% Jean-Pierre Demailly
% Universit\'e de Grenoble I, Institut Fourier
% \'Equations Diff\'erentielles et Analyse Num\'erique
% Collection Grenoble-Sciences, Presses Universitaires de Grenoble
% Chapitre V

\input equa-mac.tex

\blankline\blankline
\hfill\chtitle Chapitre V|%
\blankline\blankline
\hfill\title \'Equations diff\'erentielles|
\vskip6pt
\hfill\title R\'esultats fondamentaux|
\chaptitlerunning V -- \'Equations diff\'erentielles. R\'esultats fondamentaux|
\vskip4pc

\noindent Le but de ce chapitre est de d\'emontrer les th\'eor\`emes
g\'en\'eraux d'existence et d'unicit\'e des solutions pour les
\'equations diff\'erentielles ordinaires. Il s'agit du chapitre central
de la th\'eorie, de ce fait n\'ecessairement assez abstrait. Sa bonne
compr\'ehension est indispensable en vue de la lecture des chapitres
ult\'erieurs.

\section 1.\ D\'efinitions.\ Solutions maximales et \hbox{globales}\kern-4pt|

\subsection 1.1.\ \'Equation diff\'erentielle ordinaire du premier ordre|

\noindent Soit $U$ un ouvert de $\bR\times\bR^m$ et
$$
f:U\rightarrow\bR^m
$$
une application {\it continue}. On consid\`ere l'\'equation diff\'erentielle
$$
y'=f(t,y),\quad(t,y)\in U,\quad t\in\bR,\quad y\in\bR^m.\leqno{\rm (E)}
$$

\bigskip
\majdeb
\state D\'efinition -- |  {\it Une solution de (E) sur un intervalle
$I\subset \bR$ est une fonction d\'erivable $y:I\rightarrow \bR^m$
telle que
\vskip3pt
{\rm (i)}\quad\kern2.6pt$(\forall t\in I)$\qquad$(t,y(t))\in U$
\vskip1pt
{\rm (ii)}\quad$(\forall t\in I)$\qquad$y'(t)=f(t,y(t))$.
} 
\par\majfin\par

\bigskip
L'\og inconnue\fg\ de l'\'equation (E) est donc en fait une {\it
fonction}. Le qualificatif \og ordinaire\fg\ pour l'\'equation
diff\'erentielle (E) signifie que la fonction inconnue $y$ d\'epend
d'{\it une seule} variable $t$ (lorsqu'il y a plusieurs variables $t_i$
et plusieurs d\'eriv\'ees $\partial y/\partial t_i$, on parle
d'\'equations aux d\'eriv\'ees partielles).

\bigskip
\state \'Ecriture en coordonn\'ees -- |  \'Ecrivons les fonctions \`a valeurs
dans $\bR^m$ en termes de leurs fonctions composantes, c'est-\`a-dire
$$
y=(y_1,\dots,y_m),\quad f=(f_1,\dots,f_m).
$$
L'\'equation (E) appara\^{\i}t comme un {\it syst\`eme diff\'erentiel} du
premier ordre \`a $m$ fonctions inconnues $y_1,\dots,y_m$~:
$$
{\rm (E)}\quad\cases{
y'_1(t)=f_1(t,y_1(t),\dots,y_m(t))\hfill\cr
\noalign{\vskip3pt}
\dots\hfill\cr
\noalign{\vskip3pt}
y'_m(t)=f_m(t,y_1(t),\dots,y_m(t)).\hfill\cr
}
$$

\bigskip
\state Probl\`eme de Cauchy -- |  \'Etant donn\'e un point $(t_0,y_0)
\in U$, le probl\`eme de Cauchy consiste \`a trouver une solution
$y:I\rightarrow\bR^m$ de (E) sur un intervalle $I$ contenant $t_0$
dans son int\'erieur, telle que $y(t_0)=y_0$.

\bigskip
\state Interpr\'etation physique -- |  Dans de nombreuses situations
concr\`etes, la variable $t$ repr\'esente le temps et
$y=(y_1,\dots,y_m)$ est une famille de param\`etres d\'ecrivant
l'\'etat d'un syst\`eme mat\'eriel donn\'e. L'\'equation (E) traduit
physiquement la loi d'\'evolution du syst\`eme consid\'er\'e en
fonction du temps et de la valeur des param\`etres. R\'esoudre le
probl\`eme de Cauchy revient \`a pr\'evoir l'\'evolution du syst\`eme
au cours du temps, sachant qu'en $t=t_0$ le syst\`eme est d\'ecrit par
les param\`etres $y_0=(y_{0,1},\dots,y_{0,m})$. On dit que $(t_0,y_0)$
sont les {\it donn\'ees initiales} du probl\`eme de Cauchy.

\subsection 1.2. Cas de la dimension un $(m=1)$|

\noindent Si on note $x=t$, l'\'equation (E) se r\'ecrit
$$
y'=f(x,y),\quad (x,y)\in U\subset \bR\times\bR.\leqno{\rm (E)}
$$

\InsertFig 0.000 60.000 {
1 mm unit
 10.000  10.000 moveto 
 80.000   0.000 vector 
 15.000   5.000 moveto 
 50.000  90.000 vector 
 30.000  25.000 moveto 
[  30.000  25.000   26.000  35.000   30.000  43.000   42.000  51.000  
 58.000  47.000   70.000  47.000   78.000  51.000   86.000  39.000  
 82.000  27.000   66.000  19.000   42.000  19.000  ] potatoe 
stroke 
 50.000  30.000 moveto 
  0.700 disk 
 50.000  10.000 moveto 
  0.565 setlinewidth 
  0.700  90.000 indent 
 15.000  30.000 moveto 
  0.700   0.000 indent 
 44.000  24.000 moveto 
[  44.000  24.000   50.000  30.000   55.000  31.000   60.500  27.500  
 65.500  27.500   75.500  40.000   80.500  40.000  ] curve 
stroke 
  0.113 setlinewidth 
 50.000  11.500 moveto 
[   2.000   1.000 ] 0 setdash 
 50.000  29.500 lineto 
stroke 
 16.500  30.000 moveto 
 49.500  30.000 lineto 
stroke}
\LabelTeX   37.500  42.000 $U$\ELTX
\LabelTeX   48.500   6.500 $x_0$\ELTX
\LabelTeX   88.500   6.500 $x$\ELTX
\LabelTeX   11.500  53.500 $y$\ELTX
\LabelTeX   10.500  29.000 $y_0$\ELTX
\LabelTeX   63.600  35.000 $y(x)$\ELTX
\EndFig


\noindent R\'esoudre le probl\`eme de Cauchy revient \`a trouver une
\og {\it courbe int\'egrale}\fg\ de (E) passant par  un point donn\'e
$(x_0,y_0)\in U$.

\bigskip
\state Champ des tangentes -- |  A tout point $M=(x_0,y_0)$, on associe
la droite $D_M$ passant par $M$ et de coefficient directeur $f(x_0,y_0)$~:
$$
D_M:y-y_0=f(x_0,y_0)(x-x_0)
$$
L'application $M\rightarrow D_M$ est appel\'ee {\it champ des
tangentes} associ\'e \`a l'\'equation (E). Une courbe int\'egrale de
(E) est une courbe diff\'erentiable $C$ qui a pour tangente en chaque
point $M\in C$ la droite $D_M$ du champ des tangentes. L'exemple
ci-dessous correspond \`a l'\'equation $y'=f(x,y)=x-y^2$.

\InsertFig 6.000 89.000 {
1 mm unit
  5.000  45.000 moveto 
105.000   0.000 vector
 55.000  13.000 moveto 
 70.000  90.000 vector 
 85.000  45.000 moveto 
0.7   90.000 indent 
 55.000  75.000 moveto 
0.7    0.000 indent 
gsave 
  0.000   0.000 moveto 
110.000  90.000 rect  clip  newpath 
  9.267  18.115 moveto 
  0.700 disk 
  7.866  21.377 moveto 
 10.668  14.854 lineto 
stroke 
  9.267  27.091 moveto 
  0.700 disk 
  7.600  30.226 moveto 
 10.933  23.957 lineto 
stroke 
  9.267  36.068 moveto 
  0.700 disk 
  7.397  39.085 moveto 
 11.137  33.051 lineto 
stroke 
  9.267  45.044 moveto 
  0.700 disk 
  7.320  48.012 moveto 
 11.214  42.076 lineto 
stroke 
  9.267  54.021 moveto 
  0.700 disk 
  7.398  57.039 moveto 
 11.136  51.003 lineto 
stroke 
  9.267  62.997 moveto 
  0.700 disk 
  7.603  66.133 moveto 
 10.931  59.861 lineto 
stroke 
  9.267  71.973 moveto 
  0.700 disk 
  7.868  75.236 moveto 
 10.665  68.711 lineto 
stroke 
 18.435  18.115 moveto 
  0.700 disk 
 16.861  21.297 moveto 
 20.009  14.933 lineto 
stroke 
 18.435  27.091 moveto 
  0.700 disk 
 16.532  30.088 moveto 
 20.337  24.095 lineto 
stroke 
 18.435  36.068 moveto 
  0.700 disk 
 16.278  38.887 moveto 
 20.591  33.248 lineto 
stroke 
 18.435  45.044 moveto 
  0.700 disk 
 16.183  47.789 moveto 
 20.686  42.300 lineto 
stroke 
 18.435  54.021 moveto 
  0.700 disk 
 16.280  56.842 moveto 
 20.590  51.200 lineto 
stroke 
 18.435  62.997 moveto 
  0.700 disk 
 16.535  65.996 moveto 
 20.334  59.998 lineto 
stroke 
 18.435  71.973 moveto 
  0.700 disk 
 16.865  75.157 moveto 
 20.005  68.790 lineto 
stroke 
 27.603  18.115 moveto 
  0.700 disk 
 25.816  21.182 moveto 
 29.390  15.048 lineto 
stroke 
 27.603  27.091 moveto 
  0.700 disk 
 25.406  29.880 moveto 
 29.799  24.303 lineto 
stroke 
 27.603  36.068 moveto 
  0.700 disk 
 25.095  38.580 moveto 
 30.111  33.555 lineto 
stroke 
 27.603  45.044 moveto 
  0.700 disk 
 24.982  47.438 moveto 
 30.224  42.650 lineto 
stroke 
 27.603  54.021 moveto 
  0.700 disk 
 25.097  56.535 moveto 
 30.108  51.506 lineto 
stroke 
 27.603  62.997 moveto 
  0.700 disk 
 25.410  65.789 moveto 
 29.796  60.205 lineto 
stroke 
 27.603  71.973 moveto 
  0.700 disk 
 25.820  75.043 moveto 
 29.386  68.904 lineto 
stroke 
 36.771  18.115 moveto 
  0.700 disk 
 34.718  21.011 moveto 
 38.824  15.219 lineto 
stroke 
 36.771  27.091 moveto 
  0.700 disk 
 34.215  29.555 moveto 
 39.327  24.628 lineto 
stroke 
 36.771  36.068 moveto 
  0.700 disk 
 33.858  38.096 moveto 
 39.684  34.039 lineto 
stroke 
 36.771  45.044 moveto 
  0.700 disk 
 33.737  46.888 moveto 
 39.805  43.201 lineto 
stroke 
 36.771  54.021 moveto 
  0.700 disk 
 33.860  56.052 moveto 
 39.682  51.989 lineto 
stroke 
 36.771  62.997 moveto 
  0.700 disk 
 34.220  65.465 moveto 
 39.322  60.529 lineto 
stroke 
 36.771  71.973 moveto 
  0.700 disk 
 34.723  74.873 moveto 
 38.819  69.074 lineto 
stroke 
 45.939  18.115 moveto 
  0.700 disk 
 43.557  20.747 moveto 
 48.321  15.483 lineto 
stroke 
 45.939  27.091 moveto 
  0.700 disk 
 42.974  29.043 moveto 
 48.904  25.139 lineto 
stroke 
 45.939  36.068 moveto 
  0.700 disk 
 42.633  37.360 moveto 
 49.245  34.776 lineto 
stroke 
 45.939  45.044 moveto 
  0.700 disk 
 42.541  46.071 moveto 
 49.337  44.018 lineto 
stroke 
 45.939  54.021 moveto 
  0.700 disk 
 42.635  55.317 moveto 
 49.243  52.724 lineto 
stroke 
 45.939  62.997 moveto 
  0.700 disk 
 42.979  64.956 moveto 
 48.899  61.038 lineto 
stroke 
 45.939  71.973 moveto 
  0.700 disk 
 43.564  74.611 moveto 
 48.314  69.336 lineto 
stroke 
 55.107  18.115 moveto 
  0.700 disk 
 52.335  20.332 moveto 
 57.880  15.898 lineto 
stroke 
 55.107  27.091 moveto 
  0.700 disk 
 51.760  28.272 moveto 
 58.455  25.910 lineto 
stroke 
 55.107  36.068 moveto 
  0.700 disk 
 51.570  36.369 moveto 
 58.644  35.767 lineto 
stroke 
 55.107  45.044 moveto 
  0.700 disk 
 51.557  45.032 moveto 
 58.657  45.057 lineto 
stroke 
 55.107  54.021 moveto 
  0.700 disk 
 51.571  54.328 moveto 
 58.644  53.714 lineto 
stroke 
 55.107  62.997 moveto 
  0.700 disk 
 51.763  64.188 moveto 
 58.451  61.806 lineto 
stroke 
 55.107  71.973 moveto 
  0.700 disk 
 52.342  74.199 moveto 
 57.872  69.748 lineto 
stroke 
 64.275  18.115 moveto 
  0.700 disk 
 61.092  19.687 moveto 
 67.458  16.543 lineto 
stroke 
 64.275  27.091 moveto 
  0.700 disk 
 60.729  27.259 moveto 
 67.821  26.924 lineto 
stroke 
 64.275  36.068 moveto 
  0.700 disk 
 60.809  35.303 moveto 
 67.742  36.832 lineto 
stroke 
 64.275  45.044 moveto 
  0.700 disk 
 60.884  43.996 moveto 
 67.666  46.093 lineto 
stroke 
 64.275  54.021 moveto 
  0.700 disk 
 60.807  53.262 moveto 
 67.743  54.779 lineto 
stroke 
 64.275  62.997 moveto 
  0.700 disk 
 60.730  63.177 moveto 
 67.820  62.817 lineto 
stroke 
 64.275  71.973 moveto 
  0.700 disk 
 61.099  73.559 moveto 
 67.451  70.388 lineto 
stroke 
 73.443  18.115 moveto 
  0.700 disk 
 69.955  18.772 moveto 
 76.932  17.458 lineto 
stroke 
 73.443  27.091 moveto 
  0.700 disk 
 70.006  26.203 moveto 
 76.880  27.980 lineto 
stroke 
 73.443  36.068 moveto 
  0.700 disk 
 70.302  34.415 moveto 
 76.585  37.721 lineto 
stroke 
 73.443  45.044 moveto 
  0.700 disk 
 70.419  43.185 moveto 
 76.467  46.903 lineto 
stroke 
 73.443  54.021 moveto 
  0.700 disk 
 70.299  52.372 moveto 
 76.587  55.669 lineto 
stroke 
 73.443  62.997 moveto 
  0.700 disk 
 70.003  62.120 moveto 
 76.883  63.874 lineto 
stroke 
 73.443  71.973 moveto 
  0.700 disk 
 69.958  72.648 moveto 
 76.928  71.299 lineto 
stroke 
 82.611  18.115 moveto 
  0.700 disk 
 79.086  17.702 moveto 
 86.137  18.528 lineto 
stroke 
 82.611  27.091 moveto 
  0.700 disk 
 79.519  25.348 moveto 
 85.703  28.835 lineto 
stroke 
 82.611  36.068 moveto 
  0.700 disk 
 79.882  33.798 moveto 
 85.340  38.338 lineto 
stroke 
 82.611  45.044 moveto 
  0.700 disk 
 79.999  42.640 moveto 
 85.223  47.448 lineto 
stroke 
 82.611  54.021 moveto 
  0.700 disk 
 79.880  51.754 moveto 
 85.343  56.288 lineto 
stroke 
 82.611  62.997 moveto 
  0.700 disk 
 79.515  61.261 moveto 
 85.708  64.733 lineto 
stroke 
 82.611  71.973 moveto 
  0.700 disk 
 79.083  71.578 moveto 
 86.139  72.368 lineto 
stroke 
 91.779  18.115 moveto 
  0.700 disk 
 88.510  16.733 moveto 
 95.049  19.498 lineto 
stroke 
 91.779  27.091 moveto 
  0.700 disk 
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 94.458  29.421 lineto 
stroke 
 91.779  36.068 moveto 
  0.700 disk 
 89.435  33.402 moveto 
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stroke 
 91.779  45.044 moveto 
  0.700 disk 
 89.536  42.294 moveto 
 94.023  47.795 lineto 
stroke 
 91.779  54.021 moveto 
  0.700 disk 
 89.433  51.357 moveto 
 94.125  56.685 lineto 
stroke 
 91.779  62.997 moveto 
  0.700 disk 
 89.096  60.673 moveto 
 94.463  65.321 lineto 
stroke 
 91.779  71.973 moveto 
  0.700 disk 
 88.504  70.606 moveto 
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stroke 
100.947  18.115 moveto 
  0.700 disk 
 98.078  16.025 moveto 
103.816  20.205 lineto 
stroke 
100.947  27.091 moveto 
  0.700 disk 
 98.647  24.388 moveto 
103.248  29.795 lineto 
stroke 
100.947  36.068 moveto 
  0.700 disk 
 98.925  33.150 moveto 
102.969  38.985 lineto 
stroke 
100.947  45.044 moveto 
  0.700 disk 
 99.007  42.072 moveto 
102.888  48.017 lineto 
stroke 
100.947  54.021 moveto 
  0.700 disk 
 98.924  51.104 moveto 
102.971  56.937 lineto 
stroke 
100.947  62.997 moveto 
  0.700 disk 
 98.643  60.297 moveto 
103.252  65.697 lineto 
stroke 
100.947  71.973 moveto 
  0.700 disk 
 98.071  69.893 moveto 
103.824  74.054 lineto 
stroke 
 55.000  27.000 moveto 
[  55.000  27.000    53.792  27.450    52.752  27.859    51.711  28.287   
 50.671  28.734    49.630  29.201    48.589  29.686    47.549  30.189   
 46.508  30.712    45.467  31.252    44.427  31.811    43.386  32.389   
 42.346  32.986    41.305  33.603    40.264  34.238    39.224  34.894   
 38.183  35.570    37.143  36.268    36.102  36.987    35.061  37.728   
 34.021  38.494    32.980  39.283    31.940  40.098    30.899  40.939   
 29.858  41.809    28.818  42.708    27.777  43.638    26.737  44.602   
 25.696  45.600    24.655  46.636    23.615  47.712    22.574  48.831   
 21.534  49.996    20.493  51.211    19.452  52.480    18.412  53.807   
 17.371  55.198    16.330  56.658    15.290  58.195    14.249  59.816   
 13.209  61.530    12.168  63.347    11.241  65.064    10.408  66.691   
  9.576  68.409     8.849  69.989     8.183  71.510     7.517  73.107   
  6.851  74.787     6.307  76.229     5.774  77.702   ] scurve
 55.000  27.000 moveto 
[  55.000  27.000    56.208  26.581    57.248  26.242    58.213  25.947   
 59.046  25.708    59.878  25.484    60.711  25.276    61.543  25.083   
 62.376  24.906    63.208  24.747    64.041  24.604    64.873  24.480   
 65.706  24.375    66.538  24.289    67.371  24.223    68.203  24.178   
 69.035  24.155    69.868  24.154    70.700  24.177    71.533  24.225   
 72.365  24.298    73.198  24.397    74.030  24.523    74.863  24.679   
 75.695  24.863    76.528  25.078    77.360  25.325    78.193  25.604   
 79.025  25.917    79.858  26.264    80.690  26.648    81.580  27.098   
 82.620  27.679    83.661  28.321    84.701  29.025    85.742  29.792   
 86.783  30.623    87.823  31.519    88.864  32.480    89.904  33.506   
 90.945  34.596    91.986  35.749    93.026  36.963    94.067  38.237   
 95.107  39.567    96.148  40.950    97.189  42.382    98.229  43.859   
 99.270  45.376   100.311  46.928   101.351  48.509   102.392  50.113   
103.432  51.734   104.473  53.366   105.514  55.003   106.554  56.638   
107.595  58.265   108.635  59.878   109.676  61.473   110.717  63.043   
] scurve 
[0.200   0.400] 0 setdash 
 92.318  65.732 moveto 
109.577  78.215 lineto 
stroke
grestore}
\LabelTeX   84.300  40.500 $1$\ELTX
\LabelTeX  108.300  40.500 $x$\ELTX
\LabelTeX   52.000  40.500 $0$\ELTX
\LabelTeX   52.000  75.000 $1$\ELTX
\LabelTeX   52.000  81.000 $y$\ELTX
\LabelTeX  101.400  68.300 $M$\ELTX
\LabelTeX  103.300  79.300 $D_M$\ELTX
\LabelTeX  107.600  55.500 $C$\ELTX
\EndFig
\vskip-3mm

\state Lignes isoclines de {\bf (E)} -- | Par d\'efinition, ce sont les 
courbes 
$$
\Gamma_p:f(x,y)=p
$$
correspondant \`a l'ensemble des points $M$ o\`u la droite $D_M$ a une
pente donn\'ee $p$.

\noindent La courbe $\Gamma_0$ joue un r\^ole int\'eressant. On a en effet un
r\'egionnement de $U$~:
$$
\eqalign{
U&=U_+\cup U_-\cup\Gamma_0\quad\hbox{\rm o\`u}\cr
U_+&=\{M\in U\,;~f(M)>0\},\quad U_-=\{M\in U\,;~f(M)<0\}.\cr
}$$


\noindent Les courbes int\'egrales sont croissantes dans $U_+$, 
d\'ecroissantes dans $U_-$, stationnaires (souvent extr\^emales) sur 
$\Gamma_0$.

\medskip
\state Exemple -- |  Les lignes isoclines de l'\'equation $y'=f(x,y)=x-y^2$
sont les paraboles $x=y^2+p$.

\InsertFig 6.000 102.000 {
1 mm unit
  0.452 setlinewidth
110.144   4.327 moveto 
[ 110.144   4.327   108.692   4.866   107.246   5.410   105.806   5.959   
104.371   6.515   102.942   7.075   101.520   7.642   100.104   8.215   
 98.694   8.795    97.292   9.380    95.896   9.973    94.508  10.573   
 93.127  11.180    91.754  11.794    90.389  12.417    89.033  13.047   
 87.685  13.686    86.347  14.334    85.018  14.991    83.700  15.657   
 82.392  16.334    81.094  17.021    79.809  17.719    78.535  18.428   
 77.274  19.150    76.026  19.885    74.793  20.632    73.574  21.394   
 72.371  22.172    71.185  22.965    70.017  23.775    68.868  24.603   
 67.740  25.450    66.633  26.319    65.550  27.209    64.493  28.124   
 63.464  29.066    62.465  30.035    61.499  31.037    60.571  32.072   
 59.683  33.147    58.842  34.264    58.053  35.429    57.324  36.650   
 56.664  37.935    56.085  39.295    55.604  40.744    55.243  42.302   
 55.034  43.997    55.025  45.872    55.254  47.762    55.660  49.451   
 56.197  50.993    56.836  52.422    57.558  53.760    58.348  55.023   
 59.197  56.222    60.097  57.366    61.041  58.462    62.024  59.516   
 63.042  60.532    64.091  61.515    65.170  62.467    66.274  63.391   
 67.402  64.289    68.553  65.164    69.724  66.017    70.914  66.850   
 72.122  67.664    73.347  68.461    74.587  69.241    75.842  70.005   
 77.111  70.755    78.393  71.491    79.687  72.214    80.993  72.925   
 82.311  73.624    83.639  74.311    84.977  74.988    86.325  75.655   
 87.682  76.312    89.048  76.960    90.423  77.599    91.806  78.229   
 93.197  78.851    94.595  79.465    96.001  80.072    97.414  80.671   
 98.834  81.263   100.260  81.848   101.692  82.427   103.131  82.999   
104.576  83.565   106.026  84.125   107.482  84.679   108.943  85.228   
110.144  85.673   ] dup polygon closepath 0.92 setgray fill 0 setgray
110.144   4.327 moveto  scurve
  0.113 setlinewidth
  0.000  45.000 moveto 
115.000   0.000 vector
 55.000   0.000 moveto 
 96.000  90.000 vector 
 85.000  45.000 moveto 
0.7   90.000 indent 
 55.000  75.000 moveto 
0.7    0.000 indent 
gsave 
  0.000   0.000 moveto 
110.000  90.000 rect  clip  newpath 
 55.000  45.000 moveto 
[  55.000  45.000    52.236  45.127    49.472  45.510    46.708  46.148   
 43.944  47.047    41.179  48.213    38.415  49.660    35.651  51.407   
 33.138  53.280    31.128  54.997    29.423  56.621    28.008  58.099   
 26.670  59.617    25.538  61.000    24.406  62.484    23.459  63.810   
 22.553  65.157    21.647  66.587    20.857  67.909    20.132  69.188   
 19.408  70.535    18.683  71.957    18.038  73.291    17.458  74.549   
 16.878  75.866    16.299  77.248    15.719  78.701    15.202  80.058   
 14.739  81.333    14.275  82.663    13.811  84.053    13.347  85.507   
 12.884  87.031    12.454  88.510    12.083  89.842    11.712  91.229   
] scurve 
 55.000  45.000 moveto 
[  55.000  45.000    57.764  45.127    60.528  45.509    63.292  46.143   
 66.056  47.027    68.821  48.152    71.585  49.507    74.349  51.076   
 77.113  52.836    79.877  54.762    82.641  56.823    85.405  58.984   
 88.169  61.211    90.934  63.469    93.698  65.725    96.462  67.951   
 99.226  70.120   101.990  72.216   104.754  74.222   107.518  76.132   
110.232  77.909   112.443  79.285   ] scurve 
 55.000  55.000 moveto 
[  55.000  55.000    53.254  55.248    51.662  55.573    50.070  55.997   
 48.478  56.523    46.886  57.158    45.409  57.849    44.136  58.528   
 42.862  59.288    41.588  60.136    40.407  61.004    39.388  61.820   
 38.369  62.704    37.350  63.659    36.350  64.671    35.535  65.554   
 34.719  66.493    33.904  67.493    33.089  68.556    32.303  69.645   
 31.651  70.602    30.999  71.610    30.347  72.671    29.695  73.790   
 29.043  74.972    28.450  76.104    27.928  77.149    27.407  78.243   
 26.885  79.389    26.363  80.591    25.841  81.852    25.320  83.179   
 24.902  84.289    24.485  85.447    24.068  86.655    23.650  87.916   
 23.233  89.235    22.816  90.614   ] scurve 
 55.000  55.000 moveto 
[  55.000  55.000    56.710  54.860    58.302  54.822    59.894  54.867   
 61.486  54.994    63.078  55.200    64.670  55.481    66.263  55.835   
 67.855  56.258    69.447  56.748    71.039  57.301    72.631  57.913   
 74.223  58.580    75.815  59.298    77.407  60.063    79.000  60.871   
 80.592  61.716    82.184  62.596    83.776  63.504    85.368  64.436   
 86.960  65.388    88.552  66.355    90.144  67.333    91.737  68.317   
 93.329  69.305    94.921  70.293    96.513  71.277    98.105  72.254   
 99.697  73.221   101.289  74.177   102.882  75.120   104.474  76.047   
106.066  76.958   107.658  77.851   109.250  78.726   110.842  79.582   
] scurve 
  6.678   6.226 moveto 
[   6.678   6.226     6.234   7.660     5.821   8.953     5.407  10.210   
  4.994  11.433     4.581  12.624     4.168  13.787     3.755  14.921   
  3.341  16.031     2.928  17.117     2.515  18.181     2.102  19.225   
  1.689  20.250     1.275  21.257     0.862  22.249     0.449  23.225   
  0.036  24.188    -0.378  25.138   ] scurve 
  6.678   6.226 moveto 
[   6.678   6.226     7.121   4.746     7.535   3.320     7.948   1.845   
  8.361   0.315     8.774  -1.273   ] scurve 
 33.522   5.385 moveto 
[  33.522   5.385    33.047   6.533    32.638   7.492    32.229   8.424   
 31.820   9.331    31.411  10.215    31.002  11.076    30.593  11.917   
 30.184  12.738    29.775  13.541    29.366  14.327    28.957  15.097   
 28.548  15.851    28.139  16.592    27.730  17.319    27.321  18.033   
 26.912  18.736    26.502  19.427    26.093  20.108    25.684  20.780   
 25.275  21.442    24.866  22.096    24.457  22.741    24.048  23.380   
 23.639  24.011    23.230  24.636    22.821  25.255    22.412  25.869   
 22.003  26.477    21.594  27.081    21.185  27.681    20.776  28.277   
 20.366  28.869    19.957  29.458    19.548  30.045    19.139  30.629   
 18.730  31.211    18.321  31.791    17.912  32.370    17.503  32.948   
 17.001  33.657    16.490  34.377    15.978  35.098    15.397  35.918   
 14.758  36.822    14.119  37.729    13.480  38.640    12.841  39.556   
 12.201  40.479    11.562  41.410    10.923  42.349    10.284  43.298   
  9.645  44.259     9.006  45.232     8.366  46.219     7.727  47.222   
  7.088  48.241     6.449  49.279     5.810  50.336     5.171  51.415   
  4.532  52.518     3.892  53.646     3.253  54.802     2.614  55.988   
  1.975  57.206     1.336  58.459     0.697  59.749     0.057  61.081   
 -0.582  62.458   ] scurve 
 33.522   5.385 moveto 
[  33.522   5.385    33.997   4.197    34.406   3.138    34.815   2.043   
 35.224   0.911    35.633  -0.262   ] scurve 
 63.289   5.363 moveto 
[  63.289   5.363    62.697   6.218    62.238   6.858    61.780   7.481   
 61.321   8.087    60.863   8.678    60.404   9.254    59.946   9.816   
 59.487  10.365    59.029  10.902    58.570  11.428    58.112  11.943   
 57.653  12.447    57.195  12.942    56.736  13.428    56.278  13.906   
 55.819  14.375    55.361  14.837    54.902  15.292    54.444  15.741   
 53.985  16.183    53.527  16.619    53.069  17.049    52.610  17.475   
 52.152  17.895    51.693  18.311    51.235  18.723    50.776  19.130   
 50.318  19.535    49.859  19.935    49.401  20.333    48.942  20.727   
 48.484  21.119    48.025  21.508    47.567  21.895    47.108  22.280   
 46.650  22.663    46.191  23.044    45.733  23.424    45.274  23.802   
 44.816  24.180    44.357  24.556    43.899  24.931    43.440  25.306   
 42.982  25.680    42.523  26.054    42.065  26.428    41.606  26.802   
 41.148  27.175    40.689  27.549    40.231  27.924    39.772  28.298   
 39.314  28.674    38.855  29.050    38.397  29.427    37.938  29.805   
 37.480  30.184    37.021  30.565    36.563  30.946    36.104  31.330   
 35.646  31.715    35.187  32.102    34.729  32.490    34.270  32.881   
 33.812  33.274    33.353  33.669    32.895  34.067    32.374  34.522   
 31.800  35.026    31.227  35.535    30.654  36.049    30.042  36.604   
 29.326  37.260    28.609  37.926    27.893  38.601    27.176  39.286   
 26.460  39.983    25.744  40.690    25.027  41.410    24.311  42.143   
 23.594  42.889    22.878  43.650    22.162  44.427    21.445  45.219   
 20.729  46.030    20.012  46.858    19.296  47.706    18.580  48.575   
 17.863  49.466    17.147  50.381    16.430  51.320    15.714  52.286   
 14.998  53.281    14.281  54.306    13.565  55.364    12.848  56.456   
 12.132  57.586    11.416  58.755    10.699  59.968     9.983  61.228   
  9.266  62.537     8.550  63.901     7.834  65.324     7.117  66.811   
  6.401  68.368     5.684  70.001     4.968  71.718     4.304  73.392   
  3.731  74.906     3.157  76.490     2.584  78.149     2.011  79.891   
  1.553  81.350     1.094  82.871     0.636  84.459     0.177  86.118   
 -0.281  87.856   ] scurve 
 63.289   5.363 moveto 
[  63.289   5.363    63.881   4.477    64.340   3.766    64.798   3.032   
 65.257   2.272    65.690   1.529    66.057   0.881    66.424   0.214   
 66.791  -0.474   ] scurve 
 93.329   7.037 moveto 
[  93.329   7.037    92.420   7.335    91.982   7.480    91.544   7.626   
 91.106   7.773    90.668   7.921    90.230   8.071    89.793   8.221   
 89.355   8.372    88.917   8.524    88.479   8.677    88.041   8.831   
 87.603   8.986    87.165   9.142    86.727   9.299    86.289   9.457   
 85.851   9.616    85.413   9.775    84.975   9.936    84.537  10.097   
 84.100  10.260    83.662  10.423    83.224  10.587    82.786  10.752   
 82.348  10.918    81.910  11.085    81.472  11.252    81.034  11.421   
 80.596  11.590    80.158  11.760    79.720  11.931    79.282  12.103   
 78.844  12.276    78.407  12.450    77.969  12.624    77.531  12.800   
 77.093  12.976    76.655  13.154    76.217  13.332    75.779  13.511   
 75.341  13.691    74.903  13.871    74.465  14.053    74.027  14.236   
 73.589  14.419    73.151  14.604    72.714  14.789    72.276  14.975   
 71.838  15.162    71.400  15.351    70.962  15.540    70.524  15.730   
 70.086  15.921    69.648  16.113    69.210  16.306    68.772  16.500   
 68.334  16.695    67.896  16.891    67.459  17.088    67.021  17.286   
 66.583  17.485    66.145  17.685    65.707  17.886    65.269  18.088   
 64.831  18.291    64.393  18.496    63.955  18.701    63.517  18.908   
 63.079  19.116    62.641  19.325    62.203  19.535    61.766  19.746   
 61.328  19.958    60.890  20.172    60.452  20.387    60.014  20.603   
 59.576  20.820    59.138  21.039    58.700  21.258    58.262  21.480   
 57.824  21.702    57.386  21.926    56.948  22.151    56.510  22.377   
 56.073  22.605    55.635  22.835    55.197  23.065    54.759  23.298   
 54.321  23.531    53.883  23.766    53.445  24.003    53.007  24.241   
 52.569  24.481    52.131  24.722    51.693  24.965    51.255  25.210   
 50.817  25.456    50.380  25.704    49.942  25.954    49.504  26.205   
 49.066  26.458    48.628  26.713    48.190  26.970    47.752  27.229   
 47.314  27.490    46.876  27.752    46.438  28.017    46.000  28.283   
 45.562  28.552    45.124  28.822    44.687  29.095    44.249  29.370   
 43.811  29.647    43.373  29.926    42.935  30.208    42.497  30.492   
 42.059  30.778    41.621  31.067    41.183  31.358    40.745  31.652   
 40.307  31.948    39.869  32.247    39.431  32.548    38.994  32.852   
 38.556  33.159    38.118  33.469    37.670  33.789    37.122  34.184   
 36.575  34.584    36.028  34.989    35.480  35.399    34.933  35.814   
 34.311  36.292    33.627  36.826    32.942  37.369    32.227  37.947   
 31.372  38.651    30.516  39.371    29.661  40.108    28.806  40.863   
 27.950  41.635    27.095  42.427    26.240  43.240    25.384  44.074   
 24.529  44.930    23.674  45.812    22.818  46.718    21.963  47.653   
 21.108  48.616    20.253  49.610    19.397  50.638    18.542  51.701   
 17.687  52.802    16.831  53.944    15.976  55.131    15.121  56.365   
 14.265  57.650    13.410  58.991    12.555  60.394    11.699  61.862   
 10.844  63.403     9.989  65.023     9.133  66.732     8.294  68.503   
  7.609  70.022     6.925  71.616     6.241  73.292     5.619  74.893   
  5.071  76.369     4.524  77.911     3.977  79.528     3.429  81.223   
  2.971  82.708     2.533  84.188     2.096  85.733     1.658  87.347   
  1.220  89.035     0.798  90.738   ] scurve 
 93.329   7.037 moveto 
[  93.329   7.037    94.239   6.747    94.677   6.609    95.115   6.472   
 95.553   6.336    95.990   6.201    96.428   6.068    96.866   5.937   
 97.304   5.806    97.742   5.677    98.180   5.550    98.618   5.424   
 99.056   5.300    99.494   5.177    99.932   5.056   100.370   4.937   
100.808   4.819   101.246   4.704   101.683   4.590   102.121   4.478   
102.559   4.369   102.997   4.261   103.435   4.155   103.873   4.052   
104.311   3.951   104.749   3.853   105.187   3.757   105.625   3.663   
106.063   3.572   106.501   3.484   106.939   3.399   107.376   3.317   
107.814   3.238   108.252   3.162   108.690   3.090   109.128   3.021   
109.566   2.956   110.004   2.895   110.442   2.837   ] scurve 
 75.241  22.707 moveto 
[  75.241  22.707    73.938  22.581    73.094  22.533    72.287  22.511   
 71.480  22.511    70.674  22.532    69.867  22.574    69.060  22.635   
 68.253  22.715    67.446  22.813    66.639  22.929    65.832  23.062   
 65.025  23.210    64.218  23.375    63.411  23.554    62.604  23.748   
 61.797  23.956    60.991  24.177    60.184  24.412    59.377  24.660   
 58.570  24.920    57.763  25.192    56.956  25.476    56.149  25.771   
 55.342  26.078    54.535  26.396    53.728  26.725    52.921  27.064   
 52.114  27.414    51.307  27.775    50.501  28.146    49.694  28.528   
 48.887  28.919    48.080  29.321    47.273  29.733    46.466  30.156   
 45.659  30.589    44.852  31.032    44.045  31.485    43.238  31.950   
 42.431  32.424    41.624  32.910    40.817  33.407    40.011  33.915   
 39.204  34.435    38.397  34.966    37.590  35.509    36.783  36.065   
 35.976  36.633    35.169  37.214    34.362  37.809    33.555  38.418   
 32.748  39.041    31.941  39.679    31.134  40.333    30.327  41.003   
 29.521  41.690    28.714  42.394    27.907  43.116    27.100  43.858   
 26.293  44.620    25.486  45.403    24.679  46.208    23.872  47.037   
 23.065  47.890    22.258  48.770    21.451  49.677    20.644  50.614   
 19.837  51.582    19.031  52.584    18.224  53.620    17.417  54.695   
 16.610  55.811    15.803  56.970    14.996  58.176    14.189  59.433   
 13.382  60.745    12.575  62.116    11.768  63.552    10.961  65.059   
 10.154  66.642     9.347  68.311     8.570  70.007     7.924  71.487   
  7.279  73.039     6.633  74.668     6.023  76.287     5.507  77.721   
  4.990  79.219     4.474  80.786     3.957  82.427     3.469  84.054   
  3.056  85.491     2.643  86.989     2.230  88.551     1.816  90.183   
  1.403  91.890   ] scurve 
 75.241  22.707 moveto 
[  75.241  22.707    76.543  22.902    77.552  23.101    78.561  23.345   
 79.569  23.636    80.578  23.976    81.587  24.367    82.595  24.811   
 83.604  25.310    84.613  25.867    85.621  26.482    86.630  27.158   
 87.639  27.896    88.647  28.698    89.656  29.563    90.665  30.494   
 91.673  31.490    92.682  32.551    93.690  33.676    94.699  34.864   
 95.708  36.115    96.716  37.424    97.725  38.790    98.734  40.209   
 99.742  41.678   100.751  43.191   101.760  44.745   102.768  46.334   
103.777  47.951   104.786  49.592   105.794  51.250   106.803  52.918   
107.812  54.591   108.820  56.262   109.829  57.924   110.838  59.573   
] scurve 
104.771  21.310 moveto 
[ 104.771  21.310   103.413  19.984   102.055  18.814   100.697  17.792   
 99.339  16.909    97.981  16.157    96.623  15.527    95.265  15.010   
 94.179  14.670    93.191  14.416    92.322  14.232    91.453  14.082   
 90.758  13.987    90.062  13.912    89.367  13.856    88.697  13.819   
 88.141  13.801    87.585  13.794    87.028  13.797    86.472  13.810   
 85.916  13.833    85.360  13.865    84.803  13.906    84.247  13.955   
 83.691  14.013    83.135  14.079    82.579  14.152    82.022  14.233   
 81.466  14.321    80.910  14.416    80.354  14.517    79.797  14.625   
 79.241  14.739    78.685  14.859    78.129  14.984    77.572  15.115   
 77.016  15.252    76.460  15.393    75.904  15.540    75.348  15.692   
 74.791  15.848    74.235  16.009    73.679  16.174    73.123  16.344   
 72.566  16.518    72.010  16.696    71.454  16.878    70.898  17.064   
 70.342  17.254    69.785  17.448    69.229  17.645    68.673  17.846   
 68.117  18.050    67.560  18.258    67.004  18.469    66.448  18.684   
 65.892  18.901    65.336  19.122    64.779  19.347    64.223  19.574   
 63.667  19.804    63.111  20.038    62.554  20.275    61.998  20.514   
 61.442  20.757    60.886  21.003    60.330  21.251    59.773  21.503   
 59.217  21.757    58.661  22.015    58.105  22.275    57.548  22.539   
 56.992  22.805    56.436  23.074    55.880  23.347    55.324  23.622   
 54.767  23.900    54.211  24.182    53.655  24.466    53.099  24.753   
 52.542  25.044    51.986  25.337    51.430  25.634    50.874  25.934   
 50.318  26.237    49.761  26.543    49.205  26.853    48.649  27.166   
 48.093  27.482    47.536  27.802    46.980  28.125    46.424  28.452   
 45.868  28.782    45.312  29.116    44.755  29.454    44.199  29.795   
 43.643  30.141    43.087  30.490    42.530  30.843    41.974  31.201   
 41.418  31.562    40.862  31.928    40.305  32.298    39.749  32.673   
 39.193  33.052    38.637  33.436    38.081  33.824    37.524  34.218   
 36.968  34.617    36.412  35.020    35.856  35.429    35.299  35.844   
 34.705  36.293    34.010  36.826    33.315  37.369    32.619  37.922   
 31.766  38.614    30.897  39.335    30.028  40.073    29.159  40.830   
 28.290  41.605    27.421  42.400    26.552  43.217    25.682  44.055   
 24.813  44.918    23.944  45.805    23.075  46.719    22.206  47.661   
 21.337  48.633    20.468  49.637    19.599  50.675    18.730  51.750   
 17.861  52.865    16.991  54.022    16.122  55.224    15.253  56.476   
 14.384  57.782    13.515  59.145    12.646  60.572    11.777  62.067   
 10.908  63.638    10.039  65.293     9.170  67.039     8.380  68.714   
  7.684  70.265     6.989  71.893     6.294  73.607     5.725  75.079   
  5.169  76.584     4.612  78.159     4.056  79.811     3.540  81.417   
  3.095  82.864     2.650  84.374     2.205  85.950     1.760  87.597   
  1.315  89.322     0.935  90.863   ] scurve 
104.771  21.310 moveto 
[ 104.771  21.310   106.129  22.798   107.487  24.453   108.845  26.276   
110.203  28.268   111.561  30.426   ] scurve 
 24.996  32.390 moveto 
[  24.996  32.390    23.727  33.887    22.457  35.391    21.187  36.907   
 19.917  38.442    18.647  40.002    17.377  41.593    16.108  43.223   
 14.838  44.897    13.568  46.625    12.298  48.415    11.028  50.275   
  9.759  52.218     8.489  54.254     7.219  56.399     5.949  58.668   
  4.703  61.036     3.687  63.083     2.708  65.169     1.895  66.997   
  1.082  68.921     0.373  70.687    -0.277  72.385   ] scurve 
 24.996  32.390 moveto 
[  24.996  32.390    26.266  30.897    27.536  29.398    28.575  28.162   
 29.591  26.942    30.607  25.706    31.475  24.635    32.287  23.616   
 33.100  22.580    33.913  21.523    34.711  20.463    35.361  19.581   
 36.011  18.679    36.661  17.758    37.311  16.814    37.961  15.845   
 38.611  14.848    39.191  13.935    39.711  13.094    40.231  12.230   
 40.751  11.341    41.271  10.427    41.791   9.485    42.311   8.512   
 42.831   7.507    43.323   6.524    43.739   5.666    44.155   4.782   
 44.571   3.871    44.987   2.930    45.404   1.957    45.820   0.952   
 46.236  -0.090    46.652  -1.171   ] scurve 
 57.935  34.576 moveto 
[  57.935  34.576    56.078  34.675    54.348  34.866    52.619  35.146   
 50.890  35.515    49.160  35.968    47.431  36.503    45.701  37.120   
 43.972  37.816    42.243  38.592    40.513  39.447    38.784  40.382   
 37.054  41.400    35.325  42.503    33.595  43.695    31.866  44.980   
 30.137  46.364    28.407  47.856    26.678  49.464    24.948  51.200   
 23.219  53.079    21.490  55.118    19.854  57.214    18.471  59.131   
 17.314  60.850    16.207  62.603    15.261  64.195    14.376  65.772   
 13.490  67.442    12.766  68.884    12.057  70.365    11.349  71.924   
 10.666  73.506    10.100  74.885     9.533  76.327     8.966  77.837   
  8.400  79.423     7.895  80.904     7.441  82.293     6.988  83.742   
  6.535  85.255     6.081  86.838     5.628  88.496     5.241  89.978   
  4.878  91.422   ] scurve 
 57.935  34.576 moveto 
[  57.935  34.576    59.792  34.592    61.522  34.713    63.251  34.940   
 64.980  35.278    66.710  35.730    68.439  36.300    70.169  36.991   
 71.898  37.804    73.627  38.741    75.357  39.801    77.086  40.984   
 78.816  42.285    80.545  43.699    82.274  45.221    84.004  46.840   
 85.733  48.548    87.463  50.331    89.192  52.177    90.922  54.071   
 92.651  55.997    94.380  57.942    96.110  59.889    97.839  61.825   
 99.569  63.737   101.298  65.611   103.027  67.439   104.757  69.211   
106.486  70.921   108.216  72.564   109.945  74.135   111.674  75.635   
] scurve 
 52.025  64.268 moveto 
[  52.025  64.268    50.939  64.856    50.003  65.418    49.067  66.034   
 48.232  66.632    47.484  67.209    46.735  67.827    45.986  68.488   
 45.237  69.194    44.488  69.949    43.739  70.754    42.990  71.614   
 42.391  72.344    41.791  73.113    41.192  73.923    40.593  74.777   
 39.994  75.678    39.395  76.629    38.796  77.633    38.240  78.614   
 37.761  79.503    37.281  80.433    36.802  81.406    36.323  82.425   
 35.843  83.494    35.364  84.615    34.885  85.792    34.440  86.937   
 34.057  87.970    33.673  89.045    33.290  90.167    32.906  91.338   
] scurve 
 52.025  64.268 moveto 
[  52.025  64.268    53.112  63.743    54.048  63.340    54.984  62.982   
 55.921  62.665    56.857  62.388    57.793  62.150    58.729  61.949   
 59.665  61.783    60.602  61.652    61.538  61.554    62.474  61.489   
 63.410  61.454    64.346  61.449    65.283  61.473    66.219  61.525   
 67.155  61.604    68.091  61.709    69.027  61.839    69.964  61.993   
 70.900  62.171    71.836  62.371    72.772  62.593    73.708  62.835   
 74.645  63.098    75.581  63.379    76.517  63.678    77.453  63.995   
 78.389  64.328    79.326  64.677    80.262  65.040    81.198  65.417   
 82.134  65.807    83.070  66.209    84.007  66.622    84.943  67.046   
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 89.624  69.291    90.560  69.760    91.496  70.234    92.432  70.712   
 93.369  71.194    94.305  71.678    95.241  72.165    96.177  72.654   
 97.113  73.143    98.050  73.633    98.986  74.123    99.922  74.613   
100.858  75.102   101.794  75.589   102.731  76.075   103.667  76.558   
104.603  77.039   105.539  77.517   106.475  77.993   107.412  78.465   
108.348  78.933   109.284  79.398   110.220  79.858   111.156  80.315   
] scurve 
 81.334  70.552 moveto 
[  81.334  70.552    80.065  70.377    79.225  70.286    78.439  70.218   
 77.653  70.168    76.867  70.136    76.081  70.125    75.295  70.133   
 74.509  70.164    73.723  70.216    73.037  70.281    72.409  70.357   
 71.780  70.450    71.151  70.559    70.522  70.685    69.893  70.829   
 69.265  70.992    68.636  71.174    68.007  71.377    67.378  71.601   
 66.749  71.846    66.121  72.115    65.492  72.407    64.863  72.724   
 64.234  73.067    63.605  73.437    62.977  73.835    62.348  74.263   
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 57.249  79.054    56.746  79.680    56.243  80.340    55.740  81.034   
 55.237  81.765    54.734  82.536    54.231  83.349    53.728  84.205   
 53.279  85.008    52.877  85.762    52.475  86.550    52.072  87.373   
 51.670  88.233    51.267  89.133    50.865  90.075    50.462  91.060   
] scurve 
 81.334  70.552 moveto 
[  81.334  70.552    82.603  70.763    83.585  70.953    84.568  71.163   
 85.550  71.393    86.533  71.642    87.515  71.907    88.498  72.189   
 89.480  72.486    90.463  72.796    91.445  73.120    92.428  73.456   
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 97.340  75.280    98.323  75.669    99.305  76.063   100.288  76.462   
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109.130  80.193   110.113  80.613   111.095  81.032   ] scurve 
 75.000  85.000 moveto 
[  75.000  85.000    74.366  85.730    73.937  86.257    73.508  86.811   
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 71.363  90.044    70.934  90.795   ] scurve 
 75.000  85.000 moveto 
[  75.000  85.000    75.634  84.320    76.063  83.889    76.492  83.479   
 76.921  83.091    77.350  82.722    77.779  82.372    78.208  82.041   
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109.528  81.656   109.957  81.796   110.386  81.937   ] scurve 
 95.000  85.000 moveto 
[  95.000  85.000    94.167  85.394    93.765  85.604    93.364  85.827   
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 88.147  90.214   ] scurve 
 95.000  85.000 moveto 
[  95.000  85.000    95.833  84.652    96.235  84.503    96.636  84.363   
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109.879  83.793   110.281  83.857   110.682  83.925   ] scurve 
 16.000  15.000 moveto 
[  16.000  15.000    15.424  16.306    14.888  17.489    14.352  18.644   
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 21.751  -1.015   ] scurve 
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 71.703   1.976    70.228   2.493    68.759   3.015    67.295   3.541   
 65.836   4.072    64.382   4.609    62.933   5.150    61.490   5.697   
 60.053   6.250    58.621   6.808    57.196   7.372    55.776   7.942   
 54.364   8.518    52.958   9.101    51.559   9.690    50.167  10.287   
 48.783  10.890    47.406  11.501    46.037  12.120    44.677  12.746   
 43.325  13.381    41.982  14.025    40.649  14.677    39.326  15.339   
 38.012  16.011    36.710  16.693    35.418  17.386    34.139  18.090   
 32.872  18.805    31.618  19.534    30.377  20.275    29.152  21.030   
 27.941  21.800    26.747  22.585    25.570  23.387    24.412  24.207   
 23.274  25.045    22.156  25.903    21.062  26.783    19.992  27.686   
 18.949  28.615    17.936  29.570    16.954  30.556    16.007  31.575   
 15.100  32.631    14.236  33.727    13.421  34.869    12.663  36.062   
 11.968  37.316    11.349  38.638    10.819  40.043    10.398  41.546   
 10.111  43.172    10.000  44.954    10.127  46.948    10.461  48.718   
 10.944  50.321    11.540  51.797    12.227  53.174    12.988  54.468   
 13.812  55.694    14.690  56.862    15.615  57.979    16.581  59.051   
 17.584  60.083    18.620  61.081    19.685  62.046    20.778  62.982   
 21.896  63.892    23.037  64.777    24.199  65.639    25.381  66.481   
 26.581  67.303    27.799  68.108    29.032  68.895    30.281  69.666   
 31.543  70.422    32.820  71.165    34.109  71.893    35.409  72.610   
 36.722  73.314    38.045  74.006    39.379  74.688    40.723  75.359   
 42.076  76.021    43.438  76.672    44.809  77.315    46.188  77.949   
 47.576  78.575    48.971  79.193    50.373  79.802    51.783  80.405   
 53.200  81.000    54.623  81.588    56.053  82.170    57.489  82.745   
 58.931  83.313    60.379  83.876    61.832  84.433    63.291  84.984   
 64.755  85.530    66.225  86.070    67.699  86.605    69.179  87.135   
 70.663  87.660    72.151  88.180    73.645  88.696    75.142  89.207   
 76.644  89.714    78.150  90.216   ] scurve 
  0.113 setlinewidth
 31.500  70.500 moveto 
  5.000 -56.310 vector 
  5.000 123.690 vector 
 40.200  75.000 moveto 
  5.000 -56.310 vector 
  5.000 123.690 vector 
 23.100  64.500 moveto 
  5.000 -56.310 vector 
 23.100  64.500 moveto 
  5.000 123.690 vector
grestore}
\LabelTeX   51.200  40.300 $0$\ELTX
\LabelTeX  113.000  40.300 $x$\ELTX
\LabelTeX   50.500  94.500 $y$\ELTX
\LabelTeX   84.000  40.300 $1$\ELTX
\LabelTeX   51.200  74.000 $1$\ELTX
\LabelTeX   73.500  29.500 $U_+$\ELTX
\LabelTeX   73.500   5.500 $U_-$\ELTX
\LabelTeX  103.500   9.000 $\Gamma_0$\ELTX
\LabelTeX   64.000  81.000 $\Gamma_{3/2}$\ELTX
\EndFig

\subsection 1.3. Solutions maximales|

Nous introduisons d'abord le concept de prolongement d'une solution.
L'expression {\it solution maximale} est alors entendue implicitement
au sens de la relation d'ordre fournie par le prolongement des
solutions. 
\bigskip

\majdeb 
\state D\'efinition 1 -- | {\it Soient $y:I\rightarrow\bR^m$,
$\widetilde y:\widetilde I\rightarrow\bR^m$ des solutions de {\rm(E)}.
On dit que $\widetilde y$ est un prolongement de $y$ si $\widetilde
I\supset I$ et $\widetilde y|_I=y$.}
\par\majfin\par

\bigskip
\majdeb
\state D\'efinition 2 -- |  {\it On dit qu'une solution $y:I\rightarrow\bR^m$
est {\rm maximale} si $y$ n'admet pas de prolongement $\widetilde
y:\widetilde I\rightarrow\bR^m$ avec $\widetilde I \supsetneqq I$.}
\par\majfin\par

\bigskip
\majdeb
\state Th\'eor\`eme -- | Toute solution $y$ se prolonge en une solution
maximale $\widetilde y$ (pas n\'ecessairement unique).
\par\majfin\par

\bigskip
\noindent{\prem D\'emonstration.*} Supposons que $y$ soit d\'efinie
sur un intervalle $I=|a,b|$ (cette notation d\'esigne un intervalle ayant
pour bornes $a$ et $b$, incluses ou non dans~$I$). Il suffira de montrer
que $y$ se prolonge en une solution $\widetilde y:|a,\widetilde b|
\rightarrow\bR^m$ $(\widetilde b\geq b)$ maximale \`a droite, c'est-\`a-dire
qu'on ne pourra plus prolonger $\widetilde y$ au del\`a de $\widetilde b$. 
Le m\^eme raisonnement s'appliquera \`a gauche.

Pour cela, on construit par r\'ecurrence des prolongements successifs 
$y_{(1)},y_{(2)}\dots$ de $y$ avec $y_{(k)}:|a,b_k[\rightarrow\bR^m$. On 
pose $y_{(1)}=y$, $b_1=b$. Supposons $y_{(k-1)}$ d\'ej\`a construite pour
un indice $k\geq 1$. On pose alors
$$
c_k=\sup\{c\,;\,y_{(k-1)}\ \hbox{se prolonge sur $|a,c[$}\,\}.
$$
On a $c_k\geq b_{k-1}$. Par d\'efinition de la borne sup\'erieure,
il existe $b_k$ tel que $b_{k-1}\leq b_k\leq c_k$ et un prolongement
$y_{(k)}:|a,b_k[\rightarrow\bR^m$ de $y_{(k-1)}$ avec $b_k$
arbitrairement voisin de $c_k$~; en particulier, on peut choisir
$$
\matrix{
c_k-b_k<\frac{1}{k}\hfill&\quad{\rm si}\quad c_k<+\infty,\hfill\cr
\noalign{\vskip3pt}
b_k>k\hfill&\quad{\rm si}\quad c_k=+\infty.\hfill\cr}
$$
La suite $(c_k)$ est d\'ecroissante, car l'ensemble des
prolongements de $y_{(k-1)}$ contient l'ensemble des prolongements de
$y_{(k)}$~; au niveau des bornes sup\'erieures on a donc $c_k\geq
c_{k+1}$. Si $c_k<+\infty$ \`a partir d'un certain rang, les suites
$$
b_1\leq b_2\leq\dots\leq b_k\leq\dots\leq c_k\leq c_{k-1}\leq\dots\leq c_1
$$
sont adjacentes, tandis que si $c_k=+\infty$ quel que soit $k$ on a
$b_k>k$. Dans les deux cas, on voit que
$$
\widetilde b=\lim_{k\rightarrow+\infty}b_k=\lim_{k\rightarrow+\infty}c_k.
$$
Soit $\widetilde y:|a,\widetilde b|\rightarrow\bR^m$ le prolongement
commun des solutions $y_{(k)}$, \'eventuellement prolong\'e au point
$\widetilde b$ si cela est possible. Soit $z:|a,c|\rightarrow\bR^m$ un
prolongement de $\widetilde y$. Alors $z$ prolonge $y_{(k-1)}$ et par
d\'efinition de $c_k$ il s'ensuit $c\leq c_k$. A la limite il vient
$c\leq\widetilde c$, ce qui montre que la solution $\widetilde y$ est
maximale \`a droite.\hfill\blacksquare

\subsection 1.4. Solutions globales|

\noindent On suppose ici que l'ouvert $U$ est de la forme 
$
U=J\times U'
$ o\`u $J$ est un intervalle de $\bR$ et $U'$ un ouvert de $\bR^m$.

\bigskip
\majdeb
\state D\'efinition -- |  {\it Une solution globale est une solution
d\'efinie sur l'intervalle $J$ tout entier.
} 
\par\majfin\par

\medskip

\InsertFig 20.000 55.000 {
1 mm unit
 10.000  10.000 moveto 
 80.000   0.000 vector 
 10.000  10.000 moveto 
 40.000  90.000 vector 
 10.000  20.000 moveto 
  0.340 setlinewidth 
  0.700   0.000 indent 
 10.000  40.000 moveto 
  0.700   0.000 indent 
  0.113 setlinewidth 
 30.000  20.000 moveto 
 40.000  20.000 rect 
stroke 
 70.000  40.000 moveto 
 75.000  43.000 lineto 
stroke 
 75.000  43.000 moveto 
  6.000   6.000 rect 
stroke 
 70.000  10.000 moveto 
  2.000   0.000 brack 
 30.000  10.000 moveto 
  2.000 180.000 brack 
[   2.000   1.000 ] 0 setdash 
 11.500  40.000 moveto 
 30.000  40.000 lineto 
stroke 
 11.500  20.000 moveto 
 30.000  20.000 lineto 
stroke 
 30.000  13.000 moveto 
 30.000  20.000 lineto 
stroke 
 70.000  13.000 moveto 
 70.000  20.000 lineto 
stroke 
[ ] 0 setdash 
  0.340 setlinewidth 
gsave 
 30.000  20.000 moveto 
 40.000  20.000 rect  clip  newpath 
 26.000  28.000 moveto 
[  26.000  28.000   36.000  29.000   47.000  35.000   57.000  35.000  
 67.000  30.000   77.000  27.500  ] curve 
stroke 
 37.000  17.500 moveto 
[  37.000  17.500   43.000  25.500   49.000  27.500   56.000  20.500  
 58.000  15.500  ] curve 
stroke
grestore}
\LabelTeX    7.000   6.200 $0$\ELTX
\LabelTeX   50.000   6.200 $J$\ELTX
\LabelTeX   88.000   6.200 $t$\ELTX
\LabelTeX    5.800  28.500 $U'$\ELTX
\LabelTeX    6.500  48.300 $y$\ELTX
\LabelTeX   76.500  45.000 $U$\ELTX
\LabelTeX   36.000  34.200 $y_{(1)}$\ELTX
\LabelTeX   55.500  24.500 $y_{(2)}$\ELTX
\EndFig

\majdeb
\state Attention~:| toute solution globale est maximale, mais la r\'eciproque
est fausse.
\par\majfin\par

\bigskip
Sur le sch\'ema ci-dessus par exemple, $y_{(1)}$ est globale tandis que
$y_{(2)}$ est maximale mais non globale.

Donnons un exemple explicite de cette situation.

\bigskip
\state Exemple -- |  (E)\quad$y'=y^2$ sur $U=\bR\times\bR$.
\medskip
\noindent Cherchons les solutions $t\rightarrow y(t)$ de~(E).

\medskip
\noindent$\bullet$ On a d'une part la solution $y(t)=0$.

\noindent$\bullet$ Si $y$ ne s'annule pas, (E) s'\'ecrit $\dfrac{y'}{y^2}=1$, 
d'o\`u par int\'egration  
$$
-\frac{1}{y(t)}=t+C,\quad y(t)=-\frac{1}{t+C}.
$$
Cette formule d\'efinit en fait deux solutions, d\'efinies respectivement sur $]-\infty,-C[$
et sur $]-C,+\infty[$~; ces solutions sont maximales mais non globales.
Dans cet exemple $y(t)=0$ est la seule solution globale de (E).

\subsection 1.5. R\'egularit\'e des solutions|

\noindent Rappelons qu'une fonction de plusieurs variables est dite de classe $C^k$ si elle
admet des d\'eriv\'ees partielles continues jusqu'\`a l'ordre $k$.

\medskip
\majdeb
\state Th\'eor\`eme -- |  {\it Si $f:\bR\times\bR^m\supset U\rightarrow\bR^m$ est de classe
$C^k$, toute solution de {\rm (E)} $y'=f(t,y)$ est de classe $C^{k+1}$.} 
\par\majfin\par

\medskip
\noindent{\prem D\'emonstration.} On raisonne par r\'ecurrence sur $k$.

\vskip3pt
\noindent$\bullet$ $k=0$~: $f$ continue.

\noindent Par hypoth\`ese $y:I\rightarrow\bR^m$ est d\'erivable, donc continue.

\noindent Par cons\'equent $y'(t)=f(t,y(t))$ est continue, donc $y$ est de 
classe $C^1$.

\vskip3pt
\noindent$\bullet$ Si le r\'esultat est vrai \`a l'ordre $k-1$, alors
$y$ est au moins de classe $C^k$. Comme $f$ est de classe $C^k$, il
s'ensuit que $y'$ est de classe $C^k$ comme compos\'ee de fonctions de
classe $C^k$, donc $y$ est de classe $C^{k+1}$.

\bigskip
\state Calcul des d\'eriv\'ees successives d'une solution $y$ -- | 
On suppose pour
simplifier $m=1$. En d\'erivant la relation $y'(x)=f(x,y(x))$ il vient 
$$
\eqalign{
y''(x)&=f'_x(x,y(x))+f'_y(x,y(x))y'(x),\cr
y''&=f'_x(x,y)+f'(x,y)f(x,y)=f^{[1]}(x,y)\cr
}$$
\noindent avec\quad $f^{[1]}=f'_x+f'_yf$. Notons de mani\`ere g\'en\'erale l'expression de la
d\'eriv\'ee $k$-i\`eme $y^{(k)}$ en fonction de $x,y$ sous la forme
$$
y^{(k)}=f^{[k-1]}(x,y)~;
$$
d'apr\`es ce qui pr\'ec\`ede $f^{[0]}=f$, $f^{[1]}=f'_x+f'_yf$. En
d\'erivant une nouvelle fois, on trouve
$$
\eqalign{
y^{(k+1)}&=\Big(f^{[k-1]}\Big)'_x(x,y)+\Big(f^{[k-1]}\Big)'_y(x,y)y'\cr
&=\Big(f^{[k-1]}\Big)'_x(x,y)+\Big(f^{[k-1]}\Big)'_y(x,y)f(x,y).\cr
}
$$
On obtient donc les relations de r\'ecurrence

\bigskip
\majdeb
\hfil$\eqalign{
y^{(k+1)}&=f^{[k]}(x,y)\cr
f^{[k]}&=\Big(f^{[k-1]}\Big)'_x+\Big(f^{[k-1]}\Big)'_yf,\quad\hbox{avec}\quad f^{[0]}=f.\cr
}$\hfill
\par\majfin\par

\bigskip
En particulier, le lieu des points d'inflexion des courbes int\'egrales est contenu dans la
courbe $f^{[1]}(x,y)=0$.

\section 2. Th\'eor\`eme d'existence des solutions|

\noindent Dans tout ce paragraphe, on consid\`ere une \'equation 
diff\'erentielle
$$
y'=f(t,y)\leqno{\rm (E)}
$$
o\`u $f:U\rightarrow\bR^m$ est continue et $U$ est un ouvert de $\bR\times
\bR^m$. 

\subsection 2.1. \'Equivalence du probl\`eme de Cauchy avec la r\'esolution 
d'une \'equation int\'egrale|
 
\noindent Le lemme tr\`es simple ci-dessous montre que la r\'esolution de (E)
est \'equivalente \`a la r\'esolution d'une \'equation int\'egrale~:

\bigskip
\majdeb
\state Lemme -- |  {\it Une fonction $y:I\rightarrow\bR^m$ est une solution
du probl\`eme de Cauchy de donn\'ees initiales $(t_0,y_0)$ si et seulement si
\vskip3pt
{\rm (i)} $y$ est continue et $(\forall t\in I)$ $(t,y(t))\in U$,
\vskip1pt 
{\rm (ii)} $(\forall t\in I)$\quad$\displaystyle 
y(t)=y_0+\int^t_{t_0}f(u,y(u))du$.}
\par\majfin\par

\bigskip
En effet si $y$ v\'erifie (i) et (ii) alors $y$ est diff\'erentiable et on a $y(t_0)=y_0$,
$y'(t)=f(t,y(t))$. Inversement, si ces deux relations sont satisfaites, (ii) s'en d\'eduit
par int\'egration.\hfill\blacksquare
\bigskip

\subsection 2.2. Cylindres de s\'ecurit\'e|

Pour r\'esoudre l'\'equation diff\'erentielle (E), on va plut\^ot chercher 
\`a construire des solutions de l'\'equation int\'egrale 2.1~(ii), et en 
premier lieu, on va
montrer qu'une solution passant par un point $(t_0,y_0)\in U$ ne peut
s'\'eloigner \og trop vite\fg\ de $y_0$.

On  note $\Vert\quad\Vert$ une norme quelconque sur $\bR^m$ et $B(x,r)$
(resp.\ $\overline B(x,r)$) la boule ouverte (resp.\ ferm\'ee) de centre
$x$ et de rayon $r$ dans $\bR^m$. Comme $U$ est suppos\'e ouvert, il
existe un {\it cylindre} 
$$
C_0=[t_0-T_0,t_0+T_0]\times\overline B(y_0,r_0)
$$ 
de longueur $2T_0$ et de rayon $r_0$ assez petit, tel que
$C_0\subset U$. L'ensemble $C_0$ est ferm\'e born\'e dans $\bR^{m+1}$,
donc compact. Ceci entra\^{\i}ne que $f$ est born\'ee sur $C_0$,
c'est-\`a-dire
$$
M=\sup_{(t,y)\in C_0}\Vert f(t,y)\Vert<+\infty.
$$
Soit $C=[t_0-T,t_0+T]\times\overline B(y_0,r_0)\subset C_0$
un cylindre de m\^eme diam\`etre que $C_0$ et de demi-longueur $T\leq T_0$.

\bigskip
\majdeb
\state D\'efinition -- |  {\it On dit que $C$ est un cylindre de
s\'ecurit\'e pour l'\'equation {\rm (E)} si toute solution
$y:I\rightarrow\bR^m$ du probl\`eme de Cauchy $y(t_0)=y_0$ avec
$I\subset [t_0-T,t_0+T]$ reste contenue dans $\overline B(y_0,r_0)$.}
\par\majfin\par

\InsertFig 0.000 78.000 {
1 mm unit
 15.000  45.000 moveto 
  2.000  14.000   0.000 360.000 ellipsearc 
gsave closepath 
  0.920 setgray  fill 0 setgray  grestore  stroke 
 33.000  45.000 moveto 
  2.000  14.000   0.000 360.000 ellipsearc 
closepath 
  0.920 setgray  fill 0 setgray  
 77.000  45.000 moveto 
  2.000  14.000   0.000 360.000 ellipsearc 
closepath 
  0.920 setgray  fill 0 setgray
 33.000  31.000 moveto 
 44.000  28.000 rect
closepath 
  0.920 setgray  fill 0 setgray
 43.000  45.000 moveto 
  2.000  14.000   0.000 360.000 ellipsearc 
closepath 
  0.800 setgray  fill 0 setgray
 67.000  45.000 moveto 
  2.000  14.000   0.000 360.000 ellipsearc 
closepath 
  0.800 setgray  fill 0 setgray
 43.000  31.000 moveto 
 24.000  28.000 rect
closepath 
  0.800 setgray  fill 0 setgray
  0.000  10.000 moveto 
110.000   0.000 vector 
 15.000   0.000 moveto 
 70.000  90.000 vector 
 15.000  10.000 moveto 
 28.000 106.699 vector 
 15.000  45.000 moveto 
  0.700 disk 
 55.000  45.000 moveto 
  0.700 disk 
 43.000  45.000 moveto 
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 33.000  45.000 moveto 
  2.000  14.000   0.000 360.000 ellipsearc stroke 
 67.000  45.000 moveto 
  2.000  14.000 -90.000  90.000 ellipsearc stroke 
 77.000  45.000 moveto 
  2.000  14.000 -90.000  90.000 ellipsearc stroke 
[  2.000   1.000  ]  0.000 setdash
 43.000  45.000 moveto 
  2.000  14.000  90.000  270.000 ellipsearc stroke 
 67.000  45.000 moveto 
  2.000  14.000  90.000  270.000 ellipsearc stroke 
 77.000  45.000 moveto 
  2.000  14.000  90.000  270.000 ellipsearc stroke 
 15.000  45.000 moveto 
110.000  45.000 lineto 
stroke 
 15.000  59.000 moveto 
110.000  59.000 lineto 
stroke 
 15.000  31.000 moveto 
 33.000  31.000 lineto 
stroke 
 33.000  31.000 moveto 
 33.000  -2.000 lineto 
stroke 
 77.000  31.000 moveto 
 77.000  -2.000 lineto 
stroke 
 67.000  31.000 moveto 
 67.000   4.000 lineto 
stroke 
 43.000  31.000 moveto 
 43.000   4.000 lineto 
stroke 
 55.000  11.500 moveto 
 55.000  45.000 lineto 
stroke 
[ ] 0 setdash 
 33.000  31.000 moveto 
 77.000  31.000 lineto 
stroke 
 77.000  59.000 moveto 
 33.000  59.000 lineto 
stroke 
 33.000  10.000 moveto 
  0.000  1.300  cross 
 43.000  10.000 moveto 
  0.000  1.300  cross 
 55.000  10.000 moveto 
  0.000  1.300  cross 
 67.000  10.000 moveto 
  0.000  1.300  cross 
 77.000  10.000 moveto 
  0.000  1.300  cross 
 31.000  63.000 moveto 
[  31.000  63.000   26.000  53.000   26.000  43.000   25.000  33.000  
 30.000  26.000   45.000  21.000   60.000  21.000   75.000  23.500  
 85.000  33.500   87.500  48.500   85.000  56.000   75.000  66.000  
 62.500  68.500   45.000  67.500  ] potatoe 
stroke 
  0.340 setlinewidth
 37.000  27.000 moveto 
[ 35.850  22.700  37.000  27.000   44.500  37.000   49.500  42.000
 55.000  45.000  60.000  50.000   67.500  52.500   72.500  60.000
 76.250  65.000  ] curve 
stroke 
  0.113 setlinewidth 
 55.000   4.000 moveto 
 12.000 180.000 vector 
 12.000   0.000 vector 
 55.000  -2.000 moveto 
 22.000 180.000 vector 
 22.000   0.000 vector 
100.000  51.000 moveto 
  8.000  90.000 vector 
  6.000 -90.000 vector 
 37.000  27.000 moveto 
  0.700 disk 
 37.000  10.000 moveto 
  0.700 disk 
[   2.000   1.000 ] 0 setdash 
 37.000  11.500 moveto 
 37.000  26.500 lineto 
stroke 
[] 0 setdash
 84.200  32.500 moveto 
 89.200  27.500 lineto 
stroke 
 89.200  27.500 moveto 
  5.000  -5.000 rect 
stroke}
\LabelTeX   12.000   6.200 $0$\ELTX
\LabelTeX   22.000   6.200 $t_0-T_0$\ELTX
\LabelTeX   36.500   6.200 $t$\ELTX
\LabelTeX   54.200   6.200 $t_0$\ELTX
\LabelTeX   78.700   6.200 $t_0+T_0$\ELTX
\LabelTeX  108.700   6.200 $t$\ELTX
\LabelTeX   53.200   0.300 $2T$\ELTX
\LabelTeX   53.200  -5.700 $2T_0$\ELTX
\LabelTeX   70.700  35.000 $C_0$\ELTX
\LabelTeX   48.700  53.000 $C$\ELTX
\LabelTeX   37.800  26.000 $y(t)$\ELTX
\LabelTeX    9.000  45.000 $y_0$\ELTX
\LabelTeX    8.700  67.500 $\bR^m$\ELTX
\LabelTeX   90.100  24.000 $U$\ELTX
\LabelTeX  102.200  51.500 $r_0$\ELTX
\EndFig
\vskip6mm

{\leftskip3cm\rightskip3cm
Sur le sch\'ema  ci-dessus, $C$ est un cylindre de s\'ecurit\'e mais
$C_0$ n'en est pas un~: la solution $y$ \og s'\'echappe\fg\ de $C_0$
avant le temps $t_0+T_0$.\bigskip}

Supposons que la solution $y$ s'\'echappe de $C$ sur l'intervalle
$[t_0,t_0+T]$. Soit $\tau$ le premier instant o\`u cela se produit~:
$$
\tau=\inf\,\{t\in[t_0,t_0+T]\,;~\Vert y(t)-y_0\Vert>r_0\}.
$$

\noindent Par d\'efinition de $\tau$ on a $\Vert y(t)-y_0\Vert\leq r$ pour 
$t\in[t_0,\tau[$, donc par continuit\'e de $y$ on obtient $\Vert
y(\tau)-y_0\Vert=r_0$.  Comme $(t,y(t))\in C\subset C_0$ pour
$t\in[t_0,\tau]$, il vient $\Vert y'(t)\Vert=\Vert f(t,y(t))\Vert\leq M$ et
$$
r_0=\Vert y(\tau)-y_0\Vert=\Big\Vert\int^{\tau}_{t_0}y'(u)du\Big\Vert\leq 
M(\tau-t_0)
$$
donc $\tau-t_0\geq r_0/M$. Par cons\'equent si $T\leq r_0/M$, aucune s
olution ne peut s'\'echapper de $C$ sur $[t_0-T,t_0+T]$. 
\bigskip

\majdeb
\state Corollaire -- |  {\it Pour que $C$ soit un cylindre de s\'ecurit\'e, 
il suffit de prendre
$$
T\leq\min\,\Big(T_0,\frac{r_0}{M}\Big).
$$
Le choix $T=\min\,\big(T_0,\dfrac{r_0}{M}\big)$ convient par exemple.}
\par\majfin\par

\bigskip
\state Remarque -- |  Si $C\subset C_0$ est un cylindre de
s\'ecurit\'e, toute solution du probl\`eme de Cauchy
$y:[t_0-T,t_0+T]\rightarrow\bR^m$ v\'erifie $\Vert y'(t)\Vert\leq M$,
donc $y$ est lipschitzienne de rapport $M$.


\subsection 2.3. Solutions approch\'ees. M\'ethode d'Euler|

\noindent On cherche \`a construire une solution approch\'ee de (E) sur
un intervalle $[t_0,t_0+T]$. On se donne pour cela une subdivision
$$
t_0<t_1<t_2\dots<t_{N-1}<t_N=t_0+T.
$$
Les pas successifs sont not\'es
$$
h_n=t_{n+1}-t_n,\quad 0\leq n\leq N-1,
$$
et on pose
$$
h_{\rm max}=\max(h_0,\dots,h_{N-1}).
$$
La m\'ethode d'Euler (ou m\'ethode de la tangente) consiste \`a
construire une solution approch\'ee $y$ affine par morceaux comme suit.
Soit $y_n=y(t_n)$. On confond la courbe int\'egrale sur $[t_n,t_{n+1}]$
avec sa tangente au point $(t_n,y_n)$~:
$$
y(t)=y_n+(t-t_n)f(t_n,y_n),\quad t\in[t_n,t_{n+1}].
$$
Partant de la donn\'ee initiale $y_0$, on calcule donc $y_n$ par
r\'ecurrence en posant
$$
\cases{
y_{n+1}=y_n+h_nf(t_n,y_n)\hfill\cr
\noalign{\vskip3pt}
t_{n+1}=t_n+h_n,\quad 0\leq n\leq N-1.\hfill\cr
}
$$

\noindent La solution approch\'ee $y$ s'obtient graphiquement en
tra\c cant pour chaque $n$ les segments joignant les points $(t_n,y_n)$,
$(t_{n+1},y_{n+1})$.

\InsertFig 10.000 66.000 {
1 mm unit
  5.000  10.000 moveto 
 97.000   0.000 vector 
 10.000   5.000 moveto 
 55.000  90.000 vector 
 25.000  20.000 moveto 
  0.700 disk 
 38.000  26.000 moveto 
  0.700 disk 
 58.000  46.000 moveto 
  0.700 disk 
 68.000  49.000 moveto 
  0.700 disk 
 83.000  45.000 moveto 
  0.700 disk 
 25.000  20.000 moveto 
[  25.000  20.000   38.000  26.000   58.000  46.000   68.000  49.000  
 83.000  45.000  ] polygon 
stroke 
[   2.000   1.000 ] 0 setdash 
 11.500  46.000 moveto 
 57.500  46.000 lineto 
stroke 
 11.500  49.000 moveto 
 67.500  49.000 lineto 
stroke 
 11.500  26.000 moveto 
 37.500  26.000 lineto 
stroke 
 11.500  20.000 moveto 
 24.500  20.000 lineto 
stroke 
 25.000  11.500 moveto 
 25.000  19.500 lineto 
stroke 
 38.000  11.500 moveto 
 38.000  25.500 lineto 
stroke 
 58.000  11.500 moveto 
 58.000  45.500 lineto 
stroke 
 68.000  11.500 moveto 
 68.000  48.500 lineto 
stroke 
[ ] 0 setdash
  0.340 setlinewidth
 83.000  10.000 moveto 
  0.700  90.000 indent 
 68.000  10.000 moveto 
  0.700  90.000 indent 
 58.000  10.000 moveto 
  0.700  90.000 indent 
 38.000  10.000 moveto 
  0.700  90.000 indent 
 25.000  10.000 moveto 
  0.700  90.000 indent 
 10.000  20.000 moveto 
  0.700   0.000 indent 
 10.000  26.000 moveto 
  0.700   0.000 indent 
 10.000  46.000 moveto 
  0.700   0.000 indent 
 10.000  49.000 moveto 
  0.700   0.000 indent 
  0.565 setlinewidth 
 25.000  20.000 moveto
  4.887  24.775 vector 
 38.000  26.000 moveto 
 11.314  45.000 vector 
 58.000  46.000 moveto 
  4.176  16.699 vector 
 68.000  49.000 moveto 
  9.315 -14.931 vector}
\LabelTeX   23.500   6.200 $t_0$\ELTX
\LabelTeX   36.700   6.200 $t_1$\ELTX
\LabelTeX   56.700   6.200 $t_2$\ELTX
\LabelTeX   66.700   6.200 $t_3$\ELTX
\LabelTeX   72.500   6.200 $\ldots$\ELTX
\LabelTeX   79.500   6.200 $t_N=t_0+T$\ELTX
\LabelTeX  100.500   6.200 $t$\ELTX
\LabelTeX    5.700  19.000 $y_0$\ELTX
\LabelTeX    5.700  25.000 $y_1$\ELTX
\LabelTeX    5.700  45.000 $y_2$\ELTX
\LabelTeX    5.700  50.000 $y_3$\ELTX
\LabelTeX    6.200  58.000 $y$\ELTX
\EndFig

\noindent On construit de m\^eme une solution approch\'ee sur
$[t_0-T,t_0]$ en prenant des pas $h_n<0$.

\bigskip
\majdeb
\state Proposition 1 -- |  {\it Si $C=[t_0-T,t_0+T]\times\overline
B(y_0,r_0)$ est un cylindre de s\'ecurit\'e tel que
$T\leq\min\big(T_0,\dfrac{r_0}{M}\big)$, toute solution approch\'ee $y$
donn\'ee par la m\'ethode d'Euler est contenue dans la boule $\overline
B(y_0,r_0)$.}\par
\majfin
\par

\bigskip
\noindent{\prem D\'emonstration.} On v\'erifie par r\'ecurrence sur $n$ que
$$
\cases{
y([t_0,t_n])\subset \overline B(y_0,r_0)\hfill\cr
\noalign{\vskip3pt}
\Vert y(t)-y_0\Vert\leq M(t-t_0)\quad{\rm pour}\quad t\in[t_0,t_n].\hfill
}
$$
C'est trivial pour $n=0$. Si c'est vrai pour $n$, alors on a en particulier $(t_n,y_n)\in C$,
donc $\Vert f(t_n,y_n)\Vert\leq M$, et par cons\'equent
$$
\Vert y(t)-y_n\Vert=(t-t_n)\Vert f(t_n,y_n)\Vert\leq M(t-t_n)
$$
pour $t\in[t_n,t_{n+1}]$. Par hypoth\`ese de r\'ecurrence
$$
\Vert y_n-y_0\Vert=\Vert y(t_n)-y_0\Vert\leq M(t_n-t_0).
$$
L'in\'egalit\'e triangulaire entra\^{\i}ne alors $\forall t\in[t_n,t_{n+1}]$~:
$$
\Vert y(t)-y_0\Vert\leq M(t-t_n)+M(t_n-t_0)\leq M(t-t_0).
$$
En particulier $\Vert y(t)-y_0\Vert\leq MT\leq r_0$, d'o\`u
$$
y([t_0,t_{n+1}])\subset \overline B(y_0,r_0).\eqno\blacksquare
$$
%

\bigskip
\majdeb
\state D\'efinition -- | {\it
Soit $y:[a,b]\rightarrow\bR^m$ une fonction de classe $C^1$ par
morceaux (ceci signifie qu'il existe une subdivision
$a=a_0<a_1<\dots<a_N=b$ de $[a,b]$ telle que pour tout $n$ la
restriction $y_{[a_n,a_{n+1}]}$ soit de classe $C^1$~; on suppose donc
seulement la continuit\'e et l'existence d'une d\'eriv\'ee \`a droite
et \`a gauche de $y$ aux points $a_n$). On dit que $y$ est une
solution $\varepsilon$-approch\'ee de {\rm (E)} si 
\vskip3pt {\rm (i)}\kern6pt $(\forall t\in[a,b])$\quad$(t,y(t))\in U$~; 
\vskip1pt {\rm (ii)}
$(\forall n)$, $(\forall t\in\,]a_n,a_{n+1}[)$\quad$\Vert
y'(t)-f(t,y(t))\Vert\leq\varepsilon$.}
\par\majfin\par

\bigskip
\noindent Autrement dit, $y$ est une solution $\varepsilon$-approch\'ee
si $y$ v\'erifie (E) avec une erreur~$\leq\varepsilon$.

\bigskip
\state Majoration de l'erreur pour les solutions approch\'ees 
d'Euler -- | 
Soit $\omega_f$ le module de continuit\'e de $f$ sur $C$, d\'efini par
$$
\omega_f(u)=\max\{\Vert f(t_1,y_1)-f(t_2,y_2)\Vert\,;\ |t_1-t_2|+
\Vert y_1-y_2\Vert\leq u\}
$$
o\`u $u\in[0,+\infty[$ et o\`u les points $(t_1,y_1)$, $(t_2,y_2)$ parcourent $C$. Comme $C$
est compact, la fonction $f$ est uniform\'ement continue sur $C$, par cons\'equent
$$
\lim_{u\rightarrow 0_+}\omega_f(u)=0.
$$
On suppose dans la suite que $C=[t_0-T,t_0+T]\times\overline B(y_0,r_0)$ est un cylindre de
s\'ecurit\'e tel que $T\leq\min\Big(T_0,\dfrac{r_0}{M}\Big)$.

\bigskip
\majdeb
\state Proposition 2 -- |  {\it Soit $y:[t_0-T,t_0+T]\rightarrow\bR^m$ une solution
approch\'ee construite par la m\'ethode d'Euler avec pas maximum $h_{\rm max}$. Alors
l'erreur $\varepsilon$ v\'erifie $\varepsilon\leq\omega_f((M+1)h_{\rm max})$. } 
\par\majfin\par

\bigskip
En particulier, l'erreur $\varepsilon$ tend vers 0 quand $h_{\rm max}$ tend vers 0.

\bigskip
\noindent{\prem D\'emonstration.} Majorons par exemple $\Vert y'(t)-f(t,y(t))
\Vert$ pour $t\in[t_0,t_0+T]$, o\`u $y$ est la solution approch\'ee
associ\'ee \`a la subdivision $t_0<t_1<\dots<t_N=t_0+T$.  Pour
$t\in\,]t_n,t_{n+1}[$, on a $y'(t)=f(t_n,y_n)$ et
$$
\eqalign{
\Vert y(t)-y_n\Vert&=(t-t_n)\Vert
f(t_n,y_n)\Vert\leq Mh_n,\cr
|t-t_n|&\leq h_n.\cr
}$$ 
Par d\'efinition de $\omega_f$, il vient
$$
\eqalignno{
\Vert f(t_n,y_n)-f(t,y(t))\Vert&\leq\omega_f(Mh_n+h_n),\cr
\Vert y'(t)-f(t,y(t))\Vert&\leq \omega_f((M+1)h_{\rm max}.&\blacksquare\cr
}
$$
Montrons finalement un r\'esultat sur la convergence des solutions
approch\'ees.
\bigskip 

\majdeb 
\state Proposition 3 -- | {\it Soit  $y_{(p)}:[t_0-T,t_0+T]\rightarrow\bR^m$
une suite de solutions\break $\varepsilon_p$-approch\'ees contenues
dans le cylindre de s\'ecurit\'e $C$, telles que $y_{(p)}(t_0)=y_0$
et $\lim_{p\rightarrow+\infty}\varepsilon_p=0$.  On suppose que
$y_{(p)}$ converge uniform\'ement sur $[t_0-T,t_0+T]$ vers une
fonction $y$.  Alors $y$ est une solution exacte du probl\`eme de
Cauchy pour l'\'equation {\rm (E)}.}
\par\majfin\par

\bigskip
\noindent{\prem D\'emonstration.} Comme $\Vert
y'_{(p)}(t)-f(t,y_{(p)}(t)\Vert\leq\varepsilon_p$, il vient apr\`es
int\'egration
$$
\Vert y_{(p)}(t)-y_0-\int^t_{t_0}f(u,y_{(p)}(u))du\Vert\leq\varepsilon_p
|t-t_0|.
$$
Si $\displaystyle\delta_p=\max_{[t_0-T,t_0+T]}\Vert y-y_{(p)}\Vert$, on voit
que
$$
\Vert f(u,y_{(p)}(u))-f(u,y(u))\Vert\leq \omega_f(\delta_p)
$$
tend vers 0, d'o\`u, gr\^ace \`a la convergence uniforme~:
$$
y(t)-y_0-\int^t_{t_0}f(u,y(u))du=0,\quad\forall t\in[t_0-T,t_0+T].
$$
Comme la limite uniforme $y$ est continue, le lemme du d\'ebut du \S\ 2 entra\^{\i}ne que $y$
est une solution exacte de (E).

\subsection 2.4. Th\'eor\`eme d'Ascoli|

\noindent Il s'agit d'un r\'esultat pr\'eliminaire de nature topologique
que nous allons formuler dans le cadre g\'en\'eral des espaces m\'etriques.
Si $(E,\delta)$ et $(F,\delta')$ sont des espaces m\'etriques, rappelons
que par d\'efinition une suite d'applications $\varphi_{(p)}:E\rightarrow F$
converge uniform\'ement vers $\varphi:E\rightarrow F$ si la
distance uniforme
$$
d(\varphi_{(p)},\varphi)=\sup_{x\in E}\delta'(\varphi_{(p)}(x),\varphi(x))
$$
tend vers $0$ quand $p$ tend vers $+\infty$.


\bigskip
\majdeb
\state Th\'eor\`eme {\rm(Ascoli)} -- | {\it On suppose que $E,F$ sont des
espaces m\'etriques {\rm compacts}. Soit $\varphi_{(p)}:E\rightarrow F$
une suite d'applications $k$-lipschitziennes, o\`u $k\geq 0$ est une 
constante donn\'ee. Alors on peut extraire de $\varphi_{(p)}$ une
sous-suite $\varphi_{(p_n)}$ uniform\'ement convergente, et la limite
est une application $k$-lipschitzienne.}
\par\majfin\par

\bigskip
Soit ${\rm Lip}_k(E,F)$ l'ensemble des applications $E\rightarrow F$
lipschitziennes de rapport~$k$. Une autre mani\`ere d'exprimer le th\'eor\`eme
d'Ascoli est la suivante.

\bigskip
\majdeb
\state Corollaire -- |  {\it Si $E,F$ sont compacts, alors
$({\rm Lip}_k(E,F),d)$ est un espace m\'etrique compact.} 
\par\majfin\par

\bigskip
\noindent{\prem D\'emonstration.} On construit par r\'ecurrence des parties
infinies
$$
S_0=\bN\supset S_1\supset\dots\supset S_{n-1}\supset S_n\supset\dots
$$ 
telles que la sous-suite $(\varphi_{(p)})_{p\in S_n}$ ait des
oscillations de plus en plus faibles.

Supposons $S_{n-1}$ construite, $n\geq 1$. Comme $E$, $F$ sont
compacts, il existe des recouvrements finis de $E$ (resp.\ de $F$) par
des boules ouvertes $(B_i)_{i\in I}$, resp.\ $(B'_j)_{j\in J}$, de rayon
$\dfrac{1}{n}$. Notons $I=\{1,2,\dots,N\}$ et $x_i$ le centre de $B_i$.
Soit $p$ un indice fix\'e. Pour tout $i=1,\dots, N$ il existe un indice
$j=j(p,i)$ tel que $\varphi_{(p)}(x_i)\in B'_{j(p,i)}$.

\noindent On consid\`ere l'application
$$
S_{n-1}\longrightarrow J^N,\qquad
p\longmapsto (j(p,1),\dots,j(p,N)).
$$
Comme $S_{n-1}$ est infini et que $J^N$ est fini, l'un des \'el\'ements $(l_1,\dots,l_N)\in
J^N$ admet pour image r\'eciproque une partie infinie de $S_{n-1}$~: on note $S_n$ cette
partie. Ceci signifie que pour tout $p\in S_n$ on a $(j(p,1),\dots,j(p,N))=(l_1,\dots,l_N)$ et
donc $\varphi_{(p)}(x_i)\in B'_{l_i}$. En particulier
$$
(\forall p,q\in S_n)\quad \delta'(\varphi_{(p)}(x_i),\varphi_{(q)}(x_i))\leq {\rm
diam}\,B'_{l_i}\leq\frac{2}{n}. 
$$
Soit $x\in E$ un point quelconque. Il existe $i\in I$ tel que $x\in B_i$, d'o\`u
$\delta(x,x_i)<\dfrac{1}{n}$. L'hypoth\`ese que les $\varphi_{(p)}$ sont $k$-lipschitziennes
entra\^{\i}ne 
$$
\delta'(\varphi_{(p)}(x),\varphi_{(p)}(x_i))<\frac{k}{n},\quad
\delta'(\varphi_{(q)}(x),\varphi_{(q)}(x_i))<\frac{k}{n}. 
$$
L'in\'egalit\'e triangulaire implique alors $(\forall p,q\in S_n)$
$$
\delta'(\varphi_{(p)}(x),\varphi_{(q)}(x))\leq\frac{2}{n}+2\,\frac{k}{n}=\frac{2k+2}{n}.
$$
D\'esignons par $p_n$ le $n$-i\`eme \'el\'ement de $S_n$. Pour $N\geq n$ on a $p_N\in
S_N\subset S_n$, donc
$$
\delta'(\varphi_{(p_n)}(x),\varphi_{(p_N)}(x))\leq\frac{2k+2}{n}.\eqno(*)
$$
Ceci entra\^{\i}ne que $\varphi_{(p_n)}(x)$ est une suite de Cauchy dans $F$ pour tout $x\in
E$. Comme $F$ est compact, $F$ est aussi complet, donc $\varphi_{(p_n)}(x)$ converge vers une
limite $\varphi(x)$. Quand $N\rightarrow+\infty$, $(*)$ implique \`a la limite
$d(\varphi_{(p_n)},\varphi)\leq\dfrac{2k+2}{n}$. On voit donc que $\varphi_{(p_n)}$ converge
uniform\'ement vers $\varphi$. Il est facile de voir que $\varphi\in {\rm
Lip}_k(E,F)$.\hfill\blacksquare

\bigskip
\majedeb
\state Exercice -- |  {\it On pose $E=[0,\pi]$, $F=[-1,1]$, 
$\varphi_p(x)=\cos\,px$. Calculer 
$$
\int^{\pi}_0(\varphi_p(x)-\varphi_q(x))^2dx
$$
et en d\'eduire que $d(\varphi_p,\varphi_q)\geq 1$ si $p\not=q$. L'espace 
$$
\hbox{\rm Lip}\,(E,F)=\bigcup\nolimits_{k\geq 0}{\rm Lip}_k(E,F)
$$
est-il compact~?} 
\par\majefin\par

\subsection 2.5. Th\'eor\`eme d'existence (Cauchy-Peano-Arzela)|

\noindent L'id\'ee est d'utiliser le th\'eor\`eme d'Ascoli pour montrer
l'existence d'une sous-suite uniform\'ement convergente de solutions
approch\'ees. On obtient ainsi le

\bigskip
\majdeb
\state Th\'eor\`eme -- |  {\it Soit $C=[t_0-T,t_0+T]\times\overline
B(y_0,r_0)$ avec $T\leq\min\Big(T_0,\dfrac{r_0}{M}\Big)$ un cylindre de
s\'ecurit\'e pour l'\'equation {\rm (E)}~: $y'=f(t,y)$. Alors il existe
une solution $y:[t_0-T,t_0+T]\rightarrow\overline B(y_0,r_0)$ de {\rm
(E)} avec condition initiale $y'(t_0)=y_0$.}
\par\majfin\par

\bigskip
\noindent{\prem D\'emonstration.} Soit $y_{(p)}$ la solution approch\'ee
donn\'ee par la m\'ethode d'Euler en utilisant la subdivision avec pas
constant $h={T}/{p}$ des intervalles $[t_0,t_0+T]$ et\break
$[t_0-T,t_0]$. Cette solution est $\varepsilon_p$-approch\'ee avec
erreur $\varepsilon_p\leq\omega_f((M+1)\,{T}/{p})$ tendant vers 0.
Chaque application $y_{(p)}:[t_0-T,t_0+T]\rightarrow\overline
B(y_0,r_0)$ est lipschitzienne de rapport $M$, donc d'apr\`es le
th\'eor\`eme d'Ascoli on peut extraire de $(y_{(p)})$ une sous-suite
$(y_{(p_n)})$ convergeant uniform\'ement vers une limite $y$. D'apr\`es
la proposition 3 du \S\ 2.3, $y$ est une solution exacte de
l'\'equation (E).\hfill\blacksquare

\bigskip
\majdeb
\state Corollaire -- |  {\it Par tout point $(t_0,y_0)\in U$, il passe
au moins une solution maximale $y:I\rightarrow\bR^m$ de {\rm (E)}.
De plus, l'intervalle de d\'efinition $I$ de toute solution maximale
est ouvert $($mais en g\'en\'eral, il n'y a pas unicit\'e de ces
solutions maximales$)$.
} 
\par\majfin\par

\bigskip
On vient de voir en effet qu'il existe une solution locale $z$
d\'efinie sur un intervalle $[t_0-T,t_0+T]$. D'apr\`es le th\'eor\`eme
du \S\ 1.3, $z$ se prolonge en une solution maximale $y=\widetilde
z:|a,b|\rightarrow\bR^m$. Si $y$ \'etait d\'efinie au point $b$, il
existerait une solution
$y_{(1)}:[b-\varepsilon,b+\varepsilon]\rightarrow\bR^m$ du probl\`eme
de Cauchy avec donn\'ee initiale $(b,y(b))\in U$. La fonction
$\widetilde y:|a,b+\varepsilon]\rightarrow\bR^m$ co\"{\i}ncidant avec
$y$ sur $|a,b]$ et avec $y_{(1)}$ sur $[b,b+\varepsilon]$ serait alors
un prolongement strict de $y$, ce qui est absurde.\hfill\blacksquare

\medskip
\state Exemple -- |  Pour donner un exemple de non unicit\'e, il suffit
de consid\'erer l'\'equation $y'=3|y|^{2/3}$. Le probl\`eme de Cauchy de
condition initiale $y(0)=0$ admet alors au moins 2 solutions maximales~:
$$
y_{(1)}(t)=0,\quad y_{(2)}(t)=t^3,\quad t\in\bR.
$$

\section 3. Th\'eor\`eme d'existence et d'unicit\'e de Cauchy-Lipschitz|

\noindent Reprenons les notations du d\'ebut du \S\ 2. On suppose ici 
en outre que $f$ est {\it localement lipschitzienne} en $y$~: cela
signifie que pour tout point $(t_0,y_0)\in U$ il existe un cylindre
$C_0=[t_0-T_0,t_0+T_0]\times\overline B(y_0,r_0)\subset U$ et une
constante $k=k(t_0,y_0)\geq 0$ tels que $f$ soit $k$-lipschitzienne en
$y$ sur $C_0$~:
\medskip

\majdeb
$$
\Big(\forall (t,y_1),(t,y_2)\in C_0\Big)\quad\Vert f(t,y_1)-f(t,y_2)\Vert
\leq k\Vert y_1-y_2\Vert. 
$$
\vskip-6pt
{}
\par\majfin\par

\medskip
\state Remarque -- |  Pour que $f$ soit localement lipschitzienne en
$y$ sur $U$, il suffit que $f$ admette des d\'eriv\'ees partielles
$\dfrac{\partial f_i}{\partial y_j}$, $1\leq i,j\leq m$, {\it
continues} sur $U$. Soit en effet
$$
A=\max_{\phantom{(}1\leq i,j\leq m\phantom{\hbox{(}}}
\sup_{(t,y)\in C_0}
\left|\frac{\partial f_i}{\partial y_j}\,(t,y)\right|. 
$$
Le nombre $A$ est fini puisque $C_0$ est compact. Le th\'eor\`eme des
accroissement finis appliqu\'es \`a $f_i$ sur $C_0$ donne 
$$
f_i(t,y_1)-f_i(t,y_2)=\sum_j\frac{\partial f_i}{\partial y_j}\
(t,\xi)(y_{1,j}-y_{2,j})
$$
avec $\xi\in\ ]y_1,y_2[$. On a donc
$$
\max_i|f_i(t,y_1)-f(t,y_2)|\leq mA\cdot \max_j|y_{1,j}-y_{2,j}|.
\eqno\blacksquare
$$

Sous ces hypoth\`eses sur $f$, nous allons montrer que la solution du
probl\`eme de Cauchy est n\'ecessairement unique, et que de plus toute 
suite de solutions \hbox{$\varepsilon$-approch\'ees} avec $\varepsilon$
tendant vers $0$ converge n\'ecessairement vers la solution exacte.
Compte tenu de l'importance de ces r\'esultats, nous donnerons ensuite
une deuxi\`eme d\'emonstration assez diff\'erente bas\'ee sur le
th\'eor\`eme du point fixe (chapitre~IV, \S$\,$1.1).

\subsection 3.1. Lemme de Gronwall. Convergence et unicit\'e locales|

\noindent Soit $C_0=[t_0-T_0,t_0+T_0]\times\overline B(y_0,r_0)\subset
U$ un cylindre sur lequel $f$ est $k$-lipschi\-tzienne en $y$ et soit
$M=\sup_{C_0}\Vert f\Vert$. On se donne $\varepsilon>0$ et on
consid\`ere des solutions  $y_{(1)}$ et $y_{(2)}$ respectivement
$\varepsilon_1$-approch\'ee et $\varepsilon_2$-approch\'ee du
probl\`eme de Cauchy de donn\'ee initiale $(t_0,y_0)$, avec
$\varepsilon_1,\varepsilon_2\leq \varepsilon$.

On a alors $\Vert y'_{(i)}(t)\Vert\leq M+\varepsilon$, et un
raisonnement analogue \`a celui du \S\ 2.1 montre que les graphes de
$y_{(1)},y_{(2)}$ restent contenus dans le cylindre
$$
C=[t_0-T,t_0+T]\times\overline B(y,r_0)\subset C_0
$$
d\`es que $T\leq\min \big(T_0,\dfrac{r_0}{M+\varepsilon}\big)$, ce
qu'on suppose d\'esormais.

\bigskip
\majdeb
\state Lemme de Gronwall -- |  {\it Sous les hypoth\`eses pr\'ec\'edentes, 
on a
$$
\Vert y_{(2)}(t)-y_{(1)}(t)\Vert\leq(\varepsilon_1+\varepsilon_2)\
\frac{e^{k|t-t_0|}-1}{k},\quad \forall t\in[t_0-T,t_0+T].
$$}
\vskip-\baselineskip
\majfin
\vskip\baselineskip

\noindent{\prem D\'emonstration.} Quitte \`a changer l'origine du temps on
peut supposer $t_0=0$ et, par exemple, $t\in[0,T]$. Posons alors
$$
v(t)=\int^t_0\Vert y_{(2)}(u)-y_{(1)}(u)\Vert du.
$$
Comme $y_{(i)}$ satisfait l'\'equation diff\'erentielle \`a $\varepsilon_i$ pr\`es, on
obtient par soustraction
$$
\eqalign{
\Vert y'_{(2)}(t)-y'_{(1)}(t)\Vert&\leq \Vert f(t,y_{(2)}(t)-f(t,y_{(1)}(t)\Vert+\varepsilon_1
+\varepsilon_2\cr
&\leq k\Vert y_{(2)}(t)-y_{(1)}(t)\Vert+\varepsilon_1+\varepsilon_2,\cr
}
$$
en utilisant l'hypoth\`ese que $f$ est $k$-lipschitzienne en $y$. De plus
$$
y_{(2)}(t)-y_{(1)}(t)=\int^t_0(y'_{(2)}(u)-y'_{(1)}(u))du
$$ 
puisque $y_{(2)}(0)=y_{(1)}(0)=y_0$. On en d\'eduit
$$
\Vert y_{(2)}(t)-y_{(1)}(t)\Vert\leq k\int^t_0 \Vert y_{(2)}(u)-y_{(1)}(u)\Vert
du+(\varepsilon_1+\varepsilon_2)t \eqno(*)
$$
c'est-\`a-dire
$$
v'(t)\leq kv(t)+(\varepsilon_1+\varepsilon_2)t.
$$
Apr\`es soustraction de $kv(t)$ et multiplication par $e^{-kt}$, on trouve
$$
(v'(t)-kv(t))e^{-kt}=\frac{d}{dt}\,(v(t)e^{-kt})\leq (\varepsilon_1+\varepsilon_2)te^{-kt}.
$$
Gr\^ace  \`a une  nouvelle int\'egration (noter que $v(0)=0$), il vient
$$
\eqalign{
&v(t)e^{-kt}\leq\int^t_0(\varepsilon_1+\varepsilon_2)ue^{-ku}du=(\varepsilon_1+\varepsilon_2)\
\frac{1-(1+kt)e^{-kt}}{k^2},\cr 
&v(t)\leq (\varepsilon_1+\varepsilon_2)\ \frac{e^{kt}-(1+kt)}{k^2},\cr
}
$$
tandis que la premi\`ere in\'egalit\'e int\'egr\'ee ($\ast$) donne
$$
\Vert y_{(2)}(t)-y_{(1)}(t)\Vert\leq kv(t)+(\varepsilon_1+\varepsilon_2)t\leq
(\varepsilon_1+\varepsilon_2)\ \frac{e^{kt}-1}{k}.
$$
Le cas o\`u $t\in[-T,0]$ s'obtient par un changement de variable $t\mapsto-t$.\hfill\blacksquare

\bigskip
\majdeb
\state Th\'eor\`eme {\rm(Cauchy-Lipschitz)} -- | {\it Si $f:U\rightarrow\bR^m$
est localement lipschitzienne en $y$, alors pour tout cylindre de s\'ecurit\'e
$C=[t_0-T,t_0+T]\times\overline B(y_0,r_0)$ comme ci-dessus, le probl\`eme 
de Cauchy avec condition initiale $(t_0,y_0)$ admet une unique solution
exacte $y:[t_0-T,t_0+T]\rightarrow U$. De plus, toute suite $y_{(p)}$ de
solutions $\varepsilon_p$-approch\'ees avec $\varepsilon_p$ tendant vers $0$ 
converge uniform\'ement vers la solution exacte $y$ sur~$[t_0-T,t_0+T]$.
} 
\par\majfin\par

\bigskip
\noindent{\prem Existence.} Soit $y_{(p)}$ une suite quelconque de solutions
$\varepsilon_p$ approch\'ees avec \hbox{$\displaystyle\lim \varepsilon_p=0$}, par exemple
celles fournies par la m\'ethode d'Euler. Le lemme de Gronwall montre que
$$
d(y_{(p)},y_{(q)})\leq(\varepsilon_p+\varepsilon_q)\ \frac{e^{kT}-1}{k}\quad{\rm sur}\quad
[t_0-T,t_0+T], 
$$
par cons\'equent $y_{(p)}$ est une suite de Cauchy uniforme. Comme
les fonctions $y_{(p)}$ sont toutes \`a valeurs dans $\overline
B(y_0,r_0)$ qui est un espace complet, $y_{(p)}$ converge vers une
limite $y$. Cette limite $y$ est une solution exacte de l'\'equation
(E) d'apr\`es la proposition~3 du \S\ 2.3.

\medskip
\noindent{\prem Unicit\'e.} Si $y_{(1)},y_{(2)}$ sont deux solutions 
exactes, le lemme de Gronwall avec $\varepsilon_1=\varepsilon_2=0$ montre
que $y_{(1)}=y_{(2)}$.\hfill\blacksquare

\subsection 3.2.* Autre d\'emonstration (par le th\'eor\`eme du point fixe)|

\noindent Soit $C=[t_0-T,t_0+T]\times\overline B(y_0,r_0)\subset C_0$ 
avec $T\leq\min\big(T_0,\dfrac{r_0}{M}\big)$ un cylindre de s\'ecurit\'e 
pour~(E).

Notons $\cF=\cC([t_0-T,t_0+T],\overline B(y_0,r_0))$ l'ensemble des
applications continues de $[t_0-T,t_0+T]$ dans $\overline B(y_0,r_0)$,
muni de la distance $d$ de la convergence uniforme.

\noindent A toute fonction $y\in\cF$, associons la fonction $\phi(y)$ 
d\'efinie par
$$
\phi(y)(t)=y_0+\int^t_{t_0}f(u,y(u))du,\quad t\in[t_0-T,t_0+T].
$$
D'apr\`es le lemme du \S~2.1, $y$ est une solution de (E)
si et seulement si $y$ est un point fixe de $\phi$. On va donc essayer
d'appliquer le th\'eor\`eme du point fixe.  Observons que
$$
\Vert \phi(y)(t)-y_0\Vert=\Big\Vert\int^t_{t_0}f(u,y(u))du\Big\Vert\leq M|t-t_0|\leq MT\leq
r_0, 
$$
donc $\phi(y)\in\cF$. L'op\'erateur $\phi$ envoie donc $\cF$ dans
$\cF$.  Soient maintenant $y,z\in F$ et $y_{(p)}=\phi^p(y)$,
$z_{(p)}=\phi^p(z)$. On a
$$
\eqalign{
\Vert y_{(1)}(t)-z_{(1)}(t)\Vert&=\Big\Vert\int^t_{t_0}(f(u,y(u))-f(u,z(u)))\,
du\Big\Vert\cr
&\leq \Big|\int^t_{t_0}k\Vert y(u)-z(u)\Vert du\Big|\leq k|t-t_0|\,d(y,z).\cr}
$$
De m\^eme
$$
\eqalign{
\Vert y_{(2)}(t)-z_{(2)}(t)\Vert&\leq\Big|\int^t_0k\Vert y_1(u)-z_1(u)\Vert\
du\Big|\cr
&\leq\Big|\int^t_{t_0}k\cdot k|u-t_0|d(y,z)du\Big|=k^2\,\frac{|t-t_0|^2}{2}\ 
d(y,z).\cr}
$$
Par r\'ecurrence sur $p$, on v\'erifie aussit\^ot que
$$
\Vert y_{(p)}(t)-z_{(p)}(t)\Vert\leq k^p\,\frac{|t-t_0|^p}{p!}\ d(y,z),
$$
en particulier
$$
d(\phi^p(y),\phi^p(z))=d(y_{(p)},z_{(p)})\leq\frac{k^pT^p}{p!}\ d(y,z)\eqno(*)
$$
et $\phi^p$ est lipschitzienne de rapport $\dfrac{k^pT^p}{p!}$ sur~$\cF$.
Comme $\lim_{p\to+\infty}\dfrac{k^pT^p}{p!}=0$, il existe $p$ assez grand
tel que $\dfrac{k^pT^p}{p!}<1$~; pour une telle valeur de $p$, $\phi^p$ est
une application contractante de $\cF$ dans $\cF$. Par ailleurs,
$\cF$ est un espace m\'etrique complet. Le th\'eor\`eme du point fixe
d\'emontr\'e au chapitre~IV (dans sa version g\'eneralis\'ee au cas
d'applications dont une it\'er\'ee est contractante) montre alors
que $\phi$ admet un point fixe unique~$y$. Nous avons donc bien 
red\'emontr\'e le th\'eor\`eme de Cauchy-Lipschitz affirmant
l'existence et d'unicit\'e de la solution du probl\`eme de
Cauchy.\hfill\blacksquare

\bigskip
\state Remarque -- |  D'apr\`es $(*)$, on voit que pour toute fonction 
$z\in\cF$ la suite it\'er\'ee $z_{(p)}=\varphi^p(z)$ converge 
uniform\'ement vers la solution exacte $y$ du probl\`eme de Cauchy.

\subsection 3.3. Unicit\'e globale|

Le th\'eor\`eme d'unicit\'e locale entra\^{\i}ne facilement un r\'esultat
d'unicit\'e globale, au moyen d'un \og raisonnement de connexit\'e\fg.
\bigskip

\majdeb
\state Th\'eor\`eme -- |  {\it Soient $y_{(1)},\,y_{(2)}:I\rightarrow\bR^m$
deux solutions de (E), avec $f$ localement lipschitzienne en $y$. Si
$y_{(1)}$ et $y_{(2)}$ co\"{\i}ncident en un point de $I$, alors
$y_{(1)}=y_{(2)}$ sur~$I$.}
\par\majfin\par

\bigskip
\noindent{\prem D\'emonstration.} Supposons $y_{(1)}(t_0)=y_{(2)}(t_0)$ en 
un point $t_0\in I$. Montrons par exemple que $y_{(1)}(t)=y_{(2)}(t)$ pour 
$t\geq t_0$.
S'il n'en est pas ainsi, consid\'erons le premier instant $\widetilde
t_0$ o\`u $y_{(1)}$ et $y_{(2)}$ bifurquent~:
$$
\widetilde t_0=\inf\{t\in I\,;\ t\geq t_0\quad{\rm et}\quad 
y_{(1)}(t)\not=y_{(2)}(t)\}
$$
On a par d\'efinition $y_{(1)}(t)=y_{(2)}(t)$ pour
$t\in[t_0,\widetilde t_0[$ et par continuit\'e il s'ensuit que
$y_{(1)}(\widetilde t_0)=y_{(2)}(\widetilde t_0)$. Soit $\widetilde
y_0$ ce point et soit $\widetilde C=[\widetilde t_0-\widetilde
T,\widetilde t_0+\widetilde T]\times\overline B(\widetilde
y_0,\widetilde r_0)$ un cylindre de s\'ecurit\'e de centre
$(\widetilde t_0,\widetilde y_0)$. Le th\'eor\`eme d'unicit\'e locale
implique que $y_{(1)}=y_{(2)}$ sur $[\widetilde t_0-\widetilde
T,\widetilde t_0+\widetilde T]$, ce qui contredit la d\'efinition de
$\widetilde t_0$. L'unicit\'e est d\'emontr\'ee.\hfill\blacksquare

\bigskip
\majdeb
\state Corollaire -- |  {\it Si $f$ est localement lipschitzienne en $y$
sur $U$, pour tout point $(t_0,y_0)\in U$ il passe une solution
maximale $y:I\rightarrow \bR^m$ et une seule.}
\par\majfin\par

\bigskip
\majdeb
\state Interpr\'etation g\'eom\'etrique -- | {\it Le th\'eor\`eme
d'unicit\'e signifie g\'eom\'e\-tri\-quement que des courbes
int\'egrales distinctes ne peuvent se couper.}
\par\majfin\par

\bigskip
\state Exemple -- |  $y'=3|y|^{2/3}$ sur $U=\bR\times\bR$.

D\'eterminons l'ensemble des solutions maximales. On a ici
$f(t,y)=3|y|^{2/3}$, $\dfrac{\partial f}{\partial y}={\rm
  signe}\,(y)\times 2|y|^{-1/3}$ pour $y\not=0$. La d\'eriv\'ee
$y\not=0$ la d\'eriv\'ee $\dfrac{\partial f}{\partial y}$ est continue
sur les demi-plans $y>0$ et $y<0$, mais discontinue en $y=0$. La
fonction $f$ est localement lipschitzienne en $y$ sur $\{y>0\}$ et
$\{y<0\}$, mais il est facile de voir qu'elle ne l'est pas au
voisinage de tout point $(t_0,0)\in\bR\times\{0\}$ (on a vu d'ailleurs
qu'il n'y a pas d'unicit\'e locale en ces points). Sur $\{y>0\}$
(resp.\ sur $\{y<0\}$) l'\'equation \'equivaut \`a
$$
\frac{1}{3}\ y'y^{-\frac{2}{3}}=1\quad({\rm resp.}\quad-\frac{1}{3}\
y'(-y)^{-\frac{2}{3}}=-1) 
$$
d'o\`u $y^{\frac{1}{3}}=t+C_1$\quad (resp.\ $(-y)^{-\frac{1}{3}}=
-(t+C_2))$ soit $y(t)=(t+C_i)^3$. Si $y$ est une
solution maximale dans $U=\bR\times\bR$, alors $y'\geq 0$, donc $y$
est croissante. Notons
$$
a=\inf\{t,y(t)=0\},\quad b=\sup\{t\,;\;y(t)=0\}.
$$
Si $a\not=-\infty$, on a $y(a)=0$ et $y(t)<0$ pour $t<a$, donc
$y(t)=(t-a)^3$. De m\^eme $y(t)=(t-b)^3$ pour $t>b$ si
$b\not=+\infty$.

\InsertFig 8.000 66.000 {
1 mm unit
 10.000  30.000 moveto 
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 70.000  30.000 moveto 
[  70.000  30.000    72.000  30.080    73.786  30.543    75.184  31.393   
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 79.288  38.013    79.845  39.543    80.357  41.110    80.831  42.707   
 81.274  44.329    81.689  45.973    82.082  47.635    82.453  49.314   
 82.807  51.007    83.145  52.713    83.468  54.432    83.779  56.160   
 84.078  57.899    84.366  59.646   ] scurve 
 30.565  -0.078 moveto 
[  30.565  -0.078    30.841   1.613    31.126   3.294    31.421   4.962   
 31.727   6.618    32.046   8.260    32.377   9.886    32.723  11.496   
 33.085  13.086    33.466  14.654    33.866  16.198    34.290  17.715   
 34.740  19.201    35.221  20.650    35.738  22.056    36.298  23.411   
 36.909  24.704    37.584  25.922    38.339  27.045    39.197  28.046   
 40.192  28.889    41.373  29.523    42.807  29.895    44.555  29.999   
 45.000  30.000   ] scurve 
[   2.000   1.000 ] 0 setdash 
 45.000  30.000 moveto 
 32.000  30.000 lineto 
stroke 
 17.565  -0.078 moveto 
[  17.565  -0.078    17.841   1.613    18.126   3.294    18.421   4.962   
 18.727   6.618    19.046   8.260    19.377   9.886    19.723  11.496   
 20.085  13.086    20.466  14.654    20.866  16.198    21.290  17.715   
 21.740  19.201    22.221  20.650    22.738  22.056    23.298  23.411   
 23.909  24.704    24.584  25.922    25.339  27.045    26.197  28.046   
 27.192  28.889    28.373  29.523    29.807  29.895    31.555  29.999   
 32.000  30.000   ] polygon stroke
 80.831  42.707 moveto 
  0.700 disk
grestore}
\LabelTeX   31.000  26.000 $a'$\ELTX
\LabelTeX   44.200  26.000 $a$\ELTX
\LabelTeX   69.200  26.000 $b$\ELTX
\LabelTeX   97.800  26.000 $t$\ELTX
\LabelTeX   82.800  41.500 $(t_0,y_0)$\ELTX
\LabelTeX   56.500  58.000 $y$\ELTX
\EndFig
\vskip5mm

\noindent On voit que pour tout point $(t_0,y_0)$ il passe une
infinit\'e de solutions maximales~: si $y_0>0$, $b=t_0-y_0^{1/3}$ est
impos\'e, mais le choix de $a\in[-\infty,b]$ est arbitraire. Noter que
ce ph\'enom\`ene se produit bien qu'on ait unicit\'e locale au point
$(t_0,y_0)$~!

\subsection 3.4. Condition suffisante d'existence de solutions glo\-bales|

Nous donnons ici une condition d'existence utile pour les solutions
globales, reposant sur une hypoth\`ese de Lipschitz ``semi-globale''
de $f(t,y)$ relativement \`a~$y$. On peut montrer cependant que cette
condition suffisante n'est pas n\'ecessaire (voir exercice (b) ci-dessous).

\bigskip
\majdeb
\state Th\'eor\`eme -- |  {\it Soit $f:U\rightarrow\bR^m$ une
application continue sur un ouvert produit $U=J\times\bR^m$, o\`u
$J\subset \bR$ est un intervalle ouvert. On suppose qu'il existe une
fonction continue $k:J\rightarrow\bR_+$ telle que pour tout $t\in J$
fix\'e, l'application $y\mapsto f(t,y)$ soit lipschitzienne de rapport
$k(t)$ sur $\bR^m$.\hfill\break Alors toute solution maximale de
l'\'equation $y'=f(t,y)$ est globale $($c'est-\`a-dire d\'efinie sur $J$
tout entier$\,)$. 
}  
\par\majfin\par

\bigskip
\noindent{\prem D\'emonstration.} Soit $(t_0,y_0)\in J\times\bR^m$, 
et $[t_0-T,t_0+T']$ un intervalle compact quelconque contenu dans $J$.
Reprenons la d\'emonstration du th\'eor\`eme de Cauchy-Lipschitz.

Comme $U=J\times\bR^m$, on peut choisir un cylindre de s\'ecurit\'e de
rayon $r_0=+\infty$.  L'application $\phi$ d\'efinie au \S\ 3.2
op\`ere donc sur l'espace complet
$$
\cF=\cC([t_0-T,t_0+T'],\bR^m).
$$
Soit 
$$
K=\max_{t\in[t_0-T,t_0+T']}k(t).
$$
L'application $f$ est par hypoth\`ese $K$-lipschitzienne en $y$ sur
$[t_0-T,t_0+T']\times\bR^m$. D'apr\`es le raisonnement du \S~3.2,
l'application $\phi^p$ est lipschitzienne de rapport $\dfrac{1}{p!}\ 
K^p(\max(T,T'))^p$ sur $\cF$, donc contractante pour $p$ assez grand.
Ceci implique que la solution (unique) du probl\`eme de Cauchy est
d\'efinie sur tout intervalle $[t_0-T,t_0+T']\subset
J$.\hfill\blacksquare

%
\bigskip
\majedeb
\state Exercices |\smallskip {\parindent=1.5pc \it 
\item{\rm (a)} Montrer que toute solution maximale de
l'\'equation diff\'erentielle $y'=t\sqrt{t^2+y^2}$, $(t,y)\in\bR\times\bR$, 
est globale.
\medskip
\item{\rm (b)} On d\'efinit $f:\bR\rightarrow\bR$ par $f(y)=e$ si $y\leq e$ et
$f(y)=y\,\ln\,y$ si $y\geq e$. Montrer que $f$ n'est pas lipschitzienne au
voisinage de~$0$. D\'eterminer explicitement les solutions maximales de 
l'\'equation $y'=f(y)$. La condition suffisante du th\'eor\`eme
pr\'ec\'edent est-elle n\'ecessaire~?
\par}
\majefin\par

\section 4. \'Equations diff\'erentielles d'ordre sup\'e\-rieur \`a un|

\subsection 4.1. D\'efinitions|

\noindent Un syst\`eme diff\'erentiel d'ordre $p$ dans $\bR^m$ est une \'equation de la forme
$$
y^{(p)}=f(t,y,y',\dots,y^{(p-1)})\leqno{\rm(E)}
$$
o\`u $f:U\rightarrow\bR^m$ est une application continue d\'efinie sur un
ouvert $U\subset \bR\times(\bR^m)^p$.

Une {\it solution} de (E) sur un intervalle $I\subset \bR$ est une 
application $y:I\rightarrow\bR^m$ $p$-fois d\'erivable, telle que

\noindent
(i)\quad\kern2.6pt$(\forall t\in I)$\quad$(t,y(t),y'(t),\dots,
y^{(p-1)}(t))\in U$,

\noindent
(ii)\quad$(\forall t\in I)$\quad$y^{(p)}(t)=f(t,y(t),y(t'),\dots,
y^{(p-1)}(t))$.

Le r\'esultat suivant se d\'emontre par r\'ecurrence d'une mani\`ere
enti\`erement analogue \`a celle utilis\'ee pour les \'equations
diff\'erentielles d'ordre~$1$. Le d\'etail de l'argument est laiss\'e
au lecteur.
\bigskip

\majdeb
\state R\'egularit\'e des solutions -- |  Si $f$ est de classe $C^k$, les
solutions $y$ sont de classe~$C^{k+p}$.
\par\majfin

\subsection 4.2. Syst\`eme diff\'erentiel d'ordre un associ\'e|

\noindent Il est clair que le syst\`eme (E) est \'equivalent au
syst\`eme diff\'erentiel d'ordre 1
$$
({\rm E}_1)\quad\cases{
\dfrac{dY_{0}}{dt}=Y_{1}\hfill\cr
\noalign{\vskip3pt}
\dfrac{dY_{1}}{dt}=Y_{2}\hfill\cr
\noalign{\vskip3pt}
\kern8mm\dots\hfill\cr
\noalign{\vskip3pt}
\dfrac{dY_{p-2}}{dt}=Y_{p-1}\hfill\cr
\noalign{\vskip3pt}
\dfrac{dY_{p-1}}{dt}=f(t,Y_{0},Y_{1},\dots,Y_{p-1})\hfill\cr
}
$$
si l'on pose $Y_{0}=y$, $Y_{1}=y'$, $\dots$. Le syst\`eme (E$_1$) peut encore s'\'ecrire
$$
Y'=F(T,Y)\leqno({\rm E}_1)
$$
avec
$$
\eqalign{
&Y=(Y_{0},Y_{1},\dots,Y_{p-1})\in(\bR^m)^p\cr
&F=(F_{0},F_{1},\dots,F_{p-1}):U\rightarrow(\bR^m)^p\cr
&F_{0}(t,Y)=Y_{1},\dots,F_{p-2}(t,Y)=Y_{p-1},\cr
&F_{p-1}(t,Y)=f(t,Y).\cr
}
$$
Tout syst\`eme diff\'erentiel (E) d'ordre $p$ dans $\bR^m$ est donc \'equivalent \`a un
syst\`eme diff\'erentiel (E$_1$) d'ordre 1 dans $(\bR^m)^p$. Il en r\'esulte que les
th\'eor\`emes d'existence et d'unicit\'e d\'emontr\'es pour les syst\`emes d'ordre 1 sont
encore vrais pour les syst\`emes d'ordre $p$. En voici les principaux \'enonc\'es~:

\subsection 4.3. Th\'eor\`eme d'existence|
\bigskip

\majdeb
\noindent Pour tout point $(t_0,y_0,y_1,\dots,y_{p-1})\in U$ le probl\`eme de Cauchy de
conditions initiales
$$
y(t_0)=y_0,\ \ y'(t_0)=y_1,\dots,y^{(p-1)}(t_0)=y_{p-1}
$$ 
admet au moins une solution maximale $y:I\rightarrow\bR^m$, d\'efinie sur un intervalle ouvert.
\par\majfin\par

\bigskip
\state Remarque tr\`es importante -- | On voit ainsi que pour un
syst\`eme d'ordre $p$, la condition initiale requiert non seulement la
donn\'ee de la valeur $y_0$ de $y$ au temps $t_0$, mais \'egalement la
donn\'ee de ses $(p-1)$ premi\`eres d\'eriv\'ees.

\subsection 4.4. Th\'eor\`eme d'existence et d'unicit\'e|
\bigskip

\majdeb
\noindent Si de plus $f$ est localement lipschitzienne en $(y_0,\dots,y_{p-1})$ sur $U$,
c'est-\`a-dire si $\forall(t_0,y_0,\dots,y_{p-1})\in U$ il existe un voisinage
$[t_0-T_0,t_0+T_0]\times\overline B(y_0,r_0)\times\dots\times\overline
B(y_{p-1},r_{p-1})$ contenu dans $U$ sur lequel
$$
\Vert f(t,z_0,\dots,z_{p-1})-f(t,w_0,\dots,w_{p-1})\Vert\leq k(\Vert z_0-w_0\Vert
+\dots+\Vert z_{p-1}-w_{p-1}\Vert), 
$$
alors le probl\`eme de Cauchy 4.3 admet une solution maximale et une seule.
\par\majfin\par


\subsection 4.5. Solutions globales|
\bigskip

\majdeb
\noindent Si $U=J\times(\bR^m)^p$ et s'il existe une fonction $k:J\rightarrow\bR_+$ continue
telle que $(\forall t\in J)$ 
$$
\Vert f(t,z_0,\dots,z_{p-1})-f(t,w_0,\dots,w_{p-1})\Vert\leq k(t)(\Vert
z_0-w_0\Vert+\dots+\Vert z_{p-1}-w_{p-1}\Vert), 
$$
alors les solutions maximales sont d\'efinies sur $J$ tout entier.
\par\majfin\par

\section 5. Probl\`emes|

{\parindent1.4pc
\noindent{\bf 5.1.} On consid\`ere l'\'equation diff\'erentielle $y'=y^2-x$.

\medskip
\item{(a)} Quelles sont les lignes isoclines~? 

\item{} On notera $I_0$ l'isocline correspondant \`a la pente nulle.
  
\item{} Soit $\cP^-$ l'ensemble des points du plan o\`u la pente des
  solutions est strictement n\'egative. D\'ecrire $\cP^-$. Montrer que
  si une solution entre dans $\cP^-$, alors elle y reste
  (c'est-\`a-dire~: si une solution $y(x)$ a un point $(x_0,y(x_0))$
  dans $\cP^-$, alors si $x_1>x_0$, $(x_1,y(x_1))\in\cP^-$).

\medskip
\item{(b)} \'Etudier et tracer le graphe de la courbe $\cI$ ensemble
  des points d'inflexion des solutions de l'\'equation
  diff\'erentielle. Quelles sont les r\'egions du plan o\`u $y''>0$,
  respectivement $y''<0$~?
  
\item{} On notera $\cI_1$ la partie de $\cI$ ext\'erieure \`a $\cP^-$,
  et $\cI_2$ la partie de $\cI$ qui se trouve dans $\cP^-$.

\medskip
\item{(c)} Soit $\cC$ une courbe solution rencontrant $\cI_1$ en un
  point $(x,y)$.

\smallskip
\itemitem{$(\alpha)$} Montrer qu'en ce point, la pente de $\cI_1$ est 
strictement inf\'erieure \`a la pente de $\cC$. 

\smallskip 
\itemitem{$(\beta)$} En d\'eduire que $\cC$ ne coupe $\cI_1$ qu'en ce
  point, que $\cC$ ne rencontre pas $\cP^-$, et que $\cC$ n'a qu'un
  point d'inflexion.
  
\smallskip 
\itemitem{$(\gamma)$} Montrer que $\cC$ poss\`ede 2 branches infinies
\`a direction asymptotique verticale.

\smallskip
\itemitem{$(\delta)$} Soit $(x_0,y_0)$ un point de $\cC$. Comparer en ce point, la pente de
$\cC$ et la pente de la solution de l'\'equation diff\'erentielle
$y'=\dfrac{y^2}{2}$. En d\'eduire que les branches infinies de $\cC$ correspondent \`a des
asymptotes verticales.

\medskip
\item{(d)} Soit $\cD$ une courbe solution rencontrant $I_0$.

\smallskip
\itemitem{$(\alpha)$} Montrer que $\cD$ poss\`ede une asymptote verticale.

\smallskip
\itemitem{$(\beta)$} Montrer que $\cal D$ a un point d'inflexion et un seul.

\smallskip
\itemitem{$(\gamma)$} Montrer que lorsque $x\rightarrow\infty$, $\cD$ est 
asymptote \`a $I_0$.

\medskip
\item{(e)} Soit $A$ (resp.\ $B$) l'ensemble des points de l'axe $Oy$ par o\`u 
passe une courbe solution qui rencontre $\cI_1$ (resp.\ $\cI_0$).

\smallskip
\itemitem{$(\alpha)$} Montrer qu'il existe $a$ tel que $A=\{0\}\times{}
]a,+\infty[$.

\smallskip
\itemitem{$(\beta)$} Montrer qu'il existe $b$ tel que $B=\{0\}\times{}
]-\infty,b[$.

\smallskip
\itemitem{$(\gamma)$} Montrer que $a=b$. Quelle est l'allure de la solution
passant par le point de coordonn\'ees $(0,a)$~?



\bigskip
\noindent{\bf 5.2.} On consid\`ere l'\'equation diff\'erentielle 
$y'=f(t,y)$, o\`u $f$ et $\dfrac{\partial f}{\partial y}$ sont
continues. Soit $\alpha$ une fonction r\'eelle d\'efinie sur un
intervalle $[t_0,t_1[$ o\`u $t_1$ peut \'eventuellement \^etre infini~;
on suppose $\alpha$ continue et d\'erivable par morceaux.

\noindent
On dit que $\alpha$ est une barri\`ere inf\'erieure [respectivement~:
sup\'erieure] pour l'\'equation diff\'erentielle si
$\alpha'(t)<f(t,\alpha(t))$ [resp~: $\alpha'(t)>f(t,\alpha(t))]$ pour
tout $t$ tel que $\alpha'(t)$ existe, et, aux points o\`u $\alpha$
n'est pas d\'erivable, pour la d\'eriv\'ee \`a gauche et pour la
d\'eriv\'ee \`a droite.

\medskip

\item{(a)} Montrer que si $\alpha$ est une barri\`ere inf\'erieure pour $t_0\leq t\leq t_1$
et si $u$ est une solution de l'\'equation diff\'erentielle v\'erifiant $\alpha(t_0)\leq
u(t_0)$, alors $\alpha(t)<u(t)$ pour tout $t\in\ ]t_0,t_1[$.
Montrer un r\'esultat analogue pour une barri\`ere sup\'erieure.

\medskip
\item{(b)} On suppose que $\alpha$ est une barri\`ere inf\'erieure sur $[t_0,t_1[$, que
$\beta$ est une barri\`ere sup\'erieure sur $[t_0,t_1[$, et que $\alpha(t)<\beta(t)$ pour
tout $t\in[t_0,t_1[$. L'ensemble des points $(t,x)$ tels que $t_0\leq t\leq t_1$ et
$\alpha(t)\leq x\leq \beta(t)$ est appel\'e entonnoir.

\smallskip
\itemitem{$(\alpha)$} Montrer que si une solution $u$ de l'\'equation diff\'erentielle est telle
que $(s,u(s))$ soit dans l'entonnoir pour un $s\in[t_0,t_1[$, alors $(t,u(t))$ est dans
l'entonnoir pour tout $t\in[s,t_1[$.

\smallskip
\itemitem{$(\beta)$} Si $\alpha$ est une barri\`ere inf\'erieure et $\beta$ une barri\`ere
sup\'erieure, et si $\alpha(t)>\beta(t)$ pour $t\in[t_0,t_1[$, on dit que l'ensemble des
$(t,x)$ tels que $t_0\leq t\leq t_1$ et $\alpha(t)\geq x\geq \beta(t)$ est un anti-entonnoir.

\itemitem{} Montrer qu'il existe une solution $u(t)$ de l'\'equation 
diff\'erentielle, telle que
$\beta(t)\leq u(t)\leq \alpha(t)$ pour tout $t\in[t_0,t_1[$.

\medskip
\item{(c)} Dans la suite du probl\`eme, on prend $f(t,y)=\sin(ty)$. On se 
restreindra aux solutions v\'erifiant $y>0$.

\smallskip
\itemitem{$(\alpha)$} D\'eterminer les isoclines correspondant aux pentes 
$-1,\;0,\;1$.

\smallskip
\itemitem{$(\beta)$} Pour quelles valeurs de $t$ ces isoclines sont-elles 
des barri\`eres inf\'erieures~? sup\'erieures~? Quels sont les
entonnoirs form\'es par ces isoclines~?

\smallskip
\itemitem{$(\gamma)$} Soit $u$ une solution de l'\'equation diff\'erentielle~;
soit $\gamma$ la fonction continue, d\'erivable par morceaux,
d\'efinie pour $t\geq 0$ par~: $\gamma(0)=u(0)>0$~; $\gamma$ est
affine de pente 1 depuis $t=0$ jusqu'\`a ce que son graphe rencontre
la premi\`ere isocline de pente 0, puis $\gamma$ est affine de pente 0
jusqu'\`a l'isocline de pente 0 suivante, puis $\gamma$ est affine de
pente 1 jusqu'\`a l'isocline de pente 0 suivante, et ainsi de suite.
Montrer que le graphe de $\gamma$ rencontre la droite $y=t$.

\smallskip
\itemitem{$(\delta)$} Montrer que $\gamma$ est une barri\`ere sup\'erieure.

\smallskip
\itemitem{$(\varepsilon)$} En d\'eduire que toute solution de l'\'equation
diff\'erentielle rencontre la droite $y=t$, puis reste dans un entonnoir.

\smallskip
\itemitem{$(\zeta)$} Dessiner l'allure des solutions de l'\'equation
diff\'erentielle $y'=\sin(ty)$. 

\bigskip
\noindent{\bf 5.3.} On consid\`ere l'\'equation (appel\'ee \'equation de 
Van der Pol)~:
$$
\cases{
x'(t)=y(t)-x^3(t)+x(t),\cr
y'(t)=-x(t),\hfill\cr
}\quad t\in\bR.\leqno{\rm (E)}
$$


\item{(a)} Montrer que le probl\`eme de Cauchy correspondant admet une solution globale
unique (on pourra utiliser le r\'esultat de l'exercice 5.9).

\medskip
\item{(b)} On appelle trajectoire associ\'ee \`a une solution de (E), l'ensemble parcouru dans
le plan Euclidien par le point de coordonn\'ees $(x(t),y(t))$ lorsque $t$ parcourt~$\bR$.
Montrer que les trajectoires associ\'ees \`a deux solutions distinctes de (E) co\"{\i}ncident
ou n'ont aucun point commun~; montrer que par chaque point du plan passe une trajectoire et
une seule~; montrer que si une trajectoire a un point double (c'est-\`a-dire
correspondant \`a deux valeurs distinctes de $t$), les solutions associ\'ees de (E) sont
p\'eriodiques (et tous les points sont alors doubles). Quelles sont les trajectoires
r\'eduites \`a un point~?

\medskip
\item{(c)} Montrer que la courbe sym\'etrique d'une trajectoire par rapport \`a $(0,0)$ est
encore une trajectoire.

\medskip
\item{(d)} On consid\`ere maintenant les sous-ensembles du plan
$$
\eqalign{
&D^+=\{(0,y)\,;\;y>0);\quad D^-=\{(0,y)\,;\;y<0\}~;\cr
&E_1=\{(x,y)\,;\;x>0\quad{\rm et}\quad y>x^3-x)\};\quad 
\Gamma_+=\{(x,x^3-x)\,;\;x>0)\}~;\cr
&E_2=\{(x,y)\,;\;x>0\quad{\rm et}\quad y<x^3-x\}~;\cr
&E_3=\{(x,y)\,;\;x<0\quad{\rm et}\quad y<x^3-x\};\quad 
\Gamma_-=\{(x,x^3-x)\,;\;x<0\}~;\cr
&E_4=\{(x,y)\,;\;x<0\quad{\rm et}\quad y>x^3-x\}.\cr
}
$$
\item{} Soit $(x(t),y(t))$ une solution de (E)~; montrer que, si
$(x(t_0),y(t_0))\in D^+$, il existe $t_4>t_3>t_2>t_1>t_0$ tels que
$(x(t),y(t))\in E_i$ pour $t\in\ ]t_{i-1},t_i[$, $i=1,2,3,4$, et
$(x(t_1),y(t_1))\in\Gamma^+$, $(x(t_2),y(t_2))\in D^-$,
$(x(t_3),y(t_3))\in\Gamma^-$~; $(x(t_4),y(t_4))\in D^+$.

\medskip
\item{(e)} Soit $y_0>0$ et $t_0\in\bR$~; il existe une solution de (E) telle que
$(x(t_0),y(t_0))=(0,y_0)$~; on pose $\sigma(y_0)=y(t_2)$~; montrer que $\sigma(y_0)$ ne
d\'epend que de $y_0$ (et non de $t_0$) et que $\sigma$ est une application monotone continue
de $\bR^+$ dans $\bR^-$.

\medskip
\item{(f)} En utilisant le (c), montrer que $(0,y_0)$ appartient \`a la trajectoire d'une
solution p\'eriodique si et seulement si $\sigma(y_0)=-y_0$.

\medskip
\item{(g)} Soit $\beta>0$ tel que pour la solution de (E) v\'erifiant
$(x(t_0),y(t_0))=(0,\beta)$ on ait $(x(t_1),y(t_1))=(1,0)$. Montrer que pour $y_0<\beta$, on
a $\sigma(y_0)^2-y_0^2>0$ (regarder $\displaystyle\int^{t_2}_{t_0}\dfrac{d}{dt}\
[x(t)^2+y(t)^2]dt$).

\medskip
\item{(h)} Soit $y_0$ grand. Soit $C$ la courbe form\'ee des arcs suivants~:

\item{} $\bullet$ le segment $(0,y_0)$, $(1,y_0)$~;

\item{} $\bullet$ l'arc de cercle de centre $O$ passant par $(1,y_0)$ et 
coupant $(y=x^3-x)$ en $\phantom{\bullet}~(x_1,y_1)$ avec $x_1>1$.

\item{} $\bullet$ le segment $(x_1,y_1)$, $(x_1,0)$.

\item{} $\bullet$ l'arc de cercle de centre $O$ passant par $(x_1,0)$ et 
coupant $(x=1)$ en $(x'_1,y'_1)$.

\item{} $\bullet$ la tangente en $(x'_1,y'_1)$ \`a cet arc de cercle qui 
recoupe $Oy$ en $(0,y_2)$.

\item{} Montrer que la solution de (E) passant par $(0,y_0)$ est \`a 
l'int\'erieur de $C$. En d\'eduire que $\sigma(y_0)^2-y^2_0<0$.

\medskip
\item{(i)} En d\'eduire qu'il existe une trajectoire et une seule correspondant \`a des
solutions p\'eriodiques de (E). Montrer que les trajectoires non r\'eduites \`a $(0,0)$
convergent asymptotiquement vers cette trajectoire quand $t$ tend vers $+\infty$.



\bigskip
\noindent{\bf 5.4.} Soit $t$ une variable r\'eelle $\geq 0$. On consid\`ere le probl\`eme de Cauchy
$$
y'=ty,\quad y(0)=1.
$$



\item{(a)} D\'emontrer que pour tout $T>0$, ce probl\`eme admet une solution et une seule sur
$[0,T]$, et indiquer comment la m\'ethode d'Euler permet d'en trouver une
approximation.

\medskip
\item{(b)} D\'eduire de ce qui pr\'ec\`ede la formule
$$
y(t)=\lim_{N\rightarrow+\infty}P_N(t)\quad{\rm avec}\quad
P_N(t)=\prod^{N-1}_{n=0}\Big(1+\dfrac{nt^2}{N^2}\Big) 
$$

\item{(c)} Pour $\alpha>0$, \'etudier les variations de la fonction
$f(x)=x\,\ln\,(1+\alpha/x)$ sur $]0,+\infty[$~; on montrera que $f''(x)<0$.

\item{} En d\'eduire l'encadrement
$$
\Big(1+\frac{t^2}{N}\Big)^{\frac{n}{N}}\leq 1+\frac{nt^2}{N^2}\leq
\Big(1+\frac{t^2}{N^2}\Big)^n\quad{\rm si}\ 0\leq n\leq N-1.
$$

\item{(d)} Calculer la limite du (b), et en d\'eduire $y(t)$.



\bigskip
\noindent{\bf 5.5.} On consid\`ere l'\'equation diff\'erentielle
$$
y'=|y|^{-3/4}y+t\,\sin\,\Big(\frac{\pi}{t}\Big)=f(t,y)
$$
o\`u le second membre est d\'efini sur $\bR^2$ \`a l'aide de prolongements par continuit\'e.
On note $Y(t)$ la solution approch\'ee d\'efinie sur $\bR$, obtenue par la m\'ethode d'Euler
pour le pas $h=\dfrac{1}{n+1/2}$ o\`u $n\in\bN^*$, et v\'erifiant $Y(0)=0$. On suppose dans un
premier temps que $n$ est pair.

\medskip

\item{(a)} Calculer $Y(h)$, $Y(2h)$ et $Y(3h)$.

\item{} D\'emontrer les in\'egalit\'es $Y(3h)>\dfrac{h^{3/2}}{2}>\dfrac{(3h)^{3/2}}{16}$.

\medskip
\item{(b)} D\'eterminer $c>0$ tel que $0<t<c$ on ait $\dfrac{1}{2}\ t^{3/8}-t>\dfrac{1}{10}\
t^{3/8}$. En supposant de plus $h\leq t$ et $c$ assez petit v\'erifier
$\dfrac{(t+h)^{3/2}-t^{3/2}}{h}<\dfrac{8}{5}\ t^{3/8}$ (on pourra utiliser la formule de
Taylor).

\medskip
\item{(c)} On suppose que pour $m\in\bN^*$ on a $mh<c$ et $Y(m,h)>\dfrac{(mh)^{3/2}}{16}$.

\item{} D\'emontrer les in\'egalit\'es
$$
f(mh,Y(mh))>Y(mh)^{1/4}-mh>\frac{1}{2}\ (mh)^{3/8}-mh>\frac{1}{10}\ (mh)^{3/8}.
$$
\item{} En d\'eduire $Y((m+1)h)>\dfrac{((m+1)h)^{3/2}}{16}$.

\item{} Montrer que si $p$ entier v\'erifie $0<ph\leq c$, on a
$$
Y(ph)>\frac{(ph)^{3/2}}{16}.
$$

\item{(d)} On suppose ici que $n$ est impair. Calculer $Y(h)$, $Y(2h)$ et $Y(3h)$. Montrer
l'in\'egalit\'e $Y(3h)<-\dfrac{(3h)^{3/2}}{16}$.

\item{} On suppose que pour $mh<c$ on a $Y(mh)<-\dfrac{(mh)^{3/2}}{16}$~; montrer comme
ci-dessus que $Y((m+1)h)<-\dfrac{((m+1)h)^{3/2}}{16}$, puis que
$Y(ph)<-\dfrac{(ph)^{3/2}}{16}$ pour tout entier $p$ tel que $0<ph\leq c$.

\medskip
\item{(e)} Pour $0<t<c$, montrer que les solutions approch\'ees $Y(t)$ ne tendent vers aucune
limite $n$ tend vers $+\infty$.


\bigskip
\noindent{\bf 5.6.} Soit le syst\`eme diff\'erentiel dans $\bR^2$ d\'efini par
$$
\left\{\eqalign{
\dfrac{dx}{dt}&=2(x-ty)\hfill\cr
\noalign{\vskip3pt}
\dfrac{dy}{dt}&=2y.\cr}
\right.
\leqno{\rm(S)}
$$


\item{(a)} D\'eterminer la courbe int\'egrale qui passe par le point 
$(x_0,y_0)$ au temps $t=0$. 

\medskip
\item{(b)} On utilise la m\'ethode d'Euler avec pas constant $h$, 
d\'emarrant au temps $t_0=0$. Soit $(x_n,y_n)$ le point atteint au temps 
$t_n=nh$ $(n\in\bN)$.

\smallskip
\itemitem{$(\alpha)$} \'Ecrire la relation qui lie $(x_{n+1},y_{n+1})$ 
\`a $(x_n,y_n)$.

\smallskip
\itemitem{$(\beta)$} Calculer explicitement $(x_n,y_n)$ en fonction de 
$n$, $h$, $x_0$, $y_0$.

\smallskip
\itemitem{$(\gamma)$} Sans utiliser les th\'eor\`emes g\'en\'eraux du
cours, v\'erifier que la solution approch\'ee qui interpole
lin\'eairement les points $(x_n,y_n)$ converge sur $\bR_+$ vers la
solution exacte de (S).



\bigskip
\noindent{\bf 5.7.} Soit $f:[a,b]\times\bR\rightarrow\bR$ une fonction
continue et lipschitzienne de rapport $k$ en sa deuxi\`eme variable.
On d\'efinit une suite de fonctions $y_n:[a,b]\rightarrow\bR$ en
posant $y_0(t)=\lambda$ et
$$
y_{n+1}(t)=\lambda+\int^t_a f(u,y_n(u))du,\quad n\in\bN.
$$
On sait d'apr\`es V 3.2 que $y_n$ converge uniform\'ement vers la
solution exacte de l'\'equation $y'=f(t,y)$ telle que $y(a)=\lambda$.
On \'etudie ici le cas particulier de l'\'equation
$$
\frac{dy}{dt}=-2y+t,\quad t\in[0,+\infty[.
$$

\vbox{
\item{(a)} Montrer que $y_n$ peut s'\'ecrire sous la forme
$$
y_n(t)=\lambda P_n(t)+Q_n(t)
$$
o\`u $P_n$, $Q_n$ sont des polyn\^omes que l'on explicitera.\par}

\medskip
\item{(b)} Calculer $\lim_{n\rightarrow+\infty}P_n$ et
$\lim_{n\rightarrow+\infty}Q_n$. V\'erifier ce r\'esultat en r\'esolvant
directement l'\'equation.


\bigskip
\noindent{\bf 5.8.} Soit $T$ un r\'eel positif et $f:[0,T]\times\bR\rightarrow\bR$ une application
continue lipschitzienne de rapport $k$ en la deuxi\`eme variable. On consid\`ere l'\'equation
diff\'erentielle
$$
y'=f(t,y).\leqno{\rm (E)}
$$
Soit un r\'eel $h\in\ ]0,T[$. On dira que $z$ est une solution retard\'ee de retard $h$ si $z$
est une fonction continue sur $[0,T]$, d\'erivable sur $]h,T]$ et si
$$
z'(t)=f(t,z(t-h)),\quad \forall t\in\ ]h,T].
$$


\item{(a)} Soit $y_0$ un r\'eel fix\'e. Montrer que {\rm (E)} admet une solution retard\'ee de
retard $h$ et une seule, not\'ee $z_h$, telle que $z_h(t)=y_0$ pour tout $t\in[0,h]$.

\medskip
\item{(b)} Soit $z$ une solution retard\'ee de retard $h$. On pose
$$
A=\max_{t\in[0,T]}|f(t,0)|,\qquad m(t)=\max_{u\in[0,t]}|z(u)|.
$$
\itemitem{$(\alpha)$} Montrer que pour tout $t\in[h,T]$ on a 
$$
m(t)\leq m(h)+\int^t_h (A+km(u))du.
$$
\itemitem{$(\beta)$} En d\'eduire que
$$
m(t)\leq \Big(\frac{A}{k}+m(h)\Big)e^{k(t-h)}-\frac{A}{k},\quad \forall t\in[h,T].
$$
\item{} [{\it Indication}~: \'etudier la d\'eriv\'ee de la fonction
$M(t)=e^{-kt}\int^t_h(A+km(u))du.]$
\medskip

\itemitem{$(\gamma)$} Montrer qu'il existe une constante $B$ ind\'ependante
de $h$, que l'on expli\-citera, telle que 
$\Vert z_h\Vert_{\infty}\leq B$ pour tout $h>0$, si $z_h$ d\'esigne
la solution retard\'ee du (a).

\medskip
\item{(c)} On se propose ici d'\'etudier la convergence de $z_h$ quand $h$ tend vers 0.

\smallskip
\itemitem{$(\alpha)$} Montrer que les fonctions $z_h$ sont $C$-lipschitziennes avec une constante
$C$ ind\'ependante de $h$.

\smallskip
\itemitem{$(\beta)$} Soit $y$ la solution exacte (non retard\'ee) de (E) telle que $y(0)=y_0$. On
pose
$$
\delta(t)=\max_{u\in[0,t]}|z_h(u)-y(u)|.
$$
\vbox{\noindent Montrer que $\delta$ v\'erifie l'in\'egalit\'e int\'egrale
$$
\delta(t)\leq\delta(h)+\int^t_h(kCh+k\delta(u))du.
$$
o\`u $C$ est la constante de la question (c) $\alpha$).\par}\kern-2\parindent

\smallskip
\itemitem{$(\gamma)$} En d\'eduire une majoration de
$\Vert\delta\Vert_{\infty}$ et conclure.

\medskip
\item{(d)} On construit maintenant une m\'ethode de r\'esolution approch\'ee
de (E) utilisant les solutions retard\'ees $z_h$. Pour tout entier
$n\in\bN$, $n\leq T/h$, on pose
$$
t_n=nh,\quad z_n=z_h(t_n)~;
$$
dans la formule 
$$
z_{n+1}=z_n+\int^{t_{n+1}}_{t_n}f(t,z_h(t-h))dt
$$
on remplace la valeur exacte de l'int\'egrale par sa valeur 
approch\'ee calcul\'ee au moyen de la m\'ethode des trap\`ezes 
\'el\'ementaires.

\smallskip
\itemitem{$(\alpha)$} \'Ecrire la relation de r\'ecurrence d\'efinissant la 
suite $(z_n)$.

\smallskip
\itemitem{$(\beta)$} Exprimer l'erreur de consistance relative \`a une
solution exacte $y$~; en calculer un d\'eveloppement limit\'e \`a
l'ordre 2 en fonction de $h$ et des d\'eriv\'ees partielles de $f$
au point $(t,y)$. Quel est l'ordre de la m\'ethode~? (voir chapitre
VIII pour les d\'efinitions).


\bigskip
\noindent{\bf 5.9.} Soit $J$ un intervalle ouvert de $\bR$ et 
$f:J\times\bR^m\rightarrow\bR^m$ une
application continue. On se propose de d\'emontrer que toute solution
maximale de l'\'equation diff\'erentielle $y'=f(t,y)$ est globale si
$f$ v\'erifie l'hypoth\`ese suivante~:

\item{(H)} Il existe des fonctions $a,b:I\rightarrow\bR_+$ continues telles que
$$
\langle f(t,y),y\rangle\leq a(t)\Vert y\Vert^2+b(t),\quad\forall (t,y)\in J\times\bR^m,
$$
\item{} o\`u $\langle$ , $\rangle$ et $\Vert\quad\Vert$ d\'esignent respectivement le produit
scalaire et la norme euclidienne standards sur $\bR^m$.

\medskip
\item{(a)} Soit $y:[t_0,t_1[\,\rightarrow\bR^m$ une solution maximale \`a droite passant par un
point $(t_0,y_0)$ et soit $r(t)=\Vert y(t)\Vert^2$. Montrer que $r'(t)\leq 2a(t)r(t)+2b(t)$.

\item{} En d\'eduire que $\Vert y(t)\Vert^2\leq \rho(t)$ o\`u $\rho:J\rightarrow\bR$ est la
solution (toujours globale) de l'\'equation lin\'eaire $\rho'=2a(t)\rho+2b(t)$, telle que
$\rho(t_0)=\Vert y_0\Vert^2$.

\item{} [{\it Indication~:} soit $A(t)$ une primitive de $a(t)$~; \'etudier le signe de  la
d\'eriv\'ee de $(r(t)-\rho(t))e^{-2A(t)}$.

\medskip
\item{(b)} D\'eterminer un majorant explicite de $\Vert y(t)\Vert$ lorsque $a$ et $b$ sont des
constantes.

\medskip
\item{(c)} On suppose que $t_1<\sup\,J$. Montrer que $y(t)$, $y'(t)$ sont born\'ees sur
$[t_0,t_1[$ et que ces fonctions se prolongent par continuit\'e en $t_1$. Montrer que ceci
conduit \`a une contradiction. Conclure.
\par}

\bye
