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\parindent=0.5cm

\def\than{\tha\noindent}
\def\rem#1|{\remarque\noindent{\petcap#1}|}
\def\preuve{\noindent{\sl{Preuve.}\ }}
\def\dbar{{\overline\partial}}

\def\cO{{\cal O}}
\def\bC{{\Bbb C}}
\def\bP{{\Bbb P}}
\def\bR{{\Bbb R}}
\def\bZ{{\Bbb Z}}


\centerline {\bftwelve In\'egalit\'es de Morse holomorphes et}
\centerline {\bftwelve Grand Th\'eor\`eme de Matsusaka (d'apr\`es Y.T.~Siu)}
\vskip7pt
\centerline {\it Jean-Pierre Demailly, Institut Fourier, Grenoble}
\vskip1cm

Dans tout cet expos\'e, $X$ d\'esignera une vari\'et\'e alg\'ebrique
projective non-singuli\`ere, $n=\dim_\bC X$, et $L$ d\'esignera
un fibr\'e en droites alg\'ebrique sur $X$ (ou ce qui revient au
m\^eme, holomorphe sur $X$, d'apr\`es le th\'eor\`eme GAGA de Serre).

On utilisera une notation additive pour le groupe de Picard ${\rm
Pic}(X)$ (groupe des classes d'isomorphisme de fibr\'es holomorphes de
rang~$1$): on notera donc $-L$ le fibr\'e dual $L^\star$ et $L+L'$ le
produit tensoriel $L\otimes L'$ de deux fibr\'es en droites.

Rappelons que si $D=\sum\lambda_jD_j$ est un diviseur sur $X$, i.e. une
combinaison lin\'eaire formelle o\`u les $D_j\subset X$ sont des
hypersurfaces alg\'ebriques et les $\lambda_j$ des coefficients
entiers, on peut associer \`a $D$ le faisceau $\cO(D)$ des germes
de fonctions m\'eromorphes de la forme $f=h/g$ o\`u $h$ est holomorphe
et o\`u $g$ a pr\'ecis\'ement $D$ pour diviseur de z\'eros et de
p\^oles. On a de fa\c con \'evidente $\cO(D+D')= {\cal
O}(D)\otimes\cO(D')$ et $\cO(D)$ s'identifie au faisceau des
sections holomorphes d'un fibr\'e en droites (ce fibr\'e sera encore not\'e
$\cO(D)$).

Rappelons enfin que l'on note $\cO(-1)$ le fibr\'e
en droites tautologique au dessus de l'espace projectif complexe ${\Bbb
P}^N$, et $\cO(1)$ son dual.

Soit $L\in{\rm Pic}(X)$. Si $\sigma_0$, $\sigma_1,\ldots,\sigma_N$ est une
base de $H^0(X,L)$, on a une application rationnelle canonique
$$\eqalign{
\Phi_L:X&----\to\bP^N\cr
x&\longmapsto \big(\sigma_0(x):\sigma_1(x):\cdots:\sigma_N(x)\big)\cr}$$
qui est bien d\'efinie et holomorphe sur le compl\'ementaire
$X\ssm Z_L$ de ``l'ensemble des points-base", \`a savoir l'ensemble
$$Z_L=\{x\in X;\sigma_0(x)=\sigma_1(x)=\cdots=\sigma_N(x)=0\}~.$$
A tout \'el\'ement $v\in L^\star_x$, on peut associer le point
$$\big(v^\star\sigma_0(x),v^\star\sigma_1(x),\ldots,v^\star\sigma_N(x)\big)
\in\bC^{N+1},$$
appartenant \`a la droite $\bC\cdot\Phi_L(x)$,
i.e. \`a la fibre de $\cO(-1)$ au point $\Phi_L(x)$. Ceci montre
que $L^\star$ (resp. $L$) s'identifie \`a $\Phi_L^\star\cO(-1)$
(resp. $\Phi_L^\star\cO(1)$) au dessus de $X\ssm Z_L$.
On a donc un diagramme commutatif
$$\eqalign{
L\quad&\longrightarrow~\cO(1)\cr
\Big\downarrow\quad&\phantom{\longrightarrow}\quad\;\Big\downarrow\cr
X\ssm Z_L&\longrightarrow~~\bP^N\cr}$$

\than D\'efinition 1|On dit que $L$ est {\it tr\`es ample} si $\Phi_L$ est
partout d\'efinie sur $X$ (i.e. $Z_L=\emptyset$) et induit un plongement
$\Phi_L:X\hookrightarrow\bP^N$, de sorte que
$L\simeq\Phi^\star_L\cO(1)$.\fintha

\than D\'efinition 2|On dit que $L$ est {\it ample} si $mL$ est tr\`es
ample pour $m>0$ suffisamment grand, de sorte que:
$$\Phi_{mL}:X\hookrightarrow\bP^N,\qquad
mL=(\Phi_{mL})^\star \cO(1)=\cO(1)_{|X}.$$\fintha

Le th\'eor\`eme de plongement de Kodaira (1954) nous dit que si $X$ est une
vari\'et\'e complexe compacte poss\'edant un fibr\'e en droite holomorphe
$L$ \'equip\'e d'une m\'etrique hermitienne $C^\infty$ de {\it courbure
d\'efinie positive}, alors $X$ est alg\'ebrique projective et $L$ est
ample sur $X$. La r\'eciproque est trivialement vraie, car on v\'erifie
facilement que la m\'etrique canonique du fibr\'e $\cO(1)$ est \`a courbure
positive.

Rappelons que si $L_{|U}\simeq U\times \bC$ est une trivialisation
holomorphe dans laquelle la m\'etrique hermitienne de $L$ est donn\'ee
par un {\it poids}~$\varphi$, i.e.
$$\forall x\in U,~~\forall\xi\in L_x\simeq\bC,\qquad
\|\xi\|^2=|\xi|^2 e^{-\varphi (x)},$$
alors la forme de courbure de $L$ est la forme $d$-ferm\'ee de type $(1,1)$
$$\Theta (L)={i\over 2\pi }\partial \dbar \varphi ={i\over 2\pi}
\sum {\partial^2\varphi \over \partial z_j \partial\overline z_k}dz_j\wedge
d\overline z_k.$$
En cons\'equence $\Theta (L)\geq 0$ si et seulement si $\varphi$ est
{\it plurisousharmonique}.

\rem R\'ecapitulation|
$$\eqalign{
L &\hbox{~ample~}{\buildrel{\rm Def}\over{\Longleftrightarrow}}\Phi_{mL}:
X\hookrightarrow\bP^N \hbox{~pour~}m\gg 0\cr
&\Updownarrow\cr  
\exists &\hbox{~une m\'etrique hermitienne sur~} L \hbox{~avec~} \Theta (L)>0\cr
&\Updownarrow\cr
\exists & \hbox{~une collection de poids~} \varphi\hbox{
{\it strictement\/} plurisousharmoniques}\cr
&~\hbox{d\'efinissant une m\'etrique sur~}L.\cr
}$$ 

\rem Notations|
$$\eqalign{
c_1(L)&=\hbox{~(premi\`ere) classe de Chern de~} L\cr
&=\hbox{~classe de cohomologie de~} \Theta (L) \hbox{~dans~} H^2_{DR}(X,\bR).
\cr}$$
Si $L_1,\cdots , L_p$ sont des fibr\'es en droite holomorphes sur $X$ et si $Y$
est une sous-vari\'et\'e alg\'ebrique de dimension $p$ de $X$, on notera
suivant l'usage
$$L_1\cdot L_2\cdot\ \cdots\ \cdot L_p\cdot Y=\int_Y c_1(L_1)\wedge\cdots\wedge
c_1(L_p)$$
et on \'ecrira ce nombre d'intersection simplement $L_1\cdot L_2
\cdot\ \cdots\ \cdot L_n$ si $Y=X$. En particulier, on pose
$$L^n=\int_X c_1(L)^n~.$$

\rem Question fondamentale|\'Etant donn\'e un fibr\'e ample $L$ sur $X$,
peut-on calculer explicitement un entier $m_0$ tel que $mL$ soit
tr\`es ample pour $m\geq m_0$~?

Si on peut expliciter un tel entier $m_0$, alors on a pour $m\geq m_0$
un plongement
$$\Phi_{mL}:X\hookrightarrow\bP^N$$
et le degr\'e de $X$ dans $\bP^N$ est
$$\deg(X)=\int_X c_1\big(\cO(1)\big)^n=\int_X c_1(mL)^n=m^n L^n.$$

\rem Cons\'equence|Connaissant $m_0$ et le nombre d'intersection
$L^n$, on obtient une borne explicite sur $\deg(X)$.

\rem Groupes de $\dbar$-cohomologie \`a valeurs dans un fibr\'e vectoriel
holo\-morphe|Si $F$ est un fibr\'e vectoriel holomorphe de rang $r$ au dessus
d'une vari\'et\'e analytique complexe $M$ quelconque, on consid\`ere pour
chaque entier $p$ le complexe $(K^{p,\bullet},\dbar)$ des $(p,q)$-formes
diff\'erentielles de classe $C^\infty$ \`a valeurs dans le fibr\'e
vectoriel~$F$ (la graduation \'etant fournie par l'entier $q$).
Le groupe de cohomologie de degr\'e $q$ de ce complexe est appel\'e
groupe de cohomologie de Dolbeault de type $(p,q)$ \`a valeurs dans
$F$, not\'e $H^{p,q}(M,F)$. On a de mani\`ere \'evidente des
isomorphismes
$$K^{p,q}\simeq\Omega_M^p\otimes K^{0,q},\qquad
H^{p,q}(M,F)\simeq H^{0,q}(M,\Omega_M^p\otimes F)$$
o\`u $\Omega_M^p=\Lambda^p T^\star_M$, et l'isomorphisme dit ``de Dolbeault''
identifie ces groupes de $\dbar$-cohomologie \`a la cohomologie du
faisceau des germes de sections holomorphes (ou alg\'ebriques) de
$\Omega_M^p\otimes F$, not\'ee $H^q(M,\Omega_M^p\otimes F)$.

\rem Rappel: notion de polyn\^ome de Hilbert|\kern-2pt D'apr\`es la formule
de Riemann-Roch, la caract\'eristique d'Euler-Poincar\'e
$$\eqalign{
\chi(X,kL)&=\sum_{0\leq j\leq n}(-1)^j \dim H^j(X,kL)\cr
&={1\over n!}(a_n k^n+a_{n-1}k^{n-1}+\cdots+a_0)\cr}$$
est un polyn\^ome de degr\'e $n$ en~$k$. Les coefficients
$a_0,a_1,\cdots a_n$ d\'ependent seulement de $c_1(L)$ et des classes
de Chern $c_j(X)$, en particulier
$$a_n=L^n,\quad a_{n-1}=-{1\over 2} K_X\cdot L^{n-1},$$
o\`u $K_X=\Omega_X^n=\Lambda^n T_X^\star$ est le ``fibr\'e canonique''
de la vari\'et\'e.

\than Le grand th\'eor\`eme de Matsusaka {\rm(Matsusaka, Amer.\ J.\ Math.~1970
et 1972, puis article avec Koll\'ar en 1983)}|\hfil\break
Consid\'erons l'ensemble des paires $(X,L)$ de vari\'et\'es projectives
non-singuli\`eres, polaris\'ees par un fibr\'e en droites {\it ample} $L$.
Alors il existe une fonction
$$m_0(n,a_n,a_{n-1})=\mu_0(n,L^n,K_X\cdot L^{n-1})$$
telle que les paires $(X,L)$ pour lesquelles $(a_n,a_{n-1})$ sont les deux
premiers coefficients du polyn\^ome de Hilbert de $L$ soient toutes
plongeables dans un espace projectif $\bP^N$ via $\Phi_{m_0L}$, o\`u
$m_0=m_0(n,a_n,a_{n-1})$. L'ensemble de ces paires peut alors \^etre
d\'ecrit comme une union finie de sous-vari\'et\'es quasi-projectives
irr\'eductibles du sch\'ema de Hilbert des sous-vari\'et\'es de dimension $n$
de $\bP^N$ de degr\'e $m^n_0a_n$.\fintha

\rem Question subsidiaire|La fonction $m_0(n,a_n,a_{n-1})$ est-elle
effectivement calculable~?

\rem Observations|\hfil\break
\indent 1) $m_0$ ne peut pas d\'ependre seulement de $n$.
$$X=\hbox{~courbe de genre~} g,\qquad p\in X,\quad L=\cO([p])~
\hbox{de degr\'e $1$}.$$
Dans ce cas il est classique que $h^0(X,mL)=1$ pour $m<g$, si
$p$ est un point g\'en\'erique. En cons\'equence $m_0\geq g$.

2) $m_0$ ne peut pas d\'ependre seulement de $n$ et de $L^n$.
M\^eme exemple~!

3) Des valeurs ``universelles'' de $m_0$, i.e. ne d\'ependant que de $n$,
peuvent \^etre obtenues si $mL$ est remplac\'e par un fibr\'e en droites
``adjoint'', c'est-\`a-dire un fibr\'e de la forme $K_X+mL$. En petites
dimensions, on conna\^{\i}t les r\'esultats suivants:

$n=1:\quad L$ ample ${}\Rightarrow K_X+3L$ tr\`es ample (facile)

$n=2:\quad L$ ample ${}\Rightarrow K_X+4L$ tr\`es ample (I.~Reider 1987).

\rem Conjecture de Fujita {\rm(1986)}|
$$\forall n,\quad L\hbox{~ample~}\Rightarrow K_X+(n+2)L\hbox{~~tr\`es ample}.$$

En dehors de quelques r\'esultats partiels dus \`a Ein et Lazarsfeld et qui
sont quasi optimaux en dimension 3, le meilleur r\'esultat g\'en\'eral
actuellement connu en dimension $n\geq 3$ semble \^etre le suivant:

\than Th\'eor\`eme {\rm (J.P.~Demailly, Journal Diff.\ J.~1993)}|
$$\forall n,\quad L\hbox{~ample~}\Rightarrow 2K_X+12n^nL
\hbox{~~tr\`es ample}.$$\fintha

\preuve Elle est de nature analytique. Koll\'ar a propos\'e une
approche purement alg\'ebrique, mais les r\'esultats accessibles par
cette m\'ethode semblent pour l'instant moins fins. Les
principaux outils analytiques utilis\'es sont:\hfil\break
$\star$ les estimations $L^2$ de H\"ormander
pour l'op\'erateur $\dbar$ (1965)\hfil\break
$\star$ le th\'eor\`eme d'Aubin-Calabi-Yau (1977)\hfil\break
$\star$ la th\'eorie des courants positifs et des nombres
de Lelong.\hfil\break 
Nous allons essayer de pr\'eciser les principales id\'ees.

\rem Estimations $L^2$ de H\"ormander|Ces estimations, dont le point de
d\'epart est la formule de Bochner, ont \'et\'e d\'evelopp\'ees
successivement par Kodaira, Akizuki-Nakano, Andreotti-Vesentini et
H\"ormander. On peut \`a juste titre estimer que c'est un des outils
les plus puissants dont on dispose actuellement en g\'eom\'etrie
analytique ou alg\'ebrique (au moins pour la caract\'eristique $0$). 

Soit $X$ une vari\'et\'e alg\'ebrique projective (ou m\^eme seulement
k\"ahl\'erienne compl\`ete), \'equip\'ee d'une m\'etrique k\"ahl\'erienne
$\omega$. Soit $L$ un fibr\'e holomorphe en droites sur $X$ muni d'une
m\'etrique hermitienne de classe $C^\infty$ associ\'ee \`a la fonction
poids~$\varphi$. Soit enfin $dV=dV_\omega$ l'\'el\'ement de volume
k\"ahl\'erien et soit
$$\lambda_1(x)\ge\ldots\ge\lambda_n(x)$$
les valeurs propres de la forme de courbure $\Theta(L)$ par rapport \`a
$\omega$ en tout point $x\in X$. Alors pour toute forme $u$ de type $(p,q)$
et de classe $C^\infty$ \`a valeurs dans~$L$ et \`a support compacte, on a
l'in\'egalit\'e dite de Bochner-Kodaira-Nakano:
$$||\dbar u||^2_\varphi+||\dbar^\star u||^2_\varphi\ge
\int_X(\lambda_1+\cdots+\lambda_q-\lambda_{p+1}-\cdots-\lambda_n)|u|^2
e^{-\varphi}dV.$$
La d\'emonstration repose sur des calculs classiques de commutation
d'op\'erateurs en g\'eom\'etrie k\"ahl\'erienne.

Nous nous restreindrons d\'esormais au cas $(p,q)=(n,q)$. On obtient
dans ce cas l'in\'egalit\'e plus maniable
$$||\dbar u||^2_\varphi+||\dbar^\star u||^2_\varphi\ge
\int_X(\lambda_1+\cdots+\lambda_q)|u|^2
e^{-\varphi}dV.$$
Le membre de gauche est minor\'e par $C||u||_\varphi^2$ si la
forme de courbure $\Theta(L)$ est d\'efinie positive. Il
n'y a donc pas de formes harmoniques $u$ de type $(n,q)$ avec
$q>0$ (une forme $u$ est dite {\it harmonique} si
$\dbar u=\dbar^\star u=0$). Rappelons que pour tout fibr\'e vectoriel
hermitien $F$, la th\'eorie de Hodge donne un isomorphisme
$$H^q(X,F)\simeq\{\hbox{$(0,q)$-formes harmoniques \`a valeurs dans $F$}\}.$$
Comme une $(n,q)$-forme \`a valeurs dans $L$ s'identifie \`a une
$(0,q)$-forme \`a valeurs dans $K_X\otimes L$, cet isomorphisme implique le 

\than Th\'eor\`eme d'annulation de Kodaira {\rm(1954)}|
$$L~~\hbox{ample}~~\Rightarrow~~H^q(X,K_X+L)=0,~~~\forall q\geq 1.$$
\fintha

En fait, ce th\'eor\`eme d'annulation qualitatif s'accompagne
d'es\-tim\'ees $L^2$ tr\`es utiles, dues \`a H\"ormander et Andreotti-Vesentini.

\than Th\'eor\`eme|Soit $(X,\omega)$ une vari\'et\'e k\"ahl\'erienne
compacte et $L$ un fibr\'e en droites sur $X$ muni d'une m\'etrique
hermitienne associ\'ee \`a un poids $\varphi$, satisfaisant la condition
de courbure
$$\Theta(L)\ge\varepsilon\omega,\qquad\varepsilon>0,$$
$($on suppose seulement $\varphi\in L^1_{\rm loc}$, de sorte que
$\Theta(L)={i\over 2\pi}\partial\dbar\varphi$ est bien d\'efinie au sens
des distributions$)$. Alors pour toute forme $v$ de type $(n,q)$ \`a valeurs
dans $L$ telle que
$$\dbar v=0\quad\hbox{et}\quad\int_X|v|^2e^{-\varphi}dV<+\infty,$$
il existe une $(n,q-1)$-forme $u$ telle que
$$\dbar u=v~~~~{\sl et}~~~~
\int_X|u|^2e^{-\varphi}dV\le(q\varepsilon)^{-1}\int_X|v|^2e^{-\varphi}dV.$$
\fintha

\preuve Si la m\'etrique est lisse, l'in\'egalit\'e B-K-N implique
$$||\dbar u||^2_\varphi+||\dbar^\star u||^2_\varphi\ge q\varepsilon||u||^2$$
pour toute forme $u$ de classe $C^\infty$, et l'estimation souhait\'ee
r\'esulte alors facilement de la th\'eorie \'el\'ementaire des
op\'erateurs dans les espaces de Hilbert. Le cas $\varphi\in L^1_{\rm loc}$
s'en d\'eduit par des proc\'ed\'es de r\'egularisation standards pour les
fonctions plurisousharmoniques.\finpr

\than Corollaire {\rm(H\"ormander-Bombieri-Skoda)}|
Soit $L$ un fibr\'e en droites holomorphe \'equipp\'e d'une m\'etrique
hermitienne de courbure $\Theta(L)\geq\varepsilon\omega$, dont le poids
$\varphi$ pr\'esente en un point $x_0\in X$ une singularit\'e
logarithmique de coefficient $\gamma$, i.e.
$$\varphi(z)\leq\gamma\log|z-x_0|^2+O(1),$$
et telle que $e^{-\varphi}$ est localement sommable sur un voisinage
point\'e $V_{x_0}\ssm\{x_0\}$. Alors
\smallskip
\item{\rm(i)} Si $\gamma\geq n$, il existe une section holomorphe
$h\in H^0(X,K_X+L)$ telle que $h(x_0)\neq0$.
\smallskip
\item{\rm(ii)} Plus g\'en\'eralement, si $\gamma\geq n+s$ pour un entier
$s\geq0$, il existe une section holomorphe $h\in H^0(X,K_X+L)$ dont le
jet d'ordre $s$ $J^sh(x_0)$ est prescrit d'avance.
\smallskip
\fintha

\preuve Soit $\sigma$ une section holomorphe locale de $K_X\otimes L$ et
$P$ un polyn\^ome de degr\'e $s$ dans des coordonn\'ees locales
$(z_1,\ldots,z_n)$ au voisinage de $x_0$, tels que $P(z)\sigma(z)$ ait
le jet prescrit en~$x_0$. On choisit une fonction plateau $\psi$
\`a support dans la carte locale et \'egale \`a $1$ au voisinage
de $x_0$, et on r\'esout l'\'equation
$$\dbar u=v,\qquad\hbox{o\`u}\quad v=\dbar(\psi P\sigma)=
(\dbar\psi)P\sigma\quad\hbox{est de type $(n,1)$}.$$
Comme le support de $v$ ne contient pas $x_0$, la condition
d'int\'e\-gra\-bi\-lit\'e $\int_X|v|^2e^{-\varphi}dV\!$ $<+\infty$ est
trivialement satisfaite. La condition $\int_X|u|^2e^{-\varphi}dV<+\infty$
impose \`a $u$ de s'annuler \`a un ordre au moins $s+1$ en $x_0$, car
$$e^{-\varphi(z)}\geq c|z-x_0|^{-2(n+s)}\qquad\hbox{pr\`es de $x_0$.}$$
Il en r\'esulte que $h=\psi P\sigma-u$ est holomorphe sur $X$
et poss\`ede le m\^eme jet d'ordre $s$ que $P\sigma$ en $x_0$.\finpr

\rem Utilisation du th\'eor\`eme d'Aubin-Calabi-Yau|Gr\^ace au th\'eor\`eme
pr\'e\-c\'e\-dent, pour construire suffisamment de sections de $K_X+L$ et
obtenir que ce fibr\'e est tr\`es ample, il suffit de montrer
l'existence de m\'etriques dont le poids $\varphi$ poss\`ede des
p\^oles logarithmiques isol\'es. Pour cela l'id\'ee est la suivante:
on choisit a priori un poids $\varphi_0$ de classe $C^\infty$ donnant une
forme de courbure $\Theta(L)_0$ d\'efinie positive, puis on
remplace le poids par $\varphi=\varphi_0+\psi$, ce qui donne une
nouvelle forme de courbure
$$\Theta(L)=\Theta(L)_0+{i\over2\pi}\partial\dbar\psi.$$
On r\'esout alors l'\'equation de Monge-Amp\`ere complexe
$$\Big(\Theta(L)_0+{i\over2\pi}\partial\dbar\psi\Big)^n=f,$$
o\`u $f>0$ est une forme volume donn\'ee. D'apr\`es un cas particulier
important du th\'eor\`eme d'Aubin-Calabi-Yau, cela est possible pour
toute forme $f$ de classe $C^\infty$ telle que
$$\int_X f=\int_X\Theta(L)^n=L^n.$$
On fait converger $f$ vers la somme d'une forme volume de densit\'e uniforme
et d'une mesure de Dirac en un point donn\'e $x_0$.
L'observation principale, que nous ne d\'etaillerons pas ici, est que
la solution $\psi$ acquiert dans ces conditions la singularit\'e
logarithmique cherch\'ee au point $x_0$. (La th\'eorie des courants
est utilis\'ee principalement pour contr\^oler les singularit\'es de
$\psi$ aux points voisins de $x_0$, via des in\'egalit\'es
d'auto-intersection pour les courants. Pour cela on fait un usage
intensif de la th\'eorie des nombres de Lelong).
\vskip8pt

En combinant ces id\'ees avec les in\'egalit\'es de Morse holomorphes,
Y.T.~Siu (1993) a \'et\'e capable de prouver une version effective du
grand th\'eor\`eme de Matsusaka. Dans la seconde partie de cet expos\'e,
nous montrerons qu'il est possible d'am\'eliorer encore les bornes
obtenues par Siu pour obtenir dans certains cas des bornes
quasi-optimales. Voici les principales id\'ees mises en oeuvre.

\than In\'egalit\'es de Morse holomorphes {\rm (J.P.~Demailly, Ann.\ Inst.\
Fourier 1985)}|Soit $X$ une vari\'et\'e complexe compacte, $n=\dim_\bC X$,
et soit $E$ un fibr\'e en droites hermitien sur $X$ $($pas n\'ecessairement
semi-positif$)$. Alors $\forall q=0,1,\ldots,n$
$$\sum^q_{j=0}(-1)^{q-j}h^j(X,kE)\leq {k^n\over n!}\int_{X(L,\leq
q)}(-1)^q\Theta (E)^n+o(k^n)$$
o\`u
$$\eqalign{
X(L,q)&=\{x\in X\,;\,\Theta(E)_x\hbox{~a pour signature~}(n-q,q)\}\cr
X(L,\leq q)&=\bigcup_{0\leq j\leq q}X(L,j).\cr}$$
\fintha

Ce r\'esultat se d\'emontre au moyen de la th\'eorie spectrale
des Laplaciens complexes associ\'ees aux connexions de Chern des
fibr\'es holomorphes mis en jeu. Il y a aujourd'hui plusieurs
approches possibles, l'une bas\'ee sur des arguments de minimax
\`a la Courant-Hilbert, l'autre, due \`a Bismut (1986), reposant sur une
\'etude approfondie du noyau de la chaleur.

Les in\'egalit\'es de Morse holomorphes sont un compl\'ement tr\`es utile
\`a la formule de Riemann-Roch dans la mesure o\`u elles donnent des
informations pr\'ecises (encadrement de la dimension) pour chaque groupe
de cohomologie $H^j(X,kE) $ pris isol\'ement. N\'eanmoins,
cette information est difficile \`a exploiter, car il y a peu de
circonstances o\`u les int\'egrales de courbures soient accessibles
au calcul. Y.T.~Siu a fait r\'ecemment la tr\`es int\'eressante
observation que les in\'egalit\'es de Morse holomorphes peuvent
\^etre ``traduites'' en un \'enonc\'e purement alg\'ebrique.

\than D\'efinition|Un fibr\'e en droites $L$ est dit nef
$($num\'eriquement effectif$)$ si pour toute courbe complexe ferm\'ee
$C\subset X$ on a $L\cdot C={\rm deg}(L_{|C})\geq0$.\fintha

Sur une vari\'et\'e projective, on montre ais\'em\'ent que $L$ est {\it nef}
si et seulement si la courbure de $L$ est {\it presque semi-positive},
autrement dit, si pour tout $\varepsilon>0$ il existe une m\'etrique
hermitienne $\varphi_\varepsilon$ de classe $C^\infty$  sur $L$
telle que
$$\Theta_{\varphi_\varepsilon}(L)\geq-\varepsilon\omega,$$
o\`u $\omega$ est une forme de K\"ahler sur $X$ donn\'ee.

\than Corollaire alg\'ebrique des in\'egalit\'es de Morse|Soit $E=F-G$
un fibr\'e en droites holomorphe sur une vari\'et\'e alg\'ebrique
projective~$X$, o\`u $F$ et $G$ sont des fibr\'e en droites nefs.
Alors pour tout $q=0,1,\ldots,n=\dim X$ on a l'in\'egalit\'e de Morse
$$\sum_{0\leq j\leq q}(-1)^{q-j}h^j(kE)\leq{k^n\over n!} \sum_{0\leq
j\leq q}(-1)^{q-j}{n\choose j}F^{n-j}\cdot G^j+o(k^n).$$ \fintha

En ajoutant $\varepsilon\omega$ aux formes de courbure de $F$ et $G$,
$\varepsilon\in{\Bbb Q}_+$, on peut \'ecrire $\Theta(E)=
\Theta_\varepsilon(F)-\Theta_\varepsilon(G)$ o\`u $\Theta_\varepsilon(F)=
\Theta(F)+\varepsilon\omega$ et $\Theta_\varepsilon(G)=\Theta(G)+
\varepsilon\omega$ sont d\'efinies positives. Soient
$$\lambda_1\geq\ldots\geq\lambda_n>0$$
les valeurs propres de $\Theta_\varepsilon(G)$ par rapport \`a
$\Theta_\varepsilon(F)$. L'\'enonc\'e original des in\'egalit\'es de Morse
implique
$$\eqalign{
\sum_{0\leq j\leq q}&(-1)^{q-j}h^j(kE)\leq\cr
&{}\leq{k^n\over n!}\int_{\{x;\lambda_{q+1}(x)<1\}}(-1)^q\prod_{1\leq j\leq n}
(1-\lambda_j)\Theta_\varepsilon(F)^n+o(k^n).\cr}$$
D'autre part, nous avons
$${n\choose j}\Theta_\varepsilon(F)^{n-j}\wedge\Theta_\varepsilon(G)^j=
\sigma_n^j(\lambda)\,\Theta_\varepsilon(F)^n,$$
o\`u $\sigma_n^j(\lambda)=j$-i\`eme fonction sym\'etrique
\'el\'ementaire en $\lambda_1,\ldots,\lambda_n$. Par cons\'equent
$$\sum_{0\leq j\leq q}\!(-1)^{q-j}{n\choose j}F^{n-j}\cdot G^j=
\lim_{\varepsilon\to 0}\int_X\sum_{0\leq j\leq q}(-1)^{q-j}
\sigma_n^j(\lambda)\,\Theta_\varepsilon(F)^n.$$
Pour d\'emontrer le Corollaire alg\'ebrique, il suffit donc de v\'erifier que
$$\sum_{0\leq j\leq n}(-1)^{q-j}\sigma_n^j(\lambda)-
{\bf 1}_{\{\lambda_{q+1}<1\}}(-1)^q\prod_{1\leq j\leq n}(1-\lambda_j)\ge 0$$
pour tous $\lambda_1\geq\ldots\geq\lambda_n\geq 0$, o\`u ${\bf
1}_{\{\ldots\}}$ d\'esigne la fonction caract\'eristique d'un ensemble.
Cela r\'esulte d'une r\'ecurrence facile sur~$n$ (on \'ecrit simplement que
$\sigma_n^j(\lambda)=\sigma_{n-1}^j(\lambda)+\sigma_{n-1}^{j-1}(\lambda)\,
\lambda_n$).
\medskip
Dans le cas $q=1$, nous obtenons la borne inf\'erieure parti\-cu\-li\`erement
int\'eressante
$$h^0(kE)-h^1(kE)\geq{k^n\over n!}(F^n-nF^{n-1}\cdot G)-o(k^n).$$
Ceci montre qu'un certain multiple $kE$ poss\`ede des sections non nulles
d\`es que
$F^n-nF^{n-1}\cdot G>0$.

\than Cons\'equence|Supposons que $F$ et $G$ soient nefs et que $F$ soit
gros $($c'est-\`a-dire $F^n>0)$. Alors les grands multiples de
$mF-G$ poss\'edent des sections d\`es que
$$m>n\,{F^{n-1}\cdot G\over F^n}.$$
\fintha

Dans cette derni\`ere condition, le facteur $n$ est optimal: on le voit
facilement en prenant $F=\cO(a,\ldots,a)$ et $G=\cO(b_1,\ldots,b_n)$ sur
$X=\bP_1^n\,$; la condition du Corollaire est alors
$m>\sum b_j/a$, tandis que $k(mF-G)$ a une section si et seulement if
$m\ge\sup b_j/a$; ceci montre qu'on ne peut remplacer $n$ par
$n(1-\varepsilon)$.
\medskip
En combinant ce qui pr\'ec\`ede avec les estimations $L^2$ de H\"ormander
on obtient facilement le r\'esultat effectif suivant.

\than Th\'eor\`eme|Soit $L$ un fibr\'e en droites ample au dessus
d'une vari\'et\'e projective $X$ de dimension $n$ et soit $B$ un fibr\'e
en droites nef au dessus de~$X$. Alors $2K_X+mL-B$ poss\`ede une section
non nulle d\`es que
$$m>n\,{L^{n-1}\cdot B\over L^n}+C_n,
  \qquad\hbox{\sl avec par exemple}~~C_n=12\,n^n.$$
\fintha

\preuve Ici $C_n$ est une constante telle que $K_X+C_nL$ peut \^etre
\'equip\'e d'une m\'etrique hermitienne (non n\'ecessairement lisse)
telle que le poids $\varphi$ satisfasse la condition (i) dans le Th\'eor\`eme
d'H\"ormander-Bombieri-Skoda. Le fait que $C_n$ existe et qu'on puisse
prendre $C_n=12n^n$ est un sous-produit de la d\'emonstration du th\'eor\`eme
sur la grande amplitude de $2K_X+12n^nL$. Le Th\'eor\`eme ci-dessus est
alors d\'emontr\'e en consid\'erant $K_X+L'$ o\`u $L'=(K_X+C_nL)+(mL-B)$ est
\'equip\'e de la m\'etrique produit de la m\'etrique de $K_X+C_nL$ et
d'une m\'etrique \`a courbure $\geq 0$ sur $mL-B$, laquelle existe
si $m>n(L^{n-1}\cdot B)/L^n$, du fait de l'existence de diviseurs effectifs
associ\'es \`a des sections de $H^0(X,k(mL-B)$). Gr\^ace au th\'eor\`eme
de H\"ormander-Bombieri-Skoda, on en d\'eduit que $K_X+L'=2K_X+C_nL+mL-B$
a une section pour $m>n(L^{n-1}\cdot B)/L^n$, et ceci est \'equivalent
\`a l'\'enonc\'e du Th\'eor\`eme.
\medskip
Maintenant, on remplace $B$ par $B+2(K_X+(n+1)L)$ qui est encore nef
gr\^ace \`a un r\'esultat r\'ecent de Fujita, affirmant que
$$\hbox{$L$ ample $\Rightarrow$ $K_X+(n+1)L$ nef.}$$
Ceci donne:

\than Corollaire|Si $L$ est ample et si $B$ est nef, alors $mL-B$ admet
une section non nulle pour
$$m>n{L^{n-1}\cdot B+2 L^{n-1}\cdot K_X\over L^n}+C_n+2(n^2-1).$$
\fintha

Ici encore l'estimation n'est pas tr\`es loin d'\^etre optimale: la
quantit\'e $2\,L^{n-1}\cdot K_X$ ne peut pas \^etre remplac\'ee par
quelque chose de plus petit que ${1\over 2}L^{n-1}\cdot K_X$
(prendre $X$ \'egal \`a un produit de courbes $C_j$ de genre $g_j$
grand et $B=0$; notre condition pour que $L=\cO(a_1[p_1])\otimes\ldots
\otimes\cO(a_n[p_n])$ donne $H^0(X,mL)\neq 0$ devient
$m>2\sum(2g_j-2)/a_j+C'_n$, alors que la condition optimale est
$m>\sup (g_j-1)/a_j$).
\medskip

Jusqu'\`a ce point, les r\'esultats obtenus s'\'etendent au cas o\`u $X$
poss\`ede des singularit\'es (les in\'egalit\'es de Morse sont en effet
encore vraies dans le cas singulier, comme on le voit ais\'ement par
un argument de d\'esingularisation). Il en r\'esulte qu'on peut
appliquer la m\^eme m\'ethode pour obtenir l'\'enonc\'e plus
g\'en\'eral suivant:

\than Th\'eor\`eme|Soit $L$ un fibr\'e en droites ample sur une vari\'et\'e
projective $X$ de dimension~$n$, et soit $B$ un fibr\'e en droites nef
au dessus de~$X$. Pour toute sous-vari\'et\'e alg\'ebrique irr\'eductible
$Y\subset X$ de dimension~$p$, soit $\omega_Y$ le faisceau des germes
de $p$-formes holomorphes sur $Y_{\rm reg}$ qui sont $L^2$ dans un
voisinage de l'ensemble des singularit\'es (on peut montrer facilement
que $\omega_Y$ co\"{\i}ncide avec $\pi_\star K_{\tilde X}$ pour
n'importe quelle d\'esingularisation $\pi:\tilde X\to X$ de~$X$).
Soit $C'_n=3(3n-2)^n$. Alors pour
$$m>p{L^{p-1}\cdot B\cdot Y\over L^p\cdot Y},$$
le faisceau $\omega_Y\otimes\cO(mL-B+K_X+C'_nL)_{|Y}$ admet une section
non nulle sur~$Y$.
\fintha

Ici $C'_n$ est une constante telle que $K_X+C'_nL$ puisse \^etre muni
de m\'etriques hermitiennes poss\'edant un p\^ole logarithmique isol\'e
de la forme $\alpha\log|z-x_0|+O(1)$, $\alpha\geq p$, en n'importe quel
point~$x_0$. Une telle constante existe et peut \^etre prise \'egale
\`a $3(n+2p)^n\leq C'_n$ (pour voir cela on utilise encore le Th\'eor\`eme
d'Aubin-Calabi-Yau).

Maintenant, on consid\`ere le fibr\'e en droites tr\`es ample
$H=2(K_X+C'_nL)$ et on applique le lemme \'el\'ementaire suivant
(pour v\'erifier ce lemme, on plonge $X$ dans l'espace projectif
par $\Phi_H$, et on fait une projection g\'en\'erique de $Y$ sur
un sous-espace projectif de dimension~${}=\dim Y$).

\than Lemme|Soit $Y\subset X$ une sous-vari\'et\'e alg\'ebrique
irr\'eductible de dimension~$p$. Alors pour tout entier
$\lambda\geq H^p\cdot Y$, le faisceau
${\cal H}{\it om}(\omega_Y,\cO((\lambda(\lambda-1)-p-1)H)_{|Y}))$
admet une section non triviale.
\fintha

Puisque $(\lambda+p+1/2)H$ est aussi tr\`es ample et puisque
$H^0(Y,\omega_Y\otimes\cO(mL-B+{1\over 2}H))\neq 0$ par le Th\'eor\`eme
ci-dessus, le Lemme implique:

\than Corollaire|Pour $Y\subset X$ irr\'eductible de dimension $p$
et pour tous entiers
$$m>p{L^{p-1}\cdot B\cdot Y\over L^p\cdot Y},\qquad\lambda\geq H^p\cdot Y,$$
l'espace $H^0(Y,mL-B+\lambda^2H)$ contient une section non triviale.
Lorsque $p=n$, l'hypoth\`ese sur $\lambda$ peut \^etre affaiblie en
$\lambda\geq 1$.
\fintha

Pour d\'emontrer le Grand Th\'eor\`eme de Matsusaka, il suffit d'obtenir
une borne effective sur $m$ pour que $mL-B$ soit nef; alors
$K_X+(K_X+12n^nL)+(mL-B)$ est tr\`es ample (a fortiori $mL-B+H$ est tr\`es
ample), et nous avons seulement \`a remplacer $B$ by $B+2(K_X+2(n+1)L)$
pour obtenir un crit\`ere de grande amplitude de~$mL-B$.

En utilisant le dernier Corollaire, on construit par r\'ecurrence une
suite de sous-vari\'et\'es alg\'ebriques (non n\'ecessairement
irr\'e\-duc\-tibles)
$$X=Y_n\supset Y_{n-1}\supset\ldots\supset Y_1\supset Y_0$$
telles que $Y_p$ soit de dimension $p$ et $Y_{p-1}$ soit l'ensemble
des z\'eros d'une section $\sigma_p\in H^0(Y_p,\cO(m_pL-B+\lambda_p^2H))$
pour des entiers convenables $m_p,\lambda_p\geq 1$.

On peut prendre $\lambda_n=1$ et $m_n>n\,L^{n-1}\cdot B/L^n$. Comme
$H-C''_nL$ est nef pour $C''_n=2(C'_n-n-1)$, on voit que le $p$-cycle $Y_p=
\sum\mu_{p,j}Y_{p,j}$ satisfait
$$\eqalign{
Y_p&{}\equiv (m_nL-B+\lambda_n^2H)\cdot\ldots\cdot(m_{p+1}L-B+
\lambda_{p+1}^2H)\cr
&{}\leq\Big(\lambda_n^2+{m_n\over C''_n}\Big)\ldots
\Big(\lambda_{p+1}^2+{m_{p+1}\over C''_n}\Big)H^{n-p}.\cr}$$
Les conditions que doivent satisfaire $m_p$ et $\lambda_p$ sont
$$m_p>p{L^{p-1}\cdot B\cdot Y_{p,j}\over L^p\cdot Y_{p,j}},\qquad
\lambda_p\geq H^p\cdot Y_{p,j},\quad \forall j.$$
Comme $L^p\cdot Y_{p,j}\geq 1$, $Y_{p,j}\leq Y_p$
et $L\leq{1\over C''_n}H$, il est suffisant d'avoir
$$\eqalign{
m_p&{}>{p\over(C''_n)^{p-1}}\Big(\lambda_n^2+{m_n\over C''_n}\Big)\ldots
\Big(\lambda_{p+1}^2+{m_{p+1}\over C''_n}\Big)H^{n-1}\cdot B,\cr
\lambda_p&{}\geq\Big(\lambda_n^2+{m_n\over C''_n}\Big)\ldots
\Big(\lambda_{p+1}^2+{m_{p+1}\over C''_n}\Big)H^n.\cr}$$	
Si la seconde in\'egalit\'e est r\'ealis\'ee, la premi\`ere est v\'erifi\'ee
d\`es que
$$m_p>{p\lambda_p\over(C''_n)^{p-1}}{H^{n-1}\cdot B\over H^n}.$$
Par cons\'equent les in\'egalit\'es sont certainement v\'erifi\'ees
si nous d\'efinissons $\lambda_p$ et $m_p$ par les formules de r\'ecurrence
$$\eqalign{
\lambda_p&=\lambda_n^2\lambda_{n-1}^2\ldots\lambda_{p+1}^2 H^n
\prod_{p+1\leq k\leq n}\Big[2+{k\over(C''_n)^k}{H^{n-1}\cdot B\over H^n}
\Big],\cr
m_p&=C''_n\lambda_p\Big[1+{p\over(C''_n)^p}
{H^{n-1}\cdot B\over H^n}\Big],\cr}$$
o\`u les crochets d\'esignent des parties enti\`eres. La premi\`ere formule
donne ais\'ement
$$\lambda_p=(H^n)^{3^{n-p-1}}\prod_{p+1\leq k\leq n}\Big[2+{k\over(C''_n)^k}
{H^{n-1}\cdot B\over H^n}\Big]^{3^{k-p-1}}.$$
Les valeurs les plus grandes sont obtenues pour $p=1$, \`a savoir
$$\lambda_1=(H^n)^{3^{n-2}}\Big(2+{2\over(C''_n)^2}
{H^{n-1}\cdot B\over H^n}\Big)^{1+3+\ldots+3^{n-2}},$$
et nous pouvons prendre $m_1$ l\'eg\`erement plus grand que le produit de
cette quantit\'e par $H^{n-1}\cdot B/H^n$. On d\'eduit de cela que
$m_1L-B+\lambda_1^2H$ est nef. En effet, si $\Gamma$ est une courbe
irr\'eductible, il existe un entier $p=1,\ldots,n$ tel que $\Gamma$ soit
contenue dans $Y_p$ mais pas dans~$Y_{p-1}$. Alors $\sigma_p$ ne s'annule
pas identiquement sur $\Gamma$ et
$$(m_1L-B+\lambda_1^2H)\cdot\Gamma\geq
(m_pL-B+\lambda_p^2H)\cdot\Gamma\geq 0.$$
Gr\^ace aux arguments pr\'ec\'edents, nous concluons que $m_1L-B+\mu_1H$ est
tr\`es ample pour des entiers $m_1$, $\mu_1$ tels que
$$\eqalign{
\mu_1&=\lambda_1^2+1\leq(H^n)^{2\cdot 3^{n-2}}\Big(2+{2\over(C''_n)^2}
{H^{n-1}\cdot B\over H^n}\Big)^{3^{n-1}},\cr
m_1&\leq{H^{n-1}\cdot B\over H^n}(H^n)^{3^{n-2}}\Big(2+{2\over(C''_n)^2}
{H^{n-1}\cdot B\over H^n}\Big)^{3^{n-1}/2}.\cr}$$
Apr\`es remplacement de $B$ par $B+\mu_1H$, on conclut que $mL-B$ est tr\`es
ample pour
$$m\geq M=\Big(\mu_1+{H^{n-1}\cdot B\over H^n}\Big)(H^n)^{3^{n-2}}
\Big({2\mu_1\over(C''_n)^2}+2+{2\over(C''_n)^2}
{H^{n-1}\cdot B\over H^n}\Big)^{3^{n-1}/2}.$$
Ces bornes inf\'erieures peuvent \^etre remplac\'ees par les bornes plus
simples mais plus g\'en\'ereuses
$$\mu'_1=(2\,H^n+H^{n-1}\cdot B)^{3^{n-1}},\qquad
M'=2\mu'_1(H^n)^{3^{n-2}}(\mu_1')^{3^{n-1}/2}\le(\mu_1')^{3^{n-1}}.$$
Par cons\'equent, nous obtenons les r\'esultats suivants:

\than Th\'eor\`eme|Si $L$ est ample et si $B$ est nef, alors $mL-B$ est tr\`es
ample pour
$$m\geq(2\,H^n+H^{n-1}\cdot B)^{9^{n-1}},\qquad\hbox{\sl o\`u}\quad
H=2(K_X+3(3n-2)^nL).$$
\fintha

\than Corollaire|Si $L$ est ample, alors $mL$ est tr\`es
ample pour $m\geq(2\,H^n)^{9^{n-1}}$.
\fintha

Il est tr\`es vraisemblable que ces bornes extr\^emement g\'en\'ereuses
peuvent \^etre grandement am\'elior\'ees (un des maillons faibles \`a
am\'eliorer en tout premier lieu est le lemme \'el\'ementaire concernant
l'existence de sections de ${\cal H}{\it om}(\omega_Y,mH)$).

\rem Remarque|On peut utiliser l'in\'egalit\'e de concavit\'e
$$(A^n)^{1-{1\over j}}(A^{n-j}\cdot B^j)^{1\over j}\leq A^{n-1}\cdot B$$
pour les fibr\'es en droites nefs $A=mL$, $B=K_X+(n+1)L$ pour exprimer
toutes les bornes uniquement en fonction des nombres d'intersection
$L^n$ et $L^{n-1}\cdot K_X$. En effet, nous avons
$$(A+B)^n=\sum{n\choose j}A^{n-j}\cdot B^j\leq
\sum{n\choose j}{(A^{n-1}\cdot B)^j\over (A^n)^{j-1}}
=A^n\Big(1+{A^{n-1}\cdot B\over A^n}\Big)^n.$$
En prenant $A=\alpha_nL$, $\alpha_n=3(3n-2)^n-n-1$, il vient
$$\eqalign{
&(K_X+3(3n-2)^nL)^n\leq\alpha_n^n L^n\big(1+{1\over\alpha_n}
(n+1+L^{n-1}\cdot K_X/L^n)\big)^n,\cr
&2\,H^n\leq 2^{n+1}(K_X+3(3n-2)^nL)^n\leq
(8n)^n L^n(3+2^{1-n}L^{n-1}\cdot K_X/L^n)^n.\cr}$$
La borne sur $m$ pour que $mL$ soit tr\`es ample devient
$$m\geq\big((8n)^nL^n\big)^{9^{n-1}}(3+2^{1-n}L^{n-1}\cdot
K_X/L^n)^{n9^{n-1}}.$$
\end
