\scrollmode
\input broccod
\input ams
\vsize=20cm
\parindent=0,5cm

\newdimen\unit
\newdimen\larg
\unit=2\baselineskip
\larg=0.4pt
\def\linev#1 #2 #3 {\rlap{\kern#1\unit
   \raise#2\unit\hbox{\vrule height#3\unit depth0\unit width \larg}}}
\def\lineh#1 #2 #3 {\rlap{\kern#1\unit
    \raise#2\unit\hbox{\vrule height\larg depth 0pt width #3\unit}}}
\def\blt{{\scriptstyle\bullet}}
\def\ort{\hbox{~\lineh 0 0 0.2 \linev 0.18 0.02 0.25 }~~~}
\def\ld{,\,\ldots\,,}
\def\no{n\kern-2pt{\rm\char'27}}
\def\re{{\rm Re}\,}
\def\im{{\rm Im}\,}
\def\gl{{\rm Gl}}
\def\glr{{\rm Gl}_r}
\def\hom{{\rm Hom}} 
\def\Isom{{\rm Isom}}
\def\ad{{\rm ad}}
\def\bbc{{\Bbb C}}
\def\bbz{{\Bbb Z}}
\def\bid{\vphantom{\Big(}}
\def\finpr{\ \hbox{\vrule height 1.1ex width 1.1ex depth 0ex}}
\def\diver #1|#2|#3|#4|{\divers #1|#2|{\sl #3}|{\rm #4}|}
\def\gothu{{\goth U\kern0.6pt}}
\def\gothb{{\goth R}\kern-4.9pt{\scriptscriptstyle\cup}
            \kern-5.1pt\raise0.5pt\hbox{$\scriptscriptstyle\cup\kern0.6pt$}}
\def\gothgl{{\goth g}{\rm l}\kern-2.5pt
             \raise4pt\hbox{$\scriptscriptstyle\check :$}}
\def\csur{{c\over 2}}
\def\dsta#1|{D_{#1}''\kern-11pt{}^\star\kern7pt}

{\bf G\'EOM\'ETRIE ANALYTIQUE}\pointir {\sl Th\'eor\`emes d'annulation pour la
cohomologie des puissances tensorielles d'un fibr\'e vectoriel positif}.
\hfil\break
Note de {\bf Jean-Pierre Demailly}, pr\'esent\'ee par Pierre Lelong.

\eightpoint\vskip 8pt
Soit $E$ un fibr\'e vectoriel holomorphe de rang $r$ au dessus d'une 
vari\'et\'e $\scriptstyle\Bbb C$--analytique compacte $X$ de dimension $n$~. Si
$E$ est positif au sens de Griffiths, nous montrons que les groupes de 
cohomologie de Dolbeault $H^{p,q}(X,E^{\otimes k}\otimes(\det E)^l)$ 
s'annulent pour $p+q\ge n+1$\break et $l\ge r+C(n,p,q)$~. La
d\'emonstration repose sur le fait classique que toute puissance tensorielle
$E^{\otimes k}$ se d\'ecompose en repr\'esentations irr\'eductibles de 
$\gl(E)$~, chaque composante \'etant isomorphe \`a l'espace des sections
d'un fibr\'e lin\'eaire homog\`ene positif sur une vari\'et\'e de drapeaux de 
$E$~. La propri\'et\'e d'annulation s'obtient alors en combinant l'isomorphisme
de Le Potier avec une nouvelle estimation de courbure pour le fibr\'e des
formes diff\'erentielles $X$--relatives sur la vari\'et\'e de drapeaux de $E$~.

\vskip 5pt
{\sl ANALYTIC GEOMETRY}\pointir Vanishing theorems for cohomology groups of
tensor powers of a positive vector bundle.

\vskip 5pt
{\sl Let $E$ be a holomorphic vector bundle of rank $r$ over
a compact complex manifold $X$ of dimension $n$~. If $E$ is positive in the 
sense of Grif\-fiths, it is shown that the Dolbeault cohomology groups 
$H^{p,q}(X,E^{\otimes k}\otimes(\det E)^l)$ vanish for $p+q\ge n+1$ and 
$l\ge r+C(n,p,q)$~. The proof rests on the well-known fact that any tensor 
power $E^{\otimes k}$ splits into irreducible representations of
$\gl(E)$~, each component being canonically isomorphic to the space of sections
of a positive homogeneous line bundle over a flag manifold of $E$~. The 
vanishing property is then obtained by a combination of Le Potier's isomorphism
theorem with a new curvature estimate for the bundle of $X$--relative 
differential forms on the flag manifold of $E$~.}

\vskip 10pt \tenpoint
1. {\petcap Enonc\'e des r\'esultats}\pointir Rappelons que le fibr\'e
$E$ est dit $>0$~, resp. $\ge 0$ (au sens de Griffiths [3]) si la forme de 
courbure de Chern
  $$ic(E)=i\sum_{i,j,\lambda ,\mu }c_{ij\lambda \mu }\,dz_i\wedge
    d{\overline z}_j\otimes e^\star _\lambda \otimes e_\mu~~,~~
    1\le i,j\le n~~,~~1\le\lambda,\mu \le r~~,$$
identifi\'ee \`a une forme hermitienne sur $TX\otimes E$~, v\'erifie
$$ic(E)_x(\zeta \otimes v)=\sum_{i,j,\lambda ,\mu }c_{ij\lambda \mu }(x)\,
\zeta_i{\overline\zeta}_jv_\lambda {\overline v}_\mu >0~~,~~{\rm resp.}~~
\ge 0 $$
pour tous vecteurs $\zeta =\sum \zeta_i\,\partial/\partial z_i \in T_xX~,$ 
$v=\sum v_\lambda e_\lambda\in E_x$ non nuls. 

    A l'heure actuelle, on ne dispose pas de th\'eor\`emes d'annulation 
g\'en\'eraux et optimaux pour les groupes de cohomologie de Dolbeault $H^{p,q}$
des puissances tensorielles d'un fibr\'e vectoriel positif. Ainsi, le 
c\'el\`ebre th\'eor\`eme de Le~Potier~[5]~: $E>0~\Longrightarrow~H^{p,q}(X,E)
=0$ pour $p+q\ge n+r$ ne se g\'en\'eralise pas aux puissances sym\'etriques 
$S^kE$~, m\^eme pour $p=n$ et $q=n-2$ (\cf [4])~. On a cependant~:

\tha Th\'eor\`eme|Soit $L$ un fibr\'e lin\'eaire holomorphe sur $X$~. On 
suppose que $E>0$ et $L\ge 0$~, ou $E\ge 0$ et $L>0$~. Pour tous entiers $p,q$ 
tels que $p+q\ge n+1$~, on pose~ 
$A(n,p,q)={1\over 4}n(n+1)(p+1)(q+1)/(p+q-n+1)$~
si $p<n$~,\break et ~$A(n,p,q)=0$~ si $p=n$~. Soit $\Gamma^aE$ la 
repr\'esentation tensorielle irr\'eductible de $\gl(E)$ de plus haut poids 
$a\in\bbz^r$~, avec $a_1\ge a_2\ge\ldots\ge a_h>0$ et $a_{h+1}=\ldots=a_r=0$
o\`u $1\le h\le r-1$~. Si $p+q\ge n+1$ alors
$$H^{p,q}(X,\Gamma^aE\otimes(\det E)^l\otimes L)=0~~~
            {\sl pour}~~l\ge h+A(n,p,q)~~.$$
\fintha
\vskip-6pt
\tha Corollaire|Pour $p+q\ge n+1$ on a
\vskip 2pt\noindent
{\rm (0.1)}\quad $H^{p,q}(X,S^kE\otimes(\det E)^l\otimes L)=0$~~~si~~
$l\ge 1+A(n,p,q)$~~;
\vskip 2pt\noindent
{\rm (0.2)}\quad $H^{p,q}(X,E^{\otimes k}\otimes(\det E)^l\otimes L)=0$~~~si~~
$l\ge\min(k,r-1)+A(n,p,q)$~~.
\fintha\eject

  Pour $p=n$~, le r\'esultat (0.1) est d\^u \`a P. Griffiths [3]~, et dans ce 
cas les r\'esultats ci-dessus sont vrais en fait plus g\'en\'eralement
pour des fibr\'es $E$ ou $L$ amples. Par ailleurs si $p=n$ la condition 
$l\ge h$ du th\'eor\`eme est optimale, comme le montre l'exemple suivant,
inspir\'e de Peternell-Le Potier-Schneider [4]~.

\tha Exemple|Soit $X=G_r(V)$ la Grassmannienne des sous-espaces de codimension
$r$ d'un espace vectoriel $V$ de dimension $d$~, et $E$ le fibr\'e tautologique
quotient de rang $r$ au-dessus de $X$ ($E$ est $\ge 0$ and $L=\det E$ tr\`es
ample)~. Soit $h\in\{1\ld r-1\}$ et $a\in\bbz^r$ tel que
$a_1\ge\ldots\ge a_h\ge d-r$~, $a_{h+1}=\ldots=a_r=0$ et $b=(a_1-d+r\ld 
a_h-d+r,0\ld 0)\in\bbz^d$~. Alors si $n=\dim X=r(d-r)$ et $q=(r-h)(d-r)$ 
on a
$$H^{n,q}\big(X,\Gamma^aE\otimes(\det E)^h\big)\simeq\Gamma^bV\otimes(\det V)^h
\ne 0~~.\leqno(0.3)$$
\fintha

  Cet exemple donne une r\'eponse n\'egative g\'en\'erale \`a la question
(4.3) de Sommese [7]~. Il serait par ailleurs int\'eressant de savoir si le 
th\'eor\`eme est vrai avec $A(n,p,q)=0$ pour $p<n$~. La d\'emonstration 
consiste \`a se ramener \`a un fibr\'e en droites au dessus d'une vari\'et\'e 
de drapeaux de $E$~; elle utilise les techniques de Griffiths [3] et Le Potier 
[5]~, ainsi que les r\'esultats de Bott [2]. Pour simplifier l'expos\'e, nous 
nous contenterons de d\'ecrire le cas des puissances sym\'etriques $S^kE$~, qui
fait seulement intervenir le fibr\'e projectivis\'e $P(E^\star)$~.
\vskip 10pt

2.{\petcap Passage au fibr\'e \ $O_E(1)$ sur $P(E^\star)$}\pointir 
Si $V$ est un espace vectoriel complexe de dimension $r\ge 1$~, on note
$P(V^\star)$ l'espace projectif des hyperplans de $V$~, $H$ le sous-fibr\'e
tautologique $H_{[\xi]}=\xi^{-1}(0)$~, $[\xi]\in P(V^\star)$~, $O(1)=V/H$
le fibr\'e en droites quotient et $O(k)=O(1)^k$~, $k\in{\Bbb Z}$~. On a alors
les formules classiques
$$\leqalignno{
      &H^{r-1,0}(P(V^\star),O(k))\simeq S^{k-r}V\otimes\det V~~;&(2.1)\cr
      &H^{r-1,q}(P(V^\star),O(k))=0~~{\rm pour}~~q\ge 1~,~k\ge 1~.&(2.2)\cr}$$

Appliquons maintenant la construction de $O(1)$ \`a chaque fibre
$V=E_x$~, $x\in X$~. On obtient ainsi un fibr\'e en droites
$O_E(1)$ au dessus de $P(E^\star)$~, et il est bien connu que la 
positivit\'e de $E$ entra\^\i ne celle de $O_E(1)$~. Posons d'autre part 
$\Omega^p_X=\Lambda^pT^\star X$~, $\Omega^p_Y=\Lambda^pT^\star Y$~. 
On a une suite exacte
$$0\longrightarrow \pi^\star\Omega^1_X\longrightarrow\Omega^1_Y\longrightarrow
\Omega^1_{Y/X}\longrightarrow 0\leqno(2.3)$$
o\`u $\Omega^1_{Y/X}$ est par d\'efinition le fibr\'e des 1--formes 
diff\'erentielles relatives le long des fibres de la projection
$\pi:Y=P(E^\star)\to X$~. On peut alors d\'efinir une filtration 
d\'ecroissante naturelle de $\Omega_Y^s$ en posant
$$F^{p,s}=F^p(\Omega_Y^s)=\pi^\star(\Omega^p_X)\wedge\Omega^{s-p}_Y~~.
        \leqno(2.4)$$
Le gradu\'e associ\'e \`a cette filtration est
$$G^{p,s}=F^{p,s}/F^{p+1,s}=\pi^\star(\Omega^p_X)\otimes
           \Omega^{s-p}_{Y/X}~~.\leqno(2.5)$$
Au dessus de tout ouvert $U\subset X$ o\`u $E^\star$ est un fibr\'e 
trivial $U\times V$ avec $\dim{}_{\Bbb C}\,V=r$~, la suite exacte (2.3) se 
scinde ainsi que la filtration (2.4). En utilisant (2.1) et (2.2), on calcule 
aussit\^ot les images directes de faisceaux
$$\eqalign{&\pi_\star(G^{p,p+r-1}\otimes O_E(k)\otimes \pi^\star L) =
   \Omega^p_X\otimes S^{k-r}E\otimes\det E\otimes L~~,\cr
        R^q&\pi_\star(G^{p,p+r-1}\otimes O_E(k)\otimes \pi^\star L)=0
   \quad {\rm si}~~q\ge 1~,~k\ge 1~.\cr}$$
La suite spectrale de Borel-Leray implique l'isomorphisme
$$H^q(Y,G^{p,p+r-1}\otimes O_E(k)\otimes \pi^\star L)\simeq
        H^{p,q}(X,S^{k-r}E\otimes\det E\otimes L)~~.\leqno(2.6)$$
Le th\'eor\`eme d'annulation de Kodaira-Akizuki-Nakano [1] appliqu\'e au 
fibr\'e $O_E(k)\otimes\pi^\star L$ sur $P(E^\star)$~, $k\ge 1$~, donne par
ailleurs
   $$H^q(Y,\Omega_Y^{p+r-1}\otimes O_E(k)\otimes \pi^\star L)=0\quad
       {\rm pour}\quad p+q\ge n+1~.\leqno(2.7)$$
Gr\^ace \`a la suite exacte courte 
\hbox{$0\to F^{p+1,p+r-1}\to \Omega_Y^{p+r-1}\to G^{p,p+r-1}\to 0$}~,\break
le groupe $H^q(Y,G^{p,p+r-1}\otimes O_E(k)\otimes\pi^\star L)$ s'annulera 
pourvu que 
$$H^{q+1}(Y,F^{p+1,p+r-1}\otimes O_E(k)\otimes \pi^\star L)=0~~.\leqno(2.8)$$
Cette annulation est \'evidente si $p=n$ car $F^{n+1,n+r-1}=0$~. Dans le cas 
g\'en\'eral, on va l'obtenir \`a l'aide d'une estimation de courbure pr\'ecise
pour le fibr\'e $F^{p+1,p+r-1}$~.
\vskip 10pt

3.{\petcap Estimation de la courbure du sous-fibr\'e} 
\ $F^{p+1,p+r-1}$~\pointir
Posons pour simplifier $\Omega=\Omega_Y^{p+r-1}$~, $F=F^{p+1,p+r-1}$~,
$G=\Omega^{p+r-1}/F^{p+1,p+r-1}$ et consid\'erons les suites exactes 
$$\eqalign{0&\longrightarrow \ \ F\ \cr
           0&\longrightarrow  F(k)\cr}
  \eqalign{&\longrightarrow \ \ \Omega\ \cr
           &\longrightarrow \Omega(k) \cr} 
  \eqalign{&\longrightarrow \ \ G\ \cr
           &\longrightarrow G(k) \cr}
  \eqalign{&\longrightarrow 0~~, \cr
           &\longrightarrow 0~~, \cr}
  \leqno{\eqalign{(3.1)&\cr(3.2)&\cr}}$$
o\`u (3.2) se d\'eduit de (3.1) par tensorisation par $O_E(k)\otimes
\pi^\star L$~. Munissons $P(E^\star)$ de la m\'etrique k\"ahl\'erienne
$\omega={1\over k}ic(O_E(k)\otimes\pi^\star L)$~, et appliquons \`a toute forme
$u$ de type $(p+r-1,q+1)$ sur $P(E^\star)$ \`a valeurs dans $O_E(k)\otimes
\pi^\star L$ l'in\'egalit\'e de Akizuki-Nakano [1]. Il vient
     $$||D_{\Omega(k)}''u||^2+||\dsta\Omega(k)|u||^2
                        \ge k(p+q-n+1))\ ||u||^2~~.\leqno(3.3)$$
Relativement au scindage orthogonal $\Omega\simeq F\oplus G$~, les connexions 
de Chern de\break $\Omega$~, $F$~, $G$ sont d'autre part reli\'ees par la 
formule classique (\cf [3])~:
$$D_\Omega=\pmatrix{D_F & -\beta^\star\wedge\blt\cr
                    \beta\wedge\blt & D_G\cr}~~,~~
  \beta\in C^{\infty}(\Lambda^{1,0}T^\star P(E^\star)\otimes{\rm Hom}(F,G))~.$$
On en d\'eduit par cons\'equent
$$D_{\Omega(k)}''=
   \pmatrix{D_{F(k)}'' & -\beta^\star\wedge\blt\cr 0 & D_{G(k)}''\cr}\quad,
                   \quad \dsta\Omega(k)|=
   \pmatrix{\dsta F(k)| & 0\cr
                  -\beta\ort\blt & \dsta G(k)|\cr}~~.$$
Pour toute $(0,q+1)$--forme $f$ \`a valeurs dans $F(k)$ il vient
$$D_{F(k)}''f=D_{\Omega(k)}''f~~,~~||\dsta F(k)|f||^2=
||\dsta\Omega(k)|f||^2-||\beta \ort f||^2~~.\leqno(3.4)$$
L'annulation (2.8) aura donc lieu si en tout point de $X$ on peut s'assurer
que $|\beta\ort f|^2<k(p+q-n+1)\,|f|^2$~. Choisissons des coordonn\'ees 
$(z_1 \ld z_n)$ sur $X$ et des coordonn\'ees non homog\`enes 
$(\xi_1 \ld \xi_{r-1},1)$ sur les fibres $P(E_z^\star)$ en sorte 
que la base $(dz_1\ld dz_n\,,d\xi_1 \ld d\xi_{r-1})$ soit 
$\omega$--orthonorm\'ee au point $[e_r^\star]\in P(E^\star)$~. Gr\^ace \`a un 
calcul explicite de $\beta$ au point $[e_r^\star]$ en termes des coefficients 
de courbure $c_{ij\lambda \mu }$ de $E$~, on v\'erifie que
   $$\leqalignno{\displaystyle
             \beta\ort f&=-\sum_{i,j,\lambda<r}c_{ijr\lambda}\,{\partial\over
             \partial\overline z_i}\ort\big(d\xi_\lambda\wedge\big(
             {\partial\over\partial z_j}\ort f\big)\big)~~
             {\rm mod}\,F(k)~~,\cr
     |\beta\ort f|^2&\le (p+1)(q+1)\Big(\sum_{i,j,\lambda<r}|c_{ijr\lambda}|^2
              \Big)\,|f|^2~~.&(3.5)\cr}$$
La m\'etrique k\"ahl\'erienne $\omega$ est donn\'ee par ailleurs par
$$\omega=i\Big(\sum_{1\le\lambda\le r-1}d\xi_\lambda\wedge 
     d\overline\xi_\lambda +\sum_{i,j}c_{ijrr}\,dz_i\wedge d\overline z_j
     +{1\over k}\pi^\star c(L)\Big)~~.$$
Ceci ne suffit pas a priori pour contr\^oler les coefficients $c_{ijr\lambda}$~
, c'est pourquoi on remplace $L$ par le fibr\'e en droites $L'=(\det E)^l
\otimes L$~, la courbure de $\det E$ \'etant $\sum_{i,j}(\sum_{1\le\lambda\le
r}c_{ij\lambda\lambda})dz_i\wedge d\overline z_j$~. On obtient ainsi
$$\omega_{ij}=c_{ijrr}+{l\over k}\ \sum_{1\le\lambda\le r}c_{ij\lambda\lambda}
+{1\over k}c(L)_{ij}=\delta_{ij}~~,~~1\le i,j\le n~~.$$
Des majorations \'el\'ementaires utilisant la positivit\'e de $ic(E)$ donnent 
alors
   $$\sum_{i,j,\lambda<r}|c_{ijr\lambda}|^2<{k\over 4l}n(n+1)~~.\leqno(3.6)$$
Compte tenu de (3.3--3.6), on obtient
$H^{q+1}(Y,F^{p+1,p+r-1}\otimes O_E(k)\otimes\pi^\star L')=0$ pour $p+q\ge n$
et ${k\over 4l}n(n+1)(p+1)(q+1)\le k(p+q-n+1)$~, \ie $l\ge A(n,p,q)$~.
L'annulation (0.1) r\'esulte alors de (2.6), (2.7), (2.8) o\`u $L'$ est
substitu\'e \`a $L$~.

\titre Bibliographie|
\eightpoint
\article 1|y. Akizuki {\rm and} s. Nakano|Note on Kodaira-Spencer's proof of
Lefschetz theorems|Proc. Jap. Acad.|30|1954|266--272|
\article 2|r. Bott|Homogeneous vector bundles|Ann. of Math.|66|1957|203--248|
\article 3|p.a. Griffiths|Hermitian differential geometry, Chern classes
and positive vector bundles|Global Analysis, Papers in honor of K. Kodaira,
Princeton Univ. Press|{\rm Princeton}|1969|185--251|
\article 4|t{\rm h}. Peternell, j. le Potier {\rm and} m. Schneider|Vanishing 
theorems, linear and quadratic normality|Invent. Math.|87|1987|573--586|
\article 5|j. Le Potier|Annulation de la cohomologie \`a valeurs dans un
fibr\'e vectoriel holomorphe de rang quelconque|Math. Ann.|218|1975|35--53|
\article 6|m. Schneider|Ein einfacher Beweis des Verschwindungssatzes f\"ur
positive holomorphe Vektorraumb\"undel|Manuscripta Math.|11|1974|95--101|
\article 7|a.j. Sommese|Submanifolds of abelian varieties|Math. 
Ann.|233|1978|229--256|
\ \  

{\noindent\hangindent2cm\hangafter-3{\sl
Institut Fourier, Universit\'e de Grenoble I,\hfill\break
Laboratoire \no 188 associ\'e au C.N.R.S. , BP 74,
F--38402 Saint-Martin d'H\`eres \hfill\break
{\rm et} Les Alloves, 17, rue Saint-Exup\'ery, F--38400 Saint-Martin d'H\`eres 

}}
\end
