% Session SMF l'Etat de la Recherche, Grenoble, 25-26-27 Novembre 1994
% Texte pour Panoramas et Synth\`eses
% Plain-TeX macro file
% Jos\'e Bertin et Chris Peters, Institut Fourier, Universit\'e de Grenoble I
% Variations de Structures de Hodge,
% Vari\'et\'es de Calabi-Yau et Sym\'etrie Miroir

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\blankline
\title Variations de structures de Hodge,|
\title vari\'et\'es de Calabi-Yau|
\title et sym\'etrie miroir|
\medskip
\titlerunning J.\ Bertin, Ch.\ Peters, Variations de structures de Hodge|

\centerline{\twelvebf Jos\'e Bertin, Chris Peters}
\medskip
\centerline{\twelverm Universit\'e de Grenoble I}
\smallskip
\centerline{\twelverm Institut Fourier, BP~74}
\smallskip
\centerline{\twelverm 38402 Saint-Martin d'H\`eres, France}
\vskip25mm

\def\refmark{BP}
\startindex{
\noindent{\twelvebf Sommaire}
\vskip7mm

\noindent
\Smark0. Introduction\dotfill \sectref{0}\null\medskip

\noindent{\bf Partie I. Variations de structures de Hodge}\dotfill 
\ssectref{1}\null\vskip-6pt

\noindent\Smark1. Fibr\'es de Hodge\dotfill \sectref{1}
\Smark2. Connexion de Gauss-Manin\dotfill \sectref{2}
\Smark3. Variations de structures de Hodge\dotfill \sectref{3}
\Smark4. D\'eg\'en\'erescences\dotfill \sectref{4}
\Smark5. Fibr\'es de Higgs\dotfill \sectref{5}
\Smark6. Modules de Hodge\dotfill \sectref{6}\null

\noindent{\bf Partie II. Sym\'etrie miroir et vari\'et\'es de Calabi-Yau}
\dotfill \ssectref{2}\null\vskip-6pt

\noindent
\Smark7. Introduction \`a la sym\'etrie miroir\dotfill \sectref{7}
\Smark8. Cohomologie d'une hypersurface\dotfill \sectref{8}
\Smark9. \'Equations de Picard-Fuchs\dotfill \sectref{9}
\Smark10. Vari\'et\'es de Calabi-Yau et sym\'etrie
miroir\dotfill \sectref{10}
\Smark11. Lien avec la th\'eorie de Hodge mixte\dotfill \sectref{11}\null\medskip

\noindent
Bibliographie\dotfill \sectref{12}\null
\newpage}

\section \Smark0. Introduction|

L'objet de ces notes est de proposer une introduction assez
d\'etaill\'ee \`a la partie la plus \'el\'ementaire de la th\'eorie
des variations de structures de Hodge avec des indications br\`eves
sur les d\'eveloppements les plus r\'ecents. Pour motiver et illustrer
cette \'etude, il nous a sembl\'e pertinent d'exposer les grandes
lignes d'un chapitre excitant et nouveau de g\'eom\'etrie alg\'ebrique
: les vari\'et\'es de Calabi-Yau et la sym\'etrie miroir, en mettant
surtout l'accent sur les questions qui v\'eritablement rel\`event des
structures de Hodge et leurs variations. Cette th\'eorie issue des
r\'eflexions d'un groupe de physiciens, conduit entre autre choses
\`a des pr\'edictions remarquables sur le nombre de courbes
rationnelles, et m\^eme de tout genre, trac\'ees sur une classe de
vari\'et\'es de dimension trois.

Le texte s'adresse en priorit\'e \`a des \'etudiants, ou
math\'ematiciens non sp\'e\-cia\-listes, mais qui cependant ont une
certaine familiarit\'e avec les techniques usuelles de la
g\'eom\'etrie alg\'ebrique ou analytique complexe.  Cela est
particuli\`erement clair dans le premier chapitre o\`u le cadre
retenu, assez g\'en\'eral, est alternativement celui des sch\'emas et
des vari\'et\'es analytiques. Le langage de base utilis\'e pour formuler
et prouver les r\'esultats est naturellement celui de l'alg\`ebre
homologique, \`a partir des notions de cohomologie et d'hypercohomologie
des faisceaux. Le lecteur trouvera dans le texte ci-joint d'Illusie [Ill] un
expos\'e succinct mais largement suffisant. Il doit \^etre signal\'e
au lecteur que plusieurs excellents textes existent dans la
litt\'erature qui proposent une introduction \`a un aspect ou \`a un
autre de la th\'eorie des variations de structure de Hodge, citons par
exemple les plus classiques [Co-G], [G-S], [P-S] et, plus r\'ecemment
[B-Z], avec tout naturellement l'article fondamental de Schmid
[S]. Nous esp\'erons cependant que parall\`element \`a ces textes, nos
notes pourront \`a l'occasion rendre quelques services. Sur le th\`eme
de la seconde partie, beaucoup de textes traitant du sujet, \'ecrits
dans le ``style de la physique'' sont d'un acc\`es malais\'e pour un
math\'ematicien. On peut souhaiter de m\^eme que nos notes apportent
un compl\'ement utile aux textes r\'ecents de M. Kontsevich [K1], [K2],
D. Morrison [Mor 1] et C. Voisin [V] qui traitent aussi des aspects
math\'ematiques du sujet.

Le texte est divis\'e en deux parties non ind\'ependantes. La partie I
consacr\'ee aux d\'eveloppements g\'en\'eraux sur les variations de
structures de Hodge (chapitre 1 \`a 6) et la partie II qui poursuit
sur les vari\'et\'es de Calabi-Yau et la sym\'etrie miroir. Pour aider
le lecteur nous avons fait d\'ebuter chaque chapitre par un court
r\'esum\'e. Situons maintenant le contenu de ces notes dans leur
contexte. Les variations de structures de Hodge apparaissent
naturellement lorsque, au lieu d'avoir une vari\'et\'e alg\'ebrique,
par exemple donn\'ee par une \'equation homog\`ene (hypersurface)
$\{f=0\}$, on consid\`ere une famille de vari\'et\'es alg\'ebriques,
par exemple lorsque l'\'equation d\'epend de param\`etres (variables
additionnelles).  Pr\'ecis\'ement, dans ces notes, une {\sl famille}
\index{1}{FAM}{Famille de vari\'et\'es alg\'ebriques projectives} 
sera une application holomorphe $f:X\to S$ telle que $X\subset
\bP^n\times S$ et $f$, la restriction \`a $X$ de la projection sur
$S$, \'etant partout de rang maximal. Les fibres $X_s=f^{-1}(s)$ sont
des vari\'et\'es projectives lisses, et on sait par le texte ci-joint
de Demailly [Dem] que chaque espace vectoriel $H^w(X_s,\bC)$ porte une
structure de Hodge de poids $w$, c'est le r\'esultat fondamental de la
th\'eorie de Hodge. On sait aussi (loc. cit.\S10) que $H^w(X_s,\bC)$
est la fibre d'un fibr\'e vectoriel holomorphe $\cH$ sur $S$; il est
donc naturel et fondamental d'\'etudier le comportement de la
structure de Hodge d\'efinie sur $H^w(X_s,\bC)$, lorsque $s\in S$
varie, c'est-\`a-dire  globalement sur $S$. D'une autre mani\`ere, si
on pense \`a la classe $[\omega(s)]$ d'une forme diff\'erentielle
ferm\'ee $\omega(s)$ comme d\'ependant du param\`etre $s$, et si
$\gamma$ est un cycle de dimension (r\'eelle) $w$ dans une fibre
$X_{s_0}$, qu'on peut voir comme un cycle sur toute fibre voisine
$X_s$ de $X_{s_0}$ du fait de la trivialit\'e locale topologique de la
famille, il est alors possible de consid\'erer la p\'eriode de
$\omega$, c'est-\`a-dire la fonction $\int_\gamma\omega$. Pour
\'etudier la variation des p\'eriodes par rapport \`a $s$, il est
n\'ecessaire de d\'eriver : ${\displaystyle d\over
ds}\left(\int_\gamma\omega\right)$. Le cycle \'etant fix\'e, on veut
d\'eriver sous le signe somme. Cela sera justifi\'e par l'existence
d'une connexion, la connexion de Gauss-Manin qui conduira \`a la
r\`egle de d\'erivation :
$$
{d\over ds}\int_\gamma
\omega(s)=\int_{\gamma}\nabla_{d\over ds}\omega(s)
$$
$\nabla_{d\over ds}$ \'etant la d\'eriv\'ee covariante dans la direction de
${d \over ds}$.

Dans le \S10 de [Dem], il est prouv\'e aussi que le fibr\'e $\cH^w$
est le fibr\'e associ\'e au syst\`eme localement constant
$\bigcup_{s\in S}H^w(X_s,\bC) $, il est donc plat; la connexion plate
r\'esultante est la 
\index{2}{CON}{Connexion de Gauss-Manin}
\index{200}{GAU}{\hri connexion de Gauss-Manin} 
{\sl connexion de Gauss-Manin}.  De plus, si au lieu des 
sous-espaces $H^{p,q}(X_s)$, on consid\`ere les sous-espaces
$F^pH^w(S_s,\bC)=\oplus_{r\ge p}H^{r,w-r}(X_s)$ de la filtration de
Hodge, alors ces sous-espaces sont les fibres d'un sous-fibr\'e
holomorphe $\cF^p$ de $\cH^w$, d\'efinissant la filtration $\cF^\bu$
de $\cH^w$. Le fibr\'e $\cH^w$ \'equip\'e de cette 
\index{3}{FIL}{Filtration de Hodge}
\index{201}{HOD}{\hri filtration de Hodge} 
{\sl filtration de Hodge} et de la connexion de Gauss-Manin est 
l'exemple fondamental d'une {\sl variation de structures de Hodge}, 
notion introduite par Griffiths dans [Grif1].

Ainsi, dans le paragraphe 1 nous donnons la construction d\'etaill\'ee
des fibr\'es de Hodge, comme cons\'equence de la d\'eg\'en\'erescence
de la suite spectrale de Hodge vers De Rham (voir le texte ci-joint
d'Illusie) dans le cadre g\'en\'eral des vari\'et\'es alg\'ebriques
non n\'ecessairement complexes.


Dans le \S2 nous construisons la connexion de Gauss-Manin et nous
prouvons la propri\'et\'e de transversalit\'e. L'exposition de ce
paragraphe est assez d\'etaill\'ee car le th\'eor\`eme de
transversalit\'e de Griffiths est le point de d\'epart central de
toute la th\'eorie, comme on pourra s'en convaincre en parcourant la
seconde partie. Les manipulations sur les complexes de De Rham et
leurs r\'esolutions sont en fait proches de ce qui est fait dans
[Ill].  Nous prouvons aussi que la connexion de Gauss-Manin est
alg\'ebrique, suivant en cela les calculs de Katz et Oda [K-O]. C'est
cet aspect qui est devenu extr\^emement important dans les
d\'eveloppements r\'ecents (\S6).

Dans le \S3, on introduit les {\sl domaines de p\'eriodes de
Griffiths} qui sont des espaces de param\`etres pour les structures de
Hodge polaris\'ees de poids et nombres de Hodge fix\'es. Si $f:X\to S$
est une famille, on d\'efinit, quitte \`a se restreindre \`a la
cohomologie primitive, l'application des p\'eriodes $ p: S\to D$ (si
$S$ n'est pas simplement connexe il faut remplacer $S$ par son
rev\^etement universel); on traduit dans ce cadre la propri\'et\'e de
tranversalit\'e.  L'\'etude de la diff\'erentielle de l'application
des p\'eriodes conduit naturellement \`a la notion de {\sl variation
infinit\'esimale de structures de Hodge} introduite dans [C-G-G-H] et
trait\'ee \`a la fin du \S3.  Cette notion est n\'ecessaire pour
justifier certains points fondamentaux du chapitre II.

Revenons \`a la situation consid\'er\'ee au d\'ebut, celle d'une famille
de vari\'et\'es param\'etr\'ee par une base compacte. Dans cette situation
on ne pourra \'eviter la pr\'esence de  fibres singuli\`eres; il est
donc naturel d'\'etudier le comportement de la variation autour du
lieu des fibres singuli\`eres. Pour simplifier on suppose que la base
est le disque unit\'e $\Delta$, que $f:X\to \Delta$ est de rang
maximal au dessus des points de $\Delta^\ast=\Delta\setminus
\{0\}$. On dit que $f$ est une 
\index{4}{DEG}{D\'eg\'en\'erescence \`a un param\`etre} 
{\sl d\'eg\'en\'erescence \`a un param\`etre}. Tourner une fois autour 
de $0$ induit l'action de
\index{5}{MON}{Monodromie locale} 
{\sl monodromie locale} $T:H^w(X_s)\to H^w(X_s)$, $s\in
\Delta$. Cette action pr\'eserve la structure enti\`ere, la polarisation 
et la filtration de Hodge. Le th\'eor\`eme de la monodromie locale de [La]
et [S] dit que $T$ est quasi-unipotente, c'est-\`a-dire, pour $k,m\in
\bN$ convenables, $(T^k-\bone)^m=0$.  Un autre r\'esultat important
est le th\'eor\`eme  local des cycles invariants de [Cl] qui dit qu'une
classe $\alpha\in H^w(X_s)$ est $T$-invariante si et seulement si
$\alpha$ est la restriction \`a $X_s$ d'une classe d\'efinie sur $X$
tout entier. La d\'emonstration de ce th\'eor\`eme n\'ecessite la
construction d'une filtration de Hodge sur $H^w(X_s)$ diff\'erente de
la filtration classique et qui est mieux adapt\'ee au passage \`a la
limite quand $s$ tend vers z\'ero, la {\sl filtration de Hodge
limite}.  L'op\'erateur de monodromie $T$, lui aussi induit une
filtration, celle des poids, et jointe \`a la filtration limite on
obtient une structure plus compliqu\'ee appel\'ee : {\sl structure de
Hodge mixte} sur $H^w(X_s)$, ou encore la {\sl structure limite}.
Dans le \S4 nous exposerons bri\`evement la notion de structure de
Hodge mixte et les r\'esultats fondamentaux de Deligne [Del4] et
[Del5] sur l'existence d'une telle structure sur les vari\'et\'es
alg\'ebriques qui ne sont pas n\'ecessairement compactes ni
lisses. Ensuite nous donnerons une description de la structure limite
en r\'esumant quelques r\'esultats importants qui se trouvent dans les
articles [S] et [Cl]. Le \S4 se termine par une description des
faisceaux des cycles proches et \'evanescents qui est essentielle pour
comprendre le travail de Saito [Sa1] sur les modules de Hodge, travail
tr\`es partiellement esquiss\'e dans le \S6.

Dans le \S5 nous r\'esumons quelques r\'esultats
r\'ecents de Simpson sur les {\sl fibr\'es de Higgs}, qui forment dans un
certain sens une
g\'en\'eralisation des variations de structures de Hodge et qui lui
ont permis d'obtenir des cons\'equences surprenantes concernant les
\index{6}{GRO}{Groupes k\"ahl\'eriens}
\index{202}{KAH}{\hri groupes k\"ahl\'eriens}
groupes {\sl k\"ahl\'eriens}, c'est-\`a-dire 
les groupes qui peuvent appara\^{\i}tre comme les groupes fondamentaux d'une
vari\'et\'e k\"ahl\'erienne compacte.

La notion compliqu\'ee de {\sl module de Hodge} joue un r\^ole
central dans les d\'eve\-lop\-pe\-ments r\'ecents de la th\'eorie de 
Hodge. Elle n\'ecessite l'introduction des $\cD$-modules, faisceaux
pervers et une compr\'ehension de la correspondance de
Riemann-Hilbert, qui d\'ecrit le lien entre ces deux notions. Dans le
\S6 nous d\'ecrivons bri\`evement ces notions ainsi qu'une
application importante \`a la cohomologie d'intersection, 
introduite par Goresky et MacPherson dans [G-M] : le groupe de
cohomologie d'intersection $IH^w(X)$ d'une vari\'et\'e
alg\'ebrique complexe $X$ porte une structure de Hodge pure de poids $w$.

D\'ecrivons le contenu de la partie II. Comme dit au d\'ebut, il y a
peu de temps que les physiciens travaillant en physique quantique ont
mis en \'evidence un nouveau ph\'enom\`ene de dualit\'e. Les
cons\'equences math\'ematiques, encore largement au stade des
sp\'eculations, sont fascinantes. Les expos\'es [F-G] et [P]
d\'ecrivent en d\'etail dans le langage de la physique ce cercle
d'id\'ees.  Parmi les diverses manifestations de dualit\'e, la
sym\'etrie miroir a attir\'e l'attention des g\'eom\`etres
alg\'ebristes, principalement \`a la suite du travail d'un groupe de
physiciens [C-O-G-P], traduit partiellement en langage math\'ematique
par D.~Morrison [Mor1]. Le cadre de cette sym\'etrie est celui {\sl
des vari\'et\'es de Calabi-Yau} (\S7).  Une cons\'equence na\"{\i}ve
(v\'erifi\'ee par l'observation) est que ces vari\'et\'es sont
distribu\'ees par paires, une paire \'etant form\'ee de la vari\'et\'e
miroir de l'autre, et que le tableau des nombres de Hodge de l'une se
d\'eduit du tableau de l'autre par une rotation d'un quart de tour. La
sym\'etrie pr\'edit naturellement beaucoup plus, par exemple que les
nombres de courbes rationnelles de ``degr\'e'' fix\'e sur l'une est
d\'eductible d'informations fournies par la variation de la structure
complexe de l'autre.  Pour mettre en forme partiellement cette
assertion, on \'etudie le comportement des p\'eriodes des 3-formes
holomorphes lorsque la structure complexe varie.  On d\'etermine
l'\'equation diff\'erentielle naturelle satisfaite par ses p\'eriodes,
qui est {\sl l'\'equation de Picard-Fuchs}.  Cet aspect est trait\'e
en d\'etail, avec au pr\'ealable la description donn\'ee par Griffiths
de la cohomologie d'une hypersurface de $\bP^n$. Les d\'etails sont
dans le \S8, et suivent en partie l'expos\'e de [C-G]. Les calculs
sont d\'etaill\'es car c'est essentiellement ici qu'on peut tout
calculer. Notons que le contexte g\'eom\'etrique (diff\'erentiel) a
\'et\'e formalis\'e par les physiciens sous le nom de ``g\'eom\'etrie
sp\'eciale'' [Str].

Dans les \S9 et 10, on traite l'exemple c\'el\`ebre depuis [C-O-G-P]
de l'hyper\-sur\-face quintique de $\bP^4$ et de sa vari\'et\'e
miroir. Les m\'ethodes de la partie I interviennent lors de la
discussion de l'accouplement de Yukawa. Expliquons bri\`evement de
quoi il s'agit. Soit $f:X\to\Delta$ une d\'eg\'en\'erescence de
vari\'et\'es de Calabi-Yau de dimension 3, soit $\omega(s)$ une
3-forme holomorphe relative ($s\in \Delta$) et soit enfin
$\nabla_{{d\over ds}}:\cH^3\to \cH^3$ la d\'eriv\'ee covariante
induite par la connexion de Gauss-Manin. Il r\'esulte de la
propri\'et\'e de  transversalit\'e que $\nabla_{{d\over
ds}}\omega(s)$ est une somme de termes de type $(3,0)$ et $(2,1)$ et
donc $\int_{X_s}\omega(s)\wedge \nabla_{{d\over ds}}\omega(s)=0 =
\int_{X_s}\omega(s)\wedge \nabla_{{d\over ds}}^2\omega(s)$. Par contre
reste la fonction non-nulle :
$$\
\kappa_{sss}=\int_{X_s}\omega(s)\wedge \nabla_{{d\over
ds}}^3 \omega(s)
$$
qui est {\sl l'accouplement
\index{7}{ACC}{Accouplement de Yukawa}%
\index{203}{YUK}{Yakawa, accouplement de}%
de Yukawa}. 

Cette fonction satisfait \`a une \'equation diff\'erentielle li\'ee
\`a l'\'equation de Picard-Fuchs. L'analyse cruciale ici est celle du
comportement de $\kappa_{sss}$ lorsque $s$ tend vers z\'ero.  On verra
pour justifier l'existence d'un param\`etre canonique qu'il est
n\'ecessaire de s'appuyer sur l'existence d'une structure de Hodge
limite, argument essentiellement d{\^u} \`a Morrison [Mor1].  Le
param\`etre canonique auquel on vient de faire allusion est de la
forme $q=\exp(2\pi\ii \tau)$ o\`u $\tau$ est le quotient de deux
p\'eriodes convenables. Cela \'etant fait, on peut d\'efinir le
$q$-d\'eveloppement de $\kappa_{sss}$ pour $s\to 0$ et observer que ce
d\'eveloppement fait appara\^{\i}tre des coefficients {\sl entiers
positifs}, qui selon le principe de sym\'etrie conduisent aux nombres
de courbes rationnelles de degr\'e donn\'e sur l'hypersurface
quintique, nombres inabordables par la g\'eom\'etrie alg\'ebrique sauf
en degr\'e petit. Cet exemple montre clairement qu'en liaison avec le
ph\'enom\`ene de sym\'etrie miroir se posent \`a c\^ot\'e de
nombreuses questions g\'eom\'etriques, et de tr\`es int\'eressants
probl\`emes arithm\'etiques. Ces questions sont esquiss\'ees dans [L-Y].

Dans le paragraphe final (\S11) nous discuterons, selon une id\'ee de 
Deligne [Del6], une approche possible de la sym\'etrie miroir en 
termes d'une dualit\'e entre certaines variations de structures de Hodge.

Terminons cette introduction en donnant quelques indications
bibliographiques qui peuvent aider le lecteur \`a p\'en\'etrer ce
vaste domaine.
\smallskip

{\parskip 0.2pt
\smallitem{$\bu$} L'article [Grif3] peut \^etre consid\'er\'e comme le
premier article de synth\`ese. Il contient beaucoup d'exemples et
des calculs concrets; les probl\`emes \'enonc\'es dans cet article
ont inspir\'e beaucoup de monde et bien que maintenant partiellement
r\'esolus, il  reste encore ``des choses \`a faire''. 

\smallitem{$\bu$} Ensuite dans [G-S] on trouve entre autre une introduction
relativement \'el\'ementaire \`a la th\'eorie de Hodge mixte
appliqu\'ee aux questions de d\'e\-g\'en\'eres\-cences.

\smallitem{$\bu$} L'article [P-S] explique comment on peut  utiliser les
variations infini\-t\'esi\-males pour r\'esoudre certains cas du
{\sl probl\`eme de Torelli} : une vari\'et\'e est-elle d\'etermin\'ee
(\`a isomorphisme pr\`es) par la structure de Hodge sur la cohomologie
(enti\`ere)? On trouve, l\`a aussi, une introduction aux domaines de
p\'eriodes et aux espaces des modules.

\smallitem{$\bu$} La monographie [Grif4] est une tr\`es bonne introduction
au sujet, elle contient des articles assez d\'etaill\'es sur les
variations de structures de Hodge (aussi sur les VSH
infinit\'esimales). Y figure aussi une discussion des propri\'et\'es
de la courbure de la m\'etrique naturelle d'un domaine de p\'eriodes,
r\'esultat qui est utilis\'e dans le \S4. On notera que l'article
fondamental [S] de Schmid contient des paragraphes pouvant servir
d'introduction efficace \`a certains aspects de la th\'eorie
de Griffiths.
 
\smallitem{$\bu$} L'article [B-Z] se veut une synth\`ese des travaux
r\'ecents sur la th\'eorie de Hodge. On y trouvera plus de d\'etails
sur les mati\`eres des \S4--6. Les progr\`es r\'ecents sur le 
probl\`eme de Torelli (voir ci-dessus) par contre ne sont pas trait\'es
du tout. Pour les $\cD$-modules le lecteur consultera les
articles dans [Bo] et pour la cohomologie d'intersection et la relation
avec les $\cD$-modules on lira le joli livre [Ki].

\smallitem{$\bu$} Comme indiqu\'e plus haut, l'article [V]
peut servir comme introduction au probl\`eme de sym\'etrie
miroir. On trouve ici non seulement un traitement du cot\'e
math\'ematique mais aussi une br\`eve introduction \`a l'origine
``physique'' de la conjecture. Voir aussi l'article [F-V]
et les livres [H] et [Y2]  pour des indications sur les aspects physiques. 
Signalons
pour terminer la r\'ef\'erence [B-C-O-V] dans la litt\'erature physique, 
que le lecteur pourra consulter pour des perspectives exaltantes.

}
\medskip

\vbox{\eightpoint
\noindent Nous voudrions remercier tous ceux qui nous ont aid\'e pour rendre
cet expos\'e plus lisible ; en particulier
Jim Carlson, Eduardo Cattani, Bernard Malgrange et Joseph Steenbrink.
}
\newpage

\supersection Partie I. Variations de structures de Hodge|
\titlerunning J.\ Bertin, Ch.\ Peters, Partie I. Variations de structures 
de Hodge|

\section \Smark1.  Fibr\'es de Hodge|

{\eightpoint On reprend dans ce paragraphe la d\'efinition alg\'ebrique
(et analytique) des faisceaux de cohomologie de De Rham de l'expos\'e
 d'Illusie [Ill].
La filtration na\"{\i}ve sur le complexe des formes diff\'erentielles
relatives donne lieu \`a la suite spectrale de Hodge vers De Rham et 
d\'efinit la filtration de Hodge sur l'aboutissement, la cohomologie
relative.  Dans le cas d'une famille de vari\'et\'es analytiques
complexes, projectives
et lisses on obtient la filtration de Hodge [Dem] qui est une
filtration par des  sous-fibr\'es holomorphes du fibr\'e de cohomologie
relative. Le language utilis\'e est celui de l'hypercohomologie [Ill]. 
}
 
Fixons les notations utilis\'ees dans la suite~: un sch\'ema est un
sch\'ema de type fini  sur un corps $k$ alg\'ebriquement clos, de
caract\'eristique nulle. On peut supposer $k=\bC$ si on veut. Pour les
incidences du choix de la caract\'eristique positive, nous renvoyons
\`a [Ill].
Lorsque $k=\bC$, on passera sans explications pr\'ecises de la
structure de sch\'ema \`a la structure d'espace analytique
associ\'ee. De la m\^eme mani\`ere, si $X$ est un sch\'ema
lisse, on aura \`a consid\'erer la structure de vari\'et\'e
$C^\infty$ sous-jacente sans avoir \`a le signaler avec pr\'ecision.

Un faisceau sera un faisceau de $\cO_X$-modules ou bien un faisceau
ab\'elien si on ne retient que la structure $C^\infty$. La cohomologie,
outil indispensable lorsqu'on a \`a manipuler des familles, est la
cohomologie \`a coefficients dans un faisceau (voir le livre
[God] par exemple).

Nous utiliserons aussi le langage de {\sl l'hy\-per\-cohomo\-lo\-gie}. 
Soit $\Omega^\bu$ un complexe (born\'e inf\'erieurement) et $\Omega
^\bu \to I^\bu$ une ``r\'esolution'' injective (ou flasque), c'est-\`a-dire
qui est un isomorphisme si on passe aux faisceaux de cohomologie, alors
$H^\bu(X,\Omega ^\bu)$ est par d\'efinition l'objet gradu\'e
$h^\bu(\Gamma (X,I^\bu))$~; de m\^eme si $f:X\to S$ est une
application continue, un morphisme de sch\'emas, etc., $\bR^\bu f_*(\Omega
^\bu) = h^\bu(f_*(I^\bu))$ est l'objet gradu\'e form\'e des images
directes sup\'erieures \`a coefficients dans le com\-plexe~$\Omega^\bu$. 

Consid\'erons par exemple la cohomologie d'une vari\'et\'e $C^\infty$,
\`a coefficients constants $\bC$. C'est par d\'efinition $H^i(X,\bC)$,
$\bC=$ faisceau constant. Le complexe de De Rham $\cA^\bu_X$ des formes
diff\'erentielles $C^\infty$ \`a coefficients complexes est une
r\'esolution du faisceau constant $\bC$ 
\index{8}{LEM}{Lemme de Poincar\'e}%
\index{204}{POI}{\hri lemme de Poincar\'e}%
({\sl lemme de Poincar\'e}), donc le fait classique~:
$$
H^i(X,\bC) = H^i(X,\cA^\bu_X) = h^i(\Gamma (X,\cA^\bu_X)).
$$
Si $X$ est une vari\'et\'e analytique complexe, le faisceau $\Omega
^p_X$ \'etant le faisceau des $p$-formes holomorphes, le complexe de
De Rham holomorphe $\Omega ^\bu_X$ est une r\'esolution de $\bC$ ({\sl
\index{9}{LEM}{Lemme de Poincar\'e holomorphe}%
\index{205}{POI}{\hri lemme de Poincar\'e holomorphe}%
lemme de Poincar\'e holomorphe}), d'o\`u~:
$$
H^i(X,\bC) = H^i(X,\Omega ^\bu_X) \qquad\hbox{(hypercohomologie)}.
$$
Si maintenant $X$ est un sch\'ema, suppos\'e lisse (non singulier),
on peut consid\'erer le complexe $\Omega ^\bu_{X/k}$ des formes
diff\'erentielles alg\'ebriques (de K\"ahler). Les espaces
vectoriels $H^i(X,\Omega ^\bu_{X/k})$ sont par d\'efinition, la
\index{10}{COH}{Cohomologie de De Rham}%
\index{211}{DER}{\hri cohomologie de De Rham}%
cohomologie de De Rham (alg\'ebrique) de $X$. Si
$k=\bC$, et si $X$ est en plus projective, il r\'esulte des th\'eor\`emes de
comparaison alg\'ebrique-analytique (GAGA) [Se] que $H^i(X,\Omega ^\bu_X)$
est le m\^eme selon que $\Omega ^\bu_X$ est le complexe
alg\'ebrique  ou le complexe holomorphe. Donc si $k=\bC$, la
cohomologie de $X$ pour la topologie transcendante  se calcule \`a
partir des formes diff\'erentielles alg\'ebriques. 

Passons \`a la {\sl situation relative}.  Soit $f: X\to S$ un
morphisme de sch\'emas~; on suppose $f$ propre. On peut d\'efinir
([Ill]) le complexe des formes de K\"ahler relatif $\Omega
^\bu_{X/S}$, qui est un complexe de $\cO_X$-modules de type fini ($f$
est de type fini), et avec pour diff\'erentielle $d_{X/S}$, un
op\'erateur $f^{-1}(\cO_S)$ lin\'eaire. La formation de $\Omega
^\bu_{X/S}$ est compatible aux changements de base. Si $S$, $X$ et $f$
sont lisses, et si $k=\bC$, on a l'analogue analytique $\Omega ^{\bu
\an}_{X/S}$ (resp. $C^\infty$, $\cA^\bu_{X/S}$) qui est compatible aux
changements de base.  

On d\'efinit les faisceaux de cohomologie de De Rham (alg\'ebrique)
par ([Ill])
$$
\boxit{4pt}{
$\disp\cH^k(X/S):= \bR^kf_* (\Omega^\bu_{X/S}).$}
$$

Intuitivement, la fibre en $s\in S$ de $\cH^k(X/S)$ est $H^k(X_s,\Omega
^\bu_{X_s/k})$, si on note $X_s {=} f^{-1}(s)$. A c\^ot\'e des
faisceaux de cohomologie de De Rham, il y a les 
\index{11}{FAI}{Faisceau de Hodge}%
\index{206}{HOD}{\hri faisceau de Hodge}%
{\sl faisceaux de Hodge} : $R^q f_*(\Omega ^p_{X/S})$, c'est-\`a-dire 
si $S$ est r\'eduit \`a un point,
$H^q(X,\Omega ^p_{X/k})$.

Si $k=\bC$, et si on remplace les formes diff\'erentielles
alg\'ebriques relatives $\Omega ^\bu_{X/S}$ par les formes
holomorphes relatives $\Omega ^{\bu \an}_{X/S}$ l\`a encore les
th\'eor\`emes de comparaison assurent que le r\'esultat est le
m\^eme.

Filtrons le complexe $\Omega ^\bu_{X/S}$ (alg\'ebrique,
holomorphe,$\ldots$) par la 
\index{12}{FIL}{Filtration de Hodge}%
\index{207}{HOD}{\hri filtration de Hodge}%
{\sl filtration de Hodge} (ou na\"{\i}ve)
$$
F^p(\Omega ^\bu_{X/S}) = (\Omega ^\bu_{X/S})^{\ge p}
$$
qui est le complexe qui a le m\^eme terme en degr\'e $i\ge p$, et
qui est nul en degr\'e $<p$. Alors, la suite spectrale associ\'ee
\`a cette filtration finie, et au foncteur $f_*$, est la suite
spectrale de Hodge vers De Rham~:
$$
\boxit{4pt}{
$\disp E^{pq}_1 = R^q f_*(\Omega ^p_{X/S}) \Longrightarrow \cH^{p+q}(X/S)
= \bR^{p+q}f_*(\Omega ^\bu_{X/S}).$}
\leqno\hbox{(HDR)}
$$
Il en d\'ecoule une filtration sur l'aboutissement $F^p
\cH^k(X/S)$, la filtration de Hodge de la cohomologie de De Rham, et un
objet gradu\'e associ\'e
$$
E^{p,q}_\infty = \gr^p\big(\cH^{p+q}(X/S)\big).
$$
L'hypoth\`ese essentielle est~:

\state 1.1. Hypoth\`ese|La suite spectrale de Hodge vers De Rham
(relative) d\'eg\'en\`ere au terme $E_1$.
\endstate

Cela signifie
$$
E_1 = E_2 = \cdots = E_\infty
$$
en particulier
$$
E^{pq}_1 = R^q f_* (\Omega ^p_{X/S}) = {F^p \cH^{p+q}(X/S)\over
F^{p+1} \cH^{p+q}(X/S)}.
$$
Cette hypoth\`ese est discut\'ee dans [Ill].  Contentons-nous
de l'\'enonc\'e suivant qui indique les con\-s\'e\-quen\-ces
tr\`es importantes sur les faisceaux de Hodge (voir  [Del3], th.
5.5 et [Dem] \S10 pour  le cas complexe).

\state 1.2. Th\'eor\`eme|Soit $S$ un sch\'ema de
caract\'eristique 0~; on suppose le morphisme $f: X\to S$ propre et
lisse. Alors~:
\smallskip
\item{\rm(i)} Les faisceaux $R^pf_*(\Omega ^p_{X/S})$ sont localement
libres de type fini de formation compatible \`a tout changement de
base.
\smallskip
\item{\rm(ii)} La suite spectrale (HDR) d\'eg\'en\`ere au terme
$E_1$.
\smallskip
\item{\rm(iii)} Les faisceaux $F^p \cH^{p+q}(X/S)$ sont localement
libres de rang fini et de formation compatible \`a tout changement de
base.
\smallskip
\item{\rm(iv)} La suite spectrale (HDR) a pour fibre en $s\in S$, la
suite spectrale correspondante \`a~$X_s$.
\vskip0pt
\endstate

\state 1.3. Remarques|\rm

Si $S$ est lisse, connexe, la th\'eorie transcendante [Dem]
dit que les nombres de Hodge $h^{p,q}(s) = \dim H^{p,q}(X_s)$ sont
constants. Alors on peut en d\'eduire que $R^p f_*(\Omega ^p_{X/S})_s
= H^q(X_s,\Omega ^p_{X_s})$. Dans le cas g\'en\'eral, la
d\'eg\'en\'e\-rescence de la suite spectrale de Hodge en un point
$s\in S$ entra\^{\i}ne (i) \`a (iv) par des arguments
g\'en\'eraux de Grothendieck (``lemme d'\'echange'' [Del3],
th. 5.5).

Supposons $k=\bC$, et toujours $f: X\to S$ propre et lisse. Par le lemme
de Poincar\'e holomorphe relatif, le complexe $\Omega ^{\bu
\an}_{X/S}$ est une r\'esolution du faisceau $f^{-1}(\cO_S)$ (image
r\'eciproque faisceautique). (Il suffit de se restreindre \`a la
fibre  $X_s = f^{-1}(s)$). Alors
$$
\eqalign{
\cH^k(X/S) &= R^k f_*(f^{-1}(\cO_S))\cr
&\cong \cO_S \otimes_{\bC} R^k f_* \bC.\cr}
$$
Pour justifier cette identification, rappelons le th\'eor\`eme de
changement de base en cohomologie (\`a supports propres) (voir Iversen
[Iv]). Soit un carr\'e cart\'esien
$$
\eqalign{
Y&{}\build\lra|{\disp q}||X\cr
g\big\downarrow~&\phantom{\lra}\quad\big\downarrow f\cr
\noalign{\vskip3pt}
T&{}\build \lra|{\disp p}||S\cr}
$$
avec $f$ propre, $X$, $S$, $T$, $Y$ des espaces localement compacts.
Pour tout faisceau ab\'elien $F$ sur $X$, on a un isomorphisme
canonique~:
$$
p^*R^kf_*F \build\lra|{\disp\sim}|| R^kg_*q^*F.
$$
Si on tient compte de la formule de projection (loc. cit.) on a
l'identification ci-dessus. Ainsi on a un lien (si $k=\bC$), entre la
cohomologie de De Rham et la cohomologie \`a coefficients constants,
que nous pr\'eciserons dans le \S2.A.
\endstate

Dor\'enavant on utilise la convention suivante:

\state 1.4. D\'efinition|Une {\sl famille de vari\'et\'es
\index{13}{FAM}{Famille de vari\'et\'es alg\'ebriques projectives}%
alg\'ebriques projectives } est la donn\'ee d'un morphisme $f: X\to
S$, lisse \`a fibres connexes tel que $f$ factorise par $\bP^N
\times S$ :  il existe une immersion ferm\'ee $i:X\to \bP^N\times S$,
telle que $f={\rm pr}_S\circ i$.
\endstate

Le morphisme $f$ est donc propre. On se place dans l'hypoth\`ese de
d\'eg\'en\'e\-rescence de la suite spectrale de Hodge. La filtration
d\'ecrois\-sante $\cF^p(\cH^k(X/S))$, est rappelons-le, la {\sl
filtration de Hodge}. Les $\cF^p$ sont des sous-fibr\'es vectoriels de
$\cH^k(X/S)$, et $\cF^p/\cF^{p+1} \cong R^qf_* (\Omega ^p_{X/S})$.

\section \Smark2. Connexion de Gauss-Manin|

{\eightpoint
Pour \'etudier la variation des classes de cohomologie de De Rham dans
une famille, il est essentiel de pouvoir d\'eriver ces classes par
rapport aux coordonn\'ees locales sur la base $S$. Le but de ce
paragraphe est de donner un sens pr\'ecis \`a cela en expliquant  en
d\'etail les constructions de Katz et Oda ([Ka], [K-O]). La
construction met en \'evidence une ``connexion'' sur une r\'esolution
du complexe de De Rham qui apr\`es passage \`a la cohomologie conduit
\`a la connexion de Gauss-Manin. Le cadre de ce paragraphe  est celui
des sch\'emas.} 

\subsection \Smark2.A. Syst\`emes locaux|

Soit $S$ un espace topologique. Un faisceau $\cV$ (d'ensembles, de
groupes, d'espaces vectoriels etc.) localement constant est appel\'e un
\index{14}{SYS}{Syst\`eme local}%
{\sl syst\`eme local}.  Donc il y a un recouvrement ouvert de $S$ tel que  
$\cV$ soit constant sur les ouverts de ce recouvrement. On voit facilement
qu'un faisceau localement constant est constant sur un espace simplement
connexe et donc le rel\`evement de $\cV$ au rev\^etement universel est
constant de fibre $V$ disons; alors  on obtient $\cV$ comme quotient de
$\tilde S \times V$ par le groupe fondamental de $S$ qui agit sur
$\tilde S \times V$ de fa\c{c}on naturelle : $\gamma((\tilde
s),f)=(\tilde s\cdot \gamma, \gamma^{-1}f)$, o\`u $\gamma\in \pi_1(S)$
agit \`a droite sur $\tilde S$ et \`a gauche sur $V$. Cette action
conduit \`a  une repr\'esentation de $\pi_1(S)$ dans $V$, la
\index{15}{REP}{Repr\'esentation de Monodromie}%
\index{208}{MON}{\hri repr\'esentation de Monodromie}%
{\sl repr\'esentation de monodromie}.

On suppose maintenant que  $S$ est un sch\'ema
(resp. espace analytique, vari\'et\'e $C^\infty$) avec faisceau
structural $\cO_S$. On appelle {\sl faisceau associ\'e} au syst\`eme
local $\cV$, le faisceau de $\cO_S$-modules $\cV\otimes_\bC\cO_S$;  il est
localement  libre, c'est-\`a-dire un fibr\'e vectoriel sur $S$. Un tel
fibr\'e vectoriel est caract\'eris\'e par le fait qu'il existe
un recouvrement ouvert trivialisant tel que sur l'intersection de deux de ces
ouverts, la matrice de transition est \`a coefficients constants
 
Rappelons [Dem] qu'une
\index{16}{CON}{Connexion}%
{\sl connexion} sur $\cF$, est un op\'erateur $k$-lin\'eaire $\nabla:\cF
\to \Omega ^1_S
\otimes_{\cO_S} \cF$ (resp. $\Omega ^{1,\an}_S \otimes \cF ,\cA^1_S
\otimes \cF$), qui satisfait \`a la r\`egle de Leibniz~: 
$$
\nabla(ae) = da\otimes e + a\nabla e.
$$
On peut \'etendre $\nabla$ en une application $k$-lin\'eaire~:
$\nabla: \Omega ^p_S \otimes_{\cO_S}  \cF \to \Omega ^{p+q}_S
\otimes_{\cO_S} \cF$ en for\c{c}ant la r\`egle~: $\nabla (\alpha
\otimes e) = d\alpha \otimes e + (-1)^p \alpha  \wedge \nabla e$
($\alpha =p$-forme). Alors l'op\'erateur $R = \nabla\nabla$ est
$\cO_S$-lin\'eaire~; on a 
$$
R\in \Hom_{\cO_S}(\cF,\Omega ^2_S \otimes_{\cO_S} \cF) =
\Omega ^2_S(\End(\cF)),
$$
on l'appelle
\index{17}{COU}{Courbure}%
{\sl l'op\'erateur de courbure} de $\nabla$. La
\index{18}{CON}{Connexion int\'egrable ou plate}%
\index{209}{INT}{\hri connexion int\'egrable ou plate}%
connexion est dite {\sl int\'egrable} (ou {\sl plate}) si $R=0$, donc si
$$
0\lra \cF \build \lra|\nabla|| \Omega ^1_S \otimes \cF \build
\lra|\nabla|| \Omega ^2_S \otimes \cF \lra \cdots 
$$
est un complexe. On l'appelle le
\index{19}{COM}{Complexe de De Rham associ\'e \`a une connexion}%
\index{210}{DER}{\hri complexe de De Rham associ\'e \`a une connexion}%
{\sl complexe de De Rham associ\'e}, vu le cas particulier $\cF=\cO_S$,
$\nabla=d$.

Rappelons que pour tout champ $v$ sur $X$ (ou sur un ouvert de $X$),
l'op\'erateur $k$-lin\'eaire $\nabla_v$ (contraction de $\nabla$ avec
$v$) est appel\'e la d\'eriv\'ee covariante dans la direction de $v$. La
condition d'int\'egrabilit\'e \'equivaut \`a
$$
[\nabla_v,\nabla_w] = \nabla_{[v,w]} \qquad\hbox{($v$, $w$ champs sur
$X$),}\leqno(\rm plat)
$$
$[v,w]$ \'etant le crochet des champs $v$ et $w$.

Lorsque $k=\bC$, si $\nabla$ est une connexion int\'egrable sur le
fibr\'e vectoriel $\cF$ (faisceau localement libre de rang $n$), le
th\'eor\`eme d'existence locale des solutions des \'equations
diff\'erentielles lin\'eaires, ici l'\'equation $\nabla e=0$,
entra\^{\i}ne que $\cV = \ker(\nabla) \subset \cF$ est un sous-faisceau
localement constant et que $\cF = \cV \otimes_\bC \cO_S$ est le fibr\'e
associ\'e \`a $\cV$. Alors $\nabla = 1\otimes d$, ce qui signifie
que si on choisit localement une base $\{e_i\}$ de $F$, compos\'ee de
sections plates (sections de $\cV$): $\nabla(\sum_i a_i\otimes e_i) =
\sum_i  da_i \otimes e_i$. 

Inversement, pour un faisceau $\cV$ localement constant sur $S$,
$\cF=\cV\otimes\cO_S$ le fibr\'e associ\'e, $\nabla=1\otimes d$ est une
connexion plate avec $\ker \nabla=\cV$. Donc, il y a une \'equivalence
de cat\'egories, entre les fibr\'es plats, i.e.\ les couples
$(\cF,\nabla)$ avec $R_\nabla =0$) et les faisceaux localement constants
de $\bC$ espaces vectoriels, les morphismes de fibr\'es \'etant les 
morphismes horizontaux. 

Revenons \`a la situation g\'eom\'etrique avec $f: X\to S$, qui
repr\'esente une famille de vari\'et\'es alg\'ebriques
projectives, lisses. 
On a vu [Dem \S10], qu'une famille est localement
triviale du point de vue
$C^\infty$ et donc que les faisceaux ab\'eliens
$R^k f_*\bC$, $R^kf_*\bR$, $R^kf_*\bZ  $ sont des syst\`emes locaux.
Ainsi $\cH^k(X/S) = R^kf_*(\bC) \otimes_\bC
\cO_S$ ; on appelle
\index{20}{CON}{Connexion de Gauss-Manin}%
\index{212}{GAU}{\hri connexion de Gauss-Manin}%
{\sl connexion de Gauss-Manin\/} sur le fibr\'e de cohomologie
$\cH^k(X/S)$, l'unique connexion (holomorphe) qui a pour sections
horizontales (ou plates), les sections de $R^kf_*(\bC)$, i.e.:
$$
\nabla_{\GM}(e) = 0 \Longleftrightarrow e \in R^kf_*(\bC).
$$
 
\subsection \Smark2.B. L'application de Kodaira-Spencer|    

Maintenant $k$ est arbitraire, et $S$ est un sch\'ema lisse de type
fini sur $k$. Du fait de la lissit\'e de $f$, on a une suite exacte
$$
0 \lra f^*(\Omega ^1_S) \lra \Omega ^1_X \lra \Omega ^1_{X/S} \lra
0~.\leqno(1)
$$
Cette extension, qui en g\'en\'eral est non triviale, est associ\'ee
\`a une classe $c\in \Ext^1(\Omega ^1_{X/S},f^*(\Omega ^1_S))$, et
comme $\Omega^1_{X/S}$ est localement libre, on a la suite exacte
$$
\Ext^1(\Omega ^1_{X/S},f^*(\Omega ^1_S))
\cong H^1(X,\Hom_{\cO_X}(\Omega ^1_{X/S},f^*(\Omega ^1_S))~;
$$
 l'image de $c$ par l'application canonique
$$\matrix{
H^1(X,\underbrace{\Hom_{\cO_X}(\Omega ^1_{X/S},f^*(\Omega
^1S}_{\disp {=T_{X/S}\otimes f^*(\Omega ^1_S)}})) &\lra
&H^0(X,R^1f_*(T_{X/S}\otimes f^*(\Omega ^1_S))\cr
\noalign{\vskip-20pt}
&&\|\cr
&&H^0(X,\Omega ^1_S \otimes R^1f_*(T_{X/S}))\cr}
$$
est appel\'ee la {\sl classe de
\index{21}{KOD}{\hri classe de Kodaira-Spencer}%
Kodaira-Spencer}
de
$X/S$~; on peut voir cette classe comme un morphisme, le {\sl morphisme de
\index{22}{KOD}{\hri morphisme de Kodaira-Spencer}%
Kodaira-Spencer}~: $\rho_{X/S}: T_S \lra R^1f_*(T_{X/S})$. La fibre
$(\rho_{X/S})_s = \rho_s: T_{S,s} \lra H^1(X_s,T_{X_s})$ est 
{\sl l'application 
\index{23}{KOD}{\hri application de Kodaira-Spencer}%
de Kodaira-Spencer} en $s\in S$.

Rappelons ([Ill]) que si $c\in H^1(X,\Hom(\cF,\cG))$ est la
classe d'une extension $0 \to \cG \to \cH \to \cF \to 0$, le morphisme
bord $\partial: H^q(X,\cF) \to H^{q+1}(X,\cG)$ s'identifie avec le
 cup-produit avec $c$.

{\sl L'application de Kodaira-Spencer en $s$ mesure comment $X_s$ se
d\'eforme dans la famille $X/S$ au voisinage de $s$, du moins infinit\'esimalement} 

On reviendra \`a l'application de Kodaira-Spencer dans le \S3.C.


\subsection \Smark2.C. Alg\'ebricit\'e de la connexion de Gauss-Manin|

Les faisceaux $\cH^k(X/S)$, $\cF^p\cH^k$ ont une d\'efinition
al\-g\'e\-bri\-que, via la  cohomologie de De Rham al\-g\'e\-bri\-que~;
on va voir qu'il en est de m\^eme pour la connexion de Gauss-Manin.


Passons au complexe de De Rham $\Omega ^\bu_{X/k} = \Lambda^\bu \Omega
^1_{X/k}$~; ce complexe n'est pas en g\'en\'eral ``multiplicatif'' par
rapport aux deux extr\^emes. On introduit alors la filtration de
Koszul de $\Omega ^\bu_{X/k}$ qui mesure cette d\'eviation. La
d\'efinition vaut pour toute extension $0\to \cG \to \cH \to \cF \to 0$
(de $\cO_X$-modules localement libres). On pose~:
$$
F^p \Lambda^\bu \cH = {\rm image\/} \big(\Lambda^p \cG \otimes \Lambda^\bu \cF[-p]
\lra \Lambda^\bu \cH\big)
$$
on a clairement $\gr^p = F^p/F^{p+1} \cong \Lambda^p \cG \otimes \Lambda^\bu
\cF[-p]$, $[-p]$ signifie qu'il y a un d\'ecalage de $-p$ dans le
degr\'e. Consid\'erons la suite exacte de faisceaux~:
 
$$\matrix{
0 &\lra &\kern-10pt\gr^1\kern-10pt  &\lra &F^0/F^2 &\lra &\gr^0 &\lra &0\cr
&&\big\| &&&&\big\| &&\cr
&&\cG \otimes \Lambda^\bu \cF[-1] &&&&\Lambda^\bu \cF&&\cr}
$$

\noindent qui en degr\'e $k$, conduit \`a l'extension~:
$$
0 \lra \cG\otimes \Lambda^{k-1} \cF \lra (F^0/F^2)^k \lra \Lambda^k \cF \lra 0~.
$$
Une v\'erification ais\'ee montre que la classe 
$c_k \in H^1(X,\Hom(\Lambda^k \cF, \cG \otimes \Lambda^{k-1} \cF)$ se
d\'eduit de $c$ par l'appli\-ca\-tion produit int\'erieur
$$
I:\Hom (\cF,\cG) \to \Hom (\Lambda^k\cF,\cG\otimes \Lambda^{k-1} \cF)
$$
o\`u $I(\lambda ) (f_1\wedge\cdots\wedge f_p) = \sum\limits^p_{i=1}
(-1)^{i-1} \lambda (f_i) \otimes f_1 \wedge\cdots \wedge \hat f_i
\wedge \cdots \wedge f_p$.

Retournons \`a la situation g\'eom\'etrique. L'application de
Kodaira-Spencer se d\'eduit de la classe de l'extension (1)~; on va voir
que la connexion de Gauss-Manin se d\'eduit de la classe de l'extension
de complexes
 
$$
\matrix{ 0 &\lra &\kern-10pt \gr^1\kern-10pt &\lra &F^0/F^2 &\lra &\gr^0
&\lra &0\cr &&\big\| &&&&\big\| &&\cr &&f^*(\Omega ^1_S) \otimes
\Omega ^\bu_{X/S}[-1] &&&&\Omega ^\bu _{X/S}&&\cr} \leqno(2)
$$

\noindent (se reporter \`a [Ill] pour une d\'efinition
pr\'ecise).

Consid\'erons le morphisme bord en hypercohomologie
$$\partial: R^kf_*(\gr^0) \lra R^{k+1} f_* (\gr^1)$$
qui apr\`es identification est
$$\matrix{ \partial: \cH^k(X/S) \lra &R^{k+1} f_*(f^*(\Omega
^1_S)\otimes_{\cO_X} \Omega ^\bu_{X/S}[-1])\cr &\big\|\cr &\Omega ^1_S
\otimes_{\cO_S} \cH^k(X/S)\cr}
$$
on en vient au r\'esultat principal~:

\state 2.1. Th\'eor\`eme|
\smallskip
\item{\rm 1)} $\partial$ est une connexion int\'egrable sur le fibr\'e de
cohomologie de De Rham $\cH^k(X/S)$.
\smallskip
\item{\rm 2)} Le complexe de de Rham associ\'e : $(\cH^k(X/S) \otimes \Omega
^\bu_S,\partial)$ s'identifie au complexe $E^{\bu,k}_1$ d\'eduit de
la suite spectrale de $\Omega ^\bu_X$ filtr\'e par la filtration de
Koszul, relativement au foncteur $f_*$.
\smallskip
\item{\rm 3)} Si $k=\bC$, apr\`es identification des faisceaux, $\partial$
co\"{\i}ncide avec $\nabla$.
\vskip0pt
\endstate

Avant de donner les d\'etails de la preuve, indiquons que {\sl 1)\/} et
{\sl 2)\/} s'obtien\-nent facilement si on tient compte de la
compatibilit\'e de la filtration de Koszul relativement au produit
ext\'erieur~: $F^i \wedge F^j \subset F^{i+j}$. Cela permet de
d\'efinir un accouplement dans la suite spectrale
$$
E^{pq}_1 \times E^{p'q'}_1 \lra E^{p+p',q+q'}_1,\qquad (e,e') \longmapsto ee'
$$
tel que $e'e = (-1)^{(p+q)(p'+q')} ee'$ et $d_1(ee') = (d_1e)e' +
(-1)^{p+q} e\cdot d_1(e')$. Il est peut \^etre plus convaincant de
mettre sous forme explicite $\partial$, l'int\'egrabilit\'e sera
alors une cons\'equence facile du r\'esultat. C'est la proc\'edure
que nous allons d\'etailler en plusieurs \'etapes.
\bigskip

\noindent{\bf \'Etape 1}

Le probl\`eme \'etant local sur $S$, on peut supposer $S$ affine (de
Stein, dans le cadre analytique). On suppose d'abord que $X = S\times T$
est un produit, sans supposer que $T$ est projectif~; on peut de la
m\^eme fa\c{c}on supposer que $X$ est \'etale sur $\bA^n\times S$.
Avec cette hypoth\`ese de trivialit\'e de la famille, la suite
exacte (1) est scind\'ee, et $\Omega ^\bu_X = p^*_1(\Omega
^\bu_S)\otimes p_2^*(\Omega ^\bu_T)$ (produit tensoriel de complexes).
On peut identifier $p^*_2(\Omega ^\bu_T)$ avec $\Omega ^\bu_{X/S}$,
alors la diff\'erentielle totale $d_X$ se d\'ecompose en $d_X = d_S
+ d_{X/S}$. On fera attention au fait que le produit tensoriel est sur
$\cO_X$, alors que la diff\'erentielle est seulement $k$-lin\'eaire.
Localement, on peut d\'ecrire la situation de la mani\`ere
suivante~: soit $S=\Spec (A)$, $T=\Spec (B)$, donc $X=\Spec (A\otimes_k
B)$. Prenons $\Omega ^\bu_S = \Lambda^\bu \Omega ^1_{A/k}$, $\Omega
^\bu_T = \Lambda^\bu \Omega ^1_{B/k}$, qui sont des alg\`ebres
gradu\'ees sur $A$ (resp. $B$). Alors on a $\Omega ^1_{X/k} = \Omega
^1_S \otimes_k B \oplus A\otimes_k \Omega ^1_T$ et $\Omega ^\bu_X =
\Omega ^\bu_S \otimes_k \Omega ^\bu_T$ avec la structure naturelle de
$A\otimes_k B$ alg\`ebre gradu\'ee. La diff\'erentielle est $d_X =
d_S + d_T$, avec la signification usuelle~: $d_X(\alpha \otimes \beta )
= d_S(\alpha ) \otimes \beta  + (-1)^p \alpha  \otimes d_T(\beta )$, si
$\alpha \in \Omega ^p_S$, $\beta \in \Omega ^q_T$. Notons que $\Omega
^\bu_{X/S} = A\otimes _k \Omega ^\bu_T$, $d_{X/S} = 1\otimes d_T$. Le
morphisme quotient $\pi : \Omega ^\bu_X \to \Omega ^\bu_{X/S}$ admet
une section naturelle $\varphi$ (de groupes), telle que, avec un abus
d'\'ecriture :
$$
\varphi (hd_{X/S} f_1 \wedge \cdots \wedge d_{X/S} f_p)=h d_{X/S} f_1
\wedge \cdots \wedge d_{X/S} f_p
$$
o\`u \`a droite $d_{X/S}$ est la diff\'erentielle partielle issue
de la d\'ecomposition $d_X = d_S + d_{X/S}$. On a
$$
F^p = \bigoplus_{i\ge p} \Omega ^i_S \otimes \Omega ^j_T \qquad\hbox{et~~}
\Omega ^\bu_X = F^1 \bigoplus\Omega^\bu_{X/S}.
$$

\state 2.2. Lemme|Il existe une d\'erivation $I$ (produit
int\'erieur total) de l'alg\`ebre $\Omega ^\bu_X$, donc $I(\alpha
\wedge \beta ) = I(\alpha )\wedge \beta  + \alpha  \wedge I(\beta )$,
telle que $I(dg) = d_S g$. De plus, on a pour toute forme $\omega \in
\Omega ^\bu_X$ :
$$
\varphi \pi (\omega ) - \omega  \equiv -I(\omega ) ~~(\mod F^2\Omega^\bu_X).
$$
\endstate

\preuve. Avec la description $\Omega ^\bu_X = \Omega ^\bu_S \otimes_k
\Omega ^\bu_T$, on prend pour $I$, la ``d\'erivation'', 
$$
d(\alpha \wedge \beta ) = p\alpha  \wedge \beta  
\qquad\hbox{si $\alpha $ est de degr\'e $p$}~.
$$ 
Notons que $I$ est $\cO_X$ $(= A \otimes_k B)$ lin\'eaire. 

Pour la seconde assertion, on peut supposer $g=a\otimes b$, $(a\in
A,~b\in B)$, alors $d_Xg = d_Sa \otimes b + a\otimes d_T b$ avec $d_Sg =
d_Sa \otimes b$ et $d_{X/S}g = a\otimes d_T b$. On a $I(d_Xg) = d_S a
\otimes b= d_Sg$. Ceci donne plus g\'en\'eralement $I(g dg_1 \wedge
\cdots \wedge dg_p)=\sum\limits^n_{i=1} gdg_1 \wedge \cdots \wedge d_S g_i \wedge \cdots
\wedge dg_p$.

Pour la derni\`ere propri\'et\'e, supposons $\omega  = gdg_1
\wedge\cdots\wedge d_S g_i \wedge \cdots \wedge dg_p$, alors
$$
\eqalignno{
\varphi \pi (\omega ) &= gd_{X/S} g_1\wedge \cdots \wedge d_{X/S} g_p\cr
&= g(dg_1-d_S g_1)\wedge \cdots \wedge (g_p-d_S g_p)\cr
&= \omega  - I(\omega )~~(\mod F^2\Omega ^\bu_X)~.&\cr}
$$
\QED
\bigskip

\noindent{\bf \'Etape 2}

On suppose $S$ affine, et on choisit un recouvrement ouvert fini $X
=\bigcup\limits^m_{\alpha =1} U_\alpha $, o\`u $U_\alpha $ est suppos\'e
\'etale sur $\bA^n\times S$. Ainsi avec une telle trivialisation (se
rapporter \`a l'appendice) on peut, comme indiqu\'e dans l'\'etape 1,
d\'ecomposer le complexe de De Rham $\Omega ^\bu_{U_\alpha /k}$ en un
produit tensoriel
$\Omega ^\bu_S \otimes_{\cO_X} \Omega ^\bu_{U_\alpha /S}$, et
d\'ecomposer la diff\'erentielle $d_X$ sur $U_\alpha $, en
$d_{X/U_\alpha } = d^\alpha _S +d^\alpha _{X/S}$. Notons $\varphi _\alpha
$ la section de $\pi :
\Omega ^\bu_{U_\alpha } \to \Omega ^\bu_{U_\alpha /S}$ qui r\'esulte
de cette d\'ecomposition, et soit $I_\alpha $ le produit int\'erieur
correspondant.

La connexion de Gauss-Manin, d\'ecrit, de mani\`ere cohomologique,
cette d\'ecom\-po\-si\-tion (locale) de $\Omega ^\bu_X$ en un produit
tensoriel $\Omega ^\bu_S \otimes \Omega ^\bu_{X/S}$. Consid\'erons
$\check\cC^\bu(\cU,\Omega ^\bu_X)$ (resp. $\check
\cC^\bu(\cU,F^p)$, etc.), le complexe de \v Cech \`a coefficients
dans $\Omega ^\bu_X$ (resp.\  $\ldots$) ([Ill]) on sait (loc. cit.) que
le morphisme canonique $\Omega ^\bu_X \to \check \cC^\bu(\cU,\Omega
^\bu_X)$ est un quasi-isomorphisme. Notons aussi, que les ouverts
$U_\alpha $ \'etant affines, alors le foncteur $K^\bu \longmapsto
\check \cC^\bu(\cU,K^\bu)$ est exact, par suite~:
$$
\check\cC^\bu(\cU,\gr^p(\Omega ^\bu_X)) = \check
\cC^\bu(\cU,F^p)/\check \cC(\cU,F^{p+1}).
$$
La diff\'erentielle du complexe de \v Cech est not\'ee $d+\delta$
o\`u $d$ est la diff\'erentielle au niveau des formes, et $\delta $
la diff\'erentielle ``de \v Cech'':
$$
(\delta \beta )(i_0\ld i_q) = (-1)^p \sum\limits^q_{j=0} (-1)^j \beta
(i_0\ld \hat i_j\ld i_q)
$$
(si $\beta \in \cC^{p,q}=\cC^q(\cU,\Omega ^p_X)$).

Pour tout indice $\alpha $, soit $h_\alpha  = d^\alpha _S \circ \varphi
_\alpha $ vu comme morphisme de complexes~:  $h_\alpha : \gr^0(\Omega
^\bu_X)_{\big|U_\alpha } \lra  \gr^1(\Omega ^\bu_X)[1]_{\,\big|U_\alpha
}$ (v\'erification imm\'ediate), et soit
$\psi_{\alpha \beta } = \varphi _\beta -\varphi _\alpha $ ($\mod 
F^2$), donc
$$
\psi _{\alpha \beta }: \gr^0(\Omega ^\bu_X)_{\big|U_\alpha \cap
  U_\beta } \lra \gr^1(\Omega ^\bu_X)_{\big|U_\alpha \cap U_\beta.
  }
$$
On a $\psi _{\alpha \beta } + \psi _{\beta \alpha } = \psi _{\alpha
\gamma }$ (pour tout $(\alpha ,\beta ,\gamma )$), et $(h_\beta -h_\alpha
)_{\big|U_\alpha \cap U_\beta } = d\psi _{\alpha
  \beta }$, ce qui signifie
$$
d^\alpha _S\varphi _\alpha  - d^\beta _S \varphi _\beta  = (d^\alpha
_S+d^\alpha _{X/S}) \varphi _\alpha  - (d^\beta _S + d^\beta
_{X/S})\varphi _\beta  - (\varphi _\alpha  - \varphi _\beta )d_{X/S}
$$
on peut ainsi d\'efinir un morphisme de complexes
$$h:\gr^0 \lra \check \cC^\bu(\cU,\gr^1[1])
$$
qui induit (dans la cat\'egorie d\'eriv\'ee) un morphisme
$$\nabla: \gr^0 \lra \gr^1[1].$$
Le lecteur pourra comparer avec la d\'emonstration du lemme (5.4) dans
[Ill]. 

Si on passe \`a la cohomologie, $\nabla$ induit la connexion de
Gauss-Manin. On va faire une construction plus pr\'ecise, et en
d\'eduire l'int\'egrabilit\'e de la connexion.
\bigskip

\noindent{\bf \'Etape 3}

Soit $\beta  \in \cC^q(\cU,\Omega ^p_X)$, posons~:
$$
\cL(\beta )(i_0\ld t_q)= d^{i_0}_S(\beta (i_0\ld i_q))
\qquad\hbox{(d\'eriv\'ee de Lie totale)}
$$
puis
$$
I(\beta)(i_0\ld i_{q+1}) = (-1)^p (I_{i_0}-I_{i_1})(\beta (i_1\ld i_{q+1})
\qquad\hbox{(produit int\'erieur total)}
$$
et
$$
\varphi (\beta )(i_0\ld i_p) = \varphi _{i_0}(\beta (i_0\ld i_p))~.
$$
Notons que $\cL$ est de bidegr\'e $(1,0)$, $I$ de bidegr\'e $(0,1)$.

Un calcul \'el\'ementaire conduit au

\state 2.3. Lemme|$\nabla = \cL+I$ est un morphisme de complexes
$$
\cL+I \in \Hom\big(\check \cC^\bu(\cU,\Omega ^\bu_X),\check
\cC^\bu(\cU,\Omega ^\bu_X[1]\big).
$$
\endstate

Notons que par construction, $\nabla(\check \cC(\cU,F^i)) \subseteq
\check \cC(\cU,F^{i+1})$. Pour s'assurer que sur la cohomologie, le
morphisme induit par $\nabla = \cL+I: \gr^0 \to \gr^1[1]$ est bien la
connexion de Gauss-Manin, la propri\'et\'e suivante est exactement
ce qu'il faut~:

\state 2.4. Lemme|
$$
(d_X+\delta )\varphi  - \varphi (d_{X/S}+\delta ) \equiv
(\cL+I)\circ \varphi  ~~(\mod \check \cC^\bu(F^2)).
$$
\endstate
 
\preuve. Soit $\beta  \in \cC^q(\cU,\Omega ^p_{X/S})$~; 
$$(d_X\varphi  -
\varphi  d_{X/S}) (\beta ) (i_0\ld i_q) = d^{i_0}_S \varphi _{i_0}
(\beta (i_0\ld i_q))~.
$$ 
Un calcul ais\'e montre que 
$$
(\delta \varphi
-\varphi \delta )(\beta ) (i_0\ld i_{q+1}) = (-1)^{p+1} (\varphi
_{i_0}-\varphi _{i_1})(\beta (i_1\ld i_{q+1})).
$$ 
Il suffit alors de v\'erifier que
$$
(-1)^{p+1}(\varphi _{i_0}-\varphi _{i_1})(\omega ) \equiv (-1)^p
I^{i_0} \varphi _{i_1}(\omega ) ~~(\mod F^2)
$$
pour toute forme $\omega  \in \Gamma (U_{i_0}\cap U_{i_1},\Omega
_{X/S})$. Si on pose $\varphi _{i_1}(\omega ) = \alpha $, cette
congruence \'equivaut \`a $\varphi _{i_0}(\pi (\alpha ))-\alpha 
\equiv -I_{i_0}(\alpha )~(\mod F^2)$, qui d\'ecoule alors du lemme
2.\QED
\bigskip
L'int\'egrabilit\'e de la connexion de Gauss-Manin d\'ecoule
imm\'ediatement de la formule du lemme 4. En effet, on en d\'eduit
$$
\nabla((d_X+\delta )\varphi -\varphi (d_{X/S}+\delta )) \equiv
\nabla^2 \circ \varphi  ~~(\mod \check \cC^\bu(F^3)) 
$$
car $\nabla$ est de degr\'e 1 pour la filtration de Koszul et comme
$\nabla$ et $d_X+\delta $ commutent,
$$
(d_X+\delta ) (\nabla\circ \varphi ) - (\nabla \circ \varphi )
(d_{X/S}+\delta )\equiv \nabla^2\circ \varphi  (\mod F^3).
$$
Donc $\nabla^2$ induit le morphisme nul (au sens des cat\'egories
d\'eriv\'ees) de $\gr^0$ dans $\gr^2[2]$.

Avant de conclure, il est utile de souligner le point suivant. Ce qui a
\'et\'e construit dans les \'etapes 1  \`a 3 (lemme 2.3) est une
connexion (``la connexion de Gauss-Manin'') au niveau du complexe de De
Rham (le complexe de \v Cech du complexe de De Rham). Cette connexion
non n\'ecessairement int\'egrable induit au niveau cohomologique la
connexion (int\'egrable) de Gauss-Manin.

Pour terminer la preuve du th\'eor\`eme, reste \`a v\'erifier
que la construction ci-dessus ne d\'epend pas du choix de $\cU =
\{U_\alpha \}$, ce qui est compl\`etement standard.

Si $k=\bC$, il est aussi imm\'ediat que la construction ci-dessus
s'applique avec $S$ de Stein, et les $U_\alpha $ de Stein, et que le
r\'esultat est identique. Pour se convaincre de l'identit\'e entre
cette construction de $\nabla$ et la d\'efinition purement
topologique, on observe que la propri\'et\'e de d\'ecomposition
locale du complexe de De Rham, qui est locale sur $X$ dans le cas
alg\'ebrique et analytique, devient locale sur $S$ avec le complexe
des formes $C^\infty$. Donc on peut supposer que $X\to S$ est une filtration
$C^\infty$ triviale. Dans ce cas, on peut construire des morphismes $\nabla$
au niveau des complexes de De Rham $C^\infty$, soit $\nabla: \cA^\bu_X \to
\cA^\bu_X[1]$, et $\nabla = d_S$ (relativement \`a une
d\'ecomposition). Alors, il est \`a peu pr\`es \'evident que sur
la cohomologie, $\nabla$ induit $d_S\otimes 1$ 
$$\nabla = 1\otimes d_S:
\bR^qf_* (\cA^\bu_{X/S}) \lra \bR^{q+1} f_* (\gr^1[1]) = \cA^1_S \otimes
\bR^q f_* (\cA^\bu _{X/S}).
$$ 
et $\bR^q f_*(\cA^\bu_{X/S}) = \bR^q f_*
(\Omega ^{\bu\an}_{X/S})$ est le faisceau constant $H^q(T,\bC)$ sur $S$
(si $ X =T\times S$).\QED
\medskip

\subsection \Smark2.D. Propri\'et\'e de transversalit\'e de $\nabla$|

Pour tout complexe $\Omega ^\bu$, la filtration de Hodge de $\Omega
^\bu$ est la filtration na\"{\i}ve $\Omega^{\bu\ge}$~; on a
relativement au d\'ecalage~:
$$
(\Omega ^\bu[n])^{\ge p} = (\Omega ^{\bu\ge p+n})[n].
$$
Consid\'erons la suite exacte de complexes  (cf.\ (2))
$$
\matrix{
0 &\lra\kern-1cm &\gr^1            &\kern-1cm\lra
&  F^ 0/F^2 &\lra &\gr^0 &\lra &0\cr
\noalign{\vskip3pt}
&&\big\| &&&&\big\| &&\cr
\noalign{\vskip3pt}
 &&f^*(\Omega ^1_S)\otimes_{\cO_X} \Omega ^\bu_{X/S}[-1] &&&&\Omega
^\bu_{X/S} &\lra &0\cr}
$$
passons au cran $i$ de la filtration de Hodge, on a la suite exacte
$$
0\lra f^*(\Omega ^1_S) \otimes \Omega ^{\bu\ge i-1}
_{X/S}[-1] \lra (F^0/F^2)^{\ge i} \lra \Omega ^{\bu\ge i}
_{X/S} \lra 0
$$ 
et en passant \`a la cohomologie, on obtient un diagramme commutatif~:
$$
\matrix{
\bR^k f_*(\Omega ^\bu_{X/S}) &\build \lra|\partial ||
& \bR^{k+1} f_*(\gr^1[1]) = \Omega ^1_S \otimes_{\cO _S}\bR^kf_*(\Omega
^\bu_{X/S})\cr
\noalign{\vskip3pt}
\big\uparrow &&\big\uparrow\cr
\noalign{\vskip3pt}
\bR^k f_*(\Omega ^{\bu\ge i}
_{X/S}) &\build \lra|\partial ||
& \bR^{k+1} f_*(\gr^1[1]^{\ge i})
= \bR^{k+1} f_*(f^*(\Omega ^1_S)  \otimes  (\Omega
^{\bu\ge i-1}
_{X/S}[-1])\cr
\noalign{\vskip3pt}
 &&\big\|\cr
\noalign{\vskip3pt}
&&\Omega ^1_S \otimes_{\cO_S} \bR^kf_* (\Omega ^{\bu \ge i-1}_{X/S})\cr}.
$$
Les images des fl\`eches verticales du diagramme sont respectivement 
$\cF^i\cH^k(X/S)$ et $\Omega ^1_S \otimes \cF^{i-1} \cH^k(X/S)$, et
de plus $\partial=\nabla$, donc on a la 
\index{24}{GAU}{\hri propri\'et\'e de transversalit\'e}%
\index{25}{TRA}{Transversalit\'e de Griffiths}%
{\sl propri\'et\'e de transversalit\'e\/} pour la connexion de Gauss-Manin.
$$
\boxit{4pt}{
$\disp \nabla(\cF^i\cH^k(X/S) ) \subseteq
\Omega ^1_S \otimes \cF^{i-1} \cH^k(X/S)~.$}
$$
Supposons que la suite spectrale de Hodge vers De Rham
d\'eg\'en\`ere (par ex. $k=\bC$), alors $E^{pq}_1 = R^q f_*(\Omega
^p_{X/S}) = F^p \cH^{p+q}(X/S)/ F^{p+1} \cH^{p+q} (X/S)$.

De plus, il est clair que par passage du gradu\'e associ\'e \`a la
filtration de Hodge sur $\cH^k(X/S)$, $\nabla$ induit une application
$\cO_S$-lin\'eaire.
$$
\ol \nabla: R^qf_*(\Omega ^p_{X/S}) \lra \Omega ^1_S \otimes
R^{q+1} f_*(\Omega ^{p-1}_{X/S})~.
$$
Alors $\ol \nabla$ est le cup-produit avec l'application de
Kodaira-Spencer 
$$\rho _{X/S} \in H^0(S,\Omega ^1_S \otimes
\bR^1f_*(T_{X/S})).
$$
 D'o\`u finalement~:

\state 2.5. Th\'eor\`eme|Relativement \`a la filtration de Hodge
$F^\bu \cH^k(X/S)$, la connexion de Gauss-Manin satisfait \`a la
propri\'et\'e de transversalit\'e de Griffiths~:
$$
\boxit{4pt}{
$\disp\nabla(F^i\cH^k) \subseteq \Omega^1_S \otimes F^{i-1}(\cH^k)~.$}
$$
Si la suite spectrale de Hodge vers De Rham
d\'eg\'en\`ere (par exemple si $k=\bC$), l'application
$\cO_S$-lin\'eaire induite sur le gradu\'e associ\'e, par la
d\'erivation $\nabla$, co\"{\i}ncide avec le cup-produit avec la
classe de Kodaira-Spencer.\endstate \QED

\state 2.6. Notes|\rm

\noindent 1) Toute l'\'etude faite dans les \S1 et \S2, admet une 
transcription quasi-imm\'ediate dans le cadre logarithmique. On suppose que 
$D\subset X$ est un diviseur qui est une r\'eunion de diviseurs lisses
relativement \`a la base $S$, et de sorte que $D$ est \`a croisements
normaux relativement \`a $S$. Dans ce contexte, on peut d\'efinir
(voir [Ill] \S7) le complexe $\Omega ^\bu_{X/S}(\log D)$ des {\sl formes
diff\'erentielles r\'eguli\`eres sur $X-D$, \`a p\^oles
logarithmiques le long de
$D$}. Pour le cas le plus simple d'une hypersurface lisse  voir le \S8
 et pour le cas g\'en\'eral voir [Ka]. On obtient une
suite spectrale de Hodge-vers-De Rham~: 
$$
E^{pq}_1 = R^qf_* (\Omega
^p_{X/S}(\log D)) \Longrightarrow \bR^{p+q} f_* (\Omega ^\bu_{X/S}(\log
D))
$$ 
et la connexion de Gauss-Manin
$$
\nabla: R^qf_*(\Omega ^\bu_{X/S} (\log D)) \lra \Omega  ^1_S
\otimes_{\cO_S} \bR^qf_* (\Omega ^\bu_{X/S} (\log D))
$$
qui satisfait \`a la propri\'et\'e de transversalit\'e de
Griffiths, relativement \`a la filtration de Hodge $F^\bu$, du moins
si on suppose que la suite spectrale ci-dessus d\'eg\'en\`ere au
terme $E_1$ ($k=\bC$). Le lecteur consultera le travail fondamental de
N.~Katz [Ka] pour les d\'etails. 
 
\noindent 2) Dans un travail r\'ecent [H-S], Hinich et Schechtman ont
introduit une application de Kodaira-Spencer d'ordre sup\'erieur, qui
s'applique \`a des op\'erateurs diff\'erentiels et plus seulement
\`a des d\'erivations.
\endstate

\bigskip {\noindent \bf Appendice: ``Coordonn\'ees locales'' en
\index{26}{COO}{Coordonn\'ees locales}%
g\'eom\'etrie alg\'ebrique.}

Pour lever tout doute sur les calculs locaux du \S2, rappelons comment
on travaille avec des coordonn\'ees locales en g\'eom\'etrie
alg\'ebrique.

Soit $X/k$ un sch\'ema de type fini, lisse sur le corps $k$. Alors le
$\cO_X$-module $\Omega ^1_{X/h}$ est localement libre de rang fini
$n=\dim X$~; au voisinage de tout point $x\in X$, on peut trouver des
sections r\'eguli\`eres $s_1\ld s_n \in \Gamma (U,\cO_X)$ telles que
$\{ds_1\ld ds_n\}$ soit une base de $\Omega ^1_{X/h}$ sur $U$.

\state 2.7. D\'efinition|On appelle $s_1\ld s_n$ un syst\`eme de
coordonn\'ees uniformi\-santes (ou param\`etres locaux) sur $U$.
\endstate

On peut alors d\'efinir la d\'eriv\'ee partielle  ${\partial \over
\partial s_i}$ au moyen de la formule $(\alpha \in \Gamma (U,\cO_X))$
$$
d\alpha  = \sum\limits^n_{i=1} {\partial \alpha \over \partial s_i}
ds_i~.
$$
La relation $d^2 =0$ entra\^{\i}ne ${\partial^2 \over \partial s_i
\partial s_j} = {\partial^2\over \partial s_j \partial s_i}$ ($\forall
(i,j)$). Soit maintenant $f: X\to Y$ un morphisme \'etale. Alors le
morphisme canonique $df: f^*(\Omega ^1_{Y/k}) \to \Omega ^1_{X/k}$
est un isomorphisme. Ainsi si $s_1 \ld s_n$ sont des coordonn\'ees
uniformisantes sur $V\subset Y$, $t_1 = f^*(s_1)\ld t_n = f^*(s_n)$
est un syst\`eme de coordonn\'ees uniformisantes sur $U = f^{-1}(V)$. On a
par construction~:
$$
{\partial \over \partial t_i} (f^*(\alpha )) = f^*\big({\partial
\alpha \over \partial s_i}\big) \qquad (\alpha \in \Gamma (V,\cO_Y))~.
$$
Si maintenant $U$ est un ouvert du sch\'ema $X$, et $U$ est \'etale
sur $\bA^n\times S$, supposons que $s_1 \ld s_n$ sont les coordonn\'ees
naturelles sur $\bA^n$. La restriction \`a $U$ de ces $n+m$
coordonn\'ees d\'efinit un syst\`eme de coordonn\'ees locales
sur $U$.
\hyphenation{appli-ca-tion}

\section \Smark3. Variations de structures de Hodge|

{\eightpoint Dans ce paragraphe nous introduisons les notions de
variation de structures de Hodge, de domaine de p\'eriodes et de
variation infinit\'esimale de structures de Hodge.
}

\subsection \Smark3.A. Introduction aux variations de structures de Hodge|

Soit $X\subset \bP^N_\bC$ une vari\'et\'e projective lisse de
dimension $n$, il y a sur $H_\bR = H^k(X,\bR)$ la structure suivante,
appel\'ee
\index{27}{STR}{Structure de Hodge r\'eelle}%
\index{213}{HOD}{\hri structure de Hodge r\'eelle}%
{\sl structure de Hodge r\'eelle de poids $k$}.
\smallskip

\item{1)} Une d\'ecomposition (de Hodge)
$$
H_\bC:= H_\bR \otimes_\bR \bC = \bigoplus_{p+q=k} H^{p,q}
$$
avec $H^{p,q} = \ol H^{q,p}$.
\smallskip

\item{2)} Une filtration de Hodge $F^p = \bigoplus_{i\ge p} H^{i,j}$, 
telle que $H^{p,q} = F^p \cap \ol F^q$, ($p+q=k$) et $H_\bC = F^p\oplus
\ol F^{q+1}$.
\smallskip

\noindent (1 et 2 sont \'equivalentes).

Si $H$ et $H'$ sont des espaces vectoriels r\'eels qui portent une
structure de Hodge (r\'eelle) de poids $k$, resp.\ $k'$, alors il est
ais\'e de voir que sur $H^*$, $H\otimes H'$ et $\Hom(H,H')$ il y a
une structure de Hodge naturelle de poids $-k$, $k+k'$ et $k'-k$. En
particulier $\Hom(H,H)$ a une structure de Hodge de poids 0, et 
$$
\Hom(H,H)^{(a,b)}
= \big\{\lambda:H\to H,~ \lambda (H^{p,q})\subseteq H^{p+a,q+b}\big\}.
$$
On peut interpr\'eter une structure de Hodge comme une
repr\'esentation r\'eelle du groupe alg\'ebrique r\'eel~:
$$
\Res_{\bC/\bR}(\bC^*) =\Spec\bR\big[x,y,(x^2+y^2)^{-1}\big]
$$
(Restriction de Weil du groupe alg\'ebrique $\bC^*$ de $\bC$ \`a
$\bR$). Cela explique que l'on puisse effectuer des op\'erations de
dualit\'e et $\otimes$ sur les structures de Hodge.

Dans le cas g\'eom\'etrique, c'est-\`a-dire quand $X$ est de
K\"ahler, rappelons qu'il y a sur
$H_\bC = H^k(X,\bC)$, une forme bilin\'eaire de parit\'e
$(-1)^k$~: la
\index{28}{FOR}{Forme de Hodge-Riemann}%
\index{214}{HOD}{\hri forme de Hodge-Riemann}%
{\sl forme de Hodge-Riemann} ([Dem])
$$
\boxit{4pt}{
$\disp Q(\alpha,\beta ) = (-1)^{k(k-1)/2} \int_X \alpha \wedge \beta  \wedge
\omega ^{n-k}$}\kern1cm (\dim X=n)
$$
($Q$ est sym\'etrique si $k$ est pair, altern\'ee si $k$
est impair). Lorsque la forme $(1,1)$ r\'eelle $\omega $ est
enti\`ere, donc si $X$ est alg\'ebrique projective, et $\omega$
provient de la classe d'une section hyperplane, $Q\,$ est alors
enti\`ere sur le r\'eseau $H^k(X,\bZ)$/(torsion). Rappelons les
\index{29}{REL}{Relations bilin\'eaires de Hodge-Riemann}%
\index{215}{HOD}{\hri relations bilin\'eaires de Hodge-Riemann}%
{\sl relations bilin\'eaires de Hodge-Riemann}~: 
$$
\boxit{4pt}{
$\disp Q(H^{p,q},H^{p',q'})=0
\qquad\hbox{sauf si~~} (p',q') = (q,p).$}
\leqno\hbox{(R1)}
$$
Il est \'equivalent de dire que le $Q$-orthogonal de $F^p$
est $F^{k-p+1}$. En effet, $F^p = \bigoplus_{i\ge p} H^{i,j}$, $F^{k-p+1}
= \bigoplus_{i\ge k-p+1} H^{i,j}$, ainsi si $i\ge p$, on a $j= k-i \le
k-p$, d'o\`u $Q(F^\ell,F^{k-p+1}) = 0$. Mais $$\dim F^p =
\sum\limits_{i\ge p} h^{i,j} = \sum\limits_{i\ge p} h^{j,i} = \sum\limits_{j\le k-p}
h^{j,i} = \codim (F^{k-p+1})~.$$
Donc $F^{k-p+1} = (F^p)^{\perp}$.
$$
\boxit{4pt}{ 
$\disp \hbox{Si~} 0\not= \xi  \in
\Prim^{p,q}, \qquad \sqrt{-1}^{p-q} Q(\xi ,\ol \xi )>0~.$}
\leqno{\rm(R2)}
$$
Si on introduit l'op\'erateur de Weil,
\index{100}{OPE}{Op\'erateur de Weil}%
\index{216}{WEI}{\hri op\'erateur de Weil}%
qui est l'op\'erateur r\'eel $C\in \Aut_\bC(H_\bC)$, tel que
$C_{\big|H^{p,q}} = \sqrt{-1}^{p-q}$, la forme $\langle \alpha ,\beta
\rangle:= Q(C\alpha ,\bar \beta )$ est une forme hermitienne
appel\'ee
\index{30}{FOR}{Forme de Hodge}%
{\sl forme de Hodge}. La forme de Hodge est
d\'efinie positive sur la partie primitive $\Prim^k(X,\bC)$ de $H^k(X,\bC)$.

Une structure de Hodge (pure) de poids $k$
\index{31}{STR}{Structure de Hodge polaris\'ee}%
\index{32}{POL}{Polarisation}%
{\sl polaris\'ee\/} est la donn\'ee d'une structure de Hodge r\'eelle de poids
$k$~: $(H_\bR,H_\bR\otimes \bC = \oplus H^{p,q}$, $H^{p,q} = {\ol H}^{q,p}$)
et d'une {\sl polarisation\/}~; la polarisation est la donn\'ee d'un
r\'eseau   $H_\bZ \subset H_\bR$, puis une forme bilin\'eaire non
d\'eg\'en\'er\'ee de parit\'e $(-1)^k$ sur $H_\bR$, qui est
enti\`ere sur le r\'eseau (mais pas forc\'ement unimodulaire):
$$
Q(H_\bZ\times H_\bZ) \subseteq \bZ.
$$ 
On exige les deux conditions (R1) et (R2) de Riemann ; en particulier :
$$
\langle \alpha ,\alpha \rangle = Q(C\alpha ,\bar \alpha ) >0 \qquad
(\alpha \not= 0)
$$
avec $C={}$op\'erateur de Weil.

Un isomorphisme de structures de Hodge polaris\'ee est un
isomorphisme qui pr\'eserve les polarisations, i.e.\ les structures
enti\`eres, et les formes bili\-n\'e\-aires.

Soit maintenant $f: X\to S$ une famille de vari\'et\'es
alg\'ebriques projectives lisses~; on suppose $X\subset \bP^N\times
S$ et $f$ est la restriction \`a $X$ de la projection sur $S$. Soit
$X_s = f^{-1}(s) = X\cap \bP^N_\bC\times \{s\}$. Comme il est
expliqu\'e dans [Dem],  $X_s$ porte sur chaque $H^k(X_s,\bC)$
une structure de Hodge  r\'eelle, et $\Prim^k(X_s,\bC)$ poss\`ede
en plus une polarisation d\'efinie par la forme $\omega _s \in
H^{1,1}(X_s,\bZ)$, d\'eduite du plongement $X_s \subset \bP^N$.

Ces structures de Hodge r\'eelles (resp. polaris\'ees)
d\'efinissent une famille (ou variation) de structures de Hodge. On
a en effet les objets suivants~:
\smallskip

\item{1)} Un syst\`eme local de groupes ab\'eliens libres de rang fini
(constant), 
$$\cH^k_\bZ = R^kf_*(\bZ)/\hbox{\rm (torsion)},$$ 
(idem avec $\cH^k_\bR$, $\cH^k_\bC$).
\smallskip

\item{2)} Un fibr\'e vectoriel ($\cO_S$ module localement libre) $\cH^k =
\bR^kf_*(\Omega^\bu_{X/S})$ ($\Omega^\bu_{X/S}=$ formes
alg\'ebriques, ou holomorphes).
\smallskip

\item{3)} Une filtration d\'ecroissante de $\cH^k$ par des 
sous-fibr\'es holomorphes \hbox{$\{\cF^p\}_{p=0\ld k}$} (filtration de Hodge) 
(si on passe \`a la fibre en $s\in S$, $\cH^k_s = H^k(X_s,\bC)$ et
$\cF^p_s$ est exactement la filtration de Hodge sur $H^k(X_s,\bC)$).
On a $\cF^p \cap \ol \cF^{q+1} =0$, $(p+q=k)$.
\smallskip

\noindent Soit $\omega\in
H^0(S,R^2f_*(\bZ))$ l'image de la classe de la section hyperplane
relative (section localement constante). La section $\omega $ induit
en chaque $s\in S$, $\omega_s\in H^2(X_s,\bZ)$ qui est la forme enti\`ere 
$(1,1)$ qui polarise $X_s$. On a ainsi :
\smallskip

\item{4)} Une forme bilin\'eaire non d\'eg\'en\'er\'ee localement
constante, dite ``forme de
\index{33}{FOR}{Forme de Hodge-Riemann}%
\index{217}{HOD}{\hri forme de Hodge-Riemann}%
Hodge-Riemann'',
$Q: \cH^k_\bZ \otimes \cH^k_\bZ \lra \cH^{2n}_\bZ = \bZ$.
\smallskip

\item{5)} Une connexion (int\'egrable) $\nabla:\cH^k \to \Omega ^1_S \otimes
\cH^k$~:
\index{34}{CON}{Connexion de Gauss-Manin}%
\index{218}{GAU}{\hri connexion de Gauss-Manin}%
la connexion de Gauss-Manin, telle que le syst\`eme local des sections
horizontales est $\cH^k_\bC$.
\smallskip

\item{6)} Propri\'et\'e de transversalit\'e de Griffiths
\index{35}{TRA}{Transversalit\'e de Griffiths}%
\index{219}{GRI}{\hri transversalit\'e de Griffiths}%
$$
\nabla (\cF^p) \subseteq \Omega ^1_S \otimes \cF^{p-1}.
$$

\item{7)} L'op\'erateur $L$ de Lefschetz admet une forme globale~: $L$
est le cup-produit avec $\omega $. Noter que $L$ est un op\'erateur
horizontal~; on d\'efinit $\cH^k_{\prim}$ comme le noyau de
$$
L^{n-k+1}: \cH^k \lra \cH^{2n-k+2}.
$$
La fibre en $s\in S$ de $\cH^k_{\prim}$ est $\Prim^k(X_s,\bC)$.
\smallskip

On r\'esume toutes ces donn\'ees, par la d\'efinition suivante,
d'une
\index{36}{VAR}{Variation de structures de Hodge (VHS)}%
\index{220}{HOD}{\hri variation de structures de Hodge (VHS)}%
variation de structures de Hodge (pola\-ri\-s\'ees) (``VHS'' en abr\'eg\'e).

La d\'efinition suivante a \'et\'e formul\'ee par Griffiths ([Grif1]).

\state 3.1. D\'efinition|Une famille de structures de Hodge
$($r\'eelles$)$ de poids $k$, sur $S$, est la donn\'ee de
\smallskip
\item{\rm 1)} Un faisceau localement constant d'espaces vectoriels r\'eels
$\cH_\bR$ sur $S\,;$
\smallskip
\item{\rm 2)} Une filtration finie $\{\cF^p\}$ du fibr\'e vectoriel $\cH:=
\cH_\bR \otimes \cO_S$ $(\cF^p$ est un sous-fibr\'e holomorphe$)\,;$
\smallskip
\noindent avec les conditions~:
\smallskip
\itemitemitem{\kern-2\itemindent{\rm(VHS-1)}}
La connexion naturelle $\nabla = 1\otimes d_S$ sur $\cH$ est
telle que $\nabla \cF^p \subseteq \Omega ^1_S \otimes \cF^{p-1}$
\smallskip
\itemitemitem{\kern-2\itemindent{\rm(VHS-2)}}
En tout point $s\in S$, $\{\cF^p_s\}$ d\'efinit sur
$\cH_\bR)_s$ une structure de Hodge $($r\'eelle$)$ de poids $k$.
\smallskip

\noindent Une polarisation est la donn\'ee, en sus, d'un faisceau
localement constant $\cH_\bZ \subseteq \cH_\bR$, de $\bZ$-modules
libres de rang fini, avec $\cH_\bR \equiv \cH_\bZ \otimes \bR$, et
une forme bilin\'eaire localement constante non d\'eg\'en\'er\'ee
$$
Q: \cH_\bZ \otimes \cH_\bZ \lra \bZ
$$
qui induit en tout $s\in S$ une polarisation de $(\cH_\bR)_s$.
\endstate

Nous ne consid\'erons que des structures de Hodge polaris\'ees.

\state 3.2. D\'efinition|Soit
$\{H_\bZ,\{\cF^p\},\nabla,Q\}$ une variation de structures de Hodge
pola\-ris\'ees sur $S$.
\index{37}{GRO}{Groupe de monodromie}%
\index{221}{MON}{\hri groupe de monodromie}%
Le groupe de monodromie du faisceau localement constant $H_\bZ$ est
appel\'e le groupe de monodromie de la variation (VHS).
\endstate

Pour d\'efinir ce groupe, on fixe $s_0 \in S$ et on consid\`ere
selon la prescription de \S2.A la repr\'esentation de monodromie
$$
T: \pi _1(S,s_0) \lra \Aut_\bZ((H_\bZ)_{s_0}).
$$
Du fait que la forme $Q$ est (localement)  constante, l'image de $T$
(i.e.\ le groupe de monodromie) est incluse dans le groupe orthogonal
$G_\bZ:= \Aut_\bZ((H_\bZ)_{s_0},Q)$.

Rappelons que le faisceau localement constant $\cH_\bZ$ s'obtient par~:
$$
\cH_\bZ = \wt S\times H_\bZ/\pi _1(S,s_0) \qquad (H_\bZ = (\cH_\bZ)_{s_0})
$$
o\`u $\pi _1(S,s_0)$ agit par $\gamma (t,\alpha ) = (t\gamma
,T(\gamma )^{-1}\alpha )$. La repr\'esentation de monodromie
d\'ecrit comment une section locale de $\cH_\bZ$ se d\'eforme par
prolongement analytique le long d'un lacet. Comme on suppose $S$
connexe, toutes les fibres de $\cH_\bZ$ sont isomorphes \`a $H_\bZ =
(\cH_\bZ)_{s_0}$ mais non canoniquement. 


\subsection \Smark3.B. Domaine des p\'eriodes de Griffiths|

Il est naturel de vouloir d\'ecrire ``l'ensemble des structures de
Hodge'' sur
$H_\bR = H_\bZ\otimes \bR$, polaris\'ees par la forme $Q$ sur
$H_\bZ$, avec des nombres de Hodge $h^{p,q}$ fix\'es. On fixe
donc $H_\bZ
\cong \bZ^n$ un groupe ab\'elien, $Q$ une forme (altern\'ee ou
sym\'etrique selon la parit\'e de $k$, le poids) enti\`ere et non
d\'eg\'en\'er\'ee sur $H_\bZ$. Les nombres de Hodge $h^{p,q}$
($=h^{q,p}$), avec $\sum\limits_{p+q=k} h^{p,q} =n$, sont fix\'es~; noter
qu'alors $\dim F^p = \sum\limits_{i\ge p,i+j=k} h^{i,j}$ est fix\'e
($=f^p$). On note $\Gr(k,H_\bC)$ la vari\'et\'e des sous-espaces de
dimension $k$ de $H_\bC$. Rappelons les relations bilin\'eaires de 
Riemann:
\smallskip

\item{1)} Le $Q$-orthogonal de $F^p$ (dans $H_\bC$) est $F^{k-p+1}$ et
\smallskip

\item{2)} Si $C$ est l'op\'erateur de Weil tel que $C(\xi)=\sqrt{-1}^{p-q}\xi$
pour $\xi\in H^{p,q}$, on a $Q(C\xi,\bar\xi)>0$ si $0\not=\xi$.

\state 3.3. Notations|{\rm On note
$$\eqalign{
\check D=\big\{&\hbox{filtrations $F^\bu =
\{F^p\}_{p=0\ld h}$ de $H=H_\bC$,}\cr 
&\hbox{telles que $\dim F^p = f^p$, et pour tout $p$, $Q(F^p,F^{k-p+1})=0$}
\big\}.\cr}$$
$($Alors $F^{k-p+1}$ est le $Q$-orthogonal de $F^p)$.

\noindent On appelle $D$ le sous-ensemble de $\check D$ form\'e des
structures de Hodge, c'est-\`a-dire avec la condition 2 ci-dessus. 

\noindent On note $G_\bR$ le groupe orthogonal de $(H_\bR,Q)$ et $G_\bC$ le
complexifi\'e, $G_\bC = O(H_\bC,Q)$.}
\endstate

\state 3.4. Proposition| 
\smallskip
\item{\rm 1)} $\check D$ est une sous-vari\'et\'e non singuli\`ere de
$\prod\limits_p \Gr(f^p,H)$, qui est en fait un espace homog\`ene du
groupe de Lie complexe $G_\bC$.
$$
\check D = G_\bC/B, \qquad\hbox{($B$ sous-groupe parabolique)}
$$

\item{\rm 2)} $D$ est un ouvert de $\check D$, qui est une orbite du 
groupe de Lie r\'eel $G_\bR$~:
$$
D = G_\bR/B \qquad (V = G_\bR\cap B).
$$
\vskip-3pt
\endstate

\preuve. La preuve n'est pas tr\`es difficile, c'est un exercice
d'alg\`ebre lin\'eaire (th\'eor\`eme de Witt par exemple). On
note que $D$ acquiert une structure de vari\'et\'e analytique
complexe (ouvert de $\check D$). Il est souvent commode de fixer une
structure de Hodge initiale, $\{H^{p,q}_0\}$, et alors d'identifier
$\check D$ avec $G_\bC/B$, o\`u $B$ est le stabilisateur de
$\{F^p_0\}$, et $V$ le stabilisateur de $\{H^{p,q}_0\}$ dans
$G_\bR$.\QED

Il est important de d\'ecrire le fibr\'e tangent \`a $\check D$,
ainsi que les sous-fibr\'es universels $\cF^p$ du fibr\'e trivial
$H\otimes \cO_{\check D}$, comme fibr\'es vectoriels homog\`enes
sur ces espaces homog\`enes.

Rappelons que si $F\subset H$ est un sous-espace de dimension $d$,
l'espace tangent de $\hbox{\rm Gr}(d,H)$ en $[F]$ s'identifie
canoniquement \`a $\Hom(F,H/F)$. \`a partir de l\`a, un vecteur
tangent \`a $\check D$ en $F^\bu = \{F^p\}$, peut-\^etre
identifi\'e \`a une collection d'applications lin\'eaires
$$
\xi _p: F^p \lra H/F^p
$$
avec les compatibilit\'es suivantes~:
$$
\diagram{
F^p &\rarrow{\xi_p}{}{10mm} &H/F^p\cr\noalign{ } 
\uarrow{}{}{5mm} &&\uarrow{}{}{5mm}\cr\noalign{ }  
F^{p+1} &\rarrow{\xi_{p+1}}{}{10mm} &H/F^{p+1}\cr \noalign{\vskip
5mm}
%\grid   
\rightput(1.47,11.3){\eightpoint$\cup$}}
$$
est commutatif et
$$
Q(\xi _p(\alpha ),\beta ) + Q(\alpha ,\xi _{k-p+1}(\beta )) = 0
\qquad
(\alpha \in F_p,~\beta \in F_{k-p+1})
$$
[version infinit\'esimale de la premi\`ere relation bilin\'eaire].

Rappelons qu'on a choisi un point de base $\{H^{p,q}_0\} \in D$. Soit
$$
\eug= \Lie(G_\bC) = \big\{X\in \End (H), Q(X(\alpha ),\beta ) +
Q(\alpha ,X(\beta )) = 0\big\}.
$$
Il y a une structure de Hodge de poids $0$ sur $\eug$, avec
$$
\eug^{r,s} = \big\{X\in\eug,\,X(H^{p,q}) \subseteq H^{p+q,q+s}\big\}.
$$
Alors $\eub=\Lie(B)=\bigoplus_{r\ge 0} \eug^{r,-r}$, et le fibr\'e
tangent
$T_{\check D}$ est le fibr\'e homog\`ene $G_\bC\times_B\eug/\eub$, $B$
agissant par la repr\'esentation adjointe.

Soit $\eug_0 = \Lie(G_\bR)$, alors $\euv = \Lie(V) = \eug_0 \cap
\eug^{0,0}$. Noter que $\eug_0/\euv\cong\eug/\eub$, qui  correspond au
fait que l'ouvert $D\subset \check D$ est une orbite de $G_\bR$.

\state 3.5. D\'efinition {\rm([Grif1])}|{\rm Le sous-fibr\'e $G_\bC
\times_B \eug^{-1,1}/\eub$ de $T_{\check D}$ est appel\'e le
\index{38}{SOU}{Sous-fibr\'e horizontal}%
\index{222}{HOR}{Horizontal, sous-fibr\'e}%
sous-fibr\'e horizontal (notation $T_{\hor}(\check D)$).
Un vecteur tangent $\xi= \{\xi_p\}$, est horizontal si $\xi_p(\cF^p)
\subseteq \cF^{p-1}/\cF^p$.}
\endstate

Si on veut d\'ecrire le fibr\'e universel $\cF^p \subset H\otimes
\cO_{\check D}$, en termes de fibr\'es associ\'es \`a des
fibr\'es principaux, on note que le fibr\'e trivial
$H\otimes
\cO_{\check D}$ (de fibre
$H$, base
$\check D$) est le fibr\'e $G_\bC \times_B H$, et $\cF^p = G_\bC
\times_B \cF^p_0$ (par d\'efinition $B$ est le stabilisateur de la
filtration
$\{\cF^p_0\}$.

\state 3.6. Exemple {\rm (Demi-espace de Siegel)}|{\rm On
\index{39}{SIE}{Siegel, demi-espace de}%
suppose $k=1$ (poids $1$). La
filtration de Hodge se r\'eduit \`a $H = F^0\supset F^1 \supset 0$,
avec $(F^1)^\perp = F^1$ (pour la forme altern\'ee $Q$). Alors $\check
D$ est la grassmanienne lagrangienne de $(H,Q)$, et $\check D =
\Sp(2g,\bC)/B$ si $\dim H = 2g$. On v\'erifie classiquement que $D =
\Sp(2g,\bR)/U(g,\bC)$ s'identifie au demi-espace de Siegel $\{\tau \in
M_g(\bC),^t\!\tau  = \tau $ et $\Im \tau > 0\}$.}
\endstate

Soit une VHS~: $\{\cH_\bZ,\cF^p,\nabla,Q\}$~; cette donn\'ee ne
conduit pas directement \`a un morphisme $S\to D$, du fait que
$\cH_\bZ$ est seulement localement constant. Par contre, localement sur
un ouvert $\cU$ de
$S$, on peut trivialiser le fibr\'e vectoriel $\cH_\bZ \otimes
\cO_S$, au moyen de sections plates (de $\cH_\bZ$), alors la filtration
induite par les $\cF^p$ donne lieu \`a un morphisme (holomorphe)
$$
\Phi : \cU\to D\subset \check D.
$$
Globalement, on peut transporter la VHS au rev\^etement universel
$\wt S$ de $S$, et le choix d'une trivialisation du syst\`eme local
$\cH_\bZ$ sur $\wt S$, conduit \`a un morphisme $\tilde \Phi : \wt S
\to D\subset \check D$.

Il est imm\'ediat de voir que le groupe de monodromie (global)
$\Gamma $ agit proprement discontin{\^u}ment sur $D$, alors on obtient le
\index{40}{MOR}{Morphisme des p\'eriodes}%
\index{223}{PER}{P\'eriodes, morphisme des}%
{\sl morphisme des p\'eriodes}, en passant au quotient par $\Gamma $~: 
$$
\Phi : S \lra \Gamma\backslash D.
$$
L'observation importante sur $\tilde \Phi $ (ou tout rel\`evement
local) est la propri\'et\'e d'hori\-zon\-ta\-lit\'e, traduction de la
condition de transversalit\'e de Griffiths sur $\nabla$. Pour tout
$s\in S$,
$$
\boxit{4pt}{ 
$\disp d\Phi _s(T_{s,0}) \subseteq 
T_{\hor,\Phi (s)} (D).$}
\leqno\hbox{(Trans)}
$$
Pour rendre cette propri\'et\'e claire,
d\'etaillons-la sur un voisinage de $s_0 \in S$. On trivialise le
fibr\'e vectoriel $\cH_\bZ \otimes \cO_S$ au moyen de sections plates
$\{\tau _i\}$. On peut supposer que $H^{p,q}_0$ ($=H^{p,q}(s_0)$) a
pour base $(\tau _i)_{f_{p+1}<i\le f_p}$, alors $\cF^p_0$ a pour base
$\{\tau _i\}_{i\le f_p}$. On peut trouver une trivialisation locale
$\{e_i(s)\}$ de $\cH_\bZ \otimes \cO_S$ par des sections telles que
$e_i(s_0) = \tau _i$, et localement, $(e_1\ld e_{f_p})$ est une base
de $\cF^p$. Soit $e_i = \sum\limits A_{ji} \tau _j$ la matrice de changement
de rep\`eres (pour abr\'eger on \'ecrit $s_0 = 0$). Les $\tau
_i$ \'etant plates, $\nabla e_i = \sum\limits dA_{ji}\tau _j= \sum\limits_k
c_{ki} e_k$, avec $c = A^{-1}dA$. L'hypoth\`ese de
transversalit\'e implique $c_{ji} =0$ pour $i\le f_p$, $j>f_{p+1}$.
L'appli\-ca\-tion lin\'eaire $\xi _\alpha $ associ\'ee \`a $d\Phi
_{s_0} (\partial/\partial s_\alpha )$ est telle que pour $i\le f_p$~:
$$
\eqalign{
\xi _\alpha (\tau _i) &= {\partial e_i\over \partial s_\alpha }(0)
~~(\mod \cF^p_0)\cr
&= \sum\limits_{f_{p+1}<j}{\partial A_{ji}\over \partial s_\alpha
}(0)\tau _j.\cr}
$$
Comme 
$$
{\partial A_{ji}(0)\over \partial s_\alpha } = \big\langle
c_{ji}(0),{\partial\over \partial s_\alpha }\big\rangle,
$$
 on a bien (Trans).

Pour utilisation ult\'erieure, indiquons la propri\'et\'e
suivante, cons\'equence de la nullit\'e de la courbure de $\nabla$.

\state 3.7. Proposition|Si $\partial_1$, $\partial_2 \in T_{S,s}$,
$\xi_i = d\Phi _s(\partial _i)\in \eug^{-1,1}$, alors $[\xi _1,\xi _2]=0$
$($crochet dans $\eug)$.
\endstate

\preuve. Rappelons la formule (plat) du paragraphe 2. Elle implique
qu'il suffit de montrer que $[\partial_1,\partial_2]=0$ vu  comme
endomorphisme de $H_0^{p,q}$. Donc on peut supposer $\xi _1 =
\partial/\partial s_\alpha $, $\xi _2 = \partial/\partial s_\beta $.

Posons $c^\alpha _{ji} = \langle c_{ji},\partial / \partial s_\alpha
\rangle$, alors $c^\alpha _{ji}(0) = \partial A_{ji}/ \partial
s_\alpha\big|_0$. Il suffit de montrer que $\partial c^\alpha
_{ji}/\partial s_\beta -\partial c^\beta _{ji}/\partial s_\beta$
s'annule en $0$ pour $f_{p+1} < i,j \le f_p$.

On a vu que 
$$
c^\alpha _{ji} = \sum\limits_k A^{-1}_{jk} {\partial A_{ki}\over \partial
s_\alpha } = 0 
\qquad\hbox{si~~} i\le f_p,~j>f_{p+1}~.
$$
En d\'erivant par rapport \`a $s_\beta $, puis en \'evaluant en
$0$, on obtient pour $i,j$ dans l'intervalle $]f_{p+1},f_p]$ :
$$
\eqalign{
{\partial^2 A_{ji}\over \partial s_\beta  \partial s_\alpha }(0)
&= \sum\limits_k {\partial A_{jk}\over \partial s_\alpha } (0) {\partial
A_{ki}\over \partial s_\beta } (0)\cr
&= \sum\limits_k {\partial A_{jk}\over \partial s_\beta } (0) {\partial
A_{ki}\over \partial s_\alpha } (0)\cr}
$$
qui donne le r\'esultat.\QED 

\subsection \Smark3.C. D\'eformations et IVHS (variations
infinit\'esimales de structures de Hodge)|

La question la plus naturelle \`a ce stade est de savoir si la
 variation de structure
complexe  est d\'etermin\'ee par sa variation de structure de Hodge
\index{41}{PRO}{Probl\`eme de Torelli}%
\index{224}{TOR}{Torelli, probl\`eme de}%
({\sl probl\`eme de Torelli}). Il est clair que cela
est faux en g\'en\'eral : prendre la famille produit. Donc il faut se
restreindre aux familles pour lesquelles la structure complexe varie
vraiment au moins infinit\'esimalement. La variation
infinit\'esimale \'etant  mesur\'ee par l'appli\-ca\-tion de Kodaira-Spencer,
on ne regarde que des familles ayant la propri\'et\'e que  
l'appli\-ca\-tion de Kodaira-Spencer est partout injective. Ce sont
\index{101}{KOD}{\hri application de Kodaira-Spencer}%
les {\sl familles effectives}. La variation de structure de Hodge au
niveau infinit\'esimal est d\'ecrite par la d\'eriv\'ee de  
l'appli\-ca\-tion des p\'eriodes. Ainsi une version infinit\'esimale
du probl\`eme de Torelli est de savoir si cette d\'eriv\'ee est
injective pour des familles effectives. Voir [P-S] pour ce cercle
d'id\'ees.

Compl\`etons la discussion  en pr\'ecisant ce qu'on entend par une
\index{42}{DEF}{D\'eformation (uni)verselle}%
\index{225}{UNI}{\hri d\'eformation universelle}%
\index{226}{VER}{Verselle, d\'eformation}%
{\sl d\'eformation universelle} ou {\sl verselle}. Ici on fixe une
vari\'et\'e $X_o$, on travaille avec des familles sur une base
point\'ee $(S,o)$, consid\'er\'ee comme germe, telle que la fibre au
dessus de $o$ est la vari\'et\'e fix\'ee $X_o$. Ces types de familles
sont appel\'es {\sl d\'eformations de } $X_o$. Une telle d\'eformation
$f:X\to S$  est {\sl compl\`ete} si  toute autre
\index{43}{DEF}{D\'eformation compl\`ete}%
d\'eformation $g: Y\to T$ de $X_o$ se d\'eduit de $f:X\to S$ par un
changement de base (au niveau des germes) 
$$
\eqalign{
Y&{}\build\lra|{\disp q}||X\cr
g\big\downarrow~&\phantom{\lra}\quad\big\downarrow f\cr
\noalign{\vskip3pt}
T&{}\build \lra|{\disp p}||S\cr}
$$
o\`u $p:(T,o)\to (S,o)$, et le carr\'e ci-dessus est
cart\'esien. Si le morphisme $p$ est unique, $X/S$ est appel\'e
{\sl universelle}. En g\'en\'eral ce n'est pas le cas, mais souvent sa
diff\'erentielle $dp(o)$ est unique et dans ce cas la d\'eformation
$X/S$ est dite {\sl verselle}. Par exemple, si $X/S$ est
compl\`ete, pour obtenir une d\'eformation verselle, on peut
restreindre la famille \`a une sous-vari\'et\'e convenable qui passe 
par $o$. Attention: une d\'eformation peut tr\`es bien \^etre
(uni)verselle en $o\in S$ mais pas en d'autres points de $S$.

Kodaira et Spencer ont montr\'e [K-S2] que $f$ est compl\`ete si et
seulement si   l'appli\-ca\-tion de Kodaira-Spencer est une
surjection.

\state 3.8. Cons\'equence| $f:X\to S$ est verselle en $o$ si et
seulement si l'application de Kodaira-Spencer
$$
\rho: T_{S,o} \to H^1(T_{X_o})
$$
est un isomorphisme {\rm ($\dim S$ est alors consid\'er\'e
comme le nombre de param\`etres pour la structure complexe)}.
\endstate
Bien qu'amelior\'e
par Kuranishi, le r\'esultat de Kodaira suffit pour  beaucoup
d'exemples, notamment pour les hypersurfaces dans l'espace projectif,
comme dans l'exemple suivant.  Le r\'esultat de Kuranishi dit qu'il
y a toujours une famille verselle, pourvu qu'on accepte comme 
base  $S$ un espace  analytique  (il est essentiel d'accepter  des \'el\'ements
nilpotents dans le faisceau structural de $S$). Dans ce cadre une
 famille $f:X\to S$ est une
application holomorphe et propre telle que, quitte \`a restreindre
$S$, localement  $X$ est un produit $U_i\times S$ et $f|U_i\to S$
coincide avec la projection sur le second facteur. Voir  [Ku] pour les
d\'etails. 

\state 3.9. Exemple|\rm Si $f: X\to S$ est la famille tautologique des
hypersurfaces de degr\'e $d$ dans $\bP^{n+1}$,   l'appli\-ca\-tion de
Kodaira-Spencer est une surjection si $n\ge 2$ ou $n=2$ et $d\not= 4$.
Pour obtenir une d\'eformation verselle il faut restreindre cette
famille \`a un petit disque transversal \`a une orbite par
$\PGL(n+1,\bC)$  d'une hypersurface fix\'ee.  Pour les d\'etails voir
[K-S \S14(C)].
\endstate


Retournons \`a la  diff\'erentielle de  l'appli\-ca\-tion des
p\'eriodes, pour une famille $f:X\to S$  verselle. On fixe $o\in S$,
on regarde la fibre $X_o$ au dessus du point $o$ et la
diff\'erentielle  
$\delta  = d\Phi (o)$ en $o$. C'est une application lin\'eaire 
$$\delta : T_{S,o} \lra \eug^{-1,1} \subset
\bigoplus_p \Hom (H^{p,q},H^{p-1,q+1})
$$
avec les propri\'et\'es suivantes (3.7) :

\item{(1)} {\sl Pour tout vecteur tangent $t$ en $o$, $\delta (t) \in
\eug=\Lie(G_\bC)$.}

\item{(2)} {\sl Si $t_1,t_2\in T_{S,o}$, les endomorphismes $\delta
(t_1)$ et $\delta (t_2)$ commutent.}  

\state 3.9. D\'efinition|{\rm Soit une structure de Hodge
(r\'eelle) sur
$H$. Une donn\'ee (d'alg\`ebre lin\'eaire) $(T,H,\delta ,Q)$
$$
\delta:T\lra\eug^{-1,1}
$$
qui satisfait \`a (1) et (2) est appel\'ee par Griffiths et
Harris {\rm [C-G-G-H]},
\index{44}{VAR}{Variation infinit\'esimale de structures de Hodge (IVHS)}%
\index{227}{HOD}{\hri variation infinit\'esimale de structures 
de Hodge (IVHS)}%
une variation infinit\'esimale de structures de Hodge (IVHS).}
\endstate

Dans une IVHS g\'eom\'etrique,   l'appli\-ca\-tion lin\'eaire 
induite par
$$\delta (t): H^{p,q} \to H^{p-1,q+1}$$
est le cup-produit avec l'image de $t$ par   l'appli\-ca\-tion de
Kodaira-Spencer $T_{S,o} \to H^1(X_\rmO,T_{X_\rmO})$ (cf.\ \S2B et
\S2C).

Au d\'epart d'une IVHS, on peut effectuer des op\'erations
d'alg\`ebre lin\'eaire. Par exemple, si $t_1\ld t_k \in T_{S,o}
= T$, on peut composer les applications $\delta (t_1)\ld \delta (t_k)$, ce
qui donne une application
$$
H^{k,0} \build \lra|{\delta(t_1)}|| H^{k-1,1}\build\lra|{\delta(t_2)}||
 H^{k-2,2} \lra \cdots \build\lra|{\delta (t_k)}|| H^{0,k}. $$
Notons $\delta(t_1\ld t_k) \in \Hom (H^{k,0},H^{0,k})$ le r\'esultat.
Rappelons que $H^{0,k}$ et $H^{k,0}$ sont en dualit\'e par la forme
$Q$. Alors les propri\'et\'es (1) et (2) conduisent ais\'ement
aux r\'esultats suivants~:

\item{(i)} $\delta (t_1\ld t_k)$ est une forme bilin\'eaire
sym\'etrique sur $H^{k,0}$

\item{(ii)} $\delta (t_1\ld t_k)$ est sym\'etrique en les arguments
$t_1\ld t_k$.
 
\noindent D'o\`u une application lin\'eaire~:
$$
\boxit{4pt}{ 
$\disp\delta : \Sym^k(T) \lra \Hom_{\Sym}(H^{k,0},H^{0,k})
\cong\Sym^2(H^{k,0})$}
\leqno{\rm (iter)}
$$
qui, comme on peut s'y attendre, contient des informations
significatives sur $X_\rmO$.

\section \Smark4. D\'eg\'en\'erescence|

{\eightpoint
Dans ce paragraphe on introduit la notion de
structure  de Hodge mixte. Ensuite on regarde les familles de base un disque
\'epoint\'e, d\'eduites d'une morphisme propre de base le disque, en omettant 
la fibre au dessus de l'origine. On  appelle une telle situation 
d\'eg\'en\'erescence, car la fibre au dessus de l'origine peut \^etre
singuli\`ere. Dans cette situation, tourner une fois autour de l'origine
induit sur la cohomologie l'application de
\index{45}{PIC}{\hri application de Picard-Lefschetz}%
Picard-Lefschetz ou de monodromie 
\index{46}{MON}{Monodromie locale}%
locale. La quasi-unipotence de cette application est une
propri\'et\'e fondamentale qui est discut\'ee bri\`evement dans le \S4.B.
Finalement, dans le \S4.C on d\'efinit les cycles proches et
\'evanescents, notions indispensables pour comprendre les d\'eveloppements
r\'ecents sur la monodromie locale.}

\subsection \Smark4.A. Structures de Hodge mixtes|

Soit $H_\bQ$ un $\bQ$-espace vectoriel de dimension finie muni 
d'une filtration croissante $W_\bu$
$$
\cdots W_k \subset W_{k+1}\subset W_{k+2}\cdots 
$$
On suppose qu'il y a une
filtration d\'ecroissante $F^\bu$
$$\cdots F^k\subset F^{k-1}\subset F^{k-2}\cdots$$ 
sur $H = H_\bQ \otimes\bC$.
On dit  que ces deux filtration d\'efinissent
\index{47}{STR}{Structure de Hodge mixte}%
\index{228}{HOD}{\hri structure de Hodge mixte}%
\index{229}{MIX}{\hri structure de Hodge mixte}%
{\sl une structure de Hodge mixte} si la filtration induite par $F^\bu$ sur
$\Gr^W_\ell = W_\ell/W_{\ell-1}$ est une structure de Hodge pure de
poids $\ell$. La filtration induite est
$F^p(\Gr^W_\ell) = W_\ell \cap F^p \big/ W_{\ell-1}\cap F^p$. Les
\index{48}{NOM}{Nombres de Hodge}%
\index{230}{HOD}{\hri nombres de Hodge}%
{\sl nombres de Hodge} sont les nombres de Hodge de $\Gr^W_\ell$. Donc
$h^{p,q}=h^{q,p}$ mais en g\'en\'eral il y a des nombres de Hodge
non-nuls pour des valeurs de $p+q$ diff\'erentes.

Si on peut trouver une bigraduation $H=\oplus H^{p,q}$ telle que
$W_\ell\otimes\bR=\sum_{r+s\le
\ell} H^{r,s} $ et $F^p=\sum_{r\ge p} H^{r,s}$ on dit que la structure mixte
est {\sl scind\'ee}. Deligne  a trouv\'e  (voir [C-K-S1])   un
scindement  canonique :
$$
I^{a,b}=F^p\cap W_{a+b}\cap ((\bar F^b\cap W_{a+b})+
\overline{G}^{b-1}_{a+b-2}) , 
\qquad \hbox{o\`u}~~G^p_q:=\sum_{j\ge 0} F^{p-j}\cap W_{q-j}
$$ 
et donc 
$$
W_\ell = \bigoplus_{a+b\le \ell} I^{a,b},\qquad  
F^p = \bigoplus_{a\ge p}I^{a,b}.
$$
Attention~: bien que $h^{a,b}=\dim H^{a,b}$ en g\'en\'eral on n'a pas 
$I^{b,a}=\ol I^{a,b}$, si c'est le cas on dit que le
scindement est d\'efini sur $\bR$. On peut toujours ``d\'eformer'' une
structure mixte sur $\bR$ (dans la d\'efinition de structure mixte  on
part d'un $\bR$-espace vectoriel) en une structure scind\'ee sur $\bR$. Dans ce
cas
$I^{a,b}=F^a\cap\bar F^b\cap W_{a+b}$.
  

 
Dans l'expos\'e [Dem] il et prouv\'e  que le groupe de cohomologie $H^w(X,\bZ)$
d'une vari\'et\'e compacte k\"ahl\'erienne $X$ porte une structure de Hodge
pure de poids $w$. En particulier cela s'applique  aux vari\'et\'es
complexes projectives non-singuli\`eres.  

Lorsque $X$ est quasi projective, \'eventuellement singuli\`ere, en
fait pour tout sch\'ema de type fini sur $\bC$, Deligne a prouv\'e
[Del 4], [Del5], que $H^w(X,\bZ)$ porte une structure de Hodge mixte
qui d\'epend fonctoriellement de $X$.  Les nombres de Hodge de cette
structure ne peuvent \^etre non nuls que pour $0\le p,q\le w$, en
fait $w-n\le p,q\le n$ si $w\ge n=\dim X$. Si $X$ est lisse il n'y a
que des poids $\ge w$ ($h^{p,q}=0$ si $p+q<w$), par contre pour $X$
propre il n'y a que des poids $\le w$. Naturellement si $X$ est
projective lisse, la structure de Hodge mixte sur $H^w(X,\bZ)$ se
r\'eduit \`a la structure pure classique de poids $w$.

Pour rendre cr\'edible la d\'efinition ci-dessus d'une structure de
Hodge mixte, expliquons bri\`evement comment lorsque $X$ est un
$\bC$-sch\'ema lisse quasi projectif une telle structure \'emerge (voir
[Del4] pour les d\'etails). La premi\`ere \'etape consiste \`a
compactifier $X$, c'est-\`a-dire r\'ealiser $X$ comme le
compl\'ementaire $X=\ol X\setminus D$ d'un diviseur \`a croisements
normaux ([Ill] \S7). Une telle compactification existe; pour
simplifier la discussion, on suppose que $D$ est une r\'eunion de
diviseurs lisses se coupant transversalement. On se place dans le
cadre analytique; les formes sont donc holomorphes. Le th\'eor\`eme
de De Rham ordinaire, qui dit que
$H^w(X,\bC)=\bH^w(X,\Omega^\bullet_X)$ n'est pas suffisant. Si
$j:X\hookrightarrow \ol X$ est l'inclusion, on observe que
$H^w(X,\bC)=\bH^w(\ol X,j_\ast\Omega^\bullet_X)$. Soit le sous
complexe
$\Omega^\bullet_{\ol X}(\log D)$ de $j_\ast\Omega^\bullet_X$, dont
les sections sont les formes m\'eromorphes sur $\ol X$, holomorphes
sur $X$, \`a p\^oles logarithmiques sur $D$. Rappelons [Ill] qu'une
section de  $\Omega^1_{\ol X}(\log D)$ d\'efinie en $x\in D$, est
une combinaison lin\'eaire de $\{ {dz_1\over z_1},\dots,{dz_k\over
z_k},dz_{k+1},\dots, dz_n\}$ si $(z_1,\dots,z_n)$ est un syst\`eme de
coordonn\'ees locales en $x$ tel que $z_1\cdot \dots \cdot z_k=0$
soit une \'equation locale de $D$. On pose $\Omega^p_{\ol X}(\log
D)=\wedge^p\Omega^1_{\ol X}(\log D)$. On v\'erifie que
$\Omega^\bullet_{\ol X}$ est le plus petit sous-complexe de
$j_\ast\Omega^\bullet_X$ contenant $\Omega^\bullet_{\ol X}$ et les
diff\'erentielles logarithmiques $df \over f$ de toute section locale
m\'eromorphe le long de $D$. Le th\'eor\`eme de De Rham logarithmique
dit alors que les deux complexes $\Omega^\bullet_{\ol X}(\log D)$ et
$j_\ast\Omega^\bullet_X$ sont quasi-isomorphes, donc :
$$
H^w(X,\bC)=\bH^w(\ol X, \Omega^\bullet_{\ol X}(\log D).
$$
Le lecteur trouvera dans le \S8 une preuve lorsque $D$ est une
hypersurface lisse. Comme dans le \S1, la filtration de Hodge
$F^\bullet$ conduit \`a la suite spectrale
$$
E_1^{p,q}=H^q(\ol X,\Omega^p_{\ol X}(\log D)) \Longrightarrow
H^{p+q}(X,\bC)
$$
et \`a l'existence d'une filtration de Hodge $F^pH^w(X,\bC)$ sur
l'aboutissement. Notons que les faisceaux alg\'ebriques coh\'erents
$\Omega^p_{\ol X}(\log D) $ peuvent se substituer \`a leurs
analogues analytiques ([Ill] \S7). 

Le complexe $\Omega^\bullet_{\ol X}(\log D)$ admet une seconde
filtration, la filtration par le poids $W_\bullet$ (filtration
croissante); $W_m$ est l'image de l'application produit ext\'erieur :
$$
\Omega^m_{\ol X}(\log D)\otimes \Omega^\bullet_{X}[-m]
\longrightarrow \Omega^\bullet_{\ol X}(\log D).
$$
Si on pose $W^m=W_{-m}$ ($W^\bu$ est une filtration croissante), on peut 
ainsi consid\'erer la suite spectrale
associ\'ee au complexe filtr\'e $(\Omega^\bullet_{\ol X}(\log
D),W^\bullet)$, soit
$$
E_1^{-n,w+n}=\bH^w(\ol X, \Gr^w_n(\Omega^\bullet_{\ol X}(\log D)))
\Longrightarrow H^w(X,\bC).$$
Supposons que $D_1,\dots,D_r$ sont les composantes de $D$. Il n'est
pas difficile de voir que l'op\'eration ``r\'esidu" de Poincar\'e
fournit un isomorphisme (voir \S8) :
$$
\Gr^W_n(\Omega^\bullet_{\ol X}
(\log D))=\cases{
\phantom{\scriptstyle 1\le i_1\le \cdots} 0 & si $n<0$ \cr
\phantom{\scriptstyle 1\le i_1\le \cdots}
\Omega^\bullet_{\ol X} & si $n=0$ \cr
    {\oplus_{\scriptstyle 1\le i_1\le \cdots\le
    i_n\le r}}\Omega^\bullet_{D_{i_1}\cap\cdots\cap D_{i_n}}[-n] & si
     $n\ge 1$ \cr }
$$
Sur $H^w(X,\bC)$ il y a donc deux filtrations $W_\bullet$ et
$F^\bullet$, il faut \'etudier comment ces filtrations cohabitent. Le
terme $E_1$ de la suite spectrale est :
$$
E_1^{-n,w+n}={\bigoplus_{\scriptstyle 1\le i_1\le \cdots\le
    i_n\le r}} H^{w-n}(D_{i_1}\cap\cdots\cap D_{i_n},\bC).
    $$
Alors la filtration de Hodge induit sur ce terme une structure de Hodge pure de
poids $w+n$, qui se d\'eduit de celle de poids $w-n$ sur chaque
$H^{w-n}(D_{i_1}\cap\cdots\cap D_{i_n},\bC)$ par un d\'ecalage. On
prouve alors par une analyse assez d\'elicate, et par r\'ecurrence,
que la diff\'erentielle $d_r$ est nulle pour $r\ge 2$, en particulier
$$
E_2^{p,q}=\dots=E^{p,q}_\infty=\Gr_p^W(H^{p+q}(X,\bC)).
$$
Il n'est pas difficile alors de conclure que la filtration
$F^\bullet$ sur $W_n/W_{n-1}=\Gr^W_n(H^w(X,\bC))$ donne une structure
de Hodge pure de poids $w+n$. Alors, si on d\'ecale la filtration $W$,
on a obtenu que $W_\bullet[w]$ et $F^\bullet$ d\'efinissent sur
$H^w(X)$ une structure de Hodge mixte. Le lecteur trouvera dans
[Del4] l'explication que $W_\bullet$ est en fait d\'efinie sur $\bQ$,
et aussi que le r\'esultat est ind\'ependant de la compactification.

Comme exemple regardons le cas d'une hypersurface lisse $D\subset
\ol X$ et $X=\ol X\setminus D$. En tenant compte du d\'ecalage, la
filtration par le  poids sur $H^w(X,\bC)$ est $0\subset W_w\subset
W_{w+1}=H^w(X,\bC)$. On a $W_w=\Im [H^w(\ol X,\bC) \to H^w(X,\bC)]$.
Pour interpr\'eter le quotient $W_{w+1}/W_w$, consid\'erons la
diff\'erentielle $d_1$ de la suite spectrale 
$$
\diagram{0 &\to & E_1^{-1,w+1} &\mapright{d_1}&E_1^{0,w+1}&\to&0.\cr
          &   & \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! \Vl{}{}{2pt}        
&              &\!\!\!\!\!\!\Vl{}{}{2pt}         &  & \cr
          &   & H^{w-1}(D)  &              & H^{w+1}(\ol X)&  & \cr} 
$$
La d\'eg\'en\'erescence au terme $E_2$ est ici un fait clair, on a 
$$
E_2^{-1,w+1}=\ker(d_1)=\dots=E_\infty^{-1,w+1}=W_{w+1}/W_w.$$
On verra au \S7 que la diff\'erentielle $d_1$ s'interpr\`ete aussi en
terme de la suite exacte de Gysin :
$$
\cdots H^w(\ol X) \to H^w(X) \to H^{w-1}(D) \mapright{\partial}
H^{w+1}(\ol X) \to \dots
$$
Ici $\partial=d_1$ \'etant de bidegr\'e $(1,1)$ la preuve du th\'eor\`eme
de Deligne est imm\'ediate dans ce cas.

Particularisons encore plus cet exemple, en supposant que $\ol X$
est une courbe compl\`ete lisse de genre $g$ et que $D$ consiste en
$n$ points. La suite exacte de Gysin ci-dessus montre que
$W_1\cong H^1(\ol X)$ poss\`ede une structure de Hodge pure
de poids $1$ et que $W_2/W_1\cong \ker (H^0(D)\to H^2(\ol X))$ est de
rang $n-1$ avec une structure de Hodge pure de poids $2$, limit\'ee au seul
terme de type $(1,1)$, comme pour $H^2(\ol X)$, ce qui correspond
bien au fait que $b_1(X)=g+n-1$.
   

La m\'ethode de Deligne donne aussi une structure mixte sur la cohomologie des
vari\'et\'es k\"ahl\'eriennes admettant des compactifications k\"ahl\'eriennes.
Dans une autre direction, la cohomologie avec support compact ainsi que
l'homologie de Borel-Moore (d'un sch\'ema s\'epar\'e sur $\bC$ o\`u d'une
vari\'et\'e k\"ahl\'erienne admettant une  compactification k\"ahl\'erienne)
portent aussi des structures de Hodge mixtes.

\subsection \Smark4.B. Structures limites|

Consid\'erons la situation d'une d\'eg\'en\'erescence : $f:X\to \Delta$,
c'est-\`a-dire  une application propre et holomorphe d'une vari\'et\'e
complexe $X$ dans le
 disque $\Delta$ telle que $f$ soit lisse au dehors de l'origine. Soit
$$
\euh \to \Delta^\ast,\quad \tau\mapsto s=\exp(2\pi \ii \tau)
$$ 
le rev\^etement universel du disque \'epoint\'e et soit $\tilde X =
X\times _{\Delta^\ast}\euh$ le produit fibr\'e et
$k:\tilde X\to X$ l'application naturelle. L'application $h:\tilde X \to
\tilde X$, $h(x,\tau)=(x,\tau+1)$ induit l'op\'eration de
\index{49}{MON}{Monodromie locale}%
monodromie $T$ sur les groupes de cohomologie $H^k(X_s)$ ($s=\exp(2\pi
\ii \tau)$ et $X_s=f^{-1}(s)$). Dans le cas d'une VHS
``g\'eom\'etrique'', $H_\bZ = R^kf_*(\bZ)_{s_0} =
H^k(X_{s_0},\bZ)/$torsion, $T$ est l'{\sl application 
\index{50}{PIC}{\hri application de Picard-Lefschetz}%
de Picard-Lefschetz}. Une propri\'et\'e fondamentale
de $T$ est la suivante~:

\state 4.1 Th\'eor\`eme|{\rm ([La])} La transformation $T$ est
quasi-unipotente, c.\`a.d. $(T^\ell-\bone)$ est nilpotent pour $\ell\in \bC$
convenable ; en fait, l'indice de nilpotence est $\le k+1$ :
$(T^\ell-\bone)^{k+1}=0$ {\rm(Th\'eor\`eme de la monodromie locale)}
\endstate 

Pour les variations abstraites ce th\'eor\`eme a \'et\'e d\'emontr\'e par
Schmid dans [S]. Le th\'eor\`eme de monodromie locale sans la borne sur
l'indice de nilpotence d\'e\-cou\-le (selon une id\'ee de Borel) des
propri\'et\'es de courbure du domaine des p\'eriodes. On esquisse
l'argument donn\'e en [S]. 
 
Rappelons la notion de
\index{51}{COU}{Courbure sectionnelle}%
{\sl courbure sectionnelle} d'une m\'etrique hermitienne $h$ sur une
vari\'et\'e complexe $M$.  Soit $F_h$ la courbure (voir [Dem, \S1]) de
la connexion m\'etrique sur le fibr\'e tangent holomorphe
$T(M)$. La {\sl courbure sectionnelle} est la fonction 
$\kappa: T(M)\setminus \{
\hbox{\rm z\'ero-section}\} \to \bC$ donn\'ee par 
$$
\kappa(v)={h\left(F_h(v,\ol v)v,v\right)\over h(v,v)^2}.
$$
 
\state 4.2 Exemple| \rm  Supposons que $\dim M=1$.  Alors
$F_h=\overline
\partial \partial
\log (h)$, o\`u $\omega={\ii\over 2}h\ dz\wedge d\overline z$ est la forme
associ\'ee \`a la  m\'etrique. On v\'erifie facilement que $\kappa(\partial/ \partial
z)$ est la courbure gaussienne $ K_h =-h^{-1}\cdot \partial^2/\partial z
\partial\ol{z} (\log h)$.  Ce r\'esultat peut s'\'ecrire comme suit: 
$$  
{1\over  \ii} \hbox{ courbure de } h= -\hbox{ courbure gaussienne de la
  m\'etrique } h.
$$

Cas particuliers :
\item{i.} Soit $\Delta$ le disque unit\'e avec la m\'etrique de Poincar\'e 
$$
h={1\over (1-|z|^2)^2}dz\otimes d\overline z.
$$ 
On trouve
$$ \kappa(\partial/ \partial z)\equiv -1.
$$
\item{ii.} Le demi-plan $\euh=\{ z\in {\bC}
\mid \Im z>0\}$, avec la m\'etrique
$$ 
h={1\over |\Im z|^2} dz\otimes d\overline z.
$$ 
La courbure gaussienne est \'egale \`a  $-1$. 
\item{iii.} Le disque \'epoint\'e $\Delta^*=\{\zeta\in{\bC}:|\zeta|<1,\
\zeta\not=0\}$ admet $\euh $ comme rev\^etement universel. La m\'etrique de
Poincar\'e est invariante par translation et donc induit une m\'etrique sur
$\Delta^*$ 
$$ 
{1\over |\xi|^2(\log|\xi|^2)^2}d\xi\otimes d\overline{\xi}
$$ 
\`a courbure gaussienne  $-1$.
\endstate

\state Lemme (d'Ahlfors-Schwarz)|
\index{52}{LEM}{Lemme d'Ahlfors-Schwarz}%
\index{231}{AHL}{Ahlfors-Schwarz, lemme d'}%
Une application holomorphe  $f:\Delta
\to M$ du disque unit\'e dans une vari\'et\'e complexe munie d'une m\'etrique
hermitienne $h$ ayant la propri\'et\'e que
$f(\Delta)$ est tangente aux directions dans lesquelles la courbure
$\kappa$ satisfait  
$\kappa \le -1$, alors, avec $\omega_h$ la forme associ\'ee \`a $h$ et
$\omega_\Delta$ la forme associ\'ee \`a la m\'etrique de Poincar\'e on a :
$$ 
f^\ast \omega_h \le \omega_\Delta,
$$
c'est-\`a-dire que $f$ est d\'ecroissante.
\endstate

\preuve. L'hypoth\`ese du lemme dit
que la courbure sectionnelle calcul\'ee dans la direction de  $f(\Delta)$ est
major\'ee par $-1$. On sait que la courbure d\'ecro\^{\i}t dans les
sous-fibr\'es (voir [Grif4, Chapt. II]) et donc la courbure sectionnelle
calcul\'ee avec la m\'etrique induite par $T_M$ est born\'ee par $-1$. Rappelons
que la
\index{53}{FOR}{Forme de Ricci}%
\index{232}{RIC}{Ricci, forme de}%
{\sl forme de Ricci} d'une m\'etrique de forme
$\omega_N$ sur une vari\'et\'e $N$ de dimension $1$ est donn\'ee par:
$$\ric\omega_N= {1 \over 2}\ii\partial\ol{\partial}
\log h=-K \omega_N,
$$ ou $K$ d\'enote la courbure gaussienne.
Donc $f^\ast\omega_h\le \ric f^\ast \omega_h  $ et il suffit de montrer que
$\ric f^\ast\omega_h\le \omega_\Delta$. 

Consid\'erons un disque plus petit de
rayon
$r$ et soit 
$$
\eta_r={\ii\cdot r^2dz\wedge d\ol z \over (r^2 -|z|^2)^2}
$$ 
la m\'etrique de  Poincar\'e sur ce disque. Introduisons:
$$
\Psi:=f^\ast \omega_h=u\eta_r.
$$
Puisque $\Psi$ reste born\'ee sur  chaque disque de rayon $r<1$, tandis que
$\eta_r$ tend vers l'infini quand on approche le cercle $|z|=r$, la fonction
$u$ reste born\'ee sur ce disque et donc prend un maximum \`a l'int\'erieur,
disons au point $z_0$. 

En ce point on a:
$$
0\ge \ii\partial\ol{\partial} \log u=\ric \Psi-\ric \eta_r.
$$
La courbure gaussienne de  $\eta_r$ est \'egale \`a $-1$, d'o\`u:
$$
\ric\Psi\le \ric \eta_r=\eta_r
$$ 
et on obtient l'in\'egalit\'e  $u(z_0)\le 1$. Mais $u$ prend son maximum en
$z_0$ et donc $\ric\Psi \le \eta_r$. Prenant la limite, on obtient bien 
$\ric\Psi \le \eta_\Delta$.
\QED

On peut voir le demi-plan comme un cas sp\'ecial d'un domaine de p\'eriodes.
Ici la courbure est $-1$. Pour un domaine de p\'eriodes quelconque on n'aura
pas en g\'en\'eral que la courbure de la m\'etrique invariante est n\'egative,
 mais elle sera  n\'egative le long des directions horizontales. 
Plus pr\'ecis\'ement,
la courbure sectionnelle holomorphe du sous-fibr\'e horizontal $T_{\hor}(D)$
est born\'ee par une constante n\'egative (uniforme) 
$$
\boxit{4pt}{
$\disp \kappa (\xi ) \le -1,\qquad \forall x\in T_{\hor}(D)$} 
$$ 
(quitte \`a normaliser la m\'etrique). Pour la d\'emonstration originale
voir [G-S1].

Soit maintenant une VHS de base $\Delta ^*$, avec transformation de
monodromie $T$, comme indiqu\'e. On rel\`eve l'application des
p\'eriodes en 
$$
\tilde \Phi : \euh \to D\subset \check D.
$$

Rappelons que
l'application $\tilde \Phi$  est horizontale, alors le lemme de
Ahlfors-Schwarz entra\^{\i}ne que $\tilde \Phi $ est d\'ecroissante
au sens des m\'etriques (sur $h$ on met la m\'etrique hyperbolique
de courbure $-1$)  
$$
\tilde \Phi ^*(ds^2_D) \le ds^2_h
$$
par suite, $\tilde \Phi $ est d\'ecroissante pour les distances
riemanniennes associ\'ees~: 
$$
d_D(\hat \Phi (p),\tilde \Phi (q)) \le d_h (p,q)~.
$$
Notons que si $x,r\in \bR_+$, $d(\ii r,\ii r+x) = {x\over r}$. Alors du fait
que  $\tilde \Phi (\tau+1) = T \tilde \Phi (\tau)$
$$
d_D(\tilde \Phi (\ii n),T\tilde \Phi (\ii n)) \le {1\over n}.
$$
On fixe un point de base $v\in D$, et on identifie $D$ avec l'orbite
$G_\bR/V$ de $v$. L'application $G_\bR \to D$ est propre car $V$ est
compact. Soit $\tilde \Phi (\ii n) = g_n v$ on a $d_D(g_nv,Tg_nv) =
d_D(v,g^{-1}_n T g_nv) \le 1/n$ car $d_D$ est $G_\bR$-invariante. Donc
$g^{-1}_n Tg_nv \to v$. Quitte \`a consid\'erer une sous-suite de
$\{g_n\}$, on peut supposer que $g^{-1}_nTg_n$ converge vers un
\'el\'ement $g$ de $V$. Du fait que $V$ est compact (un
sous-groupe d'un groupe unitaire), les valeurs propres de $g$, et donc
de $T$ sont des nombres complexes de module un. L'\'el\'ement $T$
est en fait dans $G_\bZ$, alors si $\lambda $ est une valeur propre de
$T$, il en est de m\^eme pour tout complexe conjugu\'e, et alors
par un fait classique (Kronecker), $\lambda $ doit \^etre une racine
de l'unit\'e. \QED
 
Expliquons maintenant le r\'esultat fondamental [S] de W.~Schmid~: ``Le
th\'eor\`eme de l'orbite nilpotente'' 
\index{102}{ORB}{Orbite nilpotente, th\'eor\`eme de l'}%
\index{233}{NIL}{Nilpotente, th\'eor\`eme de l'orbite}%
\index{252}{THE}{Th\'eor\`eme de l'orbite nilpotente}%
pour une VHS de base $\Delta ^*$. 
Ici $\Delta$ est un disque avec param\`etre $s$, et $\Delta ^* = \Delta \ssm
\{0\}$. Rappelons que le  rev\^etement universel de $\Delta ^*$ est
donn\'e par
$$
\euh \to \Delta^\ast,\quad \tau\mapsto s=\exp(2\pi \ii \tau).
$$ 
La monodromie du faisceau
localement constant $\cH_\bZ$ est d\'ecrite par le prolongement
analytique le long d'un cercle d\'ecrit en sens inverse des aiguilles
d'une montre qui est donc un op\'erateur $T$ sur $(\cH_\bZ)_{s_0}
=H_\bZ$ (on fixe un point de base $s_0\in \Delta ^*$). Rappelons que
cela signifie que l'image inverse de $\cH_\bZ$  sur $\euh$ est le faisceau
constant $\euh \times H_\bZ$, avec l'op\'eration $\sigma:(\tau,\alpha )
\to (\tau+1,T^{-1}\alpha )$, et que $\cH_\bZ = \euh \times H_\bZ/ \{\sigma
\}$.

Le fibr\'e vectoriel holomorphe $\cH:= \cH_\bZ \otimes \cO_{\Delta
^*}$, sur $\Delta ^*$ est trivial pour des raisons g\'en\'erales: un
fibr\'e holomorphe sur une surface de Riemann non-compacte est trivialisable
([Fo,\S30]). On peut dans la situation pr\'esente choisir une
trivialisation privil\'egi\'ee, en utilisant le fait que la monodromie est
quasi-unipotente.

On suppose que $T$ est en fait un op\'erateur unipotent $(T-1)^m =0$,
pour simplifier un peu. Alors $N = \log (T) = (T-1) - {1\over 2}
(T-1)^2 + \cdots +(-1)^{m-2}{1\over m-1} (T-1)^{m-1} $ est
d\'efini, et $N \in \eug_\bQ$, i.e.\ $N$ est un \'el\'ement rationnel de
l'alg\`ebre de Lie du groupe $G_\bC$, le groupe des isom\'etries de
$(H_\bC,Q)$. Noter que pour tout $t\in \bC$, $\exp (tN) \in G_\bC$.

Trivialiser le fibr\'e vectoriel $\cH = \cH(X/S)$ sur $\Delta ^*$
revient, suite \`a la description
$$
\cH = \euh \times H/\{\sigma \}
$$
(ici $H$ est muni de la topologie complexe, d'espace
vectoriel) \`a trivialiser la classe $\{T\}$ dans $H^1(\bZ,G_\bC)$.

Il suffit de constater que
$$
\exp((\tau+1)\cdot N)\cdot \exp(\tau N)^{-1} =T~.
$$
En d'autres termes, si $\theta (\tau,\alpha ) = (\tau,\exp(\tau N)\alpha )$ est
un ``changement de coordonn\'ees'' sur $\euh\times H$, l'action de $\pi
_1(\Delta ^*)$ devient sur les nouvelles coordonn\'ees~:
$$
(\theta \sigma \theta^{-1})(\tau,\alpha ) = (\tau+1,\alpha ).
$$
Ce qui conduit \`a une trivialisation privil\'egi\'ee de $\cH$
sur $\Delta ^*$. Dans cette trivialisation, les sections horizontales
(celles qu'on \'etend en $s=0$), sont les sections $\alpha (s) =
(s,\alpha )$ sur les nouvelles coordonn\'ees. Avec les anciennes,
cela signifie que si $\alpha \in H = (\cH)_{s_0}$, le prolongement
analytique de $\alpha $ d\'efinit une section multiforme du faisceau
localement constant $\cH_\bC$, et $s\mapsto \exp\big(-{\log s\over 2\pi
\ii} N\big) \alpha (s)$ d\'efinit une section holomorphe du fibr\'e
vectoriel, qui est horizontale relativement \`a la trivialisation
privil\'egi\'ee. Par d\'efinition, la section
$$
\alpha ^*(s) = \exp \big(-{\log s\over 2\pi\ii} N\big) \alpha (s)
$$
est d\'efinie en $s=0$. Ce sont les sections horizontales du
fibr\'e vectoriel $\tilde \cH(X/S)$, \'etendu \`a tout le
disque $\Delta $.

Le r\'esultat fondamental de W.~Schmid est le suivant [S] :

\state 4.2. Th\'eor\`eme| Les fibr\'es de Hodge $\cF^p \subset
\cH(X/S)$, se prolongent en des sous-fibr\'es du fibr\'e
prolong\'e $\tilde \cH(X/S)$. En particulier, on a en $s=0$, une
filtration limite $\cF^\bu(0)\in \check D$ (en g\'en\'eral
$\cF^\bu(0) \notin D$).
\endstate

Le th\'eor\`eme peut s'\'enoncer d'une autre mani\`ere~: soit
$$
\Phi:\euh\lra D\subset \check D~.
$$
Alors si $\wt \psi (\tau) = \exp (-\tau N)\wt \Phi(\tau)$, on a $\wt \psi
(\tau+1) = \wt \psi (\tau)$, par suite $\wt \psi$ d\'efinit une fonction
holomorphe $\psi : \Delta ^* \to \check D$ par $\psi (s) = \wt \psi
\big({\log s\over 2\pi\ii}\big)$. Le r\'esultat est que $\psi $ se
prolonge holomorphiquement en une application $\psi : \Delta  \to
\check D$. Rappelons que $H=H^k(X_{t_0},\bZ)/$torsion. On consid\`ere
$\psi(0)$ comme une filtration
$$
 0\subset F_\infty^k\subset F_\infty^{k-1}\subset\cdots \subset F_\infty^0
$$
sur $H\otimes\bC$,
\index{54}{FIL}{Filtration limite}%
{\sl la filtration limite}.

Une seconde partie du th\'eor\`eme de Schmid que nous
n'utiliserons pas est la suivante~: soit ``l'orbite nilpotente''
$$
N(\tau) = \exp(\tau N) [\cF^\bu(0)]~.
$$
Alors pour $\Im \tau \gg 0$, $N(\tau) \in D$, et $N$ est horizontale~; donc
$N(\tau)$ d\'efinit pour $\Im \tau$ assez grand une variation de structure
de Hodge, dont on peut prouver qu'elle fournit une approximation de la
variation initiale (en un sens \`a pr\'eciser).

Introduisons la
\index{55}{FIL}{Filtration par le poids}%
{\sl filtration par le  poids\/} (de la monodromie). Elle d\'ecoule de
la construction suivante [S]: soit $V$ un
espace vectoriel sur un corps $K$ de caract\'eristique z\'ero, et
$N\in \End(V)$, tel que $N^{k+1} =0$. Alors il y a une filtration unique~: 
$$
W_{-1} = \{0\} \subset W_0 \subset W_1 \subset \cdots
\subset W_{2k}= V
$$
telle que~: $N(W_\alpha ) \subseteq W_{\alpha -2}$, et telle que
$N^\ell$ induise un isomorphisme~: $\Gr^W_{k+\ell} \build\lra|{\disp\sim}||
\Gr^W_{k-\ell}$, o\`u $\Gr^W_\alpha  = W_\alpha /W_{\alpha-1}$. On a
ainsi sur $H$, deux filtrations $F^\bu_\infty$ et $W^\bu$, la
filtration par le poids $W_\bu$ \'etant elle d\'efinie sur $\bQ$.
Tr\`es important est le r\'esultat suivant, qui est en fait une
partie du th\'eor\`eme de l'orbite nilpotente de Schmid.

\state 4.3. Th\'eor\`eme {\rm ([S])}|Les filtrations
$F^\bu_\infty$ (filtration de Hodge limite) et $W_\bu$
d\'efinissent une structure de Hodge mixte sur $H$. {\rm (On oublie
les polarisations!)}
\endstate  
 
Il y a une g\'en\'eralisation qui est beaucoup plus d\'elicate
({\rm th\'eor\`eme de l'orbite $\hbox{\rm Sl}(2)$ en $n$ variables}) avec des
applications aux d\'eg\'en\'erescences en $n$ param\`etres. Voir [C-K-S1]. 

\noindent Pour le cas d'une d\'eg\'en\'erescence \`a un param\`etre, Steenbrink
[St1] et Clemens-Schmid [Cl] ont construit cette structure mixte
d'une fa\c{c}on g\'eom\'etrique et en tirent des cons\'equences importantes,
par exemple :

\state 4.4. Th\'eor\`eme| Une classe de
\index{104}{CYC}{Cycle local invariant}%
$H^k(X_s,\bQ)$ est invariante si et seulement si elle est la restriction d'une
classe globale sur $H^k(X,\bQ)$. {\rm (le th\'eor\`eme  du cycle local
invariant)}
\endstate

Cette assertion, bien qu'intuitivement claire,  est fausse dans le
cadre non-k\"ahl\'erien!

\subsection \Smark4.C. Cycles proches et \'evanescents|

Por aider le lecteur, il sera utile de rappeler ici les constructions  
des   faisceaux des cycles
proches et des cycles \'evanescents  associ\'es \`a une d\'eg\'en\'erescence
$f:X\to \Delta$  (ou plus g\'en\'eralement \`a une fonction $f:X \to \bC$).
Ces faisceaux ont un  support contenu dans $X_0=f^{-1}(0)$. 

La construction utilise {\sl la fibre
\index{56}{FIB}{Fibre de Milnor}%
\index{234}{MIL}{\hri fibre de Milnor}%
de Milnor en} $x\in X$ qui est l'intersection d'une
petite sph\`ere autour de $x$ de dimension r\'eelle  maximale dans $X$
avec $X_t$, $t$ proche de $0$. On peut montrer que le type  d'homotopie
de la fibre de Milnor est ind\'ependant de $t$ et du rayon de la
sph\`ere, pourvu que ceux-ci soient soigneusement choisis (voir [Mil]).
 On calcule les groupes de cohomologie resp. les groupes de cohomologie
r\'eduits. Pour $x$ variable, ces groupes constituent des faisceaux et
on peut construire deux complexes qui ``calculent'' ces deux  groupes
de cohomologie
\index{57}{CYC}{Cycles proches}%
\index{58}{CYC}{Cycles \'evanescents}%
{\sl le complexe des cycles proches} resp.  {\sl le complexe des cycles
\'evanescents}. Ils sont d\'efinis comme suit : pour d\'efinir le
complexe $\psi_f(\bC_X)$ des cycles proches, on prend une r\'esolution
injective du faisceau constant sur $\tilde X$, ensuite on   restreint 
l'image directe par $k:\tilde X\to X$ \`a $X_0$ (en d'autres termes
$\psi_f(\bC_X)=i^\ast Rk_\ast\bC_{\tilde X}$, l'image r\'eciproque par
$i:X_0\to X$ de l'image directe d\'eriv\'ee par $k$ du faisceau
constant sur $\tilde X$).  Le complexe des cycles \'evanescents
$\phi_f(\bC_X)$  est d\'efini comme le c\^one du morphisme  naturel
$\bC_{X_0} \to \psi_f(\bC_X)$ provenant de $\bC_X\to Rk_\ast k^\ast
\bC_X$. 

Rappelons  que le c\^one $C(f)^\bullet$ d'un
morphisme $f^\bullet:A^\bullet\to B^\bullet$ entre complexes est d\'efini
par :
$C^p(f)=A^{p+1}\oplus B^p$ avec la d\'erivation donn\'ee par  $\pmatrix{
-d^{p+1}_A & 0\cr f^p & d^p_B
\cr}$. On a une suite exacte courte $0\to B^\bullet \to C(f)^\bullet \to
A^\bullet[1]\to 0$ et en appliquant cette suite dans le cas consid\'er\'e ici
on trouve bien que pour $j>0$, $\cH^j(\phi_f(\bC_X))=\cH^j(\psi_f(\bC_X))$
calcule le
$j$-i\`eme groupe de cohomologie des fibres de Milnor tandis que
pour $j=0$ il y a une diff\'erence : $\cH^0(\phi_f(\bC_X))$ calcule la
cohomologie mais $\cH^0(\psi_f(\bC_X))$ calcule la  cohomologie r\'eduite.

L'avantage de cette description d\'ecoule du fait que $H^w(X_t,\bQ)=H^w(\tilde
X,\bQ)$ $=H^w(\psi_f^{\rm uni}\bQ_X)$ o\`u l'ajout ``uni" signifie qu'on prend
le sous-complexe maximal de $\psi_f\bQ_X $ sur lequel l'action naturelle de la
monodromie est unipotente. Donc on pourra essayer de construire la structure de
Hodge mixte au niveau de ce  complexe. C'est que Steenbrink ([St1])  fait dans
le cas o\`u la monodromie agit de fa\c{c}on unipotente et
$X_0$  est  un diviseur \`a croisements normaux avec une structure de
vari\'et\'e alg\'ebrique.   Navarro-Aznar ([NA]) a g\'en\'eralis\'e ses
constructions. Voir  [St2] pour des
applications aux singularit\'es isol\'ees. Voir aussi [D-S] o\`u on
trouve un joli suppl\'ement du th\'eor\`eme de monodromie dans le cas d'une
singularit\'e isol\'ee: si $T$ admet un bloc de Jordan de taille maximale
$n=\dim X$ -- et n\'ecessairement pour une valeur propre diff\'erente de 1 --,
alors il y aura aussi un bloc de taille $n-1$ avec la valeur propre 1.

Remarquons finalement que la description ci-dessus sugg\`ere en outre qu'on pourra
remplacer $\bC_{\tilde X}=k^\ast\bC_X$ par un $k^\ast\cK^\bullet$, o\`u
$\cK^\bullet$ est un complexe de faisceaux born\'e sur $ X$ quelconque,
extension qui joue  un r\^ole important dans les travaux de Saito (voir
dessous).

\section \Smark5. Fibr\'es de Higgs|

{\eightpoint Le but de ce paragraphe est de donner quelques d\'etails sur les
travaux de Simpson sur la construction de variations de structures de Hodge.
 En particulier nous  expliquerons bri\`evement comment ses r\'esultats
conduisent \`a des restrictions sur la possibilit\'e qu'un groupe donn\'e soit le
groupe fondamental d'une vari\'et\'e projective lisse (complexe). 
On trouvera ces r\'esultats dans [Si3]. Ils reposent
sur [Si1] et [Si4]. Le lecteur pourra aussi consulter
[Si2]. Pour d'autres r\'esultats sur les groupes fondamentaux
qui portent sur la th\'eorie des fibr\'es de Higgs, voir
[A1],[A2], [Z1], [Z2].
}

Dans le \S3 on a introduit la notion d'une {\sl variation de 
structure de Hodge polaris\'ee (VHS)} de poids $w$ sur une vari\'et\'e 
de base $S$ suppos\'ee  complexe et lisse.
Bri\`evement, une telle structure consiste en un quadruple
$\{\cH,\nabla,Q,\{\cH^{r,s}\}\}$ o\`u $\cH$ est un fibr\'e holomorphe
(muni d'une structure r\'eelle), $\nabla$ une connexion  plate, $Q$ une
forme bilin\'eaire,  $(-1)^w$-sym\'etrique et $\nabla$-parall\`ele,  
$\cH=\bigoplus_{r+s=w}\cH^{r,s}$ une  d\'ecomposition en sous-fibr\'es 
$\cH^{r,s}$ diff\'erentiables avec la propri\'et\'e que $\cH^{r,s}$ est le
conjugu\'e complexe de $\cH^{s,r}$ (une d\'ecomposition de Hodge).  De
plus, on exige que les fibr\'es de Hodge 
$\cF^p=\bigoplus_{r\ge p} \cH^{r,s}$ soient holomorphes et  que $\nabla$
envoie $\cF^p$ en $\cF^{p-1}\bigotimes\Omega^1_S$ (transversalit\'e de
Griffiths). Finalement on exige que la d\'ecomposition  de Hodge soit 
$h$-orthogonale par rapport \`a la forme  hermitienne et $\nabla$-parall\`ele,
d\'efinie par  $h(x,y)=(-i)^wQ(x,\overline{y})$, et que $(-1)^rh$ soit
positive  sur $\cH^{r,s}$. Donc on pourrait aussi partir de
$\{\cH,\nabla,h,\{\cH^{r,s}\}\}$. Si on oublie la structure r\'eelle, et
donc si on doit laisser tomber la condition $\cH^{r,s}=\overline{\cH^{s,r}}$ 
on arrive \`a la notion d'une
\index{59}{VAR}{Variation complexe de structures de Hodge (VCH)}%
\index{235}{HOD}{\hri variation complexe de structures de Hodge (VCH)}%
{\sl variation complexe de structures de Hodge} (VCH), pourvu qu'on
interpr\`ete la transversalit\'e de Griffiths correctement: non seulement
on exige que $\nabla:\cF^p\to\cF^{p-1}\otimes\Omega^1_S$ mais aussi que
les fibr\'es $\overline{\cF^q}\build=|{\rm def} ||\bigoplus_{s\ge q}\cH^{r,s}$ 
portent une structure anti-holomorphe telle que $\nabla$ envoie
$\overline{\cF^q}$ en $\overline{\cF^{q-1}}\bigotimes_{\overline{\cO_S}}
\overline{\Omega^1_S}$.

Une VCH donne un exemple particulier de
\index{60}{FIB}{Fibr\'e de Higgs}%
\index{236}{HIG}{Higgs, fibr\'e de}%
{\sl fibr\'e de Higgs}, c'est-\`a-dire un fibr\'e holomorphe $\cH$ avec
un homomorphisme $\theta:\cH\to 
\cH\otimes \Omega_S^1$ ayant la propri\'et\'e d'int\'egrabilit\'e
$\theta\wedge\theta=0$. En effet, ici on \'ecrit $\cH=\bigoplus_p
\cF^p/\cF^{p+1}$ et on prend pour
$\theta$ la somme directe des homomorphismes $\cO_S$-lin\'eaires
$\cF^p/\cF^{p+1}\to \cF^{p-1}/\cF^p\bigotimes\Omega^1_S$ induits par $\nabla$.

Le fibr\'e de Higgs provenant d'une VCH en outre est stable par l'action
de $\bC^\ast$ donn\'ee par $t\cdot(\cH,\theta)=(\cH,t\theta)$. 
Plus pr\'ecis\'ement, $\phi_t:\cH\to \cH$ donn\'ee par $ \cH^{r,s}\ni x\mapsto
t^rx$ induit un isomorphisme $(\cH,\theta)\to(\cH,t\theta)$. 

On peut montrer ([Si3], Theorem 4.2) que si $S$ est une vari\'et\'e
 projective, chaque syst\`eme local (d'espaces vectoriels complexes) 
donne un fibr\'e de Higgs et si le syst\`eme est
semi-simple, le fibr\'e de Higgs $(\cH,\theta)$ provient d'une VCH si et 
seulement si la classe d'isomorphie de $(\cH,\theta)$ est 
$\bC^\ast$-invariante.
Autrement dit : si on consid\`ere les repr\'e\-sen\-ta\-tions du groupe
fondamental de $S$ dans $\bC^d$, celles qui portent une
VCH sont les repr\'esen\-ta\-tions semi-simples fix\'ees  par l'action
de 
$\bC^\ast$. Un autre th\'eor\`eme de Simpson ([Si3], Theorem 3) dit 
qu'on peut toujours d\'eformer une re\-pr\'e\-sen\-ta\-tion du groupe $\pi_1(S)$ 
en une telle  re\-pr\'e\-sen\-ta\-tion. 
En particulier la cl\^oture de Zariski $G$ 
du groupe de monodromie (dans le groupe $\hbox{\rm Gl}(d,\bR)$) doit 
\^etre tr\`es sp\'eciale, dite
\index{61}{GRO}{Groupe alg\'ebrique du type Hodge}%
{\sl du type Hodge}, c'est-\`a-dire le rang de
$G$ doit \^etre \'egal au rang du sous-groupe compact maximal de $G$. 
Par exemple les groupes $\hbox{\rm Sl}(n,\bR)$ pour $n\ge 3$ ne sont pas 
du type Hodge. 

On d\'eduit de ces r\'esultats qu'un r\'eseau $\Gamma$  (sous-groupe discret
\`a quotient de volume fini) dans $\hbox{Sl}(n,\bR)$ (par exemple
$\hbox{Sl}(n,\bZ)$) ne peut pas figurer
comme groupe fondamental d'une vari\'et\'e projective lisse.

Afin de donner une br\`eve indication sur la d\'emonstration, rappelons qu'une
re\-pr\'e\-sen\-ta\-tion $\rho: \pi \to \hbox{\rm Gl}(d,\bC)$ est dite rigide
si l'orbite de $\rho$ sous l'action de $\hbox{\rm Gl}(d,\bC)$
par conjugaison  sur l'espace des re\-pr\'e\-sen\-ta\-tions 
$\Hom(\pi,\hbox{\rm Gl}(d,\bC))$  est ouverte. Donc cette orbite est une
composante connexe, car $\hbox{\rm Gl}(d,\bC))$ est r\'eductif. Par le dernier
th\'eor\`eme  de Simpson cette composante contient une VCH et donc la
cl\^oture de Zariski  du groupe de monodromie est du type Hodge.

D'autre part, un r\'esultat de Margulis implique que  la re\-pr\'e\-sen\-ta\-tion 
naturelle du r\'eseau $\Gamma$ est rigide et donc, si $\Gamma$ \'etait
le groupe fondamental d'une vari\'et\'e k\"ahl\'erienne, 
$\hbox{Sl}(d,\bR)$ serait du type Hodge, conduisant \`a une contradiction.

Le lecteur trouvera les d\'etails, ainsi que beaucoup d'autres exemples
dans [Si3].

\section \Smark6. Modules de Hodge|

{\eightpoint Le but de ce paragraphe est de donner une introduction aux
travaux de Morihiko Saito sur les modules de Hodge. Une des principales
applications est \`a la cohomologie d'intersection trait\'ee
bri\`evement dans le \S6.A.  }

\subsection \Smark6.A. Cohomologie d'intersection et $L^2$-cohomologie|

\index{105}{COH}{Cohomologie d'intersection}%
\index{237}{INT}{Intersection, cohomologie d'}%
\index{106}{COH}{Cohomologie $L^2$}%
R\'ecemment, les groupes de cohomologie d'intersection $IH^w(X)$
(pour $X$ complexe et quasi-projective) ont \'et\'e introduits par
Goresky et MacPherson ([G-M]). Cette cohomologie est mieux
adapt\'ee aux vari\'et\'es singuli\`eres que la cohomologie ordinaire.
Par exemple on a une version de la dualit\'e de Poincar\'e et les th\'eor\`emes
de Lefschetz ``fort et faible'' sont valables. Cheeger, Goresky et MacPherson
([C-G-M]) ont \'enonc\'e la conjecture que $IH^w(X)$ porte une structure
de Hodge pure de poids $w$ dans le cas o\`u est $X$ projective. Saito
[Sa1,2] l'a d\'emontr\'ee avec sa th\'eorie des Modules de Hodge (voir
dessous). 

On peut se demander s'il est possible de g\'en\'eraliser la th\'eorie
de Hodge classique (valable pour des vari\'et\'es k\"ahl\'eriennes
compactes) par exemple \`a des vari\'et\'es quasi-projectives en
utilisant une m\'etrique de K\"ahler convenable de telle sorte que la
cohomologie d'inter\-sec\-tion d'une vari\'et\'e projective soit
calculable en termes de formes harmoniques sur la partie lisse. En
effet, on peut d\'emontrer  un th\'eor\`eme de d\'ecomposition de 
Hodge pour des m\'etriques de K\"ahler compl\`etes en utilisant les
formes localement $L^2$ par rapport \`a la m\'etrique. Dans ce cas,
comme dans le cas classique, la d\'ecomposition des formes harmoniques
en composantes de bidegr\'e pur conduit \`a une d\'ecomposition de Hodge
pour les groupes de cohomologie $H_2^w(X,\bC)$ pourvu que ce groupe
soit de rang fini. Voir [Dem], \S12 et [B-Z], \S3. Donc, si on avait une
identification de $H_2^w(X,\bC)$ avec $IH^w(X,\bC)$, on en d\'eduirait 
une structure de Hodge sur la cohomologie d'intersection. Il y a
toujours une application naturelle $H^w_2(X,\bC)\to IH^w(X,\bC)$ qui
est conjecturalement un isomorphisme. Cette conjecture est vraie pour
des espaces \`a singularit\'es isol\'ees (cf.\ [Ch1], [Ch2] pour
le cas de singularit\'es coniques, et [Ohs1] pour le cas g\'en\'eral); en
d\'epit des r\'esultats annonc\'es dans [Ohs2], il semble que le cas de 
singularit\'es quelconques soit toujours ouvert.

Il faut remarquer que la conjecture de Cheeger, Goresky et MacPherson est plus
pr\'ecise que la seule existence d'une  structure de Hodge sur $IH^w(X)$ : 
on demande
que 
{\parskip 0.2em 
\item{1.} $IH^w(X)$ soit canoniquement isomorphe au groupe
$H_2^w(X\setminus \hbox{\rm Sing}X)$, le groupe de cohomologie calcul\'e en
utilisant des formes localement $L^2$ par rapport \`a la {\sl m\'etrique de
Fubini-Study},  
\item{2.} la structure de Hodge soit induite par cet
isomorphisme.}  

C'est cette conjecture plus fine qui a \'et\'e d\'emontr\'ee dans  le
cas des singularit\'es coniques isol\'ees, mais elle n'a pas \'et\'e
d\'emontr\'ee  en g\'en\'eral. Voir [B-Z] \S~3 pour une discussion
d\'etaill\'ee.

Deligne a g\'en\'eralis\'e le th\'eor\`eme de
 d\'ecomposition de Hodge en rempla\c{c}ant $\bC$ par une variation de
structures de Hodge $H_X$ ayant pour base $X$  une 
vari\'et\'e k\"ahl\'erienne compacte. Le m\^eme argument fonctionne dans le
cadre $L^2$ avec  $X$ quasi-projective admettant une m\'etrique k\"ahl\'erienne
compl\`ete, pourvu que le groupe $H^w_2(X,H_X)$ soit de dimension finie. 
 Il a montr\'e dans ce cas que $H^w_2(X,H_X)$ admet une structure 
de Hodge pure de poids $w+v$ (voir [Zu]). 
 

Ensuite, Cattani, Kaplan, Schmid [C-K-S2] et Kashiwara et Kawai
[K-K] ont montr\'e que si $\overline{X}$ est une
compactification lisse de $X$ telle que $\overline{X}\setminus X$
est un diviseur \`a croisements normaux, pour une m\'etrique de type
Poincar\'e au voisinage des croissements, $IH^w(\overline X,H_X)$ est
isomorphe \`a $H^w_2(X,H_X)$ et donc porte une structure de Hodge de
poids $w+v$.

\subsection \Smark6.B. Travaux de Saito|

Soit $S$ une vari\'et\'e complexe et $H_S$ un syst\`eme local d'espaces
vectoriels r\'eels. Le fibr\'e holomorphe associ\'e $\cH_S=H_S\otimes
\cO_S$ admet une connexion plate $\nabla=1\otimes d$. Donc $\cD_S$,
 le faisceau d'op\'erateurs diff\'erentiels sur $S$ agit sur $\cH_S$
(l'action d'un champs holomorphe $\xi$ est donn\'ee par  $s\mapsto\nabla_\xi
s$) munissant $\cH_S$ d'une structure de $\cD_S$- module. En effet, un tel
$\cD_S$-module est un $\cD_S$-module {\sl coh\'erent} et m\^eme
{\sl holonome}. Les d\'efinitions de ces notions peuvent \^etre
trouv\'ees en [Bo], o\`u on peut aussi trouver des d\'etails de la
discussion qui suit. 

Dans le cadre de la g\'eom\'etrie alg\'ebrique, on rencontre classiquement la
situation o\`u $S$ est un ouvert de Zariski d'une vari\'et\'e
alg\'ebrique projective $X$ et $D:=X\setminus S$ est un diviseur. Dans ce
cadre, on a la notion de   connexion  ayant des {\sl singularit\'es
r\'eguli\`eres} le long de $D$ et on sait qu'ici $\nabla$ admet de telles
singularit\'es.  On peut m\^eme montrer que $(\cH_S,\nabla)\mapsto H_S$
\'etablit une \'equivalence entre la cat\'egorie des fibr\'es holomorphes
sur $S$  munis d'une connexion ayant  des singularit\'es r\'eguli\`eres
(le long de $D$) et la cat\'egorie des syst\`emes locaux d'espaces
vectoriels complexes ({\sl correspondance 
\index{62}{COR}{Correspondance de Riemann-Hilbert}%
\index{238}{RIE}{Riemann-Hilbert, correspondance de}%
de ``Riemann-Hilbert''}). 

On peut \'etendre la notion de r\'egularit\'e aux $\cD_S$-modules
 holonomes et dans ce cadre il y a aussi  une correspondance de 
``Riemann-Hilbert''. Pour expliquer cela on a besoin de la notion de 
\index{107}{FAI}{Faisceau pervers}%
\index{108}{MOD}{\hri $\cD$-module holonome}%
{\sl faisceau pervers}.
Remarquons d'abord  que la structure de $\cD_S$-module permet de 
d\'efinir un complexe, dit {\sl complexe de De Rham} 
$\DR(\cM):=\Omega_S^\bullet\otimes\cM$.   On regarde ensuite ce complexe dans
une cat\'egorie d\'eriv\'ee convenable o\`u, rappelons-le, on identifie deux
complexes lorsque un morphisme de l'un dans l'autre induit un isomorphisme
entre les faisceaux de cohomologie [Ill]. On dit alors qu'ils sont
{\sl quasi-isomorphes}. Dans le cas d'un $\cD_S$-module provenant d'un
syst\`eme local on a seulement un groupe de cohomologie en dimension
z\'ero: le syst\`eme local lui-m\^eme (lemme de Poincar\'e
holomorphe). Et donc dans ce cas $\DR(\cH_S)$ est quasi-isomorphe \`a $H_S$.

Une construction importante dans cette cat\'egorie est celle de la {\sl
dualit\'e de Verdier}. On ne  donne pas  les d\'etails ici; il suffit de
savoir que le  complexe  dual au sens de Verdier \`a  $\DR(\cH_S)$ est
repr\'esent\'e par le complexe $\DR(\cH_S^\scrvee)$ et donc dans la
cat\'egorie d\'eriv\'ee le dual de $H_S$ est $H_S^\scrvee$. 

On  dit qu'un complexe $\cK^\bullet$ de faisceaux de $\bC$-espaces vectoriels
est {\sl pervers} si le faisceau  de cohomologie en dimension $j$ de
$\cK^\bullet$ ainsi que celui du  dual  de Verdier est constructible
  de support de dimension au plus \'egal \`a $-j$. Un mot d'explication: la
convention est telle que le complexe de De Rham d'un $\cD_S$-module
commence en degr\'e $-n$ et donc un syst\`eme local $H_S$ est pervers car
le  support de $H_S$ et celui de son dual est $S$ et donc de dimension $n$. 
Plus
g\'en\'eralement, un syst\`eme local $H_S$ sur un ouvert dense de Zariski $S$
d'une vari\'et\'e alg\'ebrique  $X$ s'\'etend de fa\c{c}on minimale en
un faisceau pervers $IC(H_S)$ sur $X$. Dans ce cas, si $X$ est compacte on a
$IH^w(X,H_S)=H^w(X,IC(H_S))$.

On pourra ainsi regarder un faisceau pervers comme une g\'en\'eralisation d'un
syst\`eme local ;  la correspondance  qui associe \`a un  $\cD_S$-module
holonome son complexe de De Rham  induit une \'equivalence  
entre la cat\'egorie des $\cD_S$-modules holonomes \`a singularit\'es
r\'eguli\`eres et la cat\'egorie des faisceaux pervers de $\bC$-espaces
vectoriels (th\'eor\`eme de la correspondance de  Riemann-Hilbert
[Kas], [Me1, Me2]). Le lecteur pourra se convaincre que ce cadre nouveau 
est une g\'en\'eralisation cons\'equente du \S2.

Maintenant on suppose, que le syst\`eme local $H_S$ porte une variation  de
structure de Hodge de poids $w$.  La filtration
de Hodge induit une filtration dite {\sl bonne} $\cM_p:=\cF^{-p}$, c'est-\`a-dire
l'action des op\'erateurs d'ordre $\le 1$ envoient $\cM_p$ dans $\cM_{p+1}$
(traduction de la transversalit\'e de Griffiths). Un tel $\cD_S$-module
filtr\'e est un exemple d'un {\sl module de Hodge de poids $w$}. La
d\'efinition de ces objets est tr\`es indirecte, comme on va le voir, et
c'est un th\'eor\`eme difficile de prouver qu'une variation de structure 
de Hodge est un module de Hodge. Voir [Sa] pour une d\'emonstration ainsi
que pour des d\'etails de la discussion qui suit. 

Saito d\'efinit les modules de Hodge de fa\c{c}on r\'ecurrente. 
Il commence par ceux qui ont leur support dans un point $s\in
S$: ce sont  simplement les structures de Hodge (r\'eelles) avec filtration
de Hodge croissante ($F_p:=F^{-p}$). En prenant l'image directe par l'inclusion
$s\to S$ on obtient un faisceau constructible dans $S$ consid\'er\'e comme
faisceau pervers et donc comme $\cD_S$-module. La filtration de Hodge en en
fait un $\cD_S$-module  filtr\'e et on obtient un objet dans la
cat\'egorie  $MF_h(\cD_S)$ des   $\cD_S$-modules filtr\'es (pour
obtenir une structure r\'eelle, il faut prendre  le produit fibr\'e avec
la cat\'egorie  des faisceaux pervers r\'eels). 
 
Dans le \S4.C, on a rappel\'e la d\'efinition des {\sl cycles proches} et 
{\sl cycles \'evanescents} relatifs aux z\'eros d'une fonction holomorphe
$g:S\to \bC$ non-constante~:
$\psi_g(\bC_S)=i^\ast Rk_\ast\bC_{\tilde S}=i^\ast Rk_\ast k^\ast \bC_{S}$
et $\phi_g(\bC_S)$ \'etant le c\^one sur 
$\{\bC_{S_0}=i^\ast\bC_S\to i^\ast Rk_\ast k^\ast
\bC_{S}\}$. Si on remplace $\bC_S$ par un complexe born\'e $\cK^\bullet$ sur
$S$, on arrive \`a $\psi_g(\cK^\bullet)$  resp. $\phi_g(\cK^\bullet)$. On a
vu que la monodromie agit sur ces complexes et induit des filtrations par le
poids.

Gabber (voir [Bry]) a montr\'e que pour $\cK^\bullet$ pervers, ces
complexes (d\'ecal\'es par $[-1]$) sont des faisceaux pervers sur $S_0$
et Saito a propos\'e une construction des foncteurs $\phi$ et $\psi$ au
niveau des $\cD_S$-modules holonomes filtr\'es. En particulier les
modules ``proches'' et ``\'evanescents'' qui r\'esultent admettent des
filtrations par le poids $W_\bullet$ . Saito maintenant compl\`ete la
d\'efinition r\'ecurrente de ses modules de Hodge en deux \'etapes :
d'abord il se restreint \`a une sous-cat\'egorie pleine de
$MF_h(\cD_S)$ telle que ses objets poss\`edent de bonnes
propri\'et\'es par rapport aux foncteurs $\phi$ et $\psi$ et 
ensuite, il demande qu'un module $\cM$ dans cette sous-cat\'egorie soit
un module de Hodge si et seulement si c'est le cas pour les modules
$W$-gradu\'es de $\psi_g(\cM)$ et $\phi_g(\cM)$ (plus pr\'ecis\'ement :
il faut restreindre au sous-module maximal sur lequel  $T$ agit de
fa\c{c}on unipotente)  pour n'importe quelle fonction $g:S\to \bC$ .
Puisque ces modules on un support de dimension strictement plus petite
et puisqu'on conna\^{\i}t les modules de Hodge \`a support de dimension
$0$, la d\'efinition r\'ecurrente est  ainsi  compl\`ete.

L'application la plus c\'el\`ebre du fait qu'une variation de structure de
Hodge $H_S$ de poids $v$ param\'etr\'ee par une vari\'et\'e
analytique complexe $S$ est un module de Hodge de poids $v$ est le
th\'eor\`eme suivant qu'on a d\'ej\`a annonc\'e : lorsque $S$ est un ouvert
de Zariski dans une vari\'et\'e k\"ahl\'erienne compacte $X$,  le groupe 
$IH^w(X,H_S)$ porte une structure de Hodge polaris\'ee de poids $v+w$. En
effet, on a vu que $IH^w(X,H_S)=H^w(X,IC(H_S))$ et que $H_S$ et donc aussi
$IC(H_S)$ sont des modules de Hodge de poids $v$. Donc $H^w(X,IC(H_S))$ en tant
que module de Hodge support\'e dans un point, porte une structure de Hodge (de
poids $v+w)$.

En particulier, la structure polaris\'ee sur $IH^w(X,\bQ)$ est un
facteur direct de la structure pure sur $IH^w(\tilde X,\bQ)$ o\`u
$\tilde X$ est une r\'esolution des singularit\'es de $X$.
\newpage

\supersection Partie II.\phantom{\bigg)}\hfill\break
Sym\'etrie miroir et vari\'et\'es de Calabi-Yau|
\titlerunning J.\ Bertin, Ch.\ Peters, Partie II. Sym\'etrie miroir|

\section \Smark7. Introduction \`a la sym\'etrie miroir|

{\eightpoint La sym\'etrie miroir est un ph\'enom\`ene qui a une
origine ``physique''. Il n'y a pour l'instant que des d\'efinitions
math\'ematiques conjecturales. Le but de ce paragraphe est de
sugg\'erer une d\'efinition tr\`es incompl\`ete de ce ph\'enom\`ene et
de mettre en \'evidence quelques implications math\'ematiques. Le
cadre est la classe   des vari\'et\'es dites de Calabi-Yau; nous 
d\'ecrivons ces vari\'et\'es en d\'etail. }

\subsection \Smark7.A. Motivation de la sym\'etrie miroir|

La sym\'etrie miroir est un ph\'enom\`ene d'origine ``physique'' qui
n'a donc pas \`a ce jour une d\'efinition math\'ematique
d\'efinitive. Rappelons pour exciter la curiosit\'e du lecteur la
d\'efinition qui appara\^{\i}t dans la litt\'erature physique [G-P],
[C-O-G-P], [P]. Le ph\'enom\`ene sym\'etrie miroir vient de l'\'etude des
th\'eories superconformes (2,2) avec charge centrale $c=0$. Les
propri\'et\'es des champs conformes de ces th\'eories sont li\'ees
\`a la g\'eom\'etrie des mod\`eles sigma non lin\'eaires bas\'es sur
des vari\'et\'es de Calabi-Yau. Une d\'efinition pr\'ecise de ces
vari\'et\'es est report\'ee au paragraphe suivant. Disons seulement
que ces vari\'et\'es apparaissent pour assurer l'invariance conforme.
Dans ce cadre assez hostile pour le math\'ematicien g\'eom\`etre, les
physiciens ont mis en \'evidence une correspondance remarquable entre
les propri\'et\'es abstraites des champs conformes et les
propri\'et\'es g\'eom\'etriques  des r\'ealisations en termes de
mod\`eles sigma. Cette correspondance conduit naturellement \`a
d\'eformer la structure complexe et (ou) une classe de K\"ahler sur
une vari\'et\'e de Calabi-Yau. Ce sont les mod\`eles A et B des
physiciens [G-P]. L'asym\'etrie apparente qui n'est qu'une
ambigu\"{\i}t\'e de signe, conduit \`a des mod\`eles g\'eom\'etriques
d\'efinitivement distincts r\'ealisant une m\^eme th\'eorie conforme
des champs. Pour  une vari\'et\'e de Calabi-Yau $X$, de fibr\'e
tangent holomorphe  $T_X$, les objets li\'es \`a la  m\^eme th\'eorie
$H^1(X,T_X)$ et $H^1(X,T^\ast_X)=H^1(X,\Omega^1_X)$ sont totalement 
diff\'erents du point de vue de la
g\'eom\'etrie. En fait dans le \S7.C on verra que $\dim H^1(X,T_X)$ 
est le nombre de param\`etres pour la structure complexe, tandis que
$\dim H^1(X,T^\ast_X)=h^{1,1}(X)$ est le nombre maximal de classes 
de K\"ahler ind\'ependantes sur $X$.

Ceci conduit \`a postuler que les vari\'et\'es de
Calabi-Yau (on se limite \`a la dimension trois) doivent
appara\^{\i}tre par paires, disons $X$ et $X^\ast$ qui r\'ealisent
ces deux mod\`eles. On dit que $X^\ast$ est
\index{63}{VAR}{Vari\'et\'e miroir}%
\index{239}{MIR}{\hri vari\'et\'e miroir}%
\index{251}{SYM}{Sym\'etrie miroir}%
{\sl la vari\'et\'e miroir} de $X$ (et vice-versa). Il y a peut-\^etre 
une d\'efinition physique plus d\'efinitive mais non
assimilable telle quelle math\'ematiquement, que l'on peut r\'esumer
en une identit\'e
$$
Z=Z^\ast$$
entre fonctions de partition (int\'egrales de Feynman). Les
implications math\'e\-ma\-ti\-ques les plus na\"{\i}ves sont au niveau des
nombres de Hodge de $X$ et $X^\ast$, la relation de sym\'etrie
$$
h^{2,1}(X^\ast)=h^{1,1}(X);\quad h^{1,1}(X^\ast)=h^{2,1}(X).
$$
Naturellement cette seule sym\'etrie apparente n'est pas suffisante 
pour faire de $X^\ast$ la vari\'et\'e miroir de $X$. Entre $X$ et
$X^\ast$ existe une relation plus profonde qui relie l'espace des
d\'eformations de la structure complexe de $X$ \`a l'espace des
d\'eformations de la classe de K\"ahler de $X^\ast$ et vice-versa.
Cette relation est \`a l'origine des applications conjecturales \`a des
propri\'et\'es de g\'eom\'etrie \'enum\'erative sur $X$, comme
esquiss\'ees dans le \S10. Le lecteur trouvera dans le texte de C.
Voisin [V] une explication plus d\'etaill\'ee. Dans la suite,   on va
s'attacher \`a pr\'eciser les aspects qui rel\`event de la th\'eorie
de Hodge. Ces aspects sont au nombre de trois :
\item{i)} sym\'etrie des nombres de Hodge,
\item{ii)} d\'efinition de l'accouplement de Yukawa,
\item{iii)} utilisation de la structure Hodge limite pour \'etudier le
comportement asymptotique de l'accouplement de Yukawa.

Ces points sont trait\'es dans les paragraphes qui suivent.

\subsection \Smark7.B. Construction des vari\'et\'es de Calabi-Yau|
 
Du point de vue de la g\'eom\'etrie alg\'ebrique, une
vari\'et\'e de Calabi-Yau est une vari\'et\'e (alg\'ebrique)
projective lisse (complexe) $V$, telle que le faisceau canonique $K_V$
est trivial ($K_V = \Omega^n_V \cong \cO_V$), et $h^{p,0}=0$ pour
$p=1\ld n-1$, ($n=\dim V$). On se limite au cas $n=3$~; noter que
$h^{1,0}=0$ implique $h^{2,0}=0$, car par dualit\'e de Serre
$H^1(V,\cO_V)$ est le dual de $H^2(V,\cO_V)$,  vu que $K_V \cong
\cO_V$. On exige aussi que le groupe fondamental $\pi _1(V)$ soit fini,
pour \'eviter des situations marginales. En g\'eom\'etrie
diff\'erentielle ce sont les vari\'et\'es k\"ahl\'eriennes
\`a courbure de Ricci nulle (se reporter \`a [Dem]), de
groupe d'holonomie exactement $SU(3)$. Directement li\'e \`a ceci,
il y a le r\'esultat de classification suivant, d{\^u} \`a
plusieurs auteurs (voir [Beau])~: Soit $X$ une vari\'et\'e
k\"ahl\'erienne compacte de premi\`ere classe de Chern nulle. Il
existe un rev\^etement fini non ramifi\'e $\wt X \to X$  tel que 
$\wt X$ est isomorphe \`a un produit $T\times \big(\prod\limits_i V_i\big)
\times \big(\prod\limits_j W_j\big)$, o\`u $T$ est un tore complexe, $V_i$
est une vari\'et\'e de Calabi-Yau simplement connexe, et $W_j$ est
une vari\'et\'e symplectique (il existe une 2-forme holomorphe qui
est non d\'eg\'en\'er\'ee en tout point).

Dans le contexte des vari\'et\'es de Calabi-Yau, le tr\`es important 
th\'eor\`eme de Yau [Y1] (conjecture de Calabi) joue bien s{\^u}r un role cl\'e :

\state Th\'eor\`eme| {\rm (Yau)} Soit $X$ une vari\'et\'e de
Calabi-Yau avec une m\'etrique k\"ahl\'erienne $g$ de forme de
K\"ahler $\omega\in H^{1,1}(X)$.  Il existe une unique m\'etrique
k\"ahl\'erienne $g_Y$ \`a courbure de Ricci nulle (m\'etrique de Yau)
telle que $\omega_Y$ \'etant sa forme associ\'ee, on ait
$[\omega]=[\omega_Y]\in H^{1,1}(X)$.  
\endstate

Il est ais\'e de construire des exemples de vari\'et\'es de
Calabi-Yau. Soient $H_1\ld H_r$ des hypersurfaces de $\bP^N$ ($N=r+3$),
de degr\'e respectifs $d_1\ld d_r$ avec $N+1=\sum\limits_i d_i$.
Si l'intersection $V=\bigcap\limits^r_{i=1}H_i$ est transversale, $V$ est
alors lisse, et la formule d'adjonction montre que $K_V\cong\cO_V$,
donc $V$ est de Calabi-Yau (on a ici $\pi_1(V)=0$).

Parmi les exemples, on peut prendre pour $V$ une hypersurface de
degr\'e 5 dans $\bP^4$ (quintique), une intersection de deux
hypersurfaces cubiques de $\bP^5$, de trois quadriques de $\bP^6$ (voir
le \S10 pour ces exemples).

On peut plus g\'en\'eralement remplacer $\bP^N$ par un produit
$\bP^{n_1}
\times
\cdots
\times \bP^{n_s}$ ou toute autre vari\'et\'e, dont le faisceau
anticanonique est ample (i.e.:
$K^{-1}_V$ est ample). Une hypersurface est alors sp\'ecifi\'ee
par son \'equation, i.e.\ une forme de multidegr\'e
$d_i=(d_{1i}\ld d_{si})$. On forme ainsi un tableau~:

$$\vbox{\offinterlineskip
\halign{
\strut \hfill~$#$~\hfill &\vrule \hfill~$#$~\hfill &\vrule
\hfill~$#$~\hfill &\vrule \hfill~$#$~\hfill \vrule\cr &H_1 &&H_r\cr
\noalign{\hrule}
n_1 &d_{11} &\cdots &d_{1r}\cr
\noalign{\hrule}
n_2 &d_{21} &\cdots &d_{2r}\cr
\noalign{\hrule}
\vdots &\vdots &&\vdots\cr
\noalign{\hrule}
n_s &d_{s1} &\cdots &d_{sr}\cr
\noalign{\hrule}\cr}}$$

\noindent 
et $V$ est l'intersection $V=H_1\cap \cdots \cap H_r$, avec $\dim
V=3$ si $\sum_in_i=r+3$. La condition $K_V \cong \cO_V$ \'equivaut
\`a
$\sum\limits^r_{j=1} d_{ij} = n_i +1$, $(i=1\ld s)$.

\state 7.1. Exemple|\rm (vari\'et\'e de Tian-Yau)
$$\vbox{\offinterlineskip
\halign{
\strut \hfill~$#$~\hfill &\vrule \hfill~$#$~\hfill &\vrule
\hfill~$#$~\hfill  &\vrule \hfill~$#$~\hfill\cr
&H_1 &H_2&H_3\cr
\noalign{\hrule}
3 &3&0&1\cr
\noalign{\hrule}
3 &0&3&1\cr
\noalign{\hrule}\cr}}
$$
\endstate

\noindent On peut prendre pour $V$ l'intersection
compl\`ete des hypersurfaces $\sum\limits^3_{i=0} X^3_i =0$,
$\sum\limits^3_{i=0} Y^3_i=0$ et $\sum\limits^3_{i=0} X_iY_i$ dans $\bP^3\times
\bP^3$, o\`u $(X_i)$, $(Y_i)$ sont les coordonn\'ees homog\`enes
dans les deux exemplaires de $\bP^3$. Noter que dans cet exemple, la
permutation circulaire des coordonn\'ees, fournit une action libre
du groupe $G = \bZ/3\bZ$, et $W= V/G$ est alors une vari\'et\'e de
Calabi-Yau avec pour caract\'eristique d'Euler $-6$ (``mod\`ele de
nombre de g\'en\'eration 3'' donc ``physiquement acceptable'').


A ce stade, la question principale peut se r\'esumer \`a : quelle
construction g\'eom\'etrique, la vari\'et\'e de Calabi-Yau $X$ \'etant
donn\'ee, va conduire \`a la vari\'et\'e miroir $X^\ast$, en fait \`a
une ``vari\'et\'e candidate''.  

Des arguments issus de la physique laissent penser que dans beaucoup de cas,
$X^\ast$ s'obtiendra \`a partir de $X$ en faisant un quotient par un
groupe fini $G$ d'auto\-mor\-phismes de $X$, le groupe $G$ agissant
trivialement sur $H^{3,0}(X)$, pour assurer \`a une
d\'esingularisation convenable de $X/G$ le caract\`ere Calabi-Yau;
c'est la m\'ethode des orbifolds des physiciens. A ce stade des
difficult\'es vari\'ees apparaissent; elles sont li\'ees aux
singularit\'es qui r\'esultent de l'existence de points fixes, car
l'action de $G$ n'est pas n\'ecessairement libre. Si $\hat X$ est une
r\'esolution des singularit\'es de $X/G$, avec $K_{\hat X}\cong
\cO_{\hat X}$ (on peut prouver qu'une telle r\'esolution existe dans
essentiellement tous les cas [B-M]), se pose le probl\`eme du calcul des
nombres de Hodge $H^{p,q}(\hat X)$, disons \`a partir de ceux de $X$
et des donn\'ees li\'ees \`a l'action de $G$ sur $X$. Pour la
caract\'eristique d'Euler $\chi=\sum(-1)^{p+q}h^{p,q}$ on a la formule
de Dixon-Vafa-Witten
$$
\chi(\hat X) ={1\over |G|}\sum\limits_{gh=hg}\chi(X^g\cap X^h)
$$
o\`u la somme porte sur les couples $g,h$ d'\'el\'ements de $G$ qui
commutent ($gh=hg$) et $X^g=\{ x\in X \mid  g(x)=x \}$, la vari\'et\'e
des point fixes de $g$. Noter que si $\hat X$ est le miroir de $X$,
$\chi(\hat X)=-\chi(X)$. 

Assez remarquablement, pour une formule analogue a
\'et\'e propos\'ee par Batyrev et Zaslow [Za] pour les nombres de Hodge. Cette formule
conjecturale est :
$$
h^{p,q}(\hat X)=\sum\limits_{\{g\}} \dim \left(
H^{p-f_g,q-f_g}(X^g)^{C(g)}
\right)
$$
o\`u $C(g)$ est le commutant de $g$ dans $G$, et $\{ g\}$ la classe de
conjugaison de $g$. Pour d\'efinir l'entier $f_g$ on regarde l'action
de l'automorphisme $g_x$ induit sur l'espace tangent  $T_xX$ \`a
$x\in X^g$. Du fait que $g$ induit l'identit\'e sur $H^{3,0}$, le
d\'eterminant de $g_x$ est $1$ et donc, si $e^{-2\pi \ii \lambda_j}$,
$0<\lambda_j<1$  sont les valeurs propres de $g_x$ sur l'espace
$T_xX/T_xX^g$ normal \`a $X^g$ (ces valeurs sont ind\'ependantes 
du choix du point  $x\in X^g$), la somme $f_g=\sum_j\lambda_j$ est bien un entier.

Il n'est pas difficile de v\'erifier que la structure du diamant de
Hodge d'une vari\'et\'e de Calabi-Yau est pr\'eserv\'ee et donc que les
$h^{p,q}(\hat X)$ sont sp\'eculativement les nombres de Hodge d'une
vari\'et\'e de Calabi-Yau. Cela a \'et\'e v\'erifi\'e pour la
construction de la vari\'et\'e miroir par la m\'ethode des
poly\`edres de Batyrev.

Pour avoir assez d'arguments objectifs validant la distribution des
vari\'et\'es de Calabi-Yau en paires (avec peut-\^etre  des
exceptions), il est n\'ecessaire d'\'elargir  le proc\'ed\'e de
construction des vari\'et\'es de Calabi-Yau, car si $X$ est une
hypersurface de $\bP^4$, il y a peu  de chances que $\hat X$ soit
aussi une hypersurface. Naturellement on est amen\'e \`a remplacer
$\bP^n$ ou $\bP^{n_1}\times \cdots \times\bP^{n_s}$ dans la
construction du d\'ebut par un espace projectif avec poids, ou un
produit de tels espaces. Consid\'erons un espace projectif avec
poids $\bP^r(k_1,\dots,k_s)$, qui est la vari\'et\'e alg\'ebrique
ayant pour points les $(r+1)$-uples $(z_1,\dots,z_{r+1})\in
\bC^{r+1}\setminus \{0\}$, modulo la relation d'\'equivalence
$$
(z_1,\dots,z_r)\sim
(\lambda^{k_1}z_1,\dots,\lambda^{k_{r+1}}z_{r+1})\quad (\lambda\in
\bC^\ast).
$$
On v\'erifie que la construction de l'espace projectif
$\bP^r=\bP^r(1,\dots,1)$ se g\'en\'eralise \`a cette situation, qui
peut cependant conduire \`a une vari\'et\'e singuli\`ere. Une
hypersurface de degr\'e $d$ est le lieu des z\'eros d'un 
polyn\^ome quasi-homog\`ene
$P(z)=\sum\limits_{i_1k_1+\cdots i_{r+1}k_{r+1}=d}
c_{i_1\cdots i_{r+1}}z_1^{i_1}\cdots z_{r+1}^{i_{r+1}}$. 
Si  $\{P=dP=0\}$ entra\^{\i}ne
$z=0$ dans $\bC^{r+1}$ on dit que $P$ est {\sl transverse}. Un tel
polyn\^ome d\'efinit un hypersurface lisse et si $d=\sum k_i$ conduit
\`a une hypersurface de Calabi-Yau; on
supposera $r=4$, pour obtenir une hypersurface de dimension $3$.
L'exp\'erience montre que dans la liste des poids $\{k_i\}$ tels
qu'il existe un polyn\^ome quasi-homog\`ene transverse de degr\'e
$d=\sum k_i$, la distribution des nombres de Hodge
$(h^{1,1},h^{2,1})$ est essentiellement sym\'etrique, c'est-\`a-dire
que dans $90 \%$ des cas, la paire $(h^{2,1},h^{1,1})$
appara\^{\i}t. La meilleure fa\c{c}on d'expliquer l'absence de
sym\'etrie compl\`ete est d'invoquer la construction de la
sym\'etrie miroir  par des m\'ethodes toriques propos\'ee par
Batyrev [Ba]. Bri\`evement la dualit\'e na\"{\i}ve $X \leftrightarrow 
X^\ast$ co\"{\i}ncide dans les construction ci-dessus avec la dualit\'e
combinatoire des poly\`edres convexes qui ont la propri\'et\'e de
reflexivit\'e (loc. cit.), le poly\`edre \'etant le poly\`edre de
Newton du polyn\^ome $P$. Il y a alors des formules pour obtenir de
mani\`ere purement combinatoire les nombres de Hodge. L'exemple de
l'hypersurface quintique peut \^etre trait\'e par par ce proc\'ed\'e
(voir le \S10).  

Le lecteur consultera l'article [H-K-S-Y] pour une  discussion
d\'etaill\'ee sur l'uti\-li\-sa\-tion des m\'ethodes toriques.

\subsection \Smark7.C. D\'eformations|

Les nombres de Hodge d'une vari\'et\'e de Calabi-Yau sont~:
$$
\matrix{
&&&~~1~~&&&\cr
&&~~0~~&&~~0~~&&\cr
&~~0~~&&h^{1,1}&&~~0~~&\cr
~~1~~&&h^{2,1}&&h^{1,2} &&~~1~~\cr
&~~0~~&&h^{1,1}&&~~0~~&\cr
&&~~0~~&&~~0~~&&\cr
&&&~~1~~&&&\cr}
$$
On a $h^{2,1} = \dim H^1(\Omega^1_X)=\dim H^1(X,T_X)$
car $T_X=T_X\otimes\Omega^3_X\cong \Omega^1_X$. Dans le paragraphe 3.C. (voir
3.8) on a vu que ce nombre donne le nombre de param\`etres pour la
structure complexe, s'il existe une d\'eformation verselle (avec une
base non-singuli\`ere).

On s'int\'eresse \`a la structure de Hodge sur $H^3(X,\bR)$
polaris\'ee par la forme d'intersection (altern\'ee et
unimodulaire). On a 
$$
H^3(X,\bC) = H^{3,0} \oplus H^{2,1} \oplus H^{1,2} \oplus H^{0,3}
$$
et 
$$
F^3 = H^{3,0},~ F^2 = H^{3,0}\oplus H^{2,1},~ F^1 = H^{3,0}\oplus
H^{2,1}\oplus H^{1,2}.
$$
Posons $b=h^{2,1}$. Alors $F^2$ est un sous-espace totalement isotrope
de \hbox{$H^3(X,\bC)$}, pour la forme altern\'ee $Q$ (cup-produit),
et $F^1=(F^3)^\perp$. Le domaine des p\'eriodes pour les structures
de Hodge de ce type est de la forme $D(b) = \Sp(2b+2,\bR)/ U(1) \times
U(b)$. C'est un domaine de dimension ${1\over 2}(b+1)(b+2)$.

Dans le \S3.C  on a bri\`evement trait\'e les d\'eformations et on a
vu qu'on ne peut pas attendre en g\'en\'eral qu'il existe une d\'eformation verselle
avec une base non-singuli\`ere. Mais pour les vari\'et\'es de
Calabi-Yau c'est effectivement le cas comme le montre le th\'eor\`eme de
Tian, Todorov et Bogomolov (voir [T]) :

\state 7.2. Th\'eor\`eme|Une vari\'et\'e de
Calabi-Yau poss\`ede une d\'efor\-mation locale universelle de base $S$ lisse.  
\hfill\break [Il suffit que la
vari\'et\'e soit k\"ahl\'erienne  avec une premi\`ere classe de Chern
nulle.]
\endstate

Donc ici $h^{2,1}$ est r\'eellement le nombre de param\`etres
effectifs pour d\'ecrire les variations de la structure complexe
[C-O].

On suppose maintenant que la base $S$ est simplement connexe. Alors
l'appli\-ca\-tion de
p\'eriodes est une application holomorphe $p:S \to D(b)$. Elle se
factorise en $q:S\to \bP^{2b+1}$, ou $\bP^{2b+1}$ est l'espace
projectif des droites $H^{3,0}(X_s)\subset H^3(X_s,\bC)$ car $p$
d\'ecrit la position de $H^{3,0}(X_s)\oplus H^{2,1}(X_s)$ dans le
groupe de cohomologie $H^3(X_s)$ tandis que $q$ d\'ecrit la position de
$H^{3,0}(X_s)$. 

Maintenant nous voulons expliquer le th\'eor\`eme de Bryant et
Griffiths de [B-G]. On peut trivialiser localement le
syst\`eme local $\{H_3(X_s,\bZ)\}$, au moyen d'une base symplectique,
donc une base de 3 cycles $\{\gamma_i ,\delta_j \}_{i,j =0\ld
b}$, avec relativement au produit
d'intersection~:
$$
(\gamma_i,\delta_j ) = \delta_{ij} 
\quad\hbox{et}\quad
(\gamma_i,\gamma_j)=(\delta_i,\delta_j)=0.
$$
La base Poincar\'e duale $\{\alpha _i,\beta _j)_{i,j=0\ld b}$ fournit
une trivialisation du syst\`eme local $\bR^3f_*(\bZ)$. Soit $\omega
$ une section locale de $F^3 = f_*(\omega ^3_{X/S})$ qui trivialise ce
fibr\'e. On consid\`ere les p\'eriodes de $\omega $ :
$$
\zeta _i(s)= \int_{\gamma_i} \omega(s) ,\qquad 
\xi _j(s) = \int_{\delta_j} \omega(s) 
$$
c'est-\`a-dire~:
$$
\omega  = \sum\limits_i \zeta _i\alpha _i +\sum\limits_j \xi _j\beta
_j.\leqno{\rm(per)} 
$$
L'application des p\'eriodes ``partielle'' $q:S\to \bP^{2b+1}$ se
d\'ecrit comme
$$s\mapsto(\zeta_0(s)\ld\zeta_b(s),\xi_0(s)\ld\xi_b(s))$$
et on peut regarder ``la moiti\'e'' $q':S\to \bP^b$ donn\'ee par les
$\gamma$-p\'eriodes $s\mapsto (\zeta _0(s)\ld \zeta _b(s))$

\state 7.3. Th\'eor\`eme (Bryant-Griffiths)|L'application
$q'$ est une immersion de sorte que les $\gamma$-p\'eriodes $(\zeta _0\ld
\zeta _b)$ servent comme param\`etres ``homog\`enes'' sur $S$ et les
$\delta$-p\'eriodes $\xi _b$ sont des fonctions holomorphes de $\zeta
_0\ld\zeta _b$.
\endstate

\noindent{\sl Indication sur la preuve}:
%%%%%%%% vervang
Elle est bas\'ee sur une r\'einterpr\'etation de l'application des
p\'eriodes $q$ comme une immersion de Legendre. Pour \^etre pr\'ecis,
une vari\'et\'e de contact est une paire $(M,\cL)$ avec $M$ une vari\'et\'e
 complexe de dimension impaire $2m+1$ et $\cL\subset \Omega^1$ un sous
fibr\'e en droites du fibr\'e cotangent qui est non-d\'eg\'en\'er\'e, ce
qui veut dire que pour toute section locale $\omega\ne 0$ de $\cL$,
$$
\omega\wedge (d\omega)^m\ne 0.
$$
Une vari\'et\'e de Legendre associ\'ee \`a $(M,\cL)$ est une immersion 
$f:S\to M$ avec $\dim S= m$ telle que $f^\ast\omega=0$ pour toute section 
locale $\omega$ de $\cL$.

Si $H=H^3(X,\bC)$, la forme d'intersection sur $H$ d\'efinit une
structure de
contact sur $\bP(H)$ ($X$ est une vari\'et\'e de Calabi-Yau de dimension $3$,
et $m=h^{2,1}$). En fait, on peut supposer qu'on a choisi une base symplectique
de $H$. Soit $\{p_1,\dots,p_{m+1},q_1,\dots,q_{m+1}\}$  le syst\`eme de 
coordonn\'ees correspondant. Il suffit de sp\'ecifier une $1$-forme $\omega$ 
sur les ouverts standards de $\bP(H)$,
disons sur $U_i=\hbox{$\{p_i\ne 0\}$}$~:
$$
\omega_i=  -dq_i+\sum_{j\ne i} (q_jdp_j -p_jdq_j).
$$
On v\'erifie facilement que $\omega_i$ est une base locale sur $U_i$
d'un sous-faisceau de $\Omega^1_{\bP(H)}$ de rang un, localement libre
et isomorphe \`a $\cO(-2)$ (comparer $\omega_j$ et $\omega_k$ sur 
$U_j\cap U_k$). On a clairement $\omega\wedge (d\omega)^m \ne 0$  et donc on 
obtient une structure de contact sur $\bP(H)$.

Il s'agit de prouver que
l'application des p\'eriodes est une immersion de Legendre. C'est d'abord une
immersion (diff\'erentielle injective en tout point), par le fait que la
diff\'erentielle $dq$, c'est-\`a-dire $\delta$ (\S3.C) est injective. Le
lecteur le v\'erifiera facilement en tenant compte de la trivialit\'e de la 
classe canonique. La propri\'et\'e de Legendre est une reformulation des 
propri\'et\'es infinit\'esimales de l'application des p\'eriodes 
d\'evelopp\'ees au \S3.C (se reporter au \S10.A). Pour conclure on utilise 
les th\'eor\`emes de structure des vari\'et\'es de contact d\'etaill\'es dans 
[B-G]. 
\QED

La diff\'erentielle $dq$ \'etant injective, les d\'eriv\'ees
$\partial q/\partial\zeta_i$, $i=0\ld b$ sont ind\'ependantes, et donc les
$\nabla_{\partial\over\partial\zeta_i}\omega(s)\in F^2(X_s)$ forment
une base.

On peut maintenant explicitement d\'ecrire l'application des
p\'eriodes $p:S\to D(b)$ comme donn\'ee par la matrice
$$
\varpi = \Big(\int_{\gamma_k } {\partial \omega(s) \over \partial \zeta_i},
\int_{\delta_k } {\partial \omega(s) \over \partial \zeta _i}\Big),
$$
matrice de type $(b+1)\times (2b+2)$ qui d\'ecrit la position de
$F^2(X_s)$ dans $H^3(X_s)$. De la relation (per) ci-dessus on tire que
$\varpi = [\bone,\tau ]$, avec $\tau _{ij}$ sym\'etrique. Du fait
que la forme $-\ii\omega\wedge\bar\omega$ ainsi que
les formes $\ii\alpha\wedge\bar\alpha$ pour $\alpha\in H^{2,1}$ sont positives,
on obtient que $\Im \tau$ est de signature
$(1,b)$. On peut  aussi contr\^oler qu'un changement de base
symplectique transforme
$\tau $ en ~:
$$
\tau' = (A\tau + B) (C\tau +D)^{-1},\qquad {A~~B \choose C~~D} \in
\Sp(2b+2,\bZ) 
$$
comme dans le demi-espace de Siegel (\S3.B).
\newpage

\section \Smark8. Cohomologie d'une hypersurface|

{\eightpoint On consid\`ere  d'abord une vari\'et\'e projective lisse $P$  de
dimension $n+1$ et une hypersurface $X\subset P$ lisse. Nous voulons
relier les groupes de cohomologie de $P\ssm X$ et les groupes de
cohomologie primitive de $X$.  Ensuite on applique cette
construction \`a $\bP^{n+1}$ o\`u on utilise les formes rationnelles
ayant des p\^oles le long de $X$. Cela donne la description de
Griffiths ([Grif2] de la cohomologie primitive d'une hypersurface.
Cette description a \'et\'e g\'en\'eralis\'ee par Dimca  [Dim] et par
d'autres au cas d'une intersection compl\`ete.} 

\subsection \Smark8.A. Cohomologie du compl\'ementaire|

Rappelons d'abord le th\'eor\`eme de Lefschetz ``faible'' qui
implique que la cohomologie $X$ diff\`ere de celle de $P$ seulement
en rang $n$:  

\state 8.1. Th\'eor\`eme {\rm(Lefschetz)}|
Soit
\index{64}{LEF}{\hri th\'eor\`eme de Lefschetz}%
$X$ tr\`es ample et soit $i:X\to P$ l'injection. On~a:
$$
i^\ast:H^m(P,\bC) \to H^m(X,\bC) 
\quad\hbox{\sl  est }\cases{ \hbox{\sl un isomorphisme si} & $m\le n-1$\cr
        \hbox{\sl injectif si }& $m=n$\cr
}
$$
\endstate

On aura besoin de la cons\'equence  suivante:

\state 8.2. Corollaire|Soit $X$ un diviseur tr\`es ample.  Soit 
$$i_\ast: H^n(X,\bC)\to H^{n+2}(P,\bC)$$ l'adjoint de $i^\ast:
H^n(P,\bC)\to H^n(X,\bC)$ par rapport au cup-produit. Alors
$i_\ast$ est surjectif et le noyau est contenu dans la cohomologie
primitive \hbox{$\Prim^n(X,\bC)$} et on a 
\hbox{$\ker i_\ast=\Prim^n(X,\bC)$} si $\Prim^n(P,\bC)=0$.
\endstate

\preuve. La premi\`ere assertion est \'evidente. Le noyau consiste en
les classes $[\alpha]$ telles que $\int_P \partial^n\alpha\wedge\beta=\int_P
\alpha\wedge i^\ast\beta=0$ quel que soit $[\beta]\in H^n(P,\bC)$.  En
particulier on peut prendre $[\beta]$ de la forme (classe de
K\"ahler $\omega)\wedge {i^\ast}$ (classe d'une $n-2$-forme sur $P$).
Mais $i^\ast:H^{n-2}(P,\bC) \to H^{n-2}(X,P) $ est un isomorphisme
(th\'eor\`eme de Lefschetz de nouveau) et donc $[\alpha]\wedge\omega=0$, 
c'est-\`a-dire $[\alpha]$ est primitive.  
\QED

L'application $i_\ast$ appara\^{\i}t dans la suite exacte de Gysin:
$$
\eqalign{\cdots
&\to H^{m-2}(X,\bZ)\mapright{i_\ast}H^m(P,\bZ) \to H^m(P\ssm X,\bZ)\cr
&\mapright{\partial} H^{m-1}(X,\bZ)\mapright{i_\ast}H^{m+1}(P,\bZ)\ \cdots,\cr}
$$
obtenue comme suit. Soit $T\subset P$ un  voisinage
tubulaire de $X$ dans $P$. Comme $X$ est un r\'etracte de $T$ on a un isomorphisme
$H^k(T,\bZ) \mapright{} H^k(X,\bZ)$ tandis que  $H^k(T,T\ssm
X,\bZ$ est isomoprhe \`a $ H^{k-2}(X,\bZ)$
(`isomorphisme de Thom').  Aussi, l'inclusion  $(T,T\ssm X)\to
(P,P\ssm X)$ est une excision  et donc $H^k(P,P\ssm X,\bZ)$ est
isomorphe \`a $H^k(T,T\ssm X,\bZ)$.  La suite longue du couple
$(P,P\ssm X)$ donne alors la suite de Gysin.

Il suffit donc de calculer la partie ``pertinente'' de la cohomologie de
$P\ssm X$. Ce calcul se fait en utilisant des complexes de formes
rationnelles ayant seulement des p\^oles le long de $X$. 

Rappelons d'abord le lemme de Poincar\'e holomorphe (voir le \S1):
$$
\forall p\ge 1,\,d\alpha=0,\, \alpha\in \Omega^p_P
 \quad \Longrightarrow \quad\alpha=d\beta,\,\beta\in\Omega^{p-1}_P.
$$
Cette assertion est \'equivalente \`a l'exactitude du complexe
$\Omega^\bu_P$. Ce complexe donne une r\'esolution du faisceau
constant $\bC_X$. Le groupe d'hyper\-cohomologie
$\bH^m(\Omega^\bu_P)$ est donc \'egal \`a $H^m(P,\bC)$. De
mani\`ere analogue $\Omega^\bu_{P\ssm X}$ calcule la
cohomologie de $P\ssm X$. 

On passera aux formes ayant des p\^oles et on pose:
$$
\eqalign{
\Omega^p_P(k)&:=\Omega^p_P\otimes_{\cO_P}\cO_P(kX)\quad\hbox{\rm
(faisceau de $p$-formes m\'eromorphes} \cr
&\phantom{:={}}\hbox{\rm ayant au plus un p\^ole d'ordre $k$
le long de $X$)}\cr
\cZ^p_P(k):&=\{\omega\in\Omega^p_P(k)|\,d\omega=0\}\cr
\Omega^p_P(*):&=\hbox{faisceau de $p$-formes m\'eromorphes}\cr
&\phantom{:={}}\hbox{\rm ayant des p\^oles seulement le long de $X$}.\cr 
}
$$

L'observation simple mais n\'eanmoins centrale est:

\state 8.3. Calcul|Soit $\alpha\in \cZ^p_P(k), k\ge 2$. Alors, si $f=0$ est une
\'equation locale de $X$, on~a:
$$
\eqalign{\alpha
&= {df\wedge \beta\over f^k} +{\gamma\over f^{k-1}},\qquad 
   \hbox{avec $\beta$, $\gamma$ holomorphes sans $df$}\cr 
&= -{1\over k-1}d\left({\beta\over f^{k-1}}\right) +
 {\gamma +{1\over k-1} d\beta\over f^{k-1}}. \cr
} 
$$
En d'autre termes, si l'ordre du p\^ole est $\ge 2$ on peut, localement,  baisser
l'ordre modulo des formes exactes. 
\endstate

Finalement, on arrive \`a une d\'ecomposition
$$
\alpha=\beta\wedge {df\over f} +\gamma,
$$
avec $\beta$ et $\gamma$ holomorphes. Le
\index{65}{RES}{R\'esidu}%
{\sl r\'esidu} de $\alpha$ est la forme $\res(\alpha)=\beta|X$, 
d\'efinissant une fl\`eche
$$
\res: \cZ^p_P(1)\to \Omega^{p-1}_X.
$$
L'id\'ee est d'utiliser ces calculs en cohomologie de De Rham,
utilisant des formes $C^\infty$ et des partitions de
l'unit\'e pour globaliser.  On commence par une forme rationnelle sur
$P$ de type $(n+1,0)$ et avec au plus  un p\^ole  le long de $X$
d'ordre disons $\le n+1-p$. On la regarde comme forme $C^\infty$
sur  $P\ssm X$ et on baisse l'ordre du p\^ole utilisant le
calcul  pr\'ec\'edent. On obtient une forme $C^\infty$
ferm\'ee de type $(n+1,0)+(n,1)$ \`a  cause de $d\beta$ ($\beta$
et $\gamma$ ne restent  pas n\'ecessairement holomorphes quand on
globalise avec des partitions d'unit\'e). Apr\`es $n-p$ \'etapes
on arrive \`a une forme ferm\'ee de type $(n+1,0)+\cdots
+(p+1,n-p)$ ayant un p\^ole d'ordre $\le 1$. Prenant son r\'esidu
on trouve une forme $C^\infty$ 
 sur $X$ de type $(n,0)+\cdots+(p,n-p)$ qui est ferm\'ee.  Cette
forme r\'epresente une classe  dans $F^pH^n(X,\bC)$. On peut
v\'erifier que cette construction est bien d\'efinie au niveau des
classes de cohomologie et que la fl\`eche:
$$
\Gamma(\Omega^{n+1}_P(n-p+1)/d\Gamma(\Omega^n_P(n-p))\to F^pH^n(X,\bC)
$$
est injective et s'envoie surjectivement  sur la partie primitive,  au
moins dans des cas  favorables comme $P=\bP^{n+1}$. On va donner une
autre d\'emonstration de cette identification qui reste dans le
cadre de la g\'eom\'etrie alg\'ebrique.

On a d'abord besoin du lemme de Poincar\'e dans le cadre des formes
avec  p\^oles:  

\state 8.4. Lemme|

\noindent i) On suppose  $p\ge 1$.
Le complexe (commen\c{c}ant en degr\'e $p$):
$$
\cP_P^p:=\big\{\Omega^p_P(1)\mapright{d}\Omega^{p+1}_P(2)\mapright{d}
\cdots \Omega^{n+1}_P(n-p+2)\to 0\big\} 
$$
est exact et donne donc une r\'esolution  de $\cZ^p_P(1)$. Par
cons\'equent
$$
H^q(M,\cZ^p(1))=\bH^{p+q}(M,\cP^{p}_P).
$$
ii) Les groupes $H^q(\Omega^\bu(*))$ de cohomologie du complexe
$$
\Omega^\bu(*)=\{ \cO_P(*)\to \Omega^1(*)\to \Omega^2(*)\to \ldots\}
$$
sont nuls pour $q\ge 2$ tandis que $H^0(\Omega^\bu(*))=\bC_P$ et 
$H^1(\Omega^\bu(*))=\bC_X$.
\endstate

\preuve. Le complexe  $\Omega^\bu_P(*)$ co\"{\i}ncide avec $\Omega^\bu_P$
hors de $X$ et alors est exacte au dessus de $P\ssm X$. Prenons un
point $x\in X$ et un syst\`eme de coordonn\'ees $f,x_1,\ldots,x_n$
centr\'e en $x$ tel que $X$ soit donn\'ee par $f=0$. Soit
$\alpha\in\Omega^p_P(k)$ avec $k\ge 2$. Dans les coordonn\'ees
choisies on \'ecrit  localement
$$
\alpha={df \wedge \beta +\gamma\over f^k}, \quad \beta,\gamma \quad
\hbox{\rm holomorphe et sans }\, df
$$
Le calcul central montre que $\alpha\in\Omega^p(1)$ modulo
$d\Omega^{p-1}(k-1)$. Un tel \'el\'ement s'\'ecrit
$$
\alpha={df \wedge \beta  \over f}+\gamma,\quad \beta,\gamma \quad 
\hbox{\rm holomorphes et sans} \, df.
$$
La condition $d\alpha=0$ implique que $d\beta=0$,
$d\gamma=0$. En utilisant le lemme de Poincar\'e, on
peut alors \'ecrire  $\beta= d\sigma$, $\gamma=d\tau$ et donc
$$
d\alpha=d\left({\sigma\over f}\right)+ d\tau.
$$
Ceci montre i) et la majeure partie de ii). Il reste \`a v\'erifier 
 que $H^0(\Omega^\bu(*))=\bC_P$ et  $H^1(\Omega^\bu(*))=\bC_X$.
La premi\`ere assertion est imm\'ediate. On montre la derni\`ere
assertion par un calcul local analogue au pr\'ec\'edent que
nous omettons. \QED

On a besoin du  sous-complexe $\Omega^\bu_P(\log X)$ de
$\Omega^\bu(*)$ form\'e par les formes diff\'e\-ren\-tielles ayant 
des p\^oles logarithmiques le long de $X$ ([Ill, \S7]).
On va prouver qu'il est quasi-isomorphe au
complexe plein (et donc aussi calcule les groupes de cohomologie
de $P\ssm X$). Dans le cas actuel on pourra prendre comme d\'efinition 
(loc. cit.): 
$$
\Omega^p_P(\log X):=\big\{\omega\in
\Omega_P^p(1)|\,d\omega\in\Omega^{p+1}_P(1)\}.
$$

L'application
\index{66}{RES}{R\'esidu}%
{\sl r\'esidu}
$$
\res: \Omega^p_P(\log X)\to\Omega^{p-1}_X
$$
est d\'efinie comme pr\'ec\'edemment. Localement, on utilise un choix de
coordonn\'ees \hbox{$\{f,z_1\ld z_n\}$} telles que $X$ soit donn\'ee
par $f=0$, on \'ecrit $\alpha=d\log f\wedge \beta$ et on pose
$\res(\alpha)=\beta|_X$. On v\'erifie que cette d\'efinition en
effet ne d\'epend pas du choix des coordonn\'ees et de
l'\'equation locale, $f=0$ de $X$. Donc cette application est bien
d\'efinie. La fl\`eche qu'on vient de d\'efinir appara\^{\i}t
dans une suite exacte de complexes:    
$$
0\to \Omega^\bu_P\to\Omega^\bu_P(\log X) \mapright{\rm res}
\Omega^{\bu}_X [-1] \to 0.\leqno{\rm(res)}
$$


Cette suite exacte montre par exemple que
$$\eqalign{
H^0(\Omega^\bu(\log X))&=\bC_Y=H^0(\Omega^\bu(*X)),\cr
H^1(\Omega^\bu(\log X))&=\bC_X=H^1(\Omega^\bu(*X)),\cr
H^q(\Omega^\bu(\log X))&=0=H^q(\Omega^\bu(*X))\quad\hbox{pour $q\ge 2$},\cr}$$
et donc $\Omega^\bu_P(\log X)$ et $\Omega^\bu_P(*)$ sont quasi-isomorphes: 
$$
\bH^p(P,\Omega^\bu_P(*) )=\bH^p(\Omega^\bu_P(\log X)):=\bH^p
$$

La suite exacte longue en hypercohomologie donne 
$$
\eqalign{\cdots
&\mapright{\phantom{\partial^m}} H^{m-2}(X,\bC)\mapright{\partial} H^m(P,\bC)\to
\bH^m\mapright\Res H^{m-1}(X,\bC)\cr
&\mapright{\partial^m} H^{m+1}(P,\bC)\to \cdots\cr}
$$ 
o\`u $\Res=\res^\ast$ est induite par l'application ``r\'esidu''. 
On va montrer que cette suite ``est'' la suite de Gysin. 

D'abord il faut relier $\partial^m$ et $i_\ast$. Un calcul en 
coordonn\'ees locales qu'on n\'eglige montre  que:
$$ 
\partial^m: H^{m-1}(X,\bC) \to H^{m+1}(P,\bC)
\leqno{\rm (gys)}
$$
est l'adjoint (par rapport au cup-produit) de
$$
i^\ast: H^{2n-m+1}(P,\bC)\to H^{2n-m+1}(X,\bC). 
$$
Ensuite, on note qu'il y a une application naturelle:
$$
j: \bH^m=\bH^m(\Omega^\bu_P(\log X))\to
\bH^m(\Omega^\bu_{P\ssm X})= H^m(P\ssm X,\bC) 
$$
qui commute avec les deux fl\`eches de restrictions $H^m(P,\bC)\to 
\bH^m(\Omega^\bu_P(\log X))$ et $H^m(P,\bC) \to H^m(P\ssm X,\bC)$.

Donc, dans l'\'echelle avec lignes exactes:
$$\eqalign{
&\diagram{
\cdots\lra H^{m-2}(X,\bC ) \mapright{\partial} &  H^m(P,\bC)  & \to & 
 \bH^m  & \mapright\Res \cr
\Vl{}{}{6mm} &\Vl{}{}{6mm}&&\darrow{}{j}{6mm}\cr 
\cdots\lra H^{m-2}(X,\bC)\mapright{i_\ast}&H^m(P,\bC) &\to&
H^m(P\ssm X,\bC)& \mapright{\partial}\cr}\cr
&\kern90pt\diagram{
& \mapright\Res  &  H^{m-1}(X,\bC) & \mapright{\partial^m}
H^{m+1}(P,\bC) \cdots \lra \cr
&&\Vl{}{}{6mm} &\Vl{}{}{6mm}\cr
&\mapright{\partial}& H^{m-1}(X,\bC)&\mapright{i_\ast}H^{m+1}(P,\bC)\cdots \lra}\cr}
$$
les deux premiers carr\'es commutent ainsi que le dernier.
Alors $j$ est  injectif et donc un isomorphisme. Pour expliciter $j$
on regarde la suite spectrale $E_1^{p,q}=H^q(\Omega^p_P(*X))
\Longrightarrow \bH^{p+q}$. On a $E_2^{m,0}=m$-formes ferm\'ees
modulo formes exactes et utilisant la fl\`eche  naturelle 
$E_2^{m,0}\to \bH^m$ on regarde une $m$-forme ferm\'ee comme un
repr\'esentant d'une classe de cohomologie sur $P\ssm X$. On
v\'erifie facilement que  
$$
\partial: H^m(P\ssm X,\bQ) \to  H^{m-1}(X,\bQ)
$$
est la transpos\'ee de l'application ``tube''~:
$$
\tau: H_{m-1}(X,\bQ)\mapright{\cong} H_{m+1}(T,T\ssm X,\bQ)
\mapright{\partial} H_m(T\ssm X,\bQ)\to H_m(P\ssm X,\bQ).
$$
(Intuitivement, l'application en homologie associe \`a un cycle le
tube au dessus de ce cycle dans le com\-pl\'e\-ment de $X$ en $P$).
Ensuite, pour  $\gamma\in H_m(X,\bZ)$, $\omega\in H^{m+1}(P\ssm
X,\bC)$ on a  (`formule du r\'esidu'):
$$
\int_\gamma \res(\omega)={1\over 2 \pi  i} \int_{\tau(\gamma)}\omega
\leqno{\rm (tube)}
$$
et donc $\res={1\over 2 \pi\ii} \partial$: le troisi\`eme carr\'e du
diagramme commute (\`a multiplication avec ${1\over 2 \pi\ii}$ pr\`es).

Nous appliquerons cette  discussion dans le cas o\`u $X$ est une
hypersurface de $\bP^{n+1}$. Les conditions de la proposition
suivante seront v\'erifi\'ees.

\state 8.5. Proposition|Soit $X$ un diviseur tr\`es ample.  Alors,
$\Res: H^{n+1}(P\ssm X,\bC) \to H^n(X,\bC)$ est toujours injectif.
Si $\Prim^n(P,\bC)=0$, alors l'image  est la partie primitive de $H^n(X,\bC)$. 
\endstate

\preuve. Par le th\'eor\`eme de Lefschetz,
$$i^\ast: H^{n+1}(P,\bC)\to H^{n+1}(X,P)$$
est un isomorphisme et par cons\'equent l'adjoint
$$\partial^{n-1}:H^{n-1}(X,\bC)\to H^{n+1}(P,\bC)$$
est aussi un isomorphisme
et donc $\Res^n: H^{n+1}(P\ssm X,\bC) \to H^n(X,\bC)$ est
injectif.  L'image de cet application, par (gys),  s'identifie avec le
noyau de $i_\ast: H^n(X,\bC)\to H^{n+2}(P,\bC)$ qui (sous
l'hypoth\`ese $\Prim^n(P,\bC)=0$)  est lui aussi form\'e de
classes primitives (par le Corollaire 2).\QED

Si on fixe un degr\'e dans ($\Res$), la suite longue en cohomologie
s'\'ecrit: 
$$
\eqalign{
\cdots &\lra H^{q-1}(\Omega^{p-1}(X))\mapright{\partial^{q-1,p-1}} 
H^q(\Omega^p_P)\lra H^q(\Omega^p_P(\log X))\lra\cr
&\lra H^q(\Omega^{p-1}_X)\mapright{\partial^{p,q-1}}H^{q+1}(\Omega^p_P)\lra\cdots.\cr}
$$
L'application $i^\ast$ pr\'eserve  la d\'ecomposition de Hodge et
de l\`a on tire que l'adjoint $i_\ast$ est un homomorphisme de
degr\'e $(1,1)$. Donc par le Corollaire 3  et la Proposition 5,
$\partial^{q-1,p-1}$ est un isomorphisme et $\partial^{p,q-1}$ est surjectif
quel que soient $p,q$ avec $p+q=n+1$. Le m\^eme argument que dans la
preuve du Corollaire 3 alors montre:

\state 8.6. Corollaire|Sous les hypoth\`eses de la Proposition on a
une d\'ecomposition
$$H^{n+1}(P\ssm X,\bC)=\bigoplus_{p+q=n+1}H^q(\Omega^p_P(\log X))$$
et l'application r\'esidu induit un isomorphisme
$$H^q(\Omega^p_P(\log X))\build\lra|{\disp\sim}||\Prim^{p-1,q}(X).$$
\endstate


\subsection \Smark8B. Filtration par l'ordre du p\^ole et
filtration de Hodge|
 
Comme dans le cas compact (\S1 ou [Dem],\S9) on introduit la filtration
``na\"{\i}ve'' $F$ sur les  complexes  $\Omega^\bu(*)$ et $\cP^{k}_P$. La
filtration induite sur l'hypercohomologie sera aussi not\'ee $F$.
La suite spectrale d'hyper\-co\-ho\-mo\-lo\-gie s'\'ecrit dans ce
cas: 
$$
H^q(P,\Omega^p_P(*))\Longrightarrow  H^{p+q}(P\ssm X,\bC)
$$
mais cette suite ne d\'eg\'en\`ere pas en g\'en\'eral.

La filtration $F$ de Hodge sera calcul\'ee  dans cette situation en
utilisant le  sous-complexe $\Omega^p_P(\log X)$ de
$\Omega^\bu(*)$.

On voit directement que
$$
\ker(d:\Omega^p(\log X)\to\Omega^{p+1}(\log X))=
\ker(d:\Omega^p_P(1)\to \Omega^{p+1}_P(2) )
$$
et donc
$$
\eqalign{
F^pH^{p+q}(P\ssm X,\bC)&=F^p\bH^{p+q}(\Omega^\bu(\log X))\cr
&=i^p_\ast\bH^{p+q}(F^p(\Omega^\bu(\log X)))=i^p_\ast H^q(P,\cZ^p(1)).\cr}
$$

\state 8.7. Lemme|Si $H^a(P,\Omega_P^b(c))=0$ quels que soient $a,b,c>0$,
on a pour $p+q=n+1$ que $H^q(P,\cZ^p_P(1)) =
\Gamma(P,\Omega^{n+1}_P(q+2))/d\Gamma(\Omega^n_P(q+1))$.
\endstate

\preuve. Comme dans la preuve 
classique faisceautique (voir [God]) du th\'eor\`eme de De Rham,
les conditions du lemme impliquent que  
$$
H^q(P,\cZ^p_P(1))=H^q(\Gamma(P,\cP^\bu)),
$$
o\`u on regarde le complexe $\Gamma(P,\cP^\bu))$ comme un
complexe commen\c{c}ant en degr\'e z\'ero. \QED

\state 8.8. Corollaire|Dans les conditions du lemme pr\'ec\'edent, on a
$$
F^{p+1}H^{n+1}(P\ssm
X,\bC)=H^{n-p}(P,\cZ^p_P(1))=\Gamma(\Omega^{n+1}_P(n-p+1))/
d\Gamma(\Omega^n_P(n-p)) 
$$
\endstate

On combine ce r\'esultat avec le Corollaire 5  et on obtient:

\state 8.9. Th\'eor\`eme|Soit $P$ une vari\'et\'e projective
lisse  de dimension $n+1$ et soit $X\subset P$  une hypersurface
lisse. On suppose que $X$ est tr\`es ample, que $\Prim^n(P,\bC)=0$ 
et que $H^a(\Omega_P^b(c))=0$ quels que soient $a,b,c>0$. Alors
l'application ``R\'esidu'' induit un isomorphisme 
$$
F^{p+1}H^{n+1}(P\ssm X,\bC)=\Gamma(\Omega^{n+1}_P(n-p+1))/
d\Gamma(\Omega^n_P(n-p))\to F^{p}\Prim^n(X,\bC).
$$
\endstate
 
Maintenant, soit $X_f\subset \bP^{n+1}$ une hypersurface lisse
donn\'ee par un poly\-n\^ome homog\`ene $f$ de degr\'e $d$ en
coordonn\'ees homog\`enes $Z_0,\ldots,Z_{n+1}$ de $\bP^{n+1}$. Le
seul groupe de cohomologie de $\bP^{n+1}\ssm X_f$ int\'eressant
est le groupe en dimension $n+1$. Les conditions du th\'eor\`eme
sont v\'erifi\'ees (th\'eor\`eme d'annulation de Bott,
[Bott]) et le th\'eor\`eme dans ce cas donne un r\'esultat
de Griffiths: 

\state 8.10. Th\'eor\`eme {\rm([Grif2])}|L'application
``r\'esidu''  induit un isomorphisme du sous-espace du groupe de De
Rham
$H^{n+1}_\DR(\bP^n\ssm X_f)$ form\'ee des classes provenant
des formes ayant un  p\^ole d'ordre $\le n-p+1$ sur la
$p$-i\`eme partie $F^p$ de la filtration de Hodge de
$\Prim^n(X_f)$.
\endstate

En particulier on voit que chaque $n+1$-forme rationnelle avec au plus
un p\^ole le long de $X_f$ doit \^etre cohomologue \`a une forme
ayant un p\^ole d'ordre au plus $n+1$, car $F^0=H^n(X_f)$. En effet
Griffiths donne une formule pour abaisser l'ordre du p\^ole modulo
les formes exactes. Pour expliquer cela on a besoin de savoir
comment s'\'ecrivent les $n+1$-formes rationnelles sur $\bP^{n+1}$
ayant au plus un  p\^ole d'ordre $k$. Par un calcul direct en
coordonn\'ees affines on trouve qu'un telle forme  s'\'ecrit:
$$
{A\over f^k}\Omega,
$$
o\`u
$$
\Omega=\sum_j(-1)^jZ_j dZ_0\wedge\ldots \widehat{dZ_j} \ldots \ldots
\wedge dZ_{n+1}\quad\hbox{\rm et o\`u}\quad\deg A+n+2=kd.
$$
Aussi, une $n$-forme rationnelle avec p\^ole le long de $X_f$
s'\'ecrit 
$$
\varphi={1\over f^{k-1}}\sum_{i<j}(-1)^{i+j}[Z_iA_j-Z_jA_i] 
dZ_0\wedge\ldots\widehat{dZ_i}\wedge \ldots\wedge \widehat{dZ_j}\wedge 
\ldots \wedge dZ_{n+1}  
$$
et donc:

\state 8.11. Lemme|Soient $A_0,\ldots,A_{n+1}$ des polyn\^omes d'ordre
$(k-1)d-n-1$. On a
$$
{(k-1)\sum_{j=0}^{n+1}A_j{\partial f\over \partial Z_j} \over
f^k}\Omega\equiv  {\sum_{j=0}^{n+1}{\partial A_j\over \partial
Z_j}\over f^{k-1}}\Omega+d\varphi\leqno{\rm
(R\mathaccent19ed)} $$
\endstate

\state 8.12. Corollaire|Soit $J_f\subset \bC[Z_0,\ldots,Z_{n+1}]$
l'id\'eal de Jacobi de $f$ c'est-\`a-dire l'id\'eal engendr\'e par les
${\partial f\big/\partial Z_j}$, $j=0,\ldots,n+1$. L'application r\'esidu
induit un isomorphisme 
$$
\left(\bC[Z_0,\ldots,Z_{n+1}]/J_f\right)^{d(n+1-p)-(n+2)}
\mapright{\cong} \Prim^{p,n-p}(X_f).
$$
\endstate

\preuve. Le Th\'eor\`eme 10 implique qu'on a une surjection
$$
\left(\bC[Z_0,\ldots,Z_{n+1}]\right)^{d(n+1-p)-(n+2)}\to F^p/F^{p+1}=
\Prim^{p,n-p}(X_f)
$$
avec noyau consistant en les polyn\^omes $A$ provenant des formes
de type $d\varphi+$  (forme ayant ordre de p\^ole $\le n-p$) et
\`a cause du Lemme ce sont exactement les polyn\^omes de la forme
$A'+fB$ o\`u $A'\in J_f$. L'\'equation d'Euler  $\sum_jZ_j{\partial
f\over \partial Z_j}=\deg(f)f$ montre que $f\in J_f$ et donc le
Corollaire.\QED

\section \Smark9. \'Equations de Picard-Fuchs|

{\eightpoint Le but de ce paragraphe est de d\'efinir l'\'equation
de Picard-Fuchs, et pour une famille de vari\'et\'es projectives \`a un
param\`etre expliquer le lien avec la connexion de Gauss-Manin. On
d\'etermine cette \'equation dans quelques exemples. Le dernier exemple
sera utilis\'e dans le \S10 pour trouver le $q$-d\'eveloppement li\'e \`a la
sym\'etrie miroir. On explique aussi comment calculer la monodromie
locale sur  cet exemple. 
}
\bigskip
{\sl On suppose d\'esormais que $S$ est une courbe alg\'ebrique complexe
lisse, $S=\ol{S}\ssm T$, o\`u  $\ol{S}$ est une courbe 
lisse compacte et $T$ est un nombre fini de points.}

Soit $\underline{V}_S$  un syst\`eme local sur $S$ soit $\nabla$ la connexion
plate de Gauss-Manin sur le fibr\'e associ\'e $\cV=\underline{V}_S\otimes
\cO_S$ d\'efinie par (voir le \S2): 
$$
\nabla(v\otimes f)=v\otimes df.
$$

Sur $\cV^\scrvee$, le dual de $\cV$  on a la connexion naturelle
$\nabla^\scrvee$ d\'efinie par 
$$
d\langle\nu,v\rangle= \langle\nabla^\scrvee\nu,v\rangle+
\langle\nu,\nabla v\rangle ,
$$
o\`u $v$ est une section holomorphe locale de $\cV$ et $\nu$ une section
locale de $\cV^\scrvee$ (voir [Dem]). 

Soit $S_o\subset\ol{S}$ un ouvert de Zariski affine tel qu'on ait une 
trivialisation:
$$
\cV^\scrvee|S_o \mapright{\cong} \cO^{\oplus r}_{S_o} \quad\quad (r=\hbox{\rm rang 
}\underline{V}_S).
$$
Une coordonn\'ee affine $s$ induit un champ vectoriel $d/ds$ sur $S_o$
et en composant la connexion $\nabla^{\scrvee}$ sur $\cV^\scrvee|S_o$ et la
contraction avec $d/ds$ on obtient l'endomorphisme
$$
D: \cV^\scrvee|S_o\to \cV^\scrvee|S_o.
$$
Si $\alpha$ est une section m\'eromorphe de $\cV^\scrvee$ sans p\^oles
au dessus de $S_o$, en utilisant la trivialisation, on peut regarder 
les sections $\alpha, D\alpha, D^2\alpha,\ldots,D^r\alpha$ 
comme contenues  dans $\bC(S)^r \supset \Gamma(S_o,\cO^{\oplus r})$ 
 sont d\'ependantes sur $\bC(S)$ ; il y a une valeur minimale 
$p$ tel que $\alpha,D\alpha,\ldots,D^p\alpha$ soient d\'ependantes et,
en rempla\c{c}ant $D$ par $d/ds$, on obtient une \'equation
diff\'erentielle: (normalis\'ee par le fait que le coefficient de
$({d\over dt})^p$ est $1$)
$$
(d/dt)^p+A_{p-1}(s)(d/dt)^{p-1}+\cdots+A_0(s)=0.
$$
Les solutions forment le syst\`eme local ${\rm Sol}(D)$ et pour
chaque section plate $v$ de $\underline V_S$  le fonction 
$\langle\alpha,v\rangle$ est une solution de $D=0$. En fait,
$d\langle\alpha,v\rangle=\langle\nabla^\scrvee\alpha,v\rangle$
entra\^{\i}ne que $\bigl((d/dt)^p+A_{p-1}(s)(d/dt)^{p-1}+\cdots+A_0(s)\bigr)
\langle\alpha,v\rangle=\langle (\nabla^\scrvee)^p\alpha +A_{p-1}(s)
(\nabla^\scrvee)^{p-1}\alpha+\cdots+A_0(s)\alpha,v\rangle=0$.

On obtient alors un homomorphisme surjectif de syst\`emes locaux:
$$ 
\underline{V}_S \to \hbox{\rm Sol}(D)
$$
qui est un isomorphisme quand $p=r$. Dans ce cas
on dit que $\alpha$ est une {\sl section cyclique}.

\state 9.1. Exemple|{ \rm Le syst\`eme local provenant de 
l'homologie des fibres d'une famille alg\'ebrique $f: X \to S$. 
Pour $\underline{V}_S$  on prend le syst\`eme local dont la  fibre 
au dessus de $s\in S$ est le groupe  d'homologie $H_n(X_s,\bC)$ de la
fibre $X_s=f^{-1}(s)$ en dimension $n=\dim X_s$. 

L'accouplement donn\'e par l'int\'egration sur les $n$-cycles 
$$
\eqalign{\underline{V}_S \times R^nf_\ast\bC & \to \bC \cr
(\gamma,[\omega])& \mapsto \int_\gamma\omega\cr
}
$$
met en dualit\'e $\underline V_S$ et $R^nf_\ast\bC$, le syst\`eme local
qui a pour fibre au dessus de $s$ le groupe de cohomologie $H^n(X_s,\bC)$
(voir le \S1). 
 
On sait que le fibr\'e $\cV^\scrvee=R^nf_\ast\bC\otimes\cO_S$ 
supporte une variation de
structure de Hodge et le sous-fibr\'e $\cF^n$ est le sous-fibr\'e
des classes de $n$-formes relatives. Sur chaque fibre celles-ci
donnent des $n$-formes holomorphes. Une section $\omega(s)$ m\'eromorphe
de $\cV^\scrvee$ holomorphe sur $S$ appartenant \`a $\cF^n$ est
la m\^eme chose qu'une famille de formes holomorphes d\'ependant 
de fa\c{c}on m\'eromorphe de $s$. Dans ce cas, l'\'equation
diff\'erentielle associ\'ee \`a {\sl la classe de cohomologie}
$[\omega(s)]$ est appel\'ee
\index{67}{EQU}{\'Equation de Picard-Fuchs}%
\index{240}{PIC}{\hri \'equation de Picard-Fuchs}%
{\sl \'equation de Picard-Fuchs}. La discussion pr\'ec\'edente
entra\^{\i}ne que les solutions sont
donn\'ees par des  p\'eriodes $\int_\gamma\omega(s)$, $\gamma\in
H_n(X_s,\bC)$ pourvu que l'on consid\`ere $\gamma$ comme section plate
(multiforme) du syst\`eme local $R_nf_\ast \bC$. 
}
\endstate

\state 9.2. Remarque|{\rm La section $[\omega(s)]$ n'est pas
n\'ecessairement cyclique. Par contre, elle sera cyclique pour le
sous-syst\`eme local $\underline V_S^\scrvee$  de $R^nf_\ast\bC$
engendr\'e  par $[\omega(s)]$. La monodromie (classique) de cette
\'equation diff\'erentielle co\"{\i}ncide avec la monodromie de ce sous-syst\`eme.
En fait, $V_{S,s}$ est l'orthogonal (par rapport \`a l'intersection
entre $n$-cycles) de l'annulateur de $\underline V_{S,s}^\scrvee$, le
plus petit sous-espace de  $H^n(X_s,\bC)$ contenant $[\omega]$ et
stable par la monodromie. En particulier $\int_\gamma\omega=0$ pour
$\gamma\in V_{S,s}$ implique que $\gamma=0$. Autrement dit, par
prolongement analytique des solutions  locales $\int_\gamma\omega$, on
obtient des solutions de la forme  $\int_{\gamma'}\omega$ (monodromie
classique) o\`u $\gamma'$ se  d\'eduit de $\gamma$ par la
monodromie du syst\`eme $V_S$.
}
\endstate
 
Maintenant soit $s$ une coordonn\'ee autour de l'un des points $t\in T$.
On introduit 
$$
\Theta:=s\displaystyle {d\over ds}
$$ 
et on r\'e\'ecrit l'\'equation de Picard-Fuchs:
$$
[\Theta^p+B_{p-1}(s)\Theta^{p-1}+\cdots+B_0(s)]\phi=0. \leqno{\rm(PF_{pol})}
$$
La connexion $\nabla$ s'\'etend en une connexion \`a p\^oles
logarithmiques sur $T$ :
$$
\ol\nabla: \cV \to \cV\otimes\Omega^1(\log T)
$$ 
Voir le \S8 suite au Lemme 8.4 pour la d\'efinition du faisceau
$\Omega^1(\log T)$. On remarque que ici, dans le cas de la dimension
$1$ on a que $\Omega^1(\log T)=\Omega^1(T)$ est, localement autour
d'un point de $T$, engendr\'e par $ds/s$. L'op\'erateur $\Theta$
correspond \`a $\ol\nabla_{s{d\over ds}}$ et une traduction du fait
que $\ol\nabla$ existe est de dire que :

\state 9.3. Lemme-D\'efinition {\rm([Del1])}|Les fonctions $B_j(s)$
sont holomorphes autour de~$t$. On dit que $t$ est un point singulier
r\'egulier. 
\endstate
\index{110}{REG}{R\'egulier, point singulier}%
\index{241}{SIN}{\hri point singulier r\'egulier}%
L'\'equation $\rm(PF_{pol})$ est \'equivalente \`a un syst\`eme
$$
 \Theta X(s)  =A(s)X(s) 
$$
o\`u ($\varphi(s)$ \'etant une solution recherch\'ee de l'\'equation):
$$ X(s)  =\pmatrix{\varphi(s)\cr
                            \Theta \varphi(s)\cr
                             \vdots\cr
                             \Theta^{p-1}\varphi(s)\cr}  
$$
et
$$A(s)  =\pmatrix{0& 1\hfill&\ldots&0\hfill\cr
                            \vdots&\hfill\ddots&\ddots&
                                                \vdots\hfill\cr
                              0&\cdots& 0\hfill&1\hfill\cr
                            -B_0(s)&\cdots&\hfill
                            -B_{p-1}(s)&-B_p(s)\cr}  $$

La matrice $A(0)$ est appel\'ee le
\index{68}{RES}{R\'esidu}%
{\sl r\'esidu} de la  connexion et elle est not\'ee:
$$
\Res(\nabla):=A(0).
$$
  
\state 9.4. Lemme {\rm([C-L])}|Si on suppose que pour toutes les
valeurs propres distinctes $\lambda$ et $\mu$ de $\Res(\nabla)$,
$\lambda-\mu\not\in \bZ$ ; alors la monodromie autour de $t$ est donn\'ee par
$\ee^{2\pi\ii\Res(\nabla)}$.
\endstate
\index{111}{MON}{Monodromie locale}%
En particulier on en d\'eduit:

\state 9.5. Corollaire|Si $B_j(0)=0$, $j=0\ld p-1$ la monodromie
locale autour de $t$ est $\ee^{2\pi\ii  N}$ o\`u $N$ est la matrice
nilpotente 
$$
N=\pmatrix{0&1\hfill & \cdots & 0  \cr
              0& 0\hfill&\ddots  \cr
          \vdots& &\ddots & 1\cr
             0 &\cdots &\cdots & 0 \cr}.
$$
\endstate

Pour appliquer ce corollaire dans la situation d'une famille
d'hypersurfaces $X_{f(s)}$ d'\'equation $f(s)(Z_0,\dots,Z_{n+1})=0$ 
dans $\bP^{n+1}$ , compl\'etons la discussion du paragraphe
pr\'ec\'edent. On suppose $\dim(S)=1$. Soit $s$ un param\`etre
local sur $S$ et  soit
$\Omega(s)=h(s)\Omega $ une $n+1$-forme rationnelle sur $\bP^{n+1}$ qui
d\'epend holomorphiquement de $s$. L'effet de la
connexion  plate de Gauss-Manin se d\'ecrit par:
 
$$
\Res_{X_{f(s)}}\left[{d^k\over
ds^k}\Omega(s)\right]=
\left[\nabla^k_{d/ds}\res_{X_{f(s)}}\Omega(s)\right], \leqno{\rm(GM)} 
$$
o\`u $[\alpha]$ d\'esigne la classe de cohomologie d'une forme
$\alpha$. Cette formule est facilement d\'eductible de la formule 
\S8(tub).

 
\state 9.6. Exemple|{\rm Soit la famille de courbes elliptiques 
(famille de Hesse)~:
$$
f(u):=Z_0^3+Z_1^3+Z_2^3-3uZ_0Z_1Z_2
$$
au dessus de $\bP^1\ssm\{\infty,1,\rho,\rho^2\}$ o\`u
$\rho=\ee^{2\pi\ii  \over 3}$. Pour $u=\infty$ la courbe d\'eg\'en\`ere en
trois droites
et on va \'etudier la situation autour de ce point. On
va d'abord d\'eterminer l'\'equation diff\'erentielle associ\'ee aux formes 
holomorphes $\omega(u)$ sur la famille
$f(u)=0$. 

On \'ecrit pour cela :
$$
\Omega_\ell(u):={(-1)^{\ell-1}(\ell-1)!\, u^\ell\left(\prod
Z_j^{\ell-1}\right)\over f(u)^\ell}\Omega,\quad
\ell=1,\ldots.\leqno{{\rm(Rat)}_\ell} 
$$
On note que  $\res(\Omega_1(u))=\omega(u)$ est une forme holomorphe
sur $X_{f(s)}$ et gr{\^a}ce \`a la formule (GM) on a
$$
 \Omega_k(u)=\left(u{ d\over du }\right)^k\Omega_1(u)=\nabla_{u{d\over
du}}^k\omega(u)\quad
\hbox{\rm mod les formes exactes}. \leqno{\rm(GM)_{\rm bis}}
$$
Les calculs donnent
$$
(Z_0Z_1Z_2)^2(1-u^3)=\sum_{k=0}^2 A_k{\partial f \over \partial Z_k}
$$
o\`u
$$\eqalign{
A_0 &={1\over 3} u Z_0Z_1^3 \cr
A_1 &={1\over 3} u^2 Z_0Z_1^2Z_2 \cr
A_2&= {1\over 3} Z_0^2Z_1^2.
}
$$
Utilisant la formule  (R\'ed) (voir le Lemme 8.11) on trouve que
$\Omega_3(u)\equiv P\Omega$ modulo les formes exactes, o\`u
$$
P= {u^3\over 1-u^3}\cdot { {1\over 3} uZ_1^3 +{2\over 3} u^2 Z_0Z_1Z_2
\over f^2}.
$$
Puisque   $P\Omega$ et $\Omega_2(u)$ ont un p\^ole d'ordre $2$, le
Corollaire 8.12  entra\^{\i}ne qu'il existe une fonction $\varphi(u)$ tel que
$P\Omega-\varphi(u)\Omega_2(u)={q \over f^2}\Omega$ avec $q\in J_f$. On
trouve en effet que 
$$
{u^3\over 1-u^3}\cdot ( {1\over 3} uZ_1^3 +{2\over 3} u^2 Z_0Z_1Z_2 )
+{u^3\over 1-u^3}(-u^2 Z_0Z_1Z_2)= {1\over 9}{u^3\over 1-u^3} uZ_1{\partial f
\over \partial Z_1}\,{\in}J_f 
$$
et une nouvelle application de (R\'ed) donne que 
$$ \Omega_3(u)+
{u^3\over 1-u^3}\Omega_2(u) - {1\over 9} {u^3\over 1-u^3}
\Omega_1(u)=0 \quad \hbox{\rm mod les formes exactes}.
$$

On note maintenant que $\bZ/3\bZ$ agit sur la famille par :
$\rho\cdot(Z_0,Z_1,Z_2,u)=(Z_0,Z_1,\rho Z_2,\rho^2 u)$ et donc les
fibres au dessus de $u$, $\rho u$ et $\rho^2 u$ sont isomorphes. Il
est donc naturel de prendre pour param\`etre
$$s=u^{-3}.$$
Alors 
$$ \Theta=-{1\over 3} u{d\over du}= s{d\over ds}
$$
et on trouve que (toujours modulo les formes exactes):
$$
[\Theta^2+B_1\Theta+B_0]\Omega_1(u)=0
$$
 o\`u
$$\eqalign{
B_0&= {2\over 9} {s \over s-1}\cr
B_1&= {s\over s-1}.\cr
}
$$
Cette  \'equation est \'equivalente au syst\`eme:
$$
\Theta\pmatrix{\Omega_1\cr
               \Theta\Omega_1}=A(s)\pmatrix{\Omega_1\cr
                                         \Theta\Omega_1}
$$
o\`u
$$A(s)=\pmatrix{0& 1\cr
               -B_0&-B_1\cr    }.
$$

En utilisant la formule  (GM)$_{\rm bis}$ on trouve que
la famille des 1-formes $\omega(s)$ sur la famille des courbes 
elliptiques satisfait au m\^eme syst\`eme d'\'equations. Ce  syst\`eme 
est \'equivalent \`a l'\'equation de Picard-Fuchs.

Le Corollaire~5
nous donne :
$A(0)=\pmatrix { 0&1 \cr
                 0&0 \cr}$
et alors l'op\'erateur de monodromie locale est
$\pmatrix {1&2 \pi\ii  \cr
           0&1 \cr }.$
}
\endstate

\state 9.7. Exemple|
{\rm Dans cet exemple on consid\`ere une famille de vari\'et\'es de 
Calabi-Yau (Voir [Mor2] pour d\'etails)
$$
f(s)= Z_0^5+Z_1^5+Z_2^5+Z_3^5+Z_4^5-5u Z_0Z_1Z_2Z_3Z_4, \quad
s=u^{-5}.
$$

Par un calcul identique \`a celui de l'exemple pr\'ec\'edent, on trouve avec 
$\Theta=s{d \over ds}$ :
$$
[\Theta^4+B_3\Theta^3+B_2\Theta^2+B_1\Theta+B_0]\varphi=0 $$
avec les coefficients :
$$
\eqalign{
B_0&= {24\over 625}\cdot {s\over s-1}\cr
B_1&= {2\over 5}\cdot {s\over s-1}\cr
B_2&= {7\over 5}\cdot {s\over s-1}\cr
B_3&= 2\cdot {s\over s-1}.\cr
}
$$
et la matrice $A(s)$ de $\Theta$
par rapport \`a
$\{\Omega_1,\Theta\Omega_1,\Theta^2\Omega_1,\Theta^3\Omega_1\}$ est
\'egale \`a  
$$
\pmatrix{ 0 &1 &0&0\cr
0&0&1&0\cr
0&0&0&1\cr
-B_0&-B_1&-B_2&-B_3\cr}
$$
Ici la monodromie locale est $\ee^{2
\pi\ii  N}$ o\`u 
$N=\pmatrix{0&1&0&0\cr
             0&0&1&0\cr
            0&0&0&1\cr
            0&0&0&0\cr}$.
Pour la suite  on a besoin d'une solution holomorphe autour
du point $s=0$. Pour l'obtenir on remarque qu'on peut r\'e\'ecrire
l'\'equation diff\'erentielle comme :
$$
[\Theta^4-s(\Theta+5^{-1})(\Theta+2\cdot 5^{-1})(\Theta+3\cdot
5^{-1})(\Theta +4\cdot5^{-1})]\varphi=0
$$
(en multipliant par $(1-s)$) et alors  la relation de  r\'ecurrence
pour les coefficients
$$
(n+1)^4a_{n+1}=(n+5^{-1})(n+2\cdot 5^{-1})(n+3\cdot 5^{-1})(n+4\cdot
5^{-1})a_n
$$
a une solution $a_n=\displaystyle{{(5n)!\over 5^{5n}(n!)^5}}$ et donc
on trouve 
$$
f_0(s)=\sum_{n\ge 0}\displaystyle{{(5n)!\over (n!)^5}}  \left({s\over
5^5}\right)^n\leqno{\rm (soln)}
$$
est une solution holomorphe. C'est l'unique solution holomorphe en
$s=0$ avec $f_0(0)=1$.
}
\endstate
Le lecteur pourra completer ces exemples en traitant le cas interm\'ediaire
de la quartique de Fermat (surface K3). 

\section \Smark10. Vari\'et\'es de Calabi-Yau et sym\'etrie miroir|

{\eightpoint On reprend la discussion du \S7 en consid\'erant la famille
universelle d'une vari\'et\'e  de Calabi-Yau de dimension 3 et sa variation
infinit\'esimale qui conduit \`a l'accouplement de Yukawa. On montre que, si
la base est de dimension 1, cet accouplement satisfait \`a une \'equation
diff\'erentielle d'ordre 1 dont les coefficients sont li\'es \`a ceux de
l'\'equation de Picard-Fuchs, qui est une \'equation d'ordre 4. En
cherchant une coordonn\'ee canonique $q$  on est forc\'e d'invoquer ici
l'existence de la structure  de Hodge mixte limite. Dans la
derni\`ere sous-section on reprend l'exemple 9.7 et on discute la
pr\'ediction qui d\'ecoule de l'hypoth\`ese de sym\'etrie : les coefficients dans le
$q$-d\'eveloppement de l'accouplement de Yukawa, proprement normalis\'ees,
sont li\'es aux nombres de courbes rationnelles sur le  membre
g\'en\'erique de la famille miroir, qui conjecturalement est la famille
des hypersurfaces quintiques dans $\bP^4$.    }

\subsection \Smark10.A. Accouplement de Yukawa|

On consid\`ere  une famille $f: X\to S$ de
vari\'et\'es de Calabi-Yau; soit alors la VHS
d\'efinie par la variation de la cohomologie de rang 3,
$\{H^3(X_s,\bC)\}$.  On peut localement en
$s_0\in S$, supposer que $\cF^3 = f_*(\Omega ^3_{X/S})$ est trivial, et
du fait que $h^{3,0} =1$ choisir une 3-forme holomorphe (relative) $ \omega $, telle
que
$\omega (s) \not= 0$ pour $s$ voisin de $s_0$. On trivialise le
fibr\'e vectoriel $\cH^3(X/S)$ au moyen de sections plates $(\nabla
\alpha  =0)$, soit $\tau _1\ld \tau _{2b+2}$ une telle trivialisation  (ici
$b=h^{2,1}(X_s)$). On peut consid\'erer $\{\tau _i\}$ comme la base duale
d'une base d'homologie (constante)  
$\{\gamma _i\}$. Rappelons que la forme de Hodge-Riemann (voir le \S3.A) est
donn\'ee par
$Q(\alpha,\beta)=-\int_{X_s}\alpha\wedge \beta,\quad (k=n=3)$ et donc
 $$
f_i:= Q(\tau _i,\omega ) = -\int_{\gamma _i} \omega 
$$
est une fonction holomorphe sur le voisinage consid\'er\'e de
$s_0$. Ce sont les p\'eriodes de $\omega $. Relativement \`a la
base choisie, $\omega $ se d\'ecompose en
$$
\omega  = \sum\limits^{2b+2}_{i=1} \alpha _i\tau _i 
\qquad \hbox{($\alpha _i$ holomorphe en $s_0$)}.
$$
Du fait que $\nabla \tau _i =0$,
$$
\nabla\omega  = \sum\limits^{2b+2}_{i=1} d\alpha _i \otimes \tau _i.
$$
Si $t_1\ld t_r$ sont des coordonn\'ees locales en $s_0$,
$$
\nabla_{\partial/\partial t_\alpha } = \sum\limits_i {\partial \alpha _i
\over \partial t_\alpha } \tau _i.
$$
On notera que la propri\'et\'e de transversalit\'e de  Griffiths
entra\^{\i}ne que relativement \`a la filtration de Hodge $\{\cF
^p\}_{0\le p\le 4}$, on a~:
$$
{\partial \omega \over \partial t_\alpha }:=
\nabla_{\partial/\partial t_\alpha } \omega \in \cF^2 
\qquad\hbox{et~~}
{\partial^2\omega \over \partial t_\alpha  \partial t_\beta } \in \cF^1.
$$
D'o\`u 
$$
Q\Big(\omega ,{\partial \omega \over \partial t_\alpha }\Big) =
Q\Big(\omega ,{\partial^2\omega \over \partial t_\alpha \partial
t_\beta }\Big) = 0.
$$
Par contre
$$
Q\Big(\omega ,{\partial^3\omega \over \partial t_\alpha  \partial
t_\beta \partial t_\gamma }\Big) = \int_{X_t} \omega  \wedge
{\partial^3\omega \over \partial t_\alpha  \partial t_\beta  \partial
t_\gamma }
$$
est diff\'erente de z\'ero en g\'en\'eral. On va justifier que cette fonction
repr\'esente l'application lin\'eaire $\delta $ (voir la formule (iter) 
dans le \S3.C ) associ\'ee \`a la variation infinit\'esimale. 

On a vu dans les \S2.D et \S3.C que la d\'eriv\'ee de l'application des p\'eriodes
est donn\'ee par
$$
\sigma:T_{S,s_0} \longrightarrow \bigoplus \hom(H^{p,q},H^{p-1,q+1})
$$
o\`u $\sigma(\partial/\partial t)$ agit par le cup-produit avec
 $\rho(\partial/\partial t)$, image de $\partial/\partial t$ par
l'application de Kodaira-Spencer $\rho : T_{S,s_0}\to H^1(T_{X_{s_0}})$.
Le fibr\'e $\cF^3$ est  trivialis\'e par la forme $\omega $ et dans notre
cas la formule (iter) revient \`a 
$$\eqalign{
\sigma :\Sym^3T_{S,s_o} & \longrightarrow
\hom(H^{3,0}(X_{s_0}),H^{0,3}(X_{s_0}))=\cr
 &\quad\quad =\hom(\bC\cdot\omega(s_0),\bC\cdot\overline{\omega}(s_0))\cr
\partial/\partial t_\alpha  \otimes \partial/\partial t_\beta  \otimes
\partial/\partial t_\gamma &\longmapsto \{\omega(s_0)\mapsto    
\displaystyle {\partial^3\omega
\over \partial t_\alpha  \partial t_\beta  \partial t_\gamma }(s_0)\}.\cr 
} $$
 On peut donc \'ecrire
$$
\sigma(\partial/\partial t_\alpha  \otimes \partial/\partial t_\beta  \otimes
\partial/\partial t_\gamma )(\omega(s_0))=\int_{X_{s_0}} \omega  \wedge
{\partial^3\omega \over \partial t_\alpha  \partial t_\beta  \partial
t_\gamma }.
$$
D'o\`u ici la variation infinit\'esimale de la
structure de Hodge fournit les invariants~:
$$
\boxit{4pt}{
$\disp\kappa _{\alpha \beta \gamma }:= \int_{X_{s_0}} \omega  \wedge {
\displaystyle {\partial^3\omega
\over \partial t_\alpha  \partial t_\beta  \partial t_\gamma }}$}
$$
appel\'es dans ce contexte
\index{69}{ACC}{Accouplement de Yukawa}%
\index{242}{YUK}{Yukawa, accouplement de}%
{\sl accouplement de Yukawa\/}  ([Mor1], [C-O], [H]). Le tenseur invariant
associ\'e est
$$
\kappa=\sum_{\alpha,\beta,\gamma}\kappa_{\alpha\beta\gamma}dt_\alpha\otimes
dt_\beta\otimes dt_\gamma\in \Sym^3(\Omega^1_S).
$$

Si $\dim S=1$, $t$ est une coordonn\'ee locale en $s_0$, on notera
$$
\kappa _{ttt} = \int_{X_t} \omega  \wedge {d^3\omega \over dt^3}
$$
qui est une fonction holomorphe du param\`etre $t$ (au voisinage de
$s_0$) et le tenseur invariant est
$$
\kappa=\kappa_{ttt}(dt)^{\otimes 3}\in(\Omega^1_S)^{\otimes 3}.
$$
 Si en outre
$f:X\to S$  est une famille verselle (voir le
\S3.C) on a $\dim H^1(T_{X_{s_0}})=1=\dim H^{2,1}(X_{s_0})$ et donc
$H^3(X_{s_0})$ est de dimension 4. La versalit\'e implique que l'application
de Kodaira-Spencer est un isomorphisme et donc que les trois fl\`eches
$H^{k,3-k}\to H^{k-1,4-k}$, $k=1,2,3$ sont des isomorphismes (ces espaces
sont de dimension 1 et les applications sont obtenues en prenant le
cup-produit avec la classe de Kodaira-Spencer $\rho(\partial/\partial t)$). 
Donc $\kappa_{ttt}\ne 0$ dans ce cas et les sections $\Big\{{d^i\omega \over dt^i}\Big\}_{i=0,1,2,3}$
forment une base du fibr\'e $\cH^3(X/S)$, sur un voisinage de $s_0$.
D'o\`u une relation de d\'ependance lin\'eaire 
$$
{d^4\omega
\over dt^4} = \sum\limits^3_{i=0} A_i(t) {d^i\omega \over dt^i}\leqno{\rm
(PF)}
$$ 
qui est l'\'equation diff\'erentielle de Picard-Fuchs. 
\index{112}{EQU}{\'Equation de Picard-Fuchs}%
\index{243}{PIC}{\hri \'equation de Picard-Fuchs}%
Si $\alpha$ est une section plate de $\cH^3(X/S)$, la p\'eriode $\varpi =
Q(\alpha ,\omega ) = \int_\gamma  \omega $ (si $\alpha $ est la classe
Poincar\'e duale du cycle $\gamma $), satisfait \`a l'\'equation
$$
{d^4\varpi\over dt^4} = \sum\limits^3_{i=0} A_i(t)
{d^i\varpi\over dt^i}.
$$
On peut d\'eriver sous le signe somme car $Q$ est constante.

Par l'anti-sym\'etrie de $Q$ on a $
Q({d^2\omega\over dt^2},{d^2\omega\over dt^2})=0
$
et en d\'erivant deux fois la relation $Q(\omega,{d^2\omega\over
dt^2})=0 $
 on trouve:
$$
{d\over dt}Q\Big(\omega, {d^3\omega \over dt^3}\Big)=
-Q\Big({d\omega\over dt},{d^3\omega\over dt^3}\Big) 
-Q\Big({d^2\omega\over dt^2},{d^2\omega\over dt^2}\Big)=
-Q\Big({d\omega\over dt},{d^3\omega\over dt^3}\Big),
$$
mais aussi
$$
{d\kappa _{ttt}\over dt} = Q\Big({d\omega \over dt}, {d^3\omega \over
dt^3}\Big) + Q\big(\omega ,{d^4\omega \over dt^4}\big)=
Q\Big({d\omega \over dt}, {d^3\omega \over dt^3}\Big) +A_3\big(\omega
,{d^3\omega \over dt^3}),
$$
et donc, en additionnant ces deux \'equations on a:
$$
\boxit{4pt}{
$\disp{{d \kappa _{ttt}\over dt}} =\displaystyle{{1\over 2}} A_3 \kappa.$}
$$
Cette \'equation a pour solution
(bien d\'etermin\'ee \`a une constante multiplicative
pr\`es): 
$$
\kappa_{ttt}=\ee^{{1\over 2}\int A_3(t)dt}.\leqno({\rm yuk})
$$

Remarquons que sous l'hypoth\`ese retenue, l'\'equation
diff\'e\-rentielle $\nabla \alpha  = 0$, est le syst\`eme
lin\'eaire \'equivalent \`a l'\'equation du 4e ordre (PF).
Ceci explique que les informations locales sur la monodromie, sur
$\kappa _{ttt}$, se d\'eduisent du calcul explicite de
l'\'equation de Picard-Fuchs.

Finalement quelque mots sur le cas d'une \'equation de Picard-Fuchs \`a
points singuliers r\'eguliers. On suppose que $s$ est une coordonn\'ee
locale autour d'un tel point et on \'ecrit
$$
\kappa=\kappa_{sss}\left({ds\over s}\right)^{\otimes 3}  
$$
et, comme d'habitude,
$$
\Theta=s\displaystyle{d\over ds}.
$$
Maintenant, pour trouver $\kappa_{sss}$ il faut r\'esoudre
l'\'equation 
$$
{d\kappa\over ds}=-{1\over 2}B_3\kappa
$$
O\`u $B_3$ est le coefficient de $\Theta$ dans l'\'equation de Picard-Fuchs
$[\Theta^4+B_3\Theta^3+B_2\Theta^2+\cdots]\varphi=0$.

\state 10.1. Exemple|{\rm
Dans l'exemple 9.7 de la section pr\'ec\'edente en utilisant la
coordonn\'ee $s$ on trouve 
$$
\kappa_{sss}=C_1{1\over s^3(s-1)}, \qquad
C_1=\hbox{\rm constante d'int\'egration}. 
$$
}
\endstate 


Discutons les possibles normalisations de l'accouplement de Yukawa
dans le cas d'un param\`etre $s$. On applique d'abord le r\'esultat
classique (voir [Ince]) 
 
\state 10.2. Th\'eor\`eme| Soit donn\'ee une \'equation
diff\'erentielle d'ordre $\ge 2$ sur un disque autour de $0$ ayant
une singularit\'e  r\'eguli\`ere  en $0$. On suppose que
la monodromie $T$ locale autour de $0$ admet un seul bloc de Jordan pour
la valeur propre $1$ avec multiplicit\'e $\ge 2$. 
Alors, il existe une solution $f_0$ r\'eguli\`ere et
uniforme autour de $0$. De plus,  il existe une  solution locale 
$f_1$ autour de $0$, ind\'ependante de $f_0$ telle que $g(s)=2\pi\ii 
f_1(s)-\log (s)\cdot f_0(s)$ soit uniforme.  La solution  $f_0$ est 
unique \`a une constante multiplicative pr\`es, la solution $f_1$ est
unique \`a un multiple de $f_0$ pr\`es.
\endstate

Si donc $f_0\ne 0$ on pourra fixer le $f_0$  par $f_0(0)=1$ et
ensuite le $f_1$ par $g(0)=0$. On peut toujours remplacer $s$ par
une autre coordonn\'ee $w(s)$; de
$ \kappa_{sss}({ds/s)}^{\otimes 3}=\kappa_{www}({dw/w})^{\otimes 3}$ on
tire que $\kappa$ est remplac\'e par $(ds/dw)^3$. On cherche \`a
trouver une coordonn\'ee $q$ ``normalis\'ee'' sur le disque.
Dans un premier temps, on regarde la fonction multiforme
$$
\tau(s)=f_1(s)/f_0(s)
$$ 
comme  un param\`etre uniforme sur le demi-plan
de Poincar\'e $\euh$. Quand $s$ tourne  autour de $0$ le
param\`etre $\tau$ se transforme en $\tau+1$. Celui-ci est uniquement
d\'etermin\'e par cette propri\'et\'e \`a  une constante
additive pr\`es ; cela provient du fait qu'on pourra remplacer $f_1$
par $f_1+{1 \over 2 \pi \ii}\cdot \log c_2  \cdot f_0$, le point $s=0$ 
n'ayant aucune signification intrins\`eque sur $\euh$. Donc le
param\`etre
$$
q=\exp\left(2\pi \ii {f_1(s)\over f_0(s)}\right) =s\exp\left( g\over
f_0\right)
$$
sur le disque \'epoint\'e est bien-d\'efini \`a la constante multiplicative
$c_2\in \bC^\ast$ pr\`es. 

Ensuite on souhaite normaliser $\kappa_{\tau\tau\tau}$. D'abord, il faut
noter que $\kappa$ d\'epend du choix de la 3-forme relative $\omega$.
Si $\omega$ se transforme en $k(s)\omega$, $\kappa_{sss}$ est
transform\'e en $k(s)^2\kappa_{sss}$. On remarque que la solution $f_0$
est de la forme $f_0=\int_\gamma\omega$ pour un 3-cycle $\gamma$,
invariant par la monodromie locale. Un tel cycle $\gamma$ est unique
\`a une constante multiplicative pr\`es. Donc, la $3$-forme 
$\tilde\omega=f_0(s)^{-1}\omega=\omega/ \int_\gamma\omega$ est une
$3$-forme holomorphe $\tilde\omega(s)$  telle qu'il existe un
cycle invariant $\gamma$ dans $H_3(X_s,\bC)$
avec $\int_{\gamma}\tilde\omega=1$.  Ainsi $\tilde\omega$ est unique \`a une
constante multiplicative pr\`es. Conclusion : avec cette normalisation on a 
$$
\kappa= c_1{ 
\exp\left(  -{1\over 2} \int B_3(s)ds \right) 
\over
f_0(s)^2
}\left({1\over 2\pi \ii}{ ds\over s}\right)^{\otimes 3},\quad c_1\in
\bC^\ast.
$$
Ensuite on note que 
$\kappa_{\tau\tau\tau}(d\tau)^3=\kappa_{sss}\left(\displaystyle {1\over 2\pi
\ii}\cdot{dq\over q}\right)^3$ est p\'eriodique en 
$\tau$ et donc  il existe un d\'eveloppement en 
$$
q:=\ee^{2\pi\ii \tau(s)}.
$$

On \'ecrit alors :
$$
 \kappa=c_1\cdot\left(\sum_{j=0}^\infty  \kappa_j\left({q\over
c_2}\right)^j \right)
\cdot \left({dq\over 2\pi \ii q}\right)^{\otimes 3}\leqno{\rm(dev)}
$$
On peut voir (cf.  [Mor2])  facilement que
les coefficients $\kappa_j$ sont des nombres rationnels si les coefficients
$B_j$  de l'\'equation de Picard-Fuchs  admettent une d\'eveloppement en
s\'erie enti\`ere \`a coefficients rationnels. 

Rappelons que ce calcul est fait sous l'hypoth\`ese cruciale que
$f_0(0)=\int_\gamma\omega(0)\not=0$. On la v\'erifiera dans le
sous-paragraphe suivant.


\state Exemple|\rm On reprend l'exemple 10.1. Ici $f_0(0)=1$ (voir l'Exemple
9.7) et on observe que l'hypoth\`ese sur les $B_j(s)$ est bien v\'erifi\'ee. 
On trouve ici que
$$
\kappa_{sss}={c_1\over (s-1)f_0(s)^2}.
$$
\endstate 

\state 10.3. Remarques| {
\rm  I. En liaison avec les calculs
pr\'ec\'edents, rappelons le th\'eor\`eme de Bryant et Griffiths
(Th\'eor\`eme 7.3). On fait l'hypoth\`ese que la famille $f:X\to S$ est la
d\'eformation universelle de $X_0 = f^{-1}(0)$, de sorte que l'application
de Kodaira-Spencer est un isomorphisme pour tout $s\in S$, et $\dim (S) =
h^{2,1}=b$. En vertu du th\'eor\`eme de Bogomolov et Tian (voir le \S
7.C), $S$ est lisse.  On suppose que $S$ soit isomorphe \`a un disque de
dimension $b$. On   trivialise  le syst\`eme local $\{H_3(X_s,\bZ)\}$, au
moyen d'une base symplectique $\{\gamma_i,\delta_j\}_{i,j =0\ld b}$. Soit
$\omega$ une section locale de $F^3 = f_*(\omega ^3_{X/S})$ qui trivialise ce
fibr\'e. Le th\'eor\`eme de Bryant et Griffiths dit que les
$\gamma$-p\'eriodes 
$\zeta _i(s)= \int_{\gamma_i} \omega(s)$
peuvent servir comme coordonn\'ees homog\`enes sur $S$
(voir le \S7).
 
\state Lemme|Avec $\xi _j(s) = \int_{\delta_j}
\omega(s)$ on a les relations~:
$$
\xi _i = \sum\limits_j\zeta_j{\partial\xi_i\over\partial\zeta_j}
$$
et $\{\xi _i\}$ est le gradient d'une fonction holomorphe homog\`ene
$G$ de degr\'e $2$ des variables $\zeta _0\ld \zeta _b$. 
\endstate

\preuve. On a comme ci-dessus les relations
$$
\int_X \omega  \wedge {\partial \omega \over \partial \zeta _i} =
\int_{X_s} \omega \wedge {\partial^2\omega \over \partial \zeta _i
\partial \zeta _j}=0~.
$$
Si on remplace $\omega $ par le d\'eveloppement $\omega  = \sum\limits
\zeta _i\alpha _i + \sum\limits \xi _j\beta _j$ (voir le \S7.C pour les
notations) et si on tient compte du fait que $\{\alpha _i\}$ et $\{\beta
_j\}$ sont des sections constantes, on a les relations annonc\'ees. Ces
relations entra\^{\i}nent
$$
2\xi _i = {\partial \over \partial \zeta _i} \Big(\sum\limits_k \zeta _k
\xi _k\Big)
$$
d'o\`u si $G(\zeta ) = {1\over 2} \big(\sum\limits_k \zeta _k\xi _k\big)$,
on a $\xi _i = {\partial G\over \partial \zeta _i}$.\QED

\noindent II. Un calcul \'el\'ementaire conduit \`a l'expression suivante pour
l'accouplement de Yukawa~:
$$
\kappa _{ijk} = \int_{X_s} \omega  \wedge {\partial^3 \omega \over
\partial \zeta _i \partial \zeta _j \partial \zeta _k} = {\partial^3
G\over \partial \zeta _i \partial \zeta_j\partial \zeta_k}.
$$

\noindent III.  On peut d\'efinir  sur l'espace local des modules $S$,
une m\'etrique de K\"ahler (en fait de Hodge ([Dem]), par son
potentiel local. Les relations de Riemann montrent que
$$
\ii\int \omega  \wedge \ol \omega =
\ii\Big( \sum\limits_a \ol \zeta _a {\partial G\over \partial \zeta
_a} - \zeta _a {\partial \ol G\over \partial \ol \zeta
_a}\Big) >0.
$$
Posons $\kappa  = -\log \big(\ii\int \omega  \wedge \ol \omega
\big)$. Alors la m\'etrique 
\index{113}{MET}{M\'etrique de Weil-Peterson}%
\index{244}{WEI}{\hri m\'etrique de Weil-Peterson}%
dite de Weil-Peterson, ([T]) sur $S$ est d\'efinie localement par~:
$$
g_{i\ol{j}} = {\partial^2 \kappa \over \partial \zeta _i
\partial \ol \zeta _j}.
$$
La formule de dessus montre que le potentiel $\kappa$ est tr\`es
particulier, manifestation du caract\`ere ``sp\'ecial'' de cette
m\'etrique (voir Remarque IV).

D'une autre mani\`ere, si on identifie $T_sS$ et $H^{2,1}(X_s)$ vu que
$\Omega^3_{X_s}\cong \cO_{X_s}$, la m\'etrique de Weil-Peterson n'est pas
autre chose que :
$$
\langle\psi,\phi  \rangle_{\rm WP}=\int_{X_s}\psi \wedge \ast \bar\phi.
$$

Il y a une relation pr\'ecise avec l'application des p\'eriodes $q$ introduite
ci-dessus.
Du fait des relations de Riemann R1 et R2 du \S3.A, la droite $H^{3,0}(X)$
appartient \`a un ouvert dans une quadrique complexe $Q\subset \bP^{2b+1}$.
La forme de Hodge induit clairement sur la restriction \`a $Q$ du fibr\'e
tautologique de $\bP^{2b+1}$ une m\'etrique hermitienne. Si $\omega$ est la forme 
de Chern de cette m\'etrique, on peut prouver [T] que la forme de K\"ahler
$\omega_{\rm WP}$ de la m\'etrique de Weil-Peterson co\"{\i}ncide avec l'image
r\'eciproque  de $\omega$.

\noindent IV. Les consid\'erations g\'eom\'etriques pr\'ec\'edentes ont pour support
l'espace des param\`etres des structures complexes, soit infinit\'esimalement
l'espace $H^{2,1}$. Il n'est pas \`a priori \'evident que des
constructions similaires  existent avec l'espace des param\`etres
pour les classes de K\"ahler. D\'efinissons cet espace. 
Si $J\in H^{1,1}(X,\bR)$ est la forme de K\"ahler d'une m\'etrique de K\"ahler 
sur $X$, alors $J$ est positive et, en particulier, pour toute courbe 
alg\'ebrique $C\subset X$,
$$
\int_{[C]}J \, >\,0.
$$
Ces in\'egalit\'es d\'efinissent dans l'espace vectoriel r\'eel 
$H^{1,1}(X,\bR)=H^2(X,\bR)$ un c\^one ouvert $K(X)$, appel\'e
\index{70}{CON}{C\^one de K\"ahler}%
\index{245}{KAH}{\hri c\^one de K\"ahler}%
le c\^one de K\"ahler. Le {\sl complexifi\'e du c\^one de K\"ahler} est
$$
CK(X)=\{B+\ii J\mid B,J\in K(X)\}.
$$
Il est important aussi de consid\'erer les in\'egalit\'es larges, 
c'est-\`a-dire le c\^one ferm\'e $\overline{K(X)}$.

Il n'y a pas ici de variation de structures de Hodge support\'ee par le
c\^one de K\"ahler  complexifi\'e, et donc pas de contrepartie
\'evidente  \`a l'accouplement de Yukawa, mais seulement le produit
triple topologique donn\'e par l'intersection des $(1,1)$-formes
$\kappa(\rho,\sigma,\tau)=\int \rho\wedge\sigma\wedge\tau$. Il est
d\'ej\`a remarquable que dans cette situation duale, la
``g\'eom\'etrie'' de l'espace des modules des structures complexes
subsiste formellement [C-O], renfor\c{c}ant l'hypoth\`ese de sym\'etrie
entre les deux types de d\'eformations. Les propri\'et\'es
diff\'erentielles-g\'eom\'etriques d\'ecrites ci-dessus ont \'et\'e
formalis\'ees sous le titre de ``g\'eom\'etrie sp\'eciale'' [Str]. 
\index{115}{GEO}{G\'eom\'etrie sp\'eciale}%
Nous renvoyons \`a cet article pour une d\'efinition  pr\'ecise.  L'\'etude
de cette ``g\'eom\'etrie'' sur le complexifi\'e du c\^one de K\"ahler
est  le fondement de la sym\'etrie miroir. Une d\'efinition 
math\'ematique pr\'ecise  peut \^etre consid\'er\'ee comme
\'equivalente \`a l'existence d'une variation  de structures de Hodge
de base le complexifi\'e du c\^one de K\"ahler, conduisant \`a un
accouplement triple qui ``corrige'' en un certain sens l'accouplement 
$\kappa$ ci-dessus, et qui dans la dualit\'e entre $X$ et $X^\ast$,
serait  le pendant de la variation d\'ecrite dans les pages
pr\'ec\'edentes pour $X^\ast$.  Pour une formulation plus pr\'ecise, le
lecteur consultera [Mor4], [P].  Nous voulons ne retenir de cette
discussion que le fait que les aspects  de th\'eorie de Hodge sont
certainement \`a la base d'une formulation  rigoureuse du principe de
sym\'etrie.  Voir aussi le \S11 pour une discussion allant dans ce
sens.}
\endstate

\subsection \Smark10.B. Normalisation math\'ematique|

Il s'agit d'avoir des informations sur le comportement asymptotique
des p\'eriodes, et de l'ac\-couple\-ment de Yukawa. Cela rel\`eve
de  l'\'etude g\'en\'erale du comportement asymptotique d'une
variation de structures de Hodge (singularit\'es de
l'ap\-pli\-ca\-tion des p\'e\-rio\-des).

Soit donn\'ee une famille de vari\'et\'es de  Calabi-Yau, on suppose
pour simplifier que $h^{2,1} =1$ et $\dim S=1$ (on a vu  que $X\to S$
est universelle en tout point $s\in S$ (Th\'eor\`eme 7.2). Supposons
$S = \ol S\ssm \{b_1\ld b_r\}$
o\`u $\ol S$ est une courbe compl\`ete non singuli\`ere,
les points $\{b_i\}$ \'etant les points singuliers de la famille
(voir l'exemple de la famille quintique et de la famille miroir dans
le \S7.A). Il s'agit d'analyser le comportement de la structure de Hodge
(variation) port\'ee par $\cH^3(X/S) = \bR^3f_*(\omega ^\bu_{X/S})$
lorsque le param\`etre $s$ approche un point singulier. En un tel
point $b_i$, on a vu que $\cH^3(X/S)$ admet une extension
privil\'egi\'ee (sur un disque param\'etr\'e de centre $b_i$),
et que les fibr\'es de Hodge $ \cF^p$ ($p=0,1,2,3$) se
prolongent en des sous-fibr\'es $\tilde \cF^p$ de l'extension
privil\'egi\'ee $\tilde \cH^3(X/S)$. On fait une hypoth\`ese
maintenant [Mor1], hypoth\`ese qui est v\'erifi\'ee dans l'exemple qui nous
int\'eresse.
 
\state 10.4. Hypoth\`ese|(Voir le Th\'eor\`eme 4.1) L'op\'erateur $T$ (de
monodromie locale) en $b_i$ est maximalement unipotent. C'est-\`a-dire
$(T-1)^3\ne 0$ et donc $ N=\log T$  a un seul bloc de Jordan
$
\left[
\matrix{
0&1&0&0\cr
0&0 &1&0\cr
0 &0 &0 &1\cr
0&0&0&0\cr}
\right].
$
\endstate

On v\'erifie imm\'ediatement que sous cette hypoth\`ese, la
filtration $W_\bu$ est de la forme~:
$$
W_0 = W_1 = \ker (N),\qquad 
W_2 = W_3 = \ker (N^2),\qquad 
W_4 = W_5 = \ker (N^3).
$$
La structure de Hodge sur $\gr^W_{2\ell}$ ($\ell = 0,1,2,3$) se
r\'eduit \`a $\gr^W_{2\ell} = I^{\ell,\ell}$.
En particulier $I^{a,b} =0$ si $a\not= b$ et
$$
W_\ell = \bigoplus_{a+b\le \ell} I^{a,b},\qquad
F_\infty = \bigoplus_{a\ge p}I^{a,b}.
$$

Rappelons que le fibr\'e $\cH^3(X/S)$ est prolong\'e \`a $\Delta$ et
donc est trivialisable sur
$\Delta ^*$. Si $\alpha $ est une section de ce
fibr\'e en $s_0 \in \Delta ^*$, et si $\alpha (s)$ est le
prolongement (multiforme) de $\alpha $ par transport parall\`ele par
la connexion de Gauss-Manin, la section ``horizontale'' qui
s'\'etend en $s=0$ est $\alpha ^*(s) = \exp  \big({\log s\over 2\pi
i} N[\alpha (s)]\big)$. En particulier, si $\alpha \in W_0$,
$T(\alpha ) = \alpha $, on a $\alpha ^*(s) = \alpha (s)$~; d'o\`u,
par le fait que $Q$ est plate dans le fibr\'e trivialis\'e
$\tilde \cH^3$, ce qui signifie que $Q(\alpha ^*(s),\beta ^*(s)) =
Q(\alpha ,\beta ) = \const$,  il est clair que $Q(\alpha (s),\beta
(s))$ est une fonction holomorphe sur $\Delta $. Si $\alpha $ est la
classe de cohomologie duale du cycle $\gamma_0 $, cette fonction
repr\'esente la p\'eriode~: 
$$
f_0(s):= \int_{\gamma_0}  \omega(s).
$$ 

Montrons que $f_0(0)\not= 0$~; dans le cas contraire, on a
$Q(\alpha (0),\omega (0)) =0$ dans la fibre de $\tilde \cH^3$ en
$s=0$. Mais $\omega (0) \in \tilde \cF^3(0)$, et $\alpha (0) \in
W_0$. Or la filtration par le poids est auto-duale relativement \`a
$Q$ (du fait que $N\in \eug_\bQ$), c'est-\`a-dire
$
W^\perp_\ell = W_{6-\ell -2}~.
$
Donc $\omega (0) \in \tilde \cF^3(0) \cap W^4 = 0$. Ceci montre bien
que $f_0(0) \not= 0$. 

Discutons maintenant le choix d'une coordonn\'ee intrins\`eque sur
$\Delta^\ast$. Soit  $\beta \in W_2=\ker(N^2)$, lin\'eairement
ind\'ependant avec $\alpha $. Il y a un scalaire $\lambda $ tel que
$N(\beta ) = \lambda \alpha $. Soit $\beta ^*(s)$ l'extension canonique
(horizontale) de $\beta $ \`a $\tilde\cH^3$. On a
$$
\eqalign{
\beta ^*(s) &= \exp \Big(-{\log s\over 2\pi\ii} N\Big) \beta (s)\cr
&= \beta (s) - {\log s\over 2\pi\ii} \lambda  \alpha ^*(s)~.\cr}
$$
Donc 
$$
\eqalign{ f_1(s) 
&= \int_{\gamma_1} \omega (s) \qquad 
   \hbox{(si $\beta $ est la classe duale de $\gamma _1$)}\cr
&= {\log s\over 2\pi\ii} \lambda  f_0(s) + Q(\beta ^*(s),\omega(s))\cr}
$$
et $Q(\beta ^*(s),\omega (s))$ est holomorphe sur $\Delta $. Donc~:
 {\parindent=0pt
$$
\tau ={\lambda^{-1}\int_{\gamma_1}\omega \over \int_{\gamma_0} \omega}
$$ 
est un param\`etre sur $\euh$} et
$$
q = \exp(2\pi\ii \tau) 
$$
un param\`etre sur $\Delta $.

Noter que $\tau$ \'etant le quotient de deux p\'eriodes ne d\'epend
pas de la section $\omega$. Si $\{\alpha',\beta'\}$ est un autre
choix, qui conduit aux p\'eriodes $\{\omega'_0,\omega'_1\}$ et aux
param\`etres $t',q'$, on a $a,b,c \in \bC$, $ac\not= 0$, avec~:
$$
\alpha' = a\alpha ,~ \beta' = b\alpha  + c\beta 
$$
donc
$$
N\beta' = \lambda'\alpha' \qquad \hbox{avec~~} \lambda' = {c\lambda \over a}.
$$
D'o\`u
$$
\tau' = \tau+{b\over c\lambda } \qquad \hbox{et~~} q' = \exp \big(2\pi\ii 
{b\over c\lambda }\big)q~.
$$
On voit le lien avec la discussion dans le \S10.A : la
constante $c_2$ s'identifie avec $\exp(2\pi \ii {b \over c\lambda})$. 

Ces remarques \'etant faites, il faut certainement utiliser la
structure enti\`ere pour normaliser les p\'eriodes et ainsi
obtenir une coordonn\'ee ``canonique'' sur le disque. Notons $L$ le
r\'eseau entier $(L=(\cH_\bZ)_{s_0})$ dans $H$ et rappelons que $T\in
\Aut_\bZ(L,Q)$. Alors $L\cap W_0$ est de rang $1$, on va donc prendre pour $\alpha $
un g\'en\'erateur de ce groupe. On a $T = \exp(N) = 1+N$ sur $W_2 =
\ker(N^2)$, donc $N= T-1$ est entier sur $W_2 \cap L$, c'est-\`a-dire
$N(W_2 \cap L) \subseteq L\cap W_0$. On peut alors choisir une base du
groupe (de rang 2) $W_2 \cap L$, de la forme $\{\alpha ,\beta \}$, et
$N(\beta ) \in N\alpha $, soit $N(\beta ) = m\alpha $ avec $m\ge 1$. Une
autre base de ce type est $\alpha' = \pm \alpha $, $\beta' = \pm \beta  +
\ell \alpha $ ($\ell \in \bZ$).

En conclusion, le param\`etre $q$ obtenu par cette normalisation est
d\'efini \`a une racine $m$-i\`eme de l'unit\'e pr\`es, et si
$m=1$ (la monodromie est ``petite''~: dixit Morrison), $q$ est alors
d\'etermin\'e de mani\`ere unique. On dit dans ces conditions
que $q$ est le {\sl param\`etre
\index{71}{PAR}{Param\`etre canonique}%
canonique\/} autour de la singularit\'e (voir [Mor1]).
En r\'esum\'e, nous avons d\'emontr\'e :

\state 10.5. Proposition {\rm (Normalisation math\'ematique)}| Soit
$f:X\to \Delta$ une d\'eg\'en\'e\-res\-cence \`a un param\`etre de
vari\'et\'es de Calabi-Yau de dimension $3$ avec $h^{2,1}=1$. On
suppose que $\omega$ est une section partout non-nulle sur $\Delta^\ast$ de
$\cF^3$. On suppose aussi que la monodromie locale du syst\`eme local
de cohomologie en dimension $3$  est unipotente de rang $4$. On pose
$N=\log T$. Fixons $s_o\in \Delta$, un g\'en\'erateur $\alpha$ de
$H^3(X_{s_o},\bZ)\cap \Ker N $ et une base $\{\alpha,\beta\}$ de
$H^3(X_{s_o},\bZ)\cap
\Ker N^2$ telle que
$N\beta=m\alpha, m\in\bZ_{>0}$. Soient $\gamma_0,\gamma_1\in
H_3(X_{s_o},\bZ)$ les classes duales. Alors la fonction
$$
q(s)=\exp\Big({2\pi \ii\over m} {\int_{\gamma_1}\omega(s)\over 
\int_{\gamma_0}\omega(s)}\Big)
$$
est bien d\'efinie \`a une racine $m$-i\`eme de l'unit\'e pr\`es.
\endstate

\state 10.6. Exemple| {\rm  [Hu] La situation est analogue \`a celle 
des courbes de genre~$1$. Soit la famille de courbes de genre~$1$~: 
$y^2 = x(x-1)(x-\lambda )$, $\lambda  \not= 0,1$
\index{72}{COU}{Courbes elliptiques, famille de Legendre}%
\index{246}{LEG}{Legendre, famille de courbes elliptiques de}%
({\sl forme de Legendre\/})~; $\omega  = {dx\over 2y}$ d\'efinit une
section de $\cF^1$ (fibr\'e de Hodge).

Les p\'eriodes (au nombre de deux) sont donn\'ees, relativement \`a
une base de $H_1(X_\lambda ,\bZ)$, par
$$
\omega_1 = \int^\infty_1 {dx\over
\sqrt{x(x-1)(x-\lambda )}}
\qquad\hbox{et~~} \omega _2 = \int^0_{-\infty} {dx\over
\sqrt{x(x-1)(x-\lambda )}}.
$$
On exprime $\omega _1$ et $\omega _2$ en fonction de $\lambda $, au
moyen de la s\'erie hyperg\'eom\'etrique
$$
F(\lambda)={}_2F_1\big({1\over 2},{1\over 2},1;\lambda\big)=
\sum\limits^\infty_{n=0}{-1/2\choose n}^2\lambda^n
$$
convergente si $|\lambda |<1$. Alors le r\'esultat classique est que
$\omega _1 = \pi  F(\lambda )$, $\omega _2 = i\pi  F(1-\lambda )$
($|\lambda |<1$) et que ce sont les deux solutions ind\'ependantes de
l'\'equation diff\'erentielle de Picard-Fuchs, qui est ici
l'\'equation diff\'erentielle hyperg\'eom\'etrique
$$
s(1-s) f''(s) + (1-2s) f'(s) - {1\over 4} f(s) =0~.
$$
C'est bien l\`a le d\'ebut de la connexion de Gauss-Manin!}
\endstate

On retourne \`a l'accouplement de Yukawa. Si $s$ est une coordonn\'ee
locale sur le disque $\Delta $ de centre le point singulier $b_i$ (ici
$s(b_i) =0$), et si $\omega $ est une section locale de $\tilde \cF^3$ qui
trivialise ce fibr\'e en droites sur $\Delta $, on a d\'efini
l'accouplement de Yukawa (non normalis\'e) comme la fonction sur $\Delta
^*$~:
$$
\kappa _{sss} = Q\Big(\omega , {d^3\omega \over ds^3}\Big)~.
$$
La fonction $\kappa _{sss}$ d\'epend de la coordonn\'ee $s$, ainsi
que la section locale $\omega $ de $\tilde \cF^3$  sur $\Delta $.
Le passage de $\omega $ \`a $f\omega $ ($f(0) \not= 0$), transforme
$\kappa _{sss}$ en $f^2\kappa _{sss}$.

