% Jean-Pierre Demailly
% Universit\'e de Grenoble I, Institut Fourier
% \'Equations Diff\'erentielles et Analyse Num\'erique
% Collection Grenoble-Sciences, Presses Universitaires de Grenoble
% Formulaire

\input equa-mac.tex
\pageno=1\fst=1

\def\displaychap#1 #2|{\setbox3\hbox{\fourteenbf #1\ }
  \vskip1cm\penalty -100 
  \vbox{\baselineskip=17.28pt\noindent
  {\raggedright\hangindent\wd3\hangafter1{\fourteenpointbf\fourteenbf
  \copy3\ignorespaces#2\vskip0pt}}}
  \penalty 500}

\blankline\blankline\blankline
\hfill\title Formulaire et principaux r\'esultats|
\vskip4pc

{\parindent=0cm

\noindent\displaychap Chapitre~I~:  Calculs num\'eriques approch\'es|

\bigskip

Soit $\varepsilon$ la pr\'ecision relative de l'expression approch\'ee
des nombres r\'eels sur le calculateur utilis\'ee. Les erreurs
d'arrondi sur les op\'erations arithm\'etiques v\'erifient
$$
\eqalign{
&\Delta(x+y)\leq \Delta x+\Delta y+\varepsilon(|x|+|y|),\cr
&\Delta(xy)\leq |x|\Delta y+|y|\Delta x+\varepsilon|xy|.\cr
}
$$
Si la sommation $s_n=x_1+x_2+\dots+x_n$ est calcul\'ee par ordre
croissant d'indice et si $\Delta x_i=0$, alors
$$
\eqalign{
&\Delta(s_n)\leq\varepsilon(|x_n|+2|x_{n-1}|+\dots+(n-1)|x_2|+(n-1)|x_1|),\cr
&\Delta(x_1^{\alpha_1}x_2^{\alpha_2}\dots x_n^{\alpha_n})\leq
\varepsilon(|\alpha_1|+\dots+|\alpha_n|-1)|x_1^{\alpha_1}x_2^{\alpha_2}\dots
x_n^{\alpha_n}|.\cr 
}
$$

\bigskip
\noindent\displaychap Chapitre~II~:  Approximation polynomiale des
fonctions num\'eriques|

\bigskip
\noindent{\bf Polyn\^ome d'interpolation de Lagrange} de $f:[a,b]\rightarrow
\bR$ en des points $x_0,x_1,\dots,x_n\in[a,b]$~:
$$
p_n(x)=\sum_{i=0}^nf(x_i)l_i(x),\qquad
l_i(x)=\prod_{j\not=i}\frac{x-x_j}{x_i-x_j}.
$$
{\bf Formule d'erreur~:}
$$
\leqalignno{
&f(x)-p_n(x)=\frac{1}{(n+1)!}\ \pi_{n+1}(x)f^{(n+1)}(\xi_x)\cr
&\pi_{n+1}(x)=\prod^n_{i=0}(x-x_i),\quad \xi_x\in\ ]\min(x,x_i),\max(x,x_i)[.
&{\rm avec}\cr
}
$$
{\bf Diff\'erences divis\'ees~:}
$$
\eqalign{
&f[x_0,x_1,\dots,x_k]=\frac{f[x_1,\dots,x_k]-f[x_0,\dots,x_{k-1}]}{x_k-x_0},\cr
&p_n(x)=f(x_0)+\sum_{k=1}^n f[x_0,x_1,\dots,x_k](x-x_0)\dots(x-x_{k-1}).\cr
}
$$
{\bf Formule de Newton} (pas constant $h=\dfrac{b-a}{n}$)~:
$$
\eqalign{
&x_i=a+ih,\quad f_i=f(x_i),\quad\Delta^kf_i
=\Delta^{k-1}f_{i+1}-\Delta^{k-1}f_i,\cr
&p_n(x)=\sum_{k=0}^n \Delta^kf_0\ \frac{s(s-1)\dots(s-k+1)}{k!}
\quad\hbox{\rm o\`u}\quad x=a+sh.\cr 
}
$$
\bigskip
\noindent{\bf Polyn\^omes de Tchebychev~:}
$$
\eqalign{
&\quad t_n(x)=\cos\,(n\,\Arccos\,x),\quad x\in[-1,1],\cr
&\cases{
t_0(x)=1,\quad t_1(x)=x\hfill\cr
\noalign{\vskip3pt}
t_{n+1}(x)=2x\,t_n(x)-t_{n-1}(x),\quad n\geq 1.\hfill\cr
}\cr
}
$$
{\bf Points d'interpolation de Tchebychev} ( $=$ racines de $t_{n+1}$)~:
$$
x_i=\cos\ \frac{2i+1}{2n+2}\,\pi,\qquad 0\leq i\leq n.
$$
\bigskip
\noindent{\bf Estimation de} $|\pi_{n+1}(z)|$, $z\in\bC$ avec $x_i=a+ih$,
$h=\dfrac{b-a}{n}$~:

On pose $\delta_n(z)=\min\,|z-x_i|$ et
$\displaystyle A(z)=\exp\,\left(\dfrac{1}{b-a}\ \int^b_a\ln\,|z-x|dx\right)$.
Alors il existe des constantes $C_1,C_2>0$ ind\'ependantes
de $n$ telles que
$$
C_1\delta_n(z)A(z)^n\leq|\pi_{n+1}(z)|\leq C_2n\delta_n(z)A(z)^n.
$$
\bigskip
\noindent{\bf Meilleure approximation uniforme~:} si $f\in{\cal
C}([a,b])$, le polyn\^ome $q_n$ de degr\'e $n$ minimisant la distance
uniforme $\Vert f-q_n\Vert$ existe et est unique. Il est
caract\'eris\'e par la propri\'et\'e que $f-q_n$ \'equioscille sur au
moins $n+2$ points de $[a,b]$.

\bigskip
\noindent{\bf Th\'eor\`eme de Jackson~:} soit $f\in{\cal C}([a,b])$. Si
$\omega_f$ est le module de continuit\'e de $f$ et si $p_n$ est le
polyn\^ome d'approximation de Jackson de $f$ de degr\'e $n$, on a
$$
\Vert f-p_n\Vert\leq 3\,\omega_f\ \Big(\frac{b-a}{n}\Big).
$$
\bigskip
\noindent{\bf Constante de Lebesgue~:}
$\displaystyle\Lambda_n=\sup_{x\in[a,b]}\sum^n_{i=0}|l_i(x)|$.

Si $\displaystyle L_n(f)=p_n=\sum_{i=0}^nf(x_i)l_i$, on a
$$
\Vert f-L_n(f)\Vert\leq (1+\Lambda_n)\Vert f-q_n\Vert.
$$
Si les $x_i$ sont \'equidistants, on a
$\Lambda_n\sim\dfrac{2^{n+1}}{en\ln\,(n)}$.

\noindent Si les $x_i$ sont les points de Tchebychev, on a
$\Lambda_n\sim\dfrac{2}{\pi}\ \ln\,(n)$.

\bigskip
\noindent{\bf Polyn\^omes orthogonaux. \rm Formule de r\'ecurrence~:}
$$
p_n(x)=(x-\lambda_n)p_{n-1}(x)-\mu_np_{n-2}(x),\quad n\geq 2
$$
avec $\lambda_n=\langle xp_{n-1},p_{n-1}\rangle/\Vert p_{n-1}\Vert^2_2$,
$\mu_n=\Vert p_{n-1}\Vert^2_2/\Vert p_{n-2}\Vert^2_2$, $1\leq j\leq l$.

\bigskip
\noindent{\bf Polyn\^omes de meilleure approximation quadratique~:}
$$
r_n(x)=\sum_{k=0}^n\frac{\langle f,p_k\rangle}{\Vert p_k\Vert^2_2}\ p_k(x).
$$

\bigskip
\noindent\displaychap Chapitre~III~:  Int\'egration num\'erique|

\bigskip
\noindent{\bf M\'ethodes de Newton-Cotes d'indice $l$~:}
$$
\int^{\beta}_{\alpha}f(x)dx\simeq
\sum_{i=0}^{k-1}(\alpha_{i+1}-\alpha_i)\sum_{j=0}^l\omega_jf(\xi_{i,j}) 
$$
avec $\xi_{i,j}=\alpha_i+j\cdot\dfrac{\alpha_{i+1}-\alpha_i}{l}$,
$1\leq j\leq l$.

\bigskip
\noindent$\matrix{
\ast\quad l=1~:\hfill&\hbox{m\'ethodes des trap\`ezes $\omega_0=\omega_1
=\dfrac{1}{2}$ (ordre 1).}\hfill\cr 
&\hbox{erreur~: $-\dfrac{1}{12}\ h^2f''(\xi)(\beta-\alpha)$ si le pas est
constant.}\hfill\cr 
\noalign{\vskip3pt}
\ast\quad l=2~:\hfill&\hbox{m\'ethode de Simpson
$\omega_0=\omega_2=\dfrac{1}{6}$,
$\omega_1=\dfrac{4}{6}$ (ordre 3).}\hfill\cr 
&\hbox{erreur~: $-\dfrac{1}{2880}\ h^4f^{(4)}(\xi)(\beta-\alpha)$.}\hfill\cr
\noalign{\vskip3pt}
\ast\quad l=4~:\hfill&\hbox{m\'ethode de Boole-Villarceau}\hfill\cr
\noalign{\vskip2pt}
&\omega_0=\omega_4=\dfrac{7}{90},\quad \omega_1=\omega_3=\dfrac{16}{45},\quad
\omega_2=\dfrac{2}{15}\ \hbox{(ordre 5)}.\hfill\cr
&\hbox{erreur~: $-\dfrac{1}{1\mil 935\mil 360}
\ h^6f^{(6)}(\xi)(\beta-\alpha)$.}\hfill\cr
}$

\bigskip
\noindent{\bf Formule de Taylor avec reste int\'egral~:}
$$
f(x)=\sum_{k=0}^N\frac{1}{k!}\,f^{(k)}(\alpha)(x-\alpha)^k+
\int^{\beta}_{\alpha}\frac{1}{N!}\ (x-t)^N_+f^{(N+1)}(t)dt.
$$
\bigskip
\noindent{\bf Noyau de Peano d'une m\'ethode d'ordre $N$~:}

Si $\displaystyle E(f)=\int^{\beta}_{\alpha}f(x)w(x)dx
-\sum_{j=0}^l\lambda_jf(x_j)$ est l'erreur d'int\'egration, alors
$$
\eqalign{
&K_N(t)=E(x\mapsto (x-t)^N_+),\quad t\in[\alpha,\beta],\cr
&E(f)=\frac{1}{N!}\ \int^{\beta}_{\alpha}K_N(t)f^{(N+1)}(t)dt.\cr
}
$$
Si $K_N$ est de signe constant, alors
$$
E(f)=\frac{1}{N!}\ f^{(N+1)}(\xi)\int^{\beta}_{\alpha}K_N(t)dt,\quad \xi\in\
]\alpha,\beta[. $$
\bigskip
\noindent{\bf Noyau de Peano d'une m\'ethode compos\'ee.} Si la
m\'ethode \'el\'ementaire est d'ordre $N$ et admet $k_N$ pour noyau de
Peano sur $[-1,1]$, le noyau de Peano compos\'e est donn\'e par
$$
K_N(t)=\Big(\frac{h_j}{2}\Big)^{N+1}k_N\left(\frac{2}{h_j}\,\Big(t-
\frac{\alpha_j+\alpha_{j+1}}{2}\Big)\right),\quad t\in[\alpha_j,\alpha_{j+1}].
$$
\bigskip
\noindent{\bf M\'ethodes de Gauss~:}
$$
\int^{\beta}_{\alpha}f(x)w(x)dx\simeq\sum_{j=0}^l\lambda_jf(x_j)
$$
avec $x_0,\dots,x_l\in\ ]\alpha,\beta[$ racines du polyn\^ome orthogonal
$p_{l+1}$
$$
\lambda_i=\int^{\beta}_{\alpha}L_i(x)w(x)dx,\quad
L_i(x)=\prod_{j\not=i}\frac{x-x_j}{x_i-x_j}.
$$
La m\'ethode est d'ordre $N=2l+1$, et l'erreur est donn\'ee par
$$
E(f)=\frac{f^{(2l+2)}(\xi)}{(2l+2)}\int^{\beta}_{\alpha}\pi_{l+1}(x)^2w(x)dx.
$$
\bigskip

\noindent{\bf Polyn\^omes de Bernoulli~:} ils sont d\'efinis par r\'ecurrence par
$$
\eqalign{
&\cases{
B_1(x)=x-\dfrac{1}{2}\quad{\rm si}\quad x\in[0,1[,\hfill\cr
\noalign{\vskip3pt}
B'_p=pB_{p-1}(x)\quad{\rm sur}\quad[0,1[\quad{\rm pour}\quad p\geq 2,\hfill\cr
\noalign{\vskip3pt}
\displaystyle\int^1_0 B_p(x)dx=0,\hfill\cr
\noalign{\vskip3pt}
B_p\quad\hbox{p\'eriodique de p\'eriode 1 sur $\bR$.}\hfill\cr
}\cr
&B_p(x)=-p!\sum_{n\in\bZ^*}\frac{e^{2\pi inx}}{(2\pi in)^p}.\cr
}$$

\bigskip
\noindent{\bf Nombres de Bernoulli~:}
$$
\eqalign{
&b_0=1,\quad b_1=-\dfrac{1}{2},\quad b_p=B_p(0)\quad{\rm si}\quad p\geq 2.\cr
&\cases{
\displaystyle b_{2k}=\dfrac{2(-1)^{k-1}(2k)!}{(2\pi)^{2k}}\
\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{1}{n^{2k}}\hfill&\quad si\quad $k\geq 1$,\hfill\cr
\noalign{\vskip3pt}
b_{2k+1}=0\hfill&\quad si\quad $k\geq 1$.\hfill\cr
}\cr
}
$$
\null\vskip-24pt
$$
\eqalign{
&|B_{2k}(x)|\leq|b_{2k}|,\cr
&B_p(x)=\sum_{m=0}^pC^m_pb_mx^{p-m},\quad B_p(1-x)=(-1)^pB_p(x),\cr
&C^{2k}_{2k+1}b_{2k}+C^{2k-2}_{2k+1}b_{2k-2}+\dots
+C^2_{2k+1}b_2+C^1_{2k+1}b_1+1=0,\cr
&b_2=\frac{1}{6},\quad b_4=-\frac{1}{30},\quad b_6=\frac{1}{42},\quad
b_8=-\frac{1}{30},\quad b_{10}=\frac{5}{66}.\cr 
}
$$
\bigskip
\noindent{\bf Formule d'Euler-Maclaurin~:} Pour
$f\in C^{2k}([\alpha,\beta])$, avec $\alpha,\beta\in\bZ$, on a

\bigskip
\majdeb
$\displaystyle\dfrac{1}{2}\ f(\alpha)+f(\alpha+1)+\dots+f(\beta-1)
+\dfrac{1}{2}\ f(\beta)=\int^{\beta}_{\alpha}f(x)dx$+\hfill 
\vskip3pt
\hfill$\displaystyle\sum_{m=1}^k\frac{b_{2m}}{(2m)!}\
\Big(f^{(2m-1)}(\beta)-f^{(2m-1)}(\alpha)\Big)
-\int^{\beta}_{\alpha}\frac{B_{2k}(x)}{(2k)!}\ f^{(2k)}(x)dx$. 
\par\majfin\par


\bigskip
\noindent{\bf Formule du d\'eveloppement asymptotique.} Soit $f\in
C^{\infty}([\alpha,+\infty[)$, $\alpha\in\bZ$. Si
$\displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty}f^{(m)}(x)=0$ et si $f^{(m)}(x)$
est de signe constant sur $[x_0,+\infty[$ pour $m\geq m_0$ alors
$\forall n\geq x_0$ et $\forall k>\dfrac{m_0}{2}$ on a

\bigskip
\majdeb
$\displaystyle f(\alpha)+f(\alpha+1)+\dots+f(n)=C+\dfrac{1}{2}\
f(n)+\int^n_{\alpha}f(x)dx$\hfill
\vskip3pt
\hfill$\displaystyle+\sum_{m=1}^{k-1}\dfrac{b_{2m}}{(2m)!}\
f^{(2m-1)}(n)+\theta\ \dfrac{b_{2k}}{2k!}\ f^{(2k-1)}(n)$,
\qquad $0\leq\theta\leq 1$. 
\par\majfin\par

\bigskip
\noindent{\bf Extrapolation de Richardson}
\medskip
\noindent Pour calculer la limite de $A(t)=a_0+a_1t+\dots+a_kt^k+O(t^{k+1})$
en $t=0$, on pose 
$$
\leqalignno{
A_{m,0}&=A(r^{-m}t_0),\cr
A_{m,n}&=\frac{r^nA_{m,n-1}-A_{m-1,n-1}}{r^n-1}.\cr
}
$$

\bigskip
\noindent{\bf M\'ethode de Romberg~:} pour \'evaluer
$\displaystyle\int^{\beta}_{\alpha}f(x)dx$, on calcule
$$
A_{m,0}=h\Big(\frac{1}{2}\ f(\alpha)+f(\alpha+h)+\dots+f(\beta-h)
+\frac{1}{2}\ f(\beta)\Big) 
$$
o\`u $h=\dfrac{\beta-\alpha}{2^m}$, puis
$$
A_{m,n}=\frac{4^nA_{m,n-1}-A_{m-1,n-1}}{4^n-1}.
$$

%\page
\bigskip
\noindent\displaychap Chapitre~IV~:  M\'ethodes it\'eratives pour la\hfil\break
r\'esolution d'\'equations|
\bigskip
\noindent{\bf M\'ethode de Newton~:} pour r\'esoudre $f(x)=0$, on it\`ere
$$
\varphi(x)=x-\frac{f(x)}{f'(x)}.
$$
Si $f(a)=0$ et $\displaystyle M=\max_{x\in[a-r,a+r]}\left|
\dfrac{f''(x)}{f'(x)}\right|$, alors pour $h=\min\Big(1,\dfrac{1}{M}\Big)$
on a
$$
(\forall x\in[a-h,a+h])\qquad|\varphi(x)-a|\leq M|x-a|^2.
$$

\bigskip
\noindent{\bf Variante} (m\'ethode de la s\'ecante)~: A partir de valeurs
initiales $x_0,x_1$, on  pose  
$$
\cases{
\tau_p=\dfrac{f(x_p)-f(x_{p-1})}{x_p-x_{p-1}}\hfill\cr
\noalign{\vskip3pt}
x_{p+1}=x_p-\dfrac{f(x_p)}{\tau_p}\hfill\cr
},\quad (\forall p\geq 1).
$$

\bigskip
\noindent{\bf M\'ethode de Newton-Raphson.} Pour r\'esoudre $f(x)=0$ o\`u
$f:\bR^m\rightarrow\bR^m$, on it\`ere la fonction
$$
\varphi(x)=x-f'(x)^{-1}\cdot f(x).
$$

\noindent \displaychap Chapitre~V~:  \'Equations
diff\'erentielles. R\'esultats fondamentaux|

\bigskip
\'Etant donn\'e un ouvert $U\subset \bR\times\bR^m$ et une fonction continue
$f:U\rightarrow\bR^m$, il passe par tout point $(t_0,y_0)\in U$ au moins
une solution locale de l'\'equation diff\'erentielle
$$
y'=f(t,y).\leqno{\rm (E)}
$$
De plus toute solution peut \^etre prolong\'ee en une solution maximale~;
l'intervalle de d\'efinition d'une solution maximale est ouvert.

\bigskip
\noindent{\bf M\'ethode d'Euler.} Partant d'un point initial $(t_0,y_0)$,
on pose 
$$
\cases{
y_{n+1}=y_n+h_nf(t_n,y_n)\hfill\cr
\noalign{\vskip3pt}
t_{n+1}=t_n+h_n\hfill\cr
}
$$
et on construit une solution approch\'ee $y(t)$ lin\'eaire par morceaux
en joignant les points $(t_n,y_n)$. Si $C=[t_0-T,t_0+T]\times\overline
B(y_0,r_0)$ est un cylindre de s\'ecurit\'e tel que
$$
T\leq \min\Big(T_0,\dfrac{r_0}{M}\Big),\quad\hbox{o\`u}\quad
M=\sup_{[t_0-T_0,t_0+T_0]\times\overline B(y_0,r_0)}\Vert f\Vert, 
$$
la solution approch\'ee $(t,y(t))$ reste contenue dans $C$. L'erreur
v\'erifie
$$
\Vert y'(t)-f(t,y(t))\Vert\leq \omega_f((M+1)h_{\rm max})
$$
o\`u $\omega_f$ est un module de continuit\'e pour $f$.

\bigskip
\noindent{\bf Th\'eor\`eme de Cauchy-Lipschitz.} Si $f$ est localement
lipschitzienne en $y$, il passe par tout point $(t_0,y_0)$ une solution
maximale unique et toute  suite de solutions\break
$\varepsilon_p$-approch\'ees avec $\lim\varepsilon_p=0$ converge vers
la solution exacte~: le lemme de Gronwall montre que l'\'ecart entre 2
telles solutions approch\'ees $y_1,y_2$ v\'erifie
$$
\Vert y_1(t)-y_2(t)\Vert\leq (\varepsilon_1+\varepsilon_2)\
\frac{e^{k|t-t_0|}-1}{k}
$$
o\`u $k$ est la constante de Lipschitz.


\bigskip
\noindent{\bf \'Equations diff\'erentielles d'ordre $p$~:}
$y^{(p)}=f(t,y,y',\dots,y^{(p-1)})$.

Si $f$ est continue (resp. continue et localement lipschitzienne en
toutes les variables autres que $t$), il existe au moins une solution
(resp. une unique solution) satisfaisant la condition initiale
$$
y(t_0)=y_0,\quad y'(t_0)=y_1,\dots,y^{(p-1)}(t_0)=y_{p-1}.
$$

\noindent\displaychap Chapitre~VI~:  M\'ethodes de r\'esolution
explicite des \'equations diff\'erentielles|

\bigskip
\noindent{\bf \'Equations \`a variables s\'epar\'ees~:} $y'=f(x)g(y)$.

{\rm \'Ecrire}\qquad\qquad$\dfrac{dy}{g(y)}=f(x)dx$.

\bigskip

\noindent{\bf \'Equations lin\'eaires du premier ordre~:} $y'=a(x)y+b(x)$.

Solution g\'en\'erale~: $y(x)=\lambda e^{A(x)}+y_{(1)}(x)$ o\`u $A$ est
une primitive de $a$ et o\`u $y_{(1)}(x)$ s'obtient par la m\'ethode de
variation des constantes, $y_{(1)}(x)=\lambda(x)e^{A(x)}$.

\bigskip
\noindent{\bf \'Equations de Bernoulli~:} $y'+p(x)y+q(x)y^{\alpha}=0$ o\`u
$\alpha\in\bR\setminus\{1\}$. 

Diviser par $y^{\alpha}$ et poser $z(x)=y(x)^{1-\alpha}$. Alors $z$
satisfait une \'equation lin\'eaire.

\bigskip
\noindent{\bf \'Equations de Riccati~:} $y'=a(x)y^2+b(x)y+c(x)$.

Si une solution particuli\`ere $y_{(1)}$ est connue, poser
$y=y_{(1)}+z$. Alors $\dfrac{1}{z}$ satisfait une \'equation
lin\'eaire.

\bigskip
\noindent{\bf \'Equations homog\`enes~:} $y'=f\Big(\dfrac{y}{x}\Big)$.

Poser $y(x)=xz(x)$, ou passer en coordonn\'ee polaires.

\bigskip
\noindent{\bf \'Equations non r\'esolues en $y'$~:} regarder si on peut
trouver une param\'etrisation simple de l'\'equation.

\bigskip
\noindent{\bf \'Equations de Lagrange~:} $y=a(y')x+b(y')$.

Choisir $p=y'$ comme nouvelle variable et $x(p)$ comme nouvelle
fonction inconnue. Calculer $dy$ et \'ecrire $dy=p\,dx$.

\bigskip
\noindent{\bf \'Equations du second ordre~:} $y''=f(y,y')$~: choisir $y$
comme nouvelle variable et $v=y'$ comme nouvelle fonction inconnue de
$y$. On a alors $y''=v\,dv/dy$.

\bigskip
\noindent{\bf \'Equations lin\'eaires homog\`enes du second ordre~:}
$a(x)y''+b(x)y'+c(x)y=0$.

Si une solution particuli\`ere $y_{(1)}$ est connue, utiliser la
m\'ethode de variation des constantes~: $y(x)=\lambda(x)y_{(1)}(x)$.
Alors $\mu=\lambda'$ est solution d'une \'equation du premier ordre.

\bigskip
\noindent\displaychap Chapitre~VII~:  Syst\`emes diff\'erentiels lin\'eaires|
\bigskip

\noindent{\bf Syst\`emes diff\'erentiels lin\'eaires \`a coefficients
constants dans $\bR^m$}

\noindent Solution du probl\`eme de Cauchy $Y(t_0)=V_0$ pour
$$
\matrix{
Y'=AY~:\hfill&\quad Y(t)=e^{(t-t_0)A}\cdot V_0\hfill\cr
\noalign{\vskip3pt}
Y'=AY+B(t)~:&\displaystyle\quad Y(t)=e^{(t-t_0)A}\cdot V_0+\int^t_{t_0}
e^{(t-u)A}B(u)du\cr
}
$$
On a $\det\,(e^A)=\exp\,(\tr\,A)$.

\bigskip
\noindent{\bf \'Equations d'ordre $p$~:} $a_py^{(p)}+\dots+a_1y'+a_0y=0$,
$a_j\in\bC$.

Si le polyn\^ome caract\'eristique $a_p\lambda^p+\dots+a_1\lambda+a_0$
admet pour racines complexes $\lambda_1,\dots,\lambda_s$ de
multiplicit\'es $m_1,\dots,m_s$, alors l'espace des solutions admet
pour base
$$
t\mapsto t^qe^{\lambda_jt},\quad 1\leq j\leq s,\quad 0\leq q<m_j.
$$

\bigskip
\noindent{\bf Syst\`emes diff\'erentiels lin\'eaires quelconques}\quad
$Y'=A(t)Y+B(t)$.

\noindent Si $R(t,t_0)$ d\'esigne la r\'esolvante, alors la solution du
probl\`eme de Cauchy $Y(t_0)=V_0$ est donn\'ee par
$$
Y(t)=R(t,t_0)\cdot V_0+\int^t_{t_0}R(t,u)B(u)du,
$$
et on a $\displaystyle\det\,(R(t,t_0))=\exp\,\Big(\int^t_{t_0}\tr\,A(u)du\Big)$.

\bigskip
\noindent\displaychap Chapitre~VIII~:  M\'ethodes num\'eriques \`a un pas|
\bigskip

Ces m\'ethodes peuvent s'\'ecrire de mani\`ere g\'en\'erale
$$
y_{n+1}=y_n+h_n\Phi(t_n,y_n,h_n),\quad 0\leq n<N.
$$
Si $z$ est une solution exacte, l'{\it erreur de consistance} relative
\`a $z$ est par d\'efinition $e_n=z(t_{n+1})-y_{n+1}$ pour
$y_n=z(t_n)$. La m\'ethode est dite {\it d'ordre $\geq p$} s'il existe
une constante $C$ ind\'ependante de $n$ et $h_{\rm max}$ telle que
$|e_n|\leq Ch_nh^p_{\rm max}$. Pour qu'il en soit ainsi, il faut et il
suffit que
$$
\frac{\partial^l\Phi}{\partial h^l}\ (t,y,0)=\frac{1}{l+1}\ f^{[l]}(t,y),\quad
0\leq l\leq p-1. 
$$
La m\'ethode est dite {\it stable de constante de stabilit\'e $S$} si
pour toute suite perturb\'ee $\widetilde y_n$ telle que
$$
\widetilde y_{n+1}=\widetilde y_n+h_n\Phi(t_n,\widetilde y_n,h_n)
+\varepsilon_n,\quad 0\leq n<N, 
$$
alors $\displaystyle\max_{0\leq n\leq N}|\widetilde y_n-y_n|
\leq S\left(|\widetilde y_0-y_0|+\sum_{0\leq n<N}|\varepsilon_n|\right)$.

Sous cette hypoth\`ese, l'{\it erreur globale} admet la majoration
$$
\eqalign{
\max_{0\leq n\leq N}|y_n-z(t_n)|&\leq S\left(|y_0-z(t_0)|
+\sum_{0\leq n<N}|e_n|\right),\cr
&\leq S\left(|y_0-z(t_0)|+CTh^p_{\rm max}\right).\cr
}$$

\bigskip
\majdeb
\noindent{\bf Lemme de Gronwall.}  Si $\theta_{n+1}\leq (1+\Lambda
h_n)\theta_n+|\varepsilon_n|$ avec $h_n,\theta_n\geq 0$ et
$\varepsilon_n\in\bR$, alors
$$
\eqalign{
\theta_n&\leq e^{\Lambda(t_n-t_0)}\theta_0+\sum_{0\leq i\leq
n-1}e^{\Lambda(t_n-t_{i+1})}|\varepsilon_i|\cr
&\leq e^{\Lambda(t_n-t_0)}\Big(\theta_0+\sum_{0\leq i\leq n-1}|\varepsilon_i|
\Big).\cr 
}
$$
\par\majfin\par

\bigskip
Si $\Phi(t,y,h)$ est $\Lambda$-lipschitzienne en $y$, la m\'ethode est stable
avec constante de stabilit\'e $S=\exp\,(\Lambda T)$, $T=t_N-t_0$.
\bigskip
\noindent\hbox{\bf M\'ethode du point milieu~:}\hskip6.6pc\hbox{\bf du point
milieu modifi\'ee~:}
$$
\matrix{
\left\{\eqalign{
y_{n+\frac{1}{2}}=y_n+\dfrac{h_n}{2}\ f(t_n,y_n)\cr
p_n=f\Big(t_n+\dfrac{h_n}{2},y_{n+\frac{1}{2}}\Big)\cr
y_{n+1}=y_n+h_np_n\phantom{{1\over 2}}\cr
t_{n+1}=t_n+h_n\phantom{{1\over 2}}\cr}\right.
&\qquad\qquad\left\{\eqalign{
y_{n+\frac{1}{2}}=y_n+\dfrac{h_n}{2}\ p_{n-1}\cr
p_n=f\Big(t_n+\dfrac{h_n}{2},y_{n+\frac{1}{2}}\Big)\cr
y_{n+1}=y_n+h_np_n\phantom{{1\over 2}}\cr
t_{n+1}=t_n+h_n\phantom{{1\over 2}}\cr}\right.
\cr}
$$
Ces m\'ethodes sont d'ordre 2 (celle du point milieu est \`a $1$~pas,
mais la m\'ethode modifi\'ee est une m\'ethode \`a $2$~pas).

\bigskip
\noindent{\bf M\'ethodes de Runge-Kutta~:}

\bigskip
\setbox2=\vtop{\hsize14pc$\matrix{
c_1&\big|&0&0&\dots&0&0\cr
\noalign{\vskip-2pt}
c_2&\big|&a_{21}&0&\dots&0&0\cr
\noalign{\vskip-6pt}
\vdots&\Big|&&&&\cr
\noalign{\vskip-14.6pt}
\vdots&\Big|&&&&\cr
c_q&\bigg|&a_{q1}&a_{q2}&\dots&a_{qq-1}&0\cr
\noalign{\vskip-8pt}
\noalign{\hbox to 12pc{\hrulefill}}
\noalign{\vskip-4pt}
&\bigg|&b_1&b_2&\dots&b_{q-1}&b_q\cr
}$}

\setbox3=\vtop{\hsize17pc$
\cases{\kern-7pt\eqalign{
&\left[\matrix{
t_{n,i}=t_n+c_ih_n\hfill\cr
\noalign{\vskip3pt}
\displaystyle y_{n,i}=y_n+h_n\sum_{1\leq j<i}a_{ij}p_{n,j}\hfill\cr
\noalign{\vskip3pt}
p_{n,i}=f(t_{n,i},y_{n,i})\hfill\cr
}\right]\kern-1pt 1\leq i\leq q\cr
\noalign{\vskip8pt}
&\kern6pt t_{n+1}=t_n+h_n\cr
&\kern6pt y_{n+1}=y_n+h_n\sum_{1\leq j\leq q}b_jp_{n,j}\cr
}\cr}$}

\line{\kern-\parindent\box2\box3\kern-10.66pt\hfill}
\bigskip

\noindent On a toujours $\displaystyle\sum_{1\leq j<i}a_{ij}=c_i$,
$\displaystyle\sum_{1\leq j\leq q}b_j=1$.

\medskip
\noindent$\ast$ Constante de stabilit\'e~: $S=\exp(\Lambda T)$ o\`u $k=$
constante de Lipschitz de $f$ et
$$
\Lambda=k\sum_{1\leq j\leq q}|b_j|\left(1+(\alpha kh_{\rm max})
+\dots+(\alpha kh_{\rm max})^{j-1}\right),\quad \alpha=\max_i\sum_j |a_{ij}|. 
$$

\medskip
\noindent$\ast$ L'ordre est${}\geq p$ si et seulement si les coefficients
satisfont les relations
\bigskip

\noindent
$p\geq 2$~: $\quad\displaystyle\sum b_jc_j=\dfrac{1}{2}$
\vskip2pt\noindent
$p\geq 3$~: $\quad\displaystyle\sum b_jc_j=\dfrac{1}{2}$~; 
$\displaystyle\sum b_jc^2_j=\dfrac{1}{3}$~; $\displaystyle\sum_{i,j}
b_ia_{ij}c_j=\dfrac{1}{6}$
\vskip2pt\noindent
$p\geq 4$~: $\quad\displaystyle\sum b_jc^3_j=\dfrac{1}{4}$~; 
$\displaystyle\sum_{i,j}b_ia_{ij}c^2_j=\dfrac{1}{12}$~;
$\displaystyle\sum_{i,j}b_ic_ia_{ij}c_j=\dfrac{1}{8}$~;
$\displaystyle\sum_{i,j,k}b_ia_{ij}a_{jk}c_k=\dfrac{1}{12}$\hfill\break
\phantom{$p\geq 4$~: $\quad$}en plus des conditions des ordres 2 et 3.
\phantom{\bigg|}

\medskip
\noindent$\ast$ Exemples~:
\medskip
\setbox4\vtop{\hsize14.6pc
$$
\matrix{
&&&\kern-70pt\hbox{Ordre 2~:}\cr
\noalign{\vskip12pt}
0&\big|&0&0\cr
\noalign{\vskip-2pt}
\alpha&\bigg|&\alpha&0\cr
\noalign{\vskip-6pt}
\noalign{\hbox to 7pc{\hrulefill}}
&\Bigg|&1-\dfrac{1}{2\alpha}&\dfrac{1}{2\alpha}\cr
}
$$
\noindent\null\kern35pt$\alpha=\dfrac{1}{2}$~: point milieu 
\vskip2pt
\noindent\null\kern35pt$\alpha=1\kern1.5pt$~: m\'ethode de Heun
}

\setbox5\vtop{\hsize14.6pc
$$
\matrix{
&&&&&\kern-70pt\hbox{Ordre 4~:}\cr
\noalign{\vskip12pt}
0&\Big|&0&0&0&0\cr
\noalign{\vskip-2pt}
\dfrac{1}{2}&\bigg|&\dfrac{1}{2}&0&0&0\cr
\noalign{\vskip-5pt}
\dfrac{1}{2}&\bigg|&0&\dfrac{1}{2}&0&0\cr
\noalign{\vskip-5pt}
1&\bigg|&0&0&1&0\cr
\noalign{\vskip-5pt}
\noalign{\hbox to 8pc{\hrulefill}}
&\Bigg|&\dfrac{1}{6}&\dfrac{2}{6}&\dfrac{2}{6}&\dfrac{1}{6}\cr
}
$$
}

\line{\box4\box5\hfill}

\bigskip
\noindent\displaychap Chapitre~IX~:  M\'ethodes \`a pas multiples|

\bigskip
Pour une m\'ethode \`a $r+1$ pas de la forme
$$
y_{n+1}=\Psi(t_n,y_n,h_n\,;\dots;\,t_{n-r},y_{n-r},h_{n-r}),\quad r\leq n<N,
$$

\bigskip
\noindent{\it l'erreur de consistance} relative \`a une solution exacte
$z$ est
$$
e_n=z(t_{n+1})-y_{n+1},\qquad{\rm avec}\quad y_{n-i}=z(t_{n-i}),\qquad
0\leq i\leq r.
$$
La m\'ethode est {\it stable avec constante $S$} si pour toute suite
$(\widetilde y_n)$ telle que 
$$
\widetilde y_{n+1}=\Psi(t_n,\widetilde y_n,h_n\,;\dots;\,t_{n-r},\widetilde
y_{n-r},h_{n-r})+\varepsilon_n 
$$
alors $\displaystyle\theta_N\leq S\left(\theta_r+\sum_{r\leq n<N}|
\varepsilon_n|\right)$ o\`u $\displaystyle\theta_n=
\max_{0\leq i\leq n}|\widetilde y_i-y_i|$.

\bigskip
\noindent$\ast$ La m\'ethode \`a pas constant $h_n=h$~:
$$
y_{n+1}=\sum_{0\leq i\leq r}\alpha_iy_{n-i}+h\sum_{0\leq i\leq r}
\beta_if_{n-i},\quad f_n=f(t_n,y_n) 
$$
est d'ordre $\geq p$ si et seulement si
$$
\sum_{0\leq i\leq r}i^l\alpha_i-li^{l-1}\beta_i=(-1)^l,\quad 0\leq l\leq p.
$$
Elle est stable si et seulement si l'\'equation
$\lambda^{r+1}-\alpha_0\lambda^r-\dots-\alpha_r=0$ a toutes ses racines de
module $\leq 1$, celles de module 1 \'etant simples. Dans ce cas, si
$(1-\alpha_0X-\dots-\alpha_rX^{r+1})^{-1}=\sum\gamma_nX^n$ et si
$\displaystyle\Gamma=\sup\,|\gamma_n|<+\infty$, la constante de stabilit\'e
vaut
$$
S=\Gamma\exp\,(\Gamma kT\sum|\beta_i|).
$$
M\'ethode de Nystr\"om (ordre 2)~: $y_{n+1}=y_{n-1}+2hf_n$.

\noindent M\'ethode de Milne (ordre 4)~: $y_{n+1}=y_{n-3}+h\Big(\dfrac{8}{3}\
f_n-\dfrac{4}{3}\ f_{n-1}+\dfrac{8}{3}\ f_{n-2}\Big)$.

\bigskip
\noindent$\ast$ {\bf M\'ethodes d'Adams-Bashforth} $AB_{r+1}$~:
$$
y_{n+1}=y_n+\int^{t_{n+1}}_{t_n}p_{n,r}(t)dt=y_n+h_n\sum_{0\leq i\leq r}
b_{n,i,r}f_{n-i},
$$
avec
$$
\eqalign{
p_{n,r}(t)&=\sum_{0\leq i\leq r}f_{n-i}L_{n,i,r}(t),\quad
L_{n,i,r}(t)=\prod_{\scriptstyle j\not=i\atop\scriptstyle 0\leq j\leq r}
\frac{t-t_{n-j}}{t_{n-i}-t_{n-j}},\cr
b_{n,i,r}&=\frac{1}{h_n}\int^{t_{n+1}}_{t_n}L_{n,i,r}(t)dt.\cr
}
$$
Erreur de consistance~: $|e_n|\leq|z^{(r+2)}(\xi)|h_nh_{\rm max}^{r+1}$\quad
avec\quad $\xi\in\ ]t_{n-r},t_{n+1}[$.

\noindent Constante de stabilit\'e~: $S=\exp\,(\beta_rkT)$\quad avec\quad
$\displaystyle\beta_r=\max_n\sum_i|b_{n,i,r}|$.

\bigskip
\noindent$\ast$ {\bf M\'ethodes d'Adams-Moulton $AM_{r+1}$~:}
$$
y_{n+1}=y_n+\int^{t_{n+1}}_{t_n}p^*_{n,r}(t)dt=y_n+h_n\sum_{-1\leq i\leq
r}b^*_{n,i,r}f_{n-i} 
$$
o\`u $p^*_{n,r}$ interpole les points $(t_{n+1},f_{n+1})\dots(t_{n-r},f_{n-r})$.
\vskip3pt
\noindent Erreur de consistance~: $|e^*_n|\leq|z^{(r+3)}(\xi)|h_nh_{\rm
max}^{r+2}(1+O(h_n))$, $\xi\in\ ]t_{n-r},t_{n+1}[$.
\vskip3pt
\noindent Constante de stabilit\'e~:
$S=\exp\,\left(\dfrac{\beta^*_rkT}{1-\gamma^*_rkh_{\rm max}}\right)$, avec
$$
\displaystyle\beta^*_r=\max_n\sum_{-1\leq i\leq r}|b^*_{n,i,r}|,\qquad
\displaystyle\gamma^*_r=\max_n|b^*_{n,-1,r}|.
$$
Si le pas $h_n=h$ est constant, les coefficients sont donn\'es par~:
$$
\offinterlineskip\halign{
\hfill#\hfill\quad&
\tv\quad\hfill#\hfill\quad&
\hfill#\hfill\quad&
\hfill#\hfill\quad&
\hfill#\hfill\quad&
\tv\quad\hfill#\hfill\quad&
\hfill#\hfill\quad&
\hfill#\hfill\quad&
\hfill#\hfill\quad&
\hfill#\hfill\quad\cr
$r$&$b_{0,r}$&$b_{1,r}$&$b_{2,r}$&$b_{3,r}$&$b^*_{-1,r}$
&$b^*_{0,r}$&$b^*_{1,r}$&$b^*_{2,r}$&$b^*_{3,r}$\cr
\noalign{\hrule}\vphantom{$\dfrac{\Big(}{(}$}%
0&1&&&&$\dfrac{1}{2}$&$\dfrac{1}{2}$&&&\cr
\noalign{\vskip-12pt}
&&&&&&&&&\cr
1&$\dfrac{3}{2}$&$-\dfrac{1}{2}$&&&$\dfrac{5}{12}$&$\dfrac{8}{12}$
&$-\dfrac{1}{12}$&&\cr
\noalign{\vskip-12pt}
&&&&&&&&&\cr
2&$\dfrac{23}{12}$&$-\dfrac{16}{12}$&$\dfrac{5}{12}$&&$\dfrac{9}{24}$
&$\dfrac{19}{24}$&$-\dfrac{5}{24}$&$\dfrac{1}{24}$&\cr
\noalign{\vskip-12pt}
&&&&&&&&&\cr
3&$\dfrac{55}{24}$&$-\dfrac{59}{24}$&$\dfrac{37}{24}$&$-\dfrac{9}{24}$
&$\dfrac{251}{720}$&
$\dfrac{646}{720}$&$-\dfrac{264}{720}$&$\dfrac{106}{720}$&$-\dfrac{19}{720}$\cr
}
$$


\bigskip
\noindent$\ast$ {\bf M\'ethodes de pr\'ediction-correction PECE et PEC}
$$
\cases{
\displaystyle P~:\quad py_{n+1}=\sum_{0\leq i\leq r}\alpha_{n,i}y_{n,i}
+h_n\sum_{0\leq i\leq r}\beta_{n,i}f_{n-i}\hfill\cr 
\noalign{\vskip3pt}
E~:\quad \pf_{n+1}=f(t_{n+1},py_{n+1})\hfill\cr
\noalign{\vskip12pt}
\displaystyle C~:\quad y_{n+1}=y_n+h_n(b^*_{n,-1,r}\pf_{n+1}
+\sum_{0\leq i\leq r}b^*_{n,i,r}f_{n-i})\hfill\cr 
\noalign{\vskip3pt}
E~:\quad f_{n+1}=f(t_{n+1},y_{n+1})\hfill\cr
}
$$
$$
\cases{
\displaystyle P~:\quad py_{n+1}=\sum_{0\leq i\leq r}\alpha_{n,i}y_{n,i}
+h_n\sum_{0\leq i\leq r}\beta_{n,i}\pf_{n-i}\hfill\cr
\noalign{\vskip3pt}
E~:\quad\pf_{n+1}=f(t_{n+1},py_{n+1})\hfill\cr
\noalign{\vskip12pt}
\displaystyle C~:\quad y_{n+1}=y_n+h_n\sum_{-1\leq i\leq r}b^*_{n,i,r}
\pf_{n-i}\hfill\cr}
\kern18pt\null
$$
Erreur de consistance~:
$$
|e_n|\leq\big(1+|b^*_{n,-1,r}|\,kh_n\big)|e^*_n|+b^*_{n,-1,r}|\,kh_n\,|pe_n|
$$
o\`u $e^*_n$ est l'erreur de consistance de $AM_{r+1}$ et $pe_n$ l'erreur
de consistance du pr\'edicteur.
\vskip3pt
\noindent Constante de stabilit\'e~:
\vskip3pt
m\'ethode PECE~:\quad $S=\exp((\beta^*_r+\gamma^*_r(A-1)B kh_{\rm max})kT)$
\vskip3pt
m\'ethode PEC~:\quad\enspace 
$\displaystyle S=\exp\left(\dfrac{\beta^*_rA kT}{1-Bk
h_{\rm max}}\right)$

\vskip3pt
\noindent o\`u $\displaystyle A=\max_n\sum_i|\alpha_{n,i}|$,
$\displaystyle B=\max_n\sum_i|\beta_{n,i}|$.


\bigskip
\noindent\displaychap Chapitre~X~:  Stabilit\'e des solutions et
points singuliers d'un champ de vecteurs|

\bigskip
\noindent{\bf Stabilit\'e des solutions.} Une solution de valeur
initiale $z_0$ en $t=t_0$ est dite stable (resp. asymptotiquement
stable) si l'\'ecart entre cette solution et la solution de valeur
initiale $z$ voisine de $z_0$ reste major\'ee sur tout l'intervalle
$[t_0,+\infty[$ par $C\Vert z-z_0\Vert$ o\`u $C$ est une constante
(resp. par $\gamma(t)\Vert z-z_0\Vert$ o\`u
$\displaystyle\lim_{t\rightarrow t_0}\gamma(t)=0$).

Un syst\`eme lin\'eaire $Y'=AY$ est asymptotiquement stable (resp.
stable) si les valeurs propres complexes de $A$ sont toutes de partie
r\'eelle $<0$ (resp. sont ou bien de partie r\'eelle $<0$, ou bien de
partie r\'eelle 0 et le bloc caract\'eristique correspondant est
diagonal).

\bigskip
\noindent{\bf Courbes int\'egrales d'une \'equation}
$\dfrac{{\textstyle d}\overrightarrow M}{dt}=\overrightarrow V(M)$ associ\'ee
\`a un champ de vecteurs $\overrightarrow V(x,y)=(f(x,y),g(x,y))$ dans le
plan.

On dit que $M_0=(x_0,y_0)$ est un point singulier si $\overrightarrow
V(M_0)=\overrightarrow 0$, r\'egulier sinon. Pour qu'un point singulier soit
asymptotiquement stable, il suffit que la matrice
$$
A=\pmatrix{
f'_x(x_0,y_0)&f'_y(x_0,y_0)\cr
\noalign{\vskip3pt}
g'_x(x_0,y_0)&g'_y(x_0,y_0)\cr
}
$$
ait ses valeurs propres de partie r\'eelle $<0$. On dit qu'un point
singulier est non d\'eg\'en\'er\'e si $\det\,A\not=0$; si $\lambda_1$
et $\lambda_2$ sont les valeurs propres de $A$, on a alors les
diff\'erentes configurations possibles suivantes~:

\medskip
\noindent$\ast$ $\lambda_1,\lambda_2$ r\'eelles, distinctes, de m\^eme
signe~: n{\oe}ud impropre,

\hskip9.75pc de signe oppos\'e~: col.

\noindent$\ast$ $\lambda_1=\lambda_2$ r\'eelles et $A$ diagonalisable~:
n{\oe}ud propre (si champ lin\'eaire),

\hskip6.3pc et $A$ non diagonalisable~: n{\oe}ud exceptionnel.

\noindent$\ast$ $\lambda_1,\lambda_2$ non r\'eelles de partie r\'eelle
non nulle~: foyer,

\hskip7.2pc de partie r\'eelle nulle~: centre (si champ lin\'eaire).

\bigskip
\noindent\displaychap Chapitre~XI~: \'Equations diff\'erentielles
d\'ependant d'un param\`etre|

\bigskip
\noindent{\bf D\'ependance de la solution.} \'Etant donn\'e une \'equation
$$
y'=f(t,y,\lambda),\quad y\in\bR^m,\leqno({\rm E}_{\lambda})
$$
o\`u $f$ d\'epend d'un param\`etre $\lambda\in\bR$ et est continue en
$(t,y,\lambda)$, la solution $y(t,y_0,\lambda)$ de (E$_{\lambda}$) de
valeur initiale $y_0$ en $t=t_0$ est~:

\medskip
{\parindent=0.8pc
\item{$\ast$} continue si $f$ est localement lispchitzienne en $y$

\item{$\ast$} de classe $C^1$ si $f$ admet des d\'eriv\'ees
partielles $f'_{y_j}$ et $f'_{\lambda}$ continues en $(t,y,\lambda)$.

\item{$\ast$} de classe $C^{k+1}$ si $f$ est de classe $C^k$ et admet
des d\'eriv\'ees partielles $f'_{y_j}$, $f'_{\lambda}$ de classe $C^k$
en $(t,y,\lambda)$.\medskip}

Dans ces deux derniers cas, la d\'eriv\'ee partielle
$v(t)=\dfrac{\partial}{\partial\lambda}\ y(t,y_0,\lambda_0)$ est la
solution de l'\'equation diff\'erentielle lin\'earis\'ee
$$
v'(t)=\sum_{j=1}^mf'_{y_j}(t,u(t),\lambda_0)v_j(t)+f'_{\lambda}(t,u(t),
\lambda_0)\leqno({\rm E}'_{\lambda_0}) 
$$
avec condition initiale $v(t_0)=0$ et avec $u(t)=y(t,y_0,\lambda_0)$.

Si la valeur initiale est elle-m\^eme une fonction $y_0(\lambda)$ de
classe $C^1$ en $\lambda$, la d\'eriv\'ee partielle
$v(t)=\dfrac{\partial}{\partial\lambda}\,y(t,y_0(\lambda),\lambda)$ en
$\lambda=\lambda_0$ satisfait la m\^eme \'equation lin\'earis\'ee
(E$'_{\lambda_0})$, avec condition initiale $v(t_0)=y'_0(\lambda_0)$.

\bigskip
\noindent{\bf M\'ethode des petites perturbations.} Si la solution
$u(t)=y(t,y_0,\lambda_0)$ est connue et si on peut calculer la solution
$v(t)$ de (E$'_{\lambda_0}$), on obtient un d\'eveloppement limit\'e au
premier ordre
$$
y(t,y_0,\lambda)=u(t)+(\lambda-\lambda_0)v(t)+o(\lambda-\lambda_0).
$$
}

\bye
