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{\bftwelve Un aper\c{c}u de mes principaux r\'esultats ...}
\vskip15pt
\parindent=5mm

L'aper\c{c}u ci-dessous r\'esume les principaux travaux que j'ai effectu\'es
depuis ma th\`ese (disons depuis 1985), en essayant de classer les r\'esultats
par grandes rubriques. De mani\`ere g\'en\'erale, ces travaux concernent
l'application des techniques d'Analyse et de G\'eom\'etrie diff\'erentielle
complexes \`a l'\'etude de questions de G\'eom\'etrie alg\'ebrique
ou analytique.
\medskip

\noindent {\bf A) In\'egalit\'es de Morse holomorphes}\smallskip

Gr\^ace \`a une \'etude spectrale fine de l'op\'erateur de
Laplace-Beltrami complexe, j'ai pu d\'emontrer des
in\'egalit\'es de Morse asymptotiques pour la
$\overline\partial$-cohomologie \`a valeurs dans un fibr\'e vectoriel
holomorphe ([22], 1985). Ces in\'egalit\'es m'ont permis d'obtenir une
nouvelle d\'emonstration de la conjecture de Grauert-Riemenschneider
sur la caract\'erisation des vari\'et\'es de Moishezon, sous des
hypoth\`eses beaucoup plus faibles que celles faites par Siu dans sa
d\'emonstration initiale de la conjecture (1984). Ces id\'ees ont 
\'et\'e reprises dans les 2 ou 3 ans qui ont suivi par E.~Getzler, 
J.-M.~Bismut, Y.T.~Siu, Tsuji-Nadel et par mes \'etudiants Thierry
Bouche, G.~Marinescu. Un regain d'int\'er\^et sur le sujet est
intervenu depuis 1995 (travaux de G.~Marinescu, L.~Bonavero, 
S.~Takayama, ...), et surtout depuis 2010~: \'etude de la cohomologie 
asymptotique [75], r\'eciproque du th\'eor\`eme d'Andreott-Grauert [77].\medskip

\noindent
{\bf B) Th\'eor\`emes d'annulation}\smallskip

Dans une s\'erie d'articles ([27,28], 1987 et [30], 1989), j'ai obtenu
des th\'eor\`emes d'annulation fins et optimaux pour les fibr\'es
lin\'eaires ou vectoriels holomorphes. Les techniques utilis\'ees
combinent des techniques alg\'ebriques (cohomologie des vari\'et\'es de
drapeaux, suite spectrales), avec des r\'esultats d'existence $L^2$ de
H\"ormander pour l'op\'erateur $\overline\partial$ . Les articles
[27,28] ont donn\'e lieu ult\'erieurement \`a la Th\`ese de mon \'etudiant
Laurent Manivel, qui a beaucoup d\'evelopp\'e l'\'etude des vari\'et\'es de
drapeaux et les th\'eor\`emes d'annulation dans l'esprit de la th\'eorie de
Borel-Weil et du th\'eor\`eme de Bott.  Le travail [30] a, quant \`a lui,
d\'ebouch\'e sur une preuve du c\'el\`ebre ``th\'eor\`eme d'annulation
de Nadel'' (cf.\ [35, 36]), obtenu ind\'ependamment par Nadel en 1989.
J'ai r\'edig\'e \`a diverses reprises des notes de cours faisant le point 
sur ces questions (CIME 1994, ICTP Trieste 2000, ...)
\medskip

\noindent
{\bf C) Courants, op\'erateurs de Monge-Amp\`ere, Nombres de Lelong}
\medskip

Dans cette rubrique figurent ([23], [24], 1987) et ([37],
[38], [39], 1992). L'objet principal de ces travaux est d'utiliser la
notion de nombre de Lelong (ou densit\'e) d'un courant positif
ferm\'e, comme alternative \`a la notion de multiplicit\'e en
g\'eom\'etrie alg\'ebrique, et les op\'erateurs de Monge-Amp\`ere
pluricomplexes comme alternative \`a l'intersection des cycles
analytiques ou alg\'ebriques. J'ai pu ainsi d\'evelopper une th\'eorie
de l'intersection des courants, et obtenir des in\'egalit\'es utiles
sur les strates des ensembles de (sur)-niveaux des nombres de Lelong
d'un courant positif ferm\'e.  Les articles [38] et [39] d\'ecrivent
un proc\'ed\'e g\'en\'eral de r\'egularisation des courants, qui
permet de calculer de mani\`ere pr\'ecise la perte de positivit\'e
subie par les r\'egularis\'es en fonction de la g\'eom\'etrie globale
de la vari\'et\'e.  Outre mes propres travaux, ce th\'eor\`eme de
r\'egularisation a \'et\'e utilis\'e par plusieurs auteurs
(S.~Ji-B.~Shiffman, L.~Bonavero, vers 1994-95). La th\'eorie de
l'intersection des courants que j'ai d\'evelopp\'ee a aussi \'et\'e
reprise dans le contexte de l'\'etude des syst\`emes dynamiques
holomorphes (construction de courants invariants par
E.~Bedford-J.~Smillie, N.~Sibony, S.~Cantat, $\ldots$)
\eject

\noindent
{\bf D) \'Etude des syst\`emes lin\'eaires adjoints et conjecture de Fujita}
\smallskip

Vers 1990-91, j'ai \'etendu la port\'ee des techniques $L^2$ en
montrant qu'on pouvait les utiliser pour g\'en\'eraliser \`a la
dimension quelconque le r\'esultat de Bombieri sur les plongements
pluricanoniques des surfaces ([35]): ce r\'esultat est obtenu comme
cas particulier d'un crit\`ere de grande amplitude qui r\'esout
partiellement une conjecture des g\'eom\`etres alg\'ebristes de
l'\'ecole japonaise (Mori, Kawamata, Fujita). Le prototype des
r\'esultats obtenus est que $2K_X+mL$ est tr\`es ample pourvu que
$L$ soit ample et $m$ suffisamment grand, avec une borne ne d\'ependant
que de la dimension (le premier r\'esultat obtenu par la m\'ethode
analytique employ\'ee est que $m\ge 12\,n^n$ suffit). Ce travail a eu des
retomb\'ees consid\'erables. Il a \'et\'e \`a l'origine de nombreux
travaux tournant autour de la conjecture de Fujita 
(qui affirme que $K_X+mL$ est tr\`es ample pour $m\ge n+2$) 
et du grand th\'eor\`eme de Matsusaka (cf.~aussi [49], 1996). Le probl\`eme 
consiste in fine \`a 
obtenir des estimations effectives de degr\'e pour le plongement des
vari\'et\'es alg\'ebriques dans l'espace projectif. Citons sur ces sujets
les travaux ult\'erieurs de Koll\'ar, Ein-Lazarsfeld, Siu, Angehrn-Siu
aux Etats-Unis, Fujita, Kawamata au Japon, Beltrametti-Sommese en
Italie, Helmke, K\"uchle en Allemagne~$\ldots$
\medskip

\noindent
{\bf E) Travaux r\'ecents}
\smallskip

Depuis 1990, mes travaux ont port\'e principalement sur quatre th\`emes
(bien que j'aie travaill\'e aussi sur d'autres sujets, comme 
par exemple dans [43], [44] et [45]).

\noindent
1) {\sl \'Etude de la structure des vari\'et\'es k\"ahl\'eriennes 
dont le fibr\'e tangent ou le fibr\'e canonique est semi-positif
ou num\'eriquement effectif}

Ces travaux ont \'et\'e pour l'essentiel effectu\'es en collaboration
avec Thomas Peternell et Michael Schneider (Bayreuth) dans la
p\'eriode 1990-1997, cf.~[40], [41], [47]. Nos r\'esultats principaux
sont des th\'eor\`emes de fibration: si $X$ est k\"ahl\'erienne
compacte \`a fibr\'e tangent $T_X$ nef, alors, \`a rev\^etement
\'etale fini pr\`es, $X$ fibre sur son tore d'Albanese avec comme
fibre des vari\'et\'es ``de Fano'', dont le fibr\'e tangent est lui
m\^eme nef, et dont le fibr\'e anticanonique est ample. Nous
conjecturons que ces fibres sont en fait des vari\'et\'es rationnelles
homog\`enes, ce qui nous donnerait alors une classification compl\`ete
des vari\'et\'es en question.  Une perspective prometteuse (travaux en
cours) est d'exploiter le fait que les vari\'et\'es de Fano ayant un
fibr\'e tangent nef sont ``presque K\"ahler-Einstein'', i.e.,
admettent des m\'etriques k\"ahl\'eriennes v\'erifiant d'aussi pr\`es
que l'on veut la condition d'Einstein.

Dans la situation plus g\'en\'erale o\`u $-K_X$ est nef, nous avons
des r\'esultats partiels: le th\'eor\`eme de fibration (modifi\'e de
mani\`ere ad\'equate) a bien lieu au moins si $-K_X$ est hermitien \`a
courbure semi-positive, tandis que le morphisme d'Albanese est
toujours surjectif si $X$ est projective.  Nous avons obtenu ce
dernier r\'esultat en dimension${}\le 3$ par des m\'ethodes de
g\'eom\'etrie diff\'erentielle complexe ([41]), tandis que le cas
g\'en\'eral a \'et\'e obtenu par Qi Zhang en 1995 gr\^ace \`a l'utilisation
de m\'ethodes de caract\'eristique positive.  \smallskip

\noindent 
2) {\sl \'Etude des vari\'et\'es alg\'ebriques hyperboliques, en
relation avec la g\'eom\'etrie des espaces de jets et leurs
propri\'et\'es de n\'egativit\'e de courbure.}

Il s'agit des travaux r\'ef\'erenc\'es [50], [52], [53]. Notre
objectif principal est l'\'etude d'une importante conjecture de
S.~Kobayashi, affirmant qu'une hypersurface g\'en\'erique de degr\'e
assez grand (plus grand que le double de la dimension), dans l'espace
projectif complexe, est hyperbolique au sens de Kobayashi. La
propri\'et\'e d'hyperbolicit\'e en question est \'equivalente \`a la
non existence de courbe enti\`ere non constante trac\'ee dans la
vari\'et\'e; elle implique en particulier la non-existence de courbes
rationnelles et elliptiques (et plus g\'en\'eralement la non-existence
de morphismes non-triviaux ayant pour source une vari\'et\'e
ab\'elienne et \`a valeurs dans la vari\'et\'e).  Plusieurs questions
importantes de th\'eorie des nombres (conjectures de Lang-Vojta) se
trouvent en relation \'etroite avec ces probl\`emes. Nous avons pu
obtenir un dictionnaire pr\'ecis (malheureusement encore conjectural
dans une des directions) reliant la propri\'et\'e d'hyperbolicit\'e et
l'existence de m\'etriques \`a courbure n\'egative sur certains
espaces de jets (``fibr\'es de Semple''). L'essentiel de la th\'eorie
est d\'ecrit dans le long m\'emoire [50] \`a para\^{\i}tre dans les
Actes de l'AMS Summer School de Santa Cruz, o\`u se trouve notamment
r\'epar\'ee une erreur commise par Green et Griffiths dans leur
travail de 1979 (Colloque en l'honneur de S.S.~Chern). L'article [52]
en collaboration avec mon \'etudiant J.~El Goul construit des exemples
de surfaces hyperboliques dans l'espace projectif de dimension $3$, de
degr\'e quelconque${}\ge 11$. Ce r\'esultat, qui reprend et am\'eliore
des travaux ant\'erieurs de Y.T.~Siu et A.~Nadel, s'obtient par une
\'etude fine de la g\'eom\'etrie des connexions m\'eromorphes sur
certaines sous-vari\'et\'es tr\`es parti\-culi\`eres de l'espace
projectif, d\'efinies par des polyn\^omes homog\`enes ayant peu de
mon\^omes non nuls.  

En 2010, nous sommes parvenus à démontrer une étape importante de la conjecture
de Green-Griffiths-Lang~[78]~: toute courbe holomorphe entière tracée dans une
variété algébrique satisfait une équation différentielle alégébrique globale
(la conjecture, quant à elle, affirme que ces courbes entières sont contenues
dans une sous-variété algébrique propre).
\smallskip

\noindent
3) {\sl \'Etude des fibr\'es en droites nef ou pseudo-effectifs, en
relation avec les singularit\'es des fonctions plurisousharmoniques}

Dans cette rubrique figurent ([38], 1992), [58], [60], [62], [81]. 
Le r\'esultat [58] en collaboration avec J.\ Koll\'ar est un 
th\'eor\`eme tr\`es g\'en\'eral de semi-continuit\'e
des exposants de singularit\'es, \'etendant aux fonctions
plurisosuharmoniques les r\'esultats ant\'erieurs de Varchenko sur les
exposants de singularit\'es alg\'ebriques. L'extension requiert
cependant beaucoup d'id\'ees nouvelles, en particulier une
exploitation fine des estimations $L^2$ de H\"ormander et
Ohsawa-Takegoshi.

Le principal r\'esultat de [60] est la preuve de la sous-additivit\'e
multiplicative des faisceaux d'id\'eaux multiplicateurs de Nadel,
comme cons\'equence du th\'eor\`eme d'extension $L^2$ de Ohsawa-Takegoshi.

L'id\'ee principale de [54] est d'exploiter la bonne compr\'ehension
que l'on a des singularit\'es des fonctions plurisousharmoniques et le
dictionnaire Analyse$\;\leftrightarrow\;$Alg\`ebre \'etabli dans [35] et
[38], pour en tirer des r\'esultats fins sur la g\'eom\'etrie des
vari\'et\'es ou des fibr\'es. En particulier, on s'int\'eresse \`a la
cohomologie des fibr\'es en droites nef ($c_1(L)$ dans l'adh\'erence
du c\^one des diviseurs amples) ou pseudo-effectifs ($c_1(L)$ dans
l'adh\'erence du c\^one des diviseurs effectifs). Nous d\'emontrons
ainsi une version du th\'eor\`eme de Lefschetz difficile faisant
intervenant la cohomologie \`a valeurs dans un fibr\'e non localement
constant.  De m\^eme que les travaux expos\'es dans la partie D), ce
r\'esultat met en jeu de mani\`ere essentielle les estimations $L^2$
de H\"ormander et les id\'eaux multiplicateurs de Nadel.  \medskip
\smallskip

\noindent 4) {\sl \'Etude de la th\'eorie de Hodge et de la
g\'eom\'etrie des c\^ones positifs dans la cohomologie des
vari\'et\'es k\"ahl\'e\-riennes compactes}

Il s'agit principalement des r\'ef\'erences [63], [67], [69]. En
utilisant la th\'eorie des courants positifs, particuli\`erement la
th\'eorie de la r\'egularisation et la th\'eorie de l'intersection des
courants que j'avais d\'evelopp\'ees au d\'ebut des ann\'ees 1990, il
a \'et\'e possible de caract\'eriser compl\`etement le c\^one de
K\"ahler d'une vari\'et\'e k\"ahl\'erienne compacte quelconque, ainsi
que le c\^one des diviseurs effectifs des vari\'et\'es
projectives. Les deux principaux r\'esultats stipulent que le c\^one
de K\"ahler est caract\'eris\'e de mani\`ere purement num\'erique via
la structure de Hodge, par une extension ad\'equate du crit\`ere de
Nakai-Moishezon ([63]), et que le c\^one des diviseurs effectifs est
dual du c\^one des courbes ``mobiles'' dans la dualit\'e de Serre. Ces
r\'esultats ont d\'ej\`a eu des implications profondes pour la
structure des vari\'et\'es projectives (invariance g\'en\'erique du
c\^one de K\"ahler par la connexion de Gauss-Manin, description
compl\`ete du c\^one de K\"ahler des vari\'et\'es
hyperk\"ahl\'eriennes, preuve de la conjecture affirmant la
pseudo-effectivit\'e du fibr\'e canonique d'une vari\'et\'e non
unir\'egl\'ee).  \smallskip
\vskip30pt 

\noindent
{\bf Liste des contributions les plus significatives} \medskip

\noindent
Voici la liste des travaux qui (\`a mon sens) sont les plus significatifs
et/ou qui ont eu le plus de retomb\'ees:
\smallskip
\noindent
\bu{\sl Travaux ant\'erieurs \`a la Th\`ese d'\'etat\/}:
\smallskip
\noindent
[2], [5], [8], [9], [10], [11]
\medskip

\noindent
\bu{\sl Travaux post\'erieurs \`a la Th\`ese d'\'etat\/}:
\smallskip
\noindent
[18], [22], [23], [28], [35], [36], [38], [40], [41], [43], [49], [50],
[55], [58], [59], [60], [62], [63]
\smallskip

\noindent
\bu{\sl Travaux remontant \`a moins de 5 ans\/}:
\smallskip
\noindent
[69], [70], [74], [75], [77], [78], [81]

\end


