% Jean-Pierre Demailly
% Universit\'e de Grenoble I, Institut Fourier
% \'Equations Diff\'erentielles et Analyse Num\'erique
% Collection Grenoble-Sciences, Presses Universitaires de Grenoble
% Chapitre II

\input equa-mac.tex

\blankline\blankline
\hfill\chtitle Chapitre II|%
\blankline\blankline
\hfill\title Approximation polynomiale|
\vskip6pt
\hfill\title des fonctions num\'eriques|
\chaptitlerunning II -- Approximation polynomiale des fonctions num\'eriques|
\vskip4pc

\noindent Les fonctions les plus faciles \`a \'evaluer num\'eriquement sont les
fonctions polyn\^omes. Il est donc important de savoir approximer une fonction
arbitraire par des polyn\^omes. Dans ce cadre, l'un des outils de base est la
m\'ethode d'interpolation de Lagrange.

\bigskip
\state Notations -- |   Dans toute la suite, on d\'esignera par $\cP_n$ 
l'espace vectoriel des  fonctions polyn\^omes sur $\bR$ \`a coefficients
r\'eels, de degr\'e inf\'erieur ou \'egal \`a $n$. On a donc ${\rm dim}\,
\cP_n=n+1$.

Par ailleurs, si $f$ est une fonction d\'efinie sur un intervalle
$[a,b]\subset \bR$ \`a valeurs dans $\bR$ ou $\bC$, la {\it norme
uniforme} de $f$ sur $[a,b]$ sera not\'ee
$$
\Vert f\Vert_{[a,b]}=\sup_{x\in[a,b]}|f(x)|
$$
o\`u m\^eme simplement $\Vert f\Vert$ s'il n'y a pas 
d'ambigu\"{\i}t\'e. Enfin $\cC([a,b])$ d\'esignera l'espace des fonctions 
continues sur $[a,b]$ \`a valeurs dans $\bR$.

\section 1. M\'ethode d'interpolation de Lagrange|

\subsection 1.1. Existence et unicit\'e du polyn\^ome d'interpolation|

\noindent Soit $f:[a,b]\rightarrow\bR$ une fonction continue. On se donne 
$n+1$ points $x_0,x_1,\ldots,x_n$ dans $[a,b]$, deux \`a deux
distincts, non n\'ecessairement rang\'es par ordre croissant.

\bigskip
\majdeb
\state Probl\`eme -- |  
{\it Existe-t-il un polyn\^ome $p_n\in\cP_n$ tel
que $p_n(x_i)=f(x_i)$,\hfill\break $\forall i=0,1,\dots,n$~?}

\par\majfin\par

\bigskip
Un tel polyn\^ome sera appel\'e {\it polyn\^ome d'interpolation (de Lagrange) de $f$
aux points} $x_0,x_1,\dots,x_n$. Posons
$$
l_i(x)=\prod_{j\not=i}\frac{(x-x_j)}{(x_i-x_j)},\quad 0\leq i\leq n,
$$
o\`u le produit est effectu\'e sur les indices $j$ tels que $0\leq j\leq n$,
$j\not=i$.
Il est clair que $l_i\in\cP_n$ et que
$$
\eqalign{
l_i(x_j)&=0\quad{\rm si}\quad j\not=i,\cr
l_i(x_i)&=1.\cr
}
$$
Le probl\`eme ci-dessus admet donc au moins une solution
$$
p_n(x)=\sum_{i=0}^nf(x_i)l_i(x),\quad p_n\in\cP_n.\eqno(*)
$$

\medskip
\majdeb
\state Th\'eor\`eme -- |  {\it Le probl\`eme d'interpolation $p_n(x_i)=f(x_i)$,
$0\leq i\leq n$, admet une solution et une seule, donn\'ee par la formule $(*)$.}

\par\majfin\par

\bigskip
Il reste \`a prouver l'{\it unicit\'e}. Supposons que $q_n\in\cP_n$ soit une
autre solution du probl\`eme. Alors $p_n(x_i)=q_n(x_i)=f(x_i)$, donc 
$x_i$ est racine de $q_n-p_n$. Par suite le polyn\^ome
$$
\pi_{n+1}(x)=\prod_{j=0}^n(x-x_j)
$$
divise $q_n-p_n$. Comme $\deg\,\pi_n=n+1$ et $q_n-p_n\in\cP_n$, la seule
possibilit\'e est que $q_n-p_n=0$.\hfill\blacksquare

\bigskip
\state Remarque 1 -- |  On a
$\pi_{n+1}(x)=(x-x_i)\cdot\prod_{j\not= i}(x-x_j)$, d'o\`u 
$$
\pi'_{n+1}(x_i)=\prod_{j\not= i}(x_i-x_j).
$$
Ceci donne la formule
$$
l_i(x)=\frac{\pi_{n+1}(x)}{(x-x_i)\pi'_{n+1}(x_i)}.
$$

\medskip
\state Remarque 2 -- |  Pour d\'emontrer le th\'eor\`eme, on peut
\'egalement poser $p_n(x)=\sum_{j=0}^n a_jx^j$ et r\'esoudre un
syst\`eme lin\'eaire de $n+1$ \'equations
$$
\left\{\sum_{j=0}^na_jx^j_i=f(x_i),\quad 0\leq i\leq n,\right.
$$
en les $n+1$ inconnues $a_0,a_1,\dots,a_n$. Le d\'eterminant du syst\`eme est un
d\'eterminant dit de Van der Monde~:
$$
\Delta=\left|\matrix{
1&x_0&x_0^2&\dots&x^n_0\cr
1&x_1&x_1^2&\dots&x_1^n\cr
\vdots&\vdots&&&\cr
1&x_n&x^2_n&\dots&x_n^n\cr
}\right|.
$$
Il s'agit de montrer que $\Delta\not=0$ si les $x_i$ sont distincts.
Or $\Delta$ est un polyn\^ome de degr\'e total
$1+2+\dots+n=\dfrac{n(n+1)}{2}$ en les variables $x_0,x_1,\dots,x_n$. Il est clair
que $\Delta=0$ chaque fois que $x_i=x_j$ pour un couple $(i,j)$ tel que $0\leq
j<i\leq n$.\break $\Delta$ est donc divisible par le polyn\^ome
$\prod_{0\leq j<i\leq n}(x_i-x_j)$, qui est lui aussi de degr\'e total
$\dfrac{n(n+1)}{2}$. Le quotient est donc une constante, donn\'ee par exemple par le
coefficient de $x_1x_2^2\dots x^n_n$ dans $\Delta$, qui vaut 1. Par suite
$$
\Delta=\prod_{0\leq j<i\leq n}(x_i-x_j).\eqno\blacksquare
$$
Il n'est pas recommand\'e de r\'esoudre num\'eriquement le
syst\`eme pr\'ec\'edent pour obtenir $p_n$. Nous verrons plus loin une
m\'ethode beaucoup plus efficace (cf.\  \S\ 1.3).

\bigskip
\majedeb
\state Exercice -- |  {\it On se propose de donner deux autres
d\'emonstrations des r\'esultats ci-dessus, gr\^ace \`a des arguments 
d'alg\`ebre lin\'eaire.
\vskip1pt
{\parindent1.3pc
\hang\noindent{\rm (a)} Montrer que l'application 
$\phi_n:\cP_n\rightarrow\bR^{n+1}$, $p\mapsto (p(x_i))_{0\leq i\leq n}$ est
lin\'eaire. En d\'eduire que $\phi_n$ est injective si et seulement si
elle est surjective. Traduire ces r\'esultats en terme d'existence et 
d'unicit\'e du polyn\^ome d'inter\-po\-lation.
\vskip1pt
\hang\noindent{\rm (b)} Montrer par r\'ecurrence sur $n$ que 
$\phi_n$ est surjective
{\rm [Indication~:} si le r\'esultat est vrai pour $n-1$, ajuster 
la valeur $p(x_n)$
\`a l'aide du polyn\^ome de degr\'e $n$ $(x-x_0)\dots(x-x_{n-1})${\rm ]}.
Conclure.
\vskip1pt  
\noindent{\rm (c)} Montrer directement que les polyn\^omes
$(l_i)_{0\leq i\leq n}$ forment une famille libre.
\vskip1pt 
\hang En d\'eduire que c'est une base de $\cP_n$ et que $\phi_n$ est un
isomorphisme. } } 
\par\majefin\par

\subsection 1.2. Formule d'erreur|

\noindent L'erreur d'interpolation est donn\'ee par la formule th\'eorique suivante.

\bigskip
\majdeb
\state Th\'eor\`eme -- |  {\it On suppose que $f$ est $n+1$ fois d\'erivable
sur $[a,b]$. Alors pour tout $x\in[a,b]$, il existe un point
$\xi_x\in\ ]\min\,(x,x_i),\ \max\,(x,x_i)[$ tel que}
$$
f(x)-p_n(x)=\frac{1}{(n+1)!}\,\pi_{n+1}(x)f^{(n+1)}(\xi_x).
$$
\par\majfin\par

\bigskip
\noindent On a besoin du lemme suivant, qui d\'ecoule du th\'eor\`eme de Rolle.


\bigskip
\majdeb
\state Lemme -- |  {\it Soit $g$ une fonction $p$ fois d\'erivable sur
$[a,b]$. On suppose qu'il existe $p+1$ points $c_0<c_1<\dots<c_p$ de $[a,b]$ 
tels que $g(c_i)=0$. Alors il existe $\xi\in\ ]c_0,c_p[$ tel que 
$g^{(p)}(\xi)=0$.}
\par\majfin\par

\bigskip
Le lemme se d\'emontre par r\'ecurrence sur $p$. Pour $p=1$, c'est le
th\'eor\`eme de Rolle. Supposons le lemme d\'emontr\'e pour $p-1$. Le
th\'eor\`eme de Rolle donne des points $\gamma_0\in\ 
]c_0,c_1[,\dots,\gamma_{p-1}\in\ ]c_{p-1},c_p[$ tels que
$g'(\gamma_i)=0$. Par hypoth\`ese de r\'ecurrence, il existe donc
$\xi\in\ ]\gamma_0,\gamma_{p-1}[\ \subset\ ]c_0,c_p[$ tel que
$(g')^{(p-1)}(\xi)=g^{(p)}(\xi)=0$.
\hfill\blacksquare

\vskip9pt
\noindent{\prem D\'emonstration du th\'eor\`eme}

\noindent$\bullet$ Si $x=x_i$, on a $\pi_{n+1}(x_i)=0$, tout point $\xi_x$ 
convient.

\noindent$\bullet$ Supposons maintenant $x$ distinct des points $x_i$.

\noindent Soit $p_{n+1}(t)$ le polyn\^ome d'interpolation de $f(t)$ aux points
$x,x_0,\dots,x_{n+1}$, de sorte que $p_{n+1}\in\cP_{n+1}$. Par construction
$f(x)-p_n(x)=p_{n+1}(x)-p_n(x)$.
Or le polyn\^ome $p_{n+1}-p_n$ est de degr\'e $\leq n+1$ et s'annule aux $n+1$
points $x_0,x_1,\dots,x_n$. On a donc
$$
p_{n+1}(t)-p_n(t)=c\cdot \pi_{n+1}(t),\quad c\in\bR.
$$
Consid\'erons la fonction
$$
g(t)=f(t)-p_{n+1}(t)=f(t)-p_n(t)-c\pi_{n+1}(t).
$$
Cette fonction s'annule en les $n+2$ points $x,x_0,x_1,\dots,x_n$ donc d'apr\`es le
lemme il existe $\xi_x\in\ ]\min\,(x,x_i),\max\,(x,x_i)[$ tel que
$g^{(n+1)}(\xi_x)=0$. Or
$$
p_n^{(n+1)}=0,\quad \pi^{(n+1)}_{n+1}=(n+1)!
$$
On a par cons\'equent $g^{(n+1)}(\xi_x)=f^{(n+1)}(\xi_x)-c\cdot (n+1)!=0$, 
d'o\`u
$$
f(x)-p_n(x)=p_{n+1}(x)-p_n(x)=c\pi_{n+1}(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi_x)}{(n+1)!}\
\pi_{n+1}(x) .\eqno\blacksquare
$$
En prenant la borne sup\'erieure de la valeur absolue des deux membres dans la
formule d'erreur, on obtient en particulier~:
\bigskip

\majdeb
\state Corollaire -- |   $\displaystyle
\Vert f-p_n\Vert\ \leq\dfrac{1}{(n+1)!}\
\Vert \pi_{n+1}\Vert\kern2pt\Vert f^{(n+1)}\Vert$.
\par\majfin\par

\bigskip
Ces formules montrent que la taille de l'erreur d'interpolation $f(x)-p_n(x)$
d\'epend \`a la fois de la quantit\'e $\Vert f^{(n+1)}\Vert$, qui peut
\^etre grande si $f$ oscille trop vite, et de la quantit\'e $\Vert
\pi_{n+1}\Vert$, qui est li\'ee \`a la r\'epartition des points $x_i$ dans
l'intervalle $[a,b]$.

\subsection 1.3. M\'ethode des diff\'erences divis\'ees|

\noindent On va d\'ecrire ici une m\'ethode simple et efficace permettant de
calculer les polyn\^omes d'interpolation de $f$. Soit $p_k$ le polyn\^ome
d'interpolation de $f$ aux points $x_0,x_1,\dots,x_k$.

\bigskip
\majdeb
\state Notation -- |  {\it On d\'esigne par $f[x_0,x_1,\dots,x_k]$ le
coefficient directeur du polyn\^ome $p_k$ $({}={}$coefficient de $t^k$
dans $p_k(t))$.}
\par\majfin
\medskip

Alors $p_k-p_{k-1}$ est un polyn\^ome de degr\'e $\leq k$, s'annulant aux 
points $x_0,x_1,\ldots,$ $x_{k-1}$, et admettant $f[x_0,x_1,\dots,x_k]$ pour
coefficient directeur. Par suite~:
$$
p_k(x)-p_{k-1}(x)=f[x_0,x_1,\dots,x_k](x-x_0)\dots(x-x_{k-1}).
$$
Comme $p_0(x)=f(x_0)$, on en d\'eduit la formule fondamentale

\bigskip
\majdeb
\hfill$\displaystyle p_n(x)=f(x_0)+\sum_{k=1}^n
f[x_0,x_1,\dots,x_k](x-x_0)\dots(x-x_{k-1})$.\hfill$({*}{*})$ 
\par\majfin\par

\bigskip
Pour pouvoir exploiter cette formule, il reste bien entendu \`a \'evaluer les
coefficients $f[x_0,x_1,\dots,x_k]$. On utilise \`a cette fin une 
r\'ecurrence sur le nombre $k$ de points $x_i$, en observant que
$f[x_0]=f(x_0)$.

\bigskip
\majdeb
\state Formule de r\'ecurrence -- |  Pour $k\geq 1$, on a
$$
f[x_0,x_1,\dots,x_k]=\frac{f[x_1,\dots,x_k]-f[x_0,\dots,x_{k-1}]}{x_k-x_0}.
\eqno({*}{*}{*})
$$
\vskip-\baselineskip
\majfin
\vskip\baselineskip

A cause de cette formule, la quantit\'e $f[x_0,x_1,\dots,x_k]$ est appel\'ee 
{\it diff\'erence divis\'ee d'ordre $k$} de $f$ aux points $x_0,\dots,x_k$.

\medskip
\noindent{\prem V\'erification de $({*}{*}{*})$}. D\'esignons par
$q_{k-1}\in\cP_{k-1}$ le polyn\^ome de $f$ aux points $x_1,x_2,\dots,x_k$.
Posons $$
\widetilde p_k(x)=\frac{(x-x_0)q_{k-1}(x)-(x-x_k)p_{k-1}(x)}{x_k-x_0}.
$$
Alors $\widetilde p_k\in\cP_k$, $\widetilde p_k(x_0)=p_{k-1}(x_0)=f(x_0)$,
$\widetilde p_k(x_k)=q_{k-1}(x_k)=f(x_k)$ et pour $0<i<k$ on a
$$
\widetilde p_k(x_i)=\frac{(x_i-x_0)f(x_i)-(x_i-x_k)f(x_i)}{x_k-x_0}=f(x_i).
$$
Par cons\'equent $\widetilde p_k=p_k$. Comme le coefficient directeur de $q_{k-1}$
est $f[x_1,\dots,x_k]$, on obtient la formule $({*}{*}{*})$ cherch\'ee en \'egalant les
coefficients de $x^k$ dans l'identit\'e
$$
p_k(x)=\frac{(x-x_0)q_{k-1}(x)-(x-x_k)p_{k-1}(x)}{x_k-x_0}.
$$

\medskip
\state Algorithme pratique -- |  On range les valeurs $f(x_i)$ dans un tableau
TAB, puis on modifie ce tableau en $n$ \'etapes successives, en proc\'edant
par indices d\'ecroissants~:

\null\vskip-24pt
$$
\offinterlineskip\halign{
#\hfill\kern6pt&
\tv\kern6pt\hfill#&
\kern4pt#\kern4pt&
\hfill#\hfill&
\kern4pt#\kern4pt&
#\hfill&
\kern4pt#\kern4pt&
\hfill#\cr
Tableau&Etape 0\hfill&&Etape 1\hfill&&Etape 2\hfill&$\dots$\hfill&Etape
$n$\hfill\cr 
\multispan8\hrulefill\cr
TAB $[n]\phantom{\raise7pt\hbox{(}}$&$f(x_n)$&\branch&$f[x_{n-1},
x_n]$&\branch&$f[x_{n-2},x_{n-1},x_n]$&
$\dots$ \branch&$f[x_0,\dots,x_n]$\cr
\noalign{\vskip-4pt}
TAB $[n-1]$&$f(x_{n-1})$&\branch&$f[x_{n-2},x_{n-1}]$&&&&\cr
\noalign{\vskip-4pt}
TAB $[n-2]$&$f(x_{n-2})$&&&&&&\cr
\hfill$\vdots$&$\vdots$\hfill&&\hfill$\vdots$&&\hfill$\vdots$&&\cr
TAB $[2]$&$f(x_2)$&\branch&$f[x_1,x_2]$&\branch&$f[x_0,x_1,x_2]$&&\cr
\noalign{\vskip-4pt}
TAB $[1]$&$f(x_1)$&\branch&$f[x_0,x_1]$&&&&\cr
\noalign{\vskip-4pt}
TAB $[0]$&$f(x_0)$&&&&&&\cr
}$$

\noindent A l'issue de la $n$-i\`eme \'etape, la case m\'emoire TAB$[k]$
contient le coefficient $f[x_0,\dots,x_k]$ cherch\'e, et on peut alors
utiliser la formule $({*}{*})$. Il est commode d'appliquer ici la r\`egle de
H\"orner~:
$$
p_n(x)={\rm TAB}\ [0]+(x-x_0)({\rm TAB}\ [1]+(x-x_1)({\rm TAB}\
[2]+\dots+(x-x_{n-1}){\rm TAB}\ [n]))) 
$$
On effectue donc une r\'ecurrence descendante
$$
\cases{
u_n={\rm TAB}\ [n]\hfill\cr
\noalign{\vskip3pt}
u_k={\rm TAB}\ [k]+(x-x_k)u_{k+1},\quad 0\leq k<n,\cr
}
$$
qui aboutit \`a $u_0=p_n(x)$.

\bigskip
\state Remarque -- |   D'apr\`es l'\'egalit\'e pr\'ec\'edant $({*}{*})$ on a
$$
\eqalign{
p_k(x_k)-p_{k-1}(x_k)&=f[x_0,x_1,\dots,x_k](x_k-x_0)\dots(x_k-x_{k-1}).\cr
}$$
Or la formule d'erreur 1.2 donne
$$\eqalign{
p_k(x_k)-p_{k-1}(x_k)&=f(x_k)-p_{k-1}(x_k)=\frac{1}{k!}\,\pi_k(x_k)f^{(k)}(\xi)\cr
}$$
avec $\pi_k(x)=(x-x_0)\dots(x-x_{k-1})$
et $\xi\in{}]\min(x_0,\dots,x_k),\max\,(x_0,\dots,x_k)[$.\break En comparant les deux
\'egalit\'es il vient 
$$
f[x_0,x_1,\dots,x_k]=\frac{1}{k!}\ f^{(k)}(\xi),\quad \xi\in\ ]\min(x_i),\max(x_i)[.
$$
Si l'on suppose que $f,f',\dots,f^{(n)}$ existent et sont
continues, on voit que les diff\'erences divis\'ees $f[x_0,\dots,x_k]$
sont born\'ees ind\'ependamment du choix des $x_i$, m\^eme si certains
de ces points sont tr\`es voisins.

\subsection 1.4. Cas o\`u les points d'interpolation sont \'equidistants|

\noindent On consid\`ere la subdivision de l'intervalle $[a,b]$ de pas
constant $h=\dfrac{b-a}{n}$. Les points d'interpolation sont donc
$$
x_i=a+ih=a+i\,\frac{b-a}{n},\quad 0\leq i\leq n.
$$
On note $f_i=f(x_i)$ les valeurs de $f$ correspondantes, et on
introduit un op\'erateur not\'e $\Delta$, appel\'ee {\it op\'erateur
aux diff\'erences finies}, d\'efini par 
$$
\Delta:(f_0,f_1,\dots,f_n)\mapsto(\Delta f_0,\Delta f_1,\dots,\Delta f_{n-1})
$$
avec
$$
\Delta f_i=f_{i+1}-f_i,\quad 0\leq i\leq n-1.
$$
Lorsqu'on it\`ere l'op\'eration $\Delta$, on obtient des r\'eels
$\Delta^k f_i$, $0\leq i\leq n-k$, d\'efinis par la formule de
r\'ecurrence
$$
\Delta^kf_i=\Delta^{k-1}f_{i+1}-\Delta^{k-1}f_i,\quad k\geq 1,\quad
0\leq i\leq n-k,
$$
o\`u l'on convient que $\Delta^0f_i=f_i$, $0\leq i\leq n$.

\bigskip
\majedeb
\state Exercice -- |  {\it V\'erifier que
$\Delta^kf_i=\sum_{j=0}^k(-1)^jC^j_kf_{i+j}$,} 
\par\majefin\par

\bigskip 
Il est alors facile de montrer par r\'ecurrence que les diff\'erences
divis\'ees sont donn\'ees par
$$
f[x_i,x_{i+1},\dots,x_{i+k}]=\frac{\Delta^k f_i}{k! h^k}.
$$
R\'ecrivons avec ces notations la formule fondamentale $({*}{*})$.
Pour $x\in[a,b]$, effectuons le changement de variable
$$
x=a+sh,\quad s\in[0,n].
$$
On a alors
$$
\leqalignno{
(x-x_0)\dots(x-x_{k-1})&=sh(sh-h)\dots(sh-(k-1)h)\cr
&=h^ks(s-1)\dots(s-k+1).\cr
}
$$
On obtient la {\it formule de Newton} suivante, dans laquelle $s=(x-a)/h$~:

\bigskip
\majdeb
\hfil$
\eqalign{
p_n(x)&=\sum_{k=0}^n\Delta^kf_0\cdot\frac{s(s-1)\dots(s-k+1)}{k!}\cr
&=f_0+\frac{s}{1}\left(\Delta^1f_0+\frac{s-1}{2}\left(\Delta^2f_0+\dots+
\frac{s-n+1}{n}\,\Delta^n f_0\right)\ldots.\right)\cr
}
$\hfill
\par\majfin\par

\bigskip
Les coefficients $\Delta^k f_0$ se calculent suivant le sch\'ema d\'ecrit au 
\S\ 1.3~:

$$
\vbox{\offinterlineskip\halign{
\hfill#\kern4pt&
\hfill#\hfill&
\hfill\kern4pt#\kern4pt\hfill&
\hfill#\hfill&
\hfill\kern4pt#\hfill\kern4pt&
\hfill\kern4pt#\kern4pt\hfill&
\hfill\kern4pt#\hfill\kern4pt&
\hfill#\hfill&
\hfill\kern4pt#\hfill\kern4pt\cr
$f_n$&\branch&$\Delta
f_{n-1}$&\branch&$\Delta^2f_{n-2}$&$\dots$&$\Delta^{n-1}f_1$&\branch&$\Delta^n
f_0$\cr
\noalign{\vskip-4pt} 
$f_{n-1}$&\branch&$\Delta f_{n-2}$&&&&$\Delta^{n-1}f_0$&&\cr
\noalign{\vskip-4pt}
$f_{n-2}$&&&&&&&&\cr
&&&&&$\vdots$&&&\cr
$f_2$&\branch&$\Delta f_1$&\branch&$\Delta^2 f_0$&&&&\cr
\noalign{\vskip-4pt}
$f_1$&\branch&$\Delta f_0$&&&&&&\cr
\noalign{\vskip-4pt}
$f_0$&&&&&&&&\cr
}}$$
A l'issue de la $n$-i\`eme \'etape, le tableau contient les coefficients
$\Delta^kf_0$ cherch\'es.

\bigskip
\state Estimation de l'erreur d'interpolation -- |  On a
$$
\pi_{n+1}(x)=(x-x_0)\dots(x-x_n)=h^{n+1}s(s-1)\dots(s-n),
$$
d'o\`u 
$$
f(x)-p_n(x)=\frac{s(s-1)\dots(s-n)}{(n+1)!}\ h^{n+1}f^{(n+1)}(\xi_x).
$$
La fonction $\varphi(s)=|s(s-1)\dots(s-n)|$, $s\in[0,n]$, v\'erifie
$\varphi(n-s)=\varphi(s)$, donc elle atteint son maximum dans
$\big[0,\dfrac{n}{2}\big]$. Comme
$\varphi(s-1)/\varphi(s)=(n+1-s)/s>1$ pour $1\leq s\leq \dfrac{n}{2}$,
on voit que $\varphi$ atteint en fait son maximum dans $[0,1]$, d'o\`u
$$
\max_{[0,n]}\varphi=\max_{s\in[0,1]}\varphi(s)\leq n!
$$
Il en r\'esulte
$$
|f(x)-p_n(x)|\leq h^{n+1}\cdot\frac{1}{n+1}\,\max_{[x_0,\dots,x_n]}|f^{(n+1)}|.
$$
Une application typique de ces formules est le calcul d'une valeur approch\'ee de
l'image $f(x)$ au moyen d'une table num\'erique donnant les valeurs successives
$f(x_i)$ avec un pas constant $h$. Supposons par exemple que $h=10^{-2}$ et que
l'on cherche \`a \'evaluer $f(x)$ \`a $10^{-8}$ pr\`es. Une interpolation
lin\'eaire (cas $n=1$) donnerait une erreur en $h^2=10^{-4}$ beaucoup trop grande.
On doit ici aller jusqu'au degr\'e $n=3$, ce qui permet d'obtenir un erreur $\leq
h^4=10^{-8}$ pourvu que $\max|f^{(4)}|\leq 4$.

\bigskip
\state Remarque -- |  D'apr\`es l'expression de $\pi_{n+1}$ donn\'ee
plus haut, on voit que
$$
\Vert \pi_{n+1}\Vert_{[a,b]}\ =h^{n+1}\max_{s\in[0,n]}\varphi(s)\leq
h^{n+1}n!=\frac{n!}{n^{n+1}}\ (b-a)^{n+1}
$$
et la formule de Stirling $n!\sim\sqrt{2\pi n}\big(\dfrac{n}{e}\big)^n$
montre que l'ordre de grandeur de $\Vert\pi_{n+1}\Vert$ est
$$
\Vert\pi_{n+1}\Vert\ =\ O\left(\frac{b-a}{e}\right)^{n+1}\quad{\rm
quand}\quad n\rightarrow+\infty.
$$
Comme
$$
\eqalign{
\varphi\Big(\frac{1}{2}\Big)&=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{3}{2}\dots
\Big(n-\frac{1}{2}\Big)\geq\frac{1}{4}\ 1\cdot2\dots(n-1)\cr
&\geq\frac{1}{4n}\
n!\geq\frac{1}{4n}\,\sqrt{6n}\,\frac{n^n}{e^n}\geq
\frac{n^{n-\fracss{1}{2}}}{e^{n+1}}\cr 
}$$
pour $n$ grand, on voit en fait que
$$
\Vert\pi_{n+1}\Vert\ \geq
h^{n+1}\frac{n^{n-\fracss{1}{2}}}{e^{n+1}}=\frac{1}{n^{3/2}}
\left(\frac{b-a}{e}\right)^{n+1}.
$$
Nous obtiendrons au \S\ 2.2 des estimations beaucoup plus
pr\'ecises. L'exercice suivant montre l'int\'er\^et de la formule de
Newton en arithm\'etique.

\bigskip
\majedeb
\state Exercice |{\parindent=1.6pc \it \vskip0pt
\item{\rm (a)} Montrer que les polyn\^omes de Newton
$$
N_k(s)=\frac{s(s-1)\dots(s-k+1)}{k!},\quad 0\leq k\leq n
$$
forment une base de $\cP_n$ et que pour tout $s\in\bZ$ on a
$N_k(s)\in\bZ$\hfill\break 
{\rm [Indication~:} utiliser les $C^k_n$ ou une r\'ecurrence \`a partir de la
relation\hfill\break 
$N_k(s)-N_k(s-1)=N_{k-1}(s)]$.
\smallskip
\item{\rm (b)} Montrer qu'un polyn\^ome $p\in\cP_n$ est tel que
$p(s)\in\bZ$ pour tout $s\in\bZ$ si et seulement si $p$ est
combinaison lin\'eaire \`a coefficients dans $\bZ$ de $N_0,\dots,N_n$.
\vskip0pt}
\par\majefin\par

\subsection 1.5. Interpolation aux points de Tchebychev|

\noindent On d\'efinit les {\it polyn\^omes de Tchebychev} par
$$
t_n(x)=\cos(n\,{\rm Arccos}\,x),\quad x\in[-1,1]
$$
Il n'est pas \'evident {\it a priori} que $t_n$ est un polyn\^ome~!
Pour le voir, on proc\`ede comme suit. Posons $\theta=\Arccos\,x$, 
c'est-\`a-dire $x=\cos\,\theta$ avec $\theta\in[0,\pi]$. Il vient alors
$$
\eqalign{
t_n(x)&=\cos\,n\theta,\cr
t_{n+1}(x)+t_{n-1}(x)&=\cos\,((n+1)\theta)+\cos\,((n-1)\theta)\cr
&=2\cos\,n\theta\,\cos\,\theta=2xt_n(x).\cr
}
$$
La fonction $t_n$ se calcule donc par les formules de r\'ecurrence
$$
\cases{
t_0(x)=1,\quad t_1(x)=x\hfill\cr
\noalign{\vskip3pt}
t_{n+1}(x)=2x\,t_n(x)-t_{n-1}(x).\hfill\cr
}
$$
Il en r\'esulte que $t_n$ est un polyn\^ome de degr\'e $n$, dont le
coefficient directeur est $2^{n-1}$ si $n\geq 1$. D\'eterminons les
racines de $t_n$. Si $x=\cos\,\theta\in[-1,1]$ avec
$\theta\in[0,\pi]$, on a $t_n(x)=\cos\,n\theta=0$ si et seulement si
$n\theta=\dfrac{\pi}{2}+i\pi$, soit $\theta=\dfrac{2i+1}{2n}\,\pi$
avec $0\leq i\leq n-1$. Le polyn\^ome $t_n$ admet donc exactement $n$
racines distinctes~:
$$
\cos\,\frac{2i+1}{2n}\,\pi\in\ ]-1,1[,\quad 0\leq i\leq n-1.
$$
Comme $t_n$ est de degr\'e $n$, il ne peut avoir d'autres racines.

\bigskip
\majdeb
\state D\'efinition -- |  {\it Les points d'interpolation de
Tchebychev d'ordre $n$ sont les points
$x_i=\cos\,\dfrac{2i+1}{2n+2}\,\pi$, $0\leq i\leq n$, racines du
polyn\^ome $t_{n+1}$.}
\par\majfin\par

\bigskip
Les points $x_i$ sont r\'epartis sym\'etriquement autour de 0 (avec
$x_{n-i}=-x_i$), de fa\c con plus dense au voisinage de $1$ et $-1$~:

\InsertFig -5.000 22.000 {
1 mm unit
 10.000  10.000 moveto 
110.000  10.000 lineto 
stroke
100.000  10.000 moveto 
  3.000   0.000 brack 
 20.000  10.000 moveto 
  3.000 180.000 brack 
  0.250 setlinewidth
 60.000  10.000 moveto 
  0.700 disk 
 99.658  10.000 moveto 
  0.700  90.000 indent 
 96.955  10.000 moveto 
  0.700  90.000 indent 
 91.734  10.000 moveto 
  0.700  90.000 indent 
 84.350  10.000 moveto 
  0.700  90.000 indent 
 75.307  10.000 moveto 
  0.700  90.000 indent 
 65.221  10.000 moveto 
  0.700  90.000 indent 
 54.779  10.000 moveto 
  0.700  90.000 indent 
 44.693  10.000 moveto 
  0.700  90.000 indent 
 35.650  10.000 moveto 
  0.700  90.000 indent 
 28.266  10.000 moveto 
  0.700  90.000 indent 
 23.045  10.000 moveto 
  0.700  90.000 indent 
 20.342  10.000 moveto 
  0.700  90.000 indent}
\LabelTeX   16.700   3.000 $-1$\ELTX
\LabelTeX   22.500   6.500 $x_{10}$\ELTX
\LabelTeX   34.200   6.500 $x_8$\ELTX
\LabelTeX   53.000   6.500 $x_6$\ELTX
\LabelTeX   64.000   6.500 $x_5$\ELTX
\LabelTeX   83.000   6.500 $x_3$\ELTX
\LabelTeX   95.500   6.500 $x_1$\ELTX
\LabelTeX  100.000   3.000 $1$\ELTX
\LabelTeX   20.500  12.000 $x_{11}$\ELTX
\LabelTeX   28.000  12.000 $x_9$\ELTX
\LabelTeX   43.500  12.000 $x_7$\ELTX
\LabelTeX   74.500  12.000 $x_4$\ELTX
\LabelTeX   90.300  12.000 $x_2$\ELTX
\LabelTeX   96.300  12.000 $x_0$\ELTX
\LabelTeX  115.000   9.000 $n=11$\ELTX
\LabelTeX   59.000  12.000 $0$\ELTX
\EndFig
\vskip7mm

\noindent Puisque le coefficient directeur de $t_{n+1}$ est $2^n$, il vient
$$
t_{n+1}(x)=2^n\prod_{i=0}^n(x-x_i)=2^n\pi_{n+1}(x).
$$
Pour se ramener \`a un intervalle $[a,b]$ quelconque au lieu de $[-1,1]$, on
utilisera la bijection lin\'eaire
$$
\eqalign{
[-1,1]&\longrightarrow[a,b]\cr
u&\longmapsto x=\frac{a+b}{2}+\frac{b-a}{2}\ u\cr
}
$$
qui envoie $-1$ sur $a$ et 1 sur $b$. Les images des points d'interpolation de
Tchebychev $u_i\in\ ]-1,1[$ sont donn\'es par

\bigskip
\majdeb
\centerline{$\displaystyle x_i=\dfrac{a+b}{2}+\dfrac{b-a}{2}\
\cos\,\dfrac{2i+1}{2n+2}\,\pi,\quad 0\leq i\leq n$.} 
\par\majfin\par

\bigskip
Ces points sont encore appel\'es points d'interpolation de Tchebychev 
d'ordre $n$ de l'intervalle $[a,b]$. Dans ce cas, on a 
$x-x_i=\dfrac{b-a}{2}\ (u-u_i)$, donc le
polyn\^ome $\pi_{n+1}$ est donn\'e par
$$
\pi_{n+1}(x)=\prod_{i=0}^n(x-x_i)=\left(\frac{b-a}{2}\right)^{n+1}
\prod_{i=0}^n(u-u_i)
$$
o\`u $\prod_{i=0}^n(u-u_i)=\dfrac{1}{2^n}t_{n+1}(u)$ est le polyn\^ome
$\pi_{n+1}(u)$ correspondant \`a $[-1,1]$. On obtient donc

\bigskip
\majdeb
\centerline{$\displaystyle \pi_{n+1}(x)=\dfrac{(b-a)^{n+1}}{2^{2n+1}}\
t_{n+1}(u)=\dfrac{(b-a)^{n+1}}{2^{2n+1}}\ t_{n+1}\left(\dfrac{2}{b-a}\
\left(x-\dfrac{a+b}{2}\right)\right)$.}   
\par\majfin\par

\bigskip
Par d\'efinition des polyn\^omes de Tchebychev on a 
$\Vert t_{n+1}\Vert\ =1$,
donc 
$$
\Vert\pi_{n+1}\Vert=2\left(\frac{b-a}{4}\right)^{n+1}.
$$
Cette valeur est beaucoup plus petite que l'estimation
$(b-a/e)^{n+1}$ obtenue pour $\Vert\pi_{n+1}\Vert$ avec des
points $x_i$ \'equidistants, surtout lorsque $n$ est assez grand~:
pour $n=30$ par exemple, on a $(e/4)^{n+1}<7\cdot 10^{-6}$.

Il en r\'esulte que l'interpolation aux points de Tchebychev est en
g\'en\'eral consid\'erablement plus pr\'ecise que l'interpolation en
des points \'equidistants, d'o\`u son int\'er\^et pratique.  Nous
reviendrons sur ces questions au \S\ 3.

\section 2. Convergence des polyn\^omes d'interpolation $p_n$
quand $n$ tend vers $+\infty$|

\noindent Soit $f:[a,b]\rightarrow\bR$ une fonction continue. Pour chaque 
entier $n\in\bN$, on se donne une suite de $n+1$ points
$x_{i,n}\in[a,b]$, $0\leq i\leq n$, deux \`a deux distincts et on
consid\`ere le polyn\^ome d'interpolation $p_n$ de $f$ aux points
$x_{0,n},x_{1,n},\dots,x_{n,n}$.

\bigskip
\majdeb
\state Probl\`eme -- |  {\it A quelle(s) condition(s) (portant sur la
nature de la fonction $f$ et/ou le choix des points $x_{i,n}$)
pourra-t-on \^etre s\^ur que $p_n$ converge uniform\'ement vers $f$
quand $n\rightarrow+\infty$~?}
\par\majfin

\bigskip
Si l'on ne dispose d'aucune information sur la r\'epartition des
points $x_{i,n}$, la meilleure majoration de $\pi_{n+1}(x)$ dont on
dispose {\it a priori} est
$$
|\pi_{n+1}(x)|=\prod_{i=0}^n|x-x_{i,n}|\leq (b-a)^{n+1},\quad
\forall x\in[a,b],
$$
en majorant $|x-x_{i,n}|$ par $b-a$. Dans le cas o\`u les points
$x_i$ sont \'equidistants ou sont les points de Tchebychev, on a bien
entendu une meilleure estimation
$$
\Vert\pi_{n+1}\Vert\ \leq\Big(\frac{b-a}{e}\Big)^{n+1},\quad
{\rm resp.}\
\Vert\pi_{n+1}\Vert\ \leq 2\Big(\frac{b-a}{4}\Big)^{n+1}. 
$$
Comme l'erreur d'interpolation d\'epend par ailleurs de $\Vert
f^{(n+1)}\Vert$ d'apr\`es le \S\ 1.2, on est amen\'e \`a chercher
une majoration des d\'eriv\'ees successives de $f$.

\subsection 2.1. Cas d'une fonction analytique|

\noindent 
Une fonction {\it analytique} est par d\'efinition une fonction qui
est {\it somme d'une s\'erie enti\`ere au voisinage de tout point o\`u
elle est d\'efinie.}

Supposons $f(x)=\sum_{k=0}^{+\infty}a_kx^k$, o\`u la
s\'erie a un rayon de convergence $R>0$. La fonction $f$ est donc
d\'efinie sur $]-R,R[$ au moins. Pour tout $r<R$, la s\'erie $\sum
a_kr^k$ est convergente, donc la suite $a_kr^k$ est born\'ee (et tend
vers 0), c'est-\`a-dire qu'il existe une constante $C(r)\geq 0$ telle que
$$
|a_k|\leq\frac{C(r)}{r^k},\quad \forall k\in\bN.
$$
On peut alors d\'eriver terme \`a terme $f(x)$ sur $]-r,r[{}\subset{}]-R,R[$, 
ce qui donne
$$
\eqalign{
f^{(n)}(x)&=\sum_{k=0}^{+\infty}a_k\ \frac{d^n}{dx^n}\,(x^k),\cr
|f^{(n)}(x)|&\leq
C(r)\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{1}{r^k}\,\frac{d^n}{dx^n}\,(x^k)\quad
\hbox{\rm si}\quad
x\geq 0\cr
&=C(r)\,\frac{d^n}{dx^n}\,\left[\sum_{k=0}^{+\infty}\Big(\frac{x}{r}\Big)^k
\right]\cr
&=C(r)\,\frac{d^n}{dx^n}\,\left(\frac{1}{1-\dfrac{x}{r}}\right)=C(r)\,
\frac{d^n}{dx^n}\Big(\frac{r}{r-x}\Big)\cr
&=\frac{n!rC(r)}{(r-x)^{n+1}}.\cr}
$$
Sur tout intervalle $[-\alpha,\alpha]$ avec $\alpha<r<R$, on a donc
$$
\frac{1}{n!}\ \Vert
f^{(n)}\Vert_{[-\alpha,\alpha]}\ \leq\frac{rC(r)}{(r-\alpha)^{n+1}}. 
$$
Supposons maintenant que $f:\ [a,b]\rightarrow\bR$ soit somme d'une
s\'erie enti\`ere de centre $c=\dfrac{a+b}{2}$ et de rayon
$R>\alpha=\dfrac{b-a}{2}$. Pour tout $r$ tel que $\dfrac{b-a}{2}<r<R$
et tout $n\in\bN$ on a alors d'apr\`es ce qui pr\'ec\`ede
$$
\frac{1}{n!}\ \Vert
f^{(n)}\Vert_{[a,b]}\ \leq\frac{rC(r)}{\Big(r-\dfrac{b-a}{2}\Big)^{n+1}}. 
$$
L'erreur d'interpolation admet donc la majoration
$$
\eqalign{
\Vert f-p_n\Vert&\leq\frac{1}{(n+1)!}\
\Vert\pi_{n+1}\Vert\kern3pt\Vert f^{(n+1)}\Vert\ \leq
2\Big(\frac{b-a}{\lambda}\Big)^{n+1}\frac{rC(r)}{\Big(r-\dfrac{b-a}{2}
\Big)^{n+2}}\cr
&\leq\frac{2rC(r)}{r-\dfrac{b-a}{2}}\
\left(\frac{\dfrac{b-a}{\lambda}}{r-\dfrac{b-a}{2}}\right)^{n+1}\cr }
$$
avec respectivement $\lambda=1$ si les points $x_{i,n}$ sont
quelconques, $\lambda=e$ s'ils sont \'equidistants, $\lambda=4$ si ce
sont les points de Tchebychev. L'erreur va converger vers 0 si l'on
peut choisir $r$ tel que $(b-a)/\lambda<r-(b-a)/2$, soit
$r>\big(\frac{1}{\lambda}+\frac{1}{2}\big)(b-a)$. Ceci
est possible d\`es que le rayon de convergence $R$ v\'erifie
lui-m\^eme cette minoration. On peut donc \'enoncer~:
\bigskip

\majdeb
\state Th\'eor\`eme -- |  {\it Soit $f:[a,b]\rightarrow\bR$ une
fonction analytique donn\'ee par une s\'erie enti\`ere de rayon de
convergence $R$ centr\'ee au point $c=\dfrac{a+b}{2}$. Alors pour
des points d'interpolation $x_{i,n}$ quelconques et $\lambda=1$
$($respectivement, \'equidistants et $\lambda=e$, de Tchebychev et
$\lambda=4)$, les polyn\^omes d'interpolation $p_n$ aux points
$x_{i,n}$ convergent uniform\'ement vers $f$ pourvu que
$R>\big(\dfrac{1}{\lambda}+\dfrac{1}{2}\big)(b-a)$.}
\par\majfin\par

\bigskip
\majedeb
\state Exercice -- |  {\it Si les points $x_{i,n}$ sont r\'epartis
syst\'ematiquement par rapport \`a $c=\dfrac{a+b}{2}$, montrer que
l'on peut prendre $\lambda=2$.  \medskip

\noindent{\rm Indication~:} en supposant $c=0$ pour simplifier, utiliser le 
fait que 
$$
|(x-x_{i,n})(x+x_{i,n})|\leq\frac{1}{4}\ (b-a)^2
$$
pour tout $x\in[a,b]$ et tout $i=0,1,\dots,n$.}
\par\majefin\par

\bigskip 
Ces r\'esultats sont en fait un peu grossiers, car ils fournissent des
conditions suffisantes de convergence qui sont en g\'en\'eral tr\`es
loin d'\^etre n\'ecessaires. Par ailleurs, ce sont des r\'esultats
purement th\'eoriques qui ne tiennent aucun compte des erreurs
d'arrondi. Nous allons maintenant faire des calculs plus fins sur des
exemples, en estimant de fa\c con pr\'ecise le produit $\pi_{n+1}$
pour des points \'equidistants.

\subsection 2.2.* Estimation de $\pi_n(z)$, 
$z\in\bC$, pour des points d'interpolation \'equidistants|

\noindent Posons $h=\dfrac{b-a}{n}$, $x_j=a_j+jh$, $0\leq j\leq n$, et soit
$z\in\bC$, $$
\eqalign{
|\pi_{n+1}(z)|&=|z-x_i|\cdot\prod_{j\not=1}|z-x_j|,\cr
\ln\,|\pi_{n+1}(z)|&=\ln\,\delta_n(z)+\sum_{j\not=i}\ln\,|z-x_j|\cr
}
$$
o\`u $\delta_n(z)=|z-x_i|$ est la distance de $z$ au plus proche
point $x_i$. La derni\`ere sommation appara\^{\i}t comme une somme de
Riemann de la fonction $x\mapsto\ln\,|z-x|$. On va donc comparer cette
sommation \`a l'int\'egrale correspondante.

\bigskip
\majdeb
\state Lemme 1 -- |  {\it Pour tout $a\in\bC$, on pose
$\phi(a)=\int_0^1\ln\,|1-at|\,dt$.\hfill\break
\noindent Alors l'int\'egrale converge et la fonction $\phi$ est continue
sur $\bC$. De plus~:
\medskip
\noindent {\rm (i)}
$\quad\displaystyle\frac{1}{h}\int^{x_{j+1}}_{x_j}\ln\,|z-x|dx-\ln\,|z-x_j|
=\phi\Big(\frac{h}{z-x_j}\Big)$, $0\leq j\leq i-1$~;
\medskip
\noindent {\rm (ii)}
$\quad\displaystyle\frac{1}{h}\int^{x_{j+1}}_{x_j}\ln\,|z-x|dx-\ln\,|z-x_{j+1}|
=\phi\Big(-\frac{h}{z-x_{j+1}}\Big)$, $i\leq j\leq n-1$.}
\par\majfin\par

\bigskip
\noindent{\prem D\'emonstration.} Si $a\not\in[1,+\infty]$, la fonction
$t\mapsto\ln\,|1-at|$ est d\'efinie et continue sur $[0,1]$. Soit Log la
d\'etermination principale du logarithme complexe, d\'efinie sur
$\bC\ssm{}]-\infty,0]$. Comme $\ln\,|z|=\Re(\Log\,z)$, on en d\'eduit
ais\'ement
$$
\phi(0)=0,\quad\phi(a)=\Re\Big[\Big(1-\frac{1}{a}\Big)\,\Log\,(1-a)\Big]-1
\quad\hbox{\rm si}\quad a\not\in\{0\}\cup[1,+\infty[ 
$$
gr\^ace \`a une int\'egration par parties. Si $a\in[1,+\infty[$, un
calcul analogue donne $\phi(1)=-1$ et
$\phi(a)=\big(1-\dfrac{1}{a}\big)\,\ln\,(a-1)-1$ pour $a> 1$. La
continuit\'e de $\phi$ se v\'erifie sur ces formules (exercice~!)

\medskip
\noindent {\prem \'Egalit\'e}\/ (i)~: on effectue le changement de variable
$$
x=x_j+ht,\quad dx=h\,dt,\quad t\in[0,1].
$$
Il vient~:
$$
\eqalign{
\frac{1}{h}\int^{x_{j+1}}_{x_j}\ln\,|z-x|\,dx&=\int^1_0\ln\,|z-x_j-ht|\,dt\cr
&=\int^1_0\ln\Big(|z-x_j|\cdot\Big|1-\frac{h}{z-x_j}t\Big|\Big)dt=\ln|z-x_j|
+\phi\Big(\frac{h}{z-x_j}\Big).\kern-10pt\cr
}$$
{\prem \'Egalit\'e}\/ (ii)~: s'obtient de m\^eme en
posant $x=x_{j+1}-ht$.\hfill\blacksquare

\bigskip
 En sommant les diff\'erentes \'egalit\'es (i) et (ii), on obtient
$$
\frac{1}{h}\int^b_a\ln|z-x|dx-\sum_{j\not=i}\ln|z-x_j|=\sum^{i-1}_{j=0}\phi
\Big(\frac{h}{z-x_j}\Big)+\sum_{j=i+1}^n\phi\Big(-\frac{h}{z-x_j}\Big).\eqno(*)
$$

\InsertFig -5.000 45.000 {
1 mm unit
 10.000  20.000 moveto 
115.000  20.000 lineto 
stroke 
105.000  20.000 moveto 
  0.700  90.000 indent 
 20.000  20.000 moveto 
  0.700  90.000 indent 
 30.000  20.000 moveto 
  0.700  90.000 indent 
 50.000  20.000 moveto 
  0.700  90.000 indent 
 70.000  20.000 moveto 
  0.700  90.000 indent 
 80.000  20.000 moveto 
  0.700  90.000 indent 
 90.000  20.000 moveto 
  0.700  90.000 indent 
[   2.000   1.000 ] 0 setdash 
 75.000  40.000 moveto 
 75.000   1.500 lineto 
stroke 
 85.000  40.000 moveto 
 85.000   1.500 lineto 
stroke 
 78.000  34.000 moveto 
  0.700 disk}
\LabelTeX   79.400  33.200 $z$\ELTX
\LabelTeX   19.000  16.500 $x_0$\ELTX
\LabelTeX   29.000  16.500 $x_1$\ELTX
\LabelTeX   49.000  16.500 $x_j$\ELTX
\LabelTeX   67.500  16.500 $x_{i-1}$\ELTX
\LabelTeX   79.000  16.500 $x_i$\ELTX
\LabelTeX   88.500  16.500 $x_{i+1}$\ELTX
\LabelTeX  104.000  16.500 $x_n$\ELTX
\EndFig

\noindent Si $0\leq j< i$, le fait que $|z-x_i|=\min|z-x_k|$ implique $\Re\,z\geq
x_i-\dfrac{h}{2}$ d'o\`u
$$
|z-x_j|\geq\Re(z-x_j)\geq
x_i-\frac{h}{2}-x_j=\Big(i-j-\frac{1}{2}\Big)h\geq\frac{1}{2}(i-j)h 
$$
car $\dfrac{1}{2}\leq\dfrac{1}{2}(i-j)$. Comme $\Re\,w>0$ implique $\Re\,(1/w)>0$,
on en d\'eduit donc~: 
$$ 
\Re\Big(\frac{h}{z-x_j}\Big)> 0,\quad
\Big|\frac{h}{z-x_j}\Big|\leq\frac{2}{i-j}\leq 2. 
$$
Si $i<j\leq n$, on obtient de m\^eme $\Re\,z\leq x_i+\dfrac{h}{2}$ et
$$
\displaylines{
|z-x_j|\geq\Re(x_j-z)\geq
x_j-x_i-\frac{h}{2}=\Big(j-i-\frac{1}{2}\Big)h\geq\frac{1}{2}(j-i)h,\cr
\Re\Big(-\frac{h}{z-x_j}\Big)>
0,\quad\Big|\frac{h}{z-x_j}\Big|\leq\frac{2}{j-i}\leq 2.\cr 
}
$$


\majdeb
\state Lemme 2 -- |  {\it Pour $a\in\bC$ tel que $\Re\,a\geq 0$ et $|a|\leq 2$
on a 
$$
\phi(a)=-\frac{1}{2}\,\ln\,|1+a|+O(|a|^2).
$$}
\vskip-\baselineskip
\majfin
\vskip\baselineskip

\noindent{\prem D\'emonstration.} Les deux membres \'etant continus sur 
$\Re\,a\geq 0$, il suffit de montrer l'estimation lorsque $a$ est voisin 
de~$0$. On sait que $\Log\,(1+z)=z+O(|z|^2)$ d'o\`u
$$
\displaylines{
\ln\,|1+z|=\Re\,\Log(1+z)=\Re\,\Log(1+z)=\Re\,z+O(|z|^2),\cr
\phi(a)=\int^1_0(-\Re\,a\cdot t+O(|a|^2t^2))dt=-\frac{1}{2}\,\Re\,a+O(|a|^2),\cr
}$$
tandis que $\ln\,|1+a|=\Re\,a+O(|a|^2)$. Le lemme s'ensuit.\hfill\blacksquare

\medskip
L'\'egalit\'e $(*)$ ci-dessus et le lemme 2 appliqu\'e avec
$a=\pm\dfrac{h}{z-x_j}=O\big(\dfrac{1}{j-i}\big)$ impliquent alors 
$$
\displaylines{
\sum_{j\not=i}\ln\,|z-x_j|-\frac{1}{h}\int^b_a\ln\,|z-x|dx=\frac{1}{2}
\sum_{j=0}^{i-1}\ln\,\Big|1+\frac{h}{z-x_j}\Big|+\frac{1}{2}\sum_{j=i+1}^n
\ln\,\Big|1-\frac{h}{z-x_j}\Big|\hfill\cr
\hfill+O\left(\frac{1}{i^2}+\frac{1}{(i-1)^2}+\dots+\frac{1}{1^2}\right)+O\left(\frac{1}{1^2}
+\dots+\frac{1}{(n-i)^2}\right).\cr
}
$$
Comme la s\'erie $\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{1}{n^2}$ est convergente,
les termes compl\'ementaires sont born\'es, c'est-\`a-dire $O(1)$. De plus
$$
\eqalign{
1+\frac{h}{z-x_j}&=\frac{z-x_j+h}{z-x_j}=\frac{z-x_{j-1}}{z-x_j},\cr
1-\frac{h}{z-x_j}&=\frac{z-x_j-h}{z-x_j}=\frac{z-x_{j+1}}{z-x_j}.\cr
}
$$
Dans les deux sommations, les logarithmes se simplifient alors mutuellement, ce
qui donne
$$
\sum_{j\not=i}\ln\,|z-x_j|-\frac{1}{h}\int^b_a\ln\,|z-x|dx=\frac{1}{2}\ln\ \left|
\frac{z-x_{-1}}{z-x_{i-1}}\cdot\frac{z-x_{n+1}}{z-x_{i+1}}\right|+O(1)
$$
avec $x_{-1}=a-h$ et $x_{n+1}=b+h$. En prenant l'exponentielle et en multipliant
par $|z-x_i|$, on obtient
$$
\prod|z-x_j|=|z-x_i|\,\exp\Big(O(1)+\frac{1}{h}\int^b_a\ln\,|z-x|dx\Big)\cdot
\sqrt{\frac{|z-{x_1}|}{|z-x_{i-1}|}\cdot\frac{|z-x_{n+1}|}{|z-x_{i+1}|}}.\eqno({*}{*})
$$
La quantit\'e sous la racine est comprise entre 1 et $(1+2n)^2$. En effet on a
$$
1\leq\frac{|z-x_{-1}|}{|z-x_{i-1}|}\leq\frac{|z-x_{i-1}|+ih}{|z-x_{i-1}|}\leq 1+2i,
$$
car $|z-x_{i-1}|\geq\Re(z-x_{i-1})\geq\dfrac{h}{2}$ si $i\not=0$, le premier
quotient \'etant \'egal \`a 1 si $i=0$. Le deuxi\`eme quotient est major\'e de
m\^eme par $1+2(n-i)$. Comme $\exp(O(1))$ est encadr\'e par deux constantes
positives et $\dfrac{1}{h}=\dfrac{n}{b-a}$, on obtient l'estimation suivante.

\bigskip
\majdeb
\state Estimation de $\pi_{n+1}$ -- | {\it On pose $\displaystyle
A(z)=\exp\,\Big(\dfrac{1}{b-a}\int^b_a\ln\,|z-x|dx\Big)$.\hfill\break
Alors il existe des constantes $C_1,C_2>0$ telles que
$$
C_1\delta_n(z)A(z)^n\leq|\pi_{n+1}(z)|\leq C_2n\delta_n(z)A(z)^n.
$$}
\vskip-\baselineskip
\majfin
\vskip\baselineskip

On voit donc que le terme dominant du comportement de $|\pi_{n+1}(z)|$
est le facteur exponentiel $A(z)^n$. Pour \'evaluer $\Vert
\pi_{n+1}\Vert_{[a,b]}$, il suffit de calculer $A(x)$ lorsque
$x\in[a,b]$~:
$$
A(x)=\exp\,\Big(\frac{1}{b-a}\int^b_a\ln\,|x-t|dt\Big).
$$
La fonction $t\mapsto \ln\,|t-x|$ est discontinue en $t=x$, mais le lecteur pourra
s'assurer que l'int\'egration par parties suivante est l\'egitime~:
$$
\eqalign{
\int^b_a\ln\,|t-x|dt&=[(t-x)\ln|t-x|]^b_a-\int^b_a(t-x)\frac{dt}{t-x}\cr
&=(b-x)\,\ln\,(b-x)+(x-a)\,\ln\,(x-a)-(b-a),\cr
}
$$
car la fonction $t\mapsto (t-x)\ln\,|t-x|$ est continue sur $[a,b]$ et on peut
passer \`a la limite sur chacun des intervalles $[a,x-\varepsilon]$ et
$[x+\varepsilon,b]$. Il en r\'esulte 
$$
\left\{\eqalign{
A(x)&=\dfrac{1}{e}\,(x-a)^{\fracss{x-a}{b-a}}(b-x)^{\fracss{b-x}{b-a}}\quad
\hbox{si}\quad x\in{}]a,b[,\cr 
A(a)&=A(b)=\dfrac{1}{e}\,(b-a).\cr}
\right.
$$
Une \'etude de $x\mapsto A(x)$ donne l'allure du graphe~:

\InsertFig 0.000 60.000 {
1 mm unit
 10.000  15.000 moveto  
110.000   0.000 vector 
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 30.000  37.080 moveto 
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 40.000  37.071 moveto
[  40.000  37.071    40.150  36.690    40.300  36.388    40.450  36.119   
 40.600  35.870    40.750  35.638    40.900  35.419    41.050  35.210   
 41.200  35.011    41.350  34.820    41.500  34.637    41.650  34.460   
 41.800  34.290    41.950  34.125    42.100  33.965    42.250  33.810   
 42.400  33.660    42.550  33.514    42.700  33.372    42.850  33.233   
 43.000  33.098    43.150  32.967    43.300  32.838    43.450  32.713   
 43.600  32.591    43.750  32.471    43.900  32.354    44.050  32.240   
 44.200  32.128    44.350  32.018    44.500  31.911    44.650  31.806   
 44.800  31.703    44.950  31.602    45.100  31.503    45.250  31.406   
 45.400  31.310    45.550  31.217    45.700  31.125    45.850  31.035   
 46.000  30.947    46.150  30.860    46.300  30.775    46.450  30.691   
 46.600  30.609    46.750  30.528    46.900  30.448    47.050  30.370   
 47.200  30.293    47.350  30.218    47.500  30.143    47.650  30.070   
 47.800  29.999    47.950  29.928    48.100  29.858    48.250  29.790   
 48.400  29.722    48.550  29.656    48.700  29.591    48.850  29.527   
 49.000  29.464    49.150  29.401    49.300  29.340    49.450  29.280   
 49.600  29.220    49.750  29.162    49.900  29.104    50.050  29.047   
 50.200  28.992    50.350  28.936    50.500  28.882    50.650  28.829   
 50.800  28.776    50.950  28.724    51.100  28.673    51.250  28.623   
 51.400  28.573    51.550  28.525    51.700  28.477    51.850  28.429   
 52.000  28.382    52.150  28.336    52.300  28.291    52.450  28.246   
 52.600  28.202    52.750  28.159    52.900  28.116    53.050  28.074   
 53.200  28.032    53.350  27.991    53.500  27.951    53.650  27.911   
 53.800  27.872    53.950  27.834    54.100  27.796    54.250  27.758   
 54.400  27.721    54.550  27.685    54.700  27.649    54.850  27.614   
 55.000  27.579    55.150  27.544    55.300  27.511    55.450  27.477   
 55.600  27.445    55.750  27.412    55.900  27.380    56.050  27.349   
 56.200  27.318    56.350  27.288    56.500  27.258    56.650  27.228   
 56.800  27.199    56.950  27.171    57.100  27.143    57.250  27.115   
 57.400  27.088    57.550  27.061    57.700  27.034    57.850  27.008   
 58.000  26.983    58.150  26.958    58.300  26.933    58.450  26.909   
 58.600  26.885    58.750  26.861    58.900  26.838    59.050  26.815   
 59.200  26.793    59.350  26.771    59.500  26.749    59.650  26.728   
 59.800  26.707    59.950  26.686    60.100  26.666    60.250  26.646   
 60.400  26.627    60.550  26.608    60.700  26.589    60.850  26.570   
 61.000  26.552    61.150  26.535    61.300  26.517    61.450  26.500   
 61.600  26.484    61.750  26.467    61.900  26.451    62.050  26.436   
 62.200  26.420    62.350  26.405    62.500  26.391    62.650  26.376   
 62.800  26.362    62.950  26.348    63.100  26.335    63.250  26.322   
 63.400  26.309    63.550  26.296    63.700  26.284    63.850  26.272   
 64.000  26.261    64.150  26.250    64.300  26.239    64.450  26.228   
 64.600  26.218    64.750  26.208    64.900  26.198    65.050  26.188   
 65.200  26.179    65.350  26.170   ] scurve 
[  65.350  26.170    65.500  26.162    65.650  26.153    65.800  26.145   
 65.950  26.138    66.100  26.130    66.250  26.123    66.400  26.116   
 66.550  26.110    66.700  26.103    66.850  26.098    67.000  26.092   
 67.150  26.086    67.300  26.081    67.450  26.076    67.600  26.072   
 67.750  26.067    67.900  26.063    68.050  26.060    68.200  26.056   
 68.350  26.053    68.500  26.050    68.650  26.048    68.800  26.045   
 68.950  26.043    69.100  26.041    69.250  26.040    69.400  26.039   
 69.550  26.038    69.700  26.037    69.850  26.037    70.000  26.036   
 70.150  26.037    70.300  26.037    70.450  26.038    70.600  26.039   
 70.750  26.040    70.900  26.041    71.050  26.043    71.200  26.045   
 71.350  26.048    71.500  26.050    71.650  26.053    71.800  26.056   
 71.950  26.060    72.100  26.063    72.250  26.067    72.400  26.072   
 72.550  26.076    72.700  26.081    72.850  26.086    73.000  26.092   
 73.150  26.098    73.300  26.103    73.450  26.110    73.600  26.116   
 73.750  26.123    73.900  26.130    74.050  26.138    74.200  26.145   
 74.350  26.153    74.500  26.162    74.650  26.170    74.800  26.179   
 74.950  26.188    75.100  26.198    75.250  26.208    75.400  26.218   
 75.550  26.228    75.700  26.239    75.850  26.250    76.000  26.261   
 76.150  26.272    76.300  26.284    76.450  26.296    76.600  26.309   
 76.750  26.322    76.900  26.335    77.050  26.348    77.200  26.362   
 77.350  26.376    77.500  26.391    77.650  26.405    77.800  26.420   
 77.950  26.436    78.100  26.451    78.250  26.467    78.400  26.484   
 78.550  26.500    78.700  26.517    78.850  26.535    79.000  26.552   
 79.150  26.570    79.300  26.589    79.450  26.608    79.600  26.627   
 79.750  26.646    79.900  26.666    80.050  26.686    80.200  26.707   
 80.350  26.728    80.500  26.749    80.650  26.771    80.800  26.793   
 80.950  26.815    81.100  26.838    81.250  26.861    81.400  26.885   
 81.550  26.909    81.700  26.933    81.850  26.958    82.000  26.983   
 82.150  27.008    82.300  27.034    82.450  27.061    82.600  27.088   
 82.750  27.115    82.900  27.143    83.050  27.171    83.200  27.199   
 83.350  27.228    83.500  27.258    83.650  27.288    83.800  27.318   
 83.950  27.349    84.100  27.380    84.250  27.412    84.400  27.445   
 84.550  27.477    84.700  27.511    84.850  27.544    85.000  27.579   
 85.150  27.614    85.300  27.649    85.450  27.685    85.600  27.721   
 85.750  27.758    85.900  27.796    86.050  27.834    86.200  27.872   
 86.350  27.911    86.500  27.951    86.650  27.991    86.800  28.032   
 86.950  28.074    87.100  28.116    87.250  28.159    87.400  28.202   
 87.550  28.246    87.700  28.291    87.850  28.336    88.000  28.382   
 88.150  28.429    88.300  28.477    88.450  28.525    88.600  28.573   
 88.750  28.623    88.900  28.673    89.050  28.724    89.200  28.776   
 89.350  28.829    89.500  28.882    89.650  28.936    89.800  28.992   
 89.950  29.047    90.100  29.104    90.250  29.162    90.400  29.220   
 90.550  29.280    90.700  29.340   ] scurve 
[  90.700  29.340    90.850  29.401    91.000  29.464    91.150  29.527   
 91.300  29.591    91.450  29.656    91.600  29.722    91.750  29.790   
 91.900  29.858    92.050  29.928    92.200  29.999    92.350  30.070   
 92.500  30.143    92.650  30.218    92.800  30.293    92.950  30.370   
 93.100  30.448    93.250  30.528    93.400  30.609    93.550  30.691   
 93.700  30.775    93.850  30.860    94.000  30.947    94.150  31.035   
 94.300  31.125    94.450  31.217    94.600  31.310    94.750  31.406   
 94.900  31.503    95.050  31.602    95.200  31.703    95.350  31.806   
 95.500  31.911    95.650  32.018    95.800  32.128    95.950  32.240   
 96.100  32.354    96.250  32.471    96.400  32.591    96.550  32.713   
 96.700  32.838    96.850  32.967    97.000  33.098    97.150  33.233   
 97.300  33.372    97.450  33.514    97.600  33.660    97.750  33.810   
 97.900  33.965    98.050  34.125    98.200  34.290    98.350  34.460   
 98.500  34.637    98.650  34.820    98.800  35.011    98.950  35.210   
 99.100  35.419    99.250  35.638    99.400  35.870    99.550  36.119   
 99.700  36.388    99.850  36.690   ] scurve
  0.114 setlinewidth
 40.000  37.080 moveto 
  8.000 -90.000 vector 
100.000  37.080 moveto 
  8.000 -90.000 vector 
[   2.000   1.000 ] 0 setdash 
 32.000  37.080 lineto 
stroke 
 70.000  26.040 moveto 
 32.000  26.040 lineto 
stroke 
 40.000  17.000 moveto 
 40.000  28.000 lineto 
stroke 
 70.000  17.000 moveto 
 70.000  26.000 lineto 
stroke 
100.000  17.000 moveto 
100.000  28.000 lineto 
stroke}
\LabelTeX   39.000  11.000 $a$\ELTX
\LabelTeX   99.000  11.000 $b$\ELTX
\LabelTeX   67.000   9.000 $\dfrac{a+b}{2}$\ELTX
\LabelTeX  118.000  11.000 $x$\ELTX
\LabelTeX   27.000  11.000 $0$\ELTX
\LabelTeX   27.000  48.000 $y$\ELTX
\LabelTeX   82.000  23.000 $A(x)$\ELTX
\LabelTeX   15.000  36.000 $\dfrac{1}{e}(b-a)$\ELTX
\LabelTeX   13.500  25.000 $\dfrac{1}{2e}(b-a)$\ELTX
\EndFig

\noindent La fonction $A$ atteint donc son maximum $\Vert A\Vert=\dfrac{1}{e}(b-a)$
en $x=a$ ou $b$ et son minimum $\frac{1}{2e}(b-a)$ en $x=\dfrac{a+b}{2}$.
D'un point de vue pratique, il va en r\'esulter que la convergence de $p_n(x)$ est
en g\'en\'eral beaucoup moins bonne au voisinage des extr\'emit\'es $a,b$ qu'au
centre de l'intervalle.

\subsection 2.3.* Ph\'enom\`ene de Runge|

\noindent L'objet de ce paragraphe est de donner un exemple concret de fonction
analytique $f$ pour laquelle les polyn\^omes d'interpolation ne forment pas une
suite convergente. Nous consid\'erons pour cela la fonction
$$
f_{\alpha}(x)=\frac{1}{x^2+\alpha^2},\quad x\in[-1,1],
$$
o\`u $\alpha>0$ est un param\`etre.

\InsertFig 0.000 65.000 {
1 mm unit
 10.000  10.000 moveto 
110.000   0.000 vector 
 65.000   5.000 moveto 
 54.000  90.000 vector 
  0.350 setlinewidth 
 25.000  14.440 moveto 
[  25.000  14.444    27.000  14.866    29.000  15.348    31.000  15.900   
 33.000  16.536    35.000  17.273    37.000  18.130    39.000  19.132   
 41.000  20.309    43.000  21.696    45.000  23.333    47.000  25.267   
 49.000  27.544    51.000  30.202    53.000  33.256    55.000  36.667   
 57.000  40.303    59.000  43.898    61.000  47.037    63.000  49.216   
 65.000  50.000    67.000  49.216    69.000  47.037    71.000  43.898   
 73.000  40.303    75.000  36.667    77.000  33.256    79.000  30.202   
 81.000  27.544    83.000  25.267    85.000  23.333    87.000  21.696   
 89.000  20.309    91.000  19.132    93.000  18.130    95.000  17.273   
 97.000  16.536    99.000  15.900   101.000  15.348   103.000  14.866   
105.000  14.444 ] scurve
  0.113 setlinewidth 
[   1.500   0.750 ] 0 setdash 
 25.000 14.444 moveto
[ 25.000  14.444   25.800  37.120   26.600  42.212   27.400  38.752  
 28.200  32.155   29.000  25.410   29.800  19.938   30.600  16.207  
 31.400  14.150   32.200  13.445   33.000  13.688   33.800  14.495  
 34.600  15.554   35.400  16.642   36.200  17.622   37.000  18.430  
 37.800  19.058   38.600  19.533   39.400  19.904   40.200  20.223  
 41.000  20.541   41.800  20.900   42.600  21.328   43.400  21.842  
 44.200  22.447   45.000  23.141   45.800  23.915   46.600  24.758  
 47.400  25.660   48.200  26.612   49.000  27.608   49.800  28.645  
 50.600  29.727   51.400  30.856   52.200  32.038   53.000  33.277  
 53.800  34.574   54.600  35.931   55.400  37.339   56.200  38.789  
 57.000  40.263   57.800  41.739   58.600  43.188   59.400  44.580  
 60.200  45.880   61.000  47.054   61.800  48.068   62.600  48.892  
 63.400  49.501   64.200  49.874   65.000  50.000   65.800  49.874  
 66.600  49.501   67.400  48.892   68.200  48.068   69.000  47.054  
 69.800  45.880   70.600  44.580   71.400  43.188   72.200  41.739  
 73.000  40.263   73.800  38.789   74.600  37.339   75.400  35.931  
 76.200  34.574   77.000  33.277   77.800  32.038   78.600  30.856  
 79.400  29.727   80.200  28.645   81.000  27.608   81.800  26.612  
 82.600  25.660   83.400  24.758   84.200  23.915   85.000  23.141  
 85.800  22.447   86.600  21.842   87.400  21.328   88.200  20.900  
 89.000  20.541   89.800  20.223   90.600  19.904   91.400  19.533  
 92.200  19.058   93.000  18.430   93.800  17.622   94.600  16.642  
 95.400  15.554   96.200  14.495   97.000  13.688   97.800  13.445  
 98.600  14.150   99.400  16.207  100.200  19.938  101.000  25.410  
101.800  32.155  102.600  38.752  103.400  42.212  104.200  37.120  
105.000  14.444  ] scurve
 [] 0 setdash
105.000  10.000 moveto 
  0.700  90.000 indent 
 25.000  10.000 moveto 
  0.700  90.000 indent 
 25.000  11.500 moveto 
[   0.200   0.600 ] 0 setdash 
 25.000  14.440 lineto 
stroke 
105.000  11.500 moveto 
105.000  14.440 lineto 
stroke 
 65.000  50.000 moveto 
  0.700 disk}
\LabelTeX   62.000  58.000 $y$\ELTX
\LabelTeX   66.000  51.000 $1/\alpha^2$\ELTX
\LabelTeX   79.700  33.000 $f_\alpha$\ELTX
\LabelTeX   23.000   5.500 $-1$\ELTX
\LabelTeX   62.500   5.500 $0$\ELTX
\LabelTeX  104.000   5.500 $1$\ELTX
\LabelTeX  118.500   5.500 $x$\ELTX
\LabelTeX  106.000  36.000 $p_n$\ELTX
\LabelTeX  112.000  36.000 $(n=14)$\ELTX
\EndFig

Soit $p_n$ le polyn\^ome d'interpolation de $f$ aux points
$x_j=-1+j\dfrac{1}{n}$, $0\leq j\leq n$. On~a~ici
$$
f_{\alpha}(x)=\frac{1}{\alpha^2}\
\frac{1}{1+\dfrac{x^2}{\alpha^2}}=\frac{1}{\alpha^2}\sum_{k=0}^{+\infty}(-1)^k
\Big(\frac{x^2}{\alpha^2}\Big)^k 
$$
avec rayon de convergence $R=\alpha$. D'apr\`es le \S\ 2.1, on voit
donc que $p_n$ converge uniform\'ement vers $f_{\alpha}$ d\`es que
$\alpha>2\big(\frac{1}{2}+\frac{1}{e}\big)\simeq 1,74$. Qu'en est-il
si $\alpha$ est petit~?

\bigskip
\state Calcul de $p_n(x)$ -- | L'erreur d'interpolation est donn\'ee ici par
$$
f_{\alpha}(x)-p_n(x)=\frac{1}{x^2+\alpha^2}-p_n(x)=
\frac{1-(x^2+\alpha^2)p_n(x)}{x^2+\alpha^2}.
$$
Le polyn\^ome $1-(x^2+\alpha^2)p_n(x)$ est de degr\'e $\leq n+2$, nul aux points
$x_0,\dots,x_n$ (puisque $p_n$ interpole $f$) et \'egal \`a 1 aux points $\pm
i\alpha$. En particulier $1-(x^2+\alpha^2)p_n(x)$ est divisible par
$\pi_{n+1}(x)=\prod (x-x_j)$, le quotient \'etant de degr\'e 0 ou 1.
Examinons la parit\'e de ce quotient.

Comme les points $x_j$ sont r\'epartis sym\'etriquement par rapport \`a 0, le
polyn\^ome $p_n$ est toujours pair, tandis que $\pi_{n+1}$ est pair si $n$ est
impair et vice-versa. Le quotient est un bin\^ome $c_0+c_1x$, pair si $n$ est
impair, impair si $n$ est pair. Par cons\'equent
$$
1-(x^2+\alpha^2)p_n(x)=\cases{
\hfill c_0\cdot \pi_{n+1}(x)&si $n$ est impair,\hfill\cr
\noalign{\vskip3pt}
c_1x\cdot\pi_{n+1}(x)&si $n$ est pair.\hfill\cr
}
$$
En substituant $x=i\alpha$, on trouve $c_0=1/\pi_{n+1}(i\alpha)$ et
$c_1=1/i\alpha\pi_{n+1}(i\alpha)$, d'o\`u
$$
f_{\alpha}(x)-p_n(x)=\left\{\matrix{
\displaystyle
\dfrac{1}{x^2+\alpha^2}\ \dfrac{\pi_{n+1}(x)}{\pi_{n+1}(i\alpha)}\hfill&
\hbox{si $n$ est impair},\hfill\cr 
\noalign{\vskip3pt}
\displaystyle
\dfrac{x}{i\alpha(x^2+\alpha^2)}\ \dfrac{\pi_{n+1}(x)}{\pi_{n+1}(i\alpha)}
\hfill&\hbox{si $n$ est pair.}\hfill\cr}
\right.
$$
On va maintenant \'etudier tr\`es pr\'ecis\'ement la convergence ponctuelle de
$p_n(x)$, en utilisant les estimations du \S\ 2.2.

\bigskip
\state \'Etude de la convergence ponctuelle de la suite $p_n(x)$|

Si $x=\pm 1$, $p_n(x)=p_n(\pm 1)=f_{\alpha}(\pm 1)=\dfrac{1}{1+\alpha^2}$ est une
suite constante. On suppose donc dans la suite que $x$ est un point fix\'e dans
$]-1,1[$ et on cherche \`a obtenir une estimation de
$|\pi_{n+1}(x)/\pi_{n+1}(i\alpha)$. Pour $x=i\alpha$, la formule $({*}{*})$
du \S~2.2 montre qu'il existe des constantes $C_3,C_4>0$ telles que
$$
C_3A(i\alpha)^n\leq|\pi_{n+1}(i\alpha)|\leq C_4A(i\alpha)^n
$$
car $\alpha\leq|i\alpha-x_j|\leq\sqrt{\alpha^2+4}$ pour tout
$j\in\{-1,\dots,n+1\}$. De m\^eme pour $z=x\in\ ]-1,1[$, les
quantit\'es $|z-x_{i-1}|$ et $|z-x_{i+1}|$ sont du m\^eme ordre de
grandeur que $h=\dfrac{2}{n}$, tandis que $|z-x_{-1}|$ et
$|z-x_{n+1}|$ tendent respectivement vers $1+x$ et $1-x$. On a donc
des constantes positives $C_5,C_6,\dots$ telles que
$$
\eqalign{
C_5n\delta_n(x)A(x)^n&\leq |\pi_{n+1}(x)|\leq C_6n\delta_n(x)A(x)^n,\cr
C_7n\delta_n(x)\bigg(\dfrac{A(x)}{A(i\alpha)}\bigg)^n&\leq|f_{\alpha}(x)-p_n(x)|\leq
C_8n\delta_n(x)\bigg(\frac{A(x)}{A(i\alpha)}\bigg)^n.\cr 
}
$$
Les calculs du \S\ 2.2 donnent
$$
\eqalign{
A(x)&=\dfrac{1}{e}\ (1+x)^{\fracss{1+x}{2}}(1-x)^{\fracss{1-x}{2}},\cr
A(i\alpha)&=\exp\,\Big(\dfrac{1}{2}\int^1_{-1}\ln\,|i\alpha-x|dx\Big)=\exp\,\Big(
\frac{1}{4}\int^1_{-1}\ln\,(x^2+\alpha^2)dx\Big)\cr
&=\exp\,\Big(\dfrac{1}{2}\int^1_0\ln(x^2+\alpha^2)dx\Big)
=\frac{1}{e}\sqrt{1+\alpha^2}\,\exp\,\Big(\alpha\,{\rm
Arctg}\,\frac{1}{\alpha}\Big),\cr
}
$$
$\ln\,(x^2+\alpha^2)$ ayant pour primitive $x\,\ln\,(x^2+\alpha^2)-2x+\alpha\
{\rm Arctg}\,x/\alpha$. La fonction $\alpha\mapsto A(i\alpha)$ est strictement
croissante sur $]0,+\infty[$, avec  
$$ 
\lim_{\alpha\rightarrow
0}A(i\alpha)=\frac{1}{e},\quad \lim_{\alpha\rightarrow+\infty}A(i\alpha)=+\infty. 
$$
La valeur critique est la valeur $\alpha_0$ telle que
$$
A(i\alpha_0)=\sup_{x\in[-1,1]}A(x)=\frac{2}{e},
$$
soit $\alpha_0\simeq 0,526$. Pour $\alpha>\alpha_0$, la suite $(p_n)$ converge
ponctuellement (et m\^eme uniform\'ement) vers $f_{\alpha}$ sur $[-1,1]$.
Pour $\alpha<\alpha_0$, on a le sch\'ema suivant~:

\InsertFig 0.000 60.000 {
1 mm unit
  0.000   0.000 translate 
 10.000  10.000 moveto 
110.000   0.000 vector 
 65.000   0.000 moveto 
 50.000  90.000 vector 
 37.000   8.500 moveto 
 56.000   3.000 rect
 -1.500  60.000 hatch  newpath
  0.350 setlinewidth 
 37.000  10.000 moveto 
  3.000 180.000 brack 
 93.000  10.000 moveto 
  3.000   0.000 brack 
 25.000  39.430 moveto 
[  25.000  39.430    25.800  37.827    26.600  36.682    27.400  35.720   
 28.200  34.880    29.000  34.131    29.800  33.454    30.600  32.837   
 31.400  32.270    32.200  31.747    33.000  31.262    33.800  30.812   
 34.600  30.391    35.400  29.998    36.200  29.630    37.000  29.285   
 37.800  28.960    38.600  28.655    39.400  28.368    40.200  28.098   
 41.000  27.843    41.800  27.603    42.600  27.376    43.400  27.163   
 44.200  26.962    45.000  26.772    45.800  26.593    46.600  26.424   
 47.400  26.266    48.200  26.117    49.000  25.977    49.800  25.846   
 50.600  25.724    51.400  25.609    52.200  25.502    53.000  25.403   
 53.800  25.312    54.600  25.227    55.400  25.149    56.200  25.079   
 57.000  25.014    57.800  24.957    58.600  24.906    59.400  24.861   
 60.200  24.822    61.000  24.789    61.800  24.762    62.600  24.742   
 63.400  24.727    64.200  24.718    65.000  24.715    65.800  24.718   
 66.600  24.727    67.400  24.742    68.200  24.762    69.000  24.789   
 69.800  24.822    70.600  24.861    71.400  24.906    72.200  24.957   
 73.000  25.014    73.800  25.079    74.600  25.149    75.400  25.227   
 76.200  25.312    77.000  25.403    77.800  25.502    78.600  25.609   
 79.400  25.724    80.200  25.846    81.000  25.977    81.800  26.117   
 82.600  26.266    83.400  26.424    84.200  26.593    85.000  26.772   
 85.800  26.962    86.600  27.163    87.400  27.376    88.200  27.603   
 89.000  27.843    89.800  28.098    90.600  28.368    91.400  28.655   
 92.200  28.960    93.000  29.285    93.800  29.630    94.600  29.998   
 95.400  30.391    96.200  30.812    97.000  31.262    97.800  31.747   
 98.600  32.270    99.400  32.837   100.200  33.454   101.000  34.131   
101.800  34.880   102.600  35.720   103.400  36.682   104.200  37.827   
105.000  39.430   ] scurve 
  0.113 setlinewidth 
[   2.000   1.000 ] 0 setdash
 25.000  39.430 moveto
105.000  39.340 lineto
stroke 
 37.000  14.000 moveto 
 37.000  29.285 lineto 
stroke 
 37.000  29.285 moveto 
 93.000  29.285 lineto 
stroke 
 93.000  14.000 moveto 
 93.000  29.285 lineto 
stroke 
100.000  10.000 moveto 
  0.700 disk 
100.000  12.000 moveto 
100.000  31.500 lineto 
stroke 
100.000  33.300 moveto 
  0.700 disk 
 65.000  39.430 moveto 
  0.700 disk 
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  0.700 disk 
 65.000  24.715 moveto 
  0.700 disk 
 25.000  10.000 moveto 
[ ] 0 setdash 
  0.350 setlinewidth 
  0.700  90.000 indent 
105.000  10.000 moveto 
  0.700  90.000 indent}
\LabelTeX  102.000  31.000 $A(x)$\ELTX
\LabelTeX   66.000  31.000 $A(i\alpha)$\ELTX
\LabelTeX   66.000  41.000 $2/e$\ELTX
\LabelTeX   66.000  20.500 $1/e$\ELTX
\LabelTeX   22.800   5.000 $-1$\ELTX
\LabelTeX   62.500   5.000 $0$\ELTX
\LabelTeX   99.200   5.000 $x$\ELTX
\LabelTeX  104.200   5.000 $1$\ELTX
\LabelTeX   61.800  47.500 $y$\ELTX
\EndFig
\vskip5mm

\noindent $\bullet$ Si $A(x)<A(i\alpha)$ (intervalle ouvert hachur\'e),
$p_n(x)$ converge vers $f_{\alpha}(x)$.

\noindent $\bullet$ Si $x\in{}]-1,1[$ et $A(x)\geq A(i\alpha)$, la suite
$(p_n(x))$ diverge comme on le voit \`a l'aide du lemme suivant.

\bigskip
\majdeb
\state Lemme -- |  {\it Pour tout $n\in\bN^*$,
$$
\max\,(n\delta_n(x),(n+1)\delta_{n+1}(x))\geq\frac{1}{2}\,\min(1+x,1-x)>0.
$$}
\vskip-9pt
\par\majfin\par


\bigskip
Il existe en effet des indices $j,k$ tels que
$$
\eqalign{
\delta_n(x)&=|x-x_{j,n}|=\Big|x-\Big(-1+j\cdot\frac{2}{n}\Big)\Big|,\cr
\delta_{n+1}(x)&=|x-x_{k,n}|=\Big|x-\Big(-1+k\cdot\frac{2}{n+1}\Big)\Big|.\cr
}
$$
On obtient donc
$$
\max\,(n\delta_n(x),(n+1)\delta_{n+1}(x))\geq
\frac{1}{2}(n\delta_n(x)+(n+1)\delta_{n+1}(x)) 
$$
\vskip-12pt
$$
\eqalignno{
&\geq\frac{1}{2}\Big(|n(x+1)-2j|+|(n+1)(x+1)-2k|\Big)\cr
&\geq\frac{1}{2}\ |\hbox{diff\'erence}|=\frac{1}{2}\ |x+1-2k+2j|\cr
&\geq\frac{1}{2}\ \hbox{distance ($x$, entiers impairs dans $\bZ$)}\cr
&=\frac{1}{2}\ \min(|x-1|,|x+1|).&\hbox{\blacksquare}\cr
}
$$
Gr\^ace au lemme, on voit que
$$
\max\,\Big(|f_{\alpha}(x)-p_n(x)|\,,\,|f_{\alpha}(x)-p_{n+1}(x)|\Big)\geq
C\left(\frac{A(x)}{A(i\alpha)}\right)^n, 
$$
donc la suite $(|f_{\alpha}(x)-p_n(x)|)_{n\in\bN}$ n'est pas born\'ee si
$A(x)>A(i\alpha)$ et ne tend pas vers 0 si $A(x)=A(i\alpha)$.

Cet exemple montre donc que, m\^eme pour une fonction $f$ parfaitement
r\'eguli\`ere, il ne faut pas s'attendre \`a ce que les polyn\^omes d'interpolation
$p_n$ aux points \'equidistants convergent vers $f$ sur l'intervalle
d'interpolation.

\section 3. Meilleure approximation uniforme|

\subsection 3.1. Existence et unicit\'e du polyn\^ome de meilleure 
approximation\kern-1.6pt|

\noindent On munit l'espace vectoriel $\cC([a,b])$ des fonctions continues 
$f:[a,b]\rightarrow \bR$ de la norme uniforme
$$
\displaylines{
\Vert f\Vert=\sup_{x\in[a,b]}|f(x)|,\cr
}
$$
et de la distance uniforme associ\'ee $d(f,g)=\Vert f-g\Vert$. On note donc
$$
d(f,\cP_n)=\inf_{p\in\cP_n}\Vert f-p\Vert.
$$

\medskip
\majdeb
\state Th\'eor\`eme et d\'efinition -- |  {\it Pour tout $n\in\bN$, il
existe un unique polyn\^ome $q_n\in\cP_n$ qui r\'ealise le minimum de la
distance 
$$
\Vert f-q_n\Vert=d(f,\cP_n)
$$
Ce polyn\^ome est appel\'ee {\rm polyn\^ome de meilleure approximation 
uniforme de $f$ \`a l'ordre $n$.}}
\par\majfin\par

\bigskip
D\'emontrons d'abord l'existence de $q_n$. En approximant $f$ par $p=0$, on
voit que $d(f,\cP_n)\leq \Vert f\Vert$. L'ensemble des polyn\^omes $p\in\cP_n$
tels que $\Vert f-p\Vert\leq\Vert f\Vert$ est une partie ferm\'ee et born\'ee
$K\subset\cP_n$, non vide puisque $0\in K$. Comme $\cP_n$ est de
dimension finie, $K$ est une partie compacte, donc la fonction continue
$p\mapsto\Vert f-p\Vert$ atteint son inf en un point
$p=q_n\in K$.\hfill\blacksquare

\bigskip
Avant de prouver l'unicit\'e, nous introduisons une d\'efinition commode.

\bigskip
\majdeb
\state D\'efinition -- |  {\it On dit qu'une fonction $g\in\cC([a,b])$
\'equioscille sur $(k+1)$ points de $[a,b]$ s'il existe des points
$x_0<x_1<\dots<x_k$ dans $[a,b]$ tels que
$$
\forall i=0,1,\dots,k,\quad|g(x_i)|=\Vert g\Vert\quad{\rm et}\quad\forall
i=0,1,\dots,k-1,\quad g(x_{i+1})=-g(x_i). 
$$}
\vskip-\baselineskip
\majfin
\vskip\baselineskip

\InsertFig 0.000 60.000 {
1 mm unit 
 20.000   0.000 moveto 
 56.000  90.000 vector 
 10.000  30.000 moveto 
110.000   0.000 vector 
 20.000  50.000 moveto 
  0.350 setlinewidth 
  0.700   0.000 indent 
 20.000  10.000 moveto 
  0.700   0.000 indent 
 21.800  50.000 moveto 
  0.113 setlinewidth 
[   6.000   1.500   0.750   1.500 ] 0 setdash 
111.800  50.000 lineto 
stroke 
 21.800  10.000 moveto 
111.800  10.000 lineto 
stroke 
 30.000  43.000 moveto 
  0.350 setlinewidth 
[ ] 0 setdash 
 30.000  43.000 moveto 
[  30.000  43.000   33.000  48.000  35.000  50.000   37.000  48.000
 39.000  43.000   40.000  41.000   41.000  42.000   44.000  45.000
 46.000  43.000   49.000  29.000   51.000  17.000   53.000  10.000
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 75.000  30.000   78.000  15.000   81.000  10.000   84.000  15.000
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108.000  46.000  110.000  38.000  ] curve 
stroke 
110.000  38.000 moveto 
  0.700 disk 
 30.000  43.000 moveto 
  0.700 disk 
 30.000  30.000 moveto 
  0.700  90.000 indent 
 35.000  30.000 moveto 
  0.700  90.000 indent 
 52.500  30.000 moveto 
  0.700  90.000 indent 
 68.500  30.000 moveto 
  0.700  90.000 indent 
 81.000  30.000 moveto 
  0.700  90.000 indent 
104.500  30.000 moveto 
  0.700  90.000 indent 
110.000  30.000 moveto 
  0.700  90.000 indent 
  0.113 setlinewidth 
[   2.000   1.000 ] 0 setdash 
 30.000  31.500 moveto 
 30.000  42.500 lineto 
stroke 
 35.000  31.500 moveto 
 35.000  50.000 lineto 
stroke 
 52.500  28.500 moveto 
 52.500  10.000 lineto 
stroke 
 68.500  31.500 moveto 
 68.500  50.000 lineto 
stroke 
 81.000  28.500 moveto 
 81.000  10.000 lineto 
stroke 
104.500  31.500 moveto 
104.500  50.000 lineto 
stroke 
110.000  31.500 moveto 
110.000  37.500 lineto 
stroke}
\LabelTeX   28.800  26.700 $a$\ELTX
\LabelTeX   33.600  26.700 $x_0$\ELTX
\LabelTeX   53.500  26.700 $x_1$\ELTX
\LabelTeX   67.100  26.700 $x_2$\ELTX
\LabelTeX   81.700  26.700 $x_3$\ELTX
\LabelTeX  103.400  26.700 $x_4$\ELTX
\LabelTeX  110.000  26.700 $b$\ELTX
\LabelTeX  118.200  26.700 $x$\ELTX
\LabelTeX   17.000  26.700 $0$\ELTX
\LabelTeX   16.700  54.500 $y$\ELTX
\LabelTeX   12.500  48.500 $\|g\|$\ELTX
\LabelTeX   10.000   9.500 $-\|g\|$\ELTX
\LabelTeX   49.100  40.500 $\hbox{\twelvebfit g}$\ELTX
\EndFig
\vskip5mm

\medskip
\noindent{\prem Preuve de l'unicit\'e.*} 
Montrons que si $p\in\cP_n$ est un polyn\^ome r\'ealisant le minimum
de la distance $\Vert f-p\Vert$, alors $g=f-p$ \'equioscille sur $n+2$
points de $[a,b]$. Si ce n'est pas le cas, soit
$$
x_0=\inf\,\{x\in[a,b]\,;\;|g(x)|=\Vert g\Vert\}
$$
le premier point en lequel $g$ atteint sa valeur absolue maximum, puis $x_1$ le
premier point $>x_0$ en lequel $g(x_1)=-g(x_0),\dots,x_{i+1}$ le premier point
$>x_i$ en lequel $g(x_{i+1})=-g(x_i)$. Supposons que cette suite s'arr\^ete en
$i=k\leq n$. D'apr\`es le th\'eor\`eme des valeurs interm\'ediaires, $g$ s'annule
n\'ecessairement sur chaque intervalle $[x_{i-1},x_i]$. Soit $c_i\in[x_{i-1},x_i]$
le plus grand r\'eel de cet intervalle tel que $g(c_i)=0$, de sorte que
$$
a\leq x_0<c_1<x_1<c_2<\dots<x_{k-1}<c_k<x_k\leq b.
$$
Supposons par exemple $g(x_0)>0$ et posons
$$
\eqalign{
\pi(x)&=(c_1-x)(c_2-x)\dots(c_k-x),\quad \pi\in\cP_n,\cr
g_{\varepsilon}(x)&=g(x)-\varepsilon\pi(x)=f(x)-(p(x)+\varepsilon\pi(x)).\cr
} 
$$
On va montrer que $\Vert g_{\varepsilon}\Vert<\Vert g\Vert$ pour $\varepsilon>0$
assez petit, ce qui contredira la minimalit\'e de $\Vert f-p\Vert$. Par
construction, on a signe$(g(x_i))=(-1)^i$ et
$$
\eqalign{
-\Vert g\Vert&<g(x)\leq\Vert g\Vert\quad{\rm sur}\quad [a,x_0],\cr
-\Vert g\Vert&\leq (-1)^ig(x)<\Vert g\Vert\quad{\rm sur}\quad [x_{i-1},c_i]\cr
}
$$
(si on avait seulement $\leq$ au lieu de $<$, alors on aurait $x_i\leq c_i$),
$$
0\leq(-1)^ig(x)\leq \Vert g\Vert\quad{\rm sur}\quad[c_i,x_i]
$$
(si on avait une valeur $<0$, $g(x)$ s'annulerait sur $]c_i,x_i[$),
$$
-\Vert g\Vert<(-1)^kg(x)\leq\Vert g\Vert\quad{\rm sur}\quad[x_k,b]
$$
(si on avait seulement $\leq$ au lieu de $<$, il y aurait un point $x_{k+1}$).

\medskip
Il existe donc une constante $A<\Vert g\Vert$ positive telle que $g(x)\geq -A$ sur
$[a,x_0]$, $(-1)^ig(x)\leq A$ sur $[x_{i-1},c_i]$ et $(-1)^kg(x)\geq -A$ sur
$[x_k,b]$. En notant $M=\sup_{[a,b]}|\pi(x)|$ et en tenant compte du
fait que signe$(\pi(x))=(-1)^i$ sur $]c_i,c_{i+1}[$, on obtient donc
$$
\matrix{
-A-\varepsilon M\leq g_{\varepsilon}(x)<\Vert g\Vert\hfill&{\rm
sur}\quad[a,x_0],\hfill\cr -\Vert g\Vert<(-1)^ig_{\varepsilon}(x)\leq A+\varepsilon
M\hfill&{\rm sur}\quad[x_{i-1},c_i],\hfill\cr
-\varepsilon M\leq(-1)^ig_{\varepsilon}(x)<\Vert g\Vert\hfill&{\rm
sur}\quad[c_i,x_i],\hfill\cr
-A-\varepsilon M\leq (-1)^kg_{\varepsilon}(x)<\Vert g\Vert\hfill&{\rm
sur}\quad[x_k,b],\hfill\cr 
}
$$
ce qui implique $\Vert g_{\varepsilon}\Vert<\Vert g\Vert$ d\`es que $\varepsilon$
est assez petit. Cette contradiction entra\^{\i}ne $k\geq n+1$, ce qu'il fallait
d\'emontrer.

Pour v\'erifier l'unicit\'e de $p$, il suffit de montrer que pour tout polyn\^ome
$q\in\cP_n$, $q\not=p$, il existe un point $x_i$ avec $0\leq i\leq n+1$ tel que
$$
(-1)^i(f(x_i)-q(x_i))>(-1)^i(f(x_i)-p(x_i))~;
$$
ceci entra\^{\i}nera en particulier $\Vert f-q\Vert>\Vert f-p\Vert$. Sinon, pour
tout $i=0,1,\dots,n+1$ on aurait
$$
(-1)^i(p(x_i)-q(x_i))\leq 0.
$$
D'apr\`es le th\'eor\`eme des valeurs interm\'ediaires, il existerait un point
$\xi_i\in[x_i,x_{i+1}]$ tel que $p(\xi_i)-q(\xi_i)=0$ pour $i=0,1,\dots,n$. Si les
$\xi_i$ sont tous distincts, alors $p-q$ aurait $n+1$ racines, donc $p=q$
contrairement \`a l'hypoth\`ese. Or, on peut choisir $\xi_{i-1}<\xi_i$, sauf si
dans l'intervalle $[x_{i-1},x_{i+1}]$ le polyn\^ome $(-1)^i(p(x)-q(x))$ ne
s'annule qu'en $x=x_i$, auquel cas on doit prendre $\xi_{i-1}=x_i=\xi_i$. Dans ce
cas $(-1)^i(p(x)-q(x))$ reste $\geq 0$ sur $[x_{i-1},x_{i+1}]$ car son signe est
positif en $x=x_{i-1}$ et $x=x_{i+1}$. Ceci entra\^{\i}ne que $\xi_i=x_i$ est racine
au moins double de $p-q$, par suite $p-q$ aurait encore $n+1$ racines compte tenu
des multiplicit\'es, contradiction.\hfill\blacksquare

\medskip
Observons en outre que d'apr\`es la d\'emonstration pr\'ec\'edente, le
polyn\^ome de meilleure approximation uniforme se caract\'erise comme
suit~:

\bigskip
\majdeb
\state Caract\'erisation -- | {\it Pour $f\in\cC([a,b])$, le
polyn\^ome de meilleure approximation uniforme $q_n\in\cP_n$ de $f$
est l'unique polyn\^ome de degr\'e $\leq n$ tel que $f-q_n$
\'equioscille sur au moins $(n+2)$ points de $[a,b]$.}
\par\majfin\par

\bigskip
\state Exemple -- |  \'Ecrivons les polyn\^omes de Tchebychev sous la forme 
$$
2^{-n}t_{n+1}(x)=x^{n+1}-q_n(x)
$$
avec $q_n$ de degr\'e $\leq n$. Comme $t_{n+1}(\cos\,\theta)=\cos\,(n+1)\theta$
\'equioscille sur les $n+2$ points $\theta_i=i\ \frac{\pi}{n+1}$, $0\leq i\leq
n+1$, on en d\'eduit que $q_n(x)$ est le polyn\^ome de meilleure approximation
uniforme \`a l'ordre $n$ de $x^{n+1}$ sur $[-1,1]$. Autrement dit, $2^{-n}t_{n+1}$
est le polyn\^ome unitaire de degr\'e $n+1$ ayant la plus petite norme uniforme
possible sur $[-1,1]$~: cette norme vaut $2^{-n}$.


\subsection 3.2. Densit\'e des polyn\^omes dans $\cC([a,b])$|

\noindent Il est malheureusement tr\`es difficile en g\'en\'eral de 
d\'eterminer le polyn\^ome de meilleure approximation uniforme
$q_n$. C'est pourquoi nous allons \'etudier ici une m\'ethode beaucoup
plus explicite d'approximation.

\bigskip
\majdeb
\state D\'efinition -- |  {\it Si $f\in\cC([a,b])$, le {\it module de
continuit\'e} de $f$ est la fonction\hfill\break $\omega_f:$ $\bR_+\rightarrow\bR_+$
d\'efinie par 
$$
\omega_f(t)=\sup\,\{|f(x)-f(y)|\;;\quad 
x,y\in[a,b]\quad{\rm avec}\quad|x-y|\leq t\}.
$$}
\vskip-\baselineskip
\majfin
\vskip\baselineskip

Pour tous $x,y\in[a,b]$, on a alors
$$
|f(x)-f(y)|\leq\omega_f(|x-y|),
$$
de sorte que $\omega_f$ mesure quantitativement la continuit\'e de $f$.

\bigskip
\majdeb
\state Propri\'et\'es du module de continuit\'e|
\medskip
{\parindent1.7pc\it
\item{\rm(i)} $t\mapsto \omega_f(t)$ est une fonction croissante.
\vskip1pt
\item{\rm(ii)} $\displaystyle\lim_{t\rightarrow 0^+}\omega_f(t)=0$.
\vskip1pt
\item{\rm(iii)} Pour tous $t_1,t_2\in\bR_+$, $\omega_f(t_1+t_2)\leq
\omega_f(t_1)+\omega_f(t_2)$.
\vskip1pt
\item{\rm(iv)} Pour tout $n\in\bN$ et tout $t\in\bR_+$, $\omega_f(nt)\leq
n\,\omega_f(t)$.
\vskip1pt
\item{\rm(v)} Pour tout $\lambda\in\bR_+$ et tout $t\in\bR_+$, 
$\omega_f(\lambda t)\leq(\lambda+1)\omega_f(t)$.
}
\par\majfin\par

\bigskip
\noindent{\prem D\'emonstration.} (i) est \'evident, (ii) r\'esulte du fait 
que toute fonction continue sur $[a,b]$ y est uniform\'ement continue.

\noindent (iii) Soient $x,y\in[a,b]$ quelconques tels que $|x-y|\leq
t_1+t_2$. Il existe alors $z\in[x,y]$ tel que $|x-z|\leq t_1$ et $|z-y|\leq t_2$,
d'o\`u 
$$
|f(x)-f(y)|\leq|f(x)-f(z)|+|f(z)-f(y)|\leq\omega_f(t_1)+\omega_f(t_2).
$$ 
L'in\'egalit\'e (iii) s'en d\'eduit en prenant le sup sur $x,y$.

\noindent (iv) se d\'eduit imm\'ediatement de (iii) et (v) s'obtient en
appliquant (iv) \`a $n=E(\lambda)+1$.\hfill\blacksquare

\medskip Nous allons maintenant introduire les polyn\^omes {\it dits
de Jackson}, donnant une assez bonne approximation d'une fonction
continue quelconque. Pour tout entier $n\geq 2$, on consid\`ere le
polyn\^ome trigonom\'etrique $J_n\geq 0$ de degr\'e $n-2$
$$
J_n(\theta)=c_n\prod_{1\leq k\leq
n-2}\left(1-\cos\,\Big(\theta-\frac{2k+1}{n}\Big)\ \pi\right) 
$$
o\`u $c_n>0$ est fix\'ee telle que $J_n\big(\dfrac{\pi}{n}\big)=\dfrac{1}{2}$. En
changeant $k$ en $n-1-k$ on voit aussit\^ot que $J_n(-\theta)=J_n(\theta)$. De
plus, pour tout $k\in\bZ$, on a $J_n\big(\dfrac{2k+1}{n}\,\pi\big)=0$ si 
$k\not\equiv 0$ ou $-1$ (mod $n$), tandis que $J_n\big(\pm\dfrac{\pi}{n}\big)
=\dfrac{1}{2}$. Nous avons besoin du lemme suivant.

\bigskip
\majdeb
\state Lemme -- |  {\it Soit $P(\theta)=\sum_{|j|\leq
n-1}a_je^{ij\theta}$, $j\in\bZ$, un polyn\^ome trigonom\'etrique de 
degr\'e au plus $n-1$. Alors
$$
(\forall\theta\in\bR)\quad\sum_{0\leq k\leq
n-1}P\Big(\theta-k\,\frac{2\pi}{n}\Big)=na_0. 
$$}
\vskip-\baselineskip
\majfin
\vskip\baselineskip

En effet $\displaystyle\sum_{0\leq k\leq n-1}e^{ij(\theta-k2\pi/n)}
=e^{ij\theta}\frac{1-e^{-ijn2\pi/n}}{1-e^{-ij2\pi/n}}=0$
si $j\not\equiv 0$ (mod $n$), et la somme vaut $n$ si $j=0$.\hfill\blacksquare

\medskip
Comme $J_n(\theta)$ et $J_n(\theta)(1-\cos\,\theta)$ sont des polyn\^omes
trigonom\'etriques de degr\'e $n-2$ et $n-1$ respectivement, on en 
d\'eduit que
$$
\eqalign{
&\sum_{0\leq k\leq n-1}J_n\Big(\theta-k\,\frac{2\pi}{n}\Big)=1,\cr
&\sum_{0\leq k\leq
n-1}J_n\Big(\theta-k\,\frac{2\pi}{n}\Big)\Big(1-\cos\Big(\theta-k\,\frac{2\pi}{n}
\Big)\Big)=1-\cos\,\frac{\pi}{n}~;\cr 
}
$$
en effet, d'apr\`es le lemme, ces sommes sont des constantes et pour
$\theta=-\dfrac{\pi}{n}$ la d\'efinition de $J_n(\theta)$ montre que
$J_n\big(\theta-k\,\dfrac{2\pi}{n}\big)=0$ sauf pour $k=0$ et $k=n-1$, 
auquel cas $J_n\big(\theta-k\,\dfrac{2\pi}{n}\big)=\dfrac{1}{2}$.
Observons de plus que
$$
\eqalign{
\Big|\cos\,\theta-\cos\,k\,\frac{2\pi}{n}\Big|^2&=\Big|\Re\,(e^{i\theta}-
e^{ik\,{2\pi}/{n}})\Big|^2\cr
&\leq\Big|e^{i\theta}-e^{ik\,{2\pi}/{n}}\Big|^2=\Big|e^{i\big(\theta-k\,
{2\pi}/{n}\big)}-1\Big|^2\cr
&= 2\Big(1-\cos\Big(\theta-k\,\frac{2\pi}{n}\Big)\Big).\cr
}
$$
En appliquant l'in\'egalit\'e de Cauchy-Schwarz $|\sum a_kb_k|\leq(\sum
a^2_k)^{1/2}(\sum b^2_k)^{1/2}$ aux quantit\'es
$$
a_k=J_n\Big(\theta-k\,\frac{2\pi}{n}\Big)^{1/2},\quad
b_k=J_n\Big(\theta-k\,\frac{2\pi}{n}\Big)^{1/2}\Big|\cos\,\theta-\cos\,k\,
\frac{2\pi}{n}\Big|, 
$$
on en d\'eduit
$$
\eqalignno{
\sum_{0\leq k\leq
n-1}&J_n\Big(\theta-k\,\frac{2\pi}{n}\Big)\Big|\cos\,\theta-\cos\,k\,
\frac{2\pi}{n}\Big|\cr
&\leq\left(\sum J_n\Big(\theta-k\,\frac{2\pi}{n}\Big)\right)^{1/2}\cdot
\left(\sum
J_n\Big(\theta-k\,\frac{2\pi}{n}\Big)\left|\cos\,\theta-\cos\,k\,\frac{2\pi}{n}
\right|^2\right)^{1/2}\cr
&\leq\left(2\sum
J_n\Big(\theta-k\,\frac{2\pi}{n}\Big)\Big(1-\cos\Big(\theta-k\,\frac{2\pi}{n}
\Big)\Big)\right)^{1/2}\cr
&\leq\left(2\Big(1-\cos\,\frac{\pi}{n}\Big)\right)^{1/2}=2\,\sin\,\frac{\pi}{2n}\leq
\frac{\pi}{n}.&(*)\cr 
} $$
Soit maintenant $f\in\cC([-1,1])$ une fonction continue quelconque. On lui
associe le polyn\^ome trigonom\'etrique de degr\'e $\leq n-2$
$$
\varphi_n(\theta)=\sum_{0\leq k\leq
n-1}f\Big(\cos\,k\,\frac{2\pi}{n}\Big)J_n\Big(\theta-k\,\frac{2\pi}{n}\Big). 
$$
En changeant $k$ en $n-k$ pour $1\leq k\leq n-1$, on voit que
$\varphi_n(-\theta)=\varphi_n(\theta)$, par cons\'equent $\varphi_n(\theta)$ est
combinaison lin\'eaire des fonctions paires $1$, $\cos\,\theta$, $\dots$,\break
$\cos\,(n-2)\theta$. Comme celles-ci sont pr\'ecis\'ement donn\'ees par les
polyn\^omes de Tchebychev $t_k(\cos\,\theta)$, on voit qu'il existe un polyn\^ome
$p_{n-2}$ de degr\'e $\leq n-2$ tel que $\varphi_n(\theta)=p_{n-2}(\cos\,\theta)$.
Pour des raisons similaires, il existe un polyn\^ome $j_{n,k} (x)$ de degr\'e $\leq
n-2$ tel que
$$
\frac{1}{2}\
\left(J_n\Big(\theta+k\,\frac{2\pi}{n}\Big)+J_n\Big(\theta-k\,\frac{2\pi}{n}\Big)\right)
=j_{n,k}(\cos\,\theta).
$$
En observant que
$p_{n-2}(\cos\,\theta)=\frac{1}{2}\,\big(\varphi_n(\theta)+
\varphi_n(-\theta)\big)$ et en substituant $x=\cos\,\theta$, on peut 
exprimer explicitement le polyn\^ome $p_{n-2}$ \`a partir des $j_{n,k}$~: 
$$
p_{n-2}(x)=\sum_{0\leq k\leq
n-1}f\Big(\cos\,k\frac{2\pi}{n}\Big)j_{n,k}(x),\quad\forall x\in[-1,1]. 
$$
Ce polyn\^ome sera appel\'e polyn\^ome d'approximation de Jackson
de degr\'e $n-2$ de~$f$. Cela \'etant, nous avons le~:

\bigskip
\majdeb
\state Th\'eor\`eme de Jackson -- |  {\it Pour tout $f\in\cC([a,b])$, 
les polyn\^omes d'approxi\-ma\-tion de Jackson v\'erifient
$$
\Vert f-p_n\Vert\leq 3\,\omega_f\Big(\frac{b-a}{n+2}\Big).
$$}
\vskip-\baselineskip
\majfin
\vskip\baselineskip

\noindent{\prem D\'emonstration.}  Le cas d'un intervalle $[a,b]$ quelconque 
se ram\`ene facilement au cas o\`u $[a,b]=[-1,1]$, en utilisant le m\^eme
changement de variable qu'au \S\ 1.5. On suppose donc
$f\in\cC([-1,1])$ et on cherche \`a majorer
$$
\Vert f-p_{n-2}\Vert_{[-1,1]}=\sup_{\theta\in[0,\pi]}|f(\cos\,\theta)
-\varphi_n(\theta)|.
$$
La propri\'et\'e $\sum J_n\big(\theta-k\,\frac{2\pi}{n}\big)=1$
permet d'\'ecrire
$$
f(\cos\,\theta)=\sum_{0\leq k\leq
n-1}f(\cos\,\theta)J_n\Big(\theta-k\,\frac{2\pi}{n}\Big), 
$$
d'o\`u
$$
f(\cos\,\theta)-\varphi_n(\theta)=\sum_{0\leq k\leq
n-1}\left(f(\cos\,\theta)-f\Big(\cos\,k\frac{2\pi}{n}\Big)\right)
J_n\Big(\theta-k\,\frac{2\pi}{n}\Big) 
$$
par d\'efinition de $\varphi_n$. La propri\'et\'e (v) du module de
continuit\'e avec $t=\dfrac{2}{n}$ et $\lambda=\dfrac{n}{2}\ 
\Big|\cos\,\theta-\cos\,k\frac{2\pi}{n}\Big|$ implique
$$
\eqalign{
\Big|f(\cos\,\theta)-f\Big(\cos\,k\frac{2\pi}{k}\Big)\Big|&\leq
\omega_f(\lambda t)\cr 
&\leq
\Big(1+\frac{n}{2}\Big|\cos\,\theta-\cos\,k\frac{2\pi}{n}\Big|\Big)
\omega_f\Big(\frac{2}{n}\Big),\cr} 
$$
par cons\'equent l'in\'egalit\'e $(*)$ donne
$$
\eqalign{
|f(\cos\,\theta)-\varphi_n(\theta)|&\leq\left[\sum_{0\leq k\leq n-1}
J_n\Big(\theta-k\,\frac{2\pi}{n}\Big)\Big(1+\frac{n}{2}\Big|\cos\,
\theta-\cos\,k
\frac{2\pi}{n}\Big|\Big)\right]\omega_f\Big(\frac{2}{n}\Big)\cr
&\leq\Big(1+\frac{n}{2}\cdot\frac{\pi}{n}\Big)\omega_f\Big(\frac{2}{n}\Big).\cr
}
$$
On obtient donc finalement
$$
\Vert f-p_{n-2}\Vert\leq\Big(1+\frac{\pi}{2}\Big)\omega_f\Big(\frac{2}{n}
\Big)\leq 3\,\omega_f\Big(\frac{2}{n}\Big).\eqno\blacksquare 
$$
Il r\'esulte du th\'eor\`eme de Jackson que $(p_n)$ converge
uniform\'ement vers $f$ quand $n$ tend vers $+\infty$. Comme le
polyn\^ome de meilleure approximation $q_n$ satisfait par
d\'efinition $\Vert f-q_n\Vert\leq\Vert f-p_n\Vert$, on en
d\'eduit que $(q_n)$ converge uniform\'ement vers $f$ quand $n$ tend vers
$+\infty$. Ceci \'equivaut \`a l'\'enonc\'e suivant~:
\bigskip

\majdeb
\state Th\'eor\`eme de Weierstrass -- |  {\it L'espace $\cP$ 
des polyn\^omes est dense dans $\cC([a,b])$ pour la norme uniforme.}
\par\majfin\par

\section 4. Stabilit\'e num\'erique du proc\'ed\'e d'interpo\-lation
de Lagrange|

\subsection 4.1. Constante de Lebesgue associ\'ee aux points 
d'inter\-polation|

\noindent Soient $x_0,x_1,\dots,x_n\in[a,b]$ des points 2 \`a 2 distincts. On
consid\`ere l'op\'erateur d'interpolation de Lagrange
$$
\eqalign{
L_n:\ \cC([a,b])&\longrightarrow \cP_n\cr
f&\longmapsto p_n.\cr
}
$$
Dans la pratique, la fonction $f$ \`a interpoler n'est pas connue exactement~: on ne
dispose que d'une valeur approch\'ee $\widetilde f=f+g$, o\`u $g$ est un terme
d'erreur. Au lieu de calculer $p_n=L_n(f)$, on va donc calculer
$\widetilde p_n=L_n(\widetilde f)=L_n(f)+L_n(g)=p_n+L_n(g).$

\noindent Si $g$ est l'erreur commise sur $f$, l'erreur sur $p_n$ sera donc $L_n(g)$.
D'un point de~vue num\'erique, il va \^etre tr\`es important de pouvoir estimer
$\Vert L_n(g)\Vert$ en fonction de $\Vert g\Vert$.

Rappelons la formule d'interpolation (*) d\'emontr\'ee au \S\ 1.1~: si $L_n(g)=r_n$,
alors
$$
r_n(x)=\sum_{i=0}^n g(x_i)l_i(x).
$$
On a donc
$$
|r_n(x)|\leq\left(\sum_{i=0}^n|l_i(x)|\right)\Vert g\Vert.
$$


\medskip
\majdeb
\state Th\'eor\`eme et d\'efinition -- |  {\it La norme de l'op\'erateur
d'interpolation $L_n$ est 
$$
\Lambda_n=\sup_{x\in[a,b]}\left(\sum_{i=0}|l_i(x)|\right).
$$
Le nombre $\Lambda_n$ est appel\'e {\it constante de Lebesgue} associ\'ee \`a
$x_0,x_1,\dots,x_n$.}
\par\majfin\par

\bigskip
\noindent{\prem D\'emonstration.} D'apr\`es ce qui pr\'ec\`ede, on a $\Vert
L_n(g)\Vert=\Vert r_n\Vert\leq\Lambda_n\Vert g\Vert$, donc
$\VVert L_n\VVert\leq\Lambda_n$. R\'eciproquement, la continuit\'e des $l_i$
entra\^{\i}ne qu'il existe un point $\xi\in[a,b]$ tel que
$\displaystyle\Lambda_n=\sum_{i=0}^n|l_i(\xi)|$. On peut trouver une
fonction $g\in\cC([a,b])$ affine par morceaux, telle que $\Vert g\Vert=1$
et $g(x_i)=\pm 1={\rm signe}\,(l_i(\xi))$. Alors
$$
L_n(g)(\xi)=\sum_{i=0}^n|l_i(\xi)|=\Lambda_n,
$$
de sorte que $\Vert L_n(g)\Vert\geq \Lambda_n$ et
$\VVert L_n\VVert\geq\Lambda_n$.\hfill\blacksquare 

\medskip
Intuitivement, la constante $\Lambda_n$ peut s'interpr\'eter comme le
facteur d'{\it ampli\-fi\-cation de l'erreur} dans le proc\'ed\'e
d'interpolation de Lagrange. On va voir que $\Lambda_n$ est \'egalement
li\'ee au probl\`eme de la convergence des polyn\^omes d'interpolation,
gr\^ace \`a l'in\'egalit\'e suivante~:

\bigskip
\majdeb
\state Th\'eor\`eme -- |  {\it Pour tout $f\in\cC([a,b])$, on a
$$
\Vert f-L_n(f)\Vert\leq(1+\Lambda_n)d(f,\cP_n).
$$}
\vskip-\baselineskip
\majfin
\vskip\baselineskip

\noindent{\prem D\'emonstration.} Soit $q_n$ le polyn\^ome de meilleure
approximation uniforme de $f$, de sorte que $\Vert f-q_n\Vert=d(f,\cP_n)$.
Puisque $q_n\in\cP_n$, on a $L_n(q_n)=q_n$, donc
$$
\eqalignno{
f-L_n(f)&=f-q_n-L_n(f-q_n)\cr
\Vert f-L_n(f)\Vert&\leq\Vert f-q_n\Vert+\Vert L_n(f-q_n)\Vert\cr
&\leq\Vert f-q_n\Vert+\Lambda_n\Vert f-q_n\Vert=(1+\Lambda_n)d(f,\cP_n).
&\blacksquare\cr 
}
$$


\subsection 4.2. Cas o\`u les points $x_i$ sont \'equidistants|

\noindent Posons $x_i=a+ih$, $0\leq i\leq n$ et $x=a+sh$, o\`u $s\in[0,n]$,
$h=\dfrac{b-a}{n}$. On a alors
$$
\eqalign{
l_i(x)&\prod_{j\not=i}\frac{(x-x_j)}{(x_i-x_j)}=\prod_{j\not=i}\frac{s-j}{i-j}\cr
&=(-1)^{n-i}\frac{s(s-1)\dots\widehat {(s-i)}\dots(s-n)}{i!(n-i)!},\cr
}
$$
o\`u $\widehat {s-i}$ d\'esigne un facteur omis. On peut d\'emontrer \`a partir de
l\`a que
$$
\Lambda_n\sim\frac{2^{n+1}}{en\,\ln\,(n)}.
$$
Nous nous contenterons de d\'emontrer une minoration de $\Lambda_n$. Pour
$s=\dfrac{1}{2}$, c'est-\`a-dire pour $x=a+\dfrac{h}{2}$, il vient
$$
\eqalign{
|l_i(x)|&=\frac{\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{3}{2}\dots\widehat
{\Big(i-\dfrac{1}{2}\Big)}\dots\Big(n-\dfrac{1}{2}\Big)}{i!(n-i)!}\cr 
&\geq\frac{1}{4}\cdot\frac{1\cdot 2\dots\widehat {(i-1)}\dots
(n-1)}{i!(n-i)!}\geq\frac{1}{4n^2}\ \frac{n!}{i!(n-i)!}.\cr 
}
$$
On en d\'eduit
$$
\Lambda_n\geq\sum_{i=0}^n|l_i(x)|\geq\frac{1}{4n^2}\sum_{i=0}^n
C^i_n=\frac{1}{4n^2}2^n. 
$$
Comme $\Lambda_n$ tend vers $+\infty$ assez rapidement, on voit que l'interpolation
de Lagrange en des points \'equidistants {\it n'est pas une m\'ethode num\'erique
tr\`es stable}~: les erreurs sont fortement amplifi\'ees lorsque $n$ est grand. Comme
$\Lambda_n$ tend en g\'en\'eral nettement plus vite vers $+\infty$ que $d(f,
\cP_n)$ ne tend vers 0 (cf.\ Th.\ de Jackson), le th\'eor\`eme ci-dessus donne
\'egalement une indication de la raison pour laquelle le ph\'enom\`ene de 
Runge se produit.

\bigskip
\majedeb
\state Exercice -- |  {\it Si $x=a+sh$ avec $s\in[k,k+1]$, $0\leq k<n$, montrer
que $|l_i(x)|\leq\dfrac{(n-k)!(k+1)!}{i!(n-i)!}\leq\dfrac{n!}{i!(n-i)!}$. En
d\'eduire que $\Lambda_n\leq 2^n$.}
\par\majefin\par

\subsection 4.3. Cas des points d'interpolation de Tchebychev|

\noindent Il est facile de voir que la constante $\Lambda_n$ reste inchang\'ee si
l'on effectue un changement affine de coordonn\'ees $x\mapsto\alpha
x+\beta$. On se placera donc pour simplifier sur l'intervalle
$[-1,1]$. Dans ce cas, comme $\pi_{n+1}(x)=2^{-n}t_{n+1}(x)$ d'apr\`es
le \S\ 1.5, le polyn\^ome d'interpolation d'une fonction
$f\in\cC([-1,1])$ est donn\'e par
$$
P_n(x)=\sum_{i=0}f(x_i)l_i(x)
$$
avec
$$
l_i(x)=\frac{\pi_{n+1}(x)}{(x-x_i)\pi'_{n+1}(x_i)}=\frac{t_{n+1}(x)}{(x-x_i)
t'_{n+1}(x_i)}.
$$

\bigskip
\majdeb
\state Estimation de la constante de Lebesgue -- |  On peut montrer que
$$
\Lambda_n\sim\frac{2}{\pi}\,\ln\,(n)\quad{\rm quand}\quad n\rightarrow+\infty.
$$
\vskip-12pt
\par\majfin\par


\bigskip
Nous nous contenterons de v\'erifier que $\Lambda_n\leq C\,\ln\,(n)$, o\`u 
$C$ est une constante positive, et laisserons au lecteur l'initiative de 
raffiner la m\'ethode pour obtenir le r\'esultat plus pr\'ecis ci-dessus.
Posons 
$$
x=\cos\,\theta,\quad
x_i=\cos\,\theta_i\quad\hbox{o\`u}\quad\theta_i=\frac{2i+1}{2n+2}\,\pi,\quad 
0\leq i\leq n. 
$$
La relation $t_{n+1}(\cos\,\theta)=\cos\,(n+1)\theta$ entra\^{\i}ne
par d\'erivation
$$
\sin\,\theta\, t'_{n+1}(\cos\,\theta)=(n+1)\,\sin\,(n+1)\theta.
$$
Comme $\sin\,(n+1)\ \theta_i=\sin\,(2i+1)\frac{\pi}{2}=(-1)^i$, il vient
$$
\eqalign{
t'_{n+1}(x_i)&=(n+1)\ \frac{(-1)^i}{\sin\,\theta_i},\cr
l_i(\cos\,\theta)&=\frac{(-1)^i\sin\,\theta_i\,\cos\,(n+1)\theta}{(n+1)(\cos\,
\theta-\cos\,\theta_i)},\cr
|l_i(\cos\,\theta)|&=\frac{|\sin\,\theta_i\,\cos\,(n+1)\,\theta|}{(n+1)|
\cos\,\theta-\cos\,\theta_i|}.\cr
}
$$
Minorons la quantit\'e
$$
\cos\,\theta-\cos\,\theta_i=-2\,\sin\,\frac{\theta-\theta_i}{2}\,\sin\,
\frac{\theta+\theta_i}{2}.
$$

\InsertFig 14.000 55.000 {
1 mm unit 
  0.000  10.000 moveto 
 90.000   0.000 vector 
 10.000   5.000 moveto 
 45.000  90.000 vector 
 10.000  10.000 moveto 
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  0.700   0.000 indent 
 10.000  10.000 moveto 
[  10.000  10.000    11.000  11.000    12.001  11.997    13.003  12.992   
 14.009  13.982    15.019  14.966    16.035  15.944    17.058  16.912   
 18.090  17.871    19.132  18.818    20.186  19.751    21.254  20.669   
 22.337  21.569    23.439  22.450    24.560  23.308    25.706  24.140   
 26.877  24.944    28.079  25.715    29.314  26.449    30.589  27.140   
 31.909  27.783    33.281  28.368    34.714  28.888    36.219  29.329   
 37.811  29.676    39.507  29.909    41.333  30.000    43.324  29.909   
 45.150  29.652    46.837  29.270    48.415  28.788    49.904  28.226   
 51.321  27.597    52.676  26.913    53.980  26.181    55.240  25.410   
 56.461  24.603    57.650  23.766    58.809  22.902    59.942  22.016   
 61.054  21.109    62.146  20.185    63.221  19.245    64.281  18.293   
 65.328  17.329    66.364  16.356    67.390  15.374    68.409  14.387   
 69.422  13.394    70.429  12.397    71.432  11.398    72.434  10.398   
 72.832  10.000   ] scurve 
 11.500  30.000 moveto 
[   2.000   1.000 ] 0 setdash 
  0.113 setlinewidth 
 41.416  30.000 lineto 
stroke 
 41.416  11.500 moveto 
 41.416  30.000 lineto 
stroke}
\LabelTeX    7.000   6.000 $0$\ELTX
\LabelTeX   39.000   6.000 $\pi/2$\ELTX
\LabelTeX   72.000   6.000 $\pi$\ELTX
\LabelTeX   87.900   6.000 $t$\ELTX
\LabelTeX    6.800  29.000 $1$\ELTX
\LabelTeX    6.800  48.000 $y$\ELTX
\LabelTeX   61.500  39.000 $y=\dfrac{2}{\pi}\,t$\ELTX
\LabelTeX   61.500  24.000 $y=\sin t$\ELTX
\EndFig

\noindent Pour $t\in\Big[0,\dfrac{\pi}{2}\Big]$ on a $\sin\,t\geq
\dfrac{2}{\pi}\,t$, or 
$$
\frac{\theta-\theta_i}{2}\in\Big[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\Big],\quad{\rm
donc}\quad \Big|\sin\,\frac{\theta-\theta_i}{2}\Big|\geq\frac{2}{\pi}\
\frac{|\theta-\theta_i|}{2}. 
$$
Par ailleurs
$\dfrac{\theta+\theta_i}{2}\in\Big[\dfrac{\theta_i}{2},\dfrac{\theta_i+\pi}{2}\Big]$
avec $\dfrac{\theta_i}{2}\leq\dfrac{\pi}{2}$ et
$\dfrac{\theta_i+\pi}{2}\geq\dfrac{\pi}{2}$, donc
$$
\Big|\sin\,\frac{\theta+\theta_i}{2}\Big|\geq\min\,\Big(\sin\,\frac{\theta_i}{2},
\sin\,\frac{\theta_i+\pi}{2}\Big)=\min\,\Big(\sin\,\frac{\theta_i}{2},\cos\,
\frac{\theta_i}{2}\Big).
$$
Comme $\sin\,\theta_i=2\,\sin\,\dfrac{\theta_i}{2}\,\cos\,\dfrac{\theta_i}{2}\leq
2\,\min\Big(\sin\,\dfrac{\theta_i}{2},\cos\,\dfrac{\theta_i}{2}\Big)$, on obtient
$$
|l_i(\cos\,\theta)|\leq\pi\frac{|\cos\,(n+1)\theta|}{(n+1)|\theta-\theta_i|}.\eqno(*)
$$
D'apr\`es le th\'eor\`eme des accroissements finis
$$
\eqalign{
&\cos\,(n+1)\theta=\cos\,(n+1)\theta-\cos\,(n+1)\theta_i=(n+1)(\theta-\theta_i)
(-\sin\,\xi),\cr
&|\cos\,(n+1)\theta|\leq(n+1)|\theta-\theta_i|,\cr
}
$$
donc $|l_i(\cos\,\theta)|\leq\pi$, $\forall \theta\in[0,\pi]\setminus\{\theta_i\}$,
et ceci est encore vrai par continuit\'e si $\theta=\theta_i$.

\noindent Fixons $\theta\in[0,\pi]$ et soit $\theta_j$ le point le plus proche de
$\theta$. Si on note $h=\dfrac{\pi}{n+1}=\theta_{i+1}-\theta_i$, alors on a
$$
\eqalign{
|\theta-\theta_j|&\leq\frac{h}{2},\cr
|\theta-\theta_i|&\geq|\theta_j-\theta_i|-|\theta-\theta_j|\geq(|j-i|-1)h.\cr
}
$$
L'in\'egalit\'e $(*)$ donne
$$
\sum_{i=0}^n|l_i(\cos\,\theta)|\leq\frac{\pi}{(n+1)h}\sum_{j\not=i,i+1,i-1}
\frac{1}{|j-i|-1}+3\pi,
$$
d'o\`u $\Lambda_n\leq 2\Big(1+\dfrac{1}{2}+\dots+\dfrac{1}{n}\Big)+3\pi\leq
C\,\ln\,(n)$.\hfill\blacksquare

\bigskip
\majedeb
\state Exercice -- |  {\it Montrer inversement que
$$
\sum_{i=0}^n|l_i(1)|=\frac{1}{n+1}\sum_{i=0}^n\cotg\,\frac{\theta_i}{2}\geq
\frac{2}{\pi}\int^{\pi/2}_{\theta_0/2}\cotg\,t\,dt\geq\frac{2}{\pi}
\,\ln\,(n).
$$}
\vskip-\baselineskip
\majefin
\vskip\baselineskip

D'apr\`es le th\'eor\`eme du \S\ 4.1 et le th\'eor\`eme de Jackson, on obtient pour
tout $f\in\cC([a,b])$~:
$$
\Vert f-L_n(f)\Vert\leq (1+\Lambda_n)d(f,\cP_n)\leq
C'\,\ln\,(n)\cdot\omega_f\Big(\frac{b-a}{n+2}\Big). 
$$

\bigskip
\majdeb
\state Corollaire -- |  {\it On suppose que $f$ est lipschitzienne,
c'est-\`a-dire qu'il existe une constante $K\geq 0$ telle que 
$\forall x,y\in[a,b]$ on ait $|f(x)-f(y)|\leq K(x-y)$.\hfill\break
Alors la suite $L_n(f)$ des polyn\^omes d'interpolation de Tchebychev converge
uniform\'ement vers $f$ sur $[a,b]$.}
\par\majfin\par

\bigskip
Sous ces hypoth\`eses on a en effet $\omega_f(t)\leq Kt$, donc
$$
\Vert f-L_n(f)\Vert\leq KC'(b-a)\ \frac{\ln\,(n)}{n+2},
$$
ce qui tend vers 0 quand $n$ tend vers $+\infty$.\hfill\blacksquare

\medskip
Ces r\'esultats montrent que {\it l'interpolation aux points de Tchebychev est
consid\'erablement plus fiable que l'interpolation en des points \'equidistants.}
Le sch\'ema ci-dessous compare \`a titre d'exemple les polyn\^omes d'interpolation
de degr\'e 6 associ\'es \`a la fonction $f_x(x)=1/(x^2+\alpha^2)$ pour
$\alpha=\sqrt{8}$ (voir aussi le \S 2.3).

\InsertFig 0.000 72.000 {
1 mm unit 
 10.000  10.000 moveto 
110.000   0.000 vector 
 65.000   0.000 moveto 
 59.000  90.000 vector 
  0.350 setlinewidth 
105.000  10.000 moveto 
  0.700  90.000 indent 
 25.000  10.000 moveto 
  0.700  90.000 indent 
 65.000  50.000 moveto 
 25.000  14.440 moveto 
[  25.000  14.444    27.000  14.866    29.000  15.348    31.000  15.900   
 33.000  16.536    35.000  17.273    37.000  18.130    39.000  19.132   
 41.000  20.309    43.000  21.696    45.000  23.333    47.000  25.267   
 49.000  27.544    51.000  30.202    53.000  33.256    55.000  36.667   
 57.000  40.303    59.000  43.898    61.000  47.037    63.000  49.216   
 65.000  50.000    67.000  49.216    69.000  47.037    71.000  43.898   
 73.000  40.303    75.000  36.667    77.000  33.256    79.000  30.202   
 81.000  27.544    83.000  25.267    85.000  23.333    87.000  21.696   
 89.000  20.309    91.000  19.132    93.000  18.130    95.000  17.273   
 97.000  16.536    99.000  15.900   101.000  15.348   103.000  14.866   
105.000  14.444 ] scurve
  0.113 setlinewidth 
[   1.500   0.750 ] 0 setdash 
 25.000  14.444  moveto
[ 25.000  14.444   25.800   8.065   26.600   4.257   27.400   2.428  
 28.200   2.081   29.000   2.805   29.800   4.257   30.600   6.164  
 31.400   8.307   32.200  10.518   33.000  12.669   33.800  14.672  
 34.600  16.466   35.400  18.017   36.200  19.311   37.000  20.353  
 37.800  21.159   38.600  21.754   39.400  22.171   40.200  22.448  
 41.000  22.625   41.800  22.741   42.600  22.835   43.400  22.944  
 44.200  23.100   45.000  23.333   45.800  23.668   46.600  24.122  
 47.400  24.711   48.200  25.442   49.000  26.319   49.800  27.340  
 50.600  28.499   51.400  29.785   52.200  31.182   53.000  32.673  
 53.800  34.237   54.600  35.850   55.400  37.486   56.200  39.121  
 57.000  40.726   57.800  42.275   58.600  43.742   59.400  45.103  
 60.200  46.333   61.000  47.413   61.800  48.322   62.600  49.047  
 63.400  49.573   64.200  49.893   65.000  50.000   65.800  49.893  
 66.600  49.573   67.400  49.047   68.200  48.322   69.000  47.413  
 69.800  46.333   70.600  45.103   71.400  43.742   72.200  42.275  
 73.000  40.726   73.800  39.121   74.600  37.486   75.400  35.850  
 76.200  34.237   77.000  32.673   77.800  31.182   78.600  29.785  
 79.400  28.499   80.200  27.340   81.000  26.319   81.800  25.442  
 82.600  24.711   83.400  24.122   84.200  23.668   85.000  23.333  
 85.800  23.100   86.600  22.944   87.400  22.835   88.200  22.741  
 89.000  22.625   89.800  22.448   90.600  22.171   91.400  21.754  
 92.200  21.159   93.000  20.353   93.800  19.311   94.600  18.017  
 95.400  16.466   96.200  14.672   97.000  12.669   97.800  10.518  
 98.600   8.307   99.400   6.164  100.200   4.257  101.000   2.805  
101.800   2.081  102.600   2.428  103.400   4.257  104.200   8.065  
105.000  14.444 ] scurve
[ 0.3  0.6 ] 0  setdash
 25.000  15.558 moveto
[ 25.000  15.558   25.800  14.346   26.600  13.821   27.400  13.790  
 28.200  14.097   29.000  14.615   29.800  15.247   30.600  15.917  
 31.400  16.570   32.200  17.169   33.000  17.691   33.800  18.124  
 34.600  18.466   35.400  18.725   36.200  18.912   37.000  19.043  
 37.800  19.138   38.600  19.218   39.400  19.304   40.200  19.417  
 41.000  19.578   41.800  19.805   42.600  20.114   43.400  20.521  
 44.200  21.034   45.000  21.663   45.800  22.413   46.600  23.285  
 47.400  24.278   48.200  25.388   49.000  26.607   49.800  27.927  
 50.600  29.334   51.400  30.816   52.200  32.355   53.000  33.935  
 53.800  35.538   54.600  37.143   55.400  38.731   56.200  40.282  
 57.000  41.777   57.800  43.196   58.600  44.521   59.400  45.734  
 60.200  46.820   61.000  47.765   61.800  48.555   62.600  49.181  
 63.400  49.634   64.200  49.908   65.000  50.000   65.800  49.908  
 66.600  49.634   67.400  49.181   68.200  48.555   69.000  47.765  
 69.800  46.820   70.600  45.734   71.400  44.521   72.200  43.196  
 73.000  41.777   73.800  40.282   74.600  38.731   75.400  37.143  
 76.200  35.538   77.000  33.935   77.800  32.355   78.600  30.816  
 79.400  29.334   80.200  27.927   81.000  26.607   81.800  25.388  
 82.600  24.278   83.400  23.285   84.200  22.413   85.000  21.663  
 85.800  21.034   86.600  20.521   87.400  20.114   88.200  19.805  
 89.000  19.578   89.800  19.417   90.600  19.304   91.400  19.218  
 92.200  19.138   93.000  19.043   93.800  18.912   94.600  18.725  
 95.400  18.466   96.200  18.124   97.000  17.691   97.800  17.169  
 98.600  16.570   99.400  15.917  100.200  15.247  101.000  14.615  
101.800  14.097  102.600  13.790  103.400  13.821  104.200  14.346  
105.000  15.558  ] scurve
 65.000  50.000 moveto  
  0.700 disk 
 10.000  47.000 moveto 
[   2.000   1.000 ] 0 setdash 
 20.000  47.000 lineto 
stroke 
[   0.300   0.600 ] 0 setdash 
 10.000  40.000 moveto 
 20.000  40.000 lineto 
stroke}
\LabelTeX   61.700  58.000 $y$\ELTX
\LabelTeX   66.000  51.000 $1/\alpha^2$\ELTX
\LabelTeX   79.700  33.000 $f_\alpha$\ELTX
\LabelTeX   21.000   6.000 $-1$\ELTX
\LabelTeX   62.000   6.000 $0$\ELTX
\LabelTeX  105.500   6.000 $1$\ELTX
\LabelTeX  118.500   6.000 $x$\ELTX
\LabelTeX   31.500   4.000 $p_n$\ELTX
\LabelTeX   39.000   4.000 $(n=6)$\ELTX
\LabelTeX   10.000  54.000 $\hbox{\rm Points d'interpolation~:}$\ELTX
\LabelTeX   23.000  47.000 $\hbox{\rm \'equidistants}$\ELTX
\LabelTeX   23.000  40.000 $\hbox{\rm de Tchebychev}$\ELTX
\EndFig

\section 5. Polyn\^omes orthogonaux|

\noindent Soit $]a,b[$ un intervalle ouvert born\'e ou non dans $\bR$. On se donne
{\it un poids} sur $]a,b[$, c'est-\`a-dire une fonction
$w:\ ]a,b[\ \rightarrow\ ]0,+\infty[$ continue.
On suppose en outre que pour tout entier $n\in\bN$ l'int\'egrale
$\displaystyle\int^b_a|x|^nw(x)dx$ est convergente~; c'est le cas par exemple si
$]a,b[$ est born\'e et si $\displaystyle\int^b_aw(x)dx$ converge.
Sous ces hypoth\`eses, on consid\`ere l'espace vectoriel $E$ des fonctions
continues sur $]a,b[$ telles que
$$
\Vert f\Vert_2=\sqrt{\int^b_a|f(x)|^2w(x)dx}<+\infty.
$$
Gr\^ace aux hypoth\`eses faites ci-dessus, $E$ contient l'espace vectoriel des
fonctions polyn\^omes. L'espace $E$ est muni d'un produit scalaire naturel
$$
\langle f,g\rangle=\int^b_af(x)g(x)w(x)dx,
$$
et $\Vert\enspace\Vert_2$ est la norme associ\'ee \`a ce produit scalaire~; cette
norme est appel\'ee {\it norme $L^2$} ou {\it norme moyenne quadratique}. On notera
$d_2(f,g)=\Vert f-g\Vert_2$ la distance associ\'ee.

\bigskip
\majdeb
\state Th\'eor\`eme 1 -- | {\it Il existe une suite de polyn\^omes
unitaires $(p_n)_{n\in\bN}$, $\deg(p_n)=n$, orthogonaux 2 \`a 2 pour
le produit scalaire de $E$. Cette suite est unique. Les polyn\^omes
$p_n$ sont appel\'es {\rm polyn\^omes orthogonaux pour le poids
$w$.}}
\par\majfin\par

\bigskip
\noindent{\prem D\'emonstration}. On construit $p_n$ par r\'ecurrence \`a
l'aide du proc\'ed\'e d'orthogo\-na\-li\-sation de Schmidt. On a
$p_0(x)=1$, puisque $p_0$ doit \^etre unitaire.

\noindent Supposons $p_0,p_1,\dots,p_{n-1}$ d\'ej\`a construits. Comme
$\deg\,p_i=i$, ces polyn\^omes forment une base de $\cP_{n-1}$. On peut donc
chercher $p_n$ sous la forme
$$
p_n(x)=x^n-\sum_{j=0}^{n-1}\lambda_{j,n}p_j(x).
$$
La condition $\langle p_n,p_k\rangle=0$ pour $k=0,1,\dots,n-1$ donne
$$
\eqalign{
\langle p_n,p_k\rangle=0&=\langle
x^n,p_k\rangle-\sum_{j=0}^{n-1}\lambda_{j,n}\langle p_j,p_k\rangle\cr
&=\langle x^n,p_k\rangle-\lambda_{k,n}\Vert p_k\Vert^2_2.\cr
}$$
On a donc un et un seul choix possible, \`a savoir
$$
\lambda_{k,n}=\frac{\langle x^n,p_k\rangle}{\Vert p_k\Vert^2_2}.
$$

\bigskip
\state Remarque -- |  La suite $p_n$ ainsi construite n'est pas orthonorm\'ee
en g\'en\'eral. La suite normalis\'ee $\widetilde p_n=\dfrac{1}{\Vert
p_n\Vert_2}\,p_n$ est une base orthonorm\'ee de l'espace 
$\cP$ des polyn\^omes.

\bigskip
\majdeb
\state Th\'eor\`eme 2 -- |  {\it Les polyn\^omes $p_n$ v\'erifient la
relation de r\'ecurrence
$$
p_n(x)=(x-\lambda_n)p_{n-1}(x)-\mu_np_{n-2}(x),\quad n\geq 2
$$
avec
$$
\lambda_n=\frac{\langle xp_{n-1},p_{n-1}\rangle}{\Vert p_{n-1}\Vert^2_2},
\quad\mu_n=\frac{\Vert p_{n-1}\Vert^2_2}{\Vert p_{n-2}\Vert^2_2}. 
$$}
\vskip-\baselineskip
\majfin
\vskip\baselineskip

\noindent{\prem D\'emonstration.} Le polyn\^ome $xp_{n-1}$ est unitaire de
degr\'e $n$, donc on peut \'ecrire
$$
xp_{n-1}=p_n+\sum_{k=0}^{n-1}\alpha_k p_k,
$$
o\`u $\langle xp_{n-1},p_k\rangle=\alpha_k\Vert p_k\Vert^2_2$,
$0\leq k\leq n-1$.  Par d\'efinition du produit scalaire, on a
$$
\langle xp_{n-1},p_k\rangle=\langle
p_{n-1},xp_k\rangle=\int^b_ax\,p_{n-1}(x)p_k(x)w(x)\,dx. 
$$
Si $k\leq n-3$, $xp_k\in\cP_{n-2}$, donc $\langle p_{n-1},xp_k\rangle=0$.
Il y a donc au plus deux coefficients  non nuls~:
$$
\alpha_{n-1}=\frac{\langle xp_{n-1},p_{n-1}\rangle}{\Vert
p_{n-1}\Vert^2_2}=\lambda_n,\quad\alpha_{n-2}=\frac{\langle
p_{n-1},xp_{n-2}\rangle}{\Vert p_{n-2}\Vert^2_2}. 
$$
Or $xp_{n-2}=p_{n-1}+q$, $q\in\cP_{n-2}$, donc
$$
\langle p_{n-1},xp_{n-2}\rangle=\Vert p_{n-1}\Vert^2_2+\langle
p_{n-1},q\rangle=\Vert p_{n-1}\Vert^2_2, 
$$
ce qui donne $\alpha_{n-2}=\mu_n$ et
$$
xp_{n-1}=p_n+\lambda_np_{n-1}+\mu_np_{n-2}.\eqno\blacksquare
$$

\medskip
\state Exemples -- |  Certains cas particuliers ont donn\'e lieu \`a des
\'etudes plus pouss\'ees. Mentionnons entre autres les cas suivants~:
\medskip

\noindent
\hbox to 35mm{$\bullet$ $]a,b[{}={}]0,+\infty[$,\hfil} 
\hbox to 24mm{$w(x)=e^{-x}$,\hfil} $p_n={}$polyn\^omes de Laguerre~;

\noindent
\hbox to 35mm{$\bullet$ $]a,b[{}={}]-\infty,+\infty[$,\hfil} 
\hbox to 24mm{$w(x)=e^{-x^2}$,\hfil} $p_n={}$polyn\^omes de Hermite~;

\noindent
\hbox to 35mm{$\bullet$ $]a,b[{}={}]-1,1[$,\hfil} 
\hbox to 24mm{$w(x)=1$,\hfil} $p_n={}$polyn\^omes de Legendre~;

\noindent
\hbox to 35mm{$\bullet$ $]a,b[{}={}]-1,1[$,\hfil} 
\hbox to 24mm{$w(x)=\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$,\hfil} $p_n={}$polyn\^omes de 
Tchebychev.

\medskip

V\'erifions en effet que les polyn\^omes de Tchebychev $t_n$ sont 2 \`a 2
orthogonaux relativement au poids $w(x)=1/\sqrt{1-x^2}$. Le changement de
variable $x=\cos\,\theta$, $\theta\in[0,\pi]$ donne~:
$$
\displaylines{
\int^1_{-1}t_n(x)t_k(x)\
\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\,dx=\int^{\pi}_0t_n(\cos\,\theta)t_k(\cos\,\theta)\,d\theta\cr
=\int^{\pi}_0\cos\,n\theta\cdot\cos\,k\theta\,d\theta=\cases{
0\quad&{\rm si}\quad $n\not=k$\hfill\cr
\noalign{\vskip3pt}
\frac{\pi}{2}\quad&{\rm si}\quad $n=k\not=0$.\hfill\cr
\noalign{\vskip3pt}
\pi\quad&{\rm si}\quad $n=k=0$\hfill\cr
}\cr 
}
$$
Comme $t_n$ a pour coefficient directeur $2^{n-1}$ si $n\geq 1$, on en d\'eduit
$$
\cases{
p_0(x)=t_0(x)=1\hfill\cr
\noalign{\vskip3pt}
p_n(x)=2^{1-n}t_n(x)\quad{\rm si}\quad n\geq 1.\hfill\cr
}
$$
On sait que $t_n$ a $n$ z\'eros distincts dans $]-1,1[$. On va voir que c'est une
propri\'et\'e g\'en\'erale des polyn\^omes orthogonaux.

\bigskip
\majdeb
\state Th\'eor\`eme 3 -- |  {\it Pour tout poids $w$ sur $]a,b[$, le
polyn\^ome $p_n$ poss\`ede $n$ z\'eros distincts dans l'intervalle $]a,b[$.}
\par\majfin\par

\bigskip
\noindent{\prem D\'emonstration.} Soient $x_1,\dots,x_k$ les z\'eros distincts
de $p_n$ contenus dans $]a,b[$ et $m_1,\dots,m_k$ leurs multiplicit\'es
respectives.  On a $m_1+\dots+m_k\leq \deg\,p_n=n$. Posons
$\varepsilon_i=0$ si $m_i$ est pair, $\varepsilon_i=1$ si $m_i$ est
impair, et
$$
q(x)=\prod_{i=1}^k(x-x_i)^{\varepsilon_i},\quad\deg\,q\leq k\leq n.
$$
Le polyn\^ome $p_nq$ admet dans $]a,b[$ les z\'eros $x_i$ avec multiplicit\'e paire
$m_i+\varepsilon_i$, donc $p_nq$ est de signe constant dans
$]a,b[\ \setminus\ \{x_1,\dots,x_k\}$. Par cons\'equent
$$
\langle p_n,q\rangle=\int^b_ap_n(x)q(x)w(x)dx\not=0.
$$
Comme $p_n$ est orthogonal \`a $\cP_{n-1}$, on a n\'ecessairement $\deg\,q=n$,
donc $k=n$ et $m_1=\dots=m_{k}=1$.\hfill\blacksquare

\medskip
Plusieurs m\'ethodes d'approximation de fonctions continues par des polyn\^omes ont
d\'ej\`a \'et\'e vues. En voici encore une autre.

\bigskip
\majdeb
\state Th\'eor\`eme 4 -- |  {\it Soit $f\in E$. Alors il existe une unique
polyn\^ome $r_n\in\cP_n$ tel que $\Vert f-r_n\Vert_2=d_2(f,\cP_n)$~; $r_n$
est appel\'e polyn\^ome de meilleure approximation quadratique de $f$ \`a l'ordre
$n$.}
\par\majfin\par

\InsertFig 10.000 50.000 {
1 mm unit 
100.000   0.000 moveto 
 20.000   0.000 lineto 
stroke 
 20.000   0.000 moveto 
 40.000  30.000 lineto 
stroke 
  0.452 setlinewidth
 60.000  15.000 moveto 
  0.700 disk 
 25.962 -15.642 vector 
 35.355  45.000 vector 
  0.113 setlinewidth 
 85.000  40.000 moveto 
[   2.000   1.000 ] 0 setdash 
 85.000   8.000 lineto 
stroke 
 85.000  10.500 moveto 
[ ] 0 setdash 
 82.500  11.200 lineto 
stroke 
 82.500  11.200 moveto 
 82.500   9.000 lineto 
stroke
 12.000  22.000 moveto
 21.500   0.000   0.100 brace}
\LabelTeX   86.500  39.000 $f$\ELTX
\LabelTeX   86.500   7.000 $r_n$\ELTX
\LabelTeX   56.500  13.000 $0$\ELTX
\LabelTeX   24.000   2.800 $\cP_n$\ELTX
\LabelTeX    6.000  21.000 $E$\ELTX
\EndFig
\vskip8mm

\noindent Puisqu'on travaille dans un espace euclidien, le point de $\cP_n$ le
plus proche de $f$ n'est autre que la projection orthogonale de $f$ sur 
$\cP_n$. Si on \'ecrit $r_n=\sum \alpha_k p_k$, il vient $\langle
f,p_k\rangle=\langle r_n,p_k\rangle=\alpha_k\Vert p_k\Vert^2_2$, d'o\`u la formule
$$
r_n(x)=\sum_{k=0}^n\frac{\langle f,p_k\rangle}{\Vert p_k\Vert^2_2}\
p_k(x).\eqno\blacksquare 
$$
On va maintenant \'etudier la convergence de $r_n$ quand $n$ tend vers $+\infty$.
L'in\'egalit\'e \'evidente
$$
\int^b_a|f(x)|^2w(x)dx\leq (\sup |f(x)|)^2\int^b_aw(x)dx
$$
entra\^{\i}ne
$$
\Vert f\Vert_2\leq C_w\Vert f\Vert,\quad\hbox{\rm o\`u}\quad
C_w=\Big(\int^b_aw(x)dx\Big)^{1/2}. 
$$
Ceci permet de contr\^oler $\Vert\enspace\Vert_2$ \`a l'aide de la norme uniforme.

\bigskip
\majdeb
\state Th\'eor\`eme 5 -- |  {\it Si $]a,b[$ est born\'e, alors
$\displaystyle\lim_{n\rightarrow +\infty}\Vert f-r_n\Vert_2=0$ pour tout $f\in E$.}
\par\majfin\par

\bigskip
\state Remarque -- |  Le th\'eor\`eme 5 peut \^etre faux si $]a,b[$ est non
born\'e.

\bigskip
\noindent{\prem D\'emonstration}

\medskip
\noindent$\bullet$ Supposons d'abord que $f\in\cC([a,b])$. Dans ce cas, soit
$q_n$ le polyn\^ome de meilleure approximation uniforme de $f$. On a 
$$
\Vert f-r_n\Vert_2\leq\Vert f-q_n\Vert_2\leq C_w\Vert f-q_n\Vert,
$$
et on sait que $\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}\Vert f-q_n\Vert=0$.

\noindent$\bullet$ Supposons maintenant $f\in E$ quelconque. Soit $\chi_{\alpha}$ la
fonction plateau d\'efinie par le sch\'ema ci-dessous~:

\InsertFig 10.000 50.000 {
1 mm unit
  0.000  10.000 moveto 
110.000   0.000 vector 
 10.000   5.000 moveto 
 35.000  90.000 vector 
 25.000  10.000 moveto 
  0.700 disk 
 35.000  10.000 moveto 
  0.700 disk 
 45.000  10.000 moveto 
  0.700 disk 
 75.000  10.000 moveto 
  0.700 disk 
 85.000  10.000 moveto 
  0.700 disk 
 95.000  10.000 moveto 
  0.700 disk 
 25.000  10.000 moveto 
  0.340 setlinewidth 
 10.000  30.000 moveto 
  0.700   0.000 indent
  0.565 setlinewidth   
 25.000  10.000 moveto 
[  25.000  10.000   35.000  10.000   45.000  30.000   75.000  30.000  
 85.000  10.000   95.000  10.000  ] polygon 
stroke 
 75.000  11.500 moveto 
  0.113 setlinewidth 
[   2.000   1.000 ] 0 setdash 
 75.000  30.000 lineto 
stroke 
 45.000  11.500 moveto 
 45.000  30.000 lineto 
stroke 
 11.500  30.000 moveto 
 45.000  30.000 lineto 
stroke}
\LabelTeX    7.000   6.000 $0$\ELTX
\LabelTeX   24.000   6.000 $a$\ELTX
\LabelTeX   29.500   6.000 $a{+}\alpha/2$\ELTX
\LabelTeX   44.000   6.000 $a{+}\alpha$\ELTX
\LabelTeX   71.000   6.000 $b{-}\alpha$\ELTX
\LabelTeX   82.000   6.000 $b{-}\alpha/2$\ELTX
\LabelTeX   95.000   6.000 $b$\ELTX
\LabelTeX  109.000   6.000 $x$\ELTX
\LabelTeX    6.500  29.000 $1$\ELTX
\LabelTeX    6.500  38.000 $y$\ELTX
\LabelTeX   59.000  33.000 $\chi_\alpha$\ELTX
\EndFig

\noindent Comme $f\in\cC(]a,b[)$, on a $f{\chi_{\alpha}}\in\cC([a,b])$ si
l'on convient que $f{\chi_{\alpha}}(a)=f{\chi_{\alpha}}(b)=0$. De plus
$$
\Vert f-f{\chi_{\alpha}}\Vert^2_2\leq\int^{a+\alpha}_a|f(x)|^2w(x)dx
+\int^b_{b-\alpha}|f(x)|^2w(x)dx, 
$$
de sorte que $\displaystyle\lim_{\alpha\rightarrow 0^+}\Vert
f-f{\chi_{\alpha}}\Vert_2=0$. Soit $r_{\alpha,n}$ le polyn\^ome de meilleure
approximation quadratique de $f{\chi_{\alpha}}$. On a
$$
\Vert f-r_n\Vert_2\leq \Vert f-r_{\alpha,n}\Vert_2\leq\Vert
f-f{\chi_{\alpha}}\Vert_2+\Vert f{\chi_{\alpha}}-r_{\alpha,n}\Vert_2. 
$$
Soit $\varepsilon>0$ fix\'e. On peut d'abord choisir $\alpha>0$ tel
que $\Vert f-f{\chi_{\alpha}}\Vert_2<\dfrac{\varepsilon}{2}$~; $\alpha$
\'etant ainsi fix\'e, on peut choisir $n_0$ tel que $n>n_0$
entra\^{\i}ne $\Vert f{\chi_{\alpha}}
-r_{\alpha,n}\Vert_2<\dfrac{\varepsilon}{2}$ et donc $\Vert f-r_n\Vert_2
<\varepsilon$.\hfill\blacksquare

\bigskip 
\state Mise en {\oe}uvre num\'erique -- |  Si les polyn\^omes $p_n$ sont
connus, le calcul des $r_n$ est possible d\`es lors qu'on sait
\'evaluer les int\'egrales $\langle f,p_k\rangle$~: les m\'ethodes
d'int\'egration num\'erique feront pr\'ecis\'ement l'objet du prochain
chapitre. Si les polyn\^omes $p_n$ ne sont pas connus, on peut les
calculer num\'eriquement par la formule de r\'ecurrence du
th\'eor\`eme 2. Le co\^ut global de ces calculs est en g\'en\'eral
beaucoup plus \'elev\'e que celui des m\'ethodes d'interpolation.

\section 6. Probl\`emes|

{\parindent1.4pc

\noindent{\bf 6.1.} On note $\cC([a,b],\bR)$ l'espace des fonctions 
continues sur l'intervalle $[a,b]$ \`a valeurs dans $\bR$, muni de la
norme $\Vert\enspace\Vert_{\infty}$ de la convergence uniforme. On
consid\`ere l'application
$$
\eqalign{
\phi:\cC([a,b],\bR)&\longrightarrow \bR^{n+1}\cr
f&\longmapsto (m_0(f),m_1(f),\dots,m_n(f))\cr
}$$
telle que $m_i(f)=\dfrac{1}{2}\ (f(x_i)+f(x'_i))$, o\`u
$$
x_0<x'_0<x_1<x'_1<\dots<x_n<x'_n
$$
sont des points fix\'es de $[a,b]$.

\medskip

\item{(a)} Soit $f\in \cC([a,b],\bR)$ telle que $\phi(f)=0$. Montrer que pour
tout $i$ il existe $\xi_i\in[x_i,x'_i]$ tel que $f(\xi_i)=0$.

\medskip
\item{(b)} Montrer que la restriction $\phi:\cP_n\rightarrow\bR^{n+1}$ de
$\phi$ \`a l'espace $\cP_n$ des polyn\^omes de degr\'e $\leq n$ est
injective. En d\'eduire que pour tout $f\in\cC([a,b]),\bR)$ il existe un unique
polyn\^ome $P_n\in\cP$ tel que $\phi(p_n)=\phi(f)$.

\medskip
\item{(c)} On suppose ici que $f$ est de classe $C^{n+1}$. En utilisant (a),
majorer $\Vert p_n-f\Vert_{\infty}$ en fonction de $f^{(n+1)}$ et $b-a$.

\medskip
\item{(d)} Calculer explicitement $p_2$ en fonction de $m_0(f)$, $m_1(f)$, $m_2(f)$
pour la subdivision $x_0<x'_0<x_1<x'_1<x_2<x'_2$ de $[a,b]=[-1,1]$
de pas constant~$\dfrac{2}{5}$.


\bigskip
\noindent{\bf 6.2.} On note $t_n$ le polyn\^ome de Tchebychev de degr\'e $n$
et $c$ un r\'eel tel que $|c|<1$.
\medskip

\item{(a)} Montrer qu'il existe une fonction continue $\psi$ \`a valeurs
r\'eelles, d\'efinie sur $[0,\pi]$ avec $\psi(0)=\psi(\pi)=0$ et v\'erifiant
$$
e^{i\psi(\theta)}=\frac{1-ce^{-i\theta}}{1-ce^{i\theta}}.
$$

\item{(b)} Pour $n\in\bN$ on  note $g(\theta)=(n+1)\theta+\psi(\theta)$.

\smallskip
\itemitem{$(\alpha)$} Soit $\theta_1=\pi$. Calculer $g(\theta_1)-n\pi$ et
$g(0)-n\pi$.

\itemitem{} En d\'eduire qu'il existe $\theta_2$ v\'erifiant 
$0<\theta_2<\theta_1$ et $g(\theta_2)=n\pi$.

\smallskip
\itemitem{$(\beta)$} Montrer qu'il existe une suite strictement 
d\'ecroissante $\theta_k$
de $[0,\pi]$ telle que $g(\theta_k)=(n-k+2)\pi$ pour $k=1,\dots n+2$.

\smallskip
\itemitem{$(\gamma)$} On note $\varphi_n(x)=\Re\Big(e^{i(n+1)\theta}\
\dfrac{1-ce^{-i\theta}}{1-ce^{i\theta}}\Big)$ avec $\theta={\rm Arc\,cos}\,x$,
$x\in[-1,1]$.

\itemitem{} Calculer $\Vert\varphi_n\Vert$. Montrer que $\varphi_n$ 
\'equioscille sur $n+2$ points de $[-1,1]$.

\medskip
\item{(c)}\vskip-\parskip\vskip-\baselineskip 
\itemitem{$(\alpha)$} Montrer que la s\'erie
$-\dfrac{1}{2}+\sum^{+\infty}_{k=0}c^kt_k(x)$ converge
uniform\'ement sur $[-1,1]$ vers une fonction $f_c(x)$ que l'on explicitera.

\smallskip
\itemitem{$(\beta)$} On note $\displaystyle
p_n(x)=-\dfrac{1}{2}+\sum_{k=0}^{n-1}c^kt_k(x)+\dfrac{c^n}{1-c^2}\ t_n(x)$.

\itemitem{} Montrer que $p_n$ est le polyn\^ome de meilleure approximation
uniforme de degr\'e $n$ de $f_c$. Calculer $\Vert f_c-p_n\Vert$.

\medskip
\item{(d)}\vskip-\parskip\vskip-\baselineskip 
\itemitem{$(\alpha)$} Montrer que l'on peut choisir $c$ et $\lambda$ tels 
que pour tout $x\in[0,1]$ on ait $f_c(2x-1)=\dfrac{\lambda}{1+x}$.

\smallskip
\itemitem{$(\beta)$} Montrer qu'il existe une suite de polyn\^omes $q_n$ de 
$\cP_n$ tels que la suite 
$$
\alpha_n=\Sup_{x\in[0,1]}\Big|\dfrac{1}{1+x}-q_n(x)\Big|
$$ 
v\'erifie pour tout $k\in\bN$, $\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}n^k
\alpha_n=0$.


\bigskip
\noindent{\bf 6.3.} Soit $f:[a,b]\rightarrow\bR$ une fonction continue,
ind\'efiniment d\'erivable sur $]a,b[$. Soient
$x_0,\,x_1,\,\dots\,,x_n\in[a,b]$. Pour chaque $i\in\{0,1,\dots,n\}$, soit
$\alpha_i$ un entier positif.

\noindent On cherche un polyn\^ome $P(x)$ de degr\'e $<\beta=\sum(\alpha_i+1)$
tel que~:
$$
P^{(j)}(x_i)=f^{(j)}(x_i)\quad{\rm pour}\quad i=0,1,\dots,n\quad{\rm et}\quad
j=0,1,\dots,\alpha_i, 
$$
o\`u $(j)$ d\'esigne l'ordre de d\'erivation.

\medskip
\item{(a)} D\'emontrer l'unicit\'e de $P$, puis son existence gr\^ace \`a un
raisonnement d'alg\`ebre lin\'eaire.

\medskip
\item{(b)} On suppose $P$ solution du probl\`eme. Soient $R_i(x)$ et $p_i(x)$ des
polyn\^omes v\'erifiant les relations $$
\eqalign{
&R_i(x)=p_i(x)+(x-x_i)^{\alpha_i+1}R_{i+1}(x),\quad{\rm deg}\ p_i\leq \alpha_i,\cr
&R_0(x)=P(x),\quad R_{n+1}(x)=0.\cr
}
$$
\itemitem{$(\alpha)$} Montrer que
$$
p^{(j)}_i(x_i)=R_i^{(j)}(x_i)\quad{\rm pour}\quad j=0,1,\dots, \alpha_i.
$$
\itemitem{$(\beta)$} Montrer que l'on peut \'ecrire $p_i(x)$ sous la forme~:
$$
p_i(x)=\sum^{\alpha_i}_{k=0}a_{ik}(x-x_i)^k.
$$
\item{} Calculer les coefficients $a_{ik}$ en fonction de $R_i^{(k)}(x_i)$.

\smallskip
\itemitem{$(\gamma)$} Montrer que $P(x)$ peut s'\'ecrire~:
$$
P(x)=p_0(x)+\sum^n_{i=1}\Big(p_i(x)\prod^{i-1}_{r=0}(x-x_r)^{\alpha_r+1}\Big).
$$
\itemitem{$(\delta)$} Indiquer une m\'ethode de r\'ecurrence pour calculer
$p_0(x)$, puis $R_1(x)$ et $a_{1k},\dots$, puis $R_j(x)$ et $a_{jk}$
en fonction de $f$ et de ses d\'eriv\'ees $f^{(j)}(x_i)$. Montrer
que l'on peut ainsi calculer $P(x)$ en fonction des donn\'ees du
probl\`eme.

\smallskip
\itemitem{$(\varepsilon)$} Que se passe-t-il dans le cas particulier o\`u 
$n=0$~?

\medskip
\item{(c)} On suppose que les $\alpha_i$ sont rang\'es par ordre croissant. 
Montrer qu'il existe $t\in[a,b]$ tel que~: 
$$
f(x)=P(x)+(x-x_0)^{\alpha_0+1}(x-x_1)^{\alpha_1+1}\dots(x-x_n)^{\alpha_n+1}\
\frac{f^{(\beta)}(t)}{\beta!}  
$$
{\it Indication~:} on pourra consid\'erer la fonction
$$
g(x)=f(x)-P(x)-(x-x_0)^{\alpha_0+1}\dots(x-x_n)^{\alpha_n+1}K,
$$
et examiner combien de fois s'annulent
$g(x)$, $g'(x)\dots$, $g^{(\alpha_0)}(x),\dots$, $g^{(\alpha_n)}(x),\dots,$
$g^{(\beta)}(x)$.
\par}

\bye

