

% Session SMF l'Etat de la Recherche, Grenoble, 25-26-27 Novembre 1994
% Texte pour Panoramas et Synth\`eses
% Plain-TeX 
% J.-P. Demailly, Institut Fourier, Universit\'e de Grenoble I, France
% Th\'eorie de Hodge $L^2$ et Th\'eor\`emes d'Annulation
% Partie I

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\blankline
\title Th\'eorie de Hodge $L^2$ et|
\title Th\'eor\`emes d'annulation|
\titlerunning J.-P.\ Demailly,
              Th\'eorie de Hodge $L^2$ et th\'eor\`emes d'annulation|
\medskip
\centerline{\twelvebf Jean-Pierre Demailly}
\medskip

\centerline{\twelverm Universit\'e de Grenoble I}
\smallskip
\centerline{\twelverm Institut Fourier, BP~74}
\smallskip
\centerline{\twelverm 38402 Saint-Martin d'H\`eres, France}
\vskip15mm\null

\def\refmark{DE}
\startindex{
\noindent {\twelvebf Sommaire}
\vskip5mm

\noindent
\Smark0. Introduction
   \dotfill \sectref{0}\phantom{$~$}
   
\noindent{\bf Partie I$\,$: Th\'eorie de Hodge $L^2$}
\smallskip\noindent
\Smark1. Fibr\'es vectoriels, connexions et courbure
   \dotfill \sectref{1}
\Smark2. Op\'erateurs diff\'erentiels sur les fibr\'es vectoriels
   \dotfill \sectref{2}
\Smark3. R\'esultats fondamentaux sur les op\'erateurs elliptiques
   \dotfill \sectref{3}
\Smark4. Th\'eorie de Hodge des vari\'et\'es riemanniennes compactes
   \dotfill \sectref{4}
\Smark5. Vari\'et\'es hermitiennes et k\"ahl\'eriennes
   \dotfill \sectref{5}
\Smark6. Identit\'es de la g\'eom\'etrie k\"ahl\'erienne
   \dotfill \sectref{6}
\Smark7. Groupes $\cH^{p,q}(X,E)$ et dualit\'e de Serre 
  \dotfill \sectref{7}
\Smark8. Cohomologie des vari\'et\'es k\"ahl\'eriennes compactes
  \dotfill \sectref{8}
\Smark9. Suite spectrale de Hodge-Fr\"olicher 
  \dotfill \sectref{9}
\Smark10. D\'eformations et th\'eor\`emes de semi-continuit\'e 
  \dotfill \sectref{10}\null

\noindent{\bf Partie II$\,$: Estimations $L^2$ et th\'eor\`emes 
d'annulation}
\smallskip\noindent
\Smark11. Concepts de pseudoconvexit\'e et de positivit\'e 
  \dotfill \sectref{11}
\Smark12. Th\'eorie de Hodge des vari\'et\'es k\"ahl\'eriennes compl\`etes
  \dotfill \sectref{12}
\Smark13. M\'ethode de Bochner et th\'eor\`emes d'annulation 
  \dotfill \sectref{13}  
\Smark14. Estimations $L^2$ et th\'eor\`emes d'existence 
  \dotfill \sectref{14}
\Smark15. Th\'eor\`emes d'annulation de Nadel et Kawamata-Viehweg 
  \dotfill \sectref{15}  
\Smark16. Sur la conjecture de Fujita 
  \dotfill \sectref{16}
\Smark17. Une version effective du grand th\'eor\`eme de Matsusaka
  \dotfill \sectref{17}\null

\noindent R\'ef\'erences
  \dotfill \sectref{18}\null
\vfill\eject}

\section \Smark0. Introduction|
L'objet de ces notes est de d\'ecrire deux applications fondamentales
des techniques hilbertiennes $L^2$ \`a la g\'eom\'etrie analytique ou
alg\'ebrique$\,:$ la th\'eorie de Hodge d'une part, la th\'eorie des
estimations $L^2$ pour l'op\'erateur~$\olp$ d'autre part. Le point de
vue adopt\'e ici sera essentiellement analytique.

La premi\`ere partie est consacr\'ee \`a la th\'eorie de Hodge et se
veut avant tout introductive. Le lecteur ne trouvera donc ici que les
aspects les plus \'el\'ementaires, dus pour la plupart \`a W.V.D.~Hodge
lui-m\^eme [Hod41] ou \`a A.~Weil [Wei57]. La th\'eorie de Hodge, dans
le sens premier con\c cu par son cr\'eateur, consiste en l'\'etude de
la cohomologie des vari\'et\'es riemanniennes ou k\"ahl\'eriennes,
\`a~partir d'une description des formes harmoniques et de leurs
propri\'et\'es. Nous renvoyons aux textes de J.~Bertin-Ch.~Peters
[BePe95] et L.~Illusie [Ill95] pour une pr\'esentation d'aspects et
d'applications plus avanc\'es (variations de structures de Hodge,
application des p\'eriodes, th\'eorie de Hodge en
caract\'eristique${}>0~\ldots$). Consid\'erons une vari\'et\'e
riemannienne~$X$ et un fibr\'e euclidien ou hermitien $E$ sur~$X$. On
suppose que $E$ est muni d'une connexion $D$ compatible avec la
m\'etrique$\,:$ une connexion est par d\'efinition un op\'erateur de
d\'erivation analogue \`a la diff\'erentiation ext\'erieure, agissant
sur les formes de degr\'e quelconque \`a valeurs dans~$E$, et
satisfaisant la r\`egle de Leibniz pour le produit ext\'erieur. L'{\sl
op\'erateur 
\index{210}{OPE}{Op\'erateur de Laplace-Beltrami}%
\index{211}{LAP}{\hri op\'erateur de Laplace-Beltrami}%
de Laplace-Beltrami} associ\'e est l'op\'erateur
diff\'erentiel autoadjoint du second ordre
$\Delta_E=D_ED_E^\star+D_E^\star D_E$, o\`u $D_E^\star$ est l'adjoint
hilbertien de~$D_E$. On v\'erifie ais\'ement que $\Delta_E$ est un {\sl
op\'erateur elliptique}. Le th\'eor\`eme de finitude pour les
op\'erateurs elliptiques montre alors que l'espace $\cH^q(X,E)$ des
$q$-formes harmoniques \`a valeurs dans $E$ est de dimension finie si
$X$ est compacte (on dit qu'une forme $u$ est harmonique si $\Delta_E
u=0$). Si on suppose de plus que la connexion est telle que $D_E^2=0$,
l'op\'erateur $D_E$ agissant sur les formes de tous degr\'es d\'efinit
un complexe appel\'e {\sl complexe de De Rham} \`a valeurs dans le
syst\`eme local de coefficients d\'efini par~$E$. Les groupes de
cohomologie correspondants seront not\'es $H^q_\DR(X,E)$. L'observation
fondamentale de la th\'eorie de Hodge est que toute classe de
cohomologie contient un unique repr\'esentant harmonique d\`es lors que
$X$ est compacte. Il en r\'esulte alors un isomorphisme, dit {\sl
isomorphisme de Hodge} $$H^q_\DR(X,E)\simeq\cH^q_\DR(X,E).\leqno(0.1)$$
Lorsque la vari\'et\'e $X$ et le fibr\'e $E$ sont holomorphes, il
existe une connexion unique $D_E$ appel\'ee {\sl connexion de Chern},
compatible avec la m\'etrique hermitienne de $E$ et ayant les
propri\'et\'es suivantes$\,:$ $D_E$ se scinde en la somme
$D_E=D_E'+D_E''$ d'une connexion $D_E'$ de type $(1,0)$ et d'une
connexion $D_E''$ de type $(0,1)$, telles que $D_E^{\prime
2}=D_E^{\prime\prime 2}=0$ et $D_E'D_E''+D_E''D_E'=\Theta(E)$ (tenseur
de courbure de Chern du fibr\'e). L'op\'erateur $D''_E$ agissant sur
les formes de bidegr\'e $(p,q)$ d\'efinit alors pour $p$ fix\'e un
complexe appel\'e {\sl complexe de Dolbeault}. Lorsque $X$ est
compacte, les groupes de cohomologie de Dolbeault $H^{p,q}(X,E)$
satisfont un isomorphisme de Hodge analogue \`a (0.1), \`a savoir
$$H^{p,q}(X,E)\simeq\cH^{p,q}(X,E),\leqno(0.2)$$ o\`u $\cH^{p,q}(X,E)$
d\'esigne l'espace des $(p,q)$-formes harmoniques \`a valeurs dans~$E$,
relativement au Laplacien anti-holomorphe
$\Delta_E''=D_E''D_E^{\prime\prime\star}+D_E^{\prime\prime\star}D_E''$.
En utilisant ce dernier r\'esultat, on d\'emontre facilement le {\sl
th\'eor\`eme de dualit\'e de Serre} $$H^{p,q}(X,E)^\star\simeq
H^{n-p,n-q}(X,E^\star),\qquad n=\dim_\bC X, \leqno(0.3)$$ qui est le
pendant complexe du th\'eor\`eme de dualit\'e de Poincar\'e. Le
th\'eor\`eme central de la th\'eorie de Hodge concerne les vari\'et\'es
k\"ahl\'eriennes compactes$\,$: une vari\'et\'e hermitienne
$(X,\omega)$ est dite {\sl k\"ahl\'erienne} si la $(1,1)$-forme
hermitienne $\omega=\ii\sum_{j,k}\omega_{jk}dz_j\wedge d\ol z_k$ est
telle que $d\omega=0$. Un exemple fondamental de vari\'et\'e
k\"ahl\'erienne compacte est donn\'e par les vari\'et\'es alg\'ebriques
projectives. Si $X$ est k\"ahl\'erienne compacte et si $E$ est un
syst\`eme local de coefficients sur~$X$, le {\sl th\'eor\`eme de
d\'ecomposition de Hodge} affirme que $$\leqalignno{
H^k_\DR(X,E)&=\bigoplus_{p+q=k}H^{p,q}(X,E)\qquad~ \hbox{\rm
(d\'ecomposition de Hodge)}&(0.4)\cr \ol{H^{p,q}(X,E)}&\simeq
H^{q,p}(X,E^\star),\qquad\qquad \hbox{\rm (sym\'etrie de
Hodge)}.&(0.5)\cr}$$ Le caract\`ere intrins\`eque de la d\'ecomposition
sera d\'emontr\'e ici de mani\`ere quelque peu originale, via
l'utilisation des groupes de cohomologie de Bott-Chern (groupes de
$\partial\olp$-cohomologie). Il d\'ecoule de ces r\'esultats que les
nombres de Hodge $h^{p,q}= \dim_\bC H^{p,q}(X,\bC)$ v\'erifient la
propri\'et\'e de sym\'etrie $h^{p,q}=h^{q,p}=h^{n-p,n-q}=h^{n-q,n-p}$,
et qu'ils sont li\'es aux nombres de Betti $b_k=\dim_\bC
H^k_\DR(X,\bC)$ par la relation $b_k=\sum_{p+q=k}h^{p,q}$. Un certain
nombre d'autres propri\'et\'es cohomologiques remarquables des
vari\'et\'es k\"ahl\'eriennes compactes s'obtient au moyen de la
d\'ecomposition primitive et du th\'eor\`eme de Lefschetz difficile
(lequel r\'esulte \`a son tour de l'existence d'une action de
$\eusl(2,\bC)$ sur les formes harmoniques). Ces r\'esultats permettent
de d\'ecrire de fa\c con pr\'ecise la structure du groupe de Picard
$\Pic(X)=H^1(X,\cO^\star)$ dans le cas k\"ahl\'erien. Dans un contexte
plus g\'en\'eral, nous explicitons la suite spectrale de
Hodge-Fr\"olicher (suite spectrale reliant la cohomologie de Dolbeault
\`a la cohomologie de De Rham), et nous montrons comment on peut
utiliser cette suite spectrale pour obtenir quelques r\'esultats
g\'en\'eraux sur les nombres de Hodge $h^{p,q}$ des vari\'et\'es
complexes compactes. Finalement, nous \'etablissons la
semi-continuit\'e des dimensions des groupes de cohomologie
$H^q(X_t,E_t)$ sur les fibres d'une fibration holomorphe propre et
lisse $\cX\to S$ (r\'esultat d\^u \`a Kodaira-Spencer), et nous en
d\'eduisons que les nombres de Hodge $h^{p,q}(X_t)$ sont constants si
les fibres $X_t$ sont k\"ahl\'eriennes (invariance des $h^{p,q}$ par
d\'eformations); le caract\`ere holomorphe de la filtration de Hodge
$F^pH^k(X_t,\bC)= \bigoplus_{r\ge p}H^{r,k-r}(X_t,\bC)$ relativement
\`a la connexion de Gauss-Manin est d\'emontr\'e au moyen du
th\'eor\`eme de coh\'erence des images directes, appliqu\'e au complexe
de De Rham relatif $\Omega_{\cX/S}^\bu$ de \hbox{$\cX\to S$}. \medskip

Dans la seconde partie, apr\`es quelques rappels sur les notions de
positivit\'e et pseudoconvexit\'e mises en jeu, nous \'etablissons
l'{\sl identit\'e de Bochner-Kodaira-Nakano} reliant les Laplaciens
$\Delta'_E$ et $\Delta''_E$. L'identit\'e en question fournit une expression
explicite de la diff\'erence $\Delta''_E-\Delta'_E$ en termes de la
courbure $\Theta(E)$ du fibr\'e. Sous des hypoth\`eses ad\'equates
(faible pseudoconvexit\'e de~$X$, positivit\'e de la courbure de~$E$),
on aboutit \`a une estimation a priori
$$\|D''_E u\|^2+\|D_E^{\prime\prime\star}u\|^2\ge\int_X\lambda(z)|u|^2dV(z)$$
o\`u $\lambda$ est une fonction positive d\'ependant des valeurs propres
de courbure. L'in\'egalit\'e est ici valide pour toute forme $u$ de bidegr\'e
$(n,q)$, $n=\dim X$, $q\ge 1$, \`a valeurs dans $E$, appartenant aux
domaines hilbertiens $u$ de $D''_E$ et $D_E^{\prime\prime\star}$.
Par un argument de dualit\'e hilbertien, on d\'eduit de l\`a le th\'eor\`eme
fondamental suivant, d\^u essentiellement \`a H\"ormander [H\"or65]
et Andreotti-Vesentini [AV65].

\state 0.6. Th\'eor\`eme|Soit $(X,\omega)$ une vari\'et\'e
k\"ahl\'erienne, $\dim X=n$. Supposons que $X$ soit faiblement
pseudoconvexe. Soit $E$ un fibr\'e en droites hermitien et soient
$$\gamma_1(x)\le\cdots\le\gamma_n(x)$$
les valeurs propres de la forme de courbure $\ii\,\Theta(E)$
par rapport \`a la m\'etrique~$\omega$ en tout point. Supposons que la
courbure soit semi-positive, i.e.\ $\gamma_1\ge 0$ partout. Alors pour toute
forme $g\in L^2(X,\Lambda^{n,q}T^\star_X\otimes E)$ telle que 
$$\hbox{$D''_Eg=0$~~et}\qquad
\int_X(\gamma_1+\cdots+\gamma_q)^{-1}|g|^2\,dV_\omega<+\infty,$$
il existe \hbox{$f\in L^2(X,\Lambda^{n,q-1}T^\star_X\otimes E)$} telle que
$$\hbox{$D''_Ef=g$~~et}\qquad
\int_X|f|^2\,dV_\omega\le\int_X(\gamma_1+\cdots+\gamma_q)^{-1}|g|^2\,
dV_\omega.$$
\endstate

Une observation importante est que le th\'eor\`eme ci-dessus reste encore
valable lorsque la m\'etrique $h$ de $E$ pr\'esente des singularit\'es. La
m\'etrique $h$ est alors donn\'ee dans chaque carte par un poids
$\ee^{-2\varphi}$ associ\'e \`a une fonction $\varphi$ plurisousharmonique
(par d\'efinition $\varphi$ est psh si la matrice des
d\'eriv\'ees secondes $(\partial^2\varphi/\partial z_j\partial\ol z_k)$,
calcul\'ee au sens des distributions, est semi-positive en tout point).
Compte tenu du Th\'eor\`eme~(0.6), il est naturel d'introduire le {\sl
faisceau d'id\'eaux multiplicateur} $\cI(h)=\cI(\varphi)$, constitu\'e
des germes de fonctions holomorphes $f\in\cO_{X,x}$ telles que
$\int_V|f|^2\ee^{-2\varphi}$ converge dans un voisinage $V$ de $x$ assez
petit. Un r\'esultat r\'ecent de A.~Nadel [Nad89] garantit que
$\cI(\varphi)$ est toujours un faisceau analytique coh\'erent, quelles
que soient les singularit\'es de~$\varphi$. Dans ce contexte, on d\'eduit
de (0.6) la version qualitative suivante, concernant la cohomologie \`a
valeurs dans le faisceau coh\'erent $\cO(K_X\otimes E)\otimes\cI(h)$
($K_X=\Lambda^n T^\star_X$ \'etant le {\sl fibr\'e canonique} de~$X$).

\state 0.7. Th\'eor\`eme d'annulation de Nadel {\rm([Nad89],
[Dem93b])}|Soit $(X,\omega)$ une vari\'et\'e k\"ahl\'erienne faiblement
pseudoconvexe, et soit $E$ un fibr\'e en droites holomorphe sur $X$ muni
d'une m\'etrique hermitienne $h$ singuli\`ere de poids~$\varphi$. Supposons
qu'il existe une fonction continue positive $\varepsilon$ sur~$X$ telle que
la courbure satisfasse l'in\'egalit\'e $\ii\,\Theta_h(E)\ge\varepsilon\omega$
au sens des courants. Alors
$$H^q\big(X,\cO(K_X\otimes E)\otimes\cI(h)\big)=0\qquad
\hbox{pour tout $q\ge 1$.}$$
\endstate

En d\'epit de la relative simplicit\'e des techniques mises en jeu, il
s'agit l\`a d'un th\'eor\`eme extr\^emement puissant, qui contient \`a lui
seul une bonne partie des r\'esultats les plus fondamentaux de la
g\'eom\'etrie analytique ou alg\'ebrique. Le th\'eor\`eme (0.7) contient
ainsi la solution du probl\`eme de Levi (\'equivalence de la convexit\'e
holomorphe et de la pseudoconvexit\'e), les th\'eor\`emes d'annulation
de Kodaira-Serre, Kodaira-Akizuki-Nakano et de Kawamata-Viehweg pour les 
vari\'et\'es alg\'ebriques projectives, de m\^eme que le th\'eor\`eme 
de plongement de Kodaira caract\'erisant ces vari\'et\'es parmi les 
vari\'et\'es complexes compactes. Par son caract\`ere intrins\`eque, 
l'\'enonc\'e ``analytique'' du th\'eor\`eme de Nadel se r\'ev\`ele
utile m\^eme pour des applications purement alg\'ebriques (la version
alg\'ebrique du th\'eor\`eme, connue sous le nom de th\'eor\`eme
d'annulation de Kawamata-Viehweg, utilise la r\'esolution des
singularit\'es et ne donne pas une description aussi nette du faisceau
multiplicateur $\cI(h)$). Dans un travail r\'ecent [Siu96], Y.T.~Siu a
montr\'e le r\'esultat remarquable suivant, en utilisant seulement la
formule de Riemann-Roch et un argument de r\'ecurrence Noeth\'erienne
pour les faisceaux multiplicateurs. La technique est d\'ecrite au
\S$\,$16 (avec quelques am\'eliorations mises au point dans [Dem96]).

\state 0.8. Th\'eor\`eme {\rm([Siu96], [Dem96])}|Soit $X$ une
vari\'et\'e projective et $L$ un fibr\'e en droites ample $($i.e.\ \`a
courbure positive$)$ sur $X$. Alors le fibr\'e $K_X^{\otimes 2}\otimes
L^{\otimes m}$ est tr\`es ample pour
\hbox{$m\ge m_0(n)=2+{3n+1\choose n}$}, o\`u $n=\dim X$.
\endstate

L'importance d'avoir une borne effective pour l'entier $m_0(n)$ est
qu'on peut ainsi obtenir des plongements de la vari\'et\'e $X$ dans
l'espace projectif, avec un contr\^ole pr\'ecis du degr\'e du
plongement. Il r\'esulte de l\`a une d\'emonstration assez simple d'un
th\'eor\`eme de finitude important, \`a savoir le {\sl ``grand
th\'eor\`eme de Matsusaka''} (cf.\ [Mat72], [KoM83], [Siu93], 
[Dem96])$\,$:

\state 0.9. Grand th\'eor\`eme de Matsusaka|Soit $X$ une vari\'et\'e
projective et $L$ un fibr\'e en droites ample sur $X$.  Il existe une
borne $m_1=m_1(n,L^n,K_X\cdot L^{n-1})$ explicite ne d\'ependant que
de la dimension $n=\dim X$ et des deux premiers coefficients du
polyn\^ome de Hilbert de $L$, telle que $mL$ soit tr\`es ample pour
$m\ge m_1$.  
\endstate

De ce th\'eor\`eme, on d\'eduit facilement de nombreux r\'esultats de
finitude, en particulier le fait qu'il existe seulement un nombre fini
de familles de d\'eformations de vari\'et\'es projectives polaris\'ees 
$(X,L)$, lorsque $L$ est un fibr\'e ample dont les nombres d'intersection
$L^n$ et $K_X\cdot L^{n-1}$ sont donn\'es.  
\vfill\eject

\supersection Partie I$\,$: Th\'eorie de Hodge $L^2$|
\titlerunning J.-P.\ Demailly, Partie I$\,$: Th\'eorie de Hodge $L^2$|

\section \Smark1. Fibr\'es vectoriels, connexions et courbure|

Le but de cette section est de rappeler quelques d\'efinitions de base
de g\'eom\'etrie diff\'erentielle hermitienne li\'ees aux concepts de
connexion, courbure et premi\`ere classe de Chern d'un fibr\'e en
droites.
\medskip

\subsection \Smark1.A. Cohomologie de Dolbeault et cohomologie des faisceaux|

Soit $X$ une vari\'et\'e $\bC$-analytique de dimension $n$. Nous
d\'esignons par $\Lambda^{p,q}T^\star_X$ le fibr\'e des formes
diff\'erentielles de bidegr\'e $(p,q)$ sur $X$, i.e., les formes
diff\'erentielles qui peuvent s'\'ecrire
$$u=\sum_{|I|=p,\,|J|=q}u_{I,J}dz_I\wedge d\ol z_J,\qquad
dz_I:=dz_{i_1}\wedge\cdots\wedge dz_{i_p},\quad
d\ol z_J:=d\ol z_{j_1}\wedge\cdots\wedge d\ol z_{j_q},$$
o\`u $(z_1\ld z_n)$ d\'esignent des coordonn\'ees locales holomorphes,
et o\`u $I=(i_1\ld i_p)$ et $J=(j_1\ld j_q)$ sont des
multi-indices (suites croissantes d'entiers de l'intervalle $[1\ld n]$,
de longueurs $|I|=p$, $|J|=q$). Soit $\cA^{p,q}$ le faisceau des germes
de formes diff\'erentielles de bidegr\'e $(p,q)$ \`a valeurs complexes et
\`a coefficients~$C^\infty$. Rappelons que la diff\'erentielle
ext\'erieure $d$ se d\'ecompose en $d=d'+d''$ o\`u
$$\eqalign{
d'u&=\sum_{|I|=p,\,|J|=q,1\le k\le n}{\partial u_{I,J}
\over\partial z_k}dz_k\wedge dz_I\wedge d\ol z_J,\cr
d''u&=\sum_{|I|=p,\,|J|=q,1\le k\le n}{\partial u_{I,J}
\over\partial\ol z_k}d\ol z_k\wedge dz_I\wedge d\ol z_J\cr}$$
sont de type $(p+1,q)$, $(p,q+1)$ respectivement. Le lemme bien-connu
de Dolbeault-Grothendieck affirme que toute forme $d''$-ferm\'ee
de type $(p,q)$ avec $q>0$ est localement $d''$-exacte (c'est 
l'analogue pour $d''$ du lemme usuel de Poincar\'e pour~$d$, voir
par exemple [H\"or66]). En d'autres termes, le complexe de faisceaux
$(\cA^{p,\bu},d'')$ est exact en degr\'e $q>0$; en degr\'e $q=0$, $\Ker d''$
est le faisceau $\Omega^p_X$ des germes de formes holomorphes de degr\'e $p$
sur~$X$.

Plus g\'en\'eralement, si $E$ est un fibr\'e vectoriel holomorphe
de rang $r$ sur~$X$, il existe un op\'erateur $d''$ naturel agissant
sur l'espace $C^\infty(X,\Lambda^{p,q}T^\star_X\otimes E)$ des 
$(p,q)$-formes $C^\infty$ \`a valeurs dans~$E$. En effet, si
$s=\sum_{1\le\lambda\le r}s_\lambda e_\lambda$ est une $(p,q)$-forme
exprim\'ee en termes d'un rep\`ere holomorphe local de $E$, on peut
d\'efinir $d''s:=\sum d''s_\lambda\otimes e_\lambda$,
en observant que les matrices de transition mises en jeu dans des
changements de rep\`eres holomorphes sont holomorphes, ce qui n'affecte
pas le calcul de~$d''$. Il est alors clair que le lemme de
Dolbeault-Grothendieck est encore valable pour des formes \`a valeurs
dans~$E$. Pour tout entier $p=0,1\ld n$, les {\sl groupes de cohomologie
de Dolbeault} $H^{p,q}(X,E)$ sont d\'efinis comme \'etant les
groupes de cohomologie du complexe des formes globales de type $(p,q)$
(gradu\'e par $q$)$\,$:
$$H^{p,q}(X,E)=H^q\big(C^\infty(X,\Lambda^{p,\bu}T^\star_X\otimes E)\big).
\leqno(1.1)$$
Maintenant, rappelons le r\'esultat fondamental suivant de th\'eorie des
\index{1}{ISO}{Isomorphisme de De Rham-Weil}%
\index{34}{DER}{\hri isomorphisme de De Rham-Weil}%
faisceaux (th\'eor\`eme d'isomorphisme de De Rham-Weil)$\,$: soit
$(\cL^{\bu},d)$ une r\'esolution d'un faisceau $\cF$ par des faisceaux
acycliques, i.e.\ un complexe de faisceaux $(\cL^\bu,\delta)$ donnant 
une suite exacte de faisceaux
$$0\lra\cF\build\lra|j||\cL^0\build\lra|\delta^0||\cL^1\lra\cdots
\lra\cL^q\build\lra|\delta^q||\cL^{q+1}\lra\cdots~,$$
avec $H^s(X,\cL^q)=0$ pour tout $q\ge 0$ et $s\ge 1$ (pour avoir cette
derni\`ere condition d'acyclicit\'e, il suffit par exemple que les
$\cL^q$ soient flasques ou mous, par exemple des faisceaux de modules
sur le faisceau d'anneau $\cC^\infty$). Alors il y a un isomorphisme fonctoriel 
$$H^q\big(\Gamma(X,\cL^\bu)\big)\lra H^q(X,\cF).\leqno(1.2)$$
Nous appliquons ceci dans la situation suivante$\,$: soit $\cA^{p,q}(E)$ le
faisceau de germes de sections $C^\infty$ de $\Lambda^{p,q}T^\star_X\otimes
E$. Alors $(\cA^{p,\bu}(E),d'')$ est une r\'esolution du $\cO_X$-module
localement libre $\Omega^p_X\otimes\cO(E)$ (lemme de Dolbeault-Grothendieck),
et les faisceaux $\cA^{p,q}(E)$ sont acycliques comme $\cC^\infty$-modules.
Gr\^ace \`a (1.2) nous obtenons

\state 1.3. Th\'eor\`eme d'isomorphisme de Dolbeault {\rm (1953)}|Pour
tout fibr\'e vectoriel holomorphe $E$ sur~$X$, il existe un isomorphisme
canonique
\index{2}{DOL}{\hri isomorphisme de Dolbeault}%
\index{35}{ISO}{Isomorphisme de Dolbeault}%
$$H^{p,q}(X,E)\simeq H^q(X,\Omega^p_X\otimes\cO(E)).\eqno\square$$
\endstate

Si $X$ est alg\'ebrique projective et si $E$ est un fibr\'e vectoriel
alg\'ebrique, le th\'eor\`eme GAGA de Serre [Ser56] montre que les
groupes de cohomologie alg\'ebrique $H^q(X,\Omega^p_X\otimes\cO(E))$
calcul\'es avec les sections alg\'ebriques des faisceaux concern\'es
sur des ouverts de Zariski sont isomorphes aux groupes de cohomologie
analytiques correspondants. Comme nous utiliserons ici un point de vue
exclusivement analytique, nous n'aurons en fait pas besoin de ce
th\'eor\`eme de comparaison.
\medskip

\subsection \Smark1.B. Connexions sur les vari\'et\'es diff\'erentiables|

Soit $E$ un fibr\'e vectoriel r\'eel ou complexe de rang $r$ sur une
vari\'et\'e diff\'erentiable $M$ de classe~$C^\infty$. Une {\sl connexion} 
$D$ sur $E$ est un op\'erateur diff\'erentiel lin\'eaire d'ordre~$1$
\index{3}{CON}{Connexion}%
$$D:C^\infty(M,\Lambda^qT^\star_M\otimes E) \to C^\infty(M,
\Lambda^{q+1}T^\star_M\otimes E)$$
tel que $D$ satisfasse la r\`egle de Leibnitz
$$D(f\wedge u) = df\wedge u + (-1)^{\deg f}f\wedge Du\leqno(1.4)$$
pour toutes formes $f\in C^\infty(M,\Lambda^pT^\star_M)$, $u\in C^\infty(X,
\Lambda^qT^\star_M\otimes E)$. Sur un ouvert $\Omega\subset M$ o\`u $E$
admet une trivialisation $\tau:E_{|\Omega}\build\lra|\simeq||\Omega
\times \bC^r$, une connexion $D$ peut s'\'ecrire
$$Du\simeq_\tau du+\Gamma \wedge u$$
o\`u $\Gamma \in C^\infty(\Omega ,\Lambda^1T^\star_M\otimes\Hom
(\bC^r,\bC^r))$ est une matrice arbitraire de $1$-formes et o\`u $d$ agit
composantes par composantes sur $u\simeq_\tau(u_\lambda)_{1\le\lambda\le r}$.
Il est alors facile de v\'erifier que
$$D^2u\simeq_\tau (d\Gamma +\Gamma \wedge \Gamma )\wedge u\quad
\hbox{sur~}\Omega.$$
Puisque $D^2$ est un op\'erateur globalement d\'efini, il existe une
$2$-forme globale
$$\Theta(D) \in C^\infty(M,\Lambda^2T^\star_M\otimes\Hom(E,E))\leqno(1.5)$$
telle que $D^2u=\Theta(D)\wedge u$ pour toute forme $u$ \`a valeurs dans~$E$.
Cette $2$-forme $\Theta(D)$ \`a valeurs dans $\Hom(E,E)$ est appel\'ee
\index{4}{COU}{Courbure}%
\index{5}{TEN}{Tenseur de courbure}%
tenseur de courbure de la connexion~$D$.

Supposons maintenant que $E$ soit muni d'une m\'etrique euclidienne
(resp.\ hermitienne) de classe $C^\infty$ et que l'isomorphisme
$E_{|\Omega }\simeq\Omega\times\bC^r$ soit donn\'e par un rep\`ere
$(e_\lambda)$ de classe~$C^\infty$. Nous avons alors 
un accouplement bilin\'eaire (resp.\ sesquilin\'eaire) canonique 
$$\leqalignno{
C^\infty(M,\Lambda^pT^\star_M\otimes E)\times
C^\infty(M,\Lambda^qT^\star_M\otimes E)
&\lra C^\infty(M,\Lambda^{p+q}T^\star_M\otimes\bC)&(1.6)\cr
(u,v) &\longmapsto \{u,v\}&\cr}$$
donn\'e par
$$\{u,v\}=\sum_{\lambda,\mu}u_\lambda\wedge\overline v_\mu~
\langle e_\lambda,e_\mu \rangle,\qquad
u=\sum u_\lambda \otimes e_\lambda,\quad v=\sum v_\mu \otimes e_\mu.$$
La connexion $D$ est dite {\sl hermitienne} si elle satisfait la
\index{6}{CON}{Connexion hermitienne}%
propri\'et\'e suppl\'ementaire
$$d\{u,v\}=\{Du,v\}+(-1)^{{\rm deg~}u}\{u,Dv\}.$$
En supposant que $(e_\lambda )$ est orthonorm\'e, on v\'erifie ais\'ement
que $D$ est hermitienne si et seulement si $\Gamma^\star=-\Gamma$. Dans ce
cas $\Theta(D)^\star=-\Theta(D)$, donc
$$\ii\,\Theta(D) \in C^\infty(M,\Lambda^2T^\star_M\otimes\Herm(E,E)).$$
\medskip

\state 1.7. Cas particulier|\rm Pour un fibr\'e en droites complexe $L$
(fibr\'e vectoriel complexe de rang~$1$), la forme de connexion $\Gamma$
d'une connexion hermitienne $D$ peut \^etre vue comme une $1$-forme \`a
coefficients purement imaginaires $\Gamma=\ii A$ ($A$ r\'eelle). Nous avons
alors \hbox{$\Theta(D)=d\Gamma=\ii\,dA$}. En particulier $\ii\,\Theta(L)$ est une
$2$-forme ferm\'ee. La {\sl premi\`ere classe de Chern} de $L$ est d\'efinie
comme \'etant la classe de cohomologie
\index{7}{CLA}{Classe de Chern}%
$$c_1(L)_\bR=\Big\{{\ii\over 2\pi}\Theta(D)\Big\}\in H^2_\DR(M,\bR).$$
Cette classe de cohomologie est bien ind\'ependante de la connexion, puisque
toute autre connexion $D_1$ diff\`ere par une $1$-forme globale,
$D_1u=Du+B\wedge u$, de sorte que $\Theta(D_1)=\Theta(D)+dB$. Il
est bien-connu que $c_1(L)_\bR$ est l'image dans $H^2(M,\bR)$ d'une
classe enti\`ere $c_1(L)\in H^2(M,\bZ)$. Soit en effet $\cA=\cC^\infty$
le faisceau des fonctions $C^\infty$ sur~$M\,$; gr\^ace \`a la suite exacte
exponentielle 
$$0\lra\bZ\lra\cA\build\lra|\ee^{2\pi\ii\,\bu}||\cA^\star\lra 0,$$
$c_1(L)$ peut \^etre d\'efinie en cohomologie de \v Cech comme l'image du
cocycle $\{g_{jk}\}\in H^1(M,\cA^\star)$ d\'efinissant $L$ par l'application
cobord $H^1(M,\cA^\star)\to H^2(M,\bZ)\,$; voir par exemple [GH78] pour
plus de d\'etails.\square
\endstate
\medskip

\subsection \Smark1.C. Connexions sur les vari\'et\'es complexes|

Nous \'etudions maintenant les propri\'et\'es sp\'ecifiques des connexions
li\'ees \`a l'existence d'une structure complexe sur la vari\'et\'e de base.
Si $M=X$ est une vari\'et\'e complexe, toute connexion $D$ sur un
fibr\'e vectoriel complexe $E$ de classe $C^\infty$ peut \^etre scind\'ee
de mani\`ere unique comme somme d'une $(1,0)$-connexion et d'une
$(0,1)$-connexion, $D=D'+D''$. Dans une trivialisation locale $\tau$
donn\'ee par un rep\`ere~$C^\infty$, on peut \'ecrire
$$\leqalignno{
D'u &\simeq_\tau d'u+\Gamma'\wedge u,&(1.8')\cr
D''u &\simeq_\tau d''u+\Gamma''\wedge u,&(1.8'')\cr}$$
avec $\Gamma=\Gamma'+\Gamma''$. La connexion est hermitienne si et
seulement si $\Gamma'=-(\Gamma'')^\star$ relativement \`a tout rep\`ere
orthonorm\'e. Par cons\'equent, il existe une unique connexion hermitienne
$D$ associ\'ee \`a une $(0,1)$-connexion prescrite~$D''$. 

Supposons maintenant que le fibr\'e $E$ lui-m\^eme poss\`ede une structure
{\sl holomorphe}. L'unique connexion hermitienne dont la composante $D''$
est l'op\'erateur $d''$ d\'efini au \S1.A est appel\'ee la {\sl connexion
\index{8}{CON}{Connexion de Chern}%
de Chern} de~$E$. Dans un rep\`ere holomorphe local $(e_\lambda)$ de
$E_{|\Omega}$, la m\'etrique est donn\'ee par la matrice hermitienne
$H=(h_{\lambda\mu})$ o\`u $h_{\lambda\mu}=\langle e_\lambda,e_\mu \rangle$.
Nous avons
$$\{u,v\}=\sum_{\lambda,\mu}h_{\lambda\mu}u_\lambda \wedge
\ol v_\mu=u^\dagger\wedge H\ol v,$$
o\`u $u^\dagger$ est la matrice transpos\'ee de $u$, et
un calcul facile donne
$$\eqalign{d\{u,v\}
&=(du)^\dagger \wedge H\ol v+(-1)^{\deg u} u^\dagger
\wedge (dH\wedge \ol v + H\ol{dv})\cr
&=\big(du +\ol H^{-1}d'\ol H \wedge u\big)^\dagger \wedge H\ol v
+(-1)^{\deg u}u^\dagger\wedge(\ol{dv+ \ol H^{-1}d'\ol H\wedge v),}\cr}$$
en utilisant le fait que $dH = d'H+\ol{d'\ol H}$ et
$\ol H^\dagger=H$. Par cons\'equent la connexion de Chern $D$ co\"{\i}ncide
avec la connexion hermitienne d\'efinie par
$$\left\{\eqalign{
Du&{}\simeq_\tau du+\ol H^{-1}d'\ol H \wedge u,\cr
D'&{}\simeq_\tau d'+\ol H^{-1} d'\ol H\wedge\bu=
\ol H^{-1} d'(\ol H\bu),~~~~D''=d''.\cr}\right.\leqno(1.9)$$
Ces relations montrent que
$D^{\prime 2}=D^{\prime\prime 2}=0$. Par cons\'equent $D^2=D'D''+D''D'$,
et le tenseur de courbure $\Theta(D)$ est de type~$(1,1)$. Puisque
$d'd''+d''d'=0$, nous obtenons
$$(D'D''+D''D')u\simeq_\tau\ol H^{-1}d'\ol H\wedge d''u 
+d''(\ol H^{-1}d'\ol H\wedge u)=d''(\ol H^{-1}d'\ol H)\wedge u.$$

\state 1.10. Proposition|Le tenseur de courbure de Chern $\Theta(E):=
\Theta(D)$ est tel que
$$\ii\,\Theta(E) \in C^\infty(X,\Lambda^{1,1}T^\star_X\otimes\Herm(E,E)).$$
Si $\tau: E_{\restr\Omega}\to\Omega\times\bC^r$ est une
trivialisation holomorphe et si $H$ est la matrice hermitienne repr\'esentant
la m\'etrique le long des fibres de $E_{\restr\Omega}$, alors
$$\ii\,\Theta(E)\simeq_\tau
\ii\,d''(\ol H^{-1} d'\ol H)\quad\hbox{\sl sur}~\Omega.\eqno\square$$
\endstate

Si $(z_1\ld z_n)$ sont des coordonn\'ees holomorphes sur $X$ et 
si $(e_\lambda)_{1\le\lambda\le r}$ est un rep\`ere orthonorm\'e de $E$,
on peut \'ecrire
$$\ii\,\Theta(E)=\sum_{1\le j,k\le n,\,1\le\lambda,\mu\le r}
c_{jk\lambda\mu}dz_j\wedge dz_k\otimes e_\lambda^\star\otimes e_\mu,
\leqno(1.11)$$
o\`u $(c_{jk\lambda\mu}(x))$ sont les coefficients du tenseur de courbure
de $E$ en tout point~$x\in X$.

\section \Smark2. Op\'erateurs diff\'erentiels sur les fibr\'es vectoriels|

Nous d\'ecrivons d'abord quelques concepts de base concernant les
op\'erateurs diff\'erentiels (symbole, composition, ellipticit\'e,
adjonction), dans le contexte g\'en\'eral des fibr\'es vectoriels. Soit
$M$ une vari\'et\'e diff\'erentiable de classe~$C^\infty$, $\dim_{\bR}M=m$, et
soient $E$, $F$ des $\bK$-fibr\'es vectoriels sur $M$, sur le corps
$\bK=\bR$ ou $\bK=\bC$, tels que $\rang E=r$, $\rang F=r'$.

\state 2.1. D\'efinition|Un op\'erateur diff\'erentiel $($lin\'eaire$)$
de degr\'e $\delta$ de $E$ vers $F$ est un op\'erateur $\bK$-lin\'eaire
\index{9}{OPE}{Op\'erateur diff\'erentiel}%
\index{10}{DIF}{\hri op\'erateur diff\'erentiel}%
$P:C^\infty(M,E)\to C^\infty(M,F)$, $u\mapsto Pu$ de la forme
$$Pu(x)=\sum_{|\alpha|\le\delta}a_\alpha(x)D^\alpha u(x),$$
$E_{\restr\Omega}\simeq\Omega\times\bK^r$,
$F_{\restr\Omega}\simeq\Omega\times\bK^{r'}$ \'etant trivialis\'es
localement sur un ouvert de carte \hbox{$\Omega\subset M$} muni de
coor\-don\-n\'ees locales $(x_1\ld x_m)$, et les coefficients
$a_\alpha(x)$ \'etant des matrices
$\big(a_{\alpha\lambda\mu}(x)\big)_{1\le\lambda\le r',
\,1\le\mu\le r}$ de format $r'\times r$ \`a coefficients
$C^\infty$ sur~$\Omega$. On \'ecrit ici \hbox{$D^\alpha=(\partial/
\partial x_1)^{\alpha_1}\cdots(\partial/\partial x_m)^{\alpha_m}$}
comme d'habitude, et les matrices \hbox{$u=(u_\mu)_{1\le\mu\le r}$},
\hbox{$D^\alpha u=(D^\alpha u_\mu)_{1\le\mu\le r}$} sont vues comme des
vecteurs colonnes.
\endstate

Si $t\in\bK$ est un param\`etre et $f\in C^\infty(M,\bK)$,
$u\in C^\infty(M,E)$, un calcul simple montre que
$\ee^{-tf(x)}P(\ee^{tf(x)}u(x))$ est un polyn\^ome de degr\'e $\delta$ en $t$,
de la forme
$$\ee^{-tf(x)}P(\ee^{tf(x)}u(x))=t^\delta\sigma_P(x,df(x))\cdot u(x)+
\hbox{\rm termes $c_j(x)t^j$ de degr\'e $j<\delta$},$$
o\`u $\sigma_P$ est une application homog\`ene polyn\^omiale
$T^\star_M\to\Hom(E,F)$ d\'efinie par
$$T^\star_{M,x}\ni\xi\mapsto\sigma_P(x,\xi)\in\Hom(E_x,F_x),\qquad
\sigma_P(x,\xi)=\sum_{|\alpha|=\delta}a_\alpha(x)\xi^\alpha.\leqno(2.2)$$
Alors $\sigma_P(x,\xi)$ est une fonction $C^\infty$ des variables
$(x,\xi)\in T^\star_M$, et cette fonction est ind\'ependante du choix des
coordonn\'ees ou des trivialisations utilis\'ees pour $E$, $F$. On dit
que $\sigma_P$ est {\sl le symbole principal} de~$P$. Le symbole principal
\index{11}{SYM}{Symbole principal}%
d'une composition $Q\circ P$ d'op\'erateurs diff\'erentiels
est simplement le produit
$$\sigma_{Q\circ P}(x,\xi)=\sigma_{Q}(x,\xi)\sigma_{P}(x,\xi),\leqno(2.3)$$
calcul\'e comme un produit de matrices. Les op\'erateurs diff\'erentiels
dont le symbole est injectif jouent un r\^ole tr\`es important$\,$:

\state 2.4. D\'efinition|Un op\'erateur diff\'erentiel $P$ est dit
elliptique si $\sigma_P(x,\xi)\in\Hom(E_x,F_x)$
\index{12}{ELL}{\hri op\'erateur elliptique}%
est injectif pour tout $x\in M$ et $\xi\in T^\star_{M,x}\ssm\{0\}$.
\endstate

Supposons maintenant que $M$ soit orient\'ee et munie d'une forme volume
$dV(x)=\gamma(x)\,dx_1\wedge\cdots\wedge dx_m$ de classe~$C^\infty$, o\`u
$\gamma(x)>0$ est une densit\'e~$C^\infty$. Si $E$ est un fibr\'e vectoriel
euclidien ou hermitien, nous pouvons d\'efinir un espace de Hilbert
$L^2(M,E)$ de sections globales \`a valeurs dans~$E$, \`a savoir
l'espace des formes $u$ \`a coefficients mesurables qui sont de carr\'e
sommable pour le produit scalaire
$$\leqalignno{
\|u\|^2&=\int_M|u(x)|^2\,dV(x),&(2.5)\cr
\Ll u,v\Gg&=\int_M\langle u(x),v(x)\rangle\,dV(x),\qquad
u,v\in L^2(M,E).&(2.5')\cr}$$

\state 2.6. D\'efinition|Si $P:C^\infty(M,E)\to C^\infty(M,F)$
est un op\'erateur diff\'erentiel et si les fibr\'es $E$, $F$ sont euclidiens
ou hermitiens, il existe un unique op\'erateur diff\'erentiel
$$P^\star:C^\infty(M,F)\to C^\infty(M,E),$$
\index{13}{ADJ}{Adjoint formel}%
appel\'e {\sl adjoint formel} de $P$, tel que pour toutes sections
$u\in C^\infty(M,E)$ et $v\in C^\infty(M,F)$ on ait une identit\'e
$$\Ll Pu,v\Gg=\Ll u,P^\star v\Gg,\qquad\hbox{\sl chaque fois que
$\Supp u\cap\Supp v\compact M$}.$$
\endstate

\preuve. L'unicit\'e est facile \`a v\'erifier, gr\^ace \`a la
densit\'e des formes $C^\infty$ \`a support compact dans $L^2(M,E)$. Au
moyen d'un argument de partition de l'unit\'e, on ram\`ene la
v\'erification de l'existence de $P^\star$ \`a la preuve de son
existence locale. Maintenant, soit $Pu(x)=\sum_{|\alpha|\le\delta}
a_\alpha(x)D^\alpha u(x)$ le d\'eveloppement de $P$ relativement \`a
des trivialisations de $E$, $F$ associ\'ees \`a des rep\`eres
orthonorm\'e et \`a des syst\`emes de coordonn\'ees locales sur un
ouvert $\Omega\subset M$. En supposant \hbox{$\Supp u\cap\Supp v
\compact\Omega$}, une int\'egration de parties donne
$$\eqalign{
\Ll Pu,v\Gg&=\int_\Omega\sum_{|\alpha|\le\delta,\lambda,\mu}
a_{\alpha\lambda\mu}D^\alpha u_\mu(x)\ol v_\lambda(x)\,\gamma(x)\,
dx_1\ld dx_m\cr
&=\int_\Omega\sum_{|\alpha|\le\delta,\lambda,\mu}(-1)^{|\alpha|}
u_\mu(x)\ol{D^\alpha(\gamma(x)\,\ol a_{\alpha\lambda\mu}v_\lambda(x)}
\,dx_1\ld dx_m\cr
&=\int_\Omega\langle u,\sum_{|\alpha|\le\delta}(-1)^{|\alpha|}\gamma(x)^{-1}
D^\alpha\big(\gamma(x)\,\ol a_\alpha^\dagger v(x)\big)\rangle\,dV(x).\cr}$$
Nous voyons donc que $P^\star$ existe et qu'il est d\'efini de mani\`ere
unique par
$$P^\star v(x)=\sum_{|\alpha|\le\delta}(-1)^{|\alpha|}\gamma(x)^{-1}D^\alpha
\big(\gamma(x)\,\ol a_\alpha^\dagger v(x)\big).\hfill\square\leqno(2.7)$$

La formule (2.7) montre imm\'ediatement que le symbole principal de $P^\star$
est
$$\sigma_{P^\star}(x,\xi)=(-1)^\delta\sum_{|\alpha|=\delta}
\ol a_\alpha^\dagger\xi^\alpha=(-1)^\delta\sigma_P(x,\xi)^\star.\leqno(2.8)$$
Si $\rang E=\rang F$, l'op\'erateur $P$ est elliptique si et seulement si
$\sigma_P(x,\xi)$ est inversible pour $\xi\ne0$, l'ellipticit\'e de $P$
\'equivaut donc \`a celle de~$P^\star$.

\section \Smark3. R\'esultats fondamentaux sur les op\'erateurs elliptiques|

Nous supposons dans toute cette section que $M$ est une vari\'et\'e
{\sl compacte orient\'ee} de dimension~$m$ et de classe $C^\infty$, munie d'une
forme volume~$dV$. Soit $E\to M$ un fibr\'e vectoriel hermitien $C^\infty$ de
rang $r$ sur~$M$.
\medskip

\subsection \Smark3.A. Espaces de Sobolev|

Pour tout nombre r\'eel $s$, on d\'efinit l'espace de Sobolev
\index{14}{SOB}{Sobolev, espaces de}%
$W^s(\bR^m)$ comme \'etant l'espace de Hilbert des distributions
temp\'er\'ees $u\in\cS'(\bR^m)$ telles que la transform\'ee de Fourier
$\wh u$ soit une fonction $L^2_\loc$ satisfaisant l'estimation
$$\|u\|_s^2=\int_{\bR^m}(1+|\xi|^2)^s|\wh u(\xi)|^2d\lambda(\xi)
<+\infty.\leqno(3.1)$$
Si $s\in\bN$, nous avons
$$\|u\|_s^2\sim\int_{\bR^m}
\sum_{|\alpha|\le s}|D^\alpha u(x)|^2d\lambda(x),$$
donc $W^s(\bR^m)$ est l'espace de Hilbert des fonctions $u$ telles que
toutes les d\'eriv\'ees $D^\alpha u$ d'ordre $|\alpha|\le s$ sont
dans $L^2(\bR^m)$.

Plus g\'en\'eralement, nous notons $W^s(M,E)$ l'espace de Sobolev des
sections $u:M\to E$ dont les composantes sont localement dans
$W^s(\bR^m)$ sur tout ouvert de carte. De fa\c con pr\'ecise, choisissons
un recouvrement fini $(\Omega_j)$ de $M$ par des ouverts de coordonn\'ees
$\Omega_j\simeq\bR^m$ sur lesquels $E$ est trivial. Consid\'erons des
rep\`eres orthonorm\'es $(e_{j,\lambda})_{1\le\lambda\le r}$ de
$E_{\restr\Omega_j}$ et exprimons $u$ par ses composantes, soit
$u=\sum u_{j,\lambda}\,e_{j,\lambda}$. On pose alors
$$\|u\|_s^2=\sum_{j,\lambda}\|\psi_j u_{j,\lambda}\|_s^2$$
o\`u $(\psi_j)$ est un ``partition de l'unit\'e'' subordonn\'ee \`a
$(\Omega_j)$, telle que $\sum\psi_j^2=1$. A \'equivalence de normes pr\`es,
$\|~~\|_s$ est ind\'ependante des choix faits. Nous aurons besoin des
faits fondamentaux suivants, que le lecteur pourra trouver dans la plupart
des ouvrages sp\'ecialis\'es consacr\'es \`a la th\'eorie des \'equations
aux d\'eriv\'ees partielles.

\state 3.2. Lemme de Sobolev|Pour tout entier $k\in\bN$ et tout
\index{15}{SOB}{Sobolev, lemme de}%
nombre r\'eel $s>k+{m\over 2}$, on a $W^s(M,E)\subset C^k(M,E)$ et 
l'inclusion est continue.\square
\endstate

Il r\'esulte aussit\^ot du lemme de Sobolev que
$$\eqalign{
\bigcap_{s\ge 0}W^s(M,E)&=C^\infty(M,E),\cr
\bigcup_{s\le 0}W^s(M,E)&=\cD'(M,E).\cr}$$

\state 3.3. Lemme de Rellich|Pour tout $t>s$, l'inclusion
\index{16}{REL}{Rellich, lemme de}%
$$W^t(M,E)\lhra W^s(M,E)$$ 
est un op\'erateur lin\'eaire compact.\square
\endstate
\medskip

\subsection \Smark3.B. Op\'erateurs pseudodiff\'erentiels|

Si $P=\sum_{|\alpha|\le\delta}a_\alpha(x)D^\alpha$ est un op\'erateur
diff\'erentiel sur $\bR^m$, la formule d'inversion de Fourier donne
$$Pu(x)=\int_{\bR^m}\sum_{|\alpha|\le\delta}a_\alpha(x)(2\pi\ii\xi)^\alpha
\wh u(\xi)\,\ee^{2\pi\ii x\cdot\xi}\,d\lambda(\xi),\qquad
\forall u\in\cD(\bR^m),$$
o\`u $\wh u(\xi)=\int_{\bR^m}u(x)\,\ee^{-2\pi\ii x\cdot\xi}\,d\lambda(x)$
est la transform\'ee de Fourier de~$u$. Nous disons que
$$\sigma(x,\xi)=\sum_{|\alpha|\le\delta}a_\alpha(x)(2\pi\ii\xi)^\alpha$$
est le symbole (ou symbole total) de $P$.

Un {\sl op\'erateur pseudodiff\'erentiel} est un op\'erateur $\Op_\sigma$
\index{17}{OPE}{Op\'erateur pseudodiff\'erentiel}%
\index{18}{PSE}{Pseudodiff\'erentiel, op\'erateur}%
d\'efini par une formule du type
$$\Op_\sigma(u)(x)=\int_{\bR^m}\sigma(x,\xi)\,
\wh u(\xi)\,\ee^{2\pi\ii x\cdot\xi}\,d\lambda(\xi),\qquad u\in\cD(\bR^m),
\leqno(3.4)$$
o\`u $\sigma$ appartient \`a une classe convenable de fonctions sur
$T^\star_{\bR^m}$. La classe standard de symboles $S^\delta(\bR^m)$ est
\index{19}{SYM}{Symboles, classe standard}%
d\'efinie comme suit$\,$: \'etant donn\'e $\delta\in\bR$,
$S^\delta(\bR^m)$ est la classe des fonctions $\sigma(x,\xi)$ de classe
$C^\infty$ sur $T^\star_{\bR^m}$ telles que pour tout $\alpha,\beta\in\bN^m$
et tout sous-ensemble compact $K\subset\bR^m$ on ait une estimation
$$|D^\alpha_xD_\xi^\beta\sigma(x,\xi)|\le C_{\alpha,\beta}(1+|\xi|)^{
\delta-|\beta|},\qquad\forall(x,\xi)\in K\times\bR^m,\leqno(3.5)$$
o\`u $\delta\in\bR$ doit \^etre consid\'er\'e comme le ``degr\'e''
de~$\sigma$. Alors $\Op_\sigma(u)$ est une fonction $C^\infty$ bien d\'efinie
sur $\bR^m$, puisque $\wh u$ appartient \`a la classe $\cS(\bR^m)$ des
fonctions \`a d\'ecroissance rapide. Dans la situation plus g\'en\'erale des
op\'erateurs agissant sur un fibr\'e $E$ et \`a valeurs dans un fibr\'e
$F$ sur une vari\'et\'e compacte $M$, nous introduisons des espaces
de symboles $S^\delta(M;E,F)$ analogues. Les \'el\'ements de
$S^\delta(M;E,F)$ sont les fonctions
$$T^\star_M\ni(x,\xi)\mapsto\sigma(x,\xi)\in\Hom(E_x,F_x)$$
satisfaisant la condition (3.5) dans tout syst\`eme de coordonn\'ees.
Finalement, nous prenons un recouvrement fini trivialisant $(\Omega_j)$ de
$M$ et une ``partition de l'unit\'e'' $(\psi_j)$ subordonn\'ee 
\`a $\Omega_j$ telle que $\sum\psi_j^2=1$, et nous d\'efinissons
$$\Op_\sigma(u)=\sum\psi_j\Op_\sigma(\psi_j u),\qquad u\in C^\infty(M,E),$$
de mani\`ere \`a r\'eduire les calculs \`a la situation de~$\bR^m$.
Les r\'esultats de base de la th\'eorie des op\'erateurs
pseudodiff\'erentiels sont r\'esum\'es ci-dessous.

\state 3.6. Existence de prolongement aux espaces $W^s$|Si
$\sigma\in S^\delta(M;E,F)$, alors $\Op_\sigma$ s'\'etend d'une mani\`ere
unique en un op\'erateur lin\'eaire continu
$$\Op_\sigma:W^s(M,E)\to W^{s-\delta}(M,F).\eqno\square$$
\endstate

En particulier, si $\sigma\in S^{-\infty}(M;E,F):=\bigcap
S^\delta(M;E,F)$, alors $\Op_\sigma$ est un op\'erateur envoyant une
section distribution arbitraire de $\cD'(M,E)$ dans $C^\infty(M,F)$, et ce
de mani\`ere continue. Un tel op\'erateur est appel\'e {\sl op\'erateur
r\'egularisant}. Un r\'esultat standard de la th\'eorie des
distributions affirme que la classe $\cR$ des op\'erateurs
r\'egularisants co\"{\i}ncide avec la classe des op\'erateurs d\'efinis
au moyen d'un noyau $K(x,y)\in\Hom(E_y,F_x)$ de classe~$C^\infty$,
c'est-\`a-dire les op\'erateurs de la forme
$$R:\cD'(M,E)\to C^\infty(M,F),\qquad u\mapsto Ru,\qquad Ru(x)=
\int_M K(x,y)\cdot u(y)\,dV(y).$$
Inversement, si $dV(y)=\gamma(y)dy_1\cdots dy_m$ sur $\Omega_j$ et si on
\'ecrit $Ru=\sum R(\theta_j u)$ avec une partition de l'unit\'e
$(\theta_j)$, l'op\'erateur $R(\theta_j\bu)$ est l'op\'erateur
pseudodiff\'erentiel associ\'e au symbole $\sigma$ d\'efini comme la
transform\'ee de Fourier partielle
$$\sigma(x,\xi)=\big(\gamma(y)\theta_j(y)K(x,y)\big)_y^{\wedge}(x,\xi),
\qquad\sigma\in S^{-\infty}(M;E,F).$$
Quand on travaille avec des op\'erateurs pseudodiff\'erentiels, il est
habituel de travailler seulement modulo les op\'erateurs r\'egularisants et
d'autoriser des op\'erateurs plus g\'en\'eraux de la forme $\Op_\sigma+R$
o\`u $R\in\cR$ est un op\'erateur r\'egularisant arbitraire.

\state 3.7. Composition|Si $\sigma\in S^\delta(M;E,F)$ et
$\sigma'\in S^{\delta'}(M;F,G)$, $\delta,\delta'\in\bR$, il existe un
symbole \hbox{$\sigma'\diamond\sigma\in S^{\delta+\delta'}(M;E,G)$} tel que
$\Op_{\sigma'}\circ\Op_\sigma=\Op_{\sigma'\diamond\sigma}$ mod $\cR$. De plus
$$\sigma'\diamond\sigma-\sigma'\cdot\sigma\in S^{\delta+\delta'-1}(M;E,G).$$
\endstate

\state 3.8. D\'efinition|Un op\'erateur pseudodiff\'erentiel $\Op_\sigma$
de degr\'e $\delta$ est dit elliptique s'il peut \^etre d\'efini par un
\index{20}{ELL}{\hri op\'erateur pseudodiff\'erentiel elliptique}%
symbole $\sigma\in S^\delta(M,E,F)$ tel que
$$|\sigma(x,\xi)\cdot u|\ge c|\xi|^\delta|u|,\qquad\forall
(x,\xi)\in T^\star_M,\quad\forall u\in E_x$$
pour $|\xi|$ assez grand, l'estimation \'etant uniforme pour $x\in M$.
\endstate

Si $E$ et $F$ ont le m\^eme rang, la condition d'ellipticit\'e implique que
$\sigma(x,\xi)$ est inversible pour $\xi$ grand. En prenant une
fonction tronquante convenable $\theta(\xi)$ \'egale \`a $1$ pour $\xi$
grand, on voit que la fonction $\sigma'(x,\xi)=\theta(\xi)\sigma(x,\xi)^{-1}$
d\'efinit un symbole dans l'espace $S^{-\delta}(M;F,E)$, et d'apr\`es (3.8)
nous avons $\Op_{\sigma'}\circ\Op_\sigma=\Id+\Op_\rho$,
$\rho\in S^{-1}(M;E,E)$. Choisissons un symbole $\tau$ asymptotiquement
\'equivalent \`a l'infini au d\'eveloppement $\Id-\rho+\rho^{\diamond 2}
+\cdots+(-1)^j\rho^{\diamond j}+\cdots$. Il est clair qu'on obtient alors un
inverse $\Op_{\tau\diamond\sigma'}$ de $\Op_\sigma$ modulo $\cR$.
Un corollaire facile de ces observations est le suivant$\,$:

\state 3.9. In\'egalit\'e de G{\aa}rding|Soit $P:C^\infty(M,E)\to
C^\infty(M,F)$ un op\'erateur diff\'erentiel elliptique de degr\'e $\delta$,
o\`u $\rang E=\rang F=r$, et soit $\wt P$ l'extension de $P$ aux sections \`a
coefficients distributions. Pour tout $u\in W^0(M,E)$ tel que
\index{21}{GAR}{\hri in\'egalit\'e de G{\aa}rding}%
$\wt P u\in W^s(M,F)$, on a alors \hbox{$u\in W^{s+\delta}(M,E)$} et
$$\|u\|_{s+\delta}\le C_s(\|\wt Pu\|_s+\|u\|_0),$$
o\`u $C_s$ est une constante positive ne d\'ependant que de~$s$.
\endstate

\preuve. Comme $P$ est elliptique, il existe un symbole $\sigma\in
S^{-\delta}(M;F,E)$ tel que $\Op_\sigma\circ\wt P=\Id+R$, $R\in\cR$.
Alors $\|\Op_\sigma(v)\|_{s+\delta}\le C\|v\|_s$ gr\^ace \`a (3.6).
Par suite, en posant $v=\wt Pu$, nous voyons que $u=\Op_\sigma(\wt P u)-Ru$
satisfait l'estimation d\'esir\'ee.\square

\subsection \Smark3.C. Th\'eor\`eme de finitude|

Nous concluons cette section par la preuve du th\'eor\`eme de finitude
fondamental suivant, qui est le point de d\'epart de la th\'eorie de
Hodge~$L^2$.

\state 3.10. Th\'eor\`eme de finitude|Soient $E$, $F$ des fibr\'es
\index{22}{THE}{Th\'eor\`eme de finitude}%
\index{202}{FIN}{\hri th\'eor\`eme de finitude}%
vectoriels hermitiens sur une vari\'et\'e compacte~$M$, tels que
$\rang E=\rang F=r$, et soit $P:C^\infty(M,E)\to C^\infty(M,F)$ un
op\'erateur diff\'erentiel elliptique de degr\'e~$\delta$. Alors$\,$:
\smallskip
\item{\rm i)} $\Ker P$ est de dimension finie.
\smallskip
\item{\rm ii)} $P\big(C^\infty(M,E)\big)$ est ferm\'e et de codimension finie
dans $C^\infty(M,F)\,;$ de plus, si $P^\star$ est l'adjoint formel de~$P$, il
existe une d\'ecomposition
$$C^\infty(M,F)=P\big(C^\infty(M,E)\big)\oplus\Ker P^\star$$
comme somme directe orthogonale dans $W^0(M,F)=L^2(M,F)$.
\vskip0pt
\endstate

\preuve. (i) L'in\'egalit\'e de G\aa rding montre que $\|u\|_{s+\delta}
\le C_s\|u\|_0$ pour tout $u\in\Ker P$. Gr\^ace au lemme de Sobolev, ceci
implique que $\Ker P$ est ferm\'e dans $W^0(M,E)$. De plus, la
$\|~~\|_0$-boule unit\'e ferm\'ee de $\Ker P$ est contenue dans la
$\|~~\|_\delta$-boule de rayon $C_0$, donc elle est compacte d'apr\`es
le lemme de Rellich. Le th\'eor\`eme de Riesz implique que 
$\dim\Ker P<+\infty$.

\medskip\noindent(ii) Nous montrons d'abord que le prolongement
$$\wt P:W^{s+\delta}(M,E)\to W^s(M,F)$$
a une image ferm\'ee pour tout~$s$. Pour tout $\varepsilon>0$, il existe
un nombre fini d'\'el\'ements $v_1\ld v_N\in W^{s+\delta}(M,F)$,
$N=N(\varepsilon)$, tels que
$$\|u\|_0\le\varepsilon\|u\|_{s+\delta}+\sum^N_{j=1}|\Ll u,v_j\Gg_0|~;
\leqno(3.11)$$
en effet l'ensemble
$$K_{(v_j)}=\Big\{ u\in W^{s+\delta}(M,F)~;~\varepsilon\|u\|_{s+\delta}+
\sum^N_{j=1} |\Ll u,v_j\Gg_0|\le 1\Big\}$$
est relativement compact dans $W^0(M,F)$ et $\bigcap_{(v_j)}\ol K_{(v_j)}=\{
0\}$. Il s'ensuit qu'il existe des \'el\'ements $(v_j)$ tels que 
$\ol K_{(v_j)}$ soit contenu dans la boule unit\'e de $W^0(M,E)$, ce qu'il
fallait d\'emontrer.
Substituons la majoration $\|u\|_0$ donn\'ee par (3.11) dans l'in\'egalit\'e
de G\aa rding$\,$; nous obtenons
$$(1-C_s\varepsilon)\|u\|_{s+\delta}\le C_s\Big(\|\wt P u\|_s+\sum^N_{j=1}
|\Ll u,v_j\Gg_0|\Big).$$
D\'efinissons $T=\big\{u\in W^{s+\delta}(M,E)~;~u\perp v_j,~1\le j\le n\}$ et
posons $\varepsilon=1/2C_s$. Il vient
$$\|u\|_{s+\delta}\le 2C_s\|\wt P u\|_s,\qquad\forall u\in T.$$
Ceci implique que $\wt P(T)$ est ferm\'e. Par cons\'equent
$$\wt P\big(W^{s+\delta}(M,E)\big)=\wt P(T)+{\rm Vect}
\big(\wt P(v_1)\ld\wt P(v_N)\big)$$ 
est ferm\'e dans $W^s(M,E)$. Prenons en particulier $s=0$. Puisque $C^\infty(M,E)$
est dense dans $W^\delta(M,E)$, nous voyons que dans $W^0(M,E)=L^2(M,E)$
on a
$$\left(\wt P\big(W^\delta(M,E)\big)\right)^\perp=
\Big(P\big(C^\infty(M,E)\big)\Big)^\perp=\Ker\wt{P^\star}.$$
Nous avons ainsi prouv\'e que
$$W^0(M,E)=\wt P\big(W^\delta(M,E)\big)\oplus\Ker\wt{P^\star}.
\leqno(3.12)$$
Puisque $P^\star$ est \'egalement elliptique, il s'ensuit que
$\Ker\wt{P^\star}$ est de dimension finie et que $\Ker\wt{P^\star}=
\Ker P^\star$ est contenu dans~$C^\infty(M,F)$. Gr\^ace \`a l'in\'egalit\'e de
G\aa rding, la formule de d\'ecomposition (3.12) donne
$$\leqalignno{
W^s(M,E)&=\wt P\big(W^{s+\delta}(M,E)\big)\oplus\Ker P^\star,&(3.13)\cr
C^\infty(M,E)&=P\big(C^\infty(M,E)\big)\oplus\Ker P^\star.&(3.14)\cr}$$

Nous terminons cette section par la construction de l'op\'erateur de
Green associ\'e \`a un op\'erateur elliptique auto-adjoint.

\state 3.15. Th\'eor\`eme|Soient $E$ un fibr\'e vectoriel hermitien
de rang $r$ sur une vari\'et\'e compacte~$M$, et $P:C^\infty(M,E)\to C^\infty
(M,E)$ un op\'erateur diff\'erentiel elliptique autoadjoint de
degr\'e~$\delta$. Alors si $H$ d\'esigne l'op\'erateur de projection
orthogonale $H:C^\infty(M,E)\to\Ker P$, il existe un unique op\'erateur
$G$ sur $C^\infty(M,E)$ tel que
$$PG+H=GP+H=\Id,$$
\index{23}{OPE}{Op\'erateur de  Green}%
\index{24}{GRE}{Green, op\'erateur de}%
de plus $G$ est un op\'erateur pseudo-diff\'erentiel de degr\'e $-\delta$,
appel\'e op\'erateur de Green associ\'e \`a~$P$.
\endstate

\preuve. D'apr\`es le Th\'eor\`eme 3.10, $\Ker P=\Ker P^\star$ est de
dimension finie, et $\Im P=(\Ker P)^\perp$. Il en r\'esulte que la
restriction de $P$ \`a $(\Ker P)^\perp$ est un op\'erateur bijectif.
On d\'efinit $G$ comme \'etant \'egal \`a $0\oplus P^{-1}$ relativement \`a
la d\'ecomposition orthogonale $C^\infty(M,E)=\Ker P\oplus(\Ker P)^\perp$. 
Les relations $PG+H=GP+H=\Id$ sont alors \'evidentes, de m\^eme que
l'unicit\'e de~$G$. De plus, $G$ est continu pour la topologie d'espace
de Fr\'echet de $C^\infty(M,E)$ d'apr\`es le th\'eor\`eme de Banach.
On sait \'egalement qu'il existe un op\'erateur pseudodiff\'erentiel
$Q$ d'ordre $-\delta$ qui est un inverse de $P$ modulo $\cR$, i.e.,
$PQ=\Id+R$, $R\in\cR$. Il vient alors
$$Q=(GP+H)Q=G(\Id+R)+HQ=G+GR+HQ,$$
o\`u $GR$ et $HQ$ sont r\'egularisants ($H$ est un op\'erateur r\'egularisant
de rang fini d\'efini par le noyau $\sum\varphi_s(x)\otimes
\varphi_s^\star(y)$, si $(\varphi_s)$ est une base de fonctions propres de
$\Ker P\subset C^\infty(M,E)$). Par suite $G=Q$ mod $\cR$ et $G$ est bien
un op\'erateur pseudo-diff\'erentiel d'ordre $-\delta$.\square

\state 3.16. Corollaire|Sous les hypoth\`eses du th.~$3.15$, les
valeurs propres de $P$ constituent une suite de r\'eels $\lambda_k$ tels que
$\lim_{k\to+\infty}|\lambda_k|=+\infty$, les espaces propres $V_{\lambda_k}$
de $P$ sont de dimension finie, et on a une somme directe hilbertienne
$$L^2(M,E)={\widehat{\bigoplus}}_k V_{\lambda_k}.$$
Pour tout entier $m\in\bN$, un \'el\'ement $u=\sum_k u_k\in L^2(M,E)$ est
dans $W^{m\delta}(X,E)$ si et seulement si $\sum|\lambda_k|^{2m}\|u_k\|^2
<+\infty$.
\endstate

\preuve. L'op\'erateur de Green s'\'etend en un op\'erateur autoadjoint
$$\wt G:L^2(M,E)\to L^2(M,E)$$
se factorisant \`a travers $W^\delta(M,E)$, et donc compact. Cet
op\'erateur d\'efinit un inverse de $\wt P:W^\delta(M,E)\to L^2(M,E)$
sur $(\Ker P)^\perp$. La th\'eorie spectrale des op\'erateurs compacts
autoadjoints montre que les valeurs propres $\mu_k$ de $\wt G$ forment
une suite de r\'eels $\mu_k$ tendant vers~$0$ et que $L^2(M,E)$ est
somme directe hilbertienne des espaces propres. Les valeurs propres
correspondantes de $\wt P$ sont $\lambda_k=\mu_k^{-1}$ si $\mu_k\ne 0$,
et d'apr\`es l'ellipticit\'e de $P-\lambda_k\Id$, les espaces propres
$V_{\lambda_k}=\Ker(P-\lambda_k\Id)$ sont de dimension finie et
contenus dans $C^\infty(M,E)$. Enfin, si $u=\sum_k u_k\in L^2(M,E)$,
l'in\'egalit\'e de G\aa rding montre que $u\in W^{m\delta}(M,E)$ si et
seulement si $\wt P^mu\in L^2(M,E)=W^0(M,E)$, ce qui donne bien la
condition $\sum|\lambda_k|^{2m} \|u_k\|^2<+\infty$.\square

\section \Smark4. Th\'eorie de Hodge des vari\'et\'es riemanniennes compactes|
La th\'eorie de Hodge a \'et\'e b\^atie de toutes pi\`eces par
W.V.D.~Hodge pendant la d\'ecade 1930-1940 (voir [Hod41], [DR55]). Le but
principal de la th\'eorie est de d\'ecrire l'alg\`ebre de cohomologie de
De Rham d'une vari\'et\'e riemannienne en termes de ses formes harmoniques.
Le r\'esultat principal est que toute classe de cohomologie poss\`ede
un unique repr\'esentant harmonique.
\medskip

\subsection \Smark4.A. Structure euclidienne de l'alg\`ebre ext\'erieure|

Soit $(M,g)$ une vari\'et\'e riemannienne orient\'ee de classe~$C^\infty$,
$\dim_\bR M=m$, et soit $E\to M$ un fibr\'e vectoriel hermitien de
rang $r$ sur~$M$. Nous notons respectivement $(\xi_1\ld\xi_m)$ et
$(e_1\ld e_r)$ des rep\`eres orthonorm\'es de $T_M$ et de $E$ sur une
carte $\Omega\subset M$, et soient
$(\xi^\star_1\ld\xi^\star_m)$,~$(e^\star_1\ld e^\star_r)$ les rep\`eres
duaux correspondants de $T^\star_M$, $E^\star$. Soit $dV$
l'\'el\'ement de volume riemannien sur~$M$. L'alg\`ebre ext\'erieure
$\Lambda^\bu T^\star_M$ poss\`ede un produit scalaire naturel
$\langle\bu,\bu\rangle$, tel que
$$\langle u_1\wedge\cdots\wedge u_p,v_1\wedge\cdots\wedge v_p\rangle=
\det(\langle u_j,v_k\rangle)_{1\le j,k\le p},~~~~u_j,v_k\in T^\star_M
\leqno(4.1)$$
pour tout $p$, avec $\Lambda^\bu T^\star_M=\bigoplus\Lambda^p T^\star_M$
comme somme directe orthogonale. Alors la famille de covecteurs
\hbox{$\xi^\star_I=\xi^\star_{i_1}\wedge\cdots\wedge\xi^\star_{i_p}$},
$i_1<i_2<\cdots<i_p$, d\'efinit une base orthonorm\'ee de
$\Lambda^\bu T^\star_M$. On notera $\langle\bu,\bu\rangle$ le
produit scalaire correspondant sur \hbox{$\Lambda^\bu T^\star_M\otimes E$}.

\state 4.2. Op\'erateur \'etoile de Hodge|L'op\'erateur $\star$ de
\index{25}{OPE}{Op\'erateur $*$ de Hodge}%
\index{26}{HOD}{\hri op\'erateur $*$ de Hodge}%
Hodge-Poincar\'e-De Rham est l'endomorphisme de $\Lambda^\bu T^\star_M$
d\'efini par la collection d'applications lin\'eaires telles que
$$\star{}:\Lambda^pT^\star_M\to\Lambda^{m-p}T^\star_M,\qquad
u\wedge{}\star v=\langle u,v\rangle\,dV,\qquad
\forall u,v\in\Lambda^pT^\star_M.$$
\endstate

L'existence et l'unicit\'e de cet op\'erateur se voient ais\'ement en
utilisant l'accou\-ple\-ment de dualit\'e
$$\leqalignno{
\Lambda^pT^\star_M\times\Lambda^{m-p}T^\star_M&{}\lra\bR\cr
(u,v)&{}\longmapsto u\wedge v/dV=\sum\varepsilon(I,\compl I)\,
u_Iv_{\compl I},&(4.3)\cr}$$
o\`u $u=\sum_{|I|=p}u_I\,\xi^\star_I$, $v=\sum_{|J|=m-p}v_J\,\xi^\star_J$,
et o\`u $\varepsilon(I,\compl I)$ est la signature de la permutation
$(1,2\ld m)\mapsto (I,\compl I)$ d\'efinie par $I$ suivi du multi-indice
compl\'ementaire (ordonn\'e) $\compl I$. De l\`a, nous d\'eduisons
$${}\star v=\sum_{|I|=p}\varepsilon(I,\compl I)v_I\,
\xi^\star_{\compl I}.\leqno(4.4)$$
Plus g\'en\'eralement, l'accouplement sesquilin\'eaire $\{\bu,\bu\}$
d\'efini par (1.6) induit un op\'erateur $\star$ sur les formes \`a valeurs
vectorielles, tel que
$$\leqalignno{
&\star{}:\Lambda^pT^\star_M\otimes E\to\Lambda^{m-p}T^\star_M\otimes E,\qquad
\{s,{}\star t\}=\langle s,t\rangle\,dV,&(4.5)\cr
&\star t=\sum_{|I|=p,\lambda}\varepsilon(I,\compl I)\,
t_{I,\lambda}\,\xi^\star_{\compl I}\otimes e_\lambda,\qquad
\forall s,t\in\Lambda^pT^\star_M\otimes E,&(4.6)\cr}$$
pour $t=\sum t_{I,\lambda}\,\xi^\star_I\otimes e_\lambda$. 
Puisque $\varepsilon(I,\compl I)\varepsilon(\compl I,I)=
(-1)^{p(m-p)}=(-1)^{p(m-1)}$, nous obtenons imm\'ediatement
$$\star\star~t=(-1)^{p(m-1)}t~~~~{\rm sur}~~\Lambda^pT^\star_M\otimes E. 
\leqno(4.7)$$
Il est clair que $\star$ est une isom\'etrie de
$\Lambda^\bu T^\star_M\otimes E$. Nous aurons besoin aussi d'une variante
de l'op\'erateur~$\star$, \`a savoir l'op\'erateur antilin\'eaire
$$\#~:~~\Lambda^pT^\star_M\otimes E\lra\Lambda^{m-p}T^\star_M\otimes E^\star$$
\index{27}{OPE}{Op\'erateur $\#$ de Hodge}%
\index{28}{HOD}{\hri op\'erateur $\#$ de Hodge}%
d\'efini par $s\wedge\#\,t=\langle s,t\rangle\,dV,$
o\`u le produit ext\'erieur $\wedge$ est combin\'e avec
l'accouplement canonique \hbox{$E\times E^\star\to\bC$}. Nous avons
$$\#\,t=\sum_{|I|=p,\lambda}\varepsilon(I,\compl I)\,\ol t_{I,\lambda}\,
\xi^\star_{\compl I}\otimes e^\star_\lambda.\leqno(4.8)$$

\state 4.9. Contraction par un champ de vecteurs|Etant donn\'e un
vecteur tangent $\theta\in T_M$ et une forme $u\in\Lambda^pT^\star_M$, la
contraction $\theta\ort u\in\Lambda^{p-1}T^\star_M$ est d\'efinie par
$$\theta\ort u\,(\eta_1\ld\eta_{p-1})=u(\theta,\eta_1\ld\eta_{p-1}),~~~~
\eta_j\in T_M.$$
\endstate

En termes de la base $(\xi_j)$, $\bu\ort\bu$ est l'op\'erateur bilin\'eaire 
caract\'eris\'e par
$$\xi_l\ort(\xi^\star_{i_1}\wedge\cdots\wedge\xi^\star_{i_p})=
\cases{0&si~~$l\notin\{i_1\ld i_p\}$,\cr
(-1)^{k-1}\xi^\star_{i_1}\wedge\cdots\wh{\xi^\star_{i_k}}\cdots\wedge
\xi^\star_{i_p}&si~~$l=i_k$.\cr}$$
Cette formule est en fait valide m\^eme quand $(\xi_j)$ est non orthonorm\'e.
Un calcul facile montre que $\theta\ort\bu$ est une {\sl d\'erivation}
de l'alg\`ebre ext\'erieure, i.e.\ que
$$\theta\ort(u\wedge v)=(\theta\ort u)\wedge v+(-1)^{{\rm deg}\,u}u\wedge
(\theta\ort v).$$
De plus, si $\wt\theta=\langle\bu,\theta\rangle\in T^\star_M$, l'op\'erateur
$\theta\ort\bu$ est l'adjoint de $\wt\theta\wedge\bu$, i.e.,
$$\langle\theta\ort u,v\rangle=\langle u,\wt\theta\wedge v\rangle,~~~~
\forall u,v\in\Lambda^\bu T^\star_M.\leqno(4.10)$$
En effet, cette propri\'et\'e est imm\'ediate quand $\theta=\xi_l$,
$u=\xi^\star_I$, $v=\xi^\star_J$.
\medskip

\subsection \Smark4.B. Op\'erateurs de Laplace-Beltrami|

Soit $E$ un fibr\'e vectoriel hermitien sur $M$, et soit $D_E$ une
connexion hermitienne sur~$E$. Nous consid\'erons l'espace de Hilbert
$L^2(M,\Lambda^pT^\star_M\otimes E)$ des $p$-formes $s$ sur $M$ \`a valeurs
dans~$E$, muni du produit scalaire $L^2$
$$\Ll s,t\Gg=\int_M\langle s,t\rangle\,dV$$
d\'ej\`a consid\'er\'e en $(2.5)$. Ici $\langle s,t\rangle$ est le 
produit scalaire ponctuel sur $\Lambda^pT^\star_M\otimes E$ asso\-ci\-\'e
au produit scalaire riemannien sur $\Lambda^pT^\star_M$ et au
produit scalaire hermitien sur~$E$.

\state 4.11. Th\'eor\`eme|L'adjoint formel de $D_E$
agissant sur $C^\infty(M,\Lambda^pT^\star_M\otimes E)$ est donn\'e par
$$D_E^\star=(-1)^{mp+1}\star D_E\,\star.$$
\endstate

\preuve. Si $s\in C^\infty(M,\Lambda^pT^\star_M\otimes E)$ et
$t\in C^\infty(M,\Lambda^{p+1}T^\star_M\otimes E)$ sont \`a
support compact, nous avons
$$\eqalign{
\Ll D_Es,t\Gg&=\int_M\langle D_Es,t\rangle\,dV=\int_M\{D_Es,{}\star t\}\cr
&=\int_M d\{s,{}\star t\}-(-1)^p\{s,D_E\star t\}
=(-1)^{p+1}\int_M\{s,D_E\star t\}\cr}$$
gr\^ace \`a la formule de Stokes. Par cons\'equent (4.5) et (4.7) impliquent
$$\Ll D_Es,t\Gg=(-1)^{p+1}(-1)^{p(m-1)}
\int_M\{s,\star\star\,D_E\star t\}=(-1)^{mp+1}\Ll s,\star D_E\star t\Gg.$$
La formule d\'esir\'ee s'ensuit.\square

\state 4.12. Remarque|\rm Dans le cas de la connexion triviale
$d$ sur $E=M\times\bC$, la formule devient $d^\star=(-1)^{m+1}\star
d\star{}$. Si $m$ est pair, ces formules se r\'eduisent \`a
$$d^\star=-\star d\star{},\qquad D_E^\star=-\star D_E\star{}.$$
\endstate

\state 4.13. D\'efinition|
L'op\'erateur de Laplace-Beltrami est l'op\'erateur diff\'erentiel du
second ordre agissant sur les fibr\'es $\Lambda^pT^\star_M\otimes E$, tel que
$$\Delta_E=D_ED_E^\star+D_E^\star D_E.$$
\index{29}{LAP}{\hri op\'erateur de Laplace-Beltrami}%
\index{30}{OPE}{Op\'erateur de Laplace-Beltrami}%
En particulier, l'op\'erateur de Laplace-Beltrami agissant sur
$\Lambda^pT^\star_M$ est $\Delta=dd^\star+d^\star d$. Ce dernier
op\'erateur ne d\'epend que de la structure riemannienne~$(M,g)$.
\endstate

Il est clair que le Laplacien $\Delta$ est formellement auto-adjoint,
i.e.\ $\Ll\Delta_E s,t\Gg=\Ll s,\Delta_E t\Gg$ chaque fois que
les formes $s,t$ sont de classe $C^\infty$ et que l'une d'elles est \`a
support compact.

\state 4.14. Calcul du symbole|\rm Pour toute fonction $f$ de
classe~$C^\infty$, la r\`egle de Leibnitz donne
$\ee^{-tf}D_E(\ee^{tf}s)=t\,df\wedge s+D_Es$.
Par d\'efinition du symbole, nous trouvons donc
$$\sigma_{D_E}(x,\xi)\cdot s=\xi\wedge s,\qquad \forall\xi\in T^\star_{M,x},
\quad\forall s\in\Lambda^p T^\star_M\otimes E.$$
Gr\^ace \`a la formule (2.8) nous obtenons
$\sigma_{D_E^\star}=-(\sigma_{D_E})^\star$, donc
$$\sigma_{D_E^\star}(x,\xi)\cdot s=-\wt\xi\ort s$$
o\`u $\wt\xi\in T_M$ est le vecteur tangent adjoint de~$\xi$. L'\'egalit\'e
$\sigma_{\Delta_E}=\sigma_{D_E}\sigma_{D_E^\star}+\sigma_{D_E^\star}
\sigma_{D_E}$ implique
$$\eqalign{
&\sigma_{\Delta_E}(x,\xi)\cdot s=
-\xi\wedge(\wt\xi\ort s)-\wt\xi\ort(\xi\wedge s)=-(\wt\xi\ort\xi)s,\cr
&\sigma_{\Delta_E}(x,\xi)\cdot s=-|\xi|^2 s.\cr}$$
En particulier, $\Delta_E$ est toujours un op\'erateur elliptique. Dans le
cas particulier o\`u $M$ est une partie ouverte de $\bR^m$ munie de
la m\'etrique constante $g=\sum_{i=1}^m dx_i^2$, tous les
op\'erateurs $d$, $d^\star$, $\Delta$ sont \`a coefficients constants.
Ils sont compl\`etement d\'etermin\'es par leur symbole principal
(aucun terme d'ordre plus bas ne peut appara\^{\i}tre). Nous trouvons alors 
ais\'ement
$$\eqalign{
s&=\sum_{|I|=p}s_I dx_I,~~~~
ds=\sum_{|I|=p,j} {\partial s_I\over\partial x_j} dx_j\wedge dx_I,\cr
d^\star s&=-\sum_{I,j}{\partial s_I\over\partial x_j} 
{\partial\over\partial x_j}\ort dx_I,\cr
\Delta s&=-\sum_I\Big(\sum_j {\partial^2s_I\over\partial x^2_j}\Big)
dx_I.\cr}$$
Par suite, $\Delta$ a la m\^eme expression que l'op\'erateur de Laplace
\'el\'ementaire, au signe moins pr\`es.
\endstate
\medskip

\subsection \Smark4.C. Formes harmoniques et isomorphisme de Hodge|

Soit $E$ un fibr\'e vectoriel hermitien sur une vari\'et\'e riemannienne
{\sl compacte} $(M,g)$. Nous supposons que $E$ poss\`ede une connexion
hermitienne $D_E$ telle que $\Theta(D_E)=D^2_E=0$. Une telle connexion
est dite {\sl int\'egrable} ou 
\index{220}{CON}{Connexion int\'egrable ou plate}%
\index{221}{INT}{\hri connexion int\'egrable ou plate}%
{\sl plate}. Il est bien connu que
ceci \'equivaut \`a ce que $E$ soit donn\'e par une repr\'esentation
$\pi_1(M)\to \U(r)\,$; un tel fibr\'e est appel\'e {\sl fibr\'e plat} ou
{\sl syst\`eme local de
\index{78}{SYS}{Syst\`eme local de coefficients}%
coefficients}. Un exemple fondamental est bien
s\^ur le fibr\'e trivial $E=M\times\bC$ avec sa connexion \'evidente
$D_E=d$. Gr\^ace \`a cette hypoth\`ese, $D_E$ d\'efinit un complexe de
De Rham g\'en\'eralis\'e
$$C^\infty(M,E)\build\lra|{D_E}||
C^\infty(M,\Lambda^1T^\star_M\otimes E)\lra\cdots\lra
C^\infty(M,\Lambda^pT^\star_M\otimes E)\build\lra|{D_E}||\cdots.$$
Les groupes de cohomologie de ce complexe seront not\'es $H^p_{DR}(M,E)$.

L'espace des {\sl formes harmoniques de degr\'e $p$} relativement \`a
l'op\'erateur de Laplace-Beltrami $\Delta_E=D_ED_E^\star+D_E^\star D_E$ est
d\'efini par
$$\cH^p(M,E)=\big\{ s\in C^\infty(M,\Lambda^pT^\star_M\otimes E)~;~
\Delta_E s=0\big\}.\leqno(4.15)$$
\index{31}{HAR}{\hri forme harmonique}%
Comme $\Ll\Delta_Es,s\Gg=||D_Es||^2+||D_E^\star s||^2$, nous voyons que 
$s\in\cH^p(M,E)$ si et seulement si \hbox{$D_Es=D_E^\star s=0$}.

\state 4.16. Th\'eor\`eme|Pour tout $p$, il existe une d\'ecomposition
orthogonale
$$\eqalign{
&C^\infty(M,\Lambda^pT^\star_M\otimes E)=\cH^p(M,E)\oplus\Im D_E
\oplus\Im D_E^\star,\qquad\hbox{o\`u}\cr
&\Im D_E=D_E\big(C^\infty(M,\Lambda^{p-1}T^\star_M\otimes E)\big),\cr
&\Im D_E^\star=D_E^\star\big(C^\infty(M,\Lambda^{p+1}T^\star_M\otimes E)\big).
\cr}$$
\endstate

\preuve. Il est imm\'ediat que $\cH^p(M,E)$ est orthogonal aux deux
sous-espaces $\Im D_E$ et $\Im D_E^\star$. L'orthogonalit\'e de ces deux
sous-espaces est elle aussi \'evidente, gr\^ace \`a l'hypoth\`ese
$D^2_E=0\,$:
$$\Ll D_Es,D_E^\star t\Gg=\Ll D^2_Es,t\Gg=0.$$
Nous appliquons maintenant le th.~3.10 \`a l'op\'erateur elliptique
$\Delta_E=\Delta^\star_E$ agissant sur les \hbox{$p$-formes,} i.e.\
l'op\'erateur $\Delta_E:C^\infty(M,F)\to C^\infty(M,F)$ agissant sur le fibr\'e
$F=\Lambda^pT^\star_M\otimes E$. Nous obtenons
$$\eqalign{
&C^\infty(M,\Lambda^pT^\star_M\otimes E)=\cH^p(M,E)\oplus
\Delta_E\big(C^\infty(M,\Lambda^pT^\star_M\otimes E)\big),\cr
&\Im\Delta_E=\Im(D_ED_E^\star+D_E^\star D_E)
\subset \Im D_E+\Im D_E^\star.\cr}$$
D'autre part, comme $\Im D_E$ et $\Im D_E^\star$ sont orthogonaux \`a
$\cH^p(M,E)$, ces espaces sont contenus dans $\Im\Delta_E$.\square

\state 4.17. Th\'eor\`eme d'isomorphisme de Hodge|Les groupes de
cohomologie de De Rham $H^p_{DR}(M,E)$ sont de dimension finie et
\index{32}{ISO}{Isomorphisme de Hodge}%
\index{33}{HOD}{\hri isomorphisme de Hodge}%
$H^p_{DR}(M,E)\simeq\cH^p(M,E)$.
\endstate

\preuve. Gr\^ace \`a la d\'ecomposition (4.16), nous obtenons
$$\eqalign{
B^p_{DR}(M,E)&=D_E\big(C^\infty(M,\Lambda^{p-1}T^\star_M\otimes E)\big),\cr
Z^p_{DR}(M,E)&=\Ker D_E=(\Im D_E^\star)^\perp=\cH^p(M,E)\oplus\Im D_E.\cr}$$
Ceci montre que toute classe de cohomologie de De Rham contient un unique
repr\'esentant harmonique.\square

\state 4.18. Dualit\'e de Poincar\'e|L'accouplement 
$$H^p_{DR}(M,E)\times H^{m-p}_{DR}(M,E^\star)\lra\bC,~~~~
(s,t)\longmapsto\int_M s\wedge t$$
\index{36}{DUA}{Dualit\'e de Poincar\'e}%
\index{37}{POI}{\hri dualit\'e de Poincar\'e}%
est une forme bilin\'eaire non d\'eg\'en\'er\'ee, et d\'efinit donc une
dualit\'e entre $H^p_{DR}(M,E)\kern-1.22pt$ et $H^{m-p}_{DR}(M,E^\star)$.
\endstate

\preuve. Notons d'abord qu'il existe une connexion plate $D_{E^\star}$
naturellement d\'efinie telle que pour tout $s\in C^\infty(M,\Lambda^\bu
T^\star_M\otimes E)$, $t\in C^\infty(M,\Lambda^\bu T^\star_M\otimes E^\star)$
on ait
$$d(s\wedge t)=(D_Es)\wedge t+(-1)^{\deg s}s\wedge D_{E^\star}t.\leqno(4.19)$$
Il r\'esulte alors de la formule de Stokes que l'application bilin\'eaire
$(s,t)\mapsto\int_M s\wedge t$ peut se factoriser aux groupes
de cohomologie. Soit $s\in C^\infty(M,\Lambda^pT^\star_M\otimes E)$.
Nous laissons au lecteur le soin de prouver les formules suivantes (utiliser
(4.19) de fa\c con analogue \`a ce qui a \'et\'e fait pour la preuve du
th.~4.11)$\,$:
$$D_{E^\star}(\#\,s)=(-1)^p\#\,D_E^\star s,~~\,
(D_{E^\star})^\star(\#\,s)=(-1)^{p+1}\#\,D_E s,~~\,
\Delta_{E^\star}(\#\,s)=\#\,\Delta_E s,\leqno(4.20)$$
Par cons\'equent $\#s\in\cH^{m-p}(M,E^\star)$ si et seulement si
$s\in\cH^p(M,E)$. Puisque
$$\int_M s\wedge\#\,s=\int_M |s|^2\,dV=\|s\|^2,$$
nous voyons que l'accouplement de Poincar\'e a un noyau trivial dans le
facteur de gauche $\cH^p(M,E)\simeq H^p_{DR}(M,E)$. Par sym\'etrie, il a
aussi un noyau trivial \`a droite. La preuve est achev\'ee.\square

\section \Smark5. Vari\'et\'es hermitiennes et k\"ahl\'eriennes|

Soit $X$ une vari\'et\'e complexe de dimension~$n$. Une {\sl m\'etrique
hermitienne} sur $X$ est une forme hermitienne d\'efinie positive de classe
\index{38}{MET}{M\'etrique hermitienne}%
\index{39}{HER}{\hri m\'etrique hermitienne}%
$C^\infty$ sur $T_X\,$; dans un syst\`eme de coordonn\'ees $(z_1\ld z_n)$,
une telle forme peut s'\'ecrire
$$h(z)=\sum_{1\le j,k\le n} h_{jk}(z)\,dz_j\otimes d\ol z_k,$$
o\`u $(h_{jk})$ est une matrice hermitienne positive \`a
coefficients~$C^\infty$. La {\sl $(1,1)$-forme fondamentale} associ\'ee
\`a $h$ est
$$\omega=-\Im h={\ii\over 2}\sum h_{jk} dz_j\wedge d\ol z_k,~~~~
1\le j,k\le n.$$

\state 5.1. D\'efinition|\smallskip
\index{40}{VAR}{Vari\'et\'e hermitienne}%
\index{41}{HER}{\hri vari\'et\'e hermitienne}%
\item{\rm a)} Une vari\'et\'e hermitienne est un couple $(X,\omega)$ o\`u
$\omega$ est une $(1,1)$-forme $C^\infty$ d\'efinie positive sur~$X$.
\smallskip
\item{\rm b)} La m\'etrique $\omega$ est dite k\"ahl\'erienne
\index{42}{KAH}{\hri m\'etrique k\"ahl\'erienne}%
si $d\omega=0$.
\smallskip
\item{\rm c)} $X$ est appel\'ee vari\'et\'e k\"ahl\'erienne si $X$ poss\`ede
\index{43}{KAH}{\hri vari\'et\'e k\"ahl\'erienne}%
\index{44}{VAR}{Vari\'et\'e k\"ahl\'erienne}%
au moins une m\'etrique k\"ahl\'erienne.\smallskip
\endstate

Puisque $\omega$ est r\'eelle, les conditions $d\omega=0$, $d'\omega=0$,
$d''\omega=0$ sont toutes \'equivalentes. En~coordonn\'ees locales, on voit
que $d'\omega=0$ si et seulement si
$${\partial h_{jk}\over\partial z_l}={\partial h_{lk}\over
\partial z_j},\qquad 1\le j,k,l\le n.$$
Un calcul simple donne
$${\omega^n\over n!}
=\det(h_{jk})\bigwedge_{1\le j\le n}\Big({\ii\over 2} dz_j\wedge d\ol z_j\Big)
=\det(h_{jk})\,dx_1\wedge dy_1\wedge\cdots\wedge dx_n\wedge dy_n,$$
o\`u $z_n=x_n+\ii y_n$. Par cons\'equent la $(n,n)$-forme
$$dV={1\over n!}\omega^n\leqno(5.2)$$
est positive et co\"{\i}ncide avec l'\'el\'ement de volume hermitien de~$X$.
Si $X$ est compacte, alors $\int_X\omega^n=n!\,\Vol_\omega(X)>0$. Cette
remarque simple implique d\'ej\`a qu'une vari\'et\'e k\"ahl\'erienne compacte
doit satisfaire certaines conditions topologiques restrictives$\,$:

\state 5.3. Cons\'equence|\smallskip
\item{\rm a)} Si $(X,\omega)$ est k\"ahl\'erienne compacte et si $\{\omega\}$
d\'esigne la classe de cohomologie de $\omega$ dans $H^2(X,\bR)$, alors
$\{\omega\}^n\ne 0$.
\smallskip
\item{\rm b)} Si $X$ est k\"ahl\'erienne compacte, alors
$H^{2k}(X,\bR)\ne 0$ pour $0\le k\le n$. En effet, $\{\omega\}^k$ est
une classe non nulle de $H^{2k}(X,\bR)$.
\vskip0pt
\endstate

\state 5.4. Exemple|\rm L'espace projectif complexe $\bP^n$ poss\`ede
une m\'etrique k\"ahl\'erienne $\omega$ naturelle, appel\'ee
{\sl m\'etrique de Fubini-Study}, d\'efinie par
\index{45}{MET}{M\'etrique de Fubini-Study}%
\index{46}{FUB}{Fubini-Study, m\'etrique de}%
$$p^\star\omega={\ii\over 2\pi} d'd''\log\big(|\zeta_0|^2+|\zeta_1|^2
+\cdots+|\zeta_n|^2\big)$$
o\`u $\zeta_0,\zeta_1\ld\zeta_n$ sont les coordonn\'ees de $\bC^{n+1}$ et
o\`u \hbox{$p:\bC^{n+1}\setminus\{0\}\to\bP^n$} est la projection.
Soit $z=(\zeta_1/\zeta_0\ld\zeta_n/\zeta_0)$ les coordonn\'ees non homog\`enes
de la carte $\bC^n\subset\bP^n$. Un calcul montre que
$$\omega={\ii\over 2\pi}d'd''\log(1+|z|^2)={\ii\over 2\pi}\Theta(\cO(1)),
~~~~\int_{\bP^n}\omega^n=1.$$
Comme les seuls groupes de cohomologie enti\`ere non nuls de $\bP^n$ sont
\hbox{$H^{2p}(\bP,\bZ)\simeq\bZ$} pour $0\le p\le n$, nous voyons que
$h=\{\omega\}\in H^2(\bP^n,\bZ)$ est un g\'en\'erateur de l'anneau de
cohomologie $H^\bu(\bP^n,\bZ)$. En d'autres termes,
$H^\bu(\bP^n,\bZ)\simeq\bZ[h]/(h^{n+1})$ comme anneau.
\endstate

\state 5.5. Exemple|\rm Un {\sl tore complexe} est un quotient
$X=\bC^n/\Gamma$ de $\bC^n$ par un r\'eseau $\Gamma$ de rang~$2n$.
\index{47}{TOR}{Tore complexe}%
C'est donc une vari\'et\'e complexe compacte. Toute forme
hermitienne d\'efinie positive $\omega=\ii\sum h_{jk}dz_j\wedge d\ol
z_k$ \`a coefficients constants sur $\bC^n$ d\'efinit une m\'etrique
k\"ahl\'erienne sur~$X$.
\endstate

\state 5.6. Exemple|\rm Toute sous-vari\'et\'e complexe $X$ d'une
vari\'et\'e k\"ahl\'erienne $(Y,\omega')$ est k\"ahl\'erienne pour la
m\'etrique induite $\omega=\omega'_{\restr X}$. En particulier, toute
vari\'et\'e projective est k\"ahl\'erienne (par d\'efinition, une
{\sl vari\'et\'e projective} est une sous-vari\'et\'e ferm\'ee
\index{48}{VAR}{Vari\'et\'e projective}%
\index{49}{PRO}{\hri vari\'et\'e projective}%
$X\subset\bP^n$ d'un espace projectif); dans ce cas, si $\omega'$
d\'esigne la m\'etrique de Fubini-Study sur $\bP^n$, nous avons la
propri\'et\'e suppl\'ementaire que la classe $\{\omega\}:=\{\omega'\}_{
\restr X}\in H^2_\DR(X,\bR)$ est enti\`ere, i.e., est l'image d'une classe
enti\`ere de $H^2(X,\bZ)$. Une m\'etrique k\"ahl\'erienne $\omega$ de
classe de cohomologie enti\`ere est appel\'ee {\sl m\'etrique
\index{50}{MET}{M\'etrique de Hodge}%
\index{51}{HOD}{\hri m\'etrique de Hodge}%
de Hodge}.
\endstate

\state 5.7. Exemple|\rm Consid\'erons la surface complexe
$$X=(\bC^2\setminus\{ 0\})/\Gamma$$
o\`u $\Gamma=\{\lambda^n~;~n\in\bZ\}$, $\lambda\in{}]0,1[$, est vu comme
groupe d'homoth\'eties. Puisque $\bC^2\setminus\{0\}$ est diff\'eomorphe
\`a $\bR^\star_+\times S^3$, nous avons $X\simeq S^1\times S^3$. 
Par cons\'equent $H^2(X,\bR)=0$ gr\^ace \`a la formule de K\"unneth,
et la propri\'et\'e 5.3 b) montre que $X$ n'est pas k\"ahl\'erienne.
Plus g\'en\'eralement, on peut prendre pour $\Gamma$ un groupe cyclique
infini engendr\'e par des contractions holomorphes de $\bC^2$, de la forme
$$\pmatrix{z_1\cr z_2\cr}\longmapsto\pmatrix{\lambda_1z_1\cr\lambda_2z_2\cr},
\qquad\hbox{\rm resp.}\quad\pmatrix{z_1\cr z_2\cr}\longmapsto
\pmatrix{\lambda z_1\cr\lambda z_2+z_1^p\cr},$$
o\`u $\lambda,\lambda_1,\lambda_2$ sont des nombres complexes tels que
$0<|\lambda_1|\le|\lambda_2|<1$, \hbox{$0<|\lambda|<1$}, et $p$ un entier
positif. Ces surfaces non k\"ahl\'eriennes sont appel\'ees {\sl surfaces
\index{52}{SUR}{Surfaces de Hopf}%
\index{53}{HOP}{Hopf, surfaces de}%
de Hopf}.\square
\endstate

Le th\'eor\`eme suivant montre qu'une m\'etrique hermitienne $\omega$ sur $X$
est k\"ahl\'erienne si et seulement si la m\'etrique $\omega$ est tangente
\`a l'ordre $2$ \`a une m\'etrique hermitienne \`a coefficients constants
en tout point de~$X$.

\state 5.8. Th\'eor\`eme|Soit $\omega$ une $(1,1)$-forme $C^\infty$
d\'efinie positive sur~$X$. Pour que $\omega$ soit k\"ahl\'erienne, il
faut et il suffit qu'en tout point $x_0\in X$ il existe un syst\`eme
de coordonn\'ees holomorphes $(z_1\ld z_n)$ centr\'e en $x_0$ tel que
$$\omega=\ii\sum_{1\le l,m\le n}\omega_{lm}\,dz_l\wedge d\ol z_m,~~~~
\omega_{lm}=\delta_{lm}+O(|z|^2).\leqno(5.9)$$
Si $\omega$ est k\"ahl\'erienne, les coordonn\'ees $(z_j)_{1\le j\le n}$
peuvent en fait \^etre choisies telles que
$$\omega_{lm}=\langle{\partial\over\partial z_l},{\partial\over\partial z_m}
\rangle=\delta_{lm}-\sum_{1\le j,k\le n}c_{jklm}\,z_j\ol z_k+O(|z|^3),
\leqno(5.10)$$
o\`u $(c_{jklm})$ sont les coefficients du tenseur de courbure de Chern
$$\Theta(T_X)_{x_0}=\sum_{j,k,l,m} c_{jklm}\,dz_j\wedge d\ol z_k\otimes
\Big({\partial\over\partial z_l}\Big)^\star
\otimes{\partial\over\partial z_m}\leqno(5.11)$$
associ\'e \`a $(T_X,\omega)$ en $x_0$. Un tel syst\`eme $(z_j)$
sera appel\'e syst\`eme de coordonn\'ees
\index{54}{COO}{Coordonn\'ees g\'eod\'esiques}%
\index{55}{GEO}{\hri coordonn\'ees g\'eod\'esiques}%
g\'eod\'esiques en~$x_0$.
\endstate

\preuve. Il est clair que (5.9) implique $d_{x_0}\omega=0$, par
suite la condition est suffisante. Supposons maintenant que $\omega$ soit
k\"ahl\'erienne. Alors on peut choisir des coordonn\'ees locales
$(\zeta_1\ld\zeta_n)$ telles que $(d\zeta_1\ld d\zeta_n)$ soit une base
$\omega$-orthonorm\'ee de~$T_{x_0}^\star X$. Par cons\'equent
$$\leqalignno{
\omega&=\ii\sum_{1\le l,m\le n}\wt\omega_{lm}\,d\zeta_l\wedge d\ol\zeta_m,
~~~~\hbox{\rm o\`u}\cr
\qquad\wt\omega_{lm}&=\delta_{lm}+O(|\zeta|)=\delta_{lm}+\sum_{1\le j\le n}
(a_{jlm}\zeta_j+a'_{jlm}\ol\zeta_j)+O(|\zeta|^2).&(5.12)\cr}$$
Puisque $\omega$ est r\'eelle, nous avons $a'_{jlm}=\ol a_{jml}\,$; d'autre
part la condition de k\"ahl\'erianit\'e $\partial\omega_{lm}/\partial\zeta_j=
\partial\omega_{jm}/\partial\zeta_l$ en $x_0$ implique $a_{jlm}=a_{ljm}$.
Posons maintenant
$$z_m=\zeta_m+{1\over 2}\sum_{j,l}a_{jlm}\zeta_j\zeta_l,~~~~1\le m\le n.$$
Alors $(z_m)$ est un syst\`eme de coordonn\'ee locales en $x_0$, et
$$\eqalign{
dz_m&=d\zeta_m+\sum_{j,l}a_{jlm}\zeta_jd\zeta_l,\cr
\ii\sum_mdz_m\wedge d\ol z_m&=\ii\sum_m d\zeta_m\wedge d\ol\zeta_m
+\ii\sum_{j,l,m}a_{jlm}\zeta_j\,d\zeta_l\wedge d\ol\zeta_m\cr
&\phantom{=\ii\sum_m d\zeta_m~\wedge d\ol\zeta_m}+\ii\sum_{j,l,m}
\ol a_{jlm}\ol\zeta_j\,d\zeta_m\wedge d\ol\zeta_l+O(|\zeta|^2)\cr
&=\ii\sum_{l,m}\wt\omega_{lm}\,d\zeta_l\wedge\ol d\zeta_m+O(|\zeta|^2)=
\omega+O(|z|^2).\cr}$$
La condition (5.9) est demontr\'ee. Supposons les coordonn\'ees $(\zeta_m)$
choisies depuis le d\'ebut en sorte que (5.9) ait lieu pour $(\zeta_m)$.
Poursuivons alors le d\'eveloppement de Taylor (5.12) \`a l'ordre deux
$$\leqalignno{
\qquad\wt\omega_{lm}&=\delta_{lm}+O(|\zeta|^2))\cr
&=\delta_{lm}+\sum_{j,k}\big(a_{jklm}\zeta_j\ol\zeta_k
+a'_{jklm}\zeta_j\zeta_k+a''_{jklm}\ol\zeta_j\ol\zeta_k\big)
+O(|\zeta|^3).&(5.13)\cr}$$
Les nouveaux coefficients introduits satisfont la relation
$$a'_{jklm}=a'_{kjlm},~~~~a''_{jklm}=\ol a'_{jkml},~~~~
\ol a_{jklm}=a_{kjml}.$$
La condition de k\"ahl\'erianit\'e 
$\partial\omega_{lm}/\partial\zeta_j=\partial
\omega_{jm}/\partial\zeta_l$ en $\zeta=0$ fournit l'\'egalit\'e
$a'_{jklm}=a'_{lkjm}\,;$ en particulier $a'_{jklm}$ est invariant par toute
permutation de~$j,k,l$. Si on pose
$$z_m=\zeta_m+{1\over 3}\sum_{j,k,l}a'_{jklm}\,\zeta_j\zeta_k\zeta_l,~~~~
1\le m\le n,$$
alors gr\^ace \`a (5.13) on trouve
$$\leqalignno{
\qquad dz_m&=d\zeta_m+\sum_{j,k,l}a'_{jklm}\,\zeta_j\zeta_k\,d\zeta_l,~~~~
1\le m\le n,\cr
\omega&=\ii\sum_{1\le m\le n}dz_m\wedge d\ol z_m+\ii\sum_{j,k,l,m}a_{jklm}
\,\zeta_j\ol\zeta_k\,d\zeta_l\wedge d\ol\zeta_m+O(|\zeta|^3),\cr
\omega&=\ii\sum_{1\le m\le n}dz_m\wedge d\ol z_m+\ii\sum_{j,k,l,m}a_{jklm}
\,z_j\ol z_k\,dz_l\wedge d\ol z_m+O(|z|^3).&(5.14)\cr}$$
Il est maintenant facile de calculer le tenseur de courbure de Chern
$\Theta(T_X)_{x_0}$ en termes des coefficients $a_{jklm}$ et de v\'erifier
que $c_{jklm}=-a_{jklm}$. Nous laissons cette v\'erification au lecteur \`a
titre d'exercice.\square

\section \Smark6. Identit\'es fondamentales de la g\'eom\'etrie
k\"ahl\'erienne|
\medskip

\subsection \Smark6.A. Op\'erateurs de la g\'eom\'etrie hermitienne|

Soit $(X,\omega)$ une vari\'et\'e hermitienne et soient $z_j=x_j+\ii y_j$,
$1\le j\le n$, des coordonn\'ees $\bC$-analytiques en un point $a\in X$,
telles que $\omega(a)=\ii\sum dz_j\wedge d\ol z_j$ soit diagonalis\'ee en ce
point. La forme hermitienne associ\'ee est $h(a)=2\sum dz_j\otimes d\ol z_j$
et sa partie r\'eelle est la m\'etrique euclidienne $2\sum (dx_j)^2+(dy_j)^2$.
Il s'ensuit que $|dx_j|=|dy_j|=1/\sqrt{2}$, $|dz_j|=|d\ol z_j|=1$,
et que $(\partial/\partial z_1\ld\partial/\partial z_n)$ est une base
orthonorm\'ee de $(T^\star_a X,\omega)$. La formule (4.1) pour $u_j,v_k$ dans
la somme orthogonale $(\bC\otimes T_X)^\star=T^\star_X\oplus\ol{T^\star_X}$
d\'efinit un produit scalaire naturel sur l'alg\`ebre ext\'erieure
$\Lambda^\bu(\bC\otimes T_X)^\star$. La norme d'une forme
$$u=\sum_{I,J}~~u_{I,J} dz_I\wedge d\ol z_J\in\Lambda^\bu
(\bC\otimes T_X)^\star$$
au point $a$ est alors donn\'ee par
$$|u(a)|^2=\sum_{I,J} ~|u_{I,J}(a)|^2.\leqno(6.1)$$
L'op\'erateur $\star$ de Hodge (4.2) peut \^etre \'etendu
aux formes \`a valeurs complexes par la formule
$$u\wedge{}\ol{\star v}=\langle u,v\rangle\,dV.\leqno(6.2)$$
Il s'ensuit que $\star$ est une isom\'etrie $\bC$-lin\'eaire
$$\star~:~~\Lambda^{p,q} T^\star_X\lra\Lambda^{n-q,n-p} T^\star_X.$$
Les op\'erateurs usuels de la g\'eom\'etrie hermitienne sont les op\'erateurs
$d$, $\delta=-\star d\,\star\,$, le laplacien $\Delta=d\delta+\delta d$
d\'ej\`a d\'efinis, et leurs analogues complexes
$$\left\{\eqalign{
d&=d'+d'',\cr
\delta&=d^{\prime\star}+d^{\prime\prime\star},~~~~
d^{\prime\star}=(d')^\star=-\star d''\star,~~~~
d^{\prime\prime\star}=(d'')^\star=-\star d'\star,\cr
\Delta'&=d'd^{\prime\star}+d^{\prime\star}d',~~~~
\Delta''=d''d^{\prime\prime\star}+d^{\prime\prime\star}d''.\cr}\right.
\leqno(6.3)$$
On dira qu'un op\'erateur est de degr\'e pur $r$ s'il transforme une forme de
degr\'e $k$ en une forme de degr\'e $k+r$, et de m\^eme, un op\'erateur
de bidegr\'e pur $(s,t)$ est un op\'erateur qui transforme les $(p,q)$-formes
en formes de bidegr\'e $(p+s,q+t)$ (son degr\'e total est alors bien
entendu $r=s+t$). Ainsi $d',~d'',~d^{\prime\star},~d^{\prime\prime\star},~
\Delta',~\Delta''$ sont de bidegr\'es respectifs $(1,0)$, $(0,1)$,
$(-1,0)$, $(0,-1)$, $(0,0)$, $(0,0)$. Un autre op\'erateur important est
l'op\'erateur $L$ de bidegr\'e $(1,1)$ d\'efini par
$$Lu=\omega\wedge u,\leqno(6.4)$$
et son adjoint $\Lambda=L^\star=\star^{-1}L\,\star$ de bidegr\'e
$(-1,-1)\,:$
$$\langle u,\Lambda v\rangle=\langle Lu,v\rangle.\leqno(6.5)$$
\index{56}{OPE}{Op\'erateurs $L$ et $\Lambda$}%
Observons que le groupe unitaire $\U(T_X)\simeq \U(n)$ poss\`ede une action
naturelle sur l'espace des $(p,q)$-formes, donn\'ee par
$$\U(n)\times\Lambda^{p,q}T^\star_X\ni(g,v)\longmapsto (g^{-1})^\star v.$$
Cette action fait de $\Lambda^{p,q}T^\star_X$ une repr\'esentation unitaire
de $\U(n)$. Comme la m\'etrique $\omega$ est invariante,
il est clair que $L$ et $\Lambda$ commutent \`a l'action de~$\U(n)$.

\subsection \Smark6.B. Identit\'es de commutation|

Si $A,B$ sont des endomorphismes (de degr\'e pur) du module gradu\'e
$M^\bu=C^\infty(X,\Lambda^{\bu,\bu}T^\star_X)$, leur {\sl commutateur
gradu\'e} (ou {\sl crochet de Lie gradu\'e})
\index{57}{COM}{Commutateur gradu\'e}%
\index{58}{IDE}{Identit\'es de commutation}%
\index{203}{COM}{\hri relations de commutation}%
est d\'efini par
$$[A,B]=AB-(-1)^{ab} BA\leqno(6.6)$$
o\`u $a,b$ sont les degr\'es de $A$ et $B$ respectivement. Si $C$ est un autre
endomorphisme de degr\'e~$c$, on a l'{\sl identit\'e de Jacobi} purement
formelle suivante$\,$:
$$(-1)^{ca}\big[A,[B,C]\big]+(-1)^{ab}\big[B,[C,A]\big]
+(-1)^{bc}\big[C,[A,B]\big]=0.\leqno(6.7)$$
\index{59}{IDE}{Identit\'e de Jacobi}%
\index{60}{JAC}{Jacobi, identit\'e de}%
Pour tout $\alpha\in\Lambda^{p,q}T^\star_X$, nous d\'esignerons encore par
$\alpha$ l'endomorphisme associ\'e de type $(p,q)$, op\'erant sur
$\Lambda^{\bu,\bu}T^\star_X$ par la formule $u\mapsto\alpha\wedge u$.

Soit $\gamma\in\Lambda^{1,1} T^\star_X$ une $(1,1)$-forme r\'eelle. Il
existe une base $\omega$-orthogonale $(\zeta_1,\zeta_2\ld\zeta_n)$ de $T_X$
qui diagonalise les deux formes $\omega$ et $\gamma$ simultan\'ement$\,$:
$$\omega=\ii\sum_{1\le j\le n}\zeta^\star_j\wedge\ol\zeta^\star_j,~~~~
\gamma=\ii\sum_{1\le j\le n}\gamma_j\,\zeta^\star_j\wedge\ol\zeta^\star_j,~~
\gamma_j\in\bR.$$

\state 6.8. Proposition|Pour toute forme $u=\sum u_{J,K}\,\zeta^\star_J 
\wedge\ol\zeta^\star_K$, on a
$$[\gamma,\Lambda]u=\sum_{J,K}\Big(\sum_{j\in J}\gamma_j+\sum_{j\in K}
\gamma_j-\sum_{1\le j\le n}\gamma_j\Big) u_{J,K}\,\zeta^\star_J\wedge
\ol\zeta^\star_K.$$
\endstate

\preuve. Si $u$ est de type $(p,q)$, un calcul brutal donne
$$\eqalignno{
\Lambda u&=\ii(-1)^p\sum_{J,K,l} u_{J,K}\,(\zeta_l\ort\zeta^\star_J)
\wedge(\ol\zeta_l\ort\ol\zeta^\star_K),~~~~1\le l\le n,\cr 
\gamma\wedge u&=\ii(-1)^p\sum_{J,K,m}\gamma_m u_{J,K}\,\zeta^\star_m\wedge
\zeta^\star_J\wedge\ol\zeta^\star_m\wedge\ol\zeta^\star_K,~~~~1\le m\le n,\cr 
[\gamma,\Lambda] u&=\sum_{J,K,l,m}\gamma_m\,u_{J,K}\Big(
\big(\zeta^\star_l\wedge(\zeta_m\ort\zeta^\star_J)\big)\wedge
\big(\ol\zeta^\star_l\wedge(\ol\zeta_m\ort\ol\zeta^\star_K)\big)\cr
&~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
-\big(\zeta_m\ort(\zeta^\star_l\wedge\zeta^\star_J)\big)\wedge
\big(\ol\zeta_m\ort(\ol\zeta^\star_l\wedge\ol\zeta^\star_K)\big)\Big)\cr
&=\sum_{J,K,m}\gamma_m\,u_{J,K}\Big(
\zeta^\star_m\wedge(\zeta_m\ort\zeta^\star_J)\wedge\ol\zeta^\star_K\cr
&~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
+\zeta^\star_J\wedge\ol\zeta^\star_m\wedge(\ol\zeta_m\ort\ol\zeta^\star_K)-
\zeta^\star_J\wedge\ol\zeta^\star_K\Big)\cr
&=\sum_{J,K}\bigg(\sum_{m\in J}\gamma_m+\sum_{m\in K}\gamma_m-\sum_{1\le 
m\le n}\gamma_m\bigg) u_{J,K}\,\zeta^\star_J\wedge\ol\zeta^\star_K.
&\square\cr}$$

\state 6.9. Corollaire|Pour tout $u\in\Lambda^{p,q}T^\star_X$, on a~
$[L,\Lambda]u=(p+q-n)u$.
\endstate

\preuve. En effet, si $\gamma=\omega$, les valeurs propres de $\gamma$
sont $\gamma_1=\cdots=\gamma_n=1$.\square

Introduisons l'op\'erateur $B=[L,\Lambda]$ tel que $Bu=(p+q-n)u$ pour
$u$ de bidegr\'e $(p,q)$. Comme $L$ est de degr\'e $2$, on obtient aussit\^ot
$[B,L]=2L$, et de m\^eme $[B,\Lambda]=-2\Lambda$. Ceci sugg\`ere d'introduire
l'alg\`ebre de Lie $\eusl(2,\bC)$ (matrices de trace nulle, avec le crochet
de commutation usuel $[\alpha,\beta]=\alpha\beta-\beta\alpha$ des matrices),
dont les $3$ matrices de base
$$\ell=\pmatrix{0&0\cr 1&0\cr},\qquad
\lambda=\pmatrix{0&1\cr 0&0\cr},\qquad
b=\pmatrix{-1&0\cr 0&1\cr}\leqno(6.10)$$
v\'erifient les relations de commutation
$$[\ell,\lambda]=b,\qquad[b,\ell]=2\ell,\qquad[b,\lambda]=-2\lambda.$$

\state 6.11. Corollaire|On a une action naturelle de l'alg\`ebre de
Lie $\eusl(2,\bC)$ sur l'espace vectoriel $\Lambda^{\bu,\bu}T^\star_X$,
\index{61}{ACT}{Action de $\eusl(2,\bC)$}%
i.e.~un morphisme d'alg\`ebres de Lie
$\rho:\eusl(2,\bC)\to\End(\Lambda^{\bu,\bu}T^\star_X)$, tel que
$\rho(\ell)=L$, $\rho(\lambda)=\Lambda$, $\rho(b)=B$.
\endstate

Nous allons maintenant expliciter d'autres identit\'es de commutation tr\`es
importantes. Supposons d'abord que $X=\Omega\subset\bC^n$ soit un ouvert
de $\bC^n$ et que $\omega$ soit la m\'etrique k\"ahl\'erienne standard, 
$$\omega=\ii\sum_{1\le j\le n} dz_j\wedge d\ol z_j.$$
Pour toute forme $u\in C^\infty(\Omega,\Lambda^{p,q}T^\star_X)$ on a
$$\leqalignno{
d'u&=\sum_{I,J,k} {\partial u_{I,J}\over\partial z_k}
dz_k\wedge dz_I\wedge d\ol z_J ,&(6.12')\cr
d''u&=\sum_{I,J,k} {\partial u_{I,J}\over\partial\ol z_k}
d\ol z_k\wedge dz_I\wedge d\ol z_J.&(6.12'')\cr}$$
Comme le produit scalaire global $L^2$ est donn\'e par
$$\Ll u,v\Gg=\int_\Omega\sum_{I,J} u_{I,J}\ol v_{I,J}\,dV,$$
des calculs faciles analogues \`a ceux de l'exemple 4.12 montrent que
$$\leqalignno{
d^{\prime\star}u&=-\sum_{I,J,k} {\partial u_{I,J}\over\partial\ol z_k}
{\partial\over\partial z_k}\ort (dz_I\wedge d\ol z_J),&(6.13')\cr
d^{\prime\prime\star}u&=-\sum_{I,J,k} {\partial u_{I,J}\over\partial z_k}
{\partial\over\partial\ol z_k}\ort (dz_I\wedge d\ol z_J).&(6.13'')\cr}$$
Nous \'enon\c cons d'abord un lemme d\^u \`a Akizuki et Nakano [AN54].

\state 6.14. Lemme|Dans $\bC^n$, on a $[d^{\prime\prime\star},L]=\ii\,d'$.
\endstate

\preuve. La formule (6.1$3''$) peut se r\'ecrire plus bri\`evement
$$d^{\prime\prime\star}u=-\sum_k {\partial\over\partial\ol z_k}\ort\Big(
{\partial u\over\partial z_k}\Big).$$
Nous obtenons alors
$$[d^{\prime\prime\star},L]u=-\sum_k {\partial\over\partial\ol z_k}\ort\Big(
{\partial\over\partial z_k}(\omega\wedge u)\Big)+\omega\wedge\sum_k 
{\partial\over\partial\ol z_k}\ort\Big({\partial u\over\partial z_k}\Big).$$
Puisque $\omega$ est \`a coefficients constants, on a $\disp{\partial
\over\partial z_k}(\omega\wedge u)=\omega\wedge{\partial u\over\partial z_k}$
et par cons\'equent
$$\eqalign{
[d^{\prime\prime\star},L]\,u&=-\sum_k\bigg({\partial\over\partial\ol z_k}\ort
\Big(\omega\wedge {\partial u\over\partial z_k}\Big)-\omega\wedge\Big(
{\partial\over\partial\ol z_k}\ort{\partial u\over\partial z_k}\Big)\bigg)\cr
&=-\sum_k\Big({\partial\over\partial\ol z_k}\ort\omega\Big)\wedge
{\partial u\over\partial z_k}.\cr}$$
Or, il est clair que $\disp{\partial\over\partial\ol z_k}\ort\omega
=-\ii\,dz_k$, donc
$$[d^{\prime\prime\star},L]\,u=\ii\sum_k dz_k\wedge{\partial u\over\partial
z_k}=\ii\,d'u.\eqno{\square}$$

Nous sommes maintenant pr\^ets pour \'etablir les relations de commutation
de base dans le cas d'une vari\'et\'e k\"ahl\'erienne arbitraire $(X,\omega)$.

\state 6.15. Th\'eor\`eme|Si $(X,\omega)$ est k\"ahl\'erienne, alors
\index{62}{IDE}{Identit\'es de commutation}
$$\cmalign{&[d^{\prime\prime\star},L]&=&\ii\,d',~~~~~
&[d^{\prime\star},L]&=-&\ii\,d'',\phantom{\Big(}\cr
&[\Lambda,d'']&=-&\ii\,d^{\prime\star},~~~~~
&[\Lambda,d']&=&\ii\,d^{\prime\prime\star}.\phantom{\Big(}\cr}$$
\endstate

\preuve. Il suffit de v\'erifier la premi\`ere relation, car la
seconde est la conjugu\'ee de la premi\`ere, et les relations de la
deuxi\`eme ligne sont adjointes de celles de la premi\`ere ligne. Si
$(z_j)$ est un syst\`eme de coordonn\'ees g\'eodesiques en un point
$x_0\in X$, alors pour toutes $(p,q)$-formes $u,v$ \`a support compact
dans un voisinage de $x_0$, (5.9) implique
$$\Ll u,v\Gg=\int_M\Big(\sum_{I,J}u_{IJ}\ol v_{IJ}+\sum_{I,J,K,L}a_{IJKL}\,
u_{IJ}\ol v_{KL}\Big)\,dV,$$
avec $a_{IJKL}(z)=O(|z|^2)$ en $x_0$. Une int\'egration de parties analogue
\`a celle pratiqu\'ee pour obtenir (4.12) et (6.1$3''$) donne
$$d^{\prime\prime\star}u=-\sum_{I,J,k} {\partial u_{I,J}\over\partial z_k}
{\partial\over\partial\ol z_k}\ort(dz_I\wedge d\ol z_J)+
\sum_{I,J,K,L}b_{IJKL}\,u_{IJ}\,dz_K\wedge d\ol z_L,$$
o\`u les coefficients $b_{IJKL}$ sont obtenus par d\'erivation des
$a_{IJKL}$. Par cons\'equent nous avons \hbox{$b_{IJKL}=O(|z|)$}. Puisque
$\partial\omega/\partial z_k=O(|z|)$, la d\'emonstration du lemme~6.14
implique ici \hbox{$[d^{\prime\prime\star},L]u=\ii\,d'u+O(|z|)$}, en
particulier les deux termes co\"{\i}ncident au point $x_0\in X$ fix\'e
d'avance.\square

\state 6.16. Corollaire|Si $(X,\omega)$ est k\"ahl\'erienne, les
op\'erateurs de Laplace-Beltrami complexes sont tels que
$$\Delta'=\Delta''={1\over 2}\Delta.$$
\endstate

\preuve. Montrons d'abord que $\Delta''=\Delta'$. On a
$$\Delta''=[d'',d^{\prime\prime\star}]=-\ii\big[d'',[\Lambda,d']\big].$$
Puisque $[d',d'']=0$, l'identit\'e de Jacobi (6.7) implique 
$$-\big[d'',[\Lambda,d']\big]+\big[d',[d'',\Lambda]\big]=0,$$
donc $\Delta''=\big[d',-\ii[d'',\Lambda]\big]=[d',d^{\prime\star}]=\Delta'$.
D'autre part
$$\Delta=[d'+d'',d^{\prime\star}+d^{\prime\prime\star}]=
\Delta'+\Delta''+[d',d^{\prime\prime\star}]+[d'',d^{\prime\star}].$$
Il suffit donc de prouver$\,$:

\state 6.17. Lemme|$[d',d^{\prime\prime\star}]=0,~[d'',d^{\prime\star}]=0$.
\endstate

\preuve. Nous avons $[d',d^{\prime\prime\star}]=
-\ii\big[d',[\Lambda,d']\big]$ et (6.7) implique
$$-\big[d',[\Lambda,d']\big]+\big[\Lambda,[d',d']\big]+
\big[d',[d',\Lambda]\big]=0,$$
donc $-2\big[d',[\Lambda,d']\big]=0$ et $[d',d^{\prime\prime\star}]=0$. La
deuxi\`eme relation $[d'',d^{\prime\star}]=0$ est l'adjointe de la
premi\`ere.\square

\state 6.18. Th\'eor\`eme|Si $(X,\omega)$ est k\"ahl\'erienne, $\Delta$
commute avec tous les op\'erateurs $\star$, $d'$, $d''$, $d^{\prime\star}$,
$d^{\prime\prime\star}$, $L$, $\Lambda$.
\endstate

\preuve. Les identit\'es $[d',\Delta']=[d^{\prime\star},\Delta']=0$,
$[d'',\Delta'']=[d^{\prime\prime\star},\Delta'']=0$ et $[\Delta,\star]=0$
sont imm\'ediates. De plus, l'\'egalit\'e $[d',L]=d'\omega=0$ combin\'ee
avec l'identit\'e de Jacobi implique
$$[L,\Delta']=\big[L,[d',d^{\prime\star}]\big]=
-\big[d',[d^{\prime\star},L]\big]=\ii[d',d'']=0.$$
Par adjonction, nous obtenons $[\Delta',\Lambda]=0$.\square

\subsection \Smark6.C. \'El\'ements primitifs et isomorphisme de Lefschetz|

Pour \'etablir le th\'eor\`eme de Lefschetz, il est commode d'utiliser
la repr\'e\-sen\-ta\-tion de $\eusl(2,\bC)$ exhib\'ee au Cor.~6.11.
Rappelons d'abord que si $\eug$ est une sous-alg\`ebre de Lie (r\'eelle ou
complexe) de l'alg\`ebre de Lie $\eusl(r,\bC)=\End(\bC^r)$ des matrices
complexes et si \hbox{$G=\exp(\eug)\subset\GL(r,\bC)$} est le groupe de Lie
associ\'e, une repr\'esentation \hbox{$\rho:\eug\to\End(V)$} de l'alg\`ebre
de Lie dans un espace vectoriel complexe $V$ induit par exponentiation
une repr\'esentation $\wt\rho:G\to\GL(V)$ du groupe~$G$. Inversement,
une repr\'esentation $\wt\rho:G\to\GL(V)$ induit par diff\'erentiation
une repr\'esentation $\rho:\eug\to\End(V)$ de l'alg\`ebre de Lie; il y a
donc identit\'e entre les deux notions. Si $G$ est compact, un lemme
classique de H.~Weyl montre que toute repr\'esentation de $\eug$ se
scinde en somme directe de repr\'esentations irr\'eductibles (on dit
alors que $\eug$ est {\sl r\'eductive})$\,$: la mesure de Haar de $G$ permet
\index{63}{RED}{R\'eductive, alg\`ebre de Lie}%
en effet de construire une m\'etrique hermitienne invariante sur~$V$,
et on exploite le fait que l'orthogonal d'une sous-repr\'esentation est
une sous-repr\'esentation. En particulier l'alg\`ebre de Lie
$\eusu(r)$ du groupe compact $\SU(r)$ est r\'eductive. Il en
est de m\^eme de $\eusl(r,\bC)$ qui est la complexifi\'ee de
$\eusu(r)$. Nous aurons besoin du lemme suivant bien connu en
th\'eorie des repr\'esentations.

\state 6.19. Lemme|Soit $\rho:\eusl(2,\bC)\to\End(V)$ une
repr\'esentation de l'alg\`ebre de Lie $\eusl(2,\bC)$ sur un espace
vectoriel complexe de dimension finie~$V$, et soient
$$L=\rho(\ell),~\Lambda=\rho(\lambda),~B=\rho(b)\in\End(V)$$
les endomorphismes de $V$ associ\'es aux \'el\'ements de base de
$\eusl(2,\bC)$. Alors$\,:$
\smallskip
\item{\rm a)} $V=\bigoplus_{\mu\in\bZ}V_\mu$ est somme directe
$($finie$)$ des espaces propres de~$B$, dont les valeurs propres $\mu$
sont des entiers. Un \'el\'ement $v\in V_\mu$ est dit \'el\'ement de poids
\index{64}{POI}{Poids d'un \'el\'ement}%
pur~$\mu$.
\smallskip
\item{\rm b)} $L$ et $\Lambda$ sont nilpotents, tels que
$L(V_\mu)\subset V_{\mu+2}$, $\Lambda(V_\mu)\subset V_{\mu-2}$
pour tout $\mu\in\bZ$.
\smallskip
\item{\rm c)} On note $P=\Ker\Lambda=\{v\in V\,;\,\Lambda v=0\}$, qui est
appel\'e ensemble des \'el\'ements primitifs. On a alors une d\'ecomposition
en somme directe
$$V=\bigoplus_{r\in\bN}L^r(P).$$
\smallskip
\item{\rm d)} $V$ est isomorphe \`a une somme directe finie
$\bigoplus_{m\in\bN}S(m)^{\oplus\alpha_m}$ de repr\'esentations
irr\'e\-duc\-tibles, o\`u $S(m)\simeq S^m(\bC^2)$ est la repr\'esentation
de $\eusl(2,\bC)$ induite par la puissance sym\'etrique $m$-i\`eme de
la repr\'esentation naturelle de $\SL(2,\bC)$ sur~$\bC^2$, et
$\alpha_m=\dim P_m$ est la multiplicit\'e de la composante isotypique~$S(m)$.
\smallskip
\item{\rm e)} Si $P_\mu=P\cap V_\mu$, alors $P_\mu=0$ pour $\mu>0$ et
$P=\bigoplus_{\mu\in\bZ,\,\mu\le 0}P_\mu$. L'endomorphisme
$L^r:P_{-m}\to V_{m+2r}$ est injectif pour $r\le m$ et nul pour $r>m$.
\smallskip
\item{\rm f)} $\disp
V_\mu=\bigoplus_{r\in\bN,\,r\ge\mu}L^r(P_{\mu-2r}),\qquad
\hbox{o\`u}\qquad L^r:P_{\mu-2r}\to L^r(P_{\mu-2r})$ est bijectif.
\smallskip
\item{\rm g)} Pour tout $r\in\bN$, l'endomorphisme $L^r:V_{-r}\to V_r$ est
bijectif.
\endstate

\preuve. On fait d'abord l'observation suivante: si $v\in V_\mu$, alors
$Lv$ est de poids pur $\mu+2$ et $\Lambda v$ de poids pur $\mu-2$. En effet,
on a 
$$\eqalign{
BLv&=LBv+[B,L]v=L(\mu v)+2Lv=(\mu+2)Lv,\cr
B\Lambda v&=\Lambda Bv+[B,\Lambda]v=\Lambda(\mu v)-2\Lambda v=(\mu-2)\Lambda v.
\cr}$$
Supposons maintenant $V\ne 0$ et soit $v\in V_\mu$ un vecteur propre
non nul. Si les vecteurs $(\Lambda^kv)_{k\in\bN}$ \'etaient tous non
nuls, on aurait une infinit\'e de vecteurs propres de $B$ de valeurs
propres $\mu-2k$ distinctes, ce qui est impossible. Donc il existe un
entier $r\ge 0$ tel que $\Lambda^rv\ne 0$ et $\Lambda^kv=0$ pour $k>r$,
par suite $\Lambda^rv$ est un \'el\'ement primitif non nul de poids pur
$\mu'=\mu-2r$. Soit maintenant $w\in P$ un \'el\'ement non nul
de poids pur~$\mu$ (on vient de voir qu'il en existe pour au moins
un~$\mu\in\bC$). Le m\^eme raisonnement que ci-dessus appliqu\'e aux
puissances $L^kw$ montre qu'il existe un entier $m>0$ tel que $L^mw\ne 0$
et $L^{m+1}w=0$. L'espace vectoriel $W$ de dimension $m+1$ engendr\'e par
$w_k=L^kw$, $0\le k\le m$ est stable par l'action de $\eusl(2,\bC)$. On
a en effet $Bw_k=(\mu+2k)w_k$, $Lw_k=w_{k+1}$ par d\'efinition, tandis que
$$\eqalign{
\Lambda w_k=\Lambda L^kw&=L^k\Lambda w-\sum_{0\le j\le k-1}
L^{k-j-1}[L,\Lambda] L^jw\cr
&=0-\sum L^{k-j-1}BL^jw=-\sum_{0\le j\le k-1}(\mu+2j)L^{k-1}w\cr
&=k(-\mu-k+1)w_{k-1}.\cr}$$
En appliquant cette relation \`a l'indice $k=m+1$ pour lequel $w_{m+1}=0$, on
voit qu'on doit avoir n\'ecessairement $\mu=-m\le0$.
On remarque que $B_{\restr W}$ est diagonalisable (les vecteurs propres
\'etant les vecteurs $w_k$, de poids entiers $2k-m$), et que les
\'el\'ements primitifs de $W$ se r\'eduisent \`a la droite $\bC w$, telle que
$W=\bigoplus L^r(\bC w)$. Les propri\'et\'es (a,b,c,d) annonc\'ees
s'obtiennent alors facilement par r\'ecurrence sur~$\dim V$.
En consid\'erant la repr\'esentation quotient $V/W$ on voit en effet
aussit\^ot par r\'ecurrence que les valeurs propres de $B$ sont des entiers
et que $L$,~$\Lambda$ sont nilpotents. Il est facile de v\'erifier que
$W\simeq S^m(\bC^2)$ comme repr\'esentation de $\SL(2,\bC)$
(si $e_1,\,e_2$ sont les deux vecteurs de base de $\bC^2$, l'isomorphisme
envoie $w=w_0$ sur $e_1^m$ et $w_k$ sur $L^ke_1^m=
m(m-1)\cdots(m-k+1)e_1^ke_2^{m-k}$). Le fait qu'on
ait une somme directe de repr\'esentations $V=V'\oplus W$
(avec $V'=W^\perp\subset V$ pour une certaine m\'etrique
$\SU(2,\bC)$-invariante) entra\^{\i}ne par r\'ecurrence sur~$\dim V$ que
$B$ est diagonalisable, ainsi que la formule $V=\bigoplus L^r(P)$ et
la d\'ecomposition~d).
\smallskip
\noindent e) La relation $[B,\Lambda]=-2\Lambda$ montre que $P=\Ker\Lambda$
est stable par~$B$, par suite
$$P=\bigoplus(P\cap V_\mu)=\bigoplus P_\mu.$$
Les calculs faits plus haut montrent que les \'el\'ements primitifs purs
non nuls $w$ sont de poids $-m\le 0$, de sorte que $P_\mu=0$ si $\mu>0$.
La derni\`ere assertion de e) r\'esulte du fait que pour $0\ne w\in P_{-m}$
on a $L^rw\ne 0$ si et seulement si $r\le m$.
\smallskip
\noindent f) Cons\'equence imm\'ediate de e) et de la d\'ecomposition
$V=\bigoplus_{r\in\bN}L^r(P)$, si l'on se restreint aux
seuls \'el\'ements de poids pur~$\mu\,$; on ne peut avoir
$L^r(P_{\mu-2r})\ne 0$ que si $r\le m=-(\mu-2r)$, soit $r\ge\mu$.
\smallskip
\noindent g) Il suffit de v\'erifier l'assertion dans le cas d'une
repr\'esentation irr\'eductible $V\simeq S^m(\bC^2)$. Dans ce cas,
le r\'esultat est clair, puisque les poids $2k-m$, $0\le k\le m$, se
r\'epartissent sym\'etriquement dans l'intervalle $[-m,m]$ et que $V$
est engendr\'e par $(L^kw)_{0\le k\le m}$ pour tout vecteur non nul
$w$ de~$V_{-m}$.\square

Nous retraduisons maintenant ces r\'esultats dans le cas de la
repr\'esentation de $\eusl(2,\bC)$ sur $V=\Lambda^{\bu,\bu}T^\star_X$. La
composante $\Lambda^k(\bC\otimes T_X)^\star=\bigoplus_{p+q=k}
\Lambda^{p,q}T^\star_X$ s'identifie alors \`a l'espace propre $V_\mu$ de
$B$ de poids $\mu=k-n=p+q-n$ (par d\'efinition m\^eme de $B$, voir (6.9)).

\state 6.20. D\'efinition|Une forme homog\`ene $u\in\Lambda^k
(\bC\otimes T_X)^\star$ est appel\'ee {\sl primitive} si $\Lambda u=0$.
\index{65}{PRI}{\hri forme primitive}%
L'espace des formes primitives de degr\'e total $k$ sera not\'e
$$\Prim^kT^\star_X=\bigoplus_{p+q=k}\Prim^{p,q}T^\star_X.$$
\endstate

Puisque l'op\'erateur $\Lambda$ commute avec l'action de $\U(T_X)\simeq \U(n)$
sur l'alg\`ebre ext\'erieure, il est clair que $\Prim^{p,q}T^\star_X\subset
\Lambda^{p,q}T^\star_X$ est un sous-espace $\U(n)$-invariant. On verra plus
loin (prop.~6.24) que $\Prim^{p,q}T^\star_X$ est en fait une repr\'esentation
irr\'eductible de~$\U(n)$. Les propri\'et\'es (6.19~e,$\,$f,$\,$g)
impliquent successivement

\state 6.21. Proposition|On a $\Prim^kT^\star_X=0$ pour $k>n$. De plus,
si $u\in\Prim^kT^\star_X$, $k\le n$, alors $L^ru=0$ pour $r>n-k$.
\endstate

\state 6.22. Formule de d\'ecomposition primitive|Pour tout
$u\in\Lambda^k(\bC\otimes T_X)^\star$, il existe une d\'ecomposition unique
$$u=\sum_{r\ge (k-n)_+} L^ru_{k-2r},~~~~u_{k-2r}\in\Prim^{k-2r}T^\star_X.$$
Par cons\'equent, on obtient une d\'ecomposition
\index{66}{DEC}{D\'ecomposition primitive}%
\index{204}{PRI}{\hri d\'ecomposition primitive}%
en somme directe de repr\'esentations de $\U(n)$
$$\eqalign{
&\Lambda^k(\bC\otimes T_X)^\star=\bigoplus_{r\ge (k-n)_+}
L^r\Prim^{k-2r}T^\star_X,\cr
&\Lambda^{p,q}T_X^\star=\bigoplus_{r\ge(p+q-n)_+}
L^r\Prim^{p-r,q-r}T^\star_X.\cr}$$
\endstate

\state 6.23. Isomorphisme de Lefschetz|Les op\'erateurs lin\'eaires
$$\eqalign{
L^{n-k}:\Lambda^k (\bC\otimes T_X)^\star
&\lra\Lambda^{2n-k}(\bC\otimes T_X)^\star,\cr
L^{n-p-q}:\Lambda^{p,q}T^\star_X&\lra\Lambda^{n-q,n-p}T^\star_X,\cr}$$
sont des isomorphismes pour tous les entiers $k\le n$ et $(p,q)$ tels que
$p+q\le n$.
\endstate

\state 6.24. Proposition|Pour tout $(p,q)\in\bN^2$ tel que $p+q\le n$,
$\Prim^{p,q}T^\star_X$ est une repr\'esentation irr\'eductible de $\U(n)\,;$
plus pr\'ecis\'ement, c'est la repr\'esentation irr\'eductible associ\'ee
au plus haut poids $\varepsilon_1+\cdots+\varepsilon_q-
(\varepsilon_{n-p+1}+\cdots+\varepsilon_n)$,
o\`u $(\varepsilon_j)$ est la base canonique des caract\`eres du sous-groupe
commutatif maximal $U(1)^n\subset \U(n)$. La d\'ecomposition pri\-mi\-tive
de $\Lambda^{p,q}T^\star_X$ ou de $\Lambda^k(\bC\otimes T_X)^\star$ n'est
autre que la d\'ecomposition en composantes irr\'eductibles sous l'action
de~$\U(n)$.
\endstate

\preuve. On observe d'abord que $\Prim^{p,q}T^\star_X\ne 0$,
puisqu'on a par exemple
$$dz_1\wedge\cdots\wedge dz_p\wedge d\ol z_{p+1}\wedge\cdots\wedge
d\ol z_{p+q}\in\Prim^{p,q}T^\star_X$$
La d\'ecomposition primitive donne par ailleurs
$$\Lambda^{p,q}T_X^\star=\bigoplus_{0\le r\le m}L^r\Prim^{p-r,q-r}T^\star_X$$
avec $m=\min(p,q)$, ce qui montre que le $\U(n)$-module
$\Lambda^{p,q}T_X^\star$ poss\`ede au moins $m+1$ composantes
irr\'eductibles non triviales, \`a savoir celles de chacun des termes
$\Prim^{p-r,q-r}T^\star_X$, $0\le r\le m$. Pour voir que ceux-ci sont
irr\'eductibles, il suffit donc de montrer que le $\U(n)$-module
$\Lambda^{p,q}T_X^\star$ poss\`ede au plus $(m+1)$ composantes
irr\'eductibles. Or, par complexification de la repr\'esentation de $\U(n)$,
on obtient une repr\'esentation isomorphe \`a celle de $\GL(n,\bC)$ sur
$\Lambda^pT^\star_X\otimes\Lambda^q T_X$ donn\'ee par
$g\cdot (u\otimes\xi)=(g^{-1})^\star u\otimes g_\star\xi$. La th\'eorie des
repr\'esentations du groupe lin\'eaire montre que les composantes
irr\'eductibles d'une repr\'esentation sont en correspondance biunivoque
avec les vecteurs propres pour l'action du sous-groupe de Borel $B_n$ des
matrices triangulaires sup\'erieures. Un calcul laiss\'e au lecteur
montre que ces vecteurs propres correspondent pr\'ecis\'ement aux
$(p,q)$-formes
$$L^r(dz_{n-p+r+1}\wedge\cdots\wedge dz_n\wedge d\ol z_1\wedge\cdots
\wedge d\ol z_{q-r}),\qquad 0\le r\le m,$$
dont le poids sous l'action de $U(1)^n$ est
$\varepsilon_1+\cdots+\varepsilon_{q-r}-(\varepsilon_{n-p+r+1}+\cdots+
\varepsilon_n)$.\square

\section \Smark7. Groupes $\hbox{\twelveCalbf H}^{p,q}(X,E)$ et dualit\'e
de Serre|
\sectionrunning \Smark7. Groupes $\hbox{\eightCal H}^{\lowercase{p,q}}
(X,E)$ et dualit\'e de Serre|

Nous arrivons maintenant aux aspects sp\'ecifiquement holomorphes de la
th\'eorie de Hodge. Une grande partie de cette th\'eorie a \'et\'e
developp\'ee par K.~Kodaira, S.~Lefschetz et A.~Weil. Le lecteur pourra
consulter avec profit les {\OE}uvres Compl\`etes de Kodaira [Kod75] et le livre
de A.~Weil [Wei57]$\,$; voir aussi [Wel80] pour un expos\'e plus r\'ecent.

Soit $(X,\omega)$ une vari\'et\'e {\sl hermitienne compacte} et $E$ un
fibr\'e vectoriel holomorphe hermitien de rang $r$ sur~$X$. Nous noterons
$D_E$ la connexion de Chern de $E$, $D_E^\star=-\star D_E\,\star$ l'adjoint
formel de~$D_E$, et $D^{\prime\star}_E\,,~D^{\prime\prime\star}_E$ les
composantes de $D_E^\star$ de type $(-1,0)$ et $(0,-1)$. Un calcul similaire
\`a ceux faits en 4.14 montre que
$$\sigma_{D''_E}(x,\xi)\cdot s=\xi^{0,1}\wedge s,
\qquad\xi\in{}^\bR T^\star_X=\Hom_\bR(T_X,\bR),\quad s\in E_x,$$
o\`u $\xi^{(0,1)}$ est la partie de type $(0,1)$ de la $1$-forme
r\'eelle~$\xi$. Par cons\'equent, nous voyons que la partie principale de
l'op\'erateur $\Delta''_E=D_E''D^{\prime\prime\star}_E+
D^{\prime\prime\star}_ED_E''$ est
$$\sigma_{\Delta''_E}(x,\xi)\cdot s=-|\xi^{0,1}|^2 s=-{1\over 2}|\xi|^2 s,$$
et on a bien s\^ur un r\'esultat semblable pour $\Delta'_E$. En particulier
$\sigma_{\Delta'_E}=\sigma_{\Delta''_E}={1\over 2}\sigma_{\Delta_E}$
et $\Delta''_E$ est un op\'erateur elliptique auto-adjoint sur 
chacun des espaces $C^\infty(X,\Lambda^{p,q}T^\star_X\otimes E)$. Puisque
$D^{\prime\prime 2}_E=0$, le r\'esultat suivant se d\'emontre de la m\^eme
fa\c con que ceux obtenus au \S$\,$4.C.

\state 7.1. Th\'eor\`eme|Pour tout bidegr\'e $(p,q)$, il existe une
d\'ecomposition orthogonale
$$C^\infty(X,\Lambda^{p,q}T^\star_X\otimes E)=\cH^{p,q}(X,E)\oplus\Im D''_E
\oplus\Im D^{\prime\prime\star}_E$$
o\`u $\cH^{p,q}(X,E)$ est l'espace des formes $\Delta''_E$-harmoniques de
$C^\infty(X,\Lambda^{p,q}T^\star_X\otimes E)$.
\endstate

La d\'ecomposition ci-dessus montre que le sous-espace des $q$-cocycles du
complexe $\big(C^\infty(X,\Lambda^{p,\bu}T^\star_X\otimes E),d''\big)$ est
$\cH^{p,q}(X,E)\oplus\Im D''_E$. De l\`a, nous d\'eduisons le

\state 7.2. Th\'eor\`eme d'isomorphisme de Hodge|Les groupes de
cohomologie de Dolbeault $H^{p,q}(X,E)$ sont de dimension finie, et il
y a un isomorphisme
$$H^{p,q}(X,E)\simeq\cH^{p,q}(X,E).\eqno\square$$
\index{67}{ISO}{Isomorphisme de Hodge}%
\index{68}{HOD}{\hri isomorphisme de Hodge}%
\endstate

Une autre cons\'equence int\'eressante est une preuve du th\'eor\`eme de
dualit\'e de Serre pour les vari\'et\'es complexes compactes. Voir Serre
[Ser55] pour une d\'emonstration dans un contexte quelque peu plus
g\'en\'eral.

\state 7.3. Th\'eor\`eme de dualit\'e de Serre|L'accouplement bilin\'eaire
\index{69}{DUA}{Dualit\'e de Serre}%
\index{70}{SER}{Serre, dualit\'e de}%
$$H^{p,q}(X,E)\times H^{n-p,n-q}(X,E^\star)\lra\bC,\qquad
(s,t)\longmapsto\int_M s\wedge t$$
est une dualit\'e non d\'eg\'en\'er\'ee.
\endstate

\preuve. Soient $s_1\in C^\infty(X,\Lambda^{p,q}T^\star_X\otimes E)$,
$s_2\in C^\infty(X,\Lambda^{n-p,n-q-1}T^\star_X\otimes E)$.
Puisque $s_1\wedge s_2$ est de bidegr\'e $(n,n-1)$, nous avons
$$d(s_1\wedge s_2)=d''(s_1\wedge s_2)=d''s_1\wedge s_2+(-1)^{p+q} s_1
\wedge d''s_2.\leqno(7.4)$$
La formule de Stokes implique que l'accouplement bilin\'eaire ci-dessus
peut \^etre factoris\'e au travers des groupes de cohomologie de Dolbeault.
L'op\'erateur $\#$ d\'efini au \S$\,$4.A est tel que
$$\#:C^\infty(X,\Lambda^{p,q}T^\star_X\otimes E)\lra C^\infty(X,
\Lambda^{n-p,n-q}T^\star_X\otimes E^\star).$$
De plus, (4.20) implique
$$\eqalign{
&D''_{E^\star}(\#\,s)=(-1)^{\deg s}\#\,(D''_E)^\star s,\qquad
(D''_{E^\star})^\star(\#\,s)=(-1)^{\deg s+1}\#\,D^{\prime\prime\star}_Es,\cr
&\Delta''_{E^\star}(\#\,s)=\#\,\Delta''_Es,\cr}$$
o\`u $D_{E^\star}$ est la connexion de Chern de $E^\star$. Par cons\'equent, 
$s\in\cH^{p,q}(X,E)$ si et seulement si
$\#\,s\in\cH^{n-p,n-q}(X,E^\star)$. Le th\'eor\`eme~7.3
est alors une cons\'equence du fait que l'int\'egrale
$\|s\|^2=\int_X s\wedge\#\,s$ ne s'annule pas si $s\ne 0$.\square

\section \Smark8. Cohomologie des vari\'et\'es k\"ahl\'eriennes compactes|
\medskip

\subsection \Smark8.A. Groupes de cohomologie de Bott-Chern|

Soit $X$ une vari\'et\'e complexe, non n\'ecessairement compacte pour le
moment. Les ``groupes de cohomologie'' suivants sont utiles pour d\'ecrire
certains aspects de la th\'eorie de Hodge des vari\'et\'es complexes
compactes qui ne sont pas n\'ecessairement k\"ahl\'eriennes.

\state 8.1. D\'efinition|On d\'efinit les groupes de cohomologie de
Bott-Chern de $X$ comme \'etant les groupes
\index{71}{BOT}{Bott-Chern, groupes de cohomologie de}%
$$H_\BC^{p,q}(X,\bC)=\big(C^\infty(X,\Lambda^{p,q}T^\star_X)\cap\Ker d\big)/
d'd''C^\infty(X,\Lambda^{p-1,q-1}T^\star_X).$$
Alors $H_\BC^{\bu,\bu}(X,\bC)$ a une structure d'alg\`ebre bigradu\'ee,
que nous appellerons alg\`ebre de cohomologie de Bott-Chern de~$X$.
\endstate

Comme le groupe $d'd''C^\infty(X,\Lambda^{p-1,q-1}T^\star_X)$ est contenu
aussi bien dans le groupe des cobords
\hbox{$d''C^\infty(X,\Lambda^{p,q-1}T^\star_X)$} du complexe de Dolbeault
que des cobords du complexe de De Rham
\hbox{$dC^\infty(X,\Lambda^{p+q-1}(\bC\otimes T_X)^\star)$},
il y a des morphismes canoniques
$$\leqalignno{
&H_\BC^{p,q}(X,\bC)\lra H^{p,q}(X,\bC),&(8.2)\cr
&H_\BC^{p,q}(X,\bC)\lra H^{p+q}_\DR(X,\bC),&(8.3)\cr}$$
de la cohomologie de Bott-Chern dans la cohomologie de Dolbeault ou de
De Rham. Ces morphismes sont des homomorphismes de $\bC$-alg\`ebres. 
Il est \'egalement clair \`a partir de la d\'efinition que nous avons la
propri\'et\'e de sym\'etrie $H_\BC^{q,p}(X,\bC)=\ol{H_\BC^{p,q}(X,\bC)}$.
On peut montrer \`a partir de la suite spectrale de Hodge-Fr\"olicher 
(voir \S$\,$10) que $H_\BC^{p,q}(X,\bC)$ est toujours de dimension
finie si $X$ est compacte.
\medskip

\subsection \Smark8.B. Th\'eor\`eme de d\'ecomposition de Hodge|

On suppose \`a partir de maintenant que $(X,\omega)$ est une
{\sl vari\'et\'e k\"ahl\'erienne compacte}. L'\'egalit\'e $\Delta=2\Delta''$
montre que $\Delta$ est homog\`ene par rapport au bidegr\'e et qu'il y a
une d\'ecomposition orthogonale
$$\cH^k(X,\bC)=\bigoplus_{p+q=k}\cH^{p,q}(X,\bC).\leqno(8.4)$$
Comme $\ol{\Delta''}=\Delta'=\Delta''$, on a \'egalement $\cH^{q,p}(X,\bC)=
\ol{\cH^{p,q}(X,\bC)}$. En utilisant le th\'eor\`eme d'isomorphisme de
Hodge pour la cohomologie de De Rham et la cohomologie de Dolbeault,
on obtient$\,$:

\state 8.5. Th\'eor\`eme de D\'ecomposition de Hodge|Sur une vari\'et\'e
k\"ahl\'erienne compacte, il y a des isomorphismes cano\-niques
\index{72}{DEC}{D\'ecomposition de Hodge}%
\index{73}{HOD}{\hri d\'ecomposition de Hodge}%
$$\matrix{\disp
H^k_\DR(X,\bC)\simeq\bigoplus_{p+q=k}H^{p,q}(X,\bC)\hfill&\quad
\hbox{$($d\'ecomposition de Hodge$)$},\hfill\cr
H^{q,p}(X,\bC)\simeq\ol{H^{p,q}(X,\bC)}\hfill&\quad
\hbox{$($sym\'etrie de Hodge$)$}.\hfill\cr}$$
\index{74}{SYM}{Sym\'etrie de Hodge}%
\endstate

Le seul point qui n'est pas a priori compl\`etement clair est que ces
isomorphismes soient ind\'ependants de la m\'etrique k\"ahl\'erienne choisie.
Pour montrer que c'est bien le cas, on peut utiliser le lemme suivant, qui
va nous permettre de comparer les trois types de groupes de cohomologie
consid\'er\'es au~\S$\,$8.A.

\state 8.6. Lemme|Soit $u$ une $(p,q)$-forme $d$-ferm\'ee. Les
propri\'et\'es suivantes sont \'equivalentes$\,$:
\smallskip
\item{\rm a)} $u$ est $d$-exacte$\,;$
\smallskip
\item{${\rm b}')$} $u$ est $d'$-exacte$\,;$
\smallskip
\item{${\rm b}'')$} $u$ est $d''$-exacte$\,;$
\smallskip
\item{\rm c)} $u$ est $d'd''$-exacte, i.e.\
$u$ peut s'\'ecrire $u=d'd''v$.
\smallskip
\item{\rm d)} $u$ est orthogonale \`a
$\cH^{p,q}(X,\bC)$.
\endstate

\preuve. Il est \'evident que $c)$ implique a), ${\rm b')}$, ${\rm b'')}$,
et que a) ou ${\rm b')}$ ou ${\rm b'')}$ implique $d)$. Il suffit donc
de prouver que d) implique~c). Comme $du=0$, nous avons $d'u=d''u=0$, et 
comme $u$ est suppos\'ee orthogonale \`a $\cH^{p,q}(X,\bC)$, le
th.~7.1 implique $u=d''s$, $s\in C^\infty(X,\Lambda^{p,q-1}T^\star_X)$. Le
th\'eor\`eme analogue au th.~7.1 pour $d'$ (qui s'en d\'eduit d'ailleurs
par conjugaison) montre qu'on a $s=h+d'v+d^{\prime\star}w$, avec
$h\in\cH^{p,q-1}(X,\bC)$, $v\in C^\infty(X,\Lambda^{p-1,q-1}T^\star_X)$ et 
$w\in C^\infty(X,\Lambda^{p+1,q-1}T^\star_X)$. Par cons\'equent 
$$u=d''d'v+d''d^{\prime\star}w=-d'd''v-d^{\prime\star}d''w$$
gr\^ace au lemme~6.16. Comme $d'u=0$, la composante $d^{\prime\star}d''w$
orthogonale \`a $\Ker d'$ doit \^etre nulle.\square

Du lemme~8.6 nous d\'eduisons le corollaire suivant, qui \`a son tour
implique que la d\'ecomposition de Hodge ne d\'epend pas de la m\'etrique
k\"ahl\'erienne choisie.

\state 8.7. Corollaire|Soit $X$ une vari\'et\'e k\"ahl\'erienne compacte.
Alors les morphismes naturels
$$H^{p,q}_\BC(X,\bC)\lra H^{p,q}(X,\bC),\qquad
\bigoplus_{p+q=k}H^{p,q}_\BC(X,\bC)\lra H^k_\DR(X,\bC)$$
sont des isomorphismes.
\endstate

\preuve. La surjectivit\'e de $H^{p,q}_\BC(X,\bC)\to H^{p,q}(X,\bC)$
vient du fait que toute classe de $H^{p,q}(X,\bC)$ peut \^etre
repr\'esent\'ee par une $(p,q)$-forme harmonique, donc par une $(p,q)$-forme
$d$-ferm\'ee; la propri\'et\'e d'injectivit\'e n'est rien d'autre que
l'\'equivalence (8.5$\,{\rm b}'')\Leftrightarrow(8.5\,$c). Donc
$H^{p,q}_\BC(X,\bC)\simeq H^{p,q}(X,\bC)\simeq\cH^{p,q}(X,\bC)$, et
l'isomorphisme
$$\bigoplus_{p+q=k}H^{p,q}_\BC(X,\bC)\lra H^k_\DR(X,\bC)$$
se d\'eduit de (8.4).\square

Mentionnons maintenant deux cons\'equences simples de la th\'eorie de Hodge.
La premi\`ere concerne le calcul des groupes de cohomologie de Dolbeault de
$\bP^n$. Comme $H^{p,p}(\bP^n,\bC)$ contient la classe non nulle
$\{\omega^p\}$ et comme \hbox{$H^{2p}_\DR(\bP^n,\bC)=\bC$}, la formule
de d\'ecomposition de Hodge implique$\,$:

\state 8.8. Cons\'equence|Les groupes de cohomologie de Dolbeault de
$\bP^n$ sont 
$$H^{p,p}(\bP^n,\bC)=\bC\quad\hbox{pour}~0\le p\le n,\qquad
H^{p,q}(\bP^n,\bC)=0\quad\hbox{pour}~p\ne q.\eqno\square$$
\endstate

\state 8.9. Proposition|Toute $p$-forme holomorphe sur une
vari\'et\'e k\"ahl\'erienne compacte $X$ est $d$-ferm\'ee.
\endstate

\preuve. Si $u$ est une forme holomorphe de type $(p,0)$ alors
$d''u=0$. De plus $d^{\prime\prime\star}u$ est de type $(p,-1)$, donc
$d^{\prime\prime\star}u=0$. Par cons\'equent $\Delta u=2\Delta''u=0$,
ce qui implique $du=0$.\square

\state 8.10. Exemple|\rm Consid\'erons le {\sl groupe de Heisenberg}
\index{75}{HEI}{Heisenberg, groupe de}%
$G\subset{\rm Gl}_3(\bC)$, d\'efini comme le sous-groupe des matrices
$$M=\pmatrix{
1~~&\hfill x~~&\hfill z\hfill\cr
0~~&\hfill 1~~&\hfill y\hfill\cr
0~~&\hfill 0~~&\hfill 1\hfill\cr}\quad,\quad (x,y,z)\in\bC^3.$$
Soit $\Gamma$ le sous-groupe discret des matrices ayant leurs coefficients
$x,y,z$ dans l'anneau $\bZ[\ii]$ (ou plus g\'en\'eralement dans un anneau
d'entiers quadratiques imaginaires). Alors $X=G/\Gamma$ est une vari\'et\'e
complexe compacte de dimension~$3$, connue sous le nom de {\sl vari\'et\'e
\index{76}{IWA}{Iwasawa, vari\'et\'e d'}%
\index{77}{VAR}{Vari\'et\'e d'Iwasawa}%
d'Iwasawa}. L'\'egalit\'e
$$M^{-1}dM=\pmatrix{0&dx&dz-xdy\cr 0&0&dy\cr 0&0&0\cr}$$
montre que $dx$, $dy$, $dz-xdy$ sont des $1$-formes holomorphes invariantes
\`a gauche sur~$G$. Ces formes induisent des $1$-formes holomorphes sur le
quotient $X=G/\Gamma$. Puisque $dz-xdy$ n'est pas $d$-ferm\'ee, on voit que
$X$ ne peut pas \^etre k\"ahl\'erienne.
\endstate

\state 8.11. Remarque|\rm Nous avons travaill\'e ici avec des
coefficients constants pour simplifier les notations, mais le lecteur
pourra v\'erifier qu'on a des r\'esultats tout \`a fait analogues pour
la cohomologie \`a valeurs dans un syst\`eme local de coefficients~$E$
\index{79}{SYS}{Syst\`eme local de coefficients}%
(fibr\'e hermitien plat), comme au~\S$\,$4.C. Il suffit de remplacer
partout dans les d\'emonstrations l'op\'erateur $d=d'+d''$ par
$D_E=D'_E+D''_E$, et d'observer qu'on a encore
$\Delta'_E=\Delta''_E={1\over 2}\Delta_E$ (preuve identique \`a celle du
Cor.~(6.15)). On en d\'eduit alors l'existence d'isomorphismes
$$H^{p,q}_\BC(X,E)\lra H^{p,q}(X,E),\qquad
\bigoplus_{p+q=k}H^{p,q}_\BC(X,E)\lra H^k_\DR(X,E)$$
et d'une d\'ecomposition canonique
$$H^k_\DR(X,E)=\bigoplus_{p+q=k}H^{p,q}(X,E).$$
Dans ce contexte, la propri\'et\'e de sym\'etrie de Hodge devient
$$\ol{H^{p,q}(X,E)}\simeq H^{q,p}(X,E^\star),$$
via l'op\'erateur antilin\'eaire $\#$ consid\'er\'e aux \S$\,$4 et \S$\,$7.
Ces observations sont utiles pour l'\'etude des variations de structure
de Hodge.
\endstate
\medskip

\subsection \Smark8.C. D\'ecomposition primitive et th\'eor\`eme de
Lefschetz difficile|

Nous introduisons d'abord quelques notations standard. Les {\sl nombres de
Betti} et les {\sl nombres de Hodge} de $X$ sont par d\'efinition
\index{80}{NOM}{Nombres de Betti}%
\index{230}{BET}{\hri nombres de Betti}%
$$b_k=\dim_\bC H^k(X,\bC),~~~~h^{p,q}=\dim_\bC H^{p,q}(X,\bC).
\leqno(8.12)$$
\index{81}{NOM}{Nombres de Hodge}%
\index{231}{HOD}{\hri nombres de Hodge}%
D'apr\`es la d\'ecomposition de Hodge, ces nombres satisfont les relations
$$b_k=\sum_{p+q=k} h^{p,q},~~~~h^{q,p}=h^{p,q}.\leqno(8.13)$$
En cons\'equence, les nombres de Betti $b_{2k+1}$ d'une
vari\'et\'e k\"ahl\'erienne compacte sont pairs. Noter que le th\'eor\`eme
de dualit\'e de Serre donne la relation suppl\'ementaire
\hbox{$h^{p,q}=h^{n-p,n-q}$}, vraie d\`es que $X$ est
compacte. Comme on va le voir, l'existence de la d\'ecomposition
primi\-tive implique beaucoup d'autres propri\'et\'es caract\'eristiques
int\'eressantes de l'alg\`ebre de cohomologie d'une vari\'et\'e
k\"ahl\'erienne compacte.

\state 8.14. Lemme|Si $u=\sum_{r\ge (k-n)_+}L^ru_r$ est la
d\'ecomposition primitive d'une $k$-forme harmonique $u$, alors toutes les
composantes $u_r$ sont harmoniques.
\endstate

\preuve. Comme $[\Delta,L]=0$, on obtient $0=\Delta u=\sum_r L^r\Delta
u_r$, donc $\Delta u_r=0$ d'apr\`es l'unicit\'e de la d\'ecomposition.\square

Notons $\cH^k_\prim(X,\bC)=\bigoplus_{p+q=k}\cH^{p,q}_\prim(X,\bC)$ l'espace
des $k$-formes harmo\-ni\-ques primitives et
soit $h_\prim^{p,q}$ la dimension de la composante de bidegr\'e $(p,q)$.
Le lemme (8.14) donne
$$\leqalignno{
\cH^{p,q}(X,\bC)&=\bigoplus_{r\ge (p+q-n)_+}L^r\cH_\prim^{p-r,q-r}(X,\bC),
&(8.15)\cr
h^{p,q}&=\sum_{r\ge (p+q-n)_+}h_\prim^{p-r,q-r}.&(8.16)\cr}$$
La Formule (8.16) peut se r\'ecrire
$$\cases{\phantom{\Big(}
{\rm if}~~p+q\le n,~~h^{p,q}=h_\prim^{p,q}+h_\prim^{p-1,q-1}+\cdots\cr
\phantom{\Big(}
{\rm if}~~p+q\ge n,~~h^{p,q}=h_\prim^{n-q,n-p}+h_\prim^{n-q-1,n-p-1}+\cdots.
\cr}\leqno(8.16')$$

\state 8.17. Corollaire|Les nombres de Hodge et de Betti satisfont les
in\'egalit\'es suivantes.
\smallskip
\item{\rm a)} Si $k=p+q\le n$,
alors~ $h^{p,q}\ge h^{p-1,q-1},~~b_k\ge b_{k-2}$,
\smallskip
\item{\rm b)} Si $k=p+q\ge n$,
alors~ $h^{p,q}\ge h^{p+1,q+1},~~b_k\ge b_{k+2}$.\square
\endstate

Un autre r\'esultat important de la th\'eorie de Hodge (qui est en fait 
une cons\'equence directe du Cor.~6.23) est le

\state 8.18. Th\'eor\`eme de Lefschetz difficile|Les morphismes
\index{82}{LEF}{Lefschetz, th\'eor\`eme difficile de}%
\index{83}{THE}{Th\'eor\`eme de Lefschetz difficile}%
de cup produit
$$\cmalign{
&L^{n-k}~:~~\hfill H^k(X,\bC)&{}\lra H^{2n-k}(X,\bC),~~~~&k\le n,\cr
&L^{n-p-q}~:~~H^{p,q}(X,\bC)&{}\lra H^{n-q,n-p}(X,\bC),~~~~&p+q\le n,\cr}$$
sont des isomorphismes.\square
\endstate

Une autre mani\`ere d'\'enoncer le th\'eor\`eme de Lefschetz difficile est
d'introduire la {\sl forme bilin\'eaire de Hodge-Riemann} sur
\index{84}{HOD}{\hri forme bilin\'eaire de Hodge-Riemann}%
$H^k_\DR(X,\bC)$, d\'efinie par
$$Q(u,v)=(-1)^{k(k-1)/2}\int_X u\wedge v\wedge\omega^{n-k}.\leqno(8.19)$$
Le th\'eor\`eme de Lefschetz difficile combin\'e avec la dualit\'e de
Poincar\'e nous dit que $Q$ est non d\'eg\'en\'er\'ee. De plus $Q$ est de
parit\'e $(-1)^k$ (sym\'etrique si $k$ est pair, altern\'ee si $k$ est
impair). Lorsque $\omega$ est une {\sl m\'etrique de Hodge}, c'est-\`a-dire
une m\'etrique k\"ahl\'erienne telle que $\{\omega\}\in H^2(X,\bZ)$,
il est clair que $Q$ prend des valeurs enti\`eres sur le r\'eseau
$H^k(X,\bZ)/({\rm torsion})$. La forme bilin\'eaire de Hodge-Riemann
satisfait les propri\'et\'es suppl\'ementaires suivantes$\,$: pour $p+q=k$,
$$\leqalignno{
&Q(H^{p,q},H^{p',q'})=0\qquad\hbox{\rm si $(p',q')\ne(q,p)$},&(8.20')\cr
&\hbox{Si $0\ne u\in H^{p,q}_\prim(X,\bC),\qquad$alors
$\ii^{p-q}Q(u,\ol u)=\|u\|^2>0$.}&(8.20'')\cr}$$
En fait $(8.20')$ est clair, et $(8.20'')$ sera d\'emontr\'e si nous
v\'erifions que toute $(p,q)$-forme primitive $u$ satisfait
$$(-1)^{k(k-1)/2}\ii^{p-q}\omega^{n-k}\wedge\ol u=\star\ol u.$$
Puisque $\Prim^{p,q}T^\star_X$ est une repr\'esentation irr\'eductible
de~$\U(n)$, il suffit de v\'erifier la formule pour une $(p,q)$-forme $u$
bien choisie. On peut prendre par exemple $u=dz_1\wedge\cdots\wedge
dz_p\wedge d\ol z_{p+1}\wedge\cdots\wedge d\ol z_{p+q}$ dans une base
orthonormale pour $\omega$. La v\'erification effective est laiss\'ee
au lecteur \`a titre d'exercice.
\medskip

\subsection \Smark8.D. Description du groupe de Picard|

Un autre application importante de la th\'eorie de Hodge est une description
du {\sl groupe
\index{85}{PIC}{\hri groupe de Picard}%
de Picard} $H^1(X,\cO^\star)$ d'une vari\'et\'e k\"ahl\'erienne
compacte. Nous supposons ici que $X$ est connexe. La
suite exacte exponentielle $0\to\bZ\to\cO\to\cO^\star\to 1$ donne
$$0\lra H^1(X,\bZ)\lra H^1(X,\cO)\lra H^1(X,\cO^\star)
\build\lra|c_1||H^2(X,\bZ)\lra H^2(X,\cO),\leqno(8.21)$$
si l'on tient compte du fait que l'application
$\exp(2\pi i\bu):H^0(X,\cO)=\bC\lra H^0(X,\cO^\star)=
\bC^\star$ est surjective. On a $H^1(X,\cO)\simeq H^{0,1}(X,\bC)$
par l'isomorphisme de Dolbeault. La dimension de ce groupe est appel\'ee
{\sl irr\'egularit\'e
\index{86}{IRR}{Irr\'egularit\'e}%
de $X$} et elle est habituellement not\'ee
$$q=q(X)=h^{0,1}=h^{1,0}.\leqno(8.22)$$
Par cons\'equent nous avons $b_1=2q$ et
$$H^1(X,\cO)\simeq\bC^q,~~~~H^0(X,\Omega^1_X)=H^{1,0}(X,\bC)
\simeq\bC^q.\leqno(8.23)$$

\state 8.24. Lemme|L'image de $H^1(X,\bZ)$ dans $H^1(X,\cO)$ est un
r\'eseau.
\endstate

\preuve. Consid\'erons le morphisme
$$H^1(X,\bZ)\lra H^1(X,\bR)\lra H^1(X,\bC)\lra H^1(X,\cO)$$
induit par les inclusions $\bZ\subset\bR\subset\bC\subset\cO$. Comme
les groupes de cohomologie de \v Cech \`a valeurs dans $\bZ$ ou $\bR$
peuvent se calculer par des recouvrements finis constitu\'es d'ouverts
diff\'eomorphes \`a des ouverts convexes, de m\^eme que toutes leurs
intersections mutuelles, il est clair que $H^1(X,\bZ)$ est un
$\bZ$-module de type fini et que l'image de $H^1(X,\bZ)$ dans
$H^1(X,\bR)$ est un r\'eseau. Il suffit donc de v\'erifier que
l'application $H^1(X,\bR)\lra H^1(X,\cO)$ est un isomorphisme. Or,
le diagramme commutatif
$$\cmalign{
&0&\lra&\bC&\lra&~\cA^0&\build\lra|d||&~\cA^1&\build\lra|d||&~\cA^2
&\lra&\cdots\cr
&&&\big\downarrow&&~\big\downarrow&&~\big\downarrow&&~\big\downarrow&&\cr
&0&\lra&\cO&\lra&\cA^{0,0}&\build\lra| d''||&\cA^{0,1}&\build\lra|d''||&
\cA^{0,2}&\lra&\cdots\cr}$$
montre que l'application $H^1(X,\bR)\lra H^1(X,\cO)$ correspond, pour la
cohomologie de De Rham et de Dolbeault, \`a l'application compos\'ee
$$H^1_{DR}(X,\bR)\subset H^1_{DR}(X,\bC)\lra H^{0,1}(X,\bC).$$
Puisque $H^{1,0}(X,\bC)$ et $H^{0,1}(X,\bC)$ sont des sous-espaces
complexes conjugu\'es dans le complexifi\'e $H^1_{DR}(X,\bC)$ de
$H^1_{DR}(X,\bR)$, nous en d\'eduisons bien que
$H^1_{DR}(X,\bR)\lra H^{0,1}(X,\bC)$
est un isomorphisme.\square

Comme cons\'equence de ce lemme, $H^1(X,\bZ)$ est de rang $2q$, i.e.,
$H^1(X,\bZ)\simeq\bZ^{2q}$. Le tore complexe de dimension $q$
$$\Jac(X)=H^1(X,\cO)/H^1(X,\bZ)\leqno(8.25)$$
est appel\'e {\sl vari\'et\'e
\index{87}{JAC}{Jacobienne}%
\index{88}{VAR}{Vari\'et\'e jacobienne}%
jacobienne de $X$}. Il est isomorphe au
sous-groupe de $H^1(X,\cO^\star)$ correspondant aux fibr\'es en droites
de premi\`ere classe de Chern nulle. D'autre part, le noyau de la fl\`eche
$$H^2(X,\bZ)\lra H^2(X,\cO)=H^{0,2}(X,\bC),$$
qui est constitu\'e par d\'efinition des classes de cohomologie enti\`eres
de type~$(1,1)$, est \'egal \`a l'image du morphisme $c_1(\bu)$ dans
$H^2(X,\bZ)$. Ce sous-groupe est appel\'e {\sl groupe de
\index{89}{GRO}{Groupe de N\'eron-Severi}%
\index{90}{NER}{N\'eron-Severi, groupe de}%
N\'eron-Severi} de~$X$, not\'e $NS(X)\,$; son rang $\rho(X)$ est appel\'e
{\sl nombre de
\index{91}{PIC}{\hri nombre de Picard}%
Picard} de $X$.

La suite exacte (8.21) donne alors
$$0\lra\Jac(X)\lra H^1(X,\cO^\star)\build\lra|c_1||NS(X)\lra 0.
\leqno(8.26)$$
Le groupe de Picard $H^1(X,\cO^\star)$ est donc une extension du tore complexe
$\Jac(X)$ par le $\bZ$-module de type fini $NS(X)$.

\state 8.27. Corollaire|Le groupe de Picard de $\bP^n$ est
$H^1(\bP^n,\cO^\star)\simeq\bZ$ avec $\cO(1)$ comme g\'en\'erateur, i.e.
tout fibr\'e en droites sur $\bP^n$ est isomorphe \`a l'un des fibr\'es
en droites $\cO(k)$, $k\in\bZ$.
\endstate

\preuve. Nous avons $H^k(\bP^n,\cO)=H^{0,k}(\bP^n,\bC)=0$ pour
$k\ge 1$ gr\^ace \`a la cons\'eq.~8.8, donc $\Jac({\bP^n})=0$ et
$NS(\bP^n)=H^2(\bP^n,\bZ)\simeq\bZ$. De plus,
$c_1\big(\cO(1)\big)$ est un g\'en\'erateur de $H^2(\bP^n,\bZ)$.\square

\section \Smark9. Suite spectrale de Hodge-Fr\"olicher|

Soit $X$ une vari\'et\'e complexe quelconque (i.e.\ non
n\'ecessairement compacte) de dimension~$n$. Nous consid\'erons le
complexe double $K^{p,q}=C^\infty(X,\Lambda^{p,q}T^\star_X)$ avec sa
diff\'erentielle totale $d=d'+d''$. La {\sl suite spectrale de
\index{92}{HOD}{\hri suite spectrale de Hodge-Fr\"olicher}%
\index{93}{SUI}{Suite spectrale de Hodge-Fr\"olicher}%
Hodge-Fr\"olicher} (ou {\sl suite spectrale de Hodge vers De Rham}) est
par d\'efinition la suite spectrale associ\'ee \`a ce complexe double.

Rappelons d'abord la machinerie alg\'ebrique des suites spectrales, qui
s'appli\-que \`a un complexe double arbitraire $(K^{p,q},d'+d'')$ de modules
sur un anneau. Nous supposons ici pour simplifier que \hbox{$K^{p,q}=0$}
si $p<0$ ou $q<0$. On associe d'abord \`a $K^{\bu,\bu}$ le complexe total
$(K^\bu,d)$ tel que \hbox{$K^l=\bigoplus_{p+q=l}K^{p,q}$}, muni de la
diff\'erentielle totale $d=d'+d''$. Alors $K^\bu$ admet une filtration
\index{94}{FIL}{Filtration}%
d\'ecroissante form\'ee des sous-complexes $F^pK^\bu$ tels que
$$F^pK^l=\bigoplus_{p\le j\le l}K^{j,l-j}.\leqno(9.1)$$
On obtient une filtration induite sur les groupes de cohomologie 
$H^l(K^\bu)$ du complexe total en posant
$$F^pH^l(K^\bu):=\Im\big(H^l(F^pK^\bu)\to H^l(K^\bu)\big),\leqno(9.2)$$
et on note $G^pH^l(K^\bu)=F^pH^l(K^\bu)/F^{p+1}H^l(K^\bu)$ le module
gradu\'e associ\'e. La th\'eorie des suites spectrales (voir par
exemple [God57]) nous dit qu'il existe une suite de complexes doubles
$E_r^{\bu,\bu}$, $r\ge 1$, munis de diff\'erentielles
\index{95}{SUI}{Suite spectrale}%
$d_r:E_r^{p,q}\to E_r^{p+r,q-r+1}$ de bidegr\'e $(r,-r+1)$,
telle que $E_{r+1}=H^\bu(E_r)$ se calcule par r\'ecurrence comme la
cohomologie du complexe $(E_r^{\bu,\bu},d_r)$, et telle que la limite
$E_\infty^{p,q}=\lim_{r\to+\infty}E_r^{p,q}$ s'identifie avec le module
gradu\'e $G^\bu H^\bu(K^\bu)$, de fa\c con pr\'ecise
$E_\infty^{p,q}=G^pH^{p+q}(K^\bu)$. Les termes $E_1$ sont d\'efinis
comme les groupes de cohomologie du complexe partiel $d'':K^{p,q}\to
K^{p,q+1}$ par rapport \`a la deuxi\`eme diff\'erentielle, c'est-\`a-dire
$$E_1^{p,q}=H^q\big((K^{p,\bu},d'')\big),\leqno(9.4)$$
et la diff\'erentielle $d_1:E_1^{p,q}\to E_1^{p+1,q}$ est induite par la
premi\`ere diff\'erentielle $d'\,:$
$$d':H^q\big((K^{p,\bu},d'')\big)\lra H^q\big((K^{p+1,\bu},d'')\big).
\leqno(9.5)$$
En fait, on a $E_r^{p,q}=0$ sauf si $p,q\ge 0$, et la limite
$E_\infty=\lim E_r$ est stationnaire, plus pr\'ecis\'ement
$$E_r^{p,q}=E_{r+1}^{p,q}=\cdots=E_\infty^{p,q}\qquad
\hbox{lorsque $r\ge\max(p+1,q+2)$,}$$
comme on le voit en consid\'erant les indices en lesquels
$d_r$ peut \^etre non nulle. On dit que la suite spectrale {\sl converge}
vers le gradu\'e du module filtr\'e $H^\bu(K^\bu)$, et on symbolise
habituellement cette situation par la notation
$$E_1^{p,q}\Rightarrow G^pH^{p+q}(K^\bu).$$
Un examen soigneux des termes de petit degr\'e conduit \`a la suite exacte
$$0\lra E^{1,0}_2\lra H^1(K^\bu)\lra E^{0,1}_2\build\lra|d_2||E^{2,0}_2
\lra H^2(K^\bu).\leqno(9.6)$$
On dit que la suite spectrale {\sl d\'eg\'en\`ere}
\index{96}{DEG}{D\'eg\'en\'erescence d'une suite spectrale}%
\index{97}{SUI}{\hri d\'eg\'en\'erescence d'une suite spectrale}%
en $E_{r_0}$ si
$d_r=0$ pour tout $r\ge r_0$ et pour tout bidegr\'e~$(p,q)$. On a alors
bien s\^ur $E_{r_0}^{\bu,\bu}=E_{r_0+1}^{\bu,\bu}=\cdots=E_\infty^{\bu,\bu}$.

Dans le cas de la suite spectrale de Hodge-Fr\"olicher, les termes $E_1$ sont
les groupes de cohomologie de Dolbeault $E^{p,q}_1=H^{p,q}(X,\bC)$,
et la cohomologie du complexe total n'est autre que la cohomologie de
De Rham $H^\bu_\DR(X,\bC)$. On obtient donc une suite spectrale
$$E^{p,q}_1=H^{p,q}(X,\bC)\Rightarrow G^pH^{p+q}_\DR(X,\bC)\leqno(9.7)$$
de la cohomologie de Dolbeault vers la cohomologie de De Rham. La filtration
correspondnate $F^pH^k_\DR(X,\bC)$ des groupes de cohomologie est appel\'ee
{\sl filtration de
\index{119}{FIL}{Filtration de Hodge}%
\index{120}{HOD}{\hri filtration de Hodge}%
Hodge$\,($-Fr\"olicher\/$)$}.

Supposons maintenant $X$ {\sl compacte}. Tous les termes $E^{p,q}_r$
sont alors des espaces vectoriels de dimension finie. Puisque
$E_{r+1}=H^\bu(E_r)$, les dimensions $\dim E_r^{p,q}$ d\'ecroissent (ou
stationnent) avec~$r$, donc $\dim E_\infty^{p,q}\le \dim E_r^{p,q}$, et
l'\'egalit\'e a lieu si et seulement si la suite spectrale
d\'eg\'en\`ere en~$E_r$. En particulier, les nombres de Betti $b_l=\dim
H^l(X,\bC)$ et les nombres de Hodge $h^{p,q}=\dim E_1^{p,q}$
satisfont l'in\'egalit\'e
$$b_l=\sum_{p+q=l}\dim E^{p,q}_\infty\le\sum_{p+q=l}\dim E^{p,q}_1=
\sum_{p+q=l}h^{p,q},\leqno(9.8)$$
et l'\'egalit\'e \'equivaut \`a la d\'eg\'en\'erescence de la suite spectrale
en $E^\bu_1$. Comme cons\'equence, nous avons le

\state 9.9. Th\'eor\`eme|Si $X$ est une vari\'et\'e complexe compacte,
les propri\'et\'es suivantes sont \'equivalentes$\,:$
\index{98}{DEG}{D\'eg\'en\`erescence de la suite spectrale de Hodge}%
\smallskip
\item{\rm a)} La suite spectrale de Hodge-Fr\"olicher d\'eg\'en\`ere en
$E^\bu_1$.
\smallskip
\item{\rm b)} On a l'\'egalit\'e $b_l=\sum_{p+q=l}h^{p,q}$ pour tout~$l$.
\smallskip
\item{\rm c)} Il existe un isomorphisme $G^pH^{p+q}_\DR(X,\bC)
\simeq H^{p,q}(X,\bC)$ pour tous $p,q$.
\smallskip
\noindent Si une de ces conditions est satisfaite, l'isomorphisme {\rm c)}
est d\'efini de mani\`ere canonique.
\endstate

Nous pouvons maintenant retraduire les r\'esultats du \S8.B comme suit.

\state 9.10. Th\'eor\`eme|Si $X$ est une vari\'et\'e k\"ahl\'erienne
compacte, la suite spectrale de Hodge-Fr\"olicher d\'eg\'en\`ere en $E_1$ et
il y a une d\'ecomposition canonique 
$$H^l_\DR(X,\bC)=\bigoplus_{p+q=l}H^{p,q}(X,\bC),\qquad
H^{q,p}(X,\bC)=\ol{H^{p,q}(X,\bC)}.$$
En termes de cette d\'ecomposition, la filtration $F^pH^l_\DR(X,\bC)$ est
donn\'ee par
$$F^pH^l_\DR(X,\bC)=\bigoplus_{j\ge p}H^{j,l-j}(X,\bC).$$
En particulier, la filtration conjugu\'ee $\ol{F^\bu H^l_\DR}$ est oppos\'ee
\`a la filtration $F^\bu H^l_\DR$, i.e., 
$$H^l_\DR(X,\bC)=F^p H^l_\DR(X,\bC)\oplus\ol{F^{l-p+1}H^l_\DR(X,\bC)}.$$
\endstate

\state 9.11. D\'efinition|Si $X$ est une vari\'et\'e complexe compacte,
nous disons que $X$ admet une d\'ecomposition de Hodge si la suite spectrale
\index{99}{DEC}{D\'ecomposition de Hodge}%
\index{100}{HOD}{\hri d\'ecomposition de Hodge}%
de Hodge-Fr\"olicher d\'eg\'en\`ere en $E_1$ et si la filtration conjugu\'ee
$\ol{F^\bu H^l_\DR}$ est oppos\'ee \`a $F^\bu H^l_\DR$, i.e.,
$H^l_\DR=F^pH^l_\DR\oplus\ol{F^{l-p+1}H^l_\DR}$ pour tout~$p$.
\endstate

Si $X$ admet une d\'ecomposition de Hodge au sens de la d\'ef.~9.11 et si
$p+q=l$, on voit imm\'ediatement \`a partir de l'\'egalit\'e
$H^l_\DR=F^{p+1}H^l_\DR\oplus\ol{F^qH^l_\DR}$ que
$$F^pH^l_\DR=F^{p+1}H^l_\DR\oplus(F^pH^l_\DR\cap\ol{F^qH^l_\DR}),$$
donc on obtient un isomorphisme canonique 
$$H^{p,q}(X,\bC)\simeq F^pH^l_\DR/F^{p+1}H^l_\DR\simeq
F^pH^l_\DR\cap\ol{F^qH^l_\DR}\subset H^l_\DR.\leqno(9.12)$$
Nous d\'eduisons de l\`a qu'il y a bien des isomorphismes canoniques
$$H^l_\DR(X,\bC)=\bigoplus_{p+q=l}H^{p,q}(X),\qquad
H^{q,p}(X,\bC)=\ol{H^{p,q}(X,\bC)},$$
comme attendu. Notons que (9.12) fournit une autre d\'emonstration du
fait que la d\'ecompo\-si\-tion de Hodge d'une vari\'et\'e k\"ahl\'erienne
compacte ne d\'epend pas de la m\'etrique k\"ahl\'erienne choisie (tous
les groupes et morphismes mis en jeu dans (9.12) sont intrins\`eques).
En fait, nous avons montr\'e qu'une vari\'et\'e k\"ahl\'erienne compacte
satisfait une propri\'et\'e encore plus forte, qu'il sera commode
d'appeler {\sl d\'ecomposition de Hodge forte}, puisque celle-ci
implique trivialement l'existence d'une d\'ecomposition de Hodge au sens
de la D\'efinition~9.11.

\state 9.13. D\'efinition|Si $X$ est une vari\'et\'e complexe compacte,
nous disons que $X$ admet une d\'ecomposition de Hodge forte si tous
\index{101}{DEC}{D\'ecomposition de Hodge forte}%
les morphismes
$$H^{p,q}_\BC(X,\bC)\to H^{p,q}(X,\bC),\qquad
\bigoplus_{p+q=l}H^{p,q}_\BC(X,\bC)\to H^l_\DR(X,\bC)$$
sont des isomorphismes.
\endstate

\state 9.14. Remarque|\rm Deligne [Del68, 72] a donn\'e un crit\`ere
permettant de v\'erifier la d\'eg\'en\'erescence de la suite spectrale de
Hodge dans un contexte plus alg\'ebrique, incluant le cas de situations
relatives. Plus r\'ecemment, Deligne et Illusie [DeI87] ont donn\'e une
preuve de la d\'eg\'en\'erescence de la suite spectrale de Hodge qui
n'utilise pas les m\'ethodes analytiques (leur id\'ee est de
travailler en caract\'eristique $p$ et de relever le r\'esultat en
caract\'eristique~$0$). Il faut observer que la d\'eg\'en\'erescence de
la suite spectrale de Hodge-Fr\"olicher {\sl n'implique pas automatiquement}
la propri\'et\'e de sym\'etrie de Hodge
$H^{q,p}(X,\bC)\simeq\smash{\ol{H^{p,q}(X,\bC)}}$ ni l'existence
d'une d\'ecomposition canonique des groupes de De Rham. En fait, il n'est
pas difficile de montrer que la suite spectrale de Hodge-Fr\"olicher 
d'une surface complexe compacte d\'eg\'en\`ere toujours en~$E_1$;
cependant, si $X$ n'est pas k\"ahl\'erienne, alors $b_1$ est impair, et on
peut montrer en utilisant le th\'eor\`eme de l'indice de Hirzebruch que
$h^{0,1}=h^{1,0}+1$ et $b_1=2h_{1,0}+1$ (voir [BPV84]). On peut montrer
que l'existence d'une d\'ecomposition de Hodge (resp.\ de Hodge forte)
est pr\'eserv\'ee par des morphismes de contraction (remplacement de $X$
par $X'$, si $\mu:X\to X'$ est une modification); c'est une cons\'equence
facile de l'existence d'un foncteur image directe $\mu_\star$ agissant sur
tous les groupes de cohomologie mis en jeu, tel que
$\mu_\star\mu^\star=\Id\,$; dans le contexte analytique, $\mu_\star$ se
construit ais\'ement en calcu\-lant la cohomologie \`a l'aide des courants,
puisqu'on dispose sur ceux-ci d'un foncteur image directe naturel.
Comme toute vari\'et\'e de Moishezon admet une modification alg\'ebrique
projective, nous en d\'eduisons que les vari\'et\'es de Moishezon admettent
\'egalement une d\'ecomposition de Hodge forte. Il serait int\'eressant
de savoir s'il existe des exemples de vari\'et\'es complexes compactes
poss\'edant une d\'ecomposition de Hodge sans avoir une d\'ecomposition
de Hodge forte (il y a en effet des exemples imm\'ediats de complexes
doubles abstraits ayant cette propri\'et\'e).\square
\endstate

En g\'en\'eral, quand $X$ n'est pas k\"ahl\'erienne, un certain nombre
d'informations int\'eres\-santes peuvent se d\'eduire de la suite spectrale.
Par exemple, (9.6) implique
$$b_1\ge\dim E^{1,0}_2+(\dim E^{0,1}_2-\dim E^{2,0}_2)_+.\leqno(9.15)$$
Par ailleurs, $E^{1,0}_2$ est le groupe de cohomologie d\'efini
par la suite
$$d_1=d':E^{0,0}_1\lra E^{1,0}_1\lra E^{2,0}_1,$$
et comme $E^{0,0}_1$ est l'espace des fonctions holomorphes globales sur $X$,
la premi\`ere fl\`eche $d_1$ est z\'ero (par le principe du maximum, les
fonctions holomorphes sont constantes sur chaque composante connexe de~$X$).
Donc $\dim E^{1,0}_2\ge h^{1,0}-h^{2,0}$. De m\^eme, $E^{0,1}_2$ est
le noyau d'une application $E^{0,1}_1\to E^{1,1}_1$, donc
$\dim E^{0,1}_2\ge h^{0,1}-h^{1,1}$. De (9.15) nous d\'eduisons
$$b_1\ge (h^{1,0}-h^{2,0})_++(h^{0,1}-h^{1,1}-h^{2,0})_+.\leqno(9.16)$$
Une autre relation int\'eressante concerne la caract\'eristique
d'Euler-Poincar\'e topo\-lo\-gique
$$\chi_{{\rm top}}(X)=b_0-b_1+\cdots-b_{2n-1}+b_{2n}.$$
Nous utiliserons le lemme simple suivant.

\state 9.17. Lemme|Soit $(C^\bu,d)$ un complexe born\'e d'espaces
vectoriels de dimension finie sur un corps. Alors, la caract\'eristique
d'Euler
\index{102}{CAR}{Caract\'eristique d'Euler}%
$$\chi(C^\bu)=\sum(-1)^q\dim C^q$$
est \'egale \`a la caract\'eristique d'Euler $\chi\big(H^\bu(C^\bu)\big)$ du
module de cohomologie. 
\endstate

\preuve. Posons
$$c_q=\dim C^q,\quad z_q=\dim Z^q(C^\bu),\quad b_q=\dim B^q(C^\bu),\quad
h_q=\dim H^q(C^\bu).$$
Alors
$$c_q=z_q+b_{q+1},\qquad h_q=z_q-b_q.$$
Par cons\'equent nous trouvons
$$\sum(-1)^q\,c_q=\sum(-1)^q\,z_q-\sum(-1)^q\,b_q=\sum(-1)^q\,h_q.
\eqno{\square}$$

En particulier, si le terme $E^\bu_r$ de la suite spectrale du complexe
filtr\'e $K^\bu$ est un complexe born\'e de dimension finie, on a
$$\chi(E^\bu_r)=\chi(E^\bu_{r+1})=\cdots=\chi(E^\bu_\infty)=
\chi\big(H^\bu(K^\bu)\big)$$
car $E^\bu_{r+1}=H^\bu(E^\bu_r)$ et $\dim E^l_\infty=\dim H^l(K^\bu)$.
Dans la suite spectrale de Hodge-Fr\"olicher on a par ailleurs
$\dim E^l_1=\sum_{p+q=l}h^{p,q}$, donc$\,$:

\state 9.18. Th\'eor\`eme|Pour toute vari\'et\'e complexe compacte $X$,
la caract\'eristique d'Euler topologique peut s'\'ecrire
\index{103}{CAR}{Caract\'eristique d'Euler topologique}%
$$\chi_{{\rm top}}(X)=\sum_{0\le k\le 2n}(-1)^lb_l=\sum_{0\le p,q\le n}
(-1)^{p+q}h^{p,q}.$$
\endstate

Nous allons maintenant r\'einterpr\'eter la suite spectrale de
Hodge-Fr\"olicher en termes de la suite spectrale d'hypercohomologie
associ\'ee au complexe de De Rham holomorphe. Expliquons d'abord
bri\`evement en quoi consiste cette suite spectrale. Etant donn\'e un
complexe born\'e de faisceaux de groupes ab\'eliens $\cA^\bu$ sur un
espace topologique~$X$, les {\sl groupes
\index{104}{HYP}{Hypercohomologie}%
d'hypercohomologie} de $\cA^\bu$ sont d\'efinis comme les groupes
$$\bH^k(X,\cA^\bu):=H^k(\Gamma(X,\cL^\bu)),$$
o\`u $\cL^\bu$ est un complexe de faisceaux acycliques (faisceaux flasques
ou faisceaux de $\cC^\infty$ modules par exemple) choisi de sorte qu'on ait
un quasi-isomorphisme $\cA^\bu\to\cL^\bu$ (morphisme de complexes de
faisceaux induisant un isomorphisme $\cH^k(\cA^\bu)\to \cH^k(\cL^\bu)$ pour
les faisceaux de cohomologie). Il est ais\'e de voir que l'hypercohomologie
ne d\'epend pas \`a isomorphisme pr\`es du complexe de faisceaux acycliques
$\cL^\bu$ choisi. L'hypercohomologie est un foncteur de la cat\'egorie
des complexes de faisceaux de groupes ab\'eliens vers la cat\'egorie des
groupes gradu\'es; par d\'efinition, si $\cA^\bu\to\cB^\bu$ est un
quasi-isomorphisme, alors $\bH^k(X,\cA^\bu)\to\bH^k(X,\cB^\bu)$ est
un isomorphisme; de plus, l'hypercohomologie se r\'eduit \`a la
cohomologie usuelle $H^k(X,\cE)$ du faisceau $\cE$ pour un complexe
$\cA^\bu$ r\'eduit \`a un seul terme $\cA^0=\cE$. Supposons qu'on
ait pour chaque terme $\cA^p$ du complexe $\cA^\bu$ une r\'esolution
$\cA^p\to\cL^{p,\bu}$ par des faisceaux $\cL^{p,q}$ acycliques, donnant lieu
\`a un complexe double de faisceaux $(\cL^{p,q},d'+d'')$. Alors le complexe
total associ\'e $(\cL^{\bu},d)$ est un complexe acyclique quasi-isomorphe
\`a~$\cA^\bu$, et on a donc
$$\bH^k(X,\cA^\bu)=H^k(\Gamma(X,\cL^\bu)).$$
Mais par ailleurs, le complexe double $K^{p,q}=\Gamma(X,\cL^{p,q})$
d\'efinit une suite spectrale telle que
$$E_1^{p,q}=H^q(K^{p,\bu},d'')=H^q(X,\cA^p),$$
convergeant vers le gradu\'e associ\'e \`a la cohomologie du complexe total
$H^k(K^\bu)=\bH^k(X,\cA^\bu)$. On obtient donc une suite
spectrale dite {\sl suite spectrale d'hyper\-co\-ho\-mo\-logie}
$$E_1^{p,q}=H^q(X,\cA^p)\Rightarrow G^p\bH^{p+q}(X,\cA^\bu).\leqno(9.19)$$
La filtration $F^p$ des groupes d'hypercohomologie est obtenue par
d\'efinition en prenant l'image du morphisme
$$\bH^k(X,F^p\cA^\bu)\to \bH^k(X,\cA^\bu),$$
o\`u $F^p\cA^\bu$ d\'esigne le complexe tronqu\'e \`a gauche
$$\cdots\lra 0\lra 0\lra\cA^p\lra\cA^{p+1}\lra\cdots\lra\cA^N\cdots.$$
Consid\'erons maintenant le cas o\`u $X$ est une vari\'et\'e complexe
quelconque et o\`u $\cA^\bu=\Omega^\bu_X$ est le complexe de De Rham
holomorphe (avec la diff\'erentielle ext\'erieure usuelle). Le lemme de
Poincar\'e holomorphe montre que $\Omega^\bu_X$ est une r\'esolution du
faisceau constant $\bC_X$, i.e., on a un quasi-isomorphisme de
complexes de faisceaux $\bC_X\to\Omega_X^\bu$, o\`u $\bC_X$ d\'esigne
le complexe r\'eduit \`a un seul terme en degr\'e~$0$. Par d\'efinition de
l'hypercohomologie on a donc
$$H^k(X,\bC_X)=\bH^k(X,\Omega_X^\bu),\leqno(9.20)$$
et la suite exacte d'hypercohomologie du complexe $\Omega_X^\bu$ fournit
une suite spectrale
$$E_1^{p,q}=H^q(X,\Omega_X^p)\Rightarrow G^pH^{p+q}(X,\bC_X).\leqno(9.21)$$
Or les groupes $\bH^k(X,\Omega_X^\bu)$ peuvent \^etre calcul\'es en
utilisant la r\'esolution de $\Omega_X^\bu$ par le complexe de Dolbeault
$\cL^{p,q}=\cC^\infty(\Lambda^{p,q}T_X^\star)$ (ces faisceaux sont bien
acycliques$\,$!). On voit alors que la suite spectrale d'hypercohomologie
(9.21) n'est autre que la suite spectrale de Hodge-Fr\"olicher
pr\'ec\'edemment d\'efinie.

\section \Smark10. D\'eformations et th\'eor\`emes de semi-continuit\'e|

L'objet de ce paragraphe est d'\'etudier la d\'ependance des groupes
$H^{p,q}(X_t,\bC)$ ou plus g\'en\'eralement des groupes de
cohomologie  $H^q(X_t,E_t)$, lorsque la paire $(X_t,E_t)$ d\'epend
holomorphiquement d'un param\`etre~$t$ dans un certain espace
complexe~$S$. Nous aborderons ces r\'esultats en adoptant le
point de vue original de Kodaira-Spencer,
\index{105}{KOD}{\hri th\'eorie des d\'eformations de Kodaira-Spencer}%
tel qu'il est d\'evelopp\'e dans leurs travaux originaux sur la th\'eorie des
d\'eformations (voir par exemple les Oeuvres Compl\`etes de Kodaira [Kod75]).
La m\'ethode de Kodaira-Spencer exploite les propri\'et\'es de continuit\'e
ou de semi-continuit\'e des espaces propres des Laplaciens en fonction du
param\`etre~$t$. Une autre approche fournissant des r\'esultats plus
pr\'ecis consiste \`a utiliser le th\'eor\`eme des images directes
de Grauert~[Gra60].

\state 10.1. D\'efinition|Une {\sl d\'eformation de vari\'et\'es
complexes compactes} est par d\'efinition un morphisme analytique propre
\index{106}{DEF}{D\'eformation de vari\'et\'es complexes}%
$\sigma:\cX\to S$ d'espaces complexes connexes, dont toutes
les fibres $X_t=\sigma^{-1}(t)$ sont des vari\'et\'es lisses de m\^eme
dimension~$n$, et satisfaisant l'hypoth\`ese locale suivante$\,$:
\smallskip\noindent
{\leftskip=1.2cm\rightskip=0.8cm\sl 
\noindent Tout point $\zeta\in\cX$ admet un voisinage $\cU$ tel qu'il
existe un biholomorphisme $\psi:U\times V\to\cU$ o\`u $U$ est un ouvert
de $\bC^n$ et $V$ un voisinage de $t=\sigma(\zeta)$, v\'erifiant
$\sigma\circ\psi=\pr_2:U\times V\to V$ $($seconde projection$)$.

}
\noindent$\smash{\hbox{\raise2\baselineskip\hbox{\rm(H)}}}$
\vskip-\baselineskip\smallskip\noindent
On dit alors que $(X_t)_{t\in S}$ est une famille holomorphe de
d\'eformations de l'une quelconque des fibres~$X_{t_0}$, et que $S$ est
la base de la d\'eformation. Une famille holomorphe de fibr\'es
vectoriels $($resp.\ de faisceaux$)$ $E_t\to X_t$ est
par d\'efinition une famille de fibr\'es $($resp.\ faisceaux$)$ obtenus
\`a partir d'un fibr\'e $($resp.\ faisceau$)$ global $\cE\to\cX$, par
restriction aux diff\'erentes fibres~$X_t$.
\endstate

Si $S$ est lisse, l'hypoth\`ese (H) \'equivaut \`a supposer que $\sigma$ est
une submersion holomorphe, en vertu du th\'eor\`eme du rang constant.
Il y a n\'eanmoins des situations o\`u l'on doit n\'ecessairement consid\'erer
aussi le cas de bases $S$ singuli\`eres (par exemple lorqu'on cherche \`a
construire la ``d\'eformation universelle'' d'une vari\'et\'e). Dans un
cadre topologique (diff\'erentiable et lisse), nous avons le lemme suivant,
connu sous le nom de lemme d'Ehresmann.  

\state 10.2. Lemme d'Ehresmann|Soit $\sigma:\cX\to S$ une submersion
\index{107}{LEM}{Lemme d'Ehresmann}%
diff\'erentiable propre et lisse.
\smallskip
\item{\rm a)} Si $S$ est contractile, alors pour tout $t_0\in S$,
il existe un diagramme commutatif
$$\eqalign{
&\cX\build\lra|{\disp\Phi}||X_{t_0}\times S\cr
&\pr_1\searrow\quad\swarrow\sigma\cr
&\qquad~~S\cr}$$
o\`u $\Phi$ est un diff\'eomorphisme.
\smallskip
\item{\rm b)} Pour une base $S$ quelconque, $\cX\to S$ est un fibr\'e
$($diff\'erentiablement$)$ localement trivial. En particulier, si $S$ est
connexe, les fibres sont toutes diff\'eomorphes.
\vskip0pt
\endstate

\preuve. a) Soit $H:S\times[0,1]\to S$ une homotopie diff\'erentiable
entre $H(\bu,0)=\Id_S$ et $h(\bu,1)={}$ application constante
$S\to\{t_0\}$. Le produit fibr\'e 
$$\wt\cX=\{(x,s,t)\in\cX\times S\times[0,1]\,;\,\sigma(x)=H(s,t)\}$$
muni de la projection $\wt\sigma=\pr_2\times\pr_3:\wt\cX\to S\times[0,1]$
est encore une submersion diff\'erentiable, comme on le v\'erifie ais\'ement.
On en d\'eduit qu'il existe un champ de vecteurs $\xi$ sur $\wt X$ qui
rel\`eve le champ de vecteurs ${\partial\over\partial t}$ sur $S\times
[0,1]$, i.e.\ $\sigma_\star\xi={\partial\over\partial t}$ (il existe
localement des rel\`evements par la propri\'et\'e de submersivit\'e, et
on recolle ces rel\`evements au moyen d'une partition de l'unit\'e).
Soit $\varphi_t$ le flot de ce rel\`evement$\,$: alors, si $(x,s,0)\in
\wt\cX_{\restr S\times\{0\}}\simeq\cX$, on a par construction
$\varphi_t(x,s,0)=(?,s,t)$, donc $\Phi=\varphi_1$ d\'efinit un
diff\'eomorphisme de $\wt\cX_{\restr S\times\{0\}}\simeq
\cX$ sur $\wt\cX_{\restr S\times\{1\}}\simeq X_{t_0}\times S$,
commutant avec la projection sur~$S$.
\smallskip

\noindent b) se d\'eduit imm\'ediatement de a).\square

Il r\'esulte de b) que le fibr\'e $t\mapsto H^k(X_t,\bC)$ est un
fibr\'e localement trivial en $\bC$-espaces vectoriels de dimension
finie. On a par ailleurs dans chaque fibre un sous-groupe ab\'elien libre
$\Im H^k(X_t,\bZ)\subset H^k(X_t,\bC)$ de rang $b_k$ qui engendre
$H^k(X_t,\bC)$ comme $\bC$-espace vectoriel. Les matrices de
transition de ce syst\`eme localement constant sont dans
$\SL_{b_k}(\bZ)$. Comme les matrices de transition sont localement
constantes, le fibr\'e $t\mapsto H^k(X_t,\bC)$ peut \^etre muni d'une
connexion $D$ telle que $D^2=0\,$: cette connexion est appel\'ee
{\sl connexion de
\index{108}{CON}{Connexion de Gauss-Manin}%
\index{109}{GAU}{\hri connexion de Gauss-Manin}%
Gauss-Manin}. Le lemme suivant nous sera utile.

\state 10.3. Lemme|Soit $\sigma:\cX\to S$ une submersion diff\'erentiable 
propre et lisse et $\cE$ un fibr\'e vectoriel de classe $C^\infty$ au dessus
de~$\cX$. Consid\'erons une famille d'op\'erateurs elliptiques 
$$P_t:C^\infty(X_t,E_t)\lra C^\infty(X_t,E_t)$$
de degr\'e $\delta$. On suppose que $P_t$ est autoadjoint semipositif
relativement \`a une m\'etrique $h_t$ sur $E_t$ et \`a une forme volume
$dV_t$ sur~$X_t$, et tel que les coefficients de $P_t$, $h_t$ et $dV_t$
sont de classe $C^\infty$ sur~$\cX$. Alors les valeurs
propres de $P_t$, compt\'ees avec multiplicit\'e, se rangent en une suite
$$\lambda_0(t)\le\lambda_1(t)\le\cdots\le\lambda_k(t)\to +\infty,$$
o\`u la $k$-i\`eme valeur propre $\lambda_k(t)$ est une fonction continue
de~$t$. De plus, si $\lambda$ n'est pas dans le spectre $\{\lambda_k(t_0)
\}_{k\in\bN}$ de $P_{t_0}$, la somme directe
$W_{\lambda,t}\subset C^\infty(X_t,E_t)$ des espaces propres de $P_t$
de valeurs propres $\lambda_k(t)\le\lambda$ d\'efinit un fibr\'e
vectoriel $t\mapsto W_{t,\lambda}$ de classe $C^\infty$ dans un voisinage
de~$t_0$.
\endstate

\preuve. Comme les r\'esultats sont locaux au dessus de~$S$, on peut
supposer que $\cX=X_{t_0}\times S$ et $\cE=\pr_1^\star E_{t_0}$ ont leurs
fibres $X_t$ et $E_t$ ind\'ependantes de~$t$ (mais les formes $dV_t$ sur
$X_t$ et les m\'etriques $h_t$ sur $E_t$ vont en g\'en\'eral d\'ependre
de~$t$). Soit $\Pi_{\lambda,t}$ l'op\'erateur de projection orthogonale
sur $W_{\lambda,t}$ dans $L^2(X_t,E_t)\simeq L^2(X_{t_0},E_{t_0})$.
Si $\Gamma(0,\lambda)$ d\'esigne le cercle de centre $0$ et de rayon
$\lambda$ dans le plan complexe, la formule de Cauchy donne
$$\Pi_{\lambda,t}={1\over 2\pi\ii}\int_{\Gamma(0,\lambda)}(z\Id-P_t)^{-1}dz,$$
o\`u l'int\'egrale est vue comme une int\'egrale \`a valeurs vectorielles
dans l'espace des op\'erateurs born\'es sur $L^2(M_{t_0},E_{t_0})$ (il suffit
de v\'erifier la formule sur les vecteurs propres de $P_t$, ce qui est
\'el\'ementaire). Les d\'emonstrations faites au \S$\,$3 montrent qu'il
existe une famille d'op\'erateurs pseudo-diff\'erentiels $Q_t$ 
d'ordre $-\delta$, dont le symbole d\'epend de mani\`ere $C^\infty$ de $t$
(et avec uniformit\'e des estimations par d\'erivation en~$t$), tels que
$P_tQ_t=\Id+R_t$ pour des op\'erateurs r\'egularisants $R_t$ dont le
noyau d\'epend aussi de mani\`ere $C^\infty$ de~$t$. Comme
$Q_t$ est une famille d'op\'erateurs compacts sur $L^2(X_t,E_t)$
qui d\'epend de mani\`ere $C^\infty$ de~$t$, les valeurs propres de $Q_t$
d\'ependent contin\^ument de~$t$. Quitte \`a changer $Q_{t_0}$ sur un
sous-espace de dimension finie, on peut supposer que $Q_{t_0}$ est un
isomorphisme de $L^2(X_{t_0},E_{t_0})$ sur $W^\delta(X_{t_0},E_{t_0})$. Il
en sera alors de m\^eme pour $Q_t$ dans un voisinage de $t_0$, et par suite
$z\Id-P_t$ est inversible si et seulement si $(z\Id-P_t)Q_t=\Id+R_t+zQ_t$
est inversible. Si $\lambda$ n'est pas dans le spectre de $P_{t_0}$, on
voit donc que pour tout $z\in\Gamma(0,\lambda)$ l'inverse
$(z\Id-P_t)^{-1}=Q_t(\Id+R_t+zQ_t)^{-1}$ d\'epend de fa\c con
$C^\infty$ de $t$ comme op\'erateur $L^2(X_t,E_t)\to W^\delta(X_t,E_t)$,
par suite $t\mapsto\Pi_{\lambda,t}$ est $C^\infty$ au voisinage de~$t$. Ceci
entra\^{\i}ne que $t\mapsto W_{t,\lambda}$ est une fibration localement
triviale de classe~$C^\infty$ au voisinage de $t_0$. La continuit\'e de la
valeur propre $\lambda_k(t)$ de $P_t$ r\'esulte de la constance du rang de
$W_{\lambda,t}$ au voisinage de $t_0$, pour $\lambda=\lambda_k(t_0)
\pm\varepsilon$.\square

\state 10.4. Th\'eor\`eme de semi-continuit\'e
{\rm(Kodaira-Spencer)}|Si $\cX\to S$ est un morphisme
\index{110}{KOD}{\hri th\'eor\`eme de semi-continuit\'e de Kodaira-Spencer}%
\index{111}{THE}{Th\'eor\`eme de semi-continuit\'e de Kodaira-Spencer}%
$\bC$-analytique propre et lisse et si $\cE$ est un faisceau
localement libre sur~$\cX$, les dimensions $h^q(t)=h^q(X_t,\cE_t)$
sont des fonctions semi-continues sup\'erieurement. Plus pr\'ecis\'ement,
les sommes altern\'ees
$$h^q(t)-h^{q-1}(t)+\cdots+(-1)^qh^0(t),\qquad0\le q\le n=\dim X_t$$
sont des fonctions semi-continues sup\'erieurement.
\endstate

\preuve. Soit $E_t$ le fibr\'e vectoriel holomorphe associ\'e
\`a~$\cE_t$. Munissons $\cE$ et $\cX$ de m\'etriques hermitiennes
arbitraires. D'apr\`es l'isomorphisme de Hodge pour la $d''$-cohomologie,
on peut interpr\'eter $H^q(X_t,\cE_t)$ comme l'espace des formes
harmoniques pour le Laplacien $\Delta^{\prime\prime q}_t$ agissant sur
$C^\infty(X_t,\Lambda^{0,q}T^\star_{X_t}\otimes E_t)$. Fixons un point
$t_0\in S$ et un r\'eel $\lambda>0$ qui n'appartient pas au spectre
des op\'erateurs $\Delta^{\prime\prime q}_{t_0}$, $0\le q\le n=\dim X_t$.
Alors
$$W^q_t=W_{\lambda,t}^q=\hbox{somme directe des espaces propres de
$\Delta^{\prime\prime q}_t$ de valeurs propres $\le\lambda$}$$
d\'efinit un fibr\'e $W^q$ de classe $C^\infty$ au voisinage de $t_0$.
De plus la diff\'erentielle $d''_t$ commute avec $\Delta''_t$ et envoie
donc les espaces propres de $\Delta^{\prime\prime q}_t$ dans les espaces
propres de $\Delta^{\prime\prime q+1}_t$ associ\'es aux m\^emes valeurs
propres. Ceci montre que $(W^\bu_t,d''_t)$ est un sous-complexe de
dimension finie du complexe de Dolbeault $\big(C^\infty(X_t,\Lambda^{0,q}
T^\star_{X_t}\otimes E_t),d''_t\big)$. La cohomologie de ce sous-complexe
co\"{\i}ncide avec $H^q(X_t,E_t)$ puisque la relation
$d''_td^{\prime\prime\star}_t+d^{\prime\prime\star}_td''_t=\Delta''_t$
montre que ${1\over\lambda_k}d^{\prime\prime\star}_t$ est un op\'erateur
d'homotopie sur le sous-complexe form\'e des espaces propres de valeur
propre $\lambda_k$ lorsque $\lambda_k\ne 0$. Si $Z^q_t$
d\'esigne le noyau du morphisme $d^{\prime\prime q}_t:W^q_t\to W^{q+1}_t$,
alors $z^q(t):=\dim Z^q_t$ est une fonction semi-continue sup\'erieurement
pour la topologie de Zariski, comme on le voit ais\'ement en regardant
le rang des mineurs de la matrice d\'efinissant le morphisme
$d^{\prime\prime q}:W^q\to W^{q+1}$. Le complexe tronqu\'e
$$0\to W^0_t\to W^1_t\to\cdots\to W^{q-1}_t\to Z^q_t\to 0$$
ayant pour cohomologie les groupes $H^j(X_t,E_t)$ d'indices $0\le j\le q$,
on obtient
$$h^q(t)-h^{q-1}(t)+\cdots+(-1)^qh^0(t)=z^q(t)-w^{q-1}+w^{q-2}+\cdots+
(-1)^qw^0,$$
o\`u $w^q$ d\'esigne le rang de $W^q$. La semi-continuit\'e
sup\'erieure du membre de gauche en r\'esulte, et celle de
$h^q(t)$ est alors imm\'ediate par r\'ecurrence sur~$q$.\square

\state 10.5. Invariance des nombres de Hodge|Soit $\cX\to S$ un
morphisme $\bC$-analytique propre et lisse. On suppose que les fibres
\index{112}{INV}{Invariance des nombres de Hodge}%
$X_t$ sont des vari\'et\'es k\"ahl\'eriennes. Alors les nombres de
Hodge $h^{p,q}(X_t)$ sont constants. De plus, dans la d\'ecomposition
$$H^k(X_t,\bC)=\bigoplus_{p+q=k}H^{p,q}(X_t,\bC),$$
les fibrations $t\mapsto H^{p,q}(X_t,\bC)$ d\'efinissent des sous-fibr\'es
de classe $C^\infty$ $($en g\'en\'eral non holomorphes$)$ de $t\mapsto
H^k(X_t,\bC)$.
\endstate

\preuve. Le lemme 10.2 entra\^{\i}ne que les nombres de Betti
$b_k=\dim H^k(X_t,\bC)$ sont constants. Comme $h^{p,q}(X_t,\bC)=
h^q(X_t,\Omega^p_{X_t})$ est semi-continue sup\'erieurement d'apr\`es
le th.~10.4 et
$$h^{p,q}(X_t)=b_k-\sum_{r+s=k,\,(r,s)\ne(p,q)}h^{r,s}(X_t),$$
ces fonctions sont en fait aussi semi-continues inf\'erieurement. Par suite
elles sont continues et donc constantes. Un th\'eor\`eme de Kodaira
[Kod75] montre que si une fibre $X_{t_0}$ est k\"ahl\'erienne, alors les
fibres voisines $X_t$ sont k\"ahl\'eriennes et les m\'etriques
k\"ahl\'eriennes $\omega_t$ peuvent \^etre choisies de sorte qu'elles
d\'ependent de mani\`ere $C^\infty$ de~$t$. Les espaces de $(p,q)$-formes
harmoniques d\'ependent alors de mani\`ere $C^\infty$ de $t$ d'apr\`es le
le th.~10.4, et on en d\'eduit que $t\mapsto H^{p,q}(X_t,\bC)$ est un
sous-fibr\'e de classe $C^\infty$ de $H^k(X_t,\bC)$.\square

On peut en fait obtenir des r\'esultats plus pr\'ecis et plus g\'en\'eraux
au moyen du th\'eor\`eme des images directes de Grauert [Gra60].
Rappelons qu'\'etant donn\'e une application continue $f:X\to Y$ entre
espaces topologiques et un faisceau $\cE$ de groupes ab\'eliens sur~$X$,
on d\'efinit le faisceau image directe $R^kf_\star\cE$ sur $Y$ comme
\'etant le faisceau associ\'e au pr\'efaisceau $U\mapsto
H^k(f^{-1}(U),\cE)$, pour tout ouvert $U$ de~$Y$. Plus g\'en\'eralement,
\'etant donn\'e un complexe de faisceaux $\cA^\bu$, nous avons des faisceaux
images directes $\bR^qf_\star\cA^\bu$, obtenus \`a partir des
pr\'efaisceaux d'hypercohomologie
$$U\mapsto \bH^k(f^{-1}(U),\cA^\bu).$$
La d\'emonstration du th\'eor\`eme des images directes propos\'ee par
[FoK71] et [KiV71] (voir aussi [DoV72]) fournit les r\'esultats
fondamentaux suivants que nous admettrons.

\state 10.6. Th\'eor\`eme des images directes|Soit $\sigma:\cX\to S$
\index{113}{THE}{Th\'eor\`eme des images directes}%
\index{114}{COH}{Coh\'erence des images directes}%
un morphisme propre d'espaces analytiques complexes et $\cA^\bu$ un
complexe born\'e de faisceaux coh\'erents de $\cO_\cX$-modules. Alors
\smallskip
\item{\rm a)} Les faisceaux images directes $\bR^k\sigma_\star\cA^\star$
sont des faisceaux coh\'erents sur~$S$.
\smallskip
\item{\rm b)} Tout point de $S$ admet un voisinage $U\subset S$ sur lequel
il existe un complexe born\'e $\cW^\bu$ de faisceaux de $\cO_S$-modules
localement libres dont les faisceaux de cohomologie $\cH^k(\cW^\bu)$
sont isomorphes aux faisceaux $\bR^k\sigma_\star\cA^\bu$.
\smallskip
\item{\rm c)} Si $\sigma$ est \`a fibres \'equidimensionnelles
$($``morphisme g\'eom\'etriquement plat''$)$, l'hypercohomologie de la
fibre $X_t=\sigma^{-1}(t)$ \`a valeurs dans
$\cA^\bu_t=\cA^\bu\otimes_{\cO_\cX}\cO_{X_t}$ $($o\`u $\cO_{X_t}=
\cO_\cX/\sigma^\star\eum_{S,t})$, est donn\'ee par 
$$H^k(X_t,\cA^\bu_t)=H^k(W_t^\bu),$$
o\`u $(W_t^\bu)$ est le complexe d'espaces de dimension finie
$W_t^k=\cW^k\otimes_{\cO_{S,t}}\cO_{S,t}/\eum_{S,t}$.
\smallskip
\item{\rm d)} Sous l'hypoth\`ese du {\rm c)}, si les espaces
d'hypercohomologie $\bH^k(X_t,\cA^\bu_t)$ des fibres sont de dimension
constante, les faisceaux $\bR^k\sigma_\star\cA^\bu$ sont localement
libres sur~$S$.
\smallskip
\noindent Les m\^emes r\'esultats sont vrais en particulier pour les images
directes $R^k\sigma_\star\cE$ d'un faisceau coh\'erent $\cE$ sur~$\cX$, et
les groupes de cohomologie $H^k(X_t,\cE_t)$ des fibres.
\endstate

On notera que la propri\'et\'e d) est en fait une cons\'equence formelle
de c), car l'hypoth\`ese garantit que les matrices holomorphes d\'efinissant
les morphismes $\cW^k\to\cW^{k+1}$ sont de rang constant en chaque point
$t\in S$. De (10.6$\,$b) on d\'eduit alors le r\'esultat suivant
d\^u \`a H.~Flenner [Fle81], avec une d\'emonstration identique \`a celle
du th.~10.4.

\state 10.7. Th\'eor\`eme de semi-continuit\'e|Si $\cX\to S$ est un
morphisme analytique propre \`a fibres \'equidimensionnelles et si
\index{115}{THE}{Th\'eor\`eme de semi-continuit\'e}%
$\cE$ est un faisceau coh\'erent sur~$\cX$, les sommes altern\'ees
$$h^q(t)-h^{q-1}(t)+\cdots+(-1)^qh^0(t),$$
des dimensions $h^k(t)=h^k(X_t,\cE_t)$ sont des fonctions semi-continues
sup\'e\-rieu\-rement de $t$ dans la topologie de Zariski analytique
$($topologie dont les ferm\'es sont les ensembles analytiques$)$.
\endstate

Soit $\sigma:\cX\to S$ une submersion $\bC$-analytique propre et lisse.
On suppose que la suite spectrale de Hodge des fibres $X_t$ d\'eg\'en\`ere
en $E_1$ pour tour $t\in S$ (d'apr\`es (10.7) c'est en fait une
propri\'et\'e ouverte pour la topologie de Zariski analytique sur~$S$).
Si $U\subset S$ est un ouvert contractile, alors $\sigma^{-1}(U)\simeq
X_t\times U$ pour toute fibre au dessus de $t\in U$. Si $\bZ_\cX$, $\bC_X$
d\'esignent les faisceaux localement constants de base $\cX$ et de fibres
$\bZ$, $\bC$, on obtient 
$$\eqalign{
\Gamma(U,R^k\sigma_\star\bZ_\cX)&=H^k(\sigma^{-1}(U),\bZ)=
H^k(X_t,\bZ),\cr
\Gamma(U,R^k\sigma_\star\bC_\cX)&=H^k(\sigma^{-1}(U),\bC)=
H^k(X_t,\bC),\cr}$$
de sorte que $R^k\sigma_\star\bZ_\cX$ et $R^k\sigma_\star\bC_\cX$ sont
des faisceaux localement constants sur $S$, de fibres $H^k(X_t,\bZ)$ et
$H^k(X_t,\bC)$. Le fibr\'e $t\mapsto H^k(X_t,\bC)$, muni de sa connexion
plate $D$ (connexion de Gauss-Manin), poss\`ede une structure holomorphe
canonique induite par la composante $D^{0,1}$ de la connexion de Gauss-Manin.
Le fibr\'e plat $\bigoplus_k H^k(X_t,\bC)$ est appel\'e {\sl fibr\'e de
Hodge} de la fibration $\cX\to S$.

Consid\'erons maintenant le complexe de De Rham relatif $(\Omega_{\cX/S}^\bu,
d_{\cX/S})$ de la fibration $\cX\to S$. Ce complexe fournit une r\'esolution
du faisceau $\sigma^{-1}\cO_S$ (image inverse ``purement faisceautique''
de $\cO_S$), par suite 
$$\bR^k\sigma_\star\Omega_{\cX/S}^\bu=
R^k\sigma_\star(\sigma^{-1}\cO_S)=(R^k\sigma_\star\bC_\cX)\otimes_\bC
\cO_S.\leqno(10.8)$$
La derni\`ere \'egalit\'e s'obtient par un argument imm\'ediat de $\cO_S(U)$
lin\'earit\'e pour la cohomologie calcul\'ee sur les ouverts $\sigma^{-1}(U)$
(la structure complexe de $\sigma^{-1}(U)$ n'intervenant pas ici).
En d'autres termes, $\bR^k\sigma_\star\Omega_{\cX/S}^\bu$ est le
$\cO_S$-module localement libre associ\'e au fibr\'e plat
$t\mapsto H^q(X_t,\bC)$. On a une suite spectrale d'hypercohomologie
relative
$$E_1^{p,q}=R^q\sigma_\star\Omega_{\cX/S}^p\Rightarrow
G^p\bR^{p+q}\sigma_\star\Omega_{\cX/S}^\bu=
G^pR^{p+q}\sigma_\star\bC_\cX$$
(la suite spectrale relative est obtenue simplement en ``faisceautisant''
la suite spectrale d'hypercohomologie absolue (9.19) du complexe
$\Omega_{\cX/S}^\bu$ sur les ouverts $\sigma^{-1}(U)$).
Comme la cohomologie de $\Omega_{\cX/S}^p$ sur les fibres $X_t$ n'est autre
que l'espace de rang constant $H^q(X_t,\Omega_{X_t}^p)$, le th.~10.6~d)
montre que les faisceaux images directes $R^q\sigma_\star\Omega_{\cX/S}^p$
sont localement libres. Par ailleurs, la filtration $F^pH^k(X_t,\bC)
\subset H^k(X_t,\bC)$ est obtenue au niveau des $\cO_S$-modules
localement libres associ\'es en prenant l'image du morphisme
$\cO_S$-lin\'eaire
$$\bR^k\sigma_\star F^p\Omega_{\cX/S}^\bu\lra
\bR^k\sigma_\star \Omega_{\cX/S}^\bu,$$
c'est donc un sous-faisceau coh\'erent (et m\^eme un sous-faisceau localement
libre, d'apr\`es la propri\'et\'e de constance du rang sur les fibres~$X_t$).
De l\`a et de (10.8) on d\'eduit le

\state 10.9. Th\'eor\`eme (holomorphie de la filtration de Hodge)|La
\index{116}{FIL}{Filtration de Hodge}%
\index{117}{FIL}{\hri holomorphie de la filtration de Hodge}%
\index{118}{HOD}{\hri filtration de Hodge}%
filtration de Hodge $F^pH^k(X_t,\bC)\subset H^k(X_t,\bC)$ est
constitu\'ee de sous-fibr\'es vectoriels holomorphes relativement \`a la
structure holomorphe d\'efinie par la connexion de Gauss-Manin.
\endstate

On voit qu'en g\'en\'eral $H^{p,q}(X_t,\bC)=F^pH^k(X_t,\bC)\cap
\ol{F^qH^k(X_t,\bC)}$ n'a aucune raison d'\^etre un sous-fibr\'e
holomorphe de $H^k(X_t,\bC)$ pour $p+q=k$ quelconques, bien
que $H^{p,q}(X_t,\bC)$ poss\`ede une structure naturelle de fibr\'e
holomorphe (obtenue \`a partir du faisceau coh\'erent
$R^q\sigma_\star\Omega_{\cX/S}^p$, ou comme quotient des
$F^pH^k(X_t,\bC)$). Autrement dit, c'est la {\sl d\'ecomposition}
de Hodge qui n'est pas holomorphe.

\state 10.10. Exemple|{\rm Soit $S=\{\tau\in\bC\,;\,\Im \tau>0\}$
le demi-plan sup\'erieur, et $\cX\to S$ la famille ``universelle''
des courbes elliptiques au-dessus de $S$, d\'efinie par $X_\tau=\bC/
(\bZ+\bZ \tau)$. Les deux \'el\'ements de base du fibr\'e de Hodge
$H^1(X_\tau,\bC)$, duaux de la base $(1,\tau)$ du r\'eseau des p\'eriodes,
sont $\alpha=dx-\Re\tau/\Im\tau\,dy$ et $\beta=(\Im\tau)^{-1}dy$
($z=x+\ii y\in\bC$ d\'esignant la coordonn\'ee sur $X_\tau$).
Ces \'el\'ements v\'erifient donc $D\alpha=D\beta=0$ et d\'efinissent
la structure holomorphe du fibr\'e de Hodge; le sous-fibr\'e
$H^{1,0}(X_\tau,\bC)$ engendr\'e par la $1$-forme $dz=\alpha+\tau\beta$
est bien holomorphe (comme il se doit$\,$!), cependant on voit que
les composantes $\beta^{1,0}=-{\ii\over 2}(\Im\tau)^{-1}dz$ et
$\beta^{0,1}={\ii\over 2}(\Im\tau)^{-1}d\ol z$ ne sont pas holomorphes
en~$\tau$.}
\endstate

% Local Variables:
% TeX-command-default: "TeX"
% End:

