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\footline{\hfill}
\headline{\ifnum \pageno=1 \hfil\else
\ifodd \pageno {\sevenbf \hfil
Champs magn\'{e}tiques et in\'{e}galit\'{e}s de Morse pour la d"-cohomologie\hfil\folio}%
\else {\sevenbf \folio\hfil Annales de l'Institut Fourier 35, (1985) 189--229\hfil} \fi\fi}

{\sevenrm\baselineskip=9pt
Champs magn\'{e}tiques et in\'{e}galit\'{e}s de Morse pour la d"-cohomologie\\
Annales de l'Institut Fourier, tome {\sevenbf 35}, n${}^{\scriptscriptstyle\circ}$4 (1985), p.~189--229.
\vskip1.5cm}

\def\statement{\bf}
\def\frac#1#2{{#1\over #2}}
\def\card{\mathop{\rm card}}

\centerline{\hugebf CHAMPS MAGN\'ETIQUES}
\medskip
\centerline{\hugebf ET IN\'EGALIT\'ES DE MORSE}
\bigskip
\centerline{\hugebf POUR LA d"-COHOMOLOGIE}
\bigskip
\centerline{\bf par Jean-Pierre DEMAILLY}
\smallskip
\centerline{\vbox{\hrule width 2cm}}
\vskip1.5cm

\footnote{}{\sevenrm\baselineskip=9pt
{\sevenit Mots-cl\'{e}s~}: In\'{e}galit\'{e}s de Morse -- d"-cohomologie -- Fibr\'{e} 
lin\'{e}aire hermitien -- Forme de courbure -- Champ magn\'{e}tique
-- Op\'{e}rateur de Schr\"{o}dinger -- Identit\'{e} de Bochner-Kodaira-Nakano
-- Espace de Moi\v{s}ezon.\vskip-\parskip}

\centerline{\bigbf 0. Introduction.}

Soit $X$ une vari\'{e}t\'{e} $\bC$-analytique compacte de dimension
$n$, $F$ un fibr\'{e} vectoriel holomorphe de rang $r$ et $E$ un
fibr\'{e} holomorphe en droites hermitien de classe $\cC^{\infty}$
au-dessus de~$X$. Soit $D=D'+D''$ la connexion canonique de $E$ et
$c(E)=D^{2}=D'D''+D''D'$ la forme de courbure de cette connexion.
D\'{e}signons par $X(q)$, $0\leq q\leq n$, l'ouvert des points de $X$
d'indice $q$, i.e.\ l'ouvert des points $x\in X$ en lesquels la forme
de courbure $ic(E)(x)$ a exactement $q$ valeurs propres${}<0$ et
$(n-q)$ valeurs propres${}>0$. On pose \'{e}galement
$$
X(\leq q)=X(0)\cup X(1)\cup\ldots\cup X(q).
$$
Nous d\'{e}montrons alors les in\'{e}galit\'{e}s de Morse suivantes, qui bornent
la dimension des espaces de cohomologie $H^{q}(X,E^{k}\otimes F)$ en fonction 
d'invariants int\'{e}graux de la courbure de $E$.
\medskip

{\statement Theor\`{e}me 0.1.\pointir} {\it Lorsque $k$ tend vers $+\infty$ on a pour tout $q=0,1, \ldots, n$ les in\'{e}galit\'{e}s asymptotiques suivantes.
{\parindent=6.5mm
\vskip2pt
\item{\rm (a)} In\'{e}galit\'{e}s de Morse~$:$
$$
\dim H^{q}(X,E^{k}\otimes F)\leq r\frac{k^{n}}{n!}\int_{X(q)}(-1)^{q}
\Big(\frac{i}{2\pi}c(E)\Big)^{n}+o(k^{n}).
$$
\vskip2pt
\item{\rm(b)} In\'egalit\'es de Morse fortes~$:$
$$
 \sum_{j=0}^{q}(-1)^{q-j}\dim H^{j}(X,E^{k}\otimes F)\leq r\frac{k^{n}}{n!}
\int_{X(\leq q)}(-1)^{q}\Big(\frac{i}{2\pi}c(E)\Big)^{n}+o(k^{n}).
$$
\vskip2pt
\item{\rm(c)} Formule de Riemann-Roch asymptotique~$:$
$$
 \sum_{q=0}^{n}(-1)^{q}\dim H^{q}(X,E^{k}\otimes F)=r\frac{k^{n}}{n!}\int_X
\Big(\frac{i}{2\pi}c(E)\Big)^{n}+o(k^{n}) .
$$}}\medskip

Les estimations 0.1 (a), (b) sont nouvelles \`{a} notre connaissance, m\^{e}me 
dans le cas des vari\'{e}t\'{e}s projectives. L'\'{e}galit\'{e} asymptotique
0.1~(c), quand \`{a} elle, est une version affai\-blie du th\'{e}or\`{e}me de 
Hirzebruch-Riemann-Roch, qui est lui-m\^{e}me un cas particulier du
th\'{e}or\`{e}me de l'indice d'Atiyah- Singer [1]. Ce dernier
th\'{e}or\`{e}me permet en effet d'exprimer la caract\'{e}ristique
d'Euler-Poincar\'{e}
$$
\chi(X,E^{k}\otimes F)=\sum_{q=0}^{n}(-1)^{q}\dim H^{q}(X,E^{k}\otimes F)
$$
sous la forme
$$
\chi( X,E^{k}\otimes F)=r\frac{k^{n}}{n!}c_{1}(E)^{n}+P_{n-1}(k)~;
\leqno(0.2)
$$
$P_{n-1}(k)\in\bQ[k]$ d\'{e}signe ici un polyn\^{o}me de degr\'{e}${}\leq n-1$ 
et $c_{1}(E)\in H^{2}(X,\bZ)$ est la premi\`{e}re classe de Chern de $E$, 
repr\'{e}sent\'{e}e en cohomologie de De Rham par la $(1,1)$-forme ferm\'{e}e 
${i\over 2\pi}c(E)$ (cf.\ par exemple [16]). On observera que la constante num\'{e}rique de l'in\'{e}galit\'{e} 0.1~(a) est optimale, comme le montre l'exemple du fibr\'{e} produit tensoriel total $E=\cO(1)^{n-q}\stimes\cO(-1)^{q}$ au-dessus de $X=(\bP^{1}(\bC))^{n}$. Pour ce fibr\'{e}, on a en effet $X(q)=X$~et
$$
\eqalign{
&\dim H^{q}(X,E^{k})=(k+1)^{n-q}(k-1)^{q}, k\geq 1,\cr
&\int_{X}\Big(\frac{i}{2\pi}c(E)\Big)^{n}=(-1)^{q}n!\,.\cr}
$$
L'existence d'une majoration du type 0.1(a) \'{e}tait conjectur\'{e}e
par Y. T.  Siu, qui a successivement d\'{e}montr\'{e} le cas
particulier o\`{u} $ic(E)$ est${}>0$ dans le compl\'{e}mentaire d'un
ensemble de mesure nulle [16], puis le cas o\`{u} $ic(E)$ est${}\geq
0$ sur $X$ [17]. Nous avons d'ailleurs emprunt\'{e} \`{a} Siu une
partie des techniques utilis\'{e}cs ici, notamment aux \S3 et \S5. 
La preuve du th\'{e}or\`{e}me 0.1 repose sur la m\'{e}thode
analytique introduite r\'{e}cemment par E.~Witten [18], [19]. Cette
m\'{e}thode permet (entre autres) de red\'{e}montrer les
in\'{e}galit\'{e}s de Morse classiques $b_{q}\leq m_{q}$ sur une
vari\'{e}t\'{e} diff\'{e}rentiable compacte $M$, o\`{u} $b_{q}$
d\'{e}signe le $q$-i\`{e}me nombre de Betti et $m_{q}$ le nombre de
points critiques d'indice $q$ d'une fonction de Morse quelconque sur~$M$.
Dans notre situation, le r\^{o}le de la fonction de Morse est tenu
par le choix de la m\'{e}trique hermitienne sur $E$.  On munit d'autre
part $X$ et F de m\'{e}triques hermitiennes arbitraires, qui
interviendront seulement dans les termes $o(k^{n})$ des estimations
finales. \'{E} tant donn\'{e} un r\'{e}el $\lambda\geq 0$, on
consid\`{e}re le sous-complexe $\cH_{k}^\bullet(\lambda)$ du complexe de
Dolbeault $\cC_{0,\bullet}^{\infty}(X,E^ {k}\otimes F)$ des
$(0,q)$-formes de classe $\cC^{\infty}$ sur $X$ \`{a} valeurs dans
$E^{k}\otimes F$, engendr\'{e} par les fonctions propres du Laplacien
antiholomorphe $\Delta''$ dont les valeurs propres sont${}\leq k\lambda$.
Les groupes de cohomologie du complexe $\cH_{k}^\bullet(\lambda)$ sont 
alors isomorphes aux groupes $H^{q}(X,E^{k}\otimes F)$ (proposition 4.1),
de sorte qu'il suffit de savoir borner la dimension des espaces 
$\cH_{k}^{q}(\lambda)$. Pour cela, on utilise essentiellement deux outils.
Le premier outil consiste en une formule de type Weitzenb\"{o}ck
$$
\frac{2}{k}\int_{X}\langle\Delta''u,u\rangle=\int_{X}\frac{1}{k}
|\nabla_{k}u+Su|^{2}-\langle Vu,u\rangle+\frac{1}{k}\langle\Theta
u,u\rangle \leqno(0.3)
$$
d\'{e}montr\'{e}e au \S3, et d\'{e}riv\'{e}e de l'identit\'{e} de 
Bochner- Kodaira-Nakano non k\"{a}hl\'{e}rienne~[6]. $\nabla_{k}$ 
d\'{e}signe ici la connexion hermitienne naturelle sur
le fibr\'{e} $\Lambda^{0.q}T^{*}X\otimes E^{k}\otimes F$, 
$V$~est un potentiel lin\'{e}aire d' ordre $0$ li\'{e} \`{a} la
courbure du fibr\'{e} $E$, enfin $S$ et $\Theta$ sont des op\'{e}rateurs
d'ordre $0$ provenant de la torsion de la m\'{e}trique hermitienne sur
$X$ et de la courbure de $F$. L'\'{e}tude du spectre de $\Delta''$ se
trouve donc ramen\'{e}e \`{a} l'\'{e}tude du spectre de
l'op\'{e}rateur autoadjoint $\nabla_{k}^{*} \nabla_{k}$ associ\'{e}
\`{a} la connexion r\'{e}elle $\nabla_{k}$.  Le deuxi\`{e}me outil
fondamental consiste pr\'{e}cis\'{e}ment en un th\'{e}or\`{e}me
spectral tr\`{e}s g\'{e}n\'{e}ral relatif aux op\'{e}rateurs du 
type~$\nabla^{*}\nabla$. Soit $(M,g)$ une vari\'{e}t\'{e} riemannienne
$\cC^{\infty}$ de dimension r\'{e}elle $n$, $E$ un fibr\'{e} en
droites complexes au- dessus de~$X$, muni d'une connexion 
hermitienne~$\nabla$. Si $\nabla_{k}$ d\'{e}signe la connexion 
induite par $\nabla$ sur $E^{k}$, on \'{e}tudie alors le spectre de la 
forme quadratique
$$
Q_{k}(u)=\int_{\Omega}\Big(\frac{1}{k}|\nabla_{k}u|^{2}-V|u|^{2}\Big)d\sigma,
\qquad u\in L^{2}(\Omega,E^{k})
\leqno(0.4)
$$
pour le probl\`{e}me de Dirichlet, o\`{u} $\Omega$ est un ouvert relativement 
compact dans~$M$, et o\`{u} $V$ est un potentiel scalaire continu sur~$M$.
D'un point  de vue physique, ceci revient \`{a} \'{e}tudier le spectre de 
l'op\'{e}rateur de Schr\"{o}dinger $\frac{1}{k}(\nabla_{k}^{*}\nabla_{k}-kV)$
associ\'{e} au champ \'{e}lectrique $kV$ et au champ magn\'{e}tique $kB$, 
o\`{u} $B=-i\nabla^{2} $ n'est autre que la $2$-forme de courbure de la 
connexion~$\nabla$. C'est dans la pr\'{e}sence de ce champ magn\'{e}tique
que r\'{e}side notre contribution principale par rapport \`{a} la
m\'{e}thode de E.~Witten [18], [19] (dans le cas de la cohomologie de 
De Rham le champ magn\'{e}tique est toujours nul puisque $d^{2}=0$).

En tout point $x\in X$, soit $2s=2s(x)\leq n$ le rang de $B(x)$ et $B_{1}(x)
\geq\ldots\geq B_{s}(x)>0$ les modules des valeurs propres non nulles de 
l'endomorphisme antisym\'{e}trique associ\'{e}. On d\'{e}finit une fonction 
$\nu_{B(x)}(\lambda)$ du couple $(x,\lambda)\in M\times\bR$, continue \`{a}
gauche en~$\lambda$, en posant
$$
v_{B}(\lambda)=\frac{2^{s-n}\pi^{-\frac{n}{2}}}{\Gamma(\frac{n}{2}-s+1)}
B_{1}\ldots B_{s}\sum_{(p_{1},\ldots,p_{s})\in\bN^{s}}
\big[\lambda-\sum(2p_{j}+1)B_{j}\big]_+^{\frac{n}{2}-s}
\leqno(0.5) 
$$
avec la convention $0^{0}=0$. Enfin, si $\lambda_{1}\leq\lambda_{2}\leq\ldots$
d\'{e}signent les valeurs propres de $Q_{k}$ (compt\'{e}es avec 
multiplicit\'{e}), on consid\`{e}re la fonction de d\'{e}nombrement
$N_{k}(\lambda)=\card\{j\,;\;\lambda_{j}\leq\lambda\}$, $\lambda\in\bR$.
\medskip

{\statement Th\'{e}or\`{e}me 0.6.\pointir} {\it Si $\partial\Omega$ est 
de mesure nulle, il existe un ensemble d\'{e}nombrable 
$\cD\subset\bR$ tel que
$$
\lim_{k\to+\infty}k^{-\frac{n}{2}}N_{k}(\lambda)=\int_{\Omega}\nu_{B}(V+\lambda)\,
d\sigma
$$
pour tout $\lambda\in \bR\ssm \cD$.}
\medskip

Pour d\'{e}montrer le th\'{e}or\`{e}me 0.6, on commence par \'{e}tudier le cas 
simple o\`{u} $M=\bR^{n}$ avec un champ magn\'{e}tique constant $B$ et 
avec~$V=0$. Lorsque $\Omega$ est un cube, on sait alors expliciter les 
fonctions propres par une transformation de Fourier partielle qui 
ram\`{e}ne le probl\`{e}me \`{a} celui classique de l'oscillateur
harmonique en une variable. L'id\'{e}e de ce calcul nous a \'{e}t\'{e} 
fortement inspir\'{e}e par les articles [3], [4] de Y.~Colin de 
Verdi\`{e}re. L'extension du r\'{e}sultat au cas d'un champ
magn\'{e}tique quelconque reprend une id\'{e}e de [16], consistant 
\`{a} utiliser un pavage de $\Omega$ par des cubes assez petits. 
Notre m\'{e}thode est n\'{e}anmoins tr\`{e}s diff\'{e}rente 
de celle de Siu, puisque nous travaillons directement sur les formes harmoniques
alors que Siu se ramenait aux cocha\^{\i}nes holomorphes via l'isomorphisme de 
Dolbeault. On gagne ainsi beaucoup en pr\'{e}cision sur les estimations 
cherch\'{e}es. Le c\^{o}t\'{e} des cubes doit \^{e}tre ici choisi d'un 
ordre de grandeur 
interm\'{e}diaire entre $k^{-\frac{1}{2}}$ et $k^{-\frac{1}{4}}$, par exemple 
$k^{-\frac{1}{3}}$~: $k^{-\frac{1}{2}}$ est en effet la longueur d'onde des 
premi\`{e} res fonctions propres, de sorte que l'action du champ 
magn\'{e}tique $B$ n'est pas perceptible \`{a} une \'{e}chelle
inf\'{e}rieure~; au-dessus de $k^{-\frac{1}{4}}$,
l'oscillation de $B$ est au contraire trop forte. On utilise finalement le 
principe du minimax pour comparer les valeurs propres sur $\Omega$ aux valeurs 
propres sur les cubes. Dans la m\'{e}thode ant\'{e}rieure de [16] (telle qu'elle 
est reprise dans [7]), la taille des cubes \'{e}tait choisie \'{e}gale 
\`{a} $k^{-\frac{1}{2}}$~; on peut voir ais\'{e}ment que ce choix \'{e}tait 
critique pour  permettre de borner les effets du champ magn\'{e}tique
ind\'{e}pendamment de~$k$,  mais la d\'{e}termination exacte du spectre 
devenait alors impossible. Le dernier paragraphe est consacr\'{e} \`{a} 
l'\'{e}tude de caract\'{e}risations g\'{e}om\'{e}triques des espaces
de Moi\v{s}ezon~[13]. Rappelons qu'un espace analytique compact 
irr\'{e}ductible $X$ est appel\'{e} espace de Moi\v{s}ezon si le 
corps $K(X)$ des fonctions m\'{e}romorphes sur $X$ est de 
degr\'{e} de transcendance${}=n=\dim_{\bC}X$. La conjecture de 
Grauert-Riemenschneider [10] affirme que $X$ est de
Moi\v{s}ezon si et seulement si il existe un faisceau quasi-positif $\cE$ 
de rang 1 sans torsion au-dessus de~$X$. 
Par d\'{e}singularisation, on se ram\`{e}ne au cas o\`{u} $X$ est lisse et 
o\`{u} $\cE$ est le faisceau localement libre des sections d'un fibr\'{e} 
en droites $E$ strictement positif sur un ouvert dense de $X$. Y.T.~Siu [17] 
a r\'{e}solu r\'{e}cemment la conjecture et l'a renforc\'{e}e 
en supposant seulement $ic(E)$ semi-positive et${}>0$ en au moins un point. 
L'utilisation du th\'{e}or\`{e}me 0.1 (b) permet de trouver des conditions 
g\'{e}om\'{e}triques plus faibles encore, qui n'exigent pas la 
semi-positivit\'{e} ponctuelle de $ic(E)$, mais seulement la 
positivit\'{e} d'une oertaine int\'{e}grale de courbure. Pour $q=1$,
l'in\'{e}galit\'{e} 0.1~(b) implique en effet une minoration du nombre 
de sections holomorphes de $E^{k}$, \`{a} savoir:
$$
\dim H^{0}(X,E^{k})\geq\frac{k^{n}}{n!}\int_{X(\leq 1)}\Big(\frac{i}{2\pi}
c(E)\Big)^{n}-o(k^{n}).
\leqno(0.7)
$$
On peut montrer d'autre part, en utilisant un raisonnement classique de Siegel 
[15] mis en forme par [16] que $\dim H^{0}(X,E^{k})\leq{\rm cte}\cdot k^{n-1}$ 
si $X$ n'est pas de Moi\v{s}ezon (cf.\ th\'{e}or\`{e}me~5.1). De l\`{a} 
il r\'{e}sulte le\medskip

{\statement Th\'{e}or\`{e}me 0.8.\pointir} {\it Soit $X$ une vari\'{e}t\'{e} 
$\bC$-analytique compacte connexe de dimension~$n$. Pour que $X$ soit de 
Moi\v{s}ezon, il suffit que $X$ poss\`{e}de un fibr\'{e} holomorphe en 
droites hermitien v\'{e}rifiant l'une des hypoth\`{e}ses {\rm (a), (b), (c)} 
ci- dessous.
{\parindent=6.5mm
\vskip2pt
\item{\rm(a)} $\int_{X(\leq 1)}(ic(E))^{n}>0$.
\vskip2pt
\item{\rm(b)} $c_{1}(E)^{n}>0$, et la forme de courbure 
$ic(E)$ ne poss\`{e}de aucun point d'indice pair${}\neq 0$.
\vskip2pt
\item{\rm(c)} $ic(E)$ est semi-positive en tout point de $X$ et 
d\'{e}finie positive en au moins un point de~$X$.\vskip-\parskip}}
\medskip

Ce travail a fait l'objet d'une note [8] du m\^{e}me titre,
publi\'{e}e aux Comptes Rendus. Le pr\'{e}sent article est une version
am\'{e}lior\'{e}e d'un m\'{e}moire ant\'{e}rieur [7], qui \'{e}tait
plus proche des techniques initiales de Siu, et qui d\'{e}montrait
seulement l'in\'{e}galit\'{e} 0.1~(a) \`{a} la constante
num\'{e}rique pr\`{e}s; de ce fait, les estimations 0.1~(b) et
(c) restaient inaccessibles.

L'auteur remercie vivement MM. G\'{e}rard Besson, Alain Dufresnoy, Sylvestre 
Gallot et tout particuli\`{e}rement Yves Colin de Verdi\`{e}re, pour de 
stimulantes conversations qui ont beaucoup contribu\'{e} \`{a} la mise en forme 
d\'{e}finitive des id\'{e}es de ce travail, notamment dans le \S1.
\bigskip

\section{1}{Spectre de l'op\'{e}rateur de Schr\"{o}dinger\\
associ\'{e} \`{a} un champ magn\'{e}tique constant.}

Soit $(M,g)$ une vari\'{e}t\'{e} riemannienne de classe $\cC^{\infty}$, de 
dimension r\'{e}elle~$n$, et $E\to M$ un fibr\'{e} en droites complexes 
au-dessus de~$M$, muni d'une m\'{e}trique hermitienne $\cC^{\infty}$. Notons 
$\cC_{q}^{\infty}(M,E)$ l'espace des sections de classe $\cC^{\infty}$ du 
fibr\'{e} $\Lambda^{q}T^{*}M\otimes E$, et $(?|?)$ l'accouplement 
sesquilin\'{e}aire canonique
$$
\cC_{q}^{\infty}(M,E)\times \cC_{q}^{\infty}(M,E)\to
\cC_{p+q}^{\infty}(M,\bC).
$$

On suppose donn\'{e}e une connexion hermitienne $D$ sur $E$, 
c'est-\`{a}-dire un op\'{e}rateur dif\-f\'{e}\-rentiel d'ordre un
$$
D:\cC_{q}^{\infty}(M,E)\to \cC_{q+1}^{\infty} (M,E),\qquad 0\leq q<n,
$$
v\'{e}rifiant les identit\'{e}s
$$
\leqalignno{
&D(f\wedge u)=df\wedge u+(-1)^{m}f\wedge Du,&(1.1)\cr
&d(u|v)=(Du|v)+(-1)^{p}(u|Dv),&(1.2)\cr}
$$
pour toutes sections $f\in \cC_{m}^{\infty}(M,\bC)$, $u\in \cC_{p}^{\infty}(M,E)$,
$v\in \cC_{q}^{\infty}(M,E)$. Consid\'{e}rons une trivialisation 
isom\'{e}trique  $\theta:E_{|W}\to W\times\bC$ de $E$ au-dessus d'un 
ouvert $W\subset M$.
Les connexions hermitiennes de $E_{|W}$ sont alors toutes donn\'{e}es par la 
formule suivante~:
$$
Du=du+iA\wedge u,
$$
o\`{u} $u\in \cC_{q}^{\infty}(W,E)\simeq \cC_{q}^{\infty}(W,\bC)$ et
o\`{u} $A\in \cC_{1}^{\infty}(W,\bR)$ est une $1$-forme {\it r\'{e}elle}
arbitraire.
Le {\it champ magn\'{e}tique} (ou forme de courbure) associ\'{e} \`{a} 
la connexion $D$ est la $2$-forme r\'{e}elle ferm\'{e}e $B=dA$ telle que
$$
D^{2}u=iB\wedge u
$$
pour tout $u\in \cC_{q}^{\infty}(M,E)$. $B$ ne d\'{e}pend donc que de la 
connexion~$D$, mais pas de la trivialisation $\theta$ choisie. Un changement 
de phase $u=ve^{i\varphi}$ dans $\theta$ conduit \`{a} remplacer $A$ par
$A +d\varphi$. Le choix d'une trivialisation de $E$ et de la $1$-forme $A$
correspondante s'interpr\`{e}te physiquement comme le choix d'un potentiel
vecteur particulier du champ magn\'{e}tique~$B$.

D\'{e}signons par $|u|$ la norme ponctuelle d'un \'{e}l\'{e}ment 
$u\in\Lambda^{q}T^{*}M\otimes E$ pour la m\'{e}trique produit tensoriel des 
m\'{e}triques de $M$ et $E$. Si $\Omega$ est un ouvert de~$M$, on note 
$L^{2}(\Omega,E)$ (resp.\ $L_{q}^{2}(\Omega,E)$) l'espace $L^{2}$ des 
sections de $E$ (resp.\ de $\Lambda^{q}T^{*}M\otimes E$) au-dessus
de~$\Omega$, muni de la norme
$$
\Vert u\Vert_{\Omega}^{2}=\int_\Omega|u|^{2}d\sigma,
$$
o\`{u}  $d\sigma$ est la densit\'{e} de volume riemannien sur~$M$.

Soit $D_{k}$ la connexion induite par $D$ sur la puissance tensorielle $k$-i\`{e}me $E^{k}$, et $V$ un potentiel scalaire sur~$M$, i.e.\ une fonction 
r\'{e}elle continue. \'{E}tant donn\'{e} un ouvert relativement compact 
$\Omega\subset M$, nous nous proposons de d\'{e}terminer asymptotiquement 
lorsque $k$ tend vers $+\infty$ le spectre de la forme quadratique
$$
Q_{\Omega,k}(u)=\int_{\Omega}\Big(\frac{1}{k}|D_{k}u|^{2}-V|u|^{2}\Big)d\sigma
\leqno(1.3)
$$
o\`{u} $u\in L^{2}(\Omega,E^{k})$, avec condition de Dirichlet 
$u_{|\partial\Omega}=0$. Le domaine de $Q_{\Omega,k}$ est donc l'espace de Sobolev 
$W_{0}^{1}(\Omega,E^{k})={}$adh\'{e}rence de 1'espace $\cD(\Omega,E^{k})$ des
sections $C^{\infty}$ de $E^{k}$ \`{a} support compact dans $\Omega$ 
dans l'espace $W^{1}(M,E^{k})$. D'un point de vue physique, ceci revient 
\`{a} \'{e}tudier le spectre de l'op\'{e}rateur de Schr\"{o}dinger 
$\frac{1}{k}(D_{k}^{*}D_{k}-kV)$ associ\'{e} au champ magn\'{e}tique $kB$
et au champ \'{e}lectrique $kV$, lorsque $k$ tend vers $+\infty$. Nous 
renvoyons le lecteur \`{a} l'article classique [2] pour une \'{e}tude 
g\'{e}n\'{e}rale du spectre de l'op\'{e}rateur de Schr\"{o}dinger, et 
aux travaux [3], [4], [5], [9], [12] pour l'\'{e}tude de probl\`{e}mes 
asymptotiques voisins du pr\'{e}c\'{e}dent.
\medskip

{\statement D\'{e}finition 1.4.\pointir} {\it On d\'{e}signera par 
$N_{\Omega,k}(\lambda)$ le nombre de valeurs propres${}\leq\lambda$ de 
la forme quadratique $Q_{\Omega,k}$.}
\medskip

Nous allons d'abord \'{e}tudier un cas simple qui servira de mod\`{e}le pour le 
cas g\'{e}n\'{e}ral au \S2. On se place dans la situation suivante~: $M=\bR^{n}$
avec la m\'{e}trique constante $g= \sum_{j=1}^{n}dx_{j}^{2}$, $\Omega$ est le 
cube de c\^{o}t\'{e} $r$~:
$$
\Omega=\Big\{(x_{1},\ldots,x_{n})\in R^{n}\,;~|x_{j}|<\frac{r}{2}, 
~1\leq j\leq n\Big\},
$$
$V=0$, et enfin le champ magn\'{e}tique $B$ est constant, \'{e}gal \`{a} 
la $2$-forme alter\'{e}e de rang $2s$ donn\'{e}e par
$$
B=\sum_{j=1}^{s}B_{j}\,dx_{j}\wedge dx_{j+s},
$$
avec $B_{1}\geq B_{2}\geq\cdots\geq B_{s}>0$, $s \leq\frac{n}{2}$. On peut alors 
choisir une trivialisation de $E$ dont le potentiel vecteur associ\'{e} est
$$
A = \sum_{j=1}^{s}B_{j}x_{j}\,dx_{j+s}.
$$
La connexion de $E^{k}$ s'\'{e}crit donc
$$
D_{k}u=du+ikA\wedge u,
$$
et la forme quadratique $Q_{\Omega,k}$ est donn\'{e}e par
$$
Q_{\Omega,k}(u)=\frac{1}{k}\int_{\Omega}\Bigg[\sum_{1\leq j\leq s}
\Big(\Big|\frac{\partial u}{\partial x_{j}}\Big|^2 
+\Big| \frac{\partial u}{\partial x_{j+s}}+ikB_{j}x_{j}u\Big|^{2}\big)+
\sum_{j>2s}\Big|\frac{\partial u}{\partial x_{j}}\Big|^{2}\Bigg]\,d\mu
$$
o\`{u}  $d\mu$ d\'{e}signe la mesure de Lebesgue sur~$\bR^{n}$. Si on effectue 
l'homoth\'{e}tie $X_{j}=\sqrt{k}\,x_{j}$, on est ramen\'{e} \`{a} 
\'{e}tudier les valeurs propres de la forme quadratique
$$
\int_{\sqrt{k}\Omega}\Bigg[
\sum_{1\leq j\leq s}\Big(\Big|\frac{\partial u}{\partial X_{j}}\Big |^2 
+\Big|\frac{\partial u}{\partial X_{j+s}}+iB_{j}X_{j}u\Big|^{2}\Big)+
\sum_{j>2s}\Big|\frac{\partial u}{\partial X_{j}}\Big|^{2}\Bigg]\,d\mu
$$
sur les cubes $\sqrt{k}\Omega$ de c\^{o}t\'{e} $\sqrt{k}\,r$. Au champ~$B$,
nous associons la fonction de la variable r\'{e}elle $\lambda$ d\'{e}finie par
$$
\nu_{B}(\lambda)=\frac{2^{s-n}\pi^{-\frac{n}{2}}}{\Gamma(\frac{n}{2}-s+1)}
B_{1}\ldots B_{s}\sum_{(p_{1},\ldots,p_{s})\in\bN^s}\Big[\lambda-
\sum(2p_{j}+1)B_{j}\Big]_+^{\frac{n}{2}-s}
\leqno(1.5)  
$$
o\`{u} l'on pose par convention $\lambda_{+}^{0}=0$ si $\lambda\leq 0$ et 
$\lambda_{+}^{0}=1$ si $\lambda>0$. La fonction $\nu_{B}$ est donc 
croissante et continue \`{a} gauche sur~$\bR$~; on observera que $\nu_{B}$ 
est en fait continue si $s< \frac{n}{2}$. Le spectre de $Q_{\Omega,k}$ est 
alors d\'{e}crit asymptotiquement par le th\'{e}or\`{e}me suivant, dont
l'id\'{e}e nous a \'{e}t\'{e} sugg\'{e}r\'{e}e par Y.~Colin de 
Verdi\`{e}re [4].\medskip

{\statement Th\'{e}or\`{e}me 1.6.\pointir} {\it Soit $R$ un r\'{e}el${}>0$,
$$
P(R)=\Big\{x\in\bR^{n}\,;\;|x_{j}|<\frac{R}{2}\Big\}
$$
le pav\'{e} de c\^{o}t\'{e} $R$, $Q_R$ la forme quadratique
$$
Q_{R}(u)=\int_{P(R)}\Bigg[\sum_{1\leq j\leq s}\Big(\Big|
\frac{\partial u}{\partial x_{j}}\Big|^2 +
\Big|\frac{\partial u}{\partial x_{j+s}}+iB_{j}x_{j}u\Big|^{2}\Big)+
\sum_{j>2s}\Big|\frac{\partial u}{\partial x_{j}}\Big|^{2}\Bigg]\,d\mu,
$$
et $N_{R}(\lambda)$ le nombre de valeurs propres${}\leq\lambda$ de $Q_R$
pour le probl\`{e}me de Dirichlet. Alors pour tout $\lambda\in\bR$ on a
$$
\lim_{R\to+\infty}R^{-n}N_{R}(\lambda)=\nu_{B}(\lambda).
$$}\medskip

Lorsque $s= \frac{n}{2}$, $\nu_{B}$ est une fonction en escalier. Les 
valeurs propres de $Q_{R}$ se regroupent donc par paquets autour des 
valeurs $\sum(2p_{j}+1)B_{j}$, avec multiplicit\'{e} approximative 
$(2\pi)^{-s}B_{1}\ldots B_{s}R^{n}$. Ceci peut s'interpr\'{e}ter physiquement
comme un ph\'{e}nom\`{e}ne de quantification des \'{e}tats propres.
En revenant au probl\`{e}me initial relatif \`{a} la forme quadratique 
$Q_{\Omega,k}$, nous obtenons le
\medskip

{\statement Corollaire 1.7.\pointir} 
$\displaystyle \lim_{k\to+\infty}k^{-\frac{n}{2}}N_{\Omega,k}(\lambda)=
r^{n}\nu_{B}(\lambda)$.\hfill$\square$\medskip

{\it D\'{e}monstration du th\'{e}or\`{e}me 1.6. --} 
On cherche d'abord \`{a} majorer $N_{R}(\lambda)$. Dans ce but, \'{e}tant 
donn\'{e} $u\in W_{0}^{1}(P(R))$, on exprime $u$ sous forme de s\'{e}rie 
de Fourier partielle par rapport aux variables $x_{s+1},\ldots,x_{n}$~:
$$
u(x)=R^{-\frac{1}{2}(n-s)}\sum_{\ell\in\bZ^{n-s}}u_{\ell}(x')\exp
\Big(\frac{2\pi i}{R}\ell\cdot x''\Big)
$$
o\`{u} $u_\ell\in W_{0}^{1}(\bR^{s}\cap P(R))$, avec les notations
$$
\eqalign{
&x'=(x_{1}, \ldots,x_{s}),\quad x''=(x_{s+1}, \ldots,x_{n}),\cr
&\ell\cdot x''=\ell_{1}x_{s+1}+\cdots+\ell_{n-s}x_{n}.\cr}
$$
L'hypoth\`{e}se $u\in W_{0}^{1}(P(R))$ entra\^{\i}ne que la s\'{e}rie
$$
\sum|\ell|^{2}|u_{\ell}(x')|^{2}
$$
est dans $L^{2}(\bR^{s})$. Posons $\ell'=(\ell_{1}, \ldots,\ell_{s})$, 
$\ell''=(\ell_{s+1}, \ldots,\ell_{n-s})$. La norme $\Vert u\Vert_{P(R)}$ et 
la forme quadratique $Q_R$ sont donn\'{e}es par
$$
\eqalign{
\Vert u\Vert_{P(R)}^{2}
&=\sum_{\ell\in\bZ^{n-s}}\int_{\bR^{s}}|u_{\ell}(x')|^{2}\,d\mu(x'),\cr
 Q_{R}(u)&=\sum_{\ell\in\bZ^{n-s}}\int_{\bR^{s}}\Bigg[
\sum_{1\leq j\leq s}\!\bigg(\Big|\frac{\partial u_\ell}{\partial x_{j}}\Big|^{2}
+\Big(\frac{2\pi}{R}\ell_{j}+B_{j}x_{j}\Big)^{2}|u_{\ell}|^{2}\bigg)
+\frac{4\pi^{2}}{R^{2}}|\ell''|^{2}|u_{\ell}|^{2}\Bigg]\,d\mu(x').\cr}
$$
On obtient par cons\'{e}quent un probl\`{e}me de Dirichlet \`{a} 
\lguil\?variables s\'{e}par\'{e}es\?\rguil\ sur le cube 
$\bR^{s}\cap P(R)$. En posant $t=x_{j}+ \frac{2\pi\ell_{j}}{RB_{j}}$, on est 
ramen\'{e} \`{a} \'{e}tudier le spectre de la forme 
quadratique d'une variable
$$
q(f)=\int_{R}\Big(\Big|\frac{df}{dt}\Big|^{2}+B_{j}^{2}t^{2}|f|^{2}\Big)\,dt,
$$
avec $f \in \smash{W_{0}^{1}\big(\,]-\frac{R}{2}\frac{R}{2}[{}
+\frac{2\pi\ell_{j}}{RB_{j}}\big)}$. On retombe donc sur le probl\`{e}me
classique de l'oscillateur harmonique (cf.\ par exemple [14], Vol.~I, p.~142). 
Sur $\bR$, i.e.\ sans condition de support pour $f$, la suite des valeurs
propres de $q$ est la suite $(2m+1)B_{j}$, $m\in\bN$, et les fonctions
propres associ\'{e}es sont donn\'{e}es par $\Phi_{m}(\sqrt{B_{j}}\,t)$ o\`{u}
$\Phi_{0}$, $\Phi_{1},\ldots$ sont les fonctions d'Hermite~:
$$
\Phi_{m}(t)=e^{t^{2}/2}\frac{d^{m}}{dt^{m}}(e^{-t^{2}}) .
$$
Pour tout $p_{j}\in\bN$, notons $\Psi_{p_{j},\ell_{j}}(x_{j})$ la $p_{j}$-i\`{e}me 
fonction propre de la forme quadratique
$$
q(f)= \int_{R}\bigg(\Big|\frac{df}{dx_{j}}\Big|^{2}+
\Big(\frac{2\pi}{R}\ell_{j}+B_{j}x_{j}\Big)^{2}|f|^{2}\bigg)\,dx_{j}
\leqno(1.8)
$$
pour $f \in W_{0}^{1}(\,]-\frac{R}{2}\frac{R}{2}[\,)$, et $\lambda_{p_{j},\ell_{j}}$ 
la valeur propre correspondante. On peut alors d\'{e}composer chaque 
fonction $u_{\ell}$ en s\'{e}rie de fonctions propres, ce qui conduit 
\`{a} \'{e}crire $u$ sous la forme
$$
u(x)= R^{-\frac{1}{2}(n-s)}\sum_{(p,\ell)\in\bN^{s}\times\bZ^{n-s}}u_{p,\ell}
\Psi_{p,\ell'}(x')\exp\Big(\frac{2\pi i}{R}\ell\cdot x''\Big)
\leqno(1.9) 
$$
avec
$$
u_{p,\ell}\in\bC,\qquad 
\Psi_{p,\ell'}(x')=\prod_{1\leq j\leq s}\Psi_{p_{j},\ell_{j}}(x_{j}).
$$
On prendra garde au fait que $\Psi_{p,\ell'}(x')\exp(\frac{2\pi i}{R}\ell
\cdot x'')$ n'est 
pas une vraie fonction propre pour le probl\`{e}me de Dirichlet, car le terme 
exponentiel prend des valeurs non nulles aux points du bord 
$x_{j}= \pm\frac{R}{2}$, $j>s$. Par cons\'{e}quent, les coefficients
$(u_{p,\ell})$ ne sont pas arbitraires si $u\in W_{0}^{1}(P(R))\;$; ils 
doivent v\'{e}rifier les conditions  d'annulation au bord~:
$$
\sum_{t_{j}\in\bZ}(-1)^{\ell_{j}}u_{p,\ell}=0
\leqno(1.10)
$$
pour tout $j=1, \ldots, n-s$ et tous les indices autres que $\ell_{j}$
fix\'{e}s~:
$$
p\in \bN^{s},\quad \ell_{1},\ldots,\ell_{j-1},\;\ell_{j+1},\ldots,\ell_{n-s}\in\bZ.
$$
Avec l'\'{e}criture (1.9), la norme $L^{2}$ et la forme quadratique $Q_{R}$
s'expriment sous la forme
$$
\Vert u\Vert_{P(R)}^{2}=\sum|u_{p,\ell}|^{2},\qquad
Q_{R}(u)=\sum\Big(\lambda_{p,\ell'}+
\frac{4\pi^{2}}{R^{2}}|\ell''|^{2}\Big)|u_{p,\ell}|^{2},
$$
o\`{u} $\lambda_{p,\ell'}=\sum_{1\leq j\leq s}\lambda_{p_{j},\ell_{j}}$. Le 
principe du minimax 1.20~(b) rappel\'{e} plus loin montre que
$$
N_{R}(\lambda)\leq\card\Big\{(p,\ell)\in\bN^{s}\times\bZ^{n-s}\,;\;
\lambda_{p,\ell'} + \frac{4\pi^{2}}{R^{2}}|\ell''|^{2}\leq\lambda\Big\}.
\leqno(1.11) 
$$
Il suffit donc d'obtenir une minoration ad\'{e}quate de 
$\lambda_{p_{j},\ell_{j}}$.\medskip

