Invent. math. 69, 347-374 (1982)
Courants positifs extrêmaux et conjecture de Hodge
Jean-Pierre Demailly
Université Paris VI, Analyse Complexe et Géométrie. Laboratoire Associé au C.N.R.S. (L.A. 213), 4, Place Jussieu, F-75230 Paris-Cedex 05. France
Table des matières
10.Introduction et énoncé des résultats 347
11.Un théorème de support pour les courants positifs fermés 351
12.Exemple de courant extrêmal sur 1P2 qui n'est pas un cycle analytique 354
13.Contre-exemples dans IP" et <T" 357
14.Equivalence entre les énoncés ,'£(X; p) et J/'(X;p) 360
15.Lien avec la conjecture de Hodge et obstructions topologiques 363
16.Approximation d'un courant de bidegré (1,1) par des diviseurs irréductibles 367
1. Introduction et énoncé des résultats
Le présent travail a pour objet principal de construire dans P2 ou C2 un exemple de (1, l)-courant positif fermé extrêmal, qui n'est pas un cycle analytique. La preuve de l'extrêmalité utilise un théorème général de support pour les courants positifs fermés, qui sera établi au §2. Nous étudions ensuite les relations entre le problème des courants extrêmaux et la conjecture de Hodge. Avant de donner des énoncés plus précis, rappelons quelques définitions et résultats classiques (cf. P. Lelong [7], [8], R. Harvey [5]).
Soit X une variété analytique complexe de dimension n; dans toute la suite, X sera soit une variété de Stein, soit une variété projective. Si k, p, q sont des entiers 2:0, avec éventuellement k=co, on désigne par ^q{X) (resp. <3kpq(X)) l'espace des formes de bidegré (p, q) et de classe Ck sur X (resp. à support compact). L'espace des courants d'ordre k et de bidimension (p, q), ou de bidegré (n-p,n-q), est par définition l'espace dual [3>kPiq{X)J, <2)kpq{X) étant muni de la topologie limite inductive usuelle. Pour simplifier les notations, on
écrira aussi
@pJX) = ®?JX), @'p,q(X) = [2pJX)J.
Définition 1.1. Une forme ae^p°p(X) est dite:
0020-9910/82/0069/0347/$05.60
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(1.1) fortement positive (ou fortement 2:0) si en tout point zeX, <x(z) est dans le
cône convexe engendré par les (p, p)-formes du type
(iul au,) a ... a(ï'w a up)
où ujeAU0T*X;
17.faiblement 2:0 si pour tout zeX et tout p-plan F de l'espace tangent TZX, la restriction <x(z)|f est une (p, p)-forme fortement positive;
18.positive définie (resp. fortement >0, faiblement >0) au point zeX, si toute petite perturbation de <x(z) reste _0 dans /e sens considéré.
Un courant Te3'pp(X) est dit faiblement (resp. fortement) positif si <7^a>_0 pour toute forme ae!3 (X) fortement (resp. faiblement) positive.
Il résulte aisément de cette définition qu'un courant ou une forme fortement 2:0 sont aussi faiblement 2:0; on montre de plus que les notions de positivité relatives aux courants sont bien cohérentes avec celles relatives aux formes. Rappelons aussi que les notions de positivité forte et faible coïncident pour p = 0,1, n -1 ou n et diffèrent dans tous les cautres cas (cf. [6]). Un courant faiblement 2:0 est nécessairement d'ordre 0, i.e. ses coefficients sont des mesures de Radon.
Définition 1.2. On notera SPC(X) (resp. WPC(X)) P ensemble des (p,p)-courants Tfortement (resp. faiblement) positifs et fermés, c'est-à-dire tels que dT = Q.
On vérifie facilement que SPCp(X)cWPCp(X) sont des cônes convexes saillants, fermés pour la topologie faible de 3>'p p(X).
Définition 1.3. Un courant T est dit extrêmal dans SPC(X) si TeSPC(X) et si chaque fois que l'on a une décomposition T=T1 + T2 avec Tx, T2eSPC(X), alors T,TY,T2 sont proportionnels. L'ensemble des courants extrêmaux de SPC(X) sera noté SP(X); on définit de même l'ensemble S^,(X) des courants extrêmaux de WPC(X).
L'intérêt des courants extrêmaux est dû en partie au résultat suivant, qui est une conséquence simple du théorème de Krein-Milman.
Proposition 1.4. On a SPCp(X) = ip(X), WPC"(X) = SP¥(X) où le symbole a désigne l'enveloppe convexe fermée dans l'espace 3)' (X) muni de la topologie faible.
A la suite de l'introduction des courants positifs par P. Lelong [7], différents auteurs ont posé le problème de l'étude des éléments extrêmaux de SPC(X) et WPC(X). Il est classique que le courant d'intégration [Z] sur un ensemble analytique irréductible Z de dimension p, est un élément extrêmal de chacun des cônes SPC(X) et WPC"(X) (cf. [9], [5]).
Définition 1.5. On désignera par ,f(X) l'ensemble des courants d'intégration X[Z~\e3i' (X), où Z est un ensemble analytique irréductible et 1_0.
D'après ce qui précède, on a donc J"(X)^<gp(X), JP(X)^S^(X). On considère dans la suite le problème réciproque, soulevé notamment par P.
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Lelong [9] et R. Harvey [5] dans le cas des variétés de Stein:
(&(X;p)) <SP(X)<^JP{X).
On notera que le problème analogue ê$v{X)<^Jp{X) ne se pose pas, puisque
.f{X)czSPCp{X), alors que SPV{X) = WPCP(X) n'est pas contenu dans SPC(X) pour p#=0,1, n-\,n. La réponse au problème £C(X;p) est clairement affirmative si p = 0 ou p = n. Nous allons voir que la réponse est négative en général dès que l^pgn -1. Soit P" = P(C"+1)l'espace projectif complexe de dimension n, z0, Zj, ...,zn les coordonnées homogènes sur (C"+1.
Théorème 1.6. Soif T^cP2 la courbe d'équation z^ + Zj +zd2 = 0. Alors la suite de
(1,1)-courants -[/T] converge faiblement vers un courant extrêmal Teêl{W2) qui a
n'est pas dans «/'(P2).
En particulier, ï'énoncé i?(P2; 1) est faux.
La démonstration s'appuie sur un théorème général de support pour les (p, p)-courants positifs fermés (théorème 2.1), et sera détaillée au §3. Soit T un (p, p)-courant positif fermé dont le support est contenu dans une sous-variété réelle S de classe C1. On suppose que S est fibrée en variétés analytique de dimension complexe p, et totalement réelle dans les directions transverses aux fibres. Alors grossièrement parlant, le courant T est somme de courants d'intégration sur les fibres. Des résultats analogues ont sans doute déjà été discutés dans la littérature, mais pour la commodité du lecteur nous avons préféré donner des démonstrations complètes.
Une fois qu'on dispose d'un contre-exemple dans P2, il suffit d'appliquer formellement le résultat suivant pour obtenir des contre-exemples dans P" et C", lorsque lgpgn-1 (voir §4).
Proposition 1.7. Soit Y une sous-variété analytique fermée de X. On a les implications
19.X(X;p)*>&(Y;p);
20.^(X\Y;p)et^(Y;p)^i?(X;p);
21.&{V;p)=>£e{W;p);
22.if(P" + fc;p-t-/c)=>J^(P";p) pour tout entier fc^l.
Le démonstration des points (1.5), (1.6), (1.7) fait usage d'un théorème de prolongement pour les courants positifs fermés de masse finie, dû à H. Skoda [1]. L'idée de la démonstration de (1.6) m'a été suggérée par M.M. Jean-Baptiste Poly et Gilles Raby. On notera qu'en général ni ip(X), ni JP(X) ne sont faiblement fermés dans SPC(X), comme le montre dans P2 l'exemple de la famille de coniques non dégénérées zzl + z\ + z\=0 qui dégénèrent en une
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réunion de 2 droites pour e, = 0. Le contre-exemple du théorème 1.6 est obtenu précisément en choisissant une suite de ^(IP2) qui converge dans $l(TP2), mais pas dans ./'(IP2). Il semble donc raisonnable de substituer à âf(X;p) l'énoncé affaibli suivant:
(&(X;p)) Sp(X)^JpJx),
où JP{X) est l'adhérence de J"(X) pour la topologie faible de 3>'p p(X). Le théorème de Krein-Milman permet de transformer cet énoncé en une propriété plus parlante (cf. § 5).
Proposition 1.8 i?(X; p)est équivalent à l'énoncé Ê(X;p):
Jfp(X) = SPC(X),
où JP(X) désigne l'enveloppe convexe fermée de ,fp(X) dans Sf'pp(X).
La propriété Ê(X;p) est démontrée par P. Lelong [9] lorsque p = n - \ et lorsque X est une variété de Stein telle que H2(X, R) = 0. Etant donné un courant quelconque TeSPC^1(X), la méthode consiste à approximer le potentiel de T (qui est une fonction plurisousharmonique) par des logarithmes de fonctions holomorphes. On en déduit alors que T est limite faible des diviseurs associés.
Pour des variétés de Stein ou projectives quelconques, l'énoncé i?(X;p) n'est pas adéquat, car il faut tenir compte de certaines obstructions de nature
topologique. Il est facile de voir (prop. 6.3.) que Jp(X)cSPCPl{X\ où SPC^X) est l'ensemble des courants de SPC(X) dont la classe de cohomologie appartient à A2q(X) = adhérence dans H2«(X;R) de (H«''(I)nfl2'(X;Z))®jlR, q = n - p. L'existence de ces obstructions permet de donner de nouveaux contreexemples au problème i£{X\ 1) sur des surfaces algébriques affines, et également au problème <£{X\p\ lorsque X est une variété de Stein ayant une cohomologie entière «pathologique». On est donc amené à faire la conjecture suivante:
{&E(X;p)) J^(X) = SPCpx(X).
L'énoncé ÊZ(X ; p) est vrai en codimension 1 (p = n - 1 ), et s'obtient par des arguments analogues à ceux de [9], à condition de remplacer les fonctions plurisous harmoniques par des métriques hermitiennes de fibres linéaires positifs. Comme l'avait conjecturé P. Lelong [9], on a en fait un résultat un peu plus précis (voir § 7).
Théorème 1.9. Soit X une variété projective ou de Stein, connexe et de dimension n^2. Alors SPC"Z1(X) = J"-X(X).
Lorsque X est une variété projective, l'énoncé J?z(X;p) apparaît comme une formulation explicite forte de la conjecture de Hodge (cf. th. 6.4).
Théorème 1.10. Sur une variété projective X, Thypothèse i£^{X ; p) entraîne la conjecture de Hodge en degré 2q(p + q = dimX), à savoir la propriété J#'(X;q):
Hqq(X)nH2q(X;d})
est engendré par les classes des cycles algébriques de dimension p.
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Signalons que R. Harvey et A.W. Knapp [6] ont également ramené la conjecture de Hodge à un problème de Plateau homologique pour les courants.
2. Un théorème de support pour les courants positifs fermés
Soient X une variété analytique complexe de dimension n, S une sous-variété fermée de classe C1 et de dimension réelle 2p + k, qui est fibrée en variétés analytiques de dimension complexe p. De façon précise, on suppose qu'il existe une variété M, dimKM = /c, et une submersion de classe C1
dont les fibres <r-1(f), teM, sont des sous-variétés analytiques complexes. Si p. est une mesure de Radon sur M, on considère le (p, p)-courant 0= f, la' l(t)~\dfi(t) défini par
<©,«>= f du(t) f a (2.1)
tuM <r_1(t)
pour toute forme ae3>p p(X). Le courant 0 est fermé, à support dans S, et il est fortement =ï 0 si // ^ 0.
Inversement, nous allons voir que (2.1) donne bien tous les (p, p)-courants fermés d'ordre 0 à support dans S, sous des hypothèses assez générales sur S.
Théorème 2.1. On suppose que les fibres a'x(t) sont connexes, et que S est
totalement réelle dans les directions transverses aux fibres, c'est-à-dire qu'en
tout point zeS on a
TzSniTzS = TzFz, (2.2)
où Fz = a~1(o(z)) est la fibre du point z, et TZS, TZFZ les espaces tangents respectifs à S et Fz. Alors pour tout courant fermé 0 de bidimension (p,p) et d'ordre 0 à support dans S, il existe une unique mesure de Radon p sur M telle que
0= \la-Hmdliit). (2.3)
IeM
Si le courant 0 est faiblement S: 0, alors la mesure p. est positive.
Notons d'abord que l'hypothèse (2.2) limite la dimension de S: en effet TZS/TZFZ est un sous-espace totalement réel de TZX/TZFZ, on a donc nécessairement k^n-p, soit dimRS^n+p.
L'hypothèse (2.2) est d'autre part automatiquement vérifiée si fc=l.
Démonstration. Puisque 0 est un courant fermé d'ordre 0 (donc localement plat) à support dans S, il existe un courant 0 d'ordre 0 sur S tel que 0 = i^d, où F-.S-tX est l'inclusion (voir H. Fédérer [3] ou R. Harvey [5], théorème 1.7 (b)).
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Démontrer (2.3) revient donc à construire une mesure n sur M telle que
<6>,a> = J dfi{t) J a (2.4)
pour toute 2p-forme a continue à support compact sur S. On voit qu'il suffit en fait de construire, relativement à un recouvrement ouvert <% de M, des mesures locales fiv définies sur chaque Ue<W et vérifiant (2.4) pour les formes a à support dans o~l(U). La propriété d'unicité montrera que jâv = hv sur U r\V, donc les mesures nv pourront se recoller en une unique mesure \i sur M qui répondra à la question. Soit U un ouvert de carte, muni de coordonnées locales xux2, ...,xk de classe C1.
On désigne par dMv la forme volume dMv = dx1 Adx2... /\dxk sur U.
Lemme 2.2. Sous les hypothèses du théorème 2.1, il existe un courant 6V d'ordre 0 et de degré 0 sur a~ i(U) tel que
0 = 9v-a*(dMv).
Démonstration. Soit zea-1 ([/)<= S. Il existe un voisinage W de z dans X et des coordonnées locales wl, w2,..., w2n de classe C1 sur W telles que
23.Wj = Xj°o sur SnW,lSj^k;
24.SnW={ÇeW;wj(Q = 0 poui k + l£j£2n-2p};
25.les Wj, j>2n - 2p, définissent des coordonnées locales sur les fibres
Fçr\W,ÇeSnW.
Puisque 0 est d'ordre 0 à support dans S, on a sur W les relations
Wj-0 = O, k+l^jè2n-2p,
d'où après differentiation dwj a 0=0. Comme 0 est de bidegré pur, on en déduit dcwJA0=O, avec la notation usuelle dc = i(ô - ô). Calculons en tout point ÇeSoW l'intersection des noyaux des 1-formes dw}, dcWj pour k + lSj^2n-2p:
f]Kevdwjnf]KeïdcWj=T^SniTt.S = T!;F!.
d'après l'hypothèse (2.2). Les formes dw,, l_/_/c, sont nulles sur l'espace T^ tangent aux fibres. Il existe donc des fonctions réelles ajt, a'j, continues sur Wet
telles que dwl = Yi{^jidwJ + ajldcwJ) en tout point de SnW. On a par
j conséquent pour l = 1,2,..., k :
dw, a (9 = £ (flji dWj a 0 + a'j, dcWjA0) = 0. j
Le courant 9 étant de degré k, on peut écrire sur S
'= I SK.wdwi
|JC| = t
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où K décrit l'ensemble des multi-indices de longueur k à valeurs dans {1,2, ...,k} u{2n-2p + 1,..., 2n} et où 0KtW est un courant d'ordre 0 et de degré 0 sur SnW. Les conditions dwl/\0=Q montrent que 6 se réduit à un seul terme:
0 = 0(i.2 k),w^w\ A ?-- Adwk, (2.8)
soit encore 0 = 0{l 2 k)Wo*{dMv) d'après (2.5). Il est clair que les différents courants d(it2,...,k).w se recollent en un courant 9V sur ff_1(l/) qui satisfait aux conclusions du lemma 2.2. ?
Lemme 2.3. Avec les notations précédentes, il existe un courant vv d'ordre 0 et de degré 0 sur U tel que 9v = a*(vv), i.e. 8 = a*(vv-dMu).
Démonstration. En effet d'après (2.8), l'hypothèse que 0 est fermé entraîne
dO
-^ = 0 sur SnW pour 2n- 2p + l ^;' = 2«,
dWj
c'est-à-dire que les dérivées partielles de 0V dans la direction des fibres sont nulles (cf. (2.7)). Comme les fibres sont supposées connexes, le lemme 2.3 s'ensuit aisément. ?
Le lemme 2.3 montre que pour toute forme a continue à support compact dans o~ ' (U) on a les égalités
<0, x}=(vu-dMu,a^x}= j vD-dMu{t) j a;
la relation (2.4) est donc bien démontrée avec la mesure jiv=vv- dMv à la place de \i. Il nous reste à vérifier que nv est 5:0 si le courant 0 est faiblement 2:0. Ceci démontrera simultanément l'unicité des mesures /iv, en prenant 0 = 0.
Lemme 2.4. On suppose que le courant 0 est faiblement 2:0. Alors la mesure représentative \i est 2:0.
Démonstration. Soient x une fonction continue 2:0 à support compact dans M, L une partie compacte de S telle que fj(L)^Suppx, peS)pp(X) une forme fortement 2:0 et >0 sur L, Xi ia fonction continue sur M définie par XiW = x(0[ j P]~l- Appliquons (2.1) à la forme fortement positive x = Xi°o-P', il
vient
O^<0,«>= j x^dnit) J j?= J x(t)dfi(t). D
Nous aurons besoin également du résultat simple et plus ou moins classique suivant: lorsque le support d'un (p,p)-courant localement normal 0 ne contient pas «suffisamment» de directions complexes, alors 6> est nécessairement nul. On rappelle qu'un courant 0 est dit localement normal si 0 et d0 sont d'ordre 0.
Proposition 2.5. Soit 0 un courant localement normal de bidimension {p, p) sur X, à support dans une sous-variété I de classe C1 telle que dim^i^L niTzE)<p en tout point zeZ. Alors 0 = 0.
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La démonstration est analogue à celle du lemme 2.2. Soient wt,w2,..., w2n des coordonnées locales sur un voisinage Ifd'un point zel telles que
ZnW={ÇeW;\Vj(Ç) = 0, l^j^N}.
Puisque les courants 0 et d© sont d'ordre 0, on a w.-@ = w--d@ = 0 sur W, 1 éj S N, donc
dwj A0=d(Wj-0)-Wj-d0= 0.
Le courant 0 étant de bidegré pur, on en déduit dcWjA0 = O, et la condition âim¤(T:!ZniTzE)<p montre que le rang des 1-formes réelles dwt, ...,dwN, dcwl, ...,dcwN est >2n - 2p. Soit (u1, u2, ...,u2n) un repère local de 1-formes réelles continues au voisinage de z, tel que ui, u2,..., u2n_2 t soient extraites
de la famille dwj, dcWj, lgjrgiV. On peut écrire 0 = Y.®kuk avec uk
k = «t a... a m, , et u, a 0=0, l<l<2n - 2p + l, d'où l'on conclut que les coefficients 0K sont nuls. Q
3. Exemple de courant extrêmal sur P2 qui n'est pas un cycle analytique
On munit IP2 de la métrique de Fubini-Study m définie par
Jt*(o=^-ddlog(\z0\2 + \z1\2 + \z2\2) In
où 7i: (C3\ {0}->P2, 7r(z0,z,,z2) = [z0,z1,z2] est la projection canonique. Le
i coefficient -- est choisi de manière que la classe de cohomologie de ½
2n
coïncide avec le générateur positif de 7f2(P2,Z). Comme la courbe rd:zd0-^-z\ + z^ = 0 est de degré d, la masse totale du courant d'intégration [FJ est donnée par
J|Td]Aa>=Jû, = d. (3.1)
F2 rd
La première étape en vue de montrer la convergence faible de la suite -,-[rd] est
de préciser le support des éventuels courants limites. L'ensemble des (1,1)-courants ^0 de masse 1 sur P2 est compact pour la topologie faible de Si^P2); il suffira donc de montrer que tous les courants Tqui sont valeurs
d'adhérence de la suite -jrd~] sont égaux.
Lemme 3.1. Soif TeSPC^P2) une valeur d'adhérence faible de la suite -.[/^].
Alors j. T a a) = 1 et le support de T est contenu dans l'ensemble S des points
v2 [z0, zu z2]eP2 tels qu'il existe une permutation (J, k, l) de (0,1,2) telle que
\Zj]û\zk\ = \zt\. (3.2)
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Démonstration. Soit £ = [_zQ,z1,z2]£S. Après permutation éventuelle des coordonnées, on peut supposer |z0|^|zj|<|z2|. Choisissons s>0 tel que |z,|<(l - e)\z2\ et soit Kle voisinage de £ défini par
K={^ = [w0,w1,w2];sup(|w0|,|w1|)<(l-£)|w2|}.
Si neVnrâ, il vient |w2|dg|w0|'i + |w1|',<2(l -e)d|w2|d, ce qui est impossible pour d assez grand. Par conséquent V ne rencontre qu'un nombre fini de courbes Fd et le point £ ne peut appartenir au support de T. Q
Les informations contenues dans le lemme 3.1 suffisent pour déterminer T. Le théorème 2.1 et la proposition 2.5 permettent en fait de décrire complètement la structure des (1, l)-courants fermés d'ordre 0 dont le support est contenu dans S. Pour chaque indice j = 0,1,2 et k, l tels que k<l et {j, k, 1} = {0,1. 2}, on considère les ensembles suivants:
26.Uj={[z0,zi,z2-];\zj\<sup(\zk\,\zl\)} ouvert dans IP2;
27.Aj(t) = {[z0,zl,z2-]eUj;z, = zke2«i<}, teR/Z.
Alors l'ensemble S est la réunion disjointe
S = S0,oSl uS2uI avec
S^SnfJ^rz^z^zJilz.K^HzJ},
£ = {|>mzi,22];lzol = lztl = lz2l}-
L'ensemble Sj est fibre par les variétés Aj(t), feR/Z, qui sont en fait des disques complexes. On est donc dans la situation décrite par le théorème 2.1 avec dimR S ? = 3, p = 1, k = 1, ce qui donne le.
Lemme 3.2. Soit 0e3>[ t(IP2) un courant fermé de hidimension (1,1) et d'ordre 0 à support dans S. Alors il existe une mesure /.(- sur IR/2 telle que
01,/,= 1 \_àj(ty]dvj(t),
fdR/Z
où 0\v est la restriction de 0 à rouvert Uj. D
Soit 0j= f \_Aj{t)~\dnj(t) le courant d'ordre 0 et de bidimension (1,1) sur
IP2 défini par
<6>;,a>= j dnj(t) J y.. (3.5)
ieR/z 4,(0
pour oiE§ia(P2). Le courant 0j est à support dans S-, mais n'a aucune raison d'être fermé. Il est clair que SjnUk = $ pour j + k, donc 0,114 = 0 et 0 = 0o + 0l
+ 02 sur U0ut/1u[/2 = IP2\2".
On va voir que cette égalité se prolonge à IP2. Lemme 3.3. On a 0 = 0O + 0, + 02 sur P2.
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Démonstration. On vérifiera par un calcul explicite de d&j que le courant 0j est localement normal (cf. lemme 3.4). Comme Z est une sous-variété totalement réelle de IP2 et que 0-(0o + 01 + 02) est un courant localement normal de bidimension (1,1) à support dans I, la proposition 2.5 montre que 0-{0o + 0l + 02) = O. ?
Il nous reste à calculer le bord d0y On sait que 0- est fermé sur Uj, donc le support de d&j est contenu dans SjvS- = Z. On va travailler en coordonnées
z z
non homogènes £j=-, Ç2= - dans l'ouvert C2 = {z0=}=0} c=P2. Dans ces
zo 2o
coordonnées, l'ensemble I est le tore d'équations Ç,l=e2'"u, Ç,2 = e2K"2 où (f1; t2)e(R/Z)2. Les disques zl^(t), j = 0,1,2, teR/Z, sont définis de la manière suivante :
C2 = Cie2m(, |dl>l (et un point à l'infini)
A^ty.C^e2'", |Çt|<l
. /J2(0:C,=c2"tt, IC2I<1.
Lemme 3.4. Soit /} wne 1 -forme de classe C00 sur IP2 et
(tl5 t2)e(R/2£)2, sa restriction à I. Alors les courants d&j sont donnés par (d0o, p>=iï\_pl{tl, tx + t) + fi2(tl,tl +1)] dtv dn0(t),
<de1j> = -ïïpl{t1,t)dt1dn1{t\
<d&i, P> = -ÏÏP2(t,t2)dt2dix2{t).
En particulier 0. est normal sur IP2 (i.e. 0j et d0- sont d'ordre 0). Le courant 0 = 0o + 01 + 02 est fermé si et seulement si il existe une constante Xe<C telle que dn0 = dfil -dfx2 = Xdt.
Démonstration. Par définition du bord d'un courant, on a <d@-, /?> = -<6>J.,rfjS>, donc d'après (3.5)
<d0,.,/?>= - j d^t) j dfi=-\ d»j(t) 1 fi
R/Z 4j(!i R/Z ôAjit)
où le bord dzl^t) est orienté par la normale extérieure. D'après (3.6), dAj{t) est défini et orienté comme suit:
(,y = elKit\{,2 = e2mi + t\ orienté par -dt, C1=e2'Iitl,C2 = e2'ti', orienté par d^ Ç ! = e2?, C2 = e2Kit2, orienté par dt2.
Les formules du lemme 3.4 en résultent immédiatement.
Si dfÀ0 - dfi1=dn2 = Xdt, il est alors trivial de vérifier que d<9 = 0. Inversement supposons d0=O et choisissons /? telle que P2 = 0, Pi{tl,t2)
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= u(ti)v(t1), avec u,ve<#°°(lBL/Z). Il vient
<d&,p> = $u(t1)dt1$[v(t1 + t)dii0(t)-v(t)dn1(t)]=0, ce qui équivaut, pour tout t;e<î?0C(R/Z) et tout ^elR/Z, à
\v(tl + t)dfi0(t) = $v(t)dn1(t). Choisissons en particulier v(t) = e2nm', neZ; on obtient
j'rf/i0(r) = j'rf/z1(f) = constante Àe<£ \e2nintdn0{t) = \e2ninl'd/i1(t) = 0 pour n + 0.
On a donc dp.0 = d/2l=Xdt. L'égalité dp.0=dp.2 se démontre de même en prenant
0,=O, j!2(f1,t2) = «(t1)»(t2). D
La conjonction des lemmes 3.2, 3.3 et 3.4 entraîne finalement le résultat suivant.
Théorème 3.5. Soit Tle courant ^0 fermé défini par
<T,a}= £ j dt J a
j=0, 1,2 rdR/Z zljd)
pour ae^ljl(IP2). .4/ors tout courant fermé 0 de bidimension (1,1) et d'ordre 0 à support dans S est de la forme
& = ÀT, ÂeC.
En particulier Test extrêmal dans SPCi(lP2) = WPCi(lP2).
Le lemme 3.1 et les remarques qui précèdent montrent alors que la suite
-[7^] converge vers Xx T, où li est l'unique réel >0 tel que la masse du
courant A1Tsoit égale à 1. Ceci démontre le théorème 1.6. Un calcul facile
permet de vérifier que la masse j T aco est précisément égale à 1, donc que
A, = l. p2
4. Contre-exemples dans P" et (C"
Nous allons montrer que le problème Jj?(X;p) a en général une réponse négative.
Théorème 4.1. Les assertions if (P"; p) et if (<C; p) sont fausses pour 0<p<n.
Le théorème 4.1 résulte du théorème 1.6 et des implications (1.6), (1.7). Il suffit donc de prouver la proposition 1.7.
Démonstration de (1.4). Soit 7 une sous-variété analytique fermée de X,j: Y-+X l'inclusion et Te<fp(Y).
358
J.-P. Demailly
Le morphisme image directe j^ induit un isomorphisme de SPC (Y) sur les courants de SPC{X) à support dans Y, donc jstTeSp{X). L'hypothèse £^(X;p) entraîne alors j+T=[_Z~\ où âSïO et où ZcX est un ensemble analytique de dimension p. Z étant nécessairement contenu dans Y si A4=0, on a T = A[Z] sur y L'énoncé if (Y; p) est donc bien vrai. ?
Démonstration de (1.5). Si Te(fp(X), on peut écrire T=lXvy-T+ly-T, ix^Y et ly étant les fonction caractéristiques de X\ Y et de Y. D'après H. Skoda [11] les courants lXxyT et ly-T sont fermés. Puisque T est extrêmal, on a nécessairement lXvYT = 0ou ly T = 0.
Si lXxy T = 0, Test à support dans Y, et l'hypothèse i?(y;p) permet de conclure. Supposons donc lyT = 0, et montrons alors que la restriction T\x^Yeé?"(X^Y).
En effet si T|x^y=ri + T2 avec M, T2eSPC"(X^. Y), alors M et T2 sont localement de masse finie au voisinage de Y; soient M, t2 les extensions simples de M et T2 à X, obtenues en prolongeant ces courants par 0 sur Y. D'après [11] T\ et T2 sont des courants fermés sur X, de sorte que T= lXxy ? T = T1 + T2. Par suite T,^,^ sont proportionnels, et il en est de même pour
?" IX^Y> M' ^2-
L'hypothèse J^(X\F;p) appliquée à T|Xxy permet donc d'écrire T|Axl, = A[Z] où Z est un ensemble analytique de dimension p dans X\ Y. En raisonnant comme plus haut, on voit que l'extension simple [Z] de [Z] à X est fermée, et d'après [11] on a [Z] =[Z], où l'adhérence Z de Z dans X est un ensemble analytique. Par suite T = A[Z] sur X. ?
Démonstration de (1.6). On raisonne par récurrence sur n, l'implication étant triviale pour n=\. D'après (1.4) et l'hypothèse de récurrence on a les implications
^(<T";p)=>^'(C"-1;p)^if(P"-1;p).
La propriété S£(IP"; p) est alors conséquence de (1.5), avec X = W, Y = JPn~\ X\y = <C". n
Démonstration de (1.7). Il n'est pas restrictif de supposer p^l, /c^l. Soit
o:JPn + k^JPk-i^TP"
l'application définie en coordonnées homogènes par
C = [z0,z,,...,z"+J, <t(0 = [z0,z,,...,z"], avec
IPk-1={CeP" + k;z0 = ...=z" = 0}.
L'application a est submersive, donc on a un morphisme image réciproque
a*: SPCp(JPn)^SPCp+k(JPn+k^ïï>k-r).
On va encore utiliser le théorème de prolongement de H. Skoda [11] pour envoyer SPCp(iP") dans SPCp+k(JPn+k). Nous aurons besoin pour cela du résultat élémentaire suivant.
Courants positifs extrêmaux et conjecture de Hodge
359
Lemme 4.2. Soit con la métrique kàhlérienne sur P" induite par la forme
±dd\og(\zQ\2 + \zi\2 + ...+\zf) In
sur C"+1. Alors l'image directe a*(coPXk) calculée par intégration sur les fibres de a existe, et on a
ff, «:*)=<
Démonstration. On se place dans l'ouvert <C" + kcz]P"+k défini par z0 = l. Dans C"+fc les coefficients de con+(l sont 0((1+|z|2) ') avec \z\2 = \z1\2 + ...+\zn+k\2, d'où mpnXkk = 0{(\ +\z\2y-k).
L'intégrale de cop+£ sur les fibres de a, i.e. par rapport aux coordonnées z14l,...,z1+ll, est donc convergente.
On sait que a>n + k est invariante sous l'action du groupe unitaire U(n + k + l) opérant sur P" + fe. En considérant l'action du sous-groupe U(n+l) sur les coordonnées (z0,...,z"), on voit que la forme (T^co^J est invariante par U{n+\). Il existe donc une constante c>0 telle que o^ca^l = c½p. Une remarque simple montrera ultérieurement que c = \. D
Pour tout courant TeSPCp(P"), la formule o^o)p+kk = ca}p donne
r*'\ip*-i iP"
= cJTa<; (4.1)
la première égalité se justifie en tronquant la forme wPX\ pour la rendre à support compact dans p"+k\ip''"1, et en passant à la limite. Le courant a*T est donc de masse finie au voisinage de P'-1 et d'après [11] er*Tse prolonge en un courant <ï*Tsur W+k. On a donc bien défini un morphisme
ë*:SPCp{Wn)^SPCp + k(W + k).
L'égalité (4.1) donne alors
j 0*TA<=cfrA<
p»+u p"
Si l'on choisit en particulier T=[PP], on voit que rJ*T=[Pp+'t] et que les deux intégrales précédentes sont égales à 1. On a donc bien c=\.
Lemme 4.3. Limage de à* est l'ensemble des courants 0eSPCp+k(JPn + k) tels que 0 a a*mp+ ' =0 sur ÎP+MP1- '.
Démonstration. Si 0=d*T, alors a*T A(j*cjp+1 =g*{T acop + 1) = 0. Inversement soit 0eSPCp+k(Wn + k) tel que 0 act*(dp+1=0 sur F+MP*-'. On peut toujours choisir les coordonnées zQ,z{, ...,z" de sorte que l'hyperplan {zo=0}czP" + 'i soit de masse nulle pour 0 (c'est possible car P6-1 est de masse nulle).
On peut alors travailler dans les coordonnées (z,, ...,zn + k) avec z0=l. L'application a s'identifie à la projection <T"+k-><E", et la condition
360
J.-P. Demailly
0 ao*cûp+1 =0 entraîne que
0\¤" + kAdzIAdz] = O (4.2)
pour tout multi-indice Jc{l,2, ...,n} de longueur \I\=p+ï (en effet 0\¤"+k^O et co"| >0). Nous allons voir, grâce au raisonnement du théorème 2.1 et à la positivité de 0, que 0 ne dépend que des variables z1,z2, ...,zn. Ecrivons
0|c" + k = i<"-"»2 X 0JfKdZjAdzK,
\J\=\K\=n-p
avec J, Ka {1,2,..., n + k} et (9, K de degré 0. Si J n'est pas contenu dans {1,2, ...,n} la propriété (4.2) entraîne 6>yj = 0. Si l'un des multi-indices J, K (disons J) n'est pas contenu dans {1,2, ...,n}, la positivité forte de 0 donne la majoration suivante pour les mesures coefficients:
pour tout £>0, et on obtient encore 0JK = O. Comme de plus 0 est fermé, il
Ô0, K d0, K vient --- = ' =0 pour J, Kc{l 2,..., ri) et />«. Il existe donc un cou-
dzj dZj
rant TeSPCp((C") tel que 6>|c"+k = (<r|c" + t)*7: L'égalité JTa<= J 0Aa.;++J< + »
(pi C" +k
analogue à (4.1), entraîne que l'extension simple Tde T à P" est fermée. Par suite 0 = â*T. ?
Fin Je /a démonstration de (1.7). Il est immédiat de vérifier à l'aide du lemme 4.3 que le morphisme injectif à* envoie <fp(Pn) dans S'p+k{TPn + k). Soit Te<?p(P"); l'hypothèse J£(]Pn + k;p + k) montre l'existence d'un ensemble analytique Z de dimension p + k dans ff>" + '£ tel que
CT*T = /l[Z], leR
+ -
Lorsque A 4=0, cette dernière égalité implique que Zn(P" + ,I\IP'' ') est réunion de fibres de a. On en déduit qu'il existe un ensemble analytique Y de dimension p dans P" tel que Z = a'1 (Y). Par suite [Z] = à*[7] et T = X[7]. ?
Bien entendu, ces démonstrations «abstraites» permettent aussi de donner des contre-exemples explicites aux problèmes JS?(P";p) et £f(<E";p). Nous laissons au lecteur le soin de le faire.
5. Équivalence entre les énoncés if (X; p) et £f(X; p)
Nous allons maintenant démontrer l'équivalence des deux énoncés
(&{X;p)) êp{X)^Jp{X) (£(X;p)) SPC(X) = JP{X)
Courants positifs extrêmaux et conjecture de Hodge
361
où ,f(X) et J"(x) sont respectivement l'adhérence faible et l'enveloppe convexe fermée de .Jp{X) = {à\_Z^; à§:0} dans 3>'pp(X) (Z parcourant tous les ensembles analytiques irréductibles de dimension p de X). Cette équivalence logique est en fait une conséquence de résultats généraux d'analyse fonctionnelle, tels que le théorème de Krein-Milman (cf. N. Bourbaki [1], chap. II, §4, th. 1) et le théorème de Choquet (cf. Phelps [10]).
Lemme 5.1 (th. de Krein-Milman). Soit K une partie convexe compacte d'un espace vectoriel topologique localement convexe séparé E. On désigne par ${K) l'ensemble des points extrêmaux de K ( = ensemble des points xeK tels que K ne contienne aucun intervalle ouvert de centre x). Alors
K = S (K) = enveloppe convexe fermée de S{K).
L'implication J£ (X ; p) => £f {X ; p) résulte de la proposition 1.4, qui est elle-même une conséquence simple du lemme 5.1.
Proposition 1.4. SPCp{X) = fp(X), WPCp{X) = é'pr(X).
Démonstration. Les deux égalités se démontrent exactement de la même manière, donc nous étudierons seulement la première. Par définition de ^{X),
on a £"(X)cSPCp(X), donc SP{X)^SPCP{X).
Inversement, soit TeSPC(X) et soit y une (p,p)-forme faiblement >0 sur
X telle que
JTAygl. x
On peut toujours construire une telle forme y à l'aide d'une partition de l'unité sur X, la seule condition étant que les coefficients de y tendent assez rapidement vers 0 à l'infini.
Soit alors Ly l'ensemble des courants 0eSPCp(X) tels que J 6> a y g 1. On
a: vérifie aisément que L est une partie convexe faiblement compacte de 2}'pp{X) et que l'ensemble «f (L ) des points extrêmaux de L est la réunion de {0} et des courants 0eSp(X) tels que ]&Ay=\.
X
D'après le théorème de Krein-Milman on a donc
TeLy^S{L)^SpiX). D
Pour achever la preuve de la proposition 1.8, il suffit maintenant d'établir l'implication réciproque:
Proposition 5.2. <ê(X; p)=>&{X;p).
Démonstration. Observons tout d'abord que la topologie faible est metrisable sur SPC(X) (bien qu'elle ne le soit pas sur £)'pp(X)); elle peut être définie par les semi-normes
6M<®,OI + l<0,/?v>l
si les suites <xv, PveS> (X) ont les propriétés suivantes: (5.1) ocv est faiblement ^0;
362
J.-P. Demailly
28.pour tout point zeX, il existe v tel que av>0 au voisinage de z;
29.la suite p\. est (fortement) dense dans 3 (X).
Soit alors TeSPCp(X). L'hypothèse £ê{X;p) et le fait que la topologie de SPC(X) soit métrisable montrent que
T= lim Tv
V-+ + QC'
où Tv est combinaison linéaire convexe de courants d'intégration:
Tv = I W;»], v=l,2,...,iia0. (5.4)
Comme la suite Tv est faiblement convergente, on peut toujours choisir une (p, p)-forme y faiblement >0 sur X telle que TeLy, TveL pour tout v, L désignant comme ci-dessus la partie convexe faiblement compacte
Ly={0eSPCp(X); $0Ayg,l}.
x
Le reste du raisonnement reproduit essentiellement la démonstration du théorème de Choquet. Soit M la partie compacte M = Lyn,f{X). D'après (5.4) il existe une mesure pv de masse 1 sur M telle que
Tv= J 8dnvm
6e N
il suffit en effet de prendre pour piv un barycentre à coefficients 2:0 des mesures
de Dirac aux points 0 et /.'jv[Zjv] de M, avec l'Jv J [ZJV] a y = 1. Il est classique
x que l'ensemble des mesures de probabilité sur un espace compact métrisable est une partie vaguement compacte métrisable de l'espace des mesures de Radon. On peut donc extraire de la suite nv une sous-suite qui converge vaguement vers une mesure de probabilité ju sur M. Par définition de la topologie de M, l'application 0-K0, a>, «e@p p(X) est continue sur M. On a donc
<7»= j <0,a>dAiv(0) <7»= lim <Tv,a>= j {0,a}d^i(6),
v- + co lie N
ce que nous écrirons T= J 8dfi(6). Si le courant T initialement choisi est
6e N
extremal, le lemme 5.3 ci-dessous montre que le support de la mesure p. est contenu dans une «génératrice» {l@;0|i^ljcM. On a donc
T=[_\Xdp{k0)-]-&eMcJv{X). ?
Lemme 5.3. Soit M une partie faiblement compacte de SPC(X), p une mesure 2:0 sur M et Tle courant
T= j Qdn(6).
6e N
Courants positifs extrêmaux et conjecture de Hodge
363
Si le courant T est extrêmal, le support de fi est contenu dans un segment {A0;Ogl^l} où 0eM.
La démonstration est pratiquement évidente: si le support de p. contient deux courants 6l,02 non proportionnels, on peut écrire r=T, + T2 + T3 où Tj, T2 sont obtenus par intégration de Odfi(O) sur des petits voisinages disjoints de 6l,02.Tl et T2 sont alors non proportionnels (car cette condition est ouverte pour la topologie faible), donc T n'est pas extrêmal. ?
6. Lien avec la conjecture de Hodge et obstructions topologiques
Soit X une variété analytique complexe de dimension n. Nous serons amenés à considérer certains groupes de cohomologie de X, définis comme suit.
Notations 6.1
30.Hk(X; (C) = k-ème groupe de cohomologie de de Rham de X;
31.Hk(X; 2F) = cohomologie de Cech à valeurs dans un faisceau J^ de groupes abéliens;
32.Hk(X; Z) = image du morphisme naturel
Hk(X,Z)^Hk(X,~SL)~Hk(X,WL);
(6.4) HP,9{X) = ensemble des classes de cohomologie de Hp + q(X;<C) contenant
une (p, q)-forme fermée.
Soit^(X)= 0 9'pJX)etVÏ(X)= ® «£,(X).
p-hq= k p + q= k
Le théorème de de Rham donne des isomorphismes
Hk(X; <C)~H'<(«7 (X)) = Hk{X; C), Hk(X;£)~H2"-k(ï/:(X))
entre la cohomologie de Cech et la cohomologie des complexes %X(X),3!(X). Ces isomorphismes sont en fait des isomorphismes topologiques lorsque Hk(X; C), ^(X), Hk(X; C) sont munis de leurs topologies naturelles d'espaces de Fréchet et &'.{X) de la topologie faible. On a donc un morphisme continu
3>'k{X)^Kcïd-+H2"-k(X; C)
0^c!(6>) (6.5)
qui à un courant fermé 0e3>'k{X) de degré 2n - k associe sa classe de cohomologie de de Rham. Si 0e9'pp{X\ d0=O, on a donc cl(0)eH2q{X; C) avec q = n - p. Dans le cas où X est une variété algébrique projective, la théorie de Hodge donne la décomposition:
Hk{X;<£)= © Ha-b(X).
a + b=k
On vérifie alors par dualité que c\{0)eHq-q(X).
364
J.-P. Deraailly
Définition 6.2. Si X est une variété projective, on désignera par A2q(X)^Hq-q(X) le WL-module engendré par H"-q(X; Z) = H«(X)nH2«(I; TL\ Si X est une variété de Stein on définit Ak(X) comme l'adhérence de Hk(X; Z)®Z1R dans ^(Xi'R). Dans les deux cas, on désigne par SPC%(X) l'ensemble des courants 0eSPC{X) de bidegré {q,q), q = n - p, dont la classe cl(6>) est dans A2q(X).
Pour tout ensemble analytique ZcX de dimension pure p, on sait que le courant d'intégration [Z] définit une classe de cohomologie entière cl[Z]eH2"(X;Z). On a par conséquent JP(X)<=SPC£{X), et la continuité du morphisme ©y->cl(<9) implique:
Proposition 6.3. J^X)^SPC^X).
Il semble donc naturel de faire la conjecture suivante:
(S?z{X;p)) J^X) = SPC^X).
Cette conjecture sera démontrée en codimension 1 (p = n-\) au paragraphe 7. Dans le cas où X est une variété projective, J^x(X;p) apparaît comme une formulation forte de la conjecture de Hodge.
Théorème 6.4. Soit X une variété projective. Alors
(6.6) A2q ( X) = cl (SP Cl (X) - SP C|(X)).
33.Llhypothèse =Sfz(Z;p) entraîne la propriété J^f(X;q), à savoir que Hq'q{X)nH2q(X;<Q) est engendré par les cycles algébriques de dimension p = n - q.
34.Lhypothèse £C(X;p) implique la condition cohomologique
rgzH"-q(X; Z) = dim¤H"-q(X).
Preuve de (6.6). Soit m une métrique de Hodge sur X (i.e. une métrique kâhlérienne dont la classe de cohomologie est entière) et n une classe dans
A2q(X)czmq(X)o,H2q{X\WC).
D'après la théorie de Hodge, n peut être représentée par une (q, g)-forme harmonique réelle h. Pour N entier >0 assez grand, la forme h + N½q est dans SPCg(X), de même que N½". Par suite ri -cl (h) est la différence de deux classes associées à des éléments de SPC^X).
Preuve de (6.7). L'hypothèse SPC£(X) = JP(X) combinée à (6.6) implique que
A2q(X) est engendré par c\(J"(X)). Puisque le morphisme cl est continu et que A2q(X) est un espace vectoriel de dimension finie, on voit que A2q(X) est le R-module engendré par les classes des cycles algébriques.
Par conséquent Hq'q(X)nH2q(X;(Q) est l'ensemble des combinaisons linéaires rationnelles des classes cl[Y], yd, codim Y = q.
Preuve de (6.8). Un raisonnement analogue à (6.6) montre que Hq,q(X) est le démodule engendré par cl(SPC{X)), soit encore par cl(Jp(X)) sous l'hypothèse
Courants positifs extrêmaux et conjecture de Hodge
365
£(X;V). Les entiers dimlcHq'q(X) et rgzHq-q(X; Z) = dimw,A2q(X) sont alors tous deux égaux au nombre maximum de cycles algébriques de codimension q dont les classes de cohomologie sont linéairement indépendantes. ?
La conjecture ,f{X) = SPCx{X) nous parait en fait beaucoup plus forte que la conjecture de Hodge. En effet, cette dernière donne seulement une représentation des classes de cohomologie par des cycles algébriques, tandis
que l'assertion J"(X) = SPCI{X) affirme grosso modo que n'importe quel courant de SPCZ(X) est égal (et pas seulement cohomologue) à une somme intégrale de cycles analytiques. R. Harvey et A.W. Knapp [6] ont énoncé des conjectures qui semblent logiquement plus proches de la conjecture de Hodge, et qui ramènent celle-ci à un problème de Plateau homologique pour les courants.
Soit maintenant X une surface algébrique projective telle que rgzH1A{X; Z)<dim¤Hul(X). M. Jean-Louis Verdier m'a communiqué un exemple simple de telles surfaces. On choisit X = rixF2 où ^,7^ sont des courbes de genres gl5g2- La formule de Kunneth donne dimcH1'1(Z) = 2 + 2glg2, tandis que le «nombre de Picard» p = rgzHl,l(X;Z) vérifie l'encadrement
2^pS2+r
où r = rgzHom(J1, J2) est le rang du groupe des homomorphismes de la jacobienne de /] dans la jacobienne de r2. Si l'on choisit en particulier des courbes elliptiques ri-<C/Pl, r2 = <C/P2 non isogènes (c'est-à-dire ayant des groupes de périodes PX,P2 tels que {/.e<C;ÂPlczP2} = {0}), il vient J1~T1, J2^T2, r = 0, p = 2,dimcflrl -'(*) = 4.
Le théorème 6.4 (6.8) montre alors que l'énoncé ££{X; 1) (et à fortiori Sf(X; 1)) est faux, ce qui donne de nouveaux contre-exemples au problème de Lelong-Harvey.
Corollaire 6.5. Soit X une surface algébrique projective telle que
rgzHlA(X;Z)<dimcHlA(X)
et Y une section hyperplane de X. Alors la propriété Jzf(X\ Y; 1) tombe en défaut sur la surface algébrique affine X^Y.
Le corollaire 6.5 résulte de la proposition 1.7 (1.5), car l'énoncé £C(Y; 1) où dim y=l est trivialement vrai.
Nous allons maintenant étudier les obstructions topologiques au problème Sê(X;p) lorsque X est une variété de Stein. La condition A2q{X) = H2q(X; R) est réalisée dès que X a une «bonne» topologie, par exemple si X a même type d'homotopie qu'un complexe cellulaire fini, et en particulier si X<=(C" est un ouvert de Stein borné à frontière de classe C\ ou une variété algébrique affine. On a d'autre part le résultat suivant.
Proposition 6.6. Soit X une variété de Stein de dimension n. Alors on a Ak(X) = Hk(X; R) dès que le groupe Hk+ {(X\ Z) est séparé, en particulier si n^k^2n.
366
J.-P. Demailly
Démonstration. A la suite exacte de faisceaux constants 0->Z->R->R/Z->0 correspond une suite exacte de cohomologie
Hk{X;Z)-UHk(X;ÏÏL)-^Hk{X;'R/l.)-^Hk+1(X;Z).
On munit les espaces de cochaînes de la topologie produit déduite des topolo-gies usuelles de Z, R, R/Z. Hk(X;WL) devient alors un espace de Fréchet et Hk(X;l&/"E) un groupe topologique compact métrisable. De plus les flèches j, n, S sont continues. L'hypothèse que Hk+1(X;W.) est séparé entraîne que Ker(5 est fermé, par conséquent l'application n: Hfc(X;R)->Ker(5 est ouverte d'après le théorème de Baire. Soit cp une forme linéaire continue sur Hk(X; R), s'annulant sur j(Hk(X; Z)). D'après ce qui précède, cp se factorise en un homo-morphisme q> continu à valeurs réelles sur le groupe compact Ker<5. Par suite <p = 0 et (p = <p°n = 0. Le théorème de Hahn-Banach implique que j{Hk(X;Z))®]R. est dense dans Hk(X;WL), d'où Ak(X) = Hk(X;WL). Cette situation a lieu en particulier si fc^n, puisque Hk+ l(X; Z) = Hk+ '(X;R) = 0 d'après la théorie de Morse. ?
La géométrie d'une variété de Stein peut néanmoins être très pathologique. Ainsi, on va construire une variété de Stein Q de dimension 3 telle que H^Rl^R etH1(i2;Z) = 0.
On considère l'espace topologique K = (R+xR)/~ où ~ est la relation d'équivalence définie par (xi,yl)~(x2,y2) s'il existe un entier m^O tel que x1 = x2=m et J'i-y2e2~mZ. On peut concevoir K comme un cylindre qui s'enroule 2 fois sur lui-même chaque fois qu'on se déplace de +1 le long d'une génératrice. On considère la filtration K=\jKm avec Xm = [0, m] xR/~,
KmCX. Il est facile de voir que Km se rétracte sur le cercle {m} xR/~ ={m} x(R/2~mZ), et que l'inclusion KmcKm+i est de degré 2. Comme R est un corps et R/Z un groupe compact, la cohomologie de K à valeurs dans R et R/Z s'identifie à la limite projective limiï'(Km). Ceci peut se vérifier «à la
main» en considérant les cochaînes de Cech sur un recouvrement acyclique de K. On en déduit un diagramme commutatif
Hl(K;WL) >HL(K;R/Z)
R > HmR/2mZ
où les flèches verticales sont des isomorphismes. De plus Hk(K;Ht) = Hk(K; R/Z) = 0 pour fc^2. On a donc la suite exacte de cohomologie
0-+Ël(K; ZHR-^HmR/2mZ-»H2(K; Z)^0
et le morphisme R->limR/2mZ est injectif. Par conséquent
Hk(K;I.) = 0 pour/c=l et/c^3, H2(JC;Z)~(limR/2mZ)/R~Z2/Z
Courants positifs extrêmaux et conjecture de Hodge
367
où Z2 = limZ/2mZ est le groupe additif des entiers diadiques (dans cet exemple /?2(K;Z) a la topologie grossière). Il est aisé de vérifier que K est isomorphe à un polyèdre localement fini de dimension 2. En «épaississant» les faces de K, on construit une variété analytique réelle M de dimension 3 qui se rétracte par déformation sur K. D'après un théorème de H. Grauert [4], il existe une variété de Stein Q, dimc£2 = 3, et un plongement R-analytique M->fl, Q étant un voisinage tubulaire de M. Q a donc bien la topologie souhaitée. Pour obtenir le même phénomène en degré k^2, il suffit de poser Xk + 2 = Q x Zk_, où Zkl est une variété de Stein ayant même type d'homoto-pie que la sphère Sk~l, par exemple
Zk_, = {ze<Ck;z] + ...+zi = \}.
On a alors dimt:Xk+2 = k + 2, et la formule de Kùnneth donne
Hk(Xk + 2;W)=,lR, Hk(Xk + 2;Z) = 0 si fc + 2, H2(X4;Z)~H2(G;Z)®H°(2;1;Z) = Z2/Z.
Posons X3 = Q. On obtient dans tous les cas:
Hk{Xk + 2;ÎR) = 'R, Hk(Xk + 2;Z) = 0 pourfc^l.
Si X est une variété de Stein, on sait que toute classe neH2q(X; R) peut être représentée par une (q,q)-£orme réelle fermée h; h étant donnée, il existe une fonction plurisousharmonique q>e(¤x(X) telle que h+(ddc(p)qeSPC(X), p + q = dimX. Par suite:
Lemme6.7. Si X est de Stein, l'application cl: SPC(X)-+H2q(X;lR.) est surjective.
Appliquons le lemme 6.7 et la proposition 6.3 avec X = X2k, p = k+\, q = k-\. On obtient alors des contre-exemples au problème J/'(X;p).
Corollaire 6.8. Jk+1(X2k)^SPCkz+1{X2k) + SPCk+l(X2k} sur les variétés de Stein X2k,k^2.
X3 = Q se plonge dans (C7 d'après un théorème classique de R. Narasimhan. La variété X2k = QxZ2k__3 admet donc un plongement dans C7 xC2i_2 = C2,+ 5. La proposition 1.7 (1.4) nous permet par conséquent de retrouver que l'énoncé if((C2't + 5; fe+1) est faux si k^.2.
7. Approximation d'un courant de bidegré (1,1) par des diviseurs irréductibles
L'objet de ce paragraphe est de démontrer la conjecture J?z(X;p) en codimen-sion 1.
Théorème 7.1. Soit X une variété de Stein ou une variété projective connexe, de dimension »^2. Alors SPC^'(X) = J"~l(X).
368
.T.-P. Demailly
On observera que dans ce théorème il n'est pas nécessaire de prendre l'enveloppe convexe de J"'Ï{X), l'ensemble d'éléments extrêmaux J"~l(X) étant déjà dense dans SPC^~l(X).
La démonstration repose sur une série de lemmes.
Lemme 7.2. Tout courant TeSPC^~l(X) est limite faible d'une suite TveSPCn-1(X) telle que
35.c\{TJeH2(X; Z)®Q si X est de Stein;
36.cl(Tv)e/f''1(X)nH2(X;(Q) si X est projective;
37.Tv>0, i.e. il existe une (1, l)-forme }'v>0 telle que Tv^yv.
Démonstration. Soit 9 une (1, l)-forme fermée de classe C°° telle que cl(0) = cl(T). On a donc T=9+T0 avec cl(T0) = 0, et d(9)eA2{X) par hypothèse.
Preuve de (7.1). ff2(X;Z)®Q est dense dans l'espace H2(X; Z)®R, dont l'adhérence est A2(X) (cf. définition 6.2).
Il existe donc une suite cveH2(X; Z)®Q telle que
c\(9)= lira cv.
V-> + OC
Soit 9V une 2-forme réelle fermée représentant la classe cv.
Par définition de la topologie de H2(X;ÏÏL), on peut choisir des représentants tels que la suite 9V converge vers 9 dans <^,J>(X;R). La composante de bidegré (0,2) de 9V est rl-fermée et tend vers 0. Le théorème de l'application ouverte de Banach montre que l'équation duv = 9°'2 se résout avec une suite uv-»0; quitte à remplacer 9V par 0V - d(uv + ïiv) on peut supposer de plus que 9V est de bidegré (1,1). Puisque 0V-*O, il existe une suite cpv de fonctions plurisousharmoniques convergeant vers 0 dans ^°°(Z) telles que Ov + idô(pv>0. Il vient doncT= lim Tv avec
Tv = 9v + iddcpv + To>9 + To = T^0 et
cl(Tv) = cl(flv) = cvetf2(X;Z)®Q.
Preune de (7.2). cl(0)e/42(X) = JrY,-1(X; Z)®R, donc il existe des (1, l)-formes réelles fermées a,- et des scalaires Â^eR, IgjgN, tels que
cl(t(j)ei/''1(A')nH2(X;Z) et 0= £ A,.a,..
j=i
Soit co une métrique de Hodge sur X et A-veQ tel que \kj - Àjv\<l/v2, v
= 1,2, On a: 0= lim 0V avec
V- + 00
1 N
d(Ov)eHul{X)nH2(X;Q) et 0v>Opour v assez grand. On pose alors T = 0V + T0. ?
Courants positifs extrêmaux et conjecture de Hodge
369
D'après le lemme 7.2, il suffit de montrer que tout courant T>0 de bidegré (1, 1) et de classe cl(T) entière est limite faible d'éléments de ,?"~X(X). Nous aurons besoin du lemme classique suivant.
Lemme 7.3. Si d(T)eH2(X,Z), il existe un fibré linéaire L sur X de classe de Chernc1(L) = c\(T).
La suite exponentielle 0->Z->C''->C;*-»-l donne en effet un diagramme commutatif
H\X; &*)-^->H2(X; Z) >H2(X; 6)
H2(X;1R)
Si X est de Stein le groupe H2(X: C) est nul; si X est projective. n02 s'identifie à la projection H2(X; ]R)^>H°-2(X) dans la décomposition de Hodge. Dans les deux cas on a n0 2(c\(T)) = 0, donc cl(T) provient d'une classe d'isomorphisme de fibres linéaires dans H1(X; G,'*). ?
On munit le fibré L d'une métrique hermitienne de classe Cx.
La classe cx(L) est alors définie par la forme de courbure -e(L), d'où
... . in
cl (T--c(L))=0. Comme T-~--c{L)eS)' ln_,LY), il existe (pe3'n n(X) tel
\ 2n ! 2n
que
T = ^-(c(L) + ddq>). (7.3)
In
Puisque T>0 et que c(L) est une forme Cx, la distribution cp peut être représentée par une fonction (encore notée q>), qui est localement somme d'une fonction plurisousharmonique et d'une fonction Cx.
Lemme 7.4. Soit L* le fibré dual de L et p: L*-^X la projection. La fonction ijj(Ç) = Log|(|2+ ç>(p(£)) est plurisousharmonique sur l'espace total L*, et on a
-^<^ = [X]+p*T
271
où [X] est le courant d'intégration sur la section nulle de L*.
Démonstration. L'application £)->£ définit une section holomorphe du fibré image réciproque p*L*, section dont le lieu des zéros est X. L'équation de Lelong-Poincaré implique
-'-- dô Log ICI2 = [X] -~ c(p*L*) = [X] + -L p*(c(L)),
In in in
d'où le résultat d'après (7.3). D
370
J.-P. Demailly
La démonstration du théorème 7.1 suit maintenant de près la méthode de P. Lelong [9], qui correspond au cas où le fibre L est trivial. L'idée (due à K. Oka) consiste à utiliser une fonction holomorphe dont le domaine d'existence est un «ouvert de Hartogs» dans L*.
Lemme 7.5. Soit Q le domaine de Hartogs
Q = {CeL*;<P(Ç) = Log\Ç\2 + (p(p(Ç))<0}.
Si X est de Stein, L* et Q sont également de Stein.
Si X est projective, Q est domaine d'existence d'une fonction holomorphe F, à condition de remplacer éventuellement L*, T, <p par L~k, kT, kcp où k est un entier >0 assez grand.
Il suffit de considérer le cas où X est projective. Par construction de L et q> on a ic(L) + idô(p = 2nT>0, donc le fibre L est ample. Quitte à remplacer L par une puissance Lk, il existe un système a=(a0,a1, ...,<jn) de sections de L sans zéros communs tel que le diagramme commutatif
L* -a-* (Tv+ ' ?=> CA'+ ' \ O
1 . Iv^'"
x-J-^jp*
définisse un plongement j de X dans IPN. L'image ff(L*) = q~,(j(X)) est une variété algébrique affine homogène dans <£.N+1, et a est l'application qui écrase la section nulle de L* sur 0. Comme \j/= - oo sur X=a~i(0), i/r se factorise en une fonction plurisousharmonique \J/ sur a(L*) telle que i// = t//o<7. L'image a{Q) = {zecr(L*); i//(z)<0} est donc un espace de Stein avec singularité isolée en 0.
Il existe par conséquent une fonction holomorphe F dont le domaine d'existence est a{Q). La fonction F = F°o répond à la question. ?
On se donne une fonction holomorphe F dont le domaine d'existence est Q. F peut s'écrire de manière unique sous forme d'une série entière
oc
F(0=£Fv(z).C, CeflcL*, z=p{QeX,
v=0
où Fv est une section de U au-dessus de X. La construction de F et du domaine de Hartogs Q montrent que q> est la limite supérieure régularisée
<p= (limsup-Log|Fv|2) . (7.4)
Le point crucial de la démonstration est contenu dans le lemme suivant.
Lemme 7.6. // existe une suite d'entiers kv>0 et une suite de sections Gv de Lkv telles que
9= lim - Log|GJ2 dans L\0C(X).
Courants positifs extrêmaux et conjecture de Hodge
371
Démonstration. Posons comme P. Lelong [9]
<Pr,s= SUP -Log|Fv|2=- sup Log|Ff
S!,<,s,
La famille <-Log|Fv|2> est localement uniformément majorée, et l'égalité (7.4) montre que <p= lim [( lim 1>rs)*.
r-> + oc s-* + oc
La fonction <p est donc limite dans L\oc(X) de fonctions du type cprs. Il suffit alors de démontrer le lemme 7.6 pour une fonction <p0 de la forme
(p0=- sup Log|tfv|2
S 1 < v < JV
où les Hv, 1 rgvrgiV, sont des sections de L". On peut évidemment supposer que les quotients HJH ne sont pas identiquement de module 1, sinon on supprime l'une des sections Hy.
Soit E l'ensemble des points zeX pour lesquels il existe un couple (/(, v). fi + v, tel que \H (z)\2 = \Hx,(z)\2. L'ensemble E est analytique réel, car la métrique O de Ls se simplifie dans les équations précédentes; de plus E est de mesure nulle par connexité de X. En tout point zeX\£ on peut écrire
= lim : Log
it^ + x ks
Pour montrer que la convergence a lieu dans L\0C(X), il suffit de vérifier que la
est localement équi-intégrable sur X. Soit p un
repère local du fibre L au-dessus d'un ouvert 1/cX, Les fonctions q>k - Log |pl2
sont plurisousharmoniques (car la métrique de L se simplifie), localement
uniformément majorées sur U, et inf<pt> - x presque partout sur U d'après
(7.5). k
La famille {<pk - Log\p\2} est donc bornée dans L\0C(U), et par suite équi-intégrable en vertu des propriétés classiques des fonctions sousharmoniques. ?
Soit Zv le diviseur des zéros de Gv, G\. étant la suite de sections du lemme 7.6. L'équation de Lelong-Poincaré implique
^v?Log\Gf = [_ZJ-kv~~c(L).
in In
D'après le lemme 7.6 et l'égalité (7.3) on obtient
2n
cê(p= lim .-[Zv] -- c(L),
F=-(r(L) + «>) =
in
lim -[ZJ
372
J.-P. Demaillv
pour la topologie faible de ^_Un_](X). Comme chaque diviseur [Zv] se décompose en une somme localement finie de diviseurs irréductibles, on a en fait démontré que
SPCl~1(X) = J;r-UX).
Pour achever la preuve du théorème 7.1 il reste seulement à rendre les diviseurs Zv irréductibles, ce qui est possible grâce aux techniques de [2]. On étudiera séparément le cas des variétés projectives et des variétés de Stein.
Proposition 7.7. Soit X une variété projective irréductible de dimension n^.2, L un fibre linéaire >0 sur X et G une section non nulle de L. Alors il existe un fibre linéaire hermitien M et une section non nulle H de M ayant la propriété suivante: pour tout entier k^k0 assez grand, il existe une section Hk de !}®M et F,(k)>0 tels que le diviseur des zéros de GkH + F,Hk soit irréductible si ee<C, 0<|e|<e(fc).
On aura alors Log|G|2= lim -Log\GkH + £kHk\2 dans L1 (X), à condition
k-> + cc k
de choisir une suite e.k tendant rapidement vers 0. Si l'on calcule le -- ôd en
2n
tenant compte de l'égalité c(l}<g)M) = kc(L) + c(M), on voit que le diviseur de G est limite faible de diviseurs irréductibles.
JV
Démonstration. Soit [Z] le diviseur de G, [Z]=£ af[_Zf\, a-^TL, a->0, sa
décomposition en diviseurs irréductibles. Il est clair qu'on peut trouver une suite d'hypersurfaces irréductibles Yh lrg/^iV,, 2 à 2 distinctes, contenant la suite Zj (avec Yl=Zu YN =ZN) et ayant la propriété suivante: pour tout indice /, 1^/<JV,, il existe un point z,e(y(nlj+1)\ IJ Y. où Y, et Yl+1 se
coupent transversalement. Soit M un fibre linéaire et H une section de M dont le diviseur est égal à £ [Y,].
Pour k^k0 le fibre U®M est engendré par ses sections globales, donc il existe une section Hk de l}®M qui ne s'annule en aucun des points z,, 1 ^/^Nj - 1. Avec ce choix de H et Hk, la démonstration de [2], §3 s'applique textuellement pour vérifier que le diviseur de GkH + r,Hk est irréductible. La construction précédente montre en effet que ce diviseur est irréductible localement aux points z,. L'irréductibilité globale en résulte pour e assez petit. ?
Dans le cas des variétés de Stein, la situation est un peu plus simple.
Proposition 7.8. Soif X une variété de Stein connexe de dimension n S; 2, L un fibre linéaire sur X. Alors l'ensemble des sections de L dont le diviseur est irréductible, est dense dans H°(X;L) pour la topologie de la convergence compacte.
La démonstration résulte encore des techniques de [2], §3, à condition de prouver le lemme suivant.
Courants positifs extrêmaux et conjecture de Hodge
373
Lemma 7.9. Soit K une partie compacte holomorphiquement convexe de X, D une partie dense dans X^-K. Quels que soient les points distincts z, ÇeX^K il existe une suite {z,, z2, ...,zN}czD telle que pour tous ouverts UzcT*X, (/.cPI et tout £>0, il existe une fonction holomorphe H sur X vérifiant
38.\H-l\<e sur K;
39.H(z) = H(Ç) = 0, dH:eUz, dH,eUc\
40.// existe des hypersurfaces irréductibles Y0,Yl,...,YN contenues dans H~l(0), telles que zeY0, ÇeYN, telles que y. et y._, se coupent transversalement en Zj, 1 ^j^N, et telles que le germe du diviseur de H en z- soit \Y^\ + \Yj_(\-
Démonstration. X^K ne peut avoir de composante connexe relativement compacte dans X. Le théorème de Hartogs affirme que toute fonction holomorphe sur X^K se prolonge à X, par conséquent X^K est connexe.
On commence par démontrer que tout point :0êI\X a un voisinage Vte\ que le lemme 7.9 soit vrai quand z, ÇeV (e, Uz, Ur quelconques). On prend V ËBelfcJf'xK, où (W; w,,..., w") est une carte locale en z0, et B une boule de centre z0 suffisamment petite pour que le compact KvjB soit holomorphiquement convexe. Pour chaque couple (z,QeV2, z=t=C, il existe un polynôme PeC[w,,...,w"] tel que P(z) = P(Ç) = 0, dPzeUz, dP.eU, et tel que la variété finP_1(0) soit lisse et connexe. Soit :¥z c le faisceau des germes de fonctions holomorphes qui s'annulent aux points z et £; soit P la section de 3FZ^ au dessus de KuB définie par P=\ au voisinage de K, et P = P au voisinage de B. Le théorème d'approximation d'Oka-Weil donne une section globale H2-ç vérifiant (7.6), (7.7). Lorsque Hz , est assez voisin de P sur Ë, la composante irréductible yo de H~£ (0) qui contient z contient aussi Ç, d'où la propriété (7.8) avec N = 0.
Lorsque z et ç sont quelconques, la connexité de X-^K permet de trouver des ouverts Vi,..., VN+i du type précédent, tels que zel7,, CeFv+1, et
On pose z0 = z, zw+1=Ç, et on choisit z^el^-n Vj+l nD, l^j-^N. On prend Hj = Hz _ 4|, O^j^N, avec de plus Hj(zk) très voisin de 1 pour k+j,j+\. La fonction H = H0Hl ...HN répond à la question. D
Indications sur la preuve de la proposition 7.8
Soit G une section de L, K=KeX, et Z1,...,ZN les hypersurfaces irréductibles contenues dans le diviseur de G et qui rencontrent K. Le lemme 7.9 permet de trouver une hypersurface H = 0 qui «relie» entre elles les hypersurfaces Zl5 ...,ZN. On construit comme dans la proposition 7.7 une section F de L telle que l'hypersurface GH + 2F = 0 ait une seule branche irréductible rencontrant K (pour tout e + 0 assez petit).
On répète ensuite le procédé avec une suite exhaustive de compacts Kv = KV- D
Corollaire 7.9. Soif X une variété projective (resp. de Stein) de dimension h 2:1. Alors J"-1{X) = SPCl-l(X).
374
J.-P. Demailly
Si X est de dimension 1, le corollaire 7.9 signifie simplement que toute mesure ïîO sur X est limite faible de combinaisons linéaires ^0 de mesures de Dirac. Si X est non connexe de dimension nS:2, il suffit d'appliquer le théorème 7.1 à chaque composante connexe de X. D'après la proposition 6.6 et les remarques qui précèdent, on a d'autre part le résultat suivant.
Corollaire 7.10. Soit X une variété de Stein connexe de dimension n'è.l. Alors ,f-1{X)=SPC"-l(X) dans les cas suivants:
41.n = 2;
42.X est un ouvert borné de C" à frontière C1:
43.X est une variété algébrique affine.
Remarque 7.11. Dans la situation du corollaire 6.5, choisissons TeSPCl{X), T$SPCz(X). Le corollaire 7.10 montre que T\X^Y est limite faible de courants d'intégration AV[ZJ sur X\ Y. Il est facile de montrer que sur X\ y les cycles algébriques sont denses dans les cycles analytiques.
On peut donc choisir des courbes Zv dont les complétions Zv sont des courbes algébriques de X. Néanmoins, il n'est pas possible d'approximer T\X^Y par une suite 1V[ZV] avec un contrôle uniforme de la masse des iv[Zv] au voisinage de y. En effet, si cela était vrai, une sous-suite de AV[ZV] convergerait vers T+A[Y], avec A^O, donc 7~ = lim Av[Zv]-i[Y] serait dans SPC^(X).
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