\magnification=1200
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\parindent=0mm \parskip=6pt plus 2pt minus 2pt

\input macros_ocr.tex

\def\frac#1#2{{#1\over #2}}
\def\lrcorner{\mathrel{\kern1pt\vrule width 0.45em depth 0em height 0.04em
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\def\Dom{\mathop{\rm Dom}}
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\def\Langle{\langle\!\langle}
\def\Rangle{\rangle\!\rangle}

\footline{\hfill}
\headline{\ifnum \pageno=1 \hfil\else
\ifodd \pageno {\sevenbf \hfil
Sur l'identit\'e de Kodaira-Nakano en g\'eom\'etrie hermitienne\hfil\folio}
\else {\sevenbf \folio\hfil S\'eminaire P.~Lelong, P.~Dolbeault, H.~Skoda
1983/1984\hfil} \fi\fi}

\def\statement{\bf}

{\sevenrm\baselineskip=8pt
S\'eminaire P.~LELONG, P.~DOLBEAULT, H.~SKODA\\
(Analyse) 24e ann\'ee, 1983/84\\
Lecture Notes in Math.\ {\sevenbf 1198}, Springer, pages 88--97
\vskip1.5cm}

\centerline{\hugebf Sur l'identit\'e de Kodaira-Nakano}
\medskip
\centerline{\hugebf en g\'eom\'etrie hermitienne} 
\bigskip
\centerline{par Jean-Pierre Demailly}
\vskip5pt
\centerline{{\it Universit\'e de Grenoble I, Institut Fourier}}
\centerline{{\it 
Laboratoire de Math\'ematiques associ\'e au C.N.R.S.\ n$^\circ$188}}
\centerline{{\it BP 74, F-38402 Saint-Martin d'H\`eres, France}}
\vskip1cm

{\leftskip=9mm\rightskip=9mm
Nous d\'{e}montrons une identit\'{e} de Kodaira-Nakano g\'{e}n\'{e}ralis\'{e}e,
reliant les Laplaciens de Beltrami holomorphes et anti-holomorphes d'un 
fibr\'{e} vectoriel hermitien au-dessus d'une vari\'{e}t\'{e} complexe
hermitienne, avec calcul explicite des termes de torsion.
\medskip
We prove a generalized Kodaira-Nakano identity relating holomorphic and 
anti-holo\-mor\-phic Laplace-Beltrami operators of a hermitian vector 
bundle over a hermitian complex manifold, with explicit computations 
of torsion terms.\par}
\bigskip\bigskip

{\bigbf 0. -- Introduction et notations.}

Soit $E$ un fibr\'{e} vectoriel holomorphe hermitien de rang $r$ au-dessus d'une vari\'{e}t\'{e} analytique complexe $X$ de dimension $n$. On d\'{e}signe par $D=D'+D''$ la connexion canonique de $E$ et par $c(E)=D^2=D'D''+D''D'$ la forme de courbure associ\'{e}e. On suppose donn\'{e}e une metrique hermitienme
$$
\omega=i\sum_{1\leq j,k\leq n}\omega_{jk}\,dz_j\wedge d\overline{z}_k
$$
de classe $\cC^{\infty}$ sur $X$. Le module bigradu\'{e} $\bigoplus_{p,q}
\cD_{p,q}(X,E)$ des formes diff\'{e}rentielles $\cC^{\infty}$ \`{a} support 
compact dans $X$ et \`{a} valeurs dans $E$ se trouve alors muni d'un 
produit scalaire
$$
\Langle u|v\Rangle=
\int_{X}\langle u,v\rangle\,dV,\qquad dV=\frac{1}{n!}\omega^n,
$$
o\`{u} le produit scalaire ponctuel $\langle u, v\rangle$ est d\'{e}fini 
\`{a} l'aide de $\omega$ et de la m\'{e}trique sur les fibres de~$E$. 
On d\'{e}signe par $\delta'$, $\delta''$ les adjoints (formels) de $D'$ et 
$D''$ op\'{e}rant sur $\cD_{\bullet,\bullet}(X,E)$ et par $L$ 
l'op\'{e}rateur $Lu=\omega\wedge u$ et $\Lambda$ l'adjoint de~$L$. 
On note enfin
$$
[A,B] = AB -(-1)^{\deg A\deg B} BA
$$
le crochet de l'alg\`{e}bre de Lie gradu\'{e}e des endomorphismes de 
$\cD_\bullet(X,E)$ et
$$
\Delta'=[D',\delta'],\qquad \Delta''=[D'',\delta'']
$$
les op\'{e}rateurs de Laplace-Beltrami holomorphe et anti-holomorphe. On a alors l'identit\'{e} classique suivante, attribu\'{e}e a Bochner-Calabi-Kodaira-Nakano.
\medskip

