Jean-Pierre Demailly Mesures de Monge-Ampère et caractérisation géométrique des variétés algébriques affines Mémoires de la S. M. F. 2e série, tome 19 (1985), p. 1-125. © Mémoires de la S. M. F., 1985, tous droits réservés. L'accès aux archives de la revue « Mémoires de la S. M. F. » (http://smf. emath.fr/Publications/Memoires/Presentation.html), implique l'accord avec les conditions générales d'utilisation (http://www.numdam.org/legal.php). Toute uti­lisation commerciale ou impression systématique est constitutive d'une in­fraction pénale. Toute copie ou impression de ce fichier doit contenir la présente mention de copyright. NUMDAM Article numérisé dans le cadre du programme Numérisation de documents anciens mathématiques http://www.numdam.org/ Mémoire de la Société Mathématique de France, n°19 Supplément au Bulletin de la S.M.F. Tome 113, 1985, fascicule 2 MESURES DE MONGE-AMPÈRE ET CARACTÊRISATION GÉOMÉTRIQUE DES VARIÉTÉS ALGÉBRIQUES AFFINES par Jean-Pierre DE MAIL L Y RÉSUMÉ. A toute fonction d'exhaustion plurisousharmonique continue cp sur un espace de Stein, nous associons une collection de mesures posi­tives portées par les surfaces de niveau de cp , et définies à l'aide des opérateurs de Monge-Ampère au sens de Bedford et Taylor. Nous mon­trons que ces mesures jouent un rôle fondamental dans l'étude des pro­priétés de croissance et de convexité des fonctions plurisous harmonique s ou holomorphes. Lorsque le volume de Monge-Ampère de la variété est fini, un théorème d'algébricité de type Siegel s'applique aux fonctions holomorphes à croissance cp-polynomiale. Nous en déduisons que la fini-tude du volume de Monge-Ampère, associée à une minoration convenable de la courbure de Ricci, est une condition géométrique nécessaire et suffisante caractérisant les variétés algébriques affines. ABS TRACT. To every continuous plurisubharmonic exhaustion function cp on a Stein space, we associate a collection of positive measures with support in the level sets of cp , defined by means of the Monge-Ampère operators in the sensé of Bedford and Taylor. We show that thèse measures play a prominent part in the study of growth and convexity properties of pluri­subharmonic or holomorphic functions. When the variety has finite Monge-Ampère volume, an algebraicity theorem of Siegel type holds for holomor­phic functions with cp-polynomial growth. From this resuit, we deduce that the finiteness of Monge-Ampère volume, together with a suitable lower bound of the Ricci curvature, is a necessary and sufficient géomé­trie condition characterizing affine algebraic varieties. 0037-9484/85 02 1 S 14.50 © Gauthier-Villars 1 Mémoire de la Société Mathématique de France, n°19 Supplément au Bulletin de la S.M.F. Tome 113, 1985, fascicule 2 MESURES DE MONGE-AMPÈRE ET CARACTÊRISATION GÉOMÉTRIQUE DES VARIÉTÉS ALGÉBRIQUES AFFINES par Jean-Pierre DE MAIL L Y RÉSUMÉ. A toute fonction d'exhaustion plurisousharmonique continue cp sur un espace de Stein, nous associons une collection de mesures posi­tives portées par les surfaces de niveau de cp , et définies à l'aide des opérateurs de Monge-Ampère au sens de Bedford et Taylor. Nous mon­trons que ces mesures jouent un rôle fondamental dans l'étude des pro­priétés de croissance et de convexité des fonctions plurisous harmonique s ou holomorphes. Lorsque le volume de Monge-Ampère de la variété est fini, un théorème d'algébricité de type Siegel s'applique aux fonctions holomorphes à croissance çp-polynomiale. Nous en déduisons que la fini-tude du volume de Monge-Ampêre, associée à une minoration convenable de la courbure de Ricci, est une condition géométrique nécessaire et suffisante caractérisant les variétés algébriques affines. ABS TRACT. To every continuous plurisubharmonic exhaustion function cp on a Stein space, we assoclate a collection of positive measures with support in the level sets of cp , defined by means of the Monge-Ampère operators in the sensé of Bedford and Taylor. We show that thèse measures piay a prominent part in the study of growth and convexity properties of pluri­subharmonic or holomorphic functions. When the variety has finite Monge-Ampêre volume, an algebraicity theorem of Siegel type holds for holomor­phic functions with cp-polynomial growth. From this resuit, we deduce that the finiteness of Monge-Ampêre volume, together with a suitable lower bound of the Ricci curvature, is a necessary and sufficient géomé­trie condition characterizing affine algebraic varieties. 0037-9484/85 02 1 S 14.50 © Gauthier-Villars TABLE DES MATIERES 0. Introduction 3 A) MESURES DE MONGE-AMPERE ET CROISSANCE DES FONCTIONS PLURISOUSHARMONIQUES 13 1. Courants et fonctions plurisousharmoniques sur les espaces complexes M c k 2. Opérateurs (dd ) et inégalités de Chern-Levine- Nirenberg 24 14Mesures de Monge-Ampère et formule de Jensen . 34 15Mesure résiduelle de (dd cp) sur S(-«) 41 16Principe du maximum 46 17Propriétés de convexité des fonctions psh 48 18Croissance à l'infini des fonctions psh 58 19Fonctions holomorphes polynomiales 62 B) CARACTERISATION GEOMETRIQUE DES VARIETES ALGEBRIQUES AFFINES 69 9. Enoncé du critère d'algébricité 70 20Nécessité des conditions sur le volume et la cour­bure 75 21Existence d'un plongement sur un ouvert d'une va­riété algébrique 79 22Quasi-surjectivité du plongement 88 23Démonstration du critère d'algébricité (cas lisse) . 98 24Algébricité des espaces complexes singuliers 106 25APPENDICE : courants et fonctions piurisousharmo-niques à croissance minimale sur une variété algé­brique affine 109 BIBLIOGRAPHIE 121 2 MESURES DE MONGE-AMPERE 0. - Introduction. La présente étude se place dans le cadre général des espaces analytiques complexes. La première section est donc consacrée à une définition des formes différentielles, courants positifs et fonctions plu- risousharmoniques sur un espace complexe X éventuellement singulier. N Etant donné un plongement local de X dans un ouvert Qc(E , nous définissons les formes différentielles sur X comme les restrictions à X des formes "ambiantes" sur Q ; les espaces de courants s'en déduisent par dualité comme dans le cas lisse. DEFINITION 0.1. - Soit une fonction V : X^[-»,+œ[ . (a) V sera dite plurisousharmonique (psh en abrégé) sur X si V est localement restriction à X de fonction psh N sur l'espace ambiant (E (b) V sera dite faiblement psh si V est localement inté- Q grable et majorée sur X , et si dd V ^ 0 . Toute fonction psh est alors faiblement psh , mais en géné­ral une fonction faiblement psh ne s'identifie pas nécessairement presque partout à une fonction psh . Nous montrons toutefois que les deux notions coïncident lorsque l'espace X est localement irréducti­ble. La démonstration de ce résultat fait usage de deux ingrédients : d'une part la caractérisation des fonctions psh due à Fornaess et Narasimhan (FN) , d'autre part un théorème de prolongement des fonctions psh bornées à travers le lieu singulier de X (qui utilise la résolution des singularités). Nous étudions également la transforma- 3 J.P. DEMAILLY tion des courants positifs fermés et des fonctions psh par image directe propre. Dans le § 2, nous reprenons essentiellement la méthode dévelop­pée par Bedford et Taylor [BT 2) pour donner un sens au courant po- c c sitif dd çp A...Add cû lorsque les cp. sont des fonctions psh loca­lement bornées, et nous la généralisons au cas où l'une des fonctions (soit cp par exemple) n'est pas localement bornée. Les inégalités clas­siques de Chern-Levine-Nirenberg peuvent alors s'énoncer comme suit : THEOREME 0.2. - Pour tout ouvert tucrX et tout compact Kc uu il existe des constantes C , C0 ne dépendant que de m et K telles qu'on ait les majorations de masse suivantes : (a) r i|ddccPl a...Add^H< Clmi w ... w . K L (uu) L (uu) L (uu) « I H*fV--**fyl* SNli, M. •••M., • K L (u) L (uu) L (uu) Nous montrons finalement dans cette situation la continuité sé­quentielle des opérateurs de Monge-Ampère ce ce (m t....cû ) •—** dd cp A...Add cû et cpdd cp a...a dd cp, pour des suites décroissantes cp^,...,^ de fonctions psh . On suppose maintenant que X est un espace de Stein et que X est muni d'une fonction psh continue exhaustive cp : X — I-oa»R[ . Nous noterons alors B(r) = {z£X ; cp(z) < r) , S(r) = {z £ X ; cp(z) = r} , r € l-«,Rl les pseudoboules'et pseudosphères associées à cp . A ces données,nous montrons qu'on peut associer de manière naturelle une collection de me­sures positives m , portées par les sphères S(r) f que nous appe­lons mesures de Monge-Ampère associées à cp . Celles-ci sont définies simplement par 4 MESURES DE MONGE-AMPERE yi (h) = f h(dd cp) " A d cp , n = dim X , 8(r) 2 lorsque cp est de classe C et lorsque r est valeur régulière de cp . Dans le cas où cp est seulement continue, on est amené à utiliser c n la définition de Bedford-Taylor pour (dd ) et à poser Hr= (dd max(cp,r)) - Ex\B(r)( Cp) * On a alors une formule générale de type Jensen-Lelong, dont la démons­tration est conséquence immédiate des théorèmes de Stokes et de Fubini (cf. §3). THEOREME 0.3. - Toute fonction psh V sur X est, M -intégrable quel que soit r < R , et on a la formule fr dt J ddCVA (dd0!?)11"1 = p (V) - J V(ddCcp)n . B(t) r B(r) On montre de plus que les mesures m dépendent continûment de cp relativement aux suites décroissantes. Ceci permet de voir com­me dans le cas C que la famille (\a ) est la famille de mesures faiblement continue à gauche qui désintègre le courant positif c n—1 c (dd cp) a dcpA d cp sur les sphères S(r) . Les mesures ^ ainsi construites jouissent d'un certain nom­bre de propriétés naturelles importantes pour l'étude de la croissance et de la convexité des fonctions psh . c n Le paragraphe 4 étudie la mesure "résiduelle" ^ =1 (dd cp) , -œ S(-oo) portée par l'ensemble polaire S(-œ) . D'après (0.3), la mesure ^ — OD peut aussi se définir comme la limite faible de ^ quand r tend vers -œ . En nous inspirant de nos travaux antérieurs [D4.D5] , nous montrons que la mesure ^ ne dépend essentiellement que du — CD comportement asymptotique de cp au voisinage de S(-œ) . De ce ré­sultat découle l'inégalité classique (0.4) (dd°c0n * 2n £ v(cp,x)nô , X£X x J.P. DEMAILLY où v(cp,x) désigne le nombre de Lelong de cp en tout point x£X , et 6 la mesure de Dirac en x (en un point singulier x , cette mesure doit être comptée avec multiplicité égale à la multiplicité de X en x ). Au § 5 , nous montrons que les mesures u vérifient le prin­cipe du maximum vis à vis des fonctions psh , à savoir que pour toute fonction psh V on a l'égalité : (0.5) 8UP»/ \V = 8UP essentiel de V relativement à p. . Le fait remarquable est que l'égalité a lieu bien que le support de u puisse être très lacunaire dans S(r) , comme par exemple dans le cas où les pseudoboules B(r) sont des polyèdres analytiques. Le paragraphe 6 généralise à la présente situation les proprié­tés de convexité classiques dues à P. Lelong, relatives aux moyennes de fonctions psh sur les boules, sphères, polydisques... . Nous mon­trons que l'hypothèse géométrique naturelle qui sous-tend la validité des propriétés de convexité est le fait que la fonction cp soit solution de c n l'équation de Monge-Ampère homogène (dd cp) s 0 . De façon précise : THEOREME 0.6. - On suppose que (dd°cp)n s 0 sur l'ouvert {cp > A) . Soit V une fonction psh sur X . Alors le sup de V sur B(r) , les moyennes u (V) , et plus généralement les moyennes en norme L , [p (VP)1 , Bont fonctions convexes croissantes de r£]A,R[ . La vérification de ce résultat s'obtient par des calculs élémen­ taires de dérivées secondes, faisant intervenir la formule de Jensen 0.3 et les théorèmes de Stokes et de Fubini. Plus généralement, nous démontrons une version avec '•paramètre" du théorème 0.6, relative aux mesures m sur les fibres tt (y) d'une fibration holomorphe y.r tt : X — Y . La fonction psh cp donnée sur X est supposée exhaustive c n sur les fibres et telle que (dd cp) s 0 sur l'ouvert {cp> A) , où n est la dimension des fibres. Alors les moyennes p (V) et les moyen- 6 MESURES DE MONGE-AMPERE nés en norme L sont fonctions faiblement psh du couple (y, z) sur YxŒ, si l'on pose r = Re z . On en tire aisément l'extension suivante du théorème 0.6 aux espaces produits. THEOREME 0.7. - Soient X ,...fX des espaces de Stein. munis de fonctions psh continues exhaustives c n1 cp. : X. — [-œ,R t telles que (dd cp.) = 0 sur l'ouvert (cp. > A.} , n. = dim X. . Alors, si V est psh sur X y... xX » la moyenne en norme L M*(r rk) = [^ 8...®^ (VP))1/P 1 k est convexe simultanément en les variables (r ,...,r ) £ ]~[)A.,R.I Dans les paragraphes 7 et 8 , nous faisons l'hypothèse addition­nelle que le volume de X est à croissance modérée à l'infini (le "rayon" R est ici supposé égal à +•) . De façon précise, nous suppo­sons que (0.8) lim i||ur|| = 0 . r-»+» Sous cette hypothèse, la formule de Jensen 0. 3 implique l'inégalité fon­damentale suivante : (0.9) f ddCVA(ddCcp)n~l * lim inf 1 ^ (V ) , X r-+œ r r de laquelle découle un certain nombre de résultats concernant la crois­sance des fonctions psh ou la distribution des valeurs des fonctions holomorphes (comme le suggère l'article de N. Sibony et P. M. Wong [SW] ). En particulier, toute fonction psh ou holomorphe bornée sur X est constante. Etant donné une fonction holomorphe f sur X , nous définis­sons d,autre part le "degré" de f relativement à cp par (0.10) 6(f) = lim sup j ur(Log+|f|) , r—+œ 7 J.P. DEMAILLY et nous disons que f est cp-polynomiale si ô(f) est fini. L'inégalité (0.9) entralhe alors que l'ordre d'annulation de f en un point régulier a € X vérifie l'estimation : ord (f) * C(a)6(f) . a Par un raisonnement élémentaire d'algèbre linéaire dû à Siegel, il en résulte le théorème d'algébricité suivant (on suppose X irréductible). THEOREME 0.11. - Soit K (X) le corps des fonctions méro-morphes de la forme f/g où f et g sont çp-polynomiales. Alors : (a) 0 s deg tr K (X) * dim X ; CC cp vE (b) Si deg tr K (X) - dim_X , alors le corps K (X) est de (E cp Œ cp type fini. Comme cas particulier de ce théorème, nous retrouvons le résultat de W. Stoll IStl) caractérisant les variétés algébriques dans N T se résout toujours sur Q M avec une solution psh V telle que le courant dd V - T soit de classe c" et à croissance polynomiale. La fin de la démonstration est alors presque identique. L'hypothèse (c), quant à elle, sert à démontrer que la "topologie de Zariski" sur X est quasi-compacte, et donc que X peut être recouvert par un nombre fini d'ouverts de la forme X\S (cf. §13). Nous ne savons pas en fait si l'hypothèse (c) est réelle­ment indispensable. Signalons enfin que le théorème 0.12 peut s'étendre aux espa­ces complexes à singularités isolées (cf. §9), mais l'extension au cas quelconque soulève des difficultés qui seront étudiées au §14. 11 MESl'BES DE MONGE-AMPERE A. Mesures de Monge'Ampère et croissance des fonctions plurisousharmoniques 13 J.P. DEMAILLY 1. - Courants et fonctions plurisousharmoniques sur les espaces complexes. Le but de ce paragraphe est de donner une définition des cou­rants et des fonctions psh sur un espace analytique complexe éventuelle­ment singulier. Le lecteur qui souhaite ne considérer dans la suite que le cas lisse peut sauter directement au §2. Soit X un espace complexe réduit de dimension pure n , X (resp. X ) rensemble de ses points réguliers (resp. singuliers). Comme les définitions que nous allons considérer sont locales, on peut sans restriction supposer que X s'identifie à un sous-ensemble analy- N tique fermé d'un ouvert Qcd au moyen d'un plongement j : X — Q On définit alors l'espace C (X) des (p.q)-formes de classe k P' q C sur X , k € INu{») , comme l'image du morphisme de restriction 1* : cj = pour toute forme v £ £ (0) , est à support dans j(Q) . Néanmoins, k * pour k * 1 , un courant 6 € Ijj (0)1 à support dans j(Q) ne pro- P,q vient pas nécessairement d'un courant T défini sur X , même si X est lisse. Les opérateurs différentiels d , a , ô usuels et l'opérateur de multiplication extérieure par une forme c sont d'autre part étendus par dualité aux courants, exactement comme dans le cas lisse. Il serait particulièrement intéressant de savoir calculer en général les groupes de cohomologie locale des opérateurs d et ô ; nous ne savons même pas en fait si ces groupes sont toujours nuls dans le cas de singularités quelconques. DEFINITION 1.2. -Un courant T € .£ (X) sera dit (faible- p,p ment) positif si le courant de bidegré (n,n) Ta icLAû.A ... Aia Aâ Il P P est une mesure i 0 pour tout système de (1, 0)-formes (a,.-.,a ) de classe C* sur X . 1 p 15 J.P. DEMAILLY Il revient au même de dire que le courant j T est i 0 sur Q en particulier, un courant T * 0 sur X est nécessairement d'ordre 0 Soit maintenant F : X —> Y un morphisme d'espaces analyti­ques X , Y de dimensions respectives n , m . Pour s'assurer que le morphisme image réciproque F* : C* (Y) — (£ (X) p. q p.q est bien défini, il suffit de vérifier le lemme suivant : N LEMME 1.3. - Soit j : Y - QcŒ un plongeaient et a € C (Q) une forme telle que a(Y = 0 . Alors F*a|x = 0 Démonstration. On peut supposer X lisse et connexe. Si F(X) <£ Y , alors F"1(Y ) est dense dans X et le résultat s'ensuit s r par continuité. La seule difficulté est donc le cas où F(X) c Y . En raisonnant par récurrence sur la dimension de Y et en décomposant F sous la forme F r X —- Y c— Y s on voit qu'il suffit de considérer au lieu de F le cas du morphisme d'inclusion Y £♦ Y . Le lemme 1.3 résulte alors de la continuité de s a et du lemme suivant : LEMME 1.4. - Soit a un point régulier sur Y . Alors il s existe une suite de points [a ]c Y , convergeant vers a . v; r - telle que dans la grasmannienne des m-plans de (E l'espace tangent T Y converge vers un plan contenant T Y v Démonstration. C'est une conséquence de l'existence de stra­tifications de Whitney de Y , voir (Whl) et IWh2l . ■ Supposons que le morphisme F : X — Y soit propre. On dé­finit alors l'application image directe 16 MESURES DE MONGE-AMPERE F : [/ (X)]1— I^n(Y)]' * p. q Pt q k K t par dualité, en posant pour tout courant T £ Ijfr (X)l et toute forme le p,q a € JT m : p.q = . Si T est * 0 , il en est clairement de même pour F#T . De plus, le c morphisme image directe F^ commute avec les opérateurs d , d , ô , ô • Si T est ^ 0 fermé , F# T est donc aussi * 0 fermé. Venons en maintenant à la définition des fonctions psh . DEFINITION 1.5. - Soit V : X — [-œ, +«,( une fonction qui n'est identiquement - » sur aucun ouvert de X . On dira que V est plurisousharmonique sur X (psh en abrégé) si, pour N tout plongement local j : X c— q c Œ , V est localement restriction d'une fonction psh sur Q . J.E. Fornaess et R. Narasimhan ont donné la caractérisai on fondamentale suivante des fonctions psh sur un espace complexe. THEOREME 1.6 ((FN) , th. 5.3.1). - Une fonction V : X —• (-œt -h» I est psh sur X si et seulement si : 26V est semi-continue supérieurement ; 27Pour toute application holomorphe f : A —-X du disque unité dans X , Vof est sous-harmonique ou = -» sur à . Grâce à ce résultat, on peut aisément généraliser le théorème de prolongement de Brelot au cas des espaces complexes. THEOREME 1.7. - Soient X un espace complexe localement irréductible et Y c X un sous-ensemble analytique d'intérieur vide dans X . Soit V une fonction psh sur X\Y , locale- 17 J.P. DEMAILLY ment majorée au voisinage de Y . Alors il existe une fonction psh V* sur X qui prolonge V , unique, donnée par V*(y) = lim sup V(x) , y € Y . x£X\Y,x-y Démonstration. (a) Unicité de V* . Comme V* est semi-continue supérieu­ rement, on a pour tout y £ Y V*(y) = lim sup V*(x) * lim sup V(x) . x-y x€X\Y,x-y Inversement, choisissons une application holomorphe f : A — X telle que f(0) =y et f(A) , donc se prolonge en une fonction psh V sur P tout entier. Comme la mesure aire de X est donnée par daY = L (tt1)* dX , X I dn la conclusion résulte alors du fait que les V sont localement inté- I grables sur P . ■ La proposition 1.8 montre qu'on peut considérer toute fonction psh sur X comme un courant de bidegré (0,0) . Par régularisation N d'un prolongement local de V à Œ et passage à la limite décrois- c - santé, on vérifie aisément que le (l, l)-courant dd V = ZiddV , où c — d = i(ô-ô) » est positif sur X . 19 J.P. DÇMAILLY DEFINITION 1.9. - Une fonction localement intégrante V sur X sera dite faiblement psh si V est localement malorée et si ddCV* 0 . Contrairement au cas lisse, l'hypothèse que V soit localement majorée est fondamentale. Considérons par exemple la. courbe paramé­trée (zt,z ) = (t2,t3) dans (C2 ; la fonction V(t) = Re(l/t) n'y est 1 tL pas localement majorée en 0 , cependant on peut vérifier que Q dd V = 0 au sens des courants (cf. définition 1.1). Observons d'autre part qu'une fonction faiblement psh ne s'identifie pas nécessairement presque partout à une fonction psh , comme le montre l'exemple de 2 la fonction définie sur la courbe z z9 = 0 de (b) . Cette implication résulte aussitôt de la définition 1.9 et du cas bien connu où X est lisse. (b) =» (a) . Soit h„ —...= h =0 des équations locales de X 1 m s dans X . Alors pour tout e > 0 la fonction ^ IV +eLog(|h1|2+...+ |hœ|2) sur Xr - e (-» sur X v s est psh sur X d'après le théorème 1.6. On a donc dd V ^ 0 . c c e Comme dd V converge faiblement vers dd V quand e tend vers e c 0 , il s'ensuit dd V * 0 . ~ -1 -i (b) =» (c) . La fonction V «m est psh sur X\tt (X ) = tt (X ) , r -1 ~ s r localement majorée au voisinage de n (X ) , et X est localement irréductible. Le théorème 1.7 montre que V «,tt se prolonge en une fonction psh V sur X . (c) * (b) résulte du fait que tt : X\tt" (X ) — X est un s r isomorphisme. En ce qui concerne la dernière affirmation, la condition que nous avons donnée pour la plurisousharmonicité de V* est évidemment nécessaire. Pour voir qu'elle est suffisante, on observe que l'ensemble des composantes irréductibles (X.,a) est en correspondance bijective avec l'ensemble des points a. de X situés au-dessus de a (ceci résulte par exemple de Narasimhan iNar) , prop. VI. 2) et que V(a.) = lim sup ess V(x) . J x£X., x-a On a donc par hypothèse V*<>tt = V en tout point de X ; comme toute application holomorphe f : a — X se relève en une application f : A — 5T , la plurisousharmonicité de V entraîne celle de V* . ■ 21 J.P. DEMAILLY COROLLAIRE 1.11. - Si X est localement irréductible et si V est faiblement psh sur X , alors la fonction définie par V*(a) « iim sup ess V(x) , a € X , x-* est psh sur X et V - V* presque partout. ■ COROLLAIRE 1.12. - Si V : X -* I-œ,+»[ est continue et faiblement psh , alors V est psh . ■ Pour terminer cette section, nous examinons la transformation des fonctions psh par image directe. PROPOSITION 1.13. - Soit F : X-~Y un m or phi s me propre surjectif à fibres finies. (a) Si V est une fonction faiblement psh sur X , la fonc­ tion F#V définie par F#V(y) = £ V(x) x€F~ (y) est faiblement psh sur Y et de plus ddC(F#V) = F#(ddCV) . (b) On suppose de plus que Y est localement irréductible. Si V est psh et si la somme £ V(x) est comp- x€F"l(y) tée avec multiplicités, alors F#V est psh sur Y . Démonstration. (a) On sait que F est un revêtement ramifié, i.e. il existe un ensemble analytique Z c Y tel que F : X\F-1(Z) - Y\Z soit un revêtement de variétés lisses. On voit alors que la définition de 22 MESURES DE MONGE-AMPERE F V coihcide avec celle donnée pour les images directes de courants. Il est clair que F#V est localement majorée sur Y , et la propriété ddC(F V) = F ddCV * 0 résulte du fait que F commute avec les opé- c rateurs d et d . (b) Sous l'hypothèse X localement irréductible, le cardinal de la fibre F~ (y) , y 6 Y\Z , est localement constant au voisinage d'un point de Z . Si de plus V est continue, F#V se prolonge par continuité sur Y à travers Z , et le corollaire 1.12 montre que F V est psh . Dans le cas général, il existe pour toute fibre F" (y) = fx,,...,x 1 des voisinages arbitrairement petits O. de x. , c 1 mJ _A j j 1 * 1 £ m , et un voisinage V de y tels que F~ (L) = Q, U-.U O i m Ecrivons V comme limite décroissante de fonctions psh continues V sur un tel voisinage F" (U) . Il vient F V = lim F V sur U , par suite F^V est psh . ■ 23 J.P. DEMAILLY c k 2. - Opérateurs (dd ) et inégalités de Chern-Levine-Nirenberg. Dans cette section, nous rappelons la définition des opérateurs de Monge-Ampère (dd°) introduits par Bedford et Taylor [BTi] ,lBT2) c c Cette définition permet de donner un sens au courant dd V a...a dd V 1 k lorsque les V. sont des fonctions psh bornées. Nous aurons besoin ici de considérer le cas un peu plus général où l'une des fonctions V. peut ne pas être bornée, et nous redonnerons dans ce cadre une démons­tration des inégalités de Chern-Levine-Nirenberg ï CLNl . Enfin, nous c k étudions comme dans IBT2] la continuité de l'opérateur (dd ) rela­tivement aux limites décroissantes de fonctions psh . Soient cp , cp ,...,cû des fonctions psh localement bornées sur X et V une fonction psh quelconque. D'après Bedford-Taylor (BT2] ce c on peut définir le courant 2O fermé dd Va dd cp A...Add ca par ré­currence sur k en posant ce c c c c c (2.1) dd Va dd cp A...Add cû = dd (cq dd VAdd cp A ... A dd cp ) . La positivité du second membre est évidente par hypothèse de récurren­ce si cp. € C (X) ; le cas général s'en déduit par régularisation de cû et passage à la limite faible dans l'espace des courants. Soit Q = {p<0) un ouvert relativement compact dans X , défini par une fonction p strictement psh C dans un voisinage Q' de Q et telle que dp / 0 sur ôQ . Pour tout réel a > 0 et tout entier 0 £ k £ n on pose 1 «k+a . ,c xn-k t. x . ,k-l + a , A ,c A t, ,c n-k-l B = |p| (dd p) + (k+a)|p| dpA d pA(dd p) 24 MESURES DE MONGE-AMPERE et on désigne par ||v|| la norme LP d'une fonction v sur ù re­lativement à la mesure 6 , p £ II,+•] . La masse du courant (2.1) admet alors les estimations suivantes (cf. (CLN) ). THEOREME 2.2. Soient V , V ,...,V. des fonctions psh sur x telles que V £ 0 , V * 0,..., V * 0 sur Q . Alors il existe des constantes C. = C.(k, a) , j = 1,2, 3 telles que 0 , et on applique l'inégalité de Cauchy-Schwarz à la composante de bidegré (n-k+1, n-k+1) du courant jCrt . „ , vl ,k-l+a, ,c y,,c .n-k 2dcp Ad 0 = -4(k+a)|p| dca Ad pA (dd p) ce qui donne le majorant [4(k+a) c^|p| dpAdp+|p) J-A(ddp) 'k II en résulte Jk * I «kM }-dd°ek+ 4(k+»)2|p|k"2+adPA d%A (ddV^A^ ri HC a ^k k l La forme entre accolades dans la première intégrale est égale à 2(k+a)[|p|k*1+a(ddCp)n"k+l+(k+t + a)|p|k"2+adPAdCpA(ddCp)n"k] « cA-i 2(k+a)(k+l+a) avec C. = C.(k,a) = -- - . On obtient donc finalement 4 4 k-l+a dcp a dCcu Jk * c4^Ljk-i+ nvi Wia -\- ■ Notons J' l'intégrale obtenue en remplaçant cp, par cp! = exp(Bcp ) K K K K dans Jk et posons M = ||cû || . Il vient 26 MESURES DE MONGE-AMPERE Bcp ddV = e k(B ddCcp^ + B2dc^ A d° cû ) Q _ -BM , ,c ^ Te *k * Be dd cû + , k Be'BMjk * Jk- Jfi lvl V W -^^ ^ ^"Vl • Comme inf — e = 2eM = 2e ||cpj| , ceci achève la démonstration B>0 de (b) par récurrence sur k avec la constante C cp4 pour Uj^k LEMME 2.4. Il existe des suites strictement croissantes d'en­tiers m(v),m (v), ...,m.(v) , v € IN , telles qu'au sens de la convergence faible des mesures on ait au choix l'une ou l'autre des propriétés de convergence ci-dessous : (a) dd V , . a dd cp, , v A...dd cû , —- dd V A dd cp, A...dd m m(v) ^l.n^Cv) Xm^v) Tl Te (b) V t ddCcp, y A...ddCcû > Vdd°cp A ... ddCcû . m(v) ^l,ml(v) Xmk(v) *1 Ts Démonstration. D'après le théorème 2.2 déjà démontré dans le cas des fonctions psh C les suites (a) , (b) sont localement bornées en masse, et les parties bornées de l'espace des courants d'ordre 0 sont métrisables pour la topologie faible. Dans le cas (a) on observe que c c c ce c ca dd V A dd cp A... a dd cp —** en dd V a dd cp1 A. ..A dd cp par convergence monotone de ca quand m — +» ; on a donc c c c c c c c dd V Add co....dd cl , Addcp, —^ dd VAdd cp ...dd cp, . Tl *k-l \m *l ^k La topologie étant métrisable, on peut choisir successivement m (v) = v puis m (v),..-,m (v) ,m(v) par récurrence sur v (resp. m(v) = v puis m.(v),..., m (v) dans le cas (b)) pour obtenir la convergence sou­haitée. ■ 28 MESURES DE MONGE-AMPERE Enonçons ici en vue de références ultérieures le lemme d'intégra­tion par parties que nous avons utilisé. 2 LEMME 2.5. Si u et v sont des formes de classe C de bidegrés respectifs (p, q) et (n-p-l,n-q-l) avec p+q pair. alors J uAdd v = J dduAv + J uAdv-duAv . q ci on Il suffit en effet d'appliquer le théorème de Stokes à la forme ce ce ce d(uAd v - d uav) - UAddv-dduAv + du A d v + d UAdv c *• ~ c et d'observer que du A d v = i(ôuA dv + dv a ou) = dv Ad u . ■ En adaptant les techniques de (BT2) à la situation présente, >ntrons maintenant la continuité de i'opéri port aux limites décroissantes de fonctions psh THEOREME 2.6. Soient ^^ c ^(X) et (V\^^ des suites décroissantes de fonctions psh telles que cp. = iim cp? € L." (X) , V = iim Vv je — . Au sens de la convergence faible des mesures, on a alors (a) dd°VVA dd°cp^ A...A dd cp^ —*• dd°V Add cp A...A ddCcp , \j C \j C \J c c (b) V dd cp A...Add cp, —^ Vdd cp A...Add cq , \i CC C \j ce c (c) cp/; dd V Add cp a... a dd cp/; —^ qx dd V A dd cp a...Add ça Nous prouverons le th. 2.6 simultanément avec la propriété suivante qui en est un corollaire. 29 J.P. DEMAILLY COROLLAIRE 2.7. 33dd (Vdd çp A...Add cp ) = dd VAdd cp A...A ddCcû . 34Les courants Vdd cp- ... dd cû et dd VAddCcp ...ddCCû sont symétriques en cp1,...,cpt . Démonstration. En utilisant le lemme 2.4 et un procédé évident de suite diagonale, on se ramène au cas où Vv,cpv,... ,cp£ sont de classe C . Comme les propriétés 2.6 (a,b,c) sont locales, on peut sans perte de généralité se placer dans un ouvert Q = {p < 0} ce X . On va maintenant se ramener à la situation où cp. » cp. sont de classe C°° au voisinage de dfi et nulles sur bù , de manière à pouvoir appli- 2 quer la formule de Stokes sans termes de bord. Soit IR ^ (u,v) *— X(u,v) une fonction C convexe croissante en u et v , qui coiheide avec max(u,v) pour |u-v| > 1 . Alors q>^= McpY ~ ~ » e P) est Psn C , de plus pour e > 0 assez petit (îjv - cp^-"f sur n3e = {p<-3e} (pv = e~2p sur Ô\Q£ = {-€ * p * 0) . v -2 On peut donc finalement supposer que cp. = cp. = e p sur la "couronne" Ô\Q (et ceci quels que soient j , v) • Preuve de 2.6 (a) . On raisonne par récurrence sur k . D'a­près (2.1) il suffit de prouver que (2.8) lim J cf^ddCVVAddCcp^ ...ddCcp^_iA ddC^ V-+eo Q = J cp. dd V a dd cp ... dd cp. A dd ty pour toute forme ifc € C* . . (Q) telle que ty, = 0 (noter que n—k- i, n—k— L Io»* par hypothèse cp^i = 0) . Quitte à remplacer \|i successivement par c n—k—1 c n—k— \ c p(dd p) et jr + Ap(dd p) , A » 0 , on peut supposer dd | 2 0 sur ÇÎ . L'inégalité £ dans (2.8) résulte alors simplement de l'hypo­thèse de récurrence 30 MESURES DE MONGE-AMPERE ddCVVA ddCçp^... ddCcû^ -* dd°V A dd% ... dd°cp et du théorème de convergence monotone. Pour prouver l'inégalité k inverse, on effectue des intégrations par parties successives au moyen du lemme 2.5 : f cp dd Va dd cp ...dd cp, A dd \|i a £ P ca^dd V a dd cp ...dd cp, A dd \|i Q CC C C \i c = f cp dd VAdd cp1 ... dd cp. 9 A dd cp^ a dd \|i Q £ P cp^ dd VAdd cp ...dd cû 2Add cp^ Add ♦ Q = ... £ J cpV dd V A dd cpg ... dd cp^ A dd \|i a = J VddCcpv ... ddCcp%ddCi|( Q - f Vd cp^Add cp^~- dd cp^Add ^ s J VvddV .- ddCcp^AddC^, - e"2kJ VdCPA(ddCp)k"lAddC^ = J cp;ddCVVAddy ...dd\£ + €*2k J (VV-V) dC p A (d dC P)k' l A ddC * La dernière intégrale tend vers 0 par convergence monotone, ce qui achève la preuve de 2.6 (a) . Preuve de 2.7 (a) . Conséquence immédiate de 2.4 (b) et 2.6 (a) Preuve de 2.6 (b) . L'inégalité 2.2 (b) entraîne que la suite \J C \j C \j V dd ^ A...Add cp. est de masse localement uniformément bornée sur X . De plus toute valeur d'adhérence de cette suite est telle que T £ Vdd cp a ... Add cp , \j -2 avec égalité sur q\q (là où cp = cp. = e p). D'après 2.6 (a) et 2.7 (a) on a d'autre part 31 J.P. DEMAILLY ddCT = ddCVAddCcp A...A ddCcp = ddc(Vdd°cp ...ddCcpi) . Distinguons maintenant deux cas suivant la valeur de l'entier k . c n—k—1 Si k i n-1 , le lemme 2.5 appliqué avec v = p(dd p) entraîne que le courant positif c c u * Vdd cp A...Add cp. - T est nul sur Q . Si k = n , on peut considérer V , cp ,...,ca comme des fonc­tions sur XxŒ ne dépendant pas de la dernière variable, et appliquer le résultat 2.6 (b) déjà connu à XxŒ . La démonstration de 2.6 (c) est identique. ■ Remarque 2.9. Si cp. est * 0 , on peut écrire j jc i jjC 2 , ,c dcp. A d cp = i dd cp. - cp dd ca ; par conséquent, le théorème de convergence faible 2.6 reste valable pour c c tout produit de V ou dd V par des (l, l)-formes du type dd cp., c ce dcp. A d cp. , ou encore (par polarisation) dcp a d cp. + dcp. a d cp. . Remarque 2.10. Le lecteur trouvera une intéressante discussion sur le problème de la définition et de la continuité de l'opérateur de Monge-Ampère dans (Kil et [Ce] . En particulier, il est possible d'étendre certains des résultats précédents au cas où les fonctions cp. ne sont plus nécessairement bornées, à condition de faire une hypothèse de compacité sur les pôles des cp . Nous supposerons qu'il existe un compact Kc X tel que cp ...-.cû soient localement bornées sur X\K . Alors la définition (2.1), le lemme 2.4 (a) et le théorème 2.6 (a) res­tent valables. Pour le voir, on observe que le problème se pose uniquement 32 MESURES DE MONGE-AMPERE au voisinage de K . Soit p une fonction C strictement psh et m un ouvert tels que Kc uucc Q - {p < 0} ca X . Quitte à remplacer çp par 2 -2 fçp. - ~ sur m , e p sur X\q r- 2- -2 'sup(cp.--, e p) sur q\uj j e -2 on peut supposer cp. = e p au voisinage de ôQ . Démontrons d'abord ce c par récurrence que cû dd V a dd çp A...A dd ca (et donc aussi dd VA dd çp ...dd m ) est de masse localement finie si k £ n-1 . Pour tout a < 0 on a en effet, avec la notation ca - max(cp., a) : f (m [dd V A dd cp. ...dd cû A (dd p) = J |p|ddC(c^ addCVAddCcpi...ddC^l)A(ddCp)tl'k"1 n sCj dd°(cû ddCVAddCcpl...ddCc^-1)A(ddCp)n"*k"1 = C c"2k J ddc V a (ddc p)n~l <+», 0 la dernière égalité provenant du théorème de Stokes. La démonstration de 2.4 (a) et 2.6 (a) se fait alors sans aucune modification. 33 J.P. DEMAILLY 3. - Mesures de Monge-Ampère et formule de Jensen. A toute fonction cp psh continue et exhaustive sur un espace de Stein, nous allons associer de manière canonique une famille de mesures positives portées par les ensembles de niveau de cp . Ces mesures appa­raissent naturellement lorsqu'on cherche à étendre la formule de Jensen en plusieurs variables. Les principales idées de ce paragraphe reposent sur les calculs faits par P. Lelong [Le 1] pour montrer l'existence des nombres de Lelong d'un courant positif fermé. Nous reprenons pour l'es­sentiel les notations de [D4] , ÏD5) (voir aussi l'article de H. Skoda [Sk 51 ). On considère un espace de Stein X de dimension pure n , ré­duit, muni d'une fonction psh continue cp : X — [-*>,R[ , où r £ ] -od f +») . Pour tout r < R on note B(r) =(z6X;cp(z) -œ t et si en en r = -• , (dd cp ) = (dd cp) existe d'après la remarque 2.10. LEMME 3.1. - L'application r — (dd cp ) est continue de !-•, Ri dans l'espace des mesures sur X muni de la topologie faible. 34 MESURES DE MONGE-AMPERE Démonstration. La continuité à droite résulte du théorème 2.6 (a), tandis que la continuité à gauche s'obtient en écrivant c n c n (dd cp ) = (dd max(cp-r, 0» . ■ en en Comme (dd cp ) est nul sur B(r) et coïncide avec (dd c# sur X\B(r) , la continuité à gauche entraîne (ddV * 1X\B(r,«ddC"n ' où 1. désigne la fonction caractéristique d'une partie Ac X . Les ré­sultats ci-dessous découlent aussitôt de ces remarques et justifient la dé­finition suivante. THEOREME et DEFINITION 3.2. - On appellera mesures de Monge-Ampère associées à cp les familles de mesures positives (M ) , (£ ) portées par S(r) , r € [-•, Ri , définies par ^ = (ddccp/-VB(r)(ddC r . Le théo­rème 2.6 (a) entraîne donc J h(ddCcp f = lim J h(ddP x *cp)n = lim-T dhA(ddv «cp)" Ad (v »c^ VHrfœ 0 ^ = lim -J xf -» ou si inT VV > -• . B(r) Démonstration. L'intégrabilité de V pour \a (et pour û ) -—--__—— r r C n résulte du fait que V est intégrable pour (dd cp )n d'après le théorème 2.2 (b) . Notons aussi que les intégrales J dd Va (dd c# * 0 et c n B(t) J V(dd cp) ont bien un sens en vertu de la remarque 2.10, la pre- B(r) mière étant d'ailleurs toujours convergente. La deuxième converge si inf^p> -œ grflce à 2.2 (b) , ou si inf_, > -œ grâce à 2.10. Pour dé­montrer la formule 3.4, on suppose d'abord inf^p > -• et inf_, .V > -» , et on se donne c > r . Le théorème de Fubini implique (3.5) f dtj dd^VAtdd^cp)11"1 = J [J dt)ddCVA(ddCc0n"1 B(t) B(c) cpddCVA (dd0^11"1 + V (ddfctfn = J_ VCdcfcp )° B(r) B(r) r " Mr(V) . - en Compte tenu de (3.5) et de l'égalité ^ * |jl + 10/ %(dd cp) , ceci démon- r r «(r) tre la formule 3.4 sous l'hypothèse restrictive que cp et V soient mi­ norées. Dans le cas général, on peut écrire V = lim V où V est une suite décroissante de fonctions psh Cœ sur X (cf. [FN] ). Soit a = 1**1 dû\ A vf*jkml + J Vdd\>n • v a B(t) v a B(r) v Un passage à la limite quand v tend vers +» donne H (V) = r dt f ddcVA (ddCcp )n-1 + f V(ddCcp )n ; r * B(t) a B(r) a en effet, la mesure dd°V A(dd cp ) converge faiblement vers .va dd Va (ddCcp )n" gr9ce au théorème 2.6 (a) , et cette mesure est éva­luée sur la fonction continue 1_, v(r-cp ) d'après (3.5) . Le théorème B(r) a - q1 c n ^ de Stokes montre que la mesure dd°V A l(dd cp ) ~ - (dd cp) J est d'intégrale nulle sur B(t) pour tout t > a , donc on obtient J dt J ddCVA (ddCcp)n"1 = M (V) - J V(dd°cp )n . a B(t) r B(r) a Cette formule entraîne que les fonctions continues a ~— f V (dd cp ) B(r) v a s ont croissantes sur [-«,r( . Leur limite décroissante Je n V(dd cp ) est donc continue à droite, ce qui permet de passer B(r) a à la limite en a= -• . ■ De la formule 3.4 on déduit aussitôt la formule analogue pour les mesures jj T jc n-1 (3.6) J dt J_ dd VA (dd cp) " = m (V) - J_ V(dd cp) . B(t) r B(r) 38 MESURES DE MONGE-AMPERE En particulier pour V = 1 il vient : COROLLAIRE 3.7. - Les masses totales de n et Q sont données par Hll-J an, 115,11- l an. B(r) r B(r) Dans toute la suite, nous laisserons au lecteur le soin de traduire les résultats obtenus dans le cas des mesures p . Nous étudions mainte­nant la continuité des mesures p en fonction de l'exhaustion cp . PROPOSITION 3.8. - Soit (cpv) _. une suite décroissante de fonctions psh continues convergeant vers cp sur X , et p ___ _ — r les mesures de Monge-Ampêre associées à cpv . Alors |jV converge faiblement vers jj pour tout r € )-•, Ri \D . y ^ Démonstration. Il surfit d'appliquer la définition 3.2, qui donne ^=(dd%^-VBV(r)(ddV)n avec cpV = max(cp ,r) , Bv = jz € X ; cp (z) < rj , et d'observer que B(r) = U Bv(r) . Le théorème 2.6 (a) implique alors (ddV)D -(ddV , (ddCcpv)n - (dd% )D . . La proposition suivante montre que les mesures p sont essen­tiellement les mesures de désintégration du courant (dd cp)n~*A dcp a d cp sur la famille des pseudosphères S(r) . PROPOSITION 3.9. - Soit h une fonction borélienne bornée à support compact dans X\£(-«) . Alors R n-1 c (a) J p (h)dr = J ha A dcp Ad cp . — «D J\ (b) Si de plus h est de classe c , on a p (h) = J dlha a d cp J = [ ha + dhAd cpA a r B(r) B(r) 39 J.P. DEMATLLY Démonstration. (a) Les deux membres définissent des mesures positives opérant sur h . Il suffit donc de démontrer l'égalité lorsque h est continue à support compact. D'après la proposition 3.3 et le théorème de Fubini, la formule est vraie lorsque cp est de classe C* : le théorème de Sard montre en effet que l'ensemble des valeurs critiques de cp est né­gligeable. Le cas général s'obtient alors en appliquant la proposition 3.8 à une suite cpv de régularisées de cp . (b) D'après 3.3, la formule est vraie si cp est C* et si r n'est pas valeur critique de cp . La proposition 3.8 étend le résultat au cas où cp est seulement continue, pourvu que r i D .11 suffit alors d'observer que les deux membres sont des fonctions continues à gauche en r . ■ Soit x: l-œ. Rl — 1R une fonction convexe croissante non cons­tante. Les mesures \x associées à l'exhaustion cp* = \°cp sont alors reliées aux mesures \i par la formule de changement de variable sui-r vante : PROPOSITION 3.10. - Pour tout r € l-«\R[ , on a les formules MX(D = X-(r) Mr ' %(D = X+(r) Mr- où xl » X sont les dérivées à droite et à gauche de x • Démonstration. Les égalités résultent de la proposition 3. 3 lors­que cp f x sont de classe C et lorsque r est valeur régulière de cp . La proposition 3.8 implique le cas général si r ^ D , après passage à la limite décroissante sur cp et x • Le résultat s'en déduit par conti­nuité pour r € D . ■ 40 MESURES DE MONGE-AMPERE c n 4. - Mesure résiduelle de (dd cp) sur S(-«0 . Si V est une fonction psh * 0 , le théorème 3.4 montre que la fonction r *— u (V) est croissante 2 0 . De plus, comme l'intégra-r r c n-l ble double f dt f dd VAa £ i~i (V) est convergente, il vient B(t) r lim v (V) = iim J VaD = J VaQ . r-,-» r r_—œ B(r) S(-«) THEOREME ET DEFINITION 4.1. La mesure jl = 1 t .an -CD S(-OCj portée par le compact S (-a) sera appelée mesure résiduelle associée à cp . Pour toute fonction psh V * 0 sur X on a il (V) = lim u (V) et p tend faiblement vers £ quand r — -» . r —————————————. — » La dernière affirmation résulte du th. 3.2, ou du fait qu'on peut 2 écrire toute fonction h de classe C sur l'espace de Stein X sous 2 la forme h = h -h avec h ,h * 0 psh de classe C . 1 <£ 1 z L'objet de ce paragraphe est d'énoncer quelques propriétés générales des mesures résiduelles p . Pour évaluer £ sur des exemples concrets, on dispose du théorème de comparaison suivant, inspiré des résultats de (D4) , (D5) sur les nombres de Lelong. THEOREME 4.2. Soient cp. : X- I-»,R.| , j = 1,2 , deux fonctions psh continues exhaustives et u les mesures associées respectives sur S.(r) = {cp. = r ) . On pose 41 J.P. DEMAILLY l - lim inf ——• . Alors pour toute fonction psh ViO Vz>- -. *t« on a l'inégalité 13 m ,(V) * enH (V) . En particulier, si ççl ~ £cp1 quand cp (z) — -• , on a Démonstration, Il suffit de montrer que £ 0(V) iû (V) sous l'hypothèse lim inf CfL/cp. > l . Fixons r < R„ et posons cp = sup(cp-A, cp~) où A est choisi assez grand pour que cp coihcide avec cp0 au voisinage de S (r) . Soient \a les mesures associées ù a r à cp . L'hypothèse lim inf cp0/cp > 1 entraîne qu'il existe t < r tel que cp coihcide avec cp.-A sur B (t) = {cp.. < t} . On obtient donc S .(V) = lim u .(V) = Um u (V) iu(V) = u 9(V) , "^f l t--œ C» l t-»-» C r r»^ d'où £ (V) * lim u 9(V) = M 9(V) . ■ Sous les hypothèses précédentes, on peut conjecturer que l'iné­ galité entre mesures £ * i JI a toujours lieu, mais les -•,z -»,i conclusions du théorème 4.2 ne nous ont pas permis de le démontrer. Nous disposons toutefois du résultat particulier suivant : COROLLAIRE 4.3. Avec les notations du théorème 4.2, soit A c S (-4 une partie borélienne qui est réunion de composan­tes connexes de S {-*) et 1 la fonction caractéristique de A . Alors pour toute fonction psh VîO ^..2(1AV)2t"-.l(IAV)- En particulier, si S (-«) est totalement discontinu, on a 42 MESURES DE MONGE-AMPERE Démonstration. Il existe une suite croissante de compacts K c: A tels que £ .(A\K ) < 2~v , j = l,2 . La relation d'équiva- lence dont les classes sont les composantes connexes de S (-«) est de graphe fermé (S (-«) étant compact). Le saturé K de K est donc une partie compacte de A ; de plus K est intersection d'une suite décroissante de parties à la fois ouvertes et fermées dans S (-») (cf. Bourbaki iBo] , chap.II, §4, n°4). On peut donc supposer que A est ouvert et fermé dans S (-») . n existe alors un ouvert U ce X tel que A = Un S (-») , %V H S. (-«) = 0 . Soit r = inf çp > -œ et 1 1 ° ôU l Q = {z £ U ; cp (z) < r } . Ci est réunion de composantes connexes de B (r ) , donc Cï est de Stein ; de plus cp : Q — [-«>, r I est exhaustive. Posons cp = sup^.v^-r^l)) . Pour v > sup cp l'application cp : 0 — l-»,vf est exhaustive, Q 2 V tandis que pour v * £ on a cp (z) cp2 lim inf , v = lim inf — = £ . D'après le théorème 4.2 appliqué à cp, et cp sur Q , il vient 1 v S (IV) ^U .(IV) . -œ,V Q -«, 1 Q Si Z est > 0 (seul cas intéressant à considérer) on a S (-») d S (-«) , donc S (-«) =s,(-oo) et QI1S,(-•) = UnS(-»)= A . Par conséquent (ddCcp )n(UAV) = S (IV) * £nM (IV) . V A -œ, v A -», 1 A On observe maintenant que la suite cp décroît vers cpn sur V 2 l'ouvert B,(r -1) quand v-~+œ . donc (dd°cp ) tend faiblement 10 v vers (dd°cp )n sur B (r -l) d'après 2.6 (a) et 2.10. Comme A est compact, A c S (-œ) c B (r -1) , et comme IV est semi-continue supérieurement, on en déduit à la limite 43 J.P. DEMAILLY Dans le calcul classique qui suit, nous aurons besoin d'évaluer la masse ||n J| à partir de la fonction cp** e . A cet effet, on ob­ serve d'après la proposition 3.10 que \±* = r ij- , d'où (4.4) £ (1) = lim fn\x*{l) = iim r"n f 0 et (c|*) (0) = 0. Alors (ddCcp)n= (2rre)n60 où 60 est la mesure de Dirac en 0 . c n Démonstration. L'homogénéité de cp* implique (dd cp) = 0 sur Œ \{0} . Dans le cas particulier cp*(z) - |z | , on trouve (dd cp*) =4 n! dX (dX = mesure de Lebesgue), d'où £ (l) = (4n) et (dd cp) = Jî = (4tt) 6ft . Le cas général résulte du théorème 4.2. ■ Exemple 4.6. A titre d'illustration de ce qui précède, regardons le cas où cp(z) = Log sup( |z |,..., |z |) dans 0 assez grand. D'après le corollaire 4.3 et la formule (4.7) il vient : d'où lim inf -2^ = ~ V(cp, x) , z_x c^(z) 2ti - 1 n- n n V « * («=v(cp,x)) m . ^2 m(X,x)v(cp,x) 6v -• Z77 -od, 1 X 45 J.P. DEMAILLY 5. - Principe du maximum. Soit cp une fonction d'exhaustion psh continue sur un espace complexe X . Nous allons voir que les fonctions plurisousharmoniques sur X satisfont le principe du maximum relativement aux mesures de M on ge-Ampère associées à cp . THEOREME 5.1. Si B(r) = {cp< r] ^ 0 , alors ||jj || > 0 et pour toute fonction V psh sur X on a : SUP«, y = sup essentiel de V relativement à m . B(r) r r L'exemple 4.6 montre que r hypothèse de plurisousharmonicité de V dans le théorème 5.1 est pertinente. Démonstration, n n'est pas restrictif de supposer ViO . Nous allons alors montrer que sup V = ||V|| en appliquant la formu- B(F) L^) le de Jensen à une fonction d'exhaustion cp' bien choisie. 2 Soit ty une fonction strictement psh de classe C sur X , z. £ B(r)n X un point régulier et V c 0 assez petit, la fonction CP'(Z) = SUp(cp(z),Cp(Z0), T-jï + €^(z)) est égale à e^(z) + Cte sur V et coihcide avec cp au voisinage de S(r) . La mesure ^ peut donc aussi bien être définie par cp' , ce qui donne u (V) = J dtj ddCVn(ddCcp')n"1 + J V 0 . Remplaçons maintenant V par V et faisons tendre p vers +» . H vient : V(z0) * lirn^ [f VPA] . Pour toute fonction psh V sur X et tout r > A le théorème 3.4 montre alors que la dérivée à gauche (6.2) J-M(V)«J ddCVAan"X - B(r) est positive croissante en r , d'où le THEOREME 6.3. La fonction valeur moyenne r •—M (r) = yx (V) est convexe croissante sur lA, R[ . Le cas classique évoqué au début correspond à la boule de rayon e dans = [^r^+J P • p € U'+œt 48 MESURES DE MONGE-AMPERE THEOREME 6.4. La fonction r — MP (r) est convexe croissante sur 1A,R[ . Démonstration. Par régularisation on se ramène au cas où V est psh > 0 de classe C . Etant donné e>0 , considérons la fonc­tion h(r) = Jr u (VP)dt = J vV^AdcpAd0? , r€ )A+e,R[ G r-€ B(r)\B(r-e) (la dernière égalité résulte de la proposition 3.9 (a)) . Comme |J (V ) = lim -h(r) , il suffit de prouver que h est convexe pour tout e > 0 . On doit donc vérifier 1 inégalité (6.5) h h" - (l--)hf2 * 0 e e P e où la dérivée seconde hM est, disons, calculée à gauche. D'après la proposi- € tion 3. 9(b) et l'hypothèse (6.1) il vient h^(r) = Mr(VP) - Mr.e(VP) = J dfvV^Ad^l B(r)\B(r-e) = J pVP"1dVAan"1AdCcp . B(r)\B(r-€) La formule (6.2) implique par ailleurs "(r) = J ddWa e B(r)\B(r-e) Grâce à l'inégalité de Cauchy-Schwarz on obtient h' (r)2 s j Vpan"1 adcpAdCcp • J P2Vp"2dVAdcV Aa""1 € B(r)\B(r-e) B(r)\B(r-e) et la relation (6.5) cherchée découle de l'inégalité c d P-2 c dd (VH) i p(p-l)VH dVAd V . ■ 49 J.P. DEMAILLY COROLLAIRE 6.6. Les fonctions définies par 35M^r) = Log nr(eV) 36M*(r) » supB(r)V sont croissantes convexes sur )A, RÏ . Démonstration. La propriété (a) résulte du théorème 6.4 et de l'égalité Lognr(eV)= Um pj[ur() (resp. A : Y— [-a>,+œ[) semi-continue inférieurement (resp. supérieurement) vérifiant les propriétés ci-dessous. Hypothèses 6.7. 37tt est surjectif, et les fibres tt" (y) , y £ Y sont de di­mension pure n . 38n est un morphisme de Stein, i.e. Y possède un recou­vrement ouvert (Q.).rT tel que rr~ (Q.) soit de Stein pour tout j € J . 39cp(x) < R(tt(x)) et A(y) < R(y) quels que soient x^X, y € Y . 50 MESURES DE MONGE-AMPERE (d) Pour tout y € Y et tout r < R(y) , il existe un voisinage U de y dans Y tel que n"l(U)nB(r)ccX . (e) (ddCc#n sO sur l'ouvert (x^X; cp(x) > A(tt(x))} . On note ici encore B(r) = [cp 1 on peut supposer de plus V> 0 . Soit e > 0 arbitraire et x : lr-e,rl — IR une fonction C *0 non nulle à support com­pact. Par analogie avec le théorème 6.4, introduisons la fonction auxi­liaire h(y) = J py t(VP)x(t)dt = J vVcpïa^Adcp A dCcp n" (y) définie sur l'ouvert V = Jy€Y ; A(y)+ g < r < R(y)( . Pour conclure, il suffit de montrer que h est faiblement psh sur 51 J.P. DEMAILLY U .Si p > 1 il s'agit donc de montrer que € hddCh - (l-^)dhAdch * 0 . Soient u , v , w des formes réelles de classe c* sur Y à support compact dans V , de bidegrés respectifs (m, m) , (m,m-l)© (m-l,m) et (m-l,m-l) . D'après le théorème de Fubini, qu'on applique d'abord en supposant cp de classe C , il vient f hu= f V x(9)a a dcpA d cp a tt*u ; Y X le cas où cp est seulement continue s'en déduit par limite décroissante (th. 2.6). On observe maintenant que l'intégrande est à support dans tt~ (Suppu) 0 (B(r)\B(r-e)) ce X (hypothèse 6.7 d) et que le courant n— X c X(ç)a A dcpAd cp est d-fermé (hypothèse 6.7 e) . Au moyen d'une in­tégration par parties sur Y et d'une autre inverse sur X on obtient donc successivement (6.9) J dhAv ■ J divVxWa11"1 Adcp a d°cp a tt*v , Y X (6.10) f ddChAw = f ddC(VP)Ax(cp)an"lAdcpA dCcpATT*w . Y X Supposons que la (m-l,m-l)-forme w soit * 0 . L'égalité (6.10) A c c montre déjà que J dd h aw 2 0 , donc dd h 2 0 sur V , ce qui Y € résout le cas p * 1 . Dans le cas général p > 1 , soit y une 1-forme réelle C* sur Y et y° - i 0 sur U d'après 4.1 ; si nous fai-sons tendre maintenant v vers -g- , il vient l'inégalité attendue ^dhAdCh s^rddCh . h p-1 Pour voir que h est localement majorée sur Y , il suffit de regarder le cas où V s 1 . L'égalité (6.9) montre alors que dh = 0 , donc h est localement constante sur X . ■ La proposition 6.8 contient en fait le résultat plus général sui­vant, qui était notre principal objectif. THEOREME6.il. Les fonctions sur YxŒ définies par (y,z) - My(y>Rez) , M^,R*I des fonctions psh J — J J c J continues exhaustives telles que (dd cp) i s 0 sur l'ouvert {x€ X ; cp (x) > A ) . Si V est^psh sur X x... x X les j j J 1 k fonctions 53 J.P. DEMAILLY p 1/P exD MV <*! rfe) « LogM y(rx rfc) e MÎV-rk>-™pB(rl)x...xBfr/ sont convexes en les variables (rlf...,r.) € T] 1A,R [ si- 1 * ikjsk i J multanément et croissantes par rapport à chacune des r . Plus généralement, si X est un espace analytique de dimen­sion pure n et si V est psh sur X x X x...x X. , la fonction M^(x0,Rezlt...,Rezk) = M* (Re*lf...tRe*k) (resp. p = 0 , exp, ») est psh sur l'ouvert k VU [Aj<»",<»,)cV^ • Démonstration, n suffit de prouver la dernière affirmation. On raisonne par récurrence sur k . Pour k - 1 , le théorème 6.11 appliqué à tt : X = X x X — X ■ Y et çp = cp. montre que la fonc­tion est faiblement psh . Si de plus V est continue, cette fonction est séparément continue en x et convexe en Rez , donc continue en (x Rez ) . Grâce au corollaire 1.12 , M^(x ,Rez ) est donc psh . Le cas où V est quelconque s'obtient en écrivant V comme limite décroissante de fonctions psh continues. Pour k > 1 , la propriété résulte à l'ordre k de sa validité aux ordres 1 et k-l en posant 54 MESURES DE MONGE-AMPERE W(vxi "k-i-v - <(x0 vi'-)(BeZk) et en observant que < • ■ Nous terminons ce paragraphe en réexaminant à la lumière des résultats précédents l'inégalité de convexité de P. Lelong, qui mesure de façon précise les variations de croissance d'une fonction psh sur un espace fibre le long des différentes fibres. Cette inégalité a été utili­sée par H. Skoda [Sk2] pour construire un premier contre-exemple au problème, posé par J.P. Serre en 1953, de savoir si un fibre à base et à fibre de Stein est lui-même de Stein ; voir aussi [D 1] , [D2] pour d'autres contre-exemples et lD3l pour une construction simple et rapide. Soit Q un espace de Stein irréductible de dimension m , qui jouera le rôle de base du fibre, et X un espace de Stein de dimension pure n , qui sera la fibre. On suppose qu'il existe des fonctions if : Q — [-•, Rf , cp : X — [-»,+»[ psh continues exhaustives telles que (dd \jf) =0 sur {i|j>A} , (dd c# =0 sur [cp > 0) . Par exemple si X est une variété algébrique affine, il existe un mor-phisme fini F : X —* 0.La propriété de convexité du corollaire 6.12 montre que M*(b,r) sMy(a.ar) + (1-^)[m^(c, 0) - M*(a, ar)j 55 J.P. DEMAILLY C"*a avec o =—r • H résulte du théorème 7.5 démontré au paragraphe sui-c-b vant que M*(a,r) — + œ quand r — +• dès que V est non constante sur au moins une fibre {z)x X , z € B(a) . Il existe alors une constante r dépendant de a,b,c,V telle que (6.13) M*(b,r) < M^(a,or) pour r > rQ , où o■» ^~ . Si et est un ouvert relativement compact dans 0 , on pose maintenant M;(u);r)=8upujxB(r)V. Grôce à un raisonnement élémentaire de compacité et de connexité (cf. [Le2) , th. 6.5.4) on déduit alors de (6.13) le résultat suivant : COROLLAIBE 6.14 (Inégalité de P. Lelong). Soient fi un espace complexe irréductible. u> , uj deux ouverts relativement compacts dans fi et V une fonction psh sur fi x X , suppo­sée non constante sur au moins une fibre (z}xX . Alors _il existe une constante o>l ne dépendant que de u> , uu, fi, et une constante rfl dépendant en outre de V, telles que pour tout r > r on ait M^(Ui2;r) < M^; or) . Dans les applications pratiques se pose le problème du calcul explicite de la constante g. L'inégalité (6.13) apporte une réponse théo­rique complète à ce problème. Si uj-.uu ce fi sont des ouverts de (E , on cherche une fonction harmonique \)i sur fi\ïL qui tend vers 0 sur Ôuj et vers 1 sur dfi (resp. vers +• si dfi est de capacité 0) ; on prolonge ijt par 0 sur il et on pose b = sup if . Toute constante 1 2 o > T-7 (resp. o>l) répond alors à la question. Le cas où la base fi est de dimension m > 1 revient à résoudre un problème de Dirichlet C TTï analogue pour l'équation de Monge-Ampère (dd i|0 =0 sur fi\ffl . 56 MESURES DE MONGE-AMPERE Il est facile de voir que la constante o ainsi obtenue est la meilleure possible. Vn calcul élémentaire montre en effet que la fonc­tion x(t,r) = exp(-î- + r) 1"t 0 dépen­dant de V , € , r telle que pour tout r 2 r on ait (l-e)r J do^VAa1"1 ^(V^ C T(r) . B(r0) Démonstration. Posons V =sup(V,-v) , v € IN . Les mesures _______________ c n—1 c n—1 dd V a a convergent faiblement vers dd Va a quand v — +• , c n** 1 c n— t par suite iim inf f dd V Aa 2J ddVAa .11 existe donc v-+» B(r0) V B(r0) v € IN (dépendant de V, e, r ) tel que J dd V Aa * ^-^J dd VAa B(r0) v B(r0) La formule 3.4 appliquée à V donne d'autre part r */»„ »-i C = v +—-7 f dd VAa . ■ Dans toute la suite de ce paragraphe, nous ferons une hypothèse de modération sur la croissance du volume de X . HYPOTHESE 7.2. lim —* = 0 . r-+« r Nous obtenons alors comme conséquence immédiate de la pro­position 7.1 l'inégalité fondamentale suivante : COROLLAIRE 7.3. Sous l'hypothèse (7.2), on a pour toute fonction V psh : F ddCVAaI1"i slim inf ;M (VJ . r-+» Cette inégalité sera exploitée principalement au moyen du iem-me suivant : LEMME 7.4. Soient ty une fonction strictement psh de 2 classe C sur X et r < r avec B(r ) ^ 0 . Alors il existe une constante C(r,r )>0 telle que pour toute fonction psh V : J ddCVA(ddC^)n"1 *C(r r )J ddCVAaD"1 . B(rx) B(r2) Démonstration. Posons cp' = sup(cp, r+ e^ + Jî) où € > 0 est choisi assez petit pour que tf = ^ au voisinage de S(r ) et cp' = r + e4» + Je sur B(r ) . D'après le théorème de Stokes il vient J ddCVA(ddCcfln~l = J ddCVA(ddCCp,)n'1 B(r2) B(r2) * c0"1; ddCVA(dd%)n"1 B(r1) 59 J.P. DEMAILLY THEOBEME 7.5. Toute fonction psh V sur X vérifiant l'une des hypothèses de croissance ci-dessous est constante : (a) iim inf 7 u (V ) = 0 ; r-+» r W SUPB(r)V = o(^7)> quand r — +• . Démonstration. Le théorème 5.1 donne Ur(V+> * Hur||supB(r)V+ = T(r)supB(r)V+ , donc l'hypothèse 7.5 (b) implique 7.5 (a) . Sous l'hypothèse 7.5 (a), le corollaire 7.3 et le lemme 7.4 montrent que dd V = 0 t i.e. V est pluriharmonique. Pour tout x €X la fonction z »— V(z) - sup(V(z),V(x)) vérifie encore 7.5 (a) , elle est donc pluriharmonique. D'après le prin­cipe du maximum -V est constante sur X (X est supposé irréductible), i.e. V * V(x) ; V est donc constante.* Dans la situation usuelle de l'espace hermitien Œ et de la fonction d'exhaustion cp(z) - Log(z) , le théorème 7.5 redonne (avec une démonstration un peu plus simple) un résultat dû à N. Sibony et P.-M. Wong. Définissons l'ordre logarithmique p(V) d'une fonction psh V dans Œ (resp. d'une fonction entière F) par Logsup. , V+ 0 on a l>+p+e , . 1+0+e V+(z) * cp(z) , (resp. |F(z)| £ exp(cp(z) H )) quand |z | est assez grand. En particulier, tout polynOme est d'ordre logarithmique nul, et toute fonction entière d'ordre logarithmique fini est d'ordre nul au sens usuel. 60 MESLRES DE MONGE-AMPERE COROLLAIRE 7.6 ([SW] ). Soit F une fonction entière non constante d'ordre logarithmique p < 1 , et X une composante irréductible de l1 hyper surface F" (0) . Alors toute fonction psh V sur X dfordre logarithmique < 1- p est constante. En particulier, les fonctions psh et holomorphes bornées sur X sont constantes. Démonstration. Le th. 7.5 nous ramène à estimer le volume de X relativement à cp , ce qui est un problème classique. Le courant 1 c d'intégration sur X est en effet majoré par — dd Log|F| en vertu de l'équation de Lelong-Poincaré (cf. [Lel]) ; on a donc T(r) = J (dd cp) i J — dd Log |F|a a XD(cp 0 telle que pour toute fonction F 6 A (X) non nulle on ait : ord (F) £ C(a)ô(F) . Démonstration. Soit (z,,zrt,...,z ) un système de coordonnées 12 n locales sur X, centré en a , tel que la boule |z | i c soit relative­ment compacte dans X . Le lemme 7.4 entraftie l'existence d'une cons­tante C > 0 telle que J |Z 1 a (dd^z)2)11"1 * CJ (ZF1 A a""1 . |z|*e X Le corollaire 8.4 résulte alors de la proposition 8.3 et de l'inégalité classique de P. Lelong [Le l) : (4neV"n J lZ 1 A (dd° Iz)2)""1 * ord^F) . - l*l*e En utilisant un raisonnement classique remontant à Poincaré et développé par Siegel ÏSilJ , (Si 2} , nous allons maintenant en déduire un théorème dfalgébricité très générai. 63 J.P. DEMAILLY THEOREME 8.5. Le degré de transcendance sur 0 et k — +00 . n vient à la limite vv-V*McwÈ V*/ • et le choix q. = 1/6(F.) donne la majoration explicite attendue du de­gré : ds(n£M!6(Fi,..6(Fn).. Signalons que le théorème 8.5 (b) ne dit rien en ce qui concer­ne l'algèbre A (X) elle-même ; comme nous le verrons au §10 , il cp se peut fort bien que l'algèbre A (X) ne soit pas de type fini. cp A titre d'application, considérons le cas particulier où X est N un sous-ensemble analytique (fermé) de dimension pure n dans (E , 2 muni de la fonction d'exhaustion cp(z) = Log(l+|zl ) . La métrique as- sociée a = dd cp s'identifie avec la métrique de Fubini-Study de l'es­pace projectif IP , tandis que la métrique 3 = dd e^ coihcide avec N la métrique hermitienne plate de (E .La proposition 3.10 implique les relations J B-U+rVj 2 Xn{|z| 0 : H» Log(£+ |0|2) = la [*2l»y = S^m - _l£ll C(L) . Le+|o|2J Aan-1 *llm supl Mr(Log+|0|) ♦ JIc(L)Aan"l]+ • "X (e+l ol ) r-+œ X 67 J.P. DEMAILLY Quand c tend vers 0 , le terme I—i? converge faiblement vers -4^°* » 2* + € L.1 (X,JR)nC°(X ,IR) admet ù ioc reg une estimation de la forme f exp(c\|f - Ap)3n <+œ, c> 0 , A>0 ; '!X 2q (c') les espaces de cohomologie de degré pair li*(X ;IR) reg sont de dimension finie» Les hypothèses (a1), (b») entraînent encore que X » \J X, avec X, quasi-affine, X. c X, , et l'hypothèse (c') implique que la suite X, est nécessairement stationnaire ; par conséquent, X est algébrique. Observons que l'hypothèse (c*) est toujours vérifiée si n « 1 lorsque n = 2 ou n = 3 , elle équivaut à supposer seulement dim H (X;H) < +» , car les groupes h*(X;BI) sont toujours nuls pour q>n lorsque X est de Stein. La vraisemblance des théorèmes 9.1, 9.1' nous a été suggérée en partie par les travaux de W. Stoll et D. Burns sur les variétés pa­raboliques. Rappelons ici le résultat fondamental de W. Stoll (1980), qui caractérise les variétés strictement paraboliques de rayon quelconque. THEOREME 9.2 (cf. [St2] et iBuî). - Soit M une variété analytique complexe connexe de dimension n . On suppose qu'il existe un réel R € ]0t + »l et une fonction x : M —- lO.R f CD strictement psh exhaustive de classe C , telle que Log x soit psh et vérifie (ddClogi)n h 0 sur M\t~ (0) . Alors il existe une application bifaolomorphe F : B(R) — M de la boule de rayon R dans M telle que F*x = |z| Si on lève l'hypothèse de stricte plurisousharmonicité de t , 72 MESLRES DE MONGE-AMPERE on voit facilement que toute variété algébrique affine M vérifie encore la condition du théorème 9.2 (avec R= +œ) : il suffit de choisir t s rr*Iog|z| où tt : M — C est un morphisme propre fini. Cette remarque a conduit D. Buxns à poser le problème de la caractérisât ion de telles variétés en termes de fonctions d'exhaustion ayant des proprié­tés particulières. Signalons en particulier les problèmes ouverts suivants. Problème 9.3. - On considère une variété de Stein M de dimension n , ayant une fonction d'exhaustion psh t : M—- [0,+ 0 . Alors X est biho-lomorphiquement isomorphe à une variété algébrique affine. N. Mok a déduit de ce théorème que toute surface X de cour­bure riemannienne positive vérifiant les hypothèses 9.5 (a), (b) est en 2 fait isomorphe à 2 de­meure une conjecture. Le théorème 9.5 repose essentiellement sur un travail [MSY) de Mok, Siu et Yau portant sur la résolution de l'équa­tion de Poincaré-Lelong sur les variétés kfihlériennes à courbure bi-sectionnelle > 0 . Ce résultat mis à part, la démonstration de N. Mok suit dans ses grandes lignes une démarche sensiblement parallèle à la notre. L'hypothèse que la courbure bisectionnelle soit positive appa­raît cependant assez restrictive, et ne permet pas de couvrir en géné­ral le cas des variétés algébriques affines (la courbure euclidienne d'une telle variété est toujours négative, cf. §10). Citons cependant quelques résultats connus dans le cas des courbures non nécessairement positives. Siu et Yau (SY) ont démontré qu'une variété kfihlérienne complète X simplement connexe dont la courbure sectionnelle vérifie — < courbure sect. < 0 2+e d(xQtx) est biholomorphe à Œ . Il en est de même si la courbure vérifie Ce (courbure sect. I £ -— d(x0, x) avec une constante C assez petite (cf. [MSY] ). 74 MESURES DE MONGE-AMPERE 10. - Nécessité des conditions sur le volume et la courbure. Nous allons démontrer ici que les conditions (a), (b), (c) du théorème 9.1 sont vérifiées pour toute sous-variété algébrique irréduc- N tible X a € de dimension n . 2 On choisit dans ce cas cp(z) = Log(l+|z| ) , de sorte que la Q métrique a = dd cp coïncide avec la métrique de Fubini-Study de l'es- N "~ N pace projectif IP . Comme l1 adhérence X de X dans F est une sous-variété algébrique compacte, on obtient J,, ,c vn *» n (dd cp) = r a < +» , X Jx par conséquent la condition (a) est vérifiée. D'après le théorème de Bertini-Sard, l'ensemble des valeurs critiques de cp sur X est fini, par suite l'ensemble critique de cp est compact, (quitte à perturber légèrement cp dans C (X, 1R) au voisinage de ce compact ([Mil], cor. 6.8), on construit une fonction cp' dont les points critiques sont non dégénérés. Les points critiques de cp' sont alors en nombre fini ï hypothèse (c)l. 11 nous reste maintenant à montrer que X satisfait la condi­tion de courbure 9.1 (b) relativement à la métrique 0 = ddC(eCp) = ddC|z|2 = 21 Zdz Adz. , ce que nous allons vérifier par un calcul explicite de Ricci(61 y) et de * 75 J.P. DEMAILLY Soit (P t...tP ) un système de polynômes générateurs pour l'idéal I(X) de la sous-variété X dans C[z.,...,zNI , et soit s * codimX = N-n . Pour tout couple de multi-indices K * {k^...^} c {l,...,m} , L * {ei<...< €g] c {1.....N} de longueur s , on considère le jacobien partiel J^ T(z) * detfôPks/hziA et on pose V|K|=|L|-s K'L I Les fonctions J-. T sont polynomiales, en particulier il existe des constantes A.BiO telles que t i Ap + B . La proposition suivante montre que qp.f satisfont de plus l'inégalité de courbure 9.1 (b). PROPOSITION 10.1. - On note U-. » Uk w l'ouvert de X sur lequel les différentielles dP^ .....dP^ sont linéairement indépendantes. Alors : 42RiccKPl^ « .|ddCW £ IJK,l!2) ^ UK 43Ricci(0U * -±ddCIog f £ |JK L|2) X 2 V|K|.|L|-B K,L ) Démonstration de (a). Soit x C U__ . Supposons les coordon- N nées de C rangées de sorte que (z.,...,z ) soit un système de coor- 1 n données locales de X au point x . La courbure de Ricci de X est par n * définition l'opposée de la courbure du fibre canonique A T X . On a donc au voisinage de x la relation Ricci(B|x) * ddCLogg , où g est la norme relativement à 3 de la (n,0)-forme bolomorphe dz.A...Adz ; g est donnée par 2 1 ja. ; Adz i = g — 6 I n n|x 6 n! p lx 76 MESURES DE MONGE-AMPERE Soient L « {n+l,...,N} , L un multi-indice quelconque de longueur s = N-n , et L son complémentaire dans {1,...,N} . Si on pose dP.. * dP, A...AdP, , K kx ks il vient par définition de Jv . : IV, «L .s2+n2 ^ — , - ,, ,2. i dPK AdPRA dzLC Adz-p = IJk l' idzl A dzl A*"A idzN A ^N n iS dP^AdR-A-^-p11 = 2n L |J-, T |2idz Adz* A—Aidz^AdiL. JV IV ni i T i xv, la 11 ri ri ILI-s -2 |L|=8 Aidz, Adz, A...A idz Adz . 11 n n En "simplifiant" par dP.. A dPR , on trouve donc et comme Jv . est une fonction holomorphe inversible en x , la formule (a) s'ensuit. Démonstration de (b). Le résultat (a) montre que la fonction ^°^ Ç iJK lI ^\ lJK t I 1 e8t pluriharmonique sur l'ouvert UK (1 U . Elle est de plus localement majorée, donc psh , sur Uj, r 2 21 U en résulte que la fonction Log T \JV T l/T |J„ J est Psh tK,L K»L L Ko»L J sur U,, , et sur cet ouvert on a donc : dd% * ddCLog£|JK fL|2 = -2Ricci(0|x) . ■ Remarque 10.2. - Lorsque X est une sous-variété analytique fermée de C et çp(z) = Log(i+|z| ) , la condition 9.1 (a) de finitude du volume est à elle seule une condition suffisante d'algébricité de X (théorème de W. Stoll, cf. cor. 8.6). Nous allons voir néanmoins par un exemple qu'on ne peut en général se dispenser de la condition de 77 J.P. DEMAILLY courbure 9.1 (b), même si 9.1' (c') est satisfaite. Choisissons X = C\E où E * {z. ; j€^} est un ensemble fermé dénombrable, et posons 2 œ I z"zi I cp(z) * I*g(l+|z| ) - I e.I*>g—-i- j«0 J l+|*j| où Z e. * 1 est une série à termes > 0 et à convergence assez 1-0 J rapide pour que cp € C (Œ\E) . Comme lz"zil . , Logl—21 s Log(l+z ) , il vient 9 l+|z|2 cp(z) * log de plus lim cp(z) = +» pour tout z. Ç £ . La fonction cp est donc Z-*Zj J exhaustive sur X . Par ailleurs, dd cp = dd Log(l+|z| ) , donc P ddcp = 4n<+œ. Cependant X n'est pas algébrique. JX Cet exemple montre incidemment qu'on ne peut pas non plus remplacer la condition 9.1 (b) par une condition portant sur la courbure Q de la métrique dd cp . Il est facile de voir d'autre part que les algèbre s A (X) et R (X) = K (X) flO(X) coïncident avec l'algèbre a des fractions ra- cp cp tionnelles de 0 * ■ (c) AP(X) = Lp(X)nO(X) , p€fO,+»] . çp cp L'intérêt de cette définition apparaît dans les deux résultats techniques ci-dessous, qui seront utilisés à de nombreuses reprises dans la suite. 79 J.P. DEMAILLY LEMME 11.2. - 441 € AP(X) pour tout p > 0 ; 45LP(X) c Lq(X) et AP(X) c Aq(X) pour tous p * q > 0 ; Cp Çp cp cp (c) L (X) est une C-algèbre ; cp (d) A°(X) est une sous-algèbre intégralement close de L (X) LEMME 11.3. - On a P Inclusion A°(X) c A (X) . Etant donné —-"-————————- çp çp ——————— f € A°(X) telle que f U |Pe*p(-Ccp)3n < +œ , alors : 466(f) s ^- Vol(X) ; 47f |df|Pe^[(|-C)cp]pn <+• si p€l0,2] , X P ù où la norme |df| est calculée relativement à la métri­que 3 . Démonstration de 11.2. La proposition 3.10 entraîne succes­sivement nr v(r) f e-(»+l>V . r+-e-rdv(r) « 0 . On obtient donc l'inclusion (11.4) LP(X)Lq(X) c LPq/p+q(X) , cp cp (p et la propriété (c) s'ensuit. Vérifions maintenant l'affirmation (d). Soit f une fonction méromorphe sur X vérifiant une équation entière sur A (X) de la forme cp fd + a/"1 + -+Vif+ad = 0 • aj€A^(X) • De cette équation, on déduit la majoration 80 MESURES DE MONGE-AMPERE ifis2maWaji1/j- sinon l'égalité conduirait à l'inégalité absurde -1 -d li2 +...+ 2 . Par conséquent, comme X est lisse, f se prolonge en une fonction holomorphe sur X , et f € A (X) . ■ Démonstration de 11.3. (a) On a g * e (dd cp) AdcpAd çp , par conséquent (propo- sition 3.8) r+co (n-C)r /lr,p,, r» ir,p -Cto n ^ ^ J * Mr(|fr)dr s Jxlf Ie & < +« • Comme l'application r*-~ \a (|f| ) est croissante, on en Hr(|f|p> *e*[(CH.)(r+l)li^+Ie(p-C)tMt(|f|ï,)dt s C^^"^' avec une constante C ^ 0 . D'après l'inégalité de convexité de Jensen et l'inégalité ||u || * Vol(X) , il vient Ur(I*gU+|f|P)) j * Log WL l M s (C-n)r + C2 , 6(f) = lim sup 7U (Log.|f|) * ^Vol(X) . r— + » r r t p (b) Pour majorer |dF| , on observe que dde(iF|p,AB-i-giFr2idF|^. Grâce au théorème de Stokes, cette égalité entraîne pour tout r > 0 JB(r)|F|p-2|dF|2(1-|)2e<1-C)*Bn p2JB(r) ' 1 r J Un calcul aisé donne d'autre part la majoration uniforme en r : 81 J.P. DEMAILLY dd^l-^V^sC^V^ . r>0. Après passage à la limite quand r — + • , on obtient donc MFrvi;.*1-^ * Cj iFipe-%n. la propriété 11.3 (b) résulte maintenant de l'inégalité de Holder appli- • tP -Cep n quée à la mesure |Fp e p , au couple de fonctions (JFJ^IdFl^expflcphl) et aux exposants conjugués (- , —) .■ L'existence de fonctions holomorphes non constantes dans L» (X) cp va résulter des estimations classiques de L. Hormander (Ho il pour l'opérateur ô . PROPOSITION 11.5. - (a) Soit t € Lu (X) une fonction telle que iôôT + Ricci(p) * X3 où X est une fonction continue > 0 sur X . Soit u une (O.l)-forme à coefficients LT sur X telle que ou « 0 et f» -1, ,2 -t n f X |u| e e <+« . 2 Alors, 11 existe une fonction g € L (X) telle que ôg = u et r . .2 -rn r -1. .2 -t n Jxkl e 3 s J^X |u| e 3 . (b) Soient 1i,c,A les données de 9.1' (b'). Si P est psh sur X et si u vérifie ou = 0 et jxH2.-'-V < -. 2 - alors 11 existe g € L. (X) telle que dg *= u et r , .2 -p-f-ap.n A r « ,2 -P-*_n I |g| e ^B * 4J |u| e TB . X X (c) Soit un ensemble fini {x ,x ,...,x } c X et p une fonction psh sur X telle que e~^ soit sommable au voisinage de x,,x0,...,x . Alors 11 existe une fonction l c> m "~"~————————————— 82 MESURES DE MONGE-AMPERE holomorphe f avant un jet d'ordre s donné en chaque point Xj et telle que r |f|VM"ciV < +» . où c *o. Jx — * En particulier, si p s 0 , on obtient f £ A (X) où (d) A (X) est dense dans 0(X) pour la topologie de la convergence uniforme sur tout compact. Démonstration. 48est classique, voir par exemple H. Skoda lSk3]. 49Appliquons (a) avec t = p + ♦ + 2Log(l+ecp) . Comme cp ;> 0 on a i£p + ij!+2cp + Log4 et l'hypothèse 9.1* (bf) entraîne — _ ,,c, œ dd co e dcoAd cd Iôôt + Ricci(3) :> dd Log(l+e^) = *- + ^ ^ * Xp CD-2 1+C <1+e^> avec X = (1+e ) . L'estimation (b) en résulte. (c) est conséquence de (b) grâce à un raisonnement classique dû à Bombieri et Skoda [Ski]. Soient U ,...,U des voisinages ouverts 2 à 2 disjoints de x ,...,x sur lesquels e~p est localement som- mable. On suppose U. muni d'un système de coordonnées locales z = (z,,zft,...,z) centré en x. et on pose 12 n j *^ Px = p + (n+s)| j=l J X . où x- est une fonction ^ 0 de classe C à support compact dans U. , égale à 1 au voisinage de x. , et C une constante 2 0 assez grande pour que p soit psh sur X . La constante n+s est choisie ici de sorte que le jet d'ordre s d'une fonction g de œ "*Pi n classe C , localement sommable pour la mesure e A6 , soit né­cessairement nul aux points x. . Soit maintenant P.(z ) un polynôme de degré s s ayant le jet imposé en x, . On pose h-£x.*.u. j=i j j 83 J.P. DEMAILLY La (O,l)-fonne u = ôh = Zj a .P.(zw ) est C , nulle au voisinage J=1XJ j de x1t...,x , et par construction 1 m M«|V*V«- ; on a utilisé ici le fait que f soit localement bornée. D'après (b), il existe g € C (X) telle que dg * u et Jx|g| e 1 ^3 < +« . La fonction f = h-g répond alors à la question. Si p s 0 , on peut écrire |f| = r)f|exp(-i»)lexp(i#) 2¥' ^x2^ où |f|exp(-i\|f) € L2(X) et exp4i|r) € L2c(X) . U s'ensuit grâce à » 2 cp à cp (11.4) que f € L°(X) . (d) se démontre à partir de (b) exactement comme le lemme 4.3.1 de (Ho 2]. ■ « On utilise maintenant la proposition 11.5 pour construire de nombreuses fonctions holomorphes sur X , et obtenir ainsi un plonge- N ment partiel de X dans sX-V Par construction, les fonctions coordonnées zw+1»—»zf5 (resp. fM ,_,...,f~ ) sont des entiers algébriques sur l'anneau Wj+1 riz Cfzlf...,zN.]/I(Mj) (resp. sur Clflf...,fN.l)f donc fN +1 i£ € A^(X) d'après 11.2 (d). De plus, la restriction F. : X\f~* (0) —-M. j n+r j est étale, car df A...Adf ^ 0 sur X\f~* (0) d'après (a). Comme -. in n+i M est localement irréductible, l'image F.(X\f +1(0)) est nécessai­rement contenue dans l'ensemble des points lisses de M. . Si F, est -i J j- injective sur X\f ,.(0) , la construction est terminée avec F = F. , M = M N = N Sinon, soient deux points z, ^ z. dans X\f (0) tels que 1 2 n+1 F.(z ) = F (z ) . La proposition 11.5 (c) montre qu'il existe une fonction h g € A (X) telle que g(z.) ? g(zj . On pose N » N.+1 , Cp l 2 j+1 j f^j = g . D'après 11.6, g est algébrique sur C(f ,...,f ~ ) , g vérifie donc une équation irréductible de la forme d - k (11.8) I ak(F.)g = 0 , ak € (Tl^,...,^ ] , adgk(l+|G|2)3 !B(r) k 3JB(r) ° où, pour a > 0 et k £ 0 , on pose : k+a JJc vn-k „ w vk-l+aJ .c ,.,c ,n-k-l On a B0 = 2(r-cp)a(ddCcp)n+i^yddCpi . Le théorème de Stokes entraîne donc pour tout r > 0 : f Bft = 2j 0 l'inégalité de convexité .. JBfrï'" e +- Comme g. 6 A (X) [cf. définition 11.1], il existe p>0 assez petit 1 cp et CAtC. z 0 assez grands tels que 4 5 P |G|PB0 * exp(C4r + C5) . "B(r) Les inégalités précédentes entraînent alors f S.AYk s C P Logkd+|G|2>80 £ Cfirk+a . B(r) k J^B(r) ° 6 Compte-tenu de la définition de S. , ceci implique le lemme 12.1 après substitution de 2r à r . ■ N+l - N+l Munissons C et M c C de la métrique de Fubini- c 2 Study ■£ = dd Log(l+|z| ) . On a alors le théorème de prolongement suivant, dont la démonstration est inspirée de H. Skoda ISk 5] et de H. El Mir lEMl ; voir aussi l'article de synthèse de N. Sibony (Sib). PROPOSITION 12.2. - Soit T l'extension simple à M du v c courant F#dd cp , définie par 89 J.P. DEMAILLY T = F^ddCcp air f(X) , T = 0 sur &\F(£) . Alors T est un courant positif fermé sur M de masse totale f Taiu " finie. Démonstration. Calculons d'abord la niasse de T : f v TAU,0"1 « T F ddV» = f .dd^AlF*/"1 • JM JF(X) JX La (l,l)-forme F*uu est donnée ici par F*uu « ddCLog(l+|F|2) = ddCLog(l+|F|2+|Q(F)f2) = ddCIx>g(l + |Q(F)|2 + |F|2|Q(F)|2) . La finltude de la masse résulte alors du lemme 12.1 (a). Pour toute 1-forme réelle v de classe C à support compact dans M et pour tous multi-indices J.Kc {l,...,N+l} tels que |J| = |K| = n-2 , on montre maintenant la nullité de l'intégrale I = L dv A T AdzT Adz.. , JM J K ce qui prouvera que dT = 0 . Sbit \ une fonction de classe C sur IR telle que 0 z \ * l > X(V = l sl t < 0 , xlet ÛiX' i2 . Par définition de T , U vient I = f F*(dv) a ddcçp a dFT a dF„ « lim f X(?)d(F*v) A dd°œ A dFT A dF„ . r-» +oo a La forme x(-)F*v est à support dans F~ (Suppv) 0 B(r) cz 0 telles que JL ù c — n—1 vav AdzTAdzT £ C w , J cl 1 dFKAdFK = F*(dzKAdSK) * C2(F*u;)n~2 sur F^Suppv) . Le lemme 12.1 (a) et (b) entraîne alors I < C f ddCcpA(F*uu)n"1 < +» , 1 1' X I_(r) £ C.T dcpAdCcpAddCcpA(F*u,)n"2 * CC0r , 1 l B(r) * d'où in * îim lyîxô7) « 0 r-+œ r l * D'après le théorème 15.3, il existe une fonction psh V et une (l,0)-forme u de classe C sur M ayant les propriétés sui­vantes, pour des constantes C , C , C ^ 0 convenables. 1 £t O PROPRIETES 12.3. - 52ddCV ;> T ; 53V(z) s C^gd + lzl2) ; 54ddCV - T = ou ; 55|u|w s C2(l + |z|2)C3 . Considérons alors la fonction T = V - #^cp définie sur l'ouvert o = F(X) c Si . D'après 12.3 (a), t est psh sur G , et de plus t £ V . Comme F cp tend vers +» au voisinage de ÔQ , t tend vers -œ en tout point de ôQ . Par conséquent, t se prolonge en une fonction psh sur M , encore notée x , telle que t = - œ sur m\q . COROLLAIRE 12.4. - M\ o est une partie fermée pluripolaire de M . ■ 91 J.P. DEMAILLY la prochaine étape est de montrer que M\ Q est en fait une hypersurface algébrique de M . D'après 12.3 (c) et la définition de T on a : 2idI(V-F#cp) «au sur Q, donc la (1,0)-forme h définie par (12.5) h = a0 assez petite et c »C * 0 assez grandes. (a) f aD < + • ; PweT-f-C4*f,(lhAÏ)Ajn-l < +œ . X (c) J\[exp(|T.F)|Q(F)| 4 |h(F)|]Pe" ^V < + X1 92 MESURES DE MONGE-AMPERE Démonstration. (a) est conséquence immédiate du lemme 12.1 si on observe que CPjjC CD, ,c ,,cT ,._, cp, e*ad qp ^ e^dcpAd cp c ^ -cp, ,c dd Log(l+e^) = z + Q ~ £ dd cp + e Ydcp a d cp . 1 +e* (l+e*)2 (b) L'estimation 12.3 (b) implique (12.7) t = V - F*cp £ V £ (^1^(1+|z|2) , donc la fonction 0 = Log(l+eT° ) satisfait la majoration G s Log(l + (l+|z|2) *j * C^cp . Le corollaire 7.3 appliqué à (X,cp) entraîne alors P iôô9 a a < +œ . Un calcul immédiat donne par ailleurs Vl+e'^ x |2 - n - * . - - n-1 I* u|- a - n F (iu au) a a C CD lC 1"*CP c (c) L'inégalité triviale dd Log(l+e ) * - dd cp + -e dcpAd cp entrame successivement # „n-l -ntp^.c Pvn-1 -n -nep n-1 a * 2 (dd e ) = 2 e B , 93 J.P. DEMAILLY f»(ihAh)Ain_1 * 2_V,,cp.n|f'«h|V . Par définition de qp , on a d'autre part | * |F*h|B|df1|B...|^j|B...|dfn|B|df1A...AdfJ-1 , et comme Idfjp,..., |dfn|B € LJJ(X) [lemme 11.3 (b)] et l^+iH^^-^lâ1 € L^(X) flnégalité U-7 (a)lï il vient e>p(-|T.F)|Q(F)|C4|fn+1||hrF| € L°(X) . Par hypothèse Q est divisible par z , i.e. Q * z R . La propriété (c) s'obtient alors en multipliant la fonction ci-dessus par |R(F)| € L°(X) .. cp Afin de pouvoir travailler sur X plutôt que sur X , nous aurons besoin du lemme élémentaire de prolongement ci-dessous. LEMME 12.8. - Soit S = g"1 (0) une hypersurface de X , et 6 une fonction psh sur X\S telle que e® £ L. (X) . 2 Alors 6 + Log|g| se prolonge en une fonction psh sur X 94 MESURES DE MONGE-AMPERE 2 Démonstration. - Il suffit de montrer que 6 +^og|g| est majorée au voisinage de tout point régulier de S . On peut donc suppo­ser que X est un ouvert de ŒT contenant le polydisque unité fermé —n A , et que S« [z =0} . L'inégalité de moyenne appliquée au polydisque (z1 + |z1|A) x A11"1 c X\S pour tout point z € A* , 0 < |z | < I f implique ' 1 r 8,, s e d\ . n. .2 JAn La fonction 9 + Log|z j est par suite majorée au voisinage de S . ■ n PROPOSITION 12.9. - La 1-forme h = E h.dz. se prolonge j=l i J en une 1-forme méromorphe rationnelle sur M . Démonstration. Comme X = X\Q(F)~ (0) , les lemmes 12.6 (c) et 12.8 montrent que pLog[e^(iTcF)|Q(F)| 4 |h.(F)|] + Log|Q(F)|2 s'étend en une fonction psh sur X . Il existe donc un entier s > 0 assez grand et e > 0 assez petit tels que, si g désigne la fonction holomorphe sur X définie par g = Q(F)Sh.(F) , alors la fonction rioF + Log|g| est psh sur X , et r exp[e(|ioF + log|g|) - Cgcpj e" < + « . En raisonnant comme dans le lemme 11.3 (a), on obtient par conséquent Ce limsup ^u f(^T.F + Log|g|) ] <; -Clvol(X) < r-*-œrrL J G Soit P € C[Xn,X X ] un polynôme tel que degv P £ k p soit G la fonction définie par 6 = Log|P(g,flf...,fn)| + k0(|ToF+C1Log|Q(F)|) . D'après l'estimation (12.7) et les résultats ci-dessus, G est psh sur X et vérifie une estimation et 95 J.P. DEMAILLY 9+ £ jl^^|£i' + ko[(iT'f + ***MK + V°«+lFl] + cio ' Grâce au corollaire 7.3, on obtient la majoration f ddC9AaD"1 £ Ckn+ Ik.6(f.) avec une constante C £ 0 . Si a Ç X , il en résulte lf inégalité ordaP(g,fl V * Ci2(k0+k1+-+kh) • C12*°- Le raisonnement du théorème 8.5 montre alors que g est algébrique sur C(f ,...,f ) , et 11 en est donc de même pour la fonction h.(F) = Q(F)"8g . Par suite h est algébrique sur C(z ,...,z ) , i.e. h. vérifie une équation J d € L a (Z......Z )h = 0 , a. € Clz ,...,z ] , a, 4 0 . £=0 c i n j € in a L'élément a,h. est donc entier algébrique sur Cfz,,...,z 1 ; on en d j in déduit une majoration cl4 |ad(z)h.(z)| s C13(l+|z|) A* . Comme h. est holomorphe sur Touvert n c M et que le complément V taire M\0 est pluripolaire, a,h. se prolonge en un polyndme sur M d J Par conséquent h = £ h.dz se prolonge en une 1-forme méromorphe rationnelle sur M . ■ PROPOSITION 12.10. - Soit Q le plus grand ouvert de Zariski de M sur lequel h est holomorphe. Alors 0=0 Démonstration. On a évidemment QcQ . Pour obtenir l'in­clusion réciproque, montrons d'abord que x est de classe C sur Q . On sait que l'équation (12.5) u a lieu sur Q , et que v : = h - — £ C 0(H ) . puisque u Ç C 0(M) . H vient v + v = di sur 0 , d'où d(v+v) = 0 sur G 96 MESURES DE MONGE-AMPERE par continuité. Soit (Q.). un recouvrement de Q par des ouverts J J€J 1 simplement connexes. Il existe des fonctions t. € Cœ(Q.) telles que dt. = v + v sur Q. . La fonction t - t. est alors localement constante sur Q. H Q , donc constante, car 0. H 0 = Q.\(M\f2) est connexe. Par suite t 6 C (Q-) . et comme t = -® sur lSi\Q , il s'ensuit que 0^0= 0 .■ COROLLAIRE 12.11. - F(X\f~* (0)) est un ouvert de Zariski de M . Démonstration. Si x est un point quelconque de X\f (0) , alors F(x) £ M U [z =0} , donc il existe un polynôme Q divisi­ ble par z et s'annulant sur M , tel que Q (F(x)) ï 0 . D'après le corollaire 12.10, Q = F(X\Q (F)"X(0)) est un ouvert de Zariski de M , donc aussi la réunion U , nx - F(X^1H(0)) • " xçxxr^o Comme X\f , (0) est de S te in ainsi que son image biholomor- n+1 -1 phe, on voit en fait que le complémentaire M\F(X\f +1 (0)) est néces­sairement une hypersurface algébrique de M . 9? J.P. DEMAILLY 13. * Démonstration du crjtère d'algébricité (cas lisse). D'après la proposition 11.7 (a), à tout point xq € X on peut associer un morphisme F* ' = \y ',...,f*M € U (X)J ° et une fonc­ tion gn = f , tels que l'ouvert X\g~ (0) $ x soit holomorphe par u n+l vu xj Fw à un ouvert de Zariski d'une variété algébrique dans C . U existe donc un recouvrement dénombrable de X par de tels ouverts X\g" (0) , associés à des morphismes F* ' : X— C k . Considérons le morphisme produit F„-F«0»xF<1>x...xF«:X-CV*"+I,k . k D'après la proposition 8.5, l'image **.(X) est contenue dans une variété algébrique irréductible M c k . La variété ^ = X\Yfc s'identifie alors à la variété algébrique via l'application Ve- X définie par (x,y,z) .-~(x,y,z') où zT = z Nous allons maintenant montrer que la suite (XJ est nécessai-ïtationnaire si les espaces c dimension finie [hypothèse 9.lf(c')]. LEMME 13.2. - Soit X une variété analytique complexe de dimension n , Y un ensemble analytique de dimension £ p dans X , et d = n-p = codimff Y . Alors l'espace de cohomo­logie relative Hq(X,X\Y ; IR) est nul si q < 2d et H2d(X, X\Y ; IR) - IRJ , où (Y.) est la famille des composantes irréductibles de dimension p de Y . Démonstration. Nous renvoyons par exemple à E. Spanier (Spl pour les arguments élémentaires de topologie algébrique qui vont être utilisés. On raisonne par récurrence sur p , le résultat étant trivial pour p = 0 . Si p * 1 , soit Z la réunion du lieu singulier Y et des composantes irréductibles de Y de dimension < p , de sorte que dim Z £ p-1 . La suite exacte du triplet s'écrit Hq(X,X\Z) — Hq(X, X\Y) —• H^XXz., X\Y) —- Hq+1(X,X\Z) . Par hypothèse de récurrence Hq(X, X\Z) = lP*l(X,X\Z) = 0 pour q s: 2d , donc Hq(X, X\Y) =- Hqk tel que dim Y < p . au bout d'un nombre fini d'étapes on aura donc Y * $ , X « X . Posons € Z F=F = F(0)x...x F(e) , M = M , N = N +...+ N . e z o e N Le morphisme F : X —* M c C est alors un isomorphlsme analytique de X sur un ouvert de Zariski QcM . «quitte à remplacer M par sa normalisation comme dans la démonstration 11.7 (b), on peut suppo­ser M normale. Puisque Q est de Stein, le complémentaire H = M\C est nécessairement une hypersurface de M . Désignons par KtO)^ K(M) le corps des fonctions rationnelles sur Q , et par H(Q) l'anneau des fonctions régulières sur 0 . Ecrivons , 0 ,N F = (L,...,^) € lA (X)) . Le co-morphisme F* envoie K(fi) dans le corps (T(L...,fv,)c K (X) . La proposition ci-dessous montre que les I N CD 100 MESURES DE MONGE-AMPERE structures algébriques (X,K (X)H0 Log r d'autre part, on obtient aisément pour |z| = r les estimations 60cp(z) » 2I*g(l + |z|2) +0(i£^) si vj , |z-j| >I , 61cp(z) = 2Log(l + |z|2) + 2-jlx>g(e.+ |z-j|2) + O(^ï) si |z-j|*I . 104 MESURES DE MONGE-AMPERE Choisissons e. de sorte que (13.9) 2Log(l+j2) + 2~jLogej = Ix>g(l + Ix>gj) , j*l , J W)2J On a alors cp(j) ~ log Logj quand j — +• , de sorte que cp est exhaustive. Les fonctions f Ç A (C) sont à croissance polynomiale et doivent vérifier de plus jf(j)| £ (Logj) quand j —* + œ . Par suite A (tt s -i et \jfon au voisinage de l'ensemble fini tt (X ) , on voit que les hy­pothèses sont satisfaites par X . En définitive, on peut supposer X normal et irréductible. La démonstration est maintenant tout à fait semblable à celle qui a été donnée au cours des §11, 12, 13, aussi nous contenterons-nous d'indiquer les grandes lignes et les changements à apporter. Les lemmes 11.2 et 11.3 sont vrais sans aucune modification, ainsi que les propriétés 11.5 (a,b,d). L'énoncé 11.5 (c) reste valable si {x ,...,x } c X , et si certains des points x. sont singuliers, on a le résultat partiel suivant (qui correspond au cas p = 0 ). 14.2. - Soit un ensemble fini fxt,...,x } c X . Alors LEMME b 2c il existe une fonction f Ç A (X) , b = , ayant un jet

i-*+v' € ii^. o D'après les estimations L de H. Skoda ISk4], ceci entraîne que La proposition 11.7 reste donc applicable si xn Ç X , et en u r reprenant les arguments des § 12, 13, on construit une variété algébri­que normale M et un morphisme F = (f ,...,f ) : X — M dont la restriction à X est un isomorphisme de X sur un ouvert de Zariski de M . Grâce au lemme 14.2, on peut (quitte à compléter F par un nombre fini de fonctions f. ) supposer que F définit un pion-gement de X au voisinage de chaque point singulier. Le morphisme F est alors un isomorphisme de X sur l'ouvert de Zariski F(X) e M . La fin de la preuve est identique à celle donnée au § 13. ■ Le raisonnement qui vient d'être esquissé donne d'autre part le résultat intéressant ci-dessous. THEOREME 14.3. - Soit X un espace analytique normal de dimension n , vérifiant les hypothèses 9.1f (a'.b',c'). Alors X est analytiquement isomorphe à une variété algébrique quasi-affine. Tisomorphisme étant donné par un morphisme cp-polynomial F de X dans une variété algébrique affine normale M c C) *C3 Pour |z| » r^ 1 , on en déduit vt * cJl ♦Jfjïb*™ +C^îdo2|z|] , de manière uniforme lorsque z décrit un compact de M . La propriété V_ € L. (M) résulte alors par le théorème de Fubini du fait que 1 loc |L (z,£)| est, localement sur MxM , intégrable en z uniformément par rapport à Q . m LEMME 15.7. - Pour tout point z 6 M , il existe des boules B' c T M , BM c (T M)x de centre 0 et de rayon -C7 r(z) = C,(l+|z|) ' où C.,C_ > 0 , et une application holo- o 6 7 morphe g : B? — B" telles que M (1 (z+B'+B") soit le graphe de g , i.e. si £-z = C'+C" est l'écriture d'un Z N x point £ Ç M suivant la décomposition (T = (T M) © (T M) alors Mn(z+B'+BJ) = lC€ (cf. §10) ne s'annulent pas tous simultanément sur M . D'après le 111 J.P. DEMAILLY théorème des zéros de Hilbert, les polynômes Jv T engendrent K,L l'idéal unité sur M ; il existe donc des constantes Cg,Cg > 0 telles que maxK,LlJK,L(z)l * C8(1+Izl) ' Z€M • le lemme résulte alors du théorème des fonctions implicites (dans sa version quantitative). ■ . _ On observe maintenant que la formule (15.5) peut se récrire sous la forme (15.8) VT(z)»J T(Ç)AlKn(z,C)-Hn(C)] M avec ddc|z-C|2 Kn(*,0 |2> B■ (2,0 = I 5 2 l ICI +I»,(C')|8 dciï'-ci2-1-!«,«•> l2)AdC 2 , et soit w une (n-l,n-l) forme C à support compact sur M . L'écriture (15.8) nous donne J* VTddCw = lim I(r) , M r-»+œ * = ! xf^)TK)A(K (z.C)-H (C))AddCw(z) . JMxM V r ; n n Le théorème de Stokes et le lemme 15.9 Impliquent I(r) = J ddC[X (iil) T(C) AK (z,C)1 aw(i) JMXM L V r 7 n J « Jx(^r)TK)A(fA]+Hn(z,C))Aw(z) + r2d[X(-^)jA T(C)AdCKn(z,C)Aw(z) *ddCfX(^)l AT(C)AKn(z,C)Aw(z) Q car dT = d T = 0 . Pour justifier ce calcul, on peut d'abord suppo- 00 ser que T est de classe C , quitte à régulariser ensuite T au voisinage du support de x( ) c UC|i2r) • °n utilise maintenant (15.4) et les majorations évidentes 114 MESURES DE MONGE-AMPERE pour voir que les deux dernières intégrales dans le calcul de I(r) sont 0(r ) . On a donc la formule attendue lim I(r) = f T(C)Aw(C) + f T(C)aR(z,C)aw(z) . m r-+« jm MXM n Démonstration du théorème 15.3. D'après la proposition 15.2 et le lemme 15.6, le courant ©_, est positif fermé à croissance mini­male. On peut donc construire par récurrence sur k des fonctions psh V, et des courants T positifs fermés à croissance minimale tels que T=T V=V T = © 0 ' k Tk-i ' k Tk-i ' Effectuons la somme alternée de ces identités. Pour les indices impairs il vient : ddC(VrV2 + ...-V2k + V2k+1) = T+T2k+1,0, et le lemme 15.14 ci-dessous implique que la fonction psh V = V - V +...+ V est à croissance minimale. D'après la propo- sition 15.11, on a la relation de récurrence Tk+l(Z)=JMRn(2^)ATk(^ • On exploite maintenant le fait que R est un noyau régularisant de type convolution. LEMME 15.12. - (a) Pour tout entier k , l*k<2n , il existe des constantes A, ,B £ 0 telles que pour tout e € 10,il on ait V k B, -2 r T(:)A9C |;-z||| est majorée à une constante près par .+. dok(z,r) ^ ^ .+- ofc^.r) dr er(z) r2* er(z) r2**1 2C7\ £ €2r(z)" » tandis que C„ l|Tk(C)||B(C)D (15.13) III W|| s Cl0(l+|z|, "P ,-f—^T ■ |Ç-z|" f t^abw"'1 4 |C-z|-Ç|-z|<3er(z) C'CC" |C'I |W-C* | Par homogénéité, on obtient r 3(CT)D __ °18 C19 J^n . ,,2n-l, , /..,2n-k , H2n-k-l . ,2n-k-l ' c Ici |wf-e!l |w»| |w-z| et l'estimation (a) s'en déduit à l'ordre k + 1 . (b) Utilisons l'inégalité (a) pour k*3 . Il vient r TQAPg)11"1 m rer(z)da(z>r) |Ç-z|g(l + |z| ))], 118 MESURES DE MONGE-AMPERE on obtient l'existence d'une forme u ÇC (M) telle que au = 6 et l mwtyC2v <+-. M p Pour achever la preuve du théorème 15.3 et en particulier de 15.3 (d), e c24 |u|g s C2,(l+|z|) Compte-tenu que ou = ® admet une majoration en norme L , il suffit d'utiliser l'inégalité ci-dessous, en se plaçant dans les boules |£-z| < ^r(z) du lemme 15.7. ■ LEMME 15.13. - Soit v une fonction de classe C dans la boule B(r) c C0 . Alors :* ^4-r ivi 4n + STîr-lupB(r)lôvl Démonstration. Appliquons la formule de Cauchy avec reste à la fonction t — v(tz) , z € B(r) , tÇt, |t| < 1 . Il vient /n, 1 r2îT , *8 vj« *r ôv(tz).z .. ... 2nJo n)|t| 0 . Grâce à l'inégalité évidente 25 28 V^V+i F*(F^V+) , il suffit de montrer que F*V est à croissance minimale dans AT . Comme V £ (V ) + (V ) - V , on en déduit pour la valeur moyenne de F#V sur la boule B(r) c ï la majoration VMf F#V+ ; B(r)l s VMtF#(V1)+-i-F#(V2)+ ; B(r)l - VMÏF#V2 ; B(r)î Les fonctions F#(Vi)+ » F#(Vo)+ sont psh à croissance minimale, tandis que la fonction r^VMlF^V ; B(r)J est croissante. On obtient par conséquent une majoration VM[F#V+;B(r)l s C29log+r +C30. et le lemme se déduit des inégalités de moyenne F#V+(z) s VM(F#V+; B(z,r)î £ 22n VM î F#V+ ; B(0,2r)î , avec |z| = r .■ 120 MESURES DE MONGE-AMPERE BIBLIOGRAPHIE iBi) E. BISHOP. - Conditions for the analyticity of certain sets; Michigan Math. Jour. Il (1964), pp. 289-304. [Bo) N. BOURBAKI. - Topologie générale, chap. 1 à 4 ; Hermann, Paris, 1971. iBu) D. BURNS. - Curvatures of Monge-Ampère foliations and para-bolic manifolds ; Ann. of Math. 115 (1982), pp. 349-373. ÏBT1) E. BEDFORD & B.A. TAYLOR. - The Dirichlet problem for the complex Monge-Ampère équation ; Invent. Math. 37 (1976), pp. 1-44. ÎBT2) E. BEDFORD & B.A. TAYLOR. - A new capacity for pluri-subharmonic funotions ; Acta Math. 149 (1982), pp. 1-41. (Ce) U. CEGRELL. - On the discontinuity of the complex Monge-Ampère operator ; preprint, cf. note Comptes R. Acad. Se. Paris (mai 1983). [CLN] S. S. CHERN, H.I. LEVINE & L. 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