Page d’entête Deuxième de couverture

Analyse numérique et équations différentielles

Table des matières

Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

Chapitre I. Calculs numériques approchés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1. Cumulation des erreurs d’arrondi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2. Phénomènes de compensation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 3. Phénomènes d’instabilité numérique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 4. Problèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

Chapitre II. Approximation polynomiale des fonctions numériques . . . . . . . . . . . . 21

1. Méthode d’interpolation de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2. Convergence des polynômes d’interpolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 3. Meilleure approximation uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 4. Stabilité numérique du procédé d’interpolation de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 5. Polynômes orthogonaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 6. Problèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

Chapitre III. Intégration numérique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

1. Méthodes de quadrature élémentaires et composées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 2. Évaluation de l’erreur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 3. Méthodes de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 4. Formule d’Euler-Maclaurin et développements asymptotiques . . . . . . . . . . . . . . . . 80 5. Méthode d’intégration de Romberg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 6. Problèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

Chapitre IV. Méthodes itératives pour la résolution d’équations . . . . . . . . . . . . . 101

1. Principe des méthodes itératives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 2. Cas des fonctions d’une variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 3. Cas des fonctions de ℝ^{m} dans ℝ^{m} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 4. Le théorème des fonctions implicites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 5. Problèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

Chapitre V. Équations différentielles. Résultats fondamentaux . . . . . . . . . . . . . . . 135

1. Définitions. Solutions maximales et globales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 2. Théorème d’existence des solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 3. Théorème d’existence et d’unicité de Cauchy-Lipschitz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 4. Équations différentielles d’ordre supérieur à un . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 5. Problèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

Chapitre VI. Méthodes de résolution explicite des équations différentielles … 169

1. Équations du premier ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 2. Équations du premier ordre non résolues en y′ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185 3. Problèmes géométriques conduisant à des équations différentielles du 1^{er} ordre 191 4. Équations différentielles du second ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198 5. Problèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208

Chapitre VII. Systèmes différentiels linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213

1. Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213 2. Systèmes différentiels linéaires à coefficients constants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215 3. Équations linéaires d’ordre p à coefficients constants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222 4. Systèmes différentiels linéaires à coefficients variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227 5. Problèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233

Chapitre VIII. Méthodes numériques à un pas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239

1. Définition des méthodes à un pas, exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240 2. Étude générale des méthodes à un pas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247 3. Méthodes de Runge-Kutta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258 4. Contrôle du pas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265 5. Problèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269

Chapitre IX. Méthodes à pas multiples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273

1. Une classe de méthodes à pas constant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273 2. Méthodes d’Adams-Bashforth . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283 3. Méthodes d’Adams-Moulton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288 4. Méthodes de prédiction-correction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293 5. Problèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299 Table des matières vii Chapitre X. Stabilité des solutions

et points singuliers d’un champ de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305

1. Stabilité des solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305 2. Points singuliers d’un champ de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312 3. Problèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321 Chapitre XI. Équations différentielles dépendant d’un paramètre . . . . . . . . . . . . 323 1. Dépendance de la solution en fonction du paramètre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323 2. Méthode des petites perturbations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332 3. Problèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338 Références . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343 Formulaire et principaux résultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345 Index terminologique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361 Index des notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 367

Introduction

Le présent ouvrage reprend avec beaucoup de compléments un cours de ^{⟨⟨} Licence de Mathématiques ^{⟩⟩} – ce qui autrefois désignait la troisième année d’Université – donné à l’Université de Grenoble I pendant les années 1985-88. Le but de ce cours était de présenter aux étudiants quelques notions théoriques de base concernant les équations et systèmes d’équations différentielles ordinaires, tout en explicitant des méthodes numériques permettant de résoudre effectivement de telles équations. C’est pour cette raison qu’une part importante du cours est consacrée à la mise en place d’un certain nombre de techniques fondamentales de l’analyse numérique : interpolation polynomiale, intégration numérique, méthode de Newton à une et plusieurs variables.

L’originalité de cet ouvrage ne réside pas tant dans le contenu, pour lequel l’auteur s’est inspiré sans vergogne de la littérature existante – en particulier du livre de Crouzeix-Mignot pour ce qui concerne les méthodes numériques, et des livres classiques de H. Cartan et J. Dieudonné pour la théorie des équations différentielles – mais plutôt dans le choix des thèmes et dans la présentation. S’il est relativement facile de trouver des ouvrages spécialisés consacrés soit aux aspects théoriques fondamentaux de la théorie des équations différentielles et ses applications (Arnold, Coddington-Levinson) soit aux techniques de l’analyse numérique (Henrici, Hildebrand), il y a relativement peu d’ouvrages qui couvrent simultanément ces différents aspects et qui se situent à un niveau accessible pour l’^{⟨⟨} honnête ^{⟩⟩} étudiant de second cycle. Nous avons en particulier consacré deux chapitres entiers à l’étude des méthodes élémentaires de résolution par intégration explicite et à l’étude des équations différentielles linéaires à coefficients constants, ces questions étant généralement omises dans les ouvrages de niveau plus avancé. Par ailleurs, un effort particulier a été fait pour illustrer les principaux résultats par des exemples variés.

La plupart des méthodes numériques exposées avaient pu être effectivement mises en œuvre par les étudiants au moyen de programmes écrits en Turbo Pascal – à une époque remontant maintenant à la préhistoire de l’informatique. Aujourd’hui, les environnements disponibles sont beaucoup plus nombreux, mais nous recommandons certainement encore aux étudiants d’essayer d’implémenter les algorithmes proposés dans ce livre sous forme de programmes écrits dans des langages de base comme C ou C++, et particulièrement dans un environnement de programmation libre comme GCC sous GNU/Linux. Bien entendu, il existe des logiciels libres spécialisés dans le calcul numérique qui implémentent les principaux algorithmes utiles sous forme de librairies toutes prêtes – Scilab est l’un des plus connus – mais d’un point de vue pédagogique et dans un premier temps au moins, il est bien plus formateur pour les étudiants de mettre vraiment ^{⟨⟨} la main dans le cambouis ^{⟩⟩} en programmant eux-mêmes les algorithmes. Nous ne citerons pas d’environnements ni de logiciels propriétaires équivalents, parce que ces logiciels dont le fonctionnement intime est inaccessible à l’utilisateur sont contraires à notre éthique scientifique ou éducative, et nous ne souhaitons donc pas en encourager l’usage.

L’ensemble des sujets abordés dans le présent ouvrage dépasse sans aucun doute le volume pouvant être traité en une seule année de cours – même si jadis nous avions pu en enseigner l’essentiel au cours de la seule année de Licence. Dans les conditions actuelles, il nous paraît plus judicieux d’envisager une répartition du contenu sur l’ensemble des deux années du second cycle universitaire. Ce texte est probablement utilisable aussi pour les élèves d’écoles d’ingénieurs, ou comme ouvrage de synthèse au niveau de l’agrégation de mathématiques. Pour guider le lecteur dans sa sélection, les sous-sections de chapitres les plus difficiles ainsi que les démonstrations les plus délicates sont marquées d’un astérisque. Le lecteur pourra trouver de nombreux exemples de tracés graphiques de solutions d’équations différentielles dans le livre d’Artigue-Gautheron : on y trouvera en particulier des illustrations variées des phénomènes qualitatifs étudiés au chapitre X, concernant les points singuliers des champs de vecteurs.

Je voudrais ici remercier mes collègues grenoblois pour les remarques et améliorations constantes suggérées tout au long de notre collaboration pendant les trois années qu’a duré ce cours. Mes plus vifs remerciements s’adressent également à Michèle Artigue, Alain Dufresnoy, Jean-René Joly et Marc Rogalski, qui ont bien voulu prendre de leur temps pour relire le manuscrit original de manière très détaillée. Leurs critiques et suggestions ont beaucoup contribué à la mise en forme définitive de cet ouvrage.

Saint-Martin d’Hères, le 5 novembre 1990

La deuxième édition de cet ouvrage a bénéficié d’un bon nombre de remarques et de suggestions proposées par Marc Rogalski. Les modifications apportées concernent notamment le début du chapitre VIII, où la notion délicate d’erreur de consistance a été plus clairement explicitée, et les exemples des chapitres VI et XI traitant du mouvement du pendule simple. L’auteur tient à remercier de nouveau Marc Rogalski pour sa précieuse contribution.

Saint-Martin d’Hères, le 26 septembre 1996 La troisième édition de cet ouvrage a été enrichie d’un certain nombre de compléments théoriques et pratiques : comportement géométrique des suites itératives en dimension 1, théorème des fonctions implicites et ses variantes géométriques dans le chapitre IV ; critère de maximalité des solutions dans le chapitre V ; calcul de géodésiques dans le chapitre VI ; quelques exemples et exercices additionnels dans les chapitres suivants ; notions élémentaires sur les flots de champs de vecteurs dans le chapitre XI.

Saint-Martin d’Hères, le 28 février 2006

La quatrième édition de cet ouvrage se mue en pap-ebook : le lecteur trouvera sur le site compagnon du livre des solutions d’exercices et de multiples compléments théoriques. Consulter pour cela

     https://grenoble-sciences.ujf-grenoble.fr/pap-ebook/demailly

Par ailleurs, quelques énoncés d’exercices et de problèmes ont été ajoutés au fil des chapitres, et de nombreuses coquilles typographiques présentes dans les versions précédentes ont été expurgées ; l’auteur tient à remercier chaleureusement Mme Stéphanie Trine pour sa relecture très attentive et ses suggestions d’amélioration de la présentation.

Saint-Martin d’Hères, le 8 février 2016

Chapitre I

Calculs numériques approchés

L’objet de ce chapitre est de mettre en évidence les principales difficultés liées à la pratique des calculs numériques sur ordinateur. Dans beaucoup de situations, il existe des méthodes spécifiques permettant d’accroître à la fois l’efficacité et la précision des calculs.

1. Cumulation des erreurs d’arrondi

1.1. Représentation décimale approchée des nombres réels

La capacité mémoire d’un ordinateur est par construction finie. Il est donc nécessaire de représenter les nombres réels sous forme approchée. La notation la plus utilisée à l’heure actuelle est la représentation avec virgule flottante : un nombre réel x est codé sous la forme

x ≃ ± m · b^{p}

où b est la base de numération, m la mantisse, et p l’exposant. Les calculs internes sont généralement effectués en base b = 2, même si les résultats affichés sont finalement traduits en base 10.

La mantisse m est un nombre écrit avec virgule fixe et possédant un nombre maximum N de chiffres significatifs (imposé par le choix de la taille des emplacements mémoires alloués au type réel) : suivant les machines, m s’écrira

\begin{matrix}• m = 0, a_{1}a_{2} … a_{N} = ∑_{k=1}^{N} a_{k}b^{−k}, & b^{−1} ≤ m < 1 ; \\ • m = a_{0}, a_{1}a_{2} … a_{N−1} = ∑_{0≤k<N} a_{k}b^{−k}, & 1 ≤ m < b. \end{matrix}

Ceci entraîne que la précision dans l’approximation d’un nombre réel est toujours une précision relative :

\frac{Δx}{x} = \frac{Δm}{m} ≤ \frac{b^{−N}}{b^{−1}} = b^{1−N}.

On notera ε = b^{1−N} cette précision relative.

En Langage C standard (ANSI C), les réels peuvent occuper :

• pour le type ^{⟨⟨} float ^{⟩⟩}, 4 octets de mémoire, soit 1 bit de signe, 23 bits de mantisse et 8 bits d’exposant (dont un pour le signe de l’exposant). Ceci permet de représenter les réels avec une mantisse de 6 à 7 chiffres significatifs après la virgule, dans une échelle allant de 2^{−128} à 2^{127} soit environ de 10^{−38} = 1 E − 38 à 10^{38} = 1 E + 38. La précision relative est de l’ordre de 10^{−7}.

• pour le type ^{⟨⟨} double ^{⟩⟩}, 8 octets de mémoire, soit 1 bit de signe, 51 bits de mantisse et 12 bits d’exposant (dont un pour le signe de l’exposant). Ceci permet de représenter les réels avec une mantisse de 15 chiffres significatifs après la virgule, dans une échelle allant de 2^{−2048} à 2^{2047} soit environ de 10^{−616} = 1 E − 616 à 10^{616} = 1 E + 616. La précision relative est de l’ordre de 10^{−15}.

1.2. Non-associativité des opérations arithmétiques

Supposons par exemple que les réels soient calculés avec 3 chiffres significatifs et arrondis à la décimale la plus proche. Soit à calculer la somme x + y + z avec

x = 8, 22, y = 0, 00317, z = 0, 00432
(x + y) + z donne : x + y = 8, 22317 ≃ 8, 22
(x + y) + z ≃ 8, 22432 ≃ 8, 22
x + (y + z) donne : y + z = 0, 00749
x + (y + z) = 8, 22749 ≃ 8, 23.

L’addition est donc non associative par suite des erreurs d’arrondi !

1.3. Erreur d’arrondi sur une somme

On se propose d’étudier quelques méthodes permettant de majorer les erreurs d’arrondi dues aux opérations arithmétiques.

Soient x, y des nombres réels supposés représentés sans erreur avec N chiffres significatifs :

\begin{matrix}x = 0, a_{1}a_{2} … a_{N} · b^{p}, & b^{−1+p} ≤ x < b^{p} \\ y = 0, a′_{1}a′_{2} … a′_{N} · b^{q}, & b^{−1+q} ≤ y < b^{q} \end{matrix}

Notons Δ(x + y) l’erreur d’arrondi commise sur le calcul de x + y. Supposons par exemple p ≥ q. S’il n’y a pas débordement, c’est-à-dire si x + y < b^{p}, le calcul de x + y s’accompagne d’une perte des p − q derniers chiffres de y correspondant aux puissances b^{−k+q} < b^{−N+p} ; donc Δ(x + y) ≤ b^{−N+p}, alors que x + y ≥ x ≥ b^{−1+p}.

En cas de débordement x + y ≥ b^{p} (ce qui se produit par exemple si p = q et a_{1} + a′_{1} ≥ b), la décimale correspondant à la puissance b^{−N+p} est elle aussi perdue, d’où Δ(x + y) ≤ b^{1−N+p}. Dans les deux cas :

Δ(x + y) ≤ ε(|x| + |y|)

où ε = b^{1−N} est la précision relative décrite au § 1.1. Ceci reste vrai quel que soit le signe des nombres x et y.

En général, les réels x, y ne sont eux-mêmes connus que par des valeurs approchées x′, y′ avec des erreurs respectives Δx = |x′ − x|, Δy = |y′ − y|. A ces erreurs s’ajoute l’erreur d’arrondi

Δ(x′ + y′) ≤ ε(|x′| + |y′|) ≤ ε(|x| + |y| + Δx + Δy).

Les erreurs Δx, Δy sont elles-mêmes le plus souvent d’ordre ε par rapport à |x| et |y|, de sorte que l’on pourra négliger les termes εΔx et εΔy. On aura donc :

Δ(x + y) ≤ Δx + Δy + ε(|x| + |y|).

Soit plus généralement à calculer une somme ∑_{k=1}^{n} u_{k} de réels positifs. Les sommes partielles s_{k} = u_{1} + u_{2} + … + u_{k} vont se calculer de proche en proche par les formules de récurrence

\{ \begin{matrix}s_{0} = 0 \\ s_{k} = s_{k−1} + u_{k}, & k ≥ 1. \end{matrix}

Si les réels u_{k} sont connus exactement, on aura sur les sommes s_{k} des erreurs Δs_{k} telles que Δs_{1} = 0 et

Δs_{k} ≤ Δs_{k−1} + ε(s_{k−1} + u_{k}) = Δs_{k−1} + εs_{k}.

L’erreur globale sur s_{n} vérifie donc

Δs_{n} ≤ ε(s_{2} + s_{3} + … + s_{n}),

soit

Δs_{n} ≤ ε(u_{n} + 2u_{n−1} + 3u_{n−2} + … + (n − 1)u_{2} + (n − 1)u_{1}).

Comme ce sont les premiers termes sommés qui sont affectés des plus gros coefficients dans l’erreur Δs_{n}, on en déduit la règle générale suivante (cf. Section 1.2).

Règle générale. Dans une sommation de réels, l’erreur a tendance à être minimisée lorsqu’on somme en premier les termes ayant la plus petite valeur absolue.

1.4. Erreur d’arrondi sur un produit

Le produit de deux mantisses de N chiffres donne une mantisse de 2N ou 2N − 1 chiffres dont les N ou N − 1 derniers vont être perdus. Dans le calcul d’un produit xy (où x, y sont supposés représentés sans erreur) il y aura donc une erreur d’arrondi

Δ(xy) ≤ ε|xy|, où ε = b^{1−N}.

Si x et y ne sont eux-mêmes connus que par des valeurs approchées x′, y′ et si Δx = |x′ − x|, Δy = |y′ − y|, on a une erreur initiale

\begin{aligned}|x′y′ − xy| = |x(y′ − y) + (x′ − x)y′| & ≤ |x|Δy + Δx|y′| \\ & ≤ |x|Δy + Δx|y| + ΔxΔy. \end{aligned}

A cette erreur s’ajoute une erreur d’arrondi

Δ(x′y′) ≤ ε|x′y′| ≤ ε(|x| + Δx)(|y| + Δy).

En négligeant les termes ΔxΔy, εΔx, εΔy, on obtient la formule approximative

(∗)  Δ(xy) ≤ |x|Δy + Δx|y| + ε|xy|.

Soit plus généralement des réels x_{1}, …, x_{k}, supposés représentés sans erreur. La formule (∗) entraîne

Δ(x_{1}x_{2} … x_{k}) ≤ Δ(x_{1} … x_{k−1})|x_{k}| + ε|x_{1} … x_{k−1} · x_{k}|,

d’où par une récurrence aisée :

Δ(x_{1}x_{2} … x_{k}) ≤ (k − 1)ε|x_{1}x_{2} … x_{k}|.

L’erreur sur un quotient est donnée de même par Δ(x/y) ≤ ε|x/y|. On en déduit pour tous exposants α_{i} ∈ ℤ la formule générale

Δ(x_{1}^{α_{1}}x_{2}^{α_{2}} … x_{k}^{α_{k}}) ≤ (|α_{1}| + … + |α_{k}| − 1)ε|x_{1}^{α_{1}}x_{2}^{α_{2}} … x_{k}^{α_{k}}| ;

on observera que |α_{1}| + … + |α_{k}| − 1 est exactement le nombre d’opérations requises pour calculer x_{1}^{α_{1}}x_{2}^{α_{2}} … x_{k}^{α_{k}} par multiplications ou divisions successives des x_{i}.

Contrairement au cas de l’addition, la majoration de l’erreur d’un produit ne dépend pas de l’ordre des facteurs.

1.5. Règle de Hörner

On s’intéresse ici au problème de l’évaluation d’un polynôme

P (x) = ∑_{k=0}^{n} a_{k}x^{k}.

La méthode la plus ^{⟨⟨} naïve ^{⟩⟩} qui vient à l’esprit consiste à poser x^{0} = 1, s_{0} = a_{0}, puis à calculer par récurrence

\{ \begin{matrix}x^{k} = x^{k−1} · x \\ u_{k} = a_{k} · x^{k} \\ s_{k} = s_{k−1} + u_{k} \end{matrix} pour k ≥ 1.

Pour chaque valeur de k, deux multiplications et une addition sont donc nécessaires. Il existe en fait une méthode plus efficace :

Règle de Hörner. On factorise P (x) sous la forme :

P (x) = a_{0} + x(a_{1} + x(a_{2} + … + x(a_{n−1} + xa_{n}) …)).

Si l’on pose

p_{k} = a_{k} + a_{k+1}x + … + a_{n}x^{n−k},

cette méthode revient à calculer P (x) = p_{0} par récurrence descendante :

\{ \begin{matrix}p_{n} = a_{n} \\ p_{k−1} = a_{k−1} + xp_{k}, & 1 ≤ k ≤ n. \end{matrix}

On effectue ainsi seulement une multiplication et une addition à chaque étape, ce qui économise une multiplication et donc une fraction substantielle du temps d’exécution.

Comparons maintenant les erreurs d’arrondi dans chacune des deux méthodes, en supposant que les réels x, a_{0}, a_{1}, …, a_{n} sont représentés sans erreur.

• Méthode ^{⟨⟨} naïve ^{⟩⟩}. On a ici P (x) = s_{n} avec

Δ(a_{k} · x^{k}) ≤ kε|a_{k}||x|^{k},

\begin{aligned}Δs_{k} & ≤ Δs_{k−1} + kε|a_{k}||x|^{k} + ε(|s_{k−1}| + |u_{k}|) \\ & ≤ Δs_{k−1} + kε|a_{k}||x|^{k} + ε(|a_{0}| + |a_{1}||x| + … + |a_{k}||x|^{k}). \end{aligned}

Comme Δs_{0} = 0, il vient après sommation sur k :

\begin{aligned}Δs_{n} & ≤ ∑_{k=1}^{n} kε|a_{k}||x|^{k} + ε ∑_{k=1}^{n}(|a_{0}| + |a_{1}||x| + … + |a_{k}||x|^{k}) \\ & ≤ ∑_{k=1}^{n} kε|a_{k}||x|^{k} + ε ∑_{k=0}^{n}(n + 1 − k)|a_{k}||x|^{k}. \end{aligned}

On obtient par conséquent

ΔP (x) ≤ (n + 1)ε ∑_{k=0}^{n} |a_{k}||x|^{k}.

• Règle de Hörner. Dans ce cas, on a

Δp_{k−1} ≤ Δ(xp_{k}) + ε(|a_{k−1}| + |xp_{k}|)
≤ (|x|Δp_{k} + ε|xp_{k}|) + ε(|a_{k−1}| + |xp_{k}|)
= ε(|a_{k−1}| + 2|x||p_{k}|) + |x|Δp_{k}.

En développant ΔP (x) = Δp_{0}, il vient

Δp_{0} ≤ ε(|a_{0}| + 2|x||p_{1}|) + |x|(ε|a_{1}| + 2|x||p_{2}| + |x|(ε|a_{2}| + …))

d’où

\begin{aligned}ΔP (x) & ≤ ε ∑_{k=0}^{n} |a_{k}||x|^{k} + 2ε ∑_{k=1}^{n} |x|^{k}|p_{k}|, \\ ΔP (x) & ≤ ε ∑_{k=0}^{n} |a_{k}||x|^{k} + 2ε ∑_{k=1}^{n}(|a_{k}||x|^{k} + … + |a_{n}||x|^{n}), \\ ΔP (x) & ≤ ε ∑_{k=0}^{n}(2k + 1)|a_{k}||x|^{k}. \end{aligned}

On voit que la somme des coefficients d’erreur affectés aux termes |a_{k}||x|^{k}, soit ε ∑_{k=0}^{n}(2k + 1) = ε(n + 1)^{2}, est la même que pour la méthode naïve ; comme 2k + 1 ≤ 2(n + 1), l’erreur commise sera dans le pire des cas égale à 2 fois celle de la méthode naïve. Néanmoins, les petits coefficients portent sur les premiers termes calculés, de sorte que la précision de la méthode de Hörner sera nettement meilleure si le terme |a_{k}||x|^{k} décroît rapidement : c’est le cas par exemple si P (x) est le début d’une série convergente.

Exercice A. Evaluer dans les deux cas l’erreur commise sur les sommes partielles de la série exponentielle

∑_{k=0}^{n} \frac{x^{k}}{k!} , x ≥ 0

en tenant compte du fait qu’on a une certaine erreur d’arrondi sur a_{k} = \frac{1}{k!}.

Réponse. On trouve ΔP (x) ≤ ε(1 + (n + x)e^{x}) pour la méthode naïve, tandis que la factorisation

P (x) = 1 + x(1 + \frac{x}{2}(1 + \frac{x}{3}(1 + … (1 + \frac{x}{n − 1}(1 + \frac{x}{n})) …)))

donne ΔP (x) ≤ ε(1 + 3xe^{x}), ce qui est nettement meilleur en pratique puisque n doit être choisi assez grand.

1.6. Cumulation d’erreurs d’arrondi aléatoires

Les majorations d’erreurs que nous avons données plus haut pêchent en général par excès de pessimisme, car nous n’avons tenu compte que de la valeur absolue des erreurs, alors qu’en pratique elles sont souvent de signe aléatoire et se compensent donc partiellement entre elles.

Supposons par exemple qu’on cherche à calculer une somme s_{n} de rang élevé d’une série convergente S = ∑_{k=0}^{+∞} u_{k}, les u_{k} étant des réels ≥ 0 supposés représentés sans erreur. On pose donc

s_{k} = s_{k−1} + u_{k}, s_{0} = u_{0},

et les erreurs Δs_{k} vérifient

Δs_{k} = Δs_{k−1} + α_{k}
avec Δs_{0} = 0 et |α_{k}| ≤ ε(s_{k−1} + u_{k}) = εs_{k} ≤ εS.

On en déduit donc

Δs_{n} = α_{1} + α_{2} + … + α_{n}

et en particulier |Δs_{n}| ≤ nεS. Dans le pire des cas, l’erreur est donc proportionnelle à n. On va voir qu’on peut en fait espérer beaucoup mieux sous des hypothèses raisonnables.

Hypothèses.

(1) Les erreurs α_{k} sont des variables aléatoires globalement indépendantes les unes des autres (lorsque les u_{k} sont choisis aléatoirement).

(2) L’espérance mathématique E(α_{k}) est nulle, ce qui signifie que les erreurs d’arrondi n’ont aucune tendance à se faire par excès ou par défaut.

L’hypothèse (2) entraîne E(Δs_{n}) = 0 tandis que l’hypothèse (1) donne

var(Δs_{n}) = var(α_{1}) + … + var(α_{n}).

Comme E(α_{k}) = 0 et |α_{k}| ≤ εS, on a var(α_{k}) ≤ ε^{2}S^{2}, d’où

σ(Δs_{n}) = \sqrt{var(Δs_{n})} ≤ \sqrt{n}εS

L’erreur quadratique moyenne croît seulement dans ce cas comme \sqrt{n}. D’après l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev on a :

P (|Δs_{n}| ≥ α σ(Δs_{n})) ≤ α^{−2}.

La probabilité que l’erreur dépasse 10\sqrt{n}εS est donc inférieure à 1%.

2. Phénomènes de compensation

Les phénomènes de compensation se produisent lorsqu’on tente d’effectuer des soustractions de valeurs très voisines. Ils peuvent conduire à des pertes importantes de précision.

Les exemples suivants illustrent les difficultés pouvant se présenter et les remèdes à apporter dans chaque cas.

2.1. Exemple : résolution de l’équation x^{2} − 1634x + 2 = 0

Supposons que les calculs soient effectués avec 10 chiffres significatifs. Les formules habituelles donnent alors

\begin{aligned}Δ′ & = 667 487, \sqrt{Δ′} ≃ 816, 9987760 \\ x_{1} & = 817 + \sqrt{Δ′} ≃ 1633, 998776, \\ x_{2} & = 817 − \sqrt{Δ′} ≃ 0, 0012240. \end{aligned}

On voit donc qu’on a une perte de 5 chiffres significatifs sur x_{2} si l’on effectue la soustraction telle qu’elle se présente naturellement ! Ici, le remède est simple : il suffit d’observer que x_{1}x_{2} = 2, d’où

x_{2} = \frac{2}{x_{1}} ≃ 1, 223991125 · 10^{−3}.

C’est donc l’algorithme numérique utilisé qui doit être modifié.

2.2. Exemple : calcul approché de e^{−10}

Supposons qu’on utilise pour cela la série

e^{−10} ≃ ∑_{k=0}^{n}(−1)^{k} \frac{10^{k}}{k!} ,

les calculs étant toujours effectués avec 10 chiffres significatifs. Le terme général |u_{k}| = 10^{k}/k! est tel que

\frac{|u_{k}|}{|u_{k−1}|} = \frac{10}{k} ≥ 1 dès que k ≤ 10.

On a donc 2 termes de valeur absolue maximale

|u_{9}| = |u_{10}| = \frac{10^{10}}{10!} ≃ 2, 755 · 10^{3}

tandis que e^{−10} ≃ 4, 5 · 10^{−5}. Comparons u_{10} et e^{−10} :

u_{10} :  2 7 5 5, · · · · · ·
e^{−10} :  0, 0 0 0 0 4 5

Ceci signifie qu’au moins 8 chiffres significatifs vont être perdus par compensation des termes u_{k} de signes opposés. Un remède simple consiste à utiliser la relation

e^{−10} = 1/e^{10} avec e^{10} ≃ ∑_{k=0}^{n} \frac{10^{k}}{k!} .

On essaiera dans la mesure du possible d’éviter les sommations dans lesquelles des termes de signes opposés se compensent.

2.3. Exemple : calcul approché de π par les polygônes inscrits

Nous donnons ici un autre exemple de compensation apparaissant dans calcul approché de π par la méthode “antique” des polygones. Il existe bien sûr aujourd’hui des méthodes beaucoup plus performantes pour le calcul de π, reposant par exemple sur le développement en série de arctan, ou sur les intégrales elliptiques et la formule de Brent-Salamin (voir le site du pap-ebook pour cette dernière).

Soit P_{n} le demi-périmètre du polygone régulier à n côtés inscrit dans un cercle de rayon 1. Le côté de ce polygone vaut 2 · R sin π/n = 2 sin π/n, d’où

\begin{aligned}P_{n} & = n sin \frac{π}{n}, \\ P_{n} & = π − \frac{π^{3}}{6n^{2}} + o(\frac{1}{n^{3}} ). \end{aligned}

On obtient donc une approximation de π avec une précision de l’ordre de 6/n^{2}.

π/n

Pour évaluer P_{n}, on utilise une méthode de dichotomie permettant de calculer par récurrence

x_{k} = P_{2^{k}} = 2^{k} sin \frac{π}{2^{k}} .

Si α est un angle compris entre 0 et \frac{π}{2} on a

(∗)  sin \frac{α}{2} = \sqrt{\frac{1}{2}(1 − cos α)} = \sqrt{\frac{1}{2}(1 − \sqrt{1 − sin^{2} α} )}.

En substituant α = π/2^{k}, on en déduit les formules

\{ \begin{matrix}x_{k+1} = 2^{k}\sqrt{2(1 − \sqrt{1 − (x_{k}/2^{k})^{2}} )} \\ x_{1} = 2, \end{matrix}

et d’après ce qu’on a dit plus haut lim_{k→+∞} x_{k} = π.

Ce n’est pourtant pas du tout ce qu’on va observer sur machine ! Dès que (x_{k}/2^{k})^{2} sera inférieur à la précision relative des calculs, l’ordinateur va donner

\sqrt{1 − (x_{k}/2^{k})^{2}} = 1 d’où x_{k+1} = 0.

Pour éviter cette difficulté, il suffit de remplacer (∗) par

(∗∗)  sin \frac{α}{2} = \sqrt{\frac{1}{2} \frac{1 − cos^{2} α}{1 + cos α}} = \frac{sin α}{\sqrt{2(1 + cos α)}}

d’où

sin \frac{α}{2} = \frac{sin α}{\sqrt{2(1 + \sqrt{1 − sin^{2} α} )}}.

On obtient alors la formule de récurrence

x_{k+1} = \frac{2x_{k}}{\sqrt{2(1 + \sqrt{1 − (x_{k}/2^{k})^{2}} )}}

qui évite le phénomène de compensation précédent, de sorte que le calcul des x_{k} peut être poussé beaucoup plus loin.

On obtiendra une méthode plus efficace encore en observant qu’on peut évaluer cos α dans (∗∗) par la formule cos α = \frac{sin 2α}{2 sin α}. Ceci donne

sin \frac{α}{2} = sin α\sqrt{\frac{sin α}{2 sin α + sin 2α}}, d’où

x_{k+1} = x_{k}\sqrt{\frac{2x_{k}}{x_{k} + x_{k−1}}} .

Deux valeurs d’initialisation sont alors requises pour démarrer, par exemple x_{1} = 2 et x_{2} = 2\sqrt{2}.

3. Phénomènes d’instabilité numérique

Il s’agit de phénomènes d’amplification des erreurs d’arrondi. Une telle amplification se produit assez fréquemment dans le cas de calculs récurrents ou itératifs.

3.1. Cas d’un calcul récurrent

Supposons à titre d’exemple qu’on cherche à évaluer numériquement l’intégrale

I_{n} = ∫_{0}^{1} \frac{x^{n}}{10 + x}, n ∈ ℕ.

Un calcul immédiat donne

I_{0} = ∫_{0}^{1} \frac{dx}{10 + x} = [ ln (10 + x)]_{0}^{1} = ln \frac{11}{10},
I_{n} = ∫_{0}^{1} \frac{x}{10 + x} · x^{n−1}dx = ∫_{0}^{1} (1 − \frac{10}{10 + x})x^{n−1}dx

= ∫_{0}^{1} x^{n−1}dx − 10 ∫_{0}^{1} \frac{x^{n−1}}{10 + x} dx = \frac{1}{n} − 10 I_{n−1}.

Ceci permet de calculer I_{n} par récurrence avec

\{ \begin{matrix}I_{0} = ln \frac{11}{10} \\ I_{n} = \frac{1}{n} − 10 I_{n−1}. \end{matrix}

Ce problème apparemment bien posé mathématiquement conduit numériquement à des résultats catastrophiques. On a en effet

ΔI_{n} ≃ 10 ΔI_{n−1},

même si on néglige l’erreur d’arrondi sur 1/n. L’erreur sur I_{n} explose donc exponentiellement, l’erreur initiale sur I_{0} étant multipliée par 10^{n} à l’étape n. Comment faire alors pour calculer par exemple I_{36} ? La suite x^{n} étant décroissante pour x ∈ [0, 1], on voit que la suite I_{n} est elle-même décroissante. Comme 10 ≤ 10 + x ≤ 11, on a de plus

\frac{1}{11(n + 1)} ≤ I_{n} ≤ \frac{1}{10(n + 1)}.

L’approximation I_{n} ≃ \frac{1}{11(n+1)} donne une erreur absolue ≤ \frac{1}{110(n+1)} et donc une erreur relative \frac{ΔI_{n}}{I_{n}} ≤ \frac{1}{10}. Ceci donne l’ordre de grandeur mais n’est pas très satisfaisant. L’idée est alors de renverser la récurrence en posant

I_{n−1} = \frac{1}{10}(\frac{1}{n} − I_{n}).

En négligeant l’erreur sur \frac{1}{n}, on a donc cette fois ΔI_{n−1} ≃ \frac{1}{10} ΔI_{n}, estimation qui va dans le bon sens. Si l’on part de I_{46} ≃ \frac{1}{11,47}, on obtiendra pour I_{36} une erreur relative sans doute meilleure que 10^{−10}.

Exercice B. Montrer que 0 ≤ I_{n} − I_{n+1} ≤ \frac{1}{10(n+1)(n+2)}, et en déduire à partir de la formule exprimant I_{n} en fonction de I_{n+1} que l’on a en fait l’estimation

\frac{1}{11(n + 1)} ≤ I_{n} ≤ \frac{1}{11(n + 1)} + \frac{1}{110(n + 1)(n + 2)},

donc ΔI_{n} ≃ \frac{1}{11(n+1)} avec erreur relative ≤ \frac{1}{10(n+2)}.

On voit donc le rôle fondamental joué par le coefficient d’amplification de l’erreur, 10 dans le premier cas, 1/10 dans le second. En général, si on a un coefficient d’amplification A > 1, il est impératif de limiter le nombre n d’étapes en sorte que A^{n}ε reste très inférieur à 1, si ε est la précision relative des calculs.

3.2. Calculs itératifs

Soit à calculer une suite (u_{n}) définie par sa valeur initiale u_{0} et par la relation de récurrence

u_{n+1} = f(u_{n}),

où f est une fonction donnée. On a donc u_{n} = f^{n}(u_{0}) où f^{n} = f ∘ f ∘ … ∘ f est la n-ième itérée de f. On considère par exemple la suite (u_{n}) telle que

u_{0} = 2, u_{n+1} = | ln (u_{n})|,

dont on cherche à évaluer le terme u_{30}. Un calcul effectué à la précision 10^{−9} sur un ordinateur nous a donné u_{30} ≃ 0, 880833175.

A la lumière de l’exemple précédent, il est néanmoins légitime de se demander si ce calcul est bien significatif, compte tenu de la présence des erreurs d’arrondi. En partant de valeurs de u_{0} très voisines de 2, on obtient en fait les résultats suivants (arrondis à 10^{−9} près, sur la même implémentation de calcul que ci-dessus) :

\begin{matrix}u_{0} & 2,000000000 & 2,000000001 & 1,999999999 & 5 · 10^{−10} \\ u_{5} & 5,595485181 & 5,595484655 & 5,595485710 & 9 · 10^{−8} \\ u_{10} & 0,703934587 & 0,703934920 & 0,703934252 & 5 · 10^{−7} \\ u_{15} & 1,126698502 & 1,126689382 & 1,126707697 & 8 · 10^{−6} \\ u_{20} & 1,266106839 & 1,266256924 & 1,265955552 & 10^{−4} \\ u_{24} & 1,000976376 & 1,001923276 & 1,000022532 & 10^{−3} \\ u_{25} & 0,000975900 & 0,001921429 & 0,000022532 & 100% \\ u_{26} & 6,932150628 & 6,254686211 & 10,700574400 & 50% \\ u_{30} & 0,880833175 & 0,691841353 & 1,915129896 & 100% \end{matrix}

La dernière colonne donne l’ordre de grandeur de l’écart relatif Δu_{n}/u_{n} observé entre la deuxième ou troisième colonne et la première colonne. On voit que cet écart augmente constamment pour atteindre environ 10^{−3} sur u_{24}. Pour le calcul de u_{25}, il se produit une véritable catastrophe numérique : l’écart relatif devient voisin de 100% ! Il en résulte que toutes les valeurs calculées à partir de u_{25} sont certainement non significatives pour une précision des calculs de 10^{−9}.

Pour comprendre ce phénomène, il suffit d’observer qu’une erreur Δx sur la variable x entraîne une erreur Δf(x) sur f(x), approximativement donnée par

Δf(x) = |f′(x)| Δx.

Ceci se voit bien sûr en approximant f(x + Δx) − f(x) par sa différentielle f′(x)Δx, lorsque f est dérivable au point x. Le coefficient d’amplification de l’erreur absolue est donc donné par la valeur absolue de la dérivée |f′(x)| ; ce coefficient peut être parfois assez grand. Souvent dans les calculs numériques (et ici en particulier), il est plus pertinent de considérer les erreurs relatives. La formule

\frac{Δf(x)}{|f(x)|} = \frac{|f′(x)||x|}{|f(x)|} \frac{Δx}{|x|}

montre que le coefficient d’amplification de l’erreur relative est |f′(x)||x|/|f(x)|. Dans le cas f(x) = ln (x) qui nous intéresse, ce coefficient vaut 1/| ln x| ; il devient très grand lorsque x est proche de 1, comme c’est le cas par exemple pour u_{24}.

4. Problèmes

4.1. Soit x ≥ 0 ; on note F (x) = \frac{2}{\sqrt{π}} ∫_{0}^{x} e^{−t^{2}}dt.

(a) Encadrer F (x) par deux entiers consécutifs.

(b) En remplaçant e^{−t^{2}} par un développement en série entière de x, exprimer F (x) comme somme d’une série. On choisit x = 3 ; calculer les 10 premiers termes de la série. En déduire que pour x ≥ 3 on a un phénomène de compensation dans le calcul de la somme des premiers termes de la série.

(c) On définit g(x) par F (x) = e^{−x^{2}}g(x).

Montrer que g est solution d’une équation différentielle.

Exprimer g(x) comme somme d’une série entière en x.

(d) En déduire l’expression F (x) = ∑_{n=0}^{+∞} a_{n}(x) où les a_{n}(x) sont tous positifs. Déterminer a_{0}(x) et donner la solution de récurrence entre a_{n}(x) et a_{n−1}(x).

Montrer l’inégalité

∑_{n=N+1}^{+∞} a_{n}(x) ≤ a_{N} \frac{x^{2}}{N − x^{2}} (pour N > x^{2})

(e) En utilisant les résultats précédents, écrire un programme en langage informatique qui, à la lecture de x et d’un entier k ≤ 1, calcule une valeur approchée de F (x) à 10^{−k} près.

4.2. Soit (I_{n})_{n∈ℕ} la suite des intégrales

I_{n} = ∫_{0}^{1} \frac{x^{n}}{6 + x − x^{2}} dx.

(a) Montrer que I_{n} vérifie une relation de récurrence de la forme

(∗)  I_{n+1} = αI_{n} + βI_{n−1} + c_{n}

où α, β sont des constantes et (c_{n}) une suite numérique explicite.

(b) On envisage le calcul récurrent de I_{n} à partir de I_{0} et I_{1} par la formule (∗).

On suppose que les valeurs de I_{0} et I_{1} sont affectées d’erreurs d’arrondis ε_{0} et ε_{1}, et on note ε_{n} l’erreur qui en résulte sur I_{n} (on néglige ici l’erreur sur le calcul de c_{n} et les erreurs d’arrondi pouvant intervenir dans l’application de la formule (∗)).

(α) Déterminer ε_{n} en fonction de ε_{0} et ε_{1}.

(β) Est-il possible de calculer I_{50} par ce procédé avec un ordinateur donnant une précision relative de 10^{−10} ?

4.3. Étant donné une suite x_{k}, k = 1, …, n de réels, on note μ_{n} = \frac{1}{n} ∑_{k=1}^{n} x_{k} la moyenne et σ_{n} = \sqrt{σ_{n}^{2}} l’écart type avec σ_{n}^{2} = \frac{1}{n} ∑_{k=1}^{n}(x_{k} − μ_{n})^{2}.

(a) Soit q_{n} = ∑_{k=1}^{n} x_{k}^{2}. Exprimer σ_{n}^{2} en fonction de q_{n} et de μ_{n}.

(b) Ecrire un programme qui calcule les moyennes et l’écart type d’un nombre indéterminé de réels. Les données réelles sont entrées au clavier ; après chaque entrée on affichera la moyenne et l’écart type de la suite des nombres déjà entrés.

(c) On suppose que pour k = 1, …, n on a x_{k} = μ + ε_{k} avec |ε_{k}| < ε où ε est petit devant μ. Montrer que l’on a l’inégalité |\frac{q_{n}}{n} − μ^{2}| ≤ 3με.

En déduire que la méthode de calcul de σ_{n} utilisant la formule du (a) est inadaptée pour une telle suite.

(d) On veut obtenir un algorithme de calcul de σ_{n} plus stable.

Etablir les égalités :

\begin{matrix}(n + 1)σ_{n+1}^{2} = nσ_{n}^{2} + n(μ_{n+1} − μ_{n})^{2} + (x_{n+1} − μ_{n+1})^{2}, \\ (n + 1)μ_{n+1} = nμ_{n} + x_{n+1}. \end{matrix}

En déduire σ_{n+1}^{2} = \frac{n}{n+1} σ_{n}^{2} + \frac{1}{n} (x_{n+1} − μ_{n+1})^{2}.

(e) Reprendre la question (b) avec le nouvel algorithme.

(f) On considère une suite de réels x_{k} = 1 + ε \frac{2k−n−1}{n−1}, k = 1, …, n. Déterminer sa moyenne et son écart type.

(g) Même question pour la suite des 2^{n} réels x_{k}, k = 1, …, 2^{n} telle que pour p = 0, …, n on ait \binom{n}{p} termes égaux à μ + \frac{2p−n}{\sqrt{n}} (On pourra remarquer que p^{2}\binom{n}{p} = pn\binom{n−1}{p−1}).

4.4. La constante d’Euler est définie par γ = lim_{n→+∞} u_{n}, u_{n} = 1+ \frac{1}{2} +…+ \frac{1}{n} −ln n. On étudie ici divers procédés numériques pour calculer cette constante.

(a) Évaluation directe pour n = N “grand”. Calculer un développement limité à l’ordre 3 de v_{n} = u_{n} − u_{n−1} en fonction des puissances de 1/n. En déduire que la suite (u_{n}) est bien convergente, et que l’on a u_{n} − γ ∼ \frac{1}{2n}. Comment faudrait-il calculer de termes pour avoir une précision de 20 décimales exactes ? En imaginant que l’évaluation de chaque terme 1/n nécessite 10^{−9} s, quel serait le temps de calcul ?

(b) On se propose de montrer que γ est égale à l’intégrale

I = − ∫_{0}^{+∞} ln x e^{−x}dx.

On vérifiera d’abord la convergence de l’intégrale, puis le fait que

I = lim_{n→+∞} I_{n}, I_{n} = − ∫_{0}^{n} ln x (1 − x/n)^{n} dx = \frac{n}{n + 1}(u_{n} + \frac{1}{n + 1}).

Indication. Montrer pour cela que (1 − x/n)^{n} ⩽ e^{−x} sur [0, n] avec convergence uniforme sur tout intervalle [0, A] donné, et majorer |I − I_{n}| en découpant l’intégrale sur les intervalles [0, ε], [ε, A] et [A, n] pour ε assez petit et A assez grand. Utiliser le changement de variable x = n(1 − t), t ∈ [0, 1], suivi d’une intégration par parties avec \frac{1}{n+1}(1 − t^{n+1})′ = −t^{n}, pour calculer I_{n}.

(c) Montrer à l’aide d’intégrations par parties que pour tout A > 0 on a

I = ∫_{0}^{A} \frac{1 − e^{−x}}{x} dx − ln A − ∫_{A}^{+∞} \frac{e^{−x}}{x} dx.

(d) (Méthode de Sweeney) Pour A ⩾ 1, montrer que ∫_{A}^{+∞} \frac{e^{−x}}{x} dx ⩽ e^{−A}. Vérifier que le choix A = 50 donne une valeur < 10^{−21}. À l’aide d’un développement en série, vérifier que

γ ≃ ∑_{n=1}^{N}(−1)^{n−1} \frac{A^{n}}{n n!} − ln A.

La formule de Stirling implique n! ∼ \sqrt{2πn}(n/e)^{n} ⩾ (n/e)^{n}. Vérifier que le choix N = 180 permet d’atteindre une erreur < 10^{−20} (NB: on suppose disposer d’un algorithme efficace pour calculer ln A).

(e*) (Méthode de Sweeney améliorée) L’un des inconvénients de la méthode précédente est l’apparition d’erreurs de compensations dans les sommes partielles de la série, le terme A^{n}/n! passant par un maximum pour n = A, avec un ordre de grandeur A^{A}/A A! ≃ (2π)^{−1/2}A^{−3/2}e^{A} pour A entier (ce qui pour A = 50 nécessite de calculer plus de 40 chiffres significatifs pour tous les termes). Pour éviter cette compensation et diminuer le coût du calcul, on peut effectuer le changement de variable x = A/2 − t. Montrer qu’on obtient alors

∫_{0}^{A} \frac{1 − e^{−x}}{x} dx = e^{−A/2} ∫_{−A/2}^{A/2} \frac{e^{t} − e^{A/2}}{t − A/2} dt

= 2e^{−A/2} ∑_{p=0}^{+∞} (1 + \frac{1}{3} + … + \frac{1}{2p − 1})(\frac{(A/2)^{2p−1}}{(2p − 1)!} + \frac{(A/2)^{2p}}{(2p)!} ). (∗)

Vérifier par ailleurs que

(∗∗) ∫_{A}^{+∞} \frac{e^{−x}}{x} dx = e^{−A} ∑_{n=0}^{N−1}(−1)^{n} \frac{n!}{A^{n+1}} + (−1)^{N} ∫_{A}^{+∞} \frac{N!}{x^{N+1}} e^{−x} dx

et (de nouveau avec la formule de Stirling !) que pour N = A > 2π la dernière intégrale est majorée par e^{−2A}. Le choix A = 25 suffit alors pour obtenir une précision de 10^{−21} dans (∗∗), tandis que le phénomène de compensation disparaît dans (∗). Montrer qu’il suffit de sommer jusqu’à p = 30 seulement dans (∗) pour obtenir une précision totale de 10^{−20}.

Chapitre II

Approximation polynomiale des fonctions numériques

Les fonctions les plus faciles à évaluer numériquement sont les fonctions polynômes. Il est donc important de savoir approximer une fonction arbitraire par des polynômes. Dans ce cadre, l’un des outils de base est la méthode d’interpolation de Lagrange.

Notations. Dans toute la suite, on désignera par 𝒫_{n} l’espace vectoriel des fonctions polynômes sur ℝ à coefficients réels, de degré inférieur ou égal à n. On a donc dim 𝒫_{n} = n + 1.

Par ailleurs, si f est une fonction définie sur un intervalle [a, b] ⊂ ℝ à valeurs dans ℝ ou ℂ, la norme uniforme de f sur [a, b] sera notée

∥f∥_{[a,b]} = sup_{x∈[a,b]} |f(x)|

où même simplement ∥f∥ s’il n’y a pas d’ambiguïté. Enfin 𝒞([a, b]) désignera l’espace des fonctions continues sur [a, b] à valeurs dans ℝ.

1. Méthode d’interpolation de Lagrange

1.1. Existence et unicité du polynôme d’interpolation

Soit f : [a, b] → ℝ une fonction continue. On se donne n + 1 points x_{0}, x_{1}, …, x_{n} dans [a, b], deux à deux distincts, non nécessairement rangés par ordre croissant.

Problème. Existe-t-il un polynôme p_{n} ∈ 𝒫_{n} tel que p_{n}(x_{i}) = f(x_{i}), ∀i = 0, 1, …, n?

Un tel polynôme sera appelé polynôme d’interpolation (de Lagrange) de f aux points x_{0}, x_{1}, …, x_{n}. Posons

l_{i}(x) = ∏_{j≠i} \frac{(x − x_{j})}{(x_{i} − x_{j})}, 0 ≤ i ≤ n,

où le produit est effectué sur les indices j tels que 0 ≤ j ≤ n, j ≠ i. Il est clair que l_{i} ∈ 𝒫_{n} et que

\begin{aligned}l_{i}(x_{j}) & = 0 si j ≠ i, \\ l_{i}(x_{i}) & = 1. \end{aligned}

Le problème ci-dessus admet donc au moins une solution

(∗)  p_{n}(x) = ∑_{i=0}^{n} f(x_{i})l_{i}(x), p_{n} ∈ 𝒫_{n}.

Théorème. Le problème d’interpolation p_{n}(x_{i}) = f(x_{i}), 0 ≤ i ≤ n, admet une solution et une seule, donnée par la formule (∗).

Il reste à prouver l’unicité. Supposons que q_{n} ∈ 𝒫_{n} soit une autre solution du problème. Alors p_{n}(x_{i}) = q_{n}(x_{i}) = f(x_{i}), donc x_{i} est racine de q_{n} − p_{n}. Par suite le polynôme

π_{n+1}(x) = ∏_{j=0}^{n}(x − x_{j})

divise q_{n} − p_{n}. Comme deg π_{n} = n + 1 et q_{n} − p_{n} ∈ 𝒫_{n}, la seule possibilité est que q_{n} − p_{n} = 0.

Remarque 1. On a π_{n+1}(x) = (x − x_{i}) · ∏_{j≠i}(x − x_{j}), d’où

π′_{n+1}(x_{i}) = ∏_{j≠i}(x_{i} − x_{j}).

Ceci donne la formule

l_{i}(x) = \frac{π_{n+1}(x)}{(x − x_{i})π′_{n+1}(x_{i})}.

Remarque 2. Pour démontrer le théorème, on peut également poser p_{n}(x) = ∑_{j=0}^{n} a_{j}x^{j} et résoudre un système linéaire de n + 1 équations

{∑_{j=0}^{n} a_{j}x_{i}^{j} = f(x_{i}), 0 ≤ i ≤ n,

en les n + 1 inconnues a_{0}, a_{1}, …, a_{n}. Le déterminant du système est un déterminant dit de Van der Monde :

Δ = | \begin{matrix}1 & x_{0} & x_{0}^{2} & … & x_{0}^{n} \\ 1 & x_{1} & x_{1}^{2} & … & x_{1}^{n} \\ ⋮ & ⋮ \\ 1 & x_{n} & x_{n}^{2} & … & x_{n}^{n} \end{matrix} | .

Il s’agit de montrer que Δ ≠ 0 si les x_{i} sont distincts. Or Δ est un polynôme de degré total 1 + 2 + … + n = \frac{n(n+1)}{2} en les variables x_{0}, x_{1}, …, x_{n}. Il est clair que Δ = 0 chaque fois que x_{i} = x_{j} pour un couple (i, j) tel que 0 ≤ j < i ≤ n. Δ est donc divisible par le polynôme ∏_{0≤j<i≤n}(x_{i} − x_{j}), qui est lui aussi de degré total \frac{n(n+1)}{2}. Le quotient est donc une constante, donnée par exemple par le coefficient de x_{1}x_{2}^{2} … x_{n}^{n} dans Δ, qui vaut 1. Par suite

Δ = ∏_{0≤j<i≤n}(x_{i} − x_{j}).

Il n’est pas recommandé de résoudre numériquement le système précédent pour obtenir p_{n}. Nous verrons plus loin une méthode beaucoup plus efficace (cf. § 1.3).

Exercice A. On se propose de donner deux autres démonstrations des résultats ci-dessus, grâce à des arguments d’algèbre linéaire.

(a) Montrer que l’application ϕ_{n} : 𝒫_{n} → ℝ^{n+1}, p ↦ (p(x_{i}))_{0≤i≤n} est linéaire. En déduire que ϕ_{n} est injective si et seulement si elle est surjective. Traduire ces résultats en terme d’existence et d’unicité du polynôme d’interpolation.

(b) Montrer par récurrence sur n que ϕ_{n} est surjective.

Indication. Si le résultat est vrai pour n − 1, ajuster la valeur p(x_{n}) à l’aide du polynôme (x − x_{0}) … (x − x_{n−1}) de degré n. Conclure.

(c) Montrer directement que les polynômes (l_{i})_{0≤i≤n} forment une famille libre. En déduire que c’est une base de 𝒫_{n} et que ϕ_{n} est un isomorphisme.

1.2. Formule d’erreur

L’erreur d’interpolation est donnée par la formule théorique suivante.

Théorème. On suppose que f est n + 1 fois dérivable sur [a, b]. Alors pour tout x ∈ [a, b], il existe un point ξ_{x} ∈ ] min (x, x_{i}), max (x, x_{i})[ tel que

f(x) − p_{n}(x) = \frac{1}{(n + 1)!} π_{n+1}(x)f^{(n+1)}(ξ_{x}).

On a besoin du lemme suivant, qui découle du théorème de Rolle.

Lemme. Soit g une fonction p fois dérivable sur [a, b]. On suppose qu’il existe p + 1 points c_{0} < c_{1} < … < c_{p} de [a, b] tels que g(c_{i}) = 0. Alors il existe ξ ∈ ]c_{0}, c_{p}[ tel que g^{(p)}(ξ) = 0.

Le lemme se démontre par récurrence sur p. Pour p = 1, c’est le théorème de Rolle. Supposons le lemme démontré pour p − 1. Le théorème de Rolle donne des points γ_{0} ∈ ]c_{0}, c_{1}[, …, γ_{p−1} ∈ ]c_{p−1}, c_{p}[ tels que g′(γ_{i}) = 0. Par hypothèse de récurrence, il existe donc ξ ∈ ]γ_{0}, γ_{p−1}[ ⊂ ]c_{0}, c_{p}[ tel que (g′)^{(p−1)}(ξ) = g^{(p)}(ξ) = 0.

Démonstration du théorème

• Si x = x_{i}, on a π_{n+1}(x_{i}) = 0, tout point ξ_{x} convient.

• Supposons maintenant x distinct des points x_{i}.

Soit p_{n+1}(t) le polynôme d’interpolation de f(t) aux points x, x_{0}, …, x_{n+1}, de sorte que p_{n+1} ∈ 𝒫_{n+1}. Par construction f(x) − p_{n}(x) = p_{n+1}(x) − p_{n}(x). Or le polynôme p_{n+1} − p_{n} est de degré ≤ n + 1 et s’annule aux n + 1 points x_{0}, x_{1}, …, x_{n}. On a donc

p_{n+1}(t) − p_{n}(t) = c · π_{n+1}(t), c ∈ ℝ.

Considérons la fonction

g(t) = f(t) − p_{n+1}(t) = f(t) − p_{n}(t) − cπ_{n+1}(t).

Cette fonction s’annule en les n + 2 points x, x_{0}, x_{1}, …, x_{n} donc d’après le lemme il existe ξ_{x} ∈ ] min (x, x_{i}), max (x, x_{i})[ tel que g^{(n+1)}(ξ_{x}) = 0. Or

p_{n}^{(n+1)} = 0, π_{n+1}^{(n+1)} = (n + 1)!

On a par conséquent g^{(n+1)}(ξ_{x}) = f^{(n+1)}(ξ_{x}) − c · (n + 1)! = 0, d’où

f(x) − p_{n}(x) = p_{n+1}(x) − p_{n}(x) = cπ_{n+1}(x) = \frac{f^{(n+1)}(ξ_{x})}{(n + 1)!} π_{n+1}(x).

En prenant la borne supérieure de la valeur absolue des deux membres dans la formule d’erreur, on obtient en particulier :

Corollaire. ∥f − p_{n}∥ ≤ \frac{1}{(n + 1)!} ∥π_{n+1}∥ ∥f^{(n+1)}∥.

Ces formules montrent que la taille de l’erreur d’interpolation f(x) − p_{n}(x) dépend à la fois de la quantité ∥f^{(n+1)}∥, qui peut être grande si f oscille trop vite, et de la quantité ∥π_{n+1}∥, qui est liée à la répartition des points x_{i} dans l’intervalle [a, b].

1.3. Méthode des différences divisées

On va décrire ici une méthode simple et efficace permettant de calculer les polynômes d’interpolation de f. Soit p_{k} le polynôme d’interpolation de f aux points x_{0}, x_{1}, …, x_{k}.

Notation. On désigne par f[x_{0}, x_{1}, …, x_{k}] le coefficient directeur du polynôme p_{k} ( = coefficient de t^{k} dans p_{k}(t)).

Alors p_{k} −p_{k−1} est un polynôme de degré ≤ k, s’annulant aux points x_{0}, x_{1}, …, x_{k−1}, et admettant f[x_{0}, x_{1}, …, x_{k}] pour coefficient directeur. Par suite :

p_{k}(x) − p_{k−1}(x) = f[x_{0}, x_{1}, …, x_{k}](x − x_{0}) … (x − x_{k−1}).

Comme p_{0}(x) = f(x_{0}), on en déduit la formule fondamentale

(∗∗)  p_{n}(x) = f(x_{0}) + ∑_{k=1}^{n} f[x_{0}, x_{1}, …, x_{k}](x − x_{0}) … (x − x_{k−1}).

Pour pouvoir exploiter cette formule, il reste bien entendu à évaluer les coefficients f[x_{0}, x_{1}, …, x_{k}]. On utilise à cette fin une récurrence sur le nombre k de points x_{i}, en observant que f[x_{0}] = f(x_{0}).

Formule de récurrence. Pour k ≥ 1, on a

(∗∗∗)  f[x_{0}, x_{1}, …, x_{k}] = \frac{f[x_{1}, …, x_{k}] − f[x_{0}, …, x_{k−1}]}{x_{k} − x_{0}}.

À cause de cette formule, la quantité f[x_{0}, x_{1}, …, x_{k}] est appelée différence divisée d’ordre k de f aux points x_{0}, …, x_{k}.

Vérification de (∗∗∗). Désignons par q_{k−1} ∈ 𝒫_{k−1} le polynôme de f aux points x_{1}, x_{2}, …, x_{k}. Posons

p̃_{k}(x) = \frac{(x − x_{0})q_{k−1}(x) − (x − x_{k})p_{k−1}(x)}{x_{k} − x_{0}}.

Alors p̃_{k} ∈ 𝒫_{k}, p̃_{k}(x_{0}) = p_{k−1}(x_{0}) = f(x_{0}), p̃_{k}(x_{k}) = q_{k−1}(x_{k}) = f(x_{k}) et pour 0 < i < k on a

p̃_{k}(x_{i}) = \frac{(x_{i} − x_{0})f(x_{i}) − (x_{i} − x_{k})f(x_{i})}{x_{k} − x_{0}} = f(x_{i}).

Par conséquent p̃_{k} = p_{k}. Comme le coefficient directeur de q_{k−1} est f[x_{1}, …, x_{k}], on obtient la formule (∗∗∗) cherchée en égalant les coefficients de x^{k} dans l’identité

p_{k}(x) = \frac{(x − x_{0})q_{k−1}(x) − (x − x_{k})p_{k−1}(x)}{x_{k} − x_{0}}.

Algorithme pratique. On range les valeurs f(x_{i}) dans un tableau TAB, puis on modifie ce tableau en n étapes successives, en procédant par indices décroissants :

Tableau  Étape 0  Étape 1  Étape 2  …  Étape n
[figure: TAB [n]; f(x_{n}); f[x_{n−1}, x_{n}]; f[x_{n−2}, x_{n−1}, x_{n}]; …; f[x_{0}, …, x_{n}]]
TAB [n − 1] f(x_{n−1})  f[x_{n−2}, x_{n−1}]
TAB [n − 2] f(x_{n−2})
⋮  ⋮  ⋮  ⋮
[figure: TAB [2]; f(x_{2}); f[x_{1}, x_{2}]; f[x_{0}, x_{1}, x_{2}]]
TAB [1] f(x_{1}) f[x_{0}, x_{1}]
TAB [0]  f(x_{0})

A l’issue de la n-ième étape, la case mémoire TAB[k] contient le coefficient f[x_{0}, …, x_{k}] cherché, et on peut alors utiliser la formule (∗∗). Il est commode d’appliquer ici la règle de Hörner :

p_{n}(x) = TAB [0] + (x − x_{0})(TAB [1] + (x − x_{1})(TAB [2] + … + (x − x_{n−1})TAB [n])).

On effectue donc une récurrence descendante

\{ \begin{matrix}u_{n} = TAB [n] \\ u_{k} = TAB [k] + (x − x_{k})u_{k+1}, 0 ≤ k < n, \end{matrix}

qui aboutit à u_{0} = p_{n}(x).

Remarque. D’après l’égalité précédant (∗∗) on a

p_{k}(x_{k}) − p_{k−1}(x_{k}) = f[x_{0}, x_{1}, …, x_{k}](x_{k} − x_{0}) … (x_{k} − x_{k−1}).

Or la formule d’erreur 1.2 donne

p_{k}(x_{k}) − p_{k−1}(x_{k}) = f(x_{k}) − p_{k−1}(x_{k}) = \frac{1}{k!} π_{k}(x_{k})f^{(k)}(ξ)

avec π_{k}(x) = (x − x_{0}) … (x − x_{k−1}) et ξ ∈ ] min(x_{0}, …, x_{k}), max (x_{0}, …, x_{k})[. En comparant les deux égalités il vient

f[x_{0}, x_{1}, …, x_{k}] = \frac{1}{k!} f^{(k)}(ξ), ξ ∈ ] min(x_{i}), max(x_{i})[.

Si l’on suppose que f, f′, …, f^{(n)} existent et sont continues, on voit que les différences divisées f[x_{0}, …, x_{k}] sont bornées indépendamment du choix des x_{i}, même si certains de ces points sont très voisins.

1.4. Cas où les points d’interpolation sont équidistants

On considère la subdivision de l’intervalle [a, b] de pas constant h = \frac{b−a}{n}. Les points d’interpolation sont donc

x_{i} = a + ih = a + i \frac{b − a}{n}, 0 ≤ i ≤ n.

On note f_{i} = f(x_{i}) les valeurs de f correspondantes, et on introduit un opérateur noté Δ, appelée opérateur aux différences finies, défini par

Δ : (f_{0}, f_{1}, …, f_{n}) ↦ (Δf_{0}, Δf_{1}, …, Δf_{n−1})

avec

Δf_{i} = f_{i+1} − f_{i}, 0 ≤ i ≤ n − 1.

Lorsqu’on itère l’opération Δ, on obtient des réels Δ^{k}f_{i}, 0 ≤ i ≤ n − k, définis par la formule de récurrence

Δ^{k}f_{i} = Δ^{k−1}f_{i+1} − Δ^{k−1}f_{i}, k ≥ 1, 0 ≤ i ≤ n − k,

où l’on convient que Δ^{0}f_{i} = f_{i}, 0 ≤ i ≤ n.

Exercice B. Vérifier que Δ^{k}f_{i} = ∑_{j=0}^{k}(−1)^{j}\binom{k}{j}f_{i+j}.

Il est alors facile de montrer par récurrence que les différences divisées sont données par

f[x_{i}, x_{i+1}, …, x_{i+k}] = \frac{Δ^{k}f_{i}}{k!h^{k}} .

Récrivons avec ces notations la formule fondamentale (∗∗). Pour x ∈ [a, b], effectuons le changement de variable

x = a + sh, s ∈ [0, n].

On a alors

(x − x_{0}) … (x − x_{k−1}) = sh(sh − h) … (sh − (k − 1)h)
= h^{k}s(s − 1) … (s − k + 1).

On obtient la formule de Newton suivante, dans laquelle s = (x − a)/h :

\begin{aligned}p_{n}(x) & = ∑_{k=0}^{n} Δ^{k}f_{0} · \frac{s(s − 1) … (s − k + 1)}{k!} \\ & = f_{0} + \frac{s}{1} (Δ^{1}f_{0} + \frac{s − 1}{2} (Δ^{2}f_{0} + … + \frac{s − n + 1}{n} Δ^{n}f_{0}) ….) . \end{aligned}

Les coefficients Δ^{k}f_{0} se calculent suivant le schéma décrit au § 1.3 :

[figure: f_{n}; Δf_{n−1}; Δ^{2}f_{n−2}; …; Δ^{n−1}f_{1}; Δ^{n}f_{0}]
f_{n−1} Δf_{n−2} Δ^{n−1}f_{0}
f_{n−2}

⋮ [figure: f_{2}; Δf_{1}; Δ^{2}f_{0}]

f_{1}  Δf_{0}
f_{0}

A l’issue de la n-ième étape, le tableau contient les coefficients Δ^{k}f_{0} cherchés.

Estimation de l’erreur d’interpolation. On a

π_{n+1}(x) = (x − x_{0}) … (x − x_{n}) = h^{n+1}s(s − 1) … (s − n),

d’où

f(x) − p_{n}(x) = \frac{s(s − 1) … (s − n)}{(n + 1)!} h^{n+1}f^{(n+1)}(ξ_{x}).

La fonction φ(s) = |s(s − 1) … (s − n)|, s ∈ [0, n], vérifie φ(n − s) = φ(s), donc elle atteint son maximum dans [0, \frac{n}{2}]. Comme φ(s − 1)/φ(s) = (n + 1 − s)/s > 1 pour 1 ≤ s ≤ \frac{n}{2}, on voit que φ atteint en fait son maximum dans [0, 1], d’où

max_{[0,n]} φ = max_{s∈[0,1]} φ(s) ≤ n!

Il en résulte

|f(x) − p_{n}(x)| ≤ h^{n+1} · \frac{1}{n + 1} max_{[x_{0},...,x_{n}]} |f^{(n+1)}|.

Une application typique de ces formules est le calcul d’une valeur approchée de l’image f(x) au moyen d’une table numérique donnant les valeurs successives f(x_{i}) avec un pas constant h. Supposons par exemple que h = 10^{−2} et que l’on cherche à évaluer f(x) à 10^{−8} près. Une interpolation linéaire (cas n = 1) donnerait une erreur en h^{2} = 10^{−4} beaucoup trop grande. On doit ici aller jusqu’au degré n = 3, ce qui permet d’obtenir un erreur ≤ h^{4} = 10^{−8} pourvu que max |f^{(4)}| ≤ 4.

Remarque. D’après l’expression de π_{n+1} donnée plus haut, on voit que

∥π_{n+1}∥_{[a,b]} = h^{n+1} max_{s∈[0,n]} φ(s) ≤ h^{n+1}n! = \frac{n!}{n^{n+1}} (b − a)^{n+1}

et la formule de Stirling n! ∼ \sqrt{2πn}(\frac{n}{e})^{n} montre que l’ordre de grandeur de ∥π_{n+1}∥ est

∥π_{n+1}∥ = O (\frac{b − a}{e})^{n+1} quand n → +∞.

Comme

\begin{aligned}φ(\frac{1}{2}) & = \frac{1}{2} · \frac{1}{2} · \frac{3}{2} … (n − \frac{1}{2}) ≥ \frac{1}{4} 1 · 2 … (n − 1) \\ & ≥ \frac{1}{4n} n! ≥ \frac{1}{4n} \sqrt{6n} \frac{n^{n}}{e^{n}} ≥ \frac{n^{n− \frac{1}{2}}}{e^{n+1}} \end{aligned}

pour n grand, on voit en fait que

∥π_{n+1}∥ ≥ h^{n+1} \frac{n^{n− \frac{1}{2}}}{e^{n+1}} = \frac{1}{n^{3/2}} (\frac{b − a}{e})^{n+1} .

Nous obtiendrons au § 2.2 des estimations beaucoup plus précises. L’exercice suivant montre l’intérêt de la formule de Newton en arithmétique.

Exercice C.

(a) Montrer que les polynômes de Newton

N_{k}(s) = \frac{s(s − 1) … (s − k + 1)}{k!}, 0 ≤ k ≤ n

forment une base de 𝒫_{n} et que pour tout s ∈ ℤ on a N_{k}(s) ∈ ℤ Indication. Utiliser les \binom{n}{k} ou une récurrence à partir de la relation N_{k}(s) − N_{k}(s − 1) = N_{k−1}(s)].

(b) Montrer qu’un polynôme p ∈ 𝒫_{n} est tel que p(s) ∈ ℤ pour tout s ∈ ℤ si et seulement si p est combinaison linéaire à coefficients dans ℤ de N_{0}, …, N_{n}.

1.5. Interpolation aux points de Tchebychev

On définit les polynômes de Tchebychev par

t_{n}(x) = cos(n Arccos x), x ∈ [−1, 1]

Il n’est pas évident a priori que t_{n} est un polynôme ! Pour le voir, on procède comme suit. Posons θ = Arccos x, c’est-à-dire x = cos θ avec θ ∈ [0, π]. Il vient alors

t_{n}(x) = cos nθ,
t_{n+1}(x) + t_{n−1}(x) = cos ((n + 1)θ) + cos ((n − 1)θ)
= 2 cos nθ cos θ = 2xt_{n}(x).

La fonction t_{n} se calcule donc par les formules de récurrence

\{ \begin{matrix}t_{0}(x) = 1, t_{1}(x) = x \\ t_{n+1}(x) = 2x t_{n}(x) − t_{n−1}(x). \end{matrix}

Il en résulte que t_{n} est un polynôme de degré n, dont le coefficient directeur est 2^{n−1} si n ≥ 1. Déterminons les racines de t_{n}. Si x = cos θ ∈ [−1, 1] avec θ ∈ [0, π], on a t_{n}(x) = cos nθ = 0 si et seulement si nθ = \frac{π}{2} + iπ, soit θ = \frac{2i+1}{2n} π avec 0 ≤ i ≤ n − 1. Le polynôme t_{n} admet donc exactement n racines distinctes :

cos \frac{2i + 1}{2n} π ∈ ] − 1, 1[, 0 ≤ i ≤ n − 1.

Comme t_{n} est de degré n, il ne peut avoir d’autres racines.

Définition. Les points d’interpolation de Tchebychev d’ordre n sont les points x_{i} = cos \frac{2i+1}{2n+2} π, 0 ≤ i ≤ n, racines du polynôme t_{n+1}.

Les points x_{i} sont répartis symétriquement autour de 0 (avec x_{n−i} = −x_{i}), de façon plus dense au voisinage de 1 et −1 :

−1 x_{10} x_{8}  x_{6}  x_{5}  x_{3}  x_{1} 1 x_{11} x_{9}  x_{7}  x_{4}  x_{2} x_{0}  n = 11 0

Puisque le coefficient directeur de t_{n+1} est 2^{n}, il vient

t_{n+1}(x) = 2^{n} ∏_{i=0}^{n}(x − x_{i}) = 2^{n}π_{n+1}(x).

Pour se ramener à un intervalle [a, b] quelconque au lieu de [−1, 1], on utilisera la bijection linéaire

\begin{matrix}[−1, 1] & ⟶ [a, b] \\ u & ⟼ x = \frac{a + b}{2} + \frac{b − a}{2} u \end{matrix}

qui envoie −1 sur a et 1 sur b. Les images des points d’interpolation de Tchebychev u_{i} ∈ ] − 1, 1[ sont donnés par

x_{i} = \frac{a + b}{2} + \frac{b − a}{2} cos \frac{2i + 1}{2n + 2} π, 0 ≤ i ≤ n.

Ces points sont encore appelés points d’interpolation de Tchebychev d’ordre n de l’intervalle [a, b]. Dans ce cas, on a x − x_{i} = \frac{b−a}{2} (u − u_{i}), donc le polynôme π_{n+1} est donné par

π_{n+1}(x) = ∏_{i=0}^{n}(x − x_{i}) = (\frac{b − a}{2})^{n+1} ∏_{i=0}^{n}(u − u_{i})

où ∏_{i=0}^{n}(u − u_{i}) = \frac{1}{2^{n}} t_{n+1}(u) est le polynôme π_{n+1}(u) correspondant à [−1, 1]. On obtient donc

π_{n+1}(x) = \frac{(b − a)^{n+1}}{2^{2n+1}} t_{n+1}(u) = \frac{(b − a)^{n+1}}{2^{2n+1}} t_{n+1} (\frac{2}{b − a} (x − \frac{a + b}{2})) .

Par définition des polynômes de Tchebychev on a ∥t_{n+1}∥ = 1, donc

∥π_{n+1}∥ = 2 (\frac{b − a}{4})^{n+1} .

Cette valeur est beaucoup plus petite que l’estimation (b − a/e)^{n+1} obtenue pour ∥π_{n+1}∥ avec des points x_{i} équidistants, surtout lorsque n est assez grand : pour n = 30 par exemple, on a (e/4)^{n+1} < 7 · 10^{−6}.

Il en résulte que l’interpolation aux points de Tchebychev est en général considérablement plus précise que l’interpolation en des points équidistants, d’où son intérêt pratique. Nous reviendrons sur ces questions au § 3.

2. Convergence des polynômes d’interpolation p_{n} quand n tend vers +∞

Soit f : [a, b] → ℝ une fonction continue. Pour chaque entier n ∈ ℕ, on se donne une suite de n + 1 points x_{i,n} ∈ [a, b], 0 ≤ i ≤ n, deux à deux distincts et on considère le polynôme d’interpolation p_{n} de f aux points x_{0,n}, x_{1,n}, …, x_{n,n}.

Problème. A quelle(s) condition(s) (portant sur la nature de la fonction f et/ou le choix des points x_{i,n}) pourra-t-on être sûr que p_{n} converge uniformément vers f quand n → +∞ ?

Si l’on ne dispose d’aucune information sur la répartition des points x_{i,n}, la meilleure majoration de π_{n+1}(x) dont on dispose a priori est

|π_{n+1}(x)| = ∏_{i=0}^{n} |x − x_{i,n}| ≤ (b − a)^{n+1}, ∀x ∈ [a, b],

en majorant |x − x_{i,n}| par b − a. Dans le cas où les points x_{i} sont équidistants ou sont les points de Tchebychev, on a bien entendu une meilleure estimation

∥π_{n+1}∥ ≤ (\frac{b − a}{e})^{n+1}, resp. ∥π_{n+1}∥ ≤ 2(\frac{b − a}{4})^{n+1}.

Comme l’erreur d’interpolation dépend par ailleurs de ∥f^{(n+1)}∥ d’après le § 1.2, on est amené à chercher une majoration des dérivées successives de f.

2.1. Cas d’une fonction analytique

Une fonction analytique est par définition une fonction qui est somme d’une série entière au voisinage de tout point où elle est définie.

Supposons f(x) = ∑_{k=0}^{+∞} a_{k}x^{k}, où la série a un rayon de convergence R > 0. La fonction f est donc définie sur ] − R, R[ au moins. Pour tout r < R, la série ∑ a_{k}r^{k} est convergente, donc la suite a_{k}r^{k} est bornée (et tend vers 0), c’est-à-dire qu’il existe une constante C(r) ≥ 0 telle que

|a_{k}| ≤ \frac{C(r)}{r^{k}}, ∀k ∈ ℕ.

On peut alors dériver terme à terme f(x) sur ] − r, r[ ⊂ ] − R, R[, ce qui donne

f^{(n)}(x) = ∑_{k=0}^{+∞} a_{k} \frac{d^{n}}{dx^{n}} (x^{k}),

|f^{(n)}(x)| ≤ C(r) ∑_{k=0}^{+∞} \frac{1}{r^{k}} \frac{d^{n}}{dx^{n}} (x^{k}) si x ≥ 0

= C(r) \frac{d^{n}}{dx^{n}} [∑_{k=0}^{+∞} (\frac{x}{r})^{k}]

= C(r) \frac{d^{n}}{dx^{n}} (\frac{1}{1 − \frac{x}{r}} ) = C(r) \frac{d^{n}}{dx^{n}} (\frac{r}{r − x})

= \frac{n!rC(r)}{(r − x)^{n+1}} .

Sur tout intervalle [−α, α] avec α < r < R, on a donc

\frac{1}{n!} ∥f^{(n)}∥_{[−α,α]} ≤ \frac{rC(r)}{(r − α)^{n+1}} .

Supposons maintenant que f : [a, b] → ℝ soit somme d’une série entière de centre c = \frac{a+b}{2} et de rayon R > α = \frac{b−a}{2}. Pour tout r tel que \frac{b−a}{2} < r < R et tout n ∈ ℕ on a alors d’après ce qui précède

\frac{1}{n!} ∥f^{(n)}∥_{[a,b]} ≤ \frac{rC(r)}{(r − \frac{b−a}{2})^{n+1}} .

L’erreur d’interpolation admet donc la majoration

\begin{aligned}∥f − p_{n}∥ & ≤ \frac{1}{(n + 1)!} ∥π_{n+1}∥ ∥f^{(n+1)}∥ ≤ 2(\frac{b − a}{λ})^{n+1} \frac{rC(r)}{(r − \frac{b−a}{2})^{n+2}} \\ & ≤ \frac{2rC(r)}{r − \frac{b−a}{2}} (\frac{\frac{b−a}{λ}}{r − \frac{b−a}{2}} )^{n+1} \end{aligned}

avec respectivement λ = 1 si les points x_{i,n} sont quelconques, λ = e s’ils sont équidistants, λ = 4 si ce sont les points de Tchebychev. L’erreur va converger vers 0 si l’on peut choisir r tel que (b − a)/λ < r − (b − a)/2, soit r > (\frac{1}{λ} + \frac{1}{2})(b − a). Ceci est possible dès que le rayon de convergence R vérifie lui-même cette minoration. On peut donc énoncer :

Théorème. Soit f : [a, b] → ℝ une fonction analytique donnée par une série entière de rayon de convergence R centrée au point c = \frac{a+b}{2}. Alors pour des points d’interpolation x_{i,n} quelconques et λ = 1 (respectivement, équidistants et λ = e, de Tchebychev et λ = 4), les polynômes d’interpolation p_{n} aux points x_{i,n} convergent uniformément vers f pourvu que R > (\frac{1}{λ} + \frac{1}{2})(b − a).

Exercice D. Si les points x_{i,n} sont répartis systématiquement par rapport à c = \frac{a+b}{2}, montrer que l’on peut prendre λ = 2.

Indication. En supposant c = 0 pour simplifier, utiliser le fait que

|(x − x_{i,n})(x + x_{i,n})| ≤ \frac{1}{4} (b − a)^{2}

pour tout x ∈ [a, b] et tout i = 0, 1, …, n.

Ces résultats sont en fait un peu grossiers, car ils fournissent des conditions suffisantes de convergence qui sont en général très loin d’être nécessaires. Par ailleurs, ce sont des résultats purement théoriques qui ne tiennent aucun compte des erreurs d’arrondi. Nous allons maintenant faire des calculs plus fins sur des exemples, en estimant de façon précise le produit π_{n+1} pour des points équidistants.

2.2.* Estimation de π_{n}(z), z ∈ ℂ, pour des points d’interpolation équidistants

Posons h = \frac{b−a}{n}, x_{j} = a_{j} + jh, 0 ≤ j ≤ n, et soit z ∈ ℂ,

\begin{aligned}|π_{n+1}(z)| & = |z − x_{i}| · ∏_{j≠1} |z − x_{j}|, \\ ln |π_{n+1}(z)| & = ln δ_{n}(z) + ∑_{j≠i} ln |z − x_{j}| \end{aligned}

où δ_{n}(z) = |z−x_{i}| est la distance de z au plus proche point x_{i}. La dernière sommation apparaît comme une somme de Riemann de la fonction x ↦ ln |z − x|. On va donc comparer cette sommation à l’intégrale correspondante.

Lemme 1. Pour tout a ∈ ℂ, on pose ϕ(a) = ∫_{0}^{1} ln |1 − at| dt. Alors l’intégrale converge et la fonction ϕ est continue sur ℂ. De plus :

(i) \frac{1}{h} ∫_{x_{j}}^{x_{j+1}} ln |z − x|dx − ln |z − x_{j}| = ϕ(\frac{h}{z − x_{j}} ), 0 ≤ j ≤ i − 1 ;

(ii) \frac{1}{h} ∫_{x_{j}}^{x_{j+1}} ln |z − x|dx − ln |z − x_{j+1}| = ϕ( − \frac{h}{z − x_{j+1}} ), i ≤ j ≤ n − 1.

Démonstration. Si a ∉ [1, +∞], la fonction t ↦ ln |1 − at| est définie et continue sur [0, 1]. Soit Log la détermination principale du logarithme complexe, définie sur ℂ ∖] − ∞, 0]. Comme ln |z| = Re(Log z), on en déduit aisément

ϕ(0) = 0, ϕ(a) = Re [(1 − \frac{1}{a}) Log (1 − a)] − 1 si a ∉ \{0\} ∪ [1, +∞[

grâce à une intégration par parties. Si a ∈ [1, +∞[, un calcul analogue donne ϕ(1) = −1 et ϕ(a) = (1 − \frac{1}{a}) ln (a − 1) − 1 pour a > 1. La continuité de ϕ se vérifie sur ces formules (exercice !)

Égalité (i) : on effectue le changement de variable

x = x_{j} + ht, dx = h dt, t ∈ [0, 1].

Il vient :

\frac{1}{h} ∫_{x_{j}}^{x_{j+1}} ln |z − x| dx = ∫_{0}^{1} ln |z − x_{j} − ht| dt

= ∫_{0}^{1} ln (|z − x_{j}| · |1 − \frac{h}{z − x_{j}} t|)dt

= ln |z − x_{j}| + ϕ(\frac{h}{z − x_{j}} ).

Égalité (ii) : s’obtient de même en posant x = x_{j+1} − ht.

En sommant les différentes égalités (i) et (ii), on obtient

(∗) \frac{1}{h} ∫_{a}^{b} ln |z − x|dx − ∑_{j≠i} ln |z − x_{j}| = ∑_{j=0}^{i−1} ϕ(\frac{h}{z − x_{j}} ) + ∑_{j=i+1}^{n} ϕ( − \frac{h}{z − x_{j}} ).

z x_{0} x_{1}  x_{j}  x_{i−1} x_{i} x_{i+1}  x_{n}

Si 0 ≤ j < i, le fait que |z − x_{i}| = min |z − x_{k}| implique Re z ≥ x_{i} − \frac{h}{2} d’où

|z − x_{j}| ≥ Re(z − x_{j}) ≥ x_{i} − \frac{h}{2} − x_{j} = (i − j − \frac{1}{2})h ≥ \frac{1}{2}(i − j)h

car \frac{1}{2} ≤ \frac{1}{2}(i − j). Comme Re w > 0 implique Re (1/w) > 0, on en déduit donc :

Re (\frac{h}{z − x_{j}} ) > 0, |\frac{h}{z − x_{j}} | ≤ \frac{2}{i − j} ≤ 2.

Si i < j ≤ n, on obtient de même Re z ≤ x_{i} + \frac{h}{2} et

|z − x_{j}| ≥ Re(x_{j} − z) ≥ x_{j} − x_{i} − \frac{h}{2} = (j − i − \frac{1}{2})h ≥ \frac{1}{2}(j − i)h,

Re ( − \frac{h}{z − x_{j}} ) > 0, |\frac{h}{z − x_{j}} | ≤ \frac{2}{j − i} ≤ 2.

Lemme 2. Pour a ∈ ℂ tel que Re a ≥ 0 et |a| ≤ 2 on a

ϕ(a) = −\frac{1}{2} ln |1 + a| + O(|a|^{2}).

Démonstration. Les deux membres étant continus sur Re a ≥ 0, il suffit de montrer l’estimation lorsque a est voisin de 0. On sait que Log (1 + z) = z + O(|z|^{2}) d’où

ln |1 + z| = Re Log(1 + z) = Re Log(1 + z) = Re z + O(|z|^{2}),

ϕ(a) = ∫_{0}^{1}(− Re a · t + O(|a|^{2}t^{2}))dt = −\frac{1}{2} Re a + O(|a|^{2}),

tandis que ln |1 + a| = Re a + O(|a|^{2}). Le lemme s’ensuit.

L’égalité (∗) ci-dessus et le lemme 2 appliqué avec a = ±\frac{h}{z−x_{j}} = O(\frac{1}{j−i}) impliquent alors

∑_{j≠i} ln |z − x_{j}| − \frac{1}{h} ∫_{a}^{b} ln |z − x|dx = \frac{1}{2} ∑_{j=0}^{i−1} ln |1 + \frac{h}{z − x_{j}} | + \frac{1}{2} ∑_{j=i+1}^{n} ln |1 − \frac{h}{z − x_{j}} |

+ O (\frac{1}{i^{2}} + \frac{1}{(i − 1)^{2}} + … + \frac{1}{1^{2}} ) + O (\frac{1}{1^{2}} + … + \frac{1}{(n − i)^{2}} ) .

Comme la série ∑_{n=1}^{+∞} \frac{1}{n^{2}} est convergente, les termes complémentaires sont bornés, c’est-à-dire O(1). De plus

\begin{aligned}1 + \frac{h}{z − x_{j}} & = \frac{z − x_{j} + h}{z − x_{j}} = \frac{z − x_{j−1}}{z − x_{j}} , \\ 1 − \frac{h}{z − x_{j}} & = \frac{z − x_{j} − h}{z − x_{j}} = \frac{z − x_{j+1}}{z − x_{j}} . \end{aligned}

Dans les deux sommations, les logarithmes se simplifient alors mutuellement, ce qui donne

∑_{j≠i} ln |z − x_{j}| − \frac{1}{h} ∫_{a}^{b} ln |z − x|dx = \frac{1}{2} ln |\frac{z − x_{−1}}{z − x_{i−1}} · \frac{z − x_{n+1}}{z − x_{i+1}} | + O(1)

avec x_{−1} = a − h et x_{n+1} = b + h. En prenant l’exponentielle et en multipliant par |z − x_{i}|, on obtient

(∗∗) ∏ |z −x_{j}| = |z −x_{i}| exp (O(1)+ \frac{1}{h} ∫_{a}^{b} ln |z −x|dx)·\sqrt{\frac{|z − x_{1}|}{|z − x_{i−1}|} · \frac{|z − x_{n+1}|}{|z − x_{i+1}|}}.

La quantité sous la racine est comprise entre 1 et (1 + 2n)^{2}. En effet on a

1 ≤ \frac{|z − x_{−1}|}{|z − x_{i−1}|} ≤ \frac{|z − x_{i−1}| + ih}{|z − x_{i−1}|} ≤ 1 + 2i,

car |z − x_{i−1}| ≥ Re(z − x_{i−1}) ≥ \frac{h}{2} si i ≠ 0, le premier quotient étant égal à 1 si i = 0. Le deuxième quotient est majoré de même par 1 + 2(n − i). Comme exp(O(1)) est encadré par deux constantes positives et \frac{1}{h} = \frac{n}{b−a}, on obtient l’estimation suivante.

Estimation de π_{n+1}. On pose A(z) = exp (\frac{1}{b − a} ∫_{a}^{b} ln |z − x|dx).

Alors il existe des constantes C_{1}, C_{2} > 0 telles que

C_{1}δ_{n}(z)A(z)^{n} ≤ |π_{n+1}(z)| ≤ C_{2}nδ_{n}(z)A(z)^{n}.

On voit donc que le terme dominant du comportement de |π_{n+1}(z)| est le facteur exponentiel A(z)^{n}. Pour évaluer ∥π_{n+1}∥_{[a,b]}, il suffit de calculer A(x) lorsque x ∈ [a, b] :

A(x) = exp (\frac{1}{b − a} ∫_{a}^{b} ln |x − t|dt).

La fonction t ↦ ln |t − x| est discontinue en t = x, mais le lecteur pourra s’assurer que l’intégration par parties suivante est légitime :

∫_{a}^{b} ln |t − x|dt = [(t − x) ln |t − x|]_{a}^{b} − ∫_{a}^{b}(t − x)\frac{dt}{t − x}
= (b − x) ln (b − x) + (x − a) ln (x − a) − (b − a),

car la fonction t ↦ (t − x) ln |t − x| est continue sur [a, b] et on peut passer à la limite sur chacun des intervalles [a, x − ε] et [x + ε, b]. Il en résulte

\{ \begin{matrix}A(x) & = \frac{1}{e} (x − a)^{\frac{x−a}{b−a}} (b − x)^{\frac{b−x}{b−a}} si x ∈ ]a, b[, \\ A(a) & = A(b) = \frac{1}{e} (b − a). \end{matrix}

Une étude de x ↦ A(x) donne l’allure du graphe :

a  b^{\frac{a+b}{2}}  x 0 y  A(x) \frac{1}{e}(b − a) \frac{1}{2e}(b − a)

La fonction A atteint donc son maximum ∥A∥ = \frac{1}{e}(b−a) en x = a ou b et son minimum \frac{1}{2e}(b − a) en x = \frac{a+b}{2}. D’un point de vue pratique, il va en résulter que la convergence de p_{n}(x) est en général beaucoup moins bonne au voisinage des extrémités a, b qu’au centre de l’intervalle.

2.3.* Phénomène de Runge

L’objet de ce paragraphe est de donner un exemple concret de fonction analytique f pour laquelle les polynômes d’interpolation ne forment pas une suite convergente. Nous considérons pour cela la fonction

f_{α}(x) = \frac{1}{x^{2} + α^{2}} , x ∈ [−1, 1],

où α > 0 est un paramètre.

y 1/α^{2} f_{α} −1  0  1  x p_{n} (n = 14)

Soit p_{n} le polynôme d’interpolation de f aux points x_{j} = −1+j \frac{1}{n}, 0 ≤ j ≤ n. On a ici

f_{α}(x) = \frac{1}{α^{2}} \frac{1}{1 + \frac{x^{2}}{α^{2}}} = \frac{1}{α^{2}} ∑_{k=0}^{+∞}(−1)^{k}(\frac{x^{2}}{α^{2}} )^{k}

avec rayon de convergence R = α. D’après le § 2.1, on voit donc que p_{n} converge uniformément vers f_{α} dès que α > 2(\frac{1}{2} + \frac{1}{e}) ≃ 1, 74. Qu’en est-il si α est petit ?

Calcul de p_{n}(x). L’erreur d’interpolation est donnée ici par

f_{α}(x) − p_{n}(x) = \frac{1}{x^{2} + α^{2}} − p_{n}(x) = \frac{1 − (x^{2} + α^{2})p_{n}(x)}{x^{2} + α^{2}}.

Le polynôme 1 − (x^{2} + α^{2})p_{n}(x) est de degré ≤ n + 2, nul aux points x_{0}, …, x_{n} (puisque p_{n} interpole f) et égal à 1 aux points ±iα. En particulier 1 − (x^{2} + α^{2})p_{n}(x) est divisible par π_{n+1}(x) = ∏(x − x_{j}), le quotient étant de degré 0 ou 1. Examinons la parité de ce quotient.

Comme les points x_{j} sont répartis symétriquement par rapport à 0, le polynôme p_{n} est toujours pair, tandis que π_{n+1} est pair si n est impair et vice-versa. Le quotient est un binôme c_{0} + c_{1}x, pair si n est impair, impair si n est pair. Par conséquent

1 − (x^{2} + α^{2})p_{n}(x) = \{ \begin{matrix}c_{0} · π_{n+1}(x) & si n est impair, \\ c_{1}x · π_{n+1}(x) & si n est pair. \end{matrix}

En substituant x = iα, on trouve c_{0} = 1/π_{n+1}(iα) et c_{1} = 1/iαπ_{n+1}(iα), d’où

f_{α}(x) − p_{n}(x) = \{ \begin{matrix}\frac{1}{x^{2} + α^{2}} \frac{π_{n+1}(x)}{π_{n+1}(iα)} & si n est impair, \\ \frac{x}{iα(x^{2} + α^{2})} \frac{π_{n+1}(x)}{π_{n+1}(iα)} & si n est pair. \end{matrix}

On va maintenant étudier très précisément la convergence ponctuelle de p_{n}(x), en utilisant les estimations du § 2.2.

Étude de la convergence ponctuelle de la suite p_{n}(x).

Si x = ±1, p_{n}(x) = p_{n}(±1) = f_{α}(±1) = \frac{1}{1+α^{2}} est une suite constante. On suppose donc dans la suite que x est un point fixé dans ] − 1, 1[ et on cherche à obtenir une estimation de |π_{n+1}(x)/π_{n+1}(iα)|. Pour x = iα, la formule (∗∗) du § 2.2 montre qu’il existe des constantes C_{3}, C_{4} > 0 telles que

C_{3}A(iα)^{n} ≤ |π_{n+1}(iα)| ≤ C_{4}A(iα)^{n}

car α ≤ |iα − x_{j}| ≤ \sqrt{α^{2} + 4} pour tout j ∈ \{−1, …, n + 1\}. De même pour z = x ∈ ] − 1, 1[, les quantités |z − x_{i−1}| et |z − x_{i+1}| sont du même ordre de grandeur que h = \frac{2}{n}, tandis que |z − x_{−1}| et |z − x_{n+1}| tendent respectivement vers 1 + x et 1 − x. On a donc des constantes positives C_{5}, C_{6}, … telles que

\begin{aligned}C_{5}nδ_{n}(x)A(x)^{n} & ≤ |π_{n+1}(x)| ≤ C_{6}nδ_{n}(x)A(x)^{n}, \\ C_{7}nδ_{n}(x)(\frac{A(x)}{A(iα)})^{n} & ≤ |f_{α}(x) − p_{n}(x)| ≤ C_{8}nδ_{n}(x)(\frac{A(x)}{A(iα)})^{n}. \end{aligned}

Les calculs du § 2.2 donnent

A(x) = \frac{1}{e} (1 + x)^{\frac{1+x}{2}} (1 − x)^{\frac{1−x}{2}} ,
A(iα) = exp (\frac{1}{2} ∫_{−1}^{1} ln |iα − x|dx) = exp (\frac{1}{4} ∫_{−1}^{1} ln (x^{2} + α^{2})dx)

= exp (\frac{1}{2} ∫_{0}^{1} ln(x^{2} + α^{2})dx) = \frac{1}{e}\sqrt{1 + α^{2}} exp (α Arctan \frac{1}{α}),

ln (x^{2} + α^{2}) ayant pour primitive x ln (x^{2} + α^{2}) − 2x + α Arctan x/α. La fonction α ↦ A(iα) est strictement croissante sur ]0, +∞[, avec

lim_{α→0} A(iα) = \frac{1}{e}, lim_{α→+∞} A(iα) = +∞.

La valeur critique est la valeur α_{0} telle que

A(iα_{0}) = sup_{x∈[−1,1]} A(x) = \frac{2}{e},

soit α_{0} ≃ 0, 526. Pour α > α_{0}, la suite (p_{n}) converge ponctuellement (et même uniformément) vers f_{α} sur [−1, 1]. Pour α < α_{0}, on a le schéma suivant :

A(x) A(iα) 2/e 1/e −1  0  x 1 y

• Si A(x) < A(iα) (intervalle ouvert marqué en gris), p_{n}(x) converge vers f_{α}(x).

• Si x ∈ ] − 1, 1[ et A(x) ≥ A(iα), la suite (p_{n}(x)) diverge comme on le voit à l’aide du lemme suivant.

Lemme. Pour tout n ∈ ℕ^{∗}, on a

max (nδ_{n}(x), (n + 1)δ_{n+1}(x)) ≥ \frac{1}{2} min(1 + x, 1 − x) > 0.

Il existe en effet des indices j, k tels que

\begin{aligned}δ_{n}(x) & = |x − x_{j,n}| = |x − ( − 1 + j · \frac{2}{n})|, \\ δ_{n+1}(x) & = |x − x_{k,n}| = |x − ( − 1 + k · \frac{2}{n + 1})|. \end{aligned}

On obtient donc

max (nδ_{n}(x), (n + 1)δ_{n+1}(x)) ≥ \frac{1}{2}(nδ_{n}(x) + (n + 1)δ_{n+1}(x))

≥ \frac{1}{2}(|n(x + 1) − 2j| + |(n + 1)(x + 1) − 2k|)

≥ \frac{1}{2} |différence| = \frac{1}{2} |x + 1 − 2k + 2j|

≥ \frac{1}{2} distance (x, 2ℤ + 1) = \frac{1}{2} min(|x − 1|, |x + 1|).

Grâce au lemme, on voit que

max (|f_{α}(x) − p_{n}(x)| , |f_{α}(x) − p_{n+1}(x)|) ≥ C (\frac{A(x)}{A(iα)})^{n} ,

donc la suite (|f_{α}(x) − p_{n}(x)|)_{n∈ℕ} n’est pas bornée si A(x) > A(iα) et ne tend pas vers 0 si A(x) = A(iα). Cet exemple montre que, même pour une fonction f parfaitement régulière, il ne faut pas s’attendre à ce que les polynômes d’interpolation p_{n} aux points équidistants convergent vers f sur l’intervalle d’interpolation.

3. Meilleure approximation uniforme

3.1. Existence et unicité du polynôme de meilleure approximation uniforme

On munit l’espace vectoriel 𝒞([a, b]) des fonctions continues f : [a, b] → ℝ de la norme uniforme

∥f∥ = sup_{x∈[a,b]} |f(x)|,

et de la distance uniforme associée d(f, g) = ∥f − g∥. On note donc

d(f, 𝒫_{n}) = inf_{p∈𝒫_{n}} ∥f − p∥.

Théorème et définition. Pour tout n ∈ ℕ, il existe un unique polynôme q_{n} ∈ 𝒫_{n} qui réalise le minimum de la distance

∥f − q_{n}∥ = d(f, 𝒫_{n})

Ce polynôme est appelée polynôme de meilleure approximation uniforme de f à l’ordre n.

Démontrons d’abord l’existence de q_{n}. En approximant f par p = 0, on voit que d(f, 𝒫_{n}) ≤ ∥f∥. L’ensemble des polynômes p ∈ 𝒫_{n} tels que ∥f − p∥ ≤ ∥f∥ est une partie fermée et bornée K ⊂ 𝒫_{n}, non vide puisque 0 ∈ K. Comme 𝒫_{n} est de dimension finie, K est une partie compacte, donc la fonction continue p ↦ ∥f − p∥ atteint son inf en un point p = q_{n} ∈ K.

Avant de prouver l’unicité, nous introduisons une définition commode.

Définition. On dit qu’une fonction g ∈ 𝒞([a, b]) équioscille sur (k + 1) points de [a, b] s’il existe des points x_{0} < x_{1} < … < x_{k} dans [a, b] tels que

∀i = 0, 1, …, k, |g(x_{i})| = ∥g∥ et ∀i = 0, 1, …, k − 1, g(x_{i+1}) = −g(x_{i}).

a ^{x_{0}}  ^{x_{1}}  ^{x_{2}}  ^{x_{3}}  ^{x_{4}} ^{b} ^{x}^{0}^{y}^{∥g∥}^{−∥g∥}  g

Preuve de l’unicité.* Montrons que si p ∈ 𝒫_{n} est un polynôme réalisant le minimum de la distance ∥f − p∥, alors g = f − p équioscille sur n + 2 points de [a, b]. Si ce n’est pas le cas, soit

x_{0} = inf {x ∈ [a, b] ; |g(x)| = ∥g∥}

le premier point en lequel g atteint sa valeur absolue maximum, puis x_{1} le premier point > x_{0} en lequel g(x_{1}) = −g(x_{0}), …, x_{i+1} le premier point > x_{i} en lequel g(x_{i+1}) = −g(x_{i}). Supposons que cette suite s’arrête en i = k ≤ n. D’après le théorème des valeurs intermédiaires, g s’annule nécessairement sur chaque intervalle [x_{i−1}, x_{i}]. Soit c_{i} ∈ [x_{i−1}, x_{i}] le plus grand réel de cet intervalle tel que g(c_{i}) = 0, de sorte que

a ≤ x_{0} < c_{1} < x_{1} < c_{2} < … < x_{k−1} < c_{k} < x_{k} ≤ b.

Supposons par exemple g(x_{0}) > 0 et posons

\begin{aligned}π(x) & = (c_{1} − x)(c_{2} − x) … (c_{k} − x), π ∈ 𝒫_{n}, \\ g_{ε}(x) & = g(x) − επ(x) = f(x) − (p(x) + επ(x)). \end{aligned}

On va montrer que ∥g_{ε}∥ < ∥g∥ pour ε > 0 assez petit, ce qui contredira la minimalité de ∥f − p∥. Par construction, on a signe(g(x_{i})) = (−1)^{i} et

\begin{aligned}−∥g∥ & < g(x) ≤ ∥g∥ sur [a, x_{0}], \\ −∥g∥ & ≤ (−1)^{i}g(x) < ∥g∥ sur [x_{i−1}, c_{i}] \end{aligned}

(si on avait seulement ≤ au lieu de <, alors on aurait x_{i} ≤ c_{i}),

0 ≤ (−1)^{i}g(x) ≤ ∥g∥ sur [c_{i}, x_{i}]

(si on avait une valeur < 0, g(x) s’annulerait sur ]c_{i}, x_{i}[),

−∥g∥ < (−1)^{k}g(x) ≤ ∥g∥ sur [x_{k}, b]

(si on avait seulement ≤ au lieu de <, il y aurait un point x_{k+1}).

Il existe donc une constante A < ∥g∥ positive telle que g(x) ≥ −A sur [a, x_{0}], (−1)^{i}g(x) ≤ A sur [x_{i−1}, c_{i}] et (−1)^{k}g(x) ≥ −A sur [x_{k}, b]. En notant M = sup_{[a,b]} |π(x)| et en tenant compte du fait que signe(π(x)) = (−1)^{i} sur ]c_{i}, c_{i+1}[, on obtient donc

−A − εM ≤ g_{ε}(x) < ∥g∥  sur [a, x_{0}],
−∥g∥ < (−1)^{i}g_{ε}(x) ≤ A + εM sur [x_{i−1}, c_{i}],
−εM ≤ (−1)^{i}g_{ε}(x) < ∥g∥  sur [c_{i}, x_{i}],
−A − εM ≤ (−1)^{k}g_{ε}(x) < ∥g∥ sur [x_{k}, b],

ce qui implique ∥g_{ε}∥ < ∥g∥ dès que ε est assez petit. Cette contradiction entraîne k ≥ n + 1, ce qu’il fallait démontrer.

Pour vérifier l’unicité de p, il suffit de montrer que pour tout polynôme q ∈ 𝒫_{n}, q ≠ p, il existe un point x_{i} avec 0 ≤ i ≤ n + 1 tel que

(−1)^{i}(f(x_{i}) − q(x_{i})) > (−1)^{i}(f(x_{i}) − p(x_{i})) ;

ceci entraînera en particulier ∥f − q∥ > ∥f − p∥. Sinon, pour tout i = 0, 1, …, n + 1 on aurait

(−1)^{i}(p(x_{i}) − q(x_{i})) ≤ 0.

D’après le théorème des valeurs intermédiaires, il existerait un point ξ_{i} ∈ [x_{i}, x_{i+1}] tel que p(ξ_{i})−q(ξ_{i}) = 0 pour i = 0, 1, …, n. Si les ξ_{i} sont tous distincts, alors p−q aurait n + 1 racines, donc p = q contrairement à l’hypothèse. Or, on peut choisir ξ_{i−1} < ξ_{i}, sauf si dans l’intervalle [x_{i−1}, x_{i+1}] le polynôme (−1)^{i}(p(x) − q(x)) ne s’annule qu’en x = x_{i}, auquel cas on doit prendre ξ_{i−1} = x_{i} = ξ_{i}. Dans ce cas (−1)^{i}(p(x) − q(x)) reste ≥ 0 sur [x_{i−1}, x_{i+1}] car son signe est positif en x = x_{i−1} et x = x_{i+1}. Ceci entraîne que ξ_{i} = x_{i} est racine au moins double de p − q, par suite p − q aurait encore n + 1 racines compte tenu des multiplicités, contradiction.

Observons en outre que d’après la démonstration précédente, le polynôme de meilleure approximation uniforme se caractérise comme suit :

Caractérisation. Pour f ∈ 𝒞([a, b]), le polynôme de meilleure approximation uniforme q_{n} ∈ 𝒫_{n} de f est l’unique polynôme de degré ≤ n tel que f − q_{n} équioscille sur au moins (n + 2) points de [a, b].

Exemple. Écrivons les polynômes de Tchebychev sous la forme

2^{−n}t_{n+1}(x) = x^{n+1} − q_{n}(x)

avec q_{n} de degré ≤ n. Comme t_{n+1}(cos θ) = cos (n + 1)θ équioscille sur les n + 2 points θ_{i} = i \frac{π}{n+1}, 0 ≤ i ≤ n + 1, on en déduit que q_{n}(x) est le polynôme de meilleure approximation uniforme à l’ordre n de x^{n+1} sur [−1, 1]. Autrement dit, 2^{−n}t_{n+1} est le polynôme unitaire de degré n + 1 ayant la plus petite norme uniforme possible sur [−1, 1] : cette norme vaut 2^{−n}.

3.2. Densité des polynômes dans 𝒞([a, b])

Il est malheureusement très difficile en général de déterminer le polynôme de meilleure approximation uniforme q_{n}. C’est pourquoi nous allons étudier ici une méthode beaucoup plus explicite d’approximation.

Définition. Si f ∈ 𝒞([a, b]), le module de continuité de f est la fonction ω_{f} : ℝ_{+} → ℝ_{+} définie par

ω_{f}(t) = sup {|f(x) − f(y)| ; x, y ∈ [a, b] avec |x − y| ≤ t}.

Pour tous x, y ∈ [a, b], on a alors

|f(x) − f(y)| ≤ ω_{f}(|x − y|),

de sorte que ω_{f} mesure quantitativement la continuité de f.

Propriétés du module de continuité.

(i) t ↦ ω_{f}(t) est une fonction croissante.

(ii) lim_{t→0^{+}} ω_{f}(t) = 0.

(iii) Pour tous t_{1}, t_{2} ∈ ℝ_{+}, ω_{f}(t_{1} + t_{2}) ≤ ω_{f}(t_{1}) + ω_{f}(t_{2}).

(iv) Pour tout n ∈ ℕ et tout t ∈ ℝ_{+}, ω_{f}(nt) ≤ n ω_{f}(t).

(v) Pour tout λ ∈ ℝ_{+} et tout t ∈ ℝ_{+}, ω_{f}(λt) ≤ (λ + 1)ω_{f}(t).

Démonstration. (i) est évident, (ii) résulte du fait que toute fonction continue sur [a, b] y est uniformément continue.

(iii) Soient x, y ∈ [a, b] quelconques tels que |x − y| ≤ t_{1} + t_{2}. Il existe alors z ∈ [x, y] tel que |x − z| ≤ t_{1} et |z − y| ≤ t_{2}, d’où

|f(x) − f(y)| ≤ |f(x) − f(z)| + |f(z) − f(y)| ≤ ω_{f}(t_{1}) + ω_{f}(t_{2}).

L’inégalité (iii) s’en déduit en prenant le sup sur x, y.

(iv) se déduit immédiatement de (iii) et (v) s’obtient en appliquant (iv) à n = E(λ) + 1.

Nous allons maintenant introduire les polynômes dits de Jackson, donnant une assez bonne approximation d’une fonction continue quelconque. Pour tout entier n ≥ 2, on considère le polynôme trigonométrique J_{n} ≥ 0 de degré n − 2

J_{n}(θ) = c_{n} ∏_{1≤k≤n−2} (1 − cos (θ − \frac{2k + 1}{n}) π)

où c_{n} > 0 est fixée telle que J_{n}(\frac{π}{n}) = \frac{1}{2}. En changeant k en n − 1 − k on voit aussitôt que J_{n}(−θ) = J_{n}(θ). De plus, pour tout k ∈ ℤ, on a J_{n}(\frac{2k+1}{n} π) = 0 si k ≢ 0 ou −1 (mod n), tandis que J_{n}( ± \frac{π}{n}) = \frac{1}{2}. Nous avons besoin du lemme suivant.

Lemme. Soit P (θ) = ∑_{|j|≤n−1} a_{j}e^{ijθ}, j ∈ ℤ, un polynôme trigonométrique de degré au plus n − 1. Alors

(∀θ ∈ ℝ) ∑_{0≤k≤n−1} P (θ − k \frac{2π}{n} ) = na_{0}.

Démonstration. En effet ∑_{0≤k≤n−1} e^{ij(θ−k2π/n)} = e^{ijθ} \frac{1−e^{−ijn2π/n}}{1−e^{−ij2π/n}} = 0 si j ≢ 0 (mod n), et la somme vaut n si j = 0.

Comme J_{n}(θ) et J_{n}(θ)(1 − cos θ) sont des polynômes trigonométriques de degré n − 2 et n − 1 respectivement, on en déduit que

\begin{matrix}∑_{0≤k≤n−1} J_{n}(θ − k \frac{2π}{n} ) = 1, \\ ∑_{0≤k≤n−1} J_{n}(θ − k \frac{2π}{n} )(1 − cos (θ − k \frac{2π}{n} )) = 1 − cos \frac{π}{n} ; \end{matrix}

en effet, d’après le lemme, ces sommes sont des constantes et pour θ = −\frac{π}{n} la définition de J_{n}(θ) montre que J_{n}(θ − k \frac{2π}{n} ) = 0 sauf pour k = 0 et k = n − 1, auquel cas J_{n}(θ − k \frac{2π}{n} ) = \frac{1}{2}. Observons de plus que

| cos θ − cos k \frac{2π}{n} |^{2} = | Re (e^{iθ} − e^{ik 2π/n})|^{2}

≤ |e^{iθ} − e^{ik 2π/n}|^{2} = |e^{i(θ−k 2π/n)} − 1|^{2}

= 2(1 − cos (θ − k \frac{2π}{n} )).

En appliquant l’inégalité de Cauchy-Schwarz | ∑ a_{k}b_{k}| ≤ ( ∑ a_{k}^{2})^{1/2}( ∑ b_{k}^{2})^{1/2} aux quantités

a_{k} = J_{n}(θ − k \frac{2π}{n} )^{1/2}, b_{k} = J_{n}(θ − k \frac{2π}{n} )^{1/2}| cos θ − cos k \frac{2π}{n} |,

on en déduit

∑_{0≤k≤n−1}J_{n}(θ − k \frac{2π}{n} )| cos θ − cos k \frac{2π}{n} |

≤ (∑_{k} J_{n}(θ − k \frac{2π}{n} ))^{1/2} · (∑_{k} J_{n}(θ − k \frac{2π}{n} ) |cos θ − cos k \frac{2π}{n} |^{2})^{1/2}

≤ (2 ∑_{k} J_{n}(θ − k \frac{2π}{n} )(1 − cos (θ − k \frac{2π}{n} )))^{1/2}

≤ (2(1 − cos \frac{π}{n}))^{1/2} = 2 sin \frac{π}{2n} ≤ \frac{π}{n}.  (∗)

Soit maintenant f ∈ 𝒞([−1, 1]) une fonction continue quelconque. On lui associe le polynôme trigonométrique de degré ≤ n − 2

φ_{n}(θ) = ∑_{0≤k≤n−1} f( cos k \frac{2π}{n} )J_{n}(θ − k \frac{2π}{n} ).

En changeant k en n − k pour 1 ≤ k ≤ n − 1, on voit que φ_{n}(−θ) = φ_{n}(θ), par conséquent φ_{n}(θ) est combinaison linéaire des fonctions paires 1, cos θ, …, cos (n − 2)θ. Comme celles-ci sont précisément données par les polynômes de Tchebychev t_{k}(cos θ), on voit qu’il existe un polynôme p_{n−2} de degré ≤ n − 2 tel que φ_{n}(θ) = p_{n−2}(cos θ). Pour des raisons similaires, il existe un polynôme j_{n,k}(x) de degré ≤ n − 2 tel que

\frac{1}{2} (J_{n}(θ + k \frac{2π}{n} ) + J_{n}(θ − k \frac{2π}{n} )) = j_{n,k}(cos θ).

En observant que p_{n−2}(cos θ) = \frac{1}{2} (φ_{n}(θ) + φ_{n}(−θ)) et en substituant x = cos θ, on peut exprimer explicitement le polynôme p_{n−2} à partir des j_{n,k} :

p_{n−2}(x) = ∑_{0≤k≤n−1} f( cos k \frac{2π}{n} )j_{n,k}(x), ∀x ∈ [−1, 1].

Ce polynôme sera appelé polynôme d’approximation de Jackson de degré n − 2 de f. Cela étant, nous avons le :

Théorème de Jackson. Pour tout f ∈ 𝒞([a, b]), les polynômes d’approximation de Jackson vérifient

∥f − p_{n}∥ ≤ 3 ω_{f}(\frac{b − a}{n + 2}).

Démonstration. Le cas d’un intervalle [a, b] quelconque se ramène facilement au cas où [a, b] = [−1, 1], en utilisant le même changement de variable qu’au § 1.5. On suppose donc f ∈ 𝒞([−1, 1]) et on cherche à majorer

∥f − p_{n−2}∥_{[−1,1]} = sup_{θ∈[0,π]} |f(cos θ) − φ_{n}(θ)|.

La propriété ∑ J_{n}(θ − k \frac{2π}{n} ) = 1 permet d’écrire

f(cos θ) = ∑_{0≤k≤n−1} f(cos θ)J_{n}(θ − k \frac{2π}{n} ),

d’où

f(cos θ) − φ_{n}(θ) = ∑_{0≤k≤n−1} (f(cos θ) − f( cos k \frac{2π}{n} )) J_{n}(θ − k \frac{2π}{n} )

par définition de φ_{n}. La propriété (v) du module de continuité avec t = \frac{2}{n} et λ = \frac{n}{2} | cos θ − cos k \frac{2π}{n} | implique

|f(cos θ) − f( cos k \frac{2π}{k} )| ≤ ω_{f}(λt)

≤ (1 + \frac{n}{2}| cos θ − cos k \frac{2π}{n} |)ω_{f}(\frac{2}{n}),

par conséquent l’inégalité (∗) donne

|f(cos θ) − φ_{n}(θ)| ≤ [ ∑_{0≤k≤n−1} J_{n}(θ − k \frac{2π}{n} )(1 + \frac{n}{2}| cos θ − cos k \frac{2π}{n} |)] ω_{f}(\frac{2}{n})

≤ (1 + \frac{n}{2} · \frac{π}{n})ω_{f}(\frac{2}{n}).

On obtient donc finalement

∥f − p_{n−2}∥ ≤ (1 + \frac{π}{2} )ω_{f}(\frac{2}{n}) ≤ 3 ω_{f}(\frac{2}{n}).

Il résulte du théorème de Jackson que (p_{n}) converge uniformément vers f quand n tend vers +∞. Comme le polynôme de meilleure approximation q_{n} satisfait par définition ∥f − q_{n}∥ ≤ ∥f − p_{n}∥, on en déduit que (q_{n}) converge uniformément vers f quand n tend vers +∞. Ce fait qualitatif équivaut à l’énoncé classique suivant :

Théorème de Weierstrass. L’espace 𝒫 des polynômes est dense dans 𝒞([a, b]) pour la norme uniforme.

Il existe beaucoup d’autres démontsrations de ce résultat. On le démontre souvent comme corollaire du théorème général de Stone-Weierstrass. L’exercice 6.4 en donne une autre démontration reposant sur l’utilisation des polynômes d’approximation de Bernstein.

4. Stabilité numérique du procédé d’interpolation de Lagrange

4.1. Constante de Lebesgue associée aux points d’interpolation

Soient x_{0}, x_{1}, …, x_{n} ∈ [a, b] des points 2 à 2 distincts. On considère l’opérateur d’interpolation de Lagrange

\begin{matrix}L_{n} : 𝒞([a, b]) & ⟶ 𝒫_{n} \\ f & ⟼ p_{n}. \end{matrix}

Dans la pratique, la fonction f à interpoler n’est pas connue exactement : on ne dispose que d’une valeur approchée f̃ = f + g, où g est un terme d’erreur. Au lieu de calculer p_{n} = L_{n}(f), on va donc calculer p̃_{n} = L_{n}(f̃) = L_{n}(f) + L_{n}(g) = p_{n} + L_{n}(g).

Si g est l’erreur commise sur f, l’erreur sur p_{n} sera donc L_{n}(g). D’un point de vue numérique, il va être très important de pouvoir estimer ∥L_{n}(g)∥ en fonction de ∥g∥.

Rappelons la formule d’interpolation (∗) démontrée au § 1.1 : si L_{n}(g) = r_{n}, alors

r_{n}(x) = ∑_{i=0}^{n} g(x_{i})l_{i}(x).

On a donc

|r_{n}(x)| ≤ (∑_{i=0}^{n} |l_{i}(x)|) ∥g∥.

Théorème et définition. La norme de l’opérateur d’interpolation L_{n} est

Λ_{n} = sup_{x∈[a,b]} (∑_{i=0} |l_{i}(x)|) .

Le nombre Λ_{n} est appelé constante de Lebesgue associée à x_{0}, x_{1}, …, x_{n}.

Démonstration. D’après ce qui précède, on a ∥L_{n}(g)∥ = ∥r_{n}∥ ≤ Λ_{n}∥g∥, donc |||L_{n}||| ≤ Λ_{n}. Réciproquement, la continuité des l_{i} entraîne qu’il existe un point ξ ∈ [a, b] tel que Λ_{n} = ∑_{i=0}^{n} |l_{i}(ξ)|. On peut trouver une fonction g ∈ 𝒞([a, b]) affine par morceaux, telle que ∥g∥ = 1 et g(x_{i}) = ±1 = signe (l_{i}(ξ)). Alors

L_{n}(g)(ξ) = ∑_{i=0}^{n} |l_{i}(ξ)| = Λ_{n},

de sorte que ∥L_{n}(g)∥ ≥ Λ_{n} et |||L_{n}||| ≥ Λ_{n}.

Intuitivement, la constante Λ_{n} peut s’interpréter comme le facteur d’amplification de l’erreur dans le procédé d’interpolation de Lagrange. On va voir que Λ_{n} est également liée au problème de la convergence des polynômes d’interpolation, grâce à l’inégalité suivante :

Théorème. Pour tout f ∈ 𝒞([a, b]), on a

∥f − L_{n}(f)∥ ≤ (1 + Λ_{n})d(f, 𝒫_{n}).

Démonstration. Soit q_{n} le polynôme de meilleure approximation uniforme de f, de sorte que ∥f − q_{n}∥ = d(f, 𝒫_{n}). Puisque q_{n} ∈ 𝒫_{n}, on a L_{n}(q_{n}) = q_{n}, donc

f − L_{n}(f) = f − q_{n} − L_{n}(f − q_{n})
∥f − L_{n}(f)∥ ≤ ∥f − q_{n}∥ + ∥L_{n}(f − q_{n})∥
≤ ∥f − q_{n}∥ + Λ_{n}∥f − q_{n}∥ = (1 + Λ_{n})d(f, 𝒫_{n}).

4.2. Cas où les points x_{i} sont équidistants

Posons x_{i} = a + ih, 0 ≤ i ≤ n et x = a + sh, où s ∈ [0, n], h = \frac{b−a}{n}. On a alors

\begin{aligned}l_{i}(x) & ∏_{j≠i} \frac{(x − x_{j})}{(x_{i} − x_{j})} = ∏_{j≠i} \frac{s − j}{i − j} \\ & = (−1)^{n−i} \frac{s(s − 1) … ˆ (s − i) … (s − n)}{i!(n − i)!}, \end{aligned}

où ŝ − i désigne un facteur omis. On peut démontrer à partir de là que

Λ_{n} ∼ \frac{2^{n+1}}{en ln (n)}.

Nous nous contenterons de démontrer une minoration de Λ_{n}. Pour s = \frac{1}{2}, c’est-à-dire pour x = a + \frac{h}{2}, il vient

\begin{aligned}|l_{i}(x)| & = \frac{\frac{1}{2} · \frac{1}{2} · \frac{3}{2} … ˆ (i − \frac{1}{2}) … (n − \frac{1}{2})}{i!(n − i)!} \\ & ≥ \frac{1}{4} · \frac{1 · 2 … ˆ (i − 1) … (n − 1)}{i!(n − i)!} ≥ \frac{1}{4n^{2}} \frac{n!}{i!(n − i)!}. \end{aligned}

On en déduit

Λ_{n} ≥ ∑_{i=0}^{n} |l_{i}(x)| ≥ \frac{1}{4n^{2}} ∑_{i=0}^{n} \binom{n}{i} = \frac{1}{4n^{2}} 2^{n}.

Comme Λ_{n} tend vers +∞ assez rapidement, on voit que l’interpolation de Lagrange en des points équidistants n’est pas une méthode numérique très stable : les erreurs sont fortement amplifiées lorsque n est grand. Comme Λ_{n} tend en général nettement plus vite vers +∞ que d(f, 𝒫_{n}) ne tend vers 0 (cf. Th. de Jackson), le théorème cidessus donne également une indication de la raison pour laquelle le phénomène de Runge se produit.

Exercice E. Si x = a + sh avec s ∈ [k, k + 1], 0 ≤ k < n, montrer que |l_{i}(x)| ≤ \frac{(n−k)!(k+1)!}{i!(n−i)!} ≤ \frac{n!}{i!(n−i)!}. En déduire que Λ_{n} ≤ 2^{n}.

4.3. Cas des points d’interpolation de Tchebychev

Il est facile de voir que la constante Λ_{n} reste inchangée si l’on effectue un changement affine de coordonnées x ↦ αx + β. On se placera donc pour simplifier sur l’intervalle [−1, 1]. Dans ce cas, comme π_{n+1}(x) = 2^{−n}t_{n+1}(x) d’après le § 1.5, le polynôme d’interpolation d’une fonction f ∈ 𝒞([−1, 1]) est donné par

P_{n}(x) = ∑_{i=0} f(x_{i})l_{i}(x)

avec

l_{i}(x) = \frac{π_{n+1}(x)}{(x − x_{i})π′_{n+1}(x_{i})} = \frac{t_{n+1}(x)}{(x − x_{i})t′_{n+1}(x_{i})}.

Estimation de la constante de Lebesgue. On peut montrer que

Λ_{n} ∼ \frac{2}{π} ln (n) quand n → +∞.

Nous nous contenterons de vérifier que Λ_{n} ≤ C ln (n), où C est une constante positive, et laisserons au lecteur l’initiative de raffiner la méthode pour obtenir le résultat plus précis ci-dessus. Posons

x = cos θ, x_{i} = cos θ_{i} où θ_{i} = \frac{2i + 1}{2n + 2} π, 0 ≤ i ≤ n.

La relation t_{n+1}(cos θ) = cos (n + 1)θ entraîne par dérivation

sin θ t′_{n+1}(cos θ) = (n + 1) sin (n + 1)θ.

Comme sin (n + 1) θ_{i} = sin (2i + 1)\frac{π}{2} = (−1)^{i}, il vient

t′_{n+1}(x_{i}) = (n + 1) \frac{(−1)^{i}}{sin θ_{i}} ,
l_{i}(cos θ) = \frac{(−1)^{i} sin θ_{i} cos (n + 1)θ}{(n + 1)(cos θ − cos θ_{i})} ,
|l_{i}(cos θ)| = \frac{| sin θ_{i} cos (n + 1) θ|}{(n + 1)| cos θ − cos θ_{i}|}.

Minorons la quantité

cos θ − cos θ_{i} = −2 sin \frac{θ − θ_{i}}{2} sin \frac{θ + θ_{i}}{2} .

0  π/2  π  t 1 y  y = \frac{2}{π} t y = sin t

Pour t ∈ [0, \frac{π}{2} ] on a sin t ≥ \frac{2}{π} t, or

\frac{θ − θ_{i}}{2} ∈ [ − \frac{π}{2} , \frac{π}{2} ], donc | sin \frac{θ − θ_{i}}{2} | ≥ \frac{2}{π} \frac{|θ − θ_{i}|}{2}.

Par ailleurs \frac{θ+θ_{i}}{2} ∈ [\frac{θ_{i}}{2} , \frac{θ_{i}+π}{2} ] avec \frac{θ_{i}}{2} ≤ \frac{π}{2} et \frac{θ_{i}+π}{2} ≥ \frac{π}{2} , donc

| sin \frac{θ + θ_{i}}{2} | ≥ min ( sin \frac{θ_{i}}{2} , sin \frac{θ_{i} + π}{2} ) = min ( sin \frac{θ_{i}}{2} , cos \frac{θ_{i}}{2} ).

Comme sin θ_{i} = 2 sin \frac{θ_{i}}{2} cos \frac{θ_{i}}{2} ≤ 2 min ( sin \frac{θ_{i}}{2} , cos \frac{θ_{i}}{2} ), on obtient

(∗)  |l_{i}(cos θ)| ≤ π \frac{| cos (n + 1)θ|}{(n + 1)|θ − θ_{i}|}.

D’après le théorème des accroissements finis

cos (n + 1)θ = cos (n + 1)θ − cos (n + 1)θ_{i} = (n + 1)(θ − θ_{i})(− sin ξ),
| cos (n + 1)θ| ≤ (n + 1)|θ − θ_{i}|,

donc |l_{i}(cos θ)| ≤ π, ∀θ ∈ [0, π] \ {θ_{i}}, et ceci est encore vrai par continuité si θ = θ_{i}.

Fixons θ ∈ [0, π] et soit θ_{j} le point le plus proche de θ. Si on note h = \frac{π}{n+1} = θ_{i+1} −θ_{i}, alors on a

\begin{aligned}|θ − θ_{j}| & ≤ \frac{h}{2}, \\ |θ − θ_{i}| & ≥ |θ_{j} − θ_{i}| − |θ − θ_{j}| ≥ (|j − i| − 1)h. \end{aligned}

L’inégalité (∗) donne

∑_{i=0}^{n} |l_{i}(cos θ)| ≤ \frac{π}{(n + 1)h} ∑_{j≠i,i+1,i−1} \frac{1}{|j − i| − 1} + 3π,

d’où Λ_{n} ≤ 2(1 + \frac{1}{2} + … + \frac{1}{n}) + 3π ≤ C ln (n).

Exercice F. Montrer inversement que

∑_{i=0}^{n} |l_{i}(1)| = \frac{1}{n + 1} ∑_{i=0}^{n} cotan \frac{θ_{i}}{2} ≥ \frac{2}{π} ∫_{θ_{0}/2}^{π/2} cotan t dt ≥ \frac{2}{π} ln (n).

D’après le théorème du § 4.1 et le théorème de Jackson, on obtient pour tout f ∈ 𝒞([a, b]) :

∥f − L_{n}(f)∥ ≤ (1 + Λ_{n})d(f, 𝒫_{n}) ≤ C′ ln (n) · ω_{f}(\frac{b − a}{n + 2}).

Corollaire. On suppose que f est lipschitzienne, c’est-à-dire qu’il existe une constante K ≥ 0 telle que ∀x, y ∈ [a, b] on ait |f(x) − f(y)| ≤ K(x − y). Alors la suite L_{n}(f) des polynômes d’interpolation de Tchebychev converge uniformément vers f sur [a, b].

Sous ces hypothèses on a en effet ω_{f}(t) ≤ Kt, donc

∥f − L_{n}(f)∥ ≤ KC′(b − a) \frac{ln (n)}{n + 2},

ce qui tend vers 0 quand n tend vers +∞.

Ces résultats montrent que l’interpolation aux points de Tchebychev est considérablement plus fiable que l’interpolation en des points équidistants. Le schéma ci-dessous compare à titre d’exemple les polynômes d’interpolation de degré 6 associés à la fonction f(x) = 1/(x^{2} + α^{2}) pour α = \sqrt{8} (voir aussi le § 2.3).

y 1/α^{2} f_{α} −1  0  1  x p_{n} (n = 6) Points d’interpolation : équidistants de Tchebychev

5. Polynômes orthogonaux

Soit ]a, b[ un intervalle ouvert borné ou non dans ℝ. On se donne un poids sur ]a, b[, c’est-à-dire une fonction w : ]a, b[ → ]0, +∞[ continue. On suppose en outre que pour tout entier n ∈ ℕ l’intégrale ∫_{a}^{b}|x|^{n}w(x) dx est convergente ; c’est le cas par exemple si ]a, b[ est borné et si ∫_{a}^{b}w(x) dx converge. Sous ces hypothèses, on considère l’espace vectoriel E des fonctions continues sur ]a, b[ telles que

∥f∥_{2} = \sqrt{∫_{a}^{b} |f(x)|^{2}w(x) dx} < +∞.

Grâce aux hypothèses faites ci-dessus, E contient l’espace vectoriel des fonctions polynômes. L’espace E est muni d’un produit scalaire naturel

⟨f, g⟩ = ∫_{a}^{b} f(x)g(x)w(x) dx,

et ∥ ∥_{2} est la norme associée à ce produit scalaire ; cette norme est appelée norme L^{2} ou norme moyenne quadratique. On notera d_{2}(f, g) = ∥f − g∥_{2} la distance associée.

Théorème 1. Il existe une suite de polynômes unitaires (p_{n})_{n∈ℕ}, deg(p_{n}) = n, orthogonaux 2 à 2 pour le produit scalaire de E. Cette suite est unique. Les polynômes p_{n} sont appelés polynômes orthogonaux pour le poids w.

Démonstration. On construit p_{n} par récurrence à l’aide du procédé d’orthogonalisation de Schmidt. On a p_{0}(x) = 1, puisque p_{0} doit être unitaire.

Supposons p_{0}, p_{1}, …, p_{n−1} déjà construits. Comme deg p_{i} = i, ces polynômes forment une base de 𝒫_{n−1}. On peut donc chercher p_{n} sous la forme

p_{n}(x) = x^{n} − ∑_{j=0}^{n−1} λ_{j,n}p_{j}(x).

La condition ⟨p_{n}, p_{k}⟩ = 0 pour k = 0, 1, …, n − 1 donne

\begin{aligned}⟨p_{n}, p_{k}⟩ = 0 & = ⟨x^{n}, p_{k}⟩ − ∑_{j=0}^{n−1} λ_{j,n}⟨p_{j}, p_{k}⟩ \\ & = ⟨x^{n}, p_{k}⟩ − λ_{k,n}∥p_{k}∥_{2}^{2}. \end{aligned}

On a donc un et un seul choix possible, à savoir

λ_{k,n} = \frac{⟨x^{n}, p_{k}⟩}{∥p_{k}∥_{2}^{2}}.

Remarque. La suite p_{n} ainsi construite n’est pas orthonormée en général. La suite normalisée p̃_{n} = \frac{1}{∥p_{n}∥_{2}} p_{n} est une base orthonormée de l’espace 𝒫 des polynômes.

Théorème 2. Les polynômes p_{n} vérifient la relation de récurrence

p_{n}(x) = (x − λ_{n})p_{n−1}(x) − μ_{n}p_{n−2}(x), n ≥ 2

avec

λ_{n} = \frac{⟨xp_{n−1}, p_{n−1}⟩}{∥p_{n−1}∥_{2}^{2}}, μ_{n} = \frac{∥p_{n−1}∥_{2}^{2}}{∥p_{n−2}∥_{2}^{2}} .

Démonstration. Le polynôme xp_{n−1} est unitaire de degré n, donc on peut écrire

xp_{n−1} = p_{n} + ∑_{k=0}^{n−1} α_{k}p_{k},

où ⟨xp_{n−1}, p_{k}⟩ = α_{k}∥p_{k}∥_{2}^{2}, 0 ≤ k ≤ n − 1. Par définition du produit scalaire, on a

⟨xp_{n−1}, p_{k}⟩ = ⟨p_{n−1}, xp_{k}⟩ = ∫_{a}^{b} x p_{n−1}(x)p_{k}(x)w(x) dx.

Si k ≤ n − 3, xp_{k} ∈ 𝒫_{n−2}, donc ⟨p_{n−1}, xp_{k}⟩ = 0. Il y a donc au plus deux coefficients non nuls :

α_{n−1} = \frac{⟨xp_{n−1}, p_{n−1}⟩}{∥p_{n−1}∥_{2}^{2}} = λ_{n}, α_{n−2} = \frac{⟨p_{n−1}, xp_{n−2}⟩}{∥p_{n−2}∥_{2}^{2}}.

Or xp_{n−2} = p_{n−1} + q, q ∈ 𝒫_{n−2}, donc

⟨p_{n−1}, xp_{n−2}⟩ = ∥p_{n−1}∥_{2}^{2} + ⟨p_{n−1}, q⟩ = ∥p_{n−1}∥_{2}^{2},

ce qui donne α_{n−2} = μ_{n} et

xp_{n−1} = p_{n} + λ_{n}p_{n−1} + μ_{n}p_{n−2}.

Exemples. Certains cas particuliers ont donné lieu à des études plus poussées. Mentionnons entre autres les cas suivants :

• ]a, b[ = ]0, +∞[, w(x) = e^{−x}, p_{n} = polynômes de Laguerre ;

• ]a, b[ = ] − ∞, +∞[, w(x) = e^{−x^{2}}, p_{n} = polynômes de Hermite ;

• ]a, b[ = ] − 1, 1[,  w(x) = 1,  p_{n} = polynômes de Legendre ;

• ]a, b[ = ] − 1, 1[, w(x) = \frac{1}{\sqrt{1−x^{2}}} , p_{n} = polynômes de Tchebychev.

Vérifions en effet que les polynômes de Tchebychev t_{n} sont 2 à 2 orthogonaux relativement au poids w(x) = 1/\sqrt{1 − x^{2}}. Le changement de variable x = cos θ, θ ∈ [0, π] donne :

∫_{−1}^{1} t_{n}(x)t_{k}(x) \frac{1}{\sqrt{1 − x^{2}}} dx = ∫_{0}^{π} t_{n}(cos θ)t_{k}(cos θ) dθ

= ∫_{0}^{π} cos nθ · cos kθ dθ = \{ \begin{matrix}0 & si n ≠ k, \\ \frac{π}{2} & si n = k ≠ 0, \\ π & si n = k = 0. \end{matrix}

Comme t_{n} a pour coefficient directeur 2^{n−1} si n ≥ 1, on en déduit

\{ \begin{matrix}p_{0}(x) = t_{0}(x) = 1 \\ p_{n}(x) = 2^{1−n}t_{n}(x) si n ≥ 1. \end{matrix}

On sait que t_{n} a n zéros distincts dans ] − 1, 1[. On va voir que c’est une propriété générale des polynômes orthogonaux.

Théorème 3. Pour tout poids w sur ]a, b[, le polynôme p_{n} possède n zéros distincts dans l’intervalle ]a, b[.

Démonstration. Soient x_{1}, …, x_{k} les zéros distincts de p_{n} contenus dans ]a, b[ et m_{1}, …, m_{k} leurs multiplicités respectives. On a m_{1} + … + m_{k} ≤ deg p_{n} = n. Posons ε_{i} = 0 si m_{i} est pair, ε_{i} = 1 si m_{i} est impair, et

q(x) = ∏_{i=1}^{k}(x − x_{i})^{ε_{i}}, deg q ≤ k ≤ n.

Le polynôme p_{n}q admet dans ]a, b[ les zéros x_{i} avec multiplicité paire m_{i} + ε_{i}, donc p_{n}q est de signe constant dans ]a, b[ \ {x_{1}, …, x_{k}}. Par conséquent

⟨p_{n}, q⟩ = ∫_{a}^{b} p_{n}(x)q(x)w(x)dx ≠ 0.

Comme p_{n} est orthogonal à 𝒫_{n−1}, on a nécessairement deg q = n, donc k = n et m_{1} = … = m_{k} = 1.

Plusieurs méthodes d’approximation de fonctions continues par des polynômes ont déjà été vues. En voici encore une autre.

Théorème 4. Soit f ∈ E. Alors il existe un unique polynôme r_{n} ∈ 𝒫_{n} tel que ∥f −r_{n}∥_{2} = d_{2}(f, 𝒫_{n}) ; r_{n} est appelé polynôme de meilleure approximation quadratique de f à l’ordre n.

fr_{n} 0 𝒫_{n} E

Puisqu’on travaille dans un espace euclidien, le point de 𝒫_{n} le plus proche de f n’est autre que la projection orthogonale de f sur 𝒫_{n}. Si on écrit r_{n} = ∑ α_{k}p_{k}, il vient ⟨f, p_{k}⟩ = ⟨r_{n}, p_{k}⟩ = α_{k}∥p_{k}∥_{2}^{2}, d’où la formule

r_{n}(x) = ∑_{k=0}^{n} \frac{⟨f, p_{k}⟩}{∥p_{k}∥_{2}^{2}} p_{k}(x).

On va maintenant étudier la convergence de r_{n} quand n tend vers +∞. L’inégalité évidente

∫_{a}^{b} |f(x)|^{2}w(x)dx ≤ (sup |f(x)|)^{2} ∫_{a}^{b} w(x)dx

entraîne

∥f∥_{2} ≤ C_{w}∥f∥, où C_{w} = ( ∫_{a}^{b} w(x)dx)^{1/2}.

Ceci permet de contrôler ∥ ∥_{2} à l’aide de la norme uniforme.

Théorème 5. Si ]a, b[ est borné, alors lim_{n→+∞} ∥f − r_{n}∥_{2} = 0 pour tout f ∈ E.

Remarque. Le théorème 5 peut être faux si ]a, b[ est non borné.

Démonstration.

• Supposons d’abord que f ∈ 𝒞([a, b]). Dans ce cas, soit q_{n} le polynôme de meilleure approximation uniforme de f. On a

∥f − r_{n}∥_{2} ≤ ∥f − q_{n}∥_{2} ≤ C_{w}∥f − q_{n}∥,

et on sait que lim_{n→+∞} ∥f − q_{n}∥ = 0.

• Supposons maintenant f ∈ E quelconque. Soit χ_{α} la fonction plateau définie par le schéma ci-dessous :

0  a a+α/2 a+α  b−α b−α/2 b  x 1 y  χ_{α}

Comme f ∈ 𝒞(]a, b[), on a fχ_{α} ∈ 𝒞([a, b]) si l’on convient que fχ_{α}(a) = fχ_{α}(b) = 0. De plus

∥f − fχ_{α}∥_{2}^{2} ≤ ∫_{a}^{a+α} |f(x)|^{2}w(x)dx + ∫_{b−α}^{b} |f(x)|^{2}w(x)dx,

de sorte que lim_{α→0^{+}} ∥f − fχ_{α}∥_{2} = 0. Soit r_{α,n} le polynôme de meilleure approximation quadratique de fχ_{α}. On a

∥f − r_{n}∥_{2} ≤ ∥f − r_{α,n}∥_{2} ≤ ∥f − fχ_{α}∥_{2} + ∥fχ_{α} − r_{α,n}∥_{2}.

Soit ε > 0 fixé. On peut d’abord choisir α > 0 tel que ∥f − fχ_{α}∥_{2} < \frac{ε}{2} ; α étant ainsi fixé, on peut choisir n_{0} tel que n > n_{0} entraîne ∥fχ_{α} − r_{α,n}∥_{2} < \frac{ε}{2} et donc ∥f − r_{n}∥_{2} < ε.

Mise en œuvre numérique. Si les polynômes p_{n} sont connus, le calcul des r_{n} est possible dès lors qu’on sait évaluer les intégrales ⟨f, p_{k}⟩ : les méthodes d’intégration numérique feront précisément l’objet du prochain chapitre. Si les polynômes p_{n} ne sont pas connus, on peut les calculer numériquement par la formule de récurrence du théorème 2. Le coût global de ces calculs est en général beaucoup plus élevé que celui des méthodes d’interpolation.

6. Problèmes

6.1. On note 𝒞([a, b], ℝ) l’espace des fonctions continues sur l’intervalle [a, b] à valeurs dans ℝ, muni de la norme ∥ ∥_{∞} de la convergence uniforme. On considère l’application

\begin{matrix}ϕ : 𝒞([a, b], ℝ) & ⟶ ℝ^{n+1} \\ f & ⟼ (m_{0}(f), m_{1}(f), …, m_{n}(f)) \end{matrix}

telle que m_{i}(f) = \frac{1}{2} (f(x_{i}) + f(x′_{i})), où

x_{0} < x′_{0} < x_{1} < x′_{1} < … < x_{n} < x′_{n}

sont des points fixés de [a, b].

(a) Soit f ∈ 𝒞([a, b], ℝ) telle que ϕ(f) = 0. Montrer que pour tout i il existe ξ_{i} ∈ [x_{i}, x′_{i}] tel que f(ξ_{i}) = 0.

(b) Montrer que la restriction ϕ : 𝒫_{n} → ℝ^{n+1} de ϕ à l’espace 𝒫_{n} des polynômes de degré ≤ n est injective. En déduire que pour tout f ∈ 𝒞([a, b], ℝ) il existe un unique polynôme p_{n} ∈ 𝒫 tel que ϕ(p_{n}) = ϕ(f).

(c) On suppose ici que f est de classe C^{n+1}. En utilisant (a), majorer ∥p_{n} − f∥_{∞} en fonction de f^{(n+1)} et b − a.

(d) Calculer explicitement p_{2} en fonction de m_{0}(f), m_{1}(f), m_{2}(f) pour la subdivision x_{0} < x′_{0} < x_{1} < x′_{1} < x_{2} < x′_{2} de [a, b] = [−1, 1] de pas constant \frac{2}{5}.

6.2. On note t_{n} le polynôme de Tchebychev de degré n et c un réel tel que |c| < 1.

(a) Montrer qu’il existe une fonction continue ψ à valeurs réelles, définie sur [0, π] avec ψ(0) = ψ(π) = 0 et vérifiant

e^{iψ(θ)} = \frac{1 − ce^{−iθ}}{1 − ce^{iθ}} .

(b) Pour n ∈ ℕ on note g(θ) = (n + 1)θ + ψ(θ).

(α) Soit θ_{1} = π. Calculer g(θ_{1}) − nπ et g(0) − nπ.

En déduire qu’il existe θ_{2} vérifiant 0 < θ_{2} < θ_{1} et g(θ_{2}) = nπ.

(β) Montrer qu’il existe une suite strictement décroissante θ_{k} de [0, π] telle que g(θ_{k}) = (n − k + 2)π pour k = 1, … n + 2.

(γ) On note φ_{n}(x) = Re (e^{i(n+1)θ} \frac{1−ce^{−iθ}}{1−ce^{iθ}} ) avec θ = Arccos x, x ∈ [−1, 1].

Calculer ∥φ_{n}∥. Montrer que φ_{n} équioscille sur n + 2 points de [−1, 1].

(c) (α) Montrer que la série −\frac{1}{2} + ∑_{k=0}^{+∞} c^{k}t_{k}(x) converge uniformément sur [−1, 1] vers une fonction f_{c}(x) que l’on explicitera.

(β) On note p_{n}(x) = −\frac{1}{2} + ∑_{k=0}^{n−1} c^{k}t_{k}(x) + \frac{c^{n}}{1 − c^{2}} t_{n}(x).

Montrer que p_{n} est le polynôme de meilleure approximation uniforme de degré n de f_{c}. Calculer ∥f_{c} − p_{n}∥.

(d) (α) Montrer que l’on peut choisir c et λ tels que pour tout x ∈ [0, 1] on ait f_{c}(2x − 1) = \frac{λ}{1+x}.

(β) Montrer qu’il existe une suite de polynômes q_{n} de 𝒫_{n} tels que la suite

α_{n} = sup_{x∈[0,1]} |\frac{1}{1 + x} − q_{n}(x)|

vérifie pour tout k ∈ ℕ, lim_{n→+∞} n^{k}α_{n} = 0.

6.3. Soit f : [a, b] → ℝ une fonction continue, indéfiniment dérivable sur ]a, b[. Soient x_{0}, x_{1}, …, x_{n} ∈ [a, b]. Pour chaque i ∈ {0, 1, …, n}, soit α_{i} un entier positif.

On cherche un polynôme P (x) de degré < β = ∑(α_{i} + 1) tel que :

P^{(j)}(x_{i}) = f^{(j)}(x_{i}) pour i = 0, 1, …, n et j = 0, 1, …, α_{i}, où (j) désigne l’ordre de dérivation.

(a) Démontrer l’unicité de P, puis son existence grâce à un raisonnement d’algèbre linéaire.

(b) On suppose P solution du problème. Soient R_{i}(x) et p_{i}(x) des polynômes vérifiant les relations

\begin{matrix}R_{i}(x) = p_{i}(x) + (x − x_{i})^{α_{i}+1}R_{i+1}(x), deg p_{i} ≤ α_{i}, \\ R_{0}(x) = P (x), R_{n+1}(x) = 0. \end{matrix}

(α) Montrer que

p_{i}^{(j)}(x_{i}) = R_{i}^{(j)}(x_{i}) pour j = 0, 1, …, α_{i}.

(β) Montrer que l’on peut écrire p_{i}(x) sous la forme :

p_{i}(x) = ∑_{k=0}^{α_{i}} a_{ik}(x − x_{i})^{k}.

Calculer les coefficients a_{ik} en fonction de R_{i}^{(k)}(x_{i}).

(γ) Montrer que P (x) peut s’écrire :

P (x) = p_{0}(x) + ∑_{i=1}^{n} (p_{i}(x) ∏_{r=0}^{i−1}(x − x_{r})^{α_{r}+1}).

(δ) Indiquer une méthode de récurrence pour calculer p_{0}(x), puis R_{1}(x) et a_{1k}, …, puis R_{j}(x) et a_{jk} en fonction de f et de ses dérivées f^{(j)}(x_{i}). Montrer que l’on peut ainsi calculer P (x) en fonction des données du problème.

(ε) Que se passe-t-il dans le cas particulier où n = 0 ?

(c) On suppose que les α_{i} sont rangés par ordre croissant. Montrer qu’il existe t ∈ [a, b] tel que :

f(x) = P (x) + (x − x_{0})^{α_{0}+1}(x − x_{1})^{α_{1}+1} … (x − x_{n})^{α_{n}+1} \frac{f^{(β)}(t)}{β!}

Indication. On pourra considérer la fonction

g(x) = f(x) − P (x) − (x − x_{0})^{α_{0}+1} … (x − x_{n})^{α_{n}+1}K,

et examiner combien de fois s’annulent g(x), g′(x) …, g^{(α_{0})}(x), …, g^{(α_{n})}(x), …, g^{(β)}(x).

6.4. Soit f : [0, 1] → ℝ une fonction continue. On lui associe la suite de polynômes de Bernstein

P_{n}[f](x) = ∑_{i=0}^{n} \binom{n}{i}x^{i}(1 − x)^{n−i}f(i/n).

(a) Calculer les polynômes P_{n}[f] pour les fonctions f_{k}(x) = x^{k}, k = 0, 1, 2. Indication. On pourra observer que i\binom{n}{i} = n\binom{n−1}{i−1} et i(i − 1)\binom{n}{i} = n(n − 1)\binom{n−2}{i−2}, tandis que i^{2} = i(i − 1) + i.

(b) Montrer que

∑_{i=0}^{n} \binom{n}{i}x^{i}(1 − x)^{n−i}(x − i/n)^{2} = \frac{x(1 − x)}{n},

et en déduire à l’aide de l’inégalité de Cauchy-Schwarz que

∑_{i=0}^{n} \binom{n}{i}x^{i}(1 − x)^{n−i}|x − i/n| ⩽ \begin{matrix}√ & \overline{x(1 − x)} \\ √ & \overline{n} \end{matrix} ⩽ \frac{1}{2\sqrt{n}}, ∀x ∈ [0, 1].

(c) Soit ω_{f} le module de continuité de f sur [0, 1]. En écrivant que

f(x) − P_{n}[f](x) = ∑_{i=0}^{n} \binom{n}{i}x^{i}(1 − x)^{n−i}(f(x) − f(i/n)),

montrer que |f(x) − P_{n}[f](x)| ⩽ \frac{3}{2} ω_{f}(1/\sqrt{n}) à l’aide d’un raisonnement analogue à celui utilisé pour la démonstration du théorème de Jackson. En déduire une autre preuve du théorème de Weierstrass.

Chapitre III

Intégration numérique

L’objet de ce chapitre est de décrire quelques méthodes numériques classiques (Newton-Cotes, Gauss, Romberg) permettant d’évaluer des intégrales de fonctions dont les valeurs sont connues en un nombre fini de points. On s’attachera à expliciter le plus complètement possible les formules d’erreurs dans chacun des cas.

1. Méthodes de quadrature élémentaires et composées

1.1. Principe des méthodes numériques

Soit f : [α, β] → ℝ une fonction continue. On se propose de chercher des formules approchées pour l’intégrale ∫_{α}^{β}f(x) dx. Pour cela, on choisit d’abord une subdivision

α = α_{0} < α_{1} < … < α_{k} = β

de l’intervalle [α, β]. La formule de Chasles donne

∫_{α}^{β} f(x)dx = ∑_{i=0}^{k−1} ∫_{α_{i}}^{α_{i+1}} f(x)dx.

On est donc ramené au problème d’évaluer l’intégrale de f sur un petit intervalle [α_{i}, α_{i+1}]. Ce calcul est effectué au moyen de formules approchées (qui peuvent être a priori différentes sur chacun des intervalles [α_{i}, α_{i+1}]), appelées méthodes de quadrature élémentaires, du type suivant :

Méthodes de quadrature élémentaires.

∫_{α_{i}}^{α_{i+1}} f(x)dx ≃ (α_{i+1} − α_{i}) ∑_{j=0}^{l_{i}} ω_{i,j}f(ξ_{i,j}),

où ξ_{i,j} ∈ [α_{i}, α_{i+1}], 0 ≤ j ≤ l_{i} et ∑_{j=0}^{l_{i}} ω_{i,j} = 1.

La sommation peut être interprétée comme une valeur moyenne de f sur [α, α_{i+1}]. Le problème est de choisir convenablement les points ξ_{i,j} et les coefficients ω_{i,j} de façon à minimiser l’erreur. Ceci se fera en général en évaluant l’intégrale ∫_{α_{i}}^{α_{i+1}} f(x)dx au moyen d’une interpolation de f aux points ξ_{i,j}.

La méthode de quadrature composée associée sera

∫_{α}^{β} f(x)dx ≃ ∑_{i=0}^{k−1}(α_{i+1} − α_{i}) ∑_{j=0}^{l_{i}} ω_{i,j}f(ξ_{i,j})

Définition. On dit qu’une méthode de quadrature (élémentaire ou composée) est d’ordre N si la formule approchée est exacte pour tout f ∈ 𝒫_{N} et inexacte pour au moins un f ∈ 𝒫_{N+1}.

On observera que les formules sont toujours exactes pour f(x) = 1 à cause de l’hypothèse ∑_{j} ω_{i,j} = 1. Par linéarité, elles sont donc exactes au moins pour f ∈ 𝒫_{0}.

1.2. Exemples

(a) Cas le plus simple : l_{i} = 0, quel que soit i.

On choisit alors un seul point ξ_{i} ∈ [α_{i}, α_{i+1}] et on remplace f sur [α_{i}, α_{i+1}] par le polynôme de degré 0 : p_{0}(x) = f(ξ_{i}). On a alors

\begin{aligned}∫_{α_{i}}^{α_{i+1}} f(x)dx & ≃ (α_{i+1} − α_{i})f(ξ_{i}), \\ ∫_{α}^{β} f(x)dx & ≃ ∑_{i=0}^{k−1}(α_{i+1} − α_{i})f(ξ_{i}), \end{aligned}

c’est-à-dire qu’on approxime l’intégrale par une somme de Riemann relative à la subdivision (α_{i}). Voici les choix les plus courants :

• ξ_{i} = α_{i} : méthode des rectangles à gauche

∫_{α}^{β} f(x)dx ≃ ∑_{i=0}^{k−1}(α_{i+1} − α_{i})f(α_{i}).

• ξ_{i} = α_{i+1} : méthode des rectangles à droite

∫_{α}^{β} f(x)dx ≃ ∑_{i=0}^{k−1}(α_{i+1} − α_{i})f(α_{i+1}).

y0  α  α_{i} α_{i+1} β  x ξ_{i} = α_{i}  y0  α  α_{i} α_{i+1} β  x ξ_{i} = α_{i+1}

Ces méthodes sont d’ordre 0.

• ξ_{i} = \frac{α_{i}+α_{i+1}}{2} : méthode du point milieu

0  α_{i}  ξ_{i}  α_{i+1}  x y f(ξ_{i})

L’aire du rectangle coïncide avec l’aire du trapèze indiqué en grisé. La formule approchée est donc exacte si f est une fonction affine, par suite la méthode est d’ordre 1.

(b) Cas d’une interpolation linéaire : on choisit

l_{i} = 1, ∀i, ξ_{i,0} = α_{i}, ξ_{i,1} = α_{i+1}

et on remplace f sur [α_{i}, α_{i+1}] par la fonction linéaire p_{1} qui interpole f aux points α_{i}, α_{i+1} :

p_{1}(x) = \frac{(x − α_{i})f(α_{i+1}) − (x − α_{i+1})f(α_{i})}{α_{i+1} − α_{i}}.

On obtient les formules suivantes, correspondant à la méthode dite des trapèzes :

\begin{aligned}∫_{α_{i}}^{α_{i+1}} f(x)dx & ≃ ∫_{α_{i}}^{α_{i+1}} p_{1}(x)dx = (α_{i+1} − α_{i})(\frac{1}{2} f(α_{i}) + \frac{1}{2} f(α_{i+1})) \\ ∫_{α}^{β} f(x)dx & ≃ ∑_{i=0}^{k−1}(α_{i+1} − α_{i})(\frac{1}{2} f(α_{i}) + \frac{1}{2} f(α_{i+1})) \end{aligned}

0  α  α_{i} α_{i+1}  β  x y

L’ordre de cette méthode est 1 comme dans le cas précédent.

(c) Méthodes de Newton-Cotes

Dans la méthode de Newton-Cotes de rang l, qu’on désignera dans la suite par NC_{l}, on prend l_{i} = l pour tout i, et les points ξ_{i,j}, 0 ≤ j ≤ l, sont les points équidistants

ξ_{i,j} = α_{i} + j \frac{α_{i+1} − α_{i}}{l}

divisant [α_{i}, α_{i+1}] en l sous-intervalles égaux. Pour déterminer la formule de quadrature élémentaire, on se ramène par changement de variable à l’intervalle [α_{i}, α_{i+1}] = [−1, 1], subdivisé par les points τ_{j} = −1 + j \frac{2}{l}. Le polynôme d’interpolation d’une fonction f ∈ 𝒞([−1, 1]) est donné par

p_{l}(x) = ∑_{j=0}^{l} f(τ_{j})L_{j}(x)

avec L_{j}(x) = ∏_{k≠j} \frac{x − τ_{k}}{τ_{j} − τ_{k}}. On a donc

∫_{−1}^{1} f(x)dx ≃ ∫_{−1}^{1} p_{l}(x)dx = 2 ∑_{j=0}^{l} ω_{j}f(τ_{j})

avec ω_{j} = \frac{1}{2} ∫_{−1}^{1} L_{j}(x)dx. Par suite de la symétrie des points τ_{j} autour de 0, on a

τ_{l−j} = −τ_{j}, L_{l−j}(x) = L_{j}(−x), ω_{l−j} = ω_{j}.

Pour l = 2 par exemple, il vient

τ_{0} = −1, τ_{1} = 0, τ_{2} = 1, L_{1}(x) = 1 − x^{2}, ω_{1} = \frac{1}{2} ∫_{−1}^{1}(1 − x^{2})dx = \frac{2}{3},

d’où ω_{0} = ω_{2} = \frac{1}{2} (1 − ω_{1}) = \frac{1}{6}. Après changement de variable, les coefficients ω_{j} restent inchangés (le lecteur le vérifiera à titre d’exercice), donc on obtient les formules

\begin{aligned}∫_{α_{i}}^{α_{i+1}} f(x)dx & ≃ (α_{i+1} − α_{i}) ∑_{j=0}^{l} ω_{j}f(ξ_{i,j}), \\ ∫_{α}^{β} f(x)dx & ≃ ∑_{i=0}^{k−1}(α_{i+1} − α_{i}) ∑_{j=0}^{l} ω_{j}f(ξ_{i,j}). \end{aligned}

Si f ∈ 𝒫_{l}, alors p_{l} = f, donc la méthode de Newton-Cotes de rang l est d’ordre ≥ l.

De plus, lorsque f ∈ 𝒞([−1, 1]) est un polynôme impair, on a

∫_{−1}^{1} f(x)dx = 0 = 2 ∑_{j=0}^{l} ω_{j}f(τ_{j}).

Si l est pair, les formules sont donc encore exactes pour f(x) = x^{l+1}, et plus généralement pour f ∈ 𝒫_{l+1} par linéarité. On démontre en fait le résultat suivant, dont le lecteur trouvera une preuve dans le problème 6.11 à la fin de ce chapitre.

Proposition. Si l est pair, l’ordre de NC_{l} est l + 1, et si l est impair, l’ordre de NC_{l} est l.

Ceci fait que, hormis le cas l = 1, les méthodes de Newton-Cotes ne sont utilisées que pour l pair :

• l = 1 : méthode des trapèzes (ordre 1)

ω_{0} = ω_{1} = \frac{1}{2}

• l = 2 : méthode de Simpson (ordre 3)

ω_{0} = ω_{2} = \frac{1}{6}, ω_{1} = \frac{2}{3}.

• l = 4 : méthode de Boole-Villarceau (ordre 5)

ω_{0} = ω_{4} = \frac{7}{90}, ω_{1} = ω_{3} = \frac{16}{45}, ω_{2} = \frac{2}{15}

• l = 6 : méthode de Weddle-Hardy (ordre 7)

ω_{0} = ω_{6} = \frac{41}{840}, ω_{1} = ω_{5} = \frac{9}{35}, ω_{2} = ω_{4} = \frac{9}{280}, ω_{3} = \frac{34}{105}.

Pour l ≥ 8, il apparaît des coefficients ω_{j} < 0, ce qui a pour effet de rendre les formules beaucoup plus sensibles aux erreurs d’arrondis (cf. § 1.3). Les méthodes NC_{l} ne sont donc utilisées en pratique que dans les 4 cas ci-dessus.

1.3. Influence des erreurs d’arrondi

Supposons que les valeurs de f soient calculées avec des erreurs d’arrondi de valeur absolue ≤ ε. L’erreur qui va en résulter par application d’une méthode de quadrature composée sera majorée par

ε ∑_{i=0}^{k−1}(α_{i+1} − α_{i}) ∑_{j=0}^{l_{i}} |ω_{i,j}|.

Si les coefficients ω_{i,j} sont ≥ 0, on a

∑_{j=0}^{l_{i}} |ω_{i,j}| = ∑_{j=0}^{l_{i}} ω_{i,j} = 1.

L’erreur est donc majorée par ε(β −α); ce résultat est manifestement optimal puisque le calcul exact de ∫_{α}^{β} f(x)dx peut conduire à une erreur ε(β − α) si l’erreur sur f est constante de valeur absolue ε.

Si par contre les coefficients ω_{i,j} ne sont pas tous ≥ 0, alors ∑_{j} |ω_{i,j}| > ∑_{j} ω_{i,j} = 1, donc l’erreur due aux arrondis des f(ξ_{i,j}) peut dépasser ε(β − α).

1.4. Convergence quand le nombre k de subdivisions tend vers +∞

Le résultat théorique suivant de convergence justifie en partie l’intérêt des méthodes composées.

Théorème. On suppose que les méthodes de quadrature élémentaire font intervenir un nombre de points l_{i} = l fixe et que les coefficients ω_{i,j} = ω_{j} ne dépendent pas de i, k. Alors l’approximation donnée par la méthode composée, soit

T_{k}(f) = ∑_{i=0}^{k−1}(α_{i+1} − α_{i}) ∑_{j=0}^{l} ω_{j}f(ξ_{i,j})

converge vers ∫_{α}^{β} f(x)dx quand k → +∞ et quand le maximum du pas, à savoir h_{max} = max (α_{i+1} − α_{i}), tend vers 0.

Démonstration. On peut écrire T_{k}(f) = ∑_{j=0}^{l} ω_{j}S_{j,k}(f) où

S_{j,k}(f) = ∑_{i=0}^{k−1}(α_{i+1} − α_{i})f(ξ_{i,j})

est une somme de Riemann de f relative à la subdivision (α_{i}). Pour tout j = 0, 1, …, l fixé, S_{j,k}(f) converge vers ∫_{α}^{β} f(x)dx quand h_{max} tend vers 0. Par conséquent T_{k}(f) converge aussi vers ∫_{α}^{β} f(x)dx quand h_{max} tend vers 0.

Exercice A. Montrer que dans le cas général

∑_{i=0}^{k−1}(α_{i+1} − α_{i}) ∑_{j=0}^{l_{i}} ω_{i,j}f(ξ_{i,j})

converge encore vers ∫_{α}^{β} f(x)dx quand h_{max} tend vers 0, pourvu que ω_{i,j} ≥ 0. Indication. Revenir à la définition de l’intégrale en encadrant f par des fonctions en escalier.

Remarque. Dans le cas de la méthode NC_{l} élémentaire

∫_{−1}^{1} f(x)dx ≃ 2 ∑_{j=0}^{l} ω_{j}f(τ_{j})

on peut donner des exemples montrant qu’il n’y a pas nécessairement convergence quand l → +∞ (ceci est lié au phénomène de Runge II 2.3). C’est une des principales raisons pour lesquelles on est amené à considérer des méthodes composées avec k assez grand, plutôt que d’augmenter l’entier l.

2. Évaluation de l’erreur

Nous allons montrer que lorsque la fonction f à intégrer est suffisamment régulière, l’erreur d’intégration numérique peut s’exprimer de manière assez simple en fonction d’une certaine dérivée de f. Auparavant, nous aurons besoin de quelques rappels d’analyse.

2.1. Rappels préliminaires d’analyse

Énonçons tout d’abord une version de la formule de Taylor fournissant une expression exacte du reste. Ceci est possible à l’aide d’intégrations par parties successives, permettant d’exprimer le reste comme une intégrale où figurent les dérivées de la fonction considérée.

Formule de Taylor avec reste intégral. Soit f une fonction de classe C^{N+1} sur [α, β]. Alors pour tout x ∈ [α, β]

f(x) = ∑_{k=0}^{N} \frac{1}{k!}f^{(k)}(α)(x − α)^{k} + ∫_{α}^{x} \frac{1}{N!} (x − t)^{N}f^{(N+1)}(t)dt.

Démonstration. Par récurrence sur N. Pour N = 0, la formule se réduit simplement à

f(x) = f(α) + ∫_{α}^{x} f′(t)dt.

Si la formule est vraie à l’ordre N − 1, le reste intégral s’écrit, après intégration par parties :

∫_{α}^{x} \frac{1}{(N − 1)!} (x − t)^{N−1}f^{(N)}(t)dt

= [−\frac{1}{N!} (x − t)^{N}f^{(N)}(t)]_{α}^{x} − ∫_{α}^{x} −\frac{1}{N!} (x − t)^{N}f^{(N+1)}(t)dt

= \frac{1}{N!} (x − α)^{N}f^{(N)}(α) + ∫_{α}^{x} \frac{1}{N!} (x − t)^{N}f^{(N+1)}(t)dt.

La formule est donc encore vraie à l’ordre N.

Notons x_{+} = max (x, 0) = x si x ≥ 0, x_{+} = 0 si x ≤ 0. Avec la convention x_{+}^{0} = 1 si x ≥ 0, x_{+}^{0} = 0 si x < 0, la formule se récrit

f(x) = p_{N}(x) + ∫_{α}^{β} \frac{1}{N!} (x − t)_{+}^{N}f^{(N+1)}(t)dt

où p_{N} est le polynôme de Taylor de f d’ordre N au point α.

Formule de la moyenne. Soit w ≥ 0 une fonction intégrable sur ]α, β[ telle que ∫_{α}^{β} w(x)dx converge. Alors pour toute f ∈ 𝒞([α, β]), il existe un point ξ ∈ ]α, β[ tel que

∫_{α}^{β} f(x)w(x)dx = f(ξ) ∫_{α}^{β} w(x)dx.

Démonstration. Soient m, M respectivement le minimum et le maximum de f sur [α, β]. Comme w ≥ 0, il vient

m ∫_{α}^{β} w(x)dx ≤ ∫_{α}^{β} f(x)w(x)dx ≤ M ∫_{α}^{β} w(x)dx

Si ∫_{α}^{β}w(x) dx = 0, le résultat est vrai pour ξ quelconque. Supposons donc ∫_{α}^{β}w(x) dx > 0 et soit alors q le quotient

q = ∫_{α}^{β} f(x)w(x)dx/∫_{α}^{β} w(x)dx ∈ [m, M].

Le théorème des valeurs intermédiaires montre que f(]α, β[) est un intervalle ayant pour bornes m, M. Si q ∈ ]m, M[, il existe donc ξ ∈ ]α, β[ tel que q = f(ξ). Restent les cas q = m et q = M. Si q = m et si f(ξ) > m pour tout ξ ∈ ]α, β[, alors

∫_{α}^{β}(f(x) − m)w(x)dx > 0

puisque ∫_{α}^{β} w(x)dx > 0, ce qui est contradictoire. Il existe donc dans ce cas ξ ∈ ]α, β[ tel que f(ξ) = m. Le cas q = M est analogue.

2.2. Noyau de Peano

Situation générale étudiée. En vue de l’étude d’autres méthodes comme celles de Gauss au § 3, on se place ici dans une situation un peu plus générale. On se donne un “poids” w sur ]α, β[, c’est-à-dire une fonction continue > 0 telle que ∫_{α}^{β}w(x) dx converge. On cherche à évaluer l’intégrale ∫_{α}^{β}f(x)w(x) dx par une formule approchée

∫_{α}^{β} f(x)w(x)dx ≃ ∑_{j=0}^{l} λ_{j}f(x_{j}), x_{j} ∈ [α, β].

On notera que les formules du § 1 rentrent dans ce cadre (avec w(x) = 1 identiquement); en général, on a ∑ λ_{j} ≠ 1. L’erreur due à la méthode est donnée par :

E(f) = ∫_{α}^{β} f(x)w(x)dx − ∑_{j=0}^{l} λ_{j}f(x_{j}).

Théorème et définition. On suppose que la méthode est d’ordre N ≥ 0. Si f est de classe C^{N+1} sur [α, β], alors on a

E(f) = \frac{1}{N!} ∫_{α}^{β} K_{N}(t)f^{(N+1)}(t)dt,

où K_{N} est une fonction sur [α, β], appelée noyau de Peano associé à la méthode, définie par

K_{N}(t) = E(x ↦ (x − t)_{+}^{N}), t ∈ [α, β].

Démonstration. On observe d’abord que f ↦ E(f) est une forme linéaire sur 𝒞([α, β]). Si g : (x, t) ↦ g(x, t) est une fonction intégrable sur [α, β] × I, le théorème de Fubini implique par ailleurs

E(x ↦ ∫_{t∈I} g(x, t)dt) = ∫_{t∈I} E(x ↦ g(x, t))dt.

La formule de Taylor avec reste intégral donne

f(x) = p_{N}(x) + ∫_{α}^{β} \frac{1}{N!} (x − t)_{+}^{N}f^{(N+1)}(t)dt.

Comme p_{N} ∈ 𝒫_{N}, on a E(p_{N}) = 0 par hypothèse, d’où

E(f) = E(x ↦ ∫_{α}^{β} \frac{1}{N!} (x − t)_{+}^{N}f^{(N+1)}(t)dt)

= ∫_{α}^{β} E(x ↦ \frac{1}{N!} (x − t)_{+}^{N}f^{(N+1)}(t))dt

= ∫_{α}^{β} \frac{1}{N!}f^{(N+1)}(t) · E(x ↦ (x − t)_{+}^{N})dt

= \frac{1}{N!} ∫_{α}^{β} K_{N}(t)f^{(N+1)}(t)dt.

Notons que si N ≥ 1, la fonction (x, t) ↦ (x − t)_{+}^{N} est continue sur [α, β] × [α, β], donc K_{N} est continue sur [α, β]. Ceci n’est pas vrai en général si N = 0.

Corollaire 1. On a la majoration

E(f) ≤ \frac{1}{N!}∥f^{(N+1)}∥_{∞} · ∫_{α}^{β} |K_{N}(t)|dt.

Corollaire 2. On suppose que K_{N} est de signe constant. Alors pour toute f ∈ C^{N+1}([α, β]) il existe ξ ∈ ]α, β[ tel que

E(f) = \frac{1}{N!}f^{(N+1)}(ξ) ∫_{α}^{β} K_{N}(t)dt.

De plus ∫_{α}^{β} K_{N}(t)dt = \frac{1}{N+1} E(x ↦ x^{N+1}), donc

E(f) = \frac{1}{(N + 1)!} f^{(N+1)}(ξ) E(x ↦ x^{N+1}).

Démonstration. La première égalité résulte du théorème et de la formule de la moyenne appliquée à la fonction f^{(N+1)} et au poids w = K_{N} (ou w = −K_{N} si K_{N} ≤ 0). La deuxième égalité s’obtient en prenant

f(x) = x^{N+1}, qui donne f^{(N+1)}(x) = (N + 1)!.

La troisième découle des 2 premières.

2.3. Exemples

On verra au § 2.4 comment on peut déduire le noyau de Peano d’une méthode composée de celui de la méthode élémentaire utilisée. On se contentera donc ici de regarder le cas des méthodes élémentaires sur l’intervalle de référence [−1, 1].

• Méthode du point milieu

E(f) = ∫_{−1}^{1} f(x)dx − 2f(0).

Cette méthode est d’ordre 1, le noyau de Peano est donné par :

K_{1}(t) = E(x ↦ (x − t)_{+})

= ∫_{−1}^{1}(x − t)_{+}dx − 2(−t)_{+}

= ∫_{t}^{1}(x − t)dx − 2t_{−}

= [\frac{1}{2} (x − t)^{2}]_{t}^{1} − 2t_{−} = \frac{1}{2} (1 − t)^{2} − 2t_{−}.

On a donc

K_{1}(t) = \{ \begin{matrix}\frac{1}{2} (1 − t)^{2} & si t ≥ 0 \\ \frac{1}{2} (1 − t)^{2} + 2t = \frac{1}{2} (1 + t)^{2} & si t ≤ 0, \end{matrix}

soit K_{1}(t) = \frac{1}{2} (1 − |t|)^{2} ≥ 0 sur [−1, 1]. Comme ∫_{−1}^{1} K_{1}(t) = ∫_{0}^{1}(1 − t)^{2}dt = \frac{1}{3}, le corollaire 2 implique

E(f) = \frac{1}{3} f′′(ξ), ξ ∈ ] − 1, 1[.

• Méthode des trapèzes (ordre 1)

E(f) = ∫_{−1}^{1} f(x)dx − (f(−1) + f(1)),
K_{1}(t) = ∫_{−1}^{1}(x − t)_{+}dx − ((−1 − t)_{+} + (1 − t)_{+})
= ∫_{t}^{1}(x − t)dx − (1 − t),
K_{1}(t) = −\frac{1}{2} (1 − t^{2}) ≤ 0 sur [−1, 1].

Comme ∫_{−1}^{1} K_{1}(t)dt = −\frac{2}{3}, on en déduit

E(f) = −\frac{2}{3}f′′(ξ), ξ ∈] − 1, 1[.

• Méthode de Simpson (ordre 3)

E(f) = ∫_{−1}^{1} f(x)dx − 2(\frac{1}{6} f(−1) + \frac{2}{3} f(0) + \frac{1}{6} f(1)).
K_{3}(t) = E(x ↦ (x − t)_{+}^{3})
K_{3}(t) = ∫_{−1}^{1}(x − t)_{+}^{3}dx − 2(0 + \frac{2}{3} (−t)_{+}^{3} + \frac{1}{6} (1 − t)_{+}^{3})

= ∫_{t}^{1}(x − t)^{3}dx − 2(\frac{2}{3} t_{−}^{3} + \frac{1}{6} (1 − t)^{3})

Si t ≥ 0, on obtient donc

\begin{aligned}K_{3}(t) & = \frac{1}{4} (1 − t)^{4} − \frac{1}{3} (1 − t)^{3} \\ & = \frac{1}{12} (1 − t)^{3}[3(1 − t) − 4] = −\frac{1}{12} (1 − t)^{3}(1 + 3t). \end{aligned}

Si t ≤ 0, on a

K_{3}(t) = −\frac{1}{12} (1 − t)^{3}(1 + 3t) + \frac{4}{3} t^{3} = −\frac{1}{12} (1 + t)^{3}(1 − 3t).

On aurait pu également observer que K_{3}(−t) = K_{3}(t) comme il résulte de l’exercice suivant.

Exercice B. Montrer que le noyau de Peano K_{N} d’une méthode élémentaire

∫_{−1}^{1} f(x)dx ≃ 2 ∑_{j=0}^{l} ω_{j}f(ξ_{j})

est pair dès que ω_{l−j} = ω_{j} et ξ_{l−j} = −ξ_{j} (points et coefficients répartis symétriquement autour de 0).

Indication. (x + t)_{+}^{N} − (−x − t)_{+}^{N} = (x + t)^{N}.

On a donc ici

\begin{aligned}K_{3}(t) & = −\frac{1}{12} (1 − |t|)^{3}(1 + 3|t|) ≤ 0 sur [−1, 1], \\ ∫_{−1}^{1} K_{3}(t) & = 2 ∫_{0}^{1} (\frac{1}{4} (1 − t)^{4} − \frac{1}{3} (1 − t)^{3})dt = 2(\frac{1}{20} − \frac{1}{12}) = −\frac{1}{15}, \\ E(f) & = −\frac{1}{15 · 3!} f^{(4)}(ξ). \end{aligned}

Le mathématicien danois J.F. Steffensen a démontré le résultat général suivant, dont la preuve est esquissée dans le problème 6.11.

Théorème de Steffensen. Dans les méthodes de Newton-Cotes, le noyau de Peano est de signe constant.

Le corollaire 2 du § 2.2 est donc toujours applicable dans ce cas.

2.4. Noyau de Peano d’une méthode composée

On suppose qu’on s’est fixé une méthode de quadrature élémentaire

∫_{−1}^{1} g(x)dx ≃ 2 ∑_{j=0}^{l} ω_{j}g(τ_{j}), τ_{j} ∈ [−1, 1].

L’erreur correspondante est

E_{elem}(g) = ∫_{−1}^{1} g(x)dx − 2 ∑_{j=0}^{l} ω_{j}g(τ_{j}).

On notera k_{n} le noyau de Peano associé.

On considère maintenant une subdivision de [α, β] :

α = α_{0} < α_{1} < … < α_{k} = β

de pas h_{i} = α_{i+1} − α_{i}. L’erreur de la méthode composée associée à la méthode élémentaire ci-dessus est

E_{comp}(f) = ∫_{α}^{β} f(x)dx − ∑_{i=0}^{k−1} h_{i} ∑_{j=0}^{l} ω_{j}f(ξ_{i,j})

où ξ_{i,j} se déduit de τ_{j} par le changement de variable

\begin{matrix}[−1, 1] & ⟶ [α_{i}, α_{i+1}] \\ u & ⟼ x = \frac{α_{i} + α_{i+1}}{2} + u \frac{h_{i}}{2} . \end{matrix}

74 Chap. III – Intégration numérique Définissons g_{i} ∈ 𝒞([−1, 1]) par

g_{i}(u) = f(\frac{α_{i} + α_{i+1}}{2} + u \frac{h_{i}}{2} ).

Comme dx = \frac{h_{i}}{2} du, il vient

E_{comp}(f) = ∑_{i=0}^{k−1} (\frac{h_{i}}{2} ∫_{−1}^{1} g_{i}(u)du − h_{i} ∑_{j=0}^{l} ω_{j}g_{i}(τ_{j})) = ∑_{i=0}^{k−1} \frac{h_{i}}{2} E_{elem}(g_{i}).

Le noyau de Peano de la méthode composée est donc

K_{N}(t) = E_{comp}(x ↦ (x − t)_{+}^{N})

= ∑_{i=0}^{k−1} \frac{h_{i}}{2} E_{elem} (u ↦ (\frac{α_{i} + α_{i+2}}{2} + u \frac{h_{i}}{2} − t)_{+}^{N})

= ∑_{i=0}^{k−1} \frac{h_{i}}{2} E_{elem} (u ↦ (\frac{h_{i}}{2} )^{N}(u − \frac{2}{h_{i}} (t − \frac{α_{i} + α_{i+i}}{2} ))_{+}^{N})

K_{N}(t) = ∑_{i=0}^{k−1} (\frac{h_{i}}{2} )^{N+1} E_{elem} (u ↦ (u − \frac{2}{h_{i}} (t − \frac{α_{i} + α_{i+1}}{2} ))_{+}^{N})

Supposons t ∈ [α_{j}, α_{j+1}], et soit θ_{i} = \frac{2}{h_{i}} (t − \frac{α_{i} + α_{i+1}}{2} ). Alors θ_{i} ∈ [−1, 1] si et seulement si i = j. Si i ≠ j on a

• ou bien θ_{i} > 1, et (u − θ_{i})_{+}^{N} ≡ 0 pour u ∈ [−1, 1] ;

• ou bien θ_{i} < −1, et (u − θ_{i})_{+}^{N} ≡ (u − θ_{i})^{N} pour u ∈ [−1, 1]. Dans les 2 cas u ↦ (u − θ_{i})_{+}^{N} est un polynôme de degré ≤ N sur [−1, 1] donc E_{elem}(u ↦ (u − θ_{i})_{+}^{N}) = 0. Dans la sommation, il n’y a donc que le terme i = j, d’où :

K_{N}(t) = (\frac{h_{j}}{2} )^{N+1}k_{N}(\frac{2}{h_{j}} (t − \frac{α_{j} + α_{j+1}}{2} )), t ∈ [α_{j}, α_{j+1}].

−1  0  1  u  0  α α_{1} α_{2} α_{3} α_{4} β  t k_{N}  K_{N}

Théorème. On suppose que k_{N} est de signe constant et que le pas h_{i} est constant, égal à h = \frac{β−α}{k}. On note C_{N} = ∫_{−1}^{1} k_{N}(t)dt. Alors pour tout f ∈ C^{N+1}([α, β]), il existe un point ξ ∈ ]α, β[ tel que

E_{comp}(f) = \frac{C_{N}}{N! 2^{N+2}} h^{N+1}f^{(N+1)}(ξ)(β − α).

On voit donc que lorsque le pas h tend vers 0 l’ordre de grandeur de l’erreur dans une méthode composée d’ordre N est approximativement h^{N+1}. Ce résultat justifie l’intérêt des méthodes d’ordre élevé, qui donnent une précision plus grande pourvu que f soit très régulière.

Démonstration. K_{N} étant lui aussi de signe constant, le corollaire 2 du § 2.2 montre l’existence de ξ ∈ ]α, β[ tel que

E_{comp}(f) = \frac{1}{N!}f^{(N+1)}(ξ) ∫_{α}^{β} K_{N}(t)dt.

D’après l’expression de K_{N}, on obtient

\begin{aligned}∫_{α}^{β} K_{N}(t)dt & = k ∫_{α_{0}}^{α_{1}} K_{N}(t)dt \\ & = k(\frac{h}{2})^{N+1} ∫_{α_{0}}^{α_{1}} k_{n}(\frac{2}{h}(t − \frac{α_{0} + α_{1}}{2} )) dt \end{aligned}

Le changement de variable t = \frac{α_{0}+α_{1}}{2} + \frac{h}{2} u, dt = \frac{h}{2} du fournit

\begin{aligned}∫_{α}^{β} K_{N}(t)dt & = k (\frac{h}{2})^{N+2} ∫_{−1}^{1} k_{n}(u)du \\ & = kh \frac{h^{N+1}}{2^{N+2}} C_{N} = \frac{C_{N}}{2^{N+2}} h^{N+1} (β − α), \end{aligned}

d’où le théorème.

Les exemples du § 2.3 donnent en particulier :

• Point milieu : N = 1, C_{1} = \frac{1}{3}, E_{comp}(f) = \frac{1}{24} h^{2}f′′(ξ)(β − α),

• Trapèzes :  N = 1, C_{1} = −\frac{2}{3},  E_{comp}(f) = −\frac{1}{12} h^{2}f′′(ξ)(β − α),
• Simpson :  N = 3, C_{3} = −\frac{1}{15},  E_{comp}(f) = −\frac{1}{2880} h^{4}f^{(4)}(ξ)(β − α).

3. Méthodes de Gauss

Les méthodes de Gauss concernent le calcul numérique d’intégrales faisant intervenir un poids. Elles constituent une application directe de la théorie des polynômes orthogonaux.

3.1. Description et formule d’erreur

Soit w une fonction poids fixée sur ]α, β[. On étudie les méthodes d’intégration approchée du type

∫_{α}^{β} f(x)w(x)dx ≃ ∑_{j=0}^{l} λ_{j}f(x_{j}), x_{j} ∈ [α, β].

Théorème 1. Il existe un choix et un seul des points x_{j} et des coefficients λ_{j} de sorte que la méthode soit d’ordre N = 2l + 1. Les points x_{j} appartiennent à ]α, β[ et sont les racines du (l + 1)-ième polynôme orthogonal pour le poids w.

Unicité. Supposons qu’on ait des points x_{j} et des coefficients λ_{j} pour lesquels la méthode est d’ordre ≥ 2l + 1. Posons

π_{l+1}(x) = ∏_{j=0}^{l}(x − x_{j}).

Pour tout p ∈ 𝒫_{l}, deg(pπ_{l+1}) ≤ 2l + 1, donc

∫_{α}^{β} p(x)π_{l+1}(x)w(x)dx = ∑_{j=0}^{l} λ_{j}p(x_{j})π_{l+1}(x_{j}) = 0.

Ceci entraîne que π_{l+1} est orthogonal à 𝒫_{l}. Comme π_{l+1} est unitaire, c’est donc le (l + 1)-ième polynôme orthogonal associé au poids w. Les points x_{j} ne sont autres que les racines de ce polynôme.

Soit L_{i} ∈ 𝒫_{l} tel que \{ \begin{matrix}L_{i}(x_{j}) = 1 si i = j, \\ L_{i}(x_{j}) = 0 si i ≠ j. \end{matrix}

Les coefficients λ_{i} sont donnés nécessairement par

λ_{i} = ∑_{j=0}^{l} λ_{j}L_{i}(x_{j}) = ∫_{α}^{β} L_{i}(x)w(x)dx.

Ces coefficients sont donc eux aussi uniques.

Existence. On sait que le polynôme orthogonal π_{l+1} ∈ 𝒫_{l+1} possède l + 1 racines distinctes dans ]α, β[. Soient x_{0}, …, x_{l} ces racines et soit

λ_{j} = ∫_{α}^{β} L_{j}(x)w(x)dx.

Si f ∈ 𝒞([α, β]), le polynôme d’interpolation de Lagrange est

p_{l}(x) = ∑_{j=0}^{l} f(x_{j})L_{j}(x);

par définition des coefficients λ_{j} il vient donc

∫_{α}^{β} p_{l}(x)w(x) = ∑_{j=0}^{l} λ_{j}f(x_{j}).

Si f ∈ 𝒫_{l} alors p_{l} = f, donc la méthode est d’ordre ≥ l. Montrons que l’ordre est en fait ≥ 2l + 1. En effet, lorsque f ∈ 𝒫_{2l+1}, la division euclidienne de f par π_{l+1} donne

f(x) = q(x)π_{l+1}(x) + r(x), avec deg q ≤ l, deg r ≤ l.

Comme π_{l+1} ⊥ 𝒫_{l}, il vient ∫_{α}^{β} q(x)π_{l+1}(x)w(x)dx = 0, d’où

∫_{α}^{β} f(x)w(x)dx = ∫_{α}^{β} r(x)w(x)dx = ∑_{j=0}^{l} λ_{j}r(x_{j})

Comme f(x_{j}) = r(x_{j}), on a donc bien E(f) = 0. Il reste seulement à voir que l’ordre n’est pas > 2l + 1, ce qui résulte du théorème ci-dessous.

Théorème 2. Le noyau de Peano K_{2l+1} est ≥ 0, et pour tout f ∈ C^{2l+2}([α, β]), il existe ξ ∈ ]α, β[ tel que

E(f) = \frac{f^{(2l+2)}(ξ)}{(2l + 2)!} ∫_{α}^{β} π_{l+1}(x)^{2}w(x)dx.

On notera en particulier que ceci entraîne

E(x ↦ x^{2l+2}) = ∫_{α}^{β} π_{l+1}(x)^{2}w(x)dx > 0,

donc la méthode n’est pas d’ordre 2l + 2.

Démonstration.* D’après le § 2.2, on a

E(f) = \frac{1}{(2l + 1)!} ∫_{α}^{β} K_{2l+1}(t)f^{(2l+2)}(t)dt.

Inversement, si φ ∈ 𝒞([α, β]), on obtient

∫_{α}^{β} K_{2l+1}(t)φ(t)dt = (2l + 1)! E(Φ)

où Φ est une primitive d’ordre 2l + 2 de φ. Supposons par l’absurde qu’il existe t_{0} ∈ [α, β] tel que K_{2l+1}(t_{0}) < 0. Notons K_{2l+1}^{−} = max (−K_{2l+1}, 0) ∈ 𝒞([α, β]) la partie négative de la fonction K_{2l+1}, et soit φ un polynôme qui approche K_{2l+1}^{−} + ε uniformément à ε près sur [α, β]. On a donc en particulier

0 ≤ K_{2l+1}^{−} < φ < K_{2l+1}^{−} + 2ε,
|∫_{α}^{β} K_{2l+1}(t)φ(t)dt − ∫_{α}^{β} K_{2l+1}(t)K_{2l+1}^{−}(t)dt| ≤ 2ε ∫_{α}^{β} |K_{2l+1}(t)|dt.

Comme ∫_{α}^{β} K_{2l+1}(t)K_{2l+1}^{−}(t)dt = − ∫_{α}^{β}(K_{2l+1}^{−}(t))^{2}dt < 0, on en déduit pour ε assez petit :

∫_{α}^{β} K_{2l+1}(t)φ(t)dt < 0.

Soit Φ une primitive d’ordre 2l + 2 de φ; Φ est un polynôme. Écrivons la division euclidienne de Φ par π_{l+1}^{2} :

Φ(x) = π_{l+1}^{2}(x)q(x) + r(x)

avec deg r ≤ deg (π_{l+1}^{2}) − 1 = 2l + 1. Il vient E(r) = 0 d’où

E(Φ) = E(π_{l+1}^{2}q) = ∫_{α}^{β} π_{l+1}^{2}(x)q(x)w(x)dx − 0.

La formule de la moyenne implique qu’il existe θ ∈ ]α, β[ tel que

E(Φ) = q(θ) ∫_{α}^{β} π_{l+1}^{2}(x)w(x)dx,

et par ailleurs

E(Φ) = \frac{1}{(2l + 1)!} ∫_{α}^{β} K_{2l+1}(t)φ(t)dt < 0.

On va obtenir une contradiction en montrant que q(θ) > 0. Considérons le polynôme

g(x) = Φ(x) − r(x) − π_{l+1}^{2}(x)q(θ) = π_{l+1}^{2}(x)(q(x) − q(θ)).

g admet x_{0}, …, x_{l} comme zéros de multiplicité 2, et θ de multiplicité ≥ 1, c’est-à-dire au moins 2l + 3 zéros. Il existe donc un point η intermédiaire entre les points x_{j}, θ, tel que g^{(2l+2)}(η) = 0. Par suite

0 = g^{(2l+2)}(η) = Φ^{(2l+2)}(η) − (2l + 2)! q(θ) = φ(η) − (2l + 2)! q(θ)

et comme φ(η) > 0 on en déduit bien q(θ) > 0, contradiction. Par suite K_{2l+1} ≥ 0 et le corollaire 2 du § 2.2 donne

E(f) = \frac{1}{(2l + 2)!} f^{(2l+2)}(ξ) E(x ↦ x^{2l+2}).

Comme π_{l+1} est unitaire, on a x^{2l+2} = π_{l+1}(x)^{2} + r(x) où r ∈ 𝒫_{2l+1}, donc E(x ↦ x^{2l+2}) = E(π_{l+1}^{2}) = ∫_{α}^{β} π_{l+1}(x)^{2}w(x)dx, ce qui démontre le théorème.

3.2. Cas particuliers d’usage fréquent

L’intérêt des méthodes de Gauss est de réaliser l’ordre N maximal pour un nombre fixé l+1 de points d’interpolation. Néanmoins, la complexité du calcul des polynômes orthogonaux fait que les méthodes de Gauss ne sont guère utilisées que dans les deux cas suivants.

• w(x) = 1 sur [−1, 1] : méthode de Gauss-Legendre.

Les polynômes orthogonaux successifs et les points x_{j} correspondant sont donnés par le tableau

l  π_{l+1}(x)  x_{0}, …, x_{l}  λ_{0}, …, λ_{l}  ordre N
−1 1
0 x  0  2  1
1 x^{2} − \frac{1}{3}  −\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}  1, 1  3
2 x^{3} − \frac{3}{5} x  −\sqrt{\frac{3}{5}}, 0, \sqrt{\frac{3}{5}}  \frac{5}{9}, \frac{8}{9}, \frac{5}{9}  5

3 x^{4} − \frac{6}{7}x^{2} + \frac{3}{35}  ±\sqrt{\frac{3}{7} ± \frac{2}{7}\sqrt{\frac{6}{5}}}  \frac{1}{2} − \frac{1}{6}\sqrt{\frac{5}{6}}, \frac{1}{2} + \frac{1}{6}\sqrt{\frac{5}{6}}  7

4 x^{5} − \frac{10}{9}x^{3} + \frac{5}{21}x 0, ±\sqrt{\frac{5}{9} ± \frac{2}{9}\sqrt{\frac{10}{7}}}  compliqués !  9

• w(x) = \frac{1}{\sqrt{1 − x^{2}}} sur ] − 1, 1[ : méthode de Gauss-Tchebychev.

Les points x_{j} sont alors les points d’interpolation de Tchebychev dans l’intervalle ] − 1, 1[, à savoir les points

x_{j} = cos \frac{2j + 1}{2l + 2} π, 0 ≤ j ≤ l,

et on peut démontrer (voir par exemple le livre de Crouzeix-Mignot, exercice 2.4) que λ_{j} = \frac{π}{l+1}. On obtient donc une méthode approchée d’ordre 2l + 1 s’écrivant

∫_{−1}^{1} f(x)\frac{dx}{\sqrt{1 − x^{2}}} ≃ \frac{π}{l + 1} ∑_{j=0}^{l} f( cos \frac{2j + 1}{2l + 2} π).

4. Formule d’Euler-Maclaurin et développements asymptotiques

Nous allons quitter ici quelque peu le fil directeur des paragraphes précédents. Notre objectif est d’obtenir une formule théorique pour le calcul du développement limité des approximations numériques en fonction du pas de la subdivision. Ceci conduit, pour des fonctions suffisamment régulières, à des procédés numériques en général très performants.

4.1. Polynômes et nombres de Bernoulli

Soit f une fonction de classe C^{p} sur [0, 1] avec p ≥ 1. Une intégration par parties donne

∫_{0}^{1} f(x)dx = [(x − \frac{1}{2})f(x)]_{0}^{1} − ∫_{0}^{1} (x − \frac{1}{2})f′(x)dx,

ce qui peut se récrire

\frac{1}{2} f(0) + \frac{1}{2} f(1) = ∫_{0}^{1} f(x)dx + ∫_{0}^{1} B_{1}(x)f′(x)dx

avec B_{1}(x) = x − \frac{1}{2}, ce choix ayant l’intérêt que ∫_{0}^{1} B_{1}(x)dx = 0. L’idée consiste à répéter les intégrations par parties en introduisant des primitives successives de B_{1} dont l’intégrale sur [0, 1] est nulle. De façon précise, on choisit B_{p} en sorte que

B′_{p}(x) = pB_{p−1}(x), ∫_{0}^{1} B_{p}(x)dx = 0,

la deuxième condition permettant de fixer la constante d’intégration de manière unique. On trouve ainsi

\begin{aligned}∫_{0}^{1} B_{p−1}(x)f^{(p−1)}(x)dx & = [\frac{1}{p} B_{p}(x)f^{(p−1)}(x)]_{0}^{1} − ∫_{0}^{1} \frac{1}{p} B_{p}(x)f^{(p)}(x)dx, \\ ∫_{0}^{1} \frac{B_{p−1}(x)}{(p − 1)!} f^{(p−1)}(x)dx & = \frac{b_{p}}{p!} (f^{(p−1)}(1) − f^{(p−1)}(0)) − ∫_{0}^{1} \frac{B_{p}(x)}{p!} f^{(p)}(x)dx, \end{aligned}

où b_{p} = B_{p}(0) = B_{p}(1) par définition (noter que B_{p}(1) − B_{p}(0) = ∫_{0}^{1} pB_{p−1}(x)dx est nulle pour p ≥ 2). De ceci on déduit facilement par récurrence la formule

\frac{1}{2} f(0) + \frac{1}{2} f(1) = ∫_{0}^{1} f(x)dx + ∑_{m=2}^{b}(−1)^{m} \frac{b_{m}}{m!} (f^{(m−1)}(1) − f^{(m−1)}(0))

+ (−1)^{p+1} ∫_{0}^{1} \frac{B_{p}(x)}{p!} f^{(p)}(x)dx.  (∗)

Calculons par exemple B_{2}. On a par définition

\begin{aligned}B′_{2}(x) & = 2B_{1}(x) = 2x − 1, d’où \\ B_{2}(x) & = x^{2} − x + C, x ∈ [0, 1], \end{aligned}

et la condition ∫_{0}^{1} B_{2}(x)dx = 0 implique C = \frac{1}{6}. On voit facilement par récurrence que B_{p} est un polynôme unitaire de degré p à coefficients rationnels, tel que B_{p}(0) = B_{p}(1) pour p ≥ 2. On convient d’étendre B_{p} à ℝ en posant

B_{p}(x) = B_{p}(x − E(x)) si x ∉ [0, 1[.

On obtient ainsi une fonction périodique de période 1 qui est un polynôme en restriction à [0, 1[ (mais qui, bien entendu, n’est pas un polynôme sur ℝ tout entier).

−2  −1  0  1/2  1  2  x −1/2 1/2  B_{1}

−2  −1  1  2  x −1/12 1/6  B_{2}

Théorème et définition. Les polynômes B_{p} sont appelés polynômes de Bernoulli. Les nombres de Bernoulli sont les réels b_{p} définis par

b_{0} = 1, b_{1} = −\frac{1}{2}, b_{p} = B_{p}(0) si p ≥ 2.

On a les formules :

(1) B_{p}(x) = ∑_{m=0}^{p} \binom{p}{m}b_{m}x^{p−m}  , p ≥ 1, x ∈ [0, 1[.

(2) b_{p} = ∑_{m=0}^{p} \binom{p}{m}b_{m}  , p ≥ 2.
(3) B_{p}(1 − x) = (−1)^{p}B_{p}(x)  , p ≥ 1.

(4) b_{m} = 0 si m est impair ≥ 3.

Démonstration.

(1) La formule est vraie pour p = 1 d’après la définition de b_{0}, b_{1}. Supposons la formule vraie à l’ordre p − 1 :

B_{p−1}(x) = ∑_{m=0}^{p−1} \binom{p − 1}{m}b_{m}x^{p−1−m}.

On a alors

B′_{p}(x) = pB_{p−1}(x) = ∑_{m=0}^{p−1} p\binom{p − 1}{m}b_{m}x^{p−1−m},

\begin{aligned}B_{p}(x) & = B_{p}(0) + ∑_{m=0}^{p−1} \frac{p}{p − m}\binom{p − 1}{m}b_{m}x^{p−m} \\ & = b_{p} + ∑_{m=0}^{p−1} \binom{p}{m}b_{m}x^{p−m}, \end{aligned}

donc la formule est encore vraie à l’ordre p.

(2) D’après ce qui précède, B_{p} est continue sur ℝ pour tout p ≥ 2 et vérifie B_{p}(1) = B_{p}(0) = b_{p}, par conséquent (2) est un cas particulier de (1).

(3) Par récurrence sur p, on voit que (−1)^{p}B_{p}(1 − x) a pour dérivée

−(−1)^{p}B′_{p}(1 − x) = p(−1)^{p−1}B_{p−1}(1 − x) = pB_{p−1}(x) = B′_{p}(x).

Comme (−1)^{p}B_{p}(1 − x) est d’intégrale nulle sur [0, 1], on en déduit que (−1)^{p}B_{p}(1 − x) et B_{p}(x) coïncident.

(4) Pour p ≥ 2 et x = 0, (3) donne b_{p} = (−1)^{p}b_{p}, donc b_{p} = 0 si p est impair.

La relation (2) appliquée à p = 2k + 1 donne

0 = \binom{2k + 1}{2k}b_{2k} + \binom{2k + 1}{2k − 2}b_{2k−2} + … + \binom{2k + 1}{2}b_{2} + \binom{2k + 1}{1}b_{1} + 1.

Ceci permet de calculer par récurrence les nombres de Bernoulli successifs :

b_{0} = 1, b_{1} = −\frac{1}{2}, b_{2} = \frac{1}{6}, b_{4} = −\frac{1}{30}, b_{6} = \frac{1}{42}, b_{8} = −\frac{1}{30}, b_{10} = \frac{5}{66}, …

Supposons maintenant donnée une fonction f de classe C^{p} sur [α, β] où α, β sont des entiers. Grâce à la périodicité des fonctions B_{p}, la formule (∗) ci-dessus est vraie sur chaque intervalle [α, α + 1], …, [β − 1, β]. Par sommation, on en déduit

\frac{1}{2} f(α) + f(α + 1) + … + f(β − 1) + \frac{1}{2} f(β) = ∫_{α}^{β} f(x)dx

+ ∑_{m=2}^{p}(−1)^{m} \frac{b_{m}}{m!} (f^{(m−1)}(β) − f^{(m−1)}(α)) + (−1)^{p+1} ∫_{α}^{β} \frac{B_{p}(x)}{p!} f^{(p)}(x)dx.

En appliquant ceci pour p = 2k et en tenant compte du fait que b_{m} = 0 si m est impair ≥ 3, on obtient la

Formule d’Euler-Maclaurin. Soit f une fonction de classe C^{k} sur [α, β] où α, β ∈ ℤ et soit T (f) = \frac{1}{2} f(α) + f(α + 1) + … + f(β − 1) + \frac{1}{2} f(β) la somme des trapèzes associées à f. Alors

\begin{aligned}T (f) = ∫_{α}^{β} f(x)dx & + ∑_{m=1}^{k} \frac{b_{2m}}{(2m)!} (f^{(2m−1)} (β) − f^{(2m−1)}(α)) \\ & − ∫_{α}^{β} \frac{B_{2k}(x)}{(2k)!} f^{(2k)}(x)dx. \end{aligned}

Pour pouvoir exploiter cette formule à des fins numériques, il importe de savoir majorer la fonction B_{2k}(x) qui intervient dans le reste intégral.

4.2. Lien avec les séries de Fourier et estimation de B_{p}

Comme B_{p} est périodique de période 1, il est tentant de rechercher un développement de B_{p} en série de Fourier. D’après la formule (∗) du § 4.1 appliquée à f(x) = e^{−2πinx}, il vient

1 = ∫_{0}^{1} e^{−2πinx}dx + 0 − (2πin)^{p} ∫_{0}^{1} \frac{B_{p}(x)}{p!} e^{−2πinx}dx,

et la première intégrale est nulle pour n ≠ 0. On en déduit que le coefficient de Fourier d’indice n de B_{p} est

\{ \begin{matrix}B̂_{p}(n) = −\frac{p!}{(2πin)^{p}} & si n ≠ 0, \\ B̂_{p}(0) = ∫_{0}^{1} B_{p}(x) = 0 & si n = 0. \end{matrix}

Pour p ≥ 2, la série de Fourier est absolument convergente et B_{p} est continue, donc

B_{p}(x) = −p! ∑_{n∈ℤ^{∗}} \frac{e^{2πinx}}{(2πin)^{p}} , (∀x ∈ ℝ).

Pour p = 1, la fonction B_{1} est de classe C^{1} par morceaux, donc la série converge vers B_{1}(x) en tout point x ∉ ℤ et vers \frac{1}{2} (B_{1}(x+0)+B_{1}(x−0)) = 0 si x ∈ ℤ. La formule ci-dessus peut se récrire

\begin{aligned}B_{2k}(x) & = \frac{(−1)^{k+1}2(2k)!}{(2π)^{2k}} ∑_{n=1}^{+∞} \frac{cos 2πnx}{n^{2k}}, \\ B_{2k+1}(x) & = \frac{(−1)^{k+1}2(2k + 1)!}{(2π)^{2k+1}} ∑_{n=1}^{+∞} \frac{sin 2πnx}{n^{2k+1}}. \end{aligned}

En particulier, si l’on introduit la fonction ζ de Riemann

ζ(s) = ∑_{n=1}^{+∞} \frac{1}{n^{s}} ,

on obtient

b_{2k} = \frac{(−1)^{k+1}2(2k)!}{(2π)^{2k}} ζ(2k).

Comme ζ(s) ≤ 1 + ∫_{1}^{+∞} dx/x^{s} = 1 + 1/(s − 1), on voit que lim_{s→+∞} ζ(s) = 1 et en particulier on a

b_{2k} ∼ \frac{(−1)^{k+1}2(2k)!}{(2π)^{2k}} quand k → +∞.

Les coefficients |b_{2k}| tendent donc vers +∞ assez vite. Par ailleurs, il est clair que B_{2k}(x) atteint sa valeur absolue maximum pour x = 0 ; on obtient donc

(∗∗)  |B_{2k}(x)| ≤ |b_{2k}|, ∀x ∈ ℝ.

Comme B_{2k+1}(0) = 0 pour k ≥ 1, on a d’autre part

B_{2k+1}(x) = (2k + 1) ∫_{0}^{x} B_{2k}(t)dt

donc |B_{2k+1}(x)| ≤ (2k + 1)|x| |b_{2k}|. On en déduit l’inégalité

|B_{2k+1}(x)| ≤ (k + \frac{1}{2})|b_{2k}|

d’abord pour x ∈ [0, \frac{1}{2}], puis pour x ∈ [\frac{1}{2}, 1] grâce à la formule (3) du § 4.1, puis pour tout x ∈ ℝ par périodicité.

4.3. Application à la recherche de développements asymptotiques

Soit f une fonction de classe C^{∞} sur [α, +∞[ où α ∈ ℤ. Pour tout entier n ≥ α, on cherche à obtenir un développement limité à tout ordre de la somme

S_{n}(f) = f(α) + f(α + 1) + … + f(n)

lorsque n tend vers +∞. Un tel développement est appelé développement asymptotique de S_{n}(f) ; il permet généralement d’obtenir de très bonnes valeurs approchées de S_{n}(f) lorsque n est grand.

Théorème. On suppose qu’il existe un entier m_{0} ∈ ℕ et un réel x_{0} tels que pour m ≥ m_{0} les dérivées f^{(m)}(x) soient de signe constant sur [x_{0}, +∞[, avec lim_{x→+∞} f^{(m)}(x) = 0. Alors il existe une constante C indépendante de n et k, telle que pour tout n ≥ x_{0} et tout k > \frac{m_{0}}{2} on ait :

S_{n}(f) = C + \frac{1}{2} f(n) + ∫_{α}^{n} f(x)dx + ∑_{m=1}^{k−1} \frac{b_{2m}}{(2m)!} f^{(2m−1)}(n) + R_{n,k}

avec

R_{n,k} = θ \frac{b_{2k}}{(2k)!} f^{(2k−1)}(n) = θ × (1^{er} terme omis), θ ∈ [0, 1].

Démonstration. On a par définition S_{n}(f) = \frac{1}{2} f(α) + \frac{1}{2} f(n) + T (f) où T (f) est la somme des trapèzes de f sur [α, n]. La formule d’Euler Maclaurin entraîne

S_{n}(f) = \frac{1}{2} f(α) + \frac{1}{2} f(n) + ∫_{α}^{n} f(x)dx + ∑_{m=1}^{k} \frac{b_{2m}}{(2m)!} f^{(2m−1)}(n)

− ∑_{m=1}^{k} \frac{b_{2m}}{(2m)!} f^{(2m−1)}(α) − ∫_{α}^{+∞} \frac{B_{2k}(x)}{(2k)!} f^{(2k)}(x)dx

+ ∫_{n}^{+∞} \frac{B_{2k}(x)}{(2k)!} f^{(2k)}(x)dx.

On obtient donc le développement du théorème avec une constante C = C_{k} dépendant a priori de k et un reste R_{n,k} donnés par

C_{k} = \frac{1}{2} f(α) − ∑_{m=1}^{k} \frac{b_{2m}}{(2m)!} f^{(2m−1)}(α) − ∫_{α}^{+∞} \frac{B_{2k}(x)}{(2k)!} f^{(2k)}(x)dx,

R_{n,k} = \frac{b_{2k}}{(2k)!} f^{(2k−1)}(n) + ∫_{n}^{+∞} \frac{B_{2k}(x)}{(2k)!} f^{(2k)}(x)dx,

à condition de montrer que les intégrales convergent. Comme k > \frac{m_{0}}{2} , f^{(2k)} est de signe constant sur [x_{0}, +∞[. D’après l’inégalité (∗∗) du § 4.2, il vient

| ∫_{n}^{+∞} \frac{B_{2k}(x)}{(2k)!} f^{(2k)}(x)dx| ≤ \frac{|b_{2k}|}{(2k)!} | ∫_{n}^{+∞} f^{(2k)}(x)|,

∫_{n}^{+∞} f^{(2k)}(x)dx = lim_{N→+∞} ∫_{n}^{N} = lim_{N→+∞} (f^{(2k−1)}(N) − f^{(2k−1)}(n)) = −f^{(2k−1)}(n).

On a donc bien convergence et nos estimations montrent par ailleurs que l’intégrale figurant dans R_{n,k} est de valeur absolue plus petite que le premier terme, donc

R_{n,k} = θ \frac{b_{2k}}{(2k)!} f^{(2k−1)}(n), θ ∈ [0, 2].

Il reste à voir qu’on a en fait θ ∈ [0, 1] et que C_{k} ne dépend pas de k. Appliquons la formule à l’ordre k + 1 et identifions avec la formule donnant S_{n}(f) à l’ordre k. Il vient

C_{k} + R_{n,k} = C_{k+1} + \frac{b_{2k}}{(2k)!} f^{(2k+1)}(n) + R_{n,k+1}.

En faisant tendre n vers +∞, on trouve C_{k} = C_{k+1}, donc C_{k} est bien indépendante de k, et

R_{n,k} = \frac{b_{2k}}{(2k)!} f^{(2k+1)}(n) + R_{n,k+1}.

D’après ce qui précède, R_{n,k} est de même signe que le terme b_{2k}/(2k)!f^{(2k−1)}(n) tandis que R_{n,k+1} est du signe opposé : le § 4.2 montre que signe (b_{2k}) = (−1)^{k+1}, tandis que signe f^{(2k+1)} = −signe f^{(2k)} = signe f^{(2k−1)}. On a donc

R_{n,k}/(\frac{b_{2k}}{(2k)!} f^{(2k−1)}(n)) ≤ 1,

ce qui implique θ ∈ [0, 1].

4. Formule d’Euler-Maclaurin et développements asymptotiques 87 Exemple 1. Formule de Stirling avec reste. On applique la formule à f(x) = ln x sur [1, +∞[ :

S_{n}(f) = ln 1 + … + ln (n) = ln (n!), ∫_{1}^{n} ln xdx = n(ln (n) − 1) + 1,

f^{(m)}(x) = \frac{(−1)^{m−1}(m − 1)!}{x^{m}}, d’où

ln (n!) = C′ + \frac{1}{2} ln (n) + n(ln (n) − 1) + ∑_{m=1}^{k−1} \frac{b_{2m}}{2m(2m − 1)} \frac{1}{n^{2m−1}} + R_{n,k}

n! = e^{C′} \sqrt{n}(\frac{n}{e})^{n}exp( ∑_{m=1}^{k−1} \frac{b_{2m}}{2m(2m − 1)} \frac{1}{n^{2m−1}} + R_{n,k})

On peut vérifier que e^{C′} = \sqrt{2π} (exercice ci-dessous), d’où en particulier

n! = \sqrt{2πn} (\frac{n}{e})^{n} exp (\frac{1}{12n} − \frac{1}{360n^{3}} + \frac{1}{1260n^{5}} − \frac{θ}{1680n^{7}} ).

Exercice C. On pose I_{n} = ∫_{0}^{π/2}(sin x)^{n} dx, n ∈ ℕ.

(a) Montrer que I_{n} = \frac{n−1}{n} I_{n−2} si n ≥ 2. Calculer I_{0}, I_{1} puis I_{2n}, I_{2n+1} et I_{2n} · I_{2n+1}.

(b) Montrer que I_{n} est décroissante et que I_{2n+1} ∼ I_{2n}.

(c) En déduire \frac{(2n)!}{n!^{2}} ∼ \frac{2^{2n}}{\sqrt{πn}} et la valeur de e^{C′}.

Exemple 2. Évaluation de la constante d’Euler γ. On applique cette fois la formule d’Euler-Maclaurin à f(x) = 1/x sur [1, +∞[ :

S_{n}(f) = 1 + \frac{1}{2} + … + \frac{1}{n},

∫_{1}^{n} \frac{1}{x} dx = ln n,

f^{(m)}(x) = \frac{(−1)^{m}m!}{x^{m+1}}, d’où

S_{n}(f) = C + \frac{1}{2} \frac{1}{n} + ln n − ∑_{m=1}^{k−1} \frac{b_{2m}}{2m} \frac{1}{n^{2m}} + R_{n,k}.

Ceci montre que la limite γ = lim_{n→+∞} 1 + \frac{1}{2} + … + \frac{1}{n} − ln n existe et qu’elle est égale à la constante C de la formule d’Euler-Maclaurin. On obtient de plus pour tout n l’approximation

γ = 1 + \frac{1}{2} + … + \frac{1}{n} − ln n − \frac{1}{2n} + ∑_{m=1}^{k−1} \frac{b_{2m}}{2m} \frac{1}{n^{2m}} − R_{n,k}

avec une erreur −R_{n,k} = θ \frac{b_{2k}}{2k} \frac{1}{n^{2k}}.

D’après 4.2 nous avons b_{2k} ∼ \frac{(−1)^{k+1}2(2k)!}{(2π)^{2k}} donc

(∗)  \frac{b_{2k}}{2k} \frac{1}{n^{2k}} ∼ \frac{(−1)^{k+1}2(2k − 1)!}{(2πn)^{2k}},

et on voit que, prise par rapport à l’indice k, la série correspondante est divergente pour toute valeur fixée de n. Il en est de même pour la sommation apparaissant dans la formule de Stirling. Le lecteur pourra observer que l’application de la formule d’Euler-Maclaurin conduit presque toujours à des séries divergentes (c’est la raison même pour laquelle on parle de développements asymptotiques).

En dépit de cette divergence, on dispose tout de même là d’un excellent moyen d’approximation et de calcul numérique. En effet, on voit que la valeur absolue du membre de droite de (∗) passe par un minimum pour k = E(πn + \frac{1}{2}), puisque le rapport du terme d’indice k à celui d’indice k − 1 est (2k − 2)(2k − 1)/(2πn)^{2}, qui est plus petit que 1 tant que 2k − 1 ⩽ 2πn. Pour k = E(πn + \frac{1}{2}) = πn + r, r ∈ [−\frac{1}{2}, \frac{1}{2}], la formule de Stirling donne

\frac{2(2k − 1)!}{(2πn)^{2k}} = \frac{(2k)!}{k(2πn)^{k}} ∼ \frac{\sqrt{4π}(2k/e)^{2k}}{\sqrt{k}(2πn)^{2k}} ∼ \frac{2}{\sqrt{n}}(1 + \frac{r}{πn})^{2k}e^{−2k} ∼ \frac{2}{\sqrt{n}}e^{−2πn}

puisque lim_{n→+∞}(1 + \frac{r}{πn})^{2k} = lim_{n→+∞}(1 + \frac{r}{πn})^{2πn} = e^{2r}. Lorsque n est grand, la précision d’améliore donc exponentiellement avec n, à condition de s’arrêter au terme b_{2k}(…) de valeur absolue minimale ; au delà, l’erreur augmente, et même, la série diverge !

5. Méthode d’intégration de Romberg

On va montrer ici comment à partir de la formule d’Euler-Maclaurin on peut construire une méthode d’intégration basée sur l’accélération de la convergence de la méthode des trapèzes. On obtient ainsi un algorithme de calcul souple et performant, aisé à programmer et souvent préféré à tout autre dans la pratique.

5.1. Procédé d’extrapolation de Richardson

On suppose donnée une fonction A qui admet un développement limité à tout ordre au voisinage de 0 :

A(t) = a_{0} + a_{1}t + … + a_{k}t^{k} + R_{k+1}(t)

avec |R_{k+1}| ≤ C_{k+1}|t|^{k+1}.

La situation est la suivante : on suppose qu’on a un algorithme permettant de calculer A(t_{m}) pour certains réels t_{m} → 0_{+}, et on cherche à extrapoler ces valeurs pour obtenir A(0) = a_{0}. On construit pour cela un procédé d’accélération de la convergence consistant à éliminer successivement les termes a_{1}t, a_{2}t^{2}, … du développement limité de A(t).

Principe de la méthode. Soit r > 1 un réel fixé. On a

A(rt) = a_{0} + … + a_{n}r^{n}t^{n} + … + a_{k}r^{k}t^{k} + O(t^{k+1}).

Pour éliminer le terme en t^{n}, il suffit de former le quotient

\frac{r^{n}A(t) − A(rt)}{r^{n} − 1} = a_{0} + b_{1}t + … + b_{n−1}t^{n−1} + 0 + b_{n+1}t^{n−1} + …

Si on calcule successivement les quantités

\begin{aligned}A_{0}(t) & = A(t) \\ A_{1}(t) & = \frac{rA_{0}(t) − A_{0}(rt)}{r − 1}, …, \\ A_{n}(t) & = \frac{r^{n}A_{n−1}(t) − A_{n−1}(rt)}{r^{n} − 1}, \end{aligned}

alors on élimine successivement t, t^{2}, …, t^{n}. De manière générale on aura

A_{n}(t) = a_{0} + b_{n,n+1}t^{n+1} + … + b_{n,k}t^{k} + O(t^{k+1})

donc A_{n}(t) = A_{0} + O(t^{n+1}) est une meilleure approximation de a_{0} que la fonction A(t) initiale. Supposons en particulier qu’on sache calculer les quantités

A_{m,0} = A(r^{−m}t_{0})

où t_{0} > 0 est fixé (de sorte que lim_{m→+∞} A_{m,0} = a_{0}). On a seulement a priori A(t) = a_{0} + O(t), donc

A_{m,0} = a_{0} + O(r^{−m}).

Si on pose A_{m,n} = A_{n}(r^{−m}t_{0}), il vient

A_{m,n} = a_{0} + O(r^{−m(n+1)}) quand m → +∞,

de sorte que la convergence est sensiblement (n+1)-fois rapide que celle de A_{m,0}. Les nombres A_{m,n} se calculent par la formule de récurrence

A_{m,n} = \frac{r^{n}A_{m,n−1} − A_{m−1,n−1}}{r^{n} − 1} .

Dans la pratique, on commence par ranger les valeurs A_{m,0} dans un tableau TAB, puis on effectue le calcul des colonnes A_{m,1}, A_{m,2}, … comme suit :

[figure: TAB[0]; A_{0,0}; A_{1,1}; A_{2,2}; A_{3,3}]
[figure: TAB[1]; A_{1,0}; A_{2,1}; A_{3,2}; …]
TAB[2]  A_{2,0}  A_{3,1}  …  …
TAB[3]  A_{3,0}  …  …  …
…  …  …  …  …

Chaque colonne est une suite convergeant vers a_{0}, mais la colonne d’indice n converge n + 1 fois plus vite à l’infini que celle d’indice 0.

5.2. Méthode de Romberg

Soit f ∈ C^{∞}([α, β]). On considère la subdivision de [α, β] en l sous-intervalle égaux donnée par les points x_{j} = α + jh, 0 ≤ j ≤ l où h = \frac{β−α}{l}, et on note

T_{f}(h) = h (\frac{1}{2} f(α) + f(α + h) + … + f(β − h) + \frac{1}{2} f(β))

la somme des trapèzes associée. Appliquons la formule d’Euler-Maclaurin à la fonction

\begin{matrix}g(u) = f(α + uh), u ∈ [0, l], \\ g^{(m)}(u) = h^{m}f^{(m)}(α + uh). \end{matrix}

Il vient

\begin{aligned}T_{g}(1) = ∫_{0}^{l} f(α + uh)du & + ∑_{m=1}^{k} \frac{b_{2m}}{2m!} h^{2m−1}(f^{(2m−1)}(β) − f^{(2m−1)}(α)) \\ & − h^{2k} ∫_{0}^{l} \frac{B_{2k}(u)}{2k!} f^{(2k)}(α + uh)du \end{aligned}

d’où

\begin{aligned}T_{f}(h) = hT_{g}(1) = ∫_{α}^{β} f(x)dx & + ∑_{m=1}^{k} \frac{b_{2m}}{(2m)!} h^{2m}(f^{(2m−1)}(β) − f^{(2m−1)}(α)) \\ & − h^{2k} ∫_{α}^{β} \frac{B_{2k}((x − α)/h)}{2k!} f^{(2k)}(x)dx. \end{aligned}

On en déduit que T_{f}(h) admet le développement limité

T_{f}(h) = ∫_{α}^{β} f(x)dx + ∑_{m=1}^{k−1} a_{m}h^{2m} + O(h^{2k})

avec a_{m} = \frac{b_{2m}}{(2m)!} (f^{(2m−1)}(β) − f^{(2m−1)}(α)).

On peut donc écrire T_{f}(h) = A(h^{2}) où

A(t) = T_{f}(\sqrt{t}) = a_{0} + a_{1}t + … + a_{k−1}t^{k−1} + O(t^{k}),

et il s’agit de calculer le coefficient

a_{0} = ∫_{α}^{β} f(x)dx.

On utilise pour cela des dichotomies successives avec les pas h = \frac{β−α}{2^{m}}. Ceci nous amène à calculer

A_{m,0} = T_{f}(\frac{β − α}{2^{m}}) = A(4^{−m}(β − α)^{2}).

On applique donc le procédé d’extrapolation de Richardson avec r = 4, ce qui conduit à la formule de récurrence

A_{m,n} = \frac{4^{n}A_{m,n−1} − A_{m−1,n−1}}{4^{n} − 1} .

On a alors A_{m,n} = ∫_{α}^{β} f(x)dx + O(4^{−m(n+1)}) quand m → +∞. La valeur approchée retenue est celle correspondant aux indices m, n les plus élevés pour lesquels A_{m,n} a été calculé.

Remarque 1. On peut gagner du temps dans le calcul de A_{m,0} en utilisant A_{m−1,0} pour évaluer A_{m,0}. Si h = \frac{β−α}{2^{m}}, on a en effet :

\begin{aligned}A_{m,0} & = h(\frac{1}{2} f(α) + f(α + h) + … + f(β − h) + \frac{1}{2} f(β)) \\ A_{m−1,0} & = 2h(\frac{1}{2} f(α) + f(α + 2h) + … + f(β − 2h) + \frac{1}{2} f(β)) \end{aligned}

Il suffit de poser

A′_{m,0} = h(f(α + h) + f(α + 3h) + … + f(β − h))

et alors on obtient

A_{m,0} = \frac{1}{2} A_{m−1,0} + A′_{m,0}.

Remarque 2. Si f ∈ C^{∞}(ℝ) est périodique de période β−α, alors f^{(m)}(β) = f^{(m)}(α) pour tout m et on a donc un développement limité à tout ordre

T_{f}(h) = ∫_{α}^{β} f(x)dx + O(h^{2k})

réduit à son terme constant. Il est inutile dans ce cas d’appliquer le procédé d’extrapolation de Richardson : la dernière somme des trapèzes calculée A_{m,0} donne déjà une très bonne approximation de l’intégrale.

Exercice D. Vérifier que A_{m,1} (resp. A_{m,2}) est la méthode de Simpson composée sur 2^{m−1} sous-intervalles (resp. Boole-Villarceau sur 2^{m−2} sous-intervalles).

Pour n ≥ 3, on peut vérifier que A_{m,n} ne correspond plus à une méthode de Newton-Cotes.

6. Problèmes

6.1. Soient x_{1} et x_{2} deux points de [−1, 1] et λ_{1} et λ_{2} ∈ ℝ. On désigne par 𝒞([−1, 1]) l’espace vectoriel des fonctions continues sur [−1, 1] et à valeurs réelles et on définit

T : 𝒞([−1, 1]) → ℝ par T (f) = λ_{1}f(x_{1}) + λ_{2}f(x_{2}).

(a) Quelles conditions doivent vérifier x_{1}, x_{2}, λ_{1}, λ_{2} pour que T soit une méthode d’intégration sur [−1, 1] exacte pour

(α) les fonctions constantes ?

(β) les fonctions affines ?

(γ) les polynômes de degré inférieur ou égal à 2 ?

(b) Parmi les méthodes exactes pour les polynômes de degré inférieur ou égal à 2, une seule vérifie x_{1} = −x_{2}. Montrer que ce choix de x_{1} et x_{2} (et des λ_{1} et λ_{2} correspondants) fournit une méthode exacte pour les polynômes de degré inférieur ou égal à 3 et qu’il s’agit de la seule méthode d’intégration exacte pour les polynômes de degré inférieur ou égal à 3 qui soit du type étudié dans le problème. Quelle est cette méthode ?

6.2.

(a) Montrer que pour un polynôme trigonométrique de degré n

∑_{p=−n}^{n} c_{p}e^{ipx},

la méthode des trapèzes de pas constant h = \frac{2π}{n+1} est exacte sur l’intervalle [0, 2π].

(b) Montrer que si f peut être approchée par un polynôme trigonométrique de degré n à moins de ε sur [a, b], la méthode des trapèzes pour h = \frac{2π}{n+1} fournit un erreur inférieure à 4πε pour ∫_{0}^{2π} f(x)dx.

(c) On considère f(x) = exp (\frac{1}{2} sin x). Donner une majoration de l’erreur pour la méthode des trapèzes pour ∫_{0}^{2π} f(x) dx avec h = π/2, h = π/4. Que pensez-vous de ce dernier résultat ?

6.3. Soit f : [−1, 1] → ℝ une fonction de classe C^{n}, où n sera supposé aussi grand que les besoins l’exigeront. On considère la méthode d’intégration numérique approchée donnée par

(M)  ∫_{−1}^{1} f(x)dx ≃ f(ω) + f(−ω) avec ω ∈ [0, 1].

(a) Calculer l’erreur

E(f) = ∫_{−1}^{1} f(x) − (f(ω) + f(−ω))

pour f(x) = 1, x, x^{2} respectivement. Déterminer l’ordre de la méthode (M) en fonction de ω.

(b) On se place ici dans le cas où la méthode (M) est d’ordre 1.

(α) Calculer le noyau de Peano K_{1}(t), et tracer le graphe de K_{1} pour ω = 5/8. Pour quelles valeurs de ω le noyau K_{1} est-il de signe constant ?

(β) Montrer que l’erreur vérifie une majoration

|E(f)| ≤ C(ω)∥f′′∥_{∞}

où C(ω) est une constante dont on déterminera la valeur optimale :

• lorsque K_{1} est de signe constant ;

• lorsque ω = 5/8.

(c) Calculer le noyau de Peano dans le cas où la méthode (M) est d’ordre 3 et vérifier que ce noyau est une fonction paire. En déduire qu’il existe ξ ∈ ] − 1, 1[ tel que

E(f) = \frac{1}{135} f^{(4)}(ξ).

(d) En utilisant le résultat du (c), estimer l’erreur obtenue par la méthode composée associée à la méthode (M) pour le calcul d’une intégrale

∫_{a}^{b} g(x)dx

avec une subdivision de [a, b] de pas constant h = (b − a)/k, k ∈ ℕ^{⋆}.

6.4. Soit p un entier naturel et soit f(x) = x^{p}. On note

S_{n,p} = ∑_{m=1}^{n} m^{p}.

On utilise la formule du développement asymptotique de S_{n}(f) avec α = 0.

(a) Montrer que pour k assez grand, le reste R_{n,k} est nul. En déduire une expression de S_{n,p} ; on calculera la valeur de la constante C en observant que S_{0,p} = 0.

(b) Donner une expression factorisée de S_{n,p} pour p = 2, 3, 4, 5.

6.5. Soit β un réel > 1. On considère la fonction

f(x) = \frac{1}{x^{β}} et on note ζ(β) = ∑_{n=1}^{+∞} \frac{1}{n^{β}} .

On utilise la formule du développement asymptotique de S_{n}(f) avec α = 1.

(a) Exprimer ζ(β) en fonction de la constante C de la formule ; pour cela, on fera tendre n vers +∞.

(b) Déterminer le développement limité de ζ(β) − S_{n}(f) avec reste R_{n,k}. En prenant n = 5 et k = 5, donner un encadrement de ζ(3).

6.6. On applique ici la formule d’Euler-Maclaurin à la fonction f(x) = e^{ax}, a ∈ ℂ.

(a) Montrer l’égalité

\frac{a}{2} \frac{e^{a} + 1}{e^{a} − 1} = 1 + ∑_{m=1}^{k} \frac{b_{2m}a^{2m}}{(2m)!} − \frac{a^{2k+1}}{e^{a} − 1} ∫_{0}^{1} \frac{B_{2k}(x)}{(2k)!} e^{ax}dx

(b) Montrer que le reste intégral est majoré pour tout a ∈ ℂ par

\frac{|b_{2k}|}{(2k)!} \frac{e^{| Re a|} − 1}{| Re a|} \frac{|a|}{|e^{a} − 1|} |a|^{2k} si e^{a} ≠ 1.

En déduire que \frac{a}{2} \frac{e^{a}+1}{e^{a}−1} = 1 + ∑_{m=1}^{+∞} \frac{b_{2m}a^{2m}}{(2m)!} sur le disque |a| < 2π, et que le rayon de convergence de la série est 2π.

(c) Lorsque a est réel, montrer que le reste intégral est majoré par |b_{2k}|a^{2k}/(2k)!, ainsi que par 2|b_{2k+2}|a^{2k+2}/(2k + 2)!.

Utiliser ceci pour trouver une valeur approchée de (e+1)/(e−1) en prenant k = 4. Vérifier que l’erreur commise est inférieure à 10^{−7}.

6.7. On considère la fonction

f(x) = \frac{1}{1 + x^{2}} , x ∈ ℝ.

(a) A l’aide d’une décomposition en éléments simples, calculer la dérivée f^{(m)} et montrer que |f^{(m)}(x)| ≤ m! (1 + x^{2})^{−(m+1)/2}.

(b) Déterminer le développement asymptotique de la suite

S_{n} = ∑_{k=0}^{n} \frac{1}{1 + k^{2}} .

(c) Calculer S_{10} et en déduire une valeur approchée à 10^{−6} près de la somme

∑_{n=0}^{+∞} \frac{1}{1 + n^{2}} .

6.8. On se propose ici d’étudier une méthode d’intégration numérique analogue aux méthodes de Newton-Cotes.

(a) Soit g une fonction continue sur [−1, 2]. Déterminer le polynôme p(x) = ∑_{i=−1}^{2} g(i)ℓ_{i}(x) de degré ≤ 3 qui interpole g aux points −1, 0, 1, 2.

Exprimer l’erreur d’interpolation à l’aide du polynôme π(x) = x(x + 1)(x − 1)(x − 2).

(b) Calculer ∫_{0}^{1} p(x)dx et ∫_{−1}^{0} p(x)dx en fonction des valeurs g(i), −1 ≤ i ≤ 2. En déduire ∫_{1}^{2} p(x)dx.

Vérifier les formules pour g(x) = 1 (resp. g(x) = x).

(c) Calculer ∫_{0}^{1} |π(x)|dx et ∫_{−1}^{0} |π(x)|dx.

En déduire une majoration (la meilleure possible !) de ∫_{i}^{i+1} |g(x) − p(x)|dx, i = −1, 0, 1, en fonction de la norme uniforme d’une dérivée convenable de g (g est supposée suffisamment dérivable).

(d) Soit f une fonction continue sur un intervalle [a, b] avec a < b. On note

a = a_{0} < a_{1} < … < a_{n−1} < a_{n} = b, n ≥ 8

la subdivision de pas constant h = \frac{b−a}{n} et on pose f_{i} = f(a_{i}).

On étudie la méthode d’intégration numérique

∫_{a}^{b} f(x)dx = ∑_{i=0}^{n−1} ∫_{a_{i}}^{a_{i+1}} f(x)dx ≃ ∑_{i=0}^{n−1} ∫_{a_{i+1}}^{a_{i}} p_{i}(x)dx

où p_{i} désigne le polynôme d’interpolation de Lagrange de f aux points a_{i−1}, a_{i}, a_{i+1}, a_{i+2} si 1 ≤ i ≤ n − 2, avec la convention d’écriture p_{0} = p_{1}, p_{n−1} = p_{n−2}. Montrer que cette méthode s’écrit

∫_{a}^{b} f(x)dx ≃ h ∑_{i=0}^{n} λ_{i}f_{i}

pour des coefficients λ_{i} que l’on explicitera. Que peut-on dire de l’ordre de la méthode ?

(e) Majorer les erreurs ∫_{a_{i}}^{a_{i+1}} |f(x) − p_{i}(x)|dx et

E(f) = ∫_{a}^{b} f(x)dx − h ∑_{i=0}^{n} λ_{i}f_{i}

en fonction de h, b − a, et de la norme uniforme d’une dérivée convenable de f.

6.9. On désigne par 𝒞([−1, 1]) l’espace des fonctions définies sur l’intervalle [−1, 1] à valeurs dans ℝ, muni de la norme uniforme.

(a) Montrer que pour tout f ∈ 𝒞([−1, 1]) l’intégrale

∫_{−1}^{1} \frac{f(x)}{\sqrt{1 − x^{2}}} dx est convergente.

(b) On note t_{n} le polynôme de Tchebychev de degré n.

On rappelle le résultat ∫_{−1}^{1} \frac{t_{n}(x)t_{k}(x)}{\sqrt{1−x^{2}}} dx = \frac{π}{2} δ_{n,k} où δ_{n,k} est le symbole de

Kronecker. Calculer ∫_{−1}^{1} \frac{x^{n}t_{m}(x)}{\sqrt{1−x^{2}}} dx pour n < m.

(c) On note x_{0}, x_{1}, x_{2} les racines de t_{3}. Déterminer trois réels A_{0}, A_{1}, A_{2} tels que pour tout polynôme P de degré ≤ 2 on ait

∫_{−1}^{1} \frac{P (x)}{\sqrt{1 − x^{2}}} dx = A_{0}P (x_{0}) + A_{1}P (x_{1}) + A_{2}P (x_{2}).

Montrer que l’égalité est encore vérifiée si P est de degré ≤ 5.

(d) Montrer que l’intégrale ∫_{0}^{1} \frac{x^{4}dx}{\sqrt{x(1−x)}} est convergente et, à l’aide de (c), calculer sa

valeur.

(e) Pour n fixé non nul, on désigne par x_{k} les racines de t_{n} et par A_{k} des nombres réels (0 ≤ k ≤ n − 1). Pour tout f ∈ 𝒞 on note

S_{n}(f) = ∑_{k=0}^{n−1} A_{k}f(x_{k}) et R_{n}(f) = ∫_{−1}^{1} \frac{f(x)}{\sqrt{1 − x^{2}}} dx − S_{n}(f).

(α) Montrer que l’on peut déterminer les A_{k} de manière unique de sorte que pour tout polynôme P de degré ≤ n − 1 on ait R_{n}(P) = 0.

(β) Montrer que pour 1 ≤ p ≤ n − 1 on a ∑_{k=0}^{n−1} T_{p}(x_{k}) = 0.

En déduire que A_{k} = \frac{π}{n} pour tout k.

(γ) Montrer que R_{n}(P) = 0 pour tout polynôme de degré ≤ 2n − 1.

(f) Soient f ∈ 𝒞([−1, 1]) et P un polynôme. En supposant ∥f − p∥ < ε, donner un majorant de |R_{n}(f)| lorsque n → +∞. En déduire

lim_{n→+∞} S_{n}(f) = ∫_{−1}^{1} \frac{f(x)}{\sqrt{1 − x^{2}}} dx.

6.10. Le but du problème est d’établir quelques résultats sur la formule approchée ∫_{−1}^{1} f(x)dx ≃ ∫_{−1}^{1} P_{n}(x)dx où P_{n}(x) est le polynôme d’interpolation de degré n de f aux points de Tchebychev x_{i} = cos θ_{i}, tels que θ_{i} = \frac{(2i+1)}{2n+2} π, 0 ≤ i ≤ n.

(a) Avec les notations de II 4.3, montrer que le polynômes l_{i} de Lagrange sont donnés par

l_{i}(x) = \frac{(−1)^{i} sin θ_{i}}{n + 1} \frac{t_{n+1}(x)}{x − x_{i}}, 0 ≤ i ≤ n.

(b) Pour x ∈ [−1, 1] et n ∈ ℕ on note

a_{n}(x) = ∫_{−1}^{1} \frac{cos(n Arccos x) − cos(n Arccos y)}{x − y} dy.

Montrer que a_{n} est un polynôme de degré n et que l’on a

∫_{−1}^{1} P_{n}(x)dx = ∑_{i=0}^{n} ω_{i}f(x_{i}) avec ω_{i} = \frac{(−1)^{i} sin θ_{i}}{n + 1} a_{n+1}(x_{i}).

(c) Calculer a_{n+1}(x) − a_{n−1}(x) ; en déduire la valeur de

a_{n+1}(x) − 2xa_{n}(x) + a_{n−1}(x).

(d) En distinguant deux cas suivant la parité de n, montrer l’égalité

sin θ a_{n}(cos θ) = 2 sin nθ − 4 ∑_{1≤q< \frac{n}{2}} \frac{1}{4q^{2} − 1} sin (n − 2q)θ.

(e) En déduire l’expression de ω_{i} :

ω_{i} = \frac{[2 − 4 ∑_{1≤q≤ \frac{n+1}{2}} \frac{1}{4q^{2} − 1} cos 2qθ_{i}]}{n + 1}.

Montrer l’inégalité ω_{i} > 0.

(f) On fixe n = 10. Écrire un programme en langage informatique qui permet de calculer tous les coefficients ω_{i}.

6.11. (Preuve du théorème de Steffensen) Soit f ∈ 𝒞^{l+2}([α, β]). On considère une méthode de quadrature élémentaire obtenue par interpolation de f en des points distincts τ_{j} ∈ [α, β], 0 ⩽ j ⩽ l, et on utilise la méthode des différences divisées pour évaluer l’erreur d’interpolation x ↦ f(x) − p_{l}(x).

(a) Démontrer par récurrence sur k la formule générale

f[x_{0}, x_{1} …, x_{k}] = ∑_{j=0}^{k} \frac{f(x_{j})}{∏_{i≠j}(x_{j} − x_{i})}

et en déduire que l’expression est invariante par permutation des x_{i}.

(b) Montrer que x ↦ f[x_{0}, x] = \frac{f(x)−f(x_{0})}{x−x_{0}} = ∫_{0}^{1} f′(x_{0} + t(x − x_{0})) dt s’étend en une fonction de classe 𝒞^{l+1} sur [α, β], puis, par récurrence sur k, que x ↦ f[τ_{0}, …, τ_{k}, x] s’étend également en une fonction de classe C^{l+1} (la seule difficulté se situe aux points x = τ_{j}). Indication. Pour k = 1, …, l, on a

f[τ_{0}, …, τ_{k}, x] = \frac{f[τ_{1}, τ_{2}, …, τ_{k}, x] − f[τ_{0}, τ_{2}, …, τ_{k}, x]}{τ_{1} − τ_{0}}.

(c) Montrer que pour tout x ∈ [α, β] et tout k = 0, 1, …, l, il existe ξ_{x} ∈ [α, β] tel que

\frac{d}{dx}f[τ_{0}, τ_{1}, …, τ_{k}, x] = \frac{1}{(k + 2)!} f^{(k+2)}(ξ_{x}).

Indication. La remarque du II.1.3 permet de voir qu’on a en général une égalité f[x_{0}, x_{1}, …, x_{k}] = \frac{1}{k!} f^{(k)}(ξ), ξ ∈ ] min(x_{i}), max(x_{i})[. On observera que \frac{d}{dx}f[τ_{0}, τ_{1}, …, τ_{l}, x_{0}] = lim_{x→x_{0}} f[τ_{0}, τ_{1}, …, τ_{l}, x_{0}, x].

(d) Exprimer f(x) − p_{l}(x) à l’aide de f[τ_{0}, τ_{1}, …, τ_{l}, x] et des formules du chapitre II, et en déduire que l’erreur de la formule de quadrature élémentaire est donnée par

E(f) = ∫_{α}^{β} ∏_{j=0}^{l}(x − τ_{j}) f[τ_{0}, τ_{1}, …, τ_{l}, x] dx.

(e) On suppose désormais que [α, β] = [−1, 1] et qu’on prend les points équidistants τ_{j} = −1 + jh h = 2/l, 0 ⩽ j ⩽ l. On pose

w(x) = ∫_{−1}^{x} ∏_{j=0}^{l}(t − τ_{j}) dt et I_{k} = w(τ_{k+1}) − w(τ_{k}), k = 0, 1, …, l − 1.

On considère d’abord le cas l = 2n pair. Montrer que I_{k} est une suite alternée de valeur absolue décroissante pour k ⩽ n. En déduire que w(x) est de signe constant positif sur ] − 1, 1[ avec w(−1) = w(1) = 0. À l’aide d’une intégration par parties, d’un changement de variable t = \frac{1}{n}u et du théorème de Fubini, prouver qu’il existe η ∈ [−1, 1] tel que

\begin{aligned}E(f) & = −\frac{1}{(l + 2)!} f^{(l+2)}(η) A, A = ∫_{−1}^{1} w(x) dx > 0, \\ A & = ∫_{−1}^{1}(1 − t) ∏_{j=0}^{l}(t − τ_{j}) dt = −\frac{1}{n^{2n+3}} ∫_{−n}^{n} u^{2}(u^{2} − 1) … (u^{2} − n^{2}) du. \end{aligned}

En prenant f(x) = x^{l+1}, montrer que la méthode est d’ordre l + 1 exactement, et que l’intégrale du noyau de Peano est donnée par ∫_{−1}^{1} K_{l+1}(t) dt = −A/(l + 2).

(f) En choisissant f telle que g(t) = f^{(l+2)}(t) soit une fonction continue comprise entre −1 et 1 approximant la fonction t ↦ (signe de K_{l+1}(t)) = 0, ±1, montrer qu’on aurait une contradiction si K_{l+1}(t) n’était pas de signe constant. En déduire que K_{l+1}(t) ⩽ 0.

(g) Dans le cas où l = 2n+1 est impair, reprendre les calculs précédents en observant que

f(x) − p_{l}(x) = ∏_{j=0}^{l−1}(x − τ_{j}) (f[τ_{0}, τ_{1}, …, τ_{l−1}, x] − f[τ_{0}, τ_{1}, …, τ_{l−1}, τ_{l}])

et en prenant cette fois w(x) = ∫_{−1}^{x} ∏_{j=0}^{l−1}(t−τ_{j}) dt et t = (2u−1)/l, u ∈ [−n, n+1]. Montrer qu’il existe η ∈ [α, β] tel que

E(f) = −\frac{1}{(l + 1)!} f^{(l+1)}(η) A,  A = ∫_{−1}^{1} w(x) dx > 0,

A = ∫_{−1}^{1}(1 − t) ∏_{j=0}^{l−1}(t − τ_{j}) dt

= \frac{2^{2n+3}}{(2n + 1)^{2n+3}} ∫_{−n}^{n+1} u(n + 1 − u)(u^{2} − 1) … (u^{2} − n^{2}) du.

En déduire que la méthode NC_{l} est d’ordre l exactement et que K_{l}(t) ⩽ 0.

Chapitre IV

Méthodes itératives

pour la résolution d’équations

Les méthodes itératives, et en particulier la méthode de Newton, figurent parmi les méthodes numériques les plus puissantes permettant la résolution approchée des équations de toute nature. L’idée de ces méthodes est de partir d’une valeur approchée grossière de la solution, et d’en améliorer la précision par une application itérée d’un algorithme bien choisi.

1. Principe des méthodes itératives

1.1. Le théorème du point fixe

Soit (E, d) un espace métrique complet et φ : E → E une application continue. On dit que a ∈ E est un point fixe de φ si φ(a) = a. On dit que φ est contractante si φ est lipschitzienne de rapport k < 1, c’est-à-dire s’il existe k < 1 tel que

∀x, y ∈ E, d(f(x), f(y)) ≤ k d(x, y).

Théorème. Soit φ : E → E une application contractante d’un espace métrique complet dans lui-même. Alors φ admet un point fixe unique a ∈ E. De plus, pour tout point initial x_{0} ∈ E, la suite itérée (x_{p}) définie par x_{p+1} = φ(x_{p}) converge vers a.

Unicité du point fixe. Si φ avait deux points fixes a ≠ b, alors d(φ(a), φ(b)) = d(a, b) et d(a, b) ≠ 0, donc φ ne pourrait être contractante, contradiction.

Existence du point fixe. Soit x_{0} ∈ E un point initial quelconque et (x_{p}) la suite itérée associée. On a alors

d(x_{p}, x_{p+1}) = d(φ(x_{p−1}), φ(x_{p})) ≤ k d(x_{p−1}, x_{p})

d’où par récurrence d(x_{p}, x_{p+1}) ≤ k^{p}d(x_{0}, x_{1}). Pour tout entier q > p il vient

d(x_{p}, x_{q}) ≤ ∑_{l=p}^{q−1} d(x_{l}, x_{l+1}) ≤ ( ∑_{l=p}^{q−1} k^{l})d(x_{0}, x_{1})

avec ∑_{l=p}^{q−1} k^{l} ≤ ∑_{l=p}^{+∞} k^{l} = \frac{k^{p}}{1 − k}. On a donc

d(x_{p}, x_{q}) ≤ \frac{k^{p}}{1 − k} d(x_{0}, x_{1}), ∀p < q

ce qui montre que (x_{p}) est une suite de Cauchy. Comme (E, d) est complet, la suite (x_{p}) converge vers un point limite a ∈ E. L’égalité x_{p+1} = φ(x_{p}) et la continuité de φ impliquent à la limite a = φ(a).

Estimation de la vitesse de convergence. L’inégalité

d(x_{p}, a) = d(φ(x_{p−1}), φ(a)) ≤ k d(x_{p−1}, a)

implique par récurrence

d(x_{p}, a) ≤ k^{p}d(x_{0}, a).

La convergence est donc exponentiellement rapide. Lorsque E = ℝ^{m}, on dit parfois qu’il s’agit d’une convergence linéaire, dans le sens où le nombre de décimales exactes de x_{p} croît au moins linéairement avec p.

Généralisation. Le théorème précédent reste entièrement valable si on remplace l’hypothèse que φ est contractante par l’hypothèse que φ est continue et qu’il existe une certaine itérée φ^{m} = φ ∘ … ∘ φ qui soit contractante.

En effet, dans ce cas, l’hypothèse que φ^{m} soit contractante implique que φ^{m} admet un unique point fixe a. On a donc φ^{m}(a) = a et en appliquant φ à cette égalité on trouve

φ^{m}(φ(a)) = φ^{m+1}(a) = φ(φ^{m}(a)) = φ(a),

de sorte que φ(a) est encore un point fixe de φ^{m}. L’unicité du point fixe de φ^{m} entraîne φ(a) = a. Par ailleurs, comme tout point fixe de φ est aussi un point fixe de φ^{m}, ce point fixe est nécessairement unique. Enfin, pour tout point initial x_{0}, la sous-suite x_{mp} = φ^{mp}(x_{0}) = (φ^{m})^{p}(x_{0}) (correspondant aux indices multiples de m) converge vers a. Il en résulte que x_{mp+r} = φ^{r}(x_{mp}) converge aussi vers φ^{r}(a) = a pour r = 0, 1, … m − 1, et on en déduit lim_{q→+∞} x_{q} = a. Voir aussi le problème 5.1 pour une autre démonstration de ces résultats.

1.2. Application à la résolution d’équations

Comme première application élémentaire du résultat précédent, soit à résoudre une équation f(x) = 0 d’une variable réelle x. Supposons qu’on ait une fonction différentiable f : [a, b] → ℝ telle que disons f(a) < 0, f(b) > 0, et f strictement croissante, 0 < m ⩽ f′(x) ⩽ M sur [a, b] (dans le cas opposé f(a) > 0, f(b) < 0, et −M ⩽ f′(x) < −m < 0 il suffira de changer f en −f). Si on pose

φ(x) = x − Cf(x)

avec une constante C ≠ 0, il est clair que l’équation f(x) = 0 équivaut à φ(x) = x et donc la résolution de l’équation f(x) = 0 se ramène à rechercher les points fixes de φ. L’espace E = [a, b] est complet, et il nous faut vérifier de plus

• que φ envoie bien E dans E,

• que φ est bien contractante sur E.

Or nous avons φ′(x) = 1 − Cf′(x), donc 1 − CM ⩽ φ′(x) ⩽ 1 − Cm, et pour le choix C = 1/M, la fonction φ est bien contractante dans le rapport k = 1 − m/M. De plus φ est croissante et on a φ(a) > a, φ(b) < b, donc φ([a, b]) ⊂ [a, b]. Il en résulte que toute suite itérative x_{p+1} = φ(x_{p}) calculée à partir d’un point x_{0} ∈ [a, b] quelconque va converger vers l’unique solution de l’équation f(x) = 0.

La vitesse de convergence peut être estimée par la suite géométrique (1−m/M)^{p}, et on voit qu’on a intérêt à ce que les bornes m et M de l’encadrement m ⩽ f′ ⩽ M soient proches, ce qui est toujours possible si f′ est continue et si l’encadrement initial [a, b] de la solution x cherchée est suffisamment fin. L’objet de ce chapitre est d’étudier et de généraliser ce type de techniques, pour des fonctions d’une ou plusieurs variables.

2. Cas des fonctions d’une variable

2.1. Points fixes attractifs et répulsifs

Notre objectif est ici d’étudier le comportement itératif d’une fonction au voisinage de ses points fixes. Soit I un intervalle fermé de ℝ et φ : I → I une application de classe C^{1}. Soit a ∈ I un point fixe de φ. On peut distinguer trois cas :

(1) |φ′(a)| < 1.

Soit k tel que |φ′(a)| < k < 1. Par continuité de φ′, il existe un intervalle E = [a − h, a + h] sur lequel |φ′| ≤ k, donc φ est contractante de rapport k sur E ; on a nécessairement φ(E) ⊂ E et par conséquent

∀x_{0} ∈ [a − h, a + h], lim_{p→+∞} x_{p} = a.

On dit que a est un point fixe attractif. Dans ce cas la convergence de la suite (x_{p}) est au moins exponentiellement rapide : |x_{p} − a| ≤ k^{p}|x_{0} − a|.

Cas particulier : φ′(a) = 0.

Supposons de plus que φ soit de classe C^{2} et que |φ′′| ≤ M sur E. La formule de Taylor donne

\begin{aligned}φ(x) & = φ(a) + (x − a)φ′(a) + \frac{(x − a)^{2}}{2!} φ′′(c) \\ & = a + \frac{1}{2} φ′′(c)(x − a)^{2}, c ∈ ]a, x[, \end{aligned}

d’où |φ(x) − a| ≤ \frac{1}{2} M|x − a|^{2}, soit encore \frac{1}{2} M|φ(x) − a| ≤ [\frac{1}{2} M|x − a|]^{2}. Par récurrence, on en déduit de proche en proche \frac{1}{2} M|x_{p} − a| ≤ [\frac{1}{2} M|x_{0} − a|]^{2^{p}}, d’où

|x_{p} − a| ≤ \frac{2}{M} [\frac{1}{2} M|x_{0} − a|]^{2^{p}}.

En particulier si x_{0} est choisi tel que |x_{0} − a| ≤ \frac{1}{5M}, on obtient

|x_{p} − a| ≤ \frac{2}{M} 10^{−2^{p}} ;

on voit donc que le nombre de décimales exactes double environ à chaque itération ; 10 itérations suffiraient ainsi théoriquement pour obtenir plus de 1000 décimales exactes ! La convergence est donc ici extraordinairement rapide.

Ce phénomène est appelé phénomène de convergence quadratique, et le point fixe a est alors appelé parfois point fixe superattractif.

(2) |φ′(a)| > 1.

Comme lim_{x→0} |\frac{φ(x) − φ(a)}{x − a}| = |φ′(a)| > 1, on voit qu’il existe un voisinage [a − h, a + h] de a tel que

∀x ∈ [a − h, a + h] \ {a}, |φ(x) − a| > |x − a|.

On dit alors que le point fixe a est répulsif. Dans ce cas, la dérivée φ′ est de signe constant au voisinage de a, donc il existe h > 0 tel que la restriction φ|_{[a−h,a+h]} admette une application réciproque φ^{−1} définie sur φ([a − h, a + h]), qui est un intervalle contenant φ(a) = a. L’équation φ(x) = x peut se récrire x = φ^{−1}(x) au voisinage de a, et comme (φ^{−1})′(a) = 1/φ′(a), le point a est un point fixe attractif pour φ^{−1}.

(3) |φ′(a)| = 1.

On est ici dans un cas douteux, comme le montrent les deux exemples suivants dans lesquels a = 0, φ′(a) = 1 :

Exemple 1. φ(x) = sin x, x ∈ [0, \frac{π}{2} ]. On a ici sin x < x pour tout x ∈ ]0, \frac{π}{2} ]. Pour tout x_{0} ∈ ]0, \frac{π}{2} ] la suite itérée (x_{p}) est strictement décroissante minorée, donc convergente. La limite l vérifie l = sin l, donc l = 0.

Exemple 2. φ(x) = sinh x, x ∈ [0, +∞[. Comme sinh x > x pour tout x > 0, on voit que le point fixe 0 est répulsif et que ∀x_{0} > 0, lim_{p→+∞} x_{p} = +∞.

2.2. Comportement graphique

Nous voulons décrire ici un peu plus finement le comportement de la suite itérative x_{p+1} = φ(x_{p}) au voisinage d’un point fixe attractif a. On suppose donc φ de classe C^{1} et |φ′(a)| < 1. On peut de nouveau distinguer plusieurs cas.

(1) φ′(a) > 0.

Par continuité de φ′ on va avoir 0 < φ′(x) < 1 au voisinage de a, donc il existe un voisinage [a − h, a + h] sur lequel x ↦ φ(x) et x ↦ x − φ(x) sont strictement croissantes, par suite

x < φ(x) < φ(a) = a pour x ∈ [a − h, a[
a = φ(a) < φ(x) < x pour x ∈ ]a, a + h],

ce qui implique en particulier que φ([a − h, a + h]) ⊂ [a − h, a + h]. Il est facile de voir dans ce cas que la suite itérative x_{p+1} = φ(x_{p}) va être strictement croissante pour x_{0} ∈ [a − h, a[ et strictement décroissante si x_{0} ∈ ]a, a + h]. On obtient alors typiquement un graphe ^{⟨⟨} en escalier ^{⟩⟩} :

x y a − h  a  a + h y = x y = φ(x) x_{0}  x_{1} ... x_{p}  x_{0} x_{1} φ(x_{0})

(2) φ′(a) < 0.

Par continuité de φ′ on va avoir −1 < φ′(x) < 0 sur un voisinage [a − h, a + h] de a, sur lequel φ est donc strictement décroissante. Si x < a, alors φ(x) > φ(a) = a, tandis que si x > a, on φ(x) < φ(a) = a. Comme φ ∘ φ est strictement croissante (de dérivée < 1) sur [a − h, a + h], le cas (1) montre que les suites x_{2p} et x_{2p+1} sont monotones de limite Il s’agit donc de suites adjacentes, et on obtient un graphe ^{⟨⟨} en escargot ^{⟩⟩}.

x y a − h  a  a + h y = x y = φ(x) x_{0}  x_{1} x_{2}  x_{3} x_{p} x_{p+1} φ(x_{p})

(3) φ′(a) = 0.

En général, on ne peut rien conclure. Cependant, si φ est de classe C^{2} et φ′′(a) ≠ 0, le point a est un extremum local. On choisira h assez petit pour que φ′′ ne change pas de signe et |φ′| < 1 sur [a − h, a + h]. Si φ′′(a) < 0 (resp. φ′′(a) > 0), le point a est un maximum local (resp. un minimum local), et pour x_{0} ∈ [a−h, a+h]∖{a} quelconque, il est facile de voir que la suite (x_{p}) est strictement croissante (resp. décroissante), sauf peut-être pour le terme initial x_{0}. On a alors encore un graphe en escalier.

2.3. Exemple de résolution d’équation

Soit à résoudre l’équation f(x) = x^{3} − 4x + 1 = 0, x ∈ ℝ. La dérivée de f est donnée par

f′(x) = 3x^{2} − 4.

L’étude du tableau de variation de f donne :

x  −∞ −\frac{2}{\sqrt{3}}  \frac{2}{\sqrt{3}}  +∞
f′(x)  + 0  −  |0  +
f(x)  1 + \frac{16}{3\sqrt{3}}  +∞
↗  ↘  ↗
−∞  1 − \frac{16}{3\sqrt{3}}

ce qui conduit à la représentation graphique

−2 −1 0  1  2  x −2 1 4 y  y = f(x) a_{1}  a_{2}  a_{3}^{\frac{2}{\sqrt{3}}}

L’équation f(x) = 0 admet donc 3 racines réelles a_{1} < a_{2} < a_{3}. le calcul de quelques valeurs de f donne

−2, 5 < a_{1} < −2, 0 < a_{2} < 0, 5, 1, 5 < a_{3} < 2.

L’équation f(x) = 0 peut se récrire x = φ(x) avec φ(x) = \frac{1}{4} (x^{3} + 1). On a φ′(x) = \frac{3}{4} x^{2}, d’où :

• sur [−2, 5 ; −2], φ′ ≥ φ′(2) = 3.

• sur [0 ; 0, 5], 0 ≤ φ′ ≤ 0, 1875.

• sur [1, 5 ; 2], φ′ ≥ φ′(1, 5) = 1, 6875.

Seul a_{2} est un point fixe attractif de φ. L’intervalle [0 ; 0, 5] est nécessairement stable par φ puisqu’il contient un point fixe et que φ est contractante et croissante. Pour tout x_{0} ∈ [0 ; 0, 5] on aura donc a_{2} = lim_{p→+∞} x_{p}.

Pour obtenir a_{1} et a_{3}, on peut itérer la fonction φ^{−1}(x) = ^{3} \sqrt{4x − 1}, qui est contractante au voisinage de ces points.

Il sera numériquement plus efficace de récrire l’équation sous la forme x^{2} − 4 + \frac{1}{x} = 0, soit x = φ_{+}(x) ou x = φ_{−}(x) avec

φ_{+}(x) = \sqrt{4 − \frac{1}{x}}, φ_{−}(x) = −\sqrt{4 − \frac{1}{x}},

suivant que x est ≥ 0 ou ≤ 0. On a alors φ′_{±} = ±\frac{1}{2x^{2}} (4 − \frac{1}{x})^{−1/2}, de sorte que

\begin{matrix}0 ≤ φ′_{+} ≤ φ′_{+}(1, 5) ≃ 0, 122 & sur [1, 5 ; 2], \\ φ′_{−}(−2) ≃ −0, 059 ≤ φ′ ≤ 0 & sur [−2, 5 ; −2] ; \end{matrix}

La convergence sera donc assez rapide. Nous allons voir qu’il existe en fait une méthode générale plus efficace et plus systématique.

2.4. Méthode de Newton

On cherche à évaluer numériquement la racine a d’une équation f(x) = 0, en supposant qu’on dispose d’une valeur grossière x_{0} de cette racine.

y  a x_{1} x_{0} f  x

L’idée est de remplacer la courbe représentative de f par sa tangente au point x_{0} :

y = f′(x_{0})(x − x_{0}) + f(x_{0}).

L’abscisse x_{1} du point d’intersection de cette tangente avec l’axe y = 0 est donnée par

x_{1} = x_{0} − \frac{f(x_{0})}{f′(x_{0})}.

Cette valeur x_{1} fournit en général une bien meilleure approximation de a que x_{0}. On est donc amené à itérer la fonction

φ(x) = x − \frac{f(x)}{f′(x)}.

Supposons que f soit de classe C^{2} et que f′(a) ≠ 0. La fonction φ est alors de classe C^{1} au voisinage de a et

φ′(x) = 1 − \frac{f′(x)^{2} − f(x)f′′(x)}{f′(x)^{2}} = \frac{f(x)f′′(x)}{f′(x)^{2}},

ce qui donne φ(a) = a, φ′(a) = 0. La racine a de f(x) = 0 est donc un point fixe superattractif de φ. Le résultat suivant donne une estimation de l’écart |x_{p} − a|.

Théorème. On suppose que f est de classe C^{2} sur l’intervalle I = [a − r, a + r]

et que f′ ≠ 0 sur I. Soit M = max_{x∈I} |\frac{f′′(x)}{f′(x)}| et h = min (r, \frac{1}{M} ). Alors pour tout

x ∈ [a−h, a+h] on a |φ(x)−a| ≤ M|x−a|^{2}, et pour tout point initial x_{0} ∈ [a−h, a+h]

|x_{p} − a| ≤ \frac{1}{M} (M|x_{0} − a|)^{2^{p}}.

Démonstration. Introduisons la fonction u(x) = f(x)/f′(x). La fonction f est monotone sur I, nulle en a, donc f a même signe que f′(a)(x − a), ce qui entraîne que u(x) a même signe que x − a. De plus

u′(x) = 1 − \frac{f(x)f′′(x)}{f′(x)^{2}} = 1 − \frac{f′′(x)}{f′(x)} u(x),

donc |u′(x)| ≤ 1 + M|u(x)| sur I. Cette inégalité permet d’obtenir le

Lemme 1. On a |u(x)| ≤ \frac{1}{M} (e^{M|x−a|} − 1) sur I.

Montrons-le par exemple pour x ≥ a. Posons v(x) = u(x)e^{−Mx}. Il vient u′(x) ≤ 1 + Mu(x), d’où

v′(x) = (u′(x) − Mu(x))e^{−Mx} ≤ e^{−Mx}.

Comme v(a) = u(a) = 0, on en déduit par intégration

v(x) ≤ \frac{1}{M} (e^{−Ma} − e^{−Mx}),

soit encore u(x) ≤ \frac{1}{M} (e^{M(x−a)} − 1). Le lemme 1 est donc démontré.

Lemme 2. Pour |t| ≤ 1, e^{|t|} − 1 ≤ 2|t|.

En effet la fonction exponentielle est convexe, donc sur tout intervalle la courbe est située sous sa corde. Sur l’intervalle [0, 1], ceci donne e^{t} ≤ 1+(e−1)t, d’où le lemme 2 puisque e − 1 < 2.

On peut maintenant écrire φ′(x) = u(x) \frac{f′′(x)}{f′(x)}, et le lemme 1 implique

|φ′(x)| ≤ M|u(x)| ≤ e^{M|x−a|} − 1.

Grâce au lemme 2, on obtient |φ′(x)| ≤ 2M|x − a| pour |x − a| ≤ min (r, \frac{1}{M} ). Comme φ(a) = a, on voit par intégration que pour tout x ∈ [a − h, a + h] on a

|φ(x) − a| ≤ M|x − a|^{2},

soit encore M|φ(x) − a| ≤ (M|x − a|)^{2}. L’estimation M|x_{p} − a| ≤ (M|x_{0} − a|)^{2p} s’en déduit aussitôt par récurrence.

Exemple. Pour la fonction f(x) = x^{3} − 4x + 1 du § 2.3, on a

φ(x) = x − \frac{x^{3} − 4x + 1}{3x^{2} − 4} = \frac{2x^{3} − 1}{3x^{2} − 4}.

Par itération de φ, on obtient alors les valeurs suivantes :

x_{0}  −2  0  2
x_{1}  −2, 125  0, 25  1, 875
x_{2}  −2, 114975450  0, 254098361  1, 860978520
x_{3}  −2, 114907545  0, 254101688  1, 860805877
x_{4}  −2, 114907541  = x_{3}  1, 860805853
x_{5}  = x_{4}  = x_{4}

Ceci donne des valeurs approchées de a_{1}, a_{2}, a_{3} à 10^{−9} près environ. Le nombre d’itérations nécessaires pour obtenir une précision de 10^{−9} par la méthode de Newton est typiquement 3 ou 4 (10^{−2^{3}} = 10^{−8}, 10^{−2^{4}} = 10^{−16} …). Le lecteur pourra vérifier que le nombre d’itérations requises avec les fonctions φ du § 2.3 est nettement plus élevé (de 8 à 20 suivant les cas).

2.4. Méthode de la sécante

Dans certaines situations, la dérivée f′ est très compliquée ou même impossible à expliciter (c’est le cas par exemple si la fonction f est le résultat d’un algorithme complexe). On ne peut alors utiliser telle quelle la méthode de Newton.

L’idée est de remplacer f′ par le taux d’accroissement de f sur un petit intervalle. Supposons qu’on dispose de deux valeurs approchées x_{0}, x_{1} de la racine a de l’équation f(x) = 0 (fournies par un encadrement x_{0} < a < x_{1}).

sécante f y0  x_{0} x_{2} a  x_{1}  x

Le taux d’accroissement de f sur l’intervalle [x_{0}, x_{1}] est

τ_{1} = \frac{f(x_{1}) − f(x_{0})}{x_{1} − x_{0}}

et l’équation de la sécante traversant le graphe de f aux points d’abscisse x_{0} et x_{1} est

y = τ_{1}(x − x_{1}) + f(x_{1}).

On obtient ainsi une nouvelle approximation x_{2} de a en calculant l’abscisse de l’intersection de la sécante avec l’axe Ox :

x_{2} = x_{1} − \frac{f(x_{1})}{τ_{1}}.

On va bien entendu itérer ce procédé à partir des nouvelles valeurs approchées x_{1} et x_{2}, ce qui conduit à poser

τ_{p} = \frac{f(x_{p}) − f(x_{p−1})}{x_{p} − x_{p−1}}, x_{p+1} = x_{p} − \frac{f(x_{p})}{τ_{p}}.

La méthode est donc tout à fait analogue à celle de Newton, à ceci près que l’on a remplacé la dérivée f′(x_{p}) par le taux d’accroissement τ_{p} de f sur l’intervalle [x_{p}, x_{p−1}]. On notera que l’algorithme itératif ne peut démarrer que si on dispose déjà de deux valeurs approchées x_{0}, x_{1} de a.

Inconvénient de la méthode. Lorsque x_{p} et x_{p−1} sont trop voisins, le calcul de f(x_{p}) − f(x_{p−1}) et x_{p} − x_{p−1} donne lieu à un phénomène de compensation et donc à une perte de précision sur le calcul de τ_{p}. Étudions l’erreur commise. La formule de Taylor-Lagrange à l’ordre 2 au point x_{p} donne

f(x_{p−1}) − f(x_{p}) = (x_{p−1} − x_{p})f′(x_{p}) + \frac{1}{2} (x_{p−1} − x_{p})^{2}f′′(c),
τ_{p} − f′(x_{p}) = \frac{1}{2}(x_{p−1} − x_{p})f′′(c) = O(|x_{p} − x_{p−1}|)

après division de la première ligne par x_{p−1} − x_{p}.

Supposons par ailleurs que le calcul des f(x_{i}) soit effectué avec une erreur d’arrondi de l’ordre de ε. Le calcul de τ_{p} est alors affecté d’une erreur absolue de l’ordre de \frac{ε}{|x_{p}−x_{p−1}|}. Il est inutile de continuer à calculer τ_{p} dès que cette erreur dépasse l’écart |τ_{p} − f′(x_{p})|, ce qui a lieu si \frac{ε}{|x_{p}−x_{p−1}|} > |x_{p} − x_{p−1}| c’est-à-dire |x_{p} − x_{p−1}| < \sqrt{ε}.

Dans la pratique, si l’on dispose d’une précision absolue ε = 10^{−10} par exemple, on arrête le calcul de τ_{p} dès que |x_{p} −x_{p−1}| < \sqrt{ε} = 10^{−5} ; on poursuit alors les itérations avec τ_{p} = τ_{p−1} jusqu’à l’obtention de la convergence (c’est-à-dire |x_{p+1} − x_{p}| < ε).

D’un point de vue théorique, la convergence de la suite est assurée par le résultat ci-dessous, qui donne simultanément une estimation précise pour |x_{p} − a|.

Théorème. On suppose f de classe C^{2} et de dérivée f′ ≠ 0 sur l’intervalle I = [a − r, a + r]. On introduit les quantités M_{i}, i = 1, 2, et les réels K, h tels que

M_{i} = max_{x∈I} |f^{(i)}(x)|,  m_{i} = min_{x∈I} |f^{(i)}(x)|,
K = \frac{M_{2}}{2m_{1}} (1 + \frac{M_{1}}{m_{1}} ),  h = min (r, \frac{1}{K} ).

Soit enfin (s_{p}) la suite de Fibonacci, définie par s_{p+1} = s_{p} + s_{p−1} avec s_{0} = s_{1} = 1. Alors quel que soit le choix des points initiaux x_{0}, x_{1} ∈ [a − h, a + h] distincts, on a

|x_{p} − a| ≤ \frac{1}{K} [K max(|x_{0} − a|, |x_{1} − a|)]^{s_{p}}.

Remarque. On vérifie facilement que s_{p} ∼ \frac{1}{\sqrt{5}} (\frac{1+\sqrt{5}}{2})^{p+1} ; ceci montre que le

nombre de décimales exactes croît environ du facteur \frac{1+\sqrt{5}}{2} ≃ 1, 618 à chaque itération. La convergence est donc tout juste un peu moins rapide que dans le § 2.4.

Démonstration.* Le lecteur pourra omettre cette démonstration sans compromettre la compréhension de la suite du chapitre. On considère le taux d’accroissement τ(x, y) de f sur I × I défini par

\{ \begin{matrix}τ(x, y) = \frac{f(y)−f(x)}{y−x} & si y ≠ x \\ τ(x, y) = f′(x) & si y = x. \end{matrix}

Pour tous (x, y) ∈ I × I, on peut écrire

τ(x, y) = ∫_{0}^{1} f′(x + t(y − x))dt

et le théorème de dérivation sous le signe somme montre que

\begin{aligned}\frac{∂τ}{∂x} (x, y) & = ∫_{0}^{1}(1 − t)f′′(x + t(y − x))dt, \\ \frac{∂τ}{∂y} (x, y) & = ∫_{0}^{1} tf′′(x + t(y − x))dt. \end{aligned}

Comme f′ est de signe constant sur I et comme ∫_{0}^{1}(1 − t)dt = \frac{1}{2}, on en déduit les inégalités

|τ(x, y)| ≥ m_{1}, |\frac{∂τ}{∂x}| ≤ \frac{1}{2} M_{2}, |\frac{∂τ}{∂y} | ≤ \frac{1}{2} M_{2}.

Il en résulte en particulier

|τ(x, y) − f′(x)| = |τ(x, y) − τ(x, x)| = | ∫_{x}^{y} \frac{∂τ}{∂y} (x, t)dt| ≤ \frac{1}{2} M_{2}|y − x|.

La suite (x_{p}) est définie par la formule de récurrence x_{p+1} = ψ(x_{p}, x_{p−1}) où ψ est la fonction de classe C^{1} telle que

ψ(x, y) = x − \frac{f(x)}{τ(x, y)}.

Posons h_{p} = x_{p} − a. On a

h_{p+1} = ψ(x_{p}, x_{p−1}) − a = ψ(a + h_{p}, a + h_{p−1}) − ψ(a, a)

et en particulier h_{2} = ψ(a + h_{1}, a + h_{0}) − ψ(a, a). En intégrant sur [0, 1] la dérivée de la fonction t ↦ ψ(a + th_{1}, a + th_{0}), on trouve

h_{2} = ∫_{0}^{1} [h_{1} \frac{∂ψ}{∂x} (a + th_{1}, a + th_{0}) + h_{0} \frac{∂ψ}{∂y} (a + th_{1}, a + th_{0})]dt.

Des calculs immédiats donnent

\begin{aligned}\frac{∂ψ}{∂x} & = 1 − \frac{f′(x)τ(x, y) − f(x)\frac{∂τ}{∂x}}{τ(x, y)^{2}} = \frac{τ(x, y) − f′(x)}{τ(x, y)} + f(x) \frac{\frac{∂τ}{∂x}}{τ(x, y)^{2}} , \\ \frac{∂ψ}{∂y} & = f(x) \frac{\frac{∂τ}{∂y}}{τ(x, y)^{2}} . \end{aligned}

Comme |f(x)| = |f(x) − f(a)| ≤ M_{1}|x − a|, les inégalités ci-dessus impliquent

\begin{aligned}|\frac{∂ψ}{∂x} | & ≤ \frac{M_{2}|y − x|}{2m_{1}} + M_{1}|x − a| \frac{M_{2}}{2m_{1}^{2}} , \\ |\frac{∂ψ}{∂y} | & ≤ M_{1}|x − a| \frac{M_{2}}{2m_{1}^{2}} . \end{aligned}

Pour (x, y) = (a + th_{1}, a + th_{0}), on a |y − x| ≤ (|h_{0}| + |h_{1}|)t et |x − a| = |h_{1}|t, d’où

|\frac{∂ψ}{∂x} | ≤ [\frac{M_{2}}{2m_{1}} (|h_{0}| + |h_{1}|) + \frac{M_{1}M_{2}}{2m_{1}^{2}} |h_{1}|] t,
|\frac{∂ψ}{∂y} | ≤ \frac{M_{1}M_{2}}{2m_{1}^{2}} |h_{1}|t,
|h_{2}| ≤ (\frac{M_{2}}{2m_{1}} + \frac{M_{1}M_{2}}{2m_{1}^{2}} ) |h_{1}|(|h_{0}| + |h_{1}|) ∫_{0}^{1} tdt

= \frac{K}{2} |h_{1}|(|h_{0}| + |h_{1}|) ≤ K|h_{1}| max(|h_{0}|, |h_{1}|).

Comme |h_{0}|, |h_{1}| ≤ h ≤ \frac{1}{K}, on voit que |h_{2}| ≤ |h_{1}|. De même

|h_{p+1}| ≤ K|h_{p}| max(|h_{p}|, |h_{p−1}|),

et ceci entraîne par récurrence que la suite (|h_{p}|)_{p≥1} est décroissante :

|h_{p}| ≤ |h_{p−1}| ≤ … ≤ |h_{1}| ≤ \frac{1}{K} implique |h_{p+1}| ≤ |h_{p}|. On en déduit

|h_{p+1}| ≤ K|h_{p}||h_{p−1}| pour p ≥ 2.

L’inégalité |h_{p}| ≤ \frac{1}{K} [K max(|h_{0}|, |h_{1}|)]^{s_{p}} est triviale si p = 0 ou p = 1, résulte de l’estimation déjà vue pour h_{2} si p = 2, et se généralise facilement par récurrence pour p ≥ 3. Le théorème est démontré.

3. Cas des fonctions de ℝ^{m} dans ℝ^{m}

3.1. Préliminaires : rayon spectral d’un endomorphisme

Soit E un espace vectoriel de dimension m sur ℝ et u un endomorphisme de E.

Définition. On appelle spectre de u la famille (λ_{1}, …, λ_{m}) de ses valeurs propres réelles ou complexes, comptées avec multiplicités ( = racines du polynôme caractéristique). On appelle rayon spectral de u, noté ρ(u), la quantité

ρ(u) = max_{1≤i≤m} |λ_{i}|.

3. Cas des fonctions de ℝ^{m} dans ℝ^{m} 115

Étant donné une norme N sur E, on peut d’autre part associer à u sa norme |||u|||_{N} en tant qu’opérateur linéaire sur E :

|||u|||_{N} = sup_{x∈E\\{0\}} \frac{N(u(x))}{N(x)}.

On notera 𝒩 (resp. 𝒩_{e}) l’ensemble des normes (resp. des normes euclidiennes) définies sur E.

Théorème. Soit u un endomorphisme quelconque de E. Alors

(1) Pour tout N ∈ 𝒩, ρ(u) ≤ |||u|||_{N}.

(2) ρ(u) = inf_{N∈𝒩} |||u|||_{N} = inf_{N∈𝒩_{e}} |||u|||_{N}.

(3) Pour tout N ∈ 𝒩, ρ(u) = lim_{p→+∞} |||u^{p}|||_{N}^{1/p}.

Remarque. Considérons l’espace ℝ^{2} muni de sa norme euclidienne canonique et u_{a}

l’endomorphisme de matrice ( \begin{matrix}0 & a \\ 0 & 1 \end{matrix} ), a ∈ ℝ. On a ρ(u_{a}) = 1 et pourtant la norme

|||u_{a}||| n’est pas bornée quand |a| → +∞ ; l’inégalité (1) n’a donc pas de réciproque. Pour m = dim E ≥ 2, le rayon spectral n’est pas une norme sur ℒ(E, E) ; il ne vérifie d’ailleurs pas l’inégalité triangulaire, comme le montre l’exemple suivant : si u, v sont les endomorphismes de matrices

Mat(u) = ( \begin{matrix}0 & 1 \\ 0 & 0 \end{matrix} ) et Mat(v) = ( \begin{matrix}0 & 0 \\ 1 & 0 \end{matrix} ) ,

on a ρ(u) = ρ(v) = 0, mais ρ(u + v) = 1.

Démonstration^{∗}. Une base de E étant fixée, on peut identifier E à ℝ^{m} et u à une matrice A carrée m × m. Observons d’abord que si (λ_{1}, …, λ_{m}) est le spectre de A, alors le spectre de A^{p} est (λ_{1}^{p}, …, λ_{m}^{p}). On a donc

ρ(A^{p}) = ρ(A)^{p}.

(1) Soit λ une valeur propre de A. Si λ ∈ ℝ, soit X un vecteur propre associé, X ≠ 0. Les égalités AX = λX, N(AX) = |λ|N(X) entraînent bien |λ| ≤ |||A|||_{N}.

Supposons maintenant que λ = α + iβ soit une valeur propre complexe non réelle de A. Soit Z = X + iY un vecteur colonne complexe, propre pour la valeur propre λ.

L’égalité AZ = λZ = (α + iβ)(X + iY) donne pour les parties réelles et imaginaires les égalités AX = αX − βY, AY = βX + αY d’où

\{ \begin{matrix}A(αX + βY) = (α^{2} + β^{2})X \\ A(−βX + αY) = (α^{2} + β^{2})Y. \end{matrix}

Il s’ensuit

\begin{aligned}(α^{2} + β^{2})N(X) & ≤ |||A|||_{N}N(αX + βY) ≤ |||A|||_{N}(|α| N(X) + |β| N(Y)), \\ (α^{2} + β^{2})N(Y) & ≤ |||A|||_{N}N(−βX + αY) ≤ |||A|||_{N}(|α| N(Y) + |β| N(X)). \end{aligned}

Après addition et simplification par N(X) + N(Y) on obtient

|λ|^{2} = α^{2} + β^{2} ≤ |||A|||_{N}(|α| + |β|) ≤ 2|λ| |||A|||_{N},

d’où |λ| ≤ 2|||A|||_{N}. Par conséquent ρ(A) ≤ 2|||A|||_{N}. D’après la remarque initiale et le résultat précédent appliqué à A^{p}, il vient

ρ(A)^{p} = ρ(A^{p}) ≤ 2|||A^{p}|||_{N} ≤ 2|||A|||_{N}^{p}

soit ρ(A) ≤ 2^{1/p}|||A|||_{N}. En faisant tendre p vers +∞, la conclusion attendue ρ(A) ≤ |||A|||_{N} s’ensuit.

(2) D’après (1) et l’inclusion 𝒩_{e} ⊂ 𝒩 on obtient

ρ(A) ≤ inf_{N∈𝒩} |||A|||_{N} ≤ inf_{N∈𝒩_{e}} |||A|||_{N}.

Il suffit donc de voir que inf_{N∈𝒩_{e}} |||A|||_{N} ≤ ρ(A).

Pour cela, considérons A comme un endomorphisme de ℂ^{m}, défini par une matrice à coefficients réels. Il existe une base (e_{1}, …, e_{m}) de ℂ^{m} dans laquelle A devient triangulaire supérieure :

A′ = ( \begin{matrix}a_{11} & … & a_{1m} \\ & ... a_{ij} & ⋮ \\ 0 & & a_{mm} \end{matrix} ) , j ≥ i, a_{ii} = λ_{i}.

Si on remplace la base (e_{1}, …, e_{m}) par la base

(ẽ_{j}) = (e_{1}, εe_{2}, ε^{2}e_{3}, …, ε^{m−1}e_{m})

avec ε > 0 petit, on voit que le coefficient a_{ij} de A est remplacé par ε^{j−i}a_{ij}. Pour les coefficients au-dessus de la diagonale on a j > i, donc ε^{j−i} est petit. Dans une base convenable (ẽ_{1}, ẽ_{2}, …, ẽ_{m}) de ℂ^{m}, la matrice A se transforme donc en une matrice

Ã = D + T

où D est diagonale de valeurs propres λ_{1}, …, λ_{m} et T strictement triangulaire supérieure avec des coefficients O(ε) arbitrairement petits. Soit N_{h} la norme hermitienne sur ℂ^{m} ayant (ẽ_{1}, …, ẽ_{m}) pour base orthonormée et N_{e} la norme euclidienne induite sur ℝ^{m} (restriction de N_{h} à ℝ^{m}). On a alors

|||A|||_{N_{e}} ≤ |||Ã|||_{N_{h}} ≤ |||D|||_{N_{h}} + |||T |||_{N_{h}}.

Comme |||D|||_{N_{h}} = ρ(A) et comme |||T |||_{N_{h}} = O(ε) peut être rendue arbitrairement petite, il vient

inf_{N∈𝒩_{e}} |||A|||_{N_{e}} ≤ ρ(A).

(3) On a d’une part ρ(A) = ρ(A^{p})^{1/p} ≤ |||A^{p}|||_{N}^{1/p}.

Inversement, étant donné ε > 0, on peut choisir grâce à (2) une norme euclidienne N_{ε} ∈ 𝒩_{e} telle que |||A|||_{N_{ε}} ≤ ρ(A) + ε. Comme toutes les normes sur l’espace de dimension finie des matrices carrées m × m sont équivalentes, il existe une constante C_{ε} ≥ 1 telle que |||B|||_{N} ≤ C_{ε}|||B|||_{N_{e}} pour toute matrice B. Pour B = A^{p}, on en déduit

\begin{aligned}|||A^{p}|||_{N} & ≤ C_{ε}|||A^{p}|||_{N_{ε}} ≤ C_{ε}|||A|||_{N_{ε}}^{p} ≤ C_{ε}(ρ(A) + ε)^{p}, \\ |||A^{p}|||_{N}^{1/p} & ≤ C_{ε}^{1/p}(ρ(A) + ε). \end{aligned}

Comme lim_{p→+∞} C_{ε}^{1/p} = 1, il existe p_{ε} ∈ ℕ tel que

p ≥ p_{ε} → |||A^{p}|||_{N}^{1/p} ≤ ρ(A) + 2ε,

et le théorème est démontré.

3.2. Critère d’attractivité

Soit Ω un ouvert de ℝ^{m} et φ : Ω → ℝ^{m} une fonction de classe C^{1}. Soit N = ∥ ∥ une norme fixée sur ℝ^{m}. On note φ′(x) ∈ ℒ(ℝ^{m}, ℝ^{m}) l’application linéaire tangente au point x ∈ Ω, de sorte que

φ(x + h) − φ(x) = φ′(x) · h + ∥h∥ε(h), lim_{h→0} ε(h) = 0.

Lemme.

(1) Si φ est k-lipschizienne sur Ω relativement à la norme N, alors |||φ′(x)|||_{N} ≤ k pour tout x ∈ Ω.

(2) Si Ω est convexe et si |||φ′(x)|||_{N} ≤ k pour tout x ∈ Ω, alors φ est k-lipschitzienne sur Ω relativement à N.

Démonstration

(1) Pour tout δ > 0, il existe r > 0 tel que ∥h∥ ≤ r → ∥ε(h)∥ ≤ δ. Par linéarité de φ′(x), on a

|||φ′(x)|||_{N} = sup_{∥h∥=r} \frac{∥φ′(x) · h∥}{∥h∥} ;

or φ′(x) · h = φ(x + h) − φ(x) − ∥h∥ε(h),

\begin{aligned}∥φ′(x) · h∥ & ≤ ∥φ(x + h) − φ(x)∥ + ∥h∥ ∥ε(h)∥ \\ & ≤ k∥h∥ + ∥h∥ ∥ε(h)∥ ≤ (k + δ)∥h∥. \end{aligned}

Il vient donc |||φ′(x)|||_{N} ≤ k + δ, et ce quel que soit δ > 0.

(2) Inversement, si Ω est convexe, on peut écrire

\begin{aligned}φ(y) − φ(x) = ψ(1) − ψ(0) & = ∫_{0}^{1} ψ′(t)dt avec \\ ψ(t) = φ(x + t(y − x)), ψ′(t) & = φ′(x + t(y − x)) · (y − x). \end{aligned}

On en déduit

φ(y) − φ(x) = ∫_{0}^{1} φ′(x + t(y − x)) · (y − x)dt,
∥φ(y) − φ(x)∥ ≤ ∫_{0}^{1} |||φ′(x + t(y − x))|||_{N}∥y − x∥dt ≤ k∥y − x∥.

Théorème. Soit a ∈ Ω un point fixe de φ. Alors les deux propriétés suivantes sont équivalentes :

(i) Il existe un voisinage fermé V de a tel que φ(V) ⊂ V et une norme N sur ℝ^{n} telle que φ|_{V} soit contractante pour N.

(ii) ρ(φ′(a)) < 1.

On dit alors que le point fixe a est attractif.

Démonstration. Si φ|_{V} est contractante de rapport k < 1 alors d’après la partie (1) du lemme on a

ρ(φ′(a)) ≤ |||φ′(a)|||_{N} ≤ k < 1.

Inversement, si ρ(φ′(a)) < 1, il existe une norme euclidienne N telle que |||φ′(a)|||_{N} < 1. Par continuité de φ′, il existe une boule fermée V = \overline{B}(a, r), r > 0, telle que sup_{V} |||φ′|||_{N} = k < 1. Comme V est convexe, φ est alors contractante de rapport k sur V ; en particulier φ(V) ⊂ \overline{B}(a, kr) ⊂ V.

Remarque. Si φ est de classe C^{2} et si φ′(a) = 0, la formule de Taylor montre qu’il existe une constante M ≥ 0 telle que

∥φ(x) − a∥ ≤ M∥x − a∥^{2}, x ∈ \overline{B}(a, r).

Le phénomène de convergence quadratique a donc encore lieu ici.

3.3. Méthode de Newton-Raphson

Soit à résoudre une équation f(x) = 0 où f : Ω → ℝ^{m} est une application de classe C^{2} définie sur un ouvert Ω ⊂ ℝ^{m}. On cherche à évaluer numériquement une solution a du système f(x) = 0, connaissant une valeur approchée grossière x_{0} de a. Comme dans la méthode de Newton usuelle, l’idée est d’approximer f par sa partie linéaire au point x_{0} :

f(x) = f(x_{0}) + f′(x_{0}) · (x − x_{0}) + o(∥x − x_{0}∥)

On résout alors l’équation f(x_{0}) + f′(x_{0}) · (x − x_{0}) = 0. Si f′(x_{0}) ∈ ℒ(ℝ^{n}, ℝ^{m}) est inversible, on a une solution unique x_{1} telle que x_{1} − x_{0} = −f′(x_{0})^{−1} · f(x_{0}), soit

x_{1} = x_{0} − f′(x_{0})^{−1} · f(x_{0}).

On va donc itérer ici l’application de classe C^{1}

φ(x) = x − f′(x)^{−1} · f(x).

Théorème. On suppose que f est de classe C^{2}, que f(a) = 0 et que l’application linéaire tangente f′(a) ∈ ℒ(ℝ^{m}, ℝ^{m}) est inversible. Alors a est un point fixe superattractif de φ.

Démonstration. Calculons un développement limité à l’ordre 2 de φ(a + h) quand h tend vers 0. On a

f(a + h) = f′(a) · h + \frac{1}{2} f′′(a) · (h)^{2} + o(∥h∥^{2})

= f′(a) · [h + \frac{1}{2} f′(a)^{−1} · (f′′(a) · (h)^{2}) + o(∥h∥^{2})].

f′(a + h) = f′(a) + f′′(a) · h + o(∥h∥)

= f′(a) ∘ [Id + f′(a)^{−1} ∘ (f′′(a) · h) + o(∥h∥)],

f′(a + h)^{−1} = [ ]^{−1} ∘ f′(a)^{−1}

= [Id − f′(a)^{−1} ∘ (f′′(a) · h) + o(∥h∥)] ∘ f′(a)^{−1},

f′(a + h)^{−1} · f(a + h)

= [Id − f′(a)^{−1} ∘ (f′′(a) · h) + o(∥h∥)] · [h + \frac{1}{2} f′(a)^{−1} · (f′′(a) · (h)^{2}) + o(∥h∥)]

= h − \frac{1}{2} f′(a)^{−1} · (f′′(a) · (h)^{2}) + o(∥h∥)^{2},

d’où finalement

\begin{aligned}φ(a + h) & = a + h − f′(a + h)^{−1} · f(a + h) \\ & = a + \frac{1}{2} f′(a)^{−1} · (f′′(a) · (h)^{2}) + o(∥h∥^{2}). \end{aligned}

On en déduit φ′(a) = 0 et φ′′(a) = f′(a)^{−1} ∘ f′′(a). En particulier

∥φ(a + h) − a∥ ≤ \frac{1}{2} (M + ε(h))∥h∥^{2}

où M = |||φ′′(a)|||. Le théorème est démontré.

Exemple. Soit à résoudre le système

\{ \begin{matrix}x^{2} + xy − 2y^{2} = 4 \\ xe^{x} + ye^{y} = 0. \end{matrix}

On commence par tracer les courbes C_{1} : x^{2} + xy − 2y^{2} = 4 et C_{2} : xe^{x} + ye^{y} = 0 de manière à obtenir graphiquement une approximation grossière des solutions.

C_{1} est une hyperbole d’asymptotes x^{2} + xy − 2y^{2} = (x − y)(x + 2y) = 0 ; cette

hyperbole passe par les points ( \begin{matrix}2 \\ 0 \end{matrix} ) et ( \begin{matrix}−2 \\ 0 \end{matrix} ).

La courbe C_{2} est symétrique par rapport à la droite y = x ; de plus x, y sont nécessairement de signe opposés. Supposons par exemple x ≤ 0, y ≥ 0. Comme la fonction y ↦ ye^{y} est strictement croissante de [0, +∞[ sur [0, +∞[, à chaque point x ≤ 0 correspond un unique point y ≥ 0. Ce point y est la solution de xe^{x} + ye^{y} = 0, et peut par exemple s’obtenir par itération de la fonction

φ(x) = y − \frac{xe^{x} + ye^{y}}{(1 + y)e^{y}} = \frac{y^{2} − xe^{x−y}}{1 + y} ,

fournie par la méthode de Newton appliquée à la variable y. Pour x = 0, on a y = 0 ; en décrémentant x par pas de 0, 1 avec comme valeur initiale de y_{0} la valeur de la solution y trouvée pour la valeur x précédente, on obtient la courbe C_{2}.

S −2  1 2  x y1  C_{1} C_{2}

On voit que le système précédent admet une solution S ( \begin{matrix}a \\ b \end{matrix} ) unique, avec ( \begin{matrix}a \\ b \end{matrix} ) ≃ ( \begin{matrix}−2 \\ 0, 2 \end{matrix} ) très grossièrement. Pour obtenir une valeur approchée plus précise, on cherche à résoudre l’équation f ( \begin{matrix}x \\ y \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}0 \\ 0 \end{matrix} ) avec

f ( \begin{matrix}x \\ y \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}x^{2} + xy − 2y^{2} − 4 \\ xe^{x} + ye^{y} \end{matrix} ) .

L’application linéaire tangente à f est donnée par

f′ ( \begin{matrix}x \\ y \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}\frac{∂f_{1}}{∂x} & \frac{∂f_{1}}{∂y} \\ \frac{∂f_{2}}{∂x} & \frac{∂f_{2}}{∂y} \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}2x + y & x − 4y \\ (x + 1)e^{x} & (y + 1)e^{y} \end{matrix} )

La condition f′(S) inversible signifie que les tangentes

\frac{∂f_{i}}{∂x} (S)(x − a) + \frac{∂f_{i}}{∂y} (S)(y − b) = 0, i = 1, 2,

aux courbes C_{1}, C_{2} au point S sont distinctes. C’est bien le cas ici. On obtient

[f′ ( \begin{matrix}x \\ y \end{matrix} )]^{−1} = \frac{1}{Δ(x, y)} ( \begin{matrix}(x + 1)e^{y} & −x + 4y \\ −(x + 1)e^{x} & 2x + y \end{matrix} )

avec Δ(x, y) = (2x + y)(y + 1)e^{y} − (x − 4y)(x + 1)e^{x}. On est alors amené à calculer

les itérés ( \begin{matrix}x_{p+1} \\ y_{p+1} \end{matrix} ) = φ ( \begin{matrix}x_{p} \\ y_{p} \end{matrix} ) avec

φ ( \begin{matrix}x \\ y \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}x \\ y \end{matrix} ) − \frac{1}{Δ(x, y)} ( \begin{matrix}(y + 1)e^{y} & −x + 4y \\ −(x + 1)e^{x} & 2x + y \end{matrix} ) ( \begin{matrix}x^{2} + xy − 2y^{2} − 4 \\ xe^{x} + ye^{y} \end{matrix} )

Partant du point initial ( \begin{matrix}x_{0} \\ y_{0} \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}−2 \\ 0, 2 \end{matrix} ), on trouve

\begin{matrix}p & x_{p} & y_{p} \\ 0 & −2 & 0, 2 \\ 1 & −2, 130690999 & 0, 205937784 \\ 2 & −2, 126935837 & 0, 206277868 \\ 3 & −2, 126932304 & 0, 206278156 \\ 4 & −2, 126932304 & 0, 206278156 \end{matrix}

d’où S = ( \begin{matrix}a \\ b \end{matrix} ) ≃ ( \begin{matrix}−2, 126932304 \\ 0, 206278156 \end{matrix} ).

4. Le théorème des fonctions implicites

Nous allons ici exploiter le théorème du point fixe pour démontrer quelques résultats fondamentaux du calcul différentiel. Notre objectif est d’obtenir aussi des estimations quantitatives pour ces théorèmes, parce que ces estimations sont souvent nécessaires pour majorer les erreurs commises dans les calculs numériques.

4.1. Le théorème d’inversion locale

Nous commençons par un lemme de perturbation, qui s’applique dans un espace numérique ℝ^{m} muni d’une norme N quelconque.

Lemme de perturbation. Soit f : B(x_{0}, r) → ℝ^{m} une application définie sur une boule de rayon r dans ℝ^{m}, telle que

f(x) = x + u(x)

où u est une application contractante de rapport k < 1 (^{⟨⟨} petite perturbation de l’identité ^{⟩⟩}). Alors (1) f est un homéomorphisme de B(x_{0}, r) sur un ouvert V = f(B(x_{0}, r)) de ℝ^{m} ;

(2) f est (1 + k)-lipschitzienne et son application réciproque f^{−1} : V → B(x_{0}, r) est (1 − k)^{−1} lipschitzienne ;

(3) l’image V satisfait l’encadrement

B(f(x_{0}), (1 − k)r) ⊂ V ⊂ B(f(x_{0}), (1 + k)r).

Démonstration. Quitte à effectuer des translations, en remplaçant la fonction f par f̃(x) = f(x + x_{0}) − f(x_{0}) et u par ũ(x) = u(x + x_{0}) − u(x_{0}), on peut supposer que x_{0} = 0 et f(0) = u(0) = 0. On a de façon évidente

\begin{matrix}∥x_{2} − x_{1}∥ − ∥u(x_{2}) − u(x_{1})∥ ⩽ & ∥f(x_{2}) − f(x_{1})∥ ⩽ ∥x_{2} − x_{1}∥ + ∥u(x_{2}) − u(x_{1})∥ \\ ⟹ (1 − k)∥x_{2} − x_{1}∥ ⩽ & ∥f(x_{2}) − f(x_{1})∥ ⩽ (1 + k)∥x_{2} − x_{1}∥. \end{matrix}

Il en résulte que f est injective et (1 + k)-lipschitzienne, et que ∥f(x)∥ ⩽ (1 + k)∥x∥. Par suite f est une bijection de B(0, r) sur son image V, et

V = f(B(0, r)) ⊂ B(0, (1 + k)r).

Pour y ∈ ℝ^{m} donné, l’équation y = f(x) se récrit y = x+u(x), soit encore x = y−u(x). Ceci nous amène à considérer les points fixes de l’application

φ(x) = y − u(x).

De même que u, c’est une application k-lipschitzienne sur la boule B(0, r), et comme

∥φ(x)∥ ⩽ ∥y∥ + k∥x∥,

on voit que φ envoie toute boule fermée \overline{B}(0, r′) ⊂ B(0, r) dans \overline{B}(0, r′) dès lors que ∥y∥ ⩽ (1 − k)r′, et ceci quel que soit r′ < r. Le théorème du point fixe appliqué à l’espace complet E = \overline{B}(0, r′) implique que φ possède un point fixe φ(x) = x unique, c’est-à-dire que l’équation f(x) = y détermine un unique antécédent x ∈ \overline{B}(0, r′). On en déduit que f(\overline{B}(0, r′)) ⊃ \overline{B}(0, (1 − k)r′). Comme r′ < r peut être pris arbitraire, on a bien

V = f(B(0, r)) ⊃ B(0, (1 − k)r).

Ceci démontre déjà (3). En se plaçant en un point x_{1} ∈ B(x_{0}, r) quelconque et en remplaçant r par ε > 0 petit, on voit que l’image f(B(x_{1}, ε)) contient un voisinage B(f(x_{1}), (1−k)ε) de f(x_{1}), par suite V = f(B(x_{0}, r)) est un ouvert. Enfin, l’inégalité de gauche dans l’encadrement de Lipschitz de f implique

(1 − k)∥f^{−1}(y_{2}) − f^{−1}(y_{1})∥ ⩽ ∥y_{2} − y_{1}∥

pour tous y_{1}, y_{2} ∈ V, ce qui entraîne que f^{−1} est continue (1 − k)^{−1}-lipschitzienne et que f est un homéomorphisme de B(x_{0}, r) sur V. Le lemme est démontré.

Théorème d’inversion locale. Soit f : Ω → ℝ^{m} une application de classe C^{k} définie sur un ouvert Ω de ℝ^{m} avec k ⩾ 1. Étant donné un point x_{0} ∈ Ω, on suppose que l’application linéaire tangente ℓ = f′(x_{0}) ∈ ℒ(ℝ^{m}, ℝ^{m}) est inversible. Alors

(1) Il existe un voisinage U = B(x_{0}, r) de x_{0} tel que V = f(U) soit un ouvert de ℝ^{m} et f un difféomorphisme de classe C^{k} de U sur V.

(2) Pour tout y = f(x), x ∈ U, la différentielle de g = f^{−1} est donnée par g′(y) = (f′(x))^{−1}, soit g′(y) = (f′(g(y)))^{−1} ou encore

(f^{−1})′(y) = (f′(f^{−1}(y)))^{−1} ∈ ℒ(ℝ^{m}, ℝ^{m}).

(3) On suppose k ⩾ 2. Si B(x_{0}, r_{0}) ⊂ Ω et si M est un majorant de f′′ sur B(x_{0}, r_{0}), on peut choisir U = B(x_{0}, r) avec r = min(r_{0}, \frac{1}{2}M^{−1}|||ℓ^{−1}|||^{−1}).

Démonstration. L’application u(x) = ℓ^{−1}(f(x)) − x est de classe C^{1} et on a u′(x_{0}) = ℓ^{−1} ∘ f′(x_{0}) − Id = 0 dans ℒ(ℝ^{m}, ℝ^{m}). Par continuité de u′, il existe une boule B(x_{0}, r) sur laquelle |||u′(x)||| ⩽ k < 1, ce qui entraîne que u est contractante de rapport k. Le lemme précédent montre alors que f̃(x) = ℓ^{−1} ∘ f(x) = x + u(x) définit un homéomorphisme lipschitzien de U = B(x_{0}, r) sur Ṽ = f̃(V), donc f = ℓ∘f̃est un homéomorphisme lipschitzien de U sur V = ℓ(Ṽ), la constante de Lipschitz de f étant majorée par K = (1+k)|||l||| et celle de g = f^{−1} = f̃^{−1} ∘ℓ^{−1} par K′ = (1−k)^{−1}|||ℓ^{−1}|||.

Maintenant, si f est de classe C^{2} et |||f′′||| ⩽ M sur la boule B(x_{0}, r_{0}) ⊂ Ω, nous avons u′′ = ℓ^{−1} ∘ f′′, donc |||u′′||| ⩽ M|||ℓ^{−1}||| et le théorème des accroissements finis nous donne |||u′(x)||| ⩽ M|||ℓ^{−1}|||∥x − x_{0}∥ sur B(x_{0}, r_{0}). Pour r = min(r_{0}, \frac{1}{2}M^{−1}|||ℓ^{−1}|||^{−1}), on voit que |||u′||| ⩽ k = \frac{1}{2} sur B(x_{0}, r) et on peut appliquer ce qui précède.

Pour tous y, η ∈ V et x = g(y), ξ = g(x) ∈ U = B(x_{0}, r), l’hypothèse de différentiablilité de f au point x implique

η − y = f(ξ) − f(x) = f′(x)(ξ − x) + ε(ξ − x)∥ξ − x∥

avec lim_{h→0} ε(h) = 0. Comme ℓ^{−1} ∘ f′(x) = Id +u′(x) où |||u′(x)||| ⩽ k < 1 sur B(x_{0}, r), l’application linéaire ℓ^{−1} ∘ f′(x) est bien inversible. Par conséquent f′(x) l’est aussi, et nous pouvons écrire

ξ − x = f′(x)^{−1}(η − y − ε(ξ − x)∥ξ − x∥),

soit

g(η) − g(y) = f′(x)^{−1}(η − y) − f′(x)^{−1}(ε(g(η) − g(y)))∥g(η) − g(y)∥

avec lim_{η→y} f′(x)^{−1}(ε(g(η) − g(y))) = 0 et ∥g(η) − g(y)∥ ⩽ K′∥η − y∥. On voit ainsi que g = f^{−1} est bien différentiable au point y et que g′(y) = f′(x)^{−1} = f′(g(y))^{−1}. L’inversion d’une matrice étant une opération continue (et même indéfiniment différentiable), on en déduit que g′ est continue sur V, c’est-à-dire que g est de classe C^{1}.

Si f est de classe C^{k}, k ⩾ 2, on vérifie par récurrence que g est aussi de classe C^{k} : f′ est de classe C^{k−1}, g l’est aussi par hypothèse de récurrence, donc g′ est de classe C^{k−1}, c’est-à-dire que g est de classe C^{k}. Le théorème est démontré.

4.2.^{∗} Le théorème des fonctions implicites et ses variantes

Nous allons reformuler le théorème d’inversion locale pour en tirer différentes variantes et différentes conséquences géométriques. La variante la plus importante est le théorème des fonctions implicites.

Théorème des fonctions implicites. Soit Ω un ouvert de ℝ^{p} ×ℝ^{m} et f : Ω → ℝ^{m} une application de classe C^{k}, k ⩾ 1. On se donne un point (x_{0}, y_{0}) ∈ Ω ⊂ ℝ^{p} × ℝ^{m}, et on suppose que

(i) f(x_{0}, y_{0}) = 0 ;

(ii) la matrice des dérivées partielles f′_{y}(x_{0}, y_{0}) = (\frac{∂f_{i}}{∂y_{j}} (x_{0}, y_{0}))_{1⩽i,j⩽m}

est inversible dans ℒ(ℝ^{m}, ℝ^{m}).

Alors il existe un voisinage U × V de (x_{0}, y_{0}) dans Ω sur lequel f′_{y}(x, y) est inversible, et une application g : U → V de classe C^{k} telle que ^{⟨⟨} l’équation implicite ^{⟩⟩}f(x, y) = 0 pour (x, y) ∈ U × V soit équivalente à y = g(x), x ∈ U. La dérivée de g est donnée par la formule

g′(x) = −f′_{y}(x, g(x))^{−1} ∘ f′_{x}(x, g(x)).

Autrement dit, le théorème des fonctions implicites dit que l’ensemble des solutions de l’équation f(x, y) = 0 dans U ×V peut être ^{⟨⟨} explicité ^{⟩⟩} comme le graphe y = g(x) d’une fonction g : U → V de classe C^{k}, là où f′_{y}(x, y) est inversible.

Remarque 1. On voit immédiatement que le théorème des fonctions implicites contient le théorème d’inversion locale. Il suffit de poser F (x, y) = x − f(y), (x, y) ∈ Ω̃ = ℝ^{m} × Ω ⊂ ℝ^{m} × ℝ^{m} pour obtenir l’existence de la fonction réciproque y = g(x) de f au voisinage de tout point y_{0} ∈ Ω où f′(y_{0}) est inversible.

Démonstration. En sens inverse, nous allons montrer que le théorème d’inversion locale implique facilement le théorème des fonctions implicites (ce sont donc des théorèmes ⟨⟨ équivalents ^{⟩⟩}). Avec les hypothèses faites sur f, considérons

F : Ω → ℝ^{p} × ℝ^{m}, (x, y) ↦ F (x, y) = (x, f(x, y)).

Nous avons F (x_{0}, y_{0}) = (x_{0}, 0) et la matrice de la différentielle de F est donnée par

F′(x, y) = ( \begin{matrix}Id & 0 \\ f′_{x}(x, y) & f′_{y}(x, y) \end{matrix} ) .

Ceci permet de voir aussitôt que F′(x, y) ∈ ℒ(ℝ^{p+m}, ℝ^{p+m}) est inversible en tout point où f′_{y}(x, y) ∈ ℒ(ℝ^{p}, ℝ^{p}) l’est, avec

F′(x, y)^{−1} = ( \begin{matrix}Id & 0 \\ −f′_{y}(x, y)^{−1} ∘ f′_{x}(x, y) & f′_{y}(x, y)^{−1} \end{matrix} ) .

En particulier, F′(x_{0}, y_{0}) est inversible par hypothèse.

Le théorème d’inversion locale montre que F est un difféomorphisme de classe C^{k} d’un voisinage T̃ = U_{1} ×V_{1} de (x_{0}, y_{0}) sur un voisinage W̃ de (x_{0}, 0) dans ℝ^{p} ×ℝ^{m} (Quitte à rétrécir T̃ on peut supposer que T̃ est un produit de boules ouvertes). L’application H = F^{−1} : W̃ → U_{1} × V_{1}, (u, v) ↦ (x, y) = H(u, v) est la solution de l’équation F (x, y) = (x, f(x, y)) = (u, v) pour (x, y) ∈ Ũ_{1} × V_{1}, donc x = u et on voit que H est de la forme H(u, v) = (u, h(u, v)) pour une certaine fonction h : W̃ → V_{1}. Pour (x, y) ∈ U_{1} × V_{1} et (x, v) ∈ W̃, nous avons l’équivalence

f(x, y) = v ⇔ y = h(x, v).

La fonction g(x) = h(x, 0) donne donc précisément y = g(x) comme solution de l’équation f(x, y) = 0 lorsque (x, y) ∈ U_{1} × V_{1} et (x, 0) ∈ W̃. Définissons U comme l’ensemble des x ∈ U_{1} tels que (x, 0) ∈ W̃ et V = V_{1}. Nous obtenons ainsi U, V qui sont des voisinages ouverts de x_{0} et y_{0} respectivement, et une application g : U → V de classe C^{k} qui répond à la question. De plus g′(x) = h′_{x}(x, 0) est la dérivée partielle en x de la composante h dans H′(x, 0) = F′(H(x, 0))^{−1} = F′(x, g(x))^{−1}, c’est-à-dire

g′(x) = −f′_{y}(x, g(x))^{−1} ∘ f′_{x}(x, g(x)).

Remarque 2. D’un point de vue numérique, le calcul de y = g(x) au voisinage de x_{0} pourra se faire en utilisant la méthode de Newton-Raphson appliquée à la fonction y ↦ f(x, y), c’est-à-dire en calculant les itérés successifs y_{p+1} = y_{p} − f′_{y}(x, y_{p})^{−1}(f(x, y_{p})) à partir de la valeur approchée y_{0}.

Nous abordons maintenant des énoncés plus géométriques.

Définition. Soit Ω un ouvert de ℝ^{m} et f : Ω → ℝ^{p} une application de classe C^{k}, k ⩾ 1. On dit que

(1) f est une immersion en un point x_{0} ∈ Ω si f′(x_{0}) ∈ ℒ(ℝ^{m}, ℝ^{p}) est injective (ce qui implique m ⩽ p) ; (2) f est une submersion en un point x_{0} ∈ Ω si f′(x_{0}) ∈ ℒ(ℝ^{m}, ℝ^{p}) est surjective

(ce qui implique m ⩾ p) ;

(3) f est de rang constant si le rang de f′(x) pour x ∈ Ω est un entier r constant (ce qui implique r ⩽ min(m, p)).

La structure locale de telles applications est décrite respectivement par les trois théorèmes suivants.

Théorème des immersions. Si f est une immersion en un point x_{0} ∈ Ω, il existe un voisinage U de x_{0} dans ℝ^{m}, un voisinage V de y_{0} = f(x_{0}) dans ℝ^{p} et un C^{k}-difféomorphisme ψ : V → U × T de V sur un voisinage U × T de (x_{0}, 0) dans ℝ^{p} = ℝ^{m} × ℝ^{p−m} tel que ψ ∘ f(x) = (x, 0) sur U. Autrement dit, au difféomorphisme ψ près dans l’espace d’arrivée, f̃ = ψ∘f s’identifie à l’injection triviale x ↦ (x, 0) au voisinage de x_{0}.

Démonstration du théorème des immersions. Choisissons des vecteurs linéairement indépendants (a_{1}, … a_{p−m}) de ℝ^{p} de sorte qu’on ait une décomposition en somme directe

ℝ^{p} = Im f′(x_{0}) ⊕ ⨁_{1⩽i⩽p−m} ℝa_{i}.

C’est possible puisque dim Im f′(x_{0}) = m d’après l’injectivité de f′(x_{0}). Nous définissons

Ψ : Ω × ℝ^{p−m} → ℝ^{p}, Ψ(x, t) = f(x) + ∑_{1⩽i⩽p−m} t_{i}a_{i}.

Comme ∂Ψ(x, t)/∂t_{i} = a_{i}, il est clair que Im Ψ′(x_{0}, 0) contient à la fois Im f′(x_{0}) et les a_{i}, donc Ψ′(x_{0}, 0) est surjective. Mais comme Ψ est une application de ℝ^{p} dans ℝ^{p}, ceci entraîne que Ψ′(x_{0}, 0) est inversible. Par conséquent Ψ définit un C^{k}-difféomorphisme d’un voisinage U × T de (x_{0}, 0) sur un voisinage V de y_{0} = f(x_{0}). Nous avons Ψ(x, 0) = f(x) par définition de Ψ, donc ψ = Ψ^{−1} répond à la question.

Théorème des submersions. Si f est une submersion en un point x_{0} ∈ Ω, il existe un voisinage U de x_{0} dans ℝ^{m}, un voisinage V de y_{0} = f(x_{0}) dans ℝ^{p} et un C^{k}-difféomorphisme φ : U → V × S de U sur un voisinage V × S de (y_{0}, 0) dans ℝ^{m} = ℝ^{p} × ℝ^{m−p} tel que f ∘ φ^{−1}(y, s) = y sur V × S. Autrement dit, au difféomorphisme φ près dans l’espace de départ, f̃ = f ∘ φ^{−1} s’identifie à la projection triviale (y, s) ↦ y au voisinage de (y_{0}, 0).

Démonstration du théorème des submersions. Soit (a_{1}, …, a_{m}) une base de ℝ^{m} choisie de telle sorte que (a_{p+1}, …, a_{m}) soit une base de Ker f′(x_{0}). Nous définissons

φ : Ω → ℝ^{p} × ℝ^{m−p}, φ(x) = (f(x), s_{p+1}, …, s_{m})

où (s_{1}, …, s_{m}) désignent les coordonnées de x dans la base (a_{i}), c’est-à-dire x = ∑ s_{i}a_{i}. Le noyau Ker φ′(x_{0}) est l’intersection du noyau Ker f′(x_{0}) avec le sousespace s_{p+1} = … = s_{m} = 0 engendré par (a_{1}, …, a_{p}), et comme ces espaces sont supplémentaires on a Ker φ′(x_{0}) = {0}. Ceci montre que φ′(x_{0}) est injective, et donc bijective. Par conséquent φ est un C^{k}-difféomorphisme d’un voisinage U de x_{0} sur un voisinage V × S de (y_{0}, 0) = (f(x_{0}), 0) (quitte à rétrécir ces voisinages, on peut toujours supposer que le voisinage d’arrivée est un produit). On voit alors que f = π ∘ φ où π est la projection sur les p-premières coordonnées, de sorte que f ∘ φ^{−1} = π : (y, s_{p+1}, …, s_{m}) ↦ y. Le théorème est démontré.

Théorème du rang. Si f est de rang constant r sur Ω et si x_{0} ∈ Ω, il existe un voisinage U de x_{0} dans ℝ^{m}, un voisinage V de y_{0} = f(x_{0}) dans ℝ^{p}, un C^{k}-difféomorphisme φ : U → Q × S de U sur un voisinage Q × S de 0 dans ℝ^{m} = ℝ^{r} × ℝ^{m−r}, et un C^{k}-difféomorphisme ψ : V → Q × T de V sur un voisinage Q × T de 0 dans ℝ^{p} = ℝ^{p} × ℝ^{p−r}, tels que

ψ ∘ f ∘ φ^{−1}(x) = (x_{1}, …, x_{r}, 0, …, 0) ∈ ℝ^{p} sur Q × S.

Autrement dit, aux difféomorphismes φ, ψ près à la fois au départ et à l’arrivée, f̃ = ψ ∘ f ∘ φ^{−1} s’identifie à l’application linéaire canonique de rang r

(∗)  (x_{1}, …, x_{r}, x_{r+1}, …, x_{m}) ∈ ℝ^{m} ⟼ (x_{1}, …, x_{r}, 0, …, 0) ∈ ℝ^{p}

au voisinage de 0, et on a le diagramme commutatif

\begin{matrix}U \underrightarrow{f} & V \\ ≃ ↓φ & ≃ ↓ψ \\ Q × S \underrightarrow{f̃} & Q × T \end{matrix}

où f̃ est l’application linéaire (∗).

Démonstration du théorème du rang. On construit des difféomorphismes φ_{i} entre ouverts de ℝ^{m} et ψ_{i} entre ouverts de ℝ^{p} de façon à ^{⟨⟨} simplifier ^{⟩⟩} progressivement f :

\begin{matrix}U \underrightarrow{f} & V \\ ↓φ_{1} & ↓ψ_{1} \\ U_{1} \underrightarrow{f_{1}} & V_{1} \\ ↓φ_{2} & ↓ψ_{2} \\ U_{2} \underrightarrow{f_{2}} & V_{2}. \end{matrix}

Le premier niveau (φ_{1}, ψ_{1}) consiste simplement en des changements affines de coordonnées : on choisit respectivement x_{0} et y_{0} = f(x_{0}) comme nouvelles origines dans ℝ^{m} et ℝ^{p}, ainsi que de nouvelles bases (a_{1}, …, a_{m}) et (b_{1}, …, b_{p}) de sorte que (a_{r+1}, …, a_{m}) soit une base du noyau de Ker f′(x_{0}) et b_{j} = f′(x_{0})(a_{j}), 1 ⩽ j ⩽ r. Dans ces nouveaux repères, la matrice de f′(x_{0}) devient par construction la matrice de rang r

( \begin{matrix}1 & … & 0 & 0 & … & 0 \\ ⋮ & ... & ⋮ & ⋮ & & ⋮ \\ 0 & … & 1 & & … \\ 0 & … & & 0 & … & 0 \\ ⋮ & & ⋮ & ⋮ & & ⋮ \\ 0 & … & & 0 & … & 0 \end{matrix} ) .

Ceci est précisément la matrice de la dérivée f′_{1}(0) de f_{1} = ψ_{1} ∘ f ∘ φ_{1}^{−1} à l’origine. En particulier, si π : ℝ^{p} → ℝ^{r} est la projection sur les r-premières coordonnées, alors π ∘f_{1} est une submersion de ℝ^{m} dans ℝ^{r} en 0, et d’après le théorème des submersions on peut trouver un C^{k}-difféomorphisme φ_{2} de ℝ^{m} à l’origine tel que

π ∘ f_{1} ∘ φ_{2}^{−1}(x_{1}, …, x_{m}) = (x_{1}, …, x_{r})

près de 0. Par conséquent nous avons une écriture

f_{1} ∘ φ_{2}^{−1}(x_{1}, …, x_{m}) = (x_{1}, …, x_{r}, h_{r+1}(x), …, h_{p}(x))

au voisinage de 0. Or, par hypothèse, f_{1} ∘φ_{2}^{−1} = ψ_{1} ∘f ∘φ_{1}^{−1} ∘φ_{2}^{−1} est une application de rang constant r, et la matrice de son application linéaire tangente

( \begin{matrix}1 & … & 0 & 0 & … & 0 \\ ⋮ & ... & ⋮ & ⋮ & & ⋮ \\ 0 & … & 1 & & … \\ 0 & … & & ∂h_{r+1}/∂x_{r+1} & … & ∂h_{r+1}/∂x_{m} \\ ⋮ & & ⋮ & ⋮ & & ⋮ \\ 0 & … & & ∂h_{p}/∂x_{r+1} & … & ∂h_{p}/∂x_{m} \end{matrix} )

ne peut être de rang r que si ∂h_{i}/∂x_{j} = 0 pour i, j > r, ce qui signifie que h_{r+1}, …, h_{p} sont en fait des fonctions des seules variables x_{1}, …, x_{r}. On a donc une application de rang constant r

(x_{1}, …, x_{r}) ↦ (x_{1}, …, x_{r}, h_{r+1}(x_{1}, …, x_{r}), …, h_{p}(x_{1}, …, x_{r}))

au voisinage de 0. En d’autres termes, c’est une immersion de ℝ^{r} dans ℝ^{p} en 0, et d’après le théorème des immersions il existe un C^{k}-difféomorphisme ψ_{2} de ℝ^{p} en 0 tel que

ψ_{2}(x_{1}, …, x_{r}, h_{r+1}(x_{1}, …, x_{r}), …, h_{p}(x_{1}, …, x_{r})) = (x_{1}, …, x_{r}, 0, …, 0)

près de 0. Il s’ensuit que

ψ_{2} ∘ f_{1} ∘ φ_{2}^{−1}(x_{1}, …, x_{m}) = (x_{1}, …, x_{r}, 0, …, 0)

au voisinage de 0. L’existence de petits voisinages U_{2} = Q × S et V_{2} = Q × T est alors immédiate, et le théorème du rang constant est démontré avec φ = φ_{2} ∘ φ_{1}, ψ = ψ_{2} ∘ ψ_{1}, U = φ^{−1}(U_{2}), V = ψ^{−1}(V_{2}).

5. Problèmes

5.1. Soit (E, d) un espace métrique et φ : E → E une application continue telle que l’itérée φ^{m} = φ ∘ … ∘ φ soit contractante, avec constante de Lipschitz k ∈ ]0, 1[ et m ∈ ℕ^{⋆}.

(a) On convient de noter φ^{0} = Id_{E}. Vérifier que la formule

d′(x, y) = max_{0⩽i⩽m−1} k^{−i/m}d(φ^{i}(x), φ^{i}(y))

définit une distance sur E, topologiquement équivalente à la distance d (c’est-à-dire que les ouverts pour d et d′ sont les mêmes). Montrer que (E, d′) est complet dès que (E, d) est complet.

(b) Montrer que φ est lipschitzienne de rapport k^{1/m} pour d′. En déduire que φ admet un point fixe unique a, et que, pour tout point initial x_{0} ∈ E, il existe une constante C telle que la suite des itérés x_{p} = φ(x_{p−1}) vérifie d(x_{p}, a) ⩽ C k^{p/m}.

5.2. On considère la fonction f telle que

f(x) = x ln (x), x ∈ [1, +∞[.

On se propose d’étudier des algorithmes itératifs permettant de calculer l’image réciproque f^{−1}(a) pour un réel a ∈ [0, +∞[ fixé quelconque.

(a) Montrer que f est une bijection de [1, +∞[ sur [0, +∞[.

(b) On pose φ(x) = \frac{a}{ln (x)}. Pour a = e, calculer explicitement f^{−1}(a).

Pour quelles valeurs de a ≠ e le procédé itératif x_{p+1} = φ(x_{p}) converge-t-il lorsque la valeur initiale x_{0} est choisie assez voisine de f^{−1}(a) ?

(c) Soit x_{p+1} = ψ(x_{p}) l’algorithme itératif fourni par la méthode de Newton pour la résolution de l’équation x ln (x) − a = 0.

(α) Étudier les variations de la fonction ψ et tracer sommairement la courbe représentative de ψ.

(β) Étudier la convergence de la suite (x_{p}) pour a ∈ [0, +∞[ et x_{0} ∈ [1, +∞[ quelconques.

(γ) Évaluer f^{−1}(2) par ce procédé à l’aide d’une calculette. On donnera les approximations successives obtenues.

5.3. On considère la fonction

f(x) = exp(exp(− cos(sin(x + e^{x})))) + x^{3}.

On donne f(0, 1) ≃ 1, 737 ; f(0, 2) ≃ 1, 789 à 10^{−3} près. Écrire un programme permettant de résoudre l’équation f(x) = 7/4 à la précision ε = 10^{−10}, ceci au moyen d’une méthode itérative adaptée (qui permet d’éviter des calculs formels trop compliqués). La justification de la convergence n’est pas demandée.

5.4. On se propose d’étudier le comportement des itérés d’une fonction au voisinage d’un point fixe, dans le cas critique où la dérivée vaut 1 en ce point.

Soit φ : ℝ_{+} → ℝ_{+} une fonction de classe C^{1}. On suppose que φ(0) = 0, φ′(0) = 1, et que φ admet un développement limité

φ(x) = x − ax^{k} + x^{k}ε(x)

avec

a > 0, k > 1, lim_{x→0_{+}} ε(x) = 0.

(a) Montrer qu’il existe h > 0 tel que pour tout x_{0} ∈ ]0, h] la suite itérée x_{p+1} = φ(x_{p}) converge vers 0.

(b) On pose u_{p} = x_{p}^{m} où m ∈ ℝ. Déterminer un équivalent de u_{p+1} − u_{p} en fonction de x_{p}.

(c) Montrer qu’il existe une valeur de m pour laquelle u_{p+1} − u_{p} possède une limite finie non nulle. En déduire un équivalent de x_{p}.

(d) Pour φ(x) = sin x et x_{0} = 1, estimer le nombre d’itérations nécessaires pour atteindre x_{p} < 10^{−5}.

5.5. Dans tout ce problème, on travaille sur un intervalle [a, b] fixé.

(a) Soit g : [a, b] → ℝ une fonction de classe C^{2} telle que g(a) = g(b) = 0, g′′(x) > 0 pour tout x dans ]a, b[. Démontrer • que g(x) ne s’annule en aucun x de ]a, b[,

• puis que g(x) < 0 pour tout x dans ]a, b[. Indication. Raisonner par l’absurde et utiliser le théorème de Rolle.

(b) Soit f : [a, b] → ℝ une fonction de classe C^{2} telle que f(a) < 0, f(b) > 0, f′(x) > 0 et f′′(x) > 0 pour tout x dans ]a, b[. Démontrer (α) qu’il existe c (unique) dans ]a, b[ tel que f(c) = 0 ; (β) qu’il existe m_{1} et m_{2} tels que

0 < m_{1} ≤ f′(x), 0 < f′′(x) ≤ m_{2} pour tout x dans [a, b[.

(c) On conserve désormais les hypothèses de la question (b), et on se propose de ⟨⟨ calculer ^{⟩⟩} c. Soit p le polynôme de degré 1 tel que p(a) = f(a), p(b) = f(b), et soit c_{1} dans ]a, b[ tel que p(c_{1}) = 0. (α) Démontrer que a < c_{1} < c [appliquer la question (a) à g(x) = f(x) − p(x)]. (β) Établir la majoration

|f(c_{1})| ≤ \frac{1}{2} m_{2}|(c_{1} − a)(c_{1} − b)|.

(d) Soit (c_{n}), n ≥ 0, la suite récurrente définie de la façon suivante :

• on pose c_{0} = a ;

• pour tout n ≥ 0 (et c_{n} étant déjà définie) on note p_{n} l’unique polynôme de degré 1 tel que p_{n}(c_{n}) = f(c_{n}), p_{n}(b) = f(b) ; et on définit c_{n+1} par p_{n}(c_{n+1}) = 0. (α) Mettre explicitement cette récurrence sous la forme c_{n+1} = φ(c_{n}). (β) Démontrer que (c_{n}) est une suite strictement croissante contenue dans l’inter-

valle [a, c]. (γ) Démontrer que la suite (c_{n}) converge vers c, et que, pour tout n ≥ 0, on a

|c_{n} − c| ≤ \frac{f(c_{n})}{m_{1}}.

(e) Programmation d’un exemple. On pose f(x) = x^{4} + x − 1.

Démontrer que l’équation f(x) = 0 admet une racine c et une seule dans l’intervalle [0, 1]. Écrire un programme permettant de calculer c à 10^{−8} près.

5.6. On considère l’application φ : ℝ^{2} → ℝ^{2} définie par

φ ( \begin{matrix}x \\ y \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}X \\ Y \end{matrix} ) , \{ \begin{matrix}X & = −x + \frac{3}{2}y + \frac{5}{4} \\ Y & = −\frac{1}{2}x + y^{2} + \frac{3}{4} \end{matrix}

(a) Déterminer les points fixes de φ.

(b) Ces points fixes sont-ils attractifs ?

(c) Soit B le point fixe non attractif de φ. Montrer que φ admet une application réciproque ψ : V → W de classe C^{∞}, où V, W sont des voisinages de B. Le point B est-il attractif pour ψ ?

5.7. On cherche à résoudre numériquement le système d’équations

(S) \{ \begin{matrix}y ln y − x ln x = 3 \\ x^{4} + xy + y^{3} = a \end{matrix}

où x, y > 0 et où a est un paramètre réel.

(a) Étudier sommairement les variations de la fonction x ↦ x ln x et montrer que pour a ≥ 31 le système (S) n’a pas de solution (x, y) telle que x < 1. Montrer que pour x ≥ 1 la solution y de la première équation est fonction croissante de x et en déduire que le système (S) admet une solution (x, y) unique pour a ≥ 31.

(b) Montrer que la solution (x, y) est telle que

y = x + \frac{3}{1 + ln c} où c ∈ ]x, y[.

En déduire un équivalent de x et y en fonction de a quand a tend vers +∞. Pouvez-vous raffiner cet équivalent et donner un développement plus précis ?

(c) Écrire l’algorithme permettant de résoudre le système (S) au moyen de la méthode de Newton. On prendra a = 10^{4}.

5.8. Soit 𝒜 une algèbre unitaire normée de dimension finie sur ℝ, par exemple l’algèbre des matrices carrées m × m. Soit u ∈ 𝒜 un élément inversible.

(a) Montrer qu’il existe des réels α, β tels que l’application φ(x) = αx+βxux admette x = u^{−1} comme point fixe superattractif.

(b) Pour les valeurs de α, β trouvées au (a), montrer que l’on a l’inégalité |||φ′(x)||| ≤ 2∥u∥ ∥x − u^{−1}∥. En déduire que la suite itérée x_{p+1} = φ(x_{p}) converge vers u^{−1} dès que x_{0} ∈ \overline{B}(u^{−1}, r) avec r < \frac{1}{2∥u∥}.

(c) On suppose u = e − v avec e = élément unité de 𝒜 et λ = ∥v∥ < 1. Montrer que u est inversible et que u^{−1} = ∑_{k=0}^{+∞} v^{k}. Déterminer un entier n ∈ ℕ tel que l’algorithme du (b) converge pour x_{0} = e + v + … + v^{n}.

(d) On suppose ici que 𝒜 est commutative (exemple : 𝒜 = ℝ ou 𝒜 = ℂ). Chercher un algorithme permettant de déterminer une racine carrée de u (s’il en existe), en utilisant uniquement additions et multiplications. Indication. Considérer ψ(x) = αx + βux^{3}.

Si 𝒜 = ℝ, comment peut-on choisir x_{0} pour être assuré d’obtenir la convergence ?

5.9^{∗}. On suppose f : Ω → ℝ^{p} de classe C^{k}, k ⩾ 2, où Ω est un ouvert de ℝ^{m}×ℝ^{p}. Soit (x_{0}, y_{0}) ∈ Ω un point tel que f(x_{0}, y_{0}) = 0 et ℓ = f′_{y}(x_{0}, y_{0}) inversible. Donner des estimations précises de la taille des voisinages U, V intervenant dans le théorème des fonctions implicites en fonction de |||ℓ|||, |||ℓ^{−1}||| et de bornes sur les dérivées premières et secondes de f sur un voisinage B(x_{0}, r_{0}) × B(y_{0}, r′_{0}) ⊂ Ω.

Chapitre V

Équations différentielles, Résultats fondamentaux

Le but de ce chapitre est de démontrer les théorèmes généraux d’existence et d’unicité des solutions pour les équations différentielles ordinaires. Il s’agit du chapitre central de la théorie, de ce fait nécessairement assez abstrait. Sa bonne compréhension est indispensable en vue de la lecture des chapitres ultérieurs.

1. Définitions. Solutions maximales et globales

1.1. Équation différentielle ordinaire du premier ordre

Soit U un ouvert de ℝ × ℝ^{m} et

f : U → ℝ^{m}

une application continue. On considère l’équation différentielle

(E)  y′ = f(t, y), (t, y) ∈ U, t ∈ ℝ, y ∈ ℝ^{m}.

Définition. Une solution de (E) sur un intervalle I ⊂ ℝ est une fonction dérivable y : I → ℝ^{m} telle que

(i) (∀t ∈ I) (t, y(t)) ∈ U,

(ii) (∀t ∈ I) y′(t) = f(t, y(t)).

L’^{⟨⟨} inconnue ^{⟩⟩} de l’équation (E) est donc en fait une fonction. Le qualificatif ⟨⟨ ordinaire ^{⟩⟩} pour l’équation différentielle (E) signifie que la fonction inconnue y dépend d’une seule variable t (lorsqu’il y a plusieurs variables t_{i} et plusieurs dérivées ∂y/∂t_{i}, on parle d’équations aux dérivées partielles).

Écriture en coordonnées. Écrivons les fonctions à valeurs dans ℝ^{m} en termes de leurs fonctions composantes, c’est-à-dire

y = (y_{1}, …, y_{m}), f = (f_{1}, …, f_{m}).

L’équation (E) apparaît comme un système différentiel du premier ordre à m fonctions inconnues y_{1}, …, y_{m} :

(E) \{ \begin{matrix}y′_{1}(t) = f_{1}(t, y_{1}(t), …, y_{m}(t)) \\ … \\ y′_{m}(t) = f_{m}(t, y_{1}(t), …, y_{m}(t)). \end{matrix}

L’une des questions essentielles que l’on considère dans la théorie des équations différentielles est le problème de Cauchy :

Problème de Cauchy. Étant donné un point (t_{0}, y_{0}) ∈ U, le problème de Cauchy consiste à trouver une solution y : I → ℝ^{m} de (E) sur un intervalle I contenant t_{0} dans son intérieur, telle que y(t_{0}) = y_{0}.

Interprétation physique. Dans de nombreuses situations concrètes, la variable t représente le temps et y = (y_{1}, …, y_{m}) est une famille de paramètres décrivant l’état d’un système matériel donné. L’équation (E) traduit physiquement la loi d’évolution du système considéré en fonction du temps et de la valeur des paramètres. Résoudre le problème de Cauchy revient à prévoir l’évolution du système au cours du temps, sachant qu’en t = t_{0} le système est décrit par les paramètres y_{0} = (y_{0,1}, …, y_{0,m}). On dit que (t_{0}, y_{0}) sont les données initiales du problème de Cauchy.

1.2. Cas de la dimension un (m = 1)

Si on note x = t, l’équation (E) se récrit

(E)  y′ = \frac{dy}{dx} = f(x, y), (x, y) ∈ U ⊂ ℝ × ℝ.

U  x_{0}  x y y_{0}  y(x)

Résoudre le problème de Cauchy revient à trouver une ^{⟨⟨} courbe intégrale ^{⟩⟩} de (E) passant par un point donné (x_{0}, y_{0}) ∈ U.

Champ des tangentes. A tout point M = (x_{0}, y_{0}), on associe la droite D_{M} passant par M et de coefficient directeur f(x_{0}, y_{0}) :

D_{M} : y − y_{0} = f(x_{0}, y_{0})(x − x_{0})

L’application M → D_{M} est appelée champ des tangentes associé à l’équation (E). Une courbe intégrale de (E) est une courbe différentiable C qui a pour tangente en chaque point M ∈ C la droite D_{M} du champ des tangentes. L’exemple ci-dessous correspond à l’équation y′ = f(x, y) = x − y^{2}.

1  x 0 1 y  MD_{M}C

Lignes isoclines de (E). Par définition, ce sont les courbes

Γ_{p} : f(x, y) = p

correspondant à l’ensemble des points M où la droite D_{M} a une pente donnée p.

La courbe Γ_{0} joue un rôle intéressant. On a en effet un régionnement de U :

\begin{aligned}U & = U_{+} ∪ U_{−} ∪ Γ_{0} où \\ U_{+} & = \{M ∈ U ; f(M) > 0\}, U_{−} = \{M ∈ U ; f(M) < 0\}. \end{aligned}

Les courbes intégrales sont croissantes dans U_{+}, décroissantes dans U_{−}, stationnaires (souvent extrêmales) sur Γ_{0}.

Exemple. Les lignes isoclines de l’équation y′ = f(x, y) = x − y^{2} sont les paraboles x = y^{2} + p.

0  x y  1 1  U_{+} U_{−}  Γ_{0} Γ_{3/2}

1.3. Solutions maximales

Nous introduisons d’abord le concept de prolongement d’une solution. L’expression solution maximale est alors entendue implicitement au sens de la relation d’ordre fournie par le prolongement des solutions.

Définition 1. Soient y : I → ℝ^{m}, ỹ : Ĩ → ℝ^{m} des solutions de (E). On dit que ỹ est un prolongement de y si Ĩ ⊃ I et ỹ|_{I} = y.

Définition 2. On dit qu’une solution y : I → ℝ^{m} est maximale si y n’admet pas de prolongement ỹ: Ĩ → ℝ^{m} avec Ĩ ⫌ I.

Théorème. Toute solution y se prolonge en une solution maximale ỹ (pas nécessairement unique).

Démonstration.* Supposons que y soit définie sur un intervalle I = |a, b| (cette notation désigne un intervalle ayant pour bornes a et b, incluses ou non dans I). Il suffira de montrer que y se prolonge en une solution ỹ : |a, b̃| → ℝ^{m} (b̃ ≥ b) maximale à droite, c’est-à-dire qu’on ne pourra plus prolonger ỹ au delà de b̃. Le même raisonnement s’appliquera à gauche.

Pour cela, on construit par récurrence des prolongements successifs y_{(1)}, y_{(2)} … de y avec y_{(k)} : |a, b_{k}[→ ℝ^{m}. On pose y_{(1)} = y, b_{1} = b. Supposons y_{(k−1)} déjà construite pour un indice k ≥ 1. On pose alors

c_{k} = sup{c; y_{(k−1)} se prolonge sur |a, c[ }.

On a c_{k} ≥ b_{k−1}. Par définition de la borne supérieure, il existe b_{k} tel que b_{k−1} ≤ b_{k} ≤ c_{k} et un prolongement y_{(k)} : |a, b_{k}[→ ℝ^{m} de y_{(k−1)} avec b_{k} arbitrairement voisin de c_{k} ; en particulier, on peut choisir

\begin{matrix}c_{k} − b_{k} < \frac{1}{k} & si c_{k} < +∞, \\ b_{k} > k & si c_{k} = +∞. \end{matrix}

La suite (c_{k}) est décroissante, car l’ensemble des prolongements de y_{(k−1)} contient l’ensemble des prolongements de y_{(k)} ; au niveau des bornes supérieures on a donc c_{k} ≥ c_{k+1}. Si c_{k} < +∞ à partir d’un certain rang, les suites

b_{1} ≤ b_{2} ≤ … ≤ b_{k} ≤ … ≤ c_{k} ≤ c_{k−1} ≤ … ≤ c_{1}

sont adjacentes, tandis que si c_{k} = +∞ quel que soit k on a b_{k} > k. Dans les deux cas, on voit que

b̃ = lim_{k→+∞} b_{k} = lim_{k→+∞} c_{k}.

Soit ỹ : |a, b̃| → ℝ^{m} le prolongement commun des solutions y_{(k)}, éventuellement prolongé au point b̃ si cela est possible. Soit z : |a, c| → ℝ^{m} un prolongement de ỹ. Alors z prolonge y_{(k−1)} et par définition de c_{k} il s’ensuit c ≤ c_{k}. A la limite il vient c ≤ c̃, ce qui montre que la solution ỹ est maximale à droite.

1.4. Solutions globales

On suppose ici que l’ouvert U est de la forme U = J × Ω où J est un intervalle de ℝ et Ω un ouvert de ℝ^{m}.

Définition. Une solution globale est une solution définie sur l’intervalle J tout entier.

0  J  t Ω y  U y_{(1)}  y_{(2)}

Attention. Toute solution globale est maximale, mais la réciproque est fausse !

Sur le schéma ci-dessus par exemple, y_{(1)} est globale tandis que y_{(2)} est maximale mais non globale.

Donnons un exemple explicite de cette situation.

Exemple. (E) y′ = y^{2} sur U = ℝ × ℝ.

Cherchons les solutions t → y(t) de (E).

• On a d’une part la solution y(t) = 0.

• Si y ne s’annule pas, (E) s’écrit \frac{y′}{y^{2}} = 1, d’où par intégration

−\frac{1}{y(t)} = t + C, y(t) = −\frac{1}{t + C} .

Cette formule définit en fait deux solutions, définies respectivement sur ] − ∞, −C[ et sur ] − C, +∞[ ; ces solutions sont maximales mais non globales. Dans cet exemple y(t) = 0 est la seule solution globale de (E).

1.5. Régularité des solutions

Rappelons qu’une fonction de plusieurs variables est dite de classe C^{k} si elle admet des dérivées partielles continues jusqu’à l’ordre k.

Théorème. Si f : ℝ × ℝ^{m} ⊃ U → ℝ^{m} est de classe C^{k}, toute solution de l’équation (E) y′ = f(t, y) est de classe C^{k+1}.

Démonstration. On raisonne par récurrence sur k.

• k = 0 : f continue.

Par hypothèse y : I → ℝ^{m} est dérivable, donc continue.

Par conséquent y′(t) = f(t, y(t)) est continue, donc y est de classe C^{1}.

• Si le résultat est vrai à l’ordre k − 1, alors y est au moins de classe C^{k}. Comme f est de classe C^{k}, il s’ensuit que y′ est de classe C^{k} comme composée de fonctions de classe C^{k}, donc y est de classe C^{k+1}.

Calcul des dérivées successives d’une solution y. On suppose pour simplifier m = 1. En dérivant la relation y′(x) = f(x, y(x)) il vient

\begin{aligned}y′′(x) & = f′_{x}(x, y(x)) + f′_{y}(x, y(x))y′(x), \\ y′′ & = f′_{x}(x, y) + f′(x, y)f(x, y) = f^{[1]}(x, y) \end{aligned}

avec f^{[1]} = f′_{x} + f′_{y}f. Notons de manière générale l’expression de la dérivée k-ième y^{(k)} en fonction de x, y sous la forme

y^{(k)} = f^{[k−1]}(x, y) ;

d’après ce qui précède f^{[0]} = f, f^{[1]} = f′_{x} + f′_{y}f. En dérivant une nouvelle fois, on trouve

\begin{aligned}y^{(k+1)} & = (f^{[k−1]})′_{x}(x, y) + (f^{[k−1]})′_{y}(x, y) y′ \\ & = (f^{[k−1]})′_{x}(x, y) + (f^{[k−1]})′_{y}(x, y) f(x, y). \end{aligned}

On obtient donc les relations de récurrence

\begin{aligned}y^{(k+1)} & = f^{[k]}(x, y) \\ f^{[k]} & = (f^{[k−1]})′_{x} + (f^{[k−1]})′_{y} f, avec f^{[0]} = f. \end{aligned}

En particulier, le lieu des points d’inflexion des courbes intégrales est contenu dans la courbe f^{[1]}(x, y) = 0.

2. Théorème d’existence des solutions

Dans tout ce paragraphe, on considère une équation différentielle

(E)  y′ = f(t, y)

où f : U → ℝ^{m} est continue et U est un ouvert de ℝ × ℝ^{m}.

2.1. Équivalence du problème de Cauchy avec la résolution d’une équation intégrale

Le lemme très simple ci-dessous montre que la résolution de (E) est équivalente à la résolution d’une équation intégrale :

Lemme. Une fonction y : I → ℝ^{m} est une solution du problème de Cauchy de données initiales (t_{0}, y_{0}) si et seulement si

(i) y est continue et (∀t ∈ I) (t, y(t)) ∈ U,

(ii) (∀t ∈ I) y(t) = y_{0} + ∫_{t_{0}}^{t} f(u, y(u))du.

En effet si y vérifie (i) et (ii) alors y est différentiable et on a y(t_{0}) = y_{0}, y′(t) = f(t, y(t)). Inversement, si ces deux relations sont satisfaites, (ii) s’en déduit par intégration.

2.2. Cylindres de sécurité

Pour résoudre l’équation différentielle (E), on va plutôt chercher à construire des solutions de l’équation intégrale 2.1 (ii), et en premier lieu, on va montrer qu’une solution passant par un point (t_{0}, y_{0}) ∈ U ne peut s’éloigner ^{⟨⟨} trop vite ^{⟩⟩} de y_{0}.

On note ∥ ∥ une norme quelconque sur ℝ^{m} et B(x, r) (resp. \overline{B}(x, r)) la boule ouverte (resp. fermée) de centre x et de rayon r dans ℝ^{m}. Comme U est supposé ouvert, il existe un cylindre

C_{0} = [t_{0} − T_{0}, t_{0} + T_{0}] × \overline{B}(y_{0}, r_{0})

de longueur 2T_{0} et de rayon r_{0} assez petit, tel que C_{0} ⊂ U. L’ensemble C_{0} est fermé borné dans ℝ^{m+1}, donc compact. Ceci entraîne que f est bornée sur C_{0}, c’est-à-dire

M = sup_{(t,y)∈C_{0}} ∥f(t, y)∥ < +∞.

Soit C = [t_{0} − T, t_{0} + T] × \overline{B}(y_{0}, r_{0}) ⊂ C_{0} un cylindre de même diamètre que C_{0} et de demi-longueur T ≤ T_{0}.

Définition. On dit que C est un cylindre de sécurité pour l’équation (E) si toute solution y : I → ℝ^{m} du problème de Cauchy y(t_{0}) = y_{0} avec I ⊂ [t_{0} − T, t_{0} + T] reste contenue dans \overline{B}(y_{0}, r_{0}).

0  t_{0} − T_{0} t  t_{0}  t_{0} + T_{0}  t 2T 2T_{0}  C_{0} C y(t) y_{0} ℝ^{m}  U  r_{0}

On observera que sur le schéma ci-dessus, C est un cylindre de sécurité mais C_{0} n’en est pas un : la solution y ^{⟨⟨} s’échappe ^{⟩⟩} de C_{0} avant le temps t_{0} + T_{0}.

Pour quantifier ce phénomène, supposons au contraire que la solution y s’échappe de C sur l’intervalle [t_{0}, t_{0} + T]. Soit τ le premier instant où cela se produit :

τ = inf {t ∈ [t_{0}, t_{0} + T] ; ∥y(t) − y_{0}∥ > r_{0}}.

Par définition de τ on a ∥y(t) − y_{0}∥ ≤ r pour t ∈ [t_{0}, τ[, donc par continuité de y on obtient ∥y(τ) − y_{0}∥ = r_{0}. Comme (t, y(t)) ∈ C ⊂ C_{0} pour t ∈ [t_{0}, τ], il vient ∥y′(t)∥ = ∥f(t, y(t))∥ ≤ M et

r_{0} = ∥y(τ) − y_{0}∥ = ∥ ∫_{t_{0}}^{τ} y′(u)du∥ ≤ M(τ − t_{0})

donc τ −t_{0} ≥ r_{0}/M. Par conséquent si T ≤ r_{0}/M, aucune solution ne peut s’échapper de C sur [t_{0} − T, t_{0} + T].

Corollaire. Pour que C soit un cylindre de sécurité, il suffit de prendre

T ≤ min (T_{0}, \frac{r_{0}}{M} ).

Le choix T = min (T_{0}, \frac{r_{0}}{M} ) convient par exemple.

Remarque. Si C ⊂ C_{0} est un cylindre de sécurité, toute solution du problème de Cauchy y : [t_{0} − T, t_{0} + T] → ℝ^{m} vérifie ∥y′(t)∥ ≤ M, donc y est lipschitzienne de rapport M.

2.3. Solutions approchées. Méthode d’Euler

On cherche à construire une solution approchée de (E) sur un intervalle [t_{0}, t_{0} + T]. On se donne pour cela une subdivision

t_{0} < t_{1} < t_{2} … < t_{N−1} < t_{N} = t_{0} + T.

Les pas successifs sont notés

h_{n} = t_{n+1} − t_{n}, 0 ≤ n ≤ N − 1,

et on pose

h_{max} = max(h_{0}, …, h_{N−1}).

La méthode d’Euler (ou méthode de la tangente) consiste à construire une solution approchée y affine par morceaux comme suit. Soit y_{n} = y(t_{n}). On confond la courbe intégrale sur [t_{n}, t_{n+1}] avec sa tangente au point (t_{n}, y_{n}) :

y(t) = y_{n} + (t − t_{n})f(t_{n}, y_{n}), t ∈ [t_{n}, t_{n+1}].

Partant de la donnée initiale y_{0}, on calcule donc y_{n} par récurrence en posant

\{ \begin{matrix}y_{n+1} = y_{n} + h_{n}f(t_{n}, y_{n}) \\ t_{n+1} = t_{n} + h_{n}, 0 ≤ n ≤ N − 1. \end{matrix}

La solution approchée y s’obtient graphiquement en traçant pour chaque n les segments joignant les points (t_{n}, y_{n}), (t_{n+1}, y_{n+1}).

t_{0}  t_{1}  t_{2}  t_{3} … t_{N} = t_{0} + T t y_{0} y_{1} y_{2} y_{3} y

On construit de même une solution approchée sur [t_{0} − T, t_{0}] en prenant des pas h_{n} < 0.

Proposition 1. Si C = [t_{0} − T, t_{0} + T] × \overline{B}(y_{0}, r_{0}) est un cylindre de sécurité tel que T ≤ min (T_{0}, \frac{r_{0}}{M} ), toute solution approchée y donnée par la méthode d’Euler est contenue dans la boule \overline{B}(y_{0}, r_{0}).

Démonstration. On vérifie par récurrence sur n que

\{ \begin{matrix}y([t_{0}, t_{n}]) ⊂ \overline{B}(y_{0}, r_{0}) \\ ∥y(t) − y_{0}∥ ≤ M(t − t_{0}) pour t ∈ [t_{0}, t_{n}]. \end{matrix}

C’est trivial pour n = 0. Si c’est vrai pour n, alors on a en particulier (t_{n}, y_{n}) ∈ C, donc ∥f(t_{n}, y_{n})∥ ≤ M, et par conséquent

∥y(t) − y_{n}∥ = (t − t_{n})∥f(t_{n}, y_{n})∥ ≤ M(t − t_{n})

pour t ∈ [t_{n}, t_{n+1}]. Par hypothèse de récurrence

∥y_{n} − y_{0}∥ = ∥y(t_{n}) − y_{0}∥ ≤ M(t_{n} − t_{0}).

L’inégalité triangulaire entraîne alors ∀t ∈ [t_{n}, t_{n+1}] :

∥y(t) − y_{0}∥ ≤ M(t − t_{n}) + M(t_{n} − t_{0}) ≤ M(t − t_{0}).

En particulier ∥y(t) − y_{0}∥ ≤ MT ≤ r_{0}, d’où

y([t_{0}, t_{n+1}]) ⊂ \overline{B}(y_{0}, r_{0}).

Définition. Soit y : [a, b] → ℝ^{m} une fonction de classe C^{1} par morceaux (ceci signifie qu’il existe une subdivision a = a_{0} < a_{1} < … < a_{N} = b de [a, b] telle que pour tout n la restriction y_{[a_{n},a_{n+1}]} soit de classe C^{1} ; on suppose donc seulement la continuité et l’existence d’une dérivée à droite et à gauche de y aux points a_{n}). On dit que y est une solution ε-approchée de (E) si

(i) (∀t ∈ [a, b]) (t, y(t)) ∈ U ;

(ii) (∀n), (∀t ∈]a_{n}, a_{n+1}[) ∥y′(t) − f(t, y(t))∥ ≤ ε.

Autrement dit, y est une solution ε-approchée si y vérifie (E) avec une erreur ≤ ε.

Majoration de l’erreur pour les solutions approchées d’Euler. Soit ω_{f} le module de continuité de f sur C, défini par

ω_{f}(u) = max {∥f(t_{1}, y_{1}) − f(t_{2}, y_{2})∥; |t_{1} − t_{2}| + ∥y_{1} − y_{2}∥ ≤ u}

où u ∈ [0, +∞[ et où les points (t_{1}, y_{1}), (t_{2}, y_{2}) parcourent C. Comme C est compact, la fonction f est uniformément continue sur C, par conséquent

lim_{u→0_{+}} ω_{f}(u) = 0.

On suppose dans la suite que C = [t_{0} −T, t_{0} +T]×\overline{B}(y_{0}, r_{0}) est un cylindre de sécurité tel que T ≤ min (T_{0}, \frac{r_{0}}{M} ).

Proposition 2. Soit y : [t_{0} − T, t_{0} + T] → ℝ^{m} une solution approchée construite par la méthode d’Euler avec pas maximum h_{max}. Alors l’erreur ε vérifie ε ≤ ω_{f}((M + 1)h_{max}).

En particulier, l’erreur ε tend vers 0 quand h_{max} tend vers 0.

Démonstration. Majorons par exemple ∥y′(t) − f(t, y(t))∥ pour t ∈ [t_{0}, t_{0} + T], où y est la solution approchée associée à la subdivision t_{0} < t_{1} < … < t_{N} = t_{0} + T. Pour t ∈]t_{n}, t_{n+1}[, on a y′(t) = f(t_{n}, y_{n}) et

\begin{aligned}∥y(t) − y_{n}∥ & = (t − t_{n})∥f(t_{n}, y_{n})∥ ≤ Mh_{n}, \\ |t − t_{n}| & ≤ h_{n}. \end{aligned}

Par définition de ω_{f}, il vient

∥f(t_{n}, y_{n}) − f(t, y(t))∥ ≤ ω_{f}(Mh_{n} + h_{n}),
∥y′(t) − f(t, y(t))∥ ≤ ω_{f}((M + 1)h_{max}).

Montrons finalement un résultat sur la convergence des solutions approchées.

Proposition 3. Soit y_{(p)} : [t_{0} − T, t_{0} + T] → ℝ^{m} une suite de solutions ε_{p}-approchées contenues dans le cylindre de sécurité C, telles que y_{(p)}(t_{0}) = y_{0} et lim_{p→+∞} ε_{p} = 0. On suppose que y_{(p)} converge uniformément sur [t_{0} − T, t_{0} + T] vers une fonction y. Alors y est une solution exacte du problème de Cauchy pour l’équation (E).

Démonstration. Comme ∥y′_{(p)}(t) − f(t, y_{(p)}(t))∥ ≤ ε_{p}, il vient après intégration

∥y_{(p)}(t) − y_{0} − ∫_{t_{0}}^{t} f(u, y_{(p)}(u))du∥ ≤ ε_{p}|t − t_{0}|.

Si δ_{p} = max_{[t_{0}−T,t_{0}+T]} ∥y − y_{(p)}∥, on voit que

∥f(u, y_{(p)}(u)) − f(u, y(u))∥ ≤ ω_{f}(δ_{p})

tend vers 0, d’où, grâce à la convergence uniforme :

y(t) − y_{0} − ∫_{t_{0}}^{t} f(u, y(u))du = 0, ∀t ∈ [t_{0} − T, t_{0} + T].

Comme la limite uniforme y est continue, le lemme du début du § 2 entraîne que y est une solution exacte de (E).

2.4. Théorème d’Ascoli

Il s’agit d’un résultat préliminaire de nature topologique que nous allons formuler dans le cadre général des espaces métriques. Si (E, δ) et (F, δ′) sont des espaces métriques, rappelons que par définition une suite d’applications φ_{(p)} : E → F converge uniformément vers φ : E → F si la distance uniforme

d(φ_{(p)}, φ) = sup_{x∈E} δ′(φ_{(p)}(x), φ(x))

tend vers 0 quand p tend vers +∞.

Théorème (Ascoli). On suppose que E, F sont des espaces métriques compacts. Soit φ_{(p)} : E → F une suite d’applications k-lipschitziennes, où k ≥ 0 est une constante donnée. Alors on peut extraire de φ_{(p)} une sous-suite φ_{(p_{n})} uniformément convergente, et la limite est une application k-lipschitzienne.

Soit Lip_{k}(E, F) l’ensemble des applications E → F lipschitziennes de rapport k. Une autre manière d’exprimer le théorème d’Ascoli est la suivante.

Corollaire. Si E, F sont compacts, alors (Lip_{k}(E, F), d) est un espace métrique compact.

Démonstration. On construit par récurrence des parties infinies

S_{0} = ℕ ⊃ S_{1} ⊃ … ⊃ S_{n−1} ⊃ S_{n} ⊃ …

telles que la sous-suite (φ_{(p)})_{p∈S_{n}} ait des oscillations de plus en plus faibles.

Supposons S_{n−1} construite, n ≥ 1. Comme E, F sont compacts, il existe des recouvrements finis de E (resp. de F) par des boules ouvertes (B_{i})_{i∈I}, resp. (B′_{j})_{j∈J}, de rayon \frac{1}{n}. Notons I = \{1, 2, …, N\} et x_{i} le centre de B_{i}. Soit p un indice fixé. Pour tout i = 1, …, N il existe un indice j = j(p, i) tel que φ_{(p)}(x_{i}) ∈ B′_{j(p,i)}.

On considère l’application

S_{n−1} ⟶ J^{N}, p ⟼ (j(p, 1), …, j(p, N)).

Comme S_{n−1} est infini et que J^{N} est fini, l’un des éléments (l_{1}, …, l_{N}) ∈ J^{N} admet pour image réciproque une partie infinie de S_{n−1} : on note S_{n} cette partie. Ceci signifie que pour tout p ∈ S_{n} on a (j(p, 1), …, j(p, N)) = (l_{1}, …, l_{N}) et donc φ_{(p)}(x_{i}) ∈ B′_{l_{i}}. En particulier

(∀p, q ∈ S_{n}) δ′(φ_{(p)}(x_{i}), φ_{(q)}(x_{i})) ≤ diam B′_{l_{i}} ≤ \frac{2}{n}.

Soit x ∈ E un point quelconque. Il existe i ∈ I tel que x ∈ B_{i}, d’où δ(x, x_{i}) < \frac{1}{n}. L’hypothèse que les φ_{(p)} sont k-lipschitziennes entraîne

δ′(φ_{(p)}(x), φ_{(p)}(x_{i})) < \frac{k}{n}, δ′(φ_{(q)}(x), φ_{(q)}(x_{i})) < \frac{k}{n}.

L’inégalité triangulaire implique alors (∀p, q ∈ S_{n})

δ′(φ_{(p)}(x), φ_{(q)}(x)) ≤ \frac{2}{n} + 2 \frac{k}{n} = \frac{2k + 2}{n}.

Désignons par p_{n} le n-ième élément de S_{n}. Pour N ≥ n on a p_{N} ∈ S_{N} ⊂ S_{n}, donc

(∗)  δ′(φ_{(p_{n})}(x), φ_{(p_{N})}(x)) ≤ \frac{2k + 2}{n}.

Ceci entraîne que φ_{(p_{n})}(x) est une suite de Cauchy dans F pour tout x ∈ E. Comme F est compact, F est aussi complet, donc φ_{(p_{n})}(x) converge vers une limite φ(x). Quand N → +∞, (∗) implique à la limite d(φ_{(p_{n})}, φ) ≤ \frac{2k+2}{n}. On voit donc que φ_{(p_{n})} converge uniformément vers φ. Il est facile de voir que φ ∈ Lip_{k}(E, F).

Exercice A. On pose E = [0, π], F = [−1, 1], φ_{p}(x) = cos px. Calculer

∫_{0}^{π}(φ_{p}(x) − φ_{q}(x))^{2}dx

et en déduire que d(φ_{p}, φ_{q}) ≥ 1 si p ≠ q. L’espace

Lip (E, F) = ⋃_{k≥0} Lip_{k}(E, F)

est-il compact ?

2.5. Théorème d’existence (Cauchy-Peano-Arzelà)

L’idée est d’utiliser le théorème d’Ascoli pour montrer l’existence d’une sous-suite uniformément convergente de solutions approchées. On obtient ainsi le Théorème. Soit C = [t_{0} − T, t_{0} + T] × \overline{B}(y_{0}, r_{0}) avec T ≤ min (T_{0}, \frac{r_{0}}{M} ) un cylindre de sécurité pour l’équation (E) : y′ = f(t, y). Alors il existe une solution y : [t_{0} − T, t_{0} + T] → \overline{B}(y_{0}, r_{0}) de (E) avec condition initiale y′(t_{0}) = y_{0}.

Démonstration. Soit y_{(p)} la solution approchée donnée par la méthode d’Euler en utilisant la subdivision avec pas constant h = T/p des intervalles [t_{0}, t_{0} + T] et [t_{0} −T, t_{0}]. Cette solution est ε_{p}-approchée avec erreur ε_{p} ≤ ω_{f}((M +1) T/p) tendant vers 0. Chaque application y_{(p)} : [t_{0} − T, t_{0} + T] → \overline{B}(y_{0}, r_{0}) est lipschitzienne de rapport M, donc d’après le théorème d’Ascoli on peut extraire de (y_{(p)}) une sous-suite (y_{(p_{n})}) convergeant uniformément vers une limite y. D’après la proposition 3 du § 2.3, y est une solution exacte de l’équation (E).

Corollaire. Par tout point (t_{0}, y_{0}) ∈ U, il passe au moins une solution maximale y : I → ℝ^{m} de (E). De plus, l’intervalle de définition I de toute solution maximale est ouvert (mais en général, il n’y a pas unicité de ces solutions maximales).

On vient de voir en effet qu’il existe une solution locale z définie sur un intervalle [t_{0} − T, t_{0} + T]. D’après le théorème du § 1.3, z se prolonge en une solution maximale y = z̃ : |a, b| → ℝ^{m}. Si y était définie au point b, il existerait une solution y_{(1)} : [b − ε, b + ε] → ℝ^{m} du problème de Cauchy avec donnée initiale (b, y(b)) ∈ U. La fonction ỹ : |a, b + ε] → ℝ^{m} coïncidant avec y sur |a, b] et avec y_{(1)} sur [b, b + ε] serait alors un prolongement strict de y, ce qui est absurde.

Exemple. Pour donner un exemple de non unicité, il suffit de considérer l’équation y′ = 3|y|^{2/3}. Le problème de Cauchy de condition initiale y(0) = 0 admet alors au moins 2 solutions maximales :

y_{(1)}(t) = 0, y_{(2)}(t) = t^{3}, t ∈ ℝ.

2.6. Critère de maximalité des solutions

Nous allons voir ici une condition géométrique nécessaire et suffisante permettant d’affirmer qu’une solution est maximale.

Théorème. U un ouvert de ℝ×ℝ^{m} et y : I = [t_{0}, b[ → ℝ^{m} une solution de l’équation (E) y′ = f(t, y), où f est une fonction continue sur U. Alors y(t) peut se prolonger au delà de b si et seulement si il existe un compact K ⊂ U tel que la courbe t ↦ (t, y(t)), t ∈ [t_{0}, b[, reste contenue dans K.

Autrement dit, y est non prolongeable au delà du temps b si et seulement si (t, y(t)) s’échappe de tout compact K de U quand t → b_{−}. La conséquence suivante est immédiate.

Critère de maximalité. Une solution y : ]a, b[ → ℝ^{m} de (E) est maximale si et seulement si t ↦ (t, y(t)) s’échappe de tout compact K de U quand t → a_{+} ou quand t → b_{−}. Puisque les compacts sont les parties fermées bornées, ceci signifie encore que (t, y(t)) s’approche du bord de U ou tend vers ∞, c’est-à-dire |t| + ∥y(t)∥ + 1/d((t, y(t)), ∂U) → +∞ quand t → a_{+} ou t → b_{−}.

Démonstration du théorème. La condition de prolongement est évidemment nécessaire, puisque si y(t) se prolonge à [t_{0}, b], alors l’image du compact [t_{0}, b] par l’application continue t ↦ (t, y(t)) est un compact K ⊂ U.

Inversement, supposons qu’il existe un compact K de U tel que (t, y(t)) ∈ K pour tout t ∈ [t_{0}, b[. Posons

M = sup_{(t,y)∈K} ∥f(t, y)∥ < +∞

qui est fini par continuité de ∥f∥ et compacité de K. Ceci entraîne que t ↦ y(t) est lipschitzienne sur [t_{0}, b[, donc uniformément continue, et le critère de cauchy montre que la limite ℓ = lim_{t→b_{−}} y(t) existe. Nous pouvons prolonger y par continuité en b en posant y(b) = ℓ, et nous avons (b, y(b)) ∈ K ⊂ U puisque K est fermé. La relation y′(t) = f(t, y(t)) montre alors que y est de classe C^{1} sur [t_{0}, b]. Maintenant, le théorème d’existence locale des solutions implique qu’il existe une solution locale z du problème de Cauchy de donnée initiale z(b) = ℓ = y(b) sur un intervalle [b−ε, b+ε]. On obtient alors un prolongement ỹ de y sur [t_{0}, b + ε] en posant ỹ(t) = z(t) pour t ∈ [b, b + ε]. Le théorème est démontré.

3. Théorème d’existence et d’unicité de Cauchy-Lipschitz

Reprenons les notations du début du § 2. On suppose ici en outre que f est localement lipschitzienne en y : cela signifie que pour tout point (t_{0}, y_{0}) ∈ U il existe un cylindre C_{0} = [t_{0} − T_{0}, t_{0} + T_{0}] × \overline{B}(y_{0}, r_{0}) ⊂ U et une constante k = k(t_{0}, y_{0}) ≥ 0 tels que f soit k-lipschitzienne en y sur C_{0} :

(∀(t, y_{1}), (t, y_{2}) ∈ C_{0}) ∥f(t, y_{1}) − f(t, y_{2})∥ ≤ k∥y_{1} − y_{2}∥.

Remarque. Pour que f soit localement lipschitzienne en y sur U, il suffit que f admette des dérivées partielles \frac{∂f_{i}}{∂y_{j}}, 1 ≤ i, j ≤ m, continues sur U. Soit en effet

A = max_{1≤i,j≤m} sup_{(t,y)∈C_{0}} |\frac{∂f_{i}}{∂y_{j}} (t, y)| .

Le nombre A est fini puisque C_{0} est compact. Le théorème des accroissement finis appliqués à f_{i} sur C_{0} donne

f_{i}(t, y_{1}) − f_{i}(t, y_{2}) = ∑_{j} \frac{∂f_{i}}{∂y_{j}} (t, ξ)(y_{1,j} − y_{2,j})

avec ξ ∈ ]y_{1}, y_{2}[. On a donc

max_{i} |f_{i}(t, y_{1}) − f(t, y_{2})| ≤ mA · max_{j} |y_{1,j} − y_{2,j}|.

Sous ces hypothèses sur f, nous allons montrer que la solution du problème de Cauchy est nécessairement unique, et que de plus toute suite de solutions ε-approchées avec ε tendant vers 0 converge nécessairement vers la solution exacte. Compte tenu de l’importance de ces résultats, nous donnerons ensuite une deuxième démonstration assez différente basée sur le théorème du point fixe (chapitre IV, § 1.1).

3.1. Lemme de Gronwall. Convergence et unicité locales

Soit C_{0} = [t_{0} −T_{0}, t_{0} +T_{0}]×\overline{B}(y_{0}, r_{0}) ⊂ U un cylindre sur lequel f est k-lipschitzienne en y et soit M = sup_{C_{0}} ∥f∥. On se donne ε > 0 et on considère des solutions y_{(1)} et y_{(2)} respectivement ε_{1}-approchée et ε_{2}-approchée du problème de Cauchy de donnée initiale (t_{0}, y_{0}), avec ε_{1}, ε_{2} ≤ ε.

On a alors ∥y′_{(i)}(t)∥ ≤ M + ε, et un raisonnement analogue à celui du § 2.1 montre que les graphes de y_{(1)}, y_{(2)} restent contenus dans le cylindre

C = [t_{0} − T, t_{0} + T] × \overline{B}(y, r_{0}) ⊂ C_{0}

dès que T ≤ min (T_{0}, \frac{r_{0}}{M+ε}), ce qu’on suppose désormais.

Lemme de Gronwall. Sous les hypothèses précédentes, on a

∥y_{(2)}(t) − y_{(1)}(t)∥ ≤ (ε_{1} + ε_{2}) \frac{e^{k|t−t_{0}|} − 1}{k}, ∀t ∈ [t_{0} − T, t_{0} + T].

Démonstration. Quitte à changer l’origine du temps on peut supposer t_{0} = 0 et, par exemple, t ∈ [0, T]. Posons alors

v(t) = ∫_{0}^{t} ∥y_{(2)}(u) − y_{(1)}(u)∥du.

Comme y_{(i)} satisfait l’équation différentielle à ε_{i} près, on obtient par soustraction

\begin{aligned}∥y′_{(2)}(t) − y′_{(1)}(t)∥ & ≤ ∥f(t, y_{(2)}(t)) − f(t, y_{(1)}(t))∥ + ε_{1} + ε_{2} \\ & ≤ k∥y_{(2)}(t) − y_{(1)}(t)∥ + ε_{1} + ε_{2}, \end{aligned}

en utilisant l’hypothèse que f est k-lipschitzienne en y. De plus

y_{(2)}(t) − y_{(1)}(t) = ∫_{0}^{t}(y′_{(2)}(u) − y′_{(1)}(u))du

puisque y_{(2)}(0) = y_{(1)}(0) = y_{0}. On en déduit

(∗)  ∥y_{(2)}(t) − y_{(1)}(t)∥ ≤ k ∫_{0}^{t} ∥y_{(2)}(u) − y_{(1)}(u)∥du + (ε_{1} + ε_{2})t

c’est-à-dire

v′(t) ≤ kv(t) + (ε_{1} + ε_{2})t.

Après soustraction de kv(t) et multiplication par e^{−kt}, on trouve

(v′(t) − kv(t))e^{−kt} = \frac{d}{dt} (v(t)e^{−kt}) ≤ (ε_{1} + ε_{2})te^{−kt}.

Grâce à une nouvelle intégration (noter que v(0) = 0), il vient

\begin{matrix}v(t)e^{−kt} ≤ ∫_{0}^{t}(ε_{1} + ε_{2})ue^{−ku}du = (ε_{1} + ε_{2}) \frac{1 − (1 + kt)e^{−kt}}{k^{2}} , \\ v(t) ≤ (ε_{1} + ε_{2}) \frac{e^{kt} − (1 + kt)}{k^{2}}, \end{matrix}

tandis que la première inégalité intégrée (∗) donne

∥y_{(2)}(t) − y_{(1)}(t)∥ ≤ kv(t) + (ε_{1} + ε_{2})t ≤ (ε_{1} + ε_{2}) \frac{e^{kt} − 1}{k}.

Le cas où t ∈ [−T, 0] s’obtient par un changement de variable t ↦ −t.

Théorème (Cauchy-Lipschitz). Si f : U → ℝ^{m} est localement lipschitzienne en y, alors pour tout cylindre de sécurité C = [t_{0} −T, t_{0} +T]×\overline{B}(y_{0}, r_{0}) comme ci-dessus, le problème de Cauchy avec condition initiale (t_{0}, y_{0}) admet une unique solution exacte y : [t_{0} − T, t_{0} + T] → U. De plus, toute suite y_{(p)} de solutions ε_{p}-approchées avec ε_{p} tendant vers 0 converge uniformément vers la solution exacte y sur [t_{0} − T, t_{0} + T].

Existence. Soit y_{(p)} une suite quelconque de solutions ε_{p} approchées avec lim ε_{p} = 0, par exemple celles fournies par la méthode d’Euler. Le lemme de Gronwall montre que

d(y_{(p)}, y_{(q)}) ≤ (ε_{p} + ε_{q}) \frac{e^{kT} − 1}{k} sur [t_{0} − T, t_{0} + T],

par conséquent y_{(p)} est une suite de Cauchy uniforme. Comme les fonctions y_{(p)} sont toutes à valeurs dans \overline{B}(y_{0}, r_{0}) qui est un espace complet, y_{(p)} converge vers une limite y. Cette limite y est une solution exacte de l’équation (E) d’après la proposition 3 du § 2.3.

Unicité. Si y_{(1)}, y_{(2)} sont deux solutions exactes, le lemme de Gronwall avec ε_{1} = ε_{2} = 0 montre que y_{(1)} = y_{(2)}.

3.2.* Autre démonstration (par le théorème du point fixe)

Soit C = [t_{0}−T, t_{0}+T]×\overline{B}(y_{0}, r_{0}) ⊂ C_{0} avec T ≤ min (T_{0}, \frac{r_{0}}{M} ) un cylindre de sécurité pour (E).

Notons ℱ = 𝒞([t_{0} − T, t_{0} + T], \overline{B}(y_{0}, r_{0})) l’ensemble des applications continues de [t_{0} − T, t_{0} + T] dans \overline{B}(y_{0}, r_{0}), muni de la distance d de la convergence uniforme.

A toute fonction y ∈ ℱ, associons la fonction ϕ(y) définie par

ϕ(y)(t) = y_{0} + ∫_{t_{0}}^{t} f(u, y(u))du, t ∈ [t_{0} − T, t_{0} + T].

D’après le lemme du § 2.1, y est une solution de (E) si et seulement si y est un point fixe de ϕ. On va donc essayer d’appliquer le théorème du point fixe. Observons que

∥ϕ(y)(t) − y_{0}∥ = ∥ ∫_{t_{0}}^{t} f(u, y(u))du∥ ≤ M|t − t_{0}| ≤ MT ≤ r_{0},

donc ϕ(y) ∈ ℱ. L’opérateur ϕ envoie donc ℱ dans ℱ. Soient maintenant y, z ∈ F et y_{(p)} = ϕ^{p}(y), z_{(p)} = ϕ^{p}(z). On a

\begin{aligned}∥y_{(1)}(t) − z_{(1)}(t)∥ & = ∥ ∫_{t_{0}}^{t}(f(u, y(u)) − f(u, z(u))) du∥ \\ & ≤ | ∫_{t_{0}}^{t} k∥y(u) − z(u)∥du| ≤ k|t − t_{0}| d(y, z). \end{aligned}

De même

\begin{aligned}∥y_{(2)}(t) − z_{(2)}(t)∥ & ≤ | ∫_{0}^{t} k∥y_{1}(u) − z_{1}(u)∥ du| \\ & ≤ | ∫_{t_{0}}^{t} k · k|u − t_{0}|d(y, z)du| = k^{2} \frac{|t − t_{0}|^{2}}{2} d(y, z). \end{aligned}

Par récurrence sur p, on vérifie aussitôt que

∥y_{(p)}(t) − z_{(p)}(t)∥ ≤ k^{p} \frac{|t − t_{0}|^{p}}{p!} d(y, z),

en particulier

(∗)  d(ϕ^{p}(y), ϕ^{p}(z)) = d(y_{(p)}, z_{(p)}) ≤ \frac{k^{p}T^{p}}{p!} d(y, z)

et ϕ^{p} est lipschitzienne de rapport \frac{k^{p}T^{p}}{p!} sur ℱ. Comme lim_{p→+∞} \frac{k^{p}T^{p}}{p!} = 0, il existe p assez grand tel que \frac{k^{p}T^{p}}{p!} < 1 ; pour une telle valeur de p, ϕ^{p} est une application contractante de ℱ dans ℱ. Par ailleurs, ℱ est un espace métrique complet. Le théorème du point fixe démontré au chapitre IV (dans sa version généralisée au cas d’applications dont une itérée est contractante) montre alors que ϕ admet un point fixe unique y. Nous avons donc bien redémontré le théorème de Cauchy-Lipschitz affirmant l’existence et d’unicité de la solution du problème de Cauchy.

Remarque. D’après (∗), on voit que pour toute fonction z ∈ ℱ la suite itérée z_{(p)} = φ^{p}(z) converge uniformément vers la solution exacte y du problème de Cauchy.

3.3. Unicité globale

Le théorème d’unicité locale entraîne facilement un résultat d’unicité globale, au moyen d’un ^{⟨⟨} raisonnement de connexité ^{⟩⟩}.

Théorème. Soient y_{(1)}, y_{(2)} : I → ℝ^{m} deux solutions de (E), avec f localement lipschitzienne en y. Si y_{(1)} et y_{(2)} coïncident en un point de I, alors y_{(1)} = y_{(2)} sur I.

Démonstration. Supposons y_{(1)}(t_{0}) = y_{(2)}(t_{0}) en un point t_{0} ∈ I. Montrons par exemple que y_{(1)}(t) = y_{(2)}(t) pour t ≥ t_{0}. S’il n’en est pas ainsi, considérons le premier instant t̃_{0} où y_{(1)} et y_{(2)} bifurquent :

t̃_{0} = inf{t ∈ I; t ≥ t_{0} et y_{(1)}(t) ≠ y_{(2)}(t)}

On a par définition y_{(1)}(t) = y_{(2)}(t) pour t ∈ [t_{0}, t̃_{0}[ et par continuité il s’ensuit que y_{(1)}(t̃_{0}) = y_{(2)}(t̃_{0}). Soit ỹ_{0} ce point et soit C̃ = [t̃_{0} − T̃, t̃_{0} + T̃] × \overline{B}(ỹ_{0}, r̃_{0}) un cylindre de sécurité de centre (t̃_{0}, ỹ_{0}). Le théorème d’unicité locale implique que y_{(1)} = y_{(2)} sur [t̃_{0} − T̃, t̃_{0} + T̃], ce qui contredit la définition de t̃_{0}. L’unicité est démontrée.

Corollaire. Si f est localement lipschitzienne en y sur U, pour tout point (t_{0}, y_{0}) ∈ U il passe une solution maximale y : I → ℝ^{m} et une seule.

Interprétation géométrique. Le théorème d’unicité signifie géométriquement que des courbes intégrales distinctes ne peuvent se couper.

Exemple. y′ = 3|y|^{2/3} sur U = ℝ × ℝ.

Déterminons l’ensemble des solutions maximales. On a ici f(t, y) = 3|y|^{2/3}, \frac{∂f}{∂y} = signe (y) × 2|y|^{−1/3} pour y ≠ 0. La dérivée y ≠ 0 la dérivée \frac{∂f}{∂y} est continue sur les demi-plans y > 0 et y < 0, mais discontinue en y = 0. La fonction f est localement lipschitzienne en y sur {y > 0} et {y < 0}, mais il est facile de voir qu’elle ne l’est pas au voisinage de tout point (t_{0}, 0) ∈ ℝ × {0} (on a vu d’ailleurs qu’il n’y a pas d’unicité locale en ces points). Sur {y > 0} (resp. sur {y < 0}) l’équation équivaut à

\frac{1}{3} y′y^{− \frac{2}{3}} = 1 (resp. − \frac{1}{3} y′(−y)^{− \frac{2}{3}} = −1)

d’où y^{\frac{1}{3}} = t + C_{1} (resp. (−y)^{− \frac{1}{3}} = −(t + C_{2})) soit y(t) = (t + C_{i})^{3}. Si y est une solution maximale dans U = ℝ × ℝ, alors y′ ≥ 0, donc y est croissante. Notons

a = inf{t; y(t) = 0}, b = sup{t; y(t) = 0}.

Si a ≠ −∞, on a y(a) = 0 et y(t) < 0 pour t < a, donc y(t) = (t − a)^{3}. De même y(t) = (t − b)^{3} pour t > b si b ≠ +∞.

a′  a  y  b  (t_{0}, y_{0}) t

On voit que pour tout point (t_{0}, y_{0}) il passe une infinité de solutions maximales : si y_{0} > 0, b = t_{0} − y_{0}^{1/3} est imposé, mais le choix de a ∈ [−∞, b] est arbitraire. Noter que ce phénomène se produit bien qu’on ait unicité locale au point (t_{0}, y_{0}) !

3.4. Conditions suffisantes d’existence de solutions globales

Nous donnons ici des conditions suffisantes d’existence pour les solutions globales, reposant sur des hypothèses de croissance de f(t, y) lorsque ∥y∥ tend vers +∞. On peut cependant obtenir des conditions suffisantes nettement plus faibles (voir l’exercice (b) ci-dessous, ainsi que le problème 5.9).

Théorème. Soit f : U → ℝ^{m} une application continue sur un ouvert produit U = J × ℝ^{m}, où J ⊂ ℝ est un intervalle ouvert. On fait l’une ou l’autre des deux hypothèses suivantes :

(1) Il existe une fonction continue k : J → ℝ_{+} telle que pour tout t ∈ J fixé, l’application y ↦ f(t, y) soit lipschitzienne de rapport k(t) sur ℝ^{m}.

(2) Il existe des fonctions c, k : J → ℝ_{+} continues telles que l’application y ↦ f(t, y) satisfasse une croissance linéaire à l’infini du type ∥f(t, y)∥ ⩽ c(t) + k(t)∥y∥.

Alors toute solution maximale de l’équation différentielle y′ = f(t, y) est globale (c’està-dire définie sur J tout entier ).

Démonstration. Il est évident que l’hypothèse (1) entraîne l’hypothèse (2) (avec c(t) = ∥f(t, 0)∥), il suffirait donc de donner la preuve pour (2). Cependant, il y a une démonstration sensiblement plus simple sous l’hypothèse (1).

Démonstration sous l’hypothèse (1). Soit (t_{0}, y_{0}) ∈ J × ℝ^{m}, et [t_{0} − T, t_{0} + T′] un intervalle compact quelconque contenu dans J. Reprenons la démonstration du théorème de Cauchy-Lipschitz.

Comme U = J × ℝ^{m}, on peut choisir un cylindre de sécurité de rayon r_{0} = +∞. L’application ϕ définie au § 3.2 opère donc sur l’espace complet

ℱ = 𝒞([t_{0} − T, t_{0} + T′], ℝ^{m}).

Soit

K = max_{t∈[t_{0}−T,t_{0}+T′]} k(t).

L’application f est par hypothèse K-lipschitzienne en y sur [t_{0} − T, t_{0} + T′] × ℝ^{m}. D’après le raisonnement du § 3.2, l’application ϕ^{p} est lipschitzienne de rapport \frac{1}{p!} K^{p}(max(T, T′))^{p} sur ℱ, donc contractante pour p assez grand. Ceci implique que la solution (unique) du problème de Cauchy est définie sur tout intervalle [t_{0} − T, t_{0} + T′] ⊂ J.

Démonstration sous l’hypothèse (2). L’idée est d’utiliser le critère de maximalité des solutions démontré au 2.6. Supposons qu’on ait une solution y : [t_{0}, b[ → ℝ^{m} avec t_{0}, b ∈ J (autrement dit, telle que b ne soit pas la borne supérieure de J). Posons C = sup_{t∈[t_{0},b]} c(t) et K = sup_{t∈[t_{0},b]} k(t). Nous obtenons

∥y′(t)∥ = ∥f(t, y(t))∥ ⩽ C + K∥y(t)∥.

On utilise alors un raisonnement de type lemme de Gronwall pour majorer la norme ∥y(t)∥. Nous avons y(t) = y(t_{0}) + ∫_{t_{0}}^{t} y′(u) du, donc

\begin{matrix}∥y(t)∥ ⩽ v(t) = ∥y(t_{0})∥ + ∫_{t_{0}}^{t} ∥y′(u)∥ du avec \\ v′(t) = ∥y′(t)∥ ⩽ C + K∥y(t)∥ ⩽ C + Kv(t). \end{matrix}

Ceci donne la majoration

\frac{d}{dt}(v(t)e^{−K(t−t_{0})}) = (v′(t) − K v(t))e^{−K(t−t_{0})} ⩽ Ce^{−K(t−t_{0})}.

Par intégration sur [t_{0}, t], on obtient

v(t)e^{−K(t−t_{0})} − v(t_{0}) ⩽ \frac{C}{K} (1 − e^{−K(t−t_{0})}),

et comme v(t_{0}) = ∥y(t_{0})∥, il vient

sup_{t∈[t_{0},b[} ∥y(t)∥ ⩽ sup_{t∈[t_{0},b[} v(t) ⩽ R = \frac{C}{K} (e^{K(b−t_{0})} − 1) + ∥y(t_{0})∥e^{K(b−t_{0})}.

Par conséquent (t, y(t)) décrit une partie compacte K = [t_{0}, b] × \overline{B}(0, R) dans U = J × ℝ^{m}, et y ne peut être une solution maximale. Toute solution maximale est donc globale. [Le lecteur pourra étudier l’exercice 5.9 pour un généralisation à une hypothèse de croissance plus faible que (2), tenant compte uniquement de la ⟨⟨ direction radiale ^{⟩⟩} du vecteur f(t, y) ].

Exercices B.

(a) Montrer que toute solution maximale de l’équation différentielle y′ = t\sqrt{t^{2} + y^{2}}, (t, y) ∈ ℝ × ℝ, est globale.

(b) On définit f : ℝ → ℝ par f(y) = e si y ≤ e et f(y) = y ln y si y ≥ e. Montrer que f n’est pas lipschitzienne au voisinage de 0. Déterminer explicitement les solutions maximales de l’équation y′ = f(y). Les conditions suffisantes du théorème précédent sont-elles nécessaires ?

4. Équations différentielles d’ordre supérieur à un

4.1. Définitions

Un système différentiel d’ordre p dans ℝ^{m} est une équation de la forme

(E)  y^{(p)} = f(t, y, y′, …, y^{(p−1)})

où f : U → ℝ^{m} est une application continue définie sur un ouvert U ⊂ ℝ × (ℝ^{m})^{p}.

Une solution de (E) sur un intervalle I ⊂ ℝ est une application y : I → ℝ^{m} p-fois dérivable, telle que

(i) (∀t ∈ I) (t, y(t), y′(t), …, y^{(p−1)}(t)) ∈ U,

(ii) (∀t ∈ I) y^{(p)}(t) = f(t, y(t), y(t′), …, y^{(p−1)}(t)).

Le résultat suivant se démontre par récurrence d’une manière entièrement analogue à celle utilisée pour les équations différentielles d’ordre 1. Le détail de l’argument est laissé au lecteur.

Régularité des solutions. Si f est de classe C^{k}, les solutions y sont de classe C^{k+p}.

4.2. Système différentiel d’ordre un associé

Il est clair que le système (E) est équivalent au système différentiel d’ordre 1

(E_{1}) \{ \begin{matrix}\frac{dY_{0}}{dt} = Y_{1} \\ \frac{dY_{1}}{dt} = Y_{2} \\ … \\ \frac{dY_{p−2}}{dt} = Y_{p−1} \\ \frac{dY_{p−1}}{dt} = f(t, Y_{0}, Y_{1}, …, Y_{p−1}) \end{matrix}

si l’on pose Y_{0} = y, Y_{1} = y′, . . .. Le système (E_{1}) peut encore s’écrire

(E_{1})  Y′ = F (T, Y)

avec

Y = (Y_{0}, Y_{1}, …, Y_{p−1}) ∈ (ℝ^{m})^{p}
F = (F_{0}, F_{1}, …, F_{p−1}) : U → (ℝ^{m})^{p}
F_{0}(t, Y) = Y_{1}, …, F_{p−2}(t, Y) = Y_{p−1}, F_{p−1}(t, Y) = f(t, Y).

Tout système différentiel (E) d’ordre p dans ℝ^{m} est donc équivalent à un système différentiel (E_{1}) d’ordre 1 dans (ℝ^{m})^{p}. Il en résulte que les théorèmes d’existence et d’unicité démontrés pour les systèmes d’ordre 1 sont encore vrais pour les systèmes d’ordre p, avec des preuves qui sont des transpositions directes du cas d’ordre 1. En voici les principaux énoncés.

4.3. Théorème d’existence

Théorème de Cauchy-Peano-Arzelà. Pour tout point (t_{0}, y_{0}, y_{1}, …, y_{p−1}) ∈ U le problème de Cauchy de conditions initiales

y(t_{0}) = y_{0}, y′(t_{0}) = y_{1}, …, y^{(p−1)}(t_{0}) = y_{p−1}

admet au moins une solution maximale y : I → ℝ^{m}, définie sur un intervalle ouvert.

Remarque très importante. On voit ainsi que pour un système d’ordre p, la condition initiale requiert non seulement la donnée de la valeur y_{0} de y au temps t_{0}, mais également la donnée de ses (p − 1) premières dérivées.

4.4. Théorème d’existence et d’unicité

Théorème de Cauchy-Lipschitz. Si de plus f est localement lipschitzienne en (y_{0}, …, y_{p−1}) sur U, c’est-à-dire si ∀(t_{0}, y_{0}, …, y_{p−1}) ∈ U il existe un voisinage [t_{0} − T_{0}, t_{0} + T_{0}] × \overline{B}(y_{0}, r_{0}) × … × \overline{B}(y_{p−1}, r_{p−1}) contenu dans U sur lequel

∥f(t, z_{0}, …, z_{p−1}) − f(t, w_{0}, …, w_{p−1})∥ ≤ k(∥z_{0} − w_{0}∥ + … + ∥z_{p−1} − w_{p−1}∥),

alors le problème de Cauchy 4.3 admet une solution maximale et une seule.

4.5. Solutions globales

Théorème. Si U = J × (ℝ^{m})^{p} et s’il existe une fonction k : J → ℝ_{+} continue telle que (∀t ∈ J)

∥f(t, z_{0}, …, z_{p−1}) − f(t, w_{0}, …, w_{p−1})∥ ≤ k(t)(∥z_{0} − w_{0}∥ + … + ∥z_{p−1} − w_{p−1}∥),

alors les solutions maximales sont définies sur J tout entier.

5. Problèmes

5.1. (Variante du lemme de Gronwall) Soit T > 0, et soient g, h : [0, T] → ℝ_{+} deux fonctions continues.

(a) Si f : [0, T] → ℝ_{+} est une fonction continue telle que

f(t) ⩽ g(t) + ∫_{0}^{t} h(s)f(s) ds , pour tout t ∈ [0, T],

montrer que

f(t) ⩽ g(t) + ∫_{0}^{t} exp ( ∫_{s}^{t} h(τ) dτ)h(s)g(s) ds, pour tout t ∈ [0, T].

Indication. On pourra étudier F (t) = exp ( − ∫_{0}^{t} h(τ) dτ) ∫_{0}^{t} h(s)f(s) ds.

(b) Dans le cas particulier où g est continûment différentiable, montrer que l’on a également

f(t) ⩽ g(0) exp ( ∫_{0}^{t} h(τ) dτ)+∫_{0}^{t} exp ( ∫_{s}^{t} h(τ) dτ)g′(s) ds, pour tout t ∈ [0, T].

5.2. (Lemme d’Osgood) Soit h : [0, ∞[ → ℝ une fonction continue, strictement croissante, telle que h(0) = 0 et

lim_{ε→0} ∫_{ε}^{1} \frac{1}{h(t)} dt = +∞.

(a) Si f : [0, T] → ℝ_{+} est une fonction continue telle que f(t) ⩽ ∫_{0}^{t} h(f(s)) ds pour tout t ∈ [0, T], montrer que f est identiquement nulle.

(b) Soit U ⊂ ℝ^{n} un ouvert non vide, I ⊂ ℝ un intervalle ouvert contenant l’origine, et g : I × U → ℝ^{n} une fonction continue vérifiant

∥g(t, x) − g(t, y)∥ ⩽ h(∥x − y∥) ,

pour tout t ∈ I et tous les x, y ∈ U. Si x_{0} ∈ U et t_{0} ∈ I, montrer que l’équation différentielle

x′(t) = g(t, x(t)) , x(t_{0}) = x_{0} ,

possède une solution locale unique.

5.3. On considère l’équation différentielle y′ = y^{2} − x.

(a) Quelles sont les lignes isoclines ?

On notera I_{0} l’isocline correspondant à la pente nulle.

Soit 𝒫^{−} l’ensemble des points du plan où la pente des solutions est strictement négative. Décrire 𝒫^{−}. Montrer que si une solution entre dans 𝒫^{−}, alors elle y reste (c’est-à-dire : si une solution y(x) a un point (x_{0}, y(x_{0})) dans 𝒫^{−}, alors si x_{1} > x_{0}, (x_{1}, y(x_{1})) ∈ 𝒫^{−}).

(b) Étudier et tracer le graphe de la courbe ℐ ensemble des points d’inflexion des solutions de l’équation différentielle. Quelles sont les régions du plan où y′′ > 0, respectivement y′′ < 0 ?

On notera ℐ_{1} la partie de ℐ extérieure à 𝒫^{−}, et ℐ_{2} la partie de ℐ qui se trouve dans 𝒫^{−}.

(c) Soit 𝒞 une courbe solution rencontrant ℐ_{1} en un point (x, y).

(α) Montrer qu’en ce point, la pente de ℐ_{1} est strictement inférieure à la pente de 𝒞.

(β) En déduire que 𝒞 ne coupe ℐ_{1} qu’en ce point, que 𝒞 ne rencontre pas 𝒫^{−}, et que 𝒞 n’a qu’un point d’inflexion.

(γ) Montrer que 𝒞 possède 2 branches infinies à direction asymptotique verticale.

(δ) Soit (x_{0}, y_{0}) un point de 𝒞. Comparer en ce point, la pente de 𝒞 et la pente de la solution de l’équation différentielle y′ = \frac{y^{2}}{2} . En déduire que les branches infinies de 𝒞 correspondent à des asymptotes verticales.

(d) Soit 𝒟 une courbe solution rencontrant I_{0}.

(α) Montrer que 𝒟 possède une asymptote verticale.

(β) Montrer que D a un point d’inflexion et un seul.

(γ) Montrer que lorsque x → ∞, 𝒟 est asymptote à I_{0}.

(e) Soit A (resp. B) l’ensemble des points de l’axe Oy par où passe une courbe solution qui rencontre ℐ_{1} (resp. ℐ_{0}).

(α) Montrer qu’il existe a tel que A = {0} ×]a, +∞[.

(β) Montrer qu’il existe b tel que B = {0} ×] − ∞, b[.

(γ) Montrer que a = b. Quelle est l’allure de la solution passant par le point de coordonnées (0, a) ?

5.4. On considère l’équation différentielle y′ = f(t, y), où f et \frac{∂f}{∂y} sont continues. Soit α une fonction réelle définie sur un intervalle [t_{0}, t_{1}[ où t_{1} peut éventuellement être infini ; on suppose α continue et dérivable par morceaux.

On dit que α est une barrière inférieure [respectivement : supérieure] pour l’équation différentielle si α′(t) < f(t, α(t)) [resp : α′(t) > f(t, α(t))] pour tout t tel que α′(t) existe, et, aux points où α n’est pas dérivable, pour la dérivée à gauche et pour la dérivée à droite.

(a) Montrer que si α est une barrière inférieure pour t_{0} ≤ t ≤ t_{1} et si u est une solution de l’équation différentielle vérifiant α(t_{0}) ≤ u(t_{0}), alors α(t) < u(t) pour tout t ∈ ]t_{0}, t_{1}[. Montrer un résultat analogue pour une barrière supérieure.

(b) On suppose que α est une barrière inférieure sur [t_{0}, t_{1}[, que β est une barrière supérieure sur [t_{0}, t_{1}[, et que α(t) < β(t) pour tout t ∈ [t_{0}, t_{1}[. L’ensemble des points (t, x) tels que t_{0} ≤ t ≤ t_{1} et α(t) ≤ x ≤ β(t) est appelé entonnoir.

(α) Montrer que si une solution u de l’équation différentielle est telle que (s, u(s)) soit dans l’entonnoir pour un s ∈ [t_{0}, t_{1}[, alors (t, u(t)) est dans l’entonnoir pour tout t ∈ [s, t_{1}[.

(β) Si α est une barrière inférieure et β une barrière supérieure, et si α(t) > β(t) pour t ∈ [t_{0}, t_{1}[, on dit que l’ensemble des (t, x) tels que t_{0} ≤ t ≤ t_{1} et α(t) ≥ x ≥ β(t) est un anti-entonnoir.

Montrer qu’il existe une solution u(t) de l’équation différentielle, telle que β(t) ≤ u(t) ≤ α(t) pour tout t ∈ [t_{0}, t_{1}[.

(c) Dans la suite du problème, on prend f(t, y) = sin(ty). On se restreindra aux solutions vérifiant y > 0.

(α) Déterminer les isoclines correspondant aux pentes −1, 0, 1.

(β) Pour quelles valeurs de t ces isoclines sont-elles des barrières inférieures ? supérieures ? Quels sont les entonnoirs formés par ces isoclines ?

(γ) Soit u une solution de l’équation différentielle ; soit γ la fonction continue, dérivable par morceaux, définie pour t ≥ 0 par : γ(0) = u(0) > 0 ; γ est affine de pente 1 depuis t = 0 jusqu’à ce que son graphe rencontre la première isocline de pente 0, puis γ est affine de pente 0 jusqu’à l’isocline de pente 0 suivante, puis γ est affine de pente 1 jusqu’à l’isocline de pente 0 suivante, et ainsi de suite. Montrer que le graphe de γ rencontre la droite y = t.

(δ) Montrer que γ est une barrière supérieure.

(ε) En déduire que toute solution de l’équation différentielle rencontre la droite y = t, puis reste dans un entonnoir.

(ζ) Dessiner l’allure des solutions de l’équation différentielle y′ = sin(ty).

5.5. On considère l’équation (appelée équation de Van der Pol) :

(E)  \{ \begin{matrix}x′(t) = y(t) − x^{3}(t) + x(t), \\ y′(t) = −x(t), \end{matrix} t ∈ ℝ.

(a) Montrer que le problème de Cauchy correspondant admet une solution globale unique (on pourra utiliser le résultat de l’exercice 5.11).

(b) On appelle trajectoire associée à une solution de (E), l’ensemble parcouru dans le plan Euclidien par le point de coordonnées (x(t), y(t)) lorsque t parcourt ℝ. Montrer que les trajectoires associées à deux solutions distinctes de (E) coïncident ou n’ont aucun point commun ; montrer que par chaque point du plan passe une trajectoire et une seule ; montrer que si une trajectoire a un point double (c’està-dire correspondant à deux valeurs distinctes de t), les solutions associées de (E) sont périodiques (et tous les points sont alors doubles). Quelles sont les trajectoires réduites à un point ?

(c) Montrer que la courbe symétrique d’une trajectoire par rapport à (0, 0) est encore une trajectoire.

(d) On considère maintenant les sous-ensembles du plan

D^{+} = {(0, y) ; y > 0}; D^{−} = {(0, y) ; y < 0} ;
E_{1} = {(x, y) ; x > 0 et y > x^{3} − x}; Γ_{+} = {(x, x^{3} − x) ; x > 0} ;
E_{2} = {(x, y) ; x > 0 et y < x^{3} − x} ;
E_{3} = {(x, y) ; x < 0 et y < x^{3} − x}; Γ_{−} = {(x, x^{3} − x) ; x < 0} ;
E_{4} = {(x, y) ; x < 0 et y > x^{3} − x}.

Soit (x(t), y(t)) une solution de (E) ; montrer que, si (x(t_{0}), y(t_{0})) ∈ D^{+}, il existe t_{4} > t_{3} > t_{2} > t_{1} > t_{0} tels que (x(t), y(t)) ∈ E_{i} pour t ∈ ]t_{i−1}, t_{i}[, i = 1, 2, 3, 4, et (x(t_{1}), y(t_{1})) ∈ Γ^{+}, (x(t_{2}), y(t_{2})) ∈ D^{−}, (x(t_{3}), y(t_{3})) ∈ Γ^{−} ; (x(t_{4}), y(t_{4})) ∈ D^{+}.

(e) Soit y_{0} > 0 et t_{0} ∈ ℝ; il existe une solution de (E) telle que (x(t_{0}), y(t_{0})) = (0, y_{0}) ; on pose σ(y_{0}) = y(t_{2}) ; montrer que σ(y_{0}) ne dépend que de y_{0} (et non de t_{0}) et que σ est une application monotone continue de ℝ^{+} dans ℝ^{−}.

(f) En utilisant le (c), montrer que (0, y_{0}) appartient à la trajectoire d’une solution périodique si et seulement si σ(y_{0}) = −y_{0}.

(g) Soit β > 0 tel que pour la solution de (E) vérifiant (x(t_{0}), y(t_{0})) = (0, β) on ait (x(t_{1}), y(t_{1})) = (1, 0). Montrer que pour y_{0} < β, on a σ(y_{0})^{2} − y_{0}^{2} > 0 (regarder ∫_{t_{0}}^{t_{2}} \frac{d}{dt} [x(t)^{2} + y(t)^{2}]dt).

(h) Soit y_{0} grand. Soit C la courbe formée des arcs suivants :

• le segment (0, y_{0}), (1, y_{0}) ;

• l’arc de cercle de centre O passant par (1, y_{0}) et coupant (y = x^{3} −x) en (x_{1}, y_{1}) avec x_{1} > 1.

• le segment (x_{1}, y_{1}), (x_{1}, 0).

• l’arc de cercle de centre O passant par (x_{1}, 0) et coupant (x = 1) en (x′_{1}, y′_{1}).

• la tangente en (x′_{1}, y′_{1}) à cet arc de cercle qui recoupe Oy en (0, y_{2}).

Montrer que la solution de (E) passant par (0, y_{0}) est à l’intérieur de C. En déduire que σ(y_{0})^{2} − y_{0}^{2} < 0.

(i) En déduire qu’il existe une trajectoire et une seule correspondant à des solutions périodiques de (E). Montrer que les trajectoires non réduites à (0, 0) convergent asymptotiquement vers cette trajectoire quand t tend vers +∞.

5.6. Soit t une variable réelle ≥ 0. On considère le problème de Cauchy

y′ = ty, y(0) = 1.

(a) Démontrer que pour tout T > 0, ce problème admet une solution et une seule sur [0, T], et indiquer comment la méthode d’Euler permet d’en trouver une approximation.

(b) Déduire de ce qui précède la formule

y(t) = lim_{N→+∞} P_{N}(t) avec P_{N}(t) = ∏_{n=0}^{N−1} (1 + \frac{nt^{2}}{N^{2}} )

(c) Pour α > 0, étudier les variations de la fonction f(x) = x ln (1+α/x) sur ]0, +∞[ ; on montrera que f′′(x) < 0.

En déduire l’encadrement

(1 + \frac{t^{2}}{N} )^{\frac{n}{N}} ≤ 1 + \frac{nt^{2}}{N^{2}} ≤ (1 + \frac{t^{2}}{N^{2}} )^{n} si 0 ≤ n ≤ N − 1.

(d) Calculer la limite du (b), et en déduire y(t).

5.7. On considère l’équation différentielle

y′ = |y|^{−3/4}y + t sin (\frac{π}{t} ) = f(t, y)

où le second membre est défini sur ℝ^{2} à l’aide de prolongements par continuité. On note Y (t) la solution approchée définie sur ℝ, obtenue par la méthode d’Euler pour le pas h = \frac{1}{n+1/2} où n ∈ ℕ^{∗}, et vérifiant Y (0) = 0. On suppose dans un premier temps que n est pair.

(a) Calculer Y (h), Y (2h) et Y (3h).

Démontrer les inégalités Y (3h) > \frac{h^{3/2}}{2} > \frac{(3h)^{3/2}}{16} .

(b) Déterminer c > 0 tel que 0 < t < c on ait \frac{1}{2} t^{3/8} − t > \frac{1}{10} t^{3/8}. En supposant de plus h ≤ t et c assez petit vérifier \frac{(t+h)^{3/2}−t^{3/2}}{h} < \frac{8}{5} t^{3/8} (on pourra utiliser la formule de Taylor).

(c) On suppose que pour m ∈ ℕ^{∗} on a mh < c et Y (m, h) > \frac{(mh)^{3/2}}{16} .

Démontrer les inégalités

f(mh, Y (mh)) > Y (mh)^{1/4} − mh > \frac{1}{2} (mh)^{3/8} − mh > \frac{1}{10} (mh)^{3/8}.

En déduire Y ((m + 1)h) > \frac{((m+1)h)^{3/2}}{16} .

Montrer que si p entier vérifie 0 < ph ≤ c, on a

Y (ph) > \frac{(ph)^{3/2}}{16} .

(d) On suppose ici que n est impair. Calculer Y (h), Y (2h) et Y (3h). Montrer l’inégalité Y (3h) < −\frac{(3h)^{3/2}}{16} .

On suppose que pour mh < c on a Y (mh) < −\frac{(mh)^{3/2}}{16} ; montrer comme ci-dessus que Y ((m + 1)h) < −\frac{((m+1)h)^{3/2}}{16} , puis que Y (ph) < −\frac{(ph)^{3/2}}{16} pour tout entier p tel que 0 < ph ≤ c.

(e) Pour 0 < t < c, montrer que les solutions approchées Y (t) ne tendent vers aucune limite n tend vers +∞.

5.8. Soit le système différentiel dans ℝ^{2} défini par

(S)  \{ \begin{matrix}\frac{dx}{dt} & = 2(x − ty) \\ \frac{dy}{dt} & = 2y. \end{matrix}

(a) Déterminer la courbe intégrale qui passe par le point (x_{0}, y_{0}) au temps t = 0.

(b) On utilise la méthode d’Euler avec pas constant h, démarrant au temps t_{0} = 0. Soit (x_{n}, y_{n}) le point atteint au temps t_{n} = nh (n ∈ ℕ).

(α) Écrire la relation qui lie (x_{n+1}, y_{n+1}) à (x_{n}, y_{n}).

(β) Calculer explicitement (x_{n}, y_{n}) en fonction de n, h, x_{0}, y_{0}.

(γ) Sans utiliser les théorèmes généraux du cours, vérifier que la solution approchée qui interpole linéairement les points (x_{n}, y_{n}) converge sur ℝ_{+} vers la solution exacte de (S).

5.9. Soit f : [a, b] × ℝ → ℝ une fonction continue et lipschitzienne de rapport k en sa deuxième variable. On définit une suite de fonctions y_{n} : [a, b] → ℝ en posant y_{0}(t) = λ et

y_{n+1}(t) = λ + ∫_{a}^{t} f(u, y_{n}(u))du, n ∈ ℕ.

On sait d’après V 3.2 que y_{n} converge uniformément vers la solution exacte de l’équation y′ = f(t, y) telle que y(a) = λ. On étudie ici le cas particulier de l’équation

\frac{dy}{dt} = −2y + t, t ∈ [0, +∞[.

(a) Montrer que y_{n} peut s’écrire sous la forme

y_{n}(t) = λP_{n}(t) + Q_{n}(t)

où P_{n}, Q_{n} sont des polynômes que l’on explicitera.

(b) Calculer lim_{n→+∞} P_{n} et lim_{n→+∞} Q_{n}. Vérifier ce résultat en résolvant directement l’équation.

5.10. Soit T un réel positif et f : [0, T] × ℝ → ℝ une application continue lipschitzienne de rapport k en la deuxième variable. On considère l’équation différentielle

(E)  y′ = f(t, y).

Soit un réel h ∈ ]0, T [. On dira que z est une solution retardée de retard h si z est une fonction continue sur [0, T], dérivable sur ]h, T] et si

z′(t) = f(t, z(t − h)), ∀t ∈ ]h, T].

(a) Soit y_{0} un réel fixé. Montrer que (E) admet une solution retardée de retard h et une seule, notée z_{h}, telle que z_{h}(t) = y_{0} pour tout t ∈ [0, h].

(b) Soit z une solution retardée de retard h. On pose

A = max_{t∈[0,T]} |f(t, 0)|, m(t) = max_{u∈[0,t]} |z(u)|.

(α) Montrer que pour tout t ∈ [h, T] on a

m(t) ≤ m(h) + ∫_{h}^{t}(A + km(u))du.

(β) En déduire que

m(t) ≤ (\frac{A}{k} + m(h))e^{k(t−h)} − \frac{A}{k}, ∀t ∈ [h, T].

Indication. Étudier la dérivée de la fonction M(t) = e^{−kt} ∫_{h}^{t}(A + km(u))du.

(γ) Montrer qu’il existe une constante B indépendante de h, que l’on explicitera, telle que ∥z_{h}∥_{∞} ≤ B pour tout h > 0, si z_{h} désigne la solution retardée du (a).

(c) On se propose ici d’étudier la convergence de z_{h} quand h tend vers 0.

(α) Montrer que les fonctions z_{h} sont C-lipschitziennes avec une constante C indépendante de h.

(β) Soit y la solution exacte (non retardée) de (E) telle que y(0) = y_{0}. On pose

δ(t) = max_{u∈[0,t]} |z_{h}(u) − y(u)|.

Montrer que δ vérifie l’inégalité intégrale

δ(t) ≤ δ(h) + ∫_{h}^{t}(kCh + kδ(u))du.

où C est la constante de la question (c) (α).

(γ) En déduire une majoration de ∥δ∥_{∞} et conclure.

(d) On construit maintenant une méthode de résolution approchée de (E) utilisant les solutions retardées z_{h}. Pour tout entier n ∈ ℕ, n ≤ T/h, on pose

t_{n} = nh, z_{n} = z_{h}(t_{n}) ;

dans la formule

z_{n+1} = z_{n} + ∫_{t_{n}}^{t_{n+1}} f(t, z_{h}(t − h))dt

on remplace la valeur exacte de l’intégrale par sa valeur approchée calculée au moyen de la méthode des trapèzes élémentaires.

(α) Écrire la relation de récurrence définissant la suite (z_{n}).

(β) Exprimer l’erreur de consistance relative à une solution exacte y ; en calculer un développement limité à l’ordre 2 en fonction de h et des dérivées partielles de f au point (t, y). Quel est l’ordre de la méthode ? (voir chapitre VIII pour les définitions).

5.11. Soit J un intervalle ouvert de ℝ et f : J × ℝ^{m} → ℝ^{m} une application continue. On se propose de démontrer que toute solution maximale de l’équation différentielle y′ = f(t, y) est globale si f vérifie l’hypothèse suivante :

(H) Il existe des fonctions a, b : I → ℝ_{+} continues telles que

⟨f(t, y), y⟩ ≤ a(t)∥y∥^{2} + b(t), ∀(t, y) ∈ J × ℝ^{m},

où ⟨, ⟩ et ∥ ∥ désignent respectivement le produit scalaire et la norme euclidienne standards sur ℝ^{m}.

(a) Soit y : [t_{0}, t_{1}[ → ℝ^{m} une solution maximale à droite passant par un point (t_{0}, y_{0}) et soit r(t) = ∥y(t)∥^{2}. Montrer que r′(t) ≤ 2a(t)r(t) + 2b(t).

En déduire que ∥y(t)∥^{2} ≤ ρ(t) où ρ : J → ℝ est la solution (toujours globale) de l’équation linéaire ρ′ = 2a(t)ρ + 2b(t), telle que ρ(t_{0}) = ∥y_{0}∥^{2}.

Indication. Soit A(t) une primitive de a(t) ; étudier le signe de la dérivée de (r(t) − ρ(t))e^{−2A(t)}.

(b) Déterminer un majorant explicite de ∥y(t)∥ lorsque a et b sont des constantes.

(c) On suppose que t_{1} < sup J. Montrer que y(t), y′(t) sont bornées sur [t_{0}, t_{1}[ et que ces fonctions se prolongent par continuité en t_{1}. Montrer que ceci conduit à une contradiction. Conclure.

5.12. On considère l’équation différentielle

(∗)  x′′(t) = x(t) − x(t)^{3} ,

où x(t) est à valeurs réelles.

(a) Si I ⊂ ℝ est un intervalle ouvert et x : I → ℝ est une solution de (∗), montrer qu’il existe une constante C ∈ ℝ telle que

(∗∗)  \frac{1}{2}x′(t)^{2} + V (x(t)) = C ,  pour tout t ∈ I ,

où V (y) = −\frac{1}{2}y^{2} + \frac{1}{4}y^{4}.

(b) En remarquant que V (y) → +∞ lorsque |y| → ∞, déduire de (∗∗) que toutes les solutions maximales de (∗) sont définies sur ℝ tout entier.

(c) Déterminer tous les points d’équilibre du système (∗), et calculer les valeurs correspondantes du paramètre C.

(d) Si x(t) est une solution de (∗) telle que x(t) → 0 lorsque t → −∞, montrer que x(t) vérifie (∗∗) avec C = 0. En déduire une formule explicite pour x(t).

(e) Montrer que toutes les solutions de (∗) excepté celles considérées dans les deux questions précédentes sont périodiques en temps, et que leur période T (C) ne dépend que du paramètre C ∈ ℝ. Que pouvez-vous dire de T (C) lorsque C → −1/4 ? lorsque C → 0 ? lorsque C → +∞ ?

Chapitre VI

Méthodes de résolution explicite des équations différentielles

On se propose d’étudier un certain nombre de types classiques d’équations différentielles du premier et du second ordre pour lesquelles on sait ramener le calcul des solutions à des calculs de primitives. Ceci fournira l’occasion d’illustrer les résultats généraux du chapitre V par des exemples.

1. Équations du premier ordre

1.1. Remarques générales

On considère une équation différentielle

(E)  \frac{dy}{dx} = f(x, y)

où f : U → ℝ est une fonction continue sur un ouvert U ⊂ ℝ^{2}, localement lipschitzienne en y.

Les différentes solutions de l’équation (E) s’écrivent en général sous la forme

y = φ(x, λ)

où λ est un paramètre réel : on dit parfois que la solution ^{⟨⟨} générale ^{⟩⟩} dépend d’un seul paramètre. Pour comprendre ce phénomène, il suffit d’appliquer le théorème de Cauchy-Lipschitz : si on cherche les solutions définies au voisinage d’un point x_{0}, on sait qu’il existe une solution y et une seule telle que y(x_{0}) = y_{0} ; on peut donc choisir λ = y_{0} pour paramétrer les solutions. Dans la pratique, le paramètre λ apparaît souvent comme constante d’intégration. Il arrive parfois qu’en plus de la solution générale on ait des solutions particulières y = ψ_{0}(x), y = ψ_{1}(x), … qui ne s’obtiennent pour aucune valeur de λ : on dit que ce sont des solutions singulières (ou courbes intégrales singulières) de (E). On va maintenant décrire une situation un peu plus générale qui se ramène au cas d’une équation du type considéré ci-dessus.

Systèmes différentiels autonomes dans un ouvert U ⊂ ℝ^{2}. On suppose donné un champ de vecteurs dans U, c’est-à-dire une application continue de U, vu comme ouvert du plan affine, dans ℝ^{2}, vu comme plan vectoriel :

M ( \begin{matrix}x \\ y \end{matrix} ) ↦ \overrightarrow{V}(M) ( \begin{matrix}a(x, y) \\ b(x, y) \end{matrix} ) , M ∈ U.

On appelle système autonome associé au champ de vecteurs \overrightarrow{V}(M) le système différentiel

(S)  \frac{\overrightarrow{dM}}{dt} = \overrightarrow{V}(M) ⇔ \{ \begin{matrix}\frac{dx}{dt} = a(x, y) \\ \frac{dy}{dt} = b(x, y) \end{matrix} .

Si \overrightarrow{V}(M) représente un champ de vecteurs vitesse (associé par exemple à l’écoulement d’une nappe de fluide sur une surface plane), résoudre (S) revient à chercher la trajectoire et la loi du mouvement des particules de fluide en fonction du temps. Le mot ^{⟨⟨} autonome ^{⟩⟩} signifie que le champ de vecteurs ne dépend pas du temps t (cas d’un écoulement stationnaire).

Si t ↦ M(t) est solution, toute fonction t ↦ M(t + T) obtenue par un décalage dans le temps est encore solution. Dans l’ouvert U′ = {M(x, y) ; a(x, y) ≠ 0} on a (S) ⇒ (E) où

(E)  \frac{dy}{dx} = \frac{b(x, y)}{a(x, y)} = f(x, y).

Résoudre (E) permet de trouver la trajectoire des particules (mais pas la loi du mouvement en fonction du temps).

1.2. Équations à variables séparées

Ce sont les équations dans lesquelles on peut regrouper x, dx d’une part et y, dy d’autre part. Nous allons examiner 3 cas.

a) Équations (E) y′ = f(x), avec f : I → ℝ continue.

Les solutions sont données par

y(x) = F (x) + λ, λ ∈ ℝ,

où F est une primitive de f sur I. Les courbes intégrales se déduisent les unes des autres par translations dans la direction Oy.

b) Équations (E) y′ = g(y), avec g : J → ℝ continue.

En notation différentielle, l’équation peut se récrire \frac{dy}{dx} = g(y).

• Notons y_{j} les racines de g(y) = 0 dans l’intervalle J. Alors y(x) = y_{j} est une solution (singulière) évidente de l’équation.

• Dans l’ouvert U = {(x, y) ∈ ℝ × J ; g(y) ≠ 0}, on a l’équivalence

(E) ⟺ \frac{dy}{g(y)} = dx.

Les solutions sont données par

G(y) = x + λ, λ ∈ ℝ

où G est une primitive quelconque de \frac{1}{g} sur chacun des intervalles ouverts ]y_{j}, y_{j+1}[ délimités par les racines de g. Dans chaque bande ℝ×]y_{j}, y_{j+1}[, les courbes intégrales se déduisent les unes des autres par translations dans la direction Ox ; ceci est à relier au fait que les lignes isoclines sont les droites y = m = constante.

Comme G′ = \frac{1}{g} et que g est de signe constant sur ]y_{j}, y_{j+1}[, on en déduit que G est une application strictement monotone bijective

G : ]y_{j}, y_{j+1}[ → ]a_{j}, b_{j}[

avec a_{j} ∈ [−∞, +∞[, b_{j} ∈ ] − ∞, +∞]. On peut donc (au moins théoriquement) exprimer y en fonction de x :

y = G^{−1}(x + λ), λ ∈ ℝ.

Supposons par exemple g > 0, et par suite G croissante sur ]y_{j}, y_{j+1}[.

• Si ∫_{y_{j}}^{y_{j}+ε} \frac{dy}{g(y)} diverge, on a a_{j} = −∞, par conséquent x = G(y) − λ → −∞ quand y → y_{j} + 0. Dans ce cas, la courbe est asymptote à la droite y = y_{j}.

• Si ∫_{y_{j}}^{y_{j}+ε} \frac{dy}{g(y)} converge, alors a_{j} ∈ ℝ et x → a_{j} − λ quand y → y_{j} + 0, avec de plus y′ = g(y) → 0 ; la courbe vient rejoindre la droite y = y_{j} au point (a_{j} − λ, y_{j}) et admet la droite y = y_{j} pour tangente en ce point. Cette situation montre qu’il n’y a pas unicité du problème de Cauchy en cas de convergence de l’intégrale.

Exercice A. Vérifier que ∫ \frac{dy}{g(y)} est bien toujours divergente en tout point y_{j} tel que g(y_{j}) = 0, lorsque g est localement lipschitzienne.

Donner cependant un exemple où on a unicité (donc divergence de l’intégrale) en y_{j} = 0 sans que g soit localement lipschitzienne, avec disons lim_{y→0} g′(y) = +∞ [on pourra considérer la fonction g(y) = −y ln |y| prolongée par continuité en 0 ].

L’allure des courbes intégrales est la suivante (dans le schéma ci-dessous, on suppose qu’il y a convergence en y_{2} − 0, divergence en y_{1} ± 0 et y_{2} + 0) :

x y  y = y_{2} y = y_{1} g(y) < 0 g(y) > 0 g(y) < 0

c) Cas général des équations à variables séparées.

(E)  y′ = f(x)g(y) avec f, g continues.

• Si g(y_{j}) = 0, la fonction constante y(x) = y_{j} est solution singulière.

• Sur l’ouvert U = {(x, y) ; g(y) ≠ 0} on a

(E) ⇔ \frac{dy}{g(y)} = f(x)dx

d’où G(y) = F (x) + λ, λ ∈ ℝ, où F est une primitive de f et G une primitive de 1/g. Comme G est continue strictement monotone sur chaque intervalle [y_{j}, y_{j+1}[, l’application G admet une application réciproque G^{−1} et on obtient

y = G^{−1}(F (x) + λ).

Exemple. Soit l’équation y′ = \sqrt{\frac{1 − y^{2}}{1 − x^{2}}} . Le domaine de définition est la réunion

{|x| < 1 et |y| ≤ 1} ∪ {|x| > 1 et |y| ≥ 1}.

On va donc se placer dans l’ouvert

U = {|x| < 1 et |y| < 1} ∪ {|x| > 1 et |y| > 1}.

• Dans le carré {|x| < 1 et |y| < 1} l’équation s’écrit :

\frac{dy}{\sqrt{1 − y^{2}}} = \frac{dx}{\sqrt{1 − x^{2}}} ,

d’où Arcsin y = Arcsin x + λ, λ ∈ ℝ. Comme Arcsin est une bijection de ] − 1, 1[ sur ] − \frac{π}{2} , \frac{π}{2} [, on a nécessairement λ ∈ ] − π, π[. On doit avoir de plus

Arcsin x ∈ ] − \frac{π}{2} , \frac{π}{2} [ ∩ ] − \frac{π}{2} − λ, \frac{π}{2} − λ[ = \{ \begin{matrix}] − \frac{π}{2} , \frac{π}{2} − λ[ si λ ≥ 0, \\ ] − \frac{π}{2} − λ, \frac{π}{2} [ si λ ≤ 0. \end{matrix}

De même Arcsin y est dans ] − \frac{π}{2} + λ, \frac{π}{2} [ si λ ≥ 0, et dans ] − \frac{π}{2} , \frac{π}{2} + λ[ si λ ≤ 0.

Les courbes intégrales admettent pour équation

y = sin(Arcsin x + λ) = x cos λ + \sqrt{1 − x^{2}} sin λ

avec

x ∈ ] − 1, cos λ[, y ∈ ] − cos λ, 1[ si λ ≥ 0,
x ∈ ] − cos λ, 1[, y ∈ ] − 1, cos λ[ si λ ≤ 0.

L’équation ci-dessus implique (y − x cos λ)^{2} + x^{2} sin^{2} λ = sin^{2} λ, donc les courbes intégrales sont des arcs d’ellipse.

• L’ouvert {|x| > 1 et |y| > 1} est formé de 4 composantes connexes. Plaçons-nous par exemple dans la composante {x > 1 et y > 1}. On a

(E) ⟺ \frac{dy}{\sqrt{y^{2} − 1}} = \frac{dx}{\sqrt{x^{2} − 1}},

d’où Argcosh y = Argcosh x + λ, λ ∈ ℝ. Argcosh est une bijection de ]1, +∞[ sur ]0, +∞[ ; en raisonnant comme ci-dessus, on obtient

y = x cosh λ + \sqrt{x^{2} − 1} sinh λ

174 Chap. VI – Méthodes de résolution explicite des équations différentielles avec

x ∈ ]1, +∞[, y ∈ ] cosh λ, +∞[ si λ ≥ 0,
x ∈ ] cosh λ, +∞[, y ∈ ]1, +∞[ si λ ≤ 0,

par suite (y−x cosh λ)^{2}−x^{2} sinh^{2} λ+sinh^{2} λ = 0, ce qui est l’équation d’une conique. Comme \sqrt{x^{2} − 1} = |x| \sqrt{1 − \frac{1}{x^{2}}} = |x|− \frac{1}{2|x|} +O(\frac{1}{x^{3}} ), on voit que la conique admet des asymptotes y = (cosh λ ± sinh λ)x = e^{±λ}x (pour la branche x > 1 qui nous intéresse, c’est y = e^{λ}x). On a donc affaire à des arcs d’hyperbole.

0 −1  1 cosh λ′ y = − cos λ  y = cos λ′ cosh λ  x y1 −1

On a figuré ici la situation où λ > 0, λ′ < 0.

1.3. Cas où l’on connaît une ^{⟨⟨} intégrale première^{⟩⟩}

Supposons qu’on cherche à résoudre une équation

(E)  y′ = f(x, y)

ou un système différentiel

(S)  \{ \begin{matrix}\frac{dx}{dt} = a(x, y) \\ \frac{dy}{dt} = b(x, y) \end{matrix}

dans un ouvert U ⊂ ℝ^{2}. Dans les deux cas on a une écriture sous forme différentielle :

\begin{matrix}(E) ⇔ f(x, y)dx − dy = 0, \\ (S) ⇒ b(x, y)dx − a(x, y)dy = 0. \end{matrix}

Définition. On dit qu’une fonction V : U → ℝ de classe C^{1} est une intégrale première si (E) (respectivement (S)) implique

dV = V′_{x}(x, y)dx + V′_{y}(x, y)dy = 0.

Dans ce cas, les courbes intégrales y = φ(x) vérifient

V′_{x}(x, φ(x)) + V′_{y}(x, φ(x))φ′(x) = \frac{d}{dx} [V (x, φ(x)] = 0.

Les courbes intégrales sont donc contenues dans les lignes de niveau V (x, y) = λ, où λ ∈ ℝ est une constante.

\overrightarrow{grad} V V (x, y) = λ

En tout point où \overrightarrow{grad} V ≠ \overrightarrow{0}, la ligne de niveau correspondante possède une tangente perpendiculaire à \overrightarrow{grad} V. Le champ des tangentes est dirigé par le vecteur

k⃗ ( \begin{matrix}1 \\ f(x, y) \end{matrix} ) , resp. k⃗ ( \begin{matrix}a(x, y) \\ b(x, y) \end{matrix} ) dans le cas de (E) (resp. (S)).

La condition d’orthogonalité \overrightarrow{grad} V ⊥ k⃗ équivaut à la proportionnalité de l’équation V′_{x}dx + V′_{y}dy = 0 à l’équation différentielle (E) (ou (S)). On peut donc énoncer :

Propriété caractéristique. V est une intégrale première si et seulement si \overrightarrow{grad} V est orthogonal au champ des tangentes de l’équation différentielle considérée.

Exemple. Soit y′ = \frac{y}{x+y^{2}} sur U = \{x + y^{2} ≠ 0\}. L’équation se récrit

(E)  ydx − (x + y^{2})dy = 0.

Cette différentielle n’est pas une différentielle exacte dV = P dx + Qdy (on devrait avoir \frac{∂P}{∂y} = \frac{∂Q}{∂x}, ce qui n’est pas le cas). On observe néanmoins que

d(\frac{x}{y}) = \frac{ydx − xdy}{y^{2}} .

Multiplions alors l’équation (E) par \frac{1}{y^{2}} , en se plaçant dans l’ouvert y ≠ 0 :

(E) ⇔ \frac{ydx − xdy}{y^{2}} − dy = 0 ⇔ d(\frac{x}{y} − y) = 0.

Les courbes intégrales x ↦ y(x) sont donc données par

\frac{x}{y} − y = λ ⇔ x = y^{2} + λy.

Ce sont des arcs de la parabole d’axe y = −\frac{λ}{2} et de sommet ( \begin{matrix}−λ^{2}/4 \\ −λ/2 \end{matrix} ), délimités par

les points tels que x + y^{2} = 2y^{2} + λy = 0, c’est-à-dire ( \begin{matrix}0 \\ 0 \end{matrix} ) et le sommet, qui doivent

être exclus. Par ailleurs, y = 0 est une solution singulière, fournissant deux solutions maximales pour x ∈ ] − ∞, 0[ et x ∈ ]0, +∞[ respectivement.

Remarque. On dit que \frac{1}{y^{2}} est un ^{⟨⟨} facteur intégrant ^{⟩⟩} de la forme différentielle ydx − (x + y^{2})dy = 0.

x y −λ  1 1

1.4. Équations linéaires du premier ordre

Ce sont les équations de la forme

(E)  y′ = a(x)y + b(x)

où a, b : I → ℝ (ou ℂ) sont des fonctions continues.

Supposons qu’on connaisse une solution particulière y_{(1)} de l’équation (E). Alors on obtient par soustraction y′ − y′_{(1)} = a(x)(y − y_{(1)}), c’est-à-dire que z = y − y_{(1)} vérifie l’équation linéaire ^{⟨⟨} sans second membre ^{⟩⟩}

(E_{0})  z′ = a(x)z.

Inversement, si z est solution de (E_{0}), alors y = y_{(1)} + z est solution de (E).

Théorème 1. La solution générale de (E) s’écrit

y = y_{(1)} + z

où y_{(1)} est une solution particulière de (E) et où z est la solution générale de (E_{0}).

a) Solutions de (E_{0})

Comme f(x, z) = a(x)z est continue et de dérivée partielle \frac{∂f}{∂z} (x, z) = a(x) continue, on sait que le problème de Cauchy admet une solution unique en tout point (x_{0}, z_{0}) ∈ I × ℝ. Or z(x) ≡ 0 est clairement solution de (E_{0}). D’après l’unicité, aucune autre solution ne peut s’annuler en un quelconque point x_{0} ∈ I. Si z ≠ 0, on peut donc écrire

\begin{aligned}\frac{z′}{z} & = a(x), \\ ln |z| & = A(x) + C, C ∈ ℝ, \end{aligned}

où A est une primitive de a sur I. On en déduit

\begin{aligned}|z(x)| & = e^{C}e^{A(x)}, \\ z(x) & = ε(x)e^{C}e^{A(x)} avec ε(x) = ±1. \end{aligned}

Comme z est continue et ne s’annule pas, le signe de z ne change pas, d’où

z(x) = λe^{A(x)}

avec λ = ±e^{C}. Inversement, toute fonction

z(x) = λe^{A(x)}, λ ∈ ℝ

et visiblement solution de (E_{0}). On peut donc énoncer :

Théorème 2. Les solutions maximales de (E_{0}) : z′ = a(x)z forment un espace vectoriel de dimension 1, ayant pour base x ↦ e^{A(x)}.

b) Recherche d’une solution particulière y_{(1)} de (E).

Si aucune solution évidente n’apparaît, on peut utiliser la méthode dite de variation des constantes, c’est-à-dire que l’on cherche y_{(1)} sous la forme

y_{(1)}(x) = λ(x)e^{A(x)},

où λ est différentiable. Il vient

\begin{aligned}y′_{(1)}(x) & = λ(x)a(x)e^{A(x)} + λ′(x)e^{A(x)} \\ & = a(x)y_{(1)}(x) + λ′(x)e^{A(x)}. \end{aligned}

y_{(1)} est donc solution de (E) si on prend

λ′(x)e^{A(x)} = b(x),
λ′(x) = b(x)e^{−A(x)},
λ(x) = ∫_{x_{0}}^{x} b(t)e^{−A(t)}, x_{0} ∈ I.

On obtient ainsi la solution particulière

y_{(1)}(x) = e^{A(x)} ∫_{x_{0}}^{x} b(t)e^{−A(t)}dt

telle que y_{(1)}(x_{0}) = 0. La solution générale est donnée d’après le théorème 1 par

y(x) = e^{A(x)}(λ + ∫_{x_{0}}^{x} b(t)e^{−A(t)}dt).

La solution du problème de Cauchy y(x_{0}) = y_{0} est obtenue pour λ = e^{−A(x_{0})}y_{0}.

Exercice B. Propriétés géométriques liées aux équations linéaires (schéma cidessous).

(a) Si y_{(1)}, y_{(2)}, y_{(3)} sont trois solutions d’une équation linéaire, montrer que la fonction y_{(3)} − y_{(2)} est proportionnelle à y_{(2)} − y_{(1)}.

(b) Montrer qu’une équation y′ = f(x, y) est linéaire si et seulement si le champ des tangentes a la propriété suivante : pour tout x_{0} fixé, les tangentes aux différents points (x_{0}, y) sont concourantes ou toutes parallèles.

y  x_{0}  x

1.5. Équations se ramenant à des équations linéaires

a) Équations de Bernoulli Ce sont les équations de la forme

(E)  \frac{dy}{dx} = p(x)y + q(x)y^{α}, α ∈ ℝ \ \{1\},

avec p, q : I → ℝ continues (pour α = 1, (E) est linéaire). On se place dans le demi-plan supérieur U = ℝ × ]0, +∞[= {(x, y) ; y > 0}. En multipliant par y^{−α}, on obtient

(E) ⇔ y^{−α} \frac{dy}{dx} = p(x)y^{1−α} + q(x)

Posons z = y^{1−α} ; alors \frac{dz}{dx} = (1 − α)y^{−α} \frac{dy}{dx}, d’où

(E) ⇔ \frac{1}{1 − α} \frac{dz}{dx} = p(x)z + q(x)

On est donc ramené à une équation linéaire en z.

b) Équations de Riccati Ce sont les équations de la forme

(E)  y′ = a(x)y^{2} + b(x)y + c(x)

avec a, b, c : I → ℝ continues, c’est-à-dire que f(x, y) est un polynôme de degré ≤ 2 en y. Montrons que l’on sait résoudre (E) dès que l’on connaît une solution particulière y_{(1)}. Posons y = y_{(1)} + z. Il vient

\begin{aligned}y′_{(1)} + z′ & = a(x)(y_{(1)}^{2} + 2y_{(1)}z + z^{2}) + b(x)(y_{(1)} + z) + c(x) \\ & = a(x)y_{(1)}^{2} + b(x)y_{(1)} + c(x) + (2a(x)y_{(1)} + b(x))z + a(x)z^{2}. \end{aligned}

Comme y′_{(1)} se simplifie, on en déduit

z′ = (2a(x)y_{(1)}(x) + b(x)) + a(x)z^{2}.

C’est une équation linéaire de Bernoulli avec α = 2. On la ramène à une équation linéaire en posant w = z^{1−α} = \frac{1}{z}.

Exemple. Soit l’équation (1 − x^{3})y′ + x^{2}y + y^{2} − 2x = 0.

On remarque que y_{(1)}(x) = x^{2} est solution particulière. En posant y = x^{2} + z on se ramène à

(1 − x^{3})z′ + 3x^{2}z + z^{2} = 0

puis, après division par z^{2}, à

−(1 − x^{3})w′ + 3x^{2}w + 1 = 0 avec w = \frac{1}{z},

soit

w′ = \frac{3x^{2}}{1 − x^{3}} w + \frac{1}{1 − x^{3}} , si x ≠ 1.

L’équation linéaire sans second membre \frac{w′}{w} = \frac{3x^{2}}{1−x^{3}} donne

ln |w| = − ln |1 − x^{3}| + C, d’où w = \frac{λ}{1 − x^{3}} .

La méthode de variation des constantes conduit à

\frac{λ′}{1 − x^{3}} = \frac{1}{1 − x^{3}} soit λ′ = 1, λ(x) = x.

La solution générale de l’équation linéaire complète est donc

w(x) = \frac{x + λ}{1 − x^{3}} ,

d’où y = x^{2} + z = x^{2} + \frac{1}{w} = x^{2} + \frac{1−x^{3}}{x+λ}, soit encore

y(x) = \frac{λx^{2} + 1}{x + λ} = λx − λ^{2} + \frac{1 + λ^{3}}{x + λ} .

Pour λ = −1, on obtient la droite y = −x − 1. Pour λ ≠ −1, il s’agit d’une hyperbole (y − λx + λ^{2})(x + λ) = 1 + λ^{3}, admettant pour asymptotes les droites x = −λ et y = λx − λ^{2}. La solution singulière y_{(1)}(x) = x^{2} est la solution limite obtenue quand |λ| tend vers +∞.

x y  1 1

1.6. Équations homogènes

Une équation homogène est une équation qui peut se mettre sous la forme

(E)  y′ = f (\frac{y}{x}) où f : I → ℝ est continue.

C’est le cas par exemple des équations y′ = \frac{P (x,y)}{Q(x,y)} où P, Q sont des polynômes homogènes de même degré d : une division par x^{d} au numérateur et au dénominateur nous ramène à y′ = \frac{P (1,y/x)}{Q(1,y/x)}.

Méthode. On pose z = \frac{y}{x}, c’est-à-dire y = xz. Il vient

y′ = z + xz′ = f(z),

donc z satisfait l’équation à variables séparées

z′ = \frac{f(z) − z}{x} .

• On a d’une part les solutions singulières

z(x) = z_{j},  y(x) = z_{j}x  (droites passant par 0),

où {z_{j}} est l’ensemble des racines de f(z) = z.

• Pour f(z) ≠ z on peut écrire

\begin{matrix}\frac{dz}{f(z) − z} = \frac{dx}{x}, \\ F (z) = ln |x| + C = ln (λx), λ ∈ ℝ^{∗}, \end{matrix}

où F est une primitive de z ↦ 1/(f(z) − z) sur ]z_{j}, z_{j+1}[. On en déduit que z = F^{−1}(ln (λx)), d’où la famille de courbes intégrales

C_{λ} : y = xF^{−1}(ln (λx)),

définies dans le secteur angulaire z_{j} < \frac{y}{x} < z_{j+1}, λx > 0.

En cas de divergence de F aux points z_{j}, z_{j+1}, on a F^{−1} : ] − ∞, +∞[→]z_{j}, z_{j+1}[ monotone bijective et \frac{y}{x} → z_{j} ou z_{j+1} quand x → 0 ou ∞. On a donc d’une part une branche infinie de direction asymptotique y = z_{j+1}x (resp. y = z_{j}x) et une tangente y = z_{j}x (resp. y = z_{j+1}x) au point 0 si F est croissante (resp. décroissante). Noter que la droite y = z_{j}x n’est pas nécessairement asymptote : voir l’exemple ci-dessous.

Observons enfin que les lignes isoclines sont les droites y = mx, la pente correspondante étant f(m). Le champ des tangentes est donc invariant par les homothéties de centre O. Ceci permet de voir que l’homothétique d’une courbe intégrale est encore une courbe intégrale.

Exercice C. Vérifier que C_{λ} = h_{1/λ}(C_{1}) où h_{λ}(x, y) = (λx, λy).

x y  isocline y = mx pente f(m)

Exemple. L’équation xy′(2y − x) = y^{2} peut se récrire

y′ = \frac{y^{2}}{x(2y − x)} si x ≠ 0, y ≠ \frac{x}{2}.

y′ est donc une fonction rationnelle en x, y dont le numérateur et le dénominateur sont des polynômes homogènes de degré 2. En divisant le numérateur et dénominateur par x^{2} on obtient

y′ = \frac{(y/x)^{2}}{2y/x − 1}.

Posons z = \frac{y}{x}, soit y = xz. Il vient

\begin{aligned}y′ & = xz′ + z = \frac{z^{2}}{2z − 1}, \\ xz′ & = \frac{z^{2}}{2z − 1} − z = \frac{z − z^{2}}{2z − 1} = \frac{z(1 − z)}{2z − 1}. \end{aligned}

• Solutions singulières :

\begin{aligned}z & = 0,  z = 1, \\ y & = 0,  y = x. \end{aligned}

• Pour z ≠ 0, z ≠ 1 l’équation se récrit

\frac{2z − 1}{z(1 − z)} dz = \frac{dx}{x}.

La fonction

\frac{2z − 1}{z(1 − z)} = \frac{z − (1 − z)}{z(1 − z)} = \frac{1}{1 − z} − \frac{1}{z}

admet pour primitive

− ln |1 − z| − ln |z| = − ln |z(1 − z)|,

d’où le calcul des courbes intégrales :

ln |z(1 − z)| = − ln |x| + C,

z(1 − z) = \frac{λ}{x}, \frac{y}{x} (1 − \frac{y}{x}) = \frac{λ}{x},

y(x − y) = λx.

Les courbes intégrales sont donc des coniques. On peut mettre l’équation sous la forme

(y − λ)(x − y − λ) = λ^{2}

c’est-à-dire XY = λ avec X = x − y − λ et Y = y − λ. Il s’agit d’une hyperbole d’asymptotes y = λ, y = x − λ (parallèles aux directions asymptotiques y = 0, y = x données par les droites intégrales singulières).

Exercice D. Montrer que chaque hyperbole passe par (0, 0) avec tangente x = 0.

y  x

Autre méthode de résolution. Utilisation des coordonnées polaires.

Pour r > 0 et θ ∈ ℝ on pose

\{ \begin{matrix}x = r cos θ \\ y = r sin θ \end{matrix} .

Il vient

\frac{dy}{dx} = \frac{dr sin θ + r cos θ dθ}{dr cos θ − r sin θ dθ} = \frac{dr tan θ + r dθ}{dr − r tan θ dθ} .

L’équation (E) y′ = f(\frac{y}{x}) se transforme alors en

dr tan θ + r dθ = (dr − r tan θ dθ)f(tan θ), dr(f(tan θ) − tan θ) = rdθ(1 + tan θ f(tan θ)),

\frac{dr}{r} = \frac{1 + tan θ f(tan θ)}{f(tan θ) − tan θ} dθ.

On aboutit donc à une équation à variables séparées r, θ. Les intégrales singulières correspondent aux droites θ = θ_{j} telles que f(tan θ_{j}) = tan θ_{j}.

2. Équations du premier ordre non résolues en y′ 185

Exercice E. Résoudre y′ = \frac{x+y}{x−y} à l’aide des deux méthodes proposées. Quelle est la nature des courbes intégrales ?

2. Équations du premier ordre non résolues en y′

2.1. Définitions et premières propriétés

On appelle équation du premier ordre non résolue en y′ une équation de la forme

(E)  f(x, y, y′) = 0

où (x, y, p) ↦ f(x, y, p) est une fonction de classe C^{1} dans un ouvert U ⊂ ℝ^{3}. Plaçonsnous au voisinage d’un point (x_{0}, y_{0}) ∈ ℝ^{2}. On suppose que l’équation f(x_{0}, y_{0}, p) = 0 admet des racines p_{1}, p_{2}, …, p_{N} et que ces racines sont simples, c’est-à-dire

\frac{∂f}{∂p} (x_{0}, y_{0}, p_{j}) ≠ 0.

D’après le théorème des fonctions implicites, on sait alors qu’il existe un voisinage V de (x_{0}, y_{0}), un réel h > 0 et une fonction g_{j} : V → ]p_{j} − h, p_{j} + h[ de classe C^{1}, 1 ≤ j ≤ N, tels que pour tout (x, y, p) ∈ V × ]p_{j} − h, p_{j} + h[ on ait

f(x, y, p) = 0 ⇔ p = g_{j}(x, y).

L’équation différentielle f(x, y, y′) = 0 nous amène alors à résoudre dans V les N équations différentielles

(E_{j})  y′ = g_{j}(x, y).

Comme g_{j} est de classe C^{1}, on voit que par tout point (x, y) ∈ V il passe exactement N courbes intégrales dont les pentes sont les racines p de f(x, y, p) = 0.

y  x  pente p_{1} pente p_{2}

Remarque. Dans cette situation, il arrive fréquemment qu’on ait une famille de courbes intégrales C_{λ} admettant une enveloppe Γ, c’est-à-dire une courbe Γ qui est tangente en chacun de ses points à l’une des courbes C_{λ}.

Γ  C_{λ}

La courbe Γ est alors elle-même une courbe intégrale, car en chaque point sa tangente appartient au champ des tangentes de l’équation (E) (elle coïncide avec la tangente de l’une des courbes C_{λ}). Γ est donc une solution singulière. On notera qu’une telle courbe Γ doit satisfaire simultanément les deux équations f(x, y, y′) = 0 et ∂f/∂p(x, y, y′) = 0 : chaque point (x, y) ∈ Γ est en effet limite d’une suite de points en lesquels deux tangentes du champ viennent se confondre, de sorte que p = y′ est racine double de f(x, y, p) = 0. En particulier les hypothèses faites ci-dessus pour appliquer le théorème des fonctions implicites ne sont pas satisfaites si (x_{0}, y_{0}) ∈ Γ.

Méthode de Résolution. Pour résoudre les équations différentielles non résolues en y′, le principe général est de chercher une paramétrisation de x, y, y′ en fonction d’un paramètre t qui sera alors choisi comme nouvelle variable.

2.2. Cas des équations non résolues incomplètes

a) Équations du type (E) : f(x, y′) = 0

Supposons que l’équation f(x, p) = 0 admette une paramétrisation de classe C^{1}

\{ \begin{matrix}x = φ(t) \\ p = ψ(t). \end{matrix}

On a alors

\begin{aligned}dx & = φ′(t) dt \\ dy & = y′ dx = ψ(t) dx = ψ(t)φ′(t) dt \end{aligned}

On en déduit

y = ∫_{t_{0}}^{t} ψ(u)φ′(u)du + λ = ρ(t) + λ,

ce qui donne une paramétrisation des courbes intégrales :

\{ \begin{matrix}x = φ(t) \\ y = ρ(t) + λ. \end{matrix}

b) Équations du type (E) : f(y, y′) = 0,

connaissant une paramétrisation \{ \begin{matrix}y = φ(t) \\ y′ = ψ(t). \end{matrix}

On obtient dy = φ′(t)dt = ψ(t)dx, d’où dx = \frac{φ′(t)}{ψ(t)} dt. Les courbes intégrales sont paramétrées par

\{ \begin{matrix}x = ρ(t) + λ \\ y = φ(t) \end{matrix}

avec ρ(t) = ∫_{t_{0}}^{t} \frac{φ′(u)}{ψ(u)} du.

2.3. Équations homogènes non résolues

Ce sont les équations pouvant être mises sous la forme

(E)  f(\frac{y}{x}, y′) = 0.

Supposons qu’on connaisse une paramétrisation

\{ \begin{matrix}\frac{y}{x} = φ(t) \\ y′ = ψ(t). \end{matrix}

On a alors

\begin{aligned}& y = xφ(t), \\ \{ & \begin{matrix}dy = φ(t)dx + xφ′(t)dt \\ dy = ψ(t) dx, \end{matrix} \end{aligned}

d’où (ψ(t) − φ(t)) dx = xφ′(t) dt.

• On a d’une part des solutions singulières correspondant aux racines t_{j} de ψ(t) = φ(t), donnant des droites

y = xφ(t_{j}).

• D’autre part, pour t ≠ t_{j} on obtient

\frac{dx}{x} = \frac{φ′(t)}{ψ(t) − φ(t)} dt,

ce qui donne par intégration de φ′/(ψ − φ) :

\begin{matrix}ln |x| = ρ(t) + C, \\ \{ \begin{matrix}x = λe^{ρ(t)} \\ y = xφ(t) = λφ(t)e^{ρ(t)} \end{matrix} , λ ∈ ℝ. \end{matrix}

Il est clair sur ces dernières formules que les courbes intégrales se déduisent les unes des autres par les homothéties de centre O.

Exemple. Soit l’équation x^{2}(y + 3xy′) = (y + xy′)^{3}. En divisant par x^{3} on trouve

\frac{y}{x} + 3y′ = (\frac{y}{x} + y′)^{3},

c’est donc une équation homogène non résolue en y′. On obtient une paramétrisation en posant

\{ \begin{matrix}\frac{y}{x} + y′ = t \\ \frac{y}{x} + 3y′ = t^{3}, \end{matrix}

d’où

\{ \begin{matrix}\frac{y}{x} = \frac{1}{2} (3t − t^{3})  (∗) \\ y′ = \frac{1}{2} (t^{3} − t). \end{matrix}

En différentiant y = \frac{1}{2} (3t − t^{3})x on obtient

\begin{aligned}dy & = \frac{1}{2} (3 − 3t^{2})dt · x + \frac{1}{2} (3t − t^{3}) dx \\ & = y′ dx = \frac{1}{2} (t^{3} − t) dx, \end{aligned}

d’où l’équation

\begin{matrix}(t^{3} − 2t)dx = \frac{1}{2} (3 − 3t^{2})dt · x, \\ \frac{dx}{x} = \frac{3(1 − t^{2})}{2t(t^{2} − 2)} dt. \end{matrix}

• Solutions singulières : t(t^{2} − 2) = 0 ⇔ t = 0, \sqrt{2}, −\sqrt{2}. En remplaçant dans (∗) on obtient les droites

y = 0,  y = \frac{\sqrt{2}}{2} x,  y = −\frac{\sqrt{2}}{2} x.

• Solution générale :

\begin{matrix}\frac{1 − t^{2}}{t(t^{2} − 2)} = \frac{1 − \frac{t^{2}}{2} − \frac{t^{2}}{2}}{t(t^{2} − 2)} = −\frac{1}{2t} − \frac{t}{2(t^{2} − 2)}, \\ \frac{3(1 − t^{2})}{2t(t^{2} − 2)} dt = −\frac{3}{4} \frac{dt}{t} − \frac{3}{4} \frac{tdt}{t^{2} − 2}. \end{matrix}

On en déduit

\begin{aligned}& ln |x| = −\frac{3}{4} ln |t| − \frac{3}{8} ln |t^{2} − 2| + C, \\ \{ & \begin{matrix}x = λ|t|^{−3/4}|t^{2} − 2|^{−3/8} \\ y = \frac{y}{x} · x = \frac{λ}{2} (3t − t^{3})|t|^{−3/4}|t^{2} − 2|^{−3/8}. \end{matrix} \end{aligned}

y  x

Exercice F. Montrer que par tout point (x, y) tel que |y| < |x| il passe exactement trois courbes intégrales, alors qu’il n’en passe qu’une si |y| > |x|. Combien en passet-il si |y| = |x| ? Indication. Étudier le nombre de valeurs de t et y′ associées à une valeur donnée de y/x.

2.4. Équations de Lagrange (ou équations à isoclines rectilignes)

Cherchons à déterminer les équations différentielles dont les courbes isoclines sont des droites. La courbe isocline y′ = p sera une droite y = a(p)x+b(p) (pour simplifier, on écarte le cas des droites parallèles à y′Oy). L’équation différentielle correspondante est donc

(E)  y = a(y′)x + b(y′).

On supposera que a, b sont au moins de classe C^{1}.

Méthode de Résolution. On choisit p = y′ comme nouvelle variable paramétrant chaque courbe intégrale ; ceci est légitime à condition que y′ ne soit pas une constante sur un morceau de la courbe intégrale considérée. Dans le cas contraire, si y′ = p_{0} = constante, la courbe intégrale est contenue dans la droite y = a(p_{0})x + b(p_{0}), ce qui n’est compatible avec la condition y′ = p_{0} que si a(p_{0}) = p_{0}.

• On a donc des solutions singulières y = p_{j}x + b(p_{j}) où les p_{j} sont les racines de a(p) = p.

• Solution générale :

y = a(p)x + b(p) ⟹ \{ \begin{matrix}dy = a(p)dx + (a′(p)x + b′(p))dp \\ dy = y′dx = pdx. \end{matrix}

Il vient

(p − a(p))dx = (a′(p)x + b′(p))dp,

et pour p ≠ a(p) on aboutit à

\frac{dx}{dp} = \frac{1}{p − a(p)} (a′(p)x + b′(p)) ;

c’est une équation linéaire en la fonction x(p). La solution générale sera de la forme

\{ \begin{matrix}x(p) = x_{(1)}(p) + λz(p), λ ∈ ℝ, \\ y(p) = a(p)(x_{(1)}(p) + λz(p)) + b(p). \end{matrix}

Exercice G. Résoudre l’équation 2y − x(y′ + y^{′3}) + y^{′2} = 0.

2.5. Équations de Clairaut

C’est le cas particulier des équations de Lagrange dans lequel a(p) = p pour toute valeur de p, soit

(E)  y = y′x + b(y′).

Les droites

D_{p} : y = px + b(p)

3. Problèmes géométriques conduisant à des équations différentielles du 1^{er} ordre 191

qui étaient précédemment des solutions singulières forment maintenant une famille générale de solutions.

Montrons que les droites D_{p} possèdent toujours une enveloppe Γ. Une telle courbe Γ admet par définition une paramétrisation (x(p), y(p)) telle que Γ soit tangente à D_{p} au point (x(p), y(p)).

D_{p} Γ (x(p), y(p))

Le vecteur tangent (x′(p), y′(p)) à Γ doit avoir même pente p que D_{p}, d’où y′(p) = px′(p). Par ailleurs (x(p), y(p)) ∈ D_{p}, donc

y(p) = px(p) + b(p).

En différentiant, il vient

y′(p) = px′(p) + x(p) + b′(p).

Ceci implique x(p) + b′(p) = 0, d’où la paramétrisation cherchée de l’enveloppe :

Γ \{ \begin{matrix}x(p) = −b′(p) \\ y(p) = −pb′(p) + b(p). \end{matrix}

Si b est de classe C^{2}, on a y′(p) = −pb′′(p) = px′(p) de sorte que Γ est bien l’enveloppe des droites D_{p}. La courbe Γ est une solution singulière de (E).

Exercice H. Résoudre l’équation (xy′ − y)(1 + y^{′2}) + 1 = 0.

3. Problèmes géométriques conduisant à des équations différentielles du premier ordre

3.1. Équation différentielle associée à une famille de courbes

On considère d’abord le problème géométrique inverse du problème de résolution des équations.

Problème. Étant donné une famille de courbes

C_{λ} : h(x, y, λ) = 0, λ ∈ ℝ,

existe-t-il une équation différentielle du premier ordre dont les courbes C_{λ} soient les courbes intégrales ?

• Cas particulier. On suppose que les courbes C_{λ} sont les lignes de niveau d’une fonction V de classe C^{1} :

C_{λ} : V (x, y) = λ, λ ∈ ℝ.

Alors les courbes C_{λ} sont solutions de l’équation différentielle

(E)  V′_{x}(x, y)dx + V′_{y}(x, y)dy = 0.

• Cas général. Si l’équation h(x, y, λ) = 0 peut se mettre sous la forme λ = V (x, y), on est ramené au cas précédent. Sinon on écrit que sur chaque C_{λ} on a

\{ \begin{matrix}h(x, y, λ) = 0 \\ h′_{x}(x, y, λ)dx + h′_{y}(x, y, λ)dy = 0, \end{matrix}

et on essaie d’éliminer λ entre les 2 équations pour obtenir une équation ne faisant plus intervenir que x, y, dx, dy.

Exemple. Soit C_{λ} la famille des hyperboles équilatères de centre O passant par le point A(1, 0).

A′ (−1, 0)  0  x y  A (1, 0) C_{λ}

3. Problèmes géométriques conduisant à des équations différentielles du 1^{er} ordre 193 Les asymptotes de C_{λ} sont alors des droites orthogonales passant par O, soit

y = mx, y = −\frac{1}{m} x, m ∈ ℝ^{∗}.

Posons X = y − mx, Y = y + \frac{1}{m} x. L’équation de l’hyperbole cherchée s’écrit XY = C (constante),

(y − mx)(y + \frac{1}{m} x) = C,

y^{2} − x^{2} + (\frac{1}{m} − m)xy = C.

En faisant x = 1, y = 0 on trouve C = −1, d’où l’équation

C_{λ} : y^{2} − x^{2} + λxy + 1 = 0, λ ∈ ℝ,

avec λ = \frac{1}{m} − m (noter que m ↦ \frac{1}{m} − m est surjective de ℝ^{∗} sur ℝ). Sur C_{λ} on a :

\begin{aligned}λ & = \frac{x^{2} − y^{2} − 1}{xy}, \\ dλ & = 0 = \frac{(2xdx − 2ydy)xy − (x^{2} − y^{2} − 1)(xdy + ydx)}{x^{2}y^{2}}. \end{aligned}

L’équation différentielle des courbes C_{λ} est donc

\begin{matrix}(E) : (2x^{2}y − x^{2}y + y^{3} + y)dx + (−2xy^{2} − x^{3} + xy^{2} + x)dy = 0, \\ (E) : (x^{2} + y^{2} + 1)ydx − (x^{2} + y^{2} − 1)xdy = 0. \end{matrix}

3.2. Recherche des trajectoires orthogonales à une famille de courbes

Soient (C_{λ}), (Γ_{μ}) deux familles de courbes. Définition. On dit que C_{λ} et Γ_{λ} sont orthogonales si les tangentes à C_{λ} et Γ_{μ} sont orthogonales en tout point de C_{λ} ∩ Γ_{μ}, quels que soient λ et μ.

C_{λ}  Γ_{μ}

Problème. Étant donné une famille de courbes C_{λ}, trouver la famille (Γ_{μ}) des courbes qui sont orthogonales aux C_{λ}.

Pour cela, on suppose que l’on connaît une équation différentielle (E) satisfaite par les courbes C_{λ}, et on cherche l’équation différentielle (E^{⊥}) des courbes orthogonales Γ_{μ}. Distinguons quelques cas.

• (C_{λ}) satisfait (E) : y′ = f(x, y).

En un point (x, y) donné, la pente de la tangente à C_{λ} est y′ = f(x, y). La pente de la tangente à Γ_{μ} est donc −1/f(x, y). Les courbes (Γ_{μ}) sont donc solutions de

(E^{⊥}) : y′ = −\frac{1}{f(x, y)}.

• (C_{λ}) satisfait (E) : \frac{\overrightarrow{dM}}{dt} = \overrightarrow{V}(M) ⇔ \{ \begin{matrix}\frac{dx}{dt} & = a(x, y) \\ \frac{dy}{dt} & = b(x, y) \end{matrix} .

La tangente à C_{λ} est portée par \overrightarrow{V}(M), celle de (Γ_{μ}) est donc portée par le vecteur

orthogonal \overrightarrow{V}(M)^{⊥} ( \begin{matrix}−b(x, y) \\ a(x, y) \end{matrix} ). Par suite (Γ_{μ}) est solution de

(E^{⊥}) \{ \begin{matrix}\frac{dx}{dt} & = −b(x, y) \\ \frac{dy}{dt} & = a(x, y) \end{matrix}

• (C_{λ}) satisfait (E) : α(x, y)dx + β(x, y)dy = 0.

Alors (Γ_{μ}) vérifie (E^{⊥}) : −β(x, y)dx + α(x, y)dy = 0.

Cas particulier. Supposons que les courbes C_{λ} sont les lignes de niveau V (x, y) = λ de la fonction V. Elles vérifient alors

(E)  V′_{x}(x, y)dx + V′_{y}(x, y)dy = 0.

Leurs trajectoires orthogonales (Γ_{μ}) sont les lignes de champ du gradient \overrightarrow{grad} V :

(E^{⊥}) \{ \begin{matrix}\frac{dx}{dt} & = V′_{x}(x, y) \\ \frac{dy}{dt} & = V′_{y}(x, y) \end{matrix}

3. Problèmes géométriques conduisant à des équations différentielles du 1^{er} ordre 195 Exemple. Soit C_{λ} : y^{2} − x^{2} + λxy + 1 = 0 (cf. § 3.1). Nous avons vu que C_{λ} vérifie

(E) : (x^{2} + y^{2} + 1)ydx − (x^{2} + y^{2} − 1)xdy = 0.

Donc Γ_{μ} vérifie

\begin{aligned}(E^{⊥}) : & (x^{2} + y^{2} − 1)xdx + (x^{2} + y^{2} + 1)ydy = 0 \\ & ⇔ (x^{2} + y^{2})(xdx + ydy) − xdx + ydy = 0. \end{aligned}

Une intégrale première apparaît immédiatement :

d[\frac{1}{4} (x^{2} + y^{2})^{2} − \frac{x^{2}}{2} + \frac{y^{2}}{2} ] = 0

Les courbes Γ_{μ} sont donc les lignes de niveau

(x^{2} + y^{2})^{2} − 2x^{2} + 2y^{2} = μ, μ ∈ ℝ,

ce qui peut encore s’écrire (x^{2} + y^{2} + 1)^{2} − 4x^{2} = μ + 1,

(x^{2} − 2x + 1 + y^{2})(x^{2} + 2x + 1 + y^{2}) = μ + 1,
((x − 1)^{2} + y^{2})((x + 1)^{2} + y^{2}) = μ + 1,
MA · MA′ = C = \sqrt{μ + 1},

avec

M ( \begin{matrix}x \\ y \end{matrix} ) , A ( \begin{matrix}A \\ 0 \end{matrix} ) , A′ ( \begin{matrix}−1 \\ 0 \end{matrix} ) .

Les courbes MA · MA′ = C s’appellent des ovales de Cassini. Leur allure est la suivante.

y  x

3.3. Courbe de poursuite du chien

Nous présentons ici la célèbre ^{⟨⟨} courbe du chien ^{⟩⟩} comme exemple de courbe de poursuite. Voici le problème : un chien et son maître se déplacent l’un et l’autre à des vitesses scalaires constantes V (pour le chien) et v (pour le maître), avec V > v. On suppose que le maître se déplace en ligne droite, disons sur l’axe Ox, dans la direction positive, suivant la loi x = vt. A l’instant t = 0, le chien se trouve au point x = 0 y = r_{0}, à distance r_{0} du maître. Le chien cherche à rejoindre son maître en pointant son vecteur vitesse \overrightarrow{V} en direction du maître. Le problème est de déterminer la loi du mouvement C(t) du chien.

\overrightarrow{V}  \overrightarrow{V} M_{0} = O  M(t) ( \begin{matrix}vt \\ 0 \end{matrix} )  x y  α C_{0} ( \begin{matrix}0 \\ r_{0} \end{matrix} ) C(t) ( \begin{matrix}x(t) \\ y(t) \end{matrix} )

Notons α l’angle (non orienté) α = (Ox, \overrightarrow{CM}) et r = ∥\overrightarrow{CM}∥ ; on a bien entendu α = α(t) et r = r(t). Comme d’habitude en physique, on désignera par des points surlignants les dérivées temporelles ṙ(t) = dr/dt, α̇(t) = dα/dt, …. A l’instant t, la position et la vitesse du chien sont données par

\{ \begin{matrix}x(t) & = vt − r cos α,  ẋ(t) & = v − ṙ cos α + rα̇ sin α = V cos α, \\ y(t) & = r sin α,  ẏ(t) & = ṙ sin α + rα̇ cos α = −V sin α, \end{matrix}

Ces équations fournissent aisément l’expression de ṙ et rα̇ :

\{ \begin{matrix}ṙ & = v cos α − V, \\ rα̇ & = −v sin α. \end{matrix}

En prenant le quotient on élimine dt et on trouve donc

\frac{dr}{r dα} = −cotan α + \frac{V}{v} \frac{1}{sin α}.

Notons λ = V/v > 1 le rapport des vitesses respectives du chien et du maître. Après intégration, et compte tenu de ce que r = r_{0} et α = π/2 quand t = 0, il vient

ln r = − ln sin α + λ ln tan(α/2) + Cte ⟹ r = r_{0} \frac{tan(α/2)^{λ}}{sin α}

Nous en déduisons

\frac{dα}{dt} = α̇ = −\frac{v sin α}{r} = −\frac{v}{r_{0}} (sin α)^{2} tan(α/2)^{−λ}.

En posant θ = tan(α/2) et sin α = 2 sin \frac{α}{2} cos \frac{α}{2} = \frac{2θ}{1 + θ^{2}} , on trouve

dt = −\frac{r_{0}}{v} \frac{tan(α/2)^{λ}}{(sin α)^{2}} dα = −\frac{r_{0}}{2v} (1 + θ^{2})θ^{λ−2}dθ ⟹ t = \frac{r_{0}}{2v} (\frac{1 − θ^{λ−1}}{λ − 1} + \frac{1 − θ^{λ+1}}{λ + 1} )

compte tenu du fait que θ = 1 en t = 0. Par substitution dans les expressions de x et y, et d’après l’égalité tan α = 2θ/(1 − θ^{2}), on obtient les équations paramétriques de la ^{⟨⟨} courbe du chien ^{⟩⟩}, à savoir

\{ \begin{matrix}x = \frac{r_{0}}{2} (\frac{1 − θ^{λ−1}}{λ − 1} + \frac{1 − θ^{λ+1}}{λ + 1} ) − \frac{r_{0}}{2} (1 − θ^{2})θ^{λ−1}, y = r_{0}θ^{λ} \\ t = \frac{r_{0}}{2v} (\frac{1 − θ^{λ−1}}{λ − 1} + \frac{1 − θ^{λ+1}}{λ + 1} ),  θ ∈ [0, 1]. \end{matrix}

Au terme de la poursuite (y = θ = 0), le maître a parcouru la distance

x = \frac{λ}{λ^{2} − 1} r_{0} pendant le temps t = \frac{λ}{λ^{2} − 1} \frac{r_{0}}{v} .

C_{0} ( \begin{matrix}0 \\ r_{0} \end{matrix} )  M(t) ( \begin{matrix}vt \\ 0 \end{matrix} ) x y λ = V/v = 10 3, 0 2, 0  1, 5  1, 25

Remarque. Les équations ont encore un sens lorsque t < 0. On a dans ce cas α ∈ ]π/2, π[ , θ ∈ ]1, +∞[ , le chien se trouve dans le quadrant x > 0, y > r_{0} et se dirige vers le maître qui parcourt de son côté la demi-droite x < 0.

4. Équations différentielles du second ordre

4.1. Remarques générales

On considère une équation différentielle

(E)  y′′ = f(x, y, y′)

où f : U → ℝ, U ⊂ ℝ^{3}, est une application continue localement lipschitzienne en ses deuxième et troisième variables.

La solution générale y définie au voisinage d’un point x_{0} dépend alors de deux paramètres λ, μ ∈ ℝ qui apparaissent le plus souvent comme des constantes d’intégration :

y(x) = φ(x, λ, μ).

Le théorème de Cauchy-Lipschitz montre qu’on peut choisir y_{0} = y(x_{0}), y_{1} = y′(x_{0}) comme paramètres.

Il existe très peu de cas où on sait résoudre explicitement une équation du second ordre : même les équations linéaires du second ordre sans second membre ne se résolvent pas explicitement en général.

4.2. Équations incomplètes du second ordre

a) Équations du type (E) : y′′ = f(x, y′)

Si on considère la nouvelle fonction inconnue v = y′, (E) se ramène à l’équation du premier ordre

v′ = f(x, v).

La solution générale de cette dernière sera de la forme v(x, λ), λ ∈ ℝ, et on obtient donc

y(x) = ∫_{x_{0}}^{x} v(t, λ)dt + μ, μ ∈ ℝ.

b) Équations du type (E) : y′′ = f(y, y′)

La méthode consiste à prendre y comme nouvelle variable et v = y′ comme variable fonction inconnue (en la variable y).

• Il peut y avoir des solutions constantes y(x) = y_{0}, auquel cas y ne peut être choisi comme variable. On a donc des solutions singulières

y(x) = y_{j}, avec f(y_{j}, 0) = 0.

• Cas général

y′′ = \frac{dy′}{dx} = \frac{dy}{dx} · \frac{dy′}{dy} = v \frac{dv}{dy}

L’équation se ramène alors à l’équation du premier ordre

v \frac{dv}{dy} = f(y, v).

La résolution de cette dernière donne une solution générale v(y, λ), λ ∈ ℝ. On doit ensuite résoudre

y′ = v(y, λ) ⇔ \frac{dy}{v(y, λ)} = dx,

d’où la solution générale

∫ \frac{dy}{v(y, λ)} = x + μ, μ ∈ ℝ.

c) Équations du type (E) : y′′ = f(y)

C’est un cas particulier du cas b) précédent, mais on peut ici préciser davantage la méthode de résolution. On a en effet

y′y′′ = f(y)y′,

et en intégrant il vient \frac{1}{2} y^{′2} = φ(y) + λ, λ ∈ ℝ, où φ est une primitive de f. On obtient donc

y′ = ± \sqrt{2(φ(y) + λ)},

± \frac{dy}{\sqrt{2(φ(y) + λ)}} = dx,

± ∫_{y_{0}}^{y} \frac{du}{\sqrt{2(φ(u) + λ)}} = x + μ, μ ∈ ℝ.

Interprétation physique. On étudie la loi du mouvement d’un point matériel M de masse m astreint à se déplacer sur une courbe (C). On suppose que la composante tangentielle \overrightarrow{F_{T}} de la force \overrightarrow{F} qui s’exerce sur M ne dépend que de la position de M, repérée par son abscisse curviligne y sur (C).

(C)  M \overrightarrow{F_{N}}  \overrightarrow{F_{T}} \overrightarrow{F} y

Par hypothèse, il existe une fonction f telle que F_{T} = f(y). Le principe fondamental de la dynamique donne

F_{T} = mγ_{T} = m \frac{d^{2}y}{dt^{2}} ,

d’où

(E)  my′′ = f(y)

avec y′′ = d^{2}y/dt^{2}. On en déduit my′y′′ − f(y)y′ = 0, donc \frac{1}{2} my^{′2} − φ(y) = λ, où φ est une primitive de f. La quantité \frac{1}{2} my^{′2} = E_{c} est ^{⟨⟨} l’énergie cinétique ^{⟩⟩} de la particule tandis que

−φ(y) = − ∫ f(y)dy = − ∫ \overrightarrow{F_{T}}(M) · \overrightarrow{dM} = − ∫ \overrightarrow{F}(M) · \overrightarrow{dM}

est ^{⟨⟨} l’énergie potentielle ^{⟩⟩} E_{p}. L’énergie totale

E_{t} = E_{c} + E_{p} = \frac{1}{2} my^{′2} − φ(y)

est constante quel que soit le mouvement du point M. On dit que U(y, y′) = \frac{1}{2} my^{′2} −φ(y) est une ^{⟨⟨} intégrale première ^{⟩⟩} de (E) (dans le sens que c’est une relation différentielle obtenue à l’aide d’une première intégration de l’équation du second ordre, une deuxième intégration restant nécessaire pour établir la loi du mouvement). Si E_{t} désigne l’énergie totale, la loi du mouvement est donnée par

t − t_{0} = ±\sqrt{m/2} ∫_{y_{0}}^{y} \frac{du}{\sqrt{E_{t} + φ(u)}}

au voisinage de tout donnée initiale (t_{0}, y_{0}, y′_{0}) telle que \frac{1}{2}my_{0}^{′2} = E_{t} + φ(y_{0}) > 0.

Complément. Supposons que la fonction f : ℝ → ℝ soit de classe C^{1}, strictement décroissante et telle que f(0) = 0 ; on a donc en particulier f(y) > 0 pour y < 0 et f(y) < 0 pour y < 0 (physiquement, ceci signifie que la force est une^{⟨⟨} force de rappel ^{⟩⟩} vers la position neutre y = 0, dont l’intensité s’accroît avec la distance à la position neutre). Alors les solutions maximales t ↦ y(t) sont périodiques. Pour le voir, posons par exemple φ(u) = ∫_{0}^{u} f(y)dy et observons que φ est une fonction concave négative ou nulle, passant par un maximum en φ(0) = 0. Comme \frac{1}{2}my^{′2} − φ(y) = E_{t} avec y^{′2} ⩾ 0 et −φ(y) > 0 si y ≠ 0, les solutions non triviales n’existent que pour une valeur E_{t} > 0 de l’énergie totale, et elles vérifient |y′| ⩽ \sqrt{2E_{t}/m} et −φ(y) ⩽ E_{t}. De plus, si a < 0, b > 0 sont les uniques réels négatif et positif tels que φ(a) = φ(b) = −E_{t}, on a a ⩽ y(t) ⩽ b pour tout t. Ceci implique déjà que les solutions maximales sont définies sur ℝ tout entier [si par exemple une solution maximale n’était définie que sur un intervalle ouvert ]t_{1}, t_{2}[, le critère de Cauchy uniforme montrerait que y se prolonge par continuité à droite en t_{1} et à gauche en t_{2}, puisque y est lipschitzienne de rapport ≤ \sqrt{2E_{t}/m}, et de même y′ et y′′ se prolongeraient grâce à la relation y′′ = \frac{1}{m}f(y) ; l’existence de solutions locales au voisinage de t_{1} et t_{2} contredirait alors la maximalité de y]. La relation \frac{1}{2}my^{′2} − φ(y) = E_{t} montre que y′ ≠ 0 lorsque a < y < b (car on a alors −φ(y) < E_{t}). Par continuité, la fonction y′ est donc de signe constant sur tout intervalle de temps où a < y < b. La solution explicite donnée plus haut montre que y est alternativement croissant de a à b puis décroissant de b à a, avec demi-période

\frac{T}{2} = \sqrt{m/2} ∫_{a}^{b} \frac{du}{\sqrt{E_{t} + φ(u)}},

et, en choisissant t_{0} tel que y(t_{0}) = min y = a, on a les relations

\begin{matrix}t = t_{0} + \sqrt{m/2} ∫_{a}^{y} \frac{du}{\sqrt{E_{t} + φ(u)}} + nT, & t ∈ [t_{0} + nT, t_{0} + nT + T/2], \\ t = t_{0} − \sqrt{m/2} ∫_{a}^{y} \frac{du}{\sqrt{E_{t} + φ(u)}} + (n + 1)T, & t ∈ [t_{0} + nT + T/2, t_{0} + (n + 1)T]. \end{matrix}

On observera que l’intégrale donnant la période T est convergente, car on a φ′(a) = f(a) > 0, φ′(b) = f(b) < 0, de sorte que E_{t} + φ(u) ∼ f(a)(u − a) au voisinage de a, et de même au voisinage de b.

Exemple. Mouvement d’un pendule simple de masse m suspendu à un fil de longueur l.

l θ  m y \overrightarrow{T} \overrightarrow{F} \overrightarrow{FT} \overrightarrow{P} = m\overrightarrow{g} θ

On a ici y = lθ et F_{T} = P sin θ = −mg sin θ, d’où

\begin{matrix}mlθ′′ = −mg sin θ, \\ θ′′ = −\frac{g}{l} sin θ. \end{matrix}

L’énergie totale est

E_{t} = E_{c} + E_{p} = \frac{1}{2} my^{′2} − mgl cos θ = \frac{1}{2} ml^{2}θ^{′2} − mgl cos θ.

Les solutions t ↦ θ(t) vérifient

\begin{matrix}θ^{′2} − \frac{2g}{l} cos θ = λ = \frac{2E_{t}}{ml^{2}} ,  λ ∈ ℝ, \\ ± ∫_{0}^{θ} \frac{dφ}{\sqrt{λ + \frac{2g}{l} cos φ}} = t − t_{0},  t_{0} ∈ ℝ. \end{matrix}

L’intégrale ne se calcule pas explicitement, sauf si λ = \frac{2g}{l}, auquel cas

t − t_{0} = ±\sqrt{\frac{l}{g}} ∫_{0}^{θ} \frac{dφ}{2 cos φ/2} = ±\sqrt{\frac{l}{g}} ln tan (\frac{θ}{4} + \frac{π}{4} ),

et le pendule atteint la position verticale haute θ = ±π en un temps infini. Dans les autres cas, les solutions maximales sont périodiques. Si λ < 2g/l, l’équation différentielle implique cos θ ≥ −λl/2g > −1 et l’amplitude angulaire est donc majorée en valeur absolue par une amplitude maximale θ_{m} ∈ ]0, π[ telle que cos θ_{m} = −λl/2g ; dans ce cas le mouvement est oscillatoire autour de la position d’équilibre θ = 0 (ceci correspond à la situation étudiée dans la remarque, avec une fonction f(θ) = − sin θ strictement décroissante sur [−θ_{m}, θ_{m}]). La demi-période est donnée par

\frac{T}{2} = ∫_{−θ_{m}}^{θ_{m}} \frac{dφ}{\sqrt{λ + \frac{2g}{l} cos φ}} = 2 ∫_{0}^{θ_{m}} \frac{dφ}{\sqrt{λ + \frac{2g}{l} cos φ}}.

Si λ > 2g/l, on n’est plus dans la situation de la remarque, mais on a cependant encore un mouvement périodique de demi-période

\frac{T}{2} = ∫_{0}^{π} \frac{dφ}{\sqrt{λ + \frac{2g}{l} cos φ}},

le pendule effectuant des rotations complètes sans jamais changer de sens de rotation.

En physique, on s’intéresse généralement aux oscillations de faible amplitude du pendule. Ceci permet de faire l’approximation usuelle sin θ ≃ θ et on obtient alors les solutions approchées classiques θ = θ_{m} cos ω(t−t_{0}) avec ω = \sqrt{g/l}. Nous reviendrons sur cette question au paragraphe 2.4 du chapitre XI, et nous indiquerons en particulier une méthode permettant d’évaluer l’erreur commise.

4.3. Équations linéaires homogènes du second ordre

La théorie générale des équations et systèmes différentiels linéaires sera faite au chapitre suivant. Indiquons un cas où l’on peut se ramener à un calcul de primitives. Soit

(E)  a(x)y′′ + b(x)y′ + c(x)y = 0.

Supposons qu’on connaisse une solution particulière y_{(1)} de (E). On peut alors chercher la solution générale par la méthode de variation des constantes :

y(x) = λ(x)y_{(1)}(x).

Il vient

a(x)(λ′′y_{(1)} + 2λ′y′_{(1)} + λy′′_{(1)}) + b(x)(λ′y_{(1)} + λy′_{(1)}) + c(x)λy_{(1)} = 0,

λ(a(x)y′′_{(1)} + b(x)y′_{(1)} + c(x)y_{(1)}) + λ′(2a(x)y′_{(1)} + b(x)y_{(1)}) + λ′′a(x)y_{(1)} = 0,

λ′(2a(x)y′_{(1)} + b(x)y_{(1)}) + λ′′a(x)y_{(1)} = 0.

La fonction μ = λ′ est donc solution d’une équation différentielle linéaire du premier ordre, qui se peut se récrire

\frac{μ′}{μ} = \frac{λ′′}{λ′} = −2 \frac{y′_{(1)}}{y_{(1)}} − \frac{b(x)}{a(x)}.

La solution générale est donnée par μ = αμ_{(1)}, α ∈ ℝ, d’où λ = αλ_{(1)} + β, β ∈ ℝ, où λ_{(1)} est une primitive de μ_{(1)}. La solution générale de (E) est donc :

y(x) = αλ_{(1)}(x)y_{(1)}(x) + βy_{(1)}(x), (α, β) ∈ ℝ^{2}.

Les solutions forment un espace vectoriel de dimension 2.

Exercice I. Résoudre x^{2}(1 − x^{2})y′′ + x^{3}y′ − 2y = 0 en observant que y_{(1)}(x) = x^{2} est solution.

4.4.* Équations différentielles issues de problèmes variationnels

Les problèmes variationnels conduisent très souvent à la résolution d’équations différentielles du second ordre. Avant de donner un exemple, nous allons résoudre un problème variationnel général dans une situation simple. On considère un opérateur fonctionnel (c’est-à-dire une fonction dont la variable est une fonction)

\begin{matrix}φ : C^{2}([a, b]) & → ℝ \\ u & ↦ φ(u) = ∫_{a}^{b} F (x, u(x), u′(x))dx, \end{matrix}

où F : [a, b] × ℝ × ℝ → ℝ, (x, y, z) ↦ F (x, y, z) est une application de classe C^{2}. Le problème typique du calcul des variations est de rechercher les extrema de φ(u) lorsque u décrit C^{2}([a, b]) avec la ^{⟨⟨} contrainte aux bornes ^{⟩⟩} suivante : les valeurs aux bornes de l’intervalle u(a) = u_{1}, u(b) = u_{2} sont fixées.

Soit h ∈ C^{2}([a, b]) avec h(a) = h(b) = 0. Pour tout t ∈ ℝ, la fonction u + th vérifie la même contrainte aux bornes que la fonction u. Si u est un extremum de φ sous les conditions précisées plus haut, alors t = 0 est un extremum de la fonction d’une variable réelle

ψ_{h}(t) = φ(u + th) = ∫_{a}^{b} F (x, u(x) + th(x), u′(x) + th′(x))dx.

On doit donc avoir ψ′(0) = 0, et ceci quel que soit la fonction h ∈ C^{2}([a, b]) vérifiant h(a) = h(b) = 0. D’après le théorème de dérivation sous le signe somme il vient

ψ′_{h}(0) = ∫_{a}^{b}(h(x)F′_{y}(x, u, u′) + h′(x)F′_{z}(x, u, u′))dx.

En intégrant par parties le terme en h′(x) on obtient

ψ′_{h}(0) = ∫_{a}^{b} h(x)(F′_{y}(x, u, u′) − \frac{d}{dx} F′_{z}(x, u, u′))dx.

Par densité de l’ensemble des fonctions h considérées dans l’espace L^{1}([a, b]) des fonctions intégrables sur [a, b], on aura donc ψ′_{h}(0) = 0 pour tout h si et seulement si u satisfait l’équation différentielle

(E)  F′_{y}(x, u, u′) − \frac{d}{dx} (F′_{z}(x, u, u′)) = 0,

ou encore :

F′_{y}(x, u, u′) − F′′_{xz}(x, u, u′) − u′F′′_{yz}(x, u, u′) − u′′F′′_{zz}(x, u, u′) = 0.

Cette équation différentielle du second ordre en u est appelée équation d’Euler-Lagrange associée au problème variationnel défini par l’opérateur φ.

Application à la chaînette^{∗}. On cherche à déterminer la courbe représentant la position à l’équilibre d’un fil souple inextensible de masse linéique μ = dm/ds constante, lorsque ce fil est suspendu par ses extrémités en des points situés à la même hauteur (cette courbe est appelée ^{⟨⟨} chaînette ^{⟩⟩}). On admettra comme physiquement évident que la courbe cherchée est symétrique et située dans le plan vertical contenant les extrémités. Soit Oxy un repère orthonormé de ce plan tel que Oy est la verticale orienté vers le haut et passant par le point le plus bas de la courbe, les extrémités ayant pour coordonnées (±a, 0). Soit enfin s ∈ [−ℓ/2, ℓ/2] l’abscisse curviligne mesurée le long du fil avec le point le plus bas pris comme origine (ℓ désigne la longueur du fil). La position d’équilibre correspond à la position la plus basse possible du centre de gravité G. Par symétrie, on a (x étant choisi comme variable) :

y_{G} = \frac{1}{m/2} ∫_{0}^{a} y dm = \frac{1}{μℓ/2} ∫_{0}^{a} yμ ds = \frac{2}{ℓ} ∫_{0}^{a} y ds,

où m = μℓ est la masse du fil. Une intégration par parties donne

\begin{aligned}y_{G} & = \frac{2}{ℓ} [ys]_{0}^{a} − \frac{2}{ℓ} ∫_{0}^{a} s dy \\ & = −\frac{2}{ℓ} ∫_{0}^{a} s dy = −\frac{2}{ℓ} ∫_{0}^{a} s\sqrt{s^{′2} − 1} dx \end{aligned}

avec s′ = ds/dx = \sqrt{dx^{2} + dy^{2}}/dx. Le problème revient donc à déterminer les fonctions s = s(x) réalisant le maximum de l’opérateur

φ(s) = ∫_{0}^{a} s\sqrt{s^{′2} − 1} dx,

avec les contraintes s(0) = 0, s(a) = ℓ/2. L’équation d’Euler-Lagrange appliquée à F (x, s, t) = s\sqrt{t^{2} − 1} donne

\sqrt{s^{′2} − 1} − \frac{d}{dx} (\frac{ss′}{\sqrt{s^{′2} − 1}}) = \sqrt{s^{′2} − 1} − \frac{s^{′2} + ss′′}{\sqrt{s^{′2} − 1}} + \frac{ss^{′2}s′′}{(s^{′2} − 1)^{3/2}} = 0.

Après multiplication par (s^{′2} − 1)^{3/2} on obtient l’équation

(E)  (s^{′2} − 1)^{2} − (s^{′2} − 1)(s^{′2} + ss′′) + ss^{′2}s′′ = 1 − s^{′2} + ss′′ = 0.

On résout cette équation grâce à la méthode décrite au paragraphe 4.2.b), consistant à choisir s comme nouvelle variable et v = s′ comme nouvelle fonction inconnue. Il vient successivement

s′′ = \frac{ds′}{dx} = \frac{ds}{dx} · \frac{ds′}{ds} = v \frac{dv}{ds} ,
(E) ⇒ 1 − v^{2} + sv \frac{dv}{ds} = 0,
\frac{ds}{s} = \frac{vdv}{v^{2} − 1} ⇒ ln s = \frac{1}{2} ln(v^{2} − 1) + C,
s = λ\sqrt{v^{2} − 1} = λ\sqrt{s^{′2} − 1},
s′ = \frac{ds}{dx} = \sqrt{1 + \frac{s^{2}}{λ^{2}}} ⇒ dx = \frac{ds}{\sqrt{1 + s^{2}/λ^{2}}} ,
x = λ Argsinh \frac{s}{λ} ⇒ s = λ sinh \frac{x}{λ},
\frac{ds}{dx} = \sqrt{1 + (\frac{dy}{dx})^{2}} = ch \frac{x}{λ} ⇒ \frac{dy}{dx} = sinh \frac{x}{λ}.

On en déduit l’équation de la chaînette, en tenant compte du fait que y(a) = 0 :

y = λ( cosh \frac{x}{λ} − cosh \frac{a}{λ}).

Le paramètre λ se calcule à partir de la relation λ sinh a/λ = ℓ/2, obtenue en égalant s(a) = ℓ/2.

Remarque. Notre raisonnement n’est pas parfaitement rigoureux dans la mesure où F (x, s, t) = s\sqrt{t^{2} − 1} est de classe C^{2} seulement sur ℝ×ℝ×\{|t| > 1\}, alors que |s′| est ≥ 1 mais prend la valeur 1 pour x = 0 (on notera que ds/dx = 1/ cos θ où θ est l’angle de la tangente à la courbe avec l’axe Ox). Supposons s′(x) > 1 pour x > 0, comme c’est le cas pour la solution physique observée. Le raisonnement de dérivation sous la signe somme et l’intégration par parties appliqués dans les considérations générale du début fonctionnent encore pour |t| petit si on suppose h(x) = 0 sur un voisinage de 0 (et aussi bien sûr h(a) = 0).

Ces fonctions h sont encore denses dans L^{1}([0, a]), donc s doit effectivement satisfaire l’équation différentielle (E) sur ]0, a].

Calcul de géodésiques^{∗∗}. Nous étudions ici une autre application importante du calcul des variations, à savoir le calcul des géodésiques d’une surface (ou d’une variété de dimension plus grande). Si nous avons une surface S ⊂ ℝ^{3} donnée comme un graphe z = h(x, y) d’une fonction h : Ω → ℝ sur un ouvert Ω ⊂ ℝ^{2}, l’élément de longueur infinitésimal de la surface S est donné pour tout (x, y) ∈ Ω par

\begin{aligned}ds^{2} & = dx^{2} + dy^{2} + dz^{2} = dx^{2} + dy^{2} + (h′_{x}dx + h′_{y}dy)^{2} \\ & = (1 + h_{x}^{′ 2})dx^{2} + 2h′_{x}h′_{y}dx dy + (1 + h_{y}^{′ 2})dy^{2}. \end{aligned}

Plus généralement, une métrique riemannienne sur un ouvert Ω ⊂ ℝ^{m} est une expression de l’élément de longueur infinitésimal par une forme quadratique définie positive, dépendant du point x ∈ Ω considéré :

ds^{2} = q(x, dx) = ∑_{1⩽i,j⩽m} a_{ij}(x) dx_{i}dx_{j}

(avec une matrice symétrique (a_{ij}(x)) définie positive). On supposera en outre que les coefficients a_{ij}(x) sont suffisamment réguliers, disons de classe C^{2}. Étant donné une courbe γ : [a, b] → Ω de classe C^{1}, sa longueur (riemannienne) est par définition

\begin{matrix}ds = ∥γ′(t) dt∥_{q} = \sqrt{q(γ(t), γ′(t)dt)} = \sqrt{∑_{1⩽i,j⩽m} a_{ij}(γ(t)) γ′_{i}(t)γ′_{j}(t)} dt, \\ lg(γ) = ∫_{a}^{b} ds = ∫_{a}^{b} \sqrt{∑_{1⩽i,j⩽m} a_{ij}(γ(t)) γ′_{i}(t)γ′_{j}(t)} dt. \end{matrix}

Pour deux points x, y ∈ Ω, la distance géodésique d_{q}(x, y) est par définition inf_{γ} lg(γ) pour tous les chemins γ : [a, b] → Ω de classe C^{1} d’extrêmités γ(a) = x, γ(b) = y. Si un chemin réalise l’infimum, on dit qu’il s’agit d’une géodésique de la métrique riemannienne (on notera qu’en général un tel chemin n’existe pas nécessairement, et s’il existe il peut ne pas être unique). Un problème fondamental est de déterminer l’équation des géodésiques afin entre autres de calculer la distance géodésique. Pour cela il est commode d’introduire ^{⟨⟨} l’énergie d’un chemin ^{⟩⟩} qui est par définition

E(γ) = ∫_{a}^{b} ∥γ′(t)∥_{q}^{2} dt = ∫_{a}^{b} ∑_{1⩽i,j⩽m} a_{ij}(γ(t)) γ′_{i}(t)γ′_{j}(t) dt.

L’inégalité de Cauchy-Schwarz donne

( ∫_{a}^{b} ∥γ′(t)∥_{q} dt)^{2} = ( ∫_{a}^{b} 1 · ∥γ′(t)∥_{q} dt)^{2} ⩽ (b − a) ∫_{a}^{b} ∥γ′(t)∥_{q}^{2} dt

soit lg(γ) ⩽ ((b − a)E(γ))^{1/2}, avec égalité si et seulement si

\frac{ds}{dt} = ∥γ′(t)∥_{q} = Cte,

condition qui peut toujours être réalisée en reparamétrisant le chemin γ par son abscisse curviligne s. Il en résulte que les chemins qui minimisent l’énergie sont exactement les géodésiques paramétrées par l’abscisse curviligne (à un facteur constant près). Or la fonctionnelle d’énergie γ ↦ E(γ) admet pour différentielle

\begin{aligned}E′(γ) · h & = ∫_{a}^{b} ( ∑_{i,j,k} \frac{∂a_{ij}}{∂x_{k}} (γ(t)) γ′_{i}(t)γ′_{j}(t)h_{k}(t) + 2 ∑_{i,j} a_{ij}(γ(t)) γ′_{i}(t)h′_{j}(t)) dt \\ & = ∫_{a}^{b} ∑_{k} h_{k}(t)( ∑_{i,j} \frac{∂a_{ij}}{∂x_{k}} (γ(t)) γ′_{i}(t)γ′_{j}(t) − 2\frac{d}{dt} ∑_{i} a_{ik}(γ(t)) γ′_{i}(t)) dt \end{aligned}

après intégration par parties (on suppose bien sûr h_{j}(a) = h_{j}(b) = 0). Il en résulte que le coefficient de chaque terme h_{k}(t) doit être identiquement nul. En multipliant par −1/2 et en développant la dérivée d/dt, on obtient le système d’équations d’Euler-Lagrange caractérisant les géodésiques :

∑_{i} a_{ik}(γ(t)) γ′′_{i}(t) + ∑_{i,j} (\frac{∂a_{ik}}{∂x_{j}} − \frac{1}{2} \frac{∂a_{ij}}{∂x_{k}} )(γ(t)) γ′_{i}(t)γ′_{j}(t) = 0, 1 ⩽ k ⩽ m.

5. Problèmes

5.1. On considère l’équation différentielle à variables séparées

(F_{α})  \frac{dy}{dt} = y^{α} + 1,  α > 0.

(a) Exprimer la solution générale de (F_{α}) en introduisant la fonction auxiliaire

G(y) = ∫_{0}^{y} \frac{dx}{x^{α} + 1}

(b) Plus précisément :

• Déterminer (en distinguant les deux cas 0 < α ≤ 1 et α > 1) le comportement de G(y) sur [0, +∞[ ;

• en déduire dans chaque cas l’allure des solutions maximales de (F_{α}) ;

• traiter complètement et explicitement les deux cas α = 1 et α = 2.

5.2. Résoudre l’équation différentielle y′(x) + xy(x) = x^{3}y(x)^{3} avec condition initiale y(0) = 1. Indication. On pourra étudier la fonction z(x) = y(x)^{−2}.

5.3. On considère l’équation différentielle

xy′ − y^{2} + (2x + 1)y = x^{2} + 2x.

(a) Possède-t-elle une solution particulière de type polynôme ? En donner la solution générale.

(b) Quelle est l’équation de l’isocline de pente 0 dans le nouveau repère de vecteurs de base ((1, 1), (0, 1)) ? Dessiner cette isocline en précisant les tangentes aux points d’abscisse 0 dans l’ancien repère.

(c) Dessiner l’allure générale des solutions.

(d) Soit (x_{0}, y_{0}) un point de ℝ^{2}. Combien passe-t-il de solutions maximales de classe C^{1} par (x_{0}, y_{0}) ? On précisera l’intervalle de définition de ces solutions et le cas échéant on indiquera les solutions globales.

5.4. On considère l’équation différentielle

\frac{dy}{dt} = y^{2} − (2x − 1)y + x^{2} − x + 1.

(a) Déterminer explicitement les solutions de cette équation ; on pourra commencer par chercher s’il existe des solutions polynomiales simples.

(b) Montrer que les courbes intégrales maximales correspondant à des solutions non polynomiales forment deux familles de courbes se déduisant les unes des autres par translations. Tracer celles de ces courbes qui sont asymptotes à l’axe y′Oy.

5.5. On considère l’équation différentielle (1) y^{′2} = yy′ + x, où y est une fonction de x à valeurs réelles, de classe C^{1} par morceaux.

(a) Par quels points (x, y) de ℝ^{2} passe-t-il une solution de (1) ? Faire un graphique.

(b) En paramétrant (1) par dy = tdx, montrer que y est solution d’une équation différentielle (2) f(y, t, \frac{dy}{dt} ) = 0.

(c) Intégrer (2) puis (1) ; on pourra poser t = tan φ avec φ ∈ ] − \frac{π}{2} , \frac{π}{2} [. On obtient une famille de courbes C_{λ} dépendant d’un paramètre λ.

(d) Pour λ = 0 préciser les limites quand φ → \frac{π}{2} − 0 de x, y, y/x, puis préciser \frac{dx}{dφ} et \frac{dy}{dφ}. Quelle est la norme euclidienne du vecteur (\frac{dx}{dφ}, \frac{dy}{dφ}) ? On se rappellera que \frac{dy}{dx} = tan φ.

(e) On pose z(φ) = \sqrt{(\frac{dx}{dφ})^{2} + (\frac{dy}{dφ})^{2}} pour 0 ≤ φ ≤ \frac{π}{2} . Etudier les variations de z(φ) puis tracer la courbe C_{0}.

5.6. Trouver toutes les solutions de l’équation différentielle xy′′(x) − y′(x) = x^{2}.

5.7. On considère la famille de paraboles (P_{λ}) d’équation

P_{λ} : x = y^{2} + λy.

(a) Montrer que ces courbes sont solutions d’une équation différentielle du premier ordre que l’on précisera.

(b) Déterminer la famille des courbes orthogonales aux courbes (P_{λ}).

5.8. On considère la famille de courbes (C_{λ}) dans ℝ^{2} définies par l’équation

x^{2} − y^{2} + λy^{3} = 0,

où λ est un paramètre réel.

(a) Tracer les courbes (C_{0}), (C_{1}) dans un repère orthonormé Oxy (unité : 4 cm). Quelle relation existe-t-il entre (C_{1}) et (C_{λ}) ?

(b) Montrer que les courbes (C_{λ}) sont solutions d’une équation différentielle du premier ordre.

(c) Déterminer l’équation des trajectoires orthogonales aux courbes (C_{λ}). Quelle est la nature de ces courbes ? Représenter la trajectoire orthogonale passant par le point (1, 0) sur le même schéma que (C_{0}) et (C_{1}).

5.9. On considère dans le plan euclidien ℝ^{2} la famille de courbes

(C_{λ}) x^{4} = y^{4} + λx.

(a) Déterminer l’équation différentielle vérifiée par la famille (C_{λ}).

(b) Écrire l’équation différentielle des trajectoires orthogonales aux courbes (C_{λ}).

En observant que cette équation est d’un type classique, déterminer l’équation des trajectoires orthogonales.

5.10. On considère le problème de Cauchy

(P)  y′ = t^{2} + y^{2} + 1 ;  y(0) = 0.

(a) Soient T et R deux réels > 0, et soit Ω(T, R) le rectangle défini par les inégalités

0 ≤ t ≤ T ; −R ≤ y ≤ R.

(α) Montrer que si la condition

T^{2} + R^{2} + 1 ≤ R/T

est vérifiée, alors Ω(T, R) est un rectangle de sécurité pour (P).

(β) Montrer que pour T > 0 suffisamment petit, par exemple pour T < T_{0} =

\sqrt{\frac{\sqrt{2}−1}{2}}, il existe R > 0 tel que Ω(T, R) soit un rectangle de sécurité pour (P).

(γ) Montrer que Ω(1/3, 2) est un rectangle de sécurité pour (P), et en déduire avec précision que (P) admet une solution y et une seule sur l’intervalle [0, 1/3].

(b) On va montrer que la solution y de (P) mise en évidence en (a) (γ) ne se prolonge pas à [0, +∞[. On introduit à cet effet le problème de Cauchy auxiliaire

(P_{1})  z′ = z^{2} + 1,  z(0) = 0,

où z désigne une nouvelle fonction inconnue de t.

(α) Déterminer explicitement l’unique solution z de (P_{1}), et indiquer son intervalle de définition maximal.

(β) Soit [0, T] un intervalle sur lequel y et z soient simultanément définies. Montrer que u = y − z est solution d’un problème de Cauchy

(P_{2})  u′ = a(t)u + b(t) ;  u(0) = 0 ;

où b vérifie b(t) ≥ 0 pour tout t dans [0, T]. En déduire que y(t) ≥ z(t) pour tout t dans [0, T].

(γ) Déduire de ce qui précède que si T ≥ \frac{π}{2} , alors y ne se prolonge certainement pas jusqu’à t = T.

(δ) Tracer avec le maximum de précision possible le graphe de y sur son intervalle de définition maximal [0, T_{1}[ (forme du graphe au voisinage de 0 ; sens de variation, convexité ; asymptote ; etc).

5.11. On étudie ici une méthode alternative pour déterminer l’équation de la chaînette. Dans un plan vertical Oxy assimilé à ℝ^{2} (où Oy est la direction verticale pointant vers le haut), on considère un fil souple de longueur ℓ > 0 dont les extrémités sont fixées à des points de même hauteur, notés (−a, 0) et (a, 0), avec a > 0. La position d’équilibre du fil est le graphe d’une fonction f qui minimise l’énergie potentielle P (f) = ∫ gy dm sous la contrainte de longueur L(f) = ∫ ds = ℓ. On a plus précisément ds = \sqrt{dx^{2} + dy^{2}}, dm = μ ds où μ est la masse linéïque, d’où

L(f) = ∫_{−a}^{a} \sqrt{1 + f′(x)^{2}} dx , P (f) = μg ∫_{−a}^{a} f(x)\sqrt{1 + f′(x)^{2}} dx ,

On considère l’espace de Banach

E = {f ∈ C^{1}([−a, a], ℝ) | f(−a) = f(a) = 0} ,

muni de la norme

∥f∥ = sup_{x∈[−a,a]} |f(x)| + sup_{x∈[−a,a]} |f′(x)| .

Les fonctionnelles L, P définissent des applications L, P : E → ℝ.

(a) Vérifier que les applications L, P sont différentiables, et calculer leurs différentielles respectives en tout point f ∈ E.

(b) Soit ℓ > 2a. Déterminer la fonction f ∈ E qui minimise la quantité P (f) sous la contrainte L(f) = ℓ.

Indication. C’est un problème “d’extremas liés”. On admettra ici que l’infimum existe, et qu’il est atteint en un point f ∈ E ∩ C^{2}([−a, a]).

5.12^{∗∗}. On appelle métrique de Poincaré du disque unité D = {|z| < 1} du plan complexe la métrique riemannienne

ds^{2} = \frac{|dz|^{2}}{(1 − |z|^{2})^{2}} = \frac{dx^{2} + dy^{2}}{(1 − (x^{2} + y^{2}))^{2}} , z = x + iy.

(a) Montrer (avec les notations du § 4.4, et en gardant les fonctions complexes dans les calculs) que la différentielle de l’énergie est donnée par

E(γ) · h = 2 Re ∫_{a}^{b} (\frac{γ′(t)}{(1 − γ(t)\overline{γ(t)})^{2}} \overline{h′(t)} + 2\frac{γ(t)γ′(t)\overline{γ′(t)}}{(1 − γ(t)\overline{γ(t)})^{3}} \overline{h(t)}) dt.

En déduire que l’équation d’Euler-Lagrange des géodésiques est

γ′′(t) + \frac{2γ′(t)^{2}\overline{γ(t)}}{1 − γ(t)\overline{γ(t)}} = 0.

(b) Montrer que le chemin γ(t) = tanh(kt) (qui décrit le diamètre ] − 1, 1[ du disque) est solution de l’équation pour tout k ∈ ℝ_{+}^{∗}.

(c) Montrer que si t ↦ γ(t) est solution, alors t ↦ λγ(t) est encore solution pour tout nombre complexe λ de module 1, et également que h_{a} ∘ γ est solution, pour toute homographie complexe h_{a} de la forme

h_{a}(z) = \frac{z + a}{1 + \overline{a}z} , a ∈ D.

(d) En utilisant un argument d’unicité des solutions du problème de Cauchy, montrer que les géodésiques sont toutes données par γ(t) = h_{a}(λ tanh(kt)), a ∈ D, |λ| = 1, k ∈ ℝ_{+}^{∗} [on pourra calculer γ(0) et γ′(0)].

(e) Montrer que les trajectoires des géodésiques sont les diamètres et les arcs de cercle orthogonaux au cercle unité |z| = 1.

Chapitre VII

Systèmes différentiels linéaires

Les systèmes différentiels linéaires ont une grande importance pratique, car de nombreux phénomènes naturels peuvent se modéliser par de tels systèmes, au moins en première approximation. On sait d’autre part résoudre complétement les systèmes à coefficients constants, le calcul des solutions se ramenant à des calculs d’algèbre linéaire (diagonalisation ou triangulation de matrices). Dans toute la suite, 𝕂 désigne l’un des corps ℝ ou ℂ.

1. Généralités

1.1. Définition

Un système différentiel linéaire du premier ordre dans 𝕂^{m} est une équation

(E)  \frac{dY}{dt} = A(t)Y + B(t)

où Y (t) = ( y_{1}(t) ; ⋮ ; y_{m}(t) ) ∈ 𝕂^{m} est la fonction inconnue et où

A(t) = (a_{ij}(t))_{1≤i,j≤m} ∈ M_{m}(𝕂), B(t) = ( b_{1}(t) ; ⋮ ; b_{m}(t) ) ∈ 𝕂^{m}

sont des fonctions continues données :

A : I → M_{m}(𝕂) = {matrices carrées m × m sur 𝕂},
B : I → 𝕂^{m},

définies sur un intervalle I ⊂ ℝ.

On observe que la fonction f(t, Y) = A(t)Y + B(t) est continue sur I × 𝕂^{m} et lipschitzienne en Y de rapport

k(t) = |||A(t)|||.

D’après le critère V 3.4 sur l’existence de solutions globales, on peut énoncer :

Théorème. Par tout point (t_{0}, V_{0}) ∈ I × 𝕂^{m} il passe une solution maximale unique, définie sur I tout entier.

1.2. Cas d’un système linéaire sans second membre

On entend par là un système linéaire avec B = 0 identiquement :

(E_{0})  \frac{dY}{dt} = A(t)Y.

Soit 𝒮 l’ensemble des solutions maximales. Alors pour tous Y_{(1)}, Y_{(2)} ∈ 𝒮 et tous scalaires λ_{1}, λ_{2} ∈ 𝕂 on a λ_{1}Y_{(1)} + λ_{2}Y_{(2)} ∈ 𝒮, donc 𝒮 est un 𝕂-espace vectoriel. Considérons l’application d’évaluation au temps t_{0} :

\begin{matrix}ϕ_{t_{0}} : 𝒮 & → 𝕂^{m} \\ Y & ↦ Y (t_{0}). \end{matrix}

ϕ_{t_{0}} est un isomorphisme linéaire, la surjectivité provenant du théorème d’existence, et l’injectivité du théorème d’unicité relatif au problème de Cauchy.

Conséquence. L’ensemble 𝒮 des solutions maximales est un espace vectoriel de dimension m sur 𝕂.

1.3. Cas général

Revenons au système linéaire le plus général :

(E)  \frac{dY}{dt} = A(t)Y + B(t).

On sait qu’il existe au moins une solution globale Y_{(1)}. Si Y est une solution quelconque, il est clair que Z = Y − Y_{(1)} satisfait l’équation sans second membre (E_{0}) : dZ/dt = A(t)Z, et réciproquement. Par conséquent, l’ensemble des solutions maximales est donné par

Y_{(1)} + 𝒮 = {Y_{(1)} + Z; Z ∈ 𝒮},

où 𝒮 est l’ensemble des solutions maximales de l’équation sans second membre (E_{0}) associée. L’ensemble Y_{(1)} + 𝒮 des solutions est un translaté de 𝒮, c’est donc un espace affine de dimension m sur 𝕂, admettant 𝒮 comme direction vectorielle.

2. Systèmes différentiels linéaires à coefficients constants

Ce sont les systèmes de la forme

(E)  \frac{dY}{dt} = AY + B(t)

où la matrice A = (a_{ij}) ∈ M_{m}(𝕂) est indépendante de t.

2.1. Solutions exponentielles élémentaires de dY/dt = AY

On cherche une solution de la forme Y (t) = e^{λt}V où λ ∈ 𝕂, V ∈ 𝕂^{m} sont des constantes. Cette fonction est solution si et seulement si λe^{λt}V = e^{λt}AV, soit

AV = λV.

On est donc amené à chercher les valeurs propres et les vecteurs propres de A.

Cas simple : A est diagonalisable.

Il existe alors une base (V_{1}, …, V_{m}) de 𝕂^{m} constituée de vecteurs propres de A, de valeurs propres respectives λ_{1}, …, λ_{m}. On obtient donc m solutions linéairement indépendantes

t ↦ e^{λ_{j}t}V_{j}, 1 ≤ j ≤ m.

La solution générale est donnée par

Y (t) = α_{1}e^{λ_{1}t}V_{1} + … + α_{m}e^{λ_{m}t}V_{m}, α_{j} ∈ 𝕂.

Lorsque A n’est pas diagonalisable, on a besoin en général de la notion d’exponentielle d’une matrice. Toutefois le cas des systèmes 2 × 2 à coefficients constants est suffisamment simple pour qu’on puisse faire les calculs ^{⟨⟨} à la main ^{⟩⟩}. Le lecteur pourra se reporter au § X 2.2 pour une étude approfondie de ce cas.

2.2. Exponentielle d’une matrice

La définition est calquée sur celle de la fonction exponentielle complexe usuelle, calculée au moyen du développement en série entière.

Définition. Si A ∈ M_{m}(𝕂), on pose e^{A} = ∑_{n=0}^{+∞} \frac{1}{n!} A^{n}.

Munissons M_{m}(𝕂) de la norme ||| ||| des opérateurs linéaires sur 𝕂^{m} associée à la norme euclidienne (resp. hermitienne) de ℝ^{m} (resp. ℂ^{m}). On a alors

|||\frac{1}{n!} A^{n}||| ≤ \frac{1}{n!} |||A|||^{n},

de sorte que la série ∑ \frac{1}{n!} A^{n} est absolument convergente. On voit de plus que

|||e^{A}||| ≤ e^{|||A|||}.

Propriété fondamentale. Si A, B ∈ M_{m}(𝕂) commutent (AB = BA), alors

e^{A+B} = e^{B} · e^{B}.

Vérification. On considère la série produit ∑ \frac{1}{p!} A^{p} · ∑ \frac{1}{q!} B^{q}, dont le terme général est

C_{n} = ∑_{p+q=n} \frac{1}{p!q!} A^{p}B^{q} = \frac{1}{n!} ∑_{p=0}^{n} \frac{n!}{p!(n − p)!} A^{p}B^{n−p} = \frac{1}{n!} (A + B)^{n}

d’après la formule du binôme (noter que cette formule n’est vraie que si A et B commutent). Comme les séries de e^{A} et e^{B} sont absolument convergentes, on en déduit

e^{A} · e^{B} = ∑_{n=0}^{+∞} C_{n} = e^{A+B}.

On voit en particulier que e^{A} est une matrice inversible, d’inverse e^{−A}.

Remarque. La propriété fondamentale tombe en défaut lorsque A et B ne commutent pas. Le lecteur pourra par exemple calculer e^{A} · e^{B} et e^{A+B} avec

A = ( \begin{matrix}0 & 0 \\ θ & 0 \end{matrix} ) et B = ( \begin{matrix}0 & −θ \\ 0 & 0 \end{matrix} ) ,

avec θ ∈ ℝ. Que remarque-t-on ?

Méthode générale de calcul dans M_{m}(ℂ). Toute matrice A ∈ M_{m}(ℂ) peut être mise sous forme de blocs triangulaires correspondant aux différents sous-espaces caractéristiques de A. Il existe donc une matrice de passage P, dont les colonnes sont constituées par des vecteurs formant des bases des sous-espaces caractéristiques, telle que

T = P^{−1}AP

soit une matrice triangulaire de la forme

T = ( \overline{\underline{T_{1}}}  0 ; \overline{\underline{T_{2}}} ; ... ; 0  \overline{\underline{T_{s}}}  ) ,  T_{j} = ( \begin{matrix}λ_{j} & ∗ & … & ∗ \\ 0 & λ_{j} & ... & ⋮ \\ ⋮ & & ... & ∗ \\ 0 & … & 0 & λ_{j} \end{matrix} ) ,

où λ_{1}, …, λ_{s} sont les valeurs propres distinctes de A. On a alors de façon évidente

T^{n} = ( \begin{matrix}T_{1}^{n} & & & & 0 \\ & T_{2}^{n} \\ & . & . & . \\ 0 & & & & T_{s}^{n} \end{matrix}  ) ,  e^{T} = ( \begin{matrix}e^{T_{1}} & & & & 0 \\ & e^{T_{2}} \\ & . & . & . \\ 0 & & & & e^{T_{s}} \end{matrix}  )

Comme A = P T P^{−1}, il vient A^{n} = P T^{n}P^{−1}, d’où

e^{A} = P e^{T} P^{−1} = P ( \begin{matrix}e^{T_{1}} & & & & 0 \\ & e^{T_{2}} \\ & . & . & . \\ 0 & & & & e^{T_{s}} \end{matrix}  ) P^{−1}

On est donc ramené à calculer l’exponentielle e^{B} lorsque B est un bloc triangulaire de la forme

B = ( \begin{matrix}λ & ∗ & … & ∗ \\ 0 & λ & ... & ⋮ \\ ⋮ & ... & ... & ∗ \\ 0 & … & 0 & λ \end{matrix} ) = λI + N ∈ M_{p}(𝕂),

où I est la matrice unité et N une matrice nilpotente N = ( \begin{matrix}0 & & ∗ \\ ⋮ & ... \\ 0 & … & 0 \end{matrix} ) triangulaire

supérieure. La puissance N^{n} comporte n diagonales nulles à partir de la diagonale principale (celle-ci incluse), en particulier N^{n} = 0 pour n ≥ p. On obtient donc

e^{N} = I + \frac{1}{1!} N + … + \frac{1}{(p − 1)!} N^{p−1} = ( \begin{matrix}1 & ∗ & … & ∗ \\ 0 & 1 & ... & ⋮ \\ ⋮ & ... & ... & ∗ \\ 0 & … & 0 & 1 \end{matrix} ) .

Comme I et N commutent, il vient finalement

e^{B} = e^{λI}e^{N} = e^{λ}e^{N} (car e^{λI} = e^{λ}I).

Formule. det (e^{A}) = exp(tr(A)).

Vérification. Dans le cas d’un bloc triangulaire B ∈ M_{p}(𝕂), on trouve

det (e^{B}) = (e^{λ})^{p}det (e^{N}) = e^{pλ} = exp(tr(B)).

On en déduit donc

det (e^{T}) = det (e^{T_{1}}) … det (e^{T_{s}}) = exp(tr(T_{1}) + … + tr(T_{s})) = exp(tr(T))

Comme A = P T P^{−1} et e^{A} = P e^{T} P^{−1}, on a finalement

det (e^{A}) = det (e^{T}), tr(A) = tr(T) = ∑ valeurs propres.

2.3. Solution générale du du système sans second membre dY/dt = AY

L’une des propriétés fondamentales de l’exponentiation des matrices réside dans le fait qu’elle est intimement liée à la résolution des équations linéaires à coefficients constants dY/dt = AY.

Théorème. La solution Y telle que Y (t_{0}) = V_{0} est donnée par

Y (t) = e^{(t−t_{0})A} · V_{0}, ∀t ∈ ℝ.

Démonstration. On a Y (t_{0}) = e^{0} · V_{0} = IV_{0} = V_{0}.

D’autre part, la série entière

e^{tA} = ∑_{n=0}^{+∞} \frac{1}{n!} t^{n}A^{n}

est de rayon de convergence +∞. On peut donc dériver terme à terme pour tout t ∈ ℝ :

\frac{d}{dt} (e^{tA}) = ∑_{n=1}^{+∞} \frac{1}{(n − 1)!} t^{n−1}A^{n} = ∑_{p=0}^{+∞} \frac{1}{p!} t^{p}A^{p+1},

\frac{d}{dt} (e^{tA}) = A · e^{tA} = e^{tA} · A.

Par conséquent, on a bien

\frac{dY}{dt} = \frac{d}{dt} (e^{(t−t_{0})A} · V_{0}) = Ae^{(t−t_{0})A} · V_{0} = AY (t).

En prenant t_{0} = 0, on voit que la solution générale est donnée par Y (t) = e^{tA} · V avec V ∈ 𝕂^{m}.

Le calcul de e^{tA} se ramène au cas d’un bloc triangulaire B = λI + N ∈ M_{p}(ℂ). Dans ce cas on a e^{tB} = e^{λtI}e^{tN} = e^{λt}e^{tN}, avec

e^{tN} = ∑_{n=0}^{p−1} \frac{t^{n}}{n!} N^{n} = ( \begin{matrix}1 & Q_{12}(t) & … & Q_{1p}(t) \\ 1 & Q_{23}(t) & ⋮ \\ ... & ... \\ & 1 & Q_{p−1 p}(t) \\ 0 & & 1 \end{matrix} )

où Q_{ij}(t) est un polynôme de degré ≤ j − i, avec Q_{ij}(0) = 0. Les composantes de Y (t) sont donc toujours des fonctions exponentielles-polynômes ∑_{1≤j≤s} P_{j}(t)e^{λ_{j}t} où λ_{1}, …, λ_{s} sont les valeurs propres complexes de A (même si 𝕂 = ℝ).

2.4. Solution générale de dY/dt = AY + B(t)

Si aucune solution évidente n’apparaît, on peut utiliser la méthode de variation des constantes, c’est-à-dire qu’on cherche une solution particulière sous la forme

Y (t) = e^{tA} · V (t)

où V est supposée différentiable. Il vient

\begin{aligned}Y′(t) & = Ae^{tA} · V (t) + e^{tA} · V′(t) \\ & = AY (t) + e^{tA} · V′(t). \end{aligned}

Il suffit donc de choisir V telle que e^{tA} · V′(t) = B(t), soit par exemple

V (t) = ∫_{t_{0}}^{t} e^{−uA}B(u)du, t_{0} ∈ I.

On obtient ainsi la solution particulière

Y (t) = e^{tA} ∫_{t_{0}}^{t} e^{−uA}B(u)du = ∫_{t_{0}}^{t} e^{(t−u)A}B(u)du,

qui est la solution telle que Y (t_{0}) = 0. La solution générale du problème de Cauchy telle que Y (t_{0}) = V_{0} est donc

Y (t) = e^{(t−t_{0})A} · V_{0} + ∫_{t_{0}}^{t} e^{(t−u)A}B(u)du.

Exemple. Une particule de masse m et de charge électrique q se déplace dans ℝ^{3} sous l’action d’un champ magnétique \overrightarrow{B} et d’un champ électrique \overrightarrow{E} uniformes et indépendants du temps. Quelle est la trajectoire de la particule ?

Si \overrightarrow{V} et \overrightarrow{γ} désignent respectivement la vitesse et l’accélération, la loi de Lorentz et le principe fondamental de la dynamique donnent l’équation

\overrightarrow{F} = m\overrightarrow{γ} = q\overrightarrow{V} ∧ \overrightarrow{B} + q\overrightarrow{E},

d’où

\overrightarrow{γ} = \frac{d\overrightarrow{V}}{dt} = \frac{q}{m} \overrightarrow{V} ∧ \overrightarrow{B} + \frac{q}{m} \overrightarrow{E}.

Il s’agit d’un système linéaire où la matrice A (à coefficients constants) est la matrice de l’application linéaire \overrightarrow{V} ↦ \frac{q}{m} \overrightarrow{V} ∧ \overrightarrow{B}. On confondra dans la suite A avec cette application linéaire. Un calcul simple montre que

A^{2}(\overrightarrow{V}) = (\frac{q}{m})^{2}(\overrightarrow{V} ∧ \overrightarrow{B}) ∧ \overrightarrow{B} = −(\frac{q}{m})^{2}B^{2}P_{B}(\overrightarrow{V})

où B = ∥\overrightarrow{B}∥ et où P_{B} désigne la projection orthogonale sur le plan vectoriel de vecteur normal \overrightarrow{B}. Le schéma est le suivant :

\overrightarrow{V} ∧ \overrightarrow{B}  \overrightarrow{V} \overrightarrow{B} P_{B}(\overrightarrow{V}) Q_{B}(\overrightarrow{V}) (\overrightarrow{V} ∧ \overrightarrow{B}) ∧ \overrightarrow{B}

On observe pour le calcul que \overrightarrow{V} ∧ \overrightarrow{B} = P_{B}(\overrightarrow{V}) ∧ \overrightarrow{B}. On en déduit alors facilement

\begin{aligned}A^{2p}(\overrightarrow{V}) & = (−1)^{p}(\frac{q}{m})^{2p}B^{2p}P_{B}(\overrightarrow{V}), p ≥ 1 \\ A^{2p+1}(\overrightarrow{V}) & = (−1)^{p}(\frac{q}{m})^{2p+1}B^{2p}\overrightarrow{V} ∧ \overrightarrow{B}, \end{aligned}

cette dernière relation étant encore valable pour p = 0. En notant ω = \frac{q}{m} B, on en déduit

\begin{aligned}e^{tA}(\overrightarrow{V}) & = \overrightarrow{V} + ∑_{p=1}^{+∞}(−1)^{p} \frac{ω^{2p}t^{2p}}{(2p)!} P_{B}(\overrightarrow{V}) + ∑_{p=0}^{+∞}(−1)^{p} \frac{ω^{2p+1}t^{2p+1}}{(2p + 1)!} \frac{1}{B} \overrightarrow{V} ∧ \overrightarrow{B} \\ & = \overrightarrow{V} − P_{B}(\overrightarrow{V}) + cos ωt P_{B}(\overrightarrow{V}) + sin ωt \frac{1}{B} \overrightarrow{V} ∧ \overrightarrow{B}. \end{aligned}

En l’absence de champ électrique, les équations du mouvement sont données par

\overrightarrow{V} = Q_{B}(\overrightarrow{V}_{0}) + cos ωt P_{B}(\overrightarrow{V}_{0}) + sin ωt \frac{1}{B} \overrightarrow{V}_{0} ∧ \overrightarrow{B}
\overrightarrow{M_{0}M} = tQ_{B}(\overrightarrow{V}_{0}) + \frac{1}{w} sin ωt P_{B}(\overrightarrow{V}_{0}) + \frac{1 − cos ωt}{ωB} \overrightarrow{V}_{0} ∧ \overrightarrow{B}

où M_{0}, \overrightarrow{V}_{0} désignent la position et la vitesse en t = 0 et Q_{B} la projection orthogonale sur la droite ℝ·\overrightarrow{B}. Il est facile de voir qu’il s’agit d’un mouvement hélicoïdal uniforme de pulsation ω, tracé sur un cylindre d’axe parallèle à \overrightarrow{B} et de rayon R = ∥P_{B}(\overrightarrow{V}_{0})∥/ω.

En présence d’un champ électrique \overrightarrow{E}, le calcul est aisé si \overrightarrow{E} est parallèle à \overrightarrow{B}. On a donc dans ce cas une solution particulière évidente \overrightarrow{V} = t \frac{q}{m} \overrightarrow{E}, d’où les lois générales des vitesses et du mouvement :

\overrightarrow{V} = Q_{B}(\overrightarrow{V}_{0}) + t \frac{q}{m} \overrightarrow{E} + cos ωt P_{B}(\overrightarrow{V}_{0}) + sin ωt \frac{1}{B} \overrightarrow{V}_{0} ∧ \overrightarrow{B},
\overrightarrow{M_{0}M} = (tQ_{B}(\overrightarrow{V}_{0}) + t^{2} \frac{q}{2m} \overrightarrow{E}) + \frac{1}{ω} sin ωt P_{B}(\overrightarrow{V}_{0}) + \frac{1 − cos ωt}{ωB} \overrightarrow{V}_{0} ∧ \overrightarrow{B}.

Le mouvement est encore tracé sur un cylindre à base circulaire et sa pulsation est constante, mais le mouvement est accéléré dans la direction de l’axe.

Dans le cas général, on décompose \overrightarrow{E} = \overrightarrow{E}_{//} + \overrightarrow{E}_{⊥} en ses composantes parallèles et orthogonales à \overrightarrow{B}, et on observe qu’il existe un vecteur \overrightarrow{U} orthogonal à \overrightarrow{B} et \overrightarrow{E}_{⊥}, tel que \overrightarrow{U} ∧ \overrightarrow{B} = \overrightarrow{E}_{⊥}. L’équation différentielle devient

\frac{d\overrightarrow{V}}{dt} = \frac{q}{m} (\overrightarrow{V} + \overrightarrow{U}) ∧ \overrightarrow{B} + \frac{q}{m} \overrightarrow{E}_{//}

de sorte que \overrightarrow{V} + \overrightarrow{U} satisfait l’équation différentielle correspondant à un champ électrique parallèle à \overrightarrow{B}. En substituant \overrightarrow{V} + \overrightarrow{U} à \overrightarrow{V} et \overrightarrow{V}_{0} + \overrightarrow{U} à \overrightarrow{V}_{0} dans les formules, on obtient

\overrightarrow{V} + \overrightarrow{U} = Q_{B}(\overrightarrow{V}_{0}) + t \frac{q}{m} \overrightarrow{E}_{//} + cos ωt (P_{B}(\overrightarrow{V}_{0}) + \overrightarrow{U})

+ sin ωt \frac{1}{B} (\overrightarrow{V}_{0} ∧ \overrightarrow{B} + \overrightarrow{E}_{⊥}),

\overrightarrow{M_{0}M} = t(Q_{B}(\overrightarrow{V}_{0}) − \overrightarrow{U}) + t^{2} \frac{q}{2m} \overrightarrow{E}_{//} + \frac{sin ωt}{ω} (P_{B}(\overrightarrow{V}_{0}) + \overrightarrow{U})

+ \frac{1 − cos ωt}{ωB} (\overrightarrow{V}_{0} ∧ \overrightarrow{B} + \overrightarrow{E}_{⊥}).

Il s’agit encore d’un mouvement de type hélicoïdal accéléré, mais cette fois le mouvement n’est plus tracé sur un cylindre.

\overrightarrow{B}  \overrightarrow{E} \overrightarrow{B}  \overrightarrow{B}  \overrightarrow{E}

3. Équations différentielles linéaires d’ordre p à coefficients constants

On considère ici une équation différentielle sans second membre

(E)  a_{p}y^{(p)} + … + a_{1}y′ + a_{0}y = 0

où y : ℝ → 𝕂, t ↦ y(t) est la fonction inconnue, et où les a_{j} ∈ 𝕂 sont des constantes, a_{p} ≠ 0.

D’après le paragraphe V 4.2, on sait que l’équation (E) est équivalente à un système différentiel (S) d’ordre 1 dans 𝕂^{p}, qui est le système linéaire sans second membre Y′ = AY avec

A = ( 0 1 0 … 0 ; 0 0 1 … 0 ; ⋮ ; 0 0 0 … 1 ; c_{0} c_{1} c_{2} … c_{p−1} ) , c_{j} = −\frac{a_{j}}{a_{p}} .

Grâce au § 1.1, on peut donc énoncer :

Théorème. L’ensemble 𝒮 des solutions globales de (E) est un 𝕂-espace vectoriel de dimension p.

Plaçons-nous maintenant sur le corps ℂ (si 𝕂 = ℝ, les solutions réelles s’obtiennent simplement en prenant la partie réelle et la partie imaginaire des solutions complexes).

3. Équations linéaires d’ordre p à coefficients constants 223

Cherchons les solutions exponentielles de la forme

y(t) = e^{λt}, λ ∈ ℂ.

Comme y^{(j)}(t) = λ^{j}e^{λt}, on voit que y est solution de (E) si et seulement si λ est racine du polynôme caractéristique

P (λ) = a_{p}λ^{p} + … + a_{1}λ + a_{0}.

3.1. Cas où P a toutes ses racines simples

Si P possède p racines distinctes λ_{1}, …, λ_{p}, on obtient p solutions distinctes

t ↦ e^{λ_{j}t}, 1 ≤ j ≤ p.

On verra plus loin que ces solutions sont linéairement indépendantes sur ℂ. L’ensemble des solutions est donc l’espace vectoriel de dimension p des fonctions

y(t) = α_{1}e^{λ_{1}t} + … + α_{p}e^{λ_{p}t}, α_{j} ∈ ℂ.

3.2. Cas où P a des racines multiples

On peut alors écrire

P (λ) = a_{p} ∏_{j=1}^{s}(λ − λ_{j})^{m_{j}}

où m_{j} est la multiplicité de la racine λ_{j}, avec

m_{1} + … + m_{s} = p.

Considérons l’opérateur différentiel

P (\frac{d}{dt}) = ∑_{i=0}^{p} a_{i} \frac{d^{i}}{dt^{i}} .

On voit que l’équation différentielle étudiée peut se récrire

(E)  P (\frac{d}{dt})y = 0

et on a d’autre part la formule

P (\frac{d}{dt})e^{λt} = P (λ)e^{λt}, ∀λ ∈ ℂ.

Comme les dérivées partielles \frac{d}{dt} et \frac{d}{dλ} commutent d’après le théorème de Schwarz, on obtient

P (\frac{d}{dt})(t^{q}e^{λt}) = P (\frac{d}{dt})(\frac{d^{q}}{dλ^{q}} e^{λt}) = \frac{d^{q}}{dλ^{q}} (P (\frac{d}{dt})e^{λt}) = \frac{d^{q}}{dλ^{q}} (P (λ)e^{λt}),

d’où, grâce à la formule de Leibnitz :

P (\frac{d}{dt})(t^{q}e^{λt}) = ∑_{i=0}^{q} \binom{q}{i}P^{(i)}(λ)e^{λt}.

Comme λ_{j} est racine de multiplicité m_{j}, on a P^{(i)}(λ_{j}) = 0 pour 0 ≤ i ≤ m_{j} − 1, et P^{(m_{j})}(λ_{j}) ≠ 0. On en déduit

P (\frac{d}{dt})(t^{q}e^{λ_{j}t}) = 0, 0 ≤ q ≤ m_{j} − 1.

L’équation (E) admet donc les solutions

y(t) = t^{q}e^{λ_{j}t},  0 ≤ q ≤ m_{j} − 1,  1 ≤ j ≤ s

soit au total m_{1} + … + m_{s} = p solutions.

Lemme. Si λ_{1}, …, λ_{s} ∈ ℂ sont des nombres complexes deux à deux distincts, alors les fonctions

y_{j,q}(t) = t^{q}e^{λ_{j}t}, 1 ≤ j ≤ s, q ∈ ℕ

sont linéairement indépendantes.

Démonstration. Considérons une combinaison linéaire finie

∑ α_{j,q}y_{j,q} = 0, α_{j,q} ∈ ℂ.

Si les coefficients sont non tous nuls, soit N le maximum des entiers q tels qu’il existe j avec α_{j,q} ≠ 0. Supposons par exemple α_{1,N} ≠ 0. On pose alors

Q(λ) = (λ − λ_{1})^{N}(λ − λ_{2})^{N+1} … (λ − λ_{s})^{N+1}

Il vient Q^{(i)}(λ_{j}) = 0 pour j ≥ 2 et 0 ≤ i ≤ N, tandis que Q^{(i)}(λ_{1}) = 0 pour 0 ≤ i < N et Q^{(N)}(λ_{1}) ≠ 0. On en déduit

\begin{aligned}Q(\frac{d}{dt})(t^{q}e^{λ_{j}t}) & = ∑_{i=0}^{q} \binom{q}{i}Q^{(i)}(λ_{j})t^{q−i}e^{λ_{j}t} \\ & = 0 pour 0 ≤ q ≤ N, 1 ≤ j ≤ s, \end{aligned}

sauf si q = N, j = 1, auquel cas

Q(\frac{d}{dt})(t^{N}e^{λ_{1}t}) = Q^{(N)}(λ_{1})e^{λ_{1}t}.

En appliquant l’opérateur Q(\frac{d}{dt}) à la relation ∑ α_{j,q}t^{q}e^{λ_{j}t} = 0 on obtient alors

α_{1,N}Q^{(N)}(λ_{1})e^{λ_{1}t} = 0, ce qui est absurde puisque α_{1,N} ≠ 0 et Q^{(N)}(λ_{1}) ≠ 0. Le lemme est démontré. On peut donc énoncer :

Théorème. Lorsque le polynôme caractéristique P (λ) a des racines complexes λ_{1}, …, λ_{s} de multiplicités respectives m_{1}, …, m_{s}, l’ensemble 𝒮 des solutions est le ℂ-espace vectoriel de dimension p ayant pour base les fonctions

t ↦ t^{q}e^{λ_{j}t}, 1 ≤ j ≤ s, 0 ≤ q ≤ m_{j} − 1.

3.3. Équations linéaires d’ordre p avec second membre

Soit à résoudre l’équation différentielle

(E)  a_{p}y^{(p)} + … + a_{1}y′ + a_{0}y = b(t),

où b : I → ℂ est une fonction continue donnée. On commence par résoudre l’équation sans second membre

(E_{0})  a_{p}y^{(p)} + … + a_{1}y′ + a_{0}y = 0.

Soit (v_{1}, …, v_{p}) une base des solutions de (E_{0}). On cherche alors une solution particulière de (E).

Dans un certain nombre de cas, une solution simple peut être trouvée rapidement. Par exemple, si b est un polynôme de degré d et si a_{0} ≠ 0, l’équation (E) admet une solution polynomiale y de degré d, que l’on peut rechercher par identification des coefficients. Si b(t) = αe^{λt} et si λ n’est pas racine du polynôme caractéristique, l’équation admet pour solution (α/P (λ))e^{λt}. Si b est une fonction exponentielle-polynôme, (E) admet une solution du même type (noter que les fonctions trigonométriques se ramènent à ce cas).

En général, le principe consiste à appliquer la méthode de variation des constantes au système différentiel (S) d’ordre 1 associé à (E).

Si on pose y = y_{0}, y′ = y_{1}, …, y^{(p−1)} = y_{p−1}, l’équation (E) équivaut au système

(S) \{ y′_{0} = y_{1} ; ⋮ ; y′_{p−2} = y_{p−1} ; y′_{p−1} = −\frac{1}{a_{p}} (a_{0}y_{0} + a_{1}y_{1} + … + a_{p−1}y_{p−1}) + \frac{1}{a_{p}} b(t).

Ce système linéaire peut se récrire (S): Y′ = AY + B(t) avec

Y = ( y_{0} ; ⋮ ; y_{p−1} ) et B(t) = ( 0 ; ⋮ ; 0 ; \frac{1}{a_{p}} b(t). )

Le système homogène (S_{0}) Y′ = AY admet pour base de solutions les fonctions

V_{1} = ( v_{1} ; v′_{1} ; ⋮ ; v_{1}^{(p−1)} ) V_{2} = ( v_{2} ; v′_{2} ; ⋮ ; v_{2}^{(p−1)} ) … V_{p} = ( v_{p} ; v′_{p} ; ⋮ ; v_{p}^{(p−1)} ) .

On cherche alors une solution particulière de (S) sous la forme

Y (t) = α_{1}(t)V_{1}(t) + … + α_{p}(t)V_{p}(t).

Comme V′_{j} = AV_{j}, il vient

\begin{aligned}Y′(t) & = ∑ α_{j}(t)V′_{j}(t) + ∑ α′_{j}(t)V_{j}(t) \\ & = AY (t) + ∑ α′_{j}(t)V_{j}(t). \end{aligned}

Il suffit donc de choisir les α_{j} tels que ∑ α′_{j}(t)V_{j}(t) = B(t), c’est-à-dire

\{ \begin{matrix}α′_{1}(t)v_{1}(t) + … + α′_{p}(t)v_{p}(t) = 0 \\ … \\ α′_{1}(t)v_{1}^{(p−2)}(t) + … + α′_{p}(t)v_{p}^{(p−2)}(t) = 0 \\ α′_{1}(t)v_{1}^{(p−1)}(t) + … + α′_{p}(t)v_{p}^{(p−1)}(t) = \frac{1}{a_{p}} b(t). \end{matrix}

On obtient ainsi un système linéaire de p équations par rapport aux p inconnues α′_{1}(t), …, α′_{p}(t). Le déterminant de ce système est non nul pour tout t ∈ ℝ (les vecteurs V_{1}(t), …, V_{p}(t) sont linéairement indépendants, car si une combinaison linéaire Y = β_{1}V_{1} + … + β_{p}V_{p} est telle que Y (t) = 0, alors Y ≡ 0 d’après le théorème d’unicité, donc β_{1} = … = β_{p} = 0).

La résolution de ce système permet de calculer α′_{1}, …, α′_{p}, puis α_{1}, …, α_{p} par intégration, d’où la solution particulière cherchée :

y(t) = α_{1}(t)v_{1}(t) + … + α_{p}(t)v_{p}(t).

Exemple. (E) y′′ + 4y = tan t, avec t ∈ ] − \frac{π}{2} , \frac{π}{2} [.

• On commence par résoudre l’équation sans second membre

(E_{0})  y′′ + 4y = 0.

Le polynôme caractéristique est P (λ) = λ^{2} + 4, et possède deux racines simples 2i et −2i. L’équation (E_{0}) admet pour base de solutions les fonctions t ↦ e^{2it}, t ↦ e^{−2it}, ou encore :

t ↦ cos 2t, t ↦ sin 2t.

• On cherche ensuite une solution particulière de (E) en posant

y(t) = α_{1}(t) cos 2t + α_{2}(t) sin 2t.

Ceci conduit à résoudre le système

\{ \begin{matrix}α′_{1}(t) cos 2t + α′_{2}(t) sin 2t = 0 \\ α′_{1}(t) · (−2 sin 2t) + α′_{2}(t) · (2 cos 2t) = tan t. \end{matrix}

Le déterminant du système étant égal à 2, on obtient

α′_{1}(t) = −\frac{1}{2} tan t sin 2t = − sin^{2} t = −\frac{1}{2} (1 − cos 2t)
α′_{2}(t) = \frac{1}{2} tan t cos 2t = \frac{1}{2} tan t(2 cos^{2} t − 1) = sin 2t − \frac{1}{2} tan t,
α_{1}(t) = −\frac{t}{2} + \frac{1}{4} sin 2t
α_{2}(t) = −\frac{1}{4} cos 2t + \frac{1}{2} ln (cos t),

d’où la solution particulière

y(t) = −\frac{t}{2} cos 2t + \frac{1}{2} sin 2t ln (cos t).

La solution générale est donc

y(t) = −\frac{t}{2} cos 2t + \frac{1}{2} sin 2t ln (cos t) + α_{1} cos 2t + α_{2} sin 2t.

4. Systèmes différentiels linéaires à coefficients variables

L’objet de ce paragraphe (avant tout théorique) est de généraliser les résultats du § 2 au cas des systèmes linéaires à coefficients variables.

4.1. Résolvante d’un système linéaire

Considérons une équation linéaire sans second membre

(E_{0})  Y′ = A(t)Y

où A : ℝ ⊃ I → M_{m}(𝕂) est une matrice m × m sur 𝕂 à coefficients continus.

Soit 𝒮 l’ensemble des solutions maximales de (E_{0}). Pour tout t_{0} ∈ I, on sait que

Φ_{t_{0}} : 𝒮 ⟶ 𝕂^{m}, Y ⟼ Y (t_{0})

est un isomorphisme 𝕂-linéaire. Pour tout couple (t, t_{0}) ∈ I^{2}, on définit

\begin{matrix}R(t, t_{0}) = Φ_{t} ∘ Φ_{t_{0}}^{−1} : 𝕂^{m} & \underrightarrow{Φ_{t_{0}}^{−1}} 𝒮 \underrightarrow{Φ_{t}} 𝕂^{m} \\ V & ⟼ Y ⟼ Y (t). \end{matrix}

On a donc R(t, t_{0}) · V = Y (t), où Y est la solution telle que Y (t_{0}) = V. Comme R(t, t_{0}) est un isomorphisme 𝕂^{m} → 𝕂^{m}, il sera identifié à la matrice inversible qui lui correspond canoniquement dans M_{m}(𝕂).

Définition. R(t, t_{0}) s’appelle la résolvante du système linéaire (E_{0}).

Pour tout vecteur V ∈ 𝕂^{m}, on a avec les notations ci-dessus

\begin{aligned}(\frac{d}{dt} R(t, t_{0})) · V & = \frac{d}{dt} (R(t, t_{0}) · V ) \\ & = \frac{dY}{dt} = A(t)Y (t) = A(t)R(t, t_{0}) · V. \end{aligned}

On en déduit donc \frac{d}{dt} R(t, t_{0}) = A(t)R(t, t_{0}).

Propriétés de la résolvante.

(i) ∀t ∈ I,  R(t, t) = I_{m}  (matrice unité m × m).

(ii) ∀(t_{0}, t_{1}, t_{2}) ∈ I^{3}, R(t_{2}, t_{1})R(t_{1}, t_{0}) = R(t_{2}, t_{0}).

(iii) R(t, t_{0}) est la solution dans M_{m}(𝕂) du système différentiel

\frac{dM}{dt} = A(t)M(t)

où M(t) ∈ M_{m}(𝕂) vérifie la condition initiale M(t_{0}) = I_{m}.

(i) et (ii) sont immédiats à partir de la définition de R(t, t_{0}) et (iii) résulte de ce qui précède. Retenons enfin que la solution du problème de Cauchy

Y′ = A(t)Y avec Y (t_{0}) = V_{0}

est donnée par

Y (t) = R(t, t_{0}) · V_{0}.

Remarque. Le système dM/dt = A(t)M(t) peut paraître plus compliqué que le système initial puisqu’on a m^{2} équations scalaires au lieu de m (on passe de 𝕂^{m} à M_{m}(𝕂)). Il est néanmoins parfois utile de considérer ce système plutôt que l’équation initiale, parce que tous les objets sont dans M_{m}(𝕂) et qu’on peut exploiter la structure d’algèbre de M_{m}(𝕂).

Exemple. Supposons que

(∗)  A(t)A(u) = A(u)A(t) pour tous t, u ∈ I.

Alors

R(t, t_{0}) = exp (∫_{t_{0}}^{t} A(u)du) .

Pour le voir, il suffit de montrer que M(t) = exp ( ∫_{t_{0}}^{t} A(u)du) satisfait la condition (iii) ci-dessus. Il est clair que M(t_{0}) = I_{m}. Par ailleurs l’hypothèse de commutation (∗) entraîne que ∫_{a}^{b} A(u)du et ∫_{c}^{d} A(u)du commutent pour tous a, b, c, d ∈ I, le produit étant égal dans les deux cas à

∫∫_{[a,b]×[c,d]} A(u)A(v)dudv

par le théorème de Fubini. On a donc

\begin{aligned}M(t + h) & = exp (∫_{t_{0}}^{t} A(u)du + ∫_{t}^{t+h} A(u)du) \\ & = exp (∫_{t}^{t+h} A(u)du) M(t). \end{aligned}

Or ∫_{t}^{t+h} A(u)du = hA(t) + o(h), donc utilisant le développement en série de l’exponentielle on trouve

\begin{aligned}M(t + h) & = (I_{m} + hA(t) + o(h))M(t) \\ & = M(t) + hA(t)M(t) + o(h), \end{aligned}

ce qui montre bien que dM/dt = A(t)M(t).

En particulier, si U et V sont des matrices constantes qui commutent et si A(t) = f(t)U +g(t)V pour des fonctions scalaires f, g, alors l’hypothèse (∗) est satisfaite. On a donc

R(t, t_{0}) = exp (∫_{t_{0}}^{t} f(u)du · U + ∫_{t_{0}}^{t} g(u)du · V )
= exp (∫_{t_{0}}^{t} f(u)du · U) exp (∫_{t_{0}}^{t} g(u)du · V ) .

Exercice A. Utiliser la dernière remarque de l’exemple pour calculer la résolvante associée aux matrices

A(t) = ( \begin{matrix}a(t) & −b(t) \\ b(t) & a(t) \end{matrix} ) , resp. A(t) = ( \begin{matrix}1 & 0 & cos^{2} t \\ 0 & 1 & cos^{2} t \\ 0 & 0 & sin^{2} t \end{matrix} ) .

Exercice B. Résoudre le système linéaire

\{ \begin{matrix}\frac{dx}{dt} = \frac{1}{t} x + ty \\ \frac{dy}{dt} = y \end{matrix} où A(t) = ( \begin{matrix}1/t & t \\ 0 & 1 \end{matrix} )

et en déduire la formule donnant la résolvante R(t, t_{0}). Montrer que dans ce cas on a

R(t, t_{0}) ≠ exp (∫_{t_{0}}^{t} A(u)du) .

L’exercice 2 montre que c’est le plus souvent la résolution du système qui permet de déterminer la résolvante, et non pas l’inverse comme pourrait le laisser croire la terminologie.

4.2. Wronskien d’un système de solutions

On va voir ici qu’on sait toujours calculer le déterminant d’un système de solutions, ou ce qui revient au même, le déterminant de la résolvante, même lorsque la résolvante n’est pas connue.

Définition. Le Wronskien d’un système de m solutions Y_{1}, Y_{2}, …, Y_{m} de (E_{0}) est

W (t) = det (Y_{1}(t), …, Y_{m}(t))

Posons V_{j} = Y_{j}(t_{0}). Alors Y_{j}(t) = R(t, t_{0}) · V_{j}, d’où

W (t) = det (R(t, t_{0})) · det (V_{1}, …, V_{m}).

4. Systèmes différentiels linéaires à coefficients variables 231 On est donc ramené à calculer la quantité

Δ(t) = det (R(t, t_{0})),

et pour cela on va montrer que Δ(t) vérifie une équation différentielle simple. On a

Δ(t + h) = det (R(t + h, t_{0})) = det (R(t + h, t)R(t, t_{0}))
= det (R(t + h, t))Δ(t).

Comme R(t, t) = I_{m} et \frac{d}{du} R(u, t)|_{u=t} = A(t)R(t, t) = A(t), la formule de Taylor donne

\begin{aligned}R(t + h, t) & = I_{m} + hA(t) + o(h), \\ det (R(t + h, t)) & = det (I_{m} + hA(t)) + o(h). \end{aligned}

Lemme. Si A = (a_{ij}) ∈ M_{m}(𝕂), alors

det (I_{m} + hA) = 1 + α_{1}h + … + α_{m}h^{m}

avec α_{1} = tr A = ∑_{1≤i≤m} a_{ii}.

En effet dans det (I_{m} + hA) le terme diagonal est

(1 + ha_{11}) … (1 + ha_{mm}) = 1 + h ∑ a_{ii} + h^{2} …

et les termes non diagonaux sont multiples de h^{2}. Le lemme entraîne alors

det (R(t + h, t)) = 1 + h tr (A(t)) + o(h),

Δ(t + h) = Δ(t) + h tr (A(t))Δ(t) + o(h).

On en déduit

Δ′(t) = tr (A(t))Δ(t),

et comme Δ(t_{0}) = det (R(t_{0}, t_{0})) = det I_{m} = 1, il vient :

det R(t, t_{0}) = Δ(t) = exp (∫_{t_{0}}^{t} tr A(u)du) ,

W (t) = exp (∫_{t_{0}}^{t} tr A(u)du) det (V_{1}, …, V_{m}).

4.3. Méthode de variation des constantes

Soit à résoudre le système différentiel linéaire

(E)  Y′ = A(t)Y + B(t),

et soit R(t, t_{0}) la résolvante du système linéaire sans second membre

(E_{0})  Y′ = A(t)Y.

On cherche alors une solution particulière de (E) sous la forme

Y (t) = R(t, t_{0}) · V (t)

où V est supposée différentiable. Il vient

\frac{dY}{dt} = (\frac{d}{dt} R(t, t_{0})) · V (t) + R(t, t_{0}) · V′(t)
= A(t)R(t, t_{0}) · V (t) + R(t, t_{0}) · V′(t)
= A(t)Y (t) + R(t, t_{0}) · V′(t).

Il suffit donc de prendre R(t, t_{0}) · V′(t) = B(t), c’est-à-dire

\begin{aligned}V′(t) & = R(t_{0}, t) · B(t), \\ V (t) & = ∫_{t_{0}}^{t} R(t_{0}, u) · B(u)du, \\ Y (t) & = R(t, t_{0}) · V (t) = ∫_{t_{0}}^{t} R(t, t_{0})R(t_{0}, u) · B(u)du, \\ Y (t) & = ∫_{t_{0}}^{t} R(t, u)B(u)du. \end{aligned}

On obtient ainsi la solution particulière telle que Y (t_{0}) = 0. La solution telle que Y (t_{0}) = V_{0} est donnée par

Y (t) = R(t, t_{0}) · V_{0} + ∫_{t_{0}}^{t} R(t, u)B(u)du.

Dans le cas où A(t) = A est à coefficients constants on retrouve la formule du § 2.4, dans laquelle R(t, t_{0}) = e^{(t−t_{0})A}, et la formule du Wronskien équivaut à l’identité déjà connue

det (e^{(t−t_{0})A}) = exp ((t − t_{0}) tr A).

5. Problèmes

5.1. Soient a, b ∈ ℝ. Calculer l’exponentielle des matrices suivantes :

A = ( \begin{matrix}a & b \\ b & a \end{matrix} ) ,  B = ( \begin{matrix}a & −b \\ b & a \end{matrix} ) ,  C = ( \begin{matrix}a & b \\ 0 & a \end{matrix} ) .

5.2. Calculer la solution de l’équation X′(t) = AX(t) vérifiant la condition initiale X(0) = X_{0}, où

A = ( \begin{matrix}1 & 2 & 5 \\ −1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{matrix} ) , et X_{0} = ( \begin{matrix}0 \\ −4 \\ 1 \end{matrix} ) .

5.3. Soient b et c deux fonctions continues sur un intervalle fixé T = [0, τ[. Soit (S) le système différentiel linéaire à coefficients constants et avec second membre

(S)  \{ \begin{matrix}x′ =  y + b(t) \\ y′ = 2x − y + c(t) \end{matrix}

et soit (S_{0}) le système sans second membre associé (pour lequel b(t) = c(t) = 0).

(a) Écrire la matrice A de (S_{0}), et calculer e^{tA}.

(b) Déterminer la solution générale du système (S_{0}).

(c) Déterminer la solution générale du système (S) pour b(t) = 0, c(t) = e^{−t}.

5.4. Soit t une variable réelle ≥ 0. On considère le système différentiel linéaire

(S)  \{ \begin{matrix}x′ = 2y \\ y′ = x − y \end{matrix}

(a) Écrire la matrice A de (S), montrer qu’elle a deux valeurs propres réelles λ et μ (λ > μ) et déterminer les sous-espaces propres correspondants.

(b) On pose e_{x} = ( \begin{matrix}1 \\ 0 \end{matrix} ), e_{y} = ( \begin{matrix}0 \\ 1 \end{matrix} ), et on note respectivement v_{λ} = ( \begin{matrix}x_{λ} \\ y_{λ} \end{matrix} ) et

v_{μ} = ( \begin{matrix}x_{μ} \\ y_{μ} \end{matrix} ) les vecteurs propres associés à λ et μ tels que y_{λ} = y_{μ} = 1.

Calculer x_{λ}, x_{μ}. Déterminer la matrice de passage P de l’ancienne base (e_{x}, e_{y}) à la nouvelle base (v_{λ}, v_{μ}), et calculer sa matrice inverse P^{−1}.

(c) On pose e^{tA} = ( \begin{matrix}a(t) b(t) \\ c(t) d(t) \end{matrix} ). Calculer explicitement a(t), b(t), c(t), d(t).

Donner la solution du système (S) vérifiant les conditions initiales x(0) = x_{0}, y(0) = y_{0}.

(d) Soit T (x_{0}, y_{0}) la trajectoire t ↦ ( \begin{matrix}x(t) \\ y(t) \end{matrix} ) = M(t) correspondant aux conditions

initiales M(0) = ( \begin{matrix}x_{0} \\ y_{0} \end{matrix} ).

(α) Pour quelles positions de M(0) cette trajectoire T (x_{0}, y_{0}) est-elle une demidroite ?

(β) Pour quelles positions de M(0) tend-elle vers 0 quand t → +∞ ?

(γ) Indiquer sur un même figure :

• la forme des trajectoires T (x_{0}, 0) partant d’un point (x_{0}, 0), x_{0} > 0, de l’axe des x ;

• la forme des trajectoires T (0, y_{0}) partant d’un point (0, y_{0}), y_{0} > 0, de l’axe des y.

5.5. On note t une variable réelle, et on considère les deux matrices

B = ( \begin{matrix}0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix} ) , C = ( \begin{matrix}1 & 1 \\ 0 & 1 \end{matrix} ) .

(a) Pour tout n ≥ 0, calculer explicitement B^{n} et C^{n}, et en déduire e^{tB} et e^{tC}.

(b) Mêmes questions pour la matrice

A = ( \begin{matrix}0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} ) .

On pose maintenant T = [0, +∞[ ; on note b_{i}(t) (1 ≤ i ≤ 4) quatre fonctions continues sur T, et on considère le système différentielle linéaire avec second membre

(S) \{ \begin{matrix}y′_{1} =  y_{2}  + b_{1}(t) \\ y′_{2} = y_{1}  + b_{2}(t) \\ y′_{3} =  y_{3} + y_{4} + b_{3}(t) \\ y′_{4} =  y_{4} + b_{4}(t) & . \end{matrix}

On note (S_{0}) le système sans second membre associé à (S).

(c) Écrire la solution de (S_{0}) correspondant à des conditions initiales y_{i}(0) = v_{i}, les v_{i} (1 ≤ i ≤ 4) étant quatre constantes données.

(d) Indiquer comment on peut alors résoudre (S) par la méthode dite de variation des constantes, et appliquer cette méthode au cas particulier

b_{1}(t) = 1, b_{2}(t) = b_{3}(t) = 0, b_{4} = e^{t}.

5.6. On considère l’équation linéaire du 3^{e} ordre

(E)  y′′′ + y′′ + y′ + y = cos t,

où t ↦ y(t) désigne une fonction inconnue de la variable t ≥ 0.

(a) Déterminer la solution générale de l’équation sans second membre associée à (E).

(b) A l’aide de la méthode de variation des constantes, déterminer la solution générale de l’équation (E).

(c) Montrer que (E) admet une solution et une seule de la forme At cos t + Bt sin t : la déterminer explicitement, et tracer son graphe.

5.7. On considère dans ℝ^{2} le système différentiel

\{ \begin{matrix}\frac{dx}{dt} & = tx − y \\ \frac{dy}{dt} & = x + ty \end{matrix}

où x, y sont des fonctions réelles de la variable réelle t. On posera z = x + iy.

(a) Résoudre le problème de Cauchy de donnée initiale (x_{0}, y_{0}) au temps t_{0} = 0.

(b) Même question pour le système

\frac{dx}{dt} = tx − y + t cos t − t^{3} sin t
\frac{dy}{dt} = x + ty + t sin t + t^{3} cos t.

5.8. On considère un système différentiel X′ = A(t)X où A(t) est une matrice à 2 lignes et 2 colonnes à coefficients de période 2π, bornés et continus par morceaux.

(a) Montrer que l’application qui à M ∈ ℝ^{2} associe la position à l’instant s de la solution X(t) de X′ = A(t) vérifiant X(0) = M est une application linéaire bijective. On désignera par U_{s} cet endormorphisme et on notera V = U_{2π}.

(b) Montrer que l’équation X′ = A(t)X admet une solution 2π-périodique non identiquement nulle si et seulement si 1 est valeur propre de V ; comment peut-on

interpréter le fait que V admette pour valeur propre une racine k-ième de l’unité ?

(c) On considère l’équation différentielle y′′ + f(t)y = 0 où f est une fonction 2πpériodique à valeurs réelles. Mettre cette équation sous la forme d’un système du premier ordre.

(d) On supposera dorénavant que

f(t) = \{ \begin{matrix}(w + ε)^{2} si t ∈ [0, π[ \\ (w − ε)^{2} si t ∈ [π, 2π[ \end{matrix}

où 0 < ε < w sont des constantes. Déterminer U_{π} ; montrer que V se met sous la forme B ∘ U_{π} où l’on déterminera la matrice B (on pourra utiliser que f est constante sur [π, 2π[ ainsi que sur [0, π[). Vérifier que det V = 1.

(e) Montrer qu’alors une des valeurs propres de V est inférieure à 1 en module et que l’équation y′′ + f(t)y = 0 admet une solution bornée (non identiquement nulle) sur [0, +∞[ et une solution bornée (non identiquement nulle) sur ] − ∞, 0[ ; à quelle condition admet-elle une solution bornée (non identiquement nulle) sur ℝ ?

(f) Montrer que la trace de V s’écrit −Δ cos 2πε + (2 + Δ) cos 2πw où

\frac{w + ε}{w − ε} + \frac{w − ε}{w + ε} = 2(1 + Δ).

En déduire que si w n’est pas la moitié d’un entier et si ε est assez petit, toutes les solutions de y′′ + f(t)y = 0 sont bornées. Que passe-t-il si w est la moitié d’un entier ?

5.9. Déterminer la solution du système d’équations différentielles

y′(x) = y(x) + z(x) + x , z′(x) = −4y(x) − 3z(x) + 2x ,

vérifiant les conditions initiales y(0) = 1, z(0) = 0.

5.10. On considère l’équation différentielle du second ordre

(E)  \frac{d^{2}y}{dt^{2}} + y(t) = f(t)

où f : ℝ → ℝ est une fonction continue.

(a) Déterminer les solutions de l’équation sans second membre (f = 0 identiquement). Que donnent les résultats généraux du cours quant à la nature de l’espace des solutions pour f quelconque ?

(b) Ramener (E) à un système différentiel d’ordre 1 en posant Y (t) = ( \begin{matrix}y(t) \\ y′(t) \end{matrix} ) et

donner une base du système sans second membre associé. En déduire sous forme intégrale l’unique solution de l’équation (E) telle que y(0) = y′(0) = 0.

(c) Résoudre pour u ∈ ]0, +∞[ l’équation différentielle

(Ẽ)  u^{2} \frac{d^{2}z}{du^{2}} + u\frac{dz}{du} + z(u) = g(u)

où u ↦ z(u) est la fonction inconnue. On effectuera pour cela le changement de variable u = e^{t}, t ∈ ℝ, et on posera y(t) = z(e^{t}). Exprimer sous forme intégrale la solution générale de (Ẽ) telle que z(1) = z′(1) = 0.

5.11. (Oscillateur harmonique amorti) Étant donnés ω > 0 et γ > 0, on considère l’équation différentielle

(H)  y′′(x) + 2γy′(x) + ω^{2}y(x) = sin(x),  x ∈ ℝ .

(a) Déterminer la solution générale de l’équation homogène y′′ + 2γy′ + ω^{2}y = 0. On pourra distinguer les cas γ > ω (amortissement fort), γ = ω (amortissement critique), et γ < ω (amortissement faible).

(b) Si (ω, γ) ≠ (1, 0), vérifier que (H) possède une solution de la forme u(x) = A sin(x − ϕ), où l’amplitude A et le déphasage ϕ sont à déterminer. En déduire que l’équation (H) possède dans ce cas une unique solution périodique.

(c) Déterminer la solution générale de (H) lorsque (ω, γ) = (1, 0).

5.12. (Théorie de Floquet) Soit A : ℝ → M_{n}(ℂ) une fonction continue. Étant donné s ∈ ℝ, on note R(t, s) la solution de l’équation linéaire

\frac{d}{dt}R(t, s) = A(t)R(t, s) ,  t ∈ ℝ ,  R(s, s) = I_{n} ,

où I_{n} ∈ M_{n}(ℂ) désigne la matrice identité.

(a) Vérifier que R(t, s) = R(t, r)R(r, s) pour tous les t, r, s ∈ ℝ. En déduire que R(t, s) est inversible, avec R(t, s)^{−1} = R(s, t).

(b) Montrer que det R(t, s) = exp(∫_{s}^{t} tr A(τ) dτ) pour tous les t, s ∈ ℝ.

(c) On suppose désormais que la matrice A est périodique de période T > 0. Vérifier que R(t + T, s + T) = R(t, s) pour tous les t, s ∈ ℝ.

(d) Montrer qu’il existe F ∈ M_{n}(ℂ) tel que R(T, 0) = exp(T F). En déduire l’identité

R(t, s) = P (t) exp((t − s)F) P (s)^{−1} , t, s ∈ ℝ ,

où P (t) = R(t, 0) exp(−tF) est périodique de période T.

(e) On suppose enfin que ker(R(T, 0) − I_{n}) = {0}. Si la fonction f : ℝ → ℂ^{n} est continue et périodique de période T, montrer que l’équation différentielle x′(t) = A(t)x(t) + f(t) possède une unique solution périodique de période T. Indication. On pourra considérer l’équation satisfaite par y(t) = P (t)^{−1}x(t) et utiliser un développement en série de Fourier.

5.13. (Fonction de Green) Soit I = [a, b] ⊂ ℝ, où a < b. On cherche à résoudre sur I le problème aux limites

(P)  −u′′(x) + p(x)u′(x) + q(x)u(x) = f(x), x ∈ I, u(a) = u(b) = 0,

où p, q, f : I → ℝ sont des fonctions continues données, et u : I → ℝ est la fonction à déterminer. On suppose dans toute la suite que q(x) ⩾ 0 pour tout x ∈ I.

(a) Soit ϕ : I → ℝ la solution de l’équation homogène

(E)  −u′′(x) + p(x)u′(x) + q(x)u(x) = 0,

qui vérifie ϕ(a) = 0 et ϕ′(a) = 1. Montrer que la fonction ϕ est strictement croissante, et que ϕ′(x) ⩾ exp(∫_{a}^{x} p(y) dy) pour tout x ∈ I.

(b) De même, soit ψ : I → ℝ la solution de (E) vérifiant ψ(b) = 0 et ψ′(b) = −1. Montrer que ψ est strictement décroissante, et que ψ′(x) ⩽ − exp(− ∫_{x}^{b} p(y) dy) pour tout x ∈ I.

(c) Vérifier que ϕ, ψ sont deux solutions linéairement indépendantes de (E), et en déduire que le problème (P) admet au plus une solution. Quelle est l’équation satisfaite par le wronskien W (x) = ϕ′(x)ψ(x) − ϕ(x)ψ′(x) ?

(d) Montrer que le problème (P) possède une solution de la forme

u(x) = A(x)ϕ(x) + B(x)ψ(x), x ∈ I,

où A, B : I → ℝ sont des fonctions de classe C^{2} qui vérifient A′(x)ϕ(x) + B′(x)ψ(x) = 0 pour tout x ∈ I. Exprimer A, B en termes des solutions ϕ, ψ de l’équation homogène.

(e) En conclure que l’unique solution du problème (P) est donnée par

u(x) = ∫_{a}^{b} G(x, y)f(y) dy, où G(x, y) = \frac{1}{W (x)} \{ \begin{matrix}ϕ(x)ψ(y) & si x ⩽ y, \\ ϕ(y)ψ(x) & si x ⩾ y. \end{matrix}

Chapitre VIII

Méthodes numériques à un pas

L’objectif de ce chapitre est de décrire un certain nombre de méthodes permettant de résoudre numériquement le problème de Cauchy de condition initiale y(t_{0}) = y_{0} pour une équation différentielle

(E)  y′ = f(t, y),

où f : [t_{0}, t_{0} + T] × ℝ → ℝ est une fonction suffisamment régulière. Nous avons choisi ici d’exposer le cas des équations unidimensionnelles dans le seul but de simplifier les notations dans les algorithmes qui vont être décrits ; le cas des systèmes dans ℝ^{m} est tout à fait identique, à condition de considérer la variable y comme une variable vectorielle et la fonction f comme une fonction vectorielle.

Étant donné une subdivision t_{0} < t_{1} < … < t_{N} = t_{0} + T de [t_{0}, t_{0} + T], on cherche à déterminer des valeurs approchées y_{0}, y_{1}, …, y_{N} des valeurs y(t_{n}) prises par la solution exacte y. On notera les pas successifs

h_{n} = t_{n+1} − t_{n}, 0 ≤ n ≤ N − 1,

et

h_{max} = max (h_{n})

le maximum du pas.

On appelle méthode à un pas une méthode permettant de calculer y_{n+1} à partir de la seule valeur antérieure y_{n}. Une méthode à r pas est au contraire une méthode qui utilise les r valeurs antérieures y_{n}, …, y_{n−r+1} afin de faire le calcul de y_{n+1} (ces valeurs doivent donc être stockées en mémoire lors de l’implémentation).

1. Définition des méthodes à un pas, exemples

1.1. Définitions

Les méthodes à un pas sont les méthodes de résolution numérique qui peuvent s’écrire sous la forme

y_{n+1} = y_{n} + h_{n}Φ(t_{n}, y_{n}, h_{n}), 0 ≤ n < N,

où Φ : [t_{0}, t_{0} + T] × ℝ × ℝ → ℝ est une fonction que l’on supposera continue. Dans la pratique, la fonction Φ(t, y, h) peut n’être définie que sur une partie de la forme [t_{0}, t_{0} + T] × J × [0, δ] où J est un intervalle de ℝ (de sorte en particulier que [t_{0}, t_{0} + T] × J soit contenu dans le domaine de définition de l’équation différentielle).

Exemple. La méthode d’Euler est la méthode à un pas associée à la fonction Φ(t, y, h) = f(t, y), et définie par la formule de récurrence y_{n+1} = y_{n} + h_{n}f(t_{n}, y_{n}) (voir chapitre V, § 2.3).

Définition. L’erreur de consistance e_{n} relative à une solution exacte z est l’erreur

e_{n} = z(t_{n+1}) − y_{n+1}, 0 ≤ n < N

produite par application de l’algorithme y_{n+1} = y_{n} + h_{n}Φ(t_{n}, y_{n}, h_{n}) à partir de la valeur y_{n} = z(t_{n}). Autrement dit, cette erreur mesure l’écart entre la valeur exacte z(t_{n+1}) au temps t_{n+1}, et la valeur approchée y_{n+1} issue de la valeur y_{n} = z(t_{n}) prise comme valeur initiale au temps t_{n} (une seule étape de l’algorithme est donc mise en jeu). En termes de la fonction Φ, on a

e_{n} = z(t_{n+1}) − z(t_{n}) − h_{n}Φ(t_{n}, z(t_{n}), h_{n}).

z e_{n} t_{n}  t_{n+1} = t_{n} + h_{n} t y_{n} y_{n+1} z(t_{n+1}) y

Comme le montre le schéma ci-dessous, l’erreur de consistance n’a a priori que peu de rapport avec l’erreur globale θ_{n} = max_{0⩽j⩽n} |z(t_{j}) − y_{j}| résultant d’un calcul de n valeurs successives y_{1}, …, y_{n} à partir de la donnée initiale y_{0} = z(t_{0}) (qui est à vrai dire la seule erreur intéressant réellement le numéricien). On imagine cependant, et nous reviendrons là-dessus plus en détail au § 2, que |θ_{n}| sera de l’ordre de grandeur de |e_{0}| + |e_{1}| + ⋯ + |e_{n−1}|, sous des hypothèses convenables de régularité pour la fonction f. C’est pourquoi l’évaluation de e_{n} va gouverner l’évaluation de l’erreur globale.

t_{0}  t_{1}  t_{2}  t_{3}  t_{4}  t e_{0} e_{1} e_{2} e_{3} y  y_{0}  y_{1}  y_{2}  y_{3}  y_{4}z z_{1} z_{2} z_{3}  θ_{4}

[Les fonctions z, z_{1}, z_{2}, z_{3} représentent ici les solutions exactes passant par les points (t_{0}, y_{0}) et (t_{j}, y_{j}), j = 1, 2, 3].

1.2. Retour sur la méthode d’Euler

Soit z une solution exacte de l’équation (E). On a au premier ordre l’approximation

z(t_{n+1}) = z(t_{n} + h_{n}) ≃ z(t_{n}) + h_{n}z′(t_{n}) = z(t_{n}) + h_{n}f(t_{n}, z(t_{n})).

Comme on l’a déjà vu au chapitre V, ceci conduit à l’algorithme

\{ \begin{matrix}y_{n+1} = y_{n} + h_{n}f(t_{n}, y_{n}) \\ t_{n+1} = t_{n} + h_{n}. \end{matrix}

Par définition de l’erreur de consistance, on a e_{n} = z(t_{n} + h_{n}) − y_{n+1} où

y_{n+1} = z(t_{n}) + h_{n}f(t_{n}, z(t_{n})) = z(t_{n}) + h_{n}z′(t_{n}).

La formule de Taylor-Lagrange donne

e_{n} = z(t_{n} + h_{n}) − (z(t_{n}) + h_{n}z′(t_{n})) = \frac{1}{2} h_{n}^{2}z′′(t_{n}) + o(h_{n}^{2}),

pourvu que z soit de classe C^{2}. C’est bien le cas si f est de classe C^{1}, et on sait alors que

z′′(t) = f^{[1]}(t, z(t))  où  f^{[1]} = f′_{t} + f′_{y}f.

On en déduit par conséquent

e_{n} = \frac{1}{2} h_{n}^{2}f^{[1]}(t_{n}, y_{n}) + o(h_{n}^{2}).

Cette erreur en h_{n}^{2} est relativement importante, à moins que le pas h_{n} ne soit choisi très petit, ce qui augmente considérablement le volume des calculs à effectuer. On va donc essayer de construire des méthodes permettant de réduire l’erreur de consistance e_{n}.

1.3. Méthode de Taylor d’ordre p

Supposons que f soit de classe C^{p}. Alors toute solution exacte z est de classe C^{p+1}, et sa dérivée k-ième est z^{(k)}(t) = f^{[k−1]}(t, z(t)). La formule de Taylor d’ordre p implique

z(t_{n} + h_{n}) = z(t_{n}) + ∑_{k=1}^{p} \frac{1}{k!} h_{n}^{k}f^{[k−1]}(t_{n}, z(t_{n})) + o(h_{n}^{p}).

Lorsque h_{n} est assez petit, l’approximation est d’autant meilleure que p est plus grand. On est donc amené à considérer l’algorithme suivant, appelé méthode de Taylor d’ordre p :

\{ \begin{matrix}y_{n+1} = y_{n} + ∑_{k=1}^{p} \frac{1}{k!} h_{n}^{k}f^{[k−1]}(t_{n}, y_{n}) \\ t_{n+1} = t_{n} + h_{n}. \end{matrix}

D’après la définition générale des méthodes à un pas, cet algorithme correspond au choix Φ(t, y, h) = ∑_{k=1}^{p} \frac{1}{k!} h^{k−1}f^{[k−1]}(t, y). Calculons l’erreur de consistance e_{n}. En supposant y_{n} = z(t_{n}), la formule de Taylor d’ordre p + 1 donne

\begin{aligned}e_{n} & = z(t_{n+1}) − y_{n+1} = z(t_{n} + h_{n}) − ∑_{k=0}^{p} \frac{1}{k!} h_{n}^{k}z^{(k)}(t_{n}) \\ & = \frac{1}{(p + 1)!} h_{n}^{p+1}f^{[p]}(t_{n}, y_{n}) + o(h_{n}^{p+1}). \end{aligned}

L’erreur est donc maintenant de l’ordre de h_{n}^{p+1}. On dira d’une manière générale qu’une méthode est d’ordre p si l’erreur de consistance est en h_{n}^{p+1} chaque fois que f est de classe C^{p} au moins. La méthode d’Euler est le cas particulier p = 1 de la méthode de Taylor.

Remarque. Dans la pratique, la méthode de Taylor souffre de deux inconvénients graves qui en font généralement déconseiller l’utilisation pour p ≥ 2 :

• Le calcul des quantités f^{[k]} est souvent complexe et coûteux en temps machine. Il faut aussi pouvoir évaluer explicitement f^{[k]}, ce qui n’est pas toujours le cas (par exemple, si f est une donnée expérimentale discrétisée).

• La méthode suppose a priori que f soit très régulière ; les erreurs risquent donc de ne pas pouvoir être contrôlées si certaines dérivées de f présentent des discontinuités ou une mauvaise continuité (pentes élevées).

1.4. Méthode du point milieu

Cette méthode est décrite par le schéma suivant.

y z(t + h) z(t)  t  t + h/2 t + h  t ε z

L’idée est que la corde de la fonction z sur [t, t + h] a une pente voisine de z′(t + \frac{h}{2}), alors que dans la méthode d’Euler on approxime brutalement cette pente par z′(t). On écrit donc :

(∗)  z(t + h) ≃ z(t) + hz′(t + \frac{h}{2}).

Si z est de classe C^{3}, il vient

\begin{aligned}z(t + h) & = z(t) + hz′(t) + \frac{1}{2} h^{2}z′′(t) + \frac{1}{6} h^{3}z′′′(t) + o(h^{3}), \\ z′(t + \frac{h}{2}) & = z′(t) + \frac{1}{2} hz′′(t) + \frac{1}{8} h^{2}z′′′(t) + o(h^{2}). \end{aligned}

L’erreur commise est donc

ε = z(t + h) − z(t) − hz′(t + \frac{h}{2}) = \frac{1}{24} h^{3}z′′′(t) + o(h^{3}),

soit une erreur en h^{3} au lieu de h^{2} dans la méthode d’Euler. On par ailleurs

z′(t + \frac{h}{2}) = f(t + \frac{h}{2}, z(t + \frac{h}{2})).

Comme la valeur de z(t + \frac{h}{2}) n’est pas connue, on l’approxime par

(∗∗)  z(t + \frac{h}{2}) ≃ z(t) + \frac{h}{2} f(t, z(t)),

d’où en définitive

z(t + h) ≃ z(t) + hf(t + \frac{h}{2}, z(t) + \frac{h}{2} f(t, z(t))).

L’algorithme du point milieu est associé au choix

Φ(t, y, h) = f(t + \frac{h}{2}, y + \frac{h}{2} f(t, y))

et donne lieu au schéma numérique

\{ \begin{matrix}y_{n+ \frac{1}{2}} = y_{n} + \frac{h_{n}}{2} f(t_{n}, y_{n}) \\ p_{n} = f(t_{n} + \frac{h_{n}}{2} , y_{n+ \frac{1}{2}} ) \\ y_{n+1} = y_{n} + h_{n}p_{n} \\ t_{n+1} = t_{n} + h_{n}. \end{matrix}

Calculons l’erreur de consistance : e_{n} = z(t_{n+1}) − y_{n+1}, avec y_{n} = z(t_{n}). On a e_{n} = ε_{n} + ε′_{n} où les erreurs

ε_{n} = z(t_{n+1}) − z(t_{n}) − h_{n}z′(t_{n} + \frac{h_{n}}{2} ),
ε′_{n} = h_{n}z′(t_{n} + \frac{h_{n}}{2} ) − (y_{n+1} − z(t_{n}))

= h_{n} (f(t_{n} + \frac{h_{n}}{2} , z(t_{n} + \frac{h_{n}}{2} )) − f(t_{n} + \frac{h_{n}}{2} , y_{n+ \frac{1}{2}} ))

proviennent respectivement des approximations (∗) et (∗∗). D’après le calcul fait plus haut

ε_{n} = \frac{1}{24} h_{n}^{3}z′′′(t_{n}) + o(h_{n}^{3}) = \frac{1}{24} h_{n}^{3}f^{[2]}(t_{n}, y_{n}) + o(h_{n}^{3}).

D’autre part

\begin{aligned}z(t_{n} + \frac{h_{n}}{2} ) − y_{n+ \frac{1}{2}} & = z(t_{n} + \frac{h_{n}}{2} ) − (z(t_{n}) + \frac{h_{n}}{2} z′(t_{n})) \\ & = \frac{1}{8} h_{n}^{2}z′′(t_{n}) + o(h_{n}^{2}) = \frac{1}{8} h_{n}^{2}f^{[1]}(t_{n}, y_{n}) + o(h_{n}^{2}). \end{aligned}

D’après le théorème des accroissements finis appliqué en y, on a

f(t_{n} + \frac{h_{n}}{2} , z(t_{n} + \frac{h_{n}}{2} )) − f(t_{n} + \frac{h_{n}}{2} , y_{n+ \frac{1}{2}} )

= f′_{y}(t_{n} + \frac{h_{n}}{2} , c_{n})(z(t_{n} + \frac{h_{n}}{2} ) − y_{n+ \frac{1}{2}} )

= (f′_{y}(t_{n}, y_{n}) + o(h_{n}))(\frac{1}{8} h_{n}^{2}f^{[1]}(t_{n}, y_{n}) + o(h_{n}^{2}))

= \frac{1}{8} h_{n}^{2}f′_{y}f^{[1]}(t_{n}, y_{n}) + o(h_{n}^{2}),

d’où

ε′_{n} = \frac{1}{8} h_{n}^{3}f′_{y}f^{[1]}(t_{n}, y_{n}) + o(h_{n}^{3}).

On en déduit

e_{n} = ε_{n} + ε′_{n} = \frac{1}{24} h_{n}^{3}(f^{[2]} + 3f′_{y}f^{[1]})(t_{n}, y_{n}) + o(h_{n}^{3}).

La méthode du point milieu est donc d’ordre 2.

1.5.* Méthode du point milieu modifié

Si on observe les algorithmes précédents, on voit que la seule opération éventuellement coûteuse en temps de calcul est l’évaluation de la fonction f(t, y), le reste consistant en un petit nombre d’additions ou de multiplications. On mesure donc le coût d’une méthode d’ordre donné par le nombre d’évaluations de la fonction f qu’elle réclame à chaque pas. Pour des méthodes d’ordres différents la comparaison ne tient pas, puisqu’une méthode d’ordre plus élevé exige à précision égale un nombre de pas nettement inférieur.

Dans la méthode du point milieu, on va modifier le calcul successif de f(t_{n}, y_{n}) et de la pente intermédiaire p_{n} = f(t_{n} + \frac{h_{n}}{2} , y_{n+ \frac{1}{2}} ) en introduisant l’algorithme suivant, qui fait l’économie de l’évaluation de f(t_{n}, y_{n}) :

\{ \begin{matrix}y_{n+ \frac{1}{2}} = ỹ_{n} + \frac{h_{n}}{2} p̃_{n−1} \\ p̃_{n} = f(t_{n} + \frac{h_{n}}{2} , y_{n+ \frac{1}{2}} ) \\ ỹ_{n+1} = ỹ_{n} + h_{n}p̃_{n} \\ t_{n+1} = t_{n} + h_{n}. \end{matrix}

On a donc modifié légèrement le calcul de y_{n+ \frac{1}{2}} en remplaçant la pente f(t_{n}, y_{n}) par la pente p̃_{n−1} calculée à l’étape antérieure. Il s’ensuit naturellement que les valeurs y_{n} sont elles aussi modifiées en des valeurs ỹ_{n}.

Remarque. Le démarrage (étape n = 0) présente une difficulté car la pente p̃_{−1} n’a pas été évaluée. On résout cette difficulté en initialisant p̃_{−1} = f(t_{0}, y_{0}). On observera que la méthode du point milieu modifié est en fait une méthode à 2 pas (les étapes n et n − 1 sont utilisées pour calculer ỹ_{n+1}).

Évaluons maintenant l’erreur de consistance ẽ_{n} = z(t_{n+1}) − ỹ_{n+1}, en supposant ỹ_{n} = z(t_{n}). On peut écrire

ẽ_{n} = (z(t_{n+1}) − y_{n+1}) + (y_{n+1} − ỹ_{n+1}) = e_{n} + ε′′_{n},

où e_{n} est l’erreur de consistance de la méthode du point milieu standard (on suppose donc aussi y_{n} = z(t_{n}) pour la calculer). Il vient

ε′′_{n} = y_{n+1} − ỹ_{n+1} = h_{n}(f(t_{n} + \frac{h_{n}}{2} , y_{n+ \frac{1}{2}} ) − f(t_{n} + \frac{h_{n}}{2} , y_{n+ \frac{1}{2}} )).
y_{n+ \frac{1}{2}} − y_{n+ \frac{1}{2}} = \frac{h_{n}}{2} (f(t_{n}, y_{n}) − p̃_{n−1})

= \frac{h_{n}}{2} (f(t_{n}, y_{n}) − f(t_{n−1} + \frac{h_{n−1}}{2} , y_{n− \frac{1}{2}} )).

Or t_{n} − (t_{n−1} + \frac{h_{n−1}}{2} ) = \frac{h_{n−1}}{2} et

y_{n} − y_{n− \frac{1}{2}} = y_{n} − (ỹ_{n−1} + \frac{h_{n−1}}{2} p̃_{n−2})

= y_{n} − (ỹ_{n} − h_{n−1}p̃_{n−1} + \frac{h_{n−1}}{2} p̃_{n−2})

= h_{n−1}(p̃_{n−1} − \frac{1}{2} p̃_{n−2})

= \frac{1}{2} h_{n−1}f(t_{n}, y_{n}) + o(h_{n−1}) ;

à la troisième ligne on utilise le fait que y_{n} = ỹ_{n} = z(t_{n}), et à la quatrième le fait que p̃_{n−i} = f(t_{n−i} + h_{n−i}/2, ỹ_{n−i+1/2}) converge vers f(t_{n}, y_{n}) pour i = 1, 2 lorsque h_{max} tend vers 0. Grâce à la formule de Taylor pour les fonctions de 2 variables, il vient

f(t_{n}, y_{n}) − f(t_{n−1} + \frac{h_{n−1}}{2} , y_{n− \frac{1}{2}} )

= \frac{h_{n−1}}{2} f′_{t}(t_{n}, y_{n}) + \frac{1}{2} h_{n−1}f(t_{n}, y_{n})f′_{y}(t_{n}, y_{n}) + o(h_{n−1})

= \frac{1}{2} h_{n−1}(f′_{t} + ff′_{y})(t_{n}, y_{n}) + o(h_{n−1})

= \frac{1}{2} h_{n−1}f^{[1]}(t_{n}, y_{n}) + o(h_{n−1}),

d’où

y_{n+ \frac{1}{2}} − y_{n+ \frac{1}{2}} = \frac{1}{4}h_{n}h_{n−1}f^{[1]}(t_{n}, y_{n}) + o(h_{n}h_{n−1}).

On en déduit finalement

ε′′_{n} = h_{n}f′_{y}(t_{n} + \frac{h_{n}}{2} , c_{n})(y_{n+ \frac{1}{2}} − y_{n+ \frac{1}{2}} ) = \frac{1}{4} h_{n}^{2}h_{n−1}(f′_{y}f^{[1]})(t_{n}, y_{n}) + o(h_{n}^{2}h_{n−1}),

d’où l’erreur de consistance

ẽ_{n} = \frac{1}{24} h_{n}^{3}(f^{[2]} + 3f′_{y}f^{[1]})(t_{n}, y_{n}) + \frac{1}{4} h_{n}^{2}h_{n−1}(f′_{y}f^{[1]})(t_{n}, y_{n}) + o(h_{n}^{3} + h_{n}^{2}h_{n−1}).

La méthode du point milieu modifié est donc encore une méthode d’ordre 2 (mais ce n’est pas une méthode à un pas !).

2. Étude générale des méthodes à un pas

2.1. Méthodes consistantes, stables et convergentes

La première notion que nous introduisons a trait au problème de l’accumulation des erreurs de consistance (accumulation purement théorique dans le sens où on tient pas compte du fait que la solution calculée s’écarte de la solution exacte, cf. schémas du § 1.1).

Définition 1. On dit que la méthode est consistante si pour toute solution exacte z la somme des erreurs de consistance relatives à z, soit ∑_{0≤n≤N} |e_{n}|, tend vers 0 quand h_{max} tend vers 0.

Une autre notion fondamentale est la notion de stabilité. Dans la pratique, le calcul récurrent des points y_{n} est en effet entâché d’erreurs d’arrondi ε_{n}. Pour que les calculs soient significatifs, il est indispensable que la propagation de ces erreurs reste contrôlable. On est amené à la définition suivante.

Définition 2. On dit que la méthode est stable s’il existe une constante S ≥ 0, appelée constante de stabilité, telle que pour toutes suites (y_{n}), (ỹ_{n}) définies par

\begin{aligned}y_{n+1} & = y_{n} + h_{n}Φ(t_{n}, y_{n}, h_{n}), 0 ≤ n < N \\ ỹ_{n+1} & = ỹ_{n} + h_{n}Φ(t_{n}, ỹ_{n}, h_{n}) + ε_{n}, 0 ≤ n < N \end{aligned}

on ait

max_{0≤n≤N} |ỹ_{n} − y_{n}| ≤ S(|ỹ_{0} − y_{0}| + ∑_{0≤n<N} |ε_{n}|).

Autrement dit, une petite erreur initiale |ỹ_{0} − y_{0}| et de petites erreurs d’arrondi ε_{n} dans le calcul récurrent des ỹ_{n} provoquent une erreur finale max |ỹ_{n} − y_{n}| contrôlable. Une dernière notion importante en pratique est la suivante.

Définition 3. On dit que la méthode est convergente si pour toute solution exacte z, la suite y_{n} telle que y_{n+1} = y_{n} + h_{n}Φ(t_{n}, y_{n}, h_{n}) vérifie

max_{0≤n≤N} |y_{n} − z(t_{n})| → 0

quand y_{0} → z(t_{0}) et quand h_{max} → 0.

La quantité max_{0≤n≤N} |y_{n} − z(t_{n})| s’appelle l’erreur globale (de la suite y_{n} calculée par rapport à la solution exacte z). C’est évidemment cette erreur qui importe dans la pratique.

Calcul de l’erreur globale. Posons ỹ_{n} = z(t_{n}). Par définition de l’erreur de consistance (cf. § 2.1) on a

ỹ_{n+1} = ỹ_{n} + h_{n}Φ(t_{n}, ỹ_{n}, h_{n}) + e_{n}.

Si la méthode est stable, de constante de stabilité S, l’erreur globale est donc

max_{0≤n≤N} |y_{n} − z(t_{n})| ≤ S(|y_{0} − z(t_{0})| + ∑_{0≤n<N} |e_{n}|).

Corollaire. Si la méthode est stable et consistante, elle est convergente.

En effet ∑_{0≤n<N} |e_{n}| tend vers 0 quand h_{max} tend vers 0, puisque la méthode est consistante par hypothèse.

2.2. Condition nécessaire et suffisante de consistance

Soit z une solution exacte de l’équation (E) et soient

e_{n} = z(t_{n+1}) − z(t_{n}) − h_{n}Φ(t_{n}, z(t_{n}), h_{n})

les erreurs de consistance correspondantes. D’après le théorème des accroissements finis, il existe c_{n} ∈ ]t_{n}, t_{n+1}[ tel que

z(t_{n+1}) − z(t_{n}) = h_{n}z′(c_{n}) = h_{n}f(c_{n}, z(c_{n}))

d’où

e_{n} = h_{n}(f(c_{n}, z(c_{n})) − Φ(t_{n}, z(t_{n}), h_{n})) = h_{n}(α_{n} + β_{n})

avec

\begin{aligned}α_{n} & = f(c_{n}, z(c_{n})) − Φ(c_{n}, z(c_{n}), 0), \\ β_{n} & = Φ(c_{n}, z(c_{n}), 0) − Φ(t_{n}, z(t_{n}), h_{n}). \end{aligned}

Comme la fonction (t, h) ↦ Φ(t, z(t), h) est continue sur [t_{0}, t_{0} + T] × [0, δ] qui est compact, elle y est uniformément continue. Par conséquent, pour tout ε > 0, il existe η > 0 tel que h_{max} ≤ η → |β_{n}| ≤ ε. Pour h_{max} ≤ η on a donc

| ∑_{0≤n<N} |e_{n}| − ∑_{0≤n<N} h_{n}|α_{n}|| ≤ ∑_{0≤n<N} h_{n}|β_{n}| ≤ ε ∑ h_{n} = T ε.

On en déduit

lim_{h_{max}→0} ∑_{0≤n<N} |e_{n}| = lim_{h_{max}→0} ∑_{0≤n<N} h_{n}|α_{n}|

= ∫_{t_{0}}^{t_{0}+T} |f(t, z(t)) − Φ(t, z(t), 0)|dt

car ∑ h_{n}|α_{n}| est une somme de Riemann de l’intégrale précédente. Par définition, la méthode est consistante si et seulement si lim ∑ |e_{n}| = 0 pour toute solution exacte z. On en déduit :

Théorème. La méthode à 1 pas définie par la fonction Φ est consistante si et seulement si

∀(t, y) ∈ [t_{0}, t_{0} + T] × ℝ, Φ(t, y, 0) = f(t, y).

Il résulte de ce théorème que les méthodes à un pas déjà mentionnées sont bien consistantes.

2.3. Condition suffisante de stabilité

Pour pouvoir majorer l’erreur globale décrite au § 2.1, il faut savoir estimer d’une part la constante de stabilité S, et d’autre part la somme ∑_{0≤n<N} |e_{n}|. Le résultat suivant permet d’évaluer S.

Théorème. Pour que la méthode soit stable, il suffit que la fonction Φ soit lipschitzienne en y, c’est-à-dire qu’il existe une constante Λ ≥ 0 telle que

∀t ∈ [t_{0}, t_{0} + T], ∀(y_{1}, y_{2}) ∈ ℝ^{2}, ∀h ∈ ℝ on ait

|Φ(t, y_{1}, h) − Φ(t, y_{2}, h)| ≤ Λ|y_{1} − y_{2}|.

Dans ce cas, on peut prendre pour constante de stabilité S = e^{ΛT}.

Démonstration. Considérons deux suites (y_{n}), (ỹ_{n}) telles que

\begin{aligned}y_{n+1} & = y_{n} + h_{n}Φ(t_{n}, y_{n}, h_{n}), \\ ỹ_{n+1} & = ỹ_{n} + h_{n}Φ(t_{n}, ỹ_{n}, h_{n}) + ε_{n}. \end{aligned}

Par différence, on obtient

|ỹ_{n+1} − y_{n+1}| ≤ |ỹ_{n} − y_{n}| + h_{n}Λ|ỹ_{n} − y_{n}| + |ε_{n}|.

En posant θ_{n} = |ỹ_{n} − y_{n}|, il vient

θ_{n+1} ≤ (1 + Λh_{n})θ_{n} + |ε_{n}|.

Lemme de Gronwall (cas discret). Soient des suites h_{n}, θ_{n} ≥ 0 et ε_{n} ∈ ℝ telles que θ_{n+1} ≤ (1 + Λh_{n})θ_{n} + |ε_{n}|. Alors

θ_{n} ≤ e^{Λ(t_{n}−t_{0})}θ_{0} + ∑_{0≤i≤n−1} e^{Λ(t_{n}−t_{i+1})}|ε_{i}|.

Le lemme se vérifie par récurrence sur n. Pour n = 0, l’inégalité se réduit à θ_{0} ≤ θ_{0}. Supposons maintenant l’inégalité vraie à l’ordre n. On observe que

1 + Λh_{n} ≤ e^{Λh_{n}} = e^{Λ(t_{n+1}−t_{n})}.

Par hypothèse on a

\begin{aligned}θ_{n+1} & ≤ e^{Λ(t_{n+1}−t_{n})}θ_{n} + |ε_{n}| \\ & ≤ e^{Λ(t_{n+1}−t_{0})}θ_{0} + ∑_{0≤i≤n−1} e^{Λ(t_{n+1}−t_{i+1})}|ε_{i}| + |ε_{n}|. \end{aligned}

L’inégalité cherchée s’ensuit à l’ordre n + 1.

Comme t_{n} − t_{0} ≤ T et t_{n} − t_{i+1} ≤ T, le lemme de Gronwall implique

max_{0≤n≤N} θ_{n} ≤ e^{ΛT} (θ_{0} + ∑_{0≤i≤N−1} |ε_{i}|)

Par définition de θ_{n}, on a donc

max_{0≤n≤N} |ỹ_{n} − y_{n}| ≤ e^{ΛT} (|ỹ_{0} − y_{0}| + ∑_{0≤n≤N} |ε_{n}|),

et le théorème est démontré.

Remarque. Dans la pratique, l’hypothèse lipschitzienne faite sur Φ est très rarement satisfaite globalement pour y_{1}, y_{2} ∈ ℝ et h ∈ ℝ (ne serait-ce que parce que le domaine de définition de Φ est peut-être plus petit). Par contre cette hypothèse est souvent satisfaite si on se restreint à des y_{1}, y_{2} ∈ J et |h| ≤ δ où J est un intervalle fermé borné assez petit. Dans ce cas, la constante de stabilité S = e^{ΛT} est valable pour des suites y_{n}, ỹ_{n} ∈ J et pour h_{max} ≤ δ.

Exemples. Supposons que la fonction f soit lipschitzienne de rapport k en y et calculons Λ, S pour les différentes méthodes déjà présentées.

• Dans la méthode d’Euler, Φ(t, y, h) = f(t, y). On peut prendre Λ = k, S = e^{kT}.

• Dans la méthode du point milieu, on a

Φ(t, y, h) = f(t + \frac{h}{2}, y + \frac{h}{2} f(t, y)).

On en déduit

|Φ(t, y_{1}, h) − Φ(t, y_{2}, h)| ≤ k|y_{1} + \frac{h}{2} f(t, y_{1}) − (y_{2} + \frac{h}{2} f(t, y_{2}))|

≤ k(|y_{1} − y_{2}| + \frac{h}{2} |f(t, y_{1}) − f(t, y_{2})|)

≤ k(|y_{1} − y_{2}| + \frac{h}{2} k|y_{1} − y_{2}|) = k(1 + \frac{1}{2} hk)|y_{1} − y_{2}|.

On peut prendre ici Λ = k(1 + \frac{1}{2} h_{max} k), d’où

S = exp (kT (1 + \frac{1}{2} h_{max}k)).

Si h_{max} est petit (par rapport à 1/k^{2}T), cette constante est du même ordre de grandeur que dans la méthode d’Euler.

Corollaire. Lorsque f est lipschitzienne en y, les méthodes d’Euler et du point milieu sont convergentes.

Le lecteur observera l’analogie des techniques utilisées pour obtenir ce corollaire avec celles utilisées au chapitre V, § 3.1.

2.4. Influence de l’ordre de la méthode sur l’erreur globale

Nous allons voir ici que l’ordre d’une méthode numérique a une influence déterminante sur la précision que cette méthode permet d’atteindre. La définition de l’ordre que nous allons donne prend l’erreur de consistance comme point de départ (le lecteur prendra garde au décalage d’une unité entre l’ordre et l’exposant de h_{n} dans l’erreur de consistance ! )

Définition. On dit qu’une méthode à 1 pas est d’ordre ≥ p si pour toute solution exacte z d’une équation différentielle

(E)  y′ = f(t, y) où f est de classe C^{p},

il existe une constante C ≥ 0 telle que l’erreur de consistance relative à z vérifie

|e_{n}| ≤ Ch_{n}^{p+1}, ∀n, 0 ≤ n < N.

Elle est dite d’ordre p (exactement) si elle est d’ordre ≥ p mais pas d’ordre ≥ p + 1.

Rappelons que l’erreur de consistance est donnée par

e_{n} = z(t_{n+1}) − y_{n} − h_{n}Φ(t_{n}, y_{n}, h_{n}) où y_{n} = z(t_{n}).

Supposons que Φ soit de classe C^{p}. La formule de Taylor donne alors

Φ(t_{n}, y_{n}, h_{n}) = ∑_{l=0}^{p} \frac{1}{l!} h_{n}^{l} \frac{∂^{l}Φ}{∂h^{l}} (t_{n}, y_{n}, 0) + o(h_{n}^{p}).

Si f est de classe C^{p}, la solution z est de classe C^{p+1} donc

z(t_{n+1}) − y_{n} = z(t_{n} + h) − z(t_{n})

= ∑_{k=1}^{p+1} \frac{1}{k!} h_{n}^{k}z^{(k)}(t_{n}) + o(h_{n}^{p+1})

= ∑_{l=0}^{p} \frac{1}{(l + 1)!} h_{n}^{l+1}f^{[l]}(t_{n}, y_{n}) + o(h_{n}^{p+1}).

On en déduit aussitôt

e_{n} = ∑_{l=0}^{p} \frac{1}{l!} h_{n}^{l+1}(\frac{1}{l + 1} f^{[l]}(t_{n}, y_{n}) − \frac{∂^{l}Φ}{∂h^{l}} (t_{n}, y_{n}, 0)) + o(h_{n}^{p+1})

Conséquence. La méthode est d’ordre ≥ p si et seulement si Φ est telle que

\frac{∂^{l}Φ}{∂h^{l}} (t, y, 0) = \frac{1}{l + 1} f^{[l]}(t, y), 0 ≤ l ≤ p − 1.

Sous cette hypothèse, l’erreur e_{n} se réduit à

e^{n} = \frac{1}{p!} h_{n}^{p+1}(\frac{1}{p + 1} f^{[p]}(t_{n}, y_{n}) − \frac{∂^{p}Φ}{∂h^{p}} (t_{n}, y_{n}, 0)) + o(h_{n}^{p+1}).

Remarque. De ce qui précède on déduit les équivalences

Méthode consistante ⟺ Φ(t, y, 0) = f(t, y) ⟺ Méthode d’ordre ≥ 1.

L’utilisation de la formule de Taylor avec reste de Lagrange implique l’existence de points τ_{n} ∈ ]t_{n}, t_{n+1}[ et η_{n} ∈ ]0, h_{max}[ tels que

e_{n} = h_{n}^{p+1} (\frac{1}{(p + 1)!} f^{[p]}(τ_{n}, z(τ_{n})) − \frac{1}{p!} \frac{∂^{p}Φ}{∂h^{p}} (t_{n}, z(t_{n}), η_{n})) .

Ceci permet (au moins théoriquement) de trouver une constante C dans la majoration de l’erreur de consistance : on peut prendre

C = \frac{1}{(p + 1)!} ∥f^{[p]}(t, z(t))∥_{∞} + \frac{1}{p!} ∥\frac{∂^{p}Φ}{∂h^{p}} (t, z(t), h)∥_{∞}

où les normes ∥ ∥_{∞} sont étendues aux (t, h) ∈ [t_{0}, t_{0} + T] × [0, h_{max}].

Majoration de l’erreur globale. Compte tenu de la majoration supposée satisfaite pour e_{n}, on a

∑_{0≤n<N} |e_{n}| ≤ ∑ Ch_{n}^{p+1} ≤ C ∑ h_{n}h_{max}^{p} ≤ CT h_{max}^{p}.

Si la méthode est stable avec constante de stabilité S, on obtient donc la majoration

max_{0≤n≤N} |y_{n} − z(t_{n})| ≤ S(|y_{0} − z(t_{0})| + CT h_{max}^{p}).

L’erreur initiale |y_{0} − z(t_{0})| est généralement négligeable. L’erreur globale donnée par une méthode stable d’ordre p est donc de l’ordre de grandeur de h_{max}^{p} avec une constante de proportionnalité SCT (on retiendra que l’ordre est égal à l’exposant de h_{max} dans la majoration de l’erreur globale, alors que l’erreur de consistance, elle, est en h_{n}^{p+1}).

Si la constante SCT n’est pas trop grande (disons ≤ 10^{2}), une méthode d’ordre 3 avec pas maximum h_{max} = 10^{−2} permet d’atteindre une précision globale de l’ordre de 10^{−4}.

2.5. Influence des erreurs d’arrondi

L’erreur globale calculée au § 2.4 est une erreur théorique, c’est-à-dire qu’elle ne tient pas compte des erreurs d’arrondi qui se produisent inévitablement en pratique. Dans la réalité, l’ordinateur va calculer non pas la suite récurrente y_{n}, mais une valeur approchée ỹ_{n} de y_{n} dans laquelle interviendront

• une erreur d’arrondi ρ_{n} sur Φ(t_{n}, ỹ_{n}, h_{n}),

• une erreur d’arrondi σ_{n} sur le calcul de ỹ_{n+1}.

En définitive, on aura

\begin{aligned}ỹ_{n+1} & = ỹ_{n} + h_{n}(Φ(t_{n}, ỹ_{n}, h_{n}) + ρ_{n}) + σ_{n} \\ & = ỹ_{n} + h_{n}Φ(t_{n}, ỹ_{n}, h_{n}) + h_{n}ρ_{n} + σ_{n}. \end{aligned}

Il se peut également que ỹ_{0} diffère légèrement de la valeur théorique y_{0} : ỹ_{0} = y_{0} +ε_{0}.

Hypothèse. ∀n, |ρ_{n}| ≤ ρ, |σ_{n}| ≤ σ.

Les constantes ρ, σ dépendent des caractéristiques de l’ordinateur et de la précision des opérations arithmétiques (si les réels sont codés sur 6 octets, on a typiquement ρ = 10^{−9}, σ = 10^{−10}, |ε_{0}| ≤ 10^{−10}).

Si la méthode est stable avec constante de stabilité S, on en déduit

\begin{aligned}max_{0≤n≤N} |ỹ_{n} − y_{n}| & ≤ S(|ε_{0}| + ∑_{0≤n<N}(h_{n}|ρ_{n}| + |σ_{n}|)) \\ & ≤ S(|ε_{0}| + T ρ + Nσ). \end{aligned}

A cette erreur due aux arrondis s’ajoute l’erreur globale théorique

max_{0≤n≤N} |y_{n} − z(t_{n})| ≤ SCT h_{max}^{p}  si  y_{0} = z(t_{0}).

L’erreur totale commise est donc

max_{0≤n≤N} |ỹ_{n} − z(t_{n})| ≤ S(|ε_{0}| + T ρ + Nσ + CT h_{max}^{p})

Supposons le pas h_{n} = h constant pour simplifier. On a alors N = \frac{T}{h} et l’erreur est majorée par

E(h) = S(|ε_{0}| + T ρ + \frac{T}{h} σ + CT h^{p}) = S(|ε_{0}| + T ρ) + ST (\frac{σ}{h} + Ch^{p})

L’étude de E(h) donne la courbe suivante, avec un minimum de E(h) réalisé en h_{opt} = (\frac{σ}{pC} )^{\frac{1}{p+1}} .

E(h)  h_{opt}  h

Typiquement, pour une méthode d’ordre p = 2 où pC ≃ 10, on obtient h_{opt} ≃ 10^{−3}. Si on prend un pas plus petit, l’erreur augmente ! Ceci est dû au fait que le nombre de pas N = \frac{T}{h} augmente, et avec lui les erreurs d’arrondi, lorsque le pas h diminue. Les erreurs d’arrondi l’emportent alors sur l’erreur globale théorique SCT h^{p}. L’expérience numérique suivante confirme ces prévisions théoriques.

Exemple. Considérons le problème de Cauchy y′ = y avec donnée y_{0} = 1 en t_{0} = 0. La solution exacte est y(t) = e^{t}, d’où y(1) = e ≃ 2, 7182818285. Si l’on utilise la méthode du point milieu avec pas constant h, on obtient l’algorithme

y_{n+1} = (1 + h + h^{2}/2)y_{n}, y_{0} = 1.

L’erreur de consistance est donnée par e_{n} ∼ h^{3}y_{n}/6, d’où e_{n} ≤ Ch^{3} avec C = e/6 sur [0, T] = [0, 1]. Par ailleurs, on peut au mieux espérer σ = 10^{−11}, ce qui donne

h_{opt} ≥ (\frac{10^{−11}}{2 · e/6})^{1/3} ≃ 2, 224 · 10^{−4}, N_{opt} = \frac{T}{h_{opt}} < 4500.

Un calcul sur un ordinateur disposant d’une précision relative maximale des réels de 10^{−11} environ nous a donné en fait les résultats suivants :

Nombre de pas  Valeur y_{N} associée  Erreur y(1) − y_{N}
N = 10  2,7140808465  4, 2 · 10^{−3}
N = 100  2,7182368616  4, 5 · 10^{−5}
N = 500  2,7182800146  4, 8 · 10^{−6}
N = 1000  2,7182813650  4, 6 · 10^{−7}
N = 2000  2,7182816975  1, 3 · 10^{−7}
N = 3000  2,7182817436  8, 5 · 10^{−8}
N = 4000  2,7182817661  6, 2 · 10^{−8}

N = 4400  2,7182817882  4, 0 · 10^{−8}
N = 5000  2,7182817787  5, 0 · 10^{−8}
N = 6000  2,7182817607  6, 8 · 10^{−8}
N = 7000  2,7182817507  7, 8 · 10^{−8}
N = 10000  2,7182817473  8, 1 · 10^{−8}
N = 20000  2,7182817014  1, 3 · 10^{−7}

Le nombre de pas optimal observé est N_{opt} ≃ 4400.

2.6. Problèmes bien posés, bien conditionnés, problèmes raides

L’objet de ce paragraphe est de mettre en évidence les difficultés qui peuvent apparaître dans la mise en œuvre des algorithmes de résolution numérique.

Définition 1. On dit qu’un problème de Cauchy est mathématiquement bien posé si la solution est unique et dépend continûment de la donnée initiale.

Exemple. Considérons le problème de Cauchy

\{ \begin{matrix}y′ = 2\sqrt{|y|},  t ∈ [0, +∞[ \\ y(0) = 0. \end{matrix}

Ce problème admet les solutions y(t) = 0, y(t) = t^{2} et plus généralement

\{ \begin{matrix}y(t) = 0, & t ∈ [0, a] \\ y(t) = (t − a)^{2}, & t ∈ [a, +∞[. \end{matrix}

L’utilisation de la méthode d’Euler y_{n+1} = y_{n} + 2h_{n}\sqrt{y_{n}} va conduire aux solutions approchées suivantes :

• si y_{0} = 0 y(t) = 0

• si y_{0} = ε y(t) ≃ (t + \sqrt{ε})^{2} quand h_{max} → 0.

Il n’y a ici ni unicité, ni continuité de la solution. Le problème de Cauchy est donc mathématiquement mal posé.

Les résultats du chapitre V § 3.2 (et ceux à venir du chapitre XI § 1.2) montrent que le problème de Cauchy est mathématiquement bien posé dès que f(t, y) est localement lipschitzienne en y.

Définition 2. On dit qu’un problème de Cauchy est numériquement bien posé si la continuité de la solution par rapport à la donnée initiale est suffisamment bonne pour que la solution ne soit pas perturbée par une erreur initiale ou des erreurs d’arrondi faibles.

Par l’expression ^{⟨⟨} continuité suffisamment bonne ^{⟩⟩}, on entend en général l’existence d’une constante de Lipschitz petite en regard de la précision des calculs. On notera que la définition 2 ne fait pas référence à la méthode de calcul utilisée.

Exemple 2. Soit le problème de Cauchy

\{ \begin{matrix}y′ = 3y − 1,  t ∈ [0, 10] \\ y(0) = \frac{1}{3}. \end{matrix}

La solution exacte est y(t) = t + \frac{1}{3}. La donnée initiale ỹ(0) = \frac{1}{3} + ε fournit ỹ(t) = t + \frac{1}{3} + εe^{3t}. On a alors

ỹ(10) − y(10) = ε · e^{30} ≃ 10^{13}ε.

Le problème est ici mathématiquement bien posé, mais numériquement mal posé si la précision des calculs est seulement de 10^{−10}. Le problème redevient numériquement bien posé si la précision des calculs est de 10^{−20}.

Exemple 3. L’exemple suivant montre que même un problème numériquement bien posé peut soulever des difficultés inattendues :

\{ \begin{matrix}y′ = −150y + 30, t ∈ [0, 1], \\ y(0) = \frac{1}{5}. \end{matrix}

La solution exacte est y(t) = \frac{1}{5} et la donnée initiale ỹ(0) = \frac{1}{5} + ε fournit ỹ(t) = \frac{1}{5} + εe^{−150t}. Comme 0 ≤ e^{−150t} ≤ 1 sur [0, 1], le problème est numériquement bien posé. La méthode d’Euler avec pas constant h donne

y_{n+1} = y_{n} + h(−150y_{n} + 30) = (1 − 150h)y_{n} + 30h,

y_{n+1} − \frac{1}{5} = (1 − 150h)(y_{n} − \frac{1}{5}),

y_{n} − \frac{1}{5} = (1 − 150h)^{n}(y_{0} − \frac{1}{5}). d’où

Supposons h = \frac{1}{50}. Une erreur initiale y_{0} = \frac{1}{5} + ε conduit à y_{n} = \frac{1}{5} + (−2)^{m}ε, d’où pour t = 1

y_{50} = \frac{1}{5} + 2^{50}ε ≃ \frac{1}{50} + 10^{15}ε!

Pour que |y_{n}| ne diverge pas vers +∞, il est nécessaire de prendre |1 − 150h| ≤ 1, soit 150h ≤ 2, h ≤ \frac{1}{75}. Bien que le problème soit tout à fait bien posé, on voit qu’il est nécessaire de prendre un pas assez petit, et donc de faire des calculs plus coûteux que d’ordinaire.

Définition 3. On dit qu’un problème est bien conditionné si les méthodes numériques usuelles peuvent en donner la solution en un temps raisonnable.

Un problème sera bien conditionné si la constante de stabilité S n’est pas trop grande (disons nettement < 10^{10} si la précision des calculs est 10^{−10}). Sinon, on dit qu’on a affaire à un problème raide.

On sait qu’en général la constante de stabilité S est majorée par e^{ΛT}. Dans un problème raide, on peut avoir typiquement ΛT = 10^{3}, e^{ΛT} > 10^{400}. Il existe des algorithmes permettant de traiter certains problèmes raides, mais nous n’aborderons pas cette question. Le lecteur pourra consulter sur ce point le livre de Crouzeix-Mignot.

3. Méthodes de Runge-Kutta

3.1. Principe général

On considère un problème de Cauchy

\{ \begin{matrix}y′ = f(t, y),  t ∈ [t_{0}, t_{0} + T] \\ y(t_{0}) = y_{0} \end{matrix}

et on cherche à discrétiser ce problème par rapport à une subdivision t_{0} < t_{1} < … < t_{N} = t_{0} + T. L’idée est de calculer par récurrence les points (t_{n}, y_{n}) en utilisant des points intermédiaires (t_{n,i}, y_{n,i}) avec

t_{n,i} = t_{n} + c_{i}h_{n}, 1 ≤ i ≤ q, c_{i} ∈ [0, 1].

A chacun de ces points on associe la pente correspondante

p_{n,i} = f(t_{n,i}, y_{n,i}).

Soit z une solution exacte de l’équation. On a

\begin{aligned}z(t_{n,i}) & = z(t_{n}) + ∫_{t_{n}}^{t_{n,i}} f(t, z(t)) dt \\ & = z(t_{n}) + h_{n} ∫_{0}^{c_{i}} f(t_{n} + uh_{n}, z(t_{n} + uh_{n})) du \end{aligned}

grâce au changement de variable t = t_{n} + uh_{n}. De même

z(t_{n+1}) = z(t_{n}) + h_{n} ∫_{0}^{1} f(t_{n} + uh_{n}, z(t_{n} + uh_{n})) du.

On se donne alors pour chaque i = 1, 2, …, q une méthode d’intégration approchée

(M_{i})  ∫_{0}^{c_{i}} g(t)dt ≃ ∑_{1≤j<i} a_{ij}g(c_{j}),

ces méthodes pouvant être a priori différentes. On se donne également une méthode d’intégration approchée sur [0, 1] :

(M)  ∫_{0}^{1} g(t)dt ≃ ∑_{1≤j≤q} b_{j}g(c_{j}).

En appliquant ces méthodes d’intégration à g(u) = f(t_{n} + uh_{n}, z(t_{n} + uh_{n})), il vient

\begin{aligned}z(t_{n,i}) & ≃ z(t_{n}) + h_{n} ∑_{1≤j<i} a_{ij}f(t_{n,j}, z(t_{n,j})), \\ z(t_{n+1}) & ≃ z(t_{n}) + h_{n} ∑_{1≤j≤q} b_{j}f(t_{n,j}, z(t_{n,j})). \end{aligned}

La méthode Runge-Kutta correspondante est définie par l’algorithme

\{ \begin{matrix}[ \begin{matrix}t_{n,i} = t_{n} + c_{i}h_{n} \\ y_{n,i} = y_{n} + h_{n} ∑_{1≤j<i} a_{ij}p_{n,j} \\ p_{n,i} = f(t_{n,i}, y_{n,i}) \end{matrix} ]  1 ≤ i ≤ q \\ t_{n+1} = t_{n} + h_{n} \\ y_{n+1} = y_{n} + h_{n} ∑_{1≤j≤q} b_{j}p_{n,j}. \end{matrix}

On la représente conventionnellement par le tableau

(M_{1})  c_{1}  0 0 … 0  0
(M_{2})  c_{2}  a_{21} 0 … 0  0
⋮  ⋮  ⋮ ...  ⋮  ⋮
⋮  ⋮  ⋮  0  0
(M_{q})  c_{q}  a_{q1} a_{q2} … a_{qq−1} 0
(M)  b_{1} b_{2} … b_{q−1} b_{q}

où les méthodes d’intégration approchées correspondent aux lignes. On pose par convention a_{ij} = 0 pour j ≥ i.

260 Chap. VIII – Méthodes numériques à un pas Hypothèse. On supposera toujours que les méthodes d’intégration (M_{i}) et (M) sont d’ordre 0 au moins, c’est-à-dire

c_{i} = ∑_{1≤j<i} a_{ij}, 1 = ∑_{1≤j≤q} b_{j}.

En particulier, on aura toujours

c_{1} = 0, t_{n,1} = t_{n}, y_{n,1} = y_{n}, p_{n,1} = f(t_{n}, y_{n}).

3.2. Exemples

Exemple 1. Pour q = 1, le seul choix possible est \begin{aligned}0 & | & 0 \\ & | & 1 \end{aligned} On a ici c_{1} = 0, a_{11} = 0, b_{1} = 1. L’algorithme est donné par

\{ \begin{matrix}p_{n,1} = f(t_{n}, y_{n}) \\ t_{n+1} = t_{n} + h_{n} \\ y_{n+1} = y_{n} + h_{n}p_{n,1} \end{matrix}

Il s’agit de la méthode d’Euler. Exemple 2. Pour q = 2, on considère les tableaux de la forme

\begin{aligned}0 & | & 0 & 0 \\ α & | & α & 0 \\ & | & 1 − \frac{1}{2α} & \frac{1}{2α} \end{aligned} , où α ∈ ]0, 1].

L’algorithme s’écrit ici

\{ \begin{matrix}p_{n,1} = f(t_{n}, y_{n}) \\ t_{n,2} = t_{n} + αh_{n} \\ y_{n,2} = y_{n} + αh_{n}p_{n,1} \\ p_{n,2} = f(t_{n,2}, y_{n,2}) \\ t_{n+1} = t_{n} + h_{n} \\ y_{n+1} = y_{n} + h_{n}((1 − \frac{1}{2α}) p_{n,1} + \frac{1}{2α} p_{n,2}), \end{matrix}

ou encore, sous forme condensée :

y_{n+1} = y_{n} + h_{n}((1 − \frac{1}{2α}) f(t_{n}, y_{n}) + \frac{1}{2α} f(t_{n} + αh_{n}, y_{n} + αh_{n}f(t, y_{n}))).

C’est la première formulation qui est la plus efficace en pratique, puisqu’elle requiert seulement deux évaluations de la fonction f au lieu de 3 pour la forme condensée.

• Pour α = \frac{1}{2}, on retrouve la méthode du point milieu

y_{n+1} = y_{n} + h_{n}f(t_{n} + \frac{h_{n}}{2} , y_{n} + \frac{h_{n}}{2} f(t_{n}, y_{n})),

qui est basée sur la méthode d’intégration du point milieu :

(M)  ∫_{0}^{1} g(t)dt ≃ g(\frac{1}{2}).

• Pour α = 1, on obtient la méthode de Heun :

y_{n+1} = y_{n} + h_{n}(\frac{1}{2} f(t_{n}, y_{n}) + \frac{1}{2} f(t_{n+1}, y_{n} + h_{n}f(t_{n}, y_{n}))),

qui repose sur la méthode d’intégration des trapèzes :

(M)  ∫_{0}^{1} g(t)dt ≃ \frac{1}{2} (g(0) + g(1)).

Exemple 3. Méthode de Runge-Kutta ^{⟨⟨} classique ^{⟩⟩} : il s’agit de la méthode définie par le tableau

q = 4, \begin{aligned}0 & | & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \frac{1}{2} & | & \frac{1}{2} & 0 & 0 & 0 \\ \frac{1}{2} & | & 0 & \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 1 & | & 0 & 0 & 1 & 0 \\ & | & \frac{1}{6} & \frac{2}{6} & \frac{2}{6} & \frac{1}{6} \end{aligned}

L’algorithme correspondant s’écrit p_{n,1} = f(t_{n}, y_{n}) t_{n,2} = t_{n} + \frac{1}{2} h_{n} y_{n,2} = y_{n} + \frac{1}{2} h_{n}p_{n,1} p_{n,2} = f(t_{n,2}, y_{n,2}) y_{n,3} = y_{n} + \frac{1}{2} h_{n}p_{n,2} p_{n,3} = f(t_{n,2}, y_{n,3}) (noter que t_{n,3} = t_{n,2}) t_{n+1} = t_{n} + h_{n} (noter que t_{n,4} = t_{n+1}) y_{n,4} = y_{n} + h_{n}p_{n,3} p_{n,4} = f(t_{n+1}, y_{n,4})

y_{n+1} = y_{n} + h_{n}(\frac{1}{6} p_{n,1} + \frac{2}{6} p_{n,2} + \frac{2}{6} p_{n,3} + \frac{1}{6} p_{n,4})

On verra plus loin que cette méthode est d’ordre 4. Dans ce cas les méthodes d’intégration (M_{i}) et (M) utilisées sont respectivement :

(M_{2}) ∫0^{\frac{1}{2}} g(t)dt ≃ \frac{1}{2} g(0) :  rectangles à gauche,
(M_{3}) ∫0^{\frac{1}{2}} g(t)dt ≃ \frac{1}{2} g(\frac{1}{2}) : rectangles à droite,
(M_{4}) ∫_{0}^{1} g(t)dt ≃ g(\frac{1}{2}) :  point milieu,
(M) ∫_{0}^{1} g(t)dt ≃ \frac{1}{6} g(0) + \frac{2}{6} g(\frac{1}{2}) + \frac{2}{6} g(\frac{1}{2}) + \frac{1}{6} g(1) : Simpson.

3.3. Stabilité des méthodes de Runge-Kutta

Les méthodes de Runge-Kutta sont des méthodes à un pas

y_{n+1} = y_{n} + h_{n}Φ(t_{n}, y_{n}, h_{n})

avec Φ(t_{n}, y_{n}, h_{n}) = ∑_{1≤j≤q} b_{j}p_{n,j}. La fonction Φ est définie de manière explicite par

(∗)  \{ \begin{matrix}Φ(t, y, h) = ∑_{1≤j≤q} b_{j}f(t + c_{j}h, y_{j}) avec \\ y_{i} = y + h ∑_{1≤j<i} a_{ij}f(t + c_{j}h, y_{j}), 1 ≤ i ≤ q. \end{matrix}

Supposons que f soit k-lipschitzienne en y. On va montrer que Φ est alors également lipschitzienne. Soit z ∈ ℝ et supposons Φ(t, z, h) et z_{i} définis à partir de z comme dans la formule (∗).

Lemme. Soit α = max_{i} ( ∑_{1≤j≤i} |a_{ij}|). Alors

|y_{i} − z_{i}| ≤ (1 + (αkh) + (αkh)^{2} + … + (αkh)^{i−1})|y − z|.

Démonstration. On démontre le lemme par récurrence sur i. Pour i = 1, on a y_{1} = y, z_{1} = z et le résultat est évident. Supposons l’inégalité vraie pour tout j < i. Alors

\begin{aligned}|y_{i} − z_{i}| & ≤ |y − z| + h ∑_{j<i} |a_{ij}| · k · max_{j<i} |y_{j} − z_{j}|, \\ |y_{i} − z_{i}| & ≤ |y − z| + αkh max_{j<i} |y_{j} − z_{j}|. \end{aligned}

Par hypothèse de récurrence il vient

max_{j<i} |y_{j} − z_{j}| ≤ (1 + αkh + … + (αkh)^{i−2})|y − z|,

et l’inégalité s’ensuit à l’ordre i.

La formule (∗) entraîne maintenant

|Φ(t, y, h) − Φ(t, z, h)| ≤ ∑_{1≤j≤q} |b_{j}| k |y_{j} − z_{j}| ≤ Λ|y − z| avec

Λ = k ∑_{1≤j≤q} |b_{j}|(1 + (αkh_{max}) + … + (αkh_{max})^{j−1}).

Corollaire. Les méthodes de Runge-Kutta sont stables, avec constante de stabilité S = e^{ΛT}.

Remarque. Dans le cas fréquent où les coefficients b_{j} sont ≥ 0, on a la relation

Λ ≤ k(1 + (αkh_{max}) + … + (αkh_{max})^{q−1}).

Si les coefficients a_{ij} sont eux-mêmes ≥ 0, on a α = max_{i} c_{i}.

Lorsque h_{max} est assez petit devant 1/αk, la constante de stabilité est donc de l’ordre de grandeur de e^{kT}. Ces observations montrent que les méthodes de Runge-Kutta décrites dans les exemples 1, 2, 3 du § 3.3 possèdent une excellente stabilité (il est facile de voir que e^{kT} est la borne inférieure possible pour S, quelle que soit la méthode utilisée : considérer pour cela l’équation y′ = ky).

3.4. Ordre des méthodes de Runge-Kutta

Pour déterminer l’ordre, on peut appliquer le critère du § 2.4 consistant à évaluer les dérivées \frac{∂^{l}Φ}{∂h^{l}} (t, y, 0) : l’ordre est au moins égal à p si et seulement si cette dérivée est égale à \frac{1}{l+1} f^{[l]}(t, y) pour l ≤ p − 1. Grâce à la formule (∗) du § 3.3, on obtient facilement les dérivées successives de Φ :

• Φ(t, y, 0) = ∑_{1≤j≤q} b_{j}f(t, y) = f(t, y).

Les méthodes de Runge-Kutta sont donc toujours d’ordre ≥ 1 (c’est-à-dire consistantes).

• \frac{∂Φ}{∂h} (t, y, h) = ∑_{j} b_{j}(c_{j}f′_{t}(t + c_{j}h, y_{j}) + f′_{y}(t + c_{j}h, y_{j}) \frac{∂y_{j}}{∂h} ),

264 Chap. VIII – Méthodes numériques à un pas

\frac{∂y_{i}}{∂h} = ∑_{j<i} a_{ij}f(t + c_{j}h, y_{j}) + h ∑_{j<i} a_{ij}(c_{j}f′_{t} + f′_{y} \frac{∂y_{j}}{∂h} ).

Pour h = 0, on obtient donc

\begin{matrix}\frac{∂y_{i}}{∂h} |_{h=0} = ( ∑_{j<i} a_{ij})f(t, y) = c_{i}f(t, y) \\ \frac{∂Φ}{∂h} (t, y, 0) = ∑_{j} b_{j}c_{j}(f′_{t} + f′_{y}f)(t, y) = ( ∑ b_{j}c_{j})f^{[1]}(t, y). \end{matrix}

D’après le § 2.4, la méthode est d’ordre ≥ 2 si et seulement si ∑ b_{j}c_{j} = \frac{1}{2}.

• \frac{∂^{2}Φ}{∂h^{2}} (t, y, h) = ∑_{j} b_{j}(c_{j}^{2}f′′_{tt} + 2c_{j}f′′_{ty} \frac{∂y_{j}}{∂h} + f′′_{yy} (\frac{∂y_{j}}{∂h} )^{2} + f′_{y} \frac{∂^{2}y_{j}}{∂h^{2}} ),

\frac{∂^{2}y_{i}}{∂h^{2}} = 2 ∑_{j<i} a_{ij}(c_{j}f′_{t} + f′_{y} \frac{∂y_{j}}{∂h} ) + h ∑_{j<i} a_{ij}(c_{j}^{2}f′′_{tt} + …).

Pour h = 0, il vient

\begin{matrix}\frac{∂^{2}y_{i}}{∂h^{2}} |_{h=0} = 2 ∑ a_{ij}c_{j}(f′_{t} + f′_{y}f)(t, y), \\ \frac{∂^{2}Φ}{∂h^{2}} (t, y, 0) = ∑_{j} b_{j}c_{j}^{2}(f′′_{tt} + 2f′′_{ty}f + f′′_{yy}f^{2})(t, y) + 2 ∑_{i,j} b_{i}a_{ij}c_{j}f′_{y}(f′_{t} + f′_{y}f)(t, y). \end{matrix}

Or f^{[2]} est donné par

f^{[2]}(t, y) = (f^{[1]})′_{t} + (f^{[1]})′_{y}f
= (f′_{t} + f′_{y}f)′_{t} + (f′_{t} + f′_{y}f)′_{y}f
= f′′_{tt} + f′′_{ty}f + f′_{y}f′_{t} + f′′_{ty}f + f′′_{yy}f^{2} + f_{y}^{′2}f.
= (f′′_{tt} + 2f′′_{ty}f + f′′_{yy}f^{2}) + f′_{y}(f′_{t} + f′_{y}f).

La condition \frac{∂^{2}Φ}{∂h^{2}} (t, y, 0) = \frac{1}{3} f^{[2]}(t, y) se traduit en général par les conditions

∑_{j} b_{j}c_{j}^{2} = \frac{1}{3}, ∑_{i,j} b_{i}a_{ij}c_{j} = \frac{1}{6}

(prendre respectivement f(t, y) = t^{2}, puis f(t, y) = t + y pour obtenir ces deux conditions). Un calcul analogue (pénible !) de \frac{∂^{3}Φ}{∂h^{3}} conduirait au résultat suivant. Théorème. La méthode de Runge-Kutta définie par le tableau des coefficients c_{i}, a_{ij}, b_{j} est • d’ordre ≥ 2 ssi ∑_{j} b_{j}c_{j} = \frac{1}{2}.

• d’ordre ≥ 3 ssi ∑_{j} b_{j}c_{j} = \frac{1}{2} ; ∑_{j} b_{j}c_{j}^{2} = \frac{1}{3} ; ∑_{i,j} b_{i}a_{ij}c_{j} = \frac{1}{6}.

• d’ordre ≥ 4 ssi

∑_{j} b_{j}c_{j} = \frac{1}{2} ; ∑_{j} b_{j}c_{j}^{2} = \frac{1}{3} ; ∑_{j} b_{j}c_{j}^{3} = \frac{1}{4}

∑_{i,j} b_{i}a_{ij}c_{j} = \frac{1}{6} ; ∑_{i,j} b_{i}a_{ij}c_{j}^{2} = \frac{1}{12} ; ∑_{i,j} b_{i}c_{i}a_{ij}c_{j} = \frac{1}{8} ;

∑_{i,j,k} b_{i}a_{ij}a_{jk}c_{k} = \frac{1}{12}.

Pour la vérification pratique, on notera que certaines des expressions précédentes sont

des produits des matrices C = ( c_{1} ; ⋮ ; c_{q} ), A = (a_{ij}), B = (b_{1}b_{2} … b_{q}). Ainsi

∑_{i,j} b_{i}a_{ij}c_{j} = BAC,  ∑_{i,j,k} b_{i}a_{ij}a_{jk}c_{k} = BA^{2}C.

Pour les exemples du § 3.2, on voit ainsi que la méthode d’Euler est d’ordre 1, et que les méthodes de l’exemple 2 sont d’ordre 2. De plus, dans une méthode avec q = 2, il y a a priori un seul coefficient a_{ij} non nul, à savoir α = a_{21}. On a alors c_{2} = ∑_{j<2} a_{2j} = α et la méthode est d’ordre 2 au moins ssi ∑ b_{j}c_{j} = b_{2}α = 1/2, soit b_{2} = 1/2α et b_{1} = 1 − b_{2} = 1 − 1/2α. On voit donc qu’il n’y avait pas d’autres choix possibles pour une méthode d’ordre 2 avec q = 2.

Enfin, la méthode Runge-Kutta ^{⟨⟨} classique ^{⟩⟩} présentée dans l’exemple 3 est d’ordre 4 (l’ordre n’est pas ≥ 5 car ∑ b_{j}c_{j}^{4} ≠ 1/5). C’est si l’on peut dire la ^{⟨⟨} méthode reine ^{⟩⟩} des méthodes à un pas : ordre élevé, grande stabilité (grâce à la positivité des coefficients, voir remarque finale du § 3.3). Il existe des méthodes d’ordre encore plus élevé (voir exercice 5.4), mais leur plus grande complexité les rend peut-être un peu moins praticables.

4. Contrôle du pas

La manière la plus simple pour appliquer une méthode de résolution numérique consiste à utiliser un pas constant h_{n} = h.

La principale difficulté est alors de déterminer h_{max} de façon que l’erreur globale ne dépasse pas une certaine tolérance ε fixée à l’avance ; on ne sait pas en effet quelle sera l’évolution de la solution étudiée, de sorte qu’il est difficile de prévoir a priori les erreurs de consistance.

L’utilisation d’algorithmes à pas variables présente de ce point de vue deux avantages majeurs :

• l’adaptation du pas à chaque étape permet d’optimiser l’erreur commise en fonction de la tolérance prescrite ε, sous réserve qu’on dispose d’une estimation ⟨⟨ instantanée ^{⟩⟩} de l’erreur de consistance e_{n}.

• l’approche d’une discontinuité ou d’une singularité de l’équation différentielle ne peut se faire généralement qu’avec une réduction importante du pas. Dans cette circonstance, il convient d’arrêter l’algorithme avant de traverser la discontinuité, faute de quoi les erreurs deviennent imprévisibles. Le calcul du pas sert alors de test d’arrêt.

4.1. Principe général du contrôle

Soit [t_{0}, t_{0} + T] l’intervalle de temps considéré. On suppose fixée une tolérance ε pour l’erreur globale

max_{0≤n≤N} |y_{n} − z(t_{n})|.

Supposons également qu’on dispose d’un estimation S de la constante de stabilité. En négligeant l’erreur initiale |y_{0} − z(t_{0})| et les erreurs d’arrondi, on a alors

max_{0≤n≤N} |y_{n} − z(t_{n})| ≤ S ∑_{0≤n<N} |e_{n}| = S ∑ h_{n} \frac{|e_{n}|}{h_{n}}

≤ S( ∑ h_{n}) max (\frac{|e_{n}|}{h_{n}}) ≤ ST max (\frac{|e_{n}|}{h_{n}}).

Il suffit donc de choisir les pas h_{n} en sorte que

max (\frac{|e_{n}|}{h_{n}}) ≤ δ = \frac{ε}{ST} ;

\frac{|e_{n}|}{h_{n}} représente intuitivement l’erreur de consistance par unité de temps, et c’est ce rapport qu’il s’agit de contrôler.

Il est bien entendu impossible de déterminer exactement e_{n}, sinon on connaîtrait du même coup la solution exacte par la formule z(t_{n+1}) = y_{n+1} + e_{n} ! On va supposer néanmoins qu’on dispose d’une estimation e_{n}^{∗} de e_{n}.

Dans la pratique, on se fixe un encadrement [h_{min}, h_{max}] du pas (h_{min} est imposé par les limitations du temps de calcul et par l’accroissement des erreurs d’arrondi quand le pas diminue, cf. § 2.5). On essaie alors de choisir h_{n} ∈ [h_{min}, h_{max}] de façon que |e_{n}^{∗}|/h_{n} ≤ δ, et si l’erreur est notablement inférieure on se permet d’augmenter prudemment h_{n}. Par exemple :

• si \frac{1}{3} δ ≤ \frac{|e_{n}^{∗}|}{h_{n}} ≤ δ, alors h_{n+1} := h_{n} ;

• si \frac{|e_{n}^{∗}|}{h_{n}} < \frac{1}{3} δ, alors h_{n+1} := min(1, 25 h_{n}, h_{max}) ;

• si \frac{|e_{n}^{∗}|}{h_{n}} > δ, alors h_{n+1} := 0, 8 h_{n}, avec arrêt de l’algorithme si h_{n+1} < h_{min}.

Ce dernier cas peut correspondre à l’approche d’une discontinuité, l’erreur augmentant continuellement malgré la diminution du pas.

Pour l’initialisation du pas, on prend h_{0} = h_{min}, à moins que l’on connaisse une valeur initiale plus appropriée.

4.2. Estimation du rapport |e_{n}|/h_{n}

Pour estimer e_{n}, il n’est pas question d’utiliser les expressions analytiques des dérivées \frac{∂^{l}Φ}{∂h^{l}} et f^{[l]}, beaucoup trop coûteuses en temps de calcul. On est donc amené à rechercher des estimations ad hoc, qui n’utilisent si possible que des quantités déjà calculées par l’algorithme, et qui ne réclament pas de nouvelle évaluation de f.

• Méthode d’Euler

Si p_{n} = f(t_{n}, y_{n}), alors

p_{n+1} − p_{n} = f(t_{n} + h_{n}, y_{n} + h_{n}f(t_{n}, y_{n})) − f(t_{n}, y_{n})
= h_{n}f′_{t}(t_{n}, y_{n}) + h_{n}f(t_{n}, y_{n})f′_{y}(t_{n}, y_{n}) + o(h_{n})
= h_{n}f^{[1]}(t_{n}, y_{n}) + o(h_{n}).

Comme e_{n} = \frac{1}{2} h_{n}^{2}f^{[1]}(t_{n}, y_{n}) + o(h_{n}^{2}) on a une approximation de e_{n} donnée par

\frac{e_{n}^{∗}}{h_{n}} = \frac{1}{2} (p_{n+1} − p_{n}).

Ceci ne nécessite aucun calcul supplémentaire puisque p_{n+1} est de toute façon nécessaire pour l’étape suivante.

• Méthode de Runge-Kutta d’ordre 2

0 |  0  0
α |  α  0
| 1 − \frac{1}{2α} \frac{1}{2α}

D’après le § 2.4 on a ici

e_{n} = h_{n}^{3}(\frac{1}{3!} f^{[2]}(t_{n}, y_{n}) − \frac{1}{2!} \frac{∂^{2}Φ}{∂h^{2}} (t_{n}, y_{n}, 0)) + o(h_{n}^{3}),

et les calculs du § 3.4 donnent

\begin{aligned}e_{n} & = h_{n}^{3}(\frac{1}{6} f^{[2]} − \frac{α}{4} (f′′_{tt} + 2f′′_{ty}f + f′′_{yy}f^{2}))(t_{n}, y_{n}) + o(h_{n}^{3}) \\ & = h_{n}^{3}((\frac{1}{6} − \frac{α}{4})(f′′_{tt} + 2f′′_{ty}f + f′′_{yy}f^{2}) + \frac{1}{6} f′_{y}f^{[1]}) + o(h_{n}^{3}). \end{aligned}

On est par ailleurs amené à calculer les quantités

p_{n,1} = f(t_{n}, y_{n}),

p_{n,2} = f(t_{n} + αh_{n}, y_{n} + αh_{n}p_{n,1}),

p_{n+1,1} = f(t_{n} + h_{n}, y_{n} + h_{n}((1 − \frac{1}{2α})p_{n,1} + \frac{1}{2α} p_{n,2})).

Des développements limités d’ordre 2 donnent après calcul :

p_{n,2} − p_{n,1} = αh_{n}f^{[1]} + α^{2} \frac{h_{n}^{2}}{2} (f′′_{tt} + 2f′′_{ty}f + f′′_{yy}f^{2}) + o(h_{n}^{2}),
p_{n+1,1} − p_{n,1} = h_{n}f^{[1]} + h_{n} \frac{1}{2α} (p_{n,2} − p_{n,1})f′_{y}

+ \frac{h_{n}^{2}}{2} (f′′_{tt} + 2f′′_{ty}f + f′′_{yy}f^{2}) + o(h_{n}^{2}),

p_{n+1,1} − p_{n,1} − \frac{1}{α} (p_{n,2} − p_{n,1}) = (1 − α) \frac{h_{n}^{2}}{2} (f′′_{tt} + 2f′′_{ty}f + f′′_{yy}f^{2})

+ \frac{h_{n}^{2}}{2} f′_{y}f^{[1]} + o(h_{n}^{2}).

On peut approximer très grossièrement e_{n}/h_{n} par

\frac{e_{n}^{∗}}{h_{n}} = \frac{1}{3} (p_{n+1,1} − p_{n,1} − \frac{1}{α} (p_{n,2} − p_{n,1})).

Il n’y a pas de justification théorique sérieuse pour cela, l’idée est simplement que les développements limités se ressemblent formellement.

• Méthode de Runge-Kutta classique

Il n’y a pas ici de méthode simple permettant d’évaluer e_{n}, même grossièrement. On peut cependant observer que

e_{n} = h_{n}^{5} × (dérivées d’ordre ≤ 4 de f) ;

D’autre part, des calculs analogues à ceux ci-dessus montrent que les quantités

λ_{n} = p_{n,4} − 2p_{n,2} + p_{n,1}  et  μ_{n} = p_{n,3} − p_{n,2}

sont de la forme

h_{n}^{2} × (dérivées d’ordre ≤ 2 de f).

Au lieu de comparer \frac{|e_{n}|}{h_{n}} à δ, on peut essayer de comparer

λ_{n}^{2} + μ_{n}^{2}  à  δ

ou (plus rapide)

|λ_{n}| + |μ_{n}|  à  δ′ = \sqrt{δ} = \sqrt{\frac{ε}{ST}} ,

quitte à ajuster éventuellement les valeurs de δ et δ′ par tatonnements.

Si l’on désire une évaluation plus précise de e_{n}, il est nécessaire d’utiliser des techniques plus élaborées, telles que les méthodes de Runge-Kutta emboîtées (voir par exemple le livre de Crouzeix-Mignot, chapitre 5, § 6).

5. Problèmes

5.1. On étudie la méthode numérique (M) de résolution de l’équation différentielle y′ = f(x, y) définie par

\begin{matrix}y_{n+1} = y_{n} + h_{n}Φ(t_{n}, y_{n}, h_{n}), \\ Φ(t, y, h) = αf(t, y) + βf(t + \frac{h}{2}, y + \frac{h}{2} f(t, y)) + γf(t + h, y + hf(t, h)) \end{matrix}

où α, β, γ sont des réels compris entre 0 et 1.

(a) Pour quelles valeurs du triplet (α, β, γ) retrouve-t-on

• la méthode d’Euler ?

• la méthode du point milieu ?

• la méthode de Heun ?

(b) Dans cette question et la suivante, on supposera que la fonction f(t, y) est de classe C^{∞} sur [t_{0}, t_{0} + τ] × ℝ, et k-lipschitzienne en y. Pour quelles valeurs de (α, β, γ) la méthode proposée est-elle stable ?

(c) Quelles relations doivent satisfaire (α, β, γ) pour que la méthode soit

consistante ? convergente ? d’ordre ≥ 1 ? d’ordre ≥ 2 ?

La méthode (M) peut-elle être d’ordre supérieur ?

5.2. On considère la méthode de Runge-Kutta définie par le tableau

\begin{matrix}0 & 0 & 0 & 0 \\ 1/4 & 1 & 0 & 0 \\ 3/4 & −9/20 & 6/5 & 0 \\ 1 & 1/9 & 1/3 & 5/9 \end{matrix}

On considère l’équation y′ = f(t, y) = t + y + 1. Résoudre cette équation et calculer f^{[n]}(0, 0) pour tout n. Que peut-on dire de ∂^{n}Φ/∂h^{n}(0, 0; 0) ? Déterminer l’ordre de cette méthode.

5.3. On se propose d’obtenir une borne explicite pour l’ordre p d’une méthode de Runge-Kutta dont le nombre de points intermédiaires q est fixé.

(a) Dans l’espace vectoriel 𝒫_{n} des polynômes à coefficients réels de degré inférieur ou égal à n, on considère la forme bilinéaire

⟨P, Q⟩ = ∫_{0}^{1} P (x)Q(x)dx.

Déterminer la matrice de cette forme bilinéaire dans la base canonique (1, x, ..., x^{n}). En déduire que la matrice symétrique

M = ( 1  1/2  … 1/(n + 1) ; 1/2  1/3  1/(n + 2) ; ⋮ ; 1/(n + 1) 1/(n + 2)  1/(2n + 1) )

est définie positive et que det M > 0.

(b) On considère pour q ∈ ℕ le système d’équations

(S) { b_{1} + b_{2} + … b_{q} = 1 ; b_{1}c_{1} + b_{2}c_{2} + … + b_{q}c_{q} = 1/2 ; ⋮ ; b_{1}c_{1}^{2q} + … + b_{q}c_{q}^{2q} = 1/(2q + 1)

où les b_{i} et c_{i} appartiennent à ℝ_{+}^{∗}. Dans ℝ^{q+1} on note F l’espace vectoriel engendré par les vecteurs (1, c_{j}, c_{j}^{2}, …, c_{j}^{q}), 1 ≤ j ≤ q.

(α) Quelle est la dimension maximum de F ?

(β) Montrer que si (S) avait une solution, les vecteurs

\begin{aligned}V_{1} & = (1 1/2 … 1/(q + 1)) \\ V_{2} & = (1/2 1/3 … 1/(q + 2)) \\ V_{q+1} & = (1/(q + 1) … 1/(2q + 1)) \end{aligned}

appartiendraient à F. En déduire que det(V_{1}, V_{2}, …, V_{q+1}) = 0 puis que le système (S) est impossible.

(c) On considère une méthode de Runge-Kutta c_{1}

⋮  A = (a_{ij})
⋮  1 ≤ i, j ≤ q
c_{q}
b_{1} . . . . . . b_{q}

associée à la méthode d’intégration (INT) ∫_{0}^{1} f(x)dx ≃ ∑_{j=1}^{q} b_{j}f(c_{j}).

On suppose que cette méthode est d’ordre p.

(α) Montrer que (INT) est d’ordre p − 1.

(β) En déduire que p ≤ 2q.

5.4. On considère une méthode à un pas de la forme

(M)  y_{n+1} = y_{n} + h_{n}Φ(t_{n}, y_{n}, h_{n})

qu’on suppose être d’ordre p. On se donne par ailleurs une méthode d’intégration approchée

(I)  ∫_{0}^{1} g(u)du ≃ ∑_{1≤j≤q} b_{j}g(c_{j})

d’ordre p au moins (il en existe pour p quelconque).

