\magnification=1200
\parskip 5pt plus 2pt minus 1pt
\vsize=20cm \hoffset=-1.75mm

\font\seveni=cmti10 at 7pt \font\seventt=cmtt10 at 7pt
\font\twelvebf=cmbx10 at 12pt

\def\bibitem#1&#2&#3&#4&%
{\hangindent=1.2cm\hangafter=1
\noindent\rlap{\hbox{\sevenbf #1}}\kern1.2cm{\sevenrm #2}, {\seveni #3}, {\sevenrm #4.}} 

\font\tenBbb=msbm10 \font\sevenBbb=msbm7 \font\fiveBbb=msbm5
\newfam\Bbbfam \textfont\Bbbfam=\tenBbb \scriptfont\Bbbfam=\sevenBbb 
\scriptscriptfont\Bbbfam=\fiveBbb
\def\Bbb{\fam\Bbbfam\tenBbb}

% Usual sets of numbers  
\def\bC{{\Bbb C}} \def\bN{{\Bbb N}} \def\bP{{\Bbb P}} \def\bR{{\Bbb R}}

\centerline{\twelvebf Pierre Lelong~: une {\oe}uvre fondatrice}
\smallskip
\centerline{\twelvebf en analyse complexe et en g\'eom\'etrie analytique}
\medskip
\centerline{\bf Jean-Pierre demailly}
\centerline{Universit\'e de Grenoble I, Institut Fourier}
\centerline{et Acad\'emie des Sciences}
\bigskip

Ma premi\`ere rencontre avec Pierre Lelong remonte \`a  1977,
ann\'ee o\`u j'ai commenc\'e \`a suivre son ``S\'eminaire d'Analyse''
parisien, coorganis\'e avec Henri Skoda \`a partir de 1976.
C'est aussi en 1977 que j'ai b\'en\'efici\'e de quelques-uns de ses cours
sur la th\'eorie des fonctions plurisousharmoniques et des 
courants positifs, \`a la suite d'un premier enseignement
de DEA sur l'analyse complexe donn\'e l'ann\'ee pr\'ec\'edente par Henri
Skoda. Ces premiers contacts ont, c'est le moins qu'on puisse dire,
orient\'e durablement toute ma carri\`ere ult\'erieure. En
r\'ealit\'e, je n'ai presque jamais quitt\'e ces th\'eories
fondamentales initi\'ees par Pierre Lelong au cours des ann\'ees 
1940 et 1950 ([Lel42], [Lel57])~: 
elles s'appliquent merveilleusement \`a de vastes domaines des 
math\'ematiques comme la th\'eorie des nombres ou la g\'eom\'etrie
alg\'ebrique, et m\^eme si de nombreux sp\'ecialistes mondiaux les ont
explor\'ees intensivement depuis des d\'ecennies, la plupart des experts
s'accordent \`a dire qu'il reste encore beaucoup \`a faire~!

Quelques ann\'ees plus tard, lorsque j'ai pass\'e ma th\`ese d'\'Etat
en 1982, j'ai eu le privil\`ege d'\^etre invit\'e au domicile priv\'e
de Pierre Lelong, et c'est l\`a sans doute que j'ai fait plus ample
connaissance avec un autre aspect important de sa carri\`ere~: la mise 
en place de la r\'eforme de l'enseignement sup\'erieur et 
de la recherche, en tant que conseiller scientifique aupr\`es
du G\'en\'eral de Gaulle (1959--1961).
J'ai \'et\'e tr\`es impressionn\'e par la culture politique de Pierre
Lelong -- tout autant que par le nombre inhabituel d'ouvrages de
sciences politiques qui figuraient dans sa biblioth\`eque
personnelle. \`A l'heure ou l'Universit\'e conna\^{\i}t une p\'eriode
tr\`es difficile dans notre pays, je ne peux m'emp\^echer de penser
que la France a eu beaucoup de chance au d\'ebut des ann\'ees 1960,
dans une p\'eriode certes \'economiquement bien plus favorable, de
b\'en\'eficier des conseils \'eclair\'es de personnalit\'es
scientifiques aussi \'eminentes que Pierre Lelong. La France a connu
alors une phase de d\'eveloppement scientifique et technologique prolong\'ee, 
en m\^eme temps qu'une forte progression de ses universit\'es~; on aimerait que
les gouvernements europ\'eens d'aujourd'hui aient la volont\'e 
et la sagesse de redonner \`a la science le r\^ole primordial qui est 
de guider la soci\'et\'e -- et de s'appuyer en cons\'equence sur l'expertise 
de la communaut\'e scientifique plut\^ot que sur une technocratie souvent
repli\'ee sur elle-m\^eme et chaque ann\'ee plus envahissante~!

M\^eme s'il ne s'agit peut-\^etre pas de la partie la plus centrale de
son {\oe}uvre math\'e\-matique, je voudrais ici \'evoquer un article
de Pierre Lelong qui me semble avoir eu beaucoup de retomb\'ees. Il
s'agit d'un texte intitul\'e {\it \'El\'ements extr\'emaux sur le c\^one des
  courants positifs ferm\'es}, paru dans le S\'eminaire d'Analyse
1971/1972~[Lel71]. En voici le premier r\'esultat principal.

\noindent {\bf Th\'eor\`eme 1.} {\it Soit $M$ un ensemble analytique de
  codimension complexe $p$, irr\'eductible, sur une vari\'et\'e analytique
  connexe~$X$, d\'enombrable \`a l'infini. Alors le courant d'int\'egration
  $[M]$ est extr\'emal dans le c\^one des courants positifs ferm\'es de
  bidegr\'e $(p,p)$ sur~$X$.}

\`A la suite de cet \'enonc\'e, Pierre Lelong observait que la
plupart des autres exemples classiques connus de courants n'\'etaient
pas extr\'emaux, notamment ceux issus des fonctions convexes ou des
fonctions jauge lisses, et il concluait: ``{\it Il est probable que le
  Th\'eor\`eme~$1$ ne donne pas tous les \'el\'ements extr\'emaux dans
  le c\^one des courants positifs ferm\'es~; c'est l\`a une question
  importante de g\'eom\'etrie complexe encore
  ouverte$\,$}''. Je me rappelle encore un \'echange intervenu \`a Jussieu
o\`u Pierre Lelong a \'evoqu\'e oralement cette question. Stimul\'e par ces
observations et par une conversation ult\'erieure avec Jean-Louis Verdier, 
je devais me rendre compte au d\'ebut des ann\'ees 1980 qu'un 
\'enonc\'e aussi restrictif sur les
\'el\'ements extr\'emaux aurait entra\^{\i}n\'e une formulation ``trop
forte'' de la conjecture de Hodge, via le th\'eor\`eme de
repr\'esentation de Choquet$\,$; il en r\'esulte qu'il devait exister
des \'el\'ements extr\'emaux autres que les courants d'int\'egration sur les
ensembles analytiques irr\'eductibles, et j'ai trouv\'e peu apr\`es 
un exemple explicite de tel courant de bidegr\'e $(1,1)$ 
dans le plan projectif complexe [De82]. 
D'autres contre-exemples apparurent ensuite dans la th\'eorie
des syst\`emes dynamiques holomorphes de plusieurs variables~:
beaucoup de courants positifs invariants produits par voie
dynamique sont des courants extr\'emaux, et leur support est
en g\'en\'eral seulement un ensemble fractal~; c'est le cas par exemple 
pour le courant $\lim_{k\to+\infty}d^{-k}{i\over\pi}
\partial\overline\partial\log|P^{k}(z)|$, o\`u $P^k$ est l'it\'er\'e 
$k$-i\`eme d'un endomorphisme polynomial $P$ de degr\'e $d>1$ de 
l'espace projectif, le support d'un tel courant \'etant un ensemble
de type Julia [Sib99]. La
dynamique des endomorphismes ``hyperboliques'' de certaines surfaces
alg\'ebriques, surfaces K3 en particulier, donne \'egalement lieu \`a de tels
courants invariants [Ca03].

Un autre \'enonc\'e fondamental de l'article pr\'ecit\'e [Lel71] est le suivant.

\noindent {\bf Th\'eor\`eme 2.} {\it Si $G$ est un domaine pseudoconvexe
de~$\bC^n$, le c\^one positif engendr\'e sur les rationnels par les fonctions
de la forme $\log|f|$, o\`u $f$ est holomorphe dans $G$, est dense dans le
c\^one des fonctions plurisousharmoniques sur~$G$.}

\noindent {\bf Corollaire.} {\it Si de plus $H^2(G,\bR)=0$, le c\^one positif
engendr\'e sur les rationnels par les courants d'int\'egration $[D]$ sur les
diviseurs irr\'eductibles dans $G$ est dense dans le c\^one des courants
positifs ferm\'es de type $(1,1)$ sur~$G$.}

La preuve initiale de Lelong repose sur l'usage de la th\'eorie des fonctions
holomorphes sur un ouvert de Hartogs de la forme $|w|<e^{-\varphi(z)}$.
Si $\varphi$ est plurisousharmonique et si $z$ d\'ecrit un domaine
pseudoconvexe, on sait que l'ouvert de Hartogs est \'egalement 
pseudoconvexe$\,$; par cons\'equent, il existe une fonction holomorphe 
$F(z,w)$ dont cet ouvert est le domaine d'existence. L'approximation 
de la fonction $\varphi$ par des 
logarithmes de fonctions holomorphes $f_j(z)$ s'obtient
alors en appliquant la formule de Hadamard pour calculer le rayon de
convergence de la s\'erie enti\`ere $\sum_{k\in\bN}a_k(z)w^k$ de~$F(z,w)$.
Le corollaire s'obtient quant \`a lui au moyen de l'\'equation fondamentale
dite de ``Lelong-Poincar\'e'',
qui stipule que pour toute fonction holomorphe $F$  le courant
${i\over\pi}\partial\overline\partial\log|F|$ s'identifie au courant 
d'int\'egration $[Z_F]$ sur le diviseur des z\'eros de~$F$.

Ces \'enonc\'es d'approximation des courants sont aujourd'hui au c{\oe}ur 
de la g\'eom\'etrie analytique. En rempla\c{c}ant le th\'eor\`eme d'existence
d'une fonction d\'efinissante et la formule de Hadamard par des r\'esultats 
plus puissants, \`a savoir le th\'eor\`eme 
de prolongement $L^2$ de Ohsawa-Takegoshi ([0T87]), on obtient des
\'enonc\'es plus pr\'ecis dans lesquels les multiplicit\'es
des diviseurs mis en jeu convergent uniform\'ement vers les
``nombres de Lelong'' du courant \`a approximer. On dispose ainsi d'un 
outil tr\`es puissant qui permet de d\'emontrer par voie analytique
de nombreux r\'esultats g\'eom\'etriques -- par exemple, le th\'eor\`eme
de Siu sur l'analyticit\'e des ensembles de niveau associ\'es aux
nombres de Lelong des courants positifs ferm\'es [Siu74]. Dans le domaine de
la g\'eom\'etrie alg\'ebrique, une autre cons\'equence 
de ce type de techniques est 
l'invariance des plurigenres des vari\'et\'es projectives lisses
par d\'eformation arbitraire ([Siu00], [Pa07])$\,$; ce dernier \'enonc\'e,
s'appuie sur le th\'eor\`eme d'Ohsawa-Takegoshi et sur un raisonnement 
de compacit\'e pour les courants positifs de type $(1,1)\;$; \`a ce jour, il
ne poss\`ede d'ailleurs pas de d\'emonstration alg\'ebrique, bien que 
l'\'enonc\'e ne mette en jeu que des objets alg\'ebriques~!
Enfin, parmi les applications \`a la th\'eorie des nombres, on peut
citer par exemple le th\'eor\`eme de Bombieri sur les valeurs
alg\'ebriques de fonctions m\'eromorphes de plusieurs variables
satisfaisant des \'equations diff\'erentielles alg\'ebriques [Bo70], 
[Sk76], [Lel79]. La preuve, l\`a encore, exploite la compacit\'e des 
courants de type
$(1,1)$ dans des classes de courants d'ordre fini, en conjonction avec
les estimations $L^2$ de H\"ormander pour l'op\'erateur $\overline\partial$.

En introduisant les ``objets souples''\footnote{${}^ {(*)}$}{\sevenrm 
\baselineskip8.4pt Cette
terminologie est celle-l\`a m\^eme employ\'ee par Pierre Lelong dans
sa notice de travaux \`a l'Acad\'emie des Sciences [Lel73].\par}
que sont les fonctions plurisousharmoniques et
les courants positifs, Pierre Lelong a permis l'\'emergence de
techniques f\'econdes qui ont abouti \`a des formulations effectives
fortes de nombreux \'enonc\'es de g\'eom\'etrie analytique,
alg\'ebrique ou arithm\'etique, l\`a o\`u n'existaient souvent que des
\'enonc\'es qualitatifs.  Pierre Lelong \'etait parfaitement conscient
de cette dimension quasi-philo\-sophique de son {\oe}uvre, et il a
pos\'e lui-m\^eme les jalons les plus fondamentaux de ses profondes
implications.  \vskip10pt

\noindent
{\bf R\'ef\'erences}
\vskip5pt
{\baselineskip 8.4pt \parskip 2pt plus 1pt minus 1pt
\let\rm=\sevenrm \let\bf=\sevenbf \let\it=\sevenit

\bibitem[Bo70]&Bombieri, E.&Algebraic values of meromorphic maps&Invent.\ Math.\ {\bf 10} (1970) 267--287$\,$; Addendum, Invent.\ Math.\ {\bf 11} (1970) 163--166&

\bibitem[Ca03]&Cantat, S.&Dynamique des automorphismes des surfaces 
{\rm K3}&Acta Math.\ {\bf 187} (2001) 1--57&

\bibitem[De82]&Demailly, J.-P.&Courants positifs extr\^emaux et conjecture de
Hodge&Invent.\ Math.\ {\bf 69} (1982) 347--374&

\bibitem[Lel42]&Lelong, P.&D\'efinition des fonctions plurisousharmoniques&C.~R.\ Acad.\ Sci.\ Paris {\bf 215} (1942) p.~398 et p.~454&

\bibitem[Lel57]&Lelong, P.&Int\'egration sur un ensemble analytique complexe&Bull.\ Soc.\ Math.\ France {\bf 85} (1957) 239--262&

\bibitem[Lel68]&Lelong, P.&Fonctions plurisousharmoniques et formes diff\'erentielles positives&Dunod, Paris, Gordon \&\ Breach, New York (1968)&

\bibitem[Lel71]&Lelong, P.&\'El\'ements extr\'emaux sur le c\^one des
courants positifs ferm\'es&Springer Lecture Notes in Math.\ {\bf 332} (1973) 112--130&

\bibitem[Lel73]&Lelong, P.&Notice sur les titres et travaux scientifiques&site
de l'Acad\'emie des Sciences,\hfil\break
{\seventt http://www.academie-sciences.fr/academie/membre/Lelong\_{\kern0.5pt}notice\_{\kern0.5pt}1973.pdf}&

\bibitem[Lel79]&Lelong, P.&Sur les cycles holomorphes \`a coefficients
positifs dans $\scriptstyle\bC^n$ et un compl\'ement au th\'eor\`eme de
E.~Bombieri&C.~R.\ Math.\ Acad.\ Sc.\ Canada, vol.~1,
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\bibitem[Siu74]&Siu, Y.T.&Analyticity of sets associated to Lelong numbers and the extension of closed positive currents&Invent.\ Math.\ {\bf 27} (1974) 53--156&

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\bibitem[Sko76]&Skoda, H.&Estimations $\scriptstyle L^2$ pour 
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\par}

\end
% Local Variables:
% TeX-command-default: "TeX"
% End:
