PANORAMAS ET SYNTHÈSES 3

INTRODUCTION À LA THÉORIE DE HODGE

José Bertin, Jean-Pierre Demailly

Luc Illusie, Chris Peters

Société Mathématique de France 1996

AMS Subject classification : 14C30, 14D07, 14F17, 13A35, 58A14

0  0
0  h^{1,1}  0
1  h^{2,1}  h^{1,2}  1
0  h^{1,1}  0
0  0

1

INTRODUCTION À LA THÉORIE DE HODGE

José Bertin, Jean-Pierre Demailly

Luc Illusie, Chris Peters

Le présent ouvrage développe un certain nombre d’éléments fondamentaux de la théorie de Hodge. Il est destiné principalement aux étudiants et chercheurs non spécialistes du sujet, qui souhaitent se familiariser en profondeur avec celuici et se faire une idée de l’état actuel de la recherche. Le texte comporte trois parties consacrées à des aspects variés et complémentaires de la théorie : aspects analytiques (méthodes L^{2}), algébriques (utilisation de la caractéristique p), et enfin applications à la géométrie algébrique au travers de l’étude des variations de structure de Hodge et des conjectures de symétrie miroir pour les variétés de Calabi-Yau.

This monograph develops a number of fundamental concepts and results of Hodge Theory. It is mainly aimed to students and researchers, non-experts in the field, who wish to get acquainted in depth with the subject and obtain precise upto-date information on the current status of the theory. The manuscript is divided in three parts, each of them devoted to various and complementary aspects of the theory : analytic aspects (L^{2} methods), algebraic aspects (use of characteristic p methods), applications to algebraic geometry through a study of variations of Hodge structures and mirror symmetry conjectures for Calabi-Yau manifolds.

\begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix} Panoramas et Synthèses 3, SMF 1996 \begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix} Panoramas et Synthèses 3, SMF 1996

Table des matières

Avant-propos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

Théorie de Hodge L^{2} et théorèmes d’annulation par Jean-Pierre Demailly . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

0. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

Partie I : Théorie de Hodge L^{2}

1. Fibrés vectoriels, connexions et courbure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2. Opérateurs différentiels sur les fibrés vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 3. Résultats fondamentaux sur les opérateurs elliptiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 4. Théorie de Hodge des variétés riemanniennes compactes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 5. Variétés hermitiennes et kählériennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 6. Identités de la géométrie kählérienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .29 7. Groupes ℋ^{p,q}(X, E) et dualité de Serre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 8. Cohomologie des variétés kählériennes compactes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .40 9. Suite spectrale de Hodge-Frölicher . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 10. Déformations et théorèmes de semi-continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .52

Partie II : Estimations L^{2} et théorèmes d’annulation

11. Concepts de pseudoconvexité et de positivité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 12. Théorie de Hodge des variétés kählériennes complètes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 13. Méthode de Bochner et théorèmes d’annulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 14. Estimations L^{2} et théorèmes d’existence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 15. Théorèmes d’annulation de Nadel et de Kawamata-Viehweg . . . . . . . . . . . . . . 86 16. Sur la conjecture de Fujita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 17. Une version effective du grand théorème de Matsusaka . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

Références . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

Frobenius et dégénérescence de Hodge par Luc Illusie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

0. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 1. Schémas : différentielles, complexe de de Rham . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 2. Lissité et relèvements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .120 3. Frobenius et isomorphisme de Cartier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .128 4. Catégories dérivées et suites spectrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 5. Théorèmes de décomposition, de dégénérescence et d’annulation

en caractéristique p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .140 6. De la caractéristique p à la caractéristique nulle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .147 7. Développements récents et problèmes ouverts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 8. Appendice : parallélisabilité et ordinarité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

Références . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

Variations de structures de Hodge, variétés de Calabi-Yau et symétrie miroir

par José Bertin et Chris Peters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

0. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

Partie I. Variations de structures de Hodge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

1. Fibrés de Hodge. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .177 2. Connexion de Gauss-Manin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180 3. Variations de structures de Hodge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190 4. Dégénérescences. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .199 5. Fibrés de Higgs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209 6. Modules de Hodge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210

Partie II. Symétrie miroir et variétés de Calabi-Yau . . . . . . . . . . . . . . . . 215

7. Introduction à la symétrie miroir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215 8. Cohomologie d’une hypersurface. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .222 9. Equations de Picard-Fuchs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229 10. Variétés de Calabi-Yau et symétrie miroir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235 11. Lien avec la théorie de Hodge mixte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249

Bibliographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256

Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261

Abstract . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273

Contents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275

Avant-propos

Les trois textes regroupés dans cet ouvrage sont consacrés à une présentation d’aspects variés – et importants à divers titres – de la théorie de Hodge. Ils reprennent avec des compléments substantiels les exposés oraux présentés lors de la session “l’Etat de la Recherche” sur la Théorie de Hodge, qui a eu lieu à l’Université Joseph Fourier de Grenoble du Vendredi 25 au Dimanche 27 novembre 1994, sous l’égide de la Société Mathématique de France. Le but des auteurs serait atteint si, conformément à l’esprit des sessions l’Etat de la Recherche, cet ouvrage permettait au lecteur non nécessairement spécialiste de se faire une idée précise de l’état de l’art.

Les trois thèmes abordés (Théorie de Hodge L^{2} et théorèmes d’annulation, Frobenius et dégénérescence de Hodge, Variations de structures de Hodge et symétrie miroir) recouvrent une grande diversité de techniques : équations aux dérivées partielles elliptiques, géométrie différentielle complexe, géométrie algébrique en caractéristique p, méthodes cohomologiques et faisceautiques, théorie des déformations des variétés complexes, variétés de Calabi-Yau, théorie des singularités … Cette accumulation d’outils venant de divers horizons rend sans doute assez difficile l’accès de la théorie au néophyte. Nous espérons que les textes ciaprès permettront de faciliter quelque peu cet accès : un effort particulier a été fait pour aborder les divers thèmes par leur point de départ le plus naturel, chacun des textes étant complété par une introduction détaillée et de nombreuses références. Le lecteur y trouvera posés un bon nombre de problèmes ouverts ayant fait l’objet d’actives recherches dans les dernières années.

Les auteurs sont vivement reconnaissants envers la SMF et le MESR pour leur impulsion décisive – à la fois psychologique et financière – sans laquelle la session “Théorie de Hodge” de Grenoble n’aurait pu voir le jour. Ils remercient tout particulièrement le Comité des Sessions l’Etat de la Recherche en les personnes de ses deux responsables successifs Pierre Schapira et Colette Mœglin, ainsi que Michèle Audin, Rédactrice en Chef de la revue Panoramas et Synthèses, pour ses vifs encouragements à y publier le présent manuscrit. Enfin leurs remerciements vont au referee pour sa lecture approfondie du texte et ses très nombreuses suggestions d’amélioration.

le 27 novembre 1995, José Bertin^{⋆}, Jean-Pierre Demailly^{⋆}, Luc Illusie^{⋆⋆}, Chris Peters^{⋆} ⋆ Université de Grenoble I, Institut Fourier,

BP74, 38402 Saint-Martin d’Hères, France ⋆⋆ Université de Paris-Sud, Département de Mathématiques,

Bâtiment 425, 91405 Orsay, France

Théorie de Hodge L^{2} et Théorèmes d’annulation

Jean-Pierre Demailly Université de Grenoble I Institut Fourier, BP 74 38402 Saint-Martin d’Hères, France

0. Introduction

L’objet de ces notes est de décrire deux applications fondamentales des techniques hilbertiennes L^{2} à la géométrie analytique ou algébrique : la théorie de Hodge d’une part, la théorie des estimations L^{2} pour l’opérateur \overline{∂} d’autre part. Le point de vue adopté ici sera essentiellement analytique.

4 J.-P. Demailly, Théorie de Hodge L^{2} et théorèmes d’annulation

La première partie est consacrée à la théorie de Hodge et se veut avant tout introductive. Le lecteur ne trouvera donc ici que les aspects les plus élémentaires, dus pour la plupart à W.V.D. Hodge lui-même [Hod41] ou à A. Weil [Wei57]. La théorie de Hodge, dans le sens premier conçu par son créateur, consiste en l’étude de la cohomologie des variétés riemanniennes ou kählériennes, à partir d’une description des formes harmoniques et de leurs propriétés. Nous renvoyons aux textes de J. Bertin-Ch. Peters [BePe95] et L. Illusie [Ill95] pour une présentation d’aspects et d’applications plus avancés (variations de structures de Hodge, application des périodes, théorie de Hodge en caractéristique > 0 …). Considérons une variété riemannienne X et un fibré euclidien ou hermitien E sur X. On suppose que E est muni d’une connexion D compatible avec la métrique : une connexion est par définition un opérateur de dérivation analogue à la différentiation extérieure, agissant sur les formes de degré quelconque à valeurs dans E, et satisfaisant la règle de Leibniz pour le produit extérieur. L’opérateur de Laplace-Beltrami associé est l’opérateur différentiel autoadjoint du second ordre Δ_{E} = D_{E}D_{E}^{⋆} + D_{E}^{⋆}D_{E}, où D_{E}^{⋆} est l’adjoint hilbertien de D_{E}. On vérifie aisément que Δ_{E} est un opérateur elliptique. Le théorème de finitude pour les opérateurs elliptiques montre alors que l’espace ℋ^{q}(X, E) des q-formes harmoniques à valeurs dans E est de dimension finie si X est compacte (on dit qu’une forme u est harmonique si Δ_{E}u = 0). Si on suppose de plus que la connexion est telle que D_{E}^{2} = 0, l’opérateur D_{E} agissant sur les formes de tous degrés définit un complexe appelé complexe de De Rham à valeurs dans le système local de coefficients défini par E. Les groupes de cohomologie correspondants seront notés H_{DR}^{q}(X, E). L’observation fondamentale de la théorie de Hodge est que toute classe de cohomologie contient un unique représentant harmonique dès lors que X est compacte. Il en résulte alors un isomorphisme, dit isomorphisme de Hodge

(0.1)  H_{DR}^{q}(X, E) ≃ ℋ_{DR}^{q}(X, E).

Lorsque la variété X et le fibré E sont holomorphes, il existe une connexion unique D_{E} appelée connexion de Chern, compatible avec la métrique hermitienne de E et ayant les propriétés suivantes : D_{E} se scinde en la somme D_{E} = D′_{E} + D′′_{E} d’une connexion D′_{E} de type (1, 0) et d’une connexion D′′_{E} de type (0, 1), telles que D_{E}^{′2} = D_{E}^{′′2} = 0 et D′_{E}D′′_{E} + D′′_{E}D′_{E} = Θ(E) (tenseur de courbure de Chern du fibré). L’opérateur D′′_{E} agissant sur les formes de bidegré (p, q) définit alors pour p fixé un complexe appelé complexe de Dolbeault. Lorsque X est compacte, les groupes de cohomologie de Dolbeault H^{p,q}(X, E) satisfont un isomorphisme de Hodge analogue à (0.1), à savoir

(0.2)  H^{p,q}(X, E) ≃ ℋ^{p,q}(X, E),

où ℋ^{p,q}(X, E) désigne l’espace des (p, q)-formes harmoniques à valeurs dans E, relativement au Laplacien anti-holomorphe Δ′′_{E} = D′′_{E}D_{E}^{′′⋆} + D_{E}^{′′⋆}D′′_{E}. En utilisant ce dernier résultat, on démontre facilement le théorème de dualité de Serre

(0.3)  H^{p,q}(X, E)^{⋆} ≃ H^{n−p,n−q}(X, E^{⋆}),  n = dim_{ℂ} X,

qui est le pendant complexe du théorème de dualité de Poincaré. Le théorème central de la théorie de Hodge concerne les variétés kählériennes compactes : une variété hermitienne (X, ω) est dite kählérienne si la (1, 1)-forme hermitienne ω = i ∑_{j,k} ω_{jk}dz_{j} ∧ d\overline{z}_{k} est telle que dω = 0. Un exemple fondamental de variété kählérienne compacte est donné par les variétés algébriques projectives. Si X est kählérienne compacte et si E est un système local de coefficients sur X, le théorème de décomposition de Hodge affirme que

(0.4) H_{DR}^{k}(X, E) = ⨁_{p+q=k} H^{p,q}(X, E)  (décomposition de Hodge)
(0.5) \overline{H^{p,q}(X, E)} ≃ H^{q,p}(X, E^{⋆}),  (symétrie de Hodge).

Le caractère intrinsèque de la décomposition sera démontré ici de manière quelque peu originale, via l’utilisation des groupes de cohomologie de Bott-Chern (groupes de ∂\overline{∂}-cohomologie). Il découle de ces résultats que les nombres de Hodge h^{p,q} = dim_{ℂ} H^{p,q}(X, ℂ) vérifient la propriété de symétrie h^{p,q} = h^{q,p} = h^{n−p,n−q} = h^{n−q,n−p}, et qu’ils sont liés aux nombres de Betti b_{k} = dim_{ℂ} H_{DR}^{k}(X, ℂ) par la relation b_{k} = ∑_{p+q=k} h^{p,q}. Un certain nombre d’autres propriétés cohomologiques remarquables des variétés kählériennes compactes s’obtient au moyen de la décomposition primitive et du théorème de Lefschetz difficile (lequel résulte à son tour de l’existence d’une action de 𝔰𝔩(2, ℂ) sur les formes harmoniques).

Ces résultats permettent de décrire de façon précise la structure du groupe de Picard Pic(X) = H^{1}(X, 𝒪^{⋆}) dans le cas kählérien. Dans un contexte plus général, nous explicitons la suite spectrale de Hodge-Frölicher (suite spectrale reliant la cohomologie de Dolbeault à la cohomologie de De Rham), et nous montrons comment on peut utiliser cette suite spectrale pour obtenir quelques résultats généraux sur les nombres de Hodge h^{p,q} des variétés complexes compactes. Finalement, nous établissons la semi-continuité des dimensions des groupes de cohomologie H^{q}(X_{t}, E_{t}) sur les fibres d’une fibration holomorphe propre et lisse 𝒳 → S (résultat dû à Kodaira-Spencer), et nous en déduisons que les nombres de Hodge h^{p,q}(X_{t}) sont constants si les fibres X_{t} sont kählériennes (invariance des h^{p,q} par déformations) ; le caractère holomorphe de la filtration de Hodge F^{p}H^{k}(X_{t}, ℂ) = ⨁_{r⩾p} H^{r,k−r}(X_{t}, ℂ) relativement à la connexion de Gauss-Manin est démontré au moyen du théorème de cohérence des images directes, appliqué au complexe de De Rham relatif Ω_{𝒳/S}^{•} de 𝒳 → S.

Dans la seconde partie, après quelques rappels sur les notions de positivité et pseudoconvexité mises en jeu, nous établissons l’identité de Bochner-Kodaira-Nakano reliant les Laplaciens Δ′_{E} et Δ′′_{E}. L’identité en question fournit une expression explicite de la différence Δ′′_{E} − Δ′_{E} en termes de la courbure Θ(E) du fibré. Sous des hypothèses adéquates (faible pseudoconvexité de X, positivité de la courbure de E), on aboutit à une estimation a priori

∥D′′_{E}u∥^{2} + ∥D_{E}^{′′⋆}u∥^{2} ⩾ ∫_{X} λ(z)|u|^{2}dV (z)

où λ est une fonction positive dépendant des valeurs propres de courbure. L’inégalité est ici valide pour toute forme u de bidegré (n, q), n = dim X, q ⩾ 1, à valeurs dans E, appartenant aux domaines hilbertiens u de D′′_{E} et D_{E}^{′′⋆}. Par un argument de dualité hilbertien, on déduit de là le théorème fondamental suivant, dû essentiellement à Hörmander [Hör65] et Andreotti-Vesentini [AV65].

0.6. Théorème. Soit (X, ω) une variété kählérienne, dim X = n. Supposons que X soit faiblement pseudoconvexe. Soit E un fibré en droites hermitien et soient

γ_{1}(x) ⩽ ⋯ ⩽ γ_{n}(x)

les valeurs propres de la forme de courbure i Θ(E) par rapport à la métrique ω en tout point. Supposons que la courbure soit semi-positive, i.e. γ_{1} ⩾ 0 partout. Alors pour toute forme g ∈ L^{2}(X, Λ^{n,q}T_{X}^{⋆} ⊗ E) telle que

D′′_{E}g = 0 et ∫_{X}(γ_{1} + ⋯ + γ_{q})^{−1}|g|^{2} dV_{ω} < +∞,

il existe f ∈ L^{2}(X, Λ^{n,q−1}T_{X}^{⋆} ⊗ E) telle que

D′′_{E}f = g et ∫_{X} |f|^{2} dV_{ω} ⩽ ∫_{X}(γ_{1} + ⋯ + γ_{q})^{−1}|g|^{2} dV_{ω}.

Une observation importante est que le théorème ci-dessus reste encore valable lorsque la métrique h de E présente des singularités. La métrique h est alors donnée dans chaque carte par un poids e^{−2φ} associé à une fonction φ plurisousharmonique (par définition φ est psh si la matrice des dérivées secondes (∂^{2}φ/∂z_{j}∂\overline{z}_{k}), calculée au sens des distributions, est semi-positive en tout point). Compte tenu du Théorème (0.6), il est naturel d’introduire le faisceau d’idéaux multiplicateur ℐ(h) = ℐ(φ), constitué des germes de fonctions holomorphes f ∈ 𝒪_{X,x} telles que ∫_{V} |f|^{2}e^{−2φ} converge dans un voisinage V de x assez petit. Un résultat récent de A. Nadel [Nad89] garantit que ℐ(φ) est toujours un faisceau analytique cohérent, quelles que soient les singularités de φ. Dans ce contexte, on déduit de (0.6) la version qualitative suivante, concernant la cohomologie à valeurs dans le faisceau cohérent 𝒪(K_{X} ⊗ E) ⊗ ℐ(h) (K_{X} = Λ^{n}T_{X}^{⋆} étant le fibré canonique de X).

0.7. Théorème d’annulation de Nadel ([Nad89], [Dem93b]). Soit (X, ω) une variété kählérienne faiblement pseudoconvexe, et soit E un fibré en droites holomorphe sur X muni d’une métrique hermitienne h singulière de poids φ. Supposons qu’il existe une fonction continue positive ε sur X telle que la courbure satisfasse l’inégalité i Θ_{h}(E) ⩾ εω au sens des courants. Alors

H^{q}(X, 𝒪(K_{X} ⊗ E) ⊗ ℐ(h)) = 0 pour tout q ⩾ 1.

En dépit de la relative simplicité des techniques mises en jeu, il s’agit là d’un théorème extrêmement puissant, qui contient à lui seul une bonne partie des résultats les plus fondamentaux de la géométrie analytique ou algébrique. Le théorème (0.7) contient ainsi la solution du problème de Levi (équivalence de la convexité holomorphe et de la pseudoconvexité), les théorèmes d’annulation de Kodaira-Serre, Kodaira-Akizuki-Nakano et de Kawamata-Viehweg pour les variétés algébriques projectives, de même que le théorème de plongement de Kodaira caractérisant ces variétés parmi les variétés complexes compactes. Par son caractère intrinsèque, l’énoncé “analytique” du théorème de Nadel se révèle utile même pour des applications purement algébriques (la version algébrique du théorème, connue sous le nom de théorème d’annulation de Kawamata-Viehweg, utilise la résolution des singularités et ne donne pas une description aussi nette du faisceau multiplicateur ℐ(h)). Dans un travail récent [Siu96], Y.T. Siu a montré le résultat remarquable suivant, en utilisant seulement la formule de Riemann-Roch et un argument de récurrence Noethérienne pour les faisceaux multiplicateurs. La technique est décrite au § 16 (avec quelques améliorations mises au point dans [Dem96]).

0.8. Théorème ([Siu96], [Dem96]). Soit X une variété projective et L un fibré en droites ample (i.e. à courbure positive) sur X. Alors le fibré K_{X}^{⊗2} ⊗ L^{⊗m} est très ample pour m ⩾ m_{0}(n) = 2 + \binom{3n+1}{n}, où n = dim X.

L’importance d’avoir une borne effective pour l’entier m_{0}(n) est qu’on peut ainsi obtenir des plongements de la variété X dans l’espace projectif, avec un contrôle précis du degré du plongement. Il résulte de là une démonstration assez simple d’un théorème de finitude important, à savoir le “grand théorème de Matsusaka” (cf. [Mat72], [KoM83], [Siu93], [Dem96]) :

0.9. Grand théorème de Matsusaka. Soit X une variété projective et L un fibré en droites ample sur X. Il existe une borne m_{1} = m_{1}(n, L^{n}, K_{X} · L^{n−1}) explicite ne dépendant que de la dimension n = dim X et des deux premiers coefficients du polynôme de Hilbert de L, telle que mL soit très ample pour m ⩾ m_{1}.

De ce théorème, on déduit facilement de nombreux résultats de finitude, en particulier le fait qu’il existe seulement un nombre fini de familles de déformations de variétés projectives polarisées (X, L), lorsque L est un fibré ample dont les nombres d’intersection L^{n} et K_{X} · L^{n−1} sont donnés.

8 J.-P. Demailly, Partie I : Théorie de Hodge L^{2}

Partie I : Théorie de Hodge L^{2}

1. Fibrés vectoriels, connexions et courbure

Le but de cette section est de rappeler quelques définitions de base de géométrie différentielle hermitienne liées aux concepts de connexion, courbure et première classe de Chern d’un fibré en droites.

1.A. Cohomologie de Dolbeault et cohomologie des faisceaux

Soit X une variété ℂ-analytique de dimension n. Nous désignons par Λ^{p,q}T_{X}^{⋆} le fibré des formes différentielles de bidegré (p, q) sur X, i.e., les formes différentielles qui peuvent s’écrire

u = ∑_{|I|=p, |J|=q} u_{I,J}dz_{I} ∧d\overline{z}_{J}, dz_{I} := dz_{i_{1}} ∧⋯∧dz_{i_{p}}, d\overline{z}_{J} := d\overline{z}_{j_{1}} ∧⋯∧d\overline{z}_{j_{q}},

où (z_{1}, …, z_{n}) désignent des coordonnées locales holomorphes, et où I = (i_{1}, …, i_{p}) et J = (j_{1}, …, j_{q}) sont des multi-indices (suites croissantes d’entiers de l’intervalle [1, …, n], de longueurs |I| = p, |J| = q). Soit 𝒜^{p,q} le faisceau des germes de formes différentielles de bidegré (p, q) à valeurs complexes et à coefficients C^{∞}. Rappelons que la différentielle extérieure d se décompose en d = d′ +d′′ où

\begin{aligned}d′u & = ∑_{|I|=p, |J|=q,1⩽k⩽n} \frac{∂u_{I,J}}{∂z_{k}} dz_{k} ∧ dz_{I} ∧ d\overline{z}_{J}, \\ d′′u & = ∑_{|I|=p, |J|=q,1⩽k⩽n} \frac{∂u_{I,J}}{∂\overline{z}_{k}} d\overline{z}_{k} ∧ dz_{I} ∧ d\overline{z}_{J} \end{aligned}

sont de type (p+1, q), (p, q+1) respectivement. Le lemme bien-connu de Dolbeault-Grothendieck affirme que toute forme d′′-fermée de type (p, q) avec q > 0 est localement d′′-exacte (c’est l’analogue pour d′′ du lemme usuel de Poincaré pour d, voir par exemple [Hör66]). En d’autres termes, le complexe de faisceaux (𝒜^{p,•}, d′′) est exact en degré q > 0 ; en degré q = 0, Ker d′′ est le faisceau Ω_{X}^{p} des germes de formes holomorphes de degré p sur X.

Plus généralement, si E est un fibré vectoriel holomorphe de rang r sur X, il existe un opérateur d′′ naturel agissant sur l’espace C^{∞}(X, Λ^{p,q}T_{X}^{⋆} ⊗ E) des (p, q)-formes C^{∞} à valeurs dans E. En effet, si s = ∑_{1⩽λ⩽r} s_{λ}e_{λ} est une (p, q)- forme exprimée en termes d’un repère holomorphe local de E, on peut définir d′′s := ∑ d′′s_{λ} ⊗ e_{λ}, en observant que les matrices de transition mises en jeu dans des changements de repères holomorphes sont holomorphes, ce qui n’affecte pas le calcul de d′′. Il est alors clair que le lemme de Dolbeault-Grothendieck est encore valable pour des formes à valeurs dans E. Pour tout entier p = 0, 1, …, n, les groupes de cohomologie de Dolbeault H^{p,q}(X, E) sont définis comme étant les groupes de cohomologie du complexe des formes globales de type (p, q) (gradué par q) :

(1.1)  H^{p,q}(X, E) = H^{q}(C^{∞}(X, Λ^{p,•}T_{X}^{⋆} ⊗ E)).

Maintenant, rappelons le résultat fondamental suivant de théorie des faisceaux (théorème d’isomorphisme de De Rham-Weil) : soit (ℒ^{•}, d) une résolution d’un faisceau ℱ par des faisceaux acycliques, i.e. un complexe de faisceaux (ℒ^{•}, δ) donnant une suite exacte de faisceaux

0 ⟶ ℱ ⟶^{j} ℒ^{0} ⟶^{δ^{0}} ℒ^{1} ⟶ ⋯ ⟶ ℒ^{q} ⟶^{δ^{q}} ℒ^{q+1} ⟶ ⋯,

avec H^{s}(X, ℒ^{q}) = 0 pour tout q ⩾ 0 et s ⩾ 1 (pour avoir cette dernière condition d’acyclicité, il suffit par exemple que les ℒ^{q} soient flasques ou mous, par exemple des faisceaux de modules sur le faisceau d’anneau 𝒞^{∞}). Alors il y a un isomorphisme fonctoriel

(1.2)  H^{q}(Γ(X, ℒ^{•})) ⟶ H^{q}(X, ℱ).

Nous appliquons ceci dans la situation suivante : soit 𝒜^{p,q}(E) le faisceau de germes de sections C^{∞} de Λ^{p,q}T_{X}^{⋆} ⊗ E. Alors (𝒜^{p,•}(E), d′′) est une résolution du 𝒪_{X}- module localement libre Ω_{X}^{p} ⊗ 𝒪(E) (lemme de Dolbeault-Grothendieck), et les faisceaux 𝒜^{p,q}(E) sont acycliques comme 𝒞^{∞}-modules. Grâce à (1.2) nous obtenons

1.3. Théorème d’isomorphisme de Dolbeault (1953). Pour tout fibré vectoriel holomorphe E sur X, il existe un isomorphisme canonique

H^{p,q}(X, E) ≃ H^{q}(X, Ω_{X}^{p} ⊗ 𝒪(E)).

Si X est algébrique projective et si E est un fibré vectoriel algébrique, le théorème GAGA de Serre [Ser56] montre que les groupes de cohomologie algébrique H^{q}(X, Ω_{X}^{p} ⊗ 𝒪(E)) calculés avec les sections algébriques des faisceaux concernés sur des ouverts de Zariski sont isomorphes aux groupes de cohomologie analytiques correspondants. Comme nous utiliserons ici un point de vue exclusivement analytique, nous n’aurons en fait pas besoin de ce théorème de comparaison.

1.B. Connexions sur les variétés différentiables

Soit E un fibré vectoriel réel ou complexe de rang r sur une variété différentiable M de classe C^{∞}. Une connexion D sur E est un opérateur différentiel linéaire d’ordre 1

D : C^{∞}(M, Λ^{q}T_{M}^{⋆} ⊗ E) → C^{∞}(M, Λ^{q+1}T_{M}^{⋆} ⊗ E)

tel que D satisfasse la règle de Leibnitz

(1.4)  D(f ∧ u) = df ∧ u + (−1)^{deg f}f ∧ Du

pour toutes formes f ∈ C^{∞}(M, Λ^{p}T_{M}^{⋆}), u ∈ C^{∞}(X, Λ^{q}T_{M}^{⋆} ⊗ E). Sur un ouvert Ω ⊂ M où E admet une trivialisation τ : E_{|Ω} ⟶^{≃} Ω × ℂ^{r}, une connexion D peut s’écrire

Du ≃_{τ} du + Γ ∧ u

où Γ ∈ C^{∞}(Ω, Λ^{1}T_{M}^{⋆} ⊗ Hom(ℂ^{r}, ℂ^{r})) est une matrice arbitraire de 1-formes et où d agit composantes par composantes sur u ≃_{τ} (u_{λ})_{1⩽λ⩽r}. Il est alors facile de vérifier que

D^{2}u ≃_{τ} (dΓ + Γ ∧ Γ) ∧ u sur Ω.

Puisque D^{2} est un opérateur globalement défini, il existe une 2-forme globale

(1.5)  Θ(D) ∈ C^{∞}(M, Λ^{2}T_{M}^{⋆} ⊗ Hom(E, E))

telle que D^{2}u = Θ(D)∧u pour toute forme u à valeurs dans E. Cette 2-forme Θ(D) à valeurs dans Hom(E, E) est appelée tenseur de courbure de la connexion D.

Supposons maintenant que E soit muni d’une métrique euclidienne (resp. hermitienne) de classe C^{∞} et que l’isomorphisme E_{|Ω} ≃ Ω × ℂ^{r} soit donné par un repère (e_{λ}) de classe C^{∞}. Nous avons alors un accouplement bilinéaire (resp. sesquilinéaire) canonique

(1.6) C^{∞}(M, Λ^{p}T_{M}^{⋆} ⊗ E) × C^{∞}(M, Λ^{q}T_{M}^{⋆} ⊗ E) ⟶ C^{∞}(M, Λ^{p+q}T_{M}^{⋆} ⊗ ℂ)
(u, v) ⟼ {u, v}

donné par

\{u, v\} = ∑_{λ,μ} u_{λ} ∧ \overline{v}_{μ} ⟨e_{λ}, e_{μ}⟩, u = ∑ u_{λ} ⊗ e_{λ}, v = ∑ v_{μ} ⊗ e_{μ}.

La connexion D est dite hermitienne si elle satisfait la propriété supplémentaire

d{u, v} = {Du, v} + (−1)^{deg u}{u, Dv}.

En supposant que (e_{λ}) est orthonormé, on vérifie aisément que D est hermitienne si et seulement si Γ^{⋆} = −Γ. Dans ce cas Θ(D)^{⋆} = −Θ(D), donc

i Θ(D) ∈ C^{∞}(M, Λ^{2}T_{M}^{⋆} ⊗ Herm(E, E)).

1.7. Cas particulier. Pour un fibré en droites complexe L (fibré vectoriel complexe de rang 1), la forme de connexion Γ d’une connexion hermitienne D peut être vue comme une 1-forme à coefficients purement imaginaires Γ = iA (A réelle). Nous avons alors Θ(D) = dΓ = i dA. En particulier i Θ(L) est une 2-forme fermée. La première classe de Chern de L est définie comme étant la classe de cohomologie

c_{1}(L)_{ℝ} = \{\frac{i}{2π} Θ(D)\} ∈ H_{DR}^{2}(M, ℝ).

Cette classe de cohomologie est bien indépendante de la connexion, puisque toute autre connexion D_{1} diffère par une 1-forme globale, D_{1}u = Du+B∧u, de sorte que Θ(D_{1}) = Θ(D)+dB. Il est bien-connu que c_{1}(L)_{ℝ} est l’image dans H^{2}(M, ℝ) d’une classe entière c_{1}(L) ∈ H^{2}(M, ℤ). Soit en effet 𝒜 = 𝒞^{∞} le faisceau des fonctions C^{∞} sur M ; grâce à la suite exacte exponentielle

0 ⟶ ℤ ⟶ 𝒜 ⟶^{e^{2πi •}} 𝒜^{⋆} ⟶ 0,

c_{1}(L) peut être définie en cohomologie de Čech comme l’image du cocycle {g_{jk}} ∈ H^{1}(M, 𝒜^{⋆}) définissant L par l’application cobord H^{1}(M, 𝒜^{⋆}) → H^{2}(M, ℤ) ; voir par exemple [GH78] pour plus de détails.

1.C. Connexions sur les variétés complexes

Nous étudions maintenant les propriétés spécifiques des connexions liées à l’existence d’une structure complexe sur la variété de base. Si M = X est une variété complexe, toute connexion D sur un fibré vectoriel complexe E de classe C^{∞} peut être scindée de manière unique comme somme d’une (1, 0)-connexion et d’une (0, 1)-connexion, D = D′ + D′′. Dans une trivialisation locale τ donnée par un repère C^{∞}, on peut écrire

(1.8′)  D′u ≃_{τ} d′u + Γ′ ∧ u,
(1.8′′)  D′′u ≃_{τ} d′′u + Γ′′ ∧ u,

avec Γ = Γ′ + Γ′′. La connexion est hermitienne si et seulement si Γ′ = −(Γ′′)^{⋆} relativement à tout repère orthonormé. Par conséquent, il existe une unique connexion hermitienne D associée à une (0, 1)-connexion prescrite D′′.

Supposons maintenant que le fibré E lui-même possède une structure holomorphe. L’unique connexion hermitienne dont la composante D′′ est l’opérateur d′′ défini au §1.A est appelée la connexion de Chern de E. Dans un repère holomorphe local (e_{λ}) de E_{|Ω}, la métrique est donnée par la matrice hermitienne H = (h_{λμ}) où h_{λμ} = ⟨e_{λ}, e_{μ}⟩. Nous avons

\{u, v\} = ∑_{λ,μ} h_{λμ}u_{λ} ∧ \overline{v}_{μ} = u^{†} ∧ H\overline{v},

où u^{†} est la matrice transposée de u, et un calcul facile donne

\begin{aligned}d\{u, v\} & = (du)^{†} ∧ H\overline{v} + (−1)^{deg u}u^{†} ∧ (dH ∧ \overline{v} + H\overline{dv}) \\ & = (du + \overline{H}^{−1}d′\overline{H} ∧ u)^{†} ∧ H\overline{v} + (−1)^{deg u}u^{†} ∧ (\overline{dv + \overline{H}^{−1}d′\overline{H} ∧ v),} \end{aligned}

en utilisant le fait que dH = d′H + \overline{d′\overline{H}} et \overline{H}^{†} = H. Par conséquent la connexion de Chern D coïncide avec la connexion hermitienne définie par

(1.9)  \{ \begin{matrix}Du & ≃_{τ} du + \overline{H}^{−1}d′\overline{H} ∧ u, \\ D′ & ≃_{τ} d′ + \overline{H}^{−1}d′\overline{H} ∧ • = \overline{H}^{−1}d′(\overline{H}•), D′′ = d′′. \end{matrix}

Ces relations montrent que D^{′2} = D^{′′2} = 0. Par conséquent D^{2} = D′D′′ + D′′D′, et le tenseur de courbure Θ(D) est de type (1, 1). Puisque d′d′′ + d′′d′ = 0, nous obtenons

(D′D′′ + D′′D′)u ≃_{τ} \overline{H}^{−1}d′\overline{H} ∧ d′′u + d′′(\overline{H}^{−1}d′\overline{H} ∧ u) = d′′(\overline{H}^{−1}d′\overline{H}) ∧ u.

1.10. Proposition. Le tenseur de courbure de Chern Θ(E) := Θ(D) est tel que

i Θ(E) ∈ C^{∞}(X, Λ^{1,1}T_{X}^{⋆} ⊗ Herm(E, E)).

Si τ : E_{↾Ω} → Ω × ℂ^{r} est une trivialisation holomorphe et si H est la matrice hermitienne représentant la métrique le long des fibres de E_{↾Ω}, alors

i Θ(E) ≃_{τ} i d′′(\overline{H}^{−1}d′\overline{H}) sur Ω.

Si (z_{1}, …, z_{n}) sont des coordonnées holomorphes sur X et si (e_{λ})_{1⩽λ⩽r} est un repère orthonormé de E, on peut écrire

(1.11)  i Θ(E) = ∑_{1⩽j,k⩽n, 1⩽λ,μ⩽r} c_{jkλμ}dz_{j} ∧ dz_{k} ⊗ e_{λ}^{⋆} ⊗ e_{μ},

où (c_{jkλμ}(x)) sont les coefficients du tenseur de courbure de E en tout point x ∈ X.

2. Opérateurs différentiels sur les fibrés vectoriels

Nous décrivons d’abord quelques concepts de base concernant les opérateurs différentiels (symbole, composition, ellipticité, adjonction), dans le contexte général des fibrés vectoriels. Soit M une variété différentiable de classe C^{∞}, dim_{ℝ} M = m, et soient E, F des 𝕂-fibrés vectoriels sur M, sur le corps 𝕂 = ℝ ou 𝕂 = ℂ, tels que rang E = r, rang F = r′.

2.1. Définition. Un opérateur différentiel (linéaire) de degré δ de E vers F est un opérateur 𝕂-linéaire P : C^{∞}(M, E) → C^{∞}(M, F), u ↦ P u de la forme

P u(x) = ∑_{|α|⩽δ} a_{α}(x)D^{α}u(x),

E_{↾Ω} ≃ Ω × 𝕂^{r}, F_{↾Ω} ≃ Ω × 𝕂^{r′} étant trivialisés localement sur un ouvert de carte Ω ⊂ M muni de coordonnées locales (x_{1}, …, x_{m}), et les coefficients a_{α}(x) étant des matrices (a_{αλμ}(x))_{1⩽λ⩽r′, 1⩽μ⩽r} de format r′ × r à coefficients C^{∞} sur Ω. On écrit ici D^{α} = (∂/∂x_{1})^{α_{1}} ⋯ (∂/∂x_{m})^{α_{m}} comme d’habitude, et les matrices u = (u_{μ})_{1⩽μ⩽r}, D^{α}u = (D^{α}u_{μ})_{1⩽μ⩽r} sont vues comme des vecteurs colonnes.

Si t ∈ 𝕂 est un paramètre et f ∈ C^{∞}(M, 𝕂), u ∈ C^{∞}(M, E), un calcul simple montre que e^{−tf(x)}P (e^{tf(x)}u(x)) est un polynôme de degré δ en t, de la forme

e^{−tf(x)}P (e^{tf(x)}u(x)) = t^{δ}σ_{P} (x, df(x)) · u(x) + termes c_{j}(x)t^{j} de degré j < δ, où σ_{P} est une application homogène polynômiale T_{M}^{⋆} → Hom(E, F) définie par

(2.2)  T_{M,x}^{⋆} ∋ ξ ↦ σ_{P} (x, ξ) ∈ Hom(E_{x}, F_{x}),  σ_{P} (x, ξ) = ∑_{|α|=δ} a_{α}(x)ξ^{α}.

Alors σ_{P} (x, ξ) est une fonction C^{∞} des variables (x, ξ) ∈ T_{M}^{⋆}, et cette fonction est indépendante du choix des coordonnées ou des trivialisations utilisées pour E, F. On dit que σ_{P} est le symbole principal de P. Le symbole principal d’une composition Q ∘ P d’opérateurs différentiels est simplement le produit

(2.3)  σ_{Q∘P} (x, ξ) = σ_{Q}(x, ξ)σ_{P} (x, ξ),

calculé comme un produit de matrices. Les opérateurs différentiels dont le symbole est injectif jouent un rôle très important :

2.4. Définition. Un opérateur différentiel P est dit elliptique si σ_{P} (x, ξ) ∈ Hom(E_{x}, F_{x}) est injectif pour tout x ∈ M et ξ ∈ T_{M,x}^{⋆} ∖ {0}.

Supposons maintenant que M soit orientée et munie d’une forme volume dV (x) = γ(x) dx_{1} ∧ ⋯ ∧ dx_{m} de classe C^{∞}, où γ(x) > 0 est une densité C^{∞}. Si E est un fibré vectoriel euclidien ou hermitien, nous pouvons définir un espace de Hilbert L^{2}(M, E) de sections globales à valeurs dans E, à savoir l’espace des formes u à coefficients mesurables qui sont de carré sommable pour le produit scalaire

(2.5)  ∥u∥^{2} = ∫_{M} |u(x)|^{2} dV (x),
(2.5′)  ⟨⟨u, v⟩⟩ = ∫_{M}⟨u(x), v(x)⟩ dV (x),  u, v ∈ L^{2}(M, E).

2.6. Définition. Si P : C^{∞}(M, E) → C^{∞}(M, F) est un opérateur différentiel et si les fibrés E, F sont euclidiens ou hermitiens, il existe un unique opérateur différentiel

P^{⋆} : C^{∞}(M, F) → C^{∞}(M, E),

appelé adjoint formel de P, tel que pour toutes sections u ∈ C^{∞}(M, E) et v ∈ C^{∞}(M, F) on ait une identité

⟨⟨P u, v⟩⟩ = ⟨⟨u, P^{⋆}v⟩⟩, chaque fois que Supp u ∩ Supp v ⊂⊂ M.

Preuve. L’unicité est facile à vérifier, grâce à la densité des formes C^{∞} à support compact dans L^{2}(M, E). Au moyen d’un argument de partition de l’unité, on ramène la vérification de l’existence de P^{⋆} à la preuve de son existence locale. Maintenant, soit P u(x) = ∑_{|α|⩽δ} a_{α}(x)D^{α}u(x) le développement de P relativement à des trivialisations de E, F associées à des repères orthonormé et à des systèmes de coordonnées locales sur un ouvert Ω ⊂ M. En supposant Supp u ∩ Supp v ⊂⊂ Ω, une intégration de parties donne

⟨⟨P u, v⟩⟩ = ∫_{Ω} ∑_{|α|⩽δ,λ,μ} a_{αλμ}D^{α}u_{μ}(x)\overline{v}_{λ}(x) γ(x) dx_{1}, …, dx_{m}

= ∫_{Ω} ∑_{|α|⩽δ,λ,μ}(−1)^{|α|}u_{μ}(x)\overline{D^{α}(γ(x) \overline{a}_{αλμ}v_{λ}(x)} dx_{1}, …, dx_{m}

= ∫_{Ω}⟨u, ∑_{|α|⩽δ}(−1)^{|α|}γ(x)^{−1}D^{α}(γ(x) \overline{a}_{α}^{†}v(x))⟩ dV (x).

Nous voyons donc que P^{⋆} existe et qu’il est défini de manière unique par

(2.7)  P^{⋆}v(x) = ∑_{|α|⩽δ}(−1)^{|α|}γ(x)^{−1}D^{α}(γ(x) \overline{a}_{α}^{†}v(x)).

La formule (2.7) montre immédiatement que le symbole principal de P^{⋆} est

(2.8)  σ_{P^{⋆}}(x, ξ) = (−1)^{δ} ∑_{|α|=δ} \overline{a}_{α}^{†}ξ^{α} = (−1)^{δ}σ_{P} (x, ξ)^{⋆}.

Si rang E = rang F, l’opérateur P est elliptique si et seulement si σ_{P} (x, ξ) est inversible pour ξ ≠ 0, l’ellipticité de P équivaut donc à celle de P^{⋆}.

3. Résultats fondamentaux sur les opérateurs elliptiques

Nous supposons dans toute cette section que M est une variété compacte orientée de dimension m et de classe C^{∞}, munie d’une forme volume dV. Soit E → M un fibré vectoriel hermitien C^{∞} de rang r sur M.

3.A. Espaces de Sobolev

Pour tout nombre réel s, on définit l’espace de Sobolev W^{s}(ℝ^{m}) comme étant l’espace de Hilbert des distributions tempérées u ∈ 𝒮′(ℝ^{m}) telles que la transformée de Fourier û soit une fonction L_{loc}^{2} satisfaisant l’estimation

(3.1)  ∥u∥_{s}^{2} = ∫_{ℝ^{m}}(1 + |ξ|^{2})^{s}|û(ξ)|^{2}dλ(ξ) < +∞.

Si s ∈ ℕ, nous avons

∥u∥_{s}^{2} ∼ ∫_{ℝ^{m}} ∑_{|α|⩽s} |D^{α}u(x)|^{2}dλ(x),

donc W^{s}(ℝ^{m}) est l’espace de Hilbert des fonctions u telles que toutes les dérivées D^{α}u d’ordre |α| ⩽ s sont dans L^{2}(ℝ^{m}).

Plus généralement, nous notons W^{s}(M, E) l’espace de Sobolev des sections u : M → E dont les composantes sont localement dans W^{s}(ℝ^{m}) sur tout ouvert de carte. De façon précise, choisissons un recouvrement fini (Ω_{j}) de M par des ouverts de coordonnées Ω_{j} ≃ ℝ^{m} sur lesquels E est trivial. Considérons des repères orthonormés (e_{j,λ})_{1⩽λ⩽r} de E_{↾Ω_{j}} et exprimons u par ses composantes, soit u = ∑ u_{j,λ} e_{j,λ}. On pose alors

∥u∥_{s}^{2} = ∑_{j,λ} ∥ψ_{j}u_{j,λ}∥_{s}^{2}

où (ψ_{j}) est un “partition de l’unité” subordonnée à (Ω_{j}), telle que ∑ ψ_{j}^{2} = 1. A équivalence de normes près, ∥ ∥_{s} est indépendante des choix faits. Nous aurons besoin des faits fondamentaux suivants, que le lecteur pourra trouver dans la plupart des ouvrages spécialisés consacrés à la théorie des équations aux dérivées partielles.

3.2. Lemme de Sobolev. Pour tout entier k ∈ ℕ et tout nombre réel s > k + \frac{m}{2}, on a W^{s}(M, E) ⊂ C^{k}(M, E) et l’inclusion est continue.

Il résulte aussitôt du lemme de Sobolev que

\begin{aligned}⋂_{s⩾0} W^{s}(M, E) & = C^{∞}(M, E), \\ ⋃_{s⩽0} W^{s}(M, E) & = 𝒟′(M, E). \end{aligned}

3.3. Lemme de Rellich. Pour tout t > s, l’inclusion

W^{t}(M, E) ⟶ W^{s}(M, E)

est un opérateur linéaire compact.

3.B. Opérateurs pseudodifférentiels

Si P = ∑_{|α|⩽δ} a_{α}(x)D^{α} est un opérateur différentiel sur ℝ^{m}, la formule d’inversion de Fourier donne

P u(x) = ∫_{ℝ^{m}} ∑_{|α|⩽δ} a_{α}(x)(2πiξ)^{α}û(ξ) e^{2πix·ξ} dλ(ξ), ∀u ∈ 𝒟(ℝ^{m}),

où û(ξ) = ∫_{ℝ^{m}} u(x) e^{−2πix·ξ} dλ(x) est la transformée de Fourier de u. Nous disons que

σ(x, ξ) = ∑_{|α|⩽δ} a_{α}(x)(2πiξ)^{α}

est le symbole (ou symbole total) de P.

Un opérateur pseudodifférentiel est un opérateur Op_{σ} défini par une formule du type

(3.4)  Op_{σ}(u)(x) = ∫_{ℝ^{m}} σ(x, ξ) û(ξ) e^{2πix·ξ} dλ(ξ),  u ∈ 𝒟(ℝ^{m}),

où σ appartient à une classe convenable de fonctions sur T_{ℝ^{m}}^{⋆}. La classe standard de symboles S^{δ}(ℝ^{m}) est définie comme suit : étant donné δ ∈ ℝ, S^{δ}(ℝ^{m}) est la classe des fonctions σ(x, ξ) de classe C^{∞} sur T_{ℝ^{m}}^{⋆} telles que pour tout α, β ∈ ℕ^{m} et tout sous-ensemble compact K ⊂ ℝ^{m} on ait une estimation

(3.5)  |D_{x}^{α}D_{ξ}^{β}σ(x, ξ)| ⩽ C_{α,β}(1 + |ξ|)^{δ−|β|},  ∀(x, ξ) ∈ K × ℝ^{m},

où δ ∈ ℝ doit être considéré comme le “degré” de σ. Alors Op_{σ}(u) est une fonction C^{∞} bien définie sur ℝ^{m}, puisque û appartient à la classe 𝒮(ℝ^{m}) des fonctions à décroissance rapide. Dans la situation plus générale des opérateurs agissant sur un fibré E et à valeurs dans un fibré F sur une variété compacte M, nous introduisons des espaces de symboles S^{δ}(M; E, F) analogues. Les éléments de S^{δ}(M; E, F) sont les fonctions

T_{M}^{⋆} ∋ (x, ξ) ↦ σ(x, ξ) ∈ Hom(E_{x}, F_{x})

satisfaisant la condition (3.5) dans tout système de coordonnées. Finalement, nous prenons un recouvrement fini trivialisant (Ω_{j}) de M et une “partition de l’unité” (ψ_{j}) subordonnée à Ω_{j} telle que ∑ ψ_{j}^{2} = 1, et nous définissons

Op_{σ}(u) = ∑ ψ_{j} Op_{σ}(ψ_{j}u), u ∈ C^{∞}(M, E),

de manière à réduire les calculs à la situation de ℝ^{m}. Les résultats de base de la théorie des opérateurs pseudodifférentiels sont résumés ci-dessous.

3.6. Existence de prolongement aux espaces W^{s}. Si σ ∈ S^{δ}(M; E, F), alors Op_{σ} s’étend d’une manière unique en un opérateur linéaire continu

Op_{σ} : W^{s}(M, E) → W^{s−δ}(M, F).

En particulier, si σ ∈ S^{−∞}(M; E, F) := ⋂ S^{δ}(M; E, F), alors Op_{σ} est un opérateur envoyant une section distribution arbitraire de 𝒟′(M, E) dans C^{∞}(M, F), et ce de manière continue. Un tel opérateur est appelé opérateur régularisant. Un résultat standard de la théorie des distributions affirme que la classe ℛ des opérateurs régularisants coïncide avec la classe des opérateurs définis au moyen d’un noyau K(x, y) ∈ Hom(E_{y}, F_{x}) de classe C^{∞}, c’est-à-dire les opérateurs de la forme

R : 𝒟′(M, E) → C^{∞}(M, F),  u ↦ Ru,  Ru(x) = ∫_{M} K(x, y) · u(y) dV (y).

Inversement, si dV (y) = γ(y)dy_{1} ⋯ dy_{m} sur Ω_{j} et si on écrit Ru = ∑ R(θ_{j}u) avec une partition de l’unité (θ_{j}), l’opérateur R(θ_{j}•) est l’opérateur pseudodifférentiel associé au symbole σ défini comme la transformée de Fourier partielle

σ(x, ξ) = (γ(y)θ_{j}(y)K(x, y))_{y}^{∧}(x, ξ), σ ∈ S^{−∞}(M; E, F).

Quand on travaille avec des opérateurs pseudodifférentiels, il est habituel de travailler seulement modulo les opérateurs régularisants et d’autoriser des opérateurs plus généraux de la forme Op_{σ} +R où R ∈ ℛ est un opérateur régularisant arbitraire.

3.7. Composition. Si σ ∈ S^{δ}(M; E, F) et σ′ ∈ S^{δ′}(M; F, G), δ, δ′ ∈ ℝ, il existe un symbole σ′ ⋄ σ ∈ S^{δ+δ′}(M; E, G) tel que Op_{σ′} ∘ Op_{σ} = Op_{σ′⋄σ} mod ℛ. De plus

σ′ ⋄ σ − σ′ · σ ∈ S^{δ+δ′−1}(M; E, G).

3.8. Définition. Un opérateur pseudodifférentiel Op_{σ} de degré δ est dit elliptique s’il peut être défini par un symbole σ ∈ S^{δ}(M, E, F) tel que

|σ(x, ξ) · u| ⩾ c|ξ|^{δ}|u|, ∀(x, ξ) ∈ T_{M}^{⋆}, ∀u ∈ E_{x}

pour |ξ| assez grand, l’estimation étant uniforme pour x ∈ M.

Si E et F ont le même rang, la condition d’ellipticité implique que σ(x, ξ) est inversible pour ξ grand. En prenant une fonction tronquante convenable θ(ξ) égale à 1 pour ξ grand, on voit que la fonction σ′(x, ξ) = θ(ξ)σ(x, ξ)^{−1} définit un symbole dans l’espace S^{−δ}(M; F, E), et d’après (3.8) nous avons Op_{σ′} ∘ Op_{σ} = Id + Op_{ρ}, ρ ∈ S^{−1}(M; E, E). Choisissons un symbole τ asymptotiquement équivalent à l’infini au développement Id −ρ+ρ^{⋄2}+⋯+(−1)^{j}ρ^{⋄j} +· · ·. Il est clair qu’on obtient alors un inverse Op_{τ⋄σ′} de Op_{σ} modulo ℛ. Un corollaire facile de ces observations est le suivant :

3.9. Inégalité de Gårding. Soit P : C^{∞}(M, E) → C^{∞}(M, F) un opérateur différentiel elliptique de degré δ, où rang E = rang F = r, et soit P̃ l’extension de P aux sections à coefficients distributions. Pour tout u ∈ W^{0}(M, E) tel que P̃u ∈ W^{s}(M, F), on a alors u ∈ W^{s+δ}(M, E) et

∥u∥_{s+δ} ⩽ C_{s}(∥P̃u∥_{s} + ∥u∥_{0}),

où C_{s} est une constante positive ne dépendant que de s.

Preuve. Comme P est elliptique, il existe un symbole σ ∈ S^{−δ}(M; F, E) tel que Op_{σ} ∘P̃ = Id +R, R ∈ ℛ. Alors ∥ Op_{σ}(v)∥_{s+δ} ⩽ C∥v∥_{s} grâce à (3.6). Par suite, en posant v = P̃u, nous voyons que u = Op_{σ}(P̃u) − Ru satisfait l’estimation désirée.

3.C. Théorème de finitude

Nous concluons cette section par la preuve du théorème de finitude fondamental suivant, qui est le point de départ de la théorie de Hodge L^{2}.

3.10. Théorème de finitude. Soient E, F des fibrés vectoriels hermitiens sur une variété compacte M, tels que rang E = rang F = r, et soit P : C^{∞}(M, E) → C^{∞}(M, F) un opérateur différentiel elliptique de degré δ. Alors :

i) Ker P est de dimension finie.

ii) P (C^{∞}(M, E)) est fermé et de codimension finie dans C^{∞}(M, F) ; de plus, si P^{⋆} est l’adjoint formel de P, il existe une décomposition

C^{∞}(M, F) = P (C^{∞}(M, E)) ⊕ Ker P^{⋆}

comme somme directe orthogonale dans W^{0}(M, F) = L^{2}(M, F).

Preuve. (i) L’inégalité de Gårding montre que ∥u∥_{s+δ} ⩽ C_{s}∥u∥_{0} pour tout u ∈ Ker P. Grâce au lemme de Sobolev, ceci implique que Ker P est fermé dans W^{0}(M, E). De plus, la ∥ ∥_{0}-boule unité fermée de Ker P est contenue dans la ∥ ∥_{δ}-boule de rayon C_{0}, donc elle est compacte d’après le lemme de Rellich. Le théorème de Riesz implique que dim Ker P < +∞.

(ii) Nous montrons d’abord que le prolongement

P̃ : W^{s+δ}(M, E) → W^{s}(M, F)

a une image fermée pour tout s. Pour tout ε > 0, il existe un nombre fini d’éléments v_{1}, …, v_{N} ∈ W^{s+δ}(M, F), N = N(ε), tels que

(3.11)  ∥u∥_{0} ⩽ ε∥u∥_{s+δ} + ∑_{j=1}^{N} |⟨⟨u, v_{j}⟩⟩_{0}| ;

en effet l’ensemble

K_{(v_{j})} = {u ∈ W^{s+δ}(M, F) ; ε∥u∥_{s+δ} + ∑_{j=1}^{N} |⟨⟨u, v_{j}⟩⟩_{0}| ⩽ 1}

est relativement compact dans W^{0}(M, F) et ⋂_{(v_{j})} \overline{K}_{(v_{j})} = \{0\}. Il s’ensuit qu’il existe des éléments (v_{j}) tels que \overline{K}_{(v_{j})} soit contenu dans la boule unité de W^{0}(M, E), ce qu’il fallait démontrer. Substituons la majoration ∥u∥_{0} donnée par (3.11) dans l’inégalité de Gårding ; nous obtenons

(1 − C_{s}ε)∥u∥_{s+δ} ⩽ C_{s}(∥P̃u∥_{s} + ∑_{j=1}^{N} |⟨⟨u, v_{j}⟩⟩_{0}|).

Définissons T = {u ∈ W^{s+δ}(M, E) ; u ⊥ v_{j}, 1 ⩽ j ⩽ n} et posons ε = 1/2C_{s}. Il vient

∥u∥_{s+δ} ⩽ 2C_{s}∥P̃u∥_{s}, ∀u ∈ T.

Ceci implique que P̃(T) est fermé. Par conséquent

P̃(W^{s+δ}(M, E)) = P̃(T) + Vect(P̃(v_{1}), …, P̃(v_{N}))

est fermé dans W^{s}(M, E). Prenons en particulier s = 0. Puisque C^{∞}(M, E) est dense dans W^{δ}(M, E), nous voyons que dans W^{0}(M, E) = L^{2}(M, E) on a

(P̃(W^{δ}(M, E)))^{⊥} = (P (C^{∞}(M, E)))^{⊥} = Ker P̃^{⋆}.

Nous avons ainsi prouvé que

(3.12)  W^{0}(M, E) = P̃(W^{δ}(M, E)) ⊕ Ker P̃^{⋆}.

Puisque P^{⋆} est également elliptique, il s’ensuit que Ker P̃^{⋆} est de dimension finie et que Ker P̃^{⋆} = Ker P^{⋆} est contenu dans C^{∞}(M, F). Grâce à l’inégalité de Gårding, la formule de décomposition (3.12) donne

(3.13)  W^{s}(M, E) = P̃(W^{s+δ}(M, E)) ⊕ Ker P^{⋆},
(3.14)  C^{∞}(M, E) = P (C^{∞}(M, E)) ⊕ Ker P^{⋆}.

Nous terminons cette section par la construction de l’opérateur de Green associé à un opérateur elliptique auto-adjoint.

3.15. Théorème. Soient E un fibré vectoriel hermitien de rang r sur une variété compacte M, et P : C^{∞}(M, E) → C^{∞}(M, E) un opérateur différentiel elliptique autoadjoint de degré δ. Alors si H désigne l’opérateur de projection orthogonale H : C^{∞}(M, E) → Ker P, il existe un unique opérateur G sur C^{∞}(M, E) tel que

P G + H = GP + H = Id,

de plus G est un opérateur pseudo-différentiel de degré −δ, appelé opérateur de Green associé à P.

Preuve. D’après le Théorème 3.10, Ker P = Ker P^{⋆} est de dimension finie, et Im P = (Ker P)^{⊥}. Il en résulte que la restriction de P à (Ker P)^{⊥} est un opérateur bijectif. On définit G comme étant égal à 0 ⊕ P^{−1} relativement à la décomposition orthogonale C^{∞}(M, E) = Ker P ⊕(Ker P)^{⊥}. Les relations P G+H = GP +H = Id sont alors évidentes, de même que l’unicité de G. De plus, G est continu pour la topologie d’espace de Fréchet de C^{∞}(M, E) d’après le théorème de Banach. On sait également qu’il existe un opérateur pseudodifférentiel Q d’ordre −δ qui est un inverse de P modulo ℛ, i.e., P Q = Id +R, R ∈ ℛ. Il vient alors

Q = (GP + H)Q = G(Id +R) + HQ = G + GR + HQ,

où GR et HQ sont régularisants (H est un opérateur régularisant de rang fini défini par le noyau ∑ φ_{s}(x) ⊗ φ_{s}^{⋆}(y), si (φ_{s}) est une base de fonctions propres de Ker P ⊂ C^{∞}(M, E)). Par suite G = Q mod ℛ et G est bien un opérateur pseudo-différentiel d’ordre −δ.

3.16. Corollaire. Sous les hypothèses du th. 3.15, les valeurs propres de P constituent une suite de réels λ_{k} tels que lim_{k→+∞} |λ_{k}| = +∞, les espaces propres V_{λ_{k}} de P sont de dimension finie, et on a une somme directe hilbertienne

L^{2}(M, E) = ˆ⨁_{k}V_{λ_{k}}.

Pour tout entier m ∈ ℕ, un élément u = ∑_{k} u_{k} ∈ L^{2}(M, E) est dans W^{mδ}(X, E) si et seulement si ∑ |λ_{k}|^{2m}∥u_{k}∥^{2} < +∞.

Preuve. L’opérateur de Green s’étend en un opérateur autoadjoint

G̃ : L^{2}(M, E) → L^{2}(M, E)

se factorisant à travers W^{δ}(M, E), et donc compact. Cet opérateur définit un inverse de P̃ : W^{δ}(M, E) → L^{2}(M, E) sur (Ker P)^{⊥}. La théorie spectrale des opérateurs compacts autoadjoints montre que les valeurs propres μ_{k} de G̃ forment une suite de réels μ_{k} tendant vers 0 et que L^{2}(M, E) est somme directe hilbertienne des espaces propres. Les valeurs propres correspondantes de P̃ sont λ_{k} = μ_{k}^{−1} si μ_{k} ≠ 0, et d’après l’ellipticité de P − λ_{k} Id, les espaces propres V_{λ_{k}} = Ker(P − λ_{k} Id) sont de dimension finie et contenus dans C^{∞}(M, E). Enfin, si u = ∑_{k} u_{k} ∈ L^{2}(M, E), l’inégalité de Gårding montre que u ∈ W^{mδ}(M, E) si et seulement si P̃^{m}u ∈ L^{2}(M, E) = W^{0}(M, E), ce qui donne bien la condition ∑ |λ_{k}|^{2m}∥u_{k}∥^{2} < +∞.

4. Théorie de Hodge des variétés riemanniennes compactes

La théorie de Hodge a été bâtie de toutes pièces par W.V.D. Hodge pendant la décade 1930-1940 (voir [Hod41], [DR55]). Le but principal de la théorie est de décrire l’algèbre de cohomologie de De Rham d’une variété riemannienne en termes de ses formes harmoniques. Le résultat principal est que toute classe de cohomologie possède un unique représentant harmonique.

4.A. Structure euclidienne de l’algèbre extérieure

Soit (M, g) une variété riemannienne orientée de classe C^{∞}, dim_{ℝ} M = m, et soit E → M un fibré vectoriel hermitien de rang r sur M. Nous notons respectivement (ξ_{1}, …, ξ_{m}) et (e_{1}, …, e_{r}) des repères orthonormés de T_{M} et de E sur une carte Ω ⊂ M, et soient (ξ_{1}^{⋆}, …, ξ_{m}^{⋆}), (e_{1}^{⋆}, …, e_{r}^{⋆}) les repères duaux correspondants de T_{M}^{⋆}, E^{⋆}. Soit dV l’élément de volume riemannien sur M. L’algèbre extérieure Λ^{•}T_{M}^{⋆} possède un produit scalaire naturel ⟨•, •⟩, tel que

(4.1)  ⟨u_{1} ∧ ⋯ ∧ u_{p}, v_{1} ∧ ⋯ ∧ v_{p}⟩ = det(⟨u_{j}, v_{k}⟩)_{1⩽j,k⩽p}, u_{j}, v_{k} ∈ T_{M}^{⋆}

pour tout p, avec Λ^{•}T_{M}^{⋆} = ⨁ Λ^{p}T_{M}^{⋆} comme somme directe orthogonale. Alors la famille de covecteurs ξ_{I}^{⋆} = ξ_{i_{1}}^{⋆} ∧ ⋯ ∧ ξ_{i_{p}}^{⋆}, i_{1} < i_{2} < ⋯ < i_{p}, définit une base orthonormée de Λ^{•}T_{M}^{⋆}. On notera ⟨•, •⟩ le produit scalaire correspondant sur Λ^{•}T_{M}^{⋆} ⊗ E.

4.2. Opérateur étoile de Hodge. L’opérateur ⋆ de Hodge-Poincaré-De Rham est l’endomorphisme de Λ^{•}T_{M}^{⋆} défini par la collection d’applications linéaires telles que

⋆ : Λ^{p}T_{M}^{⋆} → Λ^{m−p}T_{M}^{⋆},  u ∧ ⋆ v = ⟨u, v⟩ dV,  ∀u, v ∈ Λ^{p}T_{M}^{⋆}.

L’existence et l’unicité de cet opérateur se voient aisément en utilisant l’accouplement de dualité

Λ^{p}T_{M}^{⋆} × Λ^{m−p}T_{M}^{⋆} ⟶ ℝ
(4.3)  (u, v) ⟼ u ∧ v/dV = ∑ ε(I, ∁I) u_{I}v_{∁I},

où u = ∑_{|I|=p} u_{I} ξ_{I}^{⋆}, v = ∑_{|J|=m−p} v_{J} ξ_{J}^{⋆}, et où ε(I, ∁I) est la signature de la permutation (1, 2, …, m) ↦ (I, ∁I) définie par I suivi du multi-indice complémentaire (ordonné) ∁I. De là, nous déduisons

(4.4)  ⋆ v = ∑_{|I|=p} ε(I, ∁I)v_{I} ξ_{∁I}^{⋆}.

Plus généralement, l’accouplement sesquilinéaire {•, •} défini par (1.6) induit un opérateur ⋆ sur les formes à valeurs vectorielles, tel que

⋆ : Λ^{p}T_{M}^{⋆} ⊗ E → Λ^{m−p}T_{M}^{⋆} ⊗ E, {s, ⋆ t} = ⟨s, t⟩ dV, (4.5)

⋆ t = ∑_{|I|=p,λ} ε(I, ∁I) t_{I,λ} ξ_{∁I}^{⋆} ⊗ e_{λ}, ∀s, t ∈ Λ^{p}T_{M}^{⋆} ⊗ E, (4.6)

pour t = ∑ t_{I,λ} ξ_{I}^{⋆} ⊗e_{λ}. Puisque ε(I, ∁I)ε(∁I, I) = (−1)^{p(m−p)} = (−1)^{p(m−1)}, nous obtenons immédiatement

(4.7)  ⋆ ⋆ t = (−1)^{p(m−1)}t sur Λ^{p}T_{M}^{⋆} ⊗ E.

Il est clair que ⋆ est une isométrie de Λ^{•}T_{M}^{⋆} ⊗ E. Nous aurons besoin aussi d’une variante de l’opérateur ⋆, à savoir l’opérateur antilinéaire

# : Λ^{p}T_{M}^{⋆} ⊗ E ⟶ Λ^{m−p}T_{M}^{⋆} ⊗ E^{⋆}

défini par s ∧ # t = ⟨s, t⟩ dV, où le produit extérieur ∧ est combiné avec l’accouplement canonique E × E^{⋆} → ℂ. Nous avons

(4.8)  # t = ∑_{|I|=p,λ} ε(I, ∁I) \overline{t}_{I,λ} ξ_{∁I}^{⋆} ⊗ e_{λ}^{⋆}.

4.9. Contraction par un champ de vecteurs. Etant donné un vecteur tangent θ ∈ T_{M} et une forme u ∈ Λ^{p}T_{M}^{⋆}, la contraction θ u ∈ Λ^{p−1}T_{M}^{⋆} est définie par

θ u (η_{1}, …, η_{p−1}) = u(θ, η_{1}, …, η_{p−1}), η_{j} ∈ T_{M}.

En termes de la base (ξ_{j}), • • est l’opérateur bilinéaire caractérisé par

ξ_{l} (ξ_{i_{1}}^{⋆} ∧ ⋯ ∧ ξ_{i_{p}}^{⋆}) = \{ \begin{matrix}0 & si l ∉ \{i_{1}, …, i_{p}\}, \\ (−1)^{k−1}ξ_{i_{1}}^{⋆} ∧ ⋯ ξ̂_{i_{k}}^{⋆} ⋯ ∧ ξ_{i_{p}}^{⋆} & si l = i_{k}. \end{matrix}

Cette formule est en fait valide même quand (ξ_{j}) est non orthonormé. Un calcul facile montre que θ • est une dérivation de l’algèbre extérieure, i.e. que

θ (u ∧ v) = (θ u) ∧ v + (−1)^{deg u}u ∧ (θ v).

De plus, si θ̃ = ⟨•, θ⟩ ∈ T_{M}^{⋆}, l’opérateur θ • est l’adjoint de θ̃∧ •, i.e.,

(4.10)  ⟨θ u, v⟩ = ⟨u, θ̃∧ v⟩, ∀u, v ∈ Λ^{•}T_{M}^{⋆}.

En effet, cette propriété est immédiate quand θ = ξ_{l}, u = ξ_{I}^{⋆}, v = ξ_{J}^{⋆}.

4.B. Opérateurs de Laplace-Beltrami

Soit E un fibré vectoriel hermitien sur M, et soit D_{E} une connexion hermitienne sur E. Nous considérons l’espace de Hilbert L^{2}(M, Λ^{p}T_{M}^{⋆} ⊗ E) des p-formes s sur M à valeurs dans E, muni du produit scalaire L^{2}

⟨⟨s, t⟩⟩ = ∫_{M}⟨s, t⟩ dV

déjà considéré en (2.5). Ici ⟨s, t⟩ est le produit scalaire ponctuel sur Λ^{p}T_{M}^{⋆} ⊗ E associé au produit scalaire riemannien sur Λ^{p}T_{M}^{⋆} et au produit scalaire hermitien sur E.

4.11. Théorème. L’adjoint formel de D_{E} agissant sur C^{∞}(M, Λ^{p}T_{M}^{⋆} ⊗ E) est donné par

D_{E}^{⋆} = (−1)^{mp+1} ⋆ D_{E} ⋆ .

Preuve. Si s ∈ C^{∞}(M, Λ^{p}T_{M}^{⋆} ⊗ E) et t ∈ C^{∞}(M, Λ^{p+1}T_{M}^{⋆} ⊗ E) sont à support compact, nous avons

\begin{aligned}⟨⟨D_{E}s, t⟩⟩ & = ∫_{M}⟨D_{E}s, t⟩ dV = ∫_{M}\{D_{E}s, ⋆ t\} \\ & = ∫_{M} d\{s, ⋆ t\} − (−1)^{p}\{s, D_{E} ⋆ t\} = (−1)^{p+1} ∫_{M}\{s, D_{E} ⋆ t\} \end{aligned}

grâce à la formule de Stokes. Par conséquent (4.5) et (4.7) impliquent

⟨⟨D_{E}s, t⟩⟩ = (−1)^{p+1}(−1)^{p(m−1)} ∫_{M}{s, ⋆ ⋆ D_{E} ⋆ t} = (−1)^{mp+1}⟨⟨s, ⋆D_{E} ⋆ t⟩⟩.

La formule désirée s’ensuit.

4.12. Remarque. Dans le cas de la connexion triviale d sur E = M × ℂ, la formule devient d^{⋆} = (−1)^{m+1} ⋆ d ⋆. Si m est pair, ces formules se réduisent à

d^{⋆} = − ⋆ d ⋆ , D_{E}^{⋆} = − ⋆ D_{E} ⋆ .

4.13. Définition. L’opérateur de Laplace-Beltrami est l’opérateur différentiel du second ordre agissant sur les fibrés Λ^{p}T_{M}^{⋆} ⊗ E, tel que

Δ_{E} = D_{E}D_{E}^{⋆} + D_{E}^{⋆}D_{E}.

En particulier, l’opérateur de Laplace-Beltrami agissant sur Λ^{p}T_{M}^{⋆} est Δ = dd^{⋆}+d^{⋆}d. Ce dernier opérateur ne dépend que de la structure riemannienne (M, g).

Il est clair que le Laplacien Δ est formellement auto-adjoint, i.e. ⟨⟨Δ_{E}s, t⟩⟩ = ⟨⟨s, Δ_{E}t⟩⟩ chaque fois que les formes s, t sont de classe C^{∞} et que l’une d’elles est à support compact.

4.14. Calcul du symbole. Pour toute fonction f de classe C^{∞}, la règle de Leibnitz donne e^{−tf}D_{E}(e^{tf}s) = t df ∧ s + D_{E}s. Par définition du symbole, nous trouvons donc

σ_{D_{E}}(x, ξ) · s = ξ ∧ s, ∀ξ ∈ T_{M,x}^{⋆}, ∀s ∈ Λ^{p}T_{M}^{⋆} ⊗ E.

Grâce à la formule (2.8) nous obtenons σ_{D_{E}^{⋆}} = −(σ_{D_{E}})^{⋆}, donc

σ_{D_{E}^{⋆}}(x, ξ) · s = −ξ̃ s

où ξ̃ ∈ T_{M} est le vecteur tangent adjoint de ξ. L’égalité σ_{Δ_{E}} = σ_{D_{E}}σ_{D_{E}^{⋆}} +σ_{D_{E}^{⋆}}σ_{D_{E}} implique

\begin{matrix}σ_{Δ_{E}}(x, ξ) · s = −ξ ∧ (ξ̃ s) − ξ̃ (ξ ∧ s) = −(ξ̃ ξ)s, \\ σ_{Δ_{E}}(x, ξ) · s = −|ξ|^{2}s. \end{matrix}

En particulier, Δ_{E} est toujours un opérateur elliptique. Dans le cas particulier où M est une partie ouverte de ℝ^{m} munie de la métrique constante g = ∑_{i=1}^{m} dx_{i}^{2}, tous les opérateurs d, d^{⋆}, Δ sont à coefficients constants. Ils sont complètement déterminés par leur symbole principal (aucun terme d’ordre plus bas ne peut apparaître). Nous trouvons alors aisément

\begin{aligned}s & = ∑_{|I|=p} s_{I}dx_{I}, ds = ∑_{|I|=p,j} \frac{∂s_{I}}{∂x_{j}} dx_{j} ∧ dx_{I}, \\ d^{⋆}s & = − ∑_{I,j} \frac{∂s_{I}}{∂x_{j}} \frac{∂}{∂x_{j}} dx_{I}, \\ Δs & = − ∑_{I} ( ∑_{j} \frac{∂^{2}s_{I}}{∂x_{j}^{2}} )dx_{I}. \end{aligned}

Par suite, Δ a la même expression que l’opérateur de Laplace élémentaire, au signe moins près.

4.C. Formes harmoniques et isomorphisme de Hodge

Soit E un fibré vectoriel hermitien sur une variété riemannienne compacte (M, g). Nous supposons que E possède une connexion hermitienne D_{E} telle que Θ(D_{E}) = D_{E}^{2} = 0. Une telle connexion est dite intégrable ou plate. Il est bien connu que ceci équivaut à ce que E soit donné par une représentation π_{1}(M) → U(r) ; un tel fibré est appelé fibré plat ou système local de coefficients. Un exemple fondamental est bien sûr le fibré trivial E = M × ℂ avec sa connexion évidente D_{E} = d. Grâce à cette hypothèse, D_{E} définit un complexe de De Rham généralisé

C^{∞}(M, E) ⟶^{D_{E}} C^{∞}(M, Λ^{1}T_{M}^{⋆} ⊗ E) ⟶ ⋯ ⟶ C^{∞}(M, Λ^{p}T_{M}^{⋆} ⊗ E) ⟶^{D_{E}} · · · .

Les groupes de cohomologie de ce complexe seront notés H_{DR}^{p}(M, E).

L’espace des formes harmoniques de degré p relativement à l’opérateur de Laplace-Beltrami Δ_{E} = D_{E}D_{E}^{⋆} + D_{E}^{⋆}D_{E} est défini par

(4.15)  ℋ^{p}(M, E) = {s ∈ C^{∞}(M, Λ^{p}T_{M}^{⋆} ⊗ E) ; Δ_{E}s = 0}.

Comme ⟨⟨Δ_{E}s, s⟩⟩ = ||D_{E}s||^{2} + ||D_{E}^{⋆}s||^{2}, nous voyons que s ∈ ℋ^{p}(M, E) si et seulement si D_{E}s = D_{E}^{⋆}s = 0.

4.16. Théorème. Pour tout p, il existe une décomposition orthogonale

C^{∞}(M, Λ^{p}T_{M}^{⋆} ⊗ E) = ℋ^{p}(M, E) ⊕ Im D_{E} ⊕ Im D_{E}^{⋆}, où
Im D_{E} = D_{E}(C^{∞}(M, Λ^{p−1}T_{M}^{⋆} ⊗ E)),
Im D_{E}^{⋆} = D_{E}^{⋆}(C^{∞}(M, Λ^{p+1}T_{M}^{⋆} ⊗ E)).

Preuve. Il est immédiat que ℋ^{p}(M, E) est orthogonal aux deux sous-espaces Im D_{E} et Im D_{E}^{⋆}. L’orthogonalité de ces deux sous-espaces est elle aussi évidente, grâce à l’hypothèse D_{E}^{2} = 0 :

⟨⟨D_{E}s, D_{E}^{⋆}t⟩⟩ = ⟨⟨D_{E}^{2}s, t⟩⟩ = 0.

Nous appliquons maintenant le th. 3.10 à l’opérateur elliptique Δ_{E} = Δ_{E}^{⋆} agissant sur les p-formes, i.e. l’opérateur Δ_{E} : C^{∞}(M, F) → C^{∞}(M, F) agissant sur le fibré F = Λ^{p}T_{M}^{⋆} ⊗ E. Nous obtenons

C^{∞}(M, Λ^{p}T_{M}^{⋆} ⊗ E) = ℋ^{p}(M, E) ⊕ Δ_{E}(C^{∞}(M, Λ^{p}T_{M}^{⋆} ⊗ E)),
Im Δ_{E} = Im(D_{E}D_{E}^{⋆} + D_{E}^{⋆}D_{E}) ⊂ Im D_{E} + Im D_{E}^{⋆}.

D’autre part, comme Im D_{E} et Im D_{E}^{⋆} sont orthogonaux à ℋ^{p}(M, E), ces espaces sont contenus dans Im Δ_{E}.

4.17. Théorème d’isomorphisme de Hodge. Les groupes de cohomologie de De Rham H_{DR}^{p}(M, E) sont de dimension finie et H_{DR}^{p}(M, E) ≃ ℋ^{p}(M, E).

Preuve. Grâce à la décomposition (4.16), nous obtenons

B_{DR}^{p}(M, E) = D_{E}(C^{∞}(M, Λ^{p−1}T_{M}^{⋆} ⊗ E)),
Z_{DR}^{p}(M, E) = Ker D_{E} = (Im D_{E}^{⋆})^{⊥} = ℋ^{p}(M, E) ⊕ Im D_{E}.

Ceci montre que toute classe de cohomologie de De Rham contient un unique représentant harmonique.

4.18. Dualité de Poincaré. L’accouplement

H_{DR}^{p}(M, E) × H_{DR}^{m−p}(M, E^{⋆}) ⟶ ℂ, (s, t) ⟼ ∫_{M} s ∧ t

est une forme bilinéaire non dégénérée, et définit donc une dualité entre H_{DR}^{p}(M, E) et H_{DR}^{m−p}(M, E^{⋆}).

Preuve. Notons d’abord qu’il existe une connexion plate D_{E^{⋆}} naturellement définie telle que pour tout s ∈ C^{∞}(M, Λ^{•}T_{M}^{⋆} ⊗ E), t ∈ C^{∞}(M, Λ^{•}T_{M}^{⋆} ⊗ E^{⋆}) on ait

(4.19)  d(s ∧ t) = (D_{E}s) ∧ t + (−1)^{deg s}s ∧ D_{E^{⋆}}t.

Il résulte alors de la formule de Stokes que l’application bilinéaire (s, t) ↦ ∫_{M} s ∧ t peut se factoriser aux groupes de cohomologie. Soit s ∈ C^{∞}(M, Λ^{p}T_{M}^{⋆} ⊗ E). Nous laissons au lecteur le soin de prouver les formules suivantes (utiliser (4.19) de façon analogue à ce qui a été fait pour la preuve du th. 4.11) : (4.20) D_{E^{⋆}}(# s) = (−1)^{p}# D_{E}^{⋆}s, (D_{E^{⋆}})^{⋆}(# s) = (−1)^{p+1}# D_{E}s, Δ_{E^{⋆}}(# s) = # Δ_{E}s,

Par conséquent #s ∈ ℋ^{m−p}(M, E^{⋆}) si et seulement si s ∈ ℋ^{p}(M, E). Puisque

∫_{M} s ∧ # s = ∫_{M} |s|^{2} dV = ∥s∥^{2},

nous voyons que l’accouplement de Poincaré a un noyau trivial dans le facteur de gauche ℋ^{p}(M, E) ≃ H_{DR}^{p}(M, E). Par symétrie, il a aussi un noyau trivial à droite. La preuve est achevée.

5. Variétés hermitiennes et kählériennes

Soit X une variété complexe de dimension n. Une métrique hermitienne sur X est une forme hermitienne définie positive de classe C^{∞} sur T_{X} ; dans un système de coordonnées (z_{1}, …, z_{n}), une telle forme peut s’écrire

h(z) = ∑_{1⩽j,k⩽n} h_{jk}(z) dz_{j} ⊗ d\overline{z}_{k},

où (h_{jk}) est une matrice hermitienne positive à coefficients C^{∞}. La (1, 1)-forme fondamentale associée à h est

ω = − Im h = \frac{i}{2} ∑ h_{jk}dz_{j} ∧ d\overline{z}_{k}, 1 ⩽ j, k ⩽ n.

5.1. Définition.

a) Une variété hermitienne est un couple (X, ω) où ω est une (1, 1)-forme C^{∞} définie positive sur X.

b) La métrique ω est dite kählérienne si dω = 0.

c) X est appelée variété kählérienne si X possède au moins une métrique kählérienne.

Puisque ω est réelle, les conditions dω = 0, d′ω = 0, d′′ω = 0 sont toutes équivalentes. En coordonnées locales, on voit que d′ω = 0 si et seulement si

\frac{∂h_{jk}}{∂z_{l}} = \frac{∂h_{lk}}{∂z_{j}} , 1 ⩽ j, k, l ⩽ n.

Un calcul simple donne

\frac{ω^{n}}{n!} = det(h_{jk}) ⋀_{1⩽j⩽n} (\frac{i}{2}dz_{j} ∧ d\overline{z}_{j}) = det(h_{jk}) dx_{1} ∧ dy_{1} ∧ ⋯ ∧ dx_{n} ∧ dy_{n},

où z_{n} = x_{n} + iy_{n}. Par conséquent la (n, n)-forme

(5.2)  dV = \frac{1}{n!}ω^{n}

est positive et coïncide avec l’élément de volume hermitien de X. Si X est compacte, alors ∫_{X} ω^{n} = n! Vol_{ω}(X) > 0. Cette remarque simple implique déjà qu’une variété kählérienne compacte doit satisfaire certaines conditions topologiques restrictives :

5.3. Conséquence.

a) Si (X, ω) est kählérienne compacte et si {ω} désigne la classe de cohomologie de ω dans H^{2}(X, ℝ), alors {ω}^{n} ≠ 0. b) Si X est kählérienne compacte, alors H^{2k}(X, ℝ) ≠ 0 pour 0 ⩽ k ⩽ n. En effet,

{ω}^{k} est une classe non nulle de H^{2k}(X, ℝ).

5.4. Exemple. L’espace projectif complexe ℙ^{n} possède une métrique kählérienne ω naturelle, appelée métrique de Fubini-Study, définie par

p^{⋆}ω = \frac{i}{2π} d′d′′ log (|ζ_{0}|^{2} + |ζ_{1}|^{2} + ⋯ + |ζ_{n}|^{2})

où ζ_{0}, ζ_{1}, …, ζ_{n} sont les coordonnées de ℂ^{n+1} et où p : ℂ^{n+1} \ {0} → ℙ^{n} est la projection. Soit z = (ζ_{1}/ζ_{0}, …, ζ_{n}/ζ_{0}) les coordonnées non homogènes de la carte ℂ^{n} ⊂ ℙ^{n}. Un calcul montre que

ω = \frac{i}{2π} d′d′′ log(1 + |z|^{2}) = \frac{i}{2π} Θ(𝒪(1)), ∫_{ℙ^{n}} ω^{n} = 1.

Comme les seuls groupes de cohomologie entière non nuls de ℙ^{n} sont H^{2p}(ℙ, ℤ) ≃ ℤ pour 0 ⩽ p ⩽ n, nous voyons que h = {ω} ∈ H^{2}(ℙ^{n}, ℤ) est un générateur de l’anneau de cohomologie H^{•}(ℙ^{n}, ℤ). En d’autres termes, H^{•}(ℙ^{n}, ℤ) ≃ ℤ[h]/(h^{n+1}) comme anneau.

5.5. Exemple. Un tore complexe est un quotient X = ℂ^{n}/Γ de ℂ^{n} par un réseau Γ de rang 2n. C’est donc une variété complexe compacte. Toute forme hermitienne définie positive ω = i ∑ h_{jk}dz_{j} ∧ d\overline{z}_{k} à coefficients constants sur ℂ^{n} définit une métrique kählérienne sur X.

5.6. Exemple. Toute sous-variété complexe X d’une variété kählérienne (Y, ω′) est kählérienne pour la métrique induite ω = ω′_{↾X}. En particulier, toute variété projective est kählérienne (par définition, une variété projective est une sousvariété fermée X ⊂ ℙ^{n} d’un espace projectif) ; dans ce cas, si ω′ désigne la métrique de Fubini-Study sur ℙ^{n}, nous avons la propriété supplémentaire que la classe {ω} := {ω′}_{↾X} ∈ H_{DR}^{2}(X, ℝ) est entière, i.e., est l’image d’une classe entière de H^{2}(X, ℤ). Une métrique kählérienne ω de classe de cohomologie entière est appelée métrique de Hodge.

5.7. Exemple. Considérons la surface complexe

X = (ℂ^{2} \ {0})/Γ

où Γ = {λ^{n} ; n ∈ ℤ}, λ ∈ ]0, 1[, est vu comme groupe d’homothéties. Puisque ℂ^{2} \ {0} est difféomorphe à ℝ_{+}^{⋆} × S^{3}, nous avons X ≃ S^{1} × S^{3}. Par conséquent H^{2}(X, ℝ) = 0 grâce à la formule de Künneth, et la propriété 5.3 b) montre que X n’est pas kählérienne. Plus généralement, on peut prendre pour Γ un groupe cyclique infini engendré par des contractions holomorphes de ℂ^{2}, de la forme

( \begin{matrix}z_{1} \\ z_{2} \end{matrix} ) ⟼ ( \begin{matrix}λ_{1}z_{1} \\ λ_{2}z_{2} \end{matrix} ) , resp. ( \begin{matrix}z_{1} \\ z_{2} \end{matrix} ) ⟼ ( \begin{matrix}λz_{1} \\ λz_{2} + z_{1}^{p} \end{matrix} ) ,

où λ, λ_{1}, λ_{2} sont des nombres complexes tels que 0 < |λ_{1}| ⩽ |λ_{2}| < 1, 0 < |λ| < 1, et p un entier positif. Ces surfaces non kählériennes sont appelées surfaces de Hopf.

Le théorème suivant montre qu’une métrique hermitienne ω sur X est kählérienne si et seulement si la métrique ω est tangente à l’ordre 2 à une métrique hermitienne à coefficients constants en tout point de X.

5.8. Théorème. Soit ω une (1, 1)-forme C^{∞} définie positive sur X. Pour que ω soit kählérienne, il faut et il suffit qu’en tout point x_{0} ∈ X il existe un système de coordonnées holomorphes (z_{1}, …, z_{n}) centré en x_{0} tel que

(5.9)  ω = i ∑_{1⩽l,m⩽n} ω_{lm} dz_{l} ∧ d\overline{z}_{m}, ω_{lm} = δ_{lm} + O(|z|^{2}).

Si ω est kählérienne, les coordonnées (z_{j})_{1⩽j⩽n} peuvent en fait être choisies telles que

(5.10)  ω_{lm} = ⟨\frac{∂}{∂z_{l}} , \frac{∂}{∂z_{m}} ⟩ = δ_{lm} − ∑_{1⩽j,k⩽n} c_{jklm} z_{j}\overline{z}_{k} + O(|z|^{3}),

où (c_{jklm}) sont les coefficients du tenseur de courbure de Chern

(5.11)  Θ(T_{X})_{x_{0}} = ∑_{j,k,l,m} c_{jklm} dz_{j} ∧ d\overline{z}_{k} ⊗ (\frac{∂}{∂z_{l}} )^{⋆} ⊗ \frac{∂}{∂z_{m}}

associé à (T_{X}, ω) en x_{0}. Un tel système (z_{j}) sera appelé système de coordonnées géodésiques en x_{0}.

Preuve. Il est clair que (5.9) implique d_{x_{0}}ω = 0, par suite la condition est suffisante. Supposons maintenant que ω soit kählérienne. Alors on peut choisir des coordonnées locales (ζ_{1}, …, ζ_{n}) telles que (dζ_{1}, …, dζ_{n}) soit une base ωorthonormée de T_{x_{0}}^{⋆}X. Par conséquent

ω = i ∑_{1⩽l,m⩽n} ω̃_{lm} dζ_{l} ∧ d\overline{ζ}_{m}, où
(5.12)  ω̃_{lm} = δ_{lm} + O(|ζ|) = δ_{lm} + ∑_{1⩽j⩽n}(a_{jlm}ζ_{j} + a′_{jlm}\overline{ζ}_{j}) + O(|ζ|^{2}).

Puisque ω est réelle, nous avons a′_{jlm} = \overline{a}_{jml} ; d’autre part la condition de kählérianité ∂ω_{lm}/∂ζ_{j} = ∂ω_{jm}/∂ζ_{l} en x_{0} implique a_{jlm} = a_{ljm}. Posons maintenant

z_{m} = ζ_{m} + \frac{1}{2} ∑_{j,l} a_{jlm}ζ_{j}ζ_{l}, 1 ⩽ m ⩽ n.

Alors (z_{m}) est un système de coordonnée locales en x_{0}, et

dz_{m} = dζ_{m} + ∑_{j,l} a_{jlm}ζ_{j}dζ_{l},
i ∑_{m} dz_{m} ∧ d\overline{z}_{m} = i ∑_{m} dζ_{m} ∧ d\overline{ζ}_{m} + i ∑_{j,l,m} a_{jlm}ζ_{j} dζ_{l} ∧ d\overline{ζ}_{m}

+ i ∑_{j,l,m} \overline{a}_{jlm}\overline{ζ}_{j} dζ_{m} ∧ d\overline{ζ}_{l} + O(|ζ|^{2})

= i ∑_{l,m} ω̃_{lm} dζ_{l} ∧ \overline{d}ζ_{m} + O(|ζ|^{2}) = ω + O(|z|^{2}).

La condition (5.9) est demontrée. Supposons les coordonnées (ζ_{m}) choisies depuis le début en sorte que (5.9) ait lieu pour (ζ_{m}). Poursuivons alors le développement de Taylor (5.12) à l’ordre deux

ω̃_{lm} = δ_{lm} + O(|ζ|^{2}))

= δ_{lm} + ∑_{j,k} (a_{jklm}ζ_{j}\overline{ζ}_{k} + a′_{jklm}ζ_{j}ζ_{k} + a′′_{jklm}\overline{ζ}_{j}\overline{ζ}_{k}) + O(|ζ|^{3}). (5.13)

Les nouveaux coefficients introduits satisfont la relation

a′_{jklm} = a′_{kjlm}, a′′_{jklm} = \overline{a}′_{jkml}, \overline{a}_{jklm} = a_{kjml}.

La condition de kählérianité ∂ω_{lm}/∂ζ_{j} = ∂ω_{jm}/∂ζ_{l} en ζ = 0 fournit l’égalité a′_{jklm} = a′_{lkjm}; en particulier a′_{jklm} est invariant par toute permutation de j, k, l. Si on pose

z_{m} = ζ_{m} + \frac{1}{3} ∑_{j,k,l} a′_{jklm} ζ_{j}ζ_{k}ζ_{l}, 1 ⩽ m ⩽ n,

alors grâce à (5.13) on trouve

dz_{m} = dζ_{m} + ∑_{j,k,l} a′_{jklm} ζ_{j}ζ_{k} dζ_{l}, 1 ⩽ m ⩽ n,
ω = i ∑_{1⩽m⩽n} dz_{m} ∧ d\overline{z}_{m} + i ∑_{j,k,l,m} a_{jklm} ζ_{j}\overline{ζ}_{k} dζ_{l} ∧ d\overline{ζ}_{m} + O(|ζ|^{3}),
(5.14)  ω = i ∑_{1⩽m⩽n} dz_{m} ∧ d\overline{z}_{m} + i ∑_{j,k,l,m} a_{jklm} z_{j}\overline{z}_{k} dz_{l} ∧ d\overline{z}_{m} + O(|z|^{3}).

Il est maintenant facile de calculer le tenseur de courbure de Chern Θ(T_{X})_{x_{0}} en termes des coefficients a_{jklm} et de vérifier que c_{jklm} = −a_{jklm}. Nous laissons cette vérification au lecteur à titre d’exercice.

6. Identités fondamentales de la géométrie kählérienne

6.A. Opérateurs de la géométrie hermitienne

Soit (X, ω) une variété hermitienne et soient z_{j} = x_{j} + iy_{j}, 1 ⩽ j ⩽ n, des coordonnées ℂ-analytiques en un point a ∈ X, telles que ω(a) = i ∑ dz_{j} ∧ d\overline{z}_{j} soit diagonalisée en ce point. La forme hermitienne associée est h(a) = 2 ∑ dz_{j} ⊗ d\overline{z}_{j} et sa partie réelle est la métrique euclidienne 2 ∑(dx_{j})^{2} + (dy_{j})^{2}. Il s’ensuit que |dx_{j}| = |dy_{j}| = 1/\sqrt{2}, |dz_{j}| = |d\overline{z}_{j}| = 1, et que (∂/∂z_{1}, …, ∂/∂z_{n}) est une base orthonormée de (T_{a}^{⋆}X, ω). La formule (4.1) pour u_{j}, v_{k} dans la somme orthogonale (ℂ ⊗ T_{X})^{⋆} = T_{X}^{⋆} ⊕ \overline{T_{X}^{⋆}} définit un produit scalaire naturel sur l’algèbre extérieure Λ^{•}(ℂ ⊗ T_{X})^{⋆}. La norme d’une forme

u = ∑_{I,J} u_{I,J}dz_{I} ∧ d\overline{z}_{J} ∈ Λ^{•}(ℂ ⊗ T_{X})^{⋆}

au point a est alors donnée par

(6.1)  |u(a)|^{2} = ∑_{I,J} |u_{I,J}(a)|^{2}.

L’opérateur ⋆ de Hodge (4.2) peut être étendu aux formes à valeurs complexes par la formule

(6.2)  u ∧ \overline{⋆v} = ⟨u, v⟩ dV.

Il s’ensuit que ⋆ est une isométrie ℂ-linéaire

⋆ : Λ^{p,q}T_{X}^{⋆} ⟶ Λ^{n−q,n−p}T_{X}^{⋆}.

Les opérateurs usuels de la géométrie hermitienne sont les opérateurs d, δ = −⋆d ⋆, le laplacien Δ = dδ + δd déjà définis, et leurs analogues complexes

(6.3) \{ \begin{matrix}d & = d′ + d′′, \\ δ & = d^{′⋆} + d^{′′⋆}, d^{′⋆} = (d′)^{⋆} = − ⋆ d′′⋆, d^{′′⋆} = (d′′)^{⋆} = − ⋆ d′⋆, \\ Δ′ & = d′d^{′⋆} + d^{′⋆}d′, Δ′′ = d′′d^{′′⋆} + d^{′′⋆}d′′. \end{matrix}

On dira qu’un opérateur est de degré pur r s’il transforme une forme de degré k en une forme de degré k + r, et de même, un opérateur de bidegré pur (s, t) est un opérateur qui transforme les (p, q)-formes en formes de bidegré (p + s, q + t) (son degré total est alors bien entendu r = s+t). Ainsi d′, d′′, d^{′⋆}, d^{′′⋆}, Δ′, Δ′′ sont de bidegrés respectifs (1, 0), (0, 1), (−1, 0), (0, −1), (0, 0), (0, 0). Un autre opérateur important est l’opérateur L de bidegré (1, 1) défini par

(6.4)  Lu = ω ∧ u,

et son adjoint Λ = L^{⋆} = ⋆^{−1}L ⋆ de bidegré (−1, −1) :

(6.5)  ⟨u, Λv⟩ = ⟨Lu, v⟩.

Observons que le groupe unitaire U(T_{X}) ≃ U(n) possède une action naturelle sur l’espace des (p, q)-formes, donnée par

U(n) × Λ^{p,q}T_{X}^{⋆} ∋ (g, v) ⟼ (g^{−1})^{⋆}v.

Cette action fait de Λ^{p,q}T_{X}^{⋆} une représentation unitaire de U(n). Comme la métrique ω est invariante, il est clair que L et Λ commutent à l’action de U(n).

6.B. Identités de commutation

Si A, B sont des endomorphismes (de degré pur) du module gradué M^{•} = C^{∞}(X, Λ^{•,•}T_{X}^{⋆}), leur commutateur gradué (ou crochet de Lie gradué) est défini par

(6.6)  [A, B] = AB − (−1)^{ab}BA

où a, b sont les degrés de A et B respectivement. Si C est un autre endomorphisme de degré c, on a l’identité de Jacobi purement formelle suivante :

(6.7)  (−1)^{ca}[A, [B, C]] + (−1)^{ab}[B, [C, A]] + (−1)^{bc}[C, [A, B]] = 0.

Pour tout α ∈ Λ^{p,q}T_{X}^{⋆}, nous désignerons encore par α l’endomorphisme associé de type (p, q), opérant sur Λ^{•,•}T_{X}^{⋆} par la formule u ↦ α ∧ u.

Soit γ ∈ Λ^{1,1}T_{X}^{⋆} une (1, 1)-forme réelle. Il existe une base ω-orthogonale (ζ_{1}, ζ_{2}, …, ζ_{n}) de T_{X} qui diagonalise les deux formes ω et γ simultanément :

ω = i ∑_{1⩽j⩽n} ζ_{j}^{⋆} ∧ \overline{ζ}_{j}^{⋆}, γ = i ∑_{1⩽j⩽n} γ_{j} ζ_{j}^{⋆} ∧ \overline{ζ}_{j}^{⋆}, γ_{j} ∈ ℝ.

6.8. Proposition. Pour toute forme u = ∑ u_{J,K} ζ_{J}^{⋆} ∧ \overline{ζ}_{K}^{⋆}, on a

[γ, Λ]u = ∑_{J,K} ( ∑_{j∈J} γ_{j} + ∑_{j∈K} γ_{j} − ∑_{1⩽j⩽n} γ_{j})u_{J,K} ζ_{J}^{⋆} ∧ \overline{ζ}_{K}^{⋆}.

Preuve. Si u est de type (p, q), un calcul brutal donne

Λu = i(−1)^{p} ∑_{J,K,l} u_{J,K} (ζ_{l} ζ_{J}^{⋆}) ∧ (\overline{ζ}_{l} \overline{ζ}_{K}^{⋆}), 1 ⩽ l ⩽ n,
γ ∧ u = i(−1)^{p} ∑_{J,K,m} γ_{m}u_{J,K} ζ_{m}^{⋆} ∧ ζ_{J}^{⋆} ∧ \overline{ζ}_{m}^{⋆} ∧ \overline{ζ}_{K}^{⋆}, 1 ⩽ m ⩽ n,
[γ, Λ]u = ∑_{J,K,l,m} γ_{m} u_{J,K}((ζ_{l}^{⋆} ∧ (ζ_{m} ζ_{J}^{⋆})) ∧ (\overline{ζ}_{l}^{⋆} ∧ (\overline{ζ}_{m} \overline{ζ}_{K}^{⋆}))
− (ζ_{m} (ζ_{l}^{⋆} ∧ ζ_{J}^{⋆})) ∧ (\overline{ζ}_{m} (\overline{ζ}_{l}^{⋆} ∧ \overline{ζ}_{K}^{⋆})))

= ∑_{J,K,m} γ_{m} u_{J,K}(ζ_{m}^{⋆} ∧ (ζ_{m} ζ_{J}^{⋆}) ∧ \overline{ζ}_{K}^{⋆}

+ ζ_{J}^{⋆} ∧ \overline{ζ}_{m}^{⋆} ∧ (\overline{ζ}_{m} \overline{ζ}_{K}^{⋆}) − ζ_{J}^{⋆} ∧ \overline{ζ}_{K}^{⋆})

= ∑_{J,K} ( ∑_{m∈J} γ_{m} + ∑_{m∈K} γ_{m} − ∑_{1⩽m⩽n} γ_{m})u_{J,K} ζ_{J}^{⋆} ∧ \overline{ζ}_{K}^{⋆}.

6.9. Corollaire. Pour tout u ∈ Λ^{p,q}T_{X}^{⋆}, on a [L, Λ]u = (p + q − n)u.

Preuve. En effet, si γ = ω, les valeurs propres de γ sont γ_{1} = ⋯ = γ_{n} = 1.

Introduisons l’opérateur B = [L, Λ] tel que Bu = (p + q − n)u pour u de bidegré (p, q). Comme L est de degré 2, on obtient aussitôt [B, L] = 2L, et de même [B, Λ] = −2Λ. Ceci suggère d’introduire l’algèbre de Lie 𝔰𝔩(2, ℂ) (matrices de trace nulle, avec le crochet de commutation usuel [α, β] = αβ−βα des matrices), dont les 3 matrices de base

(6.10)  ℓ = ( \begin{matrix}0 & 0 \\ 1 & 0 \end{matrix} ) ,  λ = ( \begin{matrix}0 & 1 \\ 0 & 0 \end{matrix} ) ,  b = ( \begin{matrix}−1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} )

vérifient les relations de commutation

[ℓ, λ] = b,  [b, ℓ] = 2ℓ,  [b, λ] = −2λ.

6.11. Corollaire. On a une action naturelle de l’algèbre de Lie 𝔰𝔩(2, ℂ) sur l’espace vectoriel Λ^{•,•}T_{X}^{⋆}, i.e. un morphisme d’algèbres de Lie ρ : 𝔰𝔩(2, ℂ) → End(Λ^{•,•}T_{X}^{⋆}), tel que ρ(ℓ) = L, ρ(λ) = Λ, ρ(b) = B.

Nous allons maintenant expliciter d’autres identités de commutation très importantes. Supposons d’abord que X = Ω ⊂ ℂ^{n} soit un ouvert de ℂ^{n} et que ω soit la métrique kählérienne standard,

ω = i ∑_{1⩽j⩽n} dz_{j} ∧ d\overline{z}_{j}.

Pour toute forme u ∈ C^{∞}(Ω, Λ^{p,q}T_{X}^{⋆}) on a

(6.12′)  d′u = ∑_{I,J,k} \frac{∂u_{I,J}}{∂z_{k}} dz_{k} ∧ dz_{I} ∧ d\overline{z}_{J},

(6.12′′)  d′′u = ∑_{I,J,k} \frac{∂u_{I,J}}{∂\overline{z}_{k}} d\overline{z}_{k} ∧ dz_{I} ∧ d\overline{z}_{J}.

Comme le produit scalaire global L^{2} est donné par

⟨⟨u, v⟩⟩ = ∫_{Ω} ∑_{I,J} u_{I,J} \overline{v}_{I,J} dV,

des calculs faciles analogues à ceux de l’exemple 4.12 montrent que

(6.13′)  d^{′⋆}u = − ∑_{I,J,k} \frac{∂u_{I,J}}{∂\overline{z}_{k}} \frac{∂}{∂z_{k}} (dz_{I} ∧ d\overline{z}_{J}),

(6.13′′)  d^{′′⋆}u = − ∑_{I,J,k} \frac{∂u_{I,J}}{∂z_{k}} \frac{∂}{∂\overline{z}_{k}} (dz_{I} ∧ d\overline{z}_{J}).

Nous énonçons d’abord un lemme dû à Akizuki et Nakano [AN54].

6.14. Lemme. Dans ℂ^{n}, on a [d^{′′⋆}, L] = i d′.

Preuve. La formule (6.13′′) peut se récrire plus brièvement

d^{′′⋆}u = − ∑_{k} \frac{∂}{∂\overline{z}_{k}} (\frac{∂u}{∂z_{k}} ).

Nous obtenons alors

[d^{′′⋆}, L]u = − ∑_{k} \frac{∂}{∂\overline{z}_{k}} (\frac{∂}{∂z_{k}} (ω ∧ u)) + ω ∧ ∑_{k} \frac{∂}{∂\overline{z}_{k}} (\frac{∂u}{∂z_{k}} ).

Puisque ω est à coefficients constants, on a \frac{∂}{∂z_{k}} (ω∧u) = ω∧ \frac{∂u}{∂z_{k}} et par conséquent

\begin{aligned}[d^{′′⋆}, L] u & = − ∑_{k} (\frac{∂}{∂\overline{z}_{k}} (ω ∧ \frac{∂u}{∂z_{k}} ) − ω ∧ (\frac{∂}{∂\overline{z}_{k}} \frac{∂u}{∂z_{k}} )) \\ & = − ∑_{k} (\frac{∂}{∂\overline{z}_{k}} ω) ∧ \frac{∂u}{∂z_{k}} . \end{aligned}

Or, il est clair que \frac{∂}{∂\overline{z}_{k}} ω = −i dz_{k}, donc

[d^{′′⋆}, L] u = i ∑_{k} dz_{k} ∧ \frac{∂u}{∂z_{k}} = i d′u.

Nous sommes maintenant prêts pour établir les relations de commutation de base dans le cas d’une variété kählérienne arbitraire (X, ω).

6.15. Théorème. Si (X, ω) est kählérienne, alors

\begin{aligned}[d^{′′⋆}, L] & = & i d′, & [d^{′⋆}, L] & = − & i d′′, \\ [Λ, d′′] & = − & i d^{′⋆}, & [Λ, d′] & = & i d^{′′⋆}. \end{aligned}

Preuve. Il suffit de vérifier la première relation, car la seconde est la conjuguée de la première, et les relations de la deuxième ligne sont adjointes de celles de la première ligne. Si (z_{j}) est un système de coordonnées géodesiques en un point x_{0} ∈ X, alors pour toutes (p, q)-formes u, v à support compact dans un voisinage de x_{0}, (5.9) implique

⟨⟨u, v⟩⟩ = ∫_{M} ( ∑_{I,J} u_{IJ} \overline{v}_{IJ} + ∑_{I,J,K,L} a_{IJKL} u_{IJ} \overline{v}_{KL}) dV,

avec a_{IJKL}(z) = O(|z|^{2}) en x_{0}. Une intégration de parties analogue à celle pratiquée pour obtenir (4.12) et (6.13′′) donne

d^{′′⋆}u = − ∑_{I,J,k} \frac{∂u_{I,J}}{∂z_{k}} \frac{∂}{∂\overline{z}_{k}} (dz_{I} ∧ d\overline{z}_{J}) + ∑_{I,J,K,L} b_{IJKL} u_{IJ} dz_{K} ∧ d\overline{z}_{L},

où les coefficients b_{IJKL} sont obtenus par dérivation des a_{IJKL}. Par conséquent nous avons b_{IJKL} = O(|z|). Puisque ∂ω/∂z_{k} = O(|z|), la démonstration du lemme 6.14 implique ici [d^{′′⋆}, L]u = i d′u + O(|z|), en particulier les deux termes coïncident au point x_{0} ∈ X fixé d’avance.

6.16. Corollaire. Si (X, ω) est kählérienne, les opérateurs de Laplace-Beltrami complexes sont tels que

Δ′ = Δ′′ = \frac{1}{2}Δ.

Preuve. Montrons d’abord que Δ′′ = Δ′. On a

Δ′′ = [d′′, d^{′′⋆}] = −i[d′′, [Λ, d′]].

Puisque [d′, d′′] = 0, l’identité de Jacobi (6.7) implique

−[d′′, [Λ, d′]] + [d′, [d′′, Λ]] = 0,

donc Δ′′ = [d′, −i[d′′, Λ]] = [d′, d^{′⋆}] = Δ′. D’autre part

Δ = [d′ + d′′, d^{′⋆} + d^{′′⋆}] = Δ′ + Δ′′ + [d′, d^{′′⋆}] + [d′′, d^{′⋆}].

Il suffit donc de prouver :

6.17. Lemme. [d′, d^{′′⋆}] = 0, [d′′, d^{′⋆}] = 0.

Preuve. Nous avons [d′, d^{′′⋆}] = −i[d′, [Λ, d′]] et (6.7) implique

−[d′, [Λ, d′]] + [Λ, [d′, d′]] + [d′, [d′, Λ]] = 0,

donc −2[d′, [Λ, d′]] = 0 et [d′, d^{′′⋆}] = 0. La deuxième relation [d′′, d^{′⋆}] = 0 est l’adjointe de la première.

6.18. Théorème. Si (X, ω) est kählérienne, Δ commute avec tous les opérateurs ⋆, d′, d′′, d^{′⋆}, d^{′′⋆}, L, Λ.

Preuve. Les identités [d′, Δ′] = [d^{′⋆}, Δ′] = 0, [d′′, Δ′′] = [d^{′′⋆}, Δ′′] = 0 et [Δ, ⋆] = 0 sont immédiates. De plus, l’égalité [d′, L] = d′ω = 0 combinée avec l’identité de Jacobi implique

[L, Δ′] = [L, [d′, d^{′⋆}]] = −[d′, [d^{′⋆}, L]] = i[d′, d′′] = 0.

Par adjonction, nous obtenons [Δ′, Λ] = 0.

6.C. Éléments primitifs et isomorphisme de Lefschetz

Pour établir le théorème de Lefschetz, il est commode d’utiliser la représentation de 𝔰𝔩(2, ℂ) exhibée au Cor. 6.11. Rappelons d’abord que si 𝔤 est une sous-algèbre de Lie (réelle ou complexe) de l’algèbre de Lie 𝔰𝔩(r, ℂ) = End(ℂ^{r}) des matrices complexes et si G = exp(𝔤) ⊂ GL(r, ℂ) est le groupe de Lie associé, une représentation ρ : 𝔤 → End(V) de l’algèbre de Lie dans un espace vectoriel complexe V induit par exponentiation une représentation ρ̃ : G → GL(V) du groupe G. Inversement, une représentation ρ̃ : G → GL(V) induit par différentiation une représentation ρ : 𝔤 → End(V) de l’algèbre de Lie ; il y a donc identité entre les deux notions. Si G est compact, un lemme classique de H. Weyl montre que toute représentation de 𝔤 se scinde en somme directe de représentations irréductibles (on dit alors que 𝔤 est réductive) : la mesure de Haar de G permet en effet de construire une métrique hermitienne invariante sur V, et on exploite le fait que l’orthogonal d’une sous-représentation est une sous-représentation. En particulier l’algèbre de Lie 𝔰𝔲(r) du groupe compact SU(r) est réductive. Il en est de même de 𝔰𝔩(r, ℂ) qui est la complexifiée de 𝔰𝔲(r). Nous aurons besoin du lemme suivant bien connu en théorie des représentations.

6.19. Lemme. Soit ρ : 𝔰𝔩(2, ℂ) → End(V) une représentation de l’algèbre de Lie 𝔰𝔩(2, ℂ) sur un espace vectoriel complexe de dimension finie V, et soient

L = ρ(ℓ), Λ = ρ(λ), B = ρ(b) ∈ End(V)

les endomorphismes de V associés aux éléments de base de 𝔰𝔩(2, ℂ). Alors :

a) V = ⨁_{μ∈ℤ} V_{μ} est somme directe (finie) des espaces propres de B, dont les valeurs propres μ sont des entiers. Un élément v ∈ V_{μ} est dit élément de poids pur μ.

b) L et Λ sont nilpotents, tels que L(V_{μ}) ⊂ V_{μ+2}, Λ(V_{μ}) ⊂ V_{μ−2} pour tout μ ∈ ℤ.

c) On note P = Ker Λ = {v ∈ V ; Λv = 0}, qui est appelé ensemble des éléments primitifs. On a alors une décomposition en somme directe

V = ⨁_{r∈ℕ} L^{r}(P).

d) V est isomorphe à une somme directe finie ⨁_{m∈ℕ} S(m)^{⊕α_{m}} de représentations irréductibles, où S(m) ≃ S^{m}(ℂ^{2}) est la représentation de 𝔰𝔩(2, ℂ) induite par la puissance symétrique m-ième de la représentation naturelle de SL(2, ℂ) sur ℂ^{2}, et α_{m} = dim P_{m} est la multiplicité de la composante isotypique S(m).

e) Si P_{μ} = P ∩ V_{μ}, alors P_{μ} = 0 pour μ > 0 et P = ⨁_{μ∈ℤ, μ⩽0} P_{μ}. L’endomorphisme L^{r} : P_{−m} → V_{m+2r} est injectif pour r ⩽ m et nul pour r > m.

f) V_{μ} = ⨁_{r∈ℕ, r⩾μ} L^{r}(P_{μ−2r}),  où  L^{r} : P_{μ−2r} → L^{r}(P_{μ−2r}) est bijectif.

g) Pour tout r ∈ ℕ, l’endomorphisme L^{r} : V_{−r} → V_{r} est bijectif.

Preuve. On fait d’abord l’observation suivante : si v ∈ V_{μ}, alors Lv est de poids pur μ + 2 et Λv de poids pur μ − 2. En effet, on a

\begin{aligned}BLv & = LBv + [B, L]v = L(μv) + 2Lv = (μ + 2)Lv, \\ BΛv & = ΛBv + [B, Λ]v = Λ(μv) − 2Λv = (μ − 2)Λv. \end{aligned}

Supposons maintenant V ≠ 0 et soit v ∈ V_{μ} un vecteur propre non nul. Si les vecteurs (Λ^{k}v)_{k∈ℕ} étaient tous non nuls, on aurait une infinité de vecteurs propres de B de valeurs propres μ − 2k distinctes, ce qui est impossible. Donc il existe un entier r ⩾ 0 tel que Λ^{r}v ≠ 0 et Λ^{k}v = 0 pour k > r, par suite Λ^{r}v est un élément primitif non nul de poids pur μ′ = μ − 2r. Soit maintenant w ∈ P un élément non nul de poids pur μ (on vient de voir qu’il en existe pour au moins un μ ∈ ℂ). Le même raisonnement que ci-dessus appliqué aux puissances L^{k}w montre qu’il existe un entier m > 0 tel que L^{m}w ≠ 0 et L^{m+1}w = 0. L’espace vectoriel W de dimension m + 1 engendré par w_{k} = L^{k}w, 0 ⩽ k ⩽ m est stable par l’action de 𝔰𝔩(2, ℂ). On a en effet Bw_{k} = (μ + 2k)w_{k}, Lw_{k} = w_{k+1} par définition, tandis que

Λw_{k} = ΛL^{k}w = L^{k}Λw − ∑_{0⩽j⩽k−1} L^{k−j−1}[L, Λ]L^{j}w

= 0 − ∑ L^{k−j−1}BL^{j}w = − ∑_{0⩽j⩽k−1}(μ + 2j)L^{k−1}w

= k(−μ − k + 1)w_{k−1}.

En appliquant cette relation à l’indice k = m + 1 pour lequel w_{m+1} = 0, on voit qu’on doit avoir nécessairement μ = −m ⩽ 0. On remarque que B_{↾W} est diagonalisable (les vecteurs propres étant les vecteurs w_{k}, de poids entiers 2k − m), et que les éléments primitifs de W se réduisent à la droite ℂw, telle que W = ⨁ L^{r}(ℂw). Les propriétés (a,b,c,d) annoncées s’obtiennent alors facilement par récurrence sur dim V. En considérant la représentation quotient V/W on voit en effet aussitôt par récurrence que les valeurs propres de B sont des entiers et que L, Λ sont nilpotents. Il est facile de vérifier que W ≃ S^{m}(ℂ^{2}) comme représentation de SL(2, ℂ) (si e_{1}, e_{2} sont les deux vecteurs de base de ℂ^{2}, l’isomorphisme envoie w = w_{0} sur e_{1}^{m} et w_{k} sur L^{k}e_{1}^{m} = m(m − 1) ⋯ (m − k + 1)e_{1}^{k}e_{2}^{m−k}). Le fait qu’on ait une somme directe de représentations V = V′ ⊕ W (avec V′ = W^{⊥} ⊂ V pour une certaine métrique SU(2, ℂ)-invariante) entraîne par récurrence sur dim V que B est diagonalisable, ainsi que la formule V = ⨁ L^{r}(P) et la décomposition d).

e) La relation [B, Λ] = −2Λ montre que P = Ker Λ est stable par B, par suite

P = ⨁(P ∩ V_{μ}) = ⨁ P_{μ}.

Les calculs faits plus haut montrent que les éléments primitifs purs non nuls w sont de poids −m ⩽ 0, de sorte que P_{μ} = 0 si μ > 0. La dernière assertion de e) résulte du fait que pour 0 ≠ w ∈ P_{−m} on a L^{r}w ≠ 0 si et seulement si r ⩽ m. f) Conséquence immédiate de e) et de la décomposition V = ⨁_{r∈ℕ} L^{r}(P), si l’on se restreint aux seuls éléments de poids pur μ ; on ne peut avoir L^{r}(P_{μ−2r}) ≠ 0 que si r ⩽ m = −(μ − 2r), soit r ⩾ μ.

g) Il suffit de vérifier l’assertion dans le cas d’une représentation irréductible V ≃ S^{m}(ℂ^{2}). Dans ce cas, le résultat est clair, puisque les poids 2k−m, 0 ⩽ k ⩽ m, se répartissent symétriquement dans l’intervalle [−m, m] et que V est engendré par (L^{k}w)_{0⩽k⩽m} pour tout vecteur non nul w de V_{−m}.

Nous retraduisons maintenant ces résultats dans le cas de la représentation de 𝔰𝔩(2, ℂ) sur V = Λ^{•,•}T_{X}^{⋆}. La composante Λ^{k}(ℂ⊗T_{X})^{⋆} = ⨁_{p+q=k} Λ^{p,q}T_{X}^{⋆} s’identifie alors à l’espace propre V_{μ} de B de poids μ = k − n = p + q − n (par définition même de B, voir (6.9)).

6.20. Définition. Une forme homogène u ∈ Λ^{k}(ℂ ⊗ T_{X})^{⋆} est appelée primitive si Λu = 0. L’espace des formes primitives de degré total k sera noté

Prim^{k} T_{X}^{⋆} = ⨁_{p+q=k} Prim^{p,q} T_{X}^{⋆}.

Puisque l’opérateur Λ commute avec l’action de U(T_{X}) ≃ U(n) sur l’algèbre extérieure, il est clair que Prim^{p,q} T_{X}^{⋆} ⊂ Λ^{p,q}T_{X}^{⋆} est un sous-espace U(n)-invariant. On verra plus loin (prop. 6.24) que Prim^{p,q} T_{X}^{⋆} est en fait une représentation irréductible de U(n). Les propriétés (6.19 e, f, g) impliquent successivement

6.21. Proposition. On a Prim^{k} T_{X}^{⋆} = 0 pour k > n. De plus, si u ∈ Prim^{k} T_{X}^{⋆}, k ⩽ n, alors L^{r}u = 0 pour r > n − k.

6.22. Formule de décomposition primitive. Pour tout u ∈ Λ^{k}(ℂ ⊗ T_{X})^{⋆}, il existe une décomposition unique

u = ∑_{r⩾(k−n)_{+}} L^{r}u_{k−2r}, u_{k−2r} ∈ Prim^{k−2r} T_{X}^{⋆}.

Par conséquent, on obtient une décomposition en somme directe de représentations de U(n)

Λ^{k}(ℂ ⊗ T_{X})^{⋆} = ⨁_{r⩾(k−n)_{+}} L^{r} Prim^{k−2r} T_{X}^{⋆},

Λ^{p,q}T_{X}^{⋆} = ⨁_{r⩾(p+q−n)_{+}} L^{r} Prim^{p−r,q−r} T_{X}^{⋆}.

6.23. Isomorphisme de Lefschetz. Les opérateurs linéaires

\begin{matrix}L^{n−k} : Λ^{k}(ℂ ⊗ T_{X})^{⋆} & ⟶ Λ^{2n−k}(ℂ ⊗ T_{X})^{⋆}, \\ L^{n−p−q} : Λ^{p,q}T_{X}^{⋆} & ⟶ Λ^{n−q,n−p}T_{X}^{⋆}, \end{matrix}

sont des isomorphismes pour tous les entiers k ⩽ n et (p, q) tels que p + q ⩽ n.

6.24. Proposition. Pour tout (p, q) ∈ ℕ^{2} tel que p + q ⩽ n, Prim^{p,q} T_{X}^{⋆} est une représentation irréductible de U(n) ; plus précisément, c’est la représentation irréductible associée au plus haut poids ε_{1} + ⋯ + ε_{q} − (ε_{n−p+1} + ⋯ + ε_{n}), où (ε_{j}) est la base canonique des caractères du sous-groupe commutatif maximal U(1)^{n} ⊂ U(n). La décomposition primitive de Λ^{p,q}T_{X}^{⋆} ou de Λ^{k}(ℂ ⊗ T_{X})^{⋆} n’est autre que la décomposition en composantes irréductibles sous l’action de U(n).

Preuve. On observe d’abord que Prim^{p,q} T_{X}^{⋆} ≠ 0, puisqu’on a par exemple

dz_{1} ∧ ⋯ ∧ dz_{p} ∧ d\overline{z}_{p+1} ∧ ⋯ ∧ d\overline{z}_{p+q} ∈ Prim^{p,q} T_{X}^{⋆}

La décomposition primitive donne par ailleurs

Λ^{p,q}T_{X}^{⋆} = ⨁_{0⩽r⩽m} L^{r} Prim^{p−r,q−r} T_{X}^{⋆}

avec m = min(p, q), ce qui montre que le U(n)-module Λ^{p,q}T_{X}^{⋆} possède au moins m + 1 composantes irréductibles non triviales, à savoir celles de chacun des termes Prim^{p−r,q−r} T_{X}^{⋆}, 0 ⩽ r ⩽ m. Pour voir que ceux-ci sont irréductibles, il suffit donc de montrer que le U(n)-module Λ^{p,q}T_{X}^{⋆} possède au plus (m+1) composantes irréductibles. Or, par complexification de la représentation de U(n), on obtient une représentation isomorphe à celle de GL(n, ℂ) sur Λ^{p}T_{X}^{⋆} ⊗ Λ^{q}T_{X} donnée par g·(u⊗ξ) = (g^{−1})^{⋆}u⊗g_{⋆}ξ. La théorie des représentations du groupe linéaire montre que les composantes irréductibles d’une représentation sont en correspondance biunivoque avec les vecteurs propres pour l’action du sous-groupe de Borel B_{n} des matrices triangulaires supérieures. Un calcul laissé au lecteur montre que ces vecteurs propres correspondent précisément aux (p, q)-formes

L^{r}(dz_{n−p+r+1} ∧ ⋯ ∧ dz_{n} ∧ d\overline{z}_{1} ∧ ⋯ ∧ d\overline{z}_{q−r}), 0 ⩽ r ⩽ m,

dont le poids sous l’action de U(1)^{n} est ε_{1} + ⋯ + ε_{q−r} − (ε_{n−p+r+1} + ⋯ + ε_{n}).

7. Groupes ℋ ^{p,q}(X, E) et dualité de Serre

Nous arrivons maintenant aux aspects spécifiquement holomorphes de la théorie de Hodge. Une grande partie de cette théorie a été developpée par K. Kodaira, S. Lefschetz et A. Weil. Le lecteur pourra consulter avec profit les Œuvres Complètes de Kodaira [Kod75] et le livre de A. Weil [Wei57] ; voir aussi [Wel80] pour un exposé plus récent.

Soit (X, ω) une variété hermitienne compacte et E un fibré vectoriel holomorphe hermitien de rang r sur X. Nous noterons D_{E} la connexion de Chern de E, D_{E}^{⋆} = − ⋆ D_{E} ⋆ l’adjoint formel de D_{E}, et D_{E}^{′⋆} , D_{E}^{′′⋆} les composantes de D_{E}^{⋆} de type (−1, 0) et (0, −1). Un calcul similaire à ceux faits en 4.14 montre que

σ_{D′′_{E}}(x, ξ) · s = ξ^{0,1} ∧ s, ξ ∈ ^{ℝ}T_{X}^{⋆} = Hom_{ℝ}(T_{X}, ℝ), s ∈ E_{x},

7. Groupes ℋ ^{p,q}(X, E) et dualité de Serre 39

où ξ^{(0,1)} est la partie de type (0, 1) de la 1-forme réelle ξ. Par conséquent, nous voyons que la partie principale de l’opérateur Δ′′_{E} = D′′_{E}D_{E}^{′′⋆} + D_{E}^{′′⋆}D′′_{E} est

σ_{Δ′′_{E}}(x, ξ) · s = −|ξ^{0,1}|^{2}s = −\frac{1}{2}|ξ|^{2}s,

et on a bien sûr un résultat semblable pour Δ′_{E}. En particulier σ_{Δ′_{E}} = σ_{Δ′′_{E}} = \frac{1}{2}σ_{Δ_{E}} et Δ′′_{E} est un opérateur elliptique auto-adjoint sur chacun des espaces C^{∞}(X, Λ^{p,q}T_{X}^{⋆} ⊗E). Puisque D_{E}^{′′2} = 0, le résultat suivant se démontre de la même façon que ceux obtenus au § 4.C.

7.1. Théorème. Pour tout bidegré (p, q), il existe une décomposition orthogonale

C^{∞}(X, Λ^{p,q}T_{X}^{⋆} ⊗ E) = ℋ^{p,q}(X, E) ⊕ Im D′′_{E} ⊕ Im D_{E}^{′′⋆}

où ℋ^{p,q}(X, E) est l’espace des formes Δ′′_{E}-harmoniques de C^{∞}(X, Λ^{p,q}T_{X}^{⋆} ⊗ E).

La décomposition ci-dessus montre que le sous-espace des q-cocycles du complexe (C^{∞}(X, Λ^{p,•}T_{X}^{⋆} ⊗E), d′′) est ℋ^{p,q}(X, E)⊕Im D′′_{E}. De là, nous déduisons le

7.2. Théorème d’isomorphisme de Hodge. Les groupes de cohomologie de Dolbeault H^{p,q}(X, E) sont de dimension finie, et il y a un isomorphisme

H^{p,q}(X, E) ≃ ℋ^{p,q}(X, E).

Une autre conséquence intéressante est une preuve du théorème de dualité de Serre pour les variétés complexes compactes. Voir Serre [Ser55] pour une démonstration dans un contexte quelque peu plus général.

7.3. Théorème de dualité de Serre. L’accouplement bilinéaire

H^{p,q}(X, E) × H^{n−p,n−q}(X, E^{⋆}) ⟶ ℂ, (s, t) ⟼ ∫_{M} s ∧ t

est une dualité non dégénérée.

Preuve. Soient s_{1} ∈ C^{∞}(X, Λ^{p,q}T_{X}^{⋆} ⊗E), s_{2} ∈ C^{∞}(X, Λ^{n−p,n−q−1}T_{X}^{⋆} ⊗E). Puisque s_{1} ∧ s_{2} est de bidegré (n, n − 1), nous avons

(7.4)  d(s_{1} ∧ s_{2}) = d′′(s_{1} ∧ s_{2}) = d′′s_{1} ∧ s_{2} + (−1)^{p+q}s_{1} ∧ d′′s_{2}.

La formule de Stokes implique que l’accouplement bilinéaire ci-dessus peut être factorisé au travers des groupes de cohomologie de Dolbeault. L’opérateur # défini au § 4.A est tel que

# : C^{∞}(X, Λ^{p,q}T_{X}^{⋆} ⊗ E) ⟶ C^{∞}(X, Λ^{n−p,n−q}T_{X}^{⋆} ⊗ E^{⋆}).

De plus, (4.20) implique

D′′_{E^{⋆}}(# s) = (−1)^{deg s}# (D′′_{E})^{⋆}s, (D′′_{E^{⋆}})^{⋆}(# s) = (−1)^{deg s+1}# D_{E}^{′′⋆}s,
Δ′′_{E^{⋆}}(# s) = # Δ′′_{E}s,

où D_{E^{⋆}} est la connexion de Chern de E^{⋆}. Par conséquent, s ∈ ℋ^{p,q}(X, E) si et seulement si # s ∈ ℋ^{n−p,n−q}(X, E^{⋆}). Le théorème 7.3 est alors une conséquence du fait que l’intégrale ∥s∥^{2} = ∫_{X} s ∧ # s ne s’annule pas si s ≠ 0.

8. Cohomologie des variétés kählériennes compactes

8.A. Groupes de cohomologie de Bott-Chern

Soit X une variété complexe, non nécessairement compacte pour le moment. Les “groupes de cohomologie” suivants sont utiles pour décrire certains aspects de la théorie de Hodge des variétés complexes compactes qui ne sont pas nécessairement kählériennes.

8.1. Définition. On définit les groupes de cohomologie de Bott-Chern de X comme étant les groupes

H_{BC}^{p,q}(X, ℂ) = (C^{∞}(X, Λ^{p,q}T_{X}^{⋆}) ∩ Ker d)/d′d′′C^{∞}(X, Λ^{p−1,q−1}T_{X}^{⋆}).

Alors H_{BC}^{•,•}(X, ℂ) a une structure d’algèbre bigraduée, que nous appellerons algèbre de cohomologie de Bott-Chern de X.

Comme le groupe d′d′′C^{∞}(X, Λ^{p−1,q−1}T_{X}^{⋆}) est contenu aussi bien dans le groupe des cobords d′′C^{∞}(X, Λ^{p,q−1}T_{X}^{⋆}) du complexe de Dolbeault que des cobords du complexe de De Rham dC^{∞}(X, Λ^{p+q−1}(ℂ ⊗ T_{X})^{⋆}), il y a des morphismes canoniques

H_{BC}^{p,q}(X, ℂ) ⟶ H^{p,q}(X, ℂ), (8.2)

H_{BC}^{p,q}(X, ℂ) ⟶ H_{DR}^{p+q}(X, ℂ), (8.3)

de la cohomologie de Bott-Chern dans la cohomologie de Dolbeault ou de De Rham. Ces morphismes sont des homomorphismes de ℂ-algèbres. Il est également clair à partir de la définition que nous avons la propriété de symétrie H_{BC}^{q,p}(X, ℂ) = \overline{H_{BC}^{p,q}(X, ℂ)}. On peut montrer à partir de la suite spectrale de Hodge-Frölicher (voir § 10) que H_{BC}^{p,q}(X, ℂ) est toujours de dimension finie si X est compacte.

8.B. Théorème de décomposition de Hodge

On suppose à partir de maintenant que (X, ω) est une variété kählérienne compacte. L’égalité Δ = 2Δ′′ montre que Δ est homogène par rapport au bidegré et qu’il y a une décomposition orthogonale

(8.4)  ℋ^{k}(X, ℂ) = ⨁_{p+q=k} ℋ^{p,q}(X, ℂ).

Comme \overline{Δ′′} = Δ′ = Δ′′, on a également ℋ^{q,p}(X, ℂ) = \overline{ℋ^{p,q}(X, ℂ)}. En utilisant le théorème d’isomorphisme de Hodge pour la cohomologie de De Rham et la cohomologie de Dolbeault, on obtient :

8.5. Théorème de Décomposition de Hodge. Sur une variété kählérienne compacte, il y a des isomorphismes canoniques

H_{DR}^{k}(X, ℂ) ≃ ⨁_{p+q=k} H^{p,q}(X, ℂ)  (décomposition de Hodge),
H^{q,p}(X, ℂ) ≃ \overline{H^{p,q}(X, ℂ)}  (symétrie de Hodge).

Le seul point qui n’est pas a priori complètement clair est que ces isomorphismes soient indépendants de la métrique kählérienne choisie. Pour montrer que c’est bien le cas, on peut utiliser le lemme suivant, qui va nous permettre de comparer les trois types de groupes de cohomologie considérés au § 8.A.

8.6. Lemme. Soit u une (p, q)-forme d-fermée. Les propriétés suivantes sont équivalentes :

a) u est d-exacte ;

b′) u est d′-exacte ;

b′′) u est d′′-exacte ;

c) u est d′d′′-exacte, i.e. u peut s’écrire u = d′d′′v.

d) u est orthogonale à ℋ^{p,q}(X, ℂ).

Preuve. Il est évident que c) implique a), b′), b′′), et que a) ou b′) ou b′′) implique d). Il suffit donc de prouver que d) implique c). Comme du = 0, nous avons d′u = d′′u = 0, et comme u est supposée orthogonale à ℋ^{p,q}(X, ℂ), le th. 7.1 implique u = d′′s, s ∈ C^{∞}(X, Λ^{p,q−1}T_{X}^{⋆}). Le théorème analogue au th. 7.1 pour d′ (qui s’en déduit d’ailleurs par conjugaison) montre qu’on a s = h + d′v + d^{′⋆}w, avec h ∈ ℋ^{p,q−1}(X, ℂ), v ∈ C^{∞}(X, Λ^{p−1,q−1}T_{X}^{⋆}) et w ∈ C^{∞}(X, Λ^{p+1,q−1}T_{X}^{⋆}). Par conséquent

u = d′′d′v + d′′d^{′⋆}w = −d′d′′v − d^{′⋆}d′′w

grâce au lemme 6.16. Comme d′u = 0, la composante d^{′⋆}d′′w orthogonale à Ker d′ doit être nulle.

Du lemme 8.6 nous déduisons le corollaire suivant, qui à son tour implique que la décomposition de Hodge ne dépend pas de la métrique kählérienne choisie.

8.7. Corollaire. Soit X une variété kählérienne compacte. Alors les morphismes naturels

H_{BC}^{p,q}(X, ℂ) ⟶ H^{p,q}(X, ℂ),  ⨁_{p+q=k} H_{BC}^{p,q}(X, ℂ) ⟶ H_{DR}^{k}(X, ℂ)

sont des isomorphismes.

Preuve. La surjectivité de H_{BC}^{p,q}(X, ℂ) → H^{p,q}(X, ℂ) vient du fait que toute classe de H^{p,q}(X, ℂ) peut être représentée par une (p, q)-forme harmonique, donc par une (p, q)-forme d-fermée ; la propriété d’injectivité n’est rien d’autre que l’équivalence (8.5 b′′) ⇔ (8.5 c). Donc H_{BC}^{p,q}(X, ℂ) ≃ H^{p,q}(X, ℂ) ≃ ℋ^{p,q}(X, ℂ), et l’isomorphisme

⨁_{p+q=k} H_{BC}^{p,q}(X, ℂ) ⟶ H_{DR}^{k}(X, ℂ)

se déduit de (8.4).

Mentionnons maintenant deux conséquences simples de la théorie de Hodge. La première concerne le calcul des groupes de cohomologie de Dolbeault de ℙ^{n}. Comme H^{p,p}(ℙ^{n}, ℂ) contient la classe non nulle {ω^{p}} et comme H_{DR}^{2p}(ℙ^{n}, ℂ) = ℂ, la formule de décomposition de Hodge implique :

8.8. Conséquence. Les groupes de cohomologie de Dolbeault de ℙ^{n} sont

H^{p,p}(ℙ^{n}, ℂ) = ℂ pour 0 ⩽ p ⩽ n, H^{p,q}(ℙ^{n}, ℂ) = 0 pour p ≠ q.

8.9. Proposition. Toute p-forme holomorphe sur une variété kählérienne compacte X est d-fermée.

Preuve. Si u est une forme holomorphe de type (p, 0) alors d′′u = 0. De plus d^{′′⋆}u est de type (p, −1), donc d^{′′⋆}u = 0. Par conséquent Δu = 2Δ′′u = 0, ce qui implique du = 0.

8.10. Exemple. Considérons le groupe de Heisenberg G ⊂ Gl_{3}(ℂ), défini comme le sous-groupe des matrices

M = ( \begin{matrix}1 & x & z \\ 0 & 1 & y \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} ) , (x, y, z) ∈ ℂ^{3}.

Soit Γ le sous-groupe discret des matrices ayant leurs coefficients x, y, z dans l’anneau ℤ[i] (ou plus généralement dans un anneau d’entiers quadratiques imaginaires). Alors X = G/Γ est une variété complexe compacte de dimension 3, connue sous le nom de variété d’Iwasawa. L’égalité

M^{−1}dM = ( \begin{matrix}0 & dx & dz − xdy \\ 0 & 0 & dy \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} )

montre que dx, dy, dz − xdy sont des 1-formes holomorphes invariantes à gauche sur G. Ces formes induisent des 1-formes holomorphes sur le quotient X = G/Γ. Puisque dz − xdy n’est pas d-fermée, on voit que X ne peut pas être kählérienne.

8.11. Remarque. Nous avons travaillé ici avec des coefficients constants pour simplifier les notations, mais le lecteur pourra vérifier qu’on a des résultats tout à fait analogues pour la cohomologie à valeurs dans un système local de coefficients E (fibré hermitien plat), comme au § 4.C. Il suffit de remplacer partout dans les démonstrations l’opérateur d = d′ + d′′ par D_{E} = D′_{E} + D′′_{E}, et d’observer qu’on a encore Δ′_{E} = Δ′′_{E} = \frac{1}{2}Δ_{E} (preuve identique à celle du Cor. (6.15)). On en déduit alors l’existence d’isomorphismes

H_{BC}^{p,q}(X, E) ⟶ H^{p,q}(X, E),  ⨁_{p+q=k} H_{BC}^{p,q}(X, E) ⟶ H_{DR}^{k}(X, E)

et d’une décomposition canonique

H_{DR}^{k}(X, E) = ⨁_{p+q=k} H^{p,q}(X, E).

Dans ce contexte, la propriété de symétrie de Hodge devient

\overline{H^{p,q}(X, E)} ≃ H^{q,p}(X, E^{⋆}),

via l’opérateur antilinéaire # considéré aux § 4 et § 7. Ces observations sont utiles pour l’étude des variations de structure de Hodge.

8.C. Décomposition primitive et théorème de Lefschetz difficile

Nous introduisons d’abord quelques notations standard. Les nombres de Betti et les nombres de Hodge de X sont par définition

(8.12)  b_{k} = dim_{ℂ} H^{k}(X, ℂ), h^{p,q} = dim_{ℂ} H^{p,q}(X, ℂ).

D’après la décomposition de Hodge, ces nombres satisfont les relations

(8.13)  b_{k} = ∑_{p+q=k} h^{p,q}, h^{q,p} = h^{p,q}.

En conséquence, les nombres de Betti b_{2k+1} d’une variété kählérienne compacte sont pairs. Noter que le théorème de dualité de Serre donne la relation supplémentaire h^{p,q} = h^{n−p,n−q}, vraie dès que X est compacte. Comme on va le voir, l’existence de la décomposition primitive implique beaucoup d’autres propriétés caractéristiques intéressantes de l’algèbre de cohomologie d’une variété kählérienne compacte.

8.14. Lemme. Si u = ∑_{r⩾(k−n)_{+}} L^{r}u_{r} est la décomposition primitive d’une kforme harmonique u, alors toutes les composantes u_{r} sont harmoniques.

Preuve. Comme [Δ, L] = 0, on obtient 0 = Δu = ∑_{r} L^{r}Δu_{r}, donc Δu_{r} = 0 d’après l’unicité de la décomposition.

Notons ℋ_{prim}^{k}(X, ℂ) = ⨁_{p+q=k} ℋ_{prim}^{p,q}(X, ℂ) l’espace des k-formes harmoniques primitives et soit h_{prim}^{p,q} la dimension de la composante de bidegré (p, q). Le lemme (8.14) donne

(8.15)  ℋ^{p,q}(X, ℂ) = ⨁_{r⩾(p+q−n)_{+}} L^{r}ℋ_{prim}^{p−r,q−r}(X, ℂ),
(8.16)  h^{p,q} = ∑_{r⩾(p+q−n)_{+}} h_{prim}^{p−r,q−r}.

La Formule (8.16) peut se récrire

(8.16′)  \{ \begin{matrix}if p + q ⩽ n, h^{p,q} = h_{prim}^{p,q} + h_{prim}^{p−1,q−1} + ⋯ \\ if p + q ⩾ n, h^{p,q} = h_{prim}^{n−q,n−p} + h_{prim}^{n−q−1,n−p−1} + · · · . \end{matrix}

8.17. Corollaire. Les nombres de Hodge et de Betti satisfont les inégalités suivantes.

a) Si k = p + q ⩽ n, alors h^{p,q} ⩾ h^{p−1,q−1}, b_{k} ⩾ b_{k−2},

b) Si k = p + q ⩾ n, alors h^{p,q} ⩾ h^{p+1,q+1}, b_{k} ⩾ b_{k+2}.

Un autre résultat important de la théorie de Hodge (qui est en fait une conséquence directe du Cor. 6.23) est le

8.18. Théorème de Lefschetz difficile. Les morphismes de cup produit

\begin{matrix}L^{n−k} : H^{k}(X, ℂ) & ⟶ H^{2n−k}(X, ℂ), & k ⩽ n, \\ L^{n−p−q} : H^{p,q}(X, ℂ) & ⟶ H^{n−q,n−p}(X, ℂ), & p + q ⩽ n, \end{matrix}

sont des isomorphismes.

Une autre manière d’énoncer le théorème de Lefschetz difficile est d’introduire la forme bilinéaire de Hodge-Riemann sur H_{DR}^{k}(X, ℂ), définie par

(8.19)  Q(u, v) = (−1)^{k(k−1)/2} ∫_{X} u ∧ v ∧ ω^{n−k}.

Le théorème de Lefschetz difficile combiné avec la dualité de Poincaré nous dit que Q est non dégénérée. De plus Q est de parité (−1)^{k} (symétrique si k est pair, alternée si k est impair). Lorsque ω est une métrique de Hodge, c’est-à-dire une métrique kählérienne telle que {ω} ∈ H^{2}(X, ℤ), il est clair que Q prend des valeurs entières sur le réseau H^{k}(X, ℤ)/(torsion). La forme bilinéaire de Hodge-Riemann satisfait les propriétés supplémentaires suivantes : pour p + q = k,

Q(H^{p,q}, H^{p′,q′}) = 0 si (p′, q′) ≠ (q, p), (8.20′)

(8.20′′)  Si 0 ≠ u ∈ H_{prim}^{p,q}(X, ℂ),  alors i^{p−q}Q(u, \overline{u}) = ∥u∥^{2} > 0.

En fait (8.20′) est clair, et (8.20′′) sera démontré si nous vérifions que toute (p, q)- forme primitive u satisfait

(−1)^{k(k−1)/2}i^{p−q}ω^{n−k} ∧ \overline{u} = ⋆\overline{u}.

Puisque Prim^{p,q} T_{X}^{⋆} est une représentation irréductible de U(n), il suffit de vérifier la formule pour une (p, q)-forme u bien choisie. On peut prendre par exemple u = dz_{1} ∧ ⋯ ∧ dz_{p} ∧ d\overline{z}_{p+1} ∧ ⋯ ∧ d\overline{z}_{p+q} dans une base orthonormale pour ω. La vérification effective est laissée au lecteur à titre d’exercice.

8.D. Description du groupe de Picard

Un autre application importante de la théorie de Hodge est une description du groupe de Picard H^{1}(X, 𝒪^{⋆}) d’une variété kählérienne compacte. Nous supposons ici que X est connexe. La suite exacte exponentielle 0 → ℤ → 𝒪 → 𝒪^{⋆} → 1 donne (8.21)

0 ⟶ H^{1}(X, ℤ) ⟶ H^{1}(X, 𝒪) ⟶ H^{1}(X, 𝒪^{⋆}) ⟶^{c_{1}} H^{2}(X, ℤ) ⟶ H^{2}(X, 𝒪),

si l’on tient compte du fait que l’application exp(2πi•) : H^{0}(X, 𝒪) = ℂ ⟶ H^{0}(X, 𝒪^{⋆}) = ℂ^{⋆} est surjective. On a H^{1}(X, 𝒪) ≃ H^{0,1}(X, ℂ) par l’isomorphisme de Dolbeault. La dimension de ce groupe est appelée irrégularité de X et elle est habituellement notée

(8.22)  q = q(X) = h^{0,1} = h^{1,0}.

Par conséquent nous avons b_{1} = 2q et

(8.23)  H^{1}(X, 𝒪) ≃ ℂ^{q}, H^{0}(X, Ω_{X}^{1}) = H^{1,0}(X, ℂ) ≃ ℂ^{q}.

8.24. Lemme. L’image de H^{1}(X, ℤ) dans H^{1}(X, 𝒪) est un réseau.

Preuve. Considérons le morphisme

H^{1}(X, ℤ) ⟶ H^{1}(X, ℝ) ⟶ H^{1}(X, ℂ) ⟶ H^{1}(X, 𝒪)

induit par les inclusions ℤ ⊂ ℝ ⊂ ℂ ⊂ 𝒪. Comme les groupes de cohomologie de Čech à valeurs dans ℤ ou ℝ peuvent se calculer par des recouvrements finis constitués d’ouverts difféomorphes à des ouverts convexes, de même que toutes leurs intersections mutuelles, il est clair que H^{1}(X, ℤ) est un ℤ-module de type fini et que l’image de H^{1}(X, ℤ) dans H^{1}(X, ℝ) est un réseau. Il suffit donc de vérifier que l’application H^{1}(X, ℝ) ⟶ H^{1}(X, 𝒪) est un isomorphisme. Or, le diagramme commutatif

0⟶ℂ⟶ 𝒜^{0} ⟶^{d} 𝒜^{1} ⟶^{d} 𝒜^{2} ⟶⋯
↓  ↓  ↓  ↓
0⟶𝒪⟶𝒜^{0,0} ⟶^{d′′}𝒜^{0,1} ⟶^{d′′}𝒜^{0,2}⟶⋯

montre que l’application H^{1}(X, ℝ) ⟶ H^{1}(X, 𝒪) correspond, pour la cohomologie de De Rham et de Dolbeault, à l’application composée

H_{DR}^{1}(X, ℝ) ⊂ H_{DR}^{1}(X, ℂ) ⟶ H^{0,1}(X, ℂ).

Puisque H^{1,0}(X, ℂ) et H^{0,1}(X, ℂ) sont des sous-espaces complexes conjugués dans le complexifié H_{DR}^{1}(X, ℂ) de H_{DR}^{1}(X, ℝ), nous en déduisons bien que H_{DR}^{1}(X, ℝ) ⟶ H^{0,1}(X, ℂ) est un isomorphisme.

Comme conséquence de ce lemme, H^{1}(X, ℤ) est de rang 2q, i.e., H^{1}(X, ℤ) ≃ ℤ^{2q}. Le tore complexe de dimension q

(8.25)  Jac(X) = H^{1}(X, 𝒪)/H^{1}(X, ℤ)

est appelé variété jacobienne de X. Il est isomorphe au sous-groupe de H^{1}(X, 𝒪^{⋆}) correspondant aux fibrés en droites de première classe de Chern nulle. D’autre part, le noyau de la flèche

H^{2}(X, ℤ) ⟶ H^{2}(X, 𝒪) = H^{0,2}(X, ℂ),

qui est constitué par définition des classes de cohomologie entières de type (1, 1), est égal à l’image du morphisme c_{1}(•) dans H^{2}(X, ℤ). Ce sous-groupe est appelé groupe de Néron-Severi de X, noté NS(X) ; son rang ρ(X) est appelé nombre de Picard de X.

La suite exacte (8.21) donne alors

(8.26)  0 ⟶ Jac(X) ⟶ H^{1}(X, 𝒪^{⋆}) ⟶^{c_{1}} NS(X) ⟶ 0.

Le groupe de Picard H^{1}(X, 𝒪^{⋆}) est donc une extension du tore complexe Jac(X) par le ℤ-module de type fini NS(X).

8.27. Corollaire. Le groupe de Picard de ℙ^{n} est H^{1}(ℙ^{n}, 𝒪^{⋆}) ≃ ℤ avec 𝒪(1) comme générateur, i.e. tout fibré en droites sur ℙ^{n} est isomorphe à l’un des fibrés en droites 𝒪(k), k ∈ ℤ.

Preuve. Nous avons H^{k}(ℙ^{n}, 𝒪) = H^{0,k}(ℙ^{n}, ℂ) = 0 pour k ⩾ 1 grâce à la conséq. 8.8, donc Jac(ℙ^{n}) = 0 et NS(ℙ^{n}) = H^{2}(ℙ^{n}, ℤ) ≃ ℤ. De plus, c_{1}(𝒪(1)) est un générateur de H^{2}(ℙ^{n}, ℤ).

9. Suite spectrale de Hodge-Frölicher

Soit X une variété complexe quelconque (i.e. non nécessairement compacte) de dimension n. Nous considérons le complexe double K^{p,q} = C^{∞}(X, Λ^{p,q}T_{X}^{⋆}) avec sa différentielle totale d = d′ + d′′. La suite spectrale de Hodge-Frölicher (ou suite spectrale de Hodge vers De Rham) est par définition la suite spectrale associée à ce complexe double.

Rappelons d’abord la machinerie algébrique des suites spectrales, qui s’applique à un complexe double arbitraire (K^{p,q}, d′ + d′′) de modules sur un anneau. Nous supposons ici pour simplifier que K^{p,q} = 0 si p < 0 ou q < 0. On associe d’abord à K^{•,•} le complexe total (K^{•}, d) tel que K^{l} = ⨁_{p+q=l} K^{p,q}, muni de la différentielle totale d = d′ + d′′. Alors K^{•} admet une filtration décroissante formée des sous-complexes F^{p}K^{•} tels que

(9.1)  F^{p}K^{l} = ⨁_{p⩽j⩽l} K^{j,l−j}.

On obtient une filtration induite sur les groupes de cohomologie H^{l}(K^{•}) du complexe total en posant

(9.2)  F^{p}H^{l}(K^{•}) := Im (H^{l}(F^{p}K^{•}) → H^{l}(K^{•})),

et on note G^{p}H^{l}(K^{•}) = F^{p}H^{l}(K^{•})/F^{p+1}H^{l}(K^{•}) le module gradué associé. La théorie des suites spectrales (voir par exemple [God57]) nous dit qu’il existe une suite de complexes doubles E_{r}^{•,•}, r ⩾ 1, munis de différentielles d_{r} : E_{r}^{p,q} → E_{r}^{p+r,q−r+1} de bidegré (r, −r + 1), telle que E_{r+1} = H^{•}(E_{r}) se calcule par récurrence comme la cohomologie du complexe (E_{r}^{•,•}, d_{r}), et telle que la limite E_{∞}^{p,q} = lim_{r→+∞} E_{r}^{p,q} s’identifie avec le module gradué G^{•}H^{•}(K^{•}), de façon précise E_{∞}^{p,q} = G^{p}H^{p+q}(K^{•}). Les termes E_{1} sont définis comme les groupes de cohomologie du complexe partiel d′′ : K^{p,q} → K^{p,q+1} par rapport à la deuxième différentielle, c’est-à-dire

(9.4)  E_{1}^{p,q} = H^{q}((K^{p,•}, d′′)),

et la différentielle d_{1} : E_{1}^{p,q} → E_{1}^{p+1,q} est induite par la première différentielle d′ :

(9.5)  d′ : H^{q}((K^{p,•}, d′′)) ⟶ H^{q}((K^{p+1,•}, d′′)).

En fait, on a E_{r}^{p,q} = 0 sauf si p, q ⩾ 0, et la limite E_{∞} = lim E_{r} est stationnaire, plus précisément

E_{r}^{p,q} = E_{r+1}^{p,q} = ⋯ = E_{∞}^{p,q} lorsque r ⩾ max(p + 1, q + 2),

comme on le voit en considérant les indices en lesquels d_{r} peut être non nulle. On dit que la suite spectrale converge vers le gradué du module filtré H^{•}(K^{•}), et on symbolise habituellement cette situation par la notation

E_{1}^{p,q} ⇒ G^{p}H^{p+q}(K^{•}).

Un examen soigneux des termes de petit degré conduit à la suite exacte

(9.6)  0 ⟶ E_{2}^{1,0} ⟶ H^{1}(K^{•}) ⟶ E_{2}^{0,1} ⟶^{d_{2}} E_{2}^{2,0} ⟶ H^{2}(K^{•}).

On dit que la suite spectrale dégénère en E_{r_{0}} si d_{r} = 0 pour tout r ⩾ r_{0} et pour tout bidegré (p, q). On a alors bien sûr E_{r_{0}}^{•,•} = E_{r_{0}+1}^{•,•} = ⋯ = E_{∞}^{•,•}.

Dans le cas de la suite spectrale de Hodge-Frölicher, les termes E_{1} sont les groupes de cohomologie de Dolbeault E_{1}^{p,q} = H^{p,q}(X, ℂ), et la cohomologie du complexe total n’est autre que la cohomologie de De Rham H_{DR}^{•}(X, ℂ). On obtient donc une suite spectrale

(9.7)  E_{1}^{p,q} = H^{p,q}(X, ℂ) ⇒ G^{p}H_{DR}^{p+q}(X, ℂ)

de la cohomologie de Dolbeault vers la cohomologie de De Rham. La filtration correspondnate F^{p}H_{DR}^{k}(X, ℂ) des groupes de cohomologie est appelée filtration de Hodge (-Frölicher).

Supposons maintenant X compacte. Tous les termes E_{r}^{p,q} sont alors des espaces vectoriels de dimension finie. Puisque E_{r+1} = H^{•}(E_{r}), les dimensions dim E_{r}^{p,q} décroissent (ou stationnent) avec r, donc dim E_{∞}^{p,q} ⩽ dim E_{r}^{p,q}, et l’égalité a lieu si et seulement si la suite spectrale dégénère en E_{r}. En particulier, les nombres de Betti b_{l} = dim H^{l}(X, ℂ) et les nombres de Hodge h^{p,q} = dim E_{1}^{p,q} satisfont l’inégalité

(9.8)  b_{l} = ∑_{p+q=l} dim E_{∞}^{p,q} ⩽ ∑_{p+q=l} dim E_{1}^{p,q} = ∑_{p+q=l} h^{p,q},

et l’égalité équivaut à la dégénérescence de la suite spectrale en E_{1}^{•}. Comme conséquence, nous avons le

9.9. Théorème. Si X est une variété complexe compacte, les propriétés suivantes sont équivalentes :

a) La suite spectrale de Hodge-Frölicher dégénère en E_{1}^{•}.

b) On a l’égalité b_{l} = ∑_{p+q=l} h^{p,q} pour tout l.

c) Il existe un isomorphisme G^{p}H_{DR}^{p+q}(X, ℂ) ≃ H^{p,q}(X, ℂ) pour tous p, q.

Si une de ces conditions est satisfaite, l’isomorphisme c) est défini de manière canonique.

Nous pouvons maintenant retraduire les résultats du §8.B comme suit.

9.10. Théorème. Si X est une variété kählérienne compacte, la suite spectrale de Hodge-Frölicher dégénère en E_{1} et il y a une décomposition canonique

H_{DR}^{l}(X, ℂ) = ⨁_{p+q=l} H^{p,q}(X, ℂ), H^{q,p}(X, ℂ) = \overline{H^{p,q}(X, ℂ)}.

En termes de cette décomposition, la filtration F^{p}H_{DR}^{l}(X, ℂ) est donnée par

F^{p}H_{DR}^{l}(X, ℂ) = ⨁_{j⩾p} H^{j,l−j}(X, ℂ).

En particulier, la filtration conjuguée \overline{F^{•}H_{DR}^{l}} est opposée à la filtration F^{•}H_{DR}^{l}, i.e.,

H_{DR}^{l}(X, ℂ) = F^{p}H_{DR}^{l}(X, ℂ) ⊕ \overline{F^{l−p+1}H_{DR}^{l}(X, ℂ)}.

9.11. Définition. Si X est une variété complexe compacte, nous disons que X admet une décomposition de Hodge si la suite spectrale de Hodge-Frölicher dégénère en E_{1} et si la filtration conjuguée \overline{F^{•}H_{DR}^{l}} est opposée à F^{•}H_{DR}^{l}, i.e., H_{DR}^{l} = F^{p}H_{DR}^{l} ⊕ \overline{F^{l−p+1}H_{DR}^{l}} pour tout p.

Si X admet une décomposition de Hodge au sens de la déf. 9.11 et si p + q = l, on voit immédiatement à partir de l’égalité H_{DR}^{l} = F^{p+1}H_{DR}^{l} ⊕ \overline{F^{q}H_{DR}^{l}} que

F^{p}H_{DR}^{l} = F^{p+1}H_{DR}^{l} ⊕ (F^{p}H_{DR}^{l} ∩ \overline{F^{q}H_{DR}^{l}}),

donc on obtient un isomorphisme canonique

(9.12)  H^{p,q}(X, ℂ) ≃ F^{p}H_{DR}^{l}/F^{p+1}H_{DR}^{l} ≃ F^{p}H_{DR}^{l} ∩ \overline{F^{q}H_{DR}^{l}} ⊂ H_{DR}^{l}.

Nous déduisons de là qu’il y a bien des isomorphismes canoniques

H_{DR}^{l}(X, ℂ) = ⨁_{p+q=l} H^{p,q}(X), H^{q,p}(X, ℂ) = \overline{H^{p,q}(X, ℂ)},

comme attendu. Notons que (9.12) fournit une autre démonstration du fait que la décomposition de Hodge d’une variété kählérienne compacte ne dépend pas de la métrique kählérienne choisie (tous les groupes et morphismes mis en jeu dans (9.12) sont intrinsèques). En fait, nous avons montré qu’une variété kählérienne compacte satisfait une propriété encore plus forte, qu’il sera commode d’appeler décomposition de Hodge forte, puisque celle-ci implique trivialement l’existence d’une décomposition de Hodge au sens de la Définition 9.11.

9.13. Définition. Si X est une variété complexe compacte, nous disons que X admet une décomposition de Hodge forte si tous les morphismes

H_{BC}^{p,q}(X, ℂ) → H^{p,q}(X, ℂ),  ⨁_{p+q=l} H_{BC}^{p,q}(X, ℂ) → H_{DR}^{l}(X, ℂ)

sont des isomorphismes.

9.14. Remarque. Deligne [Del68, 72] a donné un critère permettant de vérifier la dégénérescence de la suite spectrale de Hodge dans un contexte plus algébrique, incluant le cas de situations relatives. Plus récemment, Deligne et Illusie [DeI87] ont donné une preuve de la dégénérescence de la suite spectrale de Hodge qui n’utilise pas les méthodes analytiques (leur idée est de travailler en caractéristique p et de relever le résultat en caractéristique 0). Il faut observer que la dégénérescence de la suite spectrale de Hodge-Frölicher n’implique pas automatiquement la propriété de symétrie de Hodge H^{q,p}(X, ℂ) ≃ \overline{H^{p,q}(X, ℂ)} ni l’existence d’une décomposition canonique des groupes de De Rham. En fait, il n’est pas difficile de montrer que la suite spectrale de Hodge-Frölicher d’une surface complexe compacte dégénère toujours en E_{1} ; cependant, si X n’est pas kählérienne, alors b_{1} est impair, et on peut montrer en utilisant le théorème de l’indice de Hirzebruch que h^{0,1} = h^{1,0} + 1 et b_{1} = 2h_{1,0} + 1 (voir [BPV84]). On peut montrer que l’existence d’une décomposition de Hodge (resp. de Hodge forte) est préservée par des morphismes de contraction (remplacement de X par X′, si μ : X → X′ est une modification) ; c’est une conséquence facile de l’existence d’un foncteur image directe μ_{⋆} agissant sur tous les groupes de cohomologie mis en jeu, tel que μ_{⋆}μ^{⋆} = Id ; dans le contexte analytique, μ_{⋆} se construit aisément en calculant la cohomologie à l’aide des courants, puisqu’on dispose sur ceux-ci d’un foncteur image directe naturel. Comme toute variété de Moishezon admet une modification algébrique projective, nous en déduisons que les variétés de Moishezon admettent également une décomposition de Hodge forte. Il serait intéressant de savoir s’il existe des exemples de variétés complexes compactes possédant une décomposition de Hodge sans avoir une décomposition de Hodge forte (il y a en effet des exemples immédiats de complexes doubles abstraits ayant cette propriété).

En général, quand X n’est pas kählérienne, un certain nombre d’informations intéressantes peuvent se déduire de la suite spectrale. Par exemple, (9.6) implique

(9.15)  b_{1} ⩾ dim E_{2}^{1,0} + (dim E_{2}^{0,1} − dim E_{2}^{2,0})_{+}.

Par ailleurs, E_{2}^{1,0} est le groupe de cohomologie défini par la suite

d_{1} = d′ : E_{1}^{0,0} ⟶ E_{1}^{1,0} ⟶ E_{1}^{2,0},

et comme E_{1}^{0,0} est l’espace des fonctions holomorphes globales sur X, la première flèche d_{1} est zéro (par le principe du maximum, les fonctions holomorphes sont constantes sur chaque composante connexe de X). Donc dim E_{2}^{1,0} ⩾ h^{1,0} −h^{2,0}. De même, E_{2}^{0,1} est le noyau d’une application E_{1}^{0,1} → E_{1}^{1,1}, donc dim E_{2}^{0,1} ⩾ h^{0,1}−h^{1,1}. De (9.15) nous déduisons

(9.16)  b_{1} ⩾ (h^{1,0} − h^{2,0})_{+} + (h^{0,1} − h^{1,1} − h^{2,0})_{+}.

Une autre relation intéressante concerne la caractéristique d’Euler-Poincaré topologique

χ_{top}(X) = b_{0} − b_{1} + ⋯ − b_{2n−1} + b_{2n}.

Nous utiliserons le lemme simple suivant.

9.17. Lemme. Soit (C^{•}, d) un complexe borné d’espaces vectoriels de dimension finie sur un corps. Alors, la caractéristique d’Euler

χ(C^{•}) = ∑(−1)^{q} dim C^{q}

est égale à la caractéristique d’Euler χ(H^{•}(C^{•})) du module de cohomologie.

Preuve. Posons

c_{q} = dim C^{q}, z_{q} = dim Z^{q}(C^{•}), b_{q} = dim B^{q}(C^{•}), h_{q} = dim H^{q}(C^{•}).

Alors

c_{q} = z_{q} + b_{q+1}, h_{q} = z_{q} − b_{q}.

Par conséquent nous trouvons

∑(−1)^{q} c_{q} = ∑(−1)^{q} z_{q} − ∑(−1)^{q} b_{q} = ∑(−1)^{q} h_{q}.

En particulier, si le terme E_{r}^{•} de la suite spectrale du complexe filtré K^{•} est un complexe borné de dimension finie, on a

χ(E_{r}^{•}) = χ(E_{r+1}^{•}) = ⋯ = χ(E_{∞}^{•}) = χ(H^{•}(K^{•}))

car E_{r+1}^{•} = H^{•}(E_{r}^{•}) et dim E_{∞}^{l} = dim H^{l}(K^{•}). Dans la suite spectrale de Hodge-Frölicher on a par ailleurs dim E_{1}^{l} = ∑_{p+q=l} h^{p,q}, donc :

9.18. Théorème. Pour toute variété complexe compacte X, la caractéristique d’Euler topologique peut s’écrire

χ_{top}(X) = ∑_{0⩽k⩽2n}(−1)^{l}b_{l} = ∑_{0⩽p,q⩽n}(−1)^{p+q}h^{p,q}.

Nous allons maintenant réinterpréter la suite spectrale de Hodge-Frölicher en termes de la suite spectrale d’hypercohomologie associée au complexe de De Rham holomorphe. Expliquons d’abord brièvement en quoi consiste cette suite spectrale. Etant donné un complexe borné de faisceaux de groupes abéliens 𝒜^{•} sur un espace topologique X, les groupes d’hypercohomologie de 𝒜^{•} sont définis comme les groupes

ℍ^{k}(X, 𝒜^{•}) := H^{k}(Γ(X, ℒ^{•})),

où ℒ^{•} est un complexe de faisceaux acycliques (faisceaux flasques ou faisceaux de 𝒞^{∞} modules par exemple) choisi de sorte qu’on ait un quasi-isomorphisme 𝒜^{•} → ℒ^{•} (morphisme de complexes de faisceaux induisant un isomorphisme ℋ^{k}(𝒜^{•}) → ℋ^{k}(ℒ^{•}) pour les faisceaux de cohomologie). Il est aisé de voir que l’hypercohomologie ne dépend pas à isomorphisme près du complexe de faisceaux acycliques ℒ^{•} choisi. L’hypercohomologie est un foncteur de la catégorie des complexes de faisceaux de groupes abéliens vers la catégorie des groupes gradués ; par définition, si 𝒜^{•} → ℬ^{•} est un quasi-isomorphisme, alors ℍ^{k}(X, 𝒜^{•}) → ℍ^{k}(X, ℬ^{•}) est un isomorphisme ; de plus, l’hypercohomologie se réduit à la cohomologie usuelle H^{k}(X, ℰ) du faisceau ℰ pour un complexe 𝒜^{•} réduit à un seul terme 𝒜^{0} = ℰ. Supposons qu’on ait pour chaque terme 𝒜^{p} du complexe 𝒜^{•} une résolution 𝒜^{p} → ℒ^{p,•} par des faisceaux ℒ^{p,q} acycliques, donnant lieu à un complexe double de faisceaux (ℒ^{p,q}, d′ + d′′). Alors le complexe total associé (ℒ^{•}, d) est un complexe acyclique quasi-isomorphe à 𝒜^{•}, et on a donc

ℍ^{k}(X, 𝒜^{•}) = H^{k}(Γ(X, ℒ^{•})).

Mais par ailleurs, le complexe double K^{p,q} = Γ(X, ℒ^{p,q}) définit une suite spectrale telle que

E_{1}^{p,q} = H^{q}(K^{p,•}, d′′) = H^{q}(X, 𝒜^{p}),

convergeant vers le gradué associé à la cohomologie du complexe total H^{k}(K^{•}) = ℍ^{k}(X, 𝒜^{•}). On obtient donc une suite spectrale dite suite spectrale d’hypercohomologie

(9.19)  E_{1}^{p,q} = H^{q}(X, 𝒜^{p}) ⇒ G^{p}ℍ^{p+q}(X, 𝒜^{•}).

La filtration F^{p} des groupes d’hypercohomologie est obtenue par définition en prenant l’image du morphisme

ℍ^{k}(X, F^{p}𝒜^{•}) → ℍ^{k}(X, 𝒜^{•}),

où F^{p}𝒜^{•} désigne le complexe tronqué à gauche

⋯ ⟶ 0 ⟶ 0 ⟶ 𝒜^{p} ⟶ 𝒜^{p+1} ⟶ ⋯ ⟶ 𝒜^{N} · · · .

Considérons maintenant le cas où X est une variété complexe quelconque et où 𝒜^{•} = Ω_{X}^{•} est le complexe de De Rham holomorphe (avec la différentielle extérieure usuelle). Le lemme de Poincaré holomorphe montre que Ω_{X}^{•} est une résolution du faisceau constant ℂ_{X}, i.e., on a un quasi-isomorphisme de complexes de faisceaux ℂ_{X} → Ω_{X}^{•}, où ℂ_{X} désigne le complexe réduit à un seul terme en degré 0. Par définition de l’hypercohomologie on a donc

(9.20)  H^{k}(X, ℂ_{X}) = ℍ^{k}(X, Ω_{X}^{•}),

et la suite exacte d’hypercohomologie du complexe Ω_{X}^{•} fournit une suite spectrale

(9.21)  E_{1}^{p,q} = H^{q}(X, Ω_{X}^{p}) ⇒ G^{p}H^{p+q}(X, ℂ_{X}).

Or les groupes ℍ^{k}(X, Ω_{X}^{•}) peuvent être calculés en utilisant la résolution de Ω_{X}^{•} par le complexe de Dolbeault ℒ^{p,q} = 𝒞^{∞}(Λ^{p,q}T_{X}^{⋆}) (ces faisceaux sont bien acycliques !). On voit alors que la suite spectrale d’hypercohomologie (9.21) n’est autre que la suite spectrale de Hodge-Frölicher précédemment définie.

10. Déformations et théorèmes de semi-continuité

L’objet de ce paragraphe est d’étudier la dépendance des groupes H^{p,q}(X_{t}, ℂ) ou plus généralement des groupes de cohomologie H^{q}(X_{t}, E_{t}), lorsque la paire (X_{t}, E_{t}) dépend holomorphiquement d’un paramètre t dans un certain espace complexe S. Nous aborderons ces résultats en adoptant le point de vue original de Kodaira-Spencer, tel qu’il est développé dans leurs travaux originaux sur la théorie des déformations (voir par exemple les Oeuvres Complètes de Kodaira [Kod75]). La méthode de Kodaira-Spencer exploite les propriétés de continuité ou de semicontinuité des espaces propres des Laplaciens en fonction du paramètre t. Une autre approche fournissant des résultats plus précis consiste à utiliser le théorème des images directes de Grauert [Gra60].

10.1. Définition. Une déformation de variétés complexes compactes est par définition un morphisme analytique propre σ : 𝒳 → S d’espaces complexes connexes, dont toutes les fibres X_{t} = σ^{−1}(t) sont des variétés lisses de même dimension n, et satisfaisant l’hypothèse locale suivante :

Tout point ζ ∈ 𝒳 admet un voisinage 𝒰 tel qu’il existe un biholomorphisme ψ : U × V → 𝒰 où U est un ouvert de ℂ^{n} et V un voisinage de t = σ(ζ), vérifiant σ ∘ ψ = pr_{2} : U × V → V (seconde projection).

(H)

On dit alors que (X_{t})_{t∈S} est une famille holomorphe de déformations de l’une quelconque des fibres X_{t_{0}}, et que S est la base de la déformation. Une famille holomorphe de fibrés vectoriels (resp. de faisceaux) E_{t} → X_{t} est par définition une famille de fibrés (resp. faisceaux) obtenus à partir d’un fibré (resp. faisceau) global ℰ → 𝒳, par restriction aux différentes fibres X_{t}.

Si S est lisse, l’hypothèse (H) équivaut à supposer que σ est une submersion holomorphe, en vertu du théorème du rang constant. Il y a néanmoins des situations où l’on doit nécessairement considérer aussi le cas de bases S singulières (par exemple lorqu’on cherche à construire la “déformation universelle” d’une variété). Dans un cadre topologique (différentiable et lisse), nous avons le lemme suivant, connu sous le nom de lemme d’Ehresmann.

10.2. Lemme d’Ehresmann. Soit σ : 𝒳 → S une submersion différentiable propre et lisse.

a) Si S est contractile, alors pour tout t_{0} ∈ S, il existe un diagramme commutatif

𝒳 \underrightarrow{Φ} X_{t_{0}} × S
pr_{1} ↘ ↙ σ
S

où Φ est un difféomorphisme.

b) Pour une base S quelconque, 𝒳 → S est un fibré (différentiablement) localement trivial. En particulier, si S est connexe, les fibres sont toutes difféomorphes.

Preuve. a) Soit H : S ×[0, 1] → S une homotopie différentiable entre H(•, 0) = Id_{S} et h(•, 1) = application constante S → {t_{0}}. Le produit fibré

𝒳̃ = {(x, s, t) ∈ 𝒳 × S × [0, 1] ; σ(x) = H(s, t)}

muni de la projection σ̃ = pr_{2} × pr_{3} : 𝒳̃ → S × [0, 1] est encore une submersion différentiable, comme on le vérifie aisément. On en déduit qu’il existe un champ de vecteurs ξ sur X̃ qui relève le champ de vecteurs \frac{∂}{∂t} sur S × [0, 1], i.e. σ_{⋆}ξ = \frac{∂}{∂t} (il existe localement des relèvements par la propriété de submersivité, et on recolle ces relèvements au moyen d’une partition de l’unité). Soit φ_{t} le flot de ce relèvement : alors, si (x, s, 0) ∈ 𝒳̃_{↾S×{0}} ≃ 𝒳, on a par construction φ_{t}(x, s, 0) = (?, s, t), donc Φ = φ_{1} définit un difféomorphisme de 𝒳̃_{↾S×{0}} ≃ 𝒳 sur 𝒳̃_{↾S×{1}} ≃ X_{t_{0}} × S, commutant avec la projection sur S.

b) se déduit immédiatement de a).

Il résulte de b) que le fibré t ↦ H^{k}(X_{t}, ℂ) est un fibré localement trivial en ℂ-espaces vectoriels de dimension finie. On a par ailleurs dans chaque fibre un sous-groupe abélien libre Im H^{k}(X_{t}, ℤ) ⊂ H^{k}(X_{t}, ℂ) de rang b_{k} qui engendre H^{k}(X_{t}, ℂ) comme ℂ-espace vectoriel. Les matrices de transition de ce système localement constant sont dans SL_{b_{k}}(ℤ). Comme les matrices de transition sont localement constantes, le fibré t ↦ H^{k}(X_{t}, ℂ) peut être muni d’une connexion D telle que D^{2} = 0 : cette connexion est appelée connexion de Gauss-Manin. Le lemme suivant nous sera utile.

10.3. Lemme. Soit σ : 𝒳 → S une submersion différentiable propre et lisse et ℰ un fibré vectoriel de classe C^{∞} au dessus de 𝒳. Considérons une famille d’opérateurs elliptiques

P_{t} : C^{∞}(X_{t}, E_{t}) ⟶ C^{∞}(X_{t}, E_{t})

de degré δ. On suppose que P_{t} est autoadjoint semipositif relativement à une métrique h_{t} sur E_{t} et à une forme volume dV_{t} sur X_{t}, et tel que les coefficients de P_{t}, h_{t} et dV_{t} sont de classe C^{∞} sur 𝒳. Alors les valeurs propres de P_{t}, comptées avec multiplicité, se rangent en une suite

λ_{0}(t) ⩽ λ_{1}(t) ⩽ ⋯ ⩽ λ_{k}(t) → +∞,

où la k-ième valeur propre λ_{k}(t) est une fonction continue de t. De plus, si λ n’est pas dans le spectre {λ_{k}(t_{0})}_{k∈ℕ} de P_{t_{0}}, la somme directe W_{λ,t} ⊂ C^{∞}(X_{t}, E_{t}) des espaces propres de P_{t} de valeurs propres λ_{k}(t) ⩽ λ définit un fibré vectoriel t ↦ W_{t,λ} de classe C^{∞} dans un voisinage de t_{0}.

Preuve. Comme les résultats sont locaux au dessus de S, on peut supposer que 𝒳 = X_{t_{0}} × S et ℰ = pr_{1}^{⋆} E_{t_{0}} ont leurs fibres X_{t} et E_{t} indépendantes de t (mais les formes dV_{t} sur X_{t} et les métriques h_{t} sur E_{t} vont en général dépendre de t). Soit Π_{λ,t} l’opérateur de projection orthogonale sur W_{λ,t} dans L^{2}(X_{t}, E_{t}) ≃ L^{2}(X_{t_{0}}, E_{t_{0}}). Si Γ(0, λ) désigne le cercle de centre 0 et de rayon λ dans le plan complexe, la formule de Cauchy donne

Π_{λ,t} = \frac{1}{2πi} ∫_{Γ(0,λ)}(z Id −P_{t})^{−1}dz,

où l’intégrale est vue comme une intégrale à valeurs vectorielles dans l’espace des opérateurs bornés sur L^{2}(M_{t_{0}}, E_{t_{0}}) (il suffit de vérifier la formule sur les vecteurs propres de P_{t}, ce qui est élémentaire). Les démonstrations faites au § 3 montrent qu’il existe une famille d’opérateurs pseudo-différentiels Q_{t} d’ordre −δ, dont le symbole dépend de manière C^{∞} de t (et avec uniformité des estimations par dérivation en t), tels que P_{t}Q_{t} = Id +R_{t} pour des opérateurs régularisants R_{t} dont le noyau dépend aussi de manière C^{∞} de t. Comme Q_{t} est une famille d’opérateurs compacts sur L^{2}(X_{t}, E_{t}) qui dépend de manière C^{∞} de t, les valeurs propres de Q_{t} dépendent continûment de t. Quitte à changer Q_{t_{0}} sur un sous-espace de dimension finie, on peut supposer que Q_{t_{0}} est un isomorphisme de L^{2}(X_{t_{0}}, E_{t_{0}}) sur W^{δ}(X_{t_{0}}, E_{t_{0}}). Il en sera alors de même pour Q_{t} dans un voisinage de t_{0}, et par suite z Id −P_{t} est inversible si et seulement si (z Id −P_{t})Q_{t} = Id +R_{t} + zQ_{t} est inversible. Si λ n’est pas dans le spectre de P_{t_{0}}, on voit donc que pour tout z ∈ Γ(0, λ) l’inverse (z Id −P_{t})^{−1} = Q_{t}(Id +R_{t} + zQ_{t})^{−1} dépend de façon C^{∞} de t comme opérateur L^{2}(X_{t}, E_{t}) → W^{δ}(X_{t}, E_{t}), par suite t ↦ Π_{λ,t} est C^{∞} au voisinage de t. Ceci entraîne que t ↦ W_{t,λ} est une fibration localement triviale de classe C^{∞} au voisinage de t_{0}. La continuité de la valeur propre λ_{k}(t) de P_{t} résulte de la constance du rang de W_{λ,t} au voisinage de t_{0}, pour λ = λ_{k}(t_{0}) ± ε.

10.4. Théorème de semi-continuité (Kodaira-Spencer). Si 𝒳 → S est un morphisme ℂ-analytique propre et lisse et si ℰ est un faisceau localement libre sur 𝒳, les dimensions h^{q}(t) = h^{q}(X_{t}, ℰ_{t}) sont des fonctions semi-continues supérieurement. Plus précisément, les sommes alternées

h^{q}(t) − h^{q−1}(t) + ⋯ + (−1)^{q}h^{0}(t), 0 ⩽ q ⩽ n = dim X_{t}

sont des fonctions semi-continues supérieurement.

Preuve. Soit E_{t} le fibré vectoriel holomorphe associé à ℰ_{t}. Munissons ℰ et 𝒳 de métriques hermitiennes arbitraires. D’après l’isomorphisme de Hodge pour la d′′-cohomologie, on peut interpréter H^{q}(X_{t}, ℰ_{t}) comme l’espace des formes harmoniques pour le Laplacien Δ_{t}^{′′q} agissant sur C^{∞}(X_{t}, Λ^{0,q}T_{X_{t}}^{⋆} ⊗ E_{t}). Fixons un point t_{0} ∈ S et un réel λ > 0 qui n’appartient pas au spectre des opérateurs Δ_{t_{0}}^{′′q}, 0 ⩽ q ⩽ n = dim X_{t}. Alors

W_{t}^{q} = W_{λ,t}^{q} = somme directe des espaces propres de Δ_{t}^{′′q} de valeurs propres ⩽ λ

définit un fibré W^{q} de classe C^{∞} au voisinage de t_{0}. De plus la différentielle d′′_{t} commute avec Δ′′_{t} et envoie donc les espaces propres de Δ_{t}^{′′q} dans les espaces propres de Δ_{t}^{′′q+1} associés aux mêmes valeurs propres. Ceci montre que (W_{t}^{•}, d′′_{t}) est un souscomplexe de dimension finie du complexe de Dolbeault (C^{∞}(X_{t}, Λ^{0,q}T_{X_{t}}^{⋆}⊗E_{t}), d′′_{t}).

La cohomologie de ce sous-complexe coïncide avec H^{q}(X_{t}, E_{t}) puisque la relation d′′_{t}d_{t}^{′′⋆} + d_{t}^{′′⋆}d′′_{t} = Δ′′_{t} montre que \frac{1}{λ_{k}} d_{t}^{′′⋆} est un opérateur d’homotopie sur le souscomplexe formé des espaces propres de valeur propre λ_{k} lorsque λ_{k} ≠ 0. Si Z_{t}^{q} désigne le noyau du morphisme d_{t}^{′′q} : W_{t}^{q} → W_{t}^{q+1}, alors z^{q}(t) := dim Z_{t}^{q} est une fonction semi-continue supérieurement pour la topologie de Zariski, comme on le voit aisément en regardant le rang des mineurs de la matrice définissant le morphisme d^{′′q} : W^{q} → W^{q+1}. Le complexe tronqué

0 → W_{t}^{0} → W_{t}^{1} → ⋯ → W_{t}^{q−1} → Z_{t}^{q} → 0

ayant pour cohomologie les groupes H^{j}(X_{t}, E_{t}) d’indices 0 ⩽ j ⩽ q, on obtient

h^{q}(t) − h^{q−1}(t) + ⋯ + (−1)^{q}h^{0}(t) = z^{q}(t) − w^{q−1} + w^{q−2} + ⋯ + (−1)^{q}w^{0},

où w^{q} désigne le rang de W^{q}. La semi-continuité supérieure du membre de gauche en résulte, et celle de h^{q}(t) est alors immédiate par récurrence sur q.

10.5. Invariance des nombres de Hodge. Soit 𝒳 → S un morphisme ℂ-analytique propre et lisse. On suppose que les fibres X_{t} sont des variétés kählériennes. Alors les nombres de Hodge h^{p,q}(X_{t}) sont constants. De plus, dans la décomposition

H^{k}(X_{t}, ℂ) = ⨁_{p+q=k} H^{p,q}(X_{t}, ℂ),

les fibrations t ↦ H^{p,q}(X_{t}, ℂ) définissent des sous-fibrés de classe C^{∞} (en général non holomorphes) de t ↦ H^{k}(X_{t}, ℂ).

Preuve. Le lemme 10.2 entraîne que les nombres de Betti b_{k} = dim H^{k}(X_{t}, ℂ) sont constants. Comme h^{p,q}(X_{t}, ℂ) = h^{q}(X_{t}, Ω_{X_{t}}^{p}) est semi-continue supérieurement d’après le th. 10.4 et

h^{p,q}(X_{t}) = b_{k} − ∑_{r+s=k, (r,s)≠(p,q)} h^{r,s}(X_{t}),

ces fonctions sont en fait aussi semi-continues inférieurement. Par suite elles sont continues et donc constantes. Un théorème de Kodaira [Kod75] montre que si une fibre X_{t_{0}} est kählérienne, alors les fibres voisines X_{t} sont kählériennes et les métriques kählériennes ω_{t} peuvent être choisies de sorte qu’elles dépendent de manière C^{∞} de t. Les espaces de (p, q)-formes harmoniques dépendent alors de manière C^{∞} de t d’après le le th. 10.4, et on en déduit que t ↦ H^{p,q}(X_{t}, ℂ) est un sous-fibré de classe C^{∞} de H^{k}(X_{t}, ℂ).

On peut en fait obtenir des résultats plus précis et plus généraux au moyen du théorème des images directes de Grauert [Gra60]. Rappelons qu’étant donné une application continue f : X → Y entre espaces topologiques et un faisceau ℰ de groupes abéliens sur X, on définit le faisceau image directe R^{k}f_{⋆}ℰ sur Y comme étant le faisceau associé au préfaisceau U ↦ H^{k}(f^{−1}(U), ℰ), pour tout ouvert U de Y. Plus généralement, étant donné un complexe de faisceaux 𝒜^{•}, nous avons des faisceaux images directes ℝ^{q}f_{⋆}𝒜^{•}, obtenus à partir des préfaisceaux d’hypercohomologie

U ↦ ℍ^{k}(f^{−1}(U), 𝒜^{•}).

La démonstration du théorème des images directes proposée par [FoK71] et [KiV71] (voir aussi [DoV72]) fournit les résultats fondamentaux suivants que nous admettrons.

10.6. Théorème des images directes. Soit σ : 𝒳 → S un morphisme propre d’espaces analytiques complexes et 𝒜^{•} un complexe borné de faisceaux cohérents de 𝒪_{𝒳} -modules. Alors

a) Les faisceaux images directes ℝ^{k}σ_{⋆}𝒜^{⋆} sont des faisceaux cohérents sur S.

b) Tout point de S admet un voisinage U ⊂ S sur lequel il existe un complexe borné 𝒲^{•} de faisceaux de 𝒪_{S}-modules localement libres dont les faisceaux de cohomologie ℋ^{k}(𝒲^{•}) sont isomorphes aux faisceaux ℝ^{k}σ_{⋆}𝒜^{•}.

c) Si σ est à fibres équidimensionnelles (“morphisme géométriquement plat”), l’hypercohomologie de la fibre X_{t} = σ^{−1}(t) à valeurs dans 𝒜_{t}^{•} = 𝒜^{•} ⊗_{𝒪_{𝒳}} 𝒪_{X_{t}} (où 𝒪_{X_{t}} = 𝒪_{𝒳} /σ^{⋆}𝔪_{S,t}), est donnée par

H^{k}(X_{t}, 𝒜_{t}^{•}) = H^{k}(W_{t}^{•}),

où (W_{t}^{•}) est le complexe d’espaces de dimension finie W_{t}^{k} = 𝒲^{k}⊗_{𝒪_{S,t}} 𝒪_{S,t}/𝔪_{S,t}.

d) Sous l’hypothèse du c), si les espaces d’hypercohomologie ℍ^{k}(X_{t}, 𝒜_{t}^{•}) des fibres sont de dimension constante, les faisceaux ℝ^{k}σ_{⋆}𝒜^{•} sont localement libres sur S.

Les mêmes résultats sont vrais en particulier pour les images directes R^{k}σ_{⋆}ℰ d’un faisceau cohérent ℰ sur 𝒳, et les groupes de cohomologie H^{k}(X_{t}, ℰ_{t}) des fibres.

On notera que la propriété d) est en fait une conséquence formelle de c), car l’hypothèse garantit que les matrices holomorphes définissant les morphismes 𝒲^{k} → 𝒲^{k+1} sont de rang constant en chaque point t ∈ S. De (10.6 b) on déduit alors le résultat suivant dû à H. Flenner [Fle81], avec une démonstration identique à celle du th. 10.4.

10.7. Théorème de semi-continuité. Si 𝒳 → S est un morphisme analytique propre à fibres équidimensionnelles et si ℰ est un faisceau cohérent sur 𝒳, les sommes alternées

h^{q}(t) − h^{q−1}(t) + ⋯ + (−1)^{q}h^{0}(t),

des dimensions h^{k}(t) = h^{k}(X_{t}, ℰ_{t}) sont des fonctions semi-continues supérieurement de t dans la topologie de Zariski analytique (topologie dont les fermés sont les ensembles analytiques).

Soit σ : 𝒳 → S une submersion ℂ-analytique propre et lisse. On suppose que la suite spectrale de Hodge des fibres X_{t} dégénère en E_{1} pour tour t ∈ S (d’après (10.7) c’est en fait une propriété ouverte pour la topologie de Zariski analytique sur S). Si U ⊂ S est un ouvert contractile, alors σ^{−1}(U) ≃ X_{t} × U pour toute fibre au dessus de t ∈ U. Si ℤ_{𝒳} , ℂ_{X} désignent les faisceaux localement constants de base 𝒳 et de fibres ℤ, ℂ, on obtient

\begin{aligned}Γ(U, R^{k}σ_{⋆}ℤ_{𝒳} ) & = H^{k}(σ^{−1}(U), ℤ) = H^{k}(X_{t}, ℤ), \\ Γ(U, R^{k}σ_{⋆}ℂ_{𝒳} ) & = H^{k}(σ^{−1}(U), ℂ) = H^{k}(X_{t}, ℂ), \end{aligned}

de sorte que R^{k}σ_{⋆}ℤ_{𝒳} et R^{k}σ_{⋆}ℂ_{𝒳} sont des faisceaux localement constants sur S, de fibres H^{k}(X_{t}, ℤ) et H^{k}(X_{t}, ℂ). Le fibré t ↦ H^{k}(X_{t}, ℂ), muni de sa connexion plate D (connexion de Gauss-Manin), possède une structure holomorphe canonique induite par la composante D^{0,1} de la connexion de Gauss-Manin. Le fibré plat ⨁_{k} H^{k}(X_{t}, ℂ) est appelé fibré de Hodge de la fibration 𝒳 → S.

Considérons maintenant le complexe de De Rham relatif (Ω_{𝒳/S}^{•} , d_{𝒳/S} ) de la fibration 𝒳 → S. Ce complexe fournit une résolution du faisceau σ^{−1}𝒪_{S} (image inverse “purement faisceautique” de 𝒪_{S}), par suite

(10.8)  ℝ^{k}σ_{⋆}Ω_{𝒳/S}^{•} = R^{k}σ_{⋆}(σ^{−1}𝒪_{S}) = (R^{k}σ_{⋆}ℂ_{𝒳} ) ⊗_{ℂ} 𝒪_{S}.

La dernière égalité s’obtient par un argument immédiat de 𝒪_{S}(U) linéarité pour la cohomologie calculée sur les ouverts σ^{−1}(U) (la structure complexe de σ^{−1}(U) n’intervenant pas ici). En d’autres termes, ℝ^{k}σ_{⋆}Ω_{𝒳/S}^{•} est le 𝒪_{S}-module localement libre associé au fibré plat t ↦ H^{q}(X_{t}, ℂ). On a une suite spectrale d’hypercohomologie relative

E_{1}^{p,q} = R^{q}σ_{⋆}Ω_{𝒳/S}^{p} ⇒ G^{p}ℝ^{p+q}σ_{⋆}Ω_{𝒳/S}^{•} = G^{p}R^{p+q}σ_{⋆}ℂ_{𝒳}

(la suite spectrale relative est obtenue simplement en “faisceautisant” la suite spectrale d’hypercohomologie absolue (9.19) du complexe Ω_{𝒳/S}^{•} sur les ouverts σ^{−1}(U)). Comme la cohomologie de Ω_{𝒳/S}^{p} sur les fibres X_{t} n’est autre que l’espace de rang constant H^{q}(X_{t}, Ω_{X_{t}}^{p}), le th. 10.6 d) montre que les faisceaux images directes R^{q}σ_{⋆}Ω_{𝒳/S}^{p} sont localement libres. Par ailleurs, la filtration F^{p}H^{k}(X_{t}, ℂ) ⊂ H^{k}(X_{t}, ℂ) est obtenue au niveau des 𝒪_{S}-modules localement libres associés en prenant l’image du morphisme 𝒪_{S}-linéaire

ℝ^{k}σ_{⋆}F^{p}Ω_{𝒳/S}^{•} ⟶ ℝ^{k}σ_{⋆}Ω_{𝒳/S}^{•} ,

c’est donc un sous-faisceau cohérent (et même un sous-faisceau localement libre, d’après la propriété de constance du rang sur les fibres X_{t}). De là et de (10.8) on déduit le

10.9. Théorème (holomorphie de la filtration de Hodge). La filtration de Hodge F^{p}H^{k}(X_{t}, ℂ) ⊂ H^{k}(X_{t}, ℂ) est constituée de sous-fibrés vectoriels holomorphes relativement à la structure holomorphe définie par la connexion de Gauss-Manin.

On voit qu’en général H^{p,q}(X_{t}, ℂ) = F^{p}H^{k}(X_{t}, ℂ) ∩ \overline{F^{q}H^{k}(X_{t}, ℂ)} n’a aucune raison d’être un sous-fibré holomorphe de H^{k}(X_{t}, ℂ) pour p + q = k quelconques, bien que H^{p,q}(X_{t}, ℂ) possède une structure naturelle de fibré holomorphe (obtenue à partir du faisceau cohérent R^{q}σ_{⋆}Ω_{𝒳/S}^{p} , ou comme quotient des F^{p}H^{k}(X_{t}, ℂ)). Autrement dit, c’est la décomposition de Hodge qui n’est pas holomorphe.

10.10. Exemple. Soit S = {τ ∈ ℂ; Im τ > 0} le demi-plan supérieur, et 𝒳 → S la famille “universelle” des courbes elliptiques au-dessus de S, définie par X_{τ} = ℂ/(ℤ + ℤτ). Les deux éléments de base du fibré de Hodge H^{1}(X_{τ} , ℂ), duaux de la base (1, τ) du réseau des périodes, sont α = dx − Re τ/ Im τ dy et β = (Im τ)^{−1}dy (z = x + iy ∈ ℂ désignant la coordonnée sur X_{τ}). Ces éléments vérifient donc Dα = Dβ = 0 et définissent la structure holomorphe du fibré de Hodge ; le sous-fibré H^{1,0}(X_{τ} , ℂ) engendré par la 1-forme dz = α + τβ est bien holomorphe (comme il se doit !), cependant on voit que les composantes β^{1,0} = −\frac{i}{2}(Im τ)^{−1}dz et β^{0,1} = \frac{i}{2}(Im τ)^{−1}d\overline{z} ne sont pas holomorphes en τ.

60 J.-P. Demailly, Partie II : Estimations L^{2} et théorèmes d’Annulation

Partie II : Estimations L^{2} et théorèmes d’annulation

11. Concepts de pseudoconvexité et de positivité

Les énoncés et démonstrations des théorèmes d’annulation mettent en jeu plusieurs notions de pseudoconvexité et de positivité. Nous présentons d’abord un résumé synthétique des concepts de base qui nous seront nécessaires.

11.A. Fonctions plurisousharmoniques

Les fonctions plurisousharmoniques ont été introduites indépendamment par Lelong et Oka en 1942 en vue de l’étude de la convexité holomorphe. Nous renvoyons à [Lel67, 69] pour plus de détails.

11.1. Définition. Une fonction u : Ω → [−∞, +∞[ définie sur un ouvert Ω ⊂ ℂ^{n} est dite plurisousharmonique (psh en abrégé) si

a) u est semi-continue supérieurement ;

b) pour toute droite complexe L ⊂ ℂ^{n}, u_{↾Ω∩L} est sous-harmonique sur Ω ∩ L, c’est-à-dire, pour tous a ∈ Ω et ξ ∈ ℂ^{n} tels que |ξ| < d(a, ∁Ω), la fonction u satisfait l’inégalité de moyenne

u(a) ⩽ \frac{1}{2π} ∫_{0}^{2π} u(a + e^{i θ} ξ) dθ.

L’ensemble des fonctions psh sur Ω sera noté Psh(Ω).

Nous donnons ci-dessous une liste de quelques propriétés fondamentales satisfaites par les fonctions psh. Ces propriétés découlent toutes facilement de la définition.

11.2. Propriétés fondamentales.

a) Toute fonction u ∈ Psh(Ω) est sous-harmonique en ses 2n variables réelles, i.e. satisfait l’inégalité de valeur moyenne sur les boules (ou sphères) euclidiennes :

u(a) ⩽ \frac{1}{π^{n}r^{2n}/n!} ∫_{B(a,r)} u(z) dλ(z)

pour tout a ∈ Ω et tout r < d(a, ∁Ω. Dans ce cas, on a ou bien u ≡ −∞ ou bien u ∈ L_{loc}^{1} sur tout composante connexe de Ω.

b) Pour toute suite décroissante de fonctions psh u_{k} ∈ Psh(Ω), la limite u = lim u_{k} est psh sur Ω. c) Soit u ∈ Psh(Ω) telle que u ≢ −∞ sur toute composante connexe de Ω. Si (ρ_{ε})

est une famille de noyaux régularisants, alors u ⋆ ρ_{ε} est C^{∞} et psh sur

Ω_{ε} = {x ∈ Ω ; d(x, ∁Ω) > ε},

la famille (u ⋆ ρ_{ε}) est croissante en ε et lim_{ε→0} u ⋆ ρ_{ε} = u.

d) Soient u_{1}, …, u_{p} ∈ Psh(Ω) et χ : ℝ^{p} → ℝ une fonction convexe telle que χ(t_{1}, …, t_{p}) est croissante en chaque variable t_{j}. Alors χ(u_{1}, …, u_{p}) est psh sur Ω. En particulier u_{1} + ⋯ + u_{p}, max{u_{1}, …, u_{p}}, log(e^{u_{1}} + ⋯ + e^{u_{p}}) sont psh sur Ω.

11.3. Lemme. Une fonction u ∈ C^{2}(Ω, ℝ) est psh sur Ω si et seulement si la forme hermitienne Hu(a)(ξ) = ∑_{1⩽j,k⩽n} ∂^{2}u/∂z_{j}∂\overline{z}_{k}(a) ξ_{j}\overline{ξ}_{k} est semi-positive en

tout point a ∈ Ω.

Preuve. C’est une conséquence facile de la formule standard suivante

\frac{1}{2π} ∫_{0}^{2π} u(a + e^{i θ} ξ) dθ − u(a) = \frac{2}{π} ∫_{0}^{1} \frac{dt}{t} ∫_{|ζ|<t} Hu(a + ζξ)(ξ) dλ(ζ),

où dλ est la mesure de Lebesgue sur ℂ. Le lemme 11.3 suggère fortement que la plurisousharmonicité est l’analogue complexe naturel de la propriété de convexité linéaire dans le cas réel.

Pour des fonctions non régulières, on obtient une caractérisation analogue de la plurisousharmonicité au moyen d’un procédé de régularisation.

11.4. Théorème. Si u ∈ Psh(Ω) avec u ≢ −∞ sur toute composante connexe de Ω, alors pour tout ξ ∈ ℂ^{n}

Hu(ξ) = ∑_{1⩽j,k⩽n} \frac{∂^{2}u}{∂z_{j}∂\overline{z}_{k}} ξ_{j}\overline{ξ}_{k} ∈ 𝒟′(Ω)

est une mesure positive. Inversement, si v ∈ 𝒟′(Ω) est telle que Hv(ξ) est une mesure positive pour tout ξ ∈ ℂ^{n}, il existe une unique fonction u ∈ Psh(Ω) qui soit localement intégrable sur Ω et telle que v est la distribution associée à u.

En vue de dégager une meilleure compréhension géométrique de la notion de plurisousharmonicité, nous supposons plus généralement que la fonction u vit sur une variété complexe X de dimension n. Si Φ : X → Y est une application holomorphe et si v ∈ C^{2}(Y, ℝ), nous avons d′d′′(v ∘ Φ) = Φ^{⋆}d′d′′v, donc

H(v ∘ Φ)(a, ξ) = Hv(Φ(a), Φ′(a).ξ).

En particulier Hu, vue comme forme hermitienne sur T_{X}, ne dépend pas du choix des coordonnées (z_{1}, …, z_{n}). Par conséquent, la notion de fonction psh a bien un sens sur toute variété complexe. Plus généralement, nous avons 11.5. Proposition. Si Φ : X → Y est une application holomorphe et v ∈ Psh(Y), alors v ∘ Φ ∈ Psh(X).

11.6. Exemple. Il est bien connu que log |z| est psh (i.e. sous-harmonique) sur ℂ. Donc log |f| ∈ Psh(X) pour toute fonction holomorphe f ∈ H^{0}(X, 𝒪_{X}). Plus généralement

log (|f_{1}|^{α_{1}} + ⋯ + |f_{q}|^{α_{q}}) ∈ Psh(X)

pour tout choix de fonctions f_{j} ∈ H^{0}(X, 𝒪_{X}) et de réels α_{j} ⩾ 0 (appliquer la propriété 11.2 d avec u_{j} = α_{j} log |f_{j}|). Nous nous intéresserons plus particulièrement aux singularités de cette fonction le long de la variété des zéros f_{1} = ⋯ = f_{q} = 0, lorsque les α_{j} sont des nombres rationnels.

11.7. Définition. On dira qu’une fonction psh u ∈ Psh(X) a des singularités analytiques (resp. algébriques) si u peut s’écrire localement sous la forme

u = \frac{α}{2} log (|f_{1}|^{2} + ⋯ + |f_{N}|^{2}) + v,

avec des fonctions holomorphes (resp. algébriques) f_{j}, α ∈ ℝ_{+} (resp. α ∈ ℚ_{+}), et où v est une fonction bornée.

Nous introduisons alors l’idéal 𝒥 = 𝒥(u/α) des germes de fonctions holomorphes h telles qu’il existe une constante C ⩾ 0 pour laquelle |h| ⩽ Ce^{u/α}, i.e.

|h| ⩽ C(|f_{1}| + ⋯ + |f_{N}|).

On obtient ainsi un faisceau d’idéaux globalement défini sur X, égal localement à la clôture intégrale \overline{ℐ} du faisceau d’idéaux ℐ = (f_{1}, …, f_{N}), par suite 𝒥 est cohérent sur X. Si (g_{1}, …, g_{N′}) sont des générateurs locaux de 𝒥, nous avons encore

u = \frac{α}{2} log (|g_{1}|^{2} + ⋯ + |g_{N′}|^{2}) + O(1).

D’un point de vue algébrique, les singularités de u sont en correspondance bijective avec les “données algébriques” (𝒥, α). Nous verrons plus loin une autre méthode encore plus importante pour associer un faisceau d’idéaux à une fonction psh.

11.B. Courants positifs

La théorie des courants a été fondée par G. De Rham [DR55]. Nous rappelons ici seulement les définitions les plus fondamentales. Le lecteur pourra consulter [Fed69] pour un exposé beaucoup plus complet de cette théorie. Dans la situation complexe, la notion spécifique importante de courant positif a été dégagée et étudiée par P. Lelong [Lel57, 69].

Un courant de degré q sur une variété différentiable M n’est rien d’autre qu’une q-forme différentielle Θ à coefficients distributions. L’espace des courants de degré q sur M sera noté 𝒟^{′q}(M). Alternativement, on peut considérer les courants de degré q comme les éléments Θ du dual 𝒟′_{p}(M) := (𝒟^{p}(M))′ de l’espace 𝒟^{p}(M) des formes différentielles C^{∞} de degré p = dim M − q à support compact ; l’accouplement de dualité est donné par

(11.8)  ⟨Θ, α⟩ = ∫_{M} Θ ∧ α, α ∈ 𝒟^{p}(M).

Un exemple fondamental est le courant d’intégration [S] sur une sous-variété S orientée et compacte (éventuellement à bord) de M :

(11.9)  ⟨[S], α⟩ = ∫_{S} α, degα = p = dim_{ℝ} S.

Alors [S] est un courant à coefficients mesures, et la formule de Stokes montre que d[S] = (−1)^{q−1}[∂S], en particulier d[S] = 0 si et seulement si S est une sous-variété sans bord. En raison de cet exemple, l’entier p est appelé dimension de Θ ∈ 𝒟′_{p}(M). On dit que le courant Θ est fermé si dΘ = 0.

Sur une variété complexe X, nous avons des notions analogues de bidegré et de bidimension ; comme dans le cas réel, nous notons

𝒟^{′p,q}(X) = 𝒟′_{n−p,n−q}(X), n = dim X,

l’espace des courants de bidegré (p, q) et bidimension (n − p, n − q) sur X. Suivant [Lel57], un courant Θ de bidimension (p, p) est dit (faiblement) positif si pour tout choix de (1, 0)-formes α_{1}, …, α_{p} de classe C^{∞} sur X la distribution

(11.10)  Θ ∧ iα_{1} ∧ \overline{α}_{1} ∧ ⋯ ∧ iα_{p} ∧ \overline{α}_{p} est une mesure positive.

11.11. Exercice. Si Θ est positif, montrer que les coefficients Θ_{I,J} de Θ sont des mesures complexes, et qu’ils sont majorés à des constantes près par la mesure trace

σ_{Θ} = Θ ∧ \frac{1}{p!}β^{p} = 2^{−p} ∑ Θ_{I,I}, où β = \frac{i}{2}d′d′′|z|^{2} = \frac{i}{2} ∑_{1⩽j⩽n} dz_{j} ∧ d\overline{z}_{j},

qui est une mesure positive. Indication. Observer que ∑ Θ_{I,I} est invariant par des changements de coordonnées unitaires et que les (p, p)-formes iα_{1} ∧\overline{α}_{1} ∧⋯∧iα_{p} ∧\overline{α}_{p} engendrent Λ^{p,p}T_{ℂ^{n}}^{⋆} comme ℂ-espace vectoriel.

On voit facilement qu’un courant Θ = i ∑_{1⩽j,k⩽n} Θ_{jk}dz_{j} ∧ d\overline{z}_{k} de bidegré (1, 1) est positif si et seulement si la mesure complexe ∑ λ_{j}\overline{λ}_{k}Θ_{jk} est une mesure positive pour tout n-uplet (λ_{1}, …, λ_{n}) ∈ ℂ^{n}.

11.12. Exemple. Si u est une fonction psh (non identiquement −∞) sur X, on peut associer à u un courant positif fermé Θ = i∂\overline{∂}u de bidegré (1, 1). Inversement, tout courant positif fermé de bidegré (1, 1) peut s’écrire sous cette forme sur tout sous-ensemble ouvert Ω ⊂ X tel que H_{DR}^{2}(Ω, ℝ) = H^{1}(Ω, 𝒪) = 0, par exemple sur des ouverts de coordonnées biholomorphes à des boules (exercice pour le lecteur).

Il n’est pas difficile de montrer qu’un produit Θ_{1} ∧ ⋯ ∧ Θ_{q} de courants positifs de bidegré (1, 1) est positif chaque fois que le produit est bien défini (c’est certainement le cas si tous Θ_{j} sauf un au plus sont de classe C^{∞}) ; d’autres conditions beaucoup plus fines existent, mais nous laisserons ce sujet de côté ici.

Nous discutons maintenant un autre exemple très important de courant positif fermé. A tout ensemble analytique A fermé dans X, de dimension pure p, on associe un courant d’intégration

(11.13)  ⟨[A], α⟩ = ∫_{A_{reg}} α, α ∈ 𝒟^{p,p}(X),

obtenu en intégrant α sur l’ensemble des points réguliers de A. En vue de montrer que (11.13) donne bien une définition légitime d’un courant sur X, il faut montrer que A_{reg} est localement d’aire finie dans un voisinage de tout point de A_{sing}. Ce résultat, dû à [Lel57] peut se montrer comme suit. Supposons (après translation des coordonnées) que 0 ∈ A_{sing}. Du théorème de paramétrisation locale pour les ensembles analytiques, on déduit qu’il existe un changement linéaire de coordonnées sur ℂ^{n} tel que toutes les projections

π_{I} : (z_{1}, …, z_{n}) ↦ (z_{i_{1}}, …, z_{i_{p}})

définissent des revêtements ramifiés finis de l’intersection A∩Δ_{I} de A avec un petit polydisque Δ_{I} = Δ′_{I} × Δ′′_{I} de ℂ^{n} = ℂ^{p} × ℂ^{n−p}, sur le polydisque Δ′_{I} de ℂ^{p}. Soit n_{I} le nombre de feuillets de chacun de ces revêtements. Alors, si Δ = ⋂ Δ_{I}, l’aire p-dimensionnelle de A ∩ Δ est majorée par la somme des aires de ses projections comptées avec multiplicités, i.e.

Aire(A ∩ Δ) ⩽ ∑ n_{I}Vol(Δ′_{I}).

Le fait que [A] soit positif est facile. En fait, en termes de coordonnées locales (w_{1}, …, w_{p}) sur A_{reg}, on a

iα_{1} ∧ \overline{α}_{1} ∧ ⋯ ∧ iα_{p} ∧ \overline{α}_{p} = | det(α_{jk})|^{2} iw_{1} ∧ \overline{w}_{1} ∧ ⋯ ∧ iw_{p} ∧ \overline{w}_{p}

si α_{j} = ∑ α_{jk}dw_{k}. Ceci montre qu’un tel produit de formes est ⩾ 0 par rapport à l’orientation canonique définie par iw_{1}∧\overline{w}_{1}∧⋯∧iw_{p}∧\overline{w}_{p}. Un résultat plus profond, également démontré par P. Lelong [Lel57], est que [A] est un courant d-fermé sur X, en d’autres termes, l’ensemble A_{sing} (qui est de dimension réelle ⩽ 2p − 2) ne fournit aucune contribution au courant bord d[A]. Finalement, en liaison avec l’exemple 11.12, nous avons l’importante

11.14. Équation de Lelong-Poincaré. Soit f ∈ H^{0}(X, 𝒪_{X}) une fonction holomorphe non nulle, Z_{f} = ∑ m_{j}Z_{j}, m_{j} ∈ ℕ, le diviseur des zéros de f, et [Z_{f}] = ∑ m_{j}[Z_{j}] le courant d’intégration associé. Alors

\frac{i}{π} ∂\overline{∂} log |f| = [Z_{f}].

Preuve (abrégée). Il est clair que i d′d′′ log |f| = 0 au voisinage de tout point x ∉ Supp(Z_{f}) = ⋃ Z_{j}, par suite il suffit de vérifier l’équation au voisinage de tout point de Supp(Z_{f}). Soit A l’ensemble des points singuliers de Supp(Z_{f}), i.e. la réunion des intersections Z_{j} ∩ Z_{k} et des lieux singuliers Z_{j,sing} ; nous avons alors dim A ⩽ n − 2. Au voisinage de tout point x ∈ Supp(Z_{f}) ∖ A il existe des coordonnées locales (z_{1}, …, z_{n}) telles que f(z) = z_{1}^{m_{j}}, où m_{j} est la multiplicité de f le long de la composante Z_{j} qui contient x, et où z_{1} = 0 est une équation locale de Z_{j} près de x. Comme \frac{i}{π} d′d′′ log |z| = mesure de Dirac δ_{0} dans ℂ, nous trouvons \frac{i}{π} d′d′′ log |z_{1}| = [hyperplan z_{1} = 0], donc

\frac{i}{π} d′d′′ log |f| = m_{j} \frac{i}{π} d′d′′ log |z_{1}| = m_{j}[Z_{j}]

au voisinage de x. Ceci montre que l’équation est bien vérifiée sur X ∖ A. Par suite la différence \frac{i}{π} d′d′′ log |f|−[Z_{f}] est un courant fermé de degré 2 à coefficients mesures, dont le support est contenu dans A. Ce courant est nécessairement nul car A est de dimension trop petite pour pouvoir porter son support (A est stratifié en sous-variétés de codimension réelle ⩾ 4, alors que le courant lui-même est de codimension réelle 2).

Pour conclure ce paragraphe, nous abordons maintenant les notions de cohomologie de De Rham et de Dolbeault dans le contexte de la théorie des courants. Une observation de base est que les lemmes de Poincaré et de Dolbeault-Grothendieck sont encore valables pour les courants. De façon précise, si (𝒟^{′q}, d) et (𝒟′(F)^{p,q}, d′′) désignent les complexes de faisceaux des courants de degré q (resp. des courants de bidegrés (p, q) à valeurs dans un fibré vectoriel holomorphe F), on a encore des résolutions de De Rham et de Dolbeault faisceautiques

0 → ℝ → 𝒟^{′•}, 0 → Ω_{X}^{p} ⊗ 𝒪(F) → 𝒟′(F)^{p,•}.

De là il résulte des isomorphismes canoniques

(11.15)  H_{DR}^{q}(M, ℝ) = H^{q}((Γ(M, 𝒟^{′•}), d)),
H^{p,q}(X, F) = H^{q}((Γ(X, 𝒟′(F)^{p,•}), d′′)).

En d’autres termes, on peut attacher une classe de cohomologie {Θ} ∈ H_{DR}^{q}(M, ℝ) à tout courant fermé Θ de degré q, resp. une classe de cohomologie {Θ} ∈ H^{p,q}(X, F) à tout courant d′′-fermé de bidegré (p, q). En remplaçant si nécessaire les courants mis en jeu par des représentants C^{∞} de même classe de cohomologie, on voit qu’il existe un accouplement de cup produit bien défini, donné par le produit extérieur des formes différentielles

\begin{matrix}H^{q_{1}}(M, ℝ) × ⋯ × H^{q_{m}}(M, ℝ) & ⟶ H^{q_{1}+···+q_{m}}(M, ℝ), \\ (\{Θ_{1}\}, …, \{Θ_{1}\}) & ⟼ \{Θ_{1}\} ∧ ⋯ ∧ \{Θ_{m}\}. \end{matrix}

En particulier, si M est une variété compacte orientée et si q_{1} + ⋯ + q_{m} = dim M, on obtient un nombre d’intersection bien défini

{Θ_{1}} · {Θ_{2}} · · · · · {Θ_{m}} = ∫_{M}{Θ_{1}} ∧ ⋯ ∧ {Θ_{m}}.

Notons cependant que le produit ponctuel Θ_{1} ∧ ⋯ ∧ Θ_{m} n’existe pas en général.

11.C. Fibrés vectoriels positifs

Soit (E, h) un fibré vectoriel holomorphe hermitien sur une variété complexe X. Son tenseur de courbure de Chern

Θ(E) = ∑_{1⩽j,k⩽n, 1⩽λ,μ⩽r} c_{jkλμ}dz_{j} ∧ d\overline{z}_{k} ⊗ e_{λ}^{⋆} ⊗ e_{μ}.

peut s’identifier à une forme hermitienne sur T_{X} ⊗ E, à savoir,

(11.16)  Θ̃(E)(ξ ⊗ v) = ∑_{1⩽j,k⩽n, 1⩽λ,μ⩽r} c_{jkλμ}ξ_{j}\overline{ξ}_{k}v_{λ}\overline{v}_{μ},  \overline{c}_{jkλμ} = c_{kjμλ}.

Ceci conduit d’une manière naturelle aux concepts de positivité, en suivant des définitions introduites par Kodaira [Kod53], Nakano [Nak55] et Griffiths [Gri66].

11.17. Définition. Le fibré vectoriel holomorphe hermitien E est dit

a) positif au sens de Nakano si :

Θ̃(E)(τ) > 0 pour tout tenseur non nul τ = ∑ τ_{jλ}∂/∂z_{j} ⊗ e_{λ} ∈ T_{X} ⊗ E.

b) positif au sens de Griffiths si :

Θ̃(E)(ξ ⊗ v) > 0 pour tout tenseur décomposable non nul ξ ⊗ v ∈ T_{X} ⊗ E;

Les concepts de semi-positivité correspondants sont définis en relâchant les inégalités strictes en des inégalités larges.

11.18. Cas particulier des fibrés de rang 1. Supposons que E soit un fibré en droites. La matrice hermitienne H = (h_{11}) associée à une trivialisation τ : E_{↾Ω} ≃ Ω × ℂ est alors simplement une fonction positive, et il sera commode de la noter e^{−2φ}, φ ∈ C^{∞}(Ω, ℝ). Dans ce cas, la forme de courbure Θ(E) peut s’identifier à la (1, 1)-forme 2d′d′′φ, et

\frac{i}{2π} Θ(E) = \frac{i}{π} d′d′′φ = dd^{c}φ où d^{c} = \frac{i}{2π} (d′′ − d′)

est une (1, 1)-forme réelle. Donc E est semi-positif (au sens de Nakano ou au sens de Griffiths) si et seulement si φ est psh, resp. positif si et seulement si φ est strictement psh. Dans ce contexte, l’équation de Lelong-Poincaré peut se généraliser comme suit : soit σ ∈ H^{0}(X, E) une section holomorphe non nulle. Alors

(11.19)  dd^{c} log ∥σ∥ = [Z_{σ}] − \frac{i}{2π} Θ(E).

La Formule (11.19) est immédiate si on écrit ∥σ∥ = |τ(σ)|e^{−φ} et si on applique l’équation de Lelong-Poincaré à la fonction holomorphe f = τ(σ). Comme nous le verrons plus tard, il est important pour les applications de considérer aussi le cas de métriques hermitiennes singulières (cf. [Dem90b]).

11.20. Définition. Une métrique (hermitienne) singulière sur un fibré en droites E est une métrique donnée dans toute trivialisation τ : E_{↾Ω} ⟶^{≃} Ω × ℂ par

∥ξ∥ = |τ(ξ)| e^{−φ(x)}, x ∈ Ω, ξ ∈ E_{x}

où φ ∈ L_{loc}^{1}(Ω) est une fonction arbitraire, appelée poids de la métrique par rapport à la trivialisation τ.

Si τ′ : E_{↾Ω′} → Ω′ × ℂ est une autre trivialisation, φ′ le poids associé et g ∈ 𝒪^{⋆}(Ω ∩ Ω′) la fonction de transition, alors τ′(ξ) = g(x) τ(ξ) pour tout ξ ∈ E_{x}, donc φ′ = φ + log |g| sur Ω ∩ Ω′. La forme de courbure de E est alors donnée formellement par le courant de bidegré (1, 1) \frac{i}{π} Θ(E) = dd^{c}φ sur Ω ; l’hypothèse φ ∈ L_{loc}^{1}(Ω) garantit que Θ(E) existe au sens des distributions. Comme dans le cas C^{∞}, la forme \frac{i}{π} Θ(E) est globalement définie sur X et indépendante du choix des trivialisations, et sa classe de cohomologie de De Rham est l’image de la première classe de Chern c_{1}(E) ∈ H^{2}(X, ℤ) dans H_{DR}^{2}(X, ℝ). Avant d’aller plus loin, nous discutons deux exemples fondamentaux.

11.21. Exemple. Soit D = ∑ α_{j}D_{j} un diviseur à coefficients α_{j} ∈ ℤ et soit E = 𝒪(D) le faisceau inversible associé, défini comme le faisceau des fonctions méromorphes u telles que div(u) + D ⩾ 0 ; le fibré en droites correspondant peut alors être muni de la métrique singulière définie par ∥u∥ = |u| (module de la fonction méromorphe u). Si g_{j} est un générateur de l’idéal de D_{j} sur un ouvert Ω ⊂ X, alors τ(u) = u ∏ g_{j}^{α_{j}} définit une trivialisation de 𝒪(D) sur Ω, donc notre métrique singulière est associée au poids φ = ∑ α_{j} log |g_{j}|. L’équation de Lelong-Poincaré implique

\frac{i}{π} Θ(𝒪(D)) = dd^{c}φ = [D],

où [D] = ∑ α_{j}[D_{j}] désigne le courant d’intégration sur D.

11.22. Exemple. Supposons que σ_{1}, …, σ_{N} soient des sections holomorphes non nulles de E. On peut alors définir un métrique hermitienne naturelle (éventuellement singulière) sur E^{⋆}, en posant

∥ξ^{⋆}∥^{2} = ∑_{1⩽j⩽n} |ξ^{⋆}.σ_{j}(x)|^{2} pour ξ^{⋆} ∈ E_{x}^{⋆}.

La métrique duale de E est donnée par

∥ξ∥^{2} = \frac{|τ(ξ)|^{2}}{|τ(σ_{1}(x))|^{2} + ⋯ + |τ(σ_{N}(x))|^{2}}

par rapport à toute trivialisation locale τ. La fonction poids associée est donc donnée par φ(x) = log ( ∑_{1⩽j⩽N} |τ(σ_{j}(x))|^{2})^{1/2}. Dans ce cas φ est une fonction psh, donc i Θ(E) est un courant positif fermé. Notons Σ le système linéaire défini par σ_{1}, …, σ_{N} et B_{Σ} = ⋂ σ_{j}^{−1}(0) son ensemble base. On a une application méromorphe

Φ_{Σ} : X ∖ B_{Σ} → ℙ^{N−1}, x ↦ [σ_{1}(x) : σ_{2}(x) : ⋯: σ_{N}(x)].

Avec ces notations, la courbure \frac{i}{2π} Θ(E) restreinte à X ∖ B_{Σ} s’identifie à l’imageinverse par Φ_{Σ} de la métrique de Fubini-Study ω_{FS} = \frac{i}{2π} d′d′′ log(|z_{1}|^{2}+⋯+|z_{N}|^{2}) sur ℙ^{N−1}. Elle est donc semi-positive.

11.23. Fibrés en droites amples et très amples. Un fibré en droites holomorphe E sur une variété complexe compacte X est dit

a) très ample si l’application Φ_{|E|} : X → ℙ^{N−1} associée au système linéaire complet |E| = ℙ(H^{0}(X, E)) est un plongement régulier (ceci sous-entend en particulier que l’ensemble base est vide, i.e. B_{|E|} = ∅).

b) ample s’il existe un multiple mE, m > 0, qui soit très ample.

Nous utilisons ici une notation additive pour Pic(X) = H^{1}(X, 𝒪^{⋆}), le symbole mE désigne donc le fibré en droites E^{⊗m}. Grâce à l’exemple 11.22, tout fibré en droites ample E a une métrique hermitienne de classe C^{∞} ayant une forme de courbure définie positive ; en effet, si le système linéaire |mE| donne un plongement dans l’espace projectif, alors on obtient une métrique hermitienne de classe C^{∞} sur E^{⊗m}, et la racine m-ième donne une métrique sur E telle que \frac{i}{2π} Θ(E) = \frac{1}{m}Φ_{|mE|}^{⋆}ω_{FS}. Inversement, le théorème de plongement de Kodaira [Kod54] nous dit que tout fibré en droites positif E est ample (voir l’exercice 15.11 pour une preuve analytique directe de ce théorème fondamental).

12. Théorie de Hodge des variétés kählériennes complètes

Le but de cette section est essentiellement d’étendre au cas des variétés kählériennes complètes les résultats de théorie de Hodge déjà démontrés dans le cas compact.

12.A. Variétés riemanniennes complètes

Avant de traiter de la situation complexe, nous aurons besoin de quelques considérations générales sur la théorie de Hodge des variétés riemanniennes complètes. Rappelons qu’une variété riemannienne (M, g) est dite complète si la distance géodésique δ_{g} est complète, ou, ce qui revient au même (lemme de Hopf-Rinow ci-dessous), si les boules géodésiques fermées sont toutes compactes. Nous aurons besoin plus précisément de la caractérisation suivante.

12.1. Lemme (Hopf-Rinow). Les propriétés suivantes sont équivalentes:

a) (M, g) est complète ;

b) les boules géodésiques fermées \overline{B}_{g}(a, r) sont compactes ;

c) il existe une fonction exhaustive ψ ∈ C^{∞}(M, ℝ) telle que |dψ|_{g} ⩽ 1 ;

d) il existe dans M une suite exhaustive (K_{ν})_{ν∈ℕ} de compacts et des fonctions θ_{ν} ∈ C^{∞}(M, ℝ) telles que

θ_{ν} = 1 sur un voisinage de K_{ν}, Supp θ_{ν} ⊂ K_{ν+1}^{∘},
0 ⩽ θ_{ν} ⩽ 1 et |dθ_{ν}|_{g} ⩽ 2^{−ν}.

Preuve. a) ⟹ b). Le point x étant fixé, on note r_{0} = r_{0}(x) le sup des réels r > 0 tels que \overline{B}_{g}(a, r) soit compacte. Supposons r_{0} < +∞. Etant donné une suite de points (x_{ν}) dans \overline{B}_{g}(a, r_{0}) et ε > 0, on choisit une suite de points x_{ν,ε} ∈ \overline{B}(a, r_{0}−ε) telle que δ_{g}(x_{ν}, x_{ν,ε}) < 2ε. Par compacité de \overline{B}_{g}(a, r_{0}−ε), on peut extraire de (x_{ν,ε} une sous-suite convergente pour chaque ε > 0. Grâce à un procédé diagonal, on voit facilement qu’on peut extraire de (x_{ν}) une sous-suite de Cauchy. Par conséquent cette suite converge et \overline{B}_{g}(a, r_{0}) est compacte. La locale compacité de M implique que \overline{B}_{g}(a, r_{0} + η) est encore compacte pour η > 0 assez petit, ce qui est une contradiction si r_{0} < +∞.

b) ⟹ c). Supposons M connexe. Choisissons un point x_{0} ∈ M et posons ψ_{0}(x) = \frac{1}{2}δ(x_{0}, x). Alors ψ_{0} est exhaustive, et c’est une fonction lipschitzienne de rapport \frac{1}{2}, donc ψ_{0} est différentiable presque partout sur M. On obtient la fonction ψ cherchée par régularisation.

c) ⟹ d). Soit ψ comme dans a) et soit ρ ∈ C^{∞}(ℝ, ℝ) une fonction telle que ρ = 1 sur ] − ∞, 1.1], ρ = 0 sur [1.99, +∞[ and 0 ⩽ ρ′ ⩽ 2 sur [1, 2]. Alors

K_{ν} = {x ∈ M ; ψ(x) ⩽ 2^{ν+1}}, θ_{ν}(x) = ρ(2^{−ν−1}ψ(x))

vérifient les propriétés annoncées.

d) ⟹ c). Poser ψ = ∑ 2^{ν−1}(1 − θ_{ν}).

c) ⟹ b). L’inégalité |dψ|_{g} ⩽ 1 implique |ψ(x) − ψ(y)| ⩽ δ_{g}(x, y) pour tous x, y ∈ M, donc la boule géodésique \overline{B}_{g}(a, r) ⊂ \{x ∈ M ; δ_{g}(x, a) ⩽ ψ(a) + r\} est relativement compacte. b) ⟹ a). C’est évident !

Soit (M, g) une variété riemannienne, non nécessairement complète pour l’instant, et E un fibré vectoriel hermitien sur M muni d’une connexion hermitienne D. On considére l’opérateur non borné entre espaces de Hilbert encore noté D

D : L^{2}(M, Λ^{p}T_{M}^{⋆} ⊗ E) ⟶ L^{2}(M, Λ^{p+1}T_{M}^{⋆} ⊗ E),

dont le domaine Dom D est défini comme suit : une section u ∈ L^{2} est dite être dans Dom D si Du calculé au sens des distributions est encore dans L^{2}. Le domaine ainsi défini est toujours dense dans L^{2}, car Dom D contient l’espace 𝒟(M, Λ^{p}T_{M}^{⋆}E) des sections C^{∞} à support compact, qui est lui-même dense dans L^{2}. De plus, l’opérateur D ainsi défini, bien que non borné, est fermé, c’est-à-dire que que son graphe est fermé ; cela résulte aussitôt du fait que les opérateurs différentiels sont continus pour la topologie faible des distributions. L’adjoint formel D^{⋆} admet de même une extension en un opérateur fermé

D^{⋆} : L^{2}(M, Λ^{p+1}T_{M}^{⋆} ⊗ E) ⟶ L^{2}(M, Λ^{p}T_{M}^{⋆} ⊗ E).

Des résultats élémentaires bien connus de théorie spectrale dûs à Von Neumann garantissent par ailleurs l’existence d’un opérateur D_{ℋ}^{⋆} fermé à domaine dense, appelé adjoint hilbertien de D, défini comme suit : un élément v ∈ L^{2}(M, Λ^{p+1}T_{M}^{⋆} ⊗ E) est dans Dom D_{ℋ}^{⋆} si la forme linéaire L^{2} → ℂ, u ↦ ⟨⟨Du, v⟩⟩ est continue ; elle s’écrit alors u ↦ ⟨⟨u, w⟩⟩ pour un unique élément w ∈ L^{2}(M, Λ^{p}T_{M}^{⋆} ⊗ E). On pose D_{ℋ}^{⋆} v = w, de sorte que D_{ℋ}^{⋆} est défini par la relation habituelle d’adjonction

⟨⟨Du, v⟩⟩ = ⟨⟨u, D_{ℋ}^{⋆} v⟩⟩ ∀u ∈ Dom D.

(Noter que l’adjoint formel D^{⋆}, lui, est défini en exigeant seulement la validité de cette relation pour u ∈ 𝒟(M, Λ^{p}T_{M}^{⋆} ⊗ E)). Il est clair qu’on a toujours Dom D_{ℋ}^{⋆} ⊂ Dom D^{⋆} et que D_{ℋ}^{⋆} = D^{⋆} sur Dom D_{ℋ}^{⋆} ; en général, néanmoins, les domaines sont distincts (c’est le cas par exemple si M =]0, 1[, g = dx^{2}, D = d/dx !). Une observation fondamentale est que ce phénomène ne peut se produire si la métrique riemannienne g est complète.

12.2. Proposition. Si la variété (M, g) est \underline{complète}, alors :

a) L’espace 𝒟(M, Λ^{•}T_{M}^{⋆}E) est dense dans Dom D, Dom D^{⋆} et Dom D ∩ Dom D^{⋆} respectivement, pour les normes des graphes

u ↦ ∥u∥ + ∥Du∥, u ↦ ∥u∥ + ∥D^{⋆}u∥, u ↦ ∥u∥ + ∥Du∥ + ∥D^{⋆}u∥.

b) D_{ℋ}^{⋆} = D^{⋆} (i.e. les deux domaines coïncident), et D_{ℋ}^{⋆⋆} = D^{⋆⋆} = D.

c) Soit Δ = DD^{⋆} + D^{⋆}D le laplacien calculé au sens des distributions. Pour tout u ∈ Dom Δ ⊂ L^{2}(M, Λ^{•}T_{M}^{⋆}E), on a ⟨u, Δu⟩ = ∥Du∥^{2} + ∥D^{⋆}u∥^{2} . En particulier

Dom Δ ⊂ Dom D ∩ Dom D^{⋆}, Ker Δ = Ker D ∩ Ker D^{⋆},

et Δ est auto-adjoint.

d) Si D^{2} = 0, il y a une décomposition orthogonale

L^{2}(M, Λ^{•}T_{M}^{⋆}E) = ℋ_{L^{2}}^{•}(M, E) ⊕ \overline{Im D} ⊕ \overline{Im D^{⋆}},
Ker D = ℋ_{L^{2}}^{•}(M, E) ⊕ \overline{Im D},

où ℋ_{L^{2}}^{•}(M, E) = {u ∈ L^{2}(M, Λ^{•}T_{M}^{⋆} ⊗ E) ; Δu = 0} est l’espace des formes harmoniques L^{2} sur M.

Preuve. a) Il faut montrer par exemple que tout élément u ∈ Dom D peut être approximé pour la norme du graphe de D par des formes C^{∞} à support compact. Par hypothèse, u et Du sont dans L^{2}. Soit (θ_{ν}) une suite de fonctions tronquantes comme dans le lemme 12.1 d). Alors θ_{ν}u → u dans L^{2}(M, Λ^{•}T_{M}^{⋆} ⊗ E) et D(θ_{ν}u) = θ_{ν}Du + dθ_{ν} ∧ u où

|dθ_{ν} ∧ u| ⩽ |dθ_{ν}| |u| ⩽ 2^{−ν}|u|.

Par suite dθ_{ν} ∧ u → 0 et D(θ_{ν}u) → Du. Après avoir remplacé u par θ_{ν}u, on peut supposer que u est à support compact, et à l’aide d’une partition de l’unité, on se ramène au cas où Supp u est contenu dans une carte de coordonnées de M sur laquelle E est trivial. Soit (ρ_{ε}) une famille de noyaux régularisants. Un lemme classique en théorie des EDP (lemme de Friedrichs), montre que pour tout opérateur différentiel P d’ordre 1 à coefficients de classe C^{1} on a ∥P (ρ_{ε} ⋆ u) − ρ_{ε}P u∥_{L^{2}} → 0 lorsque ε tend vers 0 (u étant une section L^{2} à support compact dans la carte considérée). En appliquant ce lemme à P = D, P = D^{⋆} respectivement, on déduit les propriétés de densité voulues.

b) est équivalent au fait que

⟨⟨Du, v⟩⟩ = ⟨⟨u, D^{⋆}v⟩⟩, ∀u ∈ Dom D, ∀v ∈ Dom D^{⋆}.

Or, d’après a), on peut trouver u_{ν}, v_{ν} ∈ 𝒟(M, Λ^{•}T_{M}^{⋆} ⊗ E) tels que

u_{ν} → u, v_{ν} → v, Du_{ν} → Du et D^{⋆}v_{ν} → D^{⋆}v dans L^{2}(M, Λ^{•}T_{M}^{⋆} ⊗ E).

L’égalité cherchée est alors la limite des égalités ⟨⟨Du_{ν}, v_{ν}⟩⟩ = ⟨⟨u_{ν}, D^{⋆}v_{ν}⟩⟩.

c) Soit u ∈ Dom Δ. Comme Δu ∈ L^{2} et que Δ est un opérateur elliptique d’ordre 2, on obtient u ∈ W_{loc}^{2} grâce à la version locale de l’inégalité de Gårding. En particulier Du, D^{⋆}u ∈ W_{loc}^{1} ⊂ L_{loc}^{2} et nous pouvons effectuer toutes les intégrations par parties que nous voulons après avoir multiplié les formes mises en jeu par des fonctions C^{∞} à support compact θ_{ν}. Des calculs simples donnent alors

∥θ_{ν}Du∥^{2} + ∥θ_{ν}D^{⋆}u∥^{2} = = ⟨⟨θ_{ν}^{2}Du, Du⟩⟩ + ⟨⟨u, D(θ_{ν}^{2}D^{⋆}u)⟩⟩ = ⟨⟨D(θ_{ν}^{2}u), Du⟩⟩ + ⟨⟨u, θ_{ν}^{2}DD^{⋆}u⟩⟩ − 2⟨⟨θ_{ν}dθ_{ν} ∧ u, Du⟩⟩ + 2⟨⟨u, θ_{ν}dθ_{ν} ∧ D^{⋆}u⟩⟩ = ⟨⟨θ_{ν}^{2}u, Δu⟩⟩ − 2⟨⟨dθ_{ν} ∧ u, θ_{ν}Du⟩⟩ + 2⟨⟨u, dθ_{ν} ∧ (θ_{ν}D^{⋆}u)⟩⟩ ⩽ ⟨⟨θ_{ν}^{2}u, Δu⟩⟩ + 2^{−ν}(2∥θ_{ν}Du∥ ∥u∥ + 2∥θ_{ν}D^{⋆}u∥ ∥u∥)

⩽ ⟨⟨θ_{ν}^{2}u, Δu⟩⟩ + 2^{−ν}(∥θ_{ν}Du∥^{2} + ∥θ_{ν}D^{⋆}u∥^{2} + 2∥u∥^{2}).

Par conséquent

∥θ_{ν}Du∥^{2} + ∥θ_{ν}D^{⋆}u∥^{2} ⩽ \frac{1}{1 − 2^{−ν}} (⟨⟨θ_{ν}^{2}u, Δu⟩⟩ + 2^{1−ν}∥u∥^{2}).

En faisant tendre ν vers +∞, on obtient ∥Du∥^{2}+∥D^{⋆}u∥^{2} ⩽ ⟨⟨u, Δu⟩⟩, en particulier Du, D^{⋆}u sont dans L^{2}. Ceci implique

⟨⟨u, Δv⟩⟩ = ⟨⟨Du, Dv⟩⟩ + ⟨⟨D^{⋆}u, D^{⋆}v⟩⟩, ∀u, v ∈ Dom Δ,

parce que l’égalité a lieu pour θ_{ν}u et v, et parce que nous avons θ_{ν}u → u, D(θ_{ν}u) → Du et D^{⋆}(θ_{ν}u) → D^{⋆}u dans L^{2}. Il en résulte que Δ est auto-adjoint.

d) Si P est un opérateur fermé à domaine dense sur un espace de Hilbert ℋ, alors Ker P et fermé et Ker P^{⋆} = (Im P)^{⊥}. Par suite (Ker P^{⋆})^{⊥} = (Im P)^{⊥⊥} = \overline{Im P}. Comme Ker P^{⋆} est lui aussi fermé il vient

ℋ = Ker P^{⋆} ⊕ (Ker P^{⋆})^{⊥} = Ker P^{⋆} ⊕ \overline{Im P} .

Ce résultat appliqué à P = Δ donne

ℋ_{L^{2}}^{•}(M, E) = Ker Δ ⊕ \overline{Im Δ},

et il est clair d’après (12.2 c) que Im Δ ⊂ Im D ⊕ Im D^{⋆}. Mais par ailleurs, on voit facilement que Ker Δ, \overline{Im D} et \overline{Im D^{⋆}} sont deux à deux orthogonaux en utilisant (12.2 a,c). La propriété d) s’ensuit comme dans le cas où M est compacte.

12.3. Définition. Etant donné une variété riemannienne (M, g) et un fibré hermitien E muni d’une connexion hermitienne plate D, on note H_{DR, L^{2}}^{p}(M, E) les groupes de cohomologie de De Rham L^{2}, à savoir les groupes de cohomologie du complexe (K^{•}, D) défini par

K^{p} = {u ∈ L^{2}(M, Λ^{p}T_{M}^{⋆} ⊗ E) ; Du ∈ L^{2}}.

En d’autres termes, on a H_{DR, L^{2}}^{p}(M, E) = Ker D/ Im D où D est l’extension L^{2} de la connexion, calculée au sens des distributions. Comme ℋ_{L^{2}}^{p}(M, E) = Ker D/\overline{Im D} d’après (12.2 d), il s’ensuit :

12.4. Proposition. On a un isomorphisme canonique

ℋ_{L^{2}}^{p}(M, E) ≃ H_{DR, L^{2}}^{p}(M, E)_{sep}

entre ℋ_{L^{2}}^{p}(M, E) et l’espace séparé associé à la cohomologie de De Rham L^{2}.

En général l’espace H_{DR, L^{2}}^{p}(M, E) n’est pas toujours séparé, mais il l’est dans le cas important où la cohomologie L^{2} est de dimension finie :

12.5. Corollaire. Si (M, g) est complète et si H_{DR, L^{2}}^{p}(M, E) est de dimension finie, alors cet espace est séparé et on a un isomorphisme canonique

ℋ_{L^{2}}^{p}(M, E) ≃ H_{DR, L^{2}}^{p}(M, E).

Preuve. L’espace K^{p} peut être considéré comme un espace de Hilbert pour la norme u ↦ (∥u∥_{L^{2}} + ∥Du∥_{L^{2}})^{1/2}. Il s’agit de voir que Im D = D(K^{p−1}) est fermé dans Ker D, Ker D étant lui-même fermé dans K^{p}. Or D : K^{p−1} → Ker D est continu et son image est de codimension finie par hypothèse. Le fait que l’image soit fermée est alors une conséquence directe du théorème de Banach.

12.6. Remarque. Pour la cohomologie de De Rham L^{2}, on peut observer qu’on obtient des groupes de cohomologie identiques en travaillant avec le sous-complexe des formes C^{∞} globalement L^{2}, c’est-à-dire

K̃^{p} = {u ∈ C^{∞}(M, Λ^{p}T_{M}^{⋆} ⊗ E) ; u ∈ L^{2} et Du ∈ L^{2}} ⊂ K^{p}.

Pour cela, il suffit de construire un opérateur K̃^{•} → K^{•} qui soit un inverse homotopique de l’inclusion ; ceci peut se faire en utilisant une régularisation par des flots de champs de vecteurs tendant vers 0 suffisamment vite à l’infini.

12.B. Cas des variétés hermitiennes et kählériennes complètes

Les résultats précédents admettent bien entendu des analogues complexes, avec des démonstrations quasiment identiques (les détails seront donc laissés au lecteur). On dira qu’une variété hermitienne ou kählérienne (X, ω) est complète si la variété riemannienne sous-jacente est complète.

12.7. Proposition. Soit (X, ω) une variété hermitienne complète et E un fibré holomorphe hermitien sur X. Il y a un isomorphisme canonique

ℋ_{L^{2}}^{p,q}(M, E) ≃ H_{L^{2}}^{p,q}(M, E)_{sep}

entre l’espace des formes harmoniques L^{2} et le groupe de cohomologie de Dolbeault L^{2} séparé, ce dernier espace étant lui-même égal à H_{L^{2}}^{p,q}(M, E) si la cohomologie de Dolbeault est de dimension finie.

12.8. Corollaire. Soit (X, ω) une variété kählérienne et E un fibré hermitien plat sur X.

a) Sans autre hypothèse, on a pour tout k une décomposition orthogonale

ℋ_{L^{2}}^{k}(M, E) = ⨁_{p+q=k} ℋ_{L^{2}}^{p,q}(M, E), \overline{ℋ_{L^{2}}^{p,q}(M, E)} = ℋ_{L^{2}}^{q,p}(M, E^{⋆}).

b) Si de plus (X, ω) est complète, il y a des isomorphismes canoniques

H_{L^{2}}^{k}(M, E)_{sep} ≃ ⨁_{p+q=k} H_{L^{2}}^{p,q}(M, E)_{sep}, \overline{H_{L^{2}}^{p,q}(M, E)_{sep}} ≃ H_{L^{2}}^{q,p}(M, E^{⋆})_{sep}.

c) Si (X, ω) est complète, et si les groupes de cohomologie de De Rham et de Dolbeault L^{2} sont de dimension finie, on a des isomorphismes canoniques

H_{L^{2}}^{k}(M, E) ≃ ⨁_{p+q=k} H_{L^{2}}^{p,q}(M, E), \overline{H_{L^{2}}^{p,q}(M, E)} ≃ H_{L^{2}}^{q,p}(M, E^{⋆}).

12.C. Théorie de Hodge des variétés kählériennes faiblement pseudoconvexes

Les variétés kählériennes faiblement pseudoconvexes fournissent un exemple important de variétés kählériennes complètes.

12.9. Définition. Une variété complexe X est dite faiblement pseudoconvexe s’il existe une fonction d’exhaustion psh ψ de classe C^{∞} sur X (rappelons qu’une fonction ψ est dite exhaustive si pour tout c > 0 l’ensemble de sous-niveau X_{c} = ψ^{−1}(c) est relativement compact, i.e. ψ(z) tend vers +∞ quand z tend vers l’infini suivant le filtre des complémentaires de parties compactes de X).

En particulier, les variétés complexes compactes X sont faiblement pseudoconvexes (prendre ψ = 0), de même que les variétés de Stein, par exemple les sous-variétés algébriques affines de ℂ^{N} (prendre ψ(z) = |z|^{2}), les boules ouvertes X = B(z_{0}, r) (prendre ψ(z) = 1/(r − |z − z_{0}|^{2})), les ouverts convexes, etc. Une observation de base est la suivante :

12.10. Proposition. Toute variété kählérienne (X, ω) faiblement pseudoconvexe possède une métrique kählérienne complète ω̂.

Preuve. Pour toute fonction convexe croissante χ ∈ C^{∞}(ℝ, ℝ), nous considérons (1, 1)-forme fermée

ω_{χ} = ω + i d′d′′(χ ∘ ψ) = ω + χ′(ψ) i d′d′′ψ + χ′′(ψ) i d′ψ ∧ d′′ψ.

Comme les trois termes sont positifs ou nuls, c’est une métrique kählérienne. La présence du troisième terme implique que la norme de χ′′(ψ)^{1/2}dψ par rapport à ω_{χ} est inférieure ou égale à 1, donc si ρ est une primitive de (χ′′)^{1/2} nous avons |d(ρ ∘ ψ)|_{ω_{χ}} ⩽ 1. D’après (12.1 c), ω_{χ} sera complète dès que ρ ∘ ψ est exhaustive, c’est-à-dire dès que lim_{+∞} ρ(t) = +∞. On obtient donc la condition suffisante

∫_{t_{0}}^{+∞} χ′′(t)^{1/2}dt = +∞,

qui est réalisée par exemple pour le choix χ(t) = t^{2} ou χ(t) = t − log t, t ⩾ 1.

Nous allons maintenant établir un théorème de décomposition de Hodge pour des variétés kählériennes faiblement pseudoconvexes ayant “suffisamment de directions strictement pseudoconvexes”. Suivant Andreotti-Grauert [AG62], nous introduisons la :

12.11. Définition. Une variété complexe X sera dite ℓ-convexe (resp. absolument ℓ-convexe) si X possède une fonction d’exhaustion (resp. une fonction d’exhaustion \underline{psh}) ψ qui est fortement ℓ-convexe sur le complémentaire X ∖ K d’une partie compacte, i.e. telle que i d′d′′ψ a au moins n − ℓ + 1 valeurs propres positives en tout point de X ∖ K, où n = dim_{ℂ} X.

12.12. Exemple. Soit \overline{X} une variété projective lisse telle qu’il existe un morphisme surjectif F : \overline{X} → \overline{Y} sur une autre variété projective lisse \overline{Y}. Soit D un diviseur de \overline{Y} et soient X = \overline{X} ∖ F^{−1}(D), Y = \overline{Y} ∖ D. On suppose que F induit une submersion \overline{X} ∖ F^{−1}(D) → \overline{Y} ∖ D et que 𝒪(D)_{↾D} est ample. Alors X est absolument ℓ-convexe pour ℓ = dim X −dim Y +1. En effet, l’hypothèse d’amplitude de 𝒪(D)_{↾D} entraîne qu’il existe une métrique hermitienne sur 𝒪(D) dont la courbure est définie positive au voisinage de D, c’est-à-dire sur un ouvert de la forme \overline{Y} ∖ K′ où K′ est une partie compacte de \overline{Y} ∖ D. Soit σ ∈ H^{0}(\overline{Y} , 𝒪(D)) la section canonique de diviseur D. Alors − log |σ|^{2} est fortement psh sur Y ∖ K′, par suite ψ = − log |σ ∘ F |^{2} est psh et fortement ℓ-convexe sur X ∖ K, où K = F^{−1}(K′). Par ailleurs, ψ définit clairement une exhaustion de X. On ne sait rien de ψ sur K, mais il suffit de tronquer ψ en prenant un maximum régularisé ψ_{C} = max_{ε}(ψ, C) avec une constante C > sup_{K} ψ pour obtenir une fonction ψ_{C} partout psh sur X.

Nous pouvons maintenant énoncer le théorème de décomposition de Hodge pour les variétés absolument ℓ-convexes. Ce résultat est dû à T. Ohsawa [Ohs81, 87] ; nous en présentons ici une démonstration simplifiée décrite dans [Dem90a]. Une approche purement algébrique de ces résultats a été proposée par Bauer-Kosarew [BaKo89, 91] et [Kos91].

12.13. Théorème (Ohsawa [Ohs81, 87], [OT88]). Soit (X, ω) une variété kählérienne et n = dim_{ℂ} X. On suppose que X est absolument ℓ-convexe. Alors, en des degrés convenables, il y a décomposition et symétrie de Hodge:

\begin{matrix}H_{DR}^{k}(X, ℂ) ≃ ⨁_{p+q=k} H^{p,q}(X, ℂ), \overline{H^{p,q}(X, ℂ)} ≃ H^{q,p}(X, ℂ), k ⩾ n + ℓ, \\ H_{DR, c}^{k}(X, ℂ) ≃ ⨁_{p+q=k} H_{c}^{p,q}(X, ℂ), \overline{H_{c}^{p,q}(X, ℂ)} ≃ H_{c}^{q,p}(X, ℂ), k ⩽ n − ℓ, \end{matrix}

tous ces groupes étant de dimension finie. (H_{DR, c}^{k}(X, ℂ) et H_{c}^{p,q}(X, ℂ) désignent ici les groupes de cohomologie à support compact). De plus, on a un isomorphisme de Lefschetz

ω^{n−p−q} ∧ • : H_{c}^{p,q}(X, ℂ) ⟶ H^{n−q,n−p}(X, ℂ), p + q ⩽ n − ℓ.

Preuve. La finitude des groupes de cohomologie de De Rham mis en jeu s’obtient facilement au moyen de la théorie de Morse. Rappelons brièvement l’argument : une petite perturbation convenable d’une exhaustion fortement ℓ-convexe donne une fonction de Morse ψ qui est encore fortement ℓ-convexe sur le complémentaire X ∖ K d’un compact ; le Hessien réel D^{2}ψ de ψ en un point critique induit une forme hermitienne sur l’espace tangent complexifié ℂ ⊗ T_{X}, et sa restriction à T_{X}^{1,0} s’identifie au Hessien complexe i d′d′′ψ ; comme le Hessien complexe a par hypothèse au moins n − ℓ + 1 valeurs propres positives sur X ∖ K, il en résulte que D^{2}ψ a au plus 2n−(n−ℓ+1) = n+ℓ−1 valeurs propres négatives sur X ∖K, sans quoi les espaces propres positifs et négatifs de D^{2}ψ auraient une intersection non triviale. Par suite tous les points critiques d’indice ⩾ n + ℓ sont situés dans K et leur nombre est fini. Ceci entraîne que les groupes H_{DR}^{k}(X, ℂ) de degré k ⩾ n + ℓ sont de dimension finie. La finitude des groupes de cohomologie de Dolbeault H^{p,q}(X, ℂ) = H^{q}(X, Ω_{X}^{p}) résulte quant à elle du théorème d’Andreotti-Grauert [AG62] (tous les groupes de cohomologie de degré supérieur à ℓ à valeurs dans un faisceau cohérent quelconque sont séparés et de dimension finie si la variété est ℓconvexe). On notera toutefois que la ℓ-convexité, bien que suffisante pour assurer la finitude des différents groupes mis en jeu, ne suffit pas à garantir l’existence d’une décomposition de Hodge, ni même la symétrie de Hodge ; le lecteur trouvera un contre-exemple simple dans Grauert-Riemenschneider [GR70].

Soit maintenant ω une métrique kählérienne sur X et ψ une fonction d’exhaustion psh fortement ℓ-convexe sur X ∖ K. Comme on va le voir, l’existence d’une décomposition de Hodge résulte directement du fait qu’on a une telle décomposition pour les formes harmoniques L^{2}. Le point-clé réside dans l’observation que toute forme L_{loc}^{2} de degré k ⩾ n + ℓ devient globalement L^{2} pour un choix convenable de métrique ω_{χ} = ω + i d′d′′(χ ∘ ψ) ; les groupes H_{DR}^{k}(X, ℂ) et H^{p,q}(X, ℂ) pourront alors être considérés comme des limites inductives de groupes de cohomologie L^{2}. Dans la suite, on désignera par des notations telles que L_{ω_{χ}}^{2}(X, Λ^{p,q}T_{X}^{⋆}), ℋ_{L^{2}, ω_{χ}}^{p,q}(X, ℂ) les espaces de formes (resp. de formes harmoniques) L^{2} relativement à ω_{χ}. Puisque ω_{χ} est kählérienne, on a

(12.14) ℋ_{L^{2},ω_{χ}}^{k}(M, ℂ) = ⨁_{p+q=k} ℋ_{L^{2},ω_{χ}}^{p,q}(M, ℂ), \overline{ℋ_{L^{2},ω_{χ}}^{p,q}(M, ℂ)} = ℋ_{L^{2},ω_{χ}}^{q,p}(M, ℂ),

avec un isomorphisme ℋ_{L^{2},ω_{χ}}^{k}(M, ℂ) ≃ H_{L^{2},ω_{χ}}^{k}(M, ℂ)_{sep} dès lors que ω_{χ} est complète. Dans la suite, on supposera toujours que ω_{χ} est complète, il suffit d’imposer par exemple χ′′(t) ⩾ 1 sur [0, +∞[.

12.15. Lemme. Soit u une forme de bidegré (p, q) à coefficients L_{loc}^{2} sur X. Si p + q ⩾ n + ℓ, alors u ∈ L_{ω_{χ}}^{2}(X, Λ^{p,q}T_{X}^{⋆}) dès que χ croît suffisamment vite à infini.

Preuve. En un point x ∈ X fixé, il existe une base orthogonale (∂/∂z_{1}, …, ∂/∂z_{n}) de T_{X,x} dans laquelle

ω(x) = i ∑_{1⩽j⩽n} dz_{j} ∧ d\overline{z}_{j}, ω_{χ}(x) = i ∑_{1⩽j⩽n} λ_{j}(x) dz_{j} ∧ d\overline{z}_{j},

où λ_{1} ⩽ ⋯ ⩽ λ_{n} sont les valeurs propres de ω_{χ} par rapport à ω. Alors les éléments de volume dV_{ω} = ω^{n}/2^{n}n! et dV_{ω_{χ}} = ω_{χ}^{n}/2^{n}n! sont liés par la relation

dV_{ω_{χ}} = λ_{1} ⋯ λ_{n} dV_{ω}

et pour une (p, q)-forme u = ∑_{I,J} u_{I,J}dz_{I} ∧ d\overline{z}_{J} on trouve

|u|_{ω_{χ}}^{2} = ∑_{|I|=p,|J|=q} ( ∏_{k∈I} λ_{k} ∏_{k∈J} λ_{k})^{−1}|u_{I,J}|^{2}.

Il en résulte en particulier

|u|_{ω_{χ}}^{2}dV_{ω_{χ}} ⩽ \frac{λ_{1} ⋯ λ_{n}}{λ_{1} ⋯ λ_{p} λ_{1} ⋯ λ_{q}} |u|_{ω}^{2}dV_{ω} = \frac{λ_{p+1} ⋯ λ_{n}}{λ_{1} ⋯ λ_{q}} |u|_{ω}^{2}dV_{ω}.

D’autre part, on a des majorations

λ_{j} ⩽ 1 + C_{1}χ′(ψ), 1 ⩽ j ⩽ n − 1, λ_{n} ⩽ 1 + C_{1}χ′(ψ) + C_{2}χ′′(ψ)

où C_{1}(x) est la plus grande valeur propre de i d′d′′ψ(x) et C_{2}(x) = |∂ψ(x)|^{2} ; pour obtenir les n−1 premières inégalités, on a seulement besoin d’appliquer le principe du minimax sur le noyau de ∂ψ. Comme i d′d′′ψ a au plus ℓ − 1 valeurs propres nulles sur X ∖ K, le principe du minimax donne aussi des minorations

λ_{j} ⩾ 1, 1 ⩽ j ⩽ ℓ − 1, λ_{j} ⩾ 1 + c χ′(ψ), ℓ ⩽ j ⩽ n,

où c(x) ⩾ 0 est la ℓ-ième valeur propre de i d′d′′ψ(x) et c(x) > 0 sur X ∖ K. Si nous supposons χ′ ⩾ 1, nous en déduisons aisément

\begin{aligned}\frac{|u|_{ω_{χ}}^{2}dV_{ω_{χ}}}{|u|_{ω}^{2}dV_{ω}} & ⩽ \frac{(1 + C_{1}χ′(ψ))^{n−p−1}(1 + C_{1}χ′(ψ) + C_{2}χ′′(ψ))}{(1 + cχ′(ψ))^{q−ℓ+1}} \\ & ⩽ C_{3}(χ′(ψ)^{n+ℓ−p−q−1} + χ′′(ψ)χ′(ψ)^{n+ℓ−p−q−2}) sur X ∖ K. \end{aligned}

Pour p + q ⩾ n + ℓ, ceci est inférieur ou égal à

C_{3}(χ′(ψ)^{−1} + χ′′(ψ)χ′(ψ)^{−2}),

et il est facile de montrer que cette quantité peut être rendue arbitrairement petite à l’infini sur X quand χ croît suffisamment vite à infini sur ℝ. Preuve du théorème (12.13), fin. Un résultat bien connu de Andreotti-Grauert [AG62] garantit que la topologie naturelle des groupes de cohomologie H^{q}(X, ℱ) d’un faisceau cohérent quelconque ℱ sur une variété ℓ-convexe sont séparés pour q ⩾ ℓ. Si ℱ = 𝒪(E) est le faisceau des sections d’un fibré vectoriel holomorphe, les groupes H^{q}(X, 𝒪(E)) sont algébriquement et topologiquement isomorphes aux groupes de cohomologie du complexe de Dolbeault des formes de type (0, q) à coefficients L_{loc}^{2} dont la d′′-differentielle est à coefficients L_{loc}^{2}, muni de la topologie de Fréchet définie par les semi-normes u ↦ ∥u∥_{L^{2}(K)}+∥d′′u∥_{L^{2}(K)}. Pour le voir, on peut reprendre mot à mot la démonstration du théorème (1.3), en observant que le complexe L_{loc}^{2} fournit encore une résolution de 𝒪(E) par des faisceaux (acycliques) de 𝒞^{∞}-modules. Il résulte de ce qui précède que le morphisme

L_{ω_{χ}}^{2}(X, Λ^{p,q}T_{X}^{⋆}) ⊃ Ker D′′_{ω_{χ}} ⟶ H^{p,q}(X, ℂ) = H^{q}(X, Ω_{X}^{p})

est continu et de noyau fermé. Par conséquent ce noyau contient l’adhérence \overline{Im D′′_{ω_{χ}}}, et nous obtenons une factorisation

ℋ_{ω_{χ}}^{p,q}(X, ℂ) ≃ Ker D′′_{ω_{χ}}/\overline{Im D′′_{ω_{χ}}} ⟶ H^{p,q}(X, ℂ).

La démonstration de la proposition (12.2) montre d’ailleurs que \overline{Im D′′_{ω_{χ}}} coïncide avec l’adhérence de D′′(𝒟(X, Λ^{p,q}T_{X}^{⋆})) dans L_{ω_{χ}}^{2}(X, Λ^{p,q}T_{X}^{⋆}). Considérons le morphisme limite

(12.16)  lim ; ⟶_{χ} ℋ_{ω_{χ}}^{p,q}(X, ℂ) ⟶ H^{p,q}(X, ℂ),

où la limite inductive est étendue à l’ensemble des fonctions convexes croissantes χ de classe C^{∞} telles que χ′′(t) ⩾ 1 sur [0, +∞[, avec la relation d’ordre

χ_{1} ≼ χ_{2} ⟺ χ_{1} ⩽ χ_{2} et L_{ω_{χ_{1}}}^{2} (X, Λ^{p,q}T_{X}^{⋆}) ⊂ L_{ω_{χ_{2}}}^{2} (X, Λ^{p,q}T_{X}^{⋆}) pour k = p + q;

il est facile de voir que cet ordre est filtrant en reprenant les arguments utilisés pour le lemme (12.15). Il est bien connu par ailleurs que les groupes de cohomologie de De Rham sont toujours séparés pour la topologie induite par la topologie de Fréchet sur les espaces de formes, par suite on a un morphisme limite

(12.16)_{DR}  lim ; ⟶_{χ} ℋ_{ω_{χ}}^{k}(X, ℂ) ⟶ H_{DR}^{k}(X, ℂ)

analogue à (12.16). La formule de décomposition du théorème (12.13) se déduit maintenant de (12.14) et du lemme élémentaire suivant.

12.17. Lemme. Les morphismes limites (12.16), (12.16)_{DR} sont bijectifs pour k = p + q ⩾ n + ℓ.

Preuve. Traitons par exemple le cas du morphisme (12.16). Soit u une forme L_{loc}^{2} d′′-fermée de bidegré (p, q), p + q ⩾ n + ℓ. Alors il existe un choix de χ pour lequel u ∈ L_{ω_{χ}}^{2}, donc u ∈ Ker D′′_{ω_{χ}} et (12.16) est surjectif. Si une classe {u} ∈ ℋ_{ω_{χ_{0}}}^{p,q} (X, ℂ) est envoyée sur zéro dans H^{p,q}(X, ℂ), on peut écrire u = d′′v pour une certaine forme v à coefficients L_{loc}^{2} et de bidegré (p, q − 1). Dans le cas p + q > n + ℓ, nous aurons v ∈ L_{ω_{χ}}^{2} pour χ ≽ χ_{0} assez grand, donc la classe de u = D′′_{ω_{χ}}v dans H_{ω_{χ}}^{p,q}(X, ℂ) est nulle et (12.16) est injectif. Quand p + q = n + ℓ, la forme v n’appartient plus nécessairement à un des espaces L_{ω_{χ}}^{2}, mais il suffit de montrer que u = d′′v est dans l’adhérence de Im D′′_{ω_{χ}} pour χ assez grand. Soit θ ∈ C^{∞}(ℝ, ℝ) une fonction tronquante telle que θ(t) = 1 pour t ⩽ 1/2, θ(t) = 0 pour t ⩾ 1 et |θ′| ⩽ 3. Alors

d′′(θ(εψ)v) = θ(εψ)d′′v + εθ′(εψ)d′′ψ ∧ v.

D’après la preuve du lemme (12.15), il existe une fonction continue C(x) > 0 telle que |v|_{ω_{χ}}^{2}dV_{ω_{χ}} ⩽ C(1+χ′′(ψ)/χ′(ψ))|v|_{ω}^{2}dV_{ω}, alors que |d′′ψ|_{ω_{χ}}^{2} ⩽ 1/χ′′(ψ) d’après la définition même de ω_{χ}. Nous voyons donc que l’intégrale

∫_{X} |θ′(εψ)d′′ψ ∧ v|_{ω_{χ}}^{2}dV_{ω_{χ}} ⩽ ∫_{X} C(1/χ′′(ψ) + 1/χ′(ψ))|v|^{2}dV

est finie pour χ assez grand, et par convergence dominée d′′(θ(εψ)v) converge vers d′′v = u dans L_{ω_{χ}}^{2}(X, Λ^{p,q}T_{X}^{⋆}).

La dualité de Poincaré et de Serre montre que les espaces H_{DR, c}^{k}(X, ℂ) et H_{c}^{p,q}(X, ℂ) à support compact sont duaux des espaces H_{DR}^{2n−k}(X, ℂ) et H^{n−p,n−q}(X, ℂ) dès lors que ces derniers sont séparés de de dimension finie, ce qui est bien le cas si k = p + q ⩽ n − ℓ. Nous obtenons donc une décomposition de Hodge duale

(12.18) H_{c}^{k}(X, ℂ) ≃ ⨁_{p+q=k} H_{c}^{p,q}(X, ℂ), \overline{H_{c}^{p,q}(X, ℂ)} ≃ H_{c}^{q,p}(X, ℂ), k ⩽ n − ℓ.

Il est par ailleurs facile de prouver que l’isomorphisme de Lefschetz

(12.19)  ω_{χ}^{n−p−q} ∧ • : ℋ_{ω_{χ}}^{p,q}(X, ℂ) ⟶ ℋ_{ω_{χ}}^{n−q,n−p}(X, ℂ)

donne à la limite un isomorphisme entre la cohomologie à support compact et la cohomologie sans supports (ce résultat est dû à Ohsawa [Ohs81]). En effet, si p + q ⩽ n − ℓ, le morphisme naturel

(12.20)  H_{c}^{p,q}(X, ℂ) = Ker D′′_{𝒟} / Im D′′_{𝒟} ⟶ Ker D′′_{ω_{χ}}/\overline{Im D′′_{ω_{χ}}} ≃ ℋ_{ω_{χ}}^{p,q}(X)

est dual du morphisme ℋ_{ω_{χ}}^{n−p,n−q}(X, ℂ) ⟶ H^{n−p,n−q}(X, ℂ), qui est surjectif pour χ assez grand d’après le lemme (12.17) et la finitude du groupe H^{n−p,n−q}(X, ℂ). Donc (12.20) est injectif pour χ grand, et après composition avec l’isomorphisme de Lefschetz (12.19) nous obtenons une injection

ω^{n−p−q} ∧ • = ω_{χ}^{n−p−q} ∧ • : H_{c}^{p,q}(X, ℂ) ⟶ H_{L^{2}, ω_{χ}}^{n−q,n−p}(X, ℂ)_{sep} ≃ ℋ_{ω_{χ}}^{n−q,n−p}(X, ℂ)

(l’égalité ω^{n−p−q} ∧ • = ω_{χ}^{n−p−q} ∧ • résulte du fait que ω_{χ} a même classe de cohomologie que ω). En prenant la limite inductive sur χ et en combinant avec l’isomorphisme limite (12.16), on obtient une application injective

(12.21) ω^{n−p−q} ∧ • : H_{c}^{p,q}(X, ℂ) ⟶ H^{n−q,n−p}(X, ℂ), p + q ⩽ n − ℓ.

Comme les deux membres ont la même dimension par le théorème de dualité de Serre et la symétrie de Hodge, cette application est nécessairement un isomorphisme.

12.22. Remarque. Puisque l’isomorphisme de Lefschetz (12.21) peut se factoriser à travers H^{p,q}(X, ℂ) ou à travers H_{c}^{n−q,n−p}(X, ℂ), on déduit de celui-ci que les morphismes naturels

H_{c}^{p,q}(X, ℂ) ⟶ H^{p,q}(X, ℂ)

sont injectifs pour p + q ⩽ n − ℓ et surjectifs pour p + q ⩾ n + ℓ. Bien entendu, on a des propriétés entièrement analogues pour les groupes de cohomologie de De Rham.

13. Technique de Bochner et théorèmes d’annulation

Soit X une variété complexe munie d’une métrique kählérienne ω = ∑ ω_{jk}dz_{j}∧ d\overline{z}_{k}. Soit (E, h) un fibré vectoriel holomorphe hermitien sur X. Nous notons D = D′ + D′′ sa connexion de Chern et Θ(E) le tenseur de courbure associé.

13.1. Relations de commutation de base. Soit L l’opérateur Lu = ω ∧ u agissant sur les formes à valeurs vectorielles et soit Λ = L^{⋆} son adjoint. Alors

\begin{aligned}[D^{′′⋆}, L] & = i d′, \\ [Λ, D′′] & = −i d^{′⋆}, \end{aligned}  \begin{aligned}[D^{′⋆}, L] & = −i d′′, \\ [Λ, D′] & = i d^{′′⋆}. \end{aligned}

Preuve (abrégée). C’est une conséquence assez simple de la relation de commutation (6.14) déjà démontrée pour la connexion triviale d = d′ + d′′ sur E = X × ℂ. En effet, pour tout point x_{0} ∈ X, il existe un repère holomorphe local (e_{λ})_{1⩽λ⩽r} de E tel que

⟨e_{λ}, e_{μ}⟩ = δ_{λμ} + O(|z|^{2}).

(La preuve est entièrement similaire à celle du théorème 5.8). Pour s = ∑ s_{λ} ⊗ e_{λ} avec s_{λ} ∈ C^{∞}(X, Λ^{p,q}T_{X}^{⋆}), nous obtenons

D′′s = ∑ d′′s_{λ} ⊗ e_{λ} + O(|z|), D^{′′⋆}s = ∑ d^{′′⋆}s_{λ} ⊗ e_{λ} + O(|z|).

Les relations annoncées s’ensuivent aisément.

13.2. Identité de Bochner-Kodaira-Nakano. Si (X, ω) est une variété kählérienne, les laplaciens complexes Δ′ et Δ′′ agissant sur les formes à valeurs dans E satisfont l’identité

Δ′′ = Δ′ + [i Θ(E), Λ].

Preuve. La dernière égalité (13.1) donne D^{′′⋆} = −i[Λ, D′], donc

Δ′′ = [D′′, D^{′′⋆}] = −i[D′′, [Λ, D′]].

L’identité de Jacobi implique

[D′′, [Λ, D′]] = [Λ, [D′, D′′]] + [D′, [D′′, Λ]] = [Λ, Θ(E)] + i[D′, D^{′⋆}],

si l’on tient compte du fait que [D′, D′′] = D^{2} = Θ(E). L’identité annoncée s’ensuit.

Supposons que X soit compacte et soit u ∈ C^{∞}(X, Λ^{p,q}T_{X}^{⋆} ⊗ E) une (p, q)- forme arbitraire. Une intégration par parties donne

⟨Δ′u, u⟩ = ∥D′u∥^{2} + ∥D^{′⋆}u∥^{2} ⩾ 0,

et on a une égalité analogue pour Δ′′. De l’identité de Bochner-Kodaira-Nakano, on déduit l’inégalité a priori

(13.3)  ∥D′′u∥^{2} + ∥D^{′′⋆}u∥^{2} ⩾ ∫_{X}⟨[i Θ(E), Λ]u, u⟩dV_{ω}.

Cette inégalité est connue sous le nom d’inégalité de Bochner-Kodaira-Nakano (voir [Boc48], [Kod53], [Nak55]). Lorsque u est Δ′′-harmonique, on obtient

∫_{X}⟨[i Θ(E), Λ]u, u⟩ dV ⩽ 0.

Si l’opérateur hermitien [i Θ(E), Λ] est positif sur chaque fibre de Λ^{p,q}T_{X}^{⋆} ⊗ E, on voit que u est nécessairement nulle, donc

H^{p,q}(X, E) = ℋ^{p,q}(X, E) = 0

d’après la théorie de Hodge. Dans cette approche, le point essentiel est de savoir calculer la forme de courbure Θ(E) et de trouver des conditions suffisantes pour que l’opérateur [i Θ(E), Λ] soit défini positif. Des calculs élémentaires (quelque peu pénibles) donnent la formule suivante : si la courbure de E est écrite sous la forme (11.16) et si

u = ∑ u_{J,K,λ}dz_{I} ∧ d\overline{z}_{J} ⊗ e_{λ}, |J| = p, |K| = q, 1 ⩽ λ ⩽ r

est une (p, q)-forme à valeurs dans E, alors

(13.4)  ⟨[i Θ(E), Λ]u, u⟩ = ∑_{j,k,λ,μ,J,S} c_{jkλμ} u_{J,jS,λ} \overline{u_{J,kS,μ}}

+ ∑_{j,k,λ,μ,R,K} c_{jkλμ} u_{kR,K,λ} \overline{u_{jR,K,μ}}

− ∑_{j,λ,μ,J,K} c_{jjλμ} u_{J,K,λ} \overline{u_{J,K,μ}},

où les sommations sont étendues à tous les indices 1 ⩽ j, k ⩽ n, 1 ⩽ λ, μ ⩽ r et tous les multi-indices |J| = p, |K| = q, |R| = p − 1, |S| = q − 1 (ici la notation u_{JKλ} s’applique à des multi-indices non nécessairement croissants, on convient que le signe de ce coefficient est alterné sous l’action des permutations). Compte tenu de la complexité du terme de courbure (13.4), le signe de ce terme est en général difficile à élucider, sauf dans quelques cas très particuliers.

Le cas le plus simple est le cas p = n. Tous les termes de la deuxième sommation figurant dans (13.4) sont alors tels que j = k et R = {1, …, n} ∖ {j}, par conséquent les deuxièmes et troisièmes sommations sont égales. Il s’ensuit que

⟨[i Θ(E), Λ]u, u⟩ = ∑_{j,k,λ,μ,J,S} c_{jkλμ} u_{J,jS,λ} \overline{u_{J,kS,μ}}

est positive sur les (n, q)-formes, sous l’hypothèse que E est positif au sens de Nakano. Dans ce cas, X est automatiquement kählérienne puisque

ω = Tr_{E}(i Θ(E)) = i ∑_{j,k,λ} c_{jkλλ}dz_{j} ∧ d\overline{z}_{k} = i Θ(det E)

définit alors une métrique kählérienne.

13.5. Théorème d’annulation de Nakano (1955). Soit X une variété complexe compacte et soit E un fibré vectoriel positif au sens de Nakano sur X. Alors

H^{n,q}(X, E) = H^{q}(X, K_{X} ⊗ E) = 0 pour tout q ⩾ 1.

Un autre cas abordable est le cas où E est un fibré en droites (r = 1). En effet, en chaque point x ∈ X, nous pouvons alors choisir un système de coordonnées qui diagonalise simultanément les formes hermitiennes ω(x) et Θ(E)(x), de telle manière que

ω(x) = i ∑_{1⩽j⩽n} dz_{j} ∧ d\overline{z}_{j}, Θ(E)(x) = i ∑_{1⩽j⩽n} γ_{j}dz_{j} ∧ d\overline{z}_{j}

avec γ_{1} ⩽ ⋯ ⩽ γ_{n}. Les valeurs propres de courbure γ_{j} = γ_{j}(x) sont alors définies de manière unique et dépendent continûment de x. Dans les notations antérieures, nous avons γ_{j} = c_{jj11} et tous les autres coefficients c_{jkλμ} sont nuls. Pour toute (p, q)-forme u = ∑ u_{JK}dz_{J} ∧ d\overline{z}_{K} ⊗ e_{1}, ceci donne

⟨[i Θ(E), Λ]u, u⟩ = ∑_{|J|=p, |K|=q} ( ∑_{j∈J} γ_{j} + ∑_{j∈K} γ_{j} − ∑_{1⩽j⩽n} γ_{j})|u_{JK}|^{2}

⩾ (γ_{1} + ⋯ + γ_{q} − γ_{n−p+1} − ⋯ − γ_{n})|u|^{2}. (13.6)

Supposons que i Θ(E) soit positive. Il est alors naturel de munir X de la métrique kählérienne particulière ω = i Θ(E). Alors γ_{j} = 1 pour j = 1, 2, …, n et on obtient

⟨[i Θ(E), Λ]u, u⟩ = (p + q − n)|u|^{2}.

14. Estimations L^{2} et théorèmes d’existence 83

Par conséquent :

13.7. Théorème d’annulation de Kodaira-Akizuki-Nakano ([AN54]). Si E est un fibré en droites positif sur une variété complexe compacte X, alors

H^{p,q}(X, E) = H^{q}(X, Ω_{X}^{p} ⊗ E) = 0 pour p + q ⩾ n + 1.

Plus généralement, si E est un fibré vectoriel positif au sens de Griffiths (ou ample), de rang r ⩾ 1, Le Potier [LP75] a démontré que H^{p,q}(X, E) = 0 pour p + q ⩾ n + r. La preuve n’est pas une conséquence directe de la technique de Bochner. Une preuve assez simple a été obtenue par M. Schneider [Sch74], en utilisant la suite spectrale de Leray associée à la projection sur X du fibré projectivisé ℙ(E) → X.

13.8. Exercice. Il est important pour diverses applications de disposer de théorèmes d’annulation qui soient également valables dans le cas de fibrés en droites semi-positifs. On a par exemple le résultat suivant dû à J. Girbau [Gir76] : soit (X, ω) une variété kählérienne compacte ; supposons que E soit un fibré en droites et que i Θ(E) ⩾ 0 ait au moins n − k valeurs propres positives en chaque point, pour un certain entier k ⩾ 0 ; alors H^{p,q}(X, E) = 0 pour p + q ⩾ n + k + 1. Indication : utiliser la métrique kählérienne ω_{ε} = i Θ(E) + εω avec ε > 0 petit.

Une version plus naturelle et plus puissante de ce résultat a été obtenue par A. Sommese [Som78, ShSo85] : suivant ces auteurs, on dira que E est k-ample si un certain multiple mE est tel que l’application canonique

Φ_{|mE|} : X ∖ B_{|mE|} → ℙ^{N−1}

a toutes ses fibres de dimension ⩽ k et dim B_{|mE|} ⩽ k ; si X est projective et si E est k-ample, alors H^{p,q}(X, E) = 0 pour p + q ⩾ n + k + 1. Indication : prouver le résultat dual, à savoir que H^{p,q}(X, E^{−1}) = 0 pour p + q ⩽ n − k − 1, par récurrence sur k. Montrer d’abord que E est 0-ample si et seulement si E est positif ; utiliser alors des sections hyperplanes Y ⊂ X pour démontrer l’étape de récurrence, en considérant les suites exactes

0 ⟶ Ω_{X}^{p} ⊗ E^{−1} ⊗ 𝒪(−Y) ⟶ Ω_{X}^{p} ⊗ E^{−1} ⟶ (Ω_{X}^{p} ⊗ E^{−1})_{↾Y} ⟶ 0,

0 ⟶ Ω_{Y}^{p−1} ⊗ E_{↾Y}^{−1} ⟶ (Ω_{X}^{p} ⊗ E^{−1})_{↾Y} ⟶ Ω_{Y}^{p} ⊗ E_{↾Y}^{−1} ⟶ 0.

14. Estimations L^{2} et théorèmes d’existence

Le point de départ est le théorème d’existence L^{2} suivant, qui est dû essentiellement à Hörmander [Hör65, 66], et Andreotti-Vesentini [AV65]. Nous en esquisserons seulement les idées principales, en renvoyant par exemple à [Dem82] pour un exposé détaillé de la situation technique considérée ici.

14.1. Théorème. Soit (X, ω) une variété kählérienne \underline{complète}. Soit E un fibré vectoriel hermitien de rang r sur X, tel que l’opérateur de courbure A = A_{E,ω}^{p,q} = [i Θ(E), Λ_{ω}] soit semi-positif sur toutes les fibres de Λ^{p,q}T_{X}^{⋆} ⊗ E, q ⩾ 1. Soit g ∈ L^{2}(X, Λ^{p,q}T_{X}^{⋆} ⊗ E) une forme telle que

D′′g = 0 et ∫_{X}⟨A^{−1}g, g⟩ dV_{ω} < +∞

(aux points où A n’est pas défini positif, on suppose qu’un antécédent A^{−1}g existe presque partout; on choisit alors l’antécédent A^{−1}g de norme minimale, orthogonal à Ker A). Alors il existe f ∈ L^{2}(X, Λ^{p,q−1}T_{X}^{⋆} ⊗ E) telle que

D′′f = g et ∫_{X} |f|^{2} dV_{ω} ⩽ ∫_{X}⟨A^{−1}g, g⟩ dV_{ω}.

Preuve. Soit u ∈ L^{2}(X, Λ^{p,q}T_{X}^{⋆} ⊗E) une forme telle que D′′u ∈ L^{2} et D^{′′⋆}u ∈ L^{2} au sens des distributions. Le lemme (12.2 a) montre (sous l’hypothèse indispensable que ω est complète) que u est limite d’une suite de formes u_{ν} de classe C^{∞} et à support compact, de telle manière que u_{ν} → u, D′′u_{ν} → D′′u et D^{′′⋆}u_{ν} → D^{′′⋆}u dans L^{2}. Il s’ensuit que l’inégalité a priori (13.3) s’étend à des formes arbitraires u telles que u, D′′u, D^{′′⋆}u ∈ L^{2}. Maintenant, comme Ker D′′ est faiblement (et donc fortement) fermé, on obtient une décomposition orthogonale de l’espace de Hilbert L^{2}(X, Λ^{p,q}T_{X}^{⋆} ⊗ E), à savoir

L^{2}(X, Λ^{p,q}T_{X}^{⋆} ⊗ E) = Ker D′′ ⊕ (Ker D′′)^{⊥}.

Soit v = v_{1} + v_{2} la décomposition correspondante d’une forme v ∈ 𝒟^{p,q}(X, E) de classe C^{∞} à support compact (en général, v_{1}, v_{2} ne sont pas à support compact !). Puisque (Ker D′′)^{⊥} = \overline{Im D^{′′⋆}} ⊂ Ker D^{′′⋆} par dualité et g, v_{1} ∈ Ker D′′ par hypothèse, nous obtenons D^{′′⋆}v_{2} = 0 et

|⟨g, v⟩|^{2} = |⟨g, v_{1}⟩|^{2} ⩽ ∫_{X}⟨A^{−1}g, g⟩ dV_{ω} ∫_{X}⟨Av_{1}, v_{1}⟩ dV_{ω}

grâce à l’inégalité de Cauchy-Schwarz. L’inégalité a priori (13.3) appliquée à u = v_{1} donne

∫_{X}⟨Av_{1}, v_{1}⟩ dV_{ω} ⩽ ∥D′′v_{1}∥^{2} + ∥D^{′′⋆}v_{1}∥^{2} = ∥D^{′′⋆}v_{1}∥^{2} = ∥D^{′′⋆}v∥^{2}.

En combinant les deux inégalités, nous trouvons

|⟨g, v⟩|^{2} ⩽ ( ∫_{X}⟨A^{−1}g, g⟩ dV_{ω})∥D^{′′⋆}v∥^{2}

pour toute (p, q)-forme v de classe C^{∞} à support compact. Ceci montre qu’on a une forme linéaire bien définie

w = D^{′′⋆}v ⟼ ⟨v, g⟩, L^{2}(X, Λ^{p,q−1}T_{X}^{⋆} ⊗ E) ⊃ D^{′′⋆}(𝒟^{p,q}(E)) ⟶ ℂ

sur l’image de D^{′′⋆}. Cette forme linéaire est continue par rapport à la norme L^{2}, et sa norme est ⩽ C avec

C = ( ∫_{X}⟨A^{−1}g, g⟩ dV_{ω})^{1/2}.

D’après le théorème de Hahn-Banach, il existe un élément f ∈ L^{2}(X, Λ^{p,q−1}T_{X}^{⋆}⊗E) tel que ||f|| ⩽ C et ⟨v, g⟩ = ⟨D^{′′⋆}v, f⟩ pour tout v, par suite D′′f = g au sens des distributions. L’inégalité ||f|| ⩽ C est équivalente à la dernière estimation du théorème.

Le théorème d’existence L^{2} précédent peut être appliqué dans le contexte général des variétés kählériennes faiblement pseudoconvexes (voir définition (12.9)), et ce même si la métrique kählérienne considérée ω n’est pas complète. En effet, d’après la proposition (12.10), on obtient des métriques kählériennes complètes en posant

ω_{ε} = ω + ε i d′d′′ψ^{2} = ω + 2ε(2i ψd′d′′ψ + i d′ψ ∧ d′′ψ)

avec une fonction d’exhaustion C^{∞} psh ψ ⩾ 0. Par conséquent, le théorème d’existence L^{2} (14.1) s’applique à chaque métrique kählérienne ω_{ε}. On vérifie par ailleurs (les calculs sont laissés au lecteur !) que les quantités |g|_{ω}^{2} dV_{ω} et ⟨(A_{E,ω}^{p,q})^{−1}g, g⟩_{ω} dV_{ω} sont fonctions décroissantes de ω lorsque p = n = dim_{ℂ} X. Pour une forme D′′-fermée g de bidegré (n, q) on obtient donc des solutions f_{ε} de l’équation D′′f_{ε} = g telles que

∫_{X} |f_{ε}|_{ω_{ε}}^{2} dV_{ω_{ε}} ⩽ ∫_{X}⟨(A_{E,ω_{ε}}^{p,q})^{−1}g, g⟩_{ω_{ε}} dV_{ω_{ε}} ⩽ ∫_{X}⟨(A_{E,ω}^{p,q})^{−1}g, g⟩_{ω} dV_{ω}.

Ces solutions f_{ε} étant bornées uniformément en norme L^{2} sur tout compact, on peut en extraire une sous-suite faiblement convergente dans L^{2}. La limite f est solution de D′′f = g et satisfait l’estimation L^{2} voulue relativement à la métrique ω initialement donnée (qui, répétons-le, n’est pas nécessairement complète). Un cas particulier important est le suivant :

14.2. Théorème. Soit (X, ω) une variété kählérienne, dim X = n. Supposons que X soit faiblement pseudoconvexe. Soit E un fibré en droites hermitien et soient

γ_{1}(x) ⩽ ⋯ ⩽ γ_{n}(x)

les valeurs propres de courbure (i.e. les valeurs propres de i Θ(E) par rapport à la métrique ω) en tout point. Supposons que la courbure soit semi-positive, i.e. γ_{1} ⩾ 0 partout. Alors pour toute forme g ∈ L^{2}(X, Λ^{n,q}T_{X}^{⋆} ⊗ E) telle que

D′′g = 0 et ∫_{X}⟨(γ_{1} + ⋯ + γ_{q})^{−1}|g|^{2} dV_{ω} < +∞,

(on suppose donc g(x) = 0 presque partout aux points où γ_{1}(x) + ⋯ + γ_{q}(x) = 0), il existe f ∈ L^{2}(X, Λ^{n,q−1}T_{X}^{⋆} ⊗ E) telle que

D′′f = g et 2 ∫_{X} |f|^{2} dV_{ω} ⩽ ∫_{X}(γ_{1} + ⋯ + γ_{q})^{−1}|g|^{2} dV_{ω}.

Preuve. En effet, pour p = n, la formule (13.6) montre que

⟨Au, u⟩ ⩾ (γ_{1} + ⋯ + γ_{q})|u|^{2},

donc ⟨A^{−1}u, u⟩ ⩾ (γ_{1} + ⋯ + γ_{q})^{−1}|u|^{2}.

Une observation importante est que le théorème ci-dessus s’applique encore quand la métrique hermitienne de E est une métrique singulière à courbure positive au sens des courants. En effet, par les techniques standard de régularisation (convolution des fonctions psh par des noyaux régularisants), la métrique peut être rendue C^{∞} et les solutions obtenues au moyen des théorèmes (14.1) ou (14.2) pour les métriques régularisées ont des limites satisfaisant les estimations désirées. En particulier, nous obtenons le corollaire suivant.

14.3. Corollaire. Soit (X, ω) une variété kählérienne, dim X = n. Supposons que X soit faiblement pseudoconvexe. Soit E un fibré en droites holomorphe muni d’une métrique singulière dont le poids local est noté φ ∈ L_{loc}^{1}. Supposons que

i Θ(E) = 2i d′d′′φ ⩾ εω

pour un certain ε > 0. Alors pour toute forme g ∈ L^{2}(X, Λ^{n,q}T_{X}^{⋆} ⊗ E) telle que D′′g = 0, il existe f ∈ L^{2}(X, Λ^{p,q−1}T_{X}^{⋆} ⊗ E) telle que D′′f = g et

∫_{X} |f|^{2}e^{−2φ} dV_{ω} ⩽ \frac{1}{qε} ∫_{X} |g|^{2}e^{−2φ} dV_{ω}.

Nous avons noté ici de façon quelque peu incorrecte la métrique sous la forme |f|^{2}e^{−2φ}, comme si le poids φ était globalement défini sur X (bien sûr, ceci n’est possible que si E est globalement trivial). Par abus d’écriture, nous utiliserons quand même cette notation car elle souligne clairement la dépendance de la norme L^{2} en fonction du poids psh.

15. Théorèmes d’annulation de Nadel et Kawamata-Viehweg

Nous introduisons d’abord le concept de faisceau d’idéaux multiplicateurs, suivant A. Nadel [Nad89]. L’idée principale remonte en fait aux travaux fondamentaux de E. Bombieri [Bom70] et H. Skoda [Sko72].

15.1. Définition. Soit φ une fonction psh sur un ouvert Ω ⊂ X ; on associe à φ le faisceau d’idéaux ℐ(φ) ⊂ 𝒪_{Ω}, formé des germes de fonctions holomorphes f ∈ 𝒪_{Ω,x} telles que |f|^{2}e^{−2φ} soit intégrable par rapport à la mesure de Lebesgue dans des coordonnées locales quelconques près de x. Ce faisceau sera appelé faisceau d’idéaux multiplicateurs associé au poids φ.

La variété des zéros V (ℐ(φ)) est donc l’ensemble des points au voisinage desquels e^{−2φ} est non intégrable. Bien entendu, de tel points ne peuvent apparaître que là où φ a des pôles logarithmiques. La formulation précise est la suivante.

15.2. Définition. On dira qu’une fonction psh φ a un pôle logarithmique de coefficient γ en un point x ∈ X si le nombre de Lelong

ν(φ, x) := lim inf_{z→x} \frac{φ(z)}{log |z − x|}

est non nul et si ν(φ, x) = γ.

15.3. Lemme (Skoda [Sko72]). Soit φ une fonction psh sur un ouvert Ω ⊂ ℂ^{n} et soit x ∈ Ω.

a) Si ν(φ, x) < 1, alors e^{−2φ} est intégrable au voisinage de x, en particulier ℐ(φ)_{x} = 𝒪_{Ω,x}.

b) Si ν(φ, x) ⩾ n + s pour un certain entier s ⩾ 0, alors e^{−2φ} ⩾ C|z − x|^{−2n−2s} au voisinage de x et ℐ(φ)_{x} ⊂ 𝔪_{Ω,x}^{s+1}, où 𝔪_{Ω,x} désigne l’idéal maximal de 𝒪_{Ω,x}.

Preuve. La démonstration repose sur des estimations classiques de théorie du potentiel complexe, voir H. Skoda [Sko72].

15.4. Proposition ([Nad89]). Pour toute fonction psh φ sur Ω ⊂ X, le faisceau ℐ(φ) est un faisceau cohérent d’idéaux sur Ω.

Preuve. Puisque le résultat est local, nous pouvons supposons que Ω est la boule unité de ℂ^{n}. Soit ℋ_{φ}(Ω) l’ensemble des fonctions f holomorphes sur Ω telles que ∫_{Ω} |f|^{2}e^{−2φ} dλ < +∞. D’après la propriété noethérienne forte des faisceaux cohérents, l’ensemble ℋ_{φ}(Ω) engendre un faisceau d’idéaux cohérent 𝒥 ⊂ 𝒪_{Ω}. Il est clair que 𝒥 ⊂ ℐ(φ) ; pour démontrer l’égalité, il suffit de vérifier que 𝒥_{x} + ℐ(φ)_{x} ∩ 𝔪_{Ω,x}^{s+1} = ℐ(φ)_{x} pour tout entier s, en vertu du lemme de Krull. Soit f ∈ ℐ(φ)_{x} un germe défini sur un voisinage V de x et soit θ une fonction tronquante à support dans V, telle que θ = 1 au voisinage de x. On résout l’équation d′′u = g := d′′(θf) au moyen des estimations L^{2} de Hörmander (14.3), où E est le fibré en droites trivial Ω × ℂ muni du poids strictement psh

φ̃(z) = φ(z) + (n + s) log |z − x| + |z|^{2}.

Nous obtenons une solution u telle que ∫_{Ω} |u|^{2}e^{−2φ}|z − x|^{−2(n+s)}dλ < ∞, donc F = θf − u est holomorphe, F ∈ ℋ_{φ}(Ω) et f_{x} − F_{x} = u_{x} ∈ ℐ(φ)_{x} ∩ 𝔪_{Ω,x}^{s+1}. Ceci démontre notre affirmation.

Les faisceaux d’idéaux multiplicateurs satisfont la propriété essentielle suivante de fonctorialité, relativement aux images directes de faisceaux par des modifications.

15.5. Proposition. Soit μ : X′ → X une modification de variétés complexes non singulières (i.e. une application holomorphe propre génériquement 1 : 1), et soit φ une fonction psh sur X. Alors

μ_{⋆}(𝒪(K_{X′}) ⊗ ℐ(φ ∘ μ)) = 𝒪(K_{X}) ⊗ ℐ(φ).

Preuve. Soit n = dim X = dim X′ et soit S ⊂ X un sous-ensemble analytique tel que μ : X′ ∖ S′ → X ∖ S soit un biholomorphisme. Par définition des faisceaux d’idéaux multiplicateurs, 𝒪(K_{X}) ⊗ ℐ(φ) s’identifie au faisceau des n-formes holomorphes f sur un ouvert quelconque U ⊂ X, telles que i^{n^{2}}f ∧ \overline{f} e^{−2φ} ∈ L_{loc}^{1}(U). Puisque φ est localement majorée, nous pouvons même considérer des formes f qui sont a priori définies seulement sur U ∖ S, car f est dans L_{loc}^{2}(U) et s’étend donc automatiquement à travers S. La formule de changement de variables donne

∫_{U} i^{n^{2}}f ∧ \overline{f} e^{−2φ} = ∫_{μ^{−1}(U)} i^{n^{2}}μ^{⋆}f ∧ \overline{μ^{⋆}f} e^{−2φ∘μ},

donc f ∈ Γ(U, 𝒪(K_{X})⊗ℐ(φ)) si et seulement si μ^{⋆}f ∈ Γ(μ^{−1}(U), 𝒪(K_{X′})⊗ℐ(φ∘μ)). La prop. 15.5 est démontrée.

15.6. Remarque. Si φ a des singularités algébriques ou analytiques (cf. définition 11.7), le calcul de ℐ(φ) se réduit à un problème purement algébrique.

Le première observation est que ℐ(φ) se calcule aisément si φ = ∑ α_{j} log |g_{j}| où D_{j} = g_{j}^{−1}(0) sont des diviseurs irréductible lisses à croisements normaux. Alors ℐ(φ) est le faisceau des fonctions holomorphes h sur les ouverts U ⊂ X, telles que

∫_{U} |h|^{2} ∏ |g_{j}|^{−2α_{j}}dV < +∞.

Puisque les g_{j} peuvent être prises comme fonctions coordonnées dans des systèmes de coordonnées locales convenables (z_{1}, …, z_{n}), la condition d’intégrabilité est que h soit divisible par ∏ g_{j}^{m_{j}}, où m_{j} − α_{j} > −1 pour chaque j, i.e. m_{j} ⩾ ⌊α_{j}⌋ (⌊ ⌋ désigne la partie entière). Par suite

ℐ(φ) = 𝒪(−⌊D⌋) = 𝒪(− ∑⌊α_{j}⌋D_{j})

où ⌊D⌋ est la partie entière du ℚ-diviseur D = ∑ α_{j}D_{j}.

Maintenant, considérons le cas général de singularités algébriques ou analytiques, et supposons que

φ ∼ \frac{α}{2} log (|f_{1}|^{2} + ⋯ + |f_{N}|^{2})

au voisinage des pôles. D’après la remarque énoncée après la déf. 11.7, nous pouvons supposer que les (f_{j}) sont des générateurs du faisceau d’idéaux intégralement clos 𝒥 = 𝒥(φ/α), défini comme le faisceau des fonctions holomorphes h telles que |h| ⩽ C exp(φ/α). Dans ce cas, le calcul se fait comme suit.

Choisissons d’abord une modification lisse μ : X̃ → X de X telle que μ^{⋆}𝒥 soit un faisceau inversible 𝒪(−D) associé à un diviseur à croisements normaux D = ∑ λ_{j}D_{j}, où (D_{j}) sont les composantes du diviseur exceptionnel de X̃ (considérer l’éclatement X′ de X par rapport à l’idéal 𝒥, de sorte que l’image inverse de 𝒥 sur X′ devienne un faisceau inversible 𝒪(−D′), puis éclater de nouveau X′ de manière à rendre X′ lisse et D′ à croisements normaux, en invoquant Hironaka [Hi64]). Nous avons alors K_{X} = μ^{⋆}K_{X} + R où R = ∑ ρ_{j}D_{j} est le diviseur des zéros du jacobien J_{μ} de l’application d’éclatement. De la formule d’image directe 15.5, nous déduisons

ℐ(φ) = μ_{⋆}(𝒪(K_{X} − μ^{⋆}K_{X}) ⊗ ℐ(φ ∘ μ)) = μ_{⋆}(𝒪(R) ⊗ ℐ(φ ∘ μ)).

Maintenant, les (f_{j} ∘ μ) sont des générateurs de l’idéal 𝒪(−D), donc

φ ∘ μ ∼ α ∑ λ_{j} log |g_{j}|

où les g_{j} sont des générateurs locaux de 𝒪(−D_{j}). Nous sommes donc ramenés à calculer le faisceau d’idéaux multiplicateurs dans le cas où les pôles sont donnés par un ℚ-diviseur à croisements normaux ∑ αλ_{j}D_{j}. Nous obtenons ℐ(φ ∘ μ) = 𝒪(− ∑⌊αλ_{j}⌋D_{j}), donc

ℐ(φ) = μ_{⋆}𝒪_{X}( ∑(ρ_{j} − ⌊αλ_{j}⌋)D_{j}).

15.7. Exercice. Calculer le faisceau d’idéaux multiplicateurs ℐ(φ) associé à la fonction psh φ = log(|z_{1}|^{α_{1}} + ⋯ + |z_{p}|^{α_{p}}), pour des nombres réels arbitraires α_{j} > 0. Indication : en utilisant la formule de Parseval et des coordonnées polaires z_{j} = r_{j}e^{i θ_{j}}, montrer que le problème est équivalent à déterminer pour quels p-uplets (β_{1}, …, β_{p}) ∈ ℕ^{p} l’intégrale

∫_{[0,1]^{p}} \frac{r_{1}^{2β_{1}} ⋯ r_{p}^{2β_{p}} r_{1}dr_{1} ⋯ r_{p}dr_{p}}{r_{1}^{2α_{1}} + ⋯ + r_{p}^{2α_{p}}} = ∫_{[0,1]^{p}} \frac{t_{1}^{(β_{1}+1)/α_{1}} ⋯ t_{p}^{(β_{p}+1)/α_{p}}}{t_{1} + ⋯ + t_{p}} ∏_{j=1}^{p} \frac{1}{2α_{j}} \frac{dt_{j}}{t_{j}}

est convergente. Déduire de là que ℐ(φ) est engendré par les monômes z_{1}^{β_{1}} ⋯ z_{p}^{β_{p}} tels que ∑(β_{p} + 1)/α_{p} > 1. (Cet exercice montre que la définition analytique de ℐ(φ) est parfois aussi très commode pour les calculs).

Soit E un fibré en droites sur X muni d’une métrique singulière h de courant de courbure Θ_{h}(E). Si φ est le poids représentant la métrique h sur un ouvert Ω ⊂ X, le faisceau d’idéaux ℐ(φ) est indépendant du choix de la trivialisation. Il est donc la restriction à Ω d’un faisceau cohérent global sur X que nous noterons indifféremment ℐ(h) = ℐ(φ) par abus de notation. Dans ce contexte, nous avons le théorème d’annulation fondamental suivant, qui est probablement un des résultats les plus centraux de la géométrie algébrique ou analytique (comme nous le verrons plus tard, ce théorème contient le théorème d’annulation de Kawamata-Viehweg comme cas particulier).

15.8. Théorème d’annulation de Nadel ([Nad89], [Dem93b]). Soit (X, ω) une variété kählérienne faiblement pseudoconvexe, et soit E un fibré en droites holomorphe sur X muni d’une métrique hermitienne h singulière de poids φ. Supposons qu’il existe une fonction continue positive ε sur X telle que i Θ_{h}(E) ⩾ εω. Alors

H^{q}(X, 𝒪(K_{X} + E) ⊗ ℐ(h)) = 0 pour tout q ⩾ 1.

Preuve. Soit ℒ^{q} le faisceau des germes de (n, q)-formes u à valeurs dans E et à coefficients mesurables, telles que à la fois |u|^{2}e^{−2φ} et |d′′u|^{2}e^{−2φ} soient localement intégrables. L’opérateur d′′ définit un complexe de faisceaux (ℒ^{•}, d′′) qui est une résolution du faisceau 𝒪(K_{X} +E)⊗ℐ(φ) : en effet, le noyau de d′′ en degré 0 consiste en les germes de n-formes holomorphes à valeurs dans E qui satisfont la condition d’intégrabilité ; donc la fonction coefficient appartient à ℐ(φ) ; l’exactitude en degré q ⩾ 1 découle du corollaire 14.3 appliqué à des boules arbitrairement petites. Comme chaque faisceau ℒ^{q} est un C^{∞}-module, ℒ^{•} est une résolution par des faisceaux acycliques. Soit ψ une fonction d’exhaustion psh de classe C^{∞} sur X. Appliquons le corollaire 14.3 globalement sur X, avec la métrique initiale de E multipliée par le facteur e^{−χ∘ψ}, où χ est une fonction convexe croissante de croissance arbitrairement rapide à l’infini. Ce facteur peut être utilisé pour assurer la convergence des intégrales à l’infini. Du corollaire 14.3, nous déduisons alors que H^{q}(Γ(X, ℒ^{•})) = 0 pour q ⩾ 1. Le théorème s’ensuit grâce à l’isomorphisme de De Rham-Weil (1.2).

15.9. Corollaire. Soit (X, ω), E et φ comme dans le théorème 15.8 et soient x_{1}, …, x_{N} des points isolés de la variété des zéros V (ℐ(φ)). Alors il existe une application surjective

H^{0}(X, 𝒪(K_{X} + E)) ⟶ ⟶ ⨁_{1⩽j⩽N} 𝒪(K_{X} + E)_{x_{j}} ⊗ (𝒪_{X}/ℐ(φ))_{x_{j}}.

Preuve. Considérons la suite exacte longue de cohomologie associée à la suite exacte courte 0 → ℐ(φ) → 𝒪_{X} → 𝒪_{X}/ℐ(φ) → 0, tordue par 𝒪(K_{X} + E), et appliquons le théorème 15.8 pour obtenir l’annulation du premier groupe H^{1}. La propriété de surjectivité annoncée s’ensuit.

15.10. Corollaire. Soit (X, ω), E et φ comme dans le théorème 15.8. Supposons que la fonction poids φ soit telle que ν(φ, x) ⩾ n + s en un certain point x ∈ X tel que ν(φ, y) < 1 pour y ≠ x assez voisin de x. Alors H^{0}(X, K_{X} + E) engendre tous les s-jets de sections au point x.

Preuve. Le lemme de Skoda 15.3 b) montre que e^{−2φ} est intégrable au voisinage de tout point y ≠ x suffisamment proche de x, donc ℐ(φ)_{y} = 𝒪_{X,y}, alors que ℐ(φ)_{x} ⊂ 𝔪_{X,x}^{s+1} d’après 15.3 a). Le corollaire 15.10 est donc un cas particulier de 15.9.

La philosophie de ces résultats (qui peuvent être considérés comme des généralisations du théorème de Hörmander-Bombieri-Skoda [Bom70], [Sko72, 75]) est que le problème de construire des sections holomorphes de K_{X} + E peut se résoudre en construisant des métriques hermitiennes convenables sur E telles que le poids φ ait des pôles logarithmiques isolés en des points donnés x_{j}.

15.11. Exercice. Supposons que X soit compacte et que L soit un fibré en droites positif sur X. Soit {x_{1}, …, x_{N}} un ensemble fini. Montrer qu’il existe des constantes a, b ⩾ 0 dépendant seulement de L et N telles que pour tout s ∈ ℕ le groupe H^{0}(X, 𝒪(mL)) engendre les jets d’ordre s en tout point x_{j} pour m ⩾ as + b. Indication : Appliquer le corollaire 15.9 à E = −K_{X} + mL, avec une métrique singulière sur L de la forme h = h_{0}e^{−εψ}, où h_{0} est de classe C^{∞} à courbure positive, ε > 0 petit, et ψ(z) ∼ log |z − x_{j}| au voisinage de x_{j}. Déduire de là le théorème de plongement de Kodaira :

15.12. Théorème de plongement de Kodaira. Si L est un fibré en droites sur une variété complexe compacte, L est ample si et seulement si L est positif.

Une façon équivalente d’énoncer le théorème de plongement de Kodaira est la suivante :

15.13. Critère de projectivité de Kodaira. Une variété complexe compacte X est algébrique projective si et seulement si X possède une métrique de Hodge, c’est-à-dire une métrique kählérienne de classe de cohomologie entière.

Preuve. Si X ⊂ ℙ^{N} est algébrique projective, alors la restriction de la métrique de Fubini-Study à X est une métrique de Hodge. Inversement, si X possède une métrique de Hodge ω, la classe de cohomologie représentant {ω} dans H^{2}(X, ℤ) définit un fibré en droites complexe topologique (i.e. de classe C^{∞}), soit L. Comme ω est de type (1, 1), la suite exacte exponentielle (8.20)

H^{1}(X, 𝒪_{X}^{⋆}) → H^{2}(X, ℤ) → H^{2}(X, 𝒪) = H^{0,2}(X, ℂ)

montre qu’on peut représenter le fibré en droites L par un cocycle de H^{1}(X, 𝒪_{X}^{⋆}), en d’autres termes, L peut être muni d’une structure holomorphe. De plus, il existe une métrique hermitienne h sur L telle que \frac{i}{2π} Θ_{h}(L) = ω. Par conséquent L est ample et X est projective.

15.14. Exercice (conditions de Riemann caractérisant les variétés abéliennes). Un tore complexe X = ℂ^{n}/Γ est appelé variété abélienne si X est algébrique projective. Montrer en utilisant (15.13) qu’un tore X est une variété abélienne si et seulement si il existe une forme hermitienne définie positive H sur ℂ^{n} telle que Im H(γ_{1}, γ_{2}) ∈ ℤ pour tous γ_{1}, γ_{2} dans le réseau Γ. Indication : utiliser un procédé de moyennisation pour réduire la démonstration au cas de métriques kählériennes invariantes par translations. Observer que les tores réels ℤγ_{1} +ℤγ_{2} définissent un système de générateurs du groupe d’homologie H_{2}(X, ℤ) et que ∫_{ℤγ_{1}+ℤγ_{2}} ω = ω(γ_{1}, γ_{2}).

15.15. Exercice (solution du problème de Levi). Montrer que les deux propriétés suivantes sont équivalentes.

a) X est fortement pseudoconvexe, i.e. X admet une fonction d’exhaustion fortement psh.

b) X est de Stein, i.e. les fonctions holomorphes globales séparent les points, fournissent des systèmes de coordonnées locales en tout point, et X est holomorphiquement convexe (par définition, ceci signifie que pour toute suite discrète (z_{ν}) dans X il existe une fonction f ∈ H^{0}(X, 𝒪_{X}) telle que |f(z_{ν})| → ∞).

15.16. Remarque. Tant que l’on s’intéresse seulement au cas des formes de bidegré (n, q), n = dim X, les estimations L^{2} s’étendent aux espaces complexes possédant des singularités arbitraires. En effet, si X est un espace complexe et φ une fonction poids psh sur X, on peut encore définir un faisceau K_{X}(φ) sur X, tel que les sections de K_{X}(φ) sur un ouvert U sont les n-formes holomorphes f sur la partie régulière U ∩ X_{reg}, satisfaisant la condition d’intégrabilité i^{n^{2}}f ∧ \overline{f} e^{−2φ} ∈ L_{loc}^{1}(U). Dans ce contexte, la propriété de fonctorialité 15.5 s’écrit

μ_{⋆}(K_{X′}(φ ∘ μ)) = K_{X}(φ),

et elle est valable pour des espaces complexes X, X′ arbitraires, μ : X′ → X étant une modification. Si X est non singulier, on a K_{X}(φ) = 𝒪(K_{X}) ⊗ ℐ(φ), cependant, si X est singulier, le symboles K_{X} et ℐ(φ) ne doivent pas être dissociés. L’énoncé du théorème d’annulation de Nadel devient H^{q}(X, 𝒪(E) ⊗ K_{X}(φ)) = 0 pour q ⩾ 1, sous les mêmes hypothèses (X kählérien et faiblement pseudoconvexe, courbure de E ⩾ εω). La preuve s’obtient en restreignant toute la situation à X_{reg}. Bien qu’en général X_{reg} ne soit pas faiblement pseudoconvexe (une condition nécessaire pour qu’il le soit est que codim X_{sing} = 1), X_{reg} est toujours kählérien complet (le complémentaire d’un sous-ensemble analytique dans un espace kählérien faiblement pseudoconvexe est kählérien complet, voir par exemple [Dem82]). Par conséquent, le théorème d’annulation de Nadel est essentiellement insensible à la présence de singularités.

Nous déduisons maintenant une version algébrique du théorème d’annulation de Nadel obtenue indépendamment par Kawamata [Kaw82] et Viehweg [Vie82] (la preuve originale reposait sur une méthode différente, utilisant des revêtements cycliques pour ramener la situation au cas du théorème de Kodaira usuel). Avant d’énoncer le théorème, nous avons besoin d’une définition.

15.17. Définition. Un fibré en droites L sur une variété complexe compacte est dit gros si sa dimension de Kodaira est égale à n = dim X, c’est-à-dire, s’il existe une constante c > 0 telle que

H^{0}(X, 𝒪(kL)) ⩾ c k^{n}, k ⩾ k_{0}.

15.18. Définition. Un fibré en droites L sur une variété algébrique projective est dit numériquement effectif (nef en abrégé) si L satisfait l’une des trois propriétés équivalentes qui suivent :

a) Pour toute courbe algébrique irréductible C ⊂ X, on a L · C = ∫_{C} c_{1}(L) ⩾ 0.

b) Si A est un fibré en droites ample, alors kL + A est ample pour tout k ⩾ 0.

c) Pour tout ε > 0, il existe une métrique hermitienne h_{ε} de classe C^{∞} sur L telle que iΘ_{h_{ε}}(L) ⩾ −εω, où ω est une métrique hermitienne fixée sur X.

L’équivalence des propriétés 15.18 a) et b) est bien connue et nous l’admettrons ici (voir par exemple Hartshorne [Har70] pour la démonstration). Il est clair d’autre part que 15.18 c) implique 15.18 a), tandis que 15.18 b) implique 15.18 c) ; en effet si ω = \frac{i}{2π} Θ(A) est la courbure d’une métrique de A à courbure positive, et si h_{k} est une métrique sur L induisant une métrique à courbure positive sur kL+A, il vient k \frac{i}{2π} Θ(L) + \frac{i}{2π} Θ(A) > 0, d’où \frac{i}{2π} Θ(L) ⩾ −\frac{1}{k} ω. Maintenant, si D = ∑ α_{j}D_{j} ⩾ 0 est un ℚ-diviseur effectif, nous définissons le faisceau d’idéaux multiplicateurs ℐ(D) comme étant le faisceau ℐ(φ) associé à la fonction psh φ = ∑ α_{j} log |g_{j}| définie par des générateurs g_{j} de 𝒪(−D_{j}) ; d’après la remarque 15.6, le calcul de ℐ(D) peut se faire algébriquement en utilisant des désingularisations μ : X̃ → X telles que μ^{⋆}D devienne un diviseur à croisements normaux sur X̃.

15.19. Théorème d’annulation de Kawamata-Viehweg. Soit X une variété algébrique projective lisse et soit F un fibré en droites sur X tel que F possède un multiple mF s’écrivant sous la forme mF = L + D où L est un fibré en droites nef et gros, et D un diviseur effectif. Alors

H^{q}(X, 𝒪(K_{X} + F) ⊗ ℐ(m^{−1}D)) = 0 pour q ⩾ 1.

15.20. Corollaire. Si F est nef et gros, alors H^{q}(X, 𝒪(K_{X} + F)) = 0 pour q ⩾ 1.

Preuve. Soit A un diviseur très ample non singulier. On a une suite exacte

0 → H^{0}(X, 𝒪(kL − A)) → H^{0}(X, 𝒪(kL)) → H^{0}(A, 𝒪(kL)_{↾A}),

et dim H^{0}(A, 𝒪(kL)_{↾A}) ⩽ C k^{n−1} pour une certaine constante C ⩾ 0. Comme L est gros, il existe un entier k_{0} ≫ 0 tel que 𝒪(k_{0}L−A) possède une section non triviale. Si E est le diviseur de cette section, on obtient 𝒪(k_{0}L−A) ≃ 𝒪(E), donc 𝒪(k_{0}L) ≃ 𝒪(A + E). Maintenant, pour k ⩾ k_{0}, il vient 𝒪(kL) = 𝒪((k − k_{0})L + A + E).

D’après 15.18 b), le fibré en droites 𝒪((k − k_{0})L + A) est ample, donc il peut être muni d’une métrique hermitienne h_{k} = e^{−φ_{k}} de classe C^{∞} et de forme de courbure définie positive ω_{k} = \frac{i}{2π} Θ((k − k_{0})L + A). Soit φ_{D} = ∑ α_{j} log |g_{j}| le poids de la métrique singulière sur 𝒪(D) décrite dans l’exemple 11.21, telle que \frac{i}{2π} Θ(𝒪(D)) = [D], et de façon analogue, soit φ_{E} le poids tel que \frac{i}{2π} Θ(𝒪(E)) = [E]. On définit une métrique singulière sur 𝒪(kL) = 𝒪((k −k_{0})L+A+E) au moyen du poids φ_{k} + φ_{E}, et on obtient alors une métrique singulière sur 𝒪(mF) = 𝒪(L + D) en considérant le poids \frac{1}{k} (φ_{k} + φ_{E}) + φ_{D}. Finalement, on obtient une métrique sur F de poids

φ_{F} = \frac{1}{km}(φ_{k} + φ_{E}) + \frac{1}{m}φ_{D}.

La forme de courbure correspondante est

\frac{i}{2π} Θ(F) = \frac{1}{km}(ω_{k} + [E]) + \frac{1}{m}[D] ⩾ \frac{1}{km}ω_{k} > 0.

De plus φ_{F} a des singularités algébriques, et en prenant k assez grand il vient

ℐ(φ_{F}) = ℐ(\frac{1}{km}E + \frac{1}{m}D) = ℐ(\frac{1}{m}D).

En effet, ℐ(φ_{F}) se calcule en prenant la partie entière d’un ℚ-diviseur à croisements normaux, obtenu au moyen d’une modification adéquate (comme il a été expliqué à la remarque 15.6). Le diviseur \frac{1}{km}E + \frac{1}{m}D fournit donc la même partie entière que \frac{1}{m}D lorsque k est grand. Le théorème de Nadel implique alors le résultat d’annulation désiré pour tout q ⩾ 1.

16. Sur la conjecture de Fujita

Etant donné un fibré en droites L ample, une question fondamentale est de déterminer un entier effectif m_{0} tel que mL soit très ample pour m ⩾ m_{0}. L’exemple où X est une courbe hyperelliptique de genre g et où L = 𝒪(p) est associé à un des 2g + 2 points de Weierstrass montre que m_{0} doit être au moins égal à 2g+1 (on vérifie par ailleurs assez facilement que m_{0} = 2g+1 répond toujours à la question pour une courbe). Il en résulte que m_{0} doit nécessairement dépendre de la géométrie de X, et ne peut pas dépendre seulement de la dimension de X. Cependant, lorsque mL est remplacé par le fibré en droites “adjoint” K_{X} + mL, une réponse universelle simple semble pouvoir se dégager.

16.1. Conjecture de Fujita ([Fuj87]). Si L est un fibré en droites ample sur une variété projective de dimension n, alors

i) K_{X} + (n + 1)L est engendré par ses sections globales ;

ii) K_{X} + (n + 2)L est très ample.

Les bornes prédites par la conjecture sont optimales pour (X, L) = (ℙ^{n}, 𝒪(1)), puisqu’on a alors K_{X} = 𝒪(−n − 1). La conjecture est facile à vérifier dans le cas des courbes (exercice !), et I. Reider [Rei88] a résolu la conjecture par l’affirmative dans le cas n = 2. Ein-Lazarsfeld [EL93] et Fujita [Fuj93] sont parvenus à établir la partie i) en dimension 3, et un raffinement très poussé de leur technique a permis à Kawamata [Kaw95] d’atteindre aussi le cas de la dimension 4^{1}. Les autres cas de la conjecture, à savoir i) pour n ⩾ 5 et ii) pour n ⩾ 3, restent pour l’instant non résolus. Le premier pas en direction de la conjecture pour la dimension n quelconque a été réalisé en 1991 (travail paru 2 ans plus tard dans [Dem93]), au moyen d’une méthode analytique reposant sur la résolution d’une équation de Monge-Ampère. D’autres résultats similaires ont été obtenus par Kollár [Kol92] par des méthodes entièrement algébriques ; nous renvoyons à [Laz93] pour un excellent article de synthèse consacré à ces développements, ainsi qu’à [Dem94] pour le versant analytique de la théorie.

Ce paragraphe est consacré à la démonstration de quelques résultats liés à la conjecture de Fujita en dimension arbitraire. Les idées principales mises en jeu ici sont inspirées d’un travail récent de Y.T. Siu [Siu96]. La méthode de Siu, qui est de nature algébrique et relativement élémentaire, consiste à combiner la formule de Riemann-Roch avec le théorème d’annulation de Kawamata-Viehweg (il sera cependant beaucoup plus commode d’utiliser ce théorème dans la formulation de Nadel faisant intervenir le faisceau d’idéaux multiplicateurs). Dans toute la suite, X désigne une variété projective algébrique de dimension n. La première observation utile est la conséquence classique suivante de la formule de Riemann-Roch :

16.2. Cas particulier de la formule de Riemann-Roch. Soit 𝒥 ⊂ 𝒪_{X} un faisceau d’idéaux cohérent sur X tel que la variété des zéros V (𝒥) soit de dimension d (avec éventuellement des composantes de dimension plus basse). Soit Y = ∑ λ_{j}Y_{j} le cycle algébrique effectif de dimension d associé aux composantes de dimension d de V (𝒥) (les multiplicités λ_{j} prennent en compte les multiplicités de l’idéal 𝒥 le long de chaque composante). Alors, pour tout fibré en droites E, la caractéristique d’Euler χ(X, 𝒪(E + mL) ⊗ 𝒪_{X}/𝒪(𝒥)) est un polynôme P (m) de degré d et de coefficient directeur L^{d} · Y/d!

Le deuxième fait utile est un lemme élémentaire concernant les polynômes numériques (polynômes à coefficients rationnels, définissant une application de ℤ dans ℤ).

16.3. Lemme. Soit P (m) un polynôme numérique de degré d > 0 et de coefficient directeur a_{d}/d!, a_{d} ∈ ℤ, a_{d} > 0. On suppose que P (m) ⩾ 0 pour tout m ⩾ m_{0}. Alors

a) Pour tout N ⩾ 0, il existe m ∈ [m_{0}, m_{0} + Nd] tel que P (m) ⩾ N.

b) Pour tout k ∈ ℕ, il existe m ∈ [m_{0}, m_{0} + kd] tel que P (m) ⩾ a_{d}k^{d}/2^{d−1}.

c) Pour tout N ⩾ 2d^{2}, il existe m ∈ [m_{0}, m_{0} + N] tel que P (m) ⩾ N.

1 La technique de Fujita [Fuj93] et Kawamata [Kaw95] vient d’être considérablement simplifiée et clarifiée par S. Helmke [Hel96].

Preuve. a) Chacune des N équations P (m) = 0, P (m) = 1, …, P (m) = N − 1 a au plus d racines, donc il y a nécessiarement un entier m ∈ [m_{0}, m_{0} + dN] qui n’est pas une racine de ces équations.

b) Grâce à la formule de Newton pour les différences itérées ΔP (m) = P (m + 1) − P (m), nous obtenons

Δ^{d}P (m) = ∑_{1⩽j⩽d}(−1)^{j}\binom{d}{j}P (m + d − j) = a_{d}, ∀m ∈ ℤ.

Par suite, si j ∈ {0, 2, 4, …, 2⌊d/2⌋} ⊂ [0, d] est l’entier pair réalisant le maximum de P (m_{0} + d − j) sur cet ensemble fini, nous obtenons

2^{d−1}P (m_{0} + d − j) = (\binom{d}{0} + \binom{d}{2} + ⋯) P (m_{0} + d − j) ⩾ a_{d},

d’où l’existence d’un entier m ∈ [m_{0}, m_{0} + d] avec P (m) ⩾ a_{d}/2^{d−1}. Le résultat est donc démontré pour k = 1. Dans le cas général, nous appliquons ce résultat particulier au polynôme Q(m) = P (km − (k − 1)m_{0}), dont le coefficient directeur est a_{d}k^{d}/d!

c) Si d = 1, la partie a) donne déjà le résultat. Si d = 2, un coup d’oeil à la parabole montre que

max_{m∈[m_{0},m_{0}+N]} P (m) ⩾ \{ \begin{matrix}a_{2}N^{2}/8 & si N est pair, \\ a_{2}(N^{2} − 1)/8 & si N est impair ; \end{matrix}

donc max_{m∈[m_{0},m_{0}+N]} P (m) ⩾ N chaque fois que N ⩾ 8. Si d ⩾ 3, nous appliquons b) avec k égal au plus petit entier tel que k^{d}/2^{d−1} ⩾ N, i.e. k = ⌈2(N/2)^{1/d}⌉, où ⌈x⌉ ∈ ℤ désigne l’entier arrondi par excès. Alors

kd ⩽ (2(N/2)^{1/d} + 1)d ⩽ N

dès que N ⩾ 2d^{2}, comme on le voit après un bref calcul.

Nous appliquons maintenant le théorème d’annulation de Nadel d’une manière analogue à celle de Siu [Siu96], avec quelques simplifications dans la technique et quelques améliorations pour les bornes. Notre méthode donne simultanément une preuve simple d’un résultat fondamental classique dû à Fujita.

16.4. Théorème (Fujita). Si L est un fibré en droites ample sur une variété projective X de dimension n, alors K_{X} + (n + 1)L est nef.

En utilisant la théorie de Mori et le “base point free theorem” ([Mor82], [Kaw84]), on peut montrer en fait que K_{X} + (n + 1)L est semi-ample, c’est-à-dire qu’il existe un entier positif m tel que m(K_{X} + (n + 1)L) soit engendré par ses sections (voir [Kaw85] et [Fuj87]). La preuve repose sur l’observation que n + 1 est la longueur maximale des rayons extrêmaux de variétés projectives lisses de dimension n. Notre démonstration de (16.4) est différente et s’obtient en même temps que la démonstration du th. (16.5) ci-dessous.

16.5. Théorème. Soit L un fibré en droites ample et soit G un fibré en droites nef sur une variété projective X de dimension n. On a alors les propriétés suivantes.

a) 2K_{X} + mL + G engendre les jets simultanés d’ordre s_{1}, …, s_{p} ∈ ℕ en des points arbitraires x_{1}, …, x_{p} ∈ X, i.e., il existe une application surjective

H^{0}(X, 𝒪(2K_{X} + mL + G)) ⟶ ⟶ ⨁_{1⩽j⩽p} 𝒪(2K_{X} + mL + G) ⊗ 𝒪_{X,x_{j}}/𝔪_{X,x_{j}}^{s_{j}+1},

dès que m ⩾ 2 + ∑_{1⩽j⩽p} \binom{3n + 2s_{j} − 1}{n}.

En particulier 2K_{X} + mL + G est très ample pour m ⩾ 2 + \binom{3n + 1}{n}.

b) 2K_{X} + (n + 1)L + G engendre les jets simultanés d’ordre s_{1}, …, s_{p} en des points arbitraires x_{1}, …, x_{p} ∈ X dès que les nombres d’intersection L^{d} · Y de L sur tous les sous-ensembles algébriques Y de X de dimension d sont tels que

L^{d} · Y > \frac{2^{d−1}}{⌊n/d⌋^{d}} ∑_{1⩽j⩽p} \binom{3n + 2s_{j} − 1}{n}.

Preuve. Les démonstrations de (16.4) et (16.5 a, b) sont tout à fait parallèles, c’est pourquoi nous les présenterons simultanément (dans le cas de (16.4), on convient simplement que {x_{1}, …, x_{p}} = ∅). L’idée est de trouver un entier (ou un rationnel) m_{0} et une métrique hermitienne singulière h_{0} sur K_{X} + m_{0}L dont le courant de courbure est strictement positif, iΘ_{h_{0}} ⩾ εω, telle que V (ℐ(h_{0})) soit de dimension 0 et telle que le poids φ_{0} de h_{0} satisfasse ν(φ_{0}, x_{j}) ⩾ n + s_{j} pour tout j. Comme L et G sont nefs, 15.18 c) implique que (m − m_{0})L + G possède pour tout m ⩾ m_{0} une métrique h′ dont la courbure iΘ_{h′} a une partie négative arbitrairement petite, disons iΘ_{h′} ⩾ −\frac{ε}{2}ω. Alors iΘ_{h_{0}} + iΘ_{h′} ⩾ \frac{ε}{2}ω est positive définie. Une application du Cor. 15.9 à F = K_{X} + mL + G = (K_{X} + m_{0}L) + ((m − m_{0})L + G) muni de la métrique h_{0} ⊗ h′ garantit l’existence des sections de K_{X} + F = 2K_{X} + mL + G réalisant les jets désirés pour m ⩾ m_{0}.

Fixons un plongement Φ_{|μL|} : X → ℙ^{N}, μ ≫ 0, donné par des sections λ_{0}, …, λ_{N} ∈ H^{0}(X, μL), et soit h_{L} la métrique associée sur L, de forme de courbure définie positive ω = Θ(L). Pour obtenir la métrique désirée h_{0} sur K_{X} +m_{0}L, on fixe un entier a ∈ ℕ^{⋆} et on utilise une procédé de récurrence double pour construire des métriques singulières (h_{k,ν})_{ν⩾1} sur aK_{X} + b_{k}L, pour une suite décroissante (au sens large) d’entiers positifs b_{1} ⩾ b_{2} ⩾ ⋯ ⩾ b_{k} ⩾ · · ·. Une telle suite est nécessairement stationnaire et m_{0} sera précisément la limite stationnaire m_{0} = lim b_{k}/a. Les métriques h_{k,ν} sont choisies de sorte qu’elles satisfassent les propriétés suivantes : α) h_{k,ν} est une métrique “algébrique” de la forme

∥ξ∥_{h_{k,ν}}^{2} = \frac{|τ_{k}(ξ)|^{2}}{( ∑_{1⩽i⩽ν, 0⩽j⩽N} |τ_{k}^{(a+1)μ}(σ_{i}^{aμ} · λ_{j}^{(a+1)b_{k}−am_{i}})|^{2})^{1/(a+1)μ}} ,

définie par des sections σ_{i} ∈ H^{0}(X, 𝒪((a + 1)K_{X} + m_{i}L)), m_{i} < \frac{a+1}{a}b_{k}, 1 ⩽ i ⩽ ν, où ξ ↦ τ_{k}(ξ) est une trivialisation locale arbitraire de aK_{X} + b_{k}L ;

notons que σ_{i}^{aμ} · λ_{j}^{(a+1)b_{k}−am_{i}} est une section de

aμ((a + 1)K_{X} + m_{i}L) + ((a + 1)b_{k} − am_{i})μL = (a + 1)μ(aK_{X} + b_{k}L).

β) ord_{x_{j}}(σ_{i}) ⩾ (a + 1)(n + s_{j}) pour tout i, j ;

γ) ℐ(h_{k,ν+1}) ⊃ ℐ(h_{k,ν}) et ℐ(h_{k,ν+1}) ≠ ℐ(h_{k,ν}) tant que la variété des zéros V (ℐ(h_{k,ν})) est de dimension positive.

Le poids φ_{k,ν} = \frac{1}{2(a+1)μ} log ∑ |τ_{k}^{(a+1)μ}(σ_{i}^{aμ} · λ_{j}^{(a+1)b_{k}−am_{i}})|^{2} de h_{k,ν} est plurisousharmonique et la condition m_{i} < \frac{a+1}{a}b_{k} implique (a + 1)b_{k} − am_{i} ⩾ 1, donc la différence φ_{k,ν} − \frac{1}{2(a+1)μ} log ∑ |τ(λ_{j})|^{2} est aussi plurisousharmonique. Par suite \frac{i}{2π} Θ_{h_{k,ν}} (aK_{X} + b_{k}L) = \frac{i}{π} d′d′′φ_{k,ν} ⩾ \frac{1}{(a+1)}ω. De plus, la condition β) implique clairement ν(φ_{k,ν}, x_{j}) ⩾ a(n + s_{j}). Finalement, la condition γ) combinée avec la propriété noethérienne forte des faisceaux cohérents garantit que la suite (h_{k,ν})_{ν⩾1} va finalement produire un sous-schéma V (ℐ(h_{k,ν})) de dimension 0. On convient que la suite (h_{k,ν})_{ν⩾1} s’arrête à ce point, et on note h_{k} = h_{k,ν} la métrique finale ainsi atteinte, telle que dim V (ℐ(h_{k})) = 0.

Pour k = 1, il est clair que les métriques désirées (h_{1,ν})_{ν⩾1} existent si b_{1} est choisi assez grand (disons tel que (a + 1)K_{X} + (b_{1} − 1)L engendre les jets d’ordre (a+1)(n+max s_{j}) en tout point ; alors les sections σ_{1}, …, σ_{ν} peuvent être choisie telles que m_{1} = ⋯ = m_{ν} = b_{1} − 1). Supposons que les métriques (h_{k,ν})_{ν⩾1} et h_{k} aient déjà été construites et procédons à la construction de (h_{k+1,ν})_{ν⩾1}. On utilise de nouveau une récurrence sur ν, en supposant que h_{k+1,ν} est déjà construite et que dim V (ℐ(h_{k+1,ν})) > 0. Nous commencerons en fait la récurrence par ν = 0, et convenons dans ce cas que ℐ(h_{k+1,0}) = 0 (ceci correspondrait à une métrique infinie de poids identiquement égal à −∞). Grâce au théorème d’annulation de Nadel appliqué à F_{m} = aK_{X} + mL = (aK_{X} + b_{k}L) + (m − b_{k})L pour la métrique h_{k} ⊗ (h_{L})^{⊗m−b_{k}}, nous obtenons

H^{q}(X, 𝒪((a + 1)K_{X} + mL) ⊗ ℐ(h_{k})) = 0 pour q ⩾ 1, m ⩾ b_{k}.

Comme V (ℐ(h_{k})) est de dimension 0, le faisceau 𝒪_{X}/ℐ(h_{k}) est un faisceau gratteciel, et la suite exacte 0 → ℐ(h_{k}) → 𝒪_{X} → 𝒪_{X}/ℐ(h_{k}) → 0 tordue par le faisceau inversible 𝒪((a + 1)K_{X} + mL) montre que

H^{q}(X, 𝒪((a + 1)K_{X} + mL)) = 0 pour q ⩾ 1, m ⩾ b_{k}.

De manière analogue, nous trouvons

H^{q}(X, 𝒪((a + 1)K_{X} + mL) ⊗ ℐ(h_{k+1,ν})) = 0 pour q ⩾ 1, m ⩾ b_{k+1}

(c’est aussi vrai pour ν = 0, puisque ℐ(h_{k+1,0}) = 0), et lorsque

m ⩾ max(b_{k}, b_{k+1}) = b_{k},

la suite exacte 0 → ℐ(h_{k+1,ν}) → 𝒪_{X} → 𝒪_{X}/ℐ(h_{k+1}, ν) → 0 implique

H^{q}(X, 𝒪((a + 1)K_{X} + mL) ⊗ 𝒪_{X}/ℐ(h_{k+1,ν})) = 0 pour q ⩾ 1, m ⩾ b_{k}.

En particulier, puisque le groupe H^{1} ci-dessus s’annule, toute section u′ de (a + 1)K_{X} + mL sur le sous-schéma V (ℐ(h_{k+1,ν})) possède une extension u à X. Fixons une base u′_{1}, …, u′_{N} des sections de ce faisceau sur V (ℐ(h_{k+1,ν})) et prenons des extensions arbitraires u_{1}, …, u_{N} à X. Considérons l’application linéaire attribuant à chaque section u sur X la collection des jets d’ordre (a+1)(n+s_{j})−1 aux points x_{j}, soit

u = ∑_{1⩽j⩽N} a_{j}u_{j} ⟼ ⨁ J_{x_{j}}^{(a+1)(n+s_{j})−1}(u).

Puisque le rang du fibré des s-jets est \binom{n+s}{n}, l’espace cible est de dimension

δ = ∑_{1⩽j⩽p} \binom{n + (a + 1)(n + s_{j}) − 1}{n}.

Pour obtenir une section σ_{ν+1} = u satisfaisant la condition β) et ayant une restriction non triviale σ′_{ν+1} à V (ℐ(h_{k+1,ν})), nous avons besoin d’au moins N = δ + 1 sections indépendantes u′_{1}, …, u′_{N}. Cette condition va être réalisée en appliquant le lemme (16.3) au polynôme numérique

\begin{aligned}P (m) & = χ(X, 𝒪((a + 1)K_{X} + mL) ⊗ 𝒪_{X}/ℐ(h_{k+1,ν})) \\ & = h^{0}(X, 𝒪((a + 1)K_{X} + mL) ⊗ 𝒪_{X}/ℐ(h_{k+1,ν})) ⩾ 0, m ⩾ b_{k}. \end{aligned}

Le polynôme P est de degré d = dim V (ℐ(h_{k+1,ν})) > 0. Nous obtenons donc l’existence d’un entier m ∈ [b_{k}, b_{k} + η] tel que N = P (m) ⩾ δ + 1, pour un certain entier explicite η ∈ ℕ (par exemple η = n(δ +1) convient toujours d’après (16.3 a), mais il sera également important d’utiliser les autres possibilités pour optimiser les choix). Nous trouvons alors une section σ_{ν+1} ∈ H^{0}(X, (a+1)K_{X} +mL) ayant une restriction non triviale σ′_{ν+1} à V (ℐ(h_{k+1,ν})), s’annulant à un ordre ⩾ (a+1)(n+s_{j}) en chaque point x_{j}. On pose alors m_{ν+1} = m, et la condition m_{ν+1} < \frac{a+1}{a}b_{k+1} est réalisée si b_{k} + η < \frac{a+1}{a}b_{k+1}. Ceci montre qu’on peut choisir par récurrence

b_{k+1} = ⌊\frac{a}{a + 1}(b_{k} + η)⌋ + 1.

Par définition, h_{k+1,ν+1} ⩽ h_{k+1,ν}, donc ℐ(h_{k+1,ν+1}) ⊃ ℐ(h_{k+1,ν}). On a nécessairement ℐ(h_{k+1,ν+1}) ≠ ℐ(h_{k+1,ν}), car ℐ(h_{k+1,ν+1}) contient le faisceau d’idéaux associé au diviseur des zéros de σ_{ν+1}, alors que σ_{ν+1} ne s’annule pas identiquement sur V (ℐ(h_{k+1,ν})). Maintenant, un calcul facile montre que la suite itérée b_{k+1} = ⌊\frac{a}{a+1}(b_{k} + η)⌋ + 1 stationne à la valeur limite b_{k} = a(η + 1) + 1, pour toute valeur initiale b_{1} supérieure à cette limite. De cette manière, on obtient une métrique h_{∞} à courbure définie positive sur aK_{X} + (a(η + 1) + 1)L, telle que dim V (ℐ(h_{∞})) = 0 et ν(φ_{∞}, x_{j}) ⩾ a(n + s_{j}) en chaque point x_{j}. Preuve de (16.4). Dans ce cas, l’ensemble {x_{j}} est pris égal à l’ensemble vide, donc δ = 0. Grâce à (16.3 a), la condition P (m) ⩾ 1 est réalisée pour au moins un entier m ∈ [b_{k}, b_{k} + n], donc on peut prendre η = n. Comme μL est très ample, μL possède une métrique ayant un pôle logarithmique isolé de nombre de Lelong 1 en tout point x_{0} donné (par exemple, la métrique algébrique définie par les sections de μL s’annulant en x_{0}). Donc

F′_{a} = aK_{X} + (a(n + 1) + 1)L + nμL

possède une métrique h′_{a} tel que V (ℐ(h′_{a})) soit de dimension zéro et contienne {x_{0}}. Grâce au Cor. (15.9), on conclut que

K_{X} + F′_{a} = (a + 1)K_{X} + (a(n + 1) + 1 + nμ)L

est engendré par ses sections, en particulier K_{X} + \frac{a(n+1)+1+nμ}{a+1}L est nef. Lorsque a tend vers +∞, on en déduit que K_{X} + (n + 1)L est nef. Preuve de (16.5 a). Il suffit ici de choisir a = 1. Alors

δ = ∑_{1⩽j⩽p} \binom{3n + 2s_{j} − 1}{n}.

Si \{x_{j}\} ≠ ∅, on a δ + 1 ⩾ \binom{3n−1}{n} + 1 ⩾ 2n^{2} pour n ⩾ 2. Le lemme (16.3 c) montre que P (m) ⩾ δ + 1 pour au moins un m ∈ [b_{k}, b_{k} + η] avec η = δ + 1. On peut commencer la procédure de récurrence k ↦ k + 1 avec b_{1} = η + 1 = δ + 2, parce que la seule propriété nécessaire pour l’étape de récurrence est la propriété d’annulation

H^{q}(X, 2K_{X} + mL) = 0 pour q ⩾ 1, m ⩾ b_{1},

qui est réalisée d’après le théorème d’annulation de Kodaira et la propriété d’amplitude de K_{X} +b_{1}L (on utilise ici le résultat de Fujita (16.4), en observant que b_{1} > n+1). La formule récursive b_{k+1} = ⌊\frac{1}{2}(b_{k}+η)⌋+1 donne alors b_{k} = η+1 = δ+2 pour tout k, et (16.5 a) s’ensuit. Preuve de (16.5 b). Tout à fait similaire à (16.5 a), sauf que nous choisissons η = n, a = 1 et b_{k} = n + 1 pour tout k. Grâce au lemme (16.3 b), nous avons P (m) ⩾ a_{d}k^{d}/2^{d−1} pour au moins un entier m ∈ [m_{0}, m_{0} + kd], où a_{d} > 0 est le coefficient de plus haut degré de P. Grâce au lemme (16.2), on a a_{d} ⩾ inf_{dim Y =d} L^{d} ·Y. Prenons k = ⌊n/d⌋. La condition P (m) ⩾ δ +1 peut alors être réalisée pour un entier m ∈ [m_{0}, m_{0} + kd] ⊂ [m_{0}, m_{0} + n], pourvu que

inf_{dim Y =d} L^{d} · Y ⌊n/d⌋^{d}/2^{d−1} > δ,

ce qui est équivalent à la condition donnée en (16.5 b).

L’inconvénient de la technique décrite plus haut est qu’on doit nécessairement faire intervenir des multiples de L pour éviter les zéros du polynôme de Hilbert, en particulier il n’est pas possible d’obtenir directement un critère de grande amplitude pour 2K_{X} + L dans l’énoncé de (16.5 b). Un tel critère peut néanmoins être obtenu à l’aide du lemme élémentaire suivant.

16.6. Lemme. Supposons qu’il existe un entier μ ∈ ℕ^{⋆} tel que μF engendre simultanément tous les jets d’ordre μ(n + s_{j}) + 1 en tout point x_{j} d’un sousensemble {x_{1}, …, x_{p}} ⊂ X. Alors K_{X} + F engendre simultanément tous les jets d’ordre s_{j} aux points x_{j}.

Preuve. Choisissons la métrique algébrique sur F définie par une base σ_{1}, …, σ_{N} de l’espace des sections de μF qui s’annuler à l’ordre μ(n + s_{j}) + 1 en tout point x_{j}. Puisque nous sommes encore libres de choisir le terme homogène de degré μ(n + s_{j}) + 1 dans le développement de Taylor de ces sections aux points x_{j}, nous voyons que x_{1}, …, x_{p} sont des zéros isolés de ⋂ σ_{j}^{−1}(0). Si φ est le poids de la métrique de F près de x_{j}, nous avons donc φ(z) ∼ (n + s_{j} + \frac{1}{μ}) log |z − x_{j}| dans des coordonnées convenables. Remplaçons φ au voisinage de x_{j} par

φ′(z) = max (φ(z) , |z|^{2} − C + (n + s_{j}) log |z − x_{j}|)

et laissons φ inchangée partout ailleurs (c’est possible en prenant C > 0 suffisamment grand). Alors φ′(z) = |z|^{2} − C + (n + s_{j}) log |z − x_{j}| au voisinage de x_{j}, en particulier φ′ est strictement plurisousharmonique près de x_{j}. De cette manière, nous obtenons une métrique h′ sur F à courbure semi-positive partout sur X, et à courbure définie positive sur un voisinage de {x_{1}, …, x_{p}}. La conclusion résulte alors d’une application directe des estimations L^{2} (14.2).

16.7. Théorème. Soient X une variété projective de dimension n et L un fibré en droites ample sur X. Alors 2K_{X} + L engendre simultanément les jets d’ordre s_{1}, …, s_{p} en des points arbitraires x_{1}, …, x_{p} ∈ X dès que les nombres d’intersection L^{d} · Y de L sur tous les sous-ensembles algébriques Y ⊂ X de dimension d sont tels que

L^{d} · Y > \frac{2^{d−1}}{⌊n/d⌋^{d}} ∑_{1⩽j⩽p} \binom{(n + 1)(4n + 2s_{j} + 1) − 2}{n}, 1 ⩽ d ⩽ n.

Preuve. Le lemme (16.6) appliqué avec F = K_{X} + L et μ = n + 1 montre que la propriété désirée pour les jets de 2K_{X} +L a lieu si (n+1)(K_{X} +L) engendre les jets d’ordre (n + 1)(n + s_{j}) + 1 aux points x_{j}. Le lemme (16.6) appliqué de nouveau avec F = pK_{X} + (n + 1)L et μ = 1 montre par récurrence descendante sur p qu’il suffit que F engendre tous les jets d’ordre (n + 1)(n + s_{j}) + 1 + (n + 1 − p)(n + 1) aux points x_{j}. En particulier, pour 2K_{X} + (n + 1)L il suffit d’obtenir tous les jets d’ordre (n + 1)(2n + s_{j} − 1) + 1. Le th. (16.5 b) donne alors la condition désirée.

Mentionnons pour terminer quelques conséquences immédiates du th. 16.5, obtenues en prenant L = ±K_{X}.

16.8. Corollaire. Soit X une variété projective de type général, avec K_{X} ample et dim X = n. Alors mK_{X} est très ample pour m ⩾ m_{0} = \binom{3n+1}{n} + 4.

16.9. Corollaire. Soit X une variété de Fano (c’est-à-dire une variété projective telle que −K_{X} soit ample), de dimension n. Alors −mK_{X} est très ample pour m ⩾ m_{0} = \binom{3n+1}{n}.

17. Une version effective du grand théorème de Matsusaka

Nous abordons ici le problème de trouver un entier explicite m_{0} tel que mL soit très ample pour m ⩾ m_{0}. L’existence d’une telle borne m_{0} ne dépendant que de la dimension et des coefficients du polynôme de Hilbert de L a été démontrée dans un premier temps par Matsusaka [Mat72], puis Kollár et Matsusaka [KoM83] ont montré qu’on pouvait trouvait trouver une borne m_{0} = m_{0}(n, L^{n}, K_{X} · L^{n−1}) dépendant seulement de n = dim X et des deux premiers coefficients. Récemment, Siu [Siu93] a obtenu une version effective du même résultat fournissant une borne explicite m_{0} “raisonnable” (bien que cette borne soit malheureusement encore loin d’être optimale). Nous nous proposons ici d’expliquer la méthode de Siu, à partir des simplifications et améliorations suggérées dans [Dem96]. Le point de départ est le lemme suivant.

17.1. Lemme. Soient F et G des fibrés en droites nefs sur X. Si F^{n} > n F^{n−1} ·G, tout multiple positif k(F − G) admet une section non triviale pour k ⩾ k_{0} assez grand.

Preuve. Le lemme peut se démontrer comme cas particulier des inégalités de Morse holomorphes (voir [Dem85], [Tra95], [Siu93], [Ang95]). Nous en donnons ici une preuve simple, suivant une suggestion de F. Catanese. On peut supposer que F et G sont très amples (sinon, il suffit de remplacer F et G par F′ = pF + A et G′ = pG + A avec A très ample et suffisamment positif pour entraîner la grande amplitude de toute somme avec un fibré nef, puis de choisir p > 0 assez grand pour que F′ et G′ satisfassent la même hypothèse numérique que F et G). Alors 𝒪(k(F −G)) ≃ 𝒪(kF −G_{1} −⋯−G_{k}) pour des éléments arbitraires G_{1}, …, G_{k} du système linéaire |G|. Si on choisit de tels éléments G_{j} en position générale, le lemme résulte de la formule de Riemann-Roch appliquée au morphisme de restriction H^{0}(X, 𝒪(kF)) → ⨁ H^{0}(G_{j}, 𝒪(kF_{↾G_{j}}).

17.2. Corollaire. Soient F et G des fibrés en droites nefs sur X. Si F est gros et si m > n F^{n−1} · G/F^{n}, alors 𝒪(mF − G) peut être muni d’une métrique hermitienne h (peut être singulière), ayant une forme courbure définie positive, i.e. telle que Θ_{h}(mF − G) ⩾ εω, ε > 0, pour une métrique kählérienne ω.

Preuve. En fait, si A est ample et ε ∈ ℚ_{+} est assez petit, le lemme (17.1) implique qu’un certain multiple k(mF − G − εA) admet une section. Soit E le diviseur de cette section et soit ω = Θ(A) ∈ c_{1}(A) une métrique kählérienne représentant la forme de courbure de A. Alors mF − G ≡ εA + \frac{1}{k} E peut être muni d’une métrique singulière h de forme de courbure Θ_{h}(mF − G) = εΘ(A) + \frac{1}{k} [E] ⩾ εω.

Nous considérons maintenant le problème d’obtenir une section non triviale de mL. L’idée de [Siu93] est d’obtenir plus généralement un critère pour l’amplitude de mL − B quand B est nef. De cette manière, on pourra soustraire de mL tout multiple non désiré de K_{X} qui se trouverait sinon ajouté à L par application du théorème d’annulation de Nadel (pour cela, on remplace simplement B par B plus un multiple de K_{X} + (n + 1)L).

17.3. Proposition. Soit L un fibré en droite ample sur une variété X projective de dimension n, et soit B un fibré en droites nef sur X. Alors K_{X} +mL−B admet une section non nulle pour un entier m tel que

m ⩽ n \frac{L^{n−1} · B}{L^{n}} + n + 1.

Preuve. Soit m_{0} le plus petit entier > n \frac{L^{n−1}·B}{L^{n}}. Alors m_{0}L − B peut être équipé d’une métrique hermitienne singulière h de courbure définie positive. Grâce au théorème d’annulation de Nadel, on obtient

H^{q}(X, 𝒪(K_{X} + mL − B) ⊗ ℐ(h)) = 0 for q ⩾ 1,

donc P (m) = h^{0}(X, 𝒪(K_{X} + mL − B) ⊗ ℐ(h)) est un polynôme pour m ⩾ m_{0}. Puisque P est un polynôme de degré n qui n’est pas identiquement nul, il existe un entier m ∈ [m_{0}, m_{0} + n] qui n’en est pas racine. Donc il existe une section non triviale de

H^{0}(X, 𝒪(K_{X} + mL − B)) ⊃ H^{0}(X, 𝒪(K_{X} + mL − B) ⊗ ℐ(h))

pour un certain m ∈ [m_{0}, m_{0} + n], comme annoncé.

17.4. Corollaire. Si L est ample et B est nef, mL − B possède une section non nulle pour au moins un entier

m ⩽ n(\frac{L^{n−1} · B + L^{n−1} · K_{X}}{L^{n}} + n + 1).

Preuve. D’après le résultat de Fujita (16.4), K_{X} + (n + 1)L est nef. Nous pouvons donc remplacer B par B + K_{X} + (n + 1)L dans le résultat de la prop. (17.3). Le corollaire (17.4) s’ensuit.

17.5. Remarque. Nous ne savons pas si la borne obtenue dans le corollaire ci-dessus est optimale, mais elle n’est certainement pas très loin de l’être. En effet, même pour B = 0, le facteur multiplicatif n ne peut être remplacée par un nombre plus petit que n/2 : pour le voir, prenons par exemple pour X un produit C_{1} × ⋯ × C_{n} de courbes C_{j} de genre g_{j} assez grand, et L = 𝒪(a_{1}[p_{1}]) ⊗ ⋯ ⊗ 𝒪(a_{n}[p_{n}]), B = 0. Notre condition suffisante pour que |mL| ≠ ∅ devient dans ce cas m ⩽ ∑(2g_{j} − 2)/a_{j} + n(n + 1), tandis que pour un choix générique des p_{j} le fibré mL n’admet de sections que si ma_{j} ⩾ g_{j} pour tout j. L’imprécision de notre inégalité joue donc au plus sur un facteur multiplicatif 2 quand a_{1} = ⋯ = a_{n} = 1 et g_{1} ≫ g_{2} ≫ ⋯ ≫ g_{n} → +∞. D’autre part, la constante additive n + 1 est déjà la meilleure possible lorsque B = 0 et X = ℙ^{n}.

Jusqu’à ce point, la méthode n’était pas réellement sensible à la présence de singularités (le lemme (17.1) est encore vrai dans le cas singulier comme on le voit aisément en utilisant une désingularisation de X). De même, comme on l’a observé à la remarque (15.16), le théorème d’annulation de Nadel reste encore essentiellement valable. La prop. (17.3) peut alors être généralisée comme suit :

17.6. Proposition. Soit L un fibré en droites ample sur une variété X projective de dimension n, et soit B un fibré en droites nef sur X. Pour tout sous-variété algébrique (réduite) Y de X de dimension p, il existe un entier

m ⩽ p\frac{L^{p−1} · B · Y}{L^{p} · Y} + p + 1

tel que le faisceau ω_{Y} ⊗ 𝒪_{Y} (mL − B) ait une section non nulle.

Grâce à un procédé de récurrence adéquat reposant sur les résultats ci-dessus, nous pouvons maintenant améliorer la borne effective obtenue par Siu [Siu93] pour le grand théorème de Matsusaka. Notre énoncé dépendra du choix d’une constante λ_{n} telle que m(K_{X} + (n + 2)L) + G est très ample pour m ⩾ λ_{n} et tout fibré en droites nef G. La méthode de preuve du théorème (16.5) donne assez aisément que λ_{n} ⩽ \binom{3n+1}{n}−2n (un argument plus élaboré mettant en jeu les résultats récents de Angehrn-Siu [AS94] permet en fait de voir que λ_{n} ⩽ n^{3} − n^{2} − n − 1 pour n ⩾ 2). Bien entendu, on s’attend à ce que λ_{n} = 1 pour tout n, si on veut bien croire à la conjecture de Fujita.

17.7. Version effective du grand théorème de Matsusaka. Soient L et B des fibrés en droites nefs sur une variété X projective de dimension n. Supposons que L soit ample et soit H = λ_{n}(K_{X} + (n + 2)L). Alors mL − B est très ample pour

m ⩾ (2n)^{(3^{n−1}−1)/2} \frac{(L^{n−1} · (B + H))^{(3^{n−1}+1)/2}(L^{n−1} · H)^{3^{n−2}(n/2−3/4)−1/4}}{(L^{n})^{3^{n−2}(n/2−1/4)+1/4}} .

En particulier mL est très ample pour

m ⩾ C_{n} (L^{n})^{3^{n−2}} (n + 2 + \frac{L^{n−1} · K_{X}}{L^{n}} )^{3^{n−2}(n/2+3/4)+1/4}

avec C_{n} = (2n)^{(3^{n−1}−1)/2}(λ_{n})^{3^{n−2}(n/2+3/4)+1/4}.

Preuve. Nous utilisons le th. (3.1) et la prop. (17.6) pour construire par récurrence une suite de sous-variétés algébriques (non nécessairement irréductibles) X = Y_{n} ⊃ Y_{n−1} ⊃ ⋯ ⊃ Y_{2} ⊃ Y_{1} telle que Y_{p} = ⋃_{j} Y_{p,j} est de dimension p, Y_{p−1} étant obtenu pour chaque p ⩾ 2 comme la réunion des ensembles de zéros des sections

σ_{p,j} ∈ H^{0}(Y_{p,j}, 𝒪_{Y_{p,j}}(m_{p,j}L − B))

pour des entiers convenables m_{p,j} ⩾ 1. Nous procédons par récurrence sur les valeurs décroissantes de la dimension p, et cherchons à obtenir à chaque pas une borne supérieure m_{p} pour les entiers m_{p,j}.

Grâce au Cor. (17.4), on peut trouver un entier m_{n} tel que que m_{n}L − B admettte une section σ_{n} non triviale pour

m_{n} ⩽ n \frac{L^{n−1} · (B + K_{X} + (n + 1)L)}{L^{n}} ⩽ n \frac{L^{n−1} · (B + H)}{L^{n}}.

Maintenant supposons que les sections σ_{n}, …, σ_{p+1,j} aient déjà été construites. On obtient alors par récurrence un p-cycle Ỹ_{p} = ∑ μ_{p,j}Y_{p,j} défini par Ỹ_{p} = somme des diviseurs des zéros des sections σ_{p+1,j} sur les composantes Ỹ_{p+1,j}, où la multiplicité μ_{p,j} de Y_{p,j} ⊂ Y_{p+1,k} est obtenue en multipliant la multiplicité correspondante μ_{p+1,k} par l’ordre d’annulation de σ_{p+1,k} le long de Y_{p,j}. On obtient l’égalité de classes de cohomologie

Ỹ_{p} ≡ ∑(m_{p+1,k}L − B) · (μ_{p+1,k}Y_{p+1,k}) ⩽ m_{p+1}L · Ỹ_{p+1}.

Par récurrence, nous obtenons alors l’inégalité numérique

Ỹ_{p} ⩽ m_{p+1} ⋯ m_{n}L^{n−p}.

Maintenant, pour chaque composante Y_{p,j}, la prop. (17.6) montre qu’il existe une section de ω_{Y_{p,j}} ⊗ 𝒪_{Y_{p,j}}(m_{p,j}L − B) pour un certain entier

m_{p,j} ⩽ p\frac{L^{p−1} · B · Y_{p,j}}{L^{p} · Y_{p,j}} + p + 1 ⩽ pm_{p+1} ⋯ m_{n} L^{n−1} · B + p + 1.

Nous avons utilisé ici la minoration évidente L^{p−1} · Y_{p,j} ⩾ 1 (cette minoration est d’ailleurs sans doute un des points faibles de la méthode…). Le degré de Y_{p,j} par rapport à H admet la majoration

δ_{p,j} := H^{p} · Y_{p,j} ⩽ m_{p+1} ⋯ m_{n}H^{p} · L^{n−p}.

L’inégalité de concavité de Hovanski-Teissier donne

(L^{n−p} · H^{p})^{\frac{1}{p}} (L^{n})^{1− \frac{1}{p}} ⩽ L^{n−1} · H

([Hov79], [Tei79, 82], voir aussi [Dem93]), ce qui permet d’exprimer nos bornes en termes des seuls nombres d’intersection L^{n} et L^{n−1} · H. On obtient alors

δ_{p,j} ⩽ m_{p+1} ⋯ m_{n} \frac{(L^{n−1} · H)^{p}}{(L^{n})^{p−1}} .

Nous avons besoin du lemme suivant, qui sera démontré ultérieurement.

17.8. Lemme. Soit H un fibré en droites très ample sur une variété algébrique projective X, et soit Y ⊂ X une sous-variété algébrique irréductible de dimension p. Si δ = H^{p} · Y est le degré de Y par rapport à H, le faisceau Hom (ω_{Y} , 𝒪_{Y} ((δ − p − 2)H)) possède une section non triviale.

Grâce au lemme (17.8), il existe une section non triviale de

Hom (ω_{Y_{p,j}}, 𝒪_{Y_{p,j}}((δ_{p,j} − p − 2)H)).

En combinant cette section avec la section de ω_{Y_{p,j}} ⊗ 𝒪_{Y_{p,j}}(m_{p,j}L − B) déjà construite, nous obtenons une section de 𝒪_{Y_{p,j}}(m_{p,j}L − B + (δ_{p,j} − p − 2)H) sur Y_{p,j}. On ne veut pas que H apparaisse à ce niveau, c’est pourquoi on va remplacer B par B + (δ_{p,j} − p − 2)H. On obtient alors une section σ_{p,j} de 𝒪_{Y_{p,j}}(m_{p,j}L − B) pour un certain entier m_{p,j} tel que

m_{p,j} ⩽ pm_{p+1} ⋯ m_{n} L^{n−1} · (B + (δ_{p,j} − p − 2)H) + p + 1

⩽ p m_{p+1} ⋯ m_{n} δ_{p,j} L^{n−1} · (B + H)

⩽ p (m_{p+1} ⋯ m_{n})^{2} \frac{(L^{n−1} · H)^{p}}{(L^{n})^{p−1}} L^{n−1} · (B + H).

Par conséquent, en posant M = n L^{n−1} · (B + H), on obtient la relation de récurrence descendante

m_{p} ⩽ M \frac{(L^{n−1} · H)^{p}}{(L^{n})^{p−1}} (m_{p+1} ⋯ m_{n})^{2} pour 2 ⩽ p ⩽ n − 1,

partant de la valeur initiale m_{n} ⩽ M/L^{n}. Soient (\overline{m}_{p}) la suite des nombre obtenus par cette formule de récurrence en remplaçant les inégalités par des égalités. Il vient m_{p} ⩽ \overline{m}_{p} avec \overline{m}_{n−1} = M^{3}(L^{n−1} · H)^{n−1}/(L^{n})^{n} et

\overline{m}_{p} = \frac{L^{n}}{L^{n−1} · H} \overline{m}_{p+1}^{2}\overline{m}_{p+1}

pour 2 ⩽ p ⩽ n − 2. On trouve alors par récurrence

m_{p} ⩽ \overline{m}_{p} = M^{3^{n−p}} \frac{(L^{n−1} · H)^{3^{n−p−1}(n−3/2)+1/2}}{(L^{n})^{3^{n−p−1}(n−1/2)+1/2}} .

Montrons maintenant que m_{0}L − B est nef pour

m_{0} = max (m_{2} , m_{3}, …, m_{n} , m_{2} ⋯ m_{n} L^{n−1} · B).

En effet, soit C ⊂ X une courbe irréductible arbitraire. Ou bien C = Y_{1,j} pour un certain j, ou bien il existe un entier p = 2, …, n tel que C soit contenu dans Y_{p} ∖ Y_{p−1}. Si C ⊂ Y_{p,j} ∖ Y_{p−1}, alors σ_{p,j} ne s’annule pas identiquement sur C. Donc (m_{p,j}L − B)_{↾C} est de degré positif ou nul et

(m_{0}L − B) · C ⩾ (m_{p,j}L − B) · C ⩾ 0.

D’autre part, si C = Y_{1,j} , alors

(m_{0}L − B) · C ⩾ m_{0} − B · Ỹ_{1} ⩾ m_{0} − m_{2} ⋯ m_{n} L^{n−1} · B ⩾ 0.

D’après la définition de λ_{n} (et la preuve qu’une telle constante existe, cf. Th. 16.5), H + G est très ample pour tout fibré en droites nef G, en particulier H + m_{0}L − B est très ample. On remplace de nouveau B par B + H. Cette substitution a pour effet de remplacer M par la nouvelle constante M = n (L^{n−1} · (B + 2H)) et m_{0} par

m_{0} = max (m_{n} , m_{n−1}, …, m_{2} , m_{2} ⋯ m_{n} L^{n−1} · (B + H)).

Le dernier terme étant le plus grand, l’estimation de \overline{m}_{p} implique

m_{0} ⩽ M^{(3^{n−1}−1)/2} \frac{(L^{n−1} · H)^{(3^{n−2}−1)(n−3/2)/2+(n−2)/2}(L^{n−1} · (B + H))}{(L^{n})^{(3^{n−2}−1)(n−1/2)/2+(n−2)/2+1}}

⩽ (2n)^{(3^{n−1}−1)/2} \frac{(L^{n−1} · (B + H))^{(3^{n−1}+1)/2}(L^{n−1} · H)^{3^{n−2}(n/2−3/4)−1/4}}{(L^{n})^{3^{n−2}(n/2−1/4)+1/4}}

Preuve du lemme (17.8). Soit X ⊂ ℙ^{N} le plongement donné par H, de sorte que H = 𝒪_{X}(1). Il existe une projection linéaire ℙ^{n} ^{≻} ℙ^{p+1} dont la restriction π : Y → ℙ^{p+1} à Y est un morphisme fini et birationnel de Y sur une hypersurface algébrique Y′ de degré δ dans ℙ^{p+1}. Soit s ∈ H^{0}(ℙ^{p+1}, 𝒪(δ)) le polynôme de degré δ définissant Y′. Nous affirmons que pour tout petit ouvert de Stein W ⊂ ℙ^{p+1} et toute p-forme holomorphe L^{2} u sur Y′ ∩ W, il existe une (p + 1)- forme holomorphe L^{2} ũ sur W, à valeurs dans 𝒪(δ), telle que u_{↾Y′∩W} = u ∧ ds. En fait, c’est précisément lae conclusion du théorème d’extension L^{2} d’Ohsawa-Takegoshi [OT87], [Ohs88] (voir aussi [Man93] pour une version plus générale de ce résultat) ; on peut également invoquer des arguments standards d’algèbre locale (voir Hartshorne [Har77], th. III-7.11). Comme K_{ℙ^{p+1}} = 𝒪(−p−2), la forme ũ peut être considérée comme une section de 𝒪(δ−p−2) sur W, par suite le morphisme de faisceaux u ↦ u ∧ ds s’étend en une section globale de Hom (ω_{Y′}, 𝒪_{Y′}(δ − p − 2)). L’image inverse par π^{⋆} fournit une section de Hom (π^{⋆}ω_{Y′}, 𝒪_{Y} ((δ − p − 2)H)).

Puisque π est fini et génériquement 1 : 1, il est facile de voir que π^{⋆}ω_{Y′} = ω_{Y}. Le lemme s’ensuit.

17.9. Remarque. Dans le cas des surfaces (n = 2), on peut prendre λ_{n} = 1 d’après le résultat de I. Reider [Rei88], et les arguments développés ci-dessus donnent mL très ample pour

m ⩾ 4 \frac{(L · (K_{X} + 4L))^{2}}{L^{2}} .

Si on reprend en détail la démonstration avec plus de soin, on peut voir que le facteur multiplicatif 4 peut être remplacé par 2. En fait, Fernández del Busto a montré récemment que mL est très ample pour

m > \frac{1}{2} [\frac{(L · (K_{X} + 4L) + 1)^{2}}{L^{2}} + 3] ,

et un exemple de G. Xiao montre que cette borne est essentiellement optimale (voir [FdB94]).

Le grand théorème de Matsusaka entraîne un certain nombre d’autres résultats importants de finitude. Un des prototypes de ces résultats est l’énoncé suivant.

17.10. Corollaire. Il existe seulement un nombre fini de familles de déformations de variétés projectives polarisées (X, L) de dimension n, où L est un fibré en droites ample dont les nombres d’intersection L^{n} et K_{X} · L^{n−1} sont fixés.

Preuve. En effet, comme L^{n} et K_{X} · L^{n−1} sont fixés, il existe un entier m_{0} effectivement calculable tel que m_{0}L soit très ample. On obtient alors un plongement Φ = Φ_{|m_{0}L|} : X → ℙ^{N} tel que Φ^{⋆}𝒪(1) = ±m_{0}L. L’image Y = Φ(X) est de degré

deg(Y) = ∫_{Y} c_{1}(𝒪(1))^{n} = ∫_{X} c_{1}( ± m_{0}L)^{n} = m_{0}^{n} L^{n}.

Ceci entraîne que Y est un point d’une des composantes du schéma de Chow des sous-variétés algébriques Y de dimension et de degré donnés dans ℙ^{N} pour lesquelles 𝒪(1)_{↾Y} est divisible par m_{0}, plus précisément un point de l’ouvert correspondant aux sous-variétés non singulières. Comme l’ouvert en question est un ouvert de Zariski, il ne peut avoir qu’un nombre fini de composantes irréductibles, d’où le corollaire.

On peut démontrer aussi à partir du théorème de Matsusaka (ou même directement à partir du Cor. (16.9)) qu’il n’existe qu’un nombre fini de familles de déformation de variétés de Fano de dimension n donnée. On utilise pour cela un résultat fondamental obtenu indépendamment par Kollár-Miyaoka-Mori [KoMM92] et Campana [Cam92], montrant que le discriminant K_{X}^{n} est borné par une constante C_{n} ne dépendant que de n. Les bornes effectives obtenues pour les fibrés très amples fournissent alors (au prix de quelques efforts !) une borne effective pour le nombre de familles de variétés de Fano.

Références

[AN54] Y. Akizuki and S. Nakano, Note on Kodaira-Spencer’s proof of Lefschetz theorems, Proc. Jap. Acad. 30 (1954) 266–272.

[AnG62] A. Andreotti et H. Grauert, Théorèmes de finitude pour la cohomologie des espaces complexes, Bull. Soc. Math. France 90 (1962) 193–259.

[AS94] U. Angehrn and Y.T. Siu, Effective freeness and point separation for adjoint bundles, Preprint December 1994.

[Ang95] F. Angelini, An algebraic version of Demailly’s asymptotic Morse inequalities, Preprint UCLA, Duke University e-print alg-geom/9503005.

[AV65] A. Andreotti and E. Vesentini, Carleman estimates for the Laplace-Beltrami equation in complex manifolds, Publ. Math. I.H.E.S. 25 (1965) 81–130.

[BPV84] W. Barth, Ch. Peters, A. van de Ven, Compact complex surfaces, Ergebnisse der Math., Band 4, Springer-Verlag (1984).

[BaKo89] I. Bauer and S. Kosarew, On the Hodge spectral sequence for some classes of noncomplete algebraic manifolds, Math. Ann. 284 (1989) 577-593.

[BaKo91] I. Bauer and S. Kosarew, Some aspects of Hodge theory on noncomplete algebraic manifolds, Prospects in Complex Geometry (Katata and Kyoto, 1989), Lecture Notes in Math., Vol. 1468, Springer, Berlin (1991) 281–316.

[BePe95] J. Bertin, Ch. Peters, Variations de structures de Hodge, variétés de Calabi-Yau et symétrie Miroir, Ce volume.

[Boc48] S. Bochner, Curvature and Betti numbers (I) and (II), Ann. of Math. 49 (1948) 379–390 ; 50 (1949) 77–93.

[Bom70] E. Bombieri, Algebraic values of meromorphic maps, Invent. Math. 10 (1970) 267– 287 and Addendum, Invent. Math. 11 (1970) 163–166.

[Cam92] F. Campana, Connexité rationnelle des variétés de Fano, Ann. Sci. Ecole Norm. Sup. 25 (1992) 539–545.

[Del68] P. Deligne, Théorème de Lefschetz et critères de dégénérescence de suites spectrales, Publ. Math. I.H.E.S. 35 (1968) 107–126.

[Del72] P. Deligne, Théorie de Hodge II, Publ. Math. I.H.E.S. 40 (1972) 5–57.

[DeI87] P. Deligne and L. Illusie, Relèvements modulo p^{2} et décomposition du complexe de De Rham, Invent. Math. 89 (1987) 247–270.

[Dem82] J.-P. Demailly, Estimations L^{2} pour l’opérateur \overline{∂} d’un fibré vectoriel holomorphe semi-positif au dessus d’une variété kählerienne complète, Ann. Sci. Ec. Norm. Sup. 15 (1982) 457–511.

[Dem89] J.-P. Demailly, Transcendental proof of a generalized Kawamata-Viehweg vanishing theorem, C. R. Acad. Sci. Paris Sér. I Math. 309 (1989) 123–126 and : Proceedings of the Conference “Geometrical and algebraical aspects in several complex variables” held at Cetraro, Univ. della Calabria, June 1989.

[Dem90a] J.-P. Demailly, Cohomology of q-convex spaces in top degrees, Math. Zeitschrift 203 (1990) 283–295.

[Dem90b] J.-P. Demailly, Singular hermitian metrics on positive line bundles, Proc. Conf. Complex algebraic varieties (Bayreuth, April 2–6, 1990), edited by K. Hulek, T. Peternell, M. Schneider, F. Schreyer, Lecture Notes in Math., Vol. 1507, Springer-Verlag, Berlin, 1992.

[Dem93] J.-P. Demailly, A numerical criterion for very ample line bundles, J. Differential Geom. 37 (1993) 323–374.

[Dem94] J.-P. Demailly, L^{2} vanishing theorems and adjunction theory, Lectures Notes of a CIME course on “Transcendental methods of algebraic geometry”, ed. F. Catanese and C. Ciliberto, Cetraro, Italy, July 1994, 93 p, e-print alg-geom/9410022 on the Duke server.

[Dem96] J.-P. Demailly, Effective bounds for very ample line bundles, Inventiones Math. bf 124 (1996) 243–261.

[DR55] G. De Rham, Variétés Différentiables, Hermann, Paris (1955).

[DV72] A. Douady and J.-L. Verdier, Séminaire de Géométrie analytique de l’Ecole Normale Supérieure, 1971-72, Astérisque 16, Soc. Math. France (1974).

[EL93] L. Ein and R. Lazarsfeld, Global generation of pluricanonical and adjoint linear series on smooth projective threefolds, Jour. of Am. Math. Soc. 6 (1993) 875–903.

[EV86] H. Esnault and E. Viehweg, Logarithmic De Rham complexes and vanishing theorems, Invent. Math. 86 (1986) 161–194.

[EV92] H. Esnault and E. Viehweg, Lectures on vanishing theorems, DMV Seminar, Band 20, Birkhäuser Verlag, 1992.

[Fed69] H. Federer, Geometric measure theory, Springer Verlag, Vol. 153, Berlin, Heidelberg, New-York (1969).

[FdB94] G. Fernández del Busto, A Matsusaka-type theorem for surfaces, Preprint Princeton University, July 1994, Duke e-print alg-geom/9410018.

[Fle81] H. Flenner, Ein Kriterium für die Offenheit der Versalität, Math. Zeitschrift 178 (1981) 449–473.

[FoK71] O. Forster and K. Knorr, Ein Beweis des Grauertschen Bildgarbensatzes nach Ideen von B. Malgrange, Inventiones Math. 16 (1972) 113–160.

[Frö55] A. Frölicher, Relations between the cohomology groups of Dolbeault and topological invariants, Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A. 41 (1955) 641–644.

[Fuj87] T. Fujita, On polarized manifolds whose adjoint bundles are not semipositive, Algebraic Geometry, Sendai, 1985, Adv. Stud. in Pure Math., Vol. 10, North Holland, T. Oda (ed.), 1987, 167–178.

[Fuj88] T. Fujita, Problem list, Conference held at the Taniguchi Foundation, Katata, Japan, August 1988.

[Fuj93] T. Fujita, Remarks on Ein-Lazarsfeld criterion of spannedness of adjoint bundles of polarized threefolds, Preprint Tokyo Inst. of Technology, Ohokayama, Japan (1993).

[Gra60] H. Grauert, Ein Theorem der analytischen Garbentheorie und die Modulräume komplexer Strukturen, Publ. Math. I.H.E.S. 5 (1960) 233–292.

[Gri69] P.A. Griffiths, Hermitian differential geometry, Chern classes and positive vector bundles, Global Analysis, papers in honor of K. Kodaira, Princeton Univ. Press, Princeton, 1969, 181–251.

[GH78] P.A. Griffiths, J. Harris, Principles of algebraic geometry, Wiley, New York (1978).

[Har70] R. Hartshorne, Ample subvarieties of algebraic varieties, Lecture Notes in Math., Vol. 156, Springer-Verlag, Berlin (1970).

[Har77] R. Hartshorne, Algebraic geometry, Graduate Texts in Math., Springer-Verlag, Berlin (1977).

[Hel96] S. Helmke, On Fujita’s conjecture, Preprint Univ. Basel, Switzerland, 13p, February 19, 1996.

[Hod41] W.V.D. Hodge, The theory and applications of harmonic integrals, Cambridge University Press (1941).

[Hör65] L. Hörmander, L^{2} estimates and existence theorems for the \overline{∂} operator, Acta Math. 113 (1965) 89–152.

[Hör66] L. Hörmander, An introduction to Complex Analysis in several variables, 1966, 3rd edition, North-Holland Math. Libr., vol.7, Amsterdam, London (1990).

[Ill] Illusie, L. : Frobenius et dégénerescence de Hodge, Ce volume.

[Kaw82] Y. Kawamata, A generalization of Kodaira-Ramanujam’s vanishing theorem, Math. Ann. 261 (1982) 43–46.

[Kaw84] Y. Kawamata, The cone of curves of algebraic varieties, Ann. of Math. 119 (1984) 603–633.

[Kaw85] Y. Kawamata, Pluricanonical systems of minimal algebraic varieties, Invent. Math. 79 (1985) 567–588.

[Kaw95] Y. Kawamata, On Fujita’s freeness conjecture for 3-folds and 4-folds, Preprint Tokyo University, Duke University e-print alg-geom/9510004.

[KMM87] Y. Kawamata, K. Matsuda and K. Matsuki, Introduction to the minimal problem, Algebraic Geometry, Sendai, 1985, Adv. Stud. in Pure Math., Vol. 10, T. Oda (ed.), North Holland, Amsterdam, 1987, 283–360.

[KiV71] R. Kiehl and J.-L. Verdier, Ein einfacher Beweis des Kohärenzsatzes von Grauert, Math. Ann. 195 (1971) 24–50.

[Kod53] K. Kodaira, On a differential geometric method in the theory of analytic stacks, Proc. Nat. Acad. Sci. USA 39 (1953) 1268–1273.

[Kod54] K. Kodaira, On Kähler varieties of restricted type, Ann. of Math. 60 (1954) 28–48.

[Kod75] K. Kodaira, Collected works, Vol. I, II, III, Iwanami Shoten Publishers and Princeton University Press (1975).

[KoS57] K. Kodaira and D.C. Spencer, On the variation of almost complex structure, Alg. Geom. and Topology, Princeton Univ. Press, 139–150 (1957) ; Kodaira’s Collected Works, Vol. 2, Iwanami Shoten Publishers, 760–771.

[Kol85] J. Kollár, Vanishing theorems for cohomology groups, Algebraic Geometry, Bowdoin 1985, Proc. Symp. Pure Math., Vol. 46 (1987) 233–243.

[Kol92] J. Kollár, Effective basepoint freeness, Math. Ann. 296 (1993) 595–605.

[KoM83] J. Kollár and T. Matsusaka, Riemann-Roch type inequalities, Amer. J. of Math. 105 (1983) 229–252.

[KoMM92]J. Kollár, Y. Miyaoka and S. Mori, Rational connectedness and boundedness of Fano manifolds, J. Differential Geom. 36 (1992) 765–779.

[Kos91] S. Kosarew, The hard Lefschetz theorem for concave and convex algebraic manifolds, Proceedings of the Internat. Workshop on Complex Analysis (Wuppertal, 1990), Aspects of Math., E17, Vieweg, Braunschweig (1991) 175–187.

[Laz93] R. Lazarsfeld, with the assistance of G. Fernández del Busto, Lectures on linear series, Park City, IAS Mathematics Series, Vol. 3, 1993.

[Lel57] P. Lelong, Intégration sur un ensemble analytique complexe, Bull. Soc. Math. France 85 (1957) 239–262.

[Lel69] P. Lelong, Plurisubharmonic functions and positive differential forms, Gordon and Breach, New-York, and Dunod, Paris (1969).

[LP75] J. Le Potier, Annulation de la cohomologie à valeurs dans un fibré vectoriel holomorphe de rang quelconque, Math. Ann. 218 (1975) 35–53.

[Man93] L. Manivel, Un théorème de prolongement L^{2} de sections holomorphes d’un fibré vectoriel, Math. Zeitschrift. 212 (1993) 107–122.

[Mat72] T. Matsusaka, Polarized varieties with a given Hilbert polynomial, Amer. J. of Math. 94 (1972) 1027–1077.

[Mor82] S. Mori, Threefolds whose canonical bundles are not numerically effective, Ann. of Math. 116 (1982) 133–176.

[Nad89] A.M. Nadel, Multiplier ideal sheaves and Kähler-Einstein metrics of positive scalar curvature, Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A. 86 (1989) 7299–7300 and Annals of Math., 132 (1990) 549–596.

[Nak55] S. Nakano, On complex analytic vector bundles, J. Math. Soc. Japan 7 (1955) 1–12.

[Ohs81] T. Ohsawa, A reduction theorem for cohomology groups of very strongly q-convex Kähler manifolds, Invent. Math. 63 (1981) 335–354 and 66 (1982) 391–393.

[Ohs87] T. Ohsawa, Hodge spectral sequence and symmetry on compact Kähler spaces, Publ. RIMS, Kyoto Univ. 23 (1987), 613–625.

[Ohs88] T. Ohsawa, On the extension of L^{2} holomorphic functions, II. Publ. RIMS, Kyoto Univ. 24 (1988) 265–275.

[OT87] T. Ohsawa and K. Takegoshi, On the extension of L^{2} holomorphic functions, Math. Zeitschrift 195 (1987) 197–204.

[OT88] T. Ohsawa and K. Takegoshi, Hodge spectral sequence on pseudoconvex domains, Math. Zeitschrift 197 (1988) 1–12.

[Rei88] I. Reider, Vector bundles of rank 2 and linear systems on algebraic surfaces, Ann. of Math. 127 (1988) 309–316.

[Sch74] M. Schneider, Ein einfacher Beweis des Verschwindungssatzes für positive holomorphe Vektorraumbündel, Manuscripta Math. 11 (1974) 95–101.

[Ser55] J.-P. Serre, Un théorème de dualité, Comment. Math. 29 (1955) 9–26.

[Ser56] J.-P. Serre, Géométrie algébrique et géométrie analytique, Ann. Inst. Fourier (Grenoble) 6 (1956) 1–42.

[ShSo85] B. Shiffman, A.J. Sommese, Vanishing theorems on complex manifolds, Progress in Math. no 56, Birkhäuser (1985).

[Siu93] Y.T. Siu, An effective Matsusaka big theorem, Ann. Inst. Fourier 43 (1993) 1387– 1405.

[Siu96] Y.T. Siu, Effective Very Ampleness, Inventiones Math. 124 (1996) 563–571.

[Sko72a] H. Skoda, Sous-ensembles analytiques d’ordre fini ou infini dans ℂ^{n}, Bull. Soc. Math. France 100 (1972) 353–408.

[Sko75] H. Skoda, Estimations L^{2} pour l’opérateur \overline{∂} et applications arithmétiques, Séminaire P. Lelong (Analyse), année 1975/76, Lecture Notes in Math., Vol. 538, Springer-Verlag, Berlin (1977) 314–323.

[Som78] A.J. Sommese, Submanifolds of abelian varieties, Math. Ann. 233 (1978) 229–256.

[Tra95] S. Trapani, Numerical criteria for the positivity of the difference of ample divisors, Math. Zeitschrift 219 (1995) 387–401.

[Vie82] E. Viehweg, Vanishing theorems, J. Reine Angew. Math. 335 (1982) 1–8.

[Wei57] A. Weil, Variétés kählériennes, Hermann, Paris (1957).

[Wel80] R.O. Wells, Differential analysis on complex manifolds, Graduate Texts in Math. 65, 2nd edition, Springer-Verlag, Berlin (1980).

(version du 20 mars 1995, complétée le 24 avril 1996)

Jean-Pierre Demailly Université de Grenoble I, Institut Fourier, UMR 5582 du CNRS, BP 74, F-38402 Saint-Martin d’Hères, France Adresse électronique : demailly@fourier.ujf-grenoble.fr

Frobenius et dégénérescence de Hodge

Luc Illusie Université de Paris-Sud Département de Mathématiques Bâtiment 425, 91405 Orsay Cedex, France

Dans [D-I], le théorème de dégénérescence de Hodge et le théorème d’annulation de Kodaira-Akizuki-Nakano pour les variétés projectives lisses sur un corps de caractéristique nulle sont démontrés par des méthodes de géométrie algébrique de caractéristique p > 0. Les présentes notes se veulent une introduction à ce texte, à l’intention du non spécialiste (qui pourra consulter aussi l’exposé d’Oesterlé [O]). Nous ne supposerons donc connus du lecteur que quelques rudiments de la théorie des schémas (EGA I 1-4, [H2] II 2-3). Par contre, nous demanderons de lui une certaine familiarité avec l’algèbre homologique. Les résultats de [D-I] s’expriment simplement dans le langage des catégories dérivées. Bien qu’il soit possible d’y éviter le recours, voir par exemple [E-V], nous avons préféré nous placer dans ce cadre, qui nous paraît plus naturel. Toutefois, pour aider le débutant, nous rappelons au n^{∘} 4 les définitions de base et quelques points essentiels.

0. Introduction

Soit 𝒳 une variété analytique complexe. Par le lemme de Poincaré, le complexe de De Rham Ω_{𝒳}^{•} des formes holomorphes sur 𝒳 est une résolution du faisceau constant ℂ. L’augmentation ℂ ⟶ Ω_{𝒳}^{•} définit donc, pour tout n, un isomorphisme

(0.1)  H^{n}(𝒳, ℂ) ⟶^{∼} H_{DR}^{n}(𝒳) = H^{n}(𝒳, Ω_{𝒳}^{•}),

où le second membre, appelé cohomologie de De Rham de 𝒳 (en degré n), est le n-ième groupe d’hypercohomologie de 𝒳 à valeurs dans Ω_{𝒳}^{•}. La cohomologie de De Rham de 𝒳 est l’aboutissement de la première suite spectrale d’hypercohomologie

(0.2)  E_{1}^{p q} = H^{q}(𝒳, Ω_{𝒳}^{p}) ⟹ H_{DR}^{p+q}(𝒳),

dite suite spectrale de Hodge vers De Rham (ou de Hodge-Frölicher) (cf. [De] n^{∘} 9). Supposons 𝒳 compacte. Alors, par le théorème de finitude de Cartan-Serre, les H^{q}(𝒳, Ω_{𝒳}^{p}), et donc tous les termes de la suite spectrale (0.2) sont des ℂ-espaces vectoriels de dimension finie. Si l’on pose

b_{n} = dim H_{DR}^{n}(𝒳) = dim H^{n}(𝒳, ℂ)

(n-ième nombre de Betti de 𝒳) et

h^{p q} = dim H^{q}(𝒳, Ω_{𝒳}^{p})

(nombre de Hodge), on a donc

(0.3)  b_{n} ⩽ ∑_{p+q=n} h^{p q},

avec égalité pour tout n si et seulement si (0.2) dégénère en E_{1}. Supposons de plus 𝒳 kählérienne. Alors, par la théorie de Hodge, la suite spectrale de Hodge de 𝒳 dégénère en E_{1} : c’est le théorème de dégénérescence de Hodge ([De] 9.9). Notons

0 = F^{n+1} ⊂ F^{n} ⊂ ⋯ ⊂ F^{p} = F^{p}H_{DR}^{n}(𝒳) ⊂ ⋯ ⊂ F^{0} = H_{DR}^{n}(𝒳)

la filtration aboutissement de la suite spectrale de Hodge (filtration de Hodge) ; par la dégénérescence, on a donc un isomorphisme canonique

(0.4)  E_{1}^{p q} = H^{q}(𝒳, Ω_{𝒳}^{p}) ≃ E_{∞}^{p q} = F^{p}/F^{p+1}.

Posons

H^{p q} = F^{p} ∩ \overline{F}^{q},

où la barre désigne la conjugaison complexe sur H_{DR}^{n}(𝒳), définie au moyen de (0.1) et de l’isomorphisme H^{n}(𝒳, ℂ) ≃ H^{n}(𝒳, ℝ) ⊗ ℂ ; on a donc

H^{p q} = \overline{H}^{q p}.

La théorie de Hodge fournit en outre les résultats suivants ([De] 9.10) :

(a) l’homomorphisme composé

H^{p q} ⟶ F^{p}H_{DR}^{p+q}(𝒳) ⟶ ⟶ F^{p}/F^{p+1}

est un isomorphisme (i.e. H^{p q} est un supplémentaire de F^{p+1} dans F^{p}) ; d’où, par composition avec (0.4), un isomorphisme

(0.5)  H^{p q} ≃ H^{q}(𝒳, Ω_{𝒳}^{p}) ;

(b) on a, pour tout n,

(0.6)  H_{DR}^{n}(𝒳) = ⨁_{p+q=n} H^{p q},

(décomposition de Hodge). Ces résultats s’appliquent notamment à la variété analytique complexe 𝒳 associée à un schéma projectif lisse X sur ℂ. A la différence de (a) et (b), qui sont de nature transcendante, faisant intervenir de manière essentielle la conjugaison complexe, la dégénérescence de Hodge peut, dans ce cas, se formuler de manière purement algébrique. Le complexe de De Rham de 𝒳 est en effet le complexe de faisceaux analytiques associé au complexe de De Rham algébrique Ω_{X}^{•} de X sur ℂ (un complexe de faisceaux pour la topologie de Zariski, dont les composantes sont des faisceaux cohérents localement libres). Le morphisme canonique (d’espaces annelés) 𝒳 ⟶ X induit des homomorphismes sur les cohomologies de Hodge et de De Rham

(0.7)  H^{q}(X, Ω_{X}^{p}) ⟶ H^{q}(𝒳, Ω_{𝒳}^{p}),
(0.8)  H_{DR}^{n}(X) ⟶ H_{DR}^{n}(𝒳),

où H_{DR}^{n}(X) = H^{n}(X, Ω_{X}^{•}). On dispose en fait d’une suite spectrale de Hodge vers De Rham algébrique

(0.9)  E_{1}^{p q} = H^{q}(X, Ω_{X}^{p}) ⟹ H_{DR}^{p+q}(X),

et d’un morphisme de (0.9) dans (0.2) induisant (0.7) et (0.8) respectivement sur les termes initiaux et l’aboutissement. Par le théorème de comparaison de Serre [GAGA], (0.7) est un isomorphisme. Il en est donc de même de (0.8). Par suite, la dégénérescence en E_{1} de (0.2) équivaut à celle de (0.9), en d’autres termes, si l’on pose

h^{p q}(X) = dim H^{q}(X, Ω_{X}^{p}), h^{n}(X) = dim H_{DR}^{n}(X),

le théorème de dégénérescence de Hodge pour 𝒳 s’exprime par les relations (purement algébriques)

(0.10)  h^{n}(X) = ∑_{p+q=n} h^{p q}(X).

Plus généralement, si X est un schéma propre et lisse sur un corps k, on peut considérer le complexe de De Rham Ω_{X/k}^{•} de X sur k, et l’on dispose encore d’une suite spectrale de Hodge vers De Rham

(0.11)  E_{1}^{p q} = H^{q}(X, Ω_{X/k}^{p}) ⟹ H_{DR}^{p+q}(X/k)

(où H_{DR}^{n}(X/k) = H^{n}(X, Ω_{X/k}^{•})), formée de k-espaces vectoriels de dimension finie. Si k est de caractéristique nulle, le théorème de dégénérescence de Hodge entraîne la dégénérescence de (0.11) en E_{1} : des techniques standard (cf. n^{∘} 6) permettent en effet de se ramener d’abord à k = ℂ, puis à l’aide du lemme de Chow et de la résolution des singularités on réduit le cas propre au cas projectif ([D0]). On a longtemps cherché une démonstration purement algébrique de la dégénérescence de (0.11) en E_{1} pour k de caractéristique nulle. Faltings [Fa1] fut le premier à en donner une preuve indépendante de la théorie de Hodge^{1}. Une simplification de techniques cristallines dues à Ogus [Og1], Fontaine-Messing [F-M] et Kato [Ka1] conduisit, peu de temps après, à la démonstration élémentaire présentée dans [D-I]. Nous renvoyons à l’introduction de [D-I] et à [O] pour un aperçu de ses grandes lignes. Indiquons seulement que la dégénérescence de (0.11) (pour k de caractéristique nulle) se prouve par réduction au cas où k est de caractéristique > 0, où, pourtant, il peut arriver que la dégénérescence soit en défaut ! Celle-ci vaut cependant moyennant certaines hypothèses supplémentaires sur X (majoration de la dimension, relevabilité), qui suffisent (voir 5.6 pour un énoncé précis). Nous expliquons au n^{∘} 6 la technique bien connue permettant de remonter de la caractéristique > 0 à la caractéristique nulle. Le théorème de dégénérescence en caractéristique > 0 auquel nous venons de faire allusion résulte lui-même d’un théorème de décomposition (5.1), reposant sur des propriétés classiques du calcul différentiel en caractéristique > 0 (endomorphisme de Frobenius et isomorphisme de Cartier), que nous rappelons au n^{∘} 3, après avoir résumé, aux n^{∘} 1 et 2, le formalisme des différentielles et de la lissité sur les schémas. Le théorème de décomposition précédent fournit en même temps une démonstration algébrique du théorème d’annulation de Kodaira-Akizuki-Nakano pour les variétés projectives lisses sur un corps de caractéristique nulle (6.10 et [De] 11.7). Les deux derniers numéros sont de nature plus technique : nous esquissons l’évolution du sujet depuis la parution de [D-I], et, en appendice, donnons quelques compléments relatifs à des résultats de Mehta-Srinivas [Me-Sr] et Nakkajima [Na].

1 Les puristes observent que cette preuve, qui repose sur l’existence d’une décomposition de Hodge-Tate pour la cohomologie étale p-adique d’une variété propre et lisse sur un corps local d’inégale caractéristique, n’est pas entièrement “algébrique”, dans la mesure où elle utilise le théorème de comparaison d’Artin-Grothendieck entre cohomologie étale et cohomologie de Betti pour les variétés propres et lisses sur ℂ.

1. Schémas : différentielles, complexe de De Rham

Nous rappelons ici les définitions et propriétés de base du calcul différentiel sur les schémas. Le lecteur trouvera un exposé complet dans (EGA IV 16.1-16.6) ; voir aussi [B-L-R] 2.1 et [H2] II 8 pour une introduction.

1.1. On dit qu’un morphisme de schémas i : T_{0} ⟶ T est un épaississement d’ordre 1 (ou, par abus, que T est un épaississement d’ordre 1 de T_{0}) si i est une immersion fermée définie par un idéal de 𝒪_{T} de carré nul. Si T et T_{0} sont affines, d’anneaux A et A_{0}, un tel morphisme correspond à un homomorphisme surjectif A ⟶ A_{0} dont le noyau est un idéal de carré nul. Les schémas T et T_{0} ont même espace sous-jacent, et l’idéal 𝔞 de i, annulé par 𝔞, est un 𝒪_{T_{0}} ( = 𝒪_{T} /𝔞)-module quasi-cohérent.

Soit j : X ⟶ Z une immersion, d’idéal I (par définition, j est un isomorphisme de X sur un sous-schéma fermé j(X) d’un plus grand ouvert U de Z, et I est le faisceau quasi-cohérent d’idéaux de U définissant j(X) dans U, (EGA I 4.1, 4.2)). Soit Z_{1} le sous-schéma^{2} de Z, de même espace sous-jacent que X, défini par l’idéal I^{2}. Alors j se factorise (de manière unique) en

X ⟶^{j_{1}} Z_{1} ⟶^{h_{1}} Z

2 On se permettra l’abus de confondre “immersion” (resp. “immersion fermée”) et “sousschéma” (resp. “sous-schéma fermé”) ; cela revient ici à négliger l’isomorphisme de X sur j(X).

où h_{1} est une immersion, et j_{1} est un épaississement d’ordre 1, d’idéal I/I^{2} ; on dit que (j_{1}, h_{1}), ou plus simplement Z_{1} , est le premier voisinage infinitésimal de j (ou de X dans Z). L’idéal I/I^{2} (qui est un 𝒪_{X}-module quasi-cohérent) s’appelle le faisceau conormal de j (ou de X dans Z). On le note 𝒩_{X/Z}.

1.2. Soit f : X ⟶ Y un morphisme de schémas. Soit Δ : X ⟶ Z := X ×_{Y} X le morphisme diagonal. C’est une immersion (fermée si et seulement si X est séparé sur Y) (EGA I 5.3). Le faisceau conormal de Δ s’appelle faisceau des 1-différentielles de Kähler de f (ou de X sur Y) et se note Ω_{X/Y}^{1} ; on écrit parfois Ω_{X/A}^{1} au lieu de Ω_{X/Y}^{1} si Y est affine d’anneau A. C’est donc un 𝒪_{X}-module quasi-cohérent, défini par

(1.2.1)  Ω_{X/Y}^{1} = I/I^{2},

où I est l’idéal de Δ. Soit X ⟶^{Δ_{1}} Z_{1} ⟶ Z le premier voisinage infinitésimal de Δ. Les deux projections de Z = X ×_{Y} X sur X induisent, par composition avec Z_{1} ⟶ Z, deux Y -morphismes p_{1}, p_{2} : Z_{1} ⟶ X, qui rétractent Δ_{1}. Le faisceau d’anneaux du schéma Z_{1}, qui a même espace sous-jacent que X, s’appelle faisceau des parties principales d’ordre 1 de X sur Y, et se note 𝒫_{X/Y}^{1} . On a par construction une suite exacte de faisceaux abéliens

(1.2.2)  0 ⟶ Ω_{X/Y}^{1} ⟶ 𝒫_{X/Y}^{1} ⟶ 𝒪_{X} ⟶ 0,

scindée par chacun des homomorphismes d’anneaux j_{1}, j_{2} : 𝒪_{X} ⟶ 𝒫_{X/Y}^{1} déduits de p_{1}, p_{2}. La différence j_{2} − j_{1} est un homomorphisme de faisceaux abéliens de 𝒪_{X} dans Ω_{X/Y}^{1} , qu’on appelle différentielle, et qu’on note

(1.2.3)  d_{X/Y} (ou d) : 𝒪_{X} ⟶ Ω_{X/Y}^{1} .

Si M est un 𝒪_{X}-module, on appelle Y -dérivation de 𝒪_{X} dans M tout homomorphisme de faisceaux de f^{−1}(𝒪_{Y})-modules D : 𝒪_{X} ⟶ M (où f^{−1} désigne le foncteur image inverse pour les faisceaux abéliens) tel que

D(ab) = aDb + bDa

pour toutes sections locales a, b de 𝒪_{X}. On note Der_{Y} (𝒪_{X}, M) l’ensemble des Y -dérivations de 𝒪_{X} dans M, qui est de manière naturelle un groupe abélien. La différentielle d_{X/Y} est une Y -dérivation de 𝒪_{X} dans Ω_{X/Y}^{1} . On montre qu’elle est universelle, dans le sens que pour toute Y -dérivation D de 𝒪_{X} dans un 𝒪_{X}-module M (non nécessairement quasi-cohérent), il existe un unique homomorphisme de 𝒪_{X}-modules u : Ω_{X/Y}^{1} ⟶ M tel que u ∘ d_{X/Y} = D, i.e. l’homomorphisme

(1.2.4)  Hom(Ω_{X/Y}^{1} , M) ⟶ Der_{Y} (𝒪_{X}, M),  u ⟼ u ∘ d_{X/Y}

est un isomorphisme. Le faisceau Hom(Ω_{X/Y}^{1} , 𝒪_{X}) s’appelle faisceau tangent de f (ou de X sur Y), et se note

(1.2.5)  T_{X/Y}

(ou parfois Θ_{X/Y}). Pour tout ouvert U de X, (1.2.4) donne un isomorphisme Γ(U, T_{X/Y}) ≃ Der_{Y} (𝒪_{U}, 𝒪_{U}). Rappelons qu’on appelle Y -point de X un Y - morphisme T ⟶ X. Par définition, X ×_{Y} X “paramètre” l’ensemble des couples de Y -points de X (i.e. représente le foncteur correspondant sur la catégorie des Y -schémas). La signification géométrique du premier voisinage infinitésimal Z_{1} de la diagonale de X sur Y est qu’il paramètre les couples de Y -points de X voisins d’ordre 1 (i.e. congrus modulo un idéal de carré nul) : plus précisément, si i : T_{0} ⟶ T est un épaississement d’ordre 1, d’idéal 𝔞, où T est un Y -schéma, et si t_{1}, t_{2} : T ⟶ X sont deux Y -points de X qui coïncident modulo 𝔞 (i.e. tels que t_{1}i = t_{2}i = t_{0} : T_{0} ⟶ X), alors il existe un unique Y -morphisme h : T ⟶ Z_{1} tel que p_{1}h = t_{1} et p_{2}h = t_{2} ; de plus, si t_{1}^{∗}, t_{2}^{∗} : 𝒪_{X} ⟶ t_{0 ∗}𝒪_{T} ^{3} sont les homomorphismes de faisceaux d’anneaux associés à t_{1} et t_{2}, t_{2}^{∗} − t_{1}^{∗} est une Y -dérivation de X à valeurs dans t_{0 ∗}𝔞, telle que

(1.2.6)  (t_{2}^{∗} − t_{1}^{∗})(s) = h^{∗}(ds)

pour toute section locale s de 𝒪_{X}, où h^{∗} : Ω_{X/Y}^{1} ⟶ t_{0}^{∗}𝔞 est l’homomophisme de 𝒪_{X}-modules induit par h (sur les faisceaux conormaux correspondants, de X dans Z_{1} et T_{0} dans T). Si f est un morphisme de schémas affines, correspondant à un homomorphisme d’anneaux A ⟶ B, alors Z = Spec B ⊗_{A} B, Δ correspond à l’homomorphisme d’anneaux envoyant b_{1} ⊗ b_{2} sur b_{1}b_{2}, de noyau J = Γ(Z, I). On a Γ(X, 𝒫_{X/Y}^{1} ) = (B ⊗_{A} B)/J^{2}, et l’on pose

(1.2.7)  Γ(X, Ω_{X/Y}^{1} ) = Ω_{B/A}^{1}.

Le B-module Ω_{B/A}^{1} = J/J^{2}, dont le faisceau quasi-cohérent associé est Ω_{X/Y}^{1} , s’appelle module des 1-différentielles de Kähler de B sur A. L’application d = d_{B/A} = Γ(X, d_{X/Y}) : B ⟶ Ω_{B/A}^{1} est une A-dérivation, vérifiant une propriété universelle qu’on laisse au lecteur le soin de formuler. Les homomorphismes j_{1}, j_{2} : B ⟶ (B⊗_{A}B)/J^{2} de 1.1 sont donnés par j_{1}b = classe de b⊗1, j_{2}b = classe de 1 ⊗ b. Comme J est engendré par les 1 ⊗ b − b ⊗ 1, Ω_{B/A}^{1} est engendré, comme B-module, par l’image de d. Il en résulte que si f est un morphisme de schémas quelconques, Ω_{X/Y}^{1} est engendré, comme 𝒪_{X}-module, par l’image de d.

1.3. Tout carré commutatif

X′ \underrightarrow{g} X
(1.3.1)  f′↓  ↓f
Y′ \underrightarrow{h} Y

3 rappelons que T et T_{0} ont même espace sous-jacent

définit de façon naturelle un homomorphisme de 𝒪_{X′}-modules

(1.3.2)  g^{∗}Ω_{X/Y}^{1} ⟶ Ω_{X′/Y′}^{1},

dit canonique, envoyant 1 ⊗ g^{−1}(d_{X/Y} s) sur d_{X′/Y′}(1 ⊗ g^{−1}(s)) (si E est un 𝒪_{X}- module, par définition g^{∗}E = 𝒪_{X′} ⊗_{g^{−1}(𝒪_{X})} g^{−1}(E)). C’est un isomorphisme si le carré (1.3.1) est cartésien, i.e. si le morphisme X′ ⟶ Y′ ×_{Y} X est un isomorphisme. En outre, dans ce cas, l’homomorphisme canonique

(1.3.3)  f^{′ ∗}Ω_{Y′/Y}^{1} ⊕ g^{∗}Ω_{X/Y}^{1} ⟶ Ω_{X′/Y}^{1}

est un isomorphisme.

1.4. Soient

X \underrightarrow{f} Y \underrightarrow{g} S

des morphismes de schémas. Alors la suite d’homorphismes canoniques

(1.4.1)  f^{∗}Ω_{Y/S}^{1} ⟶ Ω_{X/S}^{1} ⟶ Ω_{X/Y}^{1} ⟶ 0

est exacte.

1.5. Soit

\begin{matrix}X & \underrightarrow{i} Z \\ f↓ & ↙g \\ Y \end{matrix}

un triangle commutatif, où i est une immersion, d’idéal I. La différentielle d_{Z/Y} induit un homomorphisme d : 𝒩_{X/Z} ⟶ i^{∗}Ω_{Z/Y}^{1} , et la suite

(1.5.1)  𝒩_{X/Z} ⟶ i^{∗}Ω_{Z/Y}^{1} ⟶ Ω_{X/Y}^{1} ⟶ 0

est exacte.

1.6. Soit X = 𝔸_{Y}^{n} = Y [T_{1}, …, T_{n}] l’espace affine de dimension n sur Y. Le 𝒪_{X}- module Ω_{X/Y}^{1} est libre, de base les dT_{i} (1 ⩽ i ⩽ n). Si Y est affine, d’anneau A, et si s ∈ A[T_{1}, …, T_{n}], ds = ∑(∂s/∂T_{i})dT_{i}, où les ∂s/∂T_{i} sont les dérivées partielles usuelles.

Les propriétés 1.3 à 1.6, dont la vérification est du reste triviale, sont fondamentales. C’est grâce à elles qu’on peut “calculer” les modules de différentielles. Pour plus de détails, voir les références indiquées supra.

1.7. Soit f : X ⟶ Y un morphisme de schémas. Pour i ∈ ℕ, on note

Ω_{X/Y}^{i} = Λ^{i}Ω_{X/Y}^{1}

la i-ième puissance extérieure du 𝒪_{X}-module Ω_{X/Y}^{1} (on convient que Ω_{X/Y}^{0} = 𝒪_{X}). On montre qu’il existe une unique famille d’applications d : Ω_{X/Y}^{i} ⟶ Ω_{X/Y}^{i+1} vérifiant les conditions suivantes :

(a) d est une Y -anti-dérivation de l’algèbre extérieure ⨁ Ω_{X/Y}^{i}, i.e. d est f^{−1}(𝒪_{Y})- linéaire et d(ab) = da ∧ b + (−1)^{i}a ∧ db pour a homogène de degré i,

(b) d^{2} = 0,

(c) da = d_{X/Y} (a) pour a de degré zéro.

Le complexe correspondant se nomme complexe de De Rham de X sur Y et se note

(1.7.1)  Ω_{X/Y}^{•}

(ou Ω_{X/A}^{•} si Y est affine d’anneau A). Il dépend fonctoriellement de f : un carré (1.3.1) donne un homomorphisme de complexes (qui est aussi un homomorphisme d’algèbres)

(1.7.2)  Ω_{X/Y}^{•} ⟶ g_{∗}Ω_{X′/Y′}^{•}.

Prendre garde cependant que, s’il est vrai que, pour chaque i, l’homomorphisme Ω_{X/Y}^{i} ⟶ g_{∗}Ω_{X′/Y′}^{i} est adjoint d’un homomorphisme g^{∗}Ω_{X/Y}^{i} ⟶ Ω_{X′/Y′}^{i}, on ne peut en général définir un complexe g^{∗}Ω_{X/Y}^{•} dont la différentielle soit une Y′-anti-dérivation compatible à celle de Ω_{X′/Y′}^{•}.

2. Lissité et relèvements

Il y a bien des façons d’exposer la théorie des morphismes lisses. Nous suivons (ou plutôt, résumons) ici la présentation des EGA, où la lissité est définie par l’existence locale de relèvements infinitésimaux (EGA IV 17). Outre son élégance, cette définition a l’avantage de se transposer à d’autres contextes, par exemple celui de la géométrie logarithmique (cf. [I6]). D’autres points de vue sont adoptés dans (SGA 1 II et III), où l’accent est mis sur la notion de morphisme étale, et [B-L-R] 2.2, où c’est le critère jacobien (cf. 2.8) qui est pris comme point de départ.

2.1. Soit f : X ⟶ Y un morphisme de schémas. On dit que f est localement de type fini (resp. localement de présentation finie) si, pour tout point x de X, il existe un voisinage ouvert affine U de x et un voisinage ouvert affine V de y = f(x) tels que f(U) ⊂ V et que l’homomorphisme d’anneaux A ⟶ B associé à U ⟶ V fasse de B une A-algèbre de type fini (i.e. quotient d’une algèbre de polynômes A[t_{1}, …, t_{n}]) (resp. de présentation finie (i.e. quotient d’une algèbre de polynômes A[t_{1}, …, t_{n}] par un idéal de type fini)). Si Y est localement noethérien, “localement de type fini” équivaut à “localement de présentation finie”, et s’il en est ainsi, X est alors localement noethérien.

Si f : X ⟶ Y est localement de type fini (resp. de présentation finie), le 𝒪_{X}-module Ω_{X/Y}^{1} est de type fini (resp. de présentation finie).

2.2. Soit f : X ⟶ Y un morphisme de schémas. On dit que f est lisse (resp. net (ou non ramifié), resp. étale) si f est localement de présentation finie et si la condition suivante est vérifiée :

Pour tout diagramme commutatif

X
g^{0}  ↓f (2.2.1)
T_{0} \underrightarrow{i} T ⟶ Y

où i est un épaississement d’ordre 1 (1.1), il existe, localement pour la topologie de Zariski sur T, un (resp. au plus un, resp. un unique) Y -morphisme g : T ⟶ X tel que gi = g_{0}. Il résulte aussitôt de la définition que le composé de deux morphismes lisses (resp. nets, resp. étales) est lisse (resp. net, resp. étale), et que si f : X ⟶ Y est lisse (resp. net, resp. étale), il en est de même du morphisme f′ : X′ ⟶ Y′ déduit par un changement de base Y′ ⟶ Y. Si pour i = 1, 2, f_{i} : X_{i} ⟶ Y est lisse (resp. net, resp. étale), le produit fibré f = f_{1} ×_{Y} f_{2} : X_{1} ×_{Y} X_{2} ⟶ Y est donc lisse (resp. net, resp. étale). Il est immédiat d’autre part que la projection de la droite affine 𝔸_{Y}^{1} = Y [t] ⟶ Y est lisse, et il en est donc de même de la projection de l’espace affine 𝔸_{Y}^{n} ⟶ Y.

Remarques 2.3. (a) A cause de l’unicité, qui permet un recollement, on peut, dans la définition d’étale omettre localement pour la topologie de Zariski. Par contre, on ne peut le faire dans la définition de lisse : il existe une obstruction cohomologique, qu’on précisera plus loin, à l’existence d’un prolongement global g de g_{0}.

(b) Si n est un entier ⩾ 1, on dit qu’un morphisme de schémas i : T_{0} ⟶ T est un épaississement d’ordre n si i est une immersion fermée définie par un idéal I tel que I^{n+1} = 0. Si T_{m} désigne le sous-schéma fermé de T défini par I^{m+1}, i se factorise en une suite d’épaississements d’ordre 1 :

T_{0} ⟶ T_{1} ⟶ ⋯ ⟶ T_{m} ⟶ T_{m+1} ⟶ ⋯ ⟶ T_{n}.

Dans la définition 2.2, on peut donc remplacer épaississement d’ordre 1 par épaississement d’ordre n.

La proposition suivante résume les propriétés différentielles essentielles des morphismes lisses (resp. nets, resp. étales).

Proposition 2.4. (a) si f : X ⟶ Y est lisse (resp. net), le 𝒪_{X}-module Ω_{X/Y}^{1} est localement libre de type fini (resp. nul).

(b) Dans la situation de 1.4, si f est lisse, la suite (1.4.1) prolongée par un zéro à gauche

(2.4.1)  0 ⟶ f^{∗}Ω_{Y/S}^{1} ⟶ Ω_{X/S}^{1} ⟶ Ω_{X/Y}^{1} ⟶ 0

est exacte et localement scindée. En particulier, si f est étale, l’homomorphisme canonique f^{∗}Ω_{Y/S}^{1} ⟶ Ω_{X/S}^{1} est un isomorphisme.

(c) Dans la situation de 1.5, si f est lisse, la suite (1.5.1) prolongée par un zéro à gauche

(2.4.2)  0 ⟶ 𝒩_{X/Z} ⟶ i^{∗}Ω_{Z/Y}^{1} ⟶ Ω_{X/Y}^{1} ⟶ 0

est exacte et localement scindée. En particulier, si f est étale, l’homomorphisme canonique 𝒩_{X/Z} ⟶ i^{∗}Ω_{Z/Y}^{1} est un isomorphisme.

2.5. La vérification de 2.4 n’est pas difficile (EGA IV 17.2.3), mais malheureusement quelque peu éparpillée dans (EGA 0_{IV} 20). En voici une esquisse.

L’ingrédient clé est le suivant. Si f : X ⟶ Y est un morphisme de schémas et I un 𝒪_{X}-module quasi-cohérent, on appelle Y -extension de X par I un Y - morphisme i : X ⟶ X′ qui est un épaississement d’ordre 1 d’idéal I. Deux Y -extensions i_{1} : X ⟶ X_{1} et i_{2} : X ⟶ X_{2} de X par I sont dites équivalentes s’il existe un Y -isomorphisme g de X_{1} sur X_{2} tel que gi_{1} = i_{2} et que g induise l’identité sur I. Une construction analogue à celle de la “somme de Baer” pour les extensions de modules sur un anneau munit l’ensemble

Ext_{Y} (X, I)

des classes d’équivalence de Y -extensions de X par I d’une structure de groupe abélien, d’élément neutre l’extension triviale définie par l’algèbre des nombres duaux 𝒪_{X} ⊕ I.

L’assertion (c) découle immédiatement de la définition : la lissité de f implique en effet que le premier voisinage infinitésimal i_{1} de i se rétracte localement sur X, et le choix d’une rétraction r permet de scinder (2.4.2) (par la dérivation associée à Id_{Z_{1}} −i_{1} ∘ r, cf. (1.2.6)).

Supposons f lisse. Si I est un 𝒪_{X}-module quasi-cohérent et i : X ⟶ Z est une Y -extension de X par I, la suite (2.4.2) est donc une extension de 𝒪_{X}-modules e(i) de Ω_{X/Y}^{1} par I. On vérifie que i ⟼ e(i) donne un isomorphisme

(2.5.1)  Ext_{Y} (X, I) ⟶^{∼} Ext_{𝒪_{X}}^{1} (Ω_{X/Y}^{1} , I)

(cf. [I1] I, chap. II, 1.1.9 : on définit un inverse de (2.5.1) en associant à une extension M de Ω_{X/Y}^{1} par I la Y -extension Z de X définie de la manière suivante : identifions, grâce à j_{1}, le faisceau des parties principales 𝒫_{X/Y}^{1} (1.2.2) à l’anneau des nombres duaux 𝒪_{X} ⊕ Ω_{X/Y}^{1} , et notons F = 𝒪_{X} ⊕ M l’anneau des nombres duaux sur M; l’extension M fait de F une f^{−1}(𝒪_{Y})-extension de 𝒫_{X/Y}^{1} par I; soit E = F ×_{𝒫_{X/Y}^{1}} 𝒪_{X} le “pull-back” de F par l’homomorphisme j_{2} = j_{1} + d_{X/Y} : 𝒪_{X} ⟶ 𝒫_{X/Y}^{1} ; E est une f^{−1}(𝒪_{Y})-extension de 𝒪_{X} par I, qui définit la Y -extension Z). Comme f est lisse, toute Y -extension de X par I est localement triviale, et donc, grâce à (2.5.1), il en résulte que le faisceau \underline{Ext}_{𝒪_{X}}^{1} (Ω_{X/Y}^{1} , I) (associé au préfaisceau U ⟼ Ext_{𝒪_{U}}^{1} (Ω_{U/Y}^{1} , I_{|U})) est nul, et donc aussi que \underline{Ext}_{𝒪_{U}}^{1} (Ω_{U/Y}^{1} , J) = 0 pour tout ouvert U de X et tout 𝒪_{U}-module quasi-cohérent J. Comme Ω_{X/Y}^{1} est de type fini (2.1), il s’ensuit que Ω_{X/Y}^{1} est localement libre de type fini, ce qui prouve la partie de (a) relative au cas lisse (la partie relative au cas net est immédiate : pour tout Y -schéma X, si i : X ⟶ Z est la Y -extension triviale de X par un 𝒪_{X}-module quasi-cohérent I, l’ensemble des Y -rétractions de Z sur X s’identifie à Hom(Ω_{X/Y}^{1} , I) par r ⟼ r − r_{0}, où r_{0} correspond à l’injection naturelle de 𝒪_{X} dans 𝒪_{X} ⊕ I, cf. (1.2.6)). Il résulte notamment de (a) et (2.5.1) que, si X est un schéma affine et est lisse sur Y, on a Ext_{Y} (X, I) = 0 pour tout 𝒪_{X}-module quasi-cohérent I. On en déduit finalement (b), en utilisant, pour X, Y, S affines, et f quelconque, la suite exacte naturelle (EGA 0_{IV} 20.2.3)

(2.5.2) 0 ⟶ Der_{Y} (𝒪_{X}, I) ⟶ Der_{S}(𝒪_{X}, I) ⟶ Der_{S}(𝒪_{Y} , f_{∗}I) ⟶

⟶^{∂} Ext_{Y} (X, I) ⟶ Ext_{S}(X, I) ⟶ Ext_{S}(Y, f_{∗}I),

où les flèches autres que ∂ sont les flèches de fonctorialité évidentes, et ∂ associe à une S-dérivation D : 𝒪_{Y} ⟶ f_{∗}I la Y -extension définie par l’anneau des nombres duaux 𝒪_{X} ⊕ I et l’homomorphisme a ⟼ f^{∗}a + Da de 𝒪_{Y} dans f_{∗}(𝒪_{X} ⊕ I).

Observons que si f : X ⟶ Y est un morphisme localement de présentation finie de schémas affines (i.e. correspondant à un homomorphisme d’anneaux A ⟶ B faisant de B une A-algèbre de présentation finie), alors, pour que f soit lisse, il faut et il suffit que, pour tout 𝒪_{X}-module quasi-cohérent I, on ait Ext_{Y} (X, I) = 0 (la suffisance découle de la définition, et la nécessité a déjà été notée plus haut).

Les assertions 2.4 (b) et (c) ont des réciproques, qui fournissent des critères de lissité très commodes. Leur vérification est facile à partir des considérations précédentes.

Proposition 2.6. (a) Dans la situation de 1.4, supposons gf lisse. Alors, si la suite (2.4.1) est exacte et localement scindée, f est lisse. Si l’homomorphisme canonique f^{∗}Ω_{Y/S}^{1} ⟶ Ω_{X/S}^{1} est un isomorphisme, f est étale.

(b) Dans la situation de 1.5, supposons g lisse. Alors, si la suite (2.4.2) est exacte et localement scindée, f est lisse. Si l’homomorphisme canonique 𝒩_{X/Z} ⟶ i^{∗}Ω_{Z/Y}^{1} est un isomorphisme, f est étale.

2.7. Soit f : X ⟶ Y un morphisme lisse, et soit x un point de X, notons k(x) le corps résiduel de l’anneau local 𝒪_{X,x}. Soient s_{1}, …, s_{n} des sections de 𝒪_{X} au voisinage de x dont les différentielles forment une base de Ω_{X/Y}^{1} en x, i.e., au choix, telles que les images (ds_{i})_{x} des ds_{i} dans Ω_{X/Y,x}^{1} forment une base de ce module sur 𝒪_{X,x}, ou telles que les images (ds_{i})(x) des ds_{i} dans Ω_{X/Y}^{1} ⊗ k(x) forment une base de cet espace vectoriel sur k(x). Comme Ω_{X/Y}^{1} est localement libre de type fini, il existe un voisinage ouvert U de x tel que les s_{i} soient définies sur U et que les ds_{i} forment une base de Ω_{X/Y |U}^{1}. Les s_{i} définissent alors un Y -morphisme de U dans l’espace affine de dimension n sur Y :

s = (s_{1}, …, s_{n}) : U ⟶ 𝔸_{Y}^{n} = Y [t_{1}, …, t_{n}].

D’après 1.6 et 2.6 (a), s est étale. On dit que les s_{i} forment un système de coordonnées locales de X sur Y au-dessus de U (ou, si U n’est pas précisé, en x). Un morphisme lisse est donc localement composé d’un morphisme étale et de la projection d’un espace affine standard.

2.8. Plaçons-nous dans la situation de 1.5, en supposant g lisse, et soit x un point de X. D’après 2.4 (c) et 2.6 (b), pour que f soit lisse au voisinage de x, il faut et il suffit qu’il existe des sections s_{1}, …, s_{r} de I au voisinage de x, engendrant I_{x} et telles que les (ds_{i})(x) soient linéairement indépendants dans Ω_{Z/Y}^{1} (x) = Ω_{Z/Y}^{1} ⊗ k(x) (où k(x) est le corps résiduel de 𝒪_{Z,x}, qui est aussi celui de 𝒪_{X,x}). Pour cette raison, 2.6 (b) porte le nom de critère jacobien.

Supposons f lisse au voisinage de x (ou en x, comme on dit parfois), et soient s_{1}, …, s_{r} des sections de I engendrant I au voisinage de x. Alors, pour que les s_{i} définissent un système minimal de générateurs de I_{x} (i.e. induisent une base de I ⊗ k(x) = I_{x}/𝔪_{x}I_{x}, ou encore forment une base de I/I^{2} = 𝒩_{X/Z} dans un voisinage de x), il faut et il suffit que les (ds_{i})(x) soient linéairement indépendants dans Ω_{Z/Y}^{1} (x)^{4}. Lorsqu’il en est ainsi, si l’on complète les s_{i} par des sections s_{j} (r + 1 ⩽ j ⩽ r + n) de 𝒪_{Z} au voisinage de x telles que les (ds_{i})(x) (1 ⩽ i ⩽ r + n) forment une base de Ω_{Z/Y}^{1} (x), alors les s_{i} (1 ⩽ i ⩽ n) définissent un Y -morphisme étale s d’un voisinage ouvert U de x dans Z dans l’espace affine 𝔸_{Y}^{n+r}, tel que U ∩ X soit l’image inverse du sous-espace linéaire d’équations t_{1} = ⋯ = t_{r} = 0 :

\begin{matrix}U ∩ X & ⟶ U \\ ↓ & ↓f \\ 𝔸_{Y}^{n} & ⟶ 𝔸_{Y}^{n+r}. \end{matrix}

En géométrie algébrique, cet énoncé joue le rôle d’un théorème des fonctions implicites.

2.9. Soit k un corps et soit f : X ⟶ Y = Spec k un morphisme. Supposons f lisse ; alors X est régulier (i.e. pour tout point x de X, l’anneau local 𝒪_{X,x} est régulier, i.e. son idéal maximal 𝔪_{x} peut être engendré par une suite régulière de paramètres) ; de plus, si x est un point fermé, k(x) est une extension finie séparable de k, et la dimension de 𝒪_{X,x} est égale à la dimension dim_{x} X de la composante irréductible de X contenant x et au rang de Ω_{X/Y}^{1} en x. Inversement, si k est parfait, et si X est régulier, f est lisse.

4 ou encore que la suite (s_{i}) soit 𝒪_{Z}-régulière en x, i.e. que le complexe de Koszul correspondant soit une résolution de 𝒪_{X} au voisinage de x (cf. (SGA 6 VII 1.4) et (EGA IV 17.12.1)).

Plus généralement, on a le critère suivant, de vérification facile à partir de 2.7 et 2.8 :

Proposition 2.10. Soit f : X ⟶ Y un morphisme localement de présentation finie (2.1). Les conditions suivantes sont équivalentes :

(i) f est lisse ;

(ii) f est plat et les fibres géométriques de f sont des schémas réguliers.

(On dit que f est plat si, pour tout point x de X, 𝒪_{X,x} est un module plat sur 𝒪_{Y,f(x)}. Une fibre géométrique de f est le schéma déduit d’une fibre X_{y} = X ×_{Y} Spec k(y) de f en un point y par une extension des scalaires à une clôture algébrique de k(y).) Si f : X ⟶ Y est lisse, et x est un point de X, l’entier

dim_{x}(f) := dim_{k(x)} Ω_{X/Y}^{1} ⊗ k(x) = rg_{𝒪_{X,x}} Ω_{X/Y,x}^{1}

s’appelle dimension relative de f en x. Par la théorie classique de la dimension (EGA IV 17.10.2), c’est la dimension de la composante irréductible de la fibre X_{f(x)} contenant x. Comme Ω_{X/Y}^{1} est localement libre de type fini, c’est une fonction localement constante de x. Elle est nulle si et seulement si f est étale, en d’autres termes, f est étale si et seulement si f est localement de présentation finie, plat et net (c’est ce critère qui est pris comme définition d’un morphisme étale dans (SGA 1 I)).

Si f est lisse et purement de dimension relative r, i.e. de dimension relative constante égale à l’entier r, alors le complexe de De Rham Ω_{X/Y}^{•} (1.7.1) est nul en degré > r, et Ω_{X/Y}^{i} est localement libre de rang \binom{r}{i}; en particulier, Ω_{X/Y}^{r} est un 𝒪_{X}-module inversible.

Les morphismes lisses donnent lieu à une excellente théorie de déformations infinitésimales. Les deux propositions qui suivent la résument. Elles sont toutefois de nature plus technique que les énoncés précédents, et comme elles ne serviront que dans la démonstration de 5.1, nous conseillons au lecteur de ne s’y reporter qu’à ce moment-là.

Proposition 2.11. Soit un diagramme (2.2.1), avec f lisse. Soit I l’idéal de i.

(a) Il existe une obstruction

c(g_{0}) ∈ Ext^{1}(g_{0}^{∗}Ω_{X/Y}^{1} , I)

dont l’annulation est nécessaire et suffisante à l’existence d’un Y -morphisme (global) g : T ⟶ X prolongeant g_{0} (i.e. tel que gi = g_{0}).

(b) Si c(g_{0}) = 0, l’ensemble des prolongements g de g_{0} est un espace affine sous Hom(g_{0}^{∗}Ω_{X/Y}^{1} , I).

Comme Ω_{X/Y}^{1} est localement libre de type fini, on a un isomorphisme canonique

(2.11.1)  Ext^{1}(g_{0}^{∗}Ω_{X/Y}^{1} , I) ≃ H^{1}(T_{0}, Hom(g_{0}^{∗}Ω_{X/Y}^{1} , I))

(et Hom(g_{0}^{∗}Ω_{X/Y}^{1} , I) ≃ g_{0}^{∗}T_{X/Y} ⊗ I, où T_{X/Y} est le faisceau tangent (1.2.5)). Posons G = Hom(g_{0}^{∗}Ω_{X/Y}^{1} , I). D’après (1.2.6), si U est un ouvert de T de trace U_{0} sur T_{0}, deux prolongements de g_{0|U_{0}} à U “diffèrent” par une section de G sur U_{0} (et un prolongement étant donné, on peut le modifier en lui “ajoutant” une section de G). Comme g_{0} se prolonge localement par définition de la lissité de f, on en conclut que le faisceau P sur T_{0} associant à U_{0} l’ensemble des prolongements de g_{0}|U_{0} à U est un torseur sous G. Les assertions (a) et (b) en résultent : c(g_{0}) est la classe de ce torseur. Plus concrètement, si (U_{i})_{i∈E} est un recouvrement ouvert de T et g_{i} un prolongement de g_{0} sur U_{i}, alors, sur U_{i} ∩ U_{j}, g_{i} − g_{j} est une Y -dérivation D_{ij} de 𝒪_{X} à valeurs dans g_{0 ∗}(I_{|U_{i}∩U_{j}}), i.e. un homomorphisme de Ω_{X/Y}^{1} dans g_{0 ∗}(I_{|U_{i}∩U_{j}}), i.e. finalement une section de G sur U_{i} ∩ U_{j}, et les (g_{ij}) forment un cocycle, dont la classe est c(g_{0}).

Noter que si T (ou ce qui revient au même T_{0}) est affine, alors

H^{1}(T_{0}, Hom(g_{0}^{∗}Ω_{X/Y}^{1} , I)) = 0,

et par suite g_{0} admet un prolongement global à T.

Proposition 2.12. Soient i : Y_{0} ⟶ Y un épaississement d’ordre 1 d’idéal I, et f_{0} : X_{0} ⟶ Y_{0} un morphisme lisse.

(a) Il existe une obstruction

ω(f_{0}) ∈ Ext^{2}(Ω_{X_{0}/Y_{0}}^{1}, f_{0}^{∗}I)

dont l’annulation est nécessaire et suffisante à l’existence d’un relèvement lisse de X_{0} sur Y, i.e. par définition, d’un Y -schéma lisse X muni d’un Y_{0}- isomorphisme Y_{0} ×_{Y} X ≃ X_{0} ^{5}.

(b) Si ω(f_{0}) = 0, l’ensemble des classes d’isomorphie de relèvements de X_{0} sur Y est un espace affine sous Ext^{1}(Ω_{X_{0}/Y_{0}}^{1}, f_{0}^{∗}I) (où par définition, si X_{1} et X_{2} sont des relèvements de X_{0}, un isomorphisme de X_{1} sur X_{2} est un Y -isomorphisme de X_{1} sur X_{2} induisant l’identité sur X_{0}).

(c) Si X est un relèvement de X_{0} sur Y, le groupe des automorphismes de X (i.e. des Y -automorphismes de X induisant l’identité sur X_{0}) s’identifie naturellement à Hom(Ω_{X_{0}/Y_{0}}^{1}, f_{0}^{∗}I).

Comme Ω_{X_{0}/Y_{0}}^{1} est localement libre de type fini, on a, pour tout i ∈ ℤ, un isomorphisme canonique

(2.12.1)  Ext^{i}(Ω_{X_{0}/Y_{0}}^{1}, f_{0}^{∗}I) ≃ H^{i}(X_{0}, Hom(Ω_{X_{0}/Y_{0}}^{1}, f_{0}^{∗}I))

(et Hom(Ω_{X_{0}/Y_{0}}^{1}, f_{0}^{∗}I) ≃ T_{X_{0}/Y_{0}} ⊗ f_{0}^{∗}I). Si X_{0} est affine, le second membre de (2.12.1) est nul pour i ⩾ 1, et par suite il existe un relèvement de X_{0} sur Y, et deux tels relèvements sont isomorphes.

5 Dans la suite, quand nous parlerons de relèvement d’un Y_{0}-schéma lisse, il sera sous-entendu, sauf mention du contraire, qu’il s’agit d’un relèvement lisse.

2.13. Voici une esquisse de démonstration de 2.12. La donnée d’un relèvement X équivaut à celle d’un carré cartésien

\begin{matrix}X_{0} & \underrightarrow{j} X \\ f_{0}↓ & ↓f \\ Y_{0} & \underrightarrow{i} Y, \end{matrix}

avec f lisse. Soit J l’idéal de l’épaississement j. La platitude de f (2.10) implique que l’homomorphisme f_{0}^{∗}I ⟶ J déduit de ce carré est un isomorphisme (il est d’ailleurs facile de vérifier qu’inversement, si X est une Y -extension de X_{0} par J telle que l’homomorphisme correspondant f_{0}^{∗}I ⟶ J soit un isomorphisme, alors X est automatiquement un relèvement de X_{0}). L’assertion (c) est donc cas particulier de 2.11 (b), l’identification consistant à associer à un automorphisme u de X la “dérivation” u−Id_{X}. De même, si X_{1} et X_{2} sont deux relèvements de X_{0}, 2.11 (a) entraîne que X_{1} et X_{2} sont isomorphes si X_{0} est affine, et que l’ensemble des isomorphismes de X_{1} sur X_{2} est alors un espace affine sous Hom(Ω_{X_{0}/Y_{0}}^{1}, f_{0}^{∗}I). Les assertions (a) et (b) en découlent formellement. La vérification de (b) est analogue à celle de 2.11 : si X_{1} et X_{2} sont deux relèvements de X_{0}, la “différence” de leurs classes d’isomorphie est la classe du torseur sous Hom(Ω_{X_{0}/Y_{0}}^{1}, f_{0}^{∗}I) des isomorphismes locaux de X_{1} sur X_{2} (on peut aussi observer que les classes des Y -extensions X_{1} et X_{2} de X_{0} par f_{0}^{∗}I diffèrent par une unique Y_{0}-extension de X_{0} par f_{0}^{∗}I et invoquer (2.5.1)). Enfin, indiquons rapidement la construction de l’obstruction ω(f_{0}), en supposant pour simplifier X_{0} séparé. Tout d’abord, par le critère jacobien (2.8), l’existence d’un relèvement global est assurée dans le cas où X_{0} et Y_{0} sont affines, et f_{0} associé à un homomorphisme d’anneaux A_{0} ⟶ B_{0}, où B_{0} est quotient d’une A_{0}-algèbre de polynômes A_{0}[t_{1}, …, t_{n}] par l’idéal engendré par une suite d’éléments (g_{1}, …, g_{r}) telle que les dg_{i} soient linéairement indépendants en tout point x de X_{0} (relever arbitrairement les g_{i}). Comme (toujours d’après (2.8)) f_{0} est localement de la forme précédente, on peut choisir un recouvrement ouvert affine 𝒰 = ((U_{i})_{0})_{i∈E} de X_{0}, et pour chaque i, un relèvement U_{i} de (U_{i})_{0} sur Y. Comme X_{0} a été supposé séparé, chaque intersection (U_{ij})_{0} = (U_{i})_{0} ∩ (U_{j})_{0} est affine, et par suite, on peut choisir un isomorphisme de relèvements u_{ij} de U_{i|(U_{ij})_{0}} sur U_{j|(U_{ij})_{0}}. Sur une intersection triple (U_{ijk})_{0} = (U_{i})_{0} ∩ (U_{j})_{0} ∩ (U_{k})_{0}, l’automorphisme u_{ijk} = u_{ki}^{−1}u_{jk}u_{ij} de U_{i|(U_{ijk})_{0}} diffère de l’identité par une section

c_{ijk} = u_{ijk}^{∗} − Id

du faisceau Hom(Ω_{X_{0}/Y_{0}}^{1}, f_{0}^{∗}I). On vérifie que (c_{ijk}) est un 2-cocycle de 𝒰 à valeurs dans Hom(Ω_{X_{0}/Y_{0}}^{1}, f_{0}^{∗}I), que la classe de ce cocycle dans

H^{2}(X_{0}, Hom(Ω_{X_{0}/Y_{0}}^{1}, f_{0}^{∗}I))

ne dépend pas des choix, et qu’elle s’annule si et seulement si l’on peut, sur un recouvrement plus fin, modifier les u_{ij} de manière à ce qu’ils se recollent sur les intersections triples, et définissent ainsi un relèvement global X de X_{0}. C’est l’obstruction annoncée.

Remarque 2.14. La théorie des gerbes [Gi] et celle du complexe cotangent [I1] permettent, l’une et l’autre, de se débarrasser de l’hypothèse de séparation faite plus haut, et surtout, de donner une démonstration plus conceptuelle de 2.12.

3. Frobenius et isomorphisme de Cartier

Les références générales pour ce numéro sont (SGA 5 XV 1) pour les définitions et propriétés de base des morphismes de Frobenius absolus et relatifs, et [K1] 7 pour l’isomorphisme de Cartier (cf. aussi [I2] 0 2 et [D-I] 1).

Dans ce numéro, p désigne un nombre premier fixé.

3.1. On dit qu’un schéma X est de caractéristique p si p𝒪_{X} = 0, i.e. si le morphisme X ⟶ Spec ℤ se factorise (nécessairement de manière unique) à travers Spec 𝔽_{p}. Si X est un schéma de caractéristique p, on appelle endomorphisme de Frobenius absolu de X (ou, simplement endomorphisme de Frobenius, s’il n’y a pas de confusion à craindre) l’endomorphisme de X qui est l’identité sur l’espace sous-jacent à X et l’élévation à la puissance p-ième sur 𝒪_{X}. On le note F_{X}. Si X est affine d’anneau A, F_{X} correspond à l’endomorphisme de Frobenius F_{A} de A, a ⟼ a^{p}. Soit f : X ⟶ Y un morphisme de schémas. On a alors un carré commutatif

X \underrightarrow{F_{X}} X
(3.1.1)  f↓  ↓f
Y \underrightarrow{F_{Y}} Y.

Notons X^{(p)} (ou X′, s’il n’y a pas d’ambiguïté) le schéma (Y, F_{Y})×_{Y} X déduit de X par le changement de base F_{Y}. Le morphisme F_{X} définit un unique Y -morphisme F = F_{X/Y} : X ⟶ X′, donnant lieu à un diagramme commutatif

X \underrightarrow{F} X′ ⟶ X
(3.1.2)  f↘ ↓  ↓f
Y \underrightarrow{F_{Y}} Y,

où le composé supérieur est F_{X} et le carré est cartésien. On dit que F est le Frobenius relatif de X sur Y. Les morphismes de la ligne supérieure induisent des homéomorphismes sur les espaces sous-jacents (F_{Y} est un “homéomorphisme universel”, i.e un homéomorphisme et le reste après tout changement de base). Si Y est affine d’anneau A, et X est l’espace affine 𝔸_{Y}^{n} = Spec B, où B = A[t_{1}, …, t_{n}], alors X′ = 𝔸_{Y}^{n} ^{6}, et les morphismes F : X ⟶ X′ et X′ ⟶ X correspondent respectivement aux homomorphismes t_{i} ⟼ t_{i}^{p} et at_{i} ⟼ a^{p}t_{i} (a ∈ A).

Proposition 3.2. Soient Y un schéma de caractéristique p, et f : X ⟶ Y un morphisme lisse, purement de dimension relative n (2.10). Alors le Frobenius relatif F : X ⟶ X′ est un morphisme fini et plat, et la 𝒪_{X′}-algèbre F_{∗}𝒪_{X} est localement libre de rang p^{n}. En particulier, si f est étale, F est un isomorphisme, i.e. le carré (3.1.1) est cartésien.

On traite d’abord le cas où n = 0, qui demande un peu d’algèbre commutative : le point est que F est étale, car, d’après 2.6 (a), un Y -morphisme entre Y - schémas étales est automatiquement étale, et qu’un morphisme qui est à la fois étale et radiciel^{7} est une immersion ouverte ((SGA 1 I 5.1) ou (EGA IV 17.9.1)). Ensuite, le cas où X est l’espace affine 𝔸_{Y}^{n} est immédiat : les monômes ∏ t_{i}^{m_{i}}, avec 0 ⩽ m_{i} < p − 1 forment une base de F_{∗}𝒪_{X} sur 𝒪_{X′}. Le cas général s’en déduit grâce à 2.7.

Remarques 3.3. (a) Comme, d’après 2.10, Ω_{X/Y}^{i} est localement libre sur 𝒪_{X} de rang \binom{n}{i}, il résulte de 3.2 que F_{∗}Ω_{X/Y}^{i} est localement libre sur 𝒪_{X′} de rang p^{n}\binom{n}{i}.

(b) L’énoncé 3.2 relatif à n = 0 admet une réciproque : si Y est de caractéristique p et si X est un Y -schéma tel que le Frobenius relatif F_{X/Y} soit un isomorphisme, alors X est étale sur Y (SGA 5 XV 1 Prop. 2). Quand Y est le spectre d’un corps, c’est le “critère de Mac Lane”.

3.4. Soient Y un schéma de caractéristique p et f : X ⟶ Y un morphisme. Posons d = d_{X/Y} (1.2.3). Si s est une section locale de 𝒪_{X}, on a d(s^{p}) = ps^{p−1}ds = 0. Comme d(s^{p}) = F_{X}^{∗}(ds) = F^{∗}(1 ⊗ ds), il s’ensuit que

(a) les homomorphismes canoniques (1.3.2) associés à (F_{X}, F_{Y}) et F,

F_{X}^{∗}Ω_{X/Y}^{1} ⟶ Ω_{X/Y}^{1} , F^{∗}Ω_{X′/Y}^{1} ⟶ Ω_{X/Y}^{1}

sont nuls ;

(b) la différentielle du complexe F_{∗}Ω_{X/Y}^{•} est 𝒪_{X′}-linéaire ; en particulier, les faisceaux de cycles Z^{i}, de bords B^{i} et de cohomologie ℋ^{i} = Z^{i}/B^{i} du complexe F_{∗}Ω_{X/Y}^{•} sont des 𝒪_{X′}-modules, et le produit extérieur fait du 𝒪_{X′}-module gradué ⨁ Z^{i}F_{∗}Ω_{X/Y}^{•} (resp. ⨁ ℋ^{i}F_{∗}Ω_{X/Y}^{•}) une algèbre graduée anti-commutative.

Ces faits sont à la source des miracles du calcul différentiel de caractéristique p. Le résultat principal est le théorème suivant, dû à Cartier [C] :

6 Il n’est pas vrai en général que X et X′ soient isomorphes en tant que Y -schémas, c’est le cas ici exceptionnellement.

7 Un morphisme g : T ⟶ S est dit radiciel si g est injectif et, pour tout point t de T, d’image s dans S, l’extension résiduelle k(s) ⟶ k(t) est radicielle.

Théorème 3.5. Soient Y un schéma de caractéristique p et f : X ⟶ Y un morphisme.

(a) Il existe un unique homomorphisme de 𝒪_{X′}-algèbres graduées

γ : ⨁ Ω_{X′/Y}^{i} ⟶ ⨁ ℋ^{i}F_{∗}Ω_{X/Y}^{•} ,

vérifiant les deux conditions suivantes :

(i) pour i = 0, γ est donné par l’homomorphisme F^{∗} : 𝒪_{X′} ⟶ F_{∗}𝒪_{X} ;

(ii) pour i = 1, γ envoie 1 ⊗ ds sur la classe de s^{p−1}ds dans ℋ^{1}F_{∗}Ω_{X/Y}^{•} (où 1 ⊗ ds désigne l’image de la section ds de Ω_{X/Y}^{1} dans Ω_{X′/Y}^{1} .

(b) Si f est lisse, γ est un isomorphisme.

Dans le cas (b), γ s’appelle l’isomorphisme de Cartier, et se note C^{−1}. Son inverse, ou le composé

⨁ Z^{i}F_{∗}Ω_{X/Y}^{•} ⟶ ⨁ Ω_{X′/Y}^{i}

de son inverse avec la projection de ⨁ Z^{i} sur ⨁ ℋ^{i}, où Z^{i} désigne le faisceau des cycles de F_{∗}Ω_{X/Y}^{•} en degré i, se note C : c’est ce dernier homomorphisme qui a été initialement défini par Cartier, et qu’on appelle parfois l’opération de Cartier. La présentation adoptée dans 3.5 est due à Grothendieck (notes manuscrites), et détaillée dans [K1] 7.

Quand Y est un schéma parfait, i.e. tel que F_{Y} soit un automorphisme, par exemple si Y est le spectre d’un corps parfait, l’un des cas les plus importants pour les applications, alors si f est lisse, C^{−1} donne par composition avec l’isomorphisme

⨁ Ω_{X/Y}^{i} ⟶ ⨁(F_{Y})_{X ∗}Ω_{X′/Y}^{i}

(où (F_{Y})_{X} : X′ ⟶ X est l’isomorphisme déduit de F_{Y} par changement de base) un isomorphisme

C_{abs}^{−1} : ⨁ Ω_{X/Y}^{i} ⟶ ⨁ ℋ^{i}F_{X ∗}Ω_{X/Y}^{•}

qu’on appelle isomorphisme de Cartier absolu.

Corollaire 3.6. Soient Y un schéma de caractéristique p et f : X ⟶ Y un morphisme lisse. Alors, pour tout i, les faisceaux de 𝒪_{X′}-modules F_{∗}Ω_{X/Y}^{i}, Z^{i}F_{∗}Ω_{X/Y}^{•}, B^{i}F_{∗}Ω_{X/Y}^{•}, ℋ^{i}F_{∗}Ω_{X/Y}^{•} sont localement libres de type fini (où Z^{i} resp. B^{i} désigne le faisceau de cycles resp. bords en degré i).

Compte tenu de 3.3 (a) et de l’exactitude de F_{∗}, il suffit d’appliquer 3.5 (b), en procédant par récurrence descendante sur i.

Indiquons rapidement la démonstration de 3.5, d’après [K1] 7. Pour (a), il revient au même, compte tenu de (1.3.2), de construire le composé de γ avec l’homomorphisme ⨁ Ω_{X/Y}^{i} ⟶ ⨁(F_{Y})_{X ∗}Ω_{X′/Y}^{i}, i.e. un homomorphisme de 𝒪_{X}- algèbres graduées

γ_{abs} : ⨁ Ω_{X/Y}^{i} ⟶ ⨁ ℋ^{i}F_{X ∗}Ω_{X/Y}^{•}

vérifiant les conditions analogues à (i) et (ii), i.e. donné en degré zéro par F_{X}^{∗}, et en degré 1 envoyant ds sur la classe de s^{p−1}ds. Or l’application de 𝒪_{X} dans ℋ^{1}F_{X ∗}Ω_{X/Y}^{•} envoyant une section locale s de 𝒪_{X} sur la classe de s^{p−1}ds est une Y -dérivation (cela résulte de l’identité p^{−1}((X + Y)^{p} − X^{p} − Y^{p}) = ∑_{0<i<p} p^{−1}\binom{p}{i}X^{p−i}Y^{i} dans ℤ[X, Y]). Par (1.2.4), elle définit l’homomorphisme (γ_{abs})^{1} désiré. Comme l’algèbre extérieure ⨁ Ω_{X/Y}^{i} est strictement anti-commutative (“strictement” voulant dire que les éléments de degré impair sont de carré nul), il en est de même de son sous-quotient ⨁ ℋ^{i}F_{X ∗}Ω_{X/Y}^{•}, et par suite il existe un unique homomorphisme d’algèbres graduées γ_{abs} prolongeant les homomorphismes (γ_{abs})^{0} = F_{X}^{∗} et (γ_{abs})^{1}. Pour (b), on peut supposer, d’après 2.7, que f se factorise en

X ⟶^{g} 𝔸_{Y}^{n} ⟶^{h} Y,

où h est la projection canonique et g est étale. Le carré (3.1.1) relatif à g étant cartésien d’après 3.2, il en est de même du carré analogue avec les Frobenius relatifs à Y

X ⟶^{F} X′
(3.6.1)  g↓  ↓g′
Z ⟶^{F} Z′,

où l’on a posé 𝔸_{Y}^{n} = Z pour abréger. D’après 2.4 (b), l’homomorphisme g^{∗}Ω_{Z/Y}^{i} ⟶ Ω_{X/Y}^{i} est un isomorphisme. Le carré (3.6.1) étant cartésien et F fini, il fournit un isomorphisme de complexes de 𝒪_{X′}-modules

(3.6.2)  g^{′ ∗}F_{∗}Ω_{Z/Y}^{•} ⟶ F_{∗}Ω_{X/Y}^{•} .

Comme g′ est étale, donc plat, l’homomorphisme

(3.6.3)  g^{′ ∗}ℋ^{i}F_{∗}Ω_{Z/Y}^{•} ⟶ ℋ^{i}F_{∗}Ω_{X/Y}^{•}

déduit de (3.6.2) est un isomorphisme. Comme d’autre part g^{′ ∗}Ω_{Z′/Y}^{i} ⟶ Ω_{X′/Y}^{i} est un isomorphisme (g′ étant étale), il s’ensuit (par fonctorialité de γ) qu’il suffit de prouver (b) pour Z. Par des arguments analogues (extension des scalaires et Künneth) on se ramène facilement à Y = Spec 𝔽_{p} et n = 1, i.e. Z = Spec 𝔽_{p}[t]. Alors Z′ = Z, les monômes 1, t, …, t^{p−1} forment une base de F_{∗}𝒪_{Z} sur 𝒪_{Z}, et comme la différentielle d : F_{∗}𝒪_{Z} ⟶ F_{∗}Ω_{Z}^{1} = (F_{∗}𝒪_{Z})dt envoie t^{i} sur it^{i−1}dt, on constate que ℋ^{0}F_{∗}Ω_{Z/𝔽_{p}}^{•} (resp. ℋ^{1}F_{∗}Ω_{Z/𝔽_{p}}^{•}) est libre sur 𝒪_{Z} de base 1 (resp. t^{p−1}dt), et donc que γ est un isomorphisme.

3.7. Il existe un lien étroit entre isomorphisme de Cartier et relèvements de Frobenius. Il était connu de Cartier, et lui a servi de motivation pour sa construction. C’est lui qui est à l’origine des théorèmes de décomposition et de dégénérescence de [D-I], voir n^{∘} 5. Voici en quoi il consiste.

Soient i : T_{0} ⟶ T un épaississement d’ordre 1 et g_{0} : S_{0} ⟶ T_{0} un morphisme plat. Par relèvement du T_{0}-schéma S_{0} sur T on entend un T -schéma plat S muni d’un T_{0}-isomorphisme T_{0} ×_{T} S ≃ S_{0}, i.e. un carré cartésien

\begin{matrix}S_{0} & ⟶^{j} S \\ g_{0}↓ & ↓g \\ T_{0} & ⟶^{i} T \end{matrix}

avec g plat. Si I (resp. J) est l’idéal de l’ épaississement i (resp. j), la platitude de g implique que l’homomorphisme canonique g_{0}^{∗}I ⟶ J est un isomorphisme (cf. 2.13).

Prenons pour i l’épaississement Spec 𝔽_{p} ⟶ Spec ℤ/p^{2}ℤ, d’idéal engendré par p. Soit Y_{0} un schéma de caractéristique p, et soit Y un relèvement de Y_{0} sur ℤ/p^{2}ℤ. L’idéal de Y_{0} dans Y est donc p𝒪_{Y}, et la platitude de Y sur ℤ/p^{2}ℤ entraîne que la multiplication par p induit un isomorphisme

(3.7.1)  p : 𝒪_{Y_{0}} ⟶^{∼} p𝒪_{Y} .

Soit maintenant f_{0} : X_{0} ⟶ Y_{0} un morphisme lisse de 𝔽_{p}-schémas. Notons

F_{0} : X_{0} ⟶ X′_{0}

le Frobenius de X_{0} relatif à Y_{0}. Supposons donné un relèvement (lisse) X (resp. X′) de X_{0} (resp. X′_{0}) sur Y et un Y -morphisme F : X ⟶ X′ relevant F_{0}, i.e. tel que le carré

\begin{matrix}X_{0} & ⟶ X \\ F_{0}↓ & ↓F \\ X′_{0} & ⟶ X′ \end{matrix}

commute. (On a vu qu’il existe des obstructions à l’existence de X, X′, et F, cf. 2.11 et 2.12, et que ces objets, quand ils existent, ne sont pas uniques ; nous y reviendrons plus loin.)

Proposition 3.8. Soient f_{0} : X_{0} ⟶ Y_{0} et F : X ⟶ X′ donnés comme en 3.7. Alors :

(a) la multiplication par p induit un isomorphisme

p : Ω_{X_{0}/Y_{0}}^{1} ⟶^{∼} pΩ_{X/Y}^{1} ;

(b) l’image de l’homomorphisme canonique

F^{∗} : Ω_{X′/Y}^{1} ⟶ F_{∗}Ω_{X/Y}^{1}

est contenue dans pF_{∗}Ω_{X/Y}^{1} ;

(c) Notons

φ_{F} : Ω_{X′_{0}/Y_{0}}^{1} ⟶ F_{0 ∗}Ω_{X_{0}/Y_{0}}^{1}

l’homomorphisme “déduit de F^{∗} par division par p”, i.e. l’unique homomorphisme rendant commutatif le carré

\begin{matrix}Ω_{X′/Y}^{1} & ⟶^{F^{∗}} p F_{0 ∗}Ω_{X/Y}^{1} \\ ↓ & ↑p \\ Ω_{X′_{0}/Y_{0}}^{1} & ⟶ F_{0 ∗}Ω_{X_{0}/Y_{0}}^{1} ; \end{matrix}

alors l’image de φ_{F} est contenue dans le noyau de la différentielle du complexe de De Rham, i.e. dans le faisceau de cycles Z^{1}F_{0 ∗}Ω_{X_{0}/Y_{0}}^{•}, et le composé de φ_{F} avec la projection sur ℋ^{1}F_{0 ∗}Ω_{X_{0}/Y_{0}}^{•} est l’isomorphisme de Cartier C^{−1} en degré 1 (cf. 3.5).

L’assertion (a) est triviale, (b) découle de 3.4 (a), et (c) est immédiat à partir de (a), (b) et la caractérisation de l’isomorphisme de Cartier : en effet, si a est une section locale de 𝒪_{X}, de réduction a_{0} modulo p, et a′ relève dans 𝒪_{X′} l’image a′_{0} de a_{0} dans 𝒪_{X′_{0}}, on a

F^{∗}a′ = a^{p} + pb

pour une section locale b de 𝒪_{X} (car la réduction modulo p de F^{∗}a′ est F_{0}^{∗}a′_{0} = a_{0}^{p}), et par suite

F^{∗}(da′) = pa^{p−1}da + pdb,

d’où

(3.8.1)  φ_{F} (da′_{0}) = a_{0}^{p−1}da_{0} + db_{0},

dont (c) résulte aussitôt.

3.9. Supposons – c’est, en pratique, l’un des cas les plus importants – que Y_{0} soit le spectre d’un corps parfait k de caractéristique p. Alors le spectre Y de l’anneau W_{2}(k) des vecteurs de Witt de longueur 2 sur k relève Y_{0} sur ℤ/p^{2}ℤ (c’est d’ailleurs, à isomorphisme près, l’unique relèvement (plat) de Y_{0}). Rappelons que W_{2}(k) est l’ensemble des suites (a_{1}, a_{2}) d’éléments de k, muni de l’addition et de la multiplication données par

\begin{matrix}(a_{1}, a_{2}) + (b_{1}, b_{2}) = (a_{1} + b_{1}, S_{2}(a, b)), \\ (a_{1}, a_{2})(b_{1}, b_{2}) = (a_{1}b_{1}, P_{2}(a, b)), \end{matrix}

où

\begin{aligned}S_{2}(a, b) & = a_{2} + b_{2} + p^{−1}(a_{1}^{p−1} + b_{1}^{p−1} − (a_{1} + b_{1})^{p}), \\ P_{2}(a, b) & = b_{1}^{p}a_{2} + b_{2}a_{1}^{p}. \end{aligned}

L’homomorphisme W_{2}(k) ⟶ k est donné par (a_{1}, a_{2}) ⟼ a_{1}. Si k = 𝔽_{p}, alors W_{2}(k) ≃ ℤ/p^{2}ℤ, l’isomorphisme étant donné par (a_{1}, a_{2}) ⟼ τ(a_{1}) + p τ(a_{2}), où τ désigne la section multiplicative de ℤ/p^{2}ℤ ⟶ 𝔽_{p}. (Pour un exposé d’ensemble de la théorie des vecteurs de Witt, voir [S] II 6, [D-G] V.)

Dans ce cas, si X_{0} est un Y_{0}-schéma lisse (i.e. un k-schéma lisse), comme le Frobenius absolu de Y_{0} est un automorphisme, relever X_{0} sur Y = Spec W_{2}(k) équivaut à relever X′_{0}, et, d’après 2.12, l’obstruction à l’existence d’un tel relèvement se trouve dans Ext^{2}(Ω_{X_{0}}^{1}, 𝒪_{X_{0}}) ≃ H^{2}(X_{0}, T_{X_{0}}) ^{8}. Si cette obstruction est nulle, on peut choisir un relèvement X′ de X′_{0} et un relèvement X de X_{0}, et alors l’obstruction à un relèvement F : X ⟶ X′ du Frobenius relatif F_{0} se trouve dans Ext^{1}(F_{0}^{∗}Ω_{X′_{0}}^{1}, 𝒪_{X_{0}}) ≃ Ext^{1}(Ω_{X′_{0}}^{1}, F_{0 ∗}𝒪_{X_{0}}) (2.11)^{9}. En tout cas, ces deux obstructions sont nulles localement, et même dès que X_{0} est affine. Le choix d’un relèvement F fournit alors, d’après 3.8, une description relativement explicite de l’isomorphisme de Cartier en degré 1 (et donc en tout degré, par multiplicativité).

4. Catégories dérivées et suites spectrales

Il existe plusieurs textes de référence sur ce sujet, de divers niveaux. Le lecteur qui souhaiterait se mettre rapidement au courant pourra consulter [I3], qui peut servir d’introduction et contient une bibliographie étendue. Nous nous bornerons ici à rappeler quelques points fondamentaux dont nous ferons usage au numéro suivant.

4.1. Soit A une catégorie abélienne (en pratique, A sera la catégorie des 𝒪_{X}- modules d’un schéma X). On désigne par C(A) la catégorie des complexes de A, à différentielle de degré 1. On note L^{•} (ou L) un tel complexe

⋯ ⟶ L^{i} ⟶^{d} L^{i+1} ⟶ · · · .

On dit que L est à degrés bornés inférieurement (resp. supérieurement, resp. à degrés bornés) si L^{i} = 0 pour i assez petit (resp. assez grand, resp. hors d’un

0 ⟶ B^{1}F_{∗}Ω_{X_{0}}^{•} ⟶ Z^{1}F_{∗}Ω_{X_{0}}^{•} ⟶^{C} Ω_{X′_{0}}^{1} ⟶ 0

8 On omet ici, pour abréger, /Y_{0} de la notation des différentielles.

9 On peut montrer ([Me-Sr] Appendix) que l’obstruction à un choix de (X, X′, F) tel que X′ soit l’image inverse de X par l’automorphisme de Frobenius de W_{2}(k) se trouve dans Ext^{1}(Ω_{X′_{0}}^{1}, B^{1}F_{∗}Ω_{X_{0}}^{•}) ; plus précisément, un tel triplet (X, X′, F) existe si et seulement si la classe de l’extension (cas particulier i = 1 de l’isomorphisme de Cartier 3.5) est nulle. Voir [Sr] pour une application à une autre démonstration du théorème principal de [D-I].

intervalle borné de ℤ). On note Z^{i}L = Ker d : L^{i} ⟶ L^{i+1}, B^{i}L = Im d : L^{i−1} ⟶ L^{i}, H^{i}L = Z^{i}L/B^{i}L respectivement les objets de cycles, bords et cohomologie en degré i. Si A est la catégorie des 𝒪_{X}-modules, on écrit C(X) au lieu de C(A), et souvent ℋ^{i}L au lieu de H^{i}L pour un objet de C(X) (afin d’indiquer qu’il s’agit du faisceau de cohomologie en degré i, et non du groupe de cohomologie global H^{i}(X, L)).

Pour n ∈ ℤ, le tronqué naïf L^{⩽n} (resp. L^{⩾n}) d’un complexe L est le quotient (resp. le sous-complexe) de L qui coïncide avec L en degré ⩽ n (resp. ⩾ n) et est à composantes nulles ailleurs. Le tronqué canonique τ_{⩽n}L (resp. τ_{⩾n}L) est le sous-complexe (resp. quotient) de L de composantes L^{i} pour i < n, Z^{i}L pour i = n et 0 pour i > n (resp. L^{i} pour i > n, L^{i}/B^{i}L pour i = n et 0 pour i < n). On pose τ_{<n}L = τ_{⩽n−1}L. L’inclusion τ_{⩽n}L ⟶ L induit un isomorphisme sur H^{i} pour i ⩽ n. La projection L ⟶ ⟶ τ_{⩾n}L induit un isomorphisme sur H^{i} pour i ⩾ n. Pour n ∈ ℤ, le translaté L[n] d’un complexe L est le complexe de composantes L[n]^{i} = L^{n+i} et de différentielle d_{L[n]} = (−1)^{n}d_{L}. Un complexe L est dit concentré en degré r (resp. dans l’intervalle [a, b]) si L^{i} = 0 pour i ≠ r (resp. i ∉ [a, b]). Un objet E de A est souvent considéré comme complexe concentré en degré zéro. Le complexe E[−n] est alors concentré en degré n, de composante E en ce degré.

Un homomorphisme de complexes u : L ⟶ M est appelé un quasiisomorphisme si H^{i}u est un isomorphisme pour tout i. On dit qu’un complexe K est acyclique si H^{i}K = 0 pour tout i.

Si u : L ⟶ M est un homomorphisme de complexes, le cône N = C(u) de u est le complexe défini par N^{i} = L^{i+1} ⊕ M^{i}, de différentielle d(x, y) = (−d_{L}x, ux + d_{M}y). Pour que u soit un quasi-isomorphisme, il faut et il suffit que C(u) soit acyclique.

4.2. Désignons par K(A) la catégorie des complexes de A à homotopie près, i.e. la catégorie ayant mêmes objets que C(A) mais dont l’ensemble des flèches de L dans M est l’ensemble des classes d’homotopie de morphismes de L dans M. La catégorie dérivée de A, notée D(A), est la catégorie déduite de K(A) en inversant formellement les (classes d’homotopie de) quasi-isomorphismes : les quasi-isomorphismes de K(A) deviennent des isomorphismes dans D(A) et D(A) est universelle pour cette propriété. Quand A est la catégorie des 𝒪_{X}-modules sur une espace annelé X, on écrit D(X) au lieu de D(A). Les catégories K(A) et D(A) sont des catégories additives, et l’on a des foncteurs additifs canoniques

C(A) ⟶ K(A) ⟶ D(A).

La catégorie D(A) a mêmes objets que C(A). Ses flèches se calculent “par fractions” à partir de celles de K(A) : une flèche u : L ⟶ M de D(A) est définie par un couple de flèches de C(A) du type

L ⟵^{s} L′ ⟶^{f} M  ou  L ⟶^{g} M′ ⟵^{t} M,

où s et t sont des quasi-isomorphismes. Plus précisément, on montre que les classes d’homotopie de quasi-isomorphismes de source M (resp. but L) forment une catégorie filtrante^{10} (resp. l’opposé d’une catégorie filtrante) et que l’on a

Hom_{D(A)}(L, M) = lim ; \overrightarrow{t : M → M′} Hom_{K(A)}(L, M′) = lim ; \overrightarrow{s : L′ → L} Hom_{K(A)}(L′, M)

où t (resp. s) parcourt la catégorie précédente (resp. son opposée). Si L, M sont des complexes, on pose, pour i ∈ ℤ,

Ext^{i}(L, M) = Hom_{D(A)}(L, M[i]) = Hom_{D(A)}(L[−i], M).

Les foncteurs H^{i} et les foncteurs de troncation canonique τ_{⩽i}, τ_{⩾i} sur C(A) se prolongent naturellement à D(A). Par contre, il n’en est pas de même des foncteurs de troncation naïve.

4.3. On désigne par D^{+}(A) (resp. D^{−}(A), resp. D^{b}(A)) la sous-catégorie pleine de D(A) formée des complexes L cohomologiquement bornés inférieurement (resp. supérieurement, resp. bornés), i.e. tels que H^{i}L = 0 pour i assez petit (resp. assez grand, resp. hors d’un intervalle borné). Si A possède suffisamment d’injectifs (i.e. si tout objet de A se plonge dans un injectif), par exemple si A est la catégorie des 𝒪_{X}-modules sur un schéma X, alors tout objet de D^{+}(A) est isomorphe à un complexe, à degrés bornés inférieurement, formé d’injectifs, et la catégorie D^{+}(A) est équivalente à la sous-catégorie pleine de K(A) formée de tels complexes.

4.4. Les catégories K(A) et D(A) ne sont pas abéliennes en général, mais possèdent une structure de catégorie triangulée, au sens de Verdier [V]. Cette structure est définie par la famille des triangles distingués. Un triangle est une suite de flèches T = (L ⟶ M ⟶ N ⟶ L[1]) de K(A) (resp. D(A)). Un morphisme de T dans T′ = (L′ ⟶ M′ ⟶ N′ ⟶ L′[1]) est un triplet (u : L ⟶ L′, v : M ⟶ M′, w : N ⟶ N′) tel que les trois carrés formés avec u, v, w, u[1] commutent. Un triangle est dit distingué s’il est isomorphe à un triangle de la forme

L ⟶^{u} M ⟶^{i} C(u) ⟶^{p} L[1],

où u est le cône d’un morphisme de complexes u, et i (resp. p) désigne l’inclusion (resp. l’opposée de la projection) évidente. Toute suite exacte courte de complexes 0 ⟶ E ⟶^{u} F ⟶ G ⟶ 0 définit un triangle distingué de D(A), au moyen du quasi-isomorphisme naturel C(u) ⟶ G, et tout triangle distingué de D(A) est isomorphe à un triangle distingué de ce type.

10 Une catégorie I est dite filtrante si elle vérife les conditions (a) et (b) suivantes :

(a) pour tout couple de flèches f, g : i ⟶ j, il existe une flèche h : j ⟶ k telle que hf = hg, (b) quels que soient les objets i et j, il existe un objet k et des flèches f : i ⟶ k, g : j ⟶ k.

Tout triangle distingué T = (L ⟶ M ⟶ N ⟶ L[1]) de D(A) donne naissance à des suites exactes longues

⋯ ⟶ H^{i}L ⟶ H^{i}M ⟶ H^{i}N ⟶^{d} H^{i+1}L ⟶ ⋯,

⋯ ⟶ Ext^{i}(E, L) ⟶ Ext^{i}(E, M) ⟶ Ext^{i}(E, N) ⟶ Ext^{i+1}(E, L) ⟶ ⋯,

⋯ ⟶ Ext^{i}(N, E) ⟶ Ext^{i}(M, E) ⟶ Ext^{i}(L, E) ⟶ Ext^{i+1}(N, E) ⟶ ⋯,

pour E ∈ ob D(A). Si le triangle T est associé à une suite exacte courte comme expliqué ci-dessus, l’opérateur d de la première de ces suites est l’opérateur bord usuel (c’est la raison de la convention de signe dans la définition de p).

4.5. Soient L un complexe de A et i ∈ ℤ. Le quotient τ_{⩽i}L/τ_{⩽i−1}L s’envoie quasiisomorphiquement sur H^{i}L[−i]. On a donc un triangle distingué canonique de D(A)

τ_{⩽i−1}L ⟶ τ_{⩽i}L ⟶ H^{i}L[−i] ⟶ τ_{⩽i−1}L[1].

On définit de même un triangle distingué canonique

H^{i−1}L[−i + 1] ⟶ τ_{⩾i−1}L ⟶ τ_{⩾i}L ⟶ H^{i−1}L[−i + 2].

Enfin,

τ_{[i−1,i]}L := τ_{⩾i−1}τ_{⩽i}L = τ_{⩽i}τ_{⩾i−1}L = (0 ⟶ L^{i−1}/B^{i}L ⟶ Z^{i}L ⟶ 0)

définit un triangle distingué

H^{i−1}L[−i + 1] ⟶ τ_{[i−1,i]}L ⟶ H^{i}L[−i] ⟶,

qui fournit un élément canonique

(4.5.1)  c_{i} ∈ Ext^{2}(H^{i}L, H^{i−1}L).

Le triplet (H^{i−1}L, H^{i}L, c_{i}) est un invariant de L dans D(A). Il permet sa reconstruction à isomorphisme près si L est cohomologiquement concentré en degré i − 1 et i. On peut montrer que les c_{i} réalisent universellement les différentielles d_{2} des suites spectrales de foncteurs dérivés appliqués à L (cf. la thèse de Verdier^{11}, ou [D3]).

4.6. Soit L un objet de D^{b}(A). On dit que L est décomposable si L est isomorphe, dans D(A), à un complexe à différentielle nulle. Si L est décomposable, et si u : L′ ⟶ L est un isomorphisme de D(A), avec L′ à différentielle nulle, alors u induit des isomorphismes L^{′ i} ⟶^{∼} H^{i}L, en particulier L′ est à degrés bornés et

L′ = ⨁ L^{′ i}[−i] (dans C(A)) (4.1), donc

(4.6.1)  L ≃ ⨁ H^{i}L[−i]

11 qui devrait paraître prochainement dans Astérisque

(dans D(A)). Inversement, si L vérifie (4.6.1), L est trivialement décomposable. Si L est décomposable, on appelle décomposition de L le choix d’un isomorphisme (4.6.1) induisant l’identité sur H^{i} pour tout i. Il existe une suite finie d’obstructions à la décomposabilité de L : les premières sont les classes c_{i} (4.5.1) ; si les c_{i} sont nulles, il y a des obstructions secondaires dans Ext^{3}(H^{i}L, H^{i−2}L), etc. D’autre part, si L est décomposable, L admet en général plusieurs décompositions.

Au numéro suivant, on s’intéressera surtout au cas où L est concentré en degrés 0 et 1 : L = (L^{0} ⟶ L^{1}). Dans ce cas :

(a) la classe c_{1} ∈ Ext^{2}(H^{1}L, H^{0}L) est l’obstruction à la décomposabilité de L ;

(b) la donnée d’une décomposition de L équivaut à celle d’un morphisme H^{1}L[−1] ⟶ L induisant l’identité sur H^{1} ;

(c) L’ensemble des décompositions de L est un espace affine sous Ext^{1}(H^{1}L, H^{0}L) ([D-I] 3.1).

4.7. Nous renvoyons par exemple à [H1], II pour la définition des foncteurs dérivés

⊗^{L}, R Hom ^{12}, R Hom, Rf_{∗}, Lf^{∗}, RΓ dans les catégories dérivées D(X), où X est un schéma variable, et la description de certaines relations remarquables entre ces foncteurs. Rappelons seulement que ces foncteurs sont, par rapport à chaque argument, des foncteurs exacts, i.e. transforment triangles distingués en triangles distingués, et se “calculent” de la manière suivante :

(a) pour E ∈ ob D(X), F ∈ ob D^{−}(X), E ⊗^{L} F ≃ E⊗F′ si F ≃ F′ dans D(X), avec F′ à degrés bornés supérieurement (4.1) et à composantes plates ; pour F donné, il existe un quasi-isomorphisme F′ ⟶ F avec F′ du type précédent, les classes d’homotopie de tels quasi-isomorphismes forment d’ailleurs un système coinitial (dans la catégorie des classes de quasi-isomorphismes de but F, cf. 4.2) ;

(b) pour E ∈ ob D(X), F ∈ ob D^{+}(X), si F ≃ F′, avec F′ à degrés bornés inférieurement et à composantes injectives, alors R Hom(E, F) ≃ Hom^{•}(E, F′) et R Hom(E, F) ≃ Hom^{•}(E, F′) ; pour F donné, il existe un quasi-isomorphisme F ⟶ F’ avec F’ du type précédent (et les classes d’homotopie de tels quasiisomorphismes forment un système cofinal) ;

(c) pour f : X ⟶ Y et E ∈ ob D^{+}(X), si E ≃ E′, avec E′ à degrés bornés inférieurement et à composantes flasques (par exemple, injectives), alors Rf_{∗}E ≃ f_{∗}E′ et RΓ(X, E) ≃ Γ(X, E′) ; on écrit simplement H^{i}(X, E) au lieu de H^{i}RΓ(X, E) ; on définit plus généralement, de la même façon, Rf_{∗} : D^{+}(X, f^{−1}(𝒪_{Y})) ⟶ D^{+}(Y), où D(X, f^{−1}(𝒪_{Y})) désigne la catégorie dérivée de la catégorie des complexes de f^{−1}(𝒪_{Y})-modules (le complexe de de Rham Ω_{X/Y}^{•} est un tel complexe) ; (d) pour f : X ⟶ Y et F ∈ ob D^{−}(Y), Lf^{∗}F ≃ f^{∗}F′ si F ≃ F′, avec F′ à degrés bornés supérieurement et à composantes plates.

12 Une erreur de signe s’est glissée dans la définition du complexe Hom^{•}(L, M) dans [H1] p. 64 :

pour u ∈ Hom(L^{i}, M^{i+n}), il faut lire du = d ∘ u + (−1)^{n+1}u ∘ d.

4.8. Les suites spectrales sont peut-être l’un des objets à la fois les plus effrayants et les plus utiles des mathématiques. Les catégories dérivées permettent parfois de s’en passer, mais elles restent indispensables. Il existe de nombreuses références, la plus ancienne ([C-E], XV) restant l’une des meilleures. Dans ces notes, nous nous intéresserons surtout à la suite spectrale dite de Hodge vers De Rham, dont nous allons rappeler la définition.

Soit T : A ⟶ B un foncteur additif entre catégories abéliennes. Supposons que A possède suffisamment d’injectifs. Alors T admet un dérivé droit

RT : D^{+}(A) ⟶ D^{+}(B),

qui se calcule par RT (K) ≃ T (K′) si K ⟶ K′ est un quasi-isomorphisme avec K′ à degrés bornés inférieurement et à composantes injectives. Les objets de cohomologie H^{i} ∘ RT : D^{+}(A) ⟶ B sont notés R^{i}T. Pour K ∈ ob D(A), à degrés bornés inférieurement, on a une suite spectrale

(4.8.1)  E_{1}^{i j} = R^{j}T (K^{i}) ⟹ R^{∗}T (K),

dite première suite spectrale d’hypercohomologie de T. Elle s’obtient de la façon suivante : on choisit une résolution K ⟶ L de K par un bicomplexe L, telle que chaque colonne L^{i •} soit une résolution injective de K^{i}; si sL désigne le complexe simple associé, l’homomorphisme de complexes K ⟶ sL qui s’en déduit est un quasi-isomorphisme, donc RT (K) ≃ T (sL) = sT (L), RT (K^{i}) ≃ T (L^{i •}), et la filtration de sT (L) par le premier degré de L donne naissance à (4.8.1).

Soient k un corps et X un k-schéma. Le groupe (cf. (1.7.1) et 4.7 (c))

(4.8.2)  H_{DR}^{i}(X/k) = H^{i}(X, Ω_{X/k}^{•}) = Γ(Spec k, R^{i}f_{∗}(Ω_{X/k}^{•}))

(où f : X ⟶ Spec k est le morphisme structural) s’appelle i-ième groupe de cohomologie de De Rham de X/k. C’est un k-espace vectoriel. La suite spectrale (4.8.1) relative au foncteur Γ(X, •) et au complexe Ω_{X/k}^{•} s’appelle suite spectrale de Hodge vers De Rham de X/k :

(4.8.3)  E_{1}^{i j} = H^{j}(X, Ω_{X/k}^{i}) ⟹ H_{DR}^{∗}(X/k).

C’est une suite spectrale de k-espaces vectoriels. Les groupes H^{j}(X, Ω_{X/k}^{i}) s’appellent groupes de cohomologie de Hodge de X sur k. Si X est propre sur k ([H2] II 4) (par exemple, projectif sur k, i.e. sous-schéma fermé d’un espace projectif ℙ_{k}^{n}), comme les Ω_{X/k}^{i} sont des faisceaux cohérents (2.1), le théorème de finitude de Serre-Grothendieck ([H2] III 5.2 dans le cas projectif, (EGA III 3) dans le cas général) implique que les groupes de cohomologie de Hodge de X sur k sont des k-espaces vectoriels de dimension finie. Par la suite spectrale (4.8.3), il en résulte que les groupes de cohomologie de de Rham H_{DR}^{n}(X/k) sont aussi de dimension finie sur k. De plus, pour chaque n, on a

(4.8.4)  ∑_{i+j=n} dim_{k} H^{j}(X, Ω_{X/k}^{i}) ⩾ dim_{k} H_{DR}^{n}(X/k),

avec égalité pour tout n si et seulement si la suite spectrale de Hodge vers De Rham de X sur k dégénère en E_{1}, i.e. est de différentielle d_{r} nulle pour tout r ⩾ 1.

5. Théorèmes de décomposition, de dégénérescence et d’annulation en caractéristique p > 0

Dans ce numéro, comme au n^{∘} 3, p désigne un nombre premier fixé.

Le résultat principal est le théorème suivant ([D-I] 2.1, 3.7) :

Théorème 5.1. Soit S un schéma de caractéristique p. Supposons donné un relèvement (plat) T de S sur ℤ/p^{2}ℤ (3.7). Soit X un S-schéma lisse ; notons, comme en 3.1, F : X ⟶ X′ le Frobenius relatif de X/S. Alors, si X′ admet un relèvement (lisse) sur T, le complexe de 𝒪_{X′}-modules τ_{<p}F_{∗}Ω_{X/S}^{•} (4.1) est décomposable dans la catégorie dérivée D(X′) des 𝒪_{X′}-modules (4.6).

5.2. Avant d’aborder la démonstration, notons qu’une décomposition de τ_{<p} F_{∗}Ω_{X/S}^{•} équivaut à la donnée d’une flèche de D(X′)

⨁_{i<p} ℋ^{i}F_{∗}Ω_{X/S}^{•}[−i] ⟶ F_{∗}Ω_{X/S}^{•}

induisant l’identité sur ℋ^{i} pour tout i < p. D’après le théorème de Cartier (3.5), cette donnée équivaut encore à celle d’une flèche de D(X′)

(5.2.1)  φ : ⨁_{i<p} Ω_{X′/S}^{i}[−i] ⟶ F_{∗}Ω_{X/S}^{•}

induisant C^{−1} sur ℋ^{i} pour tout i < p. La démonstration consiste en fait à associer canoniquement une telle flèche φ à chaque relèvement de X′ sur T. Elle comprend trois étapes.

Etape A. On commence par traiter le cas où F admet un relèvement global.

Proposition 5.3. Sous les hypothèses de 5.1, supposons que F : X ⟶ X′ admette un relèvement global G : Z ⟶ Z′, où Z (resp. Z′) relève X (resp. X′) sur T. Soit

(5.3.1)  φ_{G} : ⨁ Ω_{X′/S}^{i}[−i] ⟶ F_{∗}Ω_{X/S}^{•}

l’homomorphisme de complexes, de i-ième composante φ_{G}^{i}, défini de la manière suivante :

φ_{G}^{0} = F^{∗} : 𝒪_{X} ⟶ F_{∗}𝒪_{X} ; φ_{G}^{1} : Ω_{X′/S}^{1} ⟶ F_{∗}Ω_{X/S}^{1}

5. Décomposition, dégénérescence et annulation en car p > 0 141

est l’homomorphisme “G^{∗}/p” défini en 3.8 (c) ; pour i ⩾ 1, φ_{G}^{i} est composé de Λ^{i}φ_{G}^{1} et du produit Λ^{i}F_{∗}Ω_{X/S}^{1} ⟶ F_{∗}Ω_{X/S}^{i}. Alors φ_{G} est un quasi-isomorphisme, induisant l’isomorphisme de Cartier C^{−1} sur ℋ^{i} pour tout i.

C’est immédiat.

Etape B. C’est l’étape principale. On montre que la donnée d’un relèvement Z′ de X′ sur T permet de définir une décomposition de τ_{⩽1}F_{∗}Ω_{X/S}^{•}, i.e. un homomorphisme

φ_{Z′}^{1} : Ω_{X′/S}^{1}[−1] ⟶ F_{∗}Ω_{X/S}^{•}

de D(X′) (et non C(X′)) induisant C^{−1} sur ℋ^{1}. On a besoin, pour ce faire, de comparer les homomorphismes φ_{G}^{1} de (5.3.1) associés à divers relèvement de F de but Z′.

Lemme 5.4. A tout couple (G_{1} : Z_{1} ⟶ Z′, G_{2} : Z_{2} ⟶ Z′) de relèvements de F est associé canoniquement un homomorphisme

(5.4.1)  h(G_{1}, G_{2}) : Ω_{X′/S}^{1} ⟶ F_{∗}𝒪_{X}

tel que φ_{G_{2}}^{1} − φ_{G_{1}}^{1} = dh(G_{1}, G_{2}). Si G_{3} : Z_{3} ⟶ Z′ est un troisième relèvement de F, on a

(5.4.2)  h(G_{1}, G_{2}) + h(G_{2}, G_{3}) = h(G_{1}, G_{3}).

Supposons d’abord que Z_{1} et Z_{2} soient isomorphes (au sens de 2.12 (b)). Choisissons un isomorphisme u : Z_{1} ⟶^{∼} Z_{2}. Alors G_{2}u et G_{1} relèvent F, i.e.

prolongent à Z_{1} le composé X ⟶^{F} Z ⟶ Z′, donc, d’après 2.11 (b), diffèrent

par un homomorphisme h_{u} de F^{∗}Ω_{X′/S}^{1} dans 𝒪_{X}, ou ce qui revient au même, de Ω_{X′/S}^{1} dans F_{∗}𝒪_{X}. Si v est un second isomorphisme de Z_{1} sur Z_{2}, alors, compte tenu de 3.4 (a), il résulte de 2.11 (b) que u et v diffèrent par un homomorphisme “u − v” : Ω_{X/S}^{1} ⟶ 𝒪_{X}, donc G_{2}u et G_{2}v diffèrent par le composé de “u − v” et l’homomorphisme F^{∗}Ω_{X′/S}^{1} ⟶ Ω_{X/S}^{1}, qui est nul, donc G_{2}u = G_{2}v. Donc h_{u} ne dépend pas du choix de u. Comme Z_{1} et Z_{2} sont localement isomorphes d’après 2.11 (a), on en déduit un homomorphisme (5.4.1) caractérisé par la propriété que si u est un isomorphisme de Z_{1} sur Z_{2} au dessus d’un ouvert U de X (rappelons encore que Z_{1}, Z_{2} et X ont même espace sous-jacent), la restriction de h(G_{1}, G_{2}) à U est l’homomorphisme h_{u}, “différence” entre G_{1} et G_{2}u. La formule φ_{G_{2}}^{1} −φ_{G_{1}}^{1} = dh(G_{1}, G_{2}) résulte de la description explicite de φ_{G}^{1} donnée en (3.8.1), et la formule (5.4.2) est immédiate.

Fixons maintenant le relèvement Z′ de X′ sur T. D’après 2.11 (a) et 2.12 (a), on peut choisir un recouvrement ouvert 𝒰 = (U_{i})_{i∈I} de X de telle manière qu’on ait, pour chaque i, un relèvement Z_{i} de U_{i} sur T et un relèvement G_{i} : Z_{i} ⟶ Z′ de F_{|U_{i}}. On dispose alors, pour chaque i, de l’homomorphisme de complexes

f_{i} = φ_{G_{i}}^{1} : Ω_{X′/S |U_{i}}^{1}[−1] ⟶ F_{∗}Ω_{X/S |U_{i}}^{•}^{13}

de (5.3.1), et pour chaque couple (i, j), de l’homomorphisme

h_{ij} = h(G_{i |U_{ij}}, G_{j |U_{ij}}) : Ω_{X′/S |U_{ij}}^{1} ⟶ F_{∗}𝒪_{X |U_{ij}}

de (5.4.1), où U_{ij} = U_{i} ∩ U_{j}. Ces données sont reliées par

\begin{aligned}f_{j} − f_{i} & = dh_{ij} (sur U_{ij}), \\ h_{ij} + h_{jk} & = h_{ik} (sur U_{ijk} = U_{i} ∩ U_{j} ∩ U_{k}). \end{aligned}

Elles permettent de définir un homomorphisme de complexes de 𝒪_{X′}-modules

φ_{Z′,(𝒰,(G_{i}))}^{1} : Ω_{X′/S}^{1}[−1] ⟶ 𝒞̌(𝒰, F_{∗}Ω_{X/S}^{•}),

où 𝒞̌(𝒰, F_{∗}Ω_{X/S}^{•}) est le complexe simple associé au bicomplexe de Čech du recouvrement 𝒰 à valeurs dans F_{∗}Ω_{X/S}^{•}. Ce complexe a pour composantes

𝒞̌(𝒰, F_{∗}Ω_{X/S}^{•})^{n} = ⨁_{a+b=n} 𝒞̌^{b}(𝒰, F_{∗}Ω_{X/S}^{a})

et pour différentielle d = d_{1} +d_{2}, où d_{1} est induite par la différentielle du complexe de De Rham et d_{2} est, en bidegré (a, b), égale à (−1)^{a}(∑(−1)^{i}∂^{i}) (voir [G] 5.2 ou [H2] III 4.2). En particulier,

𝒞̌(𝒰, F_{∗}Ω_{X/S}^{•})^{1} = 𝒞̌^{1}(𝒰, F_{∗}𝒪_{X}) ⊕ 𝒞̌^{0}(𝒰, F_{∗}Ω_{X/S}^{1}).

Le morphisme φ_{Z′,(𝒰,(G_{i}))}^{1} est défini comme ayant pour composantes (φ_{1}, φ_{2}) en degré 1, avec

(φ_{1}ω)(i, j) = h_{ij}(ω)_{|U_{ij}}, (φ_{2}ω)(i) = f_{i}(ω)_{|U_{i}}.

Utilisant le fait que les f_{i} sont des morphismes de complexes et les formules supra reliant les f_{i} et les h_{ij}, on vérifie que φ_{Z′,(𝒰,(G_{i}))}^{1} ainsi défini est bien un morphisme de complexes. On dispose d’autre part de l’augmentation naturelle

ε : F_{∗}Ω_{X/S}^{•} ⟶ 𝒞̌(𝒰, F_{∗}Ω_{X/S}^{•}),

qui est un quasi-isomorphisme, car, pour tout a, le complexe 𝒞̌(𝒰, F_{∗}Ω_{X/S}^{a}) est une résolution de F_{∗}Ω_{X/S}^{a} (cf. [Go] ou [H2] loc. cit.). On définit alors

φ_{Z′}^{1} : Ω_{X′/S}^{1}[−1] ⟶ F_{∗}Ω_{X/S}^{•}

13 On identifie les espaces sous-jacents à X et X′ au moyen de F (3.1).

comme la flèche de D(X′) composée de φ_{Z′,(𝒰,(G_{i}))}^{1} et de l’inverse de ε (4.2). Si (𝒰 = (U_{i})_{i∈I}, (G_{i})_{i∈I}) et (𝒱 = (V_{j})_{j∈J}, (G_{j})_{j∈J}) sont deux choix de systèmes de relèvements de Frobenius, la considération du recouvrement 𝒰 ⨿ 𝒱, indexé par I ⨿ J, formé des U_{i} et des V_{j}, montre que φ_{Z′}^{1} ne dépend pas des choix (cf. [D-I] p. 253). De plus, φ_{Z′}^{1} induit C^{−1} sur ℋ^{1} : la question est en effet locale, donc on peut supposer qu’on dispose d’un relèvement global de F, et l’on applique 5.3. Ceci achève l’étape B.

Etape C. On fixe à nouveau un relèvement Z′ de X′. On montre comment prolonger la décomposition de τ_{⩽1}F_{∗}Ω_{X/S}^{•} définie par φ_{Z′}^{i} (i = 0, 1) en une décomposition de τ_{<p}F_{∗}Ω_{X/S}^{•}. On utilise pour cela la structure multiplicative du complexe de De Rham. De φ_{Z′}^{1} on déduit, pour tout i ⩾ 1, une flèche de D(X′)

(φ_{Z′}^{1})^{⊗^{L} i} = φ_{Z′}^{1} ⊗^{L} ⋯ ⊗^{L} φ_{Z′}^{1} : (Ω_{X′/S}^{1}[−1])^{⊗^{L} i} ⟶ (F_{∗}Ω_{X/S}^{•})^{⊗^{L} i}.

Comme Ω_{X′/S}^{1} est localement libre de type fini, on a (4.7 (a))

(∗)  (Ω_{X′/S}^{1}[−1])^{⊗^{L} i} ≃ (Ω_{X′/S}^{1})^{⊗ i}[−i],

et de même, comme les F_{∗}Ω_{X/S}^{a} sont localement libres de type fini (3.3 (a)),

(∗∗)  (F_{∗}Ω_{X/S}^{•})^{⊗^{L} i} ≃ (F_{∗}Ω_{X/S}^{•})^{⊗ i}.

On définit alors, pour i < p,

φ_{Z′}^{i} : Ω_{X′/S}^{i}[−i] ⟶ F_{∗}Ω_{X/S}^{•}

comme la composée (via (∗) et (∗∗)) de la flèche d’antisymétrisation standard

Ω_{X′/S}^{i}[−i] ⟶ (Ω_{X′/S}^{1})^{⊗ i}[−i], ω_{1} ∧⋯∧ω_{i} ⟼ \frac{1}{i!} ∑_{σ∈𝔖_{i}} sgn(σ)ω_{σ(1)} ∧⋯∧ω_{σ(i)}

(bien définie à cause de l’hypothèse i < p), de la flèche (φ_{Z′}^{1})^{⊗^{L} i}, et de la flèche de produit (F_{∗}Ω_{X/S}^{•})^{⊗ i} ⟶ F_{∗}Ω_{X/S}^{•}. Comme la flèche d’antisymétrisation est une section de la projection de (Ω_{X′/S}^{1})^{⊗ i} sur Ω_{X′/S}^{i}, la propriété multiplicative de l’isomorphisme de Cartier entraîne que φ_{Z′}^{i} induit C^{−1} sur ℋ^{i}, et cela achève la démonstration du théorème.

Compte tenu de 3.9, on en déduit :

Corollaire 5.5. Soit k un corps parfait de caractéristique p, et soit X un schéma lisse sur S = Spec k. Si X se relève sur T = Spec W_{2}(k), alors τ_{<p}F_{∗}Ω_{X/S}^{•} est décomposable dans D(X′). Si de plus X est de dimension < p, F_{∗}Ω_{X/S}^{•} est décomposable.

Remarque 5.5.1. D’après 5.3, si X est lisse sur Spec k et si X et F se relèvent sur W_{2}(k), alors F_{∗}Ω_{X/S}^{•} est décomposable (et ce sans hypothèse de dimension sur X). C’est le cas par exemple si X est affine. Par contre, si X est propre, il est rare que X admette un relèvement sur W_{2}(k) où F se relève. On peut montrer que si X et F se relèvent, alors X est ordinaire, i.e. vérifie H^{j}(X, B^{i}Ω_{X/S}^{•}) = 0 pour tout (i, j) (cf. 8.6). La notion de variété ordinaire, qui n’a de sens qu’en caractéristique non nulle, a d’abord été introduite pour les courbes et les variétés abéliennes. Elle intervient dans d’assez nombreuses questions de géométrie arithmétique, voir [I4] pour une introduction et quelques références.

Corollaire 5.6. Soit k un corps parfait de caractéristique p, et soit X un k-schéma propre et lisse, de dimension < p. Si X se relève sur W_{2}(k), la suite spectrale de Hodge vers De Rham (4.8.3) de X sur k

E_{1}^{i j} = H^{j}(X, Ω_{X/k}^{i}) ⟹ H_{DR}^{∗}(X/k)

dégénère en E_{1}.

Grâce à la compatibilité des Ω^{i} au changement de base (1.3.2), l’isomorphisme de Frobenius absolu F_{S} : S ⟶ S (où S = Spec k) induit, pour tout (i, j), un isomorphisme F_{S}^{∗}H^{j}(X, Ω_{X/k}^{i}) ⟶^{∼} H^{j}(X′, Ω_{X′/k}^{i}), et en particulier, on a

dim_{k} H^{j}(X, Ω_{X/k}^{i}) = dim_{k} H^{j}(X′, Ω_{X′/k}^{i}).

D’autre part, comme F : X ⟶ X′ est un homéomorphisme, on a canoniquement, pour tout n,

H^{n}(X′, F_{∗}Ω_{X/k}^{•}) ⟶^{∼} H^{n}(X, Ω_{X/k}^{•}) = H_{DR}^{n}(X/k).

Enfin, si X se relève sur W_{2}(k), une décomposition φ : ⨁ Ω_{X′/S}^{i}[−i] ⟶^{∼} F_{∗}Ω_{X/S}^{•} de F_{∗}Ω_{X/S}^{•} dans D(X′) induit, pour tout n, un isomorphisme

⨁_{i+j=n} H^{j}(X′, Ω_{X′/k}^{i}) ⟶^{∼} H^{n}(X′, F_{∗}Ω_{X/k}^{•}).

Il en résulte qu’on a, pour tout n,

∑_{i+j=n} dim_{k} H^{j}(X, Ω_{X/k}^{i}) = dim_{k} H_{DR}^{n}(X/k),

et, d’après 4.8, cela entraîne la dégénérescence en E_{1} de la suite spectrale de Hodge vers De Rham.

5.7. Pour les rappels qui suivent, le lecteur pourra consulter [H2] II, III. Soient k un anneau et X un k-schéma projectif, i.e. admettant une k-immersion fermée i dans un espace projectif standard P = ℙ_{k}^{r} = Proj_{k}[t_{0}, …, t_{n}]. Soit L un faisceau inversible sur X. Rappelons qu’on dit que :

(i) L est très ample si l’on a L ≃ i^{∗}𝒪_{P} (1) pour une telle immersion fermée i, ce qui signifie qu’il existe des sections globales s_{j} ∈ Γ(X, L)(0 ⩽ j ⩽ r) définissant une immersion fermée x ⟼ (s_{0}(x), …, s_{r}(x)) de X dans P ;

(ii) L est ample s’il existe n > 0 tel que L^{⊗ n} soit très ample.

Supposons L ample. Alors, d’après les théorèmes de Serre ([H2] II 5.17, III 5.2) :

(a) pour tout faisceau cohérent E sur X, il existe un entier n_{0} tel que, pour tout n ⩾ n_{0}, E ⊗ L^{⊗ n} soit engendré par un nombre fini de ses sections globales, i.e. quotient de 𝒪_{X}^{N} pour N convenable ;

(a) pour tout faisceau cohérent E sur X, il existe un entier n_{0} tel que, pour tout n ⩾ n_{0} et tout i ⩾ 1, on ait

H^{i}(X, E ⊗ L^{⊗ n}) = 0.

Le théorème qui suit est un analogue, en caractéristique p, du théorème d’annulation de Kodaira-Akizuki-Nakano [KAN], [AkN] :

Théorème 5.8. Soit k un corps de caractéristique p, et soit X un k-schéma projectif lisse. Soit L un faisceau inversible ample sur X. Alors, si X est purement de dimension d < p (cf. 2.10) et se relève sur W_{2}(k), on a

H^{j}(X, L ⊗ Ω_{X/k}^{i}) = 0 pour i + j > d, (5.8.1)

H^{j}(X, L^{⊗−1} ⊗ Ω_{X/k}^{i}) = 0 pour i + j < d. (5.8.2)

C’est un corollaire de 5.5, dû à Raynaud. La démonstration est analogue à celle de 5.6 à partir de 5.5. Tout d’abord, par le théorème de dualité de Serre ([H2] III 7.7, 7.12), si M est un faisceau inversible sur X, et si i+i′ = d = j +j′, alors les k-espaces vectoriels de dimension finie H^{j}(X, M ⊗Ω_{X/k}^{i}) et H^{j′}(X, M^{⊗−1} ⊗Ω_{X/k}^{i′}) sont canoniquement duaux. Les formules (5.8.1) et (5.8.2) sont donc équivalentes. Il sera plus commode de prouver (5.8.2). Par le théorème d’annulation de Serre (5.7 (b)), il existe n ⩾ 0 tel que H^{j}(X, L^{⊗ p^{n}} ⊗ Ω_{X/k}^{i}) = 0 pour tout j > 0 et tout i. Par dualité de Serre, il s’ensuit que H^{j}(X, L^{⊗−p^{n}} ⊗ Ω_{X/k}^{i}) = 0 pour tout j < d et tout i, et en particulier pour tout (i, j) tel que i + j < d. Procédant par récurrence descendante sur n, il suffit donc de prouver l’assertion suivante :

(∗) si M est un faisceau inversible sur X tel que H^{j}(X, M^{⊗ p} ⊗ Ω_{X/k}^{i}) = 0 pour tout (i, j) tel que i + j < d, alors H^{j}(X, M ⊗ Ω_{X/k}^{i}) = 0 pour tout (i, j) tel

que i + j < d.

Notons, comme dans 5.1, X′ le schéma déduit de X par le changement de base par le Frobenius absolu de S = Spec k. Si F_{X} désigne le Frobenius absolu de X, on a un isomorphisme canonique F_{X}^{∗}M ≃ M^{⊗ p}, induit par l’application m ⟼ m^{⊗ p}, et donc un isomorphisme F^{′ ∗}M′ ≃ M^{⊗ p}, où F : X ⟶ X′ est le Frobenius relatif et M′ est l’image inverse de M sur X′. On en déduit, pour tout i, des isomorphismes de 𝒪_{X′}-modules

(∗∗)  M′ ⊗ F_{∗}Ω_{X/k}^{i} ≃ F_{∗}(F^{∗}M′ ⊗ Ω_{X/k}^{i}) ≃ F_{∗}(M^{⊗ p} ⊗ Ω_{X/k}^{i}).

Considérons la suite spectrale (4.8.1) relative au foncteur T = Γ(X′, •) et au complexe K = M′ ⊗ F_{∗}Ω_{X/k}^{•} :

E_{1}^{i j} = H^{j}(X′, M′ ⊗ F_{∗}Ω_{X/k}^{i}) ⟹ H^{∗}(X′, M′ ⊗ F_{∗}Ω_{X/k}^{•}).

L’hypothèse et (∗∗) impliquent que E_{1}^{i j} = 0 pour i + j < d. Donc

H^{n}(X′, M′ ⊗ F_{∗}Ω_{X/k}^{•}) = 0 pour n < d.

Mais comme, d’après 5.5, F_{∗}Ω_{X/k}^{•} est décomposable, on a (dans D(X′))

F_{∗}Ω_{X/k}^{•} ≃ ⨁ Ω_{X′/k}^{i}[−i],

donc

H^{n}(X′, M′ ⊗ F_{∗}Ω_{X/k}^{•}) ≃ ⨁_{i+j=n} H^{j}(X′, M′ ⊗ Ω_{X′/k}^{i}),

et donc

H^{j}(X′, M′ ⊗ Ω_{X′/k}^{i}) = 0 pour i + j < d.

La conclusion de (∗) en découle, puisqu’on a

F_{S}^{∗}H^{j}(X, M ⊗ Ω_{X/k}^{i}) ≃ H^{j}(X′, M′ ⊗ Ω_{X′/k}^{i})

(cf. la fin de la démonstration de 5.6).

Remarques 5.9. Le lecteur trouvera dans [D-I] de nombreux compléments aux résultats exposés ci-dessus. En voici quelques uns.

(1) Plaçons-nous sous les hypothèses de 5.1. Alors :

(a) X′ se relève sur T si et seulement si τ_{⩽1}F_{∗}Ω_{X/S}^{•} est décomposable dans D(X′) (ou, ce qui revient au même, τ_{<p}F_{∗}Ω_{X/S}^{•} l’est). Rappelons qu’il existe une obstruction ω ∈ Ext^{2}(Ω_{X′/S}^{1}, 𝒪_{X′}) au relèvement de X′ (2.12 (a) et (3.7.1)), et que, compte tenu de l’isomorphisme de Cartier, c’est dans ce même groupe que se trouve l’obstruction c_{1} à la décomposabilité de τ_{⩽1}F_{∗}Ω_{X/S}^{•}(4.6(a)) : on montre qu’avec des conventions de signes convenables, ω = c_{1}.

6. De la caractéristique p > 0 à la caractéristique nulle 147

(b) Si X′ se relève sur T, l’ensemble des classes d’isomorphie de relèvements de X′ est un espace affine sous Ext^{1}(Ω_{X′/S}^{1}, 𝒪_{X′})(2.12 (b) et (3.7.1)), et (toujours compte tenu de l’isomorphisme de Cartier) l’ensemble des décompositions de τ_{⩽1}F_{∗}Ω_{X/S}^{•} est un espace affine sous le même groupe (4.6(c)) : on montre que l’application Z′ ⟼ φ_{Z′} construite dans la démonstration de 5.1 est une bijection affine entre ces deux espaces.

(c) On donne en fait dans [D-I] 3.5 un énoncé coiffant (a) et (b), faisant appel à la théorie des gerbes de Giraud [Gi].

(2) Le théorème de dégénérescence 5.6 a une variante relative. Plaçons-nous sous les hypothèses de 5.1, notons f : X ⟶ S le morphisme structural. On dispose alors de la suite spectrale (4.8.1) relative au foncteur f_{∗} et au complexe Ω_{X/S}^{•},

E_{1}^{i j} = R^{j}f_{∗}Ω_{X/S}^{i} ⟹ R^{∗}f_{∗}(Ω_{X/S}^{•}),

qu’on appelle suite spectrale de Hodge vers De Rham relative (de X sur S). Alors, si X est propre et lisse de dimension relative < p, et si X′ se relève sur T, cette suite spectrale dégénère en E_{1} et les faisceaux R^{j}f_{∗}Ω_{X/S}^{i} sont localement libres de type fini ([D-I] 4.1.5).

(3) La dernière assertion de 5.5 et les conclusions de 5.6 et 5.8 restent encore vraies si l’on suppose seulement X de dimension ⩽ p ([D-I] 2.3). C’est une conséquence de la dualité de Grothendieck pour le morphisme F.

(4) Il existe de nombreux exemples de surfaces propres et lisses X sur un corps algébriquement clos k de caractéristique p pour lesquelles la suite spectrale de Hodge vers De Rham ne dégénère pas en E_{1} et qui ne vérifient pas la propriété d’annulation de type Kodaira-Akizuki-Nakano de 5.8 (compte tenu de (3) si p = 2, ou 5.6 et 5.8 si p > 2, ces surfaces ne se relèvent donc pas sur W_{2}(k)). Voir ([D-I] 2.6 et 2.10) pour une bibliographie sur ce sujet.

(5) Les formules (5.8.1) et (5.8.2) sont encore valables si d = 2 ⩽ p, X est relevable sur W_{2}(k) et L est seulement supposé numériquement positif, i.e. vérifie L · L > 0 et L · 𝒪(D) ⩾ 0 pour tout diviseur effectif D, voir [D-I] 2.

6. De la caractéristique p > 0 à la caractéristique nulle

6.0. Il existe une technique standard, en géométrie algébrique, qui permet de prouver certains énoncés, de nature géométrique^{14}, formulés sur un corps de base de caractéristique nulle, à partir d’énoncés analogues sur un corps de caractéristique p > 0, voire un corps fini. Elle consiste, grosso modo, à écrire, un peu brutalement, le corps de base K donné, qui est de caractéristique nulle, comme limite inductive de ses sous-ℤ-algèbres de type fini A_{i} : les données sur K, pourvu qu’elles vérifient certaines conditions de finitude, proviennent, par extension des scalaires, de données analogues sur l’une des A_{i}, disons A_{i_{0}} = B ; il suffit alors de résoudre le problème similaire sur T = Spec B, ce qui est, en apparence, plus difficile ; l’avantage, cependant, est que les points fermés de T sont alors des spectres de corps finis, et qu’en un sens qu’on peut préciser, il y a beaucoup de tels points, de sorte qu’il suffit de vérifier l’énoncé posé sur T après spécialisation en suffisamment de ces points : on a alors affaire à un problème de caractéristique p > 0, où l’on dispose de la panoplie des méthodes correspondantes (Frobenius, isomorphisme de Cartier, etc.) ; on peut de plus exploiter le fait de pouvoir choisir la caractéristique assez grande.

14 i.e. stables par extension de la base, par opposition aux énoncés de nature arithmétique, où la base joue un rôle essentiel

Les deux ingrédients de la méthode sont : (a) des résultats de passage à la limite, exposée en grande généralité dans (EGA IV 8), permettant “d’étendre” 15 certaines données et propriétés sur K en des données et propriétés analogues sur B ; (b) des propriétés de densité des points fermés de schémas tels que les schémas de type fini sur un corps ou sur ℤ (EGA IV 10).

6.1. Soit ((A_{i})_{i∈I}, u_{ij} : A_{i} ⟶ A_{j} (i ⩽ j)) un système inductif filtrant d’anneaux, de limite inductive A ; notons u_{i} : A_{i} ⟶ A l’homomorphisme canonique. Les deux exemples les plus importants sont : (i) un anneau A écrit comme limite inductive de ses sous-ℤ-algèbres de type fini ; (ii) le localisé A_{𝔭} d’un anneau A en un idéal premier 𝔭 écrit comme limite inductive des localisés A_{f} ( = A[1/f]) pour f ∉ 𝔭.

Le prototype des problèmes et résultats du type (a) ci-dessus est le suivant. Soit (E_{i}) = ((E_{i})_{i∈I}, v_{ij} : E_{i} ⟶ E_{j}) un système inductif de A_{i}-modules, ayant pour limite inductive le A-module E. Convenons de dire que (E_{i}) est cartésien si, pour tout i ⩽ j, v_{ij} (qui est un homomorphisme A_{i}-linéaire de E_{i} dans E_{j} considéré comme A_{i}-module via u_{ij}) induit, par adjonction, un isomorphisme (A_{j}- linéaire) de u_{ij}^{∗}E_{i} = A_{j} ⊗_{A_{i}} E_{i} dans E_{j}. Dans ce cas, l’homomorphisme canonique v_{i} : E_{i} ⟶ E induit, pour tout i, un isomorphisme u_{i}^{∗}E_{i} ( = A⊗_{A_{i}} E_{i}) ⟶^{∼} E. Soit ((F_{i})_{i} ∈ I, w_{ij}) un second système inductif de A_{i}-modules. Si (E_{i}) est cartésien, les Hom_{A_{i}}(E_{i}, F_{i}) forment un système inductif de A_{i}-modules : l’application de transition pour i ⩽ j associe à f_{i} : E_{i} ⟶ F_{i} l’homomorphisme E_{j} ⟶ F_{j} composé de l’inverse de l’isomorphisme de A_{j} ⊗ E_{i} dans E_{j} défini par v_{ij}, de A_{j} ⊗ f_{i} : A_{j} ⊗ E_{i} ⟶ A_{j} ⊗ F_{i}, et de l’application de A_{j} ⊗ F_{i} dans F_{j} définie par w_{ij}. Si F désigne la limite inductive des F_{i}, on a des applications analogues de Hom_{A_{i}}(E_{i}, F_{i}) dans Hom_{A}(E, F), qui définissent un homomorphisme

(6.1.1)  lim ind Hom_{A_{i}}(E_{i}, F_{i}) ⟶ Hom_{A}(E, F).

On peut alors se poser les deux questions suivantes :

(1) Etant donné un A-module E, existe-t-il i_{0} ∈ I et un A_{i_{0}}-module E_{i_{0}} tel que E se déduise de E_{i_{0}} par extension des scalaires de A_{i_{0}} à A (ou, ce qui revient au même, existe-t-il un système inductif cartésien (E_{i}), indexé par {i ∈ I|i ⩾ i_{0}}, dont la limite soit E) ?

(2) S’il existe i_{0} tel que (E_{i}) et (F_{i}) soient cartésiens pour i ⩾ i_{0}, l’application (6.1.1) (où la limite inductive est prise pour i ⩾ i_{0}) est-elle un isomorphisme ?

15 en anglais, “spreading out”

On a une réponse positive aux deux questions moyennant des hypothèses de présentation finie (rappelons qu’un module est dit de présentation finie s’il est conoyau d’un homomorphisme entre modules libres de type fini). Plus précisément, on a l’énoncé suivant, de vérification immédiate :

Lemme 6.1.2. Avec les notations précédentes :

(a) si E est un A-module de présentation finie, il existe i_{0} ∈ I et un A_{i_{0}}-module de présentation finie E_{i_{0}} tel que u_{i_{0}}^{∗}E_{i_{0}} ≃ E;

(b) Soient (E_{i}), (F_{i}) deux systèmes inductifs, cartésiens pour i ⩾ i_{0}, de limites inductives respectives E et F ; si E_{i_{0}} est de présentation finie, l’application (6.1.1) est un isomorphisme.

Il en résulte que, si E est de présentation finie, le E_{i_{0}} dont il provient par extension des scalaires est essentiellement unique, en ce sens que si E_{i_{1}} est un autre choix (E_{i_{0}} et E_{i_{1}} étant tous deux de présentation finie), il existe i_{2} avec i_{2} ⩾ i_{1} et i_{2} ⩾ i_{0} tel que E_{i_{0}} et E_{i_{1}} deviennent isomorphes par extension des scalaires à A_{i_{2}}.

Les S_{i} = Spec A_{i} forment un système projectif de schémas dont S = Spec A est la limite projective. Si (X_{i}, v_{ij} : X_{j} ⟶ X_{i}) est un système projectif de S_{i}- schémas, nous dirons que ce sytème est cartésien pour i ⩾ i_{0} si, pour i_{0} ⩽ i ⩽ j, la flèche de transition v_{ij} donne un carré cartésien

\begin{matrix}X_{j} & ⟶ X_{i} \\ ↓ & ↓ \\ S_{j} & ⟶ S_{i}. \end{matrix}

Dans ce cas, le S-schéma déduit de X_{i_{0}} par extension des scalaires à S est la limite projective des X_{i}. Si (Y_{i}) est un second système projectif de S_{i}-schémas, cartésien pour i ⩾ i_{0}, de limite projective Y ( = S ×_{S_{i_{0}}} Y_{i_{0}}), les Hom_{S_{i}}(X_{i}, Y_{i}) forment un système projectif, et l’on a une application analogue à (6.1.1) :

(6.1.3)  lim proj Hom_{S_{i}}(X_{i}, Y_{i}) ⟶ Hom_{S}(X, Y).

On peut alors formuler des questions similaires à (1) et (2) ci-dessus. Elles ont des réponses analogues, à condition de remplacer les hypothèses de présentation finie pour les modules par des hypothèses de présentation finie pour les schémas (un morphisme de schémas X ⟶ Y est dit de présentation finie s’il est localement de présentation finie (2.1) et “quasi-compact et quasi-séparé”, ce qui signifie que X est réunion finie d’ouverts affines U_{α} au-dessus d’un ouvert affine V_{α} de Y et que les intersections U_{α} ∩ U_{β} ont la même propriété ; si Y est noethérien, X est de présentation finie sur Y si et seulement si X est de type fini sur Y, i.e. localement de type fini sur Y (2.1) et noethérien) :

Proposition 6.2. (a) Si X est un S-schéma de présentation finie, il existe i_{0} ∈ I et un S_{i_{0}}-schéma X_{i_{0}} de présentation finie dont X se déduit par changement de base.

(b) Si (X_{i}), (Y_{i}) sont deux systèmes projectifs de S_{i}-schémas, cartésiens pour i ⩾ i_{0}, et si X_{i_{0}} et Y_{i_{0}} sont de présentation finie sur S_{i_{0}}, alors l’application (6.1.3) est bijective.

Comme précédemment, il en résulte que le X_{i_{0}} de 6.2 (a) est essentiellement unique (deux tels schémas deviennent S_{i}-isomorphes pour i assez grand). De plus, les propriétés usuelles d’un S-schéma de présentation finie (ou d’un morphisme entre tels) se lisent déjà, en quelque sorte, sur S_{i} pour i assez grand. En voici quelques unes, dont nous nous servirons (le lecteur en trouvera une longue liste dans (EGA IV 8, 11.2, 17.7)) :

Proposition 6.3. Soit X un S-schéma de présentation finie. On suppose que X possède l’une des propriétés 𝒫 suivantes : projectif, propre, lisse. Alors il existe i_{0} ∈ I et un S_{i_{0}}-schéma X_{i_{0}} de présentation finie, possédant la même propriété 𝒫, dont X se déduit par changement de base.

Le cas où 𝒫 est “projectif” est facile : X est le sous-schéma fermé d’un espace projectif standard P = ℙ_{S}^{r} défini par un idéal localement de type fini, il suffit de relever P, puis l’immersion fermée (i.e. le quotient de 𝒪_{P} correspondant, cf. 6.11). Le cas “propre” est moins immédiat mais, en gros, s’y ramène, par un résultat classique, qu’on appelle le lemme de Chow (cf. EGA IV 8.10.5). Le cas “lisse” est un peu plus difficile (on utilise le critère 2.10), voir (EGA IV 11.2.6 et 17.7.8). En ce qui concerne les propriétés de type (b) évoquées en 6.0, nous aurons seulement besoin du résultat suivant :

Proposition 6.4. Soit S un schéma de type fini sur ℤ. Alors :

(a) Si x est un point fermé de S, le corps résiduel k(x) est un corps fini ;

(b) toute partie localement fermée non vide Z de S contient un point fermé de S.

Nous renvoyons pour la démonstration à (EGA IV 10.4.6, 10.4.7), ou, dans le cas où S est affine, auquel on se ramène d’ailleurs aussitôt, à (Bourbaki, Alg. Com. V, par. 3, n^{∘} 4) (c’est une conséquence du théorème des zéros de Hilbert).

Nous aurons à appliquer 6.4 (b) au cas où Z est le lieu de lissité de S, S étant supposé intègre^{16} :

Proposition 6.5. Soit S un schéma intègre de type fini sur ℤ. L’ensemble des points x de S en lesquels S est lisse sur Spec ℤ est un ouvert non vide de S. En particulier, si A est une ℤ-algèbre de type fini, intègre, il existe s ∈ A, s ≠ 0, tel que Spec A_{s} soit lisse sur ℤ.

L’ouverture de l’ensemble des points de lissité d’un morphisme localement de présentation finie est un fait général, qui résulte par exemple du critère jacobien 2.6 (a), cf. (EGA IV 12.1.6). Que dans le cas présent cet ouvert soit non vide découle d’une variante locale de 2.10 et du fait que la fibre générique de S est lisse sur ℚ en son point générique, ℚ étant parfait.

16 Un schéma est dit intègre s’il est irréductible et réduit.

Nous aurons enfin à utiliser des résultats standard de compatibilité des images directes au changement de base (ou, comme on dit parfois, de propreté cohomologique). Pour ne pas alourdir l’exposition, nous ne les énoncerons que dans le cas où nous aurons à nous en servir, pour la cohomologie de Hodge et la cohomologie de De Rham.

Proposition 6.6. Soient S un schéma affine^{17} noethérien intègre et f : X ⟶ S un morphisme propre et lisse.

(a) Les faisceaux R^{j}f_{∗}Ω_{X/S}^{i} et R^{n}f_{∗}Ω_{X/S}^{•} sont cohérents. Il existe un ouvert non vide U de S tel que, pour tout (i, j) et tout n, les restrictions à U de ces faisceaux soient localement libres de type fini.

(b) Pour tout i ∈ ℤ et pour tout morphisme g : S′ ⟶ S, si f’ : X′ ⟶ S’ désigne le schéma déduit de X par le changement de base g, les flèches canoniques de D(S′) (dites de changement de base)

(6.6.1)  Lg^{∗}Rf_{∗}Ω_{X/S}^{i} ⟶ Rf′_{∗}Ω_{X′/S′}^{i}
(6.6.2)  Lg^{∗}Rf_{∗}Ω_{X/S}^{•} ⟶ Rf′_{∗}Ω_{X′/S′}^{•}

sont des isomorphismes.

(c) Fixons i ∈ ℤ, et supposons que, pour tout j, le faisceau R^{j}f_{∗}Ω_{X/S}^{i} soit localement libre sur S, de rang constant h^{i j}. Alors, pour tout j, la flèche de changement de base (déduite de (6.6.1))

(6.6.3)  g^{∗}R^{j}f_{∗}Ω_{X/S}^{i} ⟶ R^{j}f′_{∗}Ω_{X′/S′}^{i}

est un isomorphisme. En particulier, R^{j}f′_{∗}Ω_{X′/S′}^{i} est localement libre de rang h^{i j}.

(d) Supposons que, pour tout n, R^{n}f_{∗}Ω_{X/S}^{•} soit localement libre de rang constant h^{n}. Alors, pour tout n, la flèche de changement de base (déduite de (6.6.2))

(6.6.4)  g^{∗}R^{n}f_{∗}Ω_{X/S}^{•} ⟶ R^{n}f′_{∗}Ω_{X′/S′}^{•}

est un isomorphisme. En particulier, R^{n}f′_{∗}Ω_{X′/S′}^{•} est localement libre de rang h^{n}.

Indiquons rapidement la démonstration. Le fait que les R^{j}f_{∗}Ω_{X/S}^{i} soient cohérents est un cas particulier du théorème de finitude de Grothendieck (EGA III 3) (ou [H2] III 8.8 dans le cas projectif). La cohérence des R^{n}f_{∗}Ω_{X/S}^{•} en résulte par la suite spectrale de Hodge vers De Rham relative (5.9(2)). Pour la deuxième assertion de (a), notons A l’anneau (intègre) de S, K son corps des fractions, qui est donc l’anneau local de S en son point générique η. Posons pour abréger R^{j}f_{∗}Ω_{X/S}^{i} = ℋ^{i j}, R^{n}f_{∗}Ω_{X/S}^{•} = ℋ^{n}. La fibre de ℋ^{i j} (resp. ℋ^{n}) en η est libre de type fini (un K-espace vectoriel de dimension finie), et est la limite inductive des ℋ_{|D(s)}^{i j} (resp. ℋ_{|D(s)}^{n}), pour s parcourant A, D(s) désignant “l’ouvert d’inversibilité” de s, i.e. Spec A_{s} = X − V (s). Par 6.1.2 il en résulte qu’il existe s tel que ℋ_{|D(s)}^{i j} (resp. ℋ_{|D(s)}^{n}) soit libre de type fini. Pour (b), choisissons un recouvrement fini 𝒰 de X par des ouverts affines, notons 𝒰′ le recouvrement ouvert de X′ déduit de 𝒰 par changement de base. Comme S est affine et que X est propre, donc séparé, sur S, les intersections finies d’ouverts de 𝒰 sont affines, et de même les intersections finies d’ouverts de 𝒰′ sont (relativement) affines^{18} sur S′. Par suite (cf. [H2] III 8.7), Rf_{∗}Ω_{X/S}^{i} (resp. Rf′_{∗}Ω_{X′/S′}^{i}) est représenté par f_{∗}𝒞̌(𝒰, Ω_{X/S}^{i}) (resp. f′_{∗}𝒞̌(𝒰′, Ω_{X′/S′}^{i})), où l’on désigne ici par 𝒞̌(𝒰, •) le complexe des cochaînes alterné. Par la compatibilité des Ω^{i} au changement de base, on a un isomorphisme canonique de complexes

17 L’hypothèse “affine” est inutile, nous ne la faisons que pour faciliter la preuve de (b).

g^{∗}f_{∗}𝒞̌(𝒰, Ω_{X/S}^{i}) ⟶^{∼} f′_{∗}𝒞̌(𝒰′, Ω_{X′/S′}^{i}).

Comme le complexe f_{∗}𝒞̌(𝒰, Ω_{X/S}^{i}) est borné et à composantes plates, cet isomorphisme réalise l’isomorphisme (6.6.1). De même, Rf_{∗}Ω_{X/S}^{•} (resp. Rf′_{∗}Ω_{X′/S′}^{•})) est représenté par f_{∗}𝒞̌(𝒰, Ω_{X/S}^{•}) (resp. f′_{∗}𝒞̌(𝒰′, Ω_{X′/S′}^{•})) (où 𝒞̌ désigne cette fois le complexe simple associé au bicomplexe de Čech), et l’on a un isomorphisme canonique de complexes

g^{∗}f_{∗}𝒞̌(𝒰, Ω_{X/S}^{•}) ⟶^{∼} f′_{∗}𝒞̌(𝒰′, Ω_{X′/S′}^{•}),

qui réalise l’isomorphisme (6.6.2). Les assertions (c) et (d) résultent de (b) et du lemme suivant, dont nous laissons la vérification au lecteur :

Lemme 6.7. Soient A un anneau noethérien et E un complexe de A-modules tel que H^{i}(E) soit projectif de type fini pour tout i et nul pour presque tout i. Alors :

(a) E est isomorphe, dans D(A), à un complexe borné à composantes projectives de type fini ;

(b) si E est borné et à composantes projectives de type fini, alors, pour toute A-algèbre B, et pour tout i, l’homomorphisme canonique

B ⊗_{A} H^{i}(E) ⟶ H^{i}(B ⊗_{A} E)

est un isomorphisme.

Remarques 6.8. (a) Un complexe de A-modules isomorphe, dans D(A), à un complexe borné à composantes projectives de type fini est dit parfait. Prendre garde que, si E est parfait, il n’est pas vrai, en général, que les H^{i}(E) soient projectifs de type fini. On peut montrer que, sous les hypothèses de 6.6, les complexes Rf_{∗}Ω_{X/S}^{i} et Rf_{∗}Ω_{X/S}^{•} sont parfaits sur S (et non seulement sur U). La notion de complexe parfait joue un rôle important dans de nombreuses questions de géométrie algébrique.

18 Un morphisme de schémas est dit affine si l’image inverse de tout ouvert affine est affine.

(b) Dans les énoncés de 6.6 concernant Ω_{X/S}^{i}, on peut remplacer Ω_{X/S}^{i} par n’importe quel 𝒪_{X}-module F localement libre de type fini (voire cohérent et plat relativement à S) : les conclusions de (a), (b) et (c) sont encore valables, à condition de remplacer Ω_{X′/S′}^{i} par le faisceau F′ image inverse de F sur X′. De même, le complexe Rf_{∗}F est parfait sur S.

Nous sommes maintenant en mesure d’énoncer et de démontrer l’application promise de 5.6 :

Théorème 6.9 (théorème de dégénérescence de Hodge). Soient K un corps de caractéristique nulle, et X un K-schéma propre et lisse. Alors la suite spectrale de Hodge de X sur K (4.8.3)

E_{1}^{i j} = H^{j}(X, Ω_{X/K}^{i}) ⟹ H_{DR}^{∗}(X/K)

dégénère en E_{1}.

Posons dim_{K} H^{j}(X, Ω_{X/K}^{i}) = h^{i j}, dim H_{DR}^{n}(X/K) = h^{n}. Il s’agit de prouver que, pour tout n, h^{n} = ∑_{i+j=n} h^{i j} (cf. (4.8.3)). Ecrivons K comme limite inductive de la famille (A_{λ})_{λ∈L} de ses sous-ℤ-algèbres de type fini. D’après 6.3, il existe α ∈ L et un S_{α}-schéma propre et lisse X_{α} (où S_{α} = Spec A_{α}) dont X se déduit par le changement de base Spec K ⟶ S_{α}. Quitte à remplacer A_{α} par A_{α}[t^{−1}] pour un t ∈ A_{α} non nul convenable, on peut supposer, d’après 6.5, que S_{α} est lisse sur Spec ℤ. Abrégeons A_{α} en A, S_{α} en S, X_{α} en 𝒳, et notons f : 𝒳 ⟶ S le morphisme structural. Quitte à nouveau à remplacer A par A[t^{−1}], on peut, d’après 6.6 (a), supposer que les faisceaux R^{j}f_{∗}Ω_{𝒳/S}^{i} (resp. R^{n}f_{∗}Ω_{𝒳/S}^{•} ) sont libres de rang constant, nécessairementégal alors à h^{i j} (resp. h^{n}) d’après 6.6 (c) et (d). Comme la dimension relative de 𝒳 sur S est une fonction localement constante et que X est quasi-compact, on peut d’autre part choisir un entier d qui majore cette dimension en tout point de X et donc la dimension des fibres de X sur S en tout point de S. Appliquant 6.4 (b) à Z = Spec A[1/N] pour N convenable (disons, le produit des nombres premiers ⩽ d), on peut choisir un point fermé s de S, dont le corps résiduel k = k(s) (un corps fini) est de caractéristique p > d. Comme S est lisse sur Spec ℤ, le morphisme canonique Spec k ⟶ S (une immersion fermée) se prolonge (par définition de la lissité (2.2)) en un morphisme g : Spec W_{2}(k) ⟶ S, où W_{2}(k) est l’anneau des vecteurs de Witt de longueur 2 sur k (3.9). Notons Y = 𝒳_{s} la fibre de 𝒳 en s = Spec k et Y_{1} le schéma sur Spec W_{2}(k) déduit de 𝒳 par le changement de base g. On a donc des carrés cartésiens :

Y ⟶ Y_{1} ⟶ 𝒳 ⟵ X
↓  ^{↓  ↓  ↓}
s ⟶ Spec W_{2}(k) \underrightarrow{g} S ⟵ Spec K.

Par construction, Y est un k-schéma propre et lisse, de dimension < p, relevé sur W_{2}(k). Donc, d’après 5.6, la suite spectrale de Hodge vers De Rham de Y sur k dégénère en E_{1}. On a donc, pour tout n,

∑_{i+j=n} dim_{k} H^{j}(Y, Ω_{Y/k}^{i}) = dim_{k} H_{DR}^{n}(Y/k).

Mais d’après 6.6 (c) et (d), on a, pour tout (i, j) et pour tout n,

dim_{k} H^{j}(Y, Ω_{Y/k}^{i}) = h^{i j}, dim_{k} H_{DR}^{n}(Y/k) = h^{n}.

Donc ∑_{i+j=n} h^{i j} = h^{n} pour tout n, ce qui achève la démonstration.

Théorème 6.10 (théorème d’annulation de Kodaira-Akizuki-Nakano [KAN], [AkN]). Soient K un corps de caractéristique nulle, X un K-schéma projectif et lisse, purement de dimension d, et L un faisceau inversible ample sur X. Alors on a :

(6.10.1)  H^{j}(X, L ⊗ Ω_{X/K}^{i}) = 0 pour i + j > d,
(6.10.2)  H^{j}(X, L^{⊗−1} ⊗ Ω_{X/K}^{i}) = 0 pour i + j < d.

On déduit 6.10 de 5.8 comme 6.9 de 5.6. On a besoin pour cela d’un résultat de passage à la limite pour les modules, généralisant et précisant 6.1.2 (cf. (EGA IV 8.5, 8.10.5.2)) :

Proposition 6.11. Soit, comme en 6.1, (S_{i})_{i∈I} un système projectif filtrant de schémas affines, de limite S. Soient i_{0} ∈ I, X_{i_{0}} un S_{i_{0}}-schéma de présentation finie, et considérons le système projectif cartésien (X_{i}) qui s’en déduit pour i ⩾ i_{0}, de limite X = S ×_{S_{i_{0}}} X_{i_{0}}.

(a) Si E est un 𝒪_{X}-module de présentation finie, il existe i ⩾ i_{0} et un 𝒪_{X_{i}}-module E_{i} de présentation finie dont E se déduit par extension des scalaires. Si E est localement libre (resp. localement libre de rang r), il existe j ⩾ i tel que E_{j} = 𝒪_{X_{j}} ⊗_{𝒪_{X_{i}}} E_{i} soit localement libre (resp. localement libre de rang r). Si X est projectif sur S et E est un 𝒪_{X}-module inversible ample (resp. très ample) (5.7), il existe j ⩾ i tel que X_{j} soit projectif sur S_{j} et E_{j} soit inversible ample (resp. très ample).

(b) Soient E_{i_{0}}, F_{i_{0}} des 𝒪_{X_{i_{0}}} -modules de présentation finie, et considérons les systèmes (E_{i}), (F_{i}) qui s’en déduisent par extension des scalaires sur les X_{i} pour i ⩾ i_{0}, ainsi que les modules E et F qui s’en déduisent par extension des scalaires sur X. On a alors une application naturelle

lim ind_{i⩾i_{0}} Hom_{𝒪_{X_{i}}} (E_{i}, F_{i}) ⟶ Hom_{𝒪_{X}} (E, F),

qui est bijective.

La vérification de (b) puis des deux premières assertions de (a) se ramène à 6.1.2. Pour la dernière de (a), il suffit de traiter le cas où E est très ample, i.e. correspond à une immersion fermée h : X ⟶ P = ℙ_{S}^{r} telle que h^{∗}𝒪_{P} (1) ≃ E. Pour i assez grand, on relève h en un S_{i}-morphisme h_{i} : X_{i} ⟶ P_{i} = ℙ_{S_{i}}^{r} et E en E_{i} inversible sur X_{i}. Quitte à agrandir i, h_{i} est une immersion fermée et l’isomorphisme h^{∗}𝒪_{P} (1) ≃ E provient d’un isomorphisme h_{i}^{∗}𝒪_{P_{i}}(1) ≃ E_{i}, E_{i} est alors très ample.

Prouvons 6.10. Procédant comme dans la démonstration de 6.9, et appliquant en outre 6.11, on peut trouver un sous-anneau A de K de type fini et lisse sur ℤ, un morphisme projectif et lisse f : 𝒳 ⟶ S = Spec A, purement de dimension relative d, dont X ⟶ Spec K se déduit par changement de base, et un 𝒪_{X}- module inversible ample ℒ dont L se déduit par extension des scalaires. Grâce à 6.6 et 6.8 (b), on peut de plus, quitte à remplacer A par A[t^{−1}], supposer que les faisceaux R^{j}f_{∗}(ℳ⊗Ω_{𝒳}^{i} /S), où ℳ = ℒ (resp. ℒ^{⊗−1}), sont libres de type fini, de rang constant, nécessairement égal, d’après 6.8 (b), à h^{i j}(L) = dim_{K} H^{j}(X, L ⊗ Ω_{X/K}^{i}) (resp. h^{i j}(L^{⊗−1}) = H^{j}(X, L^{⊗−1} ⊗Ω_{X/K}^{i})). Choisissons alors g : Spec W_{2}(k) ⟶ S comme dans la démonstration de 6.9. Le faisceau ℒ_{s} image inverse de ℒ sur Y = X_{s} est ample. D’après 6.6 et 6.8 (b), on a dim_{k} H^{j}(Y, ℒ_{s} ⊗ Ω_{Y/k}^{i}) = h^{i j}(L), et dim_{k} H^{j}(Y, ℒ_{s}^{⊗−1} ⊗ Ω_{Y/k}^{i}) = h^{i j}(L^{⊗−1}). La conclusion résulte alors de 5.8.

Remarque 6.12. De manière analogue, le théorème d’annulation de Ramanujam sur les surfaces [Ram] résulte de la variante de 5.8 relative aux faisceaux numériquement positifs (cf. 5.9 (5)).

7. Développements récents et problèmes ouverts

A. Diviseurs à croisements normaux, réduction semi-stable, et structures logarithmiques

7.1. Soient S un schéma, X un S-schéma lisse, et D un sous-schéma fermé de X. On dit que D est un diviseur à croisements normaux relativement à S (ou simplement, relatif ) si, “localement pour la topologie étale sur X”, le couple (X, D) est “isomorphe” au couple formé de l’espace affine standard 𝔸_{S}^{n} = S[t_{1}, …, t_{n}] et du diviseur V (t_{1} ⋯ t_{r}) d’équation t_{1} ⋯ t_{r} = 0, pour 0 ⩽ r ⩽ n (le cas r = 0 correspondant à t_{1} ⋯ t_{r} = 1 et V (t_{1} ⋯ t_{r}) = ∅). Cela signifie qu’il existe un recouvrement étale (X_{i})_{i∈I} de X (i.e. une famille de morphismes étales X_{i} ⟶ X dont la réunion des images est X) tel que, si D_{i} = X_{i} ×_{X} D est le sous-schéma fermé induit par D sur X_{i}, il existe un morphisme étale X_{i} ⟶ 𝔸_{S}^{n} tel qu’on ait un carré cartésien

\begin{matrix}D_{i} & ⟶ X_{i} \\ ↓ & ↓ \\ V (t_{1} ⋯ t_{r}) & ⟶ 𝔸_{S}^{n} \end{matrix}

(n et r dépendant de i), en d’autres termes, qu’il existe un système de coordonnées (x_{1}, …, x_{n}) sur X_{i} au sens de 2.7 (définissant le morphisme étale X_{i} ⟶ 𝔸_{S}^{n}) tel que D_{i} soit le sous-schéma fermé d’équation x_{1} ⋯ x_{r} = 0. Cette définition est calquée sur la définition analogue en géométrie analytique complexe (cf. [D1]), où “localement pour la topologie étale” est remplacé par “localement pour la topologie classique”, et “morphisme étale” par “isomorphisme local”. Un exemple standard de diviseur à croisements normaux relativement à S = Spec k, k un corps de caractéristique différente de 2, est la cubique à point double D = Spec k[x, y]/(y^{2} − x^{2}(x − 1)) dans le plan affine X = Spec k[x, y] (observer, dans cet exemple, qu’il n’existe pas de système de coordonnées (x_{j}) comme ci-dessus sur un recouvrement ouvert de Zariski de X, une extension étale (extraction d’une racine carrée de x − 1) étant nécessaire pour faire apparaître un tel système au voisinage de l’origine).

La notion de diviseur à croisements normaux D ⟶ X relativement à S est stable par localisation étale sur X et par changement de base S′ ⟶ S.

Si D ⟶ X est un diviseur à croisements normaux relatif, et si j : U = X ∖ D ⟶ X est l’inclusion de l’ouvert complémentaire, on définit un souscomplexe

(7.1.1)  Ω_{X/S}^{•}(log D)

de j_{∗}Ω_{U/S}^{•}, dit complexe de De Rham de X/S à pôles logarithmiques le long de D, par la condition qu’une section locale ω de j_{∗}Ω_{U/S}^{i} appartient à Ω_{X/S}^{i}(log D) si et seulement si ω et dω ont au plus un pôle simple le long de D (i.e. sont telles que, si f est une équation locale de D, fω (resp. f dω) soit section de Ω_{X/S}^{i} (resp. Ω_{X/S}^{i+1}) (NB. f est nécessairement non diviseur de zéro dans 𝒪_{X})). On voit facilement que les 𝒪_{X}-modules Ω_{X/S}^{i}(log D) sont localement libres de type fini, que Ω_{X/S}^{i}(log D) = Λ^{i}Ω_{X/S}^{1}(log D), et que, si, comme plus haut, (x_{1}, …, x_{n}) sont des coordonnées sur un X′ étale sur X où D a pour équation x_{1} ⋯ x_{r} = 0, Ω_{X/S}^{1}(log D) est libre de base (dx_{1}/x_{1}, …, dx_{r}/x_{r}, dx_{r+1}, …, dx_{n}).

Il existe une variante naturelle, en géométrie analytique complexe, de la construction (7.1.1) (cf. [D1]). Si S = Spec ℂ et D ⊂ X est un diviseur à croisements normaux (algébrique), le complexe de faisceaux analytiques associé à (7.1.1) sur l’espace analytique X^{an} associé à X,

Ω_{X/ℂ}^{•}(log D)^{an} = Ω_{X^{an}/ℂ}^{•}(log D^{an}),

calcule la cohomologie transcendante de U à valeurs dans ℂ: on a un isomorphisme canonique (dans la catégorie dérivée D(X^{an}, ℂ))

(7.1.2)  Rj_{∗}ℂ ≃ Ω_{X/S}^{•}(log D)^{an},

et par suite des isomorphismes

(7.1.3)  H^{i}(U^{an}, ℂ) ≃ H^{i}(X^{an}, Ω_{X/S}^{•}(log D)^{an})

(loc. cit.). Quand de plus X est propre sur ℂ, le théorème de comparaison de Serre [GAGA] permet de déduire de (7.1.3) des isomorphismes

(7.1.4)  H^{i}(U^{an}, ℂ) ≃ H^{i}(X, Ω_{X/S}^{•}(log D)).

En outre, la filtration F de H^{∗}(X, Ω_{X/S}^{•}(log D)), aboutissement de la première suite spectrale d’hypercohomologie de X à valeurs dans Ω_{X/S}^{•}(log D),

(7.1.5)  E_{1}^{p q} = H^{q}(X, Ω_{X/S}^{p}(log D) ⟹ H^{p+q}(X, Ω_{X/S}^{•}(log D))

est la filtration de Hodge de la structure de Hodge mixte naturelle de H^{∗}(U^{an}, ℤ) définie par Deligne et la suite spectrale (7.1.5) dégénère en E_{1} ([D2]).

Tout comme dans le cas où D = ∅ (6.9), cette dégénérescence peut se démontrer par réduction à la caractéristique p > 0. On a en effet le résultat suivant, qui généralise 5.1 et dont la preuve est analogue ([D-I] 4.2.3) :

Théorème 7.2. Soient S un schéma de caractéristique p > 0, S^{∼} un relèvement plat de S sur ℤ/p^{2}ℤ, X un S-schéma lisse et D ⊂ X un diviseur à croisements normaux relatif. Notons F : X ⟶ X′ le Frobenius relatif de X/S. Si le couple (X′, D′) admet un relèvement (X^{′ ∼}, D^{′ ∼}) sur S^{∼}, où X^{′ ∼} est lisse et D^{′ ∼} ⊂ X^{′ ∼} est un diviseur à croisements normaux relatif, le complexe de 𝒪_{X′}- modules τ_{<p}F_{∗}Ω_{X/S}^{•}(log D) est décomposable dans la catégorie dérivée D(X′).

Le lecteur trouvera dans [D-I] divers compléments à 7.2 et dans [E-V] une autre présentation des mêmes résultats, et des applications à des théorèmes d’amplitude et d’annulation.

7.3. La théorie qui précède s’étend sans grands changements à une classe de morphismes qui ne sont plus lisses, mais n’en sont pas très éloignés, les morphismes dits “de réduction semi-stable”. Soit T un schéma. L’exemple type de tels morphismes est le morphisme

s : 𝔸_{T}^{n} = T [x_{1}, …, x_{n}] ⟶ 𝔸_{T}^{1} = T [t], t ⟼ x_{1} ⋯ x_{n} (n ⩾ 1);

en d’autres termes, si S = 𝔸_{T}^{1} , le schéma 𝔸_{T}^{n}, considéré comme S-schéma par s, est le sous-S-schéma de 𝔸_{S}^{n} = S[x_{1}, …, x_{n}] = T [x_{1}, …, x_{n}, t] d’équation x_{1} ⋯ x_{n} = t. Le morphisme s est lisse hors de 0 et sa fibre en 0 est le diviseur D d’équation (x_{1} ⋯ x_{n} = 0), un diviseur à croisements normaux relativement à T, mais non à S (un diviseur “vertical”). Plus généralement, si S est un T -schéma lisse de dimension relative 1 et E ⊂ S un diviseur à croisement normaux relatif (si T est le spectre d’un corps algébriquement clos, E est donc simplement un ensemble fini de points rationnels de S), on dit qu’un S-schéma X a réduction semi-stable le long de E si, localement pour la topologie étale (sur X et sur S) le morphisme X ⟶ S est de la forme s ∘ g, avec g lisse, s étant le morphisme considéré ci-dessus. Le diviseur D = X ×_{S} E ⊂ X est alors un diviseur à croisements normaux relativement à T (mais non à S)^{19}. Un exemple élémentaire est fourni par la “famille de Legendre” X = Spec k[x, y, t]/(y^{2} − x(x − 1)(xt)) au-dessus de S = Spec k[t] = Spec k, k un corps de caractéristique ≠ 2), qui a réduction semi-stable en {0} ∪ {1}, la fibre en chacun de ces points étant isomorphe à la cubique à point double envisagée plus haut. L’intérêt de la notion de réduction semi-stable vient de la conjecture de réduction semi-stable, qui, en gros, affirme que localement, après ramification convenable de la base, un morphisme lisse peut se prolonger en un morphisme à réduction semi-stable, conjecture établie par Grothendieck-Deligne-Mumford et Artin-Winters ([G], [A-W], [D-M]) en caractéristique quelconque mais dimension relative 1, et Mumford ([M]) en caractéristique nulle et dimension relative quelconque.

Si f : X ⟶ S a réduction semi-stable le long de E, on définit un complexe de De Rham à pôles logarithmiques relatif

(7.3.1)  ω_{X/S}^{•} = Ω_{X/S}^{•}(log D/E),

de composantes ω_{X/S}^{i} = Λ^{i}ω_{X/S}^{1}, où ω_{X/S}^{1} est le quotient de Ω_{X/T}^{1} (log D) par l’image de f^{∗}Ω_{S/T}^{1} (log E) et la différentielle est déduite de celle de Ω_{X/T}^{•} (log D) par passage au quotient. Ce complexe est à composantes localement libres de type fini (dans le cas du morphisme s ci-dessus, ω_{X/S}^{1} est isomorphe à (⨁ 𝒪_{X}dx_{i}/x_{i})/𝒪_{X}(∑ dx_{i}/x_{i}) (donc libre de base dx_{i}/x_{i}, i ⩾ 2)). Il induit sur l’ouvert de lissité U de X sur S le complexe de De Rham usuel Ω_{U/S}^{•}, et l’on peut montrer que c’est l’unique prolongement sur X de ce complexe qui soit à composantes localement libres de type fini. De plus, si l’on pose, pour abréger, ω_{X/T}^{•} = Ω_{X/T}^{•} (log D), ω_{S/T}^{•} = Ω_{S/T}^{•} (log E), on a une suite exacte

(7.3.2)  0 ⟶ ω_{S/T}^{1} ⊗ ω_{X/S}^{•}[−1] ⟶ ω_{X/T}^{•} ⟶ ω_{X/S}^{•} ⟶ 0,

où la flèche de gauche est a ⊗ b ⟼ f^{∗}a ∧ b. Cette suite exacte joue un rôle important dans le théorème de régularité de la connexion de Gauss-Manin (cf.

[K2] et l’article de Bertin-Peters dans ce volume). Il existe aussi une variante, en géométrie analytique complexe, de ces constructions. Supposons que T = Spec ℂ, que S soit une courbe lisse sur ℂ, E ⊂ S le diviseur réduit à un point 0, et que f : X ⟶ S soit un morphisme à réduction semi-stable en {0}, de fibre Y en 0 (Y est donc un diviseur à croisement normaux dans X relativement à ℂ). On peut alors considérer le complexe

(7.3.3)  ω_{Y}^{•} = ℂ_{{0}} ⊗_{𝒪_{S}} ω_{X/S}^{•},

de composantes les faisceaux localement libres de type fini ω_{Y}^{i} = 𝒪_{Y} ⊗_{𝒪_{X}} ω_{X/S}^{i}. Steenbrink [St] a montré que le complexe analogue ω_{Y^{an}}^{•} sur Y^{an} (qui est aussi le complexe de faisceaux associé à ω_{Y}^{•} sur Y^{an}) incarne le complexe des cycles proches RΨ(ℂ) de f en 0, de sorte que, si de plus f est propre, H^{∗}(Y, ω_{Y}^{•}) “calcule” H^{∗}(X_{t}^{an}, ℂ) pour t “assez voisin” de 0. Steenbrink montre en outre que (sous cette hypothèse supplémentaire) les suites spectrales

19 On peut même définir une notion de réduction semi-stable le long de E sans hypothèse sur la dimension relative de S sur T, cf. [I5].

(7.3.4)  E_{1}^{p q} = R^{q}f_{∗}ω_{X/S}^{p} ⟹ R^{p+q}f_{∗}ω_{X/S}^{•}

et

(7.3.5)  E_{1}^{p q} = H^{q}(Y, ω_{Y}^{p}) ⟹ H^{p+q}(Y, ω_{Y}^{•})

dégénèrent en E_{1} et que les faisceaux R^{q}f_{∗}ω_{X/S}^{p} sont localement libres de type fini et de formation compatible à tout changement de base. Ces résultats font partie de la construction d’une structure de Hodge mixte limite sur H^{∗}(X_{t}^{an}, ℤ) pour t tendant vers 0 (loc. cit.). Ils peuvent, eux aussi, se démontrer par réduction à la caractéristique p > 0 ([I5]). Pour T de caractéristique p > 0, et f : X ⟶ S à réduction semi-stable le long de E ⊂ S, les complexes ω_{X/S}^{•} et

(7.3.6)  ω_{D}^{•} = 𝒪_{D} ⊗_{𝒪_{S}} ω_{X/S}^{•}

(où D = E ×_{S} X) donnent en effet lieu à des isomorphismes de Cartier (du type de 3.5), et, sous des hypothèses de relevabilité modulo p^{2} convenables, τ_{<p}F_{∗}ω_{X/S}^{•} et τ_{<p}F_{∗}ω_{D}^{•} se décomposent (dans D(X′)) (voir [I5] 2.2 pour un énoncé précis, qui généralise 7.2, et divers corollaires (énoncés de dégénérescence et d’annulation)).

7.4. Le complexe ω_{D}^{•} ci-dessus ne dépend pas seulement de D, mais de X/S. Il n’en dépend toutefois que localement (au voisinage de D). En cherchant à élucider la structure supplémentaire sur D nécessaire pour le définir, J.-M. Fontaine et l’auteur ont été conduits à introduire la notion de structure logarithmique. Celleci a donné lieu à une théorie, la géométrie logarithmique, extension naturelle de la théorie des schémas. Largement développée par K. Kato et son école, elle permet d’unifier les diverses constructions de complexes à pôles logarithmiques envisagés ci-dessus et de considérer les variétés toriques de Mumford et al. et les morphismes à réduction semi-stable comme cas particuliers d’une nouvelle notion de lissité, voir [I6] pour une introduction. Les résultats de décomposition, de dégénérescence et d’annulation précédents admettent des généralisations dans ce cadre, voir [Ka2] et [Og2].

B. Dégénérescence mod p^{n} et cristaux

7.5. Le théorème de décomposition 5.1 a été obtenu initialement comme sousproduit des travaux d’Ogus [Og1], Fontaine-Messing [F-M] et Kato [Ka1] en cohomologie cristalline (voir [I4] pour un panorama de cette théorie). Le lien (un peu technique) entre 5.1 et le point de vue cristallin est expliqué dans [D-I] 2.2 (iv). Bornons-nous à énoncer un résultat de dégénérescence mod p^{n} ([F-M], [Ka1]) analogue à 5.6 :

Théorème 7.6. Soient k un corps parfait de caractéristique p > 0, W = W (k) l’anneau des vecteurs de Witt sur k, X un W -schéma propre et lisse de dimension relative < p. Alors, pour tout entier n ⩾ 1, la suite spectrale de Hodge vers De Rham

(7.6.1)  E_{1}^{i j} = H^{j}(X_{n}, Ω_{X_{n}/W_{n}}^{i}) ⟹ H_{DR}^{i+j}(X_{n}/W_{n})

dégénère en E_{1}, W_{n} = W_{n}(k) = W/p^{n}W désignant l’anneau des vecteurs de Witt de longueur n sur k et X_{n} le schéma sur W_{n} déduit de X par réduction modulo p^{n} (i.e. par extension des scalaires de W à W_{n}).

7.7. Pour n = 1, on a W_{n} = k et l’on retrouve l’énoncé 5.6, à cela près que, dans 7.6, on suppose donné un relèvement de X sur W (plutôt que sur W_{2})^{20}. Sous les hypothèses de 7.6, il n’est pas vrai en général, pour n ⩾ 2, que le complexe de De Rham Ω_{X_{n}/W_{n}}^{•} (qui est, a priori, seulement un complexe de faisceaux de W_{n}-modules sur X_{n} (ou X_{1}, X_{n} et X_{1} ayant le même espace sous-jacent)) soit décomposable dans la catégorie dérivée correspondante D(X_{1}, W_{n}). Toutefois, les résultats d’Ogus ([Og1] 8.20) impliquent que, si σ désigne l’automorphisme de Frobenius de W_{n}, σ^{∗}Ω_{X_{n}/W_{n}}^{•} est isomorphe, dans la catégorie dérivée D(X_{1}, W_{n}) des faisceaux de W_{n}-modules sur X_{1}, au complexe Ω_{X_{n}/W_{n}}^{•}(p) déduit de Ω_{X_{n}/W_{n}}^{•} en multipliant la différentielle par p (NB. pour n = 1, on a Ω_{X_{n}/W_{n}}^{•}(p) = ⨁ Ω_{X_{1}/k}^{i}[−i]). La conclusion de 7.6 en découle aisément, ainsi que diverses propriétés supplémentaires de H_{DR}^{∗}(X_{n}/W_{n}) (structure dite “de Fontaine-Laffaille” – comprenant notamment le fait que la filtration de Hodge est formée de facteurs directs), voir [F-M] et [Ka1].

7.8. Les résultats de dégénérescence et de décomposition dont nous avons parlé jusqu’ à présent portent sur des complexes de De Rham de schémas, éventuellement à pôles logarithmiques. On peut, plus généralement, considérer des complexes de De Rham à coefficients dans des modules à connexion intégrable. Plusieurs généralisations de ce type ont été obtenues : pour des coefficients de Gauss-Manin [I5], des faisceaux de modules de Fontaine-Laffaille [Fa2], des T -cristaux [Og2] (ces derniers objets fournissant d’ailleurs une généralisation commune des deux précédents).

C. Problèmes ouverts

7.9. Soient k un corps parfait de caractéristique p > 0, X un k-schéma lisse, de dimension d, X′ le schéma déduit de X par changement de base par l’automorphisme de Frobenius de k, F : X ⟶ X′ le Frobenius relatif (3.1). On a vu en 5.9 (1) (a) (avec S = Spec k, T = Spec W_{2}(k)) que les conditions suivantes sont équivalentes :

20 En fait, Ogus a montré – mais c’est plus difficile – qu’étant donné n ⩾ 1 et Z propre et lisse sur W_{n} de dimension < p, alors, si Z admet un relèvement (propre et lisse) sur W_{n+1}, la suite spectrale de Hodge vers De Rham de Z/W_{n} dégénère en E_{1} ([Og2] 8.2.6) ; ce résultat généralise véritablement 5.6.

(i) X′ – ou, ce qui revient au même ici, X – se relève (en un schéma propre et lisse) sur W_{2}(k) ;

(ii) τ_{⩽1}F_{∗}Ω_{X/k}^{•} est décomposable dans D(X′) (4.6) ;

(iii) τ_{<p}F_{∗}Ω_{X/k}^{•} est décomposable dans D(X′).

Nous dirons que X est DR-décomposable si F_{∗}Ω_{X/k}^{•} est décomposable (dans D(X′)). Comme on l’a observé en 5.2, cette condition équivaut, compte tenu de l’isomorphisme de Cartier (3.5), à l’existence d’un isomorphisme

⨁ Ω_{X′/k}^{i}[−i] ⟶^{∼} F_{∗}Ω_{X/k}^{•}

de D(X′) induisant C^{−1} sur ℋ^{i}. Les arguments de 5.6 et 5.8 montrent que :

(a) si X est propre sur k et DR-décomposable, la suite spectrale de Hodge vers De Rham de X/k dégénère en E_{1} ;

(b) si X est projectif sur k, purement de dimension d, et DR-décomposable, et si L est un faisceau inversible ample sur X, on a les résultats d’annulation à la Kodaira-Akizuki-Nakano (5.8.1) et (5.8.2).

En vertu de l’équivalence entre les conditions (i) et (ii) ci-dessus, une condition nécessaire pour que X soit DR-décomposable est que X se relève sur W_{2}(k). D’après [D-I], elle est suffisante si d ⩽ p (5.5 et 5.9 (3)). On ignore si elle l’est en général :

Problème 7.10. Soit X un k-schéma lisse de dimension d > p, relevable sur W_{2}(k). Est-ce que X est DR-décomposable ?

7.11. Rappelons (5.5.1) que si X et F se relèvent sur W_{2}(k), X est DRdécomposable ; c’est le cas si X est affine, ou est un espace projectif sur k. Comme il est signalé dans [D-I] 2.6 (iv), si X est relevable sur W_{2}(k) et si, pour tout entier n ⩾ 1, le morphisme de produit (Ω_{X/k}^{1})^{⊗ n} ⟶ Ω_{X/k}^{n} admet une section, X est DR-décomposable (voir 8.1 pour une démonstration) ; cette seconde condition est vérifiée notamment si X est parallélisable, i.e. si Ω_{X/k}^{1} est un 𝒪_{X}-module libre (ou, ce qui revient au même, le fibré tangent T_{X/k}, dual de Ω_{X/k}^{1}, est trivial), donc par exemple si X est une variété abélienne. Par un théorème de Grothendieck (cf. [Oo] et [I7] Appendice 1), toute variété abélienne sur k se relève sur W_{2}(k) (et même sur W (k)). Donc toute variété abélienne sur k est DR-décomposable. Une autre classe intéressante de k-schémas relevables (sur W (k)) est formée des intersections complètes dans ℙ_{k}^{r} (voir l’exposé de Deligne (SGA 7 XI) pour les définitions et propriétés de base de ces objets). Mais on ignore si celles-ci sont DR-décomposables. Le premier cas inconnu est celui d’une quadrique (lisse) de dimension 3 en caractéristique 2. On ignore également si les grassmanniennes, et plus généralement, les variétés de drapeaux, qui sont, elles aussi relevables sur W (k), sont DR-décomposables (le seul exemple connu est l’espace projectif !).

Le problème 7.10, avec “relevable sur W_{2}(k)” remplacé par “relevable sur W (k)”, est tout aussi ouvert. Par contre, on ne peut remplacer “relevable sur W (k)” par “relevable sur A”, où A est une extension totalement ramifiée de W (k) ( = anneau de valuation discrète complet, fini et plat sur W (k), de corps résiduel k, et de degré > 1 sur W (k)) : Lang [L] a en effet construit, en toute caractéristique p > 0, une k-surface projective lisse X relevable sur un tel anneau A de degré 2 sur W (k) telle que la suite spectrale de Hodge vers De Rham de X/k ne dégénère pas en E_{1}.

7.12. Les énoncés de décomposition auxquels on a fait allusion à la fin de 7.3 s’appliquent notamment à une courbe lisse S sur T = Spec k et à un schéma X sur S ayant réduction semi-stable le long d’un diviseur à croisements normaux E ⊂ S (donc étale sur k), pourvu que certaines hypothèses de relevabilité modulo p^{2} soient satisfaites. Plus précisément, si l’on suppose que :

(i) il existe un relèvement (E^{∼} ⊂ S^{∼}) de (E ⊂ S) sur W_{2} = W_{2}(k) (avec S^{∼} lisse et E^{∼} diviseur à croisements normaux relatif, i.e. étale sur W_{2}), admettant un relèvement F^{∼} : S^{∼} ⟶ S^{∼} du Frobenius (absolu) de S tel que (F^{∼})^{−1}(E^{∼}) = pE^{∼} ^{21}

(ii) f se relève en f^{∼} : X^{∼} ⟶ S^{∼} ayant réduction semi-stable le long de E^{∼}, alors τ_{<p}F_{∗}ω_{X/S}^{•} et τ_{<p}F_{∗}ω_{D}^{•} (où D = E ×_{S} X) sont décomposables, (et donc F_{∗}ω_{X/S}^{•} et F_{∗}ω_{D}^{•} le sont aussi si X est de dimension relative < p sur S).

7.13. Le résultat relatif à ω_{D}^{•} suggère le problème suivant en inégale caractéristique. Désignons maintenant par S le spectre de W = W (k), et E = Spec k le point fermé de S. Soit X un S-schéma. Par analogie avec la définition donnée en 7.3, on dit que X a réduction semi-stable si, localement pour la topologie étale (sur X et sur S), X est lisse sur le sous-schéma de 𝔸_{S}^{n} = S[x_{1}, …, x_{n}] d’équation x_{1} ⋯ x_{n} = p. Supposons que X ait réduction semi-stable. Alors X est un schéma régulier, sa fibre X_{K} au point générique Spec K de S (K = le corps des fractions de W) est lisse, et sa fibre D = E ×_{S} X au point fermé est un “diviseur à croisements normaux absolu” dans X. Dans cette situation, on définit un complexe ω_{X/S}^{•} analogue à (7.3.1), qui est l’unique prolongement, à composantes localement libres de type fini, du complexe de De Rham de U sur S, où U est l’ouvert de lissité de X sur S; si X = S[x_{1}, …, x_{n}]/(x_{1} ⋯ x_{n} −p), le 𝒪_{X}-module ω_{X/S}^{1}, considéré comme sous-faisceau de Ω_{X_{K}/K}^{1}, s’identifie à (⨁ 𝒪_{X}dx_{i}/x_{i})/𝒪_{X}(∑ dx_{i}/x_{i}). Le complexe ω_{D}^{•}, défini par la formule (7.3.6), est à composantes localement libres de type fini sur D, et coïncide avec le complexe de De Rham Ω_{D/k}^{•} sur l’ouvert de lissité de D. On a ω_{X/S}^{i} = Λ^{i}ω_{X/S}^{1} et ω_{D}^{i} = Λ^{i}ω_{D}^{1}. D’après un résultat de Hyodo [Hy] (généralisé par Kato dans [Ka2]), le complexe ω_{D}^{•} donne lieu à un isomorphisme de Cartier C^{−1} : ω_{D′}^{i} ≃ ℋ^{i}F_{∗}ω_{D}^{•}. Les complexes ω_{X/S}^{•} et ω_{D}^{•} jouent un rôle important dans les développements récents de la théorie des périodes p-adiques (cf. [I4] pour un aperçu).

21 Cette notation désigne le diviseur déduit de E^{∼} par élévation à la puissance p-ième de ses équations locales.

Problème 7.14. Avec les notations de 7.13, soit X un S-schéma semi-stable, de fibre D au point fermé de S. Est-ce que τ_{<p}F_{∗}ω_{D}^{•} est décomposable (dans D(D′)) ?

Noter que la décomposabilité de τ_{<p}F_{∗}ω_{D}^{•} équivaut à celle de τ_{⩽1}F_{∗}ω_{D}^{•} (même argument que dans l’étape C de la démonstration de 5.1). La réponse est oui d’après 5.5 si X est lisse sur S (NB. ce qui était appelé X (resp. S) en 5.5 est ici D (resp. E)). La réponse est encore oui (pour des raisons de trivialité de cohomologie (cf. 4.6 (a))) si X est affine, ou si X est de dimension relative ⩽ 1. Mais le cas général est inconnu.

7.15. Enfin, en ce qui concerne les théorèmes d’annulation, signalons qu’on ne sait pas prouver, par des méthodes de caractéristique p > 0, les résultats classiques de Grauert-Riemenschneider ou Kawamata-Viehweg. On ne sait pas non plus généraliser 5.9 (5) en dimension > 2. Voir [E-V] pour une discussion de ces questions.

8. Appendice : parallélisabilité et ordinarité

Dans ce numéro, k désigne un corps parfait de caractéristique p > 0. On note W_{n} = W_{n}(k) l’anneau des vecteurs de Witt de longueur n sur k. Nous commencerons par donner une démonstration du résultat mentionné en 7.11 :

Proposition 8.1. Soit X un k-schéma lisse. Supposons que X se relève sur W_{2} et que, pour tout n ⩾ 1, le morphisme produit (Ω_{X/k}^{1})^{⊗ n} ⟶ Ω_{X/k}^{n} admette une section. Alors X est DR-décomposable (7.9).

Nous utiliserons le lemme suivant :

Lemme 8.2. Soient S et T comme en 5.1, X un schéma lisse sur S, Z′ un relèvement (lisse) de X′ sur T. Notons

φ^{1} : Ω_{X′/S}^{1}[−1] ⟶ F_{∗}Ω_{X/S}^{•}

l’homomorphisme φ_{Z′}^{1} de D(X′) défini dans l’étape B de la démonstration de 5.1, et, pour n ⩾ 1,

ψ^{n} : (Ω_{X′/S}^{1})^{⊗ n}[−n] ⟶ F_{∗}Ω_{X/S}^{•}

l’homomorphisme composé π ∘ (φ^{1})^{⊗^{L} n}, où π : (F_{∗}Ω_{X/S}^{•})^{⊗^{L} n} ⟶ F_{∗}Ω_{X/S}^{•} est l’homomorphisme produit. Notons également π : (Ω_{X′/S}^{1})^{⊗ n} ⟶ Ω_{X′/S}^{n} l’homomorphisme produit. Alors, pour toute section locale ω de (Ω_{X′/S}^{1})^{⊗ n}, on a

ℋ^{n}ψ^{n}(ω) = C^{−1} ∘ π(ω),

où C^{−1} : Ω_{X′/S}^{n} ⟶ ℋ^{n}F_{∗}Ω_{X/S}^{•} est l’isomorphisme de Cartier.

Il suffit de le vérifier pour ω de la forme ω_{1} ⊗ ⋯ ⊗ ω_{n}, où ω_{i} est une section locale de Ω_{X′/S}^{1}. Par fonctorialité, en les E_{i} ∈ D(X′), du produit

ℋ^{1}E_{1} ⊗ ⋯ ⊗ ℋ^{1}E_{n} ⟶ ℋ^{n}(E_{1} ⊗^{L} ⋯ ⊗^{L} E_{n}), a_{1} ⊗ ⋯ ⊗ a_{n} ⟼ a_{1} ⋯ a_{n},

on a

ℋ^{n}((φ^{1})^{⊗^{L} n})(ω_{1} ⊗ ⋯ ⊗ ω_{n}) = (ℋ^{1}φ^{1})(ω_{1}) ⋯ (ℋ^{1}φ^{1})(ω_{n})

dans ℋ^{n}((F_{∗}Ω_{X/S}^{•})^{⊗^{L} n}). Comme ℋ^{1}φ^{1} = C^{−1}, il s’ensuit que

ℋ^{n}ψ^{n}(ω_{1} ⊗ ⋯ ⊗ ω_{n}) = C^{−1}(ω_{1}) ∧ ⋯ ∧ C^{−1}(ω_{n})

dans ℋ^{n}F_{∗}Ω_{X/S}^{•}, et donc que

ℋ^{n}ψ^{n}(ω_{1} ⊗ ⋯ ⊗ ω_{n}) = C^{−1}(ω_{1} ∧ ⋯ ∧ ω_{n}) = C^{−1} ∘ π(ω_{1} ⊗ ⋯ ⊗ ω_{n})

par la propriété multiplicative de l’isomorphisme de Cartier.

Prouvons maintenant 8.1. Choisissons, pour chaque n, une section s du produit π : (Ω_{X/k}^{1})^{⊗ n} ⟶ Ω_{X/k}^{n}. Notons encore π et s les morphismes relatifs à X′ qui s’en déduisent. Choisissons (cf. 3.9) un relèvement Z′ de X′ sur W_{2}, et définissons ψ^{n} comme en 8.2, avec φ^{1} = φ_{Z′}^{1}. Notons

φ^{n} : Ω_{X′/k}^{n}[−n] ⟶ F_{∗}Ω_{X/S}^{•}

le morphisme composé ψ^{n} ∘ s (où s désigne encore, par abus, la section correspondante de (Ω_{X/k}^{1}[−1])^{⊗ n} ⟶ Ω_{X/k}^{n}[−n]). Il s’agit de vérifier que ℋ^{n}φ^{n} = C^{−1}. Or, d’après 8.2, si a est une section locale de Ω_{X′/k}^{n},

ℋ^{n}φ^{n}(a) = (ℋ^{n}ψ^{n})(sa) = C^{−1}(πsa) = C^{−1}(a),

ce qui achève la démonstration.

Corollaire 8.3. Soit X un k-schéma lisse parallélisable, i.e. tel que le 𝒪_{X}-module Ω_{X/k}^{1} soit libre (de type fini). Alors, pour que X soit DR-décomposable, il faut et il suffit que X se relève sur W_{2}.

Il suffit de prouver la suffisance. On peut supposer k algébriquement clos. Choisissons un point rationnel x de X sur k et un isomorphisme α : Ω_{X/k}^{1} ≃ f^{∗}E, où f : X ⟶ Spec k est la projection et E est le k-espace vectoriel x^{∗}(Ω_{X/k}^{1}). Via α, une section de l’homomorphisme surjectif E^{⊗ n} ⟶ Λ^{n}E se prolonge en une section de (Ω_{X/k}^{1})^{⊗ n} ⟶ Ω_{X/k}^{n}. On conclut grâce à 8.1.

Rappelons (5.5.1) la définition suivante :

Définition 8.4. Soit X un k-schéma propre et lisse. On dit que X est ordinaire si, pour tout (i, j), on a H^{j}(X, BΩ_{X/k}^{i}) = 0, où BΩ_{X/k}^{i} = dΩ_{X/k}^{i−1} est le faisceau des bords, en degré i, du complexe de De Rham.

Cette condition équivaut à H^{j}(X′, F_{∗}BΩ_{X/k}^{i}) = 0 pour tout (i, j). Rappelons (3.6) que F_{∗}BΩ_{X/k}^{i} = B^{i}F_{∗}Ω_{X/k}^{•} et F_{∗}ZΩ_{X/k}^{i} = Z^{i}F_{∗}Ω_{X/k}^{•} sont des 𝒪_{X′}-modules localement libres de type fini.

8.5. Pour un k-schéma propre et lisse X donné, il existe un lien, mis en évidence par Mehta et Srinivas [Me-Sr], entre les propriétés d’être DR-décomposable, parallélisable, et ordinaire. Ce lien s’exprime par le biais d’une notion voisine de celle de DR-décomposabilité, introduite antérieurement par Mehta et Ramanathan [Me-Ra], qui est la suivante. On dit qu’un k-schéma lisse X est Frobeniusdécomposé (“Frobenius-split”) si l’homomorphisme canonique 𝒪_{X′} ⟶ F_{∗}𝒪_{X} admet une rétraction, i.e. la suite exacte de 𝒪_{X′}-modules (cf. 3.5)

(8.5.1)  0 ⟶ 𝒪_{X′} ⟶ F_{∗}𝒪_{X} ⟶^{d} F_{∗}BΩ_{X/k}^{1} ⟶ 0

est scindée. Observons d’abord que si X est Frobenius-décomposé, X est relevable sur W_{2} (ou, ce qui revient au même (5.9 (1) (a)), τ_{<p}F_{∗}Ω_{X/k}^{•} est décomposable) : l’obstruction au relèvement, qui est la classe de l’extension

0 ⟶ 𝒪_{X′} ⟶ F_{∗}𝒪_{X} ⟶^{d} F_{∗}ZΩ_{X/k}^{1} ⟶^{C} Ω_{X′/k}^{1} ⟶ 0,

composée de (8.5.1) et de l’extension

(8.5.2)  0 ⟶ F_{∗}BΩ_{X/k}^{1} ⟶ F_{∗}ZΩ_{X/k}^{1} ⟶^{C} Ω_{X′/k}^{1} ⟶ 0,

est nulle. On ignore en général si “Frobenius-décomposé” entraîne “DR-décom-posable”. C’est le cas, d’après 8.3, si X est parallélisable. Mais la réciproque est fausse. On a en effet le résultat suivant ([Me-Sr] 1.1) : si X est un k-schéma propre et lisse, parallélisable, les conditions suivantes sont équivalentes :

(a) X est Frobenius décomposé ;

(b) l’extension (8.5.2) est scindée ;

(c) X est ordinaire ;

(d) (pour X purement de dimension d) l’homomorphisme F^{∗} : H^{d}(X′, 𝒪_{X′}) ⟶ H^{d}(X, 𝒪_{X}) induit par Frobenius est un isomorphisme.

En particulier, si X est ordinaire et parallélisable, X se relève sur W_{2} (Nori-Srinivas ([Me-Sr] Appendix) montrent en fait que, pour X projectif, X se relève en un schéma projectif lisse sur W). En outre – c’est le résultat principal de [Me-Sr]

– si k est algébriquement clos et X connexe, il existe un revêtement étale galoisien Y ⟶ X d’ordre une puissance de p tel que Y soit une variété abélienne.

Si X est projectif et lisse sur k, ordinaire et parallélisable, Nori-Srinivas (loc. cit.) montrent plus précisément qu’il existe un unique couple (Z, F_{Z}), où Z est un relèvement (projectif et lisse) de X sur W_{2} (resp. W_{n} (n ⩾ 2 donné), resp. W) et F_{Z} : Z ⟶ Z′ un relèvement de F : X ⟶ X′, où Z′ est l’image inverse de Z par l’automorphisme de Frobenius de W_{2} (resp. W_{n}, resp. W). L’existence et l’unicité de ce relèvement, dit canonique, avaient été établies pour la première fois par Serre-Tate [Se-Ta] dans le cas des variétés abéliennes. Comme on l’a signalé en 5.5.1, ce résultat admet une réciproque, sans hypothèse de parallélisabilité :

Proposition 8.6. Soit X un k-schéma propre et lisse. On suppose qu’il existe des schémas Z et Z′ relevant respectivement X et X′ sur W_{2} et un W_{2}-morphisme G : Z ⟶ Z′ relevant F : X ⟶ X′ ^{22}. Alors X est ordinaire.

Ce résultat a été obtenu indépendamment par Nakkajima [Na].

8.7. Prouvons 8.6. Soient G : Z ⟶ Z’ un relèvement de F et φ = φ_{G} : ⨁ Ω_{X′}^{i}[−i] ⟶ F_{∗}Ω_{X}^{•} l’homomorphisme de complexes associé, défini en (5.3.1) (on omet /k de la notation des différentielles). Cet homomorphisme envoie Ω_{X′}^{i} dans F_{∗}ZΩ_{X}^{i} (notations de 8.4) et scinde la suite exacte (cf. 3.5)

(8.7.1)  0 ⟶ F_{∗}BΩ_{X}^{i} ⟶ F_{∗}ZΩ_{X}^{i} ⟶^{C} Ω_{X′}^{i} ⟶ 0.

Prouvons, par récurrence descendante sur i, que H^{∗}(X, BΩ_{X}^{i}) = 0 (i.e. que H^{n}(X, BΩ_{X}^{i}) = 0 pour tout n). Pour i > dim X, BΩ_{X}^{i} = 0. Fixons i, supposons prouvé H^{∗}(X, BΩ_{X}^{j}) = 0 pour j ⩾ i, et prouvons que H^{∗}(X, BΩ_{X}^{i−1}) = 0. Par la suite exacte de cohomologie de la suite exacte

(8.7.2)  0 ⟶ F_{∗}ZΩ_{X}^{i−1} ⟶ F_{∗}Ω_{X}^{i−1} ⟶^{d} F_{∗}BΩ_{X}^{i} ⟶ 0,

l’hypothèse de récurrence entraîne que, pour tout n, on a

H^{n}(X′, F_{∗}ZΩ_{X}^{i−1}) ⟶^{∼} H^{n}(X, Ω_{X}^{i−1}),

et donc

(8.7.3)  dim H^{n}(X′, F_{∗}ZΩ_{X}^{i−1}) = dim H^{n}(X, Ω_{X}^{i−1}) = dim H^{n}(X′, Ω_{X′}^{i−1}).

La suite (8.7.1) (relative à i − 1) étant scindée, la suite exacte de cohomologie donne des suites exactes courtes

0 ⟶ H^{n}(X′, F_{∗}BΩ_{X}^{i−1}) ⟶ H^{n}(X′, F_{∗}ZΩ_{X}^{i−1}) ⟶^{C} H^{n}(X′, Ω_{X′}^{i−1}) ⟶ 0.

L’égalité (8.7.3) entraîne que, dans celles-ci, C est un isomorphisme, et donc que H^{n}(X′, F_{∗}BΩ_{X}^{i−1}) = 0, ce qui achève la démonstration.

Remarque 8.8. Le lecteur familier avec les structures logarithmiques aura noté que 8.6 et sa démonstration s’étendent au cas où k est remplacé par un point logarithmique \underline{k} = (k, M) de point sous-jacent k et X par un log schéma \underline{X} = (X, L) log lisse et de type de Cartier sur \underline{k} ([Ka2]), propre sur k ; si l’on suppose que (\underline{X}, \underline{F}) se relève sur W_{2}(\underline{k}) (cf. [Hy-Ka] 3.1), alors \underline{X} est ordinaire, i.e. H^{j}(X, Bωi ; \underline{X}) = 0 pour tout i et tout j.

22 On ne suppose pas que Z′ est l’image inverse de Z par le Frobenius de W_{2}.

Bibliographie

[AkN] Y. Akizuki, S. Nakano, Note on Kodaira-Spencer’s proof of Lefschetz’s theorem, Proc. Jap. Acad. Sc. A 30 (1954), 266-272.

[A-W] M. Artin and G. Winters, Degenerate fibers and reduction of curves, Topology 10

(1971), 373-383.

[Be-Pe] J. Bertin et C. Peters, Variations de structure de Hodge, variétés de Calabi-Yau et

symétrie miroir, ce volume.

[B-L-R] S. Bosch, W. Lütkebohmert and M. Raynaud, Néron Models, Ergebnisse der Math.

Bd 21, Springer-Verlag (1990).

[C] P. Cartier, Une nouvelle opération sur les formes différentielles, C. R. Ac. Sc. Paris, 244 (1957), 426-428.

[C-E] H. Cartan and S. Eilenberg, Homological Algebra, Princeton Univ. Press (1956).

[D0] P. Deligne, Théorème de Lefschetz et critères de dégénérescence de suites spectrales, Publ. Math. IHES 35 (1968), 107-126.

[D1] P. Deligne, Equations différentielles à points singuliers réguliers, Lecture Notes in Math. 163, Springer-Verlag (1970).

[D2] P. Deligne, Théorie de Hodge II, Pub. math. IHES 40 (1972), 5-57.

[D3] P. Deligne, Décompositions dans la catégorie dérivée, Proc. Symp. Pure Math. 55 Part I (1994), 115-128.

[D-G] M. Demazure et P. Gabriel, Groupes algébriques, tome I, Masson et North-Holland

Pub. Comp. (1970).

[D-I] P. Deligne et L. Illusie, Relèvements modulo p^{2} et décomposition du complexe de

De Rham, Inv. Math. 89 (1987), 247-270.

[D-M] P. Deligne and D. Mumford, The irreducibility of the space of curves of given genus,

Pub. IHES 36 (1969), 75-109.

[De] J.-P. Demailly, Théorie de Hodge L^{2} et théorèmes d’annulation, ce volume. [E-V] H. Esnault and E. Viehweg, Lectures on vanishing theorems, DMV Seminar Band

20, Birkhäuser Verlag (1992).

[Fa1] G. Faltings, p-adic Hodge Theory, Journal of the AMS 1 (1988), 255-299.

[Fa2] G. Faltings, Crystalline cohomology and p-adic Galois representations, Algebraic Analysis, Geometry and Number Theory, The Johns Hopkins Univ. Press 1989, 25-80.

[F-M] J.-M. Fontaine and W. Messing, p-adic periods and p-adic étale cohomology,

Contemp. Math. 67 (179-207), 1987.

[G] A. Grothendieck, Modèles de Néron et monodromie, Exp. IX in SGA 7, 313-523.

[GAGA] J.-P. Serre, Géométrie algébrique et géométrie analytique, Ann. Inst. Fourier 6 (1956), 1-42.

[Gi] J. Giraud, Cohomologie non abélienne, Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften 179, Springer-Verlag (1971).

[Go] R. Godement, Topologie algébrique et théorie des faisceaux, Hermann (1958).

[H1] R. Hartshorne, Residues and Duality, Springer Lecture Notes in Math. 20, Springer-Verlag (1966).

[H2] R. Hartshorne, Algebraic Geometry, Graduate Texts in Math. 20, Springer-Verlag 1977.

[Hy] O. Hyodo, A note on p-adic étale cohomology in the semi-stable reduction case, Inv. Math. 91 (1988), 543-557.

[Hy-Ka] O. Hyodo and K. Kato, Semi-stable reduction and crystalline cohomology with logarithmic poles, in Périodes p-adiques (Séminaire de Bures, 1988 ; J.-M. Fontaine, ed.), 221-268, Astérisque 223 (1994).

[I1] L. Illusie, Complexe cotangent et déformations, I et II, Springer Lecture Notes in Math. 239 et 283, Springer-Verlag (1971, 1972).

[I2] L. Illusie, Complexe de De Rham-Witt et cohomologie cristalline, Ann. ENS 12 (1979), 501-661.

[I3] L. Illusie, Catégories dérivées et dualité, travaux de J.-L. Verdier, L’enseignement mathématique 36 (1990), 369-391.

[I4] L. Illusie, Crystalline Cohomology, Proc. Symp. Pure Math. 55 Part I (1994), 43-70.

[I5] L. Illusie, Réduction semi-stable et décomposition de complexes de De Rham à coefficients, Duke math. J. 60 (1990), 139-185.

[I6] L. Illusie, Logarithmic spaces (according to K. Kato), in Barsotti Symposium in Algebraic Geometry (V. Cristante and W. Messing, Eds.), Perspectives in Math. 15, 183-203, Academic Press (1994).

[I7] L. Illusie, Déformations de groupes de Barsotti-Tate, in Séminaire sur les pinceaux arithmétiques : la conjecture de Mordell (L. Szpiro, ed.), Astérisque 127, SMF 1985, 151-198.

[K1] N. Katz, Nilpotent Connections and the Monodromy Theorem, Pub. Math. IHES 39 (1970), 175-232.

[K2] N. Katz, The regularity theorem in algebraic geometry, Actes Cong. Int. Math. Nice (1970) I, 437-443, Gauthiers-Villars (1971).

[Ka1] K. Kato, On p-adic vanishing cycles (applications of ideas of Fontaine-Messing), Advanced studies in Pure Math. 10 (1987), 207-251.

[Ka2] K. Kato, Logarithmic structures of Fontaine-Illusie, Algebraic Analysis, Geometry and Number Theory, The Johns Hopkins Univ. Press (1989), 191-224.

[KAN] K. Kodaira, On a differential-geometric method in the theory of analytic stacks, Proc. Nat. Ac. Sc. USA 39 (1953), 1268-1273.

[L] W. Lang, Examples of Liftings of Surfaces and a Problem in de Rham Cohomology, preprint (1994).

[M] D. Mumford, Semi-stable reduction, in Toroidal Embeddings I (G. Kempf, F. Knudsen, D. Mumford, and B. Saint-Donat eds.), Lecture Notes in Math. 339, Springer-Verlag 1973, 53-108.

[Me-Ra] V. B. Mehta and A. Ramanathan, Frobenius splitting and cohomology vanishing for Schubert varieties, Ann. Math. 122 (1985), 27-40.

[Me-Sr] V. B. Mehta and V. Srinivas, Varieties in positive characteristic with trivial tangent bundle (with an appendix by M. V. Nori and V. Srinivas, Canonical liftings), Compos. Math. 64 (1987), 191-212.

[Na] Y. Nakkajima, Liftings of Frobenius over W_{2} and ordinary logarithmic schemes, preprint, Dept of Math. Sciences, Tokyo, 1994.

[O] J. Oesterlé, Dégénérescence de la suite spectrale de Hodge vers De Rham (d’après Deligne et Illusie), Séminaire Bourbaki n^{∘} 673 (1986-87), Astérisque 152-153 (1987), 67-83.

[Og1] A. Ogus, Frobenius and the Hodge filtration, in Notes on Crystalline Cohomology (by P. Berthelot and A. Ogus), Math. Notes 21, Princeton Univ. Press (1978).

[Og2] A. Ogus, F -crystals, Griffiths transversality, and the Hodge decomposition, Astérisque 221, SMF (1994).

[Oo] F. Oort, Finite group schemes, local moduli for abelian varieties and lifting problems, Proc. 5th Nordic Summer School, Walters-Noordhoff (1970), 223-254.

[Ram] C. P. Ramanujam, Remarks on the Kodaira Vanishing theorem, J. Indian Math. Soc. 36 (1972), 41-51 ; 38 (1974), 121-124.

[S] J.-P. Serre, Corps locaux, Hermann (1962). [Se-Ta] J.-P. Serre and J. Tate, Good reduction of abelian varieties, Ann. Math. 88 (1968),

492-517.

[Sr] V. Srinivas, Decomposition of the De Rham complex, Proc. Indian Acad. Sci. (Math. Sci.), 100, n^{∘} 2 (1990), 103-106.

[St] J. Steenbrink, Limits of Hodge structures, Inv. Math. 31 (1976), 229-257.

[V] J.-L. Verdier, Catégories dérivées, Etat 0, dans SGA 4 1/2, Cohomologie étale, par P. Deligne, Springer Lecture Notes in Math. 569, Springer-Verlag (1977).

EGA A. Grothendieck et J. Dieudonné, Eléments de géométrie algébrique, I, II, III, IV, Pub. Math. IHES 4, 8, 11, 17, 20, 24, 28, 32 et Grundlehren 166, Springer-Verlag (1971).

SGA 1 A. Grothendieck et al., Revêtements étales et groupe fondamental, Springer Lecture Notes in Math. 224, Springer-Verlag (1971).

SGA 5 A. Grothendieck et al., Cohomologie ℓ-adique et fonctions L, Springer Lecture Notes in Math. 589, Springer-Verlag (1977).

SGA 6 A. Grothendieck et al., Théorie des intersections et théorème de Riemann-Roch, Springer Lecture Notes in Math. 225, Springer-Verlag (1971).

SGA 7 A. Grothendieck et al., Groupes de monodromie en géométrie algébrique, Séminaire de géométrie algébrique du Bois-Marie 1967-69, dirigé par A. Grothendieck, I. Lecture Notes in Math. 288, Springer-Verlag 1972, II. Lecture Notes in Math. 340, Springer-Verlag 1973.

Variations de structures de Hodge, variétés de Calabi-Yau et symétrie miroir

José Bertin, Chris Peters Université de Grenoble I Institut Fourier, BP 74 38402 Saint-Martin d’Hères, France

0. Introduction

L’objet de ces notes est de proposer une introduction assez détaillée à la partie la plus élémentaire de la théorie des variations de structures de Hodge avec des indications brèves sur les développements les plus récents. Pour motiver et illustrer cette étude, il nous a semblé pertinent d’exposer les grandes lignes d’un chapitre excitant et nouveau de géométrie algébrique : les variétés de Calabi-Yau et la symétrie miroir, en mettant surtout l’accent sur les questions qui véritablement relèvent des structures de Hodge et leurs variations. Cette théorie issue des réflexions d’un groupe de physiciens, conduit entre autre choses à des prédictions remarquables sur le nombre de courbes rationnelles, et même de tout genre, tracées sur une classe de variétés de dimension trois.

Le texte s’adresse en priorité à des étudiants, ou mathématiciens non spécialistes, mais qui cependant ont une certaine familiarité avec les techniques usuelles de la géométrie algébrique ou analytique complexe. Cela est particulièrement clair dans le premier chapitre où le cadre retenu, assez général, est alternativement celui des schémas et des variétés analytiques. Le langage de base utilisé pour formuler et prouver les résultats est naturellement celui de l’algèbre homologique, à partir des notions de cohomologie et d’hypercohomologie des faisceaux. Le lecteur trouvera dans le texte ci-joint d’Illusie [Ill] un exposé succinct mais largement suffisant. Il doit être signalé au lecteur que plusieurs excellents textes existent dans la littérature qui proposent une introduction à un aspect ou à un autre de la théorie des variations de structure de Hodge, citons par exemple les plus classiques [Co-G], [G-S], [P-S] et, plus récemment [B-Z], avec tout naturellement l’article fondamental de Schmid [S]. Nous espérons cependant que parallèlement à ces textes, nos notes pourront à l’occasion rendre quelques services. Sur le thème de la seconde partie, beaucoup de textes traitant du sujet, écrits dans le “style de la physique” sont d’un accès malaisé pour un mathématicien. On peut souhaiter de même que nos notes apportent un complément utile aux textes récents de M. Kontsevich [K1], [K2], D. Morrison [Mor 1] et C. Voisin [V] qui traitent aussi des aspects mathématiques du sujet.

Le texte est divisé en deux parties non indépendantes. La partie I consacrée aux développements généraux sur les variations de structures de Hodge (chapitre 1 à 6) et la partie II qui poursuit sur les variétés de Calabi-Yau et la symétrie miroir. Pour aider le lecteur nous avons fait débuter chaque chapitre par un court résumé. Situons maintenant le contenu de ces notes dans leur contexte. Les variations de structures de Hodge apparaissent naturellement lorsque, au lieu d’avoir une variété algébrique, par exemple donnée par une équation homogène (hypersurface) {f = 0}, on considère une famille de variétés algébriques, par exemple lorsque l’équation dépend de paramètres (variables additionnelles). Précisément, dans ces notes, une famille sera une application holomorphe f : X → S telle que X ⊂ ℙ^{n}×S et f, la restriction à X de la projection sur S, étant partout de rang maximal. Les fibres X_{s} = f^{−1}(s) sont des variétés projectives lisses, et on sait par le texte ci-joint de Demailly [Dem] que chaque espace vectoriel H^{w}(X_{s}, ℂ) porte une structure de Hodge de poids w, c’est le résultat fondamental de la théorie de Hodge. On sait aussi (loc. cit.§10) que H^{w}(X_{s}, ℂ) est la fibre d’un fibré vectoriel holomorphe ℋ sur S; il est donc naturel et fondamental d’étudier le comportement de la structure de Hodge définie sur H^{w}(X_{s}, ℂ), lorsque s ∈ S varie, c’est-à-dire globalement sur S. D’une autre manière, si on pense à la classe [ω(s)] d’une forme différentielle fermée ω(s) comme dépendant du paramètre s, et si γ est un cycle de dimension (réelle) w dans une fibre X_{s_{0}}, qu’on peut voir comme un cycle sur toute fibre voisine X_{s} de X_{s_{0}} du fait de la trivialité locale topologique de la famille, il est alors possible de considérer la période de ω, c’est-à-dire la fonction ∫_{γ} ω. Pour étudier la variation

des périodes par rapport à s, il est nécessaire de dériver : \frac{d}{ds} (∫_{γ} ω). Le cycle étant fixé, on veut dériver sous le signe somme. Cela sera justifié par l’existence d’une connexion, la connexion de Gauss-Manin qui conduira à la règle de dérivation :

\frac{d}{ds} ∫_{γ} ω(s) = ∫_{γ} ∇_{\frac{d}{ds}} ω(s)

∇_{\frac{d}{ds}} étant la dérivée covariante dans la direction de \frac{d}{ds}.

Dans le §10 de [Dem], il est prouvé aussi que le fibré ℋ^{w} est le fibré associé au système localement constant ⋃_{s∈S} H^{w}(X_{s}, ℂ), il est donc plat ; la connexion plate résultante est la connexion de Gauss-Manin. De plus, si au lieu des sousespaces H^{p,q}(X_{s}), on considère les sous-espaces F^{p}H^{w}(S_{s}, ℂ) = ⊕_{r⩾p}H^{r,w−r}(X_{s}) de la filtration de Hodge, alors ces sous-espaces sont les fibres d’un sous-fibré holomorphe ℱ^{p} de ℋ^{w}, définissant la filtration ℱ^{•} de ℋ^{w}. Le fibré ℋ^{w} équipé de cette filtration de Hodge et de la connexion de Gauss-Manin est l’exemple fondamental d’une variation de structures de Hodge, notion introduite par Griffiths dans [Grif1].

Ainsi, dans le paragraphe 1 nous donnons la construction détaillée des fibrés de Hodge, comme conséquence de la dégénérescence de la suite spectrale de Hodge vers De Rham (voir le texte ci-joint d’Illusie) dans le cadre général des variétés algébriques non nécessairement complexes.

Dans le §2 nous construisons la connexion de Gauss-Manin et nous prouvons la propriété de transversalité. L’exposition de ce paragraphe est assez détaillée car le théorème de transversalité de Griffiths est le point de départ central de toute la théorie, comme on pourra s’en convaincre en parcourant la seconde partie. Les manipulations sur les complexes de De Rham et leurs résolutions sont en fait proches de ce qui est fait dans [Ill]. Nous prouvons aussi que la connexion de Gauss-Manin est algébrique, suivant en cela les calculs de Katz et Oda [K-O]. C’est cet aspect qui est devenu extrêmement important dans les développements récents (§6).

Dans le §3, on introduit les domaines de périodes de Griffiths qui sont des espaces de paramètres pour les structures de Hodge polarisées de poids et nombres de Hodge fixés. Si f : X → S est une famille, on définit, quitte à se restreindre à la cohomologie primitive, l’application des périodes p : S → D (si S n’est pas simplement connexe il faut remplacer S par son revêtement universel) ; on traduit dans ce cadre la propriété de tranversalité. L’étude de la différentielle de l’application des périodes conduit naturellement à la notion de variation infinitésimale de structures de Hodge introduite dans [C-G-G-H] et traitée à la fin du §3. Cette notion est nécessaire pour justifier certains points fondamentaux du chapitre II.

Revenons à la situation considérée au début, celle d’une famille de variétés paramétrée par une base compacte. Dans cette situation on ne pourra éviter la présence de fibres singulières ; il est donc naturel d’étudier le comportement de la variation autour du lieu des fibres singulières. Pour simplifier on suppose que la base est le disque unité Δ, que f : X → Δ est de rang maximal au dessus des points de Δ^{∗} = Δ \ {0}. On dit que f est une dégénérescence à un paramètre. Tourner une fois autour de 0 induit l’action de monodromie locale T : H^{w}(X_{s}) → H^{w}(X_{s}), s ∈ Δ. Cette action préserve la structure entière, la polarisation et la filtration de Hodge. Le théorème de la monodromie locale de [La] et [S] dit que T est quasi-unipotente, c’est-à-dire, pour k, m ∈ ℕ convenables, (T^{k} − 1l)^{m} = 0. Un autre résultat important est le théorème local des cycles invariants de [Cl] qui dit qu’une classe α ∈ H^{w}(X_{s}) est T -invariante si et seulement si α est la restriction à X_{s} d’une classe définie sur X tout entier. La démonstration de ce théorème nécessite la construction d’une filtration de Hodge sur H^{w}(X_{s}) différente de la filtration classique et qui est mieux adaptée au passage à la limite quand s tend vers zéro, la filtration de Hodge limite. L’opérateur de monodromie T, lui aussi induit une filtration, celle des poids, et jointe à la filtration limite on obtient une structure plus compliquée appelée : structure de Hodge mixte sur H^{w}(X_{s}), ou encore la structure limite. Dans le §4 nous exposerons brièvement la notion de structure de Hodge mixte et les résultats fondamentaux de Deligne [Del4] et [Del5] sur l’existence d’une telle structure sur les variétés algébriques qui ne sont pas nécessairement compactes ni lisses. Ensuite nous donnerons une description de la structure limite en résumant quelques résultats importants qui se trouvent dans les articles [S] et [Cl]. Le §4 se termine par une description des faisceaux des cycles proches et évanescents qui est essentielle pour comprendre le travail de Saito [Sa1] sur les modules de Hodge, travail très partiellement esquissé dans le §6.

Dans le §5 nous résumons quelques résultats récents de Simpson sur les fibrés de Higgs, qui forment dans un certain sens une généralisation des variations de structures de Hodge et qui lui ont permis d’obtenir des conséquences surprenantes concernant les groupes kählériens, c’est-à-dire les groupes qui peuvent apparaître comme les groupes fondamentaux d’une variété kählérienne compacte.

La notion compliquée de module de Hodge joue un rôle central dans les développements récents de la théorie de Hodge. Elle nécessite l’introduction des 𝒟-modules, faisceaux pervers et une compréhension de la correspondance de Riemann-Hilbert, qui décrit le lien entre ces deux notions. Dans le §6 nous décrivons brièvement ces notions ainsi qu’une application importante à la cohomologie d’intersection, introduite par Goresky et MacPherson dans [G-M] : le groupe de cohomologie d’intersection IH^{w}(X) d’une variété algébrique complexe X porte une structure de Hodge pure de poids w.

Décrivons le contenu de la partie II. Comme dit au début, il y a peu de temps que les physiciens travaillant en physique quantique ont mis en évidence un nouveau phénomène de dualité. Les conséquences mathématiques, encore largement au stade des spéculations, sont fascinantes. Les exposés [F-G] et [P] décrivent en détail dans le langage de la physique ce cercle d’idées. Parmi les diverses manifestations de dualité, la symétrie miroir a attiré l’attention des géomètres algébristes, principalement à la suite du travail d’un groupe de physiciens [C-O-G-P], traduit partiellement en langage mathématique par D. Morrison [Mor1]. Le cadre de cette symétrie est celui des variétés de Calabi-Yau (§7). Une conséquence naïve (vérifiée par l’observation) est que ces variétés sont distribuées par paires, une paire étant formée de la variété miroir de l’autre, et que le tableau des nombres de Hodge de l’une se déduit du tableau de l’autre par une rotation d’un quart de tour. La symétrie prédit naturellement beaucoup plus, par exemple que les nombres de courbes rationnelles de “degré” fixé sur l’une est déductible d’informations fournies par la variation de la structure complexe de l’autre. Pour mettre en forme partiellement cette assertion, on étudie le comportement des périodes des 3-formes holomorphes lorsque la structure complexe varie. On détermine l’équation différentielle naturelle satisfaite par ses périodes, qui est l’équation de Picard-Fuchs. Cet aspect est traité en détail, avec au préalable la description donnée par Griffiths de la cohomologie d’une hypersurface de ℙ^{n}. Les détails sont dans le §8, et suivent en partie l’exposé de [C-G]. Les calculs sont détaillés car c’est essentiellement ici qu’on peut tout calculer. Notons que le contexte géométrique (différentiel) a été formalisé par les physiciens sous le nom de “géométrie spéciale” [Str].

Dans les §9 et 10, on traite l’exemple célèbre depuis [C-O-G-P] de l’hypersurface quintique de ℙ^{4} et de sa variété miroir. Les méthodes de la partie I interviennent lors de la discussion de l’accouplement de Yukawa. Expliquons brièvement de quoi il s’agit. Soit f : X → Δ une dégénérescence de variétés de Calabi-Yau de dimension 3, soit ω(s) une 3-forme holomorphe relative (s ∈ Δ) et soit enfin ∇_{\frac{d}{ds}} : ℋ^{3} → ℋ^{3} la dérivée covariante induite par la connexion de Gauss-Manin. Il résulte de la propriété de transversalité que ∇_{\frac{d}{ds}} ω(s) est une somme de termes de type (3, 0) et (2, 1) et donc ∫_{X_{s}} ω(s)∧∇_{\frac{d}{ds}} ω(s) = 0 = ∫_{X_{s}} ω(s)∧∇2_{\frac{d}{ds}} ω(s).

Par contre reste la fonction non-nulle :

κ_{sss} = ∫_{X_{s}} ω(s) ∧ ∇3_{\frac{d}{ds}} ω(s)

qui est l’accouplement de Yukawa.

Cette fonction satisfait à une équation différentielle liée à l’équation de Picard-Fuchs. L’analyse cruciale ici est celle du comportement de κ_{sss} lorsque s tend vers zéro. On verra pour justifier l’existence d’un paramètre canonique qu’il est nécessaire de s’appuyer sur l’existence d’une structure de Hodge limite, argument essentiellement dû à Morrison [Mor1]. Le paramètre canonique auquel on vient de faire allusion est de la forme q = exp(2πiτ) où τ est le quotient de deux périodes convenables. Cela étant fait, on peut définir le q-développement de κ_{sss} pour s → 0 et observer que ce développement fait apparaître des coefficients entiers positifs, qui selon le principe de symétrie conduisent aux nombres de courbes rationnelles de degré donné sur l’hypersurface quintique, nombres inabordables par la géométrie algébrique sauf en degré petit. Cet exemple montre clairement qu’en liaison avec le phénomène de symétrie miroir se posent à côté de nombreuses questions géométriques, et de très intéressants problèmes arithmétiques. Ces questions sont esquissées dans [L-Y].

Dans le paragraphe final (§11) nous discuterons, selon une idée de Deligne [Del6], une approche possible de la symétrie miroir en termes d’une dualité entre certaines variations de structures de Hodge.

Terminons cette introduction en donnant quelques indications bibliographiques qui peuvent aider le lecteur à pénétrer ce vaste domaine.

• L’article [Grif3] peut être considéré comme le premier article de synthèse. Il contient beaucoup d’exemples et des calculs concrets ; les problèmes énoncés dans cet article ont inspiré beaucoup de monde et bien que maintenant partiellement résolus, il reste encore “des choses à faire”.

• Ensuite dans [G-S] on trouve entre autre une introduction relativement élémentaire à la théorie de Hodge mixte appliquée aux questions de dégénérescences.

• L’article [P-S] explique comment on peut utiliser les variations infinitésimales pour résoudre certains cas du problème de Torelli : une variété est-elle déterminée (à isomorphisme près) par la structure de Hodge sur la cohomologie (entière) ? On trouve, là aussi, une introduction aux domaines de périodes et aux espaces des modules.

• La monographie [Grif4] est une très bonne introduction au sujet, elle contient des articles assez détaillés sur les variations de structures de Hodge (aussi sur les VSH infinitésimales). Y figure aussi une discussion des propriétés de la courbure de la métrique naturelle d’un domaine de périodes, résultat qui est utilisé dans le §4. On notera que l’article fondamental [S] de Schmid contient des paragraphes pouvant servir d’introduction efficace à certains aspects de la théorie de Griffiths.

• L’article [B-Z] se veut une synthèse des travaux récents sur la théorie de Hodge. On y trouvera plus de détails sur les matières des §4–6. Les progrès récents sur le problème de Torelli (voir ci-dessus) par contre ne sont pas traités du tout. Pour les 𝒟-modules le lecteur consultera les articles dans [Bo] et pour la cohomologie d’intersection et la relation avec les 𝒟-modules on lira le joli livre [Ki].

• Comme indiqué plus haut, l’article [V] peut servir comme introduction au problème de symétrie miroir. On trouve ici non seulement un traitement du coté mathématique mais aussi une brève introduction à l’origine “physique” de la conjecture. Voir aussi l’article [F-V] et les livres [H] et [Y2] pour des indications sur les aspects physiques. Signalons pour terminer la référence [B-C-O-V] dans la littérature physique, que le lecteur pourra consulter pour des perspectives exaltantes.

Nous voudrions remercier tous ceux qui nous ont aidé pour rendre cet exposé plus lisible ; en particulier Jim Carlson, Eduardo Cattani, Bernard Malgrange et Joseph Steenbrink.

Partie I. Variations de structures de Hodge

1. Fibrés de Hodge

On reprend dans ce paragraphe la définition algébrique (et analytique) des faisceaux de cohomologie de De Rham de l’exposé d’Illusie [Ill]. La filtration naïve sur le complexe des formes différentielles relatives donne lieu à la suite spectrale de Hodge vers De Rham et définit la filtration de Hodge sur l’aboutissement, la cohomologie relative. Dans le cas d’une famille de variétés analytiques complexes, projectives et lisses on obtient la filtration de Hodge [Dem] qui est une filtration par des sous-fibrés holomorphes du fibré de cohomologie relative. Le language utilisé est celui de l’hypercohomologie [Ill].

Fixons les notations utilisées dans la suite : un schéma est un schéma de type fini sur un corps k algébriquement clos, de caractéristique nulle. On peut supposer k = ℂ si on veut. Pour les incidences du choix de la caractéristique positive, nous renvoyons à [Ill]. Lorsque k = ℂ, on passera sans explications précises de la structure de schéma à la structure d’espace analytique associée. De la même manière, si X est un schéma lisse, on aura à considérer la structure de variété C^{∞} sous-jacente sans avoir à le signaler avec précision.

Un faisceau sera un faisceau de 𝒪_{X}-modules ou bien un faisceau abélien si on ne retient que la structure C^{∞}. La cohomologie, outil indispensable lorsqu’on a à manipuler des familles, est la cohomologie à coefficients dans un faisceau (voir le livre [God] par exemple).

Nous utiliserons aussi le langage de l’hypercohomologie. Soit Ω^{•} un complexe (borné inférieurement) et Ω^{•} → I^{•} une “résolution” injective (ou flasque), c’està-dire qui est un isomorphisme si on passe aux faisceaux de cohomologie, alors H^{•}(X, Ω^{•}) est par définition l’objet gradué h^{•}(Γ(X, I^{•})) ; de même si f : X → S est une application continue, un morphisme de schémas, etc., ℝ^{•}f_{∗}(Ω^{•}) = h^{•}(f_{∗}(I^{•})) est l’objet gradué formé des images directes supérieures à coefficients dans le complexe Ω^{•}.

Considérons par exemple la cohomologie d’une variété C^{∞}, à coefficients constants ℂ. C’est par définition H^{i}(X, ℂ), ℂ = faisceau constant. Le complexe de De Rham 𝒜_{X}^{•} des formes différentielles C^{∞} à coefficients complexes est une résolution du faisceau constant ℂ (lemme de Poincaré), donc le fait classique :

H^{i}(X, ℂ) = H^{i}(X, 𝒜_{X}^{•}) = h^{i}(Γ(X, 𝒜_{X}^{•})).

Si X est une variété analytique complexe, le faisceau Ω_{X}^{p} étant le faisceau des pformes holomorphes, le complexe de De Rham holomorphe Ω_{X}^{•} est une résolution de ℂ (lemme de Poincaré holomorphe), d’où :

H^{i}(X, ℂ) = H^{i}(X, Ω_{X}^{•}) (hypercohomologie).

Si maintenant X est un schéma, supposé lisse (non singulier), on peut considérer le complexe Ω_{X/k}^{•} des formes différentielles algébriques (de Kähler). Les espaces vectoriels H^{i}(X, Ω_{X/k}^{•}) sont par définition, la cohomologie de De Rham (algébrique) de X. Si k = ℂ, et si X est en plus projective, il résulte des théorèmes de comparaison algébrique-analytique (GAGA) [Se] que H^{i}(X, Ω_{X}^{•}) est le même selon que Ω_{X}^{•} est le complexe algébrique ou le complexe holomorphe. Donc si k = ℂ, la cohomologie de X pour la topologie transcendante se calcule à partir des formes différentielles algébriques.

Passons à la situation relative. Soit f : X → S un morphisme de schémas ; on suppose f propre. On peut définir ([Ill]) le complexe des formes de Kähler relatif Ω_{X/S}^{•}, qui est un complexe de 𝒪_{X}-modules de type fini (f est de type fini), et avec pour différentielle d_{X/S}, un opérateur f^{−1}(𝒪_{S}) linéaire. La formation de Ω_{X/S}^{•} est compatible aux changements de base. Si S, X et f sont lisses, et si k = ℂ, on a l’analogue analytique Ω_{X/S}^{•an} (resp. C^{∞}, 𝒜_{X/S}^{•}) qui est compatible aux changements de base.

On définit les faisceaux de cohomologie de De Rham (algébrique) par ([Ill])

\overline{\underline{ℋ^{k}(X/S) := ℝ^{k}f_{∗}(Ω_{X/S}^{•}).}}

Intuitivement, la fibre en s ∈ S de ℋ^{k}(X/S) est H^{k}(X_{s}, Ω_{X_{s}/k}^{•}), si on note X_{s}=f^{−1}(s). A côté des faisceaux de cohomologie de De Rham, il y a les faisceaux de Hodge : R^{q}f_{∗}(Ω_{X/S}^{p}), c’est-à-dire si S est réduit à un point, H^{q}(X, Ω_{X/k}^{p}).

Si k = ℂ, et si on remplace les formes différentielles algébriques relatives Ω_{X/S}^{•} par les formes holomorphes relatives Ω_{X/S}^{•an} là encore les théorèmes de comparaison assurent que le résultat est le même.

Filtrons le complexe Ω_{X/S}^{•} (algébrique, holomorphe,…) par la filtration de Hodge (ou naïve)

F^{p}(Ω_{X/S}^{•}) = (Ω_{X/S}^{•})^{⩾p}

qui est le complexe qui a le même terme en degré i ⩾ p, et qui est nul en degré < p. Alors, la suite spectrale associée à cette filtration finie, et au foncteur f_{∗}, est la suite spectrale de Hodge vers De Rham :

(HDR)  \overline{\underline{E_{1}^{pq} = R^{q}f_{∗}(Ω_{X/S}^{p}) ⟹ ℋ^{p+q}(X/S) = ℝ^{p+q}f_{∗}(Ω_{X/S}^{•}).}}

Il en découle une filtration sur l’aboutissement F^{p}ℋ^{k}(X/S), la filtration de Hodge de la cohomologie de De Rham, et un objet gradué associé

E_{∞}^{p,q} = Gr^{p} (ℋ^{p+q}(X/S)).

L’hypothèse essentielle est :

1.1. Hypothèse. La suite spectrale de Hodge vers De Rham (relative) dégénère au terme E_{1}.

Cela signifie

E_{1} = E_{2} = ⋯ = E_{∞}

en particulier

E_{1}^{pq} = R^{q}f_{∗}(Ω_{X/S}^{p}) = \frac{F^{p}ℋ^{p+q}(X/S)}{F^{p+1}ℋ^{p+q}(X/S)}.

Cette hypothèse est discutée dans [Ill]. Contentons-nous de l’énoncé suivant qui indique les conséquences très importantes sur les faisceaux de Hodge (voir [Del3], th. 5.5 et [Dem] §10 pour le cas complexe).

1.2. Théorème. Soit S un schéma de caractéristique 0 ; on suppose le morphisme f : X → S propre et lisse. Alors :

(i) Les faisceaux R^{p}f_{∗}(Ω_{X/S}^{p}) sont localement libres de type fini de formation compatible à tout changement de base.

(ii) La suite spectrale (HDR) dégénère au terme E_{1}.

(iii)Les faisceaux F^{p}ℋ^{p+q}(X/S) sont localement libres de rang fini et de formation compatible à tout changement de base.

(iv)La suite spectrale (HDR) a pour fibre en s ∈ S, la suite spectrale correspondante à X_{s}.

1.3. Remarques.

Si S est lisse, connexe, la théorie transcendante [Dem] dit que les nombres de Hodge h^{p,q}(s) = dim H^{p,q}(X_{s}) sont constants. Alors on peut en déduire que R^{p}f_{∗}(Ω_{X/S}^{p})_{s} = H^{q}(X_{s}, Ω_{X_{s}}^{p}). Dans le cas général, la dégénérescence de la suite spectrale de Hodge en un point s ∈ S entraîne (i) à (iv) par des arguments généraux de Grothendieck (“lemme d’échange” [Del3], th. 5.5).

Supposons k = ℂ, et toujours f : X → S propre et lisse. Par le lemme de Poincaré holomorphe relatif, le complexe Ω_{X/S}^{•an} est une résolution du faisceau f^{−1}(𝒪_{S}) (image réciproque faisceautique). (Il suffit de se restreindre à la fibre X_{s} = f^{−1}(s)). Alors

\begin{aligned}ℋ^{k}(X/S) & = R^{k}f_{∗}(f^{−1}(𝒪_{S})) \\ & ≅ 𝒪_{S} ⊗_{ℂ} R^{k}f_{∗}ℂ. \end{aligned}

Pour justifier cette identification, rappelons le théorème de changement de base en cohomologie (à supports propres) (voir Iversen [Iv]). Soit un carré cartésien

\begin{matrix}Y & \underrightarrow{q} X \\ g↓ & ↓f \\ T & \underrightarrow{p} S \end{matrix}

avec f propre, X, S, T, Y des espaces localement compacts. Pour tout faisceau abélien F sur X, on a un isomorphisme canonique :

p^{∗}R^{k}f_{∗}F \underrightarrow{∼} R^{k}g_{∗}q^{∗}F.

Si on tient compte de la formule de projection (loc. cit.) on a l’identification cidessus. Ainsi on a un lien (si k = ℂ), entre la cohomologie de De Rham et la cohomologie à coefficients constants, que nous préciserons dans le §2.A.

Dorénavant on utilise la convention suivante :

1.4. Définition. Une famille de variétés algébriques projectives est la donnée d’un morphisme f : X → S, lisse à fibres connexes tel que f factorise par ℙ^{N} × S : il existe une immersion fermée i : X → ℙ^{N} × S, telle que f = pr_{S} ∘ i.

Le morphisme f est donc propre. On se place dans l’hypothèse de dégénérescence de la suite spectrale de Hodge. La filtration décroissante ℱ^{p}(ℋ^{k}(X/S)), est rappelons-le, la filtration de Hodge. Les ℱ^{p} sont des sous-fibrés vectoriels de ℋ^{k}(X/S), et ℱ^{p}/ℱ^{p+1} ≅ R^{q}f_{∗}(Ω_{X/S}^{p}).

2. Connexion de Gauss-Manin

Pour étudier la variation des classes de cohomologie de De Rham dans une famille, il est essentiel de pouvoir dériver ces classes par rapport aux coordonnées locales sur la base S. Le but de ce paragraphe est de donner un sens précis à cela en expliquant en détail les constructions de Katz et Oda ([Ka], [K-O]). La construction met en évidence une “connexion” sur une résolution du complexe de De Rham qui après passage à la cohomologie conduit à la connexion de Gauss-Manin. Le cadre de ce paragraphe est celui des schémas.

2.A. Systèmes locaux

Soit S un espace topologique. Un faisceau 𝒱 (d’ensembles, de groupes, d’espaces vectoriels etc.) localement constant est appelé un système local. Donc il y a un recouvrement ouvert de S tel que 𝒱 soit constant sur les ouverts de ce recouvrement. On voit facilement qu’un faisceau localement constant est constant sur un espace simplement connexe et donc le relèvement de 𝒱 au revêtement universel est constant de fibre V disons ; alors on obtient 𝒱 comme quotient de S̃ × V par le groupe fondamental de S qui agit sur S̃ × V de façon naturelle : γ((s̃), f) = (s̃ · γ, γ^{−1}f), où γ ∈ π_{1}(S) agit à droite sur S̃ et à gauche sur V. Cette action conduit à une représentation de π_{1}(S) dans V, la représentation de monodromie.

On suppose maintenant que S est un schéma (resp. espace analytique, variété C^{∞}) avec faisceau structural 𝒪_{S}. On appelle faisceau associé au système local 𝒱, le faisceau de 𝒪_{S}-modules 𝒱 ⊗_{ℂ} 𝒪_{S}; il est localement libre, c’est-à-dire un fibré vectoriel sur S. Un tel fibré vectoriel est caractérisé par le fait qu’il existe un recouvrement ouvert trivialisant tel que sur l’intersection de deux de ces ouverts, la matrice de transition est à coefficients constants

Rappelons [Dem] qu’une connexion sur ℱ, est un opérateur k-linéaire ∇ : ℱ → Ω_{S}^{1} ⊗_{𝒪_{S}} ℱ (resp. Ω_{S}^{1,an} ⊗ ℱ, 𝒜_{S}^{1} ⊗ ℱ), qui satisfait à la règle de Leibniz :

∇(ae) = da ⊗ e + a∇e.

On peut étendre ∇ en une application k-linéaire : ∇ : Ω_{S}^{p} ⊗_{𝒪_{S}} ℱ → Ω_{S}^{p+q} ⊗_{𝒪_{S}} ℱ en forçant la règle : ∇(α⊗e) = dα⊗e+(−1)^{p}α∧∇e (α = p-forme). Alors l’opérateur R = ∇∇ est 𝒪_{S}-linéaire ; on a

R ∈ Hom_{𝒪_{S}} (ℱ, Ω_{S}^{2} ⊗_{𝒪_{S}} ℱ) = Ω_{S}^{2}(End(ℱ)),

on l’appelle l’opérateur de courbure de ∇. La connexion est dite intégrable (ou plate) si R = 0, donc si

0 ⟶ ℱ ⟶^{∇} Ω_{S}^{1} ⊗ ℱ ⟶^{∇} Ω_{S}^{2} ⊗ ℱ ⟶ ⋯

est un complexe. On l’appelle le complexe de De Rham associé, vu le cas particulier ℱ = 𝒪_{S}, ∇ = d.

Rappelons que pour tout champ v sur X (ou sur un ouvert de X), l’opérateur k-linéaire ∇_{v} (contraction de ∇ avec v) est appelé la dérivée covariante dans la direction de v. La condition d’intégrabilité équivaut à

(plat)  [∇_{v}, ∇_{w}] = ∇_{[v,w]}  (v, w champs sur X),

[v, w] étant le crochet des champs v et w.

Lorsque k = ℂ, si ∇ est une connexion intégrable sur le fibré vectoriel ℱ (faisceau localement libre de rang n), le théorème d’existence locale des solutions des équations différentielles linéaires, ici l’équation ∇e = 0, entraîne que 𝒱 = ker(∇) ⊂ ℱ est un sous-faisceau localement constant et que ℱ = 𝒱⊗_{ℂ}𝒪_{S} est le fibré associé à 𝒱. Alors ∇ = 1 ⊗ d, ce qui signifie que si on choisit localement une base {e_{i}} de F, composée de sections plates (sections de 𝒱) : ∇(∑_{i} a_{i}⊗e_{i}) = ∑_{i} da_{i}⊗e_{i}.

Inversement, pour un faisceau 𝒱 localement constant sur S, ℱ = 𝒱 ⊗ 𝒪_{S} le fibré associé, ∇ = 1 ⊗ d est une connexion plate avec ker ∇ = 𝒱. Donc, il y a une équivalence de catégories, entre les fibrés plats, i.e. les couples (ℱ, ∇) avec R_{∇} = 0) et les faisceaux localement constants de ℂ espaces vectoriels, les morphismes de fibrés étant les morphismes horizontaux.

Revenons à la situation géométrique avec f : X → S, qui représente une famille de variétés algébriques projectives, lisses. On a vu [Dem §10], qu’une famille est localement triviale du point de vue C^{∞} et donc que les faisceaux abéliens R^{k}f_{∗}ℂ, R^{k}f_{∗}ℝ, R^{k}f_{∗}ℤ sont des systèmes locaux. Ainsi ℋ^{k}(X/S) = R^{k}f_{∗}(ℂ) ⊗_{ℂ} 𝒪_{S}; on appelle connexion de Gauss-Manin sur le fibré de cohomologie ℋ^{k}(X/S), l’unique connexion (holomorphe) qui a pour sections horizontales (ou plates), les sections de R^{k}f_{∗}(ℂ), i.e. :

∇_{GM}(e) = 0 ⟺ e ∈ R^{k}f_{∗}(ℂ).

2.B. L’application de Kodaira-Spencer

Maintenant k est arbitraire, et S est un schéma lisse de type fini sur k. Du fait de la lissité de f, on a une suite exacte

(1)  0 ⟶ f^{∗}(Ω_{S}^{1}) ⟶ Ω_{X}^{1} ⟶ Ω_{X/S}^{1} ⟶ 0 .

Cette extension, qui en général est non triviale, est associée à une classe c ∈ Ext^{1}(Ω_{X/S}^{1}, f^{∗}(Ω_{S}^{1})), et comme Ω_{X/S}^{1} est localement libre, on a la suite exacte

Ext^{1}(Ω_{X/S}^{1}, f^{∗}(Ω_{S}^{1})) ≅ H^{1}(X, Hom_{𝒪_{X}} (Ω_{X/S}^{1}, f^{∗}(Ω_{S}^{1})) ;

l’image de c par l’application canonique

H^{1}(X, \underbrace{Hom_{𝒪_{X}} (Ω_{X/S}^{1}, f^{∗}(Ω^{1}S}_{= T_{X/S} ⊗ f^{∗}(Ω_{S}^{1})})) ⟶ H^{0}(X, R^{1}f_{∗}(T_{X/S} ⊗ f^{∗}(Ω_{S}^{1}))
∥
H^{0}(X, Ω_{S}^{1} ⊗ R^{1}f_{∗}(T_{X/S}))

est appelée la classe de Kodaira-Spencer de X/S; on peut voir cette classe comme un morphisme, le morphisme de Kodaira-Spencer : ρ_{X/S} : T_{S} ⟶ R^{1}f_{∗}(T_{X/S}). La fibre (ρ_{X/S})_{s} = ρ_{s} : T_{S,s} ⟶ H^{1}(X_{s}, T_{X_{s}}) est l’application de Kodaira-Spencer en s ∈ S.

Rappelons ([Ill]) que si c ∈ H^{1}(X, Hom(ℱ, 𝒢)) est la classe d’une extension 0 → 𝒢 → ℋ → ℱ → 0, le morphisme bord ∂ : H^{q}(X, ℱ) → H^{q+1}(X, 𝒢) s’identifie avec le cup-produit avec c.

L’application de Kodaira-Spencer en s mesure comment X_{s} se déforme dans la famille X/S au voisinage de s, du moins infinitésimalement

On reviendra à l’application de Kodaira-Spencer dans le §3.C.

2.C. Algébricité de la connexion de Gauss-Manin

Les faisceaux ℋ^{k}(X/S), ℱ^{p}ℋ^{k} ont une définition algébrique, via la cohomologie de De Rham algébrique ; on va voir qu’il en est de même pour la connexion de Gauss-Manin.

Passons au complexe de De Rham Ω_{X/k}^{•} = Λ^{•}Ω_{X/k}^{1} ; ce complexe n’est pas en général “multiplicatif” par rapport aux deux extrêmes. On introduit alors la filtration de Koszul de Ω_{X/k}^{•} qui mesure cette déviation. La définition vaut pour toute extension 0 → 𝒢 → ℋ → ℱ → 0 (de 𝒪_{X}-modules localement libres). On pose :

F^{p}Λ^{•}ℋ = image(Λ^{p}𝒢 ⊗ Λ^{•}ℱ[−p] ⟶ Λ^{•}ℋ)

on a clairement Gr^{p} = F^{p}/F^{p+1} ≅ Λ^{p}𝒢 ⊗ Λ^{•}ℱ[−p], [−p] signifie qu’il y a un décalage de −p dans le degré. Considérons la suite exacte de faisceaux :

0 ⟶  Gr^{1}  ⟶ F^{0}/F^{2} ⟶ Gr^{0} ⟶ 0
∥  ∥
𝒢 ⊗ Λ^{•}ℱ[−1]  Λ^{•}ℱ

qui en degré k, conduit à l’extension :

0 ⟶ 𝒢 ⊗ Λ^{k−1}ℱ ⟶ (F^{0}/F^{2})^{k} ⟶ Λ^{k}ℱ ⟶ 0 .

Une vérification aisée montre que la classe c_{k} ∈ H^{1}(X, Hom(Λ^{k}ℱ, 𝒢 ⊗ Λ^{k−1}ℱ) se déduit de c par l’application produit intérieur

I : Hom(ℱ, 𝒢) → Hom(Λ^{k}ℱ, 𝒢 ⊗ Λ^{k−1}ℱ)

où I(λ)(f_{1} ∧ ⋯ ∧ f_{p}) = ∑_{i=1}^{p}(−1)^{i−1}λ(f_{i}) ⊗ f_{1} ∧ ⋯ ∧ f̂_{i} ∧ ⋯ ∧ f_{p}.

Retournons à la situation géométrique. L’application de Kodaira-Spencer se déduit de la classe de l’extension (1) ; on va voir que la connexion de Gauss-Manin se déduit de la classe de l’extension de complexes

(2) \begin{aligned}0 & ⟶ & Gr^{1} & ⟶ & F^{0}/F^{2} & ⟶ & Gr^{0} & ⟶ & 0 \\ & & ∥ & & & & ∥ \\ & & f^{∗}(Ω_{S}^{1}) ⊗ Ω_{X/S}^{•}[−1] & & & & Ω_{X/S}^{•} \end{aligned}

(se reporter à [Ill] pour une définition précise).

Considérons le morphisme bord en hypercohomologie

∂ : R^{k}f_{∗}(Gr^{0}) ⟶ R^{k+1}f_{∗}(Gr^{1})

qui après identification est

∂ : ℋ^{k}(X/S) ⟶ R^{k+1}f_{∗}(f^{∗}(Ω_{S}^{1}) ⊗_{𝒪_{X}} Ω_{X/S}^{•}[−1])
∥
Ω_{S}^{1} ⊗_{𝒪_{S}} ℋ^{k}(X/S)

on en vient au résultat principal :

2.1. Théorème.

1) ∂ est une connexion intégrable sur le fibré de cohomologie de De Rham ℋ^{k}(X/S).

2) Le complexe de de Rham associé : (ℋ^{k}(X/S) ⊗ Ω_{S}^{•}, ∂) s’identifie au complexe E_{1}^{•,k} déduit de la suite spectrale de Ω_{X}^{•} filtré par la filtration de Koszul, relativement au foncteur f_{∗}.

3) Si k = ℂ, après identification des faisceaux, ∂ coïncide avec ∇.

Avant de donner les détails de la preuve, indiquons que 1) et 2) s’obtiennent facilement si on tient compte de la compatibilité de la filtration de Koszul relativement au produit extérieur : F^{i} ∧ F^{j} ⊂ F^{i+j}. Cela permet de définir un accouplement dans la suite spectrale

E_{1}^{pq} × E_{1}^{p′q′} ⟶ E_{1}^{p+p′,q+q′}, (e, e′) ⟼ ee′

tel que e′e = (−1)^{(p+q)(p′+q′)}ee′ et d_{1}(ee′) = (d_{1}e)e′ + (−1)^{p+q}e · d_{1}(e′). Il est peut être plus convaincant de mettre sous forme explicite ∂, l’intégrabilité sera alors une conséquence facile du résultat. C’est la procédure que nous allons détailler en plusieurs étapes.

Étape 1

Le problème étant local sur S, on peut supposer S affine (de Stein, dans le cadre analytique). On suppose d’abord que X = S ×T est un produit, sans supposer que T est projectif ; on peut de la même façon supposer que X est étale sur 𝔸^{n} × S. Avec cette hypothèse de trivialité de la famille, la suite exacte (1) est scindée, et Ω_{X}^{•} = p_{1}^{∗}(Ω_{S}^{•})⊗p_{2}^{∗}(Ω_{T}^{•}) (produit tensoriel de complexes). On peut identifier p_{2}^{∗}(Ω_{T}^{•}) avec Ω_{X/S}^{•}, alors la différentielle totale d_{X} se décompose en d_{X} = d_{S} + d_{X/S}. On fera attention au fait que le produit tensoriel est sur 𝒪_{X}, alors que la différentielle est seulement k-linéaire. Localement, on peut décrire la situation de la manière suivante : soit S = Spec(A), T = Spec(B), donc X = Spec(A ⊗_{k} B). Prenons Ω_{S}^{•} = Λ^{•}Ω_{A/k}^{1}, Ω_{T}^{•} = Λ^{•}Ω_{B/k}^{1}, qui sont des algèbres graduées sur A (resp. B). Alors on a Ω_{X/k}^{1} = Ω_{S}^{1} ⊗_{k} B ⊕ A ⊗_{k} Ω_{T}^{1} et Ω_{X}^{•} = Ω_{S}^{•} ⊗_{k} Ω_{T}^{•} avec la structure naturelle de A ⊗_{k} B algèbre graduée. La différentielle est d_{X} = d_{S} + d_{T}, avec la signification usuelle : d_{X}(α ⊗ β) = d_{S}(α) ⊗ β + (−1)^{p}α ⊗ d_{T} (β), si α ∈ Ω_{S}^{p}, β ∈ Ω_{T}^{q}. Notons que Ω_{X/S}^{•} = A ⊗_{k} Ω_{T}^{•}, d_{X/S} = 1 ⊗ d_{T}. Le morphisme quotient π : Ω_{X}^{•} → Ω_{X/S}^{•} admet une section naturelle φ (de groupes), telle que, avec un abus d’écriture :

φ(hd_{X/S}f_{1} ∧ ⋯ ∧ d_{X/S}f_{p}) = hd_{X/S}f_{1} ∧ ⋯ ∧ d_{X/S}f_{p}

où à droite d_{X/S} est la différentielle partielle issue de la décomposition d_{X} = d_{S} + d_{X/S}. On a

F^{p} = ⨁_{i⩾p} Ω_{S}^{i} ⊗ Ω_{T}^{j} et Ω_{X}^{•} = F^{1} ⨁ Ω_{X/S}^{•}.

2.2. Lemme. Il existe une dérivation I (produit intérieur total) de l’algèbre Ω_{X}^{•}, donc I(α ∧ β) = I(α) ∧ β + α ∧ I(β), telle que I(dg) = d_{S}g. De plus, on a pour toute forme ω ∈ Ω_{X}^{•} :

φπ(ω) − ω ≡ −I(ω) (mod F^{2}Ω_{X}^{•}).

Preuve. Avec la description Ω_{X}^{•} = Ω_{S}^{•} ⊗_{k} Ω_{T}^{•}, on prend pour I, la “dérivation”,

d(α ∧ β) = pα ∧ β si α est de degré p .

Notons que I est 𝒪_{X} (= A ⊗_{k} B) linéaire.

Pour la seconde assertion, on peut supposer g = a ⊗ b, (a ∈ A, b ∈ B), alors d_{X}g = d_{S}a ⊗ b + a ⊗ d_{T} b avec d_{S}g = d_{S}a ⊗ b et d_{X/S}g = a ⊗ d_{T} b. On a I(d_{X}g) = d_{S}a ⊗ b = d_{S}g. Ceci donne plus généralement I(gdg_{1} ∧ ⋯ ∧ dg_{p}) =

∑_{i=1}^{n} gdg_{1} ∧ ⋯ ∧ d_{S}g_{i} ∧ ⋯ ∧ dg_{p}.

Pour la dernière propriété, supposons ω = gdg_{1} ∧ ⋯ ∧ d_{S}g_{i} ∧ ⋯ ∧ dg_{p}, alors

φπ(ω) = gd_{X/S}g_{1} ∧ ⋯ ∧ d_{X/S}g_{p}
= g(dg_{1} − d_{S}g_{1}) ∧ ⋯ ∧ (g_{p} − d_{S}g_{p})
= ω − I(ω) (mod F^{2}Ω_{X}^{•}) .

Étape 2

On suppose S affine, et on choisit un recouvrement ouvert fini X = ⋃_{α=1}^{m} U_{α}, où

U_{α} est supposé étale sur 𝔸^{n} × S. Ainsi avec une telle trivialisation (se rapporter à l’appendice) on peut, comme indiqué dans l’étape 1, décomposer le complexe de De Rham Ω_{U_{α}/k}^{•} en un produit tensoriel Ω_{S}^{•} ⊗_{𝒪_{X}} Ω_{U_{α}/S}^{•}, et décomposer la différentielle d_{X} sur U_{α}, en d_{X/U_{α}} = d_{S}^{α} + d_{X/S}^{α}. Notons φ_{α} la section de π : Ω_{U_{α}}^{•} → Ω_{U_{α}/S}^{•} qui résulte de cette décomposition, et soit I_{α} le produit intérieur correspondant.

La connexion de Gauss-Manin, décrit, de manière cohomologique, cette décomposition (locale) de Ω_{X}^{•} en un produit tensoriel Ω_{S}^{•} ⊗Ω_{X/S}^{•}. Considérons 𝒞̌^{•}(𝒰, Ω_{X}^{•}) (resp. 𝒞̌^{•}(𝒰, F^{p}), etc.), le complexe de Čech à coefficients dans Ω_{X}^{•} (resp. …) ([Ill]) on sait (loc. cit.) que le morphisme canonique Ω_{X}^{•} → 𝒞̌^{•}(𝒰, Ω_{X}^{•}) est un quasiisomorphisme. Notons aussi, que les ouverts U_{α} étant affines, alors le foncteur K^{•} ⟼ 𝒞̌^{•}(𝒰, K^{•}) est exact, par suite :

𝒞̌^{•}(𝒰, Gr^{p}(Ω_{X}^{•})) = 𝒞̌^{•}(𝒰, F^{p})/𝒞̌(𝒰, F^{p+1}).

La différentielle du complexe de Čech est notée d + δ où d est la différentielle au niveau des formes, et δ la différentielle “de Čech” :

(δβ)(i_{0}, …, i_{q}) = (−1)^{p} ∑_{j=0}^{q}(−1)^{j}β(i_{0}, …, î_{j}, …, i_{q})

(si β ∈ 𝒞^{p,q} = 𝒞^{q}(𝒰, Ω_{X}^{p})).

Pour tout indice α, soit h_{α} = d_{S}^{α} ∘φ_{α} vu comme morphisme de complexes : h_{α} : Gr^{0}(Ω_{X}^{•})_{|U_{α}} ⟶ Gr^{1}(Ω_{X}^{•})[1]_{|U_{α}} (vérification immédiate), et soit ψ_{αβ} = φ_{β} − φ_{α}

(mod F^{2}), donc

ψ_{αβ} : Gr^{0}(Ω_{X}^{•})_{|U_{α}∩U_{β}} ⟶ Gr^{1}(Ω_{X}^{•})_{|U_{α}∩U_{β}.}

On a ψ_{αβ} + ψ_{βα} = ψ_{αγ} (pour tout (α, β, γ)), et (h_{β} − h_{α})_{|U_{α}∩U_{β}} = dψ_{αβ}, ce qui

signifie

d_{S}^{α}φ_{α} − d_{S}^{β}φ_{β} = (d_{S}^{α} + d_{X/S}^{α})φ_{α} − (d_{S}^{β} + d_{X/S}^{β})φ_{β} − (φ_{α} − φ_{β})d_{X/S}

on peut ainsi définir un morphisme de complexes

h : Gr^{0} ⟶ 𝒞̌^{•}(𝒰, Gr^{1}[1])

qui induit (dans la catégorie dérivée) un morphisme

∇ : Gr^{0} ⟶ Gr^{1}[1].

Le lecteur pourra comparer avec la démonstration du lemme (5.4) dans [Ill].

Si on passe à la cohomologie, ∇ induit la connexion de Gauss-Manin. On va faire une construction plus précise, et en déduire l’intégrabilité de la connexion.

Étape 3 Soit β ∈ 𝒞^{q}(𝒰, Ω_{X}^{p}), posons :

ℒ(β)(i_{0}, …, t_{q}) = d_{S}^{i_{0}}(β(i_{0}, …, i_{q})) (dérivée de Lie totale)

puis

I(β)(i_{0}, …, i_{q+1}) = (−1)^{p}(I_{i_{0}} − I_{i_{1}})(β(i_{1}, …, i_{q+1}) (produit intérieur total)

et

φ(β)(i_{0}, …, i_{p}) = φ_{i_{0}}(β(i_{0}, …, i_{p})) .

Notons que ℒ est de bidegré (1, 0), I de bidegré (0, 1).

Un calcul élémentaire conduit au

2.3. Lemme. ∇ = ℒ + I est un morphisme de complexes

ℒ + I ∈ Hom (𝒞̌^{•}(𝒰, Ω_{X}^{•}), 𝒞̌^{•}(𝒰, Ω_{X}^{•}[1]).

Notons que par construction, ∇(𝒞̌(𝒰, F^{i})) ⊆ 𝒞̌(𝒰, F^{i+1}). Pour s’assurer que sur la cohomologie, le morphisme induit par ∇ = ℒ + I : Gr^{0} → Gr^{1}[1] est bien la connexion de Gauss-Manin, la propriété suivante est exactement ce qu’il faut :

2.4. Lemme.

(d_{X} + δ)φ − φ(d_{X/S} + δ) ≡ (ℒ + I) ∘ φ (mod 𝒞̌^{•}(F^{2})).

Preuve. Soit β ∈ 𝒞^{q}(𝒰, Ω_{X/S}^{p}) ;

(d_{X}φ − φd_{X/S})(β)(i_{0}, …, i_{q}) = d_{S}^{i_{0}}φ_{i_{0}}(β(i_{0}, …, i_{q})) .

Un calcul aisé montre que

(δφ − φδ)(β)(i_{0}, …, i_{q+1}) = (−1)^{p+1}(φ_{i_{0}} − φ_{i_{1}})(β(i_{1}, …, i_{q+1})).

Il suffit alors de vérifier que

(−1)^{p+1}(φ_{i_{0}} − φ_{i_{1}})(ω) ≡ (−1)^{p}I^{i_{0}}φ_{i_{1}}(ω) (mod F^{2})

pour toute forme ω ∈ Γ(U_{i_{0}} ∩ U_{i_{1}}, Ω_{X/S}). Si on pose φ_{i_{1}}(ω) = α, cette congruence équivaut à φ_{i_{0}}(π(α)) − α ≡ −I_{i_{0}}(α) (mod F^{2}), qui découle alors du lemme 2.

L’intégrabilité de la connexion de Gauss-Manin découle immédiatement de la formule du lemme 4. En effet, on en déduit

∇((d_{X} + δ)φ − φ(d_{X/S} + δ)) ≡ ∇^{2} ∘ φ (mod 𝒞̌^{•}(F^{3}))

car ∇ est de degré 1 pour la filtration de Koszul et comme ∇ et d_{X} +δ commutent,

(d_{X} + δ)(∇ ∘ φ) − (∇ ∘ φ)(d_{X/S} + δ) ≡ ∇^{2} ∘ φ(mod F^{3}).

Donc ∇^{2} induit le morphisme nul (au sens des catégories dérivées) de Gr^{0} dans Gr^{2}[2].

Avant de conclure, il est utile de souligner le point suivant. Ce qui a été construit dans les étapes 1 à 3 (lemme 2.3) est une connexion (“la connexion de Gauss-Manin”) au niveau du complexe de De Rham (le complexe de Čech du complexe de De Rham). Cette connexion non nécessairement intégrable induit au niveau cohomologique la connexion (intégrable) de Gauss-Manin.

Pour terminer la preuve du théorème, reste à vérifier que la construction cidessus ne dépend pas du choix de 𝒰 = {U_{α}}, ce qui est complètement standard.

Si k = ℂ, il est aussi immédiat que la construction ci-dessus s’applique avec S de Stein, et les U_{α} de Stein, et que le résultat est identique. Pour se convaincre de l’identité entre cette construction de ∇ et la définition purement topologique, on observe que la propriété de décomposition locale du complexe de De Rham, qui est locale sur X dans le cas algébrique et analytique, devient locale sur S avec le complexe des formes C^{∞}. Donc on peut supposer que X → S est une filtration C^{∞} triviale. Dans ce cas, on peut construire des morphismes ∇ au niveau des complexes de De Rham C^{∞}, soit ∇ : 𝒜_{X}^{•} → 𝒜_{X}^{•}[1], et ∇ = d_{S} (relativement à une décomposition). Alors, il est à peu près évident que sur la cohomologie, ∇ induit d_{S} ⊗ 1

∇ = 1 ⊗ d_{S} : ℝ^{q}f_{∗}(𝒜_{X/S}^{•}) ⟶ ℝ^{q+1}f_{∗}(Gr^{1}[1]) = 𝒜_{S}^{1} ⊗ ℝ^{q}f_{∗}(𝒜_{X/S}^{•}).

et ℝ^{q}f_{∗}(𝒜_{X/S}^{•}) = ℝ^{q}f_{∗}(Ω_{X/S}^{•an}) est le faisceau constant H^{q}(T, ℂ) sur S (si X = T × S).

2.D. Propriété de transversalité de ∇

Pour tout complexe Ω^{•}, la filtration de Hodge de Ω^{•} est la filtration naïve Ω^{•⩾}; on a relativement au décalage :

(Ω^{•}[n])^{⩾p} = (Ω^{•⩾p+n})[n].

Considérons la suite exacte de complexes (cf. (2))

0 ⟶  Gr^{1}  ⟶ F^{0}/F^{2} ⟶ Gr^{0} ⟶ 0
∥  ∥
f^{∗}(Ω_{S}^{1}) ⊗_{𝒪_{X}} Ω_{X/S}^{•}[−1]  Ω_{X/S}^{•} ⟶ 0

passons au cran i de la filtration de Hodge, on a la suite exacte

0 ⟶ f^{∗}(Ω_{S}^{1}) ⊗ Ω_{X/S}^{•⩾i−1}[−1] ⟶ (F^{0}/F^{2})^{⩾i} ⟶ Ω_{X/S}^{•⩾i} ⟶ 0

et en passant à la cohomologie, on obtient un diagramme commutatif :

ℝ^{k}f_{∗}(Ω_{X/S}^{•}) ⟶^{∂}  ℝ^{k+1}f_{∗}(Gr^{1}[1]) = Ω_{S}^{1} ⊗_{𝒪_{S}} ℝ^{k}f_{∗}(Ω_{X/S}^{•}) ^{↑  ↑} ℝ^{k}f_{∗}(Ω_{X/S}^{•⩾i}) ⟶^{∂} ℝ^{k+1}f_{∗}(Gr^{1}[1]^{⩾i}) = ℝ^{k+1}f_{∗}(f^{∗}(Ω_{S}^{1}) ⊗ (Ω_{X/S}^{•⩾i−1}[−1]) ∥ Ω_{S}^{1} ⊗_{𝒪_{S}} ℝ^{k}f_{∗}(Ω_{X/S}^{•⩾i−1}) .

Les images des flèches verticales du diagramme sont respectivement ℱ^{i}ℋ^{k}(X/S) et Ω_{S}^{1} ⊗ ℱ^{i−1}ℋ^{k}(X/S), et de plus ∂ = ∇, donc on a la propriété de transversalité pour la connexion de Gauss-Manin.

\overline{\underline{∇(ℱ^{i}ℋ^{k}(X/S)) ⊆ Ω_{S}^{1} ⊗ ℱ^{i−1}ℋ^{k}(X/S) .}}

Supposons que la suite spectrale de Hodge vers De Rham dégénère (par ex. k = ℂ), alors E_{1}^{pq} = R^{q}f_{∗}(Ω_{X/S}^{p}) = F^{p}ℋ^{p+q}(X/S)/F^{p+1}ℋ^{p+q}(X/S).

De plus, il est clair que par passage du gradué associé à la filtration de Hodge sur ℋ^{k}(X/S), ∇ induit une application 𝒪_{S}-linéaire.

\overline{∇} : R^{q}f_{∗}(Ω_{X/S}^{p}) ⟶ Ω_{S}^{1} ⊗ R^{q+1}f_{∗}(Ω_{X/S}^{p−1}) .

Alors \overline{∇} est le cup-produit avec l’application de Kodaira-Spencer

ρ_{X/S} ∈ H^{0}(S, Ω_{S}^{1} ⊗ ℝ^{1}f_{∗}(T_{X/S})).

D’où finalement :

2.5. Théorème. Relativement à la filtration de Hodge F^{•}ℋ^{k}(X/S), la connexion de Gauss-Manin satisfait à la propriété de transversalité de Griffiths :

\overline{\underline{∇(F^{i}ℋ^{k}) ⊆ Ω_{S}^{1} ⊗ F^{i−1}(ℋ^{k}) .}}

Si la suite spectrale de Hodge vers De Rham dégénère (par exemple si k = ℂ), l’application 𝒪_{S}-linéaire induite sur le gradué associé, par la dérivation ∇, coïncide avec le cup-produit avec la classe de Kodaira-Spencer.

2.6. Notes.

1) Toute l’étude faite dans les §1 et §2, admet une transcription quasi-immédiate dans le cadre logarithmique. On suppose que D ⊂ X est un diviseur qui est une réunion de diviseurs lisses relativement à la base S, et de sorte que D est à croisements normaux relativement à S. Dans ce contexte, on peut définir (voir [Ill] §7) le complexe Ω_{X/S}^{•}(log D) des formes différentielles régulières sur X − D, à pôles logarithmiques le long de D. Pour le cas le plus simple d’une hypersurface lisse voir le §8 et pour le cas général voir [Ka]. On obtient une suite spectrale de Hodge-vers-De Rham :

E_{1}^{pq} = R^{q}f_{∗}(Ω_{X/S}^{p}(log D)) ⟹ ℝ^{p+q}f_{∗}(Ω_{X/S}^{•}(log D))

et la connexion de Gauss-Manin

∇ : R^{q}f_{∗}(Ω_{X/S}^{•}(log D)) ⟶ Ω_{S}^{1} ⊗_{𝒪_{S}} ℝ^{q}f_{∗}(Ω_{X/S}^{•}(log D))

qui satisfait à la propriété de transversalité de Griffiths, relativement à la filtration de Hodge F^{•}, du moins si on suppose que la suite spectrale ci-dessus dégénère au terme E_{1} (k = ℂ). Le lecteur consultera le travail fondamental de N. Katz [Ka] pour les détails.

2) Dans un travail récent [H-S], Hinich et Schechtman ont introduit une application de Kodaira-Spencer d’ordre supérieur, qui s’applique à des opérateurs différentiels et plus seulement à des dérivations.

Appendice : “Coordonnées locales” en géométrie algébrique.

Pour lever tout doute sur les calculs locaux du §2, rappelons comment on travaille avec des coordonnées locales en géométrie algébrique.

Soit X/k un schéma de type fini, lisse sur le corps k. Alors le 𝒪_{X}-module Ω_{X/h}^{1} est localement libre de rang fini n = dim X; au voisinage de tout point x ∈ X, on peut trouver des sections régulières s_{1}, …, s_{n} ∈ Γ(U, 𝒪_{X}) telles que {ds_{1}, …, ds_{n}} soit une base de Ω_{X/h}^{1} sur U.

2.7. Définition. On appelle s_{1}, …, s_{n} un système de coordonnées uniformisantes (ou paramètres locaux) sur U.

On peut alors définir la dérivée partielle \frac{∂}{∂s_{i}} au moyen de la formule (α ∈ Γ(U, 𝒪_{X}))

dα = ∑_{i=1}^{n} \frac{∂α}{∂s_{i}} ds_{i} .

La relation d^{2} = 0 entraîne \frac{∂^{2}}{∂s_{i}∂s_{j}} = \frac{∂^{2}}{∂s_{j}∂s_{i}} (∀(i, j)). Soit maintenant f : X → Y un morphisme étale. Alors le morphisme canonique df : f^{∗}(Ω_{Y/k}^{1}) → Ω_{X/k}^{1} est un isomorphisme. Ainsi si s_{1}, …, s_{n} sont des coordonnées uniformisantes sur V ⊂ Y, t_{1} = f^{∗}(s_{1}), …, t_{n} = f^{∗}(s_{n}) est un système de coordonnées uniformisantes sur U = f^{−1}(V). On a par construction :

\frac{∂}{∂t_{i}} (f^{∗}(α)) = f^{∗}(\frac{∂α}{∂s_{i}} ) (α ∈ Γ(V, 𝒪_{Y})) .

Si maintenant U est un ouvert du schéma X, et U est étale sur 𝔸^{n} × S, supposons que s_{1}, …, s_{n} sont les coordonnées naturelles sur 𝔸^{n}. La restriction à U de ces n + m coordonnées définit un système de coordonnées locales sur U.

3. Variations de structures de Hodge

Dans ce paragraphe nous introduisons les notions de variation de structures de Hodge, de domaine de périodes et de variation infinitésimale de structures de Hodge.

3.A. Introduction aux variations de structures de Hodge

Soit X ⊂ ℙ_{ℂ}^{N} une variété projective lisse de dimension n, il y a sur H_{ℝ} = H^{k}(X, ℝ) la structure suivante, appelée structure de Hodge réelle de poids k.

1) Une décomposition (de Hodge)

H_{ℂ} := H_{ℝ} ⊗_{ℝ} ℂ = ⨁_{p+q=k} H^{p,q}

avec H^{p,q} = \overline{H}^{q,p}.

2) Une filtration de Hodge F^{p} = ⨁_{i⩾p} H^{i,j}, telle que H^{p,q} = F^{p} ∩\overline{F}^{q}, (p+q = k)

et H_{ℂ} = F^{p} ⊕ \overline{F}^{q+1}.

(1 et 2 sont équivalentes).

Si H et H′ sont des espaces vectoriels réels qui portent une structure de Hodge (réelle) de poids k, resp. k′, alors il est aisé de voir que sur H^{∗}, H ⊗ H′ et Hom(H, H′) il y a une structure de Hodge naturelle de poids −k, k + k′ et k′ − k. En particulier Hom(H, H) a une structure de Hodge de poids 0, et

Hom(H, H)^{(a,b)} = {λ : H → H, λ(H^{p,q}) ⊆ H^{p+a,q+b}}.

On peut interpréter une structure de Hodge comme une représentation réelle du groupe algébrique réel :

Res_{ℂ/ℝ}(ℂ^{∗}) = Spec ℝ[x, y, (x^{2} + y^{2})^{−1}]

(Restriction de Weil du groupe algébrique ℂ^{∗} de ℂ à ℝ). Cela explique que l’on puisse effectuer des opérations de dualité et ⊗ sur les structures de Hodge.

Dans le cas géométrique, c’est-à-dire quand X est de Kähler, rappelons qu’il y a sur H_{ℂ} = H^{k}(X, ℂ), une forme bilinéaire de parité (−1)^{k} : la forme de Hodge-Riemann ([Dem])

\overline{\underline{Q(α, β) = (−1)^{k(k−1)/2} ∫_{X} α ∧ β ∧ ω^{n−k}}} (dim X = n)

(Q est symétrique si k est pair, alternée si k est impair). Lorsque la forme (1, 1) réelle ω est entière, donc si X est algébrique projective, et ω provient de la classe d’une section hyperplane, Q est alors entière sur le réseau H^{k}(X, ℤ)/(torsion). Rappelons les relations bilinéaires de Hodge-Riemann :

(R1)  \overline{\underline{Q(H^{p,q}, H^{p′,q′}) = 0  sauf si (p′, q′) = (q, p).}}

Il est équivalent de dire que le Q-orthogonal de F^{p} est F^{k−p+1}. En effet, F^{p} = ⨁_{i⩾p} H^{i,j}, F^{k−p+1} = ⨁_{i⩾k−p+1} H^{i,j}, ainsi si i ⩾ p, on a j = k − i ⩽ k − p, d’où Q(F^{ℓ}, F^{k−p+1}) = 0. Mais

dim F^{p} = ∑_{i⩾p} h^{i,j} = ∑_{i⩾p} h^{j,i} = ∑_{j⩽k−p} h^{j,i} = codim(F^{k−p+1}) .

Donc F^{k−p+1} = (F^{p})^{⊥}.

(R2)  \overline{\underline{Si 0 ≠ ξ ∈ Prim^{p,q},  \sqrt{−1}^{p−q}Q(ξ, \overline{ξ}) > 0 .}}

Si on introduit l’opérateur de Weil, qui est l’opérateur réel C ∈ Aut_{ℂ}(H_{ℂ}), tel que C_{|H^{p,q}} = \sqrt{−1}^{p−q}, la forme ⟨α, β⟩ := Q(Cα, β̄) est une forme hermitienne appelée

forme de Hodge. La forme de Hodge est définie positive sur la partie primitive Prim^{k}(X, ℂ) de H^{k}(X, ℂ).

Une structure de Hodge (pure) de poids k polarisée est la donnée d’une structure de Hodge réelle de poids k : (H_{ℝ}, H_{ℝ} ⊗ ℂ = ⊕H^{p,q}, H^{p,q} = \overline{H}^{q,p}) et d’une polarisation ; la polarisation est la donnée d’un réseau H_{ℤ} ⊂ H_{ℝ}, puis une forme bilinéaire non dégénérée de parité (−1)^{k} sur H_{ℝ}, qui est entière sur le réseau (mais pas forcément unimodulaire) :

Q(H_{ℤ} × H_{ℤ}) ⊆ ℤ.

On exige les deux conditions (R1) et (R2) de Riemann ; en particulier :

⟨α, α⟩ = Q(Cα, ᾱ) > 0 (α ≠ 0)

avec C = opérateur de Weil.

Un isomorphisme de structures de Hodge polarisée est un isomorphisme qui préserve les polarisations, i.e. les structures entières, et les formes bilinéaires.

Soit maintenant f : X → S une famille de variétés algébriques projectives lisses ; on suppose X ⊂ ℙ^{N} × S et f est la restriction à X de la projection sur S. Soit X_{s} = f^{−1}(s) = X ∩ℙ_{ℂ}^{N} ×{s}. Comme il est expliqué dans [Dem], X_{s} porte sur chaque H^{k}(X_{s}, ℂ) une structure de Hodge réelle, et Prim^{k}(X_{s}, ℂ) possède en plus une polarisation définie par la forme ω_{s} ∈ H^{1,1}(X_{s}, ℤ), déduite du plongement X_{s} ⊂ ℙ^{N}.

Ces structures de Hodge réelles (resp. polarisées) définissent une famille (ou variation) de structures de Hodge. On a en effet les objets suivants :

1) Un système local de groupes abéliens libres de rang fini (constant),

ℋ_{ℤ}^{k} = R^{k}f_{∗}(ℤ)/(torsion),

(idem avec ℋ_{ℝ}^{k}, ℋ_{ℂ}^{k}).

2) Un fibré vectoriel (𝒪_{S} module localement libre) ℋ^{k} = ℝ^{k}f_{∗}(Ω_{X/S}^{•}) (Ω_{X/S}^{•} = formes algébriques, ou holomorphes).

3) Une filtration décroissante de ℋ^{k} par des sous-fibrés holomorphes {ℱ^{p}}_{p=0, ... ,k} (filtration de Hodge) (si on passe à la fibre en s ∈ S, ℋ_{s}^{k} = H^{k}(X_{s}, ℂ) et ℱ_{s}^{p} est exactement la filtration de Hodge sur H^{k}(X_{s}, ℂ)). On a ℱ^{p} ∩ \overline{ℱ}^{q+1} = 0, (p + q = k).

Soit ω ∈ H^{0}(S, R^{2}f_{∗}(ℤ)) l’image de la classe de la section hyperplane relative (section localement constante). La section ω induit en chaque s ∈ S, ω_{s} ∈ H^{2}(X_{s}, ℤ) qui est la forme entière (1, 1) qui polarise X_{s}. On a ainsi :

4) Une forme bilinéaire non dégénérée localement constante, dite “forme de Hodge-Riemann”, Q : ℋ_{ℤ}^{k} ⊗ ℋ_{ℤ}^{k} ⟶ ℋ_{ℤ}^{2n} = ℤ.

5) Une connexion (intégrable) ∇ : ℋ^{k} → Ω_{S}^{1} ⊗ℋ^{k} : la connexion de Gauss-Manin, telle que le système local des sections horizontales est ℋ_{ℂ}^{k}.

6) Propriété de transversalité de Griffiths

∇(ℱ^{p}) ⊆ Ω_{S}^{1} ⊗ ℱ^{p−1}.

7) L’opérateur L de Lefschetz admet une forme globale : L est le cup-produit avec ω. Noter que L est un opérateur horizontal ; on définit ℋ_{prim}^{k} comme le noyau de

L^{n−k+1} : ℋ^{k} ⟶ ℋ^{2n−k+2}.

La fibre en s ∈ S de ℋ_{prim}^{k} est Prim^{k}(X_{s}, ℂ).

On résume toutes ces données, par la définition suivante, d’une variation de structures de Hodge (polarisées) (“VHS” en abrégé).

La définition suivante a été formulée par Griffiths ([Grif1]).

3.1. Définition. Une famille de structures de Hodge (réelles) de poids k, sur S, est la donnée de

1) Un faisceau localement constant d’espaces vectoriels réels ℋ_{ℝ} sur S;

2) Une filtration finie {ℱ^{p}} du fibré vectoriel ℋ := ℋ_{ℝ} ⊗ 𝒪_{S} (ℱ^{p} est un sous-fibré holomorphe) ;

avec les conditions :

(VHS-1) La connexion naturelle ∇ = 1⊗d_{S} sur ℋ est telle que ∇ℱ^{p} ⊆ Ω_{S}^{1}⊗ℱ^{p−1}

(VHS-2) En tout point s ∈ S, {ℱ_{s}^{p}} définit sur ℋ_{ℝ})_{s} une structure de Hodge (réelle) de poids k.

Une polarisation est la donnée, en sus, d’un faisceau localement constant ℋ_{ℤ} ⊆ ℋ_{ℝ}, de ℤ-modules libres de rang fini, avec ℋ_{ℝ} ≡ ℋ_{ℤ} ⊗ ℝ, et une forme bilinéaire localement constante non dégénérée

Q : ℋ_{ℤ} ⊗ ℋ_{ℤ} ⟶ ℤ

qui induit en tout s ∈ S une polarisation de (ℋ_{ℝ})_{s}.

Nous ne considérons que des structures de Hodge polarisées.

3.2. Définition. Soit {H_{ℤ}, {ℱ^{p}}, ∇, Q} une variation de structures de Hodge polarisées sur S. Le groupe de monodromie du faisceau localement constant H_{ℤ} est appelé le groupe de monodromie de la variation (VHS).

Pour définir ce groupe, on fixe s_{0} ∈ S et on considère selon la prescription de §2.A la représentation de monodromie

T : π_{1}(S, s_{0}) ⟶ Aut_{ℤ}((H_{ℤ})_{s_{0}}).

Du fait que la forme Q est (localement) constante, l’image de T (i.e. le groupe de monodromie) est incluse dans le groupe orthogonal G_{ℤ} := Aut_{ℤ}((H_{ℤ})_{s_{0}}, Q).

Rappelons que le faisceau localement constant ℋ_{ℤ} s’obtient par :

ℋ_{ℤ} = S̃ × H_{ℤ}/π_{1}(S, s_{0}) (H_{ℤ} = (ℋ_{ℤ})_{s_{0}})

où π_{1}(S, s_{0}) agit par γ(t, α) = (tγ, T (γ)^{−1}α). La représentation de monodromie décrit comment une section locale de ℋ_{ℤ} se déforme par prolongement analytique le long d’un lacet. Comme on suppose S connexe, toutes les fibres de ℋ_{ℤ} sont isomorphes à H_{ℤ} = (ℋ_{ℤ})_{s_{0}} mais non canoniquement.

3.B. Domaine des périodes de Griffiths

Il est naturel de vouloir décrire “l’ensemble des structures de Hodge” sur H_{ℝ} = H_{ℤ} ⊗ ℝ, polarisées par la forme Q sur H_{ℤ}, avec des nombres de Hodge h^{p,q} fixés. On fixe donc H_{ℤ} ≅ ℤ^{n} un groupe abélien, Q une forme (alternée ou symétrique selon la parité de k, le poids) entière et non dégénérée sur H_{ℤ}. Les nombres de Hodge h^{p,q} (= h^{q,p}), avec ∑_{p+q=k} h^{p,q} = n, sont fixés ; noter qu’alors

dim F^{p} = ∑_{i⩾p,i+j=k} h^{i,j} est fixé (= f^{p}). On note Gr(k, H_{ℂ}) la variété des sous-

espaces de dimension k de H_{ℂ}. Rappelons les relations bilinéaires de Riemann :

1) Le Q-orthogonal de F^{p} (dans H_{ℂ}) est F^{k−p+1} et

2) Si C est l’opérateur de Weil tel que C(ξ) = \sqrt{−1}^{p−q}ξ pour ξ ∈ H^{p,q}, on a Q(Cξ, ξ̄) > 0 si 0 ≠ ξ.

3.3. Notations. On note

Ď = {filtrations F^{•} = {F^{p}}_{p=0, ... ,h} de H = H_{ℂ},
telles que dim F^{p} = f^{p}, et pour tout p, Q(F^{p}, F^{k−p+1}) = 0}.

(Alors F^{k−p+1} est le Q-orthogonal de F^{p}). On appelle D le sous-ensemble de Ď formé des structures de Hodge, c’est-à-dire avec la condition 2 ci-dessus. On note G_{ℝ} le groupe orthogonal de (H_{ℝ}, Q) et G_{ℂ} le complexifié, G_{ℂ} = O(H_{ℂ}, Q).

3.4. Proposition.

1) Ď est une sous-variété non singulière de ∏_{p} Gr(f^{p}, H), qui est en fait un espace

homogène du groupe de Lie complexe G_{ℂ}.

Ď = G_{ℂ}/B, (B sous-groupe parabolique)

2) D est un ouvert de Ď, qui est une orbite du groupe de Lie réel G_{ℝ} :

D = G_{ℝ}/B (V = G_{ℝ} ∩ B).

Preuve. La preuve n’est pas très difficile, c’est un exercice d’algèbre linéaire (théorème de Witt par exemple). On note que D acquiert une structure de variété analytique complexe (ouvert de Ď). Il est souvent commode de fixer une structure de Hodge initiale, {H_{0}^{p,q}}, et alors d’identifier Ď avec G_{ℂ}/B, où B est le stabilisateur de {F_{0}^{p}}, et V le stabilisateur de {H_{0}^{p,q}} dans G_{ℝ}.

Il est important de décrire le fibré tangent à Ď, ainsi que les sous-fibrés universels ℱ^{p} du fibré trivial H ⊗ 𝒪Ď, comme fibrés vectoriels homogènes sur ces espaces homogènes.

Rappelons que si F ⊂ H est un sous-espace de dimension d, l’espace tangent de Gr(d, H) en [F] s’identifie canoniquement à Hom(F, H/F). à partir de là, un vecteur tangent à Ď en F^{•} = {F^{p}}, peut-être identifié à une collection d’applications linéaires

ξ_{p} : F^{p} ⟶ H/F^{p}

avec les compatibilités suivantes :

F^{p}  ⟶^{ξ_{p}} H/F^{p}
↑  ↑
F^{p+1} ⟶^{ξ_{p+1}} H/F^{p+1}

∪

est commutatif et

Q(ξ_{p}(α), β) + Q(α, ξ_{k−p+1}(β)) = 0 (α ∈ F_{p}, β ∈ F_{k−p+1})

[version infinitésimale de la première relation bilinéaire].

Rappelons qu’on a choisi un point de base {H_{0}^{p,q}} ∈ D. Soit

𝔤 = Lie(G_{ℂ}) = {X ∈ End(H), Q(X(α), β) + Q(α, X(β)) = 0}.

Il y a une structure de Hodge de poids 0 sur 𝔤, avec

𝔤^{r,s} = {X ∈ 𝔤, X(H^{p,q}) ⊆ H^{p+q,q+s}}.

Alors 𝔟 = Lie(B) = ⨁_{r⩾0} 𝔤^{r,−r}, et le fibré tangent TĎ est le fibré homogène G_{ℂ} ×_{B} 𝔤/𝔟, B agissant par la représentation adjointe.

Soit 𝔤_{0} = Lie(G_{ℝ}), alors 𝔳 = Lie(V) = 𝔤_{0} ∩ 𝔤^{0,0}. Noter que 𝔤_{0}/𝔳 ≅ 𝔤/𝔟, qui correspond au fait que l’ouvert D ⊂ Ď est une orbite de G_{ℝ}.

3.5. Définition ([Grif1]). Le sous-fibré G_{ℂ} ×_{B} 𝔤^{−1,1}/𝔟 de TĎ est appelé le sousfibré horizontal (notation T_{hor}(Ď)). Un vecteur tangent ξ = {ξ_{p}}, est horizontal si ξ_{p}(ℱ^{p}) ⊆ ℱ^{p−1}/ℱ^{p}.

Si on veut décrire le fibré universel ℱ^{p} ⊂ H ⊗ 𝒪Ď, en termes de fibrés associés à des fibrés principaux, on note que le fibré trivial H ⊗ 𝒪Ď (de fibre H, base Ď) est le fibré G_{ℂ} ×_{B} H, et ℱ^{p} = G_{ℂ} ×_{B} ℱ_{0}^{p} (par définition B est le stabilisateur de la filtration {ℱ_{0}^{p}}.

3.6. Exemple (Demi-espace de Siegel). On suppose k = 1 (poids 1). La filtration de Hodge se réduit à H = F^{0} ⊃ F^{1} ⊃ 0, avec (F^{1})^{⊥} = F^{1} (pour la forme alternée Q). Alors Ď est la grassmanienne lagrangienne de (H, Q), et Ď = Sp(2g, ℂ)/B si dim H = 2g. On vérifie classiquement que D = Sp(2g, ℝ)/U(g, ℂ) s’identifie au demi-espace de Siegel {τ ∈ M_{g}(ℂ),^{t}τ = τ et Im τ > 0}.

Soit une VHS : {ℋ_{ℤ}, ℱ^{p}, ∇, Q}; cette donnée ne conduit pas directement à un morphisme S → D, du fait que ℋ_{ℤ} est seulement localement constant. Par contre, localement sur un ouvert 𝒰 de S, on peut trivialiser le fibré vectoriel ℋ_{ℤ} ⊗ 𝒪_{S}, au moyen de sections plates (de ℋ_{ℤ}), alors la filtration induite par les ℱ^{p} donne lieu à un morphisme (holomorphe)

Φ : 𝒰 → D ⊂ Ď.

Globalement, on peut transporter la VHS au revêtement universel S̃ de S, et le choix d’une trivialisation du système local ℋ_{ℤ} sur S̃, conduit à un morphisme Φ̃ : S̃ → D ⊂ Ď.

Il est immédiat de voir que le groupe de monodromie (global) Γ agit proprement discontinûment sur D, alors on obtient le morphisme des périodes, en passant au quotient par Γ :

Φ : S ⟶ Γ\D.

L’observation importante sur Φ̃ (ou tout relèvement local) est la propriété d’horizontalité, traduction de la condition de transversalité de Griffiths sur ∇. Pour tout s ∈ S,

(Trans)  \overline{\underline{dΦ_{s}(T_{s,0}) ⊆ T_{hor,Φ(s)}(D).}}

Pour rendre cette propriété claire, détaillons-la sur un voisinage de s_{0} ∈ S. On trivialise le fibré vectoriel ℋ_{ℤ} ⊗ 𝒪_{S} au moyen de sections plates {τ_{i}}. On peut supposer que H_{0}^{p,q} (= H^{p,q}(s_{0})) a pour base (τ_{i})_{f_{p+1}<i⩽f_{p}}, alors ℱ_{0}^{p} a pour base {τ_{i}}_{i⩽f_{p}}. On peut trouver une trivialisation locale {e_{i}(s)} de ℋ_{ℤ} ⊗ 𝒪_{S} par des sections telles que e_{i}(s_{0}) = τ_{i}, et localement, (e_{1}, …, e_{f_{p}}) est une base de ℱ^{p}. Soit e_{i} = ∑ A_{ji}τ_{j} la matrice de changement de repères (pour abréger on écrit s_{0} = 0). Les τ_{i} étant plates, ∇e_{i} = ∑ dA_{ji}τ_{j} = ∑_{k} c_{ki}e_{k}, avec c = A^{−1}dA. L’hypothèse de

transversalité implique c_{ji} = 0 pour i ⩽ f_{p}, j > f_{p+1}. L’application linéaire ξ_{α} associée à dΦ_{s_{0}}(∂/∂s_{α}) est telle que pour i ⩽ f_{p} :

\begin{aligned}ξ_{α}(τ_{i}) & = \frac{∂e_{i}}{∂s_{α}} (0) (mod ℱ_{0}^{p}) \\ & = ∑_{f_{p+1}<j} \frac{∂A_{ji}}{∂s_{α}} (0)τ_{j}. \end{aligned}

Comme

\frac{∂A_{ji}(0)}{∂s_{α}} = ⟨c_{ji}(0), \frac{∂}{∂s_{α}} ⟩,

on a bien (Trans).

Pour utilisation ultérieure, indiquons la propriété suivante, conséquence de la nullité de la courbure de ∇.

3.7. Proposition. Si ∂_{1}, ∂_{2} ∈ T_{S,s}, ξ_{i} = dΦ_{s}(∂_{i}) ∈ 𝔤^{−1,1}, alors [ξ_{1}, ξ_{2}] = 0 (crochet dans 𝔤).

Preuve. Rappelons la formule (plat) du paragraphe 2. Elle implique qu’il suffit de montrer que [∂_{1}, ∂_{2}] = 0 vu comme endomorphisme de H_{0}^{p,q}. Donc on peut supposer ξ_{1} = ∂/∂s_{α}, ξ_{2} = ∂/∂s_{β}.

Posons c_{ji}^{α} = ⟨c_{ji}, ∂/∂s_{α}⟩, alors c_{ji}^{α}(0) = ∂A_{ji}/∂s_{α}|_{0}. Il suffit de montrer que ∂c_{ji}^{α}/∂s_{β} − ∂c_{ji}^{β}/∂s_{β} s’annule en 0 pour f_{p+1} < i, j ⩽ f_{p}.

On a vu que

c_{ji}^{α} = ∑_{k} A_{jk}^{−1} \frac{∂A_{ki}}{∂s_{α}} = 0 si i ⩽ f_{p}, j > f_{p+1} .

En dérivant par rapport à s_{β}, puis en évaluant en 0, on obtient pour i, j dans l’intervalle ]f_{p+1}, f_{p}] :

\begin{aligned}\frac{∂^{2}A_{ji}}{∂s_{β}∂s_{α}} (0) & = ∑_{k} \frac{∂A_{jk}}{∂s_{α}} (0)\frac{∂A_{ki}}{∂s_{β}} (0) \\ & = ∑_{k} \frac{∂A_{jk}}{∂s_{β}} (0)\frac{∂A_{ki}}{∂s_{α}} (0) \end{aligned}

qui donne le résultat.

3.C. Déformations et IVHS (variations infinitésimales de structures de Hodge)

La question la plus naturelle à ce stade est de savoir si la variation de structure complexe est déterminée par sa variation de structure de Hodge (problème de Torelli). Il est clair que cela est faux en général : prendre la famille produit. Donc il faut se restreindre aux familles pour lesquelles la structure complexe varie vraiment au moins infinitésimalement. La variation infinitésimale étant mesurée par l’application de Kodaira-Spencer, on ne regarde que des familles ayant la propriété que l’application de Kodaira-Spencer est partout injective. Ce sont les familles effectives. La variation de structure de Hodge au niveau infinitésimal est décrite par la dérivée de l’application des périodes. Ainsi une version infinitésimale du problème de Torelli est de savoir si cette dérivée est injective pour des familles effectives. Voir [P-S] pour ce cercle d’idées.

Complètons la discussion en précisant ce qu’on entend par une déformation universelle ou verselle. Ici on fixe une variété X_{o}, on travaille avec des familles sur une base pointée (S, o), considérée comme germe, telle que la fibre au dessus de o est la variété fixée X_{o}. Ces types de familles sont appelés déformations de X_{o}. Une telle déformation f : X → S est complète si toute autre déformation g : Y → T de X_{o} se déduit de f : X → S par un changement de base (au niveau des germes)

\begin{matrix}Y & \underrightarrow{q} X \\ g↓ & ↓f \\ T & \underrightarrow{p} S \end{matrix}

où p : (T, o) → (S, o), et le carré ci-dessus est cartésien. Si le morphisme p est unique, X/S est appelé universelle. En général ce n’est pas le cas, mais souvent sa différentielle dp(o) est unique et dans ce cas la déformation X/S est dite verselle. Par exemple, si X/S est complète, pour obtenir une déformation verselle, on peut restreindre la famille à une sous-variété convenable qui passe par o. Attention : une déformation peut très bien être (uni)verselle en o ∈ S mais pas en d’autres points de S.

Kodaira et Spencer ont montré [K-S2] que f est complète si et seulement si l’application de Kodaira-Spencer est une surjection.

3.8. Conséquence. f : X → S est verselle en o si et seulement si l’application de Kodaira-Spencer

ρ : T_{S,o} → H^{1}(T_{X_{o}})

est un isomorphisme (dim S est alors considéré comme le nombre de paramètres pour la structure complexe).

Bien qu’amelioré par Kuranishi, le résultat de Kodaira suffit pour beaucoup d’exemples, notamment pour les hypersurfaces dans l’espace projectif, comme dans l’exemple suivant. Le résultat de Kuranishi dit qu’il y a toujours une famille verselle, pourvu qu’on accepte comme base S un espace analytique (il est essentiel d’accepter des éléments nilpotents dans le faisceau structural de S). Dans ce cadre une famille f : X → S est une application holomorphe et propre telle que, quitte à restreindre S, localement X est un produit U_{i} × S et f|U_{i} → S coincide avec la projection sur le second facteur. Voir [Ku] pour les détails.

3.9. Exemple. Si f : X → S est la famille tautologique des hypersurfaces de degré d dans ℙ^{n+1}, l’application de Kodaira-Spencer est une surjection si n ⩾ 2 ou n = 2 et d ≠ 4. Pour obtenir une déformation verselle il faut restreindre cette famille à un petit disque transversal à une orbite par PGL(n + 1, ℂ) d’une hypersurface fixée. Pour les détails voir [K-S §14(C)].

Retournons à la différentielle de l’application des périodes, pour une famille f : X → S verselle. On fixe o ∈ S, on regarde la fibre X_{o} au dessus du point o et la différentielle δ = dΦ(o) en o. C’est une application linéaire

δ : T_{S,o} ⟶ 𝔤^{−1,1} ⊂ ⨁_{p} Hom(H^{p,q}, H^{p−1,q+1})

avec les propriétés suivantes (3.7) :

(1) Pour tout vecteur tangent t en o, δ(t) ∈ 𝔤 = Lie(G_{ℂ}).

(2) Si t_{1}, t_{2} ∈ T_{S,o}, les endomorphismes δ(t_{1}) et δ(t_{2}) commutent.

3.9. Définition. Soit une structure de Hodge (réelle) sur H. Une donnée (d’algèbre linéaire) (T, H, δ, Q)

δ : T ⟶ 𝔤^{−1,1}

qui satisfait à (1) et (2) est appelée par Griffiths et Harris [C-G-G-H], une variation infinitésimale de structures de Hodge (IVHS).

Dans une IVHS géométrique, l’application linéaire induite par

δ(t) : H^{p,q} → H^{p−1,q+1}

est le cup-produit avec l’image de t par l’application de Kodaira-Spencer T_{S,o} → H^{1}(X_{0}, T_{X_{0}}) (cf. §2B et §2C).

Au départ d’une IVHS, on peut effectuer des opérations d’algèbre linéaire. Par exemple, si t_{1}, …, t_{k} ∈ T_{S,o} = T, on peut composer les applications δ(t_{1}), …, δ(t_{k}), ce qui donne une application

H^{k,0} ⟶^{δ(t_{1})} H^{k−1,1} ⟶^{δ(t_{2})} H^{k−2,2} ⟶ ⋯ ⟶^{δ(t_{k})} H^{0,k}.

Notons δ(t_{1}, …, t_{k}) ∈ Hom(H^{k,0}, H^{0,k}) le résultat. Rappelons que H^{0,k} et H^{k,0} sont en dualité par la forme Q. Alors les propriétés (1) et (2) conduisent aisément aux résultats suivants :

(i) δ(t_{1}, …, t_{k}) est une forme bilinéaire symétrique sur H^{k,0} (ii) δ(t_{1}, …, t_{k}) est symétrique en les arguments t_{1}, …, t_{k}. D’où une application linéaire :

(iter)

δ : Sym^{k}(T) ⟶ Hom_{Sym}(H^{k,0}, H^{0,k}) ≅ Sym^{2}(H^{k,0})

qui, comme on peut s’y attendre, contient des informations significatives sur X_{0}.

4. Dégénérescence

Dans ce paragraphe on introduit la notion de structure de Hodge mixte. Ensuite on regarde les familles de base un disque épointé, déduites d’une morphisme propre de base le disque, en omettant la fibre au dessus de l’origine. On appelle une telle situation dégénérescence, car la fibre au dessus de l’origine peut être singulière. Dans cette situation, tourner une fois autour de l’origine induit sur la cohomologie l’application de Picard-Lefschetz ou de monodromie locale. La quasi-unipotence de cette application est une propriété fondamentale qui est discutée brièvement dans le §4.B. Finalement, dans le §4.C on définit les cycles proches et évanescents, notions indispensables pour comprendre les développements récents sur la monodromie locale.

4.A. Structures de Hodge mixtes

Soit H_{ℚ} un ℚ-espace vectoriel de dimension finie muni d’une filtration croissante W_{•}

⋯ W_{k} ⊂ W_{k+1} ⊂ W_{k+2} ⋯

On suppose qu’il y a une filtration décroissante F^{•}

⋯ F^{k} ⊂ F^{k−1} ⊂ F^{k−2} ⋯

sur H = H_{ℚ} ⊗ℂ. On dit que ces deux filtration définissent une structure de Hodge mixte si la filtration induite par F^{•} sur Gr_{ℓ}^{W} = W_{ℓ}/W_{ℓ−1} est une structure de Hodge pure de poids ℓ. La filtration induite est F^{p}(Gr_{ℓ}^{W}) = W_{ℓ} ∩ F^{p}/W_{ℓ−1} ∩ F^{p}. Les nombres de Hodge sont les nombres de Hodge de Gr_{ℓ}^{W}. Donc h^{p,q} = h^{q,p} mais en général il y a des nombres de Hodge non-nuls pour des valeurs de p + q différentes.

Si on peut trouver une bigraduation H = ⊕H^{p,q} telle que W_{ℓ} ⊗ ℝ = ∑_{r+s⩽ℓ} H^{r,s} et F^{p} = ∑_{r⩾p} H^{r,s} on dit que la structure mixte est scindée. Deligne a trouvé (voir [C-K-S1]) un scindement canonique :

I^{a,b} = F^{p} ∩ W_{a+b} ∩ ((F̄^{b} ∩ W_{a+b}) + \overline{G}_{a+b−2}^{b−1}), où G_{q}^{p} := ∑_{j⩾0} F^{p−j} ∩ W_{q−j}

et donc

W_{ℓ} = ⨁_{a+b⩽ℓ} I^{a,b}, F^{p} = ⨁_{a⩾p} I^{a,b}.

Attention : bien que h^{a,b} = dim H^{a,b} en général on n’a pas I^{b,a} = \overline{I}^{a,b}, si c’est le cas on dit que le scindement est défini sur ℝ. On peut toujours “déformer” une structure mixte sur ℝ (dans la définition de structure mixte on part d’un ℝ-espace vectoriel) en une structure scindée sur ℝ. Dans ce cas I^{a,b} = F^{a} ∩ F̄^{b} ∩ W_{a+b}.

Dans l’exposé [Dem] il et prouvé que le groupe de cohomologie H^{w}(X, ℤ) d’une variété compacte kählérienne X porte une structure de Hodge pure de poids w. En particulier cela s’applique aux variétés complexes projectives non-singulières.

Lorsque X est quasi projective, éventuellement singulière, en fait pour tout schéma de type fini sur ℂ, Deligne a prouvé [Del 4], [Del5], que H^{w}(X, ℤ) porte une structure de Hodge mixte qui dépend fonctoriellement de X. Les nombres de Hodge de cette structure ne peuvent être non nuls que pour 0 ⩽ p, q ⩽ w, en fait w − n ⩽ p, q ⩽ n si w ⩾ n = dim X. Si X est lisse il n’y a que des poids ⩾ w (h^{p,q} = 0 si p + q < w), par contre pour X propre il n’y a que des poids ⩽ w. Naturellement si X est projective lisse, la structure de Hodge mixte sur H^{w}(X, ℤ) se réduit à la structure pure classique de poids w.

Pour rendre crédible la définition ci-dessus d’une structure de Hodge mixte, expliquons brièvement comment lorsque X est un ℂ-schéma lisse quasi projectif une telle structure émerge (voir [Del4] pour les détails). La première étape consiste à compactifier X, c’est-à-dire réaliser X comme le complémentaire X = \overline{X} \ D d’un diviseur à croisements normaux ([Ill] §7). Une telle compactification existe ; pour simplifier la discussion, on suppose que D est une réunion de diviseurs lisses se coupant transversalement. On se place dans le cadre analytique ; les formes sont donc holomorphes. Le théorème de De Rham ordinaire, qui dit que H^{w}(X, ℂ) = ℍ^{w}(X, Ω_{X}^{•}) n’est pas suffisant. Si j : X ↪ \overline{X} est l’inclusion, on observe que H^{w}(X, ℂ) = ℍ^{w}(\overline{X}, j_{∗}Ω_{X}^{•}). Soit le sous complexe Ω• ; \overline{X}(log D) de j_{∗}Ω_{X}^{•}, dont les sections sont les formes méromorphes sur \overline{X}, holomorphes sur X, à pôles logarithmiques sur D. Rappelons [Ill] qu’une section de Ω1 ; \overline{X}(log D) définie en x ∈ D, est une combinaison linéaire de \{\frac{dz_{1}}{z_{1}} , …, \frac{dz_{k}}{z_{k}} , dz_{k+1}, …, dz_{n}\} si (z_{1}, …, z_{n}) est un système de coordonnées locales en x tel que z_{1} · . . . · z_{k} = 0 soit une équation locale de D. On pose Ωp ; \overline{X}(log D) = ∧^{p}Ω1 ; \overline{X}(log D). On vérifie que Ω• ; \overline{X} est le plus petit sous-complexe de j_{∗}Ω_{X}^{•} contenant Ω• ; \overline{X} et les différentielles logarithmiques \frac{df}{f} de toute section locale méromorphe le long de D. Le théorème de De Rham logarithmique dit alors que les deux complexes Ω• ; \overline{X}(log D) et j_{∗}Ω_{X}^{•} sont quasi-isomorphes, donc :

H^{w}(X, ℂ) = ℍ^{w}(\overline{X}, Ω• ; \overline{X}(log D).

Le lecteur trouvera dans le §8 une preuve lorsque D est une hypersurface lisse. Comme dans le §1, la filtration de Hodge F^{•} conduit à la suite spectrale

E_{1}^{p,q} = H^{q}(\overline{X}, Ωp ; \overline{X}(log D)) ⟹ H^{p+q}(X, ℂ)

et à l’existence d’une filtration de Hodge F^{p}H^{w}(X, ℂ) sur l’aboutissement. Notons que les faisceaux algébriques cohérents Ωp ; \overline{X}(log D) peuvent se substituer à leurs analogues analytiques ([Ill] §7).

Le complexe Ω• ; \overline{X}(log D) admet une seconde filtration, la filtration par le poids W_{•} (filtration croissante) ; W_{m} est l’image de l’application produit extérieur :

Ωm ; \overline{X}(log D) ⊗ Ω_{X}^{•}[−m] ⟶ Ω• ; \overline{X}(log D).

Si on pose W^{m} = W_{−m} (W^{•} est une filtration croissante), on peut ainsi considérer la suite spectrale associée au complexe filtré (Ω• ; \overline{X}(log D), W^{•}), soit

E_{1}^{−n,w+n} = ℍ^{w}(\overline{X}, Gr_{n}^{w}(Ω• ; \overline{X}(log D))) ⟹ H^{w}(X, ℂ).

Supposons que D_{1}, …, D_{r} sont les composantes de D. Il n’est pas difficile de voir que l’opération “résidu” de Poincaré fournit un isomorphisme (voir §8) :

Gr_{n}^{W} (Ω• ; \overline{X}(log D)) = \{ \begin{matrix}0 & si n < 0 \\ Ω• ; \overline{X} & si n = 0 \\ ⊕_{1⩽i_{1}⩽···⩽i_{n}⩽r}Ω_{D_{i_{1}} ∩···∩D_{in}}^{•} [−n] & si n ⩾ 1 \end{matrix}

Sur H^{w}(X, ℂ) il y a donc deux filtrations W_{•} et F^{•}, il faut étudier comment ces filtrations cohabitent. Le terme E_{1} de la suite spectrale est :

E_{1}^{−n,w+n} = ⨁_{1⩽i_{1}⩽···⩽i_{n}⩽r}H^{w−n}(D_{i_{1}} ∩ ⋯ ∩ D_{i_{n}}, ℂ).

Alors la filtration de Hodge induit sur ce terme une structure de Hodge pure de poids w+n, qui se déduit de celle de poids w−n sur chaque H^{w−n}(D_{i_{1}}∩⋯∩D_{i_{n}}, ℂ) par un décalage. On prouve alors par une analyse assez délicate, et par récurrence, que la différentielle d_{r} est nulle pour r ⩾ 2, en particulier

E_{2}^{p,q} = … = E_{∞}^{p,q} = Gr_{p}^{W} (H^{p+q}(X, ℂ)).

Il n’est pas difficile alors de conclure que la filtration F^{•} sur W_{n}/W_{n−1} = Gr_{n}^{W} (H^{w}(X, ℂ)) donne une structure de Hodge pure de poids w + n. Alors, si on décale la filtration W, on a obtenu que W_{•}[w] et F^{•} définissent sur H^{w}(X) une structure de Hodge mixte. Le lecteur trouvera dans [Del4] l’explication que W_{•} est en fait définie sur ℚ, et aussi que le résultat est indépendant de la compactification.

Comme exemple regardons le cas d’une hypersurface lisse D ⊂ \overline{X} et X = \overline{X} \ D. En tenant compte du décalage, la filtration par le poids sur H^{w}(X, ℂ) est 0 ⊂ W_{w} ⊂ W_{w+1} = H^{w}(X, ℂ). On a W_{w} = Im[H^{w}(\overline{X}, ℂ) → H^{w}(X, ℂ)]. Pour interpréter le quotient W_{w+1}/W_{w}, considérons la différentielle d_{1} de la suite spectrale

0 → E_{1}^{−1,w+1} \underrightarrow{d_{1}} E_{1}^{0,w+1} → 0.
∥  ∥
H^{w−1}(D)  H^{w+1}(\overline{X})

La dégénérescence au terme E_{2} est ici un fait clair, on a

E_{2}^{−1,w+1} = ker(d_{1}) = … = E_{∞}^{−1,w+1} = W_{w+1}/W_{w}.

On verra au §7 que la différentielle d_{1} s’interprète aussi en terme de la suite exacte de Gysin :

⋯ H^{w}(\overline{X}) → H^{w}(X) → H^{w−1}(D) \underrightarrow{∂} H^{w+1}(\overline{X}) → …

Ici ∂ = d_{1} étant de bidegré (1, 1) la preuve du théorème de Deligne est immédiate dans ce cas.

Particularisons encore plus cet exemple, en supposant que \overline{X} est une courbe complète lisse de genre g et que D consiste en n points. La suite exacte de Gysin ci-dessus montre que W_{1} ≅ H^{1}(\overline{X}) possède une structure de Hodge pure de poids 1 et que W_{2}/W_{1} ≅ ker(H^{0}(D) → H^{2}(\overline{X})) est de rang n − 1 avec une structure de Hodge pure de poids 2, limitée au seul terme de type (1, 1), comme pour H^{2}(\overline{X}), ce qui correspond bien au fait que b_{1}(X) = g + n − 1.

La méthode de Deligne donne aussi une structure mixte sur la cohomologie des variétés kählériennes admettant des compactifications kählériennes. Dans une autre direction, la cohomologie avec support compact ainsi que l’homologie de Borel-Moore (d’un schéma séparé sur ℂ où d’une variété kählérienne admettant une compactification kählérienne) portent aussi des structures de Hodge mixtes.

4.B. Structures limites

Considérons la situation d’une dégénérescence : f : X → Δ, c’est-à-dire une application propre et holomorphe d’une variété complexe X dans le disque Δ telle que f soit lisse au dehors de l’origine. Soit

𝔥 → Δ^{∗}, τ ↦ s = exp(2πiτ)

le revêtement universel du disque épointé et soit X̃ = X ×_{Δ^{∗}} 𝔥 le produit fibré et k : X̃ → X l’application naturelle. L’application h : X̃ → X̃, h(x, τ) = (x, τ + 1) induit l’opération de monodromie T sur les groupes de cohomologie H^{k}(X_{s}) (s = exp(2πiτ) et X_{s} = f^{−1}(s)). Dans le cas d’une VHS “géométrique”, H_{ℤ} = R^{k}f_{∗}(ℤ)_{s_{0}} = H^{k}(X_{s_{0}}, ℤ)/torsion, T est l’application de Picard-Lefschetz. Une propriété fondamentale de T est la suivante :

4.1 Théorème. ([La]) La transformation T est quasi-unipotente, c.à.d. (T^{ℓ} − 1l) est nilpotent pour ℓ ∈ ℂ convenable ; en fait, l’indice de nilpotence est ⩽ k + 1 : (T^{ℓ} − 1l)^{k+1} = 0 (Théorème de la monodromie locale)

Pour les variations abstraites ce théorème a été démontré par Schmid dans [S]. Le théorème de monodromie locale sans la borne sur l’indice de nilpotence découle (selon une idée de Borel) des propriétés de courbure du domaine des périodes. On esquisse l’argument donné en [S].

Rappelons la notion de courbure sectionnelle d’une métrique hermitienne h sur une variété complexe M. Soit F_{h} la courbure (voir [Dem, §1]) de la connexion métrique sur le fibré tangent holomorphe T (M). La courbure sectionnelle est la fonction κ : T (M) \ {zéro-section} → ℂ donnée par

κ(v) = \frac{h (F_{h}(v, \overline{v})v, v)}{h(v, v)^{2}}.

4.2 Exemple. Supposons que dim M = 1. Alors F_{h} = \overline{∂}∂ log(h), où ω = \frac{i}{2}h dz ∧ d\overline{z} est la forme associée à la métrique. On vérifie facilement que κ(∂/∂z) est la courbure gaussienne K_{h} = −h^{−1} · ∂^{2}/∂z∂\overline{z}(log h). Ce résultat peut s’écrire comme suit :

\frac{1}{i} courbure de h = − courbure gaussienne de la métrique h.

Cas particuliers : i. Soit Δ le disque unité avec la métrique de Poincaré

h = \frac{1}{(1 − |z|^{2})^{2}} dz ⊗ d\overline{z}.

On trouve

κ(∂/∂z) ≡ −1.

ii. Le demi-plan 𝔥 = {z ∈ ℂ | Im z > 0}, avec la métrique

h = \frac{1}{| Im z|^{2}} dz ⊗ d\overline{z}.

La courbure gaussienne est égale à −1. iii. Le disque épointé Δ^{∗} = {ζ ∈ ℂ : |ζ| < 1, ζ ≠ 0} admet 𝔥 comme revêtement

universel. La métrique de Poincaré est invariante par translation et donc induit une métrique sur Δ^{∗}

\frac{1}{|ξ|^{2}(log |ξ|^{2})^{2}} dξ ⊗ d\overline{ξ}

à courbure gaussienne −1.

Lemme (d’Ahlfors-Schwarz). Une application holomorphe f : Δ → M du disque unité dans une variété complexe munie d’une métrique hermitienne h ayant la propriété que f(Δ) est tangente aux directions dans lesquelles la courbure κ satisfait κ ⩽ −1, alors, avec ω_{h} la forme associée à h et ω_{Δ} la forme associée à la métrique de Poincaré on a :

f^{∗}ω_{h} ⩽ ω_{Δ},

c’est-à-dire que f est décroissante.

Preuve. L’hypothèse du lemme dit que la courbure sectionnelle calculée dans la direction de f(Δ) est majorée par −1. On sait que la courbure décroît dans les sous-fibrés (voir [Grif4, Chapt. II]) et donc la courbure sectionnelle calculée avec la métrique induite par T_{M} est bornée par −1. Rappelons que la forme de Ricci d’une métrique de forme ω_{N} sur une variété N de dimension 1 est donnée par :

Ric ω_{N} = \frac{1}{2}i∂\overline{∂} log h = −Kω_{N},

ou K dénote la courbure gaussienne. Donc f^{∗}ω_{h} ⩽ Ric f^{∗}ω_{h} et il suffit de montrer que Ric f^{∗}ω_{h} ⩽ ω_{Δ}.

Considérons un disque plus petit de rayon r et soit

η_{r} = \frac{i · r^{2}dz ∧ d\overline{z}}{(r^{2} − |z|^{2})^{2}}

la métrique de Poincaré sur ce disque. Introduisons :

Ψ := f^{∗}ω_{h} = uη_{r}.

Puisque Ψ reste bornée sur chaque disque de rayon r < 1, tandis que η_{r} tend vers l’infini quand on approche le cercle |z| = r, la fonction u reste bornée sur ce disque et donc prend un maximum à l’intérieur, disons au point z_{0}.

En ce point on a :

0 ⩾ i∂\overline{∂} log u = Ric Ψ − Ric η_{r}.

La courbure gaussienne de η_{r} est égale à −1, d’où :

Ric Ψ ⩽ Ric η_{r} = η_{r}

et on obtient l’inégalité u(z_{0}) ⩽ 1. Mais u prend son maximum en z_{0} et donc Ric Ψ ⩽ η_{r}. Prenant la limite, on obtient bien Ric Ψ ⩽ η_{Δ}.

On peut voir le demi-plan comme un cas spécial d’un domaine de périodes. Ici la courbure est −1. Pour un domaine de périodes quelconque on n’aura pas en général que la courbure de la métrique invariante est négative, mais elle sera négative le long des directions horizontales. Plus précisément, la courbure sectionnelle holomorphe du sous-fibré horizontal T_{hor}(D) est bornée par une constante négative (uniforme)

\overline{\underline{κ(ξ) ⩽ −1, ∀x ∈ T_{hor}(D)}}

(quitte à normaliser la métrique). Pour la démonstration originale voir [G-S1].

Soit maintenant une VHS de base Δ^{∗}, avec transformation de monodromie T, comme indiqué. On relève l’application des périodes en

Φ̃ : 𝔥 → D ⊂ Ď.

Rappelons que l’application Φ̃ est horizontale, alors le lemme de Ahlfors-Schwarz entraîne que Φ̃ est décroissante au sens des métriques (sur h on met la métrique hyperbolique de courbure −1)

Φ̃^{∗}(ds_{D}^{2}) ⩽ ds_{h}^{2}

par suite, Φ̃ est décroissante pour les distances riemanniennes associées :

d_{D}(Φ̂(p), Φ̃(q)) ⩽ d_{h}(p, q) .

Notons que si x, r ∈ ℝ_{+}, d(ir, ir + x) = \frac{x}{r}. Alors du fait que Φ̃(τ + 1) = T Φ̃(τ)

d_{D}(Φ̃(in), T Φ̃(in)) ⩽ \frac{1}{n}.

On fixe un point de base v ∈ D, et on identifie D avec l’orbite G_{ℝ}/V de v. L’application G_{ℝ} → D est propre car V est compact. Soit Φ̃(in) = g_{n}v on a d_{D}(g_{n}v, T g_{n}v) = d_{D}(v, g_{n}^{−1}T g_{n}v) ⩽ 1/n car d_{D} est G_{ℝ}-invariante. Donc g_{n}^{−1}T g_{n}v → v. Quitte à considérer une sous-suite de {g_{n}}, on peut supposer que g_{n}^{−1}T g_{n} converge vers un élément g de V. Du fait que V est compact (un sousgroupe d’un groupe unitaire), les valeurs propres de g, et donc de T sont des nombres complexes de module un. L’élément T est en fait dans G_{ℤ}, alors si λ est une valeur propre de T, il en est de même pour tout complexe conjugué, et alors par un fait classique (Kronecker), λ doit être une racine de l’unité.

Expliquons maintenant le résultat fondamental [S] de W. Schmid : “Le théorème de l’orbite nilpotente” pour une VHS de base Δ^{∗}. Ici Δ est un disque avec paramètre s, et Δ^{∗} = Δ ∖ {0}. Rappelons que le revêtement universel de Δ^{∗} est donné par

𝔥 → Δ^{∗}, τ ↦ s = exp(2πiτ).

La monodromie du faisceau localement constant ℋ_{ℤ} est décrite par le prolongement analytique le long d’un cercle décrit en sens inverse des aiguilles d’une montre qui est donc un opérateur T sur (ℋ_{ℤ})_{s_{0}} = H_{ℤ} (on fixe un point de base s_{0} ∈ Δ^{∗}). Rappelons que cela signifie que l’image inverse de ℋ_{ℤ} sur 𝔥 est le faisceau constant 𝔥 × H_{ℤ}, avec l’opération σ : (τ, α) → (τ + 1, T^{−1}α), et que ℋ_{ℤ} = 𝔥 × H_{ℤ}/{σ}.

Le fibré vectoriel holomorphe ℋ := ℋ_{ℤ} ⊗ 𝒪_{Δ^{∗}}, sur Δ^{∗} est trivial pour des raisons générales : un fibré holomorphe sur une surface de Riemann noncompacte est trivialisable ([Fo,§30]). On peut dans la situation présente choisir une trivialisation privilégiée, en utilisant le fait que la monodromie est quasiunipotente.

On suppose que T est en fait un opérateur unipotent (T − 1)^{m} = 0, pour simplifier un peu. Alors N = log(T) = (T −1)− \frac{1}{2}(T −1)^{2} +⋯+(−1)^{m−2} \frac{1}{m−1}(T − 1)^{m−1} est défini, et N ∈ 𝔤_{ℚ}, i.e. N est un élément rationnel de l’algèbre de Lie du groupe G_{ℂ}, le groupe des isométries de (H_{ℂ}, Q). Noter que pour tout t ∈ ℂ, exp(tN) ∈ G_{ℂ}.

Trivialiser le fibré vectoriel ℋ = ℋ(X/S) sur Δ^{∗} revient, suite à la description

ℋ = 𝔥 × H/{σ}

(ici H est muni de la topologie complexe, d’espace vectoriel) à trivialiser la classe {T } dans H^{1}(ℤ, G_{ℂ}).

Il suffit de constater que

exp((τ + 1) · N) · exp(τN)^{−1} = T .

En d’autres termes, si θ(τ, α) = (τ, exp(τN)α) est un “changement de coordonnées” sur 𝔥 × H, l’action de π_{1}(Δ^{∗}) devient sur les nouvelles coordonnées :

(θσθ^{−1})(τ, α) = (τ + 1, α).

Ce qui conduit à une trivialisation privilégiée de ℋ sur Δ^{∗}. Dans cette trivialisation, les sections horizontales (celles qu’on étend en s = 0), sont les sections α(s) = (s, α) sur les nouvelles coordonnées. Avec les anciennes, cela signifie que si α ∈ H = (ℋ)_{s_{0}}, le prolongement analytique de α définit une section multiforme du faisceau localement constant ℋ_{ℂ}, et s ↦ exp (− \frac{log s}{2πi}N)α(s) définit une section holomorphe du fibré vectoriel, qui est horizontale relativement à la trivialisation privilégiée. Par définition, la section

α^{∗}(s) = exp ( − \frac{log s}{2πi}N)α(s)

est définie en s = 0. Ce sont les sections horizontales du fibré vectoriel ℋ̃(X/S), étendu à tout le disque Δ.

Le résultat fondamental de W. Schmid est le suivant [S] :

4.2. Théorème. Les fibrés de Hodge ℱ^{p} ⊂ ℋ(X/S), se prolongent en des sousfibrés du fibré prolongé ℋ̃(X/S). En particulier, on a en s = 0, une filtration limite ℱ^{•}(0) ∈ Ď (en général ℱ^{•}(0) ∉ D).

Le théorème peut s’énoncer d’une autre manière : soit

Φ : 𝔥 ⟶ D ⊂ Ď .

Alors si ψ̃(τ) = exp(−τN)Φ̃(τ), on a ψ̃(τ + 1) = ψ̃(τ), par suite ψ̃ définit une fonction holomorphe ψ : Δ^{∗} → Ď par ψ(s) = ψ̃(\frac{log s}{2πi}). Le résultat est que ψ se prolonge holomorphiquement en une application ψ : Δ → Ď. Rappelons que H = H^{k}(X_{t_{0}}, ℤ)/torsion. On considère ψ(0) comme une filtration

0 ⊂ F_{∞}^{k} ⊂ F_{∞}^{k−1} ⊂ ⋯ ⊂ F_{∞}^{0}

sur H ⊗ ℂ, la filtration limite.

Une seconde partie du théorème de Schmid que nous n’utiliserons pas est la suivante : soit “l’orbite nilpotente”

N(τ) = exp(τN)[ℱ^{•}(0)] .

Alors pour Im τ ≫ 0, N(τ) ∈ D, et N est horizontale ; donc N(τ) définit pour Im τ assez grand une variation de structure de Hodge, dont on peut prouver qu’elle fournit une approximation de la variation initiale (en un sens à préciser).

Introduisons la filtration par le poids (de la monodromie). Elle découle de la construction suivante [S] : soit V un espace vectoriel sur un corps K de caractéristique zéro, et N ∈ End(V), tel que N^{k+1} = 0. Alors il y a une filtration unique :

W_{−1} = {0} ⊂ W_{0} ⊂ W_{1} ⊂ ⋯ ⊂ W_{2k} = V

telle que : N(W_{α}) ⊆ W_{α−2}, et telle que N^{ℓ} induise un isomorphisme : Gr_{k+ℓ}^{W} \underrightarrow{∼}

Gr_{k−ℓ}^{W}, où Gr_{α}^{W} = W_{α}/W_{α−1}. On a ainsi sur H, deux filtrations F_{∞}^{•} et W^{•}, la filtration par le poids W_{•} étant elle définie sur ℚ. Très important est le résultat suivant, qui est en fait une partie du théorème de l’orbite nilpotente de Schmid.

4.3. Théorème ([S]). Les filtrations F_{∞}^{•} (filtration de Hodge limite) et W_{•} définissent une structure de Hodge mixte sur H. (On oublie les polarisations !)

Il y a une généralisation qui est beaucoup plus délicate (théorème de l’orbite Sl(2) en n variables) avec des applications aux dégénérescences en n paramètres. Voir [C-K-S1]. Pour le cas d’une dégénérescence à un paramètre, Steenbrink [St1] et Clemens-Schmid [Cl] ont construit cette structure mixte d’une façon géométrique et en tirent des conséquences importantes, par exemple :

4.4. Théorème. Une classe de H^{k}(X_{s}, ℚ) est invariante si et seulement si elle est la restriction d’une classe globale sur H^{k}(X, ℚ). (le théorème du cycle local invariant)

Cette assertion, bien qu’intuitivement claire, est fausse dans le cadre nonkählérien !

4.C. Cycles proches et évanescents

Por aider le lecteur, il sera utile de rappeler ici les constructions des faisceaux des cycles proches et des cycles évanescents associés à une dégénérescence f : X → Δ (ou plus généralement à une fonction f : X → ℂ). Ces faisceaux ont un support contenu dans X_{0} = f^{−1}(0).

La construction utilise la fibre de Milnor en x ∈ X qui est l’intersection d’une petite sphère autour de x de dimension réelle maximale dans X avec X_{t}, t proche de 0. On peut montrer que le type d’homotopie de la fibre de Milnor est indépendant de t et du rayon de la sphère, pourvu que ceux-ci soient soigneusement choisis (voir [Mil]). On calcule les groupes de cohomologie resp. les groupes de cohomologie réduits. Pour x variable, ces groupes constituent des faisceaux et on peut construire deux complexes qui “calculent” ces deux groupes de cohomologie le complexe des cycles proches resp. le complexe des cycles évanescents. Ils sont définis comme suit : pour définir le complexe ψ_{f}(ℂ_{X}) des cycles proches, on prend une résolution injective du faisceau constant sur X̃, ensuite on restreint l’image directe par k : X̃ → X à X_{0} (en d’autres termes ψ_{f}(ℂ_{X}) = i^{∗}Rk_{∗}ℂX̃, l’image réciproque par i : X_{0} → X de l’image directe dérivée par k du faisceau constant sur X̃). Le complexe des cycles évanescents ϕ_{f}(ℂ_{X}) est défini comme le cône du morphisme naturel ℂ_{X_{0}} → ψ_{f}(ℂ_{X}) provenant de ℂ_{X} → Rk_{∗}k^{∗}ℂ_{X}.

Rappelons que le cône C(f)^{•} d’un morphisme f^{•} : A^{•} → B^{•} entre complexes

est défini par : C^{p}(f) = A^{p+1} ⊕ B^{p} avec la dérivation donnée par ( \begin{matrix}−d_{A}^{p+1} & 0 \\ f^{p} & d_{B}^{p} \end{matrix} ).

On a une suite exacte courte 0 → B^{•} → C(f)^{•} → A^{•}[1] → 0 et en appliquant cette suite dans le cas considéré ici on trouve bien que pour j > 0, ℋ^{j}(ϕ_{f}(ℂ_{X})) = ℋ^{j}(ψ_{f}(ℂ_{X})) calcule le j-ième groupe de cohomologie des fibres de Milnor tandis que pour j = 0 il y a une différence : ℋ^{0}(ϕ_{f}(ℂ_{X})) calcule la cohomologie mais ℋ^{0}(ψ_{f}(ℂ_{X})) calcule la cohomologie réduite.

L’avantage de cette description découle du fait que H^{w}(X_{t}, ℚ) = H^{w}(X̃, ℚ) = H^{w}(ψ_{f}^{uni}ℚ_{X}) où l’ajout “uni” signifie qu’on prend le sous-complexe maximal de ψ_{f}ℚ_{X} sur lequel l’action naturelle de la monodromie est unipotente. Donc on pourra essayer de construire la structure de Hodge mixte au niveau de ce complexe. C’est que Steenbrink ([St1]) fait dans le cas où la monodromie agit de façon unipotente et X_{0} est un diviseur à croisements normaux avec une structure de variété algébrique. Navarro-Aznar ([NA]) a généralisé ses constructions. Voir [St2] pour des applications aux singularités isolées. Voir aussi [D-S] où on trouve un joli supplément du théorème de monodromie dans le cas d’une singularité isolée : si T admet un bloc de Jordan de taille maximale n = dim X – et nécessairement pour une valeur propre différente de 1 –, alors il y aura aussi un bloc de taille n−1 avec la valeur propre 1.

Remarquons finalement que la description ci-dessus suggère en outre qu’on pourra remplacer ℂX̃ = k^{∗}ℂ_{X} par un k^{∗}𝒦^{•}, où 𝒦^{•} est un complexe de faisceaux borné sur X quelconque, extension qui joue un rôle important dans les travaux de Saito (voir dessous).

5. Fibrés de Higgs

Le but de ce paragraphe est de donner quelques détails sur les travaux de Simpson sur la construction de variations de structures de Hodge. En particulier nous expliquerons brièvement comment ses résultats conduisent à des restrictions sur la possibilité qu’un groupe donné soit le groupe fondamental d’une variété projective lisse (complexe). On trouvera ces résultats dans [Si3]. Ils reposent sur [Si1] et [Si4]. Le lecteur pourra aussi consulter [Si2]. Pour d’autres résultats sur les groupes fondamentaux qui portent sur la théorie des fibrés de Higgs, voir [A1],[A2], [Z1], [Z2].

Dans le §3 on a introduit la notion d’une variation de structure de Hodge polarisée (VHS) de poids w sur une variété de base S supposée complexe et lisse. Brièvement, une telle structure consiste en un quadruple {ℋ, ∇, Q, {ℋ^{r,s}}} où ℋ est un fibré holomorphe (muni d’une structure réelle), ∇ une connexion plate, Q une forme bilinéaire, (−1)^{w}-symétrique et ∇-parallèle, ℋ = ⨁_{r+s=w} ℋ^{r,s} une décomposition en sous-fibrés ℋ^{r,s} différentiables avec la propriété que ℋ^{r,s} est le conjugué complexe de ℋ^{s,r} (une décomposition de Hodge). De plus, on exige que les fibrés de Hodge ℱ^{p} = ⨁_{r⩾p} ℋ^{r,s} soient holomorphes et que ∇ envoie ℱ^{p} en ℱ^{p−1} ⨂ Ω_{S}^{1} (transversalité de Griffiths). Finalement on exige que la décomposition de Hodge soit h-orthogonale par rapport à la forme hermitienne et ∇-parallèle, définie par h(x, y) = (−i)^{w}Q(x, \overline{y}), et que (−1)^{r}h soit positive sur ℋ^{r,s}. Donc on pourrait aussi partir de {ℋ, ∇, h, {ℋ^{r,s}}}. Si on oublie la structure réelle, et donc si on doit laisser tomber la condition ℋ^{r,s} = \overline{ℋ^{s,r}} on arrive à la notion d’une variation complexe de structures de Hodge (VCH), pourvu qu’on interprète la transversalité de Griffiths correctement : non seulement on exige que ∇ : ℱ^{p} → ℱ^{p−1} ⊗ Ω_{S}^{1} mais aussi que les fibrés \overline{ℱ^{q}} =^{def} ⨁_{s⩾q} ℋ^{r,s} portent une structure anti-holomorphe telle que ∇ envoie \overline{ℱ^{q}} en \overline{ℱ^{q−1}} ⨂\overline{𝒪_{S}} \overline{Ω_{S}^{1}}.

Une VCH donne un exemple particulier de fibré de Higgs, c’est-à-dire un fibré holomorphe ℋ avec un homomorphisme θ : ℋ → ℋ ⊗ Ω_{S}^{1} ayant la propriété d’intégrabilité θ ∧ θ = 0. En effet, ici on écrit ℋ = ⨁_{p} ℱ^{p}/ℱ^{p+1} et on prend pour θ la somme directe des homomorphismes 𝒪_{S}-linéaires ℱ^{p}/ℱ^{p+1} → ℱ^{p−1}/ℱ^{p} ⨂ Ω_{S}^{1} induits par ∇.

Le fibré de Higgs provenant d’une VCH en outre est stable par l’action de ℂ^{∗} donnée par t · (ℋ, θ) = (ℋ, tθ). Plus précisément, ϕ_{t} : ℋ → ℋ donnée par ℋ^{r,s} ∋ x ↦ t^{r}x induit un isomorphisme (ℋ, θ) → (ℋ, tθ).

On peut montrer ([Si3], Theorem 4.2) que si S est une variété projective, chaque système local (d’espaces vectoriels complexes) donne un fibré de Higgs et si le système est semi-simple, le fibré de Higgs (ℋ, θ) provient d’une VCH si et seulement si la classe d’isomorphie de (ℋ, θ) est ℂ^{∗}-invariante. Autrement dit : si on considère les représentations du groupe fondamental de S dans ℂ^{d}, celles qui portent une VCH sont les représentations semi-simples fixées par l’action de ℂ^{∗}. Un autre théorème de Simpson ([Si3], Theorem 3) dit qu’on peut toujours déformer une représentation du groupe π_{1}(S) en une telle représentation. En particulier la clôture de Zariski G du groupe de monodromie (dans le groupe Gl(d, ℝ)) doit être très spéciale, dite du type Hodge, c’est-à-dire le rang de G doit être égal au rang du sous-groupe compact maximal de G. Par exemple les groupes Sl(n, ℝ) pour n ⩾ 3 ne sont pas du type Hodge.

On déduit de ces résultats qu’un réseau Γ (sous-groupe discret à quotient de volume fini) dans Sl(n, ℝ) (par exemple Sl(n, ℤ)) ne peut pas figurer comme groupe fondamental d’une variété projective lisse.

Afin de donner une brève indication sur la démonstration, rappelons qu’une représentation ρ : π → Gl(d, ℂ) est dite rigide si l’orbite de ρ sous l’action de Gl(d, ℂ) par conjugaison sur l’espace des représentations Hom(π, Gl(d, ℂ)) est ouverte. Donc cette orbite est une composante connexe, car Gl(d, ℂ)) est réductif. Par le dernier théorème de Simpson cette composante contient une VCH et donc la clôture de Zariski du groupe de monodromie est du type Hodge.

D’autre part, un résultat de Margulis implique que la représentation naturelle du réseau Γ est rigide et donc, si Γ était le groupe fondamental d’une variété kählérienne, Sl(d, ℝ) serait du type Hodge, conduisant à une contradiction.

Le lecteur trouvera les détails, ainsi que beaucoup d’autres exemples dans [Si3].

6. Modules de Hodge

Le but de ce paragraphe est de donner une introduction aux travaux de Morihiko Saito sur les modules de Hodge. Une des principales applications est à la cohomologie d’intersection traitée brièvement dans le §6.A.

6.A. Cohomologie d’intersection et L^{2}-cohomologie

Récemment, les groupes de cohomologie d’intersection IH^{w}(X) (pour X complexe et quasi-projective) ont été introduits par Goresky et MacPherson ([G-M]). Cette cohomologie est mieux adaptée aux variétés singulières que la cohomologie ordinaire. Par exemple on a une version de la dualité de Poincaré et les théorèmes de Lefschetz “fort et faible” sont valables. Cheeger, Goresky et MacPherson ([C-G-M]) ont énoncé la conjecture que IH^{w}(X) porte une structure de Hodge pure de poids w dans le cas où est X projective. Saito [Sa1,2] l’a démontrée avec sa théorie des Modules de Hodge (voir dessous).

On peut se demander s’il est possible de généraliser la théorie de Hodge classique (valable pour des variétés kählériennes compactes) par exemple à des variétés quasi-projectives en utilisant une métrique de Kähler convenable de telle sorte que la cohomologie d’intersection d’une variété projective soit calculable en termes de formes harmoniques sur la partie lisse. En effet, on peut démontrer un théorème de décomposition de Hodge pour des métriques de Kähler complètes en utilisant les formes localement L^{2} par rapport à la métrique. Dans ce cas, comme dans le cas classique, la décomposition des formes harmoniques en composantes de bidegré pur conduit à une décomposition de Hodge pour les groupes de cohomologie H_{2}^{w}(X, ℂ) pourvu que ce groupe soit de rang fini. Voir [Dem], §12 et [B-Z], §3. Donc, si on avait une identification de H_{2}^{w}(X, ℂ) avec IH^{w}(X, ℂ), on en déduirait une structure de Hodge sur la cohomologie d’intersection. Il y a toujours une application naturelle H_{2}^{w}(X, ℂ) → IH^{w}(X, ℂ) qui est conjecturalement un isomorphisme. Cette conjecture est vraie pour des espaces à singularités isolées (cf. [Ch1], [Ch2] pour le cas de singularités coniques, et [Ohs1] pour le cas général) ; en dépit des résultats annoncés dans [Ohs2], il semble que le cas de singularités quelconques soit toujours ouvert.

Il faut remarquer que la conjecture de Cheeger, Goresky et MacPherson est plus précise que la seule existence d’une structure de Hodge sur IH^{w}(X) : on demande que

1. IH^{w}(X) soit canoniquement isomorphe au groupe H_{2}^{w}(X \ SingX), le groupe de cohomologie calculé en utilisant des formes localement L^{2} par rapport à la métrique de Fubini-Study,

2. la structure de Hodge soit induite par cet isomorphisme.

C’est cette conjecture plus fine qui a été démontrée dans le cas des singularités coniques isolées, mais elle n’a pas été démontrée en général. Voir [B-Z] § 3 pour une discussion détaillée.

Deligne a généralisé le théorème de décomposition de Hodge en remplaçant ℂ par une variation de structures de Hodge H_{X} ayant pour base X une variété kählérienne compacte. Le même argument fonctionne dans le cadre L^{2} avec X quasi-projective admettant une métrique kählérienne complète, pourvu que le groupe H_{2}^{w}(X, H_{X}) soit de dimension finie. Il a montré dans ce cas que H_{2}^{w}(X, H_{X}) admet une structure de Hodge pure de poids w + v (voir [Zu]).

Ensuite, Cattani, Kaplan, Schmid [C-K-S2] et Kashiwara et Kawai [K-K] ont montré que si \overline{X} est une compactification lisse de X telle que \overline{X} \ X est un diviseur à croisements normaux, pour une métrique de type Poincaré au voisinage des croissements, IH^{w}(\overline{X}, H_{X}) est isomorphe à H_{2}^{w}(X, H_{X}) et donc porte une structure de Hodge de poids w + v.

6.B. Travaux de Saito

Soit S une variété complexe et H_{S} un système local d’espaces vectoriels réels. Le fibré holomorphe associé ℋ_{S} = H_{S} ⊗ 𝒪_{S} admet une connexion plate ∇ = 1 ⊗ d. Donc 𝒟_{S}, le faisceau d’opérateurs différentiels sur S agit sur ℋ_{S} (l’action d’un champs holomorphe ξ est donnée par s ↦ ∇_{ξ}s) munissant ℋ_{S} d’une structure de 𝒟_{S}- module. En effet, un tel 𝒟_{S}-module est un 𝒟_{S}-module cohérent et même holonome. Les définitions de ces notions peuvent être trouvées en [Bo], où on peut aussi trouver des détails de la discussion qui suit.

Dans le cadre de la géométrie algébrique, on rencontre classiquement la situation où S est un ouvert de Zariski d’une variété algébrique projective X et D := X \ S est un diviseur. Dans ce cadre, on a la notion de connexion ayant des singularités régulières le long de D et on sait qu’ici ∇ admet de telles singularités. On peut même montrer que (ℋ_{S}, ∇) ↦ H_{S} établit une équivalence entre la catégorie des fibrés holomorphes sur S munis d’une connexion ayant des singularités régulières (le long de D) et la catégorie des systèmes locaux d’espaces vectoriels complexes (correspondance de “Riemann-Hilbert”).

On peut étendre la notion de régularité aux 𝒟_{S}-modules holonomes et dans ce cadre il y a aussi une correspondance de “Riemann-Hilbert”. Pour expliquer cela on a besoin de la notion de faisceau pervers. Remarquons d’abord que la structure de 𝒟_{S}-module permet de définir un complexe, dit complexe de De Rham DR(ℳ) := Ω_{S}^{•} ⊗ ℳ. On regarde ensuite ce complexe dans une catégorie dérivée convenable où, rappelons-le, on identifie deux complexes lorsque un morphisme de l’un dans l’autre induit un isomorphisme entre les faisceaux de cohomologie [Ill]. On dit alors qu’ils sont quasi-isomorphes. Dans le cas d’un 𝒟_{S}-module provenant d’un système local on a seulement un groupe de cohomologie en dimension zéro : le système local lui-même (lemme de Poincaré holomorphe). Et donc dans ce cas DR(ℋ_{S}) est quasi-isomorphe à H_{S}.

Une construction importante dans cette catégorie est celle de la dualité de Verdier. On ne donne pas les détails ici ; il suffit de savoir que le complexe dual au sens de Verdier à DR(ℋ_{S}) est représenté par le complexe DR(ℋS^{∨}) et donc dans la catégorie dérivée le dual de H_{S} est HS^{∨}.

On dit qu’un complexe 𝒦^{•} de faisceaux de ℂ-espaces vectoriels est pervers si le faisceau de cohomologie en dimension j de 𝒦^{•} ainsi que celui du dual de Verdier est constructible de support de dimension au plus égal à −j. Un mot d’explication : la convention est telle que le complexe de De Rham d’un 𝒟_{S}-module commence en degré −n et donc un système local H_{S} est pervers car le support de H_{S} et celui de son dual est S et donc de dimension n. Plus généralement, un système local H_{S} sur un ouvert dense de Zariski S d’une variété algébrique X s’étend de façon minimale en un faisceau pervers IC(H_{S}) sur X. Dans ce cas, si X est compacte on a IH^{w}(X, H_{S}) = H^{w}(X, IC(H_{S})).

On pourra ainsi regarder un faisceau pervers comme une généralisation d’un système local ; la correspondance qui associe à un 𝒟_{S}-module holonome son complexe de De Rham induit une équivalence entre la catégorie des 𝒟_{S}-modules holonomes à singularités régulières et la catégorie des faisceaux pervers de ℂespaces vectoriels (théorème de la correspondance de Riemann-Hilbert [Kas], [Me1, Me2]). Le lecteur pourra se convaincre que ce cadre nouveau est une généralisation conséquente du §2.

Maintenant on suppose, que le système local H_{S} porte une variation de structure de Hodge de poids w. La filtration de Hodge induit une filtration dite bonne ℳ_{p} := ℱ^{−p}, c’est-à-dire l’action des opérateurs d’ordre ⩽ 1 envoient ℳ_{p} dans ℳ_{p+1} (traduction de la transversalité de Griffiths). Un tel 𝒟_{S}-module filtré est un exemple d’un module de Hodge de poids w. La définition de ces objets est très indirecte, comme on va le voir, et c’est un théorème difficile de prouver qu’une variation de structure de Hodge est un module de Hodge. Voir [Sa] pour une démonstration ainsi que pour des détails de la discussion qui suit.

Saito définit les modules de Hodge de façon récurrente. Il commence par ceux qui ont leur support dans un point s ∈ S : ce sont simplement les structures de Hodge (réelles) avec filtration de Hodge croissante (F_{p} := F^{−p}). En prenant l’image directe par l’inclusion s → S on obtient un faisceau constructible dans S considéré comme faisceau pervers et donc comme 𝒟_{S}-module. La filtration de Hodge en en fait un 𝒟_{S}-module filtré et on obtient un objet dans la catégorie MF_{h}(𝒟_{S}) des 𝒟_{S}-modules filtrés (pour obtenir une structure réelle, il faut prendre le produit fibré avec la catégorie des faisceaux pervers réels).

Dans le §4.C, on a rappelé la définition des cycles proches et cycles évanescents relatifs aux zéros d’une fonction holomorphe g : S → ℂ non-constante : ψ_{g}(ℂ_{S}) = i^{∗}Rk_{∗}ℂS̃ = i^{∗}Rk_{∗}k^{∗}ℂ_{S} et ϕ_{g}(ℂ_{S}) étant le cône sur {ℂ_{S_{0}} = i^{∗}ℂ_{S} → i^{∗}Rk_{∗}k^{∗}ℂ_{S}}. Si on remplace ℂ_{S} par un complexe borné 𝒦^{•} sur S, on arrive à ψ_{g}(𝒦^{•}) resp. ϕ_{g}(𝒦^{•}). On a vu que la monodromie agit sur ces complexes et induit des filtrations par le poids.

Gabber (voir [Bry]) a montré que pour 𝒦^{•} pervers, ces complexes (décalés par [−1]) sont des faisceaux pervers sur S_{0} et Saito a proposé une construction des foncteurs ϕ et ψ au niveau des 𝒟_{S}-modules holonomes filtrés. En particulier les modules “proches” et “évanescents” qui résultent admettent des filtrations par le poids W_{•} . Saito maintenant complète la définition récurrente de ses modules de Hodge en deux étapes : d’abord il se restreint à une sous-catégorie pleine de MF_{h}(𝒟_{S}) telle que ses objets possèdent de bonnes propriétés par rapport aux foncteurs ϕ et ψ et ensuite, il demande qu’un module ℳ dans cette sous-catégorie soit un module de Hodge si et seulement si c’est le cas pour les modules W - gradués de ψ_{g}(ℳ) et ϕ_{g}(ℳ) (plus précisément : il faut restreindre au sous-module maximal sur lequel T agit de façon unipotente) pour n’importe quelle fonction g : S → ℂ . Puisque ces modules on un support de dimension strictement plus petite et puisqu’on connaît les modules de Hodge à support de dimension 0, la définition récurrente est ainsi complète.

L’application la plus célèbre du fait qu’une variation de structure de Hodge H_{S} de poids v paramétrée par une variété analytique complexe S est un module de Hodge de poids v est le théorème suivant qu’on a déjà annoncé : lorsque S est un ouvert de Zariski dans une variété kählérienne compacte X, le groupe IH^{w}(X, H_{S}) porte une structure de Hodge polarisée de poids v + w. En effet, on a vu que IH^{w}(X, H_{S}) = H^{w}(X, IC(H_{S})) et que H_{S} et donc aussi IC(H_{S}) sont des modules de Hodge de poids v. Donc H^{w}(X, IC(H_{S})) en tant que module de Hodge supporté dans un point, porte une structure de Hodge (de poids v + w).

En particulier, la structure polarisée sur IH^{w}(X, ℚ) est un facteur direct de la structure pure sur IH^{w}(X̃, ℚ) où X̃ est une résolution des singularités de X.

Partie II. Symétrie miroir et variétés de Calabi-Yau

7. Introduction à la symétrie miroir

La symétrie miroir est un phénomène qui a une origine “physique”. Il n’y a pour l’instant que des définitions mathématiques conjecturales. Le but de ce paragraphe est de suggérer une définition très incomplète de ce phénomène et de mettre en évidence quelques implications mathématiques. Le cadre est la classe des variétés dites de Calabi-Yau ; nous décrivons ces variétés en détail.

7.A. Motivation de la symétrie miroir

La symétrie miroir est un phénomène d’origine “physique” qui n’a donc pas à ce jour une définition mathématique définitive. Rappelons pour exciter la curiosité du lecteur la définition qui apparaît dans la littérature physique [G-P], [C-O-G-P], [P]. Le phénomène symétrie miroir vient de l’étude des théories superconformes (2,2) avec charge centrale c = 0. Les propriétés des champs conformes de ces théories sont liées à la géométrie des modèles sigma non linéaires basés sur des variétés de Calabi-Yau. Une définition précise de ces variétés est reportée au paragraphe suivant. Disons seulement que ces variétés apparaissent pour assurer l’invariance conforme. Dans ce cadre assez hostile pour le mathématicien géomètre, les physiciens ont mis en évidence une correspondance remarquable entre les propriétés abstraites des champs conformes et les propriétés géométriques des réalisations en termes de modèles sigma. Cette correspondance conduit naturellement à déformer la structure complexe et (ou) une classe de Kähler sur une variété de Calabi-Yau. Ce sont les modèles A et B des physiciens [G-P]. L’asymétrie apparente qui n’est qu’une ambiguïté de signe, conduit à des modèles géométriques définitivement distincts réalisant une même théorie conforme des champs. Pour une variété de Calabi-Yau X, de fibré tangent holomorphe T_{X}, les objets liés à la même théorie H^{1}(X, T_{X}) et H^{1}(X, T_{X}^{∗}) = H^{1}(X, Ω_{X}^{1}) sont totalement différents du point de vue de la géométrie. En fait dans le §7.C on verra que dim H^{1}(X, T_{X}) est le nombre de paramètres pour la structure complexe, tandis que dim H^{1}(X, T_{X}^{∗}) = h^{1,1}(X) est le nombre maximal de classes de Kähler indépendantes sur X.

Ceci conduit à postuler que les variétés de Calabi-Yau (on se limite à la dimension trois) doivent apparaître par paires, disons X et X^{∗} qui réalisent ces deux modèles. On dit que X^{∗} est la variété miroir de X (et vice-versa). Il y a peut-être une définition physique plus définitive mais non assimilable telle quelle mathématiquement, que l’on peut résumer en une identité

Z = Z^{∗}

entre fonctions de partition (intégrales de Feynman). Les implications mathématiques les plus naïves sont au niveau des nombres de Hodge de X et X^{∗}, la relation de symétrie

h^{2,1}(X^{∗}) = h^{1,1}(X); h^{1,1}(X^{∗}) = h^{2,1}(X).

Naturellement cette seule symétrie apparente n’est pas suffisante pour faire de X^{∗} la variété miroir de X. Entre X et X^{∗} existe une relation plus profonde qui relie l’espace des déformations de la structure complexe de X à l’espace des déformations de la classe de Kähler de X^{∗} et vice-versa. Cette relation est à l’origine des applications conjecturales à des propriétés de géométrie énumérative sur X, comme esquissées dans le §10. Le lecteur trouvera dans le texte de C. Voisin [V] une explication plus détaillée. Dans la suite, on va s’attacher à préciser les aspects qui relèvent de la théorie de Hodge. Ces aspects sont au nombre de trois :

i) symétrie des nombres de Hodge,

ii) définition de l’accouplement de Yukawa,

iii) utilisation de la structure Hodge limite pour étudier le comportement asymptotique de l’accouplement de Yukawa.

Ces points sont traités dans les paragraphes qui suivent.

7.B. Construction des variétés de Calabi-Yau

Du point de vue de la géométrie algébrique, une variété de Calabi-Yau est une variété (algébrique) projective lisse (complexe) V, telle que le faisceau canonique K_{V} est trivial (K_{V} = Ω_{V}^{n} ≅ 𝒪_{V}), et h^{p,0} = 0 pour p = 1, …, n − 1, (n = dim V). On se limite au cas n = 3 ; noter que h^{1,0} = 0 implique h^{2,0} = 0, car par dualité de Serre H^{1}(V, 𝒪_{V}) est le dual de H^{2}(V, 𝒪_{V}), vu que K_{V} ≅ 𝒪_{V}. On exige aussi que le groupe fondamental π_{1}(V) soit fini, pour éviter des situations marginales. En géométrie différentielle ce sont les variétés kählériennes à courbure de Ricci nulle (se reporter à [Dem]), de groupe d’holonomie exactement SU(3). Directement lié à ceci, il y a le résultat de classification suivant, dû à plusieurs auteurs (voir [Beau]) : Soit X une variété kählérienne compacte de première classe de Chern nulle. Il existe un revêtement fini non ramifié X̃ → X tel que X̃ est isomorphe à un produit T × ( ∏_{i} V_{i}) × ( ∏_{j} W_{j}), où T est un tore complexe, V_{i} est une variété

de Calabi-Yau simplement connexe, et W_{j} est une variété symplectique (il existe une 2-forme holomorphe qui est non dégénérée en tout point).

Dans le contexte des variétés de Calabi-Yau, le très important théorème de Yau [Y1] (conjecture de Calabi) joue bien sûr un role clé :

Théorème. (Yau) Soit X une variété de Calabi-Yau avec une métrique kählérienne g de forme de Kähler ω ∈ H^{1,1}(X). Il existe une unique métrique kählérienne g_{Y} à courbure de Ricci nulle (métrique de Yau) telle que ω_{Y} étant sa forme associée, on ait [ω] = [ω_{Y}] ∈ H^{1,1}(X).

Il est aisé de construire des exemples de variétés de Calabi-Yau. Soient H_{1}, …, H_{r} des hypersurfaces de ℙ^{N} (N = r + 3), de degré respectifs d_{1}, …, d_{r} avec N + 1 = ∑_{i} d_{i}. Si l’intersection V = ⋂_{i=1}^{r} H_{i} est transversale, V est alors lisse,

et la formule d’adjonction montre que K_{V} ≅ 𝒪_{V}, donc V est de Calabi-Yau (on a ici π_{1}(V) = 0).

Parmi les exemples, on peut prendre pour V une hypersurface de degré 5 dans ℙ^{4} (quintique), une intersection de deux hypersurfaces cubiques de ℙ^{5}, de trois quadriques de ℙ^{6} (voir le §10 pour ces exemples).

On peut plus généralement remplacer ℙ^{N} par un produit ℙ^{n_{1}} × ⋯ × ℙ^{n_{s}} ou toute autre variété, dont le faisceau anticanonique est ample (i.e. : K_{V}^{−1} est ample). Une hypersurface est alors spécifiée par son équation, i.e. une forme de multidegré d_{i} = (d_{1i}, …, d_{si}). On forme ainsi un tableau :

H_{1}  H_{r}
n_{1} d_{11} ⋯ d_{1r}
n_{2} d_{21} ⋯ d_{2r}
⋮ ⋮  ⋮
n_{s} d_{s1} ⋯ d_{sr}

et V est l’intersection V = H_{1} ∩ ⋯ ∩ H_{r}, avec dim V = 3 si ∑_{i} n_{i} = r + 3. La

condition K_{V} ≅ 𝒪_{V} équivaut à ∑_{j=1}^{r} d_{ij} = n_{i} + 1, (i = 1, …, s).

7.1. Exemple. (variété de Tian-Yau)

H_{1} H_{2} H_{3}
3 3 0 1
3 0 3 1

On peut prendre pour V l’intersection complète des hypersurfaces ∑_{i=0}^{3} X_{i}^{3} = 0,

∑_{i=0}^{3} Y_{i}^{3} = 0 et ∑_{i=0}^{3} X_{i}Y_{i} dans ℙ^{3} × ℙ^{3}, où (X_{i}), (Y_{i}) sont les coordonnées homogènes

dans les deux exemplaires de ℙ^{3}. Noter que dans cet exemple, la permutation circulaire des coordonnées, fournit une action libre du groupe G = ℤ/3ℤ, et W = V/G est alors une variété de Calabi-Yau avec pour caractéristique d’Euler −6 (“modèle de nombre de génération 3” donc “physiquement acceptable”).

A ce stade, la question principale peut se résumer à : quelle construction géométrique, la variété de Calabi-Yau X étant donnée, va conduire à la variété miroir X^{∗}, en fait à une “variété candidate”.

Des arguments issus de la physique laissent penser que dans beaucoup de cas, X^{∗} s’obtiendra à partir de X en faisant un quotient par un groupe fini G d’automorphismes de X, le groupe G agissant trivialement sur H^{3,0}(X), pour assurer à une désingularisation convenable de X/G le caractère Calabi-Yau ; c’est la méthode des orbifolds des physiciens. A ce stade des difficultés variées apparaissent ; elles sont liées aux singularités qui résultent de l’existence de points fixes, car l’action de G n’est pas nécessairement libre. Si X̂ est une résolution des singularités de X/G, avec KX̂ ≅ 𝒪X̂ (on peut prouver qu’une telle résolution existe dans essentiellement tous les cas [B-M]), se pose le problème du calcul des nombres de Hodge H^{p,q}(X̂), disons à partir de ceux de X et des données liées à l’action de G sur X. Pour la caractéristique d’Euler χ = ∑(−1)^{p+q}h^{p,q} on a la formule de Dixon-Vafa-Witten

χ(X̂) = \frac{1}{|G|} ∑_{gh=hg} χ(X^{g} ∩ X^{h})

où la somme porte sur les couples g, h d’éléments de G qui commutent (gh = hg) et X^{g} = {x ∈ X | g(x) = x}, la variété des point fixes de g. Noter que si X̂ est le miroir de X, χ(X̂) = −χ(X).

Assez remarquablement, pour une formule analogue a été proposée par Batyrev et Zaslow [Za] pour les nombres de Hodge. Cette formule conjecturale est :

h^{p,q}(X̂) = ∑_{{g}} dim (H^{p−f_{g},q−f_{g}}(X^{g})^{C(g)})

où C(g) est le commutant de g dans G, et {g} la classe de conjugaison de g. Pour définir l’entier f_{g} on regarde l’action de l’automorphisme g_{x} induit sur l’espace tangent T_{x}X à x ∈ X^{g}. Du fait que g induit l’identité sur H^{3,0}, le déterminant de g_{x} est 1 et donc, si e^{−2πiλ_{j}}, 0 < λ_{j} < 1 sont les valeurs propres de g_{x} sur l’espace T_{x}X/T_{x}X^{g} normal à X^{g} (ces valeurs sont indépendantes du choix du point x ∈ X^{g}), la somme f_{g} = ∑_{j} λ_{j} est bien un entier.

Il n’est pas difficile de vérifier que la structure du diamant de Hodge d’une variété de Calabi-Yau est préservée et donc que les h^{p,q}(X̂) sont spéculativement les nombres de Hodge d’une variété de Calabi-Yau. Cela a été vérifié pour la construction de la variété miroir par la méthode des polyèdres de Batyrev.

Pour avoir assez d’arguments objectifs validant la distribution des variétés de Calabi-Yau en paires (avec peut-être des exceptions), il est nécessaire d’élargir le procédé de construction des variétés de Calabi-Yau, car si X est une hypersurface de ℙ^{4}, il y a peu de chances que X̂ soit aussi une hypersurface. Naturellement on est amené à remplacer ℙ^{n} ou ℙ^{n_{1}} × ⋯ × ℙ^{n_{s}} dans la construction du début par un espace projectif avec poids, ou un produit de tels espaces. Considérons un espace projectif avec poids ℙ^{r}(k_{1}, …, k_{s}), qui est la variété algébrique ayant pour points les (r + 1)-uples (z_{1}, …, z_{r+1}) ∈ ℂ^{r+1} \ {0}, modulo la relation d’équivalence

(z_{1}, …, z_{r}) ∼ (λ^{k_{1}}z_{1}, …, λ^{k_{r+1}}z_{r+1}) (λ ∈ ℂ^{∗}).

On vérifie que la construction de l’espace projectif ℙ^{r} = ℙ^{r}(1, …, 1) se généralise à cette situation, qui peut cependant conduire à une variété singulière. Une hypersurface de degré d est le lieu des zéros d’un polynôme quasi-homogène

P (z) = ∑_{i_{1}k_{1}+···i_{r+1}k_{r+1}=d} c_{i_{1}···i_{r+1}}z_{1}^{i_{1}} ⋯ z_{r+1}^{i_{r+1}}. Si {P = dP = 0} entraîne z = 0 dans

ℂ^{r+1} on dit que P est transverse. Un tel polynôme définit un hypersurface lisse et si d = ∑ k_{i} conduit à une hypersurface de Calabi-Yau ; on supposera r = 4, pour obtenir une hypersurface de dimension 3. L’expérience montre que dans la liste des poids {k_{i}} tels qu’il existe un polynôme quasi-homogène transverse de degré d = ∑ k_{i}, la distribution des nombres de Hodge (h^{1,1}, h^{2,1}) est essentiellement symétrique, c’est-à-dire que dans 90% des cas, la paire (h^{2,1}, h^{1,1}) apparaît. La meilleure façon d’expliquer l’absence de symétrie complète est d’invoquer la construction de la symétrie miroir par des méthodes toriques proposée par Batyrev [Ba]. Brièvement la dualité naïve X ↔ X^{∗} coïncide dans les construction cidessus avec la dualité combinatoire des polyèdres convexes qui ont la propriété de reflexivité (loc. cit.), le polyèdre étant le polyèdre de Newton du polynôme P. Il y a alors des formules pour obtenir de manière purement combinatoire les nombres de Hodge. L’exemple de l’hypersurface quintique peut être traité par par ce procédé (voir le §10).

Le lecteur consultera l’article [H-K-S-Y] pour une discussion détaillée sur l’utilisation des méthodes toriques.

7.C. Déformations

Les nombres de Hodge d’une variété de Calabi-Yau sont :

1

0  0
0  h^{1,1}  0
1  h^{2,1}  h^{1,2}  1
0  h^{1,1}  0
0  0

1

On a h^{2,1} = dim H^{1}(Ω_{X}^{1}) = dim H^{1}(X, T_{X}) car T_{X} = T_{X} ⊗ Ω_{X}^{3} ≅ Ω_{X}^{1}. Dans le paragraphe 3.C. (voir 3.8) on a vu que ce nombre donne le nombre de paramètres pour la structure complexe, s’il existe une déformation verselle (avec une base non-singulière).

On s’intéresse à la structure de Hodge sur H^{3}(X, ℝ) polarisée par la forme d’intersection (alternée et unimodulaire). On a

H^{3}(X, ℂ) = H^{3,0} ⊕ H^{2,1} ⊕ H^{1,2} ⊕ H^{0,3}

et

F^{3} = H^{3,0}, F^{2} = H^{3,0} ⊕ H^{2,1}, F^{1} = H^{3,0} ⊕ H^{2,1} ⊕ H^{1,2}.

Posons b = h^{2,1}. Alors F^{2} est un sous-espace totalement isotrope de H^{3}(X, ℂ), pour la forme alternée Q (cup-produit), et F^{1} = (F^{3})^{⊥}. Le domaine des périodes pour les structures de Hodge de ce type est de la forme D(b) = Sp(2b+2, ℝ)/U(1)× U(b). C’est un domaine de dimension \frac{1}{2}(b + 1)(b + 2).

Dans le §3.C on a brièvement traité les déformations et on a vu qu’on ne peut pas attendre en général qu’il existe une déformation verselle avec une base nonsingulière. Mais pour les variétés de Calabi-Yau c’est effectivement le cas comme le montre le théorème de Tian, Todorov et Bogomolov (voir [T]) :

7.2. Théorème. Une variété de Calabi-Yau possède une déformation locale universelle de base S lisse. [Il suffit que la variété soit kählérienne avec une première classe de Chern nulle.]

Donc ici h^{2,1} est réellement le nombre de paramètres effectifs pour décrire les variations de la structure complexe [C-O].

On suppose maintenant que la base S est simplement connexe. Alors l’application de périodes est une application holomorphe p : S → D(b). Elle se factorise en q : S → ℙ^{2b+1}, ou ℙ^{2b+1} est l’espace projectif des droites H^{3,0}(X_{s}) ⊂ H^{3}(X_{s}, ℂ) car p décrit la position de H^{3,0}(X_{s}) ⊕ H^{2,1}(X_{s}) dans le groupe de cohomologie H^{3}(X_{s}) tandis que q décrit la position de H^{3,0}(X_{s}).

Maintenant nous voulons expliquer le théorème de Bryant et Griffiths de [B-G]. On peut trivialiser localement le système local {H_{3}(X_{s}, ℤ)}, au moyen d’une base symplectique, donc une base de 3 cycles {γ_{i}, δ_{j}}_{i,j=0, ... ,b}, avec relativement au produit d’intersection :

(γ_{i}, δ_{j}) = δ_{ij} et (γ_{i}, γ_{j}) = (δ_{i}, δ_{j}) = 0.

La base Poincaré duale {α_{i}, β_{j})_{i,j=0, ... ,b} fournit une trivialisation du système local ℝ^{3}f_{∗}(ℤ). Soit ω une section locale de F^{3} = f_{∗}(ω_{X/S}^{3}) qui trivialise ce fibré. On considère les périodes de ω :

ζ_{i}(s) = ∫_{γ_{i}} ω(s), ξ_{j}(s) = ∫_{δ_{j}} ω(s)

c’est-à-dire :

(per)  ω = ∑_{i} ζ_{i}α_{i} + ∑_{j} ξ_{j}β_{j}.

L’application des périodes “partielle” q : S → ℙ^{2b+1} se décrit comme

s ↦ (ζ_{0}(s), …, ζ_{b}(s), ξ_{0}(s), …, ξ_{b}(s))

et on peut regarder “la moitié” q′ : S → ℙ^{b} donnée par les γ-périodes s ↦ (ζ_{0}(s), …, ζ_{b}(s))

7.3. Théorème (Bryant-Griffiths). L’application q′ est une immersion de sorte que les γ-périodes (ζ_{0}, …, ζ_{b}) servent comme paramètres “homogènes” sur S et les δ-périodes ξ_{b} sont des fonctions holomorphes de ζ_{0}, …, ζ_{b}.

Indication sur la preuve : Elle est basée sur une réinterprétation de l’application des périodes q comme une immersion de Legendre. Pour être précis, une variété de contact est une paire (M, ℒ) avec M une variété complexe de dimension impaire 2m + 1 et ℒ ⊂ Ω^{1} un sous fibré en droites du fibré cotangent qui est non-dégénéré, ce qui veut dire que pour toute section locale ω ≠ 0 de ℒ,

ω ∧ (dω)^{m} ≠ 0.

Une variété de Legendre associée à (M, ℒ) est une immersion f : S → M avec dim S = m telle que f^{∗}ω = 0 pour toute section locale ω de ℒ.

Si H = H^{3}(X, ℂ), la forme d’intersection sur H définit une structure de contact sur ℙ(H) (X est une variété de Calabi-Yau de dimension 3, et m = h^{2,1}). En fait, on peut supposer qu’on a choisi une base symplectique de H. Soit {p_{1}, …, p_{m+1}, q_{1}, …, q_{m+1}} le système de coordonnées correspondant. Il suffit de spécifier une 1-forme ω sur les ouverts standards de ℙ(H), disons sur U_{i} = {p_{i} ≠ 0} :

ω_{i} = −dq_{i} + ∑_{j≠i}(q_{j}dp_{j} − p_{j}dq_{j}).

On vérifie facilement que ω_{i} est une base locale sur U_{i} d’un sous-faisceau de Ω_{ℙ(H)}^{1} de rang un, localement libre et isomorphe à 𝒪(−2) (comparer ω_{j} et ω_{k} sur U_{j} ∩U_{k}). On a clairement ω ∧ (dω)^{m} ≠ 0 et donc on obtient une structure de contact sur ℙ(H).

Il s’agit de prouver que l’application des périodes est une immersion de Legendre. C’est d’abord une immersion (différentielle injective en tout point), par le fait que la différentielle dq, c’est-à-dire δ (§3.C) est injective. Le lecteur le vérifiera facilement en tenant compte de la trivialité de la classe canonique. La propriété de Legendre est une reformulation des propriétés infinitésimales de l’application des périodes développées au §3.C (se reporter au §10.A). Pour conclure on utilise les théorèmes de structure des variétés de contact détaillés dans [B-G].

La différentielle dq étant injective, les dérivées ∂q/∂ζ_{i}, i = 0, …, b sont indépendantes, et donc les ∇_{\frac{∂}{∂ζ_{i}}} ω(s) ∈ F^{2}(X_{s}) forment une base.

On peut maintenant explicitement décrire l’application des périodes p : S → D(b) comme donnée par la matrice

ϖ = ( ∫_{γ_{k}} \frac{∂ω(s)}{∂ζ_{i}}, ∫_{δ_{k}} \frac{∂ω(s)}{∂ζ_{i}}),

matrice de type (b + 1) × (2b + 2) qui décrit la position de F^{2}(X_{s}) dans H^{3}(X_{s}). De la relation (per) ci-dessus on tire que ϖ = [1l, τ], avec τ_{ij} symétrique. Du fait que la forme −iω ∧ ω̄ ainsi que les formes iα ∧ ᾱ pour α ∈ H^{2,1} sont positives, on obtient que Im τ est de signature (1, b). On peut aussi contrôler qu’un changement de base symplectique transforme τ en :

τ′ = (Aτ + B)(Cτ + D)^{−1}, \binom{A B}{C D} ∈ Sp(2b + 2, ℤ)

comme dans le demi-espace de Siegel (§3.B).

8. Cohomologie d’une hypersurface

On considère d’abord une variété projective lisse P de dimension n + 1 et une hypersurface X ⊂ P lisse. Nous voulons relier les groupes de cohomologie de P ∖ X et les groupes de cohomologie primitive de X. Ensuite on applique cette construction à ℙ^{n+1} où on utilise les formes rationnelles ayant des pôles le long de X. Cela donne la description de Griffiths ([Grif2] de la cohomologie primitive d’une hypersurface. Cette description a été généralisée par Dimca [Dim] et par d’autres au cas d’une intersection complète.

8.A. Cohomologie du complémentaire

Rappelons d’abord le théorème de Lefschetz “faible” qui implique que la cohomologie X diffère de celle de P seulement en rang n :

8.1. Théorème (Lefschetz). Soit X très ample et soit i : X → P l’injection. On a :

i^{∗} : H^{m}(P, ℂ) → H^{m}(X, ℂ) est \{ \begin{matrix}un isomorphisme si & m ⩽ n − 1 \\ injectif si & m = n \end{matrix}

On aura besoin de la conséquence suivante :

8.2. Corollaire. Soit X un diviseur très ample. Soit

i_{∗} : H^{n}(X, ℂ) → H^{n+2}(P, ℂ)

l’adjoint de i^{∗} : H^{n}(P, ℂ) → H^{n}(X, ℂ) par rapport au cup-produit. Alors i_{∗} est surjectif et le noyau est contenu dans la cohomologie primitive Prim^{n}(X, ℂ) et on a ker i_{∗} = Prim^{n}(X, ℂ) si Prim^{n}(P, ℂ) = 0.

Preuve. La première assertion est évidente. Le noyau consiste en les classes [α] telles que ∫_{P} ∂^{n}α ∧ β = ∫_{P} α ∧ i^{∗}β = 0 quel que soit [β] ∈ H^{n}(P, ℂ). En particulier on peut prendre [β] de la forme (classe de Kähler ω) ∧ i^{∗} (classe d’une n − 2-forme sur P). Mais i^{∗} : H^{n−2}(P, ℂ) → H^{n−2}(X, P) est un isomorphisme (théorème de Lefschetz de nouveau) et donc [α] ∧ ω = 0, c’est-à-dire [α] est primitive.

L’application i_{∗} apparaît dans la suite exacte de Gysin :

\begin{aligned}⋯ & → H^{m−2}(X, ℤ) \underrightarrow{i_{∗}} H^{m}(P, ℤ) → H^{m}(P ∖ X, ℤ) \\ & \underrightarrow{∂} H^{m−1}(X, ℤ) \underrightarrow{i_{∗}} H^{m+1}(P, ℤ) ⋯, \end{aligned}

obtenue comme suit. Soit T ⊂ P un voisinage tubulaire de X dans P. Comme X est un rétracte de T on a un isomorphisme H^{k}(T, ℤ) ⟶ H^{k}(X, ℤ) tandis que H^{k}(T, T ∖ X, ℤ est isomoprhe à H^{k−2}(X, ℤ) (‘isomorphisme de Thom’). Aussi, l’inclusion (T, T ∖ X) → (P, P ∖ X) est une excision et donc H^{k}(P, P ∖ X, ℤ) est isomorphe à H^{k}(T, T ∖ X, ℤ). La suite longue du couple (P, P ∖ X) donne alors la suite de Gysin.

Il suffit donc de calculer la partie “pertinente” de la cohomologie de P ∖ X. Ce calcul se fait en utilisant des complexes de formes rationnelles ayant seulement des pôles le long de X.

Rappelons d’abord le lemme de Poincaré holomorphe (voir le §1) :

∀p ⩾ 1, dα = 0, α ∈ Ω_{P}^{p} ⟹ α = dβ, β ∈ Ω_{P}^{p−1}.

Cette assertion est équivalente à l’exactitude du complexe Ω_{P}^{•}. Ce complexe donne une résolution du faisceau constant ℂ_{X}. Le groupe d’hypercohomologie ℍ^{m}(Ω_{P}^{•}) est donc égal à H^{m}(P, ℂ). De manière analogue Ω_{P ∖X}^{•} calcule la cohomologie de P ∖ X.

On passera aux formes ayant des pôles et on pose :

Ω_{P}^{p} (k) := Ω_{P}^{p} ⊗_{𝒪_{P}} 𝒪_{P} (kX) (faisceau de p-formes méromorphes

ayant au plus un pôle d’ordre k le long de X)

𝒵_{P}^{p} (k) : = {ω ∈ Ω_{P}^{p} (k)| dω = 0}
Ω_{P}^{p} (∗) : = faisceau de p-formes méromorphes

ayant des pôles seulement le long de X.

L’observation simple mais néanmoins centrale est :

8.3. Calcul. Soit α ∈ 𝒵_{P}^{p} (k), k ⩾ 2. Alors, si f = 0 est une équation locale de X, on a :

α = \frac{df ∧ β}{f^{k}} + \frac{γ}{f^{k−1}} ,  avec β, γ holomorphes sans df

= −\frac{1}{k − 1}d (\frac{β}{f^{k−1}} ) + \frac{γ + \frac{1}{k−1}dβ}{f^{k−1}} .

En d’autre termes, si l’ordre du pôle est ⩾ 2 on peut, localement, baisser l’ordre modulo des formes exactes.

Finalement, on arrive à une décomposition

α = β ∧ \frac{df}{f} + γ,

avec β et γ holomorphes. Le résidu de α est la forme res(α) = β|X, définissant une flèche

res : 𝒵_{P}^{p} (1) → Ω_{X}^{p−1}.

L’idée est d’utiliser ces calculs en cohomologie de De Rham, utilisant des formes C^{∞} et des partitions de l’unité pour globaliser. On commence par une forme rationnelle sur P de type (n + 1, 0) et avec au plus un pôle le long de X d’ordre disons ⩽ n + 1 − p. On la regarde comme forme C^{∞} sur P ∖ X et on baisse l’ordre du pôle utilisant le calcul précédent. On obtient une forme C^{∞} fermée de type (n + 1, 0) + (n, 1) à cause de dβ (β et γ ne restent pas nécessairement holomorphes quand on globalise avec des partitions d’unité). Après n − p étapes on arrive à une forme fermée de type (n + 1, 0) + ⋯ + (p + 1, n − p) ayant un pôle d’ordre ⩽ 1. Prenant son résidu on trouve une forme C^{∞} sur X de type (n, 0)+⋯+(p, n−p) qui est fermée. Cette forme répresente une classe dans F^{p}H^{n}(X, ℂ). On peut vérifier que cette construction est bien définie au niveau des classes de cohomologie et que la flèche :

Γ(Ω_{P}^{n+1}(n − p + 1)/dΓ(Ω_{P}^{n} (n − p)) → F^{p}H^{n}(X, ℂ)

est injective et s’envoie surjectivement sur la partie primitive, au moins dans des cas favorables comme P = ℙ^{n+1}. On va donner une autre démonstration de cette identification qui reste dans le cadre de la géométrie algébrique.

On a d’abord besoin du lemme de Poincaré dans le cadre des formes avec pôles :

8.4. Lemme.

i) On suppose p ⩾ 1. Le complexe (commençant en degré p) :

𝒫_{P}^{p} := \{Ω_{P}^{p} (1) \underrightarrow{d} Ω_{P}^{p+1}(2) \underrightarrow{d} ⋯ Ω_{P}^{n+1}(n − p + 2) → 0\}

est exact et donne donc une résolution de 𝒵_{P}^{p} (1). Par conséquent

H^{q}(M, 𝒵^{p}(1)) = ℍ^{p+q}(M, 𝒫_{P}^{p}).

ii) Les groupes H^{q}(Ω^{•}(∗)) de cohomologie du complexe

Ω^{•}(∗) = {𝒪_{P} (∗) → Ω^{1}(∗) → Ω^{2}(∗) → …}

sont nuls pour q ⩾ 2 tandis que H^{0}(Ω^{•}(∗)) = ℂ_{P} et H^{1}(Ω^{•}(∗)) = ℂ_{X}.

Preuve. Le complexe Ω_{P}^{•} (∗) coïncide avec Ω_{P}^{•} hors de X et alors est exacte au dessus de P ∖ X. Prenons un point x ∈ X et un système de coordonnées f, x_{1}, …, x_{n} centré en x tel que X soit donnée par f = 0. Soit α ∈ Ω_{P}^{p} (k) avec k ⩾ 2. Dans les coordonnées choisies on écrit localement

α = \frac{df ∧ β + γ}{f^{k}} , β, γ holomorphe et sans df

Le calcul central montre que α ∈ Ω^{p}(1) modulo dΩ^{p−1}(k − 1). Un tel élément s’écrit

α = \frac{df ∧ β}{f} + γ, β, γ holomorphes et sans df.

La condition dα = 0 implique que dβ = 0, dγ = 0. En utilisant le lemme de Poincaré, on peut alors écrire β = dσ, γ = dτ et donc

dα = d (\frac{σ}{f} ) + dτ.

Ceci montre i) et la majeure partie de ii). Il reste à vérifier que H^{0}(Ω^{•}(∗)) = ℂ_{P} et H^{1}(Ω^{•}(∗)) = ℂ_{X}. La première assertion est immédiate. On montre la dernière assertion par un calcul local analogue au précédent que nous omettons.

On a besoin du sous-complexe Ω_{P}^{•} (log X) de Ω^{•}(∗) formé par les formes différentielles ayant des pôles logarithmiques le long de X ([Ill, §7]). On va prouver qu’il est quasi-isomorphe au complexe plein (et donc aussi calcule les groupes de cohomologie de P ∖ X). Dans le cas actuel on pourra prendre comme définition (loc. cit.) :

Ω_{P}^{p} (log X) := {ω ∈ Ω_{P}^{p} (1)| dω ∈ Ω_{P}^{p+1}(1)}.

L’application résidu

res : Ω_{P}^{p} (log X) → Ω_{X}^{p−1}

est définie comme précédemment. Localement, on utilise un choix de coordonnées {f, z_{1}, …, z_{n}} telles que X soit donnée par f = 0, on écrit α = d log f ∧ β et on pose res(α) = β|_{X}. On vérifie que cette définition en effet ne dépend pas du choix des coordonnées et de l’équation locale, f = 0 de X. Donc cette application est bien définie. La flèche qu’on vient de définir apparaît dans une suite exacte de complexes :

(res)  0 → Ω_{P}^{•} → Ω_{P}^{•} (log X) \underrightarrow{res} Ω_{X}^{•}[−1] → 0.

Cette suite exacte montre par exemple que

H^{0}(Ω^{•}(log X)) = ℂ_{Y} = H^{0}(Ω^{•}(∗X)),
H^{1}(Ω^{•}(log X)) = ℂ_{X} = H^{1}(Ω^{•}(∗X)),
H^{q}(Ω^{•}(log X)) = 0 = H^{q}(Ω^{•}(∗X)) pour q ⩾ 2,

et donc Ω_{P}^{•} (log X) et Ω_{P}^{•} (∗) sont quasi-isomorphes :

ℍ^{p}(P, Ω_{P}^{•} (∗)) = ℍ^{p}(Ω_{P}^{•} (log X)) := ℍ^{p}

La suite exacte longue en hypercohomologie donne

\begin{aligned}⋯ & ⟶ H^{m−2}(X, ℂ) \underrightarrow{∂} H^{m}(P, ℂ) → ℍ^{m} \underrightarrow{Res} H^{m−1}(X, ℂ) \\ & \underrightarrow{∂^{m}} H^{m+1}(P, ℂ) → ⋯ \end{aligned}

où Res = res^{∗} est induite par l’application “résidu”. On va montrer que cette suite “est” la suite de Gysin.

D’abord il faut relier ∂^{m} et i_{∗}. Un calcul en coordonnées locales qu’on néglige montre que :

(gys)  ∂^{m} : H^{m−1}(X, ℂ) → H^{m+1}(P, ℂ)

est l’adjoint (par rapport au cup-produit) de

i^{∗} : H^{2n−m+1}(P, ℂ) → H^{2n−m+1}(X, ℂ).

Ensuite, on note qu’il y a une application naturelle :

j : ℍ^{m} = ℍ^{m}(Ω_{P}^{•} (log X)) → ℍ^{m}(Ω_{P ∖X}^{•}) = H^{m}(P ∖ X, ℂ)

qui commute avec les deux flèches de restrictions H^{m}(P, ℂ) → ℍ^{m}(Ω_{P}^{•} (log X)) et H^{m}(P, ℂ) → H^{m}(P ∖ X, ℂ).

Donc, dans l’échelle avec lignes exactes :

\begin{aligned}⋯ ⟶ H^{m−2}(X, ℂ) \underrightarrow{∂} & H^{m}(P, ℂ) & → & ℍ^{m} & \underrightarrow{Res} \\ ∥ & ∥ & & ↓ j \\ ⋯ ⟶ H^{m−2}(X, ℂ) \underrightarrow{i_{∗}} & H^{m}(P, ℂ) & → & H^{m}(P ∖ X, ℂ) & \underrightarrow{∂} \end{aligned} ; \begin{aligned}\underrightarrow{Res} & H^{m−1}(X, ℂ) & \underrightarrow{∂^{m}} H^{m+1}(P, ℂ) ⋯ ⟶ \\ & ∥ & ∥ \\ \underrightarrow{∂} & H^{m−1}(X, ℂ) & \underrightarrow{i_{∗}} H^{m+1}(P, ℂ) ⋯ ⟶ \end{aligned}

les deux premiers carrés commutent ainsi que le dernier. Alors j est injectif et donc un isomorphisme. Pour expliciter j on regarde la suite spectrale E_{1}^{p,q} = H^{q}(Ω_{P}^{p} (∗X)) ⟹ ℍ^{p+q}. On a E_{2}^{m,0} = m-formes fermées modulo formes exactes et utilisant la flèche naturelle E_{2}^{m,0} → ℍ^{m} on regarde une m-forme fermée comme un représentant d’une classe de cohomologie sur P ∖ X. On vérifie facilement que

∂ : H^{m}(P ∖ X, ℚ) → H^{m−1}(X, ℚ)

est la transposée de l’application “tube” :

τ : H_{m−1}(X, ℚ) \underrightarrow{≅} H_{m+1}(T, T ∖ X, ℚ) \underrightarrow{∂} H_{m}(T ∖ X, ℚ) → H_{m}(P ∖ X, ℚ).

(Intuitivement, l’application en homologie associe à un cycle le tube au dessus de ce cycle dans le complément de X en P). Ensuite, pour γ ∈ H_{m}(X, ℤ), ω ∈ H^{m+1}(P ∖ X, ℂ) on a (‘formule du résidu’) :

(tube)  ∫_{γ} res(ω) = \frac{1}{2πi} ∫_{τ(γ)} ω

et donc res = \frac{1}{2πi}∂ : le troisième carré du diagramme commute (à multiplication avec \frac{1}{2πi} près).

Nous appliquerons cette discussion dans le cas où X est une hypersurface de ℙ^{n+1}. Les conditions de la proposition suivante seront vérifiées.

8.5. Proposition. Soit X un diviseur très ample. Alors, Res : H^{n+1}(P ∖X, ℂ) → H^{n}(X, ℂ) est toujours injectif. Si Prim^{n}(P, ℂ) = 0, alors l’image est la partie primitive de H^{n}(X, ℂ).

Preuve. Par le théorème de Lefschetz,

i^{∗} : H^{n+1}(P, ℂ) → H^{n+1}(X, P)

est un isomorphisme et par conséquent l’adjoint

∂^{n−1} : H^{n−1}(X, ℂ) → H^{n+1}(P, ℂ)

est aussi un isomorphisme et donc Res^{n} : H^{n+1}(P ∖X, ℂ) → H^{n}(X, ℂ) est injectif. L’image de cet application, par (gys), s’identifie avec le noyau de i_{∗} : H^{n}(X, ℂ) → H^{n+2}(P, ℂ) qui (sous l’hypothèse Prim^{n}(P, ℂ) = 0) est lui aussi formé de classes primitives (par le Corollaire 2).

Si on fixe un degré dans (Res), la suite longue en cohomologie s’écrit :

⋯ ⟶ H^{q−1}(Ω^{p−1}(X)) \underrightarrow{∂^{q−1,p−1}} H^{q}(Ω_{P}^{p}) ⟶ H^{q}(Ω_{P}^{p} (log X)) ⟶
⟶ H^{q}(Ω_{X}^{p−1}) \underrightarrow{∂^{p,q−1}} H^{q+1}(Ω_{P}^{p}) ⟶ · · · .

L’application i^{∗} préserve la décomposition de Hodge et de là on tire que l’adjoint i_{∗} est un homomorphisme de degré (1, 1). Donc par le Corollaire 3 et la Proposition 5, ∂^{q−1,p−1} est un isomorphisme et ∂^{p,q−1} est surjectif quel que soient p, q avec p+q = n+1. Le même argument que dans la preuve du Corollaire 3 alors montre :

8.6. Corollaire. Sous les hypothèses de la Proposition on a une décomposition

H^{n+1}(P ∖ X, ℂ) = ⨁_{p+q=n+1} H^{q}(Ω_{P}^{p} (log X))

et l’application résidu induit un isomorphisme

H^{q}(Ω_{P}^{p} (log X)) \underrightarrow{∼} Prim^{p−1,q}(X).

8B. Filtration par l’ordre du pôle et filtration de Hodge

Comme dans le cas compact (§1 ou [Dem],§9) on introduit la filtration “naïve” F sur les complexes Ω^{•}(∗) et 𝒫_{P}^{k}. La filtration induite sur l’hypercohomologie sera aussi notée F. La suite spectrale d’hypercohomologie s’écrit dans ce cas :

H^{q}(P, Ω_{P}^{p} (∗)) ⟹ H^{p+q}(P ∖ X, ℂ)

mais cette suite ne dégénère pas en général.

La filtration F de Hodge sera calculée dans cette situation en utilisant le souscomplexe Ω_{P}^{p} (log X) de Ω^{•}(∗).

On voit directement que

ker(d : Ω^{p}(log X) → Ω^{p+1}(log X)) = ker(d : Ω_{P}^{p} (1) → Ω_{P}^{p+1}(2))

et donc

F^{p}H^{p+q}(P ∖ X, ℂ) = F^{p}ℍ^{p+q}(Ω^{•}(log X))
= i_{∗}^{p}ℍ^{p+q}(F^{p}(Ω^{•}(log X))) = i_{∗}^{p}H^{q}(P, 𝒵^{p}(1)).

8.7. Lemme. Si H^{a}(P, Ω_{P}^{b} (c)) = 0 quels que soient a, b, c > 0, on a pour p + q = n + 1 que H^{q}(P, 𝒵_{P}^{p} (1)) = Γ(P, Ω_{P}^{n+1}(q + 2))/dΓ(Ω_{P}^{n} (q + 1)).

Preuve. Comme dans la preuve classique faisceautique (voir [God]) du théorème de De Rham, les conditions du lemme impliquent que

H^{q}(P, 𝒵_{P}^{p} (1)) = H^{q}(Γ(P, 𝒫^{•})),

où on regarde le complexe Γ(P, 𝒫^{•})) comme un complexe commençant en degré zéro.

8.8. Corollaire. Dans les conditions du lemme précédent, on a

F^{p+1}H^{n+1}(P ∖ X, ℂ) = H^{n−p}(P, 𝒵_{P}^{p} (1)) = Γ(Ω_{P}^{n+1}(n − p + 1))/dΓ(Ω_{P}^{n} (n − p))

On combine ce résultat avec le Corollaire 5 et on obtient :

8.9. Théorème. Soit P une variété projective lisse de dimension n + 1 et soit X ⊂ P une hypersurface lisse. On suppose que X est très ample, que Prim^{n}(P, ℂ) = 0 et que H^{a}(Ω_{P}^{b} (c)) = 0 quels que soient a, b, c > 0. Alors l’application “Résidu” induit un isomorphisme

F^{p+1}H^{n+1}(P ∖ X, ℂ) = Γ(Ω_{P}^{n+1}(n − p + 1))/dΓ(Ω_{P}^{n} (n − p)) → F^{p} Prim^{n}(X, ℂ).

Maintenant, soit X_{f} ⊂ ℙ^{n+1} une hypersurface lisse donnée par un polynôme homogène f de degré d en coordonnées homogènes Z_{0}, …, Z_{n+1} de ℙ^{n+1}. Le seul groupe de cohomologie de ℙ^{n+1} ∖ X_{f} intéressant est le groupe en dimension n + 1. Les conditions du théorème sont vérifiées (théorème d’annulation de Bott, [Bott]) et le théorème dans ce cas donne un résultat de Griffiths :

8.10. Théorème ([Grif2]). L’application “résidu” induit un isomorphisme du sous-espace du groupe de De Rham H_{DR}^{n+1}(ℙ^{n} ∖ X_{f}) formée des classes provenant des formes ayant un pôle d’ordre ⩽ n−p+1 sur la p-ième partie F^{p} de la filtration de Hodge de Prim^{n}(X_{f}).

En particulier on voit que chaque n+1-forme rationnelle avec au plus un pôle le long de X_{f} doit être cohomologue à une forme ayant un pôle d’ordre au plus n+1, car F^{0} = H^{n}(X_{f}). En effet Griffiths donne une formule pour abaisser l’ordre du pôle modulo les formes exactes. Pour expliquer cela on a besoin de savoir comment s’écrivent les n + 1-formes rationnelles sur ℙ^{n+1} ayant au plus un pôle d’ordre k. Par un calcul direct en coordonnées affines on trouve qu’un telle forme s’écrit :

\frac{A}{f^{k}} Ω,

où

Ω = ∑_{j}(−1)^{j}Z_{j}dZ_{0} ∧ … d̂Z_{j} . . . . . . ∧ dZ_{n+1} et où deg A + n + 2 = kd.

Aussi, une n-forme rationnelle avec pôle le long de X_{f} s’écrit

φ = \frac{1}{f^{k−1}} ∑_{i<j}(−1)^{i+j}[Z_{i}A_{j} − Z_{j}A_{i}]dZ_{0} ∧ … d̂Z_{i} ∧ … ∧ d̂Z_{j} ∧ … ∧ dZ_{n+1}

et donc :

8.11. Lemme. Soient A_{0}, …, A_{n+1} des polynômes d’ordre (k − 1)d − n − 1. On a

(Réd)  \frac{(k − 1) ∑_{j=0}^{n+1} A_{j} \frac{∂f}{∂Z_{j}}}{f^{k}} Ω ≡ \frac{∑{n+1 \atop j=0} \frac{∂A_{j}}{∂Z_{j}}}{f^{k−1}} Ω + dφ

8.12. Corollaire. Soit J_{f} ⊂ ℂ[Z_{0}, …, Z_{n+1}] l’idéal de Jacobi de f c’est-à-dire l’idéal engendré par les ∂f/∂Z_{j}, j = 0, …, n + 1. L’application résidu induit un isomorphisme

(ℂ[Z_{0}, …, Z_{n+1}]/J_{f})^{d(n+1−p)−(n+2)} \underrightarrow{≅} Prim^{p,n−p}(X_{f}).

Preuve. Le Théorème 10 implique qu’on a une surjection

(ℂ[Z_{0}, …, Z_{n+1}])^{d(n+1−p)−(n+2)} → F^{p}/F^{p+1} = Prim^{p,n−p}(X_{f})

avec noyau consistant en les polynômes A provenant des formes de type dφ+ (forme ayant ordre de pôle ⩽ n−p) et à cause du Lemme ce sont exactement les polynômes de la forme A′ + fB où A′ ∈ J_{f}. L’équation d’Euler ∑_{j} Z_{j} \frac{∂f}{∂Z_{j}} = deg(f)f montre que f ∈ J_{f} et donc le Corollaire.

9. Équations de Picard-Fuchs

Le but de ce paragraphe est de définir l’équation de Picard-Fuchs, et pour une famille de variétés projectives à un paramètre expliquer le lien avec la connexion de Gauss-Manin. On détermine cette équation dans quelques exemples. Le dernier exemple sera utilisé dans le §10 pour trouver le q-développement lié à la symétrie miroir. On explique aussi comment calculer la monodromie locale sur cet exemple.

On suppose désormais que S est une courbe algébrique complexe lisse, S = \overline{S} ∖ T, où \overline{S} est une courbe lisse compacte et T est un nombre fini de points.

Soit \underline{V}_{S} un système local sur S soit ∇ la connexion plate de Gauss-Manin sur le fibré associé 𝒱 = \underline{V}_{S} ⊗ 𝒪_{S} définie par (voir le §2) :

∇(v ⊗ f) = v ⊗ df.

Sur 𝒱^{∨}, le dual de 𝒱 on a la connexion naturelle ∇^{∨} définie par

d⟨ν, v⟩ = ⟨∇^{∨}ν, v⟩ + ⟨ν, ∇v⟩,

où v est une section holomorphe locale de 𝒱 et ν une section locale de 𝒱^{∨} (voir [Dem]).

Soit S_{o} ⊂ \overline{S} un ouvert de Zariski affine tel qu’on ait une trivialisation :

𝒱^{∨}|S_{o} \underrightarrow{≅} 𝒪_{S_{o}}^{⊕r} (r = rang \underline{V}_{S}).

Une coordonnée affine s induit un champ vectoriel d/ds sur S_{o} et en composant la connexion ∇^{∨} sur 𝒱^{∨}|S_{o} et la contraction avec d/ds on obtient l’endomorphisme

D : 𝒱^{∨}|S_{o} → 𝒱^{∨}|S_{o}.

Si α est une section méromorphe de 𝒱^{∨} sans pôles au dessus de S_{o}, en utilisant la trivialisation, on peut regarder les sections α, Dα, D^{2}α, …, D^{r}α comme contenues dans ℂ(S)^{r} ⊃ Γ(S_{o}, 𝒪^{⊕r}) sont dépendantes sur ℂ(S) ; il y a une valeur minimale p tel que α, Dα, …, D^{p}α soient dépendantes et, en remplaçant D par d/ds, on obtient une équation différentielle : (normalisée par le fait que le coefficient de (\frac{d}{dt})^{p} est 1)

(d/dt)^{p} + A_{p−1}(s)(d/dt)^{p−1} + ⋯ + A_{0}(s) = 0.

Les solutions forment le système local Sol(D) et pour chaque section plate v de \underline{V}_{S} le fonction ⟨α, v⟩ est une solution de D = 0. En fait, d⟨α, v⟩ = ⟨∇^{∨}α, v⟩ entraîne que ((d/dt)^{p} + A_{p−1}(s)(d/dt)^{p−1} + ⋯ + A_{0}(s))⟨α, v⟩ = ⟨(∇^{∨})^{p}α + A_{p−1}(s)(∇^{∨})^{p−1}α + ⋯ + A_{0}(s)α, v⟩ = 0.

On obtient alors un homomorphisme surjectif de systèmes locaux :

\underline{V}_{S} → Sol(D)

qui est un isomorphisme quand p = r. Dans ce cas on dit que α est une section cyclique.

9.1. Exemple. Le système local provenant de l’homologie des fibres d’une famille algébrique f : X → S. Pour \underline{V}_{S} on prend le système local dont la fibre au dessus de s ∈ S est le groupe d’homologie H_{n}(X_{s}, ℂ) de la fibre X_{s} = f^{−1}(s) en dimension n = dim X_{s}.

L’accouplement donné par l’intégration sur les n-cycles

\begin{matrix}\underline{V}_{S} × R^{n}f_{∗}ℂ & → ℂ \\ (γ, [ω]) & ↦ ∫_{γ} ω \end{matrix}

met en dualité \underline{V}_{S} et R^{n}f_{∗}ℂ, le système local qui a pour fibre au dessus de s le groupe de cohomologie H^{n}(X_{s}, ℂ) (voir le §1).

On sait que le fibré 𝒱^{∨} = R^{n}f_{∗}ℂ ⊗ 𝒪_{S} supporte une variation de structure de Hodge et le sous-fibré ℱ^{n} est le sous-fibré des classes de n-formes relatives. Sur chaque fibre celles-ci donnent des n-formes holomorphes. Une section ω(s) méromorphe de 𝒱^{∨} holomorphe sur S appartenant à ℱ^{n} est la même chose qu’une famille de formes holomorphes dépendant de façon méromorphe de s. Dans ce cas, l’équation différentielle associée à la classe de cohomologie [ω(s)] est appelée équation de Picard-Fuchs. La discussion précédente entraîne que les solutions sont données par des périodes ∫_{γ} ω(s), γ ∈ H_{n}(X_{s}, ℂ) pourvu que l’on considère γ comme section plate (multiforme) du système local R_{n}f_{∗}ℂ.

9.2. Remarque. La section [ω(s)] n’est pas nécessairement cyclique. Par contre, elle sera cyclique pour le sous-système local \underline{V} S^{∨} de R^{n}f_{∗}ℂ engendré par [ω(s)]. La monodromie (classique) de cette équation différentielle coïncide avec la monodromie de ce sous-système. En fait, V_{S,s} est l’orthogonal (par rapport à l’intersection entre n-cycles) de l’annulateur de \underline{V} S,s^{∨}, le plus petit sous-espace de H^{n}(X_{s}, ℂ) contenant [ω] et stable par la monodromie. En particulier ∫_{γ} ω = 0 pour γ ∈ V_{S,s} implique que γ = 0. Autrement dit, par prolongement analytique des solutions locales ∫_{γ} ω, on obtient des solutions de la forme ∫_{γ′} ω (monodromie classique) où γ′ se déduit de γ par la monodromie du système V_{S}.

Maintenant soit s une coordonnée autour de l’un des points t ∈ T. On introduit

Θ := s\frac{d}{ds}

et on réécrit l’équation de Picard-Fuchs :

(PF_{pol})  [Θ^{p} + B_{p−1}(s)Θ^{p−1} + ⋯ + B_{0}(s)]ϕ = 0.

La connexion ∇ s’étend en une connexion à pôles logarithmiques sur T :

\overline{∇} : 𝒱 → 𝒱 ⊗ Ω^{1}(log T)

Voir le §8 suite au Lemme 8.4 pour la définition du faisceau Ω^{1}(log T). On remarque que ici, dans le cas de la dimension 1 on a que Ω^{1}(log T) = Ω^{1}(T) est, localement autour d’un point de T, engendré par ds/s. L’opérateur Θ correspond à \overline{∇}_{s \frac{d}{ds}} et une traduction du fait que \overline{∇} existe est de dire que :

9.3. Lemme-Définition ([Del1]). Les fonctions B_{j}(s) sont holomorphes autour de t. On dit que t est un point singulier régulier.

L’équation (PF_{pol}) est équivalente à un système

ΘX(s) = A(s)X(s)

où (φ(s) étant une solution recherchée de l’équation) :

X(s) = ( φ(s) ; Θφ(s) ; ⋮ ; Θ^{p−1}φ(s) )

et

A(s) = ( \begin{matrix}0 & 1 & … & 0 \\ ⋮ & ... & ... & ⋮ \\ 0 & ⋯ & 0 & 1 \\ −B_{0}(s) & ⋯ & −B_{p−1}(s) & −B_{p}(s) \end{matrix} )

La matrice A(0) est appelée le résidu de la connexion et elle est notée :

Res(∇) := A(0).

9.4. Lemme ([C-L]). Si on suppose que pour toutes les valeurs propres distinctes λ et μ de Res(∇), λ − μ ∉ ℤ; alors la monodromie autour de t est donnée par e^{2πi Res(∇)}.

En particulier on en déduit :

9.5. Corollaire. Si B_{j}(0) = 0, j = 0, …, p − 1 la monodromie locale autour de t est e^{2πiN} où N est la matrice nilpotente

N = ( \begin{matrix}0 & 1 & ⋯ & 0 \\ 0 & 0 & ... \\ ⋮ & & ... & 1 \\ 0 & ⋯ & ⋯ & 0 \end{matrix} ) .

Pour appliquer ce corollaire dans la situation d’une famille d’hypersurfaces X_{f(s)} d’équation f(s)(Z_{0}, …, Z_{n+1}) = 0 dans ℙ^{n+1} , complétons la discussion du paragraphe précédent. On suppose dim(S) = 1. Soit s un paramètre local sur S et soit Ω(s) = h(s)Ω une n + 1-forme rationnelle sur ℙ^{n+1} qui dépend holomorphiquement de s. L’effet de la connexion plate de Gauss-Manin se décrit par :

(GM)  Res_{X_{f(s)}} [\frac{d^{k}}{ds^{k}} Ω(s)] = [∇_{d/ds}^{k} res_{X_{f(s)}} Ω(s)] ,

où [α] désigne la classe de cohomologie d’une forme α. Cette formule est facilement déductible de la formule §8(tub).

9.6. Exemple. Soit la famille de courbes elliptiques (famille de Hesse) :

f(u) := Z_{0}^{3} + Z_{1}^{3} + Z_{2}^{3} − 3uZ_{0}Z_{1}Z_{2}

au dessus de ℙ^{1} ∖ \{∞, 1, ρ, ρ^{2}\} où ρ = e^{\frac{2πi}{3}} . Pour u = ∞ la courbe dégénère en trois droites et on va étudier la situation autour de ce point. On va d’abord déterminer l’équation différentielle associée aux formes holomorphes ω(u) sur la famille f(u) = 0.

On écrit pour cela :

(Rat)_{ℓ}  Ω_{ℓ}(u) := \frac{(−1)^{ℓ−1}(ℓ − 1)! u^{ℓ} (∏ Z_{j}^{ℓ−1})}{f(u)^{ℓ}}Ω, ℓ = 1, ….

On note que res(Ω_{1}(u)) = ω(u) est une forme holomorphe sur X_{f(s)} et grâce à la formule (GM) on a

(GM)_{bis}  Ω_{k}(u) = (u\frac{d}{du})^{k} Ω_{1}(u) = ∇_{u \frac{d}{du}}^{k} ω(u) mod les formes exactes.

Les calculs donnent

(Z_{0}Z_{1}Z_{2})^{2}(1 − u^{3}) = ∑_{k=0}^{2} A_{k} \frac{∂f}{∂Z_{k}}

où

\begin{aligned}A_{0} & = \frac{1}{3}uZ_{0}Z_{1}^{3} \\ A_{1} & = \frac{1}{3}u^{2}Z_{0}Z_{1}^{2}Z_{2} \\ A_{2} & = \frac{1}{3}Z_{0}^{2}Z_{1}^{2}. \end{aligned}

Utilisant la formule (Réd) (voir le Lemme 8.11) on trouve que Ω_{3}(u) ≡ P Ω modulo les formes exactes, où

P = \frac{u^{3}}{1 − u^{3}} · \frac{\frac{1}{3}uZ_{1}^{3} + \frac{2}{3}u^{2}Z_{0}Z_{1}Z_{2}}{f^{2}} .

Puisque P Ω et Ω_{2}(u) ont un pôle d’ordre 2, le Corollaire 8.12 entraîne qu’il existe une fonction φ(u) tel que P Ω − φ(u)Ω_{2}(u) = \frac{q}{f^{2}} Ω avec q ∈ J_{f}. On trouve en effet que

\frac{u^{3}}{1 − u^{3}} · (\frac{1}{3}uZ_{1}^{3} + \frac{2}{3}u^{2}Z_{0}Z_{1}Z_{2}) + \frac{u^{3}}{1 − u^{3}} (−u^{2}Z_{0}Z_{1}Z_{2}) = \frac{1}{9} \frac{u^{3}}{1 − u^{3}} uZ_{1} \frac{∂f}{∂Z_{1}} ∈J_{f}

et une nouvelle application de (Réd) donne que

Ω_{3}(u) + \frac{u^{3}}{1 − u^{3}} Ω_{2}(u) − \frac{1}{9} \frac{u^{3}}{1 − u^{3}} Ω_{1}(u) = 0 mod les formes exactes.

On note maintenant que ℤ/3ℤ agit sur la famille par : ρ · (Z_{0}, Z_{1}, Z_{2}, u) = (Z_{0}, Z_{1}, ρZ_{2}, ρ^{2}u) et donc les fibres au dessus de u, ρu et ρ^{2}u sont isomorphes. Il est donc naturel de prendre pour paramètre

s = u^{−3}.

Alors

Θ = −\frac{1}{3}u\frac{d}{du} = s\frac{d}{ds}

et on trouve que (toujours modulo les formes exactes) :

[Θ^{2} + B_{1}Θ + B_{0}]Ω_{1}(u) = 0

où

\begin{aligned}B_{0} & = \frac{2}{9} \frac{s}{s − 1} \\ B_{1} & = \frac{s}{s − 1}. \end{aligned}

Cette équation est équivalente au système :

Θ ( \begin{matrix}Ω_{1} \\ ΘΩ_{1} \end{matrix} ) = A(s) ( \begin{matrix}Ω_{1} \\ ΘΩ_{1} \end{matrix} )

où

A(s) = ( \begin{matrix}0 & 1 \\ −B_{0} & −B_{1} \end{matrix} ) .

En utilisant la formule (GM)_{bis} on trouve que la famille des 1-formes ω(s) sur la famille des courbes elliptiques satisfait au même système d’équations. Ce système est équivalent à l’équation de Picard-Fuchs.

Le Corollaire 5 nous donne : A(0) = ( \begin{matrix}0 & 1 \\ 0 & 0 \end{matrix} ) et alors l’opérateur de mon-

odromie locale est ( \begin{matrix}1 & 2πi \\ 0 & 1 \end{matrix} ) .

9.7. Exemple. Dans cet exemple on considère une famille de variétés de Calabi-Yau (Voir [Mor2] pour détails)

f(s) = Z_{0}^{5} + Z_{1}^{5} + Z_{2}^{5} + Z_{3}^{5} + Z_{4}^{5} − 5uZ_{0}Z_{1}Z_{2}Z_{3}Z_{4}, s = u^{−5}.

Par un calcul identique à celui de l’exemple précédent, on trouve avec Θ = s\frac{d}{ds} :

[Θ^{4} + B_{3}Θ^{3} + B_{2}Θ^{2} + B_{1}Θ + B_{0}]φ = 0

avec les coefficients :

\begin{aligned}B_{0} & = \frac{24}{625} · \frac{s}{s − 1} \\ B_{1} & = \frac{2}{5} · \frac{s}{s − 1} \\ B_{2} & = \frac{7}{5} · \frac{s}{s − 1} \\ B_{3} & = 2 · \frac{s}{s − 1}. \end{aligned}

et la matrice A(s) de Θ par rapport à {Ω_{1}, ΘΩ_{1}, Θ^{2}Ω_{1}, Θ^{3}Ω_{1}} est égale à

( \begin{matrix}0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ −B_{0} & −B_{1} & −B_{2} & −B_{3} \end{matrix} )

Ici la monodromie locale est e^{2πiN} où N = ( \begin{matrix}0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix} ). Pour la suite on

a besoin d’une solution holomorphe autour du point s = 0. Pour l’obtenir on remarque qu’on peut réécrire l’équation différentielle comme :

[Θ^{4} − s(Θ + 5^{−1})(Θ + 2 · 5^{−1})(Θ + 3 · 5^{−1})(Θ + 4 · 5^{−1})]φ = 0

(en multipliant par (1 − s)) et alors la relation de récurrence pour les coefficients

(n + 1)^{4}a_{n+1} = (n + 5^{−1})(n + 2 · 5^{−1})(n + 3 · 5^{−1})(n + 4 · 5^{−1})a_{n}

a une solution a_{n} = \frac{(5n)!}{5^{5n}(n!)^{5}} et donc on trouve

(soln)  f_{0}(s) = ∑_{n⩾0} \frac{(5n)!}{(n!)^{5}} (\frac{s}{5^{5}} )^{n}

est une solution holomorphe. C’est l’unique solution holomorphe en s = 0 avec f_{0}(0) = 1.

Le lecteur pourra completer ces exemples en traitant le cas intermédiaire de la quartique de Fermat (surface K3).

10. Variétés de Calabi-Yau et symétrie miroir

On reprend la discussion du §7 en considérant la famille universelle d’une variété de Calabi-Yau de dimension 3 et sa variation infinitésimale qui conduit à l’accouplement de Yukawa. On montre que, si la base est de dimension 1, cet accouplement satisfait à une équation différentielle d’ordre 1 dont les coefficients sont liés à ceux de l’équation de Picard-Fuchs, qui est une équation d’ordre 4. En cherchant une coordonnée canonique q on est forcé d’invoquer ici l’existence de la structure de Hodge mixte limite. Dans la dernière sous-section on reprend l’exemple 9.7 et on discute la prédiction qui découle de l’hypothèse de symétrie : les coefficients dans le qdéveloppement de l’accouplement de Yukawa, proprement normalisées, sont liés aux nombres de courbes rationnelles sur le membre générique de la famille miroir, qui conjecturalement est la famille des hypersurfaces quintiques dans ℙ^{4}.

10.A. Accouplement de Yukawa

On considère une famille f : X → S de variétés de Calabi-Yau ; soit alors la VHS définie par la variation de la cohomologie de rang 3, {H^{3}(X_{s}, ℂ)}. On peut localement en s_{0} ∈ S, supposer que ℱ^{3} = f_{∗}(Ω_{X/S}^{3}) est trivial, et du fait que h^{3,0} = 1 choisir une 3-forme holomorphe (relative) ω, telle que ω(s) ≠ 0 pour s voisin de s_{0}. On trivialise le fibré vectoriel ℋ^{3}(X/S) au moyen de sections plates (∇α = 0), soit τ_{1}, …, τ_{2b+2} une telle trivialisation (ici b = h^{2,1}(X_{s})). On peut considérer {τ_{i}} comme la base duale d’une base d’homologie (constante) {γ_{i}}. Rappelons que la forme de Hodge-Riemann (voir le §3.A) est donnée par Q(α, β) = − ∫_{X_{s}} α ∧ β, (k = n = 3) et donc

f_{i} := Q(τ_{i}, ω) = − ∫_{γ_{i}} ω

est une fonction holomorphe sur le voisinage considéré de s_{0}. Ce sont les périodes de ω. Relativement à la base choisie, ω se décompose en

ω = ∑_{i=1}^{2b+2} α_{i}τ_{i} (α_{i} holomorphe en s_{0}).

Du fait que ∇τ_{i} = 0,

∇ω = ∑_{i=1}^{2b+2} dα_{i} ⊗ τ_{i}.

Si t_{1}, …, t_{r} sont des coordonnées locales en s_{0},

∇_{∂/∂t_{α}} = ∑_{i} \frac{∂α_{i}}{∂t_{α}} τ_{i}.

On notera que la propriété de transversalité de Griffiths entraîne que relativement à la filtration de Hodge {ℱ^{p}}_{0⩽p⩽4}, on a :

\frac{∂ω}{∂t_{α}} := ∇_{∂/∂t_{α}}ω ∈ ℱ^{2} et \frac{∂^{2}ω}{∂t_{α}∂t_{β}} ∈ ℱ^{1}.

D’où

Q(ω, \frac{∂ω}{∂t_{α}} ) = Q(ω, \frac{∂^{2}ω}{∂t_{α}∂t_{β}} ) = 0.

Par contre

Q(ω, \frac{∂^{3}ω}{∂t_{α}∂t_{β}∂t_{γ}} ) = ∫_{X_{t}} ω ∧ \frac{∂^{3}ω}{∂t_{α}∂t_{β}∂t_{γ}}

est différente de zéro en général. On va justifier que cette fonction représente l’application linéaire δ (voir la formule (iter) dans le §3.C ) associée à la variation infinitésimale.

On a vu dans les §2.D et §3.C que la dérivée de l’application des périodes est donnée par

σ : T_{S,s_{0}} ⟶ ⨁ Hom(H^{p,q}, H^{p−1,q+1})

où σ(∂/∂t) agit par le cup-produit avec ρ(∂/∂t), image de ∂/∂t par l’application de Kodaira-Spencer ρ : T_{S,s_{0}} → H^{1}(T_{X_{s_{0}}} ). Le fibré ℱ^{3} est trivialisé par la forme ω et dans notre cas la formule (iter) revient à

σ : Sym^{3} T_{S,s_{o}} ⟶ Hom(H^{3,0}(X_{s_{0}}), H^{0,3}(X_{s_{0}})) =
= Hom(ℂ · ω(s_{0}), ℂ · \overline{ω}(s_{0}))
∂/∂t_{α} ⊗ ∂/∂t_{β} ⊗ ∂/∂t_{γ} ⟼ \{ω(s_{0}) ↦ \frac{∂^{3}ω}{∂t_{α}∂t_{β}∂t_{γ}} (s_{0})\}.

On peut donc écrire

σ(∂/∂t_{α} ⊗ ∂/∂t_{β} ⊗ ∂/∂t_{γ})(ω(s_{0})) = ∫_{X_{s_{0}}} ω ∧ \frac{∂^{3}ω}{∂t_{α}∂t_{β}∂t_{γ}} .

D’où ici la variation infinitésimale de la structure de Hodge fournit les invariants :

\overline{\underline{κ_{αβγ} := ∫_{X_{s_{0}}} ω ∧ \frac{∂^{3}ω}{∂t_{α}∂t_{β}∂t_{γ}}}}

appelés dans ce contexte accouplement de Yukawa ([Mor1], [C-O], [H]). Le tenseur invariant associé est

κ = ∑_{α,β,γ} κ_{αβγ}dt_{α} ⊗ dt_{β} ⊗ dt_{γ} ∈ Sym^{3}(Ω_{S}^{1}).

Si dim S = 1, t est une coordonnée locale en s_{0}, on notera

κ_{ttt} = ∫_{X_{t}} ω ∧ \frac{d^{3}ω}{dt^{3}}

qui est une fonction holomorphe du paramètre t (au voisinage de s_{0}) et le tenseur invariant est

κ = κ_{ttt}(dt)^{⊗3} ∈ (Ω_{S}^{1})^{⊗3}.

Si en outre f : X → S est une famille verselle (voir le §3.C) on a dim H^{1}(T_{X_{s_{0}}} ) = 1 = dim H^{2,1}(X_{s_{0}}) et donc H^{3}(X_{s_{0}}) est de dimension 4. La versalité implique que l’application de Kodaira-Spencer est un isomorphisme et donc que les trois flèches H^{k,3−k} → H^{k−1,4−k}, k = 1, 2, 3 sont des isomorphismes (ces espaces sont de dimension 1 et les applications sont obtenues en prenant le cup-produit avec la classe de Kodaira-Spencer ρ(∂/∂t)). Donc κ_{ttt} ≠ 0 dans ce cas et les sections \{\frac{d^{i}ω}{dt^{i}} \}_{i=0,1,2,3} forment une base du fibré ℋ^{3}(X/S), sur un voisinage de s_{0}. D’où

une relation de dépendance linéaire

(PF)  \frac{d^{4}ω}{dt^{4}} = ∑_{i=0}^{3} A_{i}(t)\frac{d^{i}ω}{dt^{i}}

qui est l’équation différentielle de Picard-Fuchs. Si α est une section plate de ℋ^{3}(X/S), la période ϖ = Q(α, ω) = ∫_{γ} ω (si α est la classe Poincaré duale du cycle γ), satisfait à l’équation

\frac{d^{4}ϖ}{dt^{4}} = ∑_{i=0}^{3} A_{i}(t)\frac{d^{i}ϖ}{dt^{i}} .

On peut dériver sous le signe somme car Q est constante.

Par l’anti-symétrie de Q on a Q(\frac{d^{2}ω}{dt^{2}} , \frac{d^{2}ω}{dt^{2}} ) = 0 et en dérivant deux fois la relation Q(ω, \frac{d^{2}ω}{dt^{2}} ) = 0 on trouve :

\frac{d}{dt}Q(ω, \frac{d^{3}ω}{dt^{3}} ) = −Q(\frac{dω}{dt} , \frac{d^{3}ω}{dt^{3}} ) − Q(\frac{d^{2}ω}{dt^{2}} , \frac{d^{2}ω}{dt^{2}} ) = −Q(\frac{dω}{dt} , \frac{d^{3}ω}{dt^{3}} ),

mais aussi

\frac{dκ_{ttt}}{dt} = Q(\frac{dω}{dt} , \frac{d^{3}ω}{dt^{3}} ) + Q(ω, \frac{d^{4}ω}{dt^{4}} ) = Q(\frac{dω}{dt} , \frac{d^{3}ω}{dt^{3}} ) + A_{3}(ω, \frac{d^{3}ω}{dt^{3}} ),

et donc, en additionnant ces deux équations on a :

\overline{\underline{\frac{dκ_{ttt}}{dt} = \frac{1}{2}A_{3}κ.}}

Cette équation a pour solution (bien déterminée à une constante multiplicative près) :

(yuk)  κ_{ttt} = e^{\frac{1}{2} ∫ A_{3}(t)dt}.

Remarquons que sous l’hypothèse retenue, l’équation différentielle ∇α = 0, est le système linéaire équivalent à l’équation du 4e ordre (PF). Ceci explique que les informations locales sur la monodromie, sur κ_{ttt}, se déduisent du calcul explicite de l’équation de Picard-Fuchs.

Finalement quelque mots sur le cas d’une équation de Picard-Fuchs à points singuliers réguliers. On suppose que s est une coordonnée locale autour d’un tel point et on écrit

κ = κ_{sss} (\frac{ds}{s})^{⊗3}

et, comme d’habitude,

Θ = s\frac{d}{ds}.

Maintenant, pour trouver κ_{sss} il faut résoudre l’équation

\frac{dκ}{ds} = −\frac{1}{2}B_{3}κ

Où B_{3} est le coefficient de Θ dans l’équation de Picard-Fuchs [Θ^{4}+B_{3}Θ^{3}+B_{2}Θ^{2}+ ⋯]φ = 0.

10.1. Exemple. Dans l’exemple 9.7 de la section précédente en utilisant la coordonnée s on trouve

κ_{sss} = C_{1} \frac{1}{s^{3}(s − 1)}, C_{1} = constante d’intégration.

Discutons les possibles normalisations de l’accouplement de Yukawa dans le cas d’un paramètre s. On applique d’abord le résultat classique (voir [Ince])

10.2. Théorème. Soit donnée une équation différentielle d’ordre ⩾ 2 sur un disque autour de 0 ayant une singularité régulière en 0. On suppose que la monodromie T locale autour de 0 admet un seul bloc de Jordan pour la valeur propre 1 avec multiplicité ⩾ 2. Alors, il existe une solution f_{0} régulière et uniforme autour de 0. De plus, il existe une solution locale f_{1} autour de 0, indépendante de f_{0} telle que g(s) = 2πif_{1}(s) − log(s) · f_{0}(s) soit uniforme. La solution f_{0} est unique à une constante multiplicative près, la solution f_{1} est unique à un multiple de f_{0} près.

Si donc f_{0} ≠ 0 on pourra fixer le f_{0} par f_{0}(0) = 1 et ensuite le f_{1} par g(0) = 0. On peut toujours remplacer s par une autre coordonnée w(s) ; de κ_{sss}(ds/s)^{⊗3} = κ_{www}(dw/w)^{⊗3} on tire que κ est remplacé par (ds/dw)^{3}. On cherche à trouver une coordonnée q “normalisée” sur le disque. Dans un premier temps, on regarde la fonction multiforme

τ(s) = f_{1}(s)/f_{0}(s)

comme un paramètre uniforme sur le demi-plan de Poincaré 𝔥. Quand s tourne autour de 0 le paramètre τ se transforme en τ + 1. Celui-ci est uniquement déterminé par cette propriété à une constante additive près ; cela provient du fait qu’on pourra remplacer f_{1} par f_{1} + \frac{1}{2πi} · log c_{2} · f_{0}, le point s = 0 n’ayant aucune signification intrinsèque sur 𝔥. Donc le paramètre

q = exp (2πi\frac{f_{1}(s)}{f_{0}(s)}) = s exp (\frac{g}{f_{0}} )

sur le disque épointé est bien-défini à la constante multiplicative c_{2} ∈ ℂ^{∗} près.

Ensuite on souhaite normaliser κ_{τττ}. D’abord, il faut noter que κ dépend du choix de la 3-forme relative ω. Si ω se transforme en k(s)ω, κ_{sss} est transformé en k(s)^{2}κ_{sss}. On remarque que la solution f_{0} est de la forme f_{0} = ∫_{γ} ω pour un 3-cycle γ, invariant par la monodromie locale. Un tel cycle γ est unique à une constante multiplicative près. Donc, la 3-forme ω̃ = f_{0}(s)^{−1}ω = ω/ ∫_{γ} ω est une 3-forme holomorphe ω̃(s) telle qu’il existe un cycle invariant γ dans H_{3}(X_{s}, ℂ) avec ∫_{γ} ω̃ = 1. Ainsi ω̃ est unique à une constante multiplicative près. Conclusion : avec cette normalisation on a

κ = c_{1} \frac{exp (−\frac{1}{2} ∫ B_{3}(s)ds)}{f_{0}(s)^{2}} (\frac{1}{2πi} \frac{ds}{s})^{⊗3} , c_{1} ∈ ℂ^{∗}.

Ensuite on note que κ_{τττ} (dτ)^{3} = κ_{sss} (\frac{1}{2πi} · \frac{dq}{q} )^{3} est périodique en τ et donc il

existe un développement en

q := e^{2πiτ(s)}.

On écrit alors :

(dev)  κ = c_{1} · (∑_{j=0}^{∞} κ_{j} (\frac{q}{c_{2}} )^{j}) · (\frac{dq}{2πiq} )^{⊗3}

On peut voir (cf. [Mor2]) facilement que les coefficients κ_{j} sont des nombres rationnels si les coefficients B_{j} de l’équation de Picard-Fuchs admettent une développement en série entière à coefficients rationnels.

Rappelons que ce calcul est fait sous l’hypothèse cruciale que f_{0}(0) = ∫_{γ} ω(0) ≠ 0. On la vérifiera dans le sous-paragraphe suivant.

Exemple. On reprend l’exemple 10.1. Ici f_{0}(0) = 1 (voir l’Exemple 9.7) et on observe que l’hypothèse sur les B_{j}(s) est bien vérifiée. On trouve ici que

κ_{sss} = \frac{c_{1}}{(s − 1)f_{0}(s)^{2}} .

10.3. Remarques. I. En liaison avec les calculs précédents, rappelons le théorème de Bryant et Griffiths (Théorème 7.3). On fait l’hypothèse que la famille f : X → S est la déformation universelle de X_{0} = f^{−1}(0), de sorte que l’application de Kodaira-Spencer est un isomorphisme pour tout s ∈ S, et dim(S) = h^{2,1} = b. En vertu du théorème de Bogomolov et Tian (voir le §7.C), S est lisse. On suppose que S soit isomorphe à un disque de dimension b. On trivialise le système local {H_{3}(X_{s}, ℤ)}, au moyen d’une base symplectique {γ_{i}, δ_{j}}_{i,j=0, ... ,b}. Soit ω une section locale de F^{3} = f_{∗}(ω_{X/S}^{3}) qui trivialise ce fibré. Le théorème de Bryant et Griffiths dit que les γ-périodes ζ_{i}(s) = ∫_{γ_{i}} ω(s) peuvent servir comme coordonnées homogènes sur S (voir le §7).

Lemme. Avec ξ_{j}(s) = ∫_{δ_{j}} ω(s) on a les relations :

ξ_{i} = ∑_{j} ζ_{j} \frac{∂ξ_{i}}{∂ζ_{j}}

et {ξ_{i}} est le gradient d’une fonction holomorphe homogène G de degré 2 des variables ζ_{0}, …, ζ_{b}.

Preuve. On a comme ci-dessus les relations

∫_{X} ω ∧ \frac{∂ω}{∂ζ_{i}} = ∫_{X_{s}} ω ∧ \frac{∂^{2}ω}{∂ζ_{i}∂ζ_{j}} = 0 .

Si on remplace ω par le développement ω = ∑ ζ_{i}α_{i} + ∑ ξ_{j}β_{j} (voir le §7.C pour les notations) et si on tient compte du fait que {α_{i}} et {β_{j}} sont des sections constantes, on a les relations annoncées. Ces relations entraînent

2ξ_{i} = \frac{∂}{∂ζ_{i}} ( ∑_{k} ζ_{k}ξ_{k})

d’où si G(ζ) = \frac{1}{2}( ∑_{k} ζ_{k}ξ_{k}), on a ξ_{i} = \frac{∂G}{∂ζ_{i}}.

II. Un calcul élémentaire conduit à l’expression suivante pour l’accouplement de Yukawa :

κ_{ijk} = ∫_{X_{s}} ω ∧ \frac{∂^{3}ω}{∂ζ_{i}∂ζ_{j}∂ζ_{k}} = \frac{∂^{3}G}{∂ζ_{i}∂ζ_{j}∂ζ_{k}} .

III. On peut définir sur l’espace local des modules S, une métrique de Kähler (en fait de Hodge ([Dem]), par son potentiel local. Les relations de Riemann montrent que

i ∫ ω ∧ \overline{ω} = i( ∑_{a} \overline{ζ}_{a} \frac{∂G}{∂ζ_{a}} − ζ_{a} \frac{∂\overline{G}}{∂\overline{ζ}_{a}} ) > 0.

Posons κ = − log (i ∫ ω ∧ \overline{ω}). Alors la métrique dite de Weil-Peterson, ([T]) sur S est définie localement par :

g_{i\overline{j}} = \frac{∂^{2}κ}{∂ζ_{i}∂\overline{ζ}_{j}} .

La formule de dessus montre que le potentiel κ est très particulier, manifestation du caractère “spécial” de cette métrique (voir Remarque IV).

D’une autre manière, si on identifie T_{s}S et H^{2,1}(X_{s}) vu que Ω_{X_{s}}^{3} ≅ 𝒪_{X_{s}}, la métrique de Weil-Peterson n’est pas autre chose que :

⟨ψ, ϕ⟩_{WP} = ∫_{X_{s}} ψ ∧ ∗ϕ̄.

Il y a une relation précise avec l’application des périodes q introduite ci-dessus. Du fait des relations de Riemann R1 et R2 du §3.A, la droite H^{3,0}(X) appartient à un ouvert dans une quadrique complexe Q ⊂ ℙ^{2b+1}. La forme de Hodge induit clairement sur la restriction à Q du fibré tautologique de ℙ^{2b+1} une métrique hermitienne. Si ω est la forme de Chern de cette métrique, on peut prouver [T] que la forme de Kähler ω_{WP} de la métrique de Weil-Peterson coïncide avec l’image réciproque de ω. IV. Les considérations géométriques précédentes ont pour support l’espace des paramètres des structures complexes, soit infinitésimalement l’espace H^{2,1}. Il n’est pas à priori évident que des constructions similaires existent avec l’espace des paramètres pour les classes de Kähler. Définissons cet espace. Si J ∈ H^{1,1}(X, ℝ) est la forme de Kähler d’une métrique de Kähler sur X, alors J est positive et, en particulier, pour toute courbe algébrique C ⊂ X,

∫_{[C]} J > 0.

Ces inégalités définissent dans l’espace vectoriel réel H^{1,1}(X, ℝ) = H^{2}(X, ℝ) un cône ouvert K(X), appelé le cône de Kähler. Le complexifié du cône de Kähler est

CK(X) = {B + iJ | B, J ∈ K(X)}.

Il est important aussi de considérer les inégalités larges, c’est-à-dire le cône fermé \overline{K(X)}.

Il n’y a pas ici de variation de structures de Hodge supportée par le cône de Kähler complexifié, et donc pas de contrepartie évidente à l’accouplement de Yukawa, mais seulement le produit triple topologique donné par l’intersection des (1, 1)-formes κ(ρ, σ, τ) = ∫ ρ∧σ∧τ. Il est déjà remarquable que dans cette situation duale, la “géométrie” de l’espace des modules des structures complexes subsiste formellement [C-O], renforçant l’hypothèse de symétrie entre les deux types de déformations. Les propriétés différentielles-géométriques décrites ci-dessus ont été formalisées sous le titre de “géométrie spéciale” [Str]. Nous renvoyons à cet article pour une définition précise. L’étude de cette “géométrie” sur le complexifié du cône de Kähler est le fondement de la symétrie miroir. Une définition mathématique précise peut être considérée comme équivalente à l’existence d’une variation de structures de Hodge de base le complexifié du cône de Kähler, conduisant à un accouplement triple qui “corrige” en un certain sens l’accouplement κ ci-dessus, et qui dans la dualité entre X et X^{∗}, serait le pendant de la variation décrite dans les pages précédentes pour X^{∗}. Pour une formulation plus précise, le lecteur consultera [Mor4], [P]. Nous voulons ne retenir de cette discussion que le fait que les aspects de théorie de Hodge sont certainement à la base d’une formulation rigoureuse du principe de symétrie. Voir aussi le §11 pour une discussion allant dans ce sens.

10.B. Normalisation mathématique

Il s’agit d’avoir des informations sur le comportement asymptotique des périodes, et de l’accouplement de Yukawa. Cela relève de l’étude générale du comportement asymptotique d’une variation de structures de Hodge (singularités de l’application des périodes).

Soit donnée une famille de variétés de Calabi-Yau, on suppose pour simplifier que h^{2,1} = 1 et dim S = 1 (on a vu que X → S est universelle en tout point s ∈ S (Théorème 7.2). Supposons S = \overline{S} ∖ \{b_{1}, …, b_{r}\} où \overline{S} est une courbe complète non singulière, les points {b_{i}} étant les points singuliers de la famille (voir l’exemple de la famille quintique et de la famille miroir dans le §7.A). Il s’agit d’analyser le comportement de la structure de Hodge (variation) portée par ℋ^{3}(X/S) = ℝ^{3}f_{∗}(ω_{X/S}^{•}) lorsque le paramètre s approche un point singulier. En un tel point b_{i}, on a vu que ℋ^{3}(X/S) admet une extension privilégiée (sur un disque paramétré de centre b_{i}), et que les fibrés de Hodge ℱ^{p} (p = 0, 1, 2, 3) se prolongent en des sous-fibrés ℱ̃^{p} de l’extension privilégiée ℋ̃^{3}(X/S). On fait une hypothèse maintenant [Mor1], hypothèse qui est vérifiée dans l’exemple qui nous intéresse.

10.4. Hypothèse. (Voir le Théorème 4.1) L’opérateur T (de monodromie locale) en b_{i} est maximalement unipotent. C’est-à-dire (T − 1)^{3} ≠ 0 et donc N = log T a

un seul bloc de Jordan [ \begin{matrix}0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix} ] .

On vérifie immédiatement que sous cette hypothèse, la filtration W_{•} est de la forme :

W_{0} = W_{1} = ker(N),  W_{2} = W_{3} = ker(N^{2}),  W_{4} = W_{5} = ker(N^{3}).

La structure de Hodge sur Gr_{2ℓ}^{W} (ℓ = 0, 1, 2, 3) se réduit à Gr_{2ℓ}^{W} = I^{ℓ,ℓ}. En particulier I^{a,b} = 0 si a ≠ b et

W_{ℓ} = ⨁_{a+b⩽ℓ} I^{a,b}, F_{∞} = ⨁_{a⩾p} I^{a,b}.

Rappelons que le fibré ℋ^{3}(X/S) est prolongé à Δ et donc est trivialisable sur Δ^{∗}. Si α est une section de ce fibré en s_{0} ∈ Δ^{∗}, et si α(s) est le prolongement (multiforme) de α par transport parallèle par la connexion de Gauss-Manin, la section “horizontale” qui s’étend en s = 0 est α^{∗}(s) = exp (\frac{log s}{2πi}N[α(s)]). En particulier, si α ∈ W_{0}, T (α) = α, on a α^{∗}(s) = α(s) ; d’où, par le fait que Q est plate dans le fibré trivialisé ℋ̃^{3}, ce qui signifie que Q(α^{∗}(s), β^{∗}(s)) = Q(α, β) = const, il est clair que Q(α(s), β(s)) est une fonction holomorphe sur Δ. Si α est la classe de cohomologie duale du cycle γ_{0}, cette fonction représente la période :

f_{0}(s) := ∫_{γ_{0}} ω(s).

Montrons que f_{0}(0) ≠ 0 ; dans le cas contraire, on a Q(α(0), ω(0)) = 0 dans la fibre de ℋ̃^{3} en s = 0. Mais ω(0) ∈ ℱ̃^{3}(0), et α(0) ∈ W_{0}. Or la filtration par le poids est auto-duale relativement à Q (du fait que N ∈ 𝔤_{ℚ}), c’est-à-dire W_{ℓ}^{⊥} = W_{6−ℓ−2} . Donc ω(0) ∈ ℱ̃^{3}(0) ∩ W^{4} = 0. Ceci montre bien que f_{0}(0) ≠ 0.

Discutons maintenant le choix d’une coordonnée intrinsèque sur Δ^{∗}. Soit β ∈ W_{2} = ker(N^{2}), linéairement indépendant avec α. Il y a un scalaire λ tel que N(β) = λα. Soit β^{∗}(s) l’extension canonique (horizontale) de β à ℋ̃^{3}. On a

β^{∗}(s) = exp ( − \frac{log s}{2πi}N)β(s)

= β(s) − \frac{log s}{2πi}λα^{∗}(s) .

Donc

f_{1}(s) = ∫_{γ_{1}} ω(s)  (si β est la classe duale de γ_{1})

= \frac{log s}{2πi}λf_{0}(s) + Q(β^{∗}(s), ω(s))

et Q(β^{∗}(s), ω(s)) est holomorphe sur Δ. Donc :

τ = \frac{λ^{−1} ∫_{γ_{1}} ω}{∫_{γ_{0}} ω}

est un paramètre sur 𝔥 et

q = exp(2πiτ)

un paramètre sur Δ.

Noter que τ étant le quotient de deux périodes ne dépend pas de la section ω. Si {α′, β′} est un autre choix, qui conduit aux périodes {ω′_{0}, ω′_{1}} et aux paramètres t′, q′, on a a, b, c ∈ ℂ, ac ≠ 0, avec :

α′ = aα, β′ = bα + cβ

donc

Nβ′ = λ′α′ avec λ′ = \frac{cλ}{a}.

D’où

τ′ = τ + \frac{b}{cλ} et q′ = exp (2πi\frac{b}{cλ})q .

On voit le lien avec la discussion dans le §10.A : la constante c_{2} s’identifie avec exp(2πi\frac{b}{cλ}).

Ces remarques étant faites, il faut certainement utiliser la structure entière pour normaliser les périodes et ainsi obtenir une coordonnée “canonique” sur le disque. Notons L le réseau entier (L = (ℋ_{ℤ})_{s_{0}}) dans H et rappelons que T ∈ Aut_{ℤ}(L, Q). Alors L ∩ W_{0} est de rang 1, on va donc prendre pour α un générateur de ce groupe. On a T = exp(N) = 1 + N sur W_{2} = ker(N^{2}), donc N = T − 1 est entier sur W_{2} ∩ L, c’est-à-dire N(W_{2} ∩ L) ⊆ L ∩ W_{0}. On peut alors choisir une base du groupe (de rang 2) W_{2} ∩ L, de la forme {α, β}, et N(β) ∈ Nα, soit N(β) = mα avec m ⩾ 1. Une autre base de ce type est α′ = ±α, β′ = ±β +ℓα (ℓ ∈ ℤ).

En conclusion, le paramètre q obtenu par cette normalisation est défini à une racine m-ième de l’unité près, et si m = 1 (la monodromie est “petite” : dixit Morrison), q est alors déterminé de manière unique. On dit dans ces conditions que q est le paramètre canonique autour de la singularité (voir [Mor1]). En résumé, nous avons démontré :

10.5. Proposition (Normalisation mathématique). Soit f : X → Δ une dégénérescence à un paramètre de variétés de Calabi-Yau de dimension 3 avec h^{2,1} = 1. On suppose que ω est une section partout non-nulle sur Δ^{∗} de ℱ^{3}. On suppose aussi que la monodromie locale du système local de cohomologie en dimension 3 est unipotente de rang 4. On pose N = log T. Fixons s_{o} ∈ Δ, un générateur α de H^{3}(X_{s_{o}}, ℤ) ∩ Ker N et une base {α, β} de H^{3}(X_{s_{o}}, ℤ) ∩ Ker N^{2} telle que Nβ = mα, m ∈ ℤ_{>0}. Soient γ_{0}, γ_{1} ∈ H_{3}(X_{s_{o}}, ℤ) les classes duales. Alors la fonction

q(s) = exp (\frac{2πi}{m} \frac{∫_{γ_{1}} ω(s)}{∫_{γ_{0}} ω(s)})

est bien définie à une racine m-ième de l’unité près.

10.6. Exemple. [Hu] La situation est analogue à celle des courbes de genre 1. Soit la famille de courbes de genre 1 : y^{2} = x(x − 1)(x − λ), λ ≠ 0, 1 (forme de Legendre) ; ω = \frac{dx}{2y} définit une section de ℱ^{1} (fibré de Hodge).

Les périodes (au nombre de deux) sont données, relativement à une base de H_{1}(X_{λ}, ℤ), par

ω_{1} = ∫_{1}^{∞} \frac{dx}{\sqrt{x(x − 1)(x − λ)}} et ω_{2} = ∫_{−∞}^{0} \frac{dx}{\sqrt{x(x − 1)(x − λ)}}.

On exprime ω_{1} et ω_{2} en fonction de λ, au moyen de la série hypergéométrique

F (λ) = _{2}F_{1}(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 1; λ) = ∑_{n=0}^{∞} \binom{−1/2}{n}^{2}λ^{n}

convergente si |λ| < 1. Alors le résultat classique est que ω_{1} = πF (λ), ω_{2} = iπF (1 − λ) (|λ| < 1) et que ce sont les deux solutions indépendantes de l’équation différentielle de Picard-Fuchs, qui est ici l’équation différentielle hypergéométrique

s(1 − s)f′′(s) + (1 − 2s)f′(s) − \frac{1}{4}f(s) = 0 .

C’est bien là le début de la connexion de Gauss-Manin !

On retourne à l’accouplement de Yukawa. Si s est une coordonnée locale sur le disque Δ de centre le point singulier b_{i} (ici s(b_{i}) = 0), et si ω est une section locale de ℱ̃^{3} qui trivialise ce fibré en droites sur Δ, on a défini l’accouplement de Yukawa (non normalisé) comme la fonction sur Δ^{∗} :

κ_{sss} = Q(ω, \frac{d^{3}ω}{ds^{3}} ) .

La fonction κ_{sss} dépend de la coordonnée s, ainsi que la section locale ω de ℱ̃^{3} sur Δ. Le passage de ω à fω (f(0) ≠ 0), transforme κ_{sss} en f^{2}κ_{sss}.

Pour une section ω de ℱ̃^{3} qui est une base locale en s = 0, la période normalisée f_{0} = ∫_{γ_{0}} ω est alors définie au signe près. On normalise la forme en remplaçant ω par ω/f_{0}, donc maintenant f_{0}(0) = 1. Alors l’accouplement de Yukawa κ_{ttt} est normalisé, et donc est une fonction définie de manière intrinsèque sur Δ^{∗}; on parlera de l’accouplement de Yukawa, dans sa normalisation mathématique.

On ne poursuit pas les calculs d’une normalisation mathématique dans les exemples, car il est plus facile de normaliser les deux constantes c_{1} et c_{2} introduites dans le §10.A. On suit cette démarche dans le sous-paragraphe suivant (voir Conjecture 10.6).

10.C. Lien avec le nombre des courbes rationnelles : un exemple

Les applications à la géométrie énumérative (“formules de prédiction”) sont basées sur le sens précis qu’il faut attribuer à la correction (“corrections instantons”) du produit triple topologique κ (remarque IV du §10.A) et donc en relation avec la définition de “l’action”, qui conduit à la définition des modèles sigma basés sur une variété de Calabi-Yau [F-G], [P]. Plus précisemment, l’intégrale Z^{∗} du §7.A admet un développement en contribution sur les morphismes de ℙ^{1} dans la variété de Calabi-Yau. Voir en particulier [P,§5.6] pour un énoncé explicite.

Dans la suite nous ne ferons qu’observer la cohérence de ces développements sur quelques exemples, particulièrement celui de [C-O-G-P].

Soit T l’ouvert de ℙ(Sym^{5} ℂ^{5})) paramétrant les hypersurfaces lisses de degré 5 dans ℙ^{4} et Y_{t}, t ∈ T la famille tautologique correspondante. Cette famille est une famille de variétés de Calabi-Yau avec dim H^{1}(T_{Y_{t}}) = dim T − dim PGL(5) = 101 et h^{1,1}(Y_{t}) = 1. La symétrie miroir prédit l’existence d’une famille X_{s}, s ∈ S avec dim S = dim H^{1}(T_{X_{s}}) = 1 et h^{1,1}(X_{s}) = 101. Le candidat proposé pour X_{s} est une résolution convenable des singularités du quotient de la famille

f(s) = Z_{0}^{5} + Z_{1}^{5} + Z_{2}^{5} + Z_{3}^{5} + Z_{4}^{5} − 5tZ_{0}Z_{1}Z_{2}Z_{3}Z_{4}, s = t^{−5}

par le groupe

G = {(a_{0}, a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}) ∈ μ_{5}^{5}| a_{0}a_{1}a_{2}a_{3}a_{4} = 1}

où μ_{5} est le groupe des racines d’unité d’ordre 5. En effet nous avons étudié cette famille dans les paragraphes précédents (l’exemple 9.7) et les classes des formes res(Ω_{j}), j = 1, 2, 3, 4 constituent une base de la partie G-invariante de la cohomologie, et donc une base pour H^{3}(X_{s}, ℂ). L’équation de Picard-Fuchs trouvée est l’équation de ω_{1}, résidu de Ω_{1}, regardé comme 3-forme holomorphe sur X_{s}.

La symétrie miroir prédit en outre que l’accouplement de Yukawa, proprement normalisé, admet un q-développement ∑ a_{d}q^{d} tel que les coefficients a_{d} déterminent le nombre n_{d} des courbes rationnelles de degré d sur le membre générique de la famille Y_{t}. Ici q est le paramètre canonique du §10.B.

Malheureusement ce nombre n’est pas à priori fini. En effet, il existe des variétés de Calabi-Yau où on a un nombre infini de courbes rationnelles de degré fixé. Par exemple, on considère un revêtement double de ℙ^{3} ramifié le long d’une surface S de degré 8. Il y a une famille de dimension ⩾ 1 de courbes rationnelles ayant pour image une droite trois fois tangente à la surface S (cela fait une condition pour une droite d’être tangente à une surface). En dépit de cela, Clemens a conjecturé que pour une quintique générale il n’y a qu’un nombre fini de courbes rationnelles d’un degré donné. Mais si on ne veut pas admettre cette conjecture, il faut trouver une interprétation différente pour les nombres n_{d}. Une suggestion est d’interpréter ce nombres dans le cadre de la géométrie symplectique comme les invariants de Gromov-Witten pour des courbes rationnelles de degré d. Mais c’est une autre histoire pour laquelle on consultera [Mor3], [D-S]. Ceci dit, on a :

10.6. Conjecture. Si, dans la formule (dev) du §10.A, on choisit c_{1} = −5 et c_{2} = 5^{−5} en écrivant

(Myst)  κ_{τττ} = n_{0} + ∑_{d=1}^{∞} \frac{n_{d}d^{3}q^{d}}{1 − q^{d}}

on a n_{0} = 5 et pour d ⩾ 1, n_{d} est l’invariant de Gromov-Witten pour des courbes rationnelles de degré d sur une hypersurface générique dans ℙ^{4} de degré 5. Ce nombre coïncide avec le nombre de courbes rationnelles de degré d si la conjecture de Clemens est vraie.

Cette prédiction a été vérifiée pour d ⩽ 3. Voir [Mor2] pour les références.

Voici le tableau des nombres n_{d} pour d ⩽ 10 :

1 2875
2 609250
3 317206375
4 242467530000
5 229305888887625
6 248249742118022000
7 295091050570845659250
8 375632160937476603550000
9 503840510416985243645106250
10 704288164978454686113488249750

10.7. Autres exemples. Voir [L-T] et [B-S], §5 pour les détails. Les seules intersections complètes de ℙ^{3+r} définies par des degrés d_{1}, …, d_{r} donnant une variété de Calabi-Yau sont celles avec degrés (3, 3), (2, 4), (2, 2, 2, 2) et (2, 2, 3). On a dans ces exemples h^{1,1} = 1 et il y a une construction naturelle de la famille miroir (conjecturale) (voir le §7.B). On commence par définir des polynômes de Laurent f_{j}(u, X) en les variables X_{j} :

(3, 3) f_{1} = 1 − (u_{1}X_{1} + u_{2}X_{2} + u_{3}X_{3})
f_{2} = 1 − (u_{4}X_{4} + u_{5}X_{5} + u_{6}(X_{1} ⋯ X_{5})^{−1})
(2, 4) f_{1} = 1 − (u_{1}X_{1} + u_{2}X_{2})
f_{2} = 1 − (u_{3}X_{3} + u_{4}X_{4} + u_{5}X_{5} + u_{6}(X_{1} ⋯ X_{5})^{−1})
(2, 2, 2, 2) f_{1} = 1 − (u_{1}X_{1} + u_{2}X_{2})
f_{2} = 1 − (u_{3}X_{3} + u_{4}X_{4}))
f_{3} = 1 − (u_{5}X_{5} + u_{6}X_{6}
f_{4} = 1 − (u_{7}X_{7} + u_{8}(X_{1} ⋯ X_{7})^{−1})
(2, 2, 3) f_{1} = 1 − (u_{1}X_{1} + u_{2}X_{2})
f_{2} = 1 − (u_{3}X_{3} + u_{4}X_{4})
f_{3} = 1 − (u_{5}X_{5} + u_{6}X_{6} + u_{7}(X_{1} ⋯ X_{6})^{−1}).

Ces équations définissent une famille Y_{z} d’intersections complètes dans le tore algébrique (ℂ^{∗})^{3+r} paramétrée par z = ∏ u_{j}. Il existe une compactification lisse de ∪Y_{z} ayant comme fibres des variétés de Calabi-Yau. Pour cette famille on calcule l’équation de Picard-Fuchs :

Θ^{4} − μz(Θ + α_{1})(Θ + α_{2})(Θ + α_{3})(Θ + α_{4}) = 0

où Θ = z \frac{∂}{∂z} et les coefficients μ, (α_{1}, α_{2}, α_{3}, α_{4}) sont donnés dans le tableau suivant :

\begin{matrix}(3, 3) & μ = 3^{6} & (α_{1}, α_{2}, α_{3}, α_{4}) = (1/3, 1/3, 2/3, 2/3) \\ (2, 4) & μ = 2^{10} & (α_{1}, α_{2}, α_{3}, α_{4}) = (1/4, 2/4, 2/4, 3/4) \\ (2, 2, 2, 2) & μ = 2^{8} & (α_{1}, α_{2}, α_{3}, α_{4}) = (1/4, 1/4, 1/4, 1/4) \\ (2, 2, 3) & μ = 2^{4}3^{3} & (α_{1}, α_{2}, α_{3}, α_{4}) = (1/3, 1/2, 1/2, 2/3) \end{matrix}

On peut alors aussi calculer l’accouplement de Yukawa normalisé pour ces quatre exemples et trouver les invariants de Gromov-Witten dans chaque cas :

degré type d’intersection = (3, 3) type d’intersection = (2, 4)
1 1053  1280
2 52812  92288
3 6424326  15655168
4 1139448384  3883902528
5 249787892583  1190923282176
6 62660964509532  417874605342336
7 17256453900822009  160964588281789696
8 5088842568426162960  66392895625625639488
9 1581250717976557887945  28855060316616488359936
10 512045241907209106828608 13069047760169269024822656

degré type d’intersection = (2, 2, 2, 2) type d’intersection = (2, 2, 3)
1 512  720
2 9728  22428
3 416256  1611504
4 25703936  168199200
5 1957983744  21676931712
6 170535923200  3195557904564
7 16300354777600  517064870788848
8 1668063096387072  89580965599606752
9 179845756064329728  16352303769375910848
10 20206497983891554816  3110686153486233022944

Des travaux récents (Ellingsrud, Libgober) confirment ces nombres, du moins en petit degré.

11. Lien avec la théorie de Hodge mixte

Dans ce paragraphe on explique comment la théorie de Hodge mixte permet de formuler un aspect du phénomène de symétrie.

Rappelons brièvement quelques notions de base qui complètent les définitions du §4.A.

11.1. Définition. Soit H_{ℝ} un espace vectoriel réel de dimension finie et H = H_{ℝ} ⊗ ℂ. Une structure de Hodge mixte (réelle) sur H consiste en une filtration croissante W_{•} de H définie sur H_{ℝ} et une filtration décroissante F^{•} de H telles que F^{•} définit sur Gr_{ℓ}^{W} une structure de Hodge par le poids ℓ.

11.2. Exemple. A. Soit M une variété kählérienne compacte de dimension d. On prend H = ∑_{p} H^{p}(M, ℂ), W_{ℓ} = ⨁_{a⩽ℓ} H^{a}(M, ℝ).

B. Soit M_{t} une famille de variétés kählériennes sur un disque épointé. On suppose que la monodromie sur H^{d}(M_{t}) est unipotente. Alors N := log T satisfait à N^{d+1} = 0 et il existe une unique filtration 0 ⊂ W_{0} ⊂ W_{1} … ⊂ W_{2d−1} ⊂ W_{2d} de H^{d}(M_{t}, ℝ) telle que NW_{ℓ} ⊂ W_{ℓ−2} et N^{ℓ} induit un isomorphisme entre Gr_{d+ℓ}^{W} et Gr_{d−ℓ}^{W} (§4.B ou [S] pour les détails). On a introduit (§4.B) la filtration F_{∞}^{•} sur H^{d}(M_{t}). W_{•} et F_{∞}^{•} définissent une structure de Hodge mixte. Voir [S].

Dans l’exemple B on a même de plus :

1) la forme de polarisation Q sur H^{d}(M_{t}) est telle que

Q(Nu, v) + Q(u, Nv) = 0.

2) Q(F^{p}, F^{d−p+1}) = 0 ;

3) On a une décomposition de Lefschetz Gr_{d+ℓ}^{W} = ⨁_{j⩾0} N^{j}(P_{ℓ+2j}) où

P_{ℓ} = ker N^{ℓ+1} : Gr_{d+ℓ}^{W} → Gr_{d−ℓ−2}^{W}

telle que Q(−, N^{ℓ}−) polarise la structure de Hodge par le poids d+ℓ sur Gr_{d+ℓ}^{W}.

On dit dans ce cas que N polarise la structure de Hodge mixte.

Dans l’exemple A on ne peut pas utiliser l’opérateur de Lefschetz L (multiplication avec la classe de Kähler) pour polariser la structure de Hodge mixte car celui-ci est de type (1, 1). Il faut plutôt utiliser son adjoint Λ (voir [Dem], §6A). On peut alors vérifier [C-K] que la théorie classique de la décomposition de Lefschetz se traduit en l’énoncé que la structure de Hodge mixte de l’exemple A est polarisée par Λ avec la forme Q(a, b) = (−1)^{\frac{1}{2} p(p−1)} ∫_{M} a ∪ b, où a ∈ H^{p} et b ∈ H^{2d−p}.

Il y a une réciproque au théorème de l’orbite nilpotente disant que, étant donnée une structure de Hodge mixte (F^{•}, W_{•}) sur H polarisée par N avec N^{d+1} = 0, la filtration

F_{nouveau}^{•} := exp(\frac{− log s}{2πi}N)F^{•}

est une structure de Hodge pure de poids d pour s petit. On obtient même une variation de structure de Hodge polarisée par Q. Voir [C-K-S].

En appliquant cela dans l’exemple A on trouve

h_{nouveau}^{d−q,q} = ∑_{a} h^{a,q}

Nous allons voir comment cette idée permet de suggérer une dualité au niveau des variations de structures de Hodge liée à la symétrie miroir.

Pour les variétés de Calabi-Yau M de dimension 3 on a un diamant de Hodge (voir le §7) :

h^{3,3} = 1
h^{3,2} = 0 h^{2,3} = 0
h^{3,1} = 0 h^{2,2} = a h^{1,3} = 0
h^{3,0} = 1 h^{1,2} = b h^{2,1} = b h^{0,3} = 1
h^{2,0} = 0 h^{1,1} = a h^{0,2} = 0
h^{1,0} = 0 h^{0,1} = 0
h^{0,0} = 1

et la variation de Hodge “nouvelle” a pour nombres de Hodge :

h_{nouveau}^{3,0} = 2 = h_{nouveau}^{0,3}, h_{nouveau}^{2,1} = h_{nouveau}^{1,2} = a + b = h^{1,1} + h^{1,2}.

On pourra regarder cette variation comme suit. Le choix d’une classe de Kähler détermine une variation à un paramètre, de poids 3 et à nombres de Hodge (2, a + b, a + b, 2). Cette structure est somme directe d’une variation à nombres de Hodge (1, a, a, 1), la partie qui provient de la cohomologie paire de M, et une variation constante à nombres de Hodge (1, b, b, 1) provenant de la cohomologie impaire. A priori la variation dépend du paramètre choisi.

Exemple 11.3. Supposons a = 1 et que H^{+}(M) = H^{0} ⊕ H^{2} ⊕ H^{4} ⊕ H^{6} = ⨁_{k=0}^{3} ℤf_{k} est la cohomologie paire avec f_{i} le générateur positif de H^{2i}(M). Si on

utilise le paramètre q(s) = \frac{log(s)}{2πi} sur Δ^{∗} on trouve que la connexion plate pour la nouvelle variation dans la base {f_{0}, f_{1}, f_{2}, f_{3}} s’écrit

∇ = ( \begin{matrix}0 & \frac{dq}{q} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & deg(M)\frac{dq}{q} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \frac{dq}{q} \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix} )

Dans le cadre de la symétrie miroir la variation de l’exemple précedente doit être modifiée de telle sorte que les nombres des courbes rationnelles de chaque degré entrent dans la connexion (“déformation quantique ou corrections instantons”). Les physiciens ont proposé d’introduire la connexion plate, appelée connexion du modèle A, donnée en termes de la base {f_{0}, f_{1}, f_{2}, f_{3}} par :

∇_{A} = ( \begin{matrix}0 & \frac{dq}{q} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & K(q)\frac{dq}{q} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \frac{dq}{q} \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix} )

où

K(q) = deg(M) + ∑_{d=1}^{∞} n_{d} \frac{d^{3}q^{d}}{1 − q^{d}} ,

avec n_{d} (d ⩾ 1) le nombre de courbes rationnelles de degré d sur M (ou l’invariant de Gromov-Witten si nécessaire) et donc ∇_{A} est entièrement définie en termes de la géométrie de M.

On peut généraliser cette construction de la variation nouvelle pour une orbite nilpotente à plusieurs paramètres. Voir [C-K-S]. Alors, en utilisant un système de a générateurs pour le cône de Kähler de M, on trouve une variation de structure de Hodge qui dépend de a paramètres, somme d’une variation à nombres de Hodge (1, a, a, 1) et une variation constante 𝒱_{2}(M) à nombres de Hodge (1, b, b, 1). Ensuite, la connexion de la première variation doit être modifiée en utilisant le nombre des courbes rationnelles dans toutes les classes de cohomologie (ou mieux les invariants de Gromov-Witten correspondants). Pour obtenir cette “déformation quantique”, soit f_{0} le générateur positif de H^{0}(M), f_{2} le générateur dual de H^{4}(M), puis {f_{1}^{1}, …, f_{1}^{a}} une base entière de H^{2}(M), {f_{2}^{1}, …, f_{2}^{a}} la base duale de H^{4}(M), et finalement soient q_{1}, ⋯, q_{a} des paramètres dans (Δ^{∗})^{a}. On introduit :

K_{ijk} := f_{1}^{i} · f_{1}^{j} · f_{1}^{k} + ∑_{η} n_{ijk}(η)\frac{q^{η}}{1 − q^{η}}

où η ∈ H^{4}(M) parcourt les classes de courbes rationnelles sur M, n_{ijk}(η) l’invariant de Gromov-Witten (voir [D-S]), brièvement n_{ijk}(η) est le nombre de courbes pseudo-holomorphes f : ℙ^{1} → M de classe η telles que f(0) ∈ D_{j}, f(1) ∈ D_{j}, f(∞) ∈ D_{k} où D_{i}, D_{j}, D_{k} sont des diviseurs effectifs qui représentent les classes f_{1}^{i}, f_{1}^{j}, f_{1}^{k}) et où on pose q^{η} = q_{1}^{c_{1}} ⋯ q_{a}^{c_{a}}, c_{i} = η · f_{1}^{i}. La connexion ∇_{A} alors est donnée par

\begin{aligned}∇_{A}f_{0} & = ∑_{i=1}^{a} f_{1}^{i} ⊗ \frac{dq_{i}}{q_{i}}; \\ ∇_{A}f_{1}^{k} & = ∑_{i,j=1}^{a} K_{ijk}f_{2}^{j} ⊗ \frac{dq_{i}}{q_{i}} , k = 1, …, a; \\ ∇_{A}f_{2} & = 0. \end{aligned}

Voir [B-S], §3.1 et [Mor5] pour les détails. Appelons cette variation 𝒱_{1}(M).

La symétrie miroir prédit qu’il existe une famille verselle de variétés de Calabi-Yau “miroir” avec h^{2,1} = a et h^{1,1} = b. Il semble naturel de conjecturer que la variation 𝒱_{2}(M) ci-dessus coïncide avec la variation donnée par le troisième groupe de cohomologie de la famille “miroir”, du moins si on restreint cette famille à un ouvert de coordonnées avec des coordonnées convenables.

Apparemment, dans cette construction il y a un défaut de symétrie entre les paramètres a et b. Pour restituer cette symétrie, il faut partir d’une famille verselle {M_{t}} , t ∈ T avec dim T = b = H^{1,2}(M_{t}), considérer le complexifié du cône de Kähler (voir Remarque 10.3 IV) CK(M_{t}) de chaque fibre M_{t} ce qui donne une variété T̂ de dimension a + b fibrée sur T, la fibre au dessus de t étant CK(M_{t}). Les variations 𝒱_{1}(M_{t}) se recollent en une variation 𝒱_{1}, de base T̂. Les variations 𝒱_{2}(M_{t}) de même se recollent en une variation 𝒱_{2} sur T̂.

On peut alors reformuler la symètrie miroir en une conjecture en termes de variations de structures de Hodge :

Conjecture. Soit {M_{t}} , t ∈ T une famille verselle de variétés de Calabi-Yau de dimension 3 et soit T̂ la réunion des complexifiés des cônes de Kähler de chaque fibre M_{t}. Soit 𝒱_{1} la variation de structures de Hodge au dessus de T̂ provenant de la cohomologie paire des fibres M_{t} (la “déformation quantique” de l’orbite nilpotente introduite ci-dessus) et soit 𝒱_{2} la variation au dessus de T̂ qui provient de la cohomologie impaire. Il existe une famille verselle M_{t}^{∗}, t ∈ T̂^{∗} de variétés de Calabi-Yau de dimension 3 telles que H^{2,1}(M_{t}^{∗}) = H^{1,1}(M_{t}) ; H^{1,1}(M_{t}^{∗}) = H^{2,1}(M_{t}) et il y a un isomorphisme T̂ ⟶ T̂^{∗} qui échange les deux types de variations 𝒱_{1} et 𝒱_{2}.

Dans cette formulation il y a cependant une difficulté car la variation 𝒱_{1} dépend du choix des paramètres dans le complexifié du cône de Kähler tandis que ce n’est pas le cas pour 𝒱_{2}.

On ne va pas discuter plus en détail ce problème, mais plutôt se limiter au cas b = 1, donc le cas d’une famille verselle à un paramètre s. On suppose que la base de la variation (une courbe quasi-projective) admet une compactification avec un seul point autour lequel la monodromie locale T est maximalement unipotente. Soit

0 ⊂ W_{0} = W_{1} ⊂ W_{2} = W_{3} ⊂ W_{4} = W_{5} ⊂ W_{6}

la filtration par le poids. On suppose que {α_{0}, α_{1}} est une base de W_{2} telle que Nα_{0} = 0 et Nα_{1} = α_{0} où N = log T. On peut la compléter en une base symplectique adaptée {α_{0}, α_{1}, β_{1}, β_{0}}, c’est-à-dire Q(α_{0}, β_{0}) = Q(α_{1}, β_{1}) = 1, Q(α_{0}, α_{1}) = Q(α_{0}, β_{1}) = Q(α_{1}, β_{0}) = 0 et Nβ_{1} = kα_{1}, Nβ_{0} = −β_{1}. On suppose de plus que k = 1, ce qui est le cas dans l’exemple de la quintique du §10.C (c’est implicite dans les calculs de [Mor1] appendix A, C).

On sait que la filtration F_{∞}^{•} induit une structure pure de poids 2j sur Gr_{2j}^{W}, j = 0, 1, 2, 3 et donc forcément β_{0} est de type (3, 3) et on a F_{∞}^{3} = ℂβ_{0} car dim F_{∞}^{3} = 1. Aussi, β_{1} est de type (2, 2) et donc F_{∞}^{2} = ℂβ_{1} + F_{∞}^{3}. De manière analogue on trouve que F_{∞}^{1} = ℂα_{1} + F_{∞}^{2}. On peut écrire F^{•}(s) = X(s)F_{∞}^{•} avec X(s) = e^{Y (s)}, Y (s) ∈ ⨁_{r<0} 𝔤^{r,−r}. On peut alors calculer F^{•}(s) = X(s)F_{∞}^{•} en supposant que X(s) a une matrice de la forme

X(s) = ( \begin{matrix}1 & 0 & 0 & 0 \\ f(s) & 1 & 0 & 0 \\ ∗ & g(s) & 1 & 0 \\ ∗ & ∗ & f(s) & 1 \end{matrix} )

par rapport à la base {β_{0}, β_{1}, α_{1}, α_{0}}. Soit {ω_{0}, ω_{1}, ν_{1}, ν_{0}} la base de H^{3}(X_{s}, ℂ) ainsi obtenuee. Elle est adaptée à la nouvelle filtration de Hodge :

( \begin{matrix}ω_{0} \\ ω_{1} \\ ν_{1} \\ ν_{0} \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}1 & f(s) & ∗ & ∗ \\ 0 & 1 & g(s) & ∗ \\ 0 & 0 & 1 & f(s) \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} ) ( \begin{matrix}β_{0} \\ β_{1} \\ α_{1} \\ α_{0} \end{matrix} ) .

Si on applique la connexion de Gauss-Manin, en utilisant cette expression, la transversalité de Griffiths donne :

∇ω_{0} = f′(s)ω_{1} · ds, ∇ω_{1} = g′(s)ν_{1} · ds, ∇ν_{1} = f′(s)ν_{0} · ds

et donc on retrouve l’accouplement de Yukawa :

κ_{sss} = f′(s)^{2}g′(s).

Comme dans le §11 on prend τ = Q(ω_{0}, α_{1}) = f(s) comme paramètre canonique et q = exp 2πiτ. Donc, dans la coordonnée q on a :

( \begin{matrix}∇ω_{0} \\ ∇ω_{1} \\ ∇ν_{1} \\ ∇ν_{0} \end{matrix} ) = \frac{1}{2πi}( \begin{matrix}0 & \frac{dq}{q} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2πiq · \frac{dg}{dq} \frac{dq}{q} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \frac{dq}{q} \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix} ) ( \begin{matrix}ω_{0} \\ ω_{1} \\ ν_{1} \\ ν_{0} \end{matrix} ) .

Résumons :

Proposition 11.4. Soit f : X → Δ une dégénérescence à un paramètre de variétés de Calabi-Yau de dimension 3 avec h^{2,1} = 1. On suppose que le fibré de Hodge ℱ^{3} est trivialisé sur Δ^{∗} par ω_{0}. Soit {ω_{0}, ω_{1}} une base de ℱ^{2}. On suppose de plus que la monodromie locale du système local de cohomologie en dimension 3 est unipotente de rang 4 et qu’il y a une base symplectique adaptée {α_{0}, α_{1}, β_{1}, β_{0}}. Alors, avec

\begin{aligned}f(s) & = Q(ω_{0}, α_{1}), \\ g(s) & = Q(ω_{1}, β_{1}), \end{aligned}

le paramétre canonique est :

q = exp 2πi(f(s))

et l’accouplement de Yukawa (normalisé) est :

(fin)  κ = 2πiq · \frac{dg}{dq} (\frac{dq}{2πiq} )^{⊗3}

Nous allons terminer par une discussion complémentaire sur quelques résultats de Deligne [Del6] sans donner véritablement les démonstrations. La notion centrale est celle d’une extension de structure de Hodge mixtes, introduite par Carlson [Ca]. Ici nous ne donnons pas les définitions ; l’exemple suivant sert comme illustration de cette notion et suffit pour notre but.

Exemple. Soit ℤ(−k) la structure de Hodge de dimension 1 et pure de type (k, k), k ∈ ℤ donnée par le réseau (2πi)^{k}ℤ ⊂ ℂ (structure de Tate). Une extension de ℤ(−1) par ℤ(0) est une suite exacte

0 → ℤ(0) \underrightarrow{α} H \underrightarrow{β} ℤ(−1) → 0

de structures de Hodge mixtes. Une telle extension est classifiée par un nombre complexe non-nul q. Plus concrètement : soit H_{ℂ} = ℂ^{2} avec la base {e_{0}, e_{1}} telle

que α(1) = e_{1}, β(e_{0}) = 2πi. Alors H_{ℤ} admet pour base \{f_{0} = e_{0}+ \frac{log q}{2πi} e_{1}, f_{1} = e_{1}\}. Le choix de la branche de log q est sans importance, un autre choix mène à {f_{0} + kf_{1}, f_{1}}, k ∈ ℤ, une autre base de H_{ℤ}. Les filtrations par le poids et de Hodge sont données par W_{2} = ℚe_{1}, W_{4} = H_{ℚ}, F^{0} = F^{1} = ℂe_{0}, F^{2} = 0.

Pour la suite on a besoin d’une version avec paramètres, donc le cadre naturel est celui de variations de structures de Hodge mixtes sur une base S. Le lecteur pourra consulter [B-Z§7] pour les définitions ; pour comprendre la suite l’exemple suivant suffit.

Exemple. Soit S = Δ^{∗} de coordonnée s. Une extension de la “variation” constante ℤ(−1) par ℤ(0) est complètement déterminée par une fonction q(s) méromorphe sur Δ, holomorphe et partout non-nulle sur Δ^{∗} d’ordre m ∈ ℤ. La

structure entière est alors donnée par la base \{f_{0} = e_{0} + \frac{log q(s)}{2πi}e_{1}, f_{1} = e_{1}\}.

La connexion correspondante est donnée par ∇e_{0} = −\frac{dq(s)}{2πiq(s)}e_{1}, ∇e_{1} = 0. La

monodromie locale T vérifie T e_{0} = e_{0} +me_{1}, T e_{1} = e_{1}. Donc Ne_{0} = me_{1}, Ne_{1} = 0 (N = log T). Ici aussi les filtrations par le poids et de Hodge sont données par W_{2} = ℚe_{1}, W_{4} = H_{ℚ}, F^{0} = F^{1} = ℂe_{0}, F^{2} = 0.

Dans notre situation, le fait que Gr_{2k}^{W} est de rang 1 (et donc pur de type (k, k)) implique que pour chaque point s voisin du point priviligé F_{s}^{•} et la filtration par le poids donnent une structure de Hodge mixte avec h^{0,0} = h^{1,1} = h^{2,2} = h^{3,3} = 1. La structure de Hodge mixte peut être décrite comme dans l’exemple précédent par extension itérée de structures de Tate ℤ(−3) par ℤ(−2), ℤ(−1), ℤ(0). Soit {e_{0}, e_{1}, e_{2}, e_{3}} une base symplectique adaptée à la filtration 0 ⊂ W_{0} = W_{2} ⊂ W_{2} = W_{3} ⊂ W_{4} = W_{5} ⊂ W_{6} telle que {e_{3}} est une base de F^{3}, {e_{3}, e_{2}} de F^{2} et {e_{3}, e_{2}, e_{1}} de F^{1}. Les classes d’extension sont alors données par q = exp(2πif) (le paramètre canonique), q_{2} = exp(2πig) (la fonction qui provient de l’accouplement de Yukawa via (fin) ci-dessus) et q_{3} = q par “dualité”. La structure entière sous-

jacente admet donc pour base \{e_{0}, e_{0} + f(s)e_{1}, e_{1} + \frac{g(s)}{2πi} · e_{2}, e_{2} + \frac{f(s)}{(2πi)^{2}} · e_{3}\}.

Puisque

κ_{τττ} = q \frac{∂}{∂q} log q_{2},

le développement de κ_{τττ} (voir (Myst)) est équivalent au développement comme produit infini :

q_{2} = q^{n_{0}} ∏_{d⩾1}(1 − q^{d})^{−n_{d}d^{2}},

ce qui donne une interprétation à (Myst) purement en termes de structures de Hodge mixtes.

Soit M^{∗} le membre générique de la famille miroir M_{t}^{∗} et soit H^{+}(M^{∗}) = H^{0} ⊕ H^{2} ⊕ H^{4} ⊕ H^{6} = ⨁_{k=0}^{3} ℤf_{k} la cohomologie paire. On peut modifier la “variation constante” sur H^{+}(M^{∗}) × Δ^{∗} en utilisant l’orbite nilpotente associée à l’opérateur Λ comme expliqué dans l’exemple 11.2. On obtient une extension itérée des structures de Tate ℤ(−3) par ℤ(−2) par ℤ(−1) par ℤ(0) avec classes d’extension q, deg(N)q, q et c’est donc pas une structure intéressante ; la connexion s’écrit dans la base f_{k} comme dans l’exemple 11.3 et il faut remplacer cette connexion par la connexion du modèle A :

∇_{A} = ( \begin{matrix}0 & \frac{dq}{q} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & K(q)\frac{dq}{q} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \frac{dq}{q} \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix} )

où maintenant

K(q) = deg(M^{∗}) + ∑_{d=1}^{∞} n_{d} \frac{d^{3}q^{d}}{1 − q^{d}} ,

avec n_{d} (d ⩾ 1) le nombre de courbes rationnelles de degré d sur M^{∗} (ou l’invariant de Gromov-Witten si nécessaire) et donc ∇_{A} est entièrement défini en termes de la géométrie du miroir. Pour la nouvelle variation les classes d’extension sont q, K(q) et q.

Donc, comparant avec la formule (fin), on conclut que l’hypothèse de symétrie miroir peut être reformulée comme suit :

Conjecture Finale. Pour chaque q ∈ Δ^{∗}, la structure mixte sur H^{+}(M^{∗}) × {q} coïncide avec la structure mixte de Deligne sur H^{3}(M_{q}).

Bibliographie

[A1] Arapura, D. : Hodge Theory with local coefficients on compact varieties, Duke Math. J. 61 (1990) 531–543.

[A2] Arapura, D. : Higgs line bundles, Green-Lazarsfeld sets, and maps of Kähler manifolds to curves, Bull. AMS 26 (1992) 310–314.

[A-M] Aspinwall, P.S., Morrison, D.R. : Topological field theory and rational curves, Comm. Math. Phys. 151 (1993) 245-262.

[Ba] Batyrev, V. : Dual polyhedron and mirror symmetry for Calabi-Yau hypersurfaces, Prépublication (1992).

[B-C-O-V] Bershadsky, M., Cecotti, S., Ooguri, H., Vafa, C. : Kodaira-Spencer theory of gravity and exact results for quantum string amplitudes Comm. Math. Phys. 165 (1994) 311–427.

[Bea] Beauville, A. : Variétés kähleriennes dont la première classe de Chern est nulle, J. Diff. Geom. 18 (1983) 755-782.

[B-G] Bryant, R., Griffiths, P.A. : Some observations on the infinitesimal period relations for regular threefolds with trivial canonical bundle, dans : Arithmetic and Geometry II, Birkh. Verlag Progress in Mathematics 36 (1983). 77-102.

[B-M] Bertin, J., Markushevich, D. : Singularités quotients non abéliennes de dimension 3 et variétés de Calabi-Yau, Math. Ann. 299 (1994)105–116.

[Bo] Borel et al. : Algebraic D-Modules, Academic Press (1987).

[Bry] Brylinski, J.-L. : Transformations canoniques, dualité projective, théorie de Lefschetz, transformation de Fourier et sommes trigonométriques. Dans : Géométrie et analyse microlocales, Astérique 140-141 Soc. Math. France (1986) 3–134.

[B-S] Batyrev, V., van Straten, D. : Generalized hypergeometric functions and rational curves on Calabi-Yau complete intersections in toric varieties, Comm. Math. Physics 168 (1995) 493-533.

[B-Z] Brylinski, J-L., Zucker, S. : An Overview of recent advances in Hodge theory, dans : Several Complex variables VI, W, Barth & R. Narasimham (Eds) Encyclopedia of Mathematical Sciences 69 Springer Verlag 1990, pp. 39–142.

[C-G] Carlson, J., Griffiths, P. : Infinitesimal Variations of Hodge Structure and the global Torelli Problem, dans : Journées de géométrie algébrique, Angers 1979, Sijthoff-Noordhoff, Alphen and Rijn (1980), 51–76.

[C-G-M] Cheeger, J., Goresky M., MacPherson, M. : L^{2}-cohomology and intersection homology of singular algebraic varieties. Dans : Ann. Math. Studies 102 Princeton Univ. Press(1982) 303–340.

[C-G-G-H] Carlson, J., Green, M., Griffiths, P., Harris, J. : Infinitesimal Variations of Hodge Structure I, Comp. Math. 50 (1983) 109–205.

[Ch1] Cheeger, J. : On the Hodge theory of Riemannian pseudomanifolds. Dans : Geometry of the Laplace operator, Proc. Symp. Pure Math. 36 (1980) 91–146.

[Ch2] Cheeger, J. : Hodge theory of complex cones. Dans : Analyse et Topologie sur les Espaces Singuliers, Astérisque 101-102, Soc. Math. France (1983) 303–340.

[C-H] Candelas, P., He, A. : On the number of complete intersection Calabi-Yau manifolds, Comm. Math. Phys. 135 (1990) 193-199.

[C-K] Cattani, E., Kaplan, A. : Degenerating variations of Hodge structures (Théorie de Hodge 1987) Astérique 179–180 (1989) .

[C-K-S1] Cattani, E., Kaplan, A., Schmid, W. : Degenerations of Hodge structures, Ann. Math. 123 (1986) 457–536.

[C-K-S2] Cattani, E., Kaplan, A., Schmid, W. : L^{2} and intersection cohomology for a polarized variation of Hodge structure, Invent. Math. 87 (1987) 217–252.

[Cl] Clemens, C.H. : Degeneration of Kähler manifolds, Duke Math. J. 44 (1977) 215– 290.

[C-L] Coddington, E.A., Levinson, N. : Theory of ordinary differential equations, McGraw-Hill, New-York (1955).

[Co-G] Cornalba, M., Griffiths, P. : Some transcendental aspects of algebraic geometry, Proc. Symp. Pure Math. AMS 29 (1975) 3–110.

[C-O] Candelas, P., de la Ossa, X.C. : Moduli of Calabi-Yau manifolds, Nuclear Physics,

Ser. B. (1991).

[C-O-G-P] Candelas, P., de la Ossa, X.C., Green, P.S., Parkes, L. : Calabi-Yau manifolds as an exactly soluble superconformal theory, Phys. Lett. B 258 (1991) 118-126 ; Nuclear Phys. B. 359 (1991) 21-74.

[Del1] Deligne, P. : équations diffèrentielles à points singuliers réguliers, LNM 163, Springer-Verlag, Berlin (1970).

[Del2] Deligne, P. : Travaux de Griffiths, Sém. Bourbaki Vol. 376 (1969/70).

[Del3] Deligne, P. : Théorème de Lefschetz et critères de dégénérescence de suites spectrales, Publ. Math. IHES 35 (1968), 107-126.

[Del4] Deligne, P. : Théorie de Hodge II, Publ. Math. IHES 40 (1971) 5–57.

[Del5] Deligne, P. : Théorie de Hodge III, Publ. Math. IHES 44 (1974) 5–77.

[Del6] Deligne, P. : Local behaviour of Hodge structures at infinity, Prépublication 1994.

[Dem] Demailly, J.-P. : Théorie de Hodge L^{2} et théorèmes d’annulation, Ce volume.

[Dim] Dimca, A. : Residues and cohomology of complete intersections, Duke Math. J. 78 (1995) 89–100.

[D-S] McDuff, D., Salamon, D. : J-holomorphic curves and quantum cohomology, Amer.

Math. Soc., (1994) Providence RI.

[D-St] Doorn, R. van, Steenbrink, J. : A supplement to the monodromy theorem, Abh.

Mat. Ser. Univ. Hamburg 59 (1989) 225–233.

[F-G] Fröhlich, J., Gawedski, K. : Conformal field theory and geometry of strings, CRM

7, Canadian Math. Soc. (1994) 57-97.

[Fo] Forster, O. : Riemannsche Flächen, Springer Verlag (1977).

[Giv] Givental, A. : Homological geometry I, Projective hypersurfaces, Selecta Math. 1 (1995)325-345.

[G-M] Goresky, M., MacPherson, R. : Intersection homology, Topology 19 (1980) 135–162

(II) Invent. Math. 72 77–129 (1983).

[God] Godement, R. : Théorie des faisceaux, Hermann, Paris (1957).

[Grif1] Griffiths, P. : Periods of rational integrals on algebraic manifolds, I, II, resp. III Amer. J. Math. 90 (1968) 568–626, 805–865, resp. Publ. Math. IHES., 38 (1970) 125–180.

[Grif2] Griffiths, P. : On the periods of certain rational integrals, I, Ann. Math. (2) 90 (1969) 460-495.

[Grif3] Griffiths, P. : Periods of integrals on algebraic manifolds : summary and discussion of open problems, Bull. AMS 76 (1970) 228–296.

[Grif4] Griffiths, P. : Topics in Transcendental Algebraic Geometry, Ann. Math. Studies 106 Princeton Univ. Press, Princeton (1984).

[Groth] Grothendieck, A. : On the De Rham cohomology of algebraic varieties, Publ. Math. IHES 29 (1966) 95-103.

[G-S] Griffiths, P., Schmid, W. : Recent developments of Hodge theory : a discussion of techniques and results, dans : International Colloquium on Discrete Subgroups of Lie Groups and Moduli, Oxford University Press (1975).

[G-S1] Griffiths, P., Schmid, W. : Locally homogeneous complex manifolds Acta Math.

123 253–302 (1970).

[Hu] Husemoller, D. : Elliptic Curves, Graduate Texts in Mathematics 111 Springer Verlag, Berlin (1987).

[Ill] Illusie, L. : Frobenius et dégénérescence de Hodge, Ce volume.

[Ince] Ince, E.L. : Ordinary differential equations, First ed. Dover 1929, New-York (1956).

[Iv] Iversen, B. : Cohomology of Sheaves, Springer Verlag, Berlin (1986).

[H] Hübsch, T. : Calabi-Yau Manifolds, a bestiary for physicists, World Scientific (1993).

[H-K-S-Y] Hosono, S., Klemm, A.K., Theisen, S., Yau, S.-T. : Mirror symmetry and applica-

tions to Calabi-Yau hypersurfaces, Comm. Math. Phys. 167 (1995) 300-350.

[H-S] Hinich, V., Schechtmann, V. : Higher deformation theory (I), Prépublication MSRI

(1994).

[K1] Kontsevich, M. : Homological algebra of mirror symmetry, Intern. Congress of Mathemetics, Zürich (1994) 120–139, Birkhäuser Verlag, Basel (1995).

[K2] Kontsevich, M. : Mirror symmetry in dimension 3,Séminaire Bourbaki 1995.

[Ka] Katz, N. : Algebraic solution of differential equations (p-curvature and the Hodge filtration), Invent. Math. 18 (1972) 1–18.

[Kas] Kashiwara, M. : The Riemann-Hilbert problem for holonomic systems, Publ. R.I.M.S. Kyoto Univ. 20 (1984) 319–365.

[Ki] Kirwan, F. : An introduction to intersection homology theory, Longman Scientific & Technical, Harlow, Essex, (1988) .

[K-K] Kashiwara, M., Kawai, T. : The Poincaré lemma for variations of Polarized Hodge

structures. Publ. R.I.M.S. Kyoto Univ. 23 (1987) 345–407.

[K-M] Kontsevich, M., Manin, Yu. : Gromov-Witten classes, quantum cohomology and

enumerative geometry, Commun. Math. Phys. 164 (1994) 525-562.

[K-O] Katz, N., Oda, T. : On the differentiation of the De Rham cohomology classes with

respect to parameters, J. Math. Kyoto Univ. 1 (1968) 199-213.

[K-S] Kodaira, K., Spencer, D.C. : On deformations of complex analytic structures I-II,

Ann. Math. 67 (1958) 328-466.

[K-S2] Kodaira, K., Spencer, D.C. : A theorem of completeness for complex analytic fibre

spaces, Acta Math. 100 (1958) 450–459.

[Ku] Kuranishi, M. : On the locally complete families of complex analytic structures,Ann. Math. 75 (1962) 536–577.

[La] Landman, A. : On the Picard-Lefschetz transformations Trans. AMS 181 (1973) 89–126.

[L-T] Libgober, A., Teitelbaum, J. : Lines on Calabi-Yau complete intersections, mirror

symmetry, and Picard-Fuchs equations, Int. Math., Research Notes 1 (1993) 29-38.

[L-Y] Lian, B.H., Yau, S-T. : Arithmetic properties of mirror map and quantum coupling,

Prépublication hep-th/9411234 (1994).

[M1] Mebkhout, Z. : Une équivalence de catégories et une autre équivalence de catégories. Ark. Math. 50 (1984) 51–88.

[M2] Mebkhout, Z. : Le formalisme des six opérations de Grothendieck pour les 𝒟modules cohérents. Hermann, 1989.

[Mil] Milnor, J. : Singular points of complex hypersurfaces. Princeton Univ. Press, 1968.

[Mor1] Morrison, D.R. : Mirror symmetry and rational curves on quintic threefolds : A guide for mathematicians, J. Amer. Math. Soc. 6 (1993) 223-247.

[Mor2] Morrison, D.R. : Picard-Fuchs equations and mirror maps for hypersurfaces, dans [Y2] 241-264.

[Mor3] Morrison, D.R. : Introduction to mirror manifolds, Lectures at the Park City Regional Geometry Institute (1993).

[Mor4] Morrison, D.R. : Compactifications of moduli spaces inspired by mirror symmetry, Soc. Math. de France, Astérisque 218 (1993) 242–271.

[Mor5] Morrison, D.R. : Hodge theoretic aspects of mirror symmetry à paraître.

[NA] Navarro Aznar, V. : Sur la théorie de Hodge-Deligne, Invent. Math. 90 (1987) 11–76.

[Ohs1] Ohsawa, T. : Cheeger-Goresky-MacPherson’s conjecture for the varieties with isolated singularities, Math. Zeitschrift 206 (1991) 219–224.

[Ohs2] Ohsawa, T. : On the L^{2} cohomology of complex spaces, Math. Zeitschrift 209 (1992) 519–530.

[P] Plesser, B.R. : Lectures on quantum geometry, Nucl. Phys. B. (Suppl.) 41 (1995) 92–150.

[P-S] Peters, C., Steenbrink, J. : Infinitesimal variation of Hodge Structure and the generic Torelli problem for projective hypersurfaces. Dans : Classification of Algebraic and Analytic Varieties, Birkhäuser Verlag (1983), 399–464.

[R-T] Ruan, Y., Tian, G. : A mathematical theory of quantum cohomology, J. Differential

Geometry 42 (1995) 259-367.

[S] Schmid, W. : Variations of Hodge structure : the singularities of the period mapping, Invent. Math. 22 (1973) 211-320.

[Sa1] Saito, M. : Modules de Hodge Polarisables, Publ. RIMS Kyoto Univ. 24 (1988) 849–995.

[Sa2] Saito, M. : Decomposition morphisms for proper Kähler morphisms. Prépublication IHES (1988).

[Se] Serre, J.-P. : Géometrie algébrique et géométrie analytique, Ann. Inst. Fourier 6 (1956) 1-42.

[Si1] Simpson, C. : Constructing variations of Hodge structure using Yang-Mills theory and applications to uniformization, J. Amer. Math. Soc. 1 (1988) 876–918.

[Si2] Simpson, C. : Nonabelian Hodge theory, Int. Congr. of Math., Kyoto 1990, Proc., Springer, Tokyo (1991).

[Si3] Simpson, C. : Higgs bundles and local systems, Publ. Math. IHES 75 (1992) 5–95.

[Si4] Simpson, C. : Moduli of representations of the fundamental group of a smooth projective variety I, Publ. Math. IHES 79 (1994) 47–129, II 80 (1995) 5–79.

[St1] Steenbrink, J. : Limits of Hodge structures, Invent. Math. 31 (1976) 229–257.

[St2] Steenbrink, J. : Semicontinuity of the singularity spectrum, Invent. Math. 79 (1985) 557–565.

[Str] Strominger, A. : Special Geometry, Comm. Math. Phys. 133 (1990) 163–180.

[T] Tian, G. : Smoothness of the universal deformation space of compact Calabi-Yau manifolds and its Petersson-Weil metric, dans : Mathematical methods of theoretical physics, S.-T. Yau (editor), World Scientific, Hong-Kong (1986).

[V] Voisin, C. : Symétrie Miroir, Panoramas et Synthèses 2 (1996).

[Y1] Yau, S.T. : Calabi’s conjecture and some new results in algebraic geometry Proc. Nat. Ac. Sc. USA 74 1798-1799 (1977).

[Y2] Yau, S.-T. (Editor) : Essays on mirror manifolds, Internat. Press, Hong Kong (1992).

[Z1] Zuo, K. : Some structure theorems for semi-simple representations of π_{1} of algebraic manifolds, Math. Ann. 295 (1993) 365–382.

[Z2] Zuo, K. : Factorizations of nonrigid Zariski dense representations of π_{1} of projective algebraic manifolds, Invent. Math. 118 37–46 (1994).

[Za] Zaslow, E. : Topological orbifold models and quantum cohomology rings, Comm. Math. Phys. 156 301–331 (1993).

[Zu] Zucker, S. : Hodge theory with degenerating coefficients : L^{2}-cohomology in the Poincaré metric, Ann. Math. 109 (1979) 415–476.

Index

Les références DE, IL et BP se rapportent respectivement aux chapitres rédigés par J.-P. Demailly, L. Illusie et J. Bertin-Ch. Peters. Elles sont suivies par le numéro de la section et par le numéro de la page.

Abélienne :

variété abélienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . DE, §15, p. 91

Accouplement de Yukawa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . BP, §0, p. 175 Accouplement de Yukawa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . BP, §10, p. 237 Accouplement de Yukawa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . BP, §10, p. 246 Action de 𝔰𝔩(2, ℂ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . DE, §6, p. 32 Adjoint formel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . DE, §2, p. 13 Ahlfors-Schwarz, lemme d’ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . BP, §4, p. 204 Ample :

faisceau inversible ample . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IL, §5, p. 144
faisceau inversible très ample . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IL, §5, p. 144
fibré en droites ample . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . DE, §11, p. 68
fibré en droites très ample . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . DE, §11, p. 68

Anneau des vecteurs de Witt W (k) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IL, §7, p. 159 Anneau des vecteurs de Witt W_{2}(k) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IL, §3, p. 133

Betti :

nombres de Betti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . DE, §8, p. 43

Bott-Chern, groupes de cohomologie de . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . DE, §8, p. 40

Caractéristique : Caractéristique d’Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . DE, §9, p. 50 Caractéristique d’Euler topologique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . DE, §9, p. 51 Cartésien :

système inductif cartésien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IL, §6, p. 148

Cartier :

théorème de Cartier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IL, §3, p. 129
isomorphisme de Cartier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IL, §3, p. 130

Catégorie K(A) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IL, §4, p. 135 Catégorie dérivée D(A) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IL, §4, p. 135 Catégorie triangulée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IL, §4, p. 136 Classe de Chern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . DE, §1, p. 10 Cohérence des images directes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . DE, §10, p. 57 Cohomologie :

Cohomologie de De Rham . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IL, §4, p. 139 Cohomologie de De Rham . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . BP, §1, p. 177 Cohomologie de Hodge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IL, §4, p. 139 Cohomologie d’intersection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . BP, §6, p. 210 Cohomologie L^{2} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . BP, §6, p. 210

groupes de cohomologie L^{2} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . DE, §12, p. 72

Commutateur gradué . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . DE, §6, p. 30 Commutation

relations de commutation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . DE, §6, p. 30 relations de commutation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . DE, §13, p. 80

Complète :

variété riemanienne complète . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . DE, §12, p. 68

Complexe de De Rham associé à une connexion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . BP, §2, p. 181 Complexe de De Rham Ω_{X/Y}^{•} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IL, §1, p. 120 Complexe de De Rham à pôles logarithmiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IL, §7, p. 156 Complexe de De Rham à pôles logarithmiques relatif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IL, §7, p. 158 Complexe parfait . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IL, §6, p. 152 Conjecture de Fujita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . DE, §16, p. 94 Cône de Kähler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . BP, §10, p. 242 Connexion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . DE, §1, p. 9 Connexion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . BP, §2, p. 180 Connexion de Chern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . DE, §1, p. 11 Connexion de Gauss-Manin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . DE, §10, p. 54 Connexion de Gauss-Manin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . BP, §0, p. 172 Connexion de Gauss-Manin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . BP, §2, p. 181 Connexion de Gauss-Manin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . BP, §3, p. 192 Connexion du modèle A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . BP, §11, p. 251 Connexion hermitienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . DE, §1, p. 10 Connexion intégrable ou plate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . DE, §4, p. 24 Connexion intégrable ou plate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . BP, §2, p. 181 Conormal :

faisceau conormal 𝒩_{X/Z} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IL, §1, p. 116

Coordonnées géodésiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . DE, §5, p. 28 Coordonnées locales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IL, §2, p. 124 Coordonnées locales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . BP, §2, p. 189 Correspondance de Riemann-Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . BP, §6, p. 212 Courant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . DE, §11, p. 62

cohomologie des courants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . DE, §11, p. 65

Courant d’intégration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . DE, §11, p. 63 Courant d’intégration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . DE, §11, p. 64 Courant fermé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . DE, §11, p. 63 Courant positif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . DE, §11, p. 63 Courbes elliptiques, famille de Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . BP, §10, p. 245 Courbure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . DE, §1, p. 10 Courbure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . BP, §2, p. 181 Courbure sectionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . BP, §4, p. 203 Critère de projectivité de Kodaira . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . DE, §15, p. 91 Critère jacobien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IL, §2, p. 124 Cycle local invariant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . BP, §4, p. 208 Cycles évanescents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . BP, §4, p. 208 Cycles proches . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . BP, §4, p. 208

Décomposabilité :

objet décomposable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IL, §4, p. 137 schéma DR-décomposable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IL, §7, p. 161 condition suffisante de DR-décomposabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IL, §7, p. 161

Décomposition de Hodge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . DE, §8, p. 41 Décomposition de Hodge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . DE, §9, p. 48 Décomposition de Hodge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . DE, §12, p. 73 Décomposition de Hodge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . DE, §12, p. 75 Décomposition de Hodge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IL, §0, p. 114 Décomposition de Hodge forte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . DE, §9, p. 49 Décomposition d’un objet d’une catégorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IL, §4, p. 137

théorème de décomposition en caractéristique p > 0 . . . . . . . . . . . . . . . . IL, §5, p. 140

Décomposition primitive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . DE, §6, p. 37 Déformation complète . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . BP, §3, p. 197 Déformation de variétés complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . DE, §10, p. 52 Déformation (uni)verselle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . BP, §3, p. 197 Dégénérescence à un paramètre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . BP, §0, p. 173 Dégénérescence d’une suite spectrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . DE, §9, p. 47 Dégénèrescence de la suite spectrale de Hodge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . DE, §9, p. 48

théorème de dégénérescence en caractéristique p > 0 . . . . . . . . . . . . . . . IL, §5, p. 144

De Rham :

cohomologie de De Rham . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IL, §4, p. 139 cohomologie de De Rham . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . BP, §1, p. 177 complexe de De Rham Ω_{X/Y}^{•} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IL, §1, p. 120 complexe de De Rham à pôles logarithmiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IL, §7, p. 156 complexe de De Rham à pôles logarithmiques relatif . . . . . . . . . . . . . . . IL, §7, p. 158 complexe de De Rham associé à une connexion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . BP, §2, p. 181 groupe de cohomologie de De Rham H_{DR}^{i}(X/k) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IL, §4, p. 139 isomorphisme de De Rham-Weil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . DE, §1, p. 8

Dérivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IL, §1, p. 117 Dérivée :

catégorie dérivée D(A) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IL, §4, p. 135

Différentiel :

opérateur différentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . DE, §2, p. 12

Différentielle d_{X/Y} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IL, §1, p. 117 Dimension relative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IL, §2, p. 125 Diviseur à croisements normaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IL, §7, p. 155 Dolbeault :

isomorphisme de Dolbeault . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . DE, §1, p. 9

Dualité de Poincaré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . DE, §4, p. 25 Dualité de Serre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . DE, §7, p. 39

Elliptique :

opérateur elliptique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . DE, §2, p. 13 opérateur pseudodifférentiel elliptique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . DE, §3, p. 17

Épaississement d’ordre 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IL, §1, p. 116 Équation de Lelong-Poincaré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . DE, §11, p. 64 Équation de Picard-Fuchs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . BP, §9, p. 231 Équation de Picard-Fuchs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . BP, §10, p. 238 Estimations L^{2} de Hörmander . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . DE, §14, p. 83 Estimations L^{2} de Hörmander . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . DE, §14, p. 85

Faisceau : Faisceau conormal 𝒩_{X/Z} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IL, §1, p. 116 Faisceau de Hodge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . BP, §1, p. 178 Faisceau des 1-différentielles de Kähler Ω_{X/Y}^{1} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IL, §1, p. 117

Faisceau des i-différentielles de Kähler Ω_{X/Y}^{i} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IL, §1, p. 119 Faisceau d’idéaux multiplicateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . DE, §15, p. 86 Faisceau inversible très ample . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IL, §5, p. 144 Faisceau inversible ample . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IL, §5, p. 144 Faisceau pervers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . BP, §6, p. 212 Faisceau tangent T_{X/Y} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IL, §1, p. 117 Famille de variétés algébriques projectives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . BP, §0, p. 171 Famille de variétés algébriques projectives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . BP, §1, p. 180 Fibre de Milnor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . BP, §4, p. 208 Fibré de Higgs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . BP, §5, p. 210 Fibré en droites ample . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . DE, §11, p. 68 Fibré en droites très ample . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . DE, §11, p. 68 Fibré en droites gros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . DE, §15, p. 92 Fibré en droites nef . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . DE, §15, p. 93 Fibré vectoriel positif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . DE, §11, p. 66 Filtration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . DE, §9, p. 46 Filtration de Hodge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . DE, §9, p. 47 Filtration de Hodge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . DE, §10, p. 58 Filtration de Hodge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . BP, §0, p. 172 Filtration de Hodge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . BP, §1, p. 178

holomorphie de la filtration de Hodge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . DE, §10, p. 58

Filtration limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . BP, §4, p. 207 Filtration par le poids . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . BP, §4, p. 207 Finitude :

théorème de finitude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . DE, §3, p. 17

Foncteurs dérivés ⊗^{L}, R Hom, R Hom, Rf_{∗}, Lf^{∗}, RΓ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IL, §4, p. 138

Fonction plurisousharmonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . DE, §11, p. 60 Fonction sous-harmonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . DE, §11, p. 60 Forme de Hodge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . BP, §3, p. 191 Forme de Hodge-Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . BP, §3, p. 192 Forme de Hodge-Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . BP, §3, p. 190 Forme de Ricci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . BP, §4, p. 204 Frobenius :

endomorphisme de Frobenius (absolu) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IL, §3, p. 128 morphisme de Frobenius (relatif) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IL, §3, p. 128

Fubini-Study, métrique de . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . DE, §5, p. 26 Fujita :

conjecture de Fujita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . DE, §16, p. 94
théorème de Fujita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . DE, §16, p. 96

Gårding :

inégalité de Gårding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . DE, §3, p. 17

Gauss-Manin :

connexion de Gauss-Manin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . DE, §10, p. 54 connexion de Gauss-Manin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . BP, §0, p. 172 connexion de Gauss-Manin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . BP, §2, p. 181 connexion de Gauss-Manin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . BP, §3, p. 192 propriété de transversalité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . BP, §2, p. 188

Géodésiques :

coordonnées géodésiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . DE, §5, p. 28

Géométrie logarithmique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IL, §7, p. 159 Géométrie spéciale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . BP, §10, p. 242 Green, opérateur de . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . DE, §3, p. 19 Griffiths :

positivité de Griffiths . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . DE, §11, p. 66 transversalité de Griffiths . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . BP, §3, p. 192

Gromov-Witten, invariant de . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . BP, §11, p. 252 Groupe algébrique du type Hodge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . BP, §5, p. 210 Groupe de monodromie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . BP, §3, p. 193 Groupe de Néron-Severi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . DE, §8, p. 46 Groupes kählériens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . BP, §0, p. 173

Harmonique :

forme harmonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . DE, §4, p. 24

Heisenberg, groupe de . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . DE, §8, p. 42 Hermitienne :

métrique hermitienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . DE, §5, p. 25 variété hermitienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . DE, §5, p. 26

Higgs, fibré de . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . BP, §5, p. 210 Hodge :

décomposition de Hodge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . DE, §8, p. 41
décomposition de Hodge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . DE, §9, p. 48
décomposition de Hodge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . DE, §12, p. 73

décomposition de Hodge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . DE, §12, p. 75 décomposition de Hodge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IL, §0, p. 114 faisceau de Hodge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . BP, §1, p. 178 filtration de Hodge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . DE, §9, p. 47 filtration de Hodge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . DE, §10, p. 58 filtration de Hodge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . BP, §0, p. 172 filtration de Hodge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . BP, §1, p. 178 forme bilinéaire de Hodge-Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . DE, §8, p. 44 forme de Hodge-Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . BP, §3, p. 190 forme de Hodge-Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . BP, §3, p. 192 groupes de cohomologie de Hodge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IL, §4, p. 139 isomorphisme de Hodge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . DE, §4, p. 25 isomorphisme de Hodge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . DE, §7, p. 39 opérateur ∗ de Hodge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . DE, §4, p. 21 opérateur # de Hodge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . DE, §4, p. 21 métrique de Hodge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . DE, §5, p. 27 nombres de Hodge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . DE, §8, p. 43 nombres de Hodge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . BP, §4, p. 200 relations bilinéaires de Hodge-Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . BP, §3, p. 191 structure de Hodge réelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . BP, §3, p. 190 structure de Hodge mixte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . BP, §4, p. 200 structure de Hodge mixte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . BP, §11, p. 249 suite spectrale de Hodge-Frölicher . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . DE, §9, p. 46 suite spectrale de Hodge-Frölicher . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IL, §0, p. 113 suite spectrale de Hodge vers De Rham . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IL, §0, p. 113 théorème de dégénérescence de Hodge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IL, §0, p. 113 théorème de dégénérescence de Hodge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IL, §6, p. 153 variation de structures de Hodge (VHS) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . BP, §3, p. 192 variation infinitésimale de structures de Hodge (IVHS) . . . . . . . . . . . . BP, §3, p. 199 variation complexe de structures de Hodge (VCH) . . . . . . . . . . . . . . . . BP, §5, p. 209

Hopf, surfaces de . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . DE, §5, p. 27 Horizontal, sous-fibré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . BP, §3, p. 195 Hypercohomologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . DE, §9, p. 51

Identité : Identité de Bochner-Kodaira-Nakano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . DE, §13, p. 80 Identité de Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . DE, §6, p. 31 Identités de commutation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . DE, §6, p. 30 Identités de commutation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . DE, §6, p. 33 Intégrable :

connexion intégrable ou plate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . DE, §4, p. 24 connexion intégrable ou plate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . BP, §2, p. 181

Intersection, cohomologie d’ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . BP, §6, p. 210 Invariance des nombres de Hodge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . DE, §10, p. 56 Invariant de Gromov-Witten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . BP, §11, p. 252 Irrégularité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . DE, §8, p. 45 Isomorphisme de Cartier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IL, §3, p. 130 Isomorphisme de De Rham-Weil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . DE, §1, p. 8 Isomorphisme de Dolbeault . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . DE, §1, p. 9 Isomorphisme de Hodge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . DE, §4, p. 25 Isomorphisme de Hodge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . DE, §7, p. 39

quasi-isomorphisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IL, §4, p. 135

Iwasawa, variété d’ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . DE, §8, p. 42

Jacobi : Jacobi, identité de . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . DE, §6, p. 31 Jacobienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . DE, §8, p. 46

critère jacobien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IL, §2, p. 124

Kähler :

cône de Kähler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . BP, §10, p. 242 groupes kählériens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . BP, §0, p. 173 métrique kählérienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . DE, §5, p. 26 variété kählérienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . DE, §5, p. 26 faisceau des 1-différentielles de Kähler Ω_{X/Y}^{1} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IL, §1, p. 117 module des 1-différentielles de Kähler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IL, §1, p. 118 faisceau des i-différentielles de Kähler Ω_{X/Y}^{i} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IL, §1, p. 119

Kodaira :

application de Kodaira-Spencer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . BP, §2, p. 182 application de Kodaira-Spencer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . BP, §3, p. 197 classe de Kodaira-Spencer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . BP, §2, p. 182 critère de projectivité de Kodaira . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . DE, §15, p. 91 morphisme de Kodaira-Spencer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . BP, §2, p. 182 théorème d’annulation de Kodaira-Akizuki-Nakano . . . . . . . . . . . . . . . DE, §13, p. 82 théorème d’annulation de Kodaira-Akizuki-Nakano . . . . . . . . . . . . . . . . IL, §6, p. 154 théorème de Kodaira-Akizuki-Nakano en caractéristique p . . . . . . . . . IL, §5, p. 145 théorème de semi-continuité de Kodaira-Spencer . . . . . . . . . . . . . . . . . . DE, §10, p. 55 théorie des déformations de Kodaira-Spencer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . DE, §10, p. 52

Laplace :

opérateur de Laplace-Beltrami . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . DE, §0, p. 3 opérateur de Laplace-Beltrami . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . DE, §4, p. 23

Lefschetz, théorème difficile de . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . DE, §8, p. 44

théorème de Lefschetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . BP, §8, p. 222

Legendre, famille de courbes elliptiques de . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . BP, §10, p. 245 Lemme d’Ahlfors-Schwarz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . BP, §4, p. 204 Lemme d’Ehresmann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . DE, §10, p. 53 Lemme de Poincaré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . BP, §1, p. 177 Lemme de Poincaré holomorphe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . BP, §1, p. 177 Logarithmique :

complexe de De Rham à pôles logarithmiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IL, §7, p. 156 complexe de De Rham à pôles logarithmiques relatif . . . . . . . . . . . . . . . IL, §7, p. 158

géométrie logarithmique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IL, §7, p. 159

Matsusaka :

grand théorème de Matsusaka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . DE, §17, p. 102 théorème de Matsusaka effectif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . DE, §17, p. 104

Métrique de Fubini-Study . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . DE, §5, p. 26 Métrique de Hodge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . DE, §5, p. 27 Métrique hermitienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . DE, §5, p. 25 Métrique hermitienne singulière . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . DE, §11, p. 67 Métrique de Weil-Peterson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . BP, §10, p. 241

fibre de Milnor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . BP, §4, p. 208

Miroir :

variété miroir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . BP, §7, p. 215

Mixte :

structure de Hodge mixte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . BP, §4, p. 200
structure de Hodge mixte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . BP, §11, p. 249

Module des 1-différentielles de Kähler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IL, §1, p. 118

𝒟-module holonome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . BP, §6, p. 212

Monodromie locale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . BP, §0, p. 173 Monodromie locale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . BP, §4, p. 203 Monodromie locale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . BP, §4, p. 199 Monodromie locale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . BP, §9, p. 232

représentation de Monodromie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . BP, §2, p. 180 groupe de monodromie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . BP, §3, p. 193

Morphisme de Frobenius (absolu) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IL, §3, p. 128 Morphisme de Frobenius (relatif) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IL, §3, p. 128 Morphisme des périodes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . BP, §3, p. 196 Morphisme étale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IL, §2, p. 120 Morphisme lisse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IL, §2, p. 120 Morphisme localement de présentation finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IL, §2, p. 120 Morphisme localement de type fini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IL, §2, p. 120 Morphisme net . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IL, §2, p. 120 Morphisme non ramifié . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IL, §2, p. 120 Morphisme plat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IL, §2, p. 125

Nadel :

faisceau d’idéaux multiplicateurs de Nadel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . DE, §15, p. 86
théorème d’annulation de Nadel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . DE, §15, p. 89

Nakano :

positivité de Nakano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . DE, §11, p. 66
théorème d’annulation de Nakano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . DE, §13, p. 82

Nef :

fibré en droites nef . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . DE, §15, p. 93

Néron-Severi, groupe de . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . DE, §8, p. 46 Nilpotente, théorème de l’orbite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . BP, §4, p. 205 Nombres de Betti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . DE, §8, p. 43 Nombres de Hodge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . DE, §8, p. 43 Nombres de Hodge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . BP, §4, p. 200

Obstruction : Obstruction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IL, §2, p. 125 Obstruction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IL, §2, p. 126 Opérateur de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . DE, §3, p. 19 Opérateur de Laplace-Beltrami . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . DE, §0, p. 3 Opérateur de Laplace-Beltrami . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . DE, §4, p. 23 Opérateur de Weil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . BP, §3, p. 191 Opérateur différentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . DE, §2, p. 12 Opérateur pseudodifférentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . DE, §3, p. 15 Opérateurs L et Λ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . DE, §6, p. 30 Opérateur ∗ de Hodge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . DE, §4, p. 21 Opérateur # de Hodge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . DE, §4, p. 21 Orbite nilpotente, théorème de l’ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . BP, §4, p. 205 Ordinaire, schéma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IL, §8, p. 164

Parallélisable : Parallélisable, schéma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IL, §8, p. 164 Paramètre canonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . BP, §10, p. 245 Parfait, complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IL, §6, p. 152 Périodes, morphisme des . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . BP, §3, p. 196 Picard :

application de Picard-Lefschetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . BP, §4, p. 203
application de Picard-Lefschetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . BP, §4, p. 199
équation de Picard-Fuchs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . BP, §9, p. 231
équation de Picard-Fuchs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . BP, §10, p. 238
groupe de Picard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . DE, §8, p. 45
nombre de Picard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . DE, §8, p. 46

Plat, morphisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IL, §2, p. 125 Plurisousharmonique, fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . DE, §11, p. 60 Poids d’un élément . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . DE, §6, p. 35 Poincaré :

dualité de Poincaré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . DE, §4, p. 25 lemme de Poincaré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . BP, §1, p. 177 lemme de Poincaré holomorphe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . BP, §1, p. 177

Polarisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . BP, §3, p. 191 Polarisation d’une structure de Hodge mixte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . BP, §11, p. 250 Pôle logarithmique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . DE, §15, p. 87 Primitive :

décomposition primitive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . DE, §6, p. 37 forme primitive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . DE, §6, p. 37

Problème de Levi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . DE, §15, p. 92 Problème de Torelli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . BP, §3, p. 197 Projectif : schéma projectif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IL, §5, p. 144 variété projective . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . DE, §5, p. 27

Propreté cohomologique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IL, §6, p. 150 Pseudoconvexe, variété faiblement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . DE, §12, p. 74 Pseudodifférentiel, opérateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . DE, §3, p. 15

Quasi-isomorphisme : Quasi-isomorphisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IL, §4, p. 135

Réduction : Réduction semi-stable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IL, §7, p. 157 Réduction semi-stable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IL, §7, p. 162 Réductive, algèbre de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . DE, §6, p. 34 Régulier, point singulier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . BP, §9, p. 232 Régulier, schéma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IL, §2, p. 124 Relations bilinéaires de Hodge-Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . BP, §3, p. 191 Relations de commutation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . DE, §13, p. 80 Relèvement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IL, §2, p. 126 Relèvement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IL, §3, p. 131 Rellich, lemme de . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . DE, §3, p. 15 Représentation de Monodromie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . BP, §2, p. 180 Résidu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . BP, §8, p. 223 Résidu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . BP, §8, p. 225 Résidu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . BP, §9, p. 232 Ricci, forme de . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . BP, §4, p. 204 Riemann, conditions de . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . DE, §15, p. 91 Riemann-Hilbert, correspondance de . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . BP, §6, p. 212

Schéma : Schéma DR-décomposable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IL, §7, p. 161 Schéma ordinaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IL, §8, p. 164 Schéma parallélisable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IL, §8, p. 164 Schéma projectif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IL, §5, p. 144 Schéma régulier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IL, §2, p. 124 Serre, dualité de . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . DE, §7, p. 39 Siegel, demi-espace de . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . BP, §3, p. 195 Singularités algébriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . DE, §11, p. 62 Singularités analytiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . DE, §11, p. 62

point singulier régulier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . BP, §9, p. 232

Sobolev, espaces de . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . DE, §3, p. 14 Sobolev, lemme de . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . DE, §3, p. 15 Sous-fibré horizontal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . BP, §3, p. 195 Structure de Hodge mixte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . BP, §4, p. 200 Structure de Hodge mixte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . BP, §11, p. 249 Structure de Hodge polarisée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . BP, §3, p. 191 Structure de Hodge réelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . BP, §3, p. 190 Suite spectrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . DE, §9, p. 47

dégénérescence d’une suite spectrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . DE, §9, p. 47

Suite spectrale de Hodge-Frölicher . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . DE, §9, p. 46 Suite spectrale de Hodge vers De Rham . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IL, §0, p. 113 Suite spectrale de Hodge vers De Rham . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IL, §4, p. 139 Suite spectrale de Hodge vers De Rham relative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IL, §5, p. 147 Surfaces de Hopf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . DE, §5, p. 27 Symbole principal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . DE, §2, p. 12 Symboles, classe standard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . DE, §3, p. 15 Symétrie de Hodge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . DE, §8, p. 41 Symétrie miroir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . BP, §7, p. 215 Système inductif cartésien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IL, §6, p. 148 Système local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . BP, §2, p. 180 Système local de coefficients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . DE, §8, p. 42 Système local de coefficients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . DE, §4, p. 24

Tangent :

faisceau tangent T_{X/Y} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IL, §1, p. 117

Tenseur de courbure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . DE, §1, p. 10 Théorème : Théorème d’annulation de Kawamata-Viehweg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . DE, §15, p. 93 Théorème d’annulation de Kodaira-Akizuki-Nakano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . DE, §13, p. 82 Théorème d’annulation de Kodaira-Akizuki-Nakano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IL, §6, p. 154 Théorème d’annulation de Kodaira-Akizuki-Nakano en caractéristique p . . . . . . . . IL, §5, p. 145 Théorème d’annulation de Nadel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . DE, §15, p. 89 Théorème d’annulation de Nakano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . DE, §13, p. 82 Théorème de Cartier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IL, §3, p. 129 Théorème de décomposition en caractéristique p > 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IL, §5, p. 140 Théorème de dégénérescence de Hodge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IL, §0, p. 113 Théorème de dégénérescence de Hodge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IL, §6, p. 153 Théorème de dégénérescence en caractéristique p > 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IL, §5, p. 144 Théorème de finitude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . DE, §3, p. 17 Théorème de Fujita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . DE, §16, p. 96 Théorème de Lefschetz difficile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . DE, §8, p. 44 Théorème de l’orbite nilpotente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . BP, §4, p. 205 Théorème de Matsusaka effectif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . DE, §17, p. 104

grand théorème de Matsusaka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . DE, §17, p. 102

Théorème de semi-continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . DE, §10, p. 57 Théorème de semi-continuité de Kodaira-Spencer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . DE, §10, p. 55 Théorème des images directes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . DE, §10, p. 57 Tore complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . DE, §5, p. 27 Torelli, problème de . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . BP, §3, p. 197 Translaté L[n] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IL, §4, p. 135 Transversalité de Griffiths . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . BP, §2, p. 188 Transversalité de Griffiths . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . BP, §3, p. 192 Triangle, triangle distingué . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IL, §4, p. 136 Tronqué canonique τ_{⩽n}L (resp. τ_{⩾n}L) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IL, §4, p. 135 Tronqué naïf L^{⩽n} (resp. L^{⩾n}) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IL, §4, p. 135

Universelle :

déformation universelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . BP, §3, p. 197

Variation : Variation complexe de structures de Hodge (VCH) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . BP, §5, p. 209 Variation de structures de Hodge (VHS) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . BP, §3, p. 192 Variation infinitésimale de structures de Hodge (IVHS) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . BP, §3, p. 199 Variété abélienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . DE, §15, p. 91 Variété de Fano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . DE, §16, p. 102 Variété de Stein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . DE, §15, p. 92 Variété d’Iwasawa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . DE, §8, p. 42 Variété faiblement pseudoconvexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . DE, §12, p. 74 Variété hermitienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . DE, §5, p. 26 Variété jacobienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . DE, §8, p. 46 Variété kählérienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . DE, §5, p. 26 Variété kählérienne complète . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . DE, §12, p. 73 Variété miroir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . BP, §7, p. 215 Variété projective . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . DE, §5, p. 27 Variété riemanienne complète . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . DE, §12, p. 68 Verselle, déformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . BP, §3, p. 197

Weil :

métrique de Weil-Peterson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . BP, §10, p. 241
opérateur de Weil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . BP, §3, p. 191

Witt :

anneau des vecteurs de Witt W (k) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IL, §7, p. 159
anneau des vecteurs de Witt W_{2}(k) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IL, §3, p. 133

Yukawa : Yakawa, accouplement de . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . BP, §0, p. 175 Yukawa, accouplement de . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . BP, §10, p. 237 Yukawa, accouplement de . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . BP, §10, p. 246

Abstract

Each of the three chapters collected in this book is concerned with various aspects – important ones in several respects – of Hodge theory. The text is an expanded version, including substantial additions, of lectures presented on the occasion of the meeting “l’Etat de la Recherche” devoted to Hodge theory, that has been held at Université Joseph Fourier in Grenoble from Friday November 25, 1994 till Sunday November 27, under the auspices of the SMF (Société Mathématique de France). The authors wishes would be fulfilled if, in accordance with the general goals of sessions “l’Etat de la Recherche”, this book could help the nonexpert reader to get a precise idea of the current status of Hodge theory.

The three main subjects developed here (L^{2} Hodge theory and vanishing theorems, Frobenius and Hodge degeneration, Variations of Hodge structures and mirror symmetry) cover a wide range of techniques : elliptic PDE theory, complex differential geometry, algebraic geometry in characteristic p, cohomological and sheaf-theoretic methods, deformation theory of complex varieties, Calabi-Yau manifolds, a few aspects of singularity theory … This accumulation of tools arising from various fields probably makes the access to the theory rather uneasy for newcomers. We hope that the present book will greatly facilitate this access : a special effort has been made to approach various themes by their most natural starting point, each of the three chapters being supplemented with a detailed introduction and numerous references. The reader will find precise statements of quite a number of open problems which have been the subject of active research in the last years.

The authors are grateful to SMF and MESR (Ministère de l’Enseignement Supérieur et de la Recherche) for their decisive action – both psychological and financial – without which the Grenoble session “Hodge theory” would probably never have taken place. They address special thanks to the Scientific Committee of Sessions l’Etat de la Recherche, in behalf of its two successive directors Pierre Schapira and Colette Mœglin, as well as to Michèle Audin, Editor in Chief of the Journal “Panoramas et Synthèses”, for her strong encouragement to publish the present manuscript. Finally, they express their gratitude to the referee for his careful reading of the manuscript and a large number of invaluable suggestions.

November 27, 1995 José Bertin^{⋆}, Jean-Pierre Demailly^{⋆}, Luc Illusie^{⋆⋆}, Chris Peters^{⋆} ⋆ Université de Grenoble I, Institut Fourier,

BP74, 38402 Saint-Martin d’Hères, France ⋆⋆ Université de Paris-Sud, Département de Mathématiques,

Bâtiment 425, 91405 Orsay, France

Contents

Foreword . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

L^{2} Hodge theory and vanishing theorems by Jean-Pierre Demailly. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3

0. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

Part I : L^{2} Hodge theory

1. Vector bundles, connections and curvature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2. Differential operators on vector bundles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 3. Fundamental results on elliptic operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .14 4. Hodge theory of compact riemannian manifolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 5. Hermitian and Kähler manifolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 6. Formal identities of Kähler geometry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .29 7. Groups ℋ^{p,q}(X, E) and Serre duality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 8. Cohomology of compact Kähler manifolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 9. Hodge-Frölicher spectral sequence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 10. Deformations and semicontinuity theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

Part II : L^{2} estimates and vanishing theorems

11. Pseudoconvexity and positivity concepts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 12. Hodge theory of complete Kähler manifolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 13. Bochner method and vanishing theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 14. L^{2} estimates and existence theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 15. Nadel and Kawamata-Viehweg vanishing theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 16. On Fujita’s conjecture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 17. An effective version of Matsusaka’s big theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

Frobenius and Hodge degeneration by Luc Illusie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

0. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 1. Schemes : differentials, De Rham complex . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .116 2. Smoothness and liftings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 3. Frobenius morphism and Cartier isomorphism . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 4. Derived categories and spectral sequences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .134 5. Decomposition, degeneration and vanishing theorems in characteristic p . . 140 6. From characteristic p to characteristic zero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 7. Recent developments and open problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 8. Appendix : parallelizability and ordinarity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

Variations of Hodge structures, Calabi-Yau manifolds and mirror symmetry

by José Bertin and Chris Peters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .171

0. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

Part I. Variations of Hodge structures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

1. Hodge bundles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 2. Gauss-Manin connection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180 3. Variations of Hodge structures. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .190 4. Degenerations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .199 5. Higgs bundles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209 6. Hodge modules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210

Part II. Mirror symmetry and Calabi-Yau manifolds . . . . . . . . . . . . . . . . 215

7. Introduction to mirror symmetry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215 8. Cohomology of hypersurfaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222 9. Picard-Fuchs equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229 10. Calabi-Yau manifolds and mirror symmetry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235 11. Relation with mixed Hodge theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249

Bibliography. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .256

Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261

Abstract . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273

Contents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275