% Jean-Pierre Demailly
% Universit\'e de Grenoble I, Institut Fourier
% \'Equations Diff\'erentielles et Analyse Num\'erique
% Collection Grenoble-Sciences, Presses Universitaires de Grenoble
% Chapitre VII

\input equa-mac.tex

\blankline\blankline
\hfill\chtitle Chapitre VII|%
\blankline\blankline
\hfill\title Syst\`emes diff\'erentiels lin\'eaires|
\chaptitlerunning VII -- Syst\`emes diff\'erentiels lin\'eaires|
\vskip4pc

\noindent Les syst\`emes diff\'erentiels lin\'eaires ont une grande
importance pratique, car de nombreux ph\'enom\`enes naturels peuvent se
mod\'eliser par de tels syst\`emes, au moins en premi\`ere
approximation. On sait d'autre part r\'esoudre compl\'etement les
syst\`emes \`a coefficients constants, le calcul des solutions se
ramenant \`a des calculs d'alg\`ebre lin\'eaire (diagonalisation ou
triangulation de matrices). Dans toute la suite, $\bK$ d\'esigne l'un
des corps $\bR$ ou $\bC$.

\section 1. G\'en\'eralit\'es|

\subsection 1.1. D\'efinition|

\noindent Un syst\`eme diff\'erentiel lin\'eaire du premier ordre dans
$\bK^m$ est une \'equation
$$
\frac{dY}{dt}=A(t)Y+B(t)\leqno{\rm (E)}
$$
o\`u $Y(t)=\pmatrix{
y_1(t)\cr
\vdots\cr
y_m(t)\cr
}\in\bK^m$ est la fonction inconnue et o\`u
$$
A(t)=(a_{ij}(t))_{1\leq i,j\leq m}\in M_m(\bK),\quad B(t)=\pmatrix{
b_1(t)\cr
\vdots\cr
b_m(t)\cr
}\in\bK^m
$$
sont des fonctions {\it continues} donn\'ees~:
$$
\eqalign{
A &: I\rightarrow M_m(\bK)=\{\hbox{matrices carr\'ees $m\times m$ sur $\bK$}\},\cr
B &: I\rightarrow \bK^m,\cr
}
$$
d\'efinies sur un intervalle $I\subset \bR$.


On observe que la fonction $f(t,Y)=A't)Y+B(t)$ est continue sur $I\times\bK^m$ et
lipschitzienne en $Y$ de rapport
$$
k(t)=|||A(t)|||.
$$
D'apr\`es le crit\`ere V~3.4 sur l'existence de solutions globales, on peut \'enoncer~:

\bigskip
\majdeb
\state Th\'eor\`eme -- |  {\it Par tout point $(t_0,V_0)\in I\times\bK^m$ il passe
une solution maximale unique, d\'efinie sur $I$ tout entier.} 
\par\majfin\par

\subsection 1.2. Cas d'un syst\`eme lin\'eaire sans second membre|

\noindent On entend par l\`a un syst\`eme lin\'eaire avec $B=0$ identiquement~:
$$
\frac{dY}{dt}=A(t)Y.\leqno({\rm E}_0)
$$
Soit $\cS$ l'ensemble des solutions maximales. Alors pour tous
$Y_{(1)},Y_{(2)}\in\cS$ et tous scalaires $\lambda_1,\lambda_2\in\bK$ on a
$\lambda_1Y_{(1)}+\lambda_2Y_{(2)}\in\cS$, donc $\cS$ est un {\it $\bK$-espace
vectoriel}. Consid\'erons l'application d'\'evaluation au temps $t_0$~:
$$
\eqalign{
\phi_{t_0}: \cS&\rightarrow \bK^m\cr
Y&\mapsto Y(t_0).\cr
}$$
$\phi_{t_0}$ est un isomorphisme lin\'eaire, la surjectivit\'e provenant du th\'eor\`eme
d'existence, et l'injectivit\'e du th\'eor\`eme d'unicit\'e relatif au probl\`eme de
Cauchy.

\bigskip
\majdeb
\state Cons\'equence -- |  {\it L'ensemble $\cS$ des solutions maximales est un
espace vectoriel de dimension $m$ sur $\bK$.} 
\par\majfin\par

\subsection 1.3. Cas g\'en\'eral|

\noindent Revenons au syst\`eme lin\'eaire le plus g\'en\'eral~:
$$
\frac{dY}{dt}=A(t)Y+B(t).\leqno{\rm (E)}
$$
On sait qu'il existe au moins une solution globale $Y_{(1)}$. L'ensemble des solutions
maximales est alors
$$
Y_{(1)}+\cS=\{Y_{(1)}+Z\,;~Z\in\cS\}
$$
o\`u $\cS$ est l'ensemble des solutions maximales de l'\'equation homog\`ene
associ\'ee. $Y_{(1)}+\cS$ est un espace affine de dimension $m$ sur $\bK$.

\section 2. Syst\`emes diff\'erentiels lin\'eaires\hfill\break
\`a coefficients constants|

\noindent Ce sont les syst\`emes de la forme 
$$
\frac{dY}{dt}=AY+B(t)\leqno{\rm (E)}
$$
o\`u la matrice $A=(a_{ij})\in M_n(\bK)$ est ind\'ependante de $t$.

\subsection 2.1.\ Solutions exponentielles \'el\'ementaires de~
$\displaystyle\dfrac{dY}{dt}=AY$|

\noindent On cherche une solution de la forme $Y(t)=e^{\lambda t}V$ o\`u
$l\in\bK$, $V\in\bK^m$ sont des constantes. Cette fonction est solution
si et seulement si $\lambda e^{\lambda t}V=e^{\lambda t}AV$, soit 
$$
AV=\lambda V.
$$
On est donc amen\'e \`a chercher les valeurs propres et les
vecteurs propres de $A$.

\bigskip
\noindent{\tenpointbf Cas simple~: $A$ est diagonalisable.}

\medskip
Il existe alors une base $(V_1,\dots,V_m)$ de $\bK^m$ constitu\'ee de
vecteurs propres de $A$, de valeurs propres respectives
$\lambda_1,\dots,\lambda_m$. On obtient donc $m$ solutions
lin\'eairement ind\'ependantes
$$
t\mapsto e^{\lambda_j t}V_j,\quad 1\leq j\leq m.
$$
La solution g\'en\'erale est donn\'ee par
$$
Y(t)=\alpha_1e^{\lambda_1 t}V_1+\dots+\alpha_m e^{\lambda_mt}V_m,\quad \alpha_j\in \bK.
$$
{\tenpointbf Lorsque $A$ est n'est pas diagonalisable}, on a besoin en 
g\'en\'eral de la notion d'exponentielle d'une matrice. Toutefois le
cas des syst\`emes $2\times 2$ \`a coefficients constants est
suffisamment simple pour qu'on puisse faire les calculs \og \`a la
main\fg. Le lecteur pourra se reporter au \S\ X~2.2 pour une \'etude
approfondie de ce cas.

\subsection 2.2. Exponentielle d'une matrice|

La d\'efinition est calqu\'ee sur celle de la fonction exponentielle
complexe usuelle, calcul\'ee au moyen du d\'eveloppement en s\'erie
enti\`ere.\bigskip

\majdeb
\state D\'efinition -- |  {\it Si $A\in M(\bK)$, on pose
$\displaystyle e^A=\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{1}{n!}\ A^n$.} 
\par\majfin\par

\bigskip
Munissons $M_n(\bK)$ de la norme $|||\quad|||$ des op\'erateurs lin\'eaires sur $\bK^m$
associ\'ee \`a la norme euclidienne (resp. hermitienne) de $\bR^m$ (resp. $\bC^m$). On a
alors
$$
|||\frac{1}{n!}\ A^n|||\leq \frac{1}{n!}\ |||A|||^n,
$$
de sorte que la s\'erie $\sum \dfrac{1}{n!}\ A^n$ est absolument convergente. On voit de
plus que
$$
|||e^A|||\leq e^{|||A|||}.
$$

\bigskip
\majdeb
\state Propri\'et\'e fondamentale -- |  {\it Si $A,B\in M_m(\bK)$ commutent
$(AB=BA)$, alors
$$
e^{A+B}=e^B\cdot e^B.
$$}
\vskip-1.4\baselineskip
\majfin
\vskip0.7\baselineskip

\noindent{\prem V\'erification.} On consid\`ere la s\'erie produit $\sum
\dfrac{1}{p!}\ A^p\cdot\sum \dfrac{1}{q!}\ B^q$, dont le terme g\'en\'eral est
$$
C_n=\sum_{p+q=n}\frac{1}{p!q!}\ A^pB^q=\frac{1}{n!}\sum_{p=0}^n\ 
\frac{n!}{p!(n-p)!}\ A^pB^{n-p}=\frac{1}{n!}\ (A+B)^n
$$
d'apr\`es la formule du bin\^ome (noter que cette formule n'est vraie que si $A$ et $B$
commutent). Comme les s\'eries de $e^A$ et $e^B$ sont absolument convergentes, on en
d\'eduit
$$
e^A\cdot e^B=\sum_{n=0}^{+\infty} C_n=e^{A+B}.\eqno\blacksquare
$$
On voit en particulier que $e^A$ est une {\it matrice inversible}, d'inverse $e^{-A}$.

\bigskip
\state Remarque -- |La propri\'et\'e fondamentale tombe en d\'efaut lorsque
$A$ et $B$ ne commutent pas. Le lecteur pourra par exemple calculer 
$e^A\cdot e^B$ et $e^{A+B}$ avec
$$
A=\pmatrix{
0&0\cr
\theta&0\cr
}\quad\hbox{et}\quad
B=\pmatrix{
0&-\theta\cr
0&0\cr},
$$ 
avec $\theta\in\bR$. Que remarque-t-on~?

\bigskip
\state M\'ethode g\'en\'erale de calcul dans $M_n(\bC)$ -- | 
Toute matrice $A\in M_n(\bC)$ peut \^etre mise sous forme de blocs 
triangulaires correspondant aux diff\'erents sous-espaces caract\'eristiques 
de $A$. Il existe donc une matrice de passage $P$, dont les colonnes sont 
constitu\'ees par des vecteurs formant des bases des sous-espaces
caract\'eristiques, telle que
$$
T=P^{-1}AP
$$
soit une matrice triangulaire de la forme
$$
T=\pmatrix{
\boxmat{3pt}{T_1}&&&\smash{\lower6pt\bigzero}\cr
&\kern-14.6pt\boxmat{3pt}{T_2}&&\cr
&&\kern-14pt\ddots&\cr
\quad\lower-4pt\bigzero&&&\kern-14pt\boxmat{3pt}{T_s}
},\qquad T_j=\pmatrix{
\lambda_j&\ast&\dots&\ast\cr
0&\lambda_j&\ddots&\vdots\cr
\vdots&&\ddots&\ast\cr
0&\dots&0&\lambda_j\cr
},
$$
o\`u $\lambda_1,\dots,\lambda_s$ sont les valeurs propres distinctes de $A$. On a alors de
fa\c con \'evidente
$$
T^n=\pmatrix{
T_1^n&&&\smash{\lower6pt\bigzero}\cr
&\kern-12pt T^n_2&&\cr
&&\kern-12pt\ddots&\cr
\quad\lower-4pt\bigzero&&&\kern-12pt T^n_s\cr
},\qquad e^T=\pmatrix{
e^{T_1}&&&\smash{\lower6pt\bigzero}\cr
&\kern-12pt e^{T_2}&&\cr
&&\kern-12pt\ddots&\cr
\quad\lower-4pt\bigzero&&&\kern-12pt e^{T_s}\cr
}
$$
Comme  $A=PTP^{-1}$, il vient $A^n=PT^nP^{-1}$, d'o\`u
$$
e^A=Pe^TP^{-1}=P\pmatrix{
e^{T_1}&&&\smash{\lower6pt\bigzero}\cr
&\kern-12pt e^{T_2}&&\cr
&&\kern-12pt\ddots&\cr
\quad\lower-4pt\bigzero&&&\kern-12pt e^{T_s}\cr
}P^{-1}
$$
On est donc ramen\'e \`a calculer l'exponentielle $e^B$ lorsque $B$ est un bloc
triangulaire de la forme
$$
B=\pmatrix{
\lambda&\ast&\dots&\ast\cr
0&\lambda&\ddots&\vdots\cr
\vdots&\ddots&\ddots&\ast\cr
0&\dots&0&\lambda\cr
}=\lambda I+N\in M_p(\bK),
$$
o\`u $I$ est la matrice unit\'e et $N$ une matrice nilpotente $N=\pmatrix{
0&&\ast\cr
\vdots&\ddots&\cr
0&\dots&0\cr
}$ triangulaire sup\'erieure. La puissance $N^n$ comporte $n$ diagonales nulles \`a partir
de la diagonale principale (celle-ci incluse), en particulier $N^n=0$ pour $n\geq p$. On 
obtient donc
$$
e^N=I+\frac{1}{1!}\ N+\dots+\frac{1}{(p-1)!}\ N^{p-1}=\pmatrix{
1&\ast&\dots&\ast\cr
0&1&\ddots&\vdots\cr
\vdots&\ddots&\ddots&\ast\cr
0&\dots&0&1\cr
}.
$$
Comme $I$ et $N$ commutent, il vient finalement
$$
e^B=e^{\lambda I}e^N=e^{\lambda}e^N\qquad({\rm car}\ e^{\lambda I}=e^{\lambda}I).
$$

\bigskip
\majdeb
\state Formule -- |  ${\rm det}\,(e^A)=\exp({\rm tr}(A))$.
\par\majfin\par

\bigskip
\noindent{\prem V\'erification.} Dans le cas d'un bloc triangulaire 
$B\in M_p(\bK)$, on trouve
$$
{\rm det}\,(e^B)=(e^{\lambda})^p{\rm det}\,(e^N)=e^{p\lambda}={\rm exp}({\rm tr}(B)).
$$
On en d\'eduit donc
$$
\det\,(e^T)=\det\,(e^{T_1})\dots\det\,(e^{T_s})=\exp(\tr(T_1)+\dots+\tr(T_s))=\exp(\tr(T))
$$
Comme $A=PTP^{-1}$ et $e^A=Pe^TP^{-1}$, on a finalement
$$
\det\,(e^A)=\det\,(e^T),\quad \tr(A)=\tr(T)=\sum\ \hbox{valeurs
propres.}\eqno\hbox{\blacksquare} 
$$


\subsection 2.3. Solution g\'en\'erale du syst\`eme sans second 
membre \hbox{$\displaystyle\dfrac{dY}{dt}=AY$}\kern-2.6pt|

L'une des propri\'et\'es fondamentales de l'exponentiation des matrices
r\'eside dans le fait qu'elle est intimement li\'ee \`a la r\'esolution 
des \'equations lin\'eaires \`a coefficients constants $dY/dt=AY$.
\bigskip

\majdeb
\state Th\'eor\`eme -- |  {\it La solution $Y$ telle que $Y(t_0)=V_0$ est 
donn\'ee par
$$
Y(t)=e^{(t-t_0)A}\cdot V_0,\qquad\forall t\in\bR.
$$} 
\vskip-\baselineskip
\majfin
\vskip\baselineskip

\noindent{\prem D\'emonstration.} On a $Y(t_0)=e^0\cdot V_0=IV_0=V_0$.

\medskip
D'autre part, la s\'erie enti\`ere
$$
e^{tA}=\sum^{+\infty}_{n=0}\frac{1}{n!}\ t^nA^n
$$
est de rayon de convergence $+\infty$. On peut donc d\'eriver terme \`a terme pour tout
$t\in\bR$~:
$$
\frac{d}{dt}\ (e^{tA})=\sum_{n=1}^{+\infty}\ \frac{1}{(n-1)!}\
t^{n-1}A^n=\sum_{p=0}^{+\infty}\ \frac{1}{p!}\ t^pA^{p+1}, 
$$

\bigskip
\majdeb
\hfil$\displaystyle\dfrac{d}{dt}\ (e^{tA})=A\cdot e^{tA}=e^{tA}\cdot A$.\hfill
\par\majfin\par

\bigskip
Par cons\'equent, on a bien
$$
\frac{dY}{dt}=\frac{d}{dt}\ \Big(e^{(t-t_0)A}\cdot V_0\Big)=Ae^{(t-t_0)A}\cdot
V_0=AY(t).\eqno\blacksquare 
$$
En prenant $t_0=0$, on voit que la solution g\'en\'erale est donn\'ee par
$Y(t)=e^{tA}\cdot V$ avec $V\in\bK^m$.

Le calcul de $e^{tA}$ se ram\`ene au cas d'un bloc triangulaire $B=\lambda I+N\in
M_p(\bC)$. Dans ce cas on a $e^{tB}=e^{\lambda tI}e^{tN}=e^{\lambda t}e^{tN}$, avec
$$
\displaylines{
e^{tN}=\sum^{p-1}_{n=0}\ \frac{t^n}{n!}\ N^n=\pmatrix{
1&\kern-12pt Q_{12}(t)&\dots&\kern-6pt Q_{1p}(t)\cr
&\kern-12pt 1&\kern-12pt Q_{23}(t)&\vdots\cr
&\hfill\quad\ddots&\hfill\ddots&\cr
&&\kern-12pt 1&\kern-6pt Q_{p{-}1\,p}(t)\cr
\quad\bigzero&&&1\cr
}\cr
}
$$
o\`u $Q_{ij}(t)$ est un polyn\^ome de degr\'e $\leq j-i$, avec
$Q_{ij}(0)=0$. Les composantes de $Y(t)$ sont donc toujours des
fonctions exponentielles-polyn\^omes $\sum_{1\leq j\leq s}P_j(t)
e^{\lambda_j t}$ o\`u $\lambda_1,\dots,\lambda_s$ sont les
valeurs propres {\it complexes} de $A$ (m\^eme si $\bK=\bR$).

\subsection 2.4. Solution g\'en\'erale 
de\quad$\displaystyle\dfrac{dY}{dt}=AY+B(t)$|

\noindent Si aucune solution \'evidente n'appara\^\i t, on peut utiliser la
{\it m\'ethode de variation des constantes}, c'est-\`a-dire qu'on
cherche une solution particuli\`ere sous la forme $$
Y(t)=e^{tA}\cdot
V(t)
$$
o\`u $V$ est suppos\'ee diff\'erentiable. Il vient
$$
\eqalign{
Y'(t)&=Ae^{tA}\cdot V(t)+e^{tA}\cdot V'(t)\cr
&=AY(t)+e^{tA}\cdot V'(t).\cr
}
$$
Il suffit donc de choisir $V$ telle que $e^{tA}\cdot V'(t)=B(t)$, soit par exemple
$$
V(t)=\int^t_{t_0}e^{-uA}B(u)du,\quad t_0\in I.
$$
On obtient ainsi la solution particuli\`ere
$$
Y(t)=e^{tA}\int^t_{t_0}e^{-uA}B(u)du=\int^t_{t_0}e^{(t-u)A}B(u)du,
$$
qui est la solution telle que $Y(t_0)=0$. La solution g\'en\'erale du probl\`eme de Cauchy
telle que $Y(t_0)=V_0$ est donc

\bigskip
\majdeb
\hfil$\displaystyle Y(t)=e^{(t-t_0)A}\cdot V_0+\int^t_{t_0}e^{(t-u)A}B(u)du$.\hfill
\par\majfin\par

\bigskip
\state Exemple -- |  Une particule de masse $m$ et de charge \'electrique 
$q$ se d\'eplace dans $\bR^3$ sous l'action d'un champ magn\'etique
$\overrightarrow B$ et d'un champ \'electrique $\overrightarrow E$
uniformes et ind\'ependants du temps. Quelle est la trajectoire de la
particule~?

Si $\overrightarrow V$ et $\overrightarrow \gamma$ d\'esignent
respectivement la vitesse et l'acc\'el\'eration, la loi de Lorentz et
le principe fondamental de la dynamique donnent l'\'equation
$$
\overrightarrow F=m\overrightarrow \gamma=q\overrightarrow V\wedge
\overrightarrow B+q\overrightarrow E, 
$$
d'o\`u
$$
\overrightarrow \gamma=\frac{d\overrightarrow V}{dt}=\frac{q}{m}\ 
\overrightarrow V\wedge\overrightarrow B+\frac{q}{m}\ \overrightarrow E.
$$
Il s'agit d'un syst\`eme lin\'eaire o\`u la matrice $A$ (\`a
coefficients constants) est la matrice de l'application lin\'eaire
$\overrightarrow V\mapsto\dfrac{q}{m}\overrightarrow
V\wedge\overrightarrow B$. On confondra dans la suite $A$ avec cette
application lin\'eaire. Un calcul simple montre que
$$
A^2(\overrightarrow V)=\Big(\frac{q}{m}\Big)^2(\overrightarrow
V\wedge\overrightarrow B)\wedge\overrightarrow
B=-\Big(\frac{q}{m}\Big)^2B^2P_B(\overrightarrow V)
$$
o\`u $B=\Vert\overrightarrow B\Vert$ et o\`u $P_B$ d\'esigne le
projection orthogonale sur la plan vectoriel de vecteur normal
$\overrightarrow B$. Le sch\'ema est le suivant~:

\InsertFig 24.000 62.000 {
1 mm unit
  0.000   4.000 moveto 
 80.000   4.000 lineto 
stroke 
  0.000   4.000 moveto 
 15.000  29.000 lineto 
stroke 
 50.000  20.000 moveto 
  0.700 disk 
 30.000  90.000 vector 
 10.440 -16.699 vector 
 20.591  60.945 vector 
 26.101 163.301 vector 
 20.000 216.870 vector 
 21.000  90.000 vector 
 48.000  18.500 lineto 
stroke 
 48.000  18.500 moveto 
 50.000  17.900 lineto 
stroke 
 50.000  17.900 moveto 
 52.000  19.400 lineto 
stroke 
 48.000  20.600 moveto 
 46.000  19.100 lineto 
stroke 
 46.000  19.100 moveto 
 48.000  18.500 lineto 
stroke 
 48.000  20.600 moveto 
 48.000  22.800 lineto 
stroke 
 48.000  22.800 moveto 
 50.000  22.200 lineto 
stroke 
[   2.000   1.000 ] 0 setdash 
 50.000  41.000 moveto 
 60.000  38.000 lineto 
stroke 
 60.000  38.000 moveto 
 60.000  17.000 lineto 
stroke}
\LabelTeX   38.000   6.500 $\overrightarrow{V}\wedge\overrightarrow{B}$\ELTX
\LabelTeX   61.500  37.000 $\overrightarrow{V}$\ELTX
\LabelTeX   52.500  47.000 $\overrightarrow{B}$\ELTX
\LabelTeX   62.000  16.000 $P_B(\overrightarrow{V})$\ELTX
\LabelTeX   36.400  40.000 $Q_B(\overrightarrow{V})$\ELTX
\LabelTeX   19.000  29.500 $(\overrightarrow{V}\wedge\overrightarrow{B})
                            \wedge\overrightarrow{B}$\ELTX
\EndFig
\vskip3mm

On observe pour le calcul que $\overrightarrow V\wedge\overrightarrow
B=P_B(\overrightarrow V)\wedge\overrightarrow B$. On en d\'eduit alors
facilement
$$
\eqalign{
A^{2p}(\overrightarrow V)&=(-1)^p\Big(\frac{q}{m}\Big)^{2p}B^{2p}P_B(\overrightarrow
V),\quad p\geq 1\cr 
A^{2p+1}(\overrightarrow V)&=(-1)^p\Big(\frac{q}{m}\Big)^{2p+1}B^{2p}\overrightarrow
V\wedge \overrightarrow B,\cr
}
$$
cette derni\`ere relation \'etant encore valable pour $p=0$. En notant
$\omega=\dfrac{q}{m}\,B$, on en d\'eduit
$$
\eqalign{
e^{tA}(\overrightarrow V)&=\overrightarrow
V+\sum_{p=1}^{+\infty}(-1)^p\frac{\omega^{2p}t^{2p}}{(2p)!}\ P_B(\overrightarrow
V)+\sum_{p=0}^{+\infty}(-1)^p\frac{\omega^{2p+1}t^{2p+1}}{(2p+1)!}\ \frac{1}{B}\
\overrightarrow V\wedge\overrightarrow B\cr   
&=\overrightarrow V-P_B(\overrightarrow V)+\cos\,\omega t\,P_B(\overrightarrow
V)+\sin\,\omega t\ \frac{1}{B}\ \overrightarrow V\wedge\overrightarrow B.\cr 
}
$$
En l'absence de champ \'electrique, les \'equations du mouvement sont donn\'ees par
$$
\eqalign{
\overrightarrow V&=Q_B(\overrightarrow V\kern-3pt_0)+\cos\,\omega t\,P_B(\overrightarrow
V_0)+\sin\,\omega t\,\frac{1}{B}\ \overrightarrow V\kern-3pt_0\wedge\overrightarrow B\cr 
\overrightarrow{M_0M}&=tQ_B(\overrightarrow V\kern-3pt_0)+\frac{1}{w}\,\sin\,\omega t\,
P_B(\overrightarrow V\kern-3pt_0)+\frac{1-\cos\,\omega t}{\omega B}\ \overrightarrow
V_0\wedge\overrightarrow B\cr  
}
$$
o\`u $M_0$, $\overrightarrow V\kern-3pt_0$ d\'esignent la position et la vitesse en $t=0$ et $Q_B$
la projection orthogonale sur la droite $\bR\cdot\overrightarrow B$. Il est facile de voir
qu'il s'agit d'un mouvement h\'elico\"\i dal uniforme de pulsation $\omega$, trac\'e sur
un cylindre d'axe parall\`ele \`a $\overrightarrow B$ et de rayon $R=\Vert
P_B(\overrightarrow V\kern-3pt_0)\Vert/\omega$.

En pr\'esence d'un champ \'electrique $\overrightarrow E$, le calcul est ais\'e si
$\overrightarrow E$ est parall\`ele \`a $\overrightarrow B$. On a donc dans ce cas une
solution particuli\`ere \'evidente $\overrightarrow V=t\ \dfrac{q}{m}\ \overrightarrow E$,
d'o\`u les lois g\'en\'erales des vitesses et du mouvement~:
$$
\eqalign{
\overrightarrow V&=Q_B(\overrightarrow V\kern-3pt_0)+t\ \frac{q}{m}\ \overrightarrow
E+\cos\,\omega t\,P_B(\overrightarrow V\kern-3pt_0)+\sin\,\omega t\,\frac{1}{B}\,\overrightarrow
V_0\wedge\overrightarrow B,\cr 
\overrightarrow{M_0M}&=\left(tQ_B(\overrightarrow V\kern-3pt_0)+t^2\,\frac{q}{2m}\ \overrightarrow
E\right)+\frac{1}{\omega}\ \sin\,\omega t\,P_B(\overrightarrow V\kern-3pt_0)+\frac{1-\cos\,\omega
t}{\omega B}\ \overrightarrow V\kern-3pt_0\wedge\overrightarrow B.\cr 
} 
$$
Le mouvement est encore trac\'e sur un cylindre \`a base circulaire et sa pulsation est
constante, mais le mouvement est acc\'el\'er\'e dans la direction de l'axe.

Dans le cas g\'en\'eral, on d\'ecompose $\overrightarrow E=\overrightarrow
E\kern-2pt_{\scriptscriptstyle/\!/}+\overrightarrow E\kern-2pt_{\perp}$ en ses composantes
parall\`eles et orthogonales \`a $\overrightarrow B$, et on observe qu'il existe un vecteur
$\overrightarrow U$ orthogonal \`a $\overrightarrow B$ et $\overrightarrow E\kern-2pt_{\perp}$, tel
que $\overrightarrow U\wedge\overrightarrow B=\overrightarrow E\kern-2pt_{\perp}$. L'\'equation
diff\'erentielle devient 
$$
\frac{d\overrightarrow V}{dt}=\frac{q}{m}\ (\overrightarrow V+\overrightarrow
V)\wedge\overrightarrow B+\frac{q}{m}\ \overrightarrow E\kern-2pt_{\scriptscriptstyle/\!/} 
$$
de sorte que $\overrightarrow V+\overrightarrow U$ satisfait l'\'equation
diff\'erentielle correspondant \`a un champ \'electrique parall\`ele \`a $\overrightarrow
B$. En substituant $\overrightarrow V+\overrightarrow U$ \`a $\overrightarrow V$ et
$\overrightarrow V\kern-3pt_0+\overrightarrow U$ \`a $\overrightarrow V\kern-3pt_0$ dans
les formules, on obtient
$$
\eqalign{
\overrightarrow V+\overrightarrow U=&\ Q_B(\overrightarrow V_0)+t\ \frac{q}{m}\
\overrightarrow E\kern-2pt_{\scriptscriptstyle/\!/}+\cos\,\omega t\,\big(P_B(\overrightarrow
V\kern-3pt_0\big)+\overrightarrow U)\cr
&+\sin\,\omega t\,\frac{1}{B}\,(\overrightarrow
V\kern-3pt_0\wedge\overrightarrow B+\overrightarrow E\kern-2pt_{\perp}),\cr
\overrightarrow{M_0M}=&\ t\big(Q_B(\overrightarrow V\kern-3pt_0\big)-\overrightarrow U)+t^2\
\frac{q}{2m}\ \overrightarrow E\kern-2pt_{\scriptscriptstyle/\!/}+\frac{\sin\,\omega t}{\omega}\
\big(P_B(\overrightarrow V\kern-3pt_0\big)+\overrightarrow U)\cr
&+\frac{1-\cos\,\omega t}{\omega
B}\ (\overrightarrow V\kern-3pt_0\wedge\overrightarrow B+\overrightarrow
E\kern-2pt_{\perp}).\cr      
}
$$
Il s'agit encore d'un mouvement de type h\'elico\"\i dal acc\'el\'er\'e, mais cette fois le
mouvement n'est plus trac\'e sur un cylindre.

\InsertFig 5.000 70.000 {
1 mm unit
gsave 
  0.000  10.000 moveto 
 25.000  40.000 rect  clip  newpath 
 25.000  10.000 moveto 
[  25.000  10.000    24.751  10.796    24.348  11.281    23.880  11.668   
 23.370  11.998    22.829  12.288    22.265  12.547    21.680  12.782   
 21.079  12.996    20.462  13.193    19.832  13.374    19.189  13.540   
 18.536  13.694    17.872  13.835    17.198  13.966    16.514  14.085   
 15.822  14.194    15.120  14.293    14.411  14.382    13.692  14.462   
 12.965  14.531    12.230  14.592    11.487  14.642    10.735  14.682   
  9.975  14.712     9.205  14.731     8.426  14.739     7.637  14.734   
  6.861  14.716     6.100  14.685     5.354  14.641     4.626  14.582   
  3.916  14.509     3.227  14.418     2.562  14.310     1.926  14.179   
  1.327  14.022     0.780  13.830     0.316  13.586     0.019  13.252   
  0.365  12.664     1.012  12.364     1.682  12.163     2.374  12.009   
  3.085  11.886     3.811  11.787     4.551  11.708     5.305  11.646   
  6.070  11.599     6.847  11.567     7.635  11.549     8.434  11.544   
  9.241  11.552    10.033  11.573    10.812  11.604    11.578  11.647   
 12.332  11.699    13.075  11.762    13.807  11.834    14.528  11.915   
 15.238  12.006    15.937  12.107    16.625  12.217    17.303  12.337   
 17.968  12.467    18.622  12.609    19.263  12.761    19.890  12.925   
 20.503  13.103    21.100  13.294    21.679  13.501    22.238  13.724   
 22.773  13.968    23.282  14.235    23.757  14.529    24.189  14.858   
 24.563  15.232    24.853  15.671    24.998  16.214    24.814  16.971   
 24.428  17.484    23.969  17.885    23.466  18.224    22.931  18.520   
 22.370  18.785    21.789  19.024    21.190  19.242    20.576  19.441   
 19.948  19.625    19.308  19.794    18.657  19.950    17.994  20.094   
 17.322  20.226    16.640  20.347    15.949  20.458    15.250  20.559   
 14.541  20.650    13.825  20.731    13.099  20.803    12.366  20.865   
 11.624  20.917    10.874  20.959    10.115  20.991     9.347  21.012   
  8.570  21.022     7.783  21.019     7.004  21.004     6.239  20.975   
  5.491  20.933     4.760  20.877     4.046  20.807     3.353  20.720   
  2.683  20.614     2.041  20.488     1.435  20.336     0.876  20.152   
  0.393  19.920     0.053  19.608     0.167  19.100     0.818  18.721   
  1.481  18.500     2.167  18.334     2.872  18.203     3.594  18.097   
  4.330  18.013     5.080  17.946     5.842  17.895     6.615  17.859   
  7.400  17.836     8.196  17.828     9.003  17.832     9.799  17.849   
 10.582  17.877    11.352  17.916    12.109  17.966    12.855  18.025   
 13.590  18.094    14.314  18.173    15.028  18.261    15.730  18.359   
 16.422  18.466    17.103  18.583    17.772  18.711    18.429  18.849   
 19.074  18.998    19.705  19.158    20.322  19.332    20.924  19.519   
 21.509  19.721    22.074  19.939    22.617  20.177    23.134  20.436   
 23.619  20.721    24.066  21.039    24.459  21.398    24.778  21.815   
 24.976  22.321    24.929  22.993    24.589  23.587    24.153  24.022   
 23.665  24.381    23.141  24.693    22.590  24.969    22.016  25.217   
 21.424  25.443    20.816  25.649    20.193  25.839    19.558  26.013   
 18.910  26.174    18.252  26.322    17.584  26.459    16.906  26.584   
 16.218  26.699    15.522  26.804    14.817  26.899    14.103  26.984   
 13.381  27.059    12.651  27.125    11.912  27.181    11.165  27.227   
 10.410  27.263     9.645  27.288     8.872  27.303     8.089  27.305   
  7.304  27.294     6.534  27.271     5.779  27.234     5.041  27.184   
  4.320  27.119     3.619  27.039   ] scurve 
[   3.619  27.039     2.940  26.941     2.286  26.823     1.665  26.682   
  1.086  26.511     0.569  26.300     0.159  26.025     0.012  25.622   
  0.794  25.014     1.456  24.790     2.141  24.623     2.846  24.491   
  3.567  24.384     4.303  24.299     5.052  24.231     5.813  24.180   
  6.586  24.143     7.371  24.120     8.166  24.111     8.973  24.115   
  9.770  24.131    10.553  24.159    11.323  24.198    12.081  24.247   
 12.828  24.306    13.563  24.375    14.288  24.453    15.001  24.541   
 15.704  24.638    16.396  24.745    17.077  24.862    17.747  24.989   
 18.405  25.127    19.050  25.275    19.682  25.435    20.300  25.608   
 20.902  25.795    21.487  25.996    22.053  26.214    22.597  26.451   
 23.115  26.709    23.602  26.993    24.050  27.310    24.446  27.667   
 24.768  28.082    24.972  28.583    24.938  29.246    24.604  29.851   
 24.171  30.290    23.685  30.652    23.162  30.964    22.612  31.242   
 22.039  31.491    21.447  31.718    20.840  31.925    20.218  32.115   
 19.583  32.290    18.936  32.451    18.278  32.600    17.610  32.737   
 16.932  32.863    16.245  32.978    15.549  33.083    14.844  33.178   
 14.131  33.264    13.410  33.340    12.680  33.406    11.941  33.462   
 11.195  33.509    10.439  33.545     9.675  33.571     8.902  33.585   
  8.120  33.588     7.334  33.578     6.563  33.555     5.808  33.519   
  5.069  33.469     4.348  33.405     3.646  33.325     2.966  33.228   
  2.311  33.111     1.688  32.971     1.107  32.801     0.587  32.592   
  0.172  32.321     0.007  31.925     0.821  31.286     1.484  31.066   
  2.170  30.900     2.876  30.769     3.598  30.663     4.334  30.579   
  5.084  30.512     5.846  30.461     6.619  30.425     7.404  30.403   
  8.200  30.394     9.007  30.398     9.804  30.415    10.586  30.444   
 11.356  30.483    12.113  30.532    12.859  30.592    13.594  30.661   
 14.318  30.740    15.031  30.828    15.734  30.926    16.426  31.033   
 17.106  31.150    17.775  31.278    18.432  31.416    19.077  31.565   
 19.709  31.726    20.326  31.899    20.927  32.086    21.512  32.288   
 22.077  32.507    22.620  32.744    23.136  33.004    23.622  33.289   
 24.068  33.607    24.461  33.967    24.780  34.384    24.977  34.890   
 24.927  35.564    24.586  36.156    24.151  36.590    23.663  36.950   
 23.138  37.261    22.587  37.536    22.013  37.785    21.421  38.010   
 20.812  38.217    20.190  38.406    19.554  38.581    18.907  38.741   
 18.248  38.890    17.580  39.026    16.902  39.152    16.214  39.266   
 15.518  39.371    14.813  39.466    14.099  39.551    13.377  39.626   
 12.647  39.692    11.908  39.748    11.161  39.794    10.406  39.829   
  9.641  39.855     8.868  39.869     8.085  39.871     7.299  39.861   
  6.529  39.837     5.775  39.800     5.037  39.750     4.316  39.685   
  3.615  39.604     2.936  39.506     2.283  39.389     1.661  39.247   
  1.083  39.076     0.566  38.865     0.157  38.590     0.012  38.185   
  0.790  37.582     1.452  37.358     2.138  37.190     2.842  37.058   
  3.563  36.951     4.299  36.865     5.048  36.798     5.809  36.746   
  6.582  36.709     7.367  36.687     8.162  36.677     8.969  36.681   
  9.766  36.697    10.549  36.725    11.319  36.764    12.077  36.813   
 12.824  36.872    13.559  36.941    14.284  37.019    14.998  37.107   
 15.701  37.204    16.393  37.311    17.074  37.428    17.744  37.555   
 18.401  37.692    19.047  37.841   ] scurve 
[  19.047  37.841    19.679  38.001    20.297  38.174    20.899  38.360   
 21.484  38.561    22.050  38.779    22.594  39.016    23.112  39.274   
 23.599  39.558    24.048  39.874    24.444  40.232    24.767  40.646   
 24.972  41.147    24.940  41.808    24.606  42.415    24.174  42.854   
 23.688  43.216    23.165  43.529    22.615  43.807    22.042  44.056   
 21.451  44.283    20.843  44.490    20.221  44.680    19.586  44.855   
 18.939  45.017    18.281  45.166    17.614  45.303    16.936  45.429   
 16.249  45.544    15.553  45.649    14.848  45.744    14.135  45.830   
 13.414  45.906    12.684  45.972    11.945  46.028    11.199  46.075   
 10.443  46.111     9.679  46.137     8.906  46.152     8.124  46.155   
  7.338  46.145     6.567  46.122     5.812  46.086     5.073  46.036   
  4.352  45.972     3.650  45.892     2.969  45.795     2.314  45.678   
  1.691  45.538     1.110  45.369     0.590  45.160     0.173  44.889   
  0.006  44.494     0.825  43.851     1.489  43.631     2.175  43.465   
  2.881  43.334     3.603  43.229     4.339  43.145     5.089  43.078   
  5.851  43.027     6.624  42.991     7.409  42.969     8.205  42.960   
  9.013  42.965     9.809  42.982    10.591  43.010    11.361  43.050   
 12.118  43.099    12.864  43.159    13.599  43.228    14.323  43.307   
 15.036  43.395    15.739  43.493    16.430  43.600    17.111  43.718   
 17.780  43.845    18.437  43.983    19.081  44.132    19.713  44.293   
 20.330  44.467    20.931  44.654    21.515  44.856    22.080  45.075   
 22.623  45.312    23.140  45.572    23.625  45.858    24.071  46.176   
 24.464  46.536    24.782  46.954    24.978  47.461    24.926  48.135   
 24.584  48.726    24.147  49.160    23.659  49.518    23.134  49.829   
 22.583  50.105   ] scurve 
currentdash currentlinewidth grestore setlinewidth setdash gsave 
 35.000   8.000 moveto 
 25.000  42.000 rect  clip  newpath 
 60.000  10.000 moveto 
[  60.000  10.000    59.675  10.795    59.216  11.227    58.699  11.567   
 58.146  11.854    57.566  12.104    56.964  12.326    56.344  12.525   
 55.708  12.705    55.058  12.867    54.395  13.015    53.721  13.149   
 53.036  13.271    52.340  13.380    51.635  13.478    50.921  13.566   
 50.197  13.643    49.464  13.709    48.723  13.765    47.972  13.811   
 47.213  13.847    46.444  13.872    45.666  13.886    44.879  13.888   
 44.089  13.878    43.313  13.856    42.550  13.822    41.802  13.776   
 41.068  13.717    40.349  13.646    39.647  13.560    38.962  13.460   
 38.297  13.344    37.655  13.210    37.040  13.055    36.459  12.874   
 35.923  12.661    35.454  12.402    35.102  12.071    35.035  11.591   
 35.624  11.033    36.234  10.753    36.877  10.541    37.544  10.369   
 38.230  10.227    38.933  10.107    39.651  10.007    40.382   9.924   
 41.125   9.857    41.880   9.804    42.646   9.764    43.424   9.738   
 44.212   9.724    45.011   9.723    45.811   9.735    46.596   9.758   
 47.368   9.793    48.128   9.839    48.876   9.895    49.612   9.961   
 50.337  10.037    51.050  10.124    51.752  10.221    52.442  10.328   
 53.119  10.446    53.784  10.575    54.436  10.716    55.073  10.870   
 55.695  11.037    56.299  11.219    56.885  11.418    57.449  11.635   
 57.987  11.873    58.495  12.136    58.965  12.431    59.383  12.766   
 59.730  13.155    59.960  13.630    59.951  14.262    59.601  14.875   
 59.150  15.300    58.646  15.647    58.106  15.944    57.540  16.206   
 56.952  16.441    56.346  16.653    55.724  16.846    55.088  17.022   
 54.439  17.184    53.779  17.332    53.108  17.467    52.427  17.591   
 51.737  17.704    51.037  17.806    50.328  17.898    49.610  17.980   
 48.884  18.052    48.150  18.114    47.406  18.167    46.655  18.209   
 45.894  18.241    45.125  18.262    44.346  18.273    43.558  18.271   
 42.775  18.257    42.007  18.230    41.254  18.191    40.516  18.138   
 39.794  18.072    39.090  17.992    38.405  17.895    37.743  17.781   
 37.108  17.646    36.507  17.487    35.951  17.296    35.463  17.060   
 35.097  16.753    35.055  16.290    35.706  15.793    36.351  15.548   
 37.023  15.365    37.716  15.220    38.426  15.102    39.152  15.006   
 39.892  14.929    40.645  14.868    41.409  14.823    42.186  14.792   
 42.973  14.774    43.772  14.770    44.578  14.778    45.368  14.799   
 46.145  14.832    46.910  14.875    47.663  14.928    48.404  14.992   
 49.134  15.065    49.853  15.148    50.560  15.241    51.257  15.343   
 51.943  15.456    52.617  15.579    53.279  15.712    53.929  15.857   
 54.565  16.013    55.187  16.182    55.794  16.364    56.384  16.561   
 56.955  16.774    57.504  17.006    58.028  17.260    58.522  17.538   
 58.978  17.848    59.384  18.197    59.721  18.600    59.950  19.084   
 59.972  19.711    59.663  20.367    59.242  20.824    58.764  21.196   
 58.247  21.517    57.702  21.800    57.134  22.055    56.547  22.287   
 55.943  22.499    55.326  22.694    54.695  22.873    54.052  23.039   
 53.398  23.192    52.734  23.333    52.061  23.464    51.378  23.584   
 50.686  23.693    49.986  23.793    49.278  23.884    48.561  23.965   
 47.836  24.036    47.103  24.098    46.362  24.151    45.612  24.193   
 44.854  24.226    44.088  24.248    43.312  24.259    42.527  24.257   
 41.748  24.243    40.983  24.216    40.235  24.176    39.503  24.121   
 38.791  24.051    38.100  23.965   ] scurve 
[  38.100  23.965    37.433  23.859    36.796  23.732    36.200  23.577   
 35.660  23.385    35.218  23.136    35.000  22.778    36.070  22.048   
 36.758  21.866    37.467  21.729    38.193  21.622    38.934  21.538   
 39.689  21.473    40.457  21.426    41.237  21.395    42.028  21.378   
 42.831  21.375    43.638  21.385    44.429  21.408    45.206  21.442   
 45.971  21.487    46.723  21.542    47.465  21.607    48.195  21.681   
 48.915  21.765    49.624  21.858    50.323  21.960    51.011  22.072   
 51.689  22.193    52.355  22.324    53.010  22.466    53.653  22.617   
 54.284  22.781    54.901  22.956    55.503  23.143    56.090  23.345   
 56.659  23.562    57.209  23.796    57.736  24.050    58.236  24.326   
 58.704  24.629    59.132  24.965    59.507  25.345    59.806  25.783   
 59.983  26.312    59.921  27.007    59.599  27.604    59.184  28.056   
 58.716  28.433    58.211  28.763    57.678  29.057    57.123  29.323   
 56.549  29.567    55.958  29.791    55.353  29.999    54.735  30.191   
 54.106  30.370    53.465  30.536    52.815  30.691    52.155  30.835   
 51.485  30.968    50.808  31.092    50.121  31.206    49.427  31.311   
 48.725  31.407    48.015  31.493    47.297  31.571    46.571  31.640   
 45.838  31.699    45.097  31.750    44.348  31.790    43.591  31.820   
 42.825  31.840    42.050  31.848    41.267  31.843    40.495  31.825   
 39.741  31.793    39.005  31.746    38.290  31.683    37.599  31.602   
 36.936  31.500    36.312  31.372    35.742  31.211    35.264  30.998   
 35.001  30.687    36.202  29.998    36.924  29.851    37.662  29.743   
 38.414  29.663    39.180  29.605    39.960  29.566    40.751  29.543   
 41.554  29.535    42.369  29.542    43.167  29.562    43.950  29.594   
 44.720  29.637    45.477  29.690    46.223  29.753    46.958  29.825   
 47.682  29.906    48.397  29.996    49.101  30.095    49.795  30.202   
 50.479  30.319    51.153  30.445    51.816  30.580    52.469  30.724   
 53.110  30.879    53.740  31.044    54.357  31.220    54.962  31.408   
 55.552  31.609    56.126  31.823    56.683  32.053    57.221  32.299   
 57.736  32.565    58.226  32.853    58.684  33.167    59.104  33.514   
 59.474  33.902    59.774  34.345    59.967  34.870    59.965  35.537   
 59.693  36.195    59.312  36.684    58.873  37.092    58.393  37.448   
 57.883  37.766    57.349  38.054    56.795  38.319    56.223  38.563   
 55.637  38.789    55.037  39.000    54.425  39.197    53.802  39.381   
 53.169  39.553    52.526  39.715    51.873  39.866    51.212  40.007   
 50.543  40.139    49.866  40.261    49.181  40.375    48.488  40.480   
 47.788  40.576    47.080  40.664    46.366  40.744    45.644  40.814   
 44.914  40.876    44.177  40.929    43.433  40.972    42.681  41.005   
 41.921  41.028    41.152  41.039    40.375  41.037    39.606  41.021   
 38.856  40.989    38.127  40.942    37.424  40.876    36.752  40.789   
 36.122  40.676    35.558  40.525    35.118  40.314    35.095  39.958   
 35.991  39.612    36.743  39.475    37.504  39.383    38.277  39.320   
 39.064  39.280    39.862  39.258    40.672  39.252    41.488  39.262   
 42.287  39.286    43.069  39.321    43.838  39.367    44.594  39.423   
 45.339  39.489    46.073  39.563    46.796  39.647    47.510  39.739   
 48.214  39.839    48.909  39.948    49.593  40.065    50.268  40.191   
 50.934  40.326    51.589  40.469    52.234  40.622    52.869  40.784   
 53.492  40.956    54.104  41.139   ] scurve 
[  54.104  41.139    54.703  41.333    55.288  41.539    55.859  41.758   
 56.414  41.991    56.951  42.241    57.468  42.507    57.961  42.794   
 58.427  43.105    58.860  43.443    59.252  43.817    59.590  44.235   
 59.851  44.714    59.993  45.285    59.910  46.019    59.616  46.623   
 59.235  47.101    58.801  47.509    58.329  47.870    57.829  48.195   
 57.305  48.492    56.761  48.766    56.201  49.021    55.626  49.258   
 55.038  49.480    54.437  49.688    53.826  49.883    53.204  50.068   
] scurve 
currentdash currentlinewidth grestore setlinewidth setdash gsave 
 67.000   8.000 moveto 
 52.000  42.000 rect  clip  newpath
 90.000  10.000 moveto 
[  90.000  10.000    89.951  10.638    89.557  11.198    89.072  11.587   
 88.538  11.902    87.971  12.170    87.378  12.404    86.764  12.611   
 86.133  12.796    85.485  12.962    84.824  13.111    84.150  13.245   
 83.463  13.364    82.766  13.471    82.058  13.565    81.339  13.647   
 80.610  13.717    79.871  13.776    79.122  13.822    78.363  13.857   
 77.594  13.879    76.814  13.888    76.022  13.884    75.242  13.865   
 74.478  13.833    73.730  13.786    73.000  13.725    72.287  13.649   
 71.593  13.557    70.921  13.447    70.274  13.318    69.656  13.166   
 69.075  12.986    68.544  12.770    68.089  12.503    67.771  12.152   
 67.836  11.609    68.410  11.154    69.020  10.878    69.660  10.664   
 70.323  10.488    71.003  10.340    71.700  10.214    72.410  10.105   
 73.133  10.013    73.867   9.935    74.611   9.870    75.366   9.817   
 76.131   9.777    76.906   9.747    77.690   9.729    78.484   9.722   
 79.288   9.726    80.082   9.741    80.864   9.766    81.635   9.801   
 82.395   9.845    83.145   9.899    83.885   9.961    84.614  10.032   
 85.334  10.113    86.043  10.202    86.742  10.301    87.431  10.409   
 88.108  10.527    88.774  10.655    89.429  10.793    90.070  10.943   
 90.698  11.105    91.310  11.280    91.907  11.469    92.484  11.674   
 93.040  11.898    93.571  12.142    94.071  12.412    94.533  12.712   
 94.944  13.053    95.281  13.449    95.498  13.932    95.462  14.579   
 95.101  15.166    94.644  15.581    94.134  15.919    93.589  16.209   
 93.017  16.464    92.424  16.691    91.811  16.896    91.183  17.081   
 90.540  17.248    89.884  17.401    89.216  17.539    88.537  17.665   
 87.847  17.778    87.146  17.879    86.436  17.968    85.716  18.046   
 84.987  18.113    84.248  18.169    83.499  18.214    82.740  18.246   
 81.972  18.266    81.193  18.273    80.402  18.266    79.629  18.245   
 78.872  18.209    78.133  18.158    77.414  18.091    76.715  18.007   
 76.040  17.904    75.392  17.780    74.779  17.630    74.212  17.448   
 73.712  17.221    73.331  16.923    73.254  16.473    73.920  15.935   
 74.559  15.683    75.224  15.492    75.909  15.337    76.612  15.210   
 77.328  15.103    78.058  15.014    78.800  14.941    79.553  14.882   
 80.316  14.836    81.090  14.802    81.873  14.781    82.666  14.770   
 83.470  14.771    84.269  14.784    85.056  14.807    85.831  14.839   
 86.595  14.881    87.350  14.932    88.094  14.992    88.828  15.061   
 89.552  15.138    90.267  15.224    90.972  15.319    91.668  15.422   
 92.353  15.534    93.028  15.656    93.692  15.787    94.345  15.928   
 94.987  16.079    95.615  16.242    96.231  16.417    96.831  16.604   
 97.415  16.806    97.981  17.024    98.525  17.260    99.045  17.516   
 99.536  17.797    99.990  18.108   100.396  18.458   100.735  18.859   
100.969  19.338   101.005  19.953   100.705  20.623   100.286  21.081   
 99.807  21.453    99.289  21.771    98.742  22.052    98.171  22.303   
 97.580  22.530    96.972  22.736    96.350  22.925    95.714  23.098   
 95.065  23.257    94.405  23.402    93.735  23.535    93.054  23.656   
 92.363  23.766    91.663  23.865    90.953  23.953    90.235  24.031   
 89.507  24.098    88.770  24.153    88.024  24.198    87.268  24.231   
 86.503  24.252    85.727  24.260    84.941  24.253    84.171  24.231   
 83.420  24.193    82.689  24.140    81.980  24.068    81.297  23.977   
 80.643  23.863    80.029  23.722   ] scurve 
[  80.029  23.722    79.470  23.544    79.000  23.312    78.721  22.982   
 79.347  22.332    80.016  22.094    80.705  21.921    81.412  21.786   
 82.135  21.677    82.871  21.589    83.619  21.518    84.379  21.463   
 85.150  21.422    85.932  21.394    86.723  21.378    87.525  21.374   
 88.332  21.382    89.125  21.401    89.907  21.430    90.677  21.469   
 91.437  21.517    92.186  21.574    92.926  21.639    93.656  21.712   
 94.377  21.794    95.089  21.884    95.791  21.982    96.484  22.089   
 97.168  22.204    97.842  22.328    98.505  22.461    99.159  22.603   
 99.801  22.755   100.432  22.917   101.051  23.090   101.656  23.275   
102.248  23.473   102.823  23.684   103.381  23.911   103.918  24.155   
104.433  24.419   104.919  24.706   105.372  25.022   105.782  25.372   
106.134  25.769   106.401  26.231   106.524  26.799   106.329  27.577   
105.959  28.095   105.518  28.509   105.031  28.861   104.511  29.171   
103.965  29.449   103.398  29.701   102.813  29.931   102.212  30.142   
101.597  30.337   100.969  30.517   100.329  30.683    99.678  30.837   
 99.017  30.979    98.346  31.110    97.666  31.229    96.976  31.339   
 96.278  31.438    95.571  31.527    94.855  31.605    94.131  31.674   
 93.398  31.731    92.656  31.778    91.906  31.814    91.145  31.838   
 90.376  31.848    89.595  31.843    88.828  31.823    88.082  31.786   
 87.358  31.731    86.661  31.656    85.996  31.558    85.374  31.431   
 84.816  31.265    84.371  31.036    84.239  30.674    85.171  30.163   
 85.880  29.988    86.604  29.859    87.342  29.759    88.094  29.683   
 88.857  29.624    89.632  29.581    90.417  29.553    91.213  29.538   
 92.019  29.536    92.827  29.546    93.621  29.567    94.402  29.598   
 95.172  29.639    95.932  29.688    96.681  29.747    97.421  29.813   
 98.151  29.888    98.873  29.971    99.585  30.061   100.289  30.160   
100.983  30.266   101.669  30.381   102.345  30.503   103.012  30.634   
103.670  30.774   104.318  30.922   104.955  31.080   105.582  31.248   
106.197  31.426   106.799  31.615   107.388  31.816   107.963  32.030   
108.521  32.258   109.062  32.502   109.581  32.764   110.077  33.046   
110.544  33.352   110.977  33.688   111.364  34.061   111.692  34.482   
111.931  34.971   112.021  35.571   111.811  36.339   111.455  36.861   
111.028  37.286   110.557  37.653   110.053  37.977   109.523  38.270   
108.971  38.536   108.401  38.781   107.815  39.008   107.215  39.218   
106.602  39.413   105.977  39.594   105.341  39.763   104.695  39.920   
104.040  40.067   103.375  40.202   102.701  40.328   102.018  40.443   
101.327  40.549   100.628  40.645    99.921  40.731    99.206  40.808   
 98.482  40.874    97.751  40.931    97.011  40.976    96.262  41.010   
 95.504  41.032    94.738  41.040    93.961  41.031    93.206  41.006   
 92.477  40.962    91.777  40.896    91.115  40.805    90.508  40.681   
 89.995  40.506    89.710  40.235    91.439  39.549    92.190  39.446   
 92.953  39.371    93.728  39.317    94.513  39.280    95.309  39.259   
 96.116  39.252    96.932  39.258    97.734  39.276    98.521  39.305   
 99.297  39.343   100.061  39.391   100.815  39.447   101.559  39.512   
102.293  39.584   103.019  39.665   103.736  39.753   104.444  39.848   
105.144  39.951   105.835  40.062   106.518  40.180   107.192  40.306   
107.857  40.440   108.513  40.582   109.160  40.732   109.798  40.891   
110.425  41.060   111.041  41.237   ] scurve 
[ 111.041  41.237   111.647  41.425   112.240  41.624   112.820  41.835   
113.386  42.058   113.936  42.294   114.469  42.547   114.983  42.816   
115.473  43.105   115.937  43.417   116.369  43.757   116.760  44.130   
117.098  44.547   117.361  45.024   117.509  45.589   117.442  46.310   
117.155  46.923   116.777  47.404   116.344  47.813   115.873  48.173   
115.371  48.497   114.846  48.792   114.301  49.063   113.738  49.314   
113.161  49.548   112.569  49.765   111.965  49.969   111.350  50.159   
] scurve 
currentdash currentlinewidth grestore setlinewidth setdash gsave 
-23.000   8.000 moveto 
152.000  82.000 rect  clip  newpath 
 12.500  35.000 moveto 
  0.340 setlinewidth 
 25.000  90.000 vector 
 47.500  35.000 moveto 
 15.000  90.000 vector 
 25.000  90.000 vector 
 82.500  35.000 moveto 
 25.000  90.000 vector 
 20.518  46.975 vector
grestore}
\LabelTeX   14.500  57.000 $\overrightarrow{B}$\ELTX
\LabelTeX   49.500  57.000 $\overrightarrow{B}$\ELTX
\LabelTeX   43.000  47.000 $\overrightarrow{E}$\ELTX
\LabelTeX   84.500  57.000 $\overrightarrow{B}$\ELTX
\LabelTeX   98.000  48.000 $\overrightarrow{E}$\ELTX
\EndFig
\vskip-7mm

\section 3. \'Equations diff\'erentielles lin\'eaires d'ordre $p$\hfill\break
\`a coefficients constants|

\noindent On consid\`ere ici une \'equation diff\'erentielle sans second membre
$$
a_py^{(p)}+\dots+a_1y'+a_0y=0\leqno{\rm (E)}
$$
o\`u $y:\bR\rightarrow\bK$, $t\mapsto y(t)$ est la fonction inconnue, et o\`u les $a_j\in\bK$
sont des constantes, $a_p\not=0$.

D'apr\`es le paragraphe V 4.2, on sait que l'\'equation (E) est \'equivalente \`a un
syst\`eme diff\'erentiel (S) d'ordre 1 dans $\bK^p$, qui est le syst\`eme lin\'eaire sans
second membre $Y'=AY$ avec 
$$
A=\pmatrix{
0&1&0&\dots&0\cr
0&0&1&\dots&0\cr
\vdots&&&&\cr
0&0&0&\dots&1\cr
c_0&c_1&c_2&\dots&c_{p-1}\cr
},\quad c_j=-\dfrac{a_j}{a_p}.
$$

\noindent Gr\^ace au \S\ 1.1, on peut donc \'enoncer~:

\bigskip
\majdeb
\state Th\'eor\`eme -- |  {\it L'ensemble $\cS$ des solutions globales de {\rm
(E)} est un  $\bK$-espace vectoriel de dimension $p$.}
\par\majfin\par

\bigskip
Pla\c cons-nous maintenant sur le corps $\bC$ (si $\bK=\bR$, les solutions r\'eelles
s'obtiennent simplement en prenant la partie r\'eelle et la partie imaginaire des
solutions complexes). Cherchons les solutions exponentielles de la forme
$$
y(t)=e^{\lambda t},\quad \lambda\in\bC.
$$
Comme  $y^{(j)}(t)=\lambda^je^{\lambda t}$, on voit que $y$ est solution de (E) si et
seulement si $\lambda$ est racine du {\it polyn\^ome caract\'eristique}
$$
P(\lambda)=a_p\lambda^p+\dots+a_1\lambda+a_0.
$$

\subsection 3.1. Cas o\`u $P$ a toutes ses racines simples|

\noindent Si $P$ poss\`ede $p$ racines distinctes $\lambda_1,\dots,\lambda_p$, on obtient
$p$ solutions distinctes
$$
t\mapsto e^{\lambda_jt},\quad 1\leq j\leq p.
$$
On verra plus loin que ces solutions sont lin\'eairement ind\'ependantes sur $\bC$.
L'ensemble des solutions est donc l'espace vectoriel de dimension $p$ des fonctions
$$
y(t)=\alpha_1e^{\lambda_1 t}+\dots+\alpha_pe^{\lambda_pt},\quad\alpha_j\in\bC.
$$

\subsection 3.2. Cas o\`u $P$ a des racines multiples|

\noindent On peut alors \'ecrire
$$
P(\lambda)=a_p\prod_{j=1}^s(\lambda-\lambda_j)^{m_j}
$$
o\`u $m_j$ est la multiplicit\'e de la racine $\lambda_j$, avec
$$
m_1+\dots+m_s=p.
$$
Consid\'erons l'op\'erateur diff\'erentiel
$$
P\Big(\frac{d}{dt}\Big)=\sum_{i=0}^pa_i\ \frac{d^i}{dt^i}.
$$
On voit que l'\'equation diff\'erentielle \'etudi\'ee peut se r\'ecrire
$$
P\Big(\frac{d}{dt}\Big)y=0\leqno{\rm (E)}
$$
et on a d'autre part la formule
$$
P\Big(\frac{d}{dt}\Big)e^{\lambda t}=P(\lambda)e^{\lambda t},\qquad\forall\lambda\in\bC.
$$
Comme les d\'eriv\'ees partielles $\dfrac{d}{dt}$ et $\dfrac{d}{d\lambda}$ commutent
d'apr\`es le th\'eor\`eme de Schwarz, on obtient
$$
P\Big(\frac{d}{dt}\Big)(t^qe^{\lambda
t})=P\Big(\frac{d}{dt}\Big)\Big(\frac{d^q}{d\lambda^q}\ e^{\lambda t}\Big) 
=\frac{d^q}{d\lambda^q}\Big(P\Big(\frac{d}{dt}\Big)e^{\lambda t}\Big)
=\frac{d^q}{d\lambda^q}\Big(P(\lambda)e^{\lambda t}\Big),
$$
d'o\`u, gr\^ace \`a la formule de Leibnitz~:
$$
P\Big(\frac{d}{dt}\Big)(t^qe^{\lambda t})=\sum_{i=0}^qC^i_qP^{(i)}(\lambda)e^{\lambda t}.
$$
Comme $\lambda_j$ est racine de multiplicit\'e $m_j$, on a $P^{(i)}(\lambda_j)=0$ pour
$0\leq i\leq m_j-1$, et $P^{(m_j)}(\lambda_j)\not=0$. On en d\'eduit
$$
P\Big(\frac{d}{dt}\Big)\Big(t^qe^{\lambda_j t}\Big)=0,\qquad 0\leq q\leq m_j-1.
$$
L'\'equation (E) admet donc les solutions
$$
y(t)=t^qe^{\lambda_jt},\qquad 0\leq q\leq m_{j-1},\qquad 1\leq j\leq s
$$
soit au total $m_1+\dots+m_s=p$ solutions.

\bigskip
\majdeb
\state Lemme -- |  {\it Si $\lambda_1,\dots,\lambda_s\in\bC$ sont des nombres
complexes deux \`a deux distincts, alors les fonctions
$$
y_{j,q}(t)=t^qe^{\lambda_j t},\quad 1\leq j\leq s,\quad q\in\bN
$$
sont lin\'eairement ind\'ependantes.
} 
\par\majfin\par

\bigskip
\noindent{\prem D\'emonstration.} Consid\'erons une combinaison lin\'eaire 
finie
$$
\sum \alpha_{j,q}y_{j,q}=0,\quad \alpha_{j,q}\in\bC.
$$
Si les coefficients sont non tous nuls, soit $N$ le maximum des entiers $q$ tels qu'il
existe $j$ avec $\alpha_{j,q}\not=0$. Supposons par exemple $\alpha_{1,N}\not=0$. On pose
alors
$$
Q(\lambda)=(\lambda-\lambda_1)^N(\lambda-\lambda_2)^{N+1}\dots(\lambda-\lambda_s)^{N+1}
$$
Il vient $Q^{(i)}(\lambda_j)=0$ pour $j\geq 2$ et $0\leq i\leq N$, tandis que
$Q^{(i)}(\lambda_1)=0$ pour $0\leq i< N$ et $Q^{(N)}(\lambda_1)\not=0$. On en d\'eduit
$$
\eqalign{
Q\Big(\frac{d}{dt}\Big)(t^qe^{\lambda_j
t})&=\sum_{i=0}^qC^i_qQ^{(i)}(\lambda_j)t^{q-i}e^{\lambda_j t}\cr 
&=0\quad{\rm pour}\quad 0\leq q\leq N,\quad 1\leq j\leq s,\cr
}
$$
sauf si $q=N$, $j=1$, auquel cas
$$
Q\Big(\frac{d}{dt}\Big)(t^Ne^{\lambda_1t})=Q^{(N)}(\lambda_1)e^{\lambda_1t}.
$$ 
En appliquant l'op\'erateur $Q\Big(\dfrac{d}{dt}\Big)$ \`a la relation
$\sum\alpha_{j,q}t^qe^{\lambda_j t}=0$ on obtient alors
$\alpha_{1,N}Q^{(N)}(\lambda_1)e^{\lambda_1t}=0$, ce qui est absurde puisque
$\alpha_{1,N}\not=0$ et $Q^{(N)}(\lambda_1)\not=0$. Le lemme est d\'emontr\'e. On peut
donc \'enoncer~:

\bigskip
\majdeb
\state Th\'eor\`eme -- |  {\it Lorsque le polyn\^ome caract\'eristique $P(\lambda)$
a des racines complexes $\lambda_1,\dots,\lambda_s$ de multiplicit\'es respectives
$m_1,\dots,m_s$, l'ensemble $\cS$ des solutions est le $\bC$-espace vectoriel de
dimension $p$ ayant pour base les fonctions
$$
t\mapsto t^qe^{\lambda_j t},\quad 1\leq j\leq s,\quad 0\leq q\leq m_j-1.
$$}  
\vskip-\baselineskip
\majfin

\subsection 3.3. \'Equations lin\'eaires d'ordre $p$ avec second membre|

\noindent Soit \`a r\'esoudre l'\'equation diff\'erentielle
$$
a_py^{(p)}+\dots+a_1y'+a_0y=b(t),\leqno{\rm (E)}
$$
o\`u $b:I\rightarrow\bC$ est une fonction continue donn\'ee. On
commence par r\'esoudre l'\'equation sans second membre
$$
a_py^{(p)}+\dots+a_1y'+a_0 y=0.\leqno({\rm E}_0)
$$
Soit $(v_1,\dots,v_p)$ une base des solutions de (E$_0$). On
cherche alors une solution particuli\`ere de (E).

Dans un certain nombre de cas, une solution simple peut \^etre
trouv\'ee rapidement. Par exemple, si $b$ est un polyn\^ome de degr\'e
$d$ et si $a_0\not=0$, l'\'equation (E) admet une solution polynomiale
$y$ de degr\'e $d$, que l'on peut rechercher par identification des
coefficients. Si $b(t)=\alpha e^{\lambda t}$ et si $\lambda$ n'est pas
racine du polyn\^ome caract\'eristique, l'\'equation admet pour
solution $(\alpha/P(\lambda))e^{\lambda t}$. Si $b$ est une fonction
exponentielle-polyn\^ome, (E) admet une solution du m\^eme type (noter
que les fonctions trigonom\'etriques se ram\`enent \`a ce cas).

En g\'en\'eral, le principe consiste \`a appliquer la {\it m\'ethode
de variation des constantes au syst\`eme diff\'erentiel} (S) {\it
d'ordre 1 associ\'e \`a} (E).

Si on pose $y=y_0$, $y'=y_1,\dots,y^{(p-1)}=y_{p-1}$, l'\'equation (E)
\'equivaut au syst\`eme
$$
{\rm (S)}\quad\cases{
y'_0=y_1\cr
\noalign{\vskip3pt}
\vdots\cr
\noalign{\vskip3pt}
y'_{p-2}=y_{p-1}\cr
\noalign{\vskip3pt}
y'_{p-1}=-\dfrac{1}{a_p}\ (a_0y_0+a_1y_1+\dots+a_{p-1}y_{p-1})+\dfrac{1}{a_p}
\ b(t).\cr}
$$
Ce syst\`eme lin\'eaire peut se r\'ecrire (S):~$Y'=AY+B(t)$
avec
$$
Y=\pmatrix{
y_0\cr
\vdots\cr
y_{p-1}\cr
}\quad\hbox{et}\quad
B(t)=\pmatrix{
0\cr
\vdots\cr
0\cr
\dfrac{1}{a_p}\,b(t).\cr}
$$
\vskip3pt

\noindent Le syst\`eme homog\`ene (S$_0$) $Y'=AY$ admet pour base de
solutions les fonctions 
$$
V_1=\pmatrix{ v_1\cr v'_1\cr \vdots\cr
v_1^{(p-1)}\cr }\qquad V_2=\pmatrix{ v_2\cr v'_2\cr \vdots\cr
v_2^{(p-1)}\cr }\quad\dots\quad V_p=\pmatrix{ v_p\cr v'_p\cr
\vdots\cr v_p^{(p-1)}\cr }.
$$
On cherche alors une solution particuli\`ere de (S) sous la forme
$$
Y(t)=\alpha_1(t)V_1(t)+\dots+\alpha_p(t)V_p(t).
$$
Comme $V'_j=AV_j$, il vient
$$
\eqalign{
Y'(t)&=\sum \alpha_j(t)V'_j(t)+\sum \alpha'_j(t)V_j(t)\cr
&=AY(t)+\sum \alpha'_j(t)V_j(t).
}
$$
Il suffit donc de choisir les $\alpha_j$ tels que $\sum\alpha'_j(t) V_j(t)=B(t)$,
c'est-\`a-dire
$$
\cases{
\alpha'_1(t)v_1(t)+\dots+\alpha'_p(t)v_p(t)=0\cr
\noalign{\vskip3pt}
\dots\cr
\noalign{\vskip3pt}
\alpha'_1(t)v_1^{(p-2)}(t)+\dots+\alpha'_p(t)v_p^{(p-2)}(t)=0\cr
\noalign{\vskip3pt}
\alpha'_1(t)v_1^{(p-1)}(t)+\dots+\alpha'_p(t)v_p^{(p-1)}(t)=\dfrac{1}{a_p}\ b(t).\cr
}
$$
On obtient ainsi un syst\`eme lin\'eaire de $p$ \'equations par
rapport aux $p$ inconnues $\alpha'_1(t),\dots,\alpha'_p(t)$. Le
d\'eterminant de ce syst\`eme est non nul pour tout $t\in\bR$ (les
vecteurs $V_1(t),\dots,V_p(t)$ sont lin\'eairement ind\'ependants, car
si une combinaison lin\'eaire $Y=\beta_1V_1+\dots+\beta_pV_p$ est
telle que $Y(t)=0$, alors $Y\equiv 0$ d'apr\`es le th\'eor\`eme
d'unicit\'e, donc $\beta_1=\dots=\beta_p=0$).

La r\'esolution de ce syst\`eme permet de calculer
$\alpha'_1,\dots,\alpha'_p$, puis $\alpha_1,\dots,\alpha_p$ par
int\'egration, d'o\`u la solution particuli\`ere cherch\'ee~:
$$
y(t)=\alpha_1(t)v_1(t)+\dots+\alpha_p(t)v_p(t).
$$

\medskip
\state Exemple -- |  (E) $y''+4y=\tg\,t$,~ avec
$\displaystyle t\in\Big]-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\Big[$. 
\smallskip

\noindent$\bullet$ On commence par r\'esoudre l'\'equation sans second membre
$$
y''+4y=0.\leqno({\rm E}_0)
$$
Le polyn\^ome caract\'eristique est $P(\lambda)=\lambda^2+4$, et
poss\`ede deux racines simples $2i$ et $-2i$. L'\'equation (E$_0$)
admet pour base de solutions les fonctions $t\mapsto e^{2it}$,
$t\mapsto e^{-2it}$, ou encore~:
$$
t\mapsto \cos\,2t,\quad t\mapsto \sin\,2t.
$$
$\bullet$ On cherche ensuite une solution particuli\`ere de (E) en posant
$$
y(t)=\alpha_1(t)\cos\,2t+\alpha_2(t)\sin\,2t.
$$
Ceci conduit \`a r\'esoudre le syst\`eme
$$
\left\{\eqalign{
&\alpha'_1(t)\cos\,2t+\alpha'_2(t)\sin\,2t=0\hfil\cr
&\alpha'_1(t)\cdot (-2\sin\,2t)+\alpha'_2(t)\cdot(2\,\cos\,2t)=\tg\,t.\cr}
\right.
$$
Le d\'eterminant du syst\`eme \'etant \'egal \`a $2$, on obtient
$$
\eqalign{
&\left\{\eqalign{
\alpha'_1(t)&=-\dfrac{1}{2}\ \tg\,t\sin\,2t=-\sin^2t=-\frac{1}{2}\ 
(1-\cos\,2t)\cr
\alpha'_2(t)&=\dfrac{1}{2}\ \tg\,t\cos\,2t=\frac{1}{2}\ \tg\,t(2\cos^2t-1)
=\sin\,2t-\frac{1}{2}\ \tg\,t,\cr}
\right.\cr
\noalign{\vskip5pt}
&\left\{\eqalign{
\alpha_1(t)&=-\dfrac{t}{2}+\dfrac{1}{4}\ \sin\,2t\cr
\alpha_2(t)&=-\dfrac{1}{4}\ \cos\,2t+\dfrac{1}{2}\ \ln\,(\cos\,t),\cr}
\right.\cr}
$$
d'o\`u la solution particuli\`ere
$$
y(t)=-\frac{t}{2}\ \cos\,2t+\frac{1}{2}\ \sin\,2t\,\ln\,(\cos\,t).
$$
La solution g\'en\'erale est donc
$$
y(t)=-\frac{t}{2}\ \cos\,2t+\frac{1}{2}\
\sin\,2t\,\ln\,(\cos\,t)+\alpha_1\cos\,2t+\alpha_2\sin\,2t. 
$$

\section 4. Syst\`emes diff\'erentiels lin\'eaires \`a 
coefficients\hfill\break variables|

\noindent L'objet de ce paragraphe (avant tout th\'eorique) est de
g\'en\'eraliser les r\'esultats du \S\ 2 au cas des syst\`emes
lin\'eaires \`a coefficients variables.

\subsection 4.1. R\'esolvante d'un syst\`eme lin\'eaire|

\noindent Consid\'erons une \'equation lin\'eaire sans second membre
$$
Y'=A(t)Y\leqno({\rm E}_0)
$$
o\`u $A:\bR\supset I\rightarrow M_m(\bK)$ est une matrice $m\times
m$ sur $\bK$ \`a coefficients continus.

Soit $\cS$ l'ensemble des solutions maximales de (E$_0$). Pour tout
$t_0\in I$, on sait que
$$
\Phi_{t_0}:\cS\longrightarrow\bK^m,\qquad
Y\longmapsto Y(t_0)
$$
est un isomorphisme $\bK$-lin\'eaire. Pour tout couple $(t,t_0)\in
I^2$, on d\'efinit
$$
\eqalign{
R(t,t_0)=\Phi_t\circ\Phi_{t_0}^{-1}: \bK^m&{}\build\longrightarrow|
{\disp\Phi^{-1}_{t_0}}||\cS\build\longrightarrow|{\disp\Phi_t}||\bK^m\cr 
V&~\longmapsto Y \longmapsto Y(t).\cr
}$$

On a donc $R(t,t_0)\cdot V=Y(t)$, o\`u $Y$ est la solution telle que $Y(t_0)=V$. Comme
$R(t,t_0)$ est un isomorphisme $\bK^m\rightarrow\bK^m$, il sera identifi\'e \`a la matrice
inversible qui lui correspond canoniquement dans $M_m(\bK)$.

\bigskip
\majdeb
\state D\'efinition -- |  {\it $R(t,t_0)$ s'appelle la r\'esolvante du 
syst\`eme lin\'eaire $({\rm E}_0)$.}
\par\majfin\par

\bigskip
Pour tout vecteur $V\in\bK^m$, on a avec les notations ci-dessus
$$
\eqalign{
\left(\frac{d}{dt}\ R(t,t_0)\right)\cdot V&=\frac{d}{dt}\ \Big(R(t,t_0)\cdot V)\cr
&=\dfrac{dY}{dt}=A(t)Y(t)=A(t)R(t,t_0)\cdot V.\cr
}
$$
On en d\'eduit donc\quad $\dfrac{d}{dt}\ R(t,t_0)=A(t)R(t,t_0)$.

\bigskip
\majdeb
\state Propri\'et\'es de la r\'esolvante|
\vskip3pt
\it\parindent1.9pc
\item{\rm (i)} $\forall t\in I$,\qquad $R(t,t)=I_m$\qquad
(matrice unit\'e $m\times m$).
\vskip2pt
\item{\rm (ii)} $\forall (t_0,t_1,t_2)\in I^3$,\qquad $R(t_2,t_1)
R(t_1,t_0)=R(t_2,t_0)$.
\vskip2pt
\item{\rm (iii)} $R(t,t_0)$ est la solution dans $M_m(\bK)$ du syst\`eme 
diff\'erentiel
$$
\frac{dM}{dt}=A(t)M(t)
$$
\item{} o\`u $M(t)\in M_m(\bK)$ v\'erifie la condition initiale $M(t_0)=I_m$.
\par\majfin\par

\bigskip
(i) et (ii) sont imm\'ediats \`a partir de la d\'efinition de
$R(t,t_0)$ et (iii) r\'esulte de ce qui pr\'ec\`ede. Retenons enfin
que la solution du probl\`eme de Cauchy
$$
Y'=A(t)Y\quad{\rm avec}\quad Y(t_0)=V_0
$$
est donn\'ee par

\bigskip
\majdeb
\hfil$Y(t)=R(t,t_0)\cdot V_0$.\hfill
\par\majfin\par

\bigskip
\state Remarque -- |  Le syst\`eme $dM/dt=A(t)M(t)$ peut para\^\i tre plus
compliqu\'e que le syst\`eme initial puisqu'on a $m^2$ \'equations scalaires au lieu de
$m$ (on passe de $\bK^m$ \`a $M_m(\bK)$). Il est n\'eanmoins parfois utile de consid\'erer
ce syst\`eme plut\^ot que l'\'equation initiale, parce que tous les objets sont dans
$M_m(\bK)$ et qu'on peut exploiter la structure d'alg\`ebre de $M_m(\bK)$.

\bigskip
\state Exemple -- |  Supposons que
$$
A(t)A(u)=A(u)A(t)\quad\hbox{pour tous $t,u\in I$.}\eqno(*)
$$
Alors
$$
R(t,t_0)=\exp\,\left(\int^t_{t_0}A(u)du\right).
$$
Pour le voir, il suffit de montrer que $\displaystyle
M(t)=\exp\left(\int^t_{t_0}A(u)du\right)$ satisfait la condition (iii) ci-dessus. Il est
clair que $M(t_0)=I_m$. Par ailleurs l'hypoth\`ese de commutation $(*)$ entra\^\i ne
que $\displaystyle\int^b_a A(u)du$ et $\displaystyle\int^d_cA(u)du$ commutent pour tous
$a,b,c,d\in I$, le produit \'etant \'egal dans les deux cas \`a
$$
\int\!\!\!\int_{[a,b]\times[c,d]}A(u)A(v)dudv
$$
par le th\'eor\`eme de Fubini. On a donc
$$
\eqalign{
M(t+h)&=\exp\left(\int^t_{t_0}A(u)du+\int^{t+h}_t A(u)du\right)\cr
&=\exp\left(\int^{t+h}_{t}A(u)du\right)M(t).\cr
}
$$
Or $\displaystyle\int^{t+h}_t A(u)du=hA(t)+o(h)$, donc utilisant le d\'eveloppement en
s\'erie de l'exponentielle on trouve
$$
\eqalign{
M(t+h)&=(I_m+h A(t)+o(h))M(t)\cr
&=M(t)+hA(t)M(t)+o(h),\cr
}
$$
ce qui montre bien que $dM/dt=A(t)M(t)$.

En particulier, si $U$ et $V$ sont des matrices constantes qui commutent et si
$A(t)=f(t)U+g(t)V$ pour des fonctions scalaires $f,g$, alors l'hypoth\`ese $(*)$ est
satisfaite. On a donc
$$
\eqalign{
R(t,t_0)&=\exp\left(\int^t_{t_0}f(u)du\cdot U+\int^t_{t_0}g(u)du\cdot V\right)\cr
&=\exp\left(\int^t_{t_0}f(u)du\cdot U\right)\exp\left(\int^t_{t_0}g(u)du\cdot V\right).\cr
}
$$

\medskip
\majedeb
\state Exercice 1 -- |  {\it Utiliser la derni\`ere remarque de l'exemple pour
calculer la r\'esolvante associ\'ee aux matrices
$$
A(t)=\pmatrix{
a(t)&-b(t)\cr
b(t)&\hfill a(t)\cr
},\quad{\rm resp.}\quad A(t)=\pmatrix{
1&0&\cos^2t\cr
0&1&\cos^2t\cr
0&0&\sin^2t\cr
}.
$$}
\vskip-12pt
\par\majefin\par

\bigskip
\majedeb
\state Exercice 2 -- |  {\it R\'esoudre le syst\`eme lin\'eaire
$$
\cases{
\dfrac{dx}{dt}=\dfrac{1}{t}\,x+ty\cr
\dfrac{dy}{dt}=y\hfill\cr
}\quad\hbox{o\`u}\quad A(t)=\pmatrix{
1/t&t\cr
0&1\cr
}
$$
et en d\'eduire la formule donnant la r\'esolvante $R(t,t_0)$.\hfill\break
Montrer que dans ce cas on a
$$
R(t,t_0)\not=\exp\left(\int^t_{t_0}A(u)du\right).
$$\vskip-9pt}
\par\majefin\par

\medskip
L'exercice 2 montre que c'est le plus souvent la r\'esolution du syst\`eme qui permet de
d\'eterminer la r\'esolvante, et non pas l'inverse comme pourrait le laisser croire la
terminologie.

\subsection 4.2. Wronskien d'un syst\`eme de solutions|

\noindent On va voir ici qu'on sait toujours calculer le d\'eterminant d'un
syst\`eme de solutions, ou ce qui revient au m\^eme, le d\'eterminant
de la r\'esolvante, m\^eme lorsque la r\'esolvante n'est pas connue.

\bigskip
\majdeb
\state D\'efinition -- |  {\it Le Wronskien d'un syst\`eme de $m$ solutions
$Y_1,Y_2,\dots,Y_m$ de $({\rm E}_0)$ est
$$
W(t)=\det\,(Y_1(t),\dots,Y_m(t))
$$} 
\vskip-\baselineskip
\majfin
\vskip\baselineskip

Posons $V_j=Y_j(t_0)$. Alors $Y_j(t)=R(t,t_0)\cdot V_j$, d'o\`u 
$$
W(t)=\det\,(R(t,t_0))\cdot \det\,(V_1,\dots,V_m).
$$
On est donc ramen\'e \`a calculer la quantit\'e
$$
\Delta (t)=\det\,(R(t,t_0)),
$$
et pour cela on va montrer que $\Delta(t)$ v\'erifie une \'equation
diff\'erentielle simple. On a
$$
\eqalign{
\Delta(t+h)&=\det\,(R(t+h,t_0))=\det\,(R(t+h,t)R(t,t_0))\cr
&=\det\,(R(t+h,t))\Delta(t).\cr
}
$$
Comme $R(t,t)=I_m$ et $\dfrac{d}{du}\ 
R(u,t)|_{u=t}=A(t)R(t,t)=A(t)$, la formule de Taylor donne
$$
\eqalign{
R(t+h,t)&=I_m+hA(t)+o(h),\cr
\det\,(R(t+h,t))&=\det\,(I_m+hA(t))+o(h).\cr
}
$$

\bigskip
\majdeb
\state Lemme -- |  {\it Si $A=(a_{ij})\in M_m(\bK)$, alors
$$
\det\,(I_m+hA)=1+\alpha_1 h+\dots+\alpha_m h^m
$$
avec $\displaystyle\alpha_1=\tr\,A=\sum_{1\leq i\leq m}a_{ii}$.}
\par\majfin\par

\bigskip
En effet dans $\det\,(I_m+hA)$ le terme diagonal est
$$
(1+ha_{11})\dots(1+ha_{mm})=1+h\sum a_{ii}+h^2\dots
$$
et les termes non diagonaux sont multiples de $h^2$.\hfill\blacksquare

\medskip
Le lemme entra\^\i ne alors
$$
\eqalign{
&\det\,(R(t+h,t))=1+h\,\tr\,(A(t))+o(h),\cr
&\Delta(t+h)=\Delta(t)+h\,\tr\,(A(t))\Delta(t)+o(h).\cr
}
$$
On en d\'eduit
$$
\Delta'(t)=\tr\,(A(t))\Delta(t),
$$


et comme $\Delta(t_0)=\det\,(R(t_0,t_0))=\det\,I_m=1$, il vient~:

\bigskip
\majdeb
\hfil$\eqalign{
&\displaystyle\det\,R(t,t_0)=\Delta(t)=\exp\left(\int^t_{t_0}\tr\,A(u)du\right),\cr
&\displaystyle W(t)=\exp\,\left(\int^t_{t_0}\tr\,A(u)du\right)\det\,(V_1,\dots,V_m).\cr
}$\hfill
\par\majfin\par

\subsection 4.3. M\'ethode de variation des constantes|

\noindent Soit \`a r\'esoudre le syst\`eme diff\'erentiel lin\'eaire
$$
Y'=A(t)Y+B(t),\leqno{\rm (E)}
$$
et soit $R(t,t_0)$ la r\'esolvante du syst\`eme lin\'eaire sans second membre
$$
Y'=A(t)Y.\leqno({\rm E}_0)
$$
On cherche alors une solution particuli\`ere de (E) sous la forme
$$
Y(t)=R(t,t_0)\cdot V(t)
$$
o\`u $V$ est suppos\'ee diff\'erentiable. Il vient
$$
\eqalign{
\frac{dY}{dt}&=\Big(\frac{d}{dt}\ R(t,t_0)\Big)\cdot V(t)+R(t,t_0)\cdot V'(t)\cr
&=A(t)R(t,t_0)\cdot V(t)+R(t,t_0)\cdot V'(t)\cr
&=A(t)Y(t)+R(t,t_0)\cdot V'(t).\cr
}
$$
Il suffit donc de prendre $R(t,t_0)\cdot V'(t)=B(t)$, c'est-\`a-dire
$$
\eqalign{
V'(t)&=R(t_0,t)\cdot B(t),\cr
V(t)&=\int^t_{t_0}R(t_0,u)\cdot B(u)du,\cr
Y(t)&=R(t,t_0)\cdot V(t)=\int^t_{t_0}R(t,t_0)R(t_0,u)\cdot B(u)du,\cr
Y(t)&=\int^t_{t_0}R(t,u)B(u)du.\cr
}
$$
On obtient ainsi la solution particuli\`ere telle que $Y(t_0)=0$. La solution telle que
$Y(t_0)=V_0$ est donn\'ee par

\bigskip
\majdeb
\hfil$\displaystyle Y(t)=R(t,t_0)\cdot V_0+\int^t_{t_0}R(t,u)B(u)du$.\hfill
\par\majfin\par

\bigskip
Dans le cas o\`u $A(t)=A$ est \`a coefficients constants on retrouve la formule du
\S~2.4, dans laquelle $R(t,t_0)=e^{(t-t_0)A}$,
et la formule du Wronskien \'equivaut \`a l'identit\'e d\'ej\`a connue
$$
\det\,(e^{(t-t_0)A})=\exp\,((t-t_0)\tr\,A).
$$

\section 5. Probl\`emes|

{\parindent1.4pc
\noindent{\bf 5.1.} Soient $b$ et $c$ deux fonctions continues sur un 
intervalle fix\'e $T=[0,\tau[$. Soit (S) le syst\`eme diff\'erentiel
lin\'eaire \`a coefficients constants et avec second membre
$$
\cases{
x'=\hfill y+b(t)\cr
\noalign{\vskip3pt}
y'=2x-y+c(t)\cr
}
$$
et soit (S$_0$) le syst\`eme sans second membre associ\'e (pour
lequel $b(t)=c(t)=0$).  \medskip

\item{(a)} \'Ecrire la matrice $A$ de (S$_0$), et calculer $e^{tA}$. 

\medskip
\item{(b)} D\'eterminer la solution  g\'en\'erale du syst\`eme (S$_0$).

\medskip
\item{(c)} D\'eterminer la solution g\'en\'erale du syst\`eme (S) pour $b(t)=0$,
$c(t)=e^{-t}$.



\bigskip
\noindent{\bf 5.2.} Soit $t$ une variable r\'eelle $\geq 0$. On consid\`ere le syst\`eme
diff\'erentiel lin\'eaire
$$
{\rm (S)}\quad\cases{
x'=\hfill 2y\cr
\noalign{\vskip3pt}
y'=x-y\cr
}
$$

\item{(a)} \'Ecrire la matrice $A$ de (S), montrer qu'elle a deux valeurs propres r\'eelles
$\lambda$ et $\mu$ $(\lambda>\mu)$ et d\'eterminer les sous-espaces propres
correspondants.

\medskip
\item{(b)} On pose $e_x=\pmatrix{1\cr 0\cr}$, $e_y=\pmatrix{0\cr 1\cr}$, et on note
respectivement $v_{\lambda}=\pmatrix{x_{\lambda}\cr y_{\lambda}\cr}$ et
$v_{\mu}=\pmatrix{x_{\mu}\cr y_{\mu}\cr}$ les vecteurs propres associ\'es \`a $\lambda$
et $\mu$  tels que $y_{\lambda}=y_{\mu}=1$.

\item{} Calculer $x_{\lambda}$, $x_{\mu}$. D\'eterminer la matrice de passage $P$ de
l'ancienne base $(e_x,e_y)$ \`a la nouvelle base $(v_{\lambda},v_{\mu})$, et calculer sa
matrice inverse $P^{-1}$.

\medskip
\item{(c)} On pose $e^{tA}=\pmatrix{a(t)\quad b(t)\cr c(t)\quad d(t)\cr}$.
Calculer explicitement $a(t)$, $b(t)$, $c(t)$, $d(t)$.

\item{} Donner la solution du syst\`eme (S) v\'erifiant les conditions initiales
$x(0)=x_0$, $y(0)=y_0$.

\medskip
\item{(d)} Soit $T(x_0,y_0)$ la trajectoire $t\mapsto\pmatrix{x(t)\cr y(t)\cr}=M(t)$
correspondant aux conditions initiales $M(0)=\pmatrix{x_0\cr y_0\cr}$.

\smallskip
\itemitem{$(\alpha)$} Pour quelles positions de $M(0)$ cette trajectoire
$T(x_0,y_0)$ est-elle une demi-droite~?

\smallskip
\itemitem{$(\beta)$} Pour quelles positions de $M(0)$ tend-elle vers $0$ 
quand $t\rightarrow+\infty$~?

\smallskip
\itemitem{$(\gamma)$} Indiquer sur un m\^eme figure~:

\itemitem{} $\bullet$ la forme des trajectoires $T(x_0,0)$ partant d'un point 
$(x_0,0)$, $x_0>0$,\break $\phantom{\bullet}$~de l'axe des $x$~;

\itemitem{} $\bullet$ la forme des trajectoires $T(0,y_0)$ partant d'un point 
$(0,y_0)$, $y_0>0$,\break $\phantom{\bullet}$~de l'axe des $y$.

\bigskip
\noindent{\bf 5.3.} On note $t$ une variable r\'eelle, et on consid\`ere les deux matrices
$$
B=\pmatrix{0&1\cr
\noalign{\vskip3pt}
1&0\cr
},\quad C=\pmatrix{1&1\cr
\noalign{\vskip3pt}
0&1\cr
}.
$$

\item{(a)} Pour tout $n\geq 0$, calculer explicitement $B^n$ et $C^n$, et en d\'eduire
$e^{tB}$ et $e^{tC}$.

\medskip
\item{(b)} M\^emes questions pour la matrice
$$
A=\pmatrix{
0&1&0&0\cr
1&0&0&0\cr
0&0&1&1\cr
0&0&0&1\cr
}.
$$

\item{} On pose maintenant $T=[0,+\infty[$~; on note $b_i(t)$ $(1\leq i\leq 4)$ quatre
fonctions continues sur $T$, et on consid\`ere le syst\`eme diff\'erentielle lin\'eaire
avec second membre
$$
{\rm (S)}\quad\cases{
y'_1=\qquad y_2\hfill +b_1(t)\cr
y'_2=y_1\hfill +b_2(t)\cr
y'_3=\qquad\qquad\hfill y_3+y_4+b_3(t)\cr
y'_4=\hfill y_4+b_4(t)&.\cr
}
$$
\item{} On note (S$_0$) le syst\`eme sans second membre associ\'e \`a (S).

\medskip
\item{(c)} \'Ecrire la solution de (S$_0$) correspondant \`a des conditions initiales
$y_i(0)=v_i$, les $v_i$ $(1\leq i\leq 4)$ \'etant quatre constantes donn\'ees.

\medskip
\item{(d)} Indiquer comment on peut alors r\'esoudre (S) par la m\'ethode dite de variation
des constantes, et appliquer cette m\'ethode au cas particulier
$$
b_1(t)=1,\quad b_2(t)=b_3(t)=0,\quad b_4=e^t.
$$



\bigskip
\vbox{
\noindent{\bf 5.4.} On consid\`ere l'\'equation lin\'eaire du 3$^{\rm e}$ ordre
$$
y'''+y''+y'+y=\cos\,t,\leqno{\rm (E)}
$$
o\`u $y$ d\'esigne une fonction inconnue de la variable $t\geq 0$.}
\medskip

\item{(a)} D\'eterminer la solution g\'en\'erale de l'\'equation sans second membre
associ\'ee \`a~(E).

\medskip
\item{(b)} A l'aide de la m\'ethode de variation des constantes, d\'eterminer la
solution  g\'en\'erale de l'\'equation (E).

\medskip
\item{(c)} Montrer que (E) admet une solution et une seule de la forme
$At\,\cos\,t+Bt\,\sin\,t$~: la d\'eterminer explicitement, et tracer son graphe.



\bigskip
\noindent{\bf 5.5.} On consid\`ere dans $\bR^2$ le syst\`eme diff\'erentiel
$$
\left\{
\eqalign{
\dfrac{dx}{dt}&=tx-y\cr
\noalign{\vskip3pt}
\dfrac{dy}{dt}&=x+ty\cr}
\right.
$$
o\`u $x,y$ sont des fonctions r\'eelles de la variable r\'eelle $t$.
\medskip

\item{(a)} R\'esoudre  le probl\`eme de Cauchy de donn\'ee initiale $(x_0,y_0)$ au temps
$t_0=0$ (on pourra poser $z=x+iy$).

\medskip
\item{(b)} M\^eme question pour le syst\`eme
$$
\left\{
\eqalign{
\dfrac{dx}{dt}&=tx-y+t\,\cos\,t-t^3\sin\,t\cr
\noalign{\vskip3pt}
\dfrac{dy}{dt}&=x+ty+t\,\sin\,t+t^3\cos\,t.\cr}
\right.
$$


\bigskip
\noindent{\bf 5.6.} On consid\`ere un syst\`eme diff\'erentiel $X'=A(t)X$ 
o\`u $A(t)$ est une matrice \`a 2~lignes et 2~colonnes \`a coefficients 
de p\'eriode $2\pi$, born\'es et continus par morceaux.
\medskip

\item{(a)} Montrer que l'application qui \`a $M\in\bR^2$ associe la position \`a l'instant
$s$ de la solution $X(t)$ de $X'=A(t)$ v\'erifiant $X(0)=M$ est une application
lin\'eaire bijective. On d\'esignera par $U_s$ cet endormorphisme et on notera
$V=U_{2\pi}$.

\medskip
\item{(b)} Montrer que l'\'equation $X'=A(t)X$ admet une solution $2\pi$-p\'eriodique non
identiquement nulle si et seulement si 1 est valeur propre de $V$~; comment peut-on
interpr\'eter le fait que $V$ admette pour valeur propre une racine $k$-i\`eme de
l'unit\'e~?

\medskip
\item{(c)} On consid\`ere l'\'equation diff\'erentielle $y''+f(t)y=0$ o\`u $f$ est une
fonction $2\pi$-p\'eriodique \`a valeurs r\'elles. Mettre cette \'equation sous la forme
d'un syst\`eme du premier ordre.

\medskip
\item{(d)} On supposera dor\'enavant que
$$
f(t)=\cases{
(w+\varepsilon)^2\quad {\rm si}\quad t\in[0,\pi[\hfill\cr
\noalign{\vskip3pt}
(w-\varepsilon)^2\quad {\rm si}\quad t\in[\pi,2\pi[\hfill\cr
}
$$
\item{} o\`u $0<\varepsilon<w$ sont des constantes. D\'eterminer $U_{\pi}$~; montrer que
$V$ se met sous la forme $B\circ U_{\pi}$ o\`u l'on d\'eterminera la matrice $B$ (on pourra
utiliser que $f$ est constante sur $[\pi,2\pi[$ ainsi que sur $[0,\pi[)$. V\'erifier que
det$\,V=1$.

\medskip
\item{(e)} Montrer qu'alors une des valeurs propres de $V$ est inf\'erieure \`a 1 en
module et que l'\'equation $y''+f(t)y=0$ admet une solution born\'ee (non identiquement
nulle) sur $[0,+\infty[$ et une solution born\'ee (non identiquement nulle) sur
$]-\infty,0[$~; \`a quelle condition admet-elle une solution born\'ee (non identiquement
nulle) sur~$\bR$~?

\medskip
\item{(f)} Montrer que la trace de $V$ s'\'ecrit
$$
-\Delta\,\cos\,2\pi\varepsilon+(2+\Delta)\,\cos\,2\pi w
$$
o\`u
$$
\dfrac{w+\varepsilon}{w-\varepsilon}+
\dfrac{w-\varepsilon}{w+\varepsilon}=2(1+\Delta).
$$

\item{} En d\'eduire que si $w$ n'est pas la moiti\'e d'un entier et
si $\varepsilon$ est assez petit, toutes les solutions de
$y''+f(t)y=0$ sont born\'ees. Que passe-t-il si $w$ est la moiti\'e
d'un entier~?
\par}

\bye

