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\centerline{\bftwelve Courants r\'esiduels et classe fondamentale}
\vskip15pt
{\noindent\hangindent0.6cm\hangafter-1
{\bf Jean-Pierre Demailly${}^\star$ \hfill
     Mikael Passare${}^{\star\star}$\kern0.6cm

}}

{\noindent\hangindent0.6cm\hangafter-4{\sl
\llap{${}^\star~$}Universit\'e de Grenoble I\hfill
${}^{\star\star}$ Kungliga tekniska h\"ogskolan\kern0.6cm\break
Institut Fourier, BP 74\hfill Matematiska institutionen\kern0.6cm\break
U.R.A. 188 du C.N.R.S.\hfill S-10044 Stockholm\kern0.6cm\break
F-38402 Saint-Martin d'H\`eres\hfill Su\`ede\kern0.6cm

}}

\vskip30pt
\titre 1. Introduction|
Soit $f$ une fonction holomorphe dans un ouvert $U$ de $\cb^n$ et
soit $Y$ le diviseur des z\'eros de $f$. La formule classique de
Poincar\'e-Lelong dit que le courant d'int\'egration $[Y]$ sur $Y$ peut
s'\'ecrire $(2\pi i)^{-1}\overline\partial\partial\log|f|^2$. Pour une
application $f\colon U\to\cb^p$ telle que les z\'eros $Y_j$ des
composantes $f_j$ sont en position g\'en\'erale, on obtient un produit
des courants d'int\'egration
$$\overline\partial\partial\log|f_1|^2\wedge\dots\wedge\overline
\partial\partial\log|f_p|^2=2\pi i\,[Y_1]\wedge\dots\wedge
2\pi i\,[Y_p]=(2\pi i)^p[Y]$$
o\`u [Y] d\'esigne le courant correspondant \`a l'intersection
$Y_1\cap\dots \cap Y_p$. Il~est bien connu que le courant intersection
du membre de gauche se factorise en deux parties$\,$: un facteur jacobien
$\omega_Y=df_1\wedge\dots\wedge df_p$ et un facteur \hbox{$
R_Y=\overline\partial(1/f_1)\wedge\dots\wedge\overline\partial(1/f_p)$},
appel\'e courant r\'esiduel (voir [CH78], p.~52).

Dans cette Note nous montrerons comment cette factorisation peut \^etre
\'etendue au cas global o\`u $Y$ est l'espace complexe associ\'e \`a un
id\'eal coh\'erent $\ic$ sur une vari\'et\'e complexe~$X$, sous
l'hypoth\`ese o\`u $\ic$ est {\sl localement intersection compl\`ete}.
Le fait que la forme jacobienne ne se r\'ealise pas en g\'en\'eral
comme une section d'un fibr\'e sur $X$ tout entier n\'ecessite une
\'etude des faisceaux sur $Y$~m\^eme, et conduit \`a la notion de
cohomologie \`a support dans le voisinage infinit\'esimal d'ordre~1
de~$Y$. Ici la cohomologie mod\'er\'ee employ\'ee dans [Ra76] et [DS85]
(voir aussi [RR74]) ne conviendrait pas, puisqu'elle n'est pas
ind\'ependante du choix du prolongement \`a $X$ d'un faisceau donn\'e
seulement sur~$Y$. Notre r\'esultat principal (Th\'eor\`eme~3.5) est le
suivant$\,$: le courant r\'esiduel $R_Y$ peut s'identifier de mani\`ere
intrins\`eque \`a un \'el\'ement canonique de la cohomologie
infinit\'esimale d'ordre $1$ \`a support dans $Y$ et \`a valeurs dans
le faisceau des sections du d\'eterminant du fibr\'e conormal \`a~$Y$.
Le point essentiel est la loi de transformation
$$\ov\partial{1\over f'_1}\wedge\ldots\wedge\ov\partial{1\over f'_p}
=\bigl(\det(g_{ij})\bigr)^{-1}\,
\ov\partial{1\over f_1}\wedge\ldots\wedge\ov\partial{1\over f_p}$$
lorsque $(f'_i)=(g_{ij})(f_j)$ avec une matrice inversible~$(g_{ij})$.

On sait en fait d'apr\`es le calcul de courants m\'eromorphes
d\'evelopp\'e dans [Pa88] que le courant r\'esiduel
$\overline\partial(1/f_1)\wedge\dots\wedge\overline\partial(1/f_p)$ est
bien d\'efini m\^eme lorsque les diviseurs $Y_j$ des $f_j$ ne sont plus
en situation d'intersection compl\`ete. Il serait tr\`es int\'eressant
de savoir si la classe de cohomologie de ce courant peut encore se voir
comme une classe de cohomologie \`a support d\'efinie de mani\`ere
intrins\`eque sur une certaine sous-vari\'et\'e de l'intersection
des~$Y_j$. On peut penser par exemple au cas o\`u les $f_j$ seraient
les composantes d'une section globale arbitraire $f$ d'un fibr\'e
vectoriel holomorphe sur~$X$. Malheureusement, la loi de transformation
associ\'ee \`a un changement lin\'eaire $(f'_i)=(g_{ij})(f_j)$ est dans
ce cas difficile \`a expliciter et \`a interpr\'eter, car elle doit
n\'ecessairement prendre en compte certaines d\'eriv\'ees (en nombre
fini) de~$\det(g_{ij})$. Il en r\'esulte que la signification
cohomologique du courant r\'esidu reste assez myst\'erieuse dans le cas
o\`u l'on n'a pas une intersection compl\`ete.

Une grande partie de ce travail a \'et\'e faite pendant un s\'ejour
du deuxi\`eme auteur \`a l'Institut Fourier au printemps~1992.

\titre 2. Th\'eorie des r\'esidus: formalisme alg\'ebrique|

Nous rappelons ici le formalisme g\'en\'eral des r\'esidus introduit
par Grothen\-dieck (voir [Ha66]).
Soit $X$ une vari\'et\'e analytique complexe de dimension~$n$, $\oc$~son
faisceau structural et $\ic$ un faisceau d'id\'eaux coh\'erent sur~$X$.
Nous supposons que la vari\'et\'e des z\'eros $Y=V(\ic)$ est de {\sl
dimension pure} $n-p$ et que le faisceau $\ic$ est {\sl
localement intersection compl\`ete}, c'est \`a dire que tout point $x\in Y$
admet un voisinage $U$ sur lequel $\ic$ est engendr\'e par exactement $p$
fonctions holomorphes $f_1\ld f_p\in\Gamma(U,\oc)$. La suite $f=(f_1\ld f_p)$
forme alors une suite r\'eguli\`ere au voisinage de~$x$, et le faisceau
quotient $\oc/\ic$ admet sur $U$ une r\'esolution libre de longueur $p$
donn\'ee par le complexe de Koszul
$$0\to\Lambda^p\gc^\star\to\Lambda^{p-1}\gc^\star\to\cdots\to
\Lambda^1\gc^\star\to\oc\to\oc/\ic\to 0,\leqno(2.1)$$
o\`u $\gc=\oc^{\oplus p}$ et o\`u la diff\'erentielle du complexe
$\Lambda^\bu\gc^\star$ est le morphisme de contraction~$f\ort\bu~$,
$f\in\Gamma(U,\gc)$ (voir par exemple [GH78], p.~687-695).

\vskip8pt
\noindent{\bf 2.a. D\'efinition du fibr\'e normal \`a $Y$.}

Nous consid\'erons $Y$ comme l'espace complexe non n\'ecessairement
r\'eduit dont le faisceau structural est $\oc_Y=(\oc/\ic)_{|Y}$. Le
faisceau $\ic/\ic^2$ est alors un \hbox{$\oc_Y$-module} localement libre de
rang $p$ (une base locale est donn\'ee par les images des g\'en\'erateurs
$f_1\ld f_p$). Ce faisceau peut \^etre consid\'er\'e comme le faisceau
$\nc^\star_Y$ des sections du fibr\'e conormal~$N^\star_Y$. Le fibr\'e
$N_Y$ peut aussi \^etre d\'efini comme suit$\,$: si $(U_\alpha)$ est un
recouvrement de $Y$ par des ouverts de Stein tels que $\ic$ soit
engendr\'e par $f_\alpha=(f_{\alpha,1}\ld f_{\alpha,p})$ au dessus de
$U_\alpha$, il existe une matrice holomorphe $g_{\alpha\beta}$ telle
que $f_\alpha=g_{\alpha\beta}f_\beta$ sur $U_\alpha\cap U_\beta$ et on
voit que la matrice $g_{\alpha\beta}\circ
g_{\beta\gamma}-g_{\alpha\gamma}$ doit annuler $f_\gamma$ sur
$U_\alpha\cap U_\beta\cap U_\gamma$. Ses lignes sont donc dans l'image
de la fl\`eche $\Lambda^2\gc^\star\to \Lambda^1\gc^\star$ du complexe
de Koszul, en particulier les composantes sont dans~$\ic$. Il en
r\'esulte que $(g_{\alpha\beta})$ mod $\ic$ d\'efinit un cocycle de
matrices holomorphes inversibles \`a coefficients dans~$\oc_Y\,$: on
d\'efinit $N_Y$ comme le fibr\'e vectoriel sur $Y$ d\'efini par ce
cocycle. Bien entendu, si le faisceau d'id\'eaux $\ic$ est engendr\'e
globalement par les composantes d'une section $f$ d'un fibr\'e
vectoriel holomorphe $E$ de rang $p$ sur~$X$, alors on a
$N_Y=E_{\restriction Y}$ et le complexe de Koszul (2.1) existe
globalement sur $X$ avec $\gc=\oc(E)$. On notera cependant qu'en
g\'en\'eral $N_Y$ ne s'\'etend pas n\'ecessairement en un fibr\'e
vectoriel d\'efini sur $X$ tout entier (voir [OSS80], p.~93).

\vskip8pt
\noindent{\bf 2.b. Construction du r\'esidu de Grothendieck associ\'e
\`a l'id\'eal $\ic$.}

Soit $\fc$ un $\oc$-module localement libre sur~$X$. Par
d\'efinition, les foncteurs $\Ext^q$ sont les foncteurs d\'eriv\'es du
foncteur faisceau d'homomorphismes $\Hom(\bu,\bu)$ et se calculent en
prenant au choix une r\'esolution projective du premier argument ou une
r\'esolution injective du deuxi\`eme. Les faisceaux
$\Ext^q_\oc(\oc/\ic,\fc)$ peuvent donc \^etre calcul\'es localement au moyen
du complexe de Koszul de $\oc/\ic\,$: ce sont les faisceaux de cohomologie du
complexe $\Hom(\Lambda^\bu\gc^\star,\fc)=\Lambda^\bu\gc\otimes\fc$ dont la
diff\'erentielle est simplement l'op\'erateur de multiplication
ext\'erieure $f\wedge\bu~$. Ce complexe s'identifie lui-m\^eme par dualit\'e
\`a un complexe de Koszul, en \'ecrivant
$\Lambda^k\gc\simeq\Lambda^{p-k}\gc^\star\otimes\det \gc\,$; on en d\'eduit
aussit\^ot
$$\Ext^q(\oc/\ic,\fc)=0~~\hbox{\rm pour}~~q\ne p,~~~~
\Ext^p(\oc/\ic,\fc)\simeq\det\gc\otimes\fc\otimes(\oc/\ic).$$
Compte tenu du fait que $\gc_{|Y}$ trivialise localement $\nc_Y$, on a un
isomorphisme canonique global
$$\Ext^p(\oc/\ic,\fc)\simeq j_\star(\det\nc_Y\otimes\fc_{\restriction Y}),
\leqno(2.2)$$
o\`u $j:Y\to X$ est l'inclusion et $\fc_{\restriction Y}=
(\fc\otimes\oc/\ic)_{|Y}$ la restriction ``sch\'ematique'' de $\fc$
\`a~$Y$. On voit en particulier que
le r\'esultat d\'epend uniquement de cette restriction.
Si $\fc$ est un faisceau localement libre d\'efini seulement sur $Y$
(i.e. localement libre sur $\oc_Y$) on peut d\'efinir des
faisceaux de cohomologie \`a support dans le voisinage infinit\'esimal
d'ordre $1$ de $Y$ par
$$\hc^q_{\langle Y\rangle}(\fc)=\Ext^q(\oc/\ic,\wt\fc),\leqno(2.3)$$
en choisissant n'importe quelle extension localement libre $\wt\fc$ de $\fc$
au voisinage de~$Y$. D'apr\`es ce qui pr\'ec\`ede, on obtient
$$\hc^q_{\langle Y\rangle}(\fc)=0~~\hbox{\rm pour}~~q\ne p,~~~~
\hc^p_{\langle Y\rangle}(\fc)\simeq j_\star(\det\nc_Y\otimes\fc).
\leqno(2.4)$$
Passons maintenant au niveau des Ext et des groupes de cohomologie globaux
sur~$X$ (rappelons que les Ext sont les foncteurs d\'eriv\'es du foncteur
compos\'e $\hom=\Gamma\circ\Hom$, \`a savoir les groupes de cohomologie
issus de $R\Gamma\circ R\Hom$ op\'erant sur la cat\'egorie d\'eriv\'ee
des faisceaux). Or, on a dans la cat\'egorie d\'eriv\'ee des
faisceaux un objet canonique $R\Hom_\oc(\oc/\ic,\fc)$ ind\'ependant du
choix de l'extension locale $\wt\fc$ de $\fc$, de sorte qu'en
appliquant le foncteur $R\Gamma$ on obtient aussi des groupes globaux
$$H^q_{\langle Y\rangle}(X,\fc):=\ext^q_\oc(\oc/\ic,\fc),$$
que nous appellerons groupes de cohomologie \`a {\sl support
infinit\'esimal d'ordre~1}. Puisqu'il y a un seul degr\'e $q=p$ en
lequel le faisceau $\Ext^q$ est non nul, la suite spectrale des Ext
d\'eg\'en\`ere en $E_2$ et on a donc un isomorphisme
$$H^q_{\langle Y\rangle}(X,\fc)\simeq H^{q-p}\big(X,\hc^p_{\langle
Y\rangle}(\fc)\big),$$
en particulier
$$H^p_{\langle Y\rangle}(X,\fc)\simeq\Gamma\big(X,\hc^p_{\langle
Y\rangle}(\fc)\big).$$

\remarque 2.5. Remarque|Cette cohomologie \`a support ne doit pas \^etre
confondue avec la cohomologie \`a support usuelle
$\hc^q_Y(\fc)$ (d\'eriv\'ee du foncteur $\Gamma_Y$ des sections
\`a support dans~$Y$, et qui est d\'efinie pour un faisceau $\fc$
sur~$X$ tout entier), ni avec la cohomologie \`a support mod\'er\'ee
$$\hc^q_{[Y]}(\fc):=\indlim_{k\to+\infty}\Ext^q(\oc/\ic^k,\fc)$$
associ\'ee elle aussi \`a un faisceau coh\'erent $\fc$ sur~$X$ tout
entier (voir Ramis [Ra76]). En g\'en\'eral, on a seulement des fl\`eches
$$\hc^q_{\langle Y\rangle}(\fc)\la\hc^q_{[Y]}(\fc)\la
\hc^q_Y(\fc),$$
$\hc^q_{[Y]}(\fc)$ \'etant en quelque sorte la partie de
$\hc^q_Y(\fc)$ annul\'ee localement par une puissance de $\ic$, et
$\hc^q_{\langle Y\rangle}(\fc)$ la partie de $\hc^q_Y(\fc)$ annul\'ee
par~$\ic$. En fait, nous allons consid\'erer ici des faisceaux
$\fc$ qui sont seulement d\'efinis sur~$Y\,$; ceci nous interdit a
priori de consid\'erer d'autres groupes de cohomologie \`a support que
$\hc^q_{\langle Y\rangle}(\fc)$.\finpr\vskip5pt

Si on choisit en particulier comme faisceau $\,\fc\,$ le faisceau
inversible \hbox{$\fc=\det\nc_Y^\star$~,} le second isomorphisme (2.4)
d\'efinit une section canonique $\sigma_Y$ de\break $H^p_{\langle
Y\rangle}(X,\det\nc_Y^\star)$ correspondant \`a la section constante
unit\'e de $\det\nc_Y\otimes\fc=\oc_Y$. Cette section peut \^etre
consid\'er\'ee comme le r\'esidu de Grothendieck associ\'e \`a
l'id\'eal~$\ic$. Ce r\'esidu est intrins\`eque, c'est-\`a-dire
ind\'ependant du choix des g\'en\'erateurs locaux
$f_{\alpha,1},\,\ldots\,,f_{\alpha,p}$ de l'id\'eal~$\ic$.
 
\vskip8pt
\noindent{\bf 2.c. Relation avec la classe fondamentale de $Y$ dans $X$.}

La relation $f_\alpha=g_{\alpha\beta}$ donne par d\'erivation
$df_\alpha=g_{\alpha\beta}(df_\beta)+(dg_{\alpha\beta})f_\beta$, d'o\`u
$$df_{\alpha,1}\wedge\ldots\wedge df_{\alpha,p}=
\det(g_{\alpha\beta})\,df_{\beta,1}\wedge\ldots\wedge df_{\beta,p}~~
\hbox{\rm mod}~~\ic\otimes\Omega^p_X.$$
Il en r\'esulte que la collection des formes diff\'erentielles
$df_{\alpha,1}\wedge\ldots\wedge df_{\alpha,p}$ d\'efinit une section
canonique
$$\omega_Y\in H^0(Y,\Omega^p_{X\restriction Y}\otimes\det\nc_Y).\leqno(2.6)$$
Par $\oc_Y$-lin\'earit\'e, on obtient un produit
$$(2.7)~~~\hc^p_{\langle Y\rangle}(\det\nc_Y^\star)\otimes j_\star(
\Omega^p_{X\restriction Y}\otimes\det\nc_Y)\la
\hc^p_{\langle Y\rangle}(\Omega^p_{X\,\restriction Y}):=
\Ext^p(\oc/\ic,\Omega^p_X).$$
Ceci donne un cup produit ``extraordinaire''
$$H^p_{\langle Y\rangle}(X,\det\nc_Y^\star)\times
H^0(Y,\Omega^p_{X\restriction Y}\otimes\det\nc_Y)\la
H^p_{\langle Y\rangle}(X,\Omega^p_X).\leqno(2.8)$$
Compte tenu de la contravariance des $\Ext$ en le premier argument,
la projection canonique $\oc\to\oc/\ic$ jointe \`a l'isomorphisme
\'evident $\ext^q_\oc(\oc,\Omega^p_X)=H^q(X,\Omega^p_X)$ induit un morphisme
oubli du support
$$H^q_{\langle Y\rangle}(X,\Omega^p_X)\la H^q(X,\Omega^p_X).\leqno(2.9)$$
La section $\sigma_Y$ d\'efinie plus haut est un \'el\'ement canonique
de $H^p_{\langle Y\rangle}(X,\det\nc_Y^\star)$ et son cup produit par
$\omega_Y$ donne un \'el\'ement $\sigma_Y\cdot\omega_Y$ de
$H^p_{\langle Y\rangle}(X,\Omega^p_X)$ qu'on va pouvoir interpr\'eter
comme la classe fondamentale de $Y$ dans~$X$. L'objet de ce qui suit
est de pr\'eciser cette interpr\'etation en faisant usage de la
th\'eorie des courants, et en particulier des courants r\'esiduels.

\titre 3. Interpr\'etation au moyen d'un complexe de courants|
Comme on va le voir, il est tr\`es commode d'utiliser le formalisme des
courants pour interpr\'eter les groupes de cohomologie introduits au
paragraphe~2. Si $\fc$ est un $\oc$-module localement libre sur $X$,
et si $\pdc^{0,\bu}$ d\'esigne le complexe des courants de bidegr\'e
$(0,q)$ sur $X$ avec la diff\'erentielle~$\ov\partial$, alors
$\fc\otimes\pdc^{0,\bu}$ est une r\'esolution fine de $\fc$
(isomorphisme de Dolbeault). Le
complexe de faisceaux $R\Hom(\oc/\ic,\fc)$ est repr\'esent\'e localement
dans la cat\'egorie d\'eriv\'ee par le complexe simple associ\'e au complexe
double $\Hom(\Lambda^\bu\gc^\star,\fc\otimes\pdc^{0,\bu})$. Comme
pour tout ouvert $U$ l'espace des distributions $\Gamma(U,\dc')$ est un
$\Gamma(U,\oc)$-module injectif ([Ma66], chap.~VII, 2.4 et 2.5), on a
exactitude du bifoncteur $\Hom$ par rapport au premier argument dans ce
complexe double, ce qui montre que $R\Hom(\oc/\ic,\fc)$
s'identifie au complexe simple
$$\Hom(\oc/\ic,\fc\otimes\pdc^{0,\bu})=
\fc\otimes\pdc_{\langle Y\rangle}^{0,\bu},$$
o\`u $\pdc_{\langle Y\rangle}^{0,\bu}$ d\'esigne le faisceau des courants
annul\'es par l'id\'eal $\ic$ (ce sont donc des courants \`a support
dans $Y$, comportant suffisamment peu de d\'erivations transverses pour
\^etre annul\'es par les g\'en\'erateurs $f_1\ld f_p$).
Comme ce dernier complexe est un complexe de $\cc^\infty$-modules, le
complexe de ses sections globales calcule directement les Ext globaux.
Par ailleurs, il est clair que le complexe $\fc\otimes\pdc_{\langle
Y\rangle}^{0,\bu}$ ne
d\'epend que de la restriction de $\fc$ \`a $Y$, de sorte que les notations
ci-dessus ont encore un sens lorsque $\fc$ est un $\oc_Y$-module localement
libre d\'efini seulement sur~$Y$. On obtient alors des isomorphismes
$$\hc^q_{\langle Y\rangle}(\fc)\simeq
\hc^q(\fc\otimes\pdc^{0,\bu}_{\langle Y\rangle}),~~~~~~
H^q_{\langle Y\rangle}(X,\fc)\simeq
H^q\big(\Gamma(X,\fc\otimes\pdc^{0,\bu}_{\langle Y\rangle})\big).\leqno(3.1)$$

Introduisons maintenant les courants r\'esiduels associ\'es \`a notre
id\'eal~$\ic$, et commen\c cons par une situation locale. Etant donn\'e
les fonctions $f_1\ld f_p\in\Gamma(U,\oc)$ et une forme test $\varphi
\in\dc^{n,n-p}(U)$, nous consid\'erons la limite
$$\ov\partial{1\over f_1}\wedge\ldots\wedge\ov\partial{1\over f_p}\,(\varphi)
:=\lim_{\varepsilon\to0}\int_{T_{\varepsilon}}{\varphi\over f_1\cdots f_p},
\leqno(3.2)$$
o\`u le tube analytique r\'eel $T_{\varepsilon}=\{|f_1|=\varepsilon_1\ld
|f_p|=\varepsilon_p\}$ est orient\'e par la forme volume
$d\,(\arg f_1)\wedge\ldots\wedge d\,(\arg f_p)\ge0$. Pourvu que le $p$-uplet
$\varepsilon$ tende vers z\'ero d'une mani\`ere convenable (voir [CH78]
ou [Pa88] pour les d\'etails), cette limite existe et d\'efinit l'action
d'un courant $\ov\partial$-ferm\'e $\ov\partial(1/f_1)\wedge\ldots
\wedge\ov\partial(1/f_p)$ dans $\pdc^{0,p}(U)$.
Puisque ce courant r\'esiduel est annul\'e par les $f_j$ (voir [CH78],
Th.~1.7.6), il appartient en fait \`a l'espace $\pdc^{0,p}_{\langle
Y\rangle}(U)$. Sur les intersections $U_\alpha\cap U_\beta\,$, la loi
de transformation
$$\ov\partial{1\over f_{\alpha,1}}\wedge\ldots\wedge\ov\partial{1\over
f_{\alpha,p}}=\bigl(\det(g_{\alpha\beta})\bigr)^{-1}\,
\ov\partial{1\over f_{\beta,1}}\wedge\ldots\wedge\ov\partial{1\over
f_{\beta,p}},\leqno(3.3)$$
dont une preuve pr\'ecise se trouve dans [DS92], est valable. Par cons\'equent,
la collection des courants
$\ov\partial(1/f_{\alpha,1})\wedge\ldots\wedge\ov\partial(1/f_{\alpha,p})$
d\'efinit un courant r\'esidu global
$$R_Y\in\Gamma(X,\det\nc_Y^\star\otimes\pdc^{0,p}_{\langle
Y\rangle}).$$
Plus g\'en\'eralement, si $f_0$ est une fonction holomorphe sur~$U$, on
sait d\'efinir un courant
$${1\over f_0}\ov\partial{1\over f_1}\wedge\ldots\wedge\ov\partial
{1\over f_p}\,(\varphi):=\lim_{\varepsilon\to0}\int_{C_{\varepsilon}}
{\varphi\over f_0f_1\cdots f_p},
\leqno(3.4)$$
o\`u l'int\'egrale est calcul\'ee sur la couronne cylindrique
$$C_{\varepsilon}=
\{|f_0|>\varepsilon_0,\,|f_1|=\varepsilon_1\ld|f_p|=\varepsilon_p\}.$$
Ce courant est annul\'e par $f_1\ld f_p$, son produit par $f_0$ redonne
le courant~(3.2), et on a la formule usuelle
$$\ov\partial\Big({1\over f_0}\ov\partial{1\over f_1}\wedge\ldots\wedge
\ov\partial{1\over f_p}\Big)=\ov\partial{1\over f_0}\wedge\ov\partial
{1\over f_1}\wedge\ldots\wedge\ov\partial{1\over f_p}$$
(voir [CH78], Th. 1.7.7).

\tha 3.5. Th\'eor\`eme|Par l'isomorphisme (3.1) correspondant \`a $\fc=
\det\nc_Y^\star$, soit
$$H^p_{\langle Y\rangle}(X,\det\nc_Y^\star)\simeq H^p\big(\Gamma(X,
\det\nc_Y^\star\otimes\pdc^{0,\bu}_{\langle Y\rangle})\big),$$
la section $\sigma_Y$ construite au \S$\,2$ s'identifie au signe pr\`es
\`a la classe de cohomologie du courant r\'esidu~$R_Y$.\fintha

\noindent{\sl Preuve}\pointir En utilisant le complexe de Koszul (2.1), le
fibr\'e normal $\nc_Y$ s'identifie localement \`a $\gc_{\restriction Y}$ et
$\wt\fc=(\det\gc)^{-1}$ est une extension locale de $\fc=\det\nc_Y^\star$.
On a donc
$$\eqalign{
R\Hom(\oc/\ic,\wt\fc)&=\Hom(\oc/\ic,\wt\fc\otimes\pdc^{0,\bullet})=
\Hom(\Lambda^\bullet\gc^\star,\wt\fc\otimes\pdc^{0,\bullet})\cr
&=\Lambda^\bullet\gc\otimes\wt\fc\otimes\pdc^{0,\bullet}=
\Lambda^{p-\bullet}\gc^\star\otimes\pdc^{0,\bullet}.\cr}$$
Ceci signifie que $R\Hom(\oc/\ic,\wt\fc)$ est quasi-isomorphe au complexe
simple associ\'e au complexe double $K^{i,j}=\Lambda^{p-i}\gc^\star\otimes
\pdc^{0,j}$, produit tensoriel du complexe de Koszul (invers\'e et
d\'ecal\'e) par le complexe de Dolbeault. D\'esignons par $(e_I)_{|I|=k}$
la base canonique de~$\Lambda^k\gc$. La premi\`ere diff\'erentielle de
$K^{\bullet,\bullet}$ est la contraction par le vecteur $f=\sum f_ke_k$
et la deuxi\`eme diff\'erentielle est~$(-1)^i\ov\partial$. Par
d\'efinition, $\sigma_Y$ est l'image de $1$ vu comme cocycle
de~$K^{p,0}$, tandis que $R_Y$ s'identifie au cocycle
$(e_1^\star\wedge\ldots\wedge e_p^\star)
\otimes\big(\ov\partial(1/f_1)\wedge\ldots\wedge\ov\partial(1/f_p)\big)$
de~$K^{0,p}$. Pour d\'emontrer le th\'eor\`eme, il suffit donc de v\'erifier 
que $\sigma_Y\pm R_Y$ est un cobord dans~$K^{\bullet,\bullet}$. Pour cela,
on d\'efinit une cocha\^{\i}ne $u\in K^{p-1,0}\oplus\ldots\oplus K^{p-k,k-1}
\oplus\ldots\oplus K^{0,p-1}$ par
$$u=e_1^\star\otimes{1\over f_1}+
\sum_{2\le k\le p}(-1)^{(p-k/2)(k-1)}\,
(e_1^\star\wedge\ldots\wedge e_k^\star)\otimes\Big({1\over f_k}
\ov\partial{1\over f_1}\wedge\ldots\wedge\ov\partial{1\over f_{k-1}}\Big).$$
Un calcul \'el\'ementaire montre alors que
$$(d'+d'')u=f\ort u+(-1)^\bullet\ov\partial u=\sigma_Y-(-1)^{p(p+1)/2}R_Y.
\eqno\finpr$$

Revenant pour un instant \`a la th\'eorie locale, nous rappelons la structure
du r\'esidu logarithmique (voir [CH78], p.~52), \`a savoir
$$\ov\partial{1\over f_1}\wedge\ldots\wedge\ov\partial{1\over f_p}
\wedge df_1\wedge\ldots\wedge df_p=(2\pi i)^p\,[Y]_{|U},\leqno(3.6)$$
o\`u le produit ext\'erieur \`a gauche doit \^etre compris au sens des
courants, et o\`u~$[Y]$ d\'esigne le courant d'int\'egration sur~$Y$, 
prenant en compte les multiplicit\'es. Ce dernier courant est d\'efini
sur $X$ tout entier et repr\'esente un \'el\'ement, appel\'e classe
fondamentale de $Y$ dans $X$, du groupe $H^{2p}_{DR}(X)$ de cohomologie
de de Rham.

D'apr\`es (3.6) nous avons la relation globale $R_Y\wedge\omega_Y=
(2\pi i)^p[Y]$, et il s'ensuit que le produit $\sigma_Y\cdot\omega_Y$
correspond, via l'isomorphisme (2.8) et l'isomorphisme de Dolbeault
$H^p(X,\Omega^p_X)\simeq H^{p,p}_{\ov\partial}(X) \subset
H^{2p}_{DR}(X)$ \`a la classe fondamentale de $Y$ multipli\'ee par
$(2\pi i)^p$. Nous pouvons visualiser ces propri\'et\'es par le diagramme
commutatif
$$\leqalignno{
&~\sigma_Y~{}\in{}~H^p_{\langle Y\rangle}(X,\det\nc_Y^\star)\buildo
{\displaystyle{}\cdot\omega_Y}\over{\longar65|}H^p_{\langle Y\rangle}
(X,\Omega^p_X)\la H^p(X,\Omega^p_X)\cr
&~~\Big\downarrow\kern-5pt\raise11.5pt\hbox to 4pt{\hrulefill}
\qquad~~\qquad\simeq\Big\downarrow\kern127pt\simeq
\Big\downarrow\kern53pt\simeq\Big\downarrow&(3.7)\cr
~~~&\{R_Y\}\in H^p\big(\Gamma(X,\det\nc_Y^\star\otimes\pdc^{0,\bu}_{\langle
Y\rangle})\big)\buildo{\displaystyle{}\wedge\omega_Y}\over{\longar20|}
H^p\big(\Gamma(X,\pdc^{p,\bu}_{\langle Y\rangle})\big)\la
H^{p,p}_{\ov\partial}(X)\cr
&~R_Y\mapstochar\!\longar250|(2\pi i)^p[Y].\cr}$$
\vskip30pt

\titre Bibliographie|
\vskip8pt\eightpoint
\lettre OSS80|

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\livre GH78|Ph.~Griffiths \&\ J.~Harris|Principles of algebraic geometry,
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\end
