\input ujflettr.mac
\input logoall2.mac

\frenchletter
\address
Mr Pierre Lelong
Membre de l'Institut
9, place de Rungis
75013 Paris
|

\vskip1cm
\date 28 mai 2001|
\vskip1cm\parindent=0cm

Cher Monsieur Lelong, 

Voici un bref r\'esum\'e de mes travaux r\'ecents. Les plus importants
de ces 2-3 derni\`eres ann\'ees me paraissent \^etre [55], [58], [60], [62],
[64].

[54] est consacr\'e \`a l'\'etude d'une version g\'eom\'etrique de la
dualit\'e de Serre: la dualit\'e cohomologique usuelle de Serre peut
se retranscrire g\'eom\'etriquement en une sorte de dualit\'e
pseudoconvexe-pseudoconcave qui met en jeu des ``enveloppes
polynomiales asymptotiques relatives'' au niveau des puissances
sym\'etriques d'un fibr\'e vectoriel holomorphe ample et de son dual.  
Dans le cas des fibr\'es tangents et cotangents d'une vari\'et\'e, on
obtient \`a partir de l\`a une nouvelle preuve du th\'eor\`eme
fondamental de r\'egularisation des courants \'etabli dans [38] et
[39].

[55] r\'esout une conjecture de S.~Kobayashi remontant \`a environ une
trentaine d'ann\'ees: une surface g\'en\'erique de degr\'e assez grand
dans l'espace projectif complexe de dimension 3 est hyperbolique au
sens de Kobayashi. La borne inf\'erieure conjecturale pour le degr\'e
est $5$, nous obtenons un r\'esultat positif \`a partir du degr\'e
$21$. Ce r\'esultat, qui a \'et\'e obtenu simultan\'ement et
ind\'ependamment par McQuillan (avec une borne un peu moins bonne
pour le degr\'e) renforce consid\'erablement des r\'esultats ant\'erieurs
de Siu et Yeung, qui d'une part n'\'etaient valables que pour des surfaces
quasi-projectives et d'autre part r\'eclamaient des degr\'es tr\`es grands. 
La technique repose sur l'utilisation de fibr\'es de jets de
Semple introduits dans [50], et sur des calculs fins de classes de Chern
pour certains fibr\'es d'op\'erateurs diff\'erentiels alg\'ebriques.

[58] d\'emontre la semi-continuit\'e des exposants de singularit\'es
d'Arnold-Varchenko des fonctions plurisousharmoniques, avec des
estim\'ees effectives ``uniformes'' nouvelles pour les int\'egrales
$e^{-\varphi}$ de fonctions psh. En reprenant les travaux d'A.~Nadel
\`a la lumi\`ere de ce nouveau r\'esultat de semi-continuit\'e, il en
r\'esulte une d\'emonstration beaucoup plus directe de l'existence de
m\'etriques de K\"ahler-Einstein sur certaines vari\'et\'es ou
orbifoldes de Fano.

[59] \'etend le th\'eor\`eme de l'indice $L^2$ d'Atiyah aux rev\^etements
des espaces analytiques compacts, pour la cohomologie \`a valeurs dans des 
faisceaux coh\'erents quelconques. Ce r\'esultat est utile pour
l'\'etude de la conjecture de Shafarevich (selon laquelle le rev\^etement 
universel d'une vari\'et\'e projective est holomorphiquement convexe).

[60] utilise diverses techniques d'analyse complexe (th\'eor\`eme
d'extension $L^2$ de Ohsawa-Takegoshi), pour d\'emontrer des
r\'esultats nouveaux d'alg\`ebre locale, comme la
``sous-additi\-vit\'e'' du faisceau d'id\'eaux multiplicateurs de Nadel
associ\'e \`a une fonction psh quelconque: on a toujours ${\cal
I}(\varphi+\psi)\subset {\cal I}(\varphi){\cal I}(\psi)$.  Il en
r\'esulte une nouvelle d\'emonstration plus naturelle du th\'eor\`eme
de Fujita sur l'existence de d\'ecomposition de Zariski approch\'ee
pour un diviseur gros quelconque (tout diviseur gros est somme 
d'un diviseur effectif et d'un diviseur ample, avec un encadrement 
tr\`es pr\'ecis du ``volume'' de la partie ample en termes du volume
du diviseur consid\'er\'e).

[61] \'etudie la structure des vari\'et\'es k\"ahl\'eriennes compactes
$X$ admettant une structure de contact holomorphe. Il est d\'emontr\'e
qu'une telle vari\'et\'e ne peut avoir un fibr\'e canonique $K_X$ qui
soit pseudo-effectif. En particulier si $b_2=1$, alors $X$ est une
vari\'et\'e de Fano, et si $b_2\ge 2$ alors $X$ est de la forme
$P(T^*_Y)$ (projectivis\'e du fibr\'e cotangent de $Y$) pour une
certaine vari\'et\'e projective $Y$. Dans le cas $b_2\ge 2$, ceci
r\'esout compl\`etement le probl\`eme de la structure des vari\'et\'es
k\"ahl\'eriennes compactes admettant une structure de contact (puisque
toutes les espaces cotangents projectivis\'es $X=P(T^*_Y)$ sont de
contact).

[63] g\'en\'eralise le thor\`eme de Lefschetz difficile au cas de la
comologie \`a valeurs dans un fibr\'e en droites pseudo-effectif au
dessus d'une vari\'et\'e k\"ahl\'erienne compacte qulconque:
l'application de Lefschetz est surjective, dans les m\^emes
intervalles de degr\'e que le th\'eor\`eme de Lefschetz usuel, mais il
faut ``corriger'' les groupes de cohomologie en ``tordant la
cohomologie'' par le faisceau multiplicateur de Nadel d'une m\'etrique
singuli\`ere \`a courbure semi-positive au sens des courants. Ce
r\'esultat peut \^etre vu comme un compl\'ement naturel du
th\'eor\`eme de Kawamata-Viehweg, mais la preuve est beaucoup plus
d\'elicate car on ne fait aucune hypoth\`ese de positivit\'e stricte;
on utilise en particulier la r\'egularisation des courants et une
version effective de la sous-additivit\'e des faisceaux
multiplicateurs.  De l\`a r\'esultent divers th\'eor\`emes de
structures nouveaux pour les vari\'et\'es projectives ou
k\"ahl\'eriennes.

Dans [64] (travail r\'ecent, pas encore totalement achev\'e, mais
qui aura s\^urement de nombreuses cons\'equences) nous obtenons
une extension du crit\`ere de Nakai-Moishezon aux vari\'et\'es
k\"ahl\'eriennes compactes, et \'enon\c{c}ons une caract\'erisation
num\'erique tr\`es pr\'ecise du c\^one de K\"ahler en termes de la
structure de Hodge, du produit d'intersection et des classes
d'homologie des cycles. La preuve utilise intensivement les techniques
de r\'egularisation des courants positifs et des fonctions psh,
coupl\'ees au th\'eor\`eme d'Aubin-Calabi-Yau.

\line{\hrulefill}

Enfin, sur un autre registre, je me suis aussi beaucoup impliqu� dans
diverses activit�s informatiques. Mon point de vue est que, d'une
part, l'acc�s aux technologies informatiques de base subit un s�v�re
``goulot d''�tranglement'', d� � la situation de quasi-monopole d'un
petit nombre de soci�t�s nord-am�ricaines (et autres) qui maintiennent
une v�ritable chappe de plomb sur les technologies employ�es (secret
industriel...).  D'autre part, notre pays est relativement vuln�rable
en raison de sa position tr�s faible au niveau de la conception du
mat�riel, et relativement faible aussi en mati�re de conception
logicielle. Je suis donc un ardent partisan de l'informatique libre,
la seule qui permette de concilier qualit� des logiciels, ouverture et
transparence vis-�-vis de l'�thique scientifique, et accessoirement,
aussi, de ne pas �tre � la merci des bogues et des virus... . Mon
expertise concerne les syst�mes Unix, le d�veloppement logiciel (C,
C++, langages de scripting, Toolkits graphiques, logiciels
scientifiques). J'ai grandement contribu� � la mise sur pied du
serveur ``Linux P�dagogie'' du CNDP, qui devrait prochainement servir
de base � la production de CD-Roms �ducatifs de logiciels libres pour
les �tablissements scolaires, cf.\
http://shalmaneser.sortilege.org/cndp/ (voir aussi le serveur de
l'AFUL, http://www.aful.org/ pour des consid�rations
politico-�conomiques plus ``globales'').  \vskip10pt

Avec mes sentiments les meilleurs,
\vskip10pt

Jean-Pierre Demailly

{\it Pi�ce jointe}\/: Curriculum Vitae + liste de publications




\end
% Local Variables:
% TeX-command-default: "TeXfr"
% End:
