\input srctex.sty

\newif\ifpdf \pdffalse
\ifx\pdfoutput\undefined
\else
  \ifx\pdfoutput\relax
  \else
    \ifnum\pdfoutput<1 %
    \else
      \pdftrue
    \fi
  \fi
\fi

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% new fonts definitions

\ifpdf
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\font\fourteenbf=ec-lmbx10 at 14.4pt
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\font\eightrm=ec-lmr10 at 8pt
\font\sixrm=ec-lmr10 at 6pt

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\else

\font\seventeenbf=ecbx10 at 17.28pt
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  \textfont\mathxfam=\tenmathx
  \scriptfont\mathxfam=\sevenmathx
  \scriptscriptfont\mathxfam=\fivemathx
\def\mathx{\fam\mathxfam\tenmathx}

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\newfam\msafam
  \textfont\msafam=\tenmsa
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\def\msa{\fam\msafam\tenmsa}

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\newfam\msbfam
  \textfont\msbfam=\tenmsb
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  \scriptscriptfont\msbfam=\fivemsb
\def\Bbb{\fam\msbfam\tenmsb}

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\newfam\Calfam
  \textfont\Calfam=\tenCal
  \scriptfont\Calfam=\sevenCal
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\def\Cal{\fam\Calfam\tenCal}

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\font\teneuf=eufm10
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  \textfont\euffam=\teneuf
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\def\euf{\fam\euffam\teneuf}

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\def\bfit{\fam\bfitfam\tenbfit}

\def\gS{\hbox{\teneuf S}}

% Some missing ligature letters for French  (enctex needed)
\ifx\mubyte\undefined \else
%% Cork encoding -- from   utf8-t1.tex
\mubyte ^^c6 ^^c3^^86\endmubyte % latin capital letter AE (ash)
\mubyte ^^e6 ^^c3^^a6\endmubyte % latin small letter ae (ash)
\mubyte ^^d7 ^^c5^^92\endmubyte % latin capital ligature OE
\mubyte ^^f7 ^^c5^^93\endmubyte % latin small ligature oe
\def\AE{Æ}
\def\ae{æ}
\def\OE{Œ}
\def\oe{œ}
\fi

% changing font sizes

\catcode`\@=11
\def\eightpoint{%
  \textfont0=\eightrm \scriptfont0=\sixrm \scriptscriptfont0=\fiverm
  \def\rm{\fam\z@\eightrm}%
  \textfont1=\eighti \scriptfont1=\sixi \scriptscriptfont1=\fivei
  \def\oldstyle{\fam\@ne\eighti}%
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  \def\it{\fam\itfam\eightit}%
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  \def\sl{\fam\slfam\eightsl}%
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  \def\Bbb{\fam\msbfam\eightmsb}%
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  \def\Cal{\fam\Calfam\eightCal}%
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  \abovedisplayshortskip=0pt plus 2pt
  \belowdisplayskip=9pt plus 2pt minus 6pt
  \belowdisplayshortskip=5pt plus 2pt minus 3pt
  \smallskipamount=2pt plus 1pt minus 1pt
  \medskipamount=4pt plus 2pt minus 1pt
  \bigskipamount=9pt plus 3pt minus 3pt
  \normalbaselineskip=9pt
  \setbox\strutbox=\hbox{\vrule height7pt depth2pt width0pt}%
  \let\bigf@ntpc=\eightrm \let\smallf@ntpc=\sixrm
  \normalbaselines\rm}
\catcode`\@=12

\def\eightpointbf{%
 \textfont0=\eightbf   \scriptfont0=\sixbf   \scriptscriptfont0=\fivebf
 \textfont1=\eightbfit \scriptfont1=\sixbfit \scriptscriptfont1=\fivebfit
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 \eightbf
 \baselineskip=10pt}

\def\tenpointbf{%
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 \tenbf}
        
\def\twelvepointbf{%
 \textfont0=\twelvebf   \scriptfont0=\eightbf   \scriptscriptfont0=\sixbf
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 \twelvebf
 \baselineskip=14.4pt}

\def\fourteenpointbf{%
 \textfont0=\fourteenbf   \scriptfont0=\tenbf   \scriptscriptfont0=\sevenbf
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 \textfont2=\fourteenbsy  \scriptfont2=\tenbsy  \scriptscriptfont2=\sevenbsy
 \fourteenbf
 \baselineskip=17.28pt}

\def\seventeenpointbf{%
 \textfont0=\seventeenbf  \scriptfont0=\twelvebf  \scriptscriptfont0=\eightbf
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 \seventeenbf
 \baselineskip=20.736pt}
 
% main item macros

\newdimen\srdim \srdim=\hsize
\newdimen\irdim \irdim=\hsize
\def\NOSECTREF#1{\noindent\hbox to \srdim{\null\dotfill ???(#1)}}
\def\SECTREF#1{\noindent\hbox to \srdim{\csname REF\romannumeral#1\endcsname}}
\def\INDREF#1{\noindent\hbox to \irdim{\csname IND\romannumeral#1\endcsname}}
\newlinechar=`\^^J
\def\openauxfile{
  \immediate\openin1\jobname.aux
  \ifeof1
  \message{^^JCAUTION\string: you MUST run TeX a second time^^J}
  \let\sectref=\NOSECTREF \let\indref=\NOSECTREF
  \else
  \input \jobname.aux
  \message{^^JCAUTION\string: if the file has just been modified you may  
  have to run TeX twice^^J}
  \let\sectref=\SECTREF \let\indref=\INDREF
  \fi
  \message{to get correct page numbers displayed in Contents or Index 
  Tables^^J}
  \immediate\openout1=\jobname.aux
  \let\END=\end \def\end{\immediate\closeout1\END}}
        
\newcount\notthispage \notthispage=1

\newbox\titlebox   \setbox\titlebox\hbox{\hfil}
\newbox\sectionbox \setbox\sectionbox\hbox{\hfil}
\newbox\chapterbox \setbox\chapterbox\hbox{\hfil}
\def\folio{\ifnum\pageno=\notthispage \hfil
           \else \ifodd\pageno
           \hfil {\eightpoint \copy\chapterbox\copy\sectionbox%
           \kern8mm\number\pageno}\else
           {\eightpoint\number\pageno\kern8mm\copy\titlebox}\hfil \fi\fi}
\footline={\hfil}
\headline={\folio}           

\def\verl{{\vrule width 0.4pt height 12pt depth 6pt}}
\def\table#1{\baselineskip=0pt\lineskip=0pt
    \halign{$\displaystyle{}##\hfil{}$\hfil&&
    $\displaystyle{}##\hfil{}$\hfil\crcr#1\crcr}}

\def\blankline{\phantom{}\hfil\vskip0pt}
\def\titlerunning#1{\setbox\titlebox\hbox{\eightpoint #1}}
\def\chapterrunning#1{\notthispage=\pageno
    \setbox\chapterbox\hbox{\eightpoint #1}}
\def\title#1{\noindent\hfil$\smash{\hbox{\seventeenpointbf #1}}$\hfil
             \titlerunning{#1}\medskip}
\def\titleleft#1{\noindent$\smash{\hbox{\seventeenpointbf #1}}$\hfil
                 \titlerunning{#1}\medskip}

\def\supersection#1{%
  \par\vskip0.5cm\penalty -100 
  \vbox{\baselineskip=17.28pt\noindent{{\fourteenpointbf #1}}}
  \vskip3pt
  \penalty 500
  \titlerunning{#1}}

\newcount\numbersection \numbersection=-1
\def\sectionrunning#1{\setbox\sectionbox\hbox{\eightpoint #1}
  \immediate\write1{\string\def \string\REF 
      \romannumeral\numbersection \string{%
      \noexpand#1 \string\dotfill \space \number\pageno \string}}}
\def\section#1{%
  \par\vskip0.5cm\penalty -100
  \vbox{\baselineskip=14.4pt\noindent{{\twelvepointbf #1}}}
  \vskip2pt
  \penalty 500
  \advance\numbersection by 1
  \sectionrunning{#1}}

\def\subsection#1{%
  \par\vskip0.5cm\penalty -100
  \vbox{\noindent{{\tenpointbf #1}}}
  \vskip1pt
  \penalty 500}

\newcount\numberindex \numberindex=0  
\def\index#1#2{%
  \advance\numberindex by 1
  \immediate\write1{\string\def \string\IND #1%
     \romannumeral\numberindex \string{%
     \noexpand#2 \string\dotfill \space \string\S \number\numbersection, 
     p.\string\ \space\number\pageno \string}}}

\def\chapterjump{
  \vfill\eject
  \ifodd\pageno \else {\headline={\hfil}\null\vskip0pt\vfill\eject} \fi
}

% Usual sets of numbers  
\def\bC{{\Bbb C}}
\def\bD{{\Bbb D}}
\def\bH{{\Bbb H}}
\def\bN{{\Bbb N}}
\def\bP{{\Bbb P}}
\def\bQ{{\Bbb Q}}
\def\bR{{\Bbb R}}
\def\bZ{{\Bbb Z}}

% Calligraphic capital letters
\def\cA{{\Cal A}}
\def\cC{{\Cal C}}
\def\cD{{\Cal D}}
\def\cE{{\Cal E}}
\def\cF{{\Cal F}}
\def\cH{{\Cal H}}
\def\cK{{\Cal K}}
\def\cL{{\Cal L}}
\def\cP{{\Cal P}}
\def\cR{{\Cal R}}
\def\cV{{\Cal V}}

\def\tC{\smash{\tilde C}}

\def\hexnbr#1{\ifnum#1<10 \number#1\else
 \ifnum#1=10 A\else\ifnum#1=11 B\else\ifnum#1=12 C\else
 \ifnum#1=13 D\else\ifnum#1=14 E\else\ifnum#1=15 F\fi\fi\fi\fi\fi\fi\fi}
\def\msatype{\hexnbr\msafam}
\def\msbtype{\hexnbr\msbfam}
\def\mathxtype{\hexnbr\mathxfam}

\mathchardef\smallsetminus="2\msbtype72   \let\ssm\smallsetminus
\mathchardef\leqslant="3\msatype36
\mathchardef\geqslant="3\msatype3E
\mathchardef\complement="0\msatype7B
\mathchardef\sqsymb="0\msatype03
\def\overacute{\mathaccent"0\mathxtype79}
\def\overobtuse{\mathaccent"0\mathxtype7D}

\let\ge=\geqslant
\let\le=\leqslant
\let\dsp=\displaystyle

\def\square{{\hfill \hbox{
\vrule height 1.453ex  width 0.093ex  depth 0ex
\vrule height 1.5ex  width 1.3ex  depth -1.407ex\kern-0.1ex
\vrule height 1.453ex  width 0.093ex  depth 0ex\kern-1.35ex
\vrule height 0.093ex  width 1.3ex  depth 0ex}}}
\def\qed{\phantom{$\quad$}\hfill$\square$}
\def\?{\hbox{$\,$}}

\catcode`@=11
\def\cmalign#1#2{\null\,\vcenter{\normalbaselines\m@th
    \ialign{$\displaystyle ##$\hfil&&\kern#1$\displaystyle ##$\hfil\crcr
      \mathstrut\crcr\noalign{\kern-\baselineskip}
      #2\crcr\mathstrut\crcr\noalign{\kern-\baselineskip}}}\,}
\catcode`@=12

\def\itemv{%
\item{\llap{$\square\kern7pt$}\llap{$\raise0.6pt\hbox{$\times$}\kern6pt$}}}
\def\itemf{%
\item{\llap{$\square\kern7pt$}}}

\def\lguil{\hbox{%
\raise1pt\hbox{$\scriptscriptstyle\langle\!\langle\kern1pt$}}}
\def\rguil{\hbox{%
\raise1pt\hbox{$\kern1pt\scriptscriptstyle\rangle\!\rangle$}}}

\def«{\lguil}
\def»{\rguil}

\def\sqind#1{\kern1.5pt\rlap{\raise5pt\hbox{$\scriptstyle#1$}}\kern-1.5pt}

\def\KH{{\rm KH}}
\def\ang{\mathop{\rm angle}}
\def\cotan{\mathop{\rm cotan}}
\def\cotanh{\mathop{\rm cotanh}}
\def\supess{\mathop{\rm sup\,ess}}
\def\infess{\mathop{\rm inf\,ess}}
\def\Id{\mathop{\rm Id}}
\def\Re{\mathop{\rm Re}}
\def\Im{\mathop{\rm Im}}
\def\mod{\mathop{\rm mod}}
\def\Jac{\mathop{\rm Jac}}
\def\Aut{\mathop{\rm Aut}}
\def\Supp{\mathop{\rm Supp}}
\def\lg{\mathop{\rm long}}
\def\oscil{\mathop{\rm oscil}}
\def\vol{\mathop{\rm vol}}
\def\aspect{\mathop{\rm aspect}}
\def\aire{\mathop{\rm aire}}
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\def\sign{\mathop{\rm sign}}
\def\grad{\mathop{\rm grad}}
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\def\div{\mathop{\rm div}}
\def\note#1#2{\footnote{${}^{\hbox{\sevenrm(#1)}}$}
{\baselineskip=8pt
{\eightpoint #2}\vskip-15pt}}
\def\\{\hfil\break}
\def\demi{\textstyle{1\over 2}}
\def\ovl{\overline}
\def\ovr{\overrightarrow}
\def\ul#1{$\underline{\smash{\hbox{#1}}}$}

\def\build#1^#2_#3{\mathop{#1}\limits^{#2}_{#3}}

\def\boxed#1#2{\hbox{%
        \leavevmode\thinspace\hbox{\vrule\vtop{\vbox{\hrule\kern1pt
        \hbox{\thinspace{$\displaystyle
        \raise2.5pt\hbox{\phantom{\vrule width 0.1pt height #1pt depth #1pt}}
        #2$}\thinspace}}
      \kern1pt\hrule}\vrule}\thinspace}}

% inclusion of PostScript files

\newcount\psfigurecount \psfigurecount=0
\newdimen\psfiguredx

\ifpdf
\def\RGBColor#1#2{{\pdfliteral{#1 rg}#2\pdfliteral{0 g}}}

\long\def\InsertPSFigure#1 #2 #3 #4\EndFig{\par\advance\psfigurecount by 1%
\pdfximage{\jobname_figures/fig\number\psfigurecount.pdf}%
\setbox9=\hbox{\pdfrefximage\pdflastximage}%
\psfiguredx=#1mm \advance\psfiguredx by 20mm%
\hbox{$\vbox to#2mm{\vfil%
\hbox{$\hskip #1mm\rlap{\smash{\raise-50mm\hbox to #1mm{\strut\kern-\psfiguredx%
\pdfximage width\wd9{\jobname_figures/fig\number\psfigurecount.pdf}%
\pdfrefximage\pdflastximage\kern-\wd9\hfil}}}$}}#4$}}

\long\def\InsertPSFile#1 #2 #3 #4 #5 #6\EndFig{\par
\hbox{\hskip #1mm$\vbox to#2mm{%
\vfil\special{pdf:}}#6$}}

\long\def\InsertImage#1 #2 #3 #4 #5 #6 #7 #8\EndFig{\par
\hbox{\hskip #1mm$\vbox to#2mm{\vfil\hbox{$\rlap{\smash{\pdfximage
\ifnum#3=0 \else width #3mm\fi \ifnum #4=0 \else height #4mm \fi depth 0cm{#7}%
\pdfrefximage\pdflastximage}}$}}#8$}}

\else
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\def\RGBColor#1#2{\special{color push rgb #1}#2\special{color pop}}

\long\def\InsertPSFigure#1 #2 #3 #4\EndFig{\par
\hbox{\hskip #1mm$\vbox to#2mm{\vfil\special{" 
#3}}#4$}}

\long\def\InsertPSFile#1 #2 #3 #4 #5 #6\EndFig{\par
\hbox{\hskip #1mm$\vbox to#2mm{%
\vfil\special{psfile=#5 hscale=#3 vscale=#4}}#6$}}

\long\def\InsertImage#1 #2 #3 #4 #5 #6 #7 #8\EndFig{\par
\hbox{\hskip #1mm$\vbox to#2mm{%
\vfil\special{psfile="`img2eps file #7 height #4 mm width #3 mm gamma #5
angle #6}}#8$}}

\fi

\long\def\LabelTeX#1 #2 #3\ELTX{\rlap{\kern#1mm\raise#2mm\hbox{#3}}}


% bibibliography
\def\bibitem#1&#2&#3&#4&%
{\hangindent=1.2cm\hangafter=1
\noindent\rlap{\hbox{\eightpointbf #1}}\kern1.2cm{\rm #2}{\it #3}{\rm #4.}} 

\openauxfile

\pageno=1
\notthispage=\pageno
\strut\vskip5cm
\centerline{\seventeenbf
Perspectives pour une renaissance}
\bigskip
\centerline{\seventeenbf
de l'enseignement des mathématiques}
\bigskip
\centerline{\seventeenbf 
dans le primaire et le secondaire}
\vskip2cm
\centerline{\fourteenbf Jean-Pierre Demailly}
\medskip
\centerline{\twelverm Institut Fourier, Université de Grenoble I}
\medskip
\centerline{\twelverm 27 mars 2010}
\vfill\eject
\chapterjump

\pageno=1
\notthispage=\pageno
\phantom{$\ $}
\bigskip
\chapterrunning{I.}
\title{Chapitre I :}
\title{Sur l'enseignement de la}
\title{géométrie élémentaire}
\titlerunning{Chapitre I. Sur l'enseignement de la géométrie élémentaire}
\bigskip
\centerline{\twelvebf Jean-Pierre Demailly}\medskip
\centerline{\twelverm  Université Joseph Fourier Grenoble I}
\smallskip
\centerline{\tt 
http://www-fourier.ujf-grenoble.fr/$\,\tilde{}\,$demailly/books.html}
\medskip
\centerline{version du 2 juillet 2008}
\vskip0.6cm

\section{0. Introduction}

L'objectif de ce texte est de proposer une piste pour
l'enseignement de la géométrie élémentaire et pour la réflexion sur
cet enseignement. La géométrie euclidienne se trouve être un domaine
très privilégié des mathématiques, à l'intérieur duquel il est
possible de mettre en œuvre depuis le point de départ des
raisonnements riches, tout en faisant appel de manière remarquable à
la vision et à l'intuition. Notre préoccupation est d'autant plus
grande que l'évolution des programmes scolaires depuis 3 ou 4
décennies révèle une diminution très marquée des contenus géométriques
enseignés, en même temps qu'un affaiblissement du raisonnement
mathématique auquel l'enseignement de la géométrie permettait
précisément de contribuer de façon essentielle.

Or, au delà de leurs applications dans tous les domaines des
sciences, les mathématiques jouent un rôle crucial dans la
formation de l'esprit critique des citoyens. Le raisonnement
mathématique est un atout considérable pour évaluer la
pertinence des assertions en tout genre issues de la société et du
monde politique. A l'heure où une certaine expression politique tend
à demander au public scolaire d'être le témoin docile de choix
éthiques, gestionnaires ou sociétaux contestables -- fussent-ils
marqués du sceau européen -- nous estimons au contraire que la
rigueur du raisonnement mathématique et l'universalité de sa
portée sont des garde-fous précieux. Encore faut-il pour cela que
les connaissances scien\-tifiques puissent être
librement accessibles à tous, et que les politiques publiques
favorisent leur création dans une vision à long terme au service
du citoyen\note{1}{Dans ce domaine, nous sommes préoccupés par la
réforme du système de recherche français qui tend à
réduire le rôle de la recherche fondamentale au profit de la seule
recherche rentable à court terme. La liberté de création et de
circulation des informations scientifiques est parfois gravement
compromise par une gestion abusive des questions de propriété
intellectuelle au bénéfice de la bulle spéculative et
financière. Nous avons ici par exemple à l'esprit le
scandale des traitements de lutte contre le sida, facturés à des
prix exorbitants au pays en voie de développement par des
laboratoires pharmaceutiques peu scrupuleux. Mais les
mathématiques elles-mêmes ne sont pas à l'abri. Ainsi, un
doctorant russe en cryptanalyse dénommé Igor Sklyarov et employé
par la société russe ElcomSoft, fut arrêté le 16 juillet
2001 à Las Vegas après avoir donné une conférence sur la
sécurité informatique. Il a été arrêté par le FBI,
sur ordre de l'industrie américaine du livre, pour avoir
diffusé des algorithmes arithmétiques susceptibles de
contourner des mesures de protection logicielles, selon les termes
du Digital Millennium Copyright Act. Sur ce plan, nous somme
heureux de constater l'émergence de communautés et d'acteurs
nouveaux favo\-rables à la libre diffusion des connaissances\?:
logiciels libres, encyclopédie universelle Wikipedia, journaux
scientifiques en libre accès, formats de documents libres et 
interopérables (\TeX, Openoffice Document Format, $\,\ldots$)}.

Une autre forme de liberté particulièrement importante pour les
mathématiques est celle de leurs méthodes d'enseignement. Ceci est vrai
particulièrement dans la situation d'incertitude qui prévaut sur la
validité du modèle éducatif actuel, et qui rend d'autant plus
nécessaire l'exploration de nouvelles pistes. De ce point de vue, nous
avons espoir que la liberté pédagogique prévue par la loi
d'orientation sur l'école soit vraiment appliquée par la hiérarchie éducative,
et qu'elle soit concrètement permise par les nouveaux programmes en
chantier. Compte tenu du précédent des mathématiques
modernes, nous ne souhaitons pas -- pour le cas improbable où
certains décideurs viendraient à l'envisager -- que le présent texte de 
propositions soit pris trop au pied de la lettre et devienne ainsi la
source d'un nouveau dogmatisme~!

Nous espérons néanmoins que l'approche décrite ci-dessous sera utile
aux professeurs et aux auteurs de manuels de mathématiques. Idéalement,
le contenu de ce texte devrait être maîtrisé aussi par tous les professeurs
d'école, car même à l'école primaire, il apparaît difficile d'avoir un 
recul suffisant sur l'enseignement de la géométrie sans posséder
l'essentiel des notions qui vont suivre (exception faite des
sections 10 à 13, qui portent sur des mathématiques plus avancées).
\bigskip

\section{1. Point de vue sur les axiomatiques de la géométrie}

Comme discipline constituée, la géométrie trouve son origine
dans l'axiomatique établie par Euclide et ses successeurs, même si
des connaissances géométriques élaborées préexistaient au
développement de la science grecque. L'enseignement traditionnel de
la géométrie institué en France au cours de la période
1880-1970 mettait en œuvre une approche directement inspirée
d'Euclide\?: énoncé des axiomes et des propriétés fondamentales
des objets et figures géométriques, puis utilisation des 
«\?cas d'égalité des triangles\?» comme point de départ du
raisonnement géométrique.

Cette approche avait l'intérêt d'être très concrète et de donner lieu
rapidement à des résultats et raisonnements riches en contenu. D'autre
part, elle rendait fidèlement compte du caractère intrinsèque des
propriétés géométriques, sans nécessiter le recours a priori au calcul
et à l'algèbre. Les choix opérés faisaient écho à une tradition
mathématique bien ancrée au XIX${}^{\rm e}$ siècle, ayant pour but de
dégager les formes de la «\?géométrie pure\?», dont l'un des points
culminants a été le développement de la géométrie projective par
Poncelet.

L'axiomatique d'Euclide n'était cependant ni complète ni tout à fait
satisfaisante sur le plan logique, ce qui a conduit des
mathématiciens comme Pasch et Hilbert à mettre au point le système
d'axiomes maintenant attribué à Hilbert, popularisé dans son célèbre
mémoire Grundlagen der Geometrie [Hil] en 1899. Il faut noter
toutefois que le nombre élevé d'axiomes mis en jeu et la complexité
logique du système rendent en réalité impossible son enseignement à un
niveau élémentaire\note{2}{Même sous la forme sensiblement améliorée
présentée par E.~Artin dans son célèbre ouvrage «\?Algèbre 
géométrique\?» [Art51], il apparaît que l'axiomatique de Hilbert peut 
difficilement être abordée avant la $3^{\rm e}$ ou $4^{\rm e}$ année 
d'université.}, ce qui 
veut dire qu'un nombre substantiel de propriétés formellement démontrables
devront être admises, et que la logique de cette axiomatique a toutes
les chances d'échapper complètement à l'élève (et même à ses enseignants). 
Ceci n'est toutefois pas nécessairement un handicap majeur pour l'introduction
et la compréhension des principaux résultats géométriques, comme la longue
expérience de l'enseignement secondaire de la III${}^{\rm e}$ République l'a
amplement montré.

On peut noter cependant une certaine coupure avec les formes modernes
beaucoup plus diversifiées du raisonnement géométrique, coupure déjà
sensible avec la géométrie analytique introduite par Descartes dans la
première moitié du XVII${}^{\rm e}$ siècle. La réforme dite des mathématiques
modernes a balayé ces points de vue en imposant brutalement un
changement complet de paradigme\?: l'enseignement de la géométrie se
devait de commencer par les fondements de l'algèbre linéaire, traités
qui plus est par une approche formelle et axiomatique dans le cadre le
plus général possible. Or celle-ci présente une difficulté conceptuelle 
a priori, qui est que l'univers sensible des physiciens est celui de la 
géométrie
euclidienne, avec en particulier la notion de longueur sous-jacente,
alors que l'algèbre linéaire abstraite tend à vouloir faire commencer
la géométrie avec un groupe d'invariance plus grand, à savoir le
groupe de toutes les transformations linéaires. Si cette approche a pu
tout de même donner des résultats satisfaisants au milieu des années
1970, notamment avec les 2 ou 3 promotions d'élèves qui avaient encore
bénéficié des programmes de géométrie euclidienne traditionnelle au
collège, il est apparu que les programmes s'enfermaient peu à peu dans
un formalisme excessif et stérile. On peut citer en exemple la
définition absconse de la droite affine donnée par les programmes de
4${}^{\rm e}$ au cours des années 1975-1985\?: c'est un ensemble muni
d'un système
de bijections avec l'ensemble des nombres réels, de sorte que deux
bijections quelconques $f$, $g$ se déduisent l'une de l'autre par une
relation de la forme $g(M)=af(M)+b$ où $a$ et $b$ sont des nombres
réels et~$a\ne 0$.

Les élèves ont fini par en faire une indigestion chronique - aggravée
il est vrai par les multiples réformes intervenues dans le primaire, qui ont
abouti de leur côté à un recul des possibilités de raisonnement et des
savoirs fondamentaux en calcul. L'étape suivante, sous le ministère
Chevènement en 1985, a résulté dans une série de coupes
sombres dans les programmes. Ceux-ci ont été marqués par un nouvel
affaiblissement des contenus enseignés en géométrie, dans des formes
qui ne laissaient plus place au collège qu'à des quasi-tautologies en
guise de raisonnement. La «\?dégénérescence\?» de l'enseignement du 
raisonnement nous paraît en grande partie imputable à l'insuffisance
de structuration logique des programmes et à l'absence d'un 
vocabulaire apte à formuler des énoncés riches et précis, comme par exemple le
vocabulaire ensembliste devenu soudain suspect et donc frappé de bannissement
quasi total. Bien que les programmes actuels du lycée donnent
l'illusion de contenir encore des éléments substantiels de géométrie,
on voit que la dominante est l'utilisation de calculs de géométrie
analytique dans $\bR^2$ et $\bR^3$, sans qu'une formulation
intrinsèque des concepts mis en jeu puisse se dégager clairement, en
particulier l'idée essentielle que les objets géométriques sont
indépendants des coordonnées choisies.

Il est donc indispensable d'en revenir à des modes d'enseignement de
la géométrie qui posent clairement la nature géométrique des objets
considérés, ce qui signifie que des définitions précises doivent
pouvoir être données, et que les programmes doivent permettre
d'obtenir et de démontrer des énoncés riches à partir des propriétés
prises comme point de départ. En un mot, il convient d'en revenir,
sous une forme explicite ou non, à une certaine forme de présentation
axiomatique de la géométrie. Nous ne voulons pas dire par là que
l'enseignement doit nécessairement adopter l'ordre de présentation
très strict sous-tendu par l'axiomatique choisie (quelle qu'elle soit),
mais celle-ci devrait d'une part donner un cadre précis où les enseignants
puissent se retrouver, et d'autre part guider la conception des
programmes et des progressions.

Pour justifier notre souhait de dépasser l'approche d'Euclide encore
utilisée dans l'enseignement il y a 50 ans, nous ferons observer que
l'on bénéficie aujourd'hui d'un avantage considérable par rapport aux
Grecs, qui est de disposer depuis Simon Stevin de notations
algébriques universellement admises, et depuis Descartes, de la
possibilité d'aborder la géométrie au moyen des coordonnées et
du calcul analytique. Pour ce qui est des nombres réels au
sens moderne, la géométrie grecque semblait surtout mettre
l'accent sur le concept de rapport de grandeurs de même nature,
et la notion de fonction polynôme n'était pas dégagée en tant
que telle~-- même si les Grecs savaient ramener les équations du
second et du troisième degré à des problèmes géométriques.

L'approche que nous voulons proposer ici sera donc une synthèse des
points de vue de Pythagore et Euclide avec celui de Descartes. La
géométrie euclidienne se caractérise par la donnée d'une distance se
calculant au moyen du théorème de Pythagore, et il se trouve alors que
tous les objets dont on a besoin en géométrie euclidienne peuvent se
définir à partir de la seule notion de
longueur\note{3}{Il est bien connu aujourd'hui que la donnée de la
structure métrique détermine un grand nombre d'autres invariants, 
comme la mesure
au sens de Hausdorff, la courbure riemannienne, etc. Ce point de vue a
été très largement développé par Mikhail Gromov dans les 2 ou 
3 dernières décennies. Voir par exemple
M.\ Gromov, {\it Structures métriques pour les variétés riemanniennes}, 
rédigé par J.\ Lafontaine et P.\ Pansu, Cedic/Fernand Nathan, Paris, 1981.}. 
Ainsi, dans la reconstruction de la
géométrie euclidienne que nous allons exposer, le théorème de Thalès
peut se déduire de celui de Pythagore. Un autre avantage est que
toutes les notions peuvent se définir à l'aide d'un formalisme minimal
et intuitif. De fait, la théorie va comporter une seule propriété de
départ, liée directement au théorème de Pythagore, que l'on peut en
outre justifier au préalable par des considérations intuitives simples
et visuelles (mais ce n'est certes pas la présence d'un seul axiome
qui soit nécessairement le fait décisif~-- en réalité l'axiome 
«\?Pythagore+Descartes\?» que nous allons introduire s'apparente
davantage à une description concise d'un modèle de la géométrie
euclidienne qu'à un axiome proprement dit). Contrairement à l'approche
issue de l'algèbre linéaire, nous partons des notions de points et de
figures géométriques plutôt que de celles beaucoup moins intuitives de
vecteurs et d'espaces vectoriels, et l'idée de vecteur apparaîtra
comme une construction a posteriori. Un autre de nos buts est de démonter
l'argument erroné que la géométrie élémentaire enseignée autrefois ne
constitue pas une partie sérieuse ou utile des mathématiques, parce
que non susceptible d'une formalisation rigoureuse au sens moderne.

Il y a certainement quelques désavantages à la synthèse qui va
être exposée. L'un d'entre eux est d'être seulement une
reconstruction moderne, qui, même si elle paraîtra tout à
fait évidente au mathématicien contemporain (et aurait sans doute
paru évidente aussi à Klein ou Hilbert), n'a probablement jamais
été enseignée telle quelle à une quelconque époque. Un
autre est de «\?rigidifier\?» d'emblée le modèle
euclidien, donc de ne pas être le cadre adapté aux autres
géométries d'incidence telles que les géométries affines ou
projectives. Enfin, les nombres réels sont
introduits a priori dans le modèle, donc il n'est pas question non
plus d'accéder aux géométries sur d'autres corps que celui des
réels. Mais pour une utilisation potentielle au collège ou au
lycée, nous avons fait le choix délibéré de privilégier
l'extrême simplicité à la généralité, et de nous focaliser
sur le modèle euclidien et archimédien qui est aussi celui de la
physique classique newtonienne$\,\ldots$ \vfill\eject

\section{2. Savoirs fondamentaux en calcul et en géométrie}

Comme nous l'avons esquissé plus haut, l'enseignement de la
géométrie est indissociable de celui du calcul
arithmétique. Cela sera vrai en particulier pour l'étude du
modèle euclidien (au sens moderne du terme), qui est fondé sur la
notion de nombre réel. Nous décrirons donc tout d'abord
les connaissances fondamentales en calcul mises en jeu.

\subsection{2.1. L'école primaire et les quatre opérations}

Il est indispensable que l'école primaire enseigne de nouveau le calcul 
écrit, afin d'abou\-tir à une maîtrise complète des algorithmes opératoires --
les calculettes ne doivent être utilisées que lorsque l'élève y est parvenu.
La pratique sûre et effective du calcul écrit suppose une connaissance 
fluide des tables d'addition et de multiplication (et leur lecture 
inverse$\,$: «\?tables de 
soustraction\?» et de «\?division\?» ). Certains pédagogues 
minima\-listes tendent à reporter l'essentiel de leur attention
sur le calcul approché (estimations des ordres de grandeur) ou
sur le calcul mental, mais les points suivants sont à peu près
incontournables$\,$:
{\parindent=6.5mm
\item{--}bien que le calcul mental, comme le calcul écrit, implique
la connaissance fluide des tables, ses procédures sont différentes,
du fait de la nécessaire mémorisation des résultats intermédiaires. On
procède ainsi par manipulation des unités, dizaines, centaines, milliers plutôt
que sur les chiffres pris isolément, en partant d'ailleurs en général
plutôt des chiffres de poids fort que des chiffres de poids faible comme
c'est le cas avec les algorithmes posés usuels. En outre, la taille réduite
des nombres mis en jeu ne permet pas d'atteindre le degré de généralité
nécessaire pour une compréhension complète des algorithmes du calcul posé.
\item{--}s'il existe chez le jeune enfant une sorte de perception intuitive
de la taille des nombres précédant son aptitude au calcul exact (perception 
qu'il convient bien sûr de ne pas contrecarrer), la fiabilité de la maîtrise 
du calcul approché et des ordres de grandeur n'est atteinte qu'au 
moyen d'éléments préalables du calcul exact, par exemple le calcul des 
puissances de dix combiné à la table de multiplication.
\item{--}enfin, même dans l'optique de la maîtrise du seul calcul approché,
l'apprentissage d'un algorithme tel que celui de la division est un atout
décisif$\,$: lorsque le diviseur comporte deux chiffres ou plus, l'obtention
des chiffres du quotient fait fonctionner de manière très effective l'aptitude
au calcul approché de la multiplication d'un nombre à un chiffre par un nombre
à plusieurs chiffres. En la circonstance, on sait bien que l'enfant a besoin de
points de repère précis et d'objectifs clairement définis pour construire
ses schémas mentaux, il ne suffit donc pas de déclarer le calcul 
approché comme un objectif pour qu'il se réalise par miracle.
\vskip0pt
}

Bien entendu la maîtrise des algorithmes est très loin de se
suffire à elle-même, l'enfant ne peut accéder au sens des
opérations qu'en résolvant aussi des problèmes concrets portant sur
des grandeurs de la vie courante (nombre de pommes, monnaie,
longueurs, poids$\,\ldots$). Ce sens ne peut se construire de
manière efficace que si les quatre opérations sont introduites
simultanément, afin que l'enfant puisse comparer et
éventuellement opposer l'usage des différentes
opérations. C'est donc le plus tôt possible, au cours
préparatoire et même à la maternelle, que les quatre
opérations doivent être étudiées.

\subsection{2.2. Synergie de l'enseignement du calcul et de la
géométrie}

C'est dès la maternelle que les considérations géométriques
apparaissent, par exemple au travers des activités de dessin ou de
coloriage. Il est utile de faire dessiner des motifs géométriques
simples, des frises, etc.

Au cours des premières années du primaire, le travail sur la
géométrie doit venir solliciter les connaissances en calcul et
réciproquement. Ainsi, le calcul du périmètre d'un rectangle
permet de faire travailler l'addition, celui de son aire fait
utilement mettre en pratique la multiplication et les changements
d'unité. La représentation géométrique du rectangle donne la
preuve de la commutativité de la multiplication\?:

\InsertPSFigure 5.000 32.000 {
gsave
/a 7 def /b 5 def /w 15 def
0.3 setlinewidth
0 1 a {/k exch def 
k w mul 0 moveto 0 w b mul rlineto stroke
} for
0 1 b {/l exch def 
0 l w mul moveto w a mul 0 rlineto stroke } for
0 1 a 1 sub {/k exch def 
0 1 b 1 sub {/l exch def 
w 2 div dup w k mul add exch w l mul add moveto 
currentpoint 3 0 360 arc fill
} for } for
1 0 0 setrgbcolor
0 1 b 1 sub {/l exch def 
w 2 div dup l w mul add moveto w a 1 sub mul 0 rlineto stroke } for
0 0 0 setrgbcolor
w a 2.5 add mul 0 translate
0 1 a {/k exch def 
k w mul 0 moveto 0 w b mul rlineto stroke
} for
0 1 b {/l exch def 
0 l w mul moveto w a mul 0 rlineto stroke } for
0 1 a 1 sub {/k exch def 
0 1 b 1 sub {/l exch def 
w 2 div dup w k mul add exch w l mul add moveto 
currentpoint 3 0 360 arc fill
} for } for
1 0 0 setrgbcolor
0 1 a 1 sub {/k exch def 
w 2 div dup k w mul add exch moveto 0 w b 1 sub mul rlineto stroke } for
grestore
}
\LabelTeX 100 12 $7\times 5=5\times 7$\ELTX
\EndFig
\medskip

Certaines identités numériques comme $6\times 8=7\times 7-1$ ou
$5\times 9=7\times 7-4$ peuvent se visualiser et s'expliquer géométriquement
(il serait bon de faire la manipulation avec des pièces en bois pour 
solliciter tous les sens$\,\ldots$)
\InsertPSFigure 5.000 43.000 {
gsave
/a 7 def /b 7 def /w 15 def
0.3 setlinewidth
0 0 moveto a 1 sub w mul 0 rlineto 0 w rlineto
a 1 sub w mul neg 0 rlineto closepath 0.8 0.8 1 setrgbcolor fill
0 w moveto a w mul 0 rlineto 0 b 1 sub w mul rlineto
a w mul neg 0 rlineto closepath 1 0.8 0.8 setrgbcolor fill
w a 1 sub mul 0 moveto w 0 rlineto 0 w rlineto
w neg 0 rlineto closepath 0.8 1 0.8 setrgbcolor fill
0 setgray
0 1 a 1 add {/k exch def 
k w mul 0 moveto 0 w b mul rlineto stroke
} for
0 1 b {/l exch def 
0 l w mul moveto w a 1 add mul 0 rlineto stroke } for
w a 1 add 2.5 add mul 0 translate
a w mul w moveto w 0 rlineto 0 w b 1 sub mul rlineto
w neg 0 rlineto closepath 0.8 0.8 1 setrgbcolor fill
0 w moveto a w mul 0 rlineto 0 b 1 sub w mul rlineto
a w mul neg 0 rlineto closepath 1 0.8 0.8 setrgbcolor fill
w a 1 sub mul 0 moveto w 0 rlineto 0 w rlineto
w neg 0 rlineto closepath 0.8 1 0.8 setrgbcolor fill
0 setgray
0 1 a 1 add {/k exch def 
k w mul 0 moveto 0 w b mul rlineto stroke
} for
0 1 b {/l exch def 
0 l w mul moveto w a 1 add mul 0 rlineto stroke } for
grestore
}
\LabelTeX 15 -5 $7\times 7$\ELTX
\LabelTeX 65 -5 $6\times 8=7\times 7-1$\ELTX
\EndFig
\vskip3mm

\InsertPSFigure 5.000 41.000 {
gsave
/a 7 def /b 7 def /w 15 def
0.3 setlinewidth
0 0 moveto a 2 sub w mul 0 rlineto 0 w 2 mul rlineto
a 2 sub w mul neg 0 rlineto closepath 0.8 0.8 1 setrgbcolor fill
0 w 2 mul moveto a w mul 0 rlineto 0 b 2 sub w mul rlineto
a w mul neg 0 rlineto closepath 1 0.8 0.8 setrgbcolor fill
w a 2 sub mul 0 moveto w 2 mul 0 rlineto 0 w 2 mul rlineto
w -2 mul 0 rlineto closepath 0.8 1 0.8 setrgbcolor fill
0 setgray
0 1 a 2 add {/k exch def 
k w mul 0 moveto 0 w b mul rlineto stroke
} for
0 1 b {/l exch def 
0 l w mul moveto w a 2 add mul 0 rlineto stroke } for
w a 2 add 2.5 add mul 0 translate
a w mul w 2 mul moveto w 2 mul 0 rlineto 0 w b 2 sub mul rlineto
w -2 mul 0 rlineto closepath 0.8 0.8 1 setrgbcolor fill
0 w 2 mul moveto a w mul 0 rlineto 0 b 2 sub w mul rlineto
a w mul neg 0 rlineto closepath 1 0.8 0.8 setrgbcolor fill
w a 2 sub mul 0 moveto w 2 mul 0 rlineto 0 w 2 mul rlineto
w -2 mul 0 rlineto closepath 0.8 1 0.8 setrgbcolor fill
0 setgray
0 1 a 2 add {/k exch def 
k w mul 0 moveto 0 w b mul rlineto stroke
} for
0 1 b {/l exch def 
0 l w mul moveto w a 2 add mul 0 rlineto stroke } for
grestore
}
\LabelTeX 15 -5 $7\times 7$\ELTX
\LabelTeX 65 -5 $5\times 9=7\times 7-2\times 2$\ELTX
\EndFig
\vskip3mm

Ces petits raisonnements sont bien de véritables démonstrations mathématiques, 
parmi les premières que l'on puisse présenter aux élèves.

Venons-en aux aires. On commencera naturellement par le calcul de
l'aire d'un rectangle dont les côtés comprennent un nombre entier de fois
l'unité de longueur choisie. Plus tard, 
pour calculer l'aire d'un rectangle de côtés $1,2\,$m par
$0,7\,$m, on se ramène en décimètres, ce qui donne
$$12\,\hbox{dm}\times 7\,\hbox{dm}=84\,\hbox{dm}^2=0,84\,\hbox{m}^2,$$
sachant que $1\,\hbox{m}^2=100\,\hbox{dm}^2$ et donc 
$1\,\hbox{dm}^2=0,01\,\hbox{m}^2$. On voit donc que l'aire d'un rectangle
est bien toujours le produit des longueurs des côtés, même lorsque ces
longueurs sont des nombres décimaux. La distributivité
de la multiplication par rapport à l'addition se lit géométriquement\?:
\InsertPSFigure 5.000 36.000 {
gsave
0 0 moveto 120 0 lineto 120 90 lineto 0 90 lineto closepath
1 0.8 0.8 setrgbcolor fill
120 0 moveto 180 0 lineto 180 90 lineto 120 90 lineto closepath 
0.8 0.8 1 setrgbcolor fill
0 setgray
0 0 moveto 120 0 lineto 120 90 lineto 0 90 lineto closepath stroke
120 0 moveto 180 0 lineto 180 90 lineto 120 90 lineto closepath stroke
grestore}
\LabelTeX -3 15 $a$\ELTX
\LabelTeX 20 -4 $b$\ELTX
\LabelTeX 52 -4 $c$\ELTX
\LabelTeX 75 15 $a\times(b+c)=a\times b+a\times c$\ELTX
\EndFig
\vskip3mm

Le calcul des aires et des volumes permet ainsi de consolider la
compréhension du sens des opérations en liaison avec la manipulation
des unités. Il est possible de donner en primaire de véritables
démonstrations mathématiques non triviales -- par exemple en CM1 ou en
CM2 on peut donner la justification de la formule d'aire du disque\?:

\InsertPSFigure 11.000 55.000 {
gsave
0.5 0.5 scale
-60 0 translate
/R 120 def
/steps 16 def
/delta 360 steps div def
R 1.1 mul R 1.1 mul translate
0 1 steps 1 sub { /k exch def
         0 0 moveto k delta mul dup cos R mul exch sin R mul lineto
         0 0 R k delta mul k 1 add delta mul arc 0 0 lineto closepath
         gsave
	 k 2 mul steps lt { 0.72 0.72 1 setrgbcolor }
	                  { 1 0.72 1 setrgbcolor } ifelse
	 fill grestore stroke} for
gsave
0.4 setlinewidth
[ 5 2 ] 0 setdash
0 0 moveto 180 delta 0.5 mul sub dup cos R mul exch sin R mul lineto stroke
grestore
/delta delta 2 div def
/dx delta sin R mul 2 mul def
R 1.6 mul R -0.5 mul translate
gsave
0 1 steps 2 div 1 sub { /k exch def
         0 0 moveto
         delta sin R mul delta cos R mul lineto
	 0 0 R 90 delta sub 90 delta add arc
	 currentpoint /y exch def /x exch def
	 0 0 lineto closepath
	 gsave 0.72 0.72 1 setrgbcolor fill grestore stroke 
         gsave
	 x dx add y translate
	 1 -1 scale
	 0 0 moveto
         delta sin R mul delta cos R mul lineto
	 0 0 R 90 delta sub 90 delta add arc
	 0 0 lineto closepath
	 gsave 1 0.72 1 setrgbcolor fill grestore stroke
         grestore
	 dx 0 translate} for
grestore
gsave
0.4 setlinewidth
[ 5 2 ] 0 setdash
0 0 moveto 0 R lineto stroke
dx steps mul 0.5 mul 0 translate
0 0 moveto 0 R lineto stroke
0 0 R 90 90 delta add arc stroke
grestore
0 -30 moveto 0 180 10 vector stroke
0 -30 moveto dx steps mul 0.5 mul 0 10 vector stroke
dx steps mul 0.5 mul 35 add 0 translate
0 0 moveto 0 -90 10 vector stroke
0 0 moveto R 90 10 vector stroke
grestore
}
\LabelTeX 7 48 Disque\kern1.4cm $\longrightarrow$\kern1.4cm 
parallélogramme (ou rectangle)\ELTX
\LabelTeX -9 -5 $\displaystyle \pi={P\over D}~~\Rightarrow~~ 
P=\pi\times D=2\times \pi\times R$\ELTX 
\LabelTeX 72 0 base$\displaystyle{}\simeq{P\over 2}=\pi\times R$\ELTX 
\LabelTeX 115 22 $R$\ELTX
\EndFig

À la limite, en augmentant le nombre de secteurs triangulaires, on voit donc
que l'aire du disque est donnée par $\pi\times R\times R=\pi R^2$. Bien entendu,
ce travail suppose que l'on ait au préalable soigneusement traité l'aire 
du rectangle, du triangle et du parallélogramme, avec là encore les découpages
géométriques classiques pour justifier les formules. Le statut de la
formule $P=\pi D=2\pi R$ est différent, dans ce cas il s'agit plutôt d'une 
{\it définition}
du nombre~$\pi$\?: c'est le rapport du périmètre au diamètre, qui est
indépendant du cercle considéré (on justifiera intuitivement que si 
le diamètre double
ou triple, il en est de même pour le périmètre, ce qui formellement
résulte du théorème de Thalès$\,\ldots$). Il est bien 
sûr souhaitable d'expérimenter en enroulant quelques tours d'une ficelle 
autour d'un tuyau de diamètre connu, pour trouver une valeur approchée
de~$\pi$.

De manière générale, l'enseignement de la géométrie doit se
faire autour de mani\-pulations concrètes\?: découpages, usage des
instruments (règle, compas, rapporteur), tracés et constructions
élémentaires (milieu, médiatrice, bissectrice, $\ldots$). Le
travail sur papier quadrillé aide à former une première
représentation intuitive des coordonnées cartésiennes~; il
serait donc extrêmement utile d'envisager des activités dans cette
direction dès le Cours \'Elémentaire.

\subsection{2.3. Nombres négatifs, racines carrées, nombres réels}

Avec la maîtrise des opérations élémentaires apparaissent naturellement 
les progressions arithmétiques et géométriques simples
$$
\eqalign{
&0,\quad a,\quad 2a,\quad 3a,\quad 4a,\quad 5a,\quad 6a,\quad 7a,
\quad \ldots\cr
&1,\quad a,\kern10.7pt a^2,\kern10.7pt a^3,\kern10.7pt 
a^4,\kern10.7pt a^5,\kern10.7pt a^6,\kern10.7pt a^7,\kern10pt \ldots\cr}
$$
où $n\,a=a+a+\ldots+a$ (répété $n$ fois) et
$a^n=a\times a\times\ldots\times a$ (répété $n$ fois). Le cas 
particulier des carrés, des cubes et des puissances de 10 relève déjà
de l'enseignement primaire. 

C'est encore au moyen de considérations géométriques (règle graduée,
thermomètre), que l'on ressent le mieux le besoin d'introduire les
nombres négatifs, à commencer par les multiples entiers négatifs
d'une unité\?:
$$
\ldots~~-5u,\quad -4u,\quad -3u,\quad -2u,\quad -u,\quad 0,
\quad u,\quad 2u,\quad 3u,\quad 4u,\quad 5u,\quad 6u,\quad 7u~~\ldots
$$
Au début du collège, on peut ensuite enchaîner avec les nombres 
décimaux négatifs et les échelles de mesure «\?continues\?». Le 
souhait d'étendre
la propriété de distributivité de la multiplication aux nombres de signe
quelconque permet de déduire la règle des signes pour le produit
des nombres positifs et négatifs\?:
$$a\times(b+(-b))=a\times b + a\times(-b),$$
et comme le membre de gauche vaut $a\times 0=0$ on doit avoir
$a\times(-b)=-(a\times b)$.

À la fin du cycle primaire, la pratique sûre de la division posée permet
d'observer la périodicité des restes et donc du développement décimal
d'une fraction. Ceci est particulièrement apparent sur de nombreuses fractions
de petit dénominateur conduisant à une périodicité très courte 
(dénominateurs tels que 3, 7, 9, 11, 21, 27, 33, 37, 41, 63, 77, 99, 
101,~271 ($\ldots$) et leurs multiples par 2 et 5, qui
conduisent à une période de longueur 6 au plus).

Les nombres réels apparaissent naturellement comme développements
décimaux non périodiques avec l'introduction de 
la racine carrée. Cependant, l'usage prématuré
des calculettes lié à l'absence de pratique suffisante 
du calcul décimal approché «\?à la main\?», par exemple des
divisions, risque de conduire à une vision pauvre, trop formelle, de 
la notion de racine carrée. Il convient absolument que les 
élèves soient confrontés au problème numérique
de l'extraction de la racine carrée, par exemple de $\sqrt{2}\,$:
$$
\eqalign{
&(1,4)^2= 1,96\quad (1,5)^2= 2,25\qquad\hbox{donc}\quad 1,4<\sqrt{2}<1,5,\cr
&(1,41)^2= 1,9881\quad (1,42)^2= 2,0164\qquad\hbox{donc}\quad 
1,41<\sqrt{2}<1,42,\cr
&(1,414)^2= 1,999396\quad (1,415)^2= 2,002225\qquad\hbox{donc}
\quad 1,414<\sqrt{2}<1,415\quad\ldots\cr}
$$
Nous recommandons cette réintroduction dès la cinquième, en même
temps que la preuve du théorème de Pythagore, qui met en évidence la
nécessité géométrique des racines carrées (bien sûr, ceci 
suppose en pratique
que les graves déficiences du primaire aient été préalablement 
résolues$\,\ldots$).

Lorsque ceci aura été compris, il deviendra possible de donner une 
définition précise générale de
la notion de nombre réel, qui est une bonne occasion d'avoir une
première approche implicite de la notion de limite$\,$: 
\medskip

{\bf (2.3.1) Définition.} {\it Les nombres réels servent à mesurer les
grandeurs, avec une précision illimitée. Un nombre réel s'exprime donc par
un développement décimal illimité quelconque, non nécessairement 
périodique, autrement dit une suite
$\pm\;\sqsymb\sqsymb\ldots\sqsymb\sqsymb,
\sqsymb\sqsymb\sqsymb\sqsymb\sqsymb\ldots$
de~chiffres $0,1,2,3,4,5,6,7,8,9$
en nombre fini à gauche de la virgule et en nombre infini à droite de
celle-ci, précédée du signe $+$ ou du signe~$-$ $($l'absence de signe 
signifiant implicitement qu'on met le signe $+{}$, sauf pour 
le nombre zéro $\,0=0,000\ldots\;$ qui n'a pas de signe$)$.\\
D'un point de vue géométrique, un nombre réel
correspond à un point sur un axe  orien\-té, qui serait positionné à
l'aide d'une «\?règle graduée de précision infinie\?».}
\medskip

Nous préconisons de manière très ferme l'enseignement de l'algorithme 
d'extraction de la racine carrée «\?à la main\?», qui, comme tout
algorithme effectif, met l'enfant en situation de maîtriser son
environnement numérique (et lui fait voir, en la circonstance,
l'absence de raison particulière qu'une racine carrée d'un nombre entier 
possède en général un développement décimal périodique).
Ce serait là une excellente
consolidation post-primaire de la pratique du calcul posé$\,$;
l'expérience montre que les enfants qui maîtrisent bien la division
passent très facilement à l'algorithme de la racine carrée (une heure
ou deux suffisent), de sorte que cet apprentissage n'engendre aucune
perte de temps. Malheureusement, il n'est possible de tester ceci
aujourd'hui que sur une fraction infime de la population scolaire,
tellement la soupe est devenue insipide et la maîtrise des
algorithmes opératoires incertaine$\,\ldots$

Pour que la définition (2.3.1) devienne rigoureuse et précise, 
on doit expliquer aussi les développements décimaux propres et 
impropres$\,$\note{4}{Une fois que cela est fait, la définition (2.3.1) peut 
être considérée comme une définition formelle parfaitement 
acceptable des nombres réels -- même si celle-ci a l'inconvénient, qui
tient plus d'un léger manque d'élégance, de sembler dépendre
du choix de la base 10.}.
On fait constater à l'élève que $0,999999\ldots = 1$, en effet si 
$x=0,999999\ldots\;$, alors \hbox{$10\,x = 9,999999\ldots\;$},
donc\break \hbox{$10\,x-x=9$} et ceci conduit à admettre nécessairement
que $x=1$, si
on veut que les règles de calcul sur les nombres décimaux continuent à 
fonctionner sur les dévelop\-pements décimaux illimités. Plus
généralement on a par exemple 
$$
0,34999999\ldots=0,35 = 0,35000000\ldots
$$ 
Ces observations apparaissent comme des précisions à apporter à
la définition (2.3.1)$\,$:
\medskip

{\bf (2.3.2) Complément à la définition des nombres réels.} {\it
Les nombres décimaux ont deux écritures possibles, l'une finie $($ou, ce 
qui revient au même, comportant une infinité de $0$ consécutifs$)$, 
appelée «\?déve\-loppement propre\?», l'autre 
sous forme de «\?dévelop\-pement impropre\?» avec une 
infinité de~$9$ consécutifs et le chiffre précédent réduit
d'une unité.  Les nombres réels non décimaux n'ont qu'un seul
développement décimal illimité.}
\medskip

Les opérations sur les décimaux permettent de trouver le trouver
le développement de la somme et du produit de deux
nombres réels avec n'importe quelle précision donnée d'avance -- donc
de calculer la somme et le produit de deux nombres réels,
au moins en principe\note{5}{Pour une justification théorique
complète, on a besoin du théorème sur la convergence des suites 
croissantes majorées de nombres réels, ce qui relève au mieux du lycée, cf.\ 
notre texte {\it Puissances, exponentielles, logarithmes,$\,\ldots$} pour plus
de détails.}. La relation d'ordre est obtenue en comparant les décimales
une à une.

À ce stade, dès la cinquième disons, on devrait pouvoir aboutir
aux caractérisations importantes qui suivent (sous réserve que tous
les programmes précédents aient été reconstruits de manière
solide$\,$!)$\,$: \medskip

{\bf (2.3.3) Caractérisation des nombres rationnels et décimaux.}{\it
{\parindent=6.5mm
\item{\rm (a)} Un développement décimal représente un nombre
rationnel $($fraction de nombres en\-tiers$)$ si et seulement si ce
dévelop\-pement est périodique à partir d'un certain rang.
\item{\rm (b)} Parmi les nombres rationnels, les nombres décimaux sont
ceux dont le dévelop\-pement comporte
au choix une infinité de $0$ consécutifs $($«\?développement 
décimal propre\?» $)$ ou une infinité de $9$
consécutifs $($«\?développement décimal impropre\?» $)$.
\item{\rm(c)} Les nombres réels non décimaux sont caractérisés par le
fait que leur développement ne
comporte pas une suite infinie de décimales consécutives qui sont tous
des $0$ ou tous des $9\,;$ ils ont donc soit une infinité de décimales
qui ne sont ni des $0$ ni des~$9$, soit une alternance infinie 
$($éventuellement irrégulière$)$ de $0$ et de~$9$ à partir d'un
certain rang.\medskip}}

{\it Démonstration.} (a) En effet, étant donné une fraction $p/q$ simplifiée 
qui n'est pas un
nombre décimal (c'est-à-dire que $q$ a d'autres facteurs premiers 
que $2$ et $5$), l'algorithme de division avec virgule de $p$ par $q$ 
«\?ne tombe pas juste\?» et conduit à des restes
qui figurent parmi $1$, $2$, $\ldots$ , $q-1$. Au bout de $q-1$ étapes
au plus après la virgule, on retombe nécessairement sur un reste 
déjà trouvé, de sorte que le développement est périodique et que
la période est au plus de longueur $q-1$.\note{6}{De façon plus 
formelle, si on regarde les restes de la division de $10^m$ par
un entier $q\in\bN^*$ quelconque, il doit exister deux entiers $m<n$ 
dans l'intervalle $[0,q-1]$
tels que $10^m$ et $10^n$ ont le même reste, donc $q$ divise
$10^n-10^m$. Autrement dit, $q$ divise l'entier $10^m(10^a-1)$ avec
$a=n-m$. La fraction $p/q$ s'écrit encore $10^{-m}{p\over 10^a-1}=
10^{-n}(k+{r\over 10^a-1})$ où $r$ est le reste de la division de $p$
par $10^a-1$ et $k$ son quotient. Comme $r$ est un entier d'au plus 
$a$ chiffres et que $1/(10^a-1)=0,\RGBColor{1 0 0}{00...001}
\RGBColor{0 0 1}{00...001}...$ avec une périodicité
de $a$ chiffres, on voit que $r/(10^a-1)=0,\RGBColor{1 0 0}{r_1r_2...r_{a-1}r_a}
\RGBColor{0 0 1}{r_1r_2...r_{a-1}r_a}...$ où $r_1r_2...r_{a-1}r_a$ est
l'écriture décimale de $r$. Suivant le signe de $p$, ceci implique 
un développement décimal de la forme
$${p\over q}=
\pm\, k'_Nk'_{N-1}...k'_1k'_0,k_1k_2...k_m\RGBColor{1 0 0}{r_1r_2...r_{a-1}r_a}
\RGBColor{0 0 1}{r_1r_2...r_{a-1}r_a}...$$\vskip-10pt}\eject

Inversement, si on a 
un développement périodique, disons de longueur $5$, soit par exemple
$$
x=0,107\RGBColor{1 0 0}{23114}\RGBColor{0 0 1}{23114}\RGBColor{1 0 0}{23114}\RGBColor{0 0 1}{23114}\ldots,
$$
on observe que la division $1:99999$ donne
$$
{1\over 99999}=0,\RGBColor{1 0 0}{00001}\RGBColor{0 0 1}{00001}\RGBColor{1 0 0}{00001}\RGBColor{0 0 1}{00001}\ldots,
$$
de sorte que
$$
\eqalign{
&{23114\over 99999}=23114\times{1\over 99999}
=0,\RGBColor{1 0 0}{23114}\RGBColor{0 0 1}{23114}\RGBColor{1 0 0}{23114}\RGBColor{0 0 1}{23114}\ldots\cr
\noalign{\vskip6pt}
&{23114\over 99999000}
=0,000\RGBColor{1 0 0}{23114}\RGBColor{0 0 1}{23114}\RGBColor{1 0 0}{23114}\RGBColor{0 0 1}{23114}\ldots\cr
}
$$
En définitive, comme $0,107=\displaystyle{107\over 1000}$, on obtient
$$
x={107\over 1000}+{23114\over 99999000}
={107\times 99999+23114\over 99999000}
={10723007\over 99999000}
$$
qui est bien un nombre rationnel. Ce procédé de mise en forme de fraction
s'étend facilement à tout développement décimal périodique. L'affirmation
(b) est seulement une reformulation de la définition (2.5), et (c) lui
est équivalente. Le dernier cas de (c) est illustré par exemple 
par le nombre rationnel $1/11=0,09090909\,\ldots$\qed
\medskip

Toutes ces considérations sont consolidées par l'introduction du calcul
algébrique et polynomial, la manipulation des inégalités et des 
encadrements, les identités remarquables. Il me paraît
important de visualiser géométri\-quement $(a+b)^2$, $(a+b)(a-b)$. Il 
serait utile de distribuer dans toutes les écoles primaires et tous 
les collèges de France des assemblages de pièces en bois 
permettant de visualiser 
$(a+b)^2$, $(a+b)^3$ (car ce sujet peut même être abordé de manière 
concrète dès la fin de l'école
primaire, à l'occasion de l'introduction des aires et des volumes).
L'identité $(10a+b)^2-100a^2=(20a+b)b$ intervient dans la justification 
de l'algorithme de la racine carrée. À un niveau plus élémentaire 
(disons au CM2) -- et avec une justification seulement géométrique
sur des carrés découpés dans du papier millimétré -- la formule 
$$
(10a+5)^2=100\,a(a+1)+25
$$
peut servir au calcul mental efficace de carrés de nombres se terminant 
par 5$\,$:\break ainsi $(75)^2=5625$, le nombre $56$ étant obtenu en faisant
$a(a+1)=7\times 8$.
\vfill\eject

\section{3. Premiers pas de l'enseignement de la géométrie au 
collège}
\sectionrunning{3. Premières étapes de l'enseignement
de la géométrie au collège}

\subsection{3.1. Concepts fondamentaux}

Compte tenu de l'approche que nous souhaitons développer, la notion de
longueur et de distance est l'une des notions primitives sur
lesquelles nous allons nous appuyer -- ceci ne devrait pas poser de
difficulté particulière puisqu'il s'agit précisément de l'une des
premières notions déjà enseignées à l'école primaire.

Les autres notions primitives sont celle de nombre réel (déjà discutée),
et celles de point  et d'ensemble de points\?: un point doit être pensé
comme un objet géométrique qui n'a ni étendue ni épaisseur (ou plutôt
une épaisseur et une étendue nulles); on en obtient une
approximation en représentant une petite croix avec un crayon bien
taillé.  Une figure géométrique est constitué d'une collection ordonnée 
finie ou infinie de points -- ainsi une ligne continue contient une 
infinité de points au sens mathématique du terme. Une droite, un plan
sont également considérés comme des ensembles infinis de points.

On sera donc amené à raisonner avec les ensembles, et, pour cela,
nous recommandons que le symbolisme ensembliste de base
soit (ré)introduit dès le début du collège\?: ensembles définis
en extension et en compréhension, notations $x\in E$ (l'élément $x$ appartient
à l'ensemble $E$), $A\subset B$ (l'ensemble $A$ est inclus dans 
l'ensemble $B$), $A\cup B$ (union de $A$ et $B$), $A\cap B$ (intersection 
de $A$ et $B$), $A\ssm B$ (différence ensembliste $A$ moins $B$). À ce 
niveau, il s'agit seulement  d'un langage et de notations utiles, pas 
d'une théorie axiomatique$\,\ldots$

Étant donné deux points $A,B$ du plan ou de l'espace, on note 
$d(A,B)$ (ou encore simplement $AB$) leur distance, qui est en général
un nombre positif, nul si les points $A$ et $B$ sont confondus -- concrètement
cette distance se mesure avec une règle graduée. La première propriété
fondamentale de la distance est la suivante\?:
\medskip

{\bf 3.1.1. Inégalité triangulaire.} {\it Étant donnés trois points $A,B,C$,
  les distances vérifient toujours $AC\le AB+BC$, autrement dit la
  longueur d'un côté d'un triangle est toujours inférieure ou égale à
  la somme des longueurs des deux autres côtés.}

{\it Justification intuitive}.

\InsertPSFigure 18.000 25.000 {
gsave
0.4 setlinewidth
0 0 moveto 50 50 lineto 100 40 lineto closepath stroke
50 50 moveto 60.345 24.138 lineto stroke
60.345 24.138 moveto -1 2.5 rlineto 2.5 1 rlineto 1 -2.5 rlineto stroke
140 0 translate
0 0 moveto 120 60 lineto 100 40 lineto closepath stroke
120 60 moveto 124.138 49.655 lineto stroke
124.138 49.655 moveto -1 2.5 rlineto 2.5 1 rlineto 1 -2.5 rlineto stroke
[3.5 1.5] 0 setdash
100 40 moveto 140 56 lineto stroke
grestore}
\LabelTeX -3 -3 $A$\ELTX
\LabelTeX 16 19 $B$\ELTX
\LabelTeX 36 14 $C$\ELTX
\LabelTeX 21  5 $H$\ELTX
\LabelTeX 46.5 -3 $A$\ELTX
\LabelTeX 92 22 $B$\ELTX
\LabelTeX 84 11 $C$\ELTX
\LabelTeX 93 14.5 $H$\ELTX
\EndFig
\vskip3mm

On abaisse la hauteur issue de $B$ sur la droite $(AC)$ et on note $H$ le
pied de la hauteur. Si $H$ est situé entre $A$ et $C$, on a 
$AC=AH+HC$, et d'autre part, si le triangle n'est pas aplati (c'est-à-dire
si $H\ne B$), on
a $AH<AB$ et $HC<BC$ (car dans un triangle rectangle l'hypoténuse
est plus grande que les deux autres côtés -- on le vérifiera plus loin
grâce au théorème de Pythagore). Si $H$ est situé en dehors
du côté $[A,C]$, disons au delà de $C$, on a déjà
$AC<AH\le AB$, et donc $AC<AB\le AB+BC$.\qed
\medskip

Cette justification\note{7}{Ce n'est pas une véritable démonstration puisqu'on
s'appuie sur des notions non définies et des faits non encore démontrés, par 
exemple la notion de droite, la perpendicularité, l'existence d'un point
de concours d'une droite avec sa perpendiculaire, etc. Ceci viendra 
après (sans qu'il y ait de cercle vicieux, les justifications
auront juste servi à nous amener vers les bonnes définitions$\,$!).} 
montre que l'égalité
$AC=AB+BC$ est réalisée si et seulement si les points $A,B,C$ sont alignés
et si $B$ est situé entre $A$ et $C$ (dans ce cas, on a $H=B$ sur la
partie gauche du dessin ci-dessus). Ceci nous amène aux définitions
naturelles suivantes reposant toutes sur la notion de 
distance, et sur elle seulement\note{8}{Ces définitions sont quant à elles 
parfaitement licites et rigoureuses, à partir des données primitives
que sont les points et leurs distances mutuelles. Elles fonctionneraient
encore par exemple en géométrie hyperbolique (ou même en géométrie
riemannienne, du moins lorsqu'il y a unicité des géodésiques).}.
\medskip

{\bf 3.1.2. Définitions (segments, droites, demi-droites).} {\it
{\parindent=6mm
\item{\rm(a)} Étant donné deux points $A$, $B$ du plan ou
de l'espace, on appelle segment $[A,B]$ d'extrémités $A$, $B$ 
l'ensemble des points $M$ tels que $AM+MB=AB$.
\item{\rm(b)} On dit que trois points $A$, $B$, $C$ sont alignés 
avec $B$ situé entre $A$ et $C$ si $B\in[A,C]$, et on dit qu'ils 
sont alignés $($sans autre précision$)$ si l'un deux appartient au 
segment formé par les deux autres. 
\item{\rm(c)} Étant donné deux points distincts $A$, $B$, la droite
$(AB)$ est l'ensemble des points $M$ alignés avec $A$ et $B\,$; la 
demi-droite $[A,B)$ d'origine $A$ contenant $B$ est l'ensemble des 
points $M$ alignés avec $A$ et $B$ tels que $M$ soit situé entre $A$ et $B$,
ou $B$ entre $A$ et $M$. Deux demi-droites de même origine sont dites
opposées si leur réunion forme une droite.
\vskip0pt}}

La partie (a) de la définition correspond physiquement à la réalisation
d'un segment de droite en tendant un fil mince et léger entre deux points
$A$ et $B$\?: si le fil est tendu, les points $M$ situés entre $A$ et $B$
ne peuvent pas «\?dévier\?», sinon la distance $AB$ est inférieure à 
la longueur du fil et on peut encore étirer celui-ci$\,\ldots$

On peut passer ensuite à la notion d'axe\?: c'est une droite $\cD$ munie
d'une origine $O$ et d'une orientation, ce qui revient à choisir parmi
les deux points situés  à distance unité de $O$ lequel
sera représenté par $+1$ et lequel par $-1\,$; notons les
respectivement $I$ et~$I'$. Un point $M$ de $[O,I)$ sera représenté
par le réel $x_M=+OM$ et un point $M$ de la demi-droite opposée $[O,I')$
par le réel $x_M=-OM$. La {\it mesure algébrique} d'un bipoint
$(A,B)$ de cet axe est par définition $\overline{AB}=x_B-x_A$, qui est
égal à $+AB$ ou $-AB$ suivant que $A,B$ se suivent dans le sens de 
l'orientation ou dans le sens inverse. Pour
trois points quelconques $A$, $B$, $C$ de $\cD$, on a la {\it relation
de Chasles}
$$
\overline{AB}+\overline{BC}=\overline{AC}.
$$
Elle résulte du fait que $(x_B-x_A)+(x_C-x_B)=x_C-x_A$
après simplification de l'expression algébrique.

À partir de la distance et des notions de segments, droites et demi-droites,
nous pouvons maintenant définir rigoureusement et sans difficultés
les plans, demi-plans, cercles, arcs de cercle, 
angles$\,\ldots$\note{9}{Bien entendu, 
cette longue succession de définitions est juste destinée à exposer 
l'enchaînement des concepts dans un ordre logique. Devant des élèves,
ces définitions doivent être espacées dans le temps au fur et à
mesure de l'introduction des notions, et entrecoupées
d'illustrations, d'exercices et de travaux de construction avec les
instruments.}
\bigskip

{\bf 3.1.3. Définitions.} {\it
{\parindent=6mm
\item{\rm(a)} Deux droites $\cD$, $\cD'$ sont dites concourantes si leur 
intersection est constituée d'exactement un point.
\item{\rm(b)} Un plan $\cP$ est un ensemble de points balayé par les droites 
$(UV)$
telles que $U$ décrit une droite $\cD$ et $V$ une droite $\cD'$, pour des 
droites $\cD$ et $\cD'$ concourantes données. Si $A$, $B$, $C$ sont 3 points
non alignés, on note $(ABC)$ le plan associé par exemple aux droites
$\cD=(AB)$ et $\cD'=(AC)$.{\parindent=0cm\note{10}{Ce qu'on entend par ensemble
«\?balayé\?» par des droites désigne tout simplement la réunion de
ces droites (qui sont en nombre infini). De manière générale, on pourrait 
définir par récurrence sur $n$ un sous-espace affine $S_n$ de
dimension $n$ comme l'ensemble balayé par les droites $(UV)$ où $U$
décrit une droite $\cD$ et $V$ décrit un sous-espace 
$S_{n-1}$ de dimension $n-1$ coupant $\cD$ en exactement un point. 
Nos définitions sont valables
en toute dimension (même infinie), sans qu'il y ait besoin de préciser~!}}
\item{\rm(c)} Deux droites $\cD$ et $\cD'$ sont dites parallèles si elles sont
confondues, ou bien si elles sont contenues dans un même plan $\cP$ et ne
coupent pas.
\item{\rm(d)} Un angle aigu $\overacute{BAC}$
$($ou secteur angulaire aigu$)$ défini par deux
demi-droites $[A,B)$, $[A,C)$ de même origine et non opposées est l'ensemble
balayé par les segments $[U,V]$ avec $U\in[A,B)$ et $V\in[A,C)$.
\item{\rm(e)} Un angle obtus $($ou secteur angulaire obtus$)$ 
$\overobtuse{BAC}$ est le complémentaire de
l'angle aigu $\overacute{BAC}$ dans le plan $(ABC)$,
auquel on convient d'ajouter les demi-droites $[A,B)$ 
et $[A,C)$ comme bord.
\item{\rm(f)} Étant donné une droite $\cD$ et un point $M$ situé hors de
$\cD$, le demi-plan bordé par $\cD$ contenant $M$ est la réunion
des secteurs angulaires $\overacute{BAM}$ et $\overacute{CAM}$ obtenus en écrivant
$\cD$ comme réunion de deux demi-droites opposées $[A,B)$ et $[A,C)\,$; c'est
la réunion de tous les segments $[U,V]$ tels que $U\in D$ et
$V\in[A,M)$. Le demi-plan opposé est celui associé à une demi-droite
$[A,M')$ opposée à $[A,M)$. On parle aussi dans ce cas d'angles plats 
de sommet $A$.
\item{\rm(g)} Dans un plan $\cP$, on appelle cercle de centre $A$ et de rayon
$R>0$ l'ensemble des points $M$ du plan $\cP$ tels que $d(A,M)=AM=R$.
\item{\rm(h)} Un arc de cercle est l'intersection d'un cercle avec un
secteur angulaire ayant pour sommet le centre du cercle.
\item{\rm(i)} La mesure d'un angle $($en degrés$)$ est calculée 
proportionnellement à la longueur de l'arc de cercle qu'il intercepte
sur un cercle dont le centre est le sommet de l'angle, de sorte
que le cercle complet corresponde à $360°$. Un angle plat $($découpé 
par un demi-plan bordant un diamètre du cercle$)$ correspond à un arc
formé par un demi-cercle et a pour mesure~$180°$. On appelle angle 
droit la moitié d'un angle plat, c'est-à-dire un angle correspondant
à un quart de cercle, ou encore un angle de mesure égale à $90°$.
\item{\rm(j)}
Deux demi-droites de mêmes extrémités sont dites perpendiculaires
si elles forment un angle droit.{\parindent=0cm
\note{11}{Les notions d'angle plat et d'angle droit, de même que la
  notion d'angle moitié relèvent déjà du primaire. A ce niveau, la 
  meilleure façon d'aborder ces questions est probablement de pratiquer le
  pliage de feuilles papier. (La notion d'horizontalité et de verticalité
  étant des notions relatives, il vaut mieux les éviter pour introduire
  la perpendicularité, de façon à éviter les confusions probables).}}
\vskip0pt}}

L'énoncé des propriétés des droites parallèles et des angles 
correspondants ou alterne-interne permet d'aboutir à la valeur de
la somme des angles d'un triangle (puis, à partir de là, d'un quadrilatère).

La définition (i) appelle évidemment de nombreux commentaires. La première
est le besoin d'une définition de la longueur d'un arc de cercle, ou plus
généralement d'un arc de courbe\?: c'est la limite des longueurs des
lignes polygonales inscrites dans la courbe, lorsqu'on subdivise en
segments de plus en plus petits (cf.\ 2.2)\note{12}{La définition
précise et l'existence de la limite sont des questions difficiles qui 
ne peuvent pas être abordées avant le lycée, mais il paraît bon d'introduire
déjà ces points de manière intuitive.}. La seconde est l'indépendance de
la mesure de l'angle par rapport au rayon du cercle choisi (c'est-à-dire
par rapport à la taille du rapporteur utilisé comme instrument de 
mesure)$\,$; cela résulte de la proportionnalité des longueurs d'arc
aux rayons $R$, qui elle-même résulte du théorème de Thalès (cf.\ plus
loin).

Par ailleurs, une règle de trois donne l'expression de la longueur d'arc
sur un cercle de rayon~$R$\?:
un arc de $360°$ a pour longueur $2\pi R$, donc un arc de $1°$ a pour
longueur $360$ fois moins, c'est-à-dire $2\pi R/360=\pi R/180$, et 
un arc de mesure $a$ (en degrés) a pour longueur 
$$\ell=(\pi R/180)\times a = R\times a\times \pi/180.$$

\subsection{3.2. Construction avec les instruments et
cas d'isométrie des triangles}

Il est indispensable d'illustrer toutes les notions géométriques
introduites à l'aide de dessins et de construction effectuées
à l'aide des instruments (règle, compas, rapporteur). Les constructions
élémentaires à la règle et au compas, comme celles du milieu, de la 
médiane, de la bissectrice, devraient déjà relever de l'enseignement 
primaire. Suivent de près celles de la perpendiculaire et de la parallèle
à une droite passant par un point.

Au début du collège, il convient de passer à un niveau de conceptualisation
plus avancé et, par exemple, de poser le problème de
construire un triangle $ABC$ ayant une base $BC$ donnée et deux
autres éléments, à savoir\?:

(3.2.1) les longueurs des côtés $AB$ et $AC$,\\
(3.2.2) les mesures des angles $\overacute{ABC}$ et $\overacute{ACB}$,\\
(3.2.3) la longueur du côté $AB$ et la mesure de l'angle $\overacute{ABC}$.

\InsertPSFigure 10.000 31.000 {
gsave
0.6 setlinewidth
0 setgray
0 0 moveto 100 40 lineto stroke
0.4 setlinewidth
1 0 0 setrgbcolor
/R 5000 sqrt def /ang1 25 def /ang2 67 def
R ang1 cos mul R ang1 sin mul moveto 
0 0 R ang1 ang2 arc stroke
/R 2600 sqrt def /ang1 145 def /ang2 190 def
R ang1 cos mul 100 add R ang1 sin mul 40 add moveto 
100 40 R ang1 ang2 arc stroke
0 0 1 setrgbcolor
0 0 moveto 50 50 lineto 100 40 lineto stroke
%%%%%%%%%%%%%%%%%
110 0 translate
0.6 setlinewidth
0 setgray
0 0 moveto 100 40 lineto stroke
0.4 setlinewidth
1 0 0 setrgbcolor
0 0 moveto 60 72 lineto stroke
/R 16 def /ang1 23 def /ang2 51 def
R ang1 cos mul R ang1 sin mul moveto 
0 0 R ang1 ang2 arc stroke
0 0 1 setrgbcolor
100 40 moveto 40 64 lineto stroke
/R 15 def /ang1 157 def /ang2 203 def
R ang1 cos mul 100 add R ang1 sin mul 40 add moveto 
100 40 R ang1 ang2 arc stroke
83.7 39.77 moveto 86.3 39.77 lineto stroke
%%%%%%%%%%%%%%%%
110 0 translate
0.6 setlinewidth
0 setgray
0 0 moveto 100 40 lineto stroke
0.4 setlinewidth
0 0 1 setrgbcolor
/R 4100 sqrt def /ang1 32 def /ang2 47 def
R ang1 cos mul R ang1 sin mul moveto 
0 0 R ang1 ang2 arc stroke
1 0 0 setrgbcolor
0 0 moveto 60 48 lineto stroke
/R 15 def /ang1 23 def /ang2 39  def
R ang1 cos mul R ang1 sin mul moveto 
0 0 R ang1 ang2 arc stroke
/R 16.5 def
R ang1 cos mul R ang1 sin mul moveto 
0 0 R ang1 ang2 arc stroke
0 0.7 0 setrgbcolor
100 40 moveto 50 40 lineto stroke
grestore}
\LabelTeX 13.2 16.5 $A$\ELTX
\LabelTeX -3 -3 $B$\ELTX
\LabelTeX 36 14 $C$\ELTX
\LabelTeX 54.5 22.5 $A$\ELTX
\LabelTeX 36 -3 $B$\ELTX
\LabelTeX 75.2 14 $C$\ELTX
\LabelTeX 94 15.9 $A$\ELTX
\LabelTeX 75.4 -3 $B$\ELTX
\LabelTeX 114 14 $C$\ELTX
\EndFig
\vskip3mm

Dans le premier cas, on obtient la solution en traçant les cercles
de centres $B$ et $C$ et de rayons $AB$ et $AC$, dans le deuxième cas
on utilise le rapporteur pour tracer deux secteurs angulaires de
sommets $B$ et $C$, dans le troisième cas on trace un secteur
angulaire de sommet $B$ et un cercle de sommet $B$. Dans chaque cas on 
voit qu'il y a exactement deux solutions, le deuxième triangle $A'BC$
solution étant symétrique de $ABC$ par rapport à la droite $(BC)$\?:

\InsertPSFigure 10.000 26.000 {
gsave
0.6 setlinewidth
0 setgray
0 0 moveto 100 40 lineto stroke
0.4 setlinewidth
1 0 0 setrgbcolor
/R 5000 sqrt def /ang1 -15 def /ang2 55 def
R ang1 cos mul R ang1 sin mul moveto 
0 0 R ang1 ang2 arc stroke
/R 2600 sqrt def /ang1 160 def /ang2 248 def
R ang1 cos mul 100 add R ang1 sin mul 40 add moveto 
100 40 R ang1 ang2 arc stroke
0 0 1 setrgbcolor
0 0 moveto 70.690 -1.724 lineto 100 40 lineto stroke
%%%%%%%%%%%%%%%%%
110 0 translate
0.6 setlinewidth
0 setgray
0 0 moveto 100 40 lineto stroke
0.4 setlinewidth
1 0 0 setrgbcolor
0 0 moveto 77.586 1.2 mul -5.517 1.2 mul lineto stroke
/R 16 def /ang1 -3 def /ang2 22 def
R ang1 cos mul R ang1 sin mul moveto 
0 0 R ang1 ang2 arc stroke
0 0 1 setrgbcolor
100 40 moveto 77.586 1.2 mul 20 sub -5.517  1.2 mul 8 sub lineto stroke
/R 15 def /ang1 203 def /ang2 244 def
R ang1 cos mul 100 add R ang1 sin mul 40 add moveto 
100 40 R ang1 ang2 arc stroke
87.8 28.7 moveto 90.4 31.0 lineto stroke
%%%%%%%%%%%%%%%%
110 0 translate
0.6 setlinewidth
0 setgray
0 0 moveto 100 40 lineto stroke
0.4 setlinewidth
0 0 1 setrgbcolor
/R 4100 sqrt def /ang1 -4 def /ang2 15 def
R ang1 cos mul R ang1 sin mul moveto 
0 0 R ang1 ang2 arc stroke
1 0 0 setrgbcolor
0 0 moveto 63.793 1.2 mul 5.517 1.2 mul lineto stroke
/R 15 def /ang1 4.5 def /ang2 22 def
R ang1 cos mul R ang1 sin mul moveto 
0 0 R ang1 ang2 arc stroke
/R 16.5 def
R ang1 cos mul R ang1 sin mul moveto 
0 0 R ang1 ang2 arc stroke
0 0.7 0 setrgbcolor
100 40 moveto 63.793 5.517 lineto stroke
grestore}
\LabelTeX 24.6 -5.5 $A'$\ELTX
\LabelTeX -3 -3 $B$\ELTX
\LabelTeX 36 14 $C$\ELTX
\LabelTeX 65.5 -5.5 $A'$\ELTX
\LabelTeX 36 -3 $B$\ELTX
\LabelTeX 75.2 14 $C$\ELTX
\LabelTeX 100.8 -1 $A'$\ELTX
\LabelTeX 75.4 -3 $B$\ELTX
\LabelTeX 114 14 $C$\ELTX
\EndFig
\vskip3mm

On voit que les triangles $ABC$ et $ABC'$ ont dans les trois cas
les mêmes longueurs de côtés. Ceci conduit à la notion très importante
de {\it figures isométriques}.
\medskip

{\bf 3.2.4. Définition.} {\it
{\parindent=6mm
\item{\rm (a)} On dit que deux triangles sont isométriques si les
côtés qui se correspondent sont de mêmes longueurs, de sorte que si
le premier triangle a pour sommets $A$, $B$, $C$ et les sommets
correspondants du deuxième sont $A'$, $B'$, $C'$, on ait
$A'B'=AB$, $B'C'=BC$, $C'A'=CA$.
\item{\rm (b)} Plus généralement on dit que deux figures du plan ou de
l'espace sont isométriques, la première étant définie par des points $A_1$,
$A_2$, $A_3$, $A_4\,\ldots$ et la seconde par des points correspondants 
$A'_1$, $A'_2$, $A'_3$, $A'_4\,\ldots$ si toutes
les distances mutuelles $A'_iA'_j=A_iA_j$ coïncident.\vskip0pt
}}
\medskip
La notion de figure isométriques est reliée à la notion physique de
{\it corps solide}\?: un objet est dit solide si les distances
mutuelles de ses composants (molécules, atomes) sont fixes au cours
d'un mouvement; après un déplacement, les atomes qui occupaient des
point $A_i$ occupent de nouvelles positions $A'_i$ et on a bien
$A'_iA'_j=A_iA_j$. Ceci permet d'aboutir à une définition rigoureuse
des mouvements et déplacements, qui ont un sens aussi bien du point
de vue des mathématiques que de la physique.
\medskip

{\bf 3.2.5. Définition.} {\it Étant donné une figure $($ou corps
solide de l'espace$)$ défini par les points $A_1$, $A_2$, $A_3$, 
$A_4\,\ldots$, 
on appelle mouvement une succession continue de positions $A_i(t)$ de ces
points par rapport au temps~$t$, de telle sorte que les distances
$A_i(t)A_j(t)$ soient fixes.  Si les points $A_i$ constituent les
positions initiales et les $A'_i$ les positions finales, on dit que
la figure $(A'_1A'_2A'_3A'_4\,\ldots)$ est obtenue par déplacement de la figure
$(A_1A_2A_3A_4\,\ldots)$.\note{13}{La notion de continuité utilisée est 
ici la notion usuelle de fonction continue d'une variable -- on ne
peut bien sûr en parler que de manière intuitive au niveau du
collège. On démontrera plus loin qu'une isométrie entre deux figures
ou corps solides s'étend en une isométrie affine de tout l'espace,
et qu'un déplacement correspond à une isométrie affine positive,
cf.\ section 10. La preuve n'est pas extrêmement difficile, mais ne peut pas
être donnée avant la fin du lycée (cette éventualité paraît même optimiste
au vu de la situation actuelle).}}

En dehors des déplacements, une autre façon de produire des figures
isométriques est d'utiliser une symétrie miroir (symétrie par rapport
à une droite dans le plan, symétrie par rapport à un plan dans 
l'espace)\note{14}{Inversement, un théorème important -- qu'on ne 
pourra démontrer que plus tard (cf.\ section 10),
affirme que des figures isométriques se déduisent l'une de l'autre soit
par un déplacement, soit par un déplacement précédé (ou suivi)
d'une symétrie miroir.}. 
Ce fait s'observe déjà 
avec des triangles, et l'utilisation du papier calque s'impose dans
ce contexte pour construire des triangles isométriques non superposables
par déplacement sans sortir du plan$\,$; il sera de même utile de 
construire des solides élémentaires non superposables (tétraèdres
non réguliers, par exemple).
\medskip

{\bf 3.2.6. Exercice.} Pour que deux quadrilatères $ABCD$ et $A'B'C'D'$
soient isométriques,  il ne suffit pas que les 4 côtés $A'B'=AB$, $B'C'=BC$, 
$C'D'=CD$, $D'A'=DA$ soient de mêmes longueurs, on doit aussi supposer
que les deux diagonales $A'C'=AC$ et $B'D'=BD$ soient égales$\,$;
une seule ne suffit pas comme le montre la construction ci-dessous\?:

\InsertPSFigure 40.000 28.000 {
gsave
0.6 setlinewidth
0 setgray
50 0 moveto 0 10 lineto 40 60 lineto stroke 
0.4 setlinewidth
1 0 0 setrgbcolor
/R 35 def /ang1 210 def /ang2 350 def
R ang1 cos mul 40 add R ang1 sin mul 60 add moveto 
40 60 R ang1 ang2 arc stroke
/R 32 def /ang1 40 def /ang2 155 def
R ang1 cos mul 50 add R ang1 sin mul moveto 
50 0 R ang1 ang2 arc stroke
0.6 setlinewidth
0 0 1 setrgbcolor
50 0 moveto 31.6 26 lineto 40 60 lineto stroke
0 0.7 0 setrgbcolor
50 0 moveto 59 30.7 lineto 40 60 lineto stroke
0 setgray
0.4 setlinewidth
[2 0.7] 0 setdash
50 0 moveto 40 60 lineto stroke
grestore
}
\LabelTeX 16 -4 $A$\ELTX
\LabelTeX -4 2 $B$\ELTX
\LabelTeX 13 22.5 $C$\ELTX
\LabelTeX 8.5 4.5 $D'$\ELTX
\LabelTeX 20 12.5 $D$\ELTX
\EndFig
\bigskip

Le travail de construction fait plus haut avec les triangles nous amène
à énoncer en conclusion les cas d'isométrie des triangles.

{\bf 3.2.7. Les cas d'isométrie des triangles\note{15}{La 
démonstration formelle rigoureuse des propriétés d'isométrie décrites
dans les 3 cas ne pourra être véritablement donnée qu'un peu plus
loin, cf.\ section~8.}.} {\it Pour que deux triangles
soient isométriques, il faut et il suffit
{\parindent=6mm
\item{\rm(a)} qu'ils aient leurs trois côtés égaux
$($c'est la définition$)$, \RGBColor{0 0 1}{ou}
\item{\rm(b)} qu'ils aient un angle égal et les côtés adjacents égaux,
\RGBColor{0 0 1}{ou}
\item{\rm(c)} qu'ils aient un côté égal et les deux angles adjacents égaux.
\vskip0pt
}}

On notera que les conditions (b) et (c) ne sont pas suffisantes si on
omet le mot adjacent~-- et il serait bon de montrer (ou de faire faire)
des constructions mettant ce fait en évidence.

L'utilisation des cas d'isométrie en conjonction avec les propriétés
des angles alternes-internes permet de démontrer les diverses
caractérisations usuelles des quadrilatères (parallélogrammes,
losanges, rectangles, carrés).

\subsection{3.3. Le théorème de Pythagore}

Voici une «\?preuve\?» très classique du théorème de
Pythagore, obtenue par simple déplacement des pièces triangulaires colorées.
Elle a l'avantage d'être à la fois visuelle et
convaincante\note{16}{De nouveau, dans notre contexte, il s'agit
davantage que d'une justification que d'une preuve au sens formel.
En effet, il faudrait prouver que le quadrilatère central de la
figure de droite est bien un carré, ce qui peut certes se vérifier à
l'aide des propriétés d'isométrie des triangles -- mais n'oublions
pas que celles-ci ne sont pas encore démontrées à ce stade. Plus
sérieusement, le raisonnement utilise la notion d'aire, et il
faudrait montrer l'existence d'une mesure d'aire dans le plan ayant
toutes les propriétés voulues d'additivité et d'invariance par
translation$\,\ldots$}.

\InsertPSFigure 10 44 {
gsave
1 mm unit
initcoordinates
%% Premier carre
0.1 setlinewidth
0.92 setgray
0 0 moveto 36 0 lineto 36 36 lineto 0 36 lineto closepath fill
0 setgray
0 0 moveto 36 0 lineto 36 36 lineto 0 36 lineto closepath stroke
0.8 1 0.8 setrgbcolor
24 36 moveto 24 12 lineto 36 36 lineto closepath fill
0 setgray
24 36 moveto 24 12 lineto 36 36 lineto closepath stroke
0.8 0.8 1 setrgbcolor
36 36 moveto 24 12 lineto 36 12 lineto closepath fill
0 setgray
36 36 moveto 24 12 lineto 36 12 lineto closepath stroke
1 1 0.5 setrgbcolor
0 12 moveto 24 12 lineto 24 0 lineto closepath fill
0 setgray
0 12 moveto 24 12 lineto 24 0 lineto closepath stroke
1 0.8 0.8 setrgbcolor
0 12 moveto 0 0 lineto 24 0 lineto closepath fill
0 setgray
0 12 moveto 0 0 lineto 24 0 lineto closepath stroke
0.3 setlinewidth
1 0 0 setrgbcolor
0 36 moveto 24 36 lineto 24 12 lineto 0 12 lineto closepath stroke
36 0 moveto 24 0 lineto 24 12 lineto 36 12 lineto closepath stroke
0.1 setlinewidth
15 23.5 moveto 31.5 -10 2.4 vector
33.5 7.5 moveto 23 22 2.4 vector
%% Deuxieme carre
75 0 translate
0.1 setlinewidth
0.92 setgray
0 0 moveto 36 0 lineto 36 36 lineto 0 36 lineto closepath fill
0 setgray
0 0 moveto 36 0 lineto 36 36 lineto 0 36 lineto closepath stroke
0.8 1 0.8 setrgbcolor
0 36 moveto 0 12 lineto 12 36 lineto closepath fill
0 setgray
0 36 moveto 0 12 lineto 12 36 lineto closepath stroke
0.8 0.8 1 setrgbcolor
36 24 moveto 24 0 lineto 36 0 lineto closepath fill
0 setgray
36 24 moveto 24 0 lineto 36 0 lineto closepath stroke
1 1 0.5 setrgbcolor
12 36 moveto 36 36 lineto 36 24 lineto closepath fill
0 setgray
12 36 moveto 36 36 lineto 36 24 lineto closepath stroke
1 0.8 0.8 setrgbcolor
0 12 moveto 0 0 lineto 24 0 lineto closepath fill
0 setgray
0 12 moveto 0 0 lineto 24 0 lineto closepath stroke
0.3 setlinewidth
1 0 0 setrgbcolor
0 12 moveto 12 36 lineto 36 24 lineto 24 0 lineto closepath stroke
0.1 setlinewidth
16 18 moveto 25 180 2.4 vector
grestore
}
%% Premier carre
\LabelTeX -3 4 $b$\ELTX
\LabelTeX -3 23 $a$\ELTX
\LabelTeX 37.2 4 $b$\ELTX
\LabelTeX 37.2 23 $a$\ELTX
\LabelTeX 11 -3.5 $a$\ELTX
\LabelTeX 29 -3.5 $b$\ELTX
\LabelTeX 11 37.5 $a$\ELTX
\LabelTeX 29 37.5 $b$\ELTX
\LabelTeX 29.3 27 $c$\ELTX
\LabelTeX 11 7.4 $c$\ELTX
\LabelTeX 11 23 $\RGBColor{1 0 0}{a^2}$\ELTX
\LabelTeX 29 5 $\RGBColor{1 0 0}{b^2}$\ELTX
%% Deuxieme carre
\LabelTeX 72 5 $b$\ELTX
\LabelTeX 72 23 $a$\ELTX
\LabelTeX 112.2 11 $a$\ELTX
\LabelTeX 112.2 29 $b$\ELTX
\LabelTeX 86 -3.5 $a$\ELTX
\LabelTeX 104 -3.5 $b$\ELTX
\LabelTeX 80 37.5 $b$\ELTX
\LabelTeX 98 37.5 $a$\ELTX
\LabelTeX 82 23 $c$\ELTX
\LabelTeX 102.2 11 $c$\ELTX
\LabelTeX 98 27.1 $c$\ELTX
\LabelTeX 86 7.4 $c$\ELTX
\LabelTeX 92 17 $\RGBColor{1 0 0}{c^2}$\ELTX
\LabelTeX 46.5 17 $\RGBColor{1 0 0}{a^2+b^2=c^2}$\ELTX
\EndFig
\vskip5mm

On compare, sur les dessins de droite et de gauche, l'aire de la différence
entre le carré de côté $a+b$ et les quatre triangles rectangles colorés
de côtés $a$, $b$, $c$, aire qui est représentée en grisé. L'égalité des aires
de part et d'autre implique $a^2+b^2=c^2$.
\medskip

{\bf Complément.} {\it Soit $(ABC)$ un triangle
et $a$, $b$, $c$ les longueurs des côtés opposés aux sommets $A$, $B$, $C$.
{\parindent=6mm
\item{\rm(1)} Si l'angle $\widehat C$ est inférieur à un angle droit,
on a $c^2<a^2+b^2$.
\item{\rm(2)} Si l'angle $\widehat C$ est supérieur à un angle droit,
on a $c^2>a^2+b^2$.\vskip0pt}}

{\it Démonstration}. Considérons le cas où $(ABC)$ est rectangle\?: on a
\RGBColor{0 0.7 0}{$c^2=a^2+b^2$}.

\InsertPSFigure 10.000 22.000 {
gsave
0.6 setlinewidth
0 setgray
0 0 moveto 100 0 lineto stroke
0.3 setlinewidth
1 0 0 setrgbcolor
/R 1600 sqrt def /ang1 -90 def /ang2 90 def
R ang1 cos mul 100 add R ang1 sin mul moveto 
100 0 R ang1 ang2 arc stroke
0 0 1 setrgbcolor
/R 1600 sqrt def /ang1 90 def /ang2 270 def
R ang1 cos mul 100 add R ang1 sin mul moveto 
100 0 R ang1 ang2 arc stroke
0 0.7 0 setrgbcolor
/R 11600 sqrt def /ang1 -26 def /ang2 26 def
R ang1 cos mul R ang1 sin mul moveto 
0 0 R ang1 ang2 arc stroke
0 0 moveto 100 40 lineto 100 0 lineto stroke
/R 14 def /ang1 90 def /ang2 180 def
R ang1 cos mul 100 add R ang1 sin mul moveto
100 0 R ang1 ang2 arc stroke
1 0 0 setrgbcolor
/R 14600 sqrt def /ang1 -23 def /ang2 23 def
R ang1 cos mul R ang1 sin mul moveto 
0 0 R ang1 ang2 arc stroke
0 0 moveto 114.9 37.1 lineto 100 0 lineto stroke
/R 12 def /ang1 69 def /ang2 180 def
R ang1 cos mul 100 add R ang1 sin mul moveto
100 0 R ang1 ang2 arc stroke
0 0 1 setrgbcolor
/R 90 def /ang1 -30 def /ang2 30 def
R ang1 cos mul R ang1 sin mul moveto 
0 0 R ang1 ang2 arc stroke
0 0 moveto 82.4 35.9 lineto 100 0 lineto stroke
/R 16 def /ang1 115.5 def /ang2 180 def
R ang1 cos mul 100 add R ang1 sin mul moveto
100 0 R ang1 ang2 arc stroke
grestore
}
\LabelTeX 13 -2.7 $a$\ELTX
\LabelTeX 33.2 6.7 $\RGBColor{0 0.7 0}{b}$\ELTX
\LabelTeX 16 8.5 $\RGBColor{0 0.7 0}{c}$\ELTX
\LabelTeX 10 5.9 $\RGBColor{0 0 1}{c'}$\ELTX
\LabelTeX 16 2.9 $\RGBColor{1 0 0}{c''}$\ELTX
\LabelTeX -1 -4 $B$\ELTX
\LabelTeX 35.3 14.8 $A$\ELTX
\LabelTeX 28.9 14 $\RGBColor{0 0 1}{A'}$\ELTX
\LabelTeX 40.8 13.7 $\RGBColor{1 0 0}{A''}$\ELTX
\LabelTeX 34 -4 $C$\ELTX
\LabelTeX 55 10 
\RGBColor{0 0 1}{Si l'angle $\widehat C$ est${}<90°$, on a $c'<c$.}\ELTX
\LabelTeX 55 0
\RGBColor{1 0 0}{Si l'angle $\widehat C$ est${}>90°$, on a $c''>c$.}\ELTX
\LabelTeX 0 -17 $~$\ELTX
\EndFig
\bigskip

{\bf Réciproque du théorème de Pythagore.} {\it
D'après ce qui précède, si $c^2=a^2+b^2$, alors
l'angle $\widehat C$ ne peut être qu'un angle droit, donc le triangle
est rectangle en $C$.}

\section{4. Coordonnées cartésiennes dans le plan}

L'étape complémentaire indispensable est l'introduction des
coordonnées cartésiennes et leur usage pour {\it démontrer les
  propriétés précédemment admises} (ou seulement justifiées de manière
partielle), en travaillant dans des repères orthonormés.

\subsection{4.1. Expression de la distance euclidienne}

\InsertPSFigure 15.000 46.000 {
gsave
0.8333 mm unit
20 10 translate
0.1 setlinewidth
1 0.8 0.6 setrgbcolor
-5 1 35 { /k exch def -15 k moveto 75 k lineto stroke } for
-15 1 75 { /k exch def k -5 moveto k 35 lineto stroke } for
0.3 setlinewidth
0 1 3 { /k exch 10 mul def -15 k moveto 75 k lineto stroke } for
-1 1 7 { /k exch 10 mul def k -5 moveto k 35 lineto stroke } for
0.2 setlinewidth
0 setgray
-20 0 moveto 100 0 2.4 vector
0 -10 moveto 50 90 2.4 vector
0 0 1 setrgbcolor
20 10 moveto 50 10 lineto 50 30 lineto closepath stroke
1 0 0 setrgbcolor
20 10 moveto 0.7 disk
50 30 moveto 0.7 disk
0 setgray
0.3 setlinewidth
20 0 moveto 0.7 0 indent
50 0 moveto 0.7 0 indent
0 10 moveto 0.7 90 indent
0 30 moveto 0.7 90 indent
0.15 setlinewidth
0 0.7 0 setrgbcolor
[1.5 0.5] 0 setdash
20 1.2 moveto 20 9.3 lineto stroke
50 1.2 moveto 50 10 lineto stroke
1.2 10 moveto 19.3 10 lineto stroke
1.2 30 moveto 50 30 lineto stroke
grestore
}
\LabelTeX 32 5.3 $x$\ELTX
\LabelTeX 57.2 5.3 $x'$\ELTX
\LabelTeX 13 16.3 $y$\ELTX
\LabelTeX 13 32.3 $y'$\ELTX
\LabelTeX 29 13.3 $M$\ELTX
\LabelTeX 59.5 32.8 $M'$\ELTX
\EndFig

Le théorème de Pythagore montre que l'hypoténuse $MM'$ est donnée
par la formule $MM'^2=(x'-x)^2+(y'-y)^2$, puisque les deux côtés de 
l'angle droit sont $x'-x$ et~$y'-y$ (au signe près). La distance de 
$M$ à $M'$ est donc
$$
d(M,M')=MM'=\sqrt{(x'-x)^2+(y'-y)^2}.\leqno(4.1.1)
$$
(on commencera évidemment par le cas de points donnés par 
des valeurs numériques concrètes). 

\subsection{4.2. Le carré}
Considérons la figure formée par les points $A\,(u\,;\,v)$, 
$B\,(-v\,;\,u)$, $C\,(-u\,;\,-v)$, $D\,(v\,;\,-u)$.\kern-2pt

\InsertPSFigure 15.000 60.000 {
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0.8333 mm unit
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-35 1 35 { /k exch def -45 k moveto 45 k lineto stroke } for
-45 1 45 { /k exch def k -35 moveto k 35 lineto stroke } for
0.3 setlinewidth
-3 1 3 { /k exch 10 mul def -45 k moveto 45 k lineto stroke } for
-4 1 4 { /k exch 10 mul def k -35 moveto k 35 lineto stroke } for
0.2 setlinewidth
0 setgray
-50 0 moveto 100 0 2.4 vector
0 -35 moveto 75 90 2.4 vector
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-20 30 moveto 20 -30 lineto stroke
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-30 -20 moveto 0.7 disk
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}
\LabelTeX 36.7 21.7 $O$\ELTX
\LabelTeX 67.5 38.9 $A\;(u\,;\,v)$\ELTX
\LabelTeX 18.3 48.1 $B\;(-v\,;\,u)$\ELTX
\LabelTeX 5 -0.3 $C\;(-u\,;\,-v)$\ELTX
\LabelTeX 59.2 0 
$\smash{\raise-7.3mm\hbox{$D\;(v\,;\,-u)$}}$\ELTX
\EndFig
\vskip15mm

La formule (4.1.1) donne 
$$
AB^2=BC^2=CD^2=DA^2=(u+v)^2+(u-v)^2=2(u^2+v^2),
$$
donc les 4 côtés sont de longueur égale à $\sqrt{2}\sqrt{u^2+v^2}$. De 
même on trouve
$$
OA=OB=OC=OD=\sqrt{u^2+v^2},
$$
par conséquent les 4 triangles isocèles $OAB$, $OBC$, $OCD$ et $ODA$
sont isométriques, ce qui implique  que
$\overacute{OAB}=\overacute{OBC}=\overacute{OCD}=
\overacute{ODA}=90°$ et que les autres angles valent $45°$. On a donc
$\overacute{DAB}=\overacute{ABC}=\overacute{BCD}=\overacute{CDA}=90°$, 
et la figure est bien un carré.

\subsection{4.3. Droites «\?horizontales et verticales\?» }

L'ensemble $\cD$ des points $M\;(x\,;\,y)$ tels que $y=c$ (où $c$ une constante
numérique donnée) est une droite «\?horizontale\?». En effet, étant donnés
trois points $M$, $M'$, $M''$ d'abscisses $x<x'<x''$ on a
$$
MM'=x'-x,\qquad M'M''=x''-x',\qquad MM''=x''-x 
$$
et donc $MM'+M'M''=MM''$, ce qui implique que les points $M$, $M'$, $M''$
sont alignés par définition.
Si on considère $\cD_1$ d'équation $y=c_1$ avec $c_1\ne c$, c'est une autre
droite horizontale et on a de façon évidente $\cD\cap\cD_1=\emptyset$, 
donc il s'agit de droites parallèles.

De même, l'ensemble $\cD$ des points $M\;(x\,;\,y)$ tels que $x=c$ est une
«\?droite verticale\?» et les droites $\cD:x=c$, $\cD_1:x=c_1$ sont
parallèles.

\subsection{4.4. Droite définie par une équation $y=ax+b$}

Nous commencerons par le cas général $y=ax+b$ pour éviter des redites,
mais avec les élèves il conviendrait sans doute de traiter d'abord le
cas $y=ax$ qui correspond à la proportionnalité.

\InsertPSFigure 15.000 68.000 {
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50 35 translate
0.1 setlinewidth
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-35 1 35 { /k exch def -45 k moveto 45 k lineto stroke } for
-45 1 45 { /k exch def k -35 moveto k 35 lineto stroke } for
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-4 1 4 { /k exch 10 mul def k -35 moveto k 35 lineto stroke } for
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-50 0 moveto 100 0 2.4 vector
0 -40 moveto 80 90 2.4 vector
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-45 -12.5 moveto 45 32.5 lineto stroke
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20 0 moveto 0.7 0 indent
40 0 moveto 0.7 0 indent
0 -10 moveto 0.7 90 indent
0 30 moveto 0.7 90 indent
0 20 moveto 0.7 90 indent
[1.5 0.5] 0 setdash
0.1 setlinewidth
-40 -1.2 moveto -40 -9.3 lineto stroke
20 1.2 moveto 20 19.3 lineto stroke
40 1.2 moveto 40 29.3 lineto stroke
-39.3 -10 moveto -0.7 -10 lineto stroke
0 20 moveto 19.3 20 lineto stroke
0 30 moveto 39.3 30 lineto stroke
grestore
}
\LabelTeX 7.5 30.8 $x_1$\ELTX
\LabelTeX 57.5 25.7 $x_2$\ELTX
\LabelTeX 74 25.7 $x_3$\ELTX
\LabelTeX 43 20 $y_1$\ELTX
\LabelTeX 37.2 45 $y_2$\ELTX
\LabelTeX 37.2 53.4 $y_3$\ELTX
\LabelTeX 2 20.5 $M_1$\ELTX
\LabelTeX 2 24.3 $M'_1$\ELTX
\LabelTeX 2 16.0 $M''_1$\ELTX
\LabelTeX 56 48 $M_2$\ELTX
\LabelTeX 72.8 56.3 $M_3$\ELTX
\EndFig
\vskip15pt

Considérons trois points $M_1\;(x_1\,;\,y_1)$ , $M_2\;(x_2\,;\,y_2)$, 
$M_3\;(x_3\,;\,y_3)$  
satisfaisant les relations $y_1=ax_1+b$, $y_2=ax_2+b$ et $y_3=ax_3+b$, avec
par exemple $x_1<x_2<x_3$. Comme $y_2-y_1=a(x_2-x_1)$, on trouve
$$
M_1M_2=\sqrt{(x_2-x_1)^2+a^2(x_2-x_1)^2}=\sqrt{(x_2-x_1)^2(1+a^2)}=(x_2-x_1)
\sqrt{1+a^2},
$$
et de même $M_2M_3=(x_3-x_2)\sqrt{1+a^2}$, $M_1M_3=(x_3-x_1)\sqrt{1+a^2}$. 
Ceci montre que $M_1M_2+M_2M_3=M_1M_3$, donc les points $M_1$, $M_2$, $M_3$ sont
alignés. On voit d'autre part\note{17}{La démonstration formelle rigoureuse
est bien entendu possible à partir d'un calcul de distances, mais 
moins évidente que ce qui précède. On pourrait raisonner comme en
\S$\,$5.2 pour changer de repère et se ramener à la droite $Y=0$.} 
que si on prend un point $M'_1\;(x,y'_1)$ qui est
tel que $y'_1>ax_1+b$ alors ce point n'est pas aligné avec $M_2$ et $M_3$,
et de même pour $M_1''\;(x,y''_1)$ tel que  $y_1''<ax_1+b$.

{\bf Conséquence.} {\it L'ensemble $\cD$ des points $M\;(x\,;\,y)$ tels que
$y=ax+b$ est une droite.}

On appelle pente de la droite $\cD$ le rapport entre la 
«\?dénivellation verticale\?» et la  «\?distance parcourue
horizontalement\?», c'est-à-dire, pour deux points  $M_1\;(x_1\,;\,y_1)$,
$M_2\;(x_1\,;\,y_2)$ de $\cD$ le rapport
$$
{y_2-y_1\over x_2-x_1}=a.
$$
Pour une droite $\cD$ d'équation $y=ax+b$, le coefficient $a$ s'interprète
donc comme la pente de la droite (on l'appelle aussi parfois le
«\?coefficient directeur\?» de $\cD$.) Une droite horizontale est une
droite de pente $a=0$.

Lorsque le coefficient $a$ devient très grand, la droite devient
intuitivement très inclinée et de plus en plus proche d'une verticale.
On conviendra qu'une droite verticale est de pente infinie.  L'infini
se note par le symbole $\infty$.

Considérons deux points distincts $M_1\;(x_1,y_1)$ et $M_2\;(x_2,y_2)$.
Si $x_1\ne x_2$, on voit qu'il existe une unique droite
$\cD:y=ax+b$ qui passe par $M_1$ et $M_2$~: la pente est donnée par
$a={y_2-y_1\over x_2-x_1}$ et on trouve ensuite nécessairement
$b=y_1-ax_1=y_2-ax_2$. Si $x_1=x_2$, l'unique droite $\cD$ passant par
$M_1$, $M_2$ est la droite verticale d'équation $x=x_1$.

\subsection{4.5. Intersection de deux droites définies par des équations}

Considérons deux droites $\cD:y=ax+b$ et $\cD':y=a'x+b'$. Pour trouver 
l'intersection $\cD\cap \cD'$ on écrit que $y=ax+b=a'x+b'$, ce qui donne
$(a'-a)x=-(b'-b)$, donc si $a\ne a'$ on trouve un point d'intersection
unique $M\;(x\,;\,y)$ tel que 
$$
x=-{b'-b\over a'-a},\qquad y=ax+b={-a(b'-b)+b(a'-a)\over a'-a}=
{ba'-ab'\over a'-a}.
$$
L'intersection de $\cD$ avec une droite verticale $\cD_1:x=c$ est encore unique,
on a immédiatement $x=c$, $y=ac+b$. Nous pouvons conclure\?:
\medskip

{\bf Théorème.} {\it Deux droites $\cD$ et $\cD'$ ayant des pentes
$a$, $a'$ distinctes possèdent un point d'intersection unique\?: on dit
qu'elles sont concourantes.}

Au contraire, si $a=a'$ et si de plus $b\ne b'$, il n'y a pas de solution 
possible, donc $\cD\cap\cD'=\emptyset$, il s'agit de droites parallèles
distinctes. Si $a=a'$ et $b=b'$, les droites $\cD$~et~$\cD'$ sont égales, on
les considère encore comme parallèles.
\medskip

{\bf Conséquence 1.} {\it Deux droites $\cD$ et $\cD'$ de pentes
$a$, $a'$ sont parallèles si et seulement si leurs pentes
sont identiques $($finies ou infinies$)$.}
\medskip

{\bf Conséquence 2.} {\it Si $\cD$ est parallèle à $\cD'$ et si $\cD'$ est
parallèle à $\cD''$, alors $\cD$ est parallèle à $\cD''$.}

{\it Démonstration.} En effet, si $a=a'$ et $a'=a''$, alors $a=a''$.\qed
\medskip

On obtient enfin l'énoncé suivant qui n'est autre que le «\?postulat
d'Euclide\?» (dans notre approche, il s'agit bien d'un théorème 
quasi-évident, et non d'un postulat~!)

{\bf Conséquence 3.} {\it Étant donné une droite $\cD$ et un point $M_0$,
il y a une unique droite $\cD'$ parallèle à $\cD$ qui passe par $M_0$.}

{\it Démonstration.} En effet, si $\cD$ est de pente $a$ et si
$M_0\;(x_0\,;\,y_0)$, on voit que\smallskip
-- pour $a=\infty$, l'unique droite possible est la droite $\cD'$ d'équation 
$x=x_0$\\
-- pour $a\ne\infty$, la droite $\cD'$ a pour équation $y=ax+b$ avec 
$b=y_0-ax_0$,\\
\phantom{--} autrement dit~:
$\cD'$ est l'unique droite d'équation $\cD':y-y_0=a(x-x_0)$.

\subsection{4.6. Condition d'orthogonalité de deux droites}

Considérons une droite passant par l'origine $\cD:y=ax$.
Choisissons un point $M\;(u\,;\,v)$ situé sur $\cD$, $M\ne O$, c'est-à-dire
$u\ne 0$. On a alors $a={v\over u}$. On sait que le point 
$M'\;(u'\,;\,v')=(-v\,;\,u)$
est tel que les droites $\cD=(OM)$ et $(OM')$ sont perpendiculaires d'après
la construction du carré faite au paragraphe 4.2. Par conséquent, la
pente de la droite $\cD'=(OM')$ perpendiculaire à $\cD$ est donnée par
$$
a'={v'\over u'}={u\over -v}=-{u\over v}=-{1\over a}
$$
si $a\ne 0$. Si $a=0$, la droite $\cD$ est l'axe horizontal, sa perpendiculaire
est l'axe vertical de pente infinie, et la formule $a'=-{1\over a}$ est
encore vraie si on convient que ${1\over 0}=\infty$ (on~utilise ici
un infini $\infty$ dépourvu de signe).
\medskip

{\bf Conséquence 1.} {\it Deux droites $\cD$ et $\cD'$ de pentes
$a$, $a'$ sont perpendiculaires si et seulement si leurs pentes
vérifient la relation $a'=-{1\over a}~~\Leftrightarrow~~a=-{1\over a'}$ 
$($on convient ici que
${1\over\infty}=0$ et~${1\over 0}=\infty)$.}
\medskip

{\bf Conséquence 2.} {\it Si $\cD\perp \cD'$ et $\cD'\perp \cD''$ alors
$\cD$ et $\cD''$ sont parallèles.}

{\it Démonstration.} En effet les pentes vérifient $a=-{1\over a'}$ et 
$a''=-{1\over a'}$, donc $a''=a$.\qed

\subsection{4.7. Le théorème de Thalès}

Nous énoncerons d'abord la «\?version euclidienne\?» du théorème, qui s'exprime
en termes de rapports de distances plutôt que de rapports de mesures
algébriques.

{\bf Théorème de Thalès.} {\it On considère deux droites $\cD$, $\cD'$ 
concourantes en un point~$O$, et deux droites parallèles 
$\Delta_1$, $\Delta_2$ qui coupent $\cD$ en des points $A$, $B$, et 
$\cD'$ en des points $A'$,~$B'$ supposés tous distincts de $O$.
Alors on a les égalités de rapports
$$
{OB\over OA}={OB'\over OA'}={BB'\over AA'}.
$$
}

\InsertPSFigure 25.000 60.000 {
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0.8333 mm unit
50 35 translate
30 rotate
0.2 setlinewidth
0 0 1 setrgbcolor
-45 -12.5 moveto 28 24 lineto stroke
-45 8.333 moveto 28 -16 lineto stroke
0.25 setlinewidth
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 5 -25 moveto  5 35 lineto stroke
20 -25 moveto 20 35 lineto stroke
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5 -8.333 moveto 0.7 disk
5 12.5 moveto 0.7 disk
20 20 moveto 0.7 disk
20 -13.333 moveto 0.7 disk
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}
\LabelTeX 26.8 17.8 $O$\ELTX
\LabelTeX 46.1 22 $A$\ELTX
\LabelTeX 59 24.2 $B$\ELTX
\LabelTeX 35 39.7 $A'$\ELTX
\LabelTeX 42.6 51 $B'$\ELTX
\LabelTeX 12.9  4.5 $\RGBColor{0 0 1}{\cD'}$\ELTX
\LabelTeX 6.9  13.7 $\RGBColor{0 0 1}{\cD}$\ELTX
\LabelTeX 54.6 10 $\RGBColor{0 0.7 0}{\Delta_1}$\ELTX
\LabelTeX 65.5 16 $\RGBColor{0 0.7 0}{\Delta_2}$\ELTX
\EndFig

{\it Démonstration.} On procède à l'aide d'un calcul en coordonnées, en 
utilisant un repère orthonormé d'origine $O$ tel que $Ox$ soit 
perpendiculaire aux droites $\Delta_1$, $\Delta_2$, et tel que $Oy$ 
soit parallèle aux droites $\Delta_1$, $\Delta_2$.

\InsertPSFigure 25.000 70.000 {
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50 35 translate
30 rotate
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-25 1 35 { /k exch def -45 k moveto 28 k lineto stroke } for
-45 1 28 { /k exch def k -25 moveto k 35 lineto stroke } for
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-2 1 3 { /k exch 10 mul def -45 k moveto 28 k lineto stroke } for
-4 1 2 { /k exch 10 mul def k -25 moveto k 35 lineto stroke } for
0.2 setlinewidth
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-50 0 moveto 83 0 2.4 vector
-20 -30 moveto 70 90 2.4 vector
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}
\LabelTeX 25.6 16 $O$\ELTX
\LabelTeX 46.1 22 $A$\ELTX
\LabelTeX 59 24.2 $B$\ELTX
\LabelTeX 35 39.7 $A'$\ELTX
\LabelTeX 42.6 51 $B'$\ELTX
\LabelTeX 12.9  4.5 $\RGBColor{0 0 1}{\cD'}$\ELTX
\LabelTeX 6.9  13.7 $\RGBColor{0 0 1}{\cD}$\ELTX
\LabelTeX 54.6 10 $\RGBColor{0 0.7 0}{\Delta_1}$\ELTX
\LabelTeX 65.5 16 $\RGBColor{0 0.7 0}{\Delta_2}$\ELTX
\LabelTeX 64.5 39.7 $x$\ELTX
\LabelTeX 8.1 47.6 $y$\ELTX
\EndFig
\vskip8mm

Dans ces coordonnées, les droites $\Delta_1$, $\Delta_2$ sont les
droites «\?verticales\?» d'équations $\Delta_1:x=c_1$, $\Delta_2:x=c_2$
avec $c_1,c_2\ne 0$, et les droites $\cD$, $\cD'$ admettent des équations
respectives $\cD:y=ax$, $\cD':y=a'x$. On obtient alors
$$
A\;(c_1,ac_1),\quad
B\;(c_2,ac_2),\quad
A'\;(c_1,a'c_1),\quad
B'\;(c_2,a'c_2).
$$
D'après le théorème de Pythagore, on trouve, en prenant les valeurs absolues\?:
$$
\eqalign{
&OA=|c_1|\sqrt{1+a^2},~~
OB=|c_2|\sqrt{1+a^2},~~
OA'=|c_1|\sqrt{1+a^{\prime2}},~~
OB'=|c_2|\sqrt{1+a^{\prime2}},\cr
&AA'=|(a'-a)c_1|,~~
BB'=|(a'-a)c_2|.\cr}
$$
On a $a'\ne a$ puisque $\cD$ et $\cD'$ sont concourantes par hypothèse, 
donc $a'-a\ne 0$, et on voit alors facilement que
$$
{OB\over OA}={OB'\over OA'}={BB'\over AA'}={|c_2|\over |c_1|}.\eqno\square
$$

De manière plus précise, si on choisit des orientations sur
$\cD$, $\cD'$ pour en faire des axes et des orientations de même sens sur
$\Delta_1$, $\Delta_2$, on voit qu'on a en fait les égalités de rapports 
de mesures algébriques
$$
{\ovl{OB}\over \ovl{OA}}={\ovl{OB'}\over\ovl{OA'}}={\ovl{BB'}\over 
\ovl{AA'}}.
$$
\medskip

\vbox{%
{\bf Réciproque du théorème de Thalès.} {\it Soient $\cD$, $\cD'$ des droites 
concourantes en~$O$. Si $\Delta_1$ est concourantes à $\cD$, $\cD'$ en $A, A'$
distincts,  si $\Delta_2$ est concourante
à $\cD$, $\cD'$ en $B$, $B'$ distincts et si
$$
{\ovl{OB}\over \ovl{OA}}={\ovl{OB'}\over \ovl{OA'}}
$$
alors $\Delta_1$ et $\Delta_2$ sont parallèles.}}

{\it Démonstration.} La preuve s'obtient aisément en considérant la
parallèle $\delta_2$ à $\Delta_1$ qui passe par $B$, et son
intersection $\beta'$ avec $\cD'$. On voit alors que
$\ovl{O\beta'}=\ovl{OB'}$, donc $\beta'=B'$ et $\delta_2=\Delta_2$,
de sorte que $\Delta_2=\delta_2\;/\!/\;\Delta_1$.\qed
\medskip

\subsection{4.8. Conséquences des théorèmes de Thalès et Pythagore}

La conjonction des cas d'isométries des triangles et des théorèmes de
Thalès et Pythagore permet (très classiquement) d'établir de
nombreux théorèmes de géométrie euclidienne.
Une notion importante est celle de similitude.

{\bf Définition.} {\it Deux figures $(A_1A_2A_3A_4\,\ldots)$ et 
$(A'_1A'_2A'_3A'_4\,\ldots)$ sont dites semblables dans le rapport
$k$ $(k>0)$ si on a $A'_iA'_j/A_iA_j=k$ pour tous les segments
$[A_i,A_j]$ et $[A'_i,A'_j]$ en correspondance.}

Un cas important de similitude est obtenu au moyen d'une homothétie
de centre un point $O$ donné\?: si $O$ est choisi comme origine et
si au point $M\;(x\,;\,y)$ on associe le point $M'\;(x'\,;\,y')$ tel
que $x'=kx$, $y'=ky$, alors la formule (4.1.1) montre que l'on a 
$A'B'=|k|\,AB$, donc en associant à tout point $A_i$
le point correspondant $A'_i$ on obtient des figures semblables dans le
rapport~$|k|\;$; on parle de figures homothétiques de rapport $k\;$; 
ce rapport peut être positif ou négatif (si $k=-1$ par exemple, il s'agit
d'une symétrie de centre $O$). Les cas d'isométrie des triangles 
conduisent directement aux cas de similitudes.

{\bf Critères de similitude des triangles.} {\it  Pour que deux triangles
soient semblables, il faut et il suffit que l'un des cas suivants soit réalisé\?:
{\parindent=6mm
\item{\rm(a)} les trois côtés sont proportionnels dans un certain 
rapport~$k>0$ $($c'est la définition$);$
\item{\rm(b)} les triangles ont un angle égal et les côtés adjacents
proportionnels$\,;$
\item{\rm(c)} les triangles ont deux angles égaux.}}

Une bonne application des cas de similitude consiste à énoncer et
démontrer les relations métriques dans le triangle rectangle\?: si le triangle
$ABC$ est rectangle en $A$ et si $H$ est le pied de la hauteur issue de $A$,
on a les relations classiques
$$
AB^2=BH\cdot BC,~~AC^2=CH\cdot CB,~~AH^2=BH\cdot CH,~~AB\cdot AC=AH\cdot BC.
$$

\InsertPSFigure 20 40 {
gsave
0.6 setlinewidth
0 0 moveto 200 0 lineto 0 100 lineto closepath stroke
0 0 moveto 40 80 lineto stroke
0 0 18 0 2 1 atan arc stroke
0 100 18 270 dup 2 1 atan add arc stroke
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200 0 24 180 1 2 atan sub 180 arc stroke
0.3 setlinewidth
44 78 moveto 42 74 lineto 38 76 lineto stroke
6 0 moveto 6 6 lineto 0 6 lineto stroke
grestore
}
\LabelTeX -3 -4 $A$\ELTX
\LabelTeX 70 -4 $B$\ELTX
\LabelTeX -3 36 $C$\ELTX
\LabelTeX 13.7 30 $H$\ELTX
\EndFig
\bigskip
En effet (par exemple) la similitude des triangles rectangles 
$ABH$ et $ABC$ conduit à l'égalité de rapports
$$
{AB\over BC}={BH\over AB}~~\Longrightarrow~~ AB^2=BH\cdot BC.
$$
On aboutit aussi à la définition des $\cos$, $\sin$ et $\tan$ d'un angle 
aigu dans un triangle rectangle.

{\bf Définition.} {\it Étant donné un triangle $ABC$ rectangle en $A$,
on définit
$$
\cos\overacute{ABC}={AB\over BC},\qquad
\sin\overacute{ABC}={AC\over BC},\qquad
\tan\overacute{ABC}={AC\over AB}.
$$}

Les rapports ne dépendent en effet que de l'angle $\overacute{ABC}$
(qui détermine aussi l'angle complémentaire
$\overacute{ACB}=90^\circ-\overacute{ABC}$), puisque des triangles
rectangles qui ont un angle autre que l'angle droit égal sont toujours
semblables d'après le critère (c).
Le théorème de Pythagore permet d'aboutir au calcul des valeurs de
$\cos$, $\sin$, $\tan$ pour les angles remarquables
$0°$, $30°$, $45°$, $60°$, $90°$.

\subsection{4.9. Calcul d'aires et de volumes}

Il est possible -- et donc probablement souhaitable -- de justifier
les principales formules usuelles concernant les aires et volumes de 
solides usuels (cylindres, pyramides, cônes, sphère), en utilisant 
seulement les théorèmes de Thalès et Pythagore et des raisonnements 
géométriques très simples\note{18}{Nous parlons ici de «\?justification\?» 
plutôt que de démonstration parce que les fondements théoriques nécessaires
(à savoir la théorie de la mesure) manquent -- et manqueront sans doute 
encore pour 5 ou 6 années ou plus. Mais en réalité, on pourra s'apercevoir
que ces justifications peuvent être rendues parfaitement rigoureuses 
une fois que les fondements considérés ici comme intuitifs seront 
rigoureusement établis. Il serait par exemple possible de prendre
la formule (11.3) comme définition rigoureuse de la mesure 
$p$-dimensionnelle.}. 
Nous indiquons ici comment on peut procéder -- les raisonnements sont
proches de ceux que connaissaient déjà Archimède plus de 
deux siècles avant JC (reformulés avec les notations algébriques
modernes).

{\bf Volume d'un cône de base quelconque}

Nous commencerons par étudier le volume d'un cône dont la base $B$ est 
un domaine plan borné quelconque. On note $\cP$ le plan contenant
cette base $B$ et on considère un point $O$ situé en dehors du plan $\cP$.
\medskip

{\bf Définition.} {\it Le cône de sommet $O$ et de base $B$ est 
la réunion des segments $[O,M]$ issus de $O$ et d'extrémités $M\in B$. 
La hauteur $h$ du cône est la distance du point $O$ au plan $\cP$ qui
contient $B$.}
\medskip

 Dans le cas où la base $B$ est un disque, on parle de
{\it cône circulaire} (droit ou oblique), lorsque la base est un 
triangle, le cône est un {\it tétraèdre}, et lorsque la base est un 
carré ou un rectangle, le cône est une {\it pyramide} (droite ou oblique).

On fait l'hypothèse qu'on peut calculer l'aire $A$ de la base $B$
(ce qui veut dire qu'en utilisant des quadrillages assez fins, 
l'aire approximative obtenue en comptant le nombre de carrés du
quadrillage tend vers une limite quand le côté de ces 
carrés tend vers~$0$).

Si on choisit le sommet $O$ comme origine 
et des coordonnées telles que le plan $\cP$ soit horizontal et 
situé «\?plus bas que
$O$\?», alors $\cP$ s'écrit comme le plan d'équation $z=-h$.
Une première observation importante est la suivante\?:

\InsertPSFigure 27 39 {
gsave
1 mm unit
initcoordinates
%%premier cone
1 0.8 0.8 setrgbcolor
-9.95 3 moveto 0 30 lineto 19.1 8.5 lineto closepath fill
-10 0 moveto [ -10 0 10 0 18 0 20 6 5 12 ] closedcurve 
1 0.7 0.7 setrgbcolor fill
gsave
0 30 moveto -9.95 3 lineto 19.1 8.5 lineto closepath clip
newpath
-10 0 moveto [ -10 0 10 0 18 0 20 6 5 12 ] closedcurve 
1 0 0 setrgbcolor 
[ 1.5 0.5 ] 0 setdash
stroke
grestore
gsave
-9.95 3 moveto 19.1 8.5 lineto 50 -20 lineto -50 -20 lineto closepath clip
newpath
1 0 0 setrgbcolor 
-10 0 moveto [ -10 0 10 0 18 0 20 6 5 12 ] closedcurve 
stroke
grestore
1 0 0 setrgbcolor 
-9.95 3 moveto 0 30 lineto 19.1 8.5 lineto stroke
0 setgray
0 30 moveto 0.7 disk
-15 5 moveto -20 -7 lineto 30 -7 lineto stroke
27 15 moveto 15 90 2.4 vector
27 15 moveto 11 -90 2.4 vector
%%deuxieme cone
60 0 translate
0.8 0.8 1 setrgbcolor
-8.5 5.5 moveto 12 30 lineto 19.7 7.4 lineto closepath fill
-10 0 moveto [ -10 0 10 0 18 0 20 6 5 12 ] closedcurve 
0.7 0.7 1 setrgbcolor fill
gsave
-8.5 5.5 moveto 12 30 lineto 19.7 7.4 lineto closepath clip
newpath
-10 0 moveto [ -10 0 10 0 18 0 20 6 5 12 ] closedcurve 
0 0 1 setrgbcolor 
[ 1.5 0.5 ] 0 setdash
stroke
grestore
gsave
-8.5 5.5 moveto 19.7 7.4 lineto 50 -20 lineto -50 -20 lineto closepath clip
newpath
0 0 1 setrgbcolor 
-10 0 moveto [ -10 0 10 0 18 0 20 6 5 12 ] closedcurve 
stroke
grestore
0 0 1 setrgbcolor 
-8.5 5.5 moveto 12 30 lineto 19.7 7.4 lineto stroke
0 setgray
12 30 moveto 0.7 disk
-15 5 moveto -20 -7 lineto 30 -7 lineto stroke
27 15 moveto 15 90 2.4 vector
27 15 moveto 11 -90 2.4 vector
grestore
}
\LabelTeX -17.5 -5.5 $\cP$\ELTX
\LabelTeX 5 -4 $B$\ELTX
\LabelTeX -1 32.6 $O$\ELTX
\LabelTeX 24 17 $h$\ELTX
\LabelTeX 42.5 -5.5 $\cP$\ELTX
\LabelTeX 65 -4 $B$\ELTX
\LabelTeX 71 32.6 $O$\ELTX
\LabelTeX 84 17 $h$\ELTX
\LabelTeX 30 -12 $~$\ELTX
\EndFig

{\parindent=11.8mm
\item{(4.9.1)} {\it Le volume $V$ du cône ne dépend que de la base $B$ et 
de la hauteur $h$, mais pas de la position relative de $O$ et de $B$}
(autrement dit, si on déplace $B$ horizontalement par rapport à $O$, le 
volume ne change pas).\vskip0pt
}

Pour démontrer (4.9.1), on découpe les deux cônes en tranches horizontales
assez fines, comme figuré sur le dessin ci-après\?:

\InsertPSFigure 27 41 {
gsave
1 mm unit
initcoordinates
%%premier cone
1 0.8 0.8 setrgbcolor
0 30 moveto -12 0 lineto 22 0 lineto closepath fill
1 0 0 setrgbcolor
/n 15 def /step 30 n div def
1 1 n {
/k exch n div def
/x1 k -12 mul def /x2  k 22 mul def /y  30 k 30 mul sub def
x1 y step add moveto x2 y step add lineto x2 y lineto x1 y lineto 
closepath stroke
} for
0 setgray
0 30 moveto 0.5 disk
-15 21 moveto 9 90 2.4 vector
-15 21 moveto 9 -90 2.4 vector
27 15 moveto 15 90 2.4 vector
27 15 moveto 15 -90 2.4 vector
%%deuxieme cone
72 0 translate
0.8 0.8 1 setrgbcolor
0 30 moveto -24 0 lineto 10 0 lineto closepath fill
0 0 1 setrgbcolor
/n 15 def /step 30 n div def
1 1 n {
/k exch n div def
/x1 k -24 mul def /x2  k 10 mul def /y  30 k 30 mul sub def
x1 y step add moveto x2 y step add lineto x2 y lineto x1 y lineto 
closepath stroke
} for
0 setgray
0 30 moveto 0.5 disk
-25 21 moveto 9 90 2.4 vector
-25 21 moveto 9 -90 2.4 vector
15 15 moveto 15 90 2.4 vector
15 15 moveto 15 -90 2.4 vector
[ 1.5 0.5 ] 0 setdash
0 0.7 0 setrgbcolor
-57 12 moveto -16 12 lineto stroke
-90 12 moveto -80 12 lineto stroke
grestore
}
\LabelTeX 5 -4 $B$\ELTX
\LabelTeX -1 32.6 $O$\ELTX
\LabelTeX -14.3 20 $|z|$\ELTX
\LabelTeX 24 20 $h$\ELTX
\LabelTeX 65 -4 $B$\ELTX
\LabelTeX 71 32.6 $O$\ELTX
\LabelTeX 48 20 $|z|$\ELTX
\LabelTeX 84 20 $h$\ELTX
\LabelTeX 30 -8 $~$\ELTX
\EndFig

Si on remplace les tranches par des cylindres de parois latérales verticales
(et dont les bases sont homothétiques à la base $B$ dans le rapport $|z|/h$,
comme sur le schéma ci-dessus), on commet une petite erreur, puisque 
les volumes calculés deviennent un peu supérieur à
ceux des cônes$\,$; cependant l'erreur devient de plus en plus petite
quand le nombre de tranches augmente. Or, il est évident que les volumes
des deux empilements de pièces cylindriques sont identiques, puisque 
celles-ci ont simplement été glissées horizontalement les unes par rapport
aux autres.
\medskip

La deuxième observation est la suivante\?:

{\parindent=11.8mm
\item{(4.9.2)} {\it La hauteur $h$ étant donnée, le volume $V$ du cône est
proportionnel à l'aire $A$ de la base $B$.}}

\InsertPSFigure 57 39 {
gsave
1 mm unit
initcoordinates
%%premier cone
1 0.8 0.8 setrgbcolor
-9.95 3 moveto 0 30 lineto 19.1 8.5 lineto closepath fill
-10 0 moveto [ -10 0 10 0 18 0 20 6 5 12 ] closedcurve 
1 0.7 0.7 setrgbcolor fill
0.6 0.9 0.6 setrgbcolor
-2 1 11 { 
 /k exch def /l k 2.4 div def
 -9.5 l add k moveto 18.5 l add k lineto stroke } for
-5 1 8 { 
 /k exch 2 mul def
 k -3.5 moveto k 6.75 add 12.7 lineto stroke } for
0.7 0.7 1 setrgbcolor
0 30 moveto -4 6 lineto -2 6 lineto closepath fill
0 30 moveto  5 4 lineto 7 4 lineto closepath fill
0.6 0.6 1 setrgbcolor
0 30 moveto -2 6 lineto -1.583 7 lineto closepath fill
0 30 moveto  7 4 lineto 7.417 5 lineto closepath fill
gsave
0 30 moveto -9.95 3 lineto 19.1 8.5 lineto closepath clip
newpath
-10 0 moveto [ -10 0 10 0 18 0 20 6 5 12 ] closedcurve 
1 0 0 setrgbcolor 
[ 1.5 0.5 ] 0 setdash
stroke
grestore
gsave
-9.95 3 moveto 19.1 8.5 lineto 50 -20 lineto -50 -20 lineto closepath clip
newpath
1 0 0 setrgbcolor 
-10 0 moveto [ -10 0 10 0 18 0 20 6 5 12 ] closedcurve 
stroke
grestore
1 0 0 setrgbcolor 
-9.95 3 moveto 0 30 lineto 19.1 8.5 lineto stroke
0 setgray
0 30 moveto 0.7 disk
-20 5 moveto -25 -7 lineto 30 -7 lineto stroke
35 15 moveto 15 90 2.4 vector
35 15 moveto 11 -90 2.4 vector
grestore
}
\LabelTeX -22.5 -5.5 $\cP$\ELTX
\LabelTeX 19.2 -4 base $B$ d'aire $A$\ELTX
\LabelTeX -1 32.6 $O$\ELTX
\LabelTeX 32 17 $h$\ELTX
\LabelTeX 30 -12 $~$\ELTX
\EndFig

En effet, on peut calculer une valeur approchée de l'aire $A$ de la
base à l'aide d'un quadrillage, mais alors il résulte de (4.9.1) que
le volume de toutes les pyramides obliques s'appuyant sur les
différents carrés du quadrillage est le même. Ceci montre que le
volume total de toutes ces pyramides est proportionnel au nombre $n$ de
carrés de quadrillage, et donc, à la limite, que le volume $V$ du cône
est proportionnel à l'aire $A$ de la base.
\medskip

Voici la troisième observation\?:

{\parindent=11.8mm
\item{(4.9.3)} {\it La base $B$ étant donnée, le volume $V$ du cône est
proportionnel à la hauteur $h$.}}

Pour démontrer cette propriété, on considère deux cônes ayant la même base
$B$ et des hauteurs $h$, $h'$ différentes, et on évalue leurs volumes 
approchés à l'aide de tranches cylindriques~:

\InsertPSFigure 27 40 {
gsave
1 mm unit
initcoordinates
%%premier cone
1 0.8 0.8 setrgbcolor
0 30 moveto -12 0 lineto 22 0 lineto closepath fill
1 0 0 setrgbcolor
/n 15 def /step 30 n div def
1 1 n {
/k exch n div def
/x1 k -12 mul def /x2  k 22 mul def /y  30 k 30 mul sub def
x1 y step add moveto x2 y step add lineto x2 y lineto x1 y lineto 
closepath stroke
} for
0 setgray
0 30 moveto 0.5 disk
27 15 moveto 15 90 2.4 vector
27 15 moveto 15 -90 2.4 vector
%%deuxieme cone
62 -20 translate
0.8 0.8 1 setrgbcolor
0 50 moveto -12 0 lineto 22 0 lineto closepath fill
0 0 1 setrgbcolor
/n 15 def /step 50 n div def
1 1 n {
/k exch n div def
/x1 k -12 mul def /x2  k 22 mul def /y  50 k 50 mul sub def
x1 y step add moveto x2 y step add lineto x2 y lineto x1 y lineto 
closepath stroke
} for
0 setgray
0 50 moveto 0.5 disk
27 25 moveto 25 90 2.4 vector
27 25 moveto 25 -90 2.4 vector
grestore
}
\LabelTeX 5 -4 $B$\ELTX
\LabelTeX -1 32.6 $O$\ELTX
\LabelTeX 24 15 $h$\ELTX
\LabelTeX 65 -24 $B$\ELTX
\LabelTeX 65 -26 $~$\ELTX
\LabelTeX 61 32.6 $O$\ELTX
\LabelTeX 84.5 5 $h'$\ELTX
\EndFig
\medskip

Pour réaliser le deuxième cône, on dilate verticalement chaque pièce
cylindrique dans le rapport $h'/h$. Comme le volume d'un cylindre est
le produit de l'aire de sa base par la hauteur, on voit que le volume
du deuxième empilement est proportionnel au premier dans le rapport
$h'/h$. À la limite, quand les tranches deviennent de plus en plus fines,
ceci démontre bien que le rapport des volumes des
cônes vérifie $V'/V=h'/h$.

La quatrième et dernière étape est le calcul du volume d'une
pyramide\?: on commence par le cas d'une pyramide dont la base est
un carré de côté $c$ et dont la hauteur vaut aussi $h=c$. Le schéma
suivant montre qu'on peut remplir le cube de côté $c$ avec 3 pyramides 
isométriques de ce type (il serait utile de les construire et 
de vérifier qu'elles s'assemblent en un cube\?!)

\InsertPSFigure 5 42 {
gsave
1 mm unit
initcoordinates
%%Premier cube
[ ] 0 setdash
1 0.8 0.8 setrgbcolor
0 0 moveto 13 35 lineto 25 0 lineto closepath fill
1 0.7 0.7 setrgbcolor
0 0 moveto 13 10 lineto 35 10 lineto 25 0 lineto closepath fill
1 0.6 0.6 setrgbcolor
25 0 moveto 13 35 lineto 38 10 lineto closepath fill
0 setgray
0 0 moveto 25 0 lineto 25 25 lineto 0 25 lineto closepath stroke
0 25 moveto 13 35 lineto 38 35 lineto 25 25 lineto stroke
38 35 moveto 38 10 lineto 25 0 lineto stroke
0.8 0 0 setrgbcolor
[ 1.5 0.5 ] 0 setdash
0 0 moveto 13 10 lineto 38 10 lineto stroke
13 10 moveto 13 35 lineto stroke
%%Deuxieme cube
[ ] 0 setdash
42 0 translate
0.8 1 0.8 setrgbcolor
0 0 moveto 25 0 lineto 25 25 lineto 0 25 lineto closepath fill
0.6 1 0.6 setrgbcolor
0 25 moveto 13 35 lineto 25 25 lineto closepath fill
0 setgray
0 0 moveto 25 0 lineto 25 25 lineto 0 25 lineto closepath stroke
0 25 moveto 13 35 lineto 38 35 lineto 25 25 lineto stroke
38 35 moveto 38 10 lineto 25 0 lineto stroke
[ 1.5 0.5 ] 0 setdash
0 0 moveto 13 10 lineto 38 10 lineto stroke
13 10 moveto 13 35 lineto stroke
0 0.8 0 setrgbcolor
0 0 moveto 13 35 lineto 25 0 lineto stroke
%%Troisieme cube
[ ] 0 setdash
42 0 translate
0.5 0.5 1 setrgbcolor
13 35 moveto 38 35 lineto 38 10 lineto closepath fill
0.7 0.7 1 setrgbcolor
13 35 moveto 38 35 lineto 25 25 lineto closepath fill
0.6 0.6 1 setrgbcolor
25 0 moveto 13 35 lineto 38 10 lineto closepath fill
0.8 0.8 1 setrgbcolor
13 35 moveto 25 25 lineto 25 0 lineto closepath fill
0 setgray
0 0 moveto 25 0 lineto 25 25 lineto 0 25 lineto closepath stroke
0 25 moveto 13 35 lineto 38 35 lineto 25 25 lineto stroke
38 35 moveto 38 10 lineto 25 0 lineto stroke
[ 1.5 0.5 ] 0 setdash
0 0 moveto 13 10 lineto 38 10 lineto stroke
13 10 moveto 13 35 lineto stroke
grestore
}
\LabelTeX -2.6 12 $c$\ELTX
\LabelTeX 4 30.8 $c$\ELTX
\LabelTeX 24 36.6 $c$\ELTX
\EndFig
\bigskip

Le volume de chacune des 3 pyramides figurées ci-dessus vaut donc le tiers de
celui du cube, soit $V={1\over 3}c^3$.
Pour une pyramide de base carrée $A=c^2$ et de hauteur $h$ quelconque,
le volume doit être multiplié par $h/c$ d'après (4.9.3), donc le volume
vaut dans ce cas
$$
V={h\over c}\times{1\over 3}c^3={1\over 3}c^2h.
$$
Pour une base $B$ quelconque, on utilise maintenant un quadrillage de
la base comme dans la preuve de (4.9.2). Si $n$ est le nombre de carrés
de côté $c$ contenus dans la base~$B$, l'aire $A$ de la base
vaut approximativement $A\approx nc^2$ et on a donc
$$
V\approx n\times{1\over 3}c^2h ={1\over 3}(n\,c^2)h
\approx {1\over 3}Ah.
$$
L'approximation devient de meilleure en meilleure quand le côté $c$
tend vers $0$, et à la limite, on voit que le volume d'un cône quelconque
est donné par
$$
V={1\over 3}Ah.\leqno(4.9.4)
$$

{\bf Calcul de l'aire d'une sphère de rayon $R$}

Comme deux sphères de même rayon sont isométriques, l'aire dépend 
uniquement du rayon~$R$. Fixons
le centre $O$ de la sphère comme origine, et considérons le cylindre 
«\?vertical\?» tangent à la sphère le long de son équateur (donc 
de rayon égal à R), et plus précisément, la partie du cylindre comprise 
entre les plans horizontaux $z=-R$ et $z=R$. On effectue une
projection de la sphère sur le cylindre\?: pour tout point $M$ de la
sphère on considère son projeté $M'$ sur le cylindre qui est
l'intersection de celui-ci avec la droite $\cD_M$ horizontale passant par
$M$ et s'appuyant sur l'axe $Oz$. 

Cette projection est un mode de représentation cartographique assez
courant du globe terrestre\?: après avoir coupé le cylindre le long 
du méridien de longitude $180°$ et déroulé celui-ci en un rectangle, 
on obtient ainsi la carte suivante de la Terre.
\bigskip

\InsertImage 1 32 0 30 1.0 0 {xrmap.png}
\EndFig
\vskip-34mm
\InsertPSFigure 34.6 34 {
gsave
1 mm unit
initcoordinates
0 0.35 translate
0 15 moveto 15 90 2.4 vector
0 15 moveto 15 -90 2.4 vector
48.8 -1.6 moveto 15 3.1416 mul 0 2.4 vector
48.8 -1.6 moveto 15 3.1416 mul 180 2.4 vector
-33.64 0 translate
0 0 moveto  0 30 lineto stroke
30 0 moveto 30 30 lineto stroke
0.2 setlinewidth
1 0.1 scale
newpath 15 0 15 180 360 arc stroke
newpath 15 300 15 0 360 arc stroke
grestore
}
\LabelTeX 1.5 18 $2R$\ELTX
\LabelTeX 45.7 -4.3 $2\pi R$\ELTX
\EndFig
\medskip

On va démontrer que la projection cylindrique conserve les aires, donc
que l'aire de la sphère est égale à celle de la carte rectangulaire
de côtés $2R$ et~$2\pi R$\?:
$$
A=2R\times 2\pi R=4\pi R^2.
\leqno(4.9.5)
$$
Pour vérifier l'égalité des aires, on considère un «\?champ
rectangulaire\?» délimité par les parallèles et méridiens, de
dimensions très petites par rapport à celle de la sphère, de sorte
qu'on puisse l'assimiler à une surface plane, c'est-à-dire à un
véritable rectangle (sur la Terre par exemple, on ne s'aperçoit pas de
la rotondité du globe à une échelle de quelques dizaines ou centaines
de mètres). 

%%Voici différentes vues d'un tel champ rectangulaire\?:
\InsertPSFigure 5 122 {
gsave
1 mm unit
initcoordinates
25 85 translate
%% sphère en perspective
gsave
0.1 setlinewidth
0.9 0.9 1 setrgbcolor
0 21.75 moveto 16.27 15.17 lineto 12.52 14.65 lineto
closepath fill
0 21.75 moveto 12.52 14.65 lineto 12.52 13.65 lineto 0 20.75 lineto
closepath fill
0.75 0.75 1 setrgbcolor
9.52 16.35 moveto 12 16.86 lineto 12.7 15.57 lineto 9.97 15.10 lineto fill
0.5 0.5 1 setrgbcolor
0.04 setlinewidth
0 21.75 moveto 16.27 15.17 lineto stroke
0 21.75 moveto 12.52 14.65 lineto stroke
0 20.75 moveto 12.52 13.65 lineto stroke
1 0.7 0.7 setrgbcolor
12.52 14.65 moveto 12.52 13.65 lineto
16.27 14.17 lineto 16.27 15.17 lineto fill
0 setgray
0.1 setlinewidth
newpath 0 0 25 0 360 arc stroke
1 0.2 scale
1 0 0 setrgbcolor
newpath 0 125 25 0 360 arc stroke
newpath 0 -125 25 180 360 arc stroke
newpath 0 95 25 180 360 arc stroke
newpath 0 90 25 180 360 arc stroke
[ 2 1 ] 0 setdash
newpath 0 -125 25 0 180 arc stroke
0 0 1 setrgbcolor
[ ] 0 setdash
newpath 0 95 16.248 180 360 arc stroke
newpath 0 90 17.349 180 360 arc stroke
1 5 scale
-0.7 -0.7 moveto 0.7 0.7 lineto stroke
-0.7 0.7 moveto 0.7 -0.7 lineto stroke
gsave
0.5 1 scale
newpath 0 0 25 -90 90 arc stroke
1.3 1 scale
newpath 0 0 25 -90 90 arc stroke
grestore
1 0 0 setrgbcolor
25 -25 moveto 25 25 lineto stroke
-25 -25 moveto -25 25 lineto stroke
12.5 -29.33 moveto 12.5 20.67 lineto stroke
16.25 -28.8 moveto 16.25 21.2 lineto stroke
0 0 1 setrgbcolor
0 -34 moveto 68 90 2.4 vector
grestore
%% zoom de la région importante
gsave
30 -130 translate
4 4 scale
0.04 setlinewidth
0.9 0.9 1 setrgbcolor
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grestore
}
\LabelTeX 20.8  84 $O$\ELTX
\LabelTeX 91.5  84 $O$\ELTX
\LabelTeX 22 118 $z$\ELTX
\LabelTeX 92 116 $z$\ELTX
\LabelTeX 18.5 21 $Oz$\ELTX
\LabelTeX 27.2 30 $\RGBColor{1 0 0}{R}$\ELTX
\LabelTeX 32 22.3 $\RGBColor{0 0 1}{r}$\ELTX
\LabelTeX 100.5 95 $\RGBColor{1 0 0}{R}$\ELTX
\LabelTeX 103 82.3 $\RGBColor{0 0 1}{r}$\ELTX\
\LabelTeX 33.1 5 $\RGBColor{0 0 1}{a}$\ELTX
\LabelTeX 37.8 -2.3 $\RGBColor{1 0 0}{a'}$\ELTX
\LabelTeX 110.5 105 $\RGBColor{0 0 1}{b}$\ELTX
\LabelTeX 119.8 103.1 $\RGBColor{1 0 0}{b'}$\ELTX
\LabelTeX 93.5 22.2 $\RGBColor{0 0 1}{a}$\ELTX
\LabelTeX 104.8 18 $\RGBColor{0 0 1}{b}$\ELTX
\LabelTeX 109.2 15.5 $\RGBColor{1 0 0}{a'}$\ELTX
\LabelTeX 119.8 12.5 $\RGBColor{1 0 0}{b'}$\ELTX
\LabelTeX 97 54.7 vue de côté\ELTX
\LabelTeX 33 15.5 vue~~~de~~~~dessus\ELTX
\LabelTeX 71.5 22.7 $\cD_M$\ELTX
\LabelTeX 91.5 11.7 $M$\ELTX
\LabelTeX 101.8 6.2 $M'$\ELTX
\LabelTeX 90 0.5 grossissement $4{\times}$\ELTX
\EndFig
\vskip20pt

Soient $a,\,b$ les côtés du «\?champ rectangulaire\?» 
respectivement dans la direction des parallèles et des méridiens, et
$a',\,b'$ les côtés du rectangle correspondant, projeté sur le
cylindre.

Dans la vue de dessus, le théorème de Thalès donne aussitôt
$$
{a'\over a}={R\over r}.
$$
Dans la vue de côté, les deux triangles rectangles figurés en vert 
sont homothétiques (ils ont un angle égal, car les côtés adjacents
sont deux à deux perpendiculaires). En appliquant de nouveau le
théorème de Thalès à chacun de ces deux triangles et en comparant les
côtés adjacents aux angles égaux, on obtient
$$
{b'\over b}={\hbox{petit côté adjacent}\over\hbox{hypoténuse}}={r\over R}.
$$
Le produit de ces deux égalités donne
$$
{a'\times b'\over a\times b}={a'\over a}\times{b'\over b}
={R\over r}\times{r\over R}=1.
$$
On en déduit que les aires des rectangles $a\times b$ et $a'\times b'$
sont égales, ce qui entraîne que la projection cylindrique conserve les aires,
et donc en particulier que la formule (4.9.5) est bien vraie.
\medskip

{\bf Volume d'une boule de rayon $R$}

Pour obtenir le volume d'une boule\note{19}{On appelle «\?boule\?» le
  domaine de l'espace délimité par une sphère, de même qu'on appelle
  disque le domaine du plan délimité par un cercle.} de rayon $R$, on
utilise un quadrillage de la sphère par méridiens et parallèles, et on
calcule le volume des pyramides construites sur les champs
rectangulaires ainsi délimités. Lorsque le maillage est suffisamment
fin, on peut considérer que les champs rectangulaires sont
pratiquement plans (on notera que ce raisonnement est l'exact analogue
dans l'espace de la preuve de l'aire du disque donnée à la
section~2.2). Soit $A_1,\,A_2,\,A_3,\,\ldots$ les aires des 
champs rectangulaires et $V_1,\,V_2,\,V_3,\,\ldots$ le volume des 
pyramides associées (la hauteur de ces pyramides vaut évidemment $h=R$).
On note ici $n=1$ ou $2$ ou $3\,\ldots$

\InsertPSFigure 40 57 {
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1 mm unit
initcoordinates
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0 0 moveto 9.97 15.10 lineto 12.7 15.57 lineto closepath fill
0.75 0.75 1 setrgbcolor
9.52 16.35 moveto 12 16.86 lineto 12.7 15.57 lineto 9.97 15.10 lineto fill
0.5 0.5 1 setrgbcolor
0.04 setlinewidth
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0 0 moveto 9.52 16.35 lineto stroke
0 0 moveto 12.7 15.57 lineto stroke
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}
\LabelTeX -13 32 \RGBColor{0 0 1}{volume $V_n$}\ELTX
\LabelTeX 14 38.3 \RGBColor{0 0 1}{aire~~$A_n$}\ELTX
\LabelTeX 40 35 Volume des pyramides\?:\ELTX
\LabelTeX 45 28 $\displaystyle V_n={1\over 3}A_n\times R$\ELTX
\EndFig
\medskip

Si $A=4\pi R^2$ désigne l'aire totale de la sphère, la
distributivité de la multiplication par rapport à l'addition
montre que le volume $V$ de 
la boule est donné par
$$
V=V_1+V_2+V_3+\ldots={1\over 3}(A_1+A_2+A_3+\ldots)\times R=
{1\over 3}AR.
$$
Ceci donne la formule cherchée pour le volume de la boule de rayon $R$\?:
$$
V={1\over 3}AR={1\over 3}\times 4\pi R^2\times R={4\over 3}\pi R^3.
\leqno(4.9.6)
$$
\vfill\eject

\section{5. Une approche axiomatique de la géométrie euclidienne}

Bien que nous ayons pu jusqu'à présent suivre une approche extrêmement
déductive par rapport à l'approche traditionnelle -- tous les énoncés
ou presque ont été «\?démontrés\?» à partir des définitions -- il n'en
reste pas moins que certaines démonstrations s'appuyaient sur des
faits intuitifs, par exemple celle du théorème de Pythagore.
La seule solution pour sortir du cercle vicieux est de prendre
certains des faits que nous voulons vrais commes des «\?axiomes\?»,
c'est-à-dire de les considérer comme des hypothèses premières dont on
déduira toutes les autres par le raisonnement$\,$; le~choix d'autres
hypothèses de départ conduirait à des géométries non euclidiennes
(cf.\ section~11).

Comme nous allons le voir, la notion de plan euclidien peut se définir
à l'aide d'un seul axiome, essentiellement équivalent à la conjonction
du théorème de Pythagore -- qui n'avait été que partiellement justifié
-- et de l'existence des coordonnées cartésiennes -- que nous n'avions
pas non plus discutée. Dans le cas où l'idée d'utiliser une approche 
axiomatique effraierait,
cette section peut tout à fait être omise -- à condition de comprendre
que les systèmes de coordonnées peuvent être changés à volonté
(translatés, tournés, etc) en fonction des besoins.

\subsection{5.1. Le modèle «\?Pythagore + Descartes\?» }

Dans notre vision, la géométrie euclidienne plane est fondée sur la
«\?définition axiomatique\?» suivante.
\medskip

{\bf Définition.} {\it On appellera plan euclidien un ensemble de points noté
$\cP$, muni d'une distance $d$, c'est-à-dire une application
$$
d:\cP\times \cP\to\bR_+,\qquad (M,M')\mapsto d(M,M')=MM'\ge 0,
$$
de sorte qu'il existe des «\?systèmes de coordonnées orthonormés\?» $\,:$ 
à tout point $M\in\cP$ on peut faire correspondre un 
couple de coordonnées $(x\,;\,y)\in\bR^2$, par une correspondance
bijective $M\mapsto (x\,;\,y)$ satisfaisant
l'axiome\note{20}{Comme on va le voir, il s'agit 
là d'une description complète et rigoureuse de la géométrie euclidienne 
plane, parfaitement équivalente aux systèmes d'axiomes reposant sur 
les notions d'espace vectoriel euclidien de dimension 2
et d'espace affine associé -- mais avec un formalisme drastiquement
plus simple ne présupposant aucune notion d'algèbre linéaire. 
La géométrie hyperbolique, dans le modèle de Poincaré,
consisterait à envoyer $\cP$ sur le disque des nombres complexes de
module $|z|<1$, avec la distance infinitésimale $\smash{|dz|/(1-|z|^2)}$,
cf.\ section 11.}
$$
d(M,M')=\sqrt{(x'-x)^2+(y'-y)^2}\leqno
\hbox{\rm(Pythagore + Descartes)}
$$
pour tous points $M\;(x\,;y)$ et $M'\;(x'\,;\,y')$.}


Il est bon de se représenter le choix d'un système de coordonnées
orthonormé comme le fait de placer une feuille de papier millimétré
transparent sur le plan $\cP$ dans lequel on travaille (et où nous
avons représenté deux triangles figurés en bleu, par dessus lesquels
on vient placer la feuille millimétrée transparente).


\InsertPSFigure 15.000 66.000 {
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0.8333 mm unit
50 25 translate
1 1 0.8 setrgbcolor
-60 -40 moveto 60 -40 lineto 60 40 lineto -60 40 lineto closepath fill
-20 rotate
0.1 setlinewidth
0.9 0.9 1 setrgbcolor
32 21 moveto -19 31 lineto -31 -9 lineto closepath fill
21 -11 moveto 31 -19 lineto 25 5 lineto closepath fill
1 0.8 0.6 setrgbcolor
-35 1 35 { /k exch def -45 k moveto 45 k lineto stroke } for
-45 1 45 { /k exch def k -35 moveto k 35 lineto stroke } for
0.3 setlinewidth
-3 1 3 { /k exch 10 mul def -45 k moveto 45 k lineto stroke } for
-4 1 4 { /k exch 10 mul def k -35 moveto k 35 lineto stroke } for
0.2 setlinewidth
0.6 setgray
-50 0 moveto 100 0 2.4 vector
0 -35 moveto 75 90 2.4 vector
0.3 setlinewidth
0.6 0.6 1 setrgbcolor
32 21 moveto -19 31 lineto -31 -9 lineto closepath stroke
21 -11 moveto 31 -19 lineto 25 5 lineto closepath stroke
1 0.3 0.3 setrgbcolor
32 21 moveto 0.7 disk
-19 31 moveto 0.7 disk
-31 -9 moveto 0.7 disk
21 -11 moveto 0.7 disk
31 -19 moveto 0.7 disk
25 5 moveto 0.7 disk
grestore
}
\LabelTeX 37.9 18.3 $O$\ELTX
\LabelTeX 78.4 4 $x$\ELTX
\LabelTeX 49.6 50.8 $y$\ELTX
\LabelTeX -6 49 $\cP$\ELTX
\LabelTeX 30 -23 $~$\ELTX
\EndFig

Il y a bien entendu une infinité de choix possibles pour le
système de coordonnées, et nous allons étudier quelques manières
simples de modifier les coordonnées.
\medskip

{\bf 5.1.1. Demi-tour de la feuille de papier millimétré autour de~$O$}

Ceci revient juste à changer l'orientation des axes, sans changer autrement
leur position. Les nouvelles coordonnées $(X\,;\,Y)$ sont données par
rapport aux anciennes par
$$
X=-x,\qquad Y=-y.
$$
Comme $(-u)^2=u^2$ pour tout nombre réel $u$, on voit que la formule 
$$
d(M,M')=\sqrt{(X'-X)^2+(Y'-Y)^2}\leqno(*)
$$
sera vraie dans les nouvelles coordonnées si elle était vraie dans 
les coordonnées $(x\,;\,y)$.
\medskip

{\bf 5.1.2. Retournement de la feuille de papier millimétré le long 
de $Ox$}

Ici $Oy$ est inchangé, et l'orientation de $Ox$ est inversée. On a
$X=-x$, $Y=y$ et la formule $(*)$ est encore vraie.
\medskip

{\bf 5.1.3. Retournement de la feuille de papier millimétré le long 
de $Oy$}

Ici $Ox$ est inchangé, seule l'orientation de $Oy$ est inversée. On a
$X=x$, $Y=-y$ et la formule $(*)$ est encore vraie.
\medskip

{\bf 5.1.4. Changement d'origine}

On remplace ici l'origine $O$ par le point $M_0\;(x_0\,;\,y_0)$.

\InsertPSFigure 15.000 68.000 {
gsave
0.8333 mm unit
50 25 translate
1 1 0.8 setrgbcolor
-60 -40 moveto 60 -40 lineto 60 40 lineto -60 40 lineto closepath fill
-20 rotate
0.1 setlinewidth
0.9 0.9 1 setrgbcolor
32 21 moveto -19 31 lineto -31 -9 lineto closepath fill
21 -11 moveto 31 -19 lineto 25 5 lineto closepath fill
1 0.8 0.6 setrgbcolor
-35 1 35 { /k exch def -45 k moveto 45 k lineto stroke } for
-45 1 45 { /k exch def k -35 moveto k 35 lineto stroke } for
0.3 setlinewidth
-3 1 3 { /k exch 10 mul def -45 k moveto 45 k lineto stroke } for
-4 1 4 { /k exch 10 mul def k -35 moveto k 35 lineto stroke } for
0.2 setlinewidth
0.6 setgray
-50 0 moveto 100 0 2.4 vector
0 -35 moveto 75 90 2.4 vector
0 setgray
-30 10 moveto 100 0 2.4 vector
20 -25 moveto 75 90 2.4 vector
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0.6 0.6 1 setrgbcolor
32 21 moveto -19 31 lineto -31 -9 lineto closepath stroke
21 -11 moveto 31 -19 lineto 25 5 lineto closepath stroke
1 0.3 0.3 setrgbcolor
32 21 moveto 0.7 disk
-19 31 moveto 0.7 disk
-31 -9 moveto 0.7 disk
21 -11 moveto 0.7 disk
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25 5 moveto 0.7 disk
0 0.7 0 setrgbcolor
0.1 setlinewidth
[ 1.5 0.5] 0 setdash
-25 -25 moveto 90 0 rlineto 0 70 rlineto -90 0 rlineto closepath stroke
grestore
}
\LabelTeX 37.9 18.3 $O$\ELTX
\LabelTeX 78.4 4 $x$\ELTX
\LabelTeX 49.6 50.8 $y$\ELTX
\LabelTeX 52.6 13.7 $x_0$\ELTX
\LabelTeX 40.6 26.6 $y_0$\ELTX
\LabelTeX 96 5 $X$\ELTX
\LabelTeX 68 53 $Y$\ELTX
\LabelTeX 53.8 20.8 $M_0$\ELTX
\LabelTeX 74 27.3 $M\;(x\,;\,y)$\ELTX
\LabelTeX 30 -24 $~$\ELTX
\EndFig

Les nouvelles coordonnées du point $M\;(x\,;\,y)$ sont données par
$$X=x-x_0,\qquad Y=y-y_0.$$
Pour deux points $M$, $M'$, on a dans ce cas 
$$
X'-X=(x'-x_0)-(x-x_0)=x'-x,\qquad Y'-Y=(y'-y_0)-(y-y_0)=y'-y
$$
et la formule $(*)$ est encore inchangée.
\medskip

{\bf 5.1.5. Rotation des axes}

On va montrer que l'origine $O$ étant choisie, on peut amener le demi-axe $Ox$
à passer par un point $M_1\;(x_1\,;\,y_1)$ quelconque distinct de $O$,
ce qui est intuitivement évident par rotation de la feuille papier
millimétré autour du point~$O$, mais nécessite une démonstration 
à partir de l'axiome «\?Pythagore + Descartes\?». Ce point est plus délicat
que ce qui précède, et la preuve formelle devra probablement être
laissée de côté dans un premier temps -- nous la donnons ici pour
montrer qu'il n'y a pas de faille logique dans notre approche. On
utilise l'égalité algébrique appelée {\it identité de Lagrange}
$$
(au+bv)^2+(-bu+av)^2=a^2u^2+b^2v^2+b^2u^2+a^2v^2=(a^2+b^2)(u^2+v^2),
$$
valable pour tous nombres réels $a,\,b,\,u,\,v$, qui s'obtient en observant
que les deux doubles produits se simplifient. Par conséquent, si $a$ et $b$
vérifient $a^2+b^2=1$ (un tel exemple est $a=3/5$, $b=4/5$) et si on 
effectue le changement de coordonnées tel que
$$
X=ax+by,\qquad Y=-bx+ay
$$
on aura, pour deux points $M$, $M'$ quelconques
$$
\eqalign{
&X'-X=a(x'-x)+b(y'-y),\qquad Y'-Y=-b(x'-x)+a(y'-y),\cr
&(X'-X)^2+(Y'-Y)^2=(x'-x)^2+(y'-y)^2\cr}
$$
d'après l'identité de Lagrange avec $u=x'-x$, $v=y'-y$. Il est facile de
voir d'autre part que
$$
aX-bY=x,\qquad bX+aY=y,
$$
donc la transformation $(x\,;\,y)\mapsto (X\,;\,Y)$ est bijective.
On en déduit que, au sens de notre définition, $(X\,;\,Y)$ est bien un 
système de coordonnées orthonormées. Si on choisit maintenant $a=kx_1$, 
$b=ky_1$, les coordonnées du point $M_1\;(x_1\,;\,y_1)$ sont transformées en
$$
X_1=ax_1+by_1=k(x_1^2+y_1^2),\qquad
\quad Y_1=-bx_1+ay_1=k(-y_1x_1+x_1y_1)=0,
$$
et la condition $a^2+b^2=k^2(x_1^2+y_1^2)=1$ est satisfaite en prenant
$k=1/\sqrt{x_1^2+y_1^2}$. Comme $X_1=\smash{\sqrt{x_1^2+y_1^2}}>0$ et 
$Y_1=0$, le point $M_1$ est bien situé sur le demi-axe positif $OX$ dans
les nouvelles coordonnées.

\subsection{5.2. L'inégalité triangulaire revisitée}

La preuve donnée en 3.1.1, qui reposait sur des faits non complètement
justifiés, peut maintenant être rendue rigoureuse.

\InsertPSFigure 11.000 27.000 {
gsave
0.4 setlinewidth
0 0.7 0 setrgbcolor
-15 -6 moveto 160 21.801 7 vector
 0 0 moveto 40 111.801 7 vector
0 setgray
0 0 moveto 50 50 lineto 100 40 lineto closepath stroke
50 50 moveto 60.345 24.138 lineto stroke
60.345 24.138 moveto -1 2.5 rlineto 2.5 1 rlineto 1 -2.5 rlineto stroke
170 0 translate
0 0.7 0 setrgbcolor
-15 -6 moveto 190 21.801 7 vector
 0 0 moveto 40 111.801 7 vector
0 setgray
0 0 moveto 120 60 lineto 100 40 lineto closepath stroke
120 60 moveto 124.138 49.655 lineto stroke
124.138 49.655 moveto -1 2.5 rlineto 2.5 1 rlineto 1 -2.5 rlineto stroke
grestore}
\LabelTeX -2 -3.3 $A=O$\ELTX
\LabelTeX 16 19 $B\;(u\,;\,v)$\ELTX
\LabelTeX 34 10.7 $C\;(c\,;\,0)$\ELTX
\LabelTeX 45 15 $x$\ELTX
\LabelTeX -8 11 $y$\ELTX
\LabelTeX 21  5 $H$\ELTX
\LabelTeX 58 -3.3 $A=O$\ELTX
\LabelTeX 102.5 22 $B$\ELTX
\LabelTeX 94.5 11 $C$\ELTX
\LabelTeX 103.5 14.5 $H$\ELTX
\LabelTeX 115 18.9 $x$\ELTX
\LabelTeX 52 11 $y$\ELTX
\EndFig
\vskip3mm
Étant donnés trois points $A$, $B$, $C$ distincts, on choisit $O$ 
comme origine et on place le demi-axe $Ox$ suivant la demi-droite $[A,C)$.
Les trois points ont alors pour coordonnées
$$
A\;(0\,;\,0),\qquad B\;(u\,;\,v),\qquad C\;(c\,;\,0),\qquad c>0,
$$
et le pied $H$ de la hauteur est $H\;(u\,;\,0)$. On trouve $AC=c$ et
$$
AB=\sqrt{u^2+v^2}\ge AH=|u|\ge u,\quad BC=\sqrt{(c-u)^2+v^2}\ge
HC=|c-u|\ge c-u.
$$
On a donc bien $AC=c=u+(c-u)\le AB+BC$ dans tous les cas. L'égalité n'est possible que 
si on a à la fois 
$v=0$, $u\ge 0$ et $c-u\ge 0$, c'est-à-dire $u\in[0,c]$ et $v=0$, autrement
dit si $B$~est sur le segment $[A,C]$ de l'axe $Ox$.

\subsection{5.3. Axiomatique de l'espace}

L'approche que nous avons décrite serait tout à fait apte à introduire
la géométrie euclidienne en dimension quelconque, en particulier en
dimension~$3$.  La justification initiale est le calcul de la
diagonale $\delta$ d'un parallélépipède rectangle de côtés $a$, $b$,
$c\,$:

\InsertPSFigure 40.000 38.000 {
gsave
0.5 setlinewidth
0 0 moveto 100 0 lineto 130 30 lineto stroke
0 60 moveto 30 90 lineto 130 90 lineto 100 60 lineto closepath stroke
0 0 moveto 0 60 lineto stroke
100 0 moveto 100 60 lineto stroke
130 30 moveto 130 90 lineto stroke
[4 1] 0 setdash
0 0 moveto 30 30 lineto 130 30 lineto stroke
30 30 moveto 30 90 lineto stroke
[] 0 setdash
1 0 0 setrgbcolor
0 0 moveto 130 30 lineto 130 90 lineto stroke
0 0 1 setrgbcolor
0 0 moveto 130 90 lineto stroke
grestore
}
\LabelTeX -2 -3.5 $A$\ELTX
\LabelTeX 17 -3 $a$\ELTX
\LabelTeX 33.5 -3.5 $B$\ELTX
\LabelTeX 42 3.2 $b$\ELTX
\LabelTeX 47 10 $C$\ELTX
\LabelTeX 47 20.5 $c$\ELTX
\LabelTeX 47 31 $D$\ELTX
\LabelTeX 21 16.8 $\delta$\ELTX
\EndFig
\bigskip
Comme les triangles $ACD$ et $ABC$ sont rectangles en $C$ et $B$ respectivement,
on a
$$
AD^2=AC^2+CD^2\quad\hbox{et}\quad AC^2=AB^2+BC^2
$$
donc la «\?grande diagonale\?» du parallélépipède rectangle est donnée par
$$
\delta^2=AD^2=AB^2+BC^2+CD^2=a^2+b^2+c^2~~\Rightarrow~~
\delta=\sqrt{a^2+b^2+c^2}.
$$
À partir de là, on peut donner la définition suivante.
\medskip

$\strut$\vbox{%
{\bf Définition.} {\it On appellera espace euclidien de dimension $3$
un ensemble de points noté~$\cE$, muni d'une distance $d$, c'est-à-dire 
une application
$$
d:\cE\times \cE\to\bR_+,\qquad (M,M')\mapsto d(M,M')=MM'\ge 0,
$$
de sorte qu'il existe des «\?systèmes de coordonnées orthonormés\?» $\,$: 
à tout point $M\in\cE$ on peut faire correspondre un 
triplet de coordonnées $(x\,;\,y\,;\,z)\in\bR^3$, par 
une correspondance
bijective $M\mapsto(x\,;\,y\,;\,z)$ satisfaisant
l'axiome
$$
d(M,M')=\sqrt{(x'-x)^2+(y'-y)^2+(z'-z)^2}\leqno
\hbox{\rm(Pythagore + Descartes)}
$$
pour tous points $M\;(x\,;\,y\,;\,z)$ et $M'\;(x'\,;\,y'\,;\,z')$ de $\cE$.}}
\medskip

On pourrait bien entendu donner une définition analogue en dimension
$n$ quelconque, avec des systèmes de coordonnées
$(x_1\,;\,\ldots\,;\,x_n)\in\bR^n$. L'inégalité triangulaire se démontre
presque sans changement\?: étant donné trois points $A$, $B$, $C$, on
choisit $A$ comme origine, avec la demi-droite $[A,C)$ comme demi-axe $Ox$,
ce qui ramène le calcul à $B=(u\,;\,v\,;\,w)$ et
$C=(c\,;\,0\,;\,0)$. Il faut au préalable vérifier que l'on peut
trouver un système de coordonnées orthonormé qui pointe l'axe $Ox$
dans la direction d'un point $M_1\;(x_1\,;\,y_1\,;\,z_1)$
quelconque$\,$: on commence par annuler $z_1$ par un changement
$Y=ay+bz$, $Z=by-az$ des deux dernières coordonnées, ce qui ramène
$M_1$ dans le «\?plan horizontal\?» $Z=0$, puis on annule $y_1$ par la
même méthode à l'aide d'un changement de variables portant sur 
$x$, $y$ uniquement. Idem en dimension plus grande.

\section{6. Fondements du calcul vectoriel}

Nous travaillerons ici principalement dans le plan, mais il n'y aurait 
aucun changement autre que l'ajout de coordonnées supplémentaires 
en dimension 3 et plus.

\subsection{6.1. Formule de la médiane}

Étant donné des points $A$, $B$ de coordonnées $(x_A\,;\,y_A)$, 
$(x_B\,;\,y_B)$ dans un repère $Oxy$, le point $I$ de coordonnées
$$
x_I={x_A+x_B\over 2},\qquad y_I={y_A+y_B\over 2}
$$
vérifie $IA=IB={1\over 2}AB$\?: c'est le milieu du segment $[A,B]$.
\medskip

{\bf Formule de la médiane.} {\it Pour tout point $M\;(x\,;\,y)$, on a
$$
MA^2+MB^2= 2\,MI^2+{1\over 2}AB^2 = 2\,MI^2+2\,IA^2.
$$}

\InsertPSFigure 30.000 22.000 {
gsave
0.5 setlinewidth
0 0 moveto 40 65 lineto 130 30 lineto closepath stroke
1 0 0 setrgbcolor
40 65 moveto 65 15 lineto stroke
grestore
}
\LabelTeX -2 -3.5 $A$\ELTX
\LabelTeX 44 7 $B$\ELTX
\LabelTeX 22.3 1.9 $I$\ELTX
\LabelTeX 12 24.5 $M$\ELTX
\EndFig
\bigskip

{\it Démonstration.} En effet, un développement des carrés donne
$$
(x-x_A)^2+(x-x_B)^2= 2x^2-2(x_A+x_B)x+x_A^2+x_B^2,
$$
tandis que
$$
\eqalign{
2(x-x_I)^2+{1\over 2}(x_B-x_A)^2
&=2(x^2-2x_Ix+x_I^2)+{1\over 2}(x_B-x_A)^2\cr
&=2\Big(x^2-(x_A+x_B)x+{1\over 4}(x_A+x_B)^2\Big)+{1\over 2}(x_B-x_A)^2\cr
&=2x^2-2(x_A+x_B)x+x_A^2+x_B^2.\cr}
$$
On a donc bien
$$
(x-x_A)^2+(x-x_B)^2=2(x-x_I)^2+{1\over 2}(x_B-x_A)^2.
$$
La formule de la moyenne s'obtient en ajoutant l'égalité analogue pour
les coordonnées $y$ et en appliquant le théorème de Pythagore.\qed
\medskip

Il résulte de la formule de la médiane qu'il existe bien un unique point $M$
tel que $MA=MB={1\over 2}AB$, en effet on trouve alors $MI^2=0$, donc
$M=I$. Les formules données au début pour définir le milieu sont donc 
bien indépendantes des coordonnées choisies.

\subsection{6.2. Parallélogrammes}

Un quadrilatère $ABCD$ est un parallélogramme si et seulement si 
ses diagonales $[A,C]$ et $[B,D]$ se coupent en leur milieu\?:

\InsertPSFigure 30.000 20.000 {
gsave
/rotmem
  {currentpoint  /cpty exch def  /cptx exch def
   currentpoint translate  dup rotate  /angmem exch def} def
/rotrev
  {angmem neg rotate  cptx neg cpty neg translate
   cptx cpty moveto} def
/vector
  {dup abs  /arlgth exch def  3 div /arlthd exch def  rotmem
   currentlinewidth 1.5811 mul sub
   dup 0 ge {0 rlineto currentpoint stroke moveto} {0 rmoveto} ifelse
   currentdash  [] 0 setdash  
   arlgth neg arlthd rmoveto  arlgth arlthd neg rlineto
   arlgth neg arlthd neg rlineto
   arlthd 0 ge {stroke} {closepath gsave fill grestore stroke} ifelse
   setdash  rotrev} def
0.5 setlinewidth
0 0 moveto 50 40 lineto 130 30 lineto 80 -10 lineto closepath stroke
1 0 0 setrgbcolor
0 0 moveto 130 30 lineto stroke
50 40 moveto  80 -10 lineto stroke
0 0 1 setrgbcolor
0.75 setlinewidth
0 0 moveto 80.622 -7.125 7.5 vector
50 40 moveto 80.622 -7.125 7.5 vector
grestore
}
\LabelTeX -4 -1.5 $A$\ELTX
\LabelTeX 26.8 -6.9 $B$\ELTX
\LabelTeX 46.5 9 $C$\ELTX
\LabelTeX 16 15.6 $D$\ELTX
\LabelTeX 21 1.5 $I$\ELTX
\EndFig
\bigskip
On trouve donc la condition nécessaire et suffisante
$$
x_I={1\over 2}(x_B+x_D)={1\over 2}(x_A+x_C),\qquad
y_I={1\over 2}(y_B+y_D)={1\over 2}(y_A+y_C),
$$
ce qui équivaut encore à
$$
x_B+x_D=x_A+x_C,\qquad y_B+y_D=y_A+y_C
$$
ou encore à
$$
x_B-x_A=x_C-x_D,\qquad y_B-y_A=y_C-y_D,
$$
autrement dit, la variation des coordonnées nécessaire pour aller de 
$A$ en $B$ est le même que pour aller de $D$ en $C$.

\subsection{6.3. Vecteurs}

On appelle {\it bipoint} un couple ordonné $(A,B)$ de points$\,$;
on dit que $A$ est l'{\it origine} et que $B$ est l'{\it extrémité} du bipoint.
Les bipoints $(A,B)$ et $(A',B')$ sont dits {\it équipollents} si
le quadrilatère $ABB'A'$ est un parallélogramme (qui peut être
éventuellement «\?plat\?» si les quatre points sont alignés).

\InsertPSFigure 30.000 20.000 {
gsave
/rotmem
  {currentpoint  /cpty exch def  /cptx exch def
   currentpoint translate  dup rotate  /angmem exch def} def
/rotrev
  {angmem neg rotate  cptx neg cpty neg translate
   cptx cpty moveto} def
/vector
  {dup abs  /arlgth exch def  3 div /arlthd exch def  rotmem
   currentlinewidth 1.5811 mul sub
   dup 0 ge {0 rlineto currentpoint stroke moveto} {0 rmoveto} ifelse
   currentdash  [] 0 setdash  
   arlgth neg arlthd rmoveto  arlgth arlthd neg rlineto
   arlgth neg arlthd neg rlineto
   arlthd 0 ge {stroke} {closepath gsave fill grestore stroke} ifelse
   setdash  rotrev} def
0.5 setlinewidth
0 0 moveto 50 40 lineto 130 30 lineto 80 -10 lineto closepath stroke
1 0 0 setrgbcolor
0 0 moveto 130 30 lineto stroke
50 40 moveto  80 -10 lineto stroke
0 0 1 setrgbcolor
0.75 setlinewidth
0 0 moveto 80.622 -7.125 7.5 vector
50 40 moveto 80.622 -7.125 7.5 vector
grestore
}
\LabelTeX -4 -1.5 $A$\ELTX
\LabelTeX 26.8 -6.9 $B$\ELTX
\LabelTeX 46.5 9 $B'$\ELTX
\LabelTeX 16 15.6 $A'$\ELTX
\LabelTeX 21 1.5 $I$\ELTX
\EndFig
\bigskip

{\bf Définition.} {\it Étant donné deux points $A$, $B$, on appelle
vecteur $\overrightarrow{AB}$ la «\?variation de position\?» 
nécessaire pour aller
de $A$ en $B$. Étant donné un repère $Oxy$, cette «\?variation
de position\?»  se mesure dans la direction $Ox$ par $x_B-x_A$ et
dans la direction $Oy$ par $y_B-y_A$. Si les bipoints $(A,B)$ et 
$(A',B')$ sont équipollents, les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et
$\overrightarrow{A'B'}$ sont égaux puisque les variations
$x_{B'}-x_{A'}=x_B-x_A$ et $y_{B'}-y_{A'}=y_B-y_A$ sont les mêmes
$($ceci est vrai dans n'importe quel repère$)$.}

Les «\?composantes\?» du vecteur
$\overrightarrow{AB}$ dans le repère $Oxy$ sont les nombres
notés par définition sous la forme du couple $(x_B-x_A\,;\,y_B-y_A)$. 
Les composantes 
$(s\,;\,t)$ d'un vecteur $\overrightarrow{V}$ dépendent bien sûr
du repère $Oxy$ choisi\?: à un même vecteur $\overrightarrow{V}$ 
correspondent des composantes différentes $(s\,;\,t)$, $(s'\,;\,t')$
dans des repères $Oxy$, $Ox'y'$ différents.

\InsertPSFigure 12.000 42.000 {
gsave
0.8333 mm unit
15 8 translate
10 rotate
0.1 setlinewidth
1 0.8 0.6 setrgbcolor
-8 1 29 { /k exch def -15 k moveto 35 k lineto stroke } for
-15 1 35 { /k exch def k -8 moveto k 29 lineto stroke } for
0.3 setlinewidth
 0 1 2 { /k exch 10 mul def -15 k moveto 35 k lineto stroke } for
-1 1 3 { /k exch 10 mul def k -8 moveto k 29 lineto stroke } for
0.15 setlinewidth
0 setgray
-20 0 moveto 60 0 2.4 vector
  0 -13 moveto 46 90 2.4 vector
0.3 setlinewidth
1 0 0 setrgbcolor
11.3 0 moveto 33 0 lineto stroke
0 7.2 moveto 0 11 lineto stroke
0 0.7 0 setrgbcolor
0.2 setlinewidth
[1.5 0.5] 0 setdash
11.3 0 moveto 11.3 7.2 lineto stroke
33 0 moveto 33 11 lineto stroke
0 7.2 moveto 11.3 7.2 lineto stroke
0 11 moveto 33 11 lineto stroke
0.3 setlinewidth
0 0 1 setrgbcolor
[] 0 setdash
-10 rotate
 10 9 moveto 22 20 2.4 vector
0.1 setlinewidth
[1.5 0.5] 0 setdash
10 9 moveto 87 9 lineto stroke
10 22 20 cos mul add 22 20 sin mul 9 add moveto 77 0 rlineto stroke
77 0 translate
-20 rotate
[] 0 setdash
0.1 setlinewidth
1 0.8 0.6 setrgbcolor
-8 1 29 { /k exch def -15 k moveto 35 k lineto stroke } for
-15 1 35 { /k exch def k -8 moveto k 29 lineto stroke } for
0.3 setlinewidth
 0 1 2 { /k exch 10 mul def -15 k moveto 35 k lineto stroke } for
-1 1 3 { /k exch 10 mul def k -8 moveto k 29 lineto stroke } for
0.15 setlinewidth
0 setgray
-20 0 moveto 60 0 2.4 vector
  0 -13 moveto 46 90 2.4 vector
0.3 setlinewidth
1 0 0 setrgbcolor
6.5 0 moveto 23 0 lineto stroke
0 11.8 moveto 0 26 lineto stroke
0 0.7 0 setrgbcolor
0.2 setlinewidth
[1.5 0.5] 0 setdash
6.5 0 moveto 6.5 11.8 lineto stroke
23 0 moveto 23 26 lineto stroke
0 11.8 moveto 6.5 11.8 lineto stroke
0 26 moveto 23 26 lineto stroke
0.3 setlinewidth
0 0 1 setrgbcolor
[] 0 setdash
0.3 setlinewidth
 20 rotate
 10 9 moveto 22 20 2.4 vector
grestore
}
\LabelTeX 9.5  3.3 $O$\ELTX
\LabelTeX 43.3 9.3 $x$\ELTX
\LabelTeX  5  32.5 $y$\ELTX
\LabelTeX 72.5  4 $O$\ELTX
\LabelTeX 106 -8 $x'$\ELTX
\LabelTeX 82.2 31.4 $y'$\ELTX
\LabelTeX 31.8 15 $\RGBColor{0 0 1}{\overrightarrow{V}}$\ELTX
\LabelTeX 91.7 13.2 $\RGBColor{0 0 1}{\overrightarrow{V}}$\ELTX
\LabelTeX 29.8 7.2 $\RGBColor{1 0 0}{s}$\ELTX
\LabelTeX 86.5 -0.9 $\RGBColor{1 0 0}{s'}$\ELTX
\LabelTeX  8.2  13.2 $\RGBColor{1 0 0}{t}$\ELTX
\LabelTeX 80.2 22.9 $\RGBColor{1 0 0}{t'}$\ELTX
\EndFig

\subsection{6.4. Addition des vecteurs}

\InsertPSFigure 30.000 21.000 {
gsave
/rotmem
  {currentpoint  /cpty exch def  /cptx exch def
   currentpoint translate  dup rotate  /angmem exch def} def
/rotrev
  {angmem neg rotate  cptx neg cpty neg translate
   cptx cpty moveto} def
/vector
  {dup abs  /arlgth exch def  3 div /arlthd exch def  rotmem
   currentlinewidth 1.5811 mul sub
   dup 0 ge {0 rlineto currentpoint stroke moveto} {0 rmoveto} ifelse
   currentdash  [] 0 setdash  
   arlgth neg arlthd rmoveto  arlgth arlthd neg rlineto
   arlgth neg arlthd neg rlineto
   arlthd 0 ge {stroke} {closepath gsave fill grestore stroke} ifelse
   setdash  rotrev} def
0.5 setlinewidth
0 0 moveto 50 40 lineto 130 30 lineto 80 -10 lineto closepath stroke
0 0 1 setrgbcolor
0.75 setlinewidth
80 -10 moveto  64.031 38.660 7.5 vector
0 0 moveto 80.622 -7.125 7.5 vector
1 0 0 setrgbcolor
0 0 moveto 133.417 12.995 7.5 vector
0 0.7 0 setrgbcolor
0 0 moveto  64.031 38.660 7.5 vector
grestore
}
\LabelTeX -4 -1.5 $A$\ELTX
\LabelTeX 26.8 -6.9 $B$\ELTX
\LabelTeX 46.5 9 $C$\ELTX
\LabelTeX 16 15.6 $D$\ELTX
\EndFig
\medskip
L'addition des vecteurs est définie par la {\it relation de Chasles}
$$
\RGBColor{0 0 1}{\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}}=
\RGBColor{1 0 0}{\overrightarrow{AC}}\leqno(6.4.1)
$$
pour trois points $A$, $B$, $C$ quelconques~: si on fait la somme de la 
variation de position nécessaire pour aller de $A$ en $B$, puis
de $B$ en $C$, on trouve la variation de position pour aller de $A$
en $C\;$; ainsi par exemple, pour la composante suivant $Ox$, on a
$$
(x_B-x_A)+(x_C-x_B)=x_C-x_A.
$$
De façon équivalente, si $ABCD$ est un parallélogramme, on peut aussi poser
$$
\RGBColor{0 0 1}{\overrightarrow{AB}}+\RGBColor{0 0.7 0}{\overrightarrow{AD}}=
\RGBColor{1 0 0}{\overrightarrow{AC}}.\leqno(6.4.2)
$$
L'équivalence résulte de (6.4.1) et (6.4.2) résulte
de ce que $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$ dans le
parallélogramme $ABCD$. Pour tout choix de
repère $Oxy$, la somme $\overrightarrow{U}+\overrightarrow{V}$
des vecteurs de composantes $(s\,;\,t)$, $(s'\,;\,t')$
a pour composantes $(s+s'\,;\,t+t')$.

Pour tout point $A$, le vecteur $\overrightarrow{AA}$ a ses composantes
nulles\?: on le note $\overrightarrow{0}$. On a de façon évidente
$\overrightarrow{V}+\overrightarrow{0}=\overrightarrow{0}+\overrightarrow{V}
=\overrightarrow{V}$ pour tout vecteur $\overrightarrow{V}$. D'autre part,
la relation de Chasles donne
$$
\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{AA}=\overrightarrow{0}
$$
pour tous points $A$, $B$. On posera donc
$$
-\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BA},
$$
autrement dit l'opposé d'un vecteur s'obtient en échangeant
origine et extrémité d'un bipoint qui le définit.

\subsection{6.5. Multiplication d'un vecteur par un nombre réel}

Étant donné un vecteur $\overrightarrow{V}$ de composantes $(s\,;\,t)$
dans un repère $Oxy$ et un nombre réel $\lambda$ quelconque, on définit 
$\lambda\overrightarrow{V}$ comme étant le vecteur de
composantes $(\lambda s\,;\,\lambda t)$.

Cette définition est bien indépendante du repère $Oxy$ choisi. En effet
si $\overrightarrow{V}=\overrightarrow{AB}\ne \overrightarrow{0}$ et 
$\lambda\ge 0$, on a $\lambda\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AC}$
où $C$ est l'unique point situé sur la demi-droite $[A,B)$ tel que 
$AC=\lambda\,AB$. D'autre part, si $\lambda\le 0$, on a $-\lambda\ge 0$ et
$$
\lambda\overrightarrow{AB}=
(-\lambda)(-\overrightarrow{AB})=(-\lambda)\overrightarrow{BA}.
$$
Enfin on a clairement $\lambda\overrightarrow{0}=\overrightarrow{0}$.
La multiplication des vecteurs par un nombre est distributive par
rapport à l'addition des vecteurs (ceci résulte de la distributivité
de la multiplication par rapport à l'addition dans l'ensemble
des nombres réels).

\section{7. Équation cartésienne d'un cercle; 
fonctions trigonométriques\kern-4pt}

D'après le théorème de Pythagore, le cercle de centre $A\;(a,b)$ et
de rayon dans le plan est l'ensemble des points $M$ satisfaisant l'équation
$$
AM=R~~\Leftrightarrow~~AM^2=R^2~~\Leftrightarrow~~(x-a)^2+(y-b)=R^2,
$$
soit encore une équation de la forme $x^2+y^2-2ax-2by+c=0$ avec
$c=a^2+b^2-R^2$.

Inversement, l'ensemble des solutions d'une telle 
équation définit un cercle de centre $A\;(a,b)$ et de 
rayon $R=\sqrt{a^2+b^2-c}$ si $c<a^2+b^2$, se réduit au point $A$ si
$c=a^2+b^2$, et est vide si $c>a^2+b^2$. 

On appelle {\it cercle trigonométrique} $\cC$ 
le cercle unité de centre l'origine dans un plan orthonormé $Oxy$, c'est-à-dire
l'ensemble des points $M(x,y)$ tels que $x^2+y^2=1$. Soit $U$ le point
de coordonnées $(1,0)$ et $V$ le point de coordonnées $(0,1)$.
Les fonctions trigonométriques cos, sin et tan d'un angle quelconque
sont alors définies
par le schéma classique suivant\note{21}{Il nous paraît indispensable
à ce stade que les fonctions cos, sin, tan aient déjà été introduites 
au préalable comme rapports de côtés dans un triangle rectangle, 
ceci dans le cas des angles aigus, et que leurs valeurs pour
les angles remarquables $0°$, $30°$, $45°$, $60°$, $90°$ soient
connues.}$\,$:

\InsertPSFigure 42.000 55.000 {
gsave
1 mm unit
  20.000  20.000 moveto 
  20 circle stroke
  20.000  20.000 moveto  35.000    0.000 2.4 vector
  20.000  20.000 moveto  30.000   90.000 2.4 vector
  40.000   5.000 moveto  40.000   45.000 lineto stroke
  40.000   5.000 moveto  40.000   50.000 lineto stroke
  20.000  20.000 moveto  40.000   45.000 lineto stroke 
newpath 20.000  20.000 6 6 0 51 0 ellipsearc stroke
  23.700  24.700 moveto   0 135 2.4 vector
[  1.000   0.500 ] 0 setdash
  0.549 0.137 1.0 setrgbcolor
  20.000  35.600 moveto  32.500   35.600 lineto stroke 
  0.0 0.0 1.0 setrgbcolor
  32.500  20.000 moveto  32.500   35.600 lineto stroke 
  1.0 0.0 0.0 setrgbcolor
  32.500  35.600 moveto  40.000   20.000 lineto stroke 
[ ] 0 setdash
  0.3 setlinewidth
newpath  20.000  20.000 19.850  19.850 0 51 0 ellipsearc stroke
  0.0 0.0 1.0 setrgbcolor
  20.000  20.000 moveto   20.000  35.600 lineto  stroke
  0.549 0.137 1.0 setrgbcolor
  20.000  20.000 moveto   32.500  20.000 lineto  stroke
  0.682 0.0 0.0 setrgbcolor
  40.150  20.000 moveto   40.150  44.900 lineto  stroke
  grestore
}
\LabelTeX 26.600 21.500 $\theta$ \ELTX
\LabelTeX 21.600 16.500 $\RGBColor{0.549 0.137 1}{x=\cos(\theta)}$ \ELTX
\LabelTeX  4.000 28.500 $\RGBColor{0 0 1}{y=\sin(\theta)}$ \ELTX
\LabelTeX 41.300 32.500 
  $\RGBColor{0.682 0 0}{\displaystyle{y\over x}=\tan(\theta)}$ \ELTX
\LabelTeX 16.300 16.500 $O$ \ELTX
\LabelTeX 41.000 16.500 $U$ \ELTX
\LabelTeX 16.300 41.500 $V$ \ELTX
\LabelTeX 30.500 38.000 $M$ \ELTX
\LabelTeX 41.000 45.500 $T$ \ELTX
\EndFig
\medskip
L'équation du cercle montre qu'on a la relation
$(\cos\theta)^2+(\sin\theta)^2=1$ pour tout $\theta$.

\section{8. Intersection de cercles et de droites}

Commençons par l'intersection d'un cercles $\cC$ de centre $A$ et
de rayon $R$ avec une  droite $\cD$ quelconque. Pour simplifier les
calculs, on choisit $A=O$ comme origine et on prend l'axe $Ox$ perpendiculaire
à la droite $\cD$. La droite $\cD$ est alors «\?verticale\?» dans le 
repère~$Oxy$. (Nous traitons ici d'emblée le cas général, mais il faut
évidemment commencer par des exemples numériques simples$\,$...)

\InsertPSFigure 52.000 63.000 {
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  15 -25 moveto 15 25 lineto stroke
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}
\LabelTeX -21.2 39 $\RGBColor{0 0 1}{\cC}$ \ELTX
\LabelTeX -2.7 26 $O$ \ELTX
\LabelTeX 11.1 31.5 $x_0$ \ELTX
\LabelTeX 20.1 34.3 $R$ \ELTX
\LabelTeX 27.1 36.7 $x$ \ELTX
\LabelTeX -13.1 56.7 $y$ \ELTX
\LabelTeX 23.1 13 $\RGBColor{1 0 0}{D}$ \ELTX
\EndFig

Ceci donne des équations
$$
\cC:x^2+y^2=R^2,\qquad
D:x=x_0,
$$
d'où 
$$
y^2=R^2-x_0^2.
$$
Par conséquent, si $|x_0|<R$, on a $R^2-x_0^2>0$ et on trouve
deux solutions $y=\sqrt{R^2-x_0^2}$ et $y=-\sqrt{R^2-x_0^2}$, ce qui correspond
à deux points d'intersections $(x_0,\sqrt{R^2-x_0^2})$ et 
$(x_0,-\sqrt{R^2-x_0^2})$ symétriques par rapport
à l'axe $Ox$. Si $|x_0|=R$, on a une solution unique $y=0$\?: la droite
$\cD:x=x_0$ est tangente au cercle $\cC$ au point $(x_0,0)$. Si
$|x_0|>R$, l'équation $y^2=R^2-x_0^2<0$ n'a pas de solution$\,$;
la droite $\cD$ ne coupe pas le cercle.

Considérons maintenant l'intersection d'un cercle $\cC$ de centre $A$ et
de rayon $R$ avec un cercle $\cC'$ de centre $A'$ et de rayon $R'$. Soit
$d=AA'$ la distance des deux centres. Si $d=0$ les cercles sont concentriques
et la discussion est immédiate (cercles confondus si $R=R'$, disjoints
si $R\ne R'$). On supposera donc $A\ne A'$, c'est-à-dire $d>0$. 
Quitte à choisir $O=A$ comme origine et $Ox=[A,A')$ comme demi-axe positif,
on se ramène au cas où $A\;(0\,;\,0)$ et $A'\;(d\,;\,0)$. On trouve alors 
les équations
$$
\cC:x^2+y^2=R^2,\qquad
\cC':(x-d)^2+y^2=R^{\prime2}\Longleftrightarrow x^2+y^2=2dx+R^{\prime2}-d^2.
$$
Si un point $M$ appartient à $\cC\cap\cC'$, on a donc
$2dx+R^{\prime2}-d^2=R^2$, d'où
$$x=x_0={1\over 2d}(d^2+R^2-R^{\prime2}).$$
Ceci montre que l'intersection $\cC\cap\cC'$ est contenue dans 
l'intersection $\cC\cap D$ de $\cC$ avec la droite $\cD:x=x_0$. Mais
inversement, on voit que si $x^2+y^2=R^2$ et $x=x_0$, alors
$(x\,;\,y)$ satisfait aussi l'équation 
$$
x^2+y^2-2dx=R^2-2dx_0=R^2-(d^2+R^2-R^{\prime2})=R^{\prime2}-d^2
$$
qui est l'équation de $\cC'$, donc on a aussi $\cC\cap D\subset \cC\cap\cC'$
et finalement $\cC\cap\cC'=\cC\cap D$.

\InsertPSFigure 45.000 65.000 {
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  15 -25 moveto 15 25 lineto stroke
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}
\LabelTeX -2.7 26 $A$ \ELTX
\LabelTeX 11.1 31.5 $x_0$ \ELTX
\LabelTeX 21.1 34.6 $A'$ \ELTX
\LabelTeX 49.8 44.9 $x$ \ELTX
\LabelTeX -13.1 56.7 $y$ \ELTX
\LabelTeX 23.1 13 $\RGBColor{1 0 0}{D}$ \ELTX
\LabelTeX -21.2 39 $\RGBColor{0 0 1}{\cC}$ \ELTX
\LabelTeX 28 52 $\RGBColor{0 0.7 0}{\cC'}$ \ELTX
\EndFig

Les points d'intersection sont donc donnés par $y=\pm\sqrt{R^2-x_0^2}$.
Par conséquent on a exactement deux solutions symétriques par 
rapport à la droite $(AA')$ dès lors que $-R<x_0<R$, ce qui équivaut à
$$
\eqalign{
-2dR<d^2+R^2-R^{\prime 2}<2dR~~
&\Longleftrightarrow~~ (d+R)^2>R^{\prime 2}~~\hbox{et}~~(d-R)^2<R^{\prime 2}\cr
&\Longleftrightarrow~~ d+R>R',~~d-R<R',~~d-R>-R',\cr}
$$
soit encore $|R-R'|<d<R+R'$. Si l'une des inégalités est une égalité, ce qui 
correspond à $x_0=\pm R$, on a une seule solution $y=0$, les cercles
sont tangents intérieurement si $d=|R-R'|$ et tangents extérieurement si
$d=R+R'$.

On notera que ces résultats permettent d'obtenir une preuve complète 
et rigoureuse des trois cas d'isométrie des triangles\?: à changement
de coordonnées orthonormées près, chacun des trois cas détermine
entièrement les coordonnées des triangles, à symétrie près par rapport
à~$Ox$, une fois que l'on a choisi comme origine $O$ l'un des sommets
et comme demi-axe $Ox$ la demi-droite qui porte le côté dont on connaît
la longueur. Les triangles ainsi spécifiés sont donc isométriques.

\section{9. Produit scalaire}

La {\it norme} $\Vert\overrightarrow{V}\Vert$ d'un vecteur 
$\overrightarrow{V}=\overrightarrow{AB}$ est la
longueur $AB=d(A,B)$ d'un bipoint quelconque qui le définit.
À partir de là, on pose par définition
$$
\overrightarrow{U}\cdot\overrightarrow{V}=
{1\over 2}\big(\Vert\overrightarrow{U}+\overrightarrow{V}\Vert^2-
\Vert\overrightarrow{U}\Vert^2-\Vert\overrightarrow{V}\Vert^2\big)
\leqno(9.1)
$$
de sorte que l'on a en particulier $\overrightarrow{U}\cdot
\overrightarrow{U}=\Vert\overrightarrow{U}\Vert^2$. Le nombre
$\overrightarrow{U}\cdot\overrightarrow{V}$ s'appelle le
{\it produit scalaire} de $\overrightarrow{U}$ et $\overrightarrow{V}$,
et $\overrightarrow{U}\cdot\overrightarrow{U}$ s'appelle aussi le
carré scalaire de $\overrightarrow{U}$, noté
$\overrightarrow{U}^2$. On obtient par conséquent
$$
\overrightarrow{U}^2=\overrightarrow{U}\cdot\overrightarrow{U}=
\Vert\overrightarrow{U}\Vert^2.
$$
D'après la définition (9.1), nous avons
$$
\Vert\overrightarrow{U}+\overrightarrow{V}\Vert^2=
\Vert\overrightarrow{U}\Vert^2+\Vert\overrightarrow{V}\Vert^2+
2\,\overrightarrow{U}\cdot\overrightarrow{V},
\leqno(9.2)
$$
ce qui peut se récrire
$$
(\overrightarrow{U}+\overrightarrow{V})^2=
\overrightarrow{U}^2+\overrightarrow{V}^2+
2\,\overrightarrow{U}\cdot\overrightarrow{V}.
\leqno(9.2')
$$
C'était la motivation principale de la définition\?: faire en sorte que
l'identité des carrés soit vraie pour les produits scalaires. En 
dimension 2 et dans un repère orthonormé $Oxy$, on trouve
$\overrightarrow{U}^2=x^2+y^2\,$; si $\overrightarrow{V}$ a pour
composantes $(x'\,;\,y')$, la définition (9.1) implique
$$
\overrightarrow{U}\cdot\overrightarrow{V}=
{1\over 2}\big((x+x')^2+(y+y')^2-(x^2+y^2)-(x^{\prime 2}+y^{\prime 2})\big)=
xx'+yy'.
\leqno(9.3)
$$
En dimension $n$, on trouve de même
$$
\overrightarrow{U}\cdot\overrightarrow{V}=x_1x'_1+x_2x'_2+\ldots+x_nx'_n.
$$
De là, on déduit que le produit scalaire est «\?bilinéaire\?», c'est-à-dire 
que
$$
\eqalign{
&(k\overrightarrow{U})\cdot\overrightarrow{V}=
\overrightarrow{U}\cdot(k\overrightarrow{V})=
k\,\overrightarrow{U}\cdot\overrightarrow{V},\cr
&(\overrightarrow{U_1}+\overrightarrow{U_2})\cdot\overrightarrow{V}=
\overrightarrow{U_1}\cdot\overrightarrow{V}+
\overrightarrow{U_2}\cdot\overrightarrow{V},\cr
&\overrightarrow{U}\cdot(\overrightarrow{V_1}+\overrightarrow{V_1})
=\overrightarrow{U}\cdot\overrightarrow{V_1}+
\overrightarrow{U}\cdot\overrightarrow{V_2}.\cr}
$$
Si $\overrightarrow{U}$, $\overrightarrow{V}$ sont deux vecteurs,
fixons un point $A$ comme origine et écrivons 
$\overrightarrow{U}=\overrightarrow{AB}$, puis
$\overrightarrow{V}=\overrightarrow{BC}$, de sorte 
que $\overrightarrow{U}+\overrightarrow{V}=
\overrightarrow{AC}$. Le triangle $ABC$ est rectangle si et
seulement si on a la relation de Pythagore $AC^2=AB^2+BC^2$, c'est-à-dire
$$
\Vert\overrightarrow{U}+\overrightarrow{V}\Vert^2=
\Vert\overrightarrow{U}\Vert^2+\Vert\overrightarrow{V}\Vert^2,
$$
autrement dit, d'après (9.2), si et seulement si $\overrightarrow{U}\cdot
\overrightarrow{V}=0$.

{\bf Conséquence.} {\it Les vecteurs $\overrightarrow{U}$ et
$\overrightarrow{V}$ sont perpendiculaires 
si et seulement si $\overrightarrow{U}\cdot
\overrightarrow{V}=0$.}

Plus généralement, si on choisit une origine $O$ et un point $A$ tel que
$\overrightarrow{U}=\overrightarrow{OA}$, on peut également fixer les
coordonnées pour que $A$ appartienne à l'axe $Ox$, c'est-à-dire
$A=(u\,;\,0)$. Pour tout vecteur $\overrightarrow{V}=\overrightarrow{OB}
\;(v\,;\,w)$ dans $Oxy$, on a alors 
$$
\overrightarrow{U}\cdot\overrightarrow{V}=uv
$$
tandis que
$$
\Vert\overrightarrow{U}\Vert=u,\qquad
\Vert\overrightarrow{V}\Vert=\sqrt{v^2+w^2}.
$$
Comme la demi-droite $[O,B)$ coupe le cercle trigonométrique
au point $(kv\,;\,kw)$ avec $k=1/\sqrt{v^2+w^2}$, on a par définition
$$
\cos(\overacute{\overrightarrow{U},\overrightarrow{V}})=
\cos(\overacute{AOB})=kv={v\over \sqrt{v^2+w^2}}.
$$
Ceci donne les formules très utiles
$$
\overrightarrow{U}\cdot\overrightarrow{V}=
\Vert\overrightarrow{U}\Vert\;\Vert\overrightarrow{V}\Vert\;
\cos(\overacute{\overrightarrow{U},\overrightarrow{V}}),\qquad
\cos(\overacute{\overrightarrow{U},\overrightarrow{V}})=
{\overrightarrow{U}\cdot\overrightarrow{V}\over
\Vert\overrightarrow{U}\Vert\;\Vert\overrightarrow{V}\Vert}.
\leqno(9.4)
$$

\section{10. Espaces vectoriels, applications affines et linéaires}

À partir de cette étape, on dispose de tous les fondements
nécessaires, et l'ordre dans lequel on peut aborder les notions
devient beaucoup plus flexible -- la plus grande partie de ce
qui suit déborde sur les mathématiques du lycée et au delà.

On peut par exemple poursuivre l'étude du triangle et du cercle, et
introduire peu à peu les principales transformations géométriques\?:
(dans le plan) translations, homothéties, affinités, symétries axiales, 
projections, rotations par rapport à un point\?;
(dans l'espace) translations et homothéties, symétries par rapport
à un point, une droite ou un plan, projections orthogonales sur
un plan ou sur une droite, rotation par rapport à un axe. Les outils 
disponibles permettent à
la fois de faire des raisonnement intrinsèques (avec angles,
distances, rapports de similitude, $\ldots$), ou des calculs
en coordonnées cartésiennes -- il nous paraît bon que ces différentes
techniques ne soient pas dissociées puisque ceci correspond
à l'usage contemporain des mathématiques -- la période «\?contemporaine\?» 
dont il s'agit remontant d'ailleurs à plusieurs siècles chez 
les mathématiciens, mécaniciens ou physiciens.

On peut commencer à mettre en évidence les phénomènes de linéarité,
indépendamment de tout lien avec la distance. Ainsi, on peut introduire
les notions de combinaison linéaire de vecteurs, de dépendance et indépendance
linéaire, les bases et les repères non orthonormés, en relation avec la
résolution des systèmes d'équations linéaires (par combinaisons ou
substitutions -- on aboutit assez rapidement à la notion de déterminant
$2\times 2$, puis $3\times 3$), à la manipulation des équations de droites,
de plans.

Étant donné un espace affine euclidien $\cE$ de dimension $n$ quelconque,
ce qui a été fait à la section 6 fonctionne sans changement. On notera
$\overrightarrow{\cE}$ l'ensemble des vecteurs $\overrightarrow{V}=
\overrightarrow{AB}$ associés aux points de $\cE$. Cet ensemble est
muni des deux lois $+$ d'addition des vecteurs et $\cdot$ de multiplication
par un scalaire, qui vérifient les propriétés usuelles :
\medskip
{\parindent=10.7mm
\item{(A\?0)} L'addition est une «\?loi de composition interne\?» 
$\overrightarrow{\cE}\times\overrightarrow{\cE}\to\overrightarrow{\cE}$\?;
\item{(A\?1)} L'addition des vecteurs est associative\?;
\item{(A\?2)} L'addition des vecteurs est commutative\?;
\item{(A\?3)} L'addition possède un élément neutre qui est $\overrightarrow{0}$\?;
\item{(A\?4)} tout vecteur $\overrightarrow{V}$ possède un opposé
$-\overrightarrow{V}$ tel que \hbox{$\overrightarrow{V}+(-\overrightarrow{V})=
(-\overrightarrow{V})+\overrightarrow{V}=\overrightarrow{0}$.}
\vskip5pt
\item{(M\?0)} La multiplication par un scalaire 
$(\lambda,\overrightarrow{V})\mapsto\lambda\overrightarrow{V}$
est une «\?loi de composition externe\?» 
$\bR\times\overrightarrow{\cE}\to\overrightarrow{\cE}$.
\item{(M\?1)} Le scalaire $1$ est élément neutre\?:
$1\cdot\overrightarrow{V}=\overrightarrow{V}$.
\item{(M\?2)} La multiplication scalaire vérifie la «\?pseudo-associativité\?» 
$\lambda\cdot(\mu\cdot\overrightarrow{V})=
(\lambda\mu)\cdot\overrightarrow{V}$\?;
\item{(M\?3)} On a distributivité à gauche
$(\lambda+\mu)\cdot\overrightarrow{V}=
\lambda\cdot\overrightarrow{V}+\mu\cdot\overrightarrow{V}$
\item{(M\?4)} On a distributivité à droite
$\lambda\cdot(\overrightarrow{V}+\overrightarrow{W})=
\lambda\cdot\overrightarrow{V}+\lambda\cdot\overrightarrow{W}$.}

Chaque fois que l'on a un ensemble $(\overrightarrow{\cE},+,\cdot)$
munis de deux lois $+$ et $\cdot$ vérifiant les propriétés
(A\?0,1,2,3,4) et (M\?0,1,2,3,4) ci-dessus pour tous les scalaires
$\lambda,\,\mu\in\bR$ et tous vecteurs 
$\overrightarrow{V}$, $\overrightarrow{W}$,
 on dit qu'on a affaire à un espace vectoriel sur le corps des réels
(cette terminologie vient du fait qu'on peut donner une définition analogue 
sur d'autres corps, par exemple le corps $\bQ$ des nombre rationnels).

Pour chacune des transformations $s:M\mapsto s(M)$ évoquées ci-dessus,
on s'aperçoit que la transformation est donnée en coordonnées par
des formules du type suivant\?: si $M\;(x_i)_{1\le i\le n}$ et
$s(M)\;(y_i)_{1\le i\le n}$, on a une écriture du type
$$
y_i=\sum_{i=1}^n a_{ij}x_j+b_i,\leqno(10.1)
$$
autrement dit, les coordonnées $(y_i)$ de $s(M)$ sont des fonctions affines
des coordonnées $(x_i)$ de $M$. On peut plus généralement considérer une
transformation $s:\cE\to\cF$ d'un espace $\cE$ de dimension $n$ dans un 
espace $\cF$ de dimension $p$ non nécessairement égale à $n$
dimension (par exemple, une projection de l'espace $\cE$ de dimension $3$ 
sur un plan $\cF=\cP$), et l'écriture est encore du même type. De manière 
matricielle (et après introduction du formalisme matriciel qui nous
paraît recommandable en milieu ou fin de lycée -- au moins en dimensions
$1$, $2$ et $3$), on peut écrire dans tous 
ces cas $Y=AX+B$. On dit alors que $s$ est une transformation affine. 
Si $N$ est un
autre point de coordonnées $N\?:X'=(x'_i)_{1\le i\le n}$ et 
$s(N)\?:Y'=(y'_i)_{1\le i\le p}$ son image, on voit que $Y'=AX'+B$, donc
$$
\overrightarrow{s(M)s(N)}\?:Y'-Y=A(X'-X).
$$
Par conséquent, si on note $\sigma:\overrightarrow{\cE}
\to\overrightarrow{\cF}$,  $\overrightarrow{V}\mapsto
\sigma(\overrightarrow{V})$,  la transformation vectorielle définie
par $Y=AX$, on a la formule 
$$
\overrightarrow{s(M)s(N)}=\sigma(\overrightarrow{MN}),
\leqno(10.2)
$$
et $\sigma$ possède les propriétés essentielles de «\?linéarité\?» 
$$
\sigma(\overrightarrow{V}+\overrightarrow{W})=
\sigma(\overrightarrow{V})+\sigma(\overrightarrow{W}),\qquad
\sigma(\lambda\overrightarrow{V})=\lambda\sigma(\overrightarrow{V}).
\leqno(10.3)
$$
Inversement, si $\sigma:\overrightarrow{\cE}\to\overrightarrow{\cF}$ 
vérifie (10.3), on montre aisément à l'aide d'une
base que $\sigma$ est donnée en coordonnées par une formule du
type $Y=AX\,$; de plus, si $s:\cE\to\cF$ vérifie (10.2), alors en appliquant la
formule au couple $(O,M)$ et en notant $B$ les coordonnées de $f(O)$, on
voit que $Y-B=AX$, soit encore $Y=AX+B$, donc $f$ est une transformation
affine. Un théorème de «\?rigidité\?» essentiel de la géométrie euclidienne
est le suivant (on peut se limiter au cas $\cF=\cE$, qui est tout aussi
intéressant$\,$!)

{\bf Définition.} {\it Soient $\cE$ et $\cF$ deux espaces euclidiens et
$s:\cE\to\cF$ une transformation ponctuelle quelconque. On dit que $s$ est une 
isométrie de $\cE$ dans $\cF$ si pour tout couple de points $(M,N)$ de
$\cE$ on a $d(s(M),s(N))=d(M,N)$.}
\vskip7pt

\vbox{%
{\bf Théorème.} {\it Si $s:\cE\to\cF$ est une isométrie, alors $s$ est une
transformation affine, et son application linéaire associée 
$\sigma:\overrightarrow{\cE}\to\overrightarrow{\cF}$ est ce qu'on appelle
une transformation orthogonale, c'est-à-dire une application vectorielle
respectant l'orthogonalité et les produits scalaires$\?:$
$$
\sigma(\overrightarrow{V})\cdot\sigma(\overrightarrow{W})=
\overrightarrow{V}\cdot\overrightarrow{W}\leqno(10.4)
$$
pour tous vecteurs $\overrightarrow{V},\overrightarrow{W}\in
\overrightarrow{E}$.}}

{\it Démonstration.} Fixons une origine $O$, et définissons $\sigma$
par 
$$
\sigma(\overrightarrow{OM})=\overrightarrow{s(O)s(M)}.
$$
Les propriétés du produit scalaire donnent
$$
\leqalignno{
\overrightarrow{OM}\cdot\overrightarrow{ON}
&={1\over 2}\big(
\Vert\overrightarrow{OM}\Vert^2+\Vert\overrightarrow{ON}\Vert^2
-\Vert\overrightarrow{OM}-\overrightarrow{ON}\Vert^2\big)\cr
&={1\over 2}\big(d(O,M)^2+d(O,N)^2-d(M,N)^2\big).&(10.5)\cr}
$$
On obtient par conséquent
$$
\eqalign{
\sigma(\overrightarrow{OM})\cdot\sigma(\overrightarrow{ON})
&=\overrightarrow{s(O)s(M)}\cdot\overrightarrow{s(O)s(N)}\cr
&={1\over 2}\big(d(s(O),s(M))^2+d(s(O),s(N))^2-d(s(M),s(N))^2\big)\cr
&={1\over 2}\big(d(O,M)^2+d(O,N)^2-d(M,N)^2\big)
=\overrightarrow{OM}\cdot\overrightarrow{ON}.
\cr}
$$
Ceci montre que $\sigma$ vérifie (10.4). En développant par bilinéarité
le carré scalaire
$$
\big(\sigma(\lambda\overrightarrow{V}+\mu\overrightarrow{W})-
\lambda\sigma(\overrightarrow{V})-\mu\sigma(\overrightarrow{W})\big)^2,
$$
on voit alors en utilisant (10.4) que 
le résultat vaut
$$
\big((\lambda\overrightarrow{V}+\mu\overrightarrow{W})-
\lambda\overrightarrow{V}-\mu\overrightarrow{W}\big)^2=0,
$$
donc $\sigma(\lambda\overrightarrow{V}+\mu\overrightarrow{W})-
\lambda\sigma(\overrightarrow{V})-\mu\sigma(\overrightarrow{W})
=\overrightarrow{0}$ et $\sigma$ est linéaire. Par différence,
la formule $\sigma(\overrightarrow{OM})=\overrightarrow{s(O)s(M)}$
donne $\sigma(\overrightarrow{MN})=\overrightarrow{s(M)s(N)}$
pour deux points $M$, $N$ quelconques, donc $s$ est une application
affine d'application linéaire associée $\sigma$, et le théorème est 
démontré.\qed

Dans la même direction, on peut énoncer le «\?théorème des figures
isométriques\?», qui lui-même permet d'aboutir à une justification mathématique
complète de toutes les définitions et considérations physiques apparues
dans la section 3.2.

{\bf Théorème.} {\it Soient $(A_1A_2A_3A_4\,\ldots)$ et 
$(A'_1A'_2A'_3A'_4\,\ldots)$ deux figures isométriques formées par
des points $A_i$, $A'_i$ d'un espace euclidien $\cE$. Alors il existe
une isométrie $s$ de l'espace euclicien $\cE$ tout entier tel que
$A'_i=s(A_i)$.}

{\it Démonstration.} Considérons les sous-espaces vectoriels 
$\overrightarrow{\cV}$ et $\overrightarrow{\cV'}$ de 
$\overrightarrow{\cE}$ formé par les combinaisons linéaires des 
vecteurs $\overrightarrow{A_iA_j}$ (resp.\
$\overrightarrow{A'_iA'_j}$). Comme 
$$
\overrightarrow{A_iA_j}=\overrightarrow{A_1A_j}-\overrightarrow{A_1A_i},
$$
il suffit de prendre les combinaisons linéares des vecteurs
$\overrightarrow{V_i}=\overrightarrow{A_1A_i}$ 
(resp.\ $\overrightarrow{V'_i}=\overrightarrow{A'_1A'_i}$).
En ramplaçant $O$ par $A_1$, $M$ par $A_i$ et $N$ par $A_j$, 
la formule (10.5) implique
$$
\overrightarrow{V_i}\cdot\overrightarrow{V_j}
=\overrightarrow{A_1A_i}\cdot\overrightarrow{A_1A_j}
={1\over 2}\big((A_1A_i)^2+(A_1A_j)^2-(A_iA_j)^2\big).
$$
Ceci implique que $\overrightarrow{V'_i}\cdot\overrightarrow{V'_j}=
\overrightarrow{V_i}\cdot\overrightarrow{V_j}$, par conséquent la
transformation vectorielle
$$
\sigma_0:\sum\lambda_i\overrightarrow{V_i}\mapsto
\sum\lambda_i\overrightarrow{V'_i}
$$
définit une application linéaire orthogonale de $\overrightarrow{\cV}$
sur $\overrightarrow{\cV'}$ ($\sigma_0$ est bien définie, car si un
vecteur a plusieurs représentations
$\sum\lambda_i\overrightarrow{V_i}$, les images
$\sum\lambda_i\overrightarrow{V'_i}$ correspondantes sont les mêmes,
comme on le voit en observant que le carré scalaire de la différence
est nul). En particulier, les espaces $\overrightarrow{\cV}$
et $\overrightarrow{\cV'}$ sont de même dimension, et on peut
prolonger $\sigma_0$ en une isométrie $\sigma$ de $\overrightarrow{\cE}$
sur $\overrightarrow{\cE}$ en faisant la somme directe orthogonale
$\sigma=\sigma_0\oplus\tau$ avec
une transformation orthogonale quelconque $\tau$ de 
$\overrightarrow{\cV}^\perp$ sur $\overrightarrow{\cV'}^\perp$ (celle-ci
existe puisque $\overrightarrow{\cV}^\perp$ et $\overrightarrow{\cV'}^\perp$
sont de même dimension${}=\dim\overrightarrow{\cE}-\dim
\overrightarrow{\cV}$). On définit maintenant une isométrie affine
$s$ en considérant l'unique application affine
$s:\cE\to\cE$ qui envoie $A_1$ sur $A'_1$, et qui a comme 
application linéaire associée la transformation orthogonale~$\sigma$.
Comme $s(A_1)=A'_1$ et 
$\sigma(\overrightarrow{V_i})=\overrightarrow{V'_i}$, c'est-à-dire
$\sigma(\overrightarrow{A_1A_i})=\overrightarrow{A'_1A'_i}$,
on a bien $s(A_i)=A'_i$ pour tout~$i$.\qed
\medskip

Pour aller un peut plus loin, on a besoin de connaître la structure précise
des transformations orthogonales\?: on démontre qu'une transformation
vectorielle de matrice $A$ dans une base orthonormée est orthogonale
si et seulement si sa matrice $A$ vérifie ${}^tAA=\Id$, ce qui équivaut
à ce que les vecteurs colonnes forment une base orthonormée. En dimension
$2$, on obtient les matrices de la forme
$$
\pmatrix{a & -b\cr b & a\cr},\qquad
\pmatrix{a & b\cr b & -a\cr},\qquad a^2+b^2=1,
$$
ou encore
$$
\pmatrix{\cos\alpha & -\sin\alpha\cr \sin\alpha & \cos\alpha\cr},\qquad
\pmatrix{\sin\alpha & \cos\alpha\cr \sin\alpha & -\cos\alpha\cr},
$$
qui correspondent respectivement à la rotation vectorielle d'angle
$\alpha$ et à la symétrie vectorielle orthogonale par rapport
à la droite $\cD_{\alpha/2}$ d'angle $\alpha/2$ par rapport à $Ox$.
Dans ce dernier cas, le choix d'une nouvelle base orthonormée 
appropriée conduit à la matrice
$$
\pmatrix{1 & 0\cr 0 & -1\cr}.
$$
En général, en dimension quelconque, on montre que pour toute
tranformation vectorielle orthogonale, il existe une base orthonormée
dans laquelle la matrice est de la forme
$$
A=\pmatrix{
\cos\alpha_1 & -\sin\alpha_1& 0 & 0 &&& \ldots &&&& 0\cr 
\sin\alpha_1 & \cos\alpha_1& 0 & 0 &&& \ldots &&&& 0\cr 
0 & 0 & \cos\alpha_2 & -\sin\alpha_2 &&& \ldots &&&& 0\cr 
0 & 0 & \sin\alpha_2 & \cos\alpha_2&&& \ldots &&&& 0\cr 
\vdots & & & 0 &\ddots & & \ldots &&&& \vdots\cr 
0 &\ldots & & 0 & &\cos\alpha_k & -\sin\alpha_k & 0 &\ldots && 0\cr 
0 &\ldots & & 0 & &\sin\alpha_k & \cos\alpha_k& 0 & \ldots && 0\cr 
0 &\ldots & &  & & & 0 & 1 & 0& \ldots & 0\cr 
0 &\ldots & &\smash{\vdots}& & & 0 & 0 & 1& \ldots & 0\cr 
0 &\ldots & &  & & & & & &\smash{\raise-3pt\hbox{$\ddots$}}& 0\cr 
0 &\ldots & & 0 & & & 0 & & & \ldots & \varepsilon\cr},
$$
pour des angles adéquats $\alpha_i$ et $\varepsilon=\pm 1$. La preuve
s'obtient par récurrence sur la dimension, en observant qu'il existe
ou bien une valeur propre réelle (nécessairement égale à $\pm 1$),
ou bien une valeur propre complexe non réelle, correspondant à un
plan réel stable dans lequel la transformation opère comme une
rotation d'angle $\alpha_i$\?; on s'appuie sur le fait que l'orthogonal
d'un sous-espace stable est stable\?; les valeurs propres $-1$ peuvent 
être regroupées $2$ par $2$ et correspondent à des rotations 
d'angle~$\alpha_i=\pi$. Ceci laisse la possibilité d'au plus
une valeur propre $-1$ isolée, qui figure ici à la dernière ligne
sous la forme de la valeur propre $\varepsilon=\pm 1$ (mais cette
ligne peut-être absente).\note{22}{En dimension
$3$, la preuve se réduit facilement à la dimension $2$, du fait que le
polynôme caractéristique de degré $3$ a nécessairement une
valeur propre réelle. Ce résultat était au programme des classes 
de Terminale~C des années 1970--1985 (le cas de dimension 2 était même
introduit dès la classe de Première\?!). C'est hélas une bonne mesure
de l'incroyable et consternante dégradation du niveau des études dans
notre pays\?: ce résultat ne semble malheureusement même plus pouvoir
être compris au niveau L2 de l'université, pour autant qu'il y soit
mentionné et démontré explicitement.}

En choisissant un paramètre $t\in[0,1]$ (pensé comme un paramètre
temps), et en définissant $A_t$ comme
la matrice associée aux angles $t\alpha_i$ et au paramètre 
$\varepsilon=\pm 1$
comme-ci dessus, on obtient une variation continue telle que $A_1=A$ et
$A_0=\Id$ ou $A_0={}$matrice de la symétrie orthogonale par rapport à
l'hyperplan $x_n=0$. Ceci montre que pour toute transformation
isométrique $s:X\mapsto Y=AX+B$, on a une variation continue dans le
temps $s_t:X\mapsto A_tX+tB$ telle que $s_1=s$, tandis que $s_0$ est
soit la transformation identique, soit la symétrie orthogonale par
rapport à l'hyperplan $x_n=0$. Ceci montre que deux figures
isométriques $\cF$ et $\cF'=s(\cF)$ se déduisent l'une de l'autre par
un mouvement continu $\cF_t=s_t(\cF)$ tel que
$\cF_1=s_1(\cF)=s(\cF)=\cF'$, où $\cF_0=s_0(\cF)$ coïncide soit avec
$\cF$ soit avec la figure obtenue par symétrie miroir par rapport à 
un hyperplan.

On notera qu'avec les notations précédentes nous avons 
$\det(A)=\varepsilon=\pm 1$. On dit que l'on a affaire à une {\it isométrie
positive} si $\varepsilon=+1$ et à une {\it isométrie négative} si 
$\varepsilon=-1$. Dans le cas d'une variation continue
$t\mapsto A(t)$, le déterminant $\det(A(t))$ qui est une fonction continue
ne peut «\?sauter\?» de la valeur $1$ à la valeur $-1$, et ce déterminant
est donc constant dans le temps. Le mouvement d'un corps 
solide $t\mapsto s_t(\cF)$
à partir d'une position initiale (correspondant à $s_0=\Id$, donc
à $\det A(0)=1$) s'effectue donc uniquement par des isométries positives.
Inversement, la discussion qui précède montre que toute isométrie
positive peut se réaliser par un déplacement au sens de la
définition~(3.2.5)~: mathématiquement, il y a donc coïncidence entre les
notions de déplacement et d'isométrie positive.

\section{11. Géométries non euclidiennes}

L'approche de la géométrie fondée sur l'exploitation de la structure
d'espace métrique n'est pas une simple curiosité propre à la géométrie
euclidienne. Ainsi, les géométries non euclidiennes trouvent
naturellement place dans le cadre général de la géométrie
riemannienne, ainsi nommée en référence à Bernhard Riemann (1826 --
1866, l'un des principaux fondateurs de l'analyse complexe et de la
géométrie différentielle modernes).

Une variété riemannienne est par définition une variété différentielle~$X$,
c'est-à-dire un espace qui admet localement des systèmes de 
coordonnées différentiables réelles
$x=(x_1\,;\,x_2\,;\,\ldots\,;\,x_n)$, muni d'une métrique infinitésimale
$g$ de la forme
$$
ds^2=g(x)=\sum_{1\le i,j\le n}a_{ij}(x)\,dx_idx_j.
$$
Cette métrique représente le carré de la longueur d'un petit 
déplacement $dx=(dx_i)$ sur
la variété. On suppose ici que $(a_{ij}(x))$ est une matrice symétrique
définie positive et que les coefficients $a_{ij}(x)$ sont des fonctions
indéfiniment différentiables de $x$. Étant donné un chemin 
$\gamma:[\alpha,\beta]\to X$ continûment différentiable par morceaux,
la longueur se calcule en posant 
$$x=\gamma(t)=(\gamma_1\,;\,\ldots\,;\,\gamma_n(t)),\qquad dx=\gamma'(t)\,dt,
$$
ce qui donne
$$
\leqalignno{
ds&=\Vert dx\Vert_{g(\gamma(t))}=\sqrt{\sum_{1\le i,j\le n}a_{ij}(\gamma(t))
\,\gamma'_i(t)\gamma'_j(t)}\;dt,&(11.1')\cr
\lg(\gamma)&=\int_\alpha^\beta ds=
\int_\alpha^\beta \sqrt{\sum_{1\le i,j\le n}a_{ij}(\gamma(t))
\,\gamma'_i(t)\gamma'_j(t)}\;dt.&(11.1'')\cr}
$$
Etant donné deux points $a,\,b\in X$, la «\?distance géodésique\?» 
$d_g(a,b)$ de $a$ à~$b$ est définie par $d_g(a,b)=\inf_{\gamma}~\lg(\gamma)$
où l'inf est étendu à tous les chemins $\gamma:[\alpha,\beta]\to X$
d'extrémités $\gamma(\alpha)=a$ et $\gamma(\beta)=b$. La géométrie 
euclidienne telle que nous l'avons décrite correspond au cas particulier
d'une métrique riemannienne constante (on parle aussi de «\?métrique
plate\?» pour signifier que la courbure est nulle)
$$
ds^2=dx_1^2+\ldots+dx_n^2,\leqno(11.2')
$$
ce qui donne dans ce cas l'expression plus simple
$$
\lg(\gamma)=\int_\alpha^\beta ds=
\int_\alpha^\beta \sqrt{\sum_{1\le i\le n}\gamma'_i(t)^2}\;dt.\leqno(11.2'')
$$
La théorie de la relativité restreinte fait appel quant à elle à une
métrique d'un type un peu différent, appelée métrique lorentzienne,
qui est une métrique de signature $(3,1)$ dans l'espace-temps
einsteinien\?:
$$
ds^2=dx_1^2+dx_2^2+dx_3^2-c^2\,dt^2\leqno(11.3)
$$
où $c$ désigne la vitesse de la lumière. La théorie de la relativité 
généralisée correspond au cas de métriques lorentziennes à
coefficients variables, et son étude mène à celle des phénomènes de
courbure qui décrivent les effets de la gravitation.

Pour en revenir à la géométrie en dimension $2$, nous rappellerons ici 
brièvement la description de la géométrie non euclidienne de Lobatchevski 
à partir du modèle du disque de Poincaré muni de sa métrique 
hyperbolique invariante.

{\bf Définition.} {\it Sur le disque unité $\bD=\{z\in\bC\,;\,|z|<1\}$ du plan
complexe, avec $z=x+iy$, on considère la métrique dite de Poincaré
$$
ds={|dz|\over 1-|z|^2}
~~\Leftrightarrow~~
ds^2={dx^2+dy^2\over(1-(x^2+y^2))^2}.\leqno(11.4)
$$
Un calcul montre que cette métrique est invariante par le groupe
$\Aut(\bD)$ des automorphismes holomorphes, constitué des transformations
homographiques
$$
h(z)=\lambda{z-a\over 1-\ovl a z},\qquad|\lambda|=1,~~a\in\bD
$$
qui préservent $\bD$. Pour la métrique ci-dessus, la longueur
d'un chemin $\gamma:[\alpha,\beta]\to\bD$ de classe $\cC^1$ par morceaux
se calcule en posant $z=\gamma(t)$, $dz=\gamma'(t)\,dt$, d'où
$$
\lg(\gamma)=\int_\alpha^\beta ds=
\int_\alpha^\beta{|\gamma'(t)|\over 1-|\gamma(t)|^2}\,dt.
$$}

D'après la définition générale, la distance de Poincaré $d_P(a,b)$ 
de $a$ à~$b$ est la distance géodésique définie par 
$d_P(a,b)=\inf_{\gamma}~\lg(\gamma)$
où l'inf est étendu à tous les chemins $\gamma:[\alpha,\beta]\to\bD$
d'extrémités $\gamma(\alpha)=a$ et $\gamma(\beta)=b$.
Du fait que la métrique de Poincaré $ds$ est invariante par $\Aut(\bD)$,
on déduit aussitôt que la distance $d_p$ l'est aussi, autrement dit
$d_P(h(a),h(b))=d_P(a,b)$ pour tout $h\in\Aut(\bD)$ et tous points
$a,b\in\bD$.

Nous affirmons que le chemin de longueur minimale joignant le centre $0$
du disque à un point quelconque $w\in\bD$ est le segment $[0,w]$. En effet,
si on écrit $z=\gamma(t)=r(t)\,e^{i\theta(t)}$ en coordonnées polaires,
il vient
$$
dz=(dr+i r\,d\theta)\,e^{i\theta},\qquad |dz|=\sqrt{dr^2+r^2d\theta^2}\ge
dr=r'(t)dt
$$
On obtient donc
$$
\lg(\gamma)=\int_\gamma{|dz|\over 1-|z|^2}\ge\int_0^{|w|}{dr\over 1-r^2}
={1\over 2}\ln{1+|w|\over 1-|w|},
$$
et ce calcul correspond précisément à la longueur du segment $[0,w]$.
Pour trouver la distance de deux points quelconques $a$, $b$, on peut utiliser
l'automorphisme
$h(z)={z-a\over 1-\ovl a z}$
qui envoie $a$ sur $h(a)=0$ et $b$ sur $w=h(b)={b-a\over 1-\ovl a b}$. 
On trouve ainsi
$$
d_P(a,b)=d_P(h(a),h(b))=d_P(0,w)={1\over 2}\ln
{1+{|b-a|\over |1-\ovl a b|}\over 1-{|b-a|\over |1-\ovl a b|}}.
\leqno(11.5)
$$
Cette distance gouverne la géométrie hyperbolique tout comme la formule
de la distance issue du théorème de Pythagore gouverne la géométrie
euclidienne.
\InsertPSFigure 0 60 {
1 mm unit 
initcoordinates 
gsave 
 30.000  27.000 moveto  26.000 circle 
102.000  27.000 moveto  26.000 circle 
 50.177  10.843 moveto  24.000 -16.000  37.494  45.719 118.775 circlearc 
stroke 
 78.500  38.000 moveto 125.500  16.000 segment 
102.000  27.000 moveto   0.700 disk 
 20.500  21.300 moveto   0.700 disk 
 46.000  14.500 moveto   0.700 disk 
122.200  17.600 moveto   0.700 disk 
  0.400 setlinewidth 
 61.000  27.000 moveto  10.500   0.000   2.400 vector 
  0.085 setlinewidth
  7.250  17.550 moveto 
[   7.250  17.550    7.800  16.400    6.600  15.750  
] polygon 
stroke 
 49.250  11.700 moveto 
[  49.250  11.700   48.350  10.650   49.350   9.750  
] polygon 
stroke 
 80.000  37.350 moveto 
[  80.000  37.350   79.350  35.950   77.750  36.650  
] polygon 
stroke 
124.250  16.600 moveto 
[ 124.250  16.600  123.600  15.250  124.800  14.620  
] polygon 
stroke 
grestore 
}
\LabelTeX   20.000  23.000 $a$ \ELTX
\LabelTeX   45.500  16.500 $b$ \ELTX
\LabelTeX  101.500  29.000 $0$ \ELTX
\LabelTeX  122.000  19.500 $w$ \ELTX
\LabelTeX   65.500  29.000 $h$ \ELTX
\LabelTeX   53.500  40.000 $\partial\bD$ \ELTX
\EndFig
\medskip

La géodésique (chemin le plus court) joignant $a$ à $b$ est l'image
inverse par $h$ du segment $[0,w]$. C'est donc un arc de cercle
d'extrêmités $a$ et $b$, porté par un cercle orthogonal au bord $\bD$
(en effet le diamètre $\bR w$ est orthogonal au bord $\partial\bD$,
donc leurs images inverses par $h$ le sont, du fait du caractère
conforme de $h$, et $\partial\bD$ est évidemment invariant par~$h$).
La seule exception est le cas où $0,a,b$ sont alignés, auquel cas
la géodésique est le segment de droite $[a,b]$ porté par un diamètre
de~$\bD$. Les «\?droites hyperboliques\?» de $\bD$ sont donc les
diamètres et les arcs de cercle orthogonaux au bord $\partial\bD$.

\InsertPSFigure  30.000 68.000  {
1 mm unit 
initcoordinates 
gsave
30 34 translate
/hom 27 def
hom dup scale
0.085 hom div setlinewidth
2 setlinejoin
/expit {
  /x exch def /r x x mul 1 add def
  x 2 mul r div def
  2 r sub r div def
} def
/doarc { 
 /yp exch def /xp exch def  /y exch def /x exch def
 /z x xp add 0.5 mul def /w y yp add 0.5 mul def
 /r z z mul w w mul add sqrt def
 /z z r div def  /w w r div def
 /r xp x sub def  /rp yp y sub def
 /rp r r mul rp rp mul add sqrt 0.5 mul def
 /r rp 1 rp rp mul sub sqrt div def
 /rp 1 r r mul add sqrt def
 /z z rp mul def  /w w rp mul def
 /a1 y x atan def
 /a2 yp xp atan def
 a1 a2 180 sub lt { /a1 a1 360 add def } if
 a1 a2 180 add gt { /a1 a1 360 sub def } if
 a1 a2 gt { z w r a1 90 add a2 270 add arc }
          { z w r a1 270 add a2 90 add arcn } ifelse
} def
1 0 moveto
/x1 /y1 -9 expit
/x2 /y2 -4 expit
/x3 /y3 -0.5 expit
/x4 /y4 0.1 expit
0.9 setgray
x1 y1 moveto
x1 y1 x3 y3 doarc
0 0 1 y3 x3 atan y4 x4 atan arc
x4 y4 x2 y2 doarc
0 0 1 y2 x2 atan y1 x1 atan arcn
fill
0 setgray
x1 y1 x3 y3 doarc stroke
x2 y2 x3 y3 doarc stroke
x2 y2 x4 y4 doarc stroke
0 0 1 0 360 arc stroke
0.250 hom div setlinewidth
/x5 /y5 -5.4 expit
/x6 /y6 -0.2 expit
x5 y5 x6 y6 doarc stroke
-0.335 -0.21 moveto 0.6 hom div disk
grestore
}
\LabelTeX   22.000  22.000 $\cD$ \ELTX
\LabelTeX   20.000  31.000 $p$ \ELTX
\LabelTeX   41.000  30.000 $\Delta$ \ELTX
\EndFig
\vskip-10pt

En géométrie hyperbolique, on constate facilement que les axiomes
d'incidence d'Euclide sont satisfaits, sauf précisément le $5{}^{\rm e}$
postulat (postulat suivant lequel par tout point
passe une unique parallèle à une droite donnée)$\;$: ici, par 
tout point $p$ hors d'une «\?droite\?» $\cD$ donnée, il passe une infinité de
«\?droites\?» $\Delta$ ne coupant pas la «\?droite\?» initiale. C'est la 
découverte surprenante faite par Lobatchevski en~1826, ruinant l'espoir
de déduire le $5{}^{\rm e}$ postulat des autres axiomes.

\bigskip

\section{12.  Quelques idées de Felix Hausdorff}

Il y a bien d'autres circonstances où la structure métrique joue un
rôle décisif; dans cette direction, nous allons décrire ici quelques 
idées importantes dues à Felix Hausdorff, l'un des fondateurs de la 
topologie moderne.

On peut ainsi introduire la mesure de Lebesgue de $\bR^n$ sans faire référence
à la structure d'espace vectoriel ou de groupe. Si $(\cE,d)$ est un espace 
métrique quelconque, on définit la {\it mesure de Hausdorff $p$-dimensionnelle}
d'une partie $A$ de $\cE$ comme
$$
\cH_p(A)=\lim_{\varepsilon\to 0}
\cH_{p,\varepsilon}(A),\qquad
\cH_{p,\varepsilon}(A)=\inf_{\diam A_i\le\varepsilon}\sum_i(\diam A_i)^p
\leqno(12.1)
$$ 
où $\cH_{p,\varepsilon}(A)$ est la borne inférieure des sommes
$\sum_i(\diam A_i)^p$ étendue à toutes les partitions dénombrables
$A=\bigcup A_i$ avec $\diam A_i\le\varepsilon$. Si on se restreint aux
parties boréliennes, on peut voir qu'on obtient une
mesure dénombrablement additive pour tout~$p\ge 0$. Dans $\cE=\bR^n$
avec sa structure euclidienne habituelle, cette mesure coïncide pour 
$p$ entier avec la mesure d'aide euclidienne $p$-dimensionnelle, à
un facteur de proportionnalité près lié au volume de la boule
euclidienne de dimension~$p$. Mais pour $p$ non entier, on obtient encore des
mesures très utiles qui servent par exemple à calculer la «\?dimension 
de Hausdorff\?» des objets fractals. La définition (12.1) fonctionne 
tout aussi bien dans un espace métrique quelconque, par exemple 
dans les variétés riemanniennes.

Une autre idée importante de Hausdorff est l'existence d'une structure
métrique naturelle sur l'ensemble des parties compactes d'un
espace métrique $(\cE,d)$. Si $K$,~$L$ sont deux parties compactes de 
$\cE$, la {\it distance de Hausdorff} de $K$ et $L$ est définie comme
$$
d_H(K,L)=\max\big\{\max_{x\in K}\min_{y\in L}d(x,y),
\max_{y\in L}\min_{x\in K}d(x,y)\big\}.\leqno(12.2)
$$
On peut vérifier que $d_H$ est bien une distance$\,$; l'ensemble 
$\cK(\cE)$ des parties compactes de $\cE$ est ainsi muni d'une 
structure d'espace métrique. Lorsque $(\cE,d)$ est compact, on peut montrer
que $(\cK(E),d_H)$ est lui-même compact. 
\bigskip

\section{13.  Les travaux de  Mikhail Gromov}

L'étude des structures métriques constitue encore aujourd'hui un sujet de
recherches extrêmement actif$\,$; on peut citer en
particulier les travaux de Mikhail Gromov sur les espaces de longueurs
et les «\?espaces de modules\?» de variétés riemanniennes et leurs
compactifications.

Un espace de longueurs est par définition un espace
métrique $(\cE,d)$ tel que pour tous points $A,B$ de $E$ il existe un 
point «\?milieu\?» $I$ tel que $d(A,I)=d(I,B)={1\over 2}d(A,B)$. 
Si l'espace $\cE$ est complet, on peut alors construire par dichotomies
succesives un chemin $\gamma$ d'extrémités $A$, $B$ tel que
$d(A,\gamma(t))=(1-t)d(A,B)$ et $d(\gamma(t),B)=t\,d(A,B)$ pour tout
$t\in[0,1]$, ce qui peut être vu comme une géodésique joignant $A$ et
$B$. Il s'agit là d'une généralisation fructueuse des variétés
riemanniennes -- et donc en particulier des géométries euclidiennes et
non euclidiennes. Un fait assez remarquable est que l'on peut définir
par exemple le tenseur de courbure d'une variété riemannienne $(M,g)$
en utilisant uniquement les propriétés infinitésimales de la distance
dans l'espace de longueurs associé~:
soit $O$ un point choisi comme origine,
$A=\exp_O(\varepsilon u)$ et $B=\exp_O(\varepsilon v)$ où $u$, $v$ sont des
vecteurs tangents à $M$ et $\varepsilon>0$ un réel assez petit. Enfin, 
soit $I$ le milieu de $A$, $B$ pour la distance géodésique.

\InsertPSFigure 30.000 24.000 {
gsave
0.6 setlinewidth
0 0 moveto 40 32 5 vector stroke
0 0 moveto 50 -18 5 vector stroke
0.3 setlinewidth
0 0 moveto 40 25 80 33 119 40 curveto stroke
0 0 moveto 50 -15 100 -20 149 -23 curveto stroke
119 40 moveto
130 20 140 0 149 -23 curveto stroke
1 0 0 setrgbcolor
0 0 moveto 45 5 90 7 135 9 curveto stroke
grestore
}
\LabelTeX -3.5 -2.5 $O$\ELTX
\LabelTeX 49 3 $I$\ELTX
\LabelTeX 43 14.5 $A$\ELTX
\LabelTeX 53.5 -9.5 $B$\ELTX
\LabelTeX 10 9 $u$\ELTX
\LabelTeX 14 -8.5 $v$\ELTX
\EndFig
\vskip5mm

Alors le triangle géodésique infinitésimal $OAB$ vérifie à la limite
$$\leqalignno{
&\lim_{\varepsilon\to 0}{OA^2+OB^2-2OI^2-2AI^2 \over OA^2\;OB^2}
=-{1 \over 6}{\langle R(u,v)u,v\rangle_g \over 
\Vert u\Vert_g^2\;\Vert v\Vert_g^2},&(13.1)\cr
&\lim_{\varepsilon\to 0}{OA^2+OB^2-2OI^2-2AI^2 \over OA^2\;OB^2-(OI^2-AI^2)^2}
=-{1 \over 6}{\langle R(u,v)u,v\rangle_g \over 
\Vert u\wedge v\Vert_g^2},&(13.2)\cr}
$$
où $R$ est le tenseur de courbure riemannien. Le numérateur 
$OA^2+OB^2-2OI^2-2AI^2$ est nul en
géométrie euclidienne (théorème de la médiane~!), et la déviation par rapport
au cas euclidien s'exprime essentiellement en fonction de la courbure
sectionnelle. 
{\it Preuve}~: bel exercice pour le lecteur~!

Si $X$ et $Y$ sont deux espaces métriques compacts quelconques , on
définit leur {\it distance de Gromov-Hausdorff} $d_{GH}(X,Y)$ comme
étant l'inf des distances $d_H(f(X),g(Y))$ pour tous les plongements
isométriques possibles $f:X\to\cE$, $g:Y\to\cE$ de $X$ et $Y$ dans un
même espace métrique compact $\cE$. Ceci fournit par une notion
précieuse pour l'étude des déformations des variétés riemanniennes
compactes, et pour la compactification de leurs «\?espaces de
modules\?».


\chapterjump

\notthispage=\pageno
\chapterrunning{II.}
\phantom{$\ $}
\bigskip
\title{Chapitre II :}
\title{Puissances, exponentielles, logarithmes}
\title{de l'école primaire jusqu'à la terminale}
\titlerunning{Chapitre II. Puissances, exponentielles, logarithmes}
\bigskip
\centerline{\twelvebf 
Jean-Pierre Demailly, Université Joseph Fourier Grenoble I}
\medskip
\centerline{\tt 
http://www-fourier.ujf-grenoble.fr/$\,\tilde{}\,$demailly/books.html}
\medskip
\centerline{version du 25 novembre 2007}
\bigskip\bigskip\bigskip\bigskip

L'enseignement du calcul à l'école primaire, les fondements du calcul
approché et du calcul algébrique au collège, l'enseignement de
l'analyse au lycée souffrent aujourd'hui dans notre pays
d'insuffisances et d'incohérences très graves -- c'est un constat$\,$:
de plus en plus d'enseignants expriment ouvertement les difficultés
qu'ils rencontrent en classe à ces divers niveaux. Pour aller au delà
d'une simple impression générale et analyser les déficiences en
détail, il est indispensable de se placer dans une perspective «\?
longitudinale\?» -- surtout pour une discipline comme les
mathématiques où les notions s'introduisent, se construisent et
s'étudient dans un enchaînement logique sur tout le parcours éducatif. 
Ce n'est pas principalement de logique
formelle dont il s'agit ici$\,$; c'est surtout de la {«\?}logique 
naturelle\?» ou {«\?}intuitive\?» nécessaire à l'élève pour se 
forger les schémas mentaux impliqués dans les notions appréhendées.

Nous avons choisi de nous concentrer sur l'introduction des
exponentielles et des loga\-rithmes qui, depuis un siècle au moins,
s'effectue à la fin du lycée. Nul doute qu'il s'agisse là de notions
tout à fait centrales, puisqu'elles interviennent dans tous les
domaines de la science. C'est pourquoi l'analyse des connaissances
nécessaires à l'introduction des logarithmes et des exponentielles
doit (devrait) être considérée comme un élément essentiel pour
l'élaboration des programmes d'enseignement des mathématiques.

Or, sur le seul point précis des prérequis à l'enseignement des
logarithmes et des exponentielles, les programmes actuels présentent
des lacunes sévères, qui se sont fortement aggravées depuis 1990. Les
insuffisances constatées ne sont certes pas entièrement nouvelles.  En
effet, depuis 1960 au moins, les concepteurs de programmes -- et
beaucoup d'auteurs de manuels, même parmi ceux qui aujourd'hui
contestent quelque peu les propositions actuelles -- envisagent des
approches qui laissent penser que l'introduction des logarithmes et
des exponentielles nécessite l'utilisation d'outils «\?
avancés\?» de l'ana\-lyse des fonctions d'une variable~: au choix,
utilisation du calcul intégral -- utilisation de la pri\-mitive de la
fonction $x\mapsto 1/x$ pour introduire le logarithme népérien -- ou
encore utilisation d'équations différentielles de type $y'=ky$.

Ce dernier choix, qui est celui du Groupe d'Experts des Programmes du
Secondaire de l'an 2000 est pour nous assez stupéfiant. En effet, 
comme on le verra ci-après, les notions concernées ne réclament
en réalité que des raisonnements élémentaires sur les 
puissances de nombres réels, 
leurs approximations décimales et la convergence des suites croissantes
majorées$\,$\note{1}{Des idées
analogues mais beaucoup plus abstraites sont utilisées par Bourbaki 
pour  donner une preuve rigoureuse de l'isomorphisme entre
les groupes $(\bR, +)$ et $\smash{(\bR^*_+,\times)}$, fondée uniquement sur 
des idées de  topologie générale. Mais c'est assurément trop 
abstrait pour être directement transposable au lycée$\,\ldots$}.
Le GEPS, motivé en partie par la perspective de l'enseignement 
de la physique (ce qui est en soi une très bonne chose), a cru bon 
de recommander un {«\?}grand détour\?» par les équations
différentielles, relevant ainsi le niveau de conceptua\-lisation
mis en jeu à celui des équations 
fonctionnelles, alors que les élèves de terminale maîtrisent 
aujourd'hui à grand peine le sens algébrique ou géométrique de la 
dérivée$\,$\note{2}{Le choix du GEPS de Physique a été de
proposer l'étude du phénomène de décroissance radioactive en
liaison avec l'introduction de l'exponentielle par les équations
différentielles, en mathématiques.  L'idée d'établir un pont
entre les deux disciplines nous apparaît louable.  Cependant, sur
ce sujet précis, nous estimons que la maturité mathématique
moyenne des élèves de terminale est aujourd'hui devenue
insuffisante pour que puisse leur apparaître de manière claire
la complexité d'un phénomène statistique aussi subtil que la
décroissance radioactive et sa modélisation continue par une
équation différentielle -- au moins dans une première approche
destinée à l'introduction de la notion d'exponentielle.}.

L'effet de ce choix, que j'ai pu constater {\it de visu} dans une très bonne 
classe de terminale~S, est que le professeur est en général dans 
l'impossibilité de démontrer ou d'asseoir solidement toutes les étapes, 
de sorte que la définition reste enfermée dans
un cercle vicieux~: l'exponentielle est la solution d'une
équation différentielle dont on a le plus grand mal à prouver
l'existence de solutions, et bien entendu c'est sans broncher que l'on 
résout ensuite l'équation différentielle $y'=ky$ à l'aide de ces 
mêmes exponentielles. {\it In fine}, lorsque le logarithme a enfin été
introduit, on parvient à définir $a^x$ pour cons\-tater péniblement
(par des preuves très alambiquées) que ceci redonne les puissances 
entières usuelles des nombres réels. Inutile de dire que
l'élève normalement constitué aura la plus grande peine à se forger 
une conception cohérente de ces notions à partir des bribes de savoir 
lacunaires et de niveau disparate qu'on lui aura enseignées$\,\ldots$

L'approche des années 1960--2000 n'était à vrai dire elle-même pas du tout 
idéale, puisqu'elle avait le désavantage patent de commencer par 
l'introduction du logarithme,
moins intuitif que les puissances et les exponentielles, et qu'elle utilisait
un théorème devenu quasi-inaccessible (surtout après les coupes sombres 
opérées dans les programmes à partir de 1990$\,$!), à savoir 
l'existence de la primitive d'une fonction continue$\,$\note{3}{Une
preuve {«\?}élémentaire\?» courte de l'existence des primitives de
fonctions continues -- ne nécessitant pas le concept de continuité 
uniforme -- serait cependant possible dès la terminale pour peu que
les programmes retrouvent quelque consistance - voir par exemple ma
proposition de cours d'introduction à l'intégrale à la même 
adresse web que ci-dessus. Ceci relève aujourd'hui plutôt de 
l'université.}.
Une autre conséquence inévitable de ces approches -- 
qu'il s'agisse de la définition du loga\-rithme par la primitive de $1/x$ 
ou de l'invocation un peu magique des équations différentielles -- est 
que l'introduction des logarithmes et des exponentielles est repoussée de
manière quasi-obligatoire à la classe terminale$\,$\note{4}{Avant
l'introduction des calculettes, la règle à calcul venait un peu compenser 
le {«\?}retard à l'allumage\rguil, mais ce garde-fou n'existe plus 
aujourd'hui.}.

Tout ceci est proprement hallucinant quand on sait que l'idée des
logarithmes fut introduite par John Napier (dans {\it Mirifici
logarithmorum canonis descriptio}, 1614), à une époque où l'on
ne connaissait pas encore le calcul différentiel et intégral,
seulement développé par Newton et Leibnitz vers la fin du
XVII$\,$ème siècle. L'idée principale utilisée par Napier
était d'utiliser la comparaison entre progressions arithmétiques
et géométriques -- déjà bien connues des Grecs -- assortie de
quelques considérations ciné\-matiques simples. À cette
époque, les définitions et les preuves manquent encore de rigueur
suivant les critères actuels, mais nous nous proposons de voir ici
qu'on peut combler cette lacune par un exposé tout à la fois
simple et complet, ne faisant appel à aucune notion difficile,
ouvrant la voie à des progressions scolaires tout à fait
envisageables.

Bien entendu, nous ne prétendons à aucune originalité scientifique 
sur un sujet aussi élémentaire. À la décharge des commissions chargées des
programmes de lycée, il faut bien constater que le dépérissement des
contenus de calcul et de la connaissance des algorithmes des
opérations arithmétiques élémentaires en primaire et au collège
rendrait périlleux -- voire impossible -- le cheminement que nous 
proposons$\,$: la nécessaire {«\?}connaissance intime des nombres\?» 
chère à René Thom est devenue à peu près {«\?}orthogonale\?» à 
l'esprit des programmes actuels, axés sur un formalisme algébrique réduit
au minimum, et sur l'usage des calculettes en lieu et place d'une 
étude progressive du calcul exact et du calcul approché.

L'analyse {«\?}longitudinale\?» des nécessités d'enseignement des notions
fondamentales que sont les exponentielles et les logarithmes place donc sous
une lumière crue les graves déficiences des progressions scolaires actuelles.
Nous espérons que ce texte participera d'une prise de conscience
plus aigue de la nécessité urgente de revoir les programmes de
mathématiques depuis la maternelle jusqu'à l'université.

\section{1. Suites, limites, suites croissantes majorées}

Nous renvoyons aux sections 1 et 2 de la partie concernant la
géométrie pour l'introduction des nombres réels$\,$; il est absolument
indispensable que des définitions précises soient données, puisqu'il
est impossible de faire des raisonnements qui se tiennent si on ne
dispose pas de définition correcte et opérationnelle -- c'est 
malheureusement le sort auquel sont livrés nos collégiens (et lycéens)
aujourd'hui.

L'étape suivante, qui est le fondement même de l'enseignement de l'analyse,
est l'intro\-duction de la notion de limite -- l'élève qui aura manipulé les
développements décimaux et les encadrements au collège y aura déjà été 
très bien préparé, il faut 
donc envisager cette introduction dès la classe de seconde, et non pas en 
classe de première comme aujourd'hui, afin de laisser un temps de maturation
plus important pour les notions essentielles de l'analyse. 

En outre, nous préconisons d'introduire la notion de limite d'abord à
l'occasion de l'étude des suites. Il y a pour cela deux raisons 
essentielles$\,$:
\smallskip
$\bullet$ La première raison est que ceci fait beaucoup mieux
le lien avec le calcul décimal approché, lorsqu'on envisage par
exemple les approximations décimales successives d'un nombre réel
tel qu'une racine carrée.
\smallskip
$\bullet$ La deuxième raison est que l'enseignement actuel est
beaucoup trop polarisé sur l'usage des calculettes et, au lycée, sur
leur emploi pour l'étude des fonctions. Or la capacité des calculettes
actuelles au calcul formel induit chez l'élève la conception erronée
qu'une fonction est principalement une {«\?}formule
algébrique\?» permettant d'éva\-luer une expression $f(x)$ -- il
suffit d'observer l'organisation des manuels modernes pour se
convaincre que cette conception inappropriée sera extrêmement
difficile à éradiquer. En réalité, la plupart des fonctions qui
interviennent dans la nature -- courbes de température ou de
population, cours de la bourse, fonctions correspondant à des mesures
expérimentales de phénomènes physiques -- ne sont précisément pas
données par des formules algébriques. C'est bel et bien la vision
bourbakiste d'application d'un ensemble de départ vers un ensemble
d'arrivée donnée par un graphe qui est la notion pertinente$\,$! (et,
en cela, les programmes de lycée de {«\?}mathématiques modernes\?» 
ne s'étaient donc pas trompés, on les a beaucoup trop vite jetés à la
poubelle sans imaginer qu'ils comportaient tout de même une bonne part
de vérité).  L'approche des limites par les suites est un bon moyen de
combattre l'idée fausse qu'une fonction coïncide avec une formule
algébrique, et de donner lieu à des applications dont l'ensemble de
départ et d'arrivée ne sont pas les mêmes.
\medskip

Considérons par exemple la suite définie par $u_0=1$ et par la
relation de récurrence 
$$
u_{n+1}={2u_n+1\over u_n+1}=2-{1\over u_n+1}.
$$
Des calculs aisés et l'utilisation d'une calculette donnent$\,$\note{5}{Les 
habitués reconnaîtront bien sûr un des avatars possibles
de la suite de Fibonacci. On peut voir que la limite de $u_n$ est le
nombre d'or $(1+\sqrt{5})/2$, solution de l'équation 
$\ell={2\ell+1\over \ell+1}$, d'où $\ell^2-\ell-1=0$.}
$$
\matrix{
u_0&=1\hfill&=1,\RGBColor{1 0 0}{00000000000\ldots}\cr
u_1&=3/2\hfill&=1,\RGBColor{1 0 0}{50000000000\ldots}\cr
u_2&=8/5\hfill&=1,6\RGBColor{1 0 0}{0000000000\ldots}\cr
u_3&=21/13\hfill&=1,61\RGBColor{1 0 0}{538461538\ldots}\cr
u_4&=55/34\hfill&=1,61\RGBColor{1 0 0}{764705882\ldots}\cr
u_5&=144/89\hfill&=1,61\RGBColor{1 0 0}{797752808\ldots}\cr
u_6&=377/233\hfill&=1,6180\RGBColor{1 0 0}{2575107\ldots}\cr
u_7&=987/610\hfill&=1,61803\RGBColor{1 0 0}{278688\ldots}\cr
u_8&=2584/1587\hfill&=1,618033\RGBColor{1 0 0}{81340\ldots}\cr
u_9&=6765/4181\hfill&=1,6180339\RGBColor{1 0 0}{6316\ldots}\cr
u_{10}&=17711/10946\hfill&=1,61803398\RGBColor{1 0 0}{501\ldots}\cr
u_{11}&=28657/18657\hfill&=1,618033988\RGBColor{1 0 0}{20\ldots}\cr
u_{12}&=75025/46368\hfill&=1,618033988\RGBColor{1 0 0}{67\ldots}\cr
u_{13}&=196418/121393\hfill&=1,6180339887\RGBColor{1 0 0}{3\ldots}\cr
u_{14}&=514229/317811\hfill&=1,61803398874\RGBColor{1 0 0}{\ldots}\cr
}
$$
On voit ici qu'on a $1\le u_n<2$ pour tout $n$, et comme $u_1>u_0$, on
constate aussi de proche en proche (par récurrence sur $n$, si on veut) 
que $u_n>u_{n-1}$ entraîne $u_{n+1}>u_n\,$:
$$
u_n>u_{n-1}~\Longrightarrow~
{1\over 1+u_n}<{1\over 1+u_{n-1}}
~\Longrightarrow~
2-{1\over 1+u_n}>2-{1\over 1+u_{n-1}}
~\Longrightarrow~ u_{n+1}>u_n,
$$
de sorte qu'on a affaire à une suite croissante. La zone rouge montre 
les décimales
qui ne sont pas encore stabilisées. On {«\?}sent bien\?» que la suite
va avoir une limite égale au nombre réel $1,61803398874\,{\ldots}~$. La preuve
de l'existence de cette limite est un théorème qui peut facilement (et donc
{\it qui doit absolument}) être visualisé et démontré en classe de seconde -- 
d'autant plus que c'est à notre sens le théorème fondateur de l'analyse
et celui qui caractérise la notion même de nombre réel. 

{\bf (1.1) Théorème.} {\it Toute suite $(u_n)$ croissante et majorée de 
nombres réels possède une limite, obtenue comme le nombre réel dont le
développement décimal est donné par la suite des 
{«\?}décimales stabilisées\rguil\
de l'écriture décimale des nombres $u_n$ successifs.
De même toute suite $(u_n)$ décroissante et minorée de nombres réels possède
une limite.}

Il est symptomatique que ce théorème soit aujourd'hui énoncé sans aucune 
justification jusqu'à la fin du lycée, la plupart des étudiants 
entrant aujourd'hui à l'université n'ont donc qu'une 
compréhension très confuse de ce qu'est un nombre réel ou de ce 
qu'est une limite$\,\ldots$ Même à l'époque des maths modernes
où les programmes de lycée étaient très riches (malgré certains défauts 
patents - notamment en géométrie), ce théorème était présenté comme un axiome
caractérisant les nombres réels. C'est à notre avis à la fois un 
appauvrissement mathématique$\,$\note{6}{Lorsqu'à l'université on est 
enfin en mesure de proposer une construction plus solide des nombres
réels, par exemple au moyen des coupures de Dedekind ou des suites
de Cauchy de nombres rationnels, c'est bien d'un théorème qu'il
s'agit, et non d'un axiome. Le statut à donner à ce résultat
est donc bien celui de théorème, surtout près de 150 ans après Dedekind
et Cantor. Les nombres réels ne sont pas que des êtres vaporeux 
accessibles seulement par une approche axiomatique$\,\ldots$} et
une erreur didactique puisqu'une preuve {«\?}très évidente\rguil\
peut en être donnée$\,$:
\medskip

{\it Preuve du théorème {\rm(1.1)}.} Supposons d'abord d'abord qu'on ait
affaire à une suite croissante majorée avec $u_n\ge 0$ à partir d'un 
certain rang. On considère le dévelop\-pement décimal de chaque terme~$u_n$, 
soit
$$
u_n=E_n+0,b_{1,n}b_{2,n}b_{3,n}b_{4,n}b_{5,n}b_{6,n}\,\ldots
$$
où $E_n$ est la partie entière de $u_n$
(et on choisit disons le développement décimal propre de $u_n$).
Si $M$ est un majorant de la suite, alors $E_n\le M$, donc $(E_n)$
qui est une suite croissante d'entiers atteint sa valeur maximale
$E$ à partir d'un certain rang $n_0$, de sorte que $E_n=E$ pour $n\ge n_0$.
On considère alors pour $n\ge n_0$ la suite des chiffres $0,1,\ldots,9$ 
formée par la première décimale $b_{1,n}$ de $u_n$. Celle-ci est
croissante et va se stabiliser en sa valeur maximale $b_1$
à partir d'un rang $n_1\ge n_0$. De proche en proche, une fois
que les chiffres $b_{1,n}$, $\ldots$, $b_{p-1,n}$ sont stabilisés, il existe
un rang $n_p\ge n_{p-1}$ à partir duquel le chiffre $b_{p,n}$ va
se stabiliser en une valeur $b_p$. On voit alors que la suite $(u_n)$ 
admet
$$
\ell=E+0,b_1b_2b_3b_4b_5b_6\,\ldots
$$
comme limite, puisque $u_n\le\ell$ et $u_n\ge\ell-10^{-p}$ pour
$n\ge n_p$.

Si la suite est décroissante minorée et $u_n\ge 0$, le raisonnement
est identique, les appro\-ximations sont par excès et on regarde
de la même manière les décimales stabilisées des chiffres
décroissants successifs.

Dans le cas où $(u_n)$ est croissante et formée de nombres tous
négatifs, la suite $(-u_n)$ est décroissante positive et on est ramené
au cas précédent. Enfin, le cas général d'une suite décroissante
minorée dont les termes deviennent négatifs à partir d'un certain rang
se ramène au cas d'une suite croissante majorée en considérant
$(-u_n)$.\qed
\medskip

On notera que c'est le raisonnement du théorème (1.1) qui permet de donner
la définition rigoureuse de la somme de deux nombres réels $x$ et $y$
quelconques en considérant les approximations
décimales $x_n$ et $y_n$ à $10^{-n}$ près par défaut et en posant
$x+y=\lim_{n\to+\infty}x_n+y_n$.  De~même pour le produit de deux
nombres positifs $xy=\lim_{n\to+\infty}x_ny_n$ (le cas du produit de
nombres réels de signes quelconques s'obtient à l'aide de la règle des
signes). Pour l'existence de l'inverse $1/x$ (lorsque $x>0$) et donc
des quotients, on utilise le fait que la suite $1/x_n$ est
décroissante minorée$\,$\note{7}{Bien entendu l'inverse $1/x_n$ d'un
décimal n'est plus un décimal, mais on a déjà vu comment écrire un
tel rationnel sous forme d'une représentation décimale périodique
illimitée, cf.\ chapitre~I.}. Comme l'addition et la multiplication sont
commutatives et associatives sur les décimaux, ces propriétés passent
à la limite sur l'ensemble des nombres réels$\,$; idem pour la
propriété de distributivité de la multiplication par rapport à
l'addition$\,$\note{8}{Pour une démonstration formelle complète et
rigoureuse de ces propriétés -- que nous ne recommandons absolument pas
au niveau du lycée -- on a besoin de l'observation suivante.\vskip-2pt
{\bf Observation.}
{\it Soit $x$ un réel et $x_n$ l'approximation décimale à
$10^{-n}$ près par défaut obtenue par troncature à l'ordre $n$ 
du développement
décimal propre de $x$ donné par la définition $(1.1)$. Si $(\xi_n)$ est 
une suite de décimaux telle que $|x_n - \xi_n|$ tend vers $0$,
alors les décimales de $\xi_n$ tendent vers le développement décimal
de $x$ si $x$ n'est pas décimal, et sinon elles tendent soit vers le
développement propre, soit vers le développement impropre -- qui
représentent tous deux le réel $x$ par définition.}
\vskip-2pt
{\it Démonstration.} Si $x$ n'est pas décimal, il y a des rangs 
$k$ arbitrairement grands pour lesquels la $k$-ième décimale de $x$
n'est ni $0$ ni $9$, ou bien est un $9$ suivi d'un $0$ en rang $k+1$. 
Si on prend $n$ assez grand pour que 
$|x_n - \xi_n|\le 10^{-(k+1)}$ alors toutes les
décimales de $\xi_n$ et de $x_n$ coïncident jusqu'à l'ordre $k-1$, la $k$-ième
étant changée d'au plus une unité.
Si $x$ est décimal on a $x_n=x$ pour $n$ assez grand et il est alors trivial
que le développement de $\xi_n$ à l'ordre $k-1$ coïncide avec le développement
propre ou impropre de $x$ suivant que $\xi_n$ approche $x$ par excès ou 
par défaut à moins de $10^{-k}$ près. CQFD\vskip-2pt
Le lemme montre qu'on peut en réalité utiliser n'importe quelle suite 
$(\xi_n)$ d'approximations décimales s'approchant assez près de la 
suite des troncatures
$(x_n)$ pour représenter un réel~$x$, de sorte que par exemple
$(x_n+y_n)+z_n=x_n+(y_n+z_n)$ approchent à la fois $(x+y)+z$ et
$x+(y+z)$.\vskip-2pt
Le théorème (1.1) montre également que la
définition des nombres réels ne dépend pas de la base de numération
choisie, c'est à dire que la définition (2.4) peut être posée dans une
base quelconque autre que $10$. Pour le voir, il suffit d'utiliser la
conversion des développements \smash{{«\?}}décimaux\?» finis d'une
base dans une autre (ce qui ne fait intervenir dans tous les cas que
des nombres rationnels), puis de passer à la limite à l'aide du
théorème (1.1), qui est lui aussi valable dans n'importe quelle base.}.

{\it Résultat des courses$\,$:} nous avons été en mesure de définir 
rigoureusement les nombres réels dès le collège, et de démontrer leurs 
propriétés fondamentales à l'issue de la classe de seconde, de manière 
très simple. C'est là à notre avis un prérequis
indispensable pour pouvoir faire de l'analyse dans de bonnes conditions,
tout en donnant aux élèves des outils numériques concrets qui leur
permettront de comprendre les questions posées.

À ce point, il devient parfaitement possible de justifier l'existence
de la racine $p$-ième $x={}^p\!\sqrt{a}$ d'un nombre réel $a\ge 0$. En effet,
par essais successifs, on obtient un encadrement par des nombres
décimaux à $n$ chiffres après la virgule, $x_n<x'_n=x_n+10^{-n}$,
avec $(x_n)^p<a<(x'_n)^p$ (à moins que le résultat 
{«\?}ne tombe juste\?» à une certaine étape, auquel cas le travail
est fini). En particulier $x_0$ est la partie entière de la racine $p$-ième
cherchée, et $x_0'=x_0+1$ (sauf si le résultat {«\?}tombe juste\?» 
déjà dans les entiers). On obtient ainsi une suite croissante $(x_n)$
d'approximations décimales par défaut, et une suite décroissante $(x'_n)$
d'approximations décimales par excès, la suite $(x_n)$ est majorée
par $x'_0=x_0+1$, et la suite $(x'_n)$ est minorée par $x_0$. 

Il est utile de savoir quelle est l'erreur commise sur la puissance $p$-ième
du fait de l'approximation décimale. Pour cela, on utilise
l'inégalité 
$$
a^p-b^p\le p(a-b)a^{p-1}\qquad\hbox{vraie pour tous $0\le b\le a$,}
\leqno(1.2)
$$
qui se déduit de la formule
$$
a^p-b^p=(a-b)(a^p+a^{p-1}b+\ldots+ab^{p-1}+b^p)\leqno(1.3)
$$
[ou, alternativement, de l'égalité $a^{p+1}-b^{p+1}=a(a^p-b^p)+(a-b)b^p$
par récurrence sur $p$.] En appliquant ceci à $a=x'_n$ et $b=x_n$, on voit que
$$
(x'_n)^p-(x_n)^p\le p(x'_n-x_n)(x'_n)^{p-1}\le p{1\over 10^n}(x'_0)^{p-1}.
$$
Ceci entraîne que $\lim (x_n)^p=\lim(x'_n)^p=a$ quand $n$ tend vers $+\infty$.
Par définition même des nombres réels, les suites $(x_n)$ et $(x'_n)$
convergent vers un réel $x$ tel que $x_n\le x\le x'_n$, donc
\hbox{$(x_n)^p\le x^p\le (x'_n)^p$} et $x^p=a$ à la limite [On peut
naturellement commencer par traiter le cas des racines carrées ou cubiques,
ce qui permet de réduire nettement la complexité des notations pour des 
élèves de seconde].

\section{ 2. Puissances d'exposant fractionnaire ou réel}

Nous sommes arrivés ici peut-être à l'entrée en classe de première (dans 
notre vision idéale d'un enseignement destiné à une filière de lycée
centrée sur les mathématiques et les sciences exactes, et peut-être même
à toutes les filières scientifiques$\,\ldots$). Il
est grand temps d'introduire les notions de limite d'une fonction en un
point, de continuité, de dérivée, que nous considérons comme une
{«\?}deuxième couche\?» nécessaire après 
l'étude des suites et de leurs limites. Ceci suppose d'avoir déjà
traité en seconde les exemples ad hoc, ceux des suites géométriques, 
des sommes de termes d'une progression géométrique 
$1+a+\ldots+a^n$, des suites récurrentes définies par une fraction 
rationnelle du premier degré -- pour peu que les équations du second degré 
aient été vues dès le début du lycée, comme c'était le cas avant que les
programmes ne dégénèrent avec l'arrivée de la seconde indifférenciée.

Il résulte du théorème (1.1) qu'une fonction croissante $f:{}]a,b[{}\to\bR$
possède toujours des limites à droite et à gauche en tout point 
$x_0\in{}]a,b[$, il suffit de considérer la suite décroissante 
$n\mapsto f(x_0+1/n)$ minorée par $f(x_0)$ et la suite croissante
$n\mapsto f(x_0-1/n)$ majorée par par $f(x_0)$. L'exemple de la
fonction partie entière $f(x)=E(x)$ montre que ces limites ne
sont pas nécessairement égales.
\medskip

{\bf (2.1) Puissances fractionnaires.} Si $q$ est un entier strictement 
positif, on pose
$$
a^{1/q}={}^q\!\sqrt{a},
$$
de sorte que $(a^{1/q})^q=a^1=a$. Plus généralement, si $x={p\over q}$ est 
un rationnel, avec $p\in\bZ$ et $q\in\bN^*$, on pose
$$
a^x=a^{p/q}={}^q\!\sqrt{a^p}=({}^q\!\sqrt{a})^p.
$$
La dernière égalité est due au fait que 
$(({}^q\!\sqrt{a})^p)^q=({}^q\!\sqrt{a})^{pq}=(({}^q\!\sqrt{a})^q)^p=a^p$.
On vérifie alors que les formules (2.1), (2.2), (2.3) restent valables pour 
les exposants rationnels. On a de plus les inégalités intéressantes suivantes.
\medskip

{\bf (2.2) Deux inégalités utiles.} Si $h$ est un nombre réel positif 
ou nul et $q\in\bN^*$, alors
$$
\leqalignno{
(1+h)^q&\ge 1+qh,&(2.2\,\hbox{a})\cr
(1+h)^{1/q}&\le 1+{1\over q}h,&(2.2\,\hbox{b})\cr
}
$$
En effet, la première inégalité résulte au choix de la formule du binôme,
de la formule (1.3) avec $p=q$, $a=1+h$ et $b=1$, ou d'un raisonnement
direct par récurrence$\,$:
$$
(1+h)^{q+1}=(1+h)^q(1+h)\ge(1+qh)(1+h)=1+(q+1)h+qh^2\ge 1+(q+1)h.
$$
On notera que lorsque $h$ est très petit, disons $h<10^{-3}$ (et $q$ pas
trop grand), l'erreur $qh^2$ commise à chaque étape est faible, donc
l'approximation par défaut $(1+h)^q\approx 1+qh$ sera tout à fait raisonnable.
Si nous remplaçons maintenant $h$ par ${h\over q}$, il vient
$$
\Big(1+{h\over q}\Big)^q\ge 1+q{h\over q}=1+h
$$
et donc $(1+h)^{1/q}\le 1+{1\over q}h$.\qed
\medskip

{\bf (2.3) Conséquence.} {\it Pour tout réel $a>0$, on a
$\displaystyle\lim_{q\to+\infty}a^{1/q}=1$.}

En effet, si $a\ge 1$ il suffit de poser $a=1+h$ de sorte que l'on obtient
$a^{1/q}\ge 1$ et\break $a^{1/q}=(1+h)^{1/q}\le 1+{1\over q}h$, expression 
qui tend vers $1$ quand $q$ tend vers $+\infty$.\break Si $a<1$, on utilise 
le fait que
$$
a^{1/q}={1\over A^{1/q}}
$$
avec $A=1/a>1$.\qed
\medskip

{\bf (2.4) Puissances d'exposant réel.} On cherche maintenir à
définir $a^x$ lorsque $x$ est réel, en supposant par exemple $a\ge 1$
(si $a<1$ on pourra s'y ramener en posant $a^x = 1/A^x$ avec $A=1/a>1$).
Pour cela, on utilise les approximations décimales $x_n\le x\le x'_n$ par
défaut et par excès à $10^{-n}$ près. Comme $x_n$ et $x'_n$
sont des décimaux et donc des rationnels, on sait déjà définir
$a^{x_n}$ et $a^{x'_n}$. La suite $(a^{x_n})$ est croissante et majorée
par $a^{x'_0}$, tandis que la suite $(a^{x'_n})$ est décroissante minorée
par $a^{x_0}$. En outre leur quotient
$$
{a^{x'_n}\over a^{x_n}}=a^{x'_n-x_n}=a^{1/10^n}
$$
tend vers $1$ quand $n$ tend vers $+\infty$ d'après la conséquence (2.3).
Nous avons donc des suites de même limite (suites adjacentes), et il est 
légitime de poser
$$
a^x=\lim_{n\to+\infty}a^{x_n}=\lim_{n\to+\infty}a^{x'_n}.
$$
Notons que par passage à la limite sur les approximations décimales
des exposants, les formules fondamentales (2.1), (2.2) et (2.3) restent
valables.

On dit que la fonction $\bR\ni x\mapsto a^x$ est la 
{\it fonction exponentielle} réelle de base $a>0$. On réserve la 
terminologie de {\it fonction puissance} à la fonction
$\bR^*_+\ni x\mapsto x^\alpha$ (cette fois, l'exposant $\alpha\in\bR$ 
est constant, tandis que dans l'exponentielle c'est l'exposant qui est 
la variable).
\medskip

\vbox{%
{\bf (2.5) Monotonie et continuité des fonctions exponentielles.} {\it
{\parindent=7mm
\item{\rm (i)\hfill} Si $a=1$, alors $a^x=1^x=1$ pour tout $x\in\bR$.
\item{\rm (ii)\hfill} 
Si $a>1$, alors $x\mapsto a^x$ est une fonction strictement croissante,
et on a\break $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}a^x=+\infty$,~
$\displaystyle\lim_{x\to-\infty}a^x=0$.
\item{\rm (iii)\hfill} 
Si $a<1$, alors $x\mapsto a^x$ est une fonction strictement décroissante,
et on a\break $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}a^x=0$,~
$\displaystyle\lim_{x\to-\infty}a^x=+\infty$.
\item{\rm (iv)\hfill} Dans tous les cas, $x\mapsto a^x$ est une fonction
continue.
}}}

\vbox{%
\InsertPSFigure 12.000 64.000 {
1 mm unit
  0.000  10.000 moveto 
105.000   0.000 2.4 vector 
 50.000   5.000 moveto 
 52.000  90.000 2.4 vector
  0.3 setlinewidth
  1.000  0.000  0.000 setrgbcolor 
  0.000  12.693 moveto
[   0.000  12.693   10.000  13.501   20.000  14.552   30.000  15.917
   40.000  17.692   50.000  20.000   60.000  23.000   70.000  26.900
   80.000  31.970   90.000  38.561  100.000  47.129   ] curve 
stroke
  0.000  0.000  1.000 setrgbcolor 
 10.000  51.649 moveto
[  10.000  51.649   20.000  39.155   30.000  30.408   40.000  24.286
   50.000  20.000   60.000  17.000   70.000  14.900   80.000  13.430
   90.000  12.401  100.000  11.680   ] curve 
stroke
}
\LabelTeX  47.500   6.200 $0$\ELTX
\LabelTeX  47.500  15.800 $1$\ELTX
\LabelTeX 103.500   6.200 $x$\ELTX
\LabelTeX  46.200  55.000 $y$\ELTX
\LabelTeX  14.200  50.000 $\RGBColor{0 0 1}{a<1}$\ELTX
\LabelTeX  87.200  45.000 $\RGBColor{1 0 0}{a>1}$\ELTX
\EndFig
\centerline{{\bf Fig.~1.} Représentation graphique des fonctions
exponentielles $x\mapsto a^x$.}}
\medskip

{\it Démonstration.} La propriété (i) est évidente, car on a $1^x=1$ pour tout
$x$ rationnel et donc tout $x$ réel.

(ii) Si $a>1$ et si $x<y$ sont des rationnels, alors
$a^y=a^x\cdot a^{y-x}$ , et comme $y-x={p\over q}>0$ on a bien
$a^{y-x}={}^q\!\sqrt{a^p}>1$, donc $a^y>a^x$. Si $x<y$ sont des réels
et $x_n\le x\le x'_n$, $y_n\le t\le y'_n$ leurs approximations 
décimales par défaut et par excès, on va avoir $x'_n<y_n$ pour $n$ assez
grand, donc
$$
a^x\le a^{x'_n}<a^{y_n}\le a^y.
$$
Si on pose $a=1+h$ et qu'on choisit $N=E(x)={}$partie entière de~$x$, 
alors\break $a^x\ge a^N\ge 1+Nh$ tend bien vers 
$+\infty$ quand $x$ tend vers l'infini. Par conséquent, $a^{-x}={1\over a^x}$
tend vers $0$, ce qui donne $\lim_{x\to-\infty}a^x=0$ en
changeant $x$ en~$-x$.

(iii) résulte du fait que $a^x= {1\over A^x}$ en posant $A={1\over a}>1$.

(iv) Il suffit de voir que lorsque $x$ tend vers $x_0$, alors 
${a^x\over a^{x_0}}=a^{x-x_0}$ tend vers $1$, ce qui entraînera bien
que $\lim_{x\to x_0}a^x=a^{x_0}$. Autrement dit, il suffit de voir
que\break $\lim_{x\to 0}a^x=1$. Si $a\ge 1$ et $x>0$, considérons l'entier
$q=E(1/x)$ de sorte que $q\le 1/x$ et donc $x\le 1/q$. Alors
$1\le a^x\le a^{1/q}$, et comme $q$ tend vers $+\infty$ quand
$x$ tend vers $0$, la conséquence (2.3) entraîne bien que 
$\lim_{x\to 0_+}a^x=1$. C'est vrai aussi pour la limite à gauche en $0$
puisque $\lim_{x\to 0_+}a^{-x}=\lim_{x\to 0_+}{1\over a^x}=1$.
Enfin, le cas $a<1$ s'obtient en posant $a^x=1/A^x$ avec $A=1/a>1$.\qed
\medskip

\vbox{%
{\bf (2.6) Monotonie et continuité des fonctions puissances} {\it
{\parindent=7mm
\item{\rm (i)\hfill} Si $\alpha=0$, alors $x^\alpha=1$ pour tout
$x\in\bR^*_+$.
\item{\rm (ii)\hfill} 
Si $\alpha>0$, alors $x\mapsto x^\alpha$ est une fonction strictement 
croissante, et on a\break $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}x^\alpha=+\infty$,~
$\displaystyle\lim_{x\to 0_+}x^\alpha=0$.
\item{\rm (iii)\hfill} 
Si $\alpha<0$, alors $x\mapsto x^\alpha$ est une fonction strictement 
décroissante,
et on a\break $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}x^\alpha=0$,~
$\displaystyle\lim_{x\to 0_+}x^\alpha=+\infty$.
\item{\rm (iv)\hfill} Dans tous les cas, $x\mapsto x^\alpha$ est une fonction
continue sur $]0,+\infty[$, elle se prolonge par continuité en $0$ en
posant $0^\alpha=0$ si $\alpha>0$.\vskip0pt
}}}


\InsertPSFigure 12.000 85.000 {
1 mm unit
  0.000  10.000 moveto 
105.000   0.000 2.4 vector 
 10.000   5.000 moveto 
 72.000  90.000 2.4 vector
 10.000  30.000 moveto  0.700  90.000 indent
 30.000  10.000 moveto  0.700   0.000 indent
[ 1.000   0.500  ] 0 setdash
 11.200  30.000 moveto 30.000  30.000 lineto stroke
 30.000  11.200 moveto 30.000  30.000 lineto stroke
[ ] 0 setdash
  0.3 setlinewidth
  0.000  1.000  0.000 setrgbcolor 
 10.000 10.000 moveto  60.000  60.000 lineto stroke
  1.000  0.000  0.000 setrgbcolor 
 10.000  10.000 moveto
[  10.000  10.000   12.000  10.399   20.000  16.156   30.000  30.000
   40.000  49.846   50.000  74.980   ] curve 
stroke
  0.000  0.000  1.000 setrgbcolor 
 10.000  10.000 moveto
[  10.000  10.000   12.000  16.325   20.000  24.142   30.000  30.000
   40.000  34.495   50.000  38.284   70.000  44.641   90.000  50.000
] curve 
stroke
  0.849  0.137  1.000 setrgbcolor
 14.000  71.703 moveto
[  14.000  71.703   16.000  56.456   20.000  42.490   30.000  30.000
   40.000  25.058   50.000  22.311   70.000  19.269   90.000  17.579
] curve 
stroke
}
\LabelTeX   7.500   6.200 $0$\ELTX
\LabelTeX  29.200   6.200 $1$\ELTX
\LabelTeX   7.000  29.000 $1$\ELTX
\LabelTeX 103.500   6.200 $x$\ELTX
\LabelTeX   6.200  75.000 $y$\ELTX
\LabelTeX  92.000  50.000 $\RGBColor{0 0 1}{0<\alpha<1}$\ELTX
\LabelTeX  51.000  72.000 $\RGBColor{1 0 0}{\alpha>1}$\ELTX
\LabelTeX  61.000  62.000 $\RGBColor{0 1 0}{\alpha=1}$\ELTX
\LabelTeX  92.000  17.000 $\RGBColor{0.849 0.137 1.}{\alpha<0}$\ELTX
\EndFig
\centerline{{\bf Fig.~2.} Représentation graphique des fonctions
puissances $x\mapsto x^\alpha$.}
\medskip

{\it Démonstration.} La propriété (i) résulte de la définition même
des puissaances entières.

(ii) Si $0<x<y$ alors pour $\alpha>0$ on a bien $x^\alpha<y^\alpha$ puisque
$y^\alpha/x^\alpha=(y/x)^\alpha>1$ d'après 2.5~(ii) et le fait que $y/x>1$.
Maintenant, si $q$ est un entier choisi assez grand pour que $\alpha>1/q$,
la propriété de croissance 2.5~(ii) donne aussi pour tout $x\ge 1$ 
les inégalités 
$$
x^\alpha\ge x^{1/q}\ge A\qquad\hbox{dès lors que $x\ge A^q$}.
$$
Ceci montre bien que $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}x^\alpha=+\infty$.
Pour $x\le 1$, on a au contraire d'après 2.5~(iii)
$$
0<x^\alpha\le x^{1/q}\le \varepsilon\qquad\hbox{dès lors que $x\ge 
\varepsilon^q$,}
$$
ceci quel que soit $\varepsilon>0$. On voit donc que
$\displaystyle\lim_{x\to 0_+}x^\alpha=0$.

(iii) se déduit de (ii) en écrivant que 
$\displaystyle x^{-\alpha}={1\over x^\alpha}$.

(iv) Si $x>x_0$ et $\alpha>0$ on a
$$
1\le x^\alpha/x_0^\alpha=(x/x_0)^\alpha\le (x/x_0)^n
$$
pour tout entier $n$ qui majore le réel $\alpha$. La continuité de
la fonction $x\mapsto x^n$ qui résulte du théorème sur les produits de
limites implique alors que $\lim_{x\to x_{0\,+}}(x/x_0)^n=1$
et donc $\lim_{x\to x_{0\,+}}x^\alpha/x_0^\alpha=1$.
De même si $x<x_0$ on a
$$
1\le x_0^\alpha/x^\alpha=(x_0/x)^\alpha\le (x_0/x)^n
$$
de sorte que $\lim_{x\to x_{0\,-}}x_0^\alpha/x^\alpha=1$. Ceci
prouve que $\lim_{x\to x_0}x^\alpha=x_0^\alpha$, d'où la continuité de
la fonction $x\mapsto x^\alpha$ sur $\bR^*_+$ pour $\alpha>0$. Le cas 
$\alpha<0$ s'en déduit de nouveau du fait que $x^{-\alpha}=
{1\over x^\alpha}$. L'assertion finale sur le prolongement par
continuité en $0$ résulte de la limite vue en~(ii).\qed
\medskip

{\it Bilan\/:} nous avons été capables de définir les puissances réelles 
d'exposant arbitraire et les exponentielles réelles de bases arbitraires
sans même avoir eu besoin pour l'instant du calcul de dérivées -- 
et encore moins du calcul intégral. C'est déjà un pas très 
considérable$\,$! Le calcul des dérivées de ces fonctions sera 
l'étape suivante.

\section{3. Croissance des pentes et dérivée des fonctions puissances}

Rappelons que la dérivée d'une fonction $f$ définie au voisinage d'un
point $x$ est définie comme la limite
$$
f'(x)=\lim_{h\to 0}{f(x+h)-f(x)\over h}=
\lim_{X\to x}{f(X)-f(x)\over X-x}\leqno(3.1)
$$
du taux d'accroissement
$$
\tau_f(x,X)={f(X)-f(x)\over X-x},
$$
lorsque cette limite existe. Le taux d'accroissement représente la
pente de la corde joignant les points $(x,f(x))$ et $(X,f(X))$
du graphe de~$f$. L'existence de la dérivée est équivalente à
celle d'une tangente au point $(x,f(x))$, dont la pente est
alors égale à~$f'(x)$.

On a aussi les notions de dérivée à droite et de dérivée à
gauche lorsque les limites à droite et à gauche ne sont pas
nécessairement égales, et les notions géométriques correspondantes
de demi-tangente à droite et de demi-tangente à gauche.

Nous commencerons par l'observation suivante -- qui pourrait même relever
du collège et de l'expérimentation graphique élémentaire des progressions
géométriques.
\smallskip

{\bf (3.2) Observation.} {\it Étant donné une progression géométrique
$u_n=a^n$, $n\in\bN$, les écarts successifs $u_{n+1}-u_n=a^{n+1}-a^n=(a-1)a^n$ 
forment une suite croissante.}
\medskip

{\it Démonstration.} En effet ceci est vrai aussi bien pour $a\ge 1$, 
auquel cas $a^n$ est une suite croissante et $a-1\ge 0\,$, que pour $0<a<1$,
auquel cas $a^n$ est une suite décroissante et $a-1<0\,$.\qed
\medskip

\vbox{%
\InsertPSFigure 12.000 59.000 {
1 mm unit
  5.000  10.000 moveto 
 95.000   0.000 2.4 vector 
 10.000   5.000 moveto 
 52.000  90.000 2.4 vector 
 20.000  10.000 moveto   0.700   0.000 indent 
 30.000  10.000 moveto   0.700   0.000 indent 
 40.000  10.000 moveto   0.700   0.000 indent 
 50.000  10.000 moveto   0.700   0.000 indent 
 60.000  10.000 moveto   0.700   0.000 indent
 10.000  38.561 moveto   0.700  90.000 indent
 10.000  47.129 moveto   0.700  90.000 indent
  0.000   0.000  1.000 setrgbcolor
 10.000  20.000 moveto   20.000  23.000 lineto stroke
 10.000  20.000 moveto   30.000  26.900 lineto stroke
 10.000  20.000 moveto   40.000  31.970 lineto stroke
 10.000  20.000 moveto   50.000  38.561 lineto stroke
 10.000  20.000 moveto   60.000  47.129 lineto stroke
  1.000   0.000  0.000 setrgbcolor
 10.000  20.000 moveto   0.700  disk
 20.000  23.000 moveto   0.700  disk
 30.000  26.900 moveto   0.700  disk
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 50.000  38.561 moveto   0.700  disk
 60.000  47.129 moveto   0.700  disk
 70.000  15.000 moveto  70.000 53.000 lineto stroke
 70.000  20.000 moveto   0.700  90.000 indent 
 70.000  23.000 moveto   0.700  90.000 indent 
 70.000  26.900 moveto   0.700  90.000 indent 
 70.000  31.970 moveto   0.700  90.000 indent 
 70.000  38.561 moveto   0.700  90.000 indent 
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  0.4 setlinewidth
 70.000  38.561 moveto  70.000  47.129 lineto stroke
}
\LabelTeX   7.000   6.200 $0$\ELTX
\LabelTeX  19.300   6.200 $1$\ELTX
\LabelTeX  29.300   6.200 $2$\ELTX
\LabelTeX  49.300   6.200 $n$\ELTX
\LabelTeX  59.300   6.200 $n+1$\ELTX
\LabelTeX  98.500   6.200 $x$\ELTX
\LabelTeX   6.200  55.000 $y$\ELTX
\LabelTeX   4.900  19.300 $u_0$\ELTX
\LabelTeX   4.900  38.200 $u_n$\ELTX
\LabelTeX   1.200  46.800 $u_{n+1}$\ELTX
\LabelTeX  71.500  43.000 $u_{n+1}-u_n=(a-1)a^n$\ELTX
\EndFig
\vskip-5pt
\centerline{{\bf Fig.~3.} Écarts $u_{n+1}-u_n$ dans une progression 
géométrique.}}
\bigskip

{\bf (3.3) Conséquence.} {\it Pour tout réel $a>0$, les taux 
d'accroissement pris sur l'inter\-valle $[0,n]$ de la suite
$(a^n)_{n\in\bN}$, soit $p_a(n)={a^n-1\over n}$, $n\in\bN^*$, forment une 
suite croissante$\kern1.2pt:$
$$
{a^1-1\over 1}\le {a^2-1\over 2}\le\ldots\le{a^n-1\over n}\le\ldots
$$}

\vskip-7pt
\noindent
{\it Démonstration\note{9}{On aurait pu systématiser le
raisonnement en utilisant la notion de suite convexe.\vskip0pt
{\bf Définition.} {\it On dit qu'une suite $(u_n)$ est convexe si les
écarts successifs $v_n=u_{n+1}-u_n$ forment une suite
croissante.}
\vskip0pt
Pour $n\in\bN^*$, on considère le taux d'accrois\-sement de la suite
$(u_n)$ sur l'intervalle $[0,n]$\vskip2pt
\centerline{
$p_n={u_n-u_0\over n}={v_0+v_1+\ldots+v_{n-1}\over n}$,}
qui s'interprète aussi comme la moyenne des $n$ premiers écarts
$v_i=u_{i+1}-u_i$. Géomé\-triquement, ce taux représente la pente des
droites bleues dans la Figure~3 ci-dessus.
\vskip0pt
{\bf Propriété.} {\it Si une suite $(u_n)$ est convexe, alors 
$($avec les notations précédentes$)$, la pente $p_n$ vérifie 
$p_n\le v_{n-1}$ et forme une suite $(p_n)_{n\in\bN^*}$ qui 
est croissante.}
\vskip0pt
En effet, l'inégalité $p_n\le v_{n-1}$ résulte
de ce que chacun des termes $v_i$ du numérateur de 
$p_n$ est inférieur ou égal à $v_{n-1}$.
On a donc $v_n\ge v_{n-1}\ge p_n$, d'où\vskip1pt
\centerline{$p_{n+1}={(v_0+v_1+\ldots+v_{n-1})+v_n\over n+1}
={np_n+v_n\over n+1}\ge {np_n+p_n\over n+1}=p_n.~~\square$}}.} Pour 
tout entier $n\ge 1$, il faut voir que
$$
{a^n-1\over n}\le {a^{n+1}-1\over n+1},~~\hbox{ce qui équivaut à}~~
(n+1)(a^n-1)\le n(a^{n+1}-1),
$$
ou encore à
$$
a^n-1\le n\big((a^{n+1}-1)-(a^n-1)\big)
~~\Leftrightarrow~~ a^n-1\le n(a^{n+1}-a^n).
$$
\vbox{%
Mais on a
$$
a^n-1=(a^n-a^{n-1})+(a^{n-1}-a^{n-2})+\ldots +(a^p-a^{p-1})+\ldots+(a^2-a)+(a-1)
$$
et chacun des $n$ termes $a^p-a^{p-1}$ est majoré par $a^{n+1}-a^n$ d'après
l'observation 3.2, ce qui donne l'inégalité voulue 
$a^n-1\le n(a^{n+1}-a^n)$.\qed}

\vbox{%
{\bf (3.4) Généralisation.} {\it Pour tout réel $a>0$, le 
taux d'accroissement
$$
p_a(x)= {a^x-1\over x},\quad x\in\bR^*,
$$
de la fonction $x\mapsto a^x$ pris sur l'intervalle $[0,x]$ est une 
fonction croissante sur $\bR^*$.}}

{\it Démonstration.} On procède en trois étapes.

(a) {\it $p_a$ est croissante sur l'ensemble $\bZ^*$ des entiers
non nuls.}  Pour cela, on applique la conséquence (3.3) en
remplaçant $a$ par $a^{-1}$ et en changeant les signes (ce qui
renverse le sens des inégalités). On obtient alors
$$
\ldots\le{a^{-n}-1\over -n}\le\ldots\le {a^{-2}-1\over -2}
\le{a^{-1}-1\over -1}.
$$
Il reste juste à vérifier que $p_a(-1)=1-a^{-1}\le p_a(1)=a-1$. 
Après multiplication par~$a$, on voit que cette inégalité équivaut
à $a-1\le a^2-a$, et ceci est bien vrai puisque
$(a^2-a)-(a-1)=a^2-2a+1=(a-1)^2\ge 0$. On a par conséquent
$$
\ldots\le{a^{-n}-1\over -n}\le\ldots\le {a^{-2}-1\over -2}
\le{a^{-1}-1\over -1}\le
{a^1-1\over 1}\le {a^2-1\over 2}\le\ldots\le{a^n-1\over n}\le\ldots
$$
(b) {\it $p_a$ est croissante sur l'ensemble 
des décimaux non nuls $\bD_k^*$ de dénominateur $10^k$.}\break
On observe pour cela que $\bD_k^*$ est l'ensemble des rationnels
de la forme \hbox{$x=n/10^k$} avec~$n\in\bZ^*$. Comme 
$a^x=\smash{(a^{1/10^k})^n}$,
il suffit d'appliquer la suite précédente d'inégalités et de remplacer
$a$ par $a^{1/10^k}$. En divisant de plus tous les dénominateurs 
par~$10^k$, on obtient les inégalités désirées, à savoir
$$
{a^{-n/10^k}-1\over -n/10^k}\le\ldots\le{a^{-1/10^k}-1\over -1/10^k}
\le{a^{1/10^k}-1\over 1/10^k}\le{a^{2/10^k}-1\over 2/10^k}\le \ldots
\le{a^{n/10^k}-1\over n/10^k}\le\ldots
$$
(c) {\it $p_a$ est croissante sur $\bR^*$}. On procède par
passage à la limite sur les décimaux. Pour $x,y\in\bR^*$ avec
$x\le y$ quelconques, on considère les approximations décimales
$x_k$ de $x$ et $y_k$ de $y$ à~$10^{-k}$ près par défaut. Alors
$x_k\le y_k$ et $x_k,y_k\in\bD_k^*$ pour $k$ assez grand, donc
$p_a(x_k)\le p_a(y_k)$, ce qui donne $p_a(x)\le p_a(y)$
quand $k$ tend vers~$+\infty$.\qed \medskip

Une première application de ce résultat est le calcul de la dérivée
des fonctions puissances\note{10}{%
Cette approche est inspirée d'un cours rédigé par Abdellah 
Bechata à partir d'une première version des présentes notes ...}.
\bigskip

\vbox{%
{\bf (3.5) Théorème.} {\it On considère, pour $\alpha$ réel quelconque,
la fonction $x\mapsto x^\alpha$, $x\ge 0$.
{\parindent=6.5mm
\smallskip
\item{\rm(a)} Pour tous $x,\,X>0$, $x\ne X$, le taux d'accroissement
$\displaystyle
{X^\alpha-x^\alpha\over X-x}$
est compris entre les valeurs $\alpha\,x^{\alpha-1}$ et $\alpha\,X^{\alpha-1}$.
\item{\rm(b)} La dérivée au point $x$ est donnée par la formule
$(x^\alpha)'=\alpha\, x^{\alpha-1}$, et cette formule est encore valable 
pour $x=0$ si $\alpha>1$.\vskip0pt}
}}

{\it Démonstration.} (a)
Posons $a=X/x$. La croissance de la fonction $t\mapsto {a^t-1\over t}=
{(X/x)^t-1\over t}$ garantie par (3.4) 
entraîne pour $\alpha\ge 1$ l'inégalité
$$
{(X/x)^\alpha-1\over \alpha}\ge {(X/x)^1-1\over 1}={X-x\over x}~~
\build\Longrightarrow^{}_{\bullet\times x^\alpha}~~
{X^\alpha-x^\alpha\over \alpha}\ge x^{\alpha-1}(X-x),
$$
après multiplication par $x^\alpha$.
En multipliant maintenant par $\alpha$ et en divisant par $X-x$,
il vient, compte tenu du signe de $X-x$,
$$
{X^\alpha-x^\alpha\over X-x}\ge \alpha\,x^{\alpha-1}~~\hbox{si $X>x$},\qquad
{X^\alpha-x^\alpha\over X-x}\le \alpha\,x^{\alpha-1}~~\hbox{si $X<x$}.
$$
L'encadrement par l'autre borne $\alpha\,X^{\alpha-1}$ s'obtient
en échangeant les rôles de $x$ et $X$, ce qui donne pour tout
$\alpha\ge 1$
$$
\cases{
\displaystyle
\alpha\,x^{\alpha-1}\le{X^\alpha-x^\alpha\over X-x}\le
\alpha\,X^{\alpha-1}~~\hbox{si $X>x$},\cr
\noalign{\vskip7pt}
\displaystyle
\alpha\,X^{\alpha-1}\le {X^\alpha-x^\alpha\over X-x}\le 
\alpha\,x^{\alpha-1}~~\hbox{si $X<x$}.\cr}
\leqno(3.6)
$$
Pour $0<\alpha\le 1$, le raisonnement est  identique, 
l'inégalité de départ est juste inversée, et on a donc
renversement des inégalités de l'encadrement, soit
$$
\cases{
\displaystyle
\alpha\,X^{\alpha-1}\le{X^\alpha-x^\alpha\over X-x}\le
\alpha\,x^{\alpha-1}~~\hbox{si $X>x$},\cr
\noalign{\vskip7pt}
\displaystyle
\alpha\,x^{\alpha-1}\le {X^\alpha-x^\alpha\over X-x}\le 
\alpha\,X^{\alpha-1}~~\hbox{si $X<x$}.\cr}
\leqno(3.7)
$$
Pour $\alpha=0$, ces inégalités sont vraies aussi, de manière 
évidente ($0=0$). Pour $\alpha<0$, la multiplication par $\alpha$ 
inverse encore une autre fois les inégalités de l'encadrement, et
on se retrouve dans la situation (3.6).

(b) La dérivée au point $x$ est la limite du taux d'accroissement
quand $X\to x$. Comme $\lim_{X\to x}X^{\alpha-1}=x^{\alpha-1}$ par 
continuité, on déduit de l'encadrement du (a) que la 
dérivée en $x$ est donnée par
$$
\lim_{X\to x}{X^\alpha-x^\alpha\over X-x}=\alpha\,x^{\alpha-1}.
$$
La~dérivée en $x=0$ s'obtient en considérant directement le
rapport $x^\alpha/x=x^{\alpha-1}$ quand $x\to0_+$, rapport qui tend
bien vers $0$ pour $\alpha>1$.\qed

\section{4. Logarithmes, logarithme népérien}

Le théorème 2.5 montre que la fonction $x\mapsto a^x$ définit pour 
tout $a>0$,
$a\ne 1$, une application continue strictement monotone de $\bR$ sur
$\bR^*_+={}]0,+\infty[$. En d'autres termes, pour tout $y>0$, 
l'équation $a^x=y$ possède une unique solution $x\in\bR$,
d'après le théorème des valeurs intermédiaires. 
Ceci définit d'après le théorème des fonctions réciproques 
une fonction continue bijective
$$
\log_a:\bR^*_+\to\bR,\leqno(4.1)
$$
appelée {\it logarithme de base $a$}, qui est la fonction réciproque de 
la fonction exponentielle de base~$a$, caractérisée par l'équivalence
$$
a^x=y \Leftrightarrow x=\log_a y,\qquad x\in\bR,~~y>0.\leqno(4.2)
$$
Cette définition est tellement naturelle qu'il nous semblerait utile que
les logarithmes de base entière -- lorsqu'ils {«\?}tombent juste\?» 
-- aient déjà été introduits de manière sommaire au collège 
à l'occasion de l'étude des puissance de $2$, $3$ ou $10$, ou même 
d'une base $a$ entière quelconque, un peu après l'étude des 
nombres écrits
dans une base autre que 10 (on sait bien que la base $2$ est le fondement
de notre monde numérique, il serait indispensable qu'un élève qui a terminé
sa scolarité obligatoire sache au moins ce que veut dire le mot
{«\?}numérique\rguil, ne serait-ce que parce qu'il est aujourd'hui 
omniprésent dans les catalogues de HiFi). Dès la classe de sixième ou
de cinquième, on pourrait très bien faire dessiner des frises 
représentant les temps géologiques en
échelle logarithmique des puissances de $10$ -- voire expliquer
ce qu'est le pH en chimie, pour des pH entiers, ce qui introduit
utilement le logarithme décimal $\log_{10}$ en liaison avec l'usage de 
la notation scientifique $10^{-n}$ en sciences expérimentales.
La généralisation progressive des puissances aux cas
des exposants négatifs,
puis au cas des racines carrées et $n$-ièmes permet d'étendre 
corrélativement les logarithmes $\log_a$ au cas des valeurs négatives, 
demi-entières, fractionnaires. 

Au contraire, il nous semble didactiquement contestable, comme le font les
programmes depuis au moins 45 ans, de commencer la théorie des
logarithmes par l'introduction des logarithmes «\?naturels\rguil\
(ce qui est en réalité un contresens historique), précisément
parce que les logarithmes de base $a$ entière sont plus intuitifs. Mais
tout finit par arriver un jour, et l'étape que nous allons franchir
consiste précisément en l'introduction de la fonction $\ln$. Comme il 
est bien connu (et mal accepté par les programmes actuels$\,!\,$),
la~fonction $\ln$ a quelque chose à voir avec la dérivée des
exponentielles$\,$\note{11}{Tout autant qu'avec le calcul intégral
et la primitive de $x\mapsto 1/x$. On verra même ainsi a posteriori
qu'on aurait pu se passer du théorème des fonctions réciproques
pour démontrer l'existence des fonctions logarithmes $\log_a$,
sachant que celles-ci se calculent à partir de la fonction $\ln$
qui, elle, peut être définie explicitement comme une dérivée.}.
\medskip

{\bf (4.3) Théorème et définition.} {\it La fonction $x\mapsto a^x$ admet
une dérivée en $0$, notée
$$
\ln(a)=\lim_{x\to 0}{a^x-1\over x}.\leqno(4.3\,\hbox{\rm a})
$$
On a de plus pour tout réel $a>0$ l'encadrement
$$
1-{1\over a}\le\ln(a)\le a-1.\leqno(4.3\,\hbox{\rm b})
$$}\vskip-2pt

{\it Démonstration.} Si $x\in[-1,0\,[{}\cup{}]\,0,1]$, nous avons 
$$
p_a(-1)\le p_a(x)\le p_a(1)~~\Longrightarrow~~
1-{1\over a}\le p_a(x)={a^x-1\over x}\le a-1
$$
puisque $p_a$ est une fonction croissante d'après (3.4).
Comme la suite $\bN^*\ni n\mapsto p_a(1/n)$ est décroissante et
minorée, le théorème (1.1) montre qu'il y a bien une limite à 
droite en $0$ 
$$
\ln(a)=\lim_{x\to0_+}p_a(x),\qquad\hbox{et de plus}\quad 
1-{1\over a}\le\ln(a)\le a-1.
$$
Pour la limite à gauche, on écrit
$$
{a^{-x}-1\over -x}={a^{-x}(1-a^x)\over -x}={1\over a^x}{a^x-1\over x}
\qquad\hbox{pour $x>0$},
$$
et comme $\lim_{x\to 0}a^x=a^0=1$ d'après la continuité
de la fonction $x\mapsto a^x$, on voit que la limite à gauche est égale
à la limite à droite. Le théorème (4.3) est démontré.\qed
\medskip

{\bf (4.4) Conséquence.} {\it La fonction exponentielle de base $a$
est partout dérivable sur $\bR$ et on a la formule
$$
(a^x)'=\ln(a)\,a^x.
$$}
{\it Démonstration.} On écrit
$$
(a^x)'=\lim_{h\to 0}{a^{x+h}-a^x\over h}=
\lim_{h\to 0}{a^x(a^h-1)\over h}=
a^x\lim_{h\to 0}{a^h-1\over h}=a^x\ln(a).\eqno\square
$$

Nous démontrons maintenant les propriétés fondamentales de la fonction $\ln$.
\medskip

{\bf (4.5)} {\it Pour tous réels $a>0$ et $t\in\bR$,
on a $\ln(a^t)=t\ln a$.}

{\it Démonstration.} Si $t=0$, on a $\ln(a^0)=\ln(1)=0$ puisque la
fonction $x\to 1^x=1$ est de dérivée nulle. Si $t\ne 0$, on écrit que
par définition
$$
\ln(a^t)=\lim_{h\to 0}{(a^t)^h-1\over h}=
\lim_{h\to 0}{a^{th}-1\over h}=t\lim_{h\to 0}{a^{th}-1\over th}=
t\lim_{x\to 0}{a^x-1\over x}=t\ln(a).\eqno\square
$$

{\bf (4.6)} {\it 
Pour tous réels $a,b>0$, on a $\ln(ab)=\ln(a)+\ln(b)$.}

En effet $(ab)^x=a^x\cdot b^x$, et donc d'après la formule pour la dérivation
d'un produit de fonctions, la dérivée en $x=0$ en donnée par
$$
\ln(ab)=\big((ab)^x\big)'_{x=0}=(a^x)'_{x=0}\cdot b^0+
a^0\cdot (b^x)'_{x=0}=\ln(a)\cdot 1+1\cdot\ln(b)=\ln(a)+\ln(b).
\eqno\square
$$

\vbox{%
{\bf (4.7)} {\it 
Pour tous réels $a,b>0$, on a $\ln(a/b)=\ln(a)-\ln(b)$.}

En effet (4.6) donne $\ln(a)=\ln((a/b)\cdot b)=\ln(a/b)+\ln(b)$.\qed}
\medskip

{\bf (4.8) Théorème.} {\it La fonction $x\mapsto\ln(x)$ est strictement 
croissante, partout dérivable sur~$\bR^*_+={}]0,+\infty[$, et on a
$$
\big(\ln(x)\big)'={1\over x}.
$$
De plus, $\lim_{x\to 0_+}\ln(x)=-\infty$ et
$\lim_{x\to +\infty}\ln(x)=+\infty$.}

\vbox{%
\InsertPSFigure 12.000 64.000 {
1 mm unit
  0.000  35.000 moveto 
105.000   0.000 2.4 vector 
 10.000   5.000 moveto 
 58.000  90.000 2.4 vector
 37.183  35.000 moveto  0.700   0.000 indent
 10.000  45.000 moveto  0.700  90.000 indent
  0.000  0.000  1.000 setrgbcolor 
  0.065 setlinewidth
 10.000  25.000 moveto 45.000 60.000 lineto stroke
  0.113 setlinewidth
[ 1.000 0.500 ] 0 setdash
 11.200  45.000 moveto  37.183 45.000 lineto stroke
 37.183  36.200 moveto  37.183 45.000 lineto stroke
[ ] 0 setdash
  0.3 setlinewidth
  1.000  0.000  0.000 setrgbcolor 
 10.500  5.043 moveto
[  10.500   5.043   12.000  18.905   15.000  28.069   20.000  35.000
   30.000  41.930   40.000  45.986   50.000  48.863   60.000  51.094
   70.000  52.918   90.000  55.794  100.000  56.972   ] curve
stroke
}
\LabelTeX   7.000  31.200 $0$\ELTX
\LabelTeX   7.000  44.200 $1$\ELTX
\LabelTeX   4.500  24.200 $-1$\ELTX
\LabelTeX  19.500  31.200 $1$\ELTX
\LabelTeX  36.000  31.500 $e$\ELTX
\LabelTeX 103.500  31.200 $x$\ELTX
\LabelTeX   6.200  61.000 $y$\ELTX
\LabelTeX  96.200  59.000 $\RGBColor{1 0 0}{\ln}$\ELTX
\EndFig
\vskip-12pt
\centerline{{\bf Fig.~4.} Représentation graphique de la fonction $\ln$.}}
\medskip

{\it Démonstration.} Pour $x,\,X>0$ quelconques tels que $X\ne x$, on écrit
grâce à (4.7)
$$
{\ln(X)-\ln(x)\over X-x}={\ln\big(X/x\big)\over X-x}
$$
Or, l'encadrement (4.3$\,$b) avec $\displaystyle a={X\over x}>0$ donne
$\displaystyle 1-{1\over a}\le \ln(a)\le a-1$, soit
$$
{X-x\over X}=1-{x\over X}\le \ln(X)-\ln(x)\le {X\over x}-1={X-x\over x}\,,
$$
par conséquent
$$
\cases{
\displaystyle
{1\over X}\le {\ln(X)-\ln(x)\over X-x}\le {1\over x}&pour $X>x$,\cr
\noalign{\vskip11pt}
\displaystyle
{1\over x}\le {\ln(X)-\ln(x)\over X-x}\le {1\over X}&pour $X<x$.\cr}
$$
Ceci entraîne bien
$$
\big(\ln(x)\big)'=\lim_{X\to x}{\ln(X)-\ln(x)\over X-x}={1\over x}.
$$
La propriété de croissance stricte résulte des inégalités
précédentes, qui montrent que $\ln(X)-\ln(x)\ge {X-x\over X}>0$ si 
$X>x>0$ $[\,$on peut aussi, si on le souhaite, utiliser le fait que 
la dérivée est strictement positive$\,]$. Comme $\ln(2^n)=n\ln(2)$
avec $\ln(2)>0$, on en déduit que $\ln(x)\ge n\ln(2)$
pour~\hbox{$x\ge 2^n$}, et $\ln(x)\le -n\ln(2)$ pour $x\le 2^{-n}$. On a donc
bien les limites annoncées quand $x\to0_+$ et~\hbox{$x\to+\infty$}.\qed
\medskip

{\bf (4.9) Théorème.} {\it Il existe un $($unique$)$ nombre réel noté
$e$ tel que $\ln(e)=1$. La fonction exponentielle de base $e$
et la fonction $\ln$
$$
x\mapsto e^x,\qquad \bR\to\bR^*_+,\qquad
x\mapsto \ln(x),\qquad \bR^*_+\to\bR
$$
sont réciproques l'une de l'autre. Autrement dit on a 
$$
\ln(e^x)=x\quad\hbox{pour tout $x\in\bR$ et}\quad 
e^{\ln(x)}=x\quad\hbox{pour tout $x\in\bR^*_+$},
$$ et $\ln=\log_e$ s'identifie au logarithme de base $e$. La fonction
$\ln$ est appelée fonction logarithme naturel $($ou parfois encore
népérien, en hommage à John Napier, aussi dénommé Neper en
Latin\note{12}{En réalité, les premières tables de logarithmes
établies par Napier et par le mathématicien Henry Briggs dans les
années qui suivirent étaient des logarithmes décimaux. C'est
seulement avec les travaux de Huyghens en 1661 et plus tardivement
avec ceux de Leibnitz sur les fonctions, en 1697, que le logarithme
naturel fut définitivement dégagé dans sa forme moderne.}$)$.
De plus la dérivée de la fonction exponentielle $x\mapsto e^x$ est 
donnée par
$$
(e^x)'=e^x.
$$
La fonction exponentielle de base $e$ est
souvent appelée fonction exponentielle $($tout court$)$, et notée
$\exp$, de sorte que $\exp(x)= e^x$ et $\exp'=\exp$.}

\vbox{%
\InsertPSFigure 12.000 102.000 {
1 mm unit
  0.000  35.000 moveto 
105.000   0.000 2.4 vector 
 40.000   5.000 moveto 
 92.000  90.000 2.4 vector
[ 1.000   0.500 ] 0 setdash
 15.000  10.000 moveto  85.000  80.000 lineto stroke
  0.3 setlinewidth
[ ] 0 setdash
  1.000  0.000  0.000 setrgbcolor 
 40.500  5.043 moveto
[  40.500   5.043   42.000  18.905   45.000  28.069   50.000  35.000
   60.000  41.930   70.000  45.986   80.000  48.863   90.000  51.094
  100.000  52.918
] curve
stroke
  0.000  0.000  1.000 setrgbcolor 
 10.043 35.500 moveto
[  10.043  35.500   23.905  37.000   33.069  40.000   40.000  45.000
   46.930  55.000   50.986  65.000   53.863  75.000   56.094  85.000
   57.918  95.000  
] curve
stroke
}
\LabelTeX  41.000  31.200 $0$\ELTX
\LabelTeX  40.800  42.200 $1$\ELTX
\LabelTeX  50.000  31.200 $1$\ELTX
\LabelTeX 103.500  31.200 $x$\ELTX
\LabelTeX  36.200  96.000 $y$\ELTX
\LabelTeX  86.000  81.000 $y=x$\ELTX
\LabelTeX  96.200  54.500 $\RGBColor{1 0 0}{\ln}$\ELTX
\LabelTeX  59.000  92.000 $\RGBColor{0 0 1}{\exp}$\ELTX
\EndFig
\vskip-10pt
\centerline{{\bf Fig.~5.} Représentation graphique de $\ln$ et de
$\exp$.}}
\medskip

{\it Démonstration.} L'unicité du nombre $e$ résulte du fait que
la fonction $\ln$ est strictement croissante. Pour prouver que
$e$ existe, on peut appliquer le théorème des valeurs intermédiaires,
ou raisonner directement comme suit. On fixe une base $a>1$ ($a=2$
conviendrait) et on cherche $e$ sous la forme $e= a^t$. Alors
$\ln(a^t)=t\ln(a)$ d'après (4.5), donc il suffit de prendre
$t=1/(\ln(a))>0$. La solution cherchée est $e=a^t=a^{1/\ln(a)}$.

Maintenant, (4.5) donne bien $\ln(e^x)=x\ln(e)=x$ pour tout $x\in\bR$.
En substituant $x$ par $\ln(x)$ pour $x\in\bR^*$, on trouve
$\ln(e^{\ln(x)})=\ln(x)$, mais comme $\ln$ est strictement croissante
ceci ne peut avoir lieu que si $e^{\ln(x)}=x$. La formule donnant la
dérivée de $e^x$ est un cas particulier de (4.4).\qed
\medskip

{\bf (4.10) Théorème.} {\it Pour toute base $a>0$, $a\ne 1$, la fonction
exponentielle de base $a$
$$
x\mapsto a^x,\qquad \bR\to\bR^*_+
$$
admet une fonction réciproque donnée par
$$
x\mapsto \log_a(x)={\ln(x)\over\ln(a)},\qquad \bR^*_+\to\bR
\leqno(4.10\,\hbox{\rm a})
$$
appelée, rappelons-le, logarithme de base $a$. En particulier on a
$\ln=\log_e$. La dérivée de $\log_a$ est
$$
\big( \log_a(x)\big)'={1\over\ln(a)}{1\over x}
\leqno(4.10\,\hbox{\rm b})
$$
et pour tous réels $x,y>0$ et $t\in\bR$, le logarithme de base $a$ 
vérifie les propriétés fondamentales
$$
\leqalignno{
\log_a(x^t)&=t\log_a(x),&(4.10\,\hbox{\rm c})\cr
\log_a(xy)&=\log_a(x)+\log_a(y)&(4.10\,\hbox{\rm d})\cr
}
$$
analogues aux propriétés du logarithme népérien.}

{\it Démonstration.} Si on pose $y=a^x$, on a $\ln(y)=x\ln(a)$ et
donc $x={\ln(y)\over\ln(a)}$. Il en résulte aussitôt que $\log_a(y)=
{\ln(y)\over\ln(a)}$ est bien la fonction réciproque de $x\mapsto a^x$.
Toutes les autres propriétés se déduisent immédiatement de celles du
logarithme népérien.\qed
\medskip

Nous terminons par l'expression de la fonction puissance en termes
de l'exponentielle et du logarithme~:
$$
x^a=(e^{\ln(x)})^a= e^{a\ln(x)}=\exp\big(a\ln(x)\big).\leqno(4.11)
$$
Ceci permet (au moins pour se rassurer$\,!\,$) de retrouver la dérivée et le 
sens de variation de $x\mapsto x^a$ à l'aide de la formule de 
dérivation d'une fonction composée~:
$$
(x^a)'=\exp'\big(a\ln(x)\big)\cdot (a\ln(x))'=
\exp\big(a\ln(x)\big)\cdot a\,{1\over x}=x^a\cdot a\,{1\over x}= a\,x^{a-1}.
\leqno(4.12)
$$

{\bf (4.13) Conclusion.} Il est possible de définir rigoureusement
puissances, exponentielles et logarithmes dans une approche où
toutes les propriétés essentielles se démon\-trent en
respectant l'intuition numérique (on
part des puissances, qui sont les plus intuitives, on
passe aux exponentielles, qui généralisent les puissances, et
enfin on arrive aux logarithmes). Notons de plus qu'aucun
théorème avancé d'analyse ne nous a été nécessaire --
le théorème des valeurs intermédiaires et le théorème sur 
l'existence des fonctions réciproques pourraient même être évités. 
Mais bien entendu nous recommandons avec force que ces théorèmes
soient tout de même énoncés au niveau du lycée, et encore
mieux complètement démontrés$\,$: le procédé de dichotomie
et le théorème des suites adjacentes peuvent rendre la chose
{«\?}numériquement évidente\rguil, tout en donnant un
procédé concret de résolution approchée d'une équation
$f(x)=y$ (on pourra par exem\-ple faire expérimenter les élèves
sur la résolution d'équations polynomiales $f(x)=0$ de degré~$3$
-- c'est là un bon usage de la calculette$\,$!).
\bigskip

\section{5. Calcul numérique du nombre $e$ et de 
l'exponentielle $e^x$.}

L'objectif est d'exprimer l'exponentielle sous forme de la limite d'une
suite de poly\-nômes (ce que l'on appelle une {«\?}série entière\rguil). 
Là encore, on peut y aboutir 
au moyen de considérations très simples sur la formule du binôme
et les limites de suites croissantes majorées.
Le point de départ est la formule importante suivante.
\medskip

{\bf (5.1) Formule.} 
$\displaystyle\kern50pt
e^x=\lim_{n\to+\infty}\Big(1+{x\over n}\Big)^n$.
\medskip

Pour la vérifier, on observe que
$$
\Big(1+{x\over n}\Big)^n=\exp\Big(n\ln\Big(1+{x\over n}\Big)\Big)=
\exp\Big(x\,{\ln\big(1+{x\over n}\big)\over{x\over n}}\Big).
$$
Or
$$
\lim_{n\to+\infty}{\ln\big(1+{x\over n}\big)\over{x\over n}}=
\lim_{h\to 0}{\ln\big(1+h\big)\over h}=\ln'(1)=1,
$$
donc $\lim_{n\to+\infty}x\,{\ln\big(1+{x\over n}\big)\over{x\over n}}=x$.
Comme la fonction $\exp$ est continue, on en déduit bien
$$
\lim_{n\to+\infty}\Big(1+{x\over n}\Big)^n=\exp(x)=e^x.\eqno\square
$$
On utilise maintenant la formule du binôme pour développer
$$
\eqalign{
(1+h)^n&=1+C_n^1h+C_n^2h^2+\ldots+C_n^ph^p+\ldots+h^n\cr
&=1+{n\over 1!}h+{n(n-1)\over 2!}h^2+\ldots+{n(n-1)\ldots(n-(p-1))\over p!}h^p
+\ldots+h^n.\cr}
$$
En substituant ${x\over n}$ à $h$ il vient
$$
\eqalign{
\Big(1+{x\over n}\Big)^n
&=1+{n\over 1!}{x\over n}+{n(n-1)\over 2!}{x^2\over n^2}+\ldots+
{n(n-1)\ldots(n-(p-1))\over p!}{x^p\over n^p}+\ldots+{x^n\over n^n}\cr
&=
1+{1\over 1!}x+{1(1-{1\over n})\over 2!}x^2+\ldots+{1(1-{1\over n})\ldots
(1-{p-1\over n})\over p!}x^p+\ldots+{x^n\over n^n}.\cr}
$$
En faisant tendre $n$ vers $+\infty$, nous allons facilement en
déduire la formule suivante.
\medskip

{\bf (5.2) Théorème.} {\it Pour tout nombre réel $x$, on a
$$
\leqalignno{
e^x&=\lim_{p\to+\infty}1+{x\over 1!}+{x^2\over 2!}+\ldots+
{x^p\over p!}.\cr
&&\hbox{En particulier}\cr
e&=\lim_{p\to+\infty}1+{1\over 1!}+{1\over 2!}+\ldots+{1\over p!}.\cr}
$$}

{\it Démonstration.} Supposons d'abord $x\ge 0$. 
Si nous tronquons la somme du binôme à un ordre $p$ fixé, nous trouvons
$$
\Big(1+{x\over n}\Big)^n\ge
1+{1\over 1!}x+{1(1-{1\over n})\over 2!}x^2+\ldots+{1(1-{1\over n})\ldots
(1-{p-1\over n})\over p!}x^p,
$$
et le coefficient $1(1-{1\over n})\ldots(1-{p-1\over n})$ tend vers $1$ quand
$n$ tend vers $+\infty$. En passant à la limite quand $n\to+\infty$ il vient
donc
$$
e^x=\lim_{n\to+\infty}\Big(1+{x\over n}\Big)^n\ge
1+{x\over 1!}+{x^2\over 2!}+\ldots+{x^p\over p!}.
$$
En faisant tendre maintenant $p$ vers $+\infty$, on voit que la suite 
du membre de droite est convergente puisqu'elle est croissante et
majorée par $e^x$ (le fait que $x\ge 0$ nous sert de nouveau), donc
$$
e^x\ge\lim_{p\to+\infty}1+{x\over 1!}+{x^2\over 2!}+\ldots+
{x^p\over p!}.
$$
Cherchons à montrer l'inégalité inverse. Pour cela, on observe tout simplement
que $1(1-{1\over n})\ldots(1-{p-1\over n})\le 1$, donc
$$
\Big(1+{x\over n}\Big)^n\le 
1+{x\over 1!}+{x^2\over 2!}+\ldots+
{x^p\over p!}+\ldots+{x^n\over n!},
$$
et par conséquent
$$
e^x=\lim_{n\to+\infty}\Big(1+{x\over n}\Big)^n\le
\lim_{p\to+\infty}1+{x\over 1!}+{x^2\over 2!}+\ldots+
{x^p\over p!}.
$$
Ceci conclut la preuve du théorème (5.2) dans le cas où $x\ge 0$ [et on
pourrait bien sûr s'arrêter à ce point pour simplifier l'exposé$\,\ldots$].
Pour traiter le cas d'un exposant négatif, on utilise une astuce~: on
considère la fonction {«\?}cosinus hyperbolique\rguil
$$
\cosh(x)={e^x+ e^{-x}\over 2}=
\lim_{n\to+\infty}{1\over 2}\Big(\Big(1+{x\over n}\Big)^n+
\Big(1-{x\over n}\Big)^n\Big).
$$
Dans ces conditions, il ne reste que les puissances paires de $x$ dans le
développement du binôme, avec les mêmes coefficients positifs que 
précédemment. Pour $x\ge 0$, on obtient donc de manière analogue
$$
\kern-28pt 
\cosh(x)=\lim_{p\to+\infty}1+{x^2\over 2!}+{x^4\over 4!}+\ldots+
{x^{2p-2}\over (2p-2)!}+{x^{2p}\over (2p)!}.\leqno(5.3)
$$
Comme $e^{-x}=2\cosh(x)-e^x$ avec
$$
\kern15pt 
e^x=\lim_{p\to+\infty}1+{x\over 1!}+{x^2\over 2!}+{x^3\over 3!}+\ldots+
{x^{2p-1}\over (2p-1)!}+{x^{2p}\over (2p)!}~~~
\Big[+{x^{2p+1}\over (2p+1)!}\Big],
$$
on multiplie (5.3) par $2$ et il vient par soustraction
$$
\kern10pt 
e^{-x}=\lim_{p\to+\infty}1-{x\over 1!}+{x^2\over 2!}-{x^3\over 3!}+\ldots-
{x^{2p-1}\over (2p-1)!}+{x^{2p}\over (2p)!}~~~
\Big[-{x^{2p+1}\over (2p+1)!}\Big].
$$
C'est bien la formule cherchée dans le cas d'un exposant négatif. On notera
qu'on obtient aussi du même coup le développement de la fonction
{«\?}sinus hyperbolique\?» $\sinh(x)={e^x-e^{-x}\over 2}$, qui
ne laisse subsister que les monômes de degrés impairs
$$
\sinh(x)=\lim_{p\to+\infty}{x\over 1!}+{x^3\over 3!}+\ldots+
{x^{2p-1}\over (2p-1)!}+{x^{2p+1}\over (2p+1)!}.
\leqno\rlap{\kern\hsize\llap{\square}}(5.4)
$$

\vbox{%
{\bf (5.5) Application numérique.} Pour évaluer numériquement $e^x$, on
choisit un entier $p$ assez grand, et on utilise la factorisation
évidente
$$
1+{x\over 1!}+{x^2\over 2!}+\ldots+{x^p\over p!}=
1+{x\over 1}\Big(1+{x\over 2}\Big(1+{x\over 3}\Big(\ldots\Big(1+
{x\over p-1}\Big(1+{x\over p}\Big)\Big)\ldots\Big)\Big)\Big).
$$
En prenant $x=1$ et $p$ assez grand ($p=20$ suffit), on trouve ainsi la valeur
approchée\bigskip
\centerline{$\displaystyle 
e=\lim_{p\to+\infty}1+{1\over 1!}+{1\over 2!}+\ldots+{1\over p!}
\approx 2,71828182845904.$}}%

{\bf (5.6) Autres conséquences.} Ce qui précède montre que pour tout 
entier $p\in\bN$ on a $e^x\ge x^p/p!$ dès que $x>0$. En remplaçant $p$
par $p+1$ on trouve $e^x\ge x^{p+1}/(p+1)!$ et donc 
$e^x/x^p\ge {x\over (p+1)!}$. 
Par conséquent
$$
\lim_{x\to+\infty}{e^x\over x^p}=+\infty.\leqno(5.6\,\hbox{\rm a})
$$
En posant $x=-t$ avec $t\to-\infty$, il vient
$$
\lim_{t\to-\infty}{e^{-t}\over (-t)^p}=
\lim_{t\to-\infty}{(-1)^p\over t^pe^t}=+\infty,
$$
donc (quitte à revenir à la variable $x$)
$$
\lim_{x\to-\infty} x^pe^x = 0.\leqno(5.6\,\hbox{\rm b})
$$
On exprime les propriétés (5.6$\,$a) et (5.6$\,$b) en disant que dans
une forme indéterminée
{\it la fonction exponentielle l'emporte sur les fonctions puissances}.

De manière analogue, on a pour $x\ge 1$ l'inégalité $\ln x\le x-1\le x$, et
en remplaçant $x$ par $x^{a/2}$ on obtient ${a\over 2}\ln(x)\le x^{a/2}$,
donc $\ln(x)/x^a\le {2\over a}x^{-a/2}$ pour tout $a>0$. Ceci~implique
$$
\lim_{x\to+\infty}{\ln(x)\over x^a}=0.\leqno(5.6\,\hbox{\rm c})
$$
En faisant le changement de variable $x=1/t$ avec $t\to 0_+$ on trouve
également
$$
\lim_{x\to 0_+}x^a\ln(x)=0.\leqno(5.6\,\hbox{\rm d})
$$
On exprime les propriétés (5.6$\,$c) et (5.6$\,$d) en disant que dans
une forme indéterminée
{\it les fonctions puissances l'emportent sur la fonction logarithme}.

\section{6. Exponentielles et équations différentielles linéaires d'ordre~1}

Une fois que les exponentielles et les logarithmes sont maîtrisés -- et
nous pensons que le bon niveau pour cela serait celui de la classe de 
première --
l'étude des fonctions peut être enrichie graduellement. En terminale,
la maturité des élèves et des techniques qui leur sont disponibles 
devient suffisante pour aborder de manière plus systématique les 
fondements du calcul 
différentiel et des équations différentielles. Il serait
très important de bien introduire les notations différentielles 
$dx$, $df$, $df/dx$ qui sont nécessaires aux physiciens. Ceci doit se faire
en liaison avec le calcul intégral.
Nous aborderons ici uniquement les aspects les plus élémentaires liés
aux équations différentielles du premier ordre, tels qu'ils peuvent être 
traités en classe terminale.

La formule de dérivation d'une fonction composée montre que pour tout 
nombre réel~$k$, la fonction $y(x)=e^{kx}$ vérifie $y'(x)=k\,e^{kx}$,
c'est donc une solution de {«\?}l'équation différentielle\rguil
$$
y'=ky.\leqno(6.1)
$$
Réciproquement$\,$:
\medskip

{\bf (6.2) Théorème.} {\it Soit $k\in\bR$. L'équation différentielle $y'=ky$ 
admet sur $\bR$ les solutions $y(x)=\lambda\,e^{kx}$ où $\lambda$ est
une constante réelle, et il n'y en a 
pas d'autres.}

{\it Démonstration.} Posons $f(x)=y(x)\,e^{-kx}$. On trouve
$$
f'(x)=y'(x)\,e^{-kx} +y(x)\cdot\big(-k\,e^{-kx}\big)=
\big(y'(x)-ky(x)\big)e^{-kx}=0.
$$
Ceci implique que la fonction $f$ est une constante $\lambda$, ce qui
entraîne $y(x)=\lambda\,e^{kx}$. Ces fonctions sont bien des solutions de
l'équation différentielle.\qed
\medskip

Cherchons plus généralement les solutions de l'équation différentielle 
{«\?}non homogène\rguil\
$$
y'(x)=k\,y(x)+u(x)\leqno(6.3)
$$
où $u:I\to\bR$ est une fonction continue donnée sur un intervalle $I$ de $\bR$.
On cherche dans ce cas les fonctions dérivables $y:I\to\bR$ qui 
satisfont (6.3). En posant comme précédemment $f(x)=y(x)\,e^{-kx}$, on
voit que l'équation (6.3) est équivalente à
$$
f'(x)=\big(y'(x)-ky(x)\big)e^{-kx}=u(x)\,e^{-kx}.
$$
la solution générale est donnée sous la forme $f(x)=\lambda+f_0(x)$
où $f_0$ est une primitive de $x\mapsto u(x)\,e^{-kx}$ et $\lambda\in\bR$ une
constante arbitraire. Ceci donne 
$$
y(x)=(\lambda+f_0(x))e^{kx}.\leqno(6.4)
$$
Cette solution peut encore se réécrire sous la forme
$$
y(x)=\lambda\,e^{kx}+y_0(x),\qquad \lambda\in\bR,\leqno(6.5)
$$
où $y_0(x)=f_0(x)\,e^{kx}$ est la solution particulière de l'équation 
correspondant à la cons\-tante $\lambda=0$. Dans la pratique, si on connaît
(ou si on aperçoit) une solution particu\-lière $y_0$ de l'équation (6.3),
les autres solutions sont obtenues en ajoutant $\lambda\,e^{kx}$ à $y_0(x)$,
ce qui évite d'avoir à faire un calcul de primitives.

Les fonctions exponentielles $f(x)=a^x$ vérifient la propriété fonctionnelle
fondamentale $f(x+y)=f(x)f(y)$. De manière générale, il est intéressant 
de savoir quelles sont les fonctions $f:\bR\to\bR$ qui {«\?}transforment
additions en multiplications\rguil, c'est-à-dire quelles sont celles qui
satisfont la propriété
$$
f(x+y)=f(x)f(y)\qquad\hbox{pour tous $x,y\in\bR$.}\leqno(6.6)
$$
Remarquons que s'il existe $x_0$ tel que $f(x_0)=0$, alors 
$f(x)=f(x_0)f(x-x_0)=0$ entraîne que la fonction $f$ est la fonction nulle.
Nous supposerons désormais $f$ non nulle$\,$; d'après ce qui précède $f(x)$ 
ne peut alors s'annuler. Dans ce cas, la propriété
$f(x)=f(x/2+x/2)=f(x/2)f(x/2)=f(x/2)^2$ entraîne $f(x)>0$, et on peut poser
$g=\ln\circ f:\bR\to\bR$. On voit que
$$
g(x+y)=\ln\big(f(x+y)\big)=\ln\big(f(x)f(y)\big)
=\ln\big(f(x)\big)+\ln\big(f(y)\big)=g(x)+g(y).\leqno(6.7)
$$
On dit qu'une telle fonction $g$ est une fonction additive.
Les fonctions $g$ de la forme $g(x)=kx$ satisfont de façon évidente
la propriété d'additivité, et on peut se demander s'il en existe d'autres.
Malheureusement, il se trouve qu'il existe des fonctions discontinues
{«\?}extrêmement tordues\?» -- presque impossible 
à décrire -- qui sont addi\-tives. Néanmoins la réponse est simple si on 
suppose que les fonctions en question sont {\it continues}.\medskip

{\bf (6.8) Théorème.} {\it Soit $g:\bR\to\bR$ une fonction additive,
c'est-à-dire telle que
$$
\leqalignno{
g(x+y)&=g(x)+g(y)\qquad\hbox{pour tous $x,y\in\bR$}.\cr
\noalign{\vskip6pt}
&&\hbox{Si $g$ est continue, alors}\cr
\noalign{\vskip3pt}
g(x)&=kx\qquad\hbox{avec $k=g(1)\in\bR$.}\cr}
$$}%
{\it Démonstration.} Comme $g(0)=g(0+0)=g(0)+g(0)$ on voit déjà que
$g(0)=0$. De~plus $g(0)=0=g(x+(-x))=g(x)+g(-x)$, donc $g(-x)=-g(x)$.
Si $n\in\bN^*$ est un entier naturel, la propriété d'additivité implique
$$
g(nx)=g(x+x+\ldots+x)=g(x)+g(x)+\ldots+g(x)=n\,g(x).
$$
En particulier $g(1)=g(n{1\over n})=n\,g({1\over n})$ donc
$g({1\over n})={1\over n}g(1)$. Si $x={p\over q}$ est un rationnel positif
($p,q\in\bN^*$), il vient
$$
g(x)=g\Big(p{1\over q}\Big)=p\,g\Big({1\over q}\Big)=p{1\over q} g(1)=x\,g(1).
$$
Cette propriété s'étend au rationnels négatifs du fait que $g(-x)=-g(x)$.
En posant $k=g(1)$, on en déduit bien que $g(x)=kx$ pour tout $x\in\bQ$.
Comme $g$ est supposée continue, cette propriété s'étend par passage à
la limite à tous les réels~$x$, en considérant par exemple la suite $(x_n)$ des
approximations décimales à $10^{-n}$ près de~$x$.\qed
\medskip
Si nous revenons aux fonctions $f$ continues non nulles qui vérifient (6.6),
on voit que $g(x)=\ln f(x)=kx$, donc $f(x)=e^{kx}$. Nous pouvons énoncer$\,$:
\medskip

{\bf (6.9) Théorème.} {\it Les fonctions $f:\bR\to\bR$ continues telles que
$$
f(x+y)=f(x)f(y)\qquad\hbox{pour tous $x,y\in\bR$,}
$$
sont d'une part la fonction nulle $f=0$ et d'autre part les fonctions 
exponentielles $f(x)=e^{kx}$, $k\in\bR$, ou encore $f(x)=a^x$, $a>0$.}
\medskip

Si on impose la condition plus forte que $f$ soit dérivable et que
l'on dérive la relation $f(x+y)=f(x)f(y)$ par rapport à $y$, on trouve
$$
f'(x+y)=f(x)f'(y).
$$
Pour $y=0$, on trouve en particulier $f'(x)=f(x)f'(0)=k\,f(x)$ avec
$k=f'(0)$. On conclut alors que $f(x)=\lambda\,e^{kx}$ d'après le théorème
(6.2). Comme on doit avoir de plus $f(0)=f(0)f(0)$, il vient 
$\lambda=\lambda^2$, donc $\lambda=0$ ou $\lambda=1$. Ceci donne une
autre démonstration du théorème (6.9), sous l'hypothèse plus
restrictive que $f$ soit dérivable.\medskip

\section{7. Fonctions trigonométriques}

Commençons par rappeler quelques considérations de base sur les fonctions 
trigono\-métriques. Celles-ci devraient sans aucun doute possible trouver 
leur place dans les classes
de seconde et de première. On appelle {\it cercle trigonométrique} $\cC$ 
le cercle unité de centre l'origine dans un plan orthonormé $Oxy$, c'est-à-dire
l'ensemble des points $M(x,y)$ tels que $x^2+y^2=1$. Soit $U$ le point
de coordonnées $(1,0)$ et $V$ le point de coordonnées $(0,1)$.

\vbox{%
\InsertPSFigure 42.000 58.000 {
1 mm unit
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\LabelTeX 41.300 32.500 
  $\RGBColor{0.682 0 0}{\displaystyle{y\over x}=\tan(\theta)}$ \ELTX
\LabelTeX 16.300 16.500 $O$ \ELTX
\LabelTeX 41.000 16.500 $U$ \ELTX
\LabelTeX 16.300 41.500 $V$ \ELTX
\LabelTeX 30.500 38.000 $M$ \ELTX
\LabelTeX 41.000 45.500 $T$ \ELTX
\EndFig
\bigskip
\centerline{{\bf Fig.~6.} Cercle trigonométrique et fonctions
$\cos$, $\sin$, $\tan$.}}
\medskip

À un point $M \in\cC$ et à l'angle de vecteurs
orienté $\theta=(\widehat{\overrightarrow{OU},\overrightarrow{OM}})$, 
on associe par définition
$$
\cos(\theta)=x,\qquad\sin(\theta)=y,\qquad\tan(\theta)={\sin(\theta)\over 
\cos(\theta)}={y\over x},\leqno(7.1)
$$
qui sont représentés géométriquement sur la Figure~6. En effet,
puisque $\overline{OU}=1$, le théorème de Thalès donne
$$
\overline{UT}={\overline{UT}\over\overline{OU}}={y\over x}=\tan(\theta).
$$
Par définition, le mesure en radians de l'angle $\theta$ est la longueur
de l'arc $\raise7.5pt\hbox{\rlap{$\kern5pt\frown$}}UM$, 
affecté d'un signe moins si $M$ est d'ordonnée négative,
et compté à un multiple de $2\pi$ près. Rappelons que {\it la longueur
d'un arc est par définition la borne supérieure des longueurs des lignes
polygonales inscrites dans cet arc}. D'après ce qui précède nous avons
$$
\leqalignno{
(\cos(\theta))^2+(\sin(\theta))^2&=x^2+y^2=1,&(7.2)\cr
\overrightarrow{OM}=\cos(\theta)\;\overrightarrow{OU}&{}+\sin(\theta)\;
\overrightarrow{OV}.&(7.3)\cr}
$$
Nous aurons besoin de la formule très importante qui suit.
\medskip

{\bf (7.4) Formule d'addition des angles.} {\it Pour tout couple d'angles
$\alpha$, $\beta$, on a
$$
\eqalign{
\cos(\alpha+\beta)&=\cos(\alpha)\cos(\beta)-\sin(\alpha)\sin(\beta),\cr
\sin(\alpha+\beta)&=\sin(\alpha)\cos(\beta)+\cos(\alpha)\sin(\beta).\cr}
$$}%
\InsertPSFigure 42.000 40.000 {
gsave
1 mm unit
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  18.500  24.200 moveto   0 193 1.2 vector
grestore
}
\LabelTeX 26.500 21.500 $\RGBColor{1 0 0}{\alpha}$ \ELTX
\LabelTeX 14.200 26.300 $\RGBColor{1 0 0}{\alpha}$ \ELTX
\LabelTeX 21.300 25.500 $\RGBColor{0 0 1}{\beta}$ \ELTX
\LabelTeX 18.500 16.500 $O$ \ELTX
\LabelTeX 41.000 18.500 $U$ \ELTX
\LabelTeX 18.500 41.500 $V$ \ELTX
\LabelTeX -4.700 18.500 $W$ \ELTX
\LabelTeX 32.500 36.500 $U'$ \ELTX
\LabelTeX  1.000 32.500 $V'$ \ELTX
\LabelTeX 10.700 40.500 $M$ \ELTX
\EndFig
\bigskip
\centerline{{\bf Fig.~7.} Formule d'addition des angles.}
\medskip

{\it Démonstration.} Quitte à changer de repère, la formule (7.3) nous 
donne en effet
$$
\overrightarrow{OM}=\cos(\beta)\;\overrightarrow{OU'}+\sin(\beta)\;
\overrightarrow{OV'},
$$
et de manière analogue
$$
\eqalign{
\overrightarrow{OU'}&=\cos(\alpha)\;\overrightarrow{OU}+\sin(\alpha)\;
\overrightarrow{OV},\cr
\overrightarrow{OV'}&=\cos(\alpha)\;\overrightarrow{OV}+\sin(\alpha)\;
\overrightarrow{OW}=-\sin(\alpha)\;\overrightarrow{OU}+\cos(\alpha)\;
\overrightarrow{OV}.\cr
}
$$
En substituant $\overrightarrow{OU'}$ et $\overrightarrow{OV'}$ dans la
formule donnant $\overrightarrow{OM}$, il vient
$$
\eqalign{
\overrightarrow{OM}&=\cos(\beta)\;
\big(\cos(\alpha)\;\overrightarrow{OU}+\sin(\alpha)\;
\overrightarrow{OV}\big)+\sin(\beta)\;\big(
-\sin(\alpha)\;\overrightarrow{OU}+\cos(\alpha)\;
\overrightarrow{OV}\big)\cr
&=\big(\cos(\alpha)\cos(\beta)-\sin(\alpha)\sin(\beta)\big)\;
\overrightarrow{OU}+
\big(\sin(\alpha)\cos(\beta)+\cos(\alpha)\sin(\beta)\big)\;
\overrightarrow{OV}.\cr}
$$
Ceci donne les formules souhaitées puisque $\cos(\alpha+\beta)$ et 
$\sin(\alpha+\beta)$ sont précisément les composantes de 
$\overrightarrow{OM}$ suivant $\overrightarrow{OU}$ et
$\overrightarrow{OV}$.\qed
\medskip
On a d'autre part les encadrements très utiles suivants, qui vont conduire
à la dérivation des fonctions trigonométriques$\,$; pour cela, il convient 
bien sûr d'attendre que la notion de dérivée soit en place.
\medskip

{\bf (7.5) Encadrements fondamentaux.} {\it Soient $M(x,y)$ et $M'(x',y')$ deux
points du cercle trigono\-métrique situés dans le quadrant supérieur
droit, tels que $0<x\le x'\le 1$ et $0\le y'\le y<1$, et soient
$0\le \theta'\le \theta$ les angles qui leur sont associés, 
mesurés en radians. Alors, si $P$ est l'intersection de la droite $(OM)$
avec la parallèle à $Oy$ passant par $M'$, et $T$, $T'$ les
intersections de $(OM)$, $(OM')$ respectivement, avec la parallèle
à $Oy$ passant par $U$, on a
{\parindent=6.5mm
\item{\rm(a)} $y-y'\le M'M\le M'P\le T'T = {y\over x} - {y'\over x'}$.
\item{\rm(b)}
$\sin(\theta)-\sin(\theta')\le \theta-\theta'\le \tan(\theta)-\tan(\theta')$.
\item{\rm(c)} En particulier, si on prend $M'=U$, $\theta'=0$ dans
{\rm(b)}, il vient
$$
\sin(\theta)\le \theta\le \tan(\theta)\qquad
\hbox{pour $\theta\in[0,\pi/2[$}.
$$}}

\InsertPSFigure 42.000 50.000 {
1 mm unit
  20.000  20.000 moveto 
  20 circle stroke
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}
\LabelTeX 16.300 16.500 $O$ \ELTX
\LabelTeX 30.800 17.000 $x$ \ELTX
\LabelTeX 34.300 17.000 $x'$ \ELTX
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\LabelTeX 41.000 46.300 $T\kern4pt\quad({y\over x})$ \ELTX
\LabelTeX 41.000 37.000 $T'\quad({y'\over x'})$ \ELTX
\EndFig
\bigskip
\centerline{{\bf Fig.~8.} Encadrement d'une corde $M'M$ du cercle 
trigonométrique.}
\medskip

{\it Démonstration.} (a) La minoration $M'M\ge y-y'$ résulte du fait
que dans un triangle rectangle l'hypoténuse est plus grande que les
côtés de l'angle droit, en vertu du théorème de Pythagore. Plus
généralement, dans un triangle obtus, le côté opposé à l'angle obtus
est plus grand que les deux autres côtés, et la majoration $M'M\le
M'P$ résulte de cette propriété appliquée au triangle ($M'MP)$ qui a
son angle $\hat M$ obtus. Il~est d'autre part évident que $T'T$ est
plus grand que $M'P$ (dans le rapport $1/x'\ge 1$, d'après le théorème
de Thalès)$\,$\note{13}{%
Pour les esprits préférant l'algèbre, donnons une autre preuve plus 
algébrique. Comme la pente de la droite $(OM)$ 
est ${ y\over x}$, les coordonnées de $P$ sont $(x',{y\over x}x')$, et 
on a\vskip1pt
\centerline{
$\displaystyle M'P={y\over x}x'-y',\qquad
T'T={y\over x}-{y'\over x'}={1\over x'}M'P\ge M'P.$}
Grâce au théorème de Pythagore, nous obtenons directement\vskip2pt
\centerline{
$M'M=\sqrt{(x-x')^2+(y-y')^2}\ge \sqrt{(y-y')^2}=y-y'.$}
D'autre part, par élévation au carré de l'expression de 
$M'P={y\over x}(x'-x)+(y-y')$, il~vient\vskip2pt
\centerline{
$(M'P)^2\ge 2{y\over x}(x'-x)(y-y')+(y-y')^2$}
en négligeant le premier carré $({y\over x}(x'-x))^2$. Les égalités
$x^2+y^2=x^{\prime2}+y^{\prime 2}=1$ entraînent à leur tour\vskip2pt
\centerline{
$2x(x'-x)\le (x+x')(x'-x)=x^{\prime2}-x^2=y^2-y^{\prime 2}=
(y-y')(y+y')\le 2y(y-y'),$}
donc en substituant $2y(y-y')$ par $2x(x'-x)$ dans la minoration de 
$(M'P)^2$ on trouve\vskip4pt
\centerline{
$(M'P)^2\ge 2(x'-x)^2+(y-y')^2\ge (x'-x)^2+(y-y')^2=(M'M)^2.$}}.
\medskip

(b) L'encadrement du (a) peut se retraduire sous la forme
$$
\sin(\theta)-\sin(\theta')\le M'M\le\tan(\theta)-\tan(\theta').
$$
Or la longueur d'arc $\raise7.5pt\hbox{\rlap{$\kern8pt\frown$}}M'M$ est
par définition la limite, pour des subdivisions assez fines, des 
longueurs $M_0M_1+M_1M_2+\ldots+M_{n-1}M_n$
de lignes polygonales $(M_0M_1\ldots M_n)$ telles que $M_0=M'$ et
$M_n=M$. Le résultat précédent donne
$$
\sin(\theta_{i+1})-\sin(\theta_i)\le M_iM_{i+1}\le
\tan(\theta_{i+1})-\tan(\theta_i)
$$
et en sommant de $i=0$ à $i=n-1$ on trouve
$$
\sin(\theta_n)-\sin(\theta_0)\le \sum_{i=0}^{n-1}M_iM_{i+1}\le
\tan(\theta_n)-\tan(\theta_0).
$$
Par passage à la limite quand $n\to+\infty$, et tenant compte du fait 
que $\theta_0=\theta'$, $\theta_n=\theta$ il vient
$$
\sin(\theta)-\sin(\theta')\le 
\raise7.5pt\hbox{\rlap{$\kern8pt\frown$}}M'M=\theta-\theta'\le
\tan(\theta)-\tan(\theta').
$$
La propriété (b) est établie, et (c) est le cas particulier 
$\theta'=0$.\note{14}{%
Les inégalités $\sin\theta\le\theta\le\tan\theta$ se lisent aussi sur la
Fig.~6 au moyen d'un encadrement direct des aires
$$
\hbox{aire triangle $OMU$}\le
\hbox{aire secteur angulaire $OMU$}\le
\hbox{aire triangle $OTU$}.
$$
L'aire du secteur angulaire est proportionnelle à $\theta$ et vaut $\pi$
pour $\theta=2\pi$, elle vaut donc $\theta/2$. Les deux triangles ont une
base de longueur $1$, leur aire est égale à leur demi-hauteur, ce qui
donne l'encadrement
$$
{1\over 2}\sin\theta\le {1\over 2}\theta\le {1\over 2}\tan\theta.
$$
Nous avons cependant préféré donné une démonstration qui
évite tout recours à la notion «\?élaborée\?» d'aire d'un
domaine plan -- pour en revenir à la définition première de la longueur
d'arc -- même si cette démonstration est légèrement plus subtile.
Dans une première approche devant les élèves, on pourra évidemment
opter plutôt pour la justification la plus simple d'un point de vue
intuitif.}\qed
\medskip

Nous établissons maintenant les formules donnant les dérivées
des fonctions trigono\-métriques.
\medskip

{\bf (7.6) Lemme.} {\it On a
$$
\sin'(0)=\lim_{h\to 0}{\sin h\over h}=1,\qquad
\cos'(0)=\lim_{h\to 0}{\cos h-1\over h}=0.
$$}

{\it Démonstration.} Notons que pour $h\in[0,\pi/2]$ on a
$0\le\sin(h)\le h$, d'après (7.5), et la relation d'addition
$\cos(h)=\cos(h/2)\cos(h/2)-\sin(h/2)\sin(h/2)$ donne aussi
$$
\cos(h)=1-2\sin^2(h/2)\ge 1-2(h/2)^2=1-h^2/2~~
\Rightarrow~~ -{h\over 2}\le {\cos(h)-1\over h}\le 0,
$$
ce qui implique $\lim_{h\to 0}{\cos(h)-1\over h}=0$. Les inégalités
ci-dessus entraînent a fortiori $\lim_{h\to 0}\cos(h)=1$. Maintenant
l'encadrement (7.5$\,$c) donne
$$
{\sin(h)\over h}\le 1\le {\tan(h)\over h}={1\over\cos(h)}{\sin(h)\over h}~~
\Rightarrow~~\cos(h)\le {\sin(h)\over h}\le 1.
$$
Ceci montre bien que $\displaystyle\lim_{h\to 0}{\sin(h)\over h}=1$.\qed
\medskip

{\bf (7.7) Théorème.} {\it Les fonctions $\cos$ et $\sin$ sont dérivables
sur $\bR$ tout entier et on a
$$
\cos(x)=-\sin(x),\qquad \sin'(x)=\cos(x).
$$}%
{\it Démonstration.} Les formules d'addition de l'angle donnent
aussitôt
$$
\eqalign{
{\cos(x+h)-\cos(x)\over h}&=
\cos(x)\;{\cos(h)-1\over h}-\sin(x)\;{\sin(h)\over h},\cr
{\sin(x+h)-\sin(x)\over h}&=
\sin(x)\;{\cos(h)-1\over h}+\cos(x)\;{\sin(h)\over h}.\cr
}
$$
Ceci entraîne bien d'après le lemme 7.6 que le taux d'accroissement de $\cos$
tend vers~$-\sin(x)$ et que celui de $\sin$ tend vers $\cos(x)$.\qed

\section{8. Fonction exponentielle complexe}

Nous pouvons maintenant expliquer le lien très remarquable qui existe
entre la fonction exponentielle et les fonctions trigonométriques. 
Ce lien a été
découvert par Euler en~1748, bien que l'interprétation géométrique
sous-jacente n'ait été vraiment \hbox{comprise} qu'environ cinquante plus
tard avec la définition géométrique des nombres complexes par Wessel,
Argand et Gauss.\note{15}{Les exposés modernes 
{«\?}court-circuitent\?» souvent l'introduction de l'exponentielle 
complexe en uti\-lisant d'emblée la série entière
$\smash{\sum}\;z^n/n!$ de la variable complexe $z$, mais cette approche nous 
paraît prématurée pour l'enseignement secondaire. L'approche historique 
correspond certainement mieux au cheminement
intellectuel fondamental de l'esprit, et nous l'estimons donc
préférable sur le plan pédagogique.}


Si on introduit le nombre complexe de module $1$
et d'argument $x$ défini par
$$
f(x)=\cos(x)+i\sin(x),
$$
ce qui définit une fonction $f:\bR\to\bC$ à valeurs dans le cercle
trigonométrique, alors les formules d'addition des
angles (7.4) et de dérivation (7.7) se traduisent par les égalités
$$
\leqalignno{
f(\alpha+\beta)&=f(\alpha)f(\beta),&(8.1)\cr
f'(x)&=-\sin(x)+i\cos(x)=i\,f(x).&(8.2)\cr
}
$$
En particulier $f$ est la solution de l'équation différentielle
$f'=if$. Comme de plus $f(0)=1$, ceci suggère fortement de poser
{\it par définition} $f(x)=e^{ix}$, c'est-à-dire $(${\it formule~d'Euler}$)$
$$
e^{ix}=\cos(x)+i\sin(x).\leqno(8.3)
$$
La formule d'addition des angles (8.1) se retraduit alors sous la forme 
naturelle
$$
e^{i(\alpha+\beta)}=e^{i\alpha}e^{i\beta}\leqno(8.4)
$$
qui peut servir à mémoriser les formules donnant 
$\cos(\alpha+\beta)$ et $\sin(\alpha+\beta)$. Comme 
$e^{-ix}=\cos(x)-i\sin(x)$, on trouve les formules également dues à Euler
$$
\cos(x)={e^{ix}+e^{-ix}\over 2},\qquad
\cos(x)={e^{ix}-e^{-ix}\over 2i},\leqno(8.5)
$$
et pour tout entier $n\in\bZ$, l'égalité $(e^{ix})^n=e^{inx}$ se traduit en 
la {\it formule de Moivre}
$$
\big(\cos(x)+i\sin(x)\big)^n=\cos(nx)+i\sin(nx).\leqno(8.6)
$$
Plus généralement, si $z=x+iy\in\bC$ est un nombre complexe quelconque,
on posera par définition
$$
e^z=e^xe^{iy}=e^x\big(\cos(y)+i\sin(y)\big).\leqno(8.7)
$$
Le nombre $e^z$ est donc par définition le nombre complexe de module 
$|e^z|=e^x$ et d'argument $y\,$:
$$
|e^z|=e^{\Re z},\qquad \arg(e^z)=\Im z\quad(\mod 2\pi).\leqno(8.8)
$$
Il est immédiat de vérifier que l'exponentielle complexe satisfait la même
propriété fonctionnelle fondamentale que l'exponentielle réelle, à savoir
$$
e^{z+z'}=e^ze^{z'}\qquad\hbox{pour tous $z,\,z'\in\bC$},\leqno(8.9)
$$
du fait que l'on a à la fois $e^{x+x'}=e^xe^{x'}$ et
$e^{i(y+y')}=e^{iy}e^{iy'}$.

Enfin, pour terminer, on observe que pour $k=a+ib\in\bC$, la fonction
$$
f(x)=e^{kx}=e^{ax}e^{ibx}=e^{ax}\big(\cos(bx)+i\sin(bx)\big)
$$
satisfait la même équation différentielle $f'=kf$ que dans le cas réel.
On a effet
$$
f'(x)=(e^{ax})'e^{ibx}+e^{ax}(e^{ibx})'=
a\,e^{ax}e^{ibx}+e^{ax}\big(ib\,e^{ibx}\big)
=(a+ib)e^{ax}e^{ibx}=k\,e^{kx}.
$$
On montre alors que les solutions complexes de l'équation différentielle
complexe
$$
f'=kf\leqno(8.10)
$$
sont exactement les fonctions $f(x)=\lambda\,e^{kx}$, $\lambda\in\bC$.
La preuve est identique à celle du cas réel.

Une fois que l'on dispose du calcul intégral et de l'intégration des 
fonctions complexes, on peut constater par des intégrations par parties
et par récurrence sur $p$ que l'on a
$$
e^z=1+{z\over 1!}+{z^2\over 2!}+\ldots+{z^p\over p!}+z^{p+1}\int_0^1
{(1-t)^p\over p!}e^{tz}dt.
\leqno(8.11)
$$
Puisque $|e^{tz}|=e^{t{\rm Re}(z)}\le e^{\max({\rm Re}(z),0)}$ pour
$t\in[0,1]$, il vient
$$
\Big|z^{p+1}\int_0^1{(1-t)^p\over p!}e^{tz}dt\Big|\le |z|^{p+1}\,
e^{\max({\rm Re}(z),0)}\int_0^1{(1-t)^p\over p!}dt
={|z|^{p+1}\over(p+1)!}e^{\max({\rm Re}(z),0)}.
$$
Comme la limite
$e^{|z|}=\lim_{p\to+\infty}S_p$ avec
$S_p=1+{|z|\over 1!}+{|z|^2\over 2!}+\ldots+{|z|^p\over p!}$ existe, 
on a 
$$
\lim_{p\to+\infty}{|z|^{p+1}\over(p+1)!}=\lim_{p\to+\infty}S_{p+1}-S_p=0,
$$
et on en conclut que la formule déjà vue
à la section 5 pour les exposants réels
$$
e^z=\lim_{p\to+\infty}
1+{z\over 1!}+{z^2\over 2!}+\ldots+{z^p\over p!}
\leqno(8.12)
$$
est encore vraie pour tout nombre complexe~$z$.

\section{9. Équations différentielles linéaires du second ordre}

On cherche ici à résoudre les équations différentielles linéaires
du second ordre, à savoir les équations de la forme
$$
af''+bf'+cf=0.\leqno(9.1)
$$
On supposera, pour une généralité maximale, que $f:\bR\mapsto\bC$,
$x\mapsto f(x)$ est une fonction complexe, et que $a,\,b,\,c$ sont des
constantes complexes (avec $a\ne 0$, sinon l'équation n'est pas du second
ordre). La linéarité de l'équation se traduit par le fait évident 
suivant$\,$:

{\bf (9.2) Propriété.} {\it Si $f_1$ et $f_2$ sont des solutions de
l'équation $(9.1)$, alors toute combinaison linéaire 
$f=\lambda_1f_1+\lambda_2f_2$ à coefficients constants
$\lambda_1,\,\lambda_2\in\bC$ est encore solution.}

Cherchons les solutions qui sont des exponentielles
$f(x)=e^{kx}$. On a $f'(x)=k\,e^{kx}$ et $f''(x)=k^2\,e^{kx}$, donc
$$
af''(x)+bf'(x)+cf(x)=(ak^2+bk+c)e^{kx}.\leqno(9.3)
$$
Par conséquent $f(x)=e^{kx}$ est solution de l'équation $(9.1)$ si et 
seulement si $k$ est solution de l'équation du second degré
$$
ak^2+bk+c=0,\leqno(9.4)
$$
appelée {\it équation caractéristique de l'équation différentielle} (on 
pourrait de même considérer des équations différentielles d'ordre $3$ et plus,
qui induirait une équation carac\-téristique polynomiale du même degré).
Si le discriminant $\Delta=b^2-4ac$ est non nul, on a deux racines complexes
$k_1$, $k_2$, donc deux solutions complexes $f_1(x)=e^{k_1x}$,
$f_2(x)=e^{k_2x}$. Ceci montre que toute combinaison linéaire
$$
f(x)=\lambda_1e^{k_1x}+\lambda_2e^{k_2x},\qquad\lambda_1,\,\lambda_2\in\bC,
\leqno(9.5)
$$
est solution de l'équation (9.1). Dans le cas où $\Delta=b^2-4ac=0$, le
polynôme caractéristique admet une racine double $k=-b/2a$. Dans ce cas
nous affirmons que les fonctions $f_1(x)=e^{kx}$ et
$f_2(x)=x\,e^{kx}$ sont toutes deux solutions de l'équation différentielle.
En effet, c'est vrai pour $f_1$ et$\,$:
$$
\eqalign{
f_2'(x)=e^{kx}+kx\,e^{kx}&=(kx+1)e^{kx},\cr
f_2''(x)=k\,e^{kx}+k(kx+1)e^{kx}&=(k^2x+2k)e^{kx},\cr
af_2''(x)+bf_2'(x)+cf_2(x)&=\big((ak^2+bk+c)x+(2ak+b)\big)e^{kx}.\cr}
$$
On observe qu'on a alors à la fois $ak^2+bk+c=0$ et $2ak+b=0$. Dans le cas
$\Delta=b^2-4ac=0$, toute combinaison linéaire
$$
f(x)=\lambda_1 e^{kx} +\lambda_2 x e^{kx}=(\lambda_1+\lambda_2 x)e^{kx},\qquad
\lambda_1,\,\lambda\in\bC.
\leqno(9.6)
$$
est donc solution de l'équation différentielle.

Réciproquement, on va voir qu'il n'y a pas d'autres solutions que les
combinaisons linéaires déjà trouvées, ce qui fait l'objet du résultat 
ci-dessous. La preuve est assez subtile et nous apparaît
comme se situant à la limite supérieure de ce qu'on peut décemment
attendre de l'enseignement secondaire général (je pense cependant que le
raisonnement sous-jacent aurait été considéré comme accessible aux
terminales C des années 1971-1985, par exemple sous forme d'un problème
à résoudre -- même si son contenu excède peut-être très légèrement le niveau
du cours de l'époque.) À ce point, il n'y aurait toutefois pas 
d'inconvénient majeur à admettre le résultat, la démonstration pouvant 
fort bien attendre une {«\?}deuxième couche\?» à appliquer en première 
année d'université, éventuellement dans un contexte un peu plus général.
\medskip

{\bf (9.7) Théorème.} {\it Les solutions d'une équation différentielle du
second ordre
$$
af''+bf'+cf=0
$$
à coefficients complexes sont données par les racines simples $k_1$, $k_2$ ou 
la racine double $k$ de l'équation caractéristique $ak^2+bk+c=0$, de
la manière suivante$\,:$
{\parindent=6.5mm
\item{\rm(a)} si $\Delta=b^2-4ac\ne 0$, ce sont les combinaisons linéaires
$$
f(x)=\lambda_1 e^{k_1x} +\lambda_2e^{k_2x},\qquad
\lambda_1,\,\lambda_2\in\bC\;;
$$
\item{\rm(b)} si $\Delta=b^2-4ac=0$, ce sont les combinaisons linéaires
$$
f(x)=\lambda_1 e^{kx} +\lambda_2 x e^{kx}=(\lambda_1+\lambda_2 x)e^{kx},\qquad
\lambda_1,\,\lambda_2\in\bC.
$$}}%
{\it Démonstration.} On commence par montrer l'existence d'une écriture
astucieuse. Si $f_1$ et $f_2$ sont les solutions déjà trouvées, on
cherche à écrire toute fonction $f$ dérivable sous la forme d'une
combinaison linéaire $f(x)=\lambda_1(x)f_1(x)+\lambda_2(x)f_2(x)$ 
avec des coefficients $\lambda_1(x)$, $\lambda_2(x)$ tels que
$$
\cases{
\kern3pt f=\lambda_1f_1+\lambda_2f_2,&\cr
\noalign{\vskip5pt}
f'=\lambda_1f'_1+\lambda_2f'_2.&\cr}\leqno(9.8)
$$
En effet, en multipliant la première ligne par $f'_2$, la deuxième
par $-f_2$ et en ajoutant, on trouve
$$
ff'_2-f'f_2=\lambda_1\big(f_1f'_2-f_1'f_2\big).
$$
De même, en multipliant la première ligne par $-f'_1$, la deuxième
par $f_1$ et en ajoutant, on trouve
$$
-ff'_1+f'f_1=\lambda_2\big(f_1f'_2-f_1'f_2\big).
$$
Or un calcul donne
$$
\eqalign{
\hbox{si $f_1(x)=e^{k_1x}$ et $f_2(x)=e^{k_2x}$,}
\qquad f_1(x)f'_2(x)-f_1'(x)f_2(x)&=(k_2-k_1)e^{(k_1+k_2)x},\cr
\hbox{si $f_1(x)=e^{kx}$ et $f_2(x)=x\,e^{kx}$,}
\qquad f_1(x)f'_2(x)-f_1'(x)f_2(x)&=e^{2kx},\cr}
$$
de sorte qu'on a toujours $f_1f'_2-f_1'f_2\ne 0$.
Pour que (9.8) soit réalisé il suffit donc de prendre
$$
\lambda_1={ff'_2-f'f_2\over f_1f'_2-f_1'f_2},\qquad
\lambda_2={-ff'_1+f'f_1\over f_1f'_2-f_1'f_2}.
$$
Maintenant, en dérivant la première ligne de (9.8), il vient
$$
f'=\lambda'_1f_1+\lambda'_2f_2+\lambda_1f'_1+\lambda_2f'_2
$$
et la deuxième ligne est donc équivalente à ce que 
$\lambda'_1f_1+\lambda'_2f_2=0$.
On calcule enfin $f''$ à partir de la deuxième ligne de (9.8), ce qui donne
$$
f''=\lambda_1'f'_1+\lambda'_2f'_2+\lambda_1f''_1+\lambda_2f''_2.
\leqno(9.9)
$$
En définitive, d'après (9.8) et (9.9)
$$
\eqalign{
af''+bf'+cf
&=a(\lambda_1'f'_1+\lambda'_2f'_2+\lambda_1f''_1+\lambda_2f''_2)
+b(\lambda_1f'_1+\lambda_2f'_2)+c(\lambda_1f_1+\lambda_2f_2)\cr
&=a(\lambda_1'f'_1+\lambda'_2f'_2)+
\lambda_1(af_1''+bf_1'+cf_1)+\lambda_2(af_2''+bf_2'+cf_2)\cr
&=a(\lambda_1'f'_1+\lambda'_2f'_2)\cr}
$$
puisque $f_1$ et $f_2$ sont solutions. On voit que la fonction $f$
est solution si et seulement si $\lambda_1'f'_1+\lambda'_2f'_2=0$,
mais comme on a aussi $\lambda_1'f_1+\lambda'_2f_2=0$, on constate 
(en faisant des combinaisons linéaires comme ci-dessus) que c'est le 
cas si et seulement si $\lambda_1'=\lambda_2'=0$. Ceci
montre que $\lambda_1$ et $\lambda_2$ sont des constantes et que
$f$ est nécessairement combinaison linéaire de $f_1$, $f_2$
à coefficients constants.\qed
\medskip
Un cas particulier intéressant est celui de l'équation différentielle
$$
f''+\omega^2f=0\leqno(9.10)
$$
où $\omega$ est un nombre réel positif. L'équation caractéristique
est $k^2+\omega^2=0$, ses solutions sont $k_1=i\omega$ et $k_2=-i\omega$.
Les solutions de(9.10) sont donc de la forme
$$
f(x)=\lambda_1e^{i\omega x}+\lambda_2e^{-i\omega x}.
\leqno(9.11)
$$
Grâce aux formules d'Euler, on peut aussi les écrire de manière
équivalente en termes des fonctions $\cos$ et $\sin\,$:
$$
f(x)=\lambda \cos(\omega x)+\mu\,\sin(\omega x).
\leqno(9.12)
$$
Sous cette dernière écriture, les solutions réelles sont obtenues 
pour des coefficients $\lambda,\,\mu$ réels. Dans ce cas, si on pose
$\rho= \sqrt{\lambda^2+\mu^2}$ ({«\?}amplitude des oscillations\rguil), 
on~peut trouver un angle $\varphi$ (appelé «\?
phase\rguil) tel que $\cos(\varphi)=\lambda/\rho$ et 
$\sin(\varphi)=-\mu/\rho$, ce~qui donne l'expression équivalente
$$
f(x)=\rho \cos(\omega x+\varphi)
\leqno(9.12')
$$
avec des constantes $\rho,\,\varphi$ quelconques.
\medskip

{\bf (9.13) Remarque.} Plus généralement, pour une équation 
$af''+bf'+cf=0$ à coefficients réels avec $\Delta=b^2-4ac<0$, on a 
deux racines conjuguées $k_1=-{b\over 2a}+i\omega$, 
$k_2=-{b\over 2a}-i\omega$ avec $\omega=\sqrt{|\Delta|}$.
Ceci donne les solutions
$$
f(x)=e^{-{b\over 2a}x}\big(\lambda_1e^{i\omega x}+\lambda_2e^{-i\omega x}\big)
$$
ou encore
$$
f(x)=e^{-{b\over 2a}x}\big(\lambda \cos(\omega x)+\mu\,\sin(\omega x)\big),
\leqno(9.14)
$$
les solutions réelles étant obtenues pour $\lambda,\,\mu$ réels. Une autre
écriture équivalente consiste à poser
$$
f(x)=\rho\,e^{-{b\over 2a}x}\,\cos(\omega x+\varphi)
\leqno(9.14')
$$
avec des constantes $\rho,\,\varphi$ quelconques (fonction 
{«\?}oscillante amortie\rguil, si $b/a>0$).
\medskip

Nous n'aborderons pas ici les questions de physique directement
liées à la résolution des équations différentielles d'ordre $2$, et qui
devraient venir enrichir le cours de mathé\-matiques$\,$:
ondes, oscillations du pendule ou du peson à ressort, 
phénomènes oscillatoires amortis $\,\ldots$

\section{10. Conclusions}

Le mathématicien René Thom a souligné il y a plusieurs décennies
que la {«\?}connaissance intime\?» du nombre n'existe que si 
tout nombre peut être conçu comme le résultat possible des diverses
opérations mathématiques susceptibles d'être appliquées.

Il existe une continuité très forte entre l'apprentissage de la numération 
(énumérer $1$, $2$, $3$, $4$, $\ldots$ aux premiers âges), celui des petits
nombres jusqu'à la centaine un peu plus tard, l'acquisition 
des algorithmes opératoires du calcul écrit, le calcul mental, l'estimation
correcte des ordres de grandeur et le calcul approché. Tous ces apprentissages
sont liés à une intuition fine des grandeurs physiques (longueurs, poids, 
aires,
volumes, $\ldots$), à leur expression en termes des unités fondamentales 
et leurs sous-unités, prémices de ce qui sera le calcul dimensionnel des
physiciens et le calcul algébrique des mathématiciens au collège et au lycée.
Le calcul écrit
permet à l'élève de soulager sa mémoire lorsqu'il effectue ses premiers pas,
il l'aide à fixer ses connaissances de manière solide, et il est surtout
totalement nécessaire à la maîtrise des algorithmes opératoires sur des
nombres de taille quelconque$\,$; le calcul
mental, indispensable dans la vie courante, utilise des procédures un peu 
différentes de celles du calcul écrit mais repose sur les mêmes fondements,
à savoir une connaissance parfaitement fluide des tables d'opérations. La
connaissance de la table de multiplication et le calcul des 
puissances de 10 (qui sont des opérations exactes$\,$!) sont essentiels 
à la maîtrise fine et contrôlée des ordres de grandeur, même si une
intuition de la taille des nombres pré-existe sans doute dans
le cerveau humain.

L'algorithme général de la division est le plus complet de tous
puisqu'il implique à la fois addition, multiplication et soustraction.
Il est extrêmement utile dans la maîtrise des ordres de grandeur du 
calcul approché$\,$: trouver
le bon chiffre au diviseur requiert déjà une évaluation rapide du
résultat d'une multiplication par un nombre à un chiffre. Plus tard, au 
collège, l'algorithme de la division appuyé par la manipulation des racines
carrées doit constituer le fondement du calcul approché sur les nombres
décimaux. La pratique des encadrements décimaux avec une précision
quelconque aussi grande qu'on le souhaite permet à l'élève d'accéder de manière
rigoureuse à la notion de nombre réel, et au delà, au lycée, à toute l'analyse
mathématique.

C'est ainsi que l'enseignement du calcul est lié de manière fondamentale
à celui de toutes les sciences. D'abord parce qu'il intervient 
sous la forme de la mesure des grandeurs et de la vérification des lois
physiques dans les sciences expérimentales. Mais aussi parce 
que le calcul approché sur les nombres décimaux et la notion de limite
constituent les fondements de l'analyse mathématique et du calcul
différentiel, et que ceux-ci sont deux piliers essentiels sur lesquels 
viennent s'appuyer toutes les sciences exactes ou expérimentales, chaque
fois que leurs lois doivent être modélisées sous forme mathématique.

Les programmes actuels du primaire, dans leur esprit tout autant que
par les méthodes pédagogiques qu'ils présupposent,
déconnectent l'appren\-tissage de la numé\-ration de celui des quatre
opérations, ainsi que celui des quatre opérations entre elles.  Ils
mini\-misent de manière dramatique l'importance de la maîtrise des
algorithmes du calcul écrit et par contre-coup obèrent gravement
l'apprentissage du calcul mental. Ils ne prennent pas en charge de
manière efficace les calculs sur les grandeurs (le lien entre
longueur, aire et volumes a presque disparu, les volumes ont disparu
au profit des seules {«\?}contenances\rguil). Ils conduisent de tous
ces points de vue à un retard qu'on peut estimer à deux années ou plus
par rapport aux programmes de la période 1880--1970. L'organisation
des études et tous les programmes de sciences du collège et du lycée
sont eux-mêmes à reprendre si l'on veut aboutir à une situation où les 
élèves soient réellement en mesure d'accéder en grand nombre à une
véritable culture scientifique -- assise non pas
seulement sur une imprégnation superficielle mais sur une
réelle compréhension des mécanismes fondamentaux.

C'est bien là que se situent les enjeux si notre pays veut
réellement enrayer la désaf\-fec\-tion pour les études scientifiques
constatée dans tous les nations occidentales. Au delà du manque de
reconnaissance de la valeur du savoir dans notre société, ce
phénomène nous paraît tenir en grande partie aux difficultés scolaires
rencontrés par les élèves face à des programmes décousus substituant
un catéchisme scolaire dogmatique à une compréhension intériorisée et
approfondie, et entraînant par là même ennui, désintérêt ou refus. Il
ne suffira pas de décréter chaque année une Semaine de la Science ou
de mettre en place des séries de conférences de Culture Scientifique
en fin de lycée ou en début d'université. Toutes les progressions
scolaires déstructurées par des réformes incohérentes et
inconsistantes depuis trois ou quatre décennies sont malheureusement à
repenser, et les réformes à envisager sont donc considérables. Compte
tenu de la perte d'expérience engendrée dans tout le système de formation
par la dégradation ou l'abandon de pans essentiels de l'enseignement 
(calcul, géométrie, 
grammaire, orthographe, syntaxe de la langue, logique$\,\ldots$), les réformes
ne pourront  vraisemblablement se faire que par paliers successifs,
au moyen d'expérimentations approfondies sur le terrain.
\chapterjump

\notthispage=\pageno
\chapterrunning{III.}
\phantom{$\ $}
\bigskip
\title{Chapitre III :}

\title{Théorie élémentaire de l'intégration :}
\title{l'intégrale de Henstock-Kurzweil}
\title{pour les fonctions d'une variable}
\titlerunning{Chapitre III. Théorie élémentaire de l'intégration :
l'intégrale de Henstock-Kurzweil}
\bigskip
\centerline{\twelvebf Jean-Pierre Demailly}\medskip
\centerline{\twelverm  Université Joseph Fourier Grenoble I}
\smallskip
\centerline{\tt 
http://www-fourier.ujf-grenoble.fr/$\,\tilde{}\,$demailly/books.html}
\medskip
\centerline{version du 7 mars 2011}
\vskip0.4cm

\section{Introduction}
\medskip

L'objectif de ce texte est de proposer une «\?trame\?» pour
l'enseignement de l'intégration depuis le lycée jusqu'aux
premières années de l'université. Pour cela, nous développons
les bases de la théorie de l'intégration telles qu'elles ont
été posées et grandement éclaircies par Jaroslav Kurzweil et
Ralph Henstock à la fin des années 1950. Au fil des chapitres, le niveau
mathématique de l'exposition glisse progressivement d'un niveau très
élémentaire jusqu'à un niveau de second cycle universitaire.

Même si au début une partie des résultats doit être admise ou
démontrée de manière heuristique du fait des contraintes de
temps ou des prérequis, nous pensons que la démarche
mathématique utilisée dans l'enseignement doit respecter chaque
fois que cela est possible les principes d'une progression par
généralisations successives compatibles avec les exposés qui ont
précédé («\?progression concentrique\?»). Il est donc
très utile d'introduire dès le début des définitions qui sont
susceptibles d'être rendues rigoureuses et formalisées, et d'adopter
un ordre de présentation des concepts et une articulation logique
tels que la théorie n'aura pas à être substantiellement
changée le jour où viendra la formalisation complète.%
\note{1}{%
À l'heure actuelle, l'intégration est souvent
abordée en plusieurs étapes qui sont les suivantes~:\\
a) En terminale, une première étape qui consiste à introduire
l'intégrale comme «\?aire sous la courbe\?», avec un état d'esprit
qui se ressent obligatoirement de l'appau\-vris\-sement continuel de
la conceptu\-alisation depuis 2 décennies. Il en résulte qu'il est
devenu très difficile de formaliser complètement la théorie, ce
qui veut probablement dire qu'on ne peut guère espérer que le
cours donne de véritables démonstrations, mais seulement au mieux
quelques indications de preuves complétées par des
considérations heuristiques.\\
b) Dans les premières années d'université, les enseignants
présentent en général une version plus ou moins édulcorée de
la théorie de «\?l'intégrale de Riemann\?», à l'aide
d'encadrements par des fonctions en escalier, et des preuves qui
tendent de plus en plus à disparaître du fait du recul des
connaissances fondamentales requises (pratique des $\varepsilon$ et
$\delta$, continuité uniforme, ...)\\
c) En Master 1ère année apparaîtra dans les bons cas une
théorie plus solide de l'inté\-gration reposant sur la théorie
de la mesure et l'intégrale de Lebesgue. Mais il est de
notoriété publique que ce sujet qui fâche a tendance aujourd'hui
à être de moins en moins traité, surtout dans les filières
dites «\?Master enseignement\?».
\\
Cette situation présente de nombreux inconvénients. La théorie
de l'intégrale de Riemann n'est pas une «\?bonne théorie\?», ni du
point de vue didactique ni du point de vue mathématique. La
présentation n'en est pas très simple~: il faut mani\-puler
constamment des encadrements de fonctions, utiliser la continuité
uniforme pour démontrer l'intégrabilité des fonctions continues,
faire des découpages de $\varepsilon$ et $\delta$ parfois peu
éclai\-rants.  Il y a de nombreuses restrictions ou pathologies, des
théorèmes essentiels comme ceux de la convergence monotone ne sont
pas valables, etc.  Plus tard, l'introduction de l'intégrale de
Lebesgue viendra balayer ce travail en montrant qu'il s'agissait en
fait d'une théorie bancale et incomplète. Si les étudiants
échappent à l'intégrale de Lebesgue -- comme cela arrive à un
nombre de plus en plus grand de CAPESiens -- ils n'auront donc jamais
eu l'occasion de se voir exposer une théorie «\?sérieuse\?»  de
l'intégration, ce qui est préoccupant.}

Le choix de l'intégrale de Kurzweil-Henstock présente l'avantage
de fournir des défini\-tions assez simples -- peut-être plus
simples que celle de Riemann puisque les encadre\-ments de fonctions
ne sont plus nécessaires, que l'on n'a plus besoin de la
continuité uniforme, que tous les théorèmes de base se
démontrent en quelques lignes -- et, en même temps, d'être assez
puissante pour contenir les parties élémentaires de la théorie
de Lebesgue~... Dans ces conditions, il paraît quelque peu
anachronique que la théorie n'ait pas encore trouvé sa juste place
dans l'enseignement$\,$!

Nous suivons ici d'assez près le livre «\?Introduction to gauge 
integrals\?» de Charles Swartz [Sw], en l'allé\-geant autant que
faire se peut, pour atteindre très rapidement la preuve des
théorèmes fondamentaux (rapport entre intégration et primitive,
intégration par parties, changement de variable, dérivabilité
des intégrales indéfinies de fonctions continues...).  Nous
développons ensuite les résultats plus spécifiques à la
théorie de Kurzweil-Henstock pour atteindre les théorèmes de
convergence monotone et dominée.  L'existence de la mesure de
Lebesgue et ses propriétés fondamentales figurent parmi les
conséquences directes, sans qu'il y ait besoin d'introduire au
préalable le langage général des tribus et des mesures
dénombrablement additives. Les étudiants auront donc en fait un
premier exemple motivant sous la main lorsque ces notions plus
générales seront introduites. Enfin, les définitions ad hoc des
diverses intégrales généralisées, impropres et
semi-convergentes deviennent également accessoires, puisque toutes
ces notions peuvent être exprimées en une seule définition
naturelle contenant les cas utiles~: l'intégrale de
Kurzweil-Henstock autorise par nature même la «\?semi-convergence\?» ...

Les premières étapes nous paraissent éventuellement utilisables au
lycée, à condition d'ad\-mettre quelques-unes des démonstrations
-- et en prenant comme perspective que c'est l'inté\-grale de
Kurzweil-Henstock qui sera développée ensuite, de sorte que les
énoncés présentant des hypothèses artificielles superflues
n'ont pas lieu d'être. 

Le cours qui suit a été à l'origine inspiré par des notes
synthétiques rédigées par Eric Charpentier [Ch] à
l'Univer\-sité de Bordeaux autour de 2002, et fait des emprunts à de
multiples sources (cf.\ bibliographie). Ces notes ont été
ensuite développées sous forme de cours polycopié par Jean-Yves
Briend à Marseille [Br] (après que je l'ai informé des
suggestions d'Eric Charpentier). Le présent texte  
a fait l'objet de plusieurs rédactions successives
depuis l'automne 2005, et a lui-même inspiré ultérieurement des
cours ou manuels mis en chantier par plusieurs collègues. Je
voudrais dans ce cadre signaler d'utiles remarques et questions
formulées par Xavier Buff, auteur du chapitre sur l'intégration 
pour le L2 dans la collection de manuels ``Licence-Tout-en-Un''
dirigée par Jean-Pierre Ramis et André Warusfel [RW], et remercier ces
deux derniers pour leur intérêt et leurs encouragements.

Nous renvoyons à notre site web pour un cours plus détaillé
sur la théorie de Henstock-Kurzweil.
Nous nous contenterons ici de donner seulement les premiers éléments de 
la théorie de l'intégration, mais avec un grand souci de rigueur.
Compte tenu de cette ambition, l'exposé est
nécessairement théorique, et donc beaucoup plus exigeant que
d'autres textes ou manuels qui se contentent de donner des techniques
de calcul, et qui s'appuient seulement sur une intuition de la notion
d'aire en lieu et place de justifications mathé\-ma\-tiques
complètes. Un prérequis indispensable est d'avoir déjà
assimilé l'art de couper les $\varepsilon$ en quatre -- ou d'être
prêt à faire l'effort de creuser la question. Le public visé est
celui des élèves de Terminale très motivés -- la théorie de base 
ne fait jamais appel
à aucune notion qui dépasse le niveau du lycée. La plupart des
notes de bas de page sont destinés à des lecteurs plus avancés et 
ne peuvent normalement pas être comprises par des personnes qui
aborderaient la théorie pour la première fois$\,$; de même, les
passages marqués d'un * ou de deux ** peuvent être omis en
première lecture$\,$; les sections 7,~8 et 9 sont nettement 
moins élémentaires et relèvent de l'université.
\bigskip

\section{1. Sommes de Riemann}

Dans toute cette section, $a$ et $b$ désignent deux réels tels que $a<b$.
Soit $f$ une fonction, définie sur l'intervalle $[a,b]$, à
valeurs dans $\bR$. La portion du plan comprise entre le graphe de $f$
et l'axe horizontal est l'ensemble des couples $(x,y)$ tels que 
$$
0\le y\le f(x)~~\hbox{si $f(x)\ge 0$},\qquad
f(x)\le y\le 0~~\hbox{si $f(x)\le 0$}.
$$
Pour une fonction $f$ suffisamment régulière, nous souhaitons
évaluer l'aire $A$ de cette portion de plan, en comptant
positivement les surfaces situées au-dessus de l'axe
horizontal, et négativement celles situées
au-dessous (Fig.~1). Nous parlerons de «\?l'aire 
algébrique\?»\note{2}{L'approche des intégrales par les aires nous
paraît infiniment préférable à celle qui consiste à
introduire a priori l'intégrale par le calcul des primitives, ne
serait-ce que parce que cette façon de voir dépouille
l'intégrale de son sens géométrique (et qu'en outre elle
escamote l'unique façon de démontrer en général l'existence
des primitives...)} située sous le graphe de $f$.

\InsertPSFigure 10.000 65.000 {
1 mm unit
 0.900 setgray
   18.000  30.000 moveto  18.000  24.000 lineto 
[  18.000  24.000   25.000  14.000   43.000  49.000   60.000  16.000  
   75.000  40.000   80.000  40.000  ] curve 
   80.000  30.000 lineto
closepath fill
 0.000 setgray
  5.000  30.000 moveto 
 97.000   0.000 2.4 vector 
 10.000   5.000 moveto 
 55.000  90.000 2.4 vector 
 stroke
  0.200 setlinewidth
 18.000  24.000 moveto 
[  18.000  24.000   25.000  14.000   43.000  49.000   60.000  16.000  
   75.000  40.000   80.000  40.000  ] curve 
stroke 
 18.000  30.000 moveto   0.700   0.000 indent 
 80.000  30.000 moveto   0.700   0.000 indent 
[   1.000   0.500 ] 0 setdash 
 18.000  28.500 moveto  18.000  24.000 lineto stroke
 80.000  31.500 moveto  80.000  40.000 lineto stroke
}
\LabelTeX   17.000  32.500 $a$\ELTX
\LabelTeX   79.300  26.000 $b$\ELTX
\LabelTeX  100.500  26.200 $x$\ELTX
\LabelTeX    6.200  58.000 $y$\ELTX
\LabelTeX   46.200  49.800 $f$\ELTX
\LabelTeX   22.000  22.000 $A_1^{(-)}$\ELTX
\LabelTeX   39.000  37.000 $A_2^{(+)}$\ELTX
\LabelTeX   56.000  22.000 $A_3^{(-)}$\ELTX
\LabelTeX   71.500  34.000 $A_4^{(+)}$\ELTX
\LabelTeX   20.000   6.000 $A=A_1+A_2+A_3+A_4=-|A_1|+|A_2|-|A_3|+|A_4|$\ELTX
\EndFig
\centerline{{\bf Fig.~1.} Aire algébrique située sous le graphe de $f$.}
\medskip

L'idée est de découper l'intervalle $[a,b]$ au moyen d'une subdivision
en sous-intervalles $[a_j,a_{j+1}]$, puis de sommer les aires de rectangles
basés sur les intervalles $[a_j,a_{j+1}]$. La~figure 2 ci-dessous
résume le procédé.

\InsertPSFigure 10.000 66.000 {
/riem {/y exch 30.0 add def /a2 exch def /a1 exch def
   a1 30.000 moveto  a1 y lineto  a2 y lineto  a2 30.000 lineto } def
1 mm unit
 0.900 setgray
   18.000  30.000 moveto  18.000  24.000 lineto 
[  18.000  24.000   25.000  14.000   43.000  49.000   60.000  16.000  
   75.000  40.000   80.000  40.000  ] curve 
   80.000  30.000 lineto
closepath fill
  1.000   0.840   0.840 setrgbcolor
 44.000  49.000  17.000 riem fill
 0.000 setgray
 49.000  53.000 moveto   0.000 180.000 2.4 vector
 44.000  53.000 moveto   0.000   0.000 2.4 vector
 44.000  53.000 moveto  49.000  53.000 lineto stroke
  5.000  30.000 moveto  97.000   0.000 2.4 vector 
 10.000   5.000 moveto  55.000  90.000 2.4 vector 
  0.200 setlinewidth
 18.000  24.000 moveto 
[  18.000  24.000   25.000  14.000   43.000  49.000   60.000  16.000  
   75.000  40.000   80.000  40.000  ] curve 
stroke 
  0.113 setlinewidth
  1.000   0.000   1.000 setrgbcolor
 18.000  23.000 -10.000 riem stroke
 23.000  27.000 -16.000 riem stroke
 27.000  32.000 -15.000 riem stroke
 32.000  36.000   5.000 riem stroke
 36.000  39.000  15.000 riem stroke
 39.000  44.000  19.000 riem stroke
 44.000  49.000  17.000 riem stroke
 49.000  52.000   6.000 riem stroke
 52.000  54.000  -6.000 riem stroke
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 58.000  63.000 -14.000 riem stroke
 63.000  67.000  -7.000 riem stroke
 67.000  71.000   5.000 riem stroke
 71.000  74.000   9.000 riem stroke
 74.000  80.000  10.000 riem stroke
  0.300 setlinewidth
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 18.000   8.000 moveto 0.7  0 indent
 23.000   8.000 moveto 0.7  0 indent
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 32.000   8.000 moveto 0.7  0 indent
 36.000   8.000 moveto 0.7  0 indent
 39.000   8.000 moveto 0.7  0 indent
 44.000   8.000 moveto 0.7  0 indent
 49.000   8.000 moveto 0.7  0 indent
 52.000   8.000 moveto 0.7  0 indent
 54.000   8.000 moveto 0.7  0 indent
 58.000   8.000 moveto 0.7  0 indent
 63.000   8.000 moveto 0.7  0 indent
 67.000   8.000 moveto 0.7  0 indent
 71.000   8.000 moveto 0.7  0 indent
 74.000   8.000 moveto 0.7  0 indent
 80.000   8.000 moveto 0.7  0 indent
 18.000  30.000 moveto 0.7  0 indent
 23.000  30.000 moveto 0.7  0 indent
 27.000  30.000 moveto 0.7  0 indent
 32.000  30.000 moveto 0.7  0 indent
 36.000  30.000 moveto 0.7  0 indent
 39.000  30.000 moveto 0.7  0 indent
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 52.000  30.000 moveto 0.7  0 indent
 54.000  30.000 moveto 0.7  0 indent
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 67.000  30.000 moveto 0.7  0 indent
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 74.000  30.000 moveto 0.7  0 indent
 80.000  30.000 moveto 0.7  0 indent
  0.000 setgray
 10.000  47.000 moveto 0.7 90 indent
  0.000   0.000   1.000 setrgbcolor
 20.000   8.000 moveto 0.5 disk
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 47.000   8.000 moveto 0.5 disk
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  0.000 setgray
  0.113 setlinewidth
 15.000   8.000 moveto  85.000   8.000 lineto stroke
 [ 1.000 0.500 ] 0 setdash
 11.500  47.000 moveto  43.700  47.000 lineto stroke
 47.000  47.000 moveto  47.000  31.000 lineto stroke
  1.000   0.000   1.000 setrgbcolor
 44.000   9.000 moveto  44.000  29.000 lineto stroke
 49.000   9.000 moveto  49.000  29.000 lineto stroke
}
\LabelTeX   17.000  32.500 $a$\ELTX
\LabelTeX   79.300  26.000 $b$\ELTX
\LabelTeX  100.500  26.200 $x$\ELTX
\LabelTeX    6.200  58.000 $y$\ELTX
\LabelTeX    0.000  46.000 $f(x_j)$\ELTX
\LabelTeX   52.000  40.200 $f$\ELTX
\LabelTeX   17.000   5.000 $\RGBColor{1 0 0}{a_0}$\ELTX
\LabelTeX   42.800   5.000 $\RGBColor{1 0 0}{a_j}$\ELTX
\LabelTeX   48.000   5.000 $\RGBColor{1 0 0}{a_{j+1}}$\ELTX
\LabelTeX   79.000   5.000 $\RGBColor{1 0 0}{a_N}$\ELTX
\LabelTeX   45.200  26.800 $\RGBColor{0 0 1}{x_j}$\ELTX
\LabelTeX   45.200  10.600 $\RGBColor{0 0 1}{x_j}$\ELTX
\LabelTeX   45.800  55.800 $h_j$\ELTX
\LabelTeX   87.200   7.500 $\Big\}D$\ELTX
\EndFig
\centerline{{\bf Fig.~2.} Somme de Riemann associée à $f$ sur $D$.}
\vskip4mm

La somme des aires des rectangles figurés ci-dessus est donnée par
$\displaystyle
\smash{\sum_{j=0}^{N-1} f(x_j)(a_{j+1}-a_j)},$
et on est ainsi conduit à poser la définition suivante.
\medskip

{\bf (1.1) Définition.} {\it 
{\parindent=6.5mm
\item{\rm (a)} On appelle «\?subdivision pointée\?» de 
l'intervalle $[a,b]$ la donnée
de $N+1$ points
$$
a=a_0<a_1<\ldots<a_{N-1}<a_N=b
$$
et de $N$ points $x_0,\,x_1,\ldots,\,x_{N-1}$ tels que
$$
\forall j=0,1,\ldots,N-1,\qquad x_j\in[a_j,a_{j+1}].
$$
Elle sera notée
$$
D=\{([a_j,a_{j+1}],x_j)\}_{0\le j<N}.
$$
Les réels $h_j=a_{j+1}-a_j$ $($amplitudes des intervalles$)$ sont les
«\?pas\?» de la subdivision.
\smallskip
\item{\rm (b)} Soit $D$ une subdivision pointée de l'intervalle $[a,b]$ 
et $f$ une fonction de $[a,b]$ dans~$\bR$. On appelle «\?somme de 
Riemann\?» associée à $f$ sur $D$, le réel
$$
\boxed{18}{
S_D(f) = \sum_{j=0}^{N-1} f(x_j)(a_{j+1}-a_j)=
\sum_{j=0}^{N-1} f(x_j)\,h_j.}
$$
}}

La somme de Riemann $S_D(f)$ est l'aire algébrique de la réunion
des rectangles de largeur $h_j$ et de hauteur $f(x_j)$ (Fig.~2). 
Il s'agit bien d'une aire algébrique, 
puisque $f(x_j)h_j$ est compté positivement si $f(x_j)>0$ et
négativement si $f(x_j)<0$. 

Intuitivement l'aire $A$ cherchée est la limite de $S_D(f)$ quand
les pas $h_j$ tendent vers~$0$. Un choix possible consiste par exemple
à prendre une subdivision en sous-intervalles égaux
$$
a_j=a+jh=a+j{b-a\over N},\quad 0\le j\le N\quad\hbox{où}\quad
h_j=h={b-a\over N},
$$ 
que l'on peut combiner avec un choix quelconque des points $x_j$.
\medskip

{\bf (1.2) Exemple.} Comme premier exemple, considérons la fonction 
identité $f(x)=x$ sur l'intervalle $[0,1]$. Pour $N\geq 1$, posons~:
$$
a_0=0\,,\;a_1={1\over N}\,,\ldots,\;a_j={j\over N}\,,\ldots,\;
a_N=1
$$
Les pas de cette subdivision sont tous égaux à $1/N$. Voici trois
calculs de sommes de Riemann, selon que l'on place les points $x_j$ au
début, au milieu ou à la fin des intervalles $[a_j,a_{j+1}]$
(rappelons que la somme des $N$ premiers entiers vaut $N(N+1)/2$).
$$
\leqalignno{
&\kern15pt x_j=a_j~:\kern49pt
S_D(f) = \sum_{j=0}^{N-1} {j\over N}\,{1\over N}
= {1\over N^2}\sum_{j=0}^{N-1} j = {N-1\over 2N}\;,
&(1.2\,{\rm a})\cr
&\kern15pt x_j={a_j+a_{j+1}\over 2}~:\kern15pt
S_D(f) = \sum_{j=0}^{N-1}{2j+1\over 2N}\,{1\over N}
= {1\over 2N^2}\sum_{j=0}^{N-1} 2j+1 = {1\over 2}\;,
&(1.2\,{\rm b})\cr
&\kern15pt x_j=a_{j+1}~:\kern40pt
S_D(f) = \sum_{j=0}^{N-1} {j+1\over N}\,{1\over N}
= {1\over N^2}\sum_{j=0}^{N-1} j+1 = {N+1\over 2N}\;.
&(1.2\,{\rm c})\cr} 
$$
La seconde somme est égale à $1/2$ pour tout $N$, les deux autres
tendent vers $1/2$ quand $N$ tend vers l'infini. L'aire du triangle
sous le graphe de la fonction est bien $1/2\;$:

\InsertPSFigure 30.000 59.000 {
/riem {/y exch 10.0 add def /a2 exch def /a1 exch def
   a1 10.000 moveto  a1 y lineto  a2 y lineto  a2 10.000 lineto } def
1 mm unit
 1 0 0 setrgbcolor
 10.000  15.000   5.000 riem gsave 1 0.9 0.9 setrgbcolor fill grestore stroke
 15.000  20.000  10.000 riem gsave 1 0.9 0.9 setrgbcolor fill grestore stroke
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 25.000  30.000  20.000 riem gsave 1 0.9 0.9 setrgbcolor fill grestore stroke
 30.000  35.000  25.000 riem gsave 1 0.9 0.9 setrgbcolor fill grestore stroke
 35.000  40.000  30.000 riem gsave 1 0.9 0.9 setrgbcolor fill grestore stroke
 40.000  45.000  35.000 riem gsave 1 0.9 0.9 setrgbcolor fill grestore stroke
 45.000  50.000  40.000 riem gsave 1 0.9 0.9 setrgbcolor fill grestore stroke
 0 1 0 setrgbcolor
 10.000  15.000   2.500 riem gsave 0.9 1 0.9 setrgbcolor fill grestore stroke
 15.000  20.000   7.500 riem gsave 0.9 1 0.9 setrgbcolor fill grestore stroke
 20.000  25.000  12.500 riem gsave 0.9 1 0.9 setrgbcolor fill grestore stroke
 25.000  30.000  17.500 riem gsave 0.9 1 0.9 setrgbcolor fill grestore stroke
 30.000  35.000  22.500 riem gsave 0.9 1 0.9 setrgbcolor fill grestore stroke
 35.000  40.000  27.500 riem gsave 0.9 1 0.9 setrgbcolor fill grestore stroke
 40.000  45.000  32.500 riem gsave 0.9 1 0.9 setrgbcolor fill grestore stroke
 45.000  50.000  37.500 riem gsave 0.9 1 0.9 setrgbcolor fill grestore stroke
 0 0 1 setrgbcolor
  0.250 setlinewidth
 10.000  10.200 moveto  15.000  10.200 lineto stroke
  0.113 setlinewidth
 15.000  20.000   5.000 riem gsave 0.9 0.9 1 setrgbcolor fill grestore stroke
 20.000  25.000  10.000 riem gsave 0.9 0.9 1 setrgbcolor fill grestore stroke
 25.000  30.000  15.000 riem gsave 0.9 0.9 1 setrgbcolor fill grestore stroke
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 35.000  40.000  25.000 riem gsave 0.9 0.9 1 setrgbcolor fill grestore stroke
 40.000  45.000  30.000 riem gsave 0.9 0.9 1 setrgbcolor fill grestore stroke
 45.000  50.000  35.000 riem gsave 0.9 0.9 1 setrgbcolor fill grestore stroke
  0.0 setgray
  5.000  10.000 moveto  60.000   0.000 2.4 vector 
 10.000   5.000 moveto  48.000  90.000 2.4 vector 
  0.250 setlinewidth
 10.000  10.000 moveto  50.000  50.000 lineto stroke
}
\LabelTeX   7.200   6.400 $0$\ELTX
\LabelTeX  63.200   6.400 $x$\ELTX
\LabelTeX  49.200   6.400 $1$\ELTX
\LabelTeX   1.500  50.000 $f(x)$\ELTX
\EndFig
\centerline{{\bf Fig.~3.} 
Sommes de Riemann associées à l'identité sur $[0,1]$.}
\medskip

{\bf (1.3) Exemple*.} Nous considérons ici une situation où la fonction $f$
n'est plus bornée. On prend $[a,b]=[0,1]$ et $f$ telle que
$f(x)=1/\sqrt{x}$ si $x\in{}]0,1]$ et $f(0)=0$. On introduit une subdivision 
pointée $D=\{([a_j,a_{j+1}],x_j)\}_{0\le j<N}$ telle que $a_j=(j/N)^2$
pour $0\le j\le N$ et on pose $x_j=(t_j/N)^2$ avec $t_j\in[j,j+1]$.
On a alors  $a_{j+1}-a_j=(2j+1)/N^2$ et $f(x_j)=N/t_j$ si $t_j>0$, d'où
$$
S_D(f)={1\over N}\sum_{0\le j\le N-1,\,t_j>0}{2j+1\over t_j}.
$$
\InsertPSFigure 30.000 54.000 {
/riem {/y exch 0.5 mul 10.0 add def /a2 exch def /a1 exch def
   a1 10.000 moveto  a1 y lineto  a2 y lineto  a2 10.000 lineto } def
1 mm unit
 1 0 0 setrgbcolor
 10.000  10.625  80.000 riem gsave 1 0.9 0.9 setrgbcolor fill grestore stroke
 10.625  12.500  26.667 riem gsave 1 0.9 0.9 setrgbcolor fill grestore stroke
 12.500  15.625  16.000 riem gsave 1 0.9 0.9 setrgbcolor fill grestore stroke
 15.625  20.000  11.429 riem gsave 1 0.9 0.9 setrgbcolor fill grestore stroke
 20.000  25.625   8.889 riem gsave 1 0.9 0.9 setrgbcolor fill grestore stroke
 25.625  32.500   7.273 riem gsave 1 0.9 0.9 setrgbcolor fill grestore stroke
 32.500  40.625   6.154 riem gsave 1 0.9 0.9 setrgbcolor fill grestore stroke
 40.625  50.000   5.333 riem gsave 1 0.9 0.9 setrgbcolor fill grestore stroke
 0 0 1 setrgbcolor
 10.000  10.625  40.000 riem gsave 0.9 0.9 1 setrgbcolor fill grestore stroke
 10.625  12.500  20.000 riem gsave 0.9 0.9 1 setrgbcolor fill grestore stroke
 12.500  15.625  13.333 riem gsave 0.9 0.9 1 setrgbcolor fill grestore stroke
 15.625  20.000  10.000 riem gsave 0.9 0.9 1 setrgbcolor fill grestore stroke
 20.000  25.625   8.000 riem gsave 0.9 0.9 1 setrgbcolor fill grestore stroke
 25.625  32.500   6.667 riem gsave 0.9 0.9 1 setrgbcolor fill grestore stroke
 32.500  40.625   5.714 riem gsave 0.9 0.9 1 setrgbcolor fill grestore stroke
 40.625  50.000   5.000 riem gsave 0.9 0.9 1 setrgbcolor fill grestore stroke
  0.0 setgray
  5.000  10.000 moveto  60.000   0.000 2.4 vector 
 10.000   5.000 moveto  48.000  90.000 2.4 vector 
  0.250 setlinewidth
 10.356  50.000 moveto 
[  10.356  50.000   10.428  40.000   10.625  30.000   12.500  20.000   
   15.625  16.667   20.000  15.000   25.625  14.000   32.500  13.333
   40.625  12.857   50.000  12.500  ] curve 
stroke 
 10.000  10.000 moveto  0.400 disk
 10.000  12.500 moveto  0.400 90.0 indent
}
\LabelTeX   7.200   6.400 $0$\ELTX
\LabelTeX   7.200  11.700 $1$\ELTX
\LabelTeX  63.200   6.400 $x$\ELTX
\LabelTeX  49.200   6.400 $1$\ELTX
\LabelTeX   1.500  50.000 $f(x)$\ELTX
\EndFig
\centerline{{\bf Fig.~4.} 
Sommes de Riemann associées à $f(x)=1/\sqrt{x}$ sur $[0,1]$.}
\medskip
\noindent
Le choix le plus simple est $\RGBColor{1 0 0}{t_j=j+{1\over 2}}$, 
qui donne $\smash{{2j+1\over t_j}}=2$ et donc $S_D(f)=2$. Si on choisit 
plutôt $\RGBColor{0 0 1}{t_j=j+1}$,
on obtient la valeur minimale
possible pour $S_D(f)$, mais comme $\smash{{2j+1\over j+1}}\to 2$ quand
$j\to+\infty$, il est facile de voir que l'on a encore $S_D(f)\to 2$
pour $N\to+\infty$ (on peut observer par exemple que
$\smash{{2j+1\over j+1}}=2-\smash{{1\over j+1}}\ge 2-1/\sqrt{N}$ pour 
$\sqrt{N}\le j\le N$). Comme $a_{j+1}-a_j\le (2N-1)/N^2\to 0$
quand $N\to+\infty$, ce
calcul amène à penser que l'aire
du domaine non borné défini par $0<x\le 1$ et $0\le
y\le 1/\sqrt{x}$ est bien finie et égale à~$2$.\qed
\smallskip

Dans la suite, nous aurons besoin pour des raisons à la fois
théoriques et pratiques de considérer des sommes de Riemann
sur des subdivisions arbitraires. Il est facile de voir à
partir de la définition 1.1$\,$(b) que ces sommes
vérifient les propriétés suivantes.
\medskip

{\bf (1.4) Propriétés fondamentales.} {\it 
{\parindent=6.5mm
\item{\rm (a)} {\rm Linéarité.}
Si $f,g:[a,b]\to \bR$ sont des fonctions 
quelconques et $\lambda$,~$\mu$ des constantes réelles, alors
$$
\boxed{9}{S_D(\lambda f+\mu g)=\lambda S_D(f) +\mu S_D(g).}
$$
\item{\rm (b)} {\rm Monotonie.}
Si $f,g:[a,b]\to \bR$ sont des fonctions quelconques, alors
$$
\boxed{9}{f\ge g\quad \Rightarrow\quad S_D(f)\ge S_D(g).}
$$
En particulier, si $f\ge 0$, alors $S_D(f)\ge 0$.
\item{\rm (c)} {\rm Formule de Chasles.}
Soient $a<b<c$ des réels et $f$ une fonction définie sur $[a,c]$.
Si $D_1$ est une subdivision pointée de $[a,b]$ et $D_2$ une subdivision 
pointée de $[b,c]$, alors $D_1\cup D_2$
est une subdivision pointée de $[a,c]$ et
$$
\boxed{9}{S_{D_1\cup D_2}(f)=S_{D_1}(f) +S_{D_2}(f).}
$$}}

\section{2. Définition de l'intégrale d'une fonction}

La première idée qui vient à l'esprit est de considérer des
subdivisions pointées \hbox{$D=\{([a_j,a_{j+1}],x_j)\}_{0\le j<N}$}
dont les pas $h_j=a_{j+1}-a_j$ sont tels que $0<h_j\le\delta$ avec
$\delta$ tendant vers $0$, et de regarder si les sommes de Riemann de
Riemann $S_D(f)$ convergent bien vers une limite $A$. Cette limite sera alors
interprétée comme étant l'aire cherchée. On aboutit à
la définition suivante, qui est la définition historiquement
introduite par Cauchy et Riemann.

{\bf (2.1) Définition}. {\it Soit $f:[a,b]\to\bR$ une fonction quelconque.
On dit que $f$ est intégrable au sens de Riemann $($ou 
Riemann-intégrable$)$ s'il exis\-te un réel $A$ qui représente 
l'aire algébrique
située sous le graphe de $f$, tel que pour toute marge d'erreur
$\varepsilon>0$ donnée a priori, on peut trouver un réel
$\delta>0$ tel que pour toute subdivision pointée 
$D=\{([a_j,a_{j+1}],x_j)\}$ de $[a,b]$ on ait
$$
h_j=a_{j+1}-a_j\le\delta~~
\Rightarrow~~ |S_D(f)-A|\le\varepsilon.
$$
Le nombre réel $A$ de la définition 
précédente  est appelé intégrale de $f$ sur $[a,b]$ et noté
$$
A=\int_a^b f(x)\,dx.
$$
et on dit que $\smash{\int_a^b f(x)\,dx}$ est la limite des sommes 
de Riemann $S_D(f)$, lorsque le pas de la subdivision tend vers~$0$.}
\medskip

Dans cette définition, on peut par exemple se contenter de prendre une
subdi\-vision en $N$ sous-intervalles de pas constant $h={b-a\over N}$, 
et on obtient alors la conséquence immédiate suivante.
\medskip

{\bf (2.2) Convergence des sommes de Riemann.} {\it
Si $f:[a,b]\to\bR$ est une fonction intégrable au sens de Riemann, on a
$$
\boxed{16}{
\eqalign{
\int_a^bf(x)\,dx
&=\lim_{N\to+\infty}{b-a\over N}\sum_{j=0}^{N-1}f\Big(a+{j\over N}(b-a)\Big)
\kern37pt\hbox{$[$cas $x_j=a_j]$}\cr
&=\lim_{N\to+\infty}{b-a\over N}\sum_{j=1}^Nf\Big(a+{j\over N}(b-a)\Big)
\kern41pt\hbox{$[$cas $x_j=a_{j+1}]$}\cr
&=\lim_{N\to+\infty}{b-a\over N}\sum_{j=0}^{N-1}f\Big(a+{2j+1\over 2N}(b-a)
\Big)
\kern20pt\hbox{$\Big[$cas $\dsp x_j={a_j+a_{j+1}\over 2}\Big]$.}\cr
}}
$$}

Si l'aire $\int_a^bf(x)\,dx$ située sous le graphe de $f$ est connue
d'une manière ou d'une autre, on peut alors en déduire la valeur des
limites correspondantes$\,$; il faut savoir pour cela que la fonction
$f$ est intégrable au sens de Riemann, on démontrera plus tard
(cf.\ théorèmes 7.6 et 7.10) que c'est le cas si $f$ est 
continue ou continue par morceaux.
\medskip

{\bf (2.3) Exemple.} Considérons la somme
$$
{1\over N^2}\left(\sqrt{1\,(N-1)} + \sqrt{2\,(N-2)}
+ \ldots + \sqrt{(N-1)\,1}\;\right)
$$
qui peut aussi s'écrire~:
$$
{1\over N}\left(\sqrt{{1\over N}\left(1-{1\over N}\right)} +
\sqrt{{2\over N}\left(1-{2\over N}\right)} + \ldots +
\sqrt{\left(1-{1\over N}\right){1\over N}}\;\right).
$$
C'est une somme de Riemann associée à la fonction
$\dsp{x\rightarrow \sqrt{x(1-x)}}$ sur l'intervalle $[0,1]$. 
Sa limite, lorsque $n$ tend vers $+\infty$, est égale à~:
$\smash{\int_{0}^{1}\sqrt{x(1-x)}\, dx}$.
Or, le graphe $y=\sqrt{x(1-x)}$ de cette fonction est un demi-arc
du cercle $x^2-x+y=0$, soit encore 
$(x-{1\over 2})^2+y^2={1\over 4}$, c'est donc un demi-cercle 
de centre $\smash{{1\over 2}}$ et de rayon
$\smash{{1\over 2}}$. La limite de la sommation est égale à
l'aire du demi-disque, qui vaut $\pi/8$.\qed
\medskip

Cependant, on s'aperçoit assez vite que la définition de
l'intégrabilité au sens de Riemann impose des restrictions
assez gênantes sur la fonction~$f\,$:
\medskip

{\bf (2.4) Condition nécessaire.} {\it Toute fonction $f$ 
Riemann-intégrable est~bornée. }

{\it Démonstration.} En effet, selon la définition 2.1, 
prenons $\delta>0$ donnant une erreur au plus $\varepsilon$.
Pour une subdivision $D$ de pas constant $h\le\delta$, à savoir 
$h=(b-a)/N$ avec $N\ge(b-a)/\delta$, nous devons avoir la majoration
$|S_D(f)-A|\le\varepsilon$, donc
$$
|S_D(f)|=\Big|{b-a\over N}\sum_{0\le j<N}f(x_j)\Big|\le |A|+\varepsilon
~~\Rightarrow
\bigg|\sum_{0\le j<N}f(x_j)\bigg|\le{N\over b-a}(|A|+\varepsilon),
$$
ceci pour tout choix des points 
$x_j\in[a_j,a_{j+1}]$. Choisissons pour l'un des points $x_j$ un
point $x\in[a,b]$ quelconque, et pour les autres les points $a_j$ de
la subdivision. Il vient alors
$$
\forall x\in[a,b],\qquad |f(x)|\le \sum_{0\le j<N}|f(a_j)|
+{N\over b-a}(|A|+\varepsilon),
$$
ce qui montre que $f$ doit être bornée.\qed
\medskip

Cette restriction que $f$ soit bornée est très gênante, puisqu'on 
a vu à l'exemple (1.3) qu'il existait des fonctions non
bornées pour lesquelles l'aire située sous le graphe est
finie et calculable sans difficulté. D'autre part, d'un point de vue
concret de calcul numérique,
on peut être amené à faire des calculs d'aires pour des fonctions
bornées qui «\?oscillent plus\?» à certains endroits
qu'à d'autres~:

\vbox{%
\InsertPSFigure 10.000 66.000 {
/riem {/y exch 10.0 add def /a2 exch def /a1 exch def
   a1 10.000 moveto  a1 y lineto  a2 y lineto  a2 10.000 lineto } def
1 mm unit
  1.000   0.840   0.840 setrgbcolor
 27.000  32.000  22.000 riem fill
  0.000 setgray
  5.000  10.000 moveto  97.000   0.000 2.4 vector 
 10.000   5.000 moveto  55.000  90.000 2.4 vector 
 27.000  53.000 moveto  32.000  53.000 lineto stroke
 27.000  53.000 moveto   0.000   0.000 2.4 vector
 32.000  53.000 moveto   0.000 180.000 2.4 vector
  0.200 setlinewidth
 18.000  24.000 moveto 
[  18.000  24.000   25.000  27.000   
   43.000  49.000   44.000  42.000  
   46.000  30.000   46.500  31.000   
   48.400  39.000   49.000  40.000   49.500  39.200   
   51.400  29.000   52.000  28.000   52.500  29.200
   55.400  41.000   56.000  42.000   56.500  39.200   
   60.000  22.000   75.000  40.000   80.000  40.000  ] curve 
stroke 
 10.000  32.000 moveto   0.700  90.000 indent 
 18.000  10.000 moveto   0.700   0.000 indent 
 80.000  10.000 moveto   0.700   0.000 indent 
  0.113 setlinewidth
 [ 1.000 0.500 ] 0 setdash
 27.000  32.500 moveto  27.000 52.500 lineto stroke
 32.000  32.500 moveto  32.000 52.500 lineto stroke
 11.000  32.000 moveto  26.500 32.000 lineto stroke
 29.800  11.000 moveto  29.800 31.500 lineto stroke
 29.800  10.000  moveto 0.5 disk
 [ ] 0 setdash
  1.000   0.000   1.000 setrgbcolor
 18.000  23.000  15.000 riem stroke
 23.000  27.000  17.000 riem stroke
 27.000  32.000  22.000 riem stroke
 32.000  36.000  29.000 riem stroke
 36.000  39.000  36.000 riem stroke
 39.000  41.000  40.000 riem stroke
 41.000  43.000  40.500 riem stroke
 43.000  44.000  37.000 riem stroke
 44.000  45.000  29.000 riem stroke
 45.000  46.000  19.500 riem stroke
 46.000  47.000  21.000 riem stroke
 47.000  48.000  25.000 riem stroke
 48.000  49.000  30.000 riem stroke
 49.000  50.000  29.500 riem stroke
 50.000  51.000  22.000 riem stroke
 51.000  52.000  19.000 riem stroke
 52.000  53.000  18.500 riem stroke
 53.000  54.000  22.000 riem stroke
 54.000  55.000  28.000 riem stroke
 55.000  56.000  31.000 riem stroke
 56.000  57.000  30.500 riem stroke
 57.000  58.000  15.500 riem stroke
 58.000  59.000  13.500 riem stroke
 59.000  63.000  12.000 riem stroke
 63.000  65.000  13.000 riem stroke
 65.000  68.000  18.000 riem stroke
 68.000  71.000  25.000 riem stroke
 71.000  74.000  29.000 riem stroke
 74.000  80.000  30.000 riem stroke
}
\LabelTeX   17.000   6.500 $a$\ELTX
\LabelTeX   79.300   6.500 $b$\ELTX
\LabelTeX  100.500   6.200 $x$\ELTX
\LabelTeX    6.200  58.000 $y$\ELTX
\LabelTeX   53.000  42.000 $f$\ELTX
\LabelTeX   28.300   6.500 $x_j$\ELTX
\LabelTeX   0.000   31.000 $f(x_j)$\ELTX
\LabelTeX  28.000   56.500 $h_j\le\delta(x_j)$\ELTX
\EndFig
\vskip-9pt
\centerline{{\bf Fig.~5.} Somme de Riemann à pas variable.}}
\bigskip

Dans ce cas, on sent bien intuitivement que l'on a 
intérêt à resserrer davantage les pas $h_j$ aux endroits où
$f$ oscille davantage. Plutôt que de supposer que $h_j\le\delta$
où $\delta$ est un réel positif fixé, il vaudra donc mieux demander
que les pas $h_j$ satisfassent
une condition $h_j\le\delta(x_j)$ où $\delta(x_j)$ est une quantité
positive assez petite dépendant de l'endroit où l'on prend le rectangle 
de hauteur~$f(x_j)$. On choisira alors des fonctions $\delta:[a,b]\to\bR_+^*$ 
positives qui serviront à majorer les pas $h_j$. Une telle fonction
sera appelée une {\it jauge} sur $[a,b]$.
\medskip

{\bf (2.5) Définition.} {\it Soit $\delta:[a,b]\to\bR_+^*$ une fonction 
positive quelconque. Une subdivision pointée
$D= \{([a_j,a_{j+1}],x_j)\}_{0\le j<N}$ de $[a,b]$ sera dite
$\delta$-fine si
$$
\forall j=0,1,\ldots,N-1,\qquad h_j=a_{j+1}-a_j\le \delta(x_j).
$$}
\vskip-10pt

Si $\delta_*$ et $\delta$ sont deux jauges telles que
$\delta_*\leq \delta$, alors toute subdivision $\delta_*$-fine 
est aussi \hbox{$\delta$-fine}. 
Le résultat suivant, appelé {\it lemme de Cousin}, affirme que la
définition précédente n'est jamais vide de contenu.
\medskip

{\bf (2.6) Lemme.} {\it Soit $\delta:[a,b]\to\bR^*_+$ une jauge. 
Alors il existe une subdivision pointée $D$ de l'intervalle $[a,b]$
qui est $\delta$-fine.}

{\it Démonstration.${}^*$} Elle est basée sur un procédé de dichotomie.
Nous allons raisonner par l'absurde, en supposant que $[a,b]$ n'admet
pas de subdivision pointée $\delta$-fine.
Posons $a_0=a$ et $b_0=b$. 
Divisons l'intervalle $[a_0,b_0]$ en deux,
et considérons les deux moitiés $[a_0,{a_0+b_0\over 2}]$ et
$[{a_0+b_0\over 2},b_0]$~: si chacune des deux
admettait une subdivision $\delta$-fine, la réunion de ces deux
subdivisions serait une subdivision $\delta$-fine de $[a_0,b_0]$.
Donc l'une des deux moitiés au moins n'admet pas de 
subdivision $\delta$-fine$\;$: on note celle-ci $[a_1,b_1]$.

On itère ensuite le procédé, de manière à construire des intervalles 
embo\^\i tés $[a_k,b_k]$, de longueur $(b-a)/2^k$, dont aucun
n'admet de subdivision $\delta$-fine. Les suites $(a_k)$ et $(b_k)$ sont
adjacentes par construction, donc elles convergent vers la même
limite. Soit $x_0$ cette limite. Puisque $\delta(x_0)>0$, il existe $k_0$ tel
que
$$
[a_{k_0},b_{k_0}]\subset [x_0-{\textstyle{1\over 2}}\delta(x_0),
x_0+{\textstyle{1\over 2}}\delta(x_0)].
$$ 
Donc la subdivision pointée de $[a_{k_0},b_{k_0}]$ formée
seulement de l'intervalle tout entier et du point $x_0$ est 
$\delta$-fine. D'où la contradiction.\note{3}{%
Le lecteur ayant quelques connaissances de topologie aura reconnu
un cas élémentaire du théorème de Borel-Lebesgue relatif à la
compacité du segment $[a,b]$. Cependant, notre but est de rester 
aussi élémentaire que possible -- sans éluder les difficultés --
donc il nous a paru préférable de faire la démonstration dans le cadre
strict des subdivisions pointées. [On notera que celle-ci permet en fait
d'énoncer un résultat un peu plus précis~: {\it pour toute jauge
$\delta$ il existe une subdivision pointée $\delta$-fine de $[a,b]$
formée d'intervalles dont les longueurs sont de la forme 
$\smash{(b-a)/2^{k_j}}$.} En effet, il suffit d'utiliser un raisonnement
par l'absurde avec ce type d'intervalles pour aboutir à une
contradiction.] Quoi qu'il en soit, la démonstration de 2.6 est 
probablement assez difficile pour la classe Terminale, c'est pour quoi nous
l'avons marquée d'un astérisque *, comme toutes les parties plus
délicates qui vont suivre.}\qed
\medskip

{\bf (2.7) Définition}. {\it Soit $f:[a,b]\to\bR$ une fonction quelconque.
On dit que $f$ est intégrable au sens de Kurzweil-Henstock $($ou 
KH-intégrable$)$ s'il exis\-te un réel $A$ qui représente l'aire
algébrique située sous le graphe de $f$, tel que pour toute marge d'erreur
$\varepsilon>0$ donnée a priori, on peut trouver une
jauge $\delta:[a,b]\to\bR^*_+$ en sorte que
pour toute subdivision pointée $D=\{([a_j,a_{j+1}],x_j)\}$ de $[a,b]$
on ait
$$
\hbox{$D$ $\delta$-fine i.e.\ $\forall j$, $a_{j+1}-a_j\le\delta(x_j)$}~~
\Rightarrow~~ |S_D(f)-A|\le\varepsilon.
$$
$($une telle jauge $\delta$ sera dite $\varepsilon$-adaptée à $f)$.
Le nombre réel $A$ de la définition 
précédente  est appelé intégrale de $f$ sur $[a,b]$, on écrit
$$
\boxed{19}{
\int_a^b f(x)\,dx = \lim_{\KH,\;D} S_D(f)= \lim_{\KH,\;D} 
\sum_{j=0}^{N-1}f(x_j)(a_{j+1}-a_j)}
$$
et on dit que $\smash{\int_a^b f(x)\,dx}$ est la limite $($au sens de 
Kurzweil-Henstock$\,)$ des sommes de Riemann, lorsque la subdivision $D$ 
devient de plus en plus fine\note{4}{L'intégrale de 
Kurzweil-Henstock est  parfois appelée aussi {\it intégrale de jauge}
ou encore {\it intégrale de Riemann généralisée}. Elle a été
introduite au milieu des années 1950, alors que
l'intégrale de Riemann remonte au 19ème siècle. Bien 
qu'en apparence la définition de Kurzweil-Henstock diffère très peu de
celle de l'intégrale de Riemann, il se trouve qu'elle
jouit de propriétés beaucoup meilleures, tout en procurant des
démonstrations souvent plus simples et en éliminant beaucoup
d'hypothèses superflues, par exemple le fait que $f$ soit 
nécessairement bornée.}.}
\medskip

Cette définition est de façon évidente plus générale que celle 
de Riemann, par
conséquent toute fonction intégrable au sens de Riemann est aussi
intégrable au sens de Kurzweil-Henstock. D'autre part, si une jauge
$\delta$ est $\varepsilon$-adaptée, alors toute jauge $\delta_*\le
\delta$ est encore $\varepsilon$-adaptée.  Nous utiliserons cette
observation à plusieurs reprises dans la section suivante.  La
notation $dx$ intervient pour rappeler qu'à la limite on considère
des rectangles «\?infiniment\?» fins de largeur
$dx=a_{j+1}-a_j$, considérée comme accroissement infiniment petit
de la variable~$x$ (voir Fig.~6 ci-après), et l'écriture
symbolique $\smash{\int_a^bf(x)\,dx}$ se lit «\?somme de
$a$~à~$b$ de $f(x)\,dx$.\?»

\InsertPSFigure 10.000 58.000 {
1 mm unit
   18.000  30.000 moveto  18.000  24.000 lineto 
[  18.000  24.000   25.000  14.000   43.000  49.000   60.000  16.000  
   75.000  40.000   80.000  40.000  ] curve
   80.000  30.000 lineto closepath 
  0.900 setgray fill
 38.000  46.200 moveto  38.000  30.000 lineto
 39.500  30.000 lineto  39.500  46.200 lineto 
gsave
  closepath
  0.7 setgray fill
grestore
  closepath
  0.0 setgray stroke
  0.200 setlinewidth
   18.000  24.000 moveto
[  18.000  24.000   25.000  14.000   43.000  49.000   60.000  16.000  
   75.000  40.000   80.000  40.000  ] curve
 stroke
  0.000 setgray stroke
  0.113 setlinewidth
  5.000  30.000 moveto  97.000   0.000 2.4 vector 
 10.000  10.000 moveto  43.000  90.000 2.4 vector
/arrowlgth 1.2 def
 36.500  25.500 moveto   3.500  68.000 2.4 vector
 41.000  25.500 moveto   3.500 112.000 2.4 vector
 33.200  38.000 moveto   6.000   0.000 2.4 vector
  0.3 setlinewidth
 10.000  46.200 moveto   0.700  90.000 indent 
 18.000  30.000 moveto   0.700   0.000 indent 
 38.000  30.000 moveto   0.700   0.000 indent 
 39.500  30.000 moveto   0.700   0.000 indent 
 80.000  30.000 moveto   0.700   0.000 indent 
  0.113 setlinewidth
[   1.000   0.500 ] 0 setdash 
 18.000  28.500 moveto  18.000  24.000 lineto stroke
 80.000  31.500 moveto  80.000  40.000 lineto stroke
 11.500  46.200 moveto  38.000  46.200 lineto stroke
}
\LabelTeX   15.300  27.000 $a$\ELTX
\LabelTeX   79.300  26.000 $b$\ELTX
\LabelTeX   35.000  23.200 $x$\ELTX
\LabelTeX   40.000  23.200 $x{+}dx$\ELTX
\LabelTeX  100.500  26.200 $x$\ELTX
\LabelTeX    6.200  52.000 $y$\ELTX
\LabelTeX    1.800  45.300 $f(x)$\ELTX
\LabelTeX   21.000  37.000 $f(x)\,dx$\ELTX
\LabelTeX   23.000  22.000 $(-)$\ELTX
\LabelTeX   42.000  40.000 $(+)$\ELTX
\LabelTeX   57.000  22.000 $(-)$\ELTX
\LabelTeX   72.500  34.000 $(+)$\ELTX
\EndFig
\vskip-20pt
\centerline{{\bf Fig.~6.} Intégrale et son élément différentiel 
$f(x)\,dx$.}
\bigskip

{\bf (2.8) Exemple.} On appelle fonction en escalier sur $[a,b]$ une
fonction $f$ telle qu'il existe des points $(u_i)_{0\le i\le p}$ de $[a,b]$
et des constantes réelles $c_i$ telles que 
$$
a=u_0<u_1<\ldots<u_p=b\quad\hbox{et}\quad
f(x)=c_i~~\hbox{sur}~]u_i,u_{i+1}[\,,
$$
les valeurs $f(u_i)\in\bR$ étant elles-mêmes 
quelconques, éventuellement différentes des valeurs $c_i$. 

\vbox{%
\InsertPSFigure  8.000 56.000 {
/arcg { currentpoint currentpoint newpath
        5 -1 roll -90 90 arc stroke moveto } def
/arcd { currentpoint currentpoint newpath
        5 -1 roll  90 270 arc stroke moveto } def
/riem {/y exch 10.0 add def /a2 exch def /a1 exch def
   a1 10.000 moveto  a1 y lineto  a2 y lineto  a2 10.000 lineto } def
1 mm unit
  0.900  0.900  1.000 setrgbcolor
 66.000 80.000 30.000 riem fill
  0.000 setgray
  0.113 setlinewidth
  5.000  10.000 moveto 
107.000   0.000 2.4 vector 
 10.000   0.000 moveto 
 50.000  90.000 2.4 vector 
 stroke
  0.113 setlinewidth
  0.000 setgray
  0.300 setlinewidth
 18.000  24.000 moveto   0.700  arcg
 18.700  24.000 moveto  34.300  24.000 lineto stroke
 35.000  24.000 moveto   0.700  arcd
 35.000  43.000 moveto   0.700  arcg
 35.700  43.000 moveto  46.300  43.000 lineto stroke
 47.000  43.000 moveto   0.700  arcd
 47.000  31.000 moveto   0.700  arcg
 47.700  31.000 moveto  65.300  31.000 lineto stroke
 66.000  31.000 moveto   0.700  arcd
 66.000  40.000 moveto   0.700  arcg
 66.700  40.000 moveto  79.300  40.000 lineto stroke
 80.000  40.000 moveto   0.700  arcd
 80.700  26.000 moveto  89.300  26.000 lineto stroke
 90.000  26.000 moveto   0.700  arcd
  0.250 setlinewidth
 18.000  10.000 moveto   0.700   0.000 indent 
 35.000  10.000 moveto   0.700   0.000 indent 
 47.000  10.000 moveto   0.700   0.000 indent 
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}
\LabelTeX   16.700   6.500 $a$\ELTX
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\LabelTeX   78.000   6.500 $\RGBColor{0 0 1}{u_{i+1}}$\ELTX
\LabelTeX   89.300   6.500 $b$\ELTX
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\LabelTeX   72.000  42.500 $f$\ELTX
\LabelTeX    0.500  36.200 $\RGBColor{0 0 1}{f(u_i)}$\ELTX
\LabelTeX    6.000  40.000 $\RGBColor{0 0 1}{c_i}$\ELTX
\EndFig
\medskip
\centerline{{\bf Fig.~7.} Une fonction en escalier.}}
\medskip

Nous affirmons~:

{\it Toute fonction en escalier $f$ est intégrable au sens de Riemann, 
et on a
$$
\boxed{16}{
\int_a^bf(x)\,dx=\sum_{i=0}^{p-1} c_i(u_{i+1}-u_i).}
$$}

{\it Démonstration.${}^*$} La fonction $f$ est bornée, la 
borne supérieure de $|f|$ est donnée par 
$$
M=\sup_{[a,b]}|f|=\max_{[a,b]}|f|=\max\{|c_i|,\,|f(u_j)|\}.
$$

\InsertPSFigure  8.000 54.000 {
/arcg { currentpoint currentpoint newpath
        5 -1 roll -90 90 arc stroke moveto } def
/arcd { currentpoint currentpoint newpath
        5 -1 roll  90 270 arc stroke moveto } def
/riem {/y exch 10.0 add def /a2 exch def /a1 exch def
   a1 10.000 moveto  a1 y lineto  a2 y lineto  a2 10.000 lineto } def
/hatchedbox {/z exch 10.0 add def  /y exch 10.0 add def 
      /a2 exch def /a1 exch def
   a1 y moveto  a1 z lineto  a2 z lineto  a2 y lineto stroke
   y 1 z { /k exch def a1 k moveto  a2 k lineto stroke } for
} def
1 mm unit
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}
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\LabelTeX   19.200   6.500 $\RGBColor{1 0 0}{a_1}$\ELTX
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\LabelTeX   34.000   6.500 $u_1$\ELTX
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\LabelTeX   89.300   6.500 $b$\ELTX
\LabelTeX  110.500   6.500 $x$\ELTX
\LabelTeX    6.200  48.000 $y$\ELTX
\LabelTeX   72.000  42.500 $f$\ELTX
\LabelTeX    6.000  39.700 $c_i$\ELTX
\LabelTeX    0.000  23.000 $\RGBColor{0 0 1}{f(x_1)}$\ELTX
\LabelTeX   45.500  50.000 $h_j$\ELTX
\LabelTeX  101.000  30.000 $\le 2M$\ELTX
\LabelTeX   63.500  50.000 $\RGBColor{1 0 0}{2\,\hbox{int}}$\ELTX
\LabelTeX   76.500  50.000 $\RGBColor{1 0 0}{1\,\hbox{int}}$\ELTX
\EndFig
\medskip
\centerline{{\bf Fig.~8.} Sommes de Riemann d'une fonction en escalier.}
\medskip

Soit $D=\{([a_j,a_{j+1}],x_j)\}$ une subdivision $\delta$-fine pour
une certaine constante~$\delta>0$ (les~points $a_j$ n'ont a priori aucun
rapport avec les points de subdivision $u_i$ de la fonction en escalier).
La somme de Riemann $S_D(f)=\sum
f(x_j)h_j$ est représentée par par la somme des aires des rectangles
de couleur rosée de la Fig.~8 (avec les points $a_j$ en rouge et les
points de marquage $x_j$ en bleu -- tous ceux-ci n'étant pas
représentés). La différence entre les aires $S_D(f)$ et $\sum
c_i(u_{i+1}-u_i)$ (partie en noir du graphe) est représentée par les
zones hachurées en bleu clair.
Nous avons au plus $2p$ intervalles $[a_j,a_{j+1}]$ qui 
contiennent l'un des points inter\-médiaires $u_i$, à savoir un à 
chaque extrêmité et un ou deux pour chacun des points $u_i$,
$i=1,\ldots,p-1$. Pour chacun de ces intervalles, le terme $f(x_j)h_j$ 
mis en jeu diffère de l'aire des deux rectangles délimités par
le graphe de $f$ par au plus $2Mh_j\le2M\delta$, puisque
$|f(x)-f(x_j)|\le 2M$ et $h_j\le\delta$. Au total on a donc
$$
\Big|S_D(f)-\sum_{0\le i\le p-1} c_i(u_{i+1}-u_i)\Big|\le 
2p\times 2M\delta=4pM\delta.
$$
Il suffit alors de choisir $\delta=\varepsilon/(4pM)$ pour
conclure.\qed
\bigskip

\section{3. Propriétés élémentaires de l'intégrale}

Les propriétés énoncées dans cette section sont, dans l'ordre,
la linéarité, la monotonie et la relation de Chasles. 
Elles sont obtenues par passage à la limite à partir 
des propriétés analogues des sommes de Riemann $S_D(f)$
(propriétés 1.4 (a,b,c)), et valent
pour l'intégrabilité au sens de Riemann et de Kurzweil-Henstock
indifféremment.
\medskip

{\bf (3.1) Linéarité.} {\it Si $f,g:[a,b]\to\bR$ sont des fonctions 
intégrables sur $[a,b]$ et $\lambda$,~$\mu$ des constantes réelles, 
alors $\lambda f+\mu g$ est intégrable sur $[a,b]$ et
$$
\boxed{16}{
\int_a^b \big(\lambda f(x)+\mu g(x)\big)\,dx
=\lambda\int_a^b f(x)\,dx+\mu\int_a^b g(x)\,dx.}
$$}

{\it Démonstration.} En termes de limites de sommes de Riemann sur des 
subdivisions pointées $D$ de $[a,b]$, nous pouvons écrire
$$
\eqalignno{
\int_a^b \big(\lambda f(x)+\mu g(x)\big)\,dx
&=\lim_{\KH,\;D} S_D(\lambda f+\mu g)
= \lim_{\KH,\;D} \lambda S_D(f)+\mu S_D(g)\cr
&=\lambda\lim_{\KH,\;D} S_D(f)+\mu \lim_{\KH,\;D} S_D(g)\cr
&=\lambda\int_a^b f(x)\,dx+\mu\int_a^b g(x)\,dx.&\square\cr}
$$
Pour analyser plus en détail cet argument, reprenons le calcul en termes de 
jauges, une marge d'erreur $\varepsilon>0$ étant fixée a priori. Posons
$$
A=\int_a^b f(x)\,dx,\qquad B=\int_a^b g(x)\,dx.
$$
Il existe par hypothèse des jauges 
$\delta_1$, $\delta_2$ telles que si $D$ est $\delta_1$-fine alors
$|S_D(f)-A|\le\varepsilon$ et si $D$ est $\delta_2$-fine alors
$|S_D(g)-B|\le\varepsilon$. Prenons une subdivision $D$ $\delta$-fine
avec $\delta=\min(\delta_1,\delta_2)$. Comme 
$S_D(\lambda f+\mu g)=\lambda S_D(f)+\mu S_D(g)$ on en déduit
$$
\big|S_D(\lambda f+\mu g)-(\lambda A+\mu B)\big|\le 
(|\lambda|+|\mu|)\varepsilon.
$$
Ceci montre que $\lambda f+\mu g$ est intégrable et que son 
intégrale est bien $\lambda A+\mu B$.
\medskip

{\bf (3.2) Remarque.} Si $f:[a,b]\to\bR$ est une fonction qui est
nulle partout sauf en un nombre fini de points $u_i\in[a,b]$, alors
$f$ est Riemann-intégrable d'intégrale nulle\note{5}{Pour
l'intégrabilité au sens de Kurzweil-Henstock, ce résultat est
vrai plus généralement dans le cas où $f$ est nulle partout en
dehors d'un ensemble dénombrable de points $E\subset[a,b]$. Voir
l'exercice 9.22.}.  C'est en effet un cas très particulier de
fonction en escalier, et on peut appliquer la formule de l'exemple 2.8 avec
$c_i=0$. Il en résulte que si deux fonctions $g,\,h:[a,b]\to\bR$
diffèrent en un nombre fini de points, alors l'intégrabilité de
l'une équivaut à l'intégrabilité de l'autre et on a
$\smash{\int_a^bg(x)\,dx= \int_a^bh(x)\,dx}$ (puisque $f=g-h$ est
d'intégrale nulle).\qed \medskip

{\bf (3.3) Monotonie.} {\it Si $f,g:[a,b]\to\bR$ sont des fonctions 
intégrables sur $[a,b]$
$$
\boxed{16}{
f\ge g\quad \Rightarrow\quad\int_a^b f(x)\,dx\ge \int_a^b g(x)\,dx.}
$$}%
{\it Démonstration.}
Cela résulte de l'inégalité sur les sommes de Riemann
$S_D(f)\ge S_D(g)$, par passage à la limite.\qed
\bigskip

\vbox{%
{\bf (3.4) Relation de Chasles.} {\it Soient $a<b<c$ des réels et
$f:[a,c]\to\bR$ une fonction. Si $f$ est intégrable sur $[a,b]$ et 
intégrable sur $[b,c]$, alors $f$ est intégrable sur $[a,c]$ et 
$$
\boxed{16}{
\int_a^c f(x)\,dx=\int_a^b f(x)\,dx+\int_b^c f(x)\,dx.}
$$
Ceci vaut aussi bien pour l'intégrabilité au sens de Kurzweil-Henstock
que pour l'inté\-grabilité au sens de Riemann.}}

{\it Démonstration.} Fixons un réel $\varepsilon>0$ et 
choisissons des jauges
$\delta_1:[a,b]\to\bR^*_+$, $\delta_2:[b,c]\to\bR^*_+$ 
$\varepsilon$-adaptées à $f$ sur $[a,b]$ et $[b,c]$ respectivement.
Autrement dit, si on écrit
$$
A_1=\int_a^b f(x)\,dx,\qquad A_2=\int_b^c f(x)\,dx,\qquad A=A_1+A_2,
$$
on aura $|S_{D_1}(f)-A_1|\le\varepsilon$ et $|S_{D_2}(f)-A_2|\le\varepsilon$
pour toutes subdivisions pointées
$\delta_1$-fines $D_1$ de $[a,b]$ et $\delta_2$-fines $D_2$ de
$[b,c]$. Si nous supposons démontrée l'intégrabilité de $f$ sur
$[a,c]$, c'est-à-dire l'existence de la limite
$\lim_{\KH,\,D}S_D(f)$ lorsque $D$ parcourt les subdivisions pointées
de $[a,c]$, alors on peut prendre une jauge $\delta$ sur $[a,c]$ telle
que $\delta\le\delta_1$ sur $[a,b]$ et $\delta\le\delta_2$ sur $[b,c]$,
et une subdivision $D=D_1\cup D_2$ $\delta$-fine égale à la
réunion d'une subdivision $D_1$ $\delta_1$-fine de $[a,b]$ et d'une
subdivision $D_2$ $\delta_2$-fine de $[b,c]$. On obtient dans ces
conditions $S_D(f)=S_{D_1}(f)+S_{D_2}(f)$, donc $|S_D(f)-A|\le
2\varepsilon$ et la relation désirée
$$
\int_a^c f(x)\,dx =\lim_{\KH,\;D}S_D(f)=
A=A_1+A_2=\int_a^b f(x)\,dx+\int_b^c f(x)\,dx
$$
s'ensuit en prenant $\varepsilon$ arbitrairement petit. La seule 
difficulté qui reste est de démontrer
l'existence de la limite $\lim_{\KH,\,D}S_D(f)$ pour des subdivisions
$D=\{([a_j,a_{j+1}],x_j)\}$ de $[a,c]$
ne comprenant pas nécessairement $a_j=b$ comme l'un des points
intermédiaires, ce qui est a priori requis pour prouver
l'intégrabilité de $f$ sur $[a,c]$. La méthode consiste à 
redécouper l'intervalle $[a_j,a_{j+1}]$ de $D$ qui contient le point~$b$,
et à estimer de combien on modifie ainsi la somme de Riemann~$S_D(f)$.
\medskip

{\bf (3.5)* Preuve de l'intégrabilité de $f$ sur $[a,c]$ sous
les hypothèses de 3.4.}\break
Dans le cas de l'intégrabilité au sens de Kurzweil-Henstock, la preuve
est très simple. On définit une jauge $\delta$ sur $[a,c]$ en posant
$$
\delta(x)=\cases{
\min(\delta_1(x),(b-x)/2)&si $x\in[a,b[$,\cr
\min(\delta_2(x),(x-b)/2)&si $x\in{}]b,c]$,\cr
\min(\delta_1(b),\delta_2(b))& si $x=b$.\cr
}
$$
de sorte que $\delta\le\delta_1$ sur $[a,b]$ et $\delta\le\delta_2$
sur $[b,c]$. Soit $D=\{([a_j,a_{j+1}],x_j)\}$ une subdivision $\delta$-fine.
Si $x_j<b$, alors on a
\hbox{$a_{j+1}\le x_j+\delta(x_j)<x_j+(b-x_j)=b$}.
De même, si
$x_j>b$, alors \hbox{$a_j\ge x_j-\delta(x_j)>x_j-(x_j-b)=b$}. Ceci 
montre que le
seul cas où $[a_j,a_{j+1}]$ peut contenir le point $b$ est le cas
$x_j=b$, ce qui permet de découper l'intervalle pointé $([a_j,a_{j+1}],b)$
en les deux intervalles pointés $([a_j,b],b)$ et
$([b,a_{j+1}],b)$. On produit ainsi une subdivision pointée
$D_1$ $\delta_1$-fine de $[a,b]$ et une subdivision  pointée
$D_2$ $\delta_2$-fine de $[b,c]$ telles que $S_D(f)=S_{D_1}(f)+S_{D_2}(f)$.
On a donc $|S_D(f)-A|\le 2\varepsilon$ et la conclusion s'ensuit
comme précédemment.\qed

Dans le cas de l'intégrabilité au sens de Riemann, la preuve donnée 
ci-dessus n'est pas valable, car la jauge $\delta$ produite n'est pas 
constante. On sait cependant de plus que $f$ est bornée, disons $|f|\le M$ 
(si $f$ est Riemann-intégrable sur $[a,b]$ et $[b,c]$, elle y est 
nécessai\-rement bornée d'après la condition 2.4).
Prenons pour $D$ une subdivision pointée $\delta$-fine avec $\delta\le
\min(\delta_1,\delta_2)$.  Si l'un des intervalles $[a_j,a_{j+1}]$
contient $b$ en son intérieur, on remplace son point de marquage
$x_j$ par $x'_j=b$, ce qui donne après découpage comme ci-dessus
une nouvelle subdivision $D'=D_1\cup D_2$ $\delta$-fine telle que
$$
S_{D'}(f)=S_{D_1}(f)+S_{D_2}(f)~~\Rightarrow~~
\big|S_{D'}(f)-A\big|\le2\varepsilon.
$$
On a de plus
$$
\big|S_D(f)-S_{D'}(f)\big|=\big|\big(f(x_j)-f(b)\big)h_j\big|\le 2M\delta,
$$
par conséquent $\big|S_D(f)-A\big|\le 4\varepsilon$
dès que $\delta\le\min(\delta_1,\delta_2,\varepsilon/M)$. Ceci entraîne
bien l'intégrabilité de $f$ au sens de Riemann sur l'intervalle 
$[a,c]$, ainsi que la formule de Chasles.\qed
\medskip

Pour des réels $a$, $b$ qui ne vérifient pas néces\-sairement $a<b$,
on pose
$$
\int_a^bf(x)\,dx = 0\quad\hbox{si $a=b$},\qquad
\int_a^bf(x)\,dx = -\int_b^af(x)\,dx\quad\hbox{si $a>b$}.
\leqno(3.6)
$$
On peut vérifier que la relation de Chasles reste valable dans tous les
cas, quel que soit l'ordre des réels $a,b,c$, à condition bien sûr 
que $f$ soit intégrable sur chacun des intervalles mis en jeu.
\bigskip

\section{4. Le théorème fondamental de l'Analyse}

On appelle théorème fondamental de l'analyse, le fait que
l'intégration (calcul d'aires) et la dérivation (calcul de
tangentes et de différentielles) sont des opérations inverses
l'une de l'autre. 
\medskip

{\bf (4.1) Théorème.} {\it Soit $f:[a,b]\to\bR$ une fonction dérivable. 
Alors $f'$ est inté\-grable au sens de Kurzweil-Henstock et
$$
\boxed{16}{
\int_a^bf'(x)\,dx = f(b)-f(a).}
$$}
\vskip-8pt

{\it Démonstration.}\note{6}{Le théorème 4.1 est un résultat 
particulièrement impressionnant de la théorie de Kurzweil-Henstock,
que ni la théorie de Riemann ni même la théorie de Lebesgue ne 
permettent d'obtenir. Ce «\?défaut\?» 
 de la théorie de Lebesgue avait amené A.~Denjoy [Dj1]
à proposer en 1912 une théorie de «\?l'intégrale totale\?» 
qui lui permit de rétablir la validité du Théorème 4.1
(cf.\ aussi les travaux de O.~Perron [Pe]. Cette
théorie se révélera a posteriori essentiellement équivalente à la
théorie de Kurzweil-Henstock, mais avec un formalisme et des 
justifications beaucoup plus compliquées.}
Commençons par une preuve heuristique (c'est-à-dire simplifiée, mais
non rigoureuse). Soit
$D=\{[a_j,a_{j+1}],x_j)\}$ une subdivision pointée assez fine. On a
par définition
$$
\int_a^bf'(x)\,dx\simeq\sum_{j=0}^{N-1}f'(x_j)(a_{j+1}-a_j).
$$
Mais $f'(x_j)$ peut être vu comme une approximation de la pente
de $f$ sur l'intervalle $[a_j,a_{j+1}]$ et on a donc
$f'(x_j)(a_{j+1}-a_j)\simeq f(a_{j+1})-f(a_j)$, d'où
$$
\int_a^bf'(x)\,dx\simeq\sum_{j=0}^{N-1}(f(a_{j+1})-f(a_j))=f(b)-f(a).
$$
Il n'est pas difficile de rendre cet argument rigoureux.
L'hypothèse de l'exis\-tence de $f'(x)=\lim_{y\to x}
{f(y)-f(x)\over y-x}$ signifie par
définition que pour tout pout $x\in[a,b]$ et tout $\varepsilon>0$
il existe un réel $\delta(x)>0$ tel que
$$
y\in[a,b],\quad
0<|y-x|\le\delta(x)\Rightarrow\Big|{f(y)-f(x)\over y-x}-f'(x)
\Big|\le\varepsilon,\qquad\hbox{et donc}
$$
$$
y\in[a,b],\quad y\in[x-\delta(x),x+\delta(x)]\Rightarrow 
\big|f(y)-f(x)-(y-x)f'(x)\big|\le\varepsilon|y-x|
$$
(puisque l'inégalité est vraie aussi de manière évidente pour $y=x$).
Prenons une sub\-di\-vision pointée $D=\{[a_j,a_{j+1}],x_j)\}$
$\delta$-fine, c'est-à dire telle que \hbox{$h_j=a_{j+1}-a_j\le
\delta(x_j)$}. En appliquant l'égalité ci-dessus à $x=x_j$ et $y=a_j$ ou
$y=a_{j+1}$, il vient
$$
\eqalign{
\big|f(a_j)-f(x_j)-(a_j-x_j)f'(x_j)\big|
&\le \varepsilon|a_j-x_j|=\varepsilon(x_j-a_j),\cr
\big|f(a_{j+1})-f(x_j)-(a_{j+1}-x_j)f'(x_j)\big|
&\le\varepsilon|a_{j+1}-x_j|=\varepsilon(a_{j+1}-x_j).\cr}
$$
En faisant la différence, l'inégalité $|v-u|\le|u|+|v|$ donne
$$
\big|f(a_{j+1})-f(a_j)-(a_{j+1}-a_j)f'(x_j)\big|\le\varepsilon(a_{j+1}-a_j).
$$
La sommation de ces inégalités pour $j=0,1,\ldots, N-1$ implique
en définitive
$$
\big|f(b)-f(a)-S_D(f')\big|\le\varepsilon(b-a),
$$
par conséquent
$$
\int_a^bf'(x)\,dx = \lim_{\KH,\;D}S_D(f')=f(b)-f(a).\eqno\square
$$

Notons qu'on retrouve ainsi le résultat important suivant qui,
alternativement (et de manière plus classique) est démontré au moyen 
du théorème des accroissements finis.
\medskip

{\bf(4.2)  Corollaire.} 
{\it Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$ de
$\bR$, telle que $f'=0$ $($resp.\ $f'\ge 0$, $f'\le 0)$. Alors $f$ est
constante $($resp.\ croissante, décroissante$)$.}
\medskip

{\it Démonstration.} 
En effet, pour tous points $a<b$ dans $I$, on voit que $f(b)-f(a)$ est
égal à $0$ (resp.\ positif ou nul, négatif ou nul).\qed
\medskip

Le théorème fondamental peut aussi se s'énoncer comme une formule de
calcul d'une intégrale à partir de la primitive d'une fonction\note{7}{On
notera que pour en arriver là, on a eu besoin de nettement moins de 
théorie que dans l'approche classique de l'intégrale de Riemann. En effet,
dans cette approche, il faut au préalable connaître
l'intégrabilité des fonctions continues, et avoir démontré que
la dérivée de l'intégrale indéfinie d'une fonction continue
$f(x)$ est égale à cette fonction, pour en conclure que
l'intégrale indéfinie est une primitive de $f$. Par ailleurs,
toutes les hypothèses superflues (fonctions $\smash{C^1}$ dans les
intégrations par parties ou les changements de variable) 
disparaissent~...}.\medskip

{\bf (4.3) Calcul des intégrales au moyen de primitives.} {\it
Si $f:[a,b]\to\bR$
admet une primitive $F$ $($c'est-à-dire
si $F$ est dérivable et $F'=f)$, alors $f$ est KH-intégrable et
$$
\boxed{16}{
\int_a^b f(x)dx = F(b)-F(a)\qquad\hbox{encore noté}\quad \big[F(x)\big]_a^b.}
$$}

Pour exploiter cette formule, il convient de connaître une liste
suffisante de primitives de fonctions usuelles -- en connaître
un certain nombre par cœur devient vite indispensable pour
être en mesure de calculer les intégrales de manière efficace.
Compte tenu de la formule 4.3, la primitive $F$ d'une fonction continue 
$f$, là où elle est définie, sera notée sous la forme
$$
F(x)=\int f(x)\,dx + C,\leqno(4.4)
$$
où $C$ désigne une constante quelconque. Une écriture de la
forme $\int f(x)\,dx$ est parfois appelée {\it intégrale indéfinie}.
Voici une liste de primitives qui permet déjà de calculer un bon
nombre d'intégrales usuelles. Les variables $\alpha$, $a$, $b$ représentent
ici des nombres réels quelconques avec $a\ne 0$.
$$
\cmalign{25pt}{
\int x^\alpha\,dx = {x^{\alpha+1}\over\alpha+1}+C,~\alpha\ne -1
&\int {1\over x} \,dx = \ln|x|+C
\cr
\int \ln|x|\,dx =  x\ln|x| -x+C
&\int e^{ax}\,dx = {1\over a}e^{ax}+C
\cr
\int\cos (ax+b)\,dx = {1\over a}\sin(ax+b) + C
&\int \sin(ax+b)\,dx = -{1\over a}\cos(ax+b) +C
\cr
\int {1\over\cos^2 x}\,dx = \tan x +C
&\int {1\over \sin^2 x}\,dx = -\cotan x + C
\cr
\int {1\over x^2+a^2}\,dx= {1\over a}\arctan{x\over a}+C
&\int {1\over x^2-a^2}\,dx= {1\over 2a}\ln\Big|{x-a\over x+a}\Big|+C
\cr}
$$
\medskip

\section{5. Méthodes de calcul des primitives et des intégrales}

Il convient d'observer qu'il est en général impossible d'expliciter en
termes de fonctions usuelles la primitive de beaucoup de fonctions
pourtant relativement simples. Ainsi on peut montrer que $e^{x^2}$ ou
$\ln(\sin x)$ ont des primitives qui ne peuvent pas s'exprimer en
termes des fonctions trigonométriques, puissances, exponentielles,
logarithmes et leurs composées. Lorsque le calcul est possible, on
s'appuie le plus souvent sur l'une des deux formules importantes qui
suivent.  \medskip

{\bf (5.1) Formule d'intégration par parties.} Soient $u,v:[a,b]\to\bR$ 
deux fonctions dérivables. Le produit $uv$ est alors
dérivable et $(uv)'=u'v+uv'$. Par conséquent 
$uv'=(uv)'-u'v$ est intégrable
si et seulement si $u'v$ l'est, et dans ce cas
$$
\big[u(x)v(x)\big]_a^b=\int_a^b(uv)'(x)\,dx=
\int_a^bu'(x)v(x)\,dx+\int_a^bu(x)v'(x)\,dx.
$$
On a donc la formule
$$
\boxed{16}{
\int_a^bu(x)v'(x)\,dx=\big[u(x)v(x)\big]_a^b-\int_a^bu'(x)v(x)\,dx,}
$$
qui peut encore se récrire de manière plus abrégée
$$
\boxed{16}{
\int_a^bu\,dv=\big[uv\big]_a^b-\int_a^bv\,du.}
$$
En termes de primitives et avec la notation des intégrales indéfinies, 
on peut aussi écrire
$$
\boxed{16}{
\int u(x)v'(x)\,dx=u(x)v(x)-\int u'(x)v(x)\,dx.}
$$

{\bf (5.1$\,$a) Exemple.} Soit $n\ge 1$
un entier naturel, on cherche à calculer une primitive $F_n$ de 
$f_n(x) = x^n e^{-x}$. La fonction $f_n$ est déjà écrite comme produit 
de deux fonctions, que l'on sait intégrer. Intégrons par parties
en prenant $u(x)=x^n$ et $v'(x)=e^{-x}$ (d'où,~par exemple, 
$v(x)=-e^{-x}$)$\,$:
$$
\eqalign{
F_n(x)=
\int x^n e^{-x}\,dx &= \big [x^n(-e^{-x})\big ]-\int n\,x^{n-1}(-e^{-x})\,dx\cr
&=-x^n e^{-x}-n\int x^{n-1}e^{-x}\,dx = 
-x^n e^{-x}+nF_{n-1}(x)~~({}+C).\cr}
$$
Comme $F_0(x)=-e^{-x}$, cette relation de récurrence permet de calculer 
$F_n$ pour tout entier~$n\ge 1\,$:
$$
F_n(x)=-\Big(\sum_{p=0}^n n(n-1)\ldots(p+1)x^p\Big)e^{-x}~~({}+C).
$$
{\bf (5.1$\,$b) Exemple.} De même, pour $a\in\bR\ssm\{-1\}$ et $n\in\bN$, 
en posant $u'(x)=x^a$ et $v(x)=(\ln x)^n$, on trouve
$$
\eqalign{
\int x^a(\ln x)^n\,dx&={x^{a+1}\over a+1}(\ln x)^n-
\int {x^{a+1}\over a+1}{n\over x}(\ln x)^{n-1}\,dx\cr
&={x^{a+1}\over a+1}(\ln x)^n-{n\over a+1}\int x^a(\ln x)^{n-1}\,dx\cr
&={x^{a+1}\over a+1}(\ln x)^n-{n\over a+1}{x^{a+1}\over a+1}(\ln x)^{n-1}
+{n(n-1)\over (a+1)^2}\int x^a(\ln x)^{n-2}\,dx.\cr}
$$
Par récurrence, ceci donne
$$
\int x^a(\ln x)^n\,dx
=x^{a+1}\sum_{p=0}^n (-1)^p{n(n-1)\ldots (n-p+1)\over 
(a+1)^{p+1}}(\ln x)^{n-p}.
$$
\medskip

{\bf (5.2) Formule de changement de variable.} Soit $f:[a,b]\to\bR$ une 
fonction admettant une primitive $F$. On a alors
$$
\int_a^b f(x)\,dx=\big[F(x)\big]_a^b=F(b)-F(a).
$$
Il est souvent commode de changer de variable, en posant $x=\varphi(t)$
pour une certaine fonction $\varphi:[\alpha,\beta]\to[a,b]$ dérivable
telle que $\varphi(\alpha)=a$ et $\varphi(\beta)=b$ (on ne suppose pas
nécessairement $a\le b$ ni $\alpha\le\beta$). Il vient alors
$$
\int_a^b f(x)\,dx=F(\varphi(\beta))-F(\varphi(\alpha))=
\big[F\circ\varphi(t)\big]_\alpha^\beta=\int_\alpha^\beta
(F\circ\varphi)'(t)\,dt=\int_\alpha^\beta f(\varphi(t))\varphi'(t)\,dt
$$
On a donc la formule fondamentale
$$
\boxed{16}{
\int_a^b f(x)\,dx=\int_\alpha^\beta f(\varphi(t))\varphi'(t)\,dt
=\int_\alpha^\beta f\circ\varphi\, d\varphi.}
$$
En pratique, on effectue les substitutions
$$
\leqalignno{
&\boxed{8}{
x=\varphi(t),\quad dx=\varphi'(t)\,dt,\quad a=\varphi(\alpha),\quad
b=\varphi(\beta),}&\cr}
$$
en prenant soin de changer les bornes comme indiqué.
En termes d'intégrales indéfinies, si $F$ désigne une primitive de $f$,
on peut écrire
$$
\boxed{14}{
F(x)=F(\varphi(t))=\int f(\varphi(t)\varphi'(t)\,dt.}
$$
{\it Exemple.} Le cas particulier 
$\dsp f(x)={1\over x}$, $F(x)=\ln|x|$ implique
$$
\int {\varphi'(t)\over \varphi(t)}\,dt= \ln|\varphi(t)|+C.
$$
De même, le cas $f(x)=\dsp{1\over 1+x^2}$, $F(x)=\arctan x$ implique
$$
\int {\varphi'(t)\over 1+\varphi(t)^2}\,dt= \arctan \varphi(t)+C.
$$
Ceci permet par exemple de trouver successivement les formules
$$
\eqalign{
&\int \tan x\,dx = \int {\sin x\over \cos x}\,dx = -\ln|\cos x|+C\cr
&\int \cotan x\,dx = \int {\cos x\over \sin x}\,dx = \ln|\sin x|+C\cr
&\int{1\over \sin x\cos x} \,dx = 
\int \Big({\cos x\over \sin x}+{\sin x\over\cos x}\Big)dx=\ln|\tan x|+C\cr
&\int {1\over \sin x}\,dx = 
\int {1\over 2\sin {x\over 2}\cos{x\over 2}}\,dx = 
\ln\Big|\tan{x\over 2}\Big|+ C\cr
&\int {1\over \cos x}\,dx = \int {1\over \sin(x+{\pi\over 2})}\,dx = 
\ln\Big|\tan\Big({x\over 2}+{\pi\over 4}\Big)\Big|
+C.
\cr}
$$

{\bf (5.3) Intégration des polynômes trigonométriques.}
Pour calculer l'intégrale d'un polynôme trigonométrique
$\int P(\cos x,\sin x)\,dx$ on utilise ce qu'on appelle la 
{\it mé\-thode de linéarisation}, qui consiste à trouver une
combinaison linéaire de la forme
$$
P(\cos x,\sin x)=a_0+\sum_{1\le n\le N}a_n\cos nx+b_n\sin nx.
$$
Pour cela on remplace $\cos x$ et $\sin x$ en fonction de l'exponentielle
complexe (formules d'Euler)
$$
\cos x={e^{ix}+e^{-ix}\over 2},\qquad \sin x={e^{ix}-e^{-ix}\over 2i},
$$
ce qui permet d'exprimer $P(\cos(x,\sin x)$ comme combinaison linéaire
des fonctions $e^{inx}$ et $e^{-inx}$. On remplace finalement ces fonctions
par $e^{\pm inx}=\cos nx\pm i\sin nx$ (ou bien, si $P$ est réel, on prend
la partie réelle du résultat. Par exemple
$$
\eqalign{
\cos^2x\;\sin^3 x&=\Big({e^{ix}+e^{-ix}\over 2}\Big)^2
\Big({e^{ix}-e^{-ix}\over 2i}\Big)^3\cr
&={i\over 2^5}\big(e^{2ix}+2+e^{-2ix}\big)
\big(e^{3ix}-3\,e^{ix}+3\,e^{-ix}-e^{-3ix}\big)\cr
&={i\over 32}\Big(e^{5ix}-e^{3ix}-2\,e^{ix}+2\,e^{-ix}+e^{-3ix}-e^{-5ix}
\Big)\cr
&={1\over 16}\big(-\sin 5x+\sin 3x+2\sin x\big).\cr}
$$
On obtient alors
$$
\int \cos^2x\;\sin^3 x\,dx=
{1\over 16}\Big({1\over 5}\cos 5x-{1\over 3}\cos 3x-2\cos x\Big)+C.
$$

{\bf (5.4) Intégration des fractions rationnelles.}  Une fraction
rationnelle est une fonction définie comme le quotient $P/Q$ de deux
polynômes $P$ et $Q$ à coefficients réels ou complexes.
La division euclidienne de
$P$ par $Q$ s'écrit $P=EQ+R$ avec un quotient $E$ et un reste $R$
qui sont des polynômes tels que $\deg R<\deg Q$. On a alors
$$
{P\over Q}= E+{R\over Q}.
$$
Le quotient $E$ s'appelle aussi {\it la partie entière} de la fraction 
rationnelle, et $R/Q$ la {\it partie polaire}. Elle est telle que
$\lim_{x\to\infty}R(x)/Q(x)=0$.

{\bf (5.4$\,$a) Cas où $Q(x)=(x-\alpha)^m$.} En écrivant $R$ comme 
un polynôme en $X=x-\alpha$, soit $R(x)=\sum_{0\le j<m} c_j(x-\alpha)^j$, 
on~voit que $P/Q$ admet une écriture de la forme
$$
{P(x)\over Q(x)}=E(x)+\sum_{j=1}^m{\lambda_j\over (x-\alpha)^j}.
$$
Si $\alpha$ est réel, la primitive se calcule sans peine puisque
$$
\int {1\over x-\alpha}\,dx=\ln|x-\alpha|+C,\qquad
\int {1\over (x-\alpha)^j}\,dx=-{1\over j-1}{1\over (x-\alpha)^{j-1}}+C\quad
\hbox{si $j>1$}.
$$
{\bf (5.4$\,$b) Cas où $Q$ est un trinôme du second degré.} Si
$Q(x)=ax^2+bx+c$, le calcul des racines réelles ou complexes donne
une factorisation $Q(x)=a(x-\alpha)(x-\beta)$. Si les racines
$\alpha$, $\beta$ sont réelles et distinctes, on écrit
$$
{1\over(x-\alpha)(x-\beta)}=
{1\over\alpha-\beta} \Big(
{1\over x-\alpha}-{1\over x-\beta}\Big),
$$
ce qui donne aussitôt
$$
\int{1\over(x-\alpha)(x-\beta)}\,dx=
{1\over\alpha-\beta}\ln\Big|{x-\alpha\over x-\beta}\Big|+C.
$$
Dans le cas d'un trinôme réel $ax^2+bx+c$ de discriminant
$\Delta=b^2-4ac<0$, les racines sont complexes et on procède différemment.
On a en effet
$$
Q(x)=a\Big(\Big(x+{b\over 2a}\Big)^2-{\Delta\over 4a^2}\Big)=
a\big((x-\gamma)^2+\delta^2\big)
$$
avec $\gamma=-b/2a$ et $\delta=\sqrt{|\Delta|}/2|a|$, les racines complexes
étant $\alpha=\gamma+i\delta$, $\ovl\alpha=\gamma-i\delta$. Après division
euclidienne de $P$ par $Q$, on est ramené à intégrer des expressions
de la forme
$$
\int {\lambda x+\mu\over (x-\gamma)^2+\delta^2}\,dx.
$$
Dans ce cas on écrit $\lambda x+\mu=\lambda(x-\gamma)+(\lambda\gamma+\mu)$
et on observe que $(x-\gamma)$ est la moitié de la dérivée du dénominateur,
ce qui donne
$$
\eqalign{
\int {\lambda x+\mu\over (x-\gamma)^2+\delta^2}\,dx&=
\int {\lambda(x-\gamma)\over (x-\gamma)^2+\delta^2}\,dx+
\int {\lambda\gamma+\mu\over (x-\gamma)^2+\delta^2}\,dx\cr
&={1\over 2}\lambda\ln\big((x-\gamma)^2+\delta^2\big)+
(\lambda\gamma+\mu)\int {1\over (x-\gamma)^2+\delta^2}\,dx\cr
&={1\over 2}\lambda\ln\big((x-\gamma)^2+\delta^2\big)+
{\lambda\gamma+\mu\over\delta}\arctan{x-\gamma\over\delta}+C.\cr
}
$$
\medskip

\section{6. Calcul d'aires et de volumes}

Nous commencerons par une application concrète très importante qui est
le calcul des aires et des volumes.
\medskip

{\bf (6.1) Calcul d'aires${}^{(7)}$.} Par définition même, 
l'intégrale d'une fonction $f$ calcule l'aire algébrique située sous
son graphe. Pour un domaine plan quelconque, 
la frontière est en général délimitée par les graphes de
plusieurs fonctions (deux au moins, davantage si le domaine comporte
des «\?trous\?» ou des «\?renfoncements\?»).

\vbox{%
\InsertPSFigure 10.000 60.000 {
1 mm unit
  5.000  10.000 moveto  97.000   0.000 2.4 vector 
 10.000   5.000 moveto  45.000  90.000 2.4 vector 
  0.200 setlinewidth
 18.000  24.000 moveto 
[  18.000  24.000
   18.000  24.500   25.000  27.000   38.000  49.000   46.000  40.000 
   56.000  44.000   60.000  32.000   75.000  40.000   80.000  40.500  
   80.000  40.000   80.000  39.500
   72.000  20.000   55.000  16.000   32.000  15.000   18.000  23.500
] curve closepath
gsave
  0.940   0.960   0.980 setrgbcolor  fill
 48.000  15.000 moveto   50.000  15.000 lineto  
 50.000  40.000 lineto   48.000  40.000 lineto 
 closepath
  gsave
  1.000   0.840   0.840 setrgbcolor fill
  grestore
  1.000   0.000   0.000 setrgbcolor stroke
grestore
  stroke
  0.000 setgray
[ 1.000   0.500 ] 0 setdash
 18.000  11.200 moveto  18.000  24.000 lineto stroke
 80.000  11.200 moveto  80.000  40.000 lineto stroke
 48.000  11.200 moveto  48.000  15.000 lineto stroke
 50.000  11.200 moveto  50.000  15.000 lineto stroke
[ ] 0 setdash
 48.000  14.800 moveto   0.7 disk
 48.000  40.200 moveto   0.7 disk
  0.339 setlinewidth
 18.000  10.000 moveto   0.700   0.000 indent 
 48.000  10.000 moveto   0.700   0.000 indent 
 50.000  10.000 moveto   0.700   0.000 indent 
 80.000  10.000 moveto   0.700   0.000 indent 
}
\LabelTeX   32.000  26.500 $A$\ELTX
\LabelTeX   17.000   6.500 $a$\ELTX
\LabelTeX   79.300   6.500 $b$\ELTX
\LabelTeX   45.500   6.200 $x$\ELTX
\LabelTeX   48.500   6.200 $x+dx$\ELTX
\LabelTeX    6.200  48.000 $y$\ELTX
\LabelTeX   40.500  17.750 $f(x)$\ELTX
\LabelTeX   40.500  36.500 $g(x)$\ELTX
\LabelTeX   50.800  26.500 $\ell(x)\,dx$\ELTX
\EndFig
\centerline{{\bf Fig.~9.} Aire d'un domaine délimité par des graphes
de fonctions.}}

\smallskip
Comme on le voit par soustraction des aires situées sous les 
graphes de $f$ et $g$ respectivement (et en remplaçant si nécessaire $f$,
$g$ par $f+C$, $g+C$ pour avoir des fonctions positives), l'aire du domaine 
plan est égale à la différence 
$$
A=\int_a^b g(x)\,dx-\int_a^b f(x)\,dx.
$$
L'aire d'un tel domaine plan est donc donnée par l'intégrale par
rapport à $x$ de la longueur $\ell(x)=g(x)-f(x)$ des sections 
«\?verticales\?» du domaine~:
$$
\boxed{16}{
A =\int_a^b\ell(x)\,dx=\int_a^b \big(g(x)-f(x)\big)\,dx.
}
$$
À titre d'exemple, cherchons l'aire délimitée par l'ellipse
${x^2\over a^2}+{y^2\over b^2}=1$, de demi-axes $a$ et $b$. Le domaine
délimité par l'ellipse est compris entre les graphes des fonctions
$g(x)=b\sqrt{1-(x/a)^2}$ et $f(x)=-g(x)$ pour $x\in[-a,a]$, ce qui donne
$$
A =\int_{-a}^a2g(x)\,dx=2b\int_{-a}^a \sqrt{1-{x^2\over a^2}}\,dx.
$$
Le changement de variable $x=a\sin t$ avec $t\in[-\pi/2,\pi/2]$ donne 
$dx=a\cos t\,dt$, d'où
$$
A=2ab\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\cos^2(t)\,dt=
2ab\int_{-\pi/2}^{\pi/2}{1+\cos 2t\over 2}\,dt=\pi ab.\eqno\square
$$

{\bf (6.2) Calcul de volumes\note{8}{La définition de
l'aire (et de même du volume), pour des domaines «\?mesurables\?» 
arbitraires de $\bR^2$ et de $\smash{\bR^3}$ requiert des 
concepts sophistiqués de la théorie de l'intégration que nous ne 
pouvons pas développer ici. La démonstration complète des
formules 6.1 et 6.2 s'appuie ainsi sur le célèbre théorème dit
de Fubini. Nous renvoyons à la section 9 du chapitre III de notre 
exposé complet pour une preuve détaillée dans le cadre de la théorie de
l'intégrale de Kurzweil-Henstock. Il n'est pas incorrect ici de
considérer que les formules données pour la surface et le volume 
sont en quelque sorte des définitions de ces grandeurs.}.} La procédure
est essentiellement la même~:
on effectue des sections planes (disons par exemple en coupant par un plan 
horizontal $z=\hbox{Cte}$), et on suppose connue l'aire $S(z)$ d'une 
telle section plane (cette aire aura en général été évaluée 
elle-même par un calcul intégral comme expliqué au paragraphe 6.1).

\vbox{%
\InsertPSFigure 10.000 60.000 {
1 mm unit
  5.000  10.000 moveto  97.000   0.000 2.4 vector 
 10.000   5.000 moveto  45.000  90.000 2.4 vector 
[ 1.000   0.500 ] 0 setdash
 11.200  32.000 moveto  29.100  32.000 lineto stroke
 11.200  34.000 moveto  29.100  34.000 lineto stroke
 11.200  14.000 moveto  43.000  14.000 lineto stroke
 11.200  44.000 moveto  37.000  44.000 lineto stroke
[ ] 0 setdash
  0.200 setlinewidth
 18.000  24.000 moveto 
[  18.000  24.000
   18.000  24.500   25.000  27.000   38.000  44.000   46.000  40.000 
   56.000  43.000   60.000  42.000   75.000  41.000   80.000  40.500  
   80.000  40.000   80.000  39.500
   72.000  20.000   55.000  16.000   32.000  15.000   18.000  23.500
] curve closepath
gsave
  0.940   0.960   0.980 setrgbcolor  fill
 29.100  32.000 moveto   79.100  32.000 lineto  
 79.100  34.000 lineto   29.100  34.000 lineto
 closepath
  gsave
  1.000   0.840   0.840 setrgbcolor fill
  grestore
  1.000   0.000   0.000 setrgbcolor stroke
grestore
  0.000 setgray stroke
  0.339 setlinewidth
 10.000  14.000 moveto   0.700  90.000 indent 
 10.000  44.000 moveto   0.700  90.000 indent
 10.000  32.000 moveto   0.700  90.000 indent
 10.000  34.000 moveto   0.700  90.000 indent 
}
\LabelTeX   46.000  22.500 $V$\ELTX
\LabelTeX    6.500  43.500 $b$\ELTX
\LabelTeX    6.500  13.000 $a$\ELTX
\LabelTeX    6.500  29.800 $z$\ELTX
\LabelTeX   -1.000  34.200 $z+dz$\ELTX
\LabelTeX   96.000   6.200 $x,\,y$\ELTX
\LabelTeX    6.200  49.000 $z$\ELTX
\LabelTeX   47.800  35.500 $S(z)\,dz$\ELTX
\EndFig
\vskip-2pt
\centerline{{\bf Fig.~10.} Calcul d'un volume par tranchage dans la 
direction~$z$.}}
\bigskip
Dans ce cas, le volume est donné par
$$
\boxed{16}{
V=\int_a^b S(z)\,dz.}
$$
Une application immédiate est le calcul du volume de la boule de
rayon $R$ d'équation $x^2+y^2+z^2\le R^2$.
L'aire de la section $z=\hbox{Cte}$ est l'aire $S(z)=\pi(R^2-z^2)$
du disque $x^2=y^2\le R^2-z^2$ de rayon $\sqrt{R^2-z^2}$. On trouve donc
$$
V=\int_{-R}^R\pi(R^2-z^2)\,dz=2\pi\int_0^R(R^2-z^2)\,dz
=2\pi\big[R^2z-z^3/3\big]_0^R={4\over 3}\pi R^3.
$$
Une autre application est la formule donnant le volume d'un cône 
-- éventuellement «\?oblique\?» -- ayant une base
d'aire $A$ connue et une hauteur $h$.

On entend ici par cône la réunion des segments issus d'un point
(sommet), ayant pour autre extrêmité un point quelconque d'un
domaine plan (choisi comme base). Pour faire le calcul, il est
commode de choisir le sommet du cône comme origine et de fixer
un repère orthonormé tel que la base du cône soit contenue dans 
le plan~$z=h$.

\InsertPSFigure 20.000 52.000 {
1 mm unit
 10.000   2.000 moveto   46 90 2.4 vector
 10.000   6.000 moveto   0.7 90 indent
 10.000  24.000 moveto   0.7 90 indent
 10.000  25.500 moveto   0.7 90 indent
 10.000  36.000 moveto   0.7 90 indent
 35.000   6.000 moveto   17.900  36.000 lineto stroke
 35.000   6.000 moveto   59.800  36.200 lineto stroke
 18.000  36.000 moveto 
[  18.000  36.000   25.000  39.000   38.000  44.000   
   46.000  41.000   56.000  41.000   60.000  38.000   52.000  33.000
   42.000  31.000   32.000  33.000   22.000  34.000
] closedcurve
gsave
  0.940   0.960   0.980 setrgbcolor  fill
grestore stroke
gsave
 35.000   6.000 translate
  0.6 0.6 scale
-35.000  -6.000 translate
 18.000  36.000 moveto 
[  18.000  36.000   25.000  39.000   38.000  44.000   
   46.000  41.000   56.000  41.000   60.000  38.000   52.000  33.000
   42.000  31.000   32.000  33.000   22.000  34.000
] closedcurve
gsave
  0.980   0.960   0.940 setrgbcolor  fill
grestore stroke
grestore
}
\LabelTeX   37.000  23.000 $S(z)$\ELTX
\LabelTeX    6.200  46.000 $z$\ELTX
\LabelTeX    6.200  35.000 $h$\ELTX
\LabelTeX    6.200  22.500 $z$\ELTX
\LabelTeX   -1.700  25.000 $z+dz$\ELTX
\LabelTeX    6.200   5.000 $0$\ELTX
\LabelTeX   42.800  35.500 $A$\ELTX
\LabelTeX   56.800  28.500 $V$\ELTX
\EndFig
\centerline{{\bf Fig.~11.} Calcul du volume d'un cône.}
\medskip

Comme l'aire de l'homothétique de rapport $\lambda$ d'un domaine plan 
est multipliée par~$\lambda^2$, et comme le domaine d'aire $S(z)$ est 
homothétique du domaine d'aire $A$ dans le rapport $\lambda=z/h$, on a
$$
S(z)={z^2\over h^2}A.
$$
On en déduit que le volume du cône vaut
$$
V=\int_0^h S(z)\,dz
=\int_0^h {z^2\over h^2}A\,dz=\Big[{1\over 3}z^3\Big]_0^h{1\over h^2}A, 
$$
ce qui prouve la formule classique
$$
V={1\over 3}Ah.
$$
On peut appliquer le même raisonnement pour un cône
sphérique, c'est-à-dire un cône ayant pour sommet le centre
d'une sphère, et pour base un domaine de cette sphère (plutôt qu'un
domaine plan). Si $R$ est le rayon de la sphère et $A$ l'aire du domaine
sphérique, on trouve alors comme précédemment
$V={1\over 3}AR$.
Dans le cas où la base est la sphère toute entière, le cône
est la boule elle-même, d'où $V={4\over 3}\pi R^3$. On en déduit
ainsi la valeur de l'aire de la sphère
$$
A=4\pi R^2.
$$

\section{7. Encadrement par des fonctions en escalier. Intégrabilité
des fonctions continues ou monotones par morceaux}\vskip-19pt
\ \kern288pt\ \note{9}{%
À partir de ce point, le niveau théorique de l'exposé augmente
sensiblement, nous considérons donc que cela relève plutôt de
l'enseignement supérieur -- le théorème (7.10) peut être admis
d'emblée en Terminale si l'on souhaite ensuite être en mesure
d'énoncer et de démontrer le corollaire 7.7.}
\vskip8pt
\sectionrunning{7. Encadrement par des fonctions en escalier et 
intégrabilité}

Nous nous proposons de démontrer ici que quelques classes usuelles de 
fonctions (no-tam\-ment les fonctions continues ou monotones par morceaux) sont
intégrables.

Soit $f:[a,b]\to\bR$ une fonction bornée. L'idée est de
considérer des encadrements
$$\varphi\le f\le\psi\leqno(7.1)
$$
de $f$ par des fonctions en escalier $\varphi,\,\psi$, comme figuré sur 
le schéma ci-dessous.

\InsertPSFigure 10.000 65.000 {
/squeeze { /y2 exch 10.0 add def  /y1 exch 10.0 add def 
           /a2 exch def  /a1 exch def
   0.84 setgray
   a1 y1 moveto  a2 y1 lineto  a2 y2 lineto a1 y2 lineto closepath fill
   0.000   0.000   1.000 setrgbcolor
   a1 y1 moveto  a2 y1 lineto  stroke
   1.000   0.000   0.000 setrgbcolor
   a1 y2 moveto  a2 y2 lineto  stroke
   } def
/vertdash { /y exch 10.0 add def /x exch def
   x 10.0 moveto  x y lineto stroke } def
1 mm unit
  0.000 setgray
  5.000  10.000 moveto  97.000   0.000 2.4 vector 
 10.000   5.000 moveto  55.000  90.000 2.4 vector 
  0.250 setlinewidth
 18.000  23.000  14.000  15.900 squeeze
 23.000  27.000  15.900  18.800 squeeze
 27.000  32.000  18.800  33.700 squeeze
 32.000  36.000  33.700  39.100 squeeze
 36.000  39.000  38.500  39.300 squeeze
 39.000  43.000  22.000  38.500 squeeze
 43.000  47.000  19.800  22.000 squeeze
 47.000  50.000  20.000  21.600 squeeze
 50.000  53.000  21.600  23.500 squeeze
 53.000  57.000  23.300  24.300 squeeze
 57.000  60.000  12.000  23.300 squeeze
 60.000  63.000  11.100  12.000 squeeze
 63.000  65.000  11.700  14.200 squeeze
 65.000  68.000  14.200  21.300 squeeze
 68.000  71.000  21.300  26.900 squeeze
 71.000  74.000  26.900  29.650 squeeze
 74.000  80.000  29.650  30.300 squeeze
  0.000 setgray
  0.200 setlinewidth
 18.000  24.000 moveto 
[  18.000  24.000   25.000  27.000   38.000  49.000   46.000  30.000 
   56.000  34.000   60.000  22.000   75.000  40.000   80.000  40.000  
] curve 
  stroke
  0.400 setgray
  0.113 setlinewidth
[ 1.000   0.500 ] 0 setdash
 18.000  14.000 vertdash
 23.000  15.900 vertdash
 27.000  18.800 vertdash
 32.000  33.700 vertdash
 36.000  39.300 vertdash
 39.000  38.500 vertdash
 43.000  22.000 vertdash
 47.000  20.000 vertdash
 50.000  21.600 vertdash
 53.000  23.300 vertdash
 57.000  23.100 vertdash
 60.000  12.000 vertdash
 63.000  11.700 vertdash
 65.000  14.200 vertdash
 68.000  21.300 vertdash
 71.000  26.900 vertdash
 74.000  29.650 vertdash
 80.000  30.100 vertdash
  0.000   0.000   1.000 setrgbcolor
 10.000  28.800 moveto  27.000  28.800 lineto stroke
  1.000   0.000   0.000 setrgbcolor
 10.000  43.700 moveto  27.000  43.700 lineto stroke
  0.000 setgray
  0.339 setlinewidth
 18.000  10.000 moveto   0.700   0.000 indent 
 27.000  10.000 moveto   0.700   0.000 indent 
 32.000  10.000 moveto   0.700   0.000 indent 
 80.000  10.000 moveto   0.700   0.000 indent 
}
\LabelTeX   17.000   6.500 $a$\ELTX
\LabelTeX   79.300   6.500 $b$\ELTX
\LabelTeX   25.500   6.500 $u_i$\ELTX
\LabelTeX   30.500   6.500 $u_{i+1}$\ELTX
\LabelTeX  100.500   6.200 $x$\ELTX
\LabelTeX    6.200  28.400 $\RGBColor{0 0 1}{c_i}$\ELTX
\LabelTeX    6.200  43.000 $\RGBColor{1 0 0}{d_i}$\ELTX
\LabelTeX    6.200  58.000 $y$\ELTX
\LabelTeX   28.500  26.200 $\RGBColor{0 0 1}{\varphi}$\ELTX
\LabelTeX   28.500  45.500 $\RGBColor{1 0 0}{\psi}$\ELTX
\LabelTeX   24.600  36.500 $f$\ELTX
\EndFig
\vskip-10pt
\centerline{{\bf Fig.~12.} Encadrement d'une fonction bornée $f$ par des 
fonctions en escalier.}
\vskip7pt

On peut supposer ici que les fonctions en escalier $\varphi$ et $\psi$
sont exprimées au moyen de la même subdivision
$a=u_0<u_1<\ldots<u_p=b$, sinon il est toujours possible de redécouper
les subdivisions qui les définissent pour arriver à une
subdivision commune [de plus, comme les valeurs $\varphi(u_i)$, $\psi(u_i)$
ne jouent pas de rôle dans les intégrales, on peut choisir par exemple
$\varphi(u_i)=\psi(u_i)=f(u_i)\,$]. Dans cette situation, l'erreur due
à l'encadrement de l'aire est précisément
$$
\int_a^b\psi(x)\,dx-\int_a^b\varphi(x)\,dx=
\sum_{0\le i\le p-1}(d_i-c_i)(u_{i+1}-u_i)\leqno(7.2)
$$
(somme des aires des rectangles dessinés en grisé sur la Fig.~12). 
On obtient ainsi le
\medskip

{\bf (7.3) Critère d'intégrabilité au sens de Riemann}.
{\it Soit $f:[a,b]\to\bR$ une fonction. On suppose que pour tout
$\varepsilon>0$ il existe un
encadrement $\varphi\le f\le \psi$ de $f$ par des fonctions en escalier
$\varphi$, $\psi$ telles que
$$
\boxed{16}{
\int_a^b\psi(x)\,dx-\int_a^b\varphi(x)\,dx
=\sum_{0\le i\le p-1}(d_i-c_i)(u_{i+1}-u_i)\le \varepsilon.}
$$
Alors $f$ est intégrable au sens de Riemann sur $[a,b]$ et on a
$$
\boxed{16}{
\int_a^bf(x)\,dx=\sup\Big\{\int_a^b\varphi(x)\,dx\,;\;\varphi\le f\Big\}
=\inf\Big\{\int_a^b\psi(x)\,dx\,;\;\psi\ge f\Big\}.}
$$}

{\it Démonstration.} Considérons les ensembles de valeurs prises par
les intégrales de fonctions en escalier $\varphi$ qui minorent et 
$\psi$ qui majorent, c'est-à-dire
$$
E_1=\Big\{\int_a^b\varphi(x)\,dx\,;\;\varphi\le f\Big\},\quad
E_2=\Big\{\int_a^b\psi(x)\,dx\,;\;\psi\ge f\Big\},
$$
et $S=\sup E_1$, $I=\inf E_2$,
Il est clair que pour tout $\smash{A_1=\int_a^b\varphi(x)\,dx\in E_1}$ et tout 
$\smash{A_2=\int_a^b\psi(x)\,dx\in E_2}$ on a $A_1\le A_2$. L'hypothèse 
de la condition signifie que pour un choix adéquat de $\varphi,\,\psi$ on a
$A_2-A_1\le\varepsilon$. Ceci entraîne bien $S=\sup E_1=I=\inf E_2$.
Comme toute fonction en escalier est intégrable 
avec des jauges constantes (cf.\ exemple 2.4), il~existe 
$\delta_1>0$, $\delta_2>0$ tels que
$$
\eqalign{
&\forall D=\{([a_j,a_{j+1}],x_j)\},\qquad 
h_j\le \delta_1~\hbox{pour tout $j$} 
\Rightarrow |S_D(\varphi)-A_1|\le\varepsilon,\cr
&\forall D=\{([a_j,a_{j+1}],x_j)\},\qquad 
h_j\le \delta_2~\hbox{pour tout $j$} 
\Rightarrow |S_D(\psi)-A_2|\le\varepsilon.\cr
}
$$
Or nous avons $A_1\le S=I\le A_2$ et $A_2-A_1\le\varepsilon$.
Prenons une subdivision pointée $D=([a_j,a_{j+1}],x_j)$ vérifiant
$h_j\le\delta=\min(\delta_1,\delta_2)$. Nous obtenons dans ces
conditions $S_D(\varphi)\le S_D(f)\le S_D(\psi)$, donc
$$
S_D(f)\le S_D(\psi)\le A_2+\varepsilon\le I+2\varepsilon,\qquad
S_D(f)\ge S_D(\varphi)\ge A_1-\varepsilon\ge S-2\varepsilon.
$$
Par suite en posant $A=S=I$ il vient $|S_D(f)-A|\le 2\varepsilon$.
La suffisance du critère d'intégrabilité est démontrée.\qed
\medskip

{\bf (7.4)* Complément.}
{\it Le critère 7.3 est en fait une condition
nécessaire et suffisante pour que $f$ soit intégrable au sens de
Riemann sur~$[a,b]$.}

{\it  Démonstration.} Pour voir la nécessité de la condition, 
supposons $f:[a,b]\to\bR$ Riemann-intégrable et
soient $\varepsilon>0$ et $\delta>0$ satisfaisant la définition
2.5. Considérons une subdivision pointée $\delta$-fine
$D=\{([a_j,a_{j+1}],x_j)\}$ quelconque. En faisant varier
indépendamment chaque $x_j$ dans l'intervalle $[a_j,a_{j+1}]$, on
trouve
$$
\eqalign{
&\sup_{\{x_j\}}S_D(f)=
\sup_{\{x_j\}}\sum_{j=0}^{N-1}f(x_j)(a_{j+1}-a_j)=\sum_{j=0}^{N-1}M_j
(a_{j+1}-a_j),\cr
&\inf_{\{x_j\}}S_D(f)=
\inf_{\{x_j\}}\sum_{j=0}^{N-1}f(x_j)(a_{j+1}-a_j)=\sum_{j=0}^{N-1}m_j
(a_{j+1}-a_j)\cr}
$$
où $M_j=\sup_{x\in[a_j,a_{j+1}]}f(x)$, $m_j=\inf_{x\in[a_j,a_{j+1}]}f(x)$.
Puisque \hbox{$A-\varepsilon\le S_D(f)\le A+\varepsilon$}, on voit en passant
au sup et à l'inf que
$$
A-\varepsilon\le\sum_{j=0}^{N-1}m_j(a_{j+1}-a_j)\le
\sum_{j=0}^{N-1}M_j(a_{j+1}-a_j)\le A+\varepsilon.
$$
Ceci entraîne en particulier qu'aucune des bornes $M_j$ ne peut être 
égale à $+\infty$ et qu'aucune des bornes $m_j$ ne peut être égale à
$-\infty$, et par conséquent que $f$ est bornée. Si on définit les
fonctions en escalier $\varphi,\,\psi$ par
$$
\varphi(x)=m_j,\quad
\psi(x)=M_j\quad\hbox{si $x\in{}]a_j,a_{j+1}[$}, \qquad
\varphi(a_j)=\psi(a_j)=f(a_j),
$$
on obtient un encadrement $\varphi\le f\le\psi$ tel que
$$
\int_a^b\psi(x)\,dx-\int_a^b\varphi(x)\,dx\le 2\varepsilon,
$$
et on voit que la condition du critère 7.3 est bien satisfaite.\qed
\medskip

Une application directe de 7.3 est la preuve de l'intégrabilité
des fonctions monotones ou continues (dans la suite de ce paragraphe,
tous les résultats concerneront donc l'intégrabilité au sens de
Riemann.)
\medskip

{\bf (7.5) Théorème.} {\it Toute fonction $f:[a,b]\to\bR$ monotone est 
intégrable au sens de Riemann sur~$[a,b]$.}

{\it Démonstration.} Supposons par exemple $f$ croissante et soit
$a=u_1<\ldots <u_p=b$ une subdivision $\delta$-fine de $[a,b]$, où
$\delta>0$ est une constante. De manière évidente,
on définit un encadrement $\varphi\le f\le\psi$ de $f$ par des fonctions 
en escalier en posant
$$
\varphi(x)=f(u_j)~~\hbox{sur $]u_j,u_{j+1}[$},\qquad
\psi(x)=f(u_{j+1})~~\hbox{sur $]u_j,u_{j+1}[$}
$$
(et $\varphi(u_j)=\psi(u_j)=f(u_j)$ comme déjà convenu). Ceci donne
$$
\eqalign{
\int_a^b\psi(x)\,dx-\int_a^b\varphi(x)\,dx
&=\sum_{0\le j\le N-1}\big(f(u_{j+1})-f(u_j)\big)(u_{j+1}-u_j)\cr
&\le\delta\sum_{0\le j\le N-1}\big(f(u_{j+1})-f(u_j)\big)=
\delta\big(f(b)-f(a)\big).\cr}
$$
On voit ainsi que la condition 7.3 est vérifiée en prenant
$\delta$ assez petit.\qed
\medskip

{\bf (7.6) Théorème} {\it Toute fonction $f:[a,b]\to\bR$ continue est 
intégrable au sens de Riemann sur~$[a,b]$.}

{\it Démonstration.} Soit $\varepsilon>0$. La continuité de $f$ en tout 
point $x\in[a,b]$ implique l'existence d'un réel $\delta(x)>0$ tel que
$$
\forall x'\in[a,b],~~x'\in[x-\delta(x),x+\delta(x)]
\Rightarrow|f(x')-f(x)|\le\varepsilon.
$$
Soit $D=([a_j,a_{j+1}],x_j)_{0\le j<N}$ une subdivision pointée 
$\delta$-fine. En prenant $x=x_j$ et en faisant parcourir à $x'$
l'intervalle $[a_j,a_{j+1}]\subset[x_j-\delta(x_j),x_j+\delta(x_j)]$,
on déduit de la majoration $|f(x')-f(x_j)|\le\varepsilon$ que
les bornes inf et sup
$$
m_j=\inf_{x'\in[a_j,a_{j+1}]} f(x'),\quad
M_j=\sup_{x'\in[a_j,a_{j+1}]} f(x')
$$
sont comprises entre $f(x_j)-\varepsilon$ et $f(x_j)+\varepsilon$, par 
conséquent $M_j-m_j\le 2\varepsilon$. On obtient ainsi un encadrement
$\varphi\le f\le\psi$ de $f$ par des
fonctions en escalier $\varphi,\,\psi$ telles que
$$
\varphi(x)=m_j,\quad
\psi(x)=M_j\quad\hbox{si $x\in{}]a_j,a_{j+1}[$}, \qquad
\varphi(a_j)=\psi(a_j)=f(a_j),
$$
et de plus
$$
\eqalign{
\int_a^b\psi(x)\,dx-\int_a^b\varphi(x)\,dx&=\sum_{0\le j\le N-1}
(M_j-m_j)(a_{j+1}-a_j)\cr
&\le 2\varepsilon\sum_{0\le j\le N-1}a_{j+1}-a_j=2\varepsilon(b-a).\cr}
$$
Ceci montre que le critère 7.3 est satisfait, donc $f$ est
intégrable.\note{10}{On remarquera que dans cette preuve
l'utilisation explicite de la propriété de continuité uniforme
de la fonction $f$ n'a pas été nécessaire, ce qui est une
simplification appréciable susceptible de rendre la preuve abordable
dès la classe terminale [$\,$avec des vitamines tout de même$\,$!].}
\qed
\bigskip

\vbox{%
{\bf (7.7) Théorème.} {\it Toute fonction continue $f:[a,b]\to\bR$ admet
une primitive F, donnée par 
$$
\boxed{16}{
F(x)=\int_a^xf(t)\,dt,\qquad x\in[a,b].}
$$
Les autres primitives sont les fonctions de la forme $F_1(x)=F(x)+C$
où $C$ est une constante.}}

{\it Démonstration.} Nous savons que l'intégrale donnant $F(x)$ existe
par le Théorème~7.6. La relation de Chasles donne 
$$
F(x+h)-F(x)=\int_x^{x+h}f(t)\,dt\quad\Rightarrow\quad
{F(x+h)-F(x)\over h}={1\over h}\int_x^{x+h}f(t)\,dt.
$$
Pour tout $\varepsilon>0$, l'hypothèse de continuité dit que
$f(x)-\varepsilon\le f(t)\le f(x)+\varepsilon$ pour $|t-x|\le\delta(x)$, 
on a donc
$$
f(x)-\varepsilon={1\over h}\int_x^{x+h}(f(x)-\varepsilon)\,dt\le
{F(x+h)-F(x)\over h}\le 
{1\over h}\int_x^{x+h}(f(x)+\varepsilon)\,dt=f(x)+\varepsilon
$$
pour $|h|\le\delta(x)$, ce qui signifie que 
$$
F'(x)=\lim_{h\to 0}{F(x+h)-F(x)\over h}=f(x).
$$
Si on a une autre primitive $F_1$, il vient $(F_1-F)'=f'-f'=0$, donc 
$F_1-F=C$ constante.\qed
\medskip

{\bf (7.8) Proposition.} {\it 
{\parindent=6.5mm
\item{\rm (a)} Si $f:[a,b]\to\bR$ est une fonction continue positive ou 
nulle, on a $\int_a^b f(x)=0$ si et seulement si $f=0$.
\item{\rm (b)} Si $f,\,g:[a,b]\to\bR$ sont continues et $f\le g$, on a
$\int_a^bf(x)\,dx<\int_a^bg(x)\,dx$ dès que $f$ et $g$ se sont pas
égales.\vskip0pt
}}

{\it Démonstration.} (a) Si $f$ n'est pas nulle, il existe un point 
$x_0\in[a,b]$ tel que $f(x_0)>0$, et on pose alors $\varepsilon=f(x_0)/2$. 
La continuité de $f$ en $x_0$ implique qu'il existe un intervalle
$[x_0,x_0+\eta]$ (ou $[x_0-\eta,x_0]$, si $x_0=b$) sur lequel 
$f(x)-f(x_0)|\le\varepsilon$. On voit donc qu'il existe un sous-intervalle
$[c,d]$ de de $[a,b]$ de longueur $d-c=\eta>0$ sur lequel 
$f(x)\ge f(x_0)-\varepsilon\ge\varepsilon$. Par suite
$\int_a^bf(x)\,dx\ge\int_c^df(x)\,dx\ge(d-c)\,\varepsilon>0$.

(b) Si $f\le g$ et $f\ne g$, alors $h=g-f\ge 0$ n'est pas nulle, donc
$\int_a^bh(x)\,dx>0$ d'après~(a).\qed
\medskip

{\bf (7.9) Formule de la moyenne.} {\it Soit $f:[a,b]\to\bR$ une fonction 
continue. Alors il existe un point $c\in{}]a,b[$ tel que la 
«\?valeur moyenne de $f$ sur $[a,b]$\?» soit égale à $f(c)~:$
$$
\boxed{16}{
{1\over b-a}\int_a^bf(x)\,dx=f(c).}
$$
}

{\it Démonstration.} Soit $m=\min_{[a,b]}f$, $M=\max_{[a,b]}f$. 
Supposons d'abord $f$ non cons\-tante. D'après
la proposition 7.8~(b) appliquée aux inégalités $m\le f\le M$, 
nous avons 
$$
m(b-a)<\int_a^bf(x)\,dx<M(b-a),\quad\hbox{soit}\quad
m<{1\over b-a}\int_a^bf(x)\,dx<M.
$$
La formule de la moyenne est donc une conséquence du théorème des valeurs 
intermédiaires, puisque $f(]a,b[)$ est un intervalle qui
contient l'intervalle $]m,M[$. Si $f$ est égale à une constante $C$, 
le résultat est évident, les deux membres de la formule étant égaux
à $C$ quel que le soit le choix de $c\in{}]a,b[$.\qed
\medskip

{\bf (7.10) Une généralisation.} {\it On dit qu'une fonction 
$f:[a,b]\to\bR$ est continue $($resp.\ monotone$)$ par morceaux s'il existe
une subdivision
$$a=\alpha_0<\alpha_1<\alpha_2<\ldots<\alpha_{N-1}<\alpha_N=b$$ telle
que $f$ soit continue $($resp. monotone$)$ sur chaque intervalle
$]\alpha_j,\alpha_{j+1}[$ et possède des limites à droite et à
gauche finies en chaque point $\alpha_j$ tel que \hbox{$j<N$}
$($resp.\ \hbox{$j>0)$}. Toute fonction continue ou monotone par morceaux est
inté\-grable au sens de Riemann.}

{\it Démonstration.} En effet, la restriction 
$f_{|[\alpha_j,\alpha_{j+1}]}$ diffère d'une fonction continue 
(resp.\ monotone) par une fonction en escalier nulle sur 
$]\alpha_j,\alpha_{j+1}[$ (et prenant des valeurs adéquates en
$\alpha_j$ et $\alpha_{j+1}$). Par conséquent
$f_{|[\alpha_j,\alpha_{j+1}]}$ est intégrable au sens de Riemann,
et l'inté\-grabilité de $f$ sur $[a,b]$ résulte de la
relation de Chasles.\qed
\bigskip

Nous démontrons maintenant une généralisation du théorème
fondamental 4.1. Observons d'abord que comme une fonction nulle sauf
sur un ensemble fini est d'intégrale nulle (remarque 3.2), on peut
envisager d'intégrer des fonctions $f$ qui sont seulement définies
sur le complémentaire $[a,b]\ssm Z$ d'un ensemble fini $Z$~: on se
ramène au cas d'une fonction partout définie en étendant $f$
arbitrairement sur $[a,b]$, par exemple en posant $\tilde f(x)=0$ sur
$Z$. L'intégrale ainsi calculée est indépendante du prolongement
$\tilde f$ choisi. 
\medskip

{\bf (7.11) Théorème.} {\it Soit $f:[a,b]\to\bR$ une fonction continue.
On suppose qu'il existe un ensemble fini $Z=\{u_i\,;\;1\le i\le p\}$
tel que $f$ soit dérivable sur $[a,b]\ssm Z$. Alors $f'$ $($prolongée
arbitrairement aux points $u_i)$ est KH-intégrable sur
$[a,b]$ et on a
$$
\boxed{16}{
\int_a^bf'(x)\,dx = f(b)-f(a).}
$$}


{\it Démonstration.${}^*$} On reprend la démonstration du théorème 4.1. 
La dérivabilité de $f$ sur $[a,b]\ssm Z$ implique l'existence d'une 
fonction $\delta:[a,b]\ssm Z\to{}]0,+\infty[$ telle que
$$
y\in[a,b],\quad y\in[x-\delta(x),x+\delta(x)]\Rightarrow 
\big|f(y)-f(x)-(y-x)f'(x)\big|\le\varepsilon|y-x|
$$
pour tout $x\in[a,b]\ssm Z$, ce qui donne
$$
\big|f(a_{j+1})-f(a_j)-(a_{j+1}-a_j)f'(x_j)\big|
\le\varepsilon|a_{j+1}-a_j|
$$
pour toute subdivision pointée $D=\{([a_j,a_{j+1}],x_j)\}$ $\delta$-fine, 
lorsque $x_j\in[a,b]\ssm Z$. D'autre part, si $x_j=u_i\in Z$, la continuité
de $f$ au point $u_i$ entraîne l'existence de $\delta_i>0$ tel que tout
point $x\in[u_i-\delta_i,u_i+\delta_i]$ satisfasse
$|f(x)-f(u_i)|\le \varepsilon\,2^{-i}$. On choisit de plus $\delta_i$ assez 
petit pour que $\delta_i|f'(u_i)|\le \varepsilon\,2^{-i}$, et on pose 
$\delta(u_i)=\delta_i$. 
Dans ce cas il vient 
$$|f(a_{j+1})-f(a_j)|\le\big|(f(a_{j+1}-f(u_i))-(f(a_j-f(u_i))\big|
\le 2\varepsilon\,2^{-i}$$
si $x_j=u_i$ et $a_{j+1}-a_j\le\delta(x_j)=\delta(u_i)=\delta_i$, ce qui 
implique
$$
\big|f(a_{j+1})-f(a_j)-(a_{j+1}-a_j)f'(u_i)\big|
\le 3\varepsilon\,2^{-i}.
$$
En sommant toutes ces inégalités, il vient
$$
\big|f(b)-f(a)-S_D(f')\big|\le\varepsilon(b-a)+3\varepsilon,
$$
(car $\sum_{1\le i\le p}3\varepsilon\,2^{-i}\le 3\varepsilon$), et le 
théorème est démontré.\qed
\medskip

{\bf (7.12)* Remarque.} On peut voir facilement que le théorème 7.11 
est en fait encore vrai avec un ensemble $Z=\{u_i\}_{i\in\bN}$ dénombrable.
\medskip

{\bf (7.13) Corollaire.} {\it Si $f:{}]a,b[{}\to\bR$ admet une primitive
$F$ sur $]a,b[$, et si cette primitive $F$ admet une limite à droite
$F(a+0)$ en $a$ et une limite à gauche $F(b-0)$ en $b$, alors $f$
est KH-intégrable sur $[a,b]$ $($si $f$ n'est pas a priori définie
en $a$ et $b$, on peut lui attribuer des valeurs $f(a),\,f(b)\in\bR$ 
arbitraires$)$, et on a
$$
\boxed{16}{
\int_a^b f(x)\,dx = F(b-0)-F(a+0)=\lim_{x\to b-0}F(x)-\lim_{x\to a+0}F(x).}
$$
}

{\it Démonstration.} Il suffit en effet de prolonger $F$ par
continuité sur $[a,b]$ en posant $F(a)=\lim_{x\to a+0}F(x)$ et 
$F(b)=\lim_{x\to b-0}F(x)$, puis d'appliquer le théorème~7.11
à sa dérivée $F'$ qui est définie sur $]a,b[{}=[a,b]\ssm Z$ avec 
$Z=\{a,b\}$.\qed
\medskip

Un exemple typique d'application du corollaire 7.13 est celui de la fonction
$$
f(x)={1\over\sqrt{1-x^2}}\qquad\hbox{sur l'intervalle $]-1,1[$}.
$$
Dans ce cas, on a en effet une primitive $F(x)=\arcsin(x)$ qui se prolonge
en une fonction continue sur $[-1,1]$. On obtient par conséquent
$$
\int_{-1}^1{1\over\sqrt{1-x^2}}\,dx=\arcsin(1)-\arcsin(-1)=\pi.
$$
Plus généralement, le corollaire 7.13 nous amène à la définition des
«\?intégrales im\-propres\?».
\medskip

{\bf (7.14) Intégrales «\?impropres\?».} {\it Soit 
$I=[a,b[{}\subset\bR$ un intervalle semi-ouvert,
où \hbox{$b\in\bR\cup\{+\infty\}$}, et soit $f:[a,b[{}\to\bR$ une fonction
intégrable $($par exemple continue ou monotone par morceaux$)$ sur tout 
intervalle $[a,\beta]\subset[a,b[$. On dit que
l'intégrale $\int_a^bf(x)\,dx$ est convergente au point $b$ si la limite
$$
A=\lim_{\beta\to b_-}\int_a^\beta f(x)\,dx
$$
existe dans $\bR$ $($en particulier finie$)$, et on pose alors 
$\int_a^bf(x)\,dx=A$.\smallskip
On donne une définition analogue dans le cas d'un intervalle 
semi-ouvert $]a,b]$,\break \hbox{$a\in\bR\cup\{-\infty\}$}, en considérant
la limite $\smash{\lim_{\alpha\to a_+}\int_\alpha^bf(x)\,dx}$ avec 
$[\alpha,b]\subset{}]a,b]$, et on dit qu'on a
convergence sur un intervalle ouvert $]a,b[$ si les intégrales sur
$]a,c]$ et $[c,b[$ convergent pour tout point intermédiaire
$c\in{}]a,b[$.}
\medskip

{\bf (7.15) Exemples.} On vérifiera que les intégrales
$$
\int_0^1{1\over x^a}\,dx = {1\over 1-a},\qquad
\int_1^{+\infty}{1\over x^b}\,dx = {1\over b-1}
$$
convergent respectivement pour $a<1$ et $b>1$, et que
$$
\int_0^{+\infty}e^{-cx}\,dx = {1\over c}
$$
converge pour tout $c>0$. En utilisant le calcul de la
primitive de $x^n e^{-x}$ donné au point (5.1$\,$a), 
on obtient également le résultat classique
$$
\int_0^{+\infty}x^ne^{-x}\,dx=n!\;.
$$

{\bf (7.16)** Convergence absolue.} {\it Soit $f:[a,b[{}\to\bR$ une fonction
KH-intégrable sur tout intervalle fermé borné $[a,\beta]$.
On dit que l'intégrale $\smash{\int_a^bf(x)\,dx}$ est absolument convergente 
si de plus $|f|$ est KH-intégrable sur chaque intervalle 
$[a,\beta]\subset[a,b[$ et si la limite
$$
\lim_{\beta\to b_-}\int_a^\beta |f(x)|\,dx
$$
existe dans $\bR$ $($donc en particulier si elle est finie$)$.} 
\medskip

On donne une
définition analogue dans le cas d'un intervalle semi-ouvert $]a,b]$,\break
\hbox{$a\in\bR\cup\{-\infty\}$}, en considérant la limite 
$\smash{\lim_{\alpha\to a_+}\int_\alpha^bf(x)\,dx}$ avec 
$[\alpha,b]\subset{}]a,b]$, et on dit qu'on a
convergence sur un intervalle ouvert $]a,b[$ si les intégrales sur
$]a,c]$ et $[c,b[$ convergent pour tout point intermédiaire
$c\in{}]a,b[$.\medskip 

Le critère de Cauchy${}^*$ permet de voir qu'il y a convergence 
(resp.\ convergence absolue) de l'intégrale sur $[a,b[$ si et seulement
si pour tout $\varepsilon>0$ il existe $\beta_\varepsilon<b$ tel que pour
tous $\beta,\gamma\in [\beta_\varepsilon,b[$, $\beta<\gamma$, on ait
$$
\Big|\int_\beta^\gamma f(x)\,dx\Big|\le\varepsilon,
\qquad\hbox{resp.}\quad\int_\beta^\gamma |f(x)|\,dx\le\varepsilon.
$$
Comme $\big|\int_\beta^\gamma f(x)\,dx\big|\le
\int_\beta^\gamma |f(x)|\,dx$, il est clair que la convergence absolue
implique la convergence.
\bigskip

\section{8. Convergence uniforme, continuité et dérivabilité
d'intégrales en fonction de paramètres**}
\sectionrunning{8. Convergence uniforme, continuité et dérivabilité
en fonction de paramètres}

Soit $f_n:[a,b]\to\bR$ une suite de fonctions réelles. On dit que la
suite $(f_n)$ converge uniformément vers une limite $f:[a,b]\to\bR$, 
si la distance uniforme de $f_n$ à $f$ tend vers~$0$ c'est-à-dire si
$$d(f_n,f)=\sup_{x\in[a,b]}|f_n(x)-f(x)|\to 0.$$

{\bf (8.1) Théorème de convergence uniforme.} {\it Soit
$f_n:[a,b]\to\bR$ une suite de fonctions réelles convergeant
uniformément vers une limite $f$.  Si les fonctions $f_n$ sont
Riemann-intégrables $($resp.\ KH-intégrables$)$, alors $f$ est
Rie\-mann-intégrable $($resp.\ KH-intégrable$)$ et
$$
\lim_{n\to+\infty}\int_a^bf_n(x)\,dx=\int_a^bf(x)\,dx.
$$
}

{\it Démonstration.} Posons $A_n=\smash{\int_a^b
f_n(x)\,dx}$. Soit $\varepsilon>0$ et $n_0$ tels que
$|f_n-f|\le\varepsilon$ pour $n\ge n_0$. Nous avons $|f_p-f_q|\le
2\varepsilon$ pour $p,q\ge n_0$, d'où $|A_p-A_q|\le2\varepsilon(b-a)$. 
La suite $(A_n)$ est donc une
suite de Cauchy, par conséquent la limite $A=\lim_{n\to+\infty}A_n$
existe. De plus, il existe une jauge $\delta$ (resp.\ une jauge
constante dans le cas de l'intégrabilité au sens de Riemann) telle
que pour toute subdivision pointée $D$ de pas $h_j\le\delta(x_j)$ on
ait $|S_D(f_{n_0})-A_{n_0}|\le\varepsilon$.  Il vient à la limite
$|A-A_{n_0}|\le 2\varepsilon(b-a)$ tandis que
$|S_D(f)-S_D(f_{n_0})|\le\sum|f(x_j)-f_{n_0}(x_j)|\,h_j\le\varepsilon(b-a)$.
En mettant bout à bout ces inégalités il vient
$$
|S_D(f)-A|\le\varepsilon+3\varepsilon(b-a),
$$
donc $f$ est bien intégrable sur $[a,b]$ d'intégrale $A=\lim A_n$.\qed
\medskip

{\bf (8.2) Remarque.} Pour obtenir l'intégrabilité au sens
de Kurzweil-Henstock de la limite $f=\lim f_n$, il suffirait
d'avoir une estimation de la forme $|f_n-f|\le\varepsilon_ng$ avec
$g\ge 0$ KH-intégrable (non nécessairement bornée) et 
$\varepsilon_n\to 0$.
Nous obtiendrons de toutes façons des théorèmes de convergence
beaucoup meilleurs encore dans ce cas, cf.~chapitre II.
\medskip

Rappelons qu'une fonction $f:I\to\bR$ définie sur un intervalle
$I$ est dite {\it réglée} si elle admet une limite à droite et 
à gauche en tout point de l'intérieur $I^\circ$, ainsi qu'une limite
à droite en $a=\inf I$ si $a\in I$ et à gauche en $b=\sup I$ si $b\in I$.
\medskip

{\bf (8.3) Lemme.} {\it Toute fonction réglée sur un intervalle
fermé borné $[a,b]$ est limite uniforme de
fonctions en escalier.}
\medskip

{\bf (8.4) Corollaire.} {\it Toute fonction réglée sur sur un intervalle
fermé borné $[a,b]$ y est Riemann-intégrable.} 

{\it Démonstration du lemme et de son corollaire.} Soit $\varepsilon>0$. 
Pour tout $x\in[a,b]$, il existe
$\delta(x)>0$ et des constantes $c^+=\lim_{\xi\to x+0}f(\xi)$, 
$c^-=\lim_{\xi\to x-0}f(\xi)$ telles que $|f(x)-c^-|\le\varepsilon$ sur
$[x-\delta(x),x]\cap[a,b]$ et $|f(x)-c^+|\le\varepsilon$ sur
$[x,x+\delta(x)]\cap[a,b]$. D'après le lemme I.2.6, on peut trouver une
subdivision pointée $D=([a_j,a_{j+1}],x_j)$ $\delta$-fine. Ceci nous
permet de définir une fonction en escalier $\varphi$ en posant
$$
\eqalign{
&\varphi(x_j)=f(x_j),\quad \varphi(a_j)=f(a_j),\cr
&\varphi_{|]a_j,x_j[}=c^-_j=\lim_{\xi\to x_j-0}f(\xi),\quad
\varphi_{|]x_j,a_{j+1}[}=c^+_j=\lim_{\xi\to x_j+0}f(\xi).\cr}
$$ 
Par construction nous avons $|f-\varphi|\le\varepsilon$ sur $[a,b]$.
Il en résulte que $f$ est Riemann-intégrable comme limite uniforme
de fonctions en escalier.\qed
\medskip

On va maintenant tirer du théorème de convergence uniforme
les propriétés usuelles de continuité et de dérivabilité sous le 
signe somme des intégrales dépendant de para\-mètres. Des résultats 
beaucoup plus forts sont vrais, mais on aura besoin pour cela de théorèmes
de convergence plus subtils que le théorème 8.1 (cf.\ Chapitre~II, 
section 5).
\medskip

{\bf (8.5) Lemme.} {\it Soit $T\subset\bR^d$ une partie quelconque et 
$f:[a,b]\times T\to\bR$, $(x,t)\mapsto f(x,t)$
une application continue. Alors, si $t_0\in T$, la famille de fonctions
$f_t:x\mapsto f(x,t)$ converge uniformément vers la fonction
$f_{t_0}:x\mapsto f(x,t_0)$ quand $T\ni t$ tend vers $t_0$. Autrement dit,
pour tout $\varepsilon>0$, il existe un voisinage $V$ de $t_0$ tel que 
pour $t\in T\cap V$, on ait
$|f(x,t)-f(x,t_0)|\le\varepsilon$ pour tout $x\in[a,b]$.}

{\it Démonstration.} Pour tout $x_0\in[a,b]$, l'hypothèse de continuité
au point $(x_0,t_0)$ implique qu'il existe un voisinage $V_{x_0,t_0}$ de
$t_0$ (dépendant de $x_0$) et un voisinage
$$
U_{(x_0,t_0)}=
[x_0-\delta(x_0),x_0+\delta(x_0)]\times V_{x_0,t_0}\quad\hbox{de $(x_0,t_0)$}
$$
tel que $(x,t)\in U_{(x_0,t_0)}\cap([a,b]\times T)$ implique
$|f(x,t)-f(x_0,t_0)|\le\varepsilon/2$. En appliquant ceci en particulier
pour $t=t_0$ et en faisant la différence, on voit que
que pour tout $t\in T\cap V_{x_0,t_0}$ et
tout $x\in[x_0-\delta(x_0),x_0+\delta(x_0)]$ on a
$|f(x,t)-f(x,t_0)|\le\varepsilon$. D'après le lemme~I.2.6, il existe une
subdivision pointée $D=([a_i,a_{i+1}],x_i)$ de $[a,b]$ qui est 
$\delta$-fine. Par conséquent
$[a_i,a_{i+1}]\subset[x_i-\delta(x_i),x_i+\delta(x_i)]$, et
en prenant $t\in V=\bigcap_i V_{x_i,t_0}$ on voit que
la conclusion du lemme est vérifiée.
\qed
\medskip

De là, on déduit aussitôt le théorème de continuité des
intégrales dépendant de para\-mètres.

{\bf (8.6) Continuité sous le signe somme.} {\it Soit $T\subset\bR^d$ 
une partie quelconque et $f:[a,b]\times T\to\bR$, $(x,t)\mapsto f(x,t)$
une application continue. Alors l'application 
$$F(t)=\int_a^b f(x,t)\,dx$$ 
est continue sur~$T$.
}

{\it Démonstration.} Avec les notations du lemme 8.5, on trouve
$$
|F(t)-F(t_0)|\le\int_a^b\big|f(x,t)-f(x,t_0)\big|\,dx\le
(b-a)\varepsilon
$$
pour $t\in T\cap V$, ce qui prouve la continuité de $F$ au point~$t_0$.\qed
\medskip

{\bf (8.7) Dérivation sous le signe somme.}
{\it Soit $T$ un intervalle de la droite réelle et $f: [a,b]\times T\to\bR$,
$(x,t)\mapsto f(x,t)$ une fonction telle que
{\parindent=6.5mm
\item{\rm(a)} $f$ est continue sur $[a,b]\times T\;;$ 
\item{\rm(b)} $f$ admet en tout point une dérivée partielle
${\partial f\over\partial t}(x,t)$ qui est elle-même continue
sur~$[a,b]\times T$.\vskip0pt}
Alors l'application $F(t)=\int_a^bf(x,t)\,dx$ est de classe $C^1$ sur $T$
et pour tout $t_0\in T$ on a
$$
\boxed{16}{
F'(t_0)=\int_a^b {\partial f\over\partial t}(x,t_0)\,dx}.
$$
}

{\it Démonstration.} Soit $t\in T$. En appliquant le théorème des 
accroissements finis à $t\mapsto f(x,t)$ sur l'intervalle $[t_0,t]$, 
on voit que
$$
{F(t)-F(t_0)\over t-t_0}=
\int_a^b {f(x,t)-f(x,t_0)\over t-t_0}\,dx=
\int_a^b {\partial f\over\partial t}(x,c_{t,x})\,dx
$$
pour un certain point $c=c_{t,x}\in{}]t_0,t[$. Soit $\varepsilon>0$. En 
appliquant le lemme 8.5 à la fonction continue 
$g(x,t)={\partial f\over\partial t}(x,t)$, on voit qu'il existe un
voisinage $V={}]t_0-\eta,t_0+\eta[$ de $t_0$ tel que 
$|{\partial f\over\partial t}(x,t)-
{\partial f\over\partial t}(x,t_0)|\le \varepsilon$ pour
tout $x\in[a,b]$ et tout $t\in V$. Sous cette hypothèse on
a également $c(x,t)\in{}]t_0,t[{}\subset V$, donc
$|{\partial f\over\partial t}(x,c_{t,x})-
{\partial f\over\partial t}(x,t_0)|\le \varepsilon$ et par suite
$$
\bigg|{F(t)-F(t_0)\over t-t_0}-
\int_a^b {\partial f\over\partial t}(x,t_0)\,dx\bigg|
=\bigg|\int_a^b \Big(
{\partial f\over\partial t}(x,c_{t,x})
-{\partial f\over\partial t}(x,t_0))\Big)\,dx\bigg|\le (b-a)\varepsilon.
$$
On a donc bien $F'(t_0)=\int_a^b {\partial f\over\partial t}(x,t_0)\,dx$,
et cette relation montre que $F'$ est continue d'après le théorème~8.6.\qed
\medskip

Pour un paramètre $t=(t_1,\ldots, t_d)\in\bR^d$, nous avons le résultat
analogue suivant.
\medskip
{\bf (8.8) Différentiabilité sous le signe somme.}
{\it Soit $T\subset\bR^d$ une partie ouverte et
$f: [a,b]\times T\to\bR$, $(x,t)\mapsto f(x,t)$ une 
fonction telle que
{\parindent=6.5mm
\item{\rm(a)} $f$ est continue sur $[a,b]\times T\;;$
\item{\rm(b)} $f$ admet en tout point des dérivées partielles 
${\partial f\over\partial t_j}(x,t)$  qui sont elles-mêmes
continues sur $[a,b]\times T$.\vskip0pt}
Alors l'application $F(t)=\int_a^b f(x,t)\,dx$ est de classe $C^1$ sur $T$
et on a
$$
\boxed{16}{{\partial F\over\partial t_j}(t)=
\int_a^b {\partial f\over\partial t_j}(x,t)\,dx.}
$$
}

{\it Démonstration.} Il suffit en effet d'appliquer le théorème
de dérivation sous le signe somme séparément pour chaque
variable $t_j$ pour voir que les dérivées partielles
$\partial F/\partial t_j$ existent, et d'invoquer ensuite le théorème 
de continuité pour voir que ces dérivées partielles 
sont continues sur $T$.\qed
\medskip

Il est bon parfois de connaître également la formule de
différentiation sous le signe somme dans le cas où l'intégrale est
calculée sur des intervalles dépendant du paramètre.

\medskip
{\bf (8.9) Formule générale de dérivation sous le signe somme.}
{\it Soient $I\subset\bR$ et $T\subset\bR$ des intervalles. On considère
une intégrale de la forme
$$
F(t)=\int_{a(t)}^{b(t)} f(x,t)\,dx
$$
où $a,b:T\to I$ sont des fonctions de classe $C^1$
et $f: I\times T\to\bR$, $(x,t)\mapsto f(x,t)$ une 
fonction continue admettant une dérivée partielle 
${\partial f\over\partial t}$ continue sur $I\times T$.
Alors l'application $F$ est de classe $C^1$ sur $T$ et on a
$$
\boxed{16}{
F'(t)=\int_{a(t)}^{b(t)}{\partial f\over\partial t}(x,t)\,dx
+b'(t)f(b(t),t)-a'(t)f(a(t),t).}
$$}

{\it Démonstration.} On pose
$$
\Phi(t,u,v)=\int_u^v f(x,t)\,dx.
$$
Plaçons-nous sur un sous-intervalle fermé borné 
$T'=[t_1,t_2]\subset T$,
et soit 
$$
A=\min_{t\in T'}a(t)\in I,\qquad B=\max_{t\in T'}b(t)\in I.
$$
Nous avons $[A,B]\subset I$, donc les hypothèses des théorèmes 8.5 et 
8.6 sont satisfaites sur $[A,B]\times T'$. On voit par conséquent que
$\Phi$ admet des dérivées partielles
$$
{\partial\Phi\over\partial t}=\int_u^v {\partial f\over\partial t}(x,t)\,dx,
\qquad
{\partial\Phi\over\partial v}=f(v,t),
\qquad
{\partial\Phi\over\partial u}=-f(u,t)
$$
(pour cette dernière égalité, il suffit d'échanger les bornes $u$ et $v$).
De plus, ces trois dérivées partielles sont continues en les variables
$(t,u,v)$. Pour ${\partial\Phi\over\partial u}$ et 
${\partial\Phi\over\partial v}$ c'est clair par hypothèse, tandis que
pour ${\partial\Phi\over\partial t}$ cela résulte de l'estimation
$$
\Big|{\partial\Phi\over\partial t}(t,u,v)-
{\partial\Phi\over\partial t}(t_0,u_0,v_0)\Big|
\le
M(|u-u_0|+|v-v_0|)+\bigg|\int_{u_0}^{v_0}
\Big({\partial f\over\partial t}(x,t)-{\partial f\over\partial t}(x,t_0)\Big)
\,dx\bigg|
$$
dans laquelle $M$ est un majorant de $|{\partial f\over\partial t}|$ sur
la pavé $[A,B]\times T'$. On
déduit de tout cela que $\Phi(t,u,v)$ et $F(t)=\Phi(t,a(t),b(t))$ sont 
de classe $C^1$. De plus
$$
F'(t)={\partial \Phi\over\partial t}(t,a(t),b(t))+
{\partial \Phi\over\partial u}(t,a(t),b(t))\,a'(t)+
{\partial \Phi\over\partial v}(t,a(t),b(t))\,b'(t)
$$
ce qui donne la formule (8.9) attendue.\qed

\section{9. Intégrales à valeurs vectorielles et formule de Taylor**}
\sectionrunning{9. Intégrales à valeurs vectorielles et formule de Taylor}

L'objet de cette section est d'étendre la définition des intégrales
au cas des fonctions $f:[a,b]\to E$ à valeurs dans un espace $E$ de
Banach, c'est-à-dire un {\it espace normé complet} $(E,\Vert~~\Vert)$ sur $\bR$ ou 
$\bC$. On va voir que la théorie de l'intégrale
de Kurzweil-Henstock permet de généraliser, d'unifier et de 
simplifier considérablement des énoncés classiques comme le théorème
des accroissements finis ou les différentes formules de Taylor
pour les fonctions à valeurs vectorielles.
On définit d'abord les sommes de Riemann associées à une subdivision
pointée $D=\{([a_j,a_{j+1}],x_j)\}_{0\le j<N}$ par
$$
\boxed{18}{
S_D(f) = \sum_{j=0}^{N-1}(a_{j+1}-a_j)\,f(x_j)=
\sum_{j=0}^{N-1} h_j\,f(x_j),}\leqno(9.1)
$$
la seule différence avec le cas réel étant qu'il s'agit désormais
d'une combinaison linéaire à valeurs dans $E$. On pose alors 
comme précédemment la définition suivante.

{\bf (9.2) Définition}. {\it Soit $f:[a,b]\to E$ une fonction quelconque
à valeurs dans un espace de Banach $E$.
On dit que $f$ est intégrable au sens de Kurzweil-Henstock $($ou 
KH-intégrable$)$ s'il exis\-te un élément $A\in E$ qui représente la
valeur de l'intégrale, tel que pour tout $\varepsilon>0$ donné a priori, 
on peut trouver une jauge $\delta:[a,b]\to\bR^*_+$ en sorte que
pour toute subdivision pointée $D=\{([a_j,a_{j+1}],x_j)\}$ de $[a,b]$
on ait
$$
\hbox{$D$ $\delta$-fine, i.e.\ $\forall j$, $a_{j+1}-a_j\le\delta(x_j)$}~~
\Rightarrow~~ |S_D(f)-A|\le\varepsilon.
$$
L'élément $A\in E$ de la définition précédente  est appelé intégrale de 
$f$ sur $[a,b]$, et on écrit
$$
\boxed{19}{
\int_a^b f(x)\,dx = \lim_{\KH,\;D} S_D(f)= \lim_{\KH,\;D} 
\sum_{j=0}^{N-1}(a_{j+1}-a_j)f(x_j).}
$$}
\medskip

L'inégalité triangulaire donne aussitôt 
$\Vert S_D(f)\Vert\le S_D(\Vert f\Vert)$, d'où~:\medskip

{\bf (9.3) Proposition}. {\it Soit $f:[a,b]\to E$ une fonction KH-intégrable
à valeurs dans un espace de Banach $E$. Alors on a
$$
\boxed{16}{
\bigg\Vert\int_a^b f(x)\,dx\bigg\Vert\le
\int_a^b \Vert f(x)\Vert\,dx}
$$
dès que $\Vert f\Vert$ est KH-intégrable sur $[a,b]$ $($on notera que
la KH-intégrabilité de $f$ n'entraîne pas nécessairement celle de
$\Vert f\Vert)$.}
\medskip

On considère maintenant des fonctions différentiables à valeurs dans des espaces
de Banach. Soient $G$, $E$ des espaces de Banach, $U$ une partie de $G$
et $f:U\to E$ une fonction. On dit que $f$ est différentiable en un point 
$x\in U$ s'il existe une application linéaire continue 
$\ell=df(x)\in\cL_c(G,E)$ telle qu'on puisse écrire 
$$f(y)=f(x)+\ell(y-x)+o(\Vert y-x\Vert)$$
pour $y\in U$ voisin de $x$, c'est-à-dire si pour tout $\varepsilon>0$,
il existe $\delta(x)>0$ tel que $y\in U$, $\Vert y-x\Vert\le\delta(x)$
implique
$$\big\Vert f(y)-(f(x)+\ell(y-x))\big\Vert\le\varepsilon\Vert y-x\Vert.
\leqno(9.4)$$
Dans le cas où $U$ est une partie de la droite réelle $G=\bR$, ceci
équivaut à l'existence d'une dérivée $f'(x)\in E$, i.e.
$$
f'(x)=\lim_{y\in U,\,y\to x}{f(y)-f(x)\over y -x}\in E,
\leqno(9.4')
$$
la relation entre $f'(x)$ et $\ell=df(x)$ étant que $f'(x)=\ell(1)$. Le 
«\?théorème fondamental de l'Analyse\?»\ s'énonce alors~:

{\bf (9.5) Théorème.} {\it Soit $f:[a,b]\to E$ une fonction continue en 
tout point de $[a,b]$ et dérivable en dehors d'un ensemble dénombrable 
$Z=\{u_i\}_{i\in\bN}$.
Alors la dérivée $f':[a,b]\ssm Z\to E$, prolongée arbitrairement sur $Z$, 
est inté\-grable au sens de Kurzweil-Henstock sur $[a,b]$ et
$$
\boxed{16}{
\int_a^bf'(x)\,dx = f(b)-f(a).}
$$}
\vskip-8pt

{\it Démonstration~:} c'est une copie pure et simple de la preuve
de (7.11), à l'invocation près de la norme de~$E$ à la place de la valeur
absolue usuelle. La dérivabilité de $f$ sur
$[a,b]\ssm Z$ implique l'existence d'une fonction $\delta:[a,b]\ssm
Z\to{}]0,+\infty[$ telle que
$$
y\in[a,b],\quad y\in[x-\delta(x),x+\delta(x)]\Rightarrow 
\big\Vert f(y)-f(x)-(y-x)f'(x)\big\Vert\le\varepsilon|y-x|
$$
pour tout $x\in[a,b]\ssm Z$. En prenant $y=a_j$ puis $y=a_{j+1}$ et en
sommant, ceci donne
$$
\big|f(a_{j+1})-f(a_j)-(a_{j+1}-a_j)f'(x_j)\big|
\le\varepsilon|a_{j+1}-a_j|
$$
pour toute subdivision pointée $D=\{([a_j,a_{j+1}],x_j)\}$ $\delta$-fine, 
lorsque $x_j\in[a,b]\ssm Z$. D'autre part, si $x_j=u_i\in Z$, la continuité
de $f$ au point $u_i$ entraîne l'existence de $\delta_i>0$ tel que tout
point $x\in[u_i-\delta_i,u_i+\delta_i]$ satisfasse
$\Vert f(x)-f(u_i)\Vert\le \varepsilon\,2^{-i}$. 
On choisit de plus $\delta_i$ assez 
petit pour que $\delta_i\Vert f'(u_i)\Vert\le \varepsilon\,2^{-i}$, et on pose 
$\delta(u_i)=\delta_i$. 
Dans ce cas il vient 
$$\Vert f(a_{j+1})-f(a_j)\Vert\le
\big\Vert(f(a_{j+1}-f(u_i))-(f(a_j-f(u_i))\big\Vert\le 2\varepsilon\,2^{-i}$$
si $x_j=u_i$ et $a_{j+1}-a_j\le\delta(x_j)=\delta(u_i)=\delta_i$, ce qui implique
$$
\big\Vert f(a_{j+1})-f(a_j)-(a_{j+1}-a_j)f'(u_i)\big\Vert
\le 3\varepsilon\,2^{-i}.
$$
En sommant toutes ces inégalités, il vient
$$
\big\Vert f(b)-f(a)-S_D(f')\big\Vert\le\varepsilon(b-a)+6\varepsilon,
$$
(car $\sum_{i\in\bN}3\varepsilon\,2^{-i}=6\varepsilon$), et le théorème
est démontré.\qed
\medskip

Supposons maintenant que $f:U\to E$ soit une fonction différentiable sur
une partie $U$ d'un espace de Banach $G$, et soit $\gamma:[a,b]\to U$
une fonction continue et disons de classe $C^1$ par morceaux. Alors
$f\circ\gamma$ est continue sur $[a,b]$ et différentiable en dehors des
points anguleux de $\gamma$ (en nombre fini par hypothèse). Comme
$(f\circ\gamma)'=(df\circ\gamma)(\gamma')$, il vient
$$
f(\gamma(b))-f(\gamma(a))=\int_a^b(df\circ\gamma)(\gamma'(t))\,dt
\leqno(9.6)
$$
et en passant au sup de la norme pour l'intégrande
$\Vert(df\circ\gamma)(\gamma'(t))\Vert\le
\Vert df(\gamma(t))\Vert \Vert\gamma'(t)\Vert$, 
on en déduit l'inégalité dite des {\it accroissements finis}
$$
\big\Vert f(\gamma(b))-f(\gamma(a))\big\Vert\le
\sup_{z\in\Im(\gamma)}\Vert df(z)\Vert \times\longueur(\gamma)
\leqno(9.6')
$$
où $\longueur(\gamma)=\int_a^b\Vert\gamma'(t))\Vert\,dt$. En particulier,
si $[x,y]$ est un segment contenu dans l'ensemble~$U$, paramétré par
$\gamma(t)=x+t(y-x)$, $t\in[0,1]$, on trouve
$$
\big\Vert f(y)-f(x)\big\Vert\le
\sup_{z\in[x,y]}\Vert df(z)\Vert \times\Vert y-x\Vert.
\leqno(9.6'')
$$
On notera qu'en fait $(9.6)$, $(9.6')$ et $(9.6'')$ sont vérifiés dès
lors que $\gamma$ est continu sur $[a,b]$ et différentiable en dehors
d'un ensemble dénombrable, et qu'il suffit de même que $f$ soit
continue sur $\Im(\gamma)$ et différentiable en dehors d'une partie
dénombrable de~$\Im(\gamma)$ (resp.\ de $[x,y]$). Le cas particulier
de (9.6) avec $\gamma(t)=x+th$, $t\in[0,1]$, donne également
$$
f(x+h)=f(x)+\int_0^1df(x+th)(h)\,dt
\leqno(9.6''')
$$
dès que $f$ est différentiable sur le segment $[x,x+h]$. Par récurrence
sur $p$, on définit la dérivée $p$-ième
$$d^pf:U\to\cL_c(G^p,E)\qquad\hbox{par $d^pf=d(d^{p-1}f)$},$$
où $\cL_c(G^p,E)\simeq\cL_c(G,\cL_c(G^{p-1},E))$
désigne l'espace des applications $p$-multilinéaires continues de 
$G^p=G\times \ldots\times G$ dans $E$. La dérivée $p$-ième est donc
définie sous l'hypothèse que $d^{p-1}f$ existe et soit elle-même 
différentiable sur $U\subset G\,$; on dit alors que $f$ est $p$ fois
différentiable sur~$U$. Dans ce cas, on obtient la 

{\bf (9.7) Formule de Taylor avec reste intégral.} {\it Soit $f:U\to E$
une fonction $p$ fois différentiable sur $U$. Alors pour tout
segment $[x,x+h]\subset U$ on a
$$
\boxed{30}{
\eqalign{
f(x+h)=f(x)+df(x)(h)+\ldots&+{1\over (p-1)!}d^{p-1}f(x)(h)^{p-1}\cr
&+\int_0^1{(1-t)^{p-1}\over (p-1)!}d^pf(x+th)(h)^p\,dt.\cr}}
$$}

On notera que (9.7) se réduit à $(9.6''')$ pour $p=1$ et que la preuve s'obtient immédiatement par récurrence à l'aide d'une intégration par parties,
sachant que la dérivée de $t\mapsto d^pf(x+th)(h)^p$ est
$t\mapsto d^{p+1}f(x+th)(h)^{p+1}\,$:
$$
\int_0^1{(1-t)^{p-1}\over (p-1)!}d^pf(x+th)(h)^p\,dt=
{1\over p!}d^pf(x)(h)^p+
\int_0^1{(1-t)^p\over p!}d^{p+1}f(x+th)(h)^{p+1}\,dt.
$$
Dans le cas où $E=\bR$, la version générale de la «\?formule de 
la moyenne\?»\ démontrée à l'exercice 11.31~(c) implique qu'il existe
$\theta\in{}]0,1[$ tel que
$$
\eqalign{
\int_0^1{(1-t)^{p-1}\over (p-1)!}d^pf(x+th)(h)^p\,dt
&=\int_0^1{(1-t)^{p-1}\over (p-1)!}\,dt \times d^pf(x+\theta h)(h)^p\cr
&={1\over p!}d^pf(x+\theta h)(h)^p,\cr}
$$
d'où
$$
f(x+h)=f(x)+df(x)(h)+\ldots+{1\over (p-1)!}d^{p-1}f(x)(h)^{p-1}
+{1\over p!}d^pf(x+\theta h)(h)^p.
\leqno(9.7')
$$
La formule $(9.7')$ se réduit à $f(x+h)-f(x)=df(x+\theta h)(h)$ pour $p=1$.
Ces derniers résultats ne sont pas vrais pour une fonction à valeurs 
vectorielles $f:U\to E$ avec $\dim_\bR E\ge 2$. Ainsi pour $p=1$, $E=\bC$ et 
$f(x)=e^{ix}$ sur l'intervalle $[0,2\pi]$, on a
$$
f(2\pi)-f(0)=0\ne f'(e^{2i\pi\theta})\times 2\pi,\qquad\forall\theta\in{}]0,1[.
$$
Sous une hypothèse plus faible, la formule de Taylor avec reste intégral
montre l'existence d'un developpement limité~:
\medskip

{\bf (9.8) Formule de Taylor-Young.} {\it Supposons que $f:U\to E$ soit 
$(p-1)$ fois différentiable sur $U$ et que $d^{p-1}f$ soit différentiable
en~$x$. Alors pour $h\to 0$  on a
$$
\boxed{16}{
f(x+h)=f(x)+df(x)(h)+\ldots+{1\over p!}d^pf(x)(h)^p+o(\Vert h\Vert^p).}
$$}

{\it Démonstration.} En effet, on peut appliquer (9.7) à l'ordre $p-1$ et 
estimer terme à terme le reste intégral
$$
\int_0^1{(1-t)^{p-2}\over (p-2)!}d^{p-1}f(x+th)(h)^{p-1}\,dt,
$$
au moyen de l'égalité de définition
$$
d^{p-1}f(x+th)=d^{p-1}f(x)+d^{p}f(x+th)(th)+\Vert th\Vert \varepsilon(th),
$$
qui exprime l'hypothèse de différentiabilité de $d^{p-1}f$ au point $x$.
\'Etant donné $\eta>0$, il existe $\delta>0$ tel que $\Vert h\Vert\le\delta$
implique $\Vert\varepsilon(h)\Vert\le\eta$. Comme
$\int_0^1t\,{(1-t)^{p-2}\over (p-2)!}\,dt={1\over p!}$, on trouve alors
$$
\eqalign{
&\int_0^1{(1-t)^{p-2}\over (p-2)!}d^{p-1}f(x)(h)^{p-1}\,dt=
{1\over (p-1)!}d^{p-1}f(x)(h)^{p-1},\cr
&\int_0^1{(1-t)^{p-2}\over (p-2)!}d^{p}f(x)(th)(h)^{p-1}\,dt=
{1\over p!}d^pf(x)(h)^p,\cr
\bigg\Vert&\int_0^1{(1-t)^{p-2}\over (p-2)!}\Vert th\Vert \varepsilon(th)
(h)^{p-1}\,dt\bigg\Vert\le
{\eta\over p!}\Vert h\Vert^p\qquad\hbox{pour $\Vert h\Vert\le\delta$},\cr}
$$
ce qui conclut la preuve de (9.8).\qed
\medskip

On va maintenant donner une expression commode de la dérivée $p$-ième
en termes de différences finies itérées. Pour $h\in G$, on introduit 
«\?l'opérateur aux différences finies\?»
$$
\Delta_hf(x)=f(x+h)-f(x).
$$
On suppose ici $f$ définie et différentiable sur~$U$, avec $U$ {\it ouvert},
de sorte que $\Delta_hf$ est bien définie au voisinage de tout point
$x\in U$ si $h$ est assez petit. Pour $x\in U$ et $k\in G$ assez petit, 
la formule $(9.6''')$ donne
$$
\Delta_kf(x)=f(x+k)-f(x)=\int_0^1df(x+tk)(k)\,dt.
\leqno(9.9)
$$
Supposons $f$ deux fois différentiable au point $x$ (c'est-à-dire $f$
différentiable au voisinage de $x$ et $df$ différentiable en $x$). On
peut alors écrire
$$
\Delta_h\Delta_kf(x)=\Delta_kf(x+h)-\Delta_kf(x)=
\int_0^1\big(df(x+h+tk)-df(x+tk)\big)(k)\,dt.
\leqno(9.9')
$$
L'hypothèse de différentiabilité de $df$ en $x$ permet d'écrire
$$
df(x+h)=df(x)+d^2f(x)(h)+\Vert h\Vert\varepsilon(h)
$$
et on trouve donc par différence
$$
\eqalign{
df(x+h+tk)-df(x+tk)
&={}\phantom{-}\big(df(x)+d^2f(x)(h+tk)+\Vert h+tk\Vert\varepsilon(h+tk)\big)\cr
&\kern10pt{}-\big(df(x)+d^2f(x)(tk)+\Vert tk\Vert\varepsilon(tk)\big)\cr
&=d^2f(x)(h)+\Vert h+tk\Vert\varepsilon(h+tk)-\Vert tk\Vert\varepsilon(tk).\cr}
$$
En évaluant cette différence (qui est un élément de
de $\cL_c(G,E)$) sur le vecteur $k$, on obtient
$$
\eqalign{
\big\Vert\big(df(x+h+tk)&-df(x+tk)\big)(k)-d^2f(x)(h,k)\big\Vert\cr
&\le(\Vert h\Vert+t\Vert k\Vert)\Vert k\Vert\times
\Vert\varepsilon(h+tk)\Vert+(t\Vert k\Vert)\Vert k\Vert\times
\Vert\varepsilon(tk)\Vert.\cr}
$$
Pour tout $\eta>0$ on a $\Vert\varepsilon(h)\Vert\le \eta$ si
$\Vert h\Vert\le\delta$ est assez petit. Pour $\Vert h\Vert\le\delta/2$ et 
$\Vert k\Vert\le\delta/2$, on en déduit alors
$$
\big\Vert\big(df(x+h+tk)-df(x+tk)\big)(k)-d^2f(x)(h,k)\big\Vert
\le\eta(\Vert h\Vert+2t\Vert k\Vert)\Vert k\Vert.
$$
Par intégration sur $[0,1]$ et compte tenu de l'égalité $(9.9')$ il vient
$$
\big\Vert \Delta_h\Delta_kf(x) - d^2f(x)(h,k)\big\Vert
\le\int_0^1\eta(\Vert h\Vert+2t\Vert k\Vert)\Vert k\Vert\,dt
=\eta(\Vert h\Vert+\Vert k\Vert)\Vert k\Vert.
$$
Si nous remplaçons $(h,k)$ par $(\lambda h,\lambda k)$ avec $\lambda$ tendant
vers $0$, alors $\eta$ peut être pris arbitrairement petit, et on en déduit 
après division par $\lambda^2$ que
$$
d^2f(x)(h,k)=\lim_{\lambda\to 0}{1\over\lambda^2}\Delta_{\lambda h}\Delta_{\lambda k}f(x).
\leqno(9.10)
$$
Comme
$$
\Delta_h\Delta_kf(x)=f(x+h+k)-f(x+h)-f(x+k)+f(x),
$$
on voit que les opérateurs $\Delta_h$ et $\Delta_k$ commutent.
Par suite $d^2f(x)(h,k)=d^2f(x)(k,h)$ et nous pouvons énoncer~:
\medskip

{\bf (9.11) Corollaire.} {\it Si $f$ est deux fois différentiable en un point 
$x$ d'un ouvert $U$, alors $d^2f(x)\in \cL_c(G^2,E)$ est toujours
une application bilinéaire symétrique.}
\medskip

Plus généralement, si $f$ est $p$ fois différentiable en $x\in U$, on a
$$
\boxed{14}{
d^pf(x)(h_1,\ldots,h_p)=\lim_{\lambda\to 0}{1\over\lambda^p}
\Delta_{\lambda h_1}\ldots \Delta_{\lambda h_p}f(x)}
\leqno(9.12)
$$
et donc $d^pf(x)\in\cL_c(G^p,E)$ est {\it $p$-multilinéaire symétrique}. La 
démonstration est très analogue au cas $p=2$, on écrit par récurrence
$$
\Delta_{h_2}\ldots \Delta_{h_p}f(x)=
\int_0^1\ldots\int_0^1d^{p-1}f(x+t_2h_2+\ldots+t_ph_p)
(h_2,\ldots h_p)\,dt_2\ldots dt_p
$$
à l'aide d'une itération de (9.9), ce qui donne
$$
\eqalign{
\Delta_{h_1}\ldots \Delta_{h_p}f(x)=
\int_0^1\ldots\int_0^1\big(
&d^{p-1}f(x+h_1+t_2h_2+\ldots+t_ph_p)-\cr
&d^{p-1}f(x+t_2h_2+\ldots+t_ph_p)\big)(h_2,\ldots h_p)\,dt_2\ldots dt_p.\cr}
$$
Le reste de la preuve se poursuit de manière analogue en exprimant la 
condition de différentiabilité de $g=d^{p-1}f$ en $x$, qui fait apparaître
par différence $d^pf(x)(h_1,\ldots,h_p)$ et des termes d'erreur
contrôlés par $\eta\big(\sum\Vert h_j\Vert\big)
\Vert h_2\Vert\ldots\Vert h_p\Vert$ au second membre.\qed\bigskip
\vfill\eject

\chapterrunning{\ }
\notthispage=0
\section{Références bibliographiques}
\bigskip

{\eightpoint
\input kurzweil/henstock_ref.tex
}
\chapterjump

\vfill\eject

\title{A. Appendice :}
\title{proposition de programmes pour le collège}
\titlerunning{A. Appendice : proposition de programmes pour le collège}
\sectionrunning{A. Appendice : proposition de programmes pour le collège}

Nous indiquons ici une première ébauche de programmes de mathématiques
pour le collège, en supposant acquis les programmes primaires suivis
par les classes SLECC, et en nous appuyant sur la progression logique
suggérée précédemment pour la géométrie. 

Suivant la philosophie générale du GRIP, les différents points
des programmes seront traités à partir d'un cours structuré et
systématique (propre à donner de bonnes habitudes, et au delà,
à rassurer l'élève~!)\?: définitions, exemples,
contre-exemples, énoncés de propriétés et théorèmes,
démonstrations (ou justifications partielles), exercices
d'application divers, problèmes à résoudre.

Chaque fois que possible, on introduira des illustrations par des
problèmes inspirés d'applications dans d'autres disciplines comme
la physique, la technologie, la géographie$\,\ldots$

Nous diviserons les programmes de mathématiques en trois parties\?:\\
a) Algèbre et arithmétique\\
b) Géométrie\\
c) Ensemble, logique et combinatoire 

Cette dernière partie est destinée pour une bonne part à
préciser le vocabulaire et les notations utilisés, elle est 
étudiée surtout en fonction des nécessités qui apparaissent
dans les autres parties du cours.

La géométrie est introduite au début d'une manière
partiellement intuitive -- c'est-à-dire que l'on est conduit à
admettre certaines propriétés qui ne pourront être
complètement démontrées qu'un peu plus tard. L'utilisation
d'une démarche «\?\ axiomatique\?»  plus rigoureuse deviendra
éventuellement possible à partir de la classe de 4${}^{\rm e}$, une fois 
les prérequis nécessaires maîtrisés pour expliquer les 
démonstrations les plus essentielles et les plus riches de sens.

\subsection{A.1. Classe de 6${}^{\rm e}$}

a) {\it Arithmétique et algèbre}

Révisions sur le calcul et les 4 opérations (décimaux et fractions), 
inégalités strictes et larges\?; comparaisons de nombres écrits sous
différentes formes.

Introduction du calcul littéral\?: équation $ax = b$ (où $a,\,b$ sont
des nombres explicites positifs, des fractions explicites et $x$
l'inconnue).

Puissances entières\?; progressions arithmétiques et géométriques.

Divisibilité\?; nombres premiers, crible d'Erathostène\?;
décomposition en facteurs premiers\note{1}{On admet l'unicité de
la décomposition, l'existence s'obtient par le calcul effectif sur
les exemples.}\?; pgcd, ppcm (calcul par le min, max des exposants)\?;
réduction des fractions au même dénominateur.

Propriété de commutativité, associativité, élément neutre
dans le cas de l'addition et de la multiplication; distributivité.

Identités remarquables \\
\centerline{$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2,\quad(a-b)^2=a^2-2ab+b^2,\quad
(a+b)(a-b)=a^2-b^2\,;$}
visualisation géométrique.

Nombres négatifs (entiers négatifs, fractions d'entiers positifs
ou négatifs, décimaux négatifs)\?; exemples\?: températures,
altitudes. Équations $ax+b = 0$.

b) {\it Géométrie}

Définitions: distance de deux points, inégalité triangulaire\?;
critère d'alignement au moyen du cas d'égalité dans l'inégalité
triangulaire, pour aboutir à la définition des segments, droites, 
demi-droites.

Repérage d'un point sur un axe gradué orienté. Mesures
algébriques.

Angles non orientés\?; définition, mesure au rapporteur. Longueur
d'un arc de cercle.

Droites parallèles et perpendiculaires dans le plan, énoncé des
propriétés.

Propriétés des angles correspondants et des angles alternes-internes, 
réciproques; somme des angles d'un triangle; somme des angles
d'un quadrilatère.

Constructions avec les instruments usuels (règle, compas,
rapporteur)\?: milieu, médiatrice, bissectrice; construction d'un
triangle connaissant les (longueurs des) 3~côtés, ou un côté
et deux angles adjacents, ou un angle et deux côtés adjacents.

Géométrie dans l'espace\?: patrons du cube, d'un parallélépipède rectangle, 
d'une pyramide\?; patrons
du tétraèdre et de l'octaèdre régulier (comme réunion de deux pyramides
à faces triangulaires équilatérales).

Calcul de longueurs, d'aires, de volumes (révisions et
compléments\note{2}{Les formules pour le volume du cône, de la
  pyramide et de la boule sont au programme, mais pas les
  démonstrations correspondantes.})\?: calcul d'aire par triangulation
dans des cas simples.

c) {\it Ensembles, logique, combinatoire}

Ensembles, éléments, notation $x\in A$\?; $A\subset B$, ensemble vide 
$\emptyset$\?; ensembles (finis) définis en extension\?; 
ensembles définis en
compréhension\?: notation $\{x\?; P(x) \}$ ou $\{ x \in A; P(x) \}$ 
d'un ensemble défini par une propriété $P(x)$ des éléments (on
travaillera par exemple sur la parité, l'imparité, les
inégalités, les objets ayant plusieurs caractéristiques
indépendantes, etc).

Notation $\bN$, $\bZ$, $\bD$, $\bQ$ ($\bR$ sera introduit en 5e).

Intersection, réunion, différence d'ensembles\?; exemples
numériques, combinatoires (jeu de cartes) et géométriques.

Diagrammes de Venn -- partitions, pourcentages et fréquences.

\subsection{A.2. Classe de 5${}^{\rm e}$}

a) {\it Arithmétique et algèbre}

Révisions\?: équations $ax+b = 0\,$; inégalités strictes, 
larges$\,$; inéquations $ax+b > 0$, $ax+b < 0$, $ax+b \ge 0$, $ax+b \le 0$.

Révisions et compléments sur les puissances\?: formules $a^{x+y} = a^xa^y$,
$(ab)^x = a^x b^x$, $(a^x)^y = a^{xy}$.

Puissances d'exposants négatifs. Notation scientifique en base $10$.
Représentation 
des nombres rationnels sous forme de produits de puissances de nombres 
premiers. Notation du logarithme $y=\log_a(x)$ 
dans le cas où $a,\,x,\,y$ sont entiers, y compris le cas où $y$ est 
négatif. Echelles logarithmiques très simples (exemples\?: 
octaves des gammes musicales, représentation des temps géologiques 
en échelle logarithmique).

Racines carrées -- approximation par encadrement décimal,
algorithme d'extraction «\?à la main\?», preuve
algébrique de l'irrationnalité de racine carrée de 2 par un argument de
parité.

Ensemble $\bR$ des nombres réels (${}={}$développements décimaux illimités);
développements propres et impropres. Valeur absolue d'un réel.

Coordonnées cartésiennes dans le plan (repère orthonormé ou
orthogonal). Représentation d'un carré de côtés non parallèles
aux axes.

Fonctions $x\mapsto ax$, $ax+b$\?; tracé du graphe point par point\?;
alignement de 3 points quelconques du graphe\?: le graphe est donc
une droite. Interprétation du coefficient directeur $a$ comme pente.

Équations de la forme $ux+vy+w = 0$ dans le plan\?; représentation 
graphique sous la forme $y = ax+b$ (droite «\?non verticale\?» ) ou  
$x = c$ (droite «\?verticale\?» ). 

Révisions sur l'utilisation de la commutatitivité,
associativité, distributivité\?; dévelop\-pement d'expressions
algébriques\?; l'opération d'élévation à la puissance $a*b$ = $a^b$
n'est ni commutative ni associative dans les entiers positifs.

Graphe de la fonction $x\mapsto x^2$, lecture de la racine carrée sur
le graphe, graphe de la fonction $x\mapsto\sqrt{x}$.

b) {\it Géométrie}

Notion d'isométrie entre deux figures ou deux objets (lorsqu'ils sont
définis par un nombre fini de points remarquables $A_i$ et $A'_i$)\?: on
dit qu'il y a isométrie si toutes les distances $A_iA_j$ et
$A'_iA'_j$ des points qui se correspondent sont égales\?;
on commencera par le cas des triangles et des quadrilatères
plans (dans ce cas l'égalité des 4 côtés et d'une seule des
diagonales ne suffit pas). Figures symétriques par réflexion par rapport
à un axe ou par symétrie centrale.

Notion de corps solide, de mouvement et de déplacement\note{3}{En Physique,
un corps solide est un objet matériel dont les distances mutuelles 
des atomes sont fixes\?; un {\it mouvement d'un solide} est une 
succession continue de positions
$A_i(t)$ de ses différents points au cours du temps $t$, 
de sorte que les distances $A_i(t)A_j(t)$ restent invariables.}. 
On admettra que 2 objets isométriques se déduisent l'un de l'autre soit 
par un déplacement soit par un déplacement suivi d'une symétrie
miroir\?; travaux pratiques de construction et de décalquage avec 
du papier calque.

Enoncé des 3 cas d'isométrie des triangles (côtés égaux, un
côté égal et deux angles adjacents égaux, un angle égal et
côtés adjacents égaux).

Caractérisation des parallélogrammes, losanges, rectangles,
carrés (démonstrations à partir des cas d'isométrie des
triangles).

Théorème de Pythagore\?; démonstration chinoise par les
aires. Réciproque.

Distance de deux points $(x,y)$, $(x',y')$ dans un repère orthonormé.

Homothéties de centre l'origine\?; écriture de la transformation en
coordonnées carté\-siennes\?; cas de la symétrie par rapport à un
point (choisi comme origine).

Symétries orthogonales par rapport à une droite; définition
géométrique\?; interprétation géométrique des symétries
définies analytiquement par $(x,y)\mapsto (-x,y)$,
$(x,-y)$, $(y,x)$\?; définition analytique des quarts de tour et du
demi-tour de centre l'origine.

Hauteurs, médianes, médiatrices, bissectrices, concourance de ces
droites. Cercle inscrit, circonscrit, construction à la règle et
au compas.

Coordonnées $(x\,;\,y\,;\,z)$ dans l'espace. Diagonale du
parallélépipède rectangle, distance de deux points dans
l'espace relativement à un repère orthonormé. 
Représentation graphiques de projections planes 
d'objets simples de l'espace (projections sur les 3 plans de coordonnées
dans un repère orthonormé).

c) {\it Ensembles, logique, combinatoire}

Ensembles produits $E \times F$, $E\times F\times G\,\ldots$\?; couples, 
triplets, $n$-uplets.

Application d'un ensemble $E$ dans un ensemble $F$. Premiers exemples sur
des ensembles finis\?: diagramme sagittal\?; histogrammes de
température en fonction du mois de l'année, de population en
fonction de l'année$\,\ldots$). Graphe dans $E\times F$ associé à une
application. Application définie par un graphe dans $E \times F$.

Calcul élémentaire de probabilités illustrant la notion de
couple, triplet, $n$-uplet\?: tirer 8 avec 2 dés\?; tirages avec remise
dans une urne\?; séries de piles ou faces$\,\ldots$

\subsection{A.3. Classe de 4${}^{\rm e}$}

a) {\it Arithmétique et algèbre}

Révision\?: développement en facteurs premiers et divisibilité\?;
condition sur les exposants pour qu'un nombre soit un carré
parfait. Irrationnalité de la racine carrée d'un entier qui n'est
pas un carré parfait.

Bases de numérations autres que 10\?: exemple des bases 2, 8, 16 (et
60); conversion d'une base dans une autre.

Système de deux équations linéaires à 2 inconnues $x,\,y\,$;
résolution algébrique et résolution graphique à l'aide de
l'intersection de deux droites (on se ramène par exemple à
$y=ax+b=a'x+b'$). Interprétation du parallélisme en terme des
pentes $a$ et $a'\,$; interprétation de l'orthogonalité
de deux droites (on introduira la notion de pente infinie).

Identités remarquables pour les expressions $(a+b)^3$, $(a-b)^3$,
$(a+b)(a^2-ab+b^2)$, $(a-b)(a^2+ab+b^2)$. Visualisation
géométrique de la quantité $(a+b)^3$.

Graphe des fonctions $x\mapsto x^n$ (par exemple $n = 3, 4$).
Racines carrées (révision), racines cubiques, racines $n$-ièmes,
approximations numériques par encadrement.

Fonction $x\mapsto 1/x$ et plus généralement $k/x$ avec $k$ 
constante réelle. Notion (intuitive) d'asymptote. 

Proportionnalité, directe, inverse, quadratique\?; transformation des
aires et volumes par homothétie.

b) {\it Géométrie}

Théorème de Thalès. Vérification à l'aide de coordonnées. Réciproque.

Triangles semblables\?; les 3 cas de similitude des triangles.

Relations métriques dans le triangle rectangle.

Justification complète du volume du cône et de la 
pyramide\note{4}{On observe la proportionnalité du volume avec la hauteur et
  l'aire de la base\?: pour la hauteur on utilise un argument de
  dilatation\?; on observe en outre (par tranchage très fin et
  glissement) qu'une pyramide oblique a le même volume qu'une pyramide
  droite, et que par quadrillage il y a proportionnalité à l'aire de
  la base. L'obtention de la constante $1/3$ s'obtient en découpant un
  cube de côté $c$ en 3 pyramides obliques de base 
  $\smash{c^2}$ et de hauteur $h=c$ (patrons à découper et à assembler !)}. 

Définition «\?axiomatique\?» d'un plan euclidien\?: c'est un
ensemble P de points pour lesquels on peut mesurer la distance
mutuelle de deux points quelconques $d(M,M')$, et vérifiant l'unique
axiome suivant\?:

(Pythagore+Descartes) on peut munir $\cP$ d'un «\?système de coordonnées 
orthonormé\?»  $P\to \bR^2$, $M\mapsto (x,y)$, 
satisfaisant la formule de «\?Pythagore\?» \note{5}{Il sera
commode de «\?visualiser\?» cet axiome à l'aide d'une 
feuille de papier millimétré
transparent qu'on place sur le plan géométrique~$\cP$, et qu'on peut
déplacer ou retourner -- il existe donc une infinité de 
systèmes de coordonnées orthonormés possibles, dépendant de la
position de la feuille de papier millimétré.}
$$
d(M,M')=\sqrt{(x-x')^2+(y-y')^2}
$$
Repère orthonormé $OIJ$ associé à un tel système
de coordonnées (points de coordonnées $(0;0)$, $(1;0)$, $(0;1)$).
Effet sur le système de coordonnées d'un retournement en $x$ 
ou en~$y$, d'une translation de la feuille de
papier millimétré, des quarts de tour.

Preuve analytique de l'inégalité triangulaire $AC\le AB+BC$ (en choisissant
la demi-droite $[A,C)$ comme demi-axe $Ox$).

Le milieu $I$ d'un segment $[A,B]$, qui est par définition un point 
tel que $AI=IB={1\over 2}AB$  est donné en coordonnées par 
$x_I=(x_A+x_B)/2$, $y_I=(y_A+y_B)/2$, et on a la 
«\?formule de la médiane\?» $MA^2+MB^2=2MI^2+(1/2)AB^2$ 
(qui démontre au passage l'unicité du milieu).

Caractérisation des parallélogrammes par l'intersection des
diagonales en leur milieu\?; condition analytique sur les
coordonnées.

Equation de la médiatrice du segment associé à deux points $A(u,v)$ 
et $A'(u',v')$ (comme ensemble des points équidistants de $A$ et
$A'$).

Définition du cosinus, sinus et de la tangente d'un angle dans un
triangle rectangle. Calcul pour les angles remarquables ($0^\circ$,
$30^\circ$, $45^\circ$, $60^\circ$, $90^\circ$). Etude de l'hexagone, 
de l'octogone -- encadrement du nombre $\pi$.

Problèmes de géométrie dans l'espace très simples se ramenant
à des questions de géométrie plane -- par exemple\?: relation
entre la hauteur d'une pyramide droite à base carrée, la longueur
des arêtes et les angles des faces\?; octaèdre régulier.

c) {\it Ensembles, logique, combinatoire}

Composition des applications\?; notation $f\circ g$\?; associativité de
la composition.

Notion de bijection d'un ensemble $E$ sur un ensemble $F$\?; 
exemples et contre-exemples.

Permutations d'ensembles à 3 ou 4 éléments\?; table de Pythagore du
groupe des permutations $S_3$ ainsi obtenu\?; table du groupe des 
isométries d'un carré de centre l'origine et de côtés parallèles aux axes
(interprétation comme groupe de permutation des sommets et comme
symétries/quarts de tours)\note{6}{On donnera à cette occasion
la définition de ce qu'est un groupe, mais l'étude générale de la notion 
n'est pas au programme.}.

Probabilités\?: révisions et compléments. Raisonnements 
utilisant des dénombrements à l'aide d'arbres  dans des situations très
simples\?: ensembles produits, paires non ordonnées$\,\ldots$

\subsection{A.4. Classe de 3${}^{\rm e}$}

a) {\it Arithmétique et algèbre}

Division euclidienne et divisibilité dans les entiers\?; algorithme d'Euclide. 
Identité de Bézout. Théorème de Gauss. Unicité de la décomposition en
facteurs premiers (démonstration).
Condition sur le développement en facteurs premiers pour qu'un
nombre entier soit une puissance $n$-ième exacte d'un entier. Cas d'un
nombre rationnel mis sous forme irréductible. Irrationalité de la racine
$n$-ième d'un nombre rationnel dans le cas où tous les exposants des
puissances de nombres premiers mis en jeu ne sont pas divisibles par~$n$.

Puissances rationnelles $a^{p/q}$, notation $\log_a(x)$ du logarithme dans 
le cas d'une valeur rationnelle. Formule $\log_a(xy) = \log_a(x) + 
\log_a(y)$. Applications (gammes musicales, décibels, pH ...)

Moyennes, moyennes pondérées\?; moyenne géométrique\?;
inégalité avec la moyenne arithmétique.

Fonctions polynômes. Somme, produit, division euclidienne des polynômes.

Factorisation d'un polynôme de degré 2 ou 3 lorsque l'on en
connaît déjà une racine.

Fractions rationnelles simples\?; simplifications. 

Système de 2 équations linéaires à 2 inconnues\?; résolution
par combinaison linéaire, par substitution; formule générale
avec le déterminant $2\times 2$.

b) {\it Géométrie.}

Révision du programme de 4${}^{\rm e}$\?: définition axiomatique
du plan euclidien, caractérisation des parallélogrammes ($\ldots$).

Notion de bipoints équipollents, notion de vecteurs\?; composantes
d'un vecteur dans un système de coordonnées\?; addition des
vecteurs\?: $\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + 
\overrightarrow{BC}$.

Multiplication d'un vecteur par un nombre réel; notion de vecteurs
colinéaires et de même sens ou de sens opposés. 

Généralisation des notions précédentes au cas de l'espace. Notion de vecteur
directeur d'une droite. Équation paramétrique d'une droite du plan ou de
l'espace. Caractérisation du parallélisme.

Inéquations et systèmes d'inéquations $ax+by+c > 0$ (${}< 0$, 
$\ge 0$, $\le 0$); demi-droites, demi-plans et secteurs angulaires.  

Cercle trigonométrique, angles orientés, radians, expression de la
longueur d'un arc de cercle de rayon quelconque\?; fonctions cosinus,
sinus, tangente.

Formules $\cos(a+b)$, $\sin(a+b)$ et conséquences (preuve par le 
calcul vectoriel).

Rotations de centre l'origine. Expression analytique\?; angles modulo 
les multiples de~$2\pi$.

Produit scalaire\?: $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}={1\over 2}
(AB^2+ AC^2-BC^2)$; expression analytique en coordonnées, 
bilinéarité\?; orthogonalité\?; expressions
$\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v} = 
\Vert\overrightarrow{u}\Vert\times\Vert\overrightarrow{v}\Vert 
\cos(\ang(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}))$,
$\det(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}) = 
\Vert\overrightarrow{u}\Vert\times\Vert\overrightarrow{v}\Vert 
\sin(\ang(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}))$.

Distance d'un point à une droite du plan. Projection orthogonale
sur une droite, symétries orthogonales. Expressions
analytiques.

Centre de gravité d'un triangle\?; caractérisation vectorielle\?;
calcul des coordonnées du centre de gravité\note{7}{Suggestion
de thème d'étude\?: prouver à l'aide du calcul vectoriel
l'alignement et positions relatives des points remarquables du triangle
(centre de gravité, centre des cercles inscrit et circonscrit,
intersection des hauteurs).}. Relations métriques dans le triangle, 
compléments.

Angles au centre, angles inscrits, relation mutuelle.

Equation du cercle, intersection d'un cercle et d'une droite,
intersections de cercles\?; calcul analytique dans le cas où
l'axe des centres $OO'$ est l'axe $Ox$. Cercles tangents.
Puissance d'un point par rapport à un cercle\?; tangentes menées 
d'un point à un cercle.

Calcul de l'aire latérale d'un tronc de cône circulaire, relation
entre le demi-angle au sommet et l'angle du secteur circulaire obtenu
par développement sur un plan.

Démonstration de la formule d'aire de la sphère et du volume de la
boule (preuve d'Archimède à l'aide du théorème de Thalès et
d'une projection cylindrique).

c) {\it Ensembles, logique, combinatoire}

Ensemble $\cP(E)$ des parties d'un ensemble; dénombrement de $\cP(E)$ au
moyen d'un arbre.

Arrangements de $p$ objets pris parmi $n$, permutations (calcul à l'aide 
d'un arbre d'abord sur des exemples explicites avec $n$ petit).

Combinaisons de $p$ objets pris parmi $n$\?; triangle de Pascal\?; 
formule générale du binôme $(a+b)^n$.

Applications injectives, surjectives\?; dénombrement de l'ensemble
des applications (resp.\ des applications injectives) entre
ensembles finis.

Probabilités élémentaires (révisions\?; application des
formules précédentes\?: tirage de cartes, tirages dans des urnes
avec et sans remise\?; échantillons de population).

\end

\section{B. Appendice : proposition de programmes (plus musclée)}

\subsection{B.1. Classe de 6${}^{\rm e}$}

a) {\it Arithmétique et algèbre}

Révisions sur le calcul des 4 opérations (décimaux et
fractions), inégalités strictes et larges.

Introduction du calcul littéral\?: équation $ax = b$ (où $a,\,b$ sont
des nombres explicites positifs, des fractions explicites et $x$
l'inconnue).

Puissances entières\?; progressions arithmétiques et géométriques.

Divisibilité\?; nombres premiers, crible d'Erathostène\?;
décomposition en facteurs premiers\note{8}{On admet l'unicité de
la décomposition, l'existence s'obtient par le calcul effectif sur
les exemples.}\?; pgcd, ppcm (calcul par le min, max des exposants)\?;
réduction des fractions au même dénominateur.

Propriété de commutativité, associativité, élément neutre
dans le cas de l'addition et de la multiplication; distributivité.

Identités remarquables \\
\centerline{$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2,\quad(a-b)^2=a^2-2ab+b^2,\quad
(a+b)(a-b)=a^2-b^2\,;$}
visualisation géométrique.

Nombres négatifs (entiers négatifs, fractions d'entiers positifs
ou négatifs, décimaux négatifs)\?; exemples\?: températures,
altitudes.

Equations $ax+b = 0\,$; inégalités strictes, larges$\,$; inéquations 
$ax+b > 0$, $ax+b < 0$, $ax+b \ge 0$, $ax+b \le 0$.

b) {\it Géométrie}

Définitions: distance de deux points, inégalité triangulaire\?;
critère d'alignement au moyen du cas d'égalité dans l'inégalité
triangulaire, pour aboutir à la définition des segments, droites, 
demi-droites.

Repérage d'un point sur un axe gradué orienté. Mesures
algébriques.

Angles non orientés\?; définition, mesure au rapporteur. Longueur
d'un arc de cercle.

Droites parallèles et perpendiculaires dans le plan, énoncé des
propriétés.

Propriétés des angles correspondants et des angles alternes-internes, 
réciproques; somme des angles d'un triangle; somme des angles
d'un quadrilatère.

Constructions avec les instruments usuels (règle, compas,
rapporteur)\?: milieu, médiatrice, bissectrice; construction d'un
triangle connaissant les (longueurs des) 3~côtés, ou un côté
et deux angles adjacents, ou un angle et deux côtés adjacents.

Calcul de longueurs, d'aires, de volumes (révisions et
compléments\note{9}{Les formules pour le volume du cône, de la
  pyramide et de la sphère sont au programme, mais pas les
  démonstrations correspondantes.})\?: calcul d'aire par triangulation
dans des cas simples.

Notion d'isométrie entre deux figures ou deux objets (lorsqu'ils sont
définis par un nombre fini de points remarquables $A_i$ et $A'_i$)\?: on
dit qu'il y a isométrie si toutes les distances $A_iA_j$ et
$A'_iA'_j$ des points qui se correspondent sont égales\?;
on commencera par le cas des triangles et des quadrilatères
plans (dans ce cas l'égalité des 4 côtés et d'une seule des
diagonales ne suffit pas). Figures symétriques par réflexion par rapport
à un axe ou par symétrie centrale.

Notion de corps solide, de mouvement et de déplacement\note{10}{En Physique,
un corps solide est un objet matériel dont les distances mutuelles 
des atomes sont fixes\?; un {\it mouvement d'un solide} est une 
succession continue de positions
$A_i(t)$ de ses différents points au cours du temps $t$, 
de sorte que les distances $A_i(t)A_j(t)$ restent invariables.}. 
On admettra que 2 objets isométriques se déduisent l'un de l'autre soit 
par un déplacement soit par un déplacement suivi d'une symétrie
miroir\?; travaux pratiques de construction et de décalquage avec 
du papier calque.

Enoncé des 3 cas d'isométrie des triangles (côtés égaux, un
côté égal et deux angles adjacents égaux, un angle égal et
côtés adjacents égaux).

Caractérisation des parallélogrammes, losanges, rectangles,
carrés (démonstrations à partir des cas d'isométrie des
triangles).

c) {\it Ensembles, logique, combinatoire}

Ensembles, éléments, notation $x\in A$\?; $A\subset B$, ensemble vide 
$\emptyset$\?; ensembles (finis) définis en extension\?; 
ensembles définis en
compréhension\?: notation $\{x\?; P(x) \}$ ou $\{ x \in A; P(x) \}$ 
d'un ensemble défini par une propriété $P(x)$ des éléments (on
travaillera par exemple sur la parité, l'imparité, les
inégalités, les objets ayant plusieurs caractéristiques
indépendantes, etc).

Notation $\bN$, $\bZ$, $\bD$, $\bQ$ ($\bR$ sera introduit en 5e).

Intersection, réunion, différence d'ensembles\?; exemples
numériques, combinatoires (jeu de cartes) et géométriques.

Diagrammes de Venn -- partitions, pourcentages et fréquences.

\subsection{B.2. Classe de 5${}^{\rm e}$}

a) {\it Arithmétique et algèbre}

Révisions et compléments sur les puissances\?: formules $a^{x+y} = a^xa^y$,
$(ab)^x = a^x b^x$, $(a^x)^y = a^{xy}$.

Puissances d'exposants négatifs - notation du logarithme $y=\log_a(x)$ 
dans le cas où $a,\,x,\,y$ sont entiers, y compris le cas où $y$ est 
négatif. Echelles logarithmiques très simples (exemples\?: 
octaves des gammes musicales, représentation des temps géologiques 
en échelle logarithmique).

Racines carrées -- approximation par encadrement décimal,
algorithme d'extraction «\?à la main\?», preuve
algébrique de l'irrationnalité de racine carrée de 2 par un argument de
parité.

Révision\?: développement en facteurs premiers et divisibilité\?;
condition sur les exposants pour nombre soit un carré
parfait. Irrationnalité de la racine carrée d'un entier qui n'est
pas un carré parfait.

Ensemble $\bR$ des nombres réels (${}={}$développements décimaux illimités);
développements propres et impropres. Valeur absolue d'un réel.

Coordonnées cartésiennes dans le plan (repère orthonormé ou
orthogonal)

Fonctions $x\mapsto ax$, $ax+b$\?; tracé du graphe point par point\?;
alignement de 3 points quelconques du graphe\?: le graphe est donc
une droite. Interprétation du coefficient directeur $a$ comme pente.

Équations de la forme $ux+vy+w = 0$ dans le plan\?; représentation 
graphique sous la forme $y = ax+b$ (droite «\?non verticale\?») ou  
$x = c$ (droite «\?verticale\?»)

Système de deux équations linéaires à 2 inconnues $x,\,y\,$;
résolution algébrique et résolution graphique à l'aide de
l'intersection de deux droites (on se ramène par exemple à
$ax+b=a'x+b$). Interprétation du parallélisme en terme du
coefficient directeur~$a$.

Révisions sur l'utilisation de la commutatitivité,
associativité, distributivité\?; dévelop­pement d'expressions
algébriques\?; l'opération d'élévation à la puissance $a*b$ = $a^b$
n'est ni commutative ni associative dans les entiers positifs.

Graphe de la fonction $x\mapsto x^2$, lecture de la racine carrée sur
le graphe, graphe de la fonction $x\mapsto\sqrt{x}$.

b) {\it Géométrie}

Théorème de Pythagore\?; démonstration chinoise par les
aires. Réciproque.

Distance de deux points $(x,y)$, $(x',y')$ dans un repère orthonormé.

Homothéties de centre l'origine\?; écriture de la transformation en
coordonnées cartésiennes\?; cas de la symétrie par rapport à un
point (choisi comme origine).

Théorème de Thalès. Vérification à l'aide de
coordonnées. Réciproque.

Symétries orthogonales par rapport à une droite; définition
géométrique\?; interprétation géométrique des symétries
définies analytiquement par $(x,y)\mapsto (-x,y)$,
$(x,-y)$, $(y,x)$\?; définition analytique des quarts de tour et du
demi-tour de centre l'origine.

Hauteurs, médianes, médiatrices, bissectrices, concourance de ces
droites. Cercle inscrit, circonscrit, construction à la règle et
au compas.

Triangles semblables\?; les 3 cas de similitude des triangles.

Relations métriques dans le triangle rectangle.

Représentation graphiques de projections planes d'objets simples de
l'espace (projections sur les 3 plans de coordonnées dans un
repère orthonormé).

Justifications complète du volume du cône et de la pyramide
\note{11}{On observe la proportionnalité du volume avec la hauteur et
  l'aire de la base\?: pour la hauteur on utilise un argument de
  dilatation; on observe en outre (par tranchage très fin et
  glissement) qu'une pyramide oblique a le même volume qu'une pyramide
  droite, et que par quadrillage il y a proportionnalité à l'aire de
  la base. L'obtention de la constante $1/3$ s'obtient en découpant le
  cube de côté unité $(1\,u)$ en 
3 pyramides obliques de base $\smash{1\,u^2}$ et de
  hauteur $1\,u$ (patrons à découper et à assembler !)} (l'aire et le
volume de la boule seront démontrés plus tard).

c) {\it Ensembles, logique, combinatoire}

Ensembles produits $E \times F$, $E\times F\times G\,\ldots$\?; couples, 
triplets, $n$-uplets.

Application d'un ensemble $E$ dans un ensemble $F$. Premiers exemples sur
des ensembles finis\?: diagramme sagittal\?; histogrammes de
température en fonction du mois de l'année, de population en
fonction de l'année$\,\ldots$). Graphe dans $E\times F$ associé à une
application. Application définie par un graphe dans $E \times F$.

Calcul élémentaire de probabilités illustrant la notion de
couple, triplet, $n$-uplet\?: tirer 8 avec 2 dés\?; tirages avec remise
dans une urne\?; séries de piles ou faces$\,\ldots$

\subsection{B.3. Classe de 4${}^{\rm e}$}

a) {\it Arithmétique et algèbre}

Identités remarquables pour les expressions $(a+b)^3$, $(a-b)^3$,
$(a+b)(a^2-ab+b^2)$, $(a-b)(a^2+ab+b^2)$. Visualisation
géométrique de la quantité $(a+b)^3$ (modèle en bois ou
construction en carton).

Bases de numérations autres que 10\?: exemple des bases 2, 8, 16 (et
60); conversion d'une base dans une autre.

Graphe des fonctions $x\mapsto x^n$ (par exemple $n = 3, 4$).
Racines carrées (révision), racines cubiques, racines $n$-ièmes,
approximations numériques.

Condition sur le développement en facteurs premiers pour qu'un
nombre entier soit une puissance $n$-ième exacte d'un entier. Cas d'un
nombre rationnel mis sous forme irréductible. Irrationalité de la racine
$n$-ième d'un nombre rationnel dans le cas où tous les exposants des
puissances de nombres premiers mis en jeu ne sont pas divisibles par~$n$.

Fonction $x\mapsto 1/x$ et plus généralement $k/x$ avec $k$ 
constante réelle. Notion (intuitive) d'asymptote. 

Proportionnalité, directe, inverse, quadratique\?; transformation des
aires et volumes par homothétie.

b) {\it Géométrie}

Définition «\?axiomatique\?» d'un plan euclidien\?: c'est un
ensemble P de points pour lesquels on peut mesurer la distance
mutuelle de deux points quelconques $d(M,M')$, et vérifiant l'unique
axiome suivant\?:

(Pythagore+Descartes) on peut munir $\cP$ d'un «\?système de coordonnées 
orthonormé\?»  $P\to \bR^2$, $M\mapsto (x,y)$, 
satisfaisant la formule de «\?Pythagore\?»\note{12}{Il sera
commode de «\?visualiser\?» cet axiome à l'aide d'une 
feuille de papier millimétré
transparent qu'on place sur le plan géométrique~$\cP$, et qu'on peut
déplacer ou retourner -- il existe donc une infinité de 
systèmes de coordonnées orthonormés possibles, dépendant de la
position de la feuille de papier millimétré.}
$$
d(M,M')=\sqrt{(x-x')^2+(y-y')^2}
$$
Repère orthonormé $OIJ$ associé à un tel système
de coordonnées (points de coordonnées $(0;0)$, $(1;0)$, $(0;1)$).
Effet sur le système de coordonnées d'un retournement en $x$ 
ou en~$y$, des quarts de tour, d'une translation de la feuille de
papier millimétré.

Preuve analytique de l'inégalité triangulaire $AC\le AB+BC$ (en choisissant
la demi-droite $[A,C)$ comme demi-axe $Ox$).

Le milieu $I$ d'un segment $[A,B]$, qui est par définition un point 
tel que $AI=IB={1\over 2}AB$  est donné en coordonnées par 
$x_I=(x_A+x_B)/2$, $y_I=(y_A+y_B)/2$, et on a la 
«\?formule de la médiane\?» $MA^2+MB^2=2MI^2+(1/2)AB^2$ 
(qui démontre au passage l'unicité du milieu).

Un quadrilatère $(ABCD)$ est un parallélogramme (c'est l'une des 
définitions possibles vues en 6${}^{\rm e}$) si  ses diagonales $[A,C]$ et 
$[B,D]$ se coupent en leur milieu, ce qui équivaut à ce que 
$x_B-x_A=x_C-x_D$ et $y_B-y_A=y_C-y_D$.

Notion de bipoints équipollents, notion de vecteurs\?; composantes
d'un vecteur dans un système de coordonnées\?; addition des
vecteurs\?: $\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + 
\overrightarrow{BC}$.

Multiplication d'un vecteur par un nombre réel; notion de vecteurs
colinéaires et de même sens ou de sens opposés.

Centre de gravité d'un triangle\?; caractérisation vectorielle\?;
calcul des coordonnées du centre de gravité.

Translations\?; changement de coordonnées par changement d'origine.

Norme d'un vecteur, identité de Lagrange $(u^2+v^2)(x^2+y^2) = 
(ux+vy)^2 + (uy-vx)^2$ et inégalité  
$(u^2+v^2)(x^2+y^2)\ge (ux+vy)^2$   avec égalité si les vecteurs 
sont colinéaires.

Inégalité triangulaire, le segment $[A,B]$ (qui est par définition
l'ensemble des points M tels que $AM+MB=AB$) est aussi l'ensemble des
points $M$ tels que $\overrightarrow{AM} = k\,\overrightarrow{AB}$, 
$0\le k\le 1$, et la droite $(AB)$ consiste en l'ensemble des points 
$M$ définis par $\overrightarrow{AM} = k\,\overrightarrow{AB}$, 
avec $k$ réel quelconque.

Equation paramétrique et cartésienne d'une droite du plan (on
retrouve ainsi ce qui avait été admis en 5${}^{\rm e}$). Notion de vecteur
directeur, caractérisation du parallélisme.

Equation de la médiatrice du segment associé à deux points $A(u,v)$ 
et $A'(u',v')$ (comme ensemble des points équidistants de $A$ et
$A'$).

Théorème de Thalès -- rappels et preuve complète.
Interprétation géométrique de l'inégalité de Lagrange
$BC\cdot B'C' \ge AB\cdot AB'+AC\cdot AC'$ si $A,B,B'$ et 
$A,C,C'$ sont alignés, l'égalité ayant lieu si et seulement si 
$(BB')$ et $(CC')$ sont parallèles.

Définition du cosinus, sinus et de la tangente d'un angle dans un
triangle rectangle. Calcul pour les angles remarquables ($0^\circ$,
$30^\circ$, $45^\circ$, $60^\circ$, $90^\circ$). Etude de l'hexagone, 
de l'octogone -- encadrement du nombre $\pi$.

Problèmes de géométrie dans l'espace très simples se ramenant
à des questions de géométrie plane -- par exemple\?: relation
entre la hauteur d'une pyramide droite à base carrée, la longueur
des arêtes et les angles des faces\?; octaèdre régulier.

c) {\it Ensembles, logique, combinatoire}

Composition des applications\?; notation $f\circ g$\?; associativité de
la composition.

Notion de bijection d'un ensemble $E$ sur un ensemble $F$\?; 
exemples et contre-exemples.

Permutations d'ensembles à 3 éléments\?; table de Pythagore du
groupe des permutations ainsi obtenu\?; table du groupe des isométries d'un
carré de centre l'origine et de côtés parallèles aux axes
(interprétation comme groupe de permutation des sommets et comme
symétries/quarts de tours)\note{13}{On donnera à cette occasion
la définition de ce qu'est un groupe, mais l'étude générale de la notion 
n'est pas au programme.}.

Probabilités\?: révisions et compléments. Raisonnements 
utilisant des dénombrements à l'aide d'arbres  dans des situations très
simples\?: ensembles produits, paires non ordonnées$\,\ldots$

\subsection{B.4. Classe de 3${}^{\rm e}$}

a) {\it Arithmétique et algèbre}

Puissances rationnelles $a^{p/q}$, notation $\log_a(x)$ du logarithme dans 
le cas d'une valeur rationnelle. Formule $\log_a(xy) = \log_a(x) + 
\log_a(y)$. Applications (gammes musicales, décibels, pH ...)

Moyennes, moyennes pondérées\?; moyenne géométrique\?;
inégalité avec la moyenne arithmétique.

Factorisation d'un trinôme du second degré $ax^2+bx+c$\?;
résolution de l'équation $ax^2+bx+c=0$\?; formule usuelle avec le
discriminant\?; trouver deux nombres connaissant leur somme et leur
produit.

Division des polynômes.

Factorisation d'un polynôme de degré 3 lorsque l'on en
connaît déjà une racine.

Fractions rationnelles simples\?; simplifications. 

Système de 2 équations linéaires à 2 inconnues\?; résolution
par combinaison linéaire, par substitution; formule générale
avec le déterminant $2\times 2$.

Systèmes d'équations linéaires à deux inconnues avec
paramètre se ramenant à une équation du second degré.

b) {\it Géométrie.}

Fonctions polynômes $f(x) = ax^2+bx+c$\?; représentation graphique\?; 
détermination   du sommet et de l'axe de symétrie\?; paraboles 
d'axe parallèle à $Oy$.

Fonctions homographiques\?; réduction à la forme $f(x)=k/(x-a)+b$,
puis représentation graphique (on s'aidera d'un changement
d'origine). Hyperboles d'asym­ptotes parallèles aux axes.

Fonctions $f(x)=P(x)/(x-a)$ où $P$ est du second degré.

Inéquations et systèmes d'inéquations $ax+by+c > 0$ (${}< 0$, 
$\ge 0$, $\le 0$); demi-droites, demi-plans et secteurs angulaires.  

Cercle trigonométrique, angles orientés, radians, expression de la
longueur d'un arc de cercle de rayon quelconque\?; fonctions cosinus,
sinus, tangente

Formules $\cos(a+b)$, $\sin(a+b)$ et conséquences (preuve par le 
calcul vectoriel).

Rotations de centre l'origine. Expression analytique\?; angles modulo 
les multiples de~$2\pi$.

Produit scalaire\?: $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}={1\over 2}
(AB^2+ AC^2-BC^2)$; expression analytique en coordonnées, 
bilinéarité\?; orthogonalité\?; expression  
$\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v} = \Vert u\Vert\;\Vert v\Vert 
\cos(\ang(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}))$.

Relations métriques dans le triangle, compléments.

Alignement et positions relatives des points remarquables du triangle
(centre de gravité, centre des cercles inscrit et circonscrit,
intersection des hauteurs).

Angles au centre, angles inscrits.

Equation du cercle, intersection d'un cercle et d'une droite ,
intersections de cercles\?; puissance d'un point par rapport à un
cercle\?; tangentes menées d'un point à un cercle\?; cercles
tangents.

Calcul de l'aire latérale d'un tronc de cône circulaire, relation
entre le demi-angle au sommet et l'angle du secteur circulaire obtenu
par développement sur un plan.

Longueur de la diagonale d'un parallélépipède rectangle de
l'espace, distance de deux points $(x;y;z)$, $(x';y';z')$ dans un repère
orthonormé.

Démonstration de la formule d'aire de la sphère et du volume de la
boule (preuve d'Archimède à l'aide du théorème de Thalès et
d'une projection cylindrique).

c) {\it Ensembles, logique, combinatoire}

Ensemble $\cP(E)$ des parties d'un ensemble; dénombrement de $\cP(E)$ au
moyen d'un arbre.

Arrangements de $p$ objets pris parmi $n$, permutations (calcul à l'aide 
d'un arbre d'abord sur des exemples explicites avec $n$ petit).

Combinaisons de $p$ objets pris parmi $n$\?; triangle de Pascal\?; 
formule générale du binôme $(a+b)^n$.

Probabilités élémentaires (révisions\?; application des
formules précédentes\?: tirage de cartes, tirages dans des urnes
avec et sans remise\?; échantillons de population).


%%\section{Références bibliographiques}
%%\bigskip
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% End:
