\input arma
\vsize=20cm
\parindent=0,5cm

\def\fr{{\cal F}}
\def\gr{{\cal G}}
\def\hr{{\cal H}}
\def\ci{{C^\infty}}
\def\dbar{\smash{\overline\partial}}

{\bf G\'EOM\'ETRIE ALG\'EBRIQUE}\pointir~ {\sl Une g\'en\'eralisation
du th\'eor\`eme\break d'annulation de Kawamata-Viehweg.}
\hfil\break
Note de {\bf Jean-Pierre Demailly}, pr\'esent\'ee par Pierre Lelong.

\eightpoint\vskip 8pt 
Soit $\lr$ un fibr\'e holomorphe en droites au dessus d'une vari\'et\'e
projective lisse $X$~.  Nous montrons que la technique de g\'eom\'etrie
diff\'erentielle de Bochner-Kodaira-Nakano et les estimations $L^2$ pour
$\dbar$ permettent de retrouver tr\`es \'el\'ementairement
le th\'eor\`eme de Kawamata et Viehweg [5,8,9]: si $\lr$ est num\'eriquement
effectif, on a $H^q(X,\lr^{-1})=0$ pour $q<s$~, o\`u $s$ est le plus grand
entier tel que $c_1(\lr)^s\ne 0$~.  Plus g\'en\'eralement, notre m\'ethode
permet d'obtenir l'annulation lorsque $\lr$ est tensoris\'e par
un $\bf Q$--diviseur effectif non n\'ecessairement \`a croisements normaux, 
sous une hypoth\`ese naturelle d'int\'egrabilit\'e du diviseur. 

\vskip 5pt
{\sl ALGEBRAIC GEOMETRY}\pointir~ A generalization of the Kawamata-Viehweg
vanishing\break theorem.

\vskip 5pt 
{\sl Let $\lr$ be a holomorphic line bundle over a projective manifold
$X$~.  It is shown that the differential geometric technique of
Bochner-Kodaira-Nakano and the $L^2$ estimates for $\dbar$
yield a very elementary proof of the Kawamata-Viehweg theorem [5,8,9]: if $\lr$
is numerically effective, then $H^q(X,\lr^{-1})=0$ for $q<s$~, where $s$ is
the largest integer such that $c_1(\lr)^s\ne 0$~.  More generally, our
method implies a vanishing result when $\lr$ is tensorized with an effective
$\bf Q$--divisor which may have non normal crossings, under a natural
integrability hypothesis for the divisor.}

\vskip 10pt \tenpoint
1. {\petcap Enonc\'e des r\'esultats}\pointir Rappelons qu'un fibr\'e
en droites $\lr$ est dit {\sl num\'eriquement effectif} (nef) si 
$c_1(\lr)_{\restriction\Gamma}\ge 0$ pour toute courbe $\Gamma$ dans $X$~.
On sait alors [6] que $c_1(\lr)^d_{\restriction Y}\ge 0$ pour toute
sous-vari\'et\'e $Y\subset X$ de dimension $d$~. Le crit\`ere de 
Nakai-Moishezon montre que $\lr$ est nef si et seulement si $\lr^k\otimes\hr$ 
est ample pour tout fibr\'e en droites $\hr$ ample et tout entier $k\ge 0$~.
La {\sl dimension de Kodaira} $\kappa(\fr)$ d'un fibr\'e lin\'eaire $\fr$ est
le maximum pour $m>0$ du rang des morphismes $\Phi_m:X\setminus Z(V_m)\la 
P(V_m^\star)$ d\'efinis par les espaces de sections $V_m=H^0(X,\fr^m)$~,
avec la convention $\kappa(\fr)=-\infty$ si $V_m=\{0\}$ pour tout $m$~.

\tha D\'efinition|Nous dirons qu'un diviseur $D=\sum\alpha_j D_j$
\`a coefficients rationnels $\alpha_j>0$ est int\'egrable sur $X$ si
pour tout point $x_0\in X$ la fonction $\prod|g_j|^{-2\alpha_j}$ obtenue
\`a partir de g\'en\'erateurs locaux $g_j$ de l'id\'eal de $D_j$ est 
sommable sur un voisinage de $x_0$~.\fintha

Lorsque $D$ est \`a croisements normaux, il est clair que $D$ est int\'egrable
si et seulement si $\alpha_j<1$ pour tout $j$~. Dans le cas g\'en\'eral,
il suffit que la multiplicit\'e (ou nombre de Lelong)
$m(D,x)=\sum\alpha_j\,m(D_j,x)$ soit $<1$ en chaque point. Sinon, 
la condition d'int\'egrabilit\'e pourra se v\'erifier en effectuant une suite 
d'\'eclatements qui rel\`eve $D$ en un diviseur \`a croisements normaux
(ceci est toujours possible d'apr\`es Hironaka [7]). Par cette m\'ethode,
on voit que si $E$ est un diviseur effectif quelconque et si $D$ est
int\'egrable, alors $D+k^{-1}E$ est encore int\'egrable pour $k$ assez grand. 
Notre principal r\'esultat est le suivant~:

\tha Th\'eor\`eme|Soit $\fr$ un fibr\'e en droites dont une puissance 
positive v\'erifie $\fr^k=\lr\otimes\oc(D)$ avec $\lr$ nef et avec un 
diviseur effectif $D$ tel que $k^{-1}D$ soit int\'egrable. Soit $s$
le plus grand entier tel que $c_1(\lr)^s\ne 0$~. Alors
$$H^q(X,\fr^{-1})=0~~~~{\sl pour}~~q<\max\{s,\kappa(\fr)\}~.$$\fintha
\vskip-8pt
En prenant $D=0$ et $\fr=\lr$~, on en d\'eduit en particulier que
$H^q(X,\lr^{-1})=0$ pour $\lr$ nef et $q<s$~.\eject

Le th\'eor\`eme ci-dessus est une g\'en\'eralisation du th\'eor\`eme (2.13) 
de [5], qui correspond au cas o\`u $D$ est \`a croisements normaux
et $\kappa(\fr)=n$~. La d\'emonstration que 
nous allons donner est \'el\'ementaire dans le sens qu'elle \'evite 
l'usage des outils assez \'elabor\'es de g\'eom\'etrie alg\'ebrique qui
apparaissaient dans les d\'emonstrations ant\'erieures. Elle ne fait appel
essentiellement qu'\`a deux ingr\'edients~: les crit\`eres usuels
d'amplitude et d'effectivit\'e num\'erique, et les estimations 
$L^2$ d\'eduites de l'in\'egalit\'e de courbure de Bochner-Kodaira-Nakano [1]. 

\vskip10pt
2. {\petcap Estimations $L^2$ pour $\dbar$}\pointir
Soit $\omega$ une m\'etrique k\"ahl\'erienne sur $X$~, et $\gr$ un fibr\'e 
muni d'une m\'etrique hermitienne $\ci$~. 
Si $\lambda_1(x)\le\ldots\le\lambda_n(x)$ d\'esignent
les valeurs propres de la forme de courbure $c(\gr)$ en chaque point
$x\in X$~, on a l'in\'egalit\'e classique de Bochner-Kodaira-Nakano~:
$$||\dbar u||^2+||\dbar^\star u||^2\ge
\int_X(\lambda_1+\ldots+\lambda_q-\lambda_{p+1}-\ldots-\lambda_n)|u|^2$$
pour toute $(p,q)$--forme $u$ de classe $\ci$ \`a valeurs dans $\gr$~. 
De l\`a suit le th\'eor\`eme d'annulation de Kodaira-Akizuki-Nakano [1]:
$H^q(X,\Omega^p_X\otimes\gr)=0$ si $\gr>0$ et $p+q>n$~, en prenant 
$\omega=c(\gr)$~, d'o\`u $\lambda_j=1$~. Le cas $p=n$ pr\'esente l'avantage
suppl\'ementaire que $\omega$ peut \^etre choisie ind\'ependamment de
$c(\gr)$~. En multipliant la m\'etrique de $\gr$ par un
poids $e^{-\varphi}$~, on obtient alors~:
\tha Proposition {\rm(estimations $L^2$ de H\"ormander)}|On suppose
qu'il existe une fonction $\varphi$ int\'egrable sur $X$ telle que 
$c(\gr)+\partial\dbar\varphi\ge\varepsilon\omega$ au sens
des distributions, o\`u $\varepsilon>0$~. Alors pour toute $(n,q)$--forme
$v$ \`a valeurs dans $\gr$ telle que $\dbar v=0$ et $\int_X|v|^2e^{-\varphi}
<+\infty$~, il existe une $(n,q-1)$--forme $u$ telle que
$$\dbar u=v~~~{\rm et}~~~
\int_X|u|^2e^{-\varphi}\le(q\varepsilon)^{-1}\int_X|v|^2e^{-\varphi}~.$$\fintha
L'hypoth\`ese sur $\varphi$ entra\^\i ne que $\varphi$ est localement
somme d'une fonction plurisousharmonique et d'une fonction $\ci$~.
En travaillant sur un ouvert affine (donc de Stein) de $X$~, la preuve
se ram\`ene au cas connu o\`u $\varphi$ est $\ci$~, apr\`es 
r\'egularisation et passage \`a la limite d\'ecroissante.
\tha Corollaire|S'il existe un poids $\varphi$ tel que $e^{-\varphi}$
soit localement sommable sur $X$ et $c(\gr)+\partial\dbar\varphi
\ge\varepsilon\omega$~, $\varepsilon>0$~, alors $H^q(X,K_X\otimes\gr)=0$ 
pour $q>0$~.\fintha
Soit $v$ une $(n,q)$--forme ferm\'ee de classe $\ci$~. La sommabilit\'e 
de $e^{-\varphi}$ assure la finitude de $\int_X|v|^2e^{-\varphi}$~.
Comme $\varphi$ est major\'ee, on obtient une
solution $u\in L^2(X)$ de $\dbar u=v$~, ce qui entra\^\i ne
classiquement l'existence d'une solution $\ci$~.

\vskip10pt
3. {\petcap R\'eduction du th\'eor\`eme au cas d'un fibr\'e $\lr$ 
ample}\pointir 
Cette r\'eduction est classique dans son principe, mais nous allons en 
rappeler ici les grandes lignes pour la commodit\'e du lecteur. 
Posons $n=\dim_{\Bbb C}X$~.

Par r\'ecurrence sur $n$~, on se ram\`ene d'abord au cas
$n=\max\{s,\kappa(\fr)\}$ en prenant des sections hyperplanes
convenables.  Supposons $n>\max\{s,\kappa(\fr)\}$ et choisissons un
fibr\'e en droites tr\`es ample $\hr$ sur $X$~.  Le th\'eor\`eme de
Fubini montre que pour le diviseur lisse $A$ associ\'e \`a une section
g\'en\'erique de $\hr$~, le diviseur $k^{-1}D_{\restriction A}$ est
int\'egrable sur $A$~.  De plus $\kappa(\fr_{\restriction A})\ge\kappa(\fr)$
et~:\eject

\tha Lemme 1|On a $c_1(\lr)^s_{\restriction A}\ne 0$~.\fintha

En effet $\lr^m\otimes\hr$ \'etant ample, on voit que
$\big(c_1(\lr)+(1/m)c_1(\hr)\big)^s$ est la classe de cohomologie
d'un cycle rationnel $Z_m\ge 0$ de codimension $s$~. En extrayant une
limite faible quand $m$ tend vers l'infini, on voit que $c_1(\lr)^s$
est repr\'esent\'ee par un courant positif ferm\'e $T$ sur $X$~, non nul
par hypoth\`ese. La classe $\{A\}=c_1(\hr)$ est repr\'esent\'ee par une 
$(1,1)$--forme $>0$~, donc si $i_A$ est l'injection de $A$ dans $X$ on a
$$(i_A)_\star\big(c_1(\lr)^s_{\restriction A}\big)=c_1(\lr)^s\wedge\{A\}
=\{T\}\wedge c_1(\hr)\ne 0~.\finpr$$

Quitte \`a remplacer $\hr$ par une puissance, on peut supposer que 
$\fr\otimes\hr=\fr(A)$ est ample. Consid\'erons la suite exacte
$$0\la \fr^{-1}(-A)\la \fr^{-1}\la \fr^{-1}_{\restriction A}\la 0~.$$
L' hypoth\`ese de r\'ecurrence donne $H^q(A,\fr^{-1}_{\restriction A})=0$ 
pour $q<\max\{s,\kappa(\fr_{\restriction A})\}$~, et le th\'eor\`eme 
d'annulation de Kodaira-Nakano implique
$H^q(X,\fr^{-1}(-A))=0$ pour $q<n$~, donc on a bien 
$H^q(X,\fr^{-1})=0$ pour $q<\max\{s,\kappa(\fr)\}$~.

\tha Lemme 2|Si $\lr$ est nef, alors pour tout fibr\'e en droites $\gr$ on a
$$\eqalign{
h^q(X,\lr^m\otimes \gr)&\le Cm^{n-1}~~~{\sl pour}~~q\ge 1~,\cr
h^0(X,\lr^m\otimes \gr)&={1\over n!}c_1(\lr)^n\,m^n+{\rm O}(m^{n-1})~.\cr}$$
\fintha

La premi\`ere ligne r\'esulte de la suite exacte
$$H^{q-1}(A,\lr^m\otimes \gr(A)_{\restriction A})\la 
H^q(X,\lr^m\otimes \gr)\la H^q(X,\lr^m\otimes \gr(A))=0~,$$
en choisissant $A$ assez ample pour que $K_X^{-1}\otimes\gr(A)$ soit ample.
La deuxi\`eme ligne r\'esulte du fait que la caract\'eristique
d'Euler-Poincar\'e $\chi(X,\lr^m\otimes \gr)$ est un polyn\^ome en $m$ de terme
dominant $(1/n!)c_1(\lr)^n\,m^n$~.\finpr

\remarque Remarque|Le lemme 2 montre que la dimension de Kodaira $\kappa(\lr)$
est \'egale \`a $n$ si et seulement si $c_1(\lr)^n>0$~. Dans le cas $s<n$~, 
on a en g\'en\'eral $s\ge\kappa(\lr)$~, car il
existe une sous-vari\'et\'e $Y\subset X$ de dimension $d=\kappa(\lr)$
telle que $\kappa(\lr_{\restriction Y})=d$ et le lemme 2 donne
$c_1(\lr)^d_{\restriction Y}>0$~. L'exemple o\`u $\lr\la X=X_1\times X_2$
est le produit tensoriel d'un fibr\'e ample sur $X_1$ et d'un fibr\'e plat 
non cyclique sur $X_2$ donne $s=\dim X_1$ et $\kappa(\lr)=-\infty$~.

\remarque R\'eduction au cas ample|On peut supposer $n=\max\{s,\kappa(\fr)\}$
d'apr\`es ce qui pr\'ec\`ede. L'injection $\lr\la\lr\otimes\oc(D)=\fr^m$
montre qu'on a toujours $\kappa(\fr)\ge\kappa(\lr)$~, donc le cas $n=s$ 
entra\^\i ne aussi $\kappa(\fr)=n$ d'apr\`es la remarque. On peut alors
supposer $\kappa(\fr)=n$~, d'o\`u $\limsup~m^{-n}\,h^0(X,\fr^m)>0$~.
Soit $\hr=\oc(A)$ un fibr\'e ample. La suite exacte
$$0\la H^0(X,\fr^m\otimes\hr^{-1})\la H^0(X,\fr^m)\la H^0(A,
\fr^m_{\restriction A})$$
montre que $\fr^m\otimes\hr^{-1}$ a des sections non triviales pour $m$ assez
grand, donc il existe un diviseur effectif $E$ tel que $\fr^m=
\hr\otimes\oc(E)$~. Nous obtenons par cons\'equent
$$\fr^{kp+m}=\lr^p\otimes\hr\otimes\oc(pD+E)=\lr'\otimes\oc(D')~,$$
avec $\lr'=\lr^p\otimes\hr$ et  $D'=pD+E$~. De plus $\lr'$ est ample
et $(kp+m)^{-1}D'\le k^{-1}D+(kp+m)^{-1}E$ est int\'egrable pour
$p$ assez grand.\eject

\remarque Preuve du th\'eor\`eme lorsque $\lr$ est ample|On choisit sur 
$\lr$ une m\'etrique $\ci$ \`a courbure $>0$~, et on
munit $\oc(D)$ de la m\'etrique singuli\`ere obtenue en prenant le
carr\'e du module d'une section de $\oc(D)$~, vue comme fonction
m\'eromorphe avec p\^oles le long de $D$~. Pour cette m\'etrique, 
la courbure de $\oc(D)$ est le courant d'int\'egration $[D]\ge 0$~,
et la m\'etrique associ\'ee sur $\fr$ v\'erifie 
$$c(\fr)=k^{-1}c(\lr)+k^{-1}[D]\ge k^{-1}c(\lr)>0$$
(bien que $\fr$ ne soit pas nef en g\'en\'eral !). L'hypoth\`ese
d'int\'egrabilit\'e du diviseur $k^{-1}D$ montre que $\fr$ v\'erifie 
les hypoth\`eses du corollaire du paragraphe 2, par cons\'equent
$H^q(X,K_X\otimes\fr)=0$ pour $q>0$~, et le th\'eor\`eme s'ensuit par 
dualit\'e de Serre.

\vskip8pt
4. {\petcap Th\'eor\`eme de Bogomolov-Sommese [2]}\pointir 
Dans le m\^eme esprit, nous pouvons obtenir une d\'emonstration
\'el\'ementaire de ce th\'eor\`eme sans utiliser le crit\`ere de
d\'eg\'en\'erescence de Deligne [3].  Soit $\gr$ un fibr\'e hermitien de
dimension de Kodaira $d=\kappa(\gr)$~.  Soit $\Phi_m:X\setminus B
\la{\Bbb P}^N$ un morphisme de rang g\'en\'erique $d$ d\'efini par
$H^0(X,\gr^m)$~.  Munissons $\gr$ de la m\'etrique singuli\`ere
d\'efinie par ces sections, et soit $e^{-\varphi}$ le poids associ\'e.
Soit $u$ une $p$--forme holomorphe \`a valeurs dans $\gr^{-1}$~.  
Apr\`es r\'egularisation de $\varphi$ et passage \`a la limite, 
l'in\'egalit\'e de courbure du paragraphe 2 donne~:
$$0=\int_X|\dbar u|^2e^\varphi\ge
\int_{X\setminus B}(\lambda_{p+1}+\ldots+\lambda_n)|u|^2e^\varphi$$
o\`u $\lambda_1\ge\ldots\ge\lambda_n\ge 0$ sont les valeurs propres de
$c(\gr)+\partial\dbar\varphi\ge 0$ (pour $\gr^{-1}$ les valeurs propres
sont $-\lambda_j$).  Il y a $d$ valeurs propres $\lambda_j>0$ sur
l'ouvert de $X\setminus B$ o\`u $\Phi_m$ est de rang $d$~, par suite
$u=0$ pour $p<d$~.  On a donc~:
$$H^0(X,\Omega^p_X\otimes\gr^{-1})=0~~~~{\rm pour}~~p<\kappa(\gr)~.$$

\titre Bibliographie|
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\article 2|f. Bogomolov|Unstable vector bundles and curves on surfaces|Proc.
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\divers 4|h. Esnault {\rm et} e. Viehweg|\sl Rev\^etements cycliques|\rm
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Springer-Verlag, Berlin ({\oldstyle 1982}), 241--250|
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\article 7|h. Hironaka|Resolution of singularities of an algebraic variety
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\article 8|y. Kawamata|A generalization of Kodaira-Ramanujam's vanishing
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\article 9|e. Viehweg|Vanishing theorems|J. Reine Angew. Math.|335|1982|1--8|

{\noindent\hangindent2cm\hangafter-3{\sl
Institut Fourier, Universit\'e de Grenoble I,\hfill\break
Laboratoire n\omini 188 associ\'e au C.N.R.S. , BP 74,
F--38402 Saint-Martin d'H\`eres \hfill\break
{\rm et} Les Alloves, 17, rue Saint-Exup\'ery, F--38400 Saint-Martin d'H\`eres 

}}
\end
