\batchmode
\input broccod
\def\ff{\varphi}
\def\ep{\varepsilon}
\def\wt{\widetilde}
\vsize 20cm
\centerline{{\bf NOMBRES DE LELONG G\'EN\'ERALIS\'ES,}}
\centerline{{\bf TH\'EOR\`EMES D'INT\'EGRALIT\'E ET D'ANALYTICIT\'E}}
\vskip 0.5cm
{\noindent\hangindent4cm\hangafter-1
{\sl par Jean-Pierre DEMAILLY

}}

{\noindent\hangindent4cm\hangafter-4{\sl
Universit\'e de Grenoble I,\hfill\break
Institut Fourier, BP 74,\hfill\break
Laboratoire associ\'e au C.N.R.S.
n\kern-2pt{\rm\char'27}188,\hfill\break
F-38402 Saint-Martin d'H\`eres

}}
\vskip 30pt
{\bf Abstract.} Let $X$ be a Stein space and $T$ a closed positive current
on $X$. Given any continuous plurisubharmonic exhaustion function $\ff$   
on $X$, a generalized Lelong number $\nu(T,\ff)$ is introduced, using
Monge-Amp\`ere operators defined by Bedford and Taylor. It is shown that
the number $\nu(T,\ff)$ depends only on the behaviour of the function
$\ff$ near its poles. As a consequence, we derive a very simple proof of
Thie's theorem on the integrality of classical Lelong numbers for analytic
subsets, as well as a generalized version of Siu's theorem on the analyticity
of the level sets associated to Lelong numbers.\vskip 30pt
\titre 0. Introduction |
Soit $X$ un espace complexe de Stein, $T$ un courant positif ferm\'e de
bidimension $(p,p)$ sur $X$, et $\ff:X\longrightarrow [-\infty,+\infty[$
une fonction psh(plurisousharmonique) exhaustive. Nous d\'efinissons
alors des nombres de Lelong $\nu(T,\ff)$ qui g\'en\'eralisent ceux 
classiques de P. Lelong [Le3] ainsi que ceux introduits r\'ecemment par\break
C.O. Kiselman [Ki3]. La d\'efinition repose sur l'utilisation des op\'erateurs
de Monge-Amp\`ere de Bedford-Taylor [B-T] et peut s'interpr\'eter en disant que
$\nu(T,\ff)$ est la masse de la mesure $T\wedge(dd^c\ff)^p$ port\'ee par 
l'ensemble polaire $\ff^{-1}(-\infty)\ $.\break Dans ce cadre, nous 
d\'emontrons que $\nu(T,\ff)$ ne d\'epend que du comportement asymptotique
de $\ff$ au voisinage des p\^oles; la m\'ethode utilis\'ee est inspir\'ee
de notre article ant\'erieur [De1], mais elle se trouve ici consid\'erablement
simplifi\'ee par le fait que l'on peut manipuler des poids $\ff$ qui sont
seulement continus. La souplesse d'utilisation des nombres de Lelong 
g\'en\'eralis\'es permet d'obtenir aussi des d\'emonstrations tr\`es simples
de r\'esultats classiques concernant les nombres de Lelong usuels; en 
particulier, ces nombres sont invariants par changement de coordonn\'ees
locales (\cf [Siu]). Nous red\'emontrons ensuite le th\'eor\`eme de
P.Thie[Th], suivant lequel le nombre de Lelong d'un ensemble analytique $X$
en un point $x\in X$ co\"{\i}ncide avec la multiplicit\'e alg\'ebrique de $X$
en $x$ ; ce r\'esultat est une cons\'equence directe du fait que l'on peut
repr\'esenter le germe $(X,x)$ comme un rev\^etement ramifi\'e au dessus de
${\bf C}^p$, contenu dans un c\^one convexe de sommet $x$~. On obtient enfin 
une version g\'en\'eralis\'ee du th\'eor\`eme de Siu sur l'analyticit\'e des 
ensembles de niveau associ\'es aux nombres de Lelong; cette version contient 
comme cas particulier le r\'esultat r\'ecent de C.O. Kiselman [Ki3] relatif aux
nombres de Lelong directionnels. La d\'emonstration est inspir\'ee de Kiselman
[Ki2] et repose essentiellement sur trois ingr\'edients~:\hfill\break
$\bullet$ construction d'un potentiel psh local associ\'e au courant $T$ et au
poids $\ff\ $;\hfill\break
$\bullet$ principe du minimum de Kiselman[Ki1]\ ;\hfill\break
$\bullet$ estimations $L^2$ de H\"ormander[H\"o] et Bombieri[Bo] pour 
l'op\'erateur $\overline\partial$~.

Je tiens \`a remercier ici C.O. Kiselman pour de stimulantes conversations
qui ont beaucoup contribu\'e \`a d\'egager les id\'ees de ce travail. 
\vskip 30pt
\titre 1. Nombres de Lelong g\'en\'eralis\'es |
Soit $X$ un espace de Stein de dimension pure $n$ et $T$ un courant positif
ferm\'e sur $X$ de bidimension $(p,p)$, \ie de bidegr\'e $(n-p,n-p)$.
En ce qui concerne les formes et les courants sur un espace analytique, nous
utiliserons ici la d\'efinition donn\'ee dans [De2] ; la plupart des calculs
diff\'erentiels et int\'egraux se pratiquent alors comme sur une vari\'et\'e
lisse .

Si $\ff_1,\ldots,\ff_q$ sont des fonctions psh finies et continues, la
m\'ethode de Bedford-Taylor[B-T] permet de d\'efinir par r\'ecurrence un 
courant positif ferm\'e $T\wedge dd^c\ff_1\wedge\ldots\wedge dd^c\ff_q$
en posant
$$T\wedge dd^c\ff_1\wedge\ldots\wedge dd^c\ff_q = 
dd^c(\ff_q T\wedge dd^c\ff_1\wedge\ldots\wedge dd^c\ff_{q-1}).
\leqno(1.1)$$
Pour tous compacts $K\subset\!\subset\tilde K\subset\!\subset X$ , la masse de
$(1.1)$ sur $K$, not\'ee $||\quad||_K$, v\'erifie alors les in\'egalit\'es
classiques de Chern-Levine-Nirenberg (\cf [C-L-N],[B-T],[De2]) :
    $$||T\wedge dd^c\ff_1\wedge\ldots\wedge dd^c\ff_q||_K \le
        C_{K,\tilde K}||T||_{\tilde K}||\ff_1||_{L^\infty(\tilde K)}
                     \ldots||\ff_q||_{L^\infty(\tilde K)};\leqno(1.2)$$ 
on en d\'eduit ais\'ement que le courant 
$T\wedge dd^c\ff_1\wedge\ldots\wedge dd^c\ff_q$
est faiblement continu en $(\ff_1,\ldots,\ff_q)$ lorsque les 
$\ff_j$ convergent uniform\'ement sur tout compact.

  Soit maintenant $\ff :X\longrightarrow[-\infty,+\infty[$ une fonction psh
continue. On suppose que $\ff$ est {\it semi-exhaustive}, c'est-\`a-dire
par d\'efinition qu'il existe $R>0$ tel que
$\{ x\in X;\ff(x)<R\}\subset\!\subset X$. Pour tout r\'eel $r<R$ on pose
     $$\nu(T,\ff,r)
         ={1\over(2\pi)^p}\int_{\ff <r}T\wedge(dd^c\max(\ff,s))^p\leqno(1.3)$$
o\`u $s$ est un r\'eel quelconque $<r\ ;$ l'hypoth\`ese $dT=0$ et la formule 
de Stokes montrent que la quantit\'e $\nu(T,\ff,r)$ est bien ind\'ependante de
$s\ .$ Pour tous r\'eels $r_1<r_2<R$ on obtient par diff\'erence l'identit\'e
     $$\nu(T,\ff,r_2)-\nu(T,\ff,r_1)=
         {1\over(2\pi)^p}\int_{r_1\le\ff<r_2}T\wedge(dd^c\ff)^p$$
en choisissant $s<r_1$. En particulier, la fonction
             $$r\mapsto\nu(T,\ff,r)\leqno(1.4)$$
est croissante sur l'intervalle $]-\infty,R[.$
\tha D\'efinition 1.5|On appelle nombre de Lelong g\'en\'eralis\'e de $T$\break
relativement au poids $\ff$ la limite
            $$\nu(T,\ff)=\lim_{r\to-\infty}{\nu(T,\ff,r)}.$$\fintha
   Les nombres de Lelong g\'en\'eralis\'es pr\'ec\'edents avaient d\'ej\`a
\'et\'e introduits dans [De1] par une formule l\'eg\`erement diff\'erente
que nous rappelons ci-dessous~:
   $$\nu(T,\ff,t)=(2\pi e^t)^{-p}\int_{\ff<t}
            T\wedge(dd^ce^\ff)^p\quad,\quad\forall t<R\ .\leqno(1.6)$$
Posons $\ff_s=\max(\ff,s)$ avec $s<t\ .$ La formule de Stokes ram\`ene (1.6) 
\`a
   $$e^{pt}\int_{\ff<t}T\wedge(dd^c\ff_s)^p
                         =\int_{\ff<t}T\wedge(dd^ce^{\ff_s})^p\ .$$
Pour v\'erifier cette derni\`ere \'egalit\'e, on observe que
$$\eqalign{e^{pt}(dd^c\ff_s)^p-(dd^ce^{\ff_s})^p
  &=d[e^{pt}(dd^c\ff_s)^{p-1}\wedge d^c\ff_s
                   -(dd^ce^{\ff_s})^{p-1}\wedge d^c(e^{\ff_s})]\cr
  &=d[(e^{pt}-e^{p\ff_s})(dd^c\ff_s)^{p-1}\wedge d^c\ff_s].\cr}$$
Soit $\lambda:{\bf R}\longrightarrow{\bf R}$ une fonction croissante de
classe $C^\infty$  telle que $\lambda(t)=0$ pour $t\le1/2$ et $\lambda(t)=1$ 
pour $t\ge 1.$ Apr\`es int\'egration par parties, on obtient 
$$\eqalign{\int_{\ff<t}T\wedge&(e^{pt}(dd^c\ff_s)^p-(dd^ce^{\ff_s})^p)\cr
   &=\lim_{\ep\to0_+}\int\lambda\Bigl({{t-\ff_s}\over\ep}\Bigr)T\wedge
      (e^{pt}(dd^c\ff_s)^p-(dd^ce^{\ff_s})^p)=\lim_{\ep\to0_+}{I(\ep)}\cr}$$
avec
$$I(\ep)=\int T\wedge{1\over\ep}\lambda'\Bigl({{t-\ff_s}\over\ep}\Bigr)
        (e^{pt}-e^{p\ff_s})(dd^c\ff_s)^{p-1}\wedge d\ff_s\wedge d^c\ff_s.$$
Le support de la fonction $\lambda'((t-\ff_s)/\ep)$ est contenu dans la 
couronne\break $K(\ep) =\{\ep/2\le t-\ff_s\le\ep\}\ ;$
comme $\lambda'$ est born\'ee et que $e^{pt}-e^{p\ff_s}=O(\ep)$ sur $K(\ep),$ 
les in\'egalit\'es de Chern-Levine-Nirenberg $(1.2)$ impliquent
$I(\ep)\le C||T||_{K(\ep)}$ o\`u $||T||_{K(\ep)}$ tend vers $0$ quand $\ep$
tend vers $0_+.$ La formule $(1.6)$ est donc d\'emontr\'ee.

  {\bf{Exemple}} 1.7.-- Supposons que l'espace $X$ soit un ouvert de
${\bf C}^n$ et choisissons $\ff(z)=\log|z-x|,\ x\in X\ .$ Alors
$1/4dd^c(e^{2\ff})=1/4dd^c|z-x|^2$ est la m\'etrique hermitienne standard de
${\bf C}^n,$ de sorte que la formule $(1.6)$ appliqu\'ee \`a $2\ff$ s'\'ecrit
$$\nu(T,\ff,\log t)={1\over2^p}\nu(T,2\ff,2\log t)
                   ={{\sigma_T(\{z;|z-x|<t\})}\over{\pi^p t^{2p}/p!}}\ ,$$
o\`u $d\sigma_T=(1/4dd^c|x|^2)^p\wedge T/p!$ est la mesure trace de $T.$ Le 
nombre de Lelong g\'en\'eralis\'e $\nu(T,\ff)$ co\"{\i}ncide donc avec le
nombre de Lelong classique $\nu(T,x).$
 
  {\bf{Exemple}} 1.8.-- Soit $V$ une fonction psh sur un voisinage d'un
point $x\in{\bf C}^n.$ Notons $\theta_{x,R}$ la mesure de moyenne sur le 
polycercle
     $$\Gamma(x,R):=\{z\in{\bf C}^n;|z_j-x_j|=e^{R_j},1\le j\le n\}\ .$$
Si $a=(a_1,\ldots,a_n)\in]0,+\infty[^n,$ C.O. Kiselman[Ki3] consid\`ere les 
nombres de Lelong ``directionnels'' $\nu(V,x,a)$ d\'efinis par
      $$\nu(V,x,a)=\lim_{r\to-\infty}{{1\over r}\theta_{x,ra}(V)}.$$
En utilisant les r\'esultats et les notations de [De2], on va montrer que ces
nombres sont obtenus en fait pour le choix
      $$\ff(z)=\ff_{x,a}(z)=\max_j{1\over a_j}\log|z_j-x_j|\ .$$
Observons que $\{\ff<r\}$ est le polydisque admettant $\Gamma(x,ra)$ pour
fronti\`ere distingu\'ee. On sait d'apr\`es [De2] que la mesure $(dd^c\ff)^n$
est bien d\'efinie, parce que l'ensemble $\ff^{-1}(-\infty)$ est relativement
compact dans ${\bf C}^n .$ La quasi-homog\'en\'e\"{\i}t\'e de $\ff$ donne 
      $$(dd^c\ff)^n=(2\pi)^n(a_1\ldots a_n)^{-1}\delta_x\ ,$$
o\`u $\delta_x$ d\'esigne la mesure de Dirac au point $x\ .$ La mesure de
Monge-Amp\`ere $\mu_r:=(dd^c\ff)^{n-1}\wedge d^c\ff|_{\{\ff=r\}}$ est d'autre
part port\'ee par $\Gamma(x,ra)\ ,$ car sur le compl\'ementaire
${\bf C}^n\setminus\bigcup_{r\ge-\infty}\Gamma(x,ra)$ la fonction $\ff$ ne
d\'epend localement que de $n-1$ variables complexes et donc 
$(dd^c\ff)^{n-1}=0$ par raison d'homog\'en\'e\"{\i}t\'e. Comme la masse de
$\mu_r$ est \'egale \`a celle de $(dd^c\ff)^n$ et comme $\mu_r$ est invariante
par le\break groupe $U(1)^n$ il vient
       $$\mu_r=(2\pi)^n(a_1\ldots a_n)^{-1}\theta_{x,ra}.$$
Gr\^ace \`a la formule de Lelong-Jensen (\cf [De2],th.3.4), on voit que pour
tous r\'eels $r<r_0$ assez petits on a
 $$\int_r^{r_0} \nu(dd^cV,\ff,t)dt
   ={{\mu_{r_0}(V)-\mu_r(V)}\over{(2\pi)^{n-1}}}
   ={2\pi\over a_1\ldots a_n}\big(\theta_{x,r_0a}(V)-\theta_{x,ra}(V)\big)\ .$$
On obtient donc l'\'egalit\'e
   $$\nu(V,x,a)=\lim_{r\to-\infty}{1\over r}\theta_{x,ra}(V)=
       a_1\ldots a_n.\nu\Bigl({1\over2\pi}dd^cV,\ff_{x,a}\Bigr).\leqno(1.9)$$
Nous d\'efinirons en g\'en\'eral le nombre de Lelong directionnel d'un courant
$T$ par
     $$\nu(T,x,a)=a_1\ldots a_n.\nu(T,\ff_{x,a})\ ;\leqno(1.10)$$
ceci donne l'identit\'e $\ \nu(V,x,a)=\nu\big({1\over2\pi}dd^cV,x,a\big)\ .$
\vskip30pt
\titre 2. Th\'eor\`eme de comparaison|
  Nous red\'emontrons ici le r\'esultat de [Siu] sur l'invariance des nombres
de Lelong par changement de coordonn\'ees locales. Nous obtenons en fait un
r\'esultat beaucoup plus g\'en\'eral, permettant de comparer les nombres de
Lelong relatifs \`a des poids $\ff,\psi$ diff\'erents. Le lecteur pourra
comparer avec [De1] pour voir combien la d\'emonstration se trouve simplifi\'ee
par la possibilit\'e d'utiliser des poids $\ff$ qui sont seulement continus.
\tha Th\'eor\`eme 2.1|Soient $\ff,\psi:X\longrightarrow[-\infty,+\infty[$
des fonctions psh continues semi-exhaustives. On suppose que
$$l:=\limsup_{\ff(x)\to-\infty}{{\psi(x)}\over{\ff(x)}}<+\infty.$$
Alors $\ \nu(T,\psi)\le l^p\nu(T,\ff)\ ,$ et l'\'egalit\'e a lieu si 
$l=\lim \psi/\ff.$ \fintha
\dem D'apr\`es la d\'efinition $(1.3)$ on a
$$\nu(T,\lambda\ff)=\lambda^p\nu(T,\ff)$$
pour tout scalaire $\lambda>0.$ Il suffit donc de v\'erifier l'in\'egalit\'e
$\nu(T,\psi)\le\nu(T,\ff)$ sous l'hypoth\`ese $\limsup\psi/\ff<1.$
Pour tout $c>0,$ on consid\`ere la fonction psh $u_c=\max(\psi-c,\ff).$
Soit $r<R_\ff$ fix\'e et $a<r.$ Pour $c>0$ assez grand, on a $u_c=\ff\ $ sur
$\ \ff^{-1}([a,r]),$ donc 
$$\nu(T,\ff,r)=\nu(T,u_c,r)\ge\nu(T,u_c).$$
L'hypoth\`ese $\limsup\psi/\ff<1$ implique d'autre part qu'il existe $t_0<0$ 
tel que $u_c=\psi-c$ sur $\{u_c<t_0\}.$ On en d\'eduit aussit\^ot
$$\nu(T,u_c)=\nu(T,\psi-c)=\nu(T,\psi),$$
par cons\'equent $\nu(T,\psi)\le\nu(T,\ff).$ \finpreuve

  Supposons en particulier que $X$ soit une vari\'et\'e de Stein lisse et $x$
un point de $X.$ Soit $z^k=(z^k_1,\ldots,z^k_n)\ ,\ k=1,2,$ des syst\`emes de 
coordonn\'ees locales centr\'ees au point $x$ et
   $$\ff_k(z)=\log|z^k|=\log\bigl(|z^k_1|^2+\ldots+|z^k_n|^2\bigr)^{1/2}.$$
On a $\ \lim_{z\to x}{\ff_2(z)/\ff_1(z)}=1,$ donc $\nu(T,\ff_1)=\nu(T,\ff_2)$ 
d'apr\`es le th\'eor\`eme $2.1.$
\tha Corollaire 2.2|Les nombres de Lelong classiques $\nu(T,x)$ sont invariants
par changement de coordonn\'ees locales.\fintha
   De mani\`ere g\'en\'erale, si $X$ est un espace analytique, on d\'efinira
$\nu(T,x)$ par
     $$\nu(T,x)=\nu\Bigl(T,{1\over2}\log\sum_{1\le j\le N}|g_j|^2\Bigr),$$
o\`u $(g_j)_{1\le j\le N}$ est un syst\`eme g\'en\'erateur de l'id\'eal maximal
${\cal M}_{X,x}\subset{\cal O}_{X,x}\ ;$ cette d\'efinition est ind\'ependante 
du choix des $(g_j).$
\tha Corollaire 2.3|Sur un ouvert de ${\bf C}^n,$ les nombres de Lelong 
directionnels sont li\'es aux nombres de Lelong classiques par
     $$\nu(T,x)=\nu(T,x,a_1)\ ,\ a_1=(1,\ldots,1).$$\fintha
\dem Par d\'efinition, le nombre $\nu(T,x)$ est associ\'e au poids 
$\ff(z)=\log|z-x|\ $ et $\ \nu(T,x,a_1)$ au poids 
$\psi(z)=\log\max|z_j-x_j|\ .$ Il est clair que 
$\ \lim_{z\to x}\psi(z)/\ff(z)=1,$ d'o\`u la conclusion d'apr\`es le 
th\'eor\`eme 2.1. \finpreuve
\vskip30pt
\titre 3. Th\'eor\`eme de Thie|
   On suppose ici que $X$ est une vari\'et\'e analytique complexe de dimension 
$\ n\ $ et que $T$ est le courant d'int\'egration sur un ensemble analytique 
ferm\'e $A\subset X$ de dimension pure $p$ (\cf P. Lelong[Le1])~; on notera 
suivant l'usage $T=[A]\ .$ Nous nous proposons de red\'emontrer le r\'esultat 
de P.Thie[Th] donnant l'interpr\'etation des nombres de Lelong $\nu([A],x)$ 
comme multiplicit\'es de l'ensemble analytique $A\ .$

   Soit $x\in A$ un point fix\'e et ${\cal I}_{A,x}$ l'id\'eal des germes de
fonctions holomorphes en $x$ s'annulant sur $A\ .$ On peut alors trouver sur 
$X$ des coordonn\'ees locales $z=(z_1,\ldots,z_n),$ centr\'ees au
point $x,$ telles qu'il existe des polyn\^omes distingu\'es 
$P_j\in{\cal I}_{A,x}\ $ en la variable $z_j\ ,\ p<j\le n\ ,$ s'\'ecrivant 
sous la forme
$$P_j(z)=z_j^{d_j}+\sum_{k=1}^{d_j}a_{j,k}(z_1,\ldots,z_{j-1})z_j^{d_j-k}\ ,\ 
                a_{j,k}\in{\cal M}^k_{{\bf C}^{j-1},0}\ .\leqno(3.1)$$

  Montrons en effet cette propri\'et\'e par r\'ecurrence sur \ codim$X=n-p\ ,$
en identifiant le germe $(X,x)\ $ \`a $\ ({\bf C}^n,0)$ gr\^ace \`a un 
syst\`eme de coordonn\'ees locales $(w_1,\ldots,w_n)$ fix\'e une fois pour
toutes.

    Si $n-p\ge 1,$ il existe un \'el\'ement non nul $f\in{\cal I}_{A,x}\ .$
Soit $d$ le plus petit entier tel que $f\in{\cal M}_{{\bf C}^n,0}^d$ et soit
$e_n\in{\bf C}^n$ un vecteur non nul tel que $\lim_{t\to 0}{f(te_n)/t^d\ne 0}.$
Compl\'etons le vecteur $e_n$ en une base $(\tilde e_1,\ldots,
\tilde e_{n-1},e_n)\ $ de $\ {\bf C}^n$ et notons 
$(\tilde z_1,\ldots,\tilde z_{n-1},z_n)$ les coordonn\'ees correspondantes.
Le th\'eor\`eme de pr\'eparation de Weierstrass permet de factoriser $f$ sous 
la forme $f=gP,$ o\`u $P$ est un polyn\^ome distingu\'e de la forme $(3.1)$ en
la variable $z_n$ et o\`u $g$ est une fonction holomorphe inversible au point 
$x\ .$ Si $n-p=1 ,$ le polyn\^ome $P_n=P$ r\'epond \`a la question. 

    Si $n-p\ge 2 , {\cal O}_{A,x}={\cal O}_{X,x}/{\cal I}_{A,x}$  est un 
${\cal O}_{{\bf C}^{n-1},0}={\bf C}\{\tilde z_1,\ldots,\tilde z_{n-1}\}-$module
de type fini, c'est-\`a-dire que la projection ${\rm pr}:(X,x)\approx
({\bf C}^n,0)\longrightarrow({\bf C}^{n-1},0)$ est un morphisme 
fini de $(A,x)$ sur un germe $(Z,0)\subset({\bf C}^{n-1},0)
$ de dimension $p\ .$ L'hypoth\`ese de r\'ecurrence appliqu\'ee \`a
${\cal I}_{Z,0}={\cal O}_{{\bf C}^{n-1},0}\cap{\cal I}_{A,x}$ permet de trouver
une nouvelle base $(e_1,\ldots,e_{n-1})\ $ de $\ {\bf C}^{n-1}$ et des 
polyn\^omes $P_{p+1},\ldots,P_{n-1}\in{\cal I}_{Z,0}$ s'\'ecrivant
sous la forme $(3.1)$ dans les coordonn\'ees $(z_1,\ldots,z_{n-1})$ associ\'ees
\`a la base $(e_1,\ldots,e_{n-1})\ .$ Si l'on pose $P_n=P ,$ l'assertion
pr\'ec\'edente est alors d\'emontr\'ee \`a l'\'etape $n\ .$

  Etant donn\'e un polyn\^ome $Q(w)=w^d+a_1w^{d-1}+\ldots+a_d\in{\bf C}[w]\ ,$
toute racine $w\ $ de $\ Q$ v\'erifie
         $$|w|\le 2\max_{1\le k \le d}|a_k|^{1/k},\leqno(3.2)$$
sinon $Q(w)w^{-d}=1+a_1w^{-1}+\ldots+a_dw^{-d}$ serait de module sup\'erieur
ou \'egal \`a $1-(2^{-1}+\ldots+2^{-d})=2^{-d}\ ,$ ce qui est absurde.
Notons $z=(z',z'')$ avec $z'=(z_1,\ldots,z_p)\ $ et 
$\ z''=(z_{p+1},\ldots,z_n)\ .$ Comme $a_{j,k}\in{\cal M}^k_{{\bf C}^{j-1},0}$,
on a 
   $$\ |a_{j,k}(z_1,\ldots,z_{j-1})|^{1/k}=O(|z_1|+\ldots+|z_{j-1}|)\ 
                                                          {\rm si\ }j>p\ ,$$
et on d\'eduit de $(3.1)\ ,\ (3.2)$ que $|z_j|=O(|z_1|+\ldots+|z_{j-1}|)\ $ 
sur $(A,x)\ .$ Par suite, le germe $(A,x)$ est contenu dans un c\^one 
$|z''|\le C|z'|$.

   On va maintenant utiliser cette propri\'et\'e pour calculer le nombre de
Lelong du courant $[A]$ au point $x\ .$ Quand $z$ tend vers $x$ , les fonctions
$$\ff(z)=\log|z|=\log(|z'|^2+|z''|^2)^{1/2}\ ,\ \psi(z)=\log|z'|$$
sont \'equivalentes sur le germe $(A,x)$ ; d'apr\`es le th\'eor\`eme 2.1 ceci
entra\^{\i}ne
        $$\nu([A],x)=\nu([A],\ff)=\nu([A],\psi).$$
Soit $B'\subset{\bf C}^p$ la boule de centre $0$ et de rayon $r'$ , 
$B''\subset{\bf C}^{n-p}$ la boule de centre $0$ et de rayon $r''=Cr'$ . 
L'inclusion du germe $(A,x)$ dans le c\^one $|z''|\le C|z'|$ montre que pour 
$r'$ assez petit la projection
      $${\rm pr}:A\cap(B'\times B'')\longrightarrow B'$$
est propre et finie. L'application \ pr \  est donc un rev\^etement ramifi\'e 
ayant un nombre fini $q$ de feuillets. D'apr\`es la formule $(1.6)$ appliqu\'ee
\`a $2\psi$ on a
$$\eqalign{\nu([A],\psi,\log t)
     &=(4\pi t^2)^{-p}\int_{A\cap\{\psi<\log t\}}(dd^ce^{2\psi})^p\cr
     &=(4\pi t^2)^{-p}\int_{A\cap\{|z'|<t\}}({\rm pr}^\star dd^c|z'|^2)^p\cr
     &=(4\pi t^2)^{-p}.q.\int_{{\bf C}^p\cap\{|z'|<t\}}(dd^c|z'|^2)^p=q.\cr}$$
On obtient donc le th\'eor\`eme suivant, d\^u \`a P.Thie[Th].
\tha Th\'eor\`eme 3.3|Soit $A$ un ensemble analytique de dimension $p$ dans une
vari\'et\'e analytique complexe $X$ de dimension $\ n\ $ et soit $\ x\in A\ .$ 
Alors il existe au point $\ x\ $ des coordonn\'ees locales 
    $$z=(z',z'')\ ,\ z'=(z_1,\ldots,z_p)\ ,\ z''=(z_{p+1},\ldots,z_n)$$
et des boules $B'\subset{\bf C}^p\ ,\ B''\subset{\bf C}^{n-p}$ , relatives \`a 
ces coordonn\'ees, de rayons respectifs $\ r',r'',\ $ telles que 
$A\cap(B'\times B'')$ soit contenu dans le c\^one d'\'equation
$\ |z''|\le (r''/r')|z'|\ .$ On d\'efinit la multiplicit\'e de $A$ au point 
$x$ comme le nombre $\ q$ de feuillets dans le rev\^etement ramifi\'e
$A\cap(B'\times B'')\longrightarrow B'\ .$ Alors $\ \nu([A],x)=q.$ \fintha
\vskip30pt
\titre 4. Th\'eor\`eme d'analyticit\'e de Siu|
  On se donne ici un deuxi\`eme espace analytique $Y$ et une fonction\break
$\ff:X\times Y\longrightarrow[-\infty,+\infty[$ psh et continue. On suppose
que $\ff$ est {\it semi-exhaustive} par rapport \`a $X$ , c'est-\`a-dire que
pour tout compact $L\subset Y$ il existe $R=R(L)<0$ tel que
 $$\{(x,y)\in X\times L\,;
            \,\ff(x,y)\le R\}\subset\!\subset X\times Y.\leqno(4.1)$$
Soit $T$ un courant positif ferm\'e de bidimension $(p,p)$ sur $X$ . Pour 
tout point $y\in Y$ , la fonction $\ff_y(x):=\ff(x,y)$ est semi-exhaustive sur
$X$ ; on peut donc associer \`a $\ y\ $ le nombre de Lelong g\'en\'eralis\'e
$\nu(T,\ff_y)$ . La continuit\'e faible de la mesure
$T\wedge(dd^c\max(\ff_y,a))^p$ par rapport au param\`etre $\ y\ $ montre que
pour tous $r_1<r_2<R$ on a
  $$\limsup_{y\to y_0}{\nu(T,\ff_y,r_1)}\le\nu(T,\ff_{y_0},r_2).\leqno(4.2)$$
On en d\'eduit aussit\^ot que l'application $y\mapsto\nu(T,\ff_y)$ est
semi-continue sup\'e-\break rieurement. Les ensembles de niveau
  $$E_c=\{y\in Y ; \nu(T,\ff_y)\ge c\}\ ,\ c>0\leqno(4.3)$$
sont donc ferm\'es. On s'int\'eresse dans la suite au probl\`eme de savoir
si $E_c$ est en g\'en\'eral un ensemble analytique. Comme il s'agit d'une 
question locale, on peut supposer sans perte de g\'en\'eralit\'e que $Y$ est un
espace de Stein. Apr\`es addition d'une constante \`a $\ff$ , on peut supposer
aussi qu'il existe un compact $K\subset X$ tel que
$$\{(x,y)\in X\times Y ; \ff(x,y)\le 0\}\subset K\times Y.$$
$\bullet${\bf Premi\`ere \'etape} : {\sl construction d'un potentiel psh 
                                         local.}

   Notre objectif est ici de g\'en\'eraliser la construction classique des 
potentiels psh associ\'es \`a un courant positif ferm\'e (\cf P. Lelong[Le2]
et H. Skoda[Sk]), en rempla\c cant le noyau standard issu de la m\'etrique 
hermitienne de ${\bf C}^n$ par un noyau construit \`a l'aide du poids $\ff$~.

  D'apr\`es le th\'eor\`eme 2.1, seul le comportement asymptotique de $\ff$
au voisinage de l'ensemble polaire $\ff^{-1}(-\infty)$ entre en jeu. On va
donc se permettre de modifier l\'eg\'erement $\ff$ en dehors d'un voisinage
de $\ff^{-1}(-\infty)$ . Quitte \`a r\'etr\'ecir de nouveau $Y$ si 
n\'ecessaire, il existe une r\'egularisation $\psi\in C^\infty(X\times Y)$ de
$\ff$ telle que $\psi>\ff$ sur $X\times Y$ et $\psi<\ff+1/2$ sur l'ensemble
$$\{(x,y)\in X\times Y ; -2 \le \ff(x,y) \le 0 \}.$$
Apr\`es remplacement de $\ff$ par la fonction $\widehat\ff$ telle que
$$\left\{\eqalign{\widehat\ff&=\ff\cr
                  \widehat\ff&=\max(\ff,2\psi+1)\cr
                  \widehat\ff&=2\psi+1\cr}
         \eqalign{&{\quad\rm sur\quad}\cr
                  &{\quad\rm sur\quad}\cr
                  &{\quad\rm sur\quad}\cr}
         \eqalign{     &\ff(x,y)\le -2 \cr
                  -2\le&\ff(x,y)\le -1 \cr
                  -1\le&\ff(x,y)       \cr}\right.$$
on voit qu'on peut supposer $\ff$ de classe $C^{\infty}$ au voisinage de
$\{\ff(x,y)\ge-1\}$ . Soit $\chi\in C^\infty({\bf R},{\bf R})$ une fonction
croissante telle que $\ \chi(t)=t\ $ pour $\ t\le-1\ $ et $\ \chi(t)=0\ $ pour
$\ t\ge 0$ . Notons $H\subset{\bf C}$ le demi-plan
$H=\{z\in{\bf C};{\rm Re}z<-1\}$ . On associe \`a $T$ la fonction potentiel
$V$ sur $Y\times H$ d\'efinie par
$$V(y,z)=-\int^0_{{\rm Re}z}\nu(T,\ff_y,t)\chi'(t)dt.\leqno(4.4)$$
La formule $(1.3)$ entra\^{\i}ne pour tout $t>{\rm Re}z$ l'\'egalit\'e
$$\nu(T,\ff_y,t)
        =(2\pi)^{-p}\int_{\ff(x,y)<t}T(x)\wedge(dd^c_x\wt\ff(x,y,z))^p$$
avec $\ \wt\ff(x,y,z):=\max(\ff(x,y),{\rm Re}z)$ . Le th\'eor\`eme de 
Fubini appliqu\'e \`a $(4.4)$ donne alors
$$V(y,z)=(2\pi)^{-p}\int_{x\in X}T(x)\wedge\chi(\wt\ff(x,y,z))
                     (dd^c_x\wt\ff(x,y,z))^p.$$
Pour toute $(n-1,n-1)$-forme $\ h\ $ de classe $C^{\infty}$ \`a support compact
dans $Y\times H\ ,$ il vient
$$\eqalign{\langle dd^cV,h\rangle&=\langle V,dd^ch\rangle\cr
    &=(2\pi)^{-p}\int_{X\times Y\times H}T(x)\wedge\chi(\wt\ff(x,y,z))
                  (dd^c\wt\ff(x,y,z))^p\wedge dd^ch(y,z).}$$
La forme $\chi\circ\wt\ff.h$ est \`a support compact dans 
$X\times Y\times H$ . On peut donc int\'egrer par parties pour obtenir
$$\langle dd^cV,h\rangle=(2\pi)^{-p}\int_{X\times Y\times H}T(x)\wedge
  dd^c(\chi\circ\wt\ff(x,y,z))\wedge(dd^c\wt\ff(x,y,z))^p.h(y,z).$$
Sur la couronne $\{-1\le\ff(x,y)\le0\}\ $ on a $\ \wt\ff(x,y,z)=\ff(x,y)$
avec $\ \ff\ $ de classe $C^\infty$ , tandis que pour $\ff(x,y)<-1$ il vient
$\wt\ff<-1\ $ et $\ \chi\circ\wt\ff=\wt\ff\ .$ Comme $\ \wt\ff\ $
est psh, on voit que $dd^cV(y,z)$ est somme de la $(1,1)$-forme positive
   $$(y,z)\longmapsto(2\pi)^{-p}\int_{\{x\in X;\ff(x,y)<-1\}}
                      T(x)\wedge(dd^c_{x,y,z}\wt\ff(x,y,z))^{p+1}$$
et de la $(1,1)$-forme ind\'ependante de $z$ \`a coefficients localement 
born\'es
   $$y\longmapsto(2\pi)^{-p}\int_{\{x\in X;-1\le\ff(x,y)\le0\}}T\wedge 
                      dd^c_{x,y}(\chi\circ\ff)\wedge(dd^c_{x,y}\ff)^p.$$
La fonction $V$ est d'autre part continue sur $Y\times H$ gr\^ace \`a la 
continuit\'e faible de la mesure $T\wedge(dd^c_{x,y,z}\wt\ff)^p$ par rapport 
aux variables $(y,z)$ . On en d\'eduit par cons\'equent le r\'esultat suivant.
\tha Th\'eor\`eme 4.5|Il existe une fonction psh positive $\rho\in C^\infty(Y)$
telle que $\ V(y,z)+\rho(y)\ $ soit psh sur $\ Y\times H$ .\fintha
Si on fait tendre $\ {\rm Re}z\ $ vers $-\infty$ , on voit que la fonction
    $$U_0(y)=V(y,-\infty)+\rho(y)
            =\rho(y)-\int_{-\infty}^0\nu(T,\ff_y,t)\chi'(t)dt$$
est localement psh ou $\equiv-\infty$ sur $Y$ . De plus, il est clair que 
$U_0(y)=-\infty$ en tout point $\ y\ $ tel que $\nu(T,\ff_y)>0$ . Si $Y$ est
irr\'eductible et si $U_0\not\equiv-\infty ,$ on voit donc d\'ej\`a que 
l'ensemble de densit\'e $\bigcup_{c>0}E_c$ est pluripolaire dans $Y$ .

\noindent$\bullet${\bf Deuxi\`eme \'etape} : {\sl utilisation du principe du 
                                                  minimum de Kiselman.}

   Soit $\ \alpha\ $ un r\'eel $\ge0\ $ quelconque. La fonction
     $$Y\times H\ni (y,z)\longmapsto V(y,z)+\rho(y)-\alpha{\rm Re}z$$
est alors psh et ind\'ependante de $\ {\rm Im}z$ . D'apr\`es le principe du
minimum de Kiselman[Ki1] , la transform\'ee de Legendre
     $$U_\alpha(y)=\inf_{r<-1}[V(y,r)+\rho(y)-\alpha r]$$
est localement psh ou $\equiv-\infty$ sur $Y$ .
\tha Lemme 4.6|Soit $y_0\in Y$ un point fix\'e.\hfil\break
a) Si $\ \alpha>\nu(T,\ff_{y_0})$ , alors $U_\alpha$ est born\'ee
inf\'erieurement dans un voisinage de $\ y_0.$\hfil\break
b) Si $\ \alpha<\nu(T,\ff_{y_0})$ , alors $\ U_\alpha(y_0)=-\infty$ .\fintha
\dem Par d\'efinition de V (\cf  $(4.4)$) on a
$$V(y,r)\le-\nu(T,\ff_y,r)\int_r^0\chi'(t)dt=r\nu(T,\ff_y,r)
                 \le r\nu(T,\ff_y).\leqno(4.7)$$
Il en r\'esulte bien que $U_\alpha(y_0)=-\infty\ $ si 
$\ \alpha<\nu(T,\ff_{y_0})$ . D'autre part, si on a\break
$\nu(T,\ff_{y_0})<\alpha$ , il existe $t_0<0$ tel que 
$\nu(T,\ff_{y_0},t_0)<\alpha$. Soit $r_0<t_0$ fix\'e. La propri\'et\'e de 
semi-continuit\'e $(4.2)$ entra\^{\i}ne qu'il existe un voisinage $\ \omega\ $
de $\ y_0$ tel que $\ \sup_{y\in\omega}\ \nu(T,\ff_y,r_0)<\alpha\ .$ Pour tout
$y\in\omega$ , on a alors
$$V(y,r)\ge-C-\alpha\int_r^{r_0}\chi'(t)dt=-C+\alpha(r-r_0),$$
ce qui implique $U_\alpha(y)\ge-C-\alpha r_0.$ \finpreuve\eject
\tha Th\'eor\`eme 4.8|Si $Y$ est irr\'eductible et si $E_c\ne Y$ , alors $E_c$ 
est un ensemble ferm\'e pluripolaire complet dans $Y$ , \ie il existe une 
fonction psh continue $\ w:Y\longrightarrow[-\infty,+\infty[$ telle que 
$E_c=w^{-1}(-\infty)$ . \fintha
\dem On observe d'abord que la famille $(U_\alpha)$ est croissante en 
$\alpha\ ,$ que $U_\alpha=-\infty\ $ sur $\ E_c$ pour tout $\alpha<c\ ,$ et que
$\ \sup_{\alpha<c}U_\alpha(y)>-\infty$ si $\ y\in Y\setminus E_c$ (\cf lemme
$4.6$). Soit $(Y_k)_{k\ge1}$ une suite exhaustive de compacts de $Y\ .$
Pour tout entier $k\ge1$ , soit $w_k\in C^\infty(Y)$ une 
r\'egularis\'ee de $U_{c-1/k}$ telle que $w_k\ge U_{c-1/k}\ $ sur $\ Y\ $ et 
$\ w_k\le-2^k\ $ sur $\ E_c\cap Y_k$ . Le lemme $4.6$ {\sl a)} montre que la 
famille $(w_k)$ est uniform\'ement minor\'ee sur tout compact de 
$Y\setminus E_c$ , et on peut \'egalement choisir les $\ w_k\ $
uniform\'ement major\'ees sur tout compact de $Y$ puisque 
$U_{c-1/k}\le U_c$ . La fonction
            $$w=\sum_{k=1}^{+\infty}2^{-k}w_k$$
r\'epond alors \`a la question. \finpreuve

\noindent
$\bullet${\bf Troisi\`eme \'etape} : {\sl estimation de la singularit\'e des 
                                          potentiels} $U_\alpha$.

   Pour pouvoir obtenir une telle estimation, nous avons besoin d'une
information sur le comportement de $\ \ff\ $ au voisinage des p\^oles. Dans la
suite, on consid\`ere l'espace $Y$ comme \'etant plong\'e dans un ouvert de
Stein $\Omega\subset{\bf C}^N$ , et on munit $Y$ de la distance induite par la
distance euclidienne de ${\bf C}^N$ .
\tha Hypoth\`ese 4.9|On suppose que $e^{\ff(x,y)}$ est localement 
h\"old\'e\-rienne en $\ y\ $ sur $\ X\times Y$ , c'est-\`a-dire que pour tout
compact $K\subset X\times Y$ , il existe des constantes $M>0\ ,
\gamma\in]0,1]$ telles que
$$|e^{\ff(x,y_1)}-e^{\ff(x,y_2)}|\le M|y_1-y_2|^\gamma\leqno(4.10)$$
pour tous $(x,y_1)\in K\ ,\ (x,y_2)\in K$ .\fintha
   On observera que l'hypoth\`ese $4.9$ est satisfaite pour toute fonction
$\ \ff\ $ de la forme
      $$\ff=\max_j\ \log\Bigl(\sum_k|F_{j,k}|^{\gamma_{j,k}}\Bigr)$$
o\`u les $F_{j,k}$ sont des fonctions holomorphes sur $X\times Y$ et les 
$\gamma_{j,k}$ des constantes r\'eelles $>0$ ; dans ce cas $e^\ff$ est
h\"old\'erienne d'ordre $\gamma=\min(\gamma_{j,k},1)$ .
\tha Th\'eor\`eme 4.11|Soit $y_0\in Y$ un point fix\'e, $L$ un voisinage 
compact de $y_0$ , $K\subset X$ une partie compacte et $r_0$ un r\'eel $<-1$ 
tels que
    $$\{(x,y)\in X\times L;\ff(x,y)\le r_0\}\subset K\times L.$$
On suppose que $\ \ff\ $ v\'erifie l'in\'egalit\'e $(4.10)$ pour tous
$(x,y_1,y_2)\in K\times L\times L$ . Alors, quel que soit $\ep\in]0,1[\ $, il
existe un r\'eel $\eta(\ep)>0$ tel que pour tout $\ y\in Y$ v\'erifiant
$|y-y_0|<\eta(\ep)$ , on ait
    $$U_\alpha(y)\le\bigl((1-\ep)^p\nu(T,\ff_{y_0})-\alpha\bigr)
                \Bigl(\gamma\log|y-y_0|+\log{{2eM}\over\ep}\Bigr)+\rho(y).$$
\fintha
\dem On commence par estimer $\nu(T,\ff_y,r)$ lorsque $y\in L$ est voisin de 
$y_0$ . Posons
$$\left\{ \eqalign{\psi(x)&=(1-\ep)\ff_{y_0}(x)+\ep r-\ep/2\cr
                   \psi(x)&=\max\bigl(\ff_y(x),(1-\ep)\ff_{y_0}(x)+\ep r-\ep/2
                                                               \bigr)\cr
                   \psi(x)&=\ff_y(x)\cr}
          \eqalign{&{\quad\rm si\quad}\cr
                   &{\quad\rm si\quad}\cr
                   &{\quad\rm si\quad}\cr}
          \eqalign{      &\ff_{y_0}(x)\le r-1\cr
                   r-1\le&\ff_{y_0}(x)\le r \cr
                     r\le&\ff_{y_0}(x)\le r_0\cr} \right.$$
et v\'erifions que cette d\'efinition est bien coh\'erente si $|y-y_0|$ est 
assez petit. Par hypoth\`ese
$$|e^{\ff_y(x)}-e^{\ff_{y_0}(x)}|\le M|y-y_0|^\gamma.$$
On en d\'eduit aussit\^ot les in\'egalit\'es
$$\eqalign{\ff_y(x)&\le\ff_{y_0}(x)+\log\bigl(1+M|y-y_0|^\gamma 
                          e^{-\ff_{y_0}(x)}\bigr)\cr
           \ff_y(x)&\ge\ff_{y_0}(x)+\log\bigl(1-M|y-y_0|^\gamma
                          e^{-\ff_{y_0}(x)}\bigr).\cr}$$
En particulier, pour $\ff_{y_0}(x)=r$ il vient
                $(1-\ep)\ff_{y_0}(x)+\ep r-\ep/2=r-\ep/2\ $ et
      $$\ff_y(x)\ge r+\log(1-M|y-y_0|^\gamma e^{-r}),$$
tandis que pour $\ff_{y_0}(x)=r-1$ on a 
                $(1-\ep)\ff_{y_0}(x)+\ep r-\ep/2=r-1+\ep/2\ $ et
      $$\ff_y(x)\le r-1+\log(1+M|y-y_0|^\gamma e^{1-r}).$$
La d\'efinition de $\ \psi\ $ est donc coh\'erente d\`es que
$M|y-y_0|^\gamma e^{1-r}\le\ep/2$ , c'est-\`a-dire
      $$\gamma\log|y-y_0|+\log{{2eM}\over\ep}\le r .$$
Dans ce cas $\ \psi\ $ co\"{\i}ncide avec $\ff_y$ au voisinage de 
$\{\psi=r\}$ , et avec 
         $$(1-\ep)\ff_{y_0}(x)+\ep r-\ep/2$$
au voisinage de l'ensemble polaire $\psi^{-1}(-\infty)$ . Par d\'efinition de
la quantit\'e $\nu(T,\psi,r)$ ceci entra\^{\i}ne
  $$\nu(T,\ff_y,r)=\nu(T,\psi,r)\ge\nu(T,\psi)=(1-\ep)^p\nu(T,\ff_{y_0}).$$
Gr\^ace \`a $(4.7)$ on obtient $\ V(y,r)\le r\nu(T,\ff_y,r)\ ,$ d'o\`u
$$\leqalignno{
     U_\alpha(y)&\le V(y,r)+\rho(y)-\alpha r\le 
                   r\big(\nu(T,\ff_y,r)-\alpha\big)+\rho(y)\ ,\cr
     U_\alpha(y)&\le r\bigl((1-\ep)^p\nu(T,\ff_{y_0})-\alpha\bigr)+\rho(y)\ .
                   &(4.12)\cr}$$
Supposons $\gamma\log|y-y_0|+\log(2eM/\ep)\le r_0$ , \ie 
$|y-y_0|\le(\ep/2eM)^{1/\gamma}e^{r_0/\gamma}$ ;\break on peut choisir alors 
$r=\gamma\log|y-y_0|+\log(2eM/\ep)$ , et d'apr\`es $(4.12)$ ceci donne 
l'in\'egalit\'e du th\'eor\`eme $4.11$ . \finpreuve

\noindent
$\bullet${\bf Quatri\`eme \'etape} : {\sl utilisation des estimations $L^2$ 
                                          de H\"ormander.}

   Supposons d'abord que $Y$ soit une vari\'et\'e de Stein lisse, et notons
$\ m\ $ la dimension de $Y$ . La d\'emonstration repose sur le lemme crucial 
suivant (\cf H\"ormander[H\"o], corollary 4.4.6, et Bombieri[Bo]).
\tha Lemme 4.13|Soit $\ w\ $ une fonction psh sur $Y$ . Alors l'ensemble des
points $y\in Y$ au voisinage desquels $e^{-w}$ n'est pas localement sommable
est un sous-ensemble analytique de $Y$ . \fintha
   La fin de la d\'emonstration reprend l'id\'ee de la m\'ethode de C.O.
Kiselman[Ki2]~. Pour tous r\'eels $\alpha,\beta>0$ notons $Z_{\alpha,\beta}$ 
l'ensemble des points $y\in Y$ au voisinage desquels $\exp(-U_\alpha/\beta)$ 
n'est pas localement sommable. Comme la famille $(U_\alpha)$ est croissante en
$\alpha$~, on a $\ Z_{\alpha',\beta'}\supset Z_{\alpha'',\beta''}\ $ si
$\ \alpha'\le\alpha''\ $ et $\ \beta'\le\beta''$ .

  Soit $y_0$ un point fix\'e de $Y$ . Distinguons deux cas suivant que $y_0$
appar-tient ou non \`a $E_c$ . Si $y_0\notin E_c$ alors $\nu(T,\ff_{y_0})<c$ 
par d\'efinition. Choisissons $\alpha$ tel que $\nu(T,\ff_{y_0})<\alpha<c$ ;
d'apr\`es le lemme $4.6\ ${\sl a)} , la fonction $U_\alpha$ est born\'ee 
inf\'erieurement au voisinage de $y_0$ , donc $y_0\notin Z_{\alpha,\beta}$ pour
tout $\beta>0$ . Si $y_0\in E_c$ et si $\alpha<c$, alors le lemme $4.11$
implique que pour tout $\ \ep>0\ $ on a
       $$U_\alpha(y)\le(1-\ep)(c-\alpha)\gamma\log|y-y_0|+C(\ep)\ ;$$
cette in\'egalit\'e entra\^{\i}ne que $\ \exp(-U_\alpha/\beta)$ est non 
sommable au voisinage de $y_0$ d\`es que $\ \beta<(c-\alpha)\gamma/2m$ . 
On en d\'eduit donc
  $$E_c=\bigcap_{{{\scriptstyle\alpha<c}\atop
          {\scriptstyle\beta<(c-\alpha)\gamma/2m}}}Z_{\alpha,\beta}\ ,$$
ce qui prouve que $E_c$ est un sous-ensemble analytique de $Y$ . 

   Dans le cas o\`u $Y$ est un espace analytique avec singularit\'es, on peut
d'apr\`es Hironaka[Hi] trouver une modification lisse 
$\pi:\wt Y\longrightarrow Y$ . Pour tout $\ \wt y\in\wt Y$ , posons
         $$\wt\ff(x,\wt y)=\ff(x,\pi(\wt y\,)),$$
  $$\wt E_c=\{\wt y\in\wt Y;\nu(T,\wt\ff_{\wt y})\ge c\}.$$
Alors $E_c=\pi(\wt E_c)$ , par suite $E_c$ est analytique comme image propre
d'un ensemble analytique (th\'eor\`eme de Remmert [Re1] , [Re2]). On obtient
donc l'\'enonc\'e suivant, qui g\'en\'eralise \`a la fois le th\'eor\`eme 
d'analyticit\'e de [Siu] et celui de Kiselman [Ki3].
\tha Th\'eor\`eme 4.14|Soient $X,Y$ des espaces analytiques complexes,\break
$X$ \'etant de Stein, et $T$ un courant positif ferm\'e sur $X$ . Soit
       $$\ff:X\times Y\longrightarrow[-\infty,+\infty[$$
une fonction psh continue. On suppose que $\ \ff\ $ est semi-exhaustive 
relativement \`a $X$ et que $e^{\ff(x,y)}$ est localement h\"old\'erienne 
en $y$ sur $X\times Y\ .$ Alors les ensembles de niveau
          $$E_c=\{y\in Y;\nu(T,\ff_y)\ge c\}$$
sont des sous-ensembles analytiques de $Y$ . \fintha
   On peut conjecturer que le th\'eor\`eme $4.14$ est encore vrai sans
l'hypoth\`ese de continuit\'e h\"old\'erienne de $e^\ff$ , mais comme
la plupart des poids $\ \ff\ $ int\'eressants v\'erifient cette hypoth\`ese,
il nous semble que la g\'en\'eralisation ainsi obtenue ne serait pas tr\`es
significative.
\vfill\eject 
\titre Bibliographie|
\eightpoint
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\article B-T|E. Bedford {\rm and} B.A. Taylor|A new capacity for 
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