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{\bffourteen Projet de recherche en}
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{\bffourteen G\'eom\'etrie Analytique et Alg\'ebrique}
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{\bf Jean-Pierre Demailly, F\'evrier 2007}
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{\bftwelve 1. In\'egalit\'es de Morse holomorphes transcendantes.}

En 1985, nous avons montr\'e que pour tout fibr\'e en droites holomorphe
hermitien $(L,h)$ sur une vari\'et\'e analytique compacte $X$, le nombre de sections
holomorphes $h^0(X,L^{\otimes k})$ v\'erifie asymptotiquement l'estimation
$$
h^0(X,L^{\otimes k})\ge{k^n\over n!}\int_{X(h,\le 1)}
\Theta_h(L)^n+o(k^n),
$$
o\`u $\Theta_h(L)={i\over 2\pi}D^2=-{i\over 2\pi}\partial\overline\partial\log h$
est la $(1,1)$-forme de courbure du fibr\'e et $X(h,\le 1)$ l'ouvert des
points de $X$ o\`u cette $(1,1)$-forme est de signature $(n,0)$ ou $(n-1,1)$
(points d'indice $0$ et $1$). C'est un cas particulier d'in\'egalit\'es plus
g\'en\'erales valables en fait pour tous les groupes de cohomologie 
$H^q(X,L^{\otimes k})$.

En particulier, sous l'hypoth\`ese $\int_{X(h,\le 1)}\Theta_h(L)^n>0$, les
puissances du fibr\'e $L$ poss\`e\-dent de nombreuses sections (on dit que le fibr\'e
est gros), et ceci entra\^{\i}ne que la classe de Chern $c_1(L)$ est dans
l'int\'erieur du c\^one pseudo-effectif $\cE\subset H^{1,1}(X,\bR)$.


Nous conjecturons la version ``transcendante'' plus g\'en\'erale suivante des 
in\'egalit\'es de Morse holomorphes$\,$: 

{\bf Conjecture.} {\it Pour toute classe r\'eelle 
$\alpha$ de type $(1,1)$ satisfaisant la condition d'indice
$\int_{X(\alpha,\le 1)}\alpha^n>0$, o\`u $X(\alpha,\le 1)$ 
d\'esigne l'ensemble 
des points o\`u $\alpha$ est d'indice $0$ ou $1$, alors la classe de
$\partial\overline\partial$-cohomologie $\alpha$ contient un courant 
de K\"ahler.}

Avec Boucksom-Paun-Peternell (arXiv 2005), nous avons
pu d\'emontrer ce r\'esultat lorsque $X$ est limite de vari\'et\'es projectives
de nombre de Picard maximal, et lorsque $X$ est hyperk\"ahl\'erienne.
Le cas g\'en\'eral reste ouvert et nous avons montr\'e qu'il y aurait 
des cons\'equences importantes pour l'\'etude de la g\'eom\'etrie
des vari\'et\'es k\"ahl\'eriennes~:\\ 
-- le th\'eor\`eme caract\'erisant le dual du c\^one pseudo-effectif 
pourrait \^etre appliqu\'e \`a la partie transcendante de ce c\^one, et non pas
aux seuls diviseurs alg\'ebriques.\\
-- on pourrait vraisemblablement parvenir \`a montrer que le caract\`ere k\"ahl\'erien
d'une vari\'et\'e non singuli\`ere est une propri\'et\'e Zariski ouverte (au
moins pour la topologie de Zariski \'etendue aux unions d\'enombrables de ferm\'es
alg\'ebriques), et esp\'erer d\'emontrer que les points limites sont modifications
de vari\'et\'es k\"ahl\'eriennes (classe $\cC$ de Fujiki).

Les techniques \`a mettre en oeuvre semblent \^etre des arguments de
perturbation pseudo-diff\'erentielle du complexe du
$\overline\partial$, suivant les id\'ees de Guillemin et Boutet de
Monvel.
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{\bftwelve 2. G\'eom\'etrie presque complexe}

{\bf a) Existence de courbes rationnelles pseudo-holomorphes}

Une des perspectives non encore aboutie de la th\'eorie des
vari\'et\'es k\"ahl\'eriennes est l'extension de la th\'eorie de Mori,
en particulier la question de l'existence des courbes
rationnelles. Nous conjecturons le r\'esultat suivant de g\'eom\'etrie
symplectique.

{\bf Conjecture.} {\it Soit $(M,\omega)$ une vari\'et\'e symplectique
r\'eelle compacte de dimension $2n$ telle que
$c_1(M)\cdot\omega^{n-1}>0$ $($ici $c_1(M)$ est la classe de Chern
calcul\'ee par rapport \`a n'importe quelle structure presque complexe
$J$ rendant $\omega$ presque k\"ahl\'erienne$)$.  Alors $M$ est
recouverte par des courbes pseudo-holomorphes rationnelles.}

Ce r\'esultat contiendrait en particulier le cas des vari\'et\'es
k\"ahl\'eriennes compactes. Seul le cas des vari\'et\'es projectives
est aujourd'hui connu, au moyen de m\'ethodes alg\'ebriques totalement
diff\'erentes
reposant sur l'usage d'arguments de d\'eformation en caract\'eristique
$p$. Nous nous proposons ici d'utiliser plut\^ot  des m\'ethodes
purement symplectiques, consistant \`a \'etudier les espaces de modules de
courbes pseudo-holomorphes et leurs classes caract\'eristiques
(invariants de Gromov-Witten).

{\bf b) Th\'eor\`eme de semi-continuit\'e presque complexe des nombres 
de Lelong}

En liaison avec la conjecture pr\'ec\'edente se pose naturellement le
probl\`eme de b\^atir une ``technologie'' suffisante pour l'\'etudes
de structures presque complexes et des ``espaces de modules'' qui
peuvent leur \^etre associ\'es.

Un c\'el\`ebre th\'eor\`eme de Siu affirme que les ensemble de niveau
$E_c(T)$ des nombres de Lelong des courants positifs ferm\'es sur un espace
complexe sont des
sous-ensembles analytiques. Il est vraisemblable que ce r\'esultat
reste valable dans le cadre presque complexe. Il faudra pour cela
(selon toute vraisemblance) g\'en\'eraliser de mani\`ere ad hoc de
nombreux r\'esultats connus dans le cadre complexe int\'egrable~:
r\'egularisation des fonctions plurisousharmoniques, estimations $L^2$
et op\'erateurs de Monge-Amp\`ere,~...
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{\bftwelve 3. \'Etude des vari\'et\'es alg\'ebriques hyperboliques}

Au cours de la p\'eriode 2003-2007, nous avons effectu\'e divers
calculs sur les anneaux d'op\'erateurs diff\'erentiels de jets, et
avons pu en particulier \'elucider la structure des anneaux
d'op\'erateurs ``invariants'' d'ordre inf\'erieur ou \'egal \`a 4 sur
les surfaces. Ce travail n'a pas pas encore \'et\'e publi\'e, mais a
fait l'objet de plusieurs conf\'erences et a d\'ej\`a eu plusieurs
retomb\'ees, par exemple dans les travaux r\'ecents d'Erwann Rousseau
(2005 et 2006).

Nous nous proposons d'\'etendre ces r\'esultats d'une part en termes
de l'ordre des op\'era\-teurs diff\'erentiels mis en jeu, et d'autres
part en passant des surfaces au cas des vari\'et\'es de dimension
quelconque. De nouveaux travaux en cours (notamment ceux de mon
th\'esard Simone Diverio), laissent penser que les in\'egalit\'es de
Morse holomorphes appliqu\'ees aux fibr\'es tautologiques de jets
pourraient \^etre utiles.

L'enjeu ici est d'essayer de d\'emontrer les conjectures de Lang-Vojta et
Green-Griffiths sur les courbes holomorphes trac\'ees dans les vari\'et\'es de
type g\'en\'eral (on s'attend \`a ce qu'elles soient contenues dans une
sous-vari\'et\'e alg\'ebrique exceptionnelle non de type g\'en\'eral).
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{\bftwelve 4. Feuilletages holomorphes}

Les feuilletages holomorphes apparaissent assez naturellement dans
l'\'etude des vari\'e\-t\'es alg\'ebriques hyperboliques (cf.\ travaux
de Brunella et McQuillan).

Une question tr\`es intrigante a \'et\'e pos\'ee par Bogomolov il y a
plus de 10 ans~: est-il vrai que toute vari\'et\'e complexe compacte
$X$ lisse peut se plonger diff\'erentiablement dans une vari\'et\'e
projective $Z$ comme transversale \`a une feuilletage holomorphe
(i.e. il existe un plongement differentiable $X\subset Z$ et un
feuilletage holomorphe $\cF$ sur $Z$ tel que $X$ ne rencontre pas les
singularit\'es de $\cF$, avec de plus $T_X+\cF_{|X}=T_{Z|X}$ en tout
point de $X$, de sorte que la structure analytique de $X$ provienne de
la structure holomorphe transverse au feuilletage$\,$?). Si ce
r\'esultat \'etait vrai, il munirait toute vari\'et\'e complexe
compacte d'une sorte de ``structure alg\'ebrique diff\'erentielle''
(dans laquelle on s'autoriserait les solutions d'\'equations 
diff\'erentielles \`a
coefficients alg\'ebriques comme fonctions de transition des cartes).

Nous savons ramener ce r\'esultat \`a la preuve d'une th\'eor\`eme
d'approximation de type Runge pour les feuilletages holomorphes sur
les ouverts polynomialement convexes de~$\bC^n$. Plusieurs voies
d'attaque ont \'et\'e \'etudi\'ees, en particulier dans des travaux 
en cours avec Franc Forstneric (Ljubljana).
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{\bftwelve 5. Sym\'etrie miroir}

Nous avons r\'ealis\'e il y a d\'ej\`a plusieurs ann\'ees que l'on
pouvait attacher une structure riemannienne canonique (partiellement
k\"ahl\'erienne) \`a la famille universelle associ\'ee \`a un espace
de modules de vari\'et\'es de Calabi-Yau, fibr\'e par produit avec 
le c\^one de K\"ahler complexifi\'e. Notre \'etudiant Michel
Schweitzer (th\`ese en cours de r\'edaction) a commenc\'e quelques
calculs dans cette direction. Notre espoir est que cette structure
riemannienne universelle est en quelque sorte auto-duale par
sym\'etrie miroir, et que ses propri\'et\'es de courbure (signe, z\'eros,
directions propres) sont li\'ees \`a la fibration en les vari\'et\'es 
de Calabi-Yau et leurs ``duales''. Ceci permettrait d'avoir une construction
g\'eom\'etrique tr\`es prometteuse pour la famille miroir d'une famille
donn\'ee de vari\'et\'es de Calabi-Yau.
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{\bftwelve 6. Conjecture de Hodge}

Nous avons quelques id\'ees dans la direction de la construction de
contre-exemples \`a la c\'el\`ebre conjecture de Hodge (un des 7 millenium
problems \`a 1 million de dollars, dont l'un a \'et\'e r\'esolu par le 
math\'ematicien russe Perelman en 2003 -- la conjecture de Poincar\'e).

Notre id\'ee -- peut-\^etre un peu simpliste -- est de travailler avec 
les vari\'etes ab\'eliennes
de dimension 4, et de combiner un argument de d\'eformation avec l'utilisation
de la transformation de Chow des courants telle qu'elle a \'et\'e d\'evelopp\'ee
par notre ancien \'etudiant Michel Meo dans sa th\`ese (1996). Pour cela, on
s'appuie sur le fait qu'on conna\^{\i}t les obstructions 
formelles \`a ce qu'un diviseur de la 
grasmannienne soit dans l'image de l'application de Chow. Le sujet est 
\'evidemment \`a risque, puisque les obstructions seront
identiquement nulles dans tous les cas si la conjecture de Hodge
s'av\`ere {\it in fine} \^etre vraie$\,$...

\end
