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% main item macros

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  \message{^^JCAUTION\string: if the file has just been modified you may  
  have to run TeX twice^^J}
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  \message{to get correct page numbers displayed in Contents or Index 
  Tables^^J}
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  \let\END=\end \def\end{\immediate\closeout1\END}}
        
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\newbox\chapterbox \setbox\chapterbox\hbox{\hfil}
\def\folio{\ifnum\pageno=\notthispage \hfil
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           \kern8mm\number\pageno}\else
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    $\displaystyle{}##\hfil{}$\hfil\crcr#1\crcr}}

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\def\chapterrunning#1{\notthispage=\pageno
    \setbox\chapterbox\hbox{\eightpoint #1}}
\def\title#1{\noindent\hfil$\smash{\hbox{\seventeenpointbf #1}}$\hfil
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\def\titleleft#1{\noindent$\smash{\hbox{\seventeenpointbf #1}}$\hfil
                 \titlerunning{#1}\medskip}

\def\supersection#1{%
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  \titlerunning{#1}}

\newcount\numbersection \numbersection=-1
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\def\section#1{%
  \par\vskip0.5cm\penalty -100
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  \vskip2pt
  \penalty 500
  \advance\numbersection by 1
  \sectionrunning{#1}}

\def\subsection#1{%
  \par\vskip0.5cm\penalty -100
  \vbox{\noindent{{\tenpointbf #1}}}
  \vskip1pt
  \penalty 500}

\newcount\numberindex \numberindex=0  
\def\index#1#2{%
  \advance\numberindex by 1
  \immediate\write1{\string\def \string\IND #1%
     \romannumeral\numberindex \string{%
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     p.\string\ \space\number\pageno \string}}}

\def\chapterjump{
  \vfill\eject
  \ifodd\pageno \else {\headline={\hfil}\null\vskip0pt\vfill\eject} \fi
}

% Usual sets of numbers  
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\def\bN{{\Bbb N}}
\def\bP{{\Bbb P}}
\def\bQ{{\Bbb Q}}
\def\bR{{\Bbb R}}
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% Calligraphic capital letters
\def\cA{{\Cal A}}
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\def\cV{{\Cal V}}

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\def\msbtype{\hexnbr\msbfam}

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% bibibliography
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\title{Puissances, exponentielles, logarithmes}
\title{de l'école primaire jusqu'à la terminale}
\titlerunning{Puissances, exponentielles, logarithmes, 
de l'école primaire jusqu'à la terminale}
\bigskip
\centerline{\twelvebf
Jean-Pierre Demailly, Université Joseph Fourier Grenoble I}
\medskip
\centerline{\tt 
http://www-fourier.ujf-grenoble.fr/$\,\tilde{}\,$demailly/books.html}
\medskip
\centerline{version du 20 janvier 2010}
\bigskip\bigskip\bigskip\bigskip

L'enseignement du calcul à l'école primaire, les fondements du calcul
approché et du calcul algébrique au collège, l'enseignement de
l'analyse au lycée souffrent aujourd'hui dans notre pays
d'insuffisances et d'incohérences très graves -- c'est un constat$\,$:
de plus en plus d'enseignants expriment ouvertement les difficultés
qu'ils rencontrent en classe à ces divers niveaux. Pour aller au delà
d'une simple impression générale et analyser les déficiences en
détail, il est indispensable de se placer dans une perspective 
«\?longitudinale\?» -- surtout pour une discipline comme les
mathématiques où les notions s'introduisent, se construisent et
s'étudient dans un enchaînement logique sur tout le parcours éducatif. 
Ce n'est pas principalement de logique
formelle dont il s'agit ici$\,$; c'est surtout de la «\?logique 
naturelle\?»  ou «\?intuitive\?» nécessaire à l'élève pour se 
forger les schémas mentaux impliqués dans les notions appréhendées.

Nous avons choisi de nous concentrer sur l'introduction des
exponentielles et des loga\-rithmes qui, depuis un siècle au moins,
s'effectue à la fin du lycée. Nul doute qu'il s'agisse là de notions
tout à fait centrales, puisqu'elles interviennent dans tous les
domaines de la science. C'est pourquoi l'analyse des connaissances
nécessaires à l'intro\-duction des logarithmes et des exponentielles
doit (devrait) être considérée comme un élément essentiel pour
l'élaboration des programmes d'enseignement des mathématiques.

Or, sur le seul point précis des prérequis à l'enseignement des
logarithmes et des exponentielles, les programmes actuels présentent
des lacunes sévères, qui se sont fortement aggravées depuis 1990. Les
insuffisances constatées ne sont certes pas entièrement nouvelles.  En
effet, depuis 1960 au moins, les concepteurs de programmes -- et
beaucoup d'auteurs de manuels, même parmi ceux qui aujourd'hui
contestent quelque peu les propositions actuelles -- envisagent des
approches qui laissent penser que l'introduction des logarithmes et
des exponentielles nécessite l'utilisation d'outils «\?
avancés\?» de l'ana\-lyse des fonctions d'une variable~: au choix,
utilisation du calcul intégral -- utilisation de la pri\-mitive de la
fonction $x\mapsto 1/x$ pour introduire le logarithme népérien -- ou
encore utilisation d'équations différentielles de type $y'=ky$.

Ce dernier choix, qui est celui du Groupe d'Experts des Programmes du
Secondaire de l'an 2000 est pour nous assez stupéfiant. En effet, 
comme on le verra ci-après, les notions concernées ne réclament
en réalité que des raisonnements élémentaires sur les 
puissances de nombres réels, 
leurs approximations décimales et la convergence des suites croissantes
majorées$\,$\note{1}{Des idées
analogues mais beaucoup plus abstraites sont utilisées par Bourbaki 
pour  donner une preuve rigoureuse de l'isomorphisme entre
les groupes $(\bR, +)$ et $\smash{(\bR^*_+,\times)}$, fondée uniquement sur 
des idées de  topologie générale. Mais c'est assurément trop 
abstrait pour être directement transposable au lycée$\,\ldots$}.
Le GEPS, motivé en partie par la perspective de l'enseignement 
de la physique (ce qui est en soi une très bonne chose), a cru bon 
de recommander un «\?grand détour\?» par les équations
différentielles, relevant ainsi le niveau de conceptua\-lisation
mis en jeu à celui des équations 
fonctionnelles, alors que les élèves de terminale maîtrisent 
aujourd'hui à grand peine le sens algébrique ou géométrique de la 
dérivée$\,$\note{2}{Le choix du GEPS de Physique a été de
proposer l'étude du phénomène de décroissance radioactive en
liaison avec l'introduction de l'exponentielle par les équations
différentielles, en mathématiques.  L'idée d'établir un pont
entre les deux disciplines nous apparaît louable.  Cependant, sur
ce sujet précis, nous estimons que la maturité mathématique
moyenne des élèves de terminale est aujourd'hui devenue
insuffisante pour que puisse leur apparaître de manière claire
la complexité d'un phénomène statistique aussi subtil que la
décroissance radioactive et sa modélisation continue par une
équation différentielle -- au moins dans une première approche
destinée à l'introduction de la notion d'exponentielle.}.

L'effet de ce choix, que j'ai pu constater {\it de visu} dans une très bonne 
classe de terminale~S, est que le professeur est en général dans 
l'impossibilité de démontrer ou d'asseoir solidement toutes les étapes, 
de sorte que la définition reste enfermée dans
un cercle vicieux~: l'exponentielle est la solution d'une
équation différentielle dont on a le plus grand mal à prouver
l'existence de solutions, et bien entendu c'est sans broncher que l'on 
résout ensuite l'équation différentielle $y'=ky$ à l'aide de ces 
mêmes exponentielles. {\it In fine}, lorsque le logarithme a enfin été
introduit, on parvient à définir $a^x$ pour cons\-tater péniblement
(par des preuves très alambiquées) que ceci redonne les puissances 
entières usuelles des nombres réels. Inutile de dire que
l'élève normalement constitué aura la plus grande peine à se forger 
une conception cohérente de ces notions à partir des bribes de savoir 
lacunaires et de niveau disparate qu'on lui aura enseignées$\,\ldots$

L'approche des années 1960--2000 n'était à vrai dire elle-même pas du tout 
idéale, puisqu'elle avait le désavantage patent de commencer par 
l'introduction du logarithme,
moins intuitif que les puissances et les exponentielles, et qu'elle utilisait
un théorème devenu quasi-inaccessible (surtout après les coupes sombres 
opérées dans les programmes à partir de 1990$\,$!), à savoir 
l'existence de la primitive d'une fonction continue$\,$\note{3}{Une
preuve «\?élémentaire\?» courte de l'existence des primitives de
fonctions continues -- ne nécessitant pas le concept de continuité 
uniforme -- serait cependant possible dès la terminale pour peu que
les programmes retrouvent quelque consistance - voir par exemple ma
proposition de cours d'introduction à l'intégrale à la même 
adresse web que ci-dessus. Ceci relève aujourd'hui plutôt de 
l'université.}.
Une autre conséquence inévitable de ces approches -- 
qu'il s'agisse de la définition du loga\-rithme par la primitive de $1/x$ 
ou de l'invocation un peu magique des équations différentielles -- est 
que l'introduction des logarithmes et des exponentielles est repoussée de
manière quasi-obligatoire à la classe terminale$\,$\note{4}{Avant
l'introduction des calculettes, la règle à calcul venait un peu compenser 
le «\?retard à l'allumage\?», mais ce garde-fou n'existe plus 
aujourd'hui.}.

Tout ceci est proprement hallucinant quand on sait que l'idée des
logarithmes fut introduite par John Napier (dans {\it Mirifici
logarithmorum canonis descriptio}, 1614), à une époque où l'on
ne connaissait pas encore le calcul différentiel et intégral,
seulement développé par Newton et Leibnitz vers la fin du
XVII$\,$ème siècle. L'idée principale utilisée par Napier
était d'utiliser la comparaison entre progressions arithmétiques
et géométriques -- déjà bien connues des Grecs -- assortie de
quelques considérations ciné\-matiques simples. À cette
époque, les définitions et les preuves manquent encore de rigueur
suivant les critères actuels, mais nous nous proposons de voir ici
qu'on peut combler cette lacune par un exposé tout à la fois
simple et complet, ne faisant appel à aucune notion difficile,
ouvrant la voie à des progressions scolaires tout à fait
envisageables.

Bien entendu, nous ne prétendons à aucune originalité scientifique 
sur un sujet aussi élémentaire. À la décharge des commissions chargées des
programmes de lycée, il faut bien constater que le dépérissement des
contenus de calcul et de la connaissance des algorithmes des
opérations arithmétiques élémentaires en primaire et au collège
rendrait périlleux -- voire impossible -- le cheminement que nous 
proposons$\,$: la nécessaire «\?connaissance intime des nombres\?» 
chère à René Thom est devenue à peu près «\?orthogonale\?» à 
l'esprit des programmes actuels, axés sur un formalisme algébrique réduit
au minimum, et sur l'usage des calculettes en lieu et place d'une 
étude progressive du calcul exact et du calcul approché.

L'analyse «\?longitudinale\?» des nécessités d'enseignement des notions
fondamentales que sont les exponentielles et les logarithmes place donc sous
une lumière crue les graves déficiences des progressions scolaires actuelles.
Nous espérons que ce texte participera d'une prise de conscience
plus aigue de la nécessité urgente de revoir les programmes de
mathématiques depuis la maternelle jusqu'à l'université.

\section{1. L'école primaire et les quatre opérations}

Il est indispensable que l'école primaire enseigne de nouveau le calcul 
écrit, afin d'abou\-tir à une maîtrise complète des algorithmes opératoires --
les calculettes ne doivent être utilisées que lorsque l'élève y est parvenu.
La pratique sûre et effective du calcul écrit suppose une connaissance 
fluide des tables d'addition et de multiplication (et leur lecture 
inverse$\,$: «\?tables de 
soustraction\?» et de «\?division\?»). Les pédagogues 
minima\-listes font actuellement leurs choux gras du calcul mental et
du calcul approché (estimations des ordres de grandeur), mais les
points suivants sont à peu près incontournables$\,$:
{\parindent=6.5mm
\item{--}bien que le calcul mental, comme le calcul écrit, implique
la connaissance fluide des tables, ses procédures sont différentes,
du fait de la nécessaire mémorisation des résultats intermédiaires. On
procède ainsi par manipulation des unités, dizaines, centaines, milliers plutôt
que sur les chiffres pris isolément, en partant d'ailleurs en général
plutôt des chiffres de poids fort que des chiffres de poids faible comme
c'est le cas avec les algorithmes posés usuels. En outre, la taille réduite
des nombres mis en jeu ne permet pas d'atteindre le degré de généralité
nécessaire pour une compréhension complète des algorithmes du calcul posé.
\item{--}s'il existe chez le jeune enfant une sorte de perception intuitive
de la taille des nombres précédant son aptitude au calcul exact (perception 
qu'il convient bien sûr de ne pas contrecarrer), la fiabilité de la maîtrise 
du calcul approché et des ordres de grandeur n'est atteinte qu'au 
moyen d'éléments préalables du calcul exact, par exemple le calcul des 
puissances de dix combiné à la table de multiplication.
\item{--}enfin, même dans l'optique de la maîtrise du seul calcul approché,
l'apprentissage d'un algorithme tel que celui de la division est un atout
décisif$\,$: lorsque le diviseur comporte deux chiffres ou plus, l'obtention
des chiffres du quotient fait fonctionner de manière très effective l'aptitude
au calcul approché de la multiplication d'un nombre à un chiffre par un nombre
à plusieurs chiffres. En la circonstance, on sait bien que l'enfant a besoin de
points de repère précis et d'objectifs clairement définis pour construire
ses schémas mentaux, et il ne suffit pas de déclarer le calcul approché
comme un objectif pour qu'il se réalise par miracle.
\vskip0pt
}

Bien entendu la maîtrise des algorithmes est très loin de se suffire à 
elle-même, l'enfant ne peut accéder au sens des opérations qu'en résolvant
des problèmes concrets portant sur des grandeurs de la vie courante 
(nombre de pommes, monnaie, longueurs, poids$\,\ldots$). Ce sens ne peut se
construire que si les quatre opérations sont introduites simultanément, 
afin que l'enfant puisse comparer (et éventuellement opposer) l'usage 
des différentes 
opérations. C'est donc le plus tôt possible, dès le cours préparatoire
et même dès la maternelle, que les quatre opérations doivent être étudiées
(pour la maternelle, bien sûr, il s'agira seulement de petits nombres, -- mais
observons que le problème du partage des bonbons y soulève déjà la
question de la division$\,$!)

À la fin du cycle primaire, la pratique sûre de la division posée permet
d'observer la périodicité des restes et donc du développement décimal
d'une fraction. Ceci est particulièrement apparent sur de nombreuses fractions
de petit dénominateur conduisant à une périodicité très courte 
(dénominateurs tels que 3, 7, 9, 11, 21, 27, 33, 37, 41, 63, 77, 99, 
101,~271 ($\ldots$) et leurs multiples par 2 et 5, qui
conduisent à une période de longueur 6 au plus).

\section{2. Puissances, racines carrées, nombres réels}

Avec la maîtrise des opérations élémentaires apparaissent naturellement 
les progressions arithmétiques et géométriques simples
$$
\eqalign{
&0,\quad a,\quad 2a,\quad 3a,\quad 4a,\quad 5a,\quad 6a,\quad 7a,
\quad \ldots\cr
&1,\quad a,\kern10.7pt a^2,\kern10.7pt a^3,\kern10.7pt 
a^4,\kern10.7pt a^5,\kern10.7pt a^6,\kern10.7pt a^7,\kern10pt \ldots\cr}
$$
avec $n\,a=a+a+\ldots+a$ (répété $n$ fois) et
$a^n=a\times a\times\ldots\times a$ (répété $n$ fois). Au~minimum, le 
cas particulier des carrés, des cubes et des puissances de 10 relève 
déjà du primaire.

Très vite, aux alentours de la cinquième ou de la quatrième au plus tard, 
les principales règles de calcul sur les puissances d'expo\-sant entier
naturel doivent être systématisées$\,$:
$$
\leqalignno{
a^{x+y}&=a^x\cdot a^y,&(2.1)\cr
(ab)^x&=a^x\cdot b^x,&(2.2)\cr
(a^x)^y&=a^{xy},&(2.3)\cr}
$$
chaque fois que $a,\,b$ sont des nombres strictement positifs et $x,\,y$ 
des entiers naturels. Les nombres négatifs ayant été abordés au
début du collège, il est possible de généraliser aux multiples et
puissances négatives
$$
\eqalign{
\ldots~~-5a,\quad -4a,\quad -3a,\quad -2a,\quad -a,\quad &0,
\quad a,\quad 2a,\quad 3a,\quad 4a,\quad 5a,\quad 6a,\quad 7a~~\ldots\cr
\ldots\kern11.3pt a^{-5},\kern10.7pt a^{-4},\kern10.7pt a^{-3},\kern10.7pt 
a^{-2},\kern10.7pt a^{-1},\kern10.7pt &1,\quad 
a,\kern10.7pt a^2,\kern10.7pt a^3,\kern10.7pt a^4,\kern10.7pt
a^5,\kern10.7pt a^6,\kern10pt a^7~~\ldots \cr}
$$
qui complètent les progressions arithmétiques et géométriques 
du «\?côté gauche\?», en posant pour tout entier $n$ positif
$$
a^{-n}={1\over a^n}.
$$
On voit alors que les règles de calcul (2.1), (2.2), (2.3) s'étendent aux
exposants négatifs.

À l'heure actuelle les nombres réels apparaissent dès le collège,
avec l'introduction de la racine carrée. Cependant, l'usage prématuré
des calculettes lié à l'absence de pratique suffisante 
du calcul décimal approché «\?à la main\?», par exemple des
divisions, conduit à une vision pauvre, trop formelle, de la notion de racine
carrée.

Il convient absolument que les élèves soient confrontés au problème numérique
de l'extraction de la racine carrée, par exemple de $\sqrt{2}\,$:
$$
\eqalign{
&(1,4)^2= 1,96\quad (1,5)^2= 2,25\qquad\hbox{donc}\quad 1,4<\sqrt{2}<1,5,\cr
&(1,41)^2= 1,9881\quad (1,42)^2= 2,0164\qquad\hbox{donc}\quad 
1,41<\sqrt{2}<1,42,\cr
&(1,414)^2= 1,999396\quad (1,415)^2= 2,002225\qquad\hbox{donc}
\quad 1,414<\sqrt{2}<1,415\quad\ldots\cr}
$$
Nous recommandons cette réintroduction dès la sixième ou la cinquième, en même
temps que la preuve du théorème de Pythagore, qui met en évidence la
nécessité géométrique des racines carrées. Bien sûr, ceci suppose en pratique
que les graves déficiences du primaire aient été préalablement résolues.

En même temps, il ne faut pas hésiter à donner une définition précise de
la notion de nombre réel, qui est une bonne occasion d'avoir une
première approche implicite de la notion de limite$\,$: 
\medskip

{\bf (2.4) Définition.} {\it Un nombre réel est un nombre
exprimé par un développement décimal illimité quelconque, non nécessairement 
périodique, autrement dit une suite 
$\pm\;\sqsymb\sqsymb\ldots\sqsymb\sqsymb,
\sqsymb\sqsymb\sqsymb\sqsymb\sqsymb\ldots$
de chiffres $0,1,2,3,4,5,6,7,8,9$
en nombre fini à gauche de la virgule et en nombre infini à droite de
celle-ci, précédée du signe $+$ ou du signe~$-$ $($l'absence de signe 
signifiant implicitement qu'on met le signe $+{}$, sauf pour 
$\,0=0,000\ldots\;$ qui n'a pas de signe$)$.\\
D'un point de vue géométrique, un nombre réel
correspond à un point sur un axe  orien\-té, qui serait positionné à
l'aide d'une «\?}règle graduée de précision infinie\?».
\medskip

Nous préconisons de manière très ferme l'enseignement de l'algorithme 
d'extraction de la racine carrée «\?à la main\?», qui, comme tout
algorithme effectif, met l'enfant en situation de maîtriser son
environnement numérique (et lui fait voir, en la circonstance,
l'absence de raison particulière qu'une racine carrée d'un nombre entier 
possède en général un développement décimal périodique).
Ce serait là une excellente
consolidation post-primaire de la pratique du calcul posé$\,$;
l'expérience montre que les enfants qui maîtrisent bien la division
passent très facilement à l'algorithme de la racine carrée (une heure
ou deux suffisent), de sorte que cet apprentissage n'engendre aucune
perte de temps. Malheureusement, il n'est possible de tester ceci
aujourd'hui que sur une fraction infime de la population scolaire,
tellement la soupe est devenue insipide et la maîtrise des
algorithmes opératoires incertaine$\,\ldots$

Pour que la définition (2.4) devienne rigoureuse et précise, 
on doit expliquer aussi les développements décimaux propres et 
impropres$\,$\note{5}{Une fois que cela est fait, la définition (2.4) peut 
être considérée comme une définition formelle parfaitement 
acceptable des nombres réels -- même si celle-ci a l'inconvénient, qui
tient plus d'un léger manque d'élégance, de sembler dépendre
du choix de la base 10.}.
On fait constater à l'élève que $0,999999\ldots = 1$, en effet si 
$x=0,999999\ldots\;$, alors \hbox{$10\,x = 9,999999\ldots\;$},
donc\break \hbox{$10\,x-x=9$} et ceci conduit à admettre nécessairement
que $x=1$, si
on veut que les règles de calcul sur les nombres décimaux continuent à 
fonctionner sur les dévelop\-pements décimaux illimités. Plus
généralement on a par exemple 
$$
0,34999999\ldots=0,35 = 0,35000000\ldots
$$ 
Ces observations apparaissent comme des précisions à apporter à
la définition (2.4)$\,$:
\medskip

{\bf (2.5) Complément à la définition des nombres réels.} {\it
Les nombres décimaux ont deux écritures possibles, l'une finie $($ou, ce 
qui revient au même, comportant une infinité de $0$ consécutifs$)$, 
appelée «\?déve\-loppement propre\?», l'autre 
sous forme de «\?dévelop\-pement impropre\?» avec une 
infinité de~$9$ consécutifs et le chiffre précédent réduit
d'une unité.  Les nombres réels non décimaux n'ont qu'un seul
développement décimal illimité.}
\medskip

À ce stade, dès la cinquième disons, on devrait pouvoir aboutir
aux caractérisations importantes qui suivent (sous réserve que tous
les programmes précédents aient été reconstruits de manière
solide$\,$!)$\,$: \medskip

{\bf (2.6) Caractérisation des rationnels et des décimaux.}{\it
{\parindent=6.5mm
\item{\rm (a)} Un développement décimal représente un nombre
rationnel $($fraction de nombres en\-tiers$)$ si et seulement si ce
dévelop\-pement est périodique à partir d'un certain rang.
\item{\rm (b)} Parmi les nombres rationnels, les nombres décimaux sont
ceux dont le dévelop\-pement comporte
au choix une infinité de $0$ consécutifs $($«\?développement 
décimal propre\?» $)$ ou une infinité de $9$
consécutifs $($«\?développement décimal impropre\?» $)$.
\item{\rm(c)} Les nombres réels non décimaux sont caractérisés par le
fait que leur développement ne
comporte pas une suite infinie de décimales consécutives qui sont tous
des $0$ ou tous des $9\,;$ ils ont donc soit une infinité de décimales
qui ne sont ni des $0$ ni des~$9$, soit une alternance infinie 
$($éventuellement irrégulière$)$ de $0$ et de~$9$ à partir d'un
certain rang.\medskip}}

{\it Démonstration.} (a) En effet, étant donné une fraction $p/q$ simplifiée 
qui n'est pas un
nombre décimal (c'est-à-dire que $q$ a d'autres facteurs premiers 
que $2$ et $5$), l'algorithme de division avec virgule de $p$ par $q$ 
«\?ne tombe pas juste\?» et conduit à des restes
qui figurent parmi $1$, $2$, $\ldots$ , $q-1$. Au bout de $q-1$ étapes
au plus après la virgule, on retombe nécessairement sur un reste 
déjà trouvé, de sorte que le développement est périodique et que
la période est au plus de longueur $q-1$.\note{6}{De façon plus 
formelle, si on regarde les restes de la division de $10^m$ par
un entier $q\in\bN^*$ quelconque, il doit exister deux entiers $m<n$ 
dans l'intervalle $[0,q-1]$
tels que $10^m$ et $10^n$ ont le même reste, donc $q$ divise
$10^n-10^m$. Autrement dit, $q$ divise l'entier $10^m(10^a-1)$ avec
$a=n-m$. La fraction $p/q$ s'écrit encore $10^{-m}{p\over 10^a-1}=
10^{-n}(k+{r\over 10^a-1})$ où $r$ est le reste de la division de $p$
par $10^a-1$ et $k$ son quotient. Comme $r$ est un entier d'au plus 
$a$ chiffres et que $1/(10^a-1)=0,\RGBColor{1 0 0}{00...001}
\RGBColor{0 0 1}{00...001}...$ avec une périodicité
de $a$ chiffres, on voit que $r/(10^a-1)=0,\RGBColor{1 0 0}{r_1r_2...r_{a-1}r_a}
\RGBColor{0 0 1}{r_1r_2...r_{a-1}r_a}...$ où $r_1r_2...r_{a-1}r_a$ est
l'écriture décimale de $r$ (précédée d'autant de $0$ que nécessaire pour 
atteindre exactement $a$ chiffres). Suivant le signe de $p$, ceci implique 
un développement décimal de la forme
$${p\over q}=
\pm\, k'_Nk'_{N-1}...k'_1k'_0,k_1k_2...k_m\RGBColor{1 0 0}{r_1r_2...r_{a-1}r_a}
\RGBColor{0 0 1}{r_1r_2...r_{a-1}r_a}...$$}


Inversement, si on a 
un développement périodique, disons de longueur $5$, soit par exemple
$$
x=0,107\RGBColor{1 0 0}{23114}\RGBColor{0 0 1}{23114}\RGBColor{1 0 0}{23114}\RGBColor{0 0 1}{23114}\ldots,
$$
on observe que la division $1:99999$ donne
$$
{1\over 99999}=0,\RGBColor{1 0 0}{00001}\RGBColor{0 0 1}{00001}\RGBColor{1 0 0}{00001}\RGBColor{0 0 1}{00001}\ldots,
$$
de sorte que
$$
\eqalign{
&{23114\over 99999}=23114\times{1\over 99999}
=0,\RGBColor{1 0 0}{23114}\RGBColor{0 0 1}{23114}\RGBColor{1 0 0}{23114}\RGBColor{0 0 1}{23114}\ldots\cr
\noalign{\vskip6pt}
&{23114\over 99999000}
=0,000\RGBColor{1 0 0}{23114}\RGBColor{0 0 1}{23114}\RGBColor{1 0 0}{23114}\RGBColor{0 0 1}{23114}\ldots\cr
}
$$
En définitive, comme $0,107=\displaystyle{107\over 1000}$, on obtient
$$
x={107\over 1000}+{23114\over 99999000}
={107\times 99999+23114\over 99999000}
={10723007\over 99999000}
$$
qui est bien un nombre rationnel. Ce procédé de mise en forme de fraction
s'étend facilement à tout développement décimal périodique. L'affirmation
(b) est seulement une reformulation de la définition (2.5), et (c) lui
est équivalente. Le dernier cas de (c) est illustré par exemple 
par le rationnel $1/11=0,09090909\,\ldots$\qed
\medskip

Toutes ces considérations sont consolidées par l'introduction du calcul
algébrique et polynomial, la manipulation des inégalités et des 
encadrements, les identités remarquables. Il me paraît
important de visualiser géométri\-quement $(a+b)^2$, $(a+b)(a-b)$. Il 
serait utile de distribuer dans toutes les écoles primaires et tous 
les collèges de France des assemblages de pièces en bois 
permettant de visualiser 
$(a+b)^2$, $(a+b)^3$ (car ce sujet peut même être abordé de manière 
concrète dès la fin de l'école
primaire, à l'occasion de l'introduction des aires et des volumes).
L'identité $(10a+b)^2-100a^2=(20a+b)b$ intervient dans la justification 
de l'algorithme de la racine carrée. À un niveau plus élémentaire (dès le
CM1) -- et avec une justification seulement géométrique sur des carrés
découpés dans du papier millimétré -- la formule 
$$
(10a+5)^2=100a(a+1)+25
$$
peut servir au calcul mental efficace de carrés de nombres se terminant 
par 5$\,$:\break $(75)^2=5625$, le nombre $56$ étant obtenu en faisant
$a(a+1)=7\times 8$.

\section{3. Suites, limites, suites croissantes majorées}

L'étape suivante, qui est le fondement même de l'enseignement de l'analyse,
est l'intro\-duction de la notion de limite -- l'élève qui aura manipulé les
développements décimaux et les encadrements au collège y aura déjà été 
très bien préparé, il faut 
donc envisager cette introduction dès la classe de seconde, et non pas en 
classe de première comme aujourd'hui, afin de laisser un temps de maturation
plus important pour les notions essentielles de l'analyse. 
\eject

En outre, nous préconisons d'introduire la notion de limite d'abord à
l'occasion de l'étude des suites. Il y a pour cela deux raisons 
essentielles$\,$:
\smallskip
$\bullet$ La première raison est que ceci fait beaucoup mieux
le lien avec le calcul décimal approché, lorsqu'on envisage par
exemple les approximations décimales successives d'un nombre réel
tel qu'une racine carrée.
\smallskip
$\bullet$ La deuxième raison est que l'enseignement actuel est
beaucoup trop polarisé sur l'usage des calculettes et, au lycée, sur
leur emploi pour l'étude des fonctions. Or la capacité des calculettes
actuelles au calcul formel induit chez l'élève la conception erronée
qu'une fonction est principalement une «\?formule
algébrique\?» permettant d'éva\-luer une expression $f(x)$ -- il
suffit d'observer l'organisation des manuels modernes pour se
convaincre que cette conception inappropriée sera extrêmement
difficile à éradiquer. En réalité, la plupart des fonctions qui
interviennent dans la nature -- courbes de température ou de
population, cours de la bourse, fonctions correspondant à des mesures
expérimentales de phénomènes physiques -- ne sont précisément pas
données par des formules algébriques. C'est bel et bien la vision
bourbakiste d'application d'un ensemble de départ vers un ensemble
d'arrivée donnée par un graphe qui est la notion pertinente$\,$! (et,
en cela, les programmes de lycée de «\?mathématiques modernes\?» 
ne s'étaient donc pas trompés, on les a beaucoup trop vite jetés à la
poubelle sans imaginer qu'ils comportaient tout de même une bonne part
de vérité).  L'approche des limites par les suites est un bon moyen de
combattre l'idée fausse qu'une fonction coïncide avec une formule
algébrique, et de donner lieu à des applications dont l'ensemble de
départ et d'arrivée ne sont pas les mêmes.
\medskip

Considérons par exemple la suite définie par $u_0=1$ et par la
relation de récurrence 
$$
u_{n+1}={2u_n+1\over u_n+1}=2-{1\over u_n+1}.
$$
Des calculs aisés et l'utilisation d'une calculette donnent$\,$\note{7}{Les 
habitués reconnaîtront bien sûr un des avatars possibles
de la suite de Fibonacci. On peut voir que la limite de $u_n$ est le
nombre d'or $(1+\sqrt{5})/2$, solution de l'équation 
$\ell={2\ell+1\over \ell+1}$, d'où $\ell^2-\ell-1=0$.}
$$
\matrix{
u_0&=1\hfill&=1,\RGBColor{1 0 0}{00000000000\ldots}\cr
u_1&=3/2\hfill&=1,\RGBColor{1 0 0}{50000000000\ldots}\cr
u_2&=8/5\hfill&=1,6\RGBColor{1 0 0}{0000000000\ldots}\cr
u_3&=21/13\hfill&=1,61\RGBColor{1 0 0}{538461538\ldots}\cr
u_4&=55/34\hfill&=1,61\RGBColor{1 0 0}{764705882\ldots}\cr
u_5&=144/89\hfill&=1,61\RGBColor{1 0 0}{797752808\ldots}\cr
u_6&=377/233\hfill&=1,6180\RGBColor{1 0 0}{2575107\ldots}\cr
u_7&=987/610\hfill&=1,61803\RGBColor{1 0 0}{278688\ldots}\cr
u_8&=2584/1587\hfill&=1,618033\RGBColor{1 0 0}{81340\ldots}\cr
u_9&=6765/4181\hfill&=1,6180339\RGBColor{1 0 0}{6316\ldots}\cr
u_{10}&=17711/10946\hfill&=1,61803398\RGBColor{1 0 0}{501\ldots}\cr
u_{11}&=28657/18657\hfill&=1,618033988\RGBColor{1 0 0}{20\ldots}\cr
u_{12}&=75025/46368\hfill&=1,618033988\RGBColor{1 0 0}{67\ldots}\cr
u_{13}&=196418/121393\hfill&=1,6180339887\RGBColor{1 0 0}{3\ldots}\cr
u_{14}&=514229/317811\hfill&=1,61803398874\RGBColor{1 0 0}{\ldots}\cr
}
$$
On voit ici qu'on a $1\le u_n<2$ pour tout $n$, et comme $u_1>u_0$, on
constate aussi de proche en proche (par récurrence sur $n$, si on veut) 
que $u_n>u_{n-1}$ entraîne $u_{n+1}>u_n\,$:
$$
u_n>u_{n-1}~\Longrightarrow~
{1\over 1+u_n}<{1\over 1+u_{n-1}}
~\Longrightarrow~
2-{1\over 1+u_n}>2-{1\over 1+u_{n-1}}
~\Longrightarrow~ u_{n+1}>u_n,
$$
de sorte qu'on a affaire à une suite croissante. La zone rouge montre 
les décimales
qui ne sont pas encore stabilisées. On «\?sent bien\?» que la suite
va avoir une limite égale au nombre réel $1,61803398874\,{\ldots}~$. La preuve
de l'existence de cette limite est un théorème qui peut facilement (et donc
{\it qui doit absolument}) être visualisé et démontré en classe de seconde -- 
d'autant plus que c'est à notre sens le théorème fondateur de l'analyse
et celui qui caractérise la notion même de nombre réel. 

{\bf (3.1) Théorème.} {\it Toute suite $(u_n)$ croissante et majorée de 
nombres réels possède une limite, obtenue comme le nombre réel dont le
développement décimal est donné par la suite des 
«\?décimales stabilisées\?» \
de l'écriture décimale des nombres $u_n$ successifs.
De même toute suite $(u_n)$ décroissante et minorée de nombres réels possède
une limite.}

Il est symptomatique que ce théorème soit aujourd'hui énoncé sans aucune 
justification jusqu'à la fin du lycée, la plupart des étudiants 
entrant aujourd'hui à l'université n'ont donc qu'une 
compréhension très confuse de ce qu'est un nombre réel ou de ce 
qu'est une limite$\,\ldots$ Même à l'époque des maths modernes
où les programmes de lycée étaient très riches (malgré certains défauts 
patents - notamment en géométrie), ce théorème était présenté comme un axiome
caractérisant les nombres réels. C'est à notre avis à la fois un 
appauvrissement mathématique$\,$\note{8}{Lorsqu'à l'université on est 
enfin en mesure de proposer une construction plus solide des nombres
réels, par exemple au moyen des coupures de Dedekind ou des suites
de Cauchy de nombres rationnels, c'est bien d'un théorème qu'il
s'agit, et non d'un axiome. Le statut à donner à ce résultat
est donc bien celui de théorème, surtout près de 150 ans après Dedekind
et Cantor. Les nombres réels ne sont pas que des êtres vaporeux 
accessibles seulement par une approche axiomatique$\,\ldots$} et
une erreur didactique puisqu'une preuve «\?très évidente\?» \
peut en être donnée$\,$:
\medskip

{\it Preuve du théorème {\rm(3.1)}.} Supposons d'abord d'abord qu'on ait
affaire à une suite croissante majorée avec $u_n\ge 0$ à partir d'un 
certain rang. On considère le dévelop\-pement décimal de chaque terme~$u_n$, 
soit
$$
u_n=E_n+0,b_{1,n}b_{2,n}b_{3,n}b_{4,n}b_{5,n}b_{6,n}\,\ldots
$$
où $E_n$ est la partie entière de $u_n$
(et on choisit disons le développement décimal propre de $u_n$).
Si $M$ est un majorant de la suite, alors $E_n\le M$, donc $(E_n)$
qui est une suite croissante d'entiers atteint sa valeur maximale
$E$ à partir d'un certain rang $n_0$, de sorte que $E_n=E$ pour $n\ge n_0$.
On considère alors pour $n\ge n_0$ la suite des chiffres $0,1,\ldots,9$ 
formée par la première décimale $b_{1,n}$ de $u_n$. Celle-ci est
croissante et va se stabiliser en sa valeur maximale $b_1$
à partir d'un rang $n_1\ge n_0$. De proche en proche, une fois
que les chiffres $b_{1,n}$, $\ldots$, $b_{p-1,n}$ sont stabilisés, il existe
un rang $n_p\ge n_{p-1}$ à partir duquel le chiffre $b_{p,n}$ va
se stabiliser en une valeur $b_p$. On voit alors que la suite $(u_n)$ 
admet
$$
\ell=E+0,b_1b_2b_3b_4b_5b_6\,\ldots
$$
comme limite, puisque $u_n\le\ell$ et $u_n\ge\ell-10^{-p}$ pour
$n\ge n_p$.

Si la suite est décroissante minorée et $u_n\ge 0$, le raisonnement
est identique, les appro\-ximations sont par excès et on regarde
de la même manière les décimales stabilisées des chiffres
décroissants successifs.

Dans le cas où $(u_n)$ est croissante et formée de nombres tous
négatifs, la suite $(-u_n)$ est décroissante positive et on est ramené
au cas précédent. Enfin, le cas général d'une suite décroissante
minorée dont les termes deviennent négatifs à partir d'un certain rang
se ramène au cas d'une suite croissante majorée en considérant
$(-u_n)$.\qed
\medskip

On notera que c'est le raisonnement du théorème (3.1) qui permet de donner
la définition rigoureuse de la somme de deux nombres réels $x$ et $y$
quelconques en considérant les approximations
décimales $x_n$ et $y_n$ à $10^{-n}$ près par défaut et en posant
$x+y=\lim_{n\to+\infty}x_n+y_n$.  De~même pour le produit de deux
nombres positifs $xy=\lim_{n\to+\infty}x_ny_n$ (le cas du produit de
nombres réels de signes quelconques s'obtient à l'aide de la règle des
signes). Pour l'existence de l'inverse $1/x$ (lorsque $x>0$) et donc
des quotients, on utilise le fait que la suite $1/x_n$ est
décroissante minorée$\,$\note{9}{Bien entendu l'inverse $1/x_n$ d'un
décimal n'est plus un décimal, mais on a déjà vu comment écrire un
tel rationnel sous forme d'une représentation décimale périodique
illimitée, cf.\ note (6).}. Comme l'addition et la multiplication sont
commutatives et associatives sur les décimaux, ces propriétés passent
à la limite sur l'ensemble des nombres réels$\,$; idem pour la
propriété de distributivité de la multiplication par rapport à
l'addition$\,$\note{10}{Pour une démonstration formelle complète et
rigoureuse de ces propriétés -- que nous ne recommandons absolument pas
au niveau du lycée -- on a besoin de l'observation suivante.\vskip-2pt
{\bf Observation.}
{\it Soit $x$ un réel et $x_n$ l'approximation décimale à
$10^{-n}$ près par défaut obtenue par troncature à l'ordre $n$ 
du développement
décimal propre de $x$ donné par la définition $(3.1)$. Si $(\xi_n)$ est 
une suite de décimaux telle que $|x_n - \xi_n|$ tend vers $0$,
alors les décimales de $\xi_n$ tendent vers le développement décimal
de $x$ si $x$ n'est pas décimal, et sinon elles tendent soit vers le
développement propre, soit vers le développement impropre -- qui
représentent tous deux le réel $x$ par définition.}
\vskip-2pt
{\it Démonstration.} Si $x$ n'est pas décimal, il y a des rangs 
$k$ arbitrairement grands pour lesquels la $k$-ième décimale de $x$
n'est ni $0$ ni $9$, ou bien est un $9$ suivi d'un $0$ en rang $k+1$. 
Si on prend $n$ assez grand pour que 
$|x_n - \xi_n|\le 10^{-(k+1)}$ alors toutes les
décimales de $\xi_n$ et de $x_n$ coïncident jusqu'à l'ordre $k-1$, la $k$-ième
étant changée d'au plus une unité.
Si $x$ est décimal on a $x_n=x$ pour $n$ assez grand et il est alors trivial
que le développement de $\xi_n$ à l'ordre $k-1$ coïncide avec le développement
propre ou impropre de $x$ suivant que $\xi_n$ approche $x$ par excès ou 
par défaut à moins de $10^{-k}$ près. CQFD\vskip-2pt
Le lemme montre qu'on peut en réalité utiliser n'importe quelle suite 
$(\xi_n)$ d'approximations décimales s'approchant assez près de la 
suite des troncatures
$(x_n)$ pour représenter un réel~$x$, de sorte que par exemple
$(x_n+y_n)+z_n=x_n+(y_n+z_n)$ approchent à la fois $(x+y)+z$ et
$x+(y+z)$.\vskip-2pt
Le théorème (3.1) montre également que la
définition des nombres réels ne dépend pas de la base de numération
choisie, c'est à dire que la définition (2.4) peut être posée dans une
base quelconque autre que $10$. Pour le voir, il suffit d'utiliser la
conversion des développements «\?décimaux\?» finis d'une
base dans une autre (ce qui ne fait intervenir dans tous les cas que
des nombres rationnels), puis de passer à la limite à l'aide du
théorème (3.1), qui est lui aussi valable dans n'importe quelle base.}.

{\it Résultat des courses$\,$:} nous avons été en mesure de définir 
rigoureusement les nombres réels dès le collège, et de démontrer leurs 
propriétés fondamentales à l'issue de la classe de seconde, de manière 
très simple. C'est là à notre avis un prérequis
indispensable pour pouvoir faire de l'analyse dans de bonnes conditions,
tout en donnant aux élèves des outils numériques concrets qui leur
permettront de comprendre les questions posées.

À ce point, il devient parfaitement possible de justifier l'existence
de la racine $p$-ième $x={}^p\!\sqrt{a}$ d'un nombre réel $a\ge 0$. En effet,
par essais successifs, on obtient un encadrement par des nombres
décimaux à $n$ chiffres après la virgule, $x_n<x'_n=x_n+10^{-n}$,
avec $(x_n)^p<a<(x'_n)^p$ (à moins que le résultat 
«\?ne tombe juste\?» à une certaine étape, auquel cas le travail
est fini). En particulier $x_0$ est la partie entière de la racine $p$-ième
cherchée, et $x_0'=x_0+1$ (sauf si le résultat «\?tombe juste\?» 
déjà dans les entiers). On obtient ainsi une suite croissante $(x_n)$
d'approximations décimales par défaut, et une suite décroissante $(x'_n)$
d'approximations décimales par excès, la suite $(x_n)$ est majorée
par $x'_0=x_0+1$, et la suite $(x'_n)$ est minorée par $x_0$. 

Il est utile de savoir quelle est l'erreur commise sur la puissance $p$-ième
du fait de l'approximation décimale. Pour cela, on utilise
l'inégalité 
$$
a^p-b^p\le p(a-b)a^{p-1}\qquad\hbox{vraie pour tous $0\le b\le a$,}
\leqno(3.2)
$$
qui se déduit de la formule
$$
a^p-b^p=(a-b)(a^p+a^{p-1}b+\ldots+ab^{p-1}+b^p)\leqno(3.3)
$$
[ou, alternativement, de l'égalité $a^{p+1}-b^{p+1}=a(a^p-b^p)+(a-b)b^p$
par récurrence sur $p$.] En appliquant ceci à $a=x'_n$ et $b=x_n$, on voit que
$$
(x'_n)^p-(x_n)^p\le p(x'_n-x_n)(x'_n)^{p-1}\le p{1\over 10^n}(x'_0)^{p-1}.
$$
Ceci entraîne que $\lim (x_n)^p=\lim(x'_n)^p=a$ quand $n$ tend vers $+\infty$.
Par définition même des nombres réels, les suites $(x_n)$ et $(x'_n)$
convergent vers un réel $x$ tel que $x_n\le x\le x'_n$, donc
\hbox{$(x_n)^p\le x^p\le (x'_n)^p$} et $x^p=a$ à la limite [On peut
naturellement commencer par traiter le cas des racines carrées ou cubiques,
ce qui permet de réduire nettement la complexité des notations pour des 
élèves de seconde].

\section{4. Puissances d'exposant fractionnaire ou réel}

Nous sommes arrivés ici peut-être à l'entrée en classe de première (dans 
notre vision idéale d'un enseignement destiné à une filière de lycée
centrée sur les mathématiques et les sciences exactes, et peut-être même
à toutes les filières scientifiques$\,\ldots$). Il
est grand temps d'introduire les notions de limite d'une fonction en un
point, de continuité, de dérivée, que nous considérons comme une
«\?deuxième couche\?» nécessaire après 
l'étude des suites et de leurs limites. Ceci suppose d'avoir déjà
traité en seconde les exemples ad hoc, ceux des suites géométriques, 
des sommes de termes d'une progression géométrique 
$1+a+\ldots+a^n$, des suites récurrentes définies par une fraction 
rationnelle du premier degré -- pour peu que les équations du second degré 
aient été vues dès le début du lycée, comme c'était le cas avant que les
programmes ne dégénèrent avec l'arrivée de la seconde indifférenciée.

Il résulte du théorème (3.1) qu'une fonction croissante $f:{}]a,b[{}\to\bR$
possède toujours des limites à droite et à gauche en tout point 
$x_0\in{}]a,b[$, il suffit de considérer la suite décroissante 
$n\mapsto f(x_0+1/n)$ minorée par $f(x_0)$ et la suite croissante
$n\mapsto f(x_0-1/n)$ majorée par par $f(x_0)$. L'exemple de la
fonction partie entière $f(x)=E(x)$ montre que ces limites ne
sont pas nécessairement égales.
\medskip

{\bf (4.1) Puissances fractionnaires.} Si $q$ est un entier strictement 
positif, on pose
$$
a^{1/q}={}^q\!\sqrt{a},
$$
de sorte que $(a^{1/q})^q=a^1=a$. Plus généralement, si $x={p\over q}$ est 
un rationnel, avec $p\in\bZ$ et $q\in\bN^*$, on pose
$$
a^x=a^{p/q}={}^q\!\sqrt{a^p}=({}^q\!\sqrt{a})^p.
$$
La dernière égalité est due au fait que 
$(({}^q\!\sqrt{a})^p)^q=({}^q\!\sqrt{a})^{pq}=(({}^q\!\sqrt{a})^q)^p=a^p$.
On vérifie alors que les formules (2.1), (2.2), (2.3) restent valables pour 
les exposants rationnels. On a de plus les inégalités intéressantes suivantes.
\medskip

{\bf (4.2) Inégalité de Bernoulli.} Si $h$ est un nombre réel positif 
ou nul et $q\in\bN^*$, alors
$$
\leqalignno{
(1+h)^q&\ge 1+qh,&(4.2\,\hbox{a})\cr
(1+h)^{1/q}&\le 1+{1\over q}h.&(4.2\,\hbox{b})\cr
}
$$
En effet, la première inégalité résulte au choix de la formule du binôme,
de la formule (3.3) avec $p=q$, $a=1+h$ et $b=1$, ou d'un raisonnement
direct par récurrence$\,$:
$$
(1+h)^{q+1}=(1+h)^q(1+h)\ge(1+qh)(1+h)=1+(q+1)h+qh^2\ge 1+(q+1)h.
$$
On notera que lorsque $h$ est très petit, disons $h<10^{-3}$ (et $q$ pas
trop grand), l'erreur $qh^2$ commise à chaque étape est faible, donc
l'approximation par défaut $(1+h)^q\approx 1+qh$ sera tout à fait raisonnable.
Si nous remplaçons maintenant $h$ par ${h\over q}$, il vient
$$
\Big(1+{h\over q}\Big)^q\ge 1+q{h\over q}=1+h
$$
et donc $(1+h)^{1/q}\le 1+{1\over q}h$.\qed
\medskip

{\bf (4.3) Conséquence.} {\it Pour tout réel $a>0$, on a
$\displaystyle\lim_{q\to+\infty}a^{1/q}=1$.}

En effet, si $a\ge 1$ il suffit de poser $a=1+h$ de sorte que l'on obtient
$a^{1/q}\ge 1$ et\break $a^{1/q}=(1+h)^{1/q}\le 1+{1\over q}h$, expression 
qui tend vers $1$ quand $q$ tend vers $+\infty$.\break Si $a<1$, on utilise 
le fait que
$$
a^{1/q}={1\over A^{1/q}}
$$
avec $A=1/a>1$.\qed
\medskip

{\bf (4.4) Puissances d'exposant réel.} On cherche maintenir à
définir $a^x$ lorsque $x$ est réel, en supposant par exemple $a\ge 1$
(si $a<1$ on pourra s'y ramener en posant $a^x = 1/A^x$ avec $A=1/a>1$).
Pour cela, on utilise les approximations décimales $x_n\le x\le x'_n$ par
défaut et par excès à $10^{-n}$ près. Comme $x_n$ et $x'_n$
sont des décimaux et donc des rationnels, on sait déjà définir
$a^{x_n}$ et $a^{x'_n}$. La suite $(a^{x_n})$ est croissante et majorée
par $a^{x'_0}$, tandis que la suite $(a^{x'_n})$ est décroissante minorée
par $a^{x_0}$. En outre leur quotient
$$
{a^{x'_n}\over a^{x_n}}=a^{x'_n-x_n}=a^{1/10^n}
$$
tend vers $1$ quand $n$ tend vers $+\infty$ d'après la conséquence (4.3).
Nous avons donc des suites de même limite (suites adjacentes), et il est 
légitime de poser
$$
a^x=\lim_{n\to+\infty}a^{x_n}=\lim_{n\to+\infty}a^{x'_n}.
$$
Notons que par passage à la limite sur les approximations décimales
des exposants, les formules fondamentales (2.1), (2.2) et (2.3) restent
valables.

On dit que la fonction $\bR\ni x\mapsto a^x$ est la 
{\it fonction exponentielle} réelle de base $a>0$. On réserve la 
terminologie de {\it fonction puissance} à la fonction
$\bR^*_+\ni x\mapsto x^\alpha$ (cette fois, l'exposant $\alpha\in\bR$ 
est constant, tandis que dans l'exponentielle c'est l'exposant qui est 
la variable).
\medskip

\vbox{%
{\bf (4.5) Monotonie et continuité des fonctions exponentielles.} {\it
{\parindent=7mm
\item{\rm (i)\hfill} Si $a=1$, alors $a^x=1^x=1$ pour tout $x\in\bR$.
\item{\rm (ii)\hfill} 
Si $a>1$, alors $x\mapsto a^x$ est une fonction strictement croissante,
et on a\break $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}a^x=+\infty$,~
$\displaystyle\lim_{x\to-\infty}a^x=0$.
\item{\rm (iii)\hfill} 
Si $a<1$, alors $x\mapsto a^x$ est une fonction strictement décroissante,
et on a\break $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}a^x=0$,~
$\displaystyle\lim_{x\to-\infty}a^x=+\infty$.
\item{\rm (iv)\hfill} Dans tous les cas, $x\mapsto a^x$ est une fonction
continue.
}}}

\vbox{%
\InsertFig 12.000 64.000 {
1 mm unit
  0.000  10.000 moveto 
105.000   0.000 2.4 vector 
 50.000   5.000 moveto 
 52.000  90.000 2.4 vector
  0.3 setlinewidth
  1.000  0.000  0.000 setrgbcolor 
  0.000  12.693 moveto
[   0.000  12.693   10.000  13.501   20.000  14.552   30.000  15.917
   40.000  17.692   50.000  20.000   60.000  23.000   70.000  26.900
   80.000  31.970   90.000  38.561  100.000  47.129   ] curve 
stroke
  0.000  0.000  1.000 setrgbcolor 
 10.000  51.649 moveto
[  10.000  51.649   20.000  39.155   30.000  30.408   40.000  24.286
   50.000  20.000   60.000  17.000   70.000  14.900   80.000  13.430
   90.000  12.401  100.000  11.680   ] curve 
stroke
}
\LabelTeX  47.500   6.200 $0$\ELTX
\LabelTeX  47.500  15.800 $1$\ELTX
\LabelTeX 103.500   6.200 $x$\ELTX
\LabelTeX  46.200  55.000 $y$\ELTX
\LabelTeX  14.200  50.000 $\RGBColor{0 0 1}{a<1}$\ELTX
\LabelTeX  87.200  45.000 $\RGBColor{1 0 0}{a>1}$\ELTX
\EndFig
\centerline{{\bf Fig.~1.} Représentation graphique des fonctions
exponentielles $x\mapsto a^x$.}}
\medskip

{\it Démonstration.} La propriété (i) est évidente, car on a $1^x=1$ pour tout
$x$ rationnel et donc tout $x$ réel.

(ii) Si $a>1$ et si $x<y$ sont des rationnels, alors
$a^y=a^x\cdot a^{y-x}$ , et comme $y-x={p\over q}>0$ on a bien
$a^{y-x}={}^q\!\sqrt{a^p}>1$, donc $a^y>a^x$. Si $x<y$ sont des réels
et $x_n\le x\le x'_n$, $y_n\le t\le y'_n$ leurs approximations 
décimales par défaut et par excès, on va avoir $x'_n<y_n$ pour $n$ assez
grand, donc
$$
a^x\le a^{x'_n}<a^{y_n}\le a^y.
$$
Si on pose $a=1+h$ et qu'on choisit $N=E(x)={}$partie entière de~$x$, 
alors\break $a^x\ge a^N\ge 1+Nh$ tend bien vers 
$+\infty$ quand $x$ tend vers l'infini. Par conséquent, $a^{-x}={1\over a^x}$
tend vers $0$, ce qui donne $\lim_{x\to-\infty}a^x=0$ en
changeant $x$ en~$-x$.

(iii) résulte du fait que $a^x= {1\over A^x}$ en posant $A={1\over a}>1$.

(iv) Il suffit de voir que lorsque $x$ tend vers $x_0$, alors 
${a^x\over a^{x_0}}=a^{x-x_0}$ tend vers $1$, ce qui entraînera bien
que $\lim_{x\to x_0}a^x=a^{x_0}$. Autrement dit, il suffit de voir
que\break $\lim_{x\to 0}a^x=1$. Si $a\ge 1$ et $x>0$, considérons l'entier
$q=E(1/x)$ de sorte que $q\le 1/x$ et donc $x\le 1/q$. Alors
$1\le a^x\le a^{1/q}$, et comme $q$ tend vers $+\infty$ quand
$x$ tend vers $0$, la conséquence (4.3) entraîne bien que 
$\lim_{x\to 0_+}a^x=1$. C'est vrai aussi pour la limite à gauche en $0$
puisque $\lim_{x\to 0_+}a^{-x}=\lim_{x\to 0_+}{1\over a^x}=1$.
Enfin, le cas $a<1$ s'obtient en posant $a^x=1/A^x$ avec $A=1/a>1$.\qed
\medskip

\vbox{%
{\bf (4.6) Monotonie et continuité des fonctions puissances} {\it
{\parindent=7mm
\item{\rm (i)\hfill} Si $\alpha=0$, alors $x^\alpha=1$ pour tout
$x\in\bR^*_+$.
\item{\rm (ii)\hfill} 
Si $\alpha>0$, alors $x\mapsto x^\alpha$ est une fonction strictement 
croissante, et on a\break $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}x^\alpha=+\infty$,~
$\displaystyle\lim_{x\to 0_+}x^\alpha=0$.
\item{\rm (iii)\hfill} 
Si $\alpha<0$, alors $x\mapsto x^\alpha$ est une fonction strictement 
décroissante,
et on a\break $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}x^\alpha=0$,~
$\displaystyle\lim_{x\to 0_+}x^\alpha=+\infty$.
\item{\rm (iv)\hfill} Dans tous les cas, $x\mapsto x^\alpha$ est une fonction
continue sur $]0,+\infty[$, elle se prolonge par continuité en $0$ en
posant $0^\alpha=0$ si $\alpha>0$.\vskip0pt
}}}


\InsertFig 12.000 85.000 {
1 mm unit
  0.000  10.000 moveto 
105.000   0.000 2.4 vector 
 10.000   5.000 moveto 
 72.000  90.000 2.4 vector
 10.000  30.000 moveto  0.700  90.000 indent
 30.000  10.000 moveto  0.700   0.000 indent
[ 1.000   0.500  ] 0 setdash
 11.200  30.000 moveto 30.000  30.000 lineto stroke
 30.000  11.200 moveto 30.000  30.000 lineto stroke
[ ] 0 setdash
  0.3 setlinewidth
  0.000  1.000  0.000 setrgbcolor 
 10.000 10.000 moveto  60.000  60.000 lineto stroke
  1.000  0.000  0.000 setrgbcolor 
 10.000  10.000 moveto
[  10.000  10.000   12.000  10.399   20.000  16.156   30.000  30.000
   40.000  49.846   50.000  74.980   ] curve 
stroke
  0.000  0.000  1.000 setrgbcolor 
 10.000  10.000 moveto
[  10.000  10.000   12.000  16.325   20.000  24.142   30.000  30.000
   40.000  34.495   50.000  38.284   70.000  44.641   90.000  50.000
] curve 
stroke
  0.849  0.137  1.000 setrgbcolor
 14.000  71.703 moveto
[  14.000  71.703   16.000  56.456   20.000  42.490   30.000  30.000
   40.000  25.058   50.000  22.311   70.000  19.269   90.000  17.579
] curve 
stroke
}
\LabelTeX   7.500   6.200 $0$\ELTX
\LabelTeX  29.200   6.200 $1$\ELTX
\LabelTeX   7.000  29.000 $1$\ELTX
\LabelTeX 103.500   6.200 $x$\ELTX
\LabelTeX   6.200  75.000 $y$\ELTX
\LabelTeX  92.000  50.000 $\RGBColor{0 0 1}{0<\alpha<1}$\ELTX
\LabelTeX  51.000  72.000 $\RGBColor{1 0 0}{\alpha>1}$\ELTX
\LabelTeX  61.000  62.000 $\RGBColor{0 1 0}{\alpha=1}$\ELTX
\LabelTeX  92.000  17.000 $\RGBColor{0.849 0.137 1.}{\alpha<0}$\ELTX
\EndFig
\centerline{{\bf Fig.~2.} Représentation graphique des fonctions
puissances $x\mapsto x^\alpha$.}
\medskip

{\it Démonstration.} La propriété (i) résulte de la définition même
des puissaances entières.

(ii) Si $0<x<y$ alors pour $\alpha>0$ on a bien $x^\alpha<y^\alpha$ puisque
$y^\alpha/x^\alpha=(y/x)^\alpha>1$ d'après 4.5~(ii) et le fait que $y/x>1$.
Maintenant, si $q$ est un entier choisi assez grand pour que $\alpha>1/q$,
la propriété de croissance 4.5~(ii) donne aussi pour tout $x\ge 1$ 
les inégalités 
$$
x^\alpha\ge x^{1/q}\ge A\qquad\hbox{dès lors que $x\ge A^q$}.
$$
Ceci montre bien que $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}x^\alpha=+\infty$.
Pour $x\le 1$, on a au contraire d'après 4.5~(iii)
$$
0<x^\alpha\le x^{1/q}\le \varepsilon\qquad\hbox{dès lors que $x\ge 
\varepsilon^q$,}
$$
ceci quel que soit $\varepsilon>0$. On voit donc que
$\displaystyle\lim_{x\to 0_+}x^\alpha=0$.

(iii) se déduit de (ii) en écrivant que 
$\displaystyle x^{-\alpha}={1\over x^\alpha}$.

(iv) Si $x>x_0$ et $\alpha>0$ on a
$$
1\le x^\alpha/x_0^\alpha=(x/x_0)^\alpha\le (x/x_0)^n
$$
pour tout entier $n$ qui majore le réel $\alpha$. La continuité de
la fonction $x\mapsto x^n$ qui résulte du théorème sur les produits de
limites implique alors que $\lim_{x\to x_{0\,+}}(x/x_0)^n=1$
et donc $\lim_{x\to x_{0\,+}}x^\alpha/x_0^\alpha=1$.
De même si $x<x_0$ on a
$$
1\le x_0^\alpha/x^\alpha=(x_0/x)^\alpha\le (x_0/x)^n
$$
de sorte que $\lim_{x\to x_{0\,-}}x_0^\alpha/x^\alpha=1$. Ceci
prouve que $\lim_{x\to x_0}x^\alpha=x_0^\alpha$, d'où la continuité de
la fonction $x\mapsto x^\alpha$ sur $\bR^*_+$ pour $\alpha>0$. Le cas 
$\alpha<0$ s'en déduit de nouveau du fait que $x^{-\alpha}=
{1\over x^\alpha}$. L'assertion finale sur le prolongement par
continuité en $0$ résulte de la limite vue en~(ii).\qed
\medskip

{\it Bilan\/:} nous avons été capables de définir les puissances réelles 
d'exposant arbitraire et les exponentielles réelles de bases arbitraires
sans même avoir eu besoin pour l'instant du calcul de dérivées -- 
et encore moins du calcul intégral. C'est déjà un pas très 
considérable$\,$! Le calcul des dérivées de ces fonctions sera 
l'étape suivante.

\section{5. Croissance des pentes et dérivée des 
fonctions puissances}

Rappelons que la dérivée d'une fonction $f$ définie au voisinage d'un
point $x$ est définie comme la limite
$$
f'(x)=\lim_{h\to 0}{f(x+h)-f(x)\over h}=
\lim_{X\to x}{f(X)-f(x)\over X-x}\leqno(5.1)
$$
du taux d'accroissement
$$
\tau_f(x,X)={f(X)-f(x)\over X-x},
$$
lorsque cette limite existe. Le taux d'accroissement représente la
pente de la corde joignant les points $(x,f(x))$ et $(X,f(X))$
du graphe de~$f$. L'existence de la dérivée est équivalente à
celle d'une tangente au point $(x,f(x))$, dont la pente est
alors égale à~$f'(x)$.

On a aussi les notions de dérivée à droite et de dérivée à
gauche lorsque les limites à droite et à gauche ne sont pas
nécessairement égales, et les notions géométriques correspondantes
de demi-tangente à droite et de demi-tangente à gauche.

Nous commencerons par l'observation suivante -- qui pourrait même relever
du collège et de l'expérimentation graphique élémentaire des progressions
géométriques.
\smallskip

{\bf (5.2) Observation.} {\it Étant donné une progression géométrique
$u_n=a^n$, $n\in\bN$, les écarts successifs $u_{n+1}-u_n=a^{n+1}-a^n=(a-1)a^n$ 
forment une suite croissante.}
\medskip

{\it Démonstration.} En effet ceci est vrai aussi bien pour $a\ge 1$, 
auquel cas $a^n$ est une suite croissante et $a-1\ge 0\,$, que pour $0<a<1$,
auquel cas $a^n$ est une suite décroissante et $a-1<0\,$.\qed
\medskip

\vbox{%
\InsertFig 12.000 59.000 {
1 mm unit
  5.000  10.000 moveto 
 95.000   0.000 2.4 vector 
 10.000   5.000 moveto 
 52.000  90.000 2.4 vector 
 20.000  10.000 moveto   0.700   0.000 indent 
 30.000  10.000 moveto   0.700   0.000 indent 
 40.000  10.000 moveto   0.700   0.000 indent 
 50.000  10.000 moveto   0.700   0.000 indent 
 60.000  10.000 moveto   0.700   0.000 indent
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  0.000   0.000  1.000 setrgbcolor
 10.000  20.000 moveto   20.000  23.000 lineto stroke
 10.000  20.000 moveto   30.000  26.900 lineto stroke
 10.000  20.000 moveto   40.000  31.970 lineto stroke
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  1.000   0.000  0.000 setrgbcolor
 10.000  20.000 moveto   0.700  disk
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  0.4 setlinewidth
 70.000  38.561 moveto  70.000  47.129 lineto stroke
}
\LabelTeX   7.000   6.200 $0$\ELTX
\LabelTeX  19.300   6.200 $1$\ELTX
\LabelTeX  29.300   6.200 $2$\ELTX
\LabelTeX  49.300   6.200 $n$\ELTX
\LabelTeX  59.300   6.200 $n+1$\ELTX
\LabelTeX  98.500   6.200 $x$\ELTX
\LabelTeX   6.200  55.000 $y$\ELTX
\LabelTeX   4.900  19.300 $u_0$\ELTX
\LabelTeX   4.900  38.200 $u_n$\ELTX
\LabelTeX   1.200  46.800 $u_{n+1}$\ELTX
\LabelTeX  71.500  43.000 $u_{n+1}-u_n=(a-1)a^n$\ELTX
\EndFig
\vskip-5pt
\centerline{{\bf Fig.~3.} Écarts $u_{n+1}-u_n$ dans une progression 
géométrique.}}
\bigskip

{\bf (5.3) Conséquence.} {\it Pour tout réel $a>0$, les taux 
d'accroissement pris sur l'inter\-valle $[0,n]$ de la suite
$(a^n)_{n\in\bN}$, soit $p_a(n)={a^n-1\over n}$, $n\in\bN^*$, forment une 
suite croissante$\kern1.2pt:$
$$
{a^1-1\over 1}\le {a^2-1\over 2}\le\ldots\le{a^n-1\over n}\le\ldots
$$}

\vskip-7pt
\noindent
{\it Démonstration\note{11}{On aurait pu systématiser le
raisonnement en utilisant la notion de suite convexe.\vskip0pt
{\bf Définition.} {\it On dit qu'une suite $(u_n)$ est convexe si les
écarts successifs $v_n=u_{n+1}-u_n$ forment une suite
croissante.}
\vskip0pt
Pour $n\in\bN^*$, on considère le taux d'accrois\-sement de la suite
$(u_n)$ sur l'intervalle $[0,n]$\vskip2pt
\centerline{
$p_n={u_n-u_0\over n}={v_0+v_1+\ldots+v_{n-1}\over n}$,}
qui s'interprète aussi comme la moyenne des $n$ premiers écarts
$v_i=u_{i+1}-u_i$. Géomé\-triquement, ce taux représente la pente des
droites bleues dans la Figure~3 ci-dessus.
\vskip0pt
{\bf Propriété.} {\it Si une suite $(u_n)$ est convexe, alors 
$($avec les notations précédentes$)$, la pente $p_n$ vérifie 
$p_n\le v_{n-1}$ et forme une suite $(p_n)_{n\in\bN^*}$ qui 
est croissante.}
\vskip0pt
En effet, l'inégalité $p_n\le v_{n-1}$ résulte
de ce que chacun des termes $v_i$ du numérateur de 
$p_n$ est inférieur ou égal à $v_{n-1}$.
On a donc $v_n\ge v_{n-1}\ge p_n$, d'où\vskip1pt
\centerline{$p_{n+1}={(v_0+v_1+\ldots+v_{n-1})+v_n\over n+1}
={np_n+v_n\over n+1}\ge {np_n+p_n\over n+1}=p_n.~~\square$}}.} Pour 
tout entier $n\ge 1$, il faut voir que
$$
{a^n-1\over n}\le {a^{n+1}-1\over n+1},~~\hbox{ce qui équivaut à}~~
(n+1)(a^n-1)\le n(a^{n+1}-1),
$$
ou encore à
$$
a^n-1\le n\big((a^{n+1}-1)-(a^n-1)\big)
~~\Leftrightarrow~~ a^n-1\le n(a^{n+1}-a^n).
$$
\vbox{%
Mais on a
$$
a^n-1=(a^n-a^{n-1})+(a^{n-1}-a^{n-2})+\ldots +(a^p-a^{p-1})+\ldots+(a^2-a)+(a-1)
$$
et chacun des $n$ termes $a^p-a^{p-1}$ est majoré par $a^{n+1}-a^n$ d'après
l'observation 5.2, ce qui donne l'inégalité voulue 
$a^n-1\le n(a^{n+1}-a^n)$.\qed}
\medskip

{\bf (5.4) Généralisation.} {\it Pour tout réel $a>0$, le 
taux d'accroissement
$$
p_a(x)= {a^x-1\over x},\quad x\in\bR^*,
$$
de la fonction $x\mapsto a^x$ pris sur l'intervalle $[0,x]$ est une 
fonction croissante sur $\bR^*$.}

{\it Démonstration.} On procède en trois étapes.

(a) {\it $p_a$ est croissante sur l'ensemble $\bZ^*$ des entiers
non nuls.}  Pour cela, on applique la conséquence (5.3) en
remplaçant $a$ par $a^{-1}$ et en changeant les signes (ce qui
renverse le sens des inégalités). On obtient alors
$$
\ldots\le{a^{-n}-1\over -n}\le\ldots\le {a^{-2}-1\over -2}
\le{a^{-1}-1\over -1}.
$$
Il reste juste à vérifier que $p_a(-1)=1-a^{-1}\le p_a(1)=a-1$. 
Après multiplication par~$a$, on voit que cette inégalité équivaut
à $a-1\le a^2-a$, et ceci est bien vrai puisque
$(a^2-a)-(a-1)=a^2-2a+1=(a-1)^2\ge 0$. On a par conséquent
$$
\ldots\le{a^{-n}-1\over -n}\le\ldots\le {a^{-2}-1\over -2}
\le{a^{-1}-1\over -1}\le
{a^1-1\over 1}\le {a^2-1\over 2}\le\ldots\le{a^n-1\over n}\le\ldots
$$
(b) {\it $p_a$ est croissante sur l'ensemble 
des décimaux non nuls $\bD_k^*$ de dénominateur $10^k$.}\break
On observe pour cela que $\bD_k^*$ est l'ensemble des rationnels
de la forme \hbox{$x=n/10^k$} avec~$n\in\bZ^*$. Comme 
$a^x=\smash{(a^{1/10^k})^n}$,
il suffit d'appliquer la suite précédente d'inégalités et de remplacer
$a$ par $a^{1/10^k}$. En divisant de plus tous les dénominateurs 
par~$10^k$, on obtient les inégalités désirées, à savoir
$$
{a^{-n/10^k}-1\over -n/10^k}\le\ldots\le{a^{-1/10^k}-1\over -1/10^k}
\le{a^{1/10^k}-1\over 1/10^k}\le{a^{2/10^k}-1\over 2/10^k}\le \ldots
\le{a^{n/10^k}-1\over n/10^k}\le\ldots
$$
(c) {\it $p_a$ est croissante sur $\bR^*$}. On procède par
passage à la limite sur les décimaux. Pour $x,y\in\bR^*$ avec
$x\le y$ quelconques, on considère les approximations décimales
$x_k$ de $x$ et $y_k$ de $y$ à~$10^{-k}$ près par défaut. Alors
$x_k\le y_k$ et $x_k,y_k\in\bD_k^*$ pour $k$ assez grand, donc
$p_a(x_k)\le p_a(y_k)$, ce qui donne $p_a(x)\le p_a(y)$
quand $k$ tend vers~$+\infty$.\qed \medskip

Une première application de ce résultat est le calcul de la dérivée
des fonctions puissances\note{12}{%
Cette approche est inspirée d'un cours rédigé par Abdellah 
Bechata à partir d'une première version des présentes notes ...}.
\bigskip

\vbox{%
{\bf (5.5) Théorème.} {\it On considère, pour $\alpha$ réel quelconque,
la fonction $x\mapsto x^\alpha$, $x\ge 0$.
{\parindent=6.5mm
\smallskip
\item{\rm(a)} Pour tous $x,\,X>0$, $x\ne X$, le taux d'accroissement
$\displaystyle
{X^\alpha-x^\alpha\over X-x}$
est compris entre les valeurs $\alpha\,x^{\alpha-1}$ et $\alpha\,X^{\alpha-1}$.
\item{\rm(b)} La dérivée au point $x$ est donnée par la formule
$(x^\alpha)'=\alpha\, x^{\alpha-1}$, et cette formule est encore valable 
pour $x=0$ si $\alpha>1$.\vskip0pt}
}}

{\it Démonstration.} (a)
Posons $a=X/x$. La croissance de la fonction $t\mapsto {a^t-1\over t}=
{(X/x)^t-1\over t}$ garantie par (5.4) 
entraîne pour $\alpha\ge 1$ l'inégalité
$$
{(X/x)^\alpha-1\over \alpha}\ge {(X/x)^1-1\over 1}={X-x\over x}~~
\build\Longrightarrow^{}_{\bullet\times x^\alpha}~~
{X^\alpha-x^\alpha\over \alpha}\ge x^{\alpha-1}(X-x),
$$
après multiplication par $x^\alpha$.
En multipliant maintenant par $\alpha$ et en divisant par $X-x$,
il vient, compte tenu du signe de $X-x$,
$$
{X^\alpha-x^\alpha\over X-x}\ge \alpha\,x^{\alpha-1}~~\hbox{si $X>x$},\qquad
{X^\alpha-x^\alpha\over X-x}\le \alpha\,x^{\alpha-1}~~\hbox{si $X<x$}.
$$
L'encadrement par l'autre borne $\alpha\,X^{\alpha-1}$ s'obtient
en échangeant les rôles de $x$ et $X$, ce qui donne pour tout
$\alpha\ge 1$
$$
\cases{
\displaystyle
\alpha\,x^{\alpha-1}\le{X^\alpha-x^\alpha\over X-x}\le
\alpha\,X^{\alpha-1}~~\hbox{si $X>x$},\cr
\noalign{\vskip7pt}
\displaystyle
\alpha\,X^{\alpha-1}\le {X^\alpha-x^\alpha\over X-x}\le 
\alpha\,x^{\alpha-1}~~\hbox{si $X<x$}.\cr}
\leqno(5.6)
$$
Pour $0<\alpha\le 1$, le raisonnement est  identique, 
l'inégalité de départ est juste inversée, et on a donc
renversement des inégalités de l'encadrement, soit
$$
\cases{
\displaystyle
\alpha\,X^{\alpha-1}\le{X^\alpha-x^\alpha\over X-x}\le
\alpha\,x^{\alpha-1}~~\hbox{si $X>x$},\cr
\noalign{\vskip7pt}
\displaystyle
\alpha\,x^{\alpha-1}\le {X^\alpha-x^\alpha\over X-x}\le 
\alpha\,X^{\alpha-1}~~\hbox{si $X<x$}.\cr}
\leqno(5.7)
$$
Pour $\alpha=0$, ces inégalités sont vraies aussi, de manière 
évidente ($0=0$). Pour $\alpha<0$, la multiplication par $\alpha$ 
inverse encore une autre fois les inégalités de l'encadrement, et
on se retrouve dans la situation (5.6).

(b) La dérivée au point $x$ est la limite du taux d'accroissement
quand $X\to x$. Comme $\lim_{X\to x}X^{\alpha-1}=x^{\alpha-1}$ par 
continuité, on déduit de l'encadrement du (a) que la 
dérivée en $x$ est donnée par
$$
\lim_{X\to x}{X^\alpha-x^\alpha\over X-x}=\alpha\,x^{\alpha-1}.
$$
La~dérivée en $x=0$ s'obtient en considérant directement le
rapport $x^\alpha/x=x^{\alpha-1}$ quand $x\to0_+$, rapport qui tend
bien vers $0$ pour $\alpha>1$.\qed

\section{6. Logarithmes, logarithme népérien}

Le théorème 4.5 montre que la fonction $x\mapsto a^x$ définit pour 
tout $a>0$,
$a\ne 1$, une application continue strictement monotone de $\bR$ sur
$\bR^*_+={}]0,+\infty[$. En d'autres termes, pour tout $y>0$, 
l'équation $a^x=y$ possède une unique solution $x\in\bR$,
d'après le théorème des valeurs intermédiaires. 
Ceci définit d'après le théorème des fonctions réciproques 
une fonction continue bijective
$$
\log_a:\bR^*_+\to\bR,\leqno(6.1)
$$
appelée {\it logarithme de base $a$}, qui est la fonction réciproque de 
la fonction exponentielle de base~$a$, caractérisée par l'équivalence
$$
a^x=y \Leftrightarrow x=\log_a y,\qquad x\in\bR,~~y>0.\leqno(6.2)
$$
Cette définition est tellement naturelle qu'il nous semblerait utile que
les logarithmes de base entière -- lorsqu'ils «\?tombent juste\?» 
-- aient déjà été introduits de manière sommaire au collège 
à l'occasion de l'étude des puissance de $2$, $3$ ou $10$, ou même 
d'une base $a$ entière quelconque, un peu après l'étude des 
nombres écrits
dans une base autre que 10 (on sait bien que la base $2$ est le fondement
de notre monde numérique, il serait indispensable qu'un élève qui a terminé
sa scolarité obligatoire sache au moins ce que veut dire le mot
«\?numérique\?», ne serait-ce que parce qu'il est aujourd'hui 
omniprésent dans les catalogues de HiFi). Dès la classe de sixième ou
de cinquième, on pourrait très bien faire dessiner des frises 
représentant les temps géologiques en
échelle logarithmique des puissances de $10$ -- voire expliquer
ce qu'est le pH en chimie, pour des pH entiers, ce qui introduit
utilement le logarithme décimal $\log_{10}$ en liaison avec l'usage de 
la notation scientifique $10^{-n}$ en sciences expérimentales.
La généralisation progressive des puissances aux cas
des exposants négatifs,
puis au cas des racines carrées et $n$-ièmes permet d'étendre 
corrélativement les logarithmes $\log_a$ au cas des valeurs négatives, 
demi-entières, fractionnaires. 

Au contraire, il nous semble didactiquement contestable, comme le font les
programmes depuis au moins 45 ans, de commencer la théorie des
logarithmes par l'introduction des logarithmes «\?naturels\?» \
(ce qui est en réalité un contresens historique), précisément
parce que les logarithmes de base $a$ entière sont plus intuitifs. Mais
tout finit par arriver un jour, et l'étape que nous allons franchir
consiste précisément en l'introduction de la fonction $\ln$. Comme il 
est bien connu (et mal accepté par les programmes actuels$\,!\,$),
la~fonction $\ln$ a quelque chose à voir avec la dérivée des
exponentielles$\,$\note{13}{Tout autant qu'avec le calcul intégral
et la primitive de $x\mapsto 1/x$. On verra même ainsi a posteriori
qu'on aurait pu se passer du théorème des fonctions réciproques
pour démontrer l'existence des fonctions logarithmes $\log_a$,
sachant que celles-ci se calculent à partir de la fonction $\ln$
qui, elle, peut être définie explicitement comme une dérivée.}.
\medskip

{\bf (6.3) Théorème et définition.} {\it La fonction $x\mapsto a^x$ admet
une dérivée en $0$, notée
$$
\ln(a)=\lim_{x\to 0}{a^x-1\over x}.\leqno(6.3\,\hbox{\rm a})
$$
On a de plus pour tout réel $a>0$ l'encadrement
$$
1-{1\over a}\le\ln(a)\le a-1.\leqno(6.3\,\hbox{\rm b})
$$}\vskip-2pt

{\it Démonstration.} Si $x\in[-1,0\,[{}\cup{}]\,0,1]$, nous avons 
$$
p_a(-1)\le p_a(x)\le p_a(1)~~\Longrightarrow~~
1-{1\over a}\le p_a(x)={a^x-1\over x}\le a-1
$$
puisque $p_a$ est une fonction croissante d'après (5.4).
Comme la suite $\bN^*\ni n\mapsto p_a(1/n)$ est décroissante et
minorée, le théorème (3.1) montre qu'il y a bien une limite à 
droite en $0$ 
$$
\ln(a)=\lim_{x\to0_+}p_a(x),\qquad\hbox{et de plus}\quad 
1-{1\over a}\le\ln(a)\le a-1.
$$
Pour la limite à gauche, on écrit
$$
{a^{-x}-1\over -x}={a^{-x}(1-a^x)\over -x}={1\over a^x}{a^x-1\over x}
\qquad\hbox{pour $x>0$},
$$
et comme $\lim_{x\to 0}a^x=a^0=1$ d'après la continuité
de la fonction $x\mapsto a^x$, on voit que la limite à gauche est égale
à la limite à droite. Le théorème (6.3) est démontré.\qed
\medskip

{\bf (6.4) Conséquence.} {\it La fonction exponentielle de base $a$
est partout dérivable sur $\bR$ et on a la formule
$$
(a^x)'=\ln(a)\,a^x.
$$}
{\it Démonstration.} On écrit
$$
(a^x)'=\lim_{h\to 0}{a^{x+h}-a^x\over h}=
\lim_{h\to 0}{a^x(a^h-1)\over h}=
a^x\lim_{h\to 0}{a^h-1\over h}=a^x\ln(a).\eqno\square
$$

Nous démontrons maintenant les propriétés fondamentales de la fonction $\ln$.
\medskip

{\bf (6.5)} {\it Pour tous réels $a>0$ et $t\in\bR$,
on a $\ln(a^t)=t\ln a$.}

{\it Démonstration.} Si $t=0$, on a $\ln(a^0)=\ln(1)=0$ puisque la
fonction $x\to 1^x=1$ est de dérivée nulle. Si $t\ne 0$, on écrit que
par définition
$$
\ln(a^t)=\lim_{h\to 0}{(a^t)^h-1\over h}=
\lim_{h\to 0}{a^{th}-1\over h}=t\lim_{h\to 0}{a^{th}-1\over th}=
t\lim_{x\to 0}{a^x-1\over x}=t\ln(a).\eqno\square
$$

{\bf (6.6)} {\it 
Pour tous réels $a,b>0$, on a $\ln(ab)=\ln(a)+\ln(b)$.}

En effet $(ab)^x=a^x\cdot b^x$, et donc d'après la formule pour la dérivation
d'un produit de fonctions, la dérivée en $x=0$ en donnée par
$$
\ln(ab)=\big((ab)^x\big)'_{x=0}=(a^x)'_{x=0}\cdot b^0+
a^0\cdot (b^x)'_{x=0}=\ln(a)\cdot 1+1\cdot\ln(b)=\ln(a)+\ln(b).
\eqno\square
$$

\vbox{%
{\bf (6.7)} {\it 
Pour tous réels $a,b>0$, on a $\ln(a/b)=\ln(a)-\ln(b)$.}

En effet (6.6) donne $\ln(a)=\ln((a/b)\cdot b)=\ln(a/b)+\ln(b)$.\qed}
\bigskip

\vbox{%
{\bf (6.8) Théorème.} {\it La fonction $x\mapsto\ln(x)$ est strictement 
croissante, partout dérivable sur~$\bR^*_+={}]0,+\infty[$, et on a
$$
\big(\ln(x)\big)'={1\over x}.
$$
De plus, $\lim_{x\to 0_+}\ln(x)=-\infty$ et
$\lim_{x\to +\infty}\ln(x)=+\infty$.}}
\bigskip

\vbox{%
\InsertFig 12.000 64.000 {
1 mm unit
  0.000  35.000 moveto 
105.000   0.000 2.4 vector 
 10.000   5.000 moveto 
 58.000  90.000 2.4 vector
 37.183  35.000 moveto  0.700  0.000 indent
 10.000  45.000 moveto  0.700 90.000 indent
  0.000  0.000  1.000 setrgbcolor 
  0.065 setlinewidth
 10.000  25.000 moveto 45.000 60.000 lineto stroke
  0.113 setlinewidth
[ 1.000 0.500 ] 0 setdash
 11.200  45.000 moveto  37.183 45.000 lineto stroke
 37.183  36.200 moveto  37.183 45.000 lineto stroke
[ ] 0 setdash
  0.3 setlinewidth
  1.000  0.000  0.000 setrgbcolor 
 10.500  5.043 moveto
[  10.500   5.043   12.000  18.905   15.000  28.069   20.000  35.000
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   70.000  52.918   90.000  55.794  100.000  56.972   ] curve
stroke
}
\LabelTeX   7.000  31.200 $0$\ELTX
\LabelTeX   7.000  44.200 $1$\ELTX
\LabelTeX   4.500  24.200 $-1$\ELTX
\LabelTeX  19.500  31.200 $1$\ELTX
\LabelTeX  36.000  31.500 $e$\ELTX
\LabelTeX 103.500  31.200 $x$\ELTX
\LabelTeX   6.200  61.000 $y$\ELTX
\LabelTeX  96.200  59.000 $\RGBColor{1 0 0}{\ln}$\ELTX
\EndFig
\vskip-12pt
\centerline{{\bf Fig.~4.} Représentation graphique de la fonction $\ln$.}}
\medskip

{\it Démonstration.} Pour $x,\,X>0$ quelconques tels que $X\ne x$, on écrit
grâce à (6.7)
$$
{\ln(X)-\ln(x)\over X-x}={\ln\big(X/x\big)\over X-x}
$$
Or, l'encadrement (6.3$\,$b) avec $\displaystyle a={X\over x}>0$ donne
$\displaystyle 1-{1\over a}\le \ln(a)\le a-1$, soit
$$
{X-x\over X}=1-{x\over X}\le \ln(X)-\ln(x)\le {X\over x}-1={X-x\over x}\,,
$$
par conséquent
$$
\cases{
\displaystyle
{1\over X}\le {\ln(X)-\ln(x)\over X-x}\le {1\over x}&pour $X>x$,\cr
\noalign{\vskip11pt}
\displaystyle
{1\over x}\le {\ln(X)-\ln(x)\over X-x}\le {1\over X}&pour $X<x$.\cr}
$$
Ceci entraîne bien
$$
\big(\ln(x)\big)'=\lim_{X\to x}{\ln(X)-\ln(x)\over X-x}={1\over x}.
$$
La propriété de croissance stricte résulte des inégalités
précédentes, qui montrent que $\ln(X)-\ln(x)\ge {X-x\over X}>0$ si 
$X>x>0$ $[\,$on peut aussi, si on le souhaite, utiliser le fait que 
la dérivée est strictement positive$\,]$. Comme $\ln(2^n)=n\ln(2)$
avec $\ln(2)>0$, on en déduit que $\ln(x)\ge n\ln(2)$
pour~\hbox{$x\ge 2^n$}, et $\ln(x)\le -n\ln(2)$ pour $x\le 2^{-n}$. On a donc
bien les limites annoncées quand $x\to0_+$ et~\hbox{$x\to+\infty$}.\qed
\medskip

{\bf (6.9) Théorème.} {\it Il existe un $($unique$)$ nombre réel noté
$e$ tel que $\ln(e)=1$. La fonction exponentielle de base $e$
et la fonction $\ln$
$$
x\mapsto e^x,\qquad \bR\to\bR^*_+,\qquad
x\mapsto \ln(x),\qquad \bR^*_+\to\bR
$$
sont réciproques l'une de l'autre. Autrement dit on a 
$$
\ln(e^x)=x\quad\hbox{pour tout $x\in\bR$ et}\quad 
e^{\ln(x)}=x\quad\hbox{pour tout $x\in\bR^*_+$},
$$ et $\ln=\log_e$ s'identifie au logarithme de base $e$. La fonction
$\ln$ est appelée fonction logarithme naturel $($ou parfois encore
népérien, en hommage à John Napier, aussi dénommé Neper en
Latin\note{14}{En réalité, les premières tables de logarithmes
établies par Napier et par le mathématicien Henry Briggs dans les
années qui suivirent étaient des logarithmes décimaux. C'est
seulement avec les travaux de Huyghens en 1661 et plus tardivement
avec ceux de Leibnitz sur les fonctions, en 1697, que le logarithme
naturel fut définitivement dégagé dans sa forme moderne.}$)$.
De plus la dérivée de la fonction exponentielle $x\mapsto e^x$ est 
donnée par
$$
(e^x)'=e^x.
$$
La fonction exponentielle de base $e$ est
souvent appelée fonction exponentielle $($tout court$)$, et notée
$\exp$, de sorte que $\exp(x)= e^x$ et $\exp'=\exp$.}

\vbox{%
\InsertFig 12.000 102.000 {
1 mm unit
  0.000  35.000 moveto 
105.000   0.000 2.4 vector 
 40.000   5.000 moveto 
 92.000  90.000 2.4 vector
[ 1.000   0.500 ] 0 setdash
 15.000  10.000 moveto  85.000  80.000 lineto stroke
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[ ] 0 setdash
  1.000  0.000  0.000 setrgbcolor 
 40.500  5.043 moveto
[  40.500   5.043   42.000  18.905   45.000  28.069   50.000  35.000
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  100.000  52.918
] curve
stroke
  0.000  0.000  1.000 setrgbcolor 
 10.043 35.500 moveto
[  10.043  35.500   23.905  37.000   33.069  40.000   40.000  45.000
   46.930  55.000   50.986  65.000   53.863  75.000   56.094  85.000
   57.918  95.000  
] curve
stroke
}
\LabelTeX  41.000  31.200 $0$\ELTX
\LabelTeX  40.800  42.200 $1$\ELTX
\LabelTeX  50.000  31.200 $1$\ELTX
\LabelTeX 103.500  31.200 $x$\ELTX
\LabelTeX  36.200  96.000 $y$\ELTX
\LabelTeX  86.000  81.000 $y=x$\ELTX
\LabelTeX  96.200  54.500 $\RGBColor{1 0 0}{\ln}$\ELTX
\LabelTeX  59.000  92.000 $\RGBColor{0 0 1}{\exp}$\ELTX
\EndFig
\vskip-10pt
\centerline{{\bf Fig.~5.} Représentation graphique de $\ln$ et de
$\exp$.}}
\medskip

{\it Démonstration.} L'unicité du nombre $e$ résulte du fait que
la fonction $\ln$ est strictement croissante. Pour prouver que
$e$ existe, on peut appliquer le théorème des valeurs intermédiaires,
ou raisonner directement comme suit. On fixe une base $a>1$ ($a=2$
conviendrait) et on cherche $e$ sous la forme $e= a^t$. Alors
$\ln(a^t)=t\ln(a)$ d'après (6.5), donc il suffit de prendre
$t=1/(\ln(a))>0$. La solution cherchée est $e=a^t=a^{1/\ln(a)}$.

Maintenant, (6.5) donne bien $\ln(e^x)=x\ln(e)=x$ pour tout $x\in\bR$.
En substituant $x$ par $\ln(x)$ pour $x\in\bR^*$, on trouve
$\ln(e^{\ln(x)})=\ln(x)$, mais comme $\ln$ est strictement croissante
ceci ne peut avoir lieu que si $e^{\ln(x)}=x$. La formule donnant la
dérivée de $e^x$ est un cas particulier de (6.4).\qed
\medskip

{\bf (6.10) Théorème.} {\it Pour toute base $a>0$, $a\ne 1$, la fonction
exponentielle de base $a$
$$
x\mapsto a^x,\qquad \bR\to\bR^*_+
$$
admet une fonction réciproque donnée par
$$
x\mapsto \log_a(x)={\ln(x)\over\ln(a)},\qquad \bR^*_+\to\bR
\leqno(6.10\,\hbox{\rm a})
$$
appelée, rappelons-le, logarithme de base $a$. En particulier on a
$\ln=\log_e$. La dérivée de $\log_a$ est
$$
\big( \log_a(x)\big)'={1\over\ln(a)}{1\over x}
\leqno(6.10\,\hbox{\rm b})
$$
et pour tous réels $x,y>0$ et $t\in\bR$, le logarithme de base $a$ 
vérifie les propriétés fondamentales
$$
\leqalignno{
\log_a(x^t)&=t\log_a(x),&(6.10\,\hbox{\rm c})\cr
\log_a(xy)&=\log_a(x)+\log_a(y)&(6.10\,\hbox{\rm d})\cr
}
$$
analogues aux propriétés du logarithme népérien.}

{\it Démonstration.} Si on pose $y=a^x$, on a $\ln(y)=x\ln(a)$ et
donc $x={\ln(y)\over\ln(a)}$. Il en résulte aussitôt que $\log_a(y)=
{\ln(y)\over\ln(a)}$ est bien la fonction réciproque de $x\mapsto a^x$.
Toutes les autres propriétés se déduisent immédiatement de celles du
logarithme népérien.\qed
\medskip

Nous terminons par l'expression de la fonction puissance en termes
de l'exponentielle et du logarithme~:
$$
x^a=(e^{\ln(x)})^a= e^{a\ln(x)}=\exp\big(a\ln(x)\big).\leqno(6.11)
$$
Ceci permet (au moins pour se rassurer$\,!\,$) de retrouver la dérivée et le 
sens de variation de $x\mapsto x^a$ à l'aide de la formule de 
dérivation d'une fonction composée~:
$$
(x^a)'=\exp'\big(a\ln(x)\big)\cdot (a\ln(x))'=
\exp\big(a\ln(x)\big)\cdot a\,{1\over x}=x^a\cdot a\,{1\over x}= a\,x^{a-1}.
\leqno(6.12)
$$

{\bf (6.13) Conclusion.} Il est possible de définir rigoureusement
puissances, exponentielles et logarithmes dans une approche où
toutes les propriétés essentielles se démon\-trent en
respectant l'intuition numérique (on
part des puissances, qui sont les plus intuitives, on
passe aux exponentielles, qui généralisent les puissances, et
enfin on arrive aux logarithmes). Notons de plus qu'aucun
théorème avancé d'analyse ne nous a été nécessaire --
le théorème des valeurs intermédiaires et le théorème sur 
l'existence des fonctions réciproques pourraient même être évités. 
Mais bien entendu nous recommandons avec force que ces théorèmes
soient tout de même énoncés au niveau du lycée, et encore
mieux complètement démontrés$\,$: le procédé de dichotomie
et le théorème des suites adjacentes peuvent rendre la chose
«\?numériquement évidente\?», tout en donnant un
procédé concret de résolution approchée d'une équation
$f(x)=y$ (on pourra par exem\-ple faire expérimenter les élèves
sur la résolution d'équations polynomiales $f(x)=0$ de degré~$3$
-- c'est là un bon usage de la calculette$\,$!).
\bigskip

\section{7. Calcul numérique du nombre $e$ et de 
l'exponentielle $e^{ix}$.}

L'objectif est d'exprimer l'exponentielle sous forme de la limite d'une
suite de poly\-nômes (ce que l'on appelle une «\?série entière\?» ). 
Là encore, on peut y aboutir 
au moyen de considérations très simples sur la formule du binôme
et les limites de suites croissantes majorées.
Le point de départ est la formule importante suivante.
\medskip

{\bf (7.1) Formule.} 
$\displaystyle\kern50pt
e^x=\lim_{n\to+\infty}\Big(1+{x\over n}\Big)^n$.
\medskip

Pour la vérifier, on observe que
$$
\Big(1+{x\over n}\Big)^n=\exp\Big(n\ln\Big(1+{x\over n}\Big)\Big)=
\exp\Big(x\,{\ln\big(1+{x\over n}\big)\over{x\over n}}\Big).
$$
Or
$$
\lim_{n\to+\infty}{\ln\big(1+{x\over n}\big)\over{x\over n}}=
\lim_{h\to 0}{\ln\big(1+h\big)\over h}=\ln'(1)=1,
$$
donc $\lim_{n\to+\infty}x\,{\ln\big(1+{x\over n}\big)\over{x\over n}}=x$.
Comme la fonction $\exp$ est continue, on en déduit bien
$$
\lim_{n\to+\infty}\Big(1+{x\over n}\Big)^n=\exp(x)=e^x.\eqno\square
$$
On utilise maintenant la formule du binôme pour développer
$$
\eqalign{
(1+h)^n&=1+C_n^1h+C_n^2h^2+\ldots+C_n^ph^p+\ldots+h^n\cr
&=1+{n\over 1!}h+{n(n-1)\over 2!}h^2+\ldots+{n(n-1)\ldots(n-(p-1))\over p!}h^p
+\ldots+h^n.\cr}
$$
En substituant ${x\over n}$ à $h$ il vient
$$
\eqalign{
\Big(1+{x\over n}\Big)^n
&=1+{n\over 1!}{x\over n}+{n(n-1)\over 2!}{x^2\over n^2}+\ldots+
{n(n-1)\ldots(n-(p-1))\over p!}{x^p\over n^p}+\ldots+{x^n\over n^n}\cr
&=
1+{1\over 1!}x+{1(1-{1\over n})\over 2!}x^2+\ldots+{1(1-{1\over n})\ldots
(1-{p-1\over n})\over p!}x^p+\ldots+{x^n\over n^n}.\cr}
$$
En faisant tendre $n$ vers $+\infty$, nous allons facilement en
déduire la formule suivante.
\medskip

{\bf (7.2) Théorème.} {\it Pour tout nombre réel $x$, on a
$$
\leqalignno{
e^x&=\lim_{p\to+\infty}1+{x\over 1!}+{x^2\over 2!}+\ldots+
{x^p\over p!}.\cr
&&\hbox{En particulier}\cr
e&=\lim_{p\to+\infty}1+{1\over 1!}+{1\over 2!}+\ldots+{1\over p!}.\cr}
$$}

{\it Démonstration.} Supposons d'abord $x\ge 0$. 
Si nous tronquons la somme du binôme à un ordre $p$ fixé, nous trouvons
$$
\Big(1+{x\over n}\Big)^n\ge
1+{1\over 1!}x+{1(1-{1\over n})\over 2!}x^2+\ldots+{1(1-{1\over n})\ldots
(1-{p-1\over n})\over p!}x^p,
$$
et le coefficient $1(1-{1\over n})\ldots(1-{p-1\over n})$ tend vers $1$ quand
$n$ tend vers $+\infty$. En passant à la limite quand $n\to+\infty$ il vient
donc
$$
e^x=\lim_{n\to+\infty}\Big(1+{x\over n}\Big)^n\ge
1+{x\over 1!}+{x^2\over 2!}+\ldots+{x^p\over p!}.
$$
En faisant tendre maintenant $p$ vers $+\infty$, on voit que la suite 
du membre de droite est convergente puisqu'elle est croissante et
majorée par $e^x$ (le fait que $x\ge 0$ nous sert de nouveau), donc
$$
e^x\ge\lim_{p\to+\infty}1+{x\over 1!}+{x^2\over 2!}+\ldots+
{x^p\over p!}.
$$
Cherchons à montrer l'inégalité inverse. Pour cela, on observe tout simplement
que $1(1-{1\over n})\ldots(1-{p-1\over n})\le 1$, donc
$$
\Big(1+{x\over n}\Big)^n\le 
1+{x\over 1!}+{x^2\over 2!}+\ldots+
{x^p\over p!}+\ldots+{x^n\over n!},
$$
et par conséquent
$$
e^x=\lim_{n\to+\infty}\Big(1+{x\over n}\Big)^n\le
\lim_{p\to+\infty}1+{x\over 1!}+{x^2\over 2!}+\ldots+
{x^p\over p!}.
$$
Ceci conclut la preuve du théorème (7.2) dans le cas où $x\ge 0$ [et on
pourrait bien sûr s'arrêter à ce point pour simplifier l'exposé$\,\ldots$].
Pour traiter le cas d'un exposant négatif, on utilise une astuce~: on
considère la fonction «\?cosinus hyperbolique\?» 
$$
\cosh(x)={e^x+ e^{-x}\over 2}=
\lim_{n\to+\infty}{1\over 2}\Big(\Big(1+{x\over n}\Big)^n+
\Big(1-{x\over n}\Big)^n\Big).
$$
Dans ces conditions, il ne reste que les puissances paires de $x$ dans le
développement du binôme, avec les mêmes coefficients positifs que 
précédemment. Pour $x\ge 0$, on obtient donc de manière analogue
$$
\kern-28pt 
\cosh(x)=\lim_{p\to+\infty}1+{x^2\over 2!}+{x^4\over 4!}+\ldots+
{x^{2p-2}\over (2p-2)!}+{x^{2p}\over (2p)!}.\leqno(7.3)
$$
Comme $e^{-x}=2\cosh(x)-e^x$ avec
$$
\kern15pt 
e^x=\lim_{p\to+\infty}1+{x\over 1!}+{x^2\over 2!}+{x^3\over 3!}+\ldots+
{x^{2p-1}\over (2p-1)!}+{x^{2p}\over (2p)!}~~~
\Big[+{x^{2p+1}\over (2p+1)!}\Big],
$$
on multiplie (7.3) par $2$ et il vient par soustraction
$$
\kern10pt 
e^{-x}=\lim_{p\to+\infty}1-{x\over 1!}+{x^2\over 2!}-{x^3\over 3!}+\ldots-
{x^{2p-1}\over (2p-1)!}+{x^{2p}\over (2p)!}~~~
\Big[-{x^{2p+1}\over (2p+1)!}\Big].
$$
C'est bien la formule cherchée dans le cas d'un exposant négatif. On notera
qu'on obtient aussi du même coup le développement de la fonction
«\?sinus hyperbolique\?» $\sinh(x)={e^x-e^{-x}\over 2}$, qui
ne laisse subsister que les monômes de degrés impairs
$$
\sinh(x)=\lim_{p\to+\infty}{x\over 1!}+{x^3\over 3!}+\ldots+
{x^{2p-1}\over (2p-1)!}+{x^{2p+1}\over (2p+1)!}.
\leqno\rlap{\kern\hsize\llap{\square}}(7.4)
$$

\vbox{%
{\bf (7.5) Application numérique.} Pour évaluer numériquement $e^x$, on
choisit un entier $p$ assez grand, et on utilise la factorisation
évidente
$$
1+{x\over 1!}+{x^2\over 2!}+\ldots+{x^p\over p!}=
1+{x\over 1}\Big(1+{x\over 2}\Big(1+{x\over 3}\Big(\ldots\Big(1+
{x\over p-1}\Big(1+{x\over p}\Big)\Big)\ldots\Big)\Big)\Big).
$$
En prenant $x=1$ et $p$ assez grand ($p=20$ suffit), on trouve ainsi la valeur
approchée\bigskip
\centerline{$\displaystyle 
e=\lim_{p\to+\infty}1+{1\over 1!}+{1\over 2!}+\ldots+{1\over p!}
\approx 2,71828182845904.$}}%

{\bf (7.6) Autres conséquences.} Ce qui précède montre que pour tout 
entier $p\in\bN$ on a $e^x\ge x^p/p!$ dès que $x>0$. En remplaçant $p$
par $p+1$ on trouve $e^x\ge x^{p+1}/(p+1)!$ et donc 
$e^x/x^p\ge {x\over (p+1)!}$. 
Par conséquent
$$
\lim_{x\to+\infty}{e^x\over x^p}=+\infty.\leqno(7.6\,\hbox{\rm a})
$$
En posant $x=-t$ avec $t\to-\infty$, il vient
$$
\lim_{t\to-\infty}{e^{-t}\over (-t)^p}=
\lim_{t\to-\infty}{(-1)^p\over t^pe^t}=+\infty,
$$
donc (quitte à revenir à la variable $x$)
$$
\lim_{x\to-\infty} x^pe^x = 0.\leqno(7.6\,\hbox{\rm b})
$$
On exprime les propriétés (7.6$\,$a) et (7.6$\,$b) en disant que dans
une forme indéterminée
{\it la fonction exponentielle l'emporte sur les fonctions puissances}.

De manière analogue, on a pour $x\ge 1$ l'inégalité $\ln x\le x-1\le x$, et
en remplaçant $x$ par $x^{a/2}$ on obtient ${a\over 2}\ln(x)\le x^{a/2}$,
donc $\ln(x)/x^a\le {2\over a}x^{-a/2}$ pour tout $a>0$. Ceci~implique
$$
\lim_{x\to+\infty}{\ln(x)\over x^a}=0.\leqno(7.6\,\hbox{\rm c})
$$
En faisant le changement de variable $x=1/t$ avec $t\to 0_+$ on trouve
également
$$
\lim_{x\to 0_+}x^a\ln(x)=0.\leqno(7.6\,\hbox{\rm d})
$$
On exprime les propriétés (7.6$\,$c) et (7.6$\,$d) en disant que dans
une forme indéterminée
{\it les fonctions puissances l'emportent sur la fonction logarithme}.

\section{8. Exponentielles et équations différentielles
linéaires d'ordre~1}

Une fois que les exponentielles et les logarithmes sont maîtrisés -- et
nous pensons que le bon niveau pour cela serait celui de la classe de 
première --
l'étude des fonctions peut être enrichie graduellement. En terminale,
la maturité des élèves et des techniques qui leur sont disponibles 
devient suffisante pour aborder de manière plus systématique les 
fondements du calcul 
différentiel et des équations différentielles. Il serait
très important de bien introduire les notations différentielles 
$dx$, $df$, $df/dx$ qui sont nécessaires aux physiciens. Ceci doit se faire
en liaison avec le calcul intégral.
Nous aborderons ici uniquement les aspects les plus élémentaires liés
aux équations différentielles du premier ordre, tels qu'ils peuvent être 
traités en classe terminale.

La formule de dérivation d'une fonction composée montre que pour tout 
nombre réel~$k$, la fonction $y(x)=e^{kx}$ vérifie $y'(x)=k\,e^{kx}$,
c'est donc une solution de «\?l'équation différentielle\?» 
$$
y'=ky.\leqno(8.1)
$$
Réciproquement$\,$:
\medskip

{\bf (8.2) Théorème.} {\it Soit $k\in\bR$. L'équation différentielle $y'=ky$ 
admet sur $\bR$ les solutions $y(x)=\lambda\,e^{kx}$ où $\lambda$ est
une constante réelle, et il n'y en a 
pas d'autres.}

{\it Démonstration.} Posons $f(x)=y(x)\,e^{-kx}$. On trouve
$$
f'(x)=y'(x)\,e^{-kx} +y(x)\cdot\big(-k\,e^{-kx}\big)=
\big(y'(x)-ky(x)\big)e^{-kx}=0.
$$
Ceci implique que la fonction $f$ est une constante $\lambda$, ce qui
entraîne $y(x)=\lambda\,e^{kx}$. Ces fonctions sont bien des solutions de
l'équation différentielle.\qed
\medskip

Cherchons plus généralement les solutions de l'équation différentielle 
«\?non homogène\?» \
$$
y'(x)=k\,y(x)+u(x)\leqno(8.3)
$$
où $u:I\to\bR$ est une fonction continue donnée sur un intervalle $I$ de $\bR$.
On cherche dans ce cas les fonctions dérivables $y:I\to\bR$ qui 
satisfont (8.3). En posant comme précédemment $f(x)=y(x)\,e^{-kx}$, on
voit que l'équation (8.3) est équivalente à
$$
f'(x)=\big(y'(x)-ky(x)\big)e^{-kx}=u(x)\,e^{-kx}.
$$
la solution générale est donnée sous la forme $f(x)=\lambda+f_0(x)$
où $f_0$ est une primitive de $x\mapsto u(x)\,e^{-kx}$ et $\lambda\in\bR$ une
constante arbitraire. Ceci donne 
$$
y(x)=(\lambda+f_0(x))e^{kx}.\leqno(8.4)
$$
Cette solution peut encore se réécrire sous la forme
$$
y(x)=\lambda\,e^{kx}+y_0(x),\qquad \lambda\in\bR,\leqno(8.5)
$$
où $y_0(x)=f_0(x)\,e^{kx}$ est la solution particulière de l'équation 
correspondant à la cons\-tante $\lambda=0$. Dans la pratique, si on connaît
(ou si on aperçoit) une solution particu\-lière $y_0$ de l'équation (8.3),
les autres solutions sont obtenues en ajoutant $\lambda\,e^{kx}$ à $y_0(x)$,
ce qui évite d'avoir à faire un calcul de primitives.

Les fonctions exponentielles $f(x)=a^x$ vérifient la propriété fonctionnelle
fondamentale $f(x+y)=f(x)f(y)$. De manière générale, il est intéressant 
de savoir quelles sont les fonctions $f:\bR\to\bR$ qui «\?transforment
additions en multiplications\?», c'est-à-dire quelles sont celles qui
satisfont la propriété
$$
f(x+y)=f(x)f(y)\qquad\hbox{pour tous $x,y\in\bR$.}\leqno(8.6)
$$
Remarquons que s'il existe $x_0$ tel que $f(x_0)=0$, alors 
$f(x)=f(x_0)f(x-x_0)=0$ entraîne que la fonction $f$ est la fonction nulle.
Nous supposerons désormais $f$ non nulle$\,$; d'après ce qui précède $f(x)$ 
ne peut alors s'annuler. Dans ce cas, la propriété
$f(x)=f(x/2+x/2)=f(x/2)f(x/2)=f(x/2)^2$ entraîne $f(x)>0$, et on peut poser
$g=\ln\circ f:\bR\to\bR$. On voit que
$$
g(x+y)=\ln\big(f(x+y)\big)=\ln\big(f(x)f(y)\big)
=\ln\big(f(x)\big)+\ln\big(f(y)\big)=g(x)+g(y).\leqno(8.7)
$$
On dit qu'une telle fonction $g$ est une fonction additive.
Les fonctions $g$ de la forme $g(x)=kx$ satisfont de façon évidente
la propriété d'additivité, et on peut se demander s'il en existe d'autres.
Malheureusement, il se trouve qu'il existe des fonctions discontinues
«\?extrêmement tordues\?» -- presque impossible 
à décrire -- qui sont addi\-tives. Néanmoins la réponse est simple si on 
suppose que les fonctions en question sont {\it continues}.\medskip

{\bf (8.8) Théorème.} {\it Soit $g:\bR\to\bR$ une fonction additive,
c'est-à-dire telle que
$$
\leqalignno{
g(x+y)&=g(x)+g(y)\qquad\hbox{pour tous $x,y\in\bR$}.\cr
\noalign{\vskip6pt}
&&\hbox{Si $g$ est continue, alors}\cr
\noalign{\vskip3pt}
g(x)&=kx\qquad\hbox{avec $k=g(1)\in\bR$.}\cr}
$$}%
{\it Démonstration.} Comme $g(0)=g(0+0)=g(0)+g(0)$ on voit déjà que
$g(0)=0$. De~plus $g(0)=0=g(x+(-x))=g(x)+g(-x)$, donc $g(-x)=-g(x)$.
Si $n\in\bN^*$ est un entier naturel, la propriété d'additivité implique
$$
g(nx)=g(x+x+\ldots+x)=g(x)+g(x)+\ldots+g(x)=n\,g(x).
$$
En particulier $g(1)=g(n{1\over n})=n\,g({1\over n})$ donc
$g({1\over n})={1\over n}g(1)$. Si $x={p\over q}$ est un rationnel positif
($p,q\in\bN^*$), il vient
$$
g(x)=g\Big(p{1\over q}\Big)=p\,g\Big({1\over q}\Big)=p{1\over q} g(1)=x\,g(1).
$$
Cette propriété s'étend au rationnels négatifs du fait que $g(-x)=-g(x)$.
En posant $k=g(1)$, on en déduit bien que $g(x)=kx$ pour tout $x\in\bQ$.
Comme $g$ est supposée continue, cette propriété s'étend par passage à
la limite à tous les réels~$x$, en considérant par exemple la suite $(x_n)$ des
approximations décimales à $10^{-n}$ près de~$x$.\qed
\medskip
Si nous revenons aux fonctions $f$ continues non nulles qui vérifient (8.6),
on voit que $g(x)=\ln f(x)=kx$, donc $f(x)=e^{kx}$. Nous pouvons énoncer$\,$:
\medskip

{\bf (8.9) Théorème.} {\it Les fonctions $f:\bR\to\bR$ continues telles que
$$
f(x+y)=f(x)f(y)\qquad\hbox{pour tous $x,y\in\bR$,}
$$
sont d'une part la fonction nulle $f=0$ et d'autre part les fonctions 
exponentielles $f(x)=e^{kx}$, $k\in\bR$, ou encore $f(x)=a^x$, $a>0$.}
\medskip

Si on impose la condition plus forte que $f$ soit dérivable et que
l'on dérive la relation $f(x+y)=f(x)f(y)$ par rapport à $y$, on trouve
$$
f'(x+y)=f(x)f'(y).
$$
Pour $y=0$, on trouve en particulier $f'(x)=f(x)f'(0)=k\,f(x)$ avec
$k=f'(0)$. On conclut alors que $f(x)=\lambda\,e^{kx}$ d'après le théorème
(8.2). Comme on doit avoir de plus $f(0)=f(0)f(0)$, il vient 
$\lambda=\lambda^2$, donc $\lambda=0$ ou $\lambda=1$. Ceci donne une
autre démonstration du théorème (8.9), sous l'hypothèse plus
restrictive que $f$ soit dérivable.\medskip

\section{9. Fonctions trigonométriques}

Commençons par rappeler quelques considérations de base sur les fonctions 
trigono\-métriques. Celles-ci devraient sans aucun doute possible trouver 
leur place dans les classes
de seconde et de première. On appelle {\it cercle trigonométrique} $\cC$ 
le cercle unité de centre l'origine dans un plan orthonormé $Oxy$, c'est-à-dire
l'ensemble des points $M(x,y)$ tels que $x^2+y^2=1$. Soit $U$ le point
de coordonnées $(1,0)$ et $V$ le point de coordonnées $(0,1)$.

\vbox{%
\InsertFig 42.000 58.000 {
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1 mm unit
  20.000  20.000 moveto 
  20 circle stroke
  20.000  20.000 moveto  35.000    0.000 2.4 vector
  20.000  20.000 moveto  30.000   90.000 2.4 vector
  40.000   5.000 moveto  40.000   45.000 lineto stroke
  40.000   5.000 moveto  40.000   50.000 lineto stroke
  20.000  20.000 moveto  40.000   45.000 lineto stroke 
newpath  20.000  20.000 6 6 0 51 0 ellipsearc stroke
  23.700  24.700 moveto   0 135 1.2 vector
[  1.000   0.500 ] 0 setdash
  0.549 0.137 1.0 setrgbcolor
  20.000  35.600 moveto  32.500   35.600 lineto stroke 
  0.0 0.0 1.0 setrgbcolor
  32.500  20.000 moveto  32.500   35.600 lineto stroke 
  1.0 0.0 0.0 setrgbcolor
  32.500  35.600 moveto  40.000   20.000 lineto stroke 
[ ] 0 setdash
  0.3 setlinewidth
newpath  20.000  20.000 19.850  19.850 0 51 0 ellipsearc stroke
  0.0 0.0 1.0 setrgbcolor
  20.000  20.000 moveto   20.000  35.600 lineto  stroke
  0.549 0.137 1.0 setrgbcolor
  20.000  20.000 moveto   32.500  20.000 lineto  stroke
  0.682 0.0 0.0 setrgbcolor
  40.150  20.000 moveto   40.150  44.900 lineto  stroke
grestore
}
\LabelTeX 26.600 21.500 $\theta$ \ELTX
\LabelTeX 21.600 16.500 $\RGBColor{0.549 0.137 1}{x=\cos(\theta)}$ \ELTX
\LabelTeX  4.000 28.500 $\RGBColor{0 0 1}{y=\sin(\theta)}$ \ELTX
\LabelTeX 41.300 32.500 
  $\RGBColor{0.682 0 0}{\displaystyle{y\over x}=\tan(\theta)}$ \ELTX
\LabelTeX 16.300 16.500 $O$ \ELTX
\LabelTeX 41.000 16.500 $U$ \ELTX
\LabelTeX 16.300 41.500 $V$ \ELTX
\LabelTeX 30.500 38.000 $M$ \ELTX
\LabelTeX 41.000 45.500 $T$ \ELTX
\EndFig
\bigskip
\centerline{{\bf Fig.~6.} Cercle trigonométrique et fonctions
$\cos$, $\sin$, $\tan$.}}
\medskip

À un point $M \in\cC$ et à l'angle de vecteurs
orienté $\theta=(\widehat{\overrightarrow{OU},\overrightarrow{OM}})$, 
on associe par définition
$$
\cos(\theta)=x,\qquad\sin(\theta)=y,\qquad\tan(\theta)={\sin(\theta)\over 
\cos(\theta)}={y\over x},\leqno(9.1)
$$
qui sont représentés géométriquement sur la Figure~6. En effet,
puisque $\overline{OU}=1$, le théorème de Thalès donne
$$
\overline{UT}={\overline{UT}\over\overline{OU}}={y\over x}=\tan(\theta).
$$
Par définition, le mesure en radians de l'angle $\theta$ est la longueur
de l'arc $\raise7.5pt\hbox{\rlap{$\kern5pt\frown$}}UM$, 
affecté d'un signe moins si $M$ est d'ordonnée négative,
et compté à un multiple de $2\pi$ près. Rappelons que {\it la longueur
d'un arc est par définition la borne supérieure des longueurs des lignes
polygonales inscrites dans cet arc}. D'après ce qui précède nous avons
$$
\leqalignno{
(\cos(\theta))^2+(\sin(\theta))^2&=x^2+y^2=1,&(9.2)\cr
\overrightarrow{OM}=\cos(\theta)\;\overrightarrow{OU}&{}+\sin(\theta)\;
\overrightarrow{OV}.&(9.3)\cr}
$$
Nous aurons besoin de la formule très importante qui suit.
\medskip

{\bf (9.4) Formule d'addition des angles.} {\it Pour tout couple d'angles
$\alpha$, $\beta$, on a
$$
\eqalign{
\cos(\alpha+\beta)&=\cos(\alpha)\cos(\beta)-\sin(\alpha)\sin(\beta),\cr
\sin(\alpha+\beta)&=\sin(\alpha)\cos(\beta)+\cos(\alpha)\sin(\beta).\cr}
$$}%
\InsertFig 42.000 40.000 {
gsave
1 mm unit
  20.000  20.000 moveto 
  20 circle stroke
  20.000  20.000 moveto  20.000    0.000 2.4 vector
  20.000  20.000 moveto  20.000   90.000 2.4 vector
  20.000  20.000 moveto  20.000   50.000 2.4 vector
  20.000  20.000 moveto  20.000  110.000 2.4 vector
  20.000  20.000 moveto  20.000  140.000 2.4 vector
  20.000  20.000 moveto  20.000  180.000 2.4 vector
  1.0 0.0 0.0 setrgbcolor
  0.3 setlinewidth
newpath  20.000  20.000 19.850  19.850 0 50 0 ellipsearc stroke
  0.113 setlinewidth
newpath  20.000  20.000  6 6 0 50 0 ellipsearc stroke
newpath  20.000  20.000  6 6 90 140 0 ellipsearc stroke
  23.900  24.550 moveto   0 132 1.2 vector
  15.450  23.900 moveto   0 222 1.2 vector
  0.0 0.0 1.0 setrgbcolor
  0.3 setlinewidth
newpath  20.000  20.000 19.850  19.850 50 110 0 ellipsearc stroke
  0.113 setlinewidth
newpath  20.000  20.000  4.5 4.5 50 110 0 ellipsearc stroke
  18.500  24.200 moveto   0 193 1.2 vector
grestore
}
\LabelTeX 26.500 21.500 $\RGBColor{1 0 0}{\alpha}$ \ELTX
\LabelTeX 14.200 26.300 $\RGBColor{1 0 0}{\alpha}$ \ELTX
\LabelTeX 21.300 25.500 $\RGBColor{0 0 1}{\beta}$ \ELTX
\LabelTeX 18.500 16.500 $O$ \ELTX
\LabelTeX 41.000 18.500 $U$ \ELTX
\LabelTeX 18.500 41.500 $V$ \ELTX
\LabelTeX -4.700 18.500 $W$ \ELTX
\LabelTeX 32.500 36.500 $U'$ \ELTX
\LabelTeX  1.000 32.500 $V'$ \ELTX
\LabelTeX 10.700 40.500 $M$ \ELTX
\EndFig
\bigskip
\centerline{{\bf Fig.~7.} Formule d'addition des angles.}
\medskip

{\it Démonstration.} Quitte à changer de repère, la formule (9.3) nous 
donne en effet
$$
\overrightarrow{OM}=\cos(\beta)\;\overrightarrow{OU'}+\sin(\beta)\;
\overrightarrow{OV'},
$$
et de manière analogue
$$
\eqalign{
\overrightarrow{OU'}&=\cos(\alpha)\;\overrightarrow{OU}+\sin(\alpha)\;
\overrightarrow{OV},\cr
\overrightarrow{OV'}&=\cos(\alpha)\;\overrightarrow{OV}+\sin(\alpha)\;
\overrightarrow{OW}=-\sin(\alpha)\;\overrightarrow{OU}+\cos(\alpha)\;
\overrightarrow{OV}.\cr
}
$$
En substituant $\overrightarrow{OU'}$ et $\overrightarrow{OV'}$ dans la
formule donnant $\overrightarrow{OM}$, il vient
$$
\eqalign{
\overrightarrow{OM}&=\cos(\beta)\;
\big(\cos(\alpha)\;\overrightarrow{OU}+\sin(\alpha)\;
\overrightarrow{OV}\big)+\sin(\beta)\;\big(
-\sin(\alpha)\;\overrightarrow{OU}+\cos(\alpha)\;
\overrightarrow{OV}\big)\cr
&=\big(\cos(\alpha)\cos(\beta)-\sin(\alpha)\sin(\beta)\big)\;
\overrightarrow{OU}+
\big(\sin(\alpha)\cos(\beta)+\cos(\alpha)\sin(\beta)\big)\;
\overrightarrow{OV}.\cr}
$$
Ceci donne les formules souhaitées puisque $\cos(\alpha+\beta)$ et 
$\sin(\alpha+\beta)$ sont précisément les composantes de 
$\overrightarrow{OM}$ suivant $\overrightarrow{OU}$ et
$\overrightarrow{OV}$.\qed
\medskip
On a d'autre part les encadrements très utiles suivants, qui vont conduire
à la dérivation des fonctions trigonométriques$\,$; pour cela, il convient 
bien sûr d'attendre que la notion de dérivée soit en place.
\medskip

{\bf (9.5) Encadrements fondamentaux.} {\it Soient $M(x,y)$ et $M'(x',y')$ deux
points du cercle trigono\-métrique situés dans le quadrant supérieur
droit, tels que $0<x\le x'\le 1$ et $0\le y'\le y<1$, et soient
$0\le \theta'\le \theta$ les angles qui leur sont associés, 
mesurés en radians. Alors, si $P$ est l'intersection de la droite $(OM)$
avec la parallèle à $Oy$ passant par $M'$, et $T$, $T'$ les
intersections de $(OM)$, $(OM')$ respectivement, avec la parallèle
à $Oy$ passant par $U$, on a
{\parindent=6.5mm
\item{\rm(a)} $y-y'\le M'M\le M'P\le T'T = {y\over x} - {y'\over x'}$.
\item{\rm(b)}
$\sin(\theta)-\sin(\theta')\le \theta-\theta'\le \tan(\theta)-\tan(\theta')$.
\item{\rm(c)} En particulier, si on prend $M'=U$, $\theta'=0$ dans
{\rm(b)}, il vient
$$
\sin(\theta)\le \theta\le \tan(\theta)\qquad
\hbox{pour $\theta\in[0,\pi/2[$}.
$$}}

\InsertFig 42.000 50.000 {
1 mm unit
  20.000  20.000 moveto 
  20 circle stroke
  20.000  20.000 moveto  35.000    0.000 2.4 vector
  20.000  20.000 moveto  30.000   90.000 2.4 vector
  40.000   5.000 moveto  40.000   45.000 lineto stroke
  40.000   5.000 moveto  40.000   50.000 lineto stroke
  20.000  20.000 moveto  40.000   45.000 lineto stroke 
  20.000  20.000 moveto  40.000   38.000 lineto stroke 
   0 0.6 0 setrgbcolor     
  20.000  33.400 moveto  20.000   35.600 lineto stroke
  40.000  38.000 moveto  40.000   45.000 lineto stroke
   1 1 1 setrgbcolor
  36 32 moveto 0.8 disk
  30 37 moveto 0.8 disk
   1 0 0 setrgbcolor     
  34.850  33.400 moveto  32.500   35.600 lineto stroke
  34.850  33.400 moveto  34.850   38.550 lineto stroke
  32.500  35.600 moveto  34.850   38.550 lineto stroke 
   0 0 1 setrgbcolor     
[  1.000   0.500 ] 0 setdash
  20.000  35.600 moveto  32.500   35.600 lineto stroke 
  32.500  20.000 moveto  32.500   35.600 lineto stroke 
  20.000  33.400 moveto  34.850   33.400 lineto stroke 
  34.850  20.000 moveto  34.850   33.400 lineto stroke 
}
\LabelTeX 16.300 16.500 $O$ \ELTX
\LabelTeX 30.800 17.000 $x$ \ELTX
\LabelTeX 34.300 17.000 $x'$ \ELTX
\LabelTeX 16.800 35.500 $y$ \ELTX
\LabelTeX 16.800 31.500 $y'$ \ELTX
\LabelTeX 41.000 21.500 $U$ \ELTX
\LabelTeX 41.000 17.000 $1$ \ELTX
\LabelTeX 16.300 41.000 $V$ \ELTX
\LabelTeX 29.800 37.200 $\RGBColor{1 0 0}{M}$ \ELTX
\LabelTeX 35.300 31.700 $\RGBColor{1 0 0}{M'}$ \ELTX
\LabelTeX 34.000 40.300 $\RGBColor{1 0 0}{P}$ \ELTX
\LabelTeX 41.000 46.300 $T\kern4pt\quad({y\over x})$ \ELTX
\LabelTeX 41.000 37.000 $T'\quad({y'\over x'})$ \ELTX
\EndFig
\bigskip
\centerline{{\bf Fig.~8.} Encadrement d'une corde $M'M$ du cercle 
trigonométrique.}
\medskip

{\it Démonstration.} (a) La minoration $M'M\ge y-y'$ résulte du fait
que dans un triangle rectangle l'hypoténuse est plus grande que les
côtés de l'angle droit, en vertu du théorème de Pythagore. Plus
généralement, dans un triangle obtus, le côté opposé à l'angle obtus
est plus grand que les deux autres côtés, et la majoration $M'M\le
M'P$ résulte de cette propriété appliquée au triangle ($M'MP)$ qui a
son angle $\hat M$ obtus. Il~est d'autre part évident que $T'T$ est
plus grand que $M'P$ (dans le rapport $1/x'\ge 1$, d'après le théorème
de Thalès)$\,$\note{15}{%
Pour les esprits préférant l'algèbre, donnons une autre preuve plus 
algébrique. Comme la pente de la droite $(OM)$ 
est ${ y\over x}$, les coordonnées de $P$ sont $(x',{y\over x}x')$, et 
on a\vskip1pt
\centerline{
$\displaystyle M'P={y\over x}x'-y',\qquad
T'T={y\over x}-{y'\over x'}={1\over x'}M'P\ge M'P.$}
Grâce au théorème de Pythagore, nous obtenons directement\vskip2pt
\centerline{
$M'M=\sqrt{(x-x')^2+(y-y')^2}\ge \sqrt{(y-y')^2}=y-y'.$}
D'autre part, par élévation au carré de l'expression de 
$M'P={y\over x}(x'-x)+(y-y')$, il~vient\vskip2pt
\centerline{
$(M'P)^2\ge 2{y\over x}(x'-x)(y-y')+(y-y')^2$}
en négligeant le premier carré $({y\over x}(x'-x))^2$. Les égalités
$x^2+y^2=x^{\prime2}+y^{\prime 2}=1$ entraînent à leur tour\vskip2pt
\centerline{
$2x(x'-x)\le (x+x')(x'-x)=x^{\prime2}-x^2=y^2-y^{\prime 2}=
(y-y')(y+y')\le 2y(y-y'),$}
donc en substituant $2y(y-y')$ par $2x(x'-x)$ dans la minoration de 
$(M'P)^2$ on trouve\vskip4pt
\centerline{
$(M'P)^2\ge 2(x'-x)^2+(y-y')^2\ge (x'-x)^2+(y-y')^2=(M'M)^2.$}}.
\medskip

(b) L'encadrement du (a) peut se retraduire sous la forme
$$
\sin(\theta)-\sin(\theta')\le M'M\le\tan(\theta)-\tan(\theta').
$$
Or la longueur d'arc $\raise7.5pt\hbox{\rlap{$\kern8pt\frown$}}M'M$ est
par définition la limite, pour des subdivisions assez fines, des 
longueurs $M_0M_1+M_1M_2+\ldots+M_{n-1}M_n$
de lignes polygonales $(M_0M_1\ldots M_n)$ telles que $M_0=M'$ et
$M_n=M$. Le résultat précédent donne
$$
\sin(\theta_{i+1})-\sin(\theta_i)\le M_iM_{i+1}\le
\tan(\theta_{i+1})-\tan(\theta_i)
$$
et en sommant de $i=0$ à $i=n-1$ on trouve
$$
\sin(\theta_n)-\sin(\theta_0)\le \sum_{i=0}^{n-1}M_iM_{i+1}\le
\tan(\theta_n)-\tan(\theta_0).
$$
Par passage à la limite quand $n\to+\infty$, et tenant compte du fait 
que $\theta_0=\theta'$, $\theta_n=\theta$ il vient
$$
\sin(\theta)-\sin(\theta')\le 
\raise7.5pt\hbox{\rlap{$\kern8pt\frown$}}M'M=\theta-\theta'\le
\tan(\theta)-\tan(\theta').
$$
La propriété (b) est établie, et (c) est le cas particulier 
$\theta'=0$.\note{16}{%
Les inégalités $\sin\theta\le\theta\le\tan\theta$ se lisent aussi sur la
Fig.~6 au moyen d'un encadrement direct des aires
$$
\hbox{aire triangle $OMU$}\le
\hbox{aire secteur angulaire $OMU$}\le
\hbox{aire triangle $OTU$}.
$$
L'aire du secteur angulaire est proportionnelle à $\theta$ et vaut $\pi$
pour $\theta=2\pi$, elle vaut donc $\theta/2$. Les deux triangles ont une
base de longueur $1$, leur aire est égale à leur demi-hauteur, ce qui
donne l'encadrement
$$
{1\over 2}\sin\theta\le {1\over 2}\theta\le {1\over 2}\tan\theta.
$$
Nous avons cependant préféré donné une démonstration qui
évite tout recours à la notion «\?élaborée\?» d'aire d'un
domaine plan -- pour en revenir à la définition première de la longueur
d'arc -- même si cette démonstration est légèrement plus subtile.
Dans une première approche devant les élèves, on pourra évidemment
opter plutôt pour la justification la plus simple d'un point de vue
intuitif.}\qed
\medskip

Nous établissons maintenant les formules donnant les dérivées
des fonctions trigono\-métriques.
\medskip

{\bf (9.6) Lemme.} {\it On a
$$
\sin'(0)=\lim_{h\to 0}{\sin h\over h}=1,\qquad
\cos'(0)=\lim_{h\to 0}{\cos h-1\over h}=0.
$$}

{\it Démonstration.} Notons que pour $h\in[0,\pi/2]$ on a
$0\le\sin(h)\le h$, d'après (9.5), et la relation d'addition
$\cos(h)=\cos(h/2)\cos(h/2)-\sin(h/2)\sin(h/2)$ donne aussi
$$
\cos(h)=1-2\sin^2(h/2)\ge 1-2(h/2)^2=1-h^2/2~~
\Rightarrow~~ -{h\over 2}\le {\cos(h)-1\over h}\le 0,
$$
ce qui implique $\lim_{h\to 0}{\cos(h)-1\over h}=0$. Les inégalités
ci-dessus entraînent a fortiori $\lim_{h\to 0}\cos(h)=1$. Maintenant
l'encadrement (9.5$\,$c) donne
$$
{\sin(h)\over h}\le 1\le {\tan(h)\over h}={1\over\cos(h)}{\sin(h)\over h}~~
\Rightarrow~~\cos(h)\le {\sin(h)\over h}\le 1.
$$
Ceci montre bien que $\displaystyle\lim_{h\to 0}{\sin(h)\over h}=1$.\qed
\medskip

{\bf (9.7) Théorème.} {\it Les fonctions $\cos$ et $\sin$ sont dérivables
sur $\bR$ tout entier et on a
$$
\cos(x)=-\sin(x),\qquad \sin'(x)=\cos(x).
$$}%
{\it Démonstration.} Les formules d'addition de l'angle donnent
aussitôt
$$
\eqalign{
{\cos(x+h)-\cos(x)\over h}&=
\cos(x)\;{\cos(h)-1\over h}-\sin(x)\;{\sin(h)\over h},\cr
{\sin(x+h)-\sin(x)\over h}&=
\sin(x)\;{\cos(h)-1\over h}+\cos(x)\;{\sin(h)\over h}.\cr
}
$$
Ceci entraîne bien d'après le lemme 9.6 que le taux d'accroissement de $\cos$
tend vers~$-\sin(x)$ et que celui de $\sin$ tend vers $\cos(x)$.\qed

\section{10. Fonction exponentielle complexe}

Nous pouvons maintenant expliquer le lien très remarquable qui existe
entre la fonction exponentielle et les fonctions trigonométriques. 
Ce lien a été
découvert par Euler en~1748, bien que l'interprétation géométrique
sous-jacente n'ait été vraiment \hbox{comprise} qu'environ cinquante plus
tard avec la définition géométrique des nombres complexes par Wessel,
Argand et Gauss.\note{17}{Les exposés modernes 
«\?court-circuitent\?» souvent l'introduction de l'exponentielle 
complexe en uti\-lisant d'emblée la série entière
$\Sigma\;z^n/n!$ de la variable complexe $z$, mais cette approche nous 
paraît prématurée pour l'enseignement secondaire. L'approche historique 
correspond certainement mieux au cheminement
intellectuel fondamental de l'esprit, et nous l'estimons donc
préférable sur le plan pédagogique.}


Si on introduit le nombre complexe de module $1$
et d'argument $x$ défini par
$$
f(x)=\cos(x)+i\sin(x),
$$
ce qui définit une fonction $f:\bR\to\bC$ à valeurs dans le cercle
trigonométrique, alors les formules d'addition des
angles (9.4) et de dérivation (9.7) se traduisent par les égalités
$$
\leqalignno{
f(\alpha+\beta)&=f(\alpha)f(\beta),&(10.1)\cr
f'(x)&=-\sin(x)+i\cos(x)=i\,f(x).&(10.2)\cr
}
$$
En particulier $f$ est la solution de l'équation différentielle
$f'=if$. Comme de plus $f(0)=1$, ceci suggère fortement de poser
{\it par définition} $f(x)=e^{ix}$, c'est-à-dire $(${\it formule~d'Euler}$)$
$$
e^{ix}=\cos(x)+i\sin(x).\leqno(10.3)
$$
La formule d'addition des angles (10.1) se retraduit alors sous la forme 
naturelle
$$
e^{i(\alpha+\beta)}=e^{i\alpha}e^{i\beta}\leqno(10.4)
$$
qui peut servir à mémoriser les formules donnant 
$\cos(\alpha+\beta)$ et $\sin(\alpha+\beta)$. Comme 
$e^{-ix}=\cos(x)-i\sin(x)$, on trouve les formules également dues à Euler
$$
\cos(x)={e^{ix}+e^{-ix}\over 2},\qquad
\cos(x)={e^{ix}-e^{-ix}\over 2i},\leqno(10.5)
$$
et pour tout entier $n\in\bZ$, l'égalité $(e^{ix})^n=e^{inx}$ se traduit en 
la {\it formule de Moivre}
$$
\big(\cos(x)+i\sin(x)\big)^n=\cos(nx)+i\sin(nx).\leqno(10.6)
$$
Plus généralement, si $z=x+iy\in\bC$ est un nombre complexe quelconque,
on posera par définition
$$
e^z=e^xe^{iy}=e^x\big(\cos(y)+i\sin(y)\big).\leqno(10.7)
$$
Le nombre $e^z$ est donc par définition le nombre complexe de module 
$|e^z|=e^x$ et d'argument $y\,$:
$$
|e^z|=e^{\Re z},\qquad \arg(e^z)=\Im z\quad(\mod 2\pi).\leqno(10.8)
$$
Il est immédiat de vérifier que l'exponentielle complexe satisfait la même
propriété fonctionnelle fondamentale que l'exponentielle réelle, à savoir
$$
e^{z+z'}=e^ze^{z'}\qquad\hbox{pour tous $z,\,z'\in\bC$},\leqno(10.9)
$$
du fait que l'on a à la fois $e^{x+x'}=e^xe^{x'}$ et
$e^{i(y+y')}=e^{iy}e^{iy'}$.

Enfin, pour terminer, on observe que pour $k=a+ib\in\bC$, la fonction
$$
f(x)=e^{kx}=e^{ax}e^{ibx}=e^{ax}\big(\cos(bx)+i\sin(bx)\big)
$$
satisfait la même équation différentielle $f'=kf$ que dans le cas réel.
On a effet
$$
f'(x)=(e^{ax})'e^{ibx}+e^{ax}(e^{ibx})'=
a\,e^{ax}e^{ibx}+e^{ax}\big(ib\,e^{ibx}\big)
=(a+ib)e^{ax}e^{ibx}=k\,e^{kx}.
$$
On montre alors que les solutions complexes de l'équation différentielle
complexe
$$
f'=kf\leqno(10.10)
$$
sont exactement les fonctions $f(x)=\lambda\,e^{kx}$, $\lambda\in\bC$.
La preuve est identique à celle du cas réel.

Une fois que l'on dispose du calcul intégral et de l'intégration des 
fonctions complexes, on peut constater par des intégrations par parties
et par récurrence sur $p$ que l'on a
$$
e^z=1+{z\over 1!}+{z^2\over 2!}+\ldots+{z^p\over p!}+z^{p+1}\int_0^1
{(1-t)^p\over p!}e^{tz}dt.
\leqno(10.11)
$$
Puisque $|e^{tz}|=e^{t{\rm Re}(z)}\le e^{\max({\rm Re}(z),0)}$ pour
$t\in[0,1]$, il vient
$$
\Big|z^{p+1}\int_0^1{(1-t)^p\over p!}e^{tz}dt\Big|\le |z|^{p+1}\,
e^{\max({\rm Re}(z),0)}\int_0^1{(1-t)^p\over p!}dt
={|z|^{p+1}\over(p+1)!}e^{\max({\rm Re}(z),0)}.
$$
Comme la limite
$e^{|z|}=\lim_{p\to+\infty}S_p$ avec
$S_p=1+{|z|\over 1!}+{|z|^2\over 2!}+\ldots+{|z|^p\over p!}$ existe, 
on a 
$$
\lim_{p\to+\infty}{|z|^{p+1}\over(p+1)!}=\lim_{p\to+\infty}S_{p+1}-S_p=0,
$$
et on en conclut que la formule déjà vue
à la section 7 pour les exposants réels
$$
e^z=\lim_{p\to+\infty}
1+{z\over 1!}+{z^2\over 2!}+\ldots+{z^p\over p!}
\leqno(10.12)
$$
est encore vraie pour tout nombre complexe~$z$.

\section{11. Équations différentielles linéaires du second ordre}

On cherche ici à résoudre les équations différentielles linéaires
du second ordre, à savoir les équations de la forme
$$
af''+bf'+cf=0.\leqno(11.1)
$$
On supposera, pour une généralité maximale, que $f:\bR\mapsto\bC$,
$x\mapsto f(x)$ est une fonction complexe, et que $a,\,b,\,c$ sont des
constantes complexes (avec $a\ne 0$, sinon l'équation n'est pas du second
ordre). La linéarité de l'équation se traduit par le fait évident 
suivant$\,$:

{\bf (11.2) Propriété.} {\it Si $f_1$ et $f_2$ sont des solutions de
l'équation $(11.1)$, alors toute combinaison linéaire 
$f=\lambda_1f_1+\lambda_2f_2$ à coefficients constants
$\lambda_1,\,\lambda_2\in\bC$ est encore solution.}

Cherchons les solutions qui sont des exponentielles
$f(x)=e^{kx}$. On a $f'(x)=k\,e^{kx}$ et $f''(x)=k^2\,e^{kx}$, donc
$$
af''(x)+bf'(x)+cf(x)=(ak^2+bk+c)e^{kx}.\leqno(11.3)
$$
Par conséquent $f(x)=e^{kx}$ est solution de l'équation $(11.1)$ si et 
seulement si $k$ est solution de l'équation du second degré
$$
ak^2+bk+c=0,\leqno(11.4)
$$
appelée {\it équation caractéristique de l'équation différentielle} (on 
pourrait de même considérer des équations différentielles d'ordre $3$ et plus,
qui induirait une équation carac\-téristique polynomiale du même degré).
Si le discriminant $\Delta=b^2-4ac$ est non nul, on a deux racines complexes
$k_1$, $k_2$, donc deux solutions complexes $f_1(x)=e^{k_1x}$,
$f_2(x)=e^{k_2x}$. Ceci montre que toute combinaison linéaire
$$
f(x)=\lambda_1e^{k_1x}+\lambda_2e^{k_2x},\qquad\lambda_1,\,\lambda_2\in\bC,
\leqno(11.5)
$$
est solution de l'équation (11.1). Dans le cas où $\Delta=b^2-4ac=0$, le
polynôme caractéristique admet une racine double $k=-b/2a$. Dans ce cas
nous affirmons que les fonctions $f_1(x)=e^{kx}$ et
$f_2(x)=x\,e^{kx}$ sont toutes deux solutions de l'équation différentielle.
En effet, c'est vrai pour $f_1$ et$\,$:
$$
\eqalign{
f_2'(x)=e^{kx}+kx\,e^{kx}&=(kx+1)e^{kx},\cr
f_2''(x)=k\,e^{kx}+k(kx+1)e^{kx}&=(k^2x+2k)e^{kx},\cr
af_2''(x)+bf_2'(x)+cf_2(x)&=\big((ak^2+bk+c)x+(2ak+b)\big)e^{kx}.\cr}
$$
On observe qu'on a alors à la fois $ak^2+bk+c=0$ et $2ak+b=0$. Dans le cas
$\Delta=b^2-4ac=0$, toute combinaison linéaire
$$
f(x)=\lambda_1 e^{kx} +\lambda_2 x e^{kx}=(\lambda_1+\lambda_2 x)e^{kx},\qquad
\lambda_1,\,\lambda\in\bC.
\leqno(11.6)
$$
est donc solution de l'équation différentielle.

Réciproquement, on va voir qu'il n'y a pas d'autres solutions que les
combinaisons linéaires déjà trouvées, ce qui fait l'objet du résultat 
ci-dessous. La preuve est assez subtile et nous apparaît
comme se situant à la limite supérieure de ce qu'on peut décemment
attendre de l'enseignement secondaire général (je pense cependant que le
raisonnement sous-jacent aurait été considéré comme accessible aux
terminales C des années 1971-1985, par exemple sous forme d'un problème
à résoudre -- même si son contenu excède peut-être très légèrement le niveau
du cours de l'époque.) À ce point, il n'y aurait toutefois pas 
d'inconvénient majeur à admettre le résultat, la démonstration pouvant 
fort bien attendre une «\?deuxième couche\?» à appliquer en première 
année d'université, éventuellement dans un contexte un peu plus général.
\medskip

{\bf (11.7) Théorème.} {\it Les solutions d'une équation différentielle du
second ordre
$$
af''+bf'+cf=0
$$
à coefficients complexes sont données par les racines simples $k_1$, $k_2$ ou 
la racine double $k$ de l'équation caractéristique $ak^2+bk+c=0$, de
la manière suivante$\,:$
{\parindent=6.5mm
\item{\rm(a)} si $\Delta=b^2-4ac\ne 0$, ce sont les combinaisons linéaires
$$
f(x)=\lambda_1 e^{k_1x} +\lambda_2e^{k_2x},\qquad
\lambda_1,\,\lambda_2\in\bC\;;
$$
\item{\rm(b)} si $\Delta=b^2-4ac=0$, ce sont les combinaisons linéaires
$$
f(x)=\lambda_1 e^{kx} +\lambda_2 x e^{kx}=(\lambda_1+\lambda_2 x)e^{kx},\qquad
\lambda_1,\,\lambda_2\in\bC.
$$}}%
{\it Démonstration.} On commence par montrer l'existence d'une écriture
astucieuse. Si $f_1$ et $f_2$ sont les solutions déjà trouvées, on
cherche à écrire toute fonction $f$ dérivable sous la forme d'une
combinaison linéaire $f(x)=\lambda_1(x)f_1(x)+\lambda_2(x)f_2(x)$ 
avec des coefficients $\lambda_1(x)$, $\lambda_2(x)$ tels que
$$
\cases{
\kern3pt f=\lambda_1f_1+\lambda_2f_2,&\cr
\noalign{\vskip5pt}
f'=\lambda_1f'_1+\lambda_2f'_2.&\cr}\leqno(11.8)
$$
En effet, en multipliant la première ligne par $f'_2$, la deuxième
par $-f_2$ et en ajoutant, on trouve
$$
ff'_2-f'f_2=\lambda_1\big(f_1f'_2-f_1'f_2\big).
$$
De même, en multipliant la première ligne par $-f'_1$, la deuxième
par $f_1$ et en ajoutant, on trouve
$$
-ff'_1+f'f_1=\lambda_2\big(f_1f'_2-f_1'f_2\big).
$$
Or un calcul donne
$$
\eqalign{
\hbox{si $f_1(x)=e^{k_1x}$ et $f_2(x)=e^{k_2x}$,}
\qquad f_1(x)f'_2(x)-f_1'(x)f_2(x)&=(k_2-k_1)e^{(k_1+k_2)x},\cr
\hbox{si $f_1(x)=e^{kx}$ et $f_2(x)=x\,e^{kx}$,}
\qquad f_1(x)f'_2(x)-f_1'(x)f_2(x)&=e^{2kx},\cr}
$$
de sorte qu'on a toujours $f_1f'_2-f_1'f_2\ne 0$.
Pour que (11.8) soit réalisé il suffit donc de prendre
$$
\lambda_1={ff'_2-f'f_2\over f_1f'_2-f_1'f_2},\qquad
\lambda_2={-ff'_1+f'f_1\over f_1f'_2-f_1'f_2}.
$$
Maintenant, en dérivant la première ligne de (11.8), il vient
$$
f'=\lambda'_1f_1+\lambda'_2f_2+\lambda_1f'_1+\lambda_2f'_2
$$
et la deuxième ligne est donc équivalente à ce que 
$\lambda'_1f_1+\lambda'_2f_2=0$.
On calcule enfin $f''$ à partir de la deuxième ligne de (11.8), ce qui donne
$$
f''=\lambda_1'f'_1+\lambda'_2f'_2+\lambda_1f''_1+\lambda_2f''_2.
\leqno(11.9)
$$
En définitive, d'après (11.8) et (11.9)
$$
\eqalign{
af''+bf'+cf
&=a(\lambda_1'f'_1+\lambda'_2f'_2+\lambda_1f''_1+\lambda_2f''_2)
+b(\lambda_1f'_1+\lambda_2f'_2)+c(\lambda_1f_1+\lambda_2f_2)\cr
&=a(\lambda_1'f'_1+\lambda'_2f'_2)+
\lambda_1(af_1''+bf_1'+cf_1)+\lambda_2(af_2''+bf_2'+cf_2)\cr
&=a(\lambda_1'f'_1+\lambda'_2f'_2)\cr}
$$
puisque $f_1$ et $f_2$ sont solutions. On voit que la fonction $f$
est solution si et seulement si $\lambda_1'f'_1+\lambda'_2f'_2=0$,
mais comme on a aussi $\lambda_1'f_1+\lambda'_2f_2=0$, on constate 
(en faisant des combinaisons linéaires comme ci-dessus) que c'est le 
cas si et seulement si $\lambda_1'=\lambda_2'=0$. Ceci
montre que $\lambda_1$ et $\lambda_2$ sont des constantes et que
$f$ est nécessairement combinaison linéaire de $f_1$, $f_2$
à coefficients constants.\qed
\medskip
Un cas particulier intéressant est celui de l'équation différentielle
$$
f''+\omega^2f=0\leqno(11.10)
$$
où $\omega$ est un nombre réel positif. L'équation caractéristique
est $k^2+\omega^2=0$, ses solutions sont $k_1=i\omega$ et $k_2=-i\omega$.
Les solutions de(11.10) sont donc de la forme
$$
f(x)=\lambda_1e^{i\omega x}+\lambda_2e^{-i\omega x}.
\leqno(11.11)
$$
Grâce aux formules d'Euler, on peut aussi les écrire de manière
équivalente en termes des fonctions $\cos$ et $\sin\,$:
$$
f(x)=\lambda \cos(\omega x)+\mu\,\sin(\omega x).
\leqno(11.12)
$$
Sous cette dernière écriture, les solutions réelles sont obtenues 
pour des coefficients $\lambda,\,\mu$ réels. Dans ce cas, si on pose
$\rho= \sqrt{\lambda^2+\mu^2}$ («\?amplitude des oscillations\?» ), 
on~peut trouver un angle $\varphi$ (appelé «\?phase\?» ) tel que $\cos(\varphi)=\lambda/\rho$ et 
$\sin(\varphi)=-\mu/\rho$, ce~qui donne l'expression équivalente
$$
f(x)=\rho \cos(\omega x+\varphi)
\leqno(11.12')
$$
avec des constantes $\rho,\,\varphi$ quelconques.
\medskip

{\bf (11.13) Remarque.} Plus généralement, pour une équation 
$af''+bf'+cf=0$ à coefficients réels avec $\Delta=b^2-4ac<0$, on a 
deux racines conjuguées $k_1=-{b\over 2a}+i\omega$, 
$k_2=-{b\over 2a}-i\omega$ avec $\omega=\sqrt{|\Delta|}$.
Ceci donne les solutions
$$
f(x)=e^{-{b\over 2a}x}\big(\lambda_1e^{i\omega x}+\lambda_2e^{-i\omega x}\big)
$$
ou encore
$$
f(x)=e^{-{b\over 2a}x}\big(\lambda \cos(\omega x)+\mu\,\sin(\omega x)\big),
\leqno(11.14)
$$
les solutions réelles étant obtenues pour $\lambda,\,\mu$ réels. Une autre
écriture équivalente consiste à poser
$$
f(x)=\rho\,e^{-{b\over 2a}x}\,\cos(\omega x+\varphi)
\leqno(11.14')
$$
avec des constantes $\rho,\,\varphi$ quelconques (fonction 
«\?oscillante amortie\?», si $b/a>0$).
\medskip

Nous n'aborderons pas ici les questions de physique directement
liées à la résolution des équations différentielles d'ordre $2$, et qui
devraient venir enrichir le cours de mathé\-matiques$\,$:
ondes, oscillations du pendule ou du peson à ressort, 
phénomènes oscillatoires amortis $\,\ldots$

\section{12. Conclusions}

Le mathématicien René Thom a souligné il y a plusieurs décennies
que la «\?connaissance intime\?» du nombre n'existe que si 
tout nombre peut être conçu comme le résultat possible des diverses
opérations mathématiques susceptibles d'être appliquées.

Il existe une continuité très forte entre l'apprentissage de la numération 
(énumérer $1$, $2$, $3$, $4$, $\ldots$ aux premiers âges), celui des petits
nombres jusqu'à la centaine un peu plus tard, l'acquisition 
des algorithmes opératoires du calcul écrit, le calcul mental, l'estimation
correcte des ordres de grandeur et le calcul approché. Tous ces apprentissages
sont liés à une intuition fine des grandeurs physiques (longueurs, poids, 
aires,
volumes, $\ldots$), à leur expression en termes des unités fondamentales 
et leurs sous-unités, prémices de ce qui sera le calcul dimensionnel des
physiciens et le calcul algébrique des mathématiciens au collège et au lycée.
Le calcul écrit
permet à l'élève de soulager sa mémoire lorsqu'il effectue ses premiers pas,
il l'aide à fixer ses connaissances de manière solide, et il est surtout
totalement nécessaire à la maîtrise des algorithmes opératoires sur des
nombres de taille quelconque$\,$; le calcul
mental, indispensable dans la vie courante, utilise des procédures un peu 
différentes de celles du calcul écrit mais repose sur les mêmes fondements,
à savoir une connaissance parfaitement fluide des tables d'opérations. La
connaissance de la table de multiplication et le calcul des 
puissances de 10 (qui sont des opérations exactes$\,$!) sont essentiels 
à la maîtrise fine et contrôlée des ordres de grandeur, même si une
intuition de la taille des nombres pré-existe sans doute dans
le cerveau humain.

L'algorithme général de la division est le plus complet de tous
puisqu'il implique à la fois addition, multiplication et soustraction.
Il est extrêmement utile dans la maîtrise des ordres de grandeur du 
calcul approché$\,$: trouver
le bon chiffre au diviseur requiert déjà une évaluation rapide du
résultat d'une multiplication par un nombre à un chiffre. Plus tard, au 
collège, l'algorithme de la division appuyé par la manipulation des racines
carrées doit constituer le fondement du calcul approché sur les nombres
décimaux. La pratique des encadrements décimaux avec une précision
quelconque aussi grande qu'on le souhaite permet à l'élève d'accéder de manière
rigoureuse à la notion de nombre réel, et au delà, au lycée, à toute l'analyse
mathématique.

C'est ainsi que l'enseignement du calcul est lié de manière fondamentale
à celui de toutes les sciences. D'abord parce qu'il intervient 
sous la forme de la mesure des grandeurs et de la vérification des lois
physiques dans les sciences expérimentales. Mais aussi parce 
que le calcul approché sur les nombres décimaux et la notion de limite
constituent les fondements de l'analyse mathématique et du calcul
différentiel, et que ceux-ci sont deux piliers essentiels sur lesquels 
viennent s'appuyer toutes les sciences exactes ou expérimentales, chaque
fois que leurs lois doivent être modélisées sous forme mathématique.

Les programmes actuels du primaire, dans leur esprit tout autant que
par les méthodes pédagogiques qu'ils présupposent,
déconnectent l'appren\-tissage de la numé\-ration de celui des quatre
opérations, ainsi que celui des quatre opérations entre elles.  Ils
mini\-misent de manière dramatique l'importance de la maîtrise des
algorithmes du calcul écrit et par contre-coup obèrent gravement
l'apprentissage du calcul mental. Ils ne prennent pas en charge de
manière efficace les calculs sur les grandeurs (le lien entre
longueur, aire et volumes a presque disparu, les volumes ont disparu
au profit des seules «\?contenances\?» ). Ils conduisent de tous
ces points de vue à un retard qu'on peut estimer à deux années ou plus
par rapport aux programmes de la période 1880--1970. L'organisation
des études et tous les programmes de sciences du collège et du lycée
sont eux-mêmes à reprendre si l'on veut aboutir à une situation où les 
élèves soient réellement en mesure d'accéder en grand nombre à une
véritable culture scientifique -- assise non pas
seulement sur une imprégnation superficielle mais sur une
réelle compréhension des mécanismes fondamentaux.

C'est bien là que se situent les enjeux si notre pays veut
réellement enrayer la désaf\-fec\-tion pour les études scientifiques
constatée dans tous les nations occidentales. Au delà du manque de
reconnaissance de la valeur du savoir dans notre société, ce
phénomène nous paraît tenir en grande partie aux difficultés scolaires
rencontrés par les élèves face à des programmes décousus substituant
un catéchisme scolaire dogmatique à une compréhension intériorisée et
approfondie, et entraînant par là même ennui, désintérêt ou refus. Il
ne suffira pas de décréter chaque année une Semaine de la Science ou
de mettre en place des séries de conférences de Culture Scientifique
en fin de lycée ou en début d'université. Toutes les progressions
scolaires déstructurées par des réformes incohérentes et
inconsistantes depuis trois ou quatre décennies sont malheureusement à
repenser, et les réformes à envisager sont donc considérables. Compte
tenu de la perte d'expérience engendrée dans tout le système de formation
par la dégradation ou l'abandon de pans essentiels de l'enseignement 
(calcul, géométrie, 
grammaire, orthographe, syntaxe de la langue, logique$\,\ldots$), les réformes
ne pourront  vraisemblablement se faire que par paliers successifs,
au moyen d'expérimentations approfondies sur le terrain.

\end

% Local Variables:
% TeX-command-default: "uTeX"
% End:
