\input notice_macros.tex

\noindent
{\bftwelve Pr\'esentation d\'etaill\'ee de mes travaux et activit\'es de 
recherche}
\vskip15pt

\noindent{\bf 1) Pendant la pr\'eparation de la Th\`ese de ${\bf 3}^{\bf e}$
Cycle (ENS, 1977-1978)}

J'ai \'et\'e initi\'e \`a la recherche gr\^ace un cours de DEA donn\'e
par Henri Skoda \`a l'Universit\'e de Paris VI en 1976/77. C'est sous
sa direction  que j'ai effectu\'e toutes mes recherches
pr\'e-doctorales, d'abord en tant qu'\'el\`eve de l'ENS Ulm de 1977
\`a 1979, puis comme attach\'e de recherche au CNRS (L.A.~213
``Analyse complexe et g\'eom\'etrie" de Paris VI) de 1979 \`a 1982.

Mon m\'emoire de DEA (soutenu en Octobre 1977) est intitul\'e
``Etude des id\'eaux des alg\`ebres de fonctions holomorphes avec
poids". Il portait sur l'\'etude de quelques techniques de ``th\'eor\`emes de
Bezout transcendants'' d\'evelopp\'es dans des articles. L.~H\"ormander, 
J.J.~Kelleher-B.A.~Taylor et H.~Skoda. L'objet de mon m\'emoire \'etait de
faire une synth\`ese de ces diff\'erents travaux et d'en comparer
les r\'esultats.

Je me suis ensuite attaqu\'e \`a l'\'etude de la pseudoconvexit\'e des
espaces fibr\'es, sujet qui devait constituer la premi\`ere partie de
ma th\`ese de 3\`eme cycle ``{\sl Croissance des fonctions
plurisousharmoniques sur un fibr\'e \`a base de Stein et \`a fibre
$\bC^n$ et sur une surface de Riemann}", soutenue en D\'ecembre
1978. J.P. Serre avait soulev\'e en 1953 le probl\`eme de savoir si un
espace \`a base et \`a fibre de Stein \'etait lui-m\^eme de
Stein. Apr\`es un certain nombre de r\'esultats partiels positifs,
H. Skoda montra en 1977 que la r\'eponse g\'en\'erale \'etait
n\'egative, et construisit un fibr\'e non de Stein, de fibre $\bC^2$,
dont la base est un ouvert multiplement connexe du plan, et dont les
automorphismes de transition sont localement constants et de type
exponentiel. Peu apr\`es, j'ai am\'elior\'e ce contre-exemple en
montrant que le m\^eme ph\'enom\`ene se produit aussi, dans le cas
d'un fibr\'e \`a fibre ${\Bbb C}^2$, avec une base simplement connexe
(disque, plan) ou encore, pour une base multiplement connexe, avec
certains groupes d'automorphismes polynomiaux de la fibre ([1], [2] ;
voir \'egalement l'article post\'erieur [17] pour une 
construction techniquement beaucoup plus simple).

La deuxi\`eme partie de ma th\`ese de 3\`eme cycle \'etudie les
fonctions born\'ees ou \`a croissance polynomiale sur la surface de
Riemann $e^x+e^y = 1$ (cette surface s'identifie au rev\^etement 
homologique de la sph\`ere de Riemann $\bP^1$ priv\'ee de
trois points)~; le principal r\'esultat est que les fonctions en
question sont en fait des polyn\^omes en $x$ et~$y$. Cette \'etude
(cf.\ [3]) se trouve reli\'ee aux travaux de C.A. Berenstein et
B.A. Taylor sur les vari\'et\'es d'interpolation, et g\'en\'eralise un
r\'esultat obtenu ind\'ependamment par I. Wakabayashi (celui-ci avait
montr\'e que les fonctions born\'ees \'etaient constantes par une
m\'ethode assez compliqu\'ee utilisant des r\'esultats classiques fins
sur la g\'eom\'etrie des surfaces de Riemann). \`A ma grande surprise,
F.~Bogolomolov et M.~McQuillan [communication orale, ao\^ut 2006] pensent 
que ce r\'esultat pourrait avoir aussi des retomb\'ees en th\'eorie des
nombres transcendants$\;!$
\vskip10pt

\noindent{\bf 2) De janvier 1979 \`a fin 1982 (LA 213, 
Universit\'e de Paris VI)}

Sous l'influence des travaux de H. Skoda sur les morphismes surjectifs
de fibr\'es semi-positifs, je me suis int\'eress\'e de plus en plus pr\`es
aux diff\'erentes notions de positivit\'e pour les fibr\'es holomorphes
hermitiens et aux relations qui existent entre ces notions. Il
r\'esulte trivialement des d\'efinitions que la positivit\'e de Nakano
entra\^{\i}ne la positivit\'e de Griffiths. Inversement, le principal
r\'esultat ([5], [6]) que nous obtenons \`a ce sujet affirme que la
positivit\'e de $E$ au sens de Griffiths entra\^{\i}ne la positivit\'e
de $E\otimes \hbox{d\'et }E$ au sens de Nakano. Ce r\'esultat permet
d'\'etablir un lien direct auparavant inexpliqu\'e entre des
th\'eor\`emes d'annulation de la cohomologie dus \`a Griffiths (1969)
et Nakano (1972). Plus g\'en\'eralement, nous avons introduit la
notion de $s$-positivit\'e suivante$\,$: un fibr\'e $E$ au-dessus
d'une vari\'et\'e $X$ est dit $s$-positif si la forme hermitienne de
courbure $ic(E)$ prend des valeurs $>0$ sur les tenseurs non nuls de
$TX\otimes E$ de rang $\le s$ ; la positivit\'e de Griffiths
correspond \`a $s=1$, celle de Nakano \`a $s\ge \min(\dim X,{\rm rg}
E)$. Si $X$ est faiblement pseudoconvexe et si $E$ est $s$-positif,
alors on d\'emontre que $H^{n,q}(X,E) = 0$ pour $n=\dim X$, $q\ge
n-s+1$. Nous obtenons dans ce cadre [10] de nouveaux th\'eor\`emes
d'annulation de la cohomologie pour des fibr\'es de la forme
$E^\star\otimes (\det E)^k$, et des th\'eor\`emes de surjectivit\'e ou
de scindage pour des morphismes de fibr\'es semi-positifs.  Ces
r\'esultats ont des applications \`a la g\'eom\'etrie alg\'ebrique,
\`a l'alg\`ebre locale (th\'eor\`emes de Brian\c{c}on-Skoda), mais
aussi \`a des probl\`emes d'Analyse fine gr\^ace aux estimations $L^2$
tr\`es pr\'ecises qu'ils procurent. Ainsi, via l'existence d'un
scindage de la suite exacte d\'efinissant le fibr\'e normal d'une
sous-vari\'et\'e de $\bC^n$, nous montrons l'existence de
r\'etractions holomorphes sur des voisinages tubulaires d'une
sous-vari\'et\'e, et en d\'eduisons divers th\'eor\`emes d'extension
de fonctions holomorphes avec estimations pr\'ecises [7].

Ces travaux constituent la premi\`ere partie de ma th\`ese de Doctorat
d'Etat [T2] ``{\sl Sur diff\'erents aspects de la positivit\'e en
analyse complexe}", soutenue en octobre 1982. La deuxi\`eme partie de
cette th\`ese est consacr\'ee \`a l'\'etude des propri\'et\'es des
courants positifs ferm\'es.

Mon premier objectif a \'et\'e ici de red\'emontrer le th\'eor\`eme de
Bombieri sur les valeurs alg\'ebriques de fonctions m\'eromorphes,
gr\^ace \`a une g\'en\'eralisation convenable de la formule de Jensen
en plusieurs variables. L'un des int\'er\^ets de cette approche est
d'\'eviter le recours indirect aux estimations $L^2$ de H\"ormander,
et de permettre (au moins en th\'eorie) l'obtention de constantes
effectives utiles pour les applications arithm\'etiques.  La formule
de Jensen que nous obtenons ainsi dans [8] \'etend des calculs faits
par P. Lelong pour d\'emontrer l'existence des nombres de Lelong d'un
courant positif ferm\'e. Combin\'ee \`a des arguments \'el\'ementaires
d'alg\`ebre lin\'eaire, cette formule entra\^{\i}ne un lemme de
Schwarz tr\`es g\'en\'eral pour les fonctions enti\`eres qui
s'annulent sur une partie finie de $\bC^n$. Nous avons pu ainsi
r\'esoudre en dimension 2 une conjecture de M. Waldschmidt et
G. Chudnovsky, relative aux multiplicit\'es des hypersurfaces
alg\'ebriques de $\bC^n$.  Ces travaux nous ont amen\'e \`a \'enoncer
une g\'en\'eralisation de la conjecture de Chudnovsky, sur laquelle
H. Esnault et E. Viehweg ont apport\'e peu apr\`es une contribution
substantielle, en utilisant des techniques cohomologiques fines de
g\'eom\'etrie alg\'ebrique.  En 1989, mon \'etudiant A. Azhari a
\'egalement obtenu de nouveaux r\'esultats dans cette direction.

Reprenant les calculs de P. Lelong dans le cadre g\'en\'eral des espaces
analytiques, j'ai ensuite \'etendu la notion de nombre de Lelong d'un 
courant positif ferm\'e par l'introduction de poids (cf.\ [9])$\,$: 
l'id\'ee est essentiellement de remplacer la
m\'etrique hermitienne de  $\bC^n$ par une m\'etrique $i\partial\overline
\partial \varphi $ o\`u $\varphi $ est une fonction d'exhaustion dont le
logarithme est $psh$. Outre que la d\'efinition obtenue est beaucoup plus
souple, nous avons pu ainsi red\'emontrer de fa\c{c}on \'el\'ementaire le
th\'eor\`eme de Siu sur l'invariance des nombres de Lelong par changement
de coordonn\'ees locales. Plus g\'en\'eralement, il \'etait naturel de se
poser le probl\`eme suivant$\,$: \'etant donn\'e un morphisme propre
$F : X \to Y$ d'espaces analytiques et un courant positif ferm\'e $T$ sur $X$,
\'etudier les nombres de Lelong de l'image directe $F_\star T$, qui est un
courant positif ferm\'e sur~$Y$. Sous l'hypoth\`ese
(indispensable) que les fibres de $F$ sont discr\`etes sur le support
de~$T$, nous avons d\'emontr\'e l'existence d'un encadrement
des nombres de Lelong $\nu (F_\star T,y)$ \`a l'aide de multiplicit\'es
$\mu_p(F,x)$, $\overline\mu_p(F,x)$ attach\'ees au morphisme $F$ aux points
$x$ de la fibre$\,$:
$$\sum_{x\in F^{-1}(y)}\mu_p(F,x)\nu(T,x)\le\nu(F_\star T,y)
\le\sum_{x\in F^{-1}(y)}\overline\mu_p(F,x)\nu(T,x).$$
Cet encadrement est optimal.

Le dernier sujet abord\'e dans ma th\`ese concerne l'\'etude des
\'el\'ements extr\'emaux du c\^one des courants positifs ferm\'es sur
une vari\'et\'e de Stein ou sur une vari\'et\'e projective
[11]. P.~Lelong et R.~Harvey avaient pos\'e le probl\`eme de savoir si
les seuls courants fortement positifs extr\'emaux \'etaient bien les
courants d'int\'egration sur les cycles analytiques
irr\'eductibles. Gr\^ace \`a l'utilisation de th\'eor\`emes de support
nouveaux pour les courants port\'es par des sous-vari\'et\'es $CR$,
nous avons pu obtenir un contre-exemple en construisant un courant
extr\'emal de bidegr\'e $(1,1)$ sur $\bP^2(\bC)$ dont le support est
de codimension r\'eelle 1. Nous avons ensuite \'etendu le
contre-exemple \`a $\bC^n$ et $\bP^n(\bC)$ en codimensions
$1,2,\ldots, n-1$, gr\^ace \`a un th\'eor\`eme de prolongement de
H. Skoda pour les courants positifs ferm\'es de masse finie ; la
preuve originale de ce dernier th\'eor\`eme repose d'ailleurs sur
notre formule de Jensen [8]. Nous avons enfin montr\'e le lien entre
l'\'etude des courants extr\'emaux et la conjecture de Hodge, via un
probl\`eme d'approximation de courants par des cycles analytiques
positifs, et la mise en \'evidence d'obstructions topologiques \`a ce
probl\`eme. En codimension $(1,1)$ la conjecture de Hodge (qui est
\'evidemment bien connue dans ce cas) peut se formuler de mani\`ere
plus explicite comme suit$\,$: tout courant positif ferm\'e dont la
classe de cohomologie est dans le sous-espace ferm\'e engendr\'e par
les classes de cohomologie enti\`ere de type $(1,1)$ est limite faible
d'une suite $\lambda _k[Z_k]$ de courants d'int\'egration sur des
hypersurfaces irr\'eductibles, avec $\lambda _k \ge 0$. Le r\'esultat
pr\'ec\'edent repose sur un proc\'ed\'e g\'en\'eral de construction
d'hypersurfaces irr\'eductibles ayant un lieu singulier donn\'e,
proc\'ed\'e qui avait fait l'objet d'un travail ant\'erieur [4]. Nous
avions montr\'e en particulier, en nous appuyant sur des estimations
de croissance pr\'ecises dans $\bC^n$ et sur un contre-exemple de
Cornalba-Shiffman, l'existence de courbes irr\'eductibles \`a
croissance lente dans $\bC^2$, ayant des points singuliers aussi
nombreux qu'on le veut \`a l'infini. Ces r\'esultats
d'irr\'eductibilit\'e peuvent \'egalement se traduire, gr\^ace au
th\'eor\`eme de Paley-Wiener, en des propri\'et\'es arithm\'etiques de
l'alg\`ebre de convolution $\cD'(\bR^n),~n\ge 2$.

Dans l'article [13], con\c{c}u en collaboration avec B. Gaveau, nous
\'etudions des majorations statistiques pour la courbure de Ricci des
surfaces de niveau d'une application holomorphe $F : \Omega \to
\bC^p$, d\'efinie sur un ouvert strictement pseudoconvexe born\'e de
$\bC^n$. L'article s'ach\`eve par la d\'emonstration d'une formule
reliant le $i\partial \overline \partial \log$ de la courbure totale
de Gauss d'une sous-vari\'et\'e \`a la forme de courbure de Ricci.
\vskip10pt

\noindent{\bf 3) De 1983 \`a 1989 (Institut Fourier, Grenoble I)}

Mes recherches ult\'erieures ont abouti \`a la publication d'un
certain nombre d'ar\-ti\-cles dont le th\`eme tourne autour de
l'\'etude des courants positifs ou des fibr\'es vectoriels
holomorphes. Fait exception la note [15], qui a pour objet une
g\'en\'eralisation d'un th\'eor\`eme de De
Leeuw-Katznelson-Kahane$\,$: \'etant donn\'e une fonction $\varphi \ge
0$ de carr\'e sommable sur le dual $\widehat G$ d'un groupe ab\'elien
localement compact, nous montrons l'existence d'une fonction $L^2$
continue $f$ s'annulant \`a l'infini sur $G$ telle que $|\hat f| \ge
\varphi $. Ce r\'esultat \'etait seulement connu auparavant dans le
cas d'un groupe $G$ compact.

L'article [14] est consacr\'e \`a l'\'etude du probl\`eme suivant$\,$:
\'etant donn\'e un courant positif ferm\'e $T$ sur un ouvert de Runge
$\Omega \subset \bC^n$ et un ouvert $\omega \subset\!\subset \Omega$,
trouver des conditions suffisantes portant sur les masses de $T$ pour
assurer l'existence d'un prolongement global $\widetilde T$ de
$T_{|\omega }$ \`a $\bC^n$. Nous obtenons effectivement une telle
condition suffisante et montrons alors qu'il n'y a pas propagation des
singularit\'es, i.e.\ $\widetilde T$ peut \^etre choisi de classe
$C^\infty$ en dehors de $\overline \Omega$. Inversement, en utilisant
le th\'eor\`eme de prolongement de H. Skoda d\'ej\`a mentionn\'e et
l'existence de vari\'et\'es pluripolaires totalement r\'eelles
(Diederich-Fornaess), nous construisons des exemples non triviaux de
courants non prolongeables. Il en r\'esulte en particulier que la
condition suffisante mentionn\'ee ci-dessus est \'egalement
n\'ecessaire si $T$ est de bidegr\'e $(1,1)$.

L'article [16] d\'emontre une identit\'e de type
Bochner-Kodaira-Nakano pour un fibr\'e vectoriel holomorphe au-dessus
d'une vari\'et\'e hermitienne. Nous nous sommes attach\'es \`a
expliciter compl\`etement les termes de torsion qui apparaissent dans
le cas non k\"ahl\'erien. Un th\'eor\`eme d'existence pour
l'op\'erateur $\overline \partial$ en r\'esulte.

Le m\'emoire [18] a deux objets principaux, d'une part l'\'etude des
propri\'et\'es de croissance et de convexit\'e des fonctions
plurisousharmoniques, d'autre part une caract\'erisation
g\'eom\'etrique des vari\'et\'es alg\'ebriques affines en termes de
volume et de courbure. Etant donn\'e une fonction $psh$ continue
exhaustive $\varphi $ sur un espace analytique $X$, nous construisons
une famille de mesures $\mu _r$ port\'ees par les ``pseudo-sph\`eres"
$\varphi =r$ et repr\'esent\'ees par la forme $(dd^c\varphi )^{n-1}
\wedge d^c\varphi $ (calcul\'ee au sens de Bedford-Taylor). Ces
mesures jouissent de propri\'et\'es int\'eressantes en liaison avec
l'\'etude de la croissance des fonctions $psh$ ou de la distribution
des valeurs des fonctions holomorphes. En particulier, si $\varphi$
v\'erifie l'\'equation de Monge-Amp\`ere homog\`ene $(dd^c\varphi )^n
\equiv 0$ en dehors d'un compact, la fonction $r\mapsto \|V\|_{L^p(\mu
_r)}$ est convexe pour toute fonction $psh~V\ge 0$ sur $X$. Nous
montrons enfin que les vari\'et\'es alg\'ebriques affines sont
caract\'eris\'ees par l'existence d'une fonction d'exhaustion
$psh~\varphi $ de classe $C^\infty$ telle que la m\'etrique
$dd^c\varphi $ soit de volume fini et telle que la courbure de Ricci
de la m\'etrique $dd^c(e^\varphi )$ soit convenablement minor\'ee.

Dans l'article [19], nous exposons une nouvelle d\'emonstration simplifi\'ee
des th\'eo\-r\`emes d'annulation et de finitude de T.~Ohsawa et O.~Abdelkader,
relatifs \`a la cohomologie des fibr\'es vectoriels holomorphes. Cette
d\'emonstration repose sur les m\'ethodes $L^2$ classiques de H\"ormander
et sur l'identit\'e de Bochner-Kodaira-Nakano non k\"ahl\'erienne [16].

Les articles [20], [21], [22] \'elaborent une th\'eorie de Morse pour
la cohomologie des puissances tensorielles d'un fibr\'e en droites
holomorphe, sous la forme d'in\'egalit\'es asymptotiques qui
compl\`etent la formule de Riemann-Roch-Hirzebruch. De fa\c{c}on
pr\'ecise, si $E$ est un fibr\'e holomorphe en droites et $F$ un
fibr\'e de rang $r$ au-dessus d'une vari\'et\'e complexe compacte $X$,
nous obtenons une estimation de la dimension des espaces de
cohomologie $H^q(X,E^k\otimes F)$ lorsque $k$ tend vers $+\infty$~;
cette dimension est major\'ee par une int\'egrale de la forme de
courbure de Chern $c(E)$, \'etendue \`a l'ouvert des points d'indice
$q$ de $c(E)$.  On trouvera dans [20] une premi\`ere d\'emonstration
assez \'el\'ementaire, mais non optimale, des in\'egalit\'es de Morse;
l'article [21] expose une version am\'elior\'ee et simplifi\'ee des
r\'esultats de [20]. Dans [22], nous montrons comment on peut obtenir
des in\'egalit\'es de Morse optimales en \'etudiant les propri\'et\'es
spectrales de l'op\'erateur de Schr\"odinger associ\'e \`a un champ
magn\'etique intense ; notre m\'ethode repose sur des id\'ees
introduites par E. Witten pour l'\'etude des th\'eories de
supersym\'etrie, id\'ees qui l'avaient conduit \`a une nouvelle preuve
analytique des in\'egalit\'es de Morse classiques. Gr\^ace \`a ces
r\'esultats, nous avons pu am\'eliorer la d\'emonstration de la
conjecture de Grauert-Riemenschneider (\'elucid\'ee par Siu en 1984)
et caract\'eriser les espaces de Moishezon, au moyen d'hypoth\`eses
g\'eom\'etriques tr\`es g\'en\'erales qui n'exigent aucune
propri\'et\'e de semi-positivit\'e ponctuelle de la courbure. Ces
travaux ont eu des retomb\'ees notables; citons en particulier
J.M.~Bismut qui a donn\'e une approche probabiliste de nos r\'esultats
via une estimation asymptotique du noyau de la chaleur et E.~Getzler
qui a obtenu diverses g\'en\'eralisations (cas des puissances
tensorielles de fibr\'es vectoriels, cas de l'op\'erateur
$\overline\partial_b$ d'une vari\'et\'e CR compacte). Nous sommes
revenus sur ces questions dans une s\'erie de conf\'erences [32], [33]
d\'elivr\'ees \`a l'Institut Mittag-Leffler en mars 1987 et \`a l'AMS
Summer Institute de l'Universit\'e de Santa Cruz en juillet 1989;
l'expos\'e de synth\`ese [33] pr\'esente des d\'emonstrations
nouvelles simplifi\'ees des r\'esultats pr\'ec\'edents ainsi que des
g\'en\'eralisations obtenues par Bismut et Getzler. Nous avons obtenu
de plus une estimation de la fonction de distorsion d'un fibr\'e
ample, exprimant le rapport entre une m\'etrique \`a courbure positive
donn\'ee et les m\'etriques induites par celle de Fubini-Study \`a
travers des plongements dans l'espace projectif. Ce r\'esultat
am\'eliore et g\'en\'eralise les r\'esultats ant\'erieurs de G.~Kempf,
S.~Ji et G.~Tian.

L'article [23] reprend et syst\'ematise des id\'ees ant\'erieures
contenues dans [9]. Nous y introduisons la notion de nombre de Lelong
g\'en\'eralis\'e d'un courant $T$ relativement \`a une fonction poids
$\varphi $ (suppos\'ee plurisousharmonique continue et exhaustive). La
souplesse autoris\'ee par la manipulation des poids permet de
simplifier consid\'erablement des r\'esultats classiques dont les
d\'emonstrations \'etaient auparavant laborieuses (invariance des
nombres de Lelong par changement de coordonn\'ees locales,
th\'eor\`eme de Thie). Nous obtenons d'autre part un r\'esultat
g\'en\'eral de semi-continuit\'e contenant le th\'eor\`eme de Siu sur
l'analyticit\'e des ensembles de niveau associ\'es aux nombre de
Lelong$\,$: si $(x,y) \mapsto \varphi (x,y)$ est une fonction $psh$
exhaustive sur $X\times Y$ et si $T$ est un courant positif ferm\'e
sur $X$, les ensembles de niveaux $E_c = \lbrace y\in
Y;\nu\big(T,\varphi (\cdot,y)\big)\ge c\rbrace$ sont analytiques dans
l'espace des param\`etres. Tous ces r\'esultats sont repris dans~[37],
qui fait une synth\`ese des r\'esultats connus sur le sujet (avec
aussi quelques r\'esultats nouveaux).

L'article [24] poursuit l'\'etude des mesures de Monge-Amp\`ere
introduites dans [18]. Nous montrons notamment que dans un ouvert
$\Omega \subset \bC^n$ born\'e hyperconvexe quelconque on peut
d\'efinir< une fonction de Green g\'en\'eralis\'ee qui est la solution
$u_z(\zeta )$ du probl\`eme de Dirichlet pour l'\'equation de
Monge-Amp\`ere $(dd^cu_z)^n = 0$ avec singularit\'e logarithmique au
point $z$. On en d\'eduit alors des mesures pluriharmoniques $\mu _z$
qui g\'en\'eralisent les mesures harmoniques de la th\'eorie classique
du potentiel. Le noyau de Poisson ``pluricomplexe" $d\mu _z(\zeta )$
ainsi obtenu est en g\'en\'eral port\'e par les points strictement
pseudoconvexes de $\partial \Omega$; lorsque $\Omega$ est strictement
pseudoconvexe, la singularit\'e de $d\mu _z(\zeta )$ sur la diagonale
de $\Omega \times \partial \Omega$ peut \^etre calcul\'ee
explicitement. La traduction de ces r\'esultats en g\'eom\'etrie
r\'eelle fournit une repr\'esentation naturelle d'un point d'un
ensemble convexe compact de dimension finie comme barycentre d'une
mesure positive port\'ee par les points extr\'emaux (th\'eor\`eme de
Choquet)~; les mesures obtenues sont donn\'ees par des formes
diff\'erentielles explicites sur le bord. La courte note [29] (avec
E. Bedford) r\'esout (n\'egativement) des questions pos\'ees dans [24]
concernant la r\'egularit\'e et la sym\'etrie de la fonction
$u_z(\zeta)$.

Le travail [25] (en collaboration avec C. Laurent-Thi\'ebaut) d\'ecrit
une m\'ethode g\'en\'erale, inspir\'ee des travaux de Henkin-Leiterer,
permettant de construire des noyaux int\'egraux globaux pour
l'op\'erateur $\overline \partial$ sur les vari\'et\'es de Stein. Nous
obtenons ainsi des formules de Koppelman pour des formes
diff\'erentielles de type $(p,q)$ quelconque, \`a valeurs scalaires ou
vectorielles. Certaines de nos id\'ees ont \'et\'e reprises par Bo
Berndtsson et ses \'el\`eves en vue de l'\'etude de la transformation
de Radon sur $\bP^n$.

Nous avons ensuite cherch\'e \`a d\'emontrer des th\'eor\`emes
d'annulation pour les puissances tensorielles d'un fibr\'e vectoriel
holomorphe ample ou positif sur une vari\'et\'e alg\'ebrique
projective. Ceci a fait l'objet de trois publications, [26] et [27]
pour la situation ``analytique" (fibr\'es positifs), [28] pour la
situation alg\'ebrique (fibr\'es amples).  Soit $E$ un fibr\'e
vectoriel holomorphe de rang $r$ au dessus d'une vari\'et\'e
alg\'ebrique projective de dimension $n$. Si $E$ est ample, nous
montrons que les groupes de cohomologie de Dolbeault
$H^{p,q}(X,E^{\otimes k}\otimes (\det E)^l)$ s'annulent pour $p+q\ge
n+1$ et $l\ge n-p+r-1$. La d\'emonstration repose sur le fait que
$E^{\otimes k}$ se d\'ecompose en repr\'esentations irr\'eductibles du
groupe Gl$(E)$. D'apr\`es la th\'eorie de Bott, ces repr\'esentations
sont les espaces de sections d'un fibr\'e en droites homog\'ene au
dessus d'une vari\'et\'e de drapeaux de $E$.  Gr\^ace \`a la suite
spectrale de Leray (cas alg\'ebrique), ou \`a des calculs de courbure
(cas analytique), le r\'esultat est alors ramen\'e au th\'eor\`eme
d'annulation de Kodaira-Nakano pour les fibr\'es en droites. Notre
approche nous a permis de g\'en\'eraliser les th\'eor\`emes
d'annulation obtenus par Le Potier, et de trouver un contre-exemple
\`a une conjecture de Sommese sur l'annulation de la cohomologie \`a
valeurs dans les puissances ext\'erieures $\Lambda^kE$. Faltings avait
\'egalement conjectur\'e que la suite spectrale de Leray utilis\'ee
dans le th\'eor\`eme de Le Potier d\'eg\'en\'erait en
$E_1$. J.~Le~Potier, T.~Peternell et M.~Schneider ont montr\'e que la
r\'eponse est en g\'en\'eral n\'egative. En 1992-93, Laurent Manivel a
\'etudi\'e en d\'etail le cas o\`u $E$ est le fibr\'e quotient
universel sur la grassmannienne et a montr\'e qu'il y a des cas o\`u
la suite spectrale est non d\'eg\'en\'er\'ee \`a des niveaux $E_r$
arbitrairement \'elev\'es.

Un livre [L2] en deux volumes sur la G\'eom\'etrie Analytique et les
techniques transcendantes de la G\'eom\'etrie Alg\'ebrique est en
cours de r\'edaction. Ce livre se voudrait \^etre un ouvrage
accessible aux non sp\'ecialistes, pr\'esentant un assez large
\'eventail de r\'esultats classiques aussi bien que des r\'esultats
plus sp\'ecialis\'es tir\'es des travaux de recherche de l'auteur.

En collaboration avec M.~Blel et M.~Mouzali [31], nous avons donn\'e
une condition suffisante pour l'existence du c\^one tangent \`a un
courant positif ferm\'e. C.O.~Kiselman a montr\'e que le c\^one
tangent n'existe pas toujours, m\^eme pour un courant
$i\partial\overline\partial u$ de type $(1,1)$ associ\'e \`a une
fonction plurisousharmonique. Notre condition suffisante porte sur
vitesse de convergence des mesures projectives vers le nombre de
Lelong et s'av\`ere \^etre pratiquement optimale. On retrouve comme
corollaire imm\'ediat l'existence du c\^one tangent pour un ensemble
analytique.

Dans [34], nous d\'emontrons que tout sous-espace fortement
$q$-complet (au sens d'Andreotti-Grauert) d'un espace analytique
quelconque admet un syst\`eme fondamental de voisinages $q$-complets.
Ce r\'esultat n'\'etait connu auparavant que dans le cas des sous-espaces
de Stein (Siu 1976), et la d\'emonstration g\'en\'erale que nous donnons
est beaucoup plus simple que celle de Siu. Ceci permet de retrouver
quelques r\'esultats de T.~Ohsawa sur les groupes de cohomologie des espaces
$q$-convexes (r\'esultats d'annu\-lation, existence d'une d\'ecomposition
de Hodge en degr\'es \'elev\'es).
\vskip10pt

\noindent{\bf 4) D\'ecennie 1990-1999 (Institut Fourier, Grenoble I)}

Pandant cette p\'eriode, notre contribution essentielle est sans
doute la mise au point de ``techniques transcendantes de la g\'eom\'etrie
alg\'ebrique'' reposant sur l'utili\-sation syst\'ematique de m\'etriques 
hermitiennes singuli\`eres sur les fibr\'es vectoriels holomorphes, \`a
partir de l'observation que les p\^oles logarithmiques de ces m\'etriques
jouent un r\^ole fondamental.
Cette th\'eorie permet d'\'elaborer des r\'esultats non triviaux de
th\'eorie de l'intersection et elle se combine tr\`es efficacement
avec les estimations $L^2$ de H\"ormander pour
l'op\'erateur~$\overline\partial$ pour obtenir des th\'eor\`emes
d'annulation de cohomologie ou des r\'esultats d'existence de sections
holomorphes. Nous avons d'abord obtenu dans la courte note [30] une
nouvelle d\'emonstration assez \'el\'ementaire du th\'eor\`eme
d'annulation de Kawamata-Viehweg. Ces id\'ees sont mises en oeuvre
dans [35] pour \'etablir un lien avec quelques probl\`emes de nature
alg\'ebrique: estimation de la constante d'amplitude $\varepsilon$ de
Seshadri, in\'egalit\'e asymptotique pour la dimension des groupes de
cohomologie $H^q(X,L^{\otimes k})$ lorsque $L$ est de dimension de
Kodaira maximale. Ind\'ependamment, et en suivant une d\'emarche
tr\`es voisine, A.~Nadel d\'emontrait le th\'eor\`eme d'annulation
fondamental suivant$\,$: si $L$ est un fibr\'e en droites sur une
vari\'et\'e complexe compacte~$X$ (ou plus g\'en\'eralement sur une
vari\'et\'e faiblement pseudoconvexe), muni d'une m\'etrique
hermitienne singuli\`ere $h=e^{-\varphi}$ \`a courbure d\'efinie
positive, alors
$$H^q(X,K_X\otimes L\otimes{\cal I}(\varphi))=0\qquad
\hbox{pour $q\ge 1$,}$$
o\`u ${\cal I}(\varphi)$ est le ``faisceau d'id\'eaux multiplicateurs''
associ\'e \`a la fonction poids psh $\varphi$ (faisceau des germes de
fonctions holomorphes $f$ telles que $|f|^2e^{-2\varphi}$ soit
localement int\'egrable sur~$X\,$; c'est toujours un faisceau coh\'erent).
Ces r\'esultats fondamentaux figurent dans notre m\'emoire [36], o\`u nous
montrons comment les techniques $L^2$ peuvent \^etre utilis\'ees en
conjonction avec le th\'eor\`eme de Calabi-Yau pour obtenir un crit\`ere
num\'erique de grande amplitude: si $L$ est un fibr\'e ample au dessus d'une
vari\'et\'e projective $X$ et si les nombres d'intersection $L^p\cdot
Y$ avec les sous-vari\'et\'es alg\'ebriques $Y\subset X$ satisfont des
minorations convenables  (par des constantes explicites d\'ependant de
la g\'eom\'etrie de $X$), alors le fibr\'e ``adjoint" $K_X\otimes L$
est tr\`es ample. Il r\'esulte en particulier de ce crit\`ere que
$K_X^2\otimes L^m$ est tr\`es ample si $L$ est ample et si $m\ge 12
n^n$. Cet \'enonc\'e g\'en\'eralise \`a la dimension quelconque un
r\'esultat obtenu en 1973 par Bombieri sur les plongements
pluricanoniques des surfaces, et constitue en dehors du cas des
surfaces (cf. travaux r\'ecents de I.~Reider et Beltrametti-Sommese) le
premier r\'esultat connu en direction de la conjecture de Fujita, selon
laquelle $L$ ample doit impliquer $K_X\otimes L^{\otimes n+2}$ tr\`es
ample pour $n=\dim X$ quelconque. Plusieurs g\'eom\`etres alg\'ebristes
(dont J.~Koll\'ar, Y.~Miyaoka, S.~Mori) cherchent actuellement \`a
atteindre des r\'esultats semblables par une voie purement
alg\'ebrique.

Notre approche n\'ecessite l'utilisation d'un nouveau proc\'ed\'e
d'approxi\-mation des courants positifs ferm\'es, dont l'objet est de
mesurer tr\`es pr\'ecis\'ement la perte de positivit\'e lorqu'on veut
r\'egulariser le courant (ou lorsqu'on cherche \`a d\'eplacer un diviseur).
Ce proc\'ed\'e a des cons\'equences int\'eressantes en th\'eorie de
l'intersection, ainsi que pour l'\'etude des propri\'et\'es d'effectivit\'e
num\'erique des diviseurs. Nous obtenons en particulier une in\'egalit\'e
de self-intersection permettant de majorer la taille des singularit\'es de
diviseurs (ou courants) positifs quelconques. Une version g\'en\'eralis\'ee
de ce proc\'ed\'e d'approximation pour toute vari\'et\'e complexe
compacte est donn\'ee dans [38] et [39].

L'article [40] en collaboration avec Th.~Peternell et M.~Schneider
\'etudie les vari\'et\'es complexes compactes dont le fibr\'e tangent
est num\'eri\-quement effectif (hypoth\`ese de nature alg\'ebrique
signifiant en gros que la courbure est semi-positive). Nous obtenons
une classification compl\`ete dans le cas des surfaces et pour les
vari\'et\'es k\"ahl\'eriennes de dimension~3. En g\'en\'eral, nous
montrons que les vari\'et\'es k\"ahl\'eriennes compactes dont le
fibr\'e tangent est num\'eriquement effectif sont, \`a un rev\^etement
\'etale fini pr\`es, des fibrations lisses au dessus d'un tore
complexe, dont les fibres sont des vari\'et\'es de Fano ayant
elles-m\^emes un fibr\'e tangent num\'eriquement effectif. Il est
conjectur\'e que ces vari\'et\'es de Fano sont en fait rationnelles
homog\`enes (comme le sugg\`ere la classification obtenue en
dimension~$\le3$). Cette conjecture est une vaste g\'en\'eralisation
du r\'esultat de Mori affirmant que l'amplitude du fibr\'e tangent
caract\'erise $\bP^n\,$; elle para\^{\i}t tr\`es difficile.

Dans notre article conjoint~[41], nous obtenons des r\'esultats
significatifs sur les vari\'et\'es projectives ou k\"ahl\'eriennes
compactes ayant un fibr\'e anticanonique num\'eri\-quement effectif
(ces vari\'et\'es sont un des \'el\'ements importants du puzzle consistant
\`a reconstruire les vari\'et\'es alg\'ebriques projectives \`a partir de
leurs ``constituants \'el\'ementaires''). Nous avons montr\'e que le groupe
fondamental d'une telle vari\'et\'e est toujours \`a croissance
sous-exponentielle; il para\^{\i}t naturel de conjecturer que la croissance
est en fait polynomiale. Par ailleurs, le morphisme d'Albanese de ces
vari\'et\'es semble \^etre toujours une fibration sur le tore
d'Albanese. Nous avons sur ce point quelques r\'esultats partiels
g\'en\'eralisant un th\'eor\`eme de fibration d\^u \`a Lichnerowicz
([41], [47]).

L'article [43] en collaboration avec L.~Lempert et B.~Shiffman
d\'emontre que toute application holomorphe $f$ d'un domaine de Runge
$\Omega$ d'une vari\'et\'e alg\'ebrique affine $S$ dans une vari\'et\'e
projective lisse $X$ est limite uniforme d'applications Nash-algebriques
$f_\nu$ definies sur une suite exhaustive de domaines ouverts $\Omega_\nu$
relativement compacts dans $\Omega$. Une version relative est \'egalement
obtenue$\,$: s'il existe une sous-vari\'et\'e algebrique $A$ (non
necessairement reduite) dans $S$ telle que la restriction de $f$ \`a
$A\cap\Omega$ est algebrique, alors $f_\nu$ peut \^etre choisie en sorte
qu'elle co\"{\i}ncide avec $f$ sur~$A\cap\Omega_\nu$. La cons\'equence
principale de ces resultats, lorsque $\Omega$ est le disque unit\'e,
est que la pseudodistance de Kobayashi et la m\'etrique infinit\'esimale
de Kobayashi-Royden d'une vari\'et\'e quasi-projective $Z$ sont
calculables \`a partir de la seule donn\'ee des courbes algebriques de~$Z$.
De fa\c{c}on similaire, la m\'etrique de Eisenman $p$-dimensionnelle d'une
vari\'et\'e quasi-projective peut-\^etre calcul\'ee en termes de la
forme volume d'Eisenman de ses sous-vari\'et\'es alg\'ebriques de
dimension~$p$. Une autre question abord\'ee dans ce travail est d'\'etudier
sous quelles conditions les approximations $f_\nu$ peuvent avoir leurs
images contenues dans des ouverts de Zariski affine de~$X$. En utilisant
des m\'ethodes d'Analyse Complexe (th\'eorie du potentiel pluricomplexe
et estimations $L^2$ de H\"ormander), nous montrons que la r\'eponse est
positive si $f$ est un plongement (avec $\dim S<\dim X$) et s'il existe
un fibr\'e en droites ample $L$ sur $X$ tel que $f^\star L$ est trivial.
Nous d\'eduisons finalement de ces r\'esultats un th\'eor\`eme assez
general \'etendant des r\'esultats ant\'erieurs de E.L.~Stout sur
l'approximation des vari\'et\'es de Stein par des domaines de Runge de
vari\'et\'es algebriques affines, ainsi que de Tancredi-Tognoli sur
l'approximation des fibr\'es vectoriels holomorphes par des fibr\'es
vectoriels Nash-alg\'ebriques.

L'article [49] est de nouveau consacr\'e \`a l'\'etude des fibr\'es
adjoints. En reprenant et en am\'eliorant des id\'ees introduites par
Y.T.~Siu, nous montrons que $K_X^{\otimes 2}\otimes L^{\otimes m}$ est
tr\`es ample pour $m\ge 2+{3n+1\choose n}$. La m\'ethode combine
l'utilisation de la formule de Riemann-Roch avec un argument de
r\'ecurrence noeth\'erienne pour les faisceaux d'id\'eaux multiplicateurs
de Nadel. Nous montrons par ailleurs que $L^{\otimes m}$ est
tr\`es ample pour
$$m\ge c_n(L^n)^{a_n}\left(n+2+{L^{n-1}\cdot K_X\over L^n}\right)^{b_n}$$
avec des constantes $a_n=(3^{n-1}-1)/2$, $b_n=3^{n-2}(n/2+3/4)+1/4$,
$c_n\le(3n)^{n^23^n}$ (version effective du ``grand th\'eor\`eme de
Matsusaka''). La preuve repose sur une estimation nouvelle relative
au faisceau dualisant des sous-vari\'et\'es alg\'ebriques de
l'espace projectif. Les notes de notre cours au CIME [46] reprennent ces
r\'esultats en d\'etail (ainsi que ceux du m\'emoire [36]), et
pr\'esentent un expos\'e de synth\`ese de la th\'eorie des syst\`emes
lin\'eaires adjoints \`a l'intention des non sp\'ecialistes.

La courte Note [48] exploite le fait qu'on a la propri\'et\'e de
semi-continuit\'e inf\'e\-rieure des dimensions de Dolbeault $h^0-h^1$
dans toute d\'eformation de vari\'et\'es complexes $(X_t)_{t\in S}$,
pour donner une condition suffisante de constance locale des
dimensions de Kodaira-Iitaka $\kappa(X_t)$.

Enfin, le long m\'emoire [50] (paru dans les Proceedings de la Santa
Cruz Summer School on Algebraic Geometry en 1997) a \'et\'e le point
de d\'epart d'une s\'erie de travaux sur les vari\'et\'es
hyperboliques aus sens de Kobayashi. L'objectif initial \'etait
d'\'etudier certains crit\`eres alg\'ebriques qui conjecturalement
devraient permettre de caract\'eriser l'hyperbolicit\'e au sens de
Koba\-yashi des vari\'et\'e alg\'ebriques projectives. Nous avons
obtenu ainsi plusieurs crit\`eres num\'e\-riques fins pr\'ecisant les
propri\'et\'es de ``n\'egativit\'e de courbure'' pertinentes. La
technique utilise de mani\`ere essentielle certaines constructions
fonctorielles d'espaces de jets ou fibr\'es de jets inspir\'ees des
travaux de Green-Griffiths (1978). Comme retomb\'ees de ce travail, il
faut signaler le travail de Jawher El Goul, donnant un exemple de
surface hyperbolique de tr\`es bas degr\'e (\`a savoir $11$, ce qui
est encore \`a ce jour le meilleur exemple connu), dans l'espace
projectif de dimension~$3$; en 1998, dans un travail en
collaboration avec J.~El Goul, nous avons donn\'e la preuve d'une
conjecture de Kobayashi vieille de plus de 20 ans$\;$: une surface
alg\'ebrique g\'en\'erique de degr\'e assez grand dans $\bP^3$ est
hyperbolique (tout degr\'e \`a partir de 21 suffit).

Le m\'emoire [54] est consacr\'e \`a l'\'etude d'une forme
g\'eom\'etrique de la dualit\'e de Serre, se manifestant en un
\'echange des propri\'et\'es de pseudo-convexit\'e et de
pseudo-concavit\'e. Bien que l'\'enonc\'e envisageable le plus
g\'en\'eral reste conjectural, nous obtenons une version du
th\'eor\`eme de dualit\'e qui est suffisante pour plusieurs
applications int\'eressantes \`a la g\'eom\'etrie alg\'ebrique. En
particulier, comme corollaire de la ``dualit\'e convexe-concave'', nous
obtenons une d\'emonstration g\'eom\'etrique pr\'ecise et effective du
th\'eor\`eme fondamental de r\'egularisation des courants dans les vari\'et\'es
compactes.

L'article [58] en collaboration avec J\'anos Koll\'ar d\'emontre un
th\'eor\`eme de semi-continuit\'e effectif pour les exposants de
singularit\'es des fonctions holomorphes ou plurisousharmoniques. Cet
exposant de singularit\'e, caract\'erise le ``seuil
d'int\'egra\-bilit\'e'' (appel\'e aussi ``seuil log-canonique'') des 
puissances n\'egatives d'une fonction
holomorphe donn\'ee, et c'est un invariant fondamental qui a \'et\'e
\'etudi\'e notamment par Arnold, Varchenko. Nous d\'emontrons la
semi-continuit\'e pour des suites convergentes quelconques de fonctions
-- et pas seulement pour des familles d\'ependant analytiquement d'un
param\`etre.  La d\'emonstration requiert des outils avanc\'es
d'Analyse Complexe (m\'ethodes hilbertiennes, th\'eor\`eme d'extension
$L^2$ de Ohsawa-Takegoshi).  Comme application, nous obtenons une
d\'emons\-tration simple du th\'eor\`eme de Nadel sur l'existence de
m\'etriques K\"ahler-Einstein sur certaines vari\'et\'es de Fano. En
passant, nous obtenons quelques exemples nouveaux d'orbi-vari\'et\'es
de Fano de dimension $2$ qui admettent une telle m\'etrique
K\"ahler-Einstein.
\vskip10pt

\noindent{\bf 5) P\'eriode 2000-2012 (Institut Fourier, Grenoble I)}

J'ai tout d'abord poursuivi mes recherches autour de l'\'etude des
fibr\'es en droites nef ou pseudo-effectifs, en relation avec celles
des singularit\'es plurisousharmoniques. Dans cette rubrique figurent
les travaux [60], [61], [62], [64], [79], [81].  Le principal r\'esultat de [60]
(en collaboration avec L.~Ein et R.~Lazarsfeld) est la preuve de la
sous-additivit\'e multiplicative des faisceaux d'id\'eaux
multiplicateurs de Nadel, comme cons\'equence du th\'eor\`eme
d'extension $L^2$ de Ohsawa-Takegoshi appliqu\'e \`a des poids
plurisousharmoniques singuliers. La courte note [61] est consacr\'ee
\`a la preuve d'un th\'eor\`eme de structure pour les vari\'et\'es
k\"ahl\'eriennes compactes admettant une structure de contact
holomorphe. Ce r\'esultat a pour cons\'equence qu'une telle
vari\'et\'e qui est en outre projective est ou bien une vari\'et\'e de
Fano (vari\'et\'e \`a courbure de Ricci positive), ou bien le
projectivis\'e du fibr\'e cotangent d'une certaine vari\'et\'e
projective (auquel cas on a effectivement une structure de contact
\'evidente). On observera que cet \'enonc\'e est li\'e \`a l'un des
cas non encore \'elucid\'e de la classification de Berger
(classification des vari\'et\'es riemanniennes par leur groupe
d'holonomie), \`a savoir le cas de l'holonomie $Sp(n)Sp(1)$.

L'id\'ee principale de [62] est d'exploiter la bonne compr\'ehension
que l'on a des singularit\'es des fonctions plurisousharmoniques et le
dictionnaire Analyse$\;\leftrightarrow\;$Alg\`ebre \'etabli dans [35] et
[38], pour en tirer des r\'esultats fins sur la g\'eom\'etrie des
vari\'et\'es ou des fibr\'es. En particulier, on s'int\'eresse \`a la
cohomologie des fibr\'es en droites nef ($c_1(L)$ dans l'adh\'erence
du c\^one des diviseurs amples) ou pseudo-effectifs ($c_1(L)$ dans
l'adh\'erence du c\^one des diviseurs effectifs). Nous d\'emontrons
ainsi une version du th\'eor\`eme de Lefschetz difficile faisant
intervenant la cohomologie \`a valeurs dans un fibr\'e non localement
constant.  Ce r\'esultat met de nouveau en jeu de mani\`ere essentielle 
les estimations $L^2$ pour les formes harmoniques et la th\'eorie 
des id\'eaux multiplicateurs de Nadel, mais en utilisant des estimations
asymptotiques tr\`es fines.

Un deuxi\`eme aspect de mes travaux de cette derni\`ere p\'eriode est
l'\'etude de la g\'eom\'etrie des c\^ones positifs dans la cohomologie
des vari\'et\'es k\"ahl\'e\-riennes compactes.  Il s'agit l\`a
principalement des r\'ef\'erences [63], [65], [66], [67], [69]. En
utilisant la th\'eorie des courants positifs, particuli\`erement la
th\'eorie de la r\'egularisation et la th\'eorie de l'intersection des
courants que j'avais d\'evelopp\'ees au d\'ebut des ann\'ees 1990,
Mihai Paun et moi-m\^eme avons montr\'e dans [63] qu'il est possible
de caract\'eriser le c\^one de K\"ahler d'une vari\'et\'e
k\"ahl\'erienne compacte quelconque, de mani\`ere purement num\'erique
via la structure de Hodge et l'intersection des cycles analytiques.
Notre caract\'erisation appara\^{\i}t comme une g\'en\'eralisation du
crit\`ere d'amplitude de Nakai-Moishezon \`a des classes de type
$(1,1)$ arbitraires, y compris celles qui sont transcendantes.  Ce
r\'esultat a d\'ej\`a eu des implications profondes pour la structure
des vari\'et\'es k\"ahl\'eriennes compactes (invariance g\'en\'erique
du c\^one de K\"ahler par la connexion de Gauss-Manin, description
compl\`ete du c\^one de K\"ahler des vari\'et\'es
hyperk\"ahl\'eriennes). Dans [66] et [69] (article en collaboration
avec S.~Boucksom, M.~Paun et Th.~Peternell), nous caract\'erisons
aussi le c\^one des diviseurs (pseudo)-effectifs d'une vari\'et\'e
projective quelconque~: c'est le dual du c\^one des ``courbes
mobiles'', \`a savoir les courbes alg\'ebriques faisant partie d'une
famille qui couvre la vari\'et\'e toute enti\`ere. Comme
cons\'equence, nous obtenons la preuve d'une conjecture importante
affirmant la pseudo-effectivit\'e du fibr\'e canonique d'une
vari\'et\'e non unir\'egl\'ee, version un peu affaiblie d'un
\'enonc\'e qui \'etait formul\'e au moins depuis le d\'ebut des
ann\'ees~1970. L'ensemble de ces travaux a fait l'objet de ma
conf\'erence pl\'eni\`ere au congr\`es international de Madrid en
ao\^ut 2006. L'article [65] avec Eckl et Peternell explique quelques
r\'esultats sur les tores complexes dans la direction de la conjecture
de Kodaira sur l'approximation des vari\'et\'es k\"ahl\'eriennes par
les vari\'et\'es projectives. Bien que notre travail ait donn\'e
seulement des r\'esultats particuliers corroborant la conjecture,
l'id\'ee devait conduire Claire Voisin \`a un contre-exemple inattendu
peu de temps apr\`es. Dans la rubrique g\'en\'erale ``G\'eom\'etrie projective
ou k\"ahl\'erienne'', nous avons poursuivi l'\'etude de la cohomologie
asymptotique des fibr\'es en droites ([75], [77]), des \'equations et
op\'erateurs de Monge-Amp\`ere ([70], [72], [74], [80]).

Dans la perspective de l'\'etude de l'hyperbolicit\'e des vari\'et\'es
alg\'ebriques, nous avons enfin effectu\'e avec J.~El Goul divers calculs 
sur les anneaux d'op\'erateurs diff\'erentiels sur les jets de courbes, et
avons pu \'elucider la structure des anneaux d'op\'erateurs
``inva\-riants'' d'ordre inf\'erieur ou \'egal \`a 4 sur les
surfaces. Le cas des ordres sup\'erieurs ou \'egaux \`a 5 reste
hautement myst\'erieux et nous n'avons m\^eme pas de r\'esultat
g\'en\'eral de finitude de ces anneaux dans notre situation. Ce
travail n'a pas pas encore \'et\'e publi\'e, mais a fait l'objet de
plusieurs conf\'erences et a d\'ej\`a eu plusieurs retomb\'ees, par
exemple dans les travaux r\'ecents d'Erwann Rousseau (2005 et 2006,
cf.\ cours Peccot 2007 donn\'e par E.~Rousseau). Les derniers travaux
en cours (notamment ceux effectu\'es avec mon th\'esard Simone Diverio
en 2007) montrent que les in\'egalit\'es de Morse holomorphes
appliqu\'ees aux fibr\'es tautologiques de jets permettent au moins
d'am\'eliorer les bornes de degr\'e pr\'ec\'edemment connues pour
l'existence d'\'equations diff\'erentielles alg\'ebriques. L'enjeu ici
est d'essayer de d\'emontrer les conjectures de Lang-Vojta et
Green-Griffiths sur les courbes holomorphes trac\'ees dans les
vari\'et\'es de type g\'en\'eral$\;$; on s'attend \`a ce qu'elles
soient contenues dans une sous-vari\'et\'e alg\'ebrique exceptionnelle
non de type g\'en\'eral. Une premi\`ere \'etape importante a \'et\'e
franchie en 2010 dans [78]~: nous montrons, \`a l'aide d'estimations
probabilistes pour la cohomologie des espaces de jets, que toute courbe
holomorphe enti\`ere trac\'ee dans une vari\'et\'e alg\'ebrique de
type g\'en\'eral satisfait une \'equation diff\'erentielle
alg\'ebrique globale. Le lien avec l'arithm\'etique (conjectures de
Lang-Vojta, g\'en\'eralisations du th\'eor\`eme de Mordell-Faltings)
est ici particuli\`erement motivant.

\end

