Annales scientifiques de l'E.N.S Jean-Pierre Demailly Christine Laurent-Thiébaut Formules intégrales pour les formes différentielles de type (/?, q) dans les variétés de Stein Annales scientifiques de l'E.N.S. 4e série, tome 20, n° 4 (1987), p. 579-598. © Gauthier-Villars (Editions scientifiques et médicales Elsevier), 1987, tous droits réservés. L'accès aux archives de la revue « Annales scientifiques de l'E.N.S. » (http://www. elsevier.com/locate/ansens), implique l'accord avec les conditions générales d'utilisation (http://www.numdam.org/legal.php). Toute utilisation commerciale ou impression systématique est constitutive d'une infraction pénale. Toute copie ou impression de ce fichier doit contenir la présente mention de copyright. 3VUMDAM Article numérisé dans le cadre du programme Numérisation de documents anciens mathématiques http://www.numdam.org/ Ann. scient. Ec. Norm. Sup., 4e série, t. 20, 1987, p. 579 à 598. FORMULES INTÉGRALES POUR LES FORMES DIFFÉRENTIELLES DE TYPE (ç, q) DANS LES VARIÉTÉS DE STEIN Par Jean-Pierre DEMAILLY et Christine LAURENT-THIEBAUT Résumé. - On construit sur toute variété de Stein un noyau global permettant de démontrer des formules de Koppelman et Koppelman-Leray pour des formes différentielles de type {p, q) quelconque. Abstract. - We construct on every Stein manifold a global kernel which enables us to prove Koppelman and Koppelman-Leray formulas for differential forms of arbitrary type (p, q). Introduction Henkin et Leiterer ont construit dans [2] et ([3], chap. 4) des noyaux globaux sur une variété de Stein grâce auxquels ils démontrent des formules intégrales pour les (0, q)-formes différentielles. Dans cet article nous démontrons des formules intégrales du type Koppelman et Koppelman-Leray pour les formes différentielles de type (p, q) quelconque sur une variété de Stein. Celles-ci généralisent à la fois les formules démontrées par Henkin et Leiterer pour les (0, ^-formes différentielles (cf. [2] et [3], chap. 4) et les formules de Koppelman et Koppelman-Leray pour les (p, q)-formes différentielles dans C" (cf. [8], [7] et [1]); elles permettent sous certaines conditions de résoudre des problèmes de "S avec estimations de croissance ou de régularité. Dans un premier paragraphe nous construisons des noyaux dont nous donnons une expression globale sur la variété de Stein M; ce sont des formes différentielles continues sur M x M privé de sa diagonale. La nécessité d'avoir des formes différentielles invariantes par changement de coordonnées permettant d'obtenir des formules intégrales pour les (p, q)-îormes différentielles nous a amenés dans le cas p ^ 1 à introduire la connexion de Chern du fibre tangent. Aux paragraphes 2 et 3 nous nous intéressons principalement à un noyau du type précédent qui généralise le noyau de Bochner-Martinelli. Il en résulte une formule de Koppelman pour les (p, g)-f ormes différentielles sur une variété de Stein (théorème 2.2), et la transformée de Bochner-Martinelli se généralise également dans ce contexte (théorème 3.1). Le paragraphe 4 est consacré à la démonstration de deux formules de Koppelman-Leray dont on peut déduire des formules de résolution du d pour les (p, g)-formes annales scientifiques de L'école normale supérieure. - 0012-9593/87/04 579 20/$ 4.00/ © Gauthier-Villars 580 J.-P. DEMAILLY ET C. LAURENT-THIEBAUT différentielles dans un domaine strictement pseudoconvexe d'une variété de Stein. La première généralise la formule intégrale donnée par Lieb [7] et Ç)vrelid [8] dans C" et la seconde la formule de base de l'article [1] de Andersson et Berndtsson. Le dernier paragraphe donne une méthode, différente de celle utilisée par Henkin et Leiterer ([3], § 4.12), pour obtenir des formules intégrales pour les formes différentielles à valeurs dans un fibre vectoriel holomorphe sur une variété de Stein. 1. Préliminaires Soit X une variété analytique complexe; si u et v sont des n-uplets de fonctions #* définies sur un ouvert de X x X, on pose n n < ç0)= Z (~l)j~lvj a \ çvk j=l k±j n -!)! a «gz> C(z-Q, dMt C(z-Q»" (2n)n \z-t>r Il permet de démontrer des formules de représentation intégrale pour les formes différentielles de bidegré (/?, q) quelconque dans C". Dans [2] et [3], chapitre 4, Henkin et Leiterer construisent des noyaux qui conduisent à la représentation des formes différentielles de bidegré (0, q) dans une variété de Stein. Précisons maintenant la méthode de construction utilisée par Henkin et Leiterer. On considère une variété de Stein M de dimension n dont l'orientation est définie par la condition suivante : si (z1? . . ., zn) sont des coordonnées holomorphes locales, la forme différentielle {-ï)ndzl a . . . AdznAdz1 a . . . Adzn = (-l)nin~1)/2indz1 a dzx a . . . a dzn a dzn est positive. 4e SÉRIE - TOME 20 - 1987 - N° 4 FORMULES INTÉGRALES POUR LES FORMES DE TYPE (p, q) 581 On notera T(M) et T*(M) les fibres tangent et cotangent de M et T(MxM), T*(MxM) leurs images réciproques respectives par la projection de MxM sur M, (z, Qi->z. Soit s: MxM-*T(MxM) la section holomorphe de T(MxM) définie par Henkin et Leiterer ([2] et [3], lemme 4.2.4) qui vérifie : s (z, z) = 0 pour tout z e M s(z, .) : M ->TZ(M) est une application biholomorphe d'un voisinage de z dans M sur un voisinage de 0 dans TZ(M). Rappelons brièvement la construction de 5. Soit / : M q; CN un plongement propre de M dans CN et soit 0->T(M) ->MxCN->N(M)-^0 la suite exacte définissant le fibre normal à M, noté N(M). D'après le théorème B de Cartan on a H1 (M, Hom(N(M), T(M)))=0, donc la suite exacte ci-dessus admet un scindage global g : MxCN-+T(M) tel que g ° df= IdT (M). La section s est alors définie par s(z,Q=g(z,f(Q-f(z)). Grâce au théorème B appliqué sur M x M, on peut d'autre part construire une fonction (p holomorphe sur MxM, égale à 1 sur la diagonale A (M) de M x M et dont la restriction à MxM\À(M) appartient au sous-faisceau de (9 (MxM) engendré par s. De plus il existe un entier %^0 tel que la fonction cpx/|5|e s°ù de classe <£2 sur MxM\À(M) (cf. [2] et [3], lemme 4.2.4). Si D est un ouvert relativement compact de M dont le bord dD est de classe tf1 par morceaux, on appellera section de Leray pour (D, 5, (p) (cf. [3], § 4.3.2) un couple (5*, x*) où x* est un entier et s* une section de T*(MxM) définie sur DxVaD, VaD étant un voisinage de <3D dans M, telle que - < 5* (z, Q, s(z, Q > 9e 0 pour z e D, Ç e 5D tels que q> (z, Q ^ 0 ( < , > désigne le crochet de dualité entre T(MxM) et T* (M x M)). - cpx* (z, Q/< 5* (z, Q, 5 (z, Q > est de classe W1 sur un voisinage de D x <5D dans D x M. Si U est un ouvert de carte de M et (ej)lj=1 un repère trivialisant holomorphe de T(M x M), nous noterons respectivement u et w* les expressions de 5 et s* dans ce repère et son dual. Henkin et Leiterer posent alors fi0((pvf ^ ,)=(!^9vXç("*)AttC(tt) (2in)n e- On appellera D la connexion de Chern de T(MxM) relative à 0 et V la connexion de Chern de T* (M x M) associée à la métrique 0* induite par 0 sur T* (M x M). On notera s la section #°°, MxM->T*(MxM) définie par s = o°s, il est facile de voir que (s, x) est une section de Leray pour (D, s, (p), D étant n'importe quel ouvert relativement compact à bord m1 par morceaux de M. Remarquons que si 0 est la métrique hermitienne construite par Henkin et Leiterer à l'aide d'une partition de l'unité subordonnée à un recouvrement trivialisant de T(M), alors s coïncide avec la section s qu'ils ont définie dans [2] et [3], §4.3.1. De plus s et s possèdent les mêmes propriétés. On peut alors définir la forme différentielle Q((pv, s*, s) par (2nf ) et v^x*- Si de plus s* = s, la forme différentielle Q((pv, s, s) est de classe #* sur MxM\À(M) si v^x et admet une singularité d'ordre 2n- 1 en z = Ç Étudions l'expression de la forme différentielle Q(cpv, 5*, s) dans des coordonnées locales. Soient U un ouvert de carte de M et (^)"=1 un repère trivialisant holomorphe de T(MxM). La métrique 0 est donnée dans ce repère par une matrice hermitienne définie positive H, ^°°, ne dépendant que de la variable z et la métrique induite par 0 sur T*(M x M) est donnée dans le repère dual par la matrice H"1. Soient u, m*, u les expressions respectives de s, s* et s dans les repères choisis; alors les expressions de Ds, Vs* et Vs dans ces repères sont données classiquement par dw + (H_12H) a w, du* + (H<3H-1) a m* et dw + (H3H-1) a tî, et par définition de s on a : w = Hw. On en déduit que : n = X duf a (duj + dH-idH) a u)j) = X ufiduj + dU-'dU) a u),). 4e SÉRIE - TOME 20 - 1987 - N° 4 FORMULES INTÉGRALES POUR LES FORMES DE TYPE (p, q) 583 Un calcul analogue à celui du lemme 3 de [1] montre que AdVs^Dsyy-^i-iy^-^in-iyA £ i-iy-^f a dut A A (dllj + tfH-^H) AU)p). On a donc pour z et Ç dans des compacts a«V"s*, Dsyy-^i-iy^-^in-Vlfà^iu*) a 0)z>c(u) + O(|u|e)]. Dans le cas particulier où l'on prend comme section s* la section s de [3] et pour G la métrique intervenant dans la définition de s on obtient sur U x V\A (U) 0(,.,ï.).K+o( ' ) (si z et Ç varient dans des compacts de M). K étant le noyau défini localement dans [5] et qui est une solution fondamentale locale du d ([5], § 2). Remarquons d'autre part que si M = C" et si la métrique G est la métrique habituelle de Cw alors les connexions D et V coïncident avec la différentielle ordinaire et si on prend : = l^q^n-1 où OJ(cpv, s, s) est de type (p, q) en z et (n-p, n- q-1) en Ç. On peut remarquer que si s coïncide avec la section s de Henkin et Leiterer, £ Q° (cpv, s, s) n'est autre que le noyau Ù° défini par Henkin et Leiterer ([2], § 2.4 et [3], § 4.5) pour démontrer la formule de Koppelman pour les (0, q)-formes différentielles : ceci résulte du fait que la forme de connexion H"1 dH qui intervient dans la définition de D((pv, s, s) ne dépend que de la variable z. On pose Q°_ 1 = Q° = 0. Pour simplifier les expressions ultérieures, nous noterons Q et QJ les noyaux ffc((pv, s, s) et QJ((pv, s, s) lorsqu'il ne risque pas d'y avoir de confusion. Désignons par c(T(MxM))=D2 et c(T*(M x M)) = V2 les formes de courbure des fibres T(MxM) et T* (M x M) pour les connexions D et V; elles sont de bidegré (1, 1) et ne dépendent que de la variable z. Lemme 2.1. - On a sur M x M\À(M). M-l -[ a a «Vs, Ds»""2]. et donc dÙ a une singularité (Tordre 2n-2 sur la diagonale. Si de plus c(T(M x M))=0 on a dÙ=0. Démonstration. - Calculons tout d'abord ?a«Vs", Ds»""1' " On a d = < Vs, s> + d(s, Ds> = + -] a «Vs", Ds»"-2. D'où l[<* - [«Vs,Ds»" (s, c(T(MxM)) a s> a «Vs", Ds»"-1 -(n-l) a «c(T*(MxM)) a s", Ds> - a «Vs", Ds»""1] 4e SÉRIE - TOME 20 - 1987 - N° 4 FORMULES INTÉGRALES POUR LES FORMES DE TYPE (/?, q) 585 or a = 0 «Vs, Ds»w = n a a «Vs, Ds»""1 (il suffit de reprendre les calculs du lemme 3 de [1]). Revenons au noyau Q, comme cp est holomorphe et Vs^V's, on a pour des raisons de degré (2ti)" v a «Vs, Ds»"-1 + (k--1) = |s|e et si z et Ç varient dans des compacts de M, les formes différentielles c(T(M x M), Vs et Ds sont bornées donc : dÛ = 0 (|s|e~2w + 2) car |s| = | as| = 0 (|s|e). Théorème 2.2. - Soient D un domaine relativement compact à bord W1 par morceaux de la variété de Stein M et v^.2%. Si f est une (p, q)-forme différentielle continue sur D, telle que df soit aussi continue sur D, 0:g/?, q^n, on a pour zeD (2.1) /(z) = (-l> 4eD , f /(o a qp.^z, o+(-iy+q+i f /(Q a pj(z, q] om Q£(z, Q = Q£((pv, s, s)(z, Q et PJ(z, Q est la partie de bidegré (p, q) en z de dÙ. Remarque 1. - Si/? = 0, P£ = 0 car c(T(M x M)) est de bidegré (1, 1) en z, on retrouve donc la formule (2.4.6) de [2]. Remarque 2. - Si la métrique 0 est telle que c(T(MxM))=0, on obtient la formule de Koppelman classique pour les (p, q)-îormes différentielles. Démonstration. - La méthode utilisée ici est la même que celle de la démonstration du théorème 4.5.2 de [3]. Il nous a semblé plus clair d'en rappeler ici les principales étapes. Il suffit de prouver pour toute forme différentielle g de bidegré (n-p, n - q), W? à support compact dans D, que 1 -1V+« /(OAQ£(z,QAg(z) (z, OeDxdD dcf(Ç)AWq(z,QAg(z)\ (z, 0 ¤ D x D J /(0aûL(z>9a^(z)- (z, OeDxD /(QaH(z,Qa*(z). ANNALES SCIENTIFIQUES DE L'ÉCOLE NORMALE SUPÉRIEURE 586 J.-P. DEMAILLY ET C. LAURENT-THIEBAUT Par des considérations de bidegré on peut remplacer QPq et Q£_x par fit, P£ par dÙ ainsi que ~bf et dg par d/et dg. On doit donc démontrer l'égalité (2'. 2) f f(z)Ag(z) JzeD = (-l)P + ,rf f(Q A A(Z, Q A g(2)- f d;/(Ç) A Ô(z, Q A g(z) LJ(z, OeDxdD J(z, QeDxD f /(Q A fl(z, Q A d,*(z)- f /© A 3,f CÛ(Z, Q A g(z). J(z, QeDxD J(z, QeDxD Grâce aux propriétés de s, on peut trouver un voisinage UAcMxM de la diagonale A = {(z, z) | z g M} tel que pour tout z fixé dans M, s (z, Q soit biholomorphe pour tout Ç g M tel que (z, Q g Ua. On considère les ouverts Ue = {(z, QeUAxUA||s|e0. Comme DccM, pour 8 assez petit, 3U6O(DxD) est lisse. Nous allons appliquer la formule de Stokes à la forme différentielle /(Q a Q(z, Q a g(z) sur l'ouvert D£ = D x D\Ue. Nous choisissons s pour que ÔDZ H (supp gxM)=(Dx5DUSUe)n (supp g x M), alors /(Q a Q(z, Q a s(z)- f /(Q a Q(z, Q a g(z) (z, QeDxdD J(z, Ç)edUe =1 < (/©Aâ(Z)QAg(z)). Or dtt {(/(Ç) A fl(2, Q A g(z)) = ^/(Q A fi(z, Q A g(z) + (-l)P + V(Q A d" £fl(z, Q A g(z) + (-iy + «+1/(0 A fl(z, Q A dzg(z) et pour des raisons de bidegré on peut remplacer dz c Q par 5Z c D, on en déduit donc que (2.3) j J(z, Ç)eD> /(OAÔ(Z,Ç)Ag(z)- (z, ç)eauE /(Ç)Afi(z,QAg(z) (z, OeD, d{/(C)Afl(z,OA«(z) + ( _l)P + « J(z, Ç)eD£ /(0A3,,{fi(z,0Ag(z) + (_l)P + «+l /(Q A fl(z, Q a dzg(z). 4e SÉRIE - TOME 20 - 1987 - N° 4 (z, 0 6 De FORMULES INTÉGRALES POUR LES FORMES DE TYPE (p, q) 587 Il est clair que Ù ayant une singularité d'ordre 2n - 1 au voisinage de la diagonale et dz çÛ une singularité d'ordre In - 2, ces deux formes différentielles sont localement intégrables sur DxDet par conséquent les intégrales du second membre de (2.3) tendent vers les intégrales correspondantes de (2.2) quand e -» 0. Il reste donc à montrer que (2.4) lim e-+0, f(Q A £1(Z, Q A g(z) = (-l)* + * | f{2) A g(z). (z, QzàVt Après usage d'une partition de l'unité sur le support de g, on peut supposer que le support de g est contenu dans un ouvert de carte U de M. Soit V un ouvert tel que supp gcVdcU. Si 8 est assez petit, les conditions ze V et (z, QeUe impliquent ÇeU. Avec les notations du paragraphe 1, le noyau Q(cpv, s*, s) admet pour (z, QgVxU l'expression en coordonnées locales (2in)n \u\%n En particulier sur 3Ue Pi (V x (U H D)) fi(z, QjlzWy**'.. ^ A "- <("> +Q(8-2" + 2). (2l7l)w 82w Or la mesure de l'ensemble 5UEPi(VxU) est un 0(82w-1), il en résulte que (2.4) se déduira de (2.5) lim e - 0 OÙ /K)AK(z,Ç)Ag(z) = (-ir (z, Ç) e aue n (V x U) /(2)A^(Z) zeV K(Z, Q=(!L^)!q>v0, dans un ouvert U de la variété de Stein M, telle que U\V ait exactement deux composantes connexes U+ et U-. On suppose que l'orientation sur V est celle obtenue lorsque l'on considère que V est la frontière de U + . Si/est une (p, g)-forme différentielle de classe #* sur V, à support compact on appelle transformée de Bochner-Martinelli de/la forme différentielle F définie sur U\V par F(z)=f /(QaQJ(9v,5,5)(z,Q. ÇeV Dans [6] nous avons déjà étudié les propriétés de F, lorsque / est une (0, #)-forme différentielle, les résultats obtenus s'étendent au cas des (p, g)-formes différentielles. Les notations sont celles de [6], § 3. On suppose que V = {zeM/p(z) = 0}, pe#1+a(M). Si/6^p ^(V) on notera/ sa projection sur l'espace quotient de %>Pt q(V) par les formes différentielles normales complexes. Si F est une (p, q) -forme différentielle continue sur U+ ouU" nous dirons qu'elle se prolonge continûment à U1 U V modulo dp s'il existe une (p, q)-forme différentielle F continue sur U1 U V telle que F -F = 3p a G sur U±, G étant une forme différentielle continue sur U* de bidegré (p, q-\). Théorème 3.1. - Soit f une (p, q)-forme différentielle, <¤y sur V, à support compact. La transformée de Bochner-Martinelli de f F(z) = /©Affi(f(M)(2,0 CeV admet, modulo dp, des prolongements continus à U+ U V et U U V notés F+ et F et on a F;-F-=(-iy+"ft. Démonstration. - Il s'agit d'un problème local, on peut donc supposer que U est un domaine de carte de M. Choisissons des coordonnées et un repère trivialisant de T(MxM) sur cet ouvert, on a alors d'après le paragraphe 1 si (z, Q e U x U\A (U), z et Ç variant dans des compacts de M. 4e SÉRIE - TOME 20 - 1987 - N° 4 FORMULES INTÉGRALES POUR LES FORMES DE TYPE (p, q) 589 Pour des raisons de degré F(z) = /(Da%,m) et par conséquent grâce à (3.1) la forme F est somme d'un terme continu au voisinage de V et de la forme (2inf J JCeV |M|e Le théorème résulte donc du théorème analogue montré pour F0 dans [6] (prop. 2.3.1). Remarque. - Dans [6] nous avions étudié lorsque / est une (n, n - q- l)-forme différentielle G(Q = f(z)AQ°A\s,s)(z,Q-fl0(q>v,s,s)G,z) possède une singularité d'ordre 2n - 2 en z = Ç. 4. Formule de Koppelman-Leray Sur M x M x [0, 1] on désigne par T* (M x M x [0, 1]) le fibre vectoriel image réciproque de T*(M) par l'application (z, Ç, À,)h->z. On notera 9* la métrique induite par la métrique 0 de T(M) sur ce fibre. Soit À la connexion hermitienne sur T*(MxMx[0, 1]) relative à la métrique 9"*, holomorphe en les variables (z, Q et invariante par translation dans la direction X. Si ^k (M x M x [0, 1], Ë*) désigne l'espace des formes différentielles #°° de degré k sur M x M x [0, 1] à valeurs dans Ë* = T* (M x M x [0, 1]), on a la décomposition suivante «ï°(MxMx[0, 1], E*)= 0 ^,r(MxMx[0, 1], Ë*) p+q+r=k où^^^MxMx [0, 1], Ë*) désigne l'espace des formes différentielles de bidegré (p, q) en (z, Q et de degré r en X. La connexion A se décompose en A' + A" où A': »pa;jir(MxMx[0,l],EV«?+il,1,(MxMx[ft 1], Ë*) ANNALES SCIENTIFIQUES DE L'ÉCOLE NORMALE SUPÉRIEURE 590 J.-P. DEMAILLY ET C. LAURENT-THIEBAUT |s(z,Q|e2' D'après les propriétés de (p, s et s* l'application (z,u)HrwfeOt*feU) définit une section ^l de T* (M x M x [0, 1]) sur un voisinage de D x 3D x [0, 1] dans D x M x [0, 1]. On en déduit que pour tout entier v ^ max(x, X*) ^a forme différentielle Q(cpv, s*, s, 5) = ( - l)rt~V(2tc)w cpvw < t*? Ds> a «A"r*, Ds»w_1 est continue sur un voisinage de D x dD x [0, 1] dans D x M x [0, 1]. Lemme 4.1. - On aies égalités suivantes 0(q>v, s*, s, s)\x=0 = Ù((p\ s*, s) Q(cpv, s*, s, s)|x=1=Q((pv, s, s). Démonstration. - D'après l'expression (4.1) de t* il suffit de montrer que pour toute fonction jj, de classe #*, définie sur un ouvert de M x M contenant le domaine de définition d'une section s* de T* (M x M) on a <|X5*9 Ds> a «A"Gis*), D5»"_1 = |i"<5*, Ds> a «A"s*, Ds»""1; on appliquera cette formule successivement avec ja = _1 pour X = 0 et |i = _1 = |s|G"2, s* = s pour À,= l. La formule résulte elle-même immédiatement du fait que a =-fid"ii a a = 0. 4e SÉRIE - TOME 20 - 1987 - N° 4 FORMULES INTÉGRALES POUR LES FORMES DE TYPE (/?, q) 591 Lemme 4.2. - Soit W x [0, 1] le domaine de définition de Ô((pv, s*, s, s), WcDx M. Pour tout (z, Ç, l)eWx [0, 1], on a (3z,c + 4)Q(cpv, s*, s, 5)=(~1)W cpv"[<**, c(T(MxM)) a s> a «A"t*, Ds»-1 (ZTCJ + (n-l) a a «A"**, Ds»"-2]. Si de plus c(T(MxM))=0, on a (dzJi + di)Ù((pv, s*, s, s) = 0. Démonstration : (dz^ + dx)Ù(\ s*, s, s)=^V»[( a «A"t*, Ds»""1 (Z 71) -(n-l)«A"2i*, Ds>-)" = (-lTin-1)l2n\( a (3,,{ + dx)(q>X))A( a^ + KH-^H) au)X On reprend alors la démonstration du lemme 4.5.4 de [3] : on a £ (pv v$ uk = (pv par définition de t* les fonctions q> et uk étant holomorphes en (z, Q et indépendantes de X, on en déduit n n d'où a (5z,ç + dx)(cpvt;f) = 0 car le membre de gauche est continu d'après les propriétés des sections de Leray et l'ensemble {(z, Ç, À,)eWx[0, 1] | s(z, Q #0} est dense dans Wx [0, 1]. On a donc : (pvn(< A" t*, Ds»" = 0 et le lemme est démontré. Nous allons maintenant pouvoir généraliser au cas des (p, q)-îormes différentielles la formule de Koppelman-Leray donnée par Henkin et Leiterer ([3], théorème 4.5.3). Théorème 4.3. - Soient D un domaine relativement compact à bord W1 par morceaux de la variété de Stein M, (s*, %*) une section de Leray pour (D, s, cp) et v un entier plus grand que max(2x, %*). On suppose de plus que toutes les dérivées de (cpvs*/\s*,s)(z,Q- £eD 5cf(QAQP(cpv,s,s)(z,Q a{/(OAfiw)S*s,S)(z,ça) (Ç, X,) e dD x [0, 1] +3, ÇeD /fflAÛJ.1(f,M)(z1Ç) /(Ç)Anj_1(q>v,s*,s,s)(z,Ç,X) +(-ly+«+1 ({, )l) <= 0D x [0, 1] /(Q A P£(z, Q- (Ç, X)eôDx[0, 1] /(QaQJ(z,Ç,X) , zeD, om Q£((pv, s*, s), Q£((pv, s, s), ÎÎJ(cpv, s*, s, s), P£ et Q£ désignent respectivement les parties de type (p, q) en z de Q((pv, s*, s), 0((pv, s, s), fi(cp\ s*, s, s), 3Z cQ((pv, s, s), (SZtC + 4)n(cpv, 5*, s, s). Remarque 1. - Si /? = 0, P£ = QJ = 0 car c(T(MxM)) est de bidegré (1, 1) en z, on retrouve donc la formule (4.5. 32) de [3]. Remarque 2. - Si la métrique 9 est telle que c(T(MxM))=0 alors P£ = QJ = 0 et on obtient la généralisation aux variétés de Stein de la formule de Koppelman-Leray pour les (p, q)-îormes différentielles de C". En suivant la méthode utilisée par Henkin et Leiterer dans la démonstration du théorème 4.5.3 de [3], il suffit, pour prouver le théorème 4. 3, d'appliquer la formule de Stokes à la forme différentielle /(Q a Q(cpv, s*, s, s). Corollaire 4.4. - Sous les hypothèses du théorème 4.3, si de plus s*(z9 Q dépend holomorphiquement de zeD, q ^ 1 et c(T(M x M))=0, alors "KL j J(Ç, A,)edDx[0 <3c/(0AÎF(cp\s, s){z,Q ÇéD a{/(QAnj(flS*,s,s)(z,u) £n particulier pour toute (p, q)-forme différentielle continue sur D telle que df= 0 sur D S(z) = (-1)' *'(J /(OAffi_1(«p*,S,s)(z,0 + /(Q A fi?((p\ S*, S, S)(z,i;, A,) 4e SÉRIE - TOME 20 - 1987 - N° 4 (Ç, X,) e dD x [0, 1] FORMULES INTÉGRALES POUR LES FORMES DE TYPE (p, q) 593 est une solution continue de Yéquation dg=fdans D. Démonstration. - Cela se déduit immédiatement du théorème 4.3 car si s*(z, Q est holomorphe en z, Qpq(q>\ s*, s) = 0 dès que q^\ et comme c(T(M x M))=0 PJ = Q£ = 0 d'après les lemmes 2.1 et 4.2. Nous allons maintenant prouver une autre formule de Leray-Koppelman, analogue à celle du théorème 1 de [1], Une telle formule pourrait permettre d'aborder des problèmes de division dans les ouverts des variétés de Stein comme l'a fait Berndtsson [9] pour les ouverts de Cn. Dans toute la suite du paragraphe, on considérera un domaine D relativement compact à bord W1 par morceaux de la variété de Stein M, (s*, x*) une section de Leray pour (D, s, (p) vérifiant : 5* est une section de classe W2 de T* (M x M) définie sur D x D. Pour tout compact L de D, il existe des constantes positives c1(L)9 c2(L) et r|(L) telles que si d (z, Q désigne la distance entre z, Ç on ait |s*(z,0|9.^i(L)<*(z,0 |v, S*, S, S) A dzg(z) +(-l)p+V(Q a (3,.c + d»)fl(9v, **, S, S) A g(z). Évaluons Ô(cpv, s*, s, s) et (Sz c + djn((pv, 5*, s, 5) sur Xe. Puisque nous sommes sur VxU nous pouvons exprimer Q(q>\ s*, s, s) en coordonnées locales; si u, v, û, u* sont les expressions de s, t*9 s, s* dans les coordonnées choisies 4e SÉRIE - TOME 20 - 1987 - N° 4 FORMULES INTÉGRALES POUR LES FORMES DE TYPE (p, q) 595 on a Q(cpv,s^5;s) = ^LJllcp-f K-ir1*, a (3,iC + ix)0*W a illI + ((H-15H)AII> En fait seule intervient la composante a de Q((pv, s*, s, s) de degré 1 en dX. Puisque vh = (l-X)-±-+X < M*, M > < M, M > car t* est définie par (4.1) z,c \; z'çv; 2'çv; a vérifie alors d'après les estimations (4.2) et la définition de s |a|| < U, U > < U*, U > (d(z,Q)-2"+*^C'(d(z,Q)- pour Ç e U et z e V compact de D. De même en utilisant l'expression de (dz c + dx)Q(cpv, s*, s, s) donnée dans le lemme 4.2 ainsi que la définition de s et les estimations (4.2) vérifiées par 5*, on voit que la composante P de (dz>c + djfl((pv, s*, s, s) de degré 1 en dX vérifie |p| = 0(d(z, Q_2n+3) sur V x U au voisinage de la diagonale. Par conséquent d^,Af(Q a "(z et (z, Qi->Ç, on notera G = Hom (Il| F, ITf F); c'est un fibre vectoriel holomorphe sur MxM dont les fibres sont données par G(,.0 = Hom(Fc,Fz). Nous allons construire un noyau A, c'est-à-dire une forme différentielle V1 sur MxM\À(M) à valeurs dans le fibre vectoriel G, qui nous permettra d'obtenir une formule de Koppelman pour les formes différentielles à valeurs dans le fibre F. Lemme 5.1. - 77 existe une section holomorphe \|/ de G vérifiant (i) \|/(z, z) = IdFz pour tout zeM. Démonstration. - Appliquons le théorème B de Cartan au faisceau G ® JA dans la suite exacte 0^G®/A-+G-+G|A-+0, où