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\long\def\claim#1|#2\endclaim{\par\vskip 5pt\noindent 
{\bf #1.}\ {\sl #2}\par\vskip 5pt}
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

{\parindent = 0cm

{\bf M\'ethodes $L^2$ et r\'esultats effectifs en g\'eom\'etrie alg\'ebrique}
\medskip

L'expos\'e fait le point sur les r\'esultats obtenus depuis 1990
environ, concernant l'exis\-tence de sections globales des syst\`emes
lin\'eaires adjoints. L'un des buts de la th\'eorie est l'\'etude
approfondie de la structure des vari\'et\'es projectives. Une des
principales motivations en est la conjecture \'enonc\'ee en 1987 par
T.~Fujita~: si $L\to X$ est un fibr\'e en droites ample, $|K_X+mL|$
est globalement engendr\'e pour $m\ge \dim X+1$ et tr\`es ample pour
$m\ge \dim X+2$. L'expos\'e pr\'esente un aper\c{c}u du versant
analytique de la th\'eorie: estimations $L^2$ pour l'op\'erateur
$\overline\partial$, m\'etriques singuli\`eres, id\'eaux multiplicateurs
de Nadel. Comme application, on donne le sch\'ema de la preuve de la
conjecture de l'invariance des plurigenres, r\'ecemment d\'emontr\'ee 
par Y.T.~Siu dans le cas des vari\'et\'es de type g\'en\'eral.
\bigskip

{\it Mots-cl\'es\/:} Vari\'et\'e projective, fibr\'e en droites,
tenseur de courbure, fibr\'e positif, fibr\'e ample, fibr\'e nef,
estimations $L^2$ pour l'op\'erateur $\overline\partial$, faisceau 
d'id\'eaux multiplicateurs de Nadel, th\'eor\`emes d'annulation,
syst\`eme lin\'eaire adjoint, conjecture de Fujita,
vari\'et\'e de type g\'en\'eral, invariance des plurigenres.

\bigskip
{\it Classification AMS\/:} 14\/C\/30, 14\/F\/17, 14\/J\/60
%------------
\bigskip\bigskip

{\bf $L^2$ methods and effective results in algebraic geometry}
\medskip

The article gives an exposition of several important results obtained
since the beginning of the 90's, concerning the existence of global
sections of adjoint linear systems. The main goal is a deepened
investigation of the structure of projective varieties. A strong
motivation of this study has been the conjecture asserted by T.~Fujita in
1987: if $L\to X$ is an ample line bundle, $|K_X+mL|$ is base point
free for $m\ge \dim X+1$ and very ample for $m\ge \dim X+2$. The
presentation is centered around the analytic aspects of the theory:
$L^2$ estimates for $\overline\partial$ operators, singular
hermitian metrics, Nadel multiplier ideal sheaves. As an application,
we give an overview of the proof of the conjecture of invariance of 
plurigenera in the case of varieties of general type, as it has been
recently announced by Y.T.~Siu. 
\bigskip

{\it Key-words~:} Projective variety, line bundle, curvature tensor,
positive vector bundle, ample line bundle, nef line bundle,
$L^2$ estimates for the $\overline\partial$ operator, Nadel
multiplier ideal sheaf, vanishing theorems, adjoint linear
system, Fujita conjecture, variety of general type, 
invariance of plurigenera.

\bigskip
{\it Classification AMS\/:} 14\/C\/30, 14\/F\/17, 14\/J\/60
}
\vfill
\eject
\phantom{$a$}
\vfill
\eject
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\def\expno{852}
\noindent\hbox to\hsize{S\'eminaire BOURBAKI \hfil Novembre 1998} \par
\noindent 51\`eme ann\'ee, 1998-99, n$^{\rm o}$ \expno \par
\vskip 1.8truecm
\pageno=1

\centerline{\bf M\'ETHODES $\hbox{\tenbfit L}^{\bf 2}$ ET R\'ESULTATS 
EFFECTIFS} \par
\centerline{\bf EN G\'EOM\'ETRIE ALG\'EBRIQUE} \par

\medskip
\centerline {par {\bf Jean--Pierre DEMAILLY}}
\vskip 1.8truecm

\noindent {\bf 1. INTRODUCTION} \vskip 0.5truecm

La th\'eorie des syst\`emes lin\'eaires adjoints a pour but
d'\'etudier les espaces de sections $H^0(X,K_X+mL)$ associ\'es \`a un
fibr\'e en droites $L$ ample -- ou du moins suffisamment positif --
sur une vari\'et\'e alg\'ebrique projective~$X$ de dimension~$n$. La
motivation principale est la construction de plongements d'une
``vari\'et\'e alg\'ebrique polaris\'ee'' $(X,L)$ donn\'ee dans un
espace projectif complexe $\bP^N_\bC$, avec des bornes effectives
explicites pour les degr\'es.  A leur tour, de tels plongements
peuvent \^etre utilis\'es pour d\'emontrer des th\'eor\`emes de
finitude ou pour essayer de classifier les structures alg\'ebriques
sur une vari\'et\'e de type topologique donn\'e.

On supposera tout au long de cet expos\'e que $X$ est lisse, d\'efinie
sur $\bC$, et on notera $K_X=\Lambda^n T^\star_X$, $n=\dim X$, le {\sl
fibr\'e en droites canonique} de~$X$. On utilisera la notation
additive usuelle pour le groupe de Picard: $K_X+mL$ est donc synonyme
de $K_X\otimes L^{\otimes m}$.  L'une des questions les plus
motivantes pour la th\'eorie des syst\`emes lin\'eaires adjoints a
sans doute \'et\'e la conjecture suivante, due \`a T.~Fujita [Fuj87,
88].

\claim Conjecture (Fujita)|Si $L$ est un fibr\'e en droites ample sur une
vari\'et\'e projective $X$ de dimension $n$, alors
\smallskip
\item{\rm (i)} $K_X+mL$ est engendr\'e par ses sections pour $m\ge n+1$.
\smallskip
\item{\rm (ii)} $K_X+mL$ est tr\`es ample pour $m\ge n+2$.
\endclaim

\`A ce jour, la partie (ii) de la conjecture de Fujita semble encore
hors de port\'ee hormis le cas bien compris des dimensions $1$ et $2$
(cf.\ I.~Reider [Rei87]), mais la partie (i) a fait l'objet de
nombreux travaux qui ont conduit \`a une r\'eponse positive jusqu'en
dimension~$5$ (Ein-Lazarsfeld [EL93] en dimension~$3$, Y.~Kawamata
[Kaw97a] en dimension~$4$, S.~Helmke [Hel98] en dimension~$5$).

Il faut observer que ce type de r\'esultat, fournissant une borne
universelle ne d\'ependant que de la dimension $n$ pour l'entier $m$,
se saurait \^etre vrai pour les syst\`emes lin\'eaires
$H^0(X,mL)$. En effet, si $X$ est une courbe de genre $g$, il est bien
connu que $H^0(X,mL)$ n'a pas de sections si $m<g$, pour $L$
g\'en\'erique de degr\'e~$1$. Par ailleurs, les bornes de la
conjecture de Fujita sont d\'ej\`a optimales dans le cas o\`u
$X=\bP^n_\bC$, $L=\cO(1)$, puisqu'on a alors $K_X=\cO(-n-1)$.

Le caract\`ere in\'evitable du fibr\'e canonique s'explique par son
intervention dans les th\'eor\`emes d'annulation fondamentaux tels que
le th\'eor\`eme de Kodaira-Nakano, le th\'eor\`eme de Kawamata-Viehweg
ou le th\'eor\`eme de Nadel (voir \S$\,$2).  L'approche pr\'esent\'ee
ici s'appuira sur une \'etude approfondie des m\'etriques
singuli\`eres et des id\'eaux multiplicateurs de Nadel, qui mesurent
de fa\c{c}on pr\'ecise l'influence des ensem\-bles-base des syt\`emes
lin\'eaires consid\'er\'es.  Le cadre de travail est la th\'eorie de
Hodge $L^2$, et les outils analytiques sous-jacents sont les
th\'eor\`emes d'existence $L^2$ pour les solutions de
l'op\'erateur~$\dbar$. Une des applications marquantes de ces
techniques est la d\'emonstration du th\'eor\`eme de l'invariance des
plurigenres par d\'eformation, r\'ecemment obtenu par Y.T.~Siu [Siu97]
dans le cas des vari\'et\'es de type g\'en\'eral. Le lecteur pourra
consulter Y.~Kawamata [Kaw97b, Kaw98] pour diverses
g\'en\'era\-lisations dans un contexte plus alg\'ebrique, incluant
notamment le cas des d\'eformations de vari\'et\'es ayant des
singularit\'es canoniques.

\claim Th\'eor\`eme (Siu)|Soit $\cX\to S$ une famille projective lisse
de vari\'et\'es de type g\'en\'eral au-dessus d'une base $S$ irr\'eductible.
Alors les plurigenres $p_m(X_t)=h^0(X_t,mK_{X_t})$ des fibres sont
ind\'ependants de~$t$ pour tout $m\ge 0$.
\endclaim

L'assertion plus g\'en\'erale o\`u les fibres $X_t$ seraient de dimension
de Kodaira quelconque est encore conjecturale (et n\'ecessite
vraisemblablement des techniques de th\'eorie de Hodge beaucoup plus
\'elabor\'ees). Nous allons maintenant donner un aper\c{c}u des m\'ethodes
utilis\'ees et de la preuve des principaux r\'esultats --
en essayant de nous adresser au lecteur non n\'ecessairement sp\'ecialiste
de la g\'eom\'etrie alg\'ebrique.
\vskip 1.2truecm

\noindent {\bf 2. M\'ETRIQUES SINGULI\`ERES ET TH\'EOR\`EMES D'ANNULATION}
\vskip 0.5truecm
\noindent {\bf 2.1. M\'etriques hermitiennes singuli\`eres}
\par
Soit $(L,h)$ un fibr\'e holomorphe en droites hermitien sur 
une vari\'et\'e complexe~$X$. On ne suppose pas a priori que la
m\'etrique $h$ soit de classe $C^\infty$, mais on pose toutefois
une condition restrictive de mani\`ere \`a pouvoir calculer la
courbure au sens des courants (cf.\ [Dem90, DPS94]).

\claim 2.1.1. D\'efinition|Une m\'etrique $($hermitienne$)$ singuli\`ere
sur un fibr\'e en droites $L$ est une m\'etrique donn\'ee dans toute
trivialisation $\tau:L_{|U}
\build\lra|\simeq||U\times\bC$ par
$$\|\xi\|=|\tau(\xi)|\,e^{-\varphi(x)},~~~~x\in U,~\xi\in L_x$$
o\`u $\varphi\in L^1_\loc(U)$ est une fonction arbitraire localement
int\'egrable $($pour la mesure de Lebesgue dans des coordonn\'ees locales$)$, 
appel\'ee poids de la m\'etrique par rapport \`a la trivialisation~$\tau$.
\endclaim

Si $\tau':L_{|U'}\to U'\times\bC$ 
est une autre trivialisation, $\varphi'$ le poids associ\'e sur $U'$
et $g\in\cO^\star(U\cap U')$ la fonction de transition, alors
$\tau'(\xi)=g(x)\,\tau(\xi)$ pour tout $\xi\in L_x$, donc
$\varphi'=\varphi+\log|g|$ sur $U\cap U'$. Une d\'efinition possible
de la {\sl forme de courbure} de $L$ consiste \`a poser
$$
\Theta_h(L)={i\over\pi}\,\ddbar\varphi\leqno(2.1.2)
$$ 
sur $U$. C'est une $2$-forme r\'eelle $d$-ferm\'ee de type~$(1,1)$. La
formule $\varphi'=\varphi+\log|g|$ montre pr\'ecis\'ement que
$i\ddbar\varphi$ est invariant par changement de trivialisation, et
par cons\'equent $\Theta_h(L)$ est un {\sl courant} de type $(1,1)$
globalement d\'efini sur $X$ (rappelons que, d'apr\`es G.~De Rham
[Rh55], un courant est simplement une forme diff\'erentielle \`a
coefficients distributions); l'hypoth\`ese $\varphi\in L^1_\loc(U)$
garantit en effet que $\Theta(L)$ existe au sens des distributions. Un
changement de m\'etrique $h\mapsto h'$ s'obtient par $h'=h\,e^{-\psi}$
avec $\psi\in L^1_\loc(X)$, de sorte que
$$
\Theta_{h'}(L)=\Theta_h(L)+{i\over\pi}\ddbar\psi\leqno(2.1.3)
$$ 
appartient \`a la m\^eme classe de cohomologie de De Rham que
$\Theta_h(L)$ dans $H^2_{DR}(X,\bR)$. De plus, on sait (cf.\ par
exemple [GH78]) que la premi\`ere classe de Chern $c_1(L)$ est
d\'efinie en cohomologie de De Rham pr\'ecis\'ement par le courant
$\Theta_h(L)$.  Rappelons qu'un courant r\'eel $T=i\sum_{1\le j,k\le
n}T_{jk} dz_j\wedge d\ol z_k$ de type $(1,1)$ est dit \hbox{\sl
$($semi-$)$positif} si $\sum_{1\le j,k\le n}\lambda_j\ol\lambda_k T_{jk}$
est une mesure positive pour tout syst\`eme de coef\-ficients
complexes $\lambda=(\lambda_j)\in\bC^n$. Une fonction $\varphi\in
L^1_\loc$ est dite {\sl plurisousharmonique} si \hbox{$i\ddbar\varphi=
i\sum\partial^2\varphi/\partial z_j\partial\ol z_k\,dz_j\wedge d\ol z_k
\ge 0$}. On introduit la d\'efinition suivante.

\claim 2.1.4. D\'efinition|Le fibr\'e hermitien singulier $(L,h)$ est
dit \`a courbure semi-positive $($resp.\ d\'efinie positive$)$ si
le $(1,1)$-courant de courbure $\Theta_h(L)$ est semi-positif,
resp.\ si $\Theta_h(L)$ est d\'efini positif, i.e.\ il existe
une $(1,1)$-forme $\omega=i\sum_{1\le j,k\le n}\omega_{jk}(z)
dz_j\wedge d\ol z_k$ de classe $C^\infty$, d\'efinie positive,
et $\varepsilon>0$ tels que $\Theta_h(L)\ge\varepsilon\omega$.
\endclaim

Avant d'aller plus loin, nous discutons deux exemples fondamentaux.

\claim 2.1.5. Exemple|\rm Soit $D=\sum\alpha_jD_j$ un diviseur \`a
coefficients $\alpha_j\in\bZ$ et soit $L=\cO(D)$ le faisceau inversible
associ\'e, d\'efini comme le faisceau des fonctions m\'eromorphes $u$
telles que $\div(u)+D\ge 0\,$; le fibr\'e en droites correspondant peut alors
\^etre muni de la m\'etrique singuli\`ere d\'efinie par $\|u\|=|u|$ (module
de la fonction m\'eromorphe~$u$). Si $g_j$ est un g\'en\'erateur de l'id\'eal
de $D_j$ sur un ouvert $U\subset X$, alors $\tau(u)=u\prod
\smash{g_j^{\alpha_j}}$ d\'efinit une trivialisation de $\cO(D)$
sur~$U$, donc notre m\'etrique singuli\`ere est associ\'ee au
poids $\varphi=\sum\alpha_j\log|g_j|$. L'\'equation de Lelong-Poincar\'e
([Lel57, 69]) implique
$$\Theta\big(\cO(D)\big)={i\over\pi}\ddbar\varphi=[D],$$
o\`u $[D]=\sum\alpha_j[D_j]$ d\'esigne le courant d'int\'egration
sur~$D$. La courbure est semi-positive au sens des courants si et seulement
si le diviseur $D$ est effectif (i.e.\ \`a coefficients $\alpha_j\ge 0$).
\endclaim

\claim 2.1.6. Exemple|\rm Supposons que $\sigma_1\ld \sigma_N$ soient
des sections holomorphes non nulles de $L$. On peut alors d\'efinir une
m\'etrique hermitienne naturelle $h$ (\'eventuelle\-ment singuli\`ere)
sur $L^\star$, en posant
$$\|\xi^\star\|^2=\sum_{1\le j\le n}\big|\xi^\star.\sigma_j(x)\big|^2
~~~~\hbox{\rm pour}~~\xi^\star\in E^\star_x.$$
La m\'etrique duale de $L$ est donn\'ee par
$$\|\xi\|^2={|\tau(\xi)|^2\over|\tau(\sigma_1(x))|^2+\cdots+
|\tau(\sigma_N(x))|^2}$$
par rapport \`a toute trivialisation locale~$\tau$. La fonction poids
associ\'ee est donc donn\'ee par $\varphi(x)=\log\big(\sum_{1\le j\le N}
|\tau(\sigma_j(x))|^2\big){}^{1/2}$. Notons 
$$
\Sigma=|\sigma_1\ld\sigma_N|:=\Vect(\sigma_1\ld\sigma_N)
$$
le syst\`eme lin\'eaire d\'efini par $\sigma_1\ld \sigma_N$ et
$B_\Sigma=\bigcap\sigma_j^{-1}(0)$ son ensemble base. On a une
application m\'eromorphe
$$
\Phi_\Sigma:X\ssm B_\Sigma\to P(\Sigma^\star)\simeq\bP^{N-1},\qquad
x\mapsto\Phi_\Sigma(x)\simeq[\sigma_1(x):\sigma_2(x):\cdots:\sigma_N(x)],
$$
qui \`a $x$ associe l'hyperplan 
$$
\Phi_\Sigma(x)=
\big\{\sigma=\sum\xi_j\sigma_j\,;~\sigma(x)=\sum\xi_j\sigma_j(x)=0\big\}
\subset\Sigma.
$$
Avec ces notations, la courbure $\Theta_h(L)$ restreinte \`a
$X\ssm B_\Sigma$ s'identifie \`a l'image-inverse par $\Phi_\Sigma$ de la
m\'etrique de Fubini-Study $\omega_\FS={i\over 2\pi}\ddbar\log(|z_1|^2+
\cdots+|z_N|^2)$ sur~$\bP^{N-1}$. Le courant $\Theta_h(L)$, qui est
de bidimension $(n-1,n-1)$, ne peut porter de masse sur $B_\Sigma$ 
lorsque $B_\Sigma$ est de codimension${}\ge 2$, mais il peut se produire
que $B_\Sigma$ ait une composante divisorielle \'egale au pgcd $D$
des diviseurs $\sigma_j=0$. Dans ce cas, on v\'erifie ais\'ement que
$\Theta_h(L)$ est \'egal au courant d'int\'egration $[D]$ en 
restriction \`a $B_\Sigma$. Dans tous les cas, $\Theta_h(L)$ est un 
courant positif ferm\'e.
\endclaim

\vskip 0.5truecm
\noindent {\bf 2.2. Identit\'e de Bochner-Kodaira-Nakano}
\par

Dans cette section, on d\'esigne par $(L,h)$ un fibr\'e holomorphe hermitien 
au-dessus d'une vari\'et\'e complexe $X$, tel que la m\'etrique $h$ 
soit de classe $C^\infty$. Rappelons tout d'abord le lemme classique
suivant (voir par exemple [GH78]).

\claim 2.2.1. Lemme|Il existe une unique connexion $D=\nabla+\ol\nabla$
sur $L$, dite connexion de Chern, ayant les propri\'et\'es suivantes:
\smallskip
\item{\rm(i)} $D$ op\`ere sur les sections $C^\infty$ des fibr\'es
$\Lambda^{\bu,\bu}T^\star_X\otimes L$, la composante $\nabla$
$($resp.~$\ol\nabla)$ envoyant les formes de type $(p,q)$ dans les
formes de type $(p+1,q)$, $($respectivement $(p,q+1))$.
\smallskip
\item{\rm(ii)} $D$ satisfait la r\`egle de Leibnitz, \`a savoir
$D(f\wedge u)=df\wedge \nabla u+(-1)^{\deg f}f\wedge\nabla u$, 
si~$f$ est une forme \`a valeurs scalaires et $u$ une forme \`a valeurs
dans $L$.
\smallskip
\item{\rm(iii)} $D$ est ``holomorphe'', i.e.\ $\ol\nabla=\dbar$.
\smallskip
\item{\rm(iv)} $D$ est hermitienne, i.e.\ la m\'etrique $h$ est une 
section parall\`ele du fibr\'e des matrices hermitiennes
${\rm Herm}(E)\subset E^\star\otimes\ol E^\star$.
\vskip0pt
\endclaim

Si $L_{|U}\simeq U\times\bC$ est localement trivialis\'e et si la
m\'etrique $h$ donn\'ee par un poids $e^{-\varphi}$, on v\'erifie facilement
que
$$
\nabla u=\partial u-2\partial\varphi\wedge u,\qquad 
\ol\nabla u=\dbar u,
\qquad
D^2 u=(\nabla\ol\nabla+\ol\nabla\nabla)u=2\ddbar\varphi\wedge u,
\leqno(2.2.2)
$$
en sorte que ${i\over 2\pi}D^2u=\Theta_h(L)\wedge u$. On suppose maintenant
que $X$ est munie d'une m\'etrique hermitienne
$\omega=i\sum_{1\le j,k\le n}\omega_{jk}(z)\,dz_j\wedge d\ol z_k$
d\'efinie positive. Une telle m\'etrique permet de d\'efinir
des normes $L^2$ et des espaces de sections $L^2$ globales
$L^2(X,\Lambda^{p,q}T^\star_X\otimes L)$ en posant
$$
\Vert u\Vert^2=\Vert u\Vert^2_{\omega,h}
=\int_X|u|^2_\omega e^{-2\varphi}dV_\omega,
$$
o\`u $dV_\omega={1\over n!}w^n$ est l'\'el\'ement de volume k\"ahl\'erien,
$|u|_\omega$ la norme ponctuelle induite par $\omega$ sur
$\Lambda^{p,q}T^\star_X$ et $e^{-\varphi}$ le poids de la m\'etrique
$h$ sur $L$ (il y a quelque abus dans cette notation, car le poids 
$\varphi$ n'est pas global, mais on utilisera tout de m\^eme cette
notation par souci de simplicit\'e). La norme $L^2$ permet de d\'efinir
des adjoints formels $\nabla^\star$ et $\ol\nabla^\star$, de types
respectifs $(-1,0)$ et $(0,-1)$, et on consid\`ere les op\'erateurs
de Laplace-Beltrami associ\'es
$$
\Delta=DD^\star+D^\star D,\qquad
\bigbox=\nabla\,\nabla^\star+\nabla^\star\nabla,\qquad
\ol\bigbox=\ol\nabla\,\ol\nabla^\star+\ol\nabla^\star\ol\nabla.
$$
On a alors l'identit\'e fondamentale suivante.

\claim 2.2.3. Identit\'e de Bochner-Kodaira-Nakano|Si $\omega$ est
k\"ahl\'erienne, les laplaciens $\Delta$, $\bigbox$, $\ol\bigbox$
v\'erifient $\Delta=\bigbox+\ol\bigbox$ et
$$\ol\bigbox=\bigbox+[\Theta_h(L),\Lambda]$$
o\`u $\Lambda$ est l'adjoint de l'op\'erateur $s\mapsto\omega\wedge s$,
$\Theta_h(L)$ l'op\'erateur de multiplication par le tenseur de courbure 
de $(L,h)$ et $[\bu,\bu]$ le crochet de commutation.
\endclaim

En chaque point $x\in X$, on peut choisir un syst\`eme
de coordonn\'ees $(z_1\ld z_n)$
qui diago\-nalise simultan\'ement les formes hermitiennes
$\omega(x)$ et $\Theta_h(L)(x)$, de telle mani\`ere que
$$\omega(x)=i\sum_{1\le j\le n}dz_j\wedge d\ol z_j,\qquad
\Theta_h(L)(x)=i\sum_{1\le j\le n}\gamma_jdz_j\wedge d\ol z_j$$
avec $\gamma_1\le\cdots\le\gamma_n$. Les valeurs propres de courbure
$\gamma_j=\gamma_j(x)$ sont alors d\'efinies de mani\`ere unique et
continues en~$x$. Pour toute $(p,q)$-forme
\hbox{$u=\sum u_{JK}dz_J\wedge d\ol z_K\otimes s$} (avec
$s$ section holomorphe trivialisante de $L$, $|s|_h=e^{-\varphi}$), 
un calcul explicite donne
$$
\leqalignno{\langle[i\,\Theta_h(L),\Lambda]u,u\rangle
&=\sum_{|J|=p,\,|K|=q}\Big(\sum_{j\in J}\gamma_j+\sum_{j\in K}\gamma_j-
\sum_{1\le j\le n}\gamma_j\Big)|u_{JK}|^2e^{-2\varphi}\cr
&\ge(\gamma_1+\cdots+\gamma_q-\gamma_{n-p+1}-\cdots-\gamma_n)|u|^2
e^{-2\varphi}.
&(2.2.4)\cr}
$$
Comme $\Langle\ol\bigbox u,u\Rangle=\Vert\ol\nabla u\Vert^2+
\Vert\ol\nabla^\star u\Vert^2$, on d\'eduit de (2.2.3) et (2.2.4)
l'in\'egalit\'e fondamentale
$$
\Vert\ol\nabla u\Vert^2+\Vert\ol\nabla^\star u\Vert^2\ge
\int_X(\gamma_1+\cdots+\gamma_q-\gamma_{n-p+1}-\cdots-\gamma_n)|u|^2
e^{-\varphi}dV_\omega.
\leqno(2.2.5)
$$
Supposons que $\Theta_h(L)$ soit positive. Dans ce cas, il est naturel 
de munir $X$ de la m\'etrique k\"ahl\'erienne particuli\`ere 
$\omega=\Theta_h(L)$. Alors $\gamma_j=1$ pour $j=1,2\ld n$ et on 
obtient l'\'egalit\'e
$\Vert\ol\nabla u\Vert^2+\Vert\ol\nabla^\star u\Vert^2=(p+q-n)
\Vert u\Vert^2$.
Ceci implique en particulier que les formes $\ol\bigbox$-harmoniques
sont nulles en tout bidegr\'e~$(p,q)$ tel que $p+q>n$, d'o\`u~le

\claim 2.2.6. Th\'eor\`eme d'annulation de Kodaira-Akizuki-Nakano|
Si $(L,h)$ est un fibr\'e en droites \`a courbure positive sur une 
vari\'et\'e complexe compacte~$X$, alors
$$
H^{p,q}(X,L)=H^q(X,\Omega^p_X\otimes L)=0\qquad\hbox{pour}~~p+q>n=\dim X.
$$
\endclaim

Observons cependant que le th\'eor\`eme de Kodaira-Akizuki-Nakano n'est
pas vala\-ble dans le cas de fibr\'es munis de m\'etriques $h$ singuli\`eres
(et en particulier, dans le cas de syst\`emes lin\'eaires ayant un
ensemble-base non trivial), car $\omega$ doit \^etre lisse et le choix
$\omega=\Theta_h(L)$ n'est pas permis dans ce cas.

\vskip 0.5truecm
\noindent {\bf 2.3. Estimations~$L^2$ de H\"ormander-Andreotti-Vesentini}
\par
Dans cette section, on s'affranchit compl\`etement de toute
hypoth\`ese de r\'egularit\'e sur la m\'etrique $h$ de $L$. On suppose 
simplement que $\Theta_h(L)$ est un courant positif. Les coefficients
de ce courant sont alors des mesures, ses valeurs propres par rapport
\`a la m\'etrique de r\'ef\'erence $\omega$ sont \'evalu\'ees
en consid\'erant la partie absolument continue de $\Theta_h(L)$
par rapport \`a la mesure de Lebesgue (et en n\'egligeant la partie
singuli\`ere).

\claim 2.3.1. Th\'eor\`eme|Soit $(X,\omega)$ une vari\'et\'e
k\"ahl\'erienne, $\dim X=n$. On suppose que $X$ est ou bien compacte ou
bien faiblement pseudoconvexe, au sens o\`u $X$ poss\`ede une fonction
d'exhaustion $C^\infty$ faiblement plurisousharmonique. 
Soit $(L,h)$ un fibr\'e en droites holomorphe muni d'une m\'etrique 
hermitienne singuli\`ere \`a courbure \hbox{$\Theta_h(L)\ge 0$}, et soient
$$\gamma_1(x)\le\cdots\le\gamma_n(x)$$
les valeurs propres de courbure de $\Theta_h(L)$ par rapport \`a la 
m\'etrique~$\omega$ en tout point. Alors pour toute forme $g\in
L^2(X,\Lambda^{n,q}T^\star_X\otimes E)$ telle que 
$$\hbox{$\dbar g=0$~~et}\qquad
\int_X(\gamma_1+\cdots+\gamma_q)^{-1}|g|^2e^{-2\varphi}\,dV_\omega<+\infty,$$
$($on suppose donc $g(x)=0$ presque partout aux points o\`u
$\gamma_1(x)+\cdots+\gamma_q(x)=0)$, il existe \hbox{$f\in
L^2(X,\Lambda^{n,q-1}T^\star_X\otimes E)$} telle que 
$$\hbox{$\dbar f=g$~~et}\qquad
\int_X|f|^2e^{-2\varphi}\,dV_\omega\le\int_X(\gamma_1+\cdots+\gamma_q)^{-1}
|g|^2e^{-2\varphi}\,dV_\omega.$$
\endclaim

\preuve\ {\sl abr\'eg\'ee}. Supposons d'abord que $X$ soit compacte et que
$h$ soit de classe $C^\infty$,
en sorte que les valeurs propres $\gamma_j$ sont des fonctions continues
born\'ees. L'in\'egalit\'e (2.2.5) montre que pour $p=n$ on~a
$$\Vert\ol\nabla u\Vert^2+\Vert\ol\nabla^\star u\Vert^2
\ge\int_X(\gamma_1+\cdots+\gamma_q)|u|^2e^{-2\varphi}dV_\omega.$$ Les
op\'erateurs $\ol\nabla$ et $\ol\nabla^\star$ peuvent \^etre \'etendus
en des op\'erateurs ferm\'es \`a domaine dense sur les espaces de
sections $L^2$, et l'in\'egalit\'e ci-dessus s'\'etend \`a toute forme
$u\in L^2$ dans l'intersection $\Dom(\ol\nabla)\cap
\Dom(\ol\nabla^\star)$ de leurs domaines.  Consid\'erons la somme
directe orthogonale
$$
L^2(X,\Lambda^{n,q}T^\star_X\otimes L)=\Ker\ol\nabla\oplus
(\Ker\ol\nabla)^\perp,\qquad
(\Ker\ol\nabla)^\perp=\ol{\Im\ol\nabla^\star}\subset\Ker\ol\nabla^\star,
$$
et \'ecrivons un \'el\'ement $u\in\Dom(\ol\nabla^\star)$ sous la forme
$u=u_1+u_2$ dans cette d\'ecom\-po\-sition. Comme $g\in\Ker\ol\nabla$, on~a
$\Langle u,g\Rangle=\Langle u_1,g\Rangle$, d'o\`u par Cauchy-Schwarz
$$
\eqalign{
\big|\Langle u,g\Rangle\big|^2&\le
\int_X(\gamma_1+\cdots+\gamma_q)^{-1}|g|^2e^{-2\varphi}\,dV_\omega
\int_X(\gamma_1+\cdots+\gamma_q)|u_1|^2e^{-2\varphi}\,dV_\omega\cr
&\le\Big(\int_X(\gamma_1+\cdots+\gamma_q)^{-1}|g|^2e^{-2\varphi}
\,dV_\omega\Big)\big(\Vert \ol\nabla u_1\Vert^2+\Vert \ol\nabla^\star 
u_1\Vert^2\big).\cr}
$$
Or $\ol\nabla u_1=0$ et $\ol\nabla^\star u_2=0$, de sorte que
$\ol\nabla^\star u_1=\ol\nabla^\star u$ et on a donc
$$
\big|\Langle u,g\Rangle\big|^2\le C\Vert\ol\nabla^\star u\Vert^2,\qquad
C=\int_X(\gamma_1+\cdots+\gamma_q)^{-1}|g|^2e^{-2\varphi}\,dV_\omega.
$$
La forme lin\'eaire $v=\ol\nabla^\star u\mapsto \Langle u,g\Rangle$
d\'efinie sur $\Im\nabla^\star$ se prolonge donc en une forme
lin\'eaire continue $v\mapsto\Langle v,f\Rangle$ sur tout $L^2$, avec
$\Vert f\Vert^2\le C$, et la relation $\Langle
u,g\Rangle=\Langle\ol\nabla^\star u,f\Rangle$ implique par adjonction
$\ol\nabla f=g$. Le th\'eor\`eme est donc d\'emontr\'e dans le cas
d'une m\'etrique $h$ de classe $C^\infty$. Dans le cas g\'en\'eral, on
utilise des arguments de r\'egularisation. Comme la m\'ethode est
assez technique, nous renvoyons \`a [Dem82] pour les
d\'etails. L'id\'ee est d'\'ecrire $h=\lim_{\varepsilon\to 0}
h_\varepsilon$, avec des poids $\varphi_\varepsilon$ convergeant vers
$\varphi$ et formant une famille croissante par rapport \`a $\varphi$,
en sorte que $e^{-\varphi_\varepsilon} \le e^{-\varphi}$. On a donc
$\Vert u\Vert_\varepsilon\le\Vert u\Vert$ pour les normes $L^2$
associ\'ees. On trouve des solutions $f_\varepsilon$ de l'\'equation
$\ol\nabla f_\varepsilon=g$ satisfaisant l'estimation $L^2$
$$
\eqalign{
\int_X|f_\varepsilon|^2e^{-2\varphi_\varepsilon}dV_\omega&\le
\int_X(\gamma_1+\cdots+\gamma_q)^{-1}|g|^2e^{-2\varphi_\varepsilon}\,
dV_\omega\cr
&\le
\int_X(\gamma_1+\cdots+\gamma_q)^{-1}|g|^2e^{-2\varphi}\,dV_\omega<+\infty.
\cr}
$$
Le caract\`ere uniforme de cette estimation vis-\`a-vis de $\varepsilon$
entra\^{\i}ne qu'on peut extraire des $f_\varepsilon$ une sous-suite
convergeant en norme $L^2$ vers une solution $f$ ayant les propri\'et\'es
requises. Le point essentiel est de v\'erifier que le processus
d'approximation est possible sans que les
valeurs propres $\gamma_{j,\varepsilon}$ de $\Theta_{h_\varepsilon}(L)
={i\over\pi}\ddbar\varphi_\varepsilon$ s'\'ecartent trop de celles de
${i\over\pi}\ddbar\varphi$. C'est effectivement possible d'apr\`es
[Dem82, 92, 98]. Dans le cas o\`u $X$ est pseudoconvexe non compacte,
le raisonnement est essentiellement identique, mais il faut se
ramener d'abord au cas d'une m\'etrique k\"ahl\'erienne compl\`ete
pour \'eviter les difficult\'es \'eventuelles li\'ees au domaine des 
op\'erateurs, qui pourraient introduire des ``conditions au bord''
non triviales. On s'appuie sur le fait qu'une vari\'et\'e k\"ahl\'erienne
$(X,\omega)$ poss\'edant une exhaustion plurisousharmonique $\psi\ge 0$
admet toujours une m\'etrique k\"ahl\'erienne compl\`ete, par exemple
$\wh\omega=\omega+i\ddbar(\psi^2)$ (cf.\ [Dem82]).

\vskip 0.5truecm
\noindent {\bf 2.4. Faisceaux d'id\'eaux multiplicateurs et
th\'eor\`eme de Nadel}
\par

Nous introduisons maintenant le concept de {\sl faisceau d'id\'eaux
multiplicateurs}, suivant une d\'efinition donn\'ee par A.~Nadel
[Nad89]. Nadel en a le premier donn\'e une application marquante au
probl\`eme de l'existence de m\'etriques de K\"ahler-Einstein sur les
vari\'et\'es de Fano. L'id\'ee de base remonte aux travaux
fondamentaux de E.~Bombieri [Bom70] et H.~Skoda [Sko72a].

\claim 2.4.1. D\'efinition|Soit $\varphi$ une fonction psh sur un
ouvert $\Omega\subset X\,$; on associe \`a $\varphi$ le faisceau
d'id\'eaux $\cI(\varphi)\subset\cO_\Omega$, form\'e des germes de
fonctions holomorphes \hbox{$f\in\cO_{\Omega,x}$} telles que
$|f|^2e^{-2\varphi}$ soit int\'egrable par rapport \`a la mesure de
Lebesgue dans des coor\-donn\'ees locales quelconques pr\`es
de~$x$. Ce faisceau sera appel\'e faisceau d'id\'eaux multiplicateurs
associ\'e au poids $\varphi$.
\endclaim

La vari\'et\'e des z\'eros $V(\cI(\varphi))$ est donc l'ensemble des
points au voisinage desquels $e^{-2\varphi}$ est non
int\'egrable. Bien entendu, de tel points ne peuvent appara\^{\i}tre
que l\`a o\`u $\varphi$ a des p\^oles logarithmiques. La formulation
pr\'ecise est la suivante.

\claim 2.4.2. D\'efinition|On dira qu'une fonction psh $\varphi$ a
un p\^ole logarithmique de coefficient $\gamma>0$ en un point $x\in X$ si
le nombre de Lelong 
$$\nu(\varphi,x):=\liminf_{z\to x}{\varphi(z)\over\log|z-x|}$$
est \'egal \`a~$\gamma$.
\endclaim

\claim 2.4.3. Lemme {\rm (Skoda [Sko72a])}|Soit $\varphi$ une fonction psh
sur un ouvert $\Omega\subset\bC^n$ et soit $x\in\Omega$.
\smallskip
\item{\rm (i)} Si $\nu(\varphi,x)<1$, alors $e^{-2\varphi}$ est int\'egrable
au voisinage de~$x$, en particulier on a $\cI(\varphi)_x=\cO_{\Omega,x}$.
\smallskip
\item{\rm (ii)} Si $\nu(\varphi,x)\ge n+s$ pour un certain entier $s\ge 0$,
alors $e^{-2\varphi}\ge C|z-x|^{-2n-2s}$ au voisinage de $x$ et
$\cI(\varphi)_x\subset\eum_{\Omega,x}^{s+1}$, o\`u $\eum_{\Omega,x}$
d\'esigne l'id\'eal maximal de $\cO_{\Omega,x}$.
\vskip0pt
\endclaim

\preuve. La d\'emonstration repose sur des estimations classiques de
th\'eorie du potentiel complexe, voir H.~Skoda [Sko72a].

\claim 2.4.4. Proposition {\rm([Nad89])}|Pour toute fonction psh
$\varphi$ sur~$\Omega\subset X$, le faisceau $\cI(\varphi)$ est un
faisceau coh\'erent d'id\'eaux sur $\Omega$.
\endclaim

\preuve. Puisque le r\'esultat est local, nous pouvons supposer que
$\Omega$ est la boule unit\'e de $\bC^n$. Soit $\cH_\varphi(\Omega)$
l'ensemble des fonctions $f$ holomorphes sur $\Omega$ telles que
$\int_\Omega|f|^2e^{-2\varphi}dV<+\infty$. D'apr\`es la
propri\'et\'e noeth\'erienne forte des faisceaux coh\'erents, l'ensemble
$\cH_\varphi(\Omega)$ engendre un faisceau d'id\'eaux coh\'erent
$\cJ\subset\cO_\Omega$. Il est clair que $\cJ\subset\cI(\varphi)$;
pour d\'emontrer l'\'egalit\'e, il suffit de v\'erifier
que $\cJ_x+\cI(\varphi)_x\cap\eum^{s+1}_{\Omega,x}=\cI(\varphi)_x$
pour tout entier $s$, en vertu du lemme de Krull. Soit $f\in\cI(\varphi)_x$
un germe d\'efini sur un voisinage $V$ de $x$ et soit $\theta$ une
fonction tronquante \`a support dans $V$, telle que $\theta=1$ au
voisinage de~$x$. On r\'esout l'\'equation $\dbar u=g:=\dbar(\theta f)$ au
moyen des estimations $L^2$ de H\"ormander~(14.3), o\`u $L$ est le
fibr\'e en droites trivial $\Omega\times\bC$ muni du poids strictement
psh 
$$\wt\varphi(z)=\varphi(z)+(n+s)\log|z-x|+|z|^2.$$ 
Nous obtenons une solution $u$ telle que
$\int_\Omega |u|^2e^{-2\varphi}|z-x|^{-2(n+s)}dV<\infty$, donc
\hbox{$F=\theta f-u$} est holomorphe, $F\in \cH_\varphi(\Omega)$ et 
$f_x-F_x=u_x\in\cI(\varphi)_x\cap\eum_{\Omega,x}^{s+1}$.
Ceci d\'emontre notre affirmation.
 
\claim 2.4.5. Th\'eor\`eme d'annulation de Nadel 
{\rm([Nad89], [Dem93])}|Soit $(X,\omega)$ une vari\'et\'e
k\"ahl\'erienne compacte $($ou faiblement pseudoconvexe$)$, et 
soit $L$ un fibr\'e en droites holomorphe sur $X$ muni d'une m\'etrique
hermitienne $h$ singuli\`ere de poids~$\varphi$ telle que
$\Theta_h(L)\ge\varepsilon\omega$, $\varepsilon>0$. On note
$\cI(h)=\cI(\varphi)$. Alors
$$
H^q\big(X,\cO(K_X+L)\otimes\cI(h)\big)=0\qquad
\hbox{pour tout $q\ge 1$.}
$$
\endclaim

\preuve. Soit $\cL^q$ le faisceau des germes de $(n,q)$-formes 
$u$ \`a valeurs dans $L$ et \`a coefficients mesurables, telles que \`a la
fois $|u|^2e^{-2\varphi}$ et $|\dbar u|^2e^{-2\varphi}$ soient localement
int\'egrables. L'op\'erateur $\dbar $ d\'efinit un complexe de faisceaux
$(\cL^\bu,\dbar )$ qui est une r\'esolution du faisceau $\cO(K_X+L)\otimes
\cI(\varphi)$\/: en effet, le noyau de $\dbar $ en degr\'e $0$ consiste en les
germes de $n$-formes holomorphes \`a valeurs dans $L$ qui satisfont la
condition d'int\'egrabilit\'e; donc la fonction coefficient appartient
\`a~$\cI(\varphi)$; l'exactitude en degr\'e $q\ge 1$ d\'ecoule du
Th\'eor\`eme 2.3.1 appliqu\'e \`a des boules arbitrairement petites.
Comme chaque faisceau $\cL^q$ est un $\cC^\infty$-module, $\cL^\bu$ 
est une r\'esolution par des faisceaux acycliques. En appliquant
maintenant le th\'eor\`eme~2.3.1 globalement sur~$X$, 
on d\'eduit de l'isomorphisme de De Rham-Weil que
$H^q\big(\Gamma(X,\cL^\bu)\big)=0$ pour $q\ge 1$
[si $X$ est non compacte, on choisit une fonction d'exhaustion 
plurisousharmonique $\psi$ de classe $C^\infty$ sur~$X$, et on multiplie
la m\'etrique initiale de $L$ par le facteur $e^{-\chi\circ\psi}$, 
o\`u $\chi$ est une fonction convexe croissante de croissance 
arbitrairement rapide \`a l'infini~; ceci permet d'assurer la convergence 
des int\'egrales \`a l'infini]. Le th\'eor\`eme est d\'emontr\'e.

\claim 2.4.6. Corollaire|Soient $(X,\omega)$, $L$ et $\varphi$ comme
dans le th\'eor\`eme~$2.4.5$ et soient $x_1\ld x_N$ des points isol\'es
de la vari\'et\'e des z\'eros~$V(\cI(\varphi))$. Alors il existe une
application surjective
$$H^0(X,\cO(K_X+L))\lraww\bigoplus_{1\le j\le N}\cO(K_X+L)_{x_j}\otimes
\big(\cO_X/\cI(\varphi)\big)_{x_j}.$$
\endclaim

\preuve. Consid\'erons la suite exacte longue de cohomologie associ\'ee
\`a la suite exacte courte $0\to\cI(\varphi)\to\cO_X\to\cO_X/\cI(\varphi)
\to 0$, tordue par $\cO(K_X+L)$, et appliquons le th\'eor\`eme~2.4.5
pour obtenir l'annulation du premier groupe $H^1$. La propri\'et\'e de
surjectivit\'e annonc\'ee s'ensuit.

\claim 2.4.7. Corollaire|Soient $(X,\omega)$, $L$ et $\varphi$ comme dans
le th\'eor\`eme~$2.4.5$. Supposons que la fonction poids $\varphi$ soit telle
que $\nu(\varphi,x)\ge n+s$ en un certain point $x\in X$, et
\hbox{$\nu(\varphi,y)<1$} pour $y\ne x$ assez voisin de~$x$. Alors 
$H^0(X,K_X+L)$ engendre tous les $s$-jets de sections au point~$x$.
\endclaim

\preuve. Le lemme de Skoda 2.4.3~(ii) montre que $e^{-2\varphi}$ est
int\'egrable au voisinage de tout point~$y\ne x$ suffisamment proche de~$x$,
donc $\cI(\varphi)_y=\cO_{X,y}$, alors que \hbox{$\cI(\varphi)_x\subset
\eum_{X,x}^{s+1}$} d'apr\`es 2.4.3~(ii). Le corollaire 2.4.7 est donc un cas
particulier de~2.4.6.

\claim 2.4.8. Commentaire|\rm La philosophie g\'en\'erale de ces
r\'esultats (qui peuvent \^etre consid\'er\'es comme des
g\'en\'era\-li\-sations du th\'eor\`eme de H\"ormander-Bombieri-Skoda
[Bom70], [Sko72a,~75]) est la suivante: le probl\`eme de construire
des sections holomorphes de $K_X+L$ peut se r\'esoudre en construisant
des m\'etriques singuli\`eres conve\-nables sur $L$, telles que le poids
$\varphi$ ait des p\^oles logarithmiques en des points donn\'es~$x_j$,
ces p\^oles \'etant isol\'es ou entour\'es de basses multiplicit\'es
avoisinantes.
\endclaim

\claim 2.4.9. Cas particulier|\rm Si $X$ est compacte et si $(L,h_0)$ 
est un fibr\'e en droites hermitien $C^\infty$ \`a courbure positive 
sur~$X$, on va pouvoir construire
une m\'etrique singuli\`ere $h$ ayant des p\^oles logarithmiques isol\'es
en un nombre fini de points $\{x_1\ld x_N\}$ quelconques. Il suffit
de poser $h=h_0e^{-\psi}$ avec $\psi(z)=\varepsilon\sum\theta_j(z^{(j)})
\log|z^{(j)}|$, o\`u les $z^{(j)}$ sont des coordonn\'ees locales centr\'ees
en $x_j$ et les $\theta_j$ des fonctions plateau ad\'equates. La courbure de
$h$ restera positive si $\varepsilon$ est assez petit. On voit alors
qu'il existe des constantes $a,b\ge 0$ (d\'ependant seulement de $L$ et 
$N$) telles que pour tout $s\in\bN$ le groupe
$H^0(X,\cO(mL))$ engendre les jets d'ordre $s$ en tout point $x_j$ pour
$m\ge as+b$. Ceci permet de d\'emontrer le th\'eor\`eme de plongement
de Kodaira (cf.\ \S$\,$2.5). On peut aussi de la m\^eme mani\`ere r\'esoudre 
le probl\`eme de Levi (\`a savoir, montrer qu'une vari\'et\'e fortement 
pseudoconvexe est de Stein): il suffit de travailler sur le fibr\'e trivial 
$L=\cO_X$, muni de poids $e^{-\psi}$ o\`u $\psi$ est exhaustive, 
fortement plurisousharmonique et suffisamment grande.
\endclaim

\claim 2.4.10. Remarque|\rm Le th\'eor\`eme de Nadel contient en fait
un th\'eor\`eme d'annulation fondamental de la g\'eom\'etrie
alg\'ebrique, d\'emontr\'e ind\'ependamment par Kawamata [Kaw82] et
Viehweg [Vie82]. Le th\'eor\`eme de Kawamata-Viehweg, au changement de
vocabulaire pr\`es, correspond au cas particulier o\`u $X$ est
alg\'ebrique projective, la m\'etrique singuli\`ere $h$ pr\'esentant
des p\^oles logarithmiques le long d'un diviseur \`a croisement
normaux (on peut ensuite se ramener au cas d'un diviseur quelconque
par le th\'eor\`eme de d\'esingularisation de Hironaka).
\endclaim
\vskip 0.5truecm

\noindent {\bf 2.5. Diverses notions de fibr\'es (semi-)positifs, amples, 
nefs, gros, etc$\,$.$\,$.$\,$.}

Nous rappelons ici quelques notions li\'ees \`a la positivit\'e, et qui
sont particu\-li\`erement utiles en g\'eom\'etrie alg\'ebrique. Si 
$Y\subset X$ est une sous-vari\'et\'e de dimension~$d$, on notera
comme d'habitude 
$$
L^d\cdot Y=\int_Y c_1(L)^d.
$$ 

\claim 2.5.1. D\'efinition|Un fibr\'e en droites $L$ sur une vari\'et\'e 
projective $X$ est dit
\smallskip
\item{\rm (i)} engendr\'e par ses sections si le morphisme de restriction 
$H^0(X,L)\to L_x$ est surjectif en tout point~$x\in X$, ce qui revient
\`a dire que l'ensemble base $B_{|L|}$ du syst\`eme lin\'eaire 
complet \hbox{$|L|=P(H^0(X,L))$} est vide$\,;$
\smallskip
\item{\rm (ii)} tr\`es ample si $B_{|L|}=\emptyset$ et si
l'application $\Phi_{|L|}:X\to\bP(H^0(X,L)^\star)$ est un plongement$\,;$
\smallskip
\item{\rm (iii)} semi-ample s'il existe un multiple $mL$, $m>0$, qui soit
engendr\'e par ses sections$\,;$
\smallskip
\item{\rm (iv)} ample s'il existe un multiple $mL$, $m>0$, qui soit tr\`es 
ample$\,;$
\item{\rm (v)} nef, si $L\cdot C\ge 0$ pour toute courbe alg\'ebrique $C\,;$
\smallskip
\item{\rm (vi)} effectif, si $mL$ poss\`ede une section pour au moins un 
$m>0\,;$
\smallskip
\item{\rm (vii)} pseudo-effectif, si la classe de Chern $c_1(L)$ appartient 
au c\^one ferm\'e de $H^{1,1}(X)$ engendr\'e par les classes de diviseurs 
effectifs$\,;$
\smallskip
\item{\rm (viii)} gros, si la ``dimension de Kodaira-Iitaka'' 
$$
\kappa(L)=\limsup_{m\to+\infty}{\log\dim H^0(X,mL)\over\log m}
\in\{-\infty,0,1\ld n\},
$$
est \'egale \`a $n=\dim X$.
\vskip0pt
\endclaim

Certaines de ces notions ne d\'ependent que de la classe de Chern de $L$
(on dit que ce sont des notions ``num\'eriques''): ce sont les notions
de fibr\'e ample, nef, pseudo-effectif et gros. Pour ces quatre notions,
il y a en fait un dictionnaire alg\'ebro-analytique qui donne des
traductions en termes de propri\'et\'es de la courbure (cf.\ par exemple
[Dem90]).

\claim 2.5.2. Proposition|Soit $X$ une vari\'et\'e projective
munie d'une m\'etrique hermitienne~$\omega$. Un fibr\'e $L$ sur $X$ est
\smallskip
\item{\rm (i)} ample, si et seulement si $L$ poss\`ede une m\'etrique
hermitienne $C^\infty$ \`a courbure positive $($on dit alors aussi que
$L$ est positif$)\,;$
\smallskip
\item{\rm (ii)} nef, si et seulement si pour tout $\varepsilon>0$, il existe
une m\'etrique hermitienne $h_\varepsilon$ de classe $C^\infty$ telle que 
$\Theta_{h_\varepsilon}(L)\ge -\varepsilon\omega\,;$
\smallskip
\item{\rm (iii)} pseudo-effectif, si et seulement si $L$ poss\`ede une
m\'etrique singuli\`ere $h$ telle que $\Theta_h(L)\ge 0\,;$
\smallskip
\item{\rm (iv)} gros, si et seulement si $L$ poss\`ede une
m\'etrique singuli\`ere $h$ telle que $\Theta_h(L)\ge\varepsilon\omega$
pour un certain $\varepsilon>0$.
\vskip0pt
\endclaim

\claim 2.5.3. Commentaires|\rm L'assertion (i) n'est autre que le
c\'el\`ebre th\'eor\`eme de plongement de Kodaira.  En effet, si $mL$
est engendr\'e par ses sections, l'exemple 2.1.6 montre que $\Phi=
\Phi_{|mL|}$ induit une m\'etrique \`a courbure semi-positive sur
$mL=\Phi^\star\cO(1)$ (et donc aussi sur $L$ en prenant une racine 
$m$-i\`eme de la m\'etrique); la courbure est bien d\'efinie
positive si $\Phi_{|mL|}$ est un plongement. Dans la direction
inverse, si $(L,h)$ est $C^\infty$ \`a courbure positive, 2.4.9
entra\^{\i}ne que $mL$ est tr\`es ample pour $m$ assez grand. Si $h$
est une m\'etrique singuli\`ere \`a courbure d\'efinie positive
$\Theta_h(L)\ge\varepsilon\omega$, le Corollaire 2.4.7 montre que l'on
peut construire des sections de $mL$ ayant des jets prescrits, mais
seulement aux points de $x$ o\`u le poids $\varphi$ n'a pas trop de
singularit\'es (par exemple, l\`a o\`u $\nu(\varphi,x)=0$); ceci
implique alors que $L$ est gros, et la r\'eciproque r\'esulte assez
facilement de~2.1.6.

Toutes ces notions sont sans doute mieux appr\'ehend\'ees si on
introduit le c\^one nef $K_\nef$, i.e.\ le c\^one ferm\'e de
$H^{1,1}(X)$ engendr\'e par les classes de diviseurs nef, et de
mani\`ere analogue, le c\^one pseudo-effectif $K_\psef\subset
H^{1,1}(X)$. Alors le c\^one ``ample'' est pr\'ecis\'ement
l'int\'erieur de $K_\nef$, et le c\^one ``gros'' l'int\'erieur de
$K_\psef$. On appelle par d\'efinition {\sl dimension de Kodaira} de
la vari\'et\'e $X$ l'entier
$$
\kappa(X):=\kappa(K_X)\in\{-\infty,0,1\ld n\},
$$ 
et on dit que $X$ est de {\sl type g\'en\'eral} si $K_X$ est gros, i.e.\ si
$\kappa(X)=n$.
\endclaim

\vskip 1.2truecm
\noindent
{\bf 3. APPLICATION \`A LA CONJECTURE DE FUJITA}
\vskip 0.5truecm
\noindent {\bf 3.1. M\'ethode de l'\'equation de Monge-Amp\`ere}
\par

En dehors du cas des dimensions 1 et 2, le premier r\'esultat
g\'en\'eral sur la conjecture de Fujita est celui de [Dem93] (le
manuscrit date de 1991). La m\'ethode d\'evelopp\'ee dans ce
travail consistait \`a produire des m\'etriques singuli\`eres sur $L$
en r\'esolvant une \'equation de Monge-Amp\`ere de la forme
$$
\Big(\Theta_h(L)+{i\over\pi}\ddbar\psi_\varepsilon\Big)^n=f_\varepsilon,
$$ 
et en laissant le second membre converger vers une combinaison
lin\'eaire de mesures de Dirac $\sum\rho_j\delta_{x_j}$ -- la masse
totale \'etant ajust\'ee \`a la valeur requise $c_1(L)^n$ par ajout
d'une forme volume \`a densit\'e~$C^\infty$. De cette fa\c{c}on, il
est possible d'obtenir \`a la limite des m\'etriques singuli\`eres
$he^{-2\psi}$, $\psi=\lim\psi_\varepsilon$, pr\'esentant des
singularit\'es logarithmiques aux points $x_j$. Le contr\^ole des
nombres de Lelong aux points $y\ne x_j$ se fait en ajustant
pr\'ecis\'ement le choix des constantes $\rho_j$ et utilisant la
th\'eorie de l'intersection des courants. Nous ne d\'evelopperons pas
ici cette m\'ethode, car les r\'esultats effectifs obtenus sont assez
nettement moins bons que ceux obtenus par les m\'ethodes
ult\'erieures.  
\vskip 0.5truecm 

\noindent {\bf 3.2. Utilisation de la formule de Riemann-Roch}
\par
\`A la suite des premiers r\'esultats de [Dem93], de nombreux travaux
se sont attach\'es \`a am\'eliorer les bornes effectives obtenues et
\`a d\'evelopper des approches plus alg\'ebriques. Koll\'ar [Kol92]
obtient ainsi une preuve purement alg\'ebrique dans l'esprit du
``th\'eor\`eme de non-annulation'' de Shokurov. Ein-Lazarsfeld [EL93]
et Fujita [Fuj93] ont \'etabli la partie (i) de la conjecture de
Fujita en dimension~$3$, et un raffinement tr\`es pouss\'e de leur
technique a permis \`a Kawamata [Kaw95] d'atteindre le cas de la
dimension~$4$ (Helmke [Hel96] a ensuite simplifi\'e cette approche, et
vient d'annoncer le cas de la dimension 5). Dans cette section, nous
pr\'esentons une approche alg\'ebrique relativement \'el\'ementaire
due \`a Y.T.~Siu [Siu96]. L'id\'ee est d'utiliser la formule de
Riemann-Roch$\,$:

\claim 3.2.1. Cas particulier de la formule de Riemann-Roch|Soit
$\cJ\subset\cO_X$ un faisceau d'id\'eaux coh\'erent sur $X$ tel que la
vari\'et\'e des z\'eros $V(\cJ)$ soit de dimension $d$ $($avec
\'eventuellement des composantes de dimension plus basse$)$.
Soit $Y=\sum\lambda_jY_j$ le cycle alg\'ebrique effectif de dimension
$d$ associ\'e aux composantes de dimension $d$ de~$V(\cJ)$ $($les
multiplicit\'es $\lambda_j$ prennent en compte les multiplicit\'es
de l'id\'eal $\cJ$ le long de chaque composante$)$. Alors,
pour tout fibr\'e en droites $L$, la caract\'eristique d'Euler
$\chi(X,\cO(E+mL)\otimes\cO_X/\cO(\cJ))$ est un polyn\^ome $P(m)$ de 
degr\'e $d$ et de coefficient directeur $L^d\cdot Y/d!$
\endclaim

\`A l'aide de ce lemme, on d\'emontre simultan\'ement les deux th\'eor\`emes
suivants.

\claim 3.2.2. Th\'eor\`eme {\rm (Fujita)}|Si $L$ est un fibr\'e en
droites ample sur une vari\'et\'e projective $X$ de dimension~$n$,
alors $K_X+(n+1)L$ est nef.  
\endclaim

\claim 3.2.3. Th\'eor\`eme {\rm (Siu)}|Soit $L$ comme ci-dessus 
et soit $G$ un fibr\'e en droites nef. On a les propri\'et\'es suivantes.
\smallskip
\item{\rm (i)} $2K_X+mL+G$ engendre les jets simultan\'es d'ordre
$s_1\ld s_p\in\bN$ en des points arbitraires $x_1\ld x_p\in X$, i.e., il
existe une application surjective
$$H^0(X,\cO(2K_X+mL+G))\lraww\bigoplus_{1\le j\le p}\cO(2K_X+mL+G)\otimes
\cO_{X,x_j}/\eum_{X,x_j}^{s_j+1},$$
d\`es que $\disp m\ge 2+\sum_{1\le j\le p}{3n+2s_j-1\choose n}$.\newline
En particulier $2K_X+mL+G$ est tr\`es ample pour
$\disp m\ge 2+{3n+1\choose n}$.
\smallskip
\item{\rm (ii)} $2K_X+(n+1)L+G$ engendre les jets simultan\'es d'ordre
$s_1\ld s_p$ en des points arbitraires $x_1\ld x_p\in X$ d\`es que
les nombres d'intersection $L^d\cdot Y$ de $L$ sur tous les sous-ensembles
alg\'ebriques $Y$ de $X$ de dimension $d$ sont tels que
$$L^d\cdot Y>{2^{d-1}\over\lfloor n/d\rfloor^d}\sum_{1\le j\le p}
{3n+2s_j-1\choose n}.$$
\endclaim

\noindent
{\sl Sch\'ema de la preuve}. Les d\'emonstrations de 3.2.2 et 
3.2.3$\,($i,$\,$ii) sont tout \`a fait paral\-l\`eles, nous renvoyons \`a
[Siu96] et [Dem96] pour les d\'etails. L'id\'ee est de trouver un entier (ou un
rationnel) $m_0$ et une m\'etrique hermitienne singuli\`ere $h_0$ sur
$K_X+m_0L$ dont le courant de courbure est strictement positif,
$\Theta_{h_0}\ge\varepsilon\omega$, telle que $V(\cI(h_0))$ soit de
dimension $0$ et telle que le poids $\varphi_0$ de $h_0$ satisfasse
$\nu(\varphi_0,x_j)\ge n+s_j$ pour tout~$j$
[dans le cas de 3.2.2, on convient simplement que $\{x_1\ld x_p\}
=\emptyset$, et on cherche \`a obtenir $m_0$ arbitrairement proche de 
$n+1$]. Comme $L$ et $G$ sont nefs,
2.5.2~(ii) implique que $(m-m_0)L+G$ poss\`ede pour tout $m\ge m_0$ une
m\'etrique $h'$ dont la courbure $\Theta_{h'}$ a une partie n\'egative
arbitrairement petite, disons $\Theta_{h'}\ge -{\varepsilon\over 2}\omega$.
Alors $\Theta_{h_0}+\Theta_{h'}\ge{\varepsilon\over 2}\omega$ est positive
d\'efinie. Une application du Cor.~2.4.7 au fibr\'e $F=K_X+mL+G=(K_X+m_0 L)
+((m-m_0)L+G)$ muni de la m\'etrique $h_0\otimes h'$ garantit l'existence
des sections de $K_X+F=2K_X+mL+G$ r\'ealisant les jets d\'esir\'es pour
$m\ge m_0$.

Fixons un plongement $\Phi_{|\mu L|}:X\to\bP^N$, $\mu\gg 0$, donn\'e
par des sections $\lambda_0,\ldots,\lambda_N$ de $H^0(X,\mu L)$, et soit $h_L$
la m\'etrique associ\'ee sur $L$, de forme de courbure d\'efinie posi\-tive 
$\omega=\Theta(L)$. Pour obtenir la m\'etrique d\'esir\'ee $h_0$ sur
$K_X+m_0 L$, on fixe un entier $a\in\bN^\star$ et on utilise un
proc\'ed\'e de r\'ecurrence double pour construire des m\'etriques
singuli\`eres $(h_{k,\nu})_{\nu\ge 1}$ sur $aK_X+b_kL$, pour une suite
d\'ecroissante (au sens large) d'entiers positifs $b_1\ge
b_2\ge\cdots\ge b_k\ge\cdots\,$. Une telle suite est n\'ecessairement
stationnaire et $m_0$ sera pr\'ecis\'ement la limite stationnaire
$m_0=\lim b_k/a$. L'id\'ee principale qui fait fonctionner la
r\'ecurrence r\'eside dans le fait qu'une ``bonne'' m\'etrique sur
$L'=aK_X+b_kL$ permet de construire des sections de
$K_X+L'=(a+1)K_X+b_kL$, qui \`a leur tour fournissent des
m\'etriques sur ${a\over a+1}(K_X+L')=aK_X+{a\over a+1}b_kL$.
En fait, il se produit une petite perte sur le multiple de $L$ due 
au fait qu'on va appliquer la formule de Riemann-Roch et qu'il faut \'eviter
les z\'eros et les petites valeurs du polyn\^ome de Hilbert. On trouve
ainsi une estimation $b_{k+1}\le {a\over a+1}b_k+N$ o\`u $N$
est un entier explicite. De cette fa\c{c}on, on r\'eduit petit \`a petit 
la taille de l'entier~$b_k$, en partant de n'importe quel entier $b_1$ 
suffisamment grand pour initialiser
la r\'ecurrence (et qu'on ne cherche pas \`a contr\^oler).
Les m\'etriques $h_{k,\nu}$ sont choisies en sorte
qu'elles satisfassent les propri\'et\'es suivantes$\,$:
\smallskip
\item{{\rlap{$(\alpha)$}\kern15pt}} 
$h_{k,\nu}$ est une m\'etrique ``alg\'ebrique'' de la forme
$$\|\xi\|_{h_{k,\nu}}^2={|\tau_k(\xi)|^2\over
\big(\sum_{1\le i\le\nu,\,0\le j\le N}\big|\tau_k^{(a+1)\mu}(\sigma_i^{a\mu}
\cdot\lambda_j^{(a+1)b_k-am_i})\big|^2\big)^{1/(a+1)\mu}},$$
d\'efinie par des sections $\sigma_i\in H^0\big(X,\cO((a+1)K_X+m_iL)\big)$,
$m_i<{a+1\over a}b_k$, $1\le i\le\nu$, o\`u \hbox{$\xi\mapsto\tau_k(\xi)$}
est une trivialisation locale arbitraire de $aK_X+b_kL\,$;\newline
notons que $\sigma_i^{a\mu}\cdot\lambda_j^{(a+1)b_k-am_i}$ est une section de
$$a\mu((a+1)K_X+m_iL)+((a+1)b_k-am_i)\mu L=(a+1)\mu(aK_X+b_kL).$$
\item{{\rlap{$(\beta)$}\kern15pt}}
$\ord_{x_j}(\sigma_i)\ge(a+1)(n+s_j)$ pour tout $i,j\,$;
\smallskip
\item{{\rlap{$(\gamma)$}\kern15pt}}
$\cI(h_{k,\nu+1})\supset\cI(h_{k,\nu})$ et
$\cI(h_{k,\nu+1})\ne\cI(h_{k,\nu})$ tant que la vari\'et\'e des z\'eros
$V(\cI(h_{k,\nu}))$ est de dimension positive.
\medskip\noindent
La m\'etrique $h_{k,\nu+1}$ est produite \`a partir
de $h_{k,\nu}$ en appliquant la formule de Riemann-Roch 3.2.1 sur
$Y=Y_{k,\nu}= V(\cI(h_{k,\nu}))$.  On obtient beaucoup de sections sur
$Y$, et on peut donc leur imposer la multiplicit\'e de z\'eros voulue
en comparant le nombre de sections au nombre de conditions lin\'eaires
requises. Par ailleurs, ces sections s'\'etendent \`a $X$ car le
th\'eor\`eme de Nadel donne pr\'ecis\'ement l'annulation du $H^1$ \`a
valeurs dans l'id\'eal $\cI_{h_{k,\nu}}$. On d\'eduit alors
$h_{k,\nu+1}$ de $h_{k,\nu}$ par rajout d'une section non triviale
sur~$Y$.  Le proc\'ed\'e s'arr\^ete n\'ecessairement \`a $\dim
Y_{k,\nu}=0$ d'apr\`es $(\gamma)$, parce qu'une suite d\'ecroissante
d'ensembles alg\'ebriques est toujours stationnaire par le
th\'eor\`eme de Noether. Il resterait \`a estimer pr\'ecis\'ement 
les entiers $b_k$ successifs produits par la formule de Riemann-Roch.
Nous renvoyons \`a [Dem96] pour le d\'etail des calculs.\square
\vskip 0.5truecm

\noindent {\bf 3.3. M\'ethode de Angehrn-Siu}
\par

Il existe une autre m\'ethode que celle d\'ecrite \`a la section~3.2,
permettant d'obtenir des m\'etriques singuli\`eres $h$ sur $L$ ayant
la propri\'et\'e que la vari\'et\'e $V(\cI(h))$ soit cons\-titu\'ee de
point isol\'es, et produisant des bornes effectives substantiellement
meilleures.  Cette m\'ethode est due \`a Angehrn-Siu [AS95] (cf.\
aussi H.~Tsuji [Tsu96] pour une approche voisine). L'id\'ee consiste
\`a partir d'une m\'etrique $h_\infty$ de classe $C^\infty$ \`a
courbure positive, et de prendre une m\'etrique $h_1$ singuli\`ere
ayant des singularit\'es assez fortes en un point $a\in X$ prescrit.
Si l'on veut que $V(\cI(h_1))$ contienne $a$, il suffit que le poids
$\varphi_1$ de $h_1$ satisfasse $\nu(\varphi_1,a)\ge \alpha n$, 
$\alpha\ge 1$, et pour cela il suffit de poser 
$\varphi_1={1\over m}\log|\sigma_1|$ avec une section $\sigma_1\in 
H^0(X,mL)$ ayant en $a$ une multiplicit\'e${}>\alpha mn$. D'apr\`es 
Riemann-Roch, c'est possible pour $m$ assez grand d\`es lors 
que $L^n>\alpha^n n^n$. Il se peut malheureusement que
$a$ ne soit pas isol\'e dans $V(\cI(h_1))$. Ce que l'on fait alors est
de remplacer $h_1$ par une interpolation lin\'eaire $h_t=h_1^t\cdot
h_\infty^{1-t}$ [de poids $\psi_t=t\varphi_1+t\varphi_\infty$] avec
$t=\tau_1-\delta_1$ tr\`es l\'eg\`erement inf\'erieur \`a l'inf
$\tau_1$ des valeurs $t$ pour lesquelles $Y_{\tau_1}=Y_t=V(\cI(h_t))$
a une composante de dimension positive passant par~$a\,$; par
construction $\tau_1\le{1\over\alpha}$.  Alors
$V(\cI(h_{\tau_1-\delta_1}))$ ne contient peut \^etre plus $a$, mais
il suffira de remplacer le poids lisse $\varphi_\infty$ par un poids
ayant une certaine singularit\'e au poids $a$ pour que $a$ figure de
nouveau dans la vari\'et\'e $V(\cI(\psi_t))$ ainsi obtenue. De
fa\c{c}on pr\'ecise, on remplace $\psi_t^{(1)}:=\psi_t$ par
$$
\psi^{(2)}_t= (\tau_1-\delta_1))\varphi_1+t\varphi_2+
(1-\tau_1-t+\delta_1)\varphi_\infty
$$
o\`u $\varphi_{2|Y_{\tau_1}}$ n'est pas identiquement~$-\infty$, a
une forte singularit\'e en $a$ (tout en \'etant peut-\^etre tr\`es peu
singuli\`ere au point g\'en\'erique de $Y_{\tau_1}$). Ce poids
s'obtient en cons\-trui\-sant une section $\sigma_2\in
H^0(Y_{\tau_1},pL)$ s'annulant fortement en $a$ (on utilise de nouveau
Riemann-Roch), et en \'etendant une certaine puissance $\sigma_2^q$
(non contr\^ol\'ee a priori) en une section $\wt\sigma_2$ de~$X\,$; on
pose alors $\varphi_2={1\over pq}\log|\wt\sigma_2|$. Par construction,
pour $\delta_1$ assez petit et $t=1$, le poids $\psi^{(2)}_t$ est tel
que $\dim V(\cI(\psi^{(2)}_t))<\dim Y_{\tau_1}$. On prend pour
$\tau_2$ l'inf des $t$ pour lesquels $a\in V(\cI(\psi^{(2)}_t))$ et on
fixe $t=\tau_2-\delta_2$ tr\`es l\'eg\`erement inf\'erieur
\`a~$\tau_2$. On proc\`ede ainsi par r\'ecurrence de fa\c{c}on \`a
obtenir une suite embo\^{\i}t\'ee d'ensembles alg\'ebriques
$$
Y^{(p)}_{\tau_p}\subset\cdots\subset Y^{(1)}_{\tau_1}
$$
contenant $a$, dont les dimensions au voisinage de $a$ sont
strictement d\'ecroissantes. On a ``gagn\'e'' lorsque $\dim
Y^{(p)}_{\tau_p}=0$. En r\'ealit\'e, il se pr\'esente de multiples
difficult\'es dues au fait que les ensembles $Y^{(p)}_{\tau_p}$ ne
sont ni lisses ni irr\'eductibles. On surmonte ces difficult\'es en
effectuant des r\'esolutions de singularit\'es et en perturbant un peu
les multiplicit\'es de fa\c{c}on \`a faire appara\^{\i}tre une seule
composante utile \`a chaque \'etape (m\'ethode de Shokurov
[Sho85]). On utilise aussi des arguments de semi-continuit\'e pour les
id\'eaux multiplicateurs, \`a partir de calculs faits aux points
g\'en\'eriques (voir [Kol95], [DK99] pour des versions \'elabor\'ees
des th\'eor\`emes de semi-continuit\'e).  En effectuant un comptage
pr\'ecis des multiplicit\'es, on aboutit aux r\'esultats effectifs
suivants d\^us \`a Angehrn-Siu~[AS95] (voir aussi [Tsu96]).

\claim 3.3.1. Th\'eor\`eme|Si  $m \geq  {1\over 2}(n^2+n+2)$,  alors
$K_X+mL$ est engendr\'e par ses sections globales.
\endclaim

\claim 3.3.2. Th\'eor\`eme|Si  $(L^d\cdot Y)^{1 \over d}>{1\over 2}n(n+2r-1)$ 
pour toute sous-vari\'et\'e irr\'eductible $Y\subset X$  de dimension 
$d>0$, alors les sections holomorphes globales de $K_X+L$ 
s\'eparent $r$ points distincts quelconques $x_1\ld x_r$ de $X$.
\endclaim

Il est \`a noter toutefois qu'on ne peut pas atteindre les jets d'ordre $1$
et plus par cette m\'ethode, car on s'astreint \`a r\'ealiser les plus
petites singularit\'es possibles qui fassent appara\^{\i}tre des
id\'eaux de Nadel non triviaux.


\vskip 0.5truecm
\noindent {\bf 3.4. Version effective du grand th\'eor\`eme de Matsusaka}
\par
Il s'agit du r\'esultat suivant, essentiellement d\^u \`a Y.T.~Siu [Siu93],
donnant une version effective des th\'eor\`emes de Matsusaka [Mat72] et 
Koll\'ar-Matsusaka [KoM83].

\claim 3.4.1. Th\'eor\`eme|Soient $L$ et $B$ des fibr\'es en droites
nefs sur une vari\'et\'e $X$ projective de dimension~$n$. Supposons
que $L$ soit ample et soit $H=n^3(K_X+(n+2)L)$. Alors $mL-B$ est
tr\`es ample pour
$$
m\ge(2n)^{(3^{n-1}-1)/2}{(L^{n-1}\cdot(B+H))^{(3^{n-1}+1)/2}
(L^{n-1}\cdot H)^{3^{n-2}(n/2-3/4)-1/4}\over(L^n)^{3^{n-2}(n/2-1/4)+1/4}}.
$$
En particulier $mL$ est tr\`es ample pour
$$
m\ge C_n~(L^n)^{3^{n-2}}\left(n+2+{L^{n-1}\cdot K_X\over L^n}
\right)^{3^{n-2}(n/2+3/4)+1/4}
$$
avec $C_n=2^{(3^{n-1}-1)/2}n^{3^{n-1}(n/2+5/4)-1/4}$.
\endclaim

\noindent
Pour les surfaces ($n=2$), la m\'ethode fournit la borne
$$
m\ge 4\,{(L\cdot(K_X+4L))^2\over L^2}.\leqno(3.4.2)
$$
Ceci est pratiquement optimal d'apr\`es les travaux de Fern\'andez
del Busto [FdB95, 96]. Nous ne dirons pas grand chose de la preuve,
sauf que l'on utilise de mani\`ere cruciale le th\'eor\`eme d'annulation de 
Nadel, les r\'esultats d'amplitude effective des sections 3.2 et 3.3, et
un cas particulier des in\'egalit\'es de Morse [Dem85].
\vskip 1.2truecm

\noindent {\bf 4. INVARIANCE DES PLURIGENRES PAR D\'EFORMATION}
\vskip 0.5truecm

\'Etant donn\'e une d\'eformation $\gamma:X\to S$ de vari\'et\'es
projectives, le probl\`eme de l'invariance des plurigenres des fibres
$X_t=\gamma^{-1}(t)$ se ram\`ene au cas o\`u la base est le disque
unit\'e $\Delta\subset\bC$ (en g\'en\'eral, on peut toujours relier
deux points quelconques de $S$ par une cha\^{\i}ne de petits disques
analytiques, et il suffit de restreindre la base \`a chacun de ces
disques). On suppose donc $\gamma:X\to\Delta$. Dans ce cas, on a un
isomorphisme canonique $K_{X_t}\simeq K_{X|X_t}$ sur chaque fibre,
donn\'e par $u\mapsto dt\wedge u$ [de sorte qu'on se permettra
d'identifier $K_{X_t}$ et $K_{X|X_t}$ dans la suite].  On sait
d'apr\`es le th\'eor\`eme des images directes de Grauert [Gra60] que
les faisceaux images directes $\gamma_\star\cO(mK_X)$ sont coh\'erents, 
et de plus, les plurigenres $p_m(X_t)=h^0(X_t,(mK_X)_{|X_t})$ sont des
fonctions semi-continues sup\'erieurement de~$t$. Les sauts se
produisent pr\'ecis\'ement si une section sur une certaine fibre
$X_{t_0}$ ne se prolonge pas aux fibres voisines. D\'emontrer
l'invariance des plurigenres revient donc \`a montrer qu'une section
de $mK_{X|X_{t_0}}$ sur une fibre $X_{t_0}$ se prolonge sur un
voisinage de $X_{t_0}$ dans~$X$. On pourra supposer sans perte de
g\'en\'eralit\'e que~$t_0=0$.  La strat\'egie consiste grosso modo \`a
construire des m\'etriques singuli\`eres sur $K_X$ et $K_{X_0}$ de la
fa\c{c}on ``la plus canonique possible'', puis \`a utiliser des
th\'eor\`emes d'extensions $L^2$ par rapport \`a ces m\'etriques.

\vskip 0.5truecm
\noindent {\bf 4.1. M\'etriques \`a singularit\'es minimales}
\par
L'une des id\'ees essentielles de la d\'emonstration du th\'eor\`eme
d'invariance des plurigenres -- bien qu'elle ne soit pas tout \`a fait
explicite dans [Siu97] -- r\'eside dans le fait que les singularit\'es
des m\'etriques hermitiennes sur un fibr\'e $L$ refl\`etent de mani\`ere
tr\`es intime les ensemble-base des syst\`emes lin\'eaires $|mL|$, pourvu
qu'on choisisse pr\'ecis\'ement les m\'etriques \`a singularit\'es minimales.
Nous suivons ici l'approche de~[DPS98].

\claim 4.1.1. D\'efinition|Soit $L$ un fibr\'e en droites pseudo-effectif
sur une vari\'et\'e complexe compacte $X$. Consid\'erons des
m\'etriques hermitiennes $h_1$, $h_2$ sur $L$ \`a courbure $\Theta_{h_j}(L)\ge 0$
au sens des courants.
\smallskip
\item{\rm(i)} On \'ecrira $h_1\preccurlyeq h_2$, et on dira que $h_1$ est moins
singuli\`ere que $h_2$, s'il existe une constante $C>0$ telle que
$h_1\le C h_2$.
\smallskip
\item{\rm(ii)} On \'ecrira $h_1\sim h_2$, et on dira que $h_1$, $h_2$ sont
\'equivalentes du point de vue des singularit\'es, s'il existe une constante 
$C>0$ telle que $C^{-1}h_2\le h_1\le C h_2$.
\vskip0pt
\endclaim

\noindent
Bien entendu $h_1\preccurlyeq h_2$ si et seulement si les poids
associ\'es dans des trivialisations v\'erifient localement $\varphi_2\le
\varphi_1+C$, ce qui implique en particulier
$\nu(\varphi_1,x)\le\nu(\varphi_2,x)$ en tout point.  La d\'efinition
ci-dessus est motiv\'ee par l'observation suivante.

\claim 4.1.2. Th\'eor\`eme|Pour tout fibr\'e en droites $L$ pseudo-effectif
au-dessus d'une vari\'et\'e $X$ complexe compacte, il existe \`a
\'equivalence pr\`es de singularit\'es une unique classe de m\'etriques
hermitiennes $h$ \`a singularit\'es minimales telles que $\Theta_h(L)\ge 0$.
\endclaim

\preuve. C'est quasiment trivial. On fixe une fois pour toutes une
m\'etrique $h_\infty$ de classe $C^\infty$ (dont la courbure est de
signature arbitraire variable), et on \'ecrit les m\'etriques
singuli\`eres de $L$ sous la forme $h=h_\infty e^{-2\psi}$. La
condition $\Theta_h(L)\ge 0$ \'equivaut \`a supposer
${i\over\pi}\ddbar\psi\ge -u$ o\`u $u=\Theta_{h_\infty}(L)$. Cette
condition entra\^{\i}ne que $\psi$ est plurisousharmonique \`a l'ajout
pr\`es du poids $\varphi_\infty$ de $h_\infty$, et donc localement 
major\'ee.  Comme on s'int\'eresse aux
m\'etriques uniquement \`a \'equivalence de singularit\'es pr\`es, on
peut toujours ajuster $\psi$ par une constante en sorte que
$\sup_X\psi=0$. On pose maintenant
$$
h_{\min}=h_\infty e^{-2\psi_{\min}},\qquad \psi_{\min}(x)=\sup_\psi\psi(x)
$$
o\`u le sup est \'etendu \`a toutes les fonctions $\psi$ telles que
$\sup_X\psi=0$ et ${i\over\pi}\ddbar\psi\ge -u$. D'apr\`es
les r\'esultats standards sur les fonctions plurisousharmoniques
(cf.\ Lelong [Lel69]), $\psi_{\min}$ v\'erifie encore 
${i\over\pi}\ddbar\psi_{\min}\ge -u$
(i.e.\ le poids $\varphi_\infty+\psi_{\min}$ de $h_{\min}$ est 
plurisousharmonique), et $h_{\min}$ est \'evidemment la m\'etrique \`a 
singularit\'e minimale cherch\'ee.
\square

\'Etant donn\'e une section $\sigma\in H^0(X,mL)$ alors 
$h(\xi)=|\xi^m/\sigma(x)|^{1/m}$ d\'efinit \'evidemment une m\'etrique singuli\`ere
sur $L$, qui a n\'ecessairement au moins autant de singularit\'es que $h_{\min}$,
i.e.\ ${1\over m}\log|\sigma|\le \varphi_{\min}+C$ localement. En particulier
$|\sigma|^2e^{-2m\varphi_{\min}}$ est localement born\'ee, en sorte
que $\sigma\in H^0(X,mL\otimes\cI(h_{\min}^m))$, et on a donc pour tout
$m>0$ un isomorphisme
$$
H^0(X,mL\otimes\cI(h_{\min}^m))\build\lra|\simeq||H^0(X,mL).
$$
En vertu de cet isomorphisme, on dira que l'ensemble
$$
E_+(h_{\min})=\big\{x\in X\,;~\nu(\varphi_{\min},x)>0\big\}
\leqno(4.1.3)
$$
est {\sl l'ensemble-base virtuel} de $L$. On a toujours 
$E_+(h_{\min})\subset\bigcap_{m>0}B_{|mL|}$ et il peut y avoir 
inclusion stricte, notamment si les $mL$ n'ont aucune section 
non nulle (c'est le cas si $L$ est un fibr\'e plat g\'en\'erique, bien qu'on ait 
alors $E_+(h_{\min})=\emptyset$).
Si $h$ est une m\'etrique hermitienne singuli\`ere telle que $\Theta_h(L)\ge 0$
et 
$$
H^0(X,mL\otimes\cI(h^m))\simeq H^0(X,mL)\qquad\hbox{pour tout $m\ge 0$},
\leqno(4.1.4)
$$
on dira que $h$ est une {\sl d\'ecomposition de Zariski analytique} de
$L$.  On vient de voir qu'une telle d\'ecomposition existe toujours et
que $h=h_{\min}$ r\'epond \`a la question. Cette d\'efinition est
motiv\'ee par l'analogue alg\'ebrique (qui ne conduit pas toujours \`a
une r\'eponse affirmative, loin s'en faut)$\,$: on dit que $L$ admet
une {\sl d\'ecomposition de Zariski alg\'ebrique} s'il existe un
entier $m_0$ tel que $m_0L\simeq\cO(E+D)$ o\`u $E$ est un diviseur
effectif et $D$ un diviseur nef, en sorte que $H^0(X,kD)\simeq
H^0(X,km_0L)$ pour tout $k\ge 0$. Si $\cO(D)$ est semi-ample, il y a
alors une m\'etrique lisse \`a courbure semi-positive sur $\cO(D)$, et
on en d\'eduit une m\'etrique singuli\`ere $h$ sur $L$ de courbure
${1\over m_0}(\Theta(\cO(D))+ [E])$, dont les p\^oles sont
constitu\'es du $\bQ$-diviseur effectif ${1\over m_0}E$. Pour cette
m\'etrique, on a \'evidemment $\cI(h^{km_0})=\cO(-kE)$, de sorte que
4.1.4 est r\'ealis\'e au moins si $m$ est multiple de $m_0$.  \vskip
0.5truecm

\noindent {\bf 4.2. Une propri\'et\'e uniforme de g\'en\'eration globale}
\par

Il s'agit d'un r\'esultat qui, d'une certaine mani\`ere, donne une 
``borne inf\'erieure uniforme'' pour le produit tensoriel $L\otimes\cI(h)$,
lorsque $h$ est une m\'etrique singuli\`ere quelconque \`a 
courbure${}\ge 0$ sur~$L$.

\claim 4.2.1. Proposition|Soit $E$ un fibr\'e en droites ample
au-dessus d'une vari\'et\'e complexe compacte $X$ de dimension~$n$,
tel que pour tout point $x_0$ de $X$ il existe un nombre fini 
d'\'el\'ements de $H^0(X,E)$ qui s'annulent chacun \`a l'ordre $n+1$
au moins en~$x_0$, et sans z\'eros communs sur $X\ssm\{x_0\}$.
Alors pour tout fibr\'e en droites $L$ sur $X$ ayant une m\'etrique 
hermitienne singuli\`ere localement de la forme $e^{-\xi}$ avec $\xi$
plurisousharmonique d'id\'eal multiplicateur associ\'e $\cI(\xi)$,
l'espace des sections globales $H^0(X,\cO(K_X+E+L)\otimes\cI(\xi))$ 
engendre le faisceau $\cO(K_X+E+L)\otimes\cI(\xi)$ en tout point de $X$.
\endclaim

\preuve. Nous ne donnerons pas beaucoup de d\'etails. Il y a deux 
ingr\'edients cl\'es. D'une part, pour tout germe $f$ de 
$\cO(K_X+E+L)\otimes\cI(\xi)$, le th\'eor\`eme de H\"ormander-Bombieri 
permet de trouver une section globale $\sigma$ pour laquelle 
$$
\int_{V(x_0)}|f(x)-\sigma(x)|^2e^{-2\xi}|x-x_0|^{-2(n+1-\varepsilon)}
dV<\infty
\leqno(4.2.2)
$$ 
au voisinage du point donn\'e $x_0$. Le second ingr\'edient-cl\'e est
le th\'eor\`eme de division $L^2$ de Skoda [Sko72b, Th.~1,
p.~555-556]. Celui-ci permet en effet de d\'eduire de (4.2.2) que
$f-\sigma\in\cO(K_X+E+L) \otimes\cI(\xi)\otimes\eum_{X,x_0}$. On
conclut alors par le lemme de Nakayama.

\vskip 0.5truecm
\noindent {\bf 4.3. Le th\'eor\`eme d'extension $L^2$ 
de Ohsawa-Takegoshi-Manivel}.
\par

Il s'agit d'un th\'eor\`eme de prolongement de sections $L^2$ de
fibr\'es holomorphes \`a partir d'une sous-vari\'et\'e de la
vari\'et\'e ambiante. Ce th\'eor\`eme fondamental \`a \'et\'e d'abord
d\'emontr\'e par Ohsawa-Takegoshi [OT87, Ohs88], puis raffin\'e par
L.~Manivel [Man93] (au total, la preuve du th\'eor\`eme d'invariance des
plurigenres  utilise donc $3$ types essentiellement diff\'erents de 
th\'eor\`emes d'existence~$L^2$~!).
Nous \'enoncerons ici seulement le cas tr\`es particulier qui nous
int\'eresse.

\claim 4.3.1. Th\'eor\`eme|Soit $\gamma:X\rightarrow\Delta$ une 
famille projective de vari\'et\'es complexes compactes param\'etr\'ees 
par le disque ouvert unit\'e $\Delta\subset\bC$. Soit 
$X_0=\gamma^{-1}(0)$, \hbox{$n=\dim_\bC X_0$}, et soit
$L$ un fibr\'e holomorphe en droites muni d'une m\'etrique hermitienne
localement repr\'esent\'ee par $e^{-\chi}$, telle que
$i\partial\bar\partial\chi\geq \omega$ dans le sens
de courants, pour une certaine $(1,1)$-forme positive $\omega$ sur~$X$.
Soit $0<r<1$ et $\Delta_r=\{\,t\in\Delta\,;~|t|<r\,\}$.  Alors il 
existe une constante positive $A_r$ ayant la propri\'et\'e suivante. Pour tout
$n$-forme holomorphe $f$ sur $X_0$ \`a valeurs dans $L$ telle que
$$
\int_{X_0}|f|^2e^{-\chi}dV<\infty,
$$
il existe une $(n+1)$-forme holomorphe
$\tilde f$ sur $\gamma^{-1}(\Delta_r)$
\`a valeurs dans $L$, telle que $\tilde f|_{X_0}=f\wedge\gamma^*(dt)$ 
en tout point de $X_0$ et
$$
\int_X|\tilde f|^2e^{-\chi}dV\leq A_r
\int_{X_0}|f|^2e^{-\chi}dV.
$$
\endclaim

\claim 4.3.2. Remarque|\rm
On notera qu'aucune m\'etrique sur le fibr\'e tangent de $X_0$ ou de $X$ 
n'est n\'ecessaire pour d\'efinir l'int\'egrale du carr\'e de la norme
des formes holomorphes $f$ et $\tilde f$ sur $X_0$ et $X\,$;
il suffit en effet d'int\'egrer les formes volume $i^{n^2}
f\wedge\ol f$ et $i^{(n+1)^2} \tilde f\wedge\ol{\tilde f}$.
\endclaim
\vskip 0.5truecm

\noindent {\bf 4.4. Construction de m\'etriques hermitiennes 
\`a courbure positive sur $K_{X_0}$.}
\par

On suppose d\'esormais que $X\to\Delta$ est une famille de
vari\'et\'es projectives de type g\'en\'eral (i.e.\ toutes les fibres
$X_t$ sont de type g\'en\'eral). Un point technique est que la
m\'etrique hermitienne sur $K_X$ doit \^etre choisie en sorte que son
courant de courbure domine une $(1,1)$-forme d\'efinie positive de
classe $C^\infty$, de fa\c{c}on \`a pouvoir appliquer les
th\'eor\`emes de division et d'extension $L^2$ de Skoda et
Ohsawa-Takegoshi-Manivel. Pour cela, on utilise une variation de la
technique de Kodaira qui consiste \`a \'ecrire un multiple
suffisamment grand d'un fibr\'e en droites gros comme somme d'un
diviseur effectif et d'un fibr\'e en droites ample.

\claim 4.4.1. Lemme|Il existe un entier positif $a$ tel que 
$aK_X=D+F$, o\`u $D$ est un diviseur effectif sur $X$ ne contenant pas
$X_0$, et o\`u $F$ est un fibr\'e en droites positif sur~$X$.
\endclaim

\preuve. Soit $F$ un fibr\'e en droites positif sur $X$, et soit $r_a$
le rang g\'en\'erique de $H^0(X_t,aK_{X_t}-F)$, qui est atteint 
pour $t\in \Delta\ssm S_a$ dans le compl\'ementaire d'un ensemble
convenable localement fini $S_a\subset\Delta$. Fixons 
$t_1\in\Delta\ssm\bigcup S_a$. Puisque $X_{t_1}$ est de type g\'en\'eral, 
nous savons que $h^0(X_{t_1},aK_{X_{t_1}})\geq c\,a^n$, donc
$h^0(X_{t_1},aK_{X_{t_1}}-F)\geq c'a^n$ pour $c,c'>0$ convenables et
$a$ assez grand. D'apr\`es le choix de $t_1$, toute section non nulle
de $H^0(X_{t_1},aK_{X_{t_1}}-F)$ s'\'etend en une section $s$ de
$H^0(X,aK_X-F)$, donc $aK_X=D+F$ o\`u $D$ est le diviseur de $s$.  Si
n\'ecessaire, on peut \'eliminer la composante $X_0$ dans la d\'ecomposition
de $D$ en divisant $s$ par une puissance  convenable de~$t$.\square
\medskip

L'\'etape suivante est de construire des m\'etriques hermitiennes 
sur $K_{X_0}$ et $K_X$, res\-pec\-tivement, et de comparer leurs 
faisceaux d'id\'eaux multiplicateurs. D'apr\`es la section 4.1, il
existe une m\'etrique \`a singularit\'es minimales sur $X_0$ (unique
\`a \'equivalence de singularit\'e pr\`es). On notera $\varphi_0$ le
poids de cette m\'etrique. De m\^eme, il existe une m\'etrique
\`a singularit\'es minimales sur tout voisinage relativement compact
de $X_0$ dans $X$, et quitte \`a r\'etr\'ecir la base $\Delta$ on peut 
supposer que cette m\'etrique existe sur l'espace total $X$ tout entier.
On notera $\varphi$ {\sl la restriction \`a $X_0$} du poids de 
cette m\'etrique. Par d\'efinition, $\varphi$ est au moins aussi singulier
que $\varphi_0$ sur $X_0$, et apr\`es ajout \'eventuel d'une constante
on peut supposer que $\varphi\le\varphi_0$.

Par ailleurs, d'apr\`es le lemme 4.4.1, on peut choisir un entier
$a\geq 2$ tel que $aK_X=D+F$, o\`u $D$ est un diviseur effectif sur
$X$ ne contenant pas $X_0$, et $F$ un fibr\'e en droites positif sur
$X$. Quitte \`a remplacer $a$ par un multiple assez grand, on peut
faire les hypoth\`eses suppl\'ementaires suivantes:
\smallskip

\noindent 
(4.4.2) {\sl pour tout $x_0\in X_0$, il existe un nombre 
fini d'\'el\'ements de \hbox{$H^0(X,F-2K_X)_{|X_0}$} dont 
le lieu des z\'eros communs est r\'eduit au singleton $\{x_0\}$, 
et s'annulant \`a un ordre au moins \'egal \`a $n+1$ en $x_0$.}

\noindent 
(4.4.3) {\sl une base des sections de $H^0(X,F)_{|X_0}$ fournit un
plongement de $X_0$ sur une sous-vari\'et\'e d'un espace projectif 
complexe.}

Soit $s_D$ la section canonique du fibr\'e en droites $\cO(D)$,
de sorte que le diviseur de $s_D$ est $D$. Soient
$u_1,\ldots,u_N\in H^0(X,F)$ des sections telles que 
$$
u_{1|X_0},\ldots,u_{N|X_0}
$$ 
forment une base de $H^0(X,F)_{|X_0}$. 
Puisque $s_Du_j\in H^0(X,aK_X)$ ($1\leq j\leq N$), on obtient une 
m\'etrique hermitienne
$$
e^{-\psi}=\left({1\over|s_D|^2\sum|u_j|^2}\right)^{1\over a} 
$$ 
sur le fibr\'e en droites $K_X$. De plus 
$$
\psi={1\over a}\left(\log|s_D|^2+\chi\right)
$$ 
o\`u $\chi=\log(\sum|u_j|^2)$ d\'efinit une m\'etrique hermitienne de classe
$C^\infty$ \`a courbure posi\-tive sur~$F$. Par cons\'equent, 
$i\ddbar\psi$ est un courant
d\'efini positif. En outre, les singularit\'es de $\psi$ sur $X$ sont au
moins aussi grandes que celles du poids $\varphi$ qui a les singularit\'es
minimales sur~$X$. En ajustant de nouveau les constantes
si n\'ecessaire, on peut \'enoncer~le

\claim 4.4.4. Lemme|La m\'etrique hermitienne $e^{-\psi}$ est \`a courbure 
d\'efinie positive et \hbox{$\psi\leq\varphi\leq\varphi_0$} sur $X_0$.
\endclaim

L'argument crucial est un r\'esultat de comparaison des
faisceaux d'id\'eaux multiplicateurs sur $X_0$ d\'efinis par
$\ell\varphi_0$ et $\ell\varphi$, respectivement, lorsque $\ell$ est grand.
Dans tout le reste de cet expos\'e, la notation
$\cI((\ell+a-\varepsilon)\varphi+\varepsilon\psi)$
d\'esignera un faisceau d'id\'eaux sur $X_0$ (et non pas un faisceau 
d'id\'eaux sur $X$, m\^eme si le poids est \'eventuellement d\'efini sur~$X$
tout entier).

\claim 4.4.5. Proposition|Choisissons $0<\varepsilon<1$ assez petit pour que
$e^{-\varepsilon\psi}$ soit localement int\'egrable sur $X$ 
$($peut-\^etre apr\`es avoir un peu r\'etr\'eci le disque $\Delta)$ et 
pour que $e^{-\varepsilon\psi}_{|X_0}$ soit localement int\'egrable 
sur~$X_0$. Alors 
$$
\cI((\ell-\varepsilon)\varphi_0+(a+\varepsilon)\psi)
\subset \cI((\ell-1+a-\varepsilon)\varphi+\varepsilon\psi)
$$
pour tout entier $\ell\geq 1$.
\endclaim

\preuve. On raisonne par r\'ecurrence sur $\ell$. Pour $\ell=1$,
le Lemme 4.4.4 implique
$$(1-\varepsilon)\varphi_0+(a+\varepsilon)\psi\le 
(1-\varepsilon)\varphi_0+a\varphi+\varepsilon\psi\le
C+(a-\varepsilon)\varphi+\varepsilon\psi$$
puisque $\varphi_0$ est localement major\'ee par une certaine constante $C$.
Nous obtenons donc
$$
\cI((1-\varepsilon)\varphi_0+(a+\varepsilon)\psi)
\subset \cI((a-\varepsilon)\varphi+\varepsilon\psi),
$$
comme d\'esir\'e.

Maintenant, supposons que l'inclusion ait \'et\'e d\'emontr\'ee pour l'entier $\ell$.  
Prenons un germe de fonction $f$ quelconque dans le faisceau d'id\'eaux
$\cI((\ell+1-\varepsilon)\varphi_0 +(a+\varepsilon)\psi)$, d\'efini sur un 
petit voisinage $U$ d'un point $P\in X_0$. Fixons un rep\`ere holomorphe
local $e$ de $(\ell+a)K_{X_0}$ sur $U$. Alors $s=fe$ est une section de
$$
\cO((\ell+a)K_{X_0})\otimes\cI((\ell+1-\varepsilon)\varphi_0
+(a+\varepsilon)\psi)
$$ 
sur $U$. Observons qu'\'etant donn\'e une fonction plurisousharmonique 
arbitraire $\xi$, on~a
$$\cI(\xi+\log|s_D|^2)=\cI(\xi)\otimes \cO(-D).$$
En \'ecrivant $aK_{X_0}=(D+F)_{|X_0}$ gr\^ace au Lemme 4.4.1 et 
$a\psi=\log|s_D|^2+\chi$ par d\'efinition de $\psi$, on peut 
r\'einterpr\'eter $s$ comme \'etant une section de
$$
\eqalign{
\cO(\ell K_{X_0}+(D+F)_{|X_0})&{}\otimes
\cI((\ell+1-\varepsilon)\varphi_0+\varepsilon\psi+\log|s_D|^2+\chi)\cr
&=\cO((\ell+2)K_{X_0}+E_{|X_0})\otimes
\cI((\ell+1-\varepsilon)\varphi_0+\varepsilon\psi)
\cr}
$$
o\`u $E=F-2K_X$ (comme $\chi$ est $C^\infty$, $\chi$ ne change pas
le faisceau multiplicateur). Observons que $(\ell+1-\varepsilon)\varphi_0+
\varepsilon\psi$ d\'efinit une m\'etrique hermitienne \`a courbure positive
sur $(\ell+1)K_{X_0}$. D'apr\`es l'hypoth\`ese (4.4.2) ci-dessus et la
Proposition~4.2.1 appliqu\'ee avec $Y=X_0$ et $L=(\ell+1)K_{X_0}$, 
on conclut que
$$
\cO((\ell+2)K_{X_0}+E_{|X_0})\otimes
\cI((\ell+1-\varepsilon)\varphi_0+\varepsilon\psi)
$$
est engendr\'e par ses sections globales sur~$X_0$. On peut donc sans perte
de g\'en\'eralit\'e se restreindre au cas des germes $f$ tels que $fe$
co\"{\i}ncide sur $U$ avec une section globale
$$
s\in H^0\left(X_0,\cO((\ell+2)K_{X_0}+E_{|X_0})\otimes
\cI((\ell+1-\varepsilon)\varphi_0+\varepsilon\psi)
\right).$$
En renversant le sens des calculs ci-dessus, on trouve
$$
\eqalign{
H^0\left(X_0,\cO((\ell+2)K_{X_0}\right.&{}+E_{|X_0})\otimes
\left.\cI((\ell+1-\varepsilon)\varphi_0+\varepsilon\psi)\right)\cr
&=H^0\left(X_0,\cO((\ell+a)K_{X_0})\otimes
\cI((\ell+1-\varepsilon)\varphi_0+(a+\varepsilon)\psi)\right)\cr
&\subset H^0\left(X_0,\cO((\ell+a)K_{X_0})\otimes
\cI((\ell-\varepsilon)\varphi_0+(a+\varepsilon)\psi)\right)\cr
&\subset H^0\left(X_0,\cO((\ell+a)K_{X_0})\otimes
\cI((\ell+a-1-\varepsilon)\varphi+\varepsilon\psi)\right),\cr}
$$
[la premi\`ere inclusion est obtenue en oubliant le terme $\varphi_0$
dans le poids, et la seconde est une cons\'equence de l'hypoth\`ese 
de r\'ecurrence pour $\ell$]. Maintenant, le poids
$$
(\ell+a-1-\varepsilon)\varphi+\varepsilon\psi
$$
d\'efinit une m\'etrique hermitienne \`a courbure 
d\'efinie positive sur $L=(\ell+a-1)K_X$, et la Proposition 4.3.1 
implique que $s$ s'\'etend en une section globale 
$\tilde s\in H^0(X,(\ell+a)K_X)$ (peut-\^etre apr\`es avoir r\'etr\'eci un 
peu~$\Delta$). La d\'efinition de $\varphi$ implique
$|\tilde s|^2\leq C\,e^{(\ell+a)\varphi}$, donc
$$
|\tilde s|^2e^{-(\ell+a)\varphi-\varepsilon\psi}\leq C\,e^{-\varepsilon\psi}
$$
est int\'egrable sur $X$. De l\`a, on conclut que 
$$
fe=s=\tilde s_{|X_0}\in\cO((\ell+a)K_{X_0})\otimes
\cI((\ell+a)\varphi+\varepsilon\psi),
$$
donc $f\in \cI((\ell+a)\varphi+\varepsilon\psi)$. L'\'etape $\ell+1$
de la r\'ecurrence est d\'emontr\'ee.
\vskip0.5truecm

\noindent {\bf 4.5. Preuve du th\'eor\`eme d'invariance des plurigenres.} 
\par

Fixons un entier $m>0$ et une section $s\in H^0(X_0,mK_{X_0})$
quelconque. Par d\'efinition de $\varphi_0$, on a 
$|s|^2\le Ce^{m\varphi_0}$ sur $X_0$. Si $s_D$ est la section 
canonique de $\cO(-D)$ de diviseur $D$, on en d\'eduit que $s^\ell s_D$ 
est localement $L^2$ par rapport au poids
$e^{-\ell m\varphi_0-(a+\varepsilon)\psi}$, car $a\psi$ poss\`ede la m\^eme
singularit\'e que $\log|s_D|^2$ et $e^{-\varepsilon\psi}$ est suppos\'ee
localement int\'egrable sur $X_0$. Les fonctions trivialisant
$s^\ell s_D$ sont localement dans le faisceau d'id\'eaux
$\cI((\ell m-\varepsilon)\varphi_0+(a+\varepsilon)\psi)$. D'apr\`es
la Proposition 4.4.5, elles appartiennent
\`a  $\cI((\ell m-1-\varepsilon)\varphi+\varepsilon\psi)$, i.e.\
$$
\int_U|s^\ell s_D|^2e^{-(\ell m-1-\varepsilon)\varphi-\varepsilon\psi}
<+\infty
$$
sur tout ouvert $U$ suffisamment petit tel que $K_{X_0}|U$ et
$\cO(-D)|U$ soient triviaux. D'une mani\`ere \'equivalente, on peut \'ecrire
$$
\int_U|s|^{2\ell}e^{-(\ell m-1-\varepsilon)\varphi+(a-\varepsilon)\psi}
<+\infty.
$$
Prenons $\ell$ assez grand pour que $a/(\ell-1)\leq\varepsilon$, de
sorte que
$e^{\varphi-{a\over\ell-1}\psi}\le Ce^{-\varepsilon\psi}$ soit int\'egrable
sur $U$. D'apr\`es l'in\'egalit\'e de H\"older d'exposants conjugu\'es $\ell$, 
$\ell'=\ell/(\ell-1)$, on trouve
$$
+\infty>
\left(\int_U|s|^{2\ell}e^{-(\ell m-1-\varepsilon)\varphi+(a-\varepsilon)\psi}
\right)^{1/\ell}
\left(\int_U e^{\varphi-{a\over \ell-1}\psi}\right)^{(\ell-1)/\ell}
\phantom{-------}
$$
$$
~~~~~{}\geq\int_U |s|^2e^{-(m-{1\over\ell}-{\varepsilon\over\ell})\varphi+
({a\over\ell}-{\varepsilon\over\ell})\psi}
e^{(1-{1\over\ell})\varphi-{a\over\ell}\psi}
=\int_U |s|^2e^{-(m-1-\delta)\varphi-\delta\psi}
$$
avec $\delta=\varepsilon/\ell$. On peut consid\'erer $s$ comme une
section de $K_{X_0}+L_{|X_0}$ avec\break \hbox{$L=(m-1)K_X$}. Le poids
$(m-1-\delta)\varphi- \delta\psi$ d\'efinit une m\'etrique hermitienne
sur $L$ \`a courbure d\'efinie positive, et $s$ est globalement $L^2$
par rapport \`a cette m\'etrique.  D'apr\`es le th\'eor\`eme
d'extension de Ohsawa-Takegoshi-Manivel, on peut par cons\'e\-quent
\'etendre $s$ en une section $\tilde s\in H^0(X,K_X+L)=H^0(X,mK_X)$,
\'eventuellement apr\`es avoir tronqu\'e~$\Delta$. Ceci termine la preuve
du th\'eor\`eme.

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\hskip 6.2truecm Jean--Pierre Demailly\par
\medskip
\hskip 6.2truecm Universit\'e de Grenoble I\par
\hskip 6.2truecm Institut Fourier, UMR 5582 du CNRS\par
\hskip 6.2truecm B.P.\ 74, route des Maths\par
\hskip 6.2truecm F--38402 Saint-Martin-d'H\`eres Cedex\par
\smallskip
\hskip 6.2truecm E--mail~: Jean-Pierre.Demailly@ujf-grenoble.fr\par

\end
