\magnification=1200 \vsize=20cm\hsize=13.5cm
\parindent=0mm \parskip=5pt plus 2pt minus 1pt
\def\cE{{\cal E}} \def\cK{{\cal K}}

\centerline{\bf Vari\'et\'es k\"ahl\'eriennes compactes,}
\centerline{\bf g\'eom\'etrie du c\^one de K\"ahler et du c\^one 
pseudo-effectif}
\medskip
\centerline{Jean-Pierre Demailly}
\bigskip

Deux objets g\'eom\'etriques fondamentaux pour l'\'etude des
k\"ahleriennes compactes sont le c\^one de K\"ahler $\cK\subset$
(ouvert) et le c\^one $\cE$ (ferm\'e) des classes dites
pseudo-effectives. Ces c\^ones sont les parties de $H^{1,1}(X)$
constitu\'ee respectivement des classes de cohomologie de m\'etriques
k\"ahl\'eriennes, et des classes de courants positifs ferm\'es. Dans
la cas particulier de la g\'eom\'etrie projective, les objets
correspondants sont le c\^one des classes de diviseurs amples et le
c\^one des classes des diviseurs effectifs.

Il se trouve que ces c\^ones codent de mani\`ere tr\`es pr\'ecise la
g\'eom\'etrie de la vari\'et\'e, comme par exemple l'existence de
certaines contractions ou fibrations. Un progr\`es essentiel intervenu
r\'ecemment r\'eside dans le fait que ces c\^ones peuvent \^etre
d\'ecrits de mani\`ere purement num\'erique \`a partir de la structure
de Hodge de la vari\'et\'e, de la forme d'intersection et des classes
des cycles analytiques. Ainsi, un r\'esultat obtenu en 2001 en collaboration
avec Mihai Paun (Strasbourg) stipule que le crit\`ere usuel de
Nakai-Moishezon pour l'amplitude des fibr\'es en droites s'\'etend aux
classes k\"ahl\'eriennes. Cet \'enonc\'e implique l'invariance du
c\^one de K\"ahler dans une d\'eformation de vari\'et\'es
k\"ahl\'eriennes compactes, par transport parall\`ele par rapport \`a
la connexion de Gauss-Manin. A partir de l\`a, Daniel Huybrechts (K\"oln) 
a pu aussi \'etablir rigoureusement le crit\`ere de projectivit\'e des
vari\'et\'es hyperk\"ahl\'eriennes, qui restait un des cha\^{\i}nons
manquants de la th\'eorie.  Dans cette direction, mon \'etudiant
S\'ebastien Boucksom a obtenu plusieurs r\'esultats extr\^emement
prometteurs: description explicite des c\^ones de K\"ahler et
pseudo-effectifs des vari\'et\'es hyperk\"ahleriennes en termes des
classes de courbes rationnelles et de la forme d'intersection de
Bogomolov-Beauville. Plus r\'ecemment, S.~Boucksom a
d\'evelopp\'e une th\'eorie syst\'ematique du ``volume'' sur le c\^one
pseudo-effectif, et a montr\'e que le th\'eor\`eme de d\'ecomposition
de Zariski des surfaces s'\'etendait sans encombres aux vari\'et\'es
hyperk\"ahleriennes, tout en introduisant des nouveaux concepts de
positivit\'e applicables \`a des vari\'et\'es k\"ahleriennes compactes
quelconques.

Les perspectives en cours seraient de mieux comprendre la dualit\'e
entre les c\^ones de diviseurs et les c\^ones de courbes, en toute
g\'en\'eralit\'e. On conjecture en particulier (dans le cadre
projectif au moins) que le dual du c\^one pseudo-effectif est
constitu\'e des classes de courbes ``mouvantes'', i.e.\ des courbes
qui sont membres de familles couvrant la vari\'et\'e. Ce r\'esultat
aurait des r\'epercussions int\'eressantes pour la compr\'ehension de
la g\'eom\'etrie projective ou k\"ahl\'eriennes -- en particulier en
direction de la th\'eorie du mod\`ele minimal et des conjectures dites
d'abondance. Un autre probl\`eme en cours d'\'etude est la question
pos\'ee par Kodaira de savoir si toute vari\'et\'e k\"ahl\'erienne
peut \^etre ``approch\'ee'' comme limite de vari\'et\'es projectives.
Nous pensons que la r\'eponse \`a cette question est n\'egative, et
\'etudions dans cette perspective des candidats potentiels de
vari\'et\'es k\"ahleriennes ``sporadiques'', i.e.\ non projectives et
non d\'eformables.

\end

