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\long\def\theorem#1|#2\endtheorem{\par\vskip 5pt\noindent
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  {\raise1.4pt\hbox{$\scriptscriptstyle\succ$}}}}

\noindent
G\'eom\'etrie Analytique/{\it Analytic Geometry}
\vskip10pt

\centerline{\twelvebf Propri\'et\'es de semi-continuit\'e de la cohomologie}
\centerline{\twelvebf et de la dimension de Kodaira-Iitaka}
\vskip4pt
\centerline{Jean-Pierre {\smallcap Demailly}}

{\leftskip=5mm\rightskip=5mm
{\eightpoint\vskip3pt
{\eightbfit R\'esum\'e} -- Soit $\cX\to S$ un morphisme analytique propre
et plat d'espaces complexes r\'eduits, de fibres $(X_t)_{t\in S}$. Etant
donn\'e un faisceau $\cE$ sur $\cX$ de $\cO_\cX$-modules localement
libres, induisant sur les fibres une famille de faisceaux \hbox{$(E_t
\to X_t)_{t\in S}$}, nous montrons que les dimensions de cohomologie
$h^q(t)=h^q(X_t,E_t)$ satisfont la propri\'et\'e de semi-continuit\'e
suivante: pour tout $q\ge 0$, la somme altern\'ee
\hbox{$h^q(t)-h^{q-1}(t)+\ldots+(-1)^qh^0(t)$} est semi-continue
sup\'erieurement pour la topologie de Zariski. En particulier, $\cE$
\'etant suppos\'e de rang $1$, si le faisceau $E_0$ au dessus d'une
fibre $X_0$, $0\in S$, a une dimension de Kodaira-Iitaka
$\kappa(E_0)=d_0\ge 0$ et si $h^0(X_0,E_0^{\otimes m})$ cro\^{\i}t plus
vite que $h^1(X_0,E_0^{\otimes m})$, alors $\kappa(E_t)\ge d_0$ pour $t$
voisin de~$0$.\vskip3pt}}

\vskip5pt\noindent
\centerline{\bf Semicontinuity properties of cohomology}
\centerline{\bf and of Kodaira-Iitaka dimension}
\vskip3pt
{\leftskip=5mm\rightskip=5mm
{\eightpoint
{\eightbfit Abstract} -- {\it Let $\cX\to S$ be a proper and flat
morphism of complex spaces, and let $(X_t)_{t\in S}$ be the fibres.
Given a sheaf $\cE$ over $\cX$ of locally free $\cO_\cX$-modules,
inducing on the fibres a family of sheaves \hbox{$(E_t\to X_t)_{t\in S}$},
we show that the cohomology group dimensions $h^q(t)=h^q(X_t,E_t)$
satisfy the following semicontinuity property: for every $q\ge 0$, the
alternate sum \hbox{$h^q(t)-h^{q-1}(t)+\ldots+ (-1)^qh^0(t)$} is upper
semicontinuous for the Zariski topology. In particular, for $\cE$ of
rank $1$, if the sheaf $E_0$ over a fibre $X_0$, $0\in S$, has a
Kodaira-Iitaka dimension $\kappa(E_0)=d_0\ge 0$ and if
$\smash{h^0(X_0,E_0^{\otimes m})}$ grows faster than
$\smash{h^1(X_0,E_0^{\otimes m})}$, then $\kappa(E_t)\ge d_0$ for $t$
near~$0$.\vskip0pt}}}

\title {\tenbfit Abridged English version}|Let $\cX\to S$ be a proper and
flat morphism of reduced complex spaces, and let $(X_t)_{t\in S}$ be the
fibres. Given a sheaf $\cE$ over $\cX$ of locally free $\cO_\cX$-modules,
inducing on the fibres a family of sheaves $(E_t\to X_t)_{t\in S}$, it is
well-known that the cohomology group dimensions $h^q(t)=h^q(X_t,E_t)$ are
upper semicontinuous; this was first shown by Kodaira-Spencer [KoS57] in the
case of a smooth deformation $\cX\to S$. In fact, the following stronger
semicontinuity property (almost explicitly contained in H.~Flenner's
results [Fle81a]) holds:

\theorem Theorem|For every $q\ge 0$, the alternate sum
$h^q(t)-h^{q-1}(t)+\ldots+(-1)^qh^0(t)$
is upper semicontinuous for the $($analytic$)$ Zariski topology.
\endtheorem

In the above analytic situation, the proof is an easy consequence of
the method developed by Kiehl-Verdier [KiV71] to prove Grauert's direct
image theorem [Gra60], modulo an elementary linear algebra argument. In
fact, Kiehl-Verdier proved that there exists locally on $S$ a complex
$(\cV^q,d)$ of locally free sheaves which admits precisely the direct
images $R^q\pi_\star\cE$ as its cohomology sheaves. Moreover, as
$\pi:\cX\to S$ is flat, the fibre cohomology groups $H^q(X_t,E_t)$ are
obtained from the complex of finite dimensional vector spaces $(V_t^q,d_t)$,
where \hbox{$V_t^q=\cV^q\otimes_{\cO_S}\cO_{S,t}/\gothm_{S,t}$} (see e.g.\
[DoV72], expos\'e \hbox{II-bis}). If $Z^q_t$ denotes the kernel of 
$d^q_t:V^q_t\to V^{q+1}_t$, then $z^q(t):=\dim Z^q_t$ is an upper
semicontinuous function for the Zariski topology. This is easily seen
by looking at the rank of the minor determinants of the matrix of
$d^q:\cV^q\to\cV^{q+1}$. Since the truncated complex
$$0\to V^0_t\to V^1_t\to\ldots\to V^{q-1}_t\to Z^q_t\to 0$$
admits $H^j(X_t,E_t)$, $0\le j\le q$, as its sole cohomology groups, we infer
$$h^q(t)-h^{q-1}(t)+\ldots+(-1)^qh^0(t)=z^q(t)-v^{q-1}+v^{q-2}+\ldots+
(-1)^qv^0,$$
where $v^q$ denotes the rank of $\cV^q$. The Theorem follows. A similar
proof can be obtained via harmonic forms and Hodge theory (but the
semicontinuity is then proved only for the ``ordinary''  topology on~$S$).
For rank $1$ sheaves $E_t$, the upper semicontinuity of $h^1(t)-h^0(t)$
implies the following

\theorem Consequence|If the sheaf $E_0$ over a fibre $X_0$,
$0\in S$, has a Kodaira-Iitaka dimension $\kappa(E_0)=d_0\ge 0$ and if 
$$\limsup_{m\to+\infty}m^{-d_0} \big(h^0(X_0,E_0^{\otimes m})-
h^1(X_0,E_0^{\otimes m})\big)>0,$$
then $\kappa(E_t)\ge d_0$ for $t$ near $0$ in the Zariski topology.
In particular, if $X_0=X$ is a nonsingular variety of Kodaira dimension
$\kappa(X):=\kappa(K_X)=d_0$ such that $h^0(X,\smash{K_X^{\otimes m}})$
grows faster than $h^1(X,\smash{K_X^{\otimes m}})$ by a term of magnitude
$c\,m^{d_0}$, then every small deformation $X_t$ satisfies
$\kappa(X_t)\ge d_0$.
\endtheorem

Easy examples show that $\kappa(E_t)$ is in general neither upper nor
lower semicontinuous (even with respect to the ordinary topology), without
further assumptions on $h^1(X_t,E_t^{\otimes m})$. On the other hand,
according to a more or less standard conjecture, it is expected that
the Kodaira dimension $\kappa(X_t)$ should be constant for an arbitrary
smooth deformation. I would like to thank S.~Kosarew for pointing out
such questions and for other stimulating discussions. In order to apply
the above results to deformations of varieties of general type, it
would be interesting to know whether every birational class of
varieties of general type contains a normal variety $X$ with only
$\bq$-Gorenstein terminal singularities, such that
$h^0(X,\smash{K_X^{\otimes m}})- h^1(X,\smash{K_X^{\otimes m}})\ge
c\,m^{\dim X}$ for $m$ large. This is indeed the case if a minimal
model $X$ exists (i.e.\ if $K_X$ can be taken numerically effective).
Moreover, in the above general setting, we conjecture that
$$\limsup_{m\to+\infty}m^{-n}
\big(h^q(X_t,E_t^{\otimes m})-h^{q-1}(X_t,E_t^{\otimes m})+\ldots
+(-1)^qh^0(X_t,E_t^{\otimes m})\big)$$
is an upper semicontinuous function of $t$ (in the ordinary topology, say).
We expect that this will follow from a careful analysis of the spectral
theory of complex Laplace-Beltrami operators, at least when $\cX\to S$ is
smooth.
 
\title 1. Semi-continuit\'e des dimensions de cohomologie|Soient
$\cX$ et $S$ des espaces analytiques complexes r\'eduits, et soit
$\pi:\cX\to S$ un morphisme analytique propre et plat, de fibres
$(X_t)_{t\in S}$. On suppose donn\'e sur $\cX$ un faisceau $\cE$ de
$\cO_\cX$-modules localement libres, c'est-\`a-dire une famille holomorphe
$(E_t\to X_t)_{t\in S}$ de faisceaux localement libres. On sait alors que
les dimensions de cohomologie $h^q(t)=\dim H^q(X_t,E_t)$ sont des fonctions
semi-continues sup\'erieurement de~$t$ pour la topologie de Zariski
(dans sa version analytique, c'est-\`a-dire la topologie dont les ouverts
sont les compl\'ementaires d'ensembles analytiques). Ce r\'esultat remonte
aux travaux de Kodaira-Spencer [KoS57] dans le cas d'une d\'eformation
lisse $\cX\to S$, la topologie consid\'er\'ee sur $S$ \'etant la topologie
ordinaire (de vari\'et\'e diff\'erentiable). Le cas g\'en\'eral peut se
d\'eduire de la d\'emonstration du th\'eor\`eme des images directes de
Grauert [Gra60] (voir [KiV71], [FoK71], [DoV72], [Sch72]). On a en fait
le r\'esultat de semi-continuit\'e nettement plus fort suivant:
 
\theorem Th\'eor\`eme|Pour tout $q\ge 0$, la somme altern\'ee 
$$h^q(t)-h^{q-1}(t)+\ldots+(-1)^qh^0(t)$$
est une fonction semi-continue sup\'erieurement de $t$ dans la topologie
de Zariski.
\endtheorem

A notre grande surprise, ce r\'esultat semble peu connu des
sp\'ecialistes (voir toutefois [Pal76], pour un r\'esultat de
semi-continuit\'e analogue de la ``cohomologie tangente'', et
H.~Flenner [Fle81a,b] pour des r\'esultats plus forts concernant des
foncteurs cohomologiques g\'en\'eraux; voir aussi M.~Schneider
[Sch72]). Nous redonnons ci-dessous une d\'emonstration
ind\'ependante \'el\'ementaire. Je tiens \`a remercier vivement
S.~Kosarew pour quelques r\'ef\'erences et conversations ayant
fortement contribu\'e \`a l'\'elaboration des id\'ees de cette note.

\preuve La d\'emonstration du th\'eor\`eme des images directes donn\'ee
dans [KiV71] fournit localement sur $S$ un complexe  $(\cV^q,d)$ de
faisceaux localement libres dont la cohomologie calcule les images
directes $R^q\pi_\star\cE$. De plus, comme $\pi:\cX\to S$ est plat, la
cohomologie des fibres $H^q(X_t,E_t)$ s'obtient \`a partir du complexe
d'espaces vectoriels de dimension finie $(V_t^q,d_t)$, o\`u
\hbox{$V_t^q=\cV^q\otimes_{\cO_S}\cO_{S,t}/\gothm_{S,t}$} (voir par
exemple [DoV72], expos\'e II-bis). Si $Z^q_t$ d\'esigne le noyau du
morphisme $d^q_t:V^q_t\to V^{q+1}_t$, alors $z^q(t):=\dim Z^q_t$ est
une fonction semi-continue sup\'erieurement pour la topologie de
Zariski, comme on le voit ais\'ement en regardant le rang des mineurs
de la matrice d\'efinissant le morphisme $d^q:\cV^q\to\cV^{q+1}$. Le
complexe tronqu\'e
$$0\to V^0_t\to V^1_t\to\ldots\to V^{q-1}_t\to Z^q_t\to 0$$ 
ayant pour cohomologie les groupes $H^j(X_t,E_t)$ d'indices $0\le j\le q$,
on obtient
$$h^q(t)-h^{q-1}(t)+\ldots+(-1)^qh^0(t)=z^q(t)-v^{q-1}+v^{q-2}+\ldots+
(-1)^qv^0,$$  
o\`u $v^q$ d\'esigne le rang de $\cV^q$. Le th\'eor\`eme s'ensuit.\QED

\theorem Remarque|{\rm La d\'emonstration initiale de la semi-continuit\'e de
$h^q(t)$ propos\'ee par Kodaira-Spencer [KoS57] utilisait les
formes harmoniques et la th\'eorie de Hodge. Dans le cas o\`u les fibres
$X_t$ sont lisses, il est ais\'e d'adapter \'egalement cette d\'emonstration
pour obtenir la semi-continuit\'e de $h^q(t)-h^{q-1}(t)+\ldots+(-1)^qh^0(t)$
(mais seulement pour la topologie ordinaire, dans ce contexte). On utilise le
fait que les groupes $H^q(X_t,E_t)$ peuvent se calculer \`a partir de
sous-complexes $(V^q_t)$ de dimension finie convenables du complexe de
Dolbeault $\big(C^\infty(X_t,\Lambda^{0,q}T^\star_{X_t}\otimes
E_t),\dbar\big)$. Ayant muni $\cX$ et $\cE$ de m\'etriques hermitiennes, on
peut prendre pour $(V^q_t)$ le sous-complexe tel que $V^q_t$ est la somme
directe des espaces propres du Laplacien
$\Delta_t^q=\dbar\dbar^\star+\dbar^\star\dbar$ de valeurs propres
inf\'erieures ou \'egales \`a un r\'eel $\lambda_0>0$ donn\'e (c'est
bien un sous-complexe gr\^ace \`a la propri\'et\'e de commutation \'evidente
$\dbar\Delta^q_t=\Delta^{q+1}_t\dbar$). Si $t_0\in S$ est fix\'e, on 
choisit une valeur $\lambda_0$ n'appartenant au spectre d'aucun des
op\'erateurs~$\Delta^q_{t_0}$; on sait alors que les espaces $V^q_t$
d\'efinissent des fibr\'es vectoriels de classe $C^\infty$ dans un
voisinage de $t_0$, de sorte que le raisonnement pr\'ec\'edent
s'applique. De m\^eme, si $\cX\to S$ est un morphisme alg\'ebrique
propre et plat, la semi-continuit\'e a lieu pour la topologie de
Zariski alg\'ebrique.}
\endtheorem\eject

\title 2. Semi-continuit\'e de la dimension de Kodaira-Iitaka|Avec les
notations du \S~1, on suppose que $(E_t\to X_t)_{t\in S}$, est une
famille holomorphe de faisceaux inversibles (i.e.\ de rang $1$). Rappelons 
que la {\it dimension de Kodaira-Iitaka} d'un faisceau inversible $E\to X$
est l'entier $\kappa(E):=\sup_{m\in \bn^\star}\rang\,\Phi_{E^{\otimes m}}$,
o\`u  
$$\Phi_{E^{\otimes m}}:X\dasharrow P(H^0(X,E^{\otimes m})^\star),\qquad
x\mapsto H_x=\{\sigma\,;\,\sigma(x)=0\}$$  
est l'application m\'eromorphe canonique associ\'ee \`a l'espace de sections
$H^0(X,E^{\otimes m})\kern-2pt$ si celui est non nul; si tous ces espaces
sont nuls, on pose par convention $\kappa(E)=-\infty$. La {\it dimension de
Kodaira} de la vari\'et\'e $X$ elle-m\^eme est par d\'efinition
$\kappa(X):=\kappa(K_X)$. Si $\kappa(E)=d\ge 0$, il existe une constante
$c>0$ telle que
$$h^0(X,E^{\otimes m})\ge c\,m^d$$  
pour tous les entiers $m$ multiples d'un entier $m_0$ tel que
$\rang\,\Phi_{E^{\otimes m_0}}=d$. Dans la direction inverse, on a la
borne sup\'erieure suivante, qui garantit une certaine uniformit\'e dans la
croissance des espaces de sections:

\theorem Lemme|Soit $S'\subset S$ une partie ouverte relativement compacte
$($pour la topologie usuelle$)$, et soit $d_{t,m}=\rang
(\Phi_{E_t^{\otimes m}})$. Il existe une constante $C=C(S')$ telle que
$$h^0(X_t,E_t^{\otimes m})\le C\,m^{d_{t,m}},\qquad 
\forall t\in S',\ \forall m>0.$$
\endtheorem

\preuve La d\'emonstration est tout \`a fait classique et repose sur
l'utilisation du lemme de Schwarz (voir [Ser54] et [Sie55]). L'id\'ee
est de montrer qu'une section de $H^0(X_t,E_t^{\otimes m})$ doit
n\'ecessairement s'annuler identiquement si elle s'annule ainsi que ses
d\'eriv\'ees d'ordre${}<m$ en un maillage de points $(x_{t,j})_{1\le
j\le N}$ de $X_t$ suffisamment proches les uns des autres. Par suite de
la compacit\'e de $\overline S'$, le nombre $N$ de points requis peut \^etre
choisi ind\'ependant de $t\in\overline S'$. On choisit pour $x_{t,j}$ des
points lisses de $X_t$ en lesquels $\Phi_{E_t^{\otimes m}}$ est bien d\'efinie
et de rang maximum $d_{t,m}$. Pour annuler toutes les d\'eriv\'ees
d'ordre${}<m$ d'une section de $E_t^{\otimes m}$ en un point $x_{t,j}$,
il~suffit d'annuler les d\'eriv\'ees d'ordre${}<m$ dans les directions
transverses \`a la fibre correspondante de $\Phi_{E^{\otimes m}}$, soit
un total de $N{m-1+d_{t,m}\choose d_{t,m}}\le C\,m^{d_{t,m}}$ \'equations.
La borne d\'esir\'ee s'ensuit.\QED
\medskip

A ce point, il convient d'observer que la dimension $\kappa(E_t)$ n'est
pas n\'ecessai\-re\-ment une fonction semi-continue de $t$ (m\^eme pour la
topologie ordinaire), comme le montre l'exemple suivant.

\theorem Exemple|{\rm Soit $S$ une courbe elliptique, $Y$ une vari\'et\'e
projective lisse quelconque et $L$ un fibr\'e ample au dessus de $Y$. On
d\'efinit $\cX=Y\times S\times S$, o\`u $\cX\to S$ est la troisi\`eme
projection, c'est-\`a-dire $X_t=Y\times S$ pour tout $t\in S$. Pour tout
point $(y,s,t)\in\cX$, on pose $\cE_{(y,s,t)}:=L_y\otimes\cO(t-a)_s$,
o\`u $\cO(t-a)$ d\'esigne le fibr\'e en droites associ\'e au diviseur
$t-a$ sur $S$, un point $a\in S$ \'etant choisi une fois pour toutes.
Alors $E_t$ s'identifie au produit tensoriel total de $L$ sur $Y$ par
le fibr\'e $\cO(t-a)$ sur~$S$. Ce fibr\'e a pour dimension de Kodaira
$\kappa(E_t)=d:=\dim Y$ lorsque $\cO(t-a)\in\Pic^0(S)$ est un \'el\'ement 
de torsion, et $\kappa(E_t)=-\infty$ sinon. Comme les points de torsion et
non de torsion sont tous deux denses dans $\Pic^0(S)$, on en conclut que
$\kappa(E_t)$ n'est pas semi-continue sur~$S$. Toutefois, le th\'eor\`eme
du \S~1 combin\'e au lemme ci-dessus donne aussit\^ot le r\'esultat de
semi-continuit\'e inf\'erieure suivant.}
\endtheorem

\vbox{\theorem Th\'eor\`eme|Si le fibr\'e $E_0$ au dessus d'un point
$0\in S$ a une dimension de Kodaira-Iitaka $\kappa(E_0)=d_0\ge 0$ et si
$$\limsup_{m\to+\infty}m^{-d_0}
\big(h^0(X_0,E_0^{\otimes m})-h^1(X_0,E_0^{\otimes m})\big)>0,$$ 
alors $\kappa(E_t)\ge d_0$ pour $t$ voisin de $0$ $($relativement \`a la
topologie de Zariski$)$.
\endtheorem}

\preuve D'apr\`es l'hypoth\`ese et la semi-continuit\'e sup\'erieure de
$h^1(t)-h^0(t)$, il existe une constante $c>0$ et des entiers $m$
arbitrairement grands tels que $h^0(X_t,E_t^{\otimes m})-
h^1(X_t,E_t^{\otimes m})\ge c\,m^{d_0}$ pour tout $t$ dans
un voisinage $\Omega_m$ de~$0$. Le lemme montre alors que le rang de
$\Phi_{E_t^{\otimes m}}$ est au moins \'egal \`a $d_0$ lorsque
$t\in\Omega_m\cap S'$ et lorsque $m$ est choisi assez grand pour que
$C(S')\,m^{d_0-1}<c\,m^{d_0}$.\QED

\theorem Corollaire|Soit $(X_t)_{t\in S}$ une famille de vari\'et\'es
complexes compactes lisses. Si une fibre $X_0$ est de dimension
de Kodaira $\kappa(X_0)=d_0$ et v\'erifie
$$\limsup_{m\to+\infty}m^{-d_0}
\big(h^0(X_0,K_{X_0}^{\otimes m})-h^1(X_0,K_{X_0}^{\otimes m})\big)>0,$$ 
alors $\kappa(X_t)\ge d_0$ pour $t$ voisin de $0$.
\endtheorem

\title 3. Quelques questions connexes|La borne uniforme du $h^0$
fournie par le lemme du \S~2 et la formulation des in\'egalit\'es de Morse
holomorphes [Dem85] sug\-g\`erent la propri\'et\'e de semi-continuit\'e
asymptotique suivante, qui devrait d\'ecouler d'un examen plus approfondi
de la th\'eorie spectrale des op\'erateurs~$\Delta^q_t$.

\theorem Conjecture|Soit $(X_t)_{t\in S}$ une famille de vari\'et\'es
complexes compactes lisses de dimension~$n$, et soit $(E_t\to X_t)_{t\in S}$
une famille holomorphe de fibr\'es en droites. Alors
$$\limsup_{m\to+\infty}m^{-n}
\big(h^q(X_t,E_t^{\otimes m})-h^{q-1}(X_t,E_t^{\otimes m})+\ldots
+(-1)^qh^0(X_t,E_t^{\otimes m})\big)$$
est une fonction semi-continue sup\'erieurement de $t$ $($pour la
topologie ordinaire, disons$)$.
\endtheorem

Dans le cas des surfaces ($\dim_\bc X=2$), il est bien connu que la dimension
de Kodaira $\kappa(X_t)$ est invariante par d\'eformation. D'o\`u la question
(classique):

\theorem Question|Soit $(X_t)_{t\in S}$ une famille de vari\'et\'es
complexes compactes lisses de dimension quelconque. La dimension de
Kodaira $\kappa(X_t)$ est-elle toujours constante$\,?$
\endtheorem

Par ailleurs, la th\'eorie du mod\`ele minimal (Mori, Kawamata,
Koll\'ar, $\ldots$, cf.\ [KMM85]) pr\'evoit que toute vari\'et\'e
alg\'ebrique $X$ de type g\'en\'eral est birationnelle \`a un
``mod\`ele minimal'' $Y$, qui est une vari\'et\'e alg\'ebrique normale
ayant des singularit\'es terminales $\bq$-factorielles et un fibr\'e
canonique $K_Y$ num\'eriquement effectif. La croissance du
$h^1(Y,K_Y^{\otimes m})$ est alors d'un ordre de grandeur $\le
C\,m^{n-1}$, inf\'erieur \`a celle de $h^0(Y,K_Y^{\otimes m})\sim m^n$,
o\`u $n=\dim Y$. Il est donc naturel de se poser le probl\`eme plus
faible (et probablement plus simple) suivant.

\theorem Probl\`eme|Soit $X$ une vari\'et\'e alg\'ebrique projective de
type g\'en\'eral, c'est-\`a-dire telle que $h^0(X,K_X^{\otimes m})\sim m^n$,
o\`u $n=\dim X$. Existe-t-il une vari\'et\'e alg\'ebrique normale $Y$
birationnellement \'equivalente \`a $X$, ayant des singularit\'es terminales
$\bq$-factorielles, et telle que
$$\limsup_{m\to+\infty}m^{-n}
\big(h^0(Y,K_Y^{\otimes m})-h^1(Y,K_Y^{\otimes m})\big)>0~~?$$ 
\endtheorem

\medskip\medskip
\noindent{\bf R\'ef\'erences}
\medskip
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}

\medskip\parindent=0cm
(version du 21 d\'ecembre 1994, imprim\'ee le \aujourdhui)
\medskip
Universit\'e de Grenoble I, Institut Fourier,\hfill\break
URA 188 du CNRS, BP 74, 38402 Saint-Martin d'H\`eres, France
\smallskip
{\it et:}\/ Les Alloves, 17, rue Saint-Exup\'ery,
38400 Saint-Martin d'H\`eres, France
\smallskip
{\it e-mail:}\/ demailly@fourier.grenet.fr

\end
