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\def\note#1#2{\footnote{${}^{\hbox{\sevenrm(#1)}}$}
{\baselineskip=8pt{\eightrm #2}\vskip-15pt}}

\def\lguil{\strut\hbox{%
\raise1pt\hbox{$\scriptscriptstyle\langle\!\langle\kern1pt$}}}
\def\rguil{\strut\hbox{%
\raise1pt\hbox{$\kern1pt\scriptscriptstyle\rangle\!\rangle$}}}


{\bigbf Adrien Douady et les espaces analytiques banachiques}
\vskip3mm
par Jean-Pierre Demailly, Siegmund Kosarew et Bernard Malgrange

{\it Universit\'e de Grenoble I, Institut Fourier, 38400 Saint-Martin 
d'H\`eres}
\vskip15mm

Les premiers travaux d'Adrien Douady remontent au tout d\'ebut des
ann\'ees 1960$\;$; ils r\'ev\`elent d'embl\'ee une grande \'etendue de
pr\'eoccupations math\'ematiques~: topologie diff\'e\-rentielle [D1],
[D6], th\'eorie de Galois [D3], analyse fonctionnelle [D2],
[D4]$\,\ldots$ Ils~vont se focaliser ensuite pendant une quinzaine
d'ann\'ees sur la th\'eorie des espaces analytiques banachiques, pour
aboutir assez vite \`a la c\'el\`ebre th\`ese [D7] men\'ee sous la
direction de Henri Cartan, et publi\'ee aux Annales de l'Institut
Fourier en 1966.

Nous ne pouvons pas r\'esister au plaisir de citer les trois premi\`eres
phrases introductives du m\'emoire de th\`ese, qui permettent se bien
situer l'humour math\'ematique tr\`es particulier de~Douady~:

\lguil~{\it Soit $X$ un espace analytique complexe. 

Le but de ce travail est de munir son auteur du grade de docteur
\`es-sciences math\'e\-matiques et l'ensemble $H(X)$ des sous-espaces
analytiques compacts de $X$ d'une structure d'espace analytique.

Pour formuler de fa\c{c}on plus pr\'ecise le second probl\`eme, on a besoin
de la notion de famille analytique de sous-espaces compacts de $X$}.\rguil

La petite histoire\note{1}{Le troisi\`eme auteur a eu le privil\`ege d'\^etre le
t\'emoin direct du travail de th\`ese d'Adrien Douady, et d'en suivre 
de pr\`es quelques unes des \'etapes~!}
dit que la derni\`ere phrase avait \'et\'e
initialement libell\'ee \lguil~{\it Pour formuler de fa\c{c}on 
plus pr\'ecise ce probl\`eme~$\ldots$}\rguil\ et que c'est la seule
correction qui ait \'et\'e demand\'ee express\'ement par Henri Cartan$\;$!

Dans ce travail, Douady met \`a la disposition de la communaut\'e
le concept nouveau d'espace analytique banachique, et d\'eveloppe
\`a cette occasion d'autres notions importantes, comme celle des 
polycylindres privil\'egi\'es\note{2}{Notion d\'ej\`a pr\'esente en 1944 dans 
les travaux de H.~Cartan sur les id\'eaux de fonctions holomorphes, m\^eme si
la terminologie de polycylindres privil\'egi\'es utilis\'ee aujourd'hui
a \'et\'e introduite plus tard.}, afin de montrer l'existence d'un
espace des modules qui porte aujourd'hui son nom. Le r\'esultat spectaculaire
de Douady est la r\'eponse affirmative \`a une conjecture de A.~Grothendieck,
\'enonc\'ee quelques ann\'ees auparavant au S\'eminaire H.~Cartan, concernant
l'existence d'un espace analogue au sch\'ema de Hilbert, mais valable
dans le cadre plus g\'en\'eral de la g\'eom\'etrie analytique. 

L'un des aspects remarquables de la th\'eorie d\'evelopp\'ee par
Douady est le recours \`a l'analyse de dimension infinie pour aboutir
{\it in fine} \`a des r\'esultats qui ne concernent que la dimension
finie. Le style de r\'edaction de la th\`ese -- inspir\'e
certainement en partie par celui de N.~Bourbaki -- est d'une clart\'e
et d'une pr\'ecision exemplaires, qui rendent ce texte tr\`es
accessible, m\^eme pour les chercheurs souhaitant d\'ecouvrir le
sujet. Dans d'autres travaux connexes, Douady d\'eveloppe le concept
de voisinages privil\'egi\'es et ses implications en g\'eom\'etrie
analytique (platitude, images directes$\;\ldots$), notamment dans
[D8], puis dans [D9] en collaboration avec Jacques Frisch et Andr\'e
Hirschowitz.

Un autre probl\`eme encore plus difficile, pos\'e \'egalement par
A.~Grothendieck au S\'emi\-naire Cartan, est celui de l'existence d'un
espace de modules local pour un espace complexe compact donn\'e. Gr\^ace
\`a l'analyse de l'op\'erateur de Cauchy-Riemann et \`a la th\'eorie de la
d\'eformation de Kodaira-Spencer, Kuranishi en avait donn\'e une
solution en 1962 pour les vari\'et\'es compactes lisses [17]. D\`es
1964, Douady obtient une autre preuve du r\'esultat de Kuranishi, qu'il
pr\'esente au s\'eminaire Bourbaki dans [D5]$\;$; il~s'y appuie
pour la premi\`ere fois sur la th\'eorie des espaces analytiques
banachiques qui constituera l'essence de sa th\`ese. Pr\`es de dix ans
plus tard, le cas g\'en\'eral de l'espace des modules local d'un espace
analytique compact quelconque est enfin r\'esolu par Douady lui-m\^eme,
qui publie la solution compl\`ete [D12] dans les Annales de l'\'Ecole
Normale Sup\'erieure en 1974. \`A cette \'epoque le probl\`eme
\'etait devenu l'objet d'une vive concurrence, avec notamment des
travaux ind\'ependants de H.~Grauert ([10], publi\'e aussi en 1974),
V.~Pala\-modov ([19], 1976) et O.~Forster/K.~Knorr ([8], 1979),
aboutissant au m\^eme r\'esultat et utilisant (sauf celui de
Forster/Knorr) les espaces analytiques banachiques de Douady. Ces
espaces avaient d\'ej\`a permis \`a I.F.~Donin [5] de montrer en~1972
-- avec une d\'emonstration d'une simplicit\'e frappante --
l'existence d'un espace de modules local pour les singularit\'es
isol\'ees, un probl\`eme dont une solution ``formelle'' avait \'et\'e
\'etabli un peu avant par A.~Kas et M.~Schlessinger [13].

L'impact des id\'ees de Douady, via le passage audacieux par la
dimension infinie, se poursuit tout au long des ann\'ees 1970 et au
del\`a. Il s'agit en g\'en\'eral de d\'emontrer l'existence d'espaces
de modules pour les objets naturels les plus fondamentaux de la
g\'eom\'etrie analytique.  On peut ainsi mentionner l'existence
d'espaces de \hbox{modules} locaux pour les applications holomorphes
propres, ou pour les vari\'et\'es complexes strictement pseudoconvexes
(pour ce contexte plus g\'en\'eral, on pourra consulter le livre de
J.~Bingener/S.~Kosarew [2] et les travaux de V.~Palamodov [19],
[20]). Les id\'ees de Douady en th\'eorie de la d\'eformation ont
m\^eme trouv\'e une incarnation axiomatique tr\`es syst\'e\-matique dans
le livre de H.~Stieber [23] publi\'e en 1988.

Dans des directions voisines (que Douady lui-m\^eme n'a pas
explor\'ees directement, mais qu'il a suivies de pr\`es\note{3}{C'est
dans un cours de 3\`eme cycle de Douady donn\'e \`a Paris en 1977/78
que le premier auteur a appris beaucoup des faits qui
suivent.}), un fort
courant d'int\'er\^et a \'et\'e la recherche de preuves bana\-chiques
simples et convaincantes du th\'eor\`eme des images directes de
Grauert \hbox{[9]~--~l\`a} encore un \'enonc\'e propos\'e initialement par
A.~Grothendieck~: {\it les images directes d'un faisceau analytique
coh\'erent par un morphisme analytique propre sont elles-m\^emes des
faisceaux coh\'erents}.  Une telle preuve a \'et\'e obtenue par 
Knorr\note{4}{Le deuxi\`eme auteur a \'et\'e introduit aux travaux de Douady
sur la vive recommandation de K.~Knorr, alors qu'il \'etait \'etudiant
en 4\`eme ann\'ee \`a l'Universit\'e de Regensburg~...}
en 1969 ([15], [16]), puis par Forster/Knorr [6], [7] et Kiehl/Verdier
[14] en exploitant la th\'eorie des espaces nucl\'eaires de
Grothendieck, et au moyen d'une vaste g\'en\'eralisation des id\'ees
de L.~Schwartz [22] sur les perturbations compactes des op\'erateurs
continus$\;$; le principe de base en est en quelque sorte une version
relative du th\'eor\`eme de Montel sur les familles normales de
fonctions holomorphes, dont le cas absolu est le th\'eor\`eme
fondamental de Cartan-Serre [4] sur la finitude de la cohomologie des
faisceaux coh\'erents sur les espaces analytiques compacts. Dans son
s\'eminaire commun avec J.-L.~Verdier \`a l'\'Ecole Normale
Sup\'erieure en 1971/72, Douady participera \`a la r\'edaction d'une
s\'erie d'expos\'es plus didactiques [D10] publi\'es dans
Ast\'erisque, destin\'es \`a expliquer toutes ces th\'eories aux non
sp\'ecialistes. A peu pr\`es \`a la m\^eme \'epoque, Ch.~Houzel [12]
obtient une autre preuve reposant sur la consid\'eration des complexes
d'espaces bornologiques, et finalement R.~Levy parvient en 1985 \`a
mettre au point une version param\'etrique du th\'eor\`eme de
perturbation de Schwartz qui aboutit \`a une nouvelle d\'emonstration
encore plus simple [18].

Beaucoup d'autres travaux ult\'erieurs feront un usage essentiel de
l'analyse complexe de dimension infinie, suivant une philosophie \`a laquelle
Douady a grandement contribu\'e. Ainsi D.~Barlet [1] d\'emontre en 1974
l'existence d'un espace analytique r\'eduit des cycles compacts d'un
espace analytique complexe de dimension finie, au moyen de techniques
de recollement pour les espaces (de dimension infinie) de fonctions
holomorphes \`a valeurs dans des puissances sym\'etriques ad hoc. Plus
r\'ecemment, l'introduction des courbes pseudo-holomorphes par Gromov
[11], la th\'eorie des invariants de Gromov-Witten et de la cohomologie
quantique pour les vari\'et\'es symplectiques (voir par exemple [21])
ont confirm\'e l'importance cruciale des techniques banachiques pour
la cons\-truction des espaces de \hbox{modules} et l'\'etude de la
topologie diff\'erentielle des vari\'et\'es --~au moins dans
le versant analytique de ces th\'eories.

Dans l'intervalle, Adrien Douady s'\'etait tourn\'e vers la conqu\^ete 
d'autres univers math\'e\-matiques, ceux des syst\`emes dynamiques holomorphes
et de la g\'eom\'etrie fractale$\;\ldots$
\bigskip

{\bf R\'ef\'erences des travaux cit\'es d'Adrien Douady}
\medskip

{\eightrm
\baselineskip=10pt

[D1] S\'eminaire Cartan 1961/62, expos\'e No.~1 : {\eightit Vari\'et\'es \`a
bord anguleux et voisinages tubulaires} ; expos\'e No.~2 : {\eightit
Th\'eor\`emes d'isotopie et de recollement}~; expos\'e No.~3 : {\eightit
Arrondissement des ar\^etes.}

[D2] avec Jacques Dixmier: {\eightit Champs continus d'espaces
hilbertiens et de $C^*$-alg\`ebres}, Bull.\ Soc.\ Math.\ France {\eightbf
91} (1963) 227--284

[D3] {\eightit D\'etermination d'un groupe de Galois}, 
C.~R.\ Acad.\ Sci.\ Paris {\eightbf 258} (1964) 5305--5308.

[D4] {\eightit Espace des sous-modules d'un module de Banach}, C.~R.\
Acad.\ Sci.\ Paris {\eightbf 258} (1964) 5783--5785.

[D5] {\eightit Le probl\`eme des modules pour les vari\'et\'es analytiques
complexes, d'apr\`es M. Kuranishi}, expos\'e No.~277 au s\'eminaire
Bourbaki de D\'ecembre 1964.

[D6] avec Michel Lazard : {\eightit Espaces fibr\'es en alg\`ebres de Lie et en
groupes}, Invent.\ Math.\ {\eightbf 1} (1966) 133--151.

[D7] {\eightit Le probl\`eme des modules pour les sous-espaces
analytiques compacts d'un espace analytique donn\'e}, Ann.\ Inst.\
Fourier {\eightbf 16} (1966) 1--95.

[D8] {\eightit Flatness and privilege}, Enseignement Math.\ {\eightbf 14} 
(1968) 47--74.

[D9] avec Jacques Frisch et Andr\'e Hirschowitz~: {\eightit
Recouvrements privil\'egi\'es}, Ann.\ Inst.\ Fourier {\eightbf 22} (1972)
59--96.

[D10] {\eightit Le th\'eor\`eme des images directes de Grauert (d'apr\`es
Kiehl-Verdier)}, S\'eminaire Bourbaki, 24$\;$\`eme ann\'ee (1971/1972), Exp.\ 
No.~404, p.$\,$73--87, Lecture Notes in Math., Vol.~317, Springer, Berlin, 
1973.

[D11] {\eightit Quelques probl\`emes de modules}, S\'eminaire de
G\'eom\'etrie Analytique de l'\'Ecole Normale Sup\'e\-rieure de Paris,
1971-1972, p.$\,$49--62, Ast\'erisque No.~16, Soc.\ Math.\ France,
Paris, 1974.

[D12] {\eightit Le probl\`eme des modules locaux pour les espaces 
$\hbox{\eightBbb C}$-analytiques compacts}, 
Ann.\ Sci.\ \'Ecole Norm.\ Sup.\ {\eightbf 7} (1974) 569--602.\par}
\bigskip

{\bf Autres r\'ef\'erences}
\medskip

{\eightrm
\baselineskip=10pt

[1] D.~Barlet, {\eightit Espace analytique r\'eduit des cycles analytiques 
complexes compacts d'un espace analytique complexe de dimension
finie}, S\'em. \ Fran\c{c}ois Norguet 1974-1975, Fonctions de plusieurs 
variables complexes, II, p.$\;$1-158. Lecture Notes in Math., Vol.~482,
Springer, Berlin, 1975.

[2] J.~Bingener, S.~Kosarew, {\eightit Lokale Modulr\"aume in der analytischen
Geometrie}, Aspekte der Mathematik D2, D3, Vieweg Verlag, Braunschweig
1987.

[3] H.~Cartan, {\eightit Th\`ese de Douady}, Expos\'e No.~296 au
s\'eminaire Bourbaki de Novembre 1965.

[4] H.~Cartan, J.-P.~Serre, {\eightit Un th\'eor\`eme de finitude
concernant les vari\'et\'es analytiques compactes}, C.~R.\ Acad.\ Sc.\
{\eightbf 237} (1953) 128--130.

[5] I.~F.~Donin, {\eightit Complete families of deformations of germs
of complex spaces}, Mat.\ Sbornik (N.S.) {\eightbf 89} (131) (1972),
390--399.  [English translation, Math.\ USSR-Sbornik {\eightbf 18}
(1972), 397--406].

[6] O.~Forster, K.~Knorr, {\eightit Ein Beweis des Grauertschen
Bildgarbensatzes nach Ideen von B.~Malgrange}, Manuscripta Math.\
{\eightbf 5} (1971), 19--44.

[7] O.~Forster, K.~Knorr, {\eightit Relativ-analytische R\"aume und
die Koh\"arenz von Bildgarben}, Invent.\ Math.\ {\eightbf 16} (1972),
113--160.

[8] O.~Forster, K.~Knorr, {\eightit Konstruktion verseller Familien
kompakter komplexer R\"aume}, Lecture Notes in Mathematics 705,
Springer, Berlin, 1979. vii+141 p.

[9] H.~Grauert, {\eightit Ein Theorem der analytischen Garbentheorie und
die Modulr\"aume komplexer Strukturen}, Publ.\ Math.\ I.H.E.S.\ {\eightbf 5}
(1960) 233--292.

[10] H.~Grauert, {\eightit Der Satz von Kuranishi f\"ur kompakte
komplexe R\"aume}, Invent.\ Math.\ {\eightbf 25} (1974), 107--142.

[11] M.~Gromov, {\eightit Pseudo holomorphic curves in symplectic manifolds}, 
Invent.\ Math.\ {\eightbf 82} (1985) 307--347.

[12] Ch.~Houzel, {\eightit Espaces analytiques relatifs et
th\'eor\`eme de finitude}, Math.\ Annalen {\eightbf 205} (1973)
13--54.

[13] A.~Kas et M.~Schlessinger, {\eightit On the versal deformation of
a complex space with an isolated singularity}, Math.\ Ann.\ {\eightbf
196} (1972), 23--29.

[14] R.~Kiehl, J.-L.~Verdier, {\eightit Ein einfacher Beweis des
Koh\"arenzsatzes von Grauert}, Math.\ Ann.\ {\eightbf 195} (1971)
24--50.

[15] K.~Knorr, {\eightit Le th\'eor\`eme de projection de Grauert},
S\'eminaire sur les Espaces Analytiques, Bucarest, 1969, p.$\;$17--24,
Editura Acad.~R.S.R., Bucarest.

[16] K.~Knorr, {\eightit Der Grauertsche Projektionssatz}, Invent.\
Math.\ {\eightbf 12} (1971), 118--172.

[17] M.~Kuranishi, {\eightit On the locally complete families of
complex analytic structures}, Ann.\ of Math.\ {\eightbf 75} (1962)
536--577.

[18] R.~Levy, {\eightit A new proof of the Grauert direct image theorem},
Proc.\ Amer.\ Math.\ Soc.\ {\eightbf 99} (1987) 535--542.

[19] V.~P.\ Palamodov, {\eightit Deformations of complex spaces},
Uspekhi Mat.\ Nauk {\eightbf 31} (1976), no.~3 (189), 129--194.
[English translation$\,$: Russian Math.\ Surveys {\eightbf 31} (1976), no.~3, 
129--197].

[20] V.~P.\ Palamodov, {\eightit The tangent complex of an analytic space},
Trudy Sem.\ Petrovsk.\ {\eightbf 4} (1978), 173--226.

[21] Y.~Ruan and G.~Tian, {\eightit A mathematical theory of quantum
cohomology}, J.\ Differential Geom.\ {\eightbf 42} (1995) 259--368.

[22] L.~Schwartz, {\eightit Homomorphismes et applications compl\`etement
continues}, C.~R.\ Acad.\ Sc.\ {\eightbf 236} (1953) 2472--2473.

[23] H.~Stieber, {\eightit Existenz semiuniverseller Deformationen in
der komplexen Analysis}, Aspects of Mathematics, D5, Friedr.\ Vieweg \&
Sohn, Braunschweig, 1988, xxviii+179.\par}

\end

[19] B.~Malgrange, {\eightit Lectures on the theory of functions of several 
complex variables}, Tata Institute, Bombay, 1958.