(a) On considère la méthode à un pas avec points intermédiaires t_{n,i} = t_{n} + c_{i}h_{n} définie comme suit

(M′)  \{ \begin{matrix}[ \begin{matrix}t_{n,i} = t_{n} + c_{i}h_{n} \\ y_{n,i} = y_{n} + c_{i}h_{n}Φ(t_{n}, y_{n}, c_{i}h_{n}) \\ p_{n,i} = f(t_{n,i}, y_{n,i}) \end{matrix} ] 1 ≤ i ≤ q \\ t_{n+1} = t_{n} + h_{n} \\ y_{n+1} = y_{n} + h_{n} ∑_{1≤j≤q} b_{j}p_{n,j}. \end{matrix}

Montrer que (M′) est d’ordre ≥ p + 1.

(b) Grâce à un raisonnement par récurrence, montrer qu’il existe des méthodes de Runge-Kutta d’ordre p arbitrairement élevé.

Chapitre IX

Méthodes à pas multiples

Comme dans le chapitre précédent, on s’intéresse à la résolution numérique du problème de Cauchy relatif à une équation différentielle

(E)  y′ = f(t, y),  (t, y) ∈ [t_{0}, t_{0} + T] × ℝ.

Si (t_{n})_{0≤n≤N} est une subdivision de [t_{0}, t_{0} + T] de pas successifs h_{n} = t_{n+1} − t_{n}, on appelle méthode numérique à r + 1 pas toute méthode numérique de la forme

y_{n+1} = Ψ(t_{n}, y_{n}, h_{n}; …; t_{n−r}, y_{n−r}, h_{n−r}).

L’intérêt de ces méthodes vient du fait qu’on peut obtenir un ordre élevé pour une complexité de calcul nettement inférieure à celle des méthodes de Runge-Kutta. L’un des problèmes essentiels, néanmoins, est de s’assurer que la stabilité numérique reste suffisamment bonne.

1. Une classe de méthodes à pas constant

On suppose ici que le pas h_{n} = h est constant. On s’intéresse aux méthodes à r + 1 pas permettant un calcul récurrent des points (t_{n}, y_{n}) et des pentes f_{n} = f(t_{n}, y_{n}) sous la forme

(M) \{ \begin{matrix}y_{n+1} = ∑_{0≤i≤r} α_{i}y_{n−i} + h ∑_{0≤i≤r} β_{i}f_{n−i} \\ t_{n+1} = t_{n} + h \\ f_{n+1} = f(t_{n+1}, y_{n+1}) \end{matrix}

où les α_{i}, β_{i}, 0 ≤ i ≤ r sont des constantes réelles.

Démarrage de l’algorithme. Le point initial (t_{0}, y_{0}) étant donné, l’algorithme ne peut démarrer que si les valeurs (y_{1}, f_{1}), …, (y_{r}, f_{r}) ont déjà été calculées.

Ce calcul ne peut être fait que par une méthode à un pas pour (y_{1}, f_{1}), à au plus 2 pas pour (y_{2}, f_{2}), … au plus r pas pour (y_{r}, f_{r}). L’initialisation des r premières valeurs (y_{i}, f_{i}), 1 ≤ i ≤ r, sera généralement faite à l’aide d’une méthode de Runge-Kutta d’ordre supérieur ou égal à celui de la méthode (M), ou à la rigueur un de moins (voir le début du § 1.2 sur ce point).

1.1. Erreur de consistance et ordre

La définition générale de l’erreur de consistance pour une méthode à r + 1 pas est la suivante (on ne suppose pas nécessairement dans cette définition que le pas est constant).

Définition. Soit z une solution exacte de l’équation (E). L’erreur de consistance e_{n} relative à z est l’écart

e_{n} = z(t_{n+1}) − y_{n+1}, r ≤ n < N,

obtenu en calculant y_{n+1} à partir des r + 1 valeurs précédentes supposées exactes y_{n} = z(t_{n}), …, y_{n−r} = z(t_{n−r}). La méthode est dite d’ordre p si pour toute solution z il existe une constante C telle que

|e_{n}| ≤ Ch_{n}h_{max}^{p}.

Déterminons e_{n} dans le cas de la méthode (M) ci-dessus. On a

z(t_{n+1}) = z(t_{n} + h) = ∑_{0≤k≤p} \frac{h^{k}}{k!} z^{(k)}(t_{n}) + O(h^{p+1})

dès que f est de classe C^{p} (z est alors de classe C^{p+1}). Par ailleurs

y_{n−i} = z(t_{n−i}) = z(t_{n} − ih) = ∑_{0≤k≤p} \frac{(−ih)^{k}}{k!} z^{(k)}(t_{n}) + O(h^{p+1}),
f_{n−i} = f(t_{n−i}, z(t_{n−i})) = z′(t_{n−i}) = z′(t_{n} − ih)

= ∑_{0≤k≤p−1} \frac{(−ih)^{k}}{k!} z^{(k+1)}(t_{n}) + O(h^{p})

= ∑_{0≤k≤p} k \frac{(−ih)^{k−1}}{k!} z^{(k)}(t_{n}) + O(h^{p}).

Il vient par conséquent

e_{n} = z(t_{n+1}) − y_{n+1} = z(t_{n+1}) − ∑_{0≤i≤r}(α_{i}y_{n−i} + hβ_{i}f_{n−i})

= ∑_{0≤k≤p} \frac{h^{k}}{k!} z^{(k)}(t_{n})[1 − ∑_{0≤i≤r}(α_{i}(−i)^{k} + kβ_{i}(−i)^{k−1})] + O(h^{p+1})

= ∑_{0≤k≤p} \frac{h^{k}}{k!} z^{(k)}(t_{n})[1 − (−1)^{k} ∑_{0≤i≤r} i^{k}α_{i} − ki^{k−1}β_{i}] + O(h^{p+1}).

La méthode (M) est donc d’ordre ≥ p si et seulement si elle vérifie les conditions

∑_{0≤i≤r} i^{k}α_{i} − ki^{k−1}β_{i} = (−1)^{k}, 0 ≤ k ≤ p.

En particulier, elle est d’ordre ≥ 1 (ou consistante) si et seulement si

\{ \begin{matrix}α_{0} + α_{1} + … + α_{r} = 1 \\ α_{1} + … + rα_{r} − (β_{0} + … + β_{r}) = −1. \end{matrix}

Pour qu’elle soit d’ordre ≥ p, la p-ième condition s’explicite de la manière suivante :

α_{1} + 2^{p}α_{2} + … + r^{p}α_{r} − p(β_{1} + 2^{p−1}β_{2} + … + r^{p−1}β_{r}) = (−1)^{p}.

1.2. Stabilité

On dit qu’une méthode à pas multiples est stable si une petite perturbation des valeurs initiales y_{0}, …, y_{r} et de petites erreurs ε_{n} dans le calcul récurrent des valeurs y_{n+1}, r ≤ n < N, provoquent une erreur finale contrôlable. De façon précise :

Définition. On dit qu’une méthode à r + 1 pas est stable de constante de stabilité S si pour toutes suites y_{n}, ỹ_{n} avec

\begin{aligned}y_{n+1} & = Ψ(t_{n−i}, y_{n−i}, h_{n−i}), r ≤ n < N, \\ ỹ_{n+1} & = Ψ(t_{n−i}, ỹ_{n−i}, h_{n−i}) + ε_{n}, r ≤ n < N, \end{aligned}

alors

max_{0≤n≤N} |ỹ_{n} − y_{n}| ≤ S( max_{0≤n≤r} |ỹ_{n} − y_{n}| + ∑_{r≤n<N} |ε_{n}|).

En appliquant cette définition à ỹ_{n} = z(t_{n}), on voit que l’erreur globale de la suite y_{n} par rapport à la solution exacte z(t_{n}) admet la majoration

max_{0≤n≤N} |y_{n} − z(t_{n})| ≤ S( max_{0≤n≤r} |y_{n} − z(t_{n})| + ∑_{r≤n<N} |e_{n}|).

Si la méthode est d’ordre p avec |e_{n}| ≤ Ch_{n}h_{max}^{p}, alors on a ∑_{r≤n<N} |e_{n}| ≤ CT h_{max}^{p} car ∑ h_{n} = T. Pour la phase d’initialisation, il convient donc de choisir une méthode conduisant à une erreur d’initialisation max_{0≤n≤r} |y_{n} − z(t_{n})| de l’ordre de h_{max}^{p} au plus. Ceci conduit à choisir une méthode d’initialisation d’ordre ≥ p − 1. Il est toutefois préférable de choisir une méthode d’ordre ≥ p, car l’erreur d’initialisation est alors bornée par C′h_{max}^{p+1} et donc négligeable.

Condition nécessaire de stabilité. On cherche à déterminer les conditions nécessaires à la stabilité de la méthode (M) décrite au § 1.1. Pour cela, on considère l’équation différentielle la plus simple qui soit :

(E)  y′ = 0.

La suite y_{n} est alors définie par

y_{n+1} = ∑_{0≤i≤r} α_{i}y_{n−i}, n ≥ r.

L’ensemble des suites vérifiant cette relation de récurrence est un espace vectoriel de dimension r + 1, car chaque suite est définie de manière unique par la donnée de (y_{0}, y_{1}, …, y_{r}). On a de manière évidente des solutions particulières

y_{n} = λ^{n},

où λ est racine du polynôme caractéristique

λ^{r+1} − α_{0}λ^{r} − α_{1}λ^{r−1} − … − α_{r} = 0.

Soient λ_{j} les racines complexes de ce polynôme, et m_{j} les multiplicités correspondantes. On sait (par une théorie en tout point analogue à celle des équations différentielles linéaires à coefficients constants), qu’une base de l’espace vectoriel des suites considérées est formée des suites

n ↦ n^{q}λ_{j}^{n}, 0 ≤ q < m_{j}.

Considérons maintenant la suite y_{n} ≡ 0 et la suite ỹ_{n} = ελ_{j}^{n}, 0 ≤ n ≤ N avec ε > 0 petit (on a ici ε_{n} = 0, seule l’erreur d’initialisation intervient). Si la méthode (M) est stable, on doit avoir

|ỹ_{N} − y_{N}| = ε|λ_{j}|^{N} ≤ S max_{0≤n≤r} ε|λ_{j}|^{n},

ce qui équivaut à

|λ_{j}|^{N} ≤ S max(1, |λ_{j}|^{r}).

Si l’on fait tendre h vers 0 et N = \frac{T}{h} vers +∞, ceci n’est possible que pour |λ_{j}| ≤ 1.

Supposons maintenant que le polynôme caractéristique admette une racine λ_{j} de module |λ_{j}| = 1 et de multiplicité m_{j} ≥ 2. En regardant la suite ỹ_{n} = nλ_{j}^{n} on trouve

|ỹ_{N} − y_{N}| = εN,  max_{0≤n≤r} |ỹ_{n} − y_{n}| = εr

ce qui contredit la stabilité. On obtient donc la condition nécessaire suivante : |λ_{j}| ≤ 1 pour tout j, et si |λ_{j}| = 1 alors cette racine doit être simple.

Condition suffisante de stabilité*. On va voir que la condition nécessaire qui vient d’être trouvée est en fait suffisante.

Théorème. On suppose que f(t, y) est k-lipschitzienne en y. Alors la méthode (M) est stable si et seulement si

λ^{r+1} − α_{0}λ^{r} − … − α_{r} = 0

a toutes ses racines de module ≤ 1 et si les racines de module 1 sont simples.

Remarque. On observera que λ = 1 est toujours racine dès que la méthode est consistante, puisqu’alors α_{0} + … + α_{r} = 1.

Démonstration. Soient deux suites y_{n}, ỹ_{n} telles que

\begin{matrix}y_{n+1} = ∑_{0≤i≤r} α_{i}y_{n−i} + hβ_{i}f_{n−i} \\ ỹ_{n+1} = ∑_{0≤i≤r} α_{i}ỹ_{n−i} + hβ_{i}f̃_{n−i} + ε_{n} \end{matrix} \} r ≤ n < N

avec f̃_{n} = f(t_{n}, ỹ_{n}). Posons θ_{n} = ỹ_{n} − y_{n}. Il vient |f̃_{n} − f_{n}| ≤ k|θ_{n}| et

θ_{n+1} − ∑_{0≤i≤r} α_{i}θ_{n−i} = h ∑_{0≤i≤r} β_{i}(f̃_{n−i} − f_{n−i}) + ε_{n}.

Posons σ_{n} = θ_{n} − α_{0}θ_{n−1} − … − α_{r}θ_{n−r−1}. On a donc

(∗)  |σ_{n+1}| ≤ kh ∑_{0≤i≤r} |β_{i}||θ_{n−i}| + |ε_{n}|, r ≤ n ≤ N.

Pour exploiter cette inégalité, on cherche à majorer |θ_{n+1}| en fonction des |σ_{i}|. Pour cela, on observe que la relation de définition de σ_{n} équivaut à l’égalité formelle

∑ σ_{n}X^{n} = (∑ θ_{n}X^{n})(1 − α_{0}X − … − α_{r}X^{r+1})

avec la convention σ_{n} = 0, θ_{n} = 0 pour n < 0. On a donc inversement

∑ θ_{n}X^{n} = \frac{1}{1 − α_{0}X − … − α_{r}X^{r+1}} ∑ σ_{n}X^{n}.

Considérons le développement en série en X = 0 :

\frac{1}{1 − α_{0}X − … − X^{r+1}} = ∑ γ_{n}X^{n}.

Lemme. Sous les hypothèses du théorème, les coefficients γ_{n} sont bornés.

Démonstration. En effet, si les racines du polynôme caractéristique sont les complexes λ_{j} de multiplicité m_{j}, on a

1 − α_{0}X − … − α_{r}X^{r+1} = ∏_{j}(1 − λ_{j}X)^{m_{j}}.

Il existe par conséquent une décomposition en éléments simples

\frac{1}{1 − α_{0}X − … − α_{r}X^{r+1}} = ∑_{j,q≤m_{j}} \frac{c_{jq}}{(1 − λ_{j}X)^{q}} .

Par récurrence sur q et par dérivation, on vérifie facilement que

\frac{1}{(1 − λ_{j}X)^{q}} = ∑_{n=0}^{+∞} \frac{(n + 1)(n + 2) … (n + q − 1)}{(q − 1)!} λ_{j}^{n}X^{n}.

Les coefficients de cette dernière série admettent l’équivalent n^{q−1}λ_{j}^{n}/(q − 1)! et sont donc bornés si et seulement si |λ_{j}| < 1 ou bien |λ_{j}| = 1 et q = 1.

Notons Γ = sup_{n∈ℕ} |γ_{n}| < +∞. Comme γ_{0} = 1, on a toujours Γ ≥ 1. La relation

∑ θ_{n}X^{n} = ∑ γ_{n}X^{n} ∑ σ_{n}X^{n}

équivaut à θ_{n} = γ_{0}σ_{n} + γ_{1}σ_{n−1} + … + γ_{n}σ_{0}, d’où

(∗∗)  |θ_{n}| ≤ Γ(|σ_{0}| + |σ_{1}| + … + |σ_{n}|).

En combinant (∗) et (∗∗) il vient

\begin{aligned}|θ_{n+1}| & ≤ Γ ∑_{0≤j≤n+1} |σ_{j}| ≤ [ ∑_{r≤j≤n} |σ_{j+1}| + ∑_{0≤j≤r} |σ_{j}|] \\ |θ_{n+1}| & ≤ Γ[ ∑_{r≤j≤n} (kh ∑_{0≤i≤r} |β_{i}||θ_{j−i}| + |ε_{j}|) + ∑_{0≤j≤r} |σ_{j}|]. \end{aligned}

1. Une classe de méthodes à pas constant 279

Or ∑_{r≤j≤n} ∑_{0≤i≤r} |β_{i}||θ_{j−i}| ≤ ( ∑_{0≤i≤r} |β_{i}|)( ∑_{0≤j≤n} |θ_{j}|)

et la relation de définition σ_{j} = θ_{j} − α_{0}θ_{j−1} − … − α_{r}θ_{j−r−1} donne par ailleurs

∑_{0≤j≤r} |σ_{j}| ≤ (1 + ∑_{0≤i≤r} |α_{i}|)(|θ_{0}| + … + |θ_{r}|).

On obtient donc

\begin{aligned}|θ_{n+1}| & ≤ Γkh ∑_{0≤i≤r} |β_{i}|(|θ_{0}| + … + |θ_{n}|) \\ & + Γ [ ∑_{r≤j≤n} |ε_{j}| + (1 + ∑_{0≤i≤r} |α_{i}|) ∑_{0≤i≤r} |θ_{i}|] . \end{aligned}

Posons δ_{n} = |θ_{0}| + … + |θ_{n}| et

\begin{aligned}Λ & = Γk ∑_{0≤i≤r} |β_{i}|, \\ η_{n} & = Γ [ ∑_{r≤j≤n} |ε_{j}| + (1 + ∑_{0≤i≤r} |α_{i}|) ∑_{0≤i≤r} |θ_{i}|] . \end{aligned}

La dernière inégalité s’écrit maintenant

δ_{n+1} − δ_{n} ≤ Λhδ_{n} + η_{n} ⟺ δ_{n+1} ≤ (1 + Λh)δ_{n} + η_{n}

et le lemme de Gronwall discret (cf. VIII 2.3) donne

δ_{n} ≤ e^{Λnh}δ_{0} + ∑_{0≤j≤n−1} e^{Λ(n−1−j)h}η_{j}.

Or pour j ≤ n − 1 on a η_{j} ≤ η_{n} et δ_{0} = |θ_{0}| ≤ η_{n}. On en déduit

δ_{n} ≤ η_{n}(1 + e^{Λh} + … + e^{Λnh}) = \frac{e^{Λ(n+1)h} − 1}{e^{Λh} − 1} η_{n}.

Cette inégalité entraîne aussitôt une majoration de θ_{n} :

\begin{aligned}|θ_{n}| & = δ_{n} − δ_{n−1} ≤ Λhδ_{n−1} + η_{n−1} \\ & = (Λh \frac{e^{Λnh} − 1}{e^{Λh} − 1} + 1) η_{n−1}. \end{aligned}

Comme e^{Λh} − 1 ≥ Λh, il vient |θ_{n}| ≤ e^{Λnh}η_{n−1}, soit

|θ_{n}| ≤ Γe^{Λnh}[(1 + ∑_{0≤i≤r} |α_{i}|) ∑_{0≤i≤r} |θ_{i}| + ∑_{r≤j≤n−1} |ε_{j}|],

max_{0≤n≤N} |θ_{n}| ≤ S′[(1 + ∑_{0≤n≤r} |α_{i}|) ∑_{0≤i≤r} |θ_{n}| + ∑_{r≤n≤N} |ε_{n}|]

avec S′ = Γe^{ΛT}, c’est-à-dire

S′ = Γe^{ΓkT ∑ |β_{i}|} où Γ = sup |γ_{n}|.

Si l’erreur initiale max_{0≤n≤r} |θ_{n}| est négligeable (comme c’est souvent le cas) on prendra S = S′, sinon on peut prendre

S = (1 + r)(1 + ∑_{0≤i≤r} |α_{i}|)S′.

Remarque. Pour une fonction f(t, y) de constante de Lipschitz k et pour une durée d’intégration T fixées, la stabilité de la méthode dépend essentiellement de la grandeur de la constante Γ ∑ |β_{i}|. On a donc intérêt à choisir une méthode pour laquelle cette constante soit la plus petite possible.

1.3. Exemples

• Méthode de Nyström

C’est la méthode à 2 pas définie par

y_{n+1} = y_{n−1} + 2hf_{n}, n ≥ 1.

On a ici α_{0} = 0, α_{1} = 1, β_{0} = 2, β_{1} = 0. Le principe de cette méthode est analogue à celui de la méthode du point milieu :

t_{n−1}  t_{n}  t_{n+1}  t_{n} y y_{n+1} y_{n−1}  f pente f_{n} 2h

On approxime la pente \frac{1}{2h} (y_{n+1} − y_{n−1}) de la corde par la pente de la tangente au point milieu t_{n}. Les calculs du § 1.1 donnent

e_{n} = \frac{h^{3}}{3!} z^{(3)}(t_{n}) · 2 + O(h^{4}) = \frac{h^{3}}{3} f^{[2]}(t_{n}, y_{n}) + O(h^{4}).

La méthode de Nyström est donc d’ordre 2. Pour la phase d’initialisation, on choisira une méthode à 1 pas d’ordre 2, par exemple la méthode du point milieu :

f_{0} = f(t_{0}, y_{0}) ;

y_{1/2} = y_{0} + \frac{h}{2} f_{0} ; t_{1/2} = t_{0} + \frac{h}{2} ; f_{1/2} = f(t_{1/2}, y_{1/2}) ;

y_{1} = y_{0} + hf_{1/2} ; t_{1} = t_{0} + h ; f_{1} = f(t_{1}, y_{1}).

Le polynôme caractéristique est λ^{2} − 1. D’après le § 1.2 la méthode est stable et

\frac{1}{1 − α_{0}X − α_{1}X^{2}} = \frac{1}{1 − X^{2}} = ∑ X^{2n}.

On a donc Γ = 1, |β_{0}| + |β_{1}| = 2, d’où la constante de stabilité

S′ = e^{2kt}.

On observe néanmoins que le polynôme caractéristique admet la racine λ = −1 située sur le cercle limite de stabilité |λ| = 1, en plus de la racine obligée λ = 1. Ceci laisse suspecter que la stabilité n’est peut-être pas très bonne. Pour mettre en évidence ce phénomène, regardons le cas de l’équation différentielle

(E)  y′ = −y

avec donnée initiale t_{0} = 0, y_{0} = 1. La solution exacte est donnée par

z(t) = e^{−t}, z(t_{n}) = e^{−nh}.

La suite y_{n} sera donnée par la relation de récurrence

(∗)  y_{n+1} = y_{n−1} − 2hy_{n},  n ≥ 1

(car ici f_{n} = −y_{n}), avec valeurs initiales :

y_{0} = 1, f_{0} = −1,

y_{1/2} = 1 − \frac{h}{2}, f_{1/2} = −1 + \frac{h}{2},

y_{1} = 1 − h + \frac{h^{2}}{2} .

La solution générale de (∗) peut s’écrire

y_{n} = c_{1}λ_{1}^{n} + c_{2}λ_{2}^{n}

où λ_{1}, λ_{2} sont les racines de l’équation

λ^{2} + 2hk − 1 = 0,

à savoir λ_{1} = −h+\sqrt{1 + h^{2}}, λ_{2} = −h−\sqrt{1 + h^{2}}. Les constantes c_{1}, c_{2} sont déterminées par

\{ \begin{matrix}y_{0} = c_{1} + c_{2} = 1 \\ y_{1} = c_{1}λ_{1} + c_{2}λ_{2} = 1 − h + \frac{h^{2}}{2} . \end{matrix}

On obtient donc

\begin{aligned}c_{1} & = \frac{1 − h + \frac{h^{2}}{2} − λ_{2}}{λ_{1} − λ_{2}} = \frac{1 + \frac{h^{2}}{2} + \sqrt{1 + h^{2}}}{2\sqrt{1 + h^{2}}} , \\ c_{2} & = \frac{λ_{1} − (1 − h + \frac{h^{2}}{2} )}{λ_{1} − λ_{2}} = \frac{\sqrt{1 + h^{2}} − (1 + \frac{h^{2}}{2} )}{2\sqrt{1 + h^{2}}}. \end{aligned}

Comme \sqrt{1 + h^{2}} = 1 + \frac{h^{2}}{2} − \frac{h^{4}}{8} + O(h^{6}), on voit que

\begin{matrix}c_{1} = 1 + O(h^{4}) \\ c_{2} = −\frac{1}{16} h^{4} + O(h^{6}) \end{matrix}

Par ailleurs λ_{1} = 1 − h + \frac{h^{2}}{2} + O(h^{4}) = e^{−h} + O(h^{3}),

tandis que λ_{2} = −(1 + h + \frac{h^{2}}{2} + O(h^{4})) = −e^{h} + O(h^{3}).

On voit donc que y_{n} est somme de deux termes

c_{1}λ_{1}^{n} ≃ e^{−nh}, c_{2}λ_{2}^{n} ≃ −\frac{1}{16} h^{4}(−1)^{n}e^{nh}.

Le premier de ces termes approxime bien la solution exacte, mais le second est un terme de perturbation qui diverge quand n → +∞, bien qu’il soit négligeable quand le temps t_{n} = nh n’est pas trop grand. Si la durée d’intégration est trop longue (plus précisément, si h^{4}e^{T} n’est plus négligeable), on va obtenir un tracé de la forme ci-dessous.

0 1 y  t_{n}  T  t y_{n}  y = e^{−t}

• Méthode de Milne

C’est la méthode à 4 pas définie par

y_{n+1} = y_{n−3} + h(\frac{8}{3} f_{n} − \frac{4}{3} f_{n−1} + \frac{8}{3} f_{n−2}).

On vérifie qu’elle est stable, d’ordre 4, mais comme pour la méthode de Nyström la stabilité n’est pas très bonne à cause des racines de module 1 du polynôme caractéristique λ^{4} − 1 = 0.

2. Méthodes d’Adams-Bashforth

2.1. Description

On ne suppose plus ici que le pas h_{n} soit nécessairement constant. Si z est une solution exacte de l’équation, on écrit

z(t_{n+1}) = z(t_{n}) + ∫_{t_{n}}^{t_{n+1}} f(t, z(t))dt.

Supposons que pour 0 ≤ i ≤ r on ait déjà calculé les points z(t_{n−i}) et les pentes f_{n−i} = f(t_{n−i}, z(t_{n−i})).

L’idée de la méthode est d’approximer la fonction f(t, z(t)) sur [t_{n}, t_{n+1}] par son polynôme d’interpolation aux points t_{n}, t_{n−1}, …, t_{n−r}. Considérons donc le polynôme p_{n,r}(t) qui interpole les points (t_{n−i}, f_{n−i}) pour 0 ≤ i ≤ r :

p_{n,r}(t) = ∑_{0≤i≤r} f_{n−i}L_{n,i,r}(t), deg (p_{n,r}) = r,

où L_{n,i,r}(t) = ∏_{{0≤j≤r \atop j≠i}} \frac{t − t_{n−j}}{t_{n−i} − t_{n−j}}. On écrit maintenant :

z(t_{n+1}) = z(t_{n}) + ∫_{t_{n}}^{t_{n+1}} f(t, z(t))dt

≃ z(t_{n}) + ∫_{t_{n}}^{t_{n+1}} p_{n,r}(t)dt

= z(t_{n}) + h_{n} ∑_{0≤i≤r} b_{n,i,r}f_{n,i}

avec

b_{n,i,r} = \frac{1}{h_{n}} ∫_{t_{n}}^{t_{n+1}} L_{n,i,r}(t)dt.

L’algorithme de la méthode d’Adams-Bashforth à r + 1 pas (en abrégé AB_{r+1}) va donc s’écrire :

\{ \begin{matrix}y_{n+1} = y_{n} + h_{n} ∑_{0≤i≤r} b_{n,i,r}f_{n−i}, n ≥ r, \\ t_{n+1} = t_{n} + h_{n} \\ f_{n+1} = f(t_{n+1}, y_{n+1}). \end{matrix}

L’intérêt de cette méthode provient de sa relative simplicité et du fait qu’une seule évaluation de la fonction f est nécessaire à chaque étape (contrairement aux méthodes de Runge-Kutta qui en réclamaient plusieurs). Il va en résulter un gain assez important sur le temps de calcul.

Exemples.

• r = 0 : on a p_{n,0}(t) = constante = f_{n}, d’où AB_{1} : y_{n+1} = y_{n} + h_{n}f_{n}. Il s’agit de la méthode d’Euler.

• r = 1 : le polynôme p_{n,1} est la fonction affine qui interpole (t_{n}, f_{n}) et (t_{n−1}, f_{n−1}), d’où les formules

p_{n,1}(t) = f_{n} + \frac{f_{n} − f_{n−1}}{t_{n} − t_{n−1}} (t − t_{n})
∫_{t_{n}}^{t_{n+1}} p_{n,1}(t)dt = f_{n}h_{n} + \frac{f_{n} − f_{n−1}}{h_{n−1}} [\frac{1}{2} (t − t_{n})^{2}]_{t_{n}}^{t_{n+1}}

= b_{n}(f_{n} + \frac{h_{n}}{2h_{n−1}} (f_{n} − f_{n−1})).

L’algorithme s’écrit donc

AB_{2} \{ \begin{matrix}y_{n+1} = y_{n} + h_{n}(f_{n} + \frac{h_{n}}{2h_{n−1}} (f_{n} − f_{n−1})) \\ t_{n+1} = t_{n} + h_{n} \\ f_{n+1} = f(t_{n}, y_{n}). \end{matrix}

Dans le cas où le pas h_{n} = h est constant, la formule de récurrence se réduit à

y_{n+1} = y_{n} + h(\frac{3}{2} f_{n} − \frac{1}{2} f_{n−1}).

• De manière générale, lorsque le pas est constant les coefficients b_{n,i,r} ne dépendent pas de n car la méthode est invariante par translation. Pour les petites valeurs de r, les coefficients b_{i,r} correspondants sont donnés par le tableau :

r  b_{0,r}  b_{1,r}  b_{2,r}  b_{3,r}  β_{r} = ∑_{i} |b_{i,r}|
0  1  1
1  \frac{3}{2}  −\frac{1}{2}  2
2  \frac{23}{12}  −\frac{16}{12}  \frac{5}{12}  3,66…
3  \frac{55}{24}  −\frac{59}{24}  \frac{37}{24}  −\frac{9}{24}  6,6…

Remarque. On a toujours ∑_{0≤i≤r} b_{n,i,r} = 1, car pour f_{n} = … = f_{n−r} = 1 on a p_{n,r}(t) ≡ 1, par conséquent

∫_{t_{n}}^{t_{n+1}} p_{n,r}(t)dt = h_{n} = h_{n} ∑_{0≤i≤r} b_{n,i,r} · 1.

Comme on le verra plus loin, la quantité β_{r} intervient dans le calcul de la constante de stabilité S.

2.2. Erreur de consistance et ordre de la méthode AB_{r+1}

Soit z une solution exacte du problème de Cauchy. L’erreur de consistance est donnée par

e_{n} = z(t_{n+1}) − y_{n+1}
= z(t_{n+1}) − (z(t_{n}) + ∫_{t_{n}}^{t_{n+1}} p_{n,r}(t)dt),
e_{n} = ∫_{t_{n}}^{t_{n+1}} (z′(t) − p_{n,r}(t))dt,

où p_{n,r} est précisément le polynôme d’interpolation de la fonction z′(t) = f(t, z(t)) aux points t_{n−i}, 0 ≤ i ≤ r. D’après le théorème de la moyenne, il existe un point θ ∈ ]t_{n}, t_{n+1}[ tel que

e_{n} = h_{n}(z′(θ) − p_{n,r}(θ)).

La formule donnant l’erreur d’interpolation (voir chapitre II, § 1.2) implique

z′(θ) − p_{n,r}(θ) = \frac{1}{(r + 1)!} z^{(r+2)}(ξ)π_{n,r}(ξ),

où ξ ∈ ]t_{n−r}, t_{n+1}[ est un point intermédiaire entre θ et les points t_{n−i}, et où

π_{n,r}(t) = ∏_{0≤i≤r}(t − t_{n−i}).

Si ξ ∈ ]t_{n−j}, t_{n−j+1}[, 0 ≤ j ≤ r, on a l’inégalité |ξ − t_{n−i}| ≤ (1 + |j − i|)h_{max}, d’où

|π_{n,r}(ξ)| ≤ h_{max}^{r+1}(1 + j) … (1 + 1)1(1 + 1) … (1 + r − j)
= h_{max}^{r+1}(j + 1)!(r − j + 1)! ≤ h_{max}^{r+1}(r + 1)!,

en majorant 2 par j + 2, …, (r − j + 1) par (r + 1). On en déduit par conséquent

|z′(θ) − p_{n,r}(θ)| ≤ |z^{(r+2)}(ξ)| h_{max}^{r+1},

ce qui donne la majoration cherchée de l’erreur de consistance :

|e_{n}| ≤ |z^{(r+2)}(ξ)|h_{n}h_{max}^{r+1} ≤ Ch_{n}h_{max}^{r+1}

avec C = max_{t∈[t_{0},t_{0}+T]} |z^{(r+2)}(t)|.

La méthode d’Adams-Bashforth à r + 1 pas est donc d’ordre r + 1 (le lecteur pourra vérifier à titre d’exercice que l’ordre n’est pas ≥ r + 2 en considérant le cas de la fonction f(t, y) = t^{r+1}).

Phase d’initialisation. De ce qui précède, il résulte qu’on choisira une méthode de Runge-Kutta d’ordre r + 1 (ou r à la rigueur) pour initialiser les premières valeurs y_{1}, …, y_{r}, f_{0}, f_{1}, …, f_{r}.

2.3. Stabilité de la méthode AB_{r+1}

Nous allons démontrer le résultat suivant.

Théorème. On suppose que f(t, y) est k-lipschitzienne en y et que les sommes ∑_{0≤i≤r} |b_{n,i,r}| sont majorées indépendamment de n par une constante β_{r}. Alors la méthode d’Adams-Bashforth à r + 1 pas est stable, avec constante de stabilité

S = exp (β_{r}kT).

Démonstration. Soit ỹ_{n} la suite récurrente perturbée telle que

\{ \begin{matrix}ỹ_{n+1} = ỹ_{n} + h_{n} ∑_{0≤i≤r} b_{n,i,r}f̃_{n−i} + ε_{n}, r ≤ n < N, \\ f̃_{n−i} = f(t_{n−i}, ỹ_{n−i}). \end{matrix}

Posons θ_{n} = max_{0≤i≤n} |ỹ_{i} − y_{i}|. On a

|f̃_{n−i} − f_{n−i}| ≤ k|ỹ_{n−i} − y_{n−i}| ≤ kθ_{n},
|ỹ_{n+1} − y_{n+1}| ≤ θ_{n} + h_{n} ∑_{0≤i≤r} |b_{n,i,r}| · kθ_{n} + |ε_{n}|
≤ (1 + β_{r}kh_{n})θ_{n} + |ε_{n}|.

Comme θ_{n+1} = max (|ỹ_{n+1} − y_{n+1}|, θ_{n}), on en déduit

θ_{n+1} ≤ (1 + β_{r}kh_{n})θ_{n} + |ε_{n}|.

Le lemme de Gronwall implique alors

θ_{N} ≤ exp (β_{r}k(t_{N} − t_{r}))(θ_{r} + ∑_{r≤n<N} |ε_{n}|),

ce qui entraîne bien la stabilité, avec constante S = exp (β_{r}kT). D’après le tableau donné au § 2.1, on voit que la constante β_{r} croît assez vite quand r augmente. La stabilité devient donc de moins en moins bonne quand le nombre de pas augmente. Cette stabilité médiocre est un des inconvénients les plus sérieux des méthodes d’Adams-Bashforth lorsque r est grand. En pratique, on se limitera le plus souvent aux cas r = 1 ou r = 2.

Remarque. L’exemple AB_{2} donné au § 2.1 montre que les coefficients b_{n,i,r} ne sont en général bornés que si le rapport h_{n}/h_{n−1} de 2 pas consécutifs reste borné. Dans la pratique, il est raisonnable de supposer que

\frac{h_{n}}{h_{n−1}} ≤ δ

avec disons δ ≤ 2. Les formules du § 2.1 donnent dans ce cas :

|b_{n,i,r}| ≤ max_{t∈[t_{n},t_{n+1}]} |L_{n,i,r}(t)| = ∏_{1≤j≤n} \frac{t_{n+1} − t_{n−j}}{|t_{n−i} − t_{n−j}|}

Comme t_{n+1} − t_{n−j} = h_{n−j} + … + h_{n} ≤ (1 + δ + … + δ^{j})h_{n−j} et

h_{n−j} ≤ \{ \begin{matrix}|t_{n−i} − t_{n−j}| & si j > i \\ δ|t_{n−i} − t_{n−j}| & si j < i \end{matrix}

Il vient

|b_{n,i,r}| ≤ δ^{i} ∏_{j≠i}(1 + δ + … + δ^{j}) ≤ ∏_{0≤j≤r}(1 + δ + … + δ^{j}).

On a donc l’estimation assez grossière

β_{r} = max_{n} ∑_{0≤i≤r} |b_{n,i,r}| ≤ (r + 1) ∏_{0≤j≤r}(1 + δ + … + δ^{j}).

3. Méthodes d’Adams-Moulton

3.1. Description

L’idée en est la même que celle des méthodes d’Adams-Bashforth, mais on approxime ici f(t, z(t)) par son polynôme d’interpolation aux points t_{n+1}, t_{n}, …, t_{n−r} ; le point t_{n+1} est donc pris en plus. On considère le polynôme p_{n,r}^{∗}(t) de degré r + 1 qui interpole les points (t_{n−i}, f_{n−i}) pour −1 ≤ i ≤ r :

p_{n,r}^{∗}(t) = ∑_{−1≤i≤r} f_{n−i}L_{n,i,r}^{∗}(t),
d’où  L_{n,i,r}^{∗}(t) = ∏_{{−1≤j≤r \atop j≠i}} \frac{t − t_{n,j}}{t − t_{n,i}} .

On obtient donc comme au § 2.2

z(t_{n+1}) ≃ z(t_{n}) + h_{n} ∑_{−1≤i≤r} b_{n,i,r}^{∗}f_{n−i}

avec b_{n,i,r}^{∗} = \frac{1}{h_{n}} ∫_{t_{n}}^{t_{n+1}} L_{n,i,r}^{∗}(t)dt.

L’algorithme correspondant AM_{r+1} s’écrit

y_{n+1} − h_{n}b_{n,−1,r}^{∗}f(t_{n+1}, y_{n+1}) = y_{n} + h_{n} ∑_{0≤i≤r} b_{n,i,r}^{∗}f_{n−i}.

On observera ici que y_{n+1} n’est pas donné explicitement en fonction des quantités y_{n}, f_{n−i} antérieurement calculées, mais seulement comme solution d’une équation dont la résolution n’est pas a priori immédiate. Pour cette raison, on dit que la méthode d’Adams-Moulton est une méthode implicite (la méthode d’Adams-Bashforth est dite par opposition explicite). Pour résoudre l’équation ci-dessus, on aura recours en général à une méthode itérative. Notons u_{n} la quantité (explicite)

u_{n} = y_{n} + h_{n} ∑_{0≤i≤r} b_{n,i,r}^{∗}f_{n−i}.

Le point y_{n+1} cherché est la solution x de l’équation

x = u_{n} + h_{n}b_{n,−1,r}^{∗}f(t_{n+1}, x).

On va donc calculer la suite itérée x_{p+1} = φ(x_{p}) où

φ(x) = u_{n} + h_{n}b_{n,−1,r}^{∗}f(t_{n+1}, x).

Comme φ′(x) = h_{n}b_{n,−1,r}^{∗}f′_{y}(t_{n+1}, x), l’application φ va être contractante (avec une petite constante de Lipschitz) lorsque h_{n} est assez petit. Si f(t, y) est k-lipschitzienne en y, il suffit que h_{n} < \frac{1}{|b_{n,−1,r}^{∗}|k} pour avoir convergence. La solution y_{n+1} est alors unique d’après le théorème du point fixe, et l’algorithme itératif s’écrit

\{ \begin{matrix}F_{p} = f(t_{n+1}, x_{p}), \\ x_{p+1} = u_{n} + h_{n}b_{n,−1,r}F_{p}. \end{matrix}

On choisira une valeur initiale x_{0} qui soit une approximation de y_{n+1} (la meilleure possible !), par exemple la valeur donnée par la méthode d’Adams-Bashforth :

x_{0} = y_{n} + h_{n} ∑_{0≤i≤r} b_{n,i,r}f_{n−i}.

On arrête l’itération pour |x_{p+1} − x_{p}| ≤ 10^{−10} (par exemple) et on prend

\{ \begin{matrix}y_{n+1} = & dernière valeur x_{p+1} calculée \\ f_{n+1} = & f(t_{n+1}, y_{n+1}) (ou par économie = F_{p}) \end{matrix}

Exemples.

• r = 0 : le polynôme p_{n,0}^{∗} est le polynôme de degré 1 qui interpole (t_{n+1}, f_{n+1}) et (t_{n}, f_{n}), soit

p_{n,0}^{∗}(t) = f_{n} + \frac{f_{n+1} − f_{n}}{h_{n}} (t − t_{n}) ;

∫_{t_{n}}^{t_{n+1}} p_{n,0}^{∗}(t)dt = h_{n}(\frac{1}{2} f_{n+1} + \frac{1}{2} f_{n}).

On obtient ainsi la méthode dite des trapèzes (ou méthode de Crank-Nicolson) :

y_{n+1} = y_{n} + h_{n}(\frac{1}{2} f_{n+1} + \frac{1}{2} f_{n})

ou encore

y_{n+1} − \frac{1}{2} h_{n}f(t_{n+1}, y_{n+1}) = y_{n} + \frac{1}{2} h_{n}f_{n}.

• r = 1 : le polynôme p_{n,1}^{∗} interpole les points (t_{n+1}, f_{n+1}), (t_{n}, f_{n}), (t_{n−1}, f_{n−1}), d’où les formules

p_{n,1}^{∗}(t) = f_{n+1} \frac{(t − t_{n})(t − t_{n−1})}{h_{n}(h_{n} + h_{n−1})} − f_{n} \frac{(t − t_{n−1})(t − t_{n−1})}{h_{n}h_{n−1}} + f_{n−1} \frac{(t − t_{n})(t − t_{n+1})}{h_{n−1}(h_{n} + h_{n−1})},

\begin{aligned}y_{n+1} & = y_{n} ∫_{t_{n}}^{t_{n+1}} p_{n,1}^{∗}(t)dt, \\ y_{n+1} & = y_{n} + h_{n} [\frac{2h_{n} + 3h_{n−1}}{6(h_{n} + h_{n−1})} f_{n+1} + \frac{3h_{n−1} + h_{n}}{6h_{n−1}} f_{n} − \frac{h_{n}^{2}}{6h_{n−1}(h_{n} + h_{n−1})} f_{n−1}]. \end{aligned}

Dans le cas où le pas h_{n} = h est constant, cette formule se réduit à

y_{n+1} = y_{n} + h(\frac{5}{12} f_{n+1} + \frac{8}{12} f_{n} − \frac{1}{12} f_{n−1}).

• De manière générale, les coefficients b_{n,i,r}^{∗} sont des nombres b_{i,r}^{∗} indépendants de n lorsque le pas est constant. On a la table suivante :

r  b_{−1,r}^{∗}  b_{0,r}^{∗}  b_{1,r}^{∗}  b_{2,r}^{∗}  b_{3,r}^{∗}  β_{r}^{∗} = ∑_{i} |b_{i,r}^{∗}|  β_{r+1}
0  \frac{1}{2}  \frac{1}{2}  1  2
1  \frac{5}{12}  \frac{8}{12}  −\frac{1}{12}  1,16…  3,66…
2  \frac{9}{24}  \frac{19}{24}  −\frac{5}{24}  \frac{1}{24}  1,41…  6,66…
3  \frac{251}{720}  \frac{646}{720}  −\frac{264}{720}  \frac{106}{720}  −\frac{19}{720}  1,78…  12,64…

Les coefficients b_{n,i,r}^{∗} vérifient toujours ∑_{−1≤i≤r} b_{n,i,r}^{∗} = 1.

3.2. Erreur de consistance et ordre de la méthode AM_{r+1}

Soit z une solution exacte du problème de Cauchy. Sous l’hypothèse y_{n−i} = z(t_{n−i}), 0 ≤ i ≤ n, on a

e_{n} = z(t_{n+1}) − y_{n+1}

= z(t_{n+1}) − [z(t_{n}) + h_{n} ∑_{0≤i≤r} b_{n,i,r}^{∗}f(t_{n−i}, z(t_{n−i})) + h_{n}b_{n,−1,r}^{∗}f(t_{n+1}, y_{n+1})]

= z(t_{n+1}) − [z(t_{n}) + h_{n} ∑_{−1≤i≤r} b_{n,i,r}^{∗}f(t_{n−i}, z(t_{n−i}))]

+ h_{n}b_{n,−1,r}^{∗}[f(t_{n+1}, z(t_{n+1})) − f(t_{n+1}, y_{n+1})],
e_{n} = ∫_{t_{n}}^{t_{n+1}}(z′(t) − p_{n,r}^{∗}(t))dt + h_{n}b_{n,−1,r}^{∗}[f(t_{n+1}, z(t_{n+1})) − f(t_{n+1}, y_{n+1})].

Supposons que f(t, y) soit lipschitzienne de rapport k en y. Alors il vient

\begin{aligned}|e_{n}| & ≤ | ∫_{t_{n}}^{t_{n+1}}(z′(t) − p_{n,r}^{∗}(t))dt| + h_{n}b_{n,−1,r}^{∗}k|e_{n}|, \\ |e_{n}| & ≤ \frac{1}{1 − h_{n}b_{n,−1,r}^{∗}k} | ∫_{t_{n}}^{t_{n+1}}(z′(t) − p_{n,r}^{∗}(t))dt|. \end{aligned}

Quand le pas h_{n} est suffisamment petit, on a donc

|e_{n}| = | ∫_{t_{n}}^{t_{n+1}}(z′(t) − p_{n,r}^{∗}(t))dt|(1 + O(h_{n}))

comme dans la méthode d’Adams-Bashforth. Par ailleurs la formule de la moyenne donne

\begin{matrix}∫_{t_{n}}^{t_{n+1}}(z′(t) − p_{n,r}^{∗}(t))dt = h_{n}(z′(θ) − p_{n,r}^{∗}(θ)), θ ∈ ]t_{n}, t_{n+1}[, \\ z′(θ) − p_{n,r}^{∗}(θ) = \frac{1}{(r + 2)!} z^{(r+3)}(ξ)π_{n,r}^{∗}(ξ), ξ ∈ ]t_{n,r}, t_{n+1}[. \end{matrix}

où π_{n,r}^{∗}(t) = ∏_{−1≤i≤r}(t − t_{n−i}). Il résulte du § 2.2 que

|π_{n,r}^{∗}(ξ)| = |ξ − t_{n+1}| |π_{n,r}(ξ)|
≤ (r + 1)h_{max} · (r + 1)! h_{max}^{r+1} ≤ (r + 2)! h_{max}^{r+2},
| ∫_{t_{n}}^{t_{n+1}}(z′(t) − p_{n,r}^{∗}(t))dt| ≤ |z^{(r+3)}(ξ)|h_{n}h_{max}^{r+2},

par conséquent l’erreur de consistance admet la majoration

|e_{n}| ≤ Ch_{n}h_{max}^{r+2}(1 + O(h_{n})), avec C = max_{t∈[t_{0},t_{0}+T]} |z^{(r+3)}|.

La méthode AM_{r+1} est donc d’ordre r + 2. On initialisera les r premières valeurs y_{1}, …, y_{r} à l’aide d’une méthode de Runge-Kutta d’ordre r + 2 (ou à la rigueur r + 1).

3.3.^{∗} Stabilité de la méthode AM_{r+1}

On suppose que les rapports h_{n}/h_{n−1} restent bornés, de sorte que les quantités

β_{r}^{∗} = max_{n} ∑_{≤i≤r} |b_{n,i,r}^{∗}|, γ_{r}^{∗} = max_{n} |b_{n,−1,r}^{∗}|

sont contrôlées. Supposons également que f(t, y) soit k-lipschitzienne en y. La méthode de résolution itérative pour y_{n+1} fonctionne dès que h_{n} < \frac{1}{|b_{n,−1,r}^{∗}|k}, en particulier dès que

h_{max} < \frac{1}{γ_{r}^{∗}k} ,

ce que nous supposons désormais. Soit ỹ_{n} une suite perturbée telle que

\{ \begin{matrix}ỹ_{n+1} = ỹ_{n} + h_{n}(b_{n,−1,r}^{∗}f̃_{n+1} + ∑_{0≤i≤r} b_{n,i,r}^{∗}f̃_{n−i}) + ε_{n} \\ f̃_{n−i} = f(t_{n−i}, y_{n−i}),  r ≤ n < N, \end{matrix}

et posons θ_{n} = max_{0≤i≤n} |ỹ_{i} − y_{i}|. Comme on a θ_{n+1} = max (|ỹ_{n+1} − y_{n+1}|, θ_{n}), il vient

θ_{n+1} ≤ θ_{n} + kh_{n}(|b_{n,−1,r}^{∗}|θ_{n+1} + ∑_{0≤i≤r} |b_{n,i,r}^{∗}|θ_{n}) + |ε_{n}|,
θ_{n+1}(1 − |b_{n,−1,r}^{∗}|kh_{n}) ≤ θ_{n}(1 + ∑_{0≤i≤r} |b_{n,i,r}^{∗}|kh_{n}) + |ε_{n}|

≤ (1 + ∑_{0≤i≤r} |b_{n,i,r}^{∗}|kh_{n})(θ_{n} + |ε_{n}|).

Or 1 − |b_{n,−1,r}^{∗}|kh_{n} ≥ 1 − γ_{r}^{∗}kh_{max} > 0, par suite

\begin{aligned}θ_{n+1} & ≤ \frac{1 + ∑_{0≤i≤r} |b_{n,i,r}^{∗}|kh_{n}}{1 − |b_{n,−1,r}^{∗}|kh_{n}} (θ_{n} + |ε_{n}|), \\ θ_{n+1} & ≤ (1 + \frac{∑_{−1≤i≤r} |b_{n,i,r}^{∗}|kh_{n}}{1 − |b_{n,−1,r}^{∗}|kh_{n}} ) (θ_{n} + |ε_{n}|), \\ θ_{n+1} & ≤ (1 + Λh_{n})(θ_{n} + |ε_{n}|), \end{aligned}

avec Λ = β_{r}^{∗}k/(1−γ_{r}^{∗}kh_{max}). Un raisonnement analogue à la démonstration du lemme de Gronwall discret donne par récurrence sur n :

θ_{n} ≤ e^{Λ(t_{n}−t_{r})}(θ_{r} + ∑_{r≤i≤n} |ε_{i}|),

d’où la constante de stabilité

S = e^{ΛT} = exp (\frac{β_{r}^{∗}kT}{1 − γ_{r}^{∗}kh_{max}} ) .

Lorsque h_{max} est assez petit devant 1/γ_{r}^{∗}k, on a donc sensiblement

S ≃ exp (β_{r}^{∗}kT).

Le tableau du § 3.1 montre qu’à ordre r + 2 égal, la méthode AM_{r+1} est beaucoup plus stable que AB_{r+2}. Il n’en reste pas moins que malgré cet avantage important, la méthode d’Adams-Moulton est d’utilisation délicate à cause de son caractère implicite. Les méthodes de prédiction-correction que nous allons décrire permettent d’obtenir une stabilité équivalente, tout en fournissant un schéma explicite de résolution.

4. Méthodes de prédiction-correction

4.1. Principe général

On se donne une méthode dite de prédiction (ou prédicteur), fournissant (explicitement) une première valeur approchée py_{n+1} du point y_{n+1} à atteindre :

py_{n+1} = prédiction de y_{n+1},
pf_{n+1} = f(t_{n+1}, py_{n+1}) = prédiction de f_{n+1}.

En substituant la valeur pf_{n+1} ainsi trouvée à f_{n+1} dans la formule d’Adams-Moulton, on obtient alors une nouvelle valeur corrigée y_{n+1} qui est retenue en vue des calculs ultérieurs.

De façon précise, une méthode PECE (prédiction, évaluation, correction, évaluation) à r+1 pas va s’écrire de la manière suivante : y_{n−r}, f_{n−r}, …, y_{n}, f_{n} étant déjà calculés, on pose

Prédiction : py_{n+1} = … (à partir des y_{n−i}, f_{n−i}, 0 ≤ i ≤ r)
t_{n+1} = t_{n} + h_{n}
Evaluation : pf_{n+1} = f(t_{n+1}, py_{n+1})
Correction : y_{n+1} = y_{n} + h_{n}(b_{n,−1,r}^{∗}pf_{n+1} + ∑_{0≤i≤r} b_{n,i,r}^{∗}f_{n−i})
Evaluation : f_{n+1} = f(t_{n+1}, y_{n+1})

Nous avons utilisé ici la méthode d’Adams-Moulton comme correcteur, mais cela pourrait être a priori n’importe quelle autre méthode implicite.

Ici encore, le démarrage de l’algorithme PECE nécessite le calcul préalable des points y_{1}, …, y_{r} et des pentes f_{0}, …, f_{r} à l’aide d’une méthode à 1 pas. On peut estimer que le coût en temps de calcul d’une méthode PECE est environ le double de celui d’une méthode d’Adams-Bashforth d’ordre égal (mais on verra que la stabilité est beaucoup meilleure). Ce temps de calcul est en général inférieur à celui des méthodes de Runge-Kutta sophistiquées (d’ordre ≥ 3).

4.2. Erreur de consistance dans PECE

Soit z une solution exacte du problème de Cauchy. L’erreur de consistance est

e_{n} = z(t_{n+1}) − y_{n+1} avec y_{n−i} = z(t_{n−i}), 0 ≤ i ≤ r.

Soit y_{n+1}^{∗} la valeur qui serait obtenue à l’aide du seul correcteur (Adams-Moulton), de sorte que

\{ \begin{matrix}y_{n+1}^{∗} = y_{n} + h_{n}(b_{n,−1,r}^{∗}f_{n+1}^{∗} + ∑_{0≤i≤r} b_{n,i,r}^{∗}f_{n,i}) \\ f_{n+1}^{∗} = f(t_{n+1}, y_{n+1}^{∗}). \end{matrix}

L’erreur de consistance correspondante est

e_{n}^{∗} = z(t_{n+1}) − y_{n+1}^{∗}.

Le prédicteur introduit lui aussi une erreur de consistance

pe_{n} = z(t_{n+1}) − py_{n+1}.

Écrivons

\begin{aligned}e_{n} & = (z(t_{n+1}) − y_{n+1}^{∗}) + (y_{n+1}^{∗} − y_{n+1}) \\ e_{n} & = e_{n}^{∗} + (y_{n+1}^{∗} − y_{n+1}). \end{aligned}

On a par ailleurs

y_{n+1}^{∗} − y_{n+1} = h_{n}b_{n,−1,r}^{∗}(f_{n+1}^{∗} − pf_{n+1}).

Si f(t, y) est k-lipschitzienne en y, on en déduit

|y_{n+1}^{∗} − y_{n+1}| ≤ h_{n}|b_{n,−1,r}^{∗}| k |y_{n+1}^{∗} − py_{n+1}|

et y_{n+1}^{∗} − py_{n+1} = (z(t_{n+1}) − py_{n+1}) − (z(t_{n+1}) − y_{n+1}^{∗}), d’où

|y_{n+1}^{∗} − py_{n+1}| ≤ |pe_{n}| + |e_{n}^{∗}|.

Il en résulte finalement |y_{n+1}^{∗} − y_{n+1}| ≤ |b_{n,−1,r}^{∗}| kh_{n}(|pe_{n}| + |e_{n}^{∗}|)

|e_{n}| ≤ |e_{n}^{∗}| + |y_{n+1}^{∗} − y_{n+1}|
|e_{n}| ≤ (1 + |b_{n,−1,r}^{∗}|kh_{n})|e_{n}^{∗}| + |b_{n,−1,r}^{∗}| kh_{n} |pe_{n}|.

On voit que l’influence du prédicteur est nettement moindre que celle du correcteur puisque son erreur de consistance est en facteur d’un terme O(h_{n}). Le correcteur AM_{r+1} étant d’ordre r + 2 (c’est-à-dire |e_{n}^{∗}| ≤ Ch_{n}h_{max}^{r+2}), on voit qu’il convient de choisir un prédicteur d’ordre r + 1. Les contributions de |e_{n}^{∗}| et |pe_{n}| dans |e_{n}| seront alors toutes deux ≤ Ch_{n}h_{max}^{r+2}, l’ordre global de PECE est donc r + 2 dans ce cas.

4.3. Exemples

• Prédicteur : Euler (ordre 1), Correcteur : AM_{1} (ordre 2).

\{ \begin{matrix}P : py_{n+1} = y_{n} + h_{n}f_{n} \\ E : pf_{n+1} = f(t_{n+1}, py_{n+1}) \\ C : y_{n+1} = y_{n} + h_{n}(\frac{1}{2} pf_{n+1} + \frac{1}{2} f_{n}) \\ E : f_{n+1} = f(t_{n+1}, y_{n+1}) \end{matrix}

Cet algorithme coïncide avec la méthode de Heun, qui n’est autre que la méthode de Runge-Kutta définie par

\begin{aligned}0 & | & 0 & 0 \\ 1 & | & 0 & 1 \\ & | & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{aligned} .

• Prédicteur : Nyström (ordre 2) avec pas constant h_{n} = h, Correcteur : AM_{2} (ordre 3).

\{ \begin{matrix}P : py_{n+1} = y_{n−1} + 2hf_{n} \\ E : pf_{n+1} = f(t_{n+1}, py_{n+1}) \\ C : y_{n+1} = y_{n} + h(\frac{5}{12} pf_{n+1} + \frac{8}{12} f_{n} − \frac{1}{12} f_{n−1}) \\ E : f_{n+1} = f(t_{n+1}, y_{n+1}) \end{matrix}

• Prédicteur : AB_{r+1} (ordre r + 1), Correcteur : AM_{r+1} (ordre r + 2).

\{ \begin{matrix}P : py_{n+1} = y_{n} + h_{n} ∑_{0≤i≤r} b_{n,i,r}f_{n−i} \\ E : pf_{n+1} = f(t_{n+1}, py_{n+1}) \\ C : y_{n+1} = y_{n} + h_{n}(b_{n,−1,r}^{∗}pf_{n+1} + ∑_{0≤i≤r} b_{n,i,r}^{∗}f_{n−i}) \\ E : f_{n+1} = f(t_{n+1}, y_{n+1}). \end{matrix}

Exercice A. Vérifier que ce dernier algorithme PECE équivaut à la méthode d’Adams-Moulton dans laquelle l’algorithme itératif est arrêté à la première étape, soit y_{n+1} = x_{1}, calculé à partir de la valeur x_{0} fourni par la méthode d’Adams-Bashforth.

4.4. Stabilité de la méthode PECE

Supposons que le prédicteur soit de la forme

py_{n} = ∑_{0≤i≤r} α_{n,i}y_{n−i} + h_{n} ∑_{0≤i≤r} β_{n,i}f_{n−i}

et notons

A = max_{n} ∑_{i} |α_{n,i}|, B = max_{n} ∑_{i} |β_{n,i}|.

Soit ỹ_{n} une suite perturbée telle que

\{ \begin{matrix}pỹ_{n+1} = ∑_{0≤i≤r} α_{n,i}ỹ_{n−i} + h_{n} ∑_{0≤i≤r} β_{n,i}f̃_{n−i} \\ ỹ_{n+1} = ỹ_{n} + h_{n}(b_{n,−1,r}^{∗}pf̃_{n+1} + ∑_{0≤i≤r} b_{n,i,r}^{∗}f̃_{n−i}) + ε_{n}. \end{matrix}

Remarque. Dans la réalité il s’introduit également une erreur d’arrondi pε_{n} au niveau de la prédiction, mais pour notre calcul il sera plus simple de comptabiliser cette erreur dans ε_{n} (ceci n’est visiblement pas restrictif).

Posons θ_{n} = max_{0≤i≤n} |ỹ_{i} − y_{i}| et pθ_{n} = |pỹ_{n} − py_{n}|. Comme f(t, y) est supposée k-

lipschitzienne en y, il vient :

\{ \begin{matrix}pθ_{n+1} ≤ Aθ_{n} + h_{n}Bkθ_{n} \\ θ_{n+1} ≤ θ_{n} + kh_{n}(|b_{n,−1,r}^{∗}|pθ_{n+1} + ∑_{0≤i≤r} |b_{n,i,r}^{∗}|θ_{n}) + |ε_{n}|. \end{matrix}

En substituant pθ_{n+1} ≤ θ_{n} + θ_{n}(A − 1 + Bkh_{n}) dans la deuxième ligne il vient

\begin{aligned}θ_{n+1} & ≤ θ_{n} (1 + [ ∑_{−1≤i≤r} |b_{n,i,r}^{∗}| + |b_{n,−1,r}^{∗}|(A − 1 + Bkh_{n})]kh_{n}) + |ε_{n}|, \\ θ_{n+1} & ≤ θ_{n}(1 + Λh_{n}) + |ε_{n}|, \end{aligned}

avec Λ = (β_{r}^{∗} + γ_{r}^{∗}(A − 1 + Bkh_{max}))k. Le lemme de Gronwall montre donc que la méthode PECE est stable, avec constante de stabilité

S = e^{ΛT} = exp ((β_{r}^{∗} + γ_{r}^{∗}(A − 1 + Bkh_{max}))kT ).

Si h_{max} est petit, on va avoir

S ≃ exp ((β_{r}^{∗} + γ_{r}^{∗}(A − 1))kT ).

On voit que la stabilité du prédicteur n’a pas d’incidence sur la stabilité de la méthode PECE, seule la valeur de la constante A peut influer sur cette stabilité ; on pourrait en théorie utiliser un prédicteur instable ! La consistance du prédicteur implique ∑_{i} α_{n,i} = 1. Si les coefficients α_{n,i} sont ≥ 0, alors on a A = 1 (c’est le cas des

méthodes de Nyström, Milne, ou AB_{r+1}), par conséquent la constante de stabilité

S ≃ exp (β_{r}^{∗}kT)

sera peu différente de celle de la méthode d’Adams-Moulton seule. On obtient donc des méthodes assez stables, d’un coût modéré en temps de calcul et d’ordre aussi élevé que l’on veut. Par comparaison avec les méthodes de Runge-Kutta, elles sont un peu plus rapides mais un peu moins stables à ordre égal.

4.5. Méthodes PEC

Comme leur nom l’indique, il s’agit de méthodes de prédiction-correction dans lesquelles la dernière étape d’évaluation est omise (en vue bien sûr de gagner du temps). Ceci signifie que les pentes corrigées f_{n+1} ne sont pas calculées, il faudra donc se contenter de faire intervenir les pentes prédites pf_{n−i}. On obtient alors l’algorithme suivant :

Prédiction : py_{n+1} = ∑_{0≤i≤r} α_{n,i}y_{n−i} + h_{n} ∑_{0≤i≤r} β_{n,i}pf_{n−i}
t_{n+1} = t_{n} + h_{n}
Evaluation : pf_{n+1} = f(t_{n+1}, py_{n+1})
Correction : y_{n+1} = y_{n} + h_{n} ∑_{−1≤i≤r} b_{n,i,r}^{∗}pf_{n−i}.

Le démarrage de l’algorithme nécessite le calcul préalable des quantités y_{1}, …, y_{r}, pf_{0}, …, pf_{r}.

Erreur de consistance*. L’algorithme PEC n’entre pas tout à fait dans le cadre général des méthodes que nous avons considérées jusqu’à présent. Il convient de redéfinir e_{n} comme suit. Si z est une solution exacte, on pose

e_{n} = z(t_{n+1}) − y_{n+1}

où y_{n+1} est calculée à partir des valeurs antérieures py_{n−i} = y_{n−i} = z(t_{n−i}), 0 ≤ i ≤ r. Avec cette définition, il est facile de voir que l’erreur de consistance est identique à celle de la méthode PECE, d’où

|e_{n}| ≤ (1 + |b_{n,−1,r}^{∗}|kh_{n})|e_{n}^{∗}| + |b_{n,−1,r}^{∗}| kh_{n} |pe_{n}|.

Le correcteur étant d’ordre r + 2, on choisira ici encore le prédicteur d’ordre r + 1.

Stabilité de la méthode PEC*. Avec les notations et hypothèses du § 4.4, considérons une suite perturbée ỹ_{n} telle que

ỹ_{n+1} = ỹ_{n} + h_{n} ∑_{−1≤i≤r} b_{n,i,r}^{∗}pf̃_{n−i} + ε_{n}

et posons θ_{n} = max_{0≤i≤n} |ỹ_{i} − y_{i}|, pθ_{n} = max_{0≤i≤n} |pỹ_{i} − py_{i}|. Il vient :

\{ \begin{matrix}pθ_{n+1} ≤ Aθ_{n} + Bkh_{n}pθ_{n} \\ θ_{n+1} ≤ θ_{n} + β_{r}^{∗}kh_{n}pθ_{n+1} + |ε_{n}|. \end{matrix}

La première ligne entraîne

pθ_{n+1} ≤ Aθ_{n} + Bkh_{max}pθ_{n+1},

d’où pθ_{n+1} ≤ \frac{A}{1−Bkh_{max}} θ_{n} si Bkh_{max} < 1. En substituant dans la deuxième ligne il vient :

θ_{n+1} ≤ (1 + \frac{β_{r}^{∗}Ak}{1 − Bkh_{max}} h_{n}) θ_{n} + |ε_{n}|.

Le lemme de Gronwall donne la constante de stabilité

S = exp (\frac{β_{r}^{∗}AkT}{1 − Bkh_{max}} ) .

Si h_{max} est assez petit, on aura

S ≃ exp (β_{r}^{∗}AkT).

Ceci est un peu moins bon que dans le cas de la méthode PECE, car γ_{r}^{∗} < β_{r}^{∗}. Néanmoins, pour A = 1 la constante de stabilité est la même :

S ≃ exp (β_{r}^{∗}kT),

c’est-à-dire précisément la constante de stabilité de la méthode d’Adams-Moulton seule. Par rapport à PECE, on économise donc un peu de temps de calcul, mais on perd un peu en stabilité et en précision.

5. Problèmes

5.1. On considère le problème de Cauchy y′(t) = f(t, y(t)), y(t_{0}) = y_{0}, où f : [t_{0}, t_{0} + T] × ℝ → ℝ est une fonction de classe C^{5}. Pour résoudre numériquement ce problème, on se donne un entier N ≥ 2 et on considère la subdivision t_{n} = t_{0} + nh, 0 ≤ n ≤ N, de pas constant h = \frac{T}{N}.

On étudie les méthodes à 2 pas de la forme

(M)  y_{n+1} = αy_{n−1} + α′y_{n} + h(βf_{n−1} + β′f_{n} + β′′f_{n+1}),

avec f_{n} = f(t_{n}, y_{n}). La méthode est donc explicite si β′′ = 0 et implicite si β′′ ≠ 0.

(a) Soit g une fonction de classe C^{5} au voisinage de 0.

Calculer un développement limité à l’ordre 4 en h = 0 de la quantité

Δ(h) = g(h) − [αg(−h) + α′g(0) + h(βg′(−h) + β′g′(0) + β′′g′(h))].

Écrire la condition nécessaire et suffisante pour que la méthode (M) soit d’ordre ≥ 1 (respectivement ≥ 2, ≥ 3, ≥ 4). Montrer que la seule méthode (M) qui soit d’ordre ≥ 4 est

(M^{4})  y_{n+1} = y_{n−1} + h(\frac{1}{3} f_{n−1} + \frac{4}{3} f_{n} + \frac{1}{3} f_{n+1}).

Quelle interprétation peut-on donner de cette méthode ?

NB : Dans les questions qui suivent, on supposera sans le repréciser chaque fois que les méthodes (M) étudiées sont d’ordre 1 au moins.

(b) On cherche à tester la stabilité de la méthode (M) en considérant l’équation différentielle triviale y′ = 0.

Les réels y_{0} et y_{1} = y_{0} + ε étant donnés a priori, exprimer y_{n} en fonction de y_{0}, ε, α, n. En déduire qu’une condition nécessaire pour que la méthode (M) soit stable est que −1 < α ≤ 1.

(c) On se propose ici de montrer inversement que la méthode (M) est stable, si 0 ≤ α ≤ 1 et si h est assez petit. On suppose que pour tout t ∈ [t_{0}, t_{0} + T] la fonction y ↦ f(t, y) est k-lipschitzienne. Soient deux suite (y_{n}) et (z_{n}) telles que pour n ≥ 1 on ait

\begin{aligned}y_{n+1} & = αy_{n−1} + α′y_{n} + h(βf(t_{n−1}, y_{n−1}) + β′f(t_{n}, y_{n}) + β′′f(t_{n+1}, y_{n+1})), \\ z_{n+1} & = αz_{n−1} + α′z_{n} + h(βf(t_{n−1}, z_{n−1}) + β′f(t_{n}, z_{n}) + β′′f(t_{n+1}, z_{n+1})) + ε_{n}. \end{aligned}

On pose

θ_{n} = max_{0≤i≤n} |z_{i} − y_{i}|.

(α) Majorer |z_{n+1} − y_{n+1}| en fonction de θ_{n}, θ_{n+1} et ε_{n}.

En déduire que si |β′′|kh < 1 on a

θ_{n+1} ≤ (1 + \frac{(|β| + |β′| + |β′′|)kh}{1 − |β′′|kh}) (θ_{n} + |ε_{n}|).

(β) En déduire l’existence d’une constante de stabilité S(h), qui reste bornée quand h tend vers 0, telle que

θ_{N} ≤ S(h)(θ_{1} + ∑_{k=1}^{N−1} |ε_{n}|).

(e) Déterminer en fonction de α les méthodes (M) qui sont d’ordre 3 ; on notera celles-ci (M_{α}^{3}). A quoi correspond (M_{0}^{3}) ? Existe-t-il une méthode (M_{α}^{3}) qui soit explicite et stable ?

Montrer qu’il existe une unique méthode (M_{α_{1}}^{3}) pour laquelle β = 0.

(f) (α) Expliciter l’algorithme PECE dont le prédicteur est la méthode de Nyström et dont le correcteur est la méthode (M_{α_{1}}^{3}).

L’initialisation sera faite au moyen de la méthode de Runge-Kutta d’ordre 4 usuelle.

(β) Écrire un programme informatique mettant en œuvre l’algorithme précédent dans le cas de la fonction f(t, y) = sin(ty − y^{2}).

L’utilisateur fournit la donnée initiale (t_{0}, y_{0}), le pas h, et le nombre N d’itérations. L’ordinateur affichera alors les valeurs (t_{n}, y_{n}) successives pour 0 ≤ n ≤ N.

5.2. L’objet de ce problème est d’étudier les méthodes d’Adams-Bashforth et d’Adams-Moulton avec pas constant.

(a) Montrer que la méthode d’Adams-Bashforth à (r + 1) pas, de pas constant h, s’écrit

y_{n+1} = y_{n} + h ∑_{i=0}^{r} b_{i,r}f(t_{n−i}, y_{n−i})

avec

b_{i,r} = (−1)^{i} ∫_{0}^{1} \frac{s(s + 1) … ˆ (s + i) … (s + r)}{i!(r − i)!}, 0 ≤ i ≤ r.

(b) On pose

γ_{r} = ∫_{0}^{1} \frac{s(s + 1) … (s + r − 1)}{r!} ds.

Démontrer les formules

\begin{matrix}b_{i,r} − b_{i,r−1} = (−1)^{i}\binom{r}{i}γ_{r}, 0 ≤ i ≤ r − 1, \\ b_{r,r} = (−1)^{r}γ_{r}. \end{matrix}

(c) Montrer que pour |t| < 1 on a

∫_{0}^{1}(1 − t)^{−s}ds = ∑_{r=0}^{+∞} γ_{r}t^{r}.

En déduire la valeur de l’expression ln (1 − t) ∑_{r=0}^{+∞} γ_{r}t^{r}, puis la valeur des sommes

\frac{γ_{0}}{r + 1} + \frac{γ_{1}}{r} + … + \frac{γ_{r−1}}{2} + γ_{r}.

(d) Écrire un programme informatique mettant en œuvre la méthode d’Adams-Bashforth à un nombre arbitraire de pas. On utilisera les formules de récurrence ci-dessus pour évaluer γ_{r} et b_{i,r}. L’initialisation sera faite au moyen de la méthode de Runge-Kutta d’ordre 4.

(e) Démontrer des formules analogues à celles de (a), (b), (c) pour la méthode d’Adams-Moulton.

5.3. Soit à résoudre numériquement un problème de Cauchy

y′ = f(t, y), y(t_{0}) = y_{0}

où f est de classe C^{2} sur [t_{0}, t_{0} + T] × ℝ. On se donne une subdivision

t_{0} < t_{1} < … < t_{N} = t_{0} + T

de l’intervalle, et on étudie la méthode numérique suivante : si y_{n} est la valeur approchée de la solution au temps t_{n} et si f_{n} = f(t_{n}, y_{n}) on pose

(M)  y_{n+1} = y_{n−1} + ∫_{t_{n−1}}^{t_{n+1}} p_{n}(t)dt

où p_{n} est le polynôme d’interpolation des pentes f_{n}, f_{n−1} aux temps t_{n} et t_{n−1}. On note h_{n} = t_{n+1} − t_{n}.

(a) Calculer explicitement y_{n+1}. Quelle méthode obtient-on lorsque le pas h_{n} = h est constant ?

(b) Soit z une solution exacte de l’équation différentielle.

Déterminer un équivalent de l’erreur de consistance e_{n} attachée à la méthode (M). Quel est l’ordre de cette méthode ? Comment procéderiez-vous pour la phase d’initialisation ?

(c) Soit une suite ỹ_{n} vérifiant la relation de récurrence

ỹ_{n+1} = ỹ_{n−1} + ∫_{t_{n−1}}^{t_{n+1}} p̃_{n}(t)dt + ε_{n}

où p̃_{n} interpole les valeurs f̃_{n} = f(t_{n}, ỹ_{n}) et ỹ_{n−1}. La quantité ε_{n} désigne l’erreur commise à l’étape n. On suppose que f(t, y) est k-lipschizienne en y et on note

θ_{n} = max_{0≤i≤n} |ỹ_{i} − y_{i}|.

(α) Montrer que

θ_{n+1} ≤ (1 + kh_{n} (1 + max \{\frac{h_{n}}{h_{n−1}} , \frac{h_{n−1}}{h_{n}} \})) θ_{n} + ε_{n}.

(β) On suppose que le rapport de 2 pas consécutifs est majoré par une constante δ (avec disons 1 ≤ δ ≤ 2). Étudier la stabilité de la méthode (M).

5.4. Dans cet exercice, on se propose d’étudier une méthode de prédiction-correction de type PEPEC pour la résolution d’un problème de Cauchy

\{ \begin{matrix}y′ = f(t, y),  t ∈ [t_{0}, t_{0} + T] \\ y(t_{0}) = y_{0}. \end{matrix}

La fonction f(t, y) est supposée de classe C^{4} sur [t_{0}, t_{0} + T] × ℝ et lipschitzienne de rapport k en y. Le pas est choisi constant : h = \frac{T}{N}, N ∈ ℕ^{∗}.

(a) L’objet de cette question est de décrire la méthode de correction.

(α) Si z est une solution exacte du problème de Cauchy, on écrit

z(t_{n+1}) = z(t_{n}) + ∫_{t_{n}}^{t_{n+1}} f(t, z(t))dt

et on approxime l’intégrale par la méthode de Simpson élémentaire. Montrer que l’algorithme correspondant s’écrit

(C)  y_{n+1} = y_{n} + h(αf_{n} + βf_{n+ \frac{1}{2}} + γf_{n+1})

avec des coefficients α, β, γ que l’on précisera.

(β) On suppose que les pentes f_{n}, f_{n+ \frac{1}{2}} , f_{n+1} sont les dérivées exactes de z aux points t_{n}, t_{n} + \frac{h}{2}, t_{n} + h. Déterminer un équivalent de l’erreur de consistance

e_{n}^{∗} = z(t_{n+1}) − y_{n+1}

en fonction de h et de la dérivée z^{(5)}(t_{n}). Quel est l’ordre de la méthode (C) ?

(b) Pour pouvoir exploiter la formule (C), il est nécessaire de prédire des valeurs approchées py_{n+ \frac{1}{2}} et py_{n+1} des points y_{n+ \frac{1}{2}} et y_{n+1}, ainsi que les pentes correspondantes

pf_{n+ \frac{1}{2}} = f(t_{n} + \frac{h}{2}, py_{n+ \frac{1}{2}} ), pf_{n+1} = f(t_{n+1}, py_{n+1}).

Pour cela, on utilise comme prédicteur (P) la méthode d’Adams-Bashforth à 3 pas, de pas constant \frac{h}{2}, faisant intervenir les pentes prédites antérieures pf_{n}, pf_{n− \frac{1}{2}} , pf_{n−1}. La méthode (P) est utilisée une première fois pour évaluer py_{n+ \frac{1}{2}} , puis une deuxième fois pour évaluer py_{n+1} à patir de py_{n+ \frac{1}{2}} .

(α) Expliciter complètement l’algorithme PEPEC ainsi obtenu.

(β) Écrire en langage informatique la boucle centrale correspondant à l’itération de l’algorithme PEPEC (on précisera la signification des variables utilisées).

(γ) L’erreur de consistance de la méthode PEPEC est définie par e_{n} = z(t_{n+1}) − y_{n+1} où l’on suppose que les points y_{n} et py_{n−i}, i ∈ \{0, \frac{1}{2}, 1\} sont exacts. Si pe_{n} et pe_{n+ \frac{1}{2}} désignent les erreurs de consistance du prédicteur sur les intervalles de temps [t_{n}, t_{n} + \frac{h}{2}] et [t_{n} + \frac{h}{2}, t_{n+1}], montrer que

|e_{n}| ≤ |e_{n}^{∗}| + \frac{4}{6} kh|pe_{n}| + \frac{1}{6} kh(|pe_{n+ \frac{1}{2}} | + |pe_{n}| + \frac{23}{24} kh|pe_{n}|).

Le choix du prédicteur est-il justifié ? Quel est l’ordre de la méthode PEPEC ? Comment procéderiez-vous pour l’initialisation de l’algorithme ?

(c) On se propose ici de déterminer une constante de stabilité de l’algorithme PEPEC. Soit ỹ_{n} une suite perturbée telle que la formule de correction soit entachée d’une erreur ε_{n}, toute l’erreur étant comptabilisée au niveau de (C) :

ỹ_{n+1} = ỹ_{n} + h(α pf̃_{n} + β pf̃_{n+ \frac{1}{2}} + γ pf̃_{n+1}) + ε_{n}.

Pour i, n ∈ ℕ on pose

θ_{n} = max_{0≤i≤n} |ỹ_{i} − y_{i}|,
pθ_{n} = max_{0≤i≤n} |pỹ_{i} − py_{i}|, pθ_{n+ \frac{1}{2}} = max_{0≤i≤n} |py_{i+ \frac{1}{2}} − py_{i+ \frac{1}{2}} |.

(α) Majorer pθ_{n+ \frac{1}{2}} en fonction de θ_{n}, pθ_{n} et pθ_{n− \frac{1}{2}} puis pθ_{n+1} en fonction de pθ_{n+ \frac{1}{2}} et pθ_{n}. En déduire successivement (pour h assez petit) :

\begin{aligned}pθ_{n+1} & ≤ \frac{1 + \frac{7}{6} kh}{1 − \frac{4}{6} kh} pθ_{n+ \frac{1}{2}} ≤ \frac{1}{1 − \frac{11}{6} kh} pθ_{n+ \frac{1}{2}} , \\ pθ_{n+ \frac{1}{2}} & ≤ θ_{n} + kh \frac{\frac{11}{6} pθ_{n− \frac{1}{2}}}{1 − \frac{11}{6} kh}, \\ pθ_{n+ \frac{1}{2}} & ≤ \frac{1 − \frac{11}{6} kh}{1 − \frac{11}{3} kh} θ_{n}. \end{aligned}

En déduire une majoration de θ_{n+1} en fonction de θ_{n}, |ε_{n}| et une estimation de S.

(β) Comparer la stabilité de PEPEC à la stabilité de la méthode PECE de même ordre ayant pour prédicteur Adams-Bashforth et pour correcteur Adams-Moulton.

Chapitre X

Stabilité des solutions et points

singuliers d’un champ de vecteurs

On se propose ici d’étudier le comportement des solutions d’une équation différentielle et des lignes intégrales d’un champ de vecteurs lorsque le temps t tend vers l’infini. On s’intéresse essentiellement au cas des équations linéaires ou ^{⟨⟨} voisines ^{⟩⟩} de telles équations. Dans ce cas, le comportement des solutions est gouverné par le signe de la partie réelle des valeurs propres de la matrice associée à la partie linéaire de l’équation : une solution est dite stable si les solutions associées à des valeurs voisines de la donnée initiale restent proches de la solution considérée jusqu’à l’infini. Cette notion de stabilité (dite aussi stabilité au sens de Lyapunov) ne devra pas être confondue avec la notion de stabilité d’une méthode numérique, qui concerne la stabilité de l’algorithme sur un intervalle de temps fixé. On étudie finalement les différentes configurations possibles des lignes intégrales au voisinages des points singuliers non dégénérés d’un champ de vecteurs plan.

1. Stabilité des solutions

1.1. Définitions

On considère le problème de Cauchy associé à une équation différentielle

(E)  y′ = f(t, y)

avec condition initiale y(t_{0}) = z_{0}. On suppose que la solution de ce problème existe sur [t_{0}, +∞[.

Définition. Soit y(t, z) la solution maximale de (E) tel que y(t_{0}, z) = z. On dira que la solution y(t, z_{0}) est stable s’il existe une boule \overline{B}(z_{0}, r) et une constante C ≥ 0 telles que

(i) Pour tout z ∈ \overline{B}(z_{0}, r), t ↦ y(t, z) est définie sur [t_{0}, +∞[ ;

(ii) Pour tous z ∈ \overline{B}(z_{0}, r) et t ≥ t_{0} on a

∥y(t, z) − y(t, z_{0})∥ ≤ C∥z − z_{0}∥.

La solution y(t, z_{0}) est dite asymptotiquement stable si elle est stable et si la condition (ii’) plus forte que (ii) est satisfaite :

(ii’) Il existe une boule \overline{B}(z_{0}, r) et une fonction γ : [t_{0}, +∞[→ ℝ_{+} continue avec lim_{t→+∞} γ(t) = 0 telles que pour tous z ∈ \overline{B}(z_{0}, r) et t ≥ t_{0} on ait

∥y(t, z) − y(t, z_{0})∥ ≤ γ(t)∥z − z_{0}∥.

La signification géométrique de ces notions de stabilité est illustrée par le schéma suivant.

z_{0} zz_{0} zz_{0} zy  t^{0}  t solution instable solution stable solution asympto- tiquement stable

1.2. Cas d’un système linéaire à coefficients constants

Nous étudierons d’abord le cas le plus simple, à savoir le cas d’un système linéaire sans second membre

(E)  Y′ = AY,  Y = ( y_{1} ; ⋮ ; y_{m} ) ,  A = ( \begin{matrix}a_{11} & … & a_{1m} \\ ⋮ & & ⋮ \\ a_{m1} & … & a_{mm} \end{matrix} )

avec y_{j}, a_{ij} ∈ ℂ ; le cas réel peut bien entendu être vu comme un cas particulier du cas complexe. La solution du problème de Cauchy de condition initiale Y (t_{0}) = Z est donnée par Y (t, Z) = e^{(t−t_{0})A} · Z. On a donc

Y (t, Z) − Y (t, Z_{0}) = e^{(t−t_{0})A} · (Z − Z_{0})

et la stabilité est liée au comportement de e^{(t−t_{0})A} quand t tend vers +∞, dont la norme |||e^{(t−t_{0})A}||| doit rester bornée. Distinguons quelques cas.

• m = 1, A = (a). On a alors

|e^{(t−t_{0})a}| = e^{(t−t_{0}) Re(a)}.

Les solutions sont stables si et seulement si cette quantité reste bornée quand t tend vers +∞, c’est-à-dire si Re(a) ≤ 0. De même, les solutions sont asymptotiquement stables si et seulement si Re(a) < 0, et on peut alors prendre

γ(t) = e^{(t−t_{0}) Re(a)} \overrightarrow{t → +∞} 0.

• m quelconque. Si A est diagonalisable, on se ramène après un changement linéaire de coordonnées à

Ã = ( \begin{matrix}λ_{1} & & & & 0 \\ & . & . & . \\ 0 & & & & λ_{m} \end{matrix} )

où λ_{1}, …, λ_{m} désignent les valeurs prores de A. Le système se ramène aux équations indépendantes y′_{j} = λ_{j}y_{j} et admet pour solution

y_{j}(t, Z) = z_{j}e^{λ_{j}(t−t_{0})}, 1 ≤ j ≤ m.

Les solutions sont donc stables si et seulement si Re(λ_{j}) ≤ 0 pour tout j et asymptotiquement stables si et seulement si Re(λ_{j}) < 0 pour tout j.

Si A n’est pas diagonalisable, il suffit de regarder ce qui se passe pour chaque bloc d’une triangulation de A. Supposons donc

A = ( \begin{matrix}λ & & & & ∗ \\ & . & . & . \\ 0 & & & & λ \end{matrix} ) = λI + N

où N est une matrice nilpotente (triangulaire supérieure) non nulle. Il vient alors

\begin{aligned}e^{(t−t_{0})A} & = e^{(t−t_{0})λI} · e^{(t−t_{0})}N \\ & = e^{λ(t−t_{0})} ∑_{k=0}^{m−1} \frac{(t − t_{0})^{k}}{k!} N^{k}, \end{aligned}

donc les coefficients de e^{(t−t_{0})A} sont des produits de e^{λ(t−t_{0})} par des polynômes de degré ≤ m − 1 non tous constants (car N ≠ 0, donc le degré est au moins 1). Si Re(λ) < 0, les coefficients tendent vers 0, et si Re(λ) > 0 leur module tend vers +∞ car la croissance de l’exponentielle l’emporte sur celle des polynômes. Si Re(λ) = 0, on a |e^{λ(t−t_{0})}| = 1 et par suite e^{(t−t_{0})A} est non bornée. On voit donc que les solutions sont asympotiquement stables si et seulement si Re(λ) < 0 et sinon elle sont instables. En résumé, on peut énoncer :

Théorème. Soient λ_{1}, …, λ_{m} les valeurs propres complexes de la matrice A. Alors les solutions du système linéaire Y′ = AY sont

• asymptotiquement stables si et seulement si Re(λ_{j}) < 0 pour tout j = 1, …, m.

• stables si et seulement si pour tout j, ou bien Re(λ_{j}) < 0, ou bien Re(λ_{j}) = 0 et le bloc correspondant est diagonalisable.

1.3. Petite perturbation d’un système linéaire

On considère dans 𝕂^{m} = ℝ^{m} ou ℂ^{m} un système de la forme

(E)  Y′ = AY + g(t, Y)

où g : [t_{0}, +∞[ × 𝕂^{m} → 𝕂^{m} est une fonction continue. On se propose de montrer que si la partie linéaire est asymptotiquement stable et si la ^{⟨⟨} perturbation ^{⟩⟩} g est suffisamment petite, en un sens à préciser, alors les solutions de (E) sont encore asymptotiquement stables.

Théorème. On suppose que les valeurs propres complexes λ_{j} de A sont de partie réelle Re λ_{j} < 0.

(a) S’il existe une fonction k : [t_{0}, +∞[ → ℝ_{+} continue telle que lim_{t→+∞} k(t) = 0 et

∀t ∈ [t_{0}, +∞[, ∀Y_{1}, Y_{2} ∈ 𝕂^{m}, ∥g(t, Y_{1}) − g(t, Y_{2})∥ ≤ k(t)∥Y_{1} − Y_{2}∥,

alors toute solution de (E) est asymptotiquement stable.

(b) Si g(t, 0) = 0 et s’il existe r_{0} > 0 et une fonction continue k : [0, r_{0}] → ℝ_{+} telle que lim_{r→0} k(r) = 0 et

∀t ∈ [t_{0}, +∞[, ∀Y_{1}, Y_{2} ∈ \overline{B}(0, r), ∥g(t, Y_{1}) − g(t, Y_{2})∥ ≤ k(r)∥Y_{1} − Y_{2}∥

pour r ≤ r_{0}, alors il existe une boule \overline{B}(0, r_{1}) ⊂ \overline{B}(0, r_{0}) telle que toute solution Y (t, Z_{0}) de valeur initiale Z_{0} ∈ \overline{B}(0, r_{1}) soit asymptotiquement stable.

Démonstration.* Si 𝕂 = ℝ, on peut toujours étendre le système à ℂ^{m} en posant par exemple g̃(t, Y) = g(t, Re(Y)) pour Y ∈ ℂ^{m}. On se placera donc dans ℂ^{m}. Il existe alors une base (e_{1}, …, e_{m}) dans laquelle A se met sous forme triangulaire

A = ( \begin{matrix}λ_{1} & a_{12} & … & a_{1m} \\ & λ_{2} & & ⋮ \\ ⋮ & & ... & a_{m−1m} \\ & … & … \\ 0 & … & … & λ_{m} \end{matrix} )

Posons ẽ_{j} = ε^{j}e_{j} avec ε > 0 petit. Il vient

\begin{aligned}Aẽ_{j} & = ε^{j}(a_{1j}e_{1} + … + a_{j−1j}e_{j−1} + λ_{j}e_{j}) \\ & = ε^{j−1}a_{1j}ẽ_{1} + … + εa_{j−1j}ẽ_{j−1} + λ_{j}ẽ_{j} \end{aligned}

de sorte que dans la base (ẽ_{j}) les coefficients non diagonaux peuvent être rendus arbitrairement petits. On supposera donc qu’on a |a_{ij}| ≤ ε, et on pourra choisir ε aussi petit qu’on veut. Considérons deux solutions Y (t, Z) et Y (t, Z_{0}) :

\begin{aligned}Y′(t, Z) & = AY (t, Z) + g(t, Y (t, Z)), \\ Y′(t, Z_{0}) & = AY (t, Z_{0}) + g(t, Y (t, Z_{0})) \end{aligned}

et cherchons à évaluer la différence Δ(t) = Y (t, Z) − Y (t, Z_{0}) en distinguant les deux cas (a) et (b).

(a) Observons dans ce cas que f(t, Y) = AY + g(t, Y) est lipschitzienne en Y avec constante de Lipschitz |||A||| + k(t). Le critère V 3.4 montre donc déjà que toutes les solutions sont globalement définies sur [t_{0}, +∞[. Nous avons

\begin{matrix}Δ′(t) = AΔ(t) + g(t, Y (t, Z)) − g(t, Y (t, Z_{0})), \\ ∥g(t, Y (t, Z)) − g(t, Y (t, Z_{0}))∥ ≤ k(t)∥Δ(t)∥ \end{matrix}

310 Chap. X – Stabilité des solutions et points singuliers Notons (δ_{j}(t))_{1≤j≤m} les composantes de Δ(t) et

ρ(t) = ∥Δ(t)∥^{2} = ∑_{j=1}^{m} δ_{j}(t)\overline{δ_{j}(t)}.

Par différentiation on obtient

ρ′(t) = ∑_{j=1}^{m} δ′_{j}(t)\overline{δ_{j}(t)} + δ_{j}(t)\overline{δ′_{j}(t)} = 2 Re ∑_{i=1}^{m} δ′_{j}(t)\overline{δ_{j}(t)},
= 2 Re(^{t}\overline{Δ(t)}Δ′(t))

= 2 Re(^{t}\overline{Δ(t)}AΔ(t)) + 2 Re (^{t}\overline{Δ(t)}(g(t, Y (t, Z)) − g(t, Y (t, Z_{0})))).

La deuxième partie réelle est majorée par

2∥Δ(t)∥ · ∥g(t, Y (t, Z)) − g(t, Y (t, Z_{0}))∥ ≤ 2k(t)∥Δ(t)∥^{2} = 2k(t)ρ(t). On a par ailleurs

t\overline{Δ(t)}AΔ(t) = ∑_{j=1}^{m} λ_{j}|δ_{j}(t)|^{2} + ∑_{i<j} a_{ij}\overline{δ_{i}(t)}δ_{j}(t),

de sorte que

Re(^{t}\overline{Δ(t)}AΔ(t)) ≤ ∑_{j=1}^{m}(Re λ_{j})|δ_{j}(t)|^{2} + ( ∑_{i<j} |a_{ij}|)∥Δ(t)∥^{2}.

Comme Re(λ_{j}) < 0 par hypothèse et |a_{ij}| ≤ ε, il y a un choix de ε tel que

Re(^{t}\overline{Δ(t)}AΔ(t)) ≤ −α ∑_{j=1}^{m} |δ_{j}(t)|^{2} = −αρ(t)

avec α > 0. On obtient alors

\begin{aligned}ρ′(t) & ≤ −2αρ(t) + 2k(t)ρ(t), \\ \frac{ρ′(t)}{ρ(t)} & ≤ −2α + 2k(t), \\ ln \frac{ρ(t)}{ρ(t_{0})} & ≤ −2 ∫_{t_{0}}^{t}(α − k(u))du, \\ ρ(t) & ≤ ∥Z − Z_{0}∥^{2} exp (−2 ∫_{t_{0}}^{t}(α − k(u))du) \end{aligned}

car ρ(t_{0}) = ∥Z − Z_{0}∥^{2}. On notera que ρ(t) = ∥Δ(t)∥^{2} ne peut s’annuler que si les deux solutions coïncident identiquement. En prenant la racine carrée, on obtient

∥Y (t, Z) − Y (t, Z_{0})∥ ≤ γ(t)∥Z − Z_{0}∥

avec

γ(t) = exp (− ∫_{t_{0}}^{t}(α − k(u))du) .

Comme lim_{u→+∞}(α − k(u)) = α > 0, l’intégrale diverge vers +∞ et lim_{t→+∞} γ(t) = 0. Les solutions sont donc bien asymptotiquement stables.

(b) Ce cas est un peu plus délicat car on ne sait pas a priori si toutes les solutions sont globales ; elles ne le seront d’ailleurs pas en général si Z_{0} ∉ \overline{B}(0, r_{0}), vu que les hypothèses ne concernent que ce qui se passe pour Y ∈ \overline{B}(0, r_{0}). Comme g(t, 0) = 0, on a toutefois la solution globale Y (t) = 0, c’est-à-dire que Y (t, 0) = 0 pour t ∈ [t_{0}, +∞[. De plus on a

∥g(t, Y (t, Z)) − g(t, Y (t, Z_{0}))∥ ≤ k(r)∥Δ(t)∥,

à condition de supposer que t ↦ Y (t, Z) et t ↦ Y (t, Z_{0}) prennent toutes leurs valeurs dans \overline{B}(0, r) ⊂ \overline{B}(0, r_{0}). Sous cette hypothèse, les mêmes calculs que précédemment donnent

ρ(t) ≤ ∥Z − Z_{0}∥^{2} exp (−2 ∫_{t_{0}}^{t}(α − k(r)) du) ,
(∗)  ∥Y (t, Z) − Y (t, Z_{0})∥ ≤ exp ( − (t − t_{0})(α − k(r)))∥Z − Z_{0}∥,

et en particulier pour Z_{0} = 0 :

∥Y (t, Z)∥ ≤ exp ( − (t − t_{0})(α − k(r)))∥Z∥.

Comme lim_{r→0} k(r) = 0, on peut choisir r_{1} < r_{0} tel que k(r_{1}) < α, c’est-à-dire α − k(r_{1}) > 0. L’inégalité précédente montre alors que pour Z ∈ B(0, r_{1}) la solution maximale Y (t, Z) contenue dans la boule ouverte B(0, r_{1}) vérifie les inégalités ∥Y (t, Z)∥ ≤ ∥Z∥ < r_{1}. Cette solution maximale est nécessairement définie globalement sur [t_{0}, +∞[. Sinon l’intervalle maximal serait un intervalle borné [t_{0}, t_{1}[, nécessairement ouvert à droite d’après les résultats de V 2.4. Comme la dérivée de t ↦ Y (t, Z) est majorée par

∥AY + g(t, Y)∥ ≤ (|||A||| + k(r_{1}))∥Y ∥ ≤ M

avec M = (|||A||| + k(r_{1}))r_{1}, la fonction Y (t, Z) vérifierait le critère de Cauchy

lim_{t,t′→t_{1}−0} ∥Y (t, Z) − Y (t′, Z)∥ = 0.

Elle aurait donc une limite Y_{1} = lim_{t→t_{1}−0} Y (t, Z) avec ∥Y_{1}∥ ≤ ∥Z∥ < r_{1} et se prolongerait sur un voisinage à droite de t_{1} en une solution entièrement contenue dans B(0, r_{1}), contradiction. Quitte à diminuer encore un peu r_{1}, on voit que toute solution Y (t, Z) avec Z ∈ \overline{B}(0, r_{1}) est globale et entièrement contenue dans \overline{B}(0, r_{1}). Par conséquent (∗) est satisfaite pour tous t ∈ [t_{0}, +∞[ et Z, Z_{0} ∈ \overline{B}(0, r_{1}) avec la constante α − k(r_{1}) > 0, ce qui démontre le théorème.

2. Points singuliers d’un champ de vecteurs

2.1. Position du problème

On suppose donné un champ de vecteurs de classe C^{1} dans un ouvert Ω ⊂ ℝ^{2}, c’està-dire une application

Ω → ℝ^{2}, M = ( \begin{matrix}x \\ y \end{matrix} ) ↦ \overrightarrow{V}(M) = ( \begin{matrix}f(x, y) \\ g(x, y) \end{matrix} )

où f, g sont de classe C^{1} sur Ω. On considère le système différentiel associé

\frac{\overrightarrow{dM}}{dt} = \overrightarrow{V}(M) ⟺ \{ \begin{matrix}x′(t) = f(x(t), y(t)) \\ y′(t) = g(x(t), y(t)) \end{matrix} .

Grâce au théorème de Cauchy-Lipschitz, on sait que par tout point il passe une courbe intégrale unique. Un problème géométrique intéressant est de décrire l’allure de la famille des courbes intégrales passant au voisinage d’un point M_{0} donné.

Premier cas. \overrightarrow{V}(M_{0}) ≠ \overrightarrow{0}. Dans ce cas, l’angle entre \overrightarrow{V}(M) et \overrightarrow{V}(M_{0}) tend vers 0 quand M tend vers 0. Par conséquent, les tangentes aux lignes intégrables sont sensiblement parallèles les unes aux autres dans un petit voisinage de M_{0}. Un tel point M_{0} est dit régulier :

M_{0}  M  \overrightarrow{V}(M_{0}) \overrightarrow{V}(M)

Deuxième cas. \overrightarrow{V}(M_{0}) = \overrightarrow{0}. On voit alors facilement sur des exemples qu’il y a plusieurs configurations possibles pour le champ des tangentes :

\overrightarrow{V} ( \begin{matrix}x \\ y \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}x \\ y \end{matrix} )  \overrightarrow{V} ( \begin{matrix}x \\ y \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}x \\ −y \end{matrix} )  \overrightarrow{V} ( \begin{matrix}x \\ y \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}−y \\ x \end{matrix} )

Si \overrightarrow{V}(M_{0}) = \overrightarrow{0}, on dit que M_{0} est un point singulier (ou point critique) du champ de vecteurs. Un tel point donne évidemment une solution constante M(t) = M_{0} de (E). Pour étudier les solutions voisines, on supposera après translation éventuelle de l’origine des coordonnées que M_{0} = (0, 0). On a alors f(0, 0) = g(0, 0) = 0, de sorte que le système différentiel peut s’écrire

\{ \begin{matrix}\frac{dx}{dt} & = f(x, y) = ax + by + o(|x| + |y|) \\ \frac{dy}{dt} & = g(x, y) = cx + dy + o(|x| + |y|). \end{matrix}

Introduisons la matrice

A = ( \begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}f′_{x}(0, 0) & f′_{y}(0, 0) \\ g′_{x}(0, 0) & g′_{y}(0, 0) \end{matrix} ) .

Le système différentiel considéré s’écrit maintenant

\frac{dM}{dt} = AM + G(M)

avec G(0, 0) = G′_{x}(0, 0) = G′_{y}(0, 0) = 0. La fonction continue

k(r) = sup_{M∈\overline{B}(0,r)} |||G′(M)|||

tend vers 0 quand r tend vers 0 et le théorème des accroissements finis donne

∥G(M_{1}) − G(M_{2})∥ ≤ k(r)∥\overrightarrow{M_{1}M_{2}}∥

pour tous M_{1}, M_{2} ∈ \overline{B}(0, r). L’hypothèse (b) du théorème du § 1.3 est donc satisfaite. Dire que le point M_{0} est asymptotiquement stable signifie que les lignes intégrales issues d’un point M_{1} voisin de M_{0} convergent toutes vers M_{0} (à peu près uniformément à la même vitesse) quand le temps tend vers +∞. On peut donc énoncer :

Proposition. Pour qu’un point singulier M_{0} = (x_{0}, y_{0}) soit asymptotiquement stable, il suffit que les valeurs propres de la matrice jacobienne

A = ( \begin{matrix}f′_{x}(x_{0}, y_{0}) & f′_{y}(x_{0}, y_{0}) \\ g′_{x}(x_{0}, y_{0}) & g′_{y}(x_{0}, y_{0}) \end{matrix} )

soient de partie réelle < 0.

Remarque. Contrairement au cas d’un système linéaire, on ne peut pas décider de la nature du point critique si la matrice jacobienne a une valeur propre de partie réelle nulle. Considérons par exemple le système

\{ \begin{matrix}\frac{dx}{dt} & = αx^{3} \\ \frac{dy}{dt} & = βy^{3} \end{matrix} t ∈ [t_{0}, +∞[ = [0, +∞[,

qui admet l’origine comme point critique avec matrice jacobienne A = 0. On voit facilement que la solution du problème de Cauchy est

x(t) = x_{0}(1 − 2αx_{0}^{2}t)^{−1/2}, y(t) = y_{0}(1 − 2 βy_{0}^{2}t)^{−1/2}.

Par conséquent l’origine est un point asymptotiquement stable si α < 0 et β < 0, instable dès que α > 0 ou β > 0. Dans ce dernier cas, les solutions ne sont en fait même pas globalement définies : lorsque α > 0, β ≤ 0 et x_{0} ≠ 0, la solution maximale n’est définie que pour t ∈ [0, 1/(2 αx_{0}^{2})[.

Si la matrice jacobienne est inversible (valeurs propres ≠ 0), le théorème d’inversion locale montre que la fonction M ↦ \overrightarrow{V}(M) définit une bijection d’un voisinage de M_{0} sur un voisinage de 0 ; en particulier, pour M assez voisin et distinct de M_{0} on aura \overrightarrow{V}(M) ≠ \overrightarrow{0}, de sorte que M_{0} est un point singulier isolé. Ce n’est pas toujours le cas si la matrice est dégénérée : le champ \overrightarrow{V}(x, y) = (x, 0) admet par exemple toute une droite x = 0 de points singuliers. On exclura en général ces situations qui peuvent être extrêmement compliquées.

Définition. On dira qu’un point singulier M_{0} est non dégénéré si

det ( \begin{matrix}f′_{x}(x_{0}, y_{0}) & f′_{y}(x_{0}, y_{0}) \\ g′_{x}(x_{0}, y_{0}) & g′_{y}(x_{0}, y_{0}) \end{matrix} ) ≠ 0.

Nous nous proposons maintenant d’étudier les différentes configurations possibles pour un point singulier non dégénéré. On verra au chapitre XI, § 2.3 que les courbes intégrales ont tendance à ressembler à celles du système linéaire dM/dt = AM lorsqu’on se rapproche du point critique, tout au moins sur un intervalle de temps [t_{0}, t_{1}] fixé ; ceci n’est pas nécessairement vrai sur tout l’intervalle [t_{0}, +∞[ (voir § 2.3 pour des exemples). On se restreindra dans un premier temps au cas linéaire.

2.2. Cas d’un champ linéaire de vecteurs

Considérons le système

\frac{dM}{dt} = AM,  \{ \begin{matrix}\frac{dx}{dt} & = ax + by \\ \frac{dy}{dt} & = cx + dy \end{matrix} où A = ( \begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix} ) .

On supposera det A ≠ 0, de sorte que le champ de vecteurs \overrightarrow{V}(M) = AM admet l’origine pour seul point critique. Comme le champ des tangentes est invariant par les homothéties de centre O, les courbes intégrales se déduisent les unes des autres par homothéties. Distinguons maintenant plusieurs cas en fonction des valeurs propres de A.

(a) Les valeurs propres λ_{1}, λ_{2} de A sont réelles.

• Supposons de plus λ_{1} ≠ λ_{2}. Dans ce cas la matrice A est diagonalisable. Après changement de base on peut supposer

A = ( \begin{matrix}λ_{1} & 0 \\ 0 & λ_{2} \end{matrix} )

et le système se réduit à

\{ \begin{matrix}\frac{dx}{dt} & = λ_{1}x \\ \frac{dy}{dt} & = λ_{2}y. \end{matrix}

La solution du problème de Cauchy avec M(0) = (x_{0}, y_{0}) est donc

\{ \begin{matrix}x(t) = x_{0}e^{λ_{1}t} \\ y(t) = y_{0}e^{λ_{2}t} \end{matrix}

de sorte que les courbes intégrales sont les courbes

y = C|x|^{λ_{2}/λ_{1}}, C ∈ ℝ

et la droite d’équation x = 0. On distingue deux sous-cas.

∗ λ_{1}, λ_{2} de même signe et, disons, |λ_{1}| < |λ_{2}|. On a alors λ_{2}/λ_{1} > 1. On dit qu’on a affaire à un nœud impropre :

x y  x y^{0 < λ_{1} < λ_{2} nœud impropre instable  λ_{2} < λ_{1} < 0 nœud impropre stable}

∗ λ_{1}, λ_{2} de signes opposés, par exemple λ_{1} < 0 < λ_{2}. Il s’agit d’un col (toujours instable) :

y  x

• Les valeurs propres sont confondues : λ_{1} = λ_{2} = λ. Deux cas sont possibles :

∗ A est diagonalisable. Alors A est en fait diagonale et les courbes intégrales sont données par

\{ \begin{matrix}x(t) = x_{0}e^{λt} \\ y(t) = y_{0}e^{λt}, \end{matrix}

ce sont les droites y = αx et x = 0. On dit qu’on a affaire à un nœud propre :

y  x  y  x

λ > 0

Nœud propre instable

λ < 0

Nœud propre stable

∗ A est non diagonalisable. Alors il existe une base dans laquelle la matrice A et le système s’écrivent

A = ( \begin{matrix}λ & 0 \\ 1 & λ \end{matrix} ) ,  \{ \begin{matrix}\frac{dx}{dt} & = λx \\ \frac{dy}{dt} & = x + λy. \end{matrix}

Les courbes intégrales sont données par

\{ \begin{matrix}x(t) & = x_{0}e^{λt} \\ y(t) & = (y_{0} + x_{0}t)e^{λt}. \end{matrix}

Comme toute courbe intégrale avec x_{0} ≠ 0 passe par un point tel que |x(t)| = 1, on obtient toutes les courbes intégrales autres que x = 0 en prenant x_{0} = ±1, d’où

\{ \begin{matrix}t & = \frac{1}{λ} ln |x| \\ y & = y_{0}|x| + \frac{x}{λ} ln |x| \end{matrix}

On dit qu’il s’agit d’un nœud exceptionnel. Pour construire les courbes, on tracera par exemple d’abord la courbe y = \frac{x}{λ} ln |x| passant par (x_{0}, y_{0}) = (±1, 0). Toutes les autres s’en déduisent par homothéties.

y  x  y  x

λ > 0

Nœud exceptionnel instable

λ < 0

Nœud exceptionnel stable

(b) Les valeurs propres de A sont non réelles.

On a des valeurs propres complexes conjuguées α + iβ, α − iβ avec disons β > 0, et il existe une base dans laquelle la matrice A et le système s’écrivent

A = ( \begin{matrix}α & −β \\ β & α \end{matrix} ) ,  \{ \begin{matrix}\frac{dx}{dt} & = αx − βy \\ \frac{dy}{dt} & = βx + αy. \end{matrix}

La manière la plus rapide de résoudre un tel système est de poser z = x + iy. On trouve alors

\frac{dz}{dt} = (α + iβ)x + (−β + αi)y = (α + iβ)(x + iy) = (α + iβ)z,

de sorte que la solution générale est

z(t) = z_{0}e^{(α+iβ)t} = z_{0}e^{αt}e^{iβt}.

En coordonnées polaires z = re^{iθ}, l’équation devient

\{ \begin{matrix}r = r_{0}e^{αt} \\ θ = θ_{0} + βt \end{matrix} , soit r = r_{0}e^{\frac{α}{β} (θ−θ_{0})}.

Il s’agit d’une spirale logarithmique si α ≠ 0 et d’un cercle si α = 0 (noter que ce cercle donne en général graphiquement une ellipse car la base utilisée ci-dessus n’est pas nécessairement orthonormée). On dit alors que le point singulier est un foyer, respectivement un centre :

α > 0

Foyer instable α < 0 Foyer stable

α = 0 Centre

Si α ≠ 0, le rapport d’homothétie de deux spires consécutives de la spirale est e^{2πα/β}.

2.3. Singularités de champs de vecteurs non linéaires

L’objet de ce paragraphe est essentiellement de mettre en garde le lecteur contre un certain nombre d’idées fausses fréquemment rencontrées, en particulier l’idée que les courbes intégrales d’un champ de vecteurs quelconque au voisinage d’un point singulier ressemblent toujours à celles du système linéaire associé. En fait, ce n’est en général pas le cas lorsque le système linéarisé présente un centre, et cela peut de même ne pas être le cas lorsque celui-ci présente un nœud. Les deux exemples ci-dessous illustrent le phénomène.

Exemple 1. On considère le système différentiel

(S)  \{ \begin{matrix}\frac{dx}{dt} & = −y − x(x^{2} + y^{2}) \\ \frac{dy}{dt} & = x − y(x^{2} + y^{2}). \end{matrix}

L’origine est un point critique non dégénéré, et le système linéaire associé dx/dt = −y, dy/dt = x présente un centre d’après le § 2.2. Si l’on passe en coordonnées polaires (r, θ) le système (S) devient

\{ \begin{matrix}r \frac{dr}{dt} & = x \frac{dx}{dt} + y \frac{dy}{dt} = −(x^{2} + y^{2})^{2} \\ \frac{dθ}{dt} & = \frac{x \frac{dy}{dt} − y \frac{dx}{dt}}{x^{2} + y^{2}} = 1 \end{matrix}  ⟺  \{ \begin{matrix}\frac{dr}{r^{3}} & = −dt \\ dθ & = dt \end{matrix}

car rdr = xdx + ydy et xdy − ydx = r^{2}dθ (exercice !). Les courbes intégrales de l’équation −dr/r^{3} = dθ sont données par 1/2r^{2} = θ − θ_{0}, soit r = (2(θ − θ_{0}))^{−1/2} pour θ > θ_{0}. On a ici θ = t+C, lim_{θ→+∞} r(θ) = 0. On voit que les courbes intégrales sont des spirales convergeant vers 0 quand t → +∞, l’origine est donc un foyer stable.

1  x

Exemple 2. On considère maintenant le système différentiel

(S)  \{ \begin{matrix}\frac{dx}{dt} & = −x − \frac{2y}{ln (x^{2} + y^{2})} \\ \frac{dy}{dt} & = −y + \frac{2x}{ln (x^{2} + y^{2})} \end{matrix}

sur le disque unité ouvert x^{2} + y^{2} < 1. Observons que 2y/ ln (x^{2} + y^{2}) se prolonge en une fonction de classe C^{1} au voisinage de (0, 0) : elle admet en effet une limite égale à 0 à l’origine, ainsi que ses dérivées partielles

\frac{−4xy}{(x^{2} + y^{2})(ln (x^{2} + y^{2}))^{2}} , \frac{2}{ln (x^{2} + y^{2})} − \frac{4y^{2}}{(x^{2} + y^{2})(ln (x^{2} + y^{2}))^{2}} .

Il en est de même pour le terme 2x/ ln (x^{2} +y^{2}). L’origine est donc un point singulier, et le système linéaire associé dx/dt = −x, dy/dt = −y présente un nœud propre. Pour résoudre (S), on utilise de nouveau les coordonnées polaires (r, θ). Il vient

\{ \begin{matrix}\frac{dr}{dt} & = −\frac{x^{2} + y^{2}}{r} = −r \\ \frac{dθ}{dt} & = \frac{1}{x^{2} + y^{2}} \frac{2x^{2} + 2y^{2}}{ln (x^{2} + y^{2})} = \frac{1}{ln r} . \end{matrix}

La solution du problème de Cauchy est donnée par

r = r_{0}e^{−t} avec r_{0} < 1,
dθ = \frac{dt}{ln r_{0} − t}, θ = θ_{0} − ln (1 − t/ ln r_{0})

pour une donnée initiale (r_{0}, θ_{0}) en t = 0. La solution est définie sur [ln r_{0}, +∞[ et on a lim_{t→+∞} r(t) = 0, lim_{t→+∞} θ(t) = −∞. On a ici encore une spirale convergeant vers 0 (c’est peu visible sur le schéma ci-dessous car θ tend vers −∞ très lentement). L’origine est donc un foyer stable. Comme lim_{t→ln r_{0}+0} r(t) = 1_{−} et lim_{t→ln r_{0}+0} θ(t) = +∞, la courbe s’enroule en spiralant à l’intérieur du cercle r = 1 quand t → ln r_{0} + 0.

0  1  x

3. Problèmes

3.1. On considère sur ℝ^{2} le champ de vecteurs

\overrightarrow{V} ( \begin{matrix}x \\ y \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}x^{2} − y^{2} \\ 2xy \end{matrix} ) .

(a) Déterminer les points critiques.

(b) En posant z = x + iy, calculer la solution correspondant à la donnée initiale z_{0} au temps t = 0.

(c) En déduire que les courbes intégrales sont les deux demi-axes Ox, Ox′ et les cercles passant par l’origine, centrés sur l’axe y′Oy.

(d) Montrer que les solutions telles que z_{0} ∈ ℂ \ [0, +∞[ sont asymptotiquement stables. Qu’en est-il si z_{0} ∈ [0, +∞[ ?

3.2. On étudie dans ℝ^{2} le système différentiel

(S)  \frac{\overrightarrow{dM}}{dt} = \overrightarrow{V}(M)

où \overrightarrow{V} désigne le champ de vecteurs qui à tout point M(x, y) ∈ ℝ^{2} associe le vecteur

\overrightarrow{V}(M) = (−x^{2} − y, −x + y^{2}).

Déterminer les points critiques du champ de vecteurs \overrightarrow{V}. Calculer les solutions t ↦ M̃(t) = (x̃(t), ỹ(t)) du système différentiel obtenu en linéarisant \overrightarrow{V} au voisinage de chacun des points critiques. Faire un schéma indiquant l’allure des solutions au voisinage des points critiques. Ces points sont-ils stables ?

3.3. Mêmes questions pour le champ de vecteurs \overrightarrow{V}(x, y) = (−1 + x^{2} + y^{2}, −x).

3.4. On considère le champ de vecteurs défini par

\overrightarrow{V} ( \begin{matrix}x \\ y \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}−y + x sin (\frac{π}{x^{2}+y^{2}} ) exp ( − \frac{1}{x^{2}+y^{2}} ) \\ x + y sin (\frac{π}{x^{2}+y^{2}} ) exp ( − \frac{1}{x^{2}+y^{2}} ) \end{matrix} )

pour (x, y) ≠ (0, 0), et par \overrightarrow{V}(0, 0) = \overrightarrow{0}.

(a) Montrer que le champ \overrightarrow{V} est de classe C^{∞} sur ℝ^{2} ; on pourra commencer par montrer que la fonction

t ↦ sin (π/t) exp (−1/t), t > 0,

se prolonge en une fonction de classe C^{∞} sur [0, +∞[.

(b) Montrer que le système différentiel \overrightarrow{dM}/dt = \overrightarrow{V}(M) se ramène à une équation de la forme dr/dθ = f(r) ; on ne cherchera pas à résoudre explicitement cette équation. En déduire qu’il y a une infinité de cercles concentriques (C_{k})_{k≥1} de rayons R_{k} décroissant vers 0, qui sont des courbes intégrales du champ.

(c) Étudier la convergence des intégrales ∫_{R_{k+1}}^{R_{k}} dr/f(r) en chacune des bornes. Montrer que la courbe intégrale issue d’un point de coordonnées polaires (r_{0}, θ_{0}) telles que R_{k+1} < r_{0} < R_{k} est une spirale admettant les cercles r = R_{k} et r = R_{k+1} comme asymptotes. Étudier de même le comportement à l’infini des courbes intégrales.

Chapitre XI

Équations différentielles dépendant d’un paramètre

Étant donné une équation différentielle y′ = f(t, y, λ) dépendant d’un paramètre λ, on se propose d’étudier comment les solutions varient en fonction de λ. En particulier on montrera que, sous des hypothèses convenables, les solutions dépendent continûment ou différentiablement du paramètre λ. Outre l’aspect théorique, ces résultats sont importants en vue de la méthode dite des perturbations : il arrive fréquemment qu’on sache calculer la solution y pour une valeur particulière λ_{0}, mais pas pour les valeurs voisines λ ; on cherche alors un développement limité de la solution y associée à la valeur λ en fonction de λ − λ_{0}. On montrera que le coefficient de λ − λ_{0} est obtenu en résolvant une équation différentielle linéaire, appelée équation ^{⟨⟨} linéarisée ^{⟩⟩} de l’équation initiale ; ce fait remarquable permet généralement de bien étudier les petites perturbations de la solution.

1. Dépendance de la solution en fonction du paramètre

1.1. Notations

Soit U un ouvert de ℝ × ℝ^{m} × ℝ^{p} et

\begin{matrix}f : U & → ℝ^{m} \\ (t, y, λ) & ↦ f(t, y, λ) \end{matrix}

une fonction continue. Pour chaque valeur de λ ∈ ℝ^{p}, on considère l’équation différentielle

(E_{λ})  y′ = f(t, y, λ),  (t, y) ∈ U_{λ}

où U_{λ} ⊂ ℝ × ℝ^{m} est l’ouvert des points tels que (t, y, λ) ∈ U. Une donnée initiale (t_{0}, y_{0}) étant fixée, on note y(t, λ) la solution maximale du problème de Cauchy relatif à (E_{λ}) telle que y(t_{0}, λ) = y_{0} ; on supposera toujours dans la suite que les hypothèses assurant l’unicité des solutions sont vérifiées. Notre objectif est d’étudier la continuité ou la différentiabilité de y_{0}(t, λ) en fonction du couple (t, λ).

Fixons un point (t_{0}, y_{0}, λ_{0}) ∈ U. Comme U est ouvert, ce point admet un voisinage (compact) contenu dans U

V_{0} = [t_{0} − T_{0}, t_{0} + T_{0}] × \overline{B}(y_{0}, r_{0}) × \overline{B}(λ_{0}, α_{0}).

On note M = sup_{V_{0}} ∥f∥. Alors pour tout T ≤ min (T_{0}, \frac{r_{0}}{M} ) fixé et pour tout

λ ∈ \overline{B}(λ_{0}, α_{0}), le cylindre

C = [t_{0} − T, t_{0} + T] × \overline{B}(y_{0}, r_{0}) ⊂ U_{λ}

est un cylindre de sécurité pour les solutions de (E_{λ}), d’après les résultats du chapitre V, § 2.1. Le théorème d’existence V 2.4 implique :

Proposition. Avec les notations précédentes, la solution y(t, λ) est définie pour tout (t, λ) ∈ [t_{0} − T, t_{0} + T] × \overline{B}(λ_{0}, α_{0}) et elle est à valeurs dans \overline{B}(y_{0}, r_{0}).

1.2. Continuité

On suppose maintenant de plus que f est localement lipschitzienne en y, c’est-à-dire qu’après avoir éventuellement rétréci V_{0}, il existe une constante k ≥ 0 telle que

\begin{matrix}∀(t, λ) ∈ [t_{0} − T_{0}, t_{0} + T_{0}] × \overline{B}(λ_{0}, α_{0}), ∀y_{1}, y_{2} ∈ \overline{B}(y_{0}, r_{0}), \\ ∥f(t, y_{1}, λ) − f(t, y_{2}, λ)∥ ≤ k∥y_{1} − y_{2}∥. \end{matrix}

Théorème. Si f est continue sur U et localement lipschitzienne en y, alors la solution y(t, λ) est continue sur [t_{0} − T, t_{0} + T] × \overline{B}(λ_{0}, α_{0}).

Démonstration. Remarquons d’abord que

∥\frac{d}{dt} y(t, λ)∥ = ∥f(t, y(t, λ), λ)∥ ≤ M

car ∥f∥ ≤ M sur V_{0}. Le théorème des accroissements finis montre alors que y(t, λ) est M-lipschitzienne par rapport à t, c’est-à-dire que

∥y(t_{1}, λ) − y(t_{2}, λ)∥ ≤ M|t_{1} − t_{2}|

pour tous (t_{1}, λ), (t_{2}, λ) ∈ [t_{0} − T, t_{0} + T] × \overline{B}(λ_{0}, α_{0}). Par ailleurs, comme V_{0} est compact, f y est uniformément continue et il existe donc un module de continuité η : ℝ_{+} → ℝ_{+} tel que

∥f(t, y, λ_{1}) − f(t, y, λ_{2})∥ ≤ η(∥λ_{1} − λ_{2}∥)

avec lim_{u→0_{+}} η(u) = 0. Alors z_{1}(t) = y(t, λ_{1}) est la solution exacte du problème de

Cauchy pour l’équation

(E_{λ_{1}})  y′ = f(t, y, λ_{1}),

tandis que z_{2}(t) = y(t, λ_{2}) en est une solution ε-approchée avec ε = η(∥λ_{1} − λ_{2}∥). Le lemme de Gronwall V 3.1 montre que

\begin{aligned}∥z_{1}(t) − z_{2}(t)∥ & ≤ ε \frac{e^{k|t−t_{0}|} − 1}{k}, d’où \\ ∥y(t, λ_{1}) − y(t, λ_{2})∥ & ≤ \frac{e^{kT} − 1}{k} η(∥λ_{1} − λ_{2}∥). \end{aligned}

De ces inégalités, nous déduisons

\begin{aligned}∥y(t_{1}, λ_{1}) − y(t_{2}, λ_{2})∥ & ≤ ∥y(t_{1}, λ_{1}) − y(t_{2}, λ_{1})∥ + ∥y(t_{2}, λ_{1}) − y(t_{2}, λ_{2})∥ \\ & ≤ M|t_{1} − t_{2}| + \frac{e^{kT} − 1}{k} η(∥λ_{1} − λ_{2}∥) \end{aligned}

et comme le second membre tend vers 0 lorsque (t_{2}, λ_{2}) → (t_{1}, λ_{1}), on voit que y(t, λ) est bien continue sur [t_{0} − T, t_{0} + T] × \overline{B}(λ_{0}, α_{0}).

Remarque. La démonstration montre aussi que si f(t, y, λ) est localement lipschitzienne en λ, alors y(t, λ) est localement lipschitzienne en (t, λ) : dans ce cas, on peut prendre η(u) = Cu.

1.3. Différentiabilité

Afin de simplifier les notations, on suppose dans un premier temps que λ ∈ ℝ, c’està-dire que p = 1. Pour deviner les résultats, nous effectuons d’abord un calcul formel en supposant les fonctions f et y(t, λ) autant de fois différentiables que nécessaire. Comme y satisfait (E_{λ}) par hypothèse, on a

\frac{∂y}{∂t} (t, λ) = f(t, y(t, λ), λ).

Différentions cette relation par rapport à λ :

\frac{∂^{2}y}{∂λ∂t} (t, λ) = ∑_{j=1}^{m} f′_{y_{j}}(t, y(t, λ), λ) \frac{∂y_{j}}{∂λ} (t, λ) + f′_{λ}(t, y(t, λ), λ).

En posant u(t) = y(t, λ) et v(t) = \frac{∂y}{∂λ} (t, λ) il vient

(E′_{λ})  v′(t) = ∑_{j=1}^{m} f′_{y_{j}}(t, u(t), λ)v_{j}(t) + f′_{λ}(t, u(t), λ).

On observe que l’équation (E′_{λ}) satisfaite par v est linéaire. L’équation (E′_{λ}) s’appelle l’équation différentielle linéarisée associée à (E_{λ}). Par ailleurs v satisfait la condition initiale

v(t_{0}) = \frac{∂y}{∂λ} (t_{0}, λ) = 0,

car par hypothèse y(t_{0}, λ) = y_{0} ne dépend pas de λ.

Théorème. On suppose que f est continue sur U et admet des dérivées partielles f′_{y_{j}} et f′_{λ} continues sur U. Alors y(t, λ) est de classe C^{1} sur [t_{0} − T, t_{0} + T] × B(λ_{0}, α_{0}) et admet des dérivées partielles secondes croisées continues

\frac{∂}{∂λ} \frac{∂y}{∂t} = \frac{∂}{∂t} \frac{∂y}{∂λ}.

De plus, si u(t) = y(t, λ), la dérivée partielle v(t) = \frac{∂y}{∂λ} (t, λ) est la solution de l’équation différentielle linéarisée

(E′_{λ})  v′(t) = ∑_{j=1}^{m} f′_{y_{j}}(t, u(t), λ)v_{j}(t) + f′_{λ}(t, u(t), λ)

avec condition initiale v(t_{0}) = 0.

Démonstration.* Les hypothèses entraînent que f est localement lipschitzienne en la variable y, donc on sait déjà que y(t, λ) est continue. Pour λ_{1} fixé posons u_{1}(t) = y(t, λ_{1}) et soit v_{1}(t) la solution de l’équation linéaire

(E′_{λ_{1}})  v′_{1}(t) = ∑_{j=1}^{m} f′_{y_{j}}(t, u_{1}(t), λ_{1})v_{1,j}(t) + f′_{λ}(t, u_{1}(t), λ_{1}).

avec condition initiale v_{1}(t_{0}) = 0. Bien entendu, on ne sait pas encore que v_{1}(t) = \frac{∂y}{∂λ} (t, λ_{1}), c’est justement ce qu’on veut démontrer. Pour cela on compare u(t) = y(t, λ) et u_{1}(t) + (λ − λ_{1})v_{1}(t) et on cherche à montrer que la différence est o(λ − λ_{1}). Posons donc

w(t) = u(t) − u_{1}(t) − (λ − λ_{1})v_{1}(t).

Par définition de u, u_{1}, v_{1} il vient

w′(t) = f(t, u(t), λ) − f(t, u_{1}(t), λ_{1})

− (λ − λ_{1})( ∑_{j=1}^{m} f′_{y_{j}}(t, u_{1}(t), λ_{1})v_{1,j}(t) + f′_{λ}(t, u_{1}(t), λ_{1})) (∗)

Pour chaque composante f_{k}, la formule des accroissements finis montre que

f_{k}(t, y, λ) − f_{k}(t, y_{1}, λ_{1}) = ∑_{j=1}^{m} f′_{k,y_{j}}(t, ỹ, λ̃)(y_{j} − y_{1,j}) + f′_{k,λ}(t, ỹ, λ̃)(λ − λ_{1})

où (ỹ, λ̃) est un point appartenant au segment d’extrémités (y_{1}, λ_{1}) et (y, λ). Si η_{k} est un module de continuité uniforme pour les dérivées partielles f′_{k,y_{j}} et f′_{k,λ} sur le compact V_{0}, l’écart de chaque fonction entre les points (ỹ, λ̃) et (y_{1}, λ_{1}) est majoré par

η_{k}(∥ỹ − y_{1}∥ + |λ̃ − λ_{1}|) ≤ η_{k}(∥y − y_{1}∥ + |λ − λ_{1}|).

On peut donc écrire

f(t, y, λ)−f(t, y_{1}, λ_{1}) =∑_{j=1}^{m} f′_{y_{j}}(t, y_{1}, λ_{1})(y_{j} −y_{1,j})+f′_{λ}(t, y_{1}, λ_{1})(λ−λ_{1})+g(t, y, y_{1}, λ)

où g(t, y, y_{1}, λ) admet une majoration uniforme

∥g(t, y, y_{1}, λ)∥ ≤ (∥y − y_{1}∥ + |λ − λ_{1}|) η(∥y − y_{1}∥ + |λ − λ_{1}|)

pour un certain module de continuité η. En substituant y = u(t), y_{1} = u_{1}(t) dans la dernière formule, on déduit de (∗) les relations

w′(t) = ∑_{j=1}^{m} f′_{y_{j}}(t, u_{1}(t), λ_{1})(u_{j}(t) − u_{1,j}(t) − (λ − λ_{1})v_{1,j}(t)) + g(t, u(t), u_{1}(t), λ),

(∗∗) w′(t) = ∑_{j=1}^{m} f′_{y_{j}}(t, u_{1}(t), λ_{1})w_{j}(t) + g(t, u(t), u_{1}(t), λ),

avec la majoration uniforme

∥g(t, u(t), u_{1}(t), λ)∥ ≤ (C + 1)|λ − λ_{1}| η((C + 1)|λ − λ_{1}|) = o(λ − λ_{1}) ;

en effet

∥u(t) − u_{1}(t)∥ = ∥y(t, λ) − y(t, λ_{1})∥ ≤ C|λ − λ_{1}|

d’après la remarque finale du § 1.2. L’équation (∗∗) est linéaire en w, et donc Klipschitzienne avec

K = sup_{V_{0}} ∑_{1≤j≤m} ∥f′_{y_{j}}∥.

Comme u(t_{0}) = u_{1}(t_{0}) = y_{0} et v_{1}(t_{0}) = 0, on a w(t_{0}) = 0, et par ailleurs w̃(t) ≡ 0 est une solution ε-approchée de (∗∗) avec ε = o(λ − λ_{1}). Le lemme de Gronwall V 3.1 montre que

∥w(t)∥ = ∥w(t) − w̃(t)∥ ≤ ε \frac{e^{KT} − 1}{K} = o(λ − λ_{1}),

c’est-à-dire, par définition de w, u, u_{1} :

∥y(t, λ) − y(t, λ_{1}) − (λ − λ_{1})v_{1}(t)∥ = o(λ − λ_{1}).

Ceci signifie que \frac{∂y}{∂λ} (t, λ_{1}) existe et coïncide avec v_{1}(t). La fonction y admet donc bien des dérivées partielles premières

\frac{∂y}{∂t} (t, λ) = f(t, y(t, λ), λ) et \frac{∂y}{∂λ} (t, λ).

La dérivée partielle \frac{∂y}{∂t} est continue en (t, λ) puisque y l’est. Par ailleurs v(t, λ) = \frac{∂y}{∂λ} (t, λ) est la solution avec données initiales t_{0}, v_{0} = 0 de l’équation linéarisée

(E′_{λ})  v′ = G(t, v, λ) = ∑_{j=1}^{m} f′_{y_{j}}(t, y(t, λ), λ)v_{j} + f′_{λ}(t, y(t, λ), λ).

Ici G est continue en (t, v, λ) et localement lipschitzienne en v, puisque linéaire en cette variable. Par suite v = \frac{∂y}{∂λ} est également continue en (t, λ), ce qui implique que y est de classe C^{1}. Enfin, on a bien

\frac{∂}{∂t} \frac{∂y}{∂λ} = \frac{∂}{∂t} v(t, λ)

= ∑_{j=1}^{m} f′_{y_{j}}(t, y(t, λ), λ) \frac{∂y_{j}}{∂λ} (t, λ) + f′_{λ}(t, y(t, λ), λ)

= \frac{∂}{∂λ} (f(t, y(t, λ), λ)) = \frac{∂}{∂λ} \frac{∂y}{∂t} (t, λ)

et ces dérivées partielles secondes sont continues grâce à la deuxième ligne.

Généralisation. Le théorème s’étend aisément au cas où λ ∈ ℝ^{p}. Il suffit en effet de fixer toutes les variables λ_{i} sauf une pour constater que \frac{∂}{∂λ_{i}} \frac{∂y}{∂t} = \frac{∂}{∂t} \frac{∂y}{∂λ_{i}} et que v(t) = \frac{∂y}{∂λ_{i}} (t, λ) est la solution de l’équation linéarisée

(E_{λ_{i}})  v′(t) = ∑_{j=1}^{m} f′_{y_{j}}(t, u(t), λ)v_{j}(t) + f′_{λ_{i}}(t, u(t), λ)

avec condition initiale v(t_{0}) = 0.

Le fait que y(t, λ) soit encore de classe C^{1} provient de ce que le théorème de continuité du § 1.2 est vrai globalement par rapport à l’ensemble des variables (λ_{1}, …, λ_{p}) : celui-ci entraîne la continuité en (t, λ) des dérivées partielles ∂y/∂λ_{i}. Nous étudions maintenant la différentiabilité d’ordre supérieur : nous allons voir qu’elle se déduit aussitôt par récurrence du cas de l’ordre un.

Théorème. On suppose que f est de classe C^{s} et admet des dérivées partielles f′_{y_{j}} et f′_{λ_{i}} de classe C^{s}. Alors la solution y(t, λ) du problème de Cauchy relatif à (E_{λ}) est de classe C^{s+1}.

Démonstration. Par récurrence sur s. Pour s = 0, il s’agit du théorème précédent. Supposons le résultat déjà démontré à l’ordre s − 1. Alors y(t, λ) est de classe C^{s}. Il en est de même de sa dérivée

\frac{∂y}{∂t} (t, λ) = f(t, y(t, λ), λ).

De plus v(t, λ) = \frac{∂y}{∂λ_{i}} (t, λ) est la solution de l’équation linéarisée (E′_{λ_{i}}), soit v′ = G(t, v, λ). Comme f′_{y_{j}} et f′_{λ_{i}} sont de classe C^{s}, on voit que G est de classe C^{s} ; les dérivées G′_{v_{j}} et G′_{λ_{i}} sont donc de classe C^{s−1} et l’hypothèse de récurrence implique que v est de classe C^{s}. Ceci montre que y est de classe C^{s+1}.

1.4. Dépendance de la solution en fonction de la donnée initiale

On désignera ici par t ↦ y(t, y_{0}, λ) la solution de l’équation différentielle

(E_{λ})  y′ = f(t, y, λ)

de donnée initiale (t_{0}, y_{0}). L’objectif est d’étudier la continuité ou la différentiabilité de y(t, y_{0}, λ) en fonction des 3 variables t, y_{0}, λ. Ceci résoudra du même coup le cas particulier des solutions y(t, y_{0}) d’une équation différentielle (E) sans paramètre.

Pour résoudre cette question, on considère la variable y_{0} elle-même comme un paramètre et on pose donc μ = y_{0}. La fonction z(t, μ, λ) = y(t, μ, λ) − μ satisfait alors la condition initiale z(t_{0}, μ, λ) = 0 et l’équation

\begin{aligned}\frac{∂z}{∂t} (t, μ, λ) = \frac{∂y}{∂t} (t, μ, λ) & = f(t, y(t, μ, λ), λ) \\ & = f(t, z(t, μ, λ) + μ, λ). \end{aligned}

La fonction z(t, μ, λ) est donc la solution de l’équation différentielle

(E_{μ,λ})  z′ = f(t, z + μ, λ)

avec donnée initiale (t_{0}, 0). Les propriétés cherchées résultent alors des théorèmes déjà démontrés, appliqués à l’équation (E_{μ,λ}) pour le paramètre (μ, λ) ∈ ℝ^{m+p}. On peut donc énoncer :

Théorème. Si f est de classe C^{s} et admet des dérivées partielles f′_{y_{j}} et f′_{λ_{i}} de classe C^{s}, alors y(t, y_{0}, λ) est de classe C^{s+1}.

1.5. Flot d’un champ de vecteurs

Considérons un ouvert Ω ⊂ ℝ^{m} et un champ de vecteurs M ↦ \overrightarrow{V}(M) de classe C^{k} défini sur Ω, k ⩾ 1. On appelle équation différentielle associée au champ de vecteurs \overrightarrow{V} l’équation différentielle

(E)  \frac{\overrightarrow{dM}}{dt} = \overrightarrow{V}(M).

Si nous représentons le point M par ses coordonnées notées y = (y_{1}, …, y_{m}), et le champ \overrightarrow{V} par une fonction \overrightarrow{V}(M) = f(y), l’équation devient

(E)  y′ = f(y),

il s’agit donc tout simplement d’une équation différentielle dont le second membre est indépendant du temps. L’ouvert de définition est dans ce cas l’ouvert produit U = ℝ × Ω. Résoudre (E) revient à chercher les courbes intégrales (ou orbites) du champ de vecteurs.

ΩM_{0}  \overrightarrow{V}(M) \overrightarrow{V}(M_{0})

Dans cette situation, il y a invariance des solutions par translation dans le temps : si t ↦ y(t) est solution, il en est encore de même pour t ↦ y(t + a). Pour un point M_{0} = x ∈ ℝ^{m} donné, considérons la solution maximale du problème de Cauchy y(t) de donnée initiale y(0) = x. D’après le théorème de Cauchy-Lipschitz, la solution maximale est définie un intervalle ouvert contenant le temps 0. On appelle ^{⟨⟨} flot du champ de vecteurs \overrightarrow{V} ^{⟩⟩} l’application

Φ : ℝ × Ω → Ω, (t, x) ↦ Φ(t, x) = y(t),

c’est-à-dire que t ↦ Φ(t, x) est la solution de l’équation

\frac{d}{dt}Φ(t, x) = \overrightarrow{V}(Φ(t, x)) avec Φ(0, x) = x.

La solution maximale n’est en général définie à x fixé que pour un certain intervalle ouvert de temps, de sorte que Φ(t, x) n’est défini que sur un certain voisinage ouvert Δ de {0} × Ω dans ℝ × Ω. Le fait que le domaine de définition maximal Δ soit ouvert dans ℝ × Ω résulte du § 1.1, et d’après le § 1.4, on sait que Φ est une application de classe C^{k} sur Δ.

Pour que les solutions soient globales et que Δ = U = ℝ × Ω, un comportement adéquat du champ de vecteurs \overrightarrow{V}(M) au voisinage du bord de Ω ; par exemple, si Ω = ℝ^{m}, il suffit, d’après le critère de globalité des solutions du chapitre V § 3.4, que l’on ait une croissance au plus linéaire à l’infini ∥f(y)∥ ⩽ A∥y∥ + B. Pour des raisons qui vont apparaître tout de suite, on note en général Φ_{t}(x) le flot plutôt que Φ(t, x). Une propriété immédiate est alors la loi de groupe

(∗)  Φ_{t} ∘ Φ_{s}(x) = Φ_{t+s}(x).

Ceci signifie précisément que si l’on suit une trajectoire à partir d’un point x pendant le temps s pour atteindre un point Φ_{s}(x), puis, à partir de ce point la même trajectoire pendant le temps t pour atteindre Φ_{t}(Φ_{s}(x)), cela revient au même que de suivre la trajectoire pendant le temps s+t. Formellement, on a besoin du théorème d’unicité de Cauchy-Lipschitz pour pouvoir conclure. On voit que t ↦ Φ_{t} est un homomorphisme du groupe additif (ℝ, +) dans le groupe Diff^{k}(Ω) des C^{k} difféomorphismes de Ω : on a en effet

Φ_{t} ∘ Φ_{−t} = Φ_{−t} ∘ Φ_{t} = Φ_{0} = Id_{Ω},

par suite Φ_{t} est un C^{k}-difféomorphisme d’inverse Φ_{−t}.

Dans le cas où les solutions ne sont plus globales, l’existence globale de Φ_{t} ∈ Diff^{k}(Ω) n’est pas assurée, mais Φ_{t}(x) continue à exister en temps petit, et la loi de groupe (∗) est encore valable là où les applications sont définies, donc au moins dans un voisinage de {0} × Ω. L’exercice 3.4 donne quelques critères supplémentaires pour que le flot soit globalement défini.

Le théorème de régularité du flot est l’un des points de départ de résultats plus globaux comme le théorème de Poincaré-Bendixson, dont nous nous donnons l’énoncé ci-dessous. Pour plus de détails, nous invitons le lecteur à approfondir la très vivante branche des mathématiques connue aujourd’hui sous le nom de théorie des systèmes dynamiques.

Théorème de Poincaré-Bendixson. Soit M = x ↦ \overrightarrow{V}(x) un champ de vecteurs de classe C^{1} dans un ouvert Ω du plan, qui ne s’annule qu’en des points isolés, et Φ_{t} son flot. On suppose qu’il existe un compact non vide K ⊂ Ω qui est l’ensemble limite ℓ(x_{0}) d’une orbite, à savoir l’intersection pour t > 0 des adhérences des ensembles {Φ_{τ} (x_{0}) ; τ ⩾ t} pour un certain point x_{0} ∈ Ω. Alors l’une des 3 situations suivantes mutuellement exclusives se produit.

(a) Si K ne contient aucun zéro du champ de vecteurs, c’est une orbite périodique.

(b) K se réduit à un zéro \{a_{0}\} du champ \overrightarrow{V} (point fixe du flot).

(c) K est un cycle (i.e., est homéomorphe à un cercle) contenant un ou plusieurs points fixes a_{i}, et les composantes connexes du complémentaire K ∖{a_{i}} sont des orbites.

2. Méthode des petites perturbations

2.1. Description de la méthode

On considère une équation différentielle

(E_{λ})  y′ = f(t, y, λ)

dépendant d’un paramètre λ ; on prendra pour simplifier λ ∈ ℝ. On suppose que f est continue ainsi que ses dérivées partielles f′_{y_{j}} et f′_{λ}. Soit y(t, λ) la solution maximale du problème de Cauchy satisfaisant la condition initiale y(t_{0}, λ) = y_{0}(λ) ; y_{0} peut donc dépendre ici de λ ; on supposera que y_{0}(λ) est de classe C^{1}.

On suppose connue une solution particulière u(t) = y(t, λ_{0}) correspondant à une certaine valeur λ_{0} du paramètre. L’objectif est d’étudier les petites perturbations de la solution, c’est-à-dire les solutions y(t, λ) associées à des valeurs λ voisines de λ_{0}. Ceci correspond à une situation physique très courante, dans laquelle on connaît la solution théorique idéale d’un problème et pour laquelle on cherche la solution réelle tenant compte de petites perturbations plus ou moins complexes. En général, on ne sait pas calculer la solution exacte y(t, λ) pour λ ≠ λ_{0}. Les résultats des § 1.3, 1.4 montrent que y(t, λ) est de classe C^{1} et on cherche donc une approximation au premier ordre

\begin{aligned}y(t, λ) & = y(t, λ_{0}) + (λ − λ_{0}) \frac{∂y}{∂λ} (t, λ_{0}) + o(λ − λ_{0}) \\ & = u(t) + (λ − λ_{0})v(t) + o(λ − λ_{0}) \end{aligned}

où v(t) = \frac{∂y}{∂λ} (t, λ_{0}) est à déterminer. On sait que v est la solution de l’équation linéarisée

(E′_{λ_{0}})  v′(t) = ∑_{j=1}^{m} f′_{y_{j}}(t, u(t), λ_{0})v_{j}(t) + f′_{λ}(t, u(t), λ_{0}),

la condition initiale s’écrivant ici

v(t_{0}) = \frac{∂y}{∂λ} (t_{0}, λ_{0}) = y′_{0}(λ_{0}).

Comme (E′_{λ_{0}}) est linéaire, la résolution est en principe plus facile que celle de (E_{λ}). Nous allons maintenant donner des exemples concrets de la méthode.

2.2. Perturbation d’un champ de vecteurs

Considérons dans le plan le champ de vecteurs

M = (x, y) ↦ \overrightarrow{V}(M) = (−y, x).

Les lignes intégrales du champ t ↦ (x(t), y(t)) sont les solutions du système différentiel

\frac{\overrightarrow{dM}}{dt} = \overrightarrow{V}(M) \{ \begin{matrix}\frac{dx}{dt} & = −y \\ \frac{dy}{dt} & = x. \end{matrix}

On résout ce système comme au chapitre X, § 2.2(b) en posant z = x+iy. Le système se ramène alors à l’équation dz/dt = iz, de sorte que la solution du problème de Cauchy avec donnée initiale z_{0} = x_{0} + iy_{0} est z = z_{0}e^{it}. Les lignes de champ sont les cercles centrés en 0.

On suppose maintenant que le champ de vecteurs subit une petite perturbation de la forme

M = (x, y) ↦ \overrightarrow{V_{λ}}(M) = (−y, x) + λ(a(x, y), b(x, y))

où a, b sont de classe C^{1} et où λ ∈ ℝ est petit. On aboutit donc au système différentiel

(∗)  (E_{λ})  \{ \begin{matrix}\frac{dx}{dt} & = −y + λ a(x, y) \\ \frac{dy}{dt} & = x + λ b(x, y) \end{matrix} ⟺ \frac{dz}{dt} = iz + λA(z)

avec A(z) = a(x, y) + ib(x, y). Notons z(t, λ) la solution telle que z(0, λ) = z_{0}. On sait que z(t, 0) = z_{0}e^{it} et on aimerait avoir une approximation de z(t, λ) quand λ est petit. Écrivons

z(t, λ) = z(t, 0) + λ \frac{∂z}{∂λ} (t, 0) + o(λ).

Grâce à une différentiation de (∗) par rapport à λ, il vient

\begin{aligned}\frac{∂}{∂t} \frac{∂z}{∂λ} & = \frac{∂}{∂λ} \frac{∂z}{∂t} = \frac{∂}{∂λ} (iz + λA(z)) \\ & = i \frac{∂z}{∂λ} + A(z) + λ \frac{∂}{∂λ} (A(z(t, λ))). \end{aligned}

Par conséquent v(t) = \frac{∂z}{∂λ} (t, 0) satisfait l’équation

(E′_{0})  \frac{dv}{dt} = iv + A(z(t, 0)) = iv + A(z_{0}e^{it})

avec condition initiale v(0) = \frac{∂z}{∂λ} (0, 0) = 0. Cette équation se résout par variation des constantes en posant v(t) = C(t)e^{it}. Il vient

C′(t)e^{it} + iC(t)e^{it} = iC(t)e^{it} + A(z_{0}e^{it}),

soit C′(t) = e^{−it}A(z_{0}e^{it}). Comme C(0) = v(0) = 0, on obtient

\begin{aligned}C(t) & = ∫_{0}^{t} e^{−iu}A(z_{0}e^{iu})du, \\ v(t) & = C(t)e^{it} = ∫_{0}^{t} e^{i(t−u)}A(z_{0}e^{iu})du, \\ z(t, λ) & = z_{0}e^{it} + λ ∫_{0}^{t} e^{i(t−u)}A(z_{0}e^{iu})du + o(λ). \end{aligned}

Ceci se calcule facilement dès que a(x, y) et b(x, y) sont des polynômes par exemple. Néanmoins, même dans ce cas, il est généralement impossible d’expliciter la solution exacte de l’équation non linéarisée.

2.3. Courbes intégrales d’un champ de vecteurs au voisinage d’un point singulier

Soit M ↦ \overrightarrow{V}(M) un champ de vecteurs de classe C^{s}, s ≥ 1, sur un ouvert Ω du plan. On se place au voisinage d’un point singulier qu’on suppose choisi comme origine des coordonnées pour simplifier. On a donc \overrightarrow{V}(0) = \overrightarrow{0}, et comme au chapitre X § 2.1, le système différentiel va s’écrire

(E)  \frac{\overrightarrow{dM}}{dt} = \overrightarrow{V}(M),  \{ \begin{matrix}\frac{dx}{dt} & = ax + by + g(x, y) \\ \frac{dy}{dt} & = cx + dy + h(x, y) \end{matrix}

où ( \begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix} ) est la matrice des dérivées partielles (\overrightarrow{V′_{x}}(0, 0), \overrightarrow{V′_{y}}(0, 0)) et où g, h

s’annulent ainsi que leurs dérivées partielles premières au point (0, 0). Les fonctions g, h sont par hypothèse définies sur une certaine boule \overline{B}(0, r_{0}).

On cherche à comparer l’allure des courbes intégrales situées près de l’origine lorsqu’on effectue des ^{⟨⟨} grossissements successifs ^{⟩⟩}(observation à l’œil nu, à la loupe puis au microscope …). Autrement dit, on veut comparer la courbe issue d’un point M_{0} et la courbe issue du point λM_{0} (avec λ petit), lorsque ces courbes sont ramenées à la même échelle. Pour grossir la deuxième courbe dans le rapport 1/λ, on effectue le changement de coordonnées X = x/λ, Y = y/λ. Dans ces nouvelles coordonnées, l’équation du système devient

(E_{λ})  \{ \begin{matrix}\frac{dX}{dt} & = aX + bY + \frac{1}{λ} g(λX, λY) \\ \frac{dY}{dt} & = cX + dY + \frac{1}{λ} h(λX, λY). \end{matrix}

La solution de (E_{λ}) de valeur initiale (X_{0}, Y_{0}) en t = 0, correspond à la solution de (E) de valeur initiale (x_{0}, y_{0}) = (λX_{0}, λY_{0}). Vu les hypothèses, les fonctions

\begin{aligned}G(X, Y, λ) & = \frac{1}{λ} g(λX, λY) \\ H(X, Y, λ) & = \frac{1}{λ} h(λX, λY) \end{aligned}

sont définies et de classe C^{s} sur \overline{B}(0, r_{0})×]0, 1] et se prolongent par continuité en λ = 0 en posant G(X, Y, 0) = H(X, Y, 0) = 0. Ce prolongement est en fait de classe C^{s−1} sur \overline{B}(0, r_{0}) × [0, 1] car

G(X, Y, λ) = ∫_{0}^{1}(Xg′_{x}(uλX, uλY) + Y g′_{y}(uλX, uλY))du = [\frac{1}{λ} g(uλX, uλY)]_{u=0}^{u=1} .

Si s = 1, les fonctions G, H sont bien lipschitziennes en X, Y (avec la même constante de Lipschitz que g et h). La solution (X(t, λ), Y (t, λ)) du problème de Cauchy est donc continue, et pour s ≥ 1 elle est de classe C^{s−1} par rapport à (t, λ), borne λ = 0 incluse. En particulier :

Proposition. Lorsque λ tend vers 0, la solution de (E_{λ}) de valeur initiale (X_{0}, Y_{0}) converge vers la solution du système linéaire

(E)  \{ \begin{matrix}\frac{dX}{dt} & = aX + bY \\ \frac{dY}{dt} & = cX + dY. \end{matrix}

Bien entendu, les méthodes précédentes permettent aussi d’avoir un développement limité à l’ordre 1 de la solution de (E_{λ}) au voisinage de λ = 0, comme on l’a vu au § 2.2.

2.4. Oscillations du pendule simple

On étudie les oscillations d’un pendule ponctuel de masse m suspendu à un fil de longueur l. L’équation du mouvement a été établie au paragraphe VI 4.2(c) :

θ′′ = −\frac{g}{l} sin θ,

où θ désigne l’angle fait par le fil avec la verticale. On suppose ici qu’on lache le pendule au temps t = 0 à partir de l’élongation maximale θ = θ_{m} avec vitesse initiale nulle. Lorsque θ_{m} est petit, on fait habituellement l’approximation sin θ ≃ θ, d’où

θ′′ = −ω^{2}θ avec ω^{2} = \frac{g}{l} .

La solution cherchée est alors classiquement

θ(t) = θ_{m} cos ωt.

Néanmoins, ceci n’est pas rigoureusement exact, et on aimerait connaître l’erreur commise. Pour cela, on pose θ(t) = θ_{m}y(t), de sorte que y est la solution de l’équation

y′′ = −ω^{2} \frac{sin θ_{m}y}{θ_{m}}

avec condition initiales y(0) = 1, y′(0) = 0. Le développement en série de sin θ_{m}y donne

\frac{sin θ_{m}y}{θ_{m}} = y − \frac{1}{6} θ_{m}^{2}y^{3} + \frac{1}{120} θ_{m}^{4}y^{5} − … + (−1)^{n} \frac{1}{(2n + 1)!} θ_{m}^{2n}y^{2n+1} + … = φ(y, λ)

où λ = θ_{m}^{2} et où

φ(y, λ) = y − \frac{1}{6} λy^{3} + … + (−1)^{n} \frac{1}{(2n + 1)!} λ^{n}y^{2n+1} + …

est une fonction de classe C^{∞}. La solution y(t, λ) de l’équation

(E_{λ})  y′′ = −ω^{2}φ(y, λ)

est donc de classe C^{∞} (on notera que tous les résultats du paragraphe 1 sont encore vrais pour des équations d’ordre ≥ 2, puisque ces équations sont équivalentes à des systèmes d’ordre 1). On a φ(y, 0) = y et y(t, 0) = cos ωt. Pour obtenir un développement limité de y(t, λ) lorsque λ est petit, on dérive (E_{λ}) par rapport à λ, ce qui donne

(E′_{λ})  \frac{∂^{2}}{∂t^{2}} (\frac{∂y}{∂λ}) = \frac{∂}{∂λ} \frac{∂^{2}y}{∂t^{2}} = \frac{∂}{∂λ} (−ω^{2}φ(y, λ))

= −ω^{2}(φ′_{y}(y, λ) \frac{∂y}{∂λ} + φ′_{λ}(y, λ)).

On a φ′_{y}(y, 0) = 1 et φ′_{λ}(y, 0) = −\frac{1}{6} y^{3}, de sorte que la fonction v(t) = \frac{∂y}{∂λ} (t, 0) satisfait l’équation

\begin{aligned}v′′(t) & = −ω^{2}(v(t) − \frac{1}{6} y(t, 0)^{3}) \\ & = −ω^{2}v(t) + \frac{1}{6} ω^{2} cos^{3} ωt. \end{aligned}

Comme y(0, λ) = 1 et ∂y/∂t(0, λ) = 0 pour tout λ, les conditions initiales sont v(0) = v′(0) = 0. La solution générale du système sans second membre est

v(t) = α cos ωt + β sin ωt.

On applique alors la méthode de variation des constantes avec

v(t) = α(t) cos ωt + β(t) sin ωt.

D’après le chapitre VII § 3.3, ceci conduit au système

α′(t) cos ωt + β′(t) sin ωt = 0

α′(t)(−ω sin ωt) + β′(t) ω cos ωt = \frac{1}{6} ω^{2} cos^{3} ωt

d’où

α′(t) = −\frac{ω}{6} cos^{3} ωt sin ωt
β′(t) = \frac{ω}{6} cos^{4} ωt = \frac{ω}{48} (3 + 4 cos 2ωt + cos 4ωt),
α(t) = α_{0} + \frac{1}{24} cos^{4} ωt
β(t) = β_{0} + \frac{1}{48} (3ωt + 2 sin 2ωt + \frac{1}{4} sin 4ωt).

Les conditions initiales v(0) = α(0) = 0 et v′(0) = α′(0) + ωβ(0) = 0 donnent α(0) = β(0) = 0, donc α_{0} = −\frac{1}{24}, β_{0} = 0 et

v(t) = \frac{1}{24} (cos^{4} ωt − 1) cos ωt + \frac{1}{48} (3ωt + 2 sin 2ωt + \frac{1}{4} sin 4ωt) sin ωt

= \frac{1}{16} (ωt + \frac{1}{6} sin 2ωt) sin ωt,

y(t, λ) = cos ωt + \frac{λ}{16} (ωt + \frac{1}{6} sin 2ωt) sin ωt + O(λ^{2}).

Cherchons maintenant à partir de là l’influence de l’élongation maximale θ_{m} sur la période des oscillations [on a vu au chapitre VI, 4.2(c) que les solutions de faible amplitude étaient périodiques ; ceci n’est pas contradictoire avec le fait que le développement limité de y(t, λ) ci-dessus soit non périodique, à cause du terme O(λ^{2}) dépendant de t et lui-même non périodique]. Soit T (λ) la période, de sorte que \frac{1}{4} T (λ) correspond au plus petit t > 0 tel que y(t, λ) = 0, c’est-à-dire y(\frac{1}{4} T (λ), λ) = 0. Le théorème des fonctions implicites montre que cette équation définit une fonction T (λ) de classe C^{∞} pour λ petit, car

T (0) = \frac{2π}{ω} , \frac{∂y}{∂t} (\frac{1}{4} T (0), 0) = −ω sin ωt|_{t= \frac{1}{4} T (0)} = −ω ≠ 0.

Par différentiation de l’équation en λ = 0, on trouve de plus

\frac{1}{4} T′(0) \frac{∂y}{∂t} (\frac{1}{4} T (0), 0) + \frac{∂y}{∂λ} (\frac{1}{4} T (0), 0) = 0

avec

\frac{∂y}{∂λ} (\frac{1}{4} T (0), 0) = v(\frac{π}{2ω} ) = \frac{π}{32},

d’où

\frac{1}{4} T′(0)(−ω) + \frac{π}{32} = 0,  T′(0) = \frac{π}{8ω} ,
T (λ) = T (0) + λT′(0) + O(λ^{2})

= \frac{2π}{ω} (1 + \frac{1}{16} λ + O(λ^{2})).

On retrouve ainsi l’approximation bien connue

T (θ_{m}^{2}) = 2π\sqrt{\frac{l}{g}} (1 + \frac{1}{16} θ_{m}^{2} + O(θ_{m}^{4})) .

Cette approximation pourrait également se retrouver de manière directe à partir de la relation exacte

T = \sqrt{\frac{8l}{g}} ∫_{0}^{θ_{m}} \frac{dφ}{\sqrt{cos φ − cos θ_{m}}} ,

qui résulte des formules obtenues au chapitre VI 4.2(c).

Exercice A. Déterminer un développement limité à l’ordre 4 de T en fonction de θ_{m}, en travaillant directement sur l’expression intégrale précédente.

3. Problèmes

3.1. On considère une équation différentielle d’ordre p

(E_{λ})  y^{(p)} = f(t, y, y′, …, y^{(p−1)}, λ)

dépendant d’un paramètre λ, où f est définie et continue sur un ouvert U de ℝ × (ℝ^{m})^{p} × ℝ^{q}.

(a) On suppose que f(t, Y, λ) est de classe C^{k} sur U et qu’elle admet des dérivées partielles de classe C^{k} par rapport à chacune des composantes de Y et λ. On note

y(t, y_{0}, y_{1}, …, y_{p−1}, λ)

la solution de (E_{λ}) satisfaisant les conditions initiales

y(t_{0}) = y_{0}, y′(t_{0}) = y_{1}, …, y^{(p−1)}(t_{0}) = y_{0}.

Montrer que cette solution y est de classe C^{k+1} par rapport à l’ensemble des variables t, y_{j}, λ, de même que ses dérivées partielles ∂y/∂t, …, ∂^{p−1}y/∂t^{p−1}.

Indication. Se ramener au cas d’un système d’ordre 1.

(b) On suppose ici que λ ∈ ℝ. Soit u(t, λ) la solution satisfaisant la condition initiale

\frac{∂^{k}u}{∂t^{k}} (t_{0}, λ) = y_{k}(λ), 0 ≤ k ≤ p − 1

où y_{0}(λ), …, y_{p−1}(λ) sont de classe C^{1} au moins en λ. Montrer que v(t, λ) = ∂u/∂λ(t, λ) est la solution d’une équation différentielle linéaire d’ordre p dont on précisera les conditions initiales.

(c) Application : Écrire l’équation du (b) pour y′′ = e^{λt}y^{2} + λy′, avec les conditions initiales y(0) = e^{−λ}, y′(0) = cosh 2λ.

3.2. On s’intéresse ici au comportement des courbes intégrales passant par un point voisin de l’origine, pour le système (S) de l’exercice X 3.2. Pour tout λ > 0, on note

t ↦ M(t, λ) = (x(t, λ), y(t, λ))

la solution maximale de (S) qui passe par le point de coordonnées (λ, 0) au temps t = 0.

(a) Déterminer la solution t ↦ (x̃(t), ỹ(t)) du système linéarisé au voisinage de l’origine, qui passe par le point (1, 0) au temps t = 0.

(b) A l’aide d’une homothétie convenable et des méthodes du chap. XI, montrer que M(t, λ) admet un développement limité de la forme

M(t, λ) = (λx̃(t) + λ^{2}u(t) + O(λ^{3}), λỹ(t) + λ^{2}v(t) + O(λ^{3}))

où u, v sont des fonctions que l’on explicitera.

3.3. L’objet de ce problème est d’étudier les lignes de champ créées dans un plan par un dipôle électrique (par exemple une molécule polarisée telle que le chlorure d’hydrogène).

Le plan est rapporté au repère orthonormé direct (O; i⃗, j⃗), où O est la position du dipôle (supposé ponctuel), et (O; i⃗) l’axe du dipôle. Si M est un point quelconque distinct de O, on note (r, θ) les coordonnées polaires de M relativement au repère (O; i⃗, j⃗). On associe à M le vecteur radial u⃗ = cos θ · i⃗ + sin θ · j⃗ et le vecteur orthoradial v⃗ = − sin θ · i⃗ + cos θ · j⃗. On admettra que le potentiel électrique V (M) créé par le dipôle en tout point M ≠ O est donné par

V (M) = \frac{cos θ}{r^{2}} .

(a) On rappelle les formules

\begin{matrix}\overrightarrow{dM} = dr · u⃗ + rdθ · v⃗, \\ \overrightarrow{grad} V = \frac{∂V}{∂r} · u⃗ + \frac{1}{r} \frac{∂V}{∂θ} · v⃗. \end{matrix}

Évaluer le champ électrique \overrightarrow{E} = −\overrightarrow{grad} V créé par le dipôle.

Déterminer l’équation r = φ(θ) de la ligne de champ (courbe intégrale du champ de vecteurs \overrightarrow{E}) passant par le point de coordonnées polaires (r_{0}, θ_{0}) avec r_{0} > 0 et θ_{0} = \frac{π}{2} .

(b) Le dipôle est supposé placé dans un champ électrique ambiant constant \overrightarrow{E}_{0} = λj⃗, d’intensité très faible par rapport à son champ propre \overrightarrow{E}.

(α) Écrire l’équation différentielle \frac{dr}{dθ} = f(r, θ, λ) des lignes de champ relatives au champ \overrightarrow{E} + \overrightarrow{E}_{0}. Calculer le développement limité à l’ordre 1 de f(r, θ, λ) en fonction de λ.

(β) On note r = ψ(θ, λ) l’équation polaire de la ligne de champ passant par le point (r_{0}, \frac{π}{2} ) [on ne cherchera pas à évaluer ψ].

Montrer que w(θ) = \frac{∂ψ}{∂λ} (θ, 0) satisfait à une équation différentielle linéaire.

En déduire le développement limité à l’ordre 1 de ψ(θ, λ) en fonction de λ.

3.4. Soit Ω un ouvert de ℝ^{m} et M ↦ \overrightarrow{V}(M) un champ de vecteurs de classe C^{1} sur Ω. On considère le flot associé à l’équation différentielle

(E)  \frac{\overrightarrow{dM}}{dt} = \overrightarrow{V}(M).

Montrer que toute solution maximale de (E) est globale dans les trois cas suivants :

(a) Ω = ℝ^{m} et \overrightarrow{V} satisfait à l’infini la condition \overrightarrow{V}(M) · \overrightarrow{OM} ⩽ ∥\overrightarrow{OM}∥ φ(∥\overrightarrow{OM}∥) où φ : [0, +∞[ → ℝ est une fonction continue, croissante et positive telle que ∫_{1}^{+∞} dt/φ(t) = +∞. Indication. Majorer v(∥\overrightarrow{OM}∥) où v(t) = ∫_{1}^{t} du/φ(u) à l’aide d’un raisonnement de type lemme de Gronwall.

(b) Ω est un ouvert borné et on a la condition ∥\overrightarrow{V}(M)∥ ⩽ φ(d(M, ∂Ω)) avec φ : ]0, +∞[ → ℝ continue, croissante et positive telle que ∫_{0}^{1} dt/φ(t) = +∞ (et donc telle que lim_{t→0_{+}} φ(t) = 0). Indication. Majorer v(d(M, ∂Ω)) où v(t) = ∫_{t}^{1} du/φ(u).

(c) Ω est un ouvert borné à bord régulier de classe C^{1}, et M ↦ \overrightarrow{V}(M) se prolonge en champ de vecteurs de classe C^{1} sur \overline{Ω} tel que \overrightarrow{V}(M) soit tangent à ∂Ω en tout point du bord.

Références

Arnold V. (1974) – Équations différentielles ordinaires, Éditions de Moscou. Artigue M., Gautheron V. (1983) – Systèmes différentiels, Étude graphique,

Cedic/Fernand Nathan, Paris. Cartan H. (1977) – Cours de calcul différentiel, nouvelle édition refondue et corrigée,

Hermann, Paris. Coddington E.A., Levinson N. (1955) – Theory of ordinary differential equations,

McGraw-Hill, New York. Crouzeix M., Mignot A.L. (1984) – Analyse numérique des équations différen-

tielles, Masson, Paris. Crouzeix M., Mignot A.L. (1986) – Exercices d’analyse numérique des équations

différentielles, Masson, Paris. Dieudonné J. (1968) – Calcul infinitésimal, Hermann, Paris. Fröberg C.E. (1965) – Introduction to numerical analysis, Addison-Wesley,

Reading. Gastinel N. (1966) – Analyse numérique linéaire, Hermann, Paris. Hartmann P. (1964) – Ordinary differential equations, John Wiley, New York. Hildebrand F.B. (1956) – Introduction to numerical analysis, McGraw-Hill, New

York. Hirsch W., Smale S. (1974) – Differential equations, dynamical systems and linear

algebra, Academic Press, New York. Reinhard H. (1989) – Équations différentielles. Fondements et applications, Dunod,

Paris, deuxième édition. Roseau M. (1976) – Équations différentielles, Masson, Paris. Rouche N., Mawhin J. (1973) – Équations différentielles ordinaires, tomes 1, 2,

Masson, Paris. Sibony M., Mardon J.L. (1982) – Analyse numérique, tomes 1, 2, Hermann, Paris. Stiefel E. (1965) – An introduction to numerical Mathematics, Academic Press,

New York.

Formulaire et principaux résultats

Chapitre I : Calculs numériques approchés

Soit ε la précision relative de l’expression approchée des nombres réels sur le calculateur utilisée. Les erreurs d’arrondi sur les opérations arithmétiques vérifient

\begin{matrix}Δ(x + y) ≤ Δx + Δy + ε(|x| + |y|), \\ Δ(xy) ≤ |x|Δy + |y|Δx + ε|xy|. \end{matrix}

Si la sommation s_{n} = x_{1} + x_{2} + … + x_{n} est calculée par ordre croissant d’indice et si Δx_{i} = 0, alors

\begin{matrix}Δ(s_{n}) ≤ ε(|x_{n}| + 2|x_{n−1}| + … + (n − 1)|x_{2}| + (n − 1)|x_{1}|), \\ Δ(x_{1}^{α_{1}}x_{2}^{α_{2}} … x_{n}^{α_{n}}) ≤ ε(|α_{1}| + … + |α_{n}| − 1)|x_{1}^{α_{1}}x_{2}^{α_{2}} … x_{n}^{α_{n}}|. \end{matrix}

Chapitre II : Approximation polynomiale des fonctions numériques

Polynôme d’interpolation de Lagrange de f : [a, b] → ℝ en des points x_{0}, x_{1}, …, x_{n} ∈ [a, b] :

p_{n}(x) = ∑_{i=0}^{n} f(x_{i})l_{i}(x), l_{i}(x) = ∏_{j≠i} \frac{x − x_{j}}{x_{i} − x_{j}} .

346 Analyse numérique et équations différentielles Formule d’erreur :

f(x) − p_{n}(x) = \frac{1}{(n + 1)!} π_{n+1}(x)f^{(n+1)}(ξ_{x})

avec π_{n+1}(x) = ∏_{i=0}^{n}(x − x_{i}), ξ_{x} ∈ ] min(x, x_{i}), max(x, x_{i})[.

Différences divisées :

\begin{matrix}f[x_{0}, x_{1}, …, x_{k}] = \frac{f[x_{1}, …, x_{k}] − f[x_{0}, …, x_{k−1}]}{x_{k} − x_{0}}, \\ p_{n}(x) = f(x_{0}) + ∑_{k=1}^{n} f[x_{0}, x_{1}, …, x_{k}](x − x_{0}) … (x − x_{k−1}). \end{matrix}

Formule de Newton (pas constant h = \frac{b−a}{n}) :

\begin{matrix}x_{i} = a + ih, f_{i} = f(x_{i}), Δ^{k}f_{i} = Δ^{k−1}f_{i+1} − Δ^{k−1}f_{i}, \\ p_{n}(x) = ∑_{k=0}^{n} Δ^{k}f_{0} \frac{s(s − 1) … (s − k + 1)}{k!} où x = a + sh. \end{matrix}

Polynômes de Tchebychev :

t_{n}(x) = cos (n Arccos x), x ∈ [−1, 1],

\{ \begin{matrix}t_{0}(x) = 1, t_{1}(x) = x \\ t_{n+1}(x) = 2x t_{n}(x) − t_{n−1}(x), n ≥ 1. \end{matrix}

Points d’interpolation de Tchebychev ( = racines de t_{n+1}) :

x_{i} = cos \frac{2i + 1}{2n + 2} π, 0 ≤ i ≤ n.

Estimation de |π_{n+1}(z)|, z ∈ ℂ avec x_{i} = a + ih, h = \frac{b − a}{n} : On pose δ_{n}(z) = min |z − x_{i}| et A(z) = exp (\frac{1}{b − a} ∫_{a}^{b} ln |z − x|dx). Alors il existe des constantes C_{1}, C_{2} > 0 indépendantes de n telles que

C_{1}δ_{n}(z)A(z)^{n} ≤ |π_{n+1}(z)| ≤ C_{2}nδ_{n}(z)A(z)^{n}.

Meilleure approximation uniforme : si f ∈ C([a, b]), le polynôme q_{n} de degré n minimisant la distance uniforme ∥f − q_{n}∥ existe et est unique. Il est caractérisé par la propriété que f − q_{n} équioscille sur au moins n + 2 points de [a, b].

Théorème de Jackson : soit f ∈ C([a, b]). Si ω_{f} est le module de continuité de f et si p_{n} est le polynôme d’approximation de Jackson de f de degré n, on a

∥f − p_{n}∥ ≤ 3 ω_{f} (\frac{b − a}{n}).

Constante de Lebesgue : Λ_{n} = sup_{x∈[a,b]} ∑_{i=0}^{n} |l_{i}(x)|.

Si L_{n}(f) = p_{n} = ∑_{i=0}^{n} f(x_{i})l_{i}, on a

∥f − L_{n}(f)∥ ≤ (1 + Λ_{n})∥f − q_{n}∥.

Si les x_{i} sont équidistants, on a Λ_{n} ∼ \frac{2^{n+1}}{en ln (n)}.

Si les x_{i} sont les points de Tchebychev, on a Λ_{n} ∼ \frac{2}{π} ln (n).

Polynômes orthogonaux. Formule de récurrence :

p_{n}(x) = (x − λ_{n})p_{n−1}(x) − μ_{n}p_{n−2}(x), n ≥ 2

avec λ_{n} = ⟨xp_{n−1}, p_{n−1}⟩/∥p_{n−1}∥_{2}^{2}, μ_{n} = ∥p_{n−1}∥_{2}^{2}/∥p_{n−2}∥_{2}^{2}, 1 ≤ j ≤ l.

Polynômes de meilleure approximation quadratique :

r_{n}(x) = ∑_{k=0}^{n} \frac{⟨f, p_{k}⟩}{∥p_{k}∥_{2}^{2}} p_{k}(x).

Chapitre III : Intégration numérique

Méthodes de Newton-Cotes d’indice l :

∫_{α}^{β} f(x)dx ≃ ∑_{i=0}^{k−1}(α_{i+1} − α_{i}) ∑_{j=0}^{l} ω_{j}f(ξ_{i,j})

avec ξ_{i,j} = α_{i} + j · \frac{α_{i+1}−α_{i}}{l}, 1 ≤ j ≤ l.

∗ l = 1 : méthodes des trapèzes ω_{0} = ω_{1} = \frac{1}{2} (ordre 1).
erreur : −\frac{1}{12} h^{2}f′′(ξ)(β − α) si le pas est constant.
∗ l = 2 : méthode de Simpson ω_{0} = ω_{2} = \frac{1}{6}, ω_{1} = \frac{4}{6} (ordre 3).
erreur : −\frac{1}{2880} h^{4}f^{(4)}(ξ)(β − α).
∗ l = 4 : méthode de Boole-Villarceau
ω_{0} = ω_{4} = \frac{7}{90}, ω_{1} = ω_{3} = \frac{16}{45}, ω_{2} = \frac{2}{15} (ordre 5).
erreur : −\frac{1}{1 935 360} h^{6}f^{(6)}(ξ)(β − α).

Formule de Taylor avec reste intégral :

f(x) = ∑_{k=0}^{N} \frac{1}{k!} f^{(k)}(α)(x − α)^{k} + ∫_{α}^{β} \frac{1}{N!} (x − t)_{+}^{N}f^{(N+1)}(t)dt.

Noyau de Peano d’une méthode d’ordre N :

Si E(f) = ∫_{α}^{β} f(x)w(x)dx − ∑_{j=0}^{l} λ_{j}f(x_{j}) est l’erreur d’intégration, alors

\begin{matrix}K_{N}(t) = E(x ↦ (x − t)_{+}^{N}), t ∈ [α, β], \\ E(f) = \frac{1}{N!} ∫_{α}^{β} K_{N}(t)f^{(N+1)}(t)dt. \end{matrix}

Si K_{N} est de signe constant, alors

E(f) = \frac{1}{N!} f^{(N+1)}(ξ) ∫_{α}^{β} K_{N}(t)dt, ξ ∈ ]α, β[.

Noyau de Peano d’une méthode composée. Si la méthode élémentaire est d’ordre N et admet k_{N} pour noyau de Peano sur [−1, 1], le noyau de Peano composé est donné par

K_{N}(t) = (\frac{h_{j}}{2} )^{N+1}k_{N} (\frac{2}{h_{j}} (t − \frac{α_{j} + α_{j+1}}{2} )) , t ∈ [α_{j}, α_{j+1}].

Formulaire et principaux résultats 349 Méthodes de Gauss :

∫_{α}^{β} f(x)w(x)dx ≃ ∑_{j=0}^{l} λ_{j}f(x_{j})

avec x_{0}, …, x_{l} ∈ ]α, β[ racines du polynôme orthogonal p_{l+1}

λ_{i} = ∫_{α}^{β} L_{i}(x)w(x)dx, L_{i}(x) = ∏_{j≠i} \frac{x − x_{j}}{x_{i} − x_{j}} .

La méthode est d’ordre N = 2l + 1, et l’erreur est donnée par

E(f) = \frac{f^{(2l+2)}(ξ)}{(2l + 2)} ∫_{α}^{β} π_{l+1}(x)^{2}w(x)dx.

Polynômes de Bernoulli : ils sont définis par récurrence par B_{1}(x) = x − \frac{1}{2} si x ∈ [0, 1[, B′_{p} = pB_{p−1}(x) sur [0, 1[ pour p ≥ 2, ∫_{0}^{1} B_{p}(x)dx = 0, B_{p} périodique de période 1 sur ℝ.

B_{p}(x) = −p! ∑_{n∈ℤ^{∗}} \frac{e^{2πinx}}{(2πin)^{p}} .

Nombres de Bernoulli :

\begin{matrix}b_{0} = 1, b_{1} = −\frac{1}{2}, b_{p} = B_{p}(0) si p ≥ 2. \\ \{ & \begin{matrix}b_{2k} = \frac{2(−1)^{k−1}(2k)!}{(2π)^{2k}} ∑_{n=1}^{+∞} \frac{1}{n^{2k}} & si k ≥ 1, \\ b_{2k+1} = 0 & si k ≥ 1. \end{matrix} \end{matrix}

|B_{2k}(x)| ≤ |b_{2k}|,

B_{p}(x) = ∑_{m=0}^{p} \binom{p}{m}b_{m}x^{p−m}, B_{p}(1 − x) = (−1)^{p}B_{p}(x),

\binom{2k + 1}{2k}b_{2k} + \binom{2k + 1}{2k − 2}b_{2k−2} + … + \binom{2k + 1}{2}b_{2} + \binom{2k + 1}{1}b_{1} + 1 = 0,

b_{2} = \frac{1}{6}, b_{4} = −\frac{1}{30}, b_{6} = \frac{1}{42}, b_{8} = −\frac{1}{30}, b_{10} = \frac{5}{66}.

350 Analyse numérique et équations différentielles Formule d’Euler-Maclaurin : Pour f ∈ C^{2k}([α, β]), avec α, β ∈ ℤ, on a

\frac{1}{2} f(α) + f(α + 1) + … + f(β − 1) + \frac{1}{2} f(β) = ∫_{α}^{β} f(x)dx

∑_{m=1}^{k} \frac{b_{2m}}{(2m)!} (f^{(2m−1)}(β) − f^{(2m−1)}(α)) − ∫_{α}^{β} \frac{B_{2k}(x)}{(2k)!} f^{(2k)}(x)dx.

Formule du développement asymptotique. Soit f ∈ C^{∞}([α, +∞[), α ∈ ℤ. Si lim_{x→+∞} f^{(m)}(x) = 0 et si f^{(m)}(x) est de signe constant sur [x_{0}, +∞[ pour m ≥ m_{0} alors ∀n ≥ x_{0} et ∀k > \frac{m_{0}}{2} on a

f(α) + f(α + 1) + … + f(n) = C + \frac{1}{2} f(n) + ∫_{α}^{n} f(x)dx

+ ∑_{m=1}^{k−1} \frac{b_{2m}}{(2m)!} f^{(2m−1)}(n) + θ \frac{b_{2k}}{2k!} f^{(2k−1)}(n), 0 ≤ θ ≤ 1.

Extrapolation de Richardson Pour calculer la limite de A(t) = a_{0} + a_{1}t + … + a_{k}t^{k} + O(t^{k+1}) en t = 0, on pose

A_{m,0} = A(r^{−m}t_{0}),
A_{m,n} = \frac{r^{n}A_{m,n−1} − A_{m−1,n−1}}{r^{n} − 1} .

Méthode de Romberg : pour évaluer ∫_{α}^{β} f(x)dx, on calcule

A_{m,0} = h(\frac{1}{2} f(α) + f(α + h) + … + f(β − h) + \frac{1}{2} f(β))

où h = \frac{β−α}{2^{m}}, puis

A_{m,n} = \frac{4^{n}A_{m,n−1} − A_{m−1,n−1}}{4^{n} − 1} .

Chapitre IV : Méthodes itératives pour la résolution d’équations

Méthode de Newton : pour résoudre f(x) = 0, on itère

φ(x) = x − \frac{f(x)}{f′(x)}.

Si f(a) = 0 et M = max_{x∈[a−r,a+r]} |\frac{f′′(x)}{f′(x)}|, alors pour h = min (1, \frac{1}{M} ) on a

(∀x ∈ [a − h, a + h]) |φ(x) − a| ≤ M|x − a|^{2}.

Variante (méthode de la sécante) : à partir de valeurs initiales x_{0}, x_{1}, on pose

\{ \begin{matrix}τ_{p} = \frac{f(x_{p}) − f(x_{p−1})}{x_{p} − x_{p−1}} \\ x_{p+1} = x_{p} − \frac{f(x_{p})}{τ_{p}} \end{matrix} (∀p ≥ 1).

Méthode de Newton-Raphson. Pour résoudre f(x) = 0 où f : ℝ^{m} → ℝ^{m}, on itère la fonction

φ(x) = x − f′(x)^{−1} · f(x).

Chapitre V : Équations différentielles.

Résultats fondamentaux

Étant donné un ouvert U ⊂ ℝ × ℝ^{m} et une fonction continue f : U → ℝ^{m}, il passe par tout point (t_{0}, y_{0}) ∈ U au moins une solution locale de l’équation différentielle

(E)  y′ = f(t, y).

De plus toute solution peut être prolongée en une solution maximale ; l’intervalle de définition d’une solution maximale est ouvert.

Méthode d’Euler. Partant d’un point initial (t_{0}, y_{0}), on pose

\{ \begin{matrix}y_{n+1} = y_{n} + h_{n}f(t_{n}, y_{n}) \\ t_{n+1} = t_{n} + h_{n} \end{matrix}

et on construit une solution approchée y(t) linéaire par morceaux en joignant les points (t_{n}, y_{n}). Si C = [t_{0} − T, t_{0} + T] × \overline{B}(y_{0}, r_{0}) est un cylindre de sécurité tel que

T ≤ min (T_{0}, \frac{r_{0}}{M} ), où M = sup_{[t_{0}−T_{0},t_{0}+T_{0}]×\overline{B}(y_{0},r_{0})} ∥f∥,

la solution approchée (t, y(t)) reste contenue dans C. L’erreur vérifie

∥y′(t) − f(t, y(t))∥ ≤ ω_{f}((M + 1)h_{max})

où ω_{f} est un module de continuité pour f.

Théorème de Cauchy-Lipschitz. Si f est localement lipschitzienne en y, il passe par tout point (t_{0}, y_{0}) une solution maximale unique et toute suite de solutions ε_{p}-approchées avec lim ε_{p} = 0 converge vers la solution exacte : le lemme de Gronwall montre que l’écart entre 2 telles solutions approchées y_{1}, y_{2} vérifie

∥y_{1}(t) − y_{2}(t)∥ ≤ (ε_{1} + ε_{2}) \frac{e^{k|t−t_{0}|} − 1}{k}

où k est la constante de Lipschitz.

Équations différentielles d’ordre p : y^{(p)} = f(t, y, y′, …, y^{(p−1)}).

Si f est continue (resp. continue et localement lipschitzienne en toutes les variables autres que t), il existe au moins une solution (resp. une unique solution) satisfaisant la condition initiale

y(t_{0}) = y_{0}, y′(t_{0}) = y_{1}, …, y^{(p−1)}(t_{0}) = y_{p−1}.

Chapitre VI : Méthodes de résolution explicite des équations différentielles

Équations à variables séparées : y′ = f(x)g(y).

Écrire \frac{dy}{g(y)} = f(x)dx.

Équations linéaires du premier ordre : y′ = a(x)y + b(x).

Solution générale : y(x) = λe^{A(x)} + y_{(1)}(x) où A est une primitive de a et où y_{(1)}(x) s’obtient par la méthode de variation des constantes, y_{(1)}(x) = λ(x)e^{A(x)}.

Équations de Bernoulli : y′ + p(x)y + q(x)y^{α} = 0 où α ∈ ℝ \ {1}.

Diviser par y^{α} et poser z(x) = y(x)^{1−α}. Alors z satisfait une équation linéaire.

Équations de Riccati : y′ = a(x)y^{2} + b(x)y + c(x).

Si une solution particulière y_{(1)} est connue, poser y = y_{(1)} + z. Alors \frac{1}{z} satisfait une équation linéaire.

Équations homogènes : y′ = f(\frac{y}{x}).

Poser y(x) = xz(x), ou passer en coordonnée polaires.

Équations non résolues en y′ : regarder si on peut trouver une paramétrisation simple de l’équation.

Équations de Lagrange : y = a(y′)x + b(y′).

Choisir p = y′ comme nouvelle variable et x(p) comme nouvelle fonction inconnue. Calculer dy et écrire dy = p dx.

Équations du second ordre : y′′ = f(y, y′) : choisir y comme nouvelle variable et v = y′ comme nouvelle fonction inconnue de y. On a alors y′′ = v dv/dy.

Équations linéaires homogènes du second ordre : a(x)y′′ + b(x)y′ + c(x)y = 0.

Si une solution particulière y_{(1)} est connue, utiliser la méthode de variation des constantes : y(x) = λ(x)y_{(1)}(x). Alors μ = λ′ est solution d’une équation du premier ordre.

Chapitre VII : Systèmes différentiels linéaires

Systèmes différentiels linéaires à coefficients constants dans ℝ^{m}

Solution du problème de Cauchy Y (t_{0}) = V_{0} pour

\begin{matrix}Y′ = AY : & Y (t) = e^{(t−t_{0})A} · V_{0} \\ Y′ = AY + B(t) : & Y (t) = e^{(t−t_{0})A} · V_{0} + ∫_{t_{0}}^{t} e^{(t−u)A}B(u)du \end{matrix}

On a det (e^{A}) = exp (tr A).

Équations d’ordre p : a_{p}y^{(p)} + … + a_{1}y′ + a_{0}y = 0, a_{j} ∈ ℂ.

Si le polynôme caractéristique a_{p}λ^{p} + … + a_{1}λ + a_{0} admet pour racines complexes λ_{1}, …, λ_{s} de multiplicités m_{1}, …, m_{s}, alors l’espace des solutions admet pour base

t ↦ t^{q}e^{λ_{j}t}, 1 ≤ j ≤ s, 0 ≤ q < m_{j}.

Systèmes différentiels linéaires quelconques Y′ = A(t)Y + B(t).

Si R(t, t_{0}) désigne la résolvante, alors la solution du problème de Cauchy Y (t_{0}) = V_{0} est donnée par

Y (t) = R(t, t_{0}) · V_{0} + ∫_{t_{0}}^{t} R(t, u)B(u)du,

et on a det (R(t, t_{0})) = exp ( ∫_{t_{0}}^{t} tr A(u)du).

Chapitre VIII : Méthodes numériques à un pas

Ces méthodes peuvent s’écrire de manière générale

y_{n+1} = y_{n} + h_{n}Φ(t_{n}, y_{n}, h_{n}), 0 ≤ n < N.

Si z est une solution exacte, l’erreur de consistance relative à z est par définition e_{n} = z(t_{n+1}) − y_{n+1} pour y_{n} = z(t_{n}). La méthode est dite d’ordre ≥ p s’il existe une constante C indépendante de n et h_{max} telle que |e_{n}| ≤ Ch_{n}h_{max}^{p}. Pour qu’il en soit ainsi, il faut et il suffit que

\frac{∂^{l}Φ}{∂h^{l}} (t, y, 0) = \frac{1}{l + 1} f^{[l]}(t, y), 0 ≤ l ≤ p − 1.

La méthode est dite stable de constante de stabilité S si pour toute suite perturbée ỹ_{n} telle que

ỹ_{n+1} = ỹ_{n} + h_{n}Φ(t_{n}, ỹ_{n}, h_{n}) + ε_{n}, 0 ≤ n < N,

alors max_{0≤n≤N} |ỹ_{n} − y_{n}| ≤ S (|ỹ_{0} − y_{0}| + ∑_{0≤n<N} |ε_{n}|).

Sous cette hypothèse, l’erreur globale admet la majoration

\begin{aligned}max_{0≤n≤N} |y_{n} − z(t_{n})| & ≤ S (|y_{0} − z(t_{0})| + ∑_{0≤n<N} |e_{n}|) , \\ & ≤ S (|y_{0} − z(t_{0})| + CT h_{max}^{p}) . \end{aligned}

Lemme de Gronwall. Si θ_{n+1} ≤ (1 + Λh_{n})θ_{n} + |ε_{n}| avec h_{n}, θ_{n} ≥ 0 et ε_{n} ∈ ℝ, alors

\begin{aligned}θ_{n} & ≤ e^{Λ(t_{n}−t_{0})}θ_{0} + ∑_{0≤i≤n−1} e^{Λ(t_{n}−t_{i+1})}|ε_{i}| \\ & ≤ e^{Λ(t_{n}−t_{0})}(θ_{0} + ∑_{0≤i≤n−1} |ε_{i}|). \end{aligned}

Si Φ(t, y, h) est Λ-lipschitzienne en y, la méthode est stable avec constante de stabilité S = exp (ΛT), T = t_{N} − t_{0}.

Méthode du point milieu :  du point milieu modifiée :

\{ \begin{matrix}y_{n+ \frac{1}{2}} = y_{n} + \frac{h_{n}}{2} f(t_{n}, y_{n}) \\ p_{n} = f(t_{n} + \frac{h_{n}}{2} , y_{n+ \frac{1}{2}} ) \\ y_{n+1} = y_{n} + h_{n}p_{n} \\ t_{n+1} = t_{n} + h_{n} \end{matrix}  \{ \begin{matrix}y_{n+ \frac{1}{2}} = y_{n} + \frac{h_{n}}{2} p_{n−1} \\ p_{n} = f(t_{n} + \frac{h_{n}}{2} , y_{n+ \frac{1}{2}} ) \\ y_{n+1} = y_{n} + h_{n}p_{n} \\ t_{n+1} = t_{n} + h_{n} \end{matrix}

Ces méthodes sont d’ordre 2 (celle du point milieu est à 1 pas, mais la méthode modifiée est une méthode à 2 pas).

Méthodes de Runge-Kutta :

\begin{aligned}c_{1} & | & 0 & 0 & … & 0 & 0 \\ c_{2} & | & a_{21} & 0 & … & 0 & 0 \\ ⋮ & | \\ ⋮ & | \\ c_{q} & | & a_{q1} & a_{q2} & … & a_{qq−1} & 0 \\ & | & b_{1} & b_{2} & … & b_{q−1} & b_{q} \end{aligned}  \begin{cases}[ \begin{matrix}t_{n,i} = t_{n} + c_{i}h_{n} \\ y_{n,i} = y_{n} + h_{n} ∑_{1≤j<i} a_{ij}p_{n,j} \\ p_{n,i} = f(t_{n,i}, y_{n,i}) \end{matrix} ]1 ≤ i ≤ q \\ t_{n+1} = t_{n} + h_{n} \\ y_{n+1} = y_{n} + h_{n} ∑_{1≤j≤q} b_{j}p_{n,j} \end{cases}

On a toujours ∑_{1≤j<i} a_{ij} = c_{i}, ∑_{1≤j≤q} b_{j} = 1.

∗ Constante de stabilité : S = exp(ΛT) où k = constante de Lipschitz de f et

Λ = k ∑_{1≤j≤q} |b_{j}| (1 + (αkh_{max}) + … + (αkh_{max})^{j−1}) , α = max_{i} ∑_{j} |a_{ij}|.

356 Analyse numérique et équations différentielles ∗ L’ordre est ≥ p si et seulement si les coefficients satisfont les relations

p ≥ 2 : ∑ b_{j}c_{j} = \frac{1}{2}

p ≥ 3 : ∑ b_{j}c_{j} = \frac{1}{2} ; ∑ b_{j}c_{j}^{2} = \frac{1}{3} ; ∑_{i,j} b_{i}a_{ij}c_{j} = \frac{1}{6}

p ≥ 4 : ∑ b_{j}c_{j}^{3} = \frac{1}{4} ; ∑_{i,j} b_{i}a_{ij}c_{j}^{2} = \frac{1}{12} ; ∑_{i,j} b_{i}c_{i}a_{ij}c_{j} = \frac{1}{8} ; ∑_{i,j,k} b_{i}a_{ij}a_{jk}c_{k} = \frac{1}{12}

en plus des conditions des ordres 2 et 3.

∗ Exemples :

Ordre 2 :

0 |  0  0
α |  α  0
| 1 − \frac{1}{2α} \frac{1}{2α}

α = \frac{1}{2} : point milieu

α = 1 : méthode de Heun

\begin{aligned}& & Ordre 4 : \\ 0 & | & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \frac{1}{2} & | & \frac{1}{2} & 0 & 0 & 0 \\ \frac{1}{2} & | & 0 & \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 1 & | & 0 & 0 & 1 & 0 \\ | & \frac{1}{6} & \frac{2}{6} & \frac{2}{6} & \frac{1}{6} \end{aligned}

Chapitre IX : Méthodes à pas multiples

Pour une méthode à r + 1 pas de la forme

y_{n+1} = Ψ(t_{n}, y_{n}, h_{n}; …; t_{n−r}, y_{n−r}, h_{n−r}), r ≤ n < N,

l’erreur de consistance relative à une solution exacte z est

e_{n} = z(t_{n+1}) − y_{n+1}, avec y_{n−i} = z(t_{n−i}), 0 ≤ i ≤ r.

La méthode est stable avec constante S si pour toute suite (ỹ_{n}) telle que

ỹ_{n+1} = Ψ(t_{n}, ỹ_{n}, h_{n}; …; t_{n−r}, ỹ_{n−r}, h_{n−r}) + ε_{n}

alors θ_{N} ≤ S (θ_{r} + ∑_{r≤n<N} |ε_{n}|) où θ_{n} = max_{0≤i≤n} |ỹ_{i} − y_{i}|.

∗ La méthode à pas constant h_{n} = h :

y_{n+1} = ∑_{0≤i≤r} α_{i}y_{n−i} + h ∑_{0≤i≤r} β_{i}f_{n−i}, f_{n} = f(t_{n}, y_{n})

est d’ordre ≥ p si et seulement si

∑_{0≤i≤r} i^{l}α_{i} − li^{l−1}β_{i} = (−1)^{l}, 0 ≤ l ≤ p.

Elle est stable si et seulement si l’équation λ^{r+1} − α_{0}λ^{r} − … − α_{r} = 0 a toutes ses racines de module ≤ 1, celles de module 1 étant simples. Dans ce cas, si (1 − α_{0}X − … − α_{r}X^{r+1})^{−1} = ∑ γ_{n}X^{n} et si Γ = sup |γ_{n}| < +∞, la constante de stabilité vaut

S = Γ exp (ΓkT ∑ |β_{i}|).

Méthode de Nyström (ordre 2) : y_{n+1} = y_{n−1} + 2hf_{n}.

Méthode de Milne (ordre 4) : y_{n+1} = y_{n−3} + h(\frac{8}{3} f_{n} − \frac{4}{3} f_{n−1} + \frac{8}{3} f_{n−2}).

∗ Méthodes d’Adams-Bashforth AB_{r+1} :

y_{n+1} = y_{n} + ∫_{t_{n}}^{t_{n+1}} p_{n,r}(t)dt = y_{n} + h_{n} ∑_{0≤i≤r} b_{n,i,r}f_{n−i},

avec

\begin{aligned}p_{n,r}(t) & = ∑_{0≤i≤r} f_{n−i}L_{n,i,r}(t), L_{n,i,r}(t) = ∏_{{j≠i \atop 0≤j≤r}} \frac{t − t_{n−j}}{t_{n−i} − t_{n−j}} , \\ b_{n,i,r} & = \frac{1}{h_{n}} ∫_{t_{n}}^{t_{n+1}} L_{n,i,r}(t)dt. \end{aligned}

Erreur de consistance : |e_{n}| ≤ |z^{(r+2)}(ξ)|h_{n}h_{max}^{r+1} avec ξ ∈ ]t_{n−r}, t_{n+1}[.

Constante de stabilité : S = exp (β_{r}kT) avec β_{r} = max_{n} ∑_{i} |b_{n,i,r}|.

∗ Méthodes d’Adams-Moulton AM_{r+1} :

y_{n+1} = y_{n} + ∫_{t_{n}}^{t_{n+1}} p_{n,r}^{∗}(t)dt = y_{n} + h_{n} ∑_{−1≤i≤r} b_{n,i,r}^{∗}f_{n−i}

où p_{n,r}^{∗} interpole les points (t_{n+1}, f_{n+1}) … (t_{n−r}, f_{n−r}).

Erreur de consistance : |e_{n}^{∗}| ≤ |z^{(r+3)}(ξ)|h_{n}h_{max}^{r+2}(1 + O(h_{n})), ξ ∈ ]t_{n−r}, t_{n+1}[.

358 Analyse numérique et équations différentielles Constante de stabilité : avec β_{r}^{∗} = max_{n} ∑_{−1≤i≤r} |b_{n,i,r}^{∗}|, γ_{r}^{∗} = max_{n} |b_{n,−1,r}^{∗}|, on a

S = exp (\frac{β_{r}^{∗}kT}{1 − γ_{r}^{∗}kh_{max}} ) .

Si le pas h_{n} = h est constant, les coefficients sont donnés par :

r  b_{0,r} b_{1,r} b_{2,r} b_{3,r}  b_{−1,r}^{∗} b_{0,r}^{∗} b_{1,r}^{∗} b_{2,r}^{∗} b_{3,r}^{∗}
0  1  \frac{1}{2}  \frac{1}{2}
1  \frac{3}{2} −\frac{1}{2}  \frac{5}{12}  \frac{8}{12} −\frac{1}{12}
2  \frac{23}{12} −\frac{16}{12}  \frac{5}{12}  \frac{9}{24}  \frac{19}{24} −\frac{5}{24}  \frac{1}{24}
3  \frac{55}{24} −\frac{59}{24}  \frac{37}{24} −\frac{9}{24}  \frac{251}{720}  \frac{646}{720} −\frac{264}{720} \frac{106}{720} −\frac{19}{720}

∗ Méthodes de prédiction-correction PECE et PEC

\{ \begin{matrix}P : py_{n+1} = ∑_{0≤i≤r} α_{n,i}y_{n,i} + h_{n} ∑_{0≤i≤r} β_{n,i}f_{n−i} \\ E : pf_{n+1} = f(t_{n+1}, py_{n+1}) \\ C : y_{n+1} = y_{n} + h_{n}(b_{n,−1,r}^{∗}pf_{n+1} + ∑_{0≤i≤r} b_{n,i,r}^{∗}f_{n−i}) \\ E : f_{n+1} = f(t_{n+1}, y_{n+1}) \end{matrix}

\{ \begin{matrix}P : py_{n+1} = ∑_{0≤i≤r} α_{n,i}y_{n,i} + h_{n} ∑_{0≤i≤r} β_{n,i}pf_{n−i} \\ E : pf_{n+1} = f(t_{n+1}, py_{n+1}) \\ C : y_{n+1} = y_{n} + h_{n} ∑_{−1≤i≤r} b_{n,i,r}^{∗}pf_{n−i} \end{matrix}

Erreur de consistance :

|e_{n}| ≤ (1 + |b_{n,−1,r}^{∗}| kh_{n})|e_{n}^{∗}| + |b_{n,−1,r}^{∗}| kh_{n} |pe_{n}|

où e_{n}^{∗} est l’erreur de consistance de AM_{r+1} et pe_{n} l’erreur de consistance du prédicteur. Constante de stabilité : en posant A = max_{n} ∑_{i} |α_{n,i}|, B = max_{n} ∑_{i} |β_{n,i}|, on a méthode PECE : S = exp((β_{r}^{∗} + γ_{r}^{∗}(A − 1)Bkh_{max})kT) méthode PEC : S = exp (\frac{β_{r}^{∗}AkT}{1 − Bkh_{max}} ).

Chapitre X : Stabilité des solutions et points singuliers d’un champ de vecteurs

Stabilité des solutions. Une solution de valeur initiale z_{0} en t = t_{0} est dite stable (resp. asymptotiquement stable) si l’écart entre cette solution et la solution de valeur initiale z voisine de z_{0} reste majorée sur tout l’intervalle [t_{0}, +∞[ par C∥z − z_{0}∥ où C est une constante (resp. par γ(t)∥z − z_{0}∥ où lim_{t→t_{0}} γ(t) = 0).

Un système linéaire Y′ = AY est asymptotiquement stable (resp. stable) si les valeurs propres complexes de A sont toutes de partie réelle < 0 (resp. sont ou bien de partie réelle < 0, ou bien de partie réelle 0 et le bloc caractéristique correspondant est diagonal).

Courbes intégrales d’une équation \overrightarrow{dM}/dt = \overrightarrow{V}(M) associée à un champ de vecteurs \overrightarrow{V}(x, y) = (f(x, y), g(x, y)) dans le plan.

On dit que M_{0} = (x_{0}, y_{0}) est un point singulier si \overrightarrow{V}(M_{0}) = \overrightarrow{0}, régulier sinon. Pour qu’un point singulier soit asymptotiquement stable, il suffit que la matrice

A = ( \begin{matrix}f′_{x}(x_{0}, y_{0}) & f′_{y}(x_{0}, y_{0}) \\ g′_{x}(x_{0}, y_{0}) & g′_{y}(x_{0}, y_{0}) \end{matrix} )

ait ses valeurs propres de partie réelle < 0. On dit qu’un point singulier est non dégénéré si det A ≠ 0; si λ_{1} et λ_{2} sont les valeurs propres de A, on a alors les différentes configurations possibles suivantes :

∗ λ_{1}, λ_{2} réelles, distinctes, de même signe : nœud impropre,

de signe opposé : col.

∗ λ_{1} = λ_{2} réelles et A diagonalisable : nœud propre (si champ linéaire),

et A non diagonalisable : nœud exceptionnel.

∗ λ_{1}, λ_{2} non réelles de partie réelle non nulle : foyer,

de partie réelle nulle : centre (si champ linéaire).

Chapitre XI : Équations différentielles dépendant d’un paramètre

Dépendance de la solution. Étant donné une équation

(E_{λ})  y′ = f(t, y, λ), y ∈ ℝ^{m},

où f dépend d’un paramètre λ ∈ ℝ et est continue en (t, y, λ), la solution y(t, y_{0}, λ) de (E_{λ}) de valeur initiale y_{0} en t = t_{0} est :

∗ continue si f est localement lispchitzienne en y

∗ de classe C^{1} si f admet des dérivées partielles f′_{y_{j}} et f′_{λ} continues en (t, y, λ).

∗ de classe C^{k+1} si f est de classe C^{k} et admet des dérivées partielles f′_{y_{j}}, f′_{λ} de classe C^{k} en (t, y, λ).

Dans ces deux derniers cas, la dérivée partielle v(t) = \frac{∂}{∂λ} y(t, y_{0}, λ_{0}) est la solution de l’équation différentielle linéarisée

(E′_{λ_{0}})  v′(t) = ∑_{j=1}^{m} f′_{y_{j}}(t, u(t), λ_{0})v_{j}(t) + f′_{λ}(t, u(t), λ_{0})

avec condition initiale v(t_{0}) = 0 et avec u(t) = y(t, y_{0}, λ_{0}).

Si la valeur initiale est elle-même une fonction y_{0}(λ) de classe C^{1} en λ, la dérivée partielle v(t) = \frac{∂}{∂λ} y(t, y_{0}(λ), λ) en λ = λ_{0} satisfait la même équation linéarisée (E′_{λ_{0}}), avec condition initiale v(t_{0}) = y′_{0}(λ_{0}).

Méthode des petites perturbations. Si la solution u(t) = y(t, y_{0}, λ_{0}) est connue et si on peut calculer la solution v(t) de (E′_{λ_{0}}), on obtient un développement limité au premier ordre

y(t, y_{0}, λ) = u(t) + (λ − λ_{0})v(t) + o(λ − λ_{0}).

Index terminologique

Amplification de l’erreur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II 4.1 Application contractante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IV 1.1

Base de numération . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I 1.1

Calcul de pi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I 2.3 Calcul des variations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VI 4.4 Centre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . X 2.2 (b) Chaînette . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VI 4.4 Champ des tangentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V 1.2 Col . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . X 2.2 (a) Condition initiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V 1.1 Constante d’Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . III 4.3 Constante de Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II 4.1 Constante de stabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VIII 2.1, 2.3, IX 1.2 Contrôle du pas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VIII 4 Convergence des polynômes d’interpolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II 2 Convergence des méthodes de quadrature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . III 1.4 Convergence quadratique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IV 2.1 Courbe du chien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VI 3.3 Critère d’attractivité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IV 3.2 Critère de maximalité des solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V 2.6 Cumulation d’erreurs aléatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I 1.6 Cylindre de sécurité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V 2.1

Densité des polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II 3.2 Développements asymptotiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . III 4.3 Différences divisées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II 1.3 Données initiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V 1.1

Enveloppe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VI 2.1 Équation d’Euler-Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VI 4.4 Équation différentielle linéarisée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XI 1.3 Équations à variables séparées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VI 1.2 Équations de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VI 1.5 (a)

Équations de Clairaut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VI 2.5 Équations d’Euler-Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VI 4.4 Équations de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VI 2.4 Équations de Riccati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VI 1.5 (b) Équations différentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V 1.1 Équations différentielles d’ordre supérieur à un . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V 4, VII 3 Équations différentielles dépendant d’un paramètre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XI Équations différentielles du second ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VI 4 Équations différentielles linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VI 1.4, 4.3, VII Équations différentielles non résolues en y′ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VI 2.1 Équations homogènes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VI 1.6, 2.3 Erreur d’arrondi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I 1.3, 1.4, III 1.3, VIII 2.5 Erreur d’intégration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . III 2.2 Erreur d’interpolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II 1.2 Erreur de consistance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VIII 1.1, IX 1.1 Erreur globale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VIII 2.1 Estimation de π_{n+1} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II 2.2 Existence de solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V 2 Existence de solutions globales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V 3.4 Existence et unicité des solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V 3 Exponentielle d’une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VII 2.2 Extrapolation de Richardson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . III 5.1

Flot d’un champ de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XI 1.5 Fonction analytique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II 2.1 Fonction de classe C^{1} par morceaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V 2.2 Fonction équioscillante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II 3.1 Fonction lipschitzienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II 4.3 Fonction localement lipschitzienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V 3 Fonction ζ de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . III 4.2 Formule de la moyenne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . III 2.1 Formule de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II 1.4 Formule de Stirling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . III 4.3 Formule de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . III 2.1 Formule d’Euler-Maclaurin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . III 4.1 Foyer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . X 2.2 (b)

Géodésiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VI 4.4 Instabilité numérique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I 3 Intégrale première . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VI 1.3, 4.2 (c) Interpolation de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II 1.1

Lemme de Gronwall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V 3.1, VIII 2.3 Lignes isoclines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V 1.2 Mantisse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I 1.1 Méthode consistante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VIII 2.1 Méthode convergente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VIII 2.1 Méthode d’Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V 2.2, VIII 1.2 Méthode de Boole-Villarceau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . III 1.2 (c) Méthode de Heun . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VIII 3.2 Méthode de la sécante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IV 2.4 Méthode de Milne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IX 1.3 Méthode de Newton-Cotes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . III 1.2 (c) Méthode de Newton-Raphson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IV 2.3, 3.3 Méthode de Nyström . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IX 1.3 Méthode de Romberg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . III 5.2 Méthode de Simpson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . III 1.2 (c) Méthode de variation des constantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VI 1.4, 4.3, VII 2.4, 3.3 Méthode de Weddle-Hardy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . III 1.2 (c) Méthode de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VIII 1.3 Méthode des rectangles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . III 1.2 (a) Méthode des trapèzes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . III 1.2 (b) Méthode du point milieu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . III 1.2 (a), VIII 1.4 Méthode du point milieu modifié . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VIII 1.5 Méthodes à un pas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VIII 1.1 Méthodes à pas multiples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IX Méthodes d’Adams-Bashforth . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IX 2 Méthodes d’Adams-Moulton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IV 3 Méthodes de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . III 3 Méthodes de quadrature élémentaires et composées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . III 1.1 Méthodes de prédiction-corrcetion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IX 4 Méthodes de Runge-Kutta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VIII 3 Méthodes PEC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IX 4.5 Méthodes PECE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IX 4.1 Métrique de Poincaré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VI 5.9 Module de continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II 3.2, V 2.2

Nœud propre, impropre, exceptionnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . X 2.2 (a) Nombres de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . III 4.1 Norme L^{2} de la moyenne quadratique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II 5 Norme uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II 0 Noyau de Péano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . III 2.2

Opérateur aux différences finies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II 1.4 Opérateur d’interpolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II 4.1 Ordre d’une méthode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . III 1.1, VIII 2.4, IX 1.1 Ovale de Cassini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VI 3.2 Perturbation d’un champ de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XI 2.2, 2.3 Petites perturbations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . X 1.3, XI 2.1 Phénomène de Runge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II 2.3 Phénomènes de compensation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I 2.1, 2.2, 2.3 Poids . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II 5 Point critique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . X 2.1 Point fixe attractif, répulsif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IV 2.1 Point singulier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . X 2.1 Point singulier non dégénéré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . X 2.1 Point d’interpolation de Tchebychev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II 1.5 Polynôme de meilleure approximation quadratique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II 5 Polynôme de meilleure approximation uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II 3.1 Polynômes de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . III 4.1 Polynômes de Hermite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II 5 Polynômes de Jackson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II 3.2 Polynômes de Laguerre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II 5 Polynômes de Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II 5 Polynômes de Tchebychev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II 1.5, II 5 Polynômes orthogonaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II 5 Précision relative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I 1.1 Problème bien conditionné . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VIII 2.6 Problème bien posé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VIII 2.6 Problème de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V 1.1 Problème raide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VIII 2.6 Problème variationnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VI 4.4

Rayon spectral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IV 3.1 Règle de Hörner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I 1.5 Régularité des solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V 1.5, XI 1.3, 1.4 Relation de récurrence des polynômes orthogonaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II 5 Résolvante d’un système linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VII 4.1

Solution approchée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V 2.2 Solution asymptotiquement stable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . X 1.1 Solution d’une équation différentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V 1.1 Solution générale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VI 1.1 Solution globale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V 1.4 Solution maximale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V 1.3 Solution singulière . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VI 1.1 Solution stable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . X 1.1 Spectre d’un endomorphisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IV 3.1 Stabilité des méthodes numériques … VIII 2.1, 2.3, 3.3, IX 1.2, 2.3, 3.3, 3.4, 4.4 Suite de Fibonacci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IV 2.4 Système différentiel autonome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VI 1.1 Système différentiel linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VII 1.1

Théorème d’Ascoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V 2.3 Théorème d’existence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V 2.4, 4.3 Théorème d’existence et d’unicité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V 3.1, 3.2, 4.4 Théorème d’inversion locale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IV 4.1 Théorème d’unicité globale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V 3.3 Théorème de Cauchy-Lipschitz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V 3.1 Théorème de Cauchy-Peano-Arzelà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V 2.4 Théorème de Jackson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II 3.2 Théorème de Poincaré-Bendixson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XI 1.5 Théorème de Steffensen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . III 2.3 Théorème des fonctions implicites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IV 4.2 Théorème des immersions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IV 4.2 Théorème des submersions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IV 4.2 Théorème du point fixe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IV 1.1 Trajectoires orthogonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VI 3.2 Triangulation des matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VII 2.2

Wronskien d’un système de solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VII 4.2

Index des notations

∥ ∥_{[a,b]} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II 0 ∥ ∥_{2} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II 5 ⟨ , ⟩ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II 5 AB_{r+1} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IX 2.1 A_{m,n} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . III 5.1 AM_{r+1} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IX 3.1 b_{n,i,r} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IX 2.1 b_{n,i,r}^{∗} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IX 3.1 b_{p} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . III 4.1 B_{p}(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . III 4.1 β_{r} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IX 2.1, 2.3 β_{r}^{∗} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IX 3.1, 3.3 𝒞([a, b]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II 0 γ_{r}^{∗} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IX 3.3 d(f, 𝒫_{n}) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II 3.1 d_{2}(f, g) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II 5 Δx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I 1.1 Δ^{k}f_{i} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II 1.4 e^{A} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VII 2.2 e_{n} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VIII 1.1 E(f) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . III 2.2 (E′_{λ}) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XI 1.3 (E^{⊥}) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VI 3.2 f[x_{0}, x_{1}, …, x_{n}] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II 1.3 f^{[k]} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V 1.5 h_{max} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V 2.2 j_{n}(x), J_{n}(θ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II 3.2 K_{N}(t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . III 2.2 l_{i}(x), L_{i}(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II 1.1 L_{n} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II 4.1 Λ_{n} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II 4.1 NC_{l} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . III 1.2 (c) ω_{f}(t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II 3.2, V 2.2 ω_{i,j} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . III 1.1 ω_{j} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . III 1.2 p_{n}(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II 1.1 pf_{n+1} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IX 4.1 𝒫_{n} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II 0 py_{n+1} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IX 4.1 π_{n+1}(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II 1.1 R(t, t_{0}) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VII 4.1 S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VIII 2.1, 2.3, IX 1.2 t_{n}(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II 1.5 w(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II 5 W (t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VII 4.2 y′ = f(t, y) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V 1.1 ζ(s) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . III 4.1