{\statement Th\'{e}or\'{e}me.\pointir} {\it Si la m\'{e}trique $\omega$ est 
k\"ahlerienne $($i.e.\ $d\omega=0)$, on a l'\'{e}galit\'{e}
$$
\Delta''=\Delta'+[ic(E),\Lambda].
$$}\vskip-\parskip

Les demonstrations usuelles de cette identit\'{e} reposent sur la
relation de commuta[ion $[\Lambda,D'] =i\delta''$ (voir aussi
P.~Griffiths [1] pour une autre m\'{e}thode). Dans le cas o\`{u}
$\omega$ n'est pas k\"{a}hl\'{e}rienne appara\^{\i}t un terme de
torsion suppl\'{e}mentaire que nous nous proposons d'expliciter
compl\`{e}tement. De telles formules avaient d\'{e}j\`{a} \'{e}t\'{e}
\'{e}tudi\'{e}es dans la th\`{e}se de J.~Le Potier [2] et l'article de
T.~Ohsawa [3] pour d\'{e}montrer des th\'{e}or\`{e}mes d'annulation de
la cohomologie. Comme la th\`{e}se de Le Potier n'est pas ais\'{e}ment
accessible, nous avons jug\'{e} utile de refaire une partie des
calculs en d\'{e}tail, par une m\'{e}thode d'ailleurs plus
\'{e}l\'{e}mentaire qui n'utilise pas les formes primitives et la
d\'{e}composition de Lepage. Nous avons d'autre part pouss\'{e} les
calculs plus loin de mani\`{e}re \`{a} simplifier l'\'{e}criture des
op\'{e}rateurs d'ordre un \lguil\?parasites\?\rguil\ dus \`{a} la
torsion dans l'identit\'{e} de Kodaira-Nakano (cf.~th\'{e}or\`{e}me 2.12).
\bigskip

{\bigbf 1. -- Relations de commutation.}

Si $a$ est un \'{e}l\'{e}ment de l'alg\`{e}bre ext\'{e}rieure 
$\bigwedge\Hom_{\bR}(TX,\bC)$, on note encore $a$ l'op\'{e}rateur 
de multiplication ext\'{e}rieure $u\mapsto a\wedge u$. Le produit
int\'{e}rieur par $\overline{a}$ est par d\'{e}finition l'op\'{e}rateur 
adjoint $a^{*}$ :
$$
\langle\overline{a}\lrcorner u,v\rangle=\langle a^{*}u,v\rangle =
\langle u,\ a\wedge v\rangle.
$$
Nous allons d\'{e}montrer les relations de commutation suivantes.
\medskip

{\statement Th\'eor\`eme 1.1.\pointir} {\it Soit $\tau$ l'op\'erateur de 
type $(1,0)$ d\'{e}fini par $\tau=[\Lambda,d'\omega]$. Alors~$:$
{\parindent=6.5mm
\vskip2pt
\item{\rm(a)} $[\delta'',L] = i(D'+\tau),$
\vskip2pt
\item{\rm(b)} $[\delta',L] = -i(D''+\overline\tau),$
\vskip2pt
\item{\rm(c)} $[\Lambda,D''] = -i(\delta'+\tau^*),$
\vskip2pt
\item{\rm(d)} $[\Lambda,D'] = i(\delta''+\overline\tau^*)$.
\vskip2pt}
$d'\omega$ sera appel\'{e}e forme de torsion et $\tau$ op\'{e}rateur 
de torsion.}
\medskip


Les relations (c) et (d) r\'{e}sultent de (a) et (b) par
adjonction. Gr\^{a}ce au lemme ci-dessous, on peut supposer en fait
que $E$ est le fibr\'{e} trivial $X\times\bC$ avec m\'{e}trique
constante, et que $D=d=d'+d''$.
\medskip

{\statement Lemme 1.2.\pointir} {\it Pour tout $x_0\in X$, il existe un rep\`{e}re holomorphe $(e_{\lambda})_{1\leq\lambda\leq r}$ de $E$ au voisinage de $x_0$ tel que
$$
\langle e_{\lambda}(z),e_{\mu}(z)\rangle=\delta_{\lambda\mu}+O(|z|^2)
$$
relativement \`{a} un syst\`{e}me de coordonn\'{e}es locales $(z_j)_{1\leq j\leq n}$ centr\'{e} en $x_0$.}
\medskip

En effet, si $(h_{\lambda})$ est un rep\`{e}re holomorphe de $E$ orthonorm\'{e} au point $x$ et si
$$
\langle h_\lambda(z),h_\mu(z)\rangle=\delta_{\lambda\mu}+\sum_j
(c_{\lambda\mu j}z_j+c'_{\lambda\mu j}\overline{z}_j)+O(|z|^2),\qquad
c'_{\lambda\mu j}=\overline{c_{\mu\lambda j}},
$$
il suffit de poser
$$
e_{\lambda}(z)=h_{\lambda}(z)-\sum_{\mu,j}c_{\lambda\mu j}(z)h_\mu(z).\eqno\square
$$

\'Etant donn\'{e} une section $s=\sum_{\lambda}s_{\lambda}\otimes e_{\lambda}$ 
de $\cC_{p,q}^{\infty}(X,E)$ on a alors
$$
\eqalign{
D_{E}s&=\sum_\lambda ds_{\lambda}\otimes e_{\lambda}+O(|z|)\cr
\delta_{E}''s&=\sum_\lambda\delta''s_{\lambda}\otimes e_{\lambda}+O(|z|),~\ldots~,
\cr}
$$
ce qui ram\`{e}ne la preuve du th\'{e}or\`{e}me~1.1 au cas du fibr\'{e} trivial
$X\times\bC$.

Soit maintenant $(z_j)_{1\leq j\leq n}$ un syst\`{e}me de coordonn\'{e}es locales
centr\'{e} en un point $x_0\in X$, tel que $dz_j(x_0)$ soit une base 
orthonorm\'{e}e de l'espace cotangent pour la m\'{e}trique $\omega(x_0)$.
Posons
$$
\eqalign{
\omega_0&=i\sum_{1\leq j\leq n}dz_j\wedge d\overline{z}_j\cr
\omega&=\omega_0+\gamma\qquad\hbox{avec~$\gamma=O(|z|)$}.\cr}
$$
D\'{e}signons par $\langle~,~\rangle_0$, $L_0$ , $\Lambda_0$ ,
$\delta_0'$ , $\delta_0''$ le produit scalaire et les
op\'{e}rateurs associ\'{e}s \`{a} la m\'{e}trique $\omega_0$ et soit
$dV_0=\frac{1}{n!}\omega_0^n$. Les relations de commutation de la
g\'{e}om\'{e}trie k\"{a}hl\'{e}rienne dans $\bC^n$ impliquent
$$
[\delta_0'',L]=id'.
$$
La d\'{e}monstration des relations 1. 1 $(a-d)$ se fait maintenant
gr\^{a}ce \`{a} un d\'{e}veloppement limit\'{e} des op\'{e}rateurs
$L$, $\Lambda$ , $\delta'$, $\delta''$ en fonction de ces m\^{e}mes
op\'{e}rateurs \lguil\?fig\'{e}s\rguil\ au point~$x_0$.
\medskip

{\statement Lemme 1.3.\pointir} {\it Soient $u$, $v$ deux $(p,q)$-formes 
$\cC^{\infty}$ sur~$X$. Alors
$$
\langle u,v\rangle\,dV=\langle u-[\gamma,\Lambda_0]u,v\rangle_0\,dV_0
+O(|z|^2)
$$
au voisinage de $x_0$.}
\medskip

{\it D\'{e}monstration}. -- Soit
$$
\gamma=i\sum_{1\leq j\leq n}\gamma_j\,\zeta_j\wedge\overline{\zeta}_j,\qquad
\gamma_1\leq \gamma_2\leq\cdots\leq \gamma_n
$$
une diagonalisation de la $(1,1)$-forme $\gamma(z)$ dans une base $(\zeta_j)$ 
de $T_{z}^{*}X$ , orthonorm\'{e}e relativement \`{a} $\omega_0(z)$. On a alors
$$
\omega=\omega_0+\gamma=i\sum_{1\leq j\leq n}
\lambda_j\,\zeta_j\wedge\overline{\zeta_j}
$$
avec $\lambda_j=1+\gamma_j$ et $\gamma_j=O(|z|)$. Posons
$$
\eqalign{
J&=\{j_1,\ldots,j_p\},\qquad \zeta_J=\zeta_{j_1}\wedge\ldots\wedge\zeta_{j_p},
\qquad\lambda_J=\lambda_{j_1}\ldots\lambda_{j_p},\cr
u&=\sum_{|J|=p,\,|K|=q} u_{J,K}\,\zeta_J\wedge\overline\zeta_K,\qquad
v=\sum_{|J|=p,\,|K|=q} v_{J,K}\,\zeta_J\wedge\overline\zeta_K\cr}
$$
o\`{u} la somme est \'{e}tendue aux multi-indices $J$, $K$ {\it croissants} 
tels que $|J|=p$ , $|K|=q$. Relativement \`{a} $\omega$ on a 
$\langle\zeta_j,\zeta_j\rangle=\lambda_j^{-1}$, d'o\`{u}
$$
\eqalign{
\langle u,v\rangle\, dV
&=\sum_{J,K}\lambda_J^{-1}\lambda_K^{-1}u_{J,K}\overline v_{J,K}
\,\lambda_1\ldots\lambda_n\,dV_0\cr
&=\sum_{J,K}\Big(1-\sum_{j\in J}\gamma_j-\sum_{j\in K}\gamma_j+
\sum_{1\leq j\leq n}\gamma_j\Big)u_{J,K}\overline V_{J,K}\,dV_0+
O(|z|^2).\cr}
$$
Le lemme 1.3 est alors cons\'{e}quence du lemme suivant~:
\medskip

{\statement Lemme 1.4.\pointir} {\it On a
$$
[\gamma,\Lambda_0]u=\sum_{J,K}\Big(\sum_{j\in J}\gamma_j+\sum_{j\in K}\gamma_j
-\sum_{1\leq j\leq n}\gamma_j\Big)u_{J,K}\,\zeta_J\wedge\overline{\zeta}_K,
$$}%
lequel r\'{e}sulte \`{a} son tour des formules
$$
\eqalignno{
\Lambda_0u
&=i(-1)^{p}\sum_{j\notin L\cup M}u_{jL,jM}\,\zeta_L\wedge\overline\zeta_M,
\qquad|L|=p-1,\quad|M|=q-1,\cr
\gamma\wedge u
&=i(-1)^p\sum_{k\notin J\cup K}\gamma_k u_{J,K}\,\zeta_{kJ}\wedge
\overline\zeta_{kK},\cr
[\gamma,\Lambda_0]u
&=\sum_{j,k\notin L\cup M}\gamma_ku_{jL,jM}\,\zeta_{kL}\wedge\overline\zeta_{kM}-
\sum_{j=k\notin J\cup K}\gamma_ku_{J,K}\,\zeta_J\wedge\overline\zeta_K\cr
&\phantom{{}=\sum_{j,k\notin L\cup M}\gamma_k
u_{jL,jM}\,\zeta_{kL}\wedge\overline\zeta_{kM}}
-\sum_{j,k\notin L\cup M,\,j\ne k}\gamma_ku_{jL,jM}\,\zeta_{kL}
\wedge\overline\zeta_{kM}\cr
&=\sum_{J,K}\Big(\sum_{j\in J\cap K}\gamma_j-\sum_{j\not\in J\cup K}\gamma_j
\Big)u_{J,K}\,\zeta_J\wedge\overline{\zeta}_K.&\square\cr}
$$

{\statement Proposition 1.5.\pointir} {\it On a
$\delta''=\delta_0''+[\Lambda_0,[\delta_0'',\gamma]]$ au point $x_0$,
i.e.\ en ce point les deux op\'{e}rateurs ont m\^{e}me \'{e}criture formelle.}
\medskip

{\it D\'emonstration}. -- D'apr\`{e}s le lemme 1.3, $\delta''$ co\"{\i}ncide
en $x_0$ avec l'adjoint de $d''$ pour la m\'{e}trique
$$
\Langle u|v\Rangle_1=\int_{X}\langle u
-[\gamma,\Lambda_0]u|v\rangle_0\,dV_0.
$$
Pour tous $u\in\cD_{p,q}(X)$ et $v\in\cD_{p,q-1}(X)$ on a par d\'{e}finition
$$
\Langle u|d''v\Rangle_1
=\int_{X}\langle u-[\gamma,\Lambda_0]u,d''v\rangle_0\,dV_0
=\int_{X}\langle\delta''_0u-\delta''_0[\gamma,\Lambda_0]u,v\rangle_0\,dV_0.
$$
Comme $\omega$ et $\omega_0$ co\"{\i}ncident au point $x_0$ et comme 
$\gamma(x_0)=0$, on obtient en ce point :
$$
\delta''u=\delta''_0u-\delta''_0[\gamma,\Lambda_0]u
=\delta''_0u-[\delta''_0,[\gamma,\Lambda_0]]u,
$$
c'est-\`a-dire
$$
\delta''=\delta''_0-[\delta''_0,[\gamma,\Lambda_0]].
$$
On utilise maintenant l'identit\'e de Jacobi
$$
(-1)^{ca}[A,[B,C]]+(-1\perp)^{ab}[B,[C,A]]+(-1)^{b_{C}}[C,[A,B]]=0
\leqno(1.6)
$$
u\`u $a, \,b,\, c$ sont les degr\'{e}s respectifs de $A,\, B,\,C$. Il vient
$$
[\Lambda_0,\delta''_0]=[d'',L_0]^*=0,
$$
par suite
$$
[\delta''_0,[\gamma,\Lambda_0]]+
[\Lambda_0,[\delta''_0\gamma]]=0.
$$
ce qui d\'{e}montre 1.5.\hfil\square\medskip

{\it D\'{e}monstration du th\'{e}or\`{e}me 1.1.} -- Il suffit de prouver 
(a), la propri\'{e}t\'{e} (b) s'en d\'eduit par conjugaison. 
L'\'{e}galit\'{e} $L=L_0+\gamma$ et la proposition 1.5 entra\^{\i}nent au 
point $x_0$ la relation
$$
[L,\delta'']=[L_0,\delta''_0] +[L_0, [\Lambda_0,[\delta_0'',\gamma]]]+
[\gamma,\delta_0''],\leqno(1.7)
$$
car le crochet triple o\`{u} $\gamma$ figure $2$ fois est nul en $x_0$.
Dapr\`{e} l'identit\'{e} (1.6) appliqu\'{e}e avec $C=[\delta''_0,\gamma]$ 
on obtient
$$
\cases{
[L_0,[\Lambda_0,C]]=-[\lambda_0,[C,L_0]]-[C,[L_0,\Lambda_0]],\cr
\noalign{\vskip8pt}
[C,L_0]=[L_0,[\delta''_0,\gamma]]=[\gamma,[L_0,\delta_0'']].\cr}
\leqno(1.8)
$$
La relation classique $[L_0,\delta''_0]=-id'$ donne donc
$$
[C,L_0]=-[\gamma,id']=id'\gamma=id'\omega.
\leqno(1.9)
$$
D'autre part, le lemme 1.4 montre que
$$
[L_0,\Lambda_0]u=(p+q-n)u
\leqno(1.10) 
$$
si $u$ est de bidegr\'{e} $(p,q)\;$; comme $C$ est de type $(1,0)$ il vient
$$
[C,[L_0,\Lambda_0]]=-C=-[\delta_0'',\gamma].
\leqno(1.11) 
$$
D'apr\`{e}s (1.8), (1.9), (1.11) il en r\'{e}sulte la relation
$$
[L_0,[\Lambda_0,[\delta''_0,\gamma]]]=-[\Lambda_0,id'\omega]+
[\delta_0'',\gamma].
$$
On obtient en d\'{e}finitive d'apr\`{e}s (1.7) l'\'{e}galit\'{e}~:
$$
[L,\delta'']=[L_0,\delta''_0]-[\Lambda_0,id'\omega]=-i(d'+\tau)
$$
au point $x_0$, ce qui ach\`{e}ve la v\'{e}rification de (a).\hfil\square
\medskip

Par une m\'{e}thode enti\`{e}rement diff\'erente, J.~Le Potier [2] a 
\'{e}tabli des formules analogues et a obtenu la relation essentiellement 
\'{e}quivalente $\overline{\tau}^*=\frac{i}{2}
[\Lambda,[\Lambda,d'\omega]]$, cf.~lemme 2.2~(b).
\bigskip

{\bigbf 2. -- Identit\'e de Kodaira-Nakano.}

Les relations de commutation du \S1 vont nous permettre d'exprimer 
$\Delta''$ en fonction de $\Delta'$ comme dans le cas k\"{a}hl\'{e}rien,
modulo des termes de torsion suppl\'{e}mentaires.
\medskip

{\statement Proposition 2.1.\pointir} {\it On a
$$
\Delta''=\Delta'+[ic(E),\Lambda]+[D',\tau^*]-[D'',\overline\tau^*].
$$}\vskip-\parskip

{\it D\'{e}monstration}. -- L'\'{e}galit\'{e} 1.1~(d) fournit 
$\delta''=-i[\Lambda,D']-\overline\tau^*$, d'o\`u
$$
\Delta''=[D'',\delta'']=-i[D'',[\Lambda,D']]-[D'',\overline\tau^*].
$$
L'identit\'e de Jacobi entra\^{\i}ne d'autre part
$$
[D'',[\Lambda,D']] = [\lambda,[D',D'']] +[D', [D'',\Lambda]]
=[\Lambda,c(E)] + i[D',\delta'+\tau^*]
$$
compte-tenu de 1.1~(c) , ce qui d\'{e}montre la relation (2.1).\hfil\square
\medskip

Nous allons maintenant transformer l'\'{e}galit\'{e} (2.1) de mani\`{e}re 
\`{a} absorber les op\'{e}rateurs diff\'{e}rentiels d'ordre un 
$[D',\tau^*]$ et $[D'',\overline\tau^*]$
dans l'\'{e}criture de $\Delta'$.
\medskip

{\statement Lemme 2.2.\pointir} {\it On a
{\parindent=6.5mm
\vskip2pt
\item{\rm(a)} $[L,\tau]=3d'\omega,$
\vskip2pt
\item{\rm(b)} $[\Lambda,\tau] =-2i\overline\tau^*$.}}
\medskip

{\it D\'{e}monstration}. --

(a) Comme $[L, d'\omega]=0$, l'identit\'{e} de Jacobi entra\^{\i}ne
$$
[L,\tau]=[L,[\Lambda,d'\omega]]=-[d'\omega,[L,\Lambda]]=3d'\omega
$$
compte-tenu de (1.10) et du degr\'{e} de $d'\omega$, qui est \'{e}gal 
\`{a}~$3$.
\medskip

(b) On a $\tau=-i[\delta'',L]-D'$ gr\^{a}ce \`{a}~1.1~(a), d'o\`u
$$
[\Lambda,\tau]=-i[\lambda,[\delta'',L]]-[\Lambda,D']=-i([\Lambda,
[\delta'',L]]+\delta''+\overline\tau^*).
$$
En utilisant de nouveau (1.6) et (1.10) il vient
$$
\eqalign{
[\Lambda,[\delta'',L]]
&=-[L,[\Lambda,\delta'']]-[\delta'',[L,\Lambda]]
=-[[d'',L],\Lambda]^*-\delta''\cr
&=-[d''\omega,\Lambda]^*-\delta''=\overline\tau^*-\delta''\cr}
$$
d'o\`u $[\Lambda,\tau]=-2i\overline\tau^*$.\hfil\square
\medskip

{\statement Lemme 2.3.\pointir} {\it On a
{\parindent=6.5mm
\vskip2pt
\item{\rm(a)} $[D',\overline\tau^*]=-[D',\delta'']=[\tau,\delta''],$
\vskip2pt
\item{\rm(b)} $-[D'',\overline\tau^*]=[\tau,\delta'+\tau^\star]+
[\Lambda,[\Lambda,\frac{i}{2}d'd''\omega]]-[d'\omega, (d'\omega)^*].$}}
\medskip

{\it D\'emonstration}.  -- L'identit\'{e} de Jacobi implique
$$
-[D',[\Lambda,D']]+[D',[D',\Lambda]]+[\Lambda,[D',D']]=0
$$
d'o\`u $[D',[\Lambda,D']] =0$ et de m\^{e}me $[\delta'',[\delta'',L]]=0$.
L'\'{e}galit\'{e} (a) r\'{e}sulte alors de 1.1~(a) et~(d). Pour v\'erifier (b) 
on part de l'\'{e}galit\'{e} $\overline\tau^*-=\frac{i}{2}[\Lambda,\tau]$ 
fournie par 2.2~(b). Il s'ensuit
$$
[D'',\overline\tau^*]=\frac{i}{2}[D'',[\Lambda,\tau]].
\leqno(2.4)
$$
On utilise maintenant l'identit\'{e} de Jacobi a r\'{e}p\'{e}tition~:
$$
\leqalignno{
[D'',[\Lambda,\tau]]&=[\Lambda,[\tau,D'']]+[\tau, [D'',\Lambda]]\;;
&(2.5)\cr
\noalign{\vskip8pt}
[\tau,D'']&=[D'',\tau] =[D'',[\Lambda,d'\omega]]&(2.6)\cr
&=[\Lambda,[d'\omega,D'']+[d'\omega,[D'',\Lambda]]\cr
&=[\Lambda,d''d'\omega]+[d'\omega,A]\cr}
$$
avec la notation $A=[D'',\Lambda]=i(\delta'+\tau^*)$. D'apr\`{e}s (2.6)
il vient
$$
[\Lambda,[\tau,D'']]=[\Lambda,[\Lambda,d''d'\omega]] +[\Lambda,[d',A]].
\leqno(2.7)
$$
Calculons maintenant le dernier crochet dans (2.7)~:
$$
\leqalignno{
[\Lambda,[d'\omega,A]]&=[A,[\Lambda,d'\omega]]-[d'\omega,[A,\Lambda]],\cr
[\Lambda,[d'\omega,A]]&=[\tau,A] +[d'\omega,[\Lambda,A]]~;
&(2.8)\cr
\noalign{\vskip8pt}
[\Lambda,A]&=i[\Lambda,\delta'+\tau^*]=i[d'+\tau,L]^*
&(2.9)\cr}
$$
o\`{u} $[d',L] =d'\omega$ et $[\tau,L] =-3d'\omega$ d'apr\`{e}s 2.2~(a). 
Les \'{e}galit\'{e}s (2.9) et (2.8) fournissent donc respectivement
$$
\leqalignno{
[\Lambda,A]&=-2i(d'\omega))^*,\cr
\noalign{\vskip8pt}
[\Lambda,[d'\omega,A]]&=[\tau,[D'',\Lambda]]-2i[d'\omega,(d'\omega)^*].
&(2.10)\cr}
$$
Les formules (2.5), (2.7), (2.10) donnent par cons\'{e}quent
$$
[D'',[\Lambda,\tau]] = [\Lambda, [\Lambda,d''d'\omega]] +2[\tau,[D'',
\Lambda]]-2i[d'\omega,(d'\omega)^*]. 
\leqno(2.11)
$$
L'identit\'e 2.3~(b) r\'{e}sulte alors de (2.4) et (2.11), compte tenu que
$$
[D'',\Lambda]=i(\delta'+\tau^*).\eqno\square
$$
Le lemme 2.3~(b) montre maintenant que
$$
\Delta'+[D',\tau^*]-[D'',\overline\tau^\star]
=[D'+\tau,\delta'+\tau^*]+[\Lambda,[\Lambda,\frac{i}{2}d'd''\omega]]
-[d'\omega,(d'\omega)^*].
$$
Posons $\Delta'_\tau=[D'+\tau,\delta'+\tau^*]$. Comme 
$\delta'+\tau^*$ est l'adjoint de $D'+\tau$, on voit que $\Delta'_\tau$ est 
un op\'{e}rateur autoadjoint${}\geq 0$. La proposition 2.1 peut donc
se r\'{e}crire
\medskip

{\statement Th\'eor\`eme 2.12.\pointir} {\it On a
$$
\Delta''=\Delta'_\tau+ [ic(E),\Lambda]+T_{\omega}
$$
avec
$$
\eqalignno{
\Delta'_\tau&=[D'+\tau,\delta'+\tau^*],\qquad\tau=[\Lambda,d'\omega],\cr
T_\omega&=[\Lambda,[\Lambda,\frac{i}{2}d'd''\omega]]-[d'\omega,
(d'\omega)^*].&\square\cr}
$$}

Dans le cas o\`{u} la metrique $\omega$ est k\"{a}hl\'{e}rienne, on a 
naturellement $\tau=T_\omega=0$. De plus, dans ce cas le lemme 2.3 (a) implique
$[D',\delta'']=0$, d'o\`u $[D'',\delta']=0$ par adjonction, ce qui donne
$$
\Delta=[D,\delta]=[D'+D'',\delta'+\delta'']=\Delta'+\Delta''.
$$
Dans le cas non k\"{a}hl\'{e}rien, le lemme 2.3 (a) s'\'{e}crit 
$[D'+\tau,\delta'']=0$ et on obtient la relation analogue plus g\'{e}n\'{e}rale
$$
[D+\tau,\delta+\tau^*]=[(D'+\tau)+D'',(\delta'+\tau^*)+\delta'']=
\Delta'_\tau+\Delta''.
$$
On peut donc \'enoncer la
\medskip

{\statement Proposition 2.13.\pointir} {\it En g\'en\'eral, le Laplacien tordu
$\Delta_\tau=[D+\tau,\delta+\tau^*]$ se d\'ecompose sous la forme
$$
\Delta_\tau=\Delta'_\tau+\Delta''.\eqno\square
$$}
\medskip

{\bigbf 3. -- Th\'eor\`eme d'existence en bidegr\'e ({\bigbfit n},{\bigbfit q})}

Pour toute forme $u\in\cD_{p,q}(X,E)$, le th\'{e}or\`{e}me 2.12 implique la
g\'en\'{e}ralisation suivante de l'in\'{e}galit\'{e} de Nakano classique~:
$$
\Vert\delta''u\Vert^2+\Vert D''u\Vert^2 \geq 
\Langle[ic(E),\Lambda]u|u\Rangle+
\Langle T_\omega u|u\Rangle.
\leqno(3.1)
$$

Dans certains cas, le terme $\Langle T_\omega u|u\Rangle$
pourra se simplifier gr\^{a}ce aux remarques suivantes~:
$$
\cases{
\hbox{si $p=n$ ou $p=n-1$,}
&$\Langle[d'\omega,(d'\omega)^*]u|u\Rangle=
\Vert(d'\omega)^*u\Vert^2$\cr
\noalign{\vskip8pt}
\hbox{si $(p,q)=(n,1)$,}
&$[\Lambda,[\Lambda,d'd''\omega]]=0$.\cr}
\leqno(3.2)
$$
On suppose maintenant que le fibr\'{e} $E$ est semi-positif au sens de
Nakano. On sait alors que l'endomorphisme $[ic(E),\Lambda]$ op\'{e}rant
sur les $(n,q)$-formes est hermitien${}\geq 0$. Soit $h$ une 
$(n,q)$-forme \`{a} coefficients mesurables sur~$X$. On considère 
la norme \lguil\?rapport\'ee \`a~$c(E)$\?\rguil\ telle que
$$
\vert h\vert_{c(E)}^2=\langle[ic(E),\Lambda]^{-1}h,h\rangle,
$$
i.e.\ $\vert h\vert_{c(E)}$ est le plus petit r\'{e}el${}\geq 0$ 
(\'{e}ventuellement $+\infty$) tel que 
$$|\langle h, u\rangle|^2\leq\vert h\vert_{c(E)}^2
\langle[ic(E),\Lambda]u,u\rangle\qquad\hbox{pour tout $u$}.
$$

{\statement Th\'eor\`eme 3.3.\pointir} {\it On fait les hypoth\`{e}ses 
suivantes $(3.4-3.7)~:$
{\parindent=9.2mm
\vskip2pt
\item{\rm(3.4)} $D''h=0~;$
\vskip2pt
\item{\rm(3.5)} $\displaystyle\int_{X}\vert h\vert_{c(E)}^2\,dV<+\infty~;$
\vskip2pt
\item{\rm(3.6)} la m\'{e}trique $\omega$ est compl\`{e}te et la forme 
$d'\omega$ est $\omega$-born\'{e}e $(c$'est toujours le cas si 
$X$ est compacte$)~;$
\vskip2pt
\item{\rm(3.7)} de plus, on a $d'd''\omega=0$ si $q>1$.
\vskip2pt\noindent
Alors il existe une $(n,q-1)$-forme $f$ et une $(n-2,q-1)$-forme $g$ sur 
$X$ \`{a} valeurs dans~$E$ telles que
\vskip2pt
\item{\rm(3.8)} $\displaystyle \int_{X}(\vert f\vert^2+\vert g\vert^2)\,dV
\leq\int_{X}\vert h\vert_{c(E)}^2\,dV,$
\vskip2pt
\item{\rm(3.9)} $h=D''f+P(d'\omega\wedge g)$,
\vskip2pt
o\`{u} $P$ est le projecteur orthogonal $L^2_{n,q}(X,E)\to\Ker D''$.}}
\medskip

{\it D\'{e}monstration}. -- L'hypoth\`{e}se de compl\'{e}tude (3.6) montre 
que l'in\'{e}galit\'{e} (3.1) est vraie pour tout $u\in\Dom(\delta''_{n,q})
\cap\Dom(D''_{n,q})$ gr\^{a}ce au lemme de densit\'{e} classique de 
H\"ormander. \'Ecrivons alors
$$
u=u_1+u_2
$$
avec $u_1\in\Ker D''_{n,q}$, $u_2\in(\Ker D''_{n,q})^\perp$~; il vient
$$
|\Langle h|u\Rangle|^2\leq
|\Langle h|u_1\Rangle|^2\leq\Vert h\Vert_{c(E)}^2\Langle
[ic(E),\Lambda]u_1|u_1\Rangle.
$$
Sous l'hypoth\`{e}se (3.7), le terme $\Langle T_\omega u_1|u_1\Rangle$ 
se r\'{e}duit \`{a} $-\Vert(d'\omega)^*u_1\Vert^2$ par la remarque 
(3.2). Comme
$$
\Ker\delta''_{n,q}\supset\overline{\Im\delta''_{n,q+1}}=(\Ker D''_{n,q})^{\perp},
$$
l'in\'{e}galit\'{e} (3.1) implique
$$
\eqalign{
\Langle[ic(E),\Lambda]u_1,u_1\Rangle
&\leq\Vert\delta''u_1\Vert^2+\Vert D''u_1\Vert^2+\Vert(d'\omega)^*u_1\Vert^2\cr
&=\Vert \delta''u\Vert^2+\Vert(d'\omega)^*Pu\Vert^2.\cr}
$$
Les conclusions (3.8) et (3.9) r\'{e}sultent alors de l'utilisation du 
th\'{e}or\`{e}me de Hahn-Banach.\\ \strut\hfil\square\medskip

Le r\'{e}sultat est en fait surtout int\'{e}ressant si $q=1$ puisqu'aucune 
hypoth\`{e}se du type $d'd''\omega=0$ n'est alors n\'{e}cessaire.
\bigskip\bigskip

\centerline{\bigbf Bibliographie}
\medskip
{\parindent=6mm
\item{[1]} {\petcap P.~Griffiths}, {\it The extension problem in complex analysis II}~; Amer.~J.\ of Math., Vol.~{\bf 88}, (1966) 366--446.

\item{[2]} {\petcap J.~Le Potier}, {\it Probl\`{e}mes d'extension de classes
de cohomologie}~; Th\`{e}se d'\'Etat \`{a} l'Universit\'{e} de Poitiers 
(France) 1974.

\item{[3]} {\petcap T.~Ohsawa}, {\it Isomorphism theorems for cohomology
groups of weakly 1-complete manifolds}~;
Publ.\ R.I.M.S., Kyoto Univ., Vol.~{\bf 18}, n${}^{\circ}$1 (1982) 191--232.
\bigskip \bigskip}

\centerline{(mai 1984)}

\end