Pour une section $\omega $ de $\tilde \cF^3$ qui est une base
locale en $s=0$, la p\'eriode normalis\'ee $f_0 =
\int_{\gamma _0} \omega $ est alors d\'efinie au signe pr\`es. On
normalise la forme en rempla\c{c}ant $\omega $ par $\omega
/f_0$, donc  maintenant $f_0(0)=1$. Alors l'accouplement de
Yukawa $\kappa _{ttt}$ est normalis\'e, et donc est une fonction
d\'efinie de mani\`ere intrins\`eque sur $\Delta ^*$~; on
parlera de {\sl l'accouplement
\index{73}{ACC}{Accouplement de Yukawa}%
\index{247}{YUK}{Yukawa, accouplement de}%
de Yukawa, dans sa normalisation math\'ematique.}  

On ne poursuit pas les calculs d'une normalisation math\'ematique dans les
exemples, car il est plus facile de normaliser les deux constantes
$c_1$ et $c_2$ introduites dans le \S10.A. On suit cette d\'emarche  dans le 
sous-paragraphe suivant (voir Conjecture 10.6).

\subsection \Smark10.C. Lien avec le nombre des courbes rationnelles : 
un exemple|

Les applications \`a la g\'eom\'etrie \'enum\'erative (``formules de
pr\'ediction'')  sont bas\'ees sur le sens pr\'ecis qu'il faut
attribuer \`a la correction  (``corrections instantons'')  du produit
triple topologique $\kappa$  (remarque IV du \S 10.A) et donc en
relation avec la d\'efinition de ``l'action'', qui conduit \`a la
d\'efinition des mod\`eles sigma bas\'es  sur une vari\'et\'e de 
Calabi-Yau [F-G], [P]. Plus pr\'ecisemment, l'int\'egrale $Z^\ast$ du
\S7.A admet un d\'eveloppement en contribution sur les morphismes de
$\bP^1$ dans la vari\'et\'e de Calabi-Yau. Voir en particulier
[P,\S5.6] pour un \'enonc\'e explicite.

Dans la suite nous ne ferons qu'observer la coh\'erence de ces 
d\'eveloppements sur quelques exemples, particuli\`erement celui de
[C-O-G-P].

Soit $T$ l'ouvert de  $\bP(\Sym^5\bC^5)$) param\'etrant les
hypersurfaces lisses de degr\'e $5$ dans $\bP^4$ et $Y_t,\, t\in T$ la
famille  tautologique correspondante. Cette famille est une famille de
vari\'et\'es de Calabi-Yau avec $\dim H^1(T_{Y_t})= \dim T-\dim
\PGL(5) =101$ et $h^{1,1}(Y_t)=1$. La sym\'etrie miroir
pr\'edit l'existence d'une famille  $X_s,\, s\in S$  avec
$\dim S=\dim H^1(T_{X_s})=1$ et $h^{1,1}(X_s)=101$. Le candidat
propos\'e pour $X_s$ est une r\'esolution convenable des singularit\'es
du quotient de la famille 
$$ 
f(s)= Z_0^5+Z_1^5+Z_2^5+Z_3^5+Z_4^5-5t
Z_0Z_1Z_2Z_3Z_4, \quad s=t^{-5}  
$$ 
par le groupe
$$
G=\big\{(a_0,a_1,a_2,a_3,a_4)\in \mu_5^5|\,a_0a_1a_2a_3a_4=1\big\}
$$
o\`u $\mu_5$ est le groupe des racines d'unit\'e d'ordre $5$. En effet
nous avons \'etudi\'e cette famille dans les paragraphes
pr\'ec\'edents (l'exemple 9.7) et les classes des formes
$\res(\Omega_j),\, j=1,2,3,4$ constituent une base de la partie
$G$-invariante de la cohomologie, et donc une base pour $H^3(X_s,\bC)$.
L'\'equation de Picard-Fuchs trouv\'ee est l'\'equation de $\omega_1$,
r\'esidu de $\Omega_1$, regard\'e comme $3$-forme holomorphe sur
$X_s$.

La sym\'etrie miroir pr\'edit en outre que l'accouplement de Yukawa,
proprement normalis\'e, admet un $q$-d\'eveloppement $\sum a_dq^d$ tel que
les coefficients $a_d$ d\'eterminent le nombre $n_d$ des courbes
rationnelles de degr\'e $d$ sur le membre g\'en\'erique de la famille
$Y_t$. Ici $q$ est le param\`etre canonique du \S10.B.

Malheureusement ce nombre n'est pas \`a priori fini. En effet, il
existe des vari\'et\'es de Calabi-Yau o\`u on a un nombre infini de
courbes rationnelles de degr\'e fix\'e. Par exemple, on consid\`ere un
rev\^etement double de $\bP^3$ ramifi\'e le long d'une surface $S$ de
degr\'e~8. Il y a une famille de dimension $\ge 1$ de courbes rationnelles
ayant pour image une droite trois fois tangente \`a la surface $S$ (cela
fait une condition pour une droite d'\^etre tangente \`a une surface).
En d\'epit de cela, Clemens a conjectur\'e que pour une quintique
g\'en\'erale il n'y a qu'un nombre fini de courbes rationnelles
d'un degr\'e donn\'e. Mais si on ne veut pas admettre cette conjecture,
il faut trouver une interpr\'etation diff\'erente pour les nombres
$n_d$. Une suggestion est d'interpr\'eter ce nombres dans le cadre de la
g\'eom\'etrie symplectique comme les invariants de Gromov-Witten pour des
courbes rationnelles de degr\'e $d$. Mais c'est une autre histoire pour
laquelle on consultera [Mor3], [D-S].  Ceci dit, on a:

\state 10.6. Conjecture|Si, dans la formule (dev) du \S10.A, on choisit
$c_1=-5$ et
$c_2=5^{-5}$ en \'ecrivant 
$$ \kappa_{\tau\tau\tau}=n_0+\sum_{d=1}^\infty{ n_d d^3 q^d\over
1-q^d}\leqno{\rm(Myst)}
$$
on a $n_0=5$ et pour $d\ge 1$,  $n_d$ est  l'invariant de Gromov-Witten pour
des courbes rationnelles de degr\'e $d$ sur une hypersurface
g\'en\'erique dans $\bP^4$ de degr\'e $5$. Ce nombre co\"{\i}ncide avec le
nombre de courbes rationnelles de degr\'e $d$ si la conjecture de
Clemens est vraie.
\endstate

Cette pr\'ediction a \'et\'e v\'erifi\'ee pour $d\le
3$. Voir [Mor2] pour les r\'ef\'e\-rences. Voici le tableau
des nombres $n_d$ pour $d\le 10$:
$$
\vbox{\offinterlineskip\tabskip=0pt
\halign{\strut\vrule#
&\hfil~$#$
&\vrule#
&~~$#$~~\hfil
&~~$#$~~\hfil
&\vrule#\cr
\noalign{\hrule}
&  1     & & 2875  &&\cr
&  2     & & 6 09250  && \cr
&  3     & & 3172 06375  &&\cr
&  4     & & 24 24675 30000 & &\cr
&  5     & & 22930 58888 87625 & &\cr
&  6     & & 248 24974 21180 22000 &   &\cr
&  7     & & 2 95091 05057 08456 59250 &&\cr
&  8     & & 3756 32160 93747 66035 50000& &\cr
&  9     & & 50 38405 10416 98524 36451 06250& &\cr
&  10    & & 70428 81649 78454 68611 34882 49750&  &\cr
\noalign{\hrule}}
\hrule}
$$
\vskip-1em
\state 10.7. Autres exemples|\rm Voir [L-T] et [B-S], \S5 pour les d\'etails.
Les seules intersections compl\`etes de $\bP^{3+r}$ d\'efinies par
des degr\'es $d_1,\ldots,d_r$ donnant une vari\'et\'e de
Calabi-Yau sont celles avec degr\'es $(3,3), (2,4), (2,2,2,2)$ et
$(2,2,3)$. On a dans ces exemples  $h^{1,1}=1$ et il y a une construction
naturelle de la famille miroir (conjecturale) (voir le \S7.B). 
On commence par d\'efinir des polyn\^omes de Laurent
$f_j(u,X)$ en les variables $X_j$: 
$$
\vbox{\offinterlineskip\tabskip=0pt
\halign{\strut\vrule#
&\hfil~$#$
&\vrule#
&~~$#$~~\hfil
&\vrule#
\cr
\noalign{\hrule}
&(3,3) && f_1=1-(u_1X_1+u_2X_2+u_3X_3) &\cr
&&& f_2=1-(u_4X_4+u_5X_5+u_6(X_1\cdots X_5)^{-1}) &\cr
\noalign{\hrule}
&(2,4) && f_1=1-(u_1X_1+u_2X_2) &\cr
&&& f_2=1-(u_3X_3+u_4X_4+u_5X_5+u_6(X_1\cdots X_5)^{-1}) &\cr
\noalign{\hrule}
&(2,2,2,2)&& f_1=1-(u_1X_1+u_2X_2)&\cr
&&& f_2=1-(u_3X_3+u_4X_4))& \cr
&&& f_3=1-(u_5X_5+u_6X_6& \cr
&&& f_4=1-(u_7X_7+u_8(X_1\cdots X_7)^{-1})&\cr
\noalign{\hrule}
&(2,2,3)  && f_1=1-(u_1X_1+u_2X_2) &\cr
&&& f_2=1-(u_3X_3+u_4X_4)     &\cr
&&& f_3=1-(u_5X_5+u_6X_6+u_7(X_1\cdots X_6)^{-1}).&\cr
\noalign{\hrule}}
\hrule}
$$

Ces \'equations d\'efinissent une famille $Y_z$ d'intersections
compl\`etes dans le  tore alg\'ebrique $(\bC^\ast)^{3+r}$
para\-m\'e\-tr\'ee par $z=\prod u_j$. Il existe une compactification
lisse de $\cup Y_z$ ayant comme fibres des vari\'et\'es de
Calabi-Yau. Pour cette famille on calcule l'\'equation de Picard-Fuchs:
$$
\Theta^4-\mu z(\Theta+\alpha_1)(\Theta+\alpha_2)(\Theta+\alpha_3)
(\Theta+\alpha_4)=0
$$
o\`u  $\Theta=z{\partial\over \partial z}$ et les coefficients 
$\mu, (\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,
\alpha_4)$ sont donn\'es dans le tableau suivant:

$$
\vbox{\offinterlineskip\tabskip=0pt
\halign{\strut\vrule#
&\hfil~$#$
&\vrule#
&~~$#$~~\hfil
&\vrule#
&~~$#$~~\hfil
&\vrule#
\cr
\noalign{\hrule}
&(3,3) && \mu=3^6&& (\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4)
=(1/3,1/3,2/3,2/3)&\cr
&(2,4) && \mu=2^{10} && (\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4)
=(1/4,2/4,2/4,3/4) &\cr
&(2,2,2,2) &&\mu=2^8 &&(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4)
=(1/4,1/4,1/4,1/4)& \cr
&(2,2,3)  && \mu=2^{4}3^3   &&(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4)
=(1/3,1/2,1/2,2/3)&\cr
\noalign{\hrule}}
\hrule}
$$

On peut alors aussi calculer l'accouplement de Yukawa  normalis\'e
pour ces quatre  exemples et trouver les invariants de Gromov-Witten
dans chaque cas :

$$
\vbox{\offinterlineskip\tabskip=0pt
\halign{
\strut\vrule#
&\hfil~$#$
&\vrule#
&~~$#$~~\hfil
&~~$#$\kern-5pt\hfil
&\vrule#
&~~$#$~~\hfil
&~~$#$\kern-5pt\hfil
&\vrule#\cr
\noalign{\hrule}
& \hbox{\rm degr\'e} && \hbox{\rm type d'intersection}=(3,3)
&&& \hbox{\rm type d'intersection}=  (2,4)&&\cr
\noalign{\hrule}
& 1 &&  1053 &&&        1280&&\cr
& 2 &&          52812 &&&  92288 &&\cr
& 3 &&          64 24326  &&&   156 55168&&\cr
& 4 &&          11394 48384 && &        38839 02528 &&\cr
& 5 &&          24 97878 92583 &&&      119 09232 82176&&\cr
& 6 &&          6266 09645 09532 &&&    41787 46053 42336&&\cr
& 7  && 17 25645 39008 22009 &&&        160 96458 82817 89696&&\cr
& 8 &&  5088 84256 84261 62960 &&&       66392 89562 56256 39488&&\cr
& 9 &&  15 81250 71797 65578 87945 &&&   288 55060 31661 64883 59936&&\cr
& 10 && 5 120 45241 90720 91068 28608 && & 1 30690 47760 16926 90248 22656&&\cr
\noalign{\hrule}
\noalign{\hrule}}
\hrule}
$$

$$
\vbox{\offinterlineskip\tabskip=0pt
\halign{
\strut\vrule#
&\hfil~$#$
&\vrule#
&~~$#$~~\hfil
&~~$#$\kern-5pt\hfil
&\vrule#
&~~$#$~~\hfil
&~~$#$\kern-5pt\hfil
&\vrule#\cr
\noalign{\hrule}
&\hbox{\rm degr\'e}&&  \hbox{\rm type d'intersection}= (2,2,2,2)&&&
\hbox{\rm type d'intersection}= (2,2,3)&&\cr
\noalign{\hrule}
& 1 &&  512 &&&         720     &&\cr
& 2 &&  9728&&&         22428 &&\cr
& 3 &&  4 16256  &&&   16 11504 &&\cr
& 4 &&  257 03936        &&& 1681 99200         &&\cr
& 5 && 19579 83744      &&&  2 16769 31712      &&\cr
& 6 &&  17 05359 23200  &&&  319 55579 04564    &&\cr
& 7 && 1630 03547 77600  &&& 51706 48707 88848  &&\cr
& 8 && 1 66806 30963 87072       &&& 89 58096 55996 06752&&\cr
& 9 && 179 84575 60643 29728 &&&  16352 30376 93759 10848         &&\cr
& 10 && 20206 49798 38915 54816 &&& 31 10686 15348 62330 22944  &&\cr
\noalign{\hrule}}
\hrule}
$$
Des travaux r\'ecents (Ellingsrud, Libgober) confirment ces nombres, du moins
en petit degr\'e.
\endstate
 
\section \Smark11. Lien avec la th\'eorie de Hodge mixte|

{\eightpoint
Dans ce paragraphe on  explique comment la th\'eorie
de Hodge mixte permet de formuler un aspect du  ph\'enom\`ene
de sym\'etrie. }

Rappelons bri\`evement quelques notions de base qui
compl\`etent les d\'efinitions du \S4.A.

\state 11.1. D\'efinition|{\rm Soit $H_\bR$ un espace vectoriel
\index{74}{STR}{Structure de Hodge mixte}%
\index{248}{HOD}{\hri structure de Hodge mixte}%
\index{249}{MIX}{\hri structure de Hodge mixte}%
r\'eel de dimension finie et $H=H_\bR\otimes\bC$. Une structure de
Hodge mixte (r\'eelle) sur $H$ consiste en une filtration croissante
$W_\bu$ de $H$ d\'efinie sur $H_\bR$ et une filtration 
d\'ecroissante $F^\bu$ de $H$ telles que $F^\bu$ d\'efinit sur
$\gr^W_\ell$ une structure de Hodge par le poids $\ell$.}
\endstate

\state 11.2. Exemple|\rm
\noindent A. Soit $M$ une vari\'et\'e k\"ahl\'erienne compacte de
dimension $d$. On prend $H=\sum_p H^p(M,\bC)$,
$W_\ell=\bigoplus_{a\le\ell}H^a(M,\bR)$.  
\smallskip

\noindent
B. Soit $M_t$ une famille de vari\'et\'es  k\"ahl\'eriennes sur un
disque \'epoint\'e. On suppose que la monodromie sur $H^d(M_{t})$
est unipotente. Alors $N:=\log T$ satisfait \`a $N^{d+1}=0$ et il existe
une unique filtration  $0\subset W_0\subset W_1\ldots\subset
W_{2d-1}\subset W_{2d}$ de $H^d(M_t,\bR)$ telle que $NW_\ell\subset
W_{\ell-2}$ et $N^\ell$ induit un isomorphisme entre $\gr^W_{d+\ell}$ et
$\gr^W_{d-\ell}$ (\S 4.B ou [S] pour les d\'etails). On a introduit (\S4.B) la
filtration $F^\bu_{\infty}$ sur $H^d(M_t)$. $W_\bu$ et $F^\bu_{\infty}$
d\'efinissent une structure de Hodge mixte. Voir [S].
\endstate

\noindent Dans l'exemple B on a m\^eme de plus: 
\smallskip

\item{1)} la forme de polarisation $Q$ sur
$H^d(M_{t})$ est telle que
$$Q(Nu,v)+Q(u,Nv)=0.$$
\smallskip

\item{2)} $Q(F^p,F^{d-p+1})=0\,$;
\smallskip

\item{3)} On a une d\'ecomposition de Lefschetz
$\gr^W_{d+\ell}=\bigoplus_{j\ge 0} N^j(P_{\ell+2j})$ o\`u
$$P_\ell=\ker N^{\ell+1}:\gr^W_{d+\ell}\to \gr^W_{d-\ell-2}$$ telle que
$Q(-,N^\ell-)$ polarise la structure de Hodge par le poids $d+\ell$ sur
$\gr^W_{d+\ell}$. 
\smallskip

\noindent On dit dans ce cas que $N$ {\sl polarise la structure de 
\index{75}{POL}{Polarisation d'une structure de Hodge mixte}%
Hodge mixte}.

Dans l'exemple A on ne peut pas utiliser l'op\'erateur de Lefschetz $L$
(multiplication avec la classe de K\"ahler) pour polariser la structure de
Hodge mixte car celui-ci  est de type $(1,1)$. Il faut plut\^ot utiliser
son adjoint $\Lambda$ (voir [Dem], \S6A). On peut alors 
v\'erifier [C-K] que la th\'eorie classique de la d\'ecomposition de
Lefschetz se traduit en l'\'enonc\'e que la structure de Hodge mixte de
l'exemple A est polaris\'ee par $\Lambda$ avec la forme
$Q(a,b)=(-1)^{{1\over2} p(p-1)}\int_M a\cup b$, o\`u $a\in H^p$ et
$b\in H^{2d-p}$.

Il y a  une r\'eciproque au th\'eor\`eme de l'orbite nilpotente disant
que, \'etant donn\'ee une structure de Hodge mixte $(F^\bu,W_\bu)$ sur
$H$ polaris\'ee par $N$ avec $N^{d+1}=0$, la filtration
$$
F^\bu_\nouveau:=\exp({-\log s\over 2 \pi\ii}N)F^\bu
$$
est une structure de Hodge pure de poids $d$ pour $s$ petit. On obtient
m\^eme une variation de structure de Hodge polaris\'ee par $Q$.
Voir [C-K-S].



En appliquant cela dans l'exemple A on trouve 
$$
h^{d-q,q}_\nouveau=\sum_a h^{a,q} 
$$

{\sl Nous allons voir comment cette id\'ee permet de sugg\'erer une dualit\'e
au niveau des variations de structures de Hodge li\'ee
\`a la sym\'etrie miroir.}

Pour les vari\'et\'es de Calabi-Yau $M$ de
dimension $3$ on a un  diamant de Hodge (voir le \S7):
$$
\matrix{ h^{3,3}=1  \cr
h^{3,2}=0 \quad  \quad h^{2,3}=0  \cr
h^{3,1}=0 \quad h^{2,2}=a \quad h^{1,3}=0 \cr
h^{3,0}=1\quad  h^{1,2}=b \quad h^{2,1}=b \quad h^{0,3}=1 \cr
 h^{2,0}=0\quad h^{1,1}=a \quad h^{0,2}=0  \cr
h^{1,0}=0\quad \quad h^{0,1}=0\cr
          h^{0,0}=1 \cr}
$$
et la variation de Hodge ``nouvelle'' a pour nombres de Hodge:
$$
h^{3,0}_\nouveau=2=h^{0,3}_\nouveau,\quad
h^{2,1}_\nouveau=h^{1,2}_\nouveau=a+b=h^{1,1}+h^{1,2}.
$$
On pourra regarder cette variation comme suit. Le choix d'une classe
de K\"ahler d\'etermine une variation \`a un param\`etre, de poids 3
et \`a nombres de Hodge $(2,a+b,a+b,2)$. Cette structure est somme
directe d'une variation \`a nombres de Hodge $(1,a,a,1)$, la
partie qui provient de la cohomologie paire de $M$, et une 
variation constante \`a nombres de Hodge $(1,b,b,1)$ provenant de la
cohomologie impaire. A priori la variation d\'epend du param\`etre
choisi.

\state Exemple 11.3|\rm
Supposons $a=1$ et que $H^+(M)=H^0\oplus H^2\oplus H^4\oplus 
H^6=\bigoplus_{k=0}^3\bZ f_k$ est  la cohomologie paire avec $f_i$ le 
g\'en\'erateur positif de $H^{2i}(M)$. Si on utilise le param\`etre
$q(s)=\displaystyle{\log(s)\over 2\pi\ii}$ sur $\Delta^\ast$ on trouve que
la connexion plate pour la nouvelle
variation dans la base $\{f_0,f_1,f_2,f_3\}$ s'\'ecrit 
$$
\nabla=\pmatrix{0 &\displaystyle {dq\over q} & 0&0 \cr
                  0& 0& \deg(M)\displaystyle {dq\over q}&0 \cr
                  0&0&0&\displaystyle{dq\over q}\cr
                  0&0&0&0\cr
}
$$
\endstate
Dans le cadre de la sym\'etrie miroir la variation de l'exemple pr\'ecedente
doit \^etre modifi\'ee de telle sorte que les nombres des courbes
rationnelles de chaque degr\'e entrent dans la connexion 
(``d\'eformation quantique ou corrections instantons''). 
Les physiciens ont propos\'e d'introduire la connexion plate,
appel\'ee
\index{76}{CON}{Connexion du mod\`ele A}%
{\sl connexion du mod\`ele A}, donn\'ee en termes de la base
$\{f_0,f_1,f_2,f_3\}$ par :
$$
\nabla_A=\pmatrix{0 &\displaystyle {dq\over q} & 0&0 \cr
                  0& 0& K(q)\displaystyle {dq\over q}&0 \cr
                  0&0&0&\displaystyle{dq\over q}\cr
                  0&0&0&0\cr
}
$$
o\`u 
$$
K(q)=\deg(M)+\sum_{d=1}^\infty n_d{d^3 q^d\over 1-q^d}, 
$$
avec $n_d$ ($d\ge 1$) le nombre de courbes  rationnelles de degr\'e $d$ sur $M$
(ou l'invariant de Gromov-Witten si n\'ecessaire) 
et donc $\nabla_A$ est enti\`erement d\'efinie  en termes de la g\'eom\'etrie de $M$.


On peut g\'en\'eraliser cette construction de la variation nouvelle  pour
une orbite nilpotente \`a plusieurs param\`etres. Voir
[C-K-S]. Alors, en utilisant un syst\`eme de $a$ 
g\'en\'erateurs pour le c\^one de K\"ahler de $M$, on trouve
une variation de structure de Hodge qui d\'epend de $a$
param\`etres, somme d'une variation  \`a nombres
de Hodge $(1,a,a,1)$ et une variation constante $\cV_2(M)$ 
\`a nombres de Hodge $(1,b,b,1)$. Ensuite, la connexion de la
premi\`ere variation doit
\^etre modifi\'ee en utilisant le nombre des courbes rationnelles dans
toutes les classes de cohomologie (ou mieux les invariants de Gromov-Witten
correspondants).
Pour obtenir cette ``d\'eformation quantique'', soit $f_0$ le  g\'en\'erateur 
positif de $H^0(M)$, $f_2$ le g\'en\'erateur dual de $H^4(M)$, puis
$\{f_1^1,\dots,f_1^a\}$ une base enti\`ere de $H^2(M)$, 
$\{f_2^1,\dots,f_2^a\}$ la base duale de $H^4(M)$, et 
finalement soient $q_1,\cdots,q_a$ des 
param\`etres dans $(\Delta^\ast)^a$. On introduit :
$$
K_{ijk}:=f_1^i\cdot f_1^j\cdot f_1^k +\sum_\eta n_{ijk}
(\eta){q^\eta\over 1-q^\eta}
$$
o\`u $\eta\in H^4(M)$ parcourt les classes de courbes rationnelles sur $M$,
$n_{ijk}(\eta)$ l'invariant 
\index{117}{INV}{Invariant de Gromov-Witten}%
\index{250}{GRO}{Gromov-Witten, invariant de}%
de Gromov-Witten (voir [D-S]), bri\`evement $n_{ijk}(\eta)$ est le 
nombre de courbes pseudo-holomorphes $f:\bP^1\to M$ 
de classe $\eta$ telles que $f(0)\in D_j$, $f(1)\in D_j$,
$f(\infty)\in D_k$ o\`u $D_i, D_j, D_k$ sont des diviseurs effectifs
qui repr\'esentent les classes $f_1^i,f_1^j,f_1^k$)
et o\`u on pose $q^\eta=q_1^{c_1}\cdots q_a^{c_a}$, $c_i=\eta\cdot f_1^i$.
La connexion $\nabla_A$  alors est donn\'ee par
$$\eqalign{
\nabla_A f_0& =\sum_{i=1}^a f_1^i\otimes {dq_i\over q_i};\cr
\nabla_A f_1^k&=
        \sum_{i,j=1}^a K_{ijk}f_2^j\otimes {dq_i\over q_i}, \quad k=1,\dots,a;
\cr
\nabla_A f_2&=0.\cr
}
$$
Voir [B-S], \S3.1 et [Mor5] pour les d\'etails. Appelons cette variation 
$\cV_1(M)$. 

La sym\'etrie miroir pr\'edit qu'il existe une famille
verselle de vari\'et\'es de Calabi-Yau ``miroir'' avec
$h^{2,1}=a$ et $h^{1,1}=b$. Il semble naturel de conjecturer que la
variation $\cV_2(M)$ ci-dessus co\"{\i}ncide avec la variation
donn\'ee par le troisi\`eme groupe de cohomologie de la famille ``miroir'',
du moins si on restreint cette famille \`a un ouvert de coordonn\'ees avec 
des coordonn\'ees  convenables. 

Apparemment, dans cette construction il y a un d\'efaut de sym\'etrie entre les
param\`etres $a$ et $b$. Pour restituer cette sym\'etrie, il faut
partir d'une famille verselle $\{M_t\}\, ,t\in T$ avec $\dim
T=b=H^{1,2}(M_t)$, consid\'erer le complexifi\'e du c\^one de K\"ahler (voir Remarque
10.3 IV) $CK(M_t)$  de chaque fibre $M_t$ ce qui donne une vari\'et\'e
$\hat T$ de dimension $a+b$ fibr\'ee sur $T$, la fibre au dessus de
$t$ \'etant $CK(M_t)$. Les variations $\cV_1(M_t)$ se  recollent en une
variation $\cV_1$, de base $\hat T$. Les  variations $\cV_2(M_t)$ de m\^eme 
se  recollent en une variation $\cV_2$ sur $\hat T$. 

On peut alors reformuler la sym\`etrie miroir en une conjecture en termes
de variations de structures de Hodge:

\state Conjecture| Soit $\{M_t\}\, ,t\in T$ une famille verselle de vari\'et\'es
de Calabi-Yau de dimension 3 et soit $\hat T$ la r\'eunion des complexifi\'es  des
 c\^ones de K\"ahler de chaque fibre $M_t$. Soit $\cV_1$
la variation de structures de Hodge au dessus de  $\hat T$ provenant de 
la cohomologie paire des fibres $M_t$ (la ``d\'eformation quantique'' de 
l'orbite nilpotente introduite ci-dessus) et soit $\cV_2$ la variation 
au dessus de $\hat T$ qui
provient de la cohomologie impaire. Il existe une famille verselle $M^\ast_t,\,
t\in \hat T^\ast$ de vari\'et\'es de Calabi-Yau de dimension 3 telles que
$H^{2,1}(M^\ast_t)=H^{1,1}(M_t)$; $H^{1,1}(M^\ast_t)=H^{2,1}(M_t)$ et
il y a un isomorphisme $\hat T \mapright{} \hat T^\ast$ qui \'echange
les deux types de variations $\cV_1$ et $\cV_2$. 
\endstate


Dans cette formulation il y a cependant une difficult\'e  car la variation 
$\cV_1$ d\'epend  du choix des param\`etres dans le  complexifi\'e du c\^one de 
K\"ahler tandis que ce
n'est pas le cas pour $\cV_2$. 

On ne va pas discuter plus  en d\'etail ce probl\`eme,
mais plut\^ot se limiter au cas $b=1$, donc le cas d'une famille
verselle \`a un param\`etre $s$. On suppose que la base  de la variation
(une courbe quasi-projective) admet une compactification avec un seul
point autour lequel la monodromie locale $T$ est maximalement unipotente.
Soit
$$
0\subset W_0=W_1\subset W_2=W_3\subset W_4=W_5\subset W_6
$$
la filtration par le poids. On suppose que $\{ \alpha_0,\alpha_1\}$ est 
une base de $W_2$ telle que $N\alpha_0=0$ et $N\alpha_1=\alpha_0$   
o\`u $N=\log T$. On peut la compl\'eter en une base symplectique adapt\'ee
$\{ \alpha_0,\alpha_1,\beta_1,\beta_0 \}$, c'est-\`a-dire   
$Q(\alpha_0,\beta_0)=Q(\alpha_1,\beta_1)=1$,
$Q(\alpha_0,\alpha_1)=Q(\alpha_0,\beta_1)=Q(\alpha_1,\beta_0)=0 $ et  
$N\beta_1=k\alpha_1, N\beta_0=-\beta_1$. On suppose de plus que $k=1$, ce qui
est le cas dans l'exemple de la quintique du \S10.C (c'est implicite dans
les calculs de [Mor1] appendix A, C). 

On sait que
la filtration
$F^\bu_\infty$ induit une structure pure de poids
$2j$ sur $\Gr_{2j}^W$, $j=0,1,2,3$ et donc forc\'ement $\beta_0$ est de
type $(3,3)$ et on a $F^3_\infty=\bC\beta_0$ car $\dim F^3_\infty=1$.
Aussi, $\beta_1$ est de type $(2,2)$ et donc
$F^2_\infty=\bC\beta_1+F^3_\infty$. De mani\`ere analogue on trouve que
$F^1_\infty=\bC\alpha_1+F^2_\infty$. On peut \'ecrire $F^\bu(s)=X(s)F^\bu_\infty$
avec  $X(s)=e^{Y(s)},\quad Y(s)\in\bigoplus_{r<0}\eug^{r,-r}$. On peut
alors calculer $F^\bu(s)=X(s)F^\bu_\infty$ en supposant que $X(s)$ a une
matrice de la forme
$$X(s)= \pmatrix{1 & 0 & 0&0 \cr
f(s) & 1&0&0\cr
*& g(s)& 1&0 \cr
*&*&f(s)&1\cr
}
$$
par rapport \`a la base $\{\beta_0,\beta_1,\alpha_1,\alpha_0\}$. Soit 
$\{\omega_0,\omega_1,\nu_1,\nu_0\}$ la base de
$H^3(X_s,\bC)$ ainsi obtenuee. Elle est adapt\'ee \`a la nouvelle
filtration de Hodge  :
$$
\pmatrix{\omega_0 \cr \omega_1 \cr  \nu_1 \cr \nu_0\cr }=
\pmatrix{1 & f(s) & *&* \cr
0 & 1&g(s)&*\cr
0&0& 1&f(s) \cr
0&0&0&1\cr
}\pmatrix{\beta_0\cr \beta_1\cr \alpha_1\cr\alpha_0\cr}.
$$
Si on applique la connexion de Gauss-Manin, en utilisant cette
expression, la transversalit\'e de Griffiths donne :
$$
 \nabla\omega_0= f'(s)\omega_1\cdot ds,\quad
\nabla\omega_1=g'(s) \nu_1\cdot ds,\quad
\nabla \nu_1=f'(s) \nu_0\cdot ds 
$$
et donc on  retrouve l'accouplement de Yukawa :
$$
\kappa_{sss}=f'(s)^2g'(s).
$$ 
Comme  dans le \S11 on prend $\tau=Q(\omega_0,\alpha_1)=f(s)$   comme
param\`etre canonique et $q=\exp 2\pi \ii \tau$. 
Donc, dans la coordonn\'ee $q$ on a :
$$
\pmatrix
{\nabla\omega_0\cr
\nabla\omega_1\cr
\nabla \nu_1\cr
\nabla \nu_0\cr
}=
{1\over 2\pi
\ii}{\def\normalbaselines{\baselineskip=2pt\lineskip=2pt}
\pmatrix{ 
   0&
\displaystyle{dq\over q}& 0 & 0\cr 0&0&  2\pi\ii
q\cdot\displaystyle{ d g
\over d q} \displaystyle{dq\over q} &0 \cr
0&0&0&\displaystyle{dq\over q}\cr 0&0&0&0\cr
}
}\pmatrix{\omega_0 \cr \omega_1 \cr  \nu_1 \cr  \nu_0\cr }.
$$
R\'esumons  :

\state Proposition 11.4| Soit
$f:X\to \Delta$ une d\'eg\'en\'erescence \`a un param\`etre de
vari\'et\'es de Calabi-Yau de dimension $3$ avec $h^{2,1}=1$. On
suppose que le fibr\'e de Hodge $\cF^3$ est trivialis\'e sur $\Delta^\ast$
par  $\omega_0$. Soit $\{\omega_0,\omega_1\}$ une base de $\cF^2$. 
On suppose de
plus que la monodromie locale du syst\`eme local de cohomologie en dimension $3$ 
est unipotente de rang $4$ et qu'il y a une   base symplectique adapt\'ee
$\{ \alpha_0,\alpha_1,\beta_1,\beta_0 \}$.
Alors, avec 
$$\eqalign{
f(s)&=Q(\omega_0,\alpha_1),\cr
g(s)&=Q(\omega_1,\beta_1),\cr
}
$$
le param\'etre canonique est :
$$
q=\exp 2\pi \ii (f(s))
$$
et l'accouplement de Yukawa (normalis\'e) est  :
$$
\kappa= 2\pi\ii q\cdot{dg\over dq}\left({dq\over 2\pi \ii
q}\right)^{\otimes 3}\leqno{\rm(fin)}
$$
\endstate
Nous allons terminer par une discussion compl\'ementaire sur quelques 
r\'esultats de Deligne [Del6]
sans donner v\'eritablement les d\'emonstrations. 
La notion centrale est celle d'une extension de structure de Hodge mixtes,
introduite par Carlson [Ca]. Ici nous ne donnons pas les d\'efinitions ;
l'exemple suivant  sert comme illustration
de cette notion et suffit pour notre but.

\state Exemple| 
\rm
Soit $\bZ(-k)$ la structure de Hodge de dimension 1 et 
pure de type $(k,k)$, $k\in\bZ$ donn\'ee par le r\'eseau $(2\pi \ii )^k\bZ \subset \bC$ (structure de Tate). Une extension de $\bZ(-1)$ par $\bZ(0)$ est une
suite exacte
$$
0\to \bZ(0)\mapright{\alpha}  H\mapright{\beta} \bZ(-1)\to 0
$$
de structures de Hodge {\sl mixtes}. Une telle extension est classifi\'ee
par un nombre complexe non-nul $q$. Plus concr\`etement : soit $H_\bC=\bC^2$ 
avec la base
$\{e_0,e_1\}$ telle que $\alpha(1)=e_1$, $\beta(e_0)=2\pi \ii$. Alors $H_\bZ$ 
admet pour base $\{f_0=e_0+ \displaystyle{\log q  \over 2\pi \ii}e_1,f_1=e_1 \}$.  
Le choix de la branche de $\log q$ est sans importance, un autre choix m\`ene 
\`a $\{f_0+kf_1,f_1\}$, $k\in \bZ$, une autre base de $H_\bZ$.
Les filtrations par le poids et de Hodge sont donn\'ees par
$W_2=\bQ e_1$, $W_4=H_\bQ$, $F^0=F^1=\bC e_0$, $F^2=0$.
\endstate

Pour la suite on a besoin d'une version avec param\`etres, donc le cadre
naturel est celui de {\sl variations} de structures
de Hodge mixtes sur une base $S$. Le lecteur pourra consulter [B-Z\S7] pour
les d\'efinitions; pour comprendre la suite l'exemple suivant suffit.

\state Exemple| \rm
Soit $S=\Delta^\ast$ de coordonn\'ee $s$. Une extension de la
``variation'' constante $\bZ(-1)$ par $\bZ(0)$ est compl\`etement
d\'etermin\'ee 
par une fonction $q(s)$ m\'eromorphe sur $\Delta$, holomorphe et 
partout non-nulle sur $\Delta^\ast$ d'ordre $m\in\bZ$. La structure enti\`ere 
est alors donn\'ee par  la base 
$\{f_0=e_0+\displaystyle{\log q(s)  \over 2\pi \ii}e_1,f_1=e_1 \}$. 
La connexion correspondante est donn\'ee par $\nabla e_0= -\displaystyle{dq(s)  
\over 2\pi \ii q(s)}e_1, \nabla e_1=0$. 
La monodromie locale $T$ v\'erifie $Te_0=e_0+me_1,Te_1=e_1$.
 Donc $Ne_0=me_1$, $Ne_1=0$ ($N=\log T$). Ici aussi les filtrations 
par le poids et de Hodge sont donn\'ees par $W_2=\bQ e_1$, $W_4=H_\bQ$, 
$F^0=F^1=\bC e_0$, $F^2=0$. 
\endstate

Dans notre situation, le fait que 
$\gr_{2k}^W$ est de rang $1$ (et donc pur de type $(k,k)$) implique que
pour chaque point $s$ voisin du point privilig\'e $F^\bu_s$ et la
filtration par le poids donnent une structure de Hodge mixte avec
$h^{0,0}=h^{1,1}=h^{2,2}=h^{3,3}=1$. La structure de Hodge mixte peut \^etre
d\'ecrite comme dans l'exemple pr\'ec\'edent par extension it\'er\'ee de
structures de Tate $\bZ(-3)$ par $\bZ(-2)$, $\bZ(-1)$, $\bZ(0)$.
Soit $\{e_0,e_1,e_2,e_3\}$ une  base symplectique 
adapt\'ee \`a la filtration $0\subset W_0=W_2\subset W_2=W_3\subset
W_4=W_5\subset W_6$ telle que $\{e_3\}$ est une base de $F^3$,
$\{e_3,e_2\}$ de $F^2$ et $\{e_3,e_2,e_1\}$ de $F^1$. Les classes d'extension
sont alors donn\'ees par $q=\exp(2\pi \ii f)$ (le param\`etre canonique),
$q_2=\exp(2\pi \ii g)$ (la fonction  qui provient de l'accouplement de
Yukawa via (fin) ci-dessus) et $q_3=q$ par ``dualit\'e''. La structure
enti\`ere sous-jacente admet donc pour base 
$\{e_0,e_0+ f(s)e_1,e_1+\displaystyle{g(s)\over 2\pi \ii}\cdot e_2, 
e_2+\displaystyle {f(s)\over {(2\pi \ii})^2}\cdot e_3\}$.

Puisque 
$$
\kappa_{\tau\tau\tau}=q{\partial\over\partial q}\log q_2,
$$
le d\'eveloppement de $\kappa_{\tau\tau\tau}$ (voir (Myst)) est 
\'equivalent au d\'evelop\-pe\-ment comme produit infini:
$$
q_2=q^{n_0}\prod_{d\ge 1}(1-q^d)^{-n_d d^2},
$$
ce qui donne une interpr\'etation \`a (Myst) purement en termes de
structures de Hodge mixtes. 

Soit $M^\ast$ le membre g\'en\'erique de la famille miroir $M^\ast_t$ et soit
$H^+(M^\ast)=H^0\oplus H^2\oplus H^4\oplus H^6=\bigoplus_{k=0}^3\bZ f_k$ 
la cohomologie paire. On peut modifier la ``variation constante''
sur $H^+(M^\ast)\times\Delta^\ast$ en utilisant l'orbite nilpotente
associ\'ee \`a l'op\'erateur $\Lambda$ comme expliqu\'e dans l'exemple
11.2. On obtient une extension it\'er\'ee des structures de Tate
$\bZ(-3)$ par $\bZ(-2)$ par $\bZ(-1)$ par $\bZ(0)$ avec classes
d'extension $q$, $\deg(N)q$, $q$ et c'est donc pas une structure
int\'eressante; la connexion s'\'ecrit dans la base $f_k$ comme dans
l'exemple 11.3 et il faut remplacer cette connexion par la connexion
du mod\`ele~A:
$$
\nabla_A=\pmatrix{0 &\displaystyle {dq\over q} & 0&0 \cr
                  0& 0& K(q)\displaystyle {dq\over q}&0 \cr
                  0&0&0&\displaystyle{dq\over q}\cr
                  0&0&0&0\cr
}
$$
o\`u maintenant
$$
K(q)=\deg(M^\ast)+\sum_{d=1}^\infty n_d{d^3 q^d\over 1-q^d}, 
$$
avec $n_d$ ($d\ge 1$) le nombre de courbes  rationnelles de degr\'e $d$ sur 
$M^\ast$   (ou l'invariant de Gromov-Witten si n\'ecessaire) 
et donc $\nabla_A$ est enti\`erement d\'efini en termes de la g\'eom\'etrie 
du miroir. Pour la nouvelle variation les classes d'extension sont 
$q$, $K(q)$ et~$q$.

Donc, comparant avec la formule (fin), 
on conclut que l'hypoth\`ese de sym\'etrie miroir peut \^etre reformul\'ee
comme suit :

\state Conjecture Finale| Pour chaque $q\in\Delta^\ast$, la structure mixte
sur $H^+(M^\ast)\times\{q\}$  co\"{\i}ncide avec la structure mixte de Deligne
sur $H^3(M_q)$.
\endstate
\bigskip

\section Bibliographie|
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