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\arabic{exercice}.} }
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\begin{document}

\noindent \textbf{MAT244 \ \ 2010-2011 
\hskip 3cm Feuille d'exercices 4}

\vskip .4cm 

\exercice
D\'eterminer la signature de la forme quadratique
$$q(x,y,z)=(x+2y+z)^2-(x+y)^2+(y+z)^2.$$


\exercice Rappeler l'\'enonc\'e de l'in\'egalit\'e de Cauchy-Schwarz puis
l'appliquer aux questions suivantes.
  
a) Montrer que $\forall(x_{1},...,x_{n})\in\R^{n},|\sum_{i=1}^{n}{x_{i}}|\leq
\sqrt{n}\left(\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{2}\right)^{\frac{1}{2}}$.
Etudier le cas d'\'egalit\'e.

b) Soit $f$ une application continue d'un intervalle $[a,b]$ dans
$\R$. Montrer que :
$$\left(\int_{a}^{b}f(t)dt\right)^{2}\leq (b-a)\int_{a}^{b}f^{2}(t)dt.$$
Etudier le cas d'\'egalit\'e.

c) Montrer que : 
$$\int_{0}^{1}\frac{e^t}{1+t}\, dt\leq 
\frac{1}{2}\sqrt{e^2-1}.$$

\exercice
On consid\`ere la plaque triangulaire homog\`ene $T$ de $\R^2$ 
de densit\'e surfacique $\sigma(x,y)=1$ et ayant pour sommets 
les points $O=(0,0)$, $A=(3,0)$ et $B=(0,1)$.

a) Calculer les coefficients $m_{ij}=\int\!\int _T x_ix_jdx_1dx_2$, $1\le
i,j\le 2$.

b) Diagonaliser la matrice sym\'etrique $M=(m_{ij})_{1\le i,j\le 2}$.

c) En d\'eduire les moments et les axes principaux d'inertie dans les
mouvements de rotation de $T$ autour d'axes passant par $O$.

\medskip
\medskip

\exercice Soit $f$ la fonction d\'efinie par $f(x)=\cos^3x+\sin^3x$.

$1)$ Lin\'eariser $f$, c'est-\`a-dire exprimer $f$ \`a l'aide des 
$\cos kx$, $\sin kx$, $k=1,2,3$.  

$2)$ En d\'eduire les coefficients de Fourier $a_k(f)$ et $b_k(f)$ de $f$
pour tous les entiers $k\ge 0$.   

\exercice On suppose que $f$  est $2\pi$-p\'{e}riodique et $C^1$ par morceaux.

$1)$ On suppose que $f$ est paire. Montrer que $b_n(f)=0$ pour tout $n\geq 1$.

$2)$ On suppose que $f$ est impaire. Montrer que $a_n(f)=0$ pour tout $n\geq 0$.

%{\bf Le r\'{e}sultat de cet exercice est \`{a} retenir!!}


\exercice
Soit $b\in]0,\pi[$. 
On consid\`{e}re la fonction $f$ $2\pi$-p\'{e}riodique, paire, d\'{e}finie sur $[0,\pi]$ par:

$$f(x)=\left\lbrace\begin{array}{lll}1&\mbox{ si }&0\leq x<b \cr 
\frac{1}{2} & {\rm si} & x=b \cr
0 & \mbox{ si }b<x\leq\pi
\end{array}\right.$$

$1)$ Etudier bri\`{e}vement la continuit\'{e} et la d\'{e}rivabilit\'{e} de $f$.

$2)$ Calculer la s\'{e}rie de Fourier de $f$.

$3)$ En d\'{e}duire la valeur de 
$\ds\sum_{n\geq 0}\frac{(-1)^n}{2n+1}$ et de 
$\ds\sum_{n\geq 1}\frac{\sin(n\pi/4)}{n}$.

\vfill\eject

\exercice
Si $x\in\R$, on rappelle que l'on a 
$$
{\rm ch}(x)=\frac{e^x+e^{-x}}{2},~ {\rm sh}(x)=\frac{e^x-e^{-x}}{2},~ 
{\rm th}(x)=\frac{ {\rm sh}(x)}{{\rm ch}(x)},~ 
{\rm coth}(x)=\frac{1}{{\rm th}(x)}.$$

Soit $a\in\R$. Soit $f$ l'unique fonction paire 
$2\pi$-p\'{e}riodique telle que 
$$f(x)={\rm ch}(ax) \mbox{ pour tout }x\in [0,\pi].$$

$1)$ Calculer la s\'{e}rie de Fourier de $f$.

$2)$ En d\'{e}duire l'\'{e}galit\'{e} 
$$\pi{\rm coth}(\pi a)=\frac{1}{a}+\sum_{n\geq 1}\frac{2a}{a^2+n^2}\mbox{ pour tout }a\in\R.$$

\exercice 

$1)$ Calculer la s\'{e}rie de Fourier de la fonction $f$ $2\pi$-p\'{e}riodique impaire telle que $$f(x)=x(\pi-x)\mbox{ pour tout }x\in[0,\pi].$$

$2)$ En d\'{e}duire la valeur de $\ds\sum_{n\geq 0}\frac{1}{(2n+1)^6}$.

%\vfill\eject

\exercice
$1)$ Calculer la s\'{e}rie de Fourier de la fonction $f$ $2\pi$-p\'{e}riodique telle que $$f(x)=\vert x \vert \mbox{ pour tout }x\in[-\pi,\pi[.$$

$2)$ En d\'{e}duire la valeur des s\'{e}ries 
$\ds\sum_{n\geq 0}\frac{1}{(2n+1)^2}$ et $\ds\sum_{n\geq 0}\frac{1}{(2n+1)^4}.$

\exercice
$1)$ Calculer la s\'{e}rie de Fourier de la fonction 
$f$ $2\pi$-p\'{e}riodique telle que 
$$f(x)=\vert \cos(x) \vert \mbox{ pour tout }x\in[-\pi,\pi[.$$

$2)$ Calculer $\ds\sum_{n\geq 1}\frac{1}{4n^2-1}$.



\exercice
Soit $k\geq 1$ un entier. On suppose que $f$ est de classe $C^k$ sur
$\R$ et $2\pi$-p\'{e}riodique.

$1)$ Montrer que $c_n(f^{(k)})=(in)^k c_n(f)$ pour tout $n\in\mathbb{Z}$.

$2)$ En d\'{e}duire qu'il existe $M\geq 0$ tel que 
$\ds\vert c_n(f)\vert\leq\frac{M}{n^k}\mbox{ pour tout }n\in\mathbb{Z},n\neq 0.$

$3)$ En d\'{e}duire alors que pour tout $1\leq m\leq k-1$, on a 
$$f^{(m)}(x)=\sum_{n\in\mathbb{Z}}i^m n^mc _n(f)e^{inx}\mbox{ 
pour tout }x\in\R.$$


\end{document}

\exercice 
On suppose $f$ et $g$ $C^1$ par morceaux.
Pour tout $x\in\R$, on pose $$(f*g)(x)=\int_0^{2\pi } f(t)g(x-t){\rm d}t.$$

$1)$ V\'{e}rifier que $f*g$ est $2\pi $-p\'{e}riodique. 
On admettra que $f*g$ est $C^1$ par morceaux.

$2)$ Montrer que $c_n(f*g)=c_n(f)c_n(g)$ pour tout $n\in\mathbb{Z}$.



\exercice
Soit le solide 
$S=\{(x,y,z)\in\R^3|1\le x^2+y^2+z^2\le 4,\, x\ge 0,y\ge 0,z\ge 0\}$
de densit\'e volumique homog\`ene $\rho(x,y,z)=1$. 

En passant en coordonn\'ees sph\'eriques 

(a) Calculer les coordonn\'ees du centre de masse $G$ de $S$.

(b) Calculer le moment d'inertie $I$ de $S$ par rapport \`a l'origine $O$ des
coordonn\'ees.

(c) Calculer le moment d'inertie $J$ de $S$ par rapport \`a l'axe $Oz$.

[on rappelle que 
$\sin^3 \theta ={3\over 4}\sin\theta -{1\over 4}\sin 3\theta$]


\medskip