{\statement Lemme 1.12.\pointir} {\it On a l'in\'{e}galit\'{e}
$$
\lambda_{p_{j},\ell_{j}}\geq\max\bigg((2p_{j}+1)B_{j}~,~\frac{4\pi^{2}}{R^{2}}
\Big[\Big(\frac{p_{j}+1}{2}\Big)^{2}+\Big(|\ell_{j}|-\frac{B_{j}R^{2}}{4\pi}
\Big)_{+}^{2}\Big]\bigg),
$$
et celle-ci est stricte si $\ell_{j}\neq 0$ ou si 
$\Phi_{p_{j}}(R\sqrt{B_{j}}/2)\neq 0$.}
\medskip

La minoration $\lambda_{p_{j},\ell_{j}}\geq(2p_{j}+1)B_{j}$ r\'{e}sulte en effet 
du  minimax et du fait que les valeurs propres de $q(f)$ sur $\bR$ valent 
$(2p_{j}+1)B_{j}$. Pour obtenir l'autre in\'{e}galit\'{e}, on minore (1.8) 
par la forme quadratique
$$
\widehat{q}(f)=\int_{x_{j}|<R/2}\bigg(\Big|\frac{df}{dx_{j}}\Big|^{2}+
\Big(\frac{2\pi}{R}|\ell_{j}|-B_{j}\frac{R}{2}\Big)_{+}^{2}|f|^{2}\bigg)dx_{j}.
$$
Les fonctions propres de $\widehat{q}$ sont les fonctions
$$
\sin\frac{\pi}{R}(p_{j}+1)\Big(x_{j}+\frac{R}{2}\Big),\qquad p_{j}\in\bN\;;
$$
$\lambda_{p_{j},t_{j}}$ est donc minor\'{e}e par la valeur propre correspondante~:
$$
\frac{4\pi^{2}}{R^{2}}\Big[\Big(\frac{p_{j}+1}{2}\Big)^{2}+\Big(|t_{j}|-
\frac{B_{j}R^{2}}{4\pi}\Big)_{+}^{2}\Big].
$$
Les in\'{e}galit\'{e}s sont strictes parce que d'une part $q(f)>\widehat{q}(f)$
pour tout $f\neq 0$, et d'autre part $\Phi_{p_{j}}(\sqrt{B_{j}}t)$ ne peut 
\^{e}tre fonction propre de $q$ sur $]-R/2, R/2[{}+2\pi\ell_{j}/RB_{j}$ que si
$$
\Phi_{p_{j}}\big(\pm R\sqrt{B_{j}}/2+2\pi t_{j}/R\sqrt{B_{j}}\big)=0.
$$
Comme les z\'{e}ros de $\Phi_{p_{j}}$ sont alg\'{e}briques et que $\pi$ est 
transcendant, ceci n'est possible que si
$$\ell_{j}=0\quad\hbox{et}\quad\Phi_{p_{j}}(R\sqrt{B_{J}}/2)=0.\eqno\square$$

{\statement Lemme 1.13.\pointir} {\it Soit $\tau_{n}(\rho)$ le nombre de points de 
$\bZ^{n}$ situ\'{e}s dans la boule ferm\'{e}e $\overline{B}(0,\rho)
\subset\bR^{n}$. Alors
$$
\frac{\pi^{\frac{n}{2}}}{\Gamma(\frac{n}{2}+1)}\Big(\rho-
\frac{\sqrt{n}}{2}\Big)_{+}^{n}\leq\tau_{n}(\rho)\leq
\frac{\pi^{\frac{n}{2}}}{\Gamma(\frac{n}{2}+1)}\Big(\rho+\frac{\sqrt{n}}{2}
\Big)^{n}.$$}\medskip

En effet, la r\'{e}union des cubes de c\^{o}t\'{e} $1$ centr\'{e}s aux points
$x\in\bZ^{n}$ tels que $|x|\leq\rho$ est contenue dans la boule  
$\overline{B}(0,\rho+\frac{\sqrt{n}}{2})$, et contient la boule  
$\overline{B}(0,\rho-\frac{\sqrt{n}}{2})$ si  $\rho\geq\frac{\sqrt{n}}{2}$,
car $\frac{\sqrt{n}}{2}$ est la demi-diagonale du cube~; l'entier 
$\tau_{n}(\rho)$ est donc encadr\'{e} par le volume des boules  
$\overline{B}(0,\rho\pm\frac{\sqrt{n}}{2})$.\hfill\square\medskip

Nous majorons maintenant $\lim\sup R^{-n}N_{R}(\lambda)$ en utilisant (1.11) et 
les lemmes 1.12, 1.13. Pour $p\in\bN^{s}$ fix\'{e}, l'in\'{e}galit\'{e} 
$\lambda_{p,\ell'}+ \frac{4\pi^{2}}{R^{2}}|\ell''|^{2}\leq\lambda$ implique
$$
|\ell''| \leq\frac{R}{2\pi}\Big(\lambda-\sum(2p_{j}+1)B_{j}\Big)^{\frac{1}{2}}_+,
\leqno(1.14) 
$$
et l'in\'{e}galit\'{e} est stricte pour $R>R_{0}(p)$ assez grand. Lorsque 
$s<n/2$ le nombre de multi-indices $\ell''\in\bZ^{n-2s}$ correspondants est 
donc au plus
$$
\leqalignno{
\frac{\pi^{\frac{n}{2}-s}}{\Gamma(\frac{n}{2}-s+1)}\bigg[\frac{R}{2\pi}
&\Big(\lambda-\sum(2p_{j}+1)B_{j}\Big)^{\frac{1}{2}}_++\frac{\sqrt{n}}{2}
\bigg]^{n-2s}\cr
&\mathop{\sim}\limits_{R\to+\infty}~~
\frac{2^{2s-n}\pi^{s-\frac{n}{2}}}{\Gamma(\frac{n}{2}-s+1)}R^{n
-2s}\Big(\lambda-\sum(2p_{j}+1)B_{j}\Big)^{\frac{n}{2}-s}_+.
&(1.15)\cr}
$$
Lorsque $s= \frac{n}{2}$, ce nombre doit \^{e}tre compt\'{e} comme valant $1$
si $\lambda-\sum(2p_{j}+1)B_{j}>0$ et $0$ sinon, ce qui est bien conforme 
\`{a} la convention que nous avons adopt\'{e}e pour la 
notation~$\lambda_{+}^{0}$. L'in\'{e}galit\'{e} $\lambda_{p,\ell'} \leq\lambda$
implique d'autre part
$$
|\ell_{j}| \leq\frac{R}{2\pi}\sqrt{\lambda_{+}}+\frac{B_{j}R^{2}}{4\pi},\qquad
1\leq j\leq s,
\leqno(1.16) 
$$
ce qui correspond asymptotiquement \`{a} un nombre de multi-indices 
$\ell'=(\ell_{1},\ldots,\ell_{s})\in\bZ^{s}$ \'{e}quivalent \`{a}
$$
\prod_{j=1}^{s}\frac{B_{j}R^{2}}{2\pi}=2^{-s}\pi^{-s}B_{1}\ldots B_{s}R^{2s}.
\leqno(1.17)
$$
La majoration $\lim\sup R^{-n}N_{R}(\lambda)\leq \nu_{B}(\lambda)$ s'obtient
alors en effectuant le produit de (1.15) par (1.17), et en sommant pour 
tout $p\in\bN^{s}$ (la somme est finie).\hfill\square\medskip

Pour des questions de convergence qui 
interviendront au \S2, nous aurons besoin \'{e}galement de conna\^{\i}tre une 
majoration de $N_{R}(\lambda)$ ind\'{e}pendante du champ
magn\'{e}tique~$B$. Une 
telle estimation uniforme est fournie par la proposition suivante.
\medskip

{\statement Proposition 1.18.\pointir} 
$N_{R}(\lambda)\leq(R\sqrt{\lambda_{+}}+1)^{n}$.
\medskip

{\it D\'{e}monstration}. -- On majore pour chaque indice $j$ le nombre 
d'entiers $p_{j}$ et $\ell_{j}$ tels que l'in\'{e}galit\'{e}
$$
\lambda_{p,\ell'}+\frac{4\pi^{2}}{R^{2}}|\ell''|^{2}\leq\lambda
$$
ait lieu. Le lemme 1.12 implique
$$
\card  \{p_{j}\}\leq\max(p_{j}+1)\leq\min\Big(\frac{\lambda_{+}}{B_{j}}\,,\,
\frac{R}{\pi}\sqrt{\lambda_{+}}\Big),\qquad 1\leq j\leq s,
$$
tandis que (1.16) entra\^{\i}ne
$$
\card  \{l_{i}\}\leq\frac{R}{\pi}\sqrt{\lambda_{+}}+\frac{B_{j}R^{2}}{2\pi}+1, 
\qquad 1\leq j\leq s.
$$
On en d\'{e}duit par cons\'{e}quent pour $1\leq j\leq s$~:
$$
\card  \{(p_{j},l_{j})\}
\leq\Big(\frac{R}{\pi}\sqrt{\lambda_{+}}\Big)^{2}+\frac{\lambda_{+}}{B_{j}}
\cdot\frac{B_{j}R^{2}}{2\pi}+\frac{R}{\pi}\sqrt{\lambda_{+}}\cdot 1
\leq\big(R\sqrt{\lambda_{+}}+1\big)^{2}
$$
Pour $s<j\leq n-s$, l'in\'{e}galit\'{e} (1.14) donne d'autre part
$$
|\ell_{j}|<\frac{R}{2\pi}\sqrt{\lambda_{+}},
$$
d'o\`{u} $\card  \{l_{j}\}\leq\frac{R}{\pi}\sqrt{\lambda_{+}}+1$. 
La proposition 1.18 s'ensuit.\hfill\square\medskip

{\it Fin de la d\'{e}monstration du th\'{e}or\`{e}me} 1.6
(minoration de $N_{R}(\lambda)$).

Pour minorer $N_{R}(\lambda)$, il suffit d'apr\`{e}s 1.20~(a) de construire un 
espace vectoriel de dimension finie sur lequel 
$Q_{R}(u)\leq\lambda\Vert u\Vert_{P(R)}^{2}$. On consid\`{e}re pour cela 
l'espace vectoriel $\cF_{\lambda}$ des combinaisons lin\'{e}aires de 
\lguil\?fonctions propres\?\rguil\ du type (1.9), assujetties aux 
conditions d'annulation au bord (1.10), et somm\'{e}es sur les 
indices $(p,\ell)\in\bN^{s}\times\bZ^{n-s}$ tels que
$$
\lambda_{p,\ell'}+\frac{4\pi^{2}}{R^{2}}|\ell''|^{2}\leq\lambda.
$$
D'apr\`{e}s le raisonnement de la proposition 1.18, le nombre de conditions 
(1.10) \`{a} r\'{e}aliser est major\'{e} par
$$
\eqalign{
\sum_{j=1}^{s}\bigg[\card \{p_{j} \}&\times\prod_{1\leq i\leq s,\,i\neq j}
\card  \{(p_{i},\ell_{i})\}\times\prod_{s<i\leq n-s}\card \{\ell_{i}\}\bigg]\cr
&+ \sum_{s<j\leq n-s}\bigg[\prod_{1\leq i\leq s}\card  \{(p_{i},\ell_{i})\}
\times\prod_{s<i\neq j}\card \{\ell_{i}\}\bigg]
\leq n(R\sqrt{\lambda_{+}}+1)^{n-1}.\cr}
$$
L'entier $N_{R}(\lambda)$ est donc major\'{e} par
$$
\dim \cF_{\lambda}\geq
\card\Big\{(p,\ell)\in\bN^{s}\times\bZ^{n-s}\,;\;
\lambda_{p,\ell'} + \frac{4\pi^{2}}{R^{2}}|\ell''|^{2}\leq\lambda\Big\}-O(R^{n-1}).
$$
En combinant la minoration du lemme 1.13 avec le lemme ci-dessous, 
l'in\'{e}galit\'{e}\break $\liminf R^{-n}N_{R}(\lambda)\geq \nu_{B}(\lambda)$
r\'{e}sulte alors de calculs analogues \`{a} ceux que nous avons
explicit\'{e}s pour obtenir la majoration de $N_{R}(\lambda)$.
\medskip

{\statement Lemme 1.19.\pointir} {\it Soit $p\in\bN^{s}$ un multi-indice fix\'{e}.
Alors il existe une constante $C=C(p,B)\geq 0$ telle que
$$
\lambda_{p,\ell'} \leq\Big(1+\frac{C}{R}\Big)\sum_{j=1}^{s}(2p_{j}+1)B_{j}
$$
lorsque $|\ell_{j}| \leq\frac{B_{j}R^{2}}{4\pi}(1-R^{-\frac{1}{2}})$, $1\leq j\leq s$.}
\medskip

{\it D\'{e}monstration}. -- On utilise \`{a} nouveau le minimax et le fait 
que les fonctions d'Hermite $\Phi_{p}(\sqrt{B_{j}}t)$ sont une bonne 
approximation des fonctions propres de $q$ sur tout intervalle assez 
grand de centre~$0$. Lorsque $|\ell_{j}| \leq\frac{B_{j}R^{2}}{4\pi}
(1-R^{-\frac{1}{2}})$ et $x_{j} \in{}]-\frac{R}{2},\frac{R}{2}[$, la variable
$t=x_{j}+ \frac{2\pi\ell_{j}}{B_{j}R}$ qui appara\^{\i}t dans (1.8) d\'{e}crit 
en effet un intervalle contenant $]-\frac{\sqrt{R}}{2},\frac{\sqrt{R}}{2}[$.
On a donc $\lambda_{p_{j},\ell_{j}}\leq\widetilde\lambda_{p_{j}}$ o\`{u} 
$(\widetilde\lambda_{m})_{m\in\bN}$ est la suite des valeurs propres de la 
forme quadratique
$$
\widetilde{q}(f)=\int\Big[\,\Big|\frac{df}{dt}\Big|^{2}+(B_{j}t)^{2}|f|^{2}\Big]dt,
\qquad
f\in W_{0}^{1}\Big(\,\Big]-\frac{\sqrt{R}}{2}, \frac{\sqrt{R}}{2}\Big[\,\Big).
$$
Soit $\chi_{R}$ une fonction plateau \`{a} support dans 
$\big[-\frac{\sqrt{R}}{2},\frac{\sqrt{R}}{2}\big]$, \'{e}gale \`{a} $1$ sur 
$\big[-\frac{\sqrt{R}}{4},\frac{\sqrt{R}}{4}\big]$, dont la d\'{e}riv\'{e}e
est major\'{e}e par~$5/\sqrt{R}$. Pour toute combinaison lin\'{e}aire
$$
f=\sum_{m\leq p_{j}}c_{m}\Phi_{m}(\sqrt{B_{j}}t),
$$
la d\'{e}croissance exponentielle des fonctions $\Phi_{m}$ \`{a} l'infini
implique pour $R$ assez grand l'in\'{e}galit\'{e}
$$
\Vert f\Vert \leq\Big(1+C_{1}\exp\Big(-\frac{R}{C_{1}}\Big)\Big)
\Vert\chi_{R}f\Vert 
$$
o\`{u} $C_{1}=C_{1}(p_{j}, B_{j})>0$. On en d\'{e}duit par cons\'{e}quent:
$$
\eqalign{
\widetilde{q}(\chi_{R}f)
&\leq\widetilde{q}(f)+\int_{|t|>\sqrt{R}/4}\bigg(\frac{10}{\sqrt{R}}\Big|f
\frac{df}{dt}\Big|+\frac{25}{R}|f|^{2}\bigg)\,dt\cr
&\leq\widetilde{q}(f)+\int_{|t|>\sqrt{R}/4}\bigg(\frac{1}{R}\Big|\frac{df}{dt}\Big|^{2}
+25\Big(1+\frac{1}{R}\Big)|f|^{2}\bigg)\,dt\cr
&\leq\Big(1+\frac{C_{2}}{R}\Big)\widetilde{q}(f)
\leq\Big(1+\frac{C_{2}}{R}\Big)(2p_{j}+1)B_{j}\,\Vert f\Vert^{2}\cr
&\leq\Big(1+\frac{C}{R}\Big)(2p_{j}+1)B_{j}\,\Vert \chi_{R}f\Vert^{2}\cr}
$$
Ceci donne bien  $\lambda_{p_{j},\ell_{j}}\leq\widetilde\lambda_{p_{j}}
\leq\big(1+\frac{C}{R}\big)(2p_{j}+1)B_{j}$.\hfil\square
\medskip

Pour faciliter la t\^{a}che du lecteur, nous \'{e}non\c{c}ons maintenant
le principe du minimax sous la forme o\`{u} il nous a servi.
\medskip

{\statement Proposition 1.20} (principe du minimax, cf.\ [14], Vol.~IV, 
p.~76 et 78){\bf.\pointir} {\it Soit $Q$ une forme quadratique \`{a} 
domaine dense  $D(Q)$ dans un espace de Hilbert $\cH$. On suppose que $Q$ est
born\'{e}e inf\'{e}rieurement, i.e.\ $Q(f)\geq-C\Vert f\Vert^{2}$ si 
$f\in D(Q)$, que $D(Q)$ est complet pour la norme $\Vert f\Vert_{Q}=[Q(f)+
(C+1)\Vert f\Vert^{2}]^{\frac{1}{2}}$, et enfin que l'injection 
$(D(Q), \Vert~~\Vert_{Q})\hookrightarrow(\cH,\Vert~~\Vert)$ est compacte.
Alors $Q$ a un spectre discret $\lambda_{1}\leq\lambda_{2}\leq\ldots~$,
et on a les \'{e}galit\'{e}s~$:$
{\parindent=6.5mm
\vskip3pt
\item{\rm(a)}
$\displaystyle\lambda_{p}=\min_{F\subset D(Q)}~~\max_{f\in F,\,\Vert f\Vert =1}Q(f),$
\vskip2pt
o\`{u} $F$ d\'{e}crit l'ensemble des sous-espaces de dimension $p$ 
de $D(Q)\;;$
\vskip3pt
\item{\rm(b)}
$\displaystyle\lambda_{p+1}=\max_{F\subset D(Q)}~~\min_{f\in F,\,\Vert f\Vert =1}Q(f),$
\vskip2pt
o\`{u} $F$ d\'{e}crit l'ensemble des sous-espaces $\Vert~~\Vert_{Q}$-ferm\'{e}s
de codimension $p$ de~$D(Q)$.\vskip-\parskip}}
\bigskip

\section{2}{Distribution asymptotique du spectre\\
(cas d'un champ variable).}

Nous nous pla\c{c}ons \`{a} nouveau dans le cadre g\'{e}n\'{e}ral d\'{e}crit 
au  d\'{e}but du \S1. Notre objectif est d'\'{e}tudier le spectre de la forme 
quadratique $Q_{\Omega,k}$ (cf. (1.3)) dans le cas d'un champ magn\'{e}tique
$B$ et d'un champ \'{e}lectrique $V$ quelconques. Pour tout point $a\in M$,
soit
$$
B(a)=\sum_{j=1}^{s}B_{j}(a)\,dx_{j}\wedge dx_{j+s}
\leqno(2.1)   
$$
l'\'{e}criture r\'{e}duite de $B(a)$ dans une base orthonorm\'{e}e convenable 
$(dx_{1},\ldots,dx_{n})$ de $T_{a}^{*}M$, o\`{u} $2s=2s(a)\leq n$ est le rang 
de $B(a)$, et o\`{u} $B_{1}(a)\geq B_{2}(a)\geq\ldots\geq B_{s}(a)>0$ sont 
les modules des  valeurs propres non nulles de l'endomorphisme 
antisym\'{e}trique associ\'{e}. L'\'{e}galit\'{e} de d\'{e}finition 1.5
permet de regarder $\nu_{B}(\lambda)$ comme 
une fonction du couple $(a,\lambda)\in M\times\bR$. Nous aurons besoin 
\'{e}galement de consid\'{e}rer la fonction $\overline{\nu}_{B}(\lambda)$, 
continue  \`{a} droite en $\lambda$, d\'{e}finie par~:
$$
\overline{\nu}_{B}(\lambda)=\lim_{0<\varepsilon\to 0}
\nu_{B}(\lambda+\varepsilon).
\leqno(2.2)
$$
Nous d\'{e}montrons alors la g\'{e}n\'{e}ralisation suivante du corollaire 1.7.
\medskip

{\statement Th\'{e}or\`{e}me 2.3.\pointir} {\it Lorsque $k$ tend vers $+\infty$,
le nombre $N_{\Omega,k}(\lambda)$ de valeurs propres${}\leq\lambda$ de 
$Q_{\Omega,k}$ v\'{e}rifie l'encadrement asymptotique
$$
\int_{\Omega}\nu_{B}(V+\lambda)\,d\sigma\leq\lim\inf k^{-\frac{n}{2}}N_{\Omega,k}
(\lambda)
\leq\lim\sup k^{-\frac{n}{2}}N_{\Omega,k}(\lambda)\leq\int_{\Omega}
\overline{\nu}_{B}(V+\lambda)\,d\sigma.
$$\vskip-\parskip}

La fonction $\lambda\mapsto\int_{\Omega}\nu_{B}(V+\lambda)\,d\sigma$ est 
croissante et continue \`{a} gauche~; elle n'a donc au plus qu'un ensemble 
$\cD$ d\'{e}nombrable de points de discontinuit\'{e}. L'ensemble $\cD$ est 
d'ailleurs vide si $n$ est impair, car $\nu_{B}(\lambda)$ est alors continue.
De l\`{a}, on d\'{e}duit aussit\^{o}t le
\medskip

{\statement Corollaire 2.4.\pointir} {\it On suppose que $\partial\Omega$ est de 
mesure nulle. Alors
$$
\lim_{k\to+\infty}k^{-\frac{n}{2}}N_{\Omega,k}(\lambda)=\int_{\Omega}\nu_{B}(V+
\lambda)\,d\sigma
$$
pour tout $\lambda\in\bR\ssm \cD$, et la mesure de densit\'{e} 
spectrale $k^{-\frac{n}{2}} \frac{d}{d\lambda}N_{\Omega,k}(\lambda)$ converge 
faiblement sur $\bR$ vers $\frac{d}{d\lambda}\int_{\Omega}\nu_{B}(V+\lambda)\,
d\sigma$. Si $n$ est impair, la mesure limite est diffuse.\hfil\square}
\medskip

Le lemme suivant montre que les int\'{e}grales du th\'{e}or\`{e}me 2.3 ont bien 
un sens.
\medskip

{\statement Lemme 2.5.}{\it
{\parindent 6.5mm
\vskip2pt
\item{\rm(a)} On a les in\'{e}galit\'{e}s 
$$\nu_{B}(\lambda)\leq\overline{\nu}_{B}(\lambda)
\leq\lambda_{+}^{n/2}.$$
\vskip2pt
\item{\rm(b)} $\nu_{B}(V)$ $($resp.\ $\overline{\nu}_{B}(V))$ est semi-continue 
inf\'{e}rieurement $($resp.\ sup\'{e}rieurement$)$ sur~$M$.
\vskip2pt
\item{\rm(c)} En tout point $x\in M$ o\`{u} $s(x)< \frac{n}{2}$ on a 
$\nu_{B}(V)(x)=\overline{\nu}_{B}(V)(x)$ et $\nu_{B}(V),\overline{\nu}_{B}(V)$
sont continues en~$x$.
\vskip2pt
\item{\rm(d)} Si $n$ est impair, $\nu_{B}(V)=\overline{\nu}_{B}(V)$ est 
continue sur~$M$.\vskip-\parskip}}
\medskip

{\it D\'{e}monstration. --} (a) On a toujours $\big(\lambda-\sum(2p_{j}+1)B_{j}
\big)^{\frac{n}{2}-s}_+\leq\lambda^{\frac{n}{2}-s}_+$, et le nombre d'entiers 
$p_{j}$ tels que $\lambda-(2p_{j}+1)B_{j}$ soit${}\geq 0$ est major\'{e} par
$\frac{\lambda_{+}}{B_{j}}$. Comme la quantit\'{e} num\'{e}rique figurant 
dans (1.5) est major\'{e}e par~$1$, l'in\'{e}galit\'{e} (a) s'ensuit.

(b, c) Le rang $s=s(x)$ est une fonction semi-continue inf\'{e}rieurement 
sur~$M$,  et les valeurs propres $B_{1},\,B_{2},\,\ldots\,$, prolong\'{e}es
par $B_{j}(x)=0$ pour $j>s(x)$, sont continues sur~$M$. Comme la fonction
$t\mapsto t_{+}^{0}$ (resp.\ $t\mapsto(t+0)_{+}^{0})$ est semi-continue
inf\'{e}rieurement (resp. sup\'{e}rieurement), la semi-continuit\'{e} de
$\nu_{B}(V)$ et $\overline{\nu}_{B}(V)$ pose un probl\`{e}me uniquement
aux points $a\in M$ au voisinage desquels $s(x)$ n'est pas localement
constant. En un tel point $a\in~M$, on a n\'{e}cessairement $s(a)<
\frac{n}{2}$, donc $\nu_{B}(V)(a)=\overline{\nu}_{B}(V)(a)\;$; on va 
alors montrer que $\nu_{B}(V)$ et $\overline{\nu}_{B}(V)$ sont continues
en~$a$. La continuit\'{e} des $B_{j}$ donne $\lim_{x\to a}B_{j}(x)=0$ pour
$j>s(a)$. Si les entiers $p_{1},\,\ldots\,,p_{s\langle a)}$ sont fix\'{e}s, 
la sommation figurant dans (1.5) peut s'interpr\'{e}ter comme une somme 
de Riemann d'une int\'{e}grale sur $\bR^{s(x)-s(a)}$, et on a donc 
l'\'{e}quivalent~:
$$
\eqalign{
\sum_{(p_{j};\;s(a)<j\leq s(x))}&\Big(V(x)-\sum(2p_{j}+1)B_{j}(x)
\Big)^{\frac{n}{2}-s(x)}_+\cr
&\sim\int_{t\in\bR^{s(x)-s(a)}}\bigg[V(a)-\sum_{j=1}^{s(a)}(2p_{j}+1)B_{j}(a)-
\sum_{j=s(a)+1}^{s(x)}2t_{j}B_{j}(x)\bigg]^{\frac{n}{2}-s(x)}_+dt\cr
&=\frac{2^{s(a)-s(x)}\Big(V(a)-\sum(2p_{j}+1)
B_{j}(a)\Big)^{\frac{n}{2}-s(a)}_+}{(\frac{n}{2}-s(x)+1)\cdots
(\frac{n}{2}-s(a))B_{s(a)+1}(x)\cdots B_{s(x)}(x)}~.\cr}
$$
On obtient bien par cons\'{e}quent~:
$$
\lim_{x\to a}\nu_{B}(V)(x)=\nu_{B}(V)(a)=\lim_{x\to a}\overline{\nu}_{B}(V)(x).
$$
(d) Est un cas particulier de (c).\hfil\square\medskip

La d\'{e}monstration du th\'{e}or\`{e}me 2.3 repose essentiellement
sur deux ingr\'{e}dients~: tout d'abord un principe de localisation
asymptotique des fonctions propres, qui s'obtient par application
directe du minimax (proposition~2.6)~; d'autre part, la connaissance
explicite du spectre de l'op\'{e}rateur de Schr\"{o}dinger associ\'{e}
\`{a} un champ magn\'{e}tique constant (cf.~\S1).  Le principe de
localisation permet en effet de se ramener au cas d'un champ constant
en utilisant un pavage de $\Omega$ par des cubes assez petits.
\medskip

{\statement Proposition 2.6.\pointir} {\rm (a)} {\it Si 
$\Omega_{1}, \cdots, \Omega_{N}\subset\Omega$ sont des ouverts $2$ \`{a} $2$ 
disjoints, alors
$$
N_{\Omega,k}(\lambda)\geq\sum_{j=1}^{N}N_{\Omega_{j},k}(\lambda).
$$
{\parindent=6.5mm
\item{\rm(b)} Soit $(\Omega_{j}')_{1\leq j\leq\bN}$ un recouvrement ouvert 
de $\overline\Omega$ et $(\psi_{j})_{1\leq j\leq\bN}$ un syst\`{e}me de fonctions 
$\psi_{f}\in \cC^{\infty}(\bR^{n})$ \`{a} support dans $\Omega_{j}'$, telles 
que $\sum\psi_{j}^{2}=1$ sur~$\overline\Omega$. On pose
$$
C(\psi)=\sup_{\Omega}\sum_{j=1}^{N}|d\psi_{j}|^{2}.
$$
Alors
$$
N_{\Omega,k}(\lambda)\leq\sum_{j=1}^{N}N_{\Omega_{j}',k}\Big(\lambda+\frac{1}
{k}C(\psi)\Big).$$\vskip-\parskip}}


{\it D\'{e}monstration}. -- (a) Soit $\cF$ le $\bC$-espace vectoriel
engendr\'{e} par la collection de toutes les fonctions propres des
formes quadratiques $Q_{\Omega_{j},k}$, $1\leq j\leq N$, correspondant \`{a}
des valeurs propres${}\leq\lambda$. $\cF$ est de dimension
$$
\dim \cF=\sum_{j=1}^{N}N_{\Omega_{j},k}(\lambda)
$$
et pour tout $u\in \cF$, on a
$$
Q_{\Omega,k}(u)=\sum_{j=1}^{N}Q_{\Omega_{j},k}(u)\leq\sum_{j=1}^{N}\lambda\Vert u\Vert_{\Omega_{j}'}^{2}=\lambda\Vert u\Vert_{\Omega}^{2}.
$$
Le principe du minimax montre donc que les valeurs propres de $Q_{\Omega,k}$
d'indice${}\leq\dim \cF$ sont${}\leq\lambda$, d'o\`{u} 
l'in\'{e}galit\'{e} (a).

(b) Pour tout $u\in W_{0}^{1}(\Omega,E^{k})$ il vient
$$
\sum_{j}|D_{k}(\psi_{j}u)|^{2}=\sum_{j}\big|\psi_{j}D_{k}u+(d\psi_{j})u\big|^{2}
=|D_{k}u|^{2}+\sum_{j}|d\psi_{j}|^{2}|u|^{2}
$$
car $2\sum\psi_{j}d\psi_{j}=d(\sum\psi_{j}^{2})=0$. On obtient donc
$$
\sum_{j=1}^{N}Q_{\Omega_{j}',k}(\psi_{j}u)=Q_{\Omega,k}(u)+\int_{\Omega}\frac{1}
{k}\sum_{j=1}^{N}|d\psi_{j}|^{2}|u|^{2}\,d\sigma
\leq Q_{\Omega,k}(u)+\frac{1}{k}C(\psi)\Vert u\Vert_{\Omega}^{2}.
$$
Si chaque fonction $\psi_{j}u\in W_{0}^{1}(\Omega_{j}, E^{k})$ est orthogonale
aux fonctions propres de $Q_{\Omega_{j},k}$ de valeurs 
propres${}\leq\lambda+\frac{1}{k}C(\psi)$, on en d\'{e}duit successivement
$$
\eqalign{
Q_{\Omega_{j},k}(\psi_{j}u)&>\Big(\lambda+\frac{1}{k}C(\psi)\Big)\Vert \psi_{j}
u\Vert_{\Omega_{j}}^{2},\quad\hbox{si $\psi_{j}u\neq 0$},\cr
Q_{\Omega,k}(u)&>\lambda\Vert u\Vert_{\Omega}^{2},\quad\hbox{si $u\neq 0$}.\cr}
$$
Le principe du minimax 1.20 (b) entra\^{\i}ne alors que $N_{\Omega,k}(\lambda)$
est major\'{e} par le nombre d'\'{e}quations lin\'{e}aires impos\'{e}es 
\`{a} $u$, soit au plus
$$
\sum_{j=1}^{N}N_{\Omega_{j},k}\Big(\lambda+\frac{1}{k}C(\psi)\Big).\eqno\square 
$$

Soit $W_{1}, \ldots, W_{N}$ un recouvrement de $\Omega$ par des ouverts de 
carte de la vari\'{e}t\'{e}~$M$. Pour tout $\varepsilon>0$, on peut 
trouver des ouverts 
$\Omega_{i}\subset\Omega_{j}'$, relativement compacts dans $W_{j}$, 
$1\leq j\leq N$,
tels que
$$
\leqalignno{
\Omega&\supset\bigcup\Omega_{j}~~\hbox{(disjointe),~ et $\Vol(\Omega)=
\sum\Vol(\Omega_{j})$},&(2.7)\cr
\overline\Omega&\subset\bigcup\Omega_{j}',\kern56.5pt\hbox{et 
$\sum \Vol(\overline\Omega_{j}')\leq\Vol(\overline\Omega)+\varepsilon$}.
&(2.8)\cr}
$$
La proposition 2.6 ram\`{e}ne alors la preuve du th\'{e}or\`{e}me 2.3 
au cas des ouverts $\Omega_{j}$ et $\Omega_{j}'$ (on observera pour cela
que la fonction $\nu_{B}(V+\lambda)$ est born\'{e}e et que la constante 
$C(\psi)$ est ind\'{e}pendante de~$k$).

En d\'{e}finitive, on peut supposer que $M=\bR^{n}$, avec une m\'{e}trique 
riemannienne $g$ quelconque. Comme $M=\bR^{n}$ est contractile, le 
fibr\'{e} $E$ est alors trivial~; soit $A$ un potentiel vecteur de la 
connexion $D$ et $B=dA$ le champ magn\'{e}tique correspondant. 
Nous d\'{e}montrons d'abord la version locale suivante du th\'{e}or\`{e}me 2.3.
\medskip

{\statement Proposition 2.9.\pointir} {\it Soit $a\in\bR^{n}$ un point fix\'{e}, 
et $P_{k}$ une suite de pav\'{e}s cubiques ouverts tels que $P_{k}\ni a$.
On note $r_{k}$ la longueur du c\^{o}t\'{e} 
de $P_{k}$, et on suppose que
$$
r_{k}\leq 1,\qquad\lim k^{\frac{1}{2}}r_{k}=+\infty,\qquad
\lim k^{\frac{1}{4}}r_{k}=0.
$$
Alors quand $k$ tend vers $+\infty$, on a
$$
\eqalign{
&\liminf\frac{k^{-\frac{n}{2}}}{\Vol(P_{k})}N_{P_{k},k}(\lambda)\geq 
\nu_{B(a)}(V(a)+\lambda),\cr
&\limsup\frac{k^{-\frac{n}{2}}}{\Vol(P_{k})}N_{P_{k},k}(\lambda)\leq
\overline{\nu}_{B(a)}(V(a)+\lambda),\cr}
$$
et pour tout compact $K\subset\bR^{n}$, $N_{P_{k},k}(\lambda)$ admet la 
majoration
$$
N_{P_{k},k}(\lambda)\leq C_{K}
\Big(1+r_{k}\sqrt{k\big(\lambda_{+}+\max_{K}V_{+}\big)}\Big)^{n}
$$
uniforme par rapport \`{a}~$a$, d\`{e}s lors que $P_{k}\subset K$.}
\medskip

{\it D\'{e}monstration}. -- On va se ramener au th\'{e}or\`{e}me 1.6 en 
effectuant une  homoth\'{e}tie de rapport $\sqrt{k}$ sur $P_{k}$ 
(c'est pourquoi nous avons d\^{u} supposer $\lim k^{\frac{1}{2}}r_{k}=+\infty$).
Le lemme suivant mesure combien le champ magn\'{e}tique $B$ d\'{e}vie du champ 
constant $B(a)$ sur chaque~$P_{k}$.
\medskip

{\statement Lemme 2.10.\pointir} {\it Sur chaque pav\'{e} $\overline P_{k}$, on 
peut choisir un potentiel $\widetilde A_{k}$ du champ constant $B(a)$ tel 
que pour tout $x\in\overline{P}_{k}$ on ait
$$
|A_{k}(x)-A(x)|\leq C_{1}r_{k}^{2},
$$
o\`{u} $C_{1}$ est une constante${}\geq 0$ ind\'{e}pendante de $k$ $($et 
ind\'{e}pendante de $a$ si $a$ d\'{e}crit un compact $K\subset\bR^{n})$.}
\medskip

La r\'{e}gularit\'{e} $\cC^{\infty}$ de $B$ entra\^{\i}ne en effet une majoration
$$
|B(a)-B(x)|\leq C_{2}r_{k},\qquad x\in\overline P_{k}.
$$
Soit $A_{k}'$ un potentiel du champ $B(a)-B(x)$ sur le cube $\overline P_{k}$,
calcul\'{e} au moyen de la formule d'homotopie usuelle pour les ouverts
\'{e}toil\'{e}s. On a alors
$$
|A_{k}'(x)|\leq C_{3}r_{k}^{2},
$$
et il suffit de poser $\widetilde A_{k}=A+A_{k}'$.\hfil\square \medskip

Notons $(x_{1},\ldots,x_{n})$ les coordonn\'{e}es standard de $\bR^{n}$.
Soit $(y_{1},\ldots,y_{n})$ un syst\`{e}me de coordonn\'{e}es lin\'{e}aires
en $x_{1}, \ldots, x_{n}$ tel que $(dy_{1},\ldots,dy_{n})$ soit une base 
orthonorm\'{e}e au point $a$ pour la m\'{e}trique $g$, et tel que dans 
cette base $B(a)$ s'\'{e}crive sous la forme diagonale~(2.1)~:
$$
B(a)=\sum_{j=1}^{s}B_{j}(a)\,dy_{j}\wedge dy_{j+s}.
$$
Soit $\widetilde{g}$ la m\'{e}trique constante
$$
\widetilde{g}\equiv g(a)=\sum_{j=1}^{n}dy_{j}^{2}.
$$
D\'{e}signons par $D_{k}=d+ikA\wedge{?}$,
$\widetilde D_{k}=d+ik\widetilde A_{k}\wedge{?}$ les 
connexions sur $E^{k}_{|P_{k}}$ associ\'{e}es aux~potentiels $A$, 
${\widetilde A}_{k}$, et par $Q_{k}=Q_{P_{k},k}$, ${\widetilde Q}_{k}$ 
les formes quadratiques 
associ\'{e}es respectivement aux connexions $D_{k}$, ${\widetilde D}_{k}$, aux 
m\'{e}triques $g$, $\widetilde{g}$, et aux potentiels scalaires $V$, 
$\widetilde{V}\equiv V(a)$ (formule (1.3)).
\medskip

{\statement Lemme 2.11.\pointir} {\it Il existe une suite $\varepsilon_{k}$ 
tendant vers $0$ $($d\'{e}pendant des $r_{k}$, mais ind\'{e}pen\-dante de $a$
si $a$ d\'{e}crit un compact $K\subset\bR^{n})$ 
telle que si $\Vert~~\Vert_{g}$ et $\Vert~~\Vert_{\tilde g}$ 
d\'{e}signent les normes $L^{2}$ globales associ\'{e}es aux m\'{e}triques
$g$ et $\widetilde{g}$, on ait
$$
\eqalign{
(1-\varepsilon_{k})\Vert u\Vert_{\tilde g}^{2}
&\leq\Vert u\Vert_{g}^{2}\leq(1+\varepsilon_{k})\Vert u\Vert_{\widetilde{g}}^{2},\cr
(1-\varepsilon_{k})\widetilde Q_{k}(u)-\varepsilon_{k}
\Vert u\Vert_{\tilde g}^{2}&\leq Q_{k}(u)\leq(1+\varepsilon_{k})
\widetilde Q_{k}(u)+\varepsilon_{k}\Vert u\Vert_{\tilde g}^{2}\cr}
$$
pour tout $u\in W_{0}^{1}(P_{k})$.}\medskip

Sur $P_{k}$, on a en effet un encadrement~:
$$
(1-C_{4}r_{k})\,\widetilde{g}\leq g\leq(1+C_{4}r_{k})\,\widetilde{g},
$$
et ceci donne la premi\`{e}re in\'{e}galit\'{e} double dans 2.11. Avec la 
notation $A_{k}'=A_{k}-A$, on en d\'{e}duit
$$
\eqalign{
Q_{k}(u)&=\int_{P_{k}}\Big(\frac{1}{k}|\widetilde D_{k}u-ikA_{k}'\wedge u|_{g}^{2}
-V|u|^{2}\Big)\,d\sigma\cr
&\leq(1+C_{5}r_{k})\int_{P_{k}}\Big(\frac{1}{k}|\widetilde D_{k}u-ikA_{k}'\wedge u
|^2_{\tilde g}-V(a)|u|^{2}\Big)\,d\widetilde{\sigma}+
\eta_{k}\Vert u\Vert^2_{\tilde g}\cr}
$$
avec $\eta_{k}=\sup_{P_{k}}|V-V(a)|+C_{6}r_{k}$, quantit\'{e} qui tend vers $0$
lorsque $k$ tend vers~$+\infty$. En utilisant l'in\'{e}galit\'{e} 
$(a+b)^{2}\leq(1+\alpha)(a^{2}+\alpha^{-1}b^{2})$, le lemme 2.10 implique 
d'autre part
$$
|\widetilde D_{k}u-ikA_{k}'\wedge u|^2_{\tilde g}\leq
(1+\alpha)\Big[\,|\widetilde D_{k}u|^{2}_{\tilde g}+
\alpha^{-1}C_{1}^{2}k^{2}r_{k}^{4}|u|^{2}\Big].
$$
Choisissons $\alpha=\alpha_{k}=C_{1}\sqrt{k}r_{k}^{2}$. La suite $\alpha_{k}$
tend vers $0$ d'apr\`{e}s l'hypoth\`{e}se $\lim k^{\frac{1}{4}}r_{k}=0$, et 
il vient
$$
\frac{1}{k}|\widetilde D_{k}u-ikA_{k}'\wedge u|^{2}_{\tilde g}\leq
(1+\alpha_{k})\Big[\frac{1}{k}|D_{k}u|^{2}_{\tilde g}+\alpha_{k}|u|^{2}\Big].
$$
La majoration de $Q_{k}$ s'ensuit. La minoration s'obtient de m\^{e}me
gr\^{a}ce \`{a} l'in\'{e}galit\'{e} 
$(a+b)^{2}\geq(1-\alpha)(a^{2}-\alpha^{-1}b^{2})$.\hfil\square\medskip

Le lemme 2.11 ram\`{e}ne la preuve de la proposition 2.9 au cas o\`{u} la
m\'{e}trique $g$ et le champ magn\'{e}tique $B$ sont constants~:
$$
g=\sum_{j=1}^{n}dy_{j}^{2},\qquad B=\sum_{j=1}^{n}B_{j}\,dy_{j}\wedge dy_{j+s}.
$$
On peut supposer de plus $V \equiv 0$ en effectuant la translation 
$\lambda\mapsto\lambda+V(a)$. La seule difficult\'{e} qui subsiste pour 
appliquer directement le th\'{e}or\`{e}me 1.6 vient du fait que les cubes
$P_{k}$ deviennent en g\'{e}n\'{e}ral des parall\'{e}l\'{e}pip\`{e}des
obliques dans les coordonn\'{e}es $(y_{1}, \ldots,y_{n})\;$; les angles 
entre les diff\'{e}rentes ar\^{e}tes de chaque $P_{k}$ et les rapports de 
leurs longueurs restent toutefois encadr\'{e}s par des constantes${}>0$.
Pour r\'{e}soudre cette difficult\'{e}, il suffit de paver chaque
parall\'{e}l\'{e}pip\`{e}de $P_{k}$ par des cubes $P_{k,\alpha}$ dont 
les ar\^{e}tes sont parall\`{e}les aux axes des coordonn\'{e}es 
$(y_{1}, \ldots,y_{n})$. Choisissons $\varepsilon\in{}]0,1[$. Pour 
tout $\alpha\in\bZ^{n}$, soient $(P_{k,\alpha})$, $(P_{k,\alpha}')$ les cubes
ouverts de c\^{o}t\'{e}s respectifs $\varepsilon r_{k}$,
$\varepsilon(1+\varepsilon)r_{k}$, et de centre commun 
$\varepsilon r_{k}\alpha$. On se bornera \`{a} consid\'{e}rer les
cubes $P_{k,\alpha}$ contenus dans $P_{k}$ et les cubes $P_{k,\alpha}'$
rencontrant~$P_{k}$. On a alors
$$
\leqalignno{
&P_{k}\supset\bigcup_{\alpha}P_{k,\alpha}~~\hbox{(disjointe),~~~et}~~~
\frac{\sum_\alpha\Vol(P_{k,\alpha})}{\Vol(P_{k})}\geq 1-C_{7}\varepsilon,
&(2.12)\cr
&P_{k}\subset\bigcup_{\alpha}P_{k,\alpha}',\kern60pt\hbox{et}~~~
\frac{\sum_\alpha\Vol(P_{k,\alpha}')}{\Vol(P_{k})}
\leq 1+C_{7}\varepsilon,&(2.13)\cr}
$$
o\`{u} $C_{7}$ est une constante ind\'{e}pendante de $k$ (et aussi de $a$, 
si $a$ d\'{e}crit un compact). Le nombre de cubes $P_{k,\alpha}$, 
$P_{k,\alpha}'$ qui figurent dans (2.12) ou (2.13) est major\'{e} par 
$C_{8}\varepsilon^{-n}$. Comme les cubes $P_{k,\alpha}'$ se recouvrent 
deux \`{a} deux sur une longueur $\varepsilon^{2}r_{k}$
lorsqu'ils sont contigus, on peut construire une partition de l'unit\'{e} 
$\sum \psi_{k,\alpha}^{2}=1$ sur $P_{k}$, avec 
\hbox{Supp$\,\psi_{k,\alpha}\subset P_{k,\alpha}'$} et
$$
\sup_{P_{k}}\sum_{\alpha}|d\psi_{k,\alpha}|^{2}=C(\psi_{k})\leq C_{9}
(\varepsilon^{2}r_{k})^{-2}.
$$
L'hypoth\`{e}se $\lim k^{\frac{1}{2}}r_{k}=+\infty$ entra\^{\i}ne bien  
$\lim\frac{1}{k}C(\psi_{k})=0$, ce qui permet d'appliquer 2.6~(b). 
Sur les cubes $P_{k\alpha}$, $P_{k,\alpha}'$ nous sommes
maintenant dans la situation du th\'{e}o\-r\`{e}me~1.6~:
apr\`{e}s homoth\'{e}tie de rapport $\sqrt{k}$, le c\^{o}t\'{e} du cube 
homoth\'{e}tique 
$\sqrt{k}\,P_{k,\alpha}$ vaut $R_{k}=\varepsilon r_{k}\sqrt{k}$ et tend bien 
vers $+\infty$ par hypoth\`{e}se. La majoration uniforme de 
$N_{P_{k},k}(\lambda)$ r\'{e}sulte de la proposition 1.18 et du fait que 
toutes nos constantes $C_{1}, \ldots, C_{9}$ \'{e}taient 
uniformes. La proposition 2.9 est d\'{e}montr\'{e}e.\hfil\square\medskip

{\it Demonstration du th\'{e}or\`{e}me 2.3.} -- D'apr\`{e}s la remarque 
pr\'{e}c\'{e}dant la
proposition 2.9, nous pouvons supposer que $M=\bR^{n}$ et que $\Omega$ est un
ouvert born\'{e} de $\bR^{n}$. L'id\'{e}e du raisonnement est de combiner les
propositions 2.6 et 2.9 en utilisant un pavage de $\Omega$ par des cubes de 
c\^{o}t\'{e} $r_{k}=k^{-\frac{1}{3}}$. La mise en ceuvre effective r\'{e}clame
n\'{e}anmoins un peu de soin \`{a} cause des difficult\'{e}s li\'{e}es \`{a}
la non-uniformit\'{e} \'{e}ventuelle des $\limsup$ et $\liminf$.

D\'{e}signons par $\Pi_{k,\alpha}$, $\Pi_{k,\alpha}'$, $\alpha\in \bZ^{n}$, 
les cubes ouverts de c\^{o}t\'{e}s respectifs
$$
k^{-\frac{1}{3}},\qquad k^{-\frac{1}{3}}(1+ k^{-\frac{1}{8}})=
k^{-\frac{1}{3}}+k^{-\frac{11}{24}}
$$
et de centre commun $k^{-\frac{1}{3}}\alpha$. Soit $I(k)$ (resp.\ 
$I'(k)$) l'ensemble des indices $\alpha\in\bZ^{n}$ tels que 
$\Pi_{k.\alpha}\subset\Omega$ (resp.\ $\overline\Pi_{k,\alpha}'
\cap\overline\Omega\neq\emptyset$). Comme dans le
raisonnement de la proposition 2.9, il existe une partition de l'unit\'{e}
$\sum_{\alpha\in I'(k)}\psi_{k,\alpha}^{2}=1$ sur $\Omega$, avec 
\hbox{Supp$\,\psi_{k,\alpha}\subset\Pi_{k,\alpha}'$} et
$$
C(\psi_{k})=\sup_{\Omega}\sum_{\alpha\in I'(k)}|d\psi_{k,\alpha}|^{2}
\leq C_{10}k^{\frac{11}{12}},
$$
d'o\`{u}  $\lim\frac{1}{k}C(\psi_{k})=0$. On pose
$$
\Omega_{k}=\bigcup_{\alpha\in I(k)}\Pi_{k,\alpha},\qquad
\Omega_{k}'=\bigcup_{\alpha\in I'(k)}\Pi_{k,\alpha}'
$$
et on consid\`{e}re pour tout $\lambda\in\bR$ fix\'{e}, les fonctions 
sur $\bR^{n}$ d\'{e}finies par
$$
\eqalign{
f_{k}&=k^{-\frac{n}{2}}\sum_{\alpha\in I(k)}N_{\Pi_{k,\alpha},k}(\lambda)
\frac{1}{\Vol(\Pi_{k,\alpha})}\bOne_{\Pi_{k,\alpha}},\cr
f_{k}'&=k^{-\frac{n}{2}} \sum_{\alpha\in I'(k)}N_{\Pi'_{k,\alpha},k}
\Big(\lambda+\frac{1}{k}C(\psi_{k})\Big)
\frac{1}{\Vol(\Pi_{k,\alpha})}\bOne_{\Pi_{k,\alpha}}
\cr}
$$
o\`{u} $\bOne_{\Pi_{k,\alpha}}$ d\'{e}signe la fonction caract\'{e}ristique de 
$\Pi_{k,\alpha}$. La proposition 2.6 implique l'enca\-drement
$$
\int_{\bR^n}f_{k}\,d\sigma\leq k^{-\frac{n}{2}}N_{\Omega,k}
(\lambda)\leq\int_{\bR^n}f_{k}'\,d\sigma.
\leqno(2.14)
$$
Soit $x\in\bR^{n}$ un point fix\'{e} n'appartenant pas \`{a} l'ensemble
n\'{e}gligeable
$$
Z=\bigcup_{k\in\bN,\,\alpha\in\bZ^n}\partial\Pi_{k,\alpha}.
$$
Il existe alors une suite d'indices $\alpha(k)\in\bZ^{n}$ unique telle que 
$x\in\Pi_{k,\alpha(k)}$. La proposition 2.9 appliqu\'{e}e \`{a} la suite
des cubes $P_{k}=\Pi_{k,\alpha(k)}$ (resp.\ $P_{k}'=\Pi_{k,\alpha(k)}'$) 
avec $\Vol(P_{k})\sim \Vol P_{k}'$ montre que les suites ponctuelles 
$$f_{k}(x)= \frac{k^{-\frac{n}{2}}}{\Vol(P_{k})}N_{P_{k},k}(\lambda)
\bOne_{\Omega_{k}}(x),\qquad f_{k}'(x)= \frac{k^{-\frac{n}{2}}}
{\Vol(P_{k})}N_{P_{k}',k}(\lambda)\bOne_{\Omega_{k}'}(x),
$$
sont telles que
$$\cases{
\liminf f_{k}(x)\kern3pt{}\geq \nu_{B(x)}(V(x)+\lambda)\,\bOne_{\Omega}(x)\cr
\noalign{\vskip5pt}
\limsup f_{k}'(x)\leq\overline{\nu}_{B(x)}(V(x)+\lambda)\,
\bOne_{\overline\Omega}(x).\cr}
\leqno(2.15)
$$
La majoration uniforme de la proposition 2.9 entra\^{\i}ne d'autre part 
l'existence de constantes $C_{11}$, $C_{12}$ ind\'{e}pendantes de 
$k$, $x$ et $\lambda$ telles que
$$
f_{k}(x)\leq f_{k}'(x)\leq C_{11}\big(1+\sqrt{\lambda_{+}+C_{12}}\,\big)^{n}.
$$
Le th\'{e}or\`{e}me 2.3 r\'{e}sulte alors de (2.14), (2.15) et du lemme de 
Fatou.\hfil \square \medskip

En vue des applications \`{a} la g\'{e}om\'{e}trie complexe, nous aurons besoin 
d'une l\'{e}g\`{e}re g\'{e}n\'{e}ra\-lisation du th\'{e}or\`{e}me 2.3. 
On se donne
un fibr\'{e} hermitien $F$ de rang $r$ et de classe $\cC^{\infty}$ au-dessus 
de~$M$, muni d'une connexion hermitienne $\nabla$, et des sections continues 
$S$ du fibr\'{e} $\Lambda_{\bR}^{1}T^{*}X\otimes_{\bR}\Hom_{\bC}(F,F)$ et $V$
du fibr\'{e} $\Herm(F)$ des endomorphismes hermitiens de~$F$. Soit 
$\nabla_{k}$ la connexion hermitienne sur $E^{k}\otimes F$ induite par 
les connexions $D$ et $\nabla$. Pour abr\'{e}ger les 
notations, on d\'{e}signera encore par $S$ et $V$ les endomorphismes 
$\Id_{E^{k}}\otimes S$ et $\Id_{E^{k}}\otimes V$ op\'{e}rant 
sur~$E^{k}\otimes F$. \'{E}tant donn\'{e} un ouvert $\Omega$ 
relativement compact dans~$M$, on consid\`{e}re la forme quadratique
$$
Q_{\Omega,k}(u)=\int_{\Omega}\Big(\frac{1}{k}|\nabla_{k}u+Su|^{2}-\langle Vu,
u\rangle\Big)\,d\sigma,
$$
o\`{u} $u\in W_{0}^{1}(\Omega,E^{k}\otimes F)$. Soient $V_{1}(x)\leq V_{2}(x)
\leq\cdots\leq V_{r}(x)$ les valeurs propres de $V(x)$ en tout point
$x\in M$. On a alors le r\'{e}sultat suivant.\medskip

{\statement Th\'{e}or\`{e}me 2.16.\pointir} {\it La fonction de d\'{e}nombrement 
$N_{\Omega,k}(\lambda)$ des valeurs propres de $Q_{\Omega,k}$ admet pour 
tout $\lambda\in\bR$ les estimations asymptotiques
$$
\eqalign{
\liminf_{k\to+\infty}~k^{-\frac{n}{2}}N_{\Omega,k}(\lambda)
&\geq\sum_{j=1}
^{r}\int_{\Omega}\nu_{B}(V_{j}+\lambda)\,d\sigma,\cr
\limsup_{k\to+\infty}~k^{-\frac{n}{2}}N_{\Omega,k}(\lambda)
&\leq\sum_{j=1}^{r}\int_{\Omega}\overline{\nu}_{B}(V_{j}+\lambda)\,d\sigma,\cr}
$$
o\`{u} $B$ est le champ magn\'{e}tique associ\'{e} \`{a} la connexion $D$ 
sur~$E$.}
\medskip

{\it D\'{e}monstration}. -- Le principe de localisation 2.6 est encore 
valable dans la 
pr\'{e}sente situation. Il suffit donc de d\'{e}montrer les in\'{e}galit\'{e}s 
2.16 lorsque $\Omega$ est assez petit. Soit $a\in M$ un point fix\'{e} et 
$(e_{1},\ldots,e_{r})$ un rep\`{e}re orthonorm\'{e} $\cC^{\infty}$ de $F$ 
au-dessus d'un voisinage $W$ de $a$, tel que $(e_{1}(a),\ldots,e_{r}(a))$
soit une base propre pour $V(a)$. \'{E}crivons $u$ sous la forme
$$
u=\sum_{j=1}^{r}u_{j}\otimes e_{j}
$$
o\`{u} $u_{j}$ est une section de $E^{k}$. Pour tout $\varepsilon>0$, il 
existe un voisinage $W_{\varepsilon}'\subset W$ de $a$ sur lequel
$$
\sum_{j=1}^{r}(V_{j}(a)-\varepsilon)|u_{j}|^{2}\leq\langle Vu,u\rangle\leq\sum_{j=
1}^{r}(V_{j}(a)+\varepsilon)|u_{j}|^{2}
$$
On a d'autre part
$$
\nabla_{k}u=\sum_{j=1}^{r}D_{k}u_{j}\otimes e_{j}+u_{j}\otimes\nabla e_{j},
$$
et le terme $u_{j}\otimes\nabla e_{j}$ peut \^{e}tre absorb\'{e} dans $Su$ 
(ce qui nous ram\`{e}ne en fait au cas o\`{u} la connexion $\nabla$ est plate). 
L'encadrement
$$
(1-k^{-\frac{1}{2}})|\nabla_{k}u|^{2}+(1-k^{\frac{1}{2}})|Su|^{2}
\leq|\nabla_{k}u+Su|^{2}\leq
(1+k^{-\frac{1}{2}})|\nabla_{k}u|^{2}+(1+k^{\frac{1}{2}})|Su|^{2}
$$
montre que le terme $Su$ ne modifie $Q_{\Omega,k}$ que par un facteur 
multiplicatif  $1\pm\varepsilon$ et par un facteur additif 
$\pm\varepsilon\Vert u\Vert^{2}$. Pour tout $\varepsilon>0$, il existe 
donc un voisinage $W_{\varepsilon}$ de $a$ et un entier $k_{0}(\varepsilon)$
tels que
$$
(1-\varepsilon)\widetilde Q_{\Omega.k}(u)-\varepsilon\Vert u\Vert^{2}
\leq Q_{\Omega,k}(u)\leq(1+\varepsilon)
\widetilde Q_{\Omega,k}(u)+\varepsilon\Vert u\Vert^{2}
$$
d\`{e}s que $k\geq k_{0}(\varepsilon)$ et $\Omega\subset W_{\varepsilon}$, o\`{u} 
$\widetilde Q_{\Omega,k}$ d\'{e}signe la forme quadratique
$$
\widetilde Q_{\Omega.k}(u)=
\sum_{j=1}^{r}\int_{\Omega}\Big(\frac{1}{k}|D_{k}u_{j}|^{2}-V_{j}(a)
|u_{j}|^{2}\Big)\,d\sigma.
$$
Comme $\widetilde Q_{\Omega,k}$ est une somme directe de $r$ formes
quadratiques, le spectre de $\widetilde Q_{\Omega.k}$ est la r\'{e}union
(compt\'{e}e avec multiplicit\'{e}s) des spectres de chacun des termes
de la somme. Le th\'{e}or\`{e}me 2.16 s'ensuit.\hfil\square\bigskip

\section{3}{Identit\'{e} de Bochner-Kodaira-Nakano\\
en g\'{e}om\'{e}trie hermitienne.}

L'objet des paragraphes qui suivent est de tirer les cons\'{e}quences du 
th\'{e}or\`{e}me  de r\'{e}par\-tition spectrale 2.16 pour 
l'\'{e}tude de la $d''$-cohomologie des fibr\'{e}s vectoriels holomorphes 
hermitiens. Dans ce but, nous aurons besoin de relier le laplacien 
antiholomorphe $\Delta''$ \`{a} l'op\'{e}rateur de Schr\"{o}dinger
d'une connexion r\'{e}elle ad\'{e}quate. Ceci se fait au moyen d'une
formule particuli\`{e}re de type Weitzenb\"{o}ck, connue en
g\'{e}om\'{e}trie complexe sous le nom d'identit\'{e} de
Bochner-Kodaira-Nakano.

Soit $X$ une vari\'{e}t\'{e} analytique complexe compacte de dimension $n$
et $F$ un fibr\'{e} vectoriel holomorphe hermitien de rang $r$ au-dessus 
de~$X$. On sait qu'il existe une unique connexion hermitienne $D=D'+D''$ 
sur $F$ dont la composante $D''$ de type $(0,1)$ coincide avec l'op\'{e}rateur
$\overline\partial$ du fibr\'{e} (une telle connexion est dite holomorphe).
Soit $c(F)=D^{2}=D'D''+D''D'$ la forme de courbure de~$F$. 
Munissons $X$ d'une m\'{e}trique hermitienne arbitraire $\omega$ de type 
$(1,1)$ et de classe $\cC^{\infty}$. L'espace $\cC_{p,q}^{\infty}(X,F)$
des sections de classe $\cC^{\infty}$ du fibr\'{e} $\Lambda^{p,q}T^{*}X\otimes F$
se trouve alors muni d'une structure pr\'{e}hil\-ber\-tienne naturelle. 
On note $\delta=\delta'+\delta''$ l'adjoint formel de $D$ 
consid\'{e}r\'{e} comme op\'{e}rateur diff\'{e}rentiel sur 
$\cC^{\infty}(X,F)$, et $\Lambda$ l'adjoint de l'op\'{e}rateur 
$L:u\mapsto\omega\wedge u$.

Nous utiliserons l'identit\'{e} de Bochner-Kodaira-Nakano sous la forme 
g\'{e}n\'{e}rale d\'{e}montr\'{e}e dans [6], bien qu'on puisse en fait
se contenter, comme le fait Y.T.~Siu [16], [17], de la formule moins 
pr\'{e}cise donn\'{e}e par P.~Griffiths. Si $A$, $B$ sont des 
op\'{e}rateurs diff\'{e}rentiels sur $\cC^{\infty}(X,F)$, on d\'{e}finit
leur anti-commutateur $[A,B]$ par la formule
$$
[A,B]=AB-(-1)^{ab}BA
$$
o\`{u} $a$, $b$ sont les degr\'{e}s respectifs de $A$ et~$B$. Les 
op\'{e}rateurs de Laplace-Beltrami $\Delta'$ et $\Delta''$ sont alors
donn\'{e}s classiquement par
$$
\Delta'=[D',\delta']=D'\delta'+\delta'D',\qquad \Delta''=[D'', \delta'']
$$
\`{A} la forme de torsion $d'\omega$, nous associons l'op\'{e}rateur de 
multiplication ext\'{e}rieure $u\mapsto d'\omega\wedge u$ sur 
$\cC^{\infty}(X,F)$, de type $(2,1)$, not\'{e} simplement  $d'\omega$, 
et l'op\'{e}rateur $\tau$ de type $(1,0)$ d\'{e}fini par 
$\tau=[\Lambda,d'\omega]$. Nous posons enfin
$$
D_{\tau}'=D'+\tau,\qquad 
\delta_{\tau}' =(D_{\tau}')^{*}=\delta'+\tau^{*},\qquad
\Delta_{\tau}'=[D_{\tau}',\delta_{\tau}'].
$$
On a alors l'identit\'{e} suivante, pour une d\'{e}monstration de laquelle le 
lecteur se reportera \`{a} [6].\medskip

{\statement Proposition 3.1.\pointir} {\it On a
$\Delta''=\Delta_{\tau}'+[ic(F),\Lambda]+
T_{\omega}$ o\`{u} $T_{\omega}$ est l'op\'{e}rateur d'ordre $0$ et de type 
$(0,0)$ d\'{e}fini par
$$
T_{\omega}=\Big[\Lambda,\Big[\Lambda,\frac{i}{2}d'd''\omega\Big]\Big]-
[d'\omega,(d'\omega)^{*}].
$$}\vskip-\parskip

D'apr\`{e}s la th\'{e}orie de Hodge-De Rham, le groupe de cohomologie 
$H^{q}(X,F)$ s'identifie \`{a} l'espace des $(0,q)$-formes 
$\Delta''$-harmoniques \`{a} valeurs dans~$F$. Soit 
$u\in \cC_{p.q}^{\infty}(X,F)$. La proposition 3.1 nous donne l'\'{e}galit\'{e}
$$
\int_{X}|D''u|^{2}+|\delta''u|^{2}=\int_{X}\langle\Delta''u,u\rangle
=\int_{X}|D_{\tau}'u|^{2}+|\delta_{\tau}'u|^{2}+\langle[ic(F),\Lambda]u,u\rangle
+\langle T_{\omega}u,u\rangle,
\leqno(3.2)  
$$
o\`{u} les int\'{e}grales sont calcul\'{e}es relativement \`{a} 
l'\'{e}l\'{e}ment de volume $d\sigma=\frac{\omega^{n}}{n!}$. En parti\-culier, 
si $u$ est de bidegr\'{e} $(0,q)$, on a $\delta_{\tau}'u=0$ par raison de 
bidegr\'{e}, d'o\`{u}
$$
\int_{X}\langle\Delta''u,u\rangle=\int_{X}|D_{\tau}'u|^{2}+\langle[ic(F),
\Lambda]u,u\rangle+\langle T_{\omega}u,u\rangle.
\leqno(3.3)  
$$
On peut \'{e}galement consid\'{e}rer $u$ comme une $(n,q)$-forme \`{a} 
valeurs dans le fibr\'{e} 
$$
\widetilde F:=F\otimes\Lambda^{n}TX~;
$$
on notera $\widetilde D=\widetilde D'+\widetilde D''$ la connexion hermitienne
holomorphe de $\widetilde F$ et $\widetilde{u}$ l'image canonique de $u$ 
dans $\cC_{n,q}^{\infty}(X,F)$.
\medskip

{\statement Lemme 3.4.\pointir} {\it On a des diagrammes commutatifs
$$
\matrix{
\cC_{0.q}^{\infty}(X,F)&\mathop{\longrightarrow}\limits^{\textstyle D''}
&\cC_{0,q+1}^{\infty}(X,F)\cr
\noalign{\vskip5pt}
\sim\big\downarrow&\phantom{{}\longrightarrow{}}&\big\downarrow\sim\cr
\cC_{n,q}^{\infty}(X,\widetilde F)&
\mathop{\longrightarrow}\limits^{\textstyle\widetilde D''}&
\cC_{n,q+1}^{\infty}(X,\widetilde F),\cr}\kern40pt
\matrix{
\cC_{0,q}^{\infty}(X,F)&\mathop{\longrightarrow}\limits^{\textstyle 
\Delta''}&\cC_{0,q}^{\infty}(X,F)\cr
\noalign{\vskip5pt}
\sim\big\downarrow&\phantom{{}\longrightarrow{}}&\big\downarrow\sim\cr
\cC_{n,q}^{\infty}(X,\widetilde F)&
\mathop{\longrightarrow}\limits^{\textstyle\widetilde\Delta''}&
\cC_{n,q}^{\infty}(X,\widetilde F),\cr}
$$
o\`{u} les fl\`{e}ches verticales sont les isom\'{e}tries 
$u\mapsto\widetilde{u}$.}

{\it D\'{e}monstration}. -- La commutativit\'{e} du diagramme de gauche 
r\'{e}sulte du fait que $\Lambda^{n}TX$ est un fibr\'{e} holomorphe 
(on prendra garde au fait que le r\'{e}sultat correspondant pour 
$D'$ et $\widetilde D'$ est faux). On a donc un diagramme 
commutatif analogue pour les adjoints $\delta''$, $\widetilde\delta''$ 
et pour $\Delta''$, $\widetilde \Delta''$.\hfil\square\medskip

Le lemme 3.4 et l'identit\'{e} (3.2) nous donnent
$$
\int_{X} \langle\Delta''u,u\rangle=
\int_{X}\langle\widetilde\Delta''\widetilde{u},\widetilde{u}\rangle
=\int_{X}|\widetilde{\delta}'_\tau\widetilde{u}|^{2}+
\langle[ic(\widetilde F),\Lambda]\widetilde{u},\widetilde
{u}\rangle+\langle T_{\omega}\widetilde{u},\widetilde{u}\,\rangle.
\leqno(3.5)
$$
Nous allons maintenant transformer l\'{e}g\`{e}rement l'\'{e}criture de (3.3)
et (3.5). La connexion hermitienne holomorphe du fibr\'{e} 
$\Lambda^{q}T^{*}X$ induit sur le fibr\'{e} conjugu\'{e} 
$\Lambda^{0,q}T^{*}X$ une connexion dont la composante de type $(1,0)$ 
coincide avec l'op\'{e}rateur~$d'$. On en d\'{e}duit 
alors une connexion hermitienne naturelle $\nabla$ sur le fibr\'{e} produit 
tensoriel $\Lambda^{0,q}T^{*}X\otimes F$ (on observera que ce fibr\'{e} 
vectoriel n'est pas holomorphe en g\'{e}n\'{e}ral si $q\neq 0$). 
Soient $\nabla'$~et $\nabla''$ les composantes de $\nabla$ de type 
$(1,0)$ et $(0,1)$.
\medskip

{\statement Proposition 3.6.\pointir} {\it On a
$$
\nabla'=D' : \cC^{\infty}(\Lambda^{0,q}T^{*}X\otimes F)\to \cC
_{1,0}^{\infty}(\Lambda^{0,q}T^{*}X\otimes F) ,
$$
et il existe un diagramme commutatif
$$
\matrix{
\cC^{\infty}(X,\Lambda^{0.q}T^{*}X\otimes F)&
\mathop{\longrightarrow}\limits^{\textstyle\nabla''}
&\cC^{\infty}_{0,1}(X,\Lambda^{0.q}T^{*}X\otimes F)\cr
\noalign{\vskip5pt}
\sim\big\downarrow&\phantom{{}\longrightarrow{}}&\big\downarrow\Psi\cr
\cC_{n,q}^{\infty}(X,\widetilde F)&
\mathop{\longrightarrow}\limits^{\textstyle\widetilde\delta ''}&
\cC_{n-1,q}^{\infty}(X,\widetilde F),\cr}
$$
o\`{u} les fl\`{e}ches verticales sont des isom\'{e}tries, celle de 
gauche \'{e}tant donn\'{e}e par $u\mapsto\widetilde{u}$.}
\medskip

{\it D\'{e}monstration}. -- L'\'{e}galit\'{e} $\nabla' =D'$ provient du 
fait que la composante de type $(1,0)$ de la connexion de 
$\Lambda^{0,q}T^{*}X$ coincide avec~$d'$. Pour le diagramme, on commence 
par d\'{e}finir la fl\`{e}che verticale~$\Psi$. Soit
$$
\{?|?\} : (\Lambda^{p_{1},q_{1}}T^{*}X\otimes\widetilde F)\times
(\Lambda^{p_{2},q_{2}}T^{*}X\otimes\widetilde F)
\longrightarrow\Lambda^{p_{1}+q_{2},q_{1}+p_{2}}T^{*}X
$$
l'accouplement sesquilin\'{e}aire canonique induit par la m\'{e}trique sur les 
fibres de~$F$, et
$$
*{}: \Lambda^{p,q}T^{*}X\otimes\widetilde F\longrightarrow
\Lambda^{n-q,n-p}T^{*}X\otimes\widetilde F
$$
l'op\'{e}rateur de Hodge-De Rham-Poincar\'{e} d\'{e}fini par
$$
\{v|*w\}=\langle v,w\rangle\,d\sigma,\qquad v,~w\in
\Lambda^{p,q}T^{*}X\otimes\widetilde F.
$$
On en d\'{e}duit par composition une isom\'{e}trie
$$
\Psi_{0} : \Lambda^{0,1}T^{*}X\otimes F\mathop{\longrightarrow}\limits^{
\displaystyle\sim}\Lambda^{n,1}T^{*}X\otimes\widetilde F
\mathop{\longrightarrow}\limits^{\displaystyle *}\Lambda^{n-1,0}T^{*}X\otimes 
\widetilde F
$$
et la fl\`{e}che $\Psi$ s'obtient par d\'{e}finition en tensorisant 
$-i^{-n^{2}}\Psi_{0}$ par $\Lambda^{0,q}T^{*}X$. Pour d\'{e}montrer 
la commutativit\'{e}, on suppose d'abord $q=0$. Soit $u\in \cC^{\infty}(F)$.
On a classiquement
$$
\widetilde{\delta}'\widetilde{u}=-*\widetilde D''*\widetilde{u},
$$
et comme $\widetilde{u}\in \cC_{n,0}^{\infty}(X,F)$, il vient 
$*\widetilde{u}=i^{-n^{2}}\widetilde{u}$, d'o\`{u}
$$
\widetilde{\delta}'\widetilde{u}=-i^{-n^{2}}*D''\widetilde{u}=
-i^{-n^{2}}*\sim D''u=-i^{-n^{2}}\Psi_{0}(D''u)=\Psi(\nabla''u).
$$
Dans le cas o\`{u} $q$ est quelconque, il suffit de trivialiser 
$\Lambda^{0,q}T^{*}X$ au voisinage d'un point $x$ arbitraire, en 
choisissant un rep\`{e}re orthonorm\'{e} $(e_{1}, \ldots,e_{N})$ 
de ce fibr\'{e}, tel que \hbox{$\nabla e_{1}(x)=\cdots=\nabla e_{N}(x)=0$}.
\hfil\square\medskip

On consid\`{e}re maintenant les morphismes de fibr\'{e}s
$$
\eqalign{
S' &: \Lambda^{0,q}T^{*}X\otimes F\to\Lambda^{1,0}T^{*}X\otimes\Lambda^{0,q}T^{
*}X\otimes F\cr
S''&:\Lambda^{0,q}T^{*}X\otimes F\to\Lambda^{0,1}T^{*}X\otimes\Lambda^{0,q}T^{*}
X\otimes F\cr}
$$
o\`{u} $S'=\tau=[\Lambda,d'\omega]$, et o\`{u} $S''$ est le relev\'{e} par
les isom\'{e}tries $\sim$ et $\Psi$ du morphisme
$$
\tau^{*}=[(d'\omega)^{*},L]:\Lambda^{n,q}T^{*}X\otimes\widetilde F
\to\Lambda^{n-1.q}T^{*}X\otimes\widetilde F.
$$
D'apr\`{e}s la proposition 3.6, on a
$$
|D_{\tau}'u|=|\nabla'u+S'u|,\qquad
|\widetilde\delta'_{\tau}\widetilde{u}|=|\nabla''u+S''u|.
$$
Si on pose $S=S'\oplus S''$, les identit\'{e}s (3.3) et (3.5) impliquent par 
addition 
$$
\leqalignno{
2\int_{X}\langle\Delta''u,u\rangle
=\int_{x}|\nabla u&+Su|^{2}+\int_{X}\langle[ic(F),\Lambda]u,u\rangle\cr
&+\int_{X}\langle[ic(\widetilde{F}),\Lambda]\widetilde{u},\widetilde{u}\rangle+
\langle T_{\omega}u,u\rangle+\langle T_{\omega}\widetilde{u},\widetilde{u}\rangle
&(3.7)\cr}
$$
pour tout $u\in \cC_{0,q}^{\infty}(X,F)$.

Soit maintenant $E$ un fibr\'{e} holomorphe hermitien de rang~$1$ au-dessus
de~$X$. Pour tout entier~$k$, on note $D_{k}$ et $\nabla_{k}$ les 
connexions hermitiennes naturelles sur les fibr\'{e}s 
$F_{k}=E^{k}\otimes F$ et $\Lambda^{0,q}T^{*}X\otimes F_{k}$, et on 
pose $\Delta_{k}''=[D_{k}'',\delta_{k}'']$. La courbure de $F_{k}$ 
(resp.\ $\widetilde F_{k}$) est donn\'{e}e par
$$
c(F_{k})=c(F)+kc(E)\otimes\Id_{F},\quad\hbox{resp.}\quad
c(\widetilde F_{k})=c(\widetilde F)+kc(E)\otimes\Id_{\widetilde F}.
\leqno(3.8) 
$$
Rappelons, bien que ce soit inutile pour la suite, que
$$
c(\widetilde F)=
c(F)+c(\Lambda^{n}TX)\otimes\Id_{F}=c(F)+{\rm Ricci}(\omega)\otimes\Id_{F}.
$$
Nous aurons donc besoin d'\'{e}valuer les termes $[ic(E),\Lambda]$. Pour tout 
point $x\in X$, soient $\alpha_{1}(x)$, $\alpha_{2}(x), \ldots, \alpha_{n}(x)$
les valeurs propres de $ic(E)(x)$ relativement \`{a} la m\'{e}trique
hermitienne $\omega$ sur $X$. Il existe donc un syst\`{e}me de
coordonn\'{e}es locales $(z_{1}, \ldots,z_{n})$ centr\'{e} en $x$
tel que $(\frac{\partial}{\partial z_{1}},\ldots,\frac{\partial}
{\partial z_{n}})$ soit une base orthonorm\'{e}e de $(T_{x}X,\omega(x))$,
et tel que
$$
\eqalign{
\omega(x)&=\frac{i}{2}\sum_{j=1}^{n}dz_{j}\wedge d\overline{z}_{j},\cr
ic(E)(x)&=\frac{i}{2}\sum_{j=1}^{n}\alpha_{j}(x)\,dz_{j}\wedge d\overline{z}_{j}.
\cr}
$$
Soit $(e_{1}, \ldots,e_{r})$ un rep\`{e}re orthonorm\'{e} de la fibre 
$E_{x}^{k}\otimes F_{x}$. Pour $v\in\Lambda^{p.q}T^{*}X\otimes F_{k}$, 
on peut \'{e}crire
$$
v=\sum_{|I|=p,|J|=q,\,\ell}v_{I,J,\ell}\,dz_{I}\wedge d\overline{z}_{J}
\otimes e_{\ell},\qquad|v|^{2}=2^{p+q}\sum_{I,J,\ell}|v_{I,J,\ell}|^{2}.
$$
Un calcul \'{e}l\'{e}mentaire, explicit\'{e} par exemple dans [6], donne la 
formule
$$
\langle[ic(E),\Lambda]v,v\rangle=2^{p+q}\sum_{I,J,\ell}(\alpha_{I}+\alpha_{J}-
\sum_{j=1}^{n}\alpha_{j})|v_{I,J,\ell}|^{2}
\leqno(3.9)
$$
avec $\alpha_{I}=\sum_{j\in I}\alpha_{j}$. Soit 
$u\in\Lambda^{0,q}T^{*}X\otimes F_{k}$. Posons
$$
u= \sum_{J,\ell}u_{J,\ell}\,d\overline{z}_{J}\otimes e_{\ell}.
$$
D'apr\`{e}s (3.9), il vient
$$
\eqalign{
\langle[ic(E),\Lambda]u,u\rangle&=2^{q}\sum_{J,\ell}
-\alpha_{\complement J}|u_{J,\ell}|^{2},\cr
\langle[ic(E\rangle,\Lambda]\widetilde{u},\widetilde{u}\rangle&=
2^{q}\sum_{J,\ell}\alpha_{J}|u_{J,\ell}|^{2}.\cr}
$$
Soit $V$ l'endomorphisme hermitien de $\Lambda^{0,q}T^{*}X\otimes F_{k}$ 
d\'{e}fini par
$$
\langle Vu,u\rangle=-\langle[ic(E),\Lambda]u,u\rangle-\langle[ic(E),
\Lambda]\widetilde{u},\widetilde{u}\rangle
=2^{q}\sum_{J,\ell}(\alpha_{\complement J}-\alpha_{J})|u_{J,\ell}|^{2}.
\leqno(3.10) 
$$
Les valeurs propres de $V$ sont donc les coefficients 
$\alpha_{\complement J}-\alpha_{J}$, compt\'{e}s avec multiplicit\'{e} 
$r=\rang(F)$. Soit enfin $\Theta$ l'endomorphisme hermitien d\'{e}fini par
$$
\langle\Theta u,u\rangle=\langle[ic(F),\Lambda]u,u\rangle+\langle[
ic(\widetilde{F}),\Lambda]\widetilde{u},\widetilde{u}\rangle
+\langle T_{\omega}u,u\rangle+
\langle T_{\omega}\widetilde{u},\widetilde{u}\rangle.
\leqno(3.11) 
$$
Les identit\'{e}s (3.7-11) impliquent alors
$$
\frac{2}{k}\int_{X}\langle\Delta_{k}''u,u\rangle=\int_{X}\frac{1}{k}
|\nabla_{k}u+Su|^{2}-\langle Vu,u\rangle+\frac{1}{k}\langle\Theta u,u\rangle
\leqno(3.12)  
$$
o\`{u} les op\'{e}rateurs $S$, $V$, $\Theta$ n'agissent que sur la 
composante $\Lambda^{0,q}T^{*}X\otimes F$ de 
$\Lambda^{0,q}T^{*}X\otimes F_{k}$. On va donc pouvoir 
utiliser le th\'{e}or\`{e}me 2.16 pour d\'{e}terminer la distribution spectrale 
asymptotique de $\Delta_{k}''$, car le terme 
$\frac{1}{k}\langle\Theta u,u\rangle$ tend vers $0$ en norme.

Soit $h_{k}^{q}(\lambda)$ le nombre de valeurs propres${}\leq k\lambda$
de $\Delta_{k}''$ op\'{e}rant sur $\cC_{0,q}^{\infty}(E^{k}\otimes F)$. 
Le champ magn\'{e}tique $B$ est ici donn\'{e} par
$$
 B=-ic(E)=-\sum_{j=1}^{n}\alpha_{j}\,dx_{j}\wedge dy_{j},\qquad
z_{j}=x_{j}+iy_{j}.\leqno(3.13)
$$
Compte-tenu que $\dim_{\bR}X=2n$, le th\'{e}or\`{e}me 2.16 se 
transcrit comme suit.
\medskip

{\statement Th\'{e}or\`{e}me 3.14.\pointir} {\it Il existe un ensemble 
d\'{e}nombrable $\cD$ tel que pour tout $q=0,1, \ldots, n$ et 
tout $\lambda\in\bR\ssm \cD$ on ait
$$
h_{k}^{q}(\lambda)=rk^{n}\sum_{|J|=q}\int_{X}\nu_{B}(2\lambda+\alpha_{\complement J}
-\alpha_{J})\,d\sigma+o(k^{n})
$$
lorsque $k$ tend vers $+\infty$.}
\bigskip

\section{4}{Complexe de Witten et in\'{e}galit\'{e}s de Morse.}

E.~Witten[18], [19] a introduit r\'{e}cemment une nouvelle m\'{e}thode
analytique pour d\'{e}mon\-trer les in\'{e}galit\'{e}s de Morse en
cohomologie de de Rham. Nous adaptons ici sa m\'{e}thode pour
l'\'{e}tude de la $d''$-cohomologie. La principale diff\'{e}rence
r\'{e}side dans le fait que le champ magn\'{e}tique est toujours nul
dans le cas de la cohomologie de de Rham (on a en effet $d^{2}=0$~!),
et c'est le champ \'{e}lectrique qui intervient seul dans ce cas.

Avec les notations du \S3, soit $\cH_{k}^{q}(\lambda)\subset \cC_{0,q}^{\infty}
(X,E^{k}\otimes F)$ la somme directe des sous-espaces propres de 
$\Delta_{k}''$ attach\'{e}s aux valeurs propres${}\leq k\lambda$. 
$\cH_{k}^{q}(\lambda)$ est donc un espace vectoriel de dimension finie
$$
h_{k}^{q}(\lambda)=\dim_{\bC}\cH_{k}^{q}(\lambda).
$$
La th\'{e}orie de Hodge donne un isomorphisme
$$
H^{q}(X,E^{k}\otimes F)\simeq \cH_{k}^{q}(0) .
$$
On posera pour abr\'{e}ger
$$
h_{k}^{q}=\dim H^{q}(X,E^{k}\otimes F)=h_{k}^{q}(0) .
$$

{\statement Proposition 4.1.\pointir} {\it $\cH_{k}^{\bullet}(\lambda)$ est 
un sous-complexe du complexe de Dolbeault
$$
D_{k}'':\cC_{0,\bullet}^{\infty}(X,E^{k}\otimes F).
$$
De plus, l'inclusion $\cH_{k}^{\bullet}(\lambda)\subset \cC_{0,\bullet}^{\infty}
(X,E^{k}\otimes F)$ et la projection orthogonale
$$
P_{\lambda}:\cC_{0,\bullet}^{\infty}(X,E^{k}\otimes F)\to \cH_{k}^{\bullet}
(\lambda)
$$
induisent en cohomologie des isomorphismes inverses l'un de l'autre.}
\medskip

{\it D\'{e}monstration}. -- Le fait que $\cH^{\bullet}_{k}(\lambda)$ soit un 
sous-complexe de $\cC_{0,\bullet}^{\infty}(X,E^{k}\otimes F)$ provient de la 
propri\'{e}t\'{e} de commutation des op\'{e}rateurs $D_{k}''$ et 
$\Delta_{k}''$. Soit maintenant
$$
G=\int_{\lambda>0}\frac{1}{\lambda}dP_{1}
$$
l'op\'{e}rateur de Green du laplacien $\Delta_{k}''$. Comme 
$[P_{\lambda},\Delta_{k}'']=0$, on a les relations $[G,\Delta_{k}'']=0$ et
$$
\Delta_{k}''G+P_{0}=\Id.
$$
De plus, $[P_{\lambda},D_{k}'']=[G,D_{k}'']=0$. On en d\'{e}duit donc
$$
\eqalign{
\Id-P_{\lambda}&=
\Delta_{k}''G(\Id-P_{\lambda})+P_{0}(\Id-P_{\lambda})=
\Delta_{k}''G(\Id-P_{\lambda})\cr
&=D_{k}''\big(\delta_{k}''G(\Id-P_{\lambda})\big)+
\big(\delta_{k}''G(\Id-P_{\lambda})\big)D_{k}'',\cr}
$$
de sorte que l'op\'{e}rateur $\delta_{k}''G(Id-P_{\lambda})$ est une homotopie 
entre $\Id$ et $P_{\lambda}$.\hfil\square\medskip

On utilise maintenant un lemme classique simple d'alg\`{e}bre homologique.
\medskip

{\statement Lemme 4.2.\pointir} {\it Soit
$$
0\longrightarrow C^{0}\mathop{\longrightarrow}\limits^{d^{0}}C^{1}\mathop{\longrightarrow}\limits^{d^{1}}~\cdots~\mathop{\longrightarrow}\limits^{d^{n-1}} C^{n}
\longrightarrow  0
$$
un complexe d'espaces vectoriels de dimensions finies $c^{0}$, $c^{1}$, 
$\ldots$, $c^{n}$ sur un corps~$\bK$. Soit $h^{q}=\dim_{\bK}H^{q}(C^{\bullet})$. 
Alors, on a les in\'{e}galit\'{e}s suivantes:
{\parindent=6.5mm
\vskip2pt
\item{\rm(a)} In\'{e}galit\'{e}s de Morse~$:$~ $h^{q}\leq c^{q}$,~
$0\leq q\leq n$.
\vskip2pt
\item{\rm(b)} \'{E}galit\'{e} des caract\'{e}ristiques d'Euler-Poincar\'{e}~
$\chi(H^{\bullet}(C^{\bullet}))=\chi(C^{\bullet})~:$
$$
h^{0}-h^{1}+\cdots+(-1)^{n}h^{n}=c^{0}-c^{1}+\cdots+(-1)^{n}c^{n}.
$$
\item{\rm(c)} In\'{e}galit\'{e}s de Morse fortes~$:$ pour tout $q$, 
$0\leq q\leq n$,
$$
h^{q}-h^{q-1}+\cdots+(-1)^{q}h^{0}\leq c^{q}-c^{q-1}+\cdots+(-1)^{q}c^{0}.
$$}}\vskip0pt

{\it D\'{e}monstration}. -- Si $Z^{q}=\Ker d^{q}$ et $B^{q}=\Im d^{q-1}$ ont pour 
dimensions $z^{q}$ et $b^{q}$, l'\'{e}galit\'{e} (b) r\'{e}sulte en effet des 
formules
$$
c^{q}=z^{q}+b^{q+1},\qquad h^{q}=z^{q}-b^{q},
$$
tandis que (c) r\'{e}sulte de (b) appliqu\'{e} au complexe
$$
0\to C^{0}\to C^{1}\to\cdots \to C^{q-1}\to Z^{q}\to 0.\eqno\square 
$$

Si $F$ est un fibr\'{e} vectoriel holomorphe sur $X$, on d\'{e}finit 
sa caract\'{e}ristique d'Euler-Poincar\'{e} par
$$
\chi(X,F)=\sum_{q=0}^{n}(-1)^{q}\dim H^{q} (X,F).
$$
En combinant la proposition 4.1 et le lemme 4.2, nous obtenons pour tout
$\lambda\geq 0$ et tout~$q$, $0\leq q\leq n$, l'in\'{e}galit\'{e}
$$
h_{k}^{q}-h_{k}^{q-1}+\cdots+(-1)^{q}h_{k}^{0}\leq h_{k}^{q}(\lambda)-h_{k}^{q-
1}(\lambda)+\cdots+(-1)^{q}h_{k}^{0}(\lambda).
$$
\'{E}valuons maintenant $h_{k}^{q}(\lambda)$ au moyen du th\'{e}or\`{e}me 3.14 
et faisons tendre $\lambda\in\bR\ssm \cD$ vers $0$ par valeurs${}>0$. Il 
s'ensuit~:
\medskip

{\statement Corollaire 4.3.\pointir} {\it On a les in\'{e}galit\'{e}s asymptotiques
{\parindent=6.5mm
\vskip2pt
\item{\rm(a)} $h_{k}^{q}\leq k^{n}I^{q}+o(k^{n}),$
\vskip2pt
\item{\rm(b)} $\chi(X,E^{k}\otimes F)=k^{n}(I^{0}-I^{1}+\cdots+(-1)^{n}I^{n})+o(k^{n}),$
\vskip2pt
\item{\rm(c)} $h_{k}^{q}-h_{k}^{q-1}+\cdots+(-1)^{q}h_{k}^{0}\leq k^{n}
(I^{q}-I^{q-1}+\cdots+(-1)^{q}I^{0})+o(k^{n})$,
\vskip4pt
o\`{u} $I^{q}$ d\'{e}signe l'int\'{e}grale de courbure
$$
I^{q}=r\sum_{|J|=q}\int_{X}\overline{\nu}_{B}(\alpha_{\complement J}
-\alpha_{J})d\sigma.
$$}}\vskip-\parskip

D'apr\`{e}s (3.13), les modules des valeurs propres du champ magn\'{e}tique 
$B$ sont les $|\alpha_{j}|$, $1\leq j\leq n$. Pour tout point $x\in X$,
rangeons ces valeurs propres en sorte que
$$
|\alpha_{1}\geq|\alpha_{2}|\geq\cdots\geq|\alpha_{s}|>0=|\alpha_{s+1}|=
\cdots=|\alpha_{n}|,\qquad s=s(x).
$$
La formule (1.5) donne
$$
\overline{\nu}_{B}(a_{\complement J}-\alpha_{J})=
\frac{2^{s-2n}\pi^{-n}}{\Gamma(n-s+1)}|\alpha_{1}\ldots\alpha_{s}|
\sum_{(p_{1},\ldots,p_{s})}
\Big\{\alpha_{\complement J}-\alpha_{J}-\sum(2p_{j}+1)
|\alpha_{j}|\,\Big\}_{+}^{n-s}
$$
avec la notation $\{\lambda\}_{+}^{0}=0$ si $\lambda<0$ et 
$\{\lambda\}_{+}^{0}=1$ si $\lambda\geq 0$. Comme la quantit\'{e} 
$$
\alpha_{\complement J}-\alpha_{J}-\sum(2p_{j}+1)|\alpha_{j}|
$$
est toujours${}\leq 0$, $\overline{\nu}_{B}(\alpha_{\complement J}-\alpha_{J})$
ne peut \^{e}tre non nul que si $s=n$. Dans ce dernier cas 
$\alpha_{\complement J}-\alpha_{J}-\sum(2p_{j}+1)|\alpha_{j}|=0$ si 
et seulement si $ p_{1}=\cdots=p_{n}=0$ et $\alpha_{j}<0$ pour 
$j\in J$, $\alpha_{j}>0$ pour $j\in{}{\complement}J$. Ceci entra\^{\i}ne que la 
forme $ic(E)$ est non d\'{e}g\'{e}n\'{e}r\'{e}e d'indice~$q$. Pour 
$x\in X(q)$ (cf.~notations de l'introduction) et $|J|=q$, on a donc
$$
\overline{\nu}_{B}(\alpha_{\complement J}-\alpha_{J})=(2\pi)^{-n}
|\alpha_{1}\ldots\alpha_{n}|>0
$$
si $J$ est le multi-indice $J(x)=\{j\,;\;\alpha_{j}(x)<0\}$ et 
$\overline{\nu}_{B}(\alpha_{\complement J}-\alpha_{J})=0$ si $J\neq J(x)$. 
Il s'ensuit
$$
I^{q}=r\int_{X(q)}(2\pi)^{-n}(-1)^{q}\alpha_{1}\ldots\alpha_{n}\,d\sigma=
\frac{r}{n!}\int_{X(q)}(-1)^{q}\Big(\frac{i}{2\pi}c(E)\Big)^{n}.
$$
Le th\'{e}or\`{e}me fondamental 0.1 n'est alors qu'une reformulation du 
corollaire 4.3. Le raisonnement ci-dessus montre que les formes harmoniques de 
$H^{q}(X,E^{k}\otimes F)$ se concentrent asymptotiquement sur~$X(q)$, et qu'en 
chaque point de $X(q)$ leur direction tend \`{a} s'aligner sur le 
$q$-sous-espace de $TX$ correspondant \`{a} la partie n\'{e}gative
de~$ic(E)$. De plus, seule la valeur propre d'\'{e}nergie minimale
$p_{1}=\cdots=p_{n}=0$ de l'oscillateur harmonique intervient pour ces 
formes. Pour $q=1$, l'in\'{e}galit\'{e} de Morse forte 4.3~(c) s'\'{e}crit
$$
h_{k}^{1}-h_{k}^{0}\leq k^{n}(I^{1}-I^{0})+o(k^{n}) ,
$$
d'o\`{u} en particulier une minoration asymptotique du nombre de sections 
holomorphes du fibr\'{e} $E^{k}\otimes F$.
\medskip

{\statement Th\'{e}or\`{e}me 4.4.\pointir} {\it On a
$$
\dim H^{0}(X,E^{k}\otimes F)\geq r\frac{k^{n}}{n!}
\int_{X(\leq 1)}\Big(\frac{i}{2\pi}c(E)\Big)^{n}-o(k^{n}).
$$}\vskip-\parskip

Plus g\'{e}n\'{e}ralement, l'addition des in\'{e}galit\'{e}s 4.3 (c) pour les 
indices $q+1$ et $q-2$ entra\^{\i}ne
$$
h_{k}^{q+1}-h_{k}^{q}+h_{k}^{q-1}\leq k^{n}(I^{q+1}-I^{q}+I^{q-1})+o(k^{n}) ,
$$
d'o\`{u} la minoration
$$
\dim H^{q}(X,E^{k}\otimes F)\geq r\frac{k^{n}}{n!}\sum_{j=0,\pm 1}(-1)
^{q}\int_{X(q+j)}\Big(\frac{i}{2\pi}c(E)\Big)^{n}-o(k^{n}).
\leqno(4.5) 
$$
\medskip

\section{5}{Caract\'{e}risation des vari\'{e}t\'{e}s de Moi\v{s}ezon.}

Soit $X$ une vari\'{e}t\'{e} $\bC$-analytique compacte connexe de 
dimension $n$. On appelle dimension alg\'{e}brique de $X$, not\'{e}e $a(X)$,
le degr\'{e} de transcendance sur $\bC$ du corps $K(X)$ des 
fonctions m\'{e}romorphes sur~$X$. 
D'apr\`{e}s un th\'{e}or\`{e}me bien connu de Siegel [15], la dimension
alg\'{e}brique de $X$ v\'{e}rifie toujours l'in\'{e}galit\'{e}
$0\leq a(X)\leq n$. Lorsque $a(X)=n$, on dit que $X$ est un espace
de Moi\v{s}ezon. Comme on va le voir, la dimension alg\'{e}brique de
$X$ impose asymptotiquement de fortes contraintes sur 
la dimension des espaces de sections d'un fibr\'{e} vectoriel holomorphe.
\medskip

{\statement Th\'{e}or\`{e}me 5.1.\pointir} {\it Soit $a$ la dimension 
alg\'{e}brique de $X$, $F$ un fibr\'{e} 
vectoriel holomorphe de rang $r$ et $E$ un fibr\'{e} lin\'{e}aire
sur~$X$. Alors, il existe une constante $C_{E}\geq 0$ ne d\'{e}pendant
que de $E$ telle que
$$
\dim H^{0}(X,E^{k}\otimes F)\leq C_{E}rk^{a}+o(k^{a}) .
$$}\vskip-\parskip

{\it D\'emonstration}. -- Nous reprenons pour l'essentiel les arguments de 
Y.T.~Siu [16]. Soit $\{W_{\ell}\}$ un recouvrement de $X$ par des ouverts 
de coordonn\'{e}es $W_{\ell}\subset\bC^{n}$, et $B_{j}=B(a_{j},R_{j})$, 
$1\leq j\leq m$, une famille de boules relativement compactes dans les
ouverts $W_{\ell}$, telles que les boules concentriques  
$B_{j}'=B(a_{j},\frac{1}{7}R_{j})$ recouvrent~$X$. Munissons $E$, $F$ de 
m\'{e}triques hermitiennes, et soit $\exp(-\varphi_{j})$ le poids 
repr\'{e}sentant la m\'{e}trique de $E$ dans une trivialisation de $E$ 
au voisinage de $\overline{B}_{j}$.

Soit alors $s\in H^{0}(X,E^{k}\otimes F)$ une section holomorphe qui s'annule 
\`{a} l'ordre $p$ en un point $x_{j}\in B_{j}'$. Les inclusions
$$
B_{j}'\subset B(x_{j},\frac{2}{7}R_{j})\subset B(x_{j},\frac{6}{7}R_{j})\subset 
B_{j}
$$
et le lemme de Schwarz appliqu\'{e} aux deux boules interm\'{e}diaires 
entra\^{\i}nent l'in\'{e}galit\'{e}
$$
\sup_{B_{j}'}|s|\leq\exp(Ak+C_{F})3^{-p}\sup_{B_{j}}|s|,
\leqno(5.2)
$$
o\`{u} $A = \max_{1\leq j\leq m}\diam \varphi_{j}(B_{j})$ ne d\'{e}pend que
de~$E$, et o\`{u} $C_{F}$ est une constante${}\geq 0$ qui d\'{e}pend de 
la m\'{e}trique de~$F$.

Soit $\rho\leq r=\rang(F)$ le maximum pour $x\in X$ de la dimension du 
sous-espace de la fibre $F_{x}$ engendr\'{e} par les vecteurs $s(x)$ 
lorsque $s$ d\'{e}crit $\bigcup_{k\in\bN}H^{0}(X,E^{k}\otimes F)$. 
Si $\rho=0$, alors $H^{0}(X,E^{k}\otimes F)=0$ pour tout~$k$. 
Distinguons maintenant deux cas suivant que $\rho=1$ ou~$\rho>1$.

(a) {\it Supposons $\rho=1$}.

Soit $h_{k}=\dim H^{0}(X,E^{k}\otimes F)$, suppos\'{e}e${}>0$. 
Sous l'hypoth\`{e}se $\rho=1$, les sections globales de $E^{k}\otimes F$
d\'{e}finissent une application holomorphe
$$
\Phi_{k}:X\ssm Z_{k}\to\bP^{h_{k}-1}(\bC)
$$
o\`{u} $Z_{k}\subset X$ est le sous-ensemble analytique de leurs z\'{e}ros 
communs. Soit $d$ le rang maximum de la diff\'{e}rentielle $\Phi_{k}'$ sur
$X\ssm Z_{k}$. On a n\'{e}cessairement $d\leq a$, sinon le corps des 
fractions rationnelles de $\bP^{h_{k}-1}(\bC)$ induirait un corps de fonctions
m\'{e}romorphes sur~$X$ de degr\'{e} de transcendance${}\geq d>a$, ce qui 
est absurde. Choisissons pour tout $j=1, \ldots, m$ un point $x_{j}\in B_{j}'
\ssm Z_{k}$ tel que $\Phi_{k}'$ soit de rang maximum${}=d$ en $x_{j}$, et soit 
$s_{0}\in H^{0}(X,E^{k}\otimes F)$ une section qui ne s'annule en aucun 
point~$x_{j}$. Pour tout $s\in H^{0}(X,E^{k}\otimes F)$, le quotient 
$s/s_{0}$ est bien d\'{e}fini en tant que fonction m\'{e}romorphe sur~$X$, 
et de plus $s/s_{0}$ est une fonction holomorphe au voisinage de~$x_{j}$, 
constante le long des fibres de~$\Phi_{k}$. Comme $\Phi_{k}$ est une 
subimmersion au voisinage de chaque point~$x_{j}$, on peut choisir une 
sous-vari\'{e}t\'{e} $M_{j}$ de dimension $d$ passant par $x_{j}$ et 
transverse \`{a} la fibre $\Phi_{k}^{-1}(\Phi_{k}(x_{j}))$. La section $s$
s'annulera \`{a} l'ordre $p$ en chaque point $x_{j}$, 
$1\leq j\leq m$, si et seulement si les d\'{e}riv\'{e}es partielles 
d'ordre${}<p$ de $s/s_{0}$ le long de $M_{j}$ s'annulent en~$x_{j}$.
Ceci correspond au total \`{a} l'annulation de
$$
m{p+d-1\choose d}
$$  
d\'{e}riv\'{e}es. Si nous choisissons $p=[Ak+C_{F}]+1$, alors 
l'in\'{e}galit\'{e} (5.2) entra\^{\i}ne
$$
\sup_{X}|s|\leq\Big(\frac{e}{3}\Big)^{p}\sup_{X}|s|,
$$
d'o\`{u} $s=0$. Comme $d\leq a$, nous obtenons par cons\'{e}quent
$$
\dim H^{0}(X,E^{k}\otimes F)\leq m{p+a-1\choose a}
\leq C_{E}k^{a}+o(k^{a})
$$
avec $C_{E}=mA^{a}/a!$~.

(b) {\it Supposons $\rho>1$}.

Il existe alors des sections $s_{t}\in H^{0}(X,E^{k_{t}}\otimes F)$, 
$1\leq t\leq\rho$, et un point $x_{0}\in X$ tels que les vecteurs 
$s_{1}(x_{0}), \ldots, s_{\rho}(x_{0})$ soient lin\'{e}airement 
ind\'{e}pendants. Par construction, pour tout $k\in\bN$ et toute 
section $s\in H^{0}(X,E^{k}\otimes F)$, la droite $\bC\cdot s(x)$ est 
contenue dans le sous-espace engendr\'{e} par 
$(s_{1}(x), \ldots,s_{\rho}(x))$, sauf peut-\^{e}tre au-dessus du 
sous-ensemble analytique $\{x\in X;s_{1}
\wedge\ldots\wedge s_{\rho}(x)\}=0$. On a donc un morphisme injectif
$$
H^{0}(X,E^{k}\otimes F)\to\bigoplus_{1\leq t\leq\rho}H^{0}(X,E^{k+k_{\hat{t}}}
\otimes\Lambda^{p}F)
$$
o\`{u} $k_{\hat t}=(k_{1}+\cdots+k_{\rho})-k_{t}$, dont la composante d'indice $t$
est donn\'{e}e par le morphisme 
$s\to s_{1}\wedge\cdots\wedge\widehat{s}_{t}\wedge
\cdots\wedge s_{\rho}\wedge s$. L'image de 
$H^{0}(X,E^{k}\otimes F)$ sur chaque composante est form\'{e}e 
de sections colin\'{e}aires en presque tout point
\`{a} $s_{1}\wedge\cdots\wedge s_{\rho}$. On se retrouve donc dans
une situation analogue \`{a} celle du (a), o\`{u} $F$ est remplac\'{e}
par $E^{k_{\hat{t}}}\otimes\Lambda^{\rho}F$~; par suite~:
$$
\dim H^{0}(X,E^{k}\otimes F)\leq C_{E}\rho k^{a}+o(k^{a}),\qquad\rho\leq r.
\eqno\square 
$$
Choisissons en particulier pour $F$ le fibr\'{e} trivial $X\times\bC$. En comparant 
les th\'{e}or\`{e}mes 4.4 et 5.1, nous obtenons la caract\'{e}risation 
g\'{e}om\'{e}trique suivante des vari\'{e}t\'{e}s de Moi\v{s}ezon.
\medskip

{\statement Th\'{e}or\`{e}me 5.2.\pointir} {\it Pour qu'une vari\'{e}t\'{e} 
$\bC$-analytique compacte connexe $X$ de dimension~$n$ soit de 
Moi\v{s}ezon, il suffit qu'il existe un fibr\'{e} en droites
holomorphe hermitien $E$ au-dessus de $X$ tel que  
$$\int_{X(\leq 1)}(ic(E))^{n}>0.\eqno\square $$}\vskip-\parskip

Ce th\'{e}or\`{e}me entra\^{\i}ne \`{a} son tour le th\'{e}or\`{e}me 0.8 
puisque 0.8 (c)${}\Rightarrow{}$0.8(b)${}\Rightarrow{}$0.8(a).
On~am\'{e}liore ainsi les r\'{e}sultats de Y.T.~Siu [17], [18], et on 
retrouve donc en particulier une nouvelle d\'{e}monstration de la 
conjecture de Grauert-Riemenschneider [10].
\bigskip

{\bigbf Bibliographie}
{\parindent=7.5mm
\medskip

\item{[1]} {\petcap M.F.\ Atiyah {\rm and} I.M.\ Singer}, {\it The index of 
elliptic operators III}, Ann.\ of Math., {\bf 87} (1978), 546--604.

\item{[2]} {\petcap J.\ Avron, I.\ Herbst {\rm and} B.\ Simon}, {\it 
Schr\"{o}dinger operators with magnetic fields~I}~; 
Duke Math.\ J., {\bf 45} (1978), 847--883.

\item{[3]} {\petcap Y.\ Colin de Verdi\`{e}re}, {\it Calcul du spectre 
de certaines nilvari\'{e}t\'{e}s compactes de dimension $3$}~;
S\'{e}minaire de Th\'{e}orie spectrale et G\'{e}om\'{e}trie, 
Grenoble-Chamb\'{e}ry, 1983-84 (expos\'{e} n${}^{\circ}$5).

\item{[4]} {\petcap Y.\ Colin de Verdi\`{e}re}, {\it Minorations de 
sommes de valeurs propres et conjecture de Polya}~; S\'{e}minaire de 
Th\'{e}orie spectrale et G\'{e}om\'{e}trie, Grenoble-Chamb\'{e}ry, 1984-85.

\item{[5]} {\petcap Y.\ Colin de Verdi\`{e}re}, {\it L'asymptotique
de Weyl pour les bouteilles magn\'{e}tiques}~; 
Commun.\ Math.\ Phys.\ {\bf 105} (1986), 327--335.

\item{[6]} {\petcap J.-P.\ Demailly}, {\it Sur l'identit\'{e} de 
Bochner-Kodaira-Nakano en g\'{e}om\'{e}trie hermitienne}~;
S\'{e}minaire P.~Lelong, P.~Dolbeault, H.~Skoda 
(Analyse), 1983-84, Lecture Notes in Math. n${}^\circ$1198, 
Springer-Verlag, 88--97.

\item{[7]} {\petcap J.-P.\ Demailly}, {\it Une preuve simple de la 
conjecture de Grauert-Riemenschneider}~; S\'{e}minaire P.\ Lelong, P.\ Dolbeault-H.\ Skoda (Analyse), 1984-1985, Lecture Notes in Math. n${}^\circ$1295,
24--47.

\item{[8]} {\petcap J.-P.\ Demailly}, {\it Champs magn\'{e}tiques et 
in\'{e}galit\'{e}s de Morse pour la $d''$-cohomo\-logie}~; Note aux C.R.A.S., 
Paris, 13 mai 1985.

\item{[9]} {\petcap A.\ Dufresnoy}, {\it Comportement asymptotique de la
distribution des valeurs propres de l'\'{e}quation de Schr\"{o}dinger 
associ\'{e}e \`{a} certains champs magn\'{e}tiques sur un cylindre}~; 
S\'{e}minaire de Th\'{e}orie spectrale et G\'{e}om\'{e}trie,
Grenoble-Chamb\'{e}ry 1983-84 (expos\'{e} n${}^{\circ}$4).

\item{[10]} {\petcap H.\ Grauert {\rm und} O.\ Riemenschneider}, {\it 
Verschwindungss\"{a}tze f\"{u}r analytische Kohomologiegruppen auf
Komplexen Ra\"{u}me}~; Invent.\ Math., {\bf 11}
(1970), 263--292.

\item{[11]} {\petcap P.\ Griffiths}, {\it The extension problem in 
complex analysis II: embedding with positive normal bundle}~; 
Amer.\ J.\ of Math., {\bf 88} (1966), 366--446.

\item{[12]} {\petcap F.\ Michau}, {\it Comportement asymptotique de 
la distribution des valeurs propres de l' op\'{e}rateur de Schr\"{o}dinger
en pr\'{e}sence d'un champ \'{e}lectrique et d'un champ magn\'{e}tique}~; 
Th\`{e}se de 3${}^{\rm e}$ Cycle, Univ.\ de Grenoble I (1982).

\item{[13]} {\petcap B.\ Moi\v{s}ezon}, {\it On $n$-dimensional compact 
varieties with $n$ algebraically independent meromorphic functions}~; 
Amer.\ Math.\ Soc.\ Transl., {\bf 63} (1967), 51--177.

\item{[14]} {\petcap M.\ Reed {\rm and} B.\ Simon}, {\it Methods of modern 
mathematical Physics, vol.\ I-II-III-IV}~; New York, Academic Press, 1978.

\item{[15]} {\petcap C.\ L.\ Siegel}, {\it Meromorphe Funktionen auf
kompakten Mannigfaltigkeiten}~; Nachr.\ Akad.\ Wiss.\ G\"{o}ttingen 
Math.\ Phys.\ K., (1955), n${}^{\circ}$4, 71--77.

\item{[16]} {\petcap Y.T.\ Siu}, {\it A vanishing theorem for semipositive
line bundles over non-K\"{a}hler manifolds}~; J.\ Diff.\ Geom., {\bf 19}
(1984), 431--452.

\item{[17]} {\petcap Y.T.\ Siu}, {\it Some recent results in complex 
manifold theory related to vanishing theorems for the semi-positive case}~; 
Arbeitstagung Bonn, Proceddings of the meeting held by the Max-Planck-Institut
f\"ur Mathematik, Bonn, June 15-22, 1984, 
Lecture Notes in Math. n${}^\circ$1111, 169--192.

\item{[18]} {\petcap E.\ Witten}, {\it Supersymmetry and Morse theory}~; 
J.\ Diff.\ Geom., {\bf 17} (1982), 661--692.

\item{[19]} {\petcap E.\ Witten}, {\it Holomorphic Morse inequalities}~; 
Teubner-Texte zur Math., band 70, Algebraic and Differential Topology, 
Ed.\ G.\ M.\ Rassias (1984), 318--333.\par}
\bigskip

Manuscrit re\c{c}u le 30 mai 1985.
\medskip

Jean-Pierre Demailly\\
Universit\'{e} de Grenoble I, Institut Fourier\\
Laboratoire de Math\'{e}matiques, B.P.\ 74\\
38402 St-Martin d'H\`{e}res Cedex

\end


