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\centerline{\bf Projet de recherche en G\'eom\'etrie Analytique et
Alg\'ebrique}
\medskip
\centerline{\it Jean-Pierre Demailly}
\bigskip\bigskip

Mes recherches les plus r\'ecentes comportent de nombreux aspects qui
m\'eriteraient sans doute d'\^etre plus amplement d\'evelopp\'es.
Ainsi, il reste de nombreuses conjectures non r\'esolues pour
l'\'etude des vari\'et\'es hyperboliques, conjectures qui sont
elles-m\^emes reli\'ees \`a d'importantes questions ouvertes en
th\'eorie des nombres. Signalons par exemple la conjecture de
Green-Griffiths pour les vari\'et\'es de type g\'en\'eral~:
on s'attend \`a ce que toute courbe transcendante trac\'ee sur 
une telle vari\'et\'e soit alg\'ebriquement
d\'eg\'en\'er\'ee, ce qui n'est pour l'instant m\^eme pas d\'emontr\'e
pour les surfaces alg\'ebriques. De mani\`ere g\'en\'erale, les
outils manquent en dimension sup\'erieure ou \'egale \`a $3$, comme la
connaissance des groupes de cohomologie interm\'ediaires des fibr\'es
de jets au dessus des vari\'et\'es de type g\'en\'eral. Ce dernier
point est peut-\^etre accessible au moyen de techniques telles que les
in\'egalit\'es de Morse holomorphes.

Par ailleurs, mon travail r\'ecent avec Mihai Paun laisse entrevoir
des nouvelles perspectives pour l'\'etude de la g\'eom\'etrie des
vari\'et\'es k\"ahl\'eriennes~: toute vari\'et\'e k\"ahl\'erienne
est-elle limite par d\'eformation de vari\'et\'es projectives~? la
propri\'et\'e d'\^etre K\"ahler est-elle ouverte pour la topologie de
Zariski analytique~? Toutes ces questions sont li\'ees de fa\c{c}on
profonde \`a la th\'eorie des courants et aux singularit\'es
analytiques, de sorte qu'on peut aussi imaginer des applications en
Analyse complexe.

Je signale enfin que j'ai un int\'er\^et marqu\'e pour les langages de
programmation et en particulier les syst\`emes d'exploitation
Unix/Linux (je suis auteur de plusieurs logiciels scientifiques, et
suis aussi \`a l'origine d'un projet de CD-Rom de logiciels libres
pour les \'etablissements scolaires, sous l'\'egide du CNDP). En
liaison avec ce travail de codage, je m'int\'eresse \`a des
questions algorithmiques telles que la complexit\'e de calcul de
certains algorithmes math\'ematiques (multiplication des matrices, pour 
lequel le probl\`eme de la complexit\'e est non r\'esolu~; ce probl\`eme 
est li\'e par ailleurs \`a des questions naturelles de 
g\'eom\'etrie projective...).

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