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\def\Bbb{\fam\Bbbfam\tenBbb}

% Usual sets of numbers  
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{document}

\noindent
{\bf Universit{\'e} Grenoble Alpes\hfill L2 Sciences\hfill 2018-2019}\\
\noindent
Unit{\'e} d'Enseignement MAT 301

\vskip 15pt
\centerline{\bf Feuille de TD 1}
\medskip





%%%%%%%%%%%%

\titre{Combinaisons lin{\'e}aires}

%%%%%%%%%%%%

\exo{}

\qst
Montrer que dans $\bR^3$, on a $\vect ((1,1,0),(1,0,1))=\vect ((1,1,0)) + \vect ((1,0,1))$.

\qst Si $A$, $B$ sont des parties d'un espace vectoriel $E$, on d\'efinit
$A+B=\{u+v\,/\;u\in A,\;v\in B\}$. Si $F$, $G$ sont des sous-espaces vectoriels
de $E$, montrer que $F+G$ est un sous-espace vectoriel de $E$.
\qst
Montrer que si $A,B$ sont des parties de $E$, on a
$\vect (A\cup B)=\vect (A) + \vect (B)$.


%%%%%%%%%%%%

\exo{}


\qst
Soient $(e_1,e_2,e_3)$ des vecteurs d'un espace vectoriel $E$.
Montrer que $\vect (e_1,e_2,e_3)=\vect (e_2,e_2)$
si et seulement si $e_3$ est combinaison lin{\'e}aire de $e_1$ et $e_2$.

\qst
Soient $(e_1,...,e_n)$ une famille libre de vecteurs d'un espace vectoriel $E$.
Soit $x\in E$.
Montrer que $(e_1,...,e_n,x)$ est li{\'e}e si et seulement si $x$ est combinaison lin{\'e}aire de
$e_1,...,e_n$.


%%%%%%%%%%%%
\medskip\medskip
\titre{Somme directe, suppl{\'e}mentaire.}

%%%%%%%%%%%%

\exo{}

Les sous-espaces vectoriels de $\bR^3$ suivant sont-ils en somme directe ?

\qst
$E=\vect((1,1,0))$, $F=\vect((-1,0,1))$

\qst
$E=\vect((1,1,0), (0,1,0))$, $F=\vect((-1,0,1), (0,0,1))$

\qst
$E=\vect((1,1,0), (0,1,0))$, $F=\vect((-1,0,1))$

\qst
$E=\vect((1,1,0), (0,1,0))$, $F=\vect((-1,1,0)$


%%%%%%%%%%%%

\exo{}

Donner un suppl{\'e}mentaire dans $\bR^3$ des sous-espaces vectoriels $E$ de $\bR^3$ suivants :

\sq
$E=\vect((1,1,0),(-1,0,1))$
\hskip 15pt
\sq
$E=\vect((1,-1,0))$

\sq
$E=\{(x,y,z)\in \bR^3 ~|~ x+y-z=0\}$.

%%%%%%%%%%%%

\exo{}

\qst
On consid{\`e}re les sous-espaces vectoriels $F=\{(x,y,z)\in \bR^3 ~|~ x+2y+z=0\}$
et $G=\vect((1,-1,1))$ de $\bR^3$. 
Montrer que $G$ est un sous-espace vectoriel de $F$
et donner un suppl{\'e}men\-taire de $G$ dans $F$.

\qst
M{\^e}me question avec $F=\vect((0,1,1), (-1,1,0))$ et $G=\vect((1,0,1))$.


%%%%%%%%%%%%

\exo{(cours)}

Soit $u:E\to F$ une application lin{\'e}aire d'un espace vectoriel $E$ dans un espace vectoriel $F$.
Soit $G$ un suppl{\'e}mentaire de $\Ker u$ dans $E$.

\qst
Montrer que l'application lin{\'e}aire $u'$ induite par restriction de $u$ {\`a} $G$ au d{\'e}part
et {\`a} $\Im u$ {\`a} l'arriv{\'e}e est un isomorphisme.

\qst
En d{\'e}duire le th{\'e}or{\`e}me du rang. 


%%%%%%%%%%%%

\exo{}

Soit $F$ un sous-espace vectoriel strict d'un espace vectoriel $E$ de dimension finie.

\qst
Montrer qu'il existe une droite vectorielle de $E$ en somme directe avec $F$.

\qst
Montrer que $F$ poss{\`e}de un suppl{\'e}mentaire dans $E$.

%%%%%%%%%%%%

\exo{}

Soient $F,G$ des sous-espaces vectoriels stricts d'un espace vectoriel $E$.
Montrer qu'il existe une droite vectorielle de $E$ en somme directe {\`a} la fois avec $F$ et avec $G$.


%%%%%%%%%%%%

\exo{}

Soient $F,G,H$ des sous-espaces vectoriels d'un espace vectoriel $E$.

Montrer que $F,G,H$ sont en somme directe si et seulement si $G,H$ sont en somme directe
et $F$ est en somme directe avec $G\oplus H$.


%%%%%%%%%%%%

\exo{}

Soient $E$ un espace vectoriel et $F_i$, $1\leq i\leq s$ des sous-espaces de
$E$ de dimensions finies $n_i$, $b_i=(e_{i,1},\ldots,
e_{i,n_i})$ une base de $F_i$, et $F=\sum F_i$.

\qst Si les $F_i$ sont en somme directe et $F=F_1\oplus\ldots
\oplus F_s$, montrer que la famille $b$ obtenue en
``concat\'enant'' les familles $b_i$ est une base de $F$ et en d\'eduire
que $\dim F=\sum n_i=\sum \dim F_i$.

\qst Si les $F_i$ ne sont pas en somme directe, montrer que $b$ est une
famille g\'en\'eratrice li\'ee de $F$, et en d\'eduire que
$\dim F<\sum \dim F_i$.

\qst \'Enoncer une condition n\'ecessaire et suffisante sur $\dim F$ pour que
la somme $\sum F_i$ soit directe.

%%%%%%%%%%%%

\exo{}

Soit $E$ un espace vectoriel.

\qst
Montrer que si $E$ est de dimension finie et si des sous-espaces vectoriels $F,G$ v{\'e}rifient
$F\cap G=\{0\}$, alors $\dim F + \dim G \leq \dim E$.

\qst
Que peut-on dire si des sous-espaces vectoriels $F_1,F_2,G_1,G_2$ v{\'e}rifient
$E=F_1\oplus F_2$, $F_1\subset G_1$, $F_2\subset G_2$ et $G_1\cap G_2=\{0\}$ ?

\qst
Que peut-on dire si des sous-espaces vectoriels $F_1,\dots,F_k,G_1,\dots, G_k$ v{\'e}rifient
$E=F_1\oplus \dots\oplus F_k=G_1\oplus \dots\oplus G_k$, $F_1\subset G_1$,..., $F_k\subset G_k$ ?


%%%%%%%%%%%%

\exo{}

On note $\cM_3(\bC)$ l'espace des matrices carr{\'e}es d'ordre 3 {\`a} coefficients dans $\bC$.

\qst
Montrer que toute matrice de $\cM_3(\bC)$ se d{\'e}compose en la somme d'une matrice sym{\'e}trique et d'une matrice antisym{\'e}trique.

\qst
En d{\'e}duire une d{\'e}composition de $\cM_3(\bC)$ est somme directe de deux sous-espaces vectoriels.


%%%%%%%%%%%%

\exo{}

On note ${\cal A}([0,1],\bR)$ l'ensemble des applications de $[0,1]$ dans $\bR$.

\qst
Donner des lois $+$ et $.$ qui font de ${\cal A}([0,1],\bR)$ un $\bR$-espace vectoriel.

\qst
Montrer que $F=\{ f\in {\cal A}([0,1],\bR)~|~ f(1)=0\}$ est un sous-espace vectoriel de ${\cal A}([0,1],\bR)$.

\qst
Donner un suppl{\'e}mentaire de $F$ dans ${\cal A}([0,1],\bR)$.

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\nouvellefeuille

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\noindent
{\bf Universit{\'e} Grenoble Alpes\hfill L2 Sciences\hfill 2018-2019}


\vskip 10pt
\noindent
Unit{\'e} d'Enseignement MAT 301

\vskip 15pt
\centerline{\bf Feuille de TD 2}





%%%%%%%%%%%%

\titre{Applications lin{\'e}aires.}

%%%%%%%%%%%%

%%%%%%%%%%%%

\exo{(compl{\'e}ment de cours)}

Soit $f:E\to F$ une application lin{\'e}aire entre espaces vectoriels de dimension finie.

\qst
Montrer que $f$ est injective si et seulement si il existe une base $\cal B$ de $E$ dont l'image
par $f$ est une famille libre de $F$.

\qst
Montrer que $f$ est injective si et seulement si l'image de toute base de $E$
est une famille libre de $F$.

\qst
Montrer que $f$ est surjective si et seulement si il existe une base $\cal B$ de $E$ dont l'image
par $f$ est une famille g{\'e}n{\'e}ratrice de $F$.

\qst
Montrer que $f$ est surjective si et seulement si l'image de toute base de $E$
est une famille g{\'e}n{\'e}ratrice de $F$.

\qst
Montrer que $f$ est bijective si et seulement si il existe une base $\cal B$ de $E$ dont l'image
par $f$ est une base de $F$.

\qst
Montrer que $f$ est bijective si et seulement si l'image de toute base de $E$
est une base de $F$.

\qst
En d{\'e}duire que si $f$ est bijective, alors $\dim E = \dim F$.

%%%%%%%%%%%%

\exo{}

\qst
Donner un endomorphisme $f:\bR^2\to\bR^2$ pour lequel $\Ker f$ et $\Im f$
ne sont pas en somme directe.

\qst
Donner un endomorphisme $f:\bR^2\to\bR^2$ pour lequel
$\bR^2 = \Ker f \oplus \Im f$.


%%%%%%%%%%%%

\titre{Sous-espaces stables par un endomorphisme.}
\medskip

%%%%%%%%%%%%

On rappelle qu'un sous-espace $S$ d'un espace vectoriel $E$ est dit
{\it stable} par un endomorphisme $f:E\to E$ si $f(S)\subset S$.

%%%%%%%%%%%%

\exo{}

On consid{\`e}re l'application lin{\'e}aire suivante :
$$
f:\bR^3\to\bR^3,\qquad (x,y,z)\mapsto (3x+2y-2z,z,4x+3y-2z)
$$

\qst
Donner la matrice de $f$ dans la base canonique de $\bR^3$.

\qst
Les sous-espaces vectoriels suivants sont-ils stables par $f$ ?

\sq
$A=\vect ((1,-1,0))$
\hskip 15pt
\sq
$B=\vect ((1,-1,1))$
\hskip 15pt
\sq
$C=\vect ((0,1,1))$

\sq
$D=\vect ((0,1,1),(1,0,1))$
\hskip 15pt
\sq
$E=\vect ((1,0,1))$

\qst
Montrer que $\bR^3 = B\oplus D$ et que
${\cal B} = ((1,-1,1),(0,1,1),(1,0,1))$ est une base de $\bR^3$.

\qst
Montrer qu'aucun suppl{\'e}mentaire de $C$ dans $D$ n'est stable par $f$ et d{\'e}terminer la matrice de $f_{|D}$ dans la base
${\cal B}_{|D} = ((0,1,1),(1,0,1))$ de $D$.

\qst
D{\'e}terminer la matrice de $f$ dans la base $\cal B$.

%%%%%%%%%%%%

\exo{}

On consid{\`e}re l'application lin{\'e}aire suivante :
$$
f:\bR^3\to\bR^3,\qquad (x,y,z)\mapsto(x+y-z,-2x-y+2z,y)
$$

\qst
Donner la matrice de $f$ dans la base canonique de $\bR^3$.

\qst
Montrer que les sous-espaces vectoriels suivants sont stables par $f$ :

\sq
$A=\vect ((1,0,1))$
\hskip 15pt
\sq
$B=\vect ((0,1,1),(1,1,3))$

\qst
Montrer que $B$ se d{\'e}compose comme somme directe de deux sous-espaces stables par $f$.

\qst\kern-5mm
\sq
Montrer que $\bR^3$ est somme directe de trois droites stables par $f$.

\sq
D{\'e}terminer la matrice de $f$ dans une base de $\bR^3$ adapt{\'e}e {\`a} cette d{\'e}composition en somme directe
(c'est-\`a-dire une base de $\bR^3$ form{\'e}e de la r{\'e}union de bases de chacune des droites).


%%%%%%%%%%%%

\exo{}

Soit $f:E\to E$ un endomorphisme. On note $f^0=\Id$ et par r{\'e}currence pour tout entier $p$,
on note $f^{p+1}=f^p\circ f$.

\qst
Montrer que $\Ker f\subset \Ker f^2\subset ...\subset \Ker f^p\subset ...$ et que chacun de ces sous-espaces vectoriels
de $E$ est stable par $f$.

\qst
Montrer que $\Ker (\Id +f)$, $\Ker (2\Id -f +f^2)$ sont stables par $f$.

\qst
Montrer que pour tout entier $p$ on a $\Im f^{p+1}\subset \Im f^p$ et que ces sous-espaces sont stables par $f$.

%%%%%%%%%%%%

\exo{}

Soit f un endomorphisme de $\bR^n$ v{\'e}rifiant $f^2-3f +2\Id = 0$.
Montrer que $R^n = \Ker (f-\Id)\oplus \Ker (f -2\Id)$ et que ces deux noyaux sont stables par $f$.

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\nouvellefeuille

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\noindent
{\bf Universit{\'e} Grenoble Alpes\hfill 2018-2019}


\vskip 10pt
\noindent
Unit{\'e} d'Enseignement MAT 301

\vskip 15pt
\centerline{\bf Feuille de TD 3}



\vskip 15pt

%%%%%%%%%%%%

\titre{Projections lin{\'e}aires.}

%%%%%%%%%%%%

%%%%%%%%%%%%

\exo{}

On consid{\`e}re l'application lin{\'e}aire suivante :
$$
f:\bR^3\to\bR^3,\qquad(x,y,z)\mapsto(y+z,x-z,-x+y+2z)
$$

\qst
Donner la matrice de $f$ dans la base canonique de $\bR^3$.

\qst\kern-5mm
\sq
Par un calcul matriciel, montrer que $f$ est une projection de $\bR^3$
sur un sous-espace vecto\-riel $F$ parall{\`e}lement {\`a} un sous-espace vectoriel $G$.\par

\sq
D{\'e}terminer des bases ${\cal B}_F$ et ${\cal B}_G$ de $F$ et $G$.

\qst
D{\'e}terminer la matrice de $f$ dans la base ${\cal B}={\cal B}_F\cup {\cal B}_G$ de $\bR^3$.

%%%%%%%%%%%%

\exo{}

On consid{\`e}re l'application lin{\'e}aire $f$ de $\bR^3$ dans $\bR^3$ dont la matrice
dans la base canonique est :
$$
\Mat_{{\cal B}_{\rm can}} f=
\pmatrix{
0&-1&1\cr
1&2&-1\cr
1&1&0\cr}.
$$

\qst
Montrer que ${\cal B}=((1,-1,0),(1,0,1),(-1,1,1))$ forme un base de $\bR^3$.

\qst
D{\'e}terminer la matrice de $f$ dans la base ${\cal B}$.

\qst
En d{\'e}duire que $f$ est une projection, dont on d{\'e}terminera le noyau et l'image (par des bases).


%%%%%%%%%%%%

\exo{}

Soit $E$ un espace vectoriel.

\qst
Montrer qu'un endomorphisme $p$ de $E$ est un projecteur si et seulement si $\Id - p$ est un projecteur.

\medskip
On suppose d{\'e}sormais que $p$ est un projecteur de $E$.

\qst
Montrer que $\Ker (\Id -p)=\Im p$ et  $\Im (\Id -p)=\Ker p$.

\qst
Montrer qu'un endomorphisme $u$ de $E$ commute avec $p$ si et seulement si $u(\Ker p)\subset \Ker p$
et $u(\Im p)\subset \Im p$.



%%%%%%%%%%%%

\exo{}

Notation : si $f$ est une application d'un ensemble $E$ dans un ensemble $F$, si $A$ est une partie de $E$
et $B$ une partie de $F$ telles que $f(A)\subset B$, on notera $f'$ la restriction de $f$ {\`a} $A$ au d{\'e}part
et {\`a} $B$ {\`a} l'arriv{\'e}e ($f'$ est ainsi une application de $A$ dans $B$).

\bigskip
Soit $f:E\to E$ un endomorphisme d'un espace vectoriel $E$ de dimension finie $n$. Soit $E=F\oplus G$ une d{\'e}composition de $E$
en somme directe de deux sous-espaces vectoriels. On note $k=\dim F$ et $l=\dim G$.
Soient ${\cal B}_F$ et ${\cal B}_G$ des bases de $F$ et $G$. On note
${\cal B}={\cal B}_F\cup {\cal B}_G$ et :

$$
\Mat_{{\cal B}} f = \pmatrix{
A&B\cr
C&D\cr}
$$

la matrice par bloc de $f$ dans la base $\cal B$, la sous-matrice $A$ {\'e}tant carr{\'e}e de taille $k$ par $k$.

\qst
Montrer que $A$ est la matrice de l'endomorphisme $p_{F,G}\circ f'$ dans la base ${\cal B}_F$,
o{\`u} $p_{F,G}$ d{\'e}signe la projection sur $F$ parall{\`e}lement {\`a} $G$.

\qst
{\`A} l'aide de projections lin{\'e}aires, d{\'e}terminer des applications lin{\'e}aires dont $B$, $C$, $D$ sont des matrices
dans des bases bien choisies.

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\nouvellefeuille

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\noindent
{\bf Universit{\'e} Grenoble Alpes\hfill L2 Sciences\hfill 2018-2019}


\vskip 10pt
\noindent
Unit{\'e} d'Enseignement MAT 301

\vskip 15pt
\centerline{\bf Feuille de TD 4}


%%%%%%%%%%%%

\titre{Permutations.}

%%%%%%%%%%%%

%%%%%%%%%%%%

\exo{}

D{\'e}composer les permutations suivantes de $S_7$ en produit de cycles disjoints (c'est-\`a-dire
de supports disjoints) et donner leurs signatures :

\qst
$
\sigma= \left[\matrix{
1&2&3&4&5&6&7\cr
2&4&3&1&6&7&5\cr}\right]
.
$

\qst
$
\sigma= \left[\matrix{
1&2&3&4&5&6&7\cr
3&7&1&6&5&4&2\cr}\right].
$

%%%%%%%%%%%%

\exo{}
On consid{\`e}re la permutation $\sigma$ de $S_5$ suivante :
$$\sigma = (2~3)(1~2)(2~5)(1~3)(2~4)(1~4)(3~5).$$

D{\'e}terminer la d{\'e}compostion en
produit de cycles disjoints et la signature de $\sigma$.

%%%%%%%%%%%%

\exo{}

Soit $n\geq 2$.

\qst
Montrer que $S_n$ muni de la compos{\'e}e des applications est un groupe.

\qst
Montrer qu'il y a autant de permutations paires que de permutations impaires dans $S_n$.

%%%%%%%%%%%%


\vskip 15pt

%%%%%%%%%%%%

\titre{D{\'e}terminants.}

%%%%%%%%%%%%

\exo{}

Soit $A=(C_1 ~C_2 ~C_3)$ une matrice de $\cM_3(\bK)$.

\qst
Exprimer en fonction de $\det A$ les d{\'e}terminants des matrices suivantes :

\sq
$(C_1~~2C_2-C_3~~C_3)$.
\hskip 15pt
\sq
$(C_2~~-C_3~~C_1)$.
\hskip 15pt
\sq
$(C_1-C_2~~C_2-C_3~~C_1)$.


\sq
$(C_2-C_1~~C_3-C_2~~C_3)$.
\hskip 15pt
\sq
$(C_1-C_2~~C_2-C_3~~C_3-C_1)$.

%%%%%%%%%%%%

\exo{}

\qst
Montrer sans le calculer que le d{\'e}terminant
$\left|\matrix{
2&1&-2\cr
6&3&6\cr
4&0&4\cr}\right|$
est un entier multiple de 24.

\qst
Sachant que 13 divise 546, 273 et 169,
montrer que 13 divise
$\left|\matrix{
5&4&6\cr
2&7&3\cr
1&6&9\cr}\right|$.

%%%%%%%%%%%%

\exo{}

Calculer les d{\'e}terminants des matrices suivantes :\medskip
\sq
$A=\pmatrix{
1&1&-1\cr
2&3&-4\cr
4&-1&4\cr}
$
\hskip 12pt
\sq
$B=\pmatrix{
1&1&-1&1\cr
-1&1&0&1\cr
1&-1&1&0\cr
1&-1&1&1\cr}
$\medskip

\sq
$C=\pmatrix{
1&0&-2&1\cr
2&0&-1&3\cr
4&-3&1&4\cr
-2&0&2&0\cr}
$
\sq
$D=\pmatrix{
0&1&0&1\cr
1&0&1&0\cr
1&1&0&1\cr
1&1&1&0\cr}
$
\hskip 12pt
\sq
$E=\pmatrix{
-1&1&1&1\cr
1&-1&1&1\cr
1&1&-1&1\cr
1&1&1&-1\cr}
$.
\bigskip

%%%%%%%%%%%%

\exo{}\sqcount=1
Soient $a,b,c,d, a_1,a_2,...,a_n\in \bC$.
Calculer les d{\'e}terminants suivants et donner une condition n{\'e}cessaire et suffisante {\`a} leur annulation :
\medskip
\sq
$\left|\matrix{
a_1&a_2&a_3\cr
a_1&a_1&a_2\cr
a_1&a_1&a_1\cr}\right|$
\hskip 30pt
\sq
$\left|\matrix{
a_1&a_2&\ldots&a_n\cr
a_1&a_1&\ddots&\vdots\cr
\vdots&\ddots&\ddots&a_2\cr
a_1&\ldots&a_1&a_1\cr}\right|$
\hskip 30pt
\sq
$\left|\matrix{
0&1&1&1\cr
1&0&a&a\cr
1&a&0&b\cr
1&a&b&0\cr}\right|$
\medskip
\sq
$\left|\matrix{
a&a&a&a\cr
a&b&b&b\cr
a&b&c&c\cr
a&b&c&d\cr}\right|$
\hskip 30pt
\sq
$\left|\matrix{
1&a&b&ab\cr
1&c&b&bc\cr
1&a&d&ad\cr
1&c&d&cd\cr}\right|$
\hskip 30pt
\sq
$\left|\matrix{
-a&b&c&d\cr
b&-a&d&c\cr
c&d&-a&b\cr
d&c&b&-a\cr}\right|$.
\medskip

\soluce{additionner les colonnes et factoriser par $-a+b+c+d$, faire le pivot de Gauss sur le premier
coefficient et se ramener {\`a} un d{\'e}terminant 3x3. Puis ajouter $C_2$ et $C_3$ et factoriser par $a-b+c+d$.
On obtient $-(-a+b+c+d)(a-b+c+d)(a+b-c+d)(a+b+c-d)$.}

%%%%%%%%%%%%

\exo{}\sqcount=1
Calculer les d{\'e}terminants suivants :
\medskip
\sq
$\left|\matrix{
1&0&\dots&0&1\cr
1&1&0&\ddots&0\cr
0&1&\ddots&\ddots&\vdots\cr
\vdots&\ddots&\ddots&1&0\cr
0&\dots&0&1&1\cr}\right|$
\hskip 20pt
\sq
$\left|\matrix{
a+b&a&\dots&a\cr
a&a+b&\ddots&\vdots\cr
\vdots&\ddots&\ddots&a\cr
a&\dots&a&a+b\cr}\right|$~~ avec $a,b\in \bC$. 

%%%%%%%%%%%%

\exo{(d{\'e}terminant de Van der Monde)}


\qst
Soient $a,b,c\in \bC$. Calculer les d{\'e}terminants suivants et donner une condition n{\'e}cessaire et suffisante {\`a} leur annulation :
\medskip
\sq
$\left|\matrix{
1&a\cr
1&b\cr}\right|$
\hskip 15pt
\sq
$\left|\matrix{
1&a&a^2\cr
1&b&b^2\cr
1&c&c^2\cr}\right|$
\hskip 15pt

\qst
Soient $a_1,\ldots,a_n\in \bC$. Montrer que~:
$$\left|\matrix{
1&a_1&\ldots&a_1^{n-1}\cr
1&a_2&\ldots&a_2^{n-1}\cr
\vdots&\vdots&\vdots&\vdots\cr
1&a_n&\ldots&a_n^{n-1}
\cr}\right|=\prod_{1\leq i<j\leq n}(a_j-a_i).$$

{\it Indication :} remplacer la colonne $C_i$ par $C_i-a_nC_{i-1}$ pour $i=n,\ldots,2$.

%%%%%%%%%%%%

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\nouvellefeuille

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\noindent
{\bf Universit{\'e} Grenoble Alpes\hfill L2 Sciences\hfill 2018-2019}


\vskip 10pt
\noindent
Unit{\'e} d'Enseignement MAT 301

\vskip 15pt
\centerline{\bf Feuille de TD 5}



\vskip 15pt

%%%%%%%%%%%%

%\titre{D{\'e}terminants.}

%%%%%%%%%%%%


\exo{}

Combien y a-t-il de mineurs $3\times 3$ dans une matrice de taille
$4\times 3$~? $4\times 4$~? $7\times 5$~?

%%%%%%%%%%%%

\exo{}

Soient $a,b\in \bK$. D{\'e}terminer le rang de la matrice 
$M=\pmatrix{
1&0&1&0\cr
0&a&b&1\cr
1&b&a&0\cr
0&1&0&1\cr}.$

%%%%%%%%%%%%

\exo{}

D{\'e}terminer en fonction du param{\`e}tre $m\in \bC$ le rang de la matrice suivante :

$$M=\pmatrix{
m+1&1&m+1\cr
1&m+1&m+1\cr
m&2m&1\cr}
.$$


%%%%%%%%%%%%

\exo{}

Soient $x\in \bK$ et $n\geq 2$ un entier. On consid{\`e}re la matrice suivante de $\cM_n(\bK)$ :

$$A(n)=\pmatrix{
1&x&x^2&\ldots&x^{n-1}\cr
x&1&x&\ldots&x^{n-2}\cr
\vdots&\ddots&\ddots&\ddots&\vdots\cr
x^{n-2}&x^{n-3}&\ddots&1&x\cr
x^{n-1}&x^{n-2}&\dots&x&1\cr}.$$

On note $\Delta(n)=\det A(n)$ et $\Delta_{i,j}(n)$ le mineur $(n-1)\times(n-1)$
obtenu en rayant la ligne $i$ et la colonne $j$ ($1\leq i,j\leq n$).

\qst
Calculer les mineurs $\Delta_{1,1}(n)$ et $\Delta_{2,1}(n)$ en fonction de
$\Delta(n-1)$.

\qst
Montrer que pour $i\geq 3$, le mineur $\Delta_{i,1}(n)$ est nul.

\qst
Calculer $\Delta(n)$.

\qst
D{\'e}terminer le rang de $A(n)$ en fonction de~$x$.

%%%%%%%%%%%%

\exo{}

Soit $n\geq 3$ un entier. On consid{\`e}re la matrice $M_n\in \cM_n(\bK)$ suivante :

$$M_n=\left|\matrix{
1&1&1&\dots&1&1\cr
-1&x&0&\dots&0&0\cr
0&-1&x&\dots&0&0\cr
\vdots&\ddots&\ddots&\ddots&\vdots&\vdots\cr
0&0&\ddots&\ddots&x&0\cr
0&0&\dots&0&-1&x\cr}\right|.$$

\medskip
On note $\Delta_n=\det M_n$.

\qst
Calculer $\Delta_3$.

\qst
Donner une relation de r{\'e}currence entre $\Delta_n$ et $\Delta_{n-1}$.
En d{\'e}duire $\Delta_n$.

\qst
D{\'e}terminer le rang de $M_n$.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\exo{}
On consid\`ere une matrice $(n+p)\times (n+p)$ \`a coefficients dans
un corps $\bK$, de la forme

$$
M=\pmatrix{A & B\cr C & D\cr}
$$
avec $A$ de taille $n\times n$, $B$ de taille $n\times p$,
$C$ de taille $p\times n$, $D$ de taille $p\times p$.

\qst On dit que $M$ est ``triangulaire sup\'erieure par blocs'' si
$C=0$, autrement dit, si les coefficients $m_{ij}$ de $M$ v\'erifient
$m_{ij}=0$ pour $n+1\leq i\leq n+p$ et $1\leq j\leq n$. Si $\sigma$
est une permutation de $\{1,\ldots,n+p\}$ telle que $\sigma(i)\leq n$
pour $i\leq n$, montrer que $\sigma$ se d\'ecompose en une permutation
$\sigma'$ de $\{1,\ldots,n\}$ et une permutation $\sigma''$
de $\{n+1,\ldots,n+p\}$. En d\'eduire que
$$
\det(M)=\det(A)\det(D),
$$
et d\'emontrer le r\'esultat analogue lors que $M$ est triangulaire inf\'erieure
par blocs ($B=0$).

\qst En g\'en\'eral, si $A$ est inversible, montrer que
$$\det(M)=\det(A)\det(D-CA^{-1}B).$$
(Multiplier $M$ \`a gauche par une matrice triangulaire inf\'erieure
ad\'equate de blocs diagonaux \'egaux aux matrices unit\'es, de fa\c{c}on que le
produit soit une matrice triangulaire sup\'erieure par blocs).

\qst Montrer par r\'ecurrence sur $s$ que le d\'eterminant d'une matrice
triangulaire (par exemple sup\'erieure) par blocs 
$$
M=\pmatrix{A_1 & B_{12} & B_{13} & \ldots & B_{1s} \cr
           0 & A_2 & B_{23} & \ldots & B_{2s} \cr
           \vdots& \vdots & \ddots & &\vdots\cr
           0 & 0 & \ldots & A_{s-1}& B_{s-1 s}\cr
           0 & 0 & \ldots & 0 & A_s\cr},$$
o\`u $A_i$ est carr\'ee $n_i\times n_i$ et $B_{ij}$ rectangulaire
$n_i\times n_j$, est donn\'e par
$$
\det(M) =\det(A_1)\ldots \det(A_s).
$$

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\nouvellefeuille

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\vskip 10pt
\noindent
Unit{\'e} d'Enseignement MAT 301

\vskip 15pt
\centerline{\bf Feuille de TD 6}

\vskip 15pt

%%%%%%%%%%%%

\titre{\'El\'ements inversibles et irr\'eductibles dans les anneaux.}
\medskip

Tous les anneaux sont suppos\'es commutatifs et unitaires.\medskip

%%%%%%%%%%%%

\exo{}
(Nota: Le but de cet exercice est de montrer l'existence d'un anneau
``bizarre'' o\`u la d\'ecompo\-sition en facteurs irr\'eductibles n'est
pas unique, afin de voir que cette propri\'et\'e n'est pas une \'evidence
en soi.)\smallskip

On d\'esigne par $A=\bZ[i\sqrt{5}]$ l'ensemble des nombres complexes
de la forme $z=a+bi\sqrt{5}$ avec $a,b\in\bZ$.

\qst Montrer que $(A,+,\times)$ est un anneau int\`egre et que si on d\'efinit
$N(z)=|z|^2$ alors $N$ d\'efinit une application $A\to\bN$  telle que
$N(zz')=N(z)N(z')$.

\qst D\'eterminer les \'el\'ements inversibles $z$ de $A$ (en montrant
d'abord qu'un tel \'el\'ement $z$ v\'erifie n\'ecessaire\-ment $N(z)=1$).

\qst D\'eterminer explicitement tous les \'el\'ements $z\in A$ tels que
$N(z)=p$ avec $p=2,3,4,6,9,12,18$ (\`a savoir les diviseurs entiers de 36
autres que $1$ et $36$).

\qst Montrer que l'\'el\'ement $6$ admet dans $A$ les deux d\'ecompositions
en \'el\'ements irr\'eductibles
$$
6= 2\times 3 =(1+i\sqrt{5})\times (1-i\sqrt{5}),
$$
que ces d\'ecompositions ne sont pas \'equivalentes (aux inversibles pr\`es),
et qu'il n'y a pas d'autres d\'ecompositions de $6$ dans $A$ (\`a l'ordre
pr\`es des facteurs, et \`a \'el\'ements inversibles pr\`es).

\qst On consid\`ere l'ensemble $I$ des \'el\'ements $z=a+bi\sqrt{5}$ tels que
$a$ et $b$ sont de m\^eme parit\'e (tous les deux pairs, ou tous les deux
impairs). Montrer que $I$ est un id\'eal de $A$ et que $I=(2,1+i\sqrt{5})$.
Montrer que $I$ n'est pas un id\'eal principal $(g)$ (on pourra consid\'erer
les valeurs possibles de $N(g)$ et en d\'eduire que $N(g)$ devrait diviser
\`a la fois $4$ et $6$, ce qui conduit \`a une contradiction).

\exo{}

Soit $(A,+,\times)$ un anneau int\`egre et $I$ un id\'eal de ~$A$. On suppose
que $I$ est principal et s'\'ecrit $I=(g)$ ou $I=(g')$ (c'est-\`a-dire que
$g$ et $g'$ sont des g\'en\'erateurs de $I$). Montrer
qu'alors $g'=ug$ avec $u$ inversible,
et inversement, que si c'est le cas, alors $(g)=(g')$.

%%%%%%%%%%%% 

\titre{Polyn{\^o}mes.}
\exocount=1

%%%%%%%%%%%%

\exo{}

\qst
Faire la division euclidienne de $X^4+2X^3+2X+1$ par $X^2-1$, puis par $X^2+1$, dans $\bR[X]$.

\qst
D{\'e}terminer le reste de la division euclidienne de $X^{2016}+1$ par $X^2-1$ puis par $X^2+1$ 
dans $\bR[X]$.

%%%%%%%%%%%%

\exo{}

Montrer que les applications suivantes sont lin{\'e}aires :

\qst
$f:\bK[X]\to\bK[X]$, $P\mapsto P'$ o{\`u} $P'$ d{\'e}signe le polyn{\^o}me d{\'e}riv{\'e} de $P$.

\qst
$f_{x_0}:\bK[X]\to\bK$, $P\mapsto P(x_0)$ o{\`u} $P(x_0)$ d{\'e}signe l'{\'e}valuation du polyn{\^o}me $P$ en
un {\'e}l{\'e}ment donn{\'e} $x_0\in \bK$.

\qst
$f_Q:\bK[X]\to \bK[X]$, $P\mapsto R$ o{\`u} $R$ d{\'e}signe le reste de la division euclidienne de $P$ par un {\'e}l{\'e}ment
donn{\'e} $Q\in \bK(X]$.

%%%%%%%%%%%%

\exo{}

Soit $P(X)=X^4+X^3+2X^2+X+1\in \bR[X]\subset \bC[X]$.

\qst
Montrer que $i$ est racine du polyn{\^o}me $P(X)$ dans $\bC$. En d{\'e}duire une autre racine complexe de $P$.

\soluce{
On a $P(i)=1-i-2+i+1=0$ donc $i$ est racine. Comme $P$ est {\`a} coefficients r{\'e}els, $\ov{i}=-i$ est {\'e}galement racine de $P$.
}

\qst
Donner la d{\'e}composition de $P(X)$ en produit de facteurs irr{\'e}ductibles dans $\bR [X]$.

\soluce{D'apr{\`e}s ce qui pr{\'e}c{\`e}de, $(X-i)(X+i)=X^2+1$ divise $P(X)$ dans $\bC[X]$. La division euclidienne
donne $P(X)=(X^2+1)(X^2+X+1)$. Le polyn{\^o}me $X^2+X+1$ est r{\'e}el, sans racine r{\'e}elle et de degr{\'e} 2,
donc il est irr{\'e}ductible dans $\bR [X]$. Ceci montre que $P(X)=(X^2+1)(X^2+X+1)$ est
la d{\'e}composition de $P(X)$ en produit de facteurs irr{\'e}ductibles dans $\bR [X]$.
}

%%%%%%%%%%%%

\exo{}

Pour quelles valeurs de $a,b\in \bR$ le polyn{\^o}me $P(X)=X^5-2X^3+X^2+aX+b$
est-il divisible par le polyn{\^o}me $Q(X)=X^2-1$ dans $\bR[X]$ ?
Dans un tel cas, d{\'e}terminer le quotient de $P$ par~$Q$.

%%%%%%%%%%%%

\exo{}

Soient $a,b \in \bC$ et $P(X)=X^4+aX^3+(b-1)X^2-aX-b$.

\qst
Montrer que $1$ et $-1$ sont racines du polyn{\^o}me $P$.
En d{\'e}duire que $X^2-1$ divise $P(X)$.

\qst
Calculer $P'(1)$ et $P'(-1)$ (o{\`u} $P'$ d{\'e}signe le polyn{\^o}me d{\'e}riv{\'e} de $P$).

\qst
Pour quelles valeurs de $a$ et $b$ le polyn{\^o}me $X^4+aX^3+(b-1)X^2-aX-b$ est-il le carr{\'e} d'un polyn{\^o}me
de $\bC[X]$ ?

%%%%%%%%%%%%

\exo{}

\'Ecrire la d{\'e}composition dans $\bR[X]$ et dans $\bC[X]$ des polyn{\^o}mes suivants en produit de polyn{\^o}mes irr{\'e}ductibles :

\sq
$2X^2-X-1$
\hskip 20pt
\sq
$X^3+1$
\hskip 20pt
\sq
$X^6-1$
\hskip 20pt
\sq
$X^3-5X^2+3X+9$

\sq
$(X^2-X+2)^2-1$
\hskip 20pt
\sq
$X^8+X^4+1$.

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\noindent
Unit{\'e} d'Enseignement MAT 301

\vskip 15pt
\centerline{\bf Feuille de TD 7}

\vskip 15pt

\centerline{\bf Arithm\'etique dans $\bZ$ et dans $\bK[X]$}

\exo{}
(Notion d'id\'eal produit) Soit $(A,+,\times)$ un anneau commutatif
unitaire et $I$, $J$
des id\'eaux de $A$. On note $IJ$ l'ensemble des \'el\'ements de
la forme $\sum_{k=1}^Nx_ky_k$ avec $x_k\in I$ et $y_k\in J$.

\qst{} Montrer
que $IJ$ est un id\'eal et que $IJ\subset I\cap J$.

\qst{} Lorque $A$ est un anneau principal et $I=(p)$, $J=(q)$,
expliciter ce que sont les id\'eaux $IJ$ et $I\cap J$.

\qst{} Donner
un exemple dans $A=\bZ$ (resp.\ dans $A=\bK[X]$) o\`u on a
$I\neq J$ et $IJ\neq I\cap J$.

\exo{}
Soit $(A,+,\times)$ un anneau principal. Utiliser la propri\'et\'e de
factorisation en produit d'\'el\'ements irr\'eductibles pour d\'emontrer les
r\'esultats suivants.

\qst{} Si $x^m$ divise
$y^m$ (avec $x,y\in A\ssm\{0\}$ et $m\in\bN^*$), alors $x$ divise $y$.

\qst{} Si $x,y\in A\ssm\{0\}$ sont premiers entre eux et s'il existe
$z\in A\ssm\{0\}$ tel que $xy=z^m$, alors on peut \'ecrire
$x=u'z^{\prime m}$ et $y=u''z^{\prime\prime m}$ avec $z=z'z''$ et
$u'u''=1$.

\qst{} Si $a\in\bN^*$, prouver que ${}^m\!\!\!\sqrt{a}$ est un rationnel si
et seulement si $a= b^m$ avec $b\in\bN^*$, de sorte qu'on a alors
${}^m\!\!\!\sqrt{a}=b\in\bN^*$.
\medskip

\exo{} (Triplets pythagoriciens) On se propose de d\'eterminer tous les
triangles rectangles dont les longueurs des c\^ot\'es sont des multiples
entiers de l'unit\'e, c'est-\`a-dire tous les triplets
$(a,b,c)$ d'entiers strictement positifs tels que $a^2+b^2=c^2$.

\qst{} Soit $d={\rm pgcd}(a,b)$. Montrer que $d|c$, et se ramener ainsi au cas
d'un triplet $(\alpha,\beta,\gamma)$ avec $\alpha^2+\beta^2=\gamma^2$ avec
${\rm pgcd}(\alpha,\beta)=1$. Montrer que l'on a alors aussi 
${\rm pgcd}(\alpha,\gamma)=1$ et ${\rm pgcd}(\beta,\gamma)=1$.

\qst{} Montrer que $\alpha$ et $\beta$ ne peuvent pas \^etre tous deux impairs
en \'etudiant la divibilit\'e de $\gamma^2$ par $2$ et $4$, et en d\'eduire
que $\gamma$ est impair.

\qst{} Quitte \`a permuter \'eventuellement $\alpha$ et $\beta$, on suppose
$\alpha$ impair et $\beta$ pair et on \'ecrit  $\beta^2=(\gamma+\alpha)
(\gamma-\alpha)$. Montrer que $(\gamma+\alpha)/2$ et
$(\gamma-\alpha)/2$ sont premiers entre eux.

\qst{} En d\'eduire qu'il existe $r,s\in \bN^*$ tels que
$(\gamma+\alpha)/2=r^2$ et $(\gamma-\alpha)/2=s^2$.

\qst{} Montrer qu'\`a permutation pr\`es de $(a,b)$, les triplets
Pythagoriciens sont les entiers de la forme
$$a=d(r^2-s^2),\qquad b=2drs,\qquad c=d(r^2+s^2)$$
avec $d,r,s\in \bN^*$, $r,s$ premiers entre eux, et $r>s$.

\qst{} Montrer que dans l'anneau $\bC[X]$, les triplets pythagoriciens,
c'est-\`a-dire les polyn\^omes non nuls tels que $A^2+B^2=C^2$ sont
encore exactement de la forme pr\'ec\'edente
(avec $D, R, S\in\bC[X]\ssm\{0\}$).
\eject

\exo{}
\qst{} Utiliser l'algorithme d'Euclide pour d\'eterminer le pgcd $D(X)$
(choisi unitaire) des polyn\^omes $A(X),\,B(X)\in \bQ[X]$ tels que
$$
A(X)=X^4 + X^3 - X^2 - 2X - 2,\qquad
B(X)=X^5 + X^4 + X^3 - 3X^2 - 3X - 3.
$$

\qst{} Calculer $A(X)/D(X)$ et $B(X)/D(X)$ dans $\bQ(X)$ et expliciter
le ppcm de $A(X)$ et $B(X)$.

\qst{} D\'eterminer des polyn\^omes $U(X),\,V(X)\in\bQ[X]$ tels que
$D(X)=U(X)A(X)+V(X)B(X)$.

\qst{} D\'eterminer les racines de $A(X)$ et $B(X)$ dans chacun des trois corps
$\bQ$, $\bR$, $\bC$ et leurs décompositions en polyn\^omes irr\'eductibles dans
$\bQ[X]$, resp.\ $\bR(X)$, resp.\ $\bC[X]$.
\bigskip

\centerline{\bf Congruences et th\'eor\`eme chinois}

\exo{} D\'eterminer tous les \'el\'ements $x\in\bZ$ tels que
$$x\equiv 3\mod 7,\qquad x\equiv -2 \mod 11.$$

\exo{} D\'eterminer tous les polyn\^omes $P\in\bQ[X]$ tels que
$$
P\equiv 1\mod X^2+1,\qquad P\equiv X\mod X^2+X+1.
$$

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\vskip 10pt
\noindent
Unit{\'e} d'Enseignement MAT 301

\vskip 15pt
\centerline{\bf Feuille de TD 8}

\vskip 15pt

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\titre{Espaces propres, valeurs propres.}
\medskip

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\exo{}

On note $E=\bK_2 [X]$ le sous-espace vectoriel de $\bK [X]$ form{\'e}
des polyn{\^o}mes de degr{\'e} au plus 2.

On consid{\`e}re l'application suivante :
$$
F:\bK[X]\to\bK[X],\qquad P(X)\mapsto P'(X)+P(0)X
$$
o{\`u} $P'$ d{\'e}signe le polyn{\^o}me d{\'e}riv{\'e}e de $P$.

\qst
Montrer que $E$ est stable par $F$. On notera $f$ l'endomorphisme de $E$ induit par restriction de $F$ {\`a} $E$.

\qst
D{\'e}terminer $\Im f$.

\qst
D{\'e}terminer $\Ker f$.

\qst
D{\'e}terminer la matrice de $f$ dans la base canonique de $E$.

\qst
D{\'e}terminer le polyn{\^o}me caract{\'e}ristique et les valeurs propres de $f$.

\qst
Montrer que $f$ est diagonalisable et trouver une base de vecteurs propres de $f$.

%%%%%%%%%%%%

\exo{}

Dans l'espace vectoriel $E=\bK[X]$ de dimension infinie, on note $F=\bK_3[X]$
le sous-espace vectoriel form{\'e} des polyn{\^o}mes de degre au plus 3 et
$G$ l'ensemble des polyn{\^o}mes divisibles par~$X^4$.

\qst
Montrer que $G$ est un sous-espace vectoriel de $E$ et que $E=F\oplus G$.

\bigskip
On consid{\`e}re l'application suivante :
$$
f:E\to E,\qquad P(X)\mapsto P(X^2).
$$

\qst
Montrer que $f$ est lin{\'e}aire et que les seuls vecteurs propres de $f$ sont les polyn{\^o}mes de degr{\'e}~$0$.

\qst
Quels sont les sous-espaces vectoriels de $E$ de dimension finie stables par $f$ ?
\vskip 15pt


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\titre{R{\'e}duction des endomorphismes.}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


%%%%%%%%%%%%

\exo{}

\qst
On consid{\`e}re l'endomorphisme $f$ de $\bR^3$ dont la matrice dans la base canonique est :

$$\Mat_{{\cal B}_{can}} f = \pmatrix{
-1&1&1\cr
1&-1&1\cr
1&1&-1\cr}
.
$$

\sq
D{\'e}terminer les valeurs propres de $f$ et leur multiplicit{\'e} alg{\'e}brique.

\sq
Donner une base de chaque espace propre de $f$ et la multiplicit{\'e} g{\'e}om{\'e}trique des valeurs propres.

\sq
L'endomorphisme $f$ est-il diagonalisable ?

\sq
Si oui, donner une base de vecteurs propres, la matrice de $f$ dans cette base,
la matrice de changement de base de la base canonique vers cette base et son inverse.

\qst
M{\^e}me question que la question pr{\'e}c{\'e}dente pour :

$$\Mat_{{\cal B}_{can}} f = \pmatrix{
2&0&4\cr
3&-4&12\cr
1&-2&5\cr}
.
$$


\qst
M{\^e}me question que les questions pr{\'e}c{\'e}dentes pour l'endomorphisme $f$ de $\bR^4$ de matrice :

$$\Mat_{{\cal B}_{can}} f = \pmatrix{
1&1&2&4\cr
1&1&2&4\cr
1&2&1&4\cr
-5&0&0&-5\cr}
.
$$
%%%%%%%%%%%%

\exo{}

On consid{\`e}re l'endomorphisme $f$ de $\bR^3$ dont la matrice dans une base ${\cal B}=(e_1,e_2,e_3)$ de $\bR^3$ est :

$$\Mat_{{\cal B}} f = \pmatrix{
3&-1&1\cr
0&2&2\cr
-1&1&3\cr}
.
$$

\qst
D{\'e}terminer les valeurs propres de $f$.

\qst
L'endomorphisme $f$ est-il diagonalisable ?

\qst
Montrer qu'on peut trouver deux vecteurs propres $f_1$, $f_2$ de $f$ tels que ${\cal B}'=(f_1,f_2,e_1)$ forme une base de $\bR^3$.

\qst
D{\'e}terminer la matrice de $f$ dans la base ${\cal B}'$.


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\nouvellefeuille

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\noindent
{\bf Universit{\'e} Grenoble Alpes\hfill L2 Sciences\hfill 2018-2019}


\vskip 10pt
\noindent
Unit{\'e} d'Enseignement MAT 301

\vskip 15pt
\centerline{\bf Feuille de TD 9}



\vskip 15pt


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\titre{R{\'e}duction des endomorphismes (suite).}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%

\exo{}

Soit $d\geq 2$ un entier. On note $E= \bK_d[X]$ l'espace vectoriel des polyn{\^o}mes {\`a} coefficients dans un corps $\bK$
de degr{\'e} au plus d.
Soit $Q\in \bK[X]\setminus \{0\}$. On consid{\`e}re l'application
$\Phi_Q:E\to E$ qui {\`a} un polyn{\^o}me de $E$ associe le reste de sa division euclidienne par $Q$.

\qst
Montrer que $\Phi_Q$ est bien d{\'e}finie et lin{\'e}aire.

\qst
On consid{\`e}re dans cette question le cas $d=2$ et $Q(X)=X^2-1$.

\sq
Montrer que $\Phi_Q$ est diagonalisable.

\sq
Quelle est la nature g{\'e}om{\'e}trique de $\Phi_Q$ ? Quel est son polyn{\^o}me minimal ?

\qst
M{\^e}mes questions pour $d$ et $Q$ quelconques.

\qst
M{\^e}mes questions pour l'application $\Phi_a:E\to E$ qui {\`a} un polyn{\^o}me $P\in E$
associe le polyn{\^o}me constant $P(a)$, pour $a\in \bK$ fix{\'e}.

%%%%%%%%%%%%

\exo{}

Soit $A$ une matrice triangulaire dont les {\'e}l{\'e}ments diagonaux sont deux {\`a} deux distincts.

Montrer que $A$ est diagonalisable.

%%%%%%%%%%%%

\exo{}

\qst
Soit $A\in\cM_n(\bC)$.
On suppose que $A$ ne poss{\`e}de qu'une seule valeur propre.

Montrer que $A$ est diagonalisable si et seulement si $A$ est diagonale.

\qst
Soit $f:E\to E$ un endomorphisme d'un $\bK$-espace vectoriel de dimension finie. On suppose
que $f$ n'a qu'une valeur propre $\lambda$. Montrer que $f$ est diagonalisable si et seulement si $f$ est
l'homoth{\'e}tie de rapport $\lambda$. 

\qst
Soit $f$ un endomorphisme nilpotent d'un espace vectoriel $E$ de dimension finie.

Montrer que $f$ est diagonalisable si et seulement si $f=0$.

Indication : utiliser la question pr{\'e}c{\'e}dente.

\soluce{faire aussi la preuve par le polyn{\^o}me minimal.}

\exo{}
Soit $f$ un endomorphisme d'un espace vectoriel $E$ de dimension finie~$n$ sur un corps $\bK$, tel que le polyn\^ome minimal de $f$ soit $(X-\lambda)^n$ avec $\lambda\in \bK$.

\qst
Montrer que $g=f-\lambda\Id_E$ possède un vecteur cyclique $v$, c'est-\`a-dire un vecteur $v$ de $E$ tel que $\mathcal{B}=(v,g(v),\ldots,g^{n-1}(v))$ soit une base de $E$.

\qst D\'eterminer les matrices de $g$ et $f$ dans la base $\mathcal{B}$.

\qst Montrer que $\mathcal{B}'=(v,f(v),\ldots,f^{n-1}(v))$ est aussi une base
de $E$ et d\'eterminer la matrice de $f$ dans $\mathcal{B}'$.

%%%%%%%%%%%%

\exo{}

\qst
Soit $f:E\to E$ un endomorphisme dont le polyn{\^o}me caract{\'e}ristique est $(X+1)^2(X-2)^3$.
Quel peut {\^e}tre le polyn{\^o}me minimal de $f$ ?

\qst
D{\'e}terminer les polyn{\^o}mes caract{\'e}ristiques et minimaux des matrices suivantes :
\vskip14pt
\strut\kern-4mm\sq
$A = \pmatrix{
-1&0&0&0&0\cr
0&-1&0&0&0\cr
0&0&2&0&0\cr
0&0&0&2&0\cr
0&0&0&0&2\cr}
$
\hskip -5pt
\sq
$B = \pmatrix{
-1&1&0&0&0\cr
0&-1&0&0&0\cr
0&0&2&0&0\cr
0&0&0&2&0\cr
0&0&0&0&2\cr}
$
\hskip -5pt
\sq
$C = \pmatrix{
-1&0&0&0&0\cr
0&-1&0&0&0\cr
0&0&2&1&0\cr
0&0&0&2&0\cr
0&0&0&0&2\cr}
$
\medskip

\strut\kern-4mm\sq
$D = \pmatrix{
-1&1&0&0&0\cr
0&-1&0&0&0\cr
0&0&2&1&0\cr
0&0&0&2&0\cr
0&0&0&0&2\cr}
$
\hskip -5pt
\sq
$E = \pmatrix{
-1&0&0&0&0\cr
0&-1&0&0&0\cr
0&0&2&1&0\cr
0&0&0&2&1\cr
0&0&0&0&2\cr}
$
\hskip -5pt
\sq
$F = \pmatrix{
-1&1&0&0&0\cr
0&-1&0&0&0\cr
0&0&2&1&0\cr
0&0&0&2&1\cr
0&0&0&0&2\cr}.
$
\strut\vskip14pt

%%%%%%%%%%%%

\exo{}\sqcount=1
D{\'e}terminer les polyn{\^o}mes minimaux des matrices suivantes (voir la feuille de TD pr{\'e}c{\'e}dente) :
\medskip
\sq
$A = \pmatrix{
-1&1&1\cr
1&-1&1\cr
1&1&-1\cr}
$
\hskip 10pt
\sq
$B = \pmatrix{
2&0&4\cr
3&-4&12\cr
1&-2&5\cr}
$
\hskip 10pt
\sq
$C = \pmatrix{
1&1&2&4\cr
1&1&2&4\cr
1&2&1&4\cr
-5&0&0&-5\cr}
$
\medskip

\sq
$D = \pmatrix{
3&-1&1\cr
0&2&2\cr
-1&1&3\cr}
$
\hskip 18pt
\sq
$E = \pmatrix{
0&1&0&2\cr
-3&0&4&0\cr
0&1&0&3\cr
-1&0&1&0\cr}.
$
\strut\vskip14pt

%%%%%%%%%%%%

\exo{}

Montrer sans le th{\'e}or{\`e}me de Cayley-Hamilton que l'ensemble des polyn{\^o}mes annulateurs d'une matrice de $M_n(\bK)$ est un id{\'e}al de $\bK[X]$ non r{\'e}duit {\`a} $0$.
\strut\vskip14pt

%%%%%%%%%%%%

\exo{}

On consid{\`e}re la matrice :

$$A = \pmatrix{
-1&1&1\cr
1&-1&1\cr
1&1&-1\cr}
$$
(voir exercice pr{\'e}c{\'e}dent).

Soit $n\in \bN$. Calculer $A^n$ de deux fa{\c c}on diff{\'e}rentes :

\qst
En diagonalisant $A$ sous la forme $A=P^{-1}D P$ avec $D$ diagonale.

\qst
En faisant la division euclidienne de $X^n$ par le polyn{\^o}me minimal de $A$.
\strut\vskip14pt

\exo{}

\qst
D{\'e}terminer le p.g.c.d. unitaire de $X^3-1$ et $X^2-2X+1$ dans $\bR[X]$.

\qst
Montrer que le seul endomorphisme d'un $\bR$-espace vectoriel annul{\'e} par $X^3-1$ et
par $X^2-2X+1$ est l'endomorphisme identit{\'e}.
\strut\vskip14pt

%%%%%%%%%%%%

\exo{}

Soit $P\in \bK[X]$ tel que $0$ est racine simple de $P$. On notera $P(X)=XQ(X)$.

\qst
Montrer que $X$ et $Q(X)$ sont premiers entre eux et d{\'e}terminer $U(X), V(X)\in \bK[X]$
tels que $U(X)X+V(X)Q(X)=1$. En d{\'e}duire que $X$ est p.g.c.d. de $X^2$ et $P(X)$ et
d{\'e}terminer des polyn{\^o}mes $S(X), T(X)\in \bK[X]$ tels que $S(X)X^2+T(X)P(X)=X$.

\qst
Soit $A\in \cM_n(\bK)$ telle que $P$ soit un polyn{\^o}me annulateur de $A$.
Montrer que $\Ker A=\Ker A^2$.

\exo{}
Red\'emontrer directement par r\'ecurrence sur $n$ que tout endomorphisme
$f$ d'un espace vectoriel de dimension $n$ sur $\bC$ est triangulable, et
en d\'eduire le th\'eor\`eme de Cayley-Hamilton (\'egalement par r\'ecurrence,
en consid\'erant un vecteur propre et le bloc $(n-1)\times(n-1)$
contenant le reste de la diagonale principale).


\end{document}


