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% Usual sets of numbers  
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\let\wt=\widetilde
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\def\zn{{\bZ}^n}

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\def\Argtanh{\mathop{\rm Arg\,tanh}\nolimits}
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\def\pointir{.~---\ }
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\hbox{\hskip #1mm$\vbox to#2mm{\vfil\special{" 
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{\sl #3}, #4, {\bf #5} ({\oldstyle #6}), #7.\par\fi}}
%reference pour un livre :
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%reference complementaire :
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\ \vskip7mm
\centerline{{\bffourt Mesures de Monge-Amp\`ere et}}
\medskip
\centerline{{\bffourt mesures pluriharmoniques}}
\vskip5mm
{\noindent\hangindent4cm\hangafter-1
{\sl par Jean-Pierre DEMAILLY

}}

{\noindent\hangindent4cm\hangafter-4{\sl
Universit\'e de Grenoble I,\hfill\break
Institut Fourier, BP 74,\hfill\break
Laboratoire associ\'e au C.N.R.S.
n\kern-2pt{\rm\char'27}188,\hfill\break
F-38402 Saint-Martin d'H\`eres

}}
\vskip 30pt
{\bf R\'esum\'e}\pointir Soit $\Omega$ un ouvert hyperconvexe born\'e dans une
vari\'et\'e de Stein. Nous \'etudions les propri\'et\'es de la ``fonction de
Green pluricomplexe" de $\Omega\ ,$ not\'ee $u_z(\zeta)\ ,$ solution du 
probl\`eme de Dirichlet pour l'\'equation de Monge-Amp\`ere complexe
$(dd^cu_z)^n=0$ sur $\Omega\setminus\{z\}$ et ayant un p\^ole logarithmique
au point $z\ .$ En utilisant les op\'erateurs de Monge-Amp\`ere de Bedford et
Taylor, nous associons \`a $u_z$ un noyau de Poisson pluricomplexe 
$d\mu_z(\zeta)\ ,$ invariant par biholomorphisme, reproduisant les fonctions
pluriharmoniques sur $\Omega$ \`a partir de leurs valeurs sur le bord.
Les mesures $\mu_z$ sont en g\'en\'eral port\'ees par les points strictement
pseudoconvexes de $\partial\Omega\ ;$ de plus, la singularit\'e de 
$d\mu_z(\zeta)$ sur la diagonale de $\partial\Omega$ peut \^etre calcul\'ee
explicitement lorsque $\Omega$ est strictement pseudoconvexe. Gr\^ace \`a
un proc\'ed\'e de complexification, on montre enfin que les mesures de 
Monge-Amp\`ere fournissent une formule explicite permettant de repr\'esenter
tout point d'une partie convexe compacte $K\subset\rn $ comme barycentre
des points extr\^emaux de $K\ .$

\vskip30pt
{\bf Abstract}\pointir Let $\Omega$ be a bounded hyperconvex open subset in
a Stein manifold. We study the properties of the ``pluricomplex Green function"
of $\Omega\ ,$ denoted by $u_z(\zeta)\ ,$ solving the Dirichlet problem for 
the complex Monge-Amp\`ere equation $(dd^cu_z)^n=0$ on $\Omega\setminus\{z\}$ 
and possessing a logarithmic pole at point $z\ .$ Using Bedford and Taylor's
Monge-Amp\`ere operators, we associate to $u_z$ a pluricomplex Poisson kernel
$d\mu_z(\zeta)\ ,$ invariant under biholomorphisms, reproducing pluriharmonic
functions on $\Omega$ from their boundary values.The measures $\mu_z$ are in
general supported by the set of strictly pseudoconvex points of
$\partial\Omega\ ;$ furthermore, the singularity of $d\mu_z(\zeta)$ on the
diagonal of $\partial\Omega$ can be computed explicitly when $\Omega$ is
strictly pseudoconvex. Through a complexification process, it is finally shown
that Monge-Amp\`ere measures provide an explicit formula allowing us to
represent every point of a convex compact subset $K\subset\rn $ as a
barycenter of the extremal points of $K\ .$
\vfill\eject
\ \vskip2cm
\titre Table des mati\`eres|
\vskip30pt
\halign{\noindent#&#&#\cr
0. &Introduction\ \dotfill\ \ &p. 3\cr&&\cr
1. &Mesures de Monge-Amp\`ere\ \dotfill\ \ &p. 6\cr&&\cr
2. &Fonctions d'exhaustion psh born\'ees et ouverts hyperconvexes
        \ \dotfill\ \ &p. 7\cr&&\cr
3. &Mesures de Monge-Amp\`ere sur le bord d'un ouvert hyperconvexe
        \ \hbox to 45pt{\dotfill} \ &p. 11\cr&&\cr
4. &Fonction de Green pluricomplexe\ \dotfill\ \ &p. 15\cr&&\cr
5. &Mesures pluriharmoniques et noyau de Green pluricomplexe
        \ \dotfill\ \ &p. 20\cr&&\cr
6. &Support des mesures pluriharmoniques\ \dotfill\ \ &p. 24\cr&&\cr
7. &Comportement des mesures $\mu_z$ lorsque $z$ tend vers le bord
        \ \dotfill\ \ &p. 27\cr&&\cr
8. &Mesures canoniques sur les points extr\^emaux\hfill&\cr
   &d'une partie convexe compacte de $\rn \ $ 
        \ \dotfill\ \ &p. 38\cr&&\cr
   &Bibliographie\ \dotfill\ \ &p. 48\cr}
\vfill\eject
\titre 0. Introduction|

L'objet de ce travail est de d\'evelopper la th\'eorie du potentiel en 
plusieurs variables complexes, suivant la voie inaugur\'ee par Bedford
et Taylor [1], [2]. Nous montrons en particulier que tout domaine
hyperconvexe born\'e  $\Omega$ poss\`ede des ``noyaux de Poisson et de
Green pluricomplexes" canoniques, invariants par biholomorphisme, permettant
de reproduire les fonctions pluriharmoniques sur  $\Omega$ \`a partir de
leurs valeurs au bord.

Soit  $X$  une vari\'et\'e de Stein de dimension $n$ et  $\varphi : X \to
[-\infty,R[$ une fonction continue plurisousharmonique (psh en abr\'eg\'e). 
On suppose de plus que  $\varphi$ est {\it exhaustive}, c'est-\`a-dire que
pour tout  $r<R$ les pseudoboules  
$B(r) = \lbrace z\in X ~; ~\varphi(z)<r\rbrace$ sont relativement 
compactes dans  $X$. On peut alors associer de mani\`ere
naturelle \`a  $\varphi$ une collection de mesures positives 
$\mu_{\varphi,r}$~, port\'ees par les ensembles de niveau  
$S(r) = \lbrace z\in X~;~\varphi(z) = r\rbrace$,
telles que $\mu_{\varphi,r} = (dd^c\varphi)^{n-1} \wedge d^c\varphi|_{S(r)}$
si  $\varphi\in C^\infty(X)$. Les mesures  $\mu_{\varphi,r}$ v\'erifient 
la formule de Lelong-Jensen fondamentale ci-dessous  (\cf [4] pour une
d\'emonstration et pour l'\'etude de quelques applications g\'eom\'etriques).

\th Th\'eor\`eme 0.1|Toute fonction  psh $V$ sur  $X$ est  $\mu_{\varphi,r}$
int\'egrable et on a
$$\mu_{\varphi,r}(V) = \int_{B(r)} V(dd^c\varphi)^n + \int_{B(r)}(r-\varphi)
dd^cV \wedge (dd^c\varphi)^{n-1}.$$|

Soit  $\Omega$ un ouvert faiblement pseudoconvexe relativement compact dans$X$
. Si  $\partial \Omega$ est de classe  $C^1$, on sait d'apr\`es Kerzman-Rosay
[8] que $\Omega$ est hyperconvexe, c'est-\`a-dire qu'il existe une fonction
$\varphi : \Omega \to [-1,0[$ psh continue exhaustive. La d\'emonstration de
Kerzman et Rosay ne donne pas directement d'information quantitative globale
sur  $\varphi$, mais en raffinant leur m\'ethode nous avons pu obtenir des
estimations logarithmiques tr\`es pr\'ecises.

\th Th\'eor\`eme 0.2|Soit  $\Omega \subset\!\subset \cn $ un domaine
faiblement pseudoconvexe \`a bord lipschitzien. Alors $\Omega$ est hyperconvexe
et il existe une fonction psh exhaustive
$\varphi : \Omega \to [-1,0[$ de classe  $C^\infty$ telle que
$$-{A\over{\rm Log}~1/\delta}\le\varphi\le-{B\over{\rm Log}~1/\delta}\quad
{\sl et}\quad dd^c\varphi\ge{1\over{\rm Log}~1/\delta}~dd^c\vert z\vert^2~,$$
o\`u  $\delta$ d\'esigne la distance au bord et  $A,B,C$ des constantes $>0$.|

Soit maintenant  $\Omega$ un domaine hyperconvexe et  $\varphi : \Omega \to [-
\infty,0[$ une fonction psh continue exhaustive dont la masse de Monge-Amp\`ere
totale est finie, \ie
$$\int_\Omega(dd^c\varphi)^n < +\infty.\leqno (0.3)$$
On montre alors que les mesures  $\mu_{\varphi,r}$ convergent faiblement
au bord vers une mesure positive  $\mu_\varphi$ sur  $\partial \Omega$. L'un
des outils principaux dont nous disposons est le th\'eor\`eme de comparaison
suivant :

\th Th\'eor\`eme 0.4|Soit $\psi : \Omega \to [-\infty,0[$ une fonction psh
continue exhaustive telle que 
$$\limsup_{\Omega\ni z\to a} {\psi(z) \over \varphi(z)} = \lambda(a) <+\infty$$
pour tout  $a\in \partial \Omega$. Alors  $d\mu_\psi(\zeta) \le \lambda
(\zeta)^n d\mu_\varphi(\zeta)$ sur  $\partial \Omega$.|
Le point crucial de la d\'emonstration consiste \`a \'etablir des estimations
suffisamment pr\'ecises pour les masses de Monge-Amp\`ere respectives de
$\varphi$ et $\psi$ au voisinage de  $\partial \Omega$~; ces estimations
s'obtiennent elles-m\^emes par application du th\'eor\`eme 0.1.

On cherche ensuite \`a d\'efinir une fonction de Green attach\'ee 
canoniquement \`a la structure complexe de  $\Omega$. Dans ce but, on 
consid\`ere le probl\`eme de Dirichlet suivant, relatif \`a l'op\'erateur de 
Monge-Amp\`ere : pour tout point  $z\in \Omega$, existe-t-il une fonction
continue $u_z :\overline \Omega \to [-\infty,0]$ psh et exhaustive sur 
$\Omega$, v\'erifiant
$$\cases{ u_z|_{\partial \Omega} &$=~~ 0$~,\cr
        (dd^cu_z)^n         &$=~~ 0$\qquad sur\qquad $\Omega\setminus \lbrace z
\rbrace$~,\cr
        u_z(\zeta) & $\sim~~ {\rm Log }|\zeta-z|$\qquad quand\qquad $\zeta 
\to z$~ ?\cr} \leqno(0.5)$$
Nous montrons le :

\th Th\'eor\`eme 0.6|Si  $\Omega$ est hyperconvexe, le probl\`eme {\rm (0.5) }
admet une solution  $u_z$ unique. On a  $(dd^cu_z)^n = (2\pi)^n\delta_z$ et la
fonction  $u_\Omega(z,\zeta) := u_z(\zeta)$ est continue sur  $\Omega
\times \overline \Omega$.|

   La r\'esolution du probl\`eme de Dirichlet (0.5) a \'et\'e \'etudi\'ee
en d\'etail par L. Lempert [11], [12], qui a obtenu le th\'eor\`eme 0.6 
ainsi que de nombreux autres r\'esultats quantitatifs lorsque $\Omega$ 
est {\it convexe}. La m\'ethode de Lempert s'appuie sur une \'etude pouss\'ee 
des disques extr\^emaux de $\Omega$ pour la m\'etrique de Kobayashi. Dans le 
cas g\'en\'eral cette m\'ethode ne fonctionne plus, et nous avons d\^u 
reprendre l'id\'ee de M. Klimek [9], bas\'ee sur la m\'ethode ant\'erieure de
Perron-Bremermann et sur les r\'esultats de Bedford-Taylor [1]~: la fonction
$u_z$ cherch\'ee est l'enveloppe sup\'erieure des fonctions  psh  $v\le 0$ sur
$\Omega$ telles que $v(z) \le {\rm Log }|\zeta-z| + O(1)$. Des fonctions 
extr\^emales analogues avaient d\'ej\`a \'et\'e intoduites et \'etudi\'ees
dans d'autres contextes par diff\'erents auteurs, notamment J. Siciak [17], 
[18], [19], B.A. Taylor [21] et A. Zeriahi [23] lorsque le p\^ole 
logarithmique est \`a l'infini.

Dans le cas o\`u $\Omega$ est strictement pseudoconvexe de classe $C^\infty\ ,$
il est assez facile de prouver que  $u_\Omega$ est localement lipschitzienne
sur $\Omega\times\overline\Omega\setminus\Delta_\Omega\ ,$ mais nous ne
savons pas si $u_\Omega$ est elle-m\^eme de classe $C^\infty$ sur cet ensemble;
il n'est d'ailleurs pas s\^ur que ce r\'esultat soit toujours vrai, au vu des 
contre-exemples donn\'es par Bedford-Taylor [1] et Gamelin-Sibony [7] pour le 
probl\`eme de Dirichlet relatif \`a l'\'equation de Monge-Amp\`ere homog\`ene 
$(dd^cu)^n \equiv 0$. Nous ne savons pas non plus si de mani\`ere g\'en\'erale
$u_\Omega(z,\zeta)$ est sym\'etrique en $z$ et $\zeta\ ,$ bien que la 
sym\'etrie ait lieu lorsque  $\Omega$ est convexe (\cf L. Lempert [11]).

\th D\'efinition 0.7|On appelle mesure pluriharmonique $\mu_z$ associ\'ee au
point  $z\in \Omega$ la mesure  $\mu_\varphi$ obtenue pour  $\varphi = {1\over
2\pi} u_z\ .$|

Pour $r=0$, la formule 0.1 donne ici
$$\mu_z(V) = V(z) + {1\over (2\pi)^n} \int_\Omega |u_z(\zeta)|dd^cV \wedge
(dd^cu_z)^{n-1}$$
de sorte que le noyau $d\mu_z(\zeta)$ reproduit les fonctions
pluriharmoniques. Le th\'eor\`eme 0.4 montre que les mesures $\mu_z$
sont toutes absolument continues entre elles ; de plus ces mesures
sont donn\'ees en fonction de l'une quelconque d'entre elles par un
noyau de Poisson $P(z,\zeta)$ continu en $z$. De m\^eme que la
fonction de Green $u_z$, le noyau $d\mu_z(\zeta)$ est invariant par
biholomorphisme. Dans le cas d'un domaine homog\`ene comme la boule,
on retrouve donc le noyau de Poisson invariant
$$d\mu_z(\zeta) = {(1-|z|^2)^n\over |1-z\cdot \overline \zeta|^{2n}}
d\sigma(\zeta).\leqno (0.8)$$
L'une des principales caract\'eristiques des mesures  $\mu_z$ est, en un sens
vague, la minimalit\'e de leur support.
\th Th\'eor\`eme 0.9|On suppose que  $\Omega$ est de classe  $C^2$ et qu'il
existe une fonction  psh $\rho \in C^2(\overline \Omega)$ telle que  $\rho<0$
sur $\Omega$ et $d\rho \ne 0$ sur  $\partial \Omega$. Alors, pour tout
$z\in \Omega$, la mesure $\mu_z$ est port\'ee par l'ouvert des points 
strictement pseudoconvexes de  $\partial \Omega$.|
Le th\'eor\`eme 0.9 est une cons\'equence tr\`es simple du th\'eor\`eme de
compa\-raison 0.4 si l'on observe que  $C_1\rho \le u_z \le C_2\rho$ au
voisinage du bord.

Lorsque  $\Omega$ est strictement pseudoconvexe, nous obtenons d'autre part
une description tr\`es pr\'ecise de la singularit\'e du noyau sur la diagonale
du bord.

\th Th\'eor\`eme 0.10|On suppose  $\Omega$ strictement pseudoconvexe de classe
$C^2$. Soit  $\rho<0$ une fonction d'exhaustion strictement psh de classe
$C^2$. Alors si  $z$ tend vers  $\partial \Omega$ et si  $\zeta \in \partial 
\Omega$ est tel que  $\vert\zeta-z\vert \le A\vert\rho(z)
\vert^{1\over 2}$, $A>0$, on a
$$d\mu_z(\zeta) \sim {1 \over (4\pi)^n} {\vert\rho(z)\vert^n \over \vert 
J^{2,0}_\zeta\rho(z)\vert^{2n}} (dd^c\rho_\zeta)^{n-1}\wedge d^c\rho_\zeta\ ,$$
o\`u $\displaystyle\qquad J^{2,0}_\zeta \rho(z) = \sum_j {\partial \rho\over
\partial \zeta_j}(z_j-\zeta_j) + {1\over 2} \sum_{j,k} {\partial^2\rho
\over \partial \zeta_j\partial \zeta_k}(z_j-\zeta_j)(z_k-\zeta_k)\ .$|
Le principe de la d\'emonstration consiste \`a utiliser une osculation de
$\partial \Omega$ par des boules tangentes int\'erieurement et 
ext\'erieurement~; l'estimation cherch\'ee se d\'eduit alors de (0.8) au
moyen du th\'eor\`eme de comparaison 0.4.

Le dernier paragraphe est consacr\'e \`a une application des id\'ees 
pr\'ec\'edentes \`a l'\'etude de la g\'eom\'etrie des ensembles convexes. 
Soit  $K\subset \rn $ une partie convexe et  $x\in \ko$
un point int\'erieur. On consid\`ere la fonction  $\xi \mapsto p_x(\xi)$ 
positivement homog\`ene de degr\'e 1 sur  $\rn  $ telle que  $p_x(x) = 0$ et 
$p_x|_{\partial K}= 1$.
Si on regarde $p_x$ comme une fonction de la variable complexe
$\zeta = \xi+i\eta$ ind\'ependante de  $\eta$, on voit alors que
$$(dd^cp_x)^n = C\delta_x \otimes (d\eta_1 \wedge \cdots \wedge d\eta_n),$$
tandis que  $(dd^cp_x)^{n-1}\wedge d^cp_x=\nu_x \otimes (d\eta_1 \wedge \cdots 
\wedge d\eta_n)$ o\`u $\nu_x$ est la mesure sur  $\partial K$ d\'efinie par
$${d\nu_x(\xi)\over (n\!-\!1)!} = \sum^n_{l=1} (-1)^{l-1} \det
\!\left(\!\cdots {\partial^2p_x \over \partial \xi_j\partial \xi_{l-1}}, 
{\partial p_x \over \partial \xi_j}, 
{\partial^2p_x \over \partial \xi_j\partial \xi_{l+1}}\cdots\!\right)\! 
d\xi_1\wedge \cdots \widehat{d\xi}_l\cdots d\xi_n.$$
La mesure  $\nu_x$ peut \^etre interpr\'et\'ee g\'eom\'etriquement comme la
mesure de volume radial dans les coordonn\'ees  $\xi'\in (\rn)^\star $,
o\`u  $\xi \mapsto \xi' = dp_x(\xi)$ est la transformation par polaires sur
$\partial K$. En utilisant le th\'eor\`eme 0.1, nous d\'emontrons alors une
formule de repr\'esentation barycentrique tr\`es simple, qui \`a notre 
connaissance semble \^etre pass\'ee inaper\c cue jusqu'\`a pr\'esent.

\th Th\'eor\`eme 0.11| $\nu_x$ est port\'ee par les points extr\^emaux de
$K$, et le point  $x$ est barycentre de la mesure de probabilit\'e
$(\nu_x(\partial K))^{-1}\nu_x\ .$|
   Le th\'eor\`eme 0.11 donne donc en dimension finie une solution explicite
naturelle pour les mesures barycentriques dont l'existence est assur\'ee en 
g\'en\'eral par le th\'eor\`eme de Choquet [3].
\vskip30pt
\titre 1. Mesures de Monge-Amp\`ere|

Dans notre m\'emoire ant\'erieur [4], nous avons montr\'e comment \`a toute
fonction  $\varphi$ continue psh et exhaustive sur un espace de Stein $X$
on peut associer de mani\`ere naturelle une collection de mesures positives
port\'ees par les ensembles de niveau de  $\varphi$. Nous rappelons ici 
bri\`evement la construction de ces mesures, dont les propri\'et\'es de
croissance \`a l'infini sont li\'ees \'etroitement \`a la g\'eom\'etrie de
l'espace  $X$.

Soit  $X$  une vari\'et\'e de Stein de dimension  $n$ . On suppose donn\'ee
une fonction  psh  continue  $\varphi : X \to [-\infty,R[$~, o\`u  $R\in
]-\infty,+\infty]$. Pour tout $r\in [-\infty,R[$ on note
$$B(r) = \lbrace x\in X~;~\varphi(x)<r\rbrace~~,~~S(r) = \lbrace
x\in X~;~\varphi(x)=r\rbrace~,\leqno (1.1)$$
$$\varphi_r(x) = \max\big(\varphi(x),r\big). \leqno (1.2)$$
On suppose en outre que  $\varphi$ est {\it exhaustive }, c'est-\`a-dire que
pour tout  $r<R$~, la pseudoboule  $B(r)$ est relativement compacte dans  $X$.

On \'ecrira comme d'habitude  $d^c = i(\overline\partial-\partial)$. La
notation  $(dd^c)^k$ d\'esignera l'op\'erateur de Monge-Amp\`ere complexe
d\'efini par la m\'ethode de E. Bedford et B.A. Taylor [2]. Rappelons cette 
m\'ethode : si  $V_1$ est une fonction  psh  quelconque et si  $V_2,\ldots,V_k$
sont des fonctions  psh  localement born\'ees sur  $X$, on d\'efinit 
inductivement un courant  $\ge 0$ ferm\'e de bidegr\'e  $(k,k)$ en posant
$$dd^cV_1 \wedge \cdots\wedge dd^cV_k = dd^c(V_kdd^cV_1 \wedge \cdots \wedge 
dd^cV_{k-1})~;\leqno (1.3)$$
d'apr\`es [4], la d\'efinition (1.3) reste encore utilisable si  $V_2,
\ldots,V_k$ sont seulement localement born\'ees dans le compl\'ementaire d'un
compact de  $X$.

Le th\'eor\`eme de continuit\'e monotone pour l'op\'erateur de Monge-Amp\`ere
entra\^{\i}ne que l'application  $r\mapsto (dd^c\varphi_r)^n$, \`a valeurs dans
l'espace des mesures sur $X$ muni de la topologie faible, est continue
sur  $[-\infty,R[$~. Comme la mesure positive  $(dd^c\varphi_r)^n$ est nulle
sur  $B(r)$ et co\"{\i}ncide avec  $(dd^c\varphi)^n$ sur  $X\setminus\big(
B(r)\cup S(r)\big)$~, on peut \'ecrire
$$ (dd^c\varphi_r)^n = 
{\bf 1}_{X\setminus B(r)} (dd^c\varphi)^n + \mu_{\varphi,r}~,\leqno (1.4)$$
o\`u  $\mu_{\varphi,r}$ est une mesure $\ge 0$ port\'ee par  $S(r)$. Dans le
cas o\`u $\varphi$ est de classe  $C^\infty$ et  $r$  valeur r\'eguli\`ere de
$\varphi$~, la mesure  $\mu_{\varphi,r}$ admet une expression explicite 
simple. Par r\'egularisation des points anguleux de  $\varphi_r$~, on 
v\'erifie en effet (voir [4]) que  $\mu_{\varphi,r}$ est la mesure induite
sur  $S(r)$ par la forme diff\'erentielle  $C^\infty$ de degr\'e  $2n-1$ :
$$\mu_{\varphi,r} = (dd^c\varphi)^{n-1} \wedge d^c\varphi|_{S(r)}~.
\leqno (1.5)$$

\th D\'efinition 1.6|On dira que $(\mu_{\varphi,r})$ est la famille
des mesures de Monge-Amp\`ere associ\'ee \`a la fonction d'exhaustion
$\varphi$.|
 
Comme $r \mapsto {\bf 1}_{X\setminus B(r)}$ est ponctuellement
continue \`a gauche, l'application $r \mapsto \mu_{\varphi,r}$ est
faiblement continue \`a gauche. De plus, on a la formule de
Lelong-Jensen fondamentale suivante, dont la d\'emonstration est une
cons\'equence simple du th\'eor\`eme de Stokes si $\varphi \in
C^\infty(X)$.

\th Th\'eor\`eme 1.7|Soit  $V$  une fonction psh quelconque sur  $X$. Alors
pour tout  $r\in ]-\infty,R[\ $, $V$ est $\mu_{\varphi,r}$-int\'egrable et
$$\eqalign{
\mu_{\varphi,r}(V) - \int_{B(r)} V{dd^c\varphi}^n 
&= \int^r_{-\infty} dt \int_{B(t)} dd^cV\wedge {dd^c\varphi}^{n-1} \cr
&= \int_{B(r)} (r-\varphi)dd^cV\wedge {dd^c\varphi}^{n-1}.\cr}$$|

\dem La premi\`ere \'egalit\'e n'est autre que le th\'eor\`eme 3.4 de  [4], 
et la deuxi\`eme s'obtient aussit\^ot par application du th\'eor\`eme de
Fubini. Lorsque  $n\ge 2$, on peut d'autre part effectuer une int\'egration 
par parties dans la derni\`ere int\'egrale :
$$\int_{B(r)} (r-\varphi)dd^cV\wedge{dd^c\varphi}^{n-1} = \int_{B(r)} 
dd^cV\wedge{dd^c\varphi}^{n-1}\wedge d\varphi \wedge d^c\varphi
~;\leqno (1.8)$$
pour justifier  (1.8) en toute  rigueur, on doit bien s\^ur commencer par
r\'egulariser  $\varphi$ et passer ensuite \`a la limite.\finpr

\th Corollaire 1.9|Si $V$ est psh $\ge 0$~, la fonction $r\mapsto
\mu_{\varphi,r}(V)$ est croissante sur $]-\infty,R[\ .$\finpr|

Il r\'esulte en particulier du th\'eor\`eme 1.7 que la masse totale de
$\mu_{\varphi,r}$ est donn\'ee par
$$\Vert\mu_{\varphi,r}\Vert = \mu_{\varphi,r}(1) =
\int_{B(r)}{dd^c\varphi}^n~.\leqno(1.10)$$
\vskip30pt

\vbox{
\centerline{\bftwelve 2. Fonctions d'exhaustion psh born\'ees}
\medskip
\centerline{\bftwelve et ouverts hyperconvexes}
}
\bigskip

Soit $X$ une vari\'et\'e de Stein, $\Omega$ un ouvert relativement
compact dans $X$ et $\partial \Omega = \overline \Omega\setminus
\Omega$ le bord de $\Omega$. Dans les paragraphes qui suivent, nous
serons conduits naturellement \`a supposer que $\Omega$ est
hyperconvexe. Cette notion avait \'et\'e introduite initialement par
J.-L. Stehl\'e [20] en vue de l'\'etude des espaces fibr\'es
holomorphes. Rappelons-en la d\'efinition.  \th D\'efinition
2.1|$\Omega$ est dit hyperconvexe s'il existe une fonction $\varphi :
\Omega \to [-\infty,0[$ psh exhaustive.| Par r\'egularisation de
$\varphi$~, on voit facilement que $\Omega$ est hyperconvexe si et
seulement si il existe une fonction $\wt\varphi : \Omega \to [-1,0[$
de classe $C^\infty$ strictement psh et exhaustive. Tout ouvert
hyperconvexe est pseudoconvexe, et on sait que l'hyperconvexit\'e est
une propri\'et\'e locale de $\partial \Omega$ (\cf Kerzman-Rosay
[8]). Kerzman et Rosay [8] ont d\'emontr\'e par ailleurs que tout
ouvert $\Omega\subset\!\subset X$ faiblement pseudoconvexe \`a bord de
classe $C^1$ est hyperconvexe. Nous allons red\'emontrer ici ces
r\'esultats, d'une part parce que nous avons une preuve plus simple et
plus g\'en\'erale que celle de [8], et d'autre part parce que notre
m\'ethode apporte des r\'esultats quantitatifs nouveaux.

\th Th\'eor\`eme 2.2|Soit  $\Omega$ un ouvert pseudoconvexe born\'e de 
$\bC^n$. On suppose que le bord  $\partial \Omega$ est lipschitzien. Alors
$\Omega$ est hyperconvexe, et il existe une fonction  $\varphi : \Omega \to
[-1,0[$ de classe  $C^\infty$~, strictement psh et exhaustive, telle que
au voisinage de  $\partial \Omega$ on ait
$$ -{A\over \Log 1/\delta(z)} \le \varphi(z) \le - {B \over \Log 1/\delta(z)}
     ~,\leqno(2.3)$$
$$ dd^c\varphi(z) \ge {C\over \Log 1/\delta(z)} dd^c\vert z\vert^2
     ~,\leqno(2.4)$$
o\`u  $\delta(z) = d(z,\partial\Omega)$ est la distance euclidienne au
bord, et o\`u  $A,B,C$ sont des constantes $>0$.|

Le th\'eor\`eme 2.2 est en un certain sens pratiquement optimal : le triangle
de Hartogs  $T = \lbrace(z_1,z_2)\in \bC^2 ~;~|z_1|<|z_2|<1\rbrace$
poss\`ede un bord lipschitzien au voisinage de tout point  $a\in \partial T$
autre que  $a = (0,0)$~, et cependant  $T$  n'est pas hyperconvexe puisque
$T\cap (\lbrace0\rbrace\times \bC)$ est un disque point\'e.

\dem On commence d'abord par construire sur  $\Omega$ une famille de fonctions
psh continues  $v_\varepsilon~,~0<\varepsilon<\varepsilon_0$~, v\'erifiant
les estimations uniformes
$$\Log {1\over \delta(z)+\varepsilon} - C_1 \le v_\varepsilon(z) \le
\Log {1\over \delta(z)+\varepsilon} - C_2\ . \leqno (2.5)$$
$$ dd^cv_\varepsilon(z) \ge dd^c|z|^2,\leqno (2.6)$$
o\`u  $C_1,C_2 >0$ sont des constantes.

L'hypoth\`ese que  $\partial \Omega$ est lipschitzien \'equivaut \`a la 
propri\'et\'e suivante : il existe un  nombre fini de points  $a_j\in \partial
\Omega$, des r\'eels  $r_j>0$ et des c\^ones de r\'evolution ouverts
$\Gamma_j\subset \cn $, tels que les boules  $B(a_j,r_j/3)$ recouvrent
$\partial \Omega$, avec pour tout  $j$ :
$$\big(\Omega\cap B(a_j,r_j)\big) + \big(\Gamma_j \cap B(0,r_j)\big) \subset 
\Omega\ . \leqno (2.7)$$
Soit  $N_j$ le vecteur unitaire port\'e par l'axe de  $\Gamma_j$ et soit
$\alpha_j$ le demi-angle au sommet de ce c\^one. Pour  $z\in \Omega \cap 
\overline B(a_j,r_j/2)$ et $\varepsilon \le r_j/2$, on a alors :
$$\delta(z) + \varepsilon \sin \alpha_j \le \delta(z+\varepsilon N_j) \le 
\delta(z)+\varepsilon~;\leqno (2.8)$$
la premi\`ere in\'egalit\'e r\'esulte en effet du fait que  (2.7) implique
$$B\big(z,\delta(z)\big) + \big(\Gamma \cap B(0,r_j)\big) \subset \Omega~,$$
et la deuxi\`eme est \'evidente. Si on pose
$$v_{\varepsilon,j}(z) = \Log {1\over \delta(z+\varepsilon N_j)}~,~z\in \Omega
\cap \overline B(a_j,r_j/2)~,$$
alors  $v_{\varepsilon,j}$ est psh puisque  $\Log 1/\delta(z)$ l'est, et (2.8)
entra\^{\i}ne
$$\Log {1\over \delta(z)+\varepsilon} \le v_{\varepsilon,j}(z) \le 
\Log {1\over (\delta(z)+\varepsilon)\sin\alpha_j}\ .$$
Il reste maintenant \`a recoller les fonctions  $v_{\varepsilon,j}(z)$ de 
fa\c con \`a obtenir une fonction psh globale  $v_\varepsilon$ sur  $\Omega$.
Pour cela, soit  $\psi_j$ une fonction $\ge0$ de classe  $C^\infty$ \`a
support compact dans  $B(a_j,r_j/2)$, telle que  $\psi_j > \Log 1/\sin\alpha_j$
sur  $B(a_j,r_j/3)$~. Soit $\lambda>0$ assez grand pour que les fonctions
$\psi_j(z) + \lambda|z|^2$ soient  psh . On a alors
$$v_{\varepsilon,j}(z) + \psi_j(z) + \lambda|z|^2 > [{\rm resp. }\le ]\quad
\lambda|z|^2 + \Log {1 \over (\delta(z)+\varepsilon) \sin \alpha_j}$$
sur  $B(a_j,r_j/3)$ [resp. sur $\partial B(a_j,r_j/2)$]. Pour tout  $z\in 
\Omega$ on pose
$$v_\varepsilon(z) = \max_j\big(v_{\varepsilon,j}(z) + 
\psi_j(z)+\lambda|z|^2-\lambda^2~,~|z|^2-\lambda\big)~,\leqno (2.9)$$
o\`u le maximum est \'etendu aux indices  $j$  tels que  $\overline B(a_j,
r_j/2)\ni z$ (il peut ne pas y en avoir, et dans ce cas  $v_\varepsilon(z) 
= |z|^2-\lambda$). Pour  $\lambda>0$ assez grand, la fonction  
$v_\varepsilon(z)$
est psh continue sur $\Omega$~, car le  maximum n'est jamais atteint par 
construction pour un indice $j$ tel que  $z\in \partial B(a_j,r_j/2)$.
La condition (2.5) est clairement satisfaite, et la condition (2.6) 
r\'esulte du lemme classique suivant :
\th Lemme 2.10|Soient  $w_1,\ldots,w_m$ des fonctions psh sur une vari\'et\'e
analytique complexe  $Y$ et $h$ une $(1,1)$-forme $\ge 0$ continue telle que
$dd^cw_j \ge h$ pour tout  $j$ . Alors  $w := \max(w_j)$ est psh, et
$dd^cw \ge h$.|
Nous construisons maintenant la fonction  $\varphi$ du th\'eor\`eme 2.2 \`a 
l'aide des fonctions  $v_\varepsilon$. On observe d'apr\`es (2.5) que 
l'ordre de grandeur de  $v_\varepsilon(z)$ sur  $\partial \Omega$ est $\Log 1/
\varepsilon\pm{\rm Cte}$. On est donc amen\'e \`a poser
$$w_\varepsilon(z) = {v_\varepsilon(z) \over \Log 1/\varepsilon}-1~,~
w(z) = \sup_{0<\varepsilon\le \varepsilon_0} w_\varepsilon(z),$$
o\`u  $\varepsilon_0 = \min (1/2,r_j/2)$; la fonction $\varphi$ cherch\'ee sera
une r\'egularisation de  $w$. Si on note  $t = \varepsilon/\delta(z)$, 
l'encadrement  (2.5) entra\^{\i}ne
$$- {\Log (1+1/t)+C_1 \over \Log 1/t + \Log 1/\delta(z)}
\le w_\varepsilon(z)\le -{\Log (1+1/t)+C_2\over \Log 1/t+\Log 1/\delta(z)}\ .$$
Le choix  $\varepsilon=\delta(z)$ (avec $\delta(z) < \varepsilon_0$) donne 
la minoration
$$w(z) \ge w_\varepsilon(z) \ge  - {\Log\!2 +C_1 \over  \Log 1/\delta(z)}\ .$$
On a d'autre part la majoration
$$w_\varepsilon(z) \le  - {\Log (1+1/t)+C_2\over \Log (1+1/t) + \Log 1/
\delta(z)} \le - {C_2\over \Log 1/\delta(z)}~,\leqno (2.11)$$
pourvu que  $\delta(z) \le e^{-C_2}$. Ceci montre que  $w(z)$ v\'erifie (2.3) 
avec  $A = \Log\!2 + C_1$ et $B = C_2$. Par ailleurs, pour  $\varepsilon\le 
t_0\delta(z)$ et $\delta(z) \le \min (e^{-C_2},t_0/(1+t_0))$~, on obtient  
$t\le t_0$, $\Log (1+1/t) \ge \Log (1+1/t_0)$~, $1/\delta(z) \ge 1+1/t_0$~, et
(2.11) entra\^{\i}ne donc
$$w_\varepsilon(z) \le  - {\Log (1+1/t_0)+C_2\over \Log (1+1/t_0) + \Log 1/
\delta(z)} \le  - {1\over2}\,{\Log (1+1/t_0)+C_2\over \Log 1/\delta(z)}\ .$$
La derni\`ere in\'egalit\'e implique que  $\sup_\varepsilon w_\varepsilon(z)$
est atteint pour  $\varepsilon \ge t_0\delta(z)$ si $t_0>0$ est assez petit.
Par un argument de compacit\'e standard, on voit alors que  $w$ est continue.
De plus, l'analogue du lemme 2.10 pour la famille infinie
$\lbrace w_\varepsilon~;~\varepsilon_1\le \varepsilon \le \varepsilon_0\rbrace$
entra\^{\i}ne, compte tenu de l'in\'egalit\'e (2.6) :
$$dd^cw \ge {1 \over \Log 1/\varepsilon_1} dd^c|z|^2~,~
\forall \varepsilon_1<t_0\delta(z)\ .$$
L'in\'egalit\'e (2.4) est donc d\'emontr\'ee pour  $w$ . La fonction  $\varphi$
se d\'eduit finalement de  $w$  par r\'egularisation jusqu'au bord  (R.
Richberg [14]).\finpr

\remarque Remarque 2.12| Le th\'eor\`eme 2.2 est encore vrai si  $\Omega$ est 
un domaine pseudoconvexe\ lipschitzien dans une vari\'et\'e de Stein  $X$ . Il
suffit de remplacer dans la d\'emonstration la fonction  $|z|^2$ par une 
fonction  $\gamma(z)$ strictement psh  $C^\infty$ sur $X$, et d'utiliser des
boules  $\overline B(a_j,2r_j)$ contenues dans des ouverts de coordonn\'ees~;
\`a la distance  $\delta(z)$, on peut de m\^eme substituer la fonction 
$\delta_j(z) :=$ distance de  $z$ au bord de  $\Omega\cap B(a_j,2r_j)$~, 
calcul\'ee dans le syst\`eme de coordonn\'ees correspondant.

\th Th\'eor\`eme 2.13 ({\rm Kerzman-Rosay [8]})|Soit  $\Omega\subset\!
\subset X$, o\`u $X$ est une vari\'et\'e de Stein. On suppose que tout point
$a\in \partial \Omega$ poss\`ede un voisinage  $V_a$ tel que  $\Omega\cap V_a$
soit hyperconvexe. Alors  $\Omega$  est hyperconvexe.|
\dem Par hypoth\`ese, il existe un recouvrement fini de  $\partial \Omega$ par
des ouverts  $U_j$ telles que  $\Omega\cap U_j$ poss\`ede une fonction 
d'exhaustion psh continue  $\varphi_j < 0$. Soit  $U'_j \subset\!\subset U_j$
tel que  $\partial \Omega \subset \bigcup U'_j$. Il est facile de voir qu'il
existe une fonction convexe croissante  $\chi : ]-\infty,0[ \to ]0,+\infty[$
telle que  $\lim_{t\to 0_-} \chi(t) = +\infty$, dont la croissance est 
suffisamment lente pour que  $|\chi\circ \varphi_j - \chi \circ \varphi_k| 
\le 1$ sur $U'_j \cap U'_k \cap \Omega$. Pour tout  $\varepsilon\in ]0,1]$ 
on a encore
$$|\chi(\varphi_j(z)-\varepsilon)-\chi(\varphi_k(z)-\varepsilon)| \le 1~,
~\forall z\in U_j'\cap U'_k \cap \Omega\ ,$$
gr\^ace \`a la convexit\'e de  $\chi$. On applique maintenant la formule
(2.9) pour construire une fonction psh globale $v_\varepsilon$ \`a partir des
$v_{\varepsilon,j}(z) = \chi(\varphi_j(z)-\varepsilon)$. Alors la fonction
$$w_\varepsilon(z) := {v_\varepsilon(z) \over \chi(-\varepsilon)}-1$$
est $<0$ sur $\Omega$, et quand  $\varepsilon$ tend vers $0$, la fonction
$w_\varepsilon$ converge uniform\'ement vers  $0$ sur  $\partial \Omega$ et 
vers $-1$ sur tout compact de  $\Omega$. Par suite,  
$w := \sup w_\varepsilon$ est psh continue exhaustive sur  $\Omega\ .$\finpr
\vskip30pt

\vbox{
\centerline{\bftwelve 3. Mesures de Monge-Amp\`ere}
\medskip
\centerline{\bftwelve sur le bord d'un ouvert hyperconvexe}
}
\bigskip

L'objectif de ce paragraphe est de montrer que les mesures de Monge-Amp\`ere 
du \S1 se prolongent de mani\`ere naturelle sur le bord d'un ouvert 
hyper\-convexe  $\Omega\subset\!\subset X$ quelconque, o\`u $X$ est une 
vari\'et\'e de Stein de dimension  $n$~.

\th Th\'eor\`eme et d\'efinition 3.1| Soit $\varphi : \Omega \to [-\infty,0[$
une fonction psh continue exhaustive. On suppose que la masse de 
Monge-Amp\`ere totale de  $\varphi$ est finie, \ie
$$\int_\Omega (dd^c\varphi)^n < +\infty~.\leqno (3.2)$$
Alors, quand  $r$  tend vers  $0$, $\mu_{\varphi,r}$ converge faiblement dans
$X$ vers une mesure  $\mu_\varphi \ge 0$ port\'ee par  $\partial \Omega$, de
masse totale $\int_\Omega (dd^c\varphi)^n$. La mesure limite $\mu_\varphi$
sera appel\'ee mesure au bord associ\'ee \`a $\varphi$.|

On verra plus loin (\cf \S4) qu'un  ouvert hyperconvexe quelconque admet
toujours des fonctions d'exhaustion  $\varphi$ v\'erifiant  (3.2).

\dem D'apr\`es (1.10) et (3.2), les mesures $\mu_{\varphi,r}$ sont
uniform\'ement bor\-n\'ees en masse pour $r<0$. Il suffit donc de
v\'erifier que $r \mapsto \mu_{\varphi,r}(h)$ a une limite pour toute
fonction $h\in C^2(X,\bR)$.  Si $\gamma$ est une fonction $>0$
strictement psh de classe $C^2$ sur $X$, on peut choisir une constante
$C>0$ telle que $V = h+C\gamma$ soit psh $\ge 0$ sur $\overline
\Omega$. Le corollaire 1.9 entra\^{\i}ne alors que
$\mu_{\varphi,r}(\gamma)$ et $\mu_{\varphi,r}(V)$ sont fonctions
croissantes de $r$ , par suite $\mu_{\varphi,r}(h) =
\mu_{\varphi,r}(V) - C\mu_{\varphi,r}(\gamma)$ a une limite en $r=0\ .$\finpr

Quand  $r$  tend vers $0$, la formule de Lelong-Jensen 1.7 entra\^{\i}ne le :

\th Th\'eor\`eme 3.3| Soit  $V\in C(\overline \Omega)$, $V$ psh sur
$\Omega$. Alors
$$\eqalign{\mu_\varphi(V)&= \int_\Omega V(dd^c\varphi)^n + \int_\Omega dd^cV 
    \wedge\vert \varphi\vert(dd^c\varphi)^{n-1}
                       \qquad\qquad\qquad\!{\rm si }\quad n\ge 1~,\cr
\mu_\varphi(V) &= \int_\Omega V(dd^c\varphi)^n + \int_\Omega dd^cV \wedge
             (dd^c\varphi)^{n-2}\wedge d\varphi \wedge d^c\varphi
                       \qquad{\rm si }\quad n\ge 2~.\cr}$$|

On va voir maintenant que la mesure  $\mu_\varphi$ ne d\'epend, en un certain
sens, que du  comportement asymptotique local de $\varphi$ au voisinage de
$\partial \Omega$. Nous commen\c cons par prouver le r\'esultat global 
suivant :

\th Th\'eor\`eme 3.4|Soient  $\varphi,\psi : \Omega \to [-\infty,0[$ des
fonctions psh continues exhaustives telles que  $\varphi \le \psi \le 0$ et
$\int_\Omega(dd^c\varphi)^n<+\infty\ .$ Alors $\int_\Omega(dd^c\psi)^n \le 
\int_\Omega {dd^c\varphi}^n$ et  $\mu_\psi \le \mu_\varphi$ sur 
$\partial \Omega$.|

\dem Soient  $r<0$ et $\varepsilon\in ]0,1[$ fix\'es. Introduisons la fonction
auxiliaire
$$w = \sup\big(\varphi,(1-\varepsilon)\psi+\varepsilon r\big).$$
Sur l'ouvert  $\lbrace\psi<r\rbrace$ on a  $(1-\varepsilon)\psi +\varepsilon
r >\psi \ge \varphi$~, de sorte que
$$w = (1-\varepsilon)\psi + \varepsilon r \qquad{\rm sur }\qquad
                                                \lbrace\psi<r\rbrace.$$
On en d\'eduit
   $$\mu_{w,\tilde r} = 
       (1-\varepsilon)^n\mu_{\psi,(\tilde r-\varepsilon r)/(1-\varepsilon)}$$
pour $\tilde r<r$~, et la continuit\'e \`a gauche des mesures $\mu_{\varphi,r}$
implique
$$\mu_{w,r} = (1-\varepsilon)^n \mu_{\psi,r}\ .$$
Par ailleurs  $w$  co\"{\i}ncide avec  $\varphi$ sur l'ouvert  $\lbrace\varphi
> \varepsilon r\rbrace$. On a donc  $\mu_w = \mu_\varphi$. Soit  
$h\in C^2(X,\bR)$ une fonction $\ge 0$ quelconque. D'apr\`es ce
qui pr\'ec\`ede on a
$$\eqalign{(1-\varepsilon)^n\mu_{\psi,r}(h) &= \mu_{w,r}(h)\cr
        &= \mu_w(h) - \int^0_r dt \int_{\lbrace w<t\rbrace} dd^ch \wedge 
           (dd^cw)^{n-1}- \int_{\lbrace w\ge r\rbrace} h(dd^cw)^n~,\cr}$$
o\`u la derni\`ere \'egalit\'e provient de la formule de Lelong-Jensen 1.7.
Le choix  $h \equiv 1$ donne $(1-\varepsilon)^n\mu_{\psi,r}(1) \le 
\mu_w(1) = \mu_\varphi(1)$~, et ceci entra\^{\i}ne la premi\`ere 
in\'egalit\'e du 
th\'eor\`eme  d'apr\`es (1.10). Dans le cas g\'en\'eral, soit  $\gamma$
une fonction  $C^\infty$ strictement psh sur  $X$. Il existe une constante
$C>0$ telle que  $-dd^ch \le C dd^c\gamma$ sur  $\overline \Omega$~, donc
$$(1-\varepsilon)^n\mu_{\psi,r}(h) \le \mu_\varphi(h) + C\int^0_r dt
\int_{\lbrace w<t\rbrace} dd^c\gamma\wedge (dd^cw)^{n-1}~.\leqno(3.5)$$
Il s'agit maintenant de passer \`a la limite quand $r$ tend vers $0$, en
prenant garde au fait que  $w$ d\'epend de  $r$. Comme  $\lbrace w<t\rbrace 
\subset \lbrace w <\varepsilon t\rbrace$, on a la majoration
$$\eqalign{\int^0_rdt \int_{\lbrace w<t\rbrace} dd^c\gamma\wedge (dd^cw)^{n-1}
           &\le \int^0_rdt \int_{\lbrace w<\varepsilon t\rbrace} dd^c\gamma
             \wedge (dd^cw)^{n-1}\cr
           &= {1\over\varepsilon}\int^0_{\varepsilon r} dt \int_{\lbrace w<t
             \rbrace} dd^c\gamma\wedge (dd^cw)^{n-1}.\cr}$$
Pour  $t>\varepsilon r$, $w$ co\"{\i}ncide avec  $\varphi$ au voisinage de
$\lbrace w=t\rbrace$~. D'apr\`es le th\'eor\`eme de Stokes, on a donc
$$\int_{\lbrace w<t\rbrace} dd^c\gamma\wedge (dd^cw)^{n-1}
  = \int_{\lbrace \varphi<t\rbrace} dd^c\gamma\wedge (dd^c\varphi)^{n-1},$$
ce qui entra\^{\i}ne
$$\int^0_rdt \int_{\lbrace w<t\rbrace} dd^c\gamma\wedge (dd^cw)^{n-1}
\le  {1\over\varepsilon}\int^0_{\varepsilon r} dt \int_{\lbrace \varphi<t
             \rbrace} dd^c\gamma\wedge (dd^c\varphi)^{n-1}~.$$
Le th\'eor\`eme 1.7 montre que
$$\int^0_{-\infty} dt \int_{\lbrace \varphi<t\rbrace} dd^c\gamma\wedge 
(dd^c\varphi)^{n-1}\le\big(\sup_\Omega\gamma-
                 \mathop{\smash\inf\vphantom\sup}_{\Omega}\gamma\big)
                               \int_\Omega (dd^c\varphi)^n < +\infty~.$$
Par suite l'int\'egrale  $\displaystyle{\int^0_{\varepsilon r} dt
\int_{\lbrace\varphi<t\rbrace}dd^c\gamma\wedge(dd^c\varphi)^{n-1}}\ $ tend vers
$0$ quand  $r$ tend vers~$0$~, et (3.5) entra\^{\i}ne pour tout  
$\varepsilon>0$ l'in\'egalit\'e cherch\'ee :
$$(1-\varepsilon)^n\mu_\psi(h) \le \mu_\varphi(h)~.\eqno\carre$$

\remarque Remarque 3.6|On a un r\'esultat analogue \`a celui du th\'eor\`eme
3.4 pour les mesures
$$\overline \mu_{\varphi,-\infty} := \lim_{r\to -\infty}\mu_{\varphi,r}
= {\bf 1}_{\varphi^{-1}(-\infty)} (dd^c\varphi)^n~,$$
\`a savoir que
$$\varphi \le \psi\qquad \Longrightarrow\qquad \overline \mu_{\psi,-\infty} \le
\overline\mu_{\varphi,-\infty}~.\leqno (3.7)$$
Avec les notations pr\'ec\'edentes, on obtient en effet lorsque $r\to-\infty$ :
$$\eqalignno{(1-\varepsilon)^n\mu_{\psi,r}(h) &= \mu_{w,r}(h)\cr
        &\le \mu_{w,\varepsilon r/2}(h) - \int^{\varepsilon r/2}_r dt
           \int_{\lbrace w<t\rbrace} dd^ch \wedge (dd^cw)^{n-1} \cr
        &\le \mu_{w,\varepsilon r/2}(h) +C \int^{\varepsilon r/2}_r dt
           \int_{\lbrace w<\varepsilon t\rbrace} dd^c\gamma \wedge (dd^cw)
           ^{n-1} \cr
         &= \mu_{\varphi,\varepsilon r/2}(h) +{C\over \varepsilon} 
 \int^{\varepsilon ^2r/2}_{\varepsilon r} dt 
 \int_{\lbrace w<t\rbrace} dd^c\gamma \wedge (dd^c\varphi)^{n-1}\ .
&\carre\cr}$$
Bien que la d\'emonstration pr\'ec\'edente soit de nature globale, le 
th\'eor\`eme 3.4 est en fait un r\'esultat essentiellement local.

\th Th\'eor\`eme 3.8| Soient  $\varphi,\psi : \Omega \to [-\infty,0[$
des fonctions psh continues exhaustives telles que
$$\int_\Omega (dd^c\varphi)^n < +\infty~~,~~\int_\Omega(dd^c\psi)^n<+\infty~.$$
On suppose qu'il existe un ouvert relatif  $\omega \subset \partial \Omega$
et une fonction  $\lambda\ge 0$ sur $\omega$ telle que pour tout point
$a\in \omega$ on ait
$$\limsup_{\Omega\ni z\to a} {\psi(z) \over \varphi(z)} = 
\lambda(a) < +\infty~.$$
Alors $d\mu_\psi(\zeta) \le \lambda(\zeta)^n d\mu_\varphi(\zeta)$ sur
$\omega$~.  Si la $\limsup$ est une limite, alors $\mu_\psi =
\lambda^n\mu_\varphi$ sur $\omega$~.|

On observera que la $\limsup$ n'est pas suppos\'ee non tangentielle. Il 
r\'esulte donc des hypoth\`eses que  $\lambda$ est semi-continue 
sup\'erieurement sur  $\omega$ (et en particulier localement born\'ee).

\dem Soit  $a\in \omega$ et $\varepsilon>0$ fix\'es. Par hypoth\`ese il existe
un voisinage ouvert  $U_a$ de  $a$  tel que
$$\psi(z)/\varphi(z) < \lambda(a) +\varepsilon~~{\rm pour }~~ z\in \Omega
\cap U_a~.$$
Consid\'erons la fonction
$$w(z) = \max\big(\varphi(z),\psi(z)/(\lambda(a)+\varepsilon)\big)~.$$
Alors  $\varphi(z) \le w(z) \le 0$ et $w(z)$ co\"{\i}ncide avec
$\psi(z)/\big(\lambda(a)+\varepsilon\big)$ sur  $\Omega\cap U_a$~; on a donc
$\mu_w = (\lambda(a)+\varepsilon)^{-n}\mu_\psi$ sur 
$\partial \Omega \cap U_a$~. Le th\'eor\`eme 3.4 entra\^{\i}ne $\mu_w \le 
\mu_\varphi$ sur $\partial \Omega$~, d'o\`u
$$\mu_\psi \le \big(\lambda(a)+\varepsilon\big)^n\mu_\varphi~~{\rm sur}~~
\partial \Omega \cap U_a\ .$$
L'in\'egalit\'e $\mu_\psi \le \lambda^n\mu_\varphi$ s'en d\'eduit sur
$\omega$ par semi-continuit\'e de $\lambda$ ~. Si de plus $\lambda =
\lim \psi/\varphi$ sur $\omega$~, alors $\lambda$ est continue et
$\limsup \varphi/\psi = \lambda^{-1}$ sur l'ouvert $\omega^\star =
\lbrace z\in \omega~;~ \lambda(z) >0\rbrace~$. On obtient par
cons\'equent $\mu_\varphi \le \lambda ^{-n}\mu_\psi$~, soit $\mu_\psi
\le \lambda^n \mu_\varphi$ sur $\omega^\star $~.  L'in\'egalit\'e
directe $\mu_\psi \le \lambda^n\mu_\varphi$ implique d'autre part
$\mu_\psi = 0$ sur $\omega\setminus \omega^\star $~. Il en r\'esulte
bien que $\mu_\psi = \lambda^n\mu_\varphi$ sur $\omega\ .$\finpr

Une d\'emonstration quasi-identique permet de d\'eduire de (3.7) le r\'esultat
suivant, qui \'etait conjectur\'e (sous une forme plus faible) dans [4].

\th Th\'eor\`eme 3.9| Soient  $u,v$ des fonctions psh continues sur une
vari\'et\'e de Stein  $X$, \`a valeurs dans  $\bR\cup\lbrace-\infty
\rbrace$, telles que  $u^{-1}(-\infty) \subset\!\subset X$ et  $v^{-1}(-
\infty)\subset\!\subset X$. On suppose que pour tout point  $a$  d'un ouvert
relatif  $\omega\subset u^{-1}(-\infty)$ on a
$$\limsup_{u(z)>-\infty~,~z\to a} {v(z)\over u(z)} = \lambda(a) < +\infty~.$$
Alors  $d\overline\mu_{v,-\infty}(\zeta)\le\lambda(\zeta)^nd\overline\mu_{u,
-\infty}(\zeta)$
sur  $\omega$~, avec \'egalit\'e si la $\limsup$ est une limite.|

Comme  $(dd^c\Log|z|)^n = (2\pi)^n\delta_0$ dans  $\cn $, il d\'ecoule 
en particulier du th\'eor\`eme 3.9 que si  $u$  poss\`ede un p\^ole 
logarithmique isol\'e en un point  $a\in X$ (\ie si  $u(z) \sim \Log |z-a|$
quand  $z\to a$) alors
$$\overline\mu_{u,-\infty} = (2\pi)^n\delta_a~,\leqno (3.10)$$
o\`u  $\delta_a$ d\'esigne la mesure de Dirac au point  $a$~. Nous renvoyons
le lecteur \`a [4], \S4 pour plus de d\'etails sur cette question.
\vskip30pt

\titre 4. Fonction de Green pluricomplexe|

Soit  $X$  une vari\'et\'e de Stein et  $\Omega\subset\!\subset X$ un ouvert
connexe. Nous nous proposons de construire un potentiel de Green adapt\'e \`a
l'\'etude des fonctions de plusieurs variables complexes ; ce potentiel sera
en particulier un invariant biholomorphe du domaine  $\Omega$. Pour cela, on
consid\`ere le probl\`eme de Dirichlet suivant : pour tout point $z\in \Omega$
~, trouver une fonction  $u_z : \overline  \Omega\to [-\infty,0]$ continue
sur  $\overline \Omega$ et psh sur  $\Omega$~, v\'erifiant les propri\'et\'es

\noindent(4.1)$\displaystyle{\quad u_z|_{\partial\Omega}=0~,}$

\noindent
(4.2)$\displaystyle{\quad(dd^cu_z)^n = 0 ~{\rm sur}~ \Omega\setminus\lbrace 
z\rbrace\qquad{\rm et }\qquad u_z(\zeta)\sim\Log|\zeta-z| 
~{\rm quand }~ \zeta\to z~.}$

\noindent
L'existence de solutions pour le probl\`eme de Dirichlet relatif \`a 
l'op\'erateur de Monge-Amp\`ere complexe a \'et\'e d\'emontr\'ee de mani\`ere
g\'en\'erale par Bedford- Taylor [1]. Le probl\`eme particulier ci-dessus
a \'et\'e \'etudi\'e ant\'erieurement par M. Klimek [9] et par L. Lempert
[11], [12]; ce dernier a obtenu des r\'esultats tr\`es pr\'ecis dans le cas 
d'un ouvert $\Omega\subset\cn $ strictement convexe.

Une condition n\'ecessaire \'evidente pour l'existence de la solution  $u_z$
est que l'ouvert  $\Omega$ soit hyperconvexe. Inversement, cette condition
est suffisante, et on a le r\'esultat suivant qui pr\'ecise le th\'eor\`eme
1.6 de [9].

\th Th\'eor\`eme 4.3|Soit  $\Omega$ un domaine hyperconvexe. Il existe sur
$\Omega$ une unique fonction  $u_z$ psh continue, solution de  (4.1) et
(4.2). Cette fonction v\'erifie
$$(dd^cu_z)^n = (2\pi)^n\delta_z~,\leqno (4.4)$$
et peut se d\'efinir comme l'enveloppe sup\'erieure
$$u_z(\zeta) = \sup_v \lbrace v(\zeta)\rbrace\leqno (4.5)$$
o\`u  $v$  d\'ecrit l'ensemble des fonctions  psh $\le 0$ sur $\Omega$ telles
que
$$ v(\zeta) \le \Log\vert\zeta-z\vert + C_v~,\leqno(4.6)$$
$C_v$ \'etant une constante quelconque.|
\remarque Existence de  $u_z$~| D\'efinissons  $u_z$ \`a l'aide de (4.5) et 
(4.6). $X$ \'etant suppos\'ee plong\'ee dans  $\bC^N$~, on peut choisir les
coordonn\'ees de fa\c con que les  $n$ premi\`eres  
$(\zeta_1,\ldots,\zeta_n)=:\zeta'$ d\'efinissent un syst\`eme de 
coordonn\'ees locales au voisinage de  $z$. Soit  $|\zeta'-z'| < r$ une petite
boule contenue dans  $\Omega$ et soit  $R=\sup_{\zeta\in \Omega}|\zeta-z|$~.
Toute fonction  psh $v \le 0$ sur la boule  $|\zeta'-z'|<r$ qui a un
p\^ole logarithmique au point  $z$ v\'erifie $v(\zeta)\le\Log(|\zeta'-z'|/r)$~,
et a fortiori  $v(z) \le \Log(|\zeta-z|/r)$~. D'autre part, la
fonction $\zeta\mapsto \Log(|\zeta-z|/R)$ est $\le 0$~sur~$\Omega$~. Par
d\'efinition de $u_z\ ,$ on en d\'eduit donc
$$\Log(|\zeta-z|/R)\le u_z(\zeta)\le\Log(|\zeta-z|/r)\qquad{\rm sur}
\quad\Omega~.\leqno (4.7)$$
D'apr\`es P. Lelong [10] la r\'egularis\'ee sup\'erieure
$$u^\star _z(a) = \limsup_{\zeta\to a} u_z(\zeta)$$
est psh sur $\Omega$~. Comme $u_z$ est $\le 0$ et v\'erifie (4.6), il en est
de m\^eme pour  $u^\star _z$~; $u^\star _z$ est donc l'une des fonctions 
$v$ de l'enveloppe sup\'erieure  (4.5). Par suite  $u^\star _z = u_z$ et ceci
\'equivaut \`a dire que  $u_z$ est psh.

V\'erifions  ensuite que  $u_z(\zeta) \to 0$ quand  $\zeta\to \partial \Omega$
~. Par hypoth\`ese, il existe une fonction  $\varphi : \Omega \to ]-\infty,0[$
continue psh et exhaustive. Posons
$$\cases{v(\zeta) = \max\big(C\varphi(\zeta),\Log(|\zeta-z|/R)\big)&si\quad
                                               $|\zeta-z|>r\ ,$\cr
    v(\zeta) = \vphantom{\Big(}\Log(|\zeta-z|/R)&si\quad$|\zeta-z|\le r\ ,$\cr}
                                                     \leqno (4.8)$$
o\`u la constante  $C>0$ est choisie assez grande pour que  
$C\varphi(\zeta) < \Log(r/R)$ sur
$\lbrace |\zeta-z|=r\rbrace$~. Alors $v$ est 
psh $\le 0$ sur $\Omega$~. On a donc  $v\le u_z \le 0$~, et en particulier
$C\varphi\le u_z \le 0$ au voisinage de  $\partial \Omega$~. Par suite,  $u_z$
tend vers  $0$ sur  $\partial \Omega$~.

Montrons maintenant que  $u_z$ est continue sur  $\Omega\setminus \lbrace z
\rbrace$~, en nous inspirant de la m\'ethode de J.B. Walsh [22]. Il suffit
de prouver que  $u_z$ est semi-continue inf\'erieurement, et ceci revient
\`a montrer que  $u_z$ est une enveloppe  $\sup(v_\varepsilon)$ de fonctions
psh continues. On sait qu'il existe une suite d\'ecroissante  $(w_\nu)$ de
fonctions psh $C^\infty$ sur $\Omega$ telles que  $\lim w_\nu = u_z$~. Soit
$\varepsilon>0$ quelconque. Pour $|\zeta-z| = \varepsilon$ et $\varepsilon$ 
assez petit, (4.7) implique
$$w_\nu(\zeta) \ge u_z(\zeta) \ge \Log(\varepsilon/R)> (1-\varepsilon)\Log 
(\varepsilon|\zeta-z|)~,$$
tandis que
$$(1-\varepsilon)\Log(\varepsilon|\zeta-z|) > \Log(|\zeta-z|/r)\quad{\rm si }
\quad|\zeta-z| = \eta(\varepsilon) := \exp (-{1\over \varepsilon^2})~.$$
D'apr\`es (4.7), le lemme de Dini entra\^{\i}ne pour $\nu = \nu(\varepsilon)$
assez grand :
$$\matrix{\vphantom{\Big(}w_\nu(\zeta)\!\!\!\!\!&< 
            (1-\varepsilon)\Log(\varepsilon|\zeta-z|)\quad\hfill&{\rm sur}
            \quad\lbrace|\zeta-z|=\eta(\varepsilon)\rbrace~,\hfill\cr
  \vphantom{\Big(}w_\nu(\zeta)\!\!\!\!\!&<0 \hfill&{\rm sur}\quad
            \lbrace\varphi(\zeta)=-\varepsilon^3\rbrace~.\hfill\cr}$$
En particulier, on a  $w_\nu(\zeta)-\varepsilon < \varepsilon^{-2}
\varphi(\zeta)$
sur  $\lbrace\varphi(\zeta) = -\varepsilon^3\rbrace$~, tandis que  
$w_\nu(\zeta)-\varepsilon > \varepsilon^{-2}\varphi(\zeta)$ sur
 $\lbrace\varphi(\zeta) = -\varepsilon\rbrace$ si  $\varepsilon$  est assez 
petit. D\'efinissons alors une fonction psh continue  $v_\varepsilon$ sur
$\Omega$ en posant $\nu=\nu(\varepsilon)$ et
$$\cases{
\vphantom{\Big(}v_\varepsilon(\zeta) = \varepsilon^{-2}\varphi(\zeta) 
                          &pour\quad$\!\varphi(\zeta) \ge -\varepsilon^3\ ,$\cr
 \vphantom{\Big(}v_\varepsilon(\zeta) = \max(w_\nu(\zeta)-\varepsilon,
 \varepsilon^{-2}\varphi(\zeta))&pour\quad$\!-\varepsilon \le\varphi(\zeta) \le
                               -\varepsilon^3\ ,$\cr
 \vphantom{\Big(}v_\varepsilon(\zeta) = w_\nu(\zeta)-\varepsilon
                &pour\quad$\!\varphi(\zeta)\le -\varepsilon~ {\rm et }~ 
                     |\zeta-z|\ge \varepsilon,$\cr
 \vphantom{\Big(}v_\varepsilon(\zeta) = \max\big(w_\nu(\zeta),(1-\varepsilon)
            \Log(\varepsilon|\zeta-z|)\big)-\varepsilon\!\!
              &pour\quad$\!\eta(\varepsilon)\le |\zeta-z|\le \varepsilon\ ,$\cr
 \vphantom{\Big(}v_\varepsilon(\zeta) = (1-\varepsilon)\Log(\varepsilon
    |\zeta-z|)-\varepsilon&pour\quad$\!|\zeta-z|\le \eta(\varepsilon)\ .$\cr}$$
Par construction de  $v_\varepsilon$, on a  $v_\varepsilon \le 0$ et 
$v_\varepsilon(\zeta) \sim (1-\varepsilon)\Log |\zeta-z|$ quand  
$\zeta\to z$~. En revenant \`a la d\'efinition de  $u_z$~, on voit que
$u_z \ge v_\varepsilon/(1-\varepsilon)$~. Comme $\lim_{\varepsilon\to 0}
v_\varepsilon = \lim_{\nu\to +\infty} w_\nu = u_z$~, il vient
$u_z = \sup_{\varepsilon>0} v_\varepsilon/(1-\varepsilon)\ ,$ CQFD.

Enfin, $u_z$ v\'erifie  $(dd^cu_z)^n = 0$ sur toute boule  $B\subset\!\subset
\Omega\setminus\lbrace z\rbrace$~. Sinon, d'apr\`es Bedford-Taylor [1], on 
pourrait modifier  $u_z$ sur  $B$ en rempla\c cant  $u_z$ par la solution $v$
du probl\`eme de Dirichlet
$$v|_{\partial B} = u_z|_{\partial B}~~,~~(dd^cv)^n = 0~,$$
et on aurait  $v\ge u_z~,~v\ne u_z$, ce qui est contradictoire. Il r\'esulte
finalement de  (4.7) et (3.10) que  $(dd^cu_z)^n = (2\pi)^n\delta_z$ sur 
$\Omega$.

\remarque Unicit\'e de  $u_z$~| Soit  $v$ une autre solution de (4.1) et 
(4.2). Par d\'efinition de $u_z$ on a  $u_z \ge v$~. Supposons donc qu'il
existe un point  $a\in \Omega\setminus\lbrace z\rbrace$ tel que
$u_z(a) > v(a)$~. Soit  $\gamma \in C^\infty(\overline\Omega)$ une fonction
strictement psh $\le -1$.  Pour  $\varepsilon>0$ assez petit la fonction
$$w = \max(u_z+\varepsilon\gamma,v)$$
a les propri\'et\'es suivantes :

(i)$\;\;$ $w(\zeta)\sim \Log|\zeta-z|$ quand  $\zeta\to z$~,

(ii)$\;$ $w = v$ au voisinage de  $\partial \Omega$~,

(iii) $w = u_z + \varepsilon\gamma$ au voisinage de  $a$ .

\noindent Des deux premi\`eres on d\'eduit
$${\bf 1}_{\lbrace z\rbrace}(dd^cw)^n = (2\pi)^n\delta_z~~,~~\int_\Omega
   (dd^cw)^n = \int_\Omega(dd^cv)^n = (2\pi)^n~,$$
donc  $(dd^cw)^n=0$ sur  $\Omega\setminus\lbrace z\rbrace$~, ce qui contredit
la troisi\`eme.\finpr

\remarque Remarque 4.9|Il est important de noter que si on remplace la
condition (4.2) par (4.4), alors la solution  $u_z$ n'est plus unique d\`es 
que $n>1$. Dans le raisonnement pr\'ec\'edent, on peut en effet remplacer le
p\^ole logarithmique  $\Log|\zeta-z|$ par l'un quelconque des p\^oles
$$\Log\big(|\zeta_1-z_1|^{\alpha_1}+\cdots+|\zeta_n-z_n|^{\alpha_n}\big)~,
~\alpha_1\alpha_2\cdots\alpha_n = 1~,$$
ou par tout autre p\^ole de masse r\'esiduelle \'egale \`a 
$(2\pi)^n\delta_z$~. A chacun de ces p\^oles correspondra une solution
du probl\`eme de Dirichlet
ayant la singularit\'e prescrite et v\'erifiant (4.4).

\th D\'efinition 4.10|La fonction $u_\Omega(z,\zeta) = u_z(\zeta)$ sera 
appel\'ee fonction de Green pluricomplexe du domaine $\Omega$.|

Il est clair que la fonction  $u_\Omega$ est invariante par le groupe des
automorphismes de  $\Omega$~. Plus g\'en\'eralement, on a la propri\'et\'e
suivante :
\th Th\'eor\`eme 4.11|Soit  $\Omega'\subset\!\subset X'$ un ouvert 
hyperconvexe dans une vari\'et\'e de Stein  $X'$ de dimension  $n'$~, et
$F : \Omega\to \Omega'$ une application holomorphe. Alors pour tous
$z,\zeta \in \Omega$ on a
$$u_\Omega(z,\zeta) \ge u_{\Omega'}\big(F(z),F(\zeta)\big).$$
En particulier si $F$ est biholomorphe alors $u_\Omega = 
F^\star u_{\Omega'}$~.|

\dem Soit  $v(\zeta) = u_{\Omega'}\big(F(z),F(\zeta)\big)$~. Alors  $v$ est
une fonction psh $\le 0$ sur  $\Omega$ et
$$v(\zeta) \le \Log |F(\zeta)-F(z)|+C \le \Log|\zeta-z|+C'\qquad{\rm quand }
     \quad z\to \zeta~.$$
Par suite  $u_\Omega(z,\zeta) \ge v(\zeta)\ .$\finpr

Une autre propri\'et\'e imm\'ediate est la continuit\'e de  $u_\Omega$ par 
exhaustion du domaine  $\Omega$.

\th Proposition 4.12|Si  $\Omega$ est r\'eunion d'une suite croissante
d'ouverts hyperconvexes  $\Omega_\nu$~, alors la suite  $u_{\Omega_\nu}$ est
d\'ecroissante et  $\lim_{\nu\to +\infty} u_{\Omega_\nu} = u_\Omega\ .$\finpr
Nous d\'emontrons maintenant la continuit\'e de la fonction  $u_\Omega$ sur
$\Omega\times \overline \Omega$~.|

\th Lemme 4.13|Soit $a\in \Omega$ un point fix\'e. Pour tout
$\varepsilon>0$ et tout voisinage ouvert $U$ de $a$, il existe un
voisinage $U'\subset\!  \subset U$ de $a$ tel que pour tous
$(x,\zeta),(y,\zeta)\in U'\times (\overline \Omega\setminus U)$ on ait
$$(1+\varepsilon)^{-1} \le {u_x(\zeta) \over u_y(\zeta)} 
\le 1+\varepsilon~.$$|

\dem On suppose  $X$  plong\'ee dans  $\bC^N$ et $U = B(a,\alpha)\subset\!
\subset \Omega$~. D'apr\`es (4.7), il existe  $0<r<R$ tels que
$$\Log(|\zeta-x|/R) \le u_x(\zeta) \le \Log(|\zeta-x|/r)~,~\forall(x,\zeta)
\in B(a,\alpha)\times \overline \Omega~.$$
On cherche alors \`a modifier  $u_x$ de fa\c con \`a obtenir une fonction psh
ayant un p\^ole au point  $\zeta=y$. Pour  $\eta \in ]0,\alpha[$ assez
petit, on pose
$$\cases{\vphantom{\Big(}v(\zeta)=\Log(|\zeta-y|/R)&si\quad$|\zeta-a|\le \eta$
                         \cr
         \vphantom{\Big(}v(\zeta)=\max\big((1+\varepsilon)u_x(\zeta),
                      \Log(|\zeta-x|/R)\big)&si\quad$|\zeta-a|\ge \eta$.\cr}$$
Ceci est coh\'erent pourvu que
$$(1+\varepsilon)u_x(\zeta)<\Log(|\zeta-y|/R)\qquad{\rm sur}
       \quad\lbrace\zeta\,;\,|\zeta-a|=\eta\rbrace.$$
Il suffit pour cela de prendre $x,y \in B(a,\eta/2)$ et $\eta>0$ assez
petit pour que
$$(1+\varepsilon)\Log\Big({3\eta\over2r}\Big)<\Log\Big({\eta\over2R}\Big)~.$$
On pose donc  $U' = B(a,\eta/2)$~. Pour  $(x,\zeta),(y,\zeta)\in U'\times
(\overline \Omega\setminus U)$ il vient par construction
$$u_y(\zeta) \ge v(\zeta) \ge (1+\varepsilon)u_x(\zeta)$$
et de m\^eme  $u_x(\zeta) \ge (1+\varepsilon)u_y(\zeta)$ en \'echangeant les
r\^oles de  $x$ et $y$~. Le lemme est d\'emontr\'e.\finpr

\th Th\'eor\`eme 4.14| $u_\Omega$ est continue sur  $\Omega\times \overline
\Omega$~.|

\dem D'apr\`es (4.7), $u_\Omega(z,\zeta)$ tend vers  $-\infty$ sur la 
diagonale. En dehors de la diagonale, on sait d'une part que  $u_\Omega$ est
continue en  $\zeta$ (th\'eor\`eme 4.3), et d'autre part que  $u_\Omega$ est
continue en  $z$ avec uniformit\'e locale par rapport \`a  $\zeta\in \overline
\Omega$ (lemme 4.13).\finpr

Pour terminer ce paragraphe, signalons un certain nombre de probl\`emes
ouverts importants.

\remarque Probl\`eme 4.15| Pour tout domaine $\Omega$~, la fonction
$u_\Omega(z,\zeta)$ est-elle sym\'etrique en  $z$ et $\zeta$ ?

Si pour tous points  $z,\zeta\in \Omega$ il existe un automorphisme analytique
$F$  tel que  $F(z) = \zeta$ et  $F(\zeta) = z$ (c'est le cas de la boule
et du polydisque par exemple), alors le th\'eor\`eme 4.10 implique que
$u_\Omega$ est sym\'etrique. Il en est de m\^eme si  $\Omega$ est un ouvert
convexe de  $\cn $~, car L. Lempert [11] a d\'emontr\'e dans ce cas que
$$u_\Omega(z,\zeta) = \Log\tanh c_\Omega(z,\zeta)
            = \Log\tanh k_\Omega(z,\zeta)$$
o\`u  $c_\Omega$ et $k_\Omega$ sont respectivement la distance de 
Carath\'eodory et la (pseudo)-distance de Kobayashi. Si  $\Omega$ n'est 
pas convexe, ces relations ne sont plus n\'ecessairement vraies, mais 
M.~Klimek [9] a montr\'e qu'on a en g\'en\'eral
$$ \Log\tanh c_\Omega(z,\zeta)\le u_\Omega(z,\zeta) \le
\Log\tanh k_\Omega(z,\zeta).$$
L'autre question essentielle a trait \`a la r\'egularit\'e de la fonction
$u_\Omega$. On sait en effet que pour une donn\'ee au bord  $C^\infty$ 
quelconque, la r\'egularit\'e de la solution de l'\'equation de Monge-Amp\`ere
homog\`ene ne d\'epasse pas  $C^{1+lip}$ en g\'en\'eral (\cf Gamelin
et Sibony [7] p. 99 pour un contre-exemple simple).

\remarque Probl\`eme 4.16|Si $\Omega$ est strictement pseudoconvexe $C^\infty$
est-il vrai que

\noindent (4.17) \quad $u_z$ est de classe $C^\infty$ sur
$\overline\Omega\setminus \lbrace z\rbrace$ ?

\noindent (4.18) \quad la singularit\'e de  $\exp(2u_z)$ en $\zeta=z$ se 
r\'esout par \'eclatement du point  $z$ ?

\noindent (4.19) \quad $u_z$ est une fonction de Morse sur  $\overline \Omega
\setminus \lbrace z\rbrace$ ?

\noindent (4.20) \quad $(dd^cu_z)$ est de rang $n-1$ en tout point ?

\noindent (4.21) \quad $\exp(2u_z)$ est strictement psh en dehors des points
critiques de  $u_z$ ?

Si  (4.20) est v\'erifi\'e, le fibr\'e noyau  Ker$(dd^cu_z)$ d\'efinit un
feuilletage de rang $1$ sur  $\Omega\setminus \lbrace z\rbrace$, et la
restriction de  $u_z$ \`a toute feuille  $\Gamma$ est harmonique non constante.
Chaque feuille  $\Gamma$ est adh\'erente \`a  $z$~, sinon $\Gamma$ aurait
un point adh\'erent  $\zeta_0$ pour lequel la quantit\'e $u_z(\zeta_0)$ serait
minimale, et la feuille  $\Gamma_0$ passant par  $\zeta_0$ serait adh\'erente
\`a $\Gamma$~, donc contenue dans  $u_z(\zeta) \ge u_z(\zeta_0)$~, ce qui
contredit le principe du maximum pour  $u_z|_{\Gamma_0}$~. Si  $\Gamma$ est 
ferm\'ee dans  $\Omega\setminus \lbrace z\rbrace$~, le th\'eor\`eme de
Remmert-Stein implique que  $\Gamma$ se prolonge en une courbe  $\overline
\Gamma$ sur  $\Omega$~. Il est donc naturel de conjecturer :

\noindent (4.22) \quad toute feuille $\Gamma$ est ferm\'ee dans  
$\Omega\setminus \lbrace z\rbrace$~, et $z$ est un point simple
\hphantom{4.22) \quad} (lisse) de
$\overline \Gamma = \Gamma \cup \lbrace z\rbrace~.$

    Ici encore, les propri\'et\'es (4.17--22) sont vraies si  $\Omega$ est 
strictement convexe (\cf L. Lempert [11]). Dans ce cas, les feuilles
$\overline\Gamma$ sont les disques extr\^emaux de $\Omega$
relativement \`a la m\'etrique de Kobayashi, et c'est pr\'ecis\'ement au
moyen d'une \'etude tr\`es pouss\'ee de ces disques extr\^emaux que
Lempert est parvenu \`a obtenir les r\'esultats ci-dessus.
Signalons que L. Lempert, H.L. Royden, N. Sibony et P.M. Wong ont construit des
exemples d'ouvert $\Omega$ lisse, born\'e, strictement pseudoconvexe et 
contractile, o\`u il n'y a plus unicit\'e des disques extr\^emaux de vecteur 
tangent initial donn\'e (\cf [16])~; ceux des disques 
qui passent par $z$ ne constituent plus en g\'en\'eral un feuilletage 
de $\Omega\setminus\{z\}\ .$
N\'eanmoins, cet exemple ne contredit pas l'existence d'un feuilletage 
associ\'e \`a $u_z\ ,$ car il n'y a aucune raison de penser que les feuilles 
$\overline\Gamma$ soient n\'ecessairement des disques.

   La sym\'etrie de  $u_\Omega$ est en fait \'etroitement li\'ee au probl\`eme
de la r\'egularit\'e, comme le montre l'\'enonc\'e ci-dessous.

\th Proposition 4.23|Si {\rm(4.17)}, {\rm(4.20)} et {\rm(4.22)} sont 
v\'erifi\'ees, alors la fonction  $u_\Omega$ est sym\'etrique.|
\dem Soit  $a$ un point quelconque distinct de  $z$ et  $\Gamma$ la feuille
passant par  $a$ . La fonction  $\overline \Gamma\ni\zeta \mapsto u_\Omega(z,
\zeta)$ est harmonique sur  $\Gamma$ avec un p\^ole logarithmique simple en
$\zeta=z$~, et elle tend vers  $0$ au bord. C'est donc la fonction de Green
usuelle  $u_{\overline\Gamma}$ de  $\overline\Gamma$~, dont on sait qu'elle
est sym\'etrique en ses deux arguments. Le th\'eor\`eme 4.11 appliqu\'e \`a
l'inclusion  $\overline\Gamma \subset \Omega$ donne par ailleurs
$u_\Omega(a,z) \ge u_{\overline\Gamma}(a,z)$~. Par cons\'equent
$$u_\Omega(a,z) \ge u_{\overline\Gamma}(a,z) = u_{\overline\Gamma}(z,a)
= u_\Omega(z,a)~,$$
et la sym\'etrie de  $u_\Omega$ s'ensuit.\finpr
\vskip30pt 

\vbox{
\centerline{\bftwelve 5. Mesures pluriharmoniques}
\medskip
\centerline{\bftwelve et noyau de Green pluricomplexe}
}
\bigskip

Soit  $\Omega$  un ouvert hyperconvexe, connexe et relativement compact 
dans une vari\'et\'e de Stein  $X$, et soit  $u_z(\zeta) = u_\Omega
(z,\zeta)$ la fonction de Green pluricomplexe d\'efinie au \S4. Pour tout
point  $z\in \Omega$ , le th\'eor\`eme 3.2 appliqu\'e \`a l'exhaustion
$\varphi = {1 \over 2\pi} u_z$ fournit une mesure positive $\mu_z = (2\pi)^
{-n}\mu_{u_z}$ port\'ee par  $\partial \Omega$. Compte tenu de  (4.4) on a
$(dd^c\varphi)^n = \delta_z$, et le th\'eor\`eme 3.3 donne la formule de
Green suivante :

\th Th\'eor\`eme 5.1|Soit une fonction $V\in C^0(\overline \Omega)$ psh sur 
$\Omega$. Alors  
$$\matrix{&{\displaystyle \mu_z(V) = V(z) + {1\over
(2\pi)^n}\int_{\Omega\ni\zeta} dd^cV\wedge\vert
u_z(\zeta)\vert(dd^cu_z)^{n-1}}\hfill&{\rm si}\quad n\ge 1\ ,\cr
&{\displaystyle \mu_z(V) = V(z) + {1\over (2\pi)^n}\int_\Omega
dd^cV\wedge (dd^cu_z)^{n-2}\wedge du_z\wedge d^cu_z}\hfill&{\rm
si}\quad n\ge 2\ .\cr}$$ 
En particulier $\mu_z(V) \ge V(z)\ ,$ et si $V$ est pluriharmonique on
a $\mu_z(V) = V(z)\ .$|

\th D\'efinition 5.2|On dira que  $\mu_{z}$ est la mesure pluriharmonique
du point  $z$ et que  $\vert u_z\vert(dd^cu_z)^{n-1}$ et $(dd^cu_z)^{n-2}
\wedge du_z \wedge d^cu_z$ sont les noyaux de Green pluricomplexes de
premi\`ere et de deuxi\`eme esp\`ece.|

Il est clair que les noyaux de Green ainsi d\'efinis se transportent par tout
biholomorphisme   $F : \Omega \to \Omega'$~; si de plus  $F$ s'\'etend en une
application continue $\overline F : \overline \Omega \to \overline \Omega\,'$
(on ne suppose pas n\'ecessairement que  $\overline F$ est un hom\'eomorphisme
!) alors il est facile de v\'erifier que  $\mu'_{F(z)}$ co\"{\i}ncide pour tout
$z\in\Omega$ avec la mesure image directe $(\overline F|_{\partial\Omega}
)_\star \mu_z\ .$

Nous allons maintenant d\'emontrer un certain nombre de propri\'et\'es de
base des mesures  $\mu_z$~, en particulier que ces mesures sont absolument
continues les unes par rapport aux autres. On a de mani\`ere g\'en\'erale
l'in\'egalit\'e de Harnack suivante.

\th Th\'eor\`eme 5.3|Pour tous  $x,y \in \Omega$ on pose
$$\delta_\Omega(x,y) = \limsup_{\zeta\to\partial\Omega}\vert\Log\big(
u_x(\zeta)/u_y(\zeta)\big)\vert~.$$
Alors  $\delta_\Omega$ est une distance compatible avec la topologie de
vari\'et\'e de  $\Omega$  et invariante par  ${\rm Aut } (\Omega)$~. De plus, 
pour tous $x,y\in \Omega$ on a
$$e^{-n\delta_\Omega(x,y)}\mu_x \le \mu_y \le e^{n\delta_\Omega(x,y)}\mu_x~.$$|

\dem Il est clair que  $\delta_\Omega(x,y) = \delta_\Omega(y,x)$ et que
$\delta_\Omega$ satisfait l'in\'egalit\'e triangulaire. Le lemme 4.13 montre
par ailleurs que  $\delta_\Omega(x,y)$ tend vers  0  lorsque  $x,y$  tendent
vers un m\^eme point  $a\in \Omega$. Par connexit\'e de  $\Omega$, on voit
donc que  $\delta_\Omega$ est finie et continue sur  $\Omega\times \Omega$~.
Par d\'efinition de  $\delta_\Omega$~, on a
$$\limsup_{\zeta\to\partial \Omega}{u_y(\zeta) \over u_x(\zeta)}
\le e^{\delta_\Omega(x,y)}~.$$
Le th\'eor\`eme 3.8 entra\^{\i}ne alors l'in\'egalit\'e  $\mu_y \le
e^{n\delta_\Omega(x,y)}\mu_x$, et de m\^eme \hbox{$\mu_x \le e^{n\delta_\Omega
(x,y)}\mu_y$.\kern-1.5pt}
Il reste \`a v\'erifier que  $\delta_\Omega$ est s\'epar\'ee~;
or  $\delta_\Omega(x,y) = 0$ implique  $\mu_x = \mu_y$~, par suite  $x=y$
puisque les fonctions pluriharmoniques s\'eparent les points de la vari\'et\'e
de Stein $X$~.\finpr

Nous montrerons plus loin en nous appuyant sur un contre-exemple d\^u \`a N.
Sibony [16] que la distance  $\delta_\Omega$ n'est pas reli\'ee en g\'en\'eral
aux distances de Carath\'eodory ou de Kobayashi (\cf th\'eor\`eme 7.4 
ci-dessous); la distance $\delta_\Omega$ n'est d'ailleurs pas non plus reli\'ee
\`a la distance invariante construite par M. Klimek [9] \`a partir de la 
fonction $u_\Omega$. Le r\'esultat suivant montre l'existence d'un noyau de 
Poisson pluriharmonique, et pr\'ecise la continuit\'e des mesures  $\mu_z$ par 
rapport \`a  $z$.

\th Th\'eor\`eme 5.4|Il existe une fonction bor\'elienne  $P_\Omega$ sur
$\Omega\times\Omega\times \partial\Omega$, telle que pour tous
$(x,y,z)\in \Omega^3$~, tout  $\zeta\in \partial\Omega$ et tout automorphisme
$F\in {\rm Aut } (\Omega)$ bicontinu sur  $\overline \Omega$~, on ait
$$d\mu_y(\zeta) = P_\Omega(x,y,\zeta)d\mu_x(\zeta)~,\leqno (5.5)$$
$$e^{-n\delta_\Omega(x,y)} \le P_\Omega(x,y,\zeta)
\le e^{n\delta_\Omega(x,y)}~,\leqno (5.6)$$
$$ P_\Omega(x,z,\zeta)= P_\Omega(x,y,\zeta) P_\Omega(y,z,\zeta)~,\leqno (5.7)$$
    $$P_\Omega\big(F(x),F(y),\overline F(\zeta)\big) 
                           = P_\Omega(x,y,\zeta)~.\leqno (5.8)$$
De plus  $P_\Omega$ est \'equicontinue\ en $(x,y)$ par rapport \`a  $\zeta$~.|

On observera que l'\'equicontinuit\'e de  $P_\Omega$ en  $(x,y)$ est en fait 
une cons\'equence de  (5.6) et (5.7). Nous ne connaissons la continuit\'e de
$P_\Omega$ en  $\zeta$ que lorsque  $\Omega$ est strictement convexe de 
classe  $C^\infty$~. Dans ce cas, d'apr\`es L. Lempert [11], $u_\Omega$
est de classe  $C^\infty$ au voisinage de tout point  $(z,\zeta)\in \Omega
\times \partial \Omega$~, et  $d\mu_z(\zeta) = (dd^cu_z)^{n-1}\wedge d^cu_z$
est une $(2n-1)$-forme volume  $>0$ sur  $\partial \Omega$~, \`a coefficients
$C^\infty$ en les variables  $(z,\zeta) \in \Omega\times \partial \Omega$~.
\remarque D\'emonstration du th\'eor\`eme 5.4| Les expressions ``presque
partout", ``ensemble n\'egligeable" se rapportent ici aux mesures  $\mu_z$
(sans qu'il soit n\'ecessaire de pr\'eciser  $z$  d'apr\`es le th\'eor\`eme
5.3). Soit  $(x_k)$ une suite partout dense dans  $\Omega$. D'apr\`es le
th\'eor\`eme de Radon-Nikodym il existe pour tout couple  $(x_k,x_l)$ une
fonction bor\'elienne  $\zeta\mapsto P_1(x_k,x_l,\zeta)$ sur  $\partial
\Omega$~, encadr\'ee par les constantes $\exp\big(\pm n\delta_\Omega
(x_k,x_l)\big)$~, telle que
$$d\mu_{x_l}(\zeta) = P_1(x_k,x_l,\zeta)d\mu_{x_k}(\zeta)~.$$
La propri\'et\'e (5.7) sera alors vraie pour tous $x_j,x_k,x_l \in \Omega$
et tout  $\zeta\in \partial\Omega\setminus N_{j,k,l}$~, o\`u  $N_{j,k,l}$ est
n\'egligeable. Soit  $N = \bigcup N_{j,k,l}$~. On modifie  $P_1$ sur  $N$ en
posant
$$\cases{\vphantom{\Big(} P_2(x_k,y_l,\zeta) = P_1(x_k,y_l,\zeta) &si\quad 
         $\zeta\in \partial\Omega\setminus N\ ,$\cr
         \vphantom{\Big(} P_2(x_k,y_l,\zeta) = 1 &si\quad $\zeta\in N\ .$\cr}$$
Les propri\'et\'es (5.6) et (5.7) sont alors vraies en tout point $\zeta\in 
\partial\Omega$, et elles montrent qu'on peut prolonger  $P_2$ par 
continuit\'e \`a  $\Omega\times \Omega\times \partial \Omega$~. D'apr\`es le
th\'eor\`eme 5.3, l'application  $x\mapsto \mu_x$ est continue pour la 
topologie faible~; par cons\'equent  $P_2$ va v\'erifier la propri\'et\'e
(5.5) (ainsi que (5.6) et (5.7)) pour tous $x,y\in \Omega$~.

   Il nous reste \`a construire $P_\Omega$ en sorte que la propri\'et\'e 
d'invariance (5.8) soit satisfaite. Pour cela, on observe que
le sous-groupe  $G \subset {\rm Aut } (\Omega)$ des automorphismes bicontinus
sur  $\overline \Omega$ est localement compact. Soit  $d\sigma$ une mesure de
Haar invariante \`a droite et  $\psi$ une fonction continue \`a support 
compact d'int\'egrale 1 sur  $G$~. On pose
$$P_3(x,y,\zeta) = \int_{F\in G} P_2\big( F(x),F(y),\overline
                                    F(\zeta)\big)\psi(F)d\sigma(F).$$
Pour $F$ fix\'e, on a $P_2\big(F(x),F(y),\overline F(\zeta)\big)
=P_2(x,y,\zeta)$ presque partout en  $\zeta$ \`a cause de l'invariance des 
mesures $\mu_z$~. D'apr\`es le th\'eor\`eme de Fubini, l'ensemble
$$N'_{x,y,F} =\big\lbrace\zeta\in \partial\Omega~;~P_3\big(F(x),F(y),
                 \overline F(\zeta)\big)\ne P_3(x,y,\zeta)\big\rbrace$$ 
est n\'egligeable, et  $P_3 = P_2$ $\zeta$-presque partout. De plus  $P_3$
v\'erifie (5.6), $P_3$ est continue en  $(x,y)$~, et l'application
$F \mapsto  P_3\big(F(x),F(y),\overline F(\zeta)\big)$ est continue sur  $G$~.
Soit $(F_l)$ une suite dense dans  $G$~. La continuit\'e de  $P_3$ en  $x,y,F$ 
implique que
$$N':= \bigcup N'_{x,y,F} = \bigcup N'_{x_j,x_k,F_l}\ ;$$
$N'$ est donc n\'egligeable. On peut alors red\'efinir  $P_3$ sur  $N'$ en 
posant $P_4 = P_3$ sur  $\partial \Omega\setminus N'$~, $P_4 = 1$ sur  $N'$.
$P_4$ est invariante par  $G$, mais elle ne v\'erifie peut \^etre
plus (5.7). Ceci n'est pas g\^enant, car on peut modifier \`a nouveau  $P_4$ 
comme on l'a fait pour  $P_1$ (cette op\'eration pr\'eserve l'invariance
par  $G$). La fonction  $P_\Omega$ ainsi obtenue r\'epond \`a la question.
\finpr

Etudions \`a titre d'illustration le cas de la boule et du polydisque.

\remarque Exemple 5.9| $\Omega =\bB = \hbox { boule~ unit\'e~ de } \cn $.

Dans ce cas, il est clair que la fonction de Green est donn\'ee en  $z=0$
par  $u_0(\zeta) = \Log|\zeta|$~; on a en effet  $(dd^cu_0)^n = 0$ sur
$\cn \setminus\lbrace 0\rbrace$ par raison d'homog\'en\'eit\'e. On sait
d'autre part que  Aut$(\bB)$ op\`ere transitivement sur  $\bB$~;
les fonctions  $u_z$ vont donc se d\'eduire de  $u_0$ par l'action de  
Aut$(\bB)$~.

Suivant les notations de W. Rudin [15], d\'esignons par  $z. \overline
\zeta$ le produit scalaire hermitien de  $\cn $ et par  $P~,~Q$  les
projections orthogonales sur  $\bC. z$ et  $(\bC. z)^\perp$
respectivement~; alors l'application
$$F_z(\zeta) = {z-P\zeta+(1-|z|^2)^{1/2}Q\zeta \over 1-\zeta.\overline z}
~, \zeta\in B~,$$
est un automorphisme involutif de  $\bB$ tel que  $F_z(z) = 0$~. Il en
r\'esulte
$$u_z(\zeta) = \Log|F_z(\zeta)| = {1\over2}\,\Log \left(1-{(1-|z|^2)(1-|z|^2)
\over |1-\zeta. \overline z|^2}\right)~.$$
Quand  $\zeta$ tend vers  $a\in \partial \Omega$~, on a donc
$$u_z(\zeta) \sim {1\over 2}\,{1-|z|^2\over |1-a. \overline z|^2}\,
(|\zeta|^2-1)~,\leqno (5.10)$$
et le th\'eor\`eme 3.8 montre que
$$d\mu_z(\zeta) = {1\over (2\pi)^n}\,d\mu_{u_z}(\zeta)
= {1\over (4\pi)^n}\,{(1-|z|^2)^n\over |1-\zeta. \overline z|^{2n}}\,
(dd^c|\zeta|^2)^{n-1}\wedge d^c|\zeta|^2~,$$
c'est-\`a-dire
   $$d\mu_z(\zeta)
         ={(1-|z|^2)^n\over|1-\zeta.\overline z|^{2n}}\,d\sigma(\zeta)~,$$
o\`u $\sigma$ est la mesure d'aire normalis\'ee sur la sph\`ere  $\partial
\bB$~. Le noyau  $d\mu_z(\zeta)$ est donc pr\'ecis\'ement le noyau de
Poisson relatif au laplacien invariant de la boule. D'autre part, les 
distances de Carath\'eodory et de Kobayashi de la boule sont donn\'ees 
classiquement par
$$\eqalign{ c_\bB(x,y) = k_\bB(x,y) &= \Argtanh |F_x(y)|\cr
            &= \Argtanh \left(1-{(1-|x|^2)(1-|y|^2)\over
                 |1-x . \overline y|^2}\right)^{1/2}.\cr}$$
La distance   $\delta_\bB$ que nous avons introduite dans le th\'eor\`eme
5.3 est donn\'ee d'apr\`es (5.10) par la formule
$$\delta_\bB(x,y) = \sup_{\zeta\in \partial \bB}
    \left|\Log\left({1-|x|^2\over 1-|y|^2}\cdot {|1-\zeta.\overline y|^2
     \over |1-\zeta.\overline x|^2}\right)\right|.$$
On a donc en particulier
$$\delta_\bB(0,y) = \sup_{\zeta\in \partial \bB}
    \left|\Log{|1-\zeta. \overline y|^2\over 1-|y|^2}\right|
= \Log {1+|y|\over 1-|y|} = 2c_\bB(0,y).$$
Par transitivit\'e de  Aut$(\bB)$~, il en r\'esulte  ${1\over 2}\delta
_\bB = c_\bB = k_\bB$~.

\remarque Exemple 5.11| $\Omega = D^n = \hbox { polydisque~unit\'e ~de }
\cn $~.

Par des raisonnements analogues aux pr\'ec\'edents, on obtient
$$\eqalign{u_0(\zeta) &= \Log \max_j |\zeta_j|~,\cr
           u_z(\zeta) &= \Log \max_j \left(\left|{\zeta_j-z_j\over 1-\overline
z_j. \zeta_j}\right|\right)~.\cr}$$
Comme la fonction $\max(|\zeta_j|)$ est homog\`ene et ne d\'epend localement
que de  $n-1$ variables en dehors de la ``polydiagonale"
$\Delta = \lbrace|\zeta_1| = \ldots = |\zeta_n|\rbrace$~, on voit que le 
courant  $(dd^cu_0)^{n-1}$ est nul sur  $\cn \setminus \Delta$~. Par
cons\'equent  $\mu_0$ est port\'ee par l'ar\^ete distingu\'ee  $\Gamma = 
 \lbrace|\zeta_1| = \ldots = |\zeta_n|=1\rbrace$~. L'invariance par rotation
entra\^{\i}ne alors
$$d\mu_0(\zeta) = {1\over (2\pi)^n}\,d\theta_1\ldots d\theta_n~~,~~{\rm avec}~~
\zeta_j = e^{i\theta_j}~.$$
Le noyau  $d\mu_z(\zeta)$ est donc le produit des noyaux de poisson des
cercles  $\lbrace|z_j|=1\rbrace$~ :
$$d\mu_z(\zeta) = {1\over (2\pi)^n}\,\prod^n_{j=1} {1-|z_j|^2\over
|z_j-e^{i\theta_j}|^2}\,d\theta_1\ldots d\theta_n~;$$
Les \'egalit\'es  ${1\over 2}\,\delta_\Omega = c_\Omega = k_\Omega$ sont
encore vraies dans le cas du polydisque, comme le lecteur le v\'erifiera
ais\'ement.
\vskip30pt
\titre 6. Support des mesures pluriharmoniques|

Nous nous int\'eressons ici au probl\`eme de d\'eterminer le support des
mesures  $\mu_z$ lorsque  $\Omega$ est un ouvert faiblement pseudoconvexe
de classe  $C^k~, ~k\ge2$~. D'apr\`es Diederich-Fornaess [5], on sait
qu'il existe un r\'eel  $\alpha\in ]0,1]$ et une fonction  $\rho\in C^k(
\overline \Omega)$ telle que  $\rho=0$ et $d\rho \ne 0$ sur $\partial
\Omega$~, $\rho<0$ et $-|\rho|^\alpha$ psh sur $\Omega$~. La forme de Levi
$dd^c\rho$ est $\ge 0$ sur l'espace holomorphe tangent $HT(\partial \Omega)$~,
par cons\'equent $(dd^c\rho)^{n-1}\!\wedge d^c\rho$ est une $(2n-1)$-forme 
$\ge 0$ sur  $\partial \Omega$~. Il est donc naturel de chercher des 
conditions pour que les mesures  $\mu_z$ soient absolument continues par
rapport \`a $(dd^c\rho)^{n-1}\!\wedge d^c\rho$ et, plus g\'en\'eralement, pour
que  $\mu_z$ soit port\'ee par les points strictement pseudoconvexes de
$\partial \Omega$~. Les deux r\'esultats suivants apportent quelques
\'el\'ements de r\'eponse \`a ces questions.

\th Th\'eor\`eme 6.1| On suppose  $\Omega$  de classe $C^2$ et $\rho$ 
psh sur  $\Omega$~. Alors pour tout  $z\in \Omega$~, il existe des constantes 
$C_1~,~C_2 >0$ telles que
$$C_1(dd^c\rho)^{n-1}\wedge d^c\rho \le \mu_z \le C_2(dd^c\rho)^{n-1}\wedge
d^c\rho\ .$$
En particulier, $\mu_z$ est port\'ee par le sous-ensemble ouvert de  $\partial
\Omega$ form\'e des points strictement pseudoconvexes.|

\dem D'apr\`es le th\'eor\`eme 3.8, il suffit de montrer l'existence de 
constantes  $C_3~,~C_4 >0$ telles que  $C_3\rho \le u_z \le C_4\rho$ au
voisinage de  $\partial \Omega$~. La minoration  $u_z \ge C_3\rho$ r\'esulte 
de la construction (4.8). La majoration $u_z \le C_4\rho$ est une cons\'equence
imm\'ediate du classique lemme de Hopf. \finpr

\th Th\'eor\`eme 6.2| On suppose $\Omega$ de classe $C^3$ et  $-\vert \rho
\vert^\alpha$ psh sur  $\Omega$~. Si  $q$ est un entier, on note  $U(q)\subset
\partial \Omega$ l'ensemble ouvert des points o\`u la forme de Levi est de
rang $\ge q$~. Alors pour tout  $z\in \Omega$ on a
$${\rm Supp }~ \mu_z \subset \overline {U(q)}~,$$
o\`u $q$ est le plus grand entier $<n\alpha$~.|

Compte tenu du th\'eor\`eme 6.1 on peut esp\'erer que  $\mu_z$ soit en fait
port\'ee par  $U(q)$~, mais les difficult\'es techniques li\'ees \`a la non
finitude de la masse de Monge-Amp\`ere de $-|\rho|^\alpha$ rendent ce 
r\'esultat malais\'e \`a obtenir. Nous aurons besoin du lemme suivant. 

\th Lemme 6.3| Soit  $a\in \partial \Omega\setminus \overline {U(q)}$~. Alors
il existe une boule  $B(a,\varepsilon)$ telle que pour tout  $\zeta\in \Omega
\cap B(a,\varepsilon)$ et tout entier  $k$ on ait
$$\Vert (dd^c\rho_\zeta)^k\Vert \le C_1\vert\rho(\zeta)\vert^{k-q-1}~, \leqno
(6.4)$$
$$\Vert (dd^c\rho_\zeta)^{k-1}\wedge d\rho_\zeta\wedge d^c\rho_\zeta\Vert 
\le C_2\vert\rho(\zeta)\vert^{k-q}~, \leqno (6.5)$$
o\`u $C_1~,~C_2$ sont des constantes $>0$~.|

\dem Le rang de la forme de Levi  $dd^c\rho$ sur  $HT(\partial \Omega)$ est
par hypoth\`ese $\le q-1$ au voisinage de  $a$~. Pour tout  $\eta \in \partial
\Omega$~, notons  $F_\eta$ le noyau de la forme hermitienne  $dd^c\rho_\eta$
sur  $\cn $~, et  $G_\eta$ le noyau de  $dd^c\rho_\eta$ sur l'hyperplan
$HT_\eta(\partial \Omega) = \partial \rho^{-1}_\eta(0)$~. Pour  $\eta\in
\partial\Omega$ assez voisin de  $a$, il vient
$$\matrix{&\dim G_\eta\!\!\!\!\!&\ge\!\!\!\!\!\hfill&(n-1)-(q-1)
                                           \!\!\!\!\!&= n-q~,\hfill\cr
          &\dim F_\eta\!\!\!\!\!&\ge\!\!\!\!&\vphantom{\Big(} \dim G_\eta-1
                                                 &\ge n-q-1~.\hfill\cr}$$
Pla\c cons-nous dans un syst\`eme de coordonn\'ees locales centr\'e au point
$a\ .$ Si $\zeta\in \Omega$ est un point voisin de $a\ ,$ on note  
$\eta = p(\zeta)$ sa projection orthogonale sur  $\partial \Omega$~.
On a par d\'efinition
$$dd^c\rho_\eta|_{F_\eta\times \cn }= 0~~,~~dd^c\rho_\eta|_{G_\eta\times
HT_\eta(\partial \Omega)} = 0~.$$
Comme  $dd^c\rho$ est de classe  $C^1$~, le th\'eor\`eme des accroissements
finis montre que
$$\Vert dd^c\rho_\zeta|_{F_\eta\times \cn }\Vert \le C_3|\rho(\zeta)|~,$$
$$\Vert dd^c\rho_\zeta|_{G_\eta\times HT_\eta(\partial \Omega)}\Vert 
            \le C_4|\rho(\zeta)|~.$$
Notons  $G'_\zeta$ la projection orthogonale de  $G_\eta \subset HT_\eta(
\partial\Omega)$ sur l'hyperplan  $HT_\zeta(\partial\Omega)$~.
$HT_\zeta(\partial\Omega)$ et $G'_\zeta$ se d\'eduisent respectivement de 
$HT_\eta(\partial \Omega)$ et  $G_\eta$ par des rotations d'angle  
$\le C_5|\rho(\zeta)|$~. On obtient donc encore une majoration du type
$$\Vert dd^c\rho_\zeta|_{G'_\zeta\times HT_\zeta(\partial\Omega)}\Vert \le C_6
|\rho(\zeta)|~.$$
En utilisant la d\'ecomposition orthogonale  $\cn  = F_\eta\oplus F^\perp
_\eta$ (resp. $HT_\zeta(\partial\Omega) = G'_\zeta \oplus G^{'\perp}_\zeta)$
dans les variables  $\bC$-lin\'eaires, on en d\'eduit
$$\Vert(dd^c\rho_\zeta)^k\Vert \le C_7|\rho(\zeta)|^{k-\dim F^\perp _\eta}
\le C_1|\rho(\zeta)|^{k-q-1}~,$$
$$\Vert(dd^c\rho_\zeta)^{k-1}|_{HT_\zeta(\partial\Omega)}\Vert \le C_8|\rho(
\zeta)|^{k-1-\dim G^{'\perp}_\zeta}\le C_9|\rho(\zeta)|^{k-q}~.$$
Cette derni\`ere relation \'equivaut \`a (6.5).\finpr

\remarque D\'emonstration du th\'eor\`eme 6.2|Comme $-|\rho|^\alpha$ est
suppos\'ee psh sur $\Omega$~, la construction 4.8 montre qu'il existe une
constante  $C>0$ telle que
$$u_z \ge -C|\rho|^\alpha \hbox { au voisinage de } \partial \Omega~.$$
On ne peut n\'eanmoins appliquer directement le th\'eor\`eme 3.8, car la
masse de Monge-Amp\`ere de  $-|\rho|^\alpha$ est infinie au voisinage
des points strictement pseudoconvexes. On va donc commencer par construire
un ouvert  $\wt\Omega \subset \Omega \cap B(a,\varepsilon)$ o\`u cette masse
sera finie. Soit  $\psi \in C^\infty (B(a,\varepsilon))$ d\'efinie par
$$\cases{\vphantom{\Big(}\psi(\zeta)=0&si\quad$|\zeta-a|\le \varepsilon/2$~,\cr
   \psi(\zeta) = \exp\Big({\displaystyle{1\over \varepsilon/2-|\zeta-a|} +
{1\over \varepsilon-|\zeta-a|}}\Big) &si\quad$\varepsilon/2 < |\zeta-a| 
                                                  < \varepsilon$~.\cr}$$
Alors  $\psi(\zeta)$ tend vers $+\infty$ sur  $\partial B(a,\varepsilon)$~, et 
une v\'erification triviale montre que $\psi(\zeta)$ est fonction convexe
croissante de  $|\zeta-a|$ d\`es que $\varepsilon\le1$~. Par suite $\psi$
est psh sur  $B(a,\varepsilon)$~. Posons alors
$$\eqalign {\wt\rho &= -|\rho|^\alpha + \psi\qquad{\rm sur }\quad\Omega\cap 
                                                     B(a,\varepsilon)~,\cr
            \wt\Omega &=\big\lbrace\zeta\in \Omega\cap B(a,\varepsilon)\ ;
\ \wt\rho(\zeta) < 0\big\rbrace\ ;\cr}$$
On a  $\wt\rho = -|\rho|^\alpha$ sur $\Omega\cap B(a,\varepsilon/2)$~, donc
  $$\Omega\cap B(a,\varepsilon/2) \subset \wt\Omega \subset \Omega\cap 
                                                     B(a,\varepsilon)~,$$
et $\wt\rho$ est une fonction d'exhaustion psh $<0$ sur $\wt\Omega$~. Le 
Hessien de  $\wt\rho$ est donn\'e par 
$$dd^c\wt\rho = \alpha\left(|\rho|^{\alpha-1}dd^c\rho +(1-\alpha)|\rho|^{\alpha
-2}d\rho\wedge d^c\rho\right) + dd^c\psi~.$$
Pour montrer que  $\int_{\wt\Omega}(dd^c\wt\rho)^n < +\infty$~, il suffit de
montrer la convergence des int\'egrales
   $$\eqalign{I_k &= \int_{\wt\Omega} |\rho|^{k(\alpha-1)}(dd^c\rho)^k\wedge 
                           (dd^c\psi)^{n-k}~,\cr
        J_k &= \int_{\wt\Omega} |\rho|^{k(\alpha-1)-1}(dd^c\rho)^{k-1}\wedge 
                           d\rho \wedge d^c\rho \wedge (dd^c\psi)^{n-k}~,\cr}$$
pour $0\le k \le n$ (resp. $1\le k \le n$). Or  $\psi<|\rho|^\alpha$ sur  
$\wt\Omega$~, d'o\`u
$$\Vert dd^c\psi\Vert={\rm O}\left({\psi(\zeta)\over(\varepsilon/2
-|\zeta-a|)^4}\right) ={\rm O}\left(\psi(\Log \psi)^4\right) =
{\rm O}\left(|\rho|^\alpha(\Log|\rho|)^4\right)~.$$
En utilisant le lemme 6.3, on voit que
$$\eqalign{I_k &\le C_3 \int_{\wt\Omega} |\rho|^{k(\alpha-1)+k-q-1+(n-k)\alpha}
(\Log|\rho|)^{4(n-k)}\cr
&= C_3 \int_{\wt\Omega} |\rho|^{n\alpha-q-1}(\Log|\rho|)^{4(n-k)}~,\cr}$$
et de m\^eme
$$ J_k \le C_4 \int_{\wt\Omega} |\rho|^{n\alpha-q-1}(\Log|\rho|)^{4(n-k)}~.$$
Les int\'egrales  $I_k$ et $J_k$ sont donc convergentes d\`es que $q<n\alpha$~.
Sur  $\Omega\cap B(a,\varepsilon/2)$ on a d'autre part
   $$(dd^c\wt\rho)^{n-1}\wedge d^c\wt\rho=\alpha^n|\rho|^{n(\alpha-1)}
                                       (dd^c\rho)^{n-1}\wedge d^c\rho~.$$
La majoration  (6.5) entra\^{\i}ne donc sur chaque hypersurface
 $$S(r):=\lbrace\zeta\in\Omega\cap B(a,\varepsilon/2)\,;\,\rho(\zeta)=r\rbrace
                            \subset\lbrace\wt\rho(\zeta) = -|r|^\alpha\rbrace$$
l'in\'egalit\'e
   $$||(dd^c\wt\rho)^{n-1}\wedge d^c\wt\rho|_{S(r)}|| \le C_5r^{n\alpha-q}~.$$

Si  $q<n\alpha$~, on en d\'eduit  $\mu_{\wt\rho} = 0$ sur  $\partial \Omega
\cap B(a,\varepsilon/2)$~. Puisque  $u_z \ge -C|\rho|^\alpha$~, la fonc\-tion
$v = \max (u_z,C\wt\rho)$ co\"{\i}ncide avec  $u_z$ sur  $\Omega\cap B(a,
\varepsilon/2)$ et v\'erifie  $C\wt\rho \le v \le 0$ sur $\wt\Omega$~. Gr\^ace 
au th\'eor\`eme 3.8 on obtient finalement
   $$(2\pi)^n\mu_z=\mu_{u_z}=\mu_v \le C^n\mu_{\wt\rho}=0\qquad{\rm sur }\quad
                        \partial\Omega\cap B(a,\varepsilon/2)~.\eqno\carre$$
\vskip30pt

\titre 7. Comportement des mesures  $\mu_z$ lorsque  $z$ tend vers le bord|

Nous \'etudions ici la convergence des mesures $\mu_z$ lorsque  $z$ tend vers
un point  $a\in \partial \Omega$~. Dans le cas des noyaux de Poisson usuels
associ\'es aux laplaciens, on sait que  $\mu_z$ converge vers la mesure de
Dirac au point  $a$ . L'exemple du polydisque montre que ce n'est pas toujours
le cas dans la pr\'esente situation. Rappelons d'abord quelques d\'efinitions
classiques qui nous seront utiles.

\th D\'efinition 7.1|On dira qu'un compact  $K\subset\!\subset \partial\Omega$
est pic (relativement aux fonctions psh continues) s'il existe $V\in C^0(
\overline\Omega)$ psh sur $\Omega$~, telle que  $V=0$ sur  $K$ et $V<0$ sur
$\overline\Omega\setminus K$~.|

Il est facile de voir que toute intersection d'ensembles pics est pic ; la
d\'efinition suivante est donc l\'egitime.

\th D\'efinition 7.2|Si  $K$  est une partie compacte de  $\partial\Omega$,
on appelle enveloppe pic de  $K$ le compact  $\widehat K$ ~, intersection des
ensembles pics contenant  $K$~.|

\th Th\'eor\`eme 7.3| Lorsque  $z$ tend vers  $a\in \partial\Omega$~, la
mesure  $\mu_z$ converge faiblement vers  0 sur  $\partial\Omega\setminus
\widehat{\lbrace a\rbrace}$~. Par cons\'equent  $\mu_z$ converge vers
$\delta_a$ d\`es que  $ \widehat{\lbrace a\rbrace}=\lbrace a\rbrace$~, en
particulier d\`es que  $a$ est un point strictement pseudoconvexe de classe
$C^2$~.|

\dem Par hypoth\`ese, il existe une fonction psh $V$ \'egale \`a 0 sur
$\wh{\{a\}}$ et $<0$ sur  $\overline\Omega\setminus \wh{\{a\}}$. On a
$$V(z) \le \mu_z(V) \le 0~,$$
et  $V(z)$ tend vers  $V(a) = 0$ quand  $z$ tend vers $a$~. Ceci entra\^{\i}ne
bien que  $\mu_z$ converge faiblement vers  0 sur  $\partial\Omega\setminus
\wh{\{a\}}\ .$\finpr

Le th\'eor\`eme ci-dessous montre que la distance  $\delta_\Omega$ est 
compl\`ete sous des hypoth\`eses assez diverses et assez faibles sur  
$\partial\Omega$~; il para\^{\i}t donc naturel de conjecturer que  
$\delta_\Omega$ est en fait toujours compl\`ete.

\th Th\'eor\`eme 7.4| La distance  $\delta_\Omega$ est compl\`ete d\`es que
$\Omega$ v\'erifie l'une des hypoth\`eses suivantes :

\noindent {\rm(7.5)}~~ $\Omega$ est de classe  $C^2$~;

\noindent {\rm(7.6)}~~ $\partial\Omega$ poss\`ede au moins un point strictement
pseudoconvexe de classe  $C^2$~;

\noindent {\rm(7.7)}~~ $\Omega$ est un ouvert convexe de  $\cn $~;

\noindent {\rm(7.8)}~~ pour tout  $a\in \partial\Omega$~, il existe  $b\in
\partial\Omega$ tel que  $\wh{\{a\}}\cap\wh{\{b\}} = \emptyset$~.|
    Signalons ici que N. Sibony [16] a construit un exemple d'ouvert $\Omega$
pseudoconvexe et strictement pseudoconvexe lisse sauf en un point, qui n'est 
pas complet pour la m\'etrique de Kobayashi (et non plus a fortiori pour la 
m\'etrique de Carath\'eodory ou celle de M. Klimek [9]). D'apr\`es le 
th\'eor\`eme 7.4, ces m\'etriques ne sont donc pas comparables \`a la distance 
$\delta_\Omega\ .$

\remarque D\'emonstration du th\'eor\`eme 7.4|On commence par prouver les 
implications
(7.5) $\Rightarrow$ (7.6) $\Rightarrow$ (7.8) et (7.7) $\Rightarrow$ (7.8).

\noindent
$\bullet$ (7.5) $\Rightarrow$ (7.6) : il existe une fonction  $\gamma \in
C^\infty(X)$ strictement psh sur  $X$~, n'ayant pas de points critiques sur
$\partial\Omega$~. Alors le point  $a_0\in \partial\Omega$ o\`u 
$\gamma|_{\partial\Omega}$ atteint son maximum est strictement pseudoconvexe, 
car $\Omega\subset \lbrace\gamma<\gamma(a_0)\rbrace$~.

\noindent
$\bullet$ (7.6) $\Rightarrow$ (7.8) : si  $a\in \partial\Omega$ est 
strictement pseudoconvexe, alors on peut cr\'eer une bosse sur  $\partial
\Omega$ au point  $a_0$~, c'est-\`a-dire qu'il existe des voisinages 
$W\subset\!\subset \widetilde W$ de   $a_0$, arbitrairement petits, tels que
$\partial(\Omega\cup W)\cap \widetilde W$ soit strictement pseudoconvexe de
classe $C^2$~. D'apr\`es le th\'eor\`eme 2.13 l'ouvert  $\Omega\cup W$ est
hyperconvexe, donc il existe une fonction 
$\varphi \in C^0(\overline{\Omega\cup W})$ psh exhaustive et  $<0$ sur  
$\Omega\cup W$~. On a $\varphi=0$ sur
$(\partial\Omega)\setminus W$ et  $\varphi<0$ sur  $(\partial\Omega)\cap W$~,
par suite  $\big((\partial \Omega)\setminus W\big)\widehat{\ }= 
(\partial\Omega)\setminus W$ ne rencontre pas  
$\widehat{\lbrace a_0\rbrace}\! =\! \lbrace a_0\rbrace$.
Comme  $W$ est arbitrairement petit, ceci d\'emontre~(7.8).

\noindent
$\bullet$ (7.7)$\Rightarrow$ (7.8) : soit  $a\in \partial\Omega$ et 
Re $\xi\cdot(z-a) <0$ un demi-espace contenant le convexe  $\Omega$~. Si on
applique les d\'efinitions 7.1 , 7.2 \`a la fonction pluriharmonique
$V(z) = -\Log|1-\xi\cdot(z-a)|$ on obtient
$$\wh{\{a\}} \subset \partial\Omega \cap \lbrace\xi\cdot(z-a)=0\rbrace~.$$
Tout point  $b\in \partial\Omega$ o\`u  $z\mapsto {\rm Re }\xi\cdot z$
est minimum v\'erifie de m\^eme l'inclusion  
$\wh{\{b\}} \subset \lbrace \xi\cdot(z-b) = 0\rbrace$~, d'o\`u  
$\wh{\{a\}} \cap \wh{\{b\}} = \emptyset$~.

\noindent
$\bullet$ La preuve sera achev\'ee si on v\'erifie l'implication
(7.8) $\Rightarrow \delta_\Omega$ compl\`ete. Il suffit de montrer que 
sous l'hypoth\`ese (7.8) les  $\delta_\Omega$-boules sont relativement 
com\-pactes dans  $\Omega$ . Soit  $x\in \Omega$ un point fix\'e~; supposons 
par l'absurde qu'il existe un r\'eel $R>0$ et une suite  $y_k\in \Omega$ 
convergeant vers un point $a\in \partial\Omega$~, telle que 
$\delta_\Omega(x,y_k)\le R$~.
Alors l'in\'egalit\'e de Harnack donne  $\mu_x\le e^{nR}\mu_{y_k}$~, et
d'apr\`es le th\'eor\`eme 7.3 ceci implique que  $\mu_x$ est \`a support
dans  $\wh{\{a\}}$~. Par suite toute 
mesure  $\mu_z$ est \`a support dans $\wh{\{a\}}$~.
Si on fait tendre  $z$ vers un point  $b\in \partial\Omega$ tel que
$\wh{\{a\}} \cap \wh{\{b\}} =\emptyset$~, alors  $\mu_z$ converge vers $0$ sur
$\partial\Omega\setminus\wh{\{b\}}$~, donc aussi sur  $\wh{\{a\}}$, ce qui est
contradic\-toire.\finpr

On suppose d\'esormais dans ce paragraphe que  $\Omega\subset\!\subset X$
est un ouvert stricte\-ment pseudoconvexe de classe  $C^2$~. Le comportement 
asymptotique de  $d\mu_z(\zeta)$ au voisinage de la diagonale
de $\overline\Omega\times \partial\Omega$ peut alors \^etre d\'ecrit tr\`es
pr\'ecis\'ement.

Soit  $\rho\in C^2(\overline\Omega)$ une fonction d'exhaustion strictement
psh $<0$ sur  $\Omega$~. Soient  $(\nu_z)$ et $(\nu'_z)$ deux familles de
mesures positives sur  $\partial\Omega$~, d\'efinies et uniform\'ement 
born\'ees pour  $z\in \Omega$~. On dira que  $(\nu_z)$ et $(\nu'_z)$ ont
m\^eme comportement asymptotique sur la diagonale si pour tout 
$\varepsilon\in ]0,1]$ et tout  $A\ge 1$ il existe un r\'eel
$\eta = \eta(\varepsilon, A) >0$ tel que
$$(1-\varepsilon)d\nu_z(\zeta) \le d\nu'_z(\zeta) \le 
(1+\varepsilon)d\nu_z(\zeta)~, \leqno (7.9)$$
pour  $|\rho(z)| < \eta$ et $|\zeta-z| < A|\rho(z)|^{1\over 2}$~.

\th Th\'eor\`eme 7.10|On d\'esigne par $J^{2,0}_\zeta \rho(z)$ la partie 
holomorphe du jet d'ordre 2 de  $\rho(z)$ au point  $z=\zeta$~:
$$J^{2,0}_\zeta\rho(z) = \sum_j {\partial\rho\over \partial\zeta_j}
(z_j-\zeta_j) + {1\over 2}\sum_{j,k}
{\partial^2\rho\over \partial\zeta_j\partial\zeta_k}
(z_j-\zeta_j)(z_k-\zeta_k)~.$$
Alors les mesures pluriharmoniques $(\mu_z)$ ont m\^eme comportement 
asymptotique sur la diagonale que les mesures $(\nu_z)$ sur $\partial\Omega$
d\'efinies par
$$d\nu_z(\zeta) = {1\over (4\pi)^n} {\vert\rho(z)\vert^n \over \vert
J^{2,0}_\zeta\rho(z)\vert^{2n}}(dd^c\rho_\zeta)^{n-1}\wedge d^c\rho_\zeta\ .$$|

Le d\'eveloppement limit\'e de  $\rho$ au point  $\zeta$ s'\'ecrit
$$\rho(z) = 2{\rm Re } J^{2,0}_\zeta\rho(z) 
                               + H\rho_\zeta(z-\zeta)+o(|z-\zeta|^2),$$
o\`u $H\rho_\zeta(\xi) = \sum {\partial^2\rho/\partial\zeta_j\partial 
\overline \zeta_k}\cdot \xi_j\overline \xi_k$ est le Hessien de  $\rho$ en 
$\zeta$~. Comme $\rho$ est stricte\-ment psh $<0$ sur $\Omega$~, on en d\'eduit
$$|J^{2,0}_\zeta\rho(z)| \ge {1\over2}|\rho(z)|+c|z-\zeta|^2~, c>0~,\leqno
(7.11)$$ 
pour tous  $(z,\zeta) \in \Omega\times \partial\Omega$ assez voisins. Par
ailleurs, $J^{2,0}_\zeta \rho(z)$ est invariant ${\rm mod~O}(|z-\zeta|^3)$ par
changement de coordonn\'ees locales~; l'estimation du th\'eor\`eme 7.10 a 
donc bien une signification intrins\`eque.

Dans le cas de la boule, on peut choisir  $\rho_\bB(z) = |z|^2-1$~;
on obtient alors
$$J^{2,0}_\zeta\rho_\bB(z) = \overline \zeta\cdot(z-\zeta) = \overline
\zeta\cdot z-1~,~ \forall \zeta\in \partial \bB~,$$
de sorte que pour la boule on a exactement
$$d\nu_z(\zeta) = {1\over (4\pi)^n} {(1-|z|^2)^n\over
|1-\zeta\cdot \overline z|^{2n}} (dd^c|\zeta|^2)^{n-1}\wedge d^c|\zeta|^2
= d\mu_z(\zeta)~.$$
Le cas d'un domaine  $\Omega$  quelconque va s'obtenir \`a l'aide d'une
approximation de $\Omega$ par des boules osculatrices int\'erieures et 
ext\'erieures. Une premi\`ere observation importante est que le comportement 
asymptotique des mesures  $\nu_z$ est invariant par changement de la fonction 
d'exhaustion $\rho$~.

\th Lemme 7.12| Soit  $\rho'\in C^2(\overline \Omega)$ une fonction $<0$ et
exhaustive sur  $\Omega$~, telle que  $d\rho'\ne 0$ sur  $\partial \Omega$~.
Alors les mesures  $\nu'_z$ associ\'ees \`a  $\rho'$ ont m\^eme comportement
asymptotique sur la diagonale que les mesures  $\nu_z$~.|

\dem On peut \'ecrire  $\rho'=\lambda\rho$ avec  $\lambda\in C^1(\overline
\Omega)\cap C^2(\Omega)$ et  $\lambda>0$ sur  $\overline\Omega$~. Il vient
alors
$$(dd^c\rho'_\zeta)^{n-1}\wedge d^c\rho'_\zeta 
= \lambda(\zeta)^n(dd^c\rho_\zeta)^{n-1}\wedge d^c\rho_\zeta~,$$
$$\eqalign{J^{2,0}_\zeta\rho'(z) &=
\lambda(\zeta)J^{2,0}_\zeta\rho(z) + \sum_j{\partial\rho\over \partial\zeta_j}
(z_j-\zeta_j)\sum_k {\partial\lambda\over\partial\zeta_k} (z_k-\zeta_k)\cr
&=\Big( \lambda(\zeta)+ \sum_k{\partial\lambda\over \partial\zeta_k}(z_k-
\zeta_k)\Big)J^{2,0}_\zeta\rho(z)+{\rm O}(|z-\zeta|^3)\cr
&\sim\lambda(\zeta)J^{2,0}_\zeta\rho(z)\cr}$$ 
lorsque $z\in \Omega$ tend vers  $\zeta\in \partial \Omega$~. Par suite
$$d\nu'_z(\zeta) \sim {\lambda(z)^n\over \lambda(\zeta)^n}d\nu_z(\zeta)
\sim d\nu_z(\zeta)~.\eqno\carre$$

On va maintenant profiter de la libert\'e qui nous est laiss\'ee dans le choix
de  $\rho$  pour construire une fonction d'exhaustion normalis\'ee.

\th Lemme 7.13| Il existe une fonction  $\wt \rho\in C^2(\overline \Omega)$ 
strictement  psh $<0$ et exhaustive sur  $\Omega$~, telle que
$$(dd^c\wt \rho - d\wt \rho\wedge d^c\wt \rho)^n = 0$$
en tout point de  $\partial\Omega$~. Une telle fonction  $\wt \rho$ sera
dite fonction d'exhaustion normalis\'ee sur  $\Omega$~.|

\dem Soit  $\lambda\in C^0(\overline\Omega)$ la fonction d\'efinie par
$$\lambda={1\over n}(dd^c\rho)^{n-1}\wedge d\rho\wedge d^c\rho/(dd^c\rho)^n~.$$
D'apr\`es le th\'eor\`eme de prolongement de Whitney, il existe une 
fonction$\wt \lambda \in C^0(\overline \Omega)\cap C^\infty(\Omega)\ ,$
$ \wt \lambda>0~,$ telle que
$\wt \lambda = \lambda$ sur $\partial\Omega$ et $|D^\alpha\wt\lambda|
=o(\rho^{-|\alpha|})$ pour tout multi-indice  $\alpha\ne 0$~. La fonction
$\wt \rho = \rho + (1-1/\wt\lambda)\rho^2/2$ est alors dans
$C^2(\overline\Omega)$ et v\'erifie
$$dd^c\wt \rho-d\wt\rho\wedge d^c\wt\rho = dd^c\rho - {1\over
\lambda} d\rho\wedge d^c\rho\ge 0~~{\rm sur}~~\partial\Omega~.$$
Par suite  $\wt \rho$ est normalis\'ee, et $\wt \rho$ est strictement
psh au voisinage de  $\partial \Omega$~. Apr\`es modification \'eventuelle sur
un compact,  $\wt\rho$ r\'epond \`a la question.\finpr

La condition de normalisation signifie simplement que la norme de la 
diff\'erentielle $d\wt \rho$ relativement \`a la m\'etrique  $dd^c\wt
\rho$ est \'egale \`a 1 sur le bord. On observera que la fonction  $\rho
_\bB$ est normalis\'ee. Le point crucial du raisonnement repose sur le
lemme suivant, montrant l'existence de boules osculatrices int\'erieures et
ext\'erieures en tout point de  $\partial\Omega$~.

\tha Lemme 7.14|On suppose que $\ \rho\ $ est une fonction 
d'exhaustion normalis\'ee du domaine $\Omega\ .$ Soit $\varepsilon>0$ fix\'e.
Alors il existe un voisinage $\Omega_\varepsilon'$ de $\overline\Omega$
dans $X\ ,$ une boule $B_\varepsilon'\subset\cn $ contenant 
$\overline\bB$ et un r\'eel $\delta(\varepsilon)>0$ ayant
les propri\'et\'es suivantes. Pour tout $a\in\partial\Omega\ ,$ il existe un
domaine $D'_{a,\varepsilon}\subset\Omega'_\varepsilon$ contenant
$\lbrace\zeta\in X~;~ \vert z-a\vert<\delta(\varepsilon)\rbrace$~, 
une application holomorphe $\Phi_a = \Phi_{a,\varepsilon} : 
\Omega'_\varepsilon \to \cn $ et un biholomorphisme
$\Psi_a = \Psi_{a,\varepsilon} : D'_{a,\varepsilon} \to B'_\varepsilon$ tels 
que :

{\parindent0pt\setbox0=\hbox{(7.16)\quad}
{\rm(7.15)}\quad les familles $(\Phi_a)$ et $(\Psi_a)$ sont uniform\'ement 
born\'ees~;

\hangindent\wd0\hangafter1
{\rm(7.16)}\quad $\Phi_a(\Omega)\subset \bB\ ,\ \Phi_a(a)\in\partial\bB
\ $\hfill\break 
et la restriction $\Phi_a : D'_{a,\varepsilon} \to \Phi_a(D'_{a,\varepsilon})$
est biholomorphe~;

{\rm(7.17)}\quad $D_{a,\varepsilon}:=\Psi^{-1}_a(\bB)\subset \Omega$\quad
et\quad $\Psi_a(a) \in \partial \bB$~;

{\rm(7.18)}\quad $\vert\rho(z)-\rho_\bB\circ \Phi_a(z)\vert\le \varepsilon
\vert z-a\vert^2$\quad si\quad $ \vert z-a\vert<\delta(\varepsilon)~;$

{\rm(7.19)}\quad $\vert\rho(z)-\rho_\bB\circ \Psi_a(z)\vert\le \varepsilon
\vert z-a\vert^2$\quad si\quad $\vert z-a\vert<\delta(\varepsilon)$~.}
\fintha

Les propri\'et\'es (7.16) et (7.17) expriment intuitivement que les ``boules"
$\Phi^{-1}_a(\bB)$ et $\Psi^{-1}_a(\bB)$ sont tangentes 
ext\'e\-rieure\-ment et int\'e\-rieure\-ment \`a $\partial \Omega$ 
au point  $a$~; les 
in\'e\-galit\'es (7.18), (7.19) expriment de plus que la courbure de  
$\Phi^{-1}_a(\partial\bB)$ et  $\Psi^{-1}_a(\partial\bB)$ approche 
\`a  $\varepsilon$  pr\`es celle de  $\partial\Omega$ au voisinage de  $a$ 
(\cf Fig.~1 ci-dessous).\vfill\eject

\InsertFig  24.000 56.000  {
0.6 dup scale 
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 45.000  45.000 0 360 0 ellipsearc
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  1.300   0.000 indent 
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] curve
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 90.000  45.000 moveto 
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[   2.000   1.000 ] 0 setdash 
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[  28.000  48.000   28.200  52.000   30.000  56.800   33.800  57.400  
 37.200  54.800   38.600  51.200  ] curve 
stroke 
 28.000  48.000 moveto 
  0.113 setlinewidth 
 64.800  51.300 moveto 
[  64.800  51.300   65.800  61.300   77.800  72.800   95.800  42.800  
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stroke 
[ ] 0 setdash 
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 40.000   0.000 axis 
 17.800  57.300 moveto 
 33.000 -90.000 axis 
}
\LabelTeX  9.6 36.0 $\Omega$\ELTX
\LabelTeX  3.6 22.5 $\Phi_{a,\varepsilon}$\ELTX
\LabelTeX  9.6 11.0 $\bB$\ELTX
\LabelTeX 32.3 11.0 $\Omega$\ELTX
\LabelTeX 50.7 25.9 $a$\ELTX
\LabelTeX 44.0 29.4 $D_{a,\varepsilon}$\ELTX
\LabelTeX 57.4 14.8 $D'_{a,\varepsilon}$\ELTX
\LabelTeX 58.8 32.8 $\Psi_{a,\varepsilon}$\ELTX
\LabelTeX 75.6 29.9 $\bB$\ELTX
\EndFig
\vskip7mm
\centerline{\bf Fig.\ 1}

\vskip15pt
\remarque D\'emonstration du lemme 7.14| On commence par construire un
syst\`eme de coordonn\'ees locales adapt\'ees au point  $a\ .$

   Quitte \`a remplacer $X$ par un voisinage convenable de $\overline\Omega\ ,$
on peut supposer que $\Omega$ est un ouvert de Runge dans $X\ .$ D'apr\`es le
th\'eor\`eme de plongement de Fornaess [6]~, il existe alors un plongement
$X\hookrightarrow\bC^N$ et un ouvert strictement convexe $G\subset
\bC^N$ de classe $C^2$ tel que $\Omega=X\cap G\ ,\ \partial G$
\'etant transverse \`a $X$ le long de $\partial\Omega\ .$
   Relativement \`a la m\'etrique $i\partial\overline\partial\rho_a$ sur
$T_aX\ ,$ soit $e_1\in T_aX$ un vecteur unitaire sortant normal \`a
$\partial\Omega\ ,$ et $(e_2,\ldots,e_n)$ une base orthonorm\'ee de
$HT_a(\partial\Omega)\ .$ Compl\'etons $(e_2,\ldots,e_n)$ en une base
$(e_2,\ldots,e_N)$ de $HT_a(\partial G)\ .$ L'hypoth\`ese de 
transversalit\'e $T_aX\not\subset T_a(\partial G)$ implique
$e_1\notin HT_a(\partial G)\ ,$ par suite $(e_1,\ldots,e_N)$ est
une base de $\bC^N\ .$ Notons $Z=(z_1,\ldots,z_N)$ les coordonn\'ees
affines sur $\bC^N$ relatives au rep\`ere
$(a;e_1,\ldots,e_N)\ .$ Par construction $z=(z_1,\ldots,z_n)$ est un
syst\`eme de coordonn\'ees locales sur $X$ au point $a\ ;$ de plus
$T_a(\partial G)=\lbrace\Re z_1=0\rbrace$ et on a
$${\partial\rho\over\partial z_1}(a)=1\ ,\ 
{\partial\rho\over\partial z_2}(a)=\cdots={\partial\rho\over\partial z_n}=0\ ,
{\partial^2\rho\over\partial z_j\partial\overline z_k}(a)=\delta_{j,k}\ ;
\leqno(7.20)$$
l'\'egalit\'e $\partial\rho/\partial z_1(a)=1$ provient du fait que 
$\rho$ est suppos\'ee normalis\'ee. La stricte convexit\'e de $G$ 
implique que $\overline G\setminus\lbrace a\rbrace$ est contenu pour 
$R>0$ assez grand dans le cylindre
$$\eqalign{\lbrace|z+(R,0,\ldots,0)|<R\rbrace
        &=\lbrace2\Re z_1+{1\over R}|z|^2<0\rbrace\cr 
        &=\lbrace2\Re\wt z_1+|\wt z_1|^2+{1\over R}|\wt z|^2<0\rbrace\ ,\cr}$$
avec $\wt z=z/(1-z_1/2)\ .$ Quitte \`a remplacer les coordonn\'ees 
$(z_j)$ par les $(\wt z_j)\ ,$ ce qui pr\'eserve (7.20)~, on peut
supposer que $\overline\Omega\setminus\lbrace a\rbrace$ est contenu
dans l'ellipso\"{\i}de
$$2\Re z_1+|z_1|^2+{1\over R}|z|^2<0\ .\leqno(7.21)$$
D'apr\`es (7.20)~, la fonction $\rho$ admet un d\'eveloppement limit\'e de la
forme
$$\rho(Z)=2\Re(z_1+\sum_{1\le j,k\le n}c_{jk}z_jz_k)+|z|^2+o(|z|^2)\ ,
                                                             \leqno(7.22)$$
avec $$c_{jk}={1\over2}{\partial^2\rho\over\partial z_j\partial z_k}(a)\ .$$

\noindent
$\bullet$ {\sl Construction de} $\Phi_a\ .$

  La difficult\'e est que l'ellipso\"{\i}de (7.21) a en g\'en\'eral au point
$a$ une courbure beaucoup plus faible que celle de $\partial\Omega\ .$
Pour corriger ce d\'efaut~, on va d\'eformer l'ellipso\"{\i}de au
voisinage de $a$ en introduisant les nouvelles coordonn\'ees
$$\left\lbrace\eqalign{z_1'&=z_1+{\varepsilon\over2}z_1^2+
\Bigl(1-{z_1\over\eta}\Bigr)^{-\varepsilon^2}\sum_{j,k}c_{jk}z_jz_k\ ,\cr
     z_j'&=(1-\varepsilon)^{1/2}\Bigl(1-{z_1\over\eta}\Bigr)^{-\varepsilon^2/2}
                         z_j\ \ ,\ \ 2\le j\le n\ .}\right.$$
On pose alors
       $$\Phi_a(Z)=(z_1'+1,z_2',\ldots,z_n')\ ,$$
et on va montrer que $\Phi_a(\Omega)\subset\bB$ pour $\eta>0$ assez
petit. Sur $\overline\Omega$ on a $\Re z_1\le0\ ,$ d'o\`u
  $$\Bigl|1-{z_1\over\eta}\Bigr|\ge 1\quad{\rm et}\quad
       \theta(z_1):={\rm arg}\Bigl(1-{z_1\over\eta}\Bigr)\in
              \Bigl]-{\pi\over2},{\pi\over2}\Bigr[\ .$$
Soit $Z\in{\overline\Omega}$ fix\'e. Il vient
$$\eqalign{\rho_\bB&\circ\Phi_a(Z)=|\Phi_a(Z)|^2-1=2\Re z_1'+|z'|^2\cr
&\le\Bigl|1-{z_1\over\eta}\Bigr|^{-\varepsilon^2}
   \Bigl[2\Re\Bigl(e^{-i\varepsilon^2\theta(z_1)}\sum_{j,k}c_{jk}z_jz_k\Bigr)
           +(1-\varepsilon)(|z_2|^2+\ldots+|z_n|^2)\Bigr]\cr
&\qquad\qquad\qquad+2\Re z_1+\varepsilon\Re(z_1^2)+|z_1|^2+C_1|z|^3\ ,\cr}$$
o\`u $C_1$ est une constante $>0$ ind\'ependante de $\varepsilon$ et $\eta\ .$
Distinguons maintenant deux cas. Si $\bigl[\ \ldots\ \bigr]\le 0\ ,$ on obtient
 $$\rho_\bB\circ\Phi_a(Z)\le2\Re z_1+|z_1|^2+\varepsilon|z|^2+C_1|z|^3\ ,$$
et donc pour $\varepsilon\le 1/2R$ l'in\'equation (7.21) entra\^{\i}ne
     $$\rho_\bB\circ\Phi_a(Z)\le-\varepsilon|z|^2+C_1|z|^3\ .$$
Si $\bigl[\ \ldots\ \bigr]>0\ ,$ il vient
 $$\eqalign{\rho_\bB\circ\Phi_a(Z)&\le 2\Re\Bigl(
  e^{-i\varepsilon^2\theta(z_1)}\sum c_{jk}z_jz_k\Bigr)+(1-\varepsilon)|z|^2\cr
  &\qquad\qquad+2\Re z_1+\varepsilon\bigl(\Re(z_1^2)+|z_1|^2\bigr)+C_1|z|^3\cr
  &\le 2\Re\Bigl(z_1+\sum c_{jk}z_jz_k\Bigr)+|z|^2\cr
  &\qquad\qquad+\Bigl(C_1|z|^3+2\varepsilon(\Re z_1)^2+
         \bigl(O(\varepsilon^2)-\varepsilon\bigr)|z|^2\Bigr)\cr
  &\le\rho(Z)\bigl(1+2\varepsilon\rho(Z)\bigr)+\Bigl(o(|z|^2)+
         \bigl(O(\varepsilon^2)-\varepsilon\bigr)|z|^2\Bigr)\cr}$$
Pour $Z\in\Omega\ ,$ $\varepsilon$ assez petit et $|z|<r_1(\varepsilon)\ ,$ 
on a donc dans les deux cas
$\rho_\bB\circ\Phi_a(Z)\le-{\varepsilon\over2}|z|^2<0\ .$ D'autre
part $(1-z_1/\eta)^{-\varepsilon^2}$ converge uniform\'ement vers $0$ sur le 
compact ${\overline\Omega}\cap\{|z|\ge r_1(\varepsilon)\}$ quand $\eta$ tend 
vers $0\ .$ Sur ce compact $\rho_\bB\circ\Phi_a(Z)$ converge vers
$2\Re(z_1+{\varepsilon\over2}z_1^2)+|z_1+{\varepsilon\over2}z_1^2|^2\ ,$ 
et pour $\varepsilon$ assez petit l'in\'equation (7.21) entra\^{\i}ne
  $$2\Re\Bigl(z_1+{\varepsilon\over2}z_1^2\Bigr)+
               \Bigl|z_1+{\varepsilon\over2}z_1^2\Bigr|^2\le
      2\Re z_1+\Bigl(1+{1\over R}\Bigr)|z_1|^2<0\ .$$
Pour $\eta=\eta_1(\varepsilon)$ assez petit, on obtient par cons\'equent
$\rho_\bB\circ\Phi_a<0$ sur $\Omega$ tout entier, c'est-\`a-dire
$\Phi_a(\Omega)\subset\bB\ .$ La propri\'et\'e (7.16) est alors satisfaite
d\`es que le domaine $D'_{a,\varepsilon}$ est contenu dans une boule de centre
$a$ de rayon $r_2(\varepsilon)$ assez petit; la propri\'et\'e (7.18) l'est 
aussi si $\delta(\varepsilon)$ est suffisamment petit devant 
$\eta_1(\varepsilon)$ et $r_2(\varepsilon)\ ,$ car on a le d\'eveloppement
de Taylor
  $$\rho(Z)-\rho_\bB\circ\Phi_a(Z)=
       -\varepsilon\Re(z_1^2)+\varepsilon(|z_2|^2+\ldots+|z_n|^2)+o(|z|^2)\ .
       \leqno(7.23)$$

\noindent
$\bullet$ {\sl Construction de} $\Psi_a\ .$

   Le probl\`eme \'etant cette fois local, on introduit les coordonn\'ees
  $$w_1=z_1+\sum c_{jk}z_jz_k\quad,\quad w_2=z_2\ ,\ \ldots\ ,\ w_n=z_n\ .$$
D'apr\`es (7.22), on a le d\'eveloppement limit\'e
       $$\rho(Z)=2\Re w_1+|w|^2+o(|w|^2)\ ,\leqno(7.24)$$
et pour $r_3(\varepsilon)<r_2(\varepsilon)$ assez petit, $\Omega$ contient
l'intersection de la boule 
   $$\bigl\{2\Re w_1+\bigl(1+{\varepsilon\over4}\bigr)|w|^2<0\bigr\}$$
de rayon $1/(1+\varepsilon/4)<1$ avec la boule $\{|w|<r_3(\varepsilon)\}\ .$ 
L'id\'ee est maintenant de chercher un changement de coordonn\'ees tangent \`a
l'identit\'e, dans lequel la ``boule" osculatrice \`a $\partial\Omega$ sera
de diam\`etre arbitrairement petit. On consid\`ere pour cela une compos\'ee
$F=F_1\circ F_2\circ\ldots\circ F_5$ de transformations conformes de la 
variable $w_1\ ,$ avec les notations suivantes :
$$\matrix{
D_R&\hfill=&\{|w_1+R|<R\}\hfill&,&\qquad D_\infty&=&\{\Re w_1<0\}\hfill&,\cr\cr
U  &\hfill=&\Bigl\{\Re w_1<0\rlap{$\quad\hbox{\rm et}\quad(\Im w_1)^2\le
          {1\over3}\bigl(1+(\Re w_1)^2\bigr)\Bigr\}$}\hfill&&&&\hfill&,\cr\cr
F_1&\hfill:&D_{2/\varepsilon}\longrightarrow D_1\hfill&,&\ \ F_1(w_1)
      &=&{\displaystyle{w_1\over{1-\bigl({1\over2}-
                                  {\varepsilon\over4}\bigr)w_1}}}\hfill&,\cr\cr
F_2&\hfill:&D_\infty\longrightarrow D_\infty\hfill
                       &,&\ \ F_2(w_1)&=&A^{-1}w_1\ ,\ A>0\hfill&,\cr\cr
F_3&\hfill:&U\longrightarrow D_\infty\hfill
                       &,&\ \ F_3(w_1)&=&w_1+w_1^3\hfill&,\cr\cr
F_4&\hfill:&D_\infty\longrightarrow D_\infty\hfill
                       &,&\ \ F_4(w_1)&=&Aw_1\hfill&,\cr\cr
F_5&\hfill:&D_{1/(1+{\varepsilon/2})}\longrightarrow D_\infty\hfill
       &,& \ \ F_5(w_1)&=&{\displaystyle{w_1\over{1+\bigl({1\over2}+
                               {\varepsilon\over4}\bigr)w_1}}}\hfill&.\cr}$$
On a $F_2\circ F_3\circ F_4(w_1)=w_1+A^2w_1^3\ ,$ d'o\`u
  $$F(w_1)=F_1\circ F_5(w_1)+O(w_1^3)=w_1-{\varepsilon\over2}w_1^2+O(w_1^3)\ .
     \leqno(7.25)$$
On va montrer que le diam\`etre de $F^{-1}(D_1)$ est aussi petit que l'on veut
si $A>1$ est assez grand. En effet, on v\'erifie successivement les relations
d'inclusion
$$\eqalign{&(F_1\circ F_2)^{-1}(D_1)=F_2^{-1}\bigl(D_{2/\varepsilon}\bigr)
                =D_{2A/\varepsilon}\subset\{|w_1|<4A/\varepsilon\}\ ,\cr
           &F_3^{-1}\bigl(D_{2A/\varepsilon}\bigr)\subset 
                 U\cap\{|w_1|<2(A/\varepsilon)^{1/3}\}\ ,\cr
           &(F_3\circ F_4)^{-1}\bigl(D_{2A/\varepsilon}\bigr)\subset
                 D_\infty\cap\{|w_1|<2\varepsilon^{-1/3}A^{-2/3}\}\ ,\cr
           &F^{-1}(D_1)\subset D_{1/(1+{\varepsilon/2})}\cap
                 \{|w_1|<2\varepsilon^{-1/3}A^{-2/3}\}\ .\cr}$$
En particulier, on peut choisir $A=A(\varepsilon)$ assez grand pour que
   $$F^{-1}(D_1)\subset D_{1/(1+{\varepsilon/2})}\cap
                 \{|w_1|<r_3(\varepsilon)/2\}\ .\leqno(7.26)$$
$A$ \'etant maintenant fix\'e, on pose
$$\left\{\eqalign{w_1'&=F(w_1)\ ,\cr
                  w_j'&=(1+\varepsilon)^{1/2}\Bigl(1-{w_1\over\eta}\Bigr)^2w_j
                             \ ,\ j\ge 2\ ,\cr
                  \Psi_a(Z)&=(w_1'+1,w_2',\ldots,w_n')\ .\cr}\right.$$
Pour $\Re w_1<0\ ,$ on a alors d'apr\`es(7.25) :
$$\leqalignno{\qquad\quad\rho_\bB\circ\Psi_a(Z)
   &=2\Re F(w_1)+|F(w_1)|^2+(1+\varepsilon)
     \Bigl|1-{w_1\over\eta}\Bigr|^4\bigl(|w_2|^2+\ldots+|w_n|^2\bigr)&(7.27)\cr
   &\ge2\Re F(w_1)+|F(w_1)|^2+(1+\varepsilon)\bigl(|w_2|^2+\ldots+|w_n|^2\bigr)
                                                                     &(7.28)\cr
   &=2\Re w_1+(1+\varepsilon)|w|^2-2\varepsilon(\Re w_1)^2+O(w_1^3)&(7.29)\cr
   &\ge(1-\varepsilon\Re w_1)\bigl(2\Re w_1+(1+\varepsilon)|w|^2-
                                       C_2(\varepsilon)|w|^3\bigr)&(7.30)\cr}$$
o\`u la constante $C_2(\varepsilon)$ est ind\'ependante de $\eta\ .$ On va 
montrer que $\Psi_a^{-1}(\bB)\subset\Omega$ pour $\eta>0$ assez petit. 
Soit $Z$ un point fix\'e de $\Psi_a^{-1}(\bB)\ ,$ \ie un point tel que
$\rho_\bB\circ\Psi_a(Z)<0\ .$ On a en particulier $|w_1'+1|<1\ ,$ donc
(7.26) implique $w_1\in F^{-1}(D_1)\subset D_{1/(1+\varepsilon/2)}\ ,$ \ie 
     $$2\Re w_1+\Bigl(1+{\varepsilon\over2}\Bigr)|w_1|^2<0\ .$$
Distinguons deux cas suivant l'ordre de grandeur de $\Re w_1\ .$

   Si $\Re w_1\le-\eta^{1/2}\ ,$ alors $|1-w_1/\eta|\ge\eta^{-1/2}$ et (7.27)
entra\^{\i}ne
  $$(1+\varepsilon)\bigl(|w_2|^2+\ldots+|w_n|^2\bigr)<\eta^2\ .\leqno(7.31)$$
On a donc
  $$\eqalign{2\Re w_1&+\Bigl(1+{\varepsilon\over4}\Bigr)|w|^2\cr
        &\le 2\Re w_1+\Bigl(1+{\varepsilon\over2}\Bigr)|w_1|^2
                 -{\varepsilon\over4}|\Re w_1|^2+(1+\varepsilon)
                                      \bigl(|w_2|^2+\ldots+|w_n|^2\bigr)\cr
        &<-{\varepsilon\over4}\eta+\eta^2<0\cr}$$
pour $\eta<\varepsilon/4\ ;$ dans ce cas, compte tenu de (7.26) et (7.31)~, on 
aura de plus $|w|<r_3(\varepsilon)$ d\`es que $\eta< r_3(\varepsilon)/2\ .$

   Si $-\eta^{1/2}\le\Re w_1<0\ ,$ alors $|w_1|^2<-2\Re w_1\le2\eta^{1/2}$ et
(7.28) implique
   $$|w_2|^2+\ldots+|w_n|^2\le-2\Re F(w_1)
         =-2\Re w_1+{\rm O}(|w_1|^2)\le C_3(\varepsilon)\eta^{1/2}\ ;$$
on a donc $|w|\le C_4(\varepsilon)\eta^{1/4}\ ,$ et de (7.30) on d\'eduit
   $$\eqalign{2\Re w_1+\Bigl(1+{\varepsilon\over4}\Bigr)|w|^2
             &\le C_2(\varepsilon)|w|^3-{3\varepsilon\over4}|w|^2\cr
             &\le\Bigl(C_2(\varepsilon)C_4(\varepsilon)\eta^{1/4}-
                                      {3\varepsilon\over4}\Bigr)|w|^2<0\cr}$$
pour $\eta<\bigl(3\varepsilon/4C_2(\varepsilon)C_4(\varepsilon)\bigr)^4;$
dans ce cas, on a de plus $|w|<r_3(\varepsilon)$ si 
$\eta<\bigl(r_3(\varepsilon)/C_4(\varepsilon)\bigr)^4.$\kern-1pt

  Le choix $\quad\eta<\min\Bigl(\varepsilon/4,r_3(\varepsilon)/2,
\bigl(3\varepsilon/4C_2(\varepsilon)C_4(\varepsilon)\bigr)^4,
\bigl(r_3(\varepsilon)/C_4(\varepsilon)\bigr)^4\Bigr)$
entra\^{\i}ne donc finalement
  $$\Psi_a^{-1}(\bB)\subset
         \bigl\{2\Re w_1+\bigl(1+{\varepsilon\over4}\bigr)|w|^2<0\bigr\}\cap
              \{|w|<r_3(\varepsilon)\}\subset\Omega\ .$$
L'estimation (7.19) r\'esulte d'autre part des d\'eveloppements limit\'es
(7.24) et (7.29) .\finpr

\remarque D\'emonstration du th\'eor\`eme 7.10|

   Soient $A,\varepsilon>0$ et $a\in\partial\Omega$ quelconques. Consid\'erons
les applications holomorphes $\Phi_a:\Omega\to\bB$ et
$\Psi_a^{-1}:\bB\to D_{a,\varepsilon}\subset\Omega$ fournies par le lemme
7.14. Pour tous $z,\zeta\in D_{a,\varepsilon}$ le th\'eor\`eme 4.11 donne
   $$u_\bB(\Phi_a(z),\Phi_a(\zeta))\le u_\Omega(z,\zeta)\le
                            u_\bB(\Psi_a(z),\Psi_a(\zeta))\ .\leqno(7.32)$$
Posons $b=\Psi_a(a)\in\partial\bB\ .$ Pour tout 
$(w,\xi)\in\bB\times\bB$ avec $|\xi-b|<r_1(\varepsilon)$ assez petit,
on aura d'apr\`es (5.10)~:
  $${1+\varepsilon\over2}\cdot{|\rho_\bB(w)|\rho_\bB(\xi)\over
                         |J_b^{2,0}\rho_\bB(w)|^2}
                   \le u_\bB(w,\xi)\le
    {1-\varepsilon\over2}\cdot{|\rho_\bB(w)|\rho_\bB(\xi)\over
                                 |J_b^{2,0}\rho_\bB(w)|^2}\ .\leqno(7.33)$$
Posons $\eta=(\delta(\varepsilon)/A)^2$ et soit $z\in\Omega\ .$ Sous les
hypoth\`eses $|\rho(z)|<\eta$ et $|z-a|<A|\rho(z)|^{1/2}$ il vient
$|z-a|<\delta(\varepsilon)\ ,$ donc (7.19) entra\^{\i}ne
  $$|\rho(z)-\rho_\bB\circ\Psi_a(z)|\le\varepsilon|z-a|^2\le
                           \varepsilon A^2|\rho(z)|\ ;\leqno(7.34)$$
en particulier $z\in\Psi_a^{-1}(\bB)=D_{a,\varepsilon}$ pour 
$\varepsilon<A^{-2}\ .$ Choisissons $r_2(\varepsilon)>0$ assez petit pour que
  $$|\zeta-a|<r_2(\varepsilon)\quad\Longrightarrow\quad
         \max\bigl(|\Phi_a(\zeta)-\Phi_a(a)|,|\Psi_a(\zeta)-\Psi_a(a)|\bigr)
                                    <r_1(\varepsilon)\ ;\leqno(7.35)$$
ceci est possible d'apr\`es la propri\'et\'e (7.15). Sous les hypoth\`eses 
$|\rho(\zeta)|<\eta$ et $|\zeta-a|<\min\bigl(A|\rho(\zeta)|^{1/2},
r_2(\varepsilon)\bigr)$ on a de m\^eme que pour (7.34)~:
  $$|\rho(\zeta)-\rho_\bB\circ\Psi_a(\zeta)|\le\varepsilon A^2|\rho(\zeta)|
                                                            \ ,\leqno(7.36)$$
et gr\^ace \`a (7.35) on voit que l'encadrement (7.33) est applicable au couple
de points $(w,\xi)=(\Psi_a(z),\Psi_a(\zeta))\ .$ Les estimations (7.11) et
(7.19) donnent d'autre part
  $$\bigl|J_a^{2,0}\rho(z)-J_a^{2,0}\rho_\bB(\Psi_a(z))\bigr|\le
  \varepsilon|z-a|^2\le{\varepsilon\over c}|J_a^{2,0}\rho(z)|\ ;\leqno(7.37)$$
on a bien entendu des estimations analogues \`a (7.34) , (7.36) et (7.37)
pour la fonction $\rho_\bB\circ\Phi_a\ .$ De (7.32 -- 7.37) et leurs
analogues on d\'eduit alors l'encadrement suivant de $u_\Omega\ :$
$$\Bigl({1+\varepsilon A^2\over1-\varepsilon/c}\Bigr)^2\cdot{1+\varepsilon\over
2}\cdot{|\rho(z)|\rho(\zeta)\over|J_a^{2,0}\rho(z)|^2}\le u_\Omega(z,\zeta)\le
  \Bigl({1-\varepsilon A^2\over1+\varepsilon/c}\Bigr)^2\cdot{1-\varepsilon\over
2}\cdot{|\rho(z)|\rho(\zeta)\over|J_a^{2,0}\rho(z)|^2}$$
sous les hypoth\`eses
   $$\eqalign{&|\rho(z)|<\eta\quad{\rm et}\quad|z-a|<A|\rho(z)|^{1/2}\ ,\cr
              &|\rho(\zeta)|<\eta\quad{\rm et}\quad|\zeta-a|
               <\min\big(A|\rho(\zeta)|^{1/2},r_2(\varepsilon)\big)\ .\cr}$$
Appliquons maintenant le th\'eor\`eme 3.8 aux fonctions
    $$\varphi(\zeta)=\rho(\zeta)\quad,\quad
                         \psi(\zeta)={1\over2\pi}u_\Omega(z,\zeta)$$
en tout point $a$ de l'ouvert $\omega:=\bigl\{a\in\partial\Omega;
|a-z|<A|\rho(z)|^{1/2}\bigr\}\ .$ Les hypoth\`eses du th\'eor\`eme 3.8 sont
satisfaites car
  $$\limsup_{\zeta\to a}{\psi(\zeta)\over\varphi(\zeta)}\le
\Bigl({1+\varepsilon A^2\over1-\varepsilon/c}\Bigr)^2\cdot
        {1+\varepsilon\over4\pi}\cdot{|\rho(z)|\over|J_a^{2,0}\rho(z)|^2}\ ,$$
  $$\liminf_{\zeta\to a}{\psi(\zeta)\over\varphi(\zeta)}\le
\Bigl({1-\varepsilon A^2\over1+\varepsilon/c}\Bigr)^2\cdot
        {1-\varepsilon\over4\pi}\cdot{|\rho(z)|\over|J_a^{2,0}\rho(z)|^2}\ ;$$
on notera que pour obtenir ces limites il est n\'ecessaire de faire varier un 
peu le point $a$ dans l'encadrement de $u_\Omega\ ,$ car celui-ci est valable 
seulement sur le domaine tangentiel $\{\zeta\,;\,|\zeta-a|<
A|\rho(\zeta)|^{1/2}\}\ .$ Le th\'eor\`eme 3.8 donne finalement l'in\'egalit\'e
souhait\'ee
 $$(1-\varepsilon')d\nu_z(\zeta)\le d\mu_z(\zeta)\le
   (1+\varepsilon')d\nu_z(\zeta)\quad,\quad\forall \zeta\in\omega\ ,$$
avec $\varepsilon'=2n\varepsilon(1+A^2+1/c)$ au lieu de $\varepsilon\ .$\finpr

\remarque Remarque 7.38|On a les formules
   $$\lim_{z\to\partial\Omega}\nu_z\Bigl(\bigl\{\zeta\in\partial\Omega\ ;\ 
             H\rho_z(\zeta-z)<A|\rho(z)|^{1/2}\bigr\}\Bigr)=J(A)\ ,$$
   $$\eqalign{J(A):&={2^{2n-2}(n-1)!\over\pi^n}\int_
      {\scriptstyle(t,w)\in\bR\times\bC^{n-1}\atop
       \scriptstyle|w|<A\qquad\ \quad}
          {dt\ dw\over\bigl((1+|w|^2)^2+t^2\bigr)^n}\cr
       &=1-{2^{2n-2}(n-1)!\over\pi^n}\int_{|w|\ge A}
           {dt\ dw\over\bigl((1+|w|^2)^2+t^2\bigr)^n}\ .\cr}$$
Soit $z$ un point fix\'e, voisin de $\partial\Omega\ .$ Pour v\'erifier les 
formules pr\'ec\'edentes, il suffit de se placer dans un syst\`eme de 
coordonn\'ees locales $(\zeta_1,\ldots,\zeta_n)$ tel que
   $$\rho(\zeta)=2\Re \zeta_1+|\zeta|^2+o(|\zeta|^2)\ ,$$
   $$z=(z_1,0,\ldots,0)\quad{\rm avec}\quad z_1\in{}]-1,0[\ .$$
On a donc $\rho(z)\sim2z_1\ .$ On effectue alors des homoth\'eties dans la
direction tangente r\'eelle et dans les directions tangentes complexes \`a
$\partial\Omega$ en posant
      $$t=|z_1|^{-1}\,\Im\zeta_1\quad,\quad 
                      w=|2z_1|^{-1/2}(\zeta_2,\ldots,\zeta_n)\ .$$
Pour $\zeta\in\partial\Omega$ et $|\zeta-z|=O\bigl(|\rho(z)|^{1/2}\bigr)\ ,$
c'est-\`a-dire $|\zeta|=O(|z_1|^{1/2})\ ,$ on obtient 
$\Re\zeta_1\sim-|\zeta|^2/2=O(|z_1|)$ et
   $$\eqalign{J_\zeta^{2,0}\rho(z)&=(1+{\overline\zeta}_1)(z_1-\zeta_1)
            -{\overline\zeta}_2.\zeta_2-\ldots-{\overline\zeta}_n.\zeta_n
            +o(|\zeta|\ |z-\zeta|)\cr
          &=z_1-\zeta_1-|\zeta|^2+o(|z_1|)\cr
          &=z_1-{1\over2}|\zeta|^2-i\,\Im\zeta_1+o(|z_1|)\ .\cr}$$
On en d\'eduit ais\'ement
   $$|J_\zeta^{2,0}\rho(z)|^2\sim|z_1|^2.\bigl((1+|w|^2)+t^2\bigr)\ ,$$
tandis que
   $$(dd^c\rho_\zeta)^{n-1}\wedge d^c\rho_\zeta\sim
                                  2^{2n-2}(n-1)!\,|2z_1|^ndt\,dw\ .$$
Nous laissons au lecteur le soin d'achever les calculs.\finpr

   La remarque 7.38 montre que les estimations du th\'eor\`eme 7.10 prennent
en compte \`a la limite toute la masse de $\mu_z$  quand $A$ tend vers 
$+\infty\ .$ Il serait n\'eanmoins int\'eressant de conna\^{\i}tre le
comportement de $d\mu_z(\zeta)$ lorsque $z$ tend vers $\partial\Omega\ ,$
$\zeta$ n'\'etant plus n\'ecessairement astreint \`a rester dans un ouvert du
bord de la forme $|\zeta-z|\le A|\rho(z)|^{1/2}\ ;$ pour cela, il serait
n\'ecessaire d'\'etendre le lemme 7.14 au cas de boules osculatrices en deux
points $a,b\in\partial\Omega$ simultan\'ement, tout en conservant 
l'uniformit\'e des estimations quand $|a-b|$ tend vers $0\ ;$ nous n'y sommes
pas parvenus ici.
\vskip45pt

\vbox{
\centerline{\bftwelve 8. Mesures canoniques sur les points extr\^emaux}
\medskip
\centerline{\bftwelve d'une partie convexe compacte de $\rn $}
}
\bigskip

   Soit $K\subset\rn $ une partie convexe compacte d'int\'erieur
$\ko\ne\emptyset\ .$ L'objectif de ce paragraphe est de montrer que
les mesures de Monge-Amp\`ere fournissent en dimension finie une solution 
explicite naturelle au th\'eor\`eme de Choquet (\cf [3],[13]), \`a savoir
que tout point d'une partie convexe compacte m\'etrisable dans un espace
vectoriel topologique localement convexe est barycentre d'une mesure positive
port\'ee par les points extr\^emaux de cette partie. Bien s\^ur, ce 
th\'eor\`eme est trivial dans $\rn \ ,$ tout point $x\in K$ \'etant alors
barycentre d'au plus $n+1$ points extr\^emaux~; l'int\'er\^et de notre 
r\'esultat r\'eside plut\^ot dans le caract\`ere explicite de la solution et
dans le fait que le noyau obtenu d\'epend contin\^ument du point $x$ et du
convexe $K\ .$

  Soit $x\in \ko$ un point fix\'e. On associe \`a $x$ la fonction
{\it jauge}\ \  $p_x$ d\'efinie sur $\rn $ par
   $$p_x(\xi)=\inf\bigl\{\lambda>0\ ;\ x+{1\over\lambda}(\xi-x)\in K\bigr\}
                  \quad,\quad\xi\in\rn \ .$$
La fonction $p_x$ est convexe sur $\rn \ ,$ positivement homog\`ene de 
degr\'e $1$ relativement au p\^ole $x$ et on a $p_x|_{\partial K}=1\ .$
On introduit maintenant l'espace de Stein
      $$X=(\bC/i\,\bZ)^n\simeq \rn +i\,\tn $$
o\`u ${\bf T}=\bR/\bZ\ ,$ qu'on consid\`ere comme une complexification
de $\rn \ .$ On introduit \'egalement l'ouvert
      $$\Omega=\ko+i\,\tn \ ;$$
$\Omega$ est un ouvert pseudoconvexe relativement compact dans $X$ (on notera
que $\Omega$ n'aurait pas \'et\'e relativement compact si on s'\'etait
content\'e de prendre $X=\cn $ et $\Omega=\ko+i\,\rn \,)\ .$
On d\'efinit maintenant une fonction psh continue $\wt p_x$ sur $X$ en posant
    $$\wt p_x(\zeta)=p_x(\xi)\quad\hbox{{\rm o\`u}}\quad\zeta=\xi+i\,\eta\ ,
                          \ \xi\in\rn \ ,\ \eta\in\tn \ .$$
On a alors $\Omega=\{\zeta\in X\ ;\ \wt p_x(\zeta)<1\}\ ,$ de sorte que 
$\wt p_x$ est une fonction d'exhaustion psh born\'ee de $\Omega\ .$

\tha Proposition 8.1|On a $(dd^c\wt p_x)^n=0$ sur $X\setminus
(x+i\,\tn )\ .$\fintha

\dem K est r\'eunion d'une suite croissante de parties convexes $K^\nu$ de 
classe $C^2\ ,$ et $\wt p_x$ est la limite d\'ecroissante des fonctions jauges 
$\tilde p_x^\nu$ associ\'ees. Il suffit donc de d\'emontrer le r\'esultat 
lorsque $K$ est de classe $C^2\ .$ Dans ce cas $p_x\in C^2\big(X\setminus
(x+i\,\tn )\big)\ ,$ et on a les formules
   $$\left\lbrace\eqalign{
    d^c\wt p_x&=\sum_{1\le k\le n}{\partial p_x\over\partial\xi_k}d\eta_k\ ,\cr
   dd^c\wt p_x&=\sum_{1\le j,k\le n}{\partial^2p_x\over
     \partial\xi_j\partial\xi_k}d\xi_j\wedge d\eta_k\ ,\cr}\right.\leqno(8.2)$$
   $$(dd^c\wt p_x)^n=n!\,{\rm det}
    \Big({\partial^2p_x\over\partial\xi_j\partial\xi_k}\Big)\,
    d\xi_1\wedge d\eta_1\wedge\ldots\wedge d\xi_n\wedge d\eta_n\ .\leqno(8.3)$$
Or $p_x$ est lin\'eaire sur la demi-droite affine $x+\bR_+\!\cdot\!
(\xi-x)\ ,$ donc $\xi-x$ est dans le noyau de la matrice $\big(\partial^2p_x/
\partial\xi_j\partial\xi_k\big)\ ;$ par suite
$\ {\rm det}\,\big(\partial^2p_x/\partial\xi_j\partial\xi_k\big)=0$ pour
$\xi\ne x\ .$\finpr

   Comme $\wt p_x$ est invariante par les translations de $\tn \ ,$ il en
est de m\^eme pour la mesure $(dd^c\wt p_x)^n\ .$ On voit donc qu'il existe une
constante $C=C(x,K)>0$ telle que
   $$(dd^c\wt p_x)^n=C.\delta_x\otimes\sigma\ ,$$
o\`u $\delta_x$ est la mesure de Dirac au point $x$ sur $\rn $ et $\sigma$
la mesure d'aire invariante\ sur $\tn =\rn /\zn \ .$ D'apr\`es 
le \S1, on peut associer \`a $\wt p_x$ la mesure de Monge-Amp\`ere
   $$\wt\nu_x=\mu_{\wt p_x,1}=\big(dd^c\max(\wt p_x,1)\big)^n\ ,\leqno(8.5)$$
qui est port\'ee par $\partial\Omega=\partial K+i\,\tn \ .$ D'apr\`es
(1.10) on a
   $$\Vert\wt\nu_x\Vert=\int_\Omega(dd^c\wt p_x)^n=C\ ;$$
comme $\wt\nu_x$ est elle aussi invariante par les translations de 
$\tn \ ,$ on voit qu'il existe une mesure $\nu_x\ge0$ sur $\partial K$
telle que $\wt\nu_x=\nu_x\otimes\sigma$ et $C=\nu_x(\partial K)\ .$ Pour toute
fonction psh $V(\zeta)=V(\xi+i\eta)$ sur $X\ ,$ la formule de Lelong-Jensen 1.7
s'\'ecrit maintenant
   $$\eqalign{&\int_{(\xi,\eta)\in\partial K\times\tn }
                        V(\xi+i\eta)\,d\nu_x(\xi)\,d\sigma(\eta)\cr
      &\quad=\nu_x(\partial K)\int_{\eta\in\tn }V(x+i\eta)\,d\sigma(\eta)
+\int_\Omega\big(1-\wt p_x(\zeta)\big)\,dd^cV\wedge(dd^c\wt p_x)^{n-1}\ .\cr}$$
Choisissons en particulier pour $V$ une fonction affine de $\xi\ ,$ 
ind\'ependante de $\eta\ .$ Nous obtenons
    $$\nu_x(V)=\nu_x(\partial K).V(x)$$
quelle que soit $V$ affine, d'o\`u :

\tha Th\'eor\`eme 8.6|Le point $x$ est barycentre de la mesure de probabilit\'e
   $$m_x:=\big(\nu_x(\partial K)\big)^{-1}\ \nu_x\ .$$\fintha

\remarque Remarque 8.7|Il est clair que l'on pourrait encore d\'efinir les
mesures $\wt\nu_x$ sur l'espace $X=\cn /i\,\Gamma\ ,$ o\`u $\Gamma$ est un
r\'eseau quelconque de $\rn \ .$ Les mesures $\nu_x$ telles que
$\wt\nu_x=\nu_x\otimes\sigma_{\rn /\Gamma}$ ne seraient alors modifi\'ees
que d'un facteur $>0\ ,$ \'egal au volume de $\rn /\Gamma\ .$ De ceci, on
d\'eduit aussit\^ot que les mesures $\nu_x$ (resp. $m_x$) se transforment
fonctoriellement par l'action du groupe sp\'ecial affine (resp. du groupe 
affine) sur le convexe $K\ .$\finpr

   Par analogie avec ce qui a \'et\'e fait dans le cas complexe, on introduit 
sur $\ko$ la distance
   $$\delta_K(x,y)=\limsup_{\xi\to\partial K}
                   \Big|\log{p_x(\xi)-1\over p_y(\xi)-1}\Big|\ ;$$
cette distance est toujours compl\`ete et on a l'encadrement
   $$e^{-n\delta_K(x,y)}\nu_x\le\nu_y\le e^{n\delta_K(x,y)}\nu_x
                                        \quad,\quad\forall x\,,\,y\in\ko\ .$$
En particulier, on voit que les mesures $\nu_x$ d\'ependent contin\^ument de 
$x$ pour la topologie de la masse. Elles d\'ependent aussi contin\^ument de
$\partial K$ pour la topologie faible des mesures; ceci r\'esulte du fait que
l'op\'erateur de Monge-Amp\`ere
   $$\wt p_x\longmapsto\big(dd^c\max(\wt p_x,1)\big)^n$$
est faiblement continu lorsque $\wt p_x$ converge uniform\'ement sur tout 
compact.

   Lorsque $K$ est de classe $C^2\ ,$ on a ${\wt\nu}_x=(dd^c{\wt p}_x)^{n-1}
\wedge d^c{\wt p}_x\ ,$ et les formules (8.2) donnent
${\wt\nu}_x=\nu_x\otimes(d\eta_1\wedge\ldots\wedge d\eta_n)$ avec
  $$\left\lbrace\eqalign{
d\nu_x(\xi)&=(n-1)!\ \sum_{l=1}^n(-1)^{l-1}\Delta_l(x,\xi)
                 d\xi_1\wedge\ldots\ {\wh{d\xi}}_l\ \ldots\wedge d\xi_n\ ,\cr
\Delta_l(x,\xi)&={\rm det}\,\Big({\partial^2p_x\over\partial\xi_j\partial\xi_1}
     ,\cdots,{\partial^2p_x\over\partial\xi_j\partial\xi_{l-1}}
     ,{\partial p_x\over\partial\xi_j},\cdots
     ,{\partial^2p_x\over\partial\xi_j\partial\xi_n}\Big)\ .\cr}
     \right.\leqno(8.8)$$
Dans ce cas, on sait que ${\wt\nu}_x$ est port\'ee par l'ensemble des points 
strictement pseudoconvexes de $\partial\Omega\ ,$ par cons\'equent $\nu_x$ est
port\'ee par l'ensemble des points strictement convexes de $\partial K\ .$ Dans
le cas g\'en\'eral, on va montrer que $\nu_x$ est port\'ee par l'ensemble des
points {\it extr\^emaux} de $K\ .$

\tha D\'efinition 8.9|Soit $\xi$ un point de $\partial K\ .$\hfill\break
\noindent
$\bullet$ Le point $\xi$ est dit extr\^emal s'il n'existe pas de vecteur 
$a\ne0$ tel que le segment $[\xi-a,\xi+a]$ soit contenu dans $\partial K\ .$ 
On notera $E(K)$ l'ensemble des points extr\^emaux de $K\ .$\hfill\break
\noindent
$\bullet$ Un hyperplan affine $H$ est dit hyperplan d'appui au point $\xi$
si $H\ni\xi$ et si $K$ est contenu dans l'un des deux demi-espaces ferm\'es
d\'elimit\'es par $H\ .$\fintha

    Gr\^ace \`a la transformation par polaires de centre $x\ ,$ on peut 
associer \`a $K$ le convexe dual
   $$K_x^\star=\big\{y'\in(\rn)^\star\ ;\ \forall x\in K\ ,\ 
                                      y'.(\xi-x)\le1\big\}\ ;$$
$K_x^\star$ est une partie convexe compacte de $(\rn)^\star$ contenant $0$ en
son int\'erieur. Si $\xi\in\partial K\ ,$ on note $\xi_x^\star$ l'ensemble des 
formes lin\'eaires $y'\in(\rn)^\star$ telles que
$H_{y'}=\{y\ ;\ y'.(y-x)=1\}$ soit un hyperplan d'appui au point $\xi\ .$
Bien entendu, lorsque $K$ est de classe $C^1\ ,$ $\ \xi_x^\star$ 
se r\'eduit \`a
l'unique forme lin\'eaire d\'efinissant l'hyperplan tangent en $\xi$ \`a 
$\partial K\ ;$ dans le cas g\'en\'eral, $\xi_x^\star$ est une partie 
convexe de $(\rn)^\star\ ,$ contenue dans $\partial(K_x^\star)\ .$ 
Pour toute partie $A\subset\partial K\ ,$ on pose plus g\'en\'eralement
      $$A_x^\star=\bigcup_{\xi\in A}\xi_x^\star\ .$$
Avec ces notations, on obtient la relation naturelle $\partial(K_x^\star)=
(\partial K)_x^\star\ .$ On d\'efinit enfin une mesure positive $\theta$ sur
$\partial K_x^\star$ en posant
     $$\theta(A')={\rm Vol}\,\big([0,1].A'\big)$$
pour toute partie bor\'elienne $A'\subset\partial K_x^\star\ ,$ o\`u \ Vol \ 
d\'esigne le volume calcul\'e relativement \`a la mesure de Lebesgue de 
$(\rn)^\star\ .$ On a alors le th\'eor\`eme suivant, qui donne
l'interpr\'etation g\'eom\'etrique des mesures $\nu_x\ .$

\tha Th\'eor\`eme 8.10|Pour tout point $x\in \ko$ et pour toute partie
bor\'elienne $A\subset\partial K$ on a la formule
   $$\nu_x(A)=n!\,\theta(A_x^\star)=n!\,{\rm Vol}\,\big([0,1].A_x^\star\big)\ ,
                                                             \leqno(8.11)$$
en particulier $\nu_x(\partial K)= n!\,{\rm Vol}\,(K_x^\star)\ .$

   De plus, $\nu_x$ est port\'ee par l'ensemble des points extr\^emaux de
$K\ ,$ c'est-\`a-dire que $\nu_x\big(\partial K\setminus E(K)\big)=0\ .$
\fintha

\dem On commence par v\'erifier la formule (8.11) lorsque $A$ est une partie
compacte de $\partial K\ ;$ pour cela, on proc\`ede en plusieurs \'etapes.
\medskip

\noindent
$\bullet$ {\bf Premi\`ere \'etape :} {\sl on suppose $\partial K$ strictement
                                          convexe de classe $C^\infty\ .$}

   Soit $\xi$ un point de $\partial K\ .$ L'homog\'en\'e\"{\i}t\'e de $p_x$ 
entra\^{\i}ne la relation d'Euler 
$$dp_x(\xi).(\xi-x)=p_x(\xi)=1\ .$$ 
L'hyperplan tangent \`a $\partial K$ au point $\xi$ est donc donn\'e par
$\big\{y\ ;\ dp_x(\xi).(y-x)=1\big\}\ ,$
\ie $\xi_x^\star=\{dp_x(\xi)\}\ .$ La stricte convexit\'e de $\partial K$ 
montre que l'application $\xi\mapsto dp_x(\xi)$ de $\partial K$ sur 
$\partial K_x^\star$ est un
$C^\infty$--diff\'eomorphisme. Soit $\Phi_x:]0,1]\times\partial K
\longrightarrow K_x^\star\setminus\{0\}$ le $C^\infty$--diff\'eomorphisme 
d\'efini par
 $$y'=\Phi_x(t,\xi):=t.dp_x(\xi)\quad,\quad t\in{}]0,1]\ ,\ 
\xi\in\partial K\ .$$
On a alors par d\'efinition
   $$\eqalign{\theta(A_x^\star)&={\rm Vol}\,\big(]0,1].dp_x(A)\big)
                           ={\rm Vol}\,\big(\Phi_x(]0,1]\times A)\big)\cr
   &=\int_{]0,1]\times A}(\Phi_x)^\star(dy_1'\wedge\ldots\wedge dy_n')\ .\cr}$$
En utilisant la formule (8.8) on voit aussit\^ot que
   $$(\Phi_x)^\star(dy_1'\wedge\ldots\wedge dy_n')={t^{n-1}\over(n-1)!}\,dt
                             \wedge d\nu_x(\xi)\ ,$$
donc
   $$\theta(A_x^\star)=\int_0^1{t^{n-1}\over(n-1)!}\,dt\ .\ \int_Ad\nu_x(\xi)
                 ={1\over n!}\,\nu_x(A)\ .$$
\smallskip

\noindent
$\bullet$ {\bf Deuxi\`eme \'etape :} {\sl on suppose $\partial K$ de classe 
                                $C^{1+lip}\ .$}

   Dans ce cas, la diff\'erentielle $dp_x$ est lipschitzienne, donc
presque partout diff\'e\-ren\-tiable relativement \`a la mesure d'aire
euclidienne $\alpha$ sur $\partial K\ ;$ la formule (8.8) est encore
valable, $d\nu_x(\xi)$ \'etant ici une forme volume \`a densit\'e
$L^\infty$ par rapport \`a $\alpha\ .$

   Soit $\xi$ un point o\`u $dp_x$ est diff\'erentiable; supposons qu'il existe
un segment $[\xi_1,\xi_2]\subset\partial K$ contenant $\xi$ et non r\'eduit \`a
un point. Alors la matrice $\big(\partial^2p_x/\partial\xi_j\partial\xi_k\big)$
a dans son noyau les deux directions $\xi_2-\xi_1$ et $\xi-x\ ,$ ce qui 
entra\^{\i}ne $d\nu_x(\xi)=0\ .$ En particulier, on a $d\nu_x(\xi)=0$
\ \ $\alpha$--presque partout sur $\partial K\setminus E(K)\ ,$ d'o\`u
$\nu_x\big(\partial K\setminus E(K)\big)=0\ .$

   Notons maintenant $\wh A$ la r\'eunion de $A$ et des segments 
$[\xi_1,\xi_2]\subset\partial K$ tels que $\xi_1\in A\ .$ Il est trivial de
v\'erifier que $\wh{\wh A}={\wh A}$ 
d\`es que $\partial K$ est de classe 
$C^1\ ,$ et que $\wh A$ est une partie compacte de $\partial K$ si $A$ est 
elle-m\^eme compacte; de plus, d'apr\`es ce qui pr\'ec\`ede, on a 
$\nu_x({\wh A}\setminus A)=0\ .$ Par ailleurs, $\partial K$ a m\^eme
hyperplan tangent en tout point de chaque segment $[\xi_1,\xi_2]\subset
\partial K\ ,$ donc $\big({\wh A}\,\big)_x^\star=A_x^\star\ .$ 
Pour v\'erifier (8.11)~, on peut donc supposer sans perte de
g\'en\'eralit\'e que ${\wh A}=A\ .$

  L'id\'ee suivante est d'approximer $K$ par des compacts strictement convexes.
Pour tout $\varepsilon>0\ ,$ il existe un compact $L_\varepsilon$ strictement 
convexe de classe $C^\infty$ tel que
$$(1-\varepsilon).(K-x)\subset L_\varepsilon-x\subset K-x\ ;$$
par dualit\'e on en d\'eduit
$$K_x^\star\subset(L_\varepsilon)_x^\star
\subset(1-\varepsilon)^{-1}\,K_x^\star\ .\leqno(8.12)$$
Consid\'erons le compact $B_\varepsilon'=\big([0,(1-\varepsilon)^{-1}].
A_x^\star\big)\cap\partial(L_\varepsilon)_x^\star\ ,$ image de $A_x^\star$
par projection
radiale sur $\partial(L_\varepsilon)_x^\star\ ,$ et le compact $B_\varepsilon
\subset\partial L_\varepsilon\ ,$ image r\'eciproque de $B_\varepsilon'$
par la transformation par polaires. D\'esignons par $\nu_x^\varepsilon$ et 
$\theta^\varepsilon$ les mesures associ\'ees \`a $L_\varepsilon$,
analogues \`a $\nu_x$ et $\theta\ $. On sait que $\nu_x^\varepsilon$ converge
faiblement vers $\nu_x$ et que $\nu_x^\varepsilon(B_\varepsilon)=n!\,
\theta^\varepsilon(B_\varepsilon')$ gr\^ace \`a la premi\`ere \'etape. La 
double inclusion (8.12) implique
   $$\theta(A_x^\star)\le\theta^\varepsilon(B_\varepsilon')\le
                    (1-\varepsilon)^{-n}\theta(A_x^\star)\ ,$$
donc $\ \lim\theta^\varepsilon(B_\varepsilon')=\theta(A_x^\star)\ .$ 
En particulier, on voit que
  $$\theta(\partial K_x^\star)=\lim\theta^\varepsilon
\big(\partial(L_\varepsilon)_x^\star
     \big)=\lim{1\over n!}\,\nu_x^\varepsilon(\partial L_\varepsilon)
          ={1\over n!}\,\nu_x(\partial K)\ .$$

On va montrer maintenant que $\
\limsup\nu_x^\varepsilon(B_\varepsilon)\le \nu_x(A)\ .$ Soient en
effet $U\supset\!\supset V\supset\!\supset A$ deux voisinages ouverts
arbitraires de $A$ dans $\rn $ et $h\in C^0\big(\rn ,[0,1]\big)$ une
fonction \`a support compact dans $U\ ,$ \'egale \`a $1$ sur $V\ .$
Pour $\varepsilon$ assez petit, on a $B_\varepsilon\subset V\ ;$
sinon, il existerait une suite $\varepsilon_k>0$ tendant vers $0$ et
une suite de points $\xi_k\in B_{\varepsilon_k}\setminus V$
convergeant vers un point $\xi_\infty\in\partial K\setminus V\ ;$
comme $(\xi_k)_x^\star\in B_{\varepsilon_k}'$ et comme $A_x^\star$ est
ferm\'e, la suite $(\xi_k)_x^\star$ aurait un point limite $y'\in
A_x^\star$ qui serait un hyperplan d'appui de $K$ au point
$\xi_\infty\ ;$ mais par ailleurs $y'\in A_x^\star$ serait l'hyperplan
tangent en un point $\xi\in A\ ,$ d'o\`u $[\xi,\xi_\infty]\subset
\partial K$ et $\xi_\infty\in{\wh A}=A\ ,$ ce qui est contradictoire. Pour 
$\varepsilon$ assez petit il vient donc
   $$\nu_x^\varepsilon(B_\varepsilon)\le\nu_x^\varepsilon(V)\le
                                        \nu_x^\varepsilon(h)\ ,$$
et puisque $\ \lim\nu_x^\varepsilon(h)=\nu_x(h)$ on obtient
   $$\limsup\nu_x^\varepsilon(B_\varepsilon)\le\inf_h\,\nu_x(h)=\nu_x(A)\ .$$
On en d\'eduit donc
   $$\nu_x(A)\ge\limsup\nu_x^\varepsilon(B_\varepsilon)
           =n!\,\limsup\theta^\varepsilon(B_\varepsilon')
   =n!\,\theta(A_x^\star)\ ;$$
d'apr\`es les r\'eductions pr\'eliminaires que nous avons faites, il vient
   $$\nu_x(A)\ge n!\,\theta(A_x^\star)$$
pour {\it toute} partie compacte $A\subset\partial K\ .$ L'ouvert $\partial K
\setminus A$ est d'autre part r\'eunion d'une suite croissante de parties 
compactes $S_k\ ,$ par cons\'equent
   $$\nu_x(\partial K\setminus A)=\lim\nu_x(S_k)\ge 
         n!\,\lim\theta\big((S_k)_x^\star\big)=
         n!\,\theta\big((\partial K\setminus A)_x^\star\big)\ .$$
Comme $(\partial K_x^\star)\setminus(\partial K\setminus A)_x^\star
\subset A_x^\star$ il vient finalement
   $$\eqalign{\nu_x(A)&=\nu_x(\partial K)-\nu_x(\partial K\setminus A)\cr
    &\le n!\,\big(\theta(\partial K_x^\star)
    -\theta((\partial K\setminus A)_x^\star)\big)
     \le n!\,\theta(A_x^\star)\ .}$$
\smallskip

\noindent
$\bullet$ {\bf Troisi\`eme \'etape :} {\sl $K$ quelconque.}

   On pose alors :
   $$K_\varepsilon=K+{\overline B}(0,\varepsilon)
                  =\big\{\xi\in\rn \ ;\ d(\xi,K)\le\varepsilon\big\}\ ,$$
o\`u ${\overline B}(0,\varepsilon)$ et $d$ sont respectivement la boule et la
distance euclidienne de $\rn \ .$ Soit $r>0$ tel que ${\overline B}(x,r)
\subset K\ .$ On a les inclusions
   $$\left\lbrace\eqalign{
     &K\subset K_\varepsilon\subset K+{\varepsilon\over r}K
              =\Big(1+{\varepsilon\over r}\Big)K\cr
     &\Big(1+{\varepsilon\over r}\Big)^{-1} K_x^\star
     \subset (K_\varepsilon)_x^\star
               \subset K_x^\star\ .\cr}\right.\leqno(8.13)$$
A toute partie compacte $A\subset\partial K\ ,$ on associe d'autre part
   $$A_\varepsilon=\{\xi\in\partial K_\varepsilon\ ;\ d(\xi,A)=\varepsilon\}
            \subset\partial K_\varepsilon\ .$$
Nous aurons besoin du lemme \'el\'ementaire suivant, dont la v\'erification
est laiss\'ee au lecteur.

\tha Lemme|On a les deux propri\'et\'es suivantes :\hfill\break
{\rm(8.14)}$\quad\partial K_\varepsilon$ est de classe 
           $C^{1+lip}\ ;$\hfill\break
{\rm(8.15)}$\quad(A_\varepsilon)_x^\star
           =\big([0,1].A_x^\star\big)\cap\partial(K_\varepsilon)_x^\star\ .$
\fintha

Gr\^ace \`a (8.13) et (8.15) on voit que
   $$\Big(1+{\varepsilon\over r}\Big)^{-n}\theta(A_x^\star)\le
      \theta^\varepsilon\big((A_\varepsilon)_x^\star\big)\le\theta(A_x^\star)$$
tandis que (8.14) implique $\nu_x^\varepsilon(A_\varepsilon)
=n!\,\theta^\varepsilon\big((A_\varepsilon)_x^\star\big)\ .$ Des arguments
identiques \`a ceux de la deuxi\`eme \'etape permettent d'obtenir 
successivement
$$n!\,\theta(A_x^\star)=
n!\,\lim\theta^\varepsilon\big((A_\varepsilon)_x^\star\big)
                     =\lim\nu_x^\varepsilon(A_\varepsilon)\le\nu_x(A)\ ,$$
puis l'in\'egalit\'e oppos\'ee $\nu_x(A)\le n!\,\theta(A_x^\star)\ ,$
gr\^ace \`a une exhaustion $\bigcup\,S_k$ du compl\'e\-men\-taire de $A$
dans $\partial K\ .$
\medskip

\noindent
$\bullet$ {\bf Quatri\`eme \'etape :} {\sl pour $K$ quelconque,
                                $\nu_x\big(\partial K\setminus
                                E(K)\big)=0\ .$}

   Par d\'efinition de $E(K)\ ,$ on a
   $$\partial K\setminus E(K)=\bigcup A_k$$
o\`u $A_k$ est la suite croissante de parties de $\partial K$ d\'efinie par
   $$A_k=\Big\{\xi\in\partial K\ ;\ \exists u\in\rn ,
      \Vert u\Vert=1\ {\rm et}\ \big[\xi-{1\over k}u,\xi+{1\over k}u\big]
      \subset\partial K\Big\}\ .$$
Pour $l>k\ ,$ on pose
   $$A_{k,l}=\bigcup\ \Big[\xi-\Big({1\over k}-{1\over l}\Big)u,
                           \xi+\Big({1\over k}-{1\over l}\Big)u\Big]$$
o\`u la r\'eunion est \'etendue aux couples $(\xi,u)\in\partial K\times
\rn $ tels que 
$$\Vert u\Vert=1\quad\hbox{et}\quad [\xi-u/k,\xi+u/k]\subset\partial K\ .$$
On pose enfin
   $$B_{k,l}=\Big\{\xi\in A_{k,l}\ ;\ d(\xi,A_k)\ge{1\over l}\Big\}
                                                     \subset A_{k,l}\ .$$
Il est imm\'ediat de v\'erifier que $A_k\ ,\ A_{k,l}$ et $B_{k,l}$ sont des
parties compactes de $\partial K\ ,$ que les suites $(A_{k,l})\ ,$ 
$(B_{k,l})$ sont croissantes avec $l\ ,$  et que $A_k\subset A_{k,l}\ ,$
$A_k\cap B_{k,l}=\emptyset\ .$ Comme tout hyperplan d'appui en un point de 
chaque segment 
$$[\xi-(1/k-1/l)u,\xi+(1/k-1/l)u]\subset A_{k,l}$$ 
est aussi un
hyperplan d'appui au point $\xi\in A_k\ ,$ on voit que $(A_{k,l})_x^\star
=(A_k)_x^\star\ ,$ donc $(A_k\cup B_{k,l})_x^\star=(A_k)_x^\star\ .$ 
Gr\^ace \`a la 
troisi\`eme \'etape, il vient $\nu_x(A_x\cup B_{k,l})=\nu_x(A_x)\ ,$ d'o\`u
   $$\nu_x(B_{k,l})=0=\theta\big((B_{k,l})_x^\star\big)\ .$$

   Soit maintenant $H$ un hyperplan d'appui en un point $\xi\in A_k\ .$ Alors
$H\cap\partial K=H\cap K$ est une partie compacte convexe, et il existe
$u\in\rn $ tel que $\Vert u\Vert=1$ et $[\xi-u/k,\xi+u/k]\subset H\cap
\partial K\ .$ Soient $\xi_1\,,\,\xi_2\in H\cap\partial K$ tels que
   $$\Vert\xi_2-\xi_1\Vert={\rm diam}\,(H\cap\partial K)\ge{2\over k}\ ,$$
et soient
   $$u_0={\xi_2-\xi_1\over\Vert\xi_2-\xi_1\Vert}\quad,\quad 
                                     \xi_0=\xi_1+{1\over k}u_0\ .$$
Il est imm\'ediat que
   $$\Big[\xi_0-{1\over k}u_0,\xi_0+{1\over k}u_0\Big]\subset[\xi_1,\xi_2]
                                                \subset H\cap\partial K\ ,$$
donc $\xi_0\in A_k\ .$ Posons $\xi_\varepsilon=\xi_1+\varepsilon u_0=
\xi_0-(1/k-\varepsilon)u_0\ .$ Tout intervalle $[\xi_\varepsilon-a,
\xi_\varepsilon+a]\subset\partial K$ est en fait contenu dans
$H\cap\partial K\subset B(\xi_2,\Vert\xi_2-\xi_1\Vert)\ ,$ d'o\`u, par un
argument de g\'eom\'etrie \'el\'ementaire~:
   $$\Vert a\Vert\le\sqrt{\varepsilon(\Vert\xi_2-\xi_1\Vert-\varepsilon)}
                 \le\sqrt\varepsilon\,.\,\sqrt{\Vert\xi_2-\xi_1\Vert}\ .$$
Si l'on choisit $\varepsilon<k^{-2}\Vert\xi_2-\xi_1\Vert^{-1}$ il en r\'esulte
que $\xi_\varepsilon\notin A_k\ ,$ donc $\xi_\varepsilon\in B_{k,l}$ pour $l$ 
assez grand. Comme $H$ est aussi un hyperplan d'appui au point 
$\xi_\varepsilon\ ,$ on en d\'eduit
   $$(A_k)_x^\star\subset\bigcup_{l>k}(B_{k,l})_x^\star\ ,$$
   $$\theta\big((A_k)_x^\star\big)\le
     \lim_{l\to+\infty}\theta\big((B_{k,l})_x^\star\big)=0\ ;$$
par cons\'equent $\nu_x(A_k)=0$ et
   $$\nu_x\big(\partial K\setminus E(K)\big)=0
               =\theta\big((\partial K\setminus E(K))_x^\star\big)\ .$$
\smallskip

\noindent
$\bullet$ {\bf Cinqui\`eme \'etape :} {\sl montrons pour terminer que la 
    formule {\rm(8.11)} est vraie quelle que soit la partie bor\'elienne 
    $A\subset\partial K\ .$}

   Pour cela, il suffit de v\'erifier que la fonction d'ensembles
$A\mapsto\theta(A_x^\star)$ est d\'enom\-bra\-blement additive sur
les bor\'eliens.
Or, pour toute suite $A_k$ croissante, on a
   $$\theta\Big(\big(\bigcup A_k\big)_x^\star\Big)
          =\theta\Big(\bigcup(A_k)_x^\star\Big)
          =\lim\theta\big((A_k)_x^\star\big)\ ;$$
il suffit donc de v\'erifier l'additivit\'e finie. Si $A\cap B=\emptyset\ ,$
tout \'el\'ement de $A_x^\star\cap B_x^\star$ correspond \`a un 
hyperplan d'appui en des
points distincts $\xi_1\in A\ ,$\ $\xi_2\in B\ ;$ cet hyperplan passe aussi
par le point milieu $(\xi_1+\xi_2)/2\in\partial K\setminus E(K)\ ,$ par
cons\'equent
 $$A_x^\star\cap B_x^\star
   \subset\big(\partial K\setminus E(K)\big)_x^\star\ .$$
On a donc $\theta(A_x^\star\cap B_x^\star)=0\ ,$ ce qui implique
   $$\theta\big((A\cup B)_x^\star\big)=\theta(A_x^\star\cup B_x^\star)
                                 =\theta(A_x^\star)+\theta(B_x^\star)\ .$$
La d\'emonstration du th\'eor\`eme 8.10 est achev\'ee.\finpr

   Pour terminer, nous allons expliciter les mesures $\nu_x$ et $m_x$ dans le
cas de la boule euclidienne de $\rn \ .$
\par\noindent

\remarque Exemple 8.16|
   $\quad K=\bB_n=\big\{\xi\in\rn \ ;\ \Vert\xi\Vert\le1\big\}\ .$

   Dans ce cas, la fonction jauge $p_x(\xi)$ est la solution positive
$\lambda\in\bR$ de
l'\'equation $\Vert x+(\xi-x)/\lambda\Vert^2=1\ ,$ ce qui donne
   $$p_x(\xi)={\langle x,\xi-x\rangle+\sqrt{\langle x,\xi-x\rangle^2+
          (1-\Vert x\Vert^2)\Vert\xi-x\Vert^2}\over1-\Vert x\Vert^2}\ .$$
Apr\`es quelques transformations ais\'ees, on obtient
   $$p_x(\xi)-1={1-\langle x,\xi\rangle\over1-\Vert x\Vert^2}\ 
      \Bigg[-1+\sqrt{1-{(1-\Vert x\Vert^2)(1-\Vert\xi\Vert^2)\over
                                     (1-\langle x,\xi\rangle)^2}}\ \Bigg]\ .$$
Quand $\xi$ tend vers $\partial\bB_n\ ,$ il en r\'esulte
   $$p_x(\xi)-1\sim {1\over1-\langle x,\xi\rangle}\cdot
        {\Vert\xi\Vert^2-1\over2}\sim{1\over1-\langle x,\xi\rangle}
        \big(p_0(\xi)-1\big)\ .$$
Le th\'eor\`eme de comparaison 3.8 entra\^{\i}ne par cons\'equent
   $$d\nu_x(\xi)={1\over(1-\langle x,\xi\rangle)^n}\,d\nu_0(\xi)\quad,\quad
                                                  \xi\in\partial\bB_n\ .$$
D'apr\`es le th\'eor\`eme 8.10, la masse totale de $\nu_x$ vaut
$n!\,{\rm Vol}\,\big((\bB_n)_x^\star\big)\ .$ La transformation par polaires
de centre $x$ s'\'ecrit ici
   $$\xi\longmapsto dp_x(\xi)
                ={\langle\xi,d\xi\rangle\over1-\langle x,\xi\rangle}\ ,$$
c'est-\`a-dire $\xi\mapsto\xi/(1-\langle x,\xi\rangle)$ modulo l'identification
$(\rn)^\star\simeq\rn \ .$ On v\'erifie alors que $(\bB_n)_x^\star$ 
est l'ellipso\"{\i}de de centre $x/(1-\Vert x\Vert^2)$, de demi-grand axe
$(1-\Vert x\Vert^2)^{-1}$ dans la direction $\bR.x$ et de demi-petit axe
$(1-\Vert x\Vert^2)^{-1/2}$ dans les $n-1$ directions orthogonales \`a 
$x\ .$ Par suite
   $$\nu_x(\partial\bB_n)=n!\,(1-\Vert x\Vert^2)^{-(n+1)/2}\,{\rm Vol}\,
                                                           (\bB_n)\ .$$
Comme $\nu_0$ est invariante par rotation, on voit que
$\nu_0=(n-1)!\,\alpha\ ,$ o\`u $\alpha$ d\'esigne la mesure d'aire euclidienne
sur la sph\`ere. On obtient donc finalement les formules
   $$d\nu_x(\xi)={(n-1)!\,d\alpha(\xi)\over(1-\langle x,\xi\rangle)^n}\ ,$$
   $$dm_x(\xi)={1\over\alpha(\partial\bB_n)}\cdot
               {(1-\Vert x\Vert^2)^{(n+1)/2}\over(1-\langle x,\xi\rangle)^n}\,
               d\alpha(\xi)\ .$$
On observera que $dm_x(\xi)$ diff\`ere du noyau de Poisson euclidien de la 
boule pour tout $n>1\ ,$ bien que le noyau de Poisson r\'esolve \'egalement
le probl\`eme de la repr\'esentation barycentrique d'un point 
$x\in \ko$ en fonction des points de $\partial K$ (ceci parce que les 
fonctions coordonn\'ees de $\rn $ sont harmoniques)~.Ce ph\'enom\`ene
n'est pas surprenant, puisque le noyau de Poisson euclidien n'est pas port\'e
par $E(K)$ en g\'en\'eral.\vfill\eject 

\titre Bibliographie|
\vskip20pt
\eightpoint
\lettre 20| 
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     complex Monge-Amp\`ere equation|Invent.\ Math.|37|1976|1--44|
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     plurisubharmonic functions|Acta Math.|149|1982|1--41|
\divers 3|G.\ Choquet|Existence et unicit\'e des repr\'esentations 
     int\'egrales au moyen des points extr\^e\-maux dans les c\^ones 
     convexes|S\'em.\ Bourbaki, expos\'e n\kern-2pt{\rm\char'27}139, 
     15 p.\ (D\'ec.\ {\oldstyle 1956})|
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\article 6|J.E.\ Fornaess|Embedding strictly pseudoconvex domains in convex 
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     {\oldstyle 1986}|
\end


% Dessin mesur.ds1    % translate  30.000  184.000

%%% < 1 Largeur= 150.000 Hauteur=  90.000 
%%% ~   0.000 150.000   0.000  90.000 
0.8 dup scale 
1 mm unit  /nbpt 10 def 
  0.000   0.000 translate 
%%% D 
 45.000  45.000 moveto 
%%% C 
 45.000  45.000 0 360 ellipse 
stroke 
%% / C 
%%% D 
130.000  45.000 moveto 
%%% C 
 20.000  20.000 0 360 ellipse 
stroke 
%% / C 
%%% D 
 90.000  45.000 moveto 
%%% I 
  1.300   0.000 indent 
%%% B 5 F 
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