% Delivery-date: Wed, 11 Jun 2008 23:23:33 +0200
% To: Berton Andrée <andree.berton@academie-sciences.fr>
% Cc: Demailly Jean-Pierre <Jean-Pierre.Demailly@ujf-grenoble.fr>,
%         sandrine.chermet@academie-sciences.fr
% Subject: Re: SEANCE SOLENNELLE DU 17 JUIN
% From: Jean-Pierre Demailly <Jean-Pierre.Demailly@ujf-grenoble.fr>
% 
% Bonjour,
% 
% Je vous prie de trouver ci-dessous le texte que je compte prononcer
% le mardi 17 juin pour présenter mes travaux et mes activités.
%
% Avec toutes mes excuses pour cet envoie tardif,
% Très cordialement,
%
% Jean-Pierre Demailly
%
% ---------------------------------------------------------------------

\magnification=1200
\vsize=20cm\hsize=13.2cm\parindent=5mm
\parskip=6pt plus 2pt minus 1pt \def\\{\hfil\break}

\centerline{\bf Texte de présentation des travaux de Jean-Pierre Demailly}
\centerline{\bf Professeur à l'Université de Grenoble I}
\centerline{\bf Académie des Sciences, le 17 juin 2008}
\vskip1cm

\noindent
Monsieur le Président, Monsieur le Vice-Président,\\
Messieurs les Secrétaires Perpétuels,\\
Mesdames, Messieurs,
\bigskip

Je voudrais tout d'abord remercier les Consœurs et Confrères qui m'ont
élu Membre de l'Académie des Sciences en décembre dernier, alors que
je travaillais auprès de la section de Mathématiques comme membre
correspondant depuis 1994.

Je vais essayer ici de retracer mon parcours et décrire mes intérêts
scientifiques. Il n'est pas toujours facile d'expliquer à des non
spécialistes la substance intime de travaux de mathématiques fondamentales,
et je vais donc tenter de traduire quelques unes de mes contributions
en termes simples et compréhensibles par tous.

Déjà depuis les travaux de Bernhard Riemann autour de 1860, et 
peut-être même avant, les mathématiciens ont utilisé des idées issues de la
Physique, à savoir des méthodes issues de la théorie du potentiel et
de l'électromagnétisme, pour aborder des questions de géométrie ou de
topologie. Ce point de vue a été ensuite considérablement approfondi
par Henri Poincaré et par beaucoup d'autres. On en a vu récemment une
illustration spectaculaire avec la résolution par Grigori Perelman de
la conjecture de Poincaré. Celle-ci énonce une caractérisation
topologique de la sphère de dimension~3, et sa solution surprenante
repose sur l'analyse d'équations d'évolution liées aux équations de la
gravitation d'Einstein.

Imaginez une surface fermée qui soit bosselée de toutes parts~: dans
les endroits ou il y a des creux, on cherche à redresser la surface, tandis
qu'aux endroits les plus bombés vers l'extérieur on cherche à diminuer la
courbure. On peut conjecturer alors que la surface va finir par
converger vers une forme parfaitement ronde. C'est ce que Perelman a
démontré en dimension 3, sous des conditions adéquates, et au prix
de ``délicates chirurgies'', suivant en cela un programme initié par
Richard Hamilton dans les années 1980. Mais il y a eu en chemin
des difficultés techniques très importantes, que Perelman a
pu surmonter autour de 2003. Cela lui a valu la médaille Fields au
Congrès international des mathématiciens de Madrid en 2006, médaille
qu'il a malheureusement refusée~! Mais en tout cas, la solution de l'un
des sept prestigieux ``problèmes du millénaire'' de la Fondation Clay 
lui revient de plein droit.

Avant ces développements fondamentaux, et de manière beaucoup plus
modeste, j'ai moi-même contribué à ce type d'idées en introduisant
depuis 1985, et jusqu'aux années récentes, un certain nombre de
méthodes analytiques nouvelles permettant de mieux comprendre la
géométrie des variétés algébriques. Les objets auxquels je m'intéresse
sont les variétés algébriques ou analytiques complexes, c'est-à-dire
les ensembles de solutions des équations polynomiales ou analytiques à
coefficients complexes. Le problème est de comprendre leur géométrie
de divers points de vue : courbure, propriétés topologiques ou
arithmétiques.

J'ai débuté comme chercheur au CNRS de 1979 à 1982 au Laboratoire
d'Analyse Complexe de l'Université de Paris 6, après avoir passé une 
thèse sous la direction de Monsieur Henri Skoda, et j'ai ensuite été nommé 
Professeur à l'Université Joseph Fourier de Grenoble, où j'ai passé
l'essentiel de ma carrière.

En 1985, j'ai établi un théorème connu maintenant sous le nom
``d'inégalités de Morse holomorphes'', qui relie de manière précise la
courbure des variétés complexes à l'existence de certaines structures
algébriques ou analytiques. On utilise pour cela la théorie spectrale
de l'oscillateur harmonique en grande dimension, combinée à des
considérations de convexité holomorphe. On fait intervenir une
fonctionnelle d'énergie pour des particules évoluant dans un champ
magnétique, et on en étudie en détail la répartition
spectrale.  Celle-ci donne en retour des estimations précises sur les
objets analy\-tiques globaux, au moyen de techniques quelque peu inspirées
de celles du physicien Edward Witten. L'idée d'utiliser une telle
fonctionnelle d'énergie m'est venue après des échanges avec Yves Colin
de Verdière, peu après mon arrivée à l'Institut Fourier de
Grenoble. Deux ans plus tard, en 1987, mon Confrère Jean-Michel Bismut
a pu entrevoir une nouvelle approche probabiliste de ces résultats, en
étudiant de manière approfondie l'équation de la chaleur associée.

Dans les années 1990-2000, je me suis intéressé à l'étude des
équations d'Einstein dans le cadre complexe, en particulier à un
théorème démontré à la suite des travaux de Thierry Aubin, dont le
point final a été apporté en 1977 par Shing-Tung Yau, récompensé par
la médaille Fields en 1982 -- Thierry Aubin est d'ailleurs aujourd'hui
à nos côtés, et je le remercie d'être présent. J'ai pu démontrer assez
vite des théorèmes de géométrie algébrique effective : la connaissance précise
de certaines solutions singulières des équations d'Einstein permet de
prédire l'existence d'objets purement algébriques. D'un point de vue 
physique, on peut dire qu'on regarde ce qui se passe quand on a une
singularité de type trou noir, à savoir une masse importante concentrée en
un point, au sein d'une densité de matière diffuse. Du côté mathématique,
et pour la situation de la géométrie complexe qui est celle de mes travaux,
on trouve une alliée précieuse dans la théorie des fonctions 
plurisousharmoniques et celle des courants positifs introduites par
mon confrère et ancien maître Pierre Lelong dans les années 1942-1970.
Il s'agit en gros de concepts qui décrivent finement la convexité et la 
structure géométrique des objets analytiques complexes. Ces méthodes 
ont débouché sur de nombreux résultats, et ensuite été développées dans
diverses directions par plusieurs équipes de géométrie algébrique dans
le monde, sur une durée d'une bonne dizaine d'années.

Depuis 2000, en collaboration avec mon ancien étudiant Mihai Paun,
maintenant professeur à l'Université de Nancy, j'ai repris ces
techniques dans un cadre un peu différent pour comprendre la géométrie
des variétés dites kählériennes : il s'agit d'un type de variétés qui
interviennent par exemple en théorie des cordes en Physique, et qui
possèdent une structure géométrique extrêmement "symétrique".  Dans ce
cadre, Mihai Paun et moi-même avons utilisé les équations d'Einstein
pour déterminer de manière précise la relation entre ce que les
mathématiciens appellent les "classes de cohomologie positive", d'une
part, et la structure topologique des sous-variétés analytiques et
algébriques, d'autre part. Ces résultats ont été exposés en séance
plénière lors du Congrès International des Mathématiciens à Madrid, en
2006.

Depuis 1993 environ, je poursuis parallèlement un programme de
recherches visant à comprendre la géométrie des variétés algébriques
dites hyperboliques, en relation avec les propriétés globales des
systèmes d'équations différentielles pour les courbes holomorphes.
Ces développements encore en
cours ont des applications potentielles en théorie des nombres, à
partir des travaux fondamentaux de Faltings et Vojta.

Au delà des mathématiques, je me suis beaucoup impliqué pour tenter de
favoriser le développement des logiciels libres dans notre pays, en
particulier dans le secteur de l'enseignement et de la recherche. \`A
la suite d'une école spécialisée organisée à Grenoble 1999, le CNDP a
coordonné une initiative de recensement et d'évaluation des logiciels
libres disponibles et plusieurs centaines d'enseignants ont rejoint le
réseau. Des distributions de logiciels libres scientifiques et
éducatifs ont été diffusées auprès de milliers d'établissements
scolaires de toutes les académies. L'initiative est maintenant
solidement implantée et ne demande qu'à s'étendre, dans un contexte
où les logiciels libres atteignent où dépassent le plus souvent leurs
équivalents commerciaux sur le plan technique.

A côté de tout cela, je suis également très préoccupé par ce qui me
semble être une dégradation continue de notre système éducatif depuis
3 ou 4 décennies. Cette dégradation s'est accélérée depuis le milieu
des années 1990 et se traduit aujourd'hui par une désaffection pour 
les sciences qui est est observée de tous côtés et aussi dans beaucoup de
pays occidentaux. Il me semble urgent que l'Académie des
Sciences poursuive ses efforts pour remettre en place des programmes
d'enseignement riches, structurés et progressifs, afin de remédier à
un effritement des contenus provoqué par une succession de réformes
régressives sur le plan des connaissances enseignées. Je loue les efforts de
la Délégation à l'\'Education et à la Formation, qui a organisé en 
particulier l'an dernier un Colloque sur la question importante de la
formation des maîtres. Ces questions sont un enjeu majeur pour notre
pays et je compte bien tenter d'y contribuer dans la mesure de mes moyens.

Je vous remercie de votre attention.
\vskip1cm

Texte prononcé sour la Coupole de l'Académie des Sciences lors de la séance
solennelle du 17 juin 2008.
\end
% Local Variables:
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% End:
