% Note CRAS Janvier 1997
% Jean-Pierre Demailly et Jawher El Goul
% demailly@fourier.ujf-grenoble.fr, elgoul@fourier.ujf-grenoble.fr

%%\input accents

% Page setting
\magnification =1000
\vsize=21cm \voffset=12mm
\hsize=15cm \hoffset=3mm
\baselineskip=12.72pt
\parskip=3pt plus 1pt minus 1pt
\parindent=10pt
\topskip=18pt

% fonts
\font\twelverm=cmr10 at 12pt
\font\eightrm=cmr8
\font\sixrm=cmr6

\font\tensc=cmcsc10
\font\eightsc=cmcsc8

\font\eightit=cmti8

\font\eightsl=cmsl8

\font\eighti=cmmi8
\font\sixi=cmmi6

\font\eightsy=cmsy8
\font\sixsy=cmsy6

\font\fourteenbf=cmbx10 at 14.4pt
\font\twelvebf=cmbx10 at 12pt
\font\eightbf=cmbx8
\font\sixbf=cmbx6

\font\twelvebfit=cmbxti10 at 12pt
\font\tenbfit=cmbxti10
\font\eightbfit=cmbxti8
\font\sevenbfit=cmbxti7
\font\sixbfit=cmbxti6
\font\fivebfit=cmbxti5

\font\twelvebfsl=cmbxsl10 at 12pt
\font\eightbfsl=cmbxsl8

\font\fourteenbsy=cmbsy10 at 14.4pt
\font\twelvebsy=cmbsy10 at 12pt
\font\tenbsy=cmbsy10
\font\eightbsy=cmbsy8
\font\sevenbsy=cmbsy7
\font\sixbsy=cmbsy6
\font\fivebsy=cmbsy5

\font\twelvemsb=msbm10 at 12pt
\font\tenmsb=msbm10
\font\eightmsb=msbm8
\font\sevenmsb=msbm7
\font\fivemsb=msbm5
\newfam\msbfam
  \textfont\msbfam=\tenmsb
  \scriptfont\msbfam=\sevenmsb
  \scriptscriptfont\msbfam=\fivemsb
\def\Bbb{\fam\msbfam\tenmsb}

\font\twelveCal=eusm10 at 12 pt
\font\tenCal=eusm10
\font\sevenCal=eusm7
\font\fiveCal=eusm5
\newfam\Calfam
  \textfont\Calfam=\tenCal
  \scriptfont\Calfam=\sevenCal
  \scriptscriptfont\Calfam=\fiveCal
\def\Cal{\fam\Calfam\tenCal}

\def\tenpointbf{%
 \textfont0=\tenbf   \scriptfont0=\sevenbf   \scriptscriptfont0=\fivebf
 \textfont1=\tenbfit \scriptfont1=\sevenbfit \scriptscriptfont1=\fivebfit
 \textfont2=\tenbsy  \scriptfont2=\sevenbsy  \scriptscriptfont2=\fivebsy
 \def\Bbb{\fam\msbfam\tenmsb}%
 \def\Cal{\fam\msbfam\tenmsb}%
 \tenbf}
        
\def\twelvepointbf{%
 \textfont0=\twelvebf   \scriptfont0=\eightbf   \scriptscriptfont0=\sixbf
 \textfont1=\twelvebfit \scriptfont1=\eightbfit \scriptscriptfont1=\sixbfit
 \textfont2=\twelvebsy  \scriptfont2=\eightbsy  \scriptscriptfont2=\sixbsy
 \def\Bbb{\fam\msbfam\twelvemsb}%
 \def\Cal{\fam\msbfam\twelvemsb}%
 \twelvebf
 \baselineskip=14.4pt}

% Headlines and footlines
\headline={\ifnum\pageno=1
  \vbox{\vskip-\baselineskip\noindent\eightbf
  C.\ R.\ Acad.\ Sci.\ Paris, t.~324, S\'erie I, p.~???--???, 1997
  \hfil\break
  G\'eom\'etrie analytique/{\eightbfsl Analytic Geometry}}\hfil \else
  \ifodd\pageno \hfil
  {\eightbf Connexions m\'eromorphes projectives partielles et vari\'et\'es 
     alg\'ebriques hyperboliques}\else
  {\eightbf J.-P.\ Demailly et J.\ El Goul} \hfil \fi\fi}
\footline={\ifnum\pageno=1 {\eightrm 0764-4442/97/03240000 \copyright\ 
  Acad\'emie des Sciences/Elsevier, Paris}\hfil{\twelverm \number\pageno}\else
  \ifodd\pageno \hfil{\twelverm \number\pageno}\else {\twelverm \number\pageno}
  \hfil \fi\fi}

\catcode`\@=11
\def\eightpoint{%
  \textfont0=\eightrm \scriptfont0=\sixrm \scriptscriptfont0=\fiverm
  \def\rm{\fam\z@\eightrm}%
  \textfont1=\eighti \scriptfont1=\sixi \scriptscriptfont1=\fivei
  \def\oldstyle{\fam\@ne\eighti}%
  \textfont2=\eightsy \scriptfont2=\sixsy \scriptscriptfont2=\fivesy
  \textfont\itfam=\eightit
  \def\it{\fam\itfam\eightit}%
  \textfont\slfam=\eightsl
  \def\sl{\fam\slfam\eightsl}%
  \textfont\bffam=\eightbf \scriptfont\bffam=\sixbf
  \scriptscriptfont\bffam=\fivebf
  \def\bf{\fam\bffam\eightbf}%
  %\textfont\ttfam=\eighttt
  \textfont\msbfam=\eightmsb
  \def\Bbb{\fam\msbfam\eightmsb}%
  \abovedisplayskip=9pt plus 2pt minus 6pt
  \abovedisplayshortskip=0pt plus 2pt
  \belowdisplayskip=9pt plus 2pt minus 6pt
  \belowdisplayshortskip=5pt plus 2pt minus 3pt
  \smallskipamount=2pt plus 1pt minus 1pt
  \medskipamount=4pt plus 2pt minus 1pt
  \bigskipamount=9pt plus 3pt minus 3pt
  \normalbaselineskip=9pt
  \setbox\strutbox=\hbox{\vrule height7pt depth2pt width0pt}%
  \let\bigf@ntpc=\eightrm \let\smallf@ntpc=\sixrm
  \normalbaselines\rm}
\catcode`\@=12

% Reference macro
\def\ref#1:#2&#3&#4\par
{\noindent\eightpoint
\rlap{\hbox{\kern-\parindent\rm#1}}{\bf#2}{\it#3}{\rm#4}\par}

% Private settings

\let\wt=\widetilde
\let\wh=\widehat
\def\ld{,\,\ldots\,,}
\def\Id{\mathop{\rm Id}\nolimits}
\def\cad{c'est-\`a-dire}

\def\hexnbr#1{\ifnum#1<10 \number#1\else
 \ifnum#1=10 A\else\ifnum#1=11 B\else\ifnum#1=12 C\else
 \ifnum#1=13 D\else\ifnum#1=14 E\else\ifnum#1=15 F\fi\fi\fi\fi\fi\fi\fi}
\def\msbtype{\hexnbr\msbfam}
\mathchardef\smallsetminus="2\msbtype72   \let\ssm\smallsetminus

\long\def\theorem#1|#2|{\removelastskip\medskip\noindent{\tensc #1.} 
  {\it #2}\medskip}
\long\def\remark#1|#2|{\removelastskip\medskip\noindent{\tensc #1.} 
  {\rm #2}\medskip}

\def\dem{\noindent{\it D\'emonstration}}
\def\square{\null\hfill{\hbox{
\vrule height 1.5ex  width 0.1ex  depth 0ex\kern-0.1ex
\vrule height 1.5ex  width 1.5ex  depth -1.4ex\kern-1.5ex
\vrule height 0.1ex  width 1.5ex  depth 0ex\kern-0.1ex
\vrule height 1.5ex  width 0.1ex  depth 0ex}\kern0.5pt}}
\def\qed{\phantom{$\quad$}\hfill$\square$\medskip}


\def\section#1|{\removelastskip\bigskip\noindent{\twelvepointbf #1}\medskip}
\def\subsection#1|{\removelastskip\bigskip\noindent{\tenpointbf #1}\medskip}

\def\bC{{\Bbb C}}
\def\bP{{\Bbb P}}

\def\cO{{\Cal O}}
\def\cS{{\Cal S}}

%\begin
\null\bigskip\bigskip\bigskip

\noindent{\fourteenbf Connexions m\'eromorphes projectives partielles}\medskip
\noindent{\fourteenbf et vari\'et\'es alg\'ebriques hyperboliques}
\bigskip
\noindent{\bf Jean-Pierre DEMAILLY, Jawher EL GOUL}
\footnote{}{\kern-\parindent{\eightbf
Note Pr\'esent\'ee par Jean-Pierre Demailly}}
\bigskip
\vbox{\baselineskip=10pt\noindent
{\eightrm
Institut Fourier, Laboratoire de Math\'ematiques, UMR 5582 du CNRS\hfil\break
BP$\,$74, 100 rue des Maths, 38402 Saint-Martin d'H\`eres, France\hfil\break
{\eightit E-mail:} demailly@fourier.ujf-grenoble.fr,~ 
elgoul@fourier.ujf-grenoble.fr}}

\bigskip
\bigskip

\noindent
{\leftskip2cm\rightskip1.5cm\baselineskip=10pt\noindent
\hbox to 11.5cm{\hrulefill}\medskip\noindent
\kern-2cm\rlap{\hbox{\bf R\'esum\'e.}}\kern2cm
{\eightpoint Nous introduisons la notion de connexion projective
partielle \`a coefficients m\'eromorphes, et montrons comment de
telles connexions peuvent servir \`a construire des op\'erateurs
wronskiens globaux agissant sur les jets de courbes
holomorphes. Gr\^ace \`a un th\'eo­r\`eme d'annulation du wronskien
reposant sur des hypoth\`eses de n\'egativit\'e de la courbure de
Ricci et g\'en\'eralisant des r\'esultats ant\'erieurs de
Green-Griffiths, Siu et Nadel, nous donnons des exemples explicites de
surfaces alg\'ebriques hyperboliques dans $\bC\bP^3$, de degr\'e
quelconque${}\ge11$.}

\bigskip\bigskip
\noindent{\tenbfit Meromorphic partial projective connections} \smallskip
\noindent{\tenbfit and hyperbolic projective varieties}
\bigskip
\noindent
\kern-2cm\rlap{\hbox{\bf Abstract.}}\kern2cm
{\eightpoint\eightit 
We introduce a concept of partial projective connection with meromorphic
coefficients, and show how such connections can be used to construct 
global Wronskian operators acting on jets of holomorphic curves. Thanks 
to a vanishing theorem for Wronskian operators, relying on negativity
hypotheses for the Ricci curvature and generalizing prior results of
Green-Griffiths, Siu and Nadel, we give explicit examples of hyperbolic
algebraic surfaces in $\bC\bP^3$, of arbitrary degree${}\ge11$.
}
\medskip\noindent
\hbox to 11.5cm{\hrulefill}

}
\bigskip\bigskip\bigskip

\noindent {\twelvebfsl Abridged English Version}
\medskip
Let $X$ be a complex $n$-fold. Exploiting some ideas introduced by
Y.T.\ Siu [7] and A.~Nadel [6], we consider {\it meromorphic
connections}
$$
\nabla_w v=\sum_{1\le i,k\le n}
\Big(w_i{\partial v_k\over\partial z_i}+\sum_{1\le j\le n}
\Gamma^k_{ij}w_iv_j\Big){\partial\over\partial z_k}
=d_wv+\Gamma\cdot (w,v)
\leqno(*)
$$
acting on tangent vector fields $w=\sum_i w_i\partial/\partial z_i$, 
\hbox{$v=\sum_k v_k\partial/\partial z_k$}, with meromorphic
{\it Christoffel symbols} $\Gamma =(\Gamma ^k_{ij})_{1\le i,j,k
\le n}$. Let $B$ be the pole divisor of $\nabla$ and $b\in H^0(X,\cO(B))$
the corresponding section. Given an entire curve $f:\bC\to X$ that is
not contained in the support $|B|$ of $B$, we define inductively
covariant derivatives $\smash{f'_\nabla}=f'$, $\smash{f^{(k+1)}_\nabla= 
\nabla_{f'}(f^{(k)}_\nabla)}$ and get a {\it Wronskian operator}
$$
W_\nabla(f)=f'\wedge f''_\nabla \wedge\cdots\wedge f^{(n)}_\nabla.
\leqno(**)
$$
Then $b(f)^{n(n-1)/2}W_\nabla(f)$ can be seen as a holomorphic section
with values in the holomorphic line bundle $f^*\big(K^{-1}_X\otimes 
\cO_X({1\over 2}n(n-1)B)\big)$. Our starting point is the following
vanishing theorem due to Y.T.~Siu [7]: {\it If $X$ is projective 
algebraic and $K_X\otimes\cO_X(-{1\over 2}n(n-1)B)$ is ample, 
every non constant entire curve $f:\bC\to X$ satisfies either
$f(\bC)\subset \vert B\vert$ or $W_\nabla(f)\equiv 0$.} The proof of this
fundamental result relies on the Ahlfors lemma and a use of negative
curvature estimates, according to techniques first introduced by Green 
and Griffiths [5]. Our next observation is that not all Christoffel
symbols are needed to compute the Wronskian: in fact $\Gamma_{ij}^k$ is
needed only modulo tensors of the form $\alpha_i\delta_{jk}+\beta_j
\delta_{ik}$, and this leads to what we call a {\it partial projective
connection}. Given a homogeneous polynomial $s=s_0+s_1+\cdots+s_n\in
\bC[z_0\ld z_n]$, one obtains such partial projective connections
on $\bC^{n+1}$ and on its quotient $\bP^n=(\bC^{n+1}\ssm\{0\})/\bC^\star$ 
by solving a linear system
$$
\sum_{0\le k\le n}
\Gamma^k_{ij} {\partial s_\ell\over \partial z_k}
={\partial^2 s_\ell\over \partial z_i\partial z_j},
\qquad 0\le i,j,\ell\le n.
\leqno(*{*}*)
$$
As in the work of A.~Nadel [6], the corresponding connection $\nabla$
is such that all hypersurfaces $Y_\alpha=\{\alpha_0s_0+\cdots+\alpha_ns_n=0\}$
are {\it totally geodesic}. If $s$ is of degree $p$ and $s_j$ is divisible
by $\smash{z_j^{p-k_j}}$, $k_j\ll p$, it turns out that $\nabla$ has very low
pole orders, hence the divisor $B$ is ``small''. From this and the above
mentioned result of Siu, we derive our main result:

\theorem Theorem|Let $s=s_0+\cdots +s_n\in \bC[z_0\ld z_n]$ be a homogeneous
polynomial of degree $p$ such that $s_j$ is divisible by $\smash{z_j^{p-k_j}}$
and $\delta =\det(\partial s_\ell/\partial z_k)_{k,\ell}\not
\equiv 0$. Let $Y:=\{s=0\}\subset\bP^n$ and
$Y_\alpha=\{\alpha _0 s_0+\cdots + \alpha _n s_n=0\}$. Let $\nabla$ be the
connection whose Christoffel symbols are defined by $(**)$ and let $B$ be its
pole divisor. If $p>n+1+{{(n-1)(n-2)}\over2}(n+1+\sum_{i=0}^n k_i)$,
then every entire curve $f:\bC\to Y$ satisfies either
$f(\bC)\subset Y\cap\vert B\vert $ or $f(\bC)\subset Y\cap Y_\alpha$ for 
some hypersurface $Y_\alpha\ne Y$. In particular, if $n=3$ and $p\ge 11$, 
the projective surfaces
$$
Y=\{z^p_0+z^p_1+z^p_2+z^{p-2}_3 (\varepsilon _0 z^2_0 + \varepsilon_1 
z^2_1 + \varepsilon z^2_2 + z^2_3)=0\}\subset\bP^3
$$
are hyperbolic in the sense of Kobayashi, except in a few explicit
cases where $Y$ is singular or contains a line $($conditions
$(\dagger\dagger)$ and $(\dagger{\dagger} \dagger)$ in section~4
below$)$.|

\centerline{\vrule height0.4pt width3cm} \bigskip\bigskip

\section 1. Th\'eor\`eme d'annulation du Wronskien|

Soit $X$ une vari\'et\'e complexe de dimension $n$. En reprenant des
id\'ees de Y.T.\ Siu [7] et de A.~Nadel [6], nous consid\'ererons des
{\it connexions m\'eromorphes} $\nabla$ op\'erant sur le fibr\'e
tangent $T_X$, c'est-\`a-dire des op\'erateurs d\'efinis par la
relation $(*)$ ci-dessus, dont les {\it symboles de Christoffel}
$\Gamma =(\Gamma ^k_{ij})_{1\le i,j,k \le n}$, calcul\'es relativement
\`a des syst\`emes de coordonn\'ees holomorphes $(z_1\ld z_n)$
quelconques, sont m\'eromorphes.  Soit $B$ le diviseur des pôles de
$\nabla$ (i.e.\ de ses coefficients $\Gamma ^k_{ij}$) et $b\in
H^0(X,\cO(B))$ la section canonique associ\'ee.  Alors $b\nabla$ est
un op\'erateur \`a coefficients holomorphes.

Étant donn\'e une courbe holomorphe $f:D(0,r)\to X$ non contenue
dans le support $|B|$ de $B$, on d\'efinit inductivement les
d\'eriv\'ees covariantes $f',\,f''_\nabla \ld f^{(n)}_\nabla$ par
$f^{(k+1)}_\nabla = \nabla_{f'}(f^{(k)}_\nabla)$.  Le {\it Wronskien}
de $f$ relativement \`a $\nabla$ est la section m\'eromorphe de
$f^*(\Lambda^nT_X)=f^*(K^{-1}_X)$ telle que
$\smash{W_\nabla(f)=f'\wedge f''_\nabla \wedge\cdots\wedge
f^{(n)}_\nabla}$.  En compensant les pôles du Wronskien \`a l'aide
d'une puissance de $b$, on obtient une section holomorphe
$b(f)^{n(n-1)/2}W_\nabla(f)$, \`a valeurs dans le fibr\'e en droite
$f^*\big(K^{-1}_X\otimes \cO_X({1\over 2} n(n-1)B)\big)$. Notre point
de d\'epart est le th\'eor\`eme suivant d\^u \`a Y.T.~Siu.

\theorem Th\'eor\`eme 1.1. {\rm ([7])}|Soit $X$ une vari\'et\'e
complexe compacte de dimension $n$ munie d'une connexion m\'eromorphe
$\nabla$ de diviseur de pôles $B$. Si $K_X\otimes\cO_X(-{1\over 2}
n(n-1)B)$ est ample, alors pour toute courbe enti\`ere non constante
$f:\bC\to X$, on a ou bien $f(\bC)\subset \vert B\vert$ ou bien
$W_\nabla(f)\equiv 0$.|

La d\'emonstration initiale de Y.T.~Siu reposait sur une g\'en\'eralisation 
tr\`es \'elabor\'ee du deuxi\`eme th\'eor\`eme fondamental de Nevanlinna. Le 
th\'eor\`eme~1.1 peut en fait se voir comme un cas particulier
d'un th\'eor\`eme plus g\'en\'eral \'enonc\'e par Green et Griffiths [5]
(la d\'emonstration de [5] est incompl\`ete; une d\'emonstration compl\`ete,
reposant sur une \'etude de la g\'eom\'etrie des espaces fibr\'es de jets,
est donn\'ee dans [2]). Ainsi, 1.1 se d\'eduit du th\'eor\`eme 1.2 ci-dessous
appliqu\'e \`a l'op\'erateur $P=b^{n(n-1)/2}W_\nabla$, \`a valeurs dans
le dual $A^{-1}$ du fibr\'e $A=K_X\otimes\cO_X(-{1\over 2}n(n-1)B)$
($P$ est d'ordre $n$ et de degr\'e $m=n(n+1)/2$).

\theorem Th\'eor\`eme 1.2|Soit $P(f',f''\ld f^{(k)})$ un op\'erateur
diff\'erentiel alg\'e­brique d'ordre $k$ \`a coefficients holomorphes sur une 
vari\'et\'e projective $X$, op\'erant sur les courbes 
$($ou germes de courbes$)$ holomorphes $f:D(0,R)\to X$, et \`a valeurs 
dans le dual $A^{-1}$ d'un fibr\'e
en droites ample~$A$. On suppose que $P$ est homog\`ene de degr\'e
$m$ et ``invariant par reparam\'etrisation'', c'est-\`a-dire tel que
$$
P\big((f\circ\varphi)',(f\circ\varphi)''\ld (f\circ\varphi)^{(k)}\big)
=(\varphi')^mP(f',f''\ld f^{(k)})\circ\varphi
$$ 
pour tout germe de biholomorphisme $\varphi$ reparam\'etrisant $f$. Alors
pour toute courbe holomorphe \hbox{$f:\bC\to X$} on a identiquement 
$P(f',f''\ld f^{(k)})=0$ sur $\bC$.|

\remark Remarque 1.3|Dans le cas o\`u $f$ est une courbe de Brody,
c'est-\`a-dire une courbe enti\`ere \`a d\'eriv\'ee $f'$ born\'ee, une
d\'emonstration beaucoup plus simple (reposant en d\'efinitive
seulement sur les in\'egalit\'es de Cauchy) est donn\'ee dans [3]. Ce
cas est suffisant pour traiter le probl\`eme de l'hyperbolicit\'e
d'une vari\'et\'e complexe compacte, d'apr\`es le th\'eor\`eme de
Brody [1].|

\section 2. Connexions projectives partielles|

Une observation importante est de voir que pour d\'efinir le Wronskien
$W_\nabla$ on n'a pas besoin de conna\^{\i}tre enti\`erement le tenseur
$\Gamma_{ij}^k$, mais seulement modulo des tenseurs de la forme
\hbox{$\alpha_i\delta_{jk}+\beta_j\delta_{ik}$}. En effet, soit
$\smash{\wt\nabla}$ une autre connexion telle qu'il existe des
$1$-formes m\'eromorphes $\alpha$ et $\beta$ avec $\smash{\wt\nabla_wv}
= \nabla_w v + \alpha(w)\cdot v + \beta(v)\cdot w$ pour tous
champs de vecteurs $v,\,w$. On v\'erifie alors facilement par
r\'ecurrence~sur $k$ que $\smash{f^{(k)}_{\wt\nabla}}$ est somme de
$\smash{f^{(k)}_\nabla}$ et d'une combinaison lin\'eaire des d\'eriv\'ees
covariantes d'ordre inf\'erieur, par suite $\smash{W_\nabla =
W_{\wt\nabla}}$.  Ceci permet d'\'etendre le th\'eor\`eme d'annulation du
Wronskien au cas des ``connexions projectives partielles'', d\'efinies
comme suit.

\theorem D\'efinition 2.1|Une connexion projective partielle $\nabla$
sur $X$ est une section du faisceau quotient du faisceau des
connexions m\'eromorphes modulo l'addition de tenseurs m\'eromorphes
de la forme $(w,v)\mapsto\alpha(w)\cdot v + \beta(v)\cdot w$. En
d'autres termes, $\nabla$ est d\'efinie par la donn\'ee de connexions
m\'eromorphes ${}_j\kern-1.3pt\nabla$ sur les ouverts $U_j$ d'un
recouvrement de~$X$, en sorte qu'on ait des relations de
compatibilit\'e ${}_k\kern-1.3pt\nabla_wv-{}_j\kern-1.3pt\nabla_wv =
\alpha_{jk}(w)\cdot v + \beta_{jk}(v)\cdot w$ sur $U_j\cap U_k$.|

\remark Exemple type 2.2|Soit $W$ une vari\'et\'e complexe sur laquelle un
groupe de Lie $G$ agit librement et proprement. Soit $X=W/G$ la
vari\'et\'e quotient et $\pi : W\to X$ la projection canonique.
Étant donn\'e une connexion m\'eromorphe $\wt\nabla$ sur $W$ et une
section locale $\sigma :W/G\supset U\to W$ de~$\pi$, on peut d\'efinir 
une connexion ${}_\sigma\kern-1.3pt\nabla=\pi_*(\sigma^*(\wt\nabla))$
sur $U$ telle que
$$
{}_\sigma\kern-1.3pt\nabla_wv=\pi_*\big(\wt\nabla_{\sigma_{\!*}w}
(\sigma_{\!*}v)\big)
\leqno(+)
$$
pour tout couple de champs $(w,v)$ sur~$U$. Les diff\'erentes connexions 
${}_\sigma\kern-1.3pt\nabla$ se recollent en une connexion projective 
partielle sur $W/G$ tout entier sous les conditions suivantes~:
{\it
\smallskip
\itemitem{\rlap{\rm i)}\kern1.5\parindent\null} $\wt\nabla$ est 
$G$-invariante.
\smallskip
\itemitem{\rlap{\rm ii)}\kern1.5\parindent\null} Pour tout couple de champs
$G$-invariants $v$ et $\tau$ sur $W$ tel que $\tau$ soit dans le fibr\'e
tangent relatif $T_{W/X}\subset T_W$, il existe des $1$-formes m\'eromorphes 
$\alpha$ et $\beta$ le long de $T_{W/X}$ telles que 
$\smash{\wt\nabla_\tau v}-\alpha(\tau)v$ et $\smash{\wt\nabla_v\tau}-
\beta(\tau)v$ soient tangents \`a $T_{W/X}$.\vskip0pt}|

Lorsque $W=X\times G$ (ce qui n'est pas restrictif compte tenu du caract\`ere
local de l'assertion), la v\'erification se fait ais\'ement en \'ecrivant
$\wt\nabla=d_X + d_G + \wt\Gamma$ o\`u $W\ni(x,g)\mapsto\wt\Gamma(x,g)$,
est un tenseur \`a valeurs dans $T_W^*\otimes T_W^*\otimes T_W$ et o\`u
$d_G$ est invariant \`a gauche. D'apr\`es i), $\wt\Gamma(x,g)=\Gamma(x)$ ne 
d\'epend en fait que de $x$. On \'ecrit alors
$\sigma(x)=(x,h(x))$ o\`u $h:U\to G$ est une application~holomorphe,~d'o\`u
$$
\sigma_{\!*}v=v+dh(v),\qquad
\wt\nabla_{\sigma_{\!*}w}(\sigma_{\!*}v)
= d_w v + d^2h(w,v) + \Gamma (x)(w+dh(w), v+ dh(v)).
$$
La condition ii) garantit que les champs
$\Gamma (x)(dh(w),v)-\alpha(dh(w))v$,~ $\Gamma (x)(w,dh(v))-\beta (dh(v))w$,
et $\Gamma (x)(dh(w), dh(v))$ sont dans le noyau de $\pi_*$. On en d\'eduit
$$
{}_\sigma\kern-1.3pt\nabla_wv
=d_wv + \Gamma (x)(w,v)+\alpha (dh(w))v+\beta (dh(v))w,
$$
ce qui signifie que les connexions $\nabla_{|U_j}$ d\'efinies par
des sections $\sigma _j:U_j\to W$ quelconques peuvent se recoller en 
une connexion projective partielle globale $\nabla$ sur $X$.\qed

\theorem Corollaire 2.3| {\rm (Cas de $\bP^n=\bC^{n+1}\ssm\{0\}/\bC^*$).}
Soient $\wt\nabla = d+\wt\Gamma$ une connexion m\'eromorphe sur $\bC^{n+1}$, 
$\varepsilon =\sum z_j\partial/\partial z_j$ le champ de vecteurs d'Euler
et $\pi : \bC^{n+1}\ssm\{0\}\to\bP^n$ la projection
canonique. Alors $\wt\nabla$ induit une connexion projective partielle
sur $\bP^n$ d\`es que
\smallskip
\itemitem{\rlap{\rm i)}\kern1.5\parindent\null} les symboles de
Christoffel $\Gamma ^k_{ij}$ sont des fonctions rationnelles homog\`enes
de degr\'e $-1$.
\smallskip
\itemitem{\rlap{\rm ii)}\kern1.5\parindent\null} il existe des fonctions
m\'eromorphes $\alpha$, $\beta $ et des $1$-formes m\'eromorphes $\gamma$, 
$\eta$ telles que pour tous champs de vecteurs $v$, $w$ on ait~
$\wt\Gamma \cdot(\varepsilon ,v)=dv + \gamma (v)\varepsilon$ et
$\wt\Gamma (w,\varepsilon )=\beta w + \eta (w)\cdot\varepsilon$.\vskip0pt|

\section 3. Cas de certaines classes d'hypersurfaces alg\'ebriques 
dans $\bP^n$|

Soit $X$ une vari\'et\'e complexe de dimension $n$ munie d'une
connexion projective partielle~$\nabla$, et soit $Y$ une hypersurface
de $X$ non contenue dans le diviseur des pôles de $\nabla$.
L'hypersurface $Y$ est dite {\it totalement g\'eod\'esique} par
rapport \`a la connexion $\nabla$ si $\nabla_wv$ est un champ de
vecteurs tangent \`a $Y$ chaque fois que $v$, $w$ sont tangents \`a
$Y$, autrement dit si la restriction $\nabla_{|Y}$ d\'efinit une
connexion sur $T_Y$. Un calcul classique donne la caract\'erisation
suivante.

\theorem Lemme 3.1|$Y=\{s=0\}$ est totalement g\'eod\'esique par rapport \`a
$\nabla$ si et seulement s'il existe localement au voisinage de $Y$
des fonctions m\'eromorphes $a_i$, $b_j$ et $c_{ij}$ telles que
$$
\sum_{1\le k\le n}
\Gamma ^k_{ij} {\partial s\over \partial z_k}+ a_i {\partial s\over
\partial z_j} + b_j {\partial s\over \partial z_i} + s\,c_{ij}
={\partial^2 s\over \partial z_i\partial z_j},
\qquad 1\le i,j\le n.
\leqno(++)
$$|

L'id\'ee originale de [6] est de profiter de la haute
ind\'etermination de ce syst\`eme lin\'eaire (en les inconnues $\Gamma
^k_{ij}$, $a_i$, $b_j$ et $c_{ij}$) pour trouver une connexion
m\'eromorphe de $\bP^n$ par rapport \`a laquelle toute hypersurface
membre d'un syst\`eme lin\'eaire $(Y_\alpha )$ assez grand soit
totalement g\'eod\'esique. La d\'efinition suivante introduite dans
[3] sera commode.

\theorem D\'efinition 3.2|Soient $k_0\ld k_n$ et $p$ des entiers tel que 
$0\le k_j <p/2$~; on note $\cS_{p, k_0\ld k_n}$ l'espace des polynômes
homog\`enes $s$ de degr\'e $p$ dans $\bC [z_0\ld z_n]$ tel que chaque
monôme de $s$ est multiple de $\smash{z_j^{p-k_j}}$ pour un certain~$j$.|

Remarquons que, dans ces conditions, tout \'el\'ement
$s\in\cS_{p,k_0\ld k_n}$ s'\'ecrit de fa\c{c}on unique comme $s=s_0
+\cdots + s_n$ avec $s_j$ multiple de $\smash{z_j^{p-k_j}}$.
Consid\'erons une telle hypersurface $Y=\{s=0\}\subset \bP^n$, et le
syst\`eme lin\'eaire associ\'e $Y_\alpha =\{\alpha _0 s_0 +\cdots +
\alpha _n s_n=0\}$, $\alpha=(\alpha _0\ld\alpha _n)\in \bC^{n+1}$.  On
va construire une connexion m\'eromorphe $\wt\nabla$ sur $\bC^{n+1}$
par rapport \`a laquelle le cône alg\'ebrique $\wt Y_\alpha\subset
\bC^{n+1}$ au dessus de $Y_\alpha $ soit totalement g\'eod\'esique
pour tout~$\alpha$. Il suffit pour cela de r\'esoudre $(++)$ en fixant
par exemple $a_i=b_j=c_{ij}=0$, ce qui conduit \`a r\'esoudre le
syst\`eme lin\'eaire
$$
\sum_{0\le k\le n} \wt\Gamma ^k_{ij} {\partial s_\ell\over \partial
z_k} = {\partial^2 s_\ell\over \partial z_i \partial z_j},\qquad 0\le
i,j,\ell \le n.
\leqno(+{+}+)
$$
Ce syst\`eme admet une solution unique si on suppose 
$\delta:=\det(\partial s_\ell/\partial z_k)_{0\le k,\ell\le n}
\not\equiv 0$.

\theorem Lemme 3.3|La connexion $\wt\nabla$ d\'efinie par les symboles
$\wt\Gamma_{ij}^k$ solutions de $(+{+}+)$ induit sur $\bP^n$ une 
connexion projective partielle $\nabla$ pour laquelle toute hypersurface
$Y_\alpha $ est totalement g\'eod\'esique.|

\dem. En effet, la solution $\wt\Gamma ^k_{ij}$ sont des fonctions
rationnelles de degr\'e $-1$ donc 2.3~i) est v\'erifi\'e. Observons de plus
que la connexion est sym\'etrique (i.e.\ $\smash{\wt\Gamma ^k_{ij}=
\wt\Gamma ^k_{ji}}$). Finalement, gr\^ace \`a l'identit\'e d'Euler, on a~:
$$
\sum_{0\le i,k\le n} z_i \wt\Gamma ^k_{ij} {\partial s_\ell\over
\partial z_k}=\sum_{0\le i\le n} z_n {\partial^2 s_\ell\over \partial
z_i \partial z_j}= (p-1) {\partial s_\ell\over \partial z_j}, \quad
0\le \ell,j\le n.
$$
Par suite, la condition $\delta \not\equiv 0$ entra\^{\i}ne $\smash{(
\sum_i z_i \wt\Gamma ^k_{ij})_{j,k}}=(p-1)\Id$, d'o\`u puisque $\wt\nabla$ est
sym\'etrique, $\smash{\wt\Gamma (\varepsilon ,v)=\wt\Gamma (v,\varepsilon
)}=(p-1)v$. La propri\'et\'e 2.3~ii) est donc \'egalement v\'erifi\'ee.\qed

Un v\'erification ais\'ee montre que les d\'eterminants de Cramer
intervenant dans la r\'esolution de $(+{+}+)$ sont tous divisibles par
$\prod z_j^{p-k_j-2}$, et il en r\'esulte par simplification de ce
facteur dans $\delta$ que le degr\'e du diviseur $B$ des pôles de
$\nabla$ est au plus \'egal \`a $n+1+\sum^n_{j=0} k_j$. Si $p$ est assez
grand, une application directe du th\'eor\`eme~1.1 montre que toute courbe
enti\`ere $f$ trac\'ee sur~$Y$ satisfait ou bien $f(\bC)\subset|B|$ ou
bien $W_\nabla(f)\equiv 0$. La condition $W_\nabla(f)\equiv 0$ permet
de voir que $f(\bC)$ est contenu dans toute hypersurface $Y_\alpha$ qui
contient les $(n-1)$ premi\`eres d\'eriv\'ees covariantes de $f$ en un point
g\'en\'erique. Or, par un comptage de dimension, il y a au moins une autre
hypersurface $Y_\alpha\ne Y$ pour laquelle cette condition soit
r\'ealis\'ee. On en d\'eduit

\theorem Th\'eor\`eme 3.4|Soit $s=s_0+\cdots +s_n\in \cS_{p,k_0\ld k_n}$
un polynôme tel que $\delta =\det \big(\partial s_\ell/\partial z_k
\big)_{k,\ell}\not\equiv 0$, et tel que $Y:=\{s=0\}$ soit une
hypersurface lisse de $\bP^n$. Soient enfin $Y_\alpha=\{\alpha _0
s_0+\cdots + \alpha _n s_n=0\}$ et $B$ le diviseur des pôles de la 
connexion projective partielle $\nabla$ donn\'ee par $(+{+}+)$. Supposons
$p>n+1+{{(n-1)(n-2)}\over2}(n+1+\sum_{i=0}^n k_i)$.  Alors, toute
courbe enti\`ere non constante trac\'ee sur $Y$ est alg\'ebriquement
d\'eg\'en\'er\'ee et v\'erifie ou bien $f(\bC)\subset Y\cap\vert B\vert$, 
ou bien $f(\bC)\subset Y\cap Y_\alpha$ pour une certaine hypersurface
$Y_\alpha$ distincte de~$Y$.|

\section 4. Exemples|

\noindent{\bf i)} {\it Hypersurfaces de Fermat}
$Y=\{z^p_0 + z^p_1 +\cdots + z^p_n=0\}$.

On fait un calcul \`a la main pour voir que le Wronskien a pour
d\'enominateur $(z_0\cdots z_n)^{n-2}$ (le th\'eor\`eme 3.4 tel quel
ne donne pas l'estimation optimale). Les courbes enti\`eres sont donc
toutes alg\'ebriquement d\'eg\'en\'er\'ees d\`es que $p\ge n^2$. C'est
un r\'esultat d\'emontr\'e originellement par M.~Green [4] en
utilisant la th\'eorie de Nevanlinna.

\noindent{\bf ii)} Comme dans [3], consid\'erons une hypersurface
$Y\subset\bP^3$ de la forme
$$
Y=\{z^p_0 + z^p_1 + z^p_2 + z^{p-2}_3 (\varepsilon _0 z^2_0 +
\varepsilon _1 z^2_1 + \varepsilon _2 z^2_2 + z^2_3)=0\},
\leqno(\dagger)
$$
d\'efinie par un \'el\'ement $s$ de $\cS_{p,0,0,0,2}$. On peut v\'erifier
que $Y$ est lisse si et seulement si
$$
\sum_{j\in J} \varepsilon ^{p/p-2}_j \ne {2\over p-2}\Big(-{p\over 2}
\Big)^{p/p-2}\qquad\forall J\subset \{0,1,2\}\leqno (\dagger\dagger)
$$
pour chaque choix des racines complexes d'ordre $p-2$, et que la
condition de non d\'eg\'en\'erescence $\delta\not\equiv 0$ est
toujours satisfaite.  Par suite, pour $p>10$, le th\'eor\`eme 3.1
montre que toute courbe enti\`ere $f:\bC\to Y$ est contenue dans une
intersection compl\`ete $Y\cap |B|$ ou $Y\cap Y_\alpha $. Gr\^ace \`a
un calcul du genre des intersections (d\'etaill\'e dans [3], \S4), ces
courbes ont toute un genre g\'eom\'etrique $\ge 2$, du moins si on
exclut les cas triviaux o\`u $Y$ contient des droites projectives, \`a
savoir si
$$
(\varepsilon _i,\varepsilon _j)\ne (0,0),\quad\forall i\ne j\quad
\hbox{et}\quad
\varepsilon _i/\varepsilon _j\ne -\theta ^2,\quad\forall\theta~
\hbox{racine de $\theta ^p=-1$.}
\leqno(\dagger{\dagger}\dagger)
$$
On obtient donc finalement le r\'esultat suivant\footnote*{\eightpoint
  Apr\`es avoir r\'edig\'e cette Note, nous avons appris que Siu et
  Yeung [8] avaient obtenu ind\'ependamment le m\^eme r\'esultat par
  une m\'ethode quelque peu diff\'erente.\par}.

\theorem Th\'eor\`eme|Sous les conditions $(\dagger\dagger)$ et $(\dagger
{\dagger}\dagger)$, la surface alg\'ebrique lisse $Y\subset\bP^3$ d\'efinie 
par $(\dagger)$ est hyperbolique au sens de Kobayashi, en tout degr\'e
$p\ge 11$.|

\bigskip

\noindent
{\eightrm Note remise le 15 janvier 1997, accept\'ee le 5 f\'evrier 1997.}
\bigskip\bigskip\bigskip

\centerline{\bf R\'ef\'erences bibliographiques}\bigskip

{\parindent=12mm
\leftskip\parindent
\baselineskip=10.18pt
\parskip=2.4pt plus 0.8pt minus 0.8pt

\ref
[1]:Brody R.,& Compact manifolds and hyperbolicity,& Trans.\
Amer.\ Math.\ Soc.\ {\bf 235} (1978) 213--219\par

\ref
[2]:Demailly J.-P.,& Algebraic criteria for Kobayashi
hyperbolic projective varieties and jet differentials,& 
Proceedings of the AMS Summer Institute on Alg.\ Geom.\ held at Santa
Cruz, ed.\ J.~Kollar, July 1995, to appear\par

\ref 
[3]:El Goul J.,& Algebraic families of smooth hyperbolic
surfaces of low degree in $\bP^3_\bC$,& Manuscripta
Math.\ {\bf 90} (1996) 521--532\par

\ref
[4]:Green M.,& Some Picard theorems for holomorphic maps to
algebraic varieties,& Amer.\ J.\ Math.\ {\bf 97} (1975), 43--75\par

\ref
[5]:Green M., Griffiths P.:& Two applications of algebraic
geometry to entire holomorphic mappings.& The Chern Symposium 1979,
Proc.\ Internal.\ Sympos.\ Berkeley, CA, 1979, Springer-Verlag, New York
(1980), 41--74\par

\ref 
[6]:Nadel A.M.,& Hyperbolic surfaces in $\bP^3_\bC$,& Duke
Math.\ J.\ {\bf 58} (1989) 749--771\par

\ref
[7]:Siu Y.T.,& Defect relations for holomorphic maps between
spaces of different dimensions,& Duke Math.\ J.\ {\bf 55} (1987)
213--251\par

\ref
[8]:Siu Y.T., Yeung S.K.,& Defects for ample divisors of Abelian varieties,
Schwarz lemma and hyperbolic hypersurfaces of low degrees,& Preprint
1996\par
}

\end

% Local Variables:
% TeX-command-default: "TeX"
% End:
