% Jean-Pierre Demailly
% Universit\'e de Grenoble I, Institut Fourier
% \'Equations Diff\'erentielles et Analyse Num\'erique
% Collection Grenoble-Sciences, Presses Universitaires de Grenoble
% Chapitre XI

\input equa-mac.tex

\blankline\blankline
\hfill\chtitle Chapitre XI|%
\blankline\blankline
\hfill\title \'Equations diff\'erentielles|
\vskip6pt
\hfill\title d\'ependant d'un param\`etre|
\chaptitlerunning XI -- \'Equations diff\'erentielles d\'ependant d'un 
param\`etre|
\vskip4pc

\noindent \'Etant donn\'e une \'equation diff\'erentielle
$y'=f(t,y,\lambda)$ d\'ependant d'un param\`etre~$\lambda$, on se
propose d'\'etudier comment les solutions varient en fonction de
$\lambda$. En particulier on montrera que, sous des hypoth\`eses
convenables, les solutions d\'ependent contin\^ument ou
diff\'erentiablement du param\`etre $\lambda$. Outre l'aspect
th\'eorique, ces r\'esultats sont importants en vue de la m\'ethode
dite des perturbations~: il arrive fr\'equemment qu'on sache calculer la
solution $y$ pour une valeur particuli\`ere $\lambda_0$, mais pas pour
les valeurs voisines $\lambda$~; on cherche alors un d\'eveloppement
limit\'e de la solution $y$ associ\'ee \`a la valeur $\lambda$ en
fonction de $\lambda-\lambda_0$. On montrera que le coefficient de
$\lambda-\lambda_0$ est obtenu en r\'esolvant une \'equation
diff\'erentielle lin\'eaire, appel\'ee \'equation \og
lin\'earis\'ee\fg\ de l'\'equation initiale~; ce fait remarquable permet
g\'en\'eralement de bien \'etudier les petites perturbations de la
solution.

\section 1. D\'ependance de la solution en fonction du 
param\`etre\kern-3.32pt|

\subsection 1.1. Notations|

\noindent Soit $U$ un ouvert de $\bR\times\bR^m\times\bR^p$ et
$$
\eqalign{
f:\quad U&\rightarrow\bR^m\cr
(t,y,\lambda)&\mapsto f(t,y,\lambda)\cr
}
$$
une fonction continue. Pour chaque valeur de $\lambda\in\bR^p$, on consid\`ere l'\'equation
diff\'erentielle
$$
y'=f(t,y,\lambda),\qquad(t,y)\in U_{\lambda}\leqno(\rmE_{\lambda})
$$
o\`u $U_{\lambda}\subset \bR\times\bR^m$ est l'ouvert des points tels que $(t,y,\lambda)\in U$.
Une donn\'ee initiale $(t_0,y_0)$ \'etant fix\'ee, on note $y(t,\lambda)$ la solution
maximale du probl\`eme de Cauchy relatif \`a (\rmE$_{\lambda}$) telle que
$y(t_0,\lambda)=y_0$~; on supposera toujours dans la suite que les hypoth\`eses assurant
l'unicit\'e des solutions sont v\'erifi\'ees. Notre objectif est d'\'etudier la continuit\'e
ou la diff\'erentiabilit\'e de $y_0(t,\lambda)$ en fonction du couple $(t,\lambda)$. 

\noindent Fixons
un point $(t_0,y_0,\lambda_0)\in U$. Comme $U$ est ouvert, ce point admet un voisinage
(compact) contenu dans $U$
$$
V_0=[t_0-T_0,t_0+T_0]\times\overline B(y_0,r_0)\times\overline B(\lambda_0,\alpha_0).
$$
On note $\displaystyle M=\sup_{V_0}\Vert f\Vert$. Alors pour tout
$T\leq\min\,\Big(T_0,\dfrac{r_0}{M}\Big)$ fix\'e et pour tout $\lambda\in\overline
B(\lambda_0,\alpha_0)$, le cylindre 
$$
C=[t_0-T,t_0+T]\times\overline B(y_0,r_0)\subset U_{\lambda}
$$
est un cylindre de s\'ecurit\'e pour les solutions de E$_{\lambda}$, d'apr\`es les
r\'esultats du chapitre V, \S~2.1. Le th\'eor\`eme d'existence V 2.4 implique~:

\bigskip
\majdeb
\state Proposition -- |  {\it Avec les notations pr\'ec\'edentes, la solution
$y(t,\lambda)$ est d\'efinie pour tout $(t,\lambda)\in[t_0-T,t_0+T]\times\overline
B(\lambda_0,\alpha_0)$ et elle est \`a valeurs dans $\overline B(y_0,r_0)$.} 
\par\majfin\par

\subsection 1.2. Continuit\'e|

\noindent On suppose maintenant de plus que $f$ est localement lipschitzienne en $y$,
c'est-\`a-dire qu'apr\`es avoir \'eventuellement r\'etr\'eci $V_0$, il existe une constante
$k\geq 0$ telle que
$$
\eqalign{
&\forall (t,\lambda)\in[t_0-T_0,t_0+T_0]\times\overline B(\lambda_0,\alpha_0),\quad\forall
y_1,y_2\in\overline B(y_0,r_0),\cr
&\Vert f(t,y_1,\lambda)-f(t,y_2,\lambda)\Vert\leq k\Vert y_1-y_2\Vert.\cr
}
$$

\bigskip
\majdeb
\state Th\'eor\`eme -- |  {\it Si $f$ est continue sur $U$ et localement lipschitzienne
en $y$, alors la solution $y(t,\lambda)$ est continue sur $[t_0-T,t_0+T]\times\overline
B(\lambda_0,\alpha_0)$.} 
\par\majfin\par

\bigskip
\noindent{\prem D\'emonstration.} Remarquons d'abord que
$$
\Big\Vert\frac{d}{dt}\ y(t,\lambda)\Big\Vert=\Vert f(t,y(t,\lambda),\lambda)\Vert\leq M
$$
car $\Vert f\Vert\leq M$ sur $V_0$. Le th\'eor\`eme des accroissements finis montre alors que
$y(t,\lambda)$ est $M$-lipschitzienne par rapport \`a $t$, c'est-\`a-dire que
$$
\Vert y(t_1,\lambda)-y(t_2,\lambda)\Vert\leq M|t_1-t_2|
$$
pour tous $(t_1,\lambda)$, $(t_2,\lambda)\in[t_0-T,t_0+T]\times\overline
B(\lambda_0,\alpha_0)$. Par ailleurs, comme $V_0$ est compact, $f$ y est conform\'ement
continue et il existe donc un module de continuit\'e $\eta:\bR_+\rightarrow\bR_+$ tel que
$$
\Vert f(t,y,\lambda_1)-f(t,y,\lambda_2)\Vert\leq \eta(\Vert \lambda_1-\lambda_2\Vert)
$$
avec $\displaystyle\lim_{u\rightarrow 0_+}\eta(u)=0$. Alors $z_1(t)=y(t,\lambda_1)$ est la
solution exacte du probl\`eme de Cauchy pour l'\'equation
$$
y'=f(t,y,\lambda_1),\leqno(\rmE_{\lambda_1})
$$
tandis que $z_2(t)=y(t,\lambda_2)$ en est une solution $\varepsilon$-approch\'ee avec
$\varepsilon=\eta(\Vert \lambda_1-\lambda_2\Vert)$.\break Le lemme de Gronwall V 3.1 montre que
$$
\eqalign{
\Vert z_1(t)-z_2(t)\Vert&\leq \varepsilon\ \frac{e^{k|t-t_0|}-1}{k},\quad\hbox{d'o\`u}\cr
\Vert y(t,\lambda_1)-y(t,\lambda_2)\Vert&\leq\frac{e^{kT}-1}{k}\
\eta(\Vert\lambda_1-\lambda_2\Vert).\cr 
}
$$
De ces in\'egalit\'es, nous d\'eduisons
$$
\eqalign{
\Vert y(t_1,\lambda_1)-y(t_2,\lambda_2)\Vert&\leq\Vert
y(t_1,\lambda_1)-y(t_2,\lambda_1)\Vert+\Vert y(t_2,\lambda_1)-y(t_2,\lambda_2)\Vert\cr 
&\leq M|t_1-t_2|+\frac{e^{kT}-1}{k}\ \eta(\Vert\lambda_1-\lambda_2\Vert)\cr
}
$$
et comme le second membre tend vers 0 lorsque $(t_2,\lambda_2)\rightarrow (t_1,\lambda_1)$,
on voit que $y(t,\lambda)$ est bien continue sur $[t_0-T,t_0+T]\times\overline
B(\lambda_0,\alpha_0)$.\hfill\blacksquare

\medskip
\state Remarque -- |  La d\'emonstration montre aussi que si $f(t,y,\lambda)$ est
localement lipschitzienne en $\lambda$, alors $y(t,\lambda)$ est localement lipschitzienne en
$(t,\lambda)$~: dans ce cas, on peut prendre $\eta(u)=Cu$.

\subsection 1.3. Diff\'erentiabilit\'e|

\noindent Afin de simplifier les notations, on suppose dans un premier temps que
$\lambda\in\bR$, c'est-\`a-dire que $p=1$. Pour deviner les r\'esultats, nous effectuons
d'abord un calcul formel en supposant les fonctions $f$ et $y(t,\lambda)$ autant de fois
diff\'erentiables que n\'ecessaire. Comme $y$ satisfait (E$_{\lambda}$) par hypoth\`ese, on a
$$
\frac{\partial y}{\partial t}\,(t,\lambda)=f(t,y(t,\lambda),\lambda).
$$
Diff\'erentions cette relation par rapport \`a $\lambda$~:
$$
\frac{\partial^2y}{\partial\lambda\partial t}\
(t,\lambda)=\sum_{j=1}^mf'_{y_j}(t,y(t,\lambda),\lambda)\ \frac{\partial
y_j}{\partial\lambda}\,(t,\lambda)+f'_{\lambda}(t,y(t,\lambda),\lambda). 
$$
En posant $\displaystyle
u(t)=y(t,\lambda)$ et
$v(t)=\dfrac{\partial
y}{\partial\lambda}\
(t,\lambda)$ il vient
$$
v'(t)=\sum_{j=1}^m f'_{y_j}(t,u(t),\lambda)v_j(t)+f'_{\lambda}(t,u(t),\lambda).\leqno({\rm 
E}'_{\lambda})
$$
On observe que l'\'equation (E$'_{\lambda}$) satisfaite par $v$ est {\it lin\'eaire}.
L'\'equation (E$'_{\lambda}$) s'appelle l'{\it \'equation diff\'erentielle lin\'earis\'ee}
associ\'ee \`a (E$_{\lambda}$). Par ailleurs $v$ satisfait la condition initiale

\null\vskip-24pt
$$
v(t_0)=\frac{\partial y}{\partial\lambda}\,(t_0,\lambda)=0,
$$
car par hypoth\`ese $y(t_0,\lambda)=y_0$ ne d\'epend pas de $\lambda$.

\bigskip
\majdeb
\state Th\'eor\`eme -- |  {\it On suppose que $f$ est continue sur $U$
et admet des d\'eriv\'ees partielles $f'_{y_j}$ et $f'_{\lambda}$
continues sur $U$. \hfill\break Alors $y(t,\lambda)$ est de classe
$C^1$ sur $[t_0-T,t_0+T]\times B(\lambda_0,\alpha_0)$ et admet des
d\'eriv\'ees partielles secondes crois\'ees continues 
$$
\frac{\partial}{\partial\lambda}\ \frac{\partial y}{\partial t}=\frac{\partial}{\partial t}\
\frac{\partial y}{\partial\lambda}. 
$$
De plus, si $u(t)=y(t,\lambda)$, la d\'eriv\'ee partielle $v(t)=\dfrac{
\partial y}{\partial\lambda}\,(t,\lambda)$ est la solution de l'\'equation
diff\'erentielle lin\'earis\'ee
$$
v'(t)=\sum_{j=1}^mf'_{y_j}(t,u(t),\lambda)v_j(t)+f'_{\lambda}(t,u(t),\lambda)
\leqno(\rmE'_{\lambda})
$$
avec condition initiale $v(t_0)=0$.
}
\par\majfin\par

\bigskip
\noindent{\prem D\'emonstration.*} Les hypoth\`eses entra\^\i nent que
$f$ est localement lipschitzienne en la variable $y$, donc on sait
d\'ej\`a que $y(t,\lambda)$ est continue. Pour $\lambda_1$ fix\'e
posons $u_1(t)=y(t,\lambda_1)$ et soit $v_1(t)$ la solution de
l'\'equation lin\'eaire 
$$
v'_1(t)=\sum_{j=1}^mf'_{y_j}(t,u_1(t),\lambda_1)v_{1,j}(t)+f'_{\lambda}
(t,u_1(t),\lambda_1).
\leqno(\rmE'_{\lambda_1})
$$
avec condition initiale $v_1(t_0)=0$. Bien entendu, on ne sait pas
encore que $v_1(t)=\dfrac{\partial y}{\partial\lambda}\ 
(t,\lambda_1)$, c'est justement ce qu'on veut d\'emontrer. Pour cela
on compare $u(t)=y(t,\lambda)$ et $u_1(t)+(\lambda-\lambda_1)v_1(t)$
et on cherche \`a montrer que la diff\'erence est
$o(\lambda-\lambda_1)$. Posons donc
$$
w(t)=u(t)-u_1(t)-(\lambda-\lambda_1)v_1(t).
$$
Par d\'efinition de $u,u_1,v_1$ il vient
$$
\displaylines{
w'(t)=f(t,u(t),\lambda)-f(t,u_1(t),\lambda_1)\hfill\cr
\hfill-(\lambda-\lambda_1)\left(\sum_{j=1}^m
f'_{y_j}(t,u_1(t),\lambda_1)v_{1,j}(t)+f'_{\lambda}(t,u_1(t),\lambda_1)\right)\qquad(*)\cr
}$$
Pour chaque composante $f_k$, la formule des accroissements finis montre que
$$
f_k(t,y,\lambda)-f_k(t,y_1,\lambda_1)=\sum_{j=1}^mf'_{k,y_j}
(t,\widetilde y,\smash{\widetilde \lambda})
(y_j-y_{1,j})+f'_{k,\lambda}(t,\widetilde y,\widetilde
\lambda)(\lambda-\lambda_1)
$$
o\`u $(\widetilde y,\widetilde \lambda)$ est un point appartenant au
segment d'extr\'emit\'es $(y_1,\lambda_1)$ et $(y,\lambda)$. Si
$\eta_k$ est un module de continuit\'e uniforme pour les d\'eriv\'ees
partielles $f'_{k,y_j}$ et $f'_{k,\lambda}$ sur le compact $V_0$,
l'\'ecart de chaque fonction entre les points $(\widetilde
y,\widetilde \lambda)$ et $(y_1,\lambda_1)$ est major\'e~par
$$
\eta_k(\Vert\widetilde y-y_1\Vert+|\widetilde \lambda-\lambda_1|)\leq \eta_k(\Vert
y-y_1\Vert+|\lambda-\lambda_1|). 
$$
On peut donc \'ecrire
$$
f(t,y,\lambda)-f(t,y_1,\lambda_1)=\kern-2pt\sum_{j=1}^m
f'_{y_j}(t,y_1,\lambda_1)(y_j-y_{1,j})+f'_{\lambda}(t,y_1,\lambda_1)(\lambda-\lambda_1)
+g(t,y,y_1,\lambda)
$$
o\`u $g(t,y,y_1,\lambda)$ admet une majoration uniforme
$$
\Vert g(t,y,y_1,\lambda)\Vert\leq (\Vert y-y_1\Vert+|\lambda-\lambda_1|)\,\eta(\Vert
y-y_1\Vert+|\lambda-\lambda_1|) 
$$
pour un certain module de continuit\'e $\eta$. En substituant $y=u(t)$, $y_1=u_1(t)$ dans la
derni\`ere formule, on d\'eduit de $(*)$ les relations
$$
\eqalignno{
w'(t)&=\sum_{j=1}^mf'_{y_j}(t,u_1(t),\lambda_1)(u_j(t)-u_{1,j}(t)-(\lambda-\lambda_1)v_{1,j}(t))
+g(t,u(t),u_1(t),\lambda),\cr
w'(t)&=\sum_{j=1}^mf'_{y_j}(t,u_1(t),\lambda_1)w_j(t)+g(t,u(t),u_1(t),\lambda),&(**)\cr
}$$
avec la majoration uniforme
$$
\Vert g(t,u(t),u_1(t),\lambda)\Vert\leq
(C+1)|\lambda-\lambda_1|\ \eta((C+1)|\lambda-\lambda_1|)=o(\lambda-\lambda_1)~; 
$$
en effet
$$
\Vert u(t)-u_1(t)\Vert=\Vert y(t,\lambda)-y(t,\lambda_1)\Vert\leq C|\lambda-\lambda_1|
$$
d'apr\`es la remarque finale du \S~1.2. L'\'equation $(**)$ est lin\'eaire en $w$, et donc
$K$-lipschitzienne avec 
$$
K=\sup_{V_0}\sum_{1\leq j\leq m}\Vert f'_{y_j}\Vert.
$$
Comme $u(t_0)=u_1(t_0)=y_0$ et $v_1(t_0)=0$, on a $w(t_0)=0$, et
par ailleurs $\widetilde w(t)\equiv 0$ est une solution
$\varepsilon$-approch\'ee de $(**)$ avec
$\varepsilon=o(\lambda-\lambda_1)$. Le lemme de Gronwall V 3.1 montre
que
$$
\Vert w(t)\Vert=\Vert w(t)-\widetilde w(t)\Vert\leq\varepsilon\
\frac{e^{KT}-1}{K}=o(\lambda-\lambda_1), 
$$
c'est-\`a-dire, par d\'efinition de $w$, $u$, $u_1$~:
$$
\Vert y(t,\lambda)-y(t,\lambda_1)-(\lambda-\lambda_1)v_1(t)\Vert=o(\lambda-\lambda_1).
$$
Ceci signifie que $\dfrac{\partial y}
{\partial\lambda}\,(t,\lambda_1)$ existe et co\"\i ncide avec
$v_1(t)$. La fonction $y$ admet donc bien des d\'eriv\'ees partielles
premi\`eres
$$
\frac{\partial y}{\partial t}\,(t,\lambda)=f(t,y(t,\lambda),\lambda)\quad{\rm
et}\quad\frac{\partial y}{\partial\lambda}\,(t,\lambda). 
$$
La d\'eriv\'ee partielle $\dfrac{\partial y}{\partial t}$ est continue en $(t,\lambda)$
puisque $y$ l'est. Par ailleurs $v(t,\lambda)=\dfrac{\partial y}{\partial\lambda}\
(t,\lambda)$ est la solution avec donn\'ees initiales $t_0,v_0=0$ de l'\'equation
lin\'earis\'ee
$$
v'=G(t,v,\lambda)
=\sum_{j=1}^mf'_{y_j}(t,y(t,\lambda),\lambda)v_j+f'_{\lambda}(t,y(t,\lambda),\lambda).
\leqno{(\rmE'_{\lambda})}
$$
Ici $G$ est continue en $(t,v,\lambda)$ et localement lipschitzienne en $v$, puisque
lin\'eaire en cette variable. Par suite $v=\dfrac{\partial y}{\partial\lambda}$ est
\'egalement continue en $(t,\lambda)$, ce qui implique que $y$ est de classe $C^1$. Enfin, on
a bien $$
\eqalign{
\frac{\partial}{\partial t}\ \frac{\partial y}{\partial\lambda}&=\frac{\partial}{\partial t}\
v(t,\lambda)\cr
&=\sum_{j=1}^m f'_{y_j}(t,y(t,\lambda),\lambda)\ \frac{\partial y_j}{\partial\lambda}\
(t,\lambda)+f'_{\lambda}(t,y(t,\lambda),\lambda)\cr
&=\frac{\partial}{\partial\lambda}\
(f(t,y(t,\lambda),\lambda)=\frac{\partial}{\partial\lambda}\ \frac{\partial y}{\partial t}\
(t,\lambda)\cr
}
$$
et ces d\'eriv\'ees partielles secondes sont continues gr\^ace \`a la deuxi\`eme
ligne.\hfill\blacksquare

\bigskip 
\majdeb \state G\'en\'eralisation -- | {\it Le th\'eor\`eme
s'\'etend ais\'ement au cas o\`u $\lambda\in\bR^p$. Il suffit en
effet de fixer toutes les variables $\lambda_i$ sauf une pour
constater que $\dfrac{\partial}{\partial\lambda_i}\,\dfrac{\partial y}
{\partial t} =\dfrac{\partial}{\partial t}\,\dfrac{\partial y}
{\partial\lambda_i}$ et que $v(t)=\dfrac{\partial y}{\partial\lambda_i}
\,(t,\lambda)$ est la solution de l'\'equation
lin\'earis\'ee 
$$
v'(t)=\sum_{j=1}^mf'_{y_j}(t,u(t),\lambda)v_j(t)+f'_{\lambda_i}(t,u(t),
\lambda)\leqno({\rm E}_{\lambda_i})
$$
avec condition initiale $v(t_0)=0$.} 
\par\majfin\par

\bigskip
Le fait que $y(t,\lambda)$ soit encore de classe $C^1$ provient de ce
que le th\'eor\`eme de continuit\'e du \S~1.2 est vrai globalement par
rapport \`a l'ensemble des variables $(\lambda_1,\dots,\lambda_p)$~:
celui-ci entra\^\i ne la continuit\'e en $(t,\lambda)$ des
d\'eriv\'ees partielles $\partial y/\partial\lambda_i$. Nous
\'etudions maintenant la diff\'erentiabilit\'e d'ordre sup\'erieur~:
nous allons voir qu'elle se d\'eduit aussit\^ot par r\'ecurrence du
cas de l'ordre un.

\bigskip
\majdeb
\state Th\'eor\`eme -- |  {\it On suppose que $f$ est de classe $C^s$ et
admet des d\'eriv\'ees partielles $f'_{y_j}$ et $f'_{\lambda_i}$ de classe $C^s$. Alors
la solution $y(t,\lambda)$ du probl\`eme de Cauchy relatif \`a $(\rmE_{\lambda})$
est de classe $C^{s+1}$.} \par\majfin\par

\bigskip
\noindent{\prem D\'emonstration.} Par r\'ecurrence sur $s$. Pour $s=0$,
il s'agit du th\'eor\`eme pr\'ec\'edent. Supposons le r\'esultat
d\'ej\`a d\'emontr\'e \`a l'ordre $s-1$.  Alors $y(t,\lambda)$ est de
classe $C^s$. Il en est de m\^eme de sa d\'eriv\'ee
$$
\frac{\partial y}{\partial t}\,(t,\lambda)=f(t,y(t,\lambda),\lambda).
$$
De plus $v(t,\lambda)=\dfrac{\partial y}{\partial\lambda_i}\,(t,\lambda)$ est la solution de
l'\'equation lin\'earis\'ee (E$'_{\lambda_i}$), soit\break $v'=G(t,v,\lambda)$. Comme
$f'_{y_j}$ et $f'_{\lambda_i}$ sont de classe $C^s$, on voit que $G$ est de classe $C^s$~; les
d\'eriv\'ees $G'_{v_j}$ et $G'_{\lambda_i}$ sont donc de classe $C^{s-1}$ et l'hypoth\`ese de
r\'ecurrence implique que $v$ est de classe $C^s$. Ceci montre que $y$ est de classe
$C^{s+1}$.\hfill\blacksquare

\subsection 1.4. D\'ependance de la solution en fonction de la
donn\'ee initiale|

\noindent On d\'esignera ici par $t\mapsto y(t,y_0,\lambda)$ la solution de
l'\'equation diff\'erentielle
$$
y'=f(t,y,\lambda)\leqno(\rmE_{\lambda})
$$
de donn\'ee initiale $(t_0,y_0)$. L'objectif est d'\'etudier la
continuit\'e ou la diff\'erentia\-bi\-lit\'e de $y(t,y_0,\lambda)$ en
fonction des 3 variables $t,y_0,\lambda$. Ceci r\'esoudra du m\^eme
coup le cas particulier des solutions $y(t,y_0)$ d'une \'equation
diff\'erentielle (E) sans param\`etre.

Pour r\'esoudre cette question, on consid\`ere la variable $y_0$ elle-m\^eme comme un
param\`etre et on pose donc $\mu=y_0$. La fonction $z(t,\mu,\lambda)=y(t,\mu,\lambda)-\mu$
satisfait alors la condition initiale $z(t_0,\mu,\lambda)=0$ et l'\'equation
$$
\eqalign{
\dfrac{\partial z}{\partial t}\,(t,\mu,\lambda)=\dfrac{\partial y}{\partial t}\
(t,\mu,\lambda)&=f(t,y(t,\mu,\lambda),\lambda)\cr
&=f(t,z(t,\mu,\lambda)+\mu,\lambda).\cr 
}$$
La fonction $z(t,\mu,\lambda)$ est donc la solution de l'\'equation diff\'erentielle
$$
z'=f(t,z+\mu,\lambda)\leqno(\rmE_{\mu,\lambda})
$$
avec donn\'ee initiale $(t_0,0)$. Les propri\'et\'es cherch\'ees
r\'esultent alors des th\'eor\`emes d\'ej\`a d\'emontr\'es,
appliqu\'es \`a l'\'equation $(E_{\mu,\lambda})$ pour le param\`etre
$(\mu,\lambda)\in \bR^{m+p}$. On peut donc \'enoncer~:

\bigskip
\majdeb
\state Th\'eor\`eme -- | {\it Si $f$ est de classe $C^s$ et admet des
d\'eriv\'ees partielles $f'_{y_j}$ et $f'_{\lambda_i}$ de classe
$C^s$, alors $y(t,y_0,\lambda)$ est de classe $C^{s+1}$.}
\par\majfin\par

\section 2. M\'ethode des petites perturbations|

\subsection 2.1. Description de la m\'ethode|

\noindent On consid\`ere une \'equation diff\'erentielle
$$
y'=f(t,y,\lambda)\leqno(\rmE_{\lambda})
$$
d\'ependant d'un param\`etre $\lambda$~; on prendra pour simplifier $\lambda\in\bR$. On suppose
que $f$ est continue ainsi que ses d\'eriv\'ees partielles $f'_{y_j}$ et $f'_{\lambda}$. Soit
$y(t,\lambda)$ la solution maximale du probl\`eme de Cauchy satisfaisant la condition
initiale $y(t_0,\lambda)=y_0(\lambda)$~; $y_0$ peut donc d\'ependre ici de $\lambda$~; on
supposera que $y_0(\lambda)$ est de classe $C^1$.

On suppose connue une solution particuli\`ere $u(t)=y(t,\lambda_0)$ correspondant \`a une
certaine valeur $\lambda_0$ du param\`etre.
L'objectif est d'\'etudier les petites perturbations de la solution, c'est-\`a-dire les
solutions $y(t,\lambda)$ associ\'ees \`a des valeurs $\lambda$ voisines de $\lambda_0$. Ceci
correspond \`a une situation physique tr\`es courante, dans laquelle on conna\^\i t la
solution th\'eorique id\'eale d'un probl\`eme et pour laquelle on cherche la solution r\'eelle
tenant compte de petites perturbations plus ou moins complexes. En g\'en\'eral, on ne sait pas
calculer la solution exacte $y(t,\lambda)$ pour $\lambda\not=\lambda_0$. Les r\'esultats
des\break \S~1.3, 1.4 montrent que $y(t,\lambda)$ est de classe $C^1$ et on cherche donc une
approximation au premier ordre $$
\eqalign{
y(t,\lambda)&=y(t,\lambda_0)+(\lambda-\lambda_0)\ \frac{\partial y}{\partial\lambda}\
(t,\lambda_0)+o(\lambda-\lambda_0)\cr 
&=u(t)+(\lambda-\lambda_0)v(t)+o(\lambda-\lambda_0)\cr
}
$$
o\`u $v(t)=\dfrac{\partial y}{\partial\lambda}\,(t,\lambda_0)$ est \`a d\'eterminer. On sait
que $v$ est la solution de l'\'equation lin\'earis\'ee
$$
v'(t)=\sum_{j=1}^mf'_{y_j}(t,u(t),\lambda_0)v_j(t)+f'_{\lambda}(t,u(t),\lambda_0),\leqno({\rm
E}'_{\lambda_0}) 
$$
la condition initiale s'\'ecrivant ici
$$
v(t_0)=\frac{\partial y}{\partial\lambda}\,(t_0,\lambda_0)=y'_0(\lambda_0).
$$
Comme $(\rmE'_{\lambda_0})$ est lin\'eaire, la r\'esolution est en principe plus facile que
celle de (E$_{\lambda}$). Nous allons maintenant donner des exemples concrets de la
m\'ethode.

\subsection 2.2. Perturbation d'un champ de vecteurs|

\noindent Consid\'erons dans le plan le champ de vecteurs
$$
M=(x,y)\mapsto\overrightarrow V(M)=(-y,x).
$$
Les lignes int\'egrales du champ $t\mapsto(x(t),y(t))$ sont les solutions du syst\`eme
diff\'erentiel
$$
\frac{d\overrightarrow M}{dt}=\overrightarrow V(M)\quad\left\{\eqalign{
\dfrac{dx}{dt}&=-y\cr
\noalign{\vskip3pt}
\dfrac{dy}{dt}&=x.\cr}
\right.
$$
On r\'esout ce syst\`eme comme au chapitre X, \S~2.2(b) en posant
$z=x+iy$. Le syst\`eme se ram\`ene alors \`a l'\'equation $dz/dt=iz$,
de sorte que la solution du probl\`eme de Cauchy avec donn\'ee
initiale $z_0=x_0+iy_0$ est $z=z_0e^{it}$. Les lignes de champ sont
les cercles centr\'es en 0.

On suppose maintenant que le champ de vecteurs subit une petite
perturbation de la forme
$$
M=(x,y)\mapsto\overrightarrow{V_{\lambda}}(M)=(-y,x)+\lambda(a(x,y),b(x,y))
$$
o\`u $a,b$ sont de classe $C^1$ et o\`u $\lambda\in\bR$ est petit.
On aboutit donc au syst\`eme diff\'erentiel
$$
(\rmE_{\lambda})\qquad\left\{\eqalign{
\dfrac{dx}{dt}&=-y+\lambda\, a(x,y)\cr
\noalign{\vskip3pt}
\dfrac{dy}{dt}&=x+\lambda\, b(x,y)\cr}\right.
\quad\Longleftrightarrow\quad \dfrac{dz}{dt}=iz+\lambda A(z)\eqno(*)
$$
avec $A(z)=a(x,y)+ib(x,y)$. Notons $z(t,\lambda)$ la solution telle que
$z(0,\lambda)=z_0$.\break On sait que $z(t,0)=z_0e^{it}$ et on aimerait avoir une approximation
de $z(t,\lambda)$ quand $\lambda$ est petit. \'Ecrivons
$$
z(t,\lambda)=z(t,0)+\lambda\ \frac{\partial z}{\partial\lambda}\,(t,0)+o(\lambda).
$$
Gr\^ace \`a une diff\'erentiation de $(*)$ par rapport \`a $\lambda$, il vient
$$
\eqalign{
\frac{\partial}{\partial t}\ \frac{\partial
z}{\partial\lambda}&=\frac{\partial}{\partial\lambda}\ \frac{\partial z}{\partial
t}=\frac{\partial}{\partial\lambda}\,(iz+\lambda A(z))\cr
&=i\ \frac{\partial z}{\partial\lambda}+A(z)+\lambda\ \frac{\partial}{\partial\lambda}\
(A(z(t,\lambda))).\cr 
}
$$
Par cons\'equent $v(t)=\dfrac{\partial z}{\partial\lambda}\,(t,0)$ satisfait l'\'equation
$$
\frac{dv}{dt}=iv+A(z(t,0))=iv+A(z_0e^{it})\leqno(\rmE'_0)
$$
avec condition initiale $v(0)=\dfrac{\partial z}{\partial\lambda}\,(0,0)=0$. Cette \'equation
se r\'esout par variation des constantes en posant $v(t)=C(t)e^{it}$. Il vient
$$
C'(t)e^{it}+iC(t)e^{it}=iC(t)e^{it}+A(z_0e^{it}),
$$
soit $C'(t)=e^{-it}A(z_0e^{it})$. Comme $C(0)=v(0)=0$, on obtient
$$
\eqalign{
C(t)&=\int^t_0e^{-iu}A(z_0e^{iu})du,\cr
v(t)&=C(t)e^{it}=\int^t_0e^{i(t-u)}A(z_0e^{iu})du,\cr
z(t,\lambda)&=z_0e^{it}+\lambda\int^t_0e^{i(t-u)}A(z_0e^{iu})du+o(\lambda).\cr
}
$$
Ceci se calcule facilement d\`es que $a(x,y)$ et $b(x,y)$ sont des polyn\^omes par exemple.
N\'eanmoins, m\^eme dans ce cas, il est g\'en\'eralement impossible d'expliciter la solution
exacte de l'\'equation non lin\'earis\'ee.

\subsection 2.3. Courbes int\'egrales d'un champ de vecteurs au voisinage
d'un point singulier|

\noindent Soit $M\mapsto\overrightarrow V(M)$ un champ de vecteurs de
classe $C^s$, $s\geq 1$, sur un ouvert $\Omega$ du plan. On se place au
voisinage d'un point singulier qu'on suppose choisi comme origine des
coordonn\'ees pour simplifier. On a donc $\overrightarrow
V(0)=\overrightarrow 0$, et comme au chapitre X \S~2.1, le syst\`eme
diff\'erentiel va s'\'ecrire
$$
\frac{dM}{dt}=\overrightarrow V(M),\qquad\left\{\eqalign{
\dfrac{dx}{dt}&=ax+by+g(x,y)\cr
\noalign{\vskip3pt}
\dfrac{dy}{dt}&=cx+dy+h(x,y)\cr}
\right.
\leqno(\rmE)
$$
o\`u $\pmatrix{
a&b\cr
c&d\cr
}$ est la matrice des d\'eriv\'ees partielles $(\overrightarrow{V'_x}(0,0),\overrightarrow
{V'_y}(0,0))$ et o\`u $g,h$ s'annulent ainsi que leurs d\'eriv\'ees partielles premi\`eres au
point $(0,0)$. Les fonctions $g,h$ sont par hypoth\`ese d\'efinies sur une certaine boule
$\overline B(0,r_0)$.

On cherche \`a comparer l'allure des courbes int\'egrales situ\'ees
pr\`es de l'origine lorsqu'on effectue des \og grossissements
successifs\fg\ (observation \`a l'{\oe}il nu, \`a la loupe puis au
microscope...). Autrement dit, on veut comparer la courbe issue d'un
point $M_0$ et la courbe issue du point $\lambda M_0$ (avec $\lambda$
petit), lorsque ces courbes sont ramen\'ees \`a la m\^eme \'echelle.
Pour grossir la deuxi\`eme courbe dans le rapport $1/\lambda$, on
effectue le changement de coordonn\'ees $X=x/\lambda$, $Y=y/\lambda$.
Dans ces nouvelles coordonn\'ees, l'\'equation du syst\`eme devient
$$
\left\{\eqalign{
\dfrac{dX}{dt}&=aX+bY+\dfrac{1}{\lambda}\ g(\lambda X,\lambda Y)\cr
\noalign{\vskip3pt}
\dfrac{dY}{dt}&=cX+dY+\dfrac{1}{\lambda}\ h(\lambda X,\lambda Y).\cr}
\right.
\leqno(\rmE_{\lambda})
$$
La solution de (E$_{\lambda}$) de valeur initiale $(X_0,Y_0)$ en $t=0$, correspond \`a la
solution de (E) de valeur initiale $(x_0,y_0)=(\lambda X_0,\lambda Y_0)$. Vu les
hypoth\`eses, les fonctions
$$
\eqalign{
G(X,Y,\lambda)&=\dfrac{1}{\lambda}\ g(\lambda X,\lambda Y)\cr
H(X,Y,\lambda)&=\dfrac{1}{\lambda}\ h(\lambda X,\lambda Y)\cr
}
$$
sont d\'efinies et de classe $C^s$ sur $\overline B(0,r_0)\times]0,1]$ et se prolongent par
continuit\'e en $\lambda=0$ en posant $G(X,Y,0)=H(X,Y,0)=0$. Ce prolongement est en fait de
classe $C^{s-1}$ sur $\overline B(0,r_0)\times[0,1]$ car
$$
G(X,Y,\lambda)=\int^1_0(Xg'_x(u\lambda X,u\lambda Y)+Yg'_y(u\lambda X,u\lambda
Y))du=\left[\dfrac{1}{\lambda}\,g(u\lambda X,u\lambda Y)\right]^{u=1}_{u=0}. 
$$
Si $s=1$, les fonctions $G$, $H$ sont bien lipschitziennes en $X,Y$ (avec la m\^eme constante
de Lipschitz que $g$ et $h$). La solution $(X(t,\lambda),Y(t,\lambda))$ du probl\`eme de
Cauchy est donc continue, et pour $s\geq 1$ elle est de classe $C^{s-1}$ par rapport \`a
$(t,\lambda)$, borne $\lambda=0$ incluse. En particulier~:

\bigskip
\majdeb
\state Proposition -- |  {\it Lorsque $\lambda$ tend vers 0, la solution de ({\rm
E}$_\lambda$) de valeur initiale $(X_0,Y_0)$ converge vers la solution du syst\`eme lin\'eaire 
$$
(\rmE)\qquad
\left\{
\eqalign{
\dfrac{dX}{dt}&=aX+bY\hfill\cr
\noalign{\vskip3pt}
\dfrac{dY}{dt}&=cX+dY.\hfill\cr}
\right.
$$
} 
\vskip-\baselineskip
\majfin
\medskip

\bigskip
Bien entendu, les m\'ethodes pr\'ec\'edentes permettent aussi d'avoir
un d\'evelop\-pe\-ment limit\'e \`a l'ordre 1 de la solution de
(E$_{\lambda}$) au voisinage de $\lambda=0$, comme on l'a vu au \S~2.2.

\subsection 2.4. Oscillations du pendule simple|

\noindent On \'etudie les oscillations d'un pendule ponctuel de masse $m$ 
suspendu \`a un fil de longueur $l$. L'\'equation du mouvement a
\'et\'e \'etablie au paragraphe VI 4.2(c)~:
$$
\theta''=-\dfrac{g}{l}\ \sin\,\theta,
$$
o\`u $\theta$ d\'esigne l'angle fait par le fil avec la verticale. On suppose ici qu'on lache
le pendule au temps $t=0$ \`a partir de l'\'elongation maximale $\theta=\theta_m$ avec
vitesse initiale nulle. Lorsque $\theta_m$ est petit, on fait habituellement l'approximation
$\sin\,\theta\simeq\theta$, d'o\`u
$$
\theta''=-\omega^2\theta\quad{\rm avec}\quad \omega^2=\frac{g}{l}.
$$
La solution cherch\'ee est alors classiquement
$$
\theta(t)=\theta_m\cos\,\omega t.
$$
N\'eanmoins, ceci n'est pas rigoureusement exact, et on aimerait conna\^\i tre l'erreur
commise. Pour cela, on pose $\theta(t)=\theta_my(t)$, de sorte que $y$ est la solution de
l'\'equation
$$
y''=-\omega^2\ \frac{\sin\,\theta_my}{\theta_m}
$$
avec condition initiales $y(0)=1$, $y'(0)=0$. Le d\'eveloppement en s\'erie de
$\sin\,\theta_m y$ donne
$$
\frac{\sin\,\theta_m y}{\theta_m}=y-\frac{1}{6}\ \theta^2_my^3+\frac{1}{120}\ \theta^4_m
y^5-\dots+(-1)^n\ \frac{1}{(2n+1)!}\ \theta^{2n}_m y^{2n+1}+\dots=\varphi(y,\lambda)
$$
o\`u $\lambda=\theta^2_m$ et o\`u
$$
\varphi(y,\lambda)=y-\frac{1}{6}\ \lambda y^3+\dots+(-1)^n\ \frac{1}{(2n+1)!}\ \lambda^n
y^{2n+1}+\dots 
$$
est une fonction de classe $C^{\infty}$. La solution $y(t,\lambda)$ de l'\'equation
$$
y''=-\omega^2\varphi(y,\lambda)\leqno(\rmE_{\lambda})
$$
est donc de classe $C^{\infty}$ (on notera que tous les r\'esultats du paragraphe 1 sont
encore vrais pour des \'equations d'ordre $\geq 2$, puisque ces \'equations sont
\'equivalentes \`a des syst\`emes d'ordre 1). On a $\varphi(y,0)=y$ et $y(t,0)=\cos\,\omega t$.
Pour obtenir un d\'eveloppement limit\'e de $y(t,\lambda)$ lorsque $\lambda$ est petit, on
d\'erive (E$_{\lambda}$) par rapport \`a $\lambda$, ce qui donne 
$$
\leqalignno{
\frac{\partial^2}{\partial t^2}\,\Big(\frac{\partial y}{\partial\lambda}
\Big)=\frac{\partial}{\partial\lambda}\,
\frac{\partial^2 y}{\partial t^2}&=\frac{\partial}{\partial\lambda}\
(-\omega^2\varphi(y,\lambda))&(\rmE'_{\lambda})\cr 
&=-\omega^2\Big(\varphi'_y(y,\lambda)\ \frac{\partial y}
{\partial\lambda}+\varphi'_{\lambda}(y,\lambda)\Big).\cr 
}
$$
On a $\varphi'_y(y,0)=1$ et $\varphi'_{\lambda}(y,0)=-\dfrac{1}{6}\ y^3$, de sorte que la
fonction $v(t)=\dfrac{\partial y}{\partial\lambda}\,(t,0)$ satisfait l'\'equation
$$
\eqalign{
v''(t)&=-\omega^2\Big(v(t)-\frac{1}{6}\ y(t,0)^3\Big)\cr
&=-\omega^2 v(t)+\frac{1}{6}\ \omega^2\cos^3\omega t.\cr
}
$$
Comme $y(0,\lambda)=1$ et $\partial y/\partial t(0,\lambda)=0$ pour tout $\lambda$, les
conditions initiales sont $v(0)=v'(0)=0$. La solution g\'en\'erale du syst\`eme sans second
membre est $$
v(t)=\alpha\,\cos\,\omega t+\beta\,\sin\,\omega t.
$$
On applique alors la m\'ethode de variation des constantes avec
$$
v(t)=\alpha(t)\,\cos\,\omega t+\beta(t)\,\sin\,\omega t.
$$
D'apr\`es le chapitre VII \S~3.3, ceci conduit au syst\`eme
$$
\left\{\eqalign{
&\alpha'(t)\cos\,\omega t+\beta'(t)\,\sin\,\omega t=0\cr
&\alpha'(t)(-\omega\,\sin\,\omega t)+\beta'(t)\,\omega\,\cos\,\omega t
=\dfrac{1}{6}\,\omega^2\,\cos^3\omega t\cr}
\right.
$$
d'o\`u
$$
\eqalign{
&\left\{\eqalign{
\alpha'(t)&=-\dfrac{\omega}{6}\,\cos^3\omega t\ \sin\,\omega t\cr
\beta'(t)&=\dfrac{\omega}{6}\,\cos^4\omega t=\dfrac{\omega}{48}\,(3+4\,\cos\,
2\omega t+\cos\,4\omega t),\cr}\right.
\cr
&\left\{\phantom{'}\eqalign{
\alpha(t)&=\alpha_0+\dfrac{1}{24}\ \cos^4\omega t\cr
\beta(t)&=\beta_0+\dfrac{1}{48}\,(3\omega t+2\,\sin\,2\omega t+\dfrac{1}{4}
\,\sin\,4\omega t).\cr}\right.
\cr}
$$
Les conditions initiales $v(0)=\alpha(0)=0$ et $v'(0)=\alpha'(0)+\omega\beta(0)=0$ donnent
$\alpha(0)=\beta(0)=0$, donc $\alpha_0=-\dfrac{1}{24}$, $\beta_0=0$ et
$$
\eqalign{
v(t)&=\dfrac{1}{24}\,(\cos^4\omega t-1)\cos\,\omega t+\dfrac{1}{48}\,(3\omega
t+2\sin\,2\omega t+\dfrac{1}{4}\,\sin\,4\omega t)\,\sin\,\omega t\cr
&=\frac{1}{16}\ \Big(\omega t+\frac{1}{6}\ \sin\,2\omega t\Big)\sin\,\omega t,\cr
y(t,\lambda)&=\cos\,\omega t+\frac{\lambda}{16}\,(\omega t+\dfrac{1}{6}\ \sin\,2\omega
t)\sin\,\omega t+O(\lambda^2).\cr 
 }
$$
Cherchons maintenant \`a partir de l\`a l'influence de l'\'elongation
maximale $\theta_m$ sur la p\'eriode des oscillations [on a vu au
chapitre VI,~2.4~c) que les solutions de faible amplitude \'etaient
p\'eriodiques~; ceci n'est pas contradictoire avec le fait que le
d\'eveloppement limit\'e de $y(t,\lambda)$ ci-dessus soit non
p\'eriodique, \`a cause du terme $O(\lambda^2)$ d\'ependant de $t$ et
lui-m\^eme non p\'eriodique]. Soit $T(\lambda)$ la p\'eriode, de sorte
que $\dfrac{1}{4}\ T(\lambda)$ correspond au plus petit $t>0$ tel que
$y(t,\lambda)=0$, c'est-\`a-dire
$y\Big(\dfrac{1}{4}\,T(\lambda),\lambda\Big)=0$. Le th\'eor\`eme des
fonctions implicites montre que cette \'equation d\'efinit une
fonction $T(\lambda)$ de classe $C^{\infty}$ pour $\lambda$ petit, 
car
$$
T(0)=\frac{2\pi}{\omega},\qquad \frac{\partial y}{\partial t}\ 
\Big(\frac{1}{4}\
T(0),0\Big)=-\omega\,\sin\,\omega t\Big|_{t=\frac{1}{4}\ T(0)}=-\omega\not=0. 
$$
Par diff\'erentiation de l'\'equation en $\lambda=0$, on trouve de plus
$$
\frac{1}{4}\ T'(0)\ \frac{\partial y}{\partial t}\ \Big(\frac{1}{4}\
T(0),0\Big)+\frac{\partial y}{\partial \lambda}\ \Big(\frac{1}{4}\ 
T(0),0\Big)=0 
$$
avec
$$
\frac{\partial y}{\partial\lambda}\ \Big(\frac{1}{4}\
T(0),0\Big)=v\Big(\dfrac{\pi}{2\omega}\Big)=\frac{\pi}{32},
$$
d'o\`u
$$
\eqalign{
\frac{1}{4}\ T'(0)&(-\omega)+\frac{\pi}{32}=0,\qquad T'(0)=\frac{\pi}{8\omega},\cr
T(\lambda)&=T(0)+\lambda T'(0)+O(\lambda^2)\cr
&=\frac{2\pi}{\omega}\ \Big(1+\frac{1}{16}\ \lambda+O(\lambda^2)\Big).\cr
}
$$
On retrouve ainsi l'approximation bien connue
$$
T(\theta^2_m)=2\pi\sqrt{\dfrac{l}{g}}\ \left(1+\dfrac{1}{16}\ \theta^2_m+O(\theta^4_m)\right).
$$
Cette approximation pourrait \'egalement se retrouver de mani\`ere directe \`a 
partir de la relation exacte
$$
T=\sqrt{\dfrac{8l}{g}}\int_0^{\theta_m}\dfrac{d\varphi}{
\sqrt{\cos\varphi-\cos\theta_m}},
$$
qui r\'esulte des formules obtenues au chapitre VI~4.2~c). Exercice pour
le lecteur~!

\section 3. Probl\`emes|

\noindent{\bf 3.1.} On consid\`ere une \'equation diff\'erentielle d'ordre $p$
$$
y^{(p)}=f(t,y,y',\dots,y^{(p-1)},\lambda)\leqno(\rmE_{\lambda})
$$
d\'ependant d'un param\`etre $\lambda$, o\`u $f$ est d\'efinie et continue sur un ouvert $U$
de $\bR\times(\bR^m)^p\times\bR^q$.

\medskip
{\parindent1.6pc
\item{(a)} On suppose que $f(t,Y,\lambda)$ est de classe $C^k$ sur $U$ et qu'elle admet des
d\'eriv\'ees partielles de classe $C^k$ par rapport \`a chacune des composantes de $Y$ et
$\lambda$. On note
$$
y(t,y_0,y_1,\dots,y_{p-1},\lambda)
$$
\item{} la solution de $(\rmE_{\lambda})$ satisfaisant les conditions initiales
$$
y(t_0)=y_0,\quad y'(t_0)=y_1,\dots,y^{(p-1)}(t_0)=y_0.
$$
\item{} Montrer que cette solution $y$ est de classe $C^{k+1}$ par rapport \`a l'ensemble des
variables $t,y_j,\lambda$, de m\^eme que ses d\'eriv\'ees partielles $\partial y/\partial
t,\dots,\partial^{p-1}y/\partial t^{p-1}$.

\item{} [{\it Indication~:} se ramener au cas d'un syst\`eme d'ordre 1].

\medskip
\item{(b)} On suppose ici que $\lambda\in\bR$. Soit $u(t,\lambda)$ la solution satisfaisant la
condition initiale 
$$
\frac{\partial^k u}{\partial t^k}\,(t_0,\lambda)=y_k(\lambda),\quad 0\leq k\leq p-1
$$
\item{} o\`u $y_0(\lambda),\dots,y_{p-1}(\lambda)$ sont de classe $C^1$ au moins en
$\lambda$. Montrer que $v(t,\lambda)=\partial u/\partial\lambda(t,\lambda)$ est la solution
d'une \'equation diff\'erentielle lin\'eaire d'ordre $p$ dont on pr\'ecisera les conditions
initiales.

\medskip
\item{(c)} Application~: \'Ecrire l'\'equation du (b) pour $y''=e^{\lambda t}y^2+\lambda y'$,
avec les conditions initiales $y(0)=e^{-\lambda}$, $y'(0)=\ch\,2\lambda$.

\par}

\bigskip
\noindent{\bf 3.2.} On s'int\'eresse ici au comportement des courbes int\'egrales passant par un
point voisin de l'origine, pour le syst\`eme (S) de l'exercice X 3.2. Pour tout $\lambda>0$,
on note
$$
t\mapsto M(t,\lambda)=(x(t,\lambda),y(t,\lambda))
$$
la solution maximale de (S) qui passe par le point de coordonn\'ees $(\lambda,0)$ au temps
$t=0$.


\medskip
{\parindent1.6pc
\item{(a)} D\'eterminer la solution $t\mapsto(\widetilde x(t),\widetilde y(t))$ du
syst\`eme {\it lin\'earis\'e} au voisinage de l'origine, qui passe par le point
$(1,0)$ au temps $t=0$.

\medskip 
\item{(b)} A l'aide d'une homoth\'etie convenable et des m\'ethodes du chap. XI,
montrer que $M(t,\lambda)$ admet un d\'eveloppement limit\'e de la forme 
$$
M(t,\lambda)=(\lambda\widetilde x(t)+\lambda^2u(t)+O(\lambda^3),\ \lambda\widetilde
y(t)+\lambda^2v(t)+O(\lambda^3))
$$
o\`u $u,v$ sont des fonctions que l'on explicitera.

\par}

\bigskip
\noindent{\bf 3.3.} L'objet de ce probl\`eme est d'\'etudier les lignes 
de champ cr\'e\'ees dans un plan par un dip\^ole \'electrique (par
exemple une mol\'ecule polaris\'ee telle que le chlorure
d'hydrog\`ene).

Le plan est rapport\'e au rep\`ere orthonorm\'e direct $(O\,;\,\vec
i,\vec j)$, o\`u $O$ est la position du dip\^ole (suppos\'e ponctuel),
et $(O\,;\,\vec i)$ l'axe du dip\^ole.  Si $M$ est un point quelconque
distinct de $O$, on note $(r,\theta)$ les coordonn\'ees polaires de
$M$ relativement au rep\`ere $(O\,;\,\vec i,\vec j)$. On associe \`a $M$
le vecteur radial $\vec u=\cos\,\theta\cdot\vec
i+\sin\,\theta\cdot\vec j$ et le vecteur orthoradial $\vec
v=-\sin\,\theta\cdot\vec i+\cos\,\theta\cdot\vec j$. On admettra que
le potentiel \'electrique $V(M)$ cr\'e\'e par le dip\^ole en tout
point $M\not=O$ est donn\'e par
$$
V(M)=\frac{\cos\,\theta}{r^2}.
$$

{\parindent1.6pc
\item{(a)} On rappelle les formules
$$
\eqalign{
&d\overrightarrow M=dr\cdot\vec u+rd\theta\cdot\vec v,\cr
&\overrightarrow{\rm grad}\,V=\frac{\partial V}{\partial r}\cdot\vec u+\frac{1}{r}\
\frac{\partial V}{\partial\theta}\cdot\vec v.\cr 
}
$$
\item{} \'Evaluer le champ \'electrique $\overrightarrow E=-\overrightarrow{\rm grad}\
V$ cr\'e\'e par le dip\^ole.

\item{} D\'eterminer l'\'equation $r=\varphi(\theta)$ de la ligne de champ (courbe
int\'egrale du champ de vecteurs $\overrightarrow E$) passant par le point de
coordonn\'ees polaires $(r_0,\theta_0)$ avec $r_0>0$ et $\theta_0=\dfrac{\pi}{2}$.

\medskip
\item{(b)} Le dip\^ole est suppos\'e plac\'e dans un champ \'electrique ambiant
constant \hbox{$\overrightarrow E_0=\lambda\vec j$}, d'intensit\'e tr\`es 
faible par rapport \`a son champ propre $\overrightarrow E$.

\smallskip
\itemitem{$(\alpha)$} \'Ecrire l'\'equation diff\'erentielle
$\dfrac{dr}{d\theta}=f(r,\theta,\lambda)$ des lignes de champ relatives au champ
$\overrightarrow E+\overrightarrow E_0$. Calculer le d\'eveloppement limit\'e \`a
l'ordre 1 de $f(r,\theta,\lambda)$ en fonction de $\lambda$.

\smallskip
\itemitem{$(\beta)$} On note $r=\psi(\theta,\lambda)$ l'\'equation polaire
de la ligne de champ passant par le point
$\big(r_0,\dfrac{\pi}{2}\big)$ [on ne cherchera pas \`a \'evaluer
$\psi$].

\itemitem{} Montrer que $w(\theta)=\dfrac{\partial\psi}{\partial\lambda}\
(\theta,0)$ satisfait \`a une \'equation diff\'erentielle lin\'eaire.

\itemitem{} En d\'eduire le d\'eveloppement limit\'e \`a l'ordre 1 de
$\psi(\theta,\lambda)$ en fonction de $\lambda$.
\par}

\bye
