exp(-z_2f_2(x)u(x))
\,,\,z_2\,\exp(-z_1f_1(x)u(x))\big)
\phantom{\Big|}\cr
\gamma_1(x\,;\,z_1,z_2)=\big(x\,;\,z_1\,,\,z_2\exp(z_1(1-f_1(x))u(x))\big)
\phantom{\Big|}\cr
\gamma_2(x\,;\,z_1,z_2)=\big(x\,;\,z_1\,\exp(z_2(1-f_2(x))u(x))\,,\,z_2\big).
\phantom{\Big|}\cr
}
\leqno(2.4)
$$ 
Le lecteur vérifiera que ces morphismes satisfont bien les
relations de transition voulues $\gamma_j\circ\tau_{jk}=\gamma_k$.
\bigskip

{\bigbf 3. -- Restrictions sur la croissance des fonctions psh.}

On note $\Delta=D(0,1)$ le disque unité dans $\bC$, $\omega=D(0,{1\over 2})
\compact\Omega_0$, et on considère les automorphismes du disque définis par
$$
h_a(x)={x+a\over 1+\overline a x},\qquad a\in\Delta.
$$
Les inégalités suivantes montrent que la croissance des fonctions psh 
le long des fibres de $X$ est soumise à des restrictions très fortes.
\medskip

{\statement Proposition 3.1.} -- {\it Soit $V$ une fonction psh sur~$X$.
Alors il existe une constante $C=C(V)>0$ telle que pour tous $j=1,\,2$
et $r>1$ on ait
$$
M(V_j,\omega,r)\le M\big(V_0,\omega,\exp\big((\log r)^3\big)\big)+C.
$$}

{\it Démonstration}. Comme l'application $(x\,;\,z_1,z_2)\mapsto
(-x\,;\,z_2,z_1)$ définie sur $\Omega_0\times\bC^2$ s'étend 
en un automorphisme de $X$ qui échange les cartes $\Omega_1\times\bC^2$ et
$\Omega_2\times\bC^2$, il suffit de raisonner pour $j=1$. Quitte à 
remplacer $V$ par $V=\max(V,0)$, on peut également supposer $V\ge 0$. 
Considérons un réel $a\in[0,1]$ qui sera fixé ultérieurement. L'idée 
consiste à observer que $V$ est ``presque'' égale à $V_0$ sur 
$h_a(\omega)\times D(r)$ si $a$ est assez proche de $1$, parce que 
la fonction $u(x)$ est très petite sur $h_a(\omega)$. Le lemme 1.1 permet 
alors de relier la croissance des fonctions $V_0$ et $V_1$ sur $\omega$ 
à leur croissance sur $h_a(\omega)$, et donc de comparer
$V_0$ et $V_1$ sur~$\omega$.

L'ouvert $h_a(\omega)$ est le disque déterminé par les points 
diamétra­lement opposés $h_a(\pm{1\over 2})$,
ayant respectivement pour centre le point $x_a$ et pour rayon le 
réel $\alpha$ tels que
$$
x_a={3a\over 4-a^2}\in{}]0,1[,\qquad
\alpha={2(1-a^2)\over 4-a^2}\in{}\big]0,{1\over 2}\big[.
$$
Considérons les deux disques concentriques $D(x_a,\beta)\compact 
D(x_a,\gamma)$, eux-mêmes
concentriques au disque  $h_a(\omega) = D(x_a,\alpha)$,
de rayons respectifs $\beta = 1/2 +x_a$, $\gamma = 3/4 + x_a$. 
On~a~clairement
$$
\eqalign{
&\log \gamma/\beta > \log(7/4)/(3/2) = \log 7/6 > 1/7,\cr
&\omega \subset D(x_a,\beta),\qquad D(x_a,\gamma) \compact \Omega_1.\cr}
$$
D'après le lemme 1.1, il vient donc
$$
M(V_1,\omega,r) \le M(V_1,D(x_a,\beta),r) \le
M(V_1,h_a(\omega),r^\sigma) + M(V_1,D(1,{\textstyle{7\over 4}}),1)\leqno(3.2)
$$
avec
$$
\sigma={\log\gamma/\alpha\over\log\gamma/\beta}\le
7\,\log 4/(1-a).
\leqno(3.3)
$$
L'image de $h_a(\omega)$ par l'homographie $x\mapsto{1\over x-1}$ est 
le disque défini par les points diamétra­lement opposés 
$1/(h_a(\pm{1\over 2})-1)$, d'où
$$
\eqalign{
&\sup_{x\in h_a(\omega)}\Re {1\over x-1}
= {1\over h_a(-{1\over 2})-1} = {1\over 3(a-1)},\cr
&\sup_{x\in h_a(\omega)}\log|u(x)|=
\sup{1\over 2}\Big(\Re {1\over x-1}-\Re {1\over x+1}\Big)
< {1\over 6(a-1)}.\cr}
$$
Le choix de $a$ tel que
$$
{1\over 1-a}= 48\,\log r\cdot\log\log r
\leqno(3.4)
$$
donne pour $r$ assez grand $\sigma\le 8\log\log r$, d'où :
$$
\sup_{x\in h_a(\omega)}|u(x)|\le
r^{-8\log\log r}\le r^{-\sigma}.
$$
L'égalité de définition (2.1) montre alors que
$$
\tau_{01}(\{x\}\times D(r^\sigma)) \subset
\{x\}\times D(e\,r^\sigma),\qquad \forall x\in h_a(\omega),
$$
d'où
$$
M(V_1,h_a(\omega),r^\sigma) \le M(V_0,h_a(\omega),e\,r^\sigma).
\leqno(3.5)
$$
Appliquons maintenant le lemme 1.1 à la fonction $V_0$ et aux disques 
concentriques
$$
D(0,{\textstyle{1\over 2}}) =\omega,\qquad
D(0,h_a({\textstyle{1\over 2}})) \supset h_a(\omega),\qquad 
D(0,1) = \Delta.
$$
Il vient
$$
M(V_0,h_a(\omega),r) \le M(V_0,D(0,h_a({\textstyle{1\over 2}}),r)
\le M(V_0,\omega,r^\tau)+M(V_0,\Delta,1)
\leqno(3.6)
$$
avec
$$
\tau={\log 2\over \log 1/h_a({\textstyle{1\over 2}})}<
{\log 2\over 1-h_a({\textstyle{1\over 2}})}<{3\log 2\over 1-a}.
$$
La constante $M(V_0,\Delta,1)$ est finie, car $u(x)$ est bornée (par $1$)
sur~$\Delta$, et on peut écrire
$$
M(V_0,\Delta,1) = \max\Big(\sup_{\tau_{10}(\Delta_+\times D(1))}V_1\,,\,
\sup_{\tau_{20}(\Delta_-\times D(1))}V_2\Big)
$$
avec $\Delta_+=\Delta\cap\{\Re x\ge 0\}\compact\Omega_1$,~~ 
$\Delta_-=\Delta\cap\{\Re x\le 0\}\compact\Omega_2$. On obtient finalement
pour $r$ assez grand
$$
\sigma\le 8\,\log\log r,\qquad \tau\le 144\;\log2\cdot\log r\cdot\log\log r,
$$
et en combinant (3.2), (3.5) et (3.6) il vient
$$
\eqalignno{
M(V,\omega,r)
&\le M(V_0,\omega,e^\tau r^{\sigma\tau})+C\cr
&\le M\big(V_0,\omega,\exp\big(800\,(\log r\,\log\log r)^2\big)\big)
+C.&\square\cr}
$$
\medskip

{\bigbf 4. -- Distorsion induite par les automorphismes de transition.}

On observe maintenant que par définition des fonctions $V_j$. on a
$$
\max_{j=1,\,2} M(V_j,\omega,r) = \sup_{x\in\omega}\sup_{z\in K(x,r)} V_0(x,z)
\leqno(4.1) 
$$
où $K(x,r)=\tau_{01}(\{x\}\times\overline{D(r)})\cup
\tau_{02}(\{x\}\times\overline{D(r)})$. Puisque $V_0$ est psh, on a l'égalité
$$
\sup_{z\in K(x,r)} V_0(x,z) = \sup_{z\in \widehat K(x,r)} V_0(x,z)
\leqno(4.2)
$$
où $\widehat K(x,r)$ désigne l'enveloppe holomorphe convexe de $K(x,r)$. 
Pour conclure, on va maintenant estimer la taille de $\widehat K(x,r)$ en
utilisant le principe du disque (cf.\ par exemple
L.~Hörmander [3], th.~2.4.3). Ce ``principe'' entraîne que pour tous 
$0<\alpha\le\beta$ on a
$$
\Big(\overline{D(\alpha)}\times\overline{D(\beta)}\cup
\overline{D(\beta)}\times\overline{D(\alpha)}\Big)\widehat{\strut~}=
\big\{(z_1,z_2)\in\bC^2\,;\;|z_1|\le\beta,\;|z_2|\le\beta,\;
|z_1z_2|\le\alpha\beta\big\}.
$$

{\statement Lemme 4.3.} -- {\it Pour $r$ assez grand 
$\widehat K(x,r)$ contient le polydisque $D(\hat r)$ de rayon
$$
\hat r=\exp(r/32).
$$}
\medskip

{\it Démonstration.} On a $\inf_{x\in\omega}|u(x)|=u({\textstyle{1\over 2}})=
\exp(-4/3)$. Étant donné $x\in\omega$, notons
$\theta$ l'argument de $u(x)$. Sur le disque
$$
\big\{|z_1-{\textstyle{r\over 2}}\,e^{-i\theta}|<{\textstyle{r\over 4}}\big\}
\subset \{|z_1<r\}
$$
on a trivialement $\Re(z_1e^{i\theta})\ge {\textstyle{r\over 4}}$, 
donc on obtient
$$
|\exp(z_1u(x))|\ge\exp\big({\textstyle{r\over 4}}\exp(-4/3)\big)\ge
\exp\big({\textstyle{r\over 16}}\big)
$$
et en conséquence
$$
\tau_{01}(\{x\}\times D(r))\supset\{x\}\times
\big\{|z_1-{\textstyle{r\over 2}}\,e^{-i\theta}|<{\textstyle{r\over 4}}\,,\;
|z_2|<r\,\exp({\textstyle{r\over 16}})\big\}.
$$
Par suite $\tau_{0j}(\{x\}\times D(r))$ contient le bidisque de centre 
$\zeta=({\textstyle{r\over 2}}e^{-i\theta},
{\textstyle{r\over 2}}e^{-i\theta})$ et de birayon
$$
(r_1,r_2)=\big({\textstyle{r\over 4}}\,,\,r\,\exp({\textstyle{r\over 16}})-
{\textstyle{r\over 2}}\big)\quad\hbox{si $j=1$}\qquad
\hbox{$\big[\,$resp. $(r_2,r_1)$ si $j=2\,\big]$}.
$$
D'après le principe du disque, $\widehat K(x,r)$ contient alors le bidisque 
de centre $\zeta$ et de rayon moyenne géométrique $\sqrt{r_1r_2}$. 
Il en résulte que $\widehat K(x,r)\supset D(\hat r)$ avec
$$
\hat r= \sqrt{r_1r_2} -{\textstyle{r\over 2}} =
{\textstyle{r\over 2}}\big(\sqrt{\exp({\textstyle{r\over 16}})-
{\textstyle{1\over 2}}}-1\big),
$$
donc $\hat r> \exp(r/32)$ si $r$ est assez grand.\qed
\medskip

La proposition 3.1, le lemme 4.3 et les égalités (4.1), (4.2) donnent
$$
M\big(V_0,\omega,\exp({\textstyle{r\over 32}})\big)\le
M\big(V_0,\omega,\exp\big((\log r)^3\big)\big)+C.
\leqno(4.4)
$$
Si $V$ est non constante sur au moins une fibre de $X$, la fonction 
$M(V_0,\omega,r)$ est, pour $r$~assez grand, strictement croissante convexe 
en la variable $\log r$, ce qui entraîne
$$
M\big(V_0,\omega,\exp({\textstyle{r\over 32}})\big)-
M\big(V_0,\omega,\exp\big((\log r)^3\big)\big) \ge
c\big({\textstyle{r\over 32}}-(\log r) ^3\big)
\leqno(4.5)
$$
avec $c>0$. Le membre de gauche de (4.5) tend donc vers $+\infty$ quand 
$r$ tend vers $+\infty$, ce qui contredit (4.4). Nous en déduisons par 
conséquent le résultat suivant.
\medskip

{\statement Théorème 4.6.} -- {\it Toute fonction psh $V$ $($resp.\ toute
fonction holomorphe $F)$ sur $X$ est constante sur les fibres. En
particulier, $X$ n'est pas de Stein.}
\vfill\eject

\centerline{\bigbf Bibliographie}
\bigskip

{\parindent=6.5mm

\item{[1]} {\petcap J.-P.\ Demailly} -- {\it Différents exemples de
fibrés holomorphes non de Stein}$\;$; Sémi\-naire P. Lelong, H. Skoda
(Analyse), 1976/1977, Lecture Notes in Math. n°~694, Springer-Verlag,
15--41.

\item{[2]} {\petcap J.-P.~Demailly} -- {\it Un exemple de fibré
holomorphe non de Stein à fibre $\bC^2$ ayant pour base le disque ou
le plan}$\;$; Inventiones Math.\ {\bf 48} (1978) 293--302.

\item{[3]} {\petcap L.~Hörmander} -- {\it An introduction to complex
analysis in several variables}$\;$; Second edition, North Holland
Publishing Company, 1973.

\item{[4]} {\petcap P.~Lelong} -- {\it Fonctionnelles analytiques et
fonctions entières $(n$ variables$)$}$\;$; Mont­réal, Les Presses de
l'Université de Montréal, 1968, Séminaire de Mathématiques
Supé­rieures, été 1967, n°~28.

\item{[5]} {\petcap J.-P.~Serre} -- {\it Quelques problèmes globaux
relatifs aux variétés de Stein}$\;$; Colloque sur les fonctions de
plusieurs variables, Bruxelles, 1953.

\item{[6]} {\petcap H.~Skoda} -- {\it Fibrés holomorphes à base et à fibre
de Stein}$\;$; Inventiones Math.\ {\bf 43} (1977) 97--107.
\bigskip\bigskip}

\centerline{(juin 1984)}
\end